Análise Tensorial Aplicada ao Estudo das Deformações Mecânicas

Gerson Anderson de C. Lopes, Henrique D. da Fonseca Filho

UNIFAP – Departamento de Ciências Exatas e Tecnológicas

Campus Marco Zero - Laboratório de Ciência dos Materiais

68903-419, Macapá, AP

E-mail: g.anderson.feq@gmail.com, hdf_filho@unifap.br

Palavras-Chave: Matemática Aplicada à Física, Tensores, Deformação mecânica, Nanoindentação

Resumo: Neste trabalho mostra-se de que modo a análise tensorial é útil para descrever fisicamente as

deformações mecânicas, em particular com as descrições dos tensores de deformação e tensão, a

relação entre eles e as implicações sobre pressão e trabalho. Em particular, discute-se de que modo

essa descrição auxilia na compreensão física da criação de defeitos em superfícies semicondutoras

através de nanoindentações com a ponta de um Microscópio de Força Atômica (AFM).

1 Introdução

Tensores são objetos matemáticos associados à transformação de vetores em relação a uma

rotação do seu sistema de coordenadas [2]. Como um exemplo, considere um sistema de referência

inclinado de um ângulo em relação a outro sistema , e um vetor com suas respectivas

componentes , , e .

Pode-se afirmar que e , enquanto que

( ) ( )

( ) ( )

Podemos expressar essa conclusão em notação matricial:

(

) (

) (

) (1)

De modo mais geral, para rotações em torno de eixos arbitrários em três dimensões, a lei de

transformação assume a forma

(

) (

)(

) (2)

Ou, de forma compacta, ∑ (3)

Onde os índices 1, 2 e 3 representam , e respectivamente.

Do mesmo modo, um tensor é uma quantidade com nove componentes que se transforma

segundo dois fatores de :

∑ ∑

(4)

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Em geral, um tensor de n-ésima ordem possui índices e componentes. Assim, um escalar

é um tensor de ordem zero e um vetor é um tensor de ordem 1 [1].

Em teoria da elasticidade os tensores são especialmente úteis ao auxiliar na construção de uma

maneira compacta de representar os deslocamentos de porções interiores ao volume de corpos

deformados nas três dimensões e ainda ao fornecer um meio eficaz de estudar de que modo se distribui

a ação de agentes externos sobre corpos sólidos.

2 O Tensor de Deformação (strain tensor)

Considere um sólido que sofre uma deformação. Cada ponto do interior do sólido se encontra

inicialmente em uma posição e, após a deformação, este sofre um deslocamento para uma posição .

O deslocamento é: (5)

ou, em termos das componentes, (6)

Diferenciando temos . Sejam e elementos de comprimento no interior

do sólido antes e depois de sofrer deformação, temos

∑ e ∑

∑( )

Mas, decompondo nas suas componentes,

, onde omitimos a notação

somatório. Voltando na expressão anterior, e desenvolvendo o quadrado:

∑(

)

No primeiro termo da somatória, a soma é feita sobre os índices e , e podemos fazer:

(

) (

)

E no segundo termo da somatória trocamos os índices pelos índices , o que dá

∑(

)

Portanto: ∑ (7)

Em que dá a mudança no elemento de comprimento quando o sólido é deformado. A quantidade

(

) (8)

é chamada tensor de deformação (strain tensor) [4], e possui a propriedade de ser simétrico, ,

logo, pode ser diagonalizado em qualquer ponto dado. Os elementos da diagonal principal de

diagonalizado, ( ), ( ) e ( ) são denominados valores principais de .

Para diagonalizado, o elemento de deslocamento (7) próximo a ele se torna:

( ) ( ( )) ( ( ))

( ( ))

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O elemento ao longo do primeiro eixo principal se torna √ ( ) , e

similarmente para e

. A quantidade √ ( ) é igual a extensão relativa

( ) ⁄ . Para pequenas deformações, (8) se torna:

(

) (9)

As extensões relativas dos elementos de comprimento são, pois, a menos de termos de ordem

superior, √ ( ) ( ). Vamos encontrar dado . Os elementos de comprimento são,

depois da deformação, ( ( )) , e assim por diante. O elemento de volume é

, e após a deformação

( ( ))( ( ))( ( )).

Negligenciando os termos de ordem superior:

( ( ) ( ) ( )) ( ) ( ∑ ) (10)

∑ é invariante frente ao sistema de coordenadas, logo ∑

é a variação relativa

de volume.

3 Tensor de Tensão (stress tensor)

Quando uma deformação ocorre, tensões internas tentam retornar o objeto à posição de

equilíbrio. A força total em uma porção do corpo é ∫ em que é a força por unidade de volume.

As forças internas ao volume se cancelam pela terceira lei de Newton, restando as forças exercidas

na porção do corpo pelas porções circundantes. Estas atuam na superfície da porção.

O vetor deve ser o divergente de um tensor de ordem 2, isto é, da forma:

(11)

Logo: ∫ ∫

∮ (12)

Em que é a componente do vetor elemento de superfície dirigido segundo a normal

externa.

. O tensor é chamado tensor de tensão (stress tensor) [5]. O momento da

força pode ser escrito como o tensor antissimétrico de ordem 2 cujas componentes são .

Então o momento das forças no volume inteiro é ∫( ) . Substituindo (11):

∫(

) ∫

( )

∫(

)

Usamos o fato de que a derivada de uma coordenada em relação a si mesma é 1 e em relação ã

outra é 0. ⁄ , é o tensor unitário. E ainda que e . O primeiro

termo do lado direito da igualdade é o divergente de um tensor, logo sua integral pode ser

transformada em uma integral de superfície.

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∮( ) ∫( )

Se a integral é sobre uma superfície, o segundo termo deve sumir, o que dá , o que

mostra que o tensor é simétrico. Chegamos, então, a

∮( ) (13)

Para um corpo que sofre uma pressão de módulo constante dirigida segundo a normal interna

de cada elemento de superfície, a força exercida é dada por . A força em termos do tensor

de tensão é dada por . Fazendo , temos que:

(14)

Que é o tensor de tensão em compressão hidrostática.

4 Energia na deformação

Um corpo deformado sofre uma mudança na deformação. Multiplicando a força

por e integrando em , temos o trabalho :

∫

∫ (

) ∫

Logo: (15)

O trabalho é dado como função da mudança no tensor de deformação.

5 Nanoindentações

Pode-se criar defeitos na superfície de materiais semicondutores, como InP, através de

nanoindentações com a sonda de um AFM, no qual esta, pressionada contra a superfície, deforma-a

plasticamente, isto é, de modo permanente [3]. Há modelos físicos que descrevem muito bem os casos

em que a deformação é simplesmente elástica. Já para uma descrição da deformação plástica faz-se

necessário a utilização de análise tensorial uma vez que ocorre a deformação tridimensional da

amostra, cuja natureza depende de sua estrutura interna e dos materiais da ponta e da amostra.

Referências

[1] D. J. Griffiths, Introduction to Eletrodynamics, 3ed, Prentice Hall, New Jersey, 1999.

[2] E. C. Young, Vector and Tensor Analysis, 2ed, Marcel Dekker, New York, 1993.

[3] H. D. da Fonseca Filho, “Fabricação de nanoestruturas semicondutoras em defeitos produzidos por

microscopia de força atômica”. Tese de doutorado. PUC-RJ, 2008.

[4] L. D. Landau, Theory of Elasticity, Pergamon Press, Oxford, 1970.

[5] S. Timoshenko, Theory of Elasticity, McGraw-Hill Book Company, New York, 1951.

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