Análise vetorial - Heitz

8/2/2019 Análise vetorial - Heitz

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CAPITULO 1

ANALISE VETORIAL

No estudo da eletricidade e do magnetismo, pode-se conseguir uma grande sirnplifi-

cacao na cornplexidade da notacao, utilizando-se a n01arrao da analise vetorial. Ao proper-

cionar esta valiosa taquigrafia, a analise vetoria! tambem eleva, a primeiro plano, as ideias

fisicas expressas pelas equacoes, 0 objetivo deste capitulo e dar urna breve, mas cornpleta,

exposicao da analise vetorial basica e prcporcionar urn conhecimento mais uti! do campo

que seria necessaria para urn tratarnento da eletricidade e do magnetisrno. Aqueles que ja

estiverern familiarizados corn a a na lis e vetoriaJ verao que e um a revisao u t i ] e urna introdu-yao a notacao do texto.

1-1 DEFINI~OESNo estudo da ffsica elernentar varias especies de quantidades tern sido encontradas;

em particular, fez-se a divisao em vetores e escalares, Para a finalidade que ternos em vista

sera suficiente definir urn escalar da seguinte forma:

Urnescalar e uma quantidade completamente determinada par sua magnitude.

Exernplos de escalares sao numerosos: rnassa, tempo, volume, etc. Uma simples ex-tensao da ideia de urn escalar e urn cam po escalar , isto e, uma funcao da posicao que esta

completamente especificada por sua magnitude em todos os pontos do espaqo.

Urn vetor pode se r d efin id o como segue:

Um vetor Ii uma quantidade que estd completamente caracterizada par seu modulo, direcdo e

sentido.

Como exernplos de vetores, citamos posicao a partir de uma origem fixa, velocidade, ace-

leracao, forca, etc. A generalizacao para urn campo vetorial dolurna funcao da posirrao que

est a cornpletamente especificada por seu modulo, direcao e sentido em todos os pontes

do espaco.Estas deflnicces podem ser mais precisas e arnpliadas; na realidade, no Apendice I

elas sao substituidas pOI definicoes rnais sutis em terrnos de propriedades de transforma-

yao. Alern disso , especies mais complicadas de quantidades, como os tensores, sao as vezes

encontradas, Escalares e veto res serao contudo suficien tes aos 1105S0S prop6sitos ate 0

Capitulo 22.

15



16 Analise Vetorial

1-2 ALGEBRA VETORIAL

Como a algebra dos escalares e familiar ao leitor, usa-la-ernos para desenvolver a al-

gebra vetorial, Para continuar com este desenvolvimento convern possuir uma representa-

~ao de vetores e, com este propositovintroduzimos um sistema coordenado cartesiano tri-dimensional. Este sistema tridimensional sera represen tado pelas tres variaveis x, y, z au,

quando for rnais convenien te, Xl, X2 ,X3. Com respeito a este sistema de coordenadas, urn

vetar sera. especificado por suas componentes x-i y- e z-. Assim, urn vetor" V sera especifi-

cado por suas componentes Vx) Vy,V ..,onde Vx =IVlcOS(l}, Vy =IVlcOS(l2, Vz=IVI

cos (ll, seodo (l os angulos entre Ve os eixos coordenados apropriados. 0 escalar IVI =V V ; + V; + V; eo modulo do vetor V, au seu comprimento .No caso dos campos veto-

riais, cada uma das cornponentes deve ser considerada como urna funcao de x,ye z. Deve-

se salientar aqui que introduzimos uma representacao de vetores relativos a urn sistema de

coordenadas cartesianas somente para simplificar e facilitar a cornpreensao ; todas as defi-

nieces e operacoes sao, na realidade, independentes de qualquer escolha especial de coor-

denadas,

Define-se a soma de dois vetores como 0 vetor cujas cornponentes sao as somas das

cornponentes correspondentes dos vetores originais. Assim, se C for a Soma de A e 8, es-

creveremos

C=A +8 (1-1)

e

(1-2)

Esta definicao da soma vetorial e completamente equivalente a conhecida regra do parale-

lograrno para a adicao de vetores.

Define-se a subtracao vetorial em termos do negativo de urn vetor, que eo vetor cu-

ja s componentes sao o s negativ es das compcnentcs correspondentes do vetor original. As-

sim, se A for urn vetor, - A s e r a definido por

(-A)x = -Ax. (-A)y ~ -Ay, (-A)z =-A". 11-3)

A operacao de subtracao e entao definida como a adicao do negativo; a que e expresso

como

A - B =A + (- B). (1-4)

Urna vez que a adicao de nurneros reais e associativa e comutativa, segue-se que a

adicao vetorial (e a subtracao) tarnbern sera associativa e comutativa. Na notaeao vetoria!

isto se apresenta como

A + (8 + C ) = (A + B) + C = (A + C ) + B =A + B + c. (l·S)

Em outras palavras, as parenteses nao sao necessaries, como se mostra na ultima forma,

Passarido agora ao processo da multiplicacao, notamos que 0 produto mais simples e

* As quantidades vetoriais seriio impressas em negrito.



Algebra Vetorial 1 7

o de urn escalar multiplicado par urn vetor. Esta operacao tern como resultado urn vetor

cujas cornponentes sao 0 escalar multiplicado pela componente correspondents do vetor

original. Se c for urn escalar e A urn vetor, 0 produto cA sera urn vetor, B ""cA, definido

par

(1-6)

E claro que se A for urn campo vetorial e c urn campo escalar, entao B sera urn novo cam"

po veto rial que ndo e necessariarnente urn multiple constante do campo original.

Se, agora, dois vetores forem multiplicados, haven! duas possibilidades, conhecidas

como prcdutos escalar e vetorial, Considerando em primeiro lugar 0 produto escalar, no-

tames que este nome provern da natureza escalar do produto, apesar de os names alterna-

tivos, produta interne e produto ponte, serern algumas vezes usados. A definicao do pro-

duto escalar, expresso pOT A • 8', e

(1-7)

Esta definicao e equivalente ii outra, talvez mais familiar, a saber: 0 produto dos modules

dos vetores originais multiplicado pelo co-sene do angulo entre estes vetores. Se A e B fo-

rem perpendiculares urn ao outro, ~ f P . ~ 0 6 "' r , ; . . . . . P G A c

r ~ 1""",-1 "'\.,~.I""::' \'o1{f,

A·B=O

o produto escalar e comutativa. 0 comprimento de A e

IAI=~.

o produto vetorial de dois vetores e urn vetor, 0 que explica 0 nome. Nornes alter-

natives tambern usados sao produtos externo e produto cruz. 0 produto vetorial e expres-

so por A x B; se C for a produto vetorial de A e B, entao C =A x B,ou -P

E impart ante notar que 0 produto vetorial depende da ordem dos fatores; a troca da Of-dem introduz urn sinal negativo:

BxA=-AxB

Conseque ntemen te,

A x A ~O .

Esta definicao e equivalente a seguinte: 0 prod uta vetorial e 0 produto dos modules mul-

tiplicado pelo seno do angulo entre as vetores originais, sendo 0 sentido dado pela regra

do parafuso de rosca direita (au da mao direita)",o produto vetorial pede ser facilmente recordado em terrnos de urn determinante.

Se i, j e k forem vetores unitarios, isto e, vetores de modulo unitario, nas direcoes e senti-

• Suponhamos que A gira ate B pelo menor angulo possfvel, Urn parafuso de rosca direita girado

desta forma avancara numa diIel,lao perpendicular tanto a A como a B, 0scntido dcste avanco Ii

o sentido de A X B .



18 Analise Vetorial

dos positives de x,y, Z, respectivarnente, terernos

j k

AxB= Ax Ay A %

Bx By B~z(1-9)

Se este detenninante for resolvido pelas regras usuais, 0 resultado sent precisamen te nossa

definicao de produto vetorial.

As operacoes algebricas expostas acima podern ser combinadas de rnuitas formas, A

rnaioria dos resultados assim obtidos e obvia; entre tanto, ha dais produtos triples de irn-

portancia suficiente para rnerecer mencao exphcita. Ve-se facilmente que 0 produto esca-

Ia r triplo D = A • B x C e dado pelo determinante

A x A y A =

D =A - B x C = Bx By B= =-B . A x C.c, c, C:

(l-1O)

Este produto nao varia ao se fazer a perrnuta entre 0 ponto e a cruz ou urna perrnutacao

ciclica dos tres vetores; paren teses nao sao necessaries, uma vez que 0 produ to vetorial de

Urn escalar par urn vetor nao esta definido. 0 outro produto triplo interessante e 0 produ-

to vetorial triplo 0 = A x (B x C). Atraves de uma aplicacao repetida da definicao de pro-

duto vetorial, Eq. (I-S), obternos

o = A x (B x C) = B (A . C ) - C (A • B ), (I-II)

que e freqiientemente conhecida como regra do [ator media. Deve-se observar que no pro-duto vetorial os paranteses sao vitals; sem eles, 0 produto nao ficara corretarnente defini-

do.

Neste ponto poder-se-ia pergun tar sobre a possibilidade da divisflo vetorial. A divi-

sao de um vetor par urn escalar pode ser natural mente definida como a rnultiplicacao pe-

10 rec iproco do escalar. A divisao de urn vetor par outro vetor, no entanto, somente sera

possfvel se as dais vetores forern paralelos. Por outre lado, e possfvel expressar solucoes

gerais de equacoes vetoriais e, desta forma, efetuar alga parecido com a divisao, Conside-

remos a equacao

c=A· X, (1-12)

onde c e urn escalar conhecido, A e urn vetor conhecido e X e urn vetor desconhecido.

Urna solucso geral desta equacao e

X = ~ + B (1-13)A· A '

onde B e urn vetor de modulo arbitrario. perpendicular a A, isto e, A . B =0.0 que fize-

mas, foi muito semelhante a dividir c par A; mais corretamente, achamos a forma geral

do vetor X que satisfaz a Eq. (1-12). Nao existe uma solucao (mica e este fato explica 0

vetor B. Do mesmo modo, pcdernos considerar a cquacao vetorial

C = A x X , (1-14)

onde A e C sao vetores conhecidos e X e um vetor desconhecido. A solucao geral desta

equacao sera



Gradientc 1 9

CxAX=-- +kA

A'A(1-15)

se C • A =0, onde k e urn escalar arbitrario, Se C • A * 0 nao existira nenhuma solucao.

Isto, novamente, e quase 0quociente de C pOTA; 0escalar k leva em conta a nao unicida-de do processo. Se X for necessaria para satisfazer tanto a Eq. (1.12) como a Eq. (l-14),

entao a resultado sera unico (se existir) e dado par

X=CXA +~.A'A A'A

(1-16)

1·3 GRADlENTE

As extensces das ideias introduzidas acima para a diferenciacao e a integracao, isto

e , para 0 calculo vetorial, serao consideradas agora. A rnais simples destas e a relacao entre

urn campo vetorial particular e as derivadas de urn campo escalar. E conveniente introdu-

zir em primeiro lugar a ideia da derivada direcional de uma funcao de diversas variaveis.

Isto e exatamente a taxa de variacao da funyao em uma direcao e sentido especificados, A

derivada direcional de uma funcao escalar I{ ! e usualmente representada par dl{!/ds; deve ser

entendido que ds representa urn deslocamento infinitesimal na direcao e sentido conside-

rados e que ds eo valor escalar de ds, Se ds tiver par eomponentes dx, dy , dz entao

d q 1 = lim qJ{x +x, y +y, :: + A:) - q 1 ( x , Y , z )

ds .15-0 As S"rnr::"1 _I(J ... I" flS LEI.o

.j;£ ilf 'e;ttA<:,..Oe' C O l " " " " " " ve.io-

KI!.I E A~ LE.,r llf\; l~a\"JA

J~. r " r 2 u ( J ' ! >

ocp dx oqJ dy ccp d:

=--+--+--a x ds o y ds 0:: ds'

Para esclarecer a ideia de uma derivada direcional, consideremos uma funcao escalar

de duas variaveis. Entao, I{!(x,y) representa urn campo escalar bidimensional. Podemos

construir 0 grafico de 'f como funyao de x e y da rnesma forma que na Fig .. 1-1 foi feito

para a funcso 'f(x ,y) = x2 + y2. A derivada direcional no pontoxo,Yo depende da dire-

yaO e do sentido. Se escolhermos 0 sentido correspondente a dyfdx =- »slv«. obterernos

d q 1 i = O q 1 d x + O I P dy = [ 2 ' x o _ 2 y o x o ] d x = . ([-17a)

ds xo.yo a x ds o y ds Yo ds

Altemativamente, se escolhermos dyldx =Yo /xo, ohteremos

dcp i = (2.\:0 + 2 Y 6 ) 2 Xo 2 = 2. jX5 + yg,ds xo.'o .\:0 Xo + Yo

(I-J7b)

uma vez que ds = ..J(dx)2 + (dy)2. Como uma terceira possibilidade, escolhemos dy [dx =

a, entao

(I-17c)

Se este resultado for diferenciado em relacao a a e a derivada feita igual a zero, 0valor de

a para 0 qual a derivada tera urn maximo ou urn minimo tera sido achado. Quando efe-

tuarmos estas operacoes, obteremos a = Yo/xo que significa sirnplesmente que a dire!fao

de maxima taxa de variacao da fum;lio I{ !=x2 + y2 e a direcao radial. Se 0 sentido for ra-

dialmente para fora, entao 0 maximo sera a taxa maxima de crescirnento ; se for radial-



20 Analise Vetorial

mente para dentro sera uma taxa maxima de decrescimo au taxa minima de crescirnento.

Na direcao especificada par dyjdx = - xo/Yo, a taxa de variacao de x2 +y2 e zero. Esta

direcao e tangente ao cfrculo x 2 + y2 =x 5 + y~. Evidenternente, nesta curva, ip =X2 +y2 nao varia. A direcao em que d'fJ/ds se anula da a direcao da curva < p = constante atraves

do ponto considerado. Estas linhas, que sao circulos no casu da funyao X2 + y2 , sao com-

pletamen te anilogas a s ja familiares linhas de nivel, ou linhas deal titude constante, que

aparecern nos mapas topograficos. A Fig. 1-2 ilustra a funcao < p = X2 + y2 reconstituida

graficarnen te como urna curva de nivel .

. . . . . .

j~ t= ~ Figura 1·1 Grafico da fUI1"ao ",(x, y) = = x, +y' em fun~ao de x e y em tres dimensdes.

Pode-se generaiizar a ideia das curvas de n ivel estendendo-a a uma funyao de tres va-

riaveis, em cujo caso as superficies < p ( x , y , z) = constante sao denominadas superficies de

nivel ou superficies eqiiipotenclais, 0 analogo tridimensional da Fig. 1-2 e a unica rnanei-

fa pratica de representar graficamente urn campo escalar Dum espaco tridimensional.

!J

Figura 1-2 Funcao ",(x, y) da Fig. 1-1 expressa

em forma de curvas de nivel em duas dimen-

sees.



Gradiente 21

Pode-se agora definir 0 gradiente de uma funcao escalar como segue:

o gradiente de uma jlmpio escalar '" e urn vetor cujo modulo e a derivada direcional maxima no

ponto considerado e cujo sentido e o sentido r i a derivada direcional maxima neste pan/a.

E claro que 0 gradiente tern uma dire~ao normal a superf'Icie de nfvel de '- P atraves do pon-

to em consideracao. Os simbolos mais comuns para 0 gradiente sao \' e grad; destes, usa-

remos de preferencia 0ultimo. Em termos de gradien te, a denvada direcional e dada par

d r . pds = I grad 411 cos e , (I-IS)

onde f J e 0 angulo entre 0 sentido de ds e a sentido do gradiente. Isto e imediatamente

evidenciado pela geometria da Fig. 1-3. Se expressarmos 0 deslocarnento vetorial de mo-

dulo ds par ds, a Eq. (1-IS) podera ser escrita como

dip ds

- = grad r p . - . (1-19)ds ds

Esta equacao permite-nos aehar a forma explfcita do gradiente em qualquer sistema de co-

ordenadas em que conhecamos a forma de ds. Sabernos que, em coordenadas retangulares,

ds =iax + j dy + k dz. Tambern sabernos que

841 041 e r pd4 1 = - dx + - dy + - dz .

e x o y o z

~."'-----'---- ...... .l.s

1'\ \

n

Figura ]-) Partes das duas superficies de nivel da

fun~ao " £ J ! . ) " z). a 1 grad", 1 em P e igual ao Limite

de 6 ",/PQ quando PQ .... 0 e d",/ds e 0 limite COT-

respondente de 6 < p / P S ,

Desta e da Eg. (]-19), segue-se que

o r . p 041 a~-0 dx + -8 dy + -::;-d: = (grad 41).. dx + (grad 41),' dy + (grad ~). d:.

o c y oz ,-

lj Eixopolar

f'

0....;;:------ __ / 1

/

Figura 1-4 Dcflni~1io das coordcnadas pola-

resr,e,q,.



22 Analise Vctorial

Igualand 0 as coeficien tes das dife renci ais das variaveis inde pende ntes em ambos os lados

da equacao , obternos

d . o c p . o c p k o c pgra tp = Ia x + J o y + Jz (1-20)

em coordenadas retangulares, Nurn caso rnais complicado, 0 procedimento e 0 rnesmo.

Em coordenadas polares esfericas, com r, e , ¢Como sao definldos na Fig. }-4, ternos

Jcp a c p a c pdc p = a , : dr + a e de + a rb d¢ , ( \-21)

e

ds =a , dr + a ur dO + a d >r sen 0 d¢ , (1-22)

onde a.; a(1 e a , p sao vetores unitarios nas direcoes e sentidos positivos de r, f J e ¢ i respecti-

vamen teo Aplicando a Eq. (1-19) e igualando as coeficientes das variaveis independentes,

temos

o c p 1 o c p 1 a t pgrad cp = a , a r + a ll - r a e + a < l> - - -

r sen ( J o ¢(1-23)

em coordenadas esfericas,

1-4 INTEGRA~AO VETORlAL

Existem naturalrnente outros aspectos da diferenciacao que envolvem vetores; en-

tretanto, convern discutir em prirneiro lugar a integracao veto rial. Dentro do nosso objeti-vo, podemos considerar tres tipos de integrais: de linha, de superffcie e de volume, de

acordo com a natureza da diferencial que aparece na integral. 0 integrando pode ser urn

vetor ou urn escalar ; entre tanto , certas combinacoes de integrandos e diferenclais dao ori-

gem a integrais sern interesse. As de maior interesse aqui sao a integral escalar de linha de

urn vetor, a integral escalar de superf'(cie de urn vetor e as integrals de volume de vetores

e escalares,

Se F for urn vetor, a integral de linha de F sera expressa.corno

b

r F'dl, (1-24)'gc

onde C e a curva ao longo da qual a integracao e efetuada, a e b sao os pontos inicial e fi-

nal da curva e dl e urn vetor deslocamento infinitesimal ao iongo da curva C. Como

F •dl e urn escalar, esta claro que a integral de linha e urn escalar, A definicao da integral

de linha e muito semelhante a definicao de Riemann da integral definida. 0 segmento de

C entre a e b e dividido num grande nurnero de pequenos incremen tos 61,; para cada in-

cremento e escolhido urn ponto interior e determinado 0 valor de F neste ponto. 0 pro-

duto escalar de cada incremento com 0 valor correspondente de Fe determinado e a soma

destes cornputada. Define-se entao a integral de linha como 0 limite desta soma a medida

que 0 nurnero de incrementos se toma infinito, de forma a que cada incremento tenda a

zero. Pode-se expressar compactamente est a definicao comob N

f F· dl = lim . L Fi . ~Ii.! I : i Ic ."ti-co ,= l:



lntegracao Vetorial 23

E importante observar que a integral de linha em geral nao depende apenas dos pontes ex-

trernos a e b mas tarnbem da curva C ao longo da qual se realiza a integracao A integral

de linha ao longo de uma curva fechada e de consideravel irnportancia, de maneira queuma notacao especial e usada, isto e,

1 F· dl.e

(I-25)

A integral em tomo de urna superffcie fechada pode sec zero ou nao; a classe de vetores

para a qual a integral de linha em tomo de qualquer curva fechada e nula, e de grande in-

teresse. Por esta razao, frequenternente se encontram integrais em torno de percursos fe-

chados nao indicados, por exemplo,

{F - dl. 0-26)

Esta notacao e u t n apenas nos casas em que a integral e independerite do contomo C den-

tro de !imites bastan te amplos. Se qualquer arnbiguldade for possfvel, sen! convenien te es-

peeifiear 0 contorno. 0 procedimento basico para a solucao de integrais de linha consiste

em obter uma descricso com urn parametto da eurva e entso usar esta descricao para ex-

pressar a integral de linha como a soma de tres integrais ordinarias unidimensionais. Em

todos as casos, exceto as rnais simples, este e urn procedirnento longo e tedioso; mas, fe-

lizmente, Taras vezes se torn a necessario resolver as integrais desta forma. Como veremos

posteriormente , muitas vezes e possivel rnostrar que a integral de linha nao depende da

trajetoria entre as pontos extremos. Em ultimo caso, pode-se escolher urn percurso sim-ples para sirnplificar a integracao,

Se F for novamente urn vetor, urna integral de superficie de F sera expressa como

r F - n da,-s

(1-27)

onde Sea superficie sobre a qual se efetua a integracao, d o e uma area infinitesimal em S

e n e uma normal unitaria ada. Ha urna dupla ambiguidade na escolha de n, que sera eli-

minada, considerando-se n como sendo a normal dirigida para fora se S for uma superficie

fechada. Se S nso for uma superficie fechada e for finita, tera urn contomo, e a sentido

da normal sen! importante somente em relacao ao sentido arbitrario positivo de atravessar

a contorno. 0 sentido positive da normal e aquele em que um parafuso de rosca direita

avancaria se fosse girado no sentido positive da eurva de contorno. Isto esta ilustrado na

Fig. 1-5. A integral de superf'icie de F sobre uma superffcie fechada S e , as vezes, repre-

sentada par

j F·nda.s

Contorno

Figura 1-5 Relacao da normal n a uma su-

perf icie e 0scntido de giro do contomo.



24 Analise Vetorial

Podem-se fazer comentarios iguais aos feitos para a integral de linha para a integral de su-

perffcie. Esta integral de superficie e evidenternente um escalar; depende geralrnente da

superffcie S e os casos em que nao depende desta sao particularrnente importantes. A de-

finicao da integral de superffcie e feita de uma forma comparavel a da integral de linha,Apresentar-se-a como exercicio essa formulacao pormenorizada.

Se F for urn vetor e 'P um escalar, entao as duas integrais de volume em que estamos

interessados serjio

J = r (/I dv,.y

K = f F d» .y

(1-28)

Evidentemente, J e urn escalar e K, urn vetor. As definicoes destas integrais reduzem-se ra-

pidamente a integral de Riemann em tres dimensoes exceto que em K se deve notar a exis-

tencia de uma integral para cada componente de F. Estas integrals sao suficientemente fa-

milia res de modo que nao exigem nenhum outro cornentarlo.

1-5 DTVERGENTE

Urn outro operador irnportante, que e essencialmente uma derivada, e ooperador

divergente. 0 divergente do vetor F, escrito div F, e definido como segue:

o divergente de urn vetor e 0 limite de sua integral de superflcie por unidade de volume quando

o volume encerrado pela superficie tende a zero. lsto e ,

div F = lim 2 _ t F· n da.V~O V's

E incontestavel que a divergente e uma funcao escalar puntual (campo escalar) que se de-

fine no ponto limite da superficie de integracao. A definicso acima tern varias vantagens:

e independen te de qualquer escolha especial do sistema de coordenadas e pode ser usada

para encontrar a [anna explicita do operador divergen te em qualquer sistema particular

de coordenadas,

o elemento de volume f..x Ay Az da, em coordenadas retangulares, uma base con-

veniente para encontrar a forma explfcita do divergente. Se urn vertice do paralelepfpedo

retangular se local izar no pan to x 0 , Yo , z 0 , en tao

F,.{xo + ~x, Y. z) = F,,(xo. y,::) + ~x C : . : 1 .e x xo.y .•

o f IAx, Yo + ~j', =) = FA x, Yo, = ) + 6y a Y ,

Y " ' . J " ' . = (1-29)

Fl'(, y, = 0 + 6= ) = F J ' ( , y. ':0) + 6: C ! = ! 'c; x.y.:n

onde termos de ordem maior em ax, Ay e AZ foram omitidos. Como 0 elemento de area

Ay AZ e perpendicular ao eixo x, f..z 6x e perpendicular ao eixo y e Ax A y e perpendi-

cular ao eixo z, a definicao do divergente toma-se

1 I.div F = lim -.-~ ) i F .•( x o , y, = ) dy d:V~O Ax ~y LiZ •

er, ( ) d d+ ~x 6.y 6,;: - + F; .x, Yo. = .x =a x



Divergente 25

f i F _ •+ .1 .x .1 .y 6 .-:: 8:- - J FAxo, y, ::} dv d:

- J Fl'(, Y o , = ) dx d : - J FAx. y, = 0 ) dx dY), (1-30)

o sinal rnenos associado Com os ultimos tres terrnos explica 0 fato de que a normal dirigi-

da para fora esta, nestes cases, no sentido negative dos eixos. 0 limite e facilrnente obtido

e 0 divergente encontrado, em coordenadas re tangulares, e

, F c 7 F x { 1 FJ

( ' F _div =- +-+-'ex ?y c . - : : -

(1-31)

Em coordenadas esfericas, 0 procedirnento e semelhante. 0 volume encerrado pelos

intervalos de coordenadas I1 r, t::.e , t::.¢ e escolhido como volume de integracao. Este volu-

me e ,2 sen 8 t :: .r t :: .e 61/1. Como a area encerrada p elo s in te rv alo s de coordenadas depende

dos valores das coordenadas [note-se que este n'ao e a caso das coordenadas rctangulares),

e melhor escrever F •n t::.a em sua forma exphcita:

F . n Sa = F,r2 sen 0 60 t'l¢ + Ft.r sen (I .1.¢ 6r + F ",I" 6r 60, (1-32)

B evidente, at raves desta expressao, que , 2 F; sen (), ao inves de somente Fr, deve ser des-

dobrado em serie de Taylor. De rnaneira sernelhante , e 0 coeficiente dos produtos dos in-

tervalos de coordenadas que deve ser expandido em outros termos. Fazendo estas expan-

soes e usando-as para calcular a integral de superf'icic na definicao do divergente , obtemos

di I / a 2IV F= hm.2 f) A. An A..I, 1 - : : ; - (F,r sen 0) 6r 6f) 6¢

v-o I sen Lli Ll(l Ll,+, or

a a \+ ~O (F er sen 0) 60 6r 6¢ + >l..l, (F q , 1 " ) 6¢ 6r 68/,

o (''+'

(1-33)

Tomando 0 limite, a forma explicita do divergente, em coordenadas esfericas, e

, 1 a 2 1 il I a F q ,

div F = 2: - ( I ' F ,) + -- - (sen O F n ) +-- - -,r tir r sen U 8 0 r sen (} o¢

(J -34)

Este metoda de encontrar a forma exphctta do divergente e aplicavel a qualquer sistema

de coordenadas contanto que as formas dos elementos de volume e de superficie au, alter-

nativamente, os elementos de comprimento sejam conhecidos.

Cornpreende-se logo a significado ffsico do divergente at raves de um exernplo torna-

do da mecanica dos fluidos. Se V for a velocidade de urn fluido, dado como funcao da po-

si9ao, e p for sua densidade, entso PsPV • n da sera evidenternente a quantidade lfquidade fluido , por unidade de tempo, que deixa 0 volume encerrado par S. Se 0 fluido for in-

cornpressfvel, a integral de superftcie medira a fonte total de fluido encerrada pela super-

f'icie. A definicao anterior do divergente indica, entao, que 0 mesmo pede ser interpreta-

do como a limite da intensidade da fonte pa r unidade de volume, au a densidade da fonte

de urn fluido incornpressfvel,



26 Analise Vetorial

Pode-se agora enunciar e dernonstrar urn teorema extrernamente importante que en-

valve 0divergente.

Teorema do divergente. A integral do divergente de um vetor sobre um volume V e igual aintegral de superficie da componente normal do vetor sobre a superftcie que limite V. Isto e ,

r div F dv = [ F· n da.-v Is

Considerernos 0 volume a ser subdividido nurn grande nurnero de pequenas celulas, Seja

~Vi 0 volume da celula de ordern je suponhamos que 0 mesrno esteja limitado pela su-

perficie Sj. E evidente que

L J F· n da = F· n da,i s; js

(1-35)

onde em cada integral da esquerda, a normal se dirige para fora do volume considerado.

Como 0 sentido para fora de uma celula e 0 sentido para dentro da celula adjacente apro-

priada, todas as contribuicoes do lado esquerdo da Eq. (1-35) se cancelam, exceto as que

provem da superficie S.Assim a Eq. (1-35) esta essencialmente demonstrada. Obtern-se

agora 0 teorema do divergente fazendo 0 nurnero de celulas if ao infinite de forma a que

o volume de cada celula tenda a zero.

( 1-36)

No limite, a soma sobre iconverte-se numa integral sobre Ve a razao entre a integral so-

bre SI e ~ Vi torna-se 0 divergen te de F. Assim,

( F· n da = r div F dv,Is 'v

(1-37)

que e 0 teorema do divergente. Terernos, freqiientemente, ocasiao para tirar partido deste

teorema, tanto no desenvolvimento de aspectos te6ricos da eletricidade e magnetismo

quanto na resolucao pratica de integrais.

1-6 ROTACIONAL

o terceiro operador vetorial diferencial que interessa e 0 rotacional. 0 rotacional deurn vetor, expresso por rot F, e deflnido como segue:

o rotacional de urn vetor e o limite da razdo entre a integral de sell produto vetorial com a

normal dirigida para fora, sabre uma superflcie [echada, eo volume encerrado pela superficie

quando 0 volume tende a zero. Isto e .I.

ro t F = lim - f n x Fda,v-o V s

~ incontestavel 0paralelismo entre esta definicao e a definicjlo do divergente; ao inves do

prcduto escalar do vetor com a normal dirigida para fora, tern-se 0 produto verorial. No

rnais, as definicoes sao iguais, Uma definicao diferente, mas de igual valor, sen! mais util,Esta definicao alternativa e

(1-38)

A componente do rot Fno direcao do vetor uniuirio a Ii0 limite de uma integral de linha por

unidade de area, quando a area encerrada tende a zero, sendo esta drea perpendicular Q a.

lsto e , . 1 -a • rot F = lim -} F· dl,

s-o S c (1-39)



Rotacional 27

onde a curva C, que limita a superf(cie 5, esta em urn plano normal a a. B facil ver a equi-

valencia das duas definicoes, considerando uma curva plana Ceo volume varrido por esta

curva quando esta for deslocada uma distancia t na direcso da normal a seu plano, como e

ilustrado na Fig. 1-6. Se a for normal a este plano, entao , tornando-se 0 produto escalarde a com a prirneira definicao do rotacional, Eq. (1-38), obtemos

a • rot F=u r n _ . ! . _ { a' n x Fda.1-0 V. s

(l-40)

1 Figura 1-6 Volume varrido pelo desloca-

mente da curva plana C no sentido de sua

normal, B.

Como a e paralelo a normal em toda a superfjcie limitadora, exceto na estreita Iaixa limi-

tad a por C e C', sornente se deve considerar a integral sabre esta superffcie , Obscrvamos

que nesta superficie a x n cia e exatarnente t dl, onde dl e urn deslocarnento infinitesi-

mal ao longo de C. Uma vez que, alern disso, V =!;5, limite da integral de volume, e exa-

tarnente

a . rot F=H ~ <;~) ~ r~F . dl,que se reduz Ii segunda forma de nossa definicao apos 0 cancelarnento dos r Pode-se de-

monstrar esta equivalencia sem 0 emprego do volume especial utilizado aqui; entretanto,

faze-lo assim, sacrifica muito a sirnplificacao do que demonstramos anteriormente.

A forma do rotacional em varies sistemas de coordenadas pode ser calculada de rna-

neira sernelhante a do divergente. Em coordenadas retangulares, e conveniente 0 volume

flx fly flz. Para a componente x do rotacional , sornente contribuern as faces perpendicu-lares aos eixos y e z. Recordando que j x k = +-k x j = i,as contribuicoes nao elirninaveis

das faces do paralelepjpedo a cornponente x do rotacional, dao

. 1(rot F}~ =11m - {[ ~ Flx, y. z + ~::)+ F , , ( . x , y, = )] ~x 1'1y

v-+ o V

+ [ F A x , y + 6y, ::) - Fz(x. y, z ) ] 6, ~ = } . (1-41)

Fazendo-se urna expansao em serie de Taylor e tornando-se a limite, obtern-se

8Fz er,(rot F) = -- - -x o y a z (1.42)

para a componente x do rotacional. As componentes y e z podem sec obtidas da me sma

forma. Sao elas

(O F ) ' a F , .rot F), = a x - 8y . (1-43)



28 Analise Vetorial

Pode-se recordar facilmente a forma do rotacional em coordenadas retangulares, se obser-

vannos que ele e justarnente a expansao de urn detenninante tres por tres, ou seja,

j k

rot F = 8 a ae x c y G Z ( 1-44)

F ; r F y F z

o problema de determinar a forma do rotacionaJ em outros sistemas de coordenadas e li-

geiramente mais cornplicado e e deixado para exercfcios como no caso do divergerrte,

encontrarno-nos com urn importante e util teorerna que envolve a rotacional, conhecido

como teorema de Stokes.

Teorema de Stokes ..A integral de linha de urn vetor segundo uma curva fechada e igual aintegral da componente normal de seu rotacional sobre qualquer superjtcie limitada pela

curva . Isto e ,

[ F· d l = r rot F . n do,Ie -s (l-4S)

onde C e uma curva fechada que limita a superffcie S. A dernonstracao deste teorerna ebastante analoga Ii prova do teorerna do divergente. A superffcie S e dividida em grande

nurnero de celulas. A superfrcie da celula de ordem ie denominada tJ.Sj e a curva que a li-

mita e Cj• Uma vez que cada uma destas celulas deve ser atravessada no rnesrno sentido , eeviderue que a soma das integrals de linha segundo os C, e justamente a integral de llnha

segundo a curva limitadora; todas as outras contribuicees se cancelam. Como consequen-

cia,

Falta apenas tamar 0 limite quando o.nurnero de celulas tender ao infinito, de modo que

a area de cada uma tenda a zero. 0 resultado deste processo de limite e

~, 1 .Ie F- d l =r:~ASit F· d l ss,

= i rot F . n do.' 0 ' 5

que e 0 teorema de Stokes. TaJ teorerna, assirn como a divergente, e util tanto no desen-

volvimento da teoria eletromagnetica, como na resolucao de integrals. Talvez valha a pena

observar que ambos os teorernas, 0 do divergente e 0 de Stokes, sao essencialrnente inte-

gracoes parciais.

1 -7 OPERADOR DIFERENCIAL VETORIALV

Introduziremos agora uma notacao alternativa para os tres tipos de diferenciacao

vetoriaJ que expusernos - ou seja, gradiente, divergente e rotacional. Esta e expressa pelo

operador vetorial diferencial del, definido em coordenadas cartesianas como



Operador Diferencial Veto rial v 29

V=j~ .0 kO

a x + J o y + (lz' (1-46)

Del e um operador diferencial, j a que e usado apenas frente a urna funcao de (x,y, z), que

ele diferencia; e urn vetor, j a que obedece a s leis da algebra vetorial. * Em terrnos de del, as

Eqs. (1-20), (1-31) e (1~";!:.~ como segue:

C-/.({J • c tp + k f} tp."({J=I- +J-

. - - - - - a x o y G Z(I-20)

( div = V"

V' F= o f , , ,~ ~ a x

~=~,

(1-31)

VxF=

k

a a aa x a y (}z

(1-44)

As operacoes expressas com del sao independentes de qualquer escolha especial do siste-

ma de coordenadas, Quaisquer identidades que possam ser dernonstradas atraves do usa

da representacao cartesiana sao independentes do sistema de coordenadas, Del pode ser

expresso num sistema de coordenadas ortonorrnais nao cartesiano (curvilineo) de forma

analoga a Eq. (1-46) com os elementos de distancia apropriados, mas deve-se relembrar,

ao aplica-lo, que os vetores em tais sistemas de coordenadas sao, eles pro prios, funcoes de

posicao e precisam ser diferenciados. * * Os teorernas integrais importantes, de acordo com

as Eqs. 0-19), 0-45) e (1.37), sao

(1-47)

j ' V x F . nda =f · F· d l,

s 'c

(1-45)

f V· Fdv = f F· n da.Y S

(I,37)

. . E tarnbern urn vetor em termos de suas propriedades de transformacao , como mostrado no

Apendice 1.

Uma exposicao elementar e feita por H. T. Yang, American Journal of Physics, vol. 40, p. l09

(1972).

••



30 Analise Vetorial

Estes fornecem a integral de uma derivada de uma funcao, sabre uma regiao de n dirnen-

soes, em termos de valores da propria funcao nos lirnites da regiao de ordem dimensional

(n - 1), para n = 1,2,3. Uma vez que 0 operador del obedece a s regras da algebra veto,

rial, e conveniente usa-lo em calculos que envolvarn analise vetorial; daqui por diante , ex,

pressarernos 0 gradiente, 0 divergente e 0 rotacional em termos de V. Deve-se observar

que V sera urn operador linear:

V(arp + b l / l ) = aVrp + b V l / I ,

V . (aF + bG) = aV ' F + bV . G,

V x (aF + hG) =aV x F + bV x G.

se a e b forem escalates constantes.

1-8 DESENVOLVlMENTOS ADlCIONAIS

As operacoes que consistern em tomar 0 gradien te , 0 divergente ou 0 ratacional de

especies apropriadas de campos podern ser repetidas, Par exemplo, faz sentido tomar 0 di-

vergerite do gradiente de urn campo escalar. Algumas destas operacoes repetidas dao zero

para quaJquer campo bem-comportado. Urn e de tanta irnportancia que tem urn nome es-

pecial; as au tros podem ser expresses em termcs de operacoes mais simples. Irnportan te

operacao dupla e a do divergente do gradiente de urn campo escalar, Este operador combi-

nado e conhecido como 0 operador laplaciano e e usualrnente escrito V2,

Em coordenadas retangulares,

(PrpVl({J =-

8Xl (l-48)

Este operador e de grande importancia na eletrostatica e sent considerado pormenorizada-

mente no Capitulo 3.

o rotacionaJ do gradiente de qualquer campo escalar 6 nulo, Verifica-se este enun-

ciado mais facilrnente expressando-o em coordenadas retangulares. Se 0 campo escalar

for . . p ,

j k

V x (Vrp)=a a G . ( a 2

{ p O Z { P )"·=0, (1-49)I -- --- +

a x a y G Z - a y a ; : o z a y

a r p a r p o({J

a x o y G Z

a que confirma 0 enunciado original. Em notacao de operadores,

V x V = O .

o divergente de qualquer rotacional e tarnbem zero. Isto se verif ica diretarnente em coer-



Desenvolvimentos Adicionais 31

denadas retangulares, escrevendo-se

8 ( O F - C F y) ('I ( O F .x O F _ )V - (V x F) =- _- - _ + - _ - _" + ... =0

ox 8y (lz B y az ax '

ou

V . V x F = V x V . F = O .

(l-50)

O u tra possfvel operacao de segunda ordem consiste em tomar 0rotacional do rotacional de

urn campo vetorial. Deixou-se como exercicio a dernonstracao de que em coordenadas

retangulares,

V x (V x F) = V(V . F) - V2F, (1-51)

onde 0 laplaciana de urn vetor e 0 vetor cujas componentes retangulares sao as laplacia-nos das componentes retangulares do vetor original. Em qualquer sistema de coordenadas

que nao seja a retangular, define-se a laplaciano de urn vetor pela Eq, (1-51).

O utra rnaneira pela qual as operadores diferenciais vetoriais se podem desdobrar

consiste na sua aplicacao a varies produtos de dais vetores e escalates. Existern seis possi-

veis cornbinacoes de operadores diferenciais e produtos; estao listadas na Tabela 1-1.

Estas identidades podern ser faciJmente verificadas em coordenadas retangulares, 0 que

e suficiente para assegurar sua validade em qualquer sistema de coordenadas. U rna deriva-

da de urn produto de mais de duas funeoes, au uma derivada maior do que a derivada de

segunda ordern de uma funcso, pode ser calculada por aplicacoes repetidas das identida-

des da Tabela l-l , 0 que se constitui num processo exaustivo. As fo rmulas podem ser fa·cilrnente recordadas a partir das regras da algebra vetorial e da diferenciacao ordinaria; a

(mica ambiguidade poderia estar em (1-1-6) onde ocorre F • V (nao V • F).

Tabela I-I Identidades Vetoriais Difcrenciais

v . Vcp = Vlcp

V·VxF=O

\" 1 x V cp = 0

V x (V x F) = V(V . F) - V2F

V(cpl/l) = (VqJ)1/!+ cpV~1

V (F' G ) = (F, V )G + F x (V x G ) + (G • V)F + G x (V x F)

V . (cpF) = (V cp) . F + cpV . F

V - (F x G) = (V x F)' G - (V x G) . F

V x (cpF) =(V cp) x F + cpV x F

IV x (F x G ) = (V , G lF - (V , f)G + (G · V )F - (F ' V )G

(1-1-1)

(1-1-2)

(1-1-3)

(I 1-4)

(1-1-5)(1-1-6)

(1-1- 7)

(I-I-g)

(1-1-9)

(1-1-10)

AJguns tipos particulares de funcoes surgern tantas vezes na teoria eletromagnetica

que vale a pena anotar agora suas varias derivadas, Para a funcao F = r,

V' r = 3,

v x r=0,

G· Vr = G,

V2r =O.

(1-52)



32 Anilise Vetorial

Para uma funcao que depende somente da distancia r = Ir l = .JXl +y2 + Z2,

r d< p ( r ) au F ( r ) : V =--.

r dr(1-53)

Para uma Iuncao que depende do argurnento A . r, onde A e urn vetor constante,

< p ( A • r) aud

F(A +r]: V = A d(A . c ) " (1-54 )

Para uma funcao que depende do argumento R= r - r ', onde r ' e tratado como uma ori-

gem constan te

V =VR:

V . a . a aR = 1 a x + J o Y + k e z :

(l-55)

onde R = X i + Y j +Zk. Se ao inves dlsso , r for tratado como constante ,

v= -V' (I-56)

onde

V' _. a . iJ a-1-;-; +J-a , +k:lt'

ox y oz

Existem varias possibilidades para a extensao do teorerna do divergente e do teore-

rna de Stokes. A mais interessante e 0 teorerna de Green, que e

r ( I / l 'V lc p - < p V z ! / I ) d e = f ( ! / I V < p - r p V I j J ) . n d a .'v . s

Este teorerna provern da aplicacao do teorerna do divergente ao vetor

(l-57)

Usando este Fno teorerna do divergente , obternos

r V · [ 1 / l V r p - < p V I / l ] dv ~ f (IjJV(P - c p V 1 fr ) . n da .. v . s

(I-58)

Usando a identidade (Tabela 1-1) para a divergcnte de urn escalar vezes urn vetor, ternos

(1-59)

Combinando as Eqs. (I-58) e (1-59), obtern-se 0 teorema de Green. Alguns outros teore-

mas de integrais estao listados na Tabela 1-2.

Isto conclui nossa breve exposicao de analise vetorial. Par concisao, as provas demuitos resultados foram deixadas como cxercfcios. Nenhurna tentativa foi feita para al -

cancar urn alto grau de rigor; baseou-se 0 procedimento num criterio unicarnente utilita-

rista. 0 necessario foi desenvolvido; tudo rnais, omi tido.



Problemas 33

Fabela 1-2 Teoremas Integrals Vetoriais

J n x V qJ da =I tp dls : I e

r Vrp dv = f· rpn da-v _ s

r V x F dv = f n x F da·V s

L (V . G + G . V)F dv =- ~F(C . n) da

(1-2-1 )

(1-2-2)

(1-2-3)

(1-2-4)

1·9RESUMO

Tres especies diversas de diferenciacao de vetores podern serexpressas pelo opera·

dor diferencial vetorial del, V, ou seja, gradicnte, divergente e rotacional:

. a lp . a lp a lpV tp = I- + J - + k-

a x o y G Z '

V . F =aFx of)' aF,a x rt;+ a z '

j k

o a aVxF= a x o y a z

r, r, F:

Del e urn operador linear. Suas aplicacoes repetidas ou suas aplicacoes a produtos de fun-

c;:5esproduzern f6rmulas que podem ser deduzidas em coordenadas retangulares mas inde-

pen dentes do sistema de coordenadas, Estas podern ser recordadas por meio das regras da

algebra vetoria! e da diferenciacao ordinaria. As derivadas de algumas funcoes especiais

merecern ser decoradas, Os teorernas integrais mais import an tes relativos a s derivadas sao:

.( V lp . dl = tp [,

r v x F . n do =f ,F' dl,rs . ('

r V' F du =F · n do.'V J s

(T eorerna de Stokes)

(Teorema do divergente)

que podemos considerar gcneralizacoes do teorema fundamental do calculo.

PROBLEMAS

1·1 Os vetores que vao desde a origem ate os pon tos A,B, C, D, sao

A =i+j + k,

B =2i + 3j,

C = 3i + 5j - 2k.

D =k - j.



34 Anilise Vetorial

Dernonstre que as linhas AB e CD sao paralelas e cncontre a razao entre seus cornprimentos.

1-2 Demonstre que 05 seguintes vetores sao perpendiculares:

A = i+ 4j + 3k,

B =4i + 2j - 4k.

t-J Demonstre que os vetores

A =2 i - j + k,

B = i-3j - 5k,

C= 3i- 4j - 4k

formam os lados de urn triangulo reto.

1-4 Elevando ao quadrado ambos os lados da equacao

A -~

~ A=8-Cte .

e interpretando geornetricamente 0 resultado , prove a "lei dos co-senos",

1-5 Dernonstre que

A = icos C t + j sen Cl .

8=icos f 3 + j sen f 3

sao vetores unitarios no plano xy e formam angulos o, (3 com 0eixo x, Por rneio de urn produto esca-

lar, obtenha a formula cos ( 0 1 - (3).

1-6 Se A for urn vetor constantc e r for 0vetor que vai desde a. origem ate 0ponto (x, y, z), demons-

tre que

(r-A)' A=O

s e r a a cquacao de urn plano,

1-7 Com A e r definidos como no Problema 1-6, demonstre que

(r-A)-r=O

Ii a equacdo de uma esfera.

1-8 Usando 0 produto escalar, encontre 0 co-sene do angulo entre a diagonal principal de urn cubo e

uma das arestas do cubo,

1-9 Demonstre a lei dos senos para urn triiirlgulo, usando 0 vetor produto vatorial com A + C =B.

1-10 Se A, B, C forern vetores que vao desde a origem ate os pontosA, B, C, dernonstre que

(A x B) + (8 x C) + (C x A)

sera perpendicular ao plano ABC.

1-11 Verifique que a Eq. (1-15) e uma solucao da Eq. 11-14) por substituicao direta. (Observe que a

Eq. (1-14) irnplica que C seja perpendicular a A.)

1-12 Dernonstre que A, Be C nao serao linearmente independentes se

A - B x C = O.

Serao os vetoresA = j + 3k,



r I it '1 r . '? I

( I) \.II

Problemas 35

st J / J -

B = j - 2k,

C=i+j+k

lincannentc independentes?

1-13 Demonstre que 0 vetor unitario normal a superfrcie ip(l) = = constante e

Encontre n para 0 elipsoide it

1-14 Encontre 0 gradiente de 'f' em coordcnadas cilmdricas, sabendo que ds = = dr i,+ r de af) + dz k.

Deve-se observar que r e e tern aqui significado. difcrentes dos que apresentarn nas Eqs. (l-21) e

(1-22). Em coordenadas esfericas, r e 0 modulo do raio vetor a partir da origem e () eo angulo polar.

Em coordenadas cil indricas, rea distancia perpendicular a partir do eixo do eilindro e () Ii a angulo

azirnutal em relaorao a este eixo.

1-15 A partir da definicjio do divergente, obtenha uma expressao para V' F'ern coordenadas cilfndri-

cas.

1-16 Encontre 0 divergente do vetor

i (x 1 + yz ) + j(y2 + = x ) + k{Z2 + xy).

Encontre tam bern 0 rotaciorial.

1-17 V x F sera necessariarncnte perpendicular a F para toda fum;:ao vetorial F? Justifique sua respos-

tao

1·18 Prove que, para duas fun~oes escalates quaisquer, ip e 'ii.

Vl(rplji) = rpV1lji + ljiV2rp + 2Vrp • VtjJ.

1-19 Se r for 0vetor que vai desdc a origem ao ponto ex , y, z), dcrnonstre as formulas

V· r = 3; V X r = 0; (u . V)r =u

(Nora: u e qualquer vetor.)

1-20 Se A for urn vetor constante, dernonstre que

V IA . r) = A.

1~21 Dernonstre as identidades (1-1-7) e 0-1-9) da Tabala 1-1.

1-22 Se r for 0modulo do vetor que vai desde a origem ate 0 ponte ex , y, z) e fer) for uma fun~ao ar-

bitraria de r, prove que

V J ( r ) = r dl.r dr

r dFV . F ( r ) =-' -.

r dr

1-24 Prove que

Vrp(~) = A ~~

se r = = A • r.

1-25 Verifique a Eq. 0-51) em coordcnadas retangulares, ond e V1F ncstas coordenadas csta de acor-

do com a defini~ao do texto.

1-26 Demonstre as idcntidades (1-2-2) e (1-2-4) da Tabcla 1-2. (Sugeslifo: Use 0 teorerna do divergen-

te e uma au mais identidades da Tabela 1-1.)

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Análise vetorial - Heitz