AnaliseDesTempo-2

1EM 621 - DMC - UNICAMP

AVALIAO DE DESEMPENHO

Introduo Anlise no domnio do tempo

Resposta ao degrau Resposta rampa Resposta parbola

Anlise no domnio da freqncia Diagramas de Bode Diagrama de Nyquist Diagrama de Nichols

Esta aula

EM 621 - DMC - UNICAMP

Introduo

Projeta-se um controlador para atingir um desempenhoespecificado a priori.

As especificaes para o desempenho desejadodevem seguir um padro tcnico de modo a seremfacilmente estabelecidas e interpretadas.

O padro deve seguir sistemticas reconhecidas naprtica da engenharia como efetivas.

Atingido o desempenho padronizado, admite-se que odesempenho real do sistema seja o mais prximopossvel do desejado.


Anlise nos domnios do tempo e da freqncia

Domnio do tempo Anlise da resposta ao degrau unitrio o mtodo mais

comum

Resposta rampa e parbola adicionam rapidez aodesempenho

Domnio da freqncia Diagramas do mdulo e da fase da FT Diagramas polares da FT Diagramas mistos


Definio do degrau unitrio

A funo degrau unitrio nula at o instante inicialquando passa instantaneamente para o valor 1 epermanece eternamente nesse valor.

0 2 4 6 8 1 0- 0 . 2

0

0 . 2

0 . 4

0 . 6

0 . 8

1

1 . 2D e g r a u u n it r io

T e m p o ( s )

Am

plitu

de


MatLab: Degrau Unitrio

% Degrau unitrio

u=zeros(1,100); u=[u, ones(1,1001)]; t=-1:0.01:10; plot(t,u), axis([-1 10 -0.2 1.2]) title('Degrau unitrio'); xlabel('Tempo (s)') ylabel('Amplitude')


Definio da rampa unitria

A rampa unitria nula at o instante inicial quandopassa a crescer com um ngulo de 45.

0 2 4 6 8 1 0

0

2

4

6

8

1 0

T e m p o ( s )

Am

plitu

de

R a m p a u n it r ia


MatLab: Rampa Unitria

% Rampa unitria

r=zeros(1,100);r=[r t(101:1101)];plot(t,r)axis([-1 10 -1 11])xlabel('Tempo (s)')ylabel('Amplitude')title('Rampa unitria');


Definio da parbola unitria

A parbola unitria nula at o instante inicial e umameia parbola crescente a partir da, com derivadaigual rampa unitria.

0 2 4 6 8 1 0

0

2

4

6

8

1 0

T e m p o ( s )

Am

plitu

de

p a r b o la u n i t r i a


MatLab: Parbola Unitria

% Parbola unitria

p=zeros(1,100);t2=t(101:1101);t2=0.5*(t2.*t2);p=[p t2];plot(t,p)axis([-1 10 -1 11])xlabel('Tempo (s)')ylabel('Amplitude')title('parbola unitria');


Resposta ao degrau

A resposta ao degrau pode ser especificada em termosde cinco parmetros bsicos: sobressinal tempo de estabilizao tempo de subida tempo de atraso erro estacionrio

0 2 4 6 8 10

0

0.5

1

1.5

2Res pos ta ao degrau unitrio

Tempo (s )

Am

plitu

de


Sobressinal

Percentual do valor de pico em relao ao valorestacionrio

0 2 4 6 8 10

0

0.5

1

1.5


Tempo (s )

Am

plitu

de

PSS=100(yp-yest)/yest


Clculo do sobressinal

P/ sistemas de 2a. ordem:

onde

Em conseqncia

Obs: o sobressinal funo apenas do fator deamortecimento.

2( ) 1 sen( )

1

t

d dey t t

= +

12 cos,1,1, ==== dndn)

1exp(100,

1 22

=

= PSSTn

p


0 2 4 6 8 10

0

0.5

1

1.5


Tempo (s )

Am

plitu

de

Tempo de estabilizao

Tempo para entrar e permanecer em uma faixa de x% dovalor final

Faixa de x%


Clculo do tempo de estabilizao

Pode-se mostrar que a equao da envoltria para sistemas de 2a.ordem

Assim, para um tempo de estabilizao a 5% considerando aenvoltria superior

05.011

2

+

en te

2105.0 et

e

=

211)(

tv

nete


Continuao

Considerando um fator de amortecimento entre 0 e 0,7:

1.0= 995.0*05.0et

e00.3

et

5.0= 866.0*05.0et

e14.3

et

7.0= 714.0*05.0et

e33.3

et


Clculo do tempo de estabilizao

Para sistemas de 2a. ordem, admite-se como regra prtica que otempo de estabilizao a 5% de aproximadamente 3,2 vezes aconstante de tempo.

Para 2% admite-se

Procedimento comum: especificado o sobressinal, encontra-se o fatorde amortecimento e, do tempo de estabilizao, encontra-se afreqncia natural.

n

eT 2,32,3%5, ==

4%2, =eT


0 2 4 6 8 10

0

0.5

1

1.5


Tempo (s )

Am

plitu

de

Tempo de subida

Tempo que o sistema leva para ir de 10% a 90% do valorfinal.

Te=T1-T2


Tempo de atraso

Tempo para atingir 50% do valor final

0 2 4 6 8 10

0

0.5

1

1.5


Tempo (s )

Am

plitu

de

Ts


Tempo de subida e de atraso

So dados similares e que fornecem uma idia davelocidade com a qual o sistema reage

No h um clculo aproximado que seja til de modogeral

Como regra prtica, quanto maior a freqncia natural,mais rpido o sistema reage

Portanto, aumentando a freqncia natural ocorre umadiminuio dos tempos de subida e de atraso


Calculando os parmetros da resposta ao degrau

function[pss, ts, te2, tp] = fstepar(y, t) % % function[pss, ts, te2, tp] = fstepar(y, t) % Clculo dos parametros de resposta % ao degrau. Recebe os vetores do sinal e % do tempo e retorna o percentual de % sobressinal(pss), tempo de subida (ts), tempo % de estabilizao a 2% (te2) e o tempo do pico (tp) % % Calculo do pss e tp [yp, ind] = max(y); dimt = length(t); yss = y(dimt); pss = 100*(yp-yss)/yss; tp = t(ind);

% Clculo do tempo de subida for i = 1:dimt if y(i) < 0.1*yss, t1 = t(i); elseif y(i) == yp, break; end end for i = 1:dimt if y(i) < 0.9*yss, t2 = t(i); elseif y(i) == yp, break; end end ts = t2 - t1; % Calculo do tempo de estabilizao for i = 1:dimt if y(i) > 1.02*yss, te2 = t(i); elseif y(i)


Considerar Wn=10 rd/s zeta=0.1

22

2

2)()(

nn

n

sssUsY

++=

Utilizando a funo anterior (fstepar) obter o percentualde sobressinal (pss), tempo de subida (ts), tempo de

estabilizao de 2% (te2) e tempo do pico (tp).

Exemplo


MATLAB: soluo

pss = 72.8622ts = 0.1100te2 = 3.8300tp = 0.3200


Sugesto: aps a concluso do programa, plotar aresposta e verificar visualmente os resultados. wn=10; zeta=0.2; np=wn^2; dp=[1 2*zeta*wn wn^2]; sys=tf(np,dp); t=0:0.01:10; y=step(sys,t); [pss, ts, te2, tp]=fstepar(y,t)

MATLAB: soluo


Erro estacionrio

Diferena entre o valor do degrau (referncia) e o limiteda resposta quando

0 2 4 6 8 10

0

0.5

1

1.5


Tempo (s )

Am

plitu

de

)(lim1 tyet

est

=

Erro estacionrio

t


Comentrios sobre o erro estacionrio

O erro estacionrio pode ser calculado para qualquersinal de referncia r(t)

Nesse caso definido como Definem-se as constantes de erro

de posio de velocidade de acelerao

Para a resposta ao degrau, eest pode ser encontradocomo (a0 e b0 coeficientes da EDG, P4 val.final)

))()((lim tytrt

0

00

a

ba )(lim)(lim

0sFstf

st =


Resposta rampa unitria

O erro estacionrio pode aumentar, diminuir ou ficarconstante aps um certo tempo

0 2 4 6 8 100

2

4

6

8

1 0R e s p os ta ra m p a u n it ria

Te m p o (s )

Am

plitu

de


Resposta parbola unitria

Usada apenas quando deseja-se uma resposta rpida dosistema

0 2 4 6 8 1 00

10

20

30

40

50Re s p os ta p a r b o la un it ria

Te m p o (s )

Am

plitu

de


Seja onde

Comportamento de sistemas de 2a. ordem

)(2 22 tuyy nnn =++ 0

0

)0()0(

vyyy

=

=

)()]([ sYtyL = 0)()]([ yssYtyL =

)()]([ sUtuL =definindo

20 0[ ( )] ( )L y t s Y s v sy=

2 2 20 0[ 2 ] ( ) [ 2 ] ( )n n n ns s Y s v s y U s + + + =2

0 02 21( ) [ ( ) ( 2 ) ]

2 n nn nY s U s v s y

s s = + + + =+ +


Sistemas 2a. Ordem: FT

termos podem ser resolvidos separadamentesistema linear

pressupe condiesiniciais nulas

Funo detransferncia

22

2

2)()(

nn

n

sssUsY

++=

00

0

0

=

=

v

y

20 02 2

1( ) [ ( ) ( 2 ) ]2 n nn n

Y s U s v s ys s

= + + + =+ +


Calculando a resposta ao impulso

Para entrada impulsiva, a TL respectiva 1, logo

Pode-se encontrar a resposta usando a TIL para os trstipos de sistemas em termos do fator deamortecimento.

22

2

2)(

nn

n

sssY

++=


Dependendo do

0 < 1

=1

>1

])1sen[(1

)( 22

te

ty nt

nn

=

tn

ntety = 2)(

1212)(

2

)1(

2

)1( 22

=

+

tn

tn

nn eety


Resposta sub-amortecida

Variando o fator de amortecimento (0,1 a 0,9) t=0:0.2:20; wn=1; figure(1), hold for zeta=0.1:0.1:0.9, b=sqrt(1-zeta^2); a=wn/b; y1=exp(-zeta*wn*t); y2=sin(wn*b*t); y=a.*y1.*y2; plot(t,y) end grid hold

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1


Resposta ao impulso

A resposta ao impulso pode ser especificada em termos dodecremento logartmico

Decremento logartmicoMedida do amortecimento

)sen()( tAety dtn =Perodo)(12 ttT =

22

2

11

2)(

2

1

==== eeeAeAe

YY

dnn

n

n

Tt

t

22

1

12ln

==

YY

0 2 4 6 8 10-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

1t 2t

1Y2Y


Calculando a resposta ao degrau

Para entrada degrau unitria, a respectiva TL 1/s, logo

Pode-se encontrar a resposta usando a TIL para os trstipos de sistemas em termos do fator deamortecimento.

)2()( 222

nn

n

ssssY

++=


Considerando o caso 0 < 1

As razes do PC so:

Separando em fraes parciais:

)1()(21

)2()( 222222

++

+=

++=

nn

n

nn

n

s

s

sssssY

22,1 1 = nn j

++

+++

+=

)1()(11

)1()(1)( 2222

2

222

nn

n

nn

n

ss

s

ssY


Continuando

]})1sen[(1

])1{cos[(1)( 22

2 ttety nntn

+=

)1()(1

1)1()(1)(

222

2

2222

++

++

+=

nn

n

nn

n

ss

s

ssY

)(cos

])1sen[(1

1)(

1

22

=

+

= te

ty ntn

E lembrando que:22)(

)sen(bas

bbteL at++

=

22)()cos(

basasbteL at++

+=


MATLAB: Resposta ao degrau

wn=10;zeta=.1;


t=0:0.01:10; wn=10; zeta=.1; wd=wn*sqrt(1-zeta^2); phi=acos(zeta); y=1-(exp(-t*zeta*wn)/sqrt(1-eta^2)).*sin(wd*t+phi); plot(t,y)

MatLab:Resposta ao degrau

Documents

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