Análises Estáticas Não Lineares em Pontes Equipadas com ... · Agradeço ao Núcleo de Engenharia Sísmica e Dinâmica de Estruturas, ... III Resumo Com o ... 6.1.2 Definição

I

Agradecimentos

Aos meus pais, agradeço todo o apoio que me deram durante a realização do trabalho e

principalmente em toda a minha vida.

Ao meu orientador, Professor Carlos Alberto Sousa Oliveira, pelos conhecimentos

transmitidos, pela total disponibilidade para esclarecimento de dúvidas ao longo da realização

do trabalho, disponibilidade de efectuar os ensaios de medição ao viaduto em dias de

descanso e ainda pelo dinamismo e optimismo como orientou o trabalho.

Uma palavra de gratidão ao Professor Sérgio Cruz, responsável pelo projecto estrutural do

viaduto e ao Engenheiro Belarmino Carvalho pela amável cedência dos elementos de projecto

sem os quais não teria sido possível a realização deste trabalho.

Ao Professor Luís Guerreiro, pelos ensinamentos transmitidos e esclarecimento de

dúvidas, ao longo de todo o trabalho, sobre o comportamento dos aparelhos de apoio “óleo –

dinâmicos” e fornecimento de bibliografia.

Ao Professor Mário Lopes pelo fornecimento de bibliografia.

Agradeço ao Núcleo de Engenharia Sísmica e Dinâmica de Estruturas, Departamento de

Estruturas do Laboratório Nacional de Engenharia Civil pela utilização do programa de

tratamento de dados SISDATA. Uma palavra especial à Doutora Ema Paula de Montenegro

Ferreira Coelho, Engenheira Maria João Falcão e Anabela Marques Martins pelo

esclarecimento de dúvidas sobre o funcionamento do programa.

Finalmente, quero agradecer ao Doutor João Pedro Pereira Pina pela ajuda na realização

do programa de cálculo para obter relações momentos – curvatura de secções.

II

III

Resumo

Com o desenvolvimento das técnicas de avaliação sísmica que se baseiam em análises

estáticas não lineares, pretendeu-se nesta dissertação proceder à avaliação sísmica do viaduto

Padre Cruz, situado no Eixo Norte – Sul em Lisboa. Este viaduto foi modelado no programa de

cálculo SAP2000 e efectuaram-se ensaios de medição em vários pontos do seu tabuleiro com

o objectivo de determinar quais as frequências de vibração mais representativas do movimento

da estrutura. Esta medição teve como objectivo verificar se o modelo computacional traduzia

um comportamento dinâmico semelhante ao da estrutura.

O viaduto possui 4 aparelhos de apoio óleo – dinâmicos em cada encontro, estes

aparelhos pretendem dissipar energia de maneira a minimizar a severidade das acções

sísmicas na direcção longitudinal. Os aparelhos apresentam uma relação constitutiva dinâmica,

a força que estes aparelhos conseguem dissipar depende essencialmente da velocidade de

vibração do tabuleiro. Como a análise a realizar é estática sugeriu-se um procedimento para

contabilizar a presença destes aparelhos em análises deste tipo.

Foram utilizados dois procedimentos para determinação do ponto de desempenho da

estrutura, o método N2 proposto pelo Eurocódigo 8 e o procedimento sugerido no regulamento

ATC40. Os resultados obtidos por ambos os procedimentos revelaram-se semelhantes.

Para as acções sísmicas analisadas, a estrutura deverá responder em regime linear na

direcção transversal, podendo recuperar na totalidade as deformações sofridas após o decorrer

das acções sísmicas nesta direcção, não apresentando quaisquer danos significativos.

Para a direcção longitudinal, a estrutura não deve colapsar para as acções sísmicas

analisadas, porém prevê-se que o viaduto entre em regime não linear. Como a estrutura

apresenta uma grande ductilidade nesta direcção, para as acções consideradas os

deslocamentos para o viaduto estão bastante afastados do valor de deslocamento que provoca

o colapso da estrutura. Este afastamento acentuado deve-se ao facto da presença dos

aparelhos de apoio óleo – dinâmicos.

Na fase final pretendeu-se extrapolar os resultados obtidos pelas análises estáticas não

lineares definindo-se pontos, nos espectros de capacidade, que representam determinados

estados de dano. Após esta definição calcularam-se as curvas de fragilidade associadas a

cada estado de dano de modo a que, de um ponto de vista qualitativo se consiga prever qual a

probabilidade de a estrutura atingir um determinado estado de dano quando solicitada por uma

determinada acção sísmica.

Palavras-Chave: Análise estática não linear; aparelhos óleo – dinâmicos; N2; ATC40;

Ponto de desempenho; Curvas de Fragilidade.

IV

Abstract

With the development of seismic evaluation techniques based on non-linear static analyses,

the intention of this dissertation was to carry out the seismic evaluation of the Padre Cruz

viaduct, on the North-South Axis in Lisbon. The viaduct was modelled using the software

SAP2000, and measurement tests were carried out on various points on the deck of the viaduct

with the aim of determining which vibration frequencies were most representative of the

movement of the structure. The aim of this measurement was to check whether the computer

model reflected a dynamic behaviour similar to that of the structure itself.

The viaduct has 4 viscous dampers at each abutment. These devices are designed to

dissipate energy in order to minimise the severity of seismic action in a longitudinal direction.

The devices show a dynamic constitutive relation and the force that they manage to dissipate

depends essentially on the vibration velocity of the deck. Since the analysis carried out was

static, a procedure was suggested to account for the presence of these devices in analyses of

this type.

Two procedures were used to determine the performance point of the structure, the N2

method proposed by Eurocode 8 and the procedure suggested in the ATC40 regulation. The

results obtained by both procedures were similar.

For the seismic events analysed, the structure should respond in a linear regime in the

transverse direction, and could totally retrieve the deformations suffered after seismic activity in

this direction, not showing any significant damage.

For the longitudinal direction, the structure should not collapse as a result of the seismic

events analysed, although it is predicted that the viaduct could enter into a non-linear regime.

As the structure shows great ductility in this direction, for the events considered the

displacements for the viaduct differ quite considerably from the displacement value that would

provoke the collapse of the structure. This marked deviation is due to the presence of the

viscous dampers.

In the final phase, we sought to extrapolate the results obtained from the non-linear static

analyses, by defining points in the capacity spectra that represent certain levels of damage.

Once these were defined, the fragility curves for each level of damage were calculated in such a

way that, from a qualitative point of view, the probability of the structure sustaining a certain

level of damage under a given earthquake loading could be predicted.

Key Words: Non-linear static analysis; viscous dampers; N2; ATC40; Performance Point;

Fragility Curves.

V

Índice Geral

Agradecimentos ..................................................................................................................... I

Resumo ................................................................................................................................. III

Abstract................................................................................................................................. IV

Índice Geral ........................................................................................................................... V

Índice de Figuras ................................................................................................................. IX

Índice de Tabelas ................................................................................................................. XI

Simbologia ........................................................................................................................... XII

1. Introdução e Objectivos ............................................................................................. 1

2. Descrição do Viaduto Padre Cruz .............................................................................. 3

2.1 Tabuleiro ....................................................................................................................... 4

2.2 Pilares ........................................................................................................................... 5

2.3 Encontros .................................................................................................................. 7

2.4 Fundações .................................................................................................................... 8

2.5 Ligações ...................................................................................................................... 10

3. Ensaios de medição das frequências ..................................................................... 11

4. Modelação da Obra de Arte ...................................................................................... 15

4.1 Tabuleiro ..................................................................................................................... 15

4.2 Pilares ......................................................................................................................... 17

4.3 Ligações ...................................................................................................................... 18

4.5 Fundações .................................................................................................................. 19

4.5.1 Fundações Rodadas ............................................................................................ 21

4.6 Introdução da Massa no Modelo ................................................................................ 22

4.7 Comparação das frequências “in-situ” com as frequências do modelo analítico ....... 23

VI

5. Características não lineares do Modelo.................................................................. 25

5.1 Relação Constitutiva do Betão ................................................................................... 26

5.1.1 Determinação da tensão de compressão do betão confinado ............................ 27

5.2 Relação constitutiva do aço A500NR ......................................................................... 29

5.3 Determinação da relação Momentos - curvatura........................................................ 30

6. Análise Estática não linear ....................................................................................... 35

6.1 Procedimento da Análise Estática não Linear ............................................................ 35

6.1.1 Padrão de Carregamento .................................................................................... 36

6.1.2 Definição dos espectros de resposta ................................................................... 37

6.2 Método do Espectro de capacidade ATC 40 .............................................................. 41

6.2.1Definição do Espectro de capacidade .................................................................. 42

6.2.2 Construção da idealização bilinear do espectro de capacidade ......................... 43

6.2.3 Definição do espectro de Resposta em formato ADRS ...................................... 43

6.2.4 Estimativa do amortecimento efectivo ................................................................. 44

6.2.6 Aparelhos de apoio Óleo - dinâmicos .................................................................. 45

6.2.7 Metodologia para quantificar o efeito dos aparelhos óleo - dinâmicos em análises

estáticas não lineares .......................................................................................................... 46

6.2.8 Processo iterativo para a obtenção do Ponto de Desempenho .......................... 49

6.3 Método N2 Proposto pelo EC8 ................................................................................... 51

6.3.1 Transformação da curva de capacidade para um sistema de um grau de

liberdade equivalente .......................................................................................................... 51

6.3.2 Construção de uma aproximação elástica - perfeitamente plástica da curva de

capacidade no sistema de um grau de liberdade equivalente ............................................ 52

6.3.3 Determinação do ponto de desempenho sísmico para o sistema de um grau de

liberdade equivalente .......................................................................................................... 53

6.3.5 Quantificação do efeito dos aparelhos de apoio óleo - dinâmicos para

determinação do ponto de desempenho ............................................................................. 54

7. Resultados ................................................................................................................. 55

7.1 Comparação da relação constitutiva das secções ..................................................... 55

7.2 Comparação da resistência dos pilares P4 e P5 nas suas direcções ........................ 56

VII

7.3 Resultados da Análise Estática não Linear ................................................................ 57

7.3.1 Direcção longitudinal ....................................................................................... 57

7.3.1 Resultados ATC-40 .............................................................................................. 59

7.3.4 Comparação ATC-40 vs N2 ................................................................................. 63

7.3.5 Determinação do ponto de desempenho para um Viaduto semelhante ao viaduto

Padre Cruz mas sem estar equipado com dissipadores de energia. ................................. 66

7.4 Análise transversal ...................................................................................................... 68

7.4.1 Resultados ATC40 ............................................................................................... 69

7.4.2 Método N2 do EC8 .............................................................................................. 71

7.5 Comparação das curvas de capacidade nas duas direcções .................................... 72

8. Risco Sísmico ............................................................................................................ 75

8.1 Procedimento de cálculo das medianas ..................................................................... 77

8.2 Curvas de fragilidade .................................................................................................. 81

9. Conclusões ................................................................................................................ 85

9.1 Principais conclusões ................................................................................................. 85

9.2 Desenvolvimentos Futuros ......................................................................................... 87

10. Referências ................................................................................................................ 89

ANEXOS

A. Representação geral do Viaduto Padre Cruz ............................................................ i

B. Frequências “in-situ” ................................................................................................. iii

C. Propriedades do Modelo Linear ............................................................................... xv

i. Tabuleiro ................................................................................................................... xv

ii. Pilares ..................................................................................................................... xvii

iii. Localização das secções no Tabuleiro ................................................................. xviii

iv. Fundações ............................................................................................................... xix

D. Modos de Vibração................................................................................................... xxi

E. Características não lineares ................................................................................... xxii

VIII

i. Relação constitutiva do betão ................................................................................ xxii

ii. Relação constitutiva do aço .................................................................................... xxi

iii. Relação constitutiva das secções críticas ............................................................... xxi

Secções de base dos pilares ........................................................................................ xxi

Secções de topo dos pilares ....................................................................................... xxiv

Comprimento das rótulas plásticas ............................................................................ xxvii

F. Constantes de transformação α1 e α2 ................................................................. xxviii

G. Alguns ciclos de histerese para cálculo do amortecimento (utilizados na

metodologia ATC40). ............................................................................................................. xxix

i. Padrão de carregamento Modal ............................................................................ xxix

ii. Padrão de carregamento A. Uniforme................................................................... xxxi

H. Pontos de desempenho direcção longitudinal, método N2 do EC8 ............... xxxiii

i. Padrão de carregamento Modal .......................................................................... xxxiii

ii. Padrão de carregamento A. Uniforme................................................................. xxxiv

iii. Método N2 sem a cláusula opcional ................................................................... xxxvi

I. Obtenção das medianas para definição das Curvas de Fragilidade ............ xxxviii

i. Direcção Longitudinal, Padrão de carregamento Modal. ................................... xxxviii

ii. Direcção Transversal, Carregamento Modal, Deformada Modal ........................ xxxix

iii. Direcção Transversal, Carregamento A. Uniforme, Deformada Modal ................... xli

iv. Direcção Transversal, Carregamento A. Uniforme, Deformada A. Uniforme ........ xliii

J. Anexo em formato digital CD .................................................................................. xlv

IX

Índice de Figuras

Figura 2-1 Distribuição de vãos do viaduto Padre Cruz ......................................................... 3

Figura 2-2 Secção transversal do tabuleiro, fonte JSJ ........................................................... 5

Figura 2-3 Variação da secção transversal dos pilares .......................................................... 5

Figura 2-4 Secção transversal P5 topo .................................................................................. 6

Figura 2-5 Secção transversal P5 base .................................................................................. 6

Figura 2-6 Alçado pilar P5 ...................................................................................................... 6

Figura 2-7 Secção transversal P6 topo .................................................................................. 6

Figura 2-8 Secção transversal P6 base .................................................................................. 6

Figura 2-9 Alçado pilar P6 ...................................................................................................... 6

Figura 2-10 Encontro E1 ......................................................................................................... 7

Figura 2-11 Representação das fundações do viaduto .......................................................... 8

Figura 2-12 Distribuição de cargas no modelo de fundações ................................................ 9

2-13 Aparelho de apoio tipo "pot", Viaduto Padre Cruz ....................................................... 10

3-2 Sensor acelerométrico triaxial colocado na “berma” do tabuleiro .................................. 11

Figura 3-3 Localização dos locais onde foram realizados os ensaios ................................. 11

Figura 3-4 Localização transversal dos locais de medição .................................................. 12

3-1 Sensor acelerométrico triaxial e sistema de aquisição e gravação do sinal .................. 11

Figura 4-1 Parâmetros para o cálculo da rigidez de torção do tabuleiro .............................. 16

Figura 4-2 Modo de modelação das secções com inércia variável ...................................... 16

Figura 4-3 Simplificação das secções dos pilares para o cálculo da rigidez de torção ....... 17

Figura 4-4 Modelação da ligação do tabuleiro aos pilares ................................................... 18

Figura 4-5 Libertações grupo A ............................................................................................ 18

Figura 4-6 Libertações grupo B ............................................................................................ 18

Figura 4-7 Modelo de cálculo da fundação, terreno + micro-estacas .................................. 19

Figura 4-8 Modelo de cálculo da fundação, terreno ............................................................. 20

Figura 4-9 Guia para percepção do cálculo das inércias ..................................................... 21

Figura 4-10 Exemplo de secção da fundação rodada em relação ao pilar .......................... 21

Figura 5-1 Relação constitutiva do Betão, [MANDER] ......................................................... 27

Figura 5-2 Área de betão efectivamente confinado .............................................................. 28

Figura 5-3 Betão efectivamente confinado pilar P2 .............................................................. 28

Figura 5-4 Relação constitutiva aço A500NR ....................................................................... 29

Figura 5-5 Representação dos parâmetros para o cálculo Momento - Curvatura ............... 31

Figura 5-6 Representação da idealização bilinear, Mu a 60% ............................................. 33

Figura 5-7 Outras idealizações possíveis ............................................................................. 33

Figura 5-8 Colocação da idealização no Software SAP 2000 .............................................. 34

Figura 6-1 Ilustração da obtenção da curva de capacidade ................................................. 35

Figura 6-2 Espectros de resposta RSA, zona sísmica A, terreno tipo II .............................. 38

Figura 6-3 Ilustração geral dos espectros de resposta definidos pelo EC8 ......................... 38

Figura 6-4 Espectros de resposta EC8 a estudar ................................................................ 41

X

Figura 6-5 Ciclo de histerese 1 ............................................................................................. 45

Figura 6-6 Ciclo de histerese 2 ............................................................................................. 45

Figura 6-7 Embolo dos aparelhos de apoio óleo – dinâmicos.............................................. 45

Figura 6-8 Analogia viaduto - pêndulo cónico velocidade nula ............................................ 47

Figura 6-9 Analogia estrutura - pêndulo cónico velocidade máxima .................................... 47

Figura 6-10 Relação constitutiva conjunto de 8 aparelhos óleo - dinâmicos ....................... 48

Figura 6-11 Relação Força deslocamento para conjunto de 8 aparelhos de apoio óleo -

dinamicos .................................................................................................................................... 48

Figura 6-12 Ciclos de histerese e respectiva envolvente ..................................................... 49

6-13 Representação da idealização elástica perfeitamente plástica EC8 ........................... 52

Figura 7-1 Relação constitutiva pilar P4 nas duas direcções ............................................... 56

Figura 7-2 Relação constitutiva pilar P5 nas duas direcções ............................................... 56

Figura 7-3 Curvas de capacidade direcção longitudinal ....................................................... 58

Figura 7-4 Espectros de capacidade e espectros de resposta não reduzidos ..................... 60

Figura 7-5 Pontos de desempenho padrão de carregamento a. Uniforme ATC - 40........... 60

Figura 7-6 Pontos de desempenho padrão de carregamento modal ATC - 40 ................... 61

Figura 7-7 Representação do efeito da aproximação elástica perfeitamente plástica no

ponto de desempenho ................................................................................................................. 63

Figura 7-8 Relação entre redução do espectro de resposta e amortecimento total ............ 64

Figura 7-9 Relação entre velocidade de redução do espectro de resposta e amortecimento

total .............................................................................................................................................. 64

Figura 7-10 Método N2 sem cláusula opcional .................................................................... 65

Figura 7-11 Influência da constante α nos dissipadores de energia [P Guerreiro] .............. 66

Figura 7-12 Pontos de desempenho estrutura sem aparelhos óleo - dinâmicos ................. 67

Figura 7-13 Curvas de capacidade análise transversal ....................................................... 68

Figura 7-14 Representação dos padrões de carregamento efectuados na análise

transversal ................................................................................................................................... 69

Figura 7-15 Pontos de desempenho análise transversal ..................................................... 70

Figura 7-16 Curvas de capacidade nas duas direcções para padrão de carregamento

modal ........................................................................................................................................... 72

Figura 7-17 Curvas de capacidade nas duas direcções para padrão de carregamento a.

Uniforme ...................................................................................................................................... 73

Figura 8-1 Divisão da relação constitutiva das secções ....................................................... 76

Figura 8-2 Processo de obtenção das medianas para construção das curvas de fragilidade

..................................................................................................................................................... 78

Figura 8-3 Identificação dos estados de dano no espectro de capacidade, direcção

longitudinal .................................................................................................................................. 79

Figura 8-4 Localização dos estados de dano nos espectros de resposta, direcção

transversal ................................................................................................................................... 79

Figura 8-5 Curvas de Fragilidade, direcção longitudinal ...................................................... 82

XI

Figura 8-6 Curvas de fragilidade, direcção transversal, carregamento modal ..................... 82

Figura 8-7 Curvas de fragilidade, direcção transversal, carregamento a.uniforme deformada

modal ........................................................................................................................................... 83

Figura 8-8 Curvas de fragilidade, direcção transversal, carregamento e deformada a.

Uniforme ...................................................................................................................................... 83

Índice de Tabelas

Tabela 2-1 Valores geométricos das secções tipo do tabuleiro, fonte JSJ. ........................... 4

Tabela 3-1 Frequências medidas "in-situ", síntese de resultados........................................ 14

Tabela 4-1 Frequências da estrutura, modelo vs ensaios .................................................... 24

Tabela 5-1 Valores médios da tenção de cedência dos materiais ....................................... 26

Tabela 6-1 Distinção de notação entre RSA e EC8 ............................................................. 40

Tabela 6-2 Espectros de resposta do EC8 a estudar ........................................................... 40

Tabela 6-3 Valores de definição dos espectros de resposta do EC8 .................................. 41

Tabela 7-1 Valores de momento último, área de betão e aço nas secções dos pilares ...... 55

Tabela 7-2 Valor de esforço normal para as cargas gravíticas nas secções dos pilares .... 55

Tabela 7-3 Valores de deslocamento do ponto de controlo e extremidade do tabuleiro ..... 57

Tabela 7-4 Valores das constantes de transformação para direcção longitudinal ............... 59

Tabela 7-5 Síntese de resultados procedimento ATC40 ...................................................... 62

Tabela 7-6 Síntese de resultados método N2 do EC8 ......................................................... 62

Tabela 7-7 Comparação dos resultados do método N2 na ausência de aparelhos óleo -

dinâmicos .................................................................................................................................... 67

Tabela 7-8 Constantes de transformação para análise transversal ..................................... 70

Tabela 7-9 Comparação das constantes de transformação entre ATC – 40 e N2 ............. 71

Tabela 8-1 Síntese de resultados para construção das curvas de fragilidade ..................... 81

XII

Simbologia

𝛼 - Constante do liquido viscoso que define o comportamento dos aparelhos óleo –

dinâmicos;

𝛼1,2 - Constantes de transformação para um sistema de um grau de liberdade equivalente

segundo ATC40;

𝑎𝑔𝑟 – Aceleração de referência de PGA (“Peak Ground Accelaration”) em solo tipo A;

A – Área;

𝐴𝑐 - Área definida pelo perímetro dos estribos;

𝐴𝑐𝑐 - Área de betão no interior de 𝐴𝑐 ;

𝐴𝑒 - Área de betão efectivamente confinado;

𝐴𝑚 - Área definida pela linha média dos elementos da secção;

𝐴𝑝𝑚 - Área, no plano médio dos estribos, de betão a ser confinado;

𝐴𝑠𝑥 , 𝐴𝑠𝑦 – Área da armadura transversal na direcção X e Y;

[A] – Matriz de transformação de coordenadas;

𝛽 – Coeficiente de dispersão, média da dispersão dos valores em torno da mediana;

b – Largura de uma secção;

𝐶 - Constante que define os aparelhos óleo – dinâmicos;

𝑑𝑏𝑙 - Diâmetro do varão de aço utilizado;

𝑑∗ - Deslocamento no sistema de um grau de liberdade equivalente, método N2;

𝑑𝑒∗ - Deslocamento objectivo da estrutura em regime elástico;

𝑑𝑝 - Deslocamento do ponto de controlo para o qual se calcula o amortecimento;

𝑑𝑝𝑐 𝑒 Δ𝑝𝑐 - Deslocamento do ponto de controlo;

𝑑𝑡∗ - Deslocamento do ponto de desempenho no sistema de um grau de liberdade, método

N2;

e – Espessura de um elemento ou secção;

𝜀𝑐 - Extensão longitudinal do betão;

XIII

𝜀𝑐𝑐 - Extensão correspondente ao valor de 𝑓𝑐𝑐` ;

𝜀𝑐𝑜 - Extensão de compressão correspondente a 𝑓𝑐𝑚 ;

𝜀𝑐𝑢 ,𝑐 – Extensão última do betão confinado;

𝜀𝑠 - Extensão do aço;

𝜀𝑠𝑕 - Extensão inicial de endurecimento do aço;

𝜀𝑦𝑚 - Extensão de cedência do aço;

𝜀𝑠𝑢 - Extensão última do aço;

E – Módulo de elasticidade;

Ec – Módulo de elasticidade do betão não confinado;

𝐸𝐷- Energia dissipada por um ciclo completo de histerese correspondente aos

deslocamentos ±𝑑𝑝 ;

𝐸𝑆𝑜 - Energia dissipada por um oscilador, caso a resposta se desse exclusivamente em

regime linear e sob carregamento monotónico;

Es – Módulo de elasticidade do aço;

Esh – Módulo de elasticidade do aço no inicio da fase de endurecimento;

Esec – Módulo de elasticidade do betão no ponto (𝜀𝑐𝑐 ; 𝑓𝑐𝑐` )

∅ - Ângulo de variação da secção dos pilares em altura;

∅𝑖- Amplitude de deslocamento do nó i no modo fundamental na direcção para a qual se

efectua a análise;

∅𝑃𝐶 ,𝑓- Amplitude de deslocamento do ponto de controlo no modo fundamental;

𝜓2,1 – Coeficiente da combinação quase-permanente de acções.

f – Frequência de vibração;

𝐹 - Força;

𝐹∗ - Força de corte basal do sistema de um grau de liberdade equivalente, método N2;

𝐹𝑏 - Força de corte basa;

𝑓𝑐- Tenção longitudinal de compressão genérica do betão;

XIV

𝑓𝑐𝑐` - Tenção de compressão máxima do betão efectivamente confinado;

𝑓𝑐𝑚 - Tenção de cedência média de compressão do betão não confinado;

𝑓𝑙`- Tenção lateral no betão transmitida pelo efeito de confinamento;

𝑓𝑠- Tenção genérica do aço;

𝑓𝑦𝑒 - tenção de cedência esperada para o aço;

𝑓𝑦𝑚 - Tenção de cedência média do aço;

𝑓𝑠𝑢 - Tenção última do aço;

𝛾 - Factor de importância da estrutura;

𝑔 - Aceleração da gravidade;

G – Modulo de distorção;

Γ - Factor de transformação de coordenadas, método N2;

h – Altura da secção;

I – Inércia;

J – Rigidez de torção de uma secção;

ke – Coeficiente de eficiência do betão confinado;

𝐾𝜃 - Rigidez de rotação da fundação;

𝐿𝐶 - Distancia entre a secção crítica e o ponto de momento flector nulo;

𝐿𝑚 - Perímetro da área definida pela linha média dos elementos da secção;

𝐿𝑝 - Comprimento da rótula plástica;

𝑚∗ - Massa do sistema de um grau de liberdade equivalente, método N2;

𝑚𝑖- Massa do nó i;

M – Momento flector;

𝜂 - Factor de correcção do amortecimento;

N – Esforço normal;

Ö – Função de distribuição log-normal (cumulativa);

XV

𝑝 – Frequência de vibração no modo fundamental, direcção longitudinal;

P – Incremento de carga a aplicar na análise estática não linear para o padrão de

carregamento modal;

𝑃𝑖 - Parte da força P a aplicar no nó i;

𝜌𝑐 - Rácio de armadura longitudinal em 𝐴𝑐 ;

𝜌𝑋 ,𝑌 - Rácio de armadura transversal na direcção X ou Y;

s – Espaçamento da armadura transversal;

𝑆𝑎 - Aceleração espectral ATC40;

𝑆𝑑 - Deslocamento espectral;

𝑆𝑒(𝑇∗) - Aceleração espectral correspondente a 𝑇∗;

𝑇 – Período de vibração de um sistema de um grau de liberdade;

𝑇∗ - Período de vibração da estrutura em regime elástico;

𝑇𝐵 – Período de vibração que define o limite inferior do ramo espectral com aceleração

constante;

𝑇𝐶 – Período de vibração que define o limite superior do ramo espectral com aceleração

constante e o limite inferior do ramo espectral com velocidade constante;

𝑇𝐷 – Período de vibração que define o limite superior do ramo espectral com velocidade

constante e o ramo espectral com deslocamento constante;

𝑈𝑋 ,𝑌,𝑍- Factor de participação de massa na direcção X, Y ou Z;

𝑣 - Velocidade;

V – Força de Corte Basal;

𝑤𝑖 - Distância entre varões cintados ou peso do nó “i”, consoante a aplicação;

𝑤𝑖 𝑔 - Massa associada ao nó “i”;

W- Peso da estrutura;

𝜁 - Amortecimento;

𝜒 - Curvatura;

𝑦𝐺 - Posição do centro de gravidade de um elemento ou secção;

XVI

Análises Estáticas Não Lineares em Pontes Equipadas com Aparelhos Óleo - Dinâmicos

O caso do Viaduto Padre Cruz, Eixo Norte-Sul, Lisboa

1

1. Introdução e Objectivos

Hoje em dia todas as estruturas são dimensionadas tendo em conta a acção dos sismos. O

mundo da engenharia possui diversos regulamentos para a acção sísmica. Estes regulamentos

propõem vários tipos de análises, umas mais simples mas também mais limitadas de nome

análises elásticas lineares e outras mais complexas, as análises não lineares. Cada tipo de

análise pode ser estática ou dinâmica.

As análises elásticas lineares são limitadas por não conseguirem representar o

comportamento plástico de estruturas, dai surgirem as análises não lineares. Quanto ao tipo de

análise não linear, as análises dinâmicas são consideradas as mais sofisticadas. Contudo do

ponto de vista prático apresentam também grandes desvantagens, pois são análises com um

grau de complexidade elevado o que dificulta a execução de dimensionamento e reforço de

estruturas.

Neste contexto surgem as análises estáticas não lineares, estas análises fornecem

informação sobre a ductilidade da estrutura, uma vez que permitem traçar sequencialmente a

cedência e colapso dos elementos estruturais num gráfico que representa globalmente a

estrutura, identificando assim regiões críticas que exigem um dimensionamento mais

pormenorizado, evitando a utilização do coeficiente de comportamento, normalmente igual para

todos os elementos da estrutura.

Por outro lado, com o desenvolvimento da tecnologia, surgiram aparelhos, denominados

aparelhos óleo - dinâmicos, que permitem aumentar a dissipação de energia de estruturas

quando sujeitas á acção sísmica, minimizando os danos dos elementos da estrutura.

No presente trabalho pretende-se desenvolver uma metodologia para análises estáticas

não lineares de pontes equipadas com aparelhos de apoio óleo - dinâmicos quando sujeitas a

acções sísmicas. Esta análise embora estática deverá reflectir a contribuição dinâmica dos

aparelhos.

Esta metodologia será aplicada a um caso concreto: Viaduto Padre Cruz (Eixo Norte-Sul),

pois esta estrutura possui aparelhos de apoio deste tipo.

Serão considerados vários níveis de acção sísmica regulamentares e pretende-se verificar

qual o desempenho da estrutura para cada acção considerada.

Finalmente, pretende-se utilizar os resultados das análises estáticas não lineares de

maneira a prever qual a probabilidade de a estrutura sofrer um determinado estado de dano

quando solicitada por uma acção sísmica, podendo assim ter-se um resultado de referência

antes de se efectuar uma análise pormenorizada para uma acção em questão.



2



3

2. Descrição do Viaduto Padre Cruz

A estrutura a estudar, o “Viaduto do Eixo Viário Norte/Sul sobre a Avenida Padre Cruz”, foi

promovido pelo IEP – Instituto de Estradas de Portugal mais precisamente pela Área Funcional

de Obras de Arte e Estruturas Especiais do IEP e o seu projecto foi realizado pelo gabinete de

projectos JSJ.

O viaduto perfaz 770m de comprimento entre eixos de aparelhos de apoio nos encontros e

está subdividido em 11 vãos, a divisão dos vãos é realizada através de um conjunto de 10

pilares e 2 encontros.

O encontro E1 é o nó de ligação entre o Eixo Viário Norte/Sul e o Viaduto.

O encontro E2 estabelece a ligação entre o Viaduto e o IP7. Ao longo do IP7 existem várias

saídas da cidade Lisboa para outros destinos, como por exemplo: a Ponte Vasco da Gama, a

A1 Norte e a A8.

Na Figura 2-1 apresenta-se um esquema para melhor percepção da distribuição de vãos

do viaduto.

Figura 2-1 Distribuição de vãos do viaduto Padre Cruz

Entre o encontro E1 e o pilar P3 o eixo longitudinal faz uma curva pouco acentuada de raio

constante.

No anexo A apresentam-se desenhos de projecto com vista a facilitar a percepção da

estrutura.

Nos pontos seguintes descrevem-se as várias partes que compõem a estrutura, tais como:

Tabuleiro;

Pilares;

Fundações;

Encontros;

Ligações.



4

2.1 Tabuleiro

A secção transversal do tabuleiro é em caixão monocelular. Como a obra permite a

circulação de três faixas de rodagem em cada sentido o caixão possui uma largura de 32,4m.

Esta largura elevada é conseguida à custa de treliças planas transversais apoiadas nas almas

do caixão e afastadas longitudinalmente de 3 metros. Estas treliças são constituídas por

escoras inclinadas e verticais, exteriores e interiores ao caixão, funcionando em conjunto com

as paredes do mesmo. As escoras exteriores são metálicas com ligações rotuladas ao betão

armado visto que são visíveis do exterior. As escoras interiores não são visíveis do exterior,

pelo que o projectista optou por serem escoras em betão armado por razões de economia.

Longitudinalmente a secção possui inércia variável devido a alteração de altura nos vãos

maiores e devido a alteração de espessura do banzo inferior e espessura das almas do caixão.

Com vista a facilitar a percepção da variação de secção ao longo da estrutura, apresenta-

se na tabela 2-1 os valor de várias grandezas geométricas no vão e nos apoios. Apresenta-se

também na figura 2-2 a geometria da secção transversal em vários pontos do tabuleiro.

Tabela 2-1 Valores geométricos das secções tipo do tabuleiro, fonte JSJ



5

Figura 2-2 Secção transversal do tabuleiro, fonte JSJ

2.2 Pilares

O viaduto possui dois grupos de pilares, um grupo com uma secção mais rígida, nos vãos

maiores (Grupo 1 – P2, P3, P4, P5) e outro grupo para os vãos menores (Grupo 2 - P1, P6, P7,

P8, P9, P10). A geometria dos pilares é composta por dois hexágonos irregulares unidos por

uma alma rectangular.

Os Pilares do mesmo grupo têm secções de topo iguais mas, nas secções de base isso

não acontece devido á altura dos pilares não ser igual, e a largura dos pilares vai diminuindo no

sentido do tabuleiro para a fundação. Observe-se a figura 2-3:

Figura 2-3 Variação da secção transversal dos pilares



6

Para o Grupo 1 o valor do ângulo ∅ é 8º, para o Grupo 2 o valor de ∅ é 10º.

Segue-se um conjunto de figuras para ilustrar a geometria dos pilares do viaduto:

Figura 2-4 Secção transversal P5 topo

Figura 2-5 Secção transversal P5 base

Figura 2-6 Alçado pilar P5

Figura 2-7 Secção transversal P6 topo

Figura 2-8 Secção transversal P6 base Figura 2-9 Alçado pilar P6



7

2.3 Encontros

Apresenta-se na Figura 2-10 um esquema geral dos encontros da obra de arte em análise:

Figura 2-10 Encontro E1, fonte JSJ

Os encontros são constituídos por uma viga de estribo com uma secção 4,75x1,2m. Este

elemento possui uma inclinação, perpendicularmente á directriz da obra, de 6% no caso do

encontro E1 e de 3,37% no caso do encontro E2.

As dimensões da viga de estribo, nomeadamente a sua largura e a sua inclinação, foram

condicionadas pela necessidade de se dotar os encontros de uma plataforma que permitisse a

realização dos trabalhos de inspecção, manutenção e de eventuais trabalhos de reparação dos

aparelhos de apoio e dos aparelhos óleo - dinâmicos. A viga de estribo apoia-se em dois

montantes e em dois muros de ala.

Os montantes possuem uma espessura de 1m e encontram-se colocados no alinhamento

das zonas de amarração dos aparelhos óleo - dinâmicos. A geometria dos montantes foi

determinada de modo a assegurar uma correcta transmissão das forças introduzidas pelos

aparelhos de apoio óleo - dinâmicos para a fundação.

A amarração dos aparelhos de apoio óleo - dinâmicos nos encontros faz-se na viga

batente, situada sob a viga de estribo. Este elemento possui uma espessura constante de

0,4m, excepto nas zonas de amarração dos aparelhos, onde a espessura varia para 1,65m.

Os muros de ala possuem uma espessura variável em altura. A espessura é constante e

igual a 0,40m até ao nível da viga de estribo e varia linearmente entre este valor e 0,80m na

zona de inserção no maciço de fundação.



8

O muro de testa, situado entre a viga de estribo e o maciço de fundação, possui uma

espessura constante de 0,50m em todo o seu desenvolvimento.

2.4 Fundações

Relativamente às condições geológicas e geotécnicas, os terrenos no local da obra foram

classificados, a partir da superfície, como sendo essencialmente constituídos por:

Depósitos de aterro: materiais heterogéneos de composição variada, areno-

argilosos, associando fragmentos líticos dispersos, com uma espessura

aproximada de 0,5 m.

Depósitos aluvionares / formações miocénicas descomprimidas: subjacentes aos

depósitos de aterro, com uma espessura máxima aproximada de 6,5 m, sendo

essencialmente constituídos por siltes argilosos. Os valores mais representativos

de NSPT variam entre as 8 e as 14 pancadas, com um máximo de 30.

Substrato Miocénico competente: localizado subjacentemente às formações

anteriores, representado por siltes arenosos, por vezes levemente argilosos, com

intercalações de grés calcário conquífero (cascão). Os valores de NSPT são

sempre superiores a 60 pancadas.

Figura 2-11 Representação das fundações do viaduto, fonte JSJ

Tendo por base os principais condicionamentos existentes, foi adoptada uma solução de

fundação e de tratamento dos terrenos, correspondentes aos materiais de aterro, depósitos

aluvionares e formações miocénicas descomprimidas, constituída por colunas de jet grouting.

Esta solução apresentava a dupla função de elemento de tratamento do terreno e de

fundação do viaduto, consistindo na execução de colunas de jet-grouting, com diâmetro

máximo de 1500mm e tensão de rotura à compressão de 4,0 MPa.



9

Complementarmente, de forma a acomodar os esforços de tracção devidos à acção

sísmica, foram ainda executadas, entre as colunas, microestacas constituídas por tubos

metálicos N80_127x9 mm (API 5A) de coroa circular, observem-se as figuras 2-11 e 2-12.

Figura 2-12 Distribuição de cargas no modelo de fundações, fonte JSJ

Do ponto de vista de concepção, os esforços de flexão são transformados, por efeito de

binário em esforços axiais e os esforços de corte são acomodados por bielas de compressão,

mobilizadas nas colunas e no solo confinado entre colunas.

Todas as colunas foram realizadas com uma entrega mínima de 1,0m no substrato

Miocénico competente, onde, por sua vez, foram seladas as microestacas, num comprimento

mínimo de 10,0 m, na figura 2-12 apresenta-se um pormenor referente a esta descrição.



10

2.5 Ligações

A ligação do tabuleiro aos pilares é assegurada através de dois aparelhos de apoio por

pilar do tipo “pot” representados na figura 2-13. Os aparelhos estão localizados na parte

hexagonal dos pilares. Quanto ao tabuleiro, é na zona inferior das almas do caixão que este

assenta sobre os pilares.

2-13 Aparelho de apoio tipo "pot", Viaduto Padre Cruz

Existem dois tipos de aparelhos de apoio utilizados:

Grupo A - Aparelhos de apoio com travamento rígido no sentido transversal e

deslocamento livre segundo o eixo longitudinal do tabuleiro sobre os pilares P1, P2, P3,

P6, P7, P8, P9, P10, E1, E2;

Grupo B - Aparelhos de apoio com travamento rígido em ambas as direcções sobre os

pilares P4 e P5.

Foram ainda colocados 4 aparelhos de apoio óleo - dinâmicos de amortecimento sísmico

em cada encontro, estes estão agrupados em conjuntos de dois aparelhos centrados com as

almas do caixão e com os montantes dos encontros.



11

3. Ensaios de medição das frequências

Para a determinação das frequências correspondentes aos modos de vibração com mais

participação de massa foram efectuados 3 grupos de ensaios de medição.

Cada grupo corresponde a um ponto de medição diferente e em cada grupo foram

efectuados quatro registos através da utilização de aparelhos da marca GeoSig, um aparelho

mais antigo para efectuar o ensaio 1, figura 3-1, e outro mais recente para efectuar os ensaios

2 e 3.

3-2 Sensor acelerométrico triaxial colocado na “berma” do tabuleiro

O ensaio 1 foi realizado a meio do vão entre os pilares P2 e P3, o ensaio 2 foi realizado a

meio do vão entre os pilares P4 e P5 e o ensaio 3 foi realizado a meio do vão P7 e P8, figura 3-

3. Todos estes ensaios tiveram que ser efectuados na extremidade do tabuleiro, figura 3-4,

devido a ser o único lugar que permite o acesso pedonal.

Figura 3-3 Localização dos locais onde foram realizados os ensaios

3-1 Sensor acelerométrico triaxial e sistema de aquisição e gravação do sinal



12

Figura 3-4 Localização transversal dos locais de medição

Os aparelhos de medição registam acelerações nas três componentes durante um período

de 60s (direcção vertical, longitudinal e transversal).

Para a obtenção dos picos de frequências foram utilizados dois programas, o SisData,

programa desenvolvido pelo Núcleo de Engenharia Sísmica e Dinâmica de Estruturas do LNEC

para a fazer a conversão dos registos do aparelho 1 e o GeoDas para fazer a mesma

conversão mas do aparelho 2.

A razão da utilização de dois programas distintos para conversão é justificada pelos

aparelhos de medição funcionarem com “tempos de amostragem” diferentes (samples/second),

o aparelho 1 regista 50 ciclos por segundo enquanto que, o aparelho 2 consegue registar 200

ciclos por segundo. Os programas de conversão foram desenvolvidos para funcionarem para o

aparelho em causa.

O processo de obtenção dos gráficos de picos de frequências utilizando os programas

acima mencionados divide-se em 4 passos:

Visualização do registo

Correcção de base horizontal “Base line correction”

Filtragem do registo

Integração do registo para obtenção de gráfico amplitude de aceleração frequência

Depois de adquiridos, os sinais de aceleração devem ser tratados abordando

essencialmente dois aspectos, um primeiro de ajuste para que a média dos valores registados

seja zero (“base line correction”) e um segundo para eliminar as frequências mais elevadas

(“low pass filter”). O primeiro ajuste é importante para eliminar baixas frequências, com valor

menor a 0,5 Hz originadas pelo facto de, durante o ensaio não ter sido possível nivelar o

aparelho de medida. O segundo ajuste elimina frequências elevadas, em geral toma-se acima

de 25Hz que poderão surgir com a passagem dos veículos, a vibração dos motores, etc.



13

Esta técnica de determinação das frequências principais de uma ponte/viaduto é bastante

robusta, exigindo ao mesmo tempo experiência para a interpretação dos resultados. A

associação de dada frequência a dado modo de vibração trabalhando apenas com um sensor,

só é possível dispondo do modelo analítico e apenas se conseguem identificar as principais

frequências na direcção longitudinal, transversal e principalmente vertical. A passagem de

veículos excita principalmente os modos verticais por vezes com amplitudes da ordem dos 5 a

10 cm/s2, valores bastante acima da sensibilidade do sensor de aceleração. Nestes casos o

espectro de Fourier apresenta “picos” bem definidos nas frequências próprias da estrutura. Se

a excitação for de menor amplitude, nem sempre os “picos” ressaltam da mesma maneira,

donde só alguma experiência adquirida com outras estruturas similares permite a associação a

determinados modos.

Para efectuar uma identificação mais detalhada de variados modos torna-se indispensável

proceder a um ensaio muito mais complexo utilizando simultaneamente vários sensores

sincronizados no mesmo espaço de tempo. Este tipo de ensaio, que estava fora do objectivo

desta dissertação, obriga por um lado à disponibilização de vários aparelhos munidos de GPS,

para temporização dos sinais adquiridos e, por outro, a uma logística complexa para a

colocação desses mesmos aparelhos.

Os ensaios realizados, conduzidos pelo Professor Carlos Sousa Oliveira, serviram

sobretudo para calibrar o modelo analítico do viaduto, aproximando as frequências de cálculo

das frequências medidas in-situ para os modos de vibração mais baixos.

Os resultados obtidos estão representados no anexo B. Apresenta-se na tabela 3-1 uma

síntese dos valores das frequências medidas.



14

Tabela 3-1 Frequências medidas "in-situ", síntese de resultados

Frequências medidas

Ensaio P23 Ensaio P45 Ensaio P78

F [Hz] F [Hz] F [Hz]

X Y Z X Y Z X Y Z

0,70

0,89 0,89 0,89

1,09 1,11 1,07 1,07

1,09

1,47

1,53 1,55 1,56 1,54

1,55

1,77 1,72 1,76

1,87 1,78 1,75

1,95 1,93 1,93

2,01 1,96 2,01 2,14 1,85

2,18 2,18 2,16 2,16 2,14 2,13

2,40 2,20 2,40

2,52 2,43 2,51 2,43 2,50 2,47 2,45

2,69 2,60 2,67 2,70 2,72

2,83 2,92 2,81

3,00 3,02 3,10 3,10

3,20

3,43 3,41

3,46 3,39 3,65

4,23 4,10

4,40 4,50 4,42

4,97 4,81

5,09



15

4. Modelação da Obra de Arte

A estrutura foi modelada no software SAP2000 para numa fase seguinte serem efectuadas

análises estáticas não lineares. Neste capítulo descreve-se a forma como a estrutura foi

modelada, sendo apresentados os critérios preponderantes para a sua modelação.

Como o objectivo do trabalho é analisar o comportamento global da estrutura, todos os

elementos desta foram modelados com elementos de barra. A cada elemento de viga é

atribuído um material e uma secção, as secções do modelo têm as mesmas características

geométricas que as secções físicas.

A modelação foi dividida nas seguintes fases:

Tabuleiro

Pilares

Ligações

Encontros

Fundações

Segue-se a descrição da modelação dos seguintes elementos da estrutura.

4.1 Tabuleiro

O modelo utilizado para o tabuleiro foi executado com base no modelo que foi utilizado

para a análise global da estrutura na fase de projecto, realizado pela JSJ. Contudo efectuou-se

uma alteração ao módulo de elasticidade do Betão (C30/37) para o valor sugerido pelo

Eurocódigo 2 (EC2) Ec30/37 - 32GPa.

O tabuleiro do viaduto foi modelado com elementos de barra com comprimento de 3 m.

Para a modelação destes elementos inseriu-se no software SAP2000 o módulo de elasticidade

e a densidade do betão C30/37 pois é o material que compõe esta parte da estrutura.

Quantos às propriedades geométricas das secções que constituem o tabuleiro, inércia

segundo os dois eixos ortogonais centrados no centro de gravidade da secção e rigidez de

torção, estas foram inseridas na definição de um conjunto de secções a utilizar pelo programa

de modelação.

As inércias segundo os dois eixos principais de inércia foram obtidas através do programa

de desenho assistido por computador AutoCad2007.



16

A rigidez de torção das secções que compões o tabuleiro foi calculada de modo

simplificado, utilizando a expressão (1) resultante da Teoria de Bredt para secções mono-

celulares.

𝐽 =4 × 𝑒 × 𝐴𝑚

2

𝐿𝑚

(1)

Onde:

𝐴𝑚 - Área do interior da secção definida pela linha média dos seus elementos;

𝑒 – Espessura dos elementos que compões a secção;

𝐿𝑚 – Perímetro de 𝐴𝑚 .

A aplicação da expressão (1) é discutível uma vez que as secções do tabuleiro possuem

terliças planas em pontos discretos deste, visto que as escoras estão espaçadas de 3m. Então

nessas secções pontuais a secção é multicelular e não monocelular. Contudo, decidiu-se

considerar para a rigidez de torção só a secção monocelular, pois esta composição é contínua

ao longo do tabuleiro.

Observe-se a figura 4-1 que pretende ilustrar o modo como foi calculada a rigidez de torção

para as secções dos elementos que constituem o tabuleiro do viaduto.

Figura 4-1 Parâmetros para o cálculo da rigidez de torção do tabuleiro

Do ponto de vista prático da modelação, para secções com inércia constante basta definir

as características acima descritas. Porém, para elementos com inércia variável, por exemplo

devido á variação de altura da secção transversal nos vãos maiores e para inserir essa

variação no modelo utiliza-se um processo diferente. Para estes casos define-se uma secção

de inércia variável, escolhendo a secção de inicio e de fim, modelada como secção constante e

introduz-se a variação das propriedades das secções extremas. Observe-se a figura 4-2.

Figura 4-2 Modo de modelação das secções com inércia variável



17

Então a modelação do tabuleiro foi dividida em duas partes: uma parte onde se definem as

secções constantes; outra parte onde se definem as secções de inércia variável com base em

algumas das secções constantes.

Para finalizar, resta explicar que quando se pretende modelar um elemento em SAP2000

escolhe-se o tipo de material que compõe o elemento e o seu tipo de secção e assim desenha-

se o elemento.

No anexo C apresenta-se um perfil longitudinal das secções do tabuleiro introduzidas no

modelo bem como uma tabela com as propriedades geométricas que compõem as secções

inseridas no modelo para representar o tabuleiro. Apresenta-se também, num anexo em

formato de CD, todos os desenhos das secções do viaduto gentilmente cedidos pela empresa

JSJ que dimensionou e projectou o Viaduto Padre Cruz.

4.2 Pilares

No caso de pilares a modelação foi análoga à do tabuleiro, com a excepção do cálculo da

rigidez de torção, uma vez que as secções dos pilares não são tubulares.

Efectuou-se a simplificação às secções dos pilares representada na figura 4-3 para o

cálculo da rigidez de torção.

Figura 4-3 Simplificação das secções dos pilares para o cálculo da rigidez de torção

Aplicou-se então a expressão (2), utilizada para calcular a rigidez de torção para secções

de parede fina abertas uma vez que a espessura e é muito maior que b:

𝐽 =1

3× 𝑏𝑖𝑒𝑖

3 =1

3𝑏𝑒3 (2)

No anexo C encontram-se em formato de tabela todas as propriedades que definem as

secções que compõem os pilares.



18

4.3 Ligações

Como o tabuleiro foi modelado com elementos do tipo barra e a ligação aos pilares é feita

com o apoio do tabuleiro em dois pontos dos pilares, utilizaram-se 3 barras rígidas, ilustradas a

vermelho na figura 4-4 para representar esse efeito.

Figura 4-4 Modelação da ligação do tabuleiro aos pilares

Assim é possível representar o apoio do tabuleiro em dois pontos dos pilares. Contudo,

como a ligação é assegurada através de aparelhos de apoio tipo “pot”, é necessário inserir no

modelo as libertações de esforços que estes aparelhos de apoio estabelecem na ligação. Estas

libertações foral realizadas nas extremidades da barra rígida horizontal e estão representadas

a azul nas figuras 4-5 e 4-6, os esforços representados a preto não foram libertados.

Figura 4-5 Libertações grupo A

Figura 4-6 Libertações grupo B

Assim é possível passar momento flector transversal para a secção de topo crítica dos

pilares através das reacções verticais transmitidas pelos aparelhos de apoio aos fustes dos

pilares, tal como acontece na realidade.



19

4.5 Fundações

Para tentar quantificar o grau de encastramento que as fundações conferem á estrutura

avaliou-se o problema de forma simples.

Como referido no capítulo 2.4 a estrutura está fundada num maciço de encabeçamento

seguido de colunas jet-grounding e microestácas até a profundidade das formações miocénicas

(Nspt>60).

O modelo de cálculo mais apropriado para quantificar a contribuição da rigidez de rotação

que a fundação confere á estrutura seria considerar uma parte de compressão, exercida sobre

colunas jet-grounding e uma parte de tracção suportada pelas microestácas. Um

funcionamento semelhante a uma viga de betão armado como se pode observar na figura 4-7.

Figura 4-7 Modelo de cálculo da fundação, terreno + micro-estacas

Contudo, como é difícil quantificar a equação constitutiva do solo, e como o princípio de

Bernoulli, secções planas permanecem planas após sofrerem deformações, não é

normalmente utilizado para deformações em solos, optou-se por só se considerar a

contribuição de compressão do solo para a rigidez de rotação, e desprezar a contribuição das

micro-estacas para este efeito. Porem considerou-se que a secção do maciço de

encabeçamento era a secção que estava em contacto com as formações Miocénicas pois

assim tem-se maior área de contacto solo estrutura do que a área de contacto das colunas jet-

grounding, o que consequentemente aumenta a compressão que se consegue transmitir da

estrutura para o solo, procurando assim que esse aumento de compressão, adoptado pela

simplificação fosse dar o contributo das microestacas para a rigidez de rotação da fundação.



20

Considerou-se que, para efeitos de cálculo o maciço de encabeçamento está em contacto

com as fundações miocénicas uma vez que se partiu da hipótese que a deformação das

colunas jet-grounding é pouco representativa quando comparada com a deformação das

fundações miocénicas.

Esta aproximação é discutível do ponto de vista teórico, contudo a sua aplicação tem como

objectivo representar a contribuição da fundação para o comportamento geral da estrutura,

sendo posteriormente comparados os resultados de frequências “in-situ” e os resultados deste

modelo. Com essa comparação sabe-se se esta simplificação é ou não adequada.

Então o modelo de cálculo adoptado é o modelo de contribuição de rigidez de uma sapata

isolada e as suas expressões foram retiradas de Bowles, J. E. [1996].

Figura 4-8 Modelo de cálculo da fundação, terreno

Em seguida descrevem-se as expressões de cálculo da rigidez de rotação para as 3

direcções em causa. Considera-se que os movimentos de translação estão impedidos e que

não há interacção entre a rigidez de rotação e encastramento de translação.

Valores de 𝐾𝜃𝑖 estáticos:

𝐾𝜃𝑥 = 𝑆𝜃𝑥

𝐺

1 − 𝜇(𝐼𝜃𝑥 )0,75

𝐵

𝐿 −0,25

(3)

𝐾𝜃𝑦 = 𝑆𝜃𝑦

𝐺

1 − 𝜇(𝐼𝜃𝑦 )0,75 (4)

𝐾𝜃𝑧 = 𝑆𝜃𝑧𝐺(𝐼𝜃𝑧 )0,75 (5)

𝑆𝜃𝑥 = 3,2 × 𝐵

𝐿

0,25

,𝐵

𝐿> 0,4 (6)

𝑆𝜃𝑦 = 3,2 (7)

𝑆𝜃𝑧 = 3,8 + 10,7 1 −𝐵

𝐿

10

(8)



21

𝐼𝜃𝑥 =1

12𝑚 𝑎2 + 𝐵2 (9)

𝐼𝜃𝑦 =1

12𝑚 𝑎2 + 𝐿2 (10)

𝐼𝜃𝑧 =1

12𝑚 𝐿2 + 𝐵2 (11)

Figura 4-9 Guia para percepção do cálculo das inércias

Os valores de 𝐾𝜃 têm que ser multiplicados por um coeficiente para ter em conta a acção

dinâmica. Esse coeficiente foi obtido através de ábacos criados por Dobry e Gazetas (1985),

retirados de Bowles, J. E. [1996] e estão representados no anexo C.

É necessário agora quantificar as propriedades das camadas miocénicas, para tal foi

consultado o projecto das fundações onde consta que se devem utilizar valores de 𝜇 de 0,2 a

0,33 e que G deve ser calculado a partir do módulo de elasticidade do solo, módulo este que se

espera estar entre 50 a 80 MPa.

No presente trabalho consideraram-se:

𝜇 = 0,25

𝐸𝑠 = 65𝑀𝑃𝑎

𝐺 =𝐸𝑠

2 1+𝜇 = 26𝑀𝑃𝑎

4.5.1 Fundações Rodadas

Para os pilares P3, P4 e P8 como se pode observar na figura 4-10, as fundações estão

rodadas em relação ao eixo dos pilares, pelo que foi necessário proceder a uma rotação do

referencial principal das sapatas para o referencial dos pilares.

Figura 4-10 Exemplo de secção da fundação rodada em relação ao pilar



22

Para se obter a rigidez de rotação conferida pela fundação no referencial dos pilares

utilizou-se a lei de transformação tensorial com a seguinte forma:

𝐾` = 𝐴 𝑇 𝐾 𝐴 (12)

Em que a matriz 𝐾` é a matriz de rigidez de rotação no referencial principal dos pilares e a

matriz 𝐴 é a matriz de transformação de rotação do referencial principal da fundação para o

referencial principal dos pilares definida por:

𝐴 =

cos(𝑥; 𝑥`) cos(𝑥; 𝑦`) cos(𝑥; 𝑧`)cos(𝑦; 𝑥`) cos(𝑦; 𝑦`) cos(𝑦; 𝑧`)

cos(𝑧; 𝑥`) cos(𝑧; 𝑦`) cos(𝑧; 𝑧`)

A matriz 𝐴 para o caso da figura 4-10 é:

𝐴 =

cos(30º) cos(120º) cos(90º)cos(−60º) cos(30º) cos(90º)

cos(90º) cos(90º) cos(0º)

4.6 Introdução da Massa no Modelo

A massa introduzida no modelo está dividida em 3 grupos:

Grupo 1 - Massa correspondente ao material das secções, peso próprio;

Grupo 2 - Massa da restante carga permanente;

Grupo 3 - Massa do peso das escoras e blocos de ancoragem de cabos de Pré-

esforço.

O Eurocódico 8 (EC8) estipula que inicialmente se deve considerar uma massa

correspondente ás acções quase permanentes (𝜓2,1𝑄𝑘 ,1) mas o valor de 𝜓2,1 deve ser

considerado nulo para pontes com intensidade de tráfego normal. Considerou-se que o viaduto

em estudo é uma estrutura com intensidade de tráfego normal, uma vez que raramente se

verifica congestionamento rodoviário.

Quando se definem as propriedades dos materiais no software SAP2000 introduz-se a

densidade desse material. Na definição das secções ao longo do modelo escolhe-se um

material para cada tipo de secção e introduzem-se as propriedades geométricas dessas

mesmas secções. Então a massa do Grupo 1 é obtida através do produto da área da secção

pela densidade do seu material. Assim garante-se que o peso próprio está distribuído de modo

contínuo ao longo da estrutura e consegue-se ter em conta a variação da massa devido ao

peso próprio ao longo do tabuleiro, visto que este nem sempre tem secção constante.



23

A massa do Grupo 2 é constante ao longo do tabuleiro, pelo que foi aplicada como um

caso de carga no software SAP2000 e em seguida introduziu-se esse caso de carga como uma

massa. A massa deste grupo corresponde á soma das seguintes parcelas:

Passeio - 4,6 kN/m (x2);

Lancil - 3,375 kN/m (x2);

Isolamento acústico, guarda-corpos e estrutura do rail de segurança – 5 kN/m (x2);

Perfil de segurança central – 6,325 kN/m;

Betuminoso - 1,92 kN/m2 (x29,6m = 56.8 kN/m)

Então a massa correspondente ao Grupo 2 tem o valor de 89,08 kN/m e é constante ao

longo do tabuleiro.

Quanto ao Grupo 3, esta massa é definida pela aplicação de uma carga pontual de 40 kN.

Esta carga é aplicada nos nós com um afastamento de 3m e pretende representar o peso das

escoras e os blocos de betão de ancoragem dos cabos de pré-esforço. Este valor foi retirado

do modelo de projecto da JSJ.

Tal como para o Grupo 2, para o Grupo 3 foi necessário adicionar o caso de carga

referente aos 40 kN espaçados de 3m como uma massa no programa SAP2000.

4.7 Comparação das frequências “in-situ” com as frequências do

modelo analítico

Apresenta-se em seguida na tabela 4-1 os modos de vibração da estrutura modelada

através do programa SAP 2000 e os resultados das frequências obtidas através dos ensaios

realizados.

A direcção X corresponde ao movimento no sentido longitudinal do tabuleiro, a direcção Y

corresponde ao movimento transversal do tabuleiro e a direcção Z corresponde a vibrações na

direcção vertical.



24

Tabela 4-1 Frequências da estrutura, modelo vs ensaios

Modos de Vibração do modelo computacional

Frequências medidas

Ensaio P23 Ensaio P45 Ensaio P78

Modo f UX UY UZ f [Hz] f [Hz] f [Hz]

Hz % % % X Y Z X Y Z X Y Z

1 0,70 1,96 0,00 1,48 0,70

2 0,93 0,24 0,00 0,15 0,89

0,89

0,89

3 1,04 65,43 1,16 0,22 1,09

1,11

1,07 1,07

4 1,05 1,42 47,39 0,01

1,09

5 1,30 0,00 9,60 0,00

6 1,41 15,99 0,01 0,18 1,47

7 1,56 1,49 0,02 0,54 1,53

1,55 1,56

1,54

8 1,56 0,00 21,03 0,00

1,55

9 1,71 5,13 0,00 0,05 1,77

1,72

1,76

10 1,81 0,45 0,00 13,26

1,87

1,78

1,75

11 1,91 0,00 0,00 0,00

1,95

1,93

1,93

12 2,03 0,71 0,00 0,29 2,01

1,96

2,01 2,14

1,85

13 2,26 0,20 0,00 0,84 2,18

2,18 2,16

2,16

2,14 2,13

14 2,31 0,00 10,10 0,00

2,40

2,20

2,40

15 2,45 0,39 0,00 0,01 2,52

2,43 2,51

2,43 2,50 2,47 2,45

16 2,60 0,09 0,00 8,90 2,69

2,60

2,67 2,70

2,72

17 2,80 0,06 0,00 4,41

2,83

2,92

2,81

18 2,86 0,00 0,00 0,00

19 3,07 0,01 0,00 0,04 3,00

3,02

3,10

3,10

20 3,23 0,00 0,00 0,62

3,20

21 3,44 0,03 0,00 23,50

3,43

3,41

22 3,46 0,00 2,41 0,00

3,46

3,39

3,65

23 4,16 0,01 0,00 0,06 4,23

4,10

24 4,50 0,00 0,10 0,00

4,40

4,50

4,42

25 4,61 1,08 0,00 0,13

26 4,89 0,00 0,00 3,05

4,97

4,81

27 5,19 0,04 0,00 0,00 5,09

28 5,43 0,00 0,79 0,00

29 5,99 0,02 0,00 1,25

30 6,23 0,00 0,00 0,22

Estes ensaios foram efectuados para posteriormente comparar os resultados medidos com

os resultados do modelo, e assim verificar se a estrutura no modelo tem um comportamento

dinâmico semelhante ao real.

Após observação da tabela 4-1 verifica-se que grande parte das frequências do modelo

tem um erro inferior a 10% em relação às frequências medidas. Para uma estrutura como o

Viaduto Padre Cruz, com tantas variáveis a quantificar no modelo, um erro de 10% no valor das

frequências pensa-se ser aceitável, pelo que considera-se que a estrutura modelada

representa bem a estrutura real do ponto de vista dinâmico.



25

5. Características não lineares do Modelo

Definido o modelo linear da estrutura e visto que se pretende efectuar uma análise estática

não linear torna-se necessário introduzir as características não lineares dos elementos no

modelo acima descrito.

Como se utilizou o software SAP2000 para efectuar a modelação do viaduto, tornou-se

necessário perceber como o programa funciona para que se possam introduzir as

características não lineares no mesmo.

O programa SAP2000 utiliza modelos de plasticidade concentrada com componentes em

série CSI, [2006], isto é, o comportamento elástico é representado pelo elemento tipo “barra”,

elemento este que foi definido com características lineares, módulo de elasticidade do material

e características geométricas da secção, enquanto que o comportamento inelástico se

concentra em regiões especificas, nestas regiões colocam-se as propriedades não lineares das

secções através das suas relações constitutivas. Estas regiões com comportamento inelástico

possuem um comprimento denominado comprimento de rótula plástica.

Como a estrutura tem um comportamento do tipo pórtico as deformações ocorrem

sobretudo devido a esforços de flexão, por isso as relações constitutivas utilizadas para

representar o comportamento não linear das secções são do tipo momento - rotação ou

momento - curvatura. No caso dos pilares do viaduto em estudo os esforços máximos

localizam-se nas regiões extremas, pelo que será nestas regiões que serão inseridas as

características não lineares dos elementos.

Para se obterem as características não lineares das secções extremas dos pilares segue-

se a descrição das propriedades dos materiais que constituem as secções. O objectivo é

quantificar a relação constitutiva dos materiais para depois se obter a relação constitutiva da

secção.

Nos pilares do viaduto em estudo foram utilizados os seguintes materiais:

Betão C30/37 – Grupo de pilares 1;

Betão C40/50 – Grupo de pilares 2;

Aço A500NR.

Visto que se pretende prever o comportamento real da estrutura foram utilizados os valores

médios para as tensões de cedência do betão e do aço. Na tabela 5-1 apresentam-se os

valores médios da tensão de cedência dos materiais, estes valores foram retirados do

Eurocodigo.



26

Material Tensão de cedência média

(fym)

C30/37 38 MPa

C40/50 48 MPa

A500NR 585 MPa

Tabela 5-1 Valores médios da tenção de cedência dos materiais

5.1 Relação Constitutiva do Betão

Em seguida explica-se o processo de determinação da relação constitutiva do betão para

as secções dos pilares entrando em conta com o efeito de confinamento recorrendo á teoria

desenvolvida por Mander, J. B., [1988]. A quantificação de este efeito proposta por Mander é

semelhante à sugerida no EC8 parte 2. A resistência do betão á tracção foi desprezada.

A relação constitutiva de uma secção de betão que esteja confinado e sujeito a um

carregamento monotónico é dada pela seguinte expressão:

𝑓𝑐 =𝑓`𝑐𝑐𝑥𝑟

𝑟 − 1 + 𝑥𝑟 (13)

Em que:

𝑓`𝑐𝑐 é a tensão de compressão do betão confinado;

𝑥 =𝜀𝑐

𝜀𝑐𝑐 , 𝜀𝑐 é a extensão longitudinal do betão;

𝜀𝑐𝑐 = 𝜀𝑐𝑜 1 + 5 𝑓`𝑐𝑐

𝑓𝑐𝑚− 1 extensão do betão confinado;

𝑟 =𝐸𝑐

𝐸𝑐+𝐸𝑠𝑒𝑐 ; 𝐸𝑐 = 5000 𝑓𝑐𝑚 em MPa ; 𝐸𝑠𝑒𝑐 =

𝑓`𝑐𝑐

𝜀𝑐𝑐 ;

𝜀𝑐𝑜 = 0,002

Representa-se na figura 5-1 uma ilustração da relação constitutiva retirado de Mander, J.

B., [1988] para melhor compreensão das grandezas acima descritas e para diferenciar o efeito

de confinamento no betão.



27

Figura 5-1 Relação constitutiva do betão, fonte Mander, J. B., [1988]

5.1.1 Determinação da tensão de compressão do betão confinado

A determinação da tensão de confinamento do betão depende do coeficiente de eficiência

do mesmo 𝑘𝑒 . A expressão de 𝑘𝑒 é dada por:

𝑘𝑒 =𝐴𝑒

𝐴𝑐𝑐

(14)

Em que:

𝐴𝑒 é a área de betão efectivamente confinado no plano a meio dos estribos.

𝐴𝑒 = 𝐴𝑐 − 𝑤𝑖

2

6

𝑛

𝑖=1

×𝐴𝑝𝑚

𝐴𝑐

(15)

𝐴𝑐𝑐 é a área de betão no interior do perímetro dos estribos no plano dos mesmos.

𝐴𝑐𝑐 = 𝐴𝑐 1 − 𝜌𝑐𝑐 (16)

𝐴𝑐 é a área interior do perímetro das cintas; 𝜌𝑐𝑐 é o rácio da área de armadura

longitudinal em 𝐴𝑐 ; 𝑤𝑖 é a distância entre varões cintados; 𝐴𝑝𝑚 é a área no plano médio

dos estribos de betão a ser confinado.

Segue-se na figura 3-4 retirada de Mander, J. B., [1988] que permite esclarecer a variação

do betão efectivamente confinado em altura e permite também observar a forma da área do

betão efectivamente confinado nas secções cintadas. Na figura 5-3 representa-se a cinzento a

área de betão efectivamente confinado numa secção de um pilar do viaduto em estudo.



28

Figura 5-2 Área de betão efectivamente confinado

Figura 5-3 Betão efectivamente confinado pilar P2

Como a distribuição de armadura ao esforço transverso é diferente nas duas direcções tem

que se calcular a percentagem de armadura transversal na direcção x e y.

𝜌𝑥 =𝐴𝑠𝑥

𝑠 × 𝑏𝑐

(17)

𝜌𝑦 =𝐴𝑠𝑦

𝑠 × 𝑕𝑐

(18)

A tenção lateral efectiva transmitida pelo efeito de confinamento ao betão nas direcções x e

y é dada por:

𝑓`𝑙𝑥 = 𝑘𝑒𝜌𝑥𝑓𝑦𝑚 (19)

𝑓`𝑙𝑦 = 𝑘𝑒𝜌𝑦𝑓𝑦𝑚 (20)

Para determinar a tensão lateral de confinamento equivalente o EC8-parte 2 sugere a

seguinte expressão:

𝑓`𝑙 = 𝑓`𝑙𝑥 × 𝑓`𝑙𝑦 (21)

A tenção de compressão longitudinal do betão confinado é então dada pela seguinte

expressão:

𝑓`𝑐𝑐 = 𝑓`𝑐𝑜 −1,254 + 2,254 1 +7,94𝑓`𝑙𝑓`𝑐𝑜

− 2𝑓`𝑙𝑓`𝑐0

(22)



29

Para a caracterização da relação constitutiva do betão confinado só falta determinar a

extensão última do betão [EC8-parte2]

𝜀𝑐𝑢 ,𝑐 = 0,004 +1,4(𝜌𝑥 + 𝜌𝑦)𝑓𝑦𝑚 𝜀𝑠𝑢𝑚

𝑓`𝑐𝑐 (23)

No anexo E encontra-se uma tabela onde constam todos os valores dos parâmetros acima

descritos para todas as secções consideradas.

5.2 Relação constitutiva do aço A500NR

Para a caracterização da relação constitutiva do aço utilizado no viaduto recorreu-se á

metodologia proposta por Pipa, M. J. A. L., [1993]. A relação constitutiva do aço retrata as

características mecânicas dos varões do tipo tempcore em ensaio monotónico de tracção. Para

a compressão considerou-se um comportamento semelhante contudo não é verídico porque a

tensão de compressão de varões deve ser 95% do valor da sua tensão de tracção, uma vez

que os varões comprimidos podem sofrer problemas de encurvadura.

A figura seguinte representa um diagrama esquemático de um varão em ensaio de tracção.

Figura 5-4 Relação constitutiva aço A500NR, fonte Pipa, M. J. A. L., [1993]



30

A definição da curva representada na figura 5-4 é dividida em três zonas:

Zona elástica (0 ≤ 𝜀𝑠 ≤ 𝜀𝑦𝑚 )

𝑓𝑠 = 𝐸𝑠𝜀𝑠 (24)

Patamar de cedência (𝜀𝑦𝑚 ≤ 𝜀𝑠 ≤ 𝜀𝑠𝑕)

𝑓𝑠 = 𝑓𝑦𝑚 (25)

Zona de endurecimento 𝜀𝑠𝑕 ≤ 𝜀𝑠 ≤ 𝜀𝑠𝑢

𝑓𝑠 = 𝑓𝑠𝑢 + 𝑓𝑦𝑚 − 𝑓𝑠𝑢 𝜀𝑠𝑢 − 𝜀𝑠𝜀𝑠𝑢 − 𝜀𝑠𝑕

𝑝

(26)

𝑒

𝑝 = 𝐸𝑠𝑕 𝜀𝑠𝑢 − 𝜀𝑠𝑕𝑓𝑠𝑢 − 𝑓𝑦𝑚

(27)

Para quantificar os parâmetros acima descritos foi utilizada uma correlação linear em

função da tensão de cedência do aço 𝑓𝑦𝑚 proposta no mesmo documento. As correlações são

apresentadas em seguida:

𝑓𝑠𝑢 = 161 + 0,88𝑓𝑦𝑚

𝜀𝑠𝑢 = 23,8 + 0,0244𝑓𝑦𝑚

𝜀𝑠𝑕 = 5,93 − 0,00776𝑓𝑦𝑚

𝐸𝑠𝑕 = 6,32𝑓𝑦𝑚 − 225

5.3 Determinação da relação Momentos - curvatura

A obtenção da relação momento - curvatura foi efectuada com base num programa de

cálculo iterativo elaborado por Alba, F. G., [2005]. Contudo verificou-se que este programa não

conseguia convergir para valores de esforço normal elevados e “extensões de controlo

reduzidas”. Por outro lado, este programa também não obtinha a relação momento - curvatura

das secções com base nas relações constitutivas das materiais acima descritas.

Por isso procedeu-se a uma breve reconstrução do programa, de modo a que se

introduzissem as relações constitutivas acima descritas e se eliminassem os problemas de

convergência.

Segue-se uma explicação do funcionamento do programa.



31

Fluxograma de cálculo do programa:

1. Dividir a secção em 80 faixas de igual espessura (𝑖 = numero da faixa)

2. Determinar a quantidade de Armadura (𝐴𝑠𝑖) e Betão (𝐴𝑐𝑖) existente em cada faixa

3. Determinar a posição do centro de gravidade de cada faixa 𝑦𝐺𝑖 =𝑕(80−𝑖+0,5)

80

4. Calcular a extensão no centro de gravidade da faixa com base na extensão na fibra

superior do betão e em função da curvatura 𝜀𝑖 = 𝜀𝑠𝑢𝑝 − (𝑕 − 𝑦𝐺𝑖)𝜒

(NOTA: 𝜀𝑠𝑢𝑝 vai-se incrementando e 𝜒é a variável a determinar)

5. Pelas relações constitutivas calculam-se as tensões dos materiais existentes nas

faixas 𝑓𝑠𝑖 𝑒 𝑓𝑐𝑖

6. Calcular as forças existentes em cada faixa 𝐹𝑠𝑖 = 𝑓𝑠𝑖 × 𝐴𝑠𝑖 𝑒 𝐹𝑐𝑖 = 𝑓𝑐𝑖 × 𝐴𝑐𝑖

7. Determinar a curvatura para que o somatório das forças nas faixas seja igual ao

esforço normal das cargas gravíticas aplicado na secção 𝐹𝑠𝑖 + 𝐹𝑐𝑖 = 𝑁𝑑 80𝑖=1

𝑁𝑑 = 𝑁𝑔 + 𝑁𝐸 + 𝜓2,1𝑁𝑞

Onde:

𝑁𝑔 - Esforço normal devido às cargas permanentes;

𝑁𝐸 - Esforço normal devido á acção sísmica;

𝑁𝑞 - Esforço normal devido à sobrecarga;

𝜓2,1 – Valor do coeficiente da combinação quase-permanente de acções.

Conhecida a curvatura falta determinar o momento correspondente em relação

ao centro de gravidade da secção:

𝑀𝐺 = 𝐹𝑖(𝑦𝐺𝑖 −𝑕

2)80

𝑖=1 em que 𝐹𝑖 = 𝐹𝑠𝑖 + 𝐹𝑐𝑖

8. Fica assim conhecido um ponto do curva M-C, repete-se o processo para outro

valor de 𝜀𝑠𝑢𝑝

Figura 5-5 Representação dos parâmetros para o cálculo Momento - Curvatura



32

NOTA: O ponto 1 e 2 do fluxograma de cálculo introduzem-se manualmente, isto é,

consultam-se os desenhos das secções, divide-se a secção em faixas e calcula-se a

quantidade de materiais em cada faixa. As extensões na fibra superior do betão são

introduzidas com incrementos de 𝜀𝑐𝑢 ,𝑐/80.

É importante salientar que a acção sísmica inverte o sentido de actuação ao longo do

tempo, submetendo assim os pilares ciclos de carga e descarga, introduzindo um valor médio

de esforço normal sensivelmente nulo ao longo do tempo. Deste modo decidiu-se considerar o

valor 𝑁𝐸 = 0.

Obtida a relação momentos - curvatura das secções resta calcular o comprimento das

rótulas plásticas. Recorreu-se ás expressões contidas em Priestley, M.J.N et. al. [2007], onde

consta que o comprimento de uma rótula plástica a utilizar para vigas e pilares é obtido pela

expressão (28):

𝐿𝑝 = 𝑘𝐿𝐶 + 𝐿𝑆𝑃 ≥ 2𝐿𝑆𝑃 (28)

Em que,

𝑘 = 0,2 𝑓𝑢𝑓𝑦

− 1 ≤ 0,08 29 𝑒 𝐿𝑆𝑃 = 0,022𝑓𝑦𝑒𝑑𝑏𝑙 (30)

Onde,

𝐿𝑝 - valor do comprimento da rótula plástica;

𝐿𝐶 - distancia entre a secção crítica e o ponto de momento flector nulo;

𝑓𝑢 - tenção última do aço;

𝑓𝑦𝑚 - tenção de cedência do aço;

𝑓𝑦𝑒 - tenção de cedência esperada para o aço, 𝑓𝑦𝑒 ≈ 1,1𝑓𝑦 ;

𝑑𝑏𝑙 - diâmetro do varão de aço utilizado.

No anexo E encontram-se todos os gráficos das relações constitutivas calculadas.

Assim as secções extremas dos pilares passam a ser representadas como molas de

rotação em que a rigidez da mola é uma rigidez conferida através da relação constitutiva da

secção.

Porém o software SAP2000 só permite representar a relação constitutiva da secção

através de linhas que unem 5 pontos, pelo que é necessário aproximar a relação momento -

curvatura analítica numa curva aproximada.

Esta aproximação tem que satisfazer o princípio da igualdade de energia, isto é, a energia

dissipada pela curva analítica será igual á energia dissipada pela curva da aproximação. Em

termos práticos, para satisfazer este princípio, basta garantir que a área abaixo do gráfico

analítico é igual á área abaixo da curva aproximada.



33

A aproximação utilizada neste trabalho foi uma aproximação bilinear a 60% do momento

último e tem a forma representada na figura 5-6.

Figura 5-6 Representação da idealização bilinear, Mu a 60%

Esta aproximação é construída a partir de duas cláusulas:

1. O primeiro tramo é definido por 2 pontos, a origem e o ponto com ordenada igual a

60% do momento último da secção;

2. O segundo tramo resulta da união do último ponto da curva analítica com um ponto

pertencente ao primeiro tramo, de maneira a que seja cumprido o princípio da

igualdade de energia.

Existem outras formar de aproximação como por exemplo a aproximação rigido-plástica e a

elástica perfeitamente plástica. Estas aproximações são representadas na figura 5-7.

Figura 5-7 Outras idealizações possíveis

0

50000

100000

150000

200000

250000

300000

350000

0,000 0,005 0,010 0,015 0,020

Mo

men

to (

KN

m)

Curvatura (m-1)

Relações Constitutivas Momento - Curvatura

Curva Analítica

Idealização Bilinear 60% Múltimo

0

50000

100000

150000

200000

250000

300000

350000

0,000 0,005 0,010 0,015 0,020

Mo

me

nto

s (K

Nm

)

Curvatura (m-1)

Relações Constitutivas (Outras Idealizações)Curva Analítica

Idealização Rigido-plástica

Idealização Elástica -perfeitamente plástica



34

Contudo a aproximação bilinear é a única que consegue aproximar a rigidez pós cedência

da secção e a rigidez inicial da curva analítica garantindo o princípio da conservação de

energia.

As outras aproximações só conseguem representar ou a rigidez pós cedência, caso da

aproximação rígido - plástica, ou a rigidez inicial, caso da aproximação elástica perfeitamente

plástica.

Em relação á colocação das características não lineares das secções no modelo, como o

comportamento inelástico de uma secção no programa SAP2000 é modelado por molas de

rotação e estas molas pretendem representar o comportamento pós cedência da região do

elemento que plastificou, deve-se assegurar que estas molas só serão activadas quando se

atinge o momento de cedência da sua secção. Assim a parcela elástica é definida

exclusivamente pelo elemento do tipo “barra” utilizado para modelar o comportamento linear da

estrutura.

Então torna-se necessário efectuar um pequeno artifício à aproximação bilinear, de

maneira a que as rótulas só fiquem activas após se atingir a cedência da secção, isto é,

“impede-se” a rotação ou curvatura até que se atinja o momento de cedência da secção,

observe-se a figura 5-8.

Figura 5-8 Colocação da idealização no Software SAP 2000

0

50000

100000

150000

200000

250000

300000

350000

0,000 0,005 0,010 0,015 0,020

Mo

me

nto

s (K

Nm

)

Curvatura (m-1)

Relações Constitutivas SAP-2000

Analitica

Idealização Bi-linear 60% Multimo

Curva SAP-2000



35

6. Análise Estática não linear

Neste capítulo pretende-se apresentar a metodologia e os fundamentos teóricos para a

realização de análises estáticas não lineares, vulgarmente denominadas “pushover analisys”,

com a utilização do software SAP2000.

Serão também apresentados dois métodos para a determinação do ponto de desempenho

da estrutura:

Método do espectro de capacidade – proposto no ATC40;

Método N2 – proposto pelo Eurocódigo 8.

O ponto de desempenho representa a resposta da estrutura quando sujeita a uma

determinada acção sísmica.

6.1 Procedimento da Análise Estática não Linear

Uma análise estática não linear consiste em aplicar um carregamento monotónico

incremental a uma estrutura e registar o seu comportamento em função da intensidade da

solicitação. Para efectuar este registo escolhe-se um ponto da estrutura, este ponto denomina-

se ponto de controlo e serve para registar o seu deslocamento á medida que se vai aplicando o

incremento de carga. Assim, para cada incremento vão-se registando pontos e representam-se

esses pontos num gráfico com abcissa que corresponde ao deslocamento no ponto de controlo

e ordenada que corresponde ao somatório do esforço transverso ao nível da fundação,

definição de corte basal.

Este gráfico tem o nome de curva de capacidade. Esta curva pretende representar a

resposta global da estrutura a estudar quando sujeita a uma solicitação horizontal, esta

solicitação no caso de estudo pretende simular a acção sísmica.

Figura 6-1 Ilustração da obtenção da curva de capacidade



36

Salienta-se que no presente trabalho apenas se estudam solicitações horizontais para

representar a acção sísmica. Não se efectuou uma análise estática não linear para a direcção

vertical uma vez que normalmente no que respeita á acção sísmica esta não é a acção

condicionante para a direcção vertical. Para além disso, a contabilização da acção sísmica

segundo esta direcção iria formar rótulas plásticas nas secções de momento máximo do

tabuleiro, secções sobre os pilares e a meio vão, contudo estas secções estão altamente pré-

esforçadas, o que confere uma grande resistência á secção.

Por outro lado, após consulta do EC8, verifica-se que os espectros de resposta que

caracterizam a acção sísmica na direcção vertical apresentam valores menos penalizantes

para a estrutura do que os espectros que caracterizam a mesma acção sísmica mas para uma

direcção horizontal e que a contabilização da acção sísmica para a direcção vertical só é

obrigatória no caso de acções que tenham valores de 𝑎𝑔𝑟 > 0,25𝑔.

Então, pelas razões acima descritas, admite-se que no caso de ocorrência de um sismo, as

secções dos pilares apresentarão problemas antes das secções do tabuleiro e por isso não se

efectuaram análises segundo a direcção vertical.

Após construída a curva de capacidade da estrutura é necessário cruzar essa informação

com a acção sísmica, utilizando os espectros de resposta. O ponto de intersecção do

comportamento da estrutura com a acção sísmica que queremos estudar denomina-se ponto

de desempenho. Este ponto pretende representar o deslocamento no ponto de controlo que a

estrutura terá quando for sujeita a uma determinada acção sísmica, se os valores de

amortecimento estiverem devidamente calibrados.

6.1.1 Padrão de Carregamento

É necessário definir um padrão de carregamento pare executar a análise estática não

linear, o EC8 estipula que para cada direcção, longitudinal e transversal, é necessário estudar

dois casos de carga horizontais para simular a acção sísmica:

Estes dois padrões de carregamento são:

Carregamento Uniforme: Padrão de carregamento proporcional às massas dos

elementos da estrutura que serão localizadas nos nós adjacentes. A designação

uniforme deve-se ao facto de se aplicar uma aceleração uniforme e não um

carregamento uniforme.



37

Carregamento Modal: Este padrão de carregamento distribui as forças horizontais

a aplicar com base na configuração da deformada do modo fundamental da

estrutura na direcção a analisar. Isto é:

𝑃𝑖 =𝑚𝑖 × ∅𝑖

𝑚𝑖 × ∅𝑖

× 𝑃 (31)

Onde:

𝑃𝑖 - parte da força P a aplicar no nó i;

𝑚𝑖- massa do nó i;

∅𝑖- amplitude de deslocamento do nó i no modo fundamental na direcção para a

qual se efectua a análise;

𝑃- carregamento a aplicar á estrutura.

6.1.2 Definição dos espectros de resposta

No presente ponto apresentam-se os vários níveis de acção sísmica a estudar, a

quantificação da acção sísmica será feita através dos seus espectros de resposta

correspondentes.

Com vista a, no final deste estudo, ter uma noção abrangente da resposta que a estrutura

terá face à acção sísmica, serão estudados 6 espectros de resposta. Estes são:

Os dois espectros de resposta definidos pelo Regulamento de Segurança e Acções (RSA):

Sismo 1, zona A terreno tipo II (sismo intraplacas ou sismo próximo)

Sismo 2, Zona A terreno tipo II (sismo interplacas ou sismo afastado)

E quanto aos espectros a definir segundo o EC8, serão estudados 4 níveis de acção

sísmica, dois sismos do tipo I e dois sismos do tipo II, cada um deles com uma classe de

importância II e III.

Apresentam-se em seguida, na figura 6-2, os espectros de resposta dos sismos

regulamentares do RSA. O Viaduto a estudar está situado em Lisboa, zona sísmica A e o

terreno de fundação foi considerado do tipo II, solos coerentes muito duros, duros e de

consistência média.



38

Figura 6-2 Espectros de resposta RSA, zona sísmica A, terreno tipo II

Quanto aos espectros de resposta propostos pelo EC8, salienta-se que estes estão

definidos em 4 ramos, observe-se a figura 6-3:

Figura 6-3 Ilustração geral dos espectros de resposta definidos pelo EC8

Todos os espectros definidos pelo EC8 têm:

um ramo onde os períodos são inferiores a 𝑇𝐵 ;

um ramo, com aceleração constante para períodos entre 𝑇𝐵 e 𝑇𝐶 ;

um ramo, com velocidade constante para períodos ente 𝑇𝐶 e 𝑇𝐷;

um ramo, com deslocamento constante para períodos ente 𝑇𝐷 e 4 segundos.

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0 2 4 6 8 10

Ace

lera

ção

Esp

ect

ral

(g)

Periodo(s)

Espectros de resposta do RSA, zona A, terreno tipo II

Sismo 2 (RSA)

Sismo 1 (RSA)



39

A cada um destes ramos, o EC8 preconiza que para componentes horizontais da acção

sísmica, o valor da aceleração do espectro de resposta elástico 𝑆𝑒(𝑇) é definido pelas

seguintes expressões:

0 ≤ 𝑇 ≤ 𝑇𝐵 ∶ 𝑆𝑒 𝑇 = 𝛾𝑎𝑔𝑟𝑆 1 +𝑇

𝑇𝐵

(2,5𝜂 − 1) (32)

𝑇𝐵 ≤ 𝑇 ≤ 𝑇𝐶 ∶ 𝑆𝑒 𝑇 = 𝛾𝑎𝑔𝑟𝑆2,5𝜂 (33)

𝑇𝐶 ≤ 𝑇 ≤ 𝑇𝐷 ∶ 𝑆𝑒 𝑇 = 𝛾𝑎𝑔𝑟𝑆2,5𝜂 𝑇𝐶

𝑇 (34)

𝑇𝐷 ≤ 𝑇 ≤ 4𝑠 ∶ 𝑆𝑒 𝑇 = 𝛾𝑎𝑔𝑟𝑆2,5𝜂 𝑇𝐶𝑇𝐷

𝑇2 (35)

Em que:

𝑇 - é o período de vibração de um sistema de um grau de liberdade;

𝑎𝑔𝑟 - é o valor de aceleração de referência de PGA (“Peak Ground Accelaration”) em solo

tipo A;

𝛾 - Factor de importância;

𝑇𝐵 - valor do período que define o limite inferior do ramo espectral com aceleração

constante;

𝑇𝐶 - valor do período que define o limite superior do ramo espectral com aceleração

constante e o limite inferior do ramo espectral com velocidade constante;

𝑇𝐷 - valor do período que define o limite superior do ramo espectral com velocidade

constante e o ramo espectral com deslocamento constante;

𝜂 - é o factor de correcção do amortecimento, este factor, para estruturas de betão armado

tem valor unitário para um amortecimento viscoso de 5%.

𝜂 = 10

5 + 𝜁

Onde ζ é o amortecimento viscoso total da estrutura, expresso em percentagem.

Os valores das grandezas a utilizar nas expressões acima descritas são definidos no anexo

nacional do EC8 de cada país e têm em conta a localização da estrutura (𝑎𝑔𝑟 ), a sua classe de

importância (𝛾) e o tipo de terreno de fundação e a acção sísmica a considerar (S, 𝑇𝐵 , 𝑇𝐶 , 𝑇𝐷).



40

O Anexo nacional do EC8 estipula também que para estruturas localizadas em Portugal

Continental é obrigatório considerar dois tipos de acção sísmica:

Acção sísmica do Tipo 1 (sismo interplacas ou sismo afastado);

Acção sísmica do tipo 2 (sismo intraplacas ou sismo próximo).

De notar que esta notação é exactamente oposta á notação utilizada no RSA, por isso

apresenta-se uma síntese destas definições na tabela 6-1:

Distancia

Tipo de sismo

RSA EC8

Perto 1 2

Afastado 2 1

Tabela 6-1 Distinção de notação entre RSA e EC8

Então após consulta de GT do EC8, [2007] decidiu-se estudar 4 sismos com as seguintes

características:

Sismos EC8 a estudar

Tipo de acção sísmica

Classe de importância

Zona Sísmica

Terreno de Fundação

Sismo tipo 1 II

3 B III

Sismo tipo 2 II

3 B III

Tabela 6-2 Espectros de resposta do EC8 a estudar

A localização do Viaduto é em Lisboa, á qual corresponde a zona sísmica 3, As fundações

miocénicas apresentaram um valor de Nspt superior a 60 pelo que, optou-se por caracterizar o

terreno como sendo do tipo B (Lopes, M. S., [2008]). Quanto às classes de importância a

estudar, as estruturas são classificadas em 4 classes de importância, em função das

consequências sociais e económicas que o seu colapso provoca, então este coeficiente serve

para variar a severidade da acção sísmica regulamentar ao nível da importância das estruturas.

Escolheram-se duas classes de importância para serem estudados mais sismos, e assim

ter em consideração a resposta da estrutura face a várias intensidades do mesmo tipo de

acção sísmica.

Os valores das grandezas que definem os sismos do EC8 a estudar são apresentados na

tabela 6-3.



41

Sismo imp agr Tipo de terreno B

S Tb Tc Td

1.3 (imp II) 1 1,5 1,2 0,1 0,6 2

1.3 (imp III) 1,6

2.3 (imp II) 1 1,7 1,35 0,1 0,25 2

2.3 (imp III) 1,3

Tabela 6-3 Valores de definição dos espectros de resposta do EC8

Na figura 6-4 representam-se os espectros de resposta a estudar com amortecimento de

5%.

Figura 6-4 Espectros de resposta EC8 a estudar

6.2 Método do Espectro de capacidade ATC 40

Esta metodologia para determinação do ponto de desempenho da estrutura divide-se

basicamente em 4 passos:

Definição do espectro de capacidade e suas idealizações (caso sejam

necessárias);

Definição o espectro de resposta em formato ADRS;

Estimativa do amortecimento efectivo da estrutura para efectuar redução do(s)

espectro(s) de resposta;

Processo iterativo para determinação do ponto de desempenho.

0

0,2

0,4

0,6

0,8

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5Ace

lera

çõe

s Es

pe

ctra

l (g

)

Periodo (s)

Espectros de Resposta (ζ=5%)

Sismo 2.3 Imp II

Sismo 2.3 Imp III

Sismo 1.3 Imp II

Sismo 1.3 Imp III



42

O ponto de desempenho é o ponto de intercepção entre uma curva que representa a acção

sísmica (espectro de resposta) com outra curva que representa o comportamento não linear da

estrutura (espectro de capacidade).

Convém salientar que este processo é iterativo porque para determinar o ponto de

desempenho, o amortecimento efectivo dissipado pela estrutura tem que ser o mesmo a ser

inserirdo para efectuar a redução do espectro de resposta (novo cálculo de 𝜂).

Para que esta intercepção faça sentido, é necessário representar as duas curvas no

mesmo referencial. Como a acção sísmica é quantificada através de espectros de resposta é

necessário transformar a curva de capacidade num espectro de capacidade. Esta

transformação resume-se a passar de coordenadas força - deslocamento de um sistema de

múltiplos graus de liberdade (curva de capacidade), para as coordenadas aceleração espectral

- deslocamento espectral (formato ADRS) num sistema de um grau de liberdade equivalente,

visto que os espectros de resposta foram efectuados para sistemas de um grau de liberdade.

6.2.1Definição do Espectro de capacidade

As expressões propostas no ATC40 para a obtenção do espectro de capacidade são

transcritas em seguida:

𝑆𝑎 =

𝑉𝑊

𝑔

𝛼1

(36)

𝑆𝑑 =∆𝑃𝐶

𝛼2

=∆𝑃𝐶

𝐹𝑃𝑓 × ∅𝑃𝐶 ,𝑓

(37)

𝛼1 = (𝑤𝑖∅𝑖) 𝑔 𝑁

𝑖=1 2

𝑤𝑖 𝑔 𝑁𝑖=1 (𝑤𝑖∅𝑖

2) 𝑔 𝑁𝑖=1

(38)

𝛼2 = 𝐹𝑃𝑓 × ∅𝑃𝐶 ,𝑓 = (𝑤𝑖∅𝑖) 𝑔 𝑁

𝑖=1

(𝑤𝑖∅𝑖2) 𝑔 𝑁

𝑖=1

× ∅𝑃𝐶 ,𝑓 (39)

Onde;

V – Força de Corte Basal;

W- Peso da estrutura;

∆𝑃𝐶 - Deslocamento do ponto de controlo;

𝑤𝑖 𝑔 - Massa associada ao nó “i”;

∅𝑖 - Amplitude do nó “i” no modo fundamental;

∅𝑃𝐶 ,𝑓- Amplitude do ponto de controlo no modo fundamental;



43

De notar que para cada direcção deve-se considerar o modo de vibração que corresponde

á frequência fundamental dessa mesma direcção e apesar de não ser obrigatório, poderá

normalizar-se os valores das amplitudes dos nós (∅𝑖 ,𝑓) de modo a que ∅𝑃𝐶 ,𝑓 = 1.

6.2.2 Construção da idealização bilinear do espectro de capacidade

No final do ponto anterior definiu-se a curva de capacidade da estrutura para um sistema

de um grau de liberdade no formato ADRS ou seja o espectro de capacidade. No entanto o

ATC40 propõe que se efectue uma idealização bilinear ao espectro de capacidade obtido. Esta

idealização tem que ser feita para que seja possível estimar o coeficiente efectivo da estrutura

e em seguida proceder á redução do espectro de resposta.

Para a idealização da curva bilinear utiliza-se exactamente o procedimento explicado no

ponto 5.3

6.2.3 Definição do espectro de Resposta em formato ADRS

. Como já foi explicado como determinar o espectro de capacidade, resta explicar como

transformar os espectros de resposta elásticos em formato ADRS, isto é converter os espectros

definidos em aceleração espectral – período de vibração para as coordenadas aceleração

espectral - deslocamento espectral. Para isso utiliza-se a expressão 40 proposta pelo ATC40 e

pelo EC8, que permite obter o deslocamento espectral em cada ponto do espectro de resposta

em função da aceleração espectral e o período nesse mesmo ponto:

𝑆𝑑𝑖=

𝑇𝑖2

4𝜋2𝑆𝑎𝑖

(40)

Em que:

𝑆𝑑𝑖 - é o deslocamento espectral no ponto “i”;

𝑆𝑎𝑖 - é a aceleração espectral no ponto “i”;

𝑇𝑖 - é o período de vibração no ponto “i”;



44

6.2.4 Estimativa do amortecimento efectivo

Neste ponto será explicado o processo para a determinação do amortecimento efectivo da

estrutura.

Os aparelhos de apoio óleo - dinâmicos só interferem na análise longitudinal, pelo que será

explicado o processo de determinação do amortecimento efectivo para uma estrutura sem

aparelhos de apoio deste tipo e em seguida sugere-se uma metodologia para quantificar o

efeito destes aparelhos de apoio numa análise estática não linear.

Como a análise deste estudo é não linear, torna-se necessário considerar a dissipação de

energia de possíveis ciclos de histerese.

No caso geral, o amortecimento efectivo é definido pela soma de duas parcelas:

Uma parcela que depende das características do material e é independente da

acção, denominada amortecimento viscoso inicial (𝜁𝐸) e tem o valor de 5% para

estruturas de betão-armado;

Outra parcela, também do tipo viscoso, que é equivalente em termos energéticos

ao amortecimento histerético (𝜁𝐻 ).

𝜁𝑒𝑓 = 𝜁𝐸 + 𝜁𝐻 (41)

O valor do amortecimento histerético depende da amplitude da resposta e é proporcional á

área englobada pelo ciclo de histerese correspondente aos picos de deslocamento ±𝑑𝑝 , onde

𝑑𝑝 é o valor do deslocamento para o qual se calcula o amortecimento. Segundo Chopra, A. K.,

[1995] o valor do termo 𝜁𝐻 é dado pela expressão 42.

𝜁𝐻 =1

4𝜋

𝐸𝐷

𝐸𝑆𝑜

(42)

Onde:

𝐸𝐷- Energia dissipada por um ciclo completo de histerese correspondente aos

deslocamentos ±𝑑𝑝 , área a cinzento na figura 6 -5;

𝐸𝑆𝑜 - Energia dissipada por um oscilador, caso a resposta se desse exclusivamente em

regime linear e sob carregamento monotónico, área do triangulo azul da figura 6-5.



45

Figura 6-5 Ciclo de histerese 1

Figura 6-6 Ciclo de histerese 2

Por razões práticas para o cálculo de 𝜁𝐻 utilizou-se uma expressão equivalente a 42 mas

em função de um rectângulo envolvente, figura 6-6

𝐴𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 = 8 × 𝐸𝑆𝑜 ⟹ 𝜁𝐻 =2

𝜋×

𝐸𝐷

𝐴𝑟𝑒𝑐𝑡 â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜

(43)

6.2.6 Aparelhos de apoio Óleo - dinâmicos

É importante salientar que a estrutura em estudo, o Viaduto Padre Cruz, possui dois grupos

de 4 aparelhos de apoio óleo - dinâmicos do tipo “damper” em cada extremidade do tabuleiro,

na ligação do tabuleiro aos encontros. A quantificação do efeito destes dissipadores será feita

neste ponto, visto que, a presença dos dissipadores aumenta o amortecimento efectivo da

estrutura, sendo por isso maior a redução a efectuar no espectro de resposta do que se a

estrutura não possui-se aparelhos de apoio deste tipo.

Os aparelhos de apoio óleo – dinâmicos, representados na figura 6-7, funcionam através

de um êmbolo que está inserido sobre um líquido viscoso.

Figura 6-7 Embolo dos aparelhos de apoio óleo – dinâmicos, fonte Taylor



46

Nos sistemas viscosos de dissipação de energia a força depende da velocidade relativa entre

as extremidades do aparelho. O tipo de relação força - velocidade, equação constitutiva que cada

tipo de dissipador apresenta depende essencialmente das características do fluido utilizado.

A relação força - velocidade destes aparelhos tem a seguinte expressão 44:

𝐹 = 𝐶 × 𝑣 𝛼 × 𝑆𝑖𝑛𝑎𝑙 𝑣 (44)

Onde:

𝐶 𝑒 𝛼 – constantes do dissipador;

𝑣 – velocidade.

Usualmente, a quantificação do desempenho deste tipo de aparelhos em estruturas, é

efectuada através de análises dinâmicas no tempo, uma vez que a relação constitutiva do aparelho

depende da velocidade.

Como neste trabalho a análise é estática e a estrutura possui sistemas de dissipação viscosos

será apresentada uma metodologia de modo a contabilizar o efeito destes aparelhos em análises

estáticas não lineares para estruturas que possuam este tipo de aparelhos.

6.2.7 Metodologia para quantificar o efeito dos aparelhos óleo - dinâmicos em análises

estáticas não lineares

Como foi escrito no ponto anterior a análise é estática e a relação constitutiva dos aparelhos é

dinâmica. Então o primeiro passo será relacionar o deslocamento com a velocidade.

Assumindo que, para o cálculo do amortecimento dos dissipadores, o movimento da estrutura

quando solicitada pela acção sísmica é harmónico o deslocamento no embolo do aparelho de

apoio é dado pela seguinte expressão:

𝑑 𝑡 = 𝐴𝑠𝑒𝑛 𝑝𝑡 (45)

A velocidade do êmbolo do aparelho de apoio é a derivada do seu deslocamento em ordem ao

tempo

𝑣 𝑡 =𝑑(𝑑 𝑡 )

𝑑𝑡= 𝑝𝐴𝑐𝑜𝑠 𝑝𝑡 (46)

Onde 𝑝 é o valor da frequência da estrutura no modo fundamental.



47

A constante A serve para definir a amplitude do deslocamento ao longo do tempo, é o

deslocamento máximo de cada ciclo idealizado, 𝐴 = 𝑑𝑝 , sendo 𝑑𝑝 o deslocamento para o qual se

calcula o amortecimento.

É curioso que este tipo de movimento é semelhante ao movimento de um pêndulo cónico, no

sentido em que quando o deslocamento é máximo a velocidade é nula, e quando a velocidade é

máxima o deslocamento é nulo.

Do ponto de vista da estrutura esta situação é facilmente visível, uma vez que quando o

deslocamento do tabuleiro é máximo, o deslocamento dos pilares que restringem o movimento

também é máximo. Neste instante dá-se a inversão de sentido do movimento do tabuleiro, então a

velocidade é nula, representa-se este instante na figura 6-8.

Figura 6-8 Analogia viaduto - pêndulo cónico velocidade nula

Por outro lado, após se dar essa mudança de sentido, a estrutura irá recuperar a posição

indeformada, á qual corresponde um deslocamento nulo no topo dos pilares, sendo neste instante

a velocidade máxima, figura 6-9.

Figura 6-9 Analogia estrutura - pêndulo cónico velocidade máxima

A metodologia é traçar para um ciclo de movimento, o que corresponde a um período de

vibração, o gráfico força - deslocamento do conjunto de aparelhos de apoio e somar este gráfico ao

gráfico do ciclo de histerese, e assim obtém-se um novo valor de 𝐸𝐷. Em cada instante t tem-se um

deslocamento e uma velocidade, para cada instante calcula-se a força sabendo a velocidade.



48

De notar que como o tabuleiro foi modelado com área variável, a sua rigidez axial também é

variável, sendo então necessário ter o cuidado de escolher um ponto de controlo que tenha o

deslocamento igual às extremidades do tabuleiro, para que faça sentido somar-se o gráfico do ciclo

de histerese da estrutura com o gráfico dos aparelhos óleo - dinâmicos.

Os aparelhos viscosos inseridos nas extremidades do tabuleiro têm as características 𝐶 𝑒 𝛼

igual a 4000 e 0,1 respectivamente. Este valor foi retirado da memória descritiva do projecto da

estrutura.

Ilustra-se em seguida os gráficos força – velocidade e força - deslocamento para um conjunto

de 8 aparelhos de apoio com as características descritas para um deslocamento 𝑑𝑝 = 0,034𝑚,

figura 6-10 e figura 6-11 respectivamente. Ilustra-se também um ciclo de histerese apenas da

estrutura para o mesmo deslocamento.

Figura 6-11 Relação força deslocamento para conjunto de 8 aparelhos de apoio óleo - dinâmicos

-40000

-20000

0

20000

40000

-0,05 0 0,05

Forç

a (K

N)

Velocidade (m/s)

Força - Velocidade

8 Dissipadores

-40000

-20000

0

20000

40000

-0,04 -0,02 0 0,02 0,04

Forç

a (K

N)

Deslocamento (m)

Força - Deslocamento

8 Dissipadores

Figura 6-10 Relação constitutiva conjunto de 8 aparelhos óleo - dinâmicos



49

Somando o gráfico representado na figura 6-11 com o gráfico força – deslocamento do ciclo de

histerese da estrutura obtém-se um gráfico força – deslocamento do sistema total, observe-se a

figura 6-12.

O gráfico a vermelho corresponde á soma de dois gráficos força – deslocamento. De notar que

ao obter o gráfico total, o rectângulo envolvente também muda. Desprezando a contribuição dos

dissipadores de energia e só considerando o ciclo de histerese da estrutura o rectângulo

envolvente é o rectângulo 1. Após observação dos gráficos somados para um ciclo total, isto é, o

gráfico força - deslocamento resultante da contribuição da estrutura e dos aparelhos óleo -

dinâmicos, verifica-se que o rectângulo envolvente aumenta, passando este a ser o rectângulo 2.

Por isso anteriormente foi definida uma expressão para o cálculo do amortecimento efectivo

em função da área do rectângulo envolvente, para que se possa facilmente estimar o

amortecimento efectivo utilizando a mesma expressão num sistema que possui este tipo de

aparelhos.

6.2.8 Processo iterativo para a obtenção do Ponto de Desempenho

O método do espectro de capacidade termina com a obtenção do ponto de desempenho, este

ponto resulta da intercepção do espectro de capacidade com o espectro de resposta reduzido que

caracteriza a acção sísmica. Assim o ponto de desempenho necessita de satisfazer duas

condições:

-90000

-60000

-30000

0

30000

60000

90000

-0,05 0 0,05

Forç

a (

KN

)

Deslocamento (m)

Força - Deslocamento

8 Dissipadores

Estrutura

Dissipadores + EstruturaRectangulo 1

Rectangulo 2

Figura 6-12 Ciclos de histerese e respectiva envolvente



50

Localizar-se no espectro de capacidade, dado que o mesmo representa o

comportamento estrutural;

Localizar-se sob o espectro da acção sísmica, reduzido para um valor de

amortecimento que atende aos mecanismos de histerese ou aos mecanismos de

histerese mais sistemas de dissipadores de energia.

Este processo é iterativo uma vez que, o amortecimento da estrutura para um ciclo idealizado

com deslocamento máximo igual ao deslocamento do ponto de desempenho tem que ser igual ao

amortecimento utilizado para a redução do espectro de resposta, que envolve o cálculo de 𝜂.

Para se iniciar este processo iterativo é necessário assumir um ponto inicial de desempenho

(𝑑𝑝1, 𝑎𝑝1). Definido este ponto inicial calcula-se o amortecimento efectivo correspondente e o

espectro de resposta reduzido (43). Se o valor do deslocamento espectral resultante da nova

intercepção (𝑑𝑝2) esteja dentro do intervalo: 0,95𝑑𝑝1 ≤ 𝑑𝑝2 ≤ 1,05𝑑𝑝1; dá-se por concluído o

processo e está obtido o ponto de desempenho da estrutura. Caso contrário, assume-se um novo

ponto de desempenho (𝑑𝑝2 ,𝑎𝑝2) e efectua-se o mesmo processo até se satisfazer a condição.

De notar que o cálculo do amortecimento efectivo neste trabalho foi efectuado nas

coordenadas da curva de capacidade, (deslocamento no ponto de controlo, corte basal), uma vez

que para uma das direcções o sistema estrutural possuí dissipadores de energia, e a quantificação

destes dissipadores foi feita também em termos de força – deslocamento. Contudo nada impede

que se calcule o amortecimento efectivo a partir de coordenadas espectrais, uma vez que a

relação entre estas coordenadas é proporcional a duas constantes (α1 e α2).

Para terminar este método, basta converter o ponto de desempenho sísmico obtido em

coordenadas espectrais para coordenadas globais, associadas a um sistema de múltiplos graus de

liberdade, utilizando a expressão 37 e assim obtém-se o deslocamento no ponto de controlo da

estrutura.



51

6.3 Método N2 Proposto pelo EC8

No presente capítulo explica-se de forma sucinta o método N2 do EC8 (Anexo B do EC8) e

sugere-se também um modo de utilizar este método para estruturas com sistemas de dissipadores

de energia. Para isso explicam-se os passos do método N2 para estruturas sem aparelhos de

apoio óleo - dinâmicos e em seguida sugere-se uma maneira para contabilizar a sua presença.

Em primeiro lugar é necessário referir que a obtenção da curva de capacidade e a construção

dos espectros de resposta é idêntica á metodologia do ATC40.

O método N2 divide-se em 3 passos:

Transformação da curva de capacidade para um sistema de um grau de liberdade

equivalente;

Construção de uma aproximação elástica - perfeitamente plástica da curva de

capacidade no sistema de um grau de liberdade equivalente e cálculo do período

elástico do sistema de um grau de liberdade idealizado;

Determinação do ponto de desempenho sísmico para o sistema de um grau de

liberdade equivalente.

6.3.1 Transformação da curva de capacidade para um sistema de um grau de liberdade

equivalente

A massa do sistema de um grau de liberdade equivalente (𝑚∗) é dada por:

𝑚∗ = 𝑚𝑖∅𝑖

𝑛

𝑖=1

(47)

E o factor de transformação (Γ) é dado por:

Γ = 𝑚𝑖∅𝑖

𝑛𝑖=1

𝑚𝑖∅𝑖2𝑛

𝑖=1

=𝑚∗

𝑚𝑖∅𝑖2𝑛

𝑖=1

(48)

Onde:

∅𝑖- é a amplitude de deslocamento do nó i no modo de vibração fundamental;

𝑚𝑖- é a massa do nó i.



52

De notar que as amplitudes de deslocamento devem estar normalizadas em relação à

amplitude do ponto de controlo.

A força 𝐹∗ e o deslocamento 𝑑∗ do sistema de um grua de liberdade equivalente é dada por:

𝐹∗ =𝐹𝑏

Γ 49 𝑒 𝑑∗ =

𝑑𝑝𝑐

Γ (50)

Em que 𝐹𝑏 e 𝑑𝑝𝑐 são respectivamente, a força de corte basal e o deslocamento do ponto de

controlo do sistema de múltiplos gruas de liberdade.

6.3.2 Construção de uma aproximação elástica - perfeitamente plástica da curva de

capacidade no sistema de um grau de liberdade equivalente

Esta idealização transforma a curva de capacidade analítica do sistema de um grau de

liberdade equivalente numa curva que despreza a rigidez pós-cedência.

Esta aproximação apresenta dois troços:

Um tramo horizontal, onde a ordenada apresenta o valor da força que provoca o

mecanismo de colapso;

Um tramo que une a origem do referencial ao tramo horizontal.

A aproximação é construída estabelecendo-se o principio de conservação de energia.

6-13 Representação da idealização elástica perfeitamente plástica EC8



53

Definida a idealização elástica perfeitamente plástica é necessário calcular o período de

vibração para o qual a estrutura responde em regime elástico. Este período é dado pela expressão

51:

𝑇∗ = 2𝜋 𝑚∗𝑑𝑦

∗

𝐹𝑦∗

(51)

6.3.3 Determinação do ponto de desempenho sísmico para o sistema de um grau de

liberdade equivalente

O deslocamento do ponto de desempenho sísmico ou deslocamento objectivo para o período

elástico do sistema de um grau de liberdade é dado por:

𝑑𝑒∗ = 𝑆𝑒(𝑇∗)

𝑇∗

2𝜋

2

(52)

Em que, 𝑆𝑒(𝑇∗) representa o valor de aceleração espectral correspondente a 𝑇∗

O valor do deslocamento objectivo (𝑑𝑡∗) para estruturas com período baixo e estruturas com

períodos médio a alto tem expressões diferentes. O período de comparação para ver se a estrutura

tem período curto ou longo é o período 𝑇𝐶do espectro de resposta, então:

Se 𝑇∗ < 𝑇𝐶 , a estrutura tem período baixo pelo que:

i. Se 𝐹𝑦∗

𝑚 ∗ ≥ 𝑆𝑒(𝑇∗) a estrutura apresente comportamento elástico e:

𝑑𝑡∗ = 𝑑𝑒

∗

ii. Se 𝐹𝑦∗

𝑚 ∗ < 𝑆𝑒(𝑇∗) a estrutura apresenta comportamento inelástico e:

𝑑𝑡∗ =

𝑑𝑒𝑡∗

𝑞𝑢

1 + 𝑞𝑢 − 1 𝑇𝐶

𝑇∗ ≥ 𝑑𝑒

∗ (53)

Onde,

𝑞𝑢 =𝑆𝑒(𝑇∗)𝑚∗

𝐹𝑦∗

(54)

Se 𝑇∗ > 𝑇𝐶 , a estrutura tem período médio a alto, e:

𝑑𝑡∗ = 𝑑𝑒

∗

O EC8 possui uma cláusula opcional no final do anexo B, onde se lê que se o valor

deslocamento objectivo determinado (𝑑𝑡∗) for muito diferente do deslocamento do ponto último da

aproximação, deve-se efectuar um processo iterativo, repetindo os passos acima descritos, a partir



54

de uma nova aproximação que tem como ponto último o deslocamento objectivo determinado

anteriormente (𝑑𝑡∗).

Esta cláusula permite aproximar com menor erro a curva de capacidade analítica uma vez que

todos os parâmetros de entrada para este método dependem da rigidez inicial da estrutura e

assim, ao reduzir-se o deslocamento do ponto último da aproximação o declive elástico da recta

aproximada vai convergindo para o declive elástico da curva analítica.

Finalmente, resta transformar o deslocamento do ponto de desempenho sísmico do sistema de

um grau de liberdade equivalente para o sistema de múltiplos graus de liberdade e assim obter-se

o deslocamento objectivo do ponto de controlo nas suas coordenadas. Para isso utiliza-se

novamente a constante de transformação Γ:

𝑑𝑝𝑐 = Γ × dt∗

6.3.5 Quantificação do efeito dos aparelhos de apoio óleo - dinâmicos para determinação do

ponto de desempenho

Após a obtenção do primeiro ponto de desempenho (𝑑𝑛), calcula-se o amortecimento que os

dissipadores conferem á estrutura e reduz o respectivo espectro de resposta.

O procedimento é semelhante ao cálculo do amortecimento efectivo proposto pelo ATC40 mas,

para o cálculo de 𝜁 só se contabiliza a energia dissipada pelos aparelhos de apoio.

A expressão a utilizar é semelhante à expressão 43, com a alteração de só se contabilizar a

área do gráfico força – deslocamento referente aos aparelhos de apoio, isto é, 𝐸𝐷 = 𝐴𝑑𝑖𝑠𝑠𝑖𝑝𝑎𝑑𝑜𝑟𝑒𝑠 .

𝜁𝐻 =2

𝜋×

𝐴𝑑𝑖𝑠𝑠𝑖𝑝𝑎𝑑𝑜𝑟𝑒𝑠

𝐴𝑟𝑒𝑐𝑡 â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜

(55)

Com o valor de 𝜁𝐻 reduz-se o espectro de resposta e repete-se o procedimento do método N2,

se o novo deslocamento do ponto de controlo for igual ao antigo, o ponto de desempenho está

determinado. Caso contrário repete-se o processo até os deslocamentos possam convergir. Isto é,

calcula-se de novo o amortecimento conferido pelos dissipadores de energia, faz-se uma nova

redução do espectro de resposta, calcula-se outro ponto de desempenho e verifica-se se o seu

valor é igual ao anterior.



55

7. Resultados

7.1 Comparação da relação constitutiva das secções

Apresenta-se na tabela 7-1,uma síntese dos valores do momento resistente na base e no topo

dos pilares para a análise transversal, esta direcção coincide com a direcção de maior resistência

dos pilares.

Pilar 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Secção

Mrd (kNm)

489308 824522 812184 828711 839919 705583 720433 719995 487927 497949

Topo Abetão

(m2)

15,5405 23,8165 23,8165 23,8061 23,8061 15,4456 15,4456 15,4456 15,5405 15,5405

Aaço (m

2)

0,1241 0,2541 0,2541 0,2645 0,2645 0,2190 0,2190 0,2190 0,1241 0,1241

Mrd (kNm)

371543 691345 604821 880534 856062 324761 366933 374958 361794 434896

Base Abetão

(m2)

11,6134 20,3616 17,4044 16,3116 15,5324 8,0812 8,9410 9,2536 11,1314 12,9292

Aaço (m

2)

0,1030 0,2067 0,2067 0,3763 0,3763 0,1255 0,1319 0,1319 0,1030 0,1159

Tabela 7-1 Valores de momento último, área de betão e aço nas secções dos pilares

Constata-se que a resistência á flexão dos pilares na secção de topo é superior á da secção na

base com excepção dos pilares P4 e P5.

Este facto acontece porque a secção de base dos pilares P4 e P5 possui maior quantidade de

armadura que a secção de topo. O mesmo não acontece nos outros pilares, em que a quantidade

de betão e armadura é inferior na secção da base, dai a resistência á flexão dos pilares ser maior

em geral na secção de topo.

O efeito do esforço normal nos pilares é significativo e foi tido em conta, contudo não existe

grande acréscimo de esforço normal da secção de topo para a secção de base, isto porque o

aumento de esforço normal proveniente do peso próprio dos pilares é baixo quando comparado

com o esforço normal na base dos pilares proveniente do tabuleiro. Apresenta-se a tabela 7-2 com

os valores do esforço normal nas secções consideradas.

Esforço Normal nos Pilares [kN]

Secção P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 P8 P9 P10

Topo 37297 69568 65087 64324 68446 34731 36861 36722 36906 39801

Base 40326 72826 71469 68002 71854 37799 39576 39948 39707 42111

Diferença 8% 5% 10% 6% 5% 9% 7% 9% 8% 6%

Tabela 7-2 Valor de esforço normal para as cargas gravíticas nas secções dos pilares



56

7.2 Comparação da resistência dos pilares P4 e P5 nas suas direcções

Os pilares P4 e P5 serão solicitados nas duas direcções devido às ligações do tabuleiro aos

pilares, por isso apresenta-se a relação momentos - curvatura destes pilares para cada direcção e

tem-se uma ideia clara da resistência de um pilar desta geometria nas duas direcções.

Figura 7-1 Relação constitutiva pilar P4 nas duas direcções

Figura 7-2 Relação constitutiva pilar P5 nas duas direcções

Ao observar as figuras 7-1 e 7-2 observa-se que o pilar é bastante mais resistente na direcção

do eixo forte e mais flexível na direcção do eixo fraco, por isso na direcção do eixo fraco a

capacidade de rotação é maior quando comparada com o eixo forte. Estes resultados já eram

esperados, contudo apresentaram-se as figuras 7-1 e 7-2 para ilustrar estas características do

comportamento.

0

200000

400000

600000

800000

1000000

0,000 0,005 0,010 0,015 0,020

Mo

me

nto

[KN

m]

Curvatura[1/m]

Momentos Curvatura Pilar P4

M-C eixo forte

M-C eixo fraco

0

200000

400000

600000

800000

1000000

0,000 0,005 0,010 0,015 0,020

Mo

me

nto

[KN

m]

Curvatura[1/m]

Momentos Curvatura Pilar P5

M-C eixo forte

M-C eixo fraco



57

7.3 Resultados da Análise Estática não Linear

No presente ponto apresentam-se os resultados das análises estáticas não lineares efectuadas

para as duas direcções, direcção longitudinal e direcção transversal do tabuleiro.

7.3.1 Direcção longitudinal

Salienta-se que o ponto de controlo escolhido para esta direcção teve que ser um ponto que

apresentasse deslocamentos iguais aos deslocamentos nas extremidades do tabuleiro, pois o valor

do deslocamento é um parâmetro de entrada para o cálculo da contribuição dos dissipadores de

energia. Então o ponto de controlo escolhido para esta direcção situa-se no centro de gravidade da

secção do tabuleiro acima do pilar P10, visto que neste ponto os deslocamentos são idênticos aos

das extremidades.

Passo

Padrão de carregamento Aceleração Uniforme

Padrão de carregamento Modal

Deslocamento [m] Deslocamento [m]

Ponto de Controlo

Extremidade E1

Extremidade E2

Ponto de Controlo

Extremidade E1

Extremidade E2

0 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000

1 0,025 0,024 0,025 0,027 0,026 0,027

2 0,026 0,025 0,026 0,031 0,031 0,031

3 0,056 0,055 0,056 0,061 0,061 0,061

4 0,086 0,085 0,086 0,091 0,091 0,091

5 0,116 0,115 0,116 0,121 0,121 0,121

6 0,146 0,145 0,146 0,151 0,151 0,151

7 0,176 0,174 0,176 0,181 0,181 0,181

8 0,206 0,204 0,206 0,211 0,211 0,211

9 0,236 0,234 0,236 0,241 0,241 0,241

10 0,253 0,252 0,253 0,255 0,255 0,255

11 0,253 0,256 0,253 0,255 0,258 0,255

12 0,280 0,282 0,280 0,283 0,286 0,283

13 0,280 0,280 0,280 0,283 0,283 0,283

14 0,282 0,281 0,282 0,284 0,284 0,284

15 0,300 0,300 0,300 0,300 0,300 0,300

Tabela 7-3 Valores de deslocamento do ponto de controlo e extremidade do tabuleiro



58

Pela observação da tabela 7-3 verifica-se que existe uma disparidade máxima de 3mm no

valor dos deslocamentos, esta diferença só acontece para deslocamentos superiores ao

deslocamento para o qual a estrutura forma a primeira rótula plástica. Como se poderá ver em

seguida, o cálculo do amortecimento efectivo só foi necessário para deslocamentos inferiores ao

necessário para que se forme a primeira rótula plástica na estrutura.

A escolha deste ponto de desempenho para a análise longitudinal da ponte contorna o

problema de os deslocamentos neste ponto serem diferentes aos deslocamentos nas

extremidades.

Apresenta-se na figura 7-3 a curva de capacidade obtida para os dois padrões de

carregamento efectuados.

Figura 7-3 Curvas de capacidade direcção longitudinal

O primeiro troço corresponde a regime linear, antes de os pilares atingirem a cedência. O

segundo troço corresponde á rigidez pós cedência da estrutura.

As quebras no valor da força de corte basal correspondem á formação de rótulas plásticas nos

pilares, isto é, atingiu-se a capacidade última de resistência do pilar à flexão e a partir desse ponto

o pilar deixa de resistir, podendo a sua secção rodar livremente.

Para o padrão de carregamento aceleração uniforme os pilares entram em cedência para o

mesmo deslocamento do ponto de controlo (0,027 m) enquanto que, para o padrão de

carregamento modal verifica-se que um pilar atinge a cedência antes do outro (0,025 m pilar P4 e

0,026m Pilar P5). O primeiro pilar a atingir a rotura em ambas as análises é o pilar P4 para um

deslocamento de 0,253m (aceleração uniforme) e 0,255 m (modal). O Pilar P5 atinge a rotura para

deslocamentos de 0,280m (aceleração uniforme) e 0,283m (modal).

010000200003000040000500006000070000

0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3

Co

rte

Bas

al[K

N]

Deslocamento do ponto de controlo[m]

Curvas de Capacidade

Aceleração uniforme

Modal



59

As curvas apresentadas são curvas analíticas, não são aproximações bilineares. O aspecto é

bilinear porque os pilares possuem características físicas e geométricas muito semelhantes, a

relação constitutiva do betão é semelhante e a relação constitutiva do aço é a mesma. A

quantidade de betão e armadura da secção também é semelhante (tabela 7-1)

Em seguida apresenta-se na tabela7-4 os valores das constantes de transformação. Os

parâmetros que interferem no cálculo destas constantes representam-se no anexo F.

α1 α2

0,93 1,12

Tabela 7-4 Valores das constantes de transformação para direcção longitudinal

Para este tipo de estruturas, pontes rectas ou longas com uma curva pouco acentuada, seria

de esperar que os resultados das análises estáticas não lineares na direcção longitudinal fossem

semelhantes para os dois casos de carregamento. Como foi explicado no capítulo 6 o padrão de

carregamento aceleração uniforme consiste em aplicar uma aceleração uniforme a todos os

elementos da estrutura o que em termos de forças resulta a ter uma distribuição de forças nos

elementos proporcional á sua massa visto que 𝐹 = 𝑚 × 𝑎. Quanto ao padrão de carregamento

modal explicou-se que este consiste em aplicar forças nos elementos proporcionais á deformada

da estrutura no modo fundamental na direcção considerada.

Como no modelo construído se tentou distribuir a massa da estrutura de maneira mais

contínua possível, através da modelação do tabuleiro formada por elementos reduzidos resulta que

as forças aplicadas são muito parecidas para os dois carregamentos efectuados. Uma vez que do

ponto de vista da deformada do modo fundamental os deslocamentos longitudinais do tabuleiro

são semelhantes em todos os elementos e as forças aplicadas aos elementos também são

semelhantes. Para o padrão de carregamento aceleração uniforme acontece um fenómeno

semelhante apesar de a estrutura ter “secções mais pesadas” que outras.

Então para ambos os padrões de carregamento a estrutura apresenta deformadas idênticas,

dai as curvas de capacidade serem semelhantes.

7.3.1 Resultados ATC-40

Com as constantes de transformação definidas segue-se a apresentação, na figura 7-4, dos

espectros de capacidade e dos espectros de resposta a estudar com um amortecimento

correspondente a 5%.



60

Figura 7-4 Espectros de capacidade e espectros de resposta não reduzidos

Os pontos de desempenho para os sismos estudados são apresentados nas figuras 7-5 e 7-6

para o padrão de carregamento aceleração uniforme e modal respectivamente.

Figura 7-5 Pontos de desempenho padrão de carregamento a. Uniforme ATC40

00,10,20,30,40,50,60,70,8

0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3

Ace

lera

ção

Esp

ect

ral

[g]

Deslocamento Espectral [m]

Espectros de Resposta (ζ=5%) e Espectros de Capacidade

Espectro de Capacidade (Modal)Espectro de Capacidade (Aceleração Uniforme)Sismo 2.3 Imp II

Sismo 2.3 Imp III

Sismo 1.3 Imp II

Sismo 1.3 Imp III

Sismo2 RSA tII

Sismo1 RSA TII

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0 0,05 0,1 0,15

Ace

lera

ção

Esp

ect

ral

[g]


Espectros de Resposta Reduzidos e Espectros de CapacidadeDeterminação do Ponto de Desempenho

Espectro de Capacidade (Aceleração uniforme)

Sismo 2.3 Imp II (ζ=25%)

Sismo 2.3 Imp III (ζ=26%)

Sismo 1.3 Imp II (ζ=39,5%)


Sismo2 RSA tII (ζ=30%)

Sismo1 RSA TII (ζ=25%)



61

Figura 7-6 Pontos de desempenho padrão de carregamento modal ATC40

O ponto de desempenho para os sismos 2.3 do EC8 para uma estrutura com classe de

importância II e para o sismo 1 do RSA encontra-se no troço elástico do espectro de capacidade.

Para os outros espectros de resposta o ponto de desempenho situa-se no troço pós cedência.

A primeira rótula plástica forma-se para um deslocamento espectral de aproximadamente

0,23m. O espectro de resposta mais penalizante para a estrutura, sismo 1.3 do EC8 para uma

estrutura de classe de importância III, apresenta um ponto de desempenho com um deslocamento

espectral aproximadamente 0,08m. Nenhuma acção sísmica analisada provoca o colapso da

estrutura.

Segue-se a apresentação de uma tabela síntese com o valor dos pontos de desempenho para

cada acção sísmica estudada bem como o valor do amortecimento efectivo estimado para a

estrutura com e sem os aparelhos de apoio óleo – dinâmicos.

Carregamento Sismo Sa [g] Sd [m] dpc [m]

Material Estrutura + dissipadores Estrutura

ζ ζ

dissipadores ζ

Estrutura ζ total η

ζ Estrutura

ζ total η

Aceleração Uniforme

EC8 2.3 II 0,096 0,019 0,021

5%

20% 0% 25% 0,58 0% 5% 1,00 RSA 1

EC8 2.3 III 0,11 0,024 0,027 17% 4% 26% 0,57 6% 11% 0,79

RSA 2 0,11 0,028 0,031 17% 8% 30% 0,53 11% 16% 0,69

EC8 1.3 II 0,11 0,035 0,039 17% 18% 40% 0,47 25% 30% 0,53

EC8 1.3 III 0,111 0,068 0,076 18% 30% 53% 0,42 42% 47% 0,44

Modal

EC8 2.3 II 0,085 0,020 0,022 22% 0% 27% 0,56 0% 5% 1,00

RSA 1

EC8 2.3 III 0,11 0,026 0,029 18% 3% 26% 0,57 4% 9% 0,85

RSA 2 0,133 0,030 0,034 18% 6% 29% 0,54 9% 14% 0,73

EC8 1.3 I II

0,115 0,038 0,043 18% 15% 38% 0,48 21% 26% 0,57

EC8 1.3 III 0,117 0,071 0,080 19% 28% 52% 0,42 39% 44% 0,45

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0 0,05 0,1 0,15

Ace

lera

ção

Esp

ect

ral

[g]


Espectros de Resposta Reduzidos e Espectro de CapacidadeDeterminação do Ponto de Desempenho

Espectro de Capacidade (Modal)

Sismo 2.3 Imp II (ζ=27%)


Sismo 1.3 Imp II (ζ=37,5%)


Sismo2 RSA tII (ζ=29%)

Sismo1 RSA TII (ζ=27%)



62

Tabela 7-5 Síntese de resultados procedimento ATC40

7.3.2 Resultados do Método N2 do EC8

Refira-se que no presente trabalho, efectuou-se o processo sugerido pelo método N2 só para a

determinação dos pontos de desempenho dos sismos definidos pelo EC8. Exclui-se a

determinação destes pontos para os sismos definidos pelo RSA.

A apresentação gráfica dos resultados do método N2 encontra-se no anexo H. Não se

apresentam os gráficos nesta parte por se tornar confuso realizar a apresentação dos pontos de

desempenho de todas a acções sísmicas consideradas num só gráfico, como se fez anteriormente.

Contudo apresenta-se na tabela 7-6 os resultados dos deslocamentos objectivo determinados

pelo método N2, salienta-se que estes resultados foram determinados tendo em conta a cláusula

opcional estipulada no final do EC8, isto é, foi-se aproximando a idealização á medida que se vai

determinando o ponto de desempenho.

Carregamento Sismo T* [s] Se(T*)

[g] de* [m]

dn [m]

Material Contribuição dos

dissipadores

ζ ζ

dissipadores ζ total η

Aceleração Uniforme

EC8 2.3 II 0,875 0,096 0,018 0,021

5%

20% 25% 0,58

EC8 2.3 III 0,871 0,133 0,025 0,028 17% 22% 0,61

EC8 1.3 II 0,878 0,191 0,037 0,041 17% 22% 0,61

EC8 1.3 III 0,892 0,295 0,058 0,065 17% 22% 0,61

Modal

EC8 2.3 II 0,955 0,086 0,019 0,022 22% 27% 0,56

EC8 2.3 III 0,957 0,119 0,027 0,030 18% 23% 0,60

EC8 1.3 II 0,959 0,172 0,039 0,044 18% 23% 0,60

EC8 1.3 III 0,969 0,272 0,063 0,071 18% 23% 0,60

Tabela 7-6 Síntese de resultados método N2 do EC8



63

7.3.4 Comparação ATC-40 vs N2

Ao observar os resultados dos dois procedimentos, verifica-se que, para deslocamentos

objectivo que correspondem ao troço elástico da curva analítica, os resultados das duas

metodologias são iguais. Seria de esperar que tal acontece-se, pois para o troço elástico, a

aproximação sugerida pelo método N2 tem a própria equação da recta de regime elástico analítica.

Para deslocamentos que se situam no troço pós-cedência da curva analítica os resultados do

método N2 conduzem a valores, em geral, superiores quando comparados com os resultados do

ATC40. Este fenómeno também era de esperar, uma vez que no ATC40 a curva utilizada é a curva

analítica e apenas para o método N2 se efectuou a idealização elástica perfeitamente plástica.

Ao efectuar-se esta idealização o comportamento do troço elástico da curva perde rigidez,

ficando a recta que aproxima o troço elástico com um declive menor. Como os resultados do

método N2 dependem fundamentalmente do período de vibração elástico, uma vez que este valor

na estrutura em estudo é sempre superior a 𝑇𝐶 , quanto menos inclinada for a recta que representa

o regime elástico da aproximação, maior será o deslocamento objectivo. Faz sentido uma vez que

para estruturas mais flexíveis resultam deslocamentos maiores.

Como quanto mais “forte” for o espectro de resposta a analisar, maior será o deslocamento

objectivo, então consequentemente menos aproximado estará o comportamento elástico da

estrutura, e os resultados do N2 afastam-se cada vez mais dos resultados do ATC40. Observe-se

a figura 7-7 que pretende ilustrar este fenómeno.

Figura 7-7 Representação do efeito da aproximação elástica perfeitamente plástica no ponto de desempenho

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0 0,1 0,2 0,3

Sa [g]

Sd

Exemplo da influencia da idealização na determinação do ponto de desempenho

Espectro de Capacidade analitico (modal)Espectro de resposta sismo 1.3 imp III (23%)Aproximação eslásto-plástica

Ponto de desempenho



64

É curioso que para o maior espectro de resposta este fenómeno não se verifica. O esperado

seria que o deslocamento objectivo do método N2 fosse superior ao deslocamento do ponto de

desempenho do ATC40 tal como nos outros espectros.

Observe-se a figura 7-8, que representa o andamento da redução a efectuar ao espectro de

resposta à medida que o amortecimento total aumenta.

𝑅𝑒𝑑𝑢çã𝑜 = 1 − 𝜂 = 1 − 10

5 + 𝜁 (56)

Figura 7-8 Relação entre redução do espectro de resposta e amortecimento total

Ao derivar a redução a efectuar ao espectro de resposta em ordem ao amortecimento total

pode-se observar a velocidade a que esta redução se dá com a variação do amortecimento.

Figura 7-9 Relação entre velocidade de redução do espectro de resposta e amortecimento total

00,10,20,30,40,50,60,70,8

0 25 50 75 100

Re

du

ção

Amortecimento total %

Redução ao espectro de resposta

redução ao espectro de resposta

00,010,020,030,040,050,06

0 25 50 75 100

Ve

loci

dad

e

Amortecimento total %

Velocidade da redução

velocidade da redução



65

Verifica-se que a velocidade é sempre positiva e decrescente, o que significa que a redução é

crescente mas cresce de forma cada vez mais lenta.

Como na metodologia ATC40 se calcularam valores de η para o amortecimento total e para o

N2 apenas foram calculados valores de η para os amortecimentos dos dissipadores, quando o

valor do amortecimento é de cerca 50% para o ATC40 e cerca de 22% para o N2 verifica-se que o

processo de determinação do ponto de desempenho do método N2 começa a dar resultados mais

baixos do que os ATC40. Visto que para o método N2 estamos numa zona sensível á variação na

redução e para o método ATC40 estamos numa zona pouco sensível á variação da redução.

De notar que se não se utilizar a cláusula opcional do método N2 os resultados deste método

são sempre superiores aos resultados do ATC40, uma vez que se executa a aproximação elástica

perfeitamente plástica para toda a curva analítica e não se vai iterando a aproximação.

Importante salientar que se deve verificar o comportamento da estrutura para o deslocamento

objectivo na curva analítica. Na figura seguinte ilustra-se um caso em que o resultado do método

N2 está em regime linear na aproximação e não na curva analítica.

Figura 7-10 Método N2 sem cláusula opcional

É curioso que ao observar as tabelas dos resultados da análise longitudinal verifica-se que

para pontos de deslocamento situados no troço não linear da estrutura a contribuição dos

dissipadores de energia para o amortecimento total é quase constante mas, quanto á contribuição

da estrutura para o amortecimento total este valor vai sempre aumentando á medida que o

deslocamento também aumenta.

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0 0,1 0,2 0,3

Sa [

g]

Sd [m]

Exemplo

Espectro de Capacidade analitico (modal)

Espectro de resposta sismo 2.3 imp III (27%)

Aproximação eslásto-plástica



66

Isto acontece devido à área do gráfico força - deslocamento do conjunto de dissipadores variar

na mesma proporção do que a área do rectângulo envolvente devido a este conjunto de aparelhos

possuir uma constante α muito reduzida (α=0,1). Para valores de α entre ]0;1[ a força cresce

bruscamente com o aumento de velocidade e tende para um limite máximo. Este fenómeno ocorre

de modo mais acentuado quanto mais afastado estiver o valor α do valor unitário e mais próximo

estiver do valor nulo. Observe-se a figura 7-11 que pretende ilustrar este efeito.

Figura 7-11 Influência da constante α nos dissipadores de energia, fonte site 2

Do ponto de vista da contribuição da estrutura verifica-se algo diferente, isto é, á medida que o

deslocamento vai aumentado, a área do ciclo de histerese da estrutura vai ocupando mais

“espaço” da área do rectângulo envolvente e por isso o valor do amortecimento conferido pela

estrutura vai sempre aumentando.

7.3.5 Determinação do ponto de desempenho para um Viaduto semelhante ao viaduto Padre

Cruz mas sem estar equipado com dissipadores de energia.

Neste ponto pretende-se retratar qual seria a diferença nos resultados da análise estática não

linear para o Viaduto Padre Cruz no caso de este não estar equipado com aparelhos de apoio óleo

- dinâmicos.

Como este cenário não existe, apenas se comparam estes resultados utilizando o método N2,

pois para a estrutura sem dissipadores este método evita o cálculo do amortecimento total para

efectuar a redução do espectro de resposta, tornando o processo mais simples e

consequentemente bastante mais rápido. Foram utilizadas as curvas analíticas para o cálculo

deste cenário.

Apresenta-se na figura 7-12 os resultados recorrendo ao método N2 para o padrão de

carregamento modal, pois é este o caso que conduz a maiores deformações na estrutura.



67

Figura 7-12 Pontos de desempenho estrutura sem aparelhos óleo - dinâmicos

Na tabela seguinte apresentam-se os valores dos deslocamentos espectrais e no ponto de

controlo do ponto de desempenho resultantes das análises efectuadas para a estrutura com e sem

aparelhos de apoio óleo - dinâmicos.

Carregamento Sismo

de* [m] dpc - ponto de controlo [m] Diferença

Estrutura com dissipadores

Estrutura sem dissipadores

Estrutura com dissipadores

Estrutura sem dissipadores

Modal

EC8 2.3 II 0,019 0,035 0,022 0,039 77%

EC8 2.3 III 0,027 0,045 0,030 0,050 67%

EC8 1.3 II 0,039 0,067 0,044 0,075 70%

EC8 1.3 III 0,063 0,105 0,071 0,118 67%

Tabela 7-7 Comparação dos resultados do método N2 na ausência de aparelhos óleo - dinâmicos

Verifica-se que, para as mesmas acções sísmicas, os deslocamentos da estrutura são

consideravelmente menores se a estruturar for equipada com aparelhos de apoio deste tipo e

assim o ponto de desempenho estará mais afastado do ponto a que corresponde o colapso de

secções. Também é importante salientar que para as acções consideradas a estrutura mesmo não

tendo dissipadores de energia apresentaria deformações elevadas não recuperáveis, como é o

caso da acção mais penalizante, sismo 1.3 III, contudo não deveria formar rótulas plásticas nas

secções dos pilares P4 e P5.

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3

Ace

lera

çõe

s Es

pe

ctra

l [g

]


Pontos de desempenho - Estrutura sem dissipadores (N2)

Espectro de Capacidade (Modal)

Sismo 2.3 Imp II

Sismo 2.3 Imp III

Sismo 1.3 Imp II

Sismo 1.3 Imp III

Recta de periodo elástico T=0,96s



68

7.4 Análise transversal

Para a análise transversal inseriram-se numa primeira fase as relações constitutivas dos

pilares nas secções de topo e nas secções de base. Mesmo dispondo de aparelhos de apoio que

permitem as rotações, como a ligação do tabuleiro aos pilares é feita através de dois aparelhos de

apoio então a secção de topo dos pilares ao deformar-se nesta direcção fica sujeita a um par de

forças de sinal contrário afastadas entre si. Esses forças provocam um efeito de binário por isso

colocou-se a hipótese de estas secções colapsarem primeiro que as secções de base.

Contudo, após uma primeira análise verificou-se que as secções de topo nunca atingiram o

patamar de cedência e que ao inserir todas as relações constitutivas no modelo os valores de

participação de massa eram alterados, uma vez que ao longo do comprimento da rótula plástica,

por aproximação, considerou-se que a secção seria constante, o que não acontece na realidade

nem no modelo linear definido previamente.

Então para evitar o problema da alteração dos valores dos factores de participação de massa e

porque as secções de topo nunca atingiram o patamar de cedência, numa segunda fase apenas se

consideraram as relações constitutivas nas secções de base dos pilares.

Assim consegue-se por um lado manter os valores dos factores de participação de massa

iguais aos do modelo obtido antes de se inserirem as relações constitutivas das secções e por

outro lado o tempo de execução da análise computacional diminui.

Em seguida apresenta-se na figura 7-13 as curvas de capacidade obtidas para a direcção

transversal.

Figura 7-13 Curvas de capacidade análise transversal

0

100000

200000

300000

400000

500000

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6

Co

rte

Bas

al[K

N]


Curva de Capacidade

Curva de Capacidade (Aceleração uniforme)

Curva de Capacidade (Modal)



69

As primeiras secções a atingirem a cedência para o padrão de carregamento aceleração

uniforme são as secções de base dos pilares P5 e P4 e para o padrão de carregamento modal o

mesmo acontece para a secção de pilares P5 e P6. A secção de base do pilar P5 é a primeira

secção a atingir a capacidade última para ambos os casos de carga. A segunda rótula plástica

forma-se na secção de base do pilar P4 e P6 para os casos de carregamento modal e aceleração

uniforme respectivamente.

Com padrão de carregamento modal a estrutura forma as primeiras rotulas plásticas para

deslocamentos no ponto de controlo superiores do que para o padrão de carregamento aceleração

uniforme. Por outro lado, a força de corte basal que provoca formação das rotulas plásticas é maior

para o padrão de carregamento aceleração uniforme do que para o padrão de carregamento

modal.

Ao contrário do que sucede para a análise longitudinal, onde as curvas de capacidade são

semelhantes para os dois casos de carga, na análise transversal as curvas de capacidade obtidas

apresentam valores diferentes para cada caso de carga. Este fenómeno acontece porque os

padrões de carregamento são realmente diferentes, e então a estrutura possui deformadas

diferentes para cada caso de carga. Observe-se a figura 7-14.

Figura 7-14 Representação dos padrões de carregamento efectuados na análise transversal

7.4.1 Resultados ATC40

Para determinar as constantes de transformação para um sistema de um grau de liberdade

equivalente efectuou-se o procedimento sugerido no ATC40, com base nas amplitudes do modo

fundamental da estrutura na direcção transversal.

Contudo, surge uma questão: Porquê utilizar as amplitudes de deslocamento dos nós da

configuração modal se para o carregamento correspondente a aplicar uma aceleração uniforme

surge uma deformada diferente da deformada modal?



70

O ATC40 sugere o procedimento acima descrito para efectuar a transformação para um

sistema de um grau de liberdade equivalente independente do padrão de carregamento.

Porém, neste exemplo concreto, irá apresentar-se mais um possível espectro de capacidade

para a estrutura. Este espectro corresponde a utilizar constantes de transformação, obtidas através

do próprio caso de carga aceleração uniforme. Para isso retirou-se o deslocamento de todos os

nós para um ponto em que a estrutura responde em regime elástico. Depois, para se obter a

relação que cada deslocamento tem com o deslocamento do ponto de controlo, dividiram-se todos

os deslocamentos dos nós pelo valor do deslocamento no ponto de controlo. Assim obtêm-se

valores de amplitudes ∅𝑖 ,𝑓 para todos os nós que retratam a deformada da estrutura para um

padrão de carregamento correspondente a uma aceleração uniforme e podem calcular-se novas

constantes de transformação (α1 e α2)

Constantes de transformação

Deformada Modal Deformada Aceleração

Uniforme

α1 α2 α1 α2

0,48 1,45 0,77 1,46

Tabela 7-8 Constantes de transformação para análise transversal

Após definidas as constantes de transformação para o cálculo dos espectros de

capacidade respectivos apresenta-se na figura 7-15 os pontos de desempenho determinados para

a direcção transversal.

Figura 7-15 Pontos de desempenho análise transversal

-0,2

0,3

0,8

1,3

1,8

0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35

Ace

lera

ção

Esp

ect

ral

[g]


Espectros de Resposta (ζ=5%) e Espectros de CapacidadeEspectro de Capacidade Modal (def. Modal)Espectro de Capacidade Aceleração Uniforme (def. Modal)Sismo 2.3 Imp II

Sismo 2.3 Imp III

Sismo 1.3 Imp II

Sismo 1.3 Imp III

Sismo2 RSA tII

Sismo1 RSA TII

Espectro de Capacidade Aceleração Uniforme (def. Aceleração Uniforme)



71

Observando a figura 7-15 verifica-se que, independentemente do padrão de carregamento e

das constantes de transformação utilizadas na definição do espectro de capacidade, para as

acções sísmicas estudadas a estrutura responde em regime elástico.

7.4.2 Método N2 do EC8

Para a análise transversal determinaram-se também os pontos de desempenho da estrutura

utilizando o método N2 sugerido no EC8.

O método N2 do EC8 propõe uma idealização da curva de capacidade elástica perfeitamente

plástica. Contudo decidiu-se primeiro observar o espectro de capacidade sugerido pelo EC8 sem

efectuar nenhuma idealização da curva de capacidade. Isto é, obter o espectro de capacidade

através da curva de capacidade analítica. Verificou-se que apesar das fórmulas de transformação

da curva de capacidade no espectro de capacidade terem um aspecto diferente para os dois

métodos estudados, se não se efectuar nenhuma idealização á curva de capacidade obtêm-se

exactamente os mesmos resultados.

A obtenção do espectro de capacidade sugerido nos métodos ATC40 e N2 é resumida em

seguida na tabela 7-9.

Sabendo que a massa do elemento i é igual ao seu peso a dividir pela aceleração da gravidade

(𝑚𝑖 =𝑤𝑖

𝑔)

Curva de capacidade ATC 40 N2 do EC8

Sd Sa Sd Sa

dpc V ∆𝑝𝑐 𝑚𝑖∅𝑖

2

𝑚𝑖∅𝑖

𝑉 𝑚𝑖 𝑚𝑖∅𝑖

2

(𝑊 𝑔 ) (𝑚𝑖∅𝑖)2

∆𝑝𝑐 𝑚𝑖∅𝑖2

𝑚𝑖∅𝑖

𝑉 𝑚𝑖∅𝑖

2

𝑚𝑖∅𝑖 × 𝑚𝑖∅𝑖

Tabela 7-9 Comparação das constantes de transformação entre ATC40 e N2

Os valores de deslocamento espectral são iguais para os dois métodos.

Sabendo que 𝑚𝑖 = 𝑀𝑎𝑠𝑠𝑎𝑒𝑠𝑡𝑟𝑢𝑡𝑢𝑟𝑎 =𝑊

𝑔 , e que (𝑚𝑖∅𝑖)

2 = 𝑚𝑖∅𝑖 × 𝑚𝑖∅𝑖 fica demonstrado

que 𝑆𝑎𝐴𝑇𝐶−40 = 𝑆𝑎

𝑁2 =𝑉 𝑚 𝑖∅𝑖

2

(𝑚 𝑖∅𝑖)2.

Como, sem efectuar idealizações, os espectros de capacidade dos dois métodos são iguais, os

pontos de desempenho também são iguais visto que para o método N2 os valores de 𝑇∗ são



72

superiores a 𝑇𝐶 . Neste caso 𝑇∗ corresponde ao período do ponto de intersecção dos espectros de

capacidade com os espectros de resposta uma vez que a estrutura responde em regime elástico.

Remete-se então a observação da figura 7-15 para a observação dos resultados da

metodologia do método N2 do EC8.

Não se efectuou a idealização elástica perfeitamente plástica para o método N2 porque os

pontos de desempenho estão sobre a resposta linear da estrutura e neste caso a idealização seria

igual à curva analítica.

7.5 Comparação das curvas de capacidade nas duas direcções

Nas figuras 7-16 e 7-17 apresentam-se as curvas de capacidade nas duas direcções

analisadas para o padrão de carregamento modal e aceleração uniforme respectivamente

Figura 7-16 Curvas de capacidade nas duas direcções para padrão de carregamento modal

050000

100000150000200000250000300000

0 0,2 0,4 0,6 0,8

Co

rte

Bas

al[K

N]


Curvas de capacidade Modal

Direcção Longitudinal

Direclão Transversal



73

Figura 7-17 Curvas de capacidade nas duas direcções para padrão de carregamento a. Uniforme

Ao observar as figuras 7-16 e 7-17 e comparando os resultados das análises não lineares

efectuadas neste trabalho verifica-se que a estrutura face às acções horizontais é bastante mais

resistente na direcção transversal do que na direcção longitudinal. Este resultado era esperado

uma vez que, na direcção transversal todos os pilares resistem com o seu eixo de maior inércia e

todos estes elementos contribuem para a resistência da estrutura devido ao modo com o tabuleiro

está ligado aos elementos verticais.

Na direcção longitudinal o mesmo não acontece, nesta direcção apenas dois pilares

contribuem para a resistência da ponte (pilar P4 e P5) e estes funcionam segundo o eixo de menor

inércia.

0

100000

200000

300000

400000

500000

0 0,2 0,4 0,6 0,8

Co

rte

Bas

al[K

N]


Curvas de capacidade A.Uniforme


Direcção Transversal



74



75

8. Risco Sísmico

No presente capítulo pretende-se desenvolver uma metodologia que permita estimar a

probabilidade da estrutura atingir um estado de dano quando é solicitada por diferentes acções

sísmicas utilizando as curvas de capacidade determinadas nos pontos anteriores.

No caso de pontes, o manual “Hazus” (FEMA, [2003]) estipula que se devem considerar os

seguintes estados de dano:

Excerto 1 Definição de estados de dano em pontes, retirado de Guerreiro, L., [2003]

No presente trabalho é difícil localizar em que pontos das curvas de capacidade ocorrem os

estados de dano acima descritos, uma vez que as relações constitutivas das secções críticas não

englobam a descrição dos diferentes estados de dano.

Contudo, podem-se associar pontos da curva de capacidade a diversos estados de dano.

Recorde-se que, a cada ponto da curva de capacidade corresponde uma deformação nas secções

críticas. Esta deformação é conhecida através das relações constitutivas que modelam o

comportamento não linear das secções críticas.

Então, irão estabelecer-se estados de dano de referência que correspondem a limites de

deformação nas secções críticas e esses limites correspondem a pontos da curva de capacidade.



76

Figura 8-1 Divisão da relação constitutiva das secções

A figura 8-1 representa um esquema genérico das relações constitutivas das secções

introduzidas no programa SAP2000, curva a verde. Os pontos assinalados na recta servirão para

definir os estados de dano de referência. Salienta-se que os pontos sobre o troço que representa o

comportamento plástico foram determinados dividindo o valor da curvatura do ponto último por 4 e

acrescentando esse incremento de ponto para ponto.

Em seguida descrevem-se os estados de dano definidos neste trabalho.

Estado de dano ligeiro: Uma secção atinge a cedência, ultrapassando o ponto B mas

sem exceder o ponto IO;

Estado de dano moderado: Pelo menos uma secção atinge um estado de deformação

que se situa entre os limites IO e LS

Estado de dano extenso: Pelo menos uma secção atinge uma deformação que se situa

entre o ponto CP e o ponto C

Estado de dano completo: Pelo menos uma secção atinge o troço C, estando a secção

na iminência de perder toda a sua resistência e podendo rodar livremente.

Estes estados de correspondem a pontos da curva de capacidade.

O objectivo é construir uma curva, denominada curva de fragilidade, que define qual a

probabilidade de se atingir ou exceder cada um dos diferentes estados de dano acima descritos

em função do nível da acção sísmica.

0,0

50000,0

100000,0

150000,0

200000,0

250000,0

300000,0

350000,0

0,00 0,00 0,00 0,01 0,01 0,01 0,01 0,01 0,02 0,02 0,02

Mo

me

nto

s (K

Nm

)

Curvatura (m-1)

SAP-2000

A

B

IO

LS

SP

C

D



77

O nível da acção sísmica é representado na curva de fragilidade pelo valor da aceleração de

um espectro de resposta com amortecimento de 5% para o período de referência T=1s, mediana,

que provoca um determinado estado de dano.

As curvas de fragilidade foram modeladas através da função de distribuição do tipo log-normal,

uma vez que esta função é a sugerida no “Hazus” devido a só apresentar valores positivos.

Segue-se a apresentação da definição da função log-normal:

𝑃 𝐷𝑠 ≥ 𝑑𝑠 = Ö ln 𝑀𝑒𝑑𝑖𝑎𝑛𝑎 − ln 𝑋

𝛽 (57)

Onde:

Ö - Função de distribuição log-normal (cumulativa);

𝑋 - Variável de entrada;

𝛽 - Coeficiente de dispersão (média da dispersão dos valores em torno da mediana);

𝐷𝑠 - Nivel de dano;

𝑑𝑠- Nível de referência característico de um determinado estado de dano.

O valor de β que o “Hazus” sugere a utilizar em pontes é 0,4.

As medianas serão determinadas para cada estado de dano, e correspondem ao valor da

aceleração, para o período T=1, do espectro de resposta com 5% de amortecimento que provoca o

estado de dano DS.

8.1 Procedimento de cálculo das medianas

Explica-se, em forma de procedimento, a metodologia adoptada para obtenção do valor das

medianas que representam cada estado de dano:

1. Calcular o amortecimento efectivo (𝜁𝑒𝑓𝑓 ) e o respectivo factor de redução (𝜂) para

cada ponto da curva de capacidade que representa cada estado de dano.

2. Fazer passar o espectro de resposta por cada ponto que representa um estado de

dano, esse espectro resultara da multiplicação dos valores de aceleração espectral de

um sismo de referência do EC8 por uma constante.



78

3. Para que o ponto que representa o estado de dano seja o ponto de desempenho, o

amortecimento a inserir no espectro de resposta terá que ser o determinado no ponto

1. Então o espectro de resposta com amortecimento de 5% que tem como ponto de

desempenho o ponto que representa o estado de dano a estudar é o espectro

determinado no ponto 2 dividido pelo factor de redução (𝜂) calculado em 1.

4. Retirar a mediana, isto é o valor da aceleração espectral do espectro de resposta

obtido no ponto 3, que tem amortecimento de 5%, para um período de vibração T=1s.

Decidiu-se utilizar como espectro de referência para o cálculo do valor das medianas o

espectro de resposta do sismo 1.3 do EC8 uma vez que este se revela o sismo mais penalizante

para a estrutura, contudo os valores das medianas são aproximadamente iguais,

independentemente do espectro de resposta considerado.

Apresenta-se em seguida a figura 8.2 que ilustra a metodologia do cálculo das medianas para

um estado de dano genérico (Dano X).

Figura 8-2 Processo de obtenção das medianas para construção das curvas de fragilidade

Apresenta-se em seguida a localização dos pontos que limitam os estados de dano no

espectro de capacidade. Para a análise longitudinal, uma vez que as duas curvas de capacidade

são semelhantes apenas se considerou o espectro de capacidade proveniente do carregamento

modal, por ser o que conduz a resultados mais penalizantes para a estrutura em termos de

deformação.

00,20,40,60,8

11,21,41,6

0 0,1 0,2 0,3 0,4

Sa (

g)

Sd (m)

Processo de obtenção das medianas

Espectro de Capacidade

Dano X (Ponto de desempenho)

Espectro de resposta sismo 1.3 imp. II EC8

Simo dano -amortecimento 60%

Sismo dano -amortecimento 5%

Mediana



79

Figura 8-3 Identificação dos estados de dano no espectro de capacidade, direcção longitudinal

Para a análise transversal, verificou-se que as curvas de capacidade são bastante diferentes

consoante o caso de carregamento efectuado. E quanto a espectros de capacidade, uma vez que

se testou a obtenção de um novo espectro de capacidade com base nas constantes de

transformação da deformada obtida com o carregamento aceleração uniforme, resultaram três

espectros de capacidade possíveis para a estrutura.

Irá realizar-se esta metodologia para todos. Note-se que a estimativa do amortecimento

efectivo (𝜉𝑒𝑓𝑓 ) é independente de ser feita utilizando a curva ou o espectro de capacidade, uma

vez que a relação entre as áreas para o cálculo do amortecimento efectivo é a mesma.

Figura 8-4 Localização dos estados de dano nos espectros de resposta, direcção transversal

0

0,02

0,04

0,06

0,08

0,1

0,12

0,14

0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3

Sa (

g)

Sd (m)

Espectro de Capacidade Análise Longitudinal

Espectro de Capacidade

Dano Ligeiro

Dano Moderado

Dano Extenso

Dano Completo

00,20,40,60,8

11,21,41,61,8

2

0 0,1 0,2 0,3

Sa [g]

Sd[m]

Espectros de capacidade Análise Transversal

Aproximação carregamento A.Uniforme (def. modal)

Aproximação carregamento A.Uniforme (def. A.Uniforme)

Aproximação carregamento Modal (def. modal)

Dano Ligeiro

Dano Moderado

Dano Extenso

Dano Completo



80

Para a direcção transversal o estado de dano ligeiro corresponde ao ponto com deslocamento

igual ao deslocamento de cedência na curva analítica. Os restantes estados de dano têm o mesmo

espaçamento entre si uma vez que devido a um elevado numero de secções criticas existentes

nesta direcção foi difícil estabelecer uma relação entre estados de dano e limites de deformação

nas rótulas.

Nota: Inicialmente questionou-se se o estado de dano deveria ser definido no ponto de

formação da primeira rótula plástica, pois a estrutura poderia permanecer em equilíbrio com uma

rótula plástica formada. Após análise, verificou-se que o sismo que tem como ponto de

desempenho o ponto de formação da primeira rótula plástica será o maior sismo que a estrutura

poderá sofrer, uma vez que este após formar a primeira rótula plástica não terá mais nenhum ponto

de desempenho. Ou por outro lado, os sismos que provocam pontos de desempenho em pontos

com deslocamento superior ao deslocamento necessário para formar a primeira rótula plástica são

menores que o sismo que provoca a primeira rotula plástica. Por isso considerou-se o ponto de

formação da primeira rótula plástica como sendo o ponto que define o estado de dano completo.



81

8.2 Curvas de fragilidade

Efectuando o procedimento acima descrito para todos os estados de danos, obtêm-se os

valores de todas as medianas. Estes valores são representados na tabela 8-1

Dano

Deslocamento Espectral

Amortecimento Efectivo

Factor de

Redução

Sa (T=1s,

5%)


Ligeiro 0,024 24,00% 0,59 0,17

Moderado 0,081 54,00% 0,41 0,48

Extenso 0,161 60,00% 0,39 0,83

Completo 0,228 61,00% 0,39 1,18

Direcção Transversal

Carregamento A.Uniforme (def. Modal)

Ligeiro 0,139 5,00% 1,00 0,89

Moderado 0,167 8,60% 0,86 1,20

Extenso 0,195 13,70% 0,73 1,56

Completo 0,223 17,00% 0,67 1,86

Carregamento A.Uniforme

(def. A.Uniforme)

Ligeiro 0,138 5,00% 1,00 0,70

Moderado 0,166 8,60% 0,86 0,95

Extenso 0,194 13,70% 0,73 1,24

Completo 0,222 17,00% 0,67 1,47

Carregamento Modal

(def. Modal)

Ligeiro 0,159 5,00% 1,00 0,65

Moderado 0,203 10,50% 0,80 1,00

Extenso 0,248 15,50% 0,70 1,31

Completo 0,292 18,50% 0,65 1,58

Tabela 8-1 Síntese de resultados para construção das curvas de fragilidade

No Anexo I representam-se figuras que representam a acção sísmica que provoca cada estado

de dano.

Obtidos os valores das medianas, apresentam-se nas figuras seguintes, figura 8-5, 8-6, 8-7 e

8-8 as curvas de fragilidade determinadas para os espectros de capacidade considerados.



82

Figura 8-5 Curvas de Fragilidade, direcção longitudinal

Figura 8-6 Curvas de fragilidade, direcção transversal, carregamento modal

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3

Pro

bab

ilid

ade

Sa 5%, T= 1s [g]

Curvas de Fragilidade - Direcção Longitudinal

Danos Ligeiros

Danos Moderados

Danos Extensos

Danos Completos

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3

Pro

bab

ilid

ade

Sa 5%, T= 1s [g]

Curvas de Fragilidade - Carregamento Modal

Danos Ligeiros

Danos Moderados

Danos Extensos

Danos Completos



83

Figura 8-7 Curvas de fragilidade, direcção transversal, carregamento a.uniforme deformada modal

Figura 8-8 Curvas de fragilidade, direcção transversal, carregamento e deformada a. Uniforme

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4

Pro

bab

ilid

ade

Sa 5%, T= 1s [g]

Curvas de Fragilidade - Carregamento A. Uniforme -Deformada Modal

Danos Ligeiros

Danos Moderados

Danos Extensos

Danos Completos

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4

Pro

bab

ilid

ade

Sa 5%, T= 1s [g]

Curvas de Fragilidade - Carregamento e Deformada A. Uniforme

Danos Ligeiros

Danos Moderados

Danos Extensos

Danos Completos



84



85

9. Conclusões

9.1 Principais conclusões

Com este trabalho pretendeu-se efectuar um conjunto de análises estáticas não lineares ao

viaduto Padre Cruz. Para se obterem resultados credíveis das análises efectuadas é necessário

efectuar uma adequada modelação da estrutura, por isso foram efectuados um conjunto de

ensaios de medição de frequências ao viaduto em estudo. Assim teve-se a possibilidade de

comparar os resultados das frequências medidas com as frequências do modelo matemático. Este

processo pareceu ser simples e prático e pode ser adoptado para confirmar se um modelo de uma

estrutura já existente é ou não adequado e no caso de não ser o modelo adequado permite saber

onde se devem efectuar alterações para que o modelo computacional possa convergir com a

estrutura real.

Construído o modelo linear introduzem-se no modelo as características não lineares das

secções críticas da estrutura e assim efectuam-se as análises estáticas não lineares desejadas.

Nesta fase do trabalho concluiu-se, tal come esperado, que uma pormenorização de armadura

transversal cuidada aumenta bastante a ductilidade das secções e aumenta também um pouco a

resistência das secções devido ao efeito de confinamento do betão.

Comparando os resultados das análises não lineares efectuadas neste trabalho verifica-se que

a estrutura face às acções horizontais é bastante mais resistente na direcção transversal do que na

direcção longitudinal. Este resultado era esperado uma vez que, na direcção transversal todos os

pilares resistem com o seu eixo de maior inércia e todos estes elementos contribuem para a

resistência da estrutura devido ao modo com o tabuleiro está ligado aos elementos verticais. Na

direcção longitudinal o mesmo não acontece, nesta direcção apenas dois pilares contribuem para a

resistência da ponte (pilar P4 e P5) e estes funcionam segundo o seu eixo de menor inércia. Para

todas as acções sísmicas consideradas a estrutura responde em regime linear na direcção

transversal.

Verifica-se também, que para a direcção transversal, existe uma disparidade nas curvas de

capacidade obtidas através dos dois padrões de carregamento efectuados, Aceleração Uniforme e

Modal. Este facto acontece devido ao carregamento Modal se concentrar mais nas zonas menos

rígidas da estrutura enquanto que o carregamento Aceleração Uniforme concentra-se nas zonas

mais rígidas do viaduto.



86

Pretendeu também desenvolver uma metodologia que permitisse englobar a contribuição de

sistemas de aparelhos de apoio óleo – dinâmicos em análises estáticas não lineares. Nesta parte

salienta-se a grande importância de escolher um ponto de controlo que apresente deslocamentos

semelhantes aos deslocamentos dos êmbolos dos aparelhos óleo – dinâmicos para que os

resultados obtidos sejam coerentes. Verificou-se que a existência de aparelhos de apoio deste tipo

fazem reduzir bastante a severidade das acções sísmicas permitindo assim que a estrutura fique

muito mais folgada até atingir a rotura.

É importante referir que dos dois procedimentos utilizados neste trabalho o ATC40 pareceu

ser o mais adequado na quantificação dos aparelhos de apoio óleo – dinâmicos em análises

estáticas não lineares uma vez que este procedimento contabiliza o efeito dos aparelhos e da

deformação da estrutura da mesma maneira, ciclos de histerese. O método N2, proposto pelo EC8,

apesar de mais simples contabiliza estes efeitos utilizando conceitos diferentes. No método N2 a

quantificação do estado de deformação da estrutura é feita em termos da sua ductilidade e a

quantificação dos aparelhos óleo – dinâmicos é feita através dos ciclos de histerese.

Salienta-se que a estrutura resiste não só para o sismo que foi dimensionada, sismo 2 terreno

tipo II do RSA mas também para um conjunto de acções mais severas, como por exemplo todos os

sismos definidos no EC8 para estruturas com classes de importância II e III que serão a partir do

ano de 2010 as acções regulamentares.

Também importante referir que para todos estes sismos considerados o viaduto Padre Cruz,

mesmo sem o conjunto de aparelhos de apoio óleo – dinâmicos não deverá atingir o colapso mas

ficará muito mais danificado.

No último capitulo do trabalho construíram-se curvas de fragilidade para a estrutura com vista a

prever qualitativamente qual o dano que a estrutura terá quando for solicitada a uma determinada

acção sísmica.



87

9.2 Desenvolvimentos Futuros

Uma das grandes dificuldade associadas á aplicação de análises estáticas não lineares

prende-se com a definição das relações constitutivas das secções criticas. O software utilizado,

SAP2000, apenas permite a introdução das relações constitutivas com base numa curva

construída através de 5 pontos. Seria interessante desenvolver uma metodologia que permitisse

introduzir a relação constitutiva das secções com um número de pontos quanto os desejados de

modo a que não fosse necessário efectuar aproximações ao comportamento não linear das

secções.

Neste trabalho apenas se considerou a frequência de vibração do modo fundamental da

estrutura para quantificar a contribuição dos aparelhos de apoio óleo – dinâmicos. Seria

interessante estudar uma metodologia que permitisse quantificar a alteração de rigidez da estrutura

devido ao estado de deformação da mesma na contribuição dos aparelhos óleo - dinâmicos. Esta

quantificação pode ser feita considerando um valor da frequência de vibração nas expressões que

relacionam o deslocamento com a velocidade, expressões 45 e 46.

Para isso calcula-se uma rigidez equivalente com base no estado de deformação da estrutura.

Esta rigidez equivalente é obtida através do declive da recta azul representada na figura 9-1

Figura 9-1 Rigidez equivalente na curva de capacidade para obtenção do valor da frequência de vibração

Calculada a rigidez equivalente para o deslocamento desejado basta relacionar o valor desta

com a massa da estrutura utilizando a expressão 58 e obtém-se um valor de frequência que tem

em conta o estado de deformação da estrutura.



88

𝑝 = 𝐾

𝑀 (58)

Seria também interessante realizar um conjunto de análises dinâmicas não lineares e

comparar os resultados dessas análises com os resultados obtidos neste trabalho e assim verificar

a validade ou possíveis aperfeiçoamentos da metodologia de quantificação dos aparelhos de apoio

óleo – dinâmicos em análises estáticas não lineares.

Um ponto fundamental para conseguir estabelecer na integra os estados de dano sugeridos

pelo “Hazus” para uma estrutura é considerar a resistência á tracção do betão. Assim através das

relações constitutivas da secção consegue-se identificar os estado de fendilhação nas secções

criticas permitindo relacionar este estado com a descrição de estados de dano para pontes

sugeridas pelo regulamento Americano.



89

10. Referências

Alba, F. G., [2005]: “Método para la Evaluación del Desempeño Sísmico de Marcos Planos”, Dissertação de Mestrado em Estruturas, UNAM, Universidad Nacional de México, Posgrado en Ingeniería.

ATC, [1985]: “ATC13 – Earthquake Damage Evaluation Data for California”, Applied Technology Council,

California Seismic Safety Commission, Federal Emergency Management Agency.

ATC, [1988]: “ATC21 – Rapid Visual Screening of Buildings for Potential Seismic Hazard: A Handbook”, Applied Technology Council, California Seismic Safety Commission, Federal Emergency Management Agency (FEMA 154).

ATC, [1996]: “ATC40 - Seismic Evaluation and Retrofit of Concrete Buildings, Volume 1, Applied Technology Council, California Seismic Safety Commission, CA 94065. Bhatt, C. [2005]: “Dimensionamento e Avaliação Sísmica de Estruturas de Edifícios de Betão Armado segundo o Eurocódigo 8”, Trabalho Final de Curso da Licenciatura em Engenharia Civil do Instituto Superior Técnico, Departamento de Engenharia Civil do Instituto Superior Técnico. Bowles, Joseph E. [1996]: “Foundation Analysis and Design”, Fifth Edition, the McGraw-Hill Companies, Inc.

CEN, [2001]: “Eurocode 1: Actions on Structures – Part 1-1: General Actions – Densities, self-weight, imposed loads for buildins”, Ref. Nº prEN 1991-1-1:2001 E, Bruxelas.

CEN, [2001]: “Eurocode 0: Bases of Structural Design”, Ref. Nº prEN 1990-1-1:2001 E, Bruxelas. CEN, [2003]: “Eurocode 2: Design of concrete structures – Part 1: General rules- Structural fire design”,

Ref. Nº prEN 1992-1-2:2003 E, Bruxelas.

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1998-2:2005 E, Bruxelas. Chopra, A. K., [1995]: “Dynamics of structures – Theory and applications to earthquake engineering”,

Prentice Hall, Inc., Englewood Cliffs, New Jersey. Cruz, S.; Pinto, A.; Luís, R.; Carvalho, B., [2008]: “Projecto de Execução IP7 – Eixo Viário Norte/Sul –

Viaduto do Eixo Viário Norte/Sul Sobre a Avenida Padre Cruz”, JSJ Estruturas, Lisboa, Portugal.

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Manual”, Department of Homeland Security Emergency Preparedness and Response Directorate. Filipe, T. M. A., [2008]: “Avaliação e Reforço Sísmico de Edifícios de Betão Armado – Aplicação a um

edifício da Rede de Telecomunicações do Algarve”, Dissertação para obtenção do Grau de Mestre em Engenharia Civil, Instituto Superior Técnico.



90

GT do EC8, [2007]: “ANEXO NACIONAL NA, NP EN 1998-1 – Versão de 03 de Dezembro de 2007, obtida

após reunião do Grupo de trabalho do EC8 de 2007-11-06”, Grupo de Trabalho do EC8. Guerreiro, L., [2003]: “Caracterização, Vulnerabilidade e Estabelecimento de Danos para o Planeamento

de Emergência sobre o Risco Sísmico na Área Metropolitana de Lisboa e nos Municípios de Benavente, Salvaterra de Magos, Cartaxo, Alenquer, Sobral de Monte Agraço, Arruda dos Vinhos e Torres Vedras - Rede Rodoviária - Relatório Final”, Relatório IC/IST EP 41/03.

Lopes, M. S. (coordenador), [2008]: “Sismos e Edifícios”, primeira edição, Edições Orion. Mander, J. B., [1988]: “Theoretical Stress-Strain Model for Confined Concrete”, Journal of Structural

Engineering, Vol. 114, ASCE. Oliveira, C. S., [2004]: “Actualização das bases-de-dados sobre frequências próprias de estruturas a

partir de medições expeditas in-situ” , 5º Encontro Nacional de Engenharia Sísmica, Universidade do Minho. Park, R.; Priestley, M. J. N. [1987]: “Strength and Ductility of Concrete Bridges Columns Under Seismic

Loading”, ACI Structural Journal, v.84, Nº1. Pipa, M. J. A. L., [1993]: “Ductilidade de Elementos de Betão Armado Sujeitos a Acções Cíclicas –

Influencia das Características Mecânicas das Armaduras”, Tese de Doutoramento, Instituto Superior Técnico, Laboratório Nacional de Engenharia Civil.

Priestley, M.J.N.; Calvi, G.M.; Kowalsky, M. J., [2007]: “Displacement-Based Seismic Design of

Structures”, Istituto Universitario di Studi Superior di Pavia, IUSS Press. REBAP, [1984]: “Regulamento de Estruturas de Betão Armado e Pré-Esforçado”, Imprensa Nacional da

casa da Moeda, Portugal. RSA, [2005]: “Regulamento de Segurança e Acções para Estruturas de Edifícios e Pontes”, Decreto-Lei nº

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Dissertação para obtenção do Grau de Mestre em Engenharia Civil, Departamento de Engenharia Civil do Instituto Superior Técnico.

Referências na Internet: Site 1: http://www.civil.ist.utl.pt/~luisg/textos/AENL_6_03.pdf. (visto em 14/04/2009) - Apresentação da professora Rita Bento: “Análises Estáticas não Lineares – Eurocódigo 8”, Instituto Superior Técnico, Universidade Técnica de Lisboa, Portugal.

Site 2: http://www.civil.ist.utl.pt/~luisg/textos/isolamento_mest.pdf. (visto em 14/04/2009) - Apresentação do professor Luís Guerreiro: “Sistemas de Dissipação de Energia”, Instituto Superior Técnico, Universidade Técnica de Lisboa, Portugal.

http://www.civil.ist.utl.pt/~luisg/textos/AENL_6_03.pdf

http://www.civil.ist.utl.pt/~luisg/textos/isolamento_mest.pdf

Anexos

i

A. Representação geral do Viaduto Padre Cruz

Anexos

ii

Anexos

iii

B. Frequências “in-situ”

B-1 Ensaio M1, registo 1, direcção vertical.



0

0,02

0,04

0,06

0,08

0,1

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6 6,5 7 7,5 8

Am

plit

ud

e [

2m

g]

Frequência [Hz]

M1 - Registo 1 Vertical

0

0,02

0,04

0,06

0,08

0,1

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6 6,5 7 7,5 8

Am

plit

ud

e [

2m

g]

Frequência [Hz]


0

0,01

0,02

0,03

0,04

0,05

0,06

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6 6,5 7 7,5 8

Am

plit

ud

e [

2m

g]

Frequência [Hz]


Anexos

iv


B-5 Ensaio M1, registo 1, direcção longitudinal.


0

0,02

0,04

0,06

0,08

0,1

0,12

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6 6,5 7 7,5 8

Am

plit

ud

e [

2m

g]

Frequência [Hz]


0

0,002

0,004

0,006

0,008

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6 6,5 7 7,5 8

Am

plit

ud

e [

2m

g]

Frequência [Hz]

M1 - Registo 1 Longitudinal

0

0,002

0,004

0,006

0,008

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6 6,5 7 7,5 8

Am

plit

ud

e [

2m

g]

Frequência [Hz]


Anexos

v



B-9 Ensaio M1, registo 1, direcção transversal.

0

0,002

0,004

0,006

0,008

0,01

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6 6,5 7 7,5 8

Am

plit

ud

e [

2m

g]

Frequência [Hz]


-2,08E-17

0,002

0,004

0,006

0,008

0,01

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6 6,5 7 7,5 8

Am

plit

ud

e [

2m

g]

Frequência [Hz]


0

0,005

0,01

0,015

0,02

0,025

0,03

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6 6,5 7 7,5 8

Am

plit

ud

e [

2m

g]

Frequência [Hz]

M1 - Registo 1 Transversal

Anexos

vi




0

0,005

0,01

0,015

0,02

0,025

0,03

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6 6,5 7 7,5 8

Am

plit

ud

e [

2m

g]

Frequência [Hz]


0

0,005

0,01

0,015

0,02

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6 6,5 7 7,5 8

Am

plit

ud

e [

2m

g]

Frequência [Hz]


0

0,01

0,02

0,03

0,04

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6 6,5 7 7,5 8

Am

plit

ud

e [

2m

g]

Frequência [Hz]


Anexos

vii




0,00E+00

2,00E-04

4,00E-04

6,00E-04

8,00E-04

1,00E-03

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6 6,5 7 7,5 8

Am

plit

ud

e [

2m

g]

Frequência [Hz]


0,00E+00

2,00E-04

4,00E-04

6,00E-04

8,00E-04

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6 6,5 7 7,5 8

Am

plit

ud

e [

2m

g]

Frequência [Hz]


0,00E+00

1,00E-04

2,00E-04

3,00E-04

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6 6,5 7 7,5 8

Am

plit

ud

e [

2m

g]

Frequência [Hz]


Anexos

viii




0,00E+00

1,00E-04

2,00E-04

3,00E-04

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6 6,5 7 7,5 8

Am

plit

ud

e [

2m

g]

Frequência [Hz]


-2E-05

2,2E-18

2E-05

4E-05

6E-05

8E-05

0,0001

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6 6,5 7 7,5 8

Am

plit

ud

e [

2m

g]

Frequência [Hz]


0,00E+00

5,00E-05

1,00E-04

1,50E-04

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6 6,5 7 7,5 8

Am

plit

ud

e [

2m

g]

Frequência [Hz]


Anexos

ix




-1,00E-05

8,20E-19

1,00E-05

2,00E-05

3,00E-05

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6 6,5 7 7,5 8

Am

plit

ud

e [

2m

g]

Frequência [Hz]


-1,00E-05

8,20E-19

1,00E-05

2,00E-05

3,00E-05

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6 6,5 7 7,5 8

Am

plit

ud

e [

2m

g]

Frequência [Hz]


0

0,00005

0,0001

0,00015

0,0002

0,00025

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6 6,5 7 7,5 8

Am

plit

ud

e [

2m

g]

Frequência [Hz]


Anexos

x




0,00E+00

1,00E-04

2,00E-04

3,00E-04

4,00E-04

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6 6,5 7 7,5 8

Am

plit

ud

e [

2m

g]

Frequência [Hz]


0,00E+00

2,00E-05

4,00E-05

6,00E-05

8,00E-05

1,00E-04

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6 6,5 7 7,5 8

Am

plit

ud

e [

2m

g]

Frequência [Hz]


0,00E+00

2,00E-05

4,00E-05

6,00E-05

8,00E-05

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6 6,5 7 7,5 8

Am

plit

ud

e [

2m

g]

Frequência [Hz]


Anexos

xi




0,00E+00

5,00E-05

1,00E-04

1,50E-04

2,00E-04

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6 6,5 7 7,5 8

Am

plit

ud

e [

2m

g]

Frequência [Hz]


0

0,0001

0,0002

0,0003

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6 6,5 7 7,5 8

Am

plit

ud

e [

2m

g]

Frequência [Hz]


0,00E+00

1,00E-04

2,00E-04

3,00E-04

4,00E-04

5,00E-04

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6 6,5 7 7,5 8

Am

plit

ud

e [

2m

g]

Frequência [Hz]


Anexos

xii




0,00E+00

1,00E-04

2,00E-04

3,00E-04

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6 6,5 7 7,5 8

Am

plit

ud

e [

2m

g]

Frequência [Hz]


-1,00E-05

5,30E-19

1,00E-05

2,00E-05

3,00E-05

4,00E-05

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6 6,5 7 7,5 8

Am

plit

ud

e [

2m

g]

Frequência [Hz]


-1,00E-05

8,20E-19

1,00E-05

2,00E-05

3,00E-05

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6 6,5 7 7,5 8

Am

plit

ud

e [

2m

g]

Frequência [Hz]


Anexos

xiii




-1,00E-05

5,30E-19

1,00E-05

2,00E-05

3,00E-05

4,00E-05

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6 6,5 7 7,5 8

Am

plit

ud

e [

2m

g]

Frequência [Hz]


-1,00E-05

8,20E-19

1,00E-05

2,00E-05

3,00E-05

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6 6,5 7 7,5 8

Am

plit

ud

e [

2m

g]

Frequência [Hz]


-1,00E-05

5,30E-19

1,00E-05

2,00E-05

3,00E-05

4,00E-05

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6 6,5 7 7,5 8

Am

plit

ud

e [

2m

g]

Frequência [Hz]


Anexos

xiv




0,00E+005,00E-061,00E-051,50E-052,00E-052,50E-053,00E-05

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6 6,5 7 7,5 8

Am

plit

ud

e [

2m

g]

Frequência [Hz]


-2,00E-05

1,80E-18

2,00E-05

4,00E-05

6,00E-05

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6 6,5 7 7,5 8

Am

plit

ud

e [

2m

g]

Frequência [Hz]


-1,00E-05

5,30E-19

1,00E-05

2,00E-05

3,00E-05

4,00E-05

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6 6,5 7 7,5 8

Am

plit

ud

e [

2m

g]

Frequência [Hz]


Anexos

xv

C. Propriedades do Modelo Linear

i. Tabuleiro

Propriedades das secções gerais utilizadas na modelação do tabuleiro

Nome Material Forma Área J I33 I22

m

2 m

4 m

4 m

4

S0A C40/50 Geral 34,7857 115,2172 128,5555 1490

S0B C40/50 Geral 34,1223 115,2172 114,939 1490

S10A C40/50 Geral 19,0796 26,4852 17,5473 1337

S10B C40/50 Geral 18,7065 26,4852 15,1385 1337

S11A-G C40/50 Geral 18,693 26,4918 16,9427 1332

S11A-VG C40/50 Geral 19,0478 23,52 17,2337 1000

S11B-G C40/50 Geral 18,2756 26,4918 13,9842 1332

S11B-VG C40/50 Geral 18,59973 25,36 14,19625 1000

S1A C40/50 Geral 31,6844 99,9739 101,2852 1000

S1B C40/50 Geral 31,11372 99,9739 91,3546 1450

S2A C40/50 Geral 28,8719 86,5505 79,5023 1490

S2B C40/50 Geral 28,3735 86,5505 72,258 1420

S3A C40/50 Geral 26,3508 74,8257 62,207 1398

S3B C40/50 Geral 25,9067 74,8257 56,8824 1398

S4A C40/50 Geral 24,1219 64,0509 48,59 1382

S4B C40/50 Geral 23,7166 64,0509 44,5968 1382

S5A C40/50 Geral 23,4674 35,1403 39,3299 1371

S5B C40/50 Geral 23,1508 35,1403 36,1075 1371

S6A C40/50 Geral 22,2247 32,2679 31,582 1362

S6B C40/50 Geral 21,916 32,2679 28,9203 1362

S7A C40/50 Geral 21,2295 29,9172 25,8825 1355

S7B C40/50 Geral 20,9152 29,9172 23,5357 1355

S8A C40/50 Geral 19,7236 28,1029 21,2862 1349

S8B C40/50 Geral 19,4148 28,1029 19,156 1349

S9A C40/50 Geral 19,2728 26,8933 18,7746 1343

S9B C40/50 Geral 18,9475 26,8933 16,5958 1343

SAPOIOA C40/50 Geral 24,7391 35 24,0441 1380

SAPOIOB C40/50 Geral 24,0756 35 19,4757 1373,09

SJU-APOIO-A C40/50 Geral 23,3774 38,96 23,7239 1000

SJU-APOIO-B C40/50 Geral 22,8678 44,33 19,2678 1000

C-1 Propriedades das secções gerais utilizadas na modelação do tabuleiro.

Anexos

xvi

Propriedades das secções variáveis para a modelação do tabuleiro

Nome Secção inicial

Secção final

Variação EI33

Variação EI22

Ad_Ax_01 S1A S0A Cúbica Linear


Ad_Ax_11G10 S11A-G S10A Cúbica Linear









Ad_A_01 S0A S1A Cúbica Linear

Ad_A_1011 S10A S11A-G Cúbica Linear










Ad_Bx_01 S1B S0B Cúbica Linear


Ad_Bx_11G10 S11B-G S10B Cúbica Linear









Ad_B_01 S0B S1B Cúbica Linear

Ad_B_1011 S10B S11B-G Cúbica Linear










SvarApA SAPOIOA S11A-G Cúbica Linear

SvarApAx S11A-G SAPOIOA Cúbica Linear

SvarApB SAPOIOB S11B-G Cúbica Linear

SvarApBx S11B-G SAPOIOB Cúbica Linear

C-2 Propriedades das secções de Inércia variável para a modelação do tabuleiro.

Anexos

xvii

ii. Pilares

Propriedades das secções gerais utilizadas na modelação dos pilares

Nome Material Forma Área J I33 I22

m

2 m

4 m

4 m

4

MBASE-P1 C30/37 Geral 11,9587 0,001 75,8113 2,9267

MBASE-P2-R C40/50 Geral 21,0899 0,001 110,1021 14,3678

MBASE-P3-R C40/50 Geral 18,0759 0,001 77,2546 10,7698

MBASE-P4-R C40/50 Geral 16,9601 0,001 66,7215 9,5558

MBASE-P5-R C40/50 Geral 16,1688 0,001 59,7861 8,7304

MBASE-P6 C30/37 Geral 8,6662 0,001 37,8495 1,4742

MBASE-P7 C30/37 Geral 9,5574 0,001 46,9686 1,8199

MBASE-P8 C30/37 Geral 9,8805 0,001 50,5159 1,953

MBASE-P9 C30/37 Geral 11,7304 0,001 73,2915 2,7949

MBASE-P10 C30/37 Geral 13,5361 0,001 99,6133 3,7472

MTOPO-PILAR C30/37 Geral 16,7913 0,001 157,5302 5,7841

MTOPO-PILAR-R C40/50 Geral 25,419 0,001 169,4398 20,297

C-3 Propriedades das secções gerais para a modelação dos pilares.

Propriedades das secções variáveis para a modelação dos pilares

Nome Secção inicial

Secção final Variação EI33 Variação EI22

MP1 MBASE-P1 MTOPO-PILAR Cúbica Cúbica

MP2-R MBASE-P2-R MTOPO-PILAR-R Cúbica Cúbica









C-4 Propriedades das secções de Inércia variavel para a modelação dos pilares.

Anexos

xviii

iii. Localização das secções no Tabuleiro

Anexos

xix

iv. Fundações

C-1 Ábacos de Dobry e Gazetas para determinação do coeficiente dinâmico.

𝑉𝑠 = 𝐺

𝜌 ; 𝜌 =

21𝐾𝑁

𝑚3;

Pilar L

[m] B

[m] B/L

h [m]

V [m

3]

M [Ton]

I0x [kNm

2]

I0y [kNm

2]

I0z [kNm

2]

S0x S0y St ao nrx,nry nrt

1 13,5 7 0,52 3,7 350 892 4660 14564 17189 2,72 3,2 3,81 0,44 0,91 0,94

2 15 9 0,60 4,2 567 1446 11890 29247 36884 2,82 3,2 3,80 0,57 0,87 0,92

3 15 10,5 0,70 4,7 740 1888 20826 38884 52757 2,93 3,2 3,80 0,67 0,85 0,91

4 15 13,5 0,90 5,2 1053 2686 46850 56420 91164 3,12 3,2 3,80 0,86 0,80 0,88

5 18 12 0,67 5,2 1123 2865 40840 83820 111747 2,89 3,2 3,80 0,76 0,82 0,89

6 12,5 7,5 0,60 3,7 347 885 5157 12531 15670 2,82 3,2 3,80 0,48 0,90 0,94

7 12,5 7,5 0,60 3,7 347 885 5157 12531 15670 2,82 3,2 3,80 0,48 0,90 0,94

8 13,5 7,5 0,56 4,2 425 1085 6680 18070 21561 2,76 3,2 3,80 0,48 0,90 0,94

9 13,5 7 0,52 3,7 350 892 4660 14564 17189 2,72 3,2 3,81 0,44 0,91 0,94

10 13,5 7 0,52 3,7 350 892 4660 14564 17189 2,72 3,2 3,81 0,44 0,91 0,94

C-5 Grandezas necessárias para o cálculo da rigidez da fundação.

Pilar K0x

[kNm/rad] K0y

[kNm/rad] Kt

[kNm/rad]

1 56797170 133512007 140373148

2 110368481 216783921 243109901

3 163136881 260570463 312617054

4 281639187 323767929 455288270

5 262213567 449623858 539658238

6 60714105 118159076 130048451

7 60714105 118159076 130048451

8 73711987 155486314 165308488

9 56797170 133512007 140373148

10 56797170 133512007 140373148

Anexos

xx

C-6 Valores da rigidez de rotação.

𝐴 =

cos(𝑥;𝑥`) cos(𝑥; 𝑦`) cos(𝑥; 𝑧`)cos(𝑦; 𝑥`) cos(𝑦;𝑦`) cos(𝑦; 𝑧`)cos(𝑧; 𝑥`) cos(𝑧; 𝑦`) cos(𝑧; 𝑧`)

𝐴 𝑃3 =

cos(30º) cos(120º) cos(90º)cos(−60º) cos(30º) cos(90º)cos(90º) cos(90º) cos(0º)

𝐴 𝑃4 =

cos(−30º) cos(60º) cos(90º)cos(−120º) cos(−30º) cos(90º)


𝐴 𝑃8 =

cos(30,33º) cos(120,33º) cos(90º)cos(−59,67º) cos(30,33º) cos(90º)


𝐾´ =

Kx`x` Kx`y` Kx`z`

− Ky`y` Ky`z`

− − Kz`z`

𝐾´ 𝑃3 = 187495277 42189979 0

− 236212068 0− − 312617054

𝐾´ 𝑃4 = 292171373 −18242280 0

− 313235744 0− − 455288270

𝐾´ 𝑃8 = 94564802 35642461 0

− 134633499 0− − 165308488

Anexos

xxi

D. Modos de Vibração

D-1 Deformada do 2º modo de vibração.



Anexos

xxii

E. Características não lineares

i. Relação constitutiva do betão

Pilares Base

Pilar Betão fcm

[MPa] Aço

fym [MPa]

s [m]

Wi2/6

Ac [m

2]

Am [m

2]

Ae [m

2]

Avarlong [m

2]

ρcc Acc [m

2]

Ke ρx ρy f`x

[MPa] f`y

[MPa] f`l

[MPa] f`cc

[MPa]

1 C30/37 38 A500 585 0,15 1,164 11,65 10,21 9,19 0,10 0,009 11,55 0,80 0,003 0,004 1,28 1,83 1,53 47,67

2 C40/50 48 A500 585 0,1 1,365 20,37 19,39 18,09 0,21 0,010 20,16 0,90 0,003 0,007 1,83 3,45 2,51 63,51

3 C40/50 48 A500 585 0,1 1,194 17,40 16,51 15,37 0,21 0,012 17,20 0,89 0,004 0,007 2,00 3,68 2,72 64,62

4 C40/50 48 A500 585 0,1 1,247 16,31 15,45 14,26 0,38 0,023 15,94 0,90 0,003 0,007 1,74 3,79 2,57 63,80

5 C40/50 48 A500 585 0,1 1,183 15,54 14,69 13,57 0,38 0,024 15,16 0,90 0,003 0,007 1,79 3,87 2,63 64,16

6 C30/37 38 A500 585 0,15 1 8,08 6,89 6,03 0,13 0,016 7,95 0,76 0,002 0,006 1,09 2,84 1,76 49,00

7 C30/37 38 A500 585 0,15 1,096 8,94 7,68 6,74 0,13 0,015 8,81 0,77 0,002 0,006 1,04 2,74 1,69 48,59

8 C30/37 38 A500 585 0,15 1,135 9,25 7,97 6,99 0,13 0,014 9,12 0,77 0,002 0,006 1,02 2,70 1,66 48,45

9 C30/37 38 A500 585 0,15 1,12 11,13 9,73 8,75 0,10 0,009 11,03 0,79 0,003 0,004 1,31 1,85 1,56 47,84

10 C30/37 38 A500 585 0,15 1,191 12,93 11,41 10,36 0,12 0,009 12,82 0,81 0,003 0,004 1,39 1,77 1,57 47,91

E-1 Valores para o cálculo de f`cc, secções da base dos pilares.

Anexos

xxiii

Pilares Topo

Pilar Betão fcm

[MPa] Aço

fym [MPa]

s [m]

Wi2/6

Ac [m

2]

Am [m

2]

Ae [m

2]

Avarlong [m

2]

ρcc Acc [m

2]

Ke ρx ρy f`x

[MPa] f`y

[MPa] f`l

[MPa] f`cc

[MPa]

P1 P9 P10

C30/37 38 A500 585 0,15 1,347 15,66 13,96 12,76 0,12 0,008 15,54 0,82 0,003 0,005 1,30 2,27 1,72 48,78

P2 P3 C40/50 48 A500 585 0,1 1,517 24,07 22,94 21,49 0,25 0,011 23,82 0,90 0,004 0,003 1,85 1,59 1,71 58,95

P4 P5 C40/50 48 A500 585 0,1 1,517 24,07 22,94 21,49 0,26 0,011 23,81 0,90 0,004 0,003 1,85 1,59 1,71 58,96

P6 P7 P8 C30/37 38 A500 585 0,15 1,347 15,66 13,96 12,76 0,22 0,014 15,45 0,83 0,003 0,005 1,31 2,29 1,73 48,84

E-2 Valores para o cálculo de f`cc, secções de topo dos pilares.

E-3 Parâmetros que definem a relação constitutiva do betão, secções base

Pilares Base

Pilar f`cc eco ecc Esec Ec r ecu,c

1 47,67 0,002 0,0045 10488 32837 1,47 0,0149

2 63,51 0,002 0,0052 12140 35220 1,53 0,0164

3 64,62 0,002 0,0055 11829 35220 1,51 0,0171

4 63,80 0,002 0,0053 12056 35220 1,52 0,0169

5 64,16 0,002 0,0054 11954 35220 1,51 0,0171

6 49,00 0,002 0,0049 10012 32837 1,44 0,0181

7 48,59 0,002 0,0048 10151 32837 1,45 0,0176

8 48,45 0,002 0,0047 10200 32837 1,45 0,0174

9 47,84 0,002 0,0046 10425 32837 1,47 0,0151

10 47,91 0,002 0,0046 10396 32837 1,46 0,0149

Pilares Topo

Pilar f`cc eco ecc Esec Ec r ecu,c

P1 P9 P10

48,78 0,002 0,0048 10084 32837 1,44 0,0159

P2 P3 58,95 0,002 0,0043 13768 35220 1,64 0,0126

P4 P5 58,96 0,002 0,0043 13766 35220 1,64 0,0126

P6 P7 P8 48,84 0,002 0,0049 10064 32837 1,44 0,0159

E-4 Parâmetros que definem a relação constitutiva do betão, secções de topo.

Anexos

xxi

ii. Relação constitutiva do aço

fym [Mpa] E [GPa] fu [Mpa] εsu εsh Esh [Mpa] p

585 200 676 0,0953 0,0139 3472 3,111

E-5 Parâmetros que definem a relação constitutiva do aço.

iii. Relação constitutiva das secções críticas

Secções de base dos pilares

E-1 Relação constitutiva, secção base de P1, direcção transversal.


0

100000

200000

300000

400000

0,000 0,002 0,004 0,006 0,008 0,010 0,012 0,014

Mo

me

nto

(KN

m)

Curvatura (m-1)

Momento-Curvatura P1 Base (transversal)

Curva Analitica

Idealização Bilinear

0

200000

400000

600000

800000

0,000 0,002 0,004 0,006 0,008 0,010 0,012 0,014 0,016

Mo

me

nto

(KN

m)

Curvatura (m-1)


Curva Analitica


Anexos

xxii





0

200000

400000

600000

800000

0,000 0,002 0,004 0,006 0,008 0,010 0,012 0,014 0,016

Mo

me

nto

(KN

m)

Curvatura (m-1)


Curva Analitica


0

200000

400000

600000

800000

1000000

0,000 0,002 0,004 0,006 0,008 0,010 0,012 0,014

Mo

me

nto

(KN

m)

Curvatura (m-1)


Curva Analitica


0

200000

400000

600000

800000

1000000

0,000 0,002 0,004 0,006 0,008 0,010 0,012 0,014

Mo

me

nto

(KN

m)

Curvatura (m-1)


Curva Analitica


0

100000

200000

300000

400000

0,000 0,002 0,004 0,006 0,008 0,010 0,012 0,014 0,016

Mo

me

nto

(KN

m)

Curvatura (m-1)


Curva Analitica


Anexos

xxiii





0

100000

200000

300000

400000

0,000 0,002 0,004 0,006 0,008 0,010 0,012 0,014

Mo

me

nto

(KN

m)

Curvatura (m-1)


Curva Analitica


0

100000

200000

300000

400000

0,000 0,002 0,004 0,006 0,008 0,010 0,012 0,014

Mo

me

nto

(KN

m)

Curvatura (m-1)


Curva Analitica


0

100000

200000

300000

400000

0,000 0,002 0,004 0,006 0,008 0,010 0,012 0,014

Mo

me

nto

(KN

m)

Curvatura (m-1)


Curva Analitica


0

100000

200000

300000

400000

500000

0,000 0,002 0,004 0,006 0,008 0,010 0,012

Mo

me

nto

(KN

m)

Curvatura (m-1)


Curva Analitica


Anexos

xxiv

E-11 Relação constitutiva, secção base de P4, direcção longitudinal.

E-12 Relação constitutiva, secção base de P5, direcção longitudinal.

Secções de topo dos pilares

E-13 Relação constitutiva, secção topo de P1, direcção transversal.

0

100000

200000

300000

400000

0,000 0,002 0,004 0,006 0,008 0,010 0,012 0,014 0,016 0,018 0,020

Mo

me

nto

(KN

m)

Curvatura (m-1)

Momento-Curvatura P4 Base (longitudinal)

Curva Analitica


0

100000

200000

300000

400000

0,000 0,002 0,004 0,006 0,008 0,010 0,012 0,014 0,016 0,018 0,020

Mo

me

nto

(KN

m)

Curvatura (m-1)

Momento-Curvatura P5 Base (longitudinal)

Curva Analitica


0

200000

400000

600000

0,000 0,002 0,004 0,006 0,008 0,010 0,012 0,014

Mo

me

nto

(KN

m)

Curvatura (m-1)

Momento-Curvatura P1 Topo (transversal)

Curva Analitica


Anexos

xxv




0

200000

400000

600000

800000

1000000

0,000 0,002 0,004 0,006 0,008 0,010

Mo

me

nto

(KN

m)

Curvatura (m-1)


Curva Analitica


0

200000

400000

600000

800000

1000000

0,000 0,002 0,004 0,006 0,008 0,010

Mo

me

nto

(KN

m)

Curvatura (m-1)


Curva Analitica


0

200000

400000

600000

800000

1000000

0,000 0,002 0,004 0,006 0,008 0,010

Mo

me

nto

(KN

m)

Curvatura (m-1)


Curva Analitica


Anexos

xxvi





0

200000

400000

600000

800000

1000000

0,000 0,002 0,004 0,006 0,008 0,010

Mo

me

nto

(KN

m)

Curvatura (m-1)


Curva Analitica


0

200000

400000

600000

800000

0,000 0,002 0,004 0,006 0,008 0,010 0,012

Mo

me

nto

(KN

m)

Curvatura (m-1)


Curva Analitica


0

200000

400000

600000

800000

0,000 0,002 0,004 0,006 0,008 0,010 0,012

Mo

me

nto

(KN

m)

Curvatura (m-1)


Curva Analitica


0

200000

400000

600000

800000

0,000 0,002 0,004 0,006 0,008 0,010 0,012

Mo

me

nto

(KN

m)

Curvatura (m-1)


Curva Analitica


Anexos

xxvii



Comprimento das rótulas plásticas

Pilar 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Aço A500NR

L [m]

7,40 6,60 9,00 9,90 10,50 11,50 10,30 9,10 8,00 6,00

fym [MPa]

585

Topo Lp [m]

0,68 0,66 0,73 0,76 0,78 0,81 0,77 0,74 0,70 0,64

fu [MPa]

676

Topo LP=2Lsp

[m] 0,91 0,91 0,91 0,91 0,91 0,91 0,91 0,91 0,91 0,91

fye [MPa]

644

Base LP=2Lsp

[m] 0,91 0,91 0,91 0,91 0,91 0,91 0,91 0,91 0,91 0,91

Diâmetro [m]

0,032

k < 0,8 0,03

Lsp [m]

0,45

2Lsp [m]

0,91

E-6 Comprimento das rótulas plásticas.

0

200000

400000

600000

0,000 0,002 0,004 0,006 0,008 0,010 0,012 0,014

Mo

me

nto

(KN

m)

Curvatura (m-1)


Curva Analitica


0

200000

400000

600000

0,000 0,002 0,004 0,006 0,008 0,010 0,012 0,014

Mo

me

nto

(KN

m)

Curvatura (m-1)


Curva Analitica


Anexos

xxviii

F. Constantes de transformação α1 e α2

Nas tabelas seguintes apresentam-se os somatórios necessários para o cálculo das

constantes de transformação. No Anexo em CD apresentam-se os valores das grandezas para

todos os nós.

∑wi/g ∑(wi/g)x0i ∑((wi/g)x(0i)2) α1 PF α2

56150,34 46656,02 41689,78 0,93 1,12 1,12

F-1 Parâmetros para o calculo das constantes de transformação direcção longitudinal.


56057,89 18590,63 12783,20 0,48 1,45 1,45

F-2 Parâmetros para o cálculo das constantes de transformação, direcção transversal com base na deformada do modo fundamental.


56057,89 29453,44 20150,64 0,77 1,46 1,46

F-3 Parâmetros para o cálculo das constantes de transformação, direcção transversal com base na deformada do padrão de carregamento A. Uniforme.

Anexos

xxix

G. Alguns ciclos de histerese para cálculo do amortecimento

(utilizados na metodologia ATC40).

i. Padrão de carregamento Modal

G-1 Ciclos de histerese, dpc=0,022m, carregamento modal.


-100000

-50000

0

50000

100000

-0,03 -0,02 -0,01 0 0,01 0,02 0,03

Forç

a (K

N)

Deslocamento (m)

Amortecimento sismo 2.3 II(dpc=0,022m)

dissipador

Estrutura

dissipador + Estrutura

Rectangulo envolvente

-100000

-50000

0

50000

100000

-0,04 -0,02 0 0,02 0,04

Forç

a (K

N)

Deslocamento (m)

Amortecimento sismo 2.3 III(dpc=0,031m)

dissipador

Estrutura


Rectangulo Envolvente

Anexos

xxx




-100000

-50000

0

50000

100000

-0,06 -0,04 -0,02 0 0,02 0,04 0,06

Forç

a (K

N)

Deslocamento (m)


dissipador

Estrutura



-100000

-50000

0

50000

100000

-0,1 -0,05 0 0,05 0,1

Forç

a (K

N)

Deslocamento (m)


dissipador

Estrutura



-100000

-50000

0

50000

100000

-0,04 -0,02 0 0,02 0,04

Forç

a (K

N)

Deslocamento (m)

Amortecimento sismo 2 RSA tII(dpc=0,034m)

dissipador


Estrutura


Anexos

xxxi

ii. Padrão de carregamento A. Uniforme.

G-6 Ciclos de histerese, dpc=0,021m, carregamento A. Uniforme.



-100000

-50000

0

50000

100000

-0,03 -0,02 -0,01 0 0,01 0,02 0,03Forç

a (K

N)

Deslocamento (m)


dissipador

Estrutura



-100000

-50000

0

50000

100000

-0,04 -0,02 0 0,02 0,04

Forç

a(K

N)

Deslocamento (m)


dissipador

Estrutura



-100000

-50000

0

50000

100000

-0,06 -0,04 -0,02 0 0,02 0,04 0,06Forç

a (K

N)

Deslocamento (m)


dissipador

Estrutura



Anexos

xxxii



-100000

-50000

0

50000

100000

-0,1 -0,05 0 0,05 0,1Forç

a (K

N)

Deslocamento (m)


dissipador

Estrutura



-100000

-50000

0

50000

100000

-0,04 -0,02 0 0,02 0,04Forç

a (K

N)

Deslocamento (m)

Amortecimento sismo 2 RSA tII(dpc=0,031m)

dissipador

Estrutura



Anexos

xxxiii

H. Pontos de desempenho direcção longitudinal, método N2 do

EC8

i. Padrão de carregamento Modal

H-1 Ponto de desempenho sismo 2.3 imp II N2

H-2 Ponto de desempenho sismo 2.3 imp III N2

0

0,1

0,2

0,3

0,4

-2,78E-17 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05

Sa [

g]

Sd [m]

Ponto de Desempenho Sismo 2.3 imp II (ζ=27%)

Espectro de Resposta sismo 2.3 imp II

Idealização Espectro de Capacidade Modal

Espectro de Capacidade Analitico

Ponto de Desempenho

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06

Sa [

g]

Sd [m]

Ponto de Desempenho Sismo 2.3 Imp III (ζ=23%)

Espectro de Resposta sismo 2.3 impIII


Espectro de Capacidade Modal Analitico

Ponto de Desempenho

Anexos

xxxiv

H-3 Ponto de desempenho sismo 1.3 imp II N2.


ii. Padrão de carregamento A. Uniforme.

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

-5,55E-17 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1

Sa [

g]

Sd [m]

Ponto de Desempenho Sismo 1.3 Imp II (ζ=23%)




Ponto de Desempenho

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25

Sa [

g]

Sd [m]

Ponto de Desempenho Sismo 1.3 imp III (ζ=23%)

Espectro de Resposta sismo 1.3 imp III



Ponto de Desempenho

Anexos

xxxv




00,05

0,10,15

0,20,25

0,30,35

-2,78E-17 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05

Sa [

g]

Sd [m]



Idealização Espectro de Capacidade A. Uniforme

Espectro de Capacidade A.Uniforme Analitico

Ponto de Desempenho

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06

Sa [

g]

Sd [m]



Idealização Espectro de Capacidade A.Uniforme


Ponto de Desempenho

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

-5,55E-17 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1

Sa [

g]

Sd [m]





Ponto de Desempenho

Anexos

xxxvi


iii. Método N2 sem a cláusula opcional


0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25

Sa [

g]

Sd [m]





Ponto de Desempenho

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25

Sa [

g]

Sd [m]





Ponto de Desempenho

Anexos

xxxvii



0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25

Sa [

g]

Sd [m]





Ponto de Desempenho

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25

Sa [

g]

Sd [m]





Ponto de Desempenho

Anexos

xxxviii

I. Obtenção das medianas para definição das Curvas de

Fragilidade

i. Direcção Longitudinal, Padrão de carregamento Modal.

I-1 Mediana para estado de dano ligeiro.

I-2 Mediana para estado de dano moderado.

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3

Sa (

g)

Sd (m)

Mediana para Dano LigeiroEspectro de Capacidade Modal

Dano Ligeiro

Espectro de Resposta sismo 1.3 imp. II EC8



Mediana - Sa, 5%, T=1s

00,10,20,30,40,50,60,70,80,9

0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3

Sa [

g]

Sd [m]

Mediana para Dano ModeradoEspectro de Capacidade Modal

Dano Moderado

Espectro de Resposta simo 1.3 imp. II EC8




Anexos

xxxix

I-3 Mediana para estado de dano extenso.

I-4 Mediana para estado de dano completo.

ii. Direcção Transversal, Carregamento Modal, Deformada

Modal

00,20,40,60,8

11,21,41,6

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5

Sa [

g]

Sd [m]

Mediana para Dano ExtensoEspectro de Capacidade Modal

Dano Extenso





00,20,40,60,8

11,21,41,61,8

22,2

-0,2 1E-15 0,2 0,4 0,6

Sa [

g]

Sd [m]

Mediana para Dano CompletoEspectro de Capacidade Modal

Dano Completo





Anexos

xl




0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

0 0,1 0,2 0,3 0,4

Sa [

g]

Sd [m]

Mediana para Dano Ligeiro Idealização Espectro de Capacidade Modal (def.Modal)Dano Ligeiro




00,20,40,60,8

11,21,41,61,8

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6

Sa [

g]

Sd [m]

Mediana para Dano ModeradoIdealização Espectro de Capacidade Modal (def.Modal)Dano Moderado


Simo dano -amortecimento 10,5%


0

0,5

1

1,5

2

2,5

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7

Sa [

g]

Sd [m]

Mediana para Dano ExtensoIdealização Espectro de Capacidade Modal (def.Modal)Dano Extenso




Anexos

xli


iii. Direcção Transversal, Carregamento A. Uniforme,

Deformada Modal


0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9

Sa [

g]

Sd [m]

Mediana para Dano CompletoIdealização Espectro de Capacidade Modal (def.Modal)Dano Completo




00,20,40,60,8

11,21,41,61,8

2

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5

Sa [

g]

Sd [m]

Mediana para Dano LigeiroIdealização Espectro de Capacidade A.Uniforme (def.Modal)Dano Ligeiro




Anexos

xlii



00,20,40,60,8

11,21,41,61,8

22,2

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7

Sa [

g]

Sd [m]

Mediana para Dano ModeradoIdealização Espectro de Capacidade A.Uniforme (def.Modal)Dano Moderado





0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8

Sa [

g]

Sd [m]

Mediana para Dano ExtensoIdealização Espectro de Capacidade A.Uniforme (def.Modal)Dano Extenso





Anexos

xliii


iv. Direcção Transversal, Carregamento A. Uniforme,

Deformada A. Uniforme


0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

Sa [

g]

Sd [m]

Mediana para Dano CompletoIdealização Espectro de Capacidade A.Uniforme (def.Modal)Dano Completo





0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

0 0,1 0,2 0,3 0,4

Sa [

g]

Sd [m]

Mediana para Dano LigeiroIdealização Espectro de Capacidade A.Uniforme (def. A,Uniforme)Dano Ligeiro




Anexos

xliv



00,20,40,60,8

11,21,41,61,8

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5

Sa [

g]

Sd [m]

Mediana para Dano ModeradoIdealização Espectro de Capacidade A.Uniforme (def A.Uniforme)Dano Moderado

Espectro de Resposta sismo 1.3 Imp. II EC8




0

0,5

1

1,5

2

2,5

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7

Sa [

g]

Sd [m]

Mediana para Dano ExtensoIdealização Espectro de Capacidade A.Uniforme (def. A.Uniforme)Dano Extenso





Anexos

xlv


J. Anexo em formato digital CD

O anexo CD contém ficheiros em formato .xls com as tabelas de todos os valores das

áreas dos materiais existentes na divisão da secção em 80 faixas para determinação da

relação momento – curvatura.

Contem também ficheiros .xls com tabelas para todos os valores nodais do modelo

analítico referentes ao cálculo dos somatórios necessários para definir as constantes de

transformação.

Apresentam-se também os desenhos técnicos do viaduto, gentilmente cedidos pela a

empresa JSJ.·

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8

Sa [

g]

Sd [m]

Mediana para Dano CompletoIdealização Espectro de Capacidade A.Uniforme (def. A.Uniforme)Dano Completo





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Análises Estáticas Não Lineares em Pontes Equipadas com ... · Agradeço ao Núcleo de Engenharia Sísmica e Dinâmica de Estruturas, ... III Resumo Com o ... 6.1.2 Definição