Analisis Estructural - Juan Tomas

JUAN TOMS CELIGETA

&XUVRGH DQOLVLVHVWUXFWXUDO Prlogo ndice completo ndice resumido ndice de materias Ejercicios resueltos Enunciados de problemas

EUNSA

&RQWHQLGRCaptulo 11.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8

Introduccin al anlisis estructuralConcepto de estructura en ingeniera mecnica Definiciones generales Clasificacin de las estructuras Clasificacin de los mtodos de anlisis Condiciones de sustentacin de las estructuras Condiciones de construccin Estabilidad y grado de determinacin externo Bibliografa

11 3 4 7 8 12 14 16

Captulo 22.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 2.10 2.11 2.12 2.13 2.14 2.15 2.16 2.17 2.18 2.19 2.20

Teoremas fundamentalesIntroduccin Trabajo Resumen de elasticidad Densidad de energa de deformacin Energa de deformacin Densidad de energa de deformacin complementaria Energa de deformacin complementaria Principio del trabajo virtual Principio de la mnima energa potencial Principio del trabajo virtual complementario Principio de la mnima energa potencial complementaria Primer teorema de Castigliano Segundo teorema de Castigliano Teorema de Betti-Rayleigh o del trabajo recproco Teorema de Maxwell o de las deformaciones recprocas Teorema de Crotti Engesser Teorema de Engesser Teorema de Mnabra Estructuras sometidas a cargas trmicas Bibliografa

1717 18 21 26 29 29 31 31 33 34 36 37 38 39 40 42 43 44 44 48

iii

iv

Curso de anlisis estructural

Captulo 33.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 3.10 3.11 3.12 3.13

CelosasIntroduccin Condiciones de estabilidad Clasificacin de las celosas planas Clasificacin de las celosas espaciales Mtodos de anlisis para celosas isostticas Estudio de la barra articulada Clculo de celosas hiperestticas por el mtodo de flexibilidad Clculo de deformaciones Errores en la longitud de las barras Interpretacin fsica del mtodo de flexibilidad Ejercicios Bibliografa Problemas

5050 51 53 55 59 69 71 76 78 80 83 94 94

Captulo 44.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 4.10 4.11 4.12 4.13 4.14

VigasGeneralidades Condiciones de estabilidad Teora general de la flexin de vigas planas Diagramas de esfuerzos Relacin entre carga, esfuerzo cortante y momento flector Teoremas de Mohr Clculo de esfuerzos en vigas hiperestticas Clculo de deformaciones en vigas Flexin de vigas con energa de esfuerzo cortante Teoremas de Mohr con energa de esfuerzo cortante Mtodo de flexibilidad con energa de cortante Ejercicios resueltos Bibliografa Problemas

9999 100 102 108 108 111 112 122 125 131 132 133 149 149

Captulo 55.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 5.8 5.9 5.10 5.11 5.12

PrticosIntroduccin Condiciones de estabilidad Estudio de la barra prismtica en el plano Mtodo de flexibilidad en prticos planos Clculo de deformaciones en prticos planos Estudio de la barra prismtica en el espacio Energa de esfuerzo cortante Torsin Mtodo de flexibilidad para prticos espaciales Clculo de deformaciones en prticos espaciales Muelles Interpretacin fsica del mtodo de flexibilidad

151151 152 154 162 166 169 175 176 176 177 178 182

Contenido 5.13 5.14 5.15 Ejercicios resueltos Bibliografa Problemas

v 183 199 200

Captulo 66.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7 6.8 6.9 6.10 6.11

ArcosIntroduccin Generalidades Arco triarticulado Arco biarticulado Arco biarticulado atirantado Arco biempotrado Arco biempotrado. Centro elstico Analoga de la columna Ejercicios resueltos Bibliografa Problemas

205205 206 208 212 215 217 219 222 224 237 238

Captulo 77.1 7.2 7.3 7.4 7.5 7.6 7.7 7.8 7.9 7.10 7.11 7.12 7.13 7.14 7.15 7.16 7.17 7.18 7.19

Rigidez de los elementos estructuralesIntroduccin Concepto de grados de libertad Concepto de rigidez de una estructura Barra articulada plana Barra biarticulada espacial Viga a flexin en el plano Elemento de emparrillado plano Viga espacial Viga plana articulada empotrada Viga plana empotrada articulada Elementos espaciales con articulaciones Muelles de esfuerzo axial Muelles al giro Elementos descentrados Elementos curvos planos Influencia de la energa de esfuerzo cortante Ejercicios resueltos Bibliografa Problemas

241241 242 242 247 252 255 260 264 273 277 280 281 283 284 288 293 298 306 306

Captulo 88.1 8.2 8.3 8.4 8.5

Mtodo de rigidezGrados de libertad de la estructura Equilibrio de un elemento estructural Ecuacin de equilibrio de la estructura Propiedades de la matriz de rigidez de la estructura Comparacin con el mtodo de flexibilidad

308308 309 309 314 315

vi 8.6 8.7 8.8 8.9 8.10 8.11 8.12 8.13 8.14 8.15 8.16 8.17 8.18 8.19 8.20 8.21 8.22 8.23

Curso de anlisis estructural Fuerzas exteriores sobre los nudos Fuerzas exteriores sobre los elementos Esfuerzos en los elementos Cargas trmicas Vigas planas con temperatura Elementos tridimensionales con temperatura Elemento de emparrillado plano con temperatura Errores en la forma de los elementos Pretensin inicial en los elementos Condiciones de ligadura Ligaduras de desplazamiento nulo Ligaduras de desplazamiento conocido Mtodo de la rigidez ficticia para condiciones de ligadura Apoyos elsticos Condiciones de contorno no en los ejes generales Ejercicios resueltos Bibliografa Problemas 316 316 319 320 322 326 329 330 333 336 337 338 339 340 342 346 391 392

Captulo 99.1 9.2 9.3 9.4 9.5 9.6 9.7 9.8 9.9 9.10 9.11

Anlisis de estructuras simtricasIntroduccin Sistemas simtricos y antisimtricos en el plano Descomposicin del sistema de cargas Estructuras planas con cargas simtricas Estructuras planas con cargas antisimtricas Sistemas simtricos y antisimtricos en el espacio Estructuras espaciales con cargas simtricas Estructuras espaciales con cargas antisimtricas Estructuras espaciales con varios planos de simetra Ejercicios resueltos Problemas

395395 396 396 397 399 402 403 405 408 410 412

Captulo 10 Lneas de influencia10.1 10.2 10.3 10.4 10.5 10.6 10.7 10.8 10.9 10.10 10.11 Definicin Lneas de influencia en vigas isostticas Lneas de influencia en celosas isostticas Empleo del Principio de los Trabajos Virtuales Otros tipos de cargas mviles Teorema de Mller-Breslau Discusin sobre el Teorema de Mller-Breslau Lneas de influencia de deformaciones Ejercicios resueltos Bibliografa Problemas

415415 416 418 420 422 424 428 431 432 462 462

Contenido

vii

Captulo 11 Vigas en fundacin elstica11.1 11.2 11.3 11.4 11.5 11.6 11.7 11.8 11.9 11.10 11.11 11.12 11.13 Introduccin Comportamiento del terreno Teora bsica Solucin general de la ecuacin de la elstica Viga infinita Viga semi infinita Viga de longitud finita Propiedades de rigidez de la viga en fundacin elstica Viga libre con carga puntual en el centro Viga empotrada con carga uniforme Ejercicios resueltos Bibliografa Problemas

467467 468 469 471 472 482 485 487 488 490 491 496 497

Captulo 12 Condensacin de ecuaciones y anlisis por subestructuras12.1 12.2 12.3 12.4 12.5 12.6 12.7 Condensacin de grados de libertad Aplicaciones de la condensacin de grados de libertad Anlisis por subestructuras Ventajas e inconvenientes del anlisis mediante subestructuras Ejercicios resueltos Bibliografa Problemas

499499 501 504 511 512 516 516

Captulo 13 Mtodo de distribucin de momentos13.1 13.2 13.3 13.4 13.5 13.6 13.7 13.8 Introduccin Descripcin general del mtodo de Cross Momentos debidos a los giros Momentos debidos a las traslaciones Barras articuladas Ejercicios resueltos Bibliografa Problemas

518518 519 520 524 528 529 543 544

Captulo 14 Introduccin a la estabilidad estructural14.1 14.2 14.3 14.4 14.5 14.6 14.7 Introduccin Ecuacin de equilibrio de la viga - columna Columna recta articulada en ambos extremos Columna recta empotrada en ambos extremos Columna empotrada articulada Columna con carga axial excntrica Frmula de la secante

546546 549 551 555 558 560 563

viii 14.8 14.9 14.10 14.11 14.12 14.13 14.14 14.15 14.16 14.17 14.18 14.19 14.20 14.21

Curso de anlisis estructural Columnas con curvatura inicial Longitud de pandeo Vigas columna Propiedades de rigidez de la viga columna Pandeo inelstico. Teora del mdulo tangente Teora del mdulo reducido Teora de Shanley Frmulas de diseo de columnas Rigidez geomtrica Carga crtica de estabilidad global de una estructura Anlisis no lineal Ejercicios resueltos Bibliografa Problemas 565 569 570 577 581 584 588 590 593 597 599 602 615 616

Anejo A

Trminos de carga para la frmula de los tres momentos Integrales de distribuciones de momentos Esfuerzos de empotramiento perfecto Programas de computador

619 620 622 625 627

Anejo B Anejo C Anejo D

ndice de materias

$QHMR$7pUPLQRVGHFDUJDSDUD ODIyUPXODGHORVWUHVPRPHQWRVCargaq

miqL3 24

mdqL3 24

PL/2 L/2

PL2 16 5 qL3 192

PL2 16 5 qL3 192

q

q

8 qL3 360

7 qL3 360

M

ML 62m

ML 3

qu v

qmu 2 L u2 m2 3L

3

8

qmv 2 L v2 m2 3L

3

8

Pu v

Puv L+u 6L

0

5 8

Puv L+v 6L

0

5 8

Mu v

M 3u 2 L2 6L

3

M 2 L 3v 2 6L

3

619

$QHMR%,QWHJUDOHVGH GLVWULEXFLRQHVGHPRPHQWRVMiC

MjA

I0

L

M i M j dxL AC L AC 2 L AC 2

C

A

C

A A

Cm n

L AC 2B

C

A A2

L ( A + B) C 2 2L AC 3

C

C

2

A

L AC 3 L AC 3 L AC 6

C

A

C

A A

Cm n

( L + m) AC 6B

C

A A2

L ( A + 2 B) C 6 L AC 3

C

C

2

A

L AC 4

620

Anejo B

621

Integrales de distribuciones de momentos. MiC A A Cm n

Mj

I0

L

M i M j dxL AC 3

( L + n) AC 6B

C

A A2

L (2 A + B) C 6 L AC 3

C

C Cp q

2

A

L AC 12 m p L L( m p ) 2 AC AC 3 6 mq L+q L+ p AC+ BC 6 6 ( L2 + pq) AC 3L

Am n

C Ap q

B

C Ap q

2

C2

A

p

q

L p p2 1+ + 2 A C 12 L L L L A (2C + D) + B (C + 2 D) 6 6 L A (C + D) 3

D C D C D C C2 2

B A A2

A2

L (C + 3 D) A 12 8L AC 15

A

C

2

2

A

L AC 5 L AC 5

2

C

2

A

$QHMR&(VIXHU]RVGH HPSRWUDPLHQWRSHUIHFWRViga empotrada en ambos extremos.RA MAL

RB MB

PL/2 L/2

MA = MB =

PL 8

RA = RB =

P 2

P

MA =b

Pab 2 L2 Pb 2 ( L + 2 a) L3 qL2 12

MB = RB =

Pba 2 L2 Pa 2 ( L + 2 b) L3 qL 2

a

RA =q

MA = MB =

RA = RB =

MA =c

q

MBb

3 qc = 3 Lc 12 L2

qc Lc 2 3bc 2 + 12 ab 2 12 L22

3ac 2

8 + 12 a b 82

a

RA =

qbc M A M B + L L L2 3q1 + 2 q2 60

RB = MB =

qac M A M B L L L2 2 q1 + 3q2 60

q1

q2

MA = RA = RB =

1

6

1

6

(2 q1 + q2 ) L M A M B + L 6 (q1 + 2 q2 ) L M A M B L 6

622

Anejo C

623

q

MA =q

qL2 30

MB =

qL2 20

RA =

3qL 20

RB =

7qL 20

MA = MB =

5qL2 96

RA = RB =

qL 4

MA =q

MBb

3 q = L a 30 L 23

7 q L3 + a 3 + L2 a La 2 20 L 33 2 2

+ L a + La

a

RA = RB = MA =

q( L + b ) M A M B + 6 L q( L + a) M A M B 6 L Mb 3b 2 L L 6 Mab L3

M

MB = RB =

Ma 3a 2 L L

a

b

RA =

6 Mab L3 RA = RB = 0

+T -T

h

M A = M B = EI 2T / h

Viga articulada empotrada. RAL P

RB MB

MB =L/2 L/2

3PL 16

RA =

5P 16

RB =

11P 16

P

MB =b

Pa 2 L a2 2 L2 Pb 2 2 L3

a

RA =

3 8 03a + 2b5

RB =

Pa 3 L2 a 2 2 L3

3

8

624


q

MB =

qL2 8

RA =

3qL 8

RB =

5qL 8

c

q

MB =b

c2 qabc 2a + b 4b 2 L2 qbc M B L L

qac M B + L L

a

RA =q2

RB =

q1

MB = RA

1 6 L = 133q + 12q 6 120L2 7q1 + 8q2 1201 2

RB =

L 27q1 + 48q2 120 4 qL 10

1

6

q

MB =

qL2 15

RA =

qL 10

RB =

q

MB =

5qL2 64

RA =

11qL 64

RB =

21qL 64

q

MB =b

q( L + a) 7 L2 3a 2 120 L q( L + b ) M B L 6

3

8RB = q( L + a ) M B + L 6

a

RA =

Ma b

MB = RAh -T

3 8 3M = 3L a 8 2LM 3a 2 L2 2 L22 2 3

RB = RA

+T

M B = 3EI T / h RA = 3EI T / hL RB = RA

$QHMR'3URJUDPDVGH FRPSXWDGRUEn el disco CD adjunto se incluyen una serie de programas de computador que permiten el anlisis de distintos tipos de estructuras. Utilizan los fundamentos tericos explicados en el texto, y se basan en el mtodo de rigidez, por su sencillez de programacin y generalidad. Estos programas han sido desarrollados con una vocacin nicamente docente, y tienen una doble finalidad: en primer lugar servir para la comprobacin de los clculos hechos a mano (por ejemplo los problemas cuyos enunciados se plantean en el texto), y en segundo lugar, permitir al lector efectuar ejercicios de clculo de estructuras ms complicados, cuya resolucin manual no es planteable. En todo caso, queda expresamente prohibido el empleo de los programas para otro uso que no sea el estrictamente docente. Programa Cespla (Clculo de estructuras planas) Este programa efecta el anlisis de estructuras planas de cualquier tipo, compuestas por barras empotradas y/o articuladas, como celosas, prticos o vigas. Adems permite considerar elementos tipo resorte a esfuerzo axial o al giro, as como elementos en fundacin elstica. Pueden aplicarse fuerzas sobre los nudos o sobre los elementos, y estas ltimas pueden ser puntuales, distribuidas, de origen trmico o debidas a errores de forma. Se pueden considerar apoyos elsticos, as como imponer deformaciones de valor conocido en los apoyos. El programa calcula y representa grficamente las deformaciones de los nudos y barras, y los diagramas de esfuerzos internos en los elementos. Asimismo calcula la carga crtica de pandeo global de la estructura y el modo de pandeo correspondiente. Programa Cestri (Clculo de estructuras tridimensionales) Este programa efecta el anlisis de estructuras espaciales de cualquier tipo, compuestas por barras empotradas y/o articuladas, como celosas o prticos espaciales. Permite adems considerar elementos tipo resorte, a esfuerzo axial o al giro, as como elementos en fundacin elstica. Pueden aplicarse fuerzas sobre los nudos o sobre los elementos, y estas ltimas pueden ser puntuales, distribuidas, de origen trmico o debidas a errores de forma. Se pueden considerar apoyos elsticos, as como imponer deformaciones de valor conocido en los apoyos. El programa calcula y representa grficamente las deformaciones de los nudos y barras, los diagramas de esfuerzos internos en los elementos, la carga crtica de pandeo global de la estructura y el modo de pandeo correspondiente. 625

626 Programa Calest (Clculo de estructuras)


Este programa efecta el anlisis de estructuras planas o espaciales de cualquier tipo, compuestas por barras empotradas y/o articuladas, unidas entre si de cualquier forma en los nudos. Permite considerar resortes a esfuerzo axial o al giro, as como elementos en fundacin elstica. Pueden aplicarse fuerzas sobre los nudos o sobre los elementos, y estas ltimas pueden ser puntuales, distribuidas, de origen trmico o debidas a errores de forma. Se pueden considerar condiciones de ligadura de cualquier tipo, apoyos elsticos, o deformaciones de valor conocido en los apoyos. El programa calcula las deformaciones de los nudos y barras, y los esfuerzos internos en los elementos, as como la carga crtica y el modo de pandeo global de la estructura. Su generalidad permite estudiar situaciones no admitidas por los programas anteriores. Los datos se definen en un archivo de texto y los resultados se obtienen en forma de listado. Requisitos Los programas deben ejecutarse en un ordenador personal tipo PC, dotado de sistema operativo Windows (versin 95 o posterior) o Windows NT (versin 4.0 o posterior). Los requerimientos del hardware del ordenador son: cualquier procesador que soporte al sistema operativo requerido, 8 Mb de memoria RAM, espacio libre en disco de 10 Mb, ratn y lector de CD-ROM para la instalacin de los programas. Los programas no tienen ningn lmite al tamao de la estructura a calcular, sino que ste queda impuesto por la cantidad de memoria RAM disponible en el computador. Instalacin Los programas se hallan situados en la carpeta llamada Programas del CD adjunto. El archivo Leame.txt contiene informacin complementaria sobre los programas. Antes de utilizar los programas, deben instalarse en el disco duro del ordenador. Para ello basta con situarse en el directorio Programas del CD (utilizando el explorador de Windows), y ejecutar el archivo denominado setup.exe. Esto activa el proceso automtico de instalacin, cuya utilizacin es autoexplicativa. Una vez completada la instalacin aparece un nuevo grupo de programas en el men Comienzo del entorno Windows, denominado Anlisis Estructural, que contiene los distintos programas instalados. Ejecucin Una vez instalados los programas, su ejecucin se efecta activndolos desde el menComienzo del sistema operativo. Su utilizacin interactiva es muy sencilla e intuitiva,

estando documentada en las guas de usuario correspondientes.

Windows y Windows NT son marcas registradas de Microsoft Corporation.

&DSWXOR ,QWURGXFFLyQDODQiOLVLV HVWUXFWXUDO

1.1 CONCEPTO DE ESTRUCTURA EN INGENIERA MECNICAUna estructura es, para un ingeniero, cualquier tipo de construccin formada por uno o varios elementos enlazados entre s que estn destinados a soportar la accin de una serie de fuerzas aplicadas sobre ellos. Esta definicin es quizs excesivamente simplista, ya que al emplear los trminos elementos enlazados entre s, se induce a pensar en estructuras formadas por componentes discretos, por lo que slo puede servir como una primera definicin. La realidad es que las estructuras con componentes discretos son muy frecuentes en la prctica por lo que su estudio resulta del mximo inters. Adems lo habitual es que los elementos sean lineales, del tipo pieza prismtica, conocidos como vigas o barras, y cuyo comportamiento estructural individual es relativamente fcil de estudiar, como se hace en Resistencia de Materiales. Con la definicin anterior seran ejemplos de estructuras una viga, un puente metlico, una torre de conduccin de energa, la estructura de un edificio, un eje... La definicin anterior puede generalizarse diciendo que una estructura es cualquier dominio u extensin de un medio material slido, que est destinado a soportar alguna accin mecnica aplicada sobre l. Esta definicin ampla el concepto de estructura a sistemas continuos donde no se identifican elementos estructurales discretos, como por ejemplo: la carrocera de un automvil, la bancada de una mquina herramienta, un depsito de agua, un ala de avin, una presa de hormign..., que no estaban incluidas en la idea inicial. De esta manera se introduce en realidad el estudio de problemas de mecnica de slidos en medios continuos, que requieren del empleo de mtodos sofisticados de anlisis. Por esta razn este texto se limita al estudio de estructuras formadas por elementos discretos, de directriz habitualmente recta y en algunos casos curva.

1

2


En las definiciones anteriores se dice que actan sobre la estructura unas cargas, que normalmente son de tipo mecnico, es decir fuerzas o pares. Tambin se considera la posibilidad de otros efectos, como: variaciones en la temperatura del material de la estructura, movimientos conocidos de los apoyos, errores en la longitud y forma de los elementos, esfuerzos de pretensin durante el montaje, etc. Todos estos efectos dan lugar a unas cargas mecnicas equivalentes, por lo que resulta fcil considerarlos. Respecto a la forma en que la estructura debe soportar las cargas no es fcil poner un lmite claro. Quizs lo ms general sea decir que la estructura debe tener un estado de tensiones y deformaciones tal que no se produzca un fracaso estructural que lleve a la destruccin de la misma, en ninguno de los estados de carga posibles. Por debajo de este amplio lmite se imponen limitaciones ms estrictas en funcin del tipo de estructura y de su aplicacin concreta. La limitacin que siempre se impone es la del valor mximo de las tensiones que aparecen en el material, en cualquier punto de la estructura, a fin de evitar su rotura. Este es el caso de edificios, naves industriales, bastidores de vehculos y maquinaria, tuberas, etc. Adems de la limitacin en las tensiones, es tambin muy habitual imponer un lmite a las deformaciones de la estructura, bien por motivos funcionales (p.e. bastidores de mquinas), estticos, o de resistencia de los elementos que apoyen sobre la estructura (tabiques de edificios de viviendas). En estructuras sofisticadas las tensiones alcanzadas pueden ser muy grandes, llegando a sobrepasar el lmite elstico, y permitindose incluso la existencia de alguna grieta, cuyo tamao mximo es entonces el lmite para el buen funcionamiento estructural, siempre bajo severas condiciones de control (esto ocurre por ejemplo en tecnologa nuclear). En otros casos ms complejos la idoneidad de la estructura viene controlada por la ausencia de inestabilidades en la misma (pandeo), o incluso porque su respuesta dinmica sea la adecuada (por ejemplo en brazos de manipuladores, antenas, ). El problema que trata de resolver el Anlisis Estructural es la determinacin del estado de deformaciones y tensiones que se producen en el interior de la estructura, a consecuencia de todas las acciones actuantes sobre ella. Como consecuencia tambin se determinan las reacciones que aparecen en la sustentacin de la estructura. Una vez conocidas las tensiones y deformaciones, el decidir si stas son admisibles y si la estructura est en buen estado de funcionamiento, es objeto de otras materias especficas como el diseo de estructuras metlicas o de hormign armado, la construccin de mquinas, etc, y a veces la propia experiencia y sentido comn del analista. Como primeras reseas histricas sobre Anlisis Estructural se debe citar a Leonardo da Vinci y a Galileo1, que fue el primero en estudiar el fallo de una viga en voladizo. Posteriormente han sido muy numerosos los autores que han colaborado al desarrollo del estudio de las estructuras. Una excelente revisin de la contribucin de todos ellos ha sido publicada por Timoshenko en 1953. Asimismo una revisin bibliogrfica muy detallada

Galileo Galilei, Discorsi e dimostrazioni matematiche intorno due nuove science, 1638. Traduccin al ingls: The Macmillan Company, New York, 1933.

1

Introduccin al anlisis estructural

3

sobre los fundamentos tericos del Anlisis Estructural ha sido publicada por Oravas y McLean, en 1966. La concepcin de una estructura, por parte del ingeniero, se desglosa en tres fases: fase de planteamiento, fase de diseo y fase de construccin. En la fase de diseo, que es la que interesa para el anlisis estructural, se pueden distinguir a su vez las siguientes etapas: Determinacin de la forma y dimensiones generales: se eligen el tipo de estructura y la geometra de la misma, de acuerdo con su funcionalidad y la normativa aplicable. Se determinan asimismo los materiales principales a utilizar. Determinacin de las cargas: se determinan las fuerzas exteriores que actan sobre la estructura, as como todos aquellos efectos que puedan afectar a su comportamiento (errores de forma, movimientos de los apoyos, ). Anlisis. Consiste en determinar los esfuerzos internos y las deformaciones que se originan en la estructura como consecuencia de las cargas actuantes. Para efectuar el anlisis de una estructura es necesario proceder primero a su idealizacin, es decir a asimilarla a un modelo cuyo clculo sea posible efectuar. Esta idealizacin se hace bsicamente introduciendo algunas suposiciones sobre el comportamiento de los elementos que forman la estructura, sobre la forma en que stos estn unidos entre s, y sobre la forma en que se sustenta. Una vez idealizada la estructura se procede a su anlisis, calculando las deformaciones y esfuerzos que aparecen en ella, y utilizando para ello las tcnicas propias del Anlisis Estructural. Para este anlisis siempre se dispone, como datos de partida, de los valores de las acciones exteriores y las dimensiones de la estructura, determinadas en las fases anteriores. Salvo en casos muy simples, para el anlisis de la estructura es necesario conocer las dimensiones transversales de los elementos que la componen, pero ocurre que estas dimensiones estn bsicamente determinadas por los esfuerzos internos que aparecen sobre ellos, y que en principio son desconocidos. Por esta razn el anlisis de una estructura suele ser en general iterativo, hasta lograr unos esfuerzos internos y unas deformaciones que sean adecuados a las dimensiones transversales de los elementos. Para comenzar este proceso iterativo de anlisis se deben imponer unos valores para las dimensiones transversales de los elementos, basndose en la experiencia, o en un predimensionamiento, que normalmente se basa en hiptesis simplificativas. Diseo de detalles. Son propios de la tecnologa usada en la construccin de la estructura: nudos de unin, aparatos de apoyo, armaduras de hormign, etc. El anlisis de estructuras no interviene en esta fase.

1.2 DEFINICIONES GENERALESPara que el anlisis de una estructura sea correcto es necesario que la idealizacin que de ella se haga se acerque lo ms posible a su comportamiento real. Para efectuar esta idealizacin existen diversos aspectos a tener en cuenta, como son: Disposicin espacial de la estructura: puede ser en una, dos o tres dimensiones.

4

Curso de anlisis estructural Tipo de cargas actuantes: estticas o dinmicas, segn que sean constantes en el tiempo o variables con l. Tipo de elementos que forman la estructura: elementos discretos (piezas prismticas), elementos continuos, o incluso estructuras mixtas. Tipo de uniones estructurales entre los elementos: articuladas, rgidas (habitualmente llamadas empotradas), o flexibles. Comportamiento del material: puede ser elstico, cuando al desaparecer las cargas el material vuelve a su estado inicial o no (por ejemplo si hay plasticidad). Dentro de los materiales elsticos el caso ms habitual es el lineal, cuando la tensin y la deformacin unitaria son proporcionales. Pequeas deformaciones: cuando la posicin deformada de la estructura coincide sensiblemente con su posicin sin deformar. Esto simplifica la relacin entre las deformaciones unitarias y los desplazamientos de un punto, que es lineal. En caso contrario se trata de un problema de grandes deformaciones, y la relacin entre deformaciones unitarias y desplazamiento no es lineal.

De entre todos estos aspectos, en este texto se estudian estructuras de las siguientes caractersticas: estructuras formadas por elementos discretos, sometidas a cargas no variables con el tiempo, es decir en rgimen esttico, con uniones entre los elementos rgidas, articuladas o flexibles, extendidas en una, dos o tres dimensiones, formadas por un material con comportamiento elstico lineal, y con pequeas deformaciones.

1.3 CLASIFICACIN DE LAS ESTRUCTURASEfectuar una clasificacin detallada de las estructuras no es tarea fcil, pues depende de la tecnologa y materiales usados para su construccin y del uso que se da a la estructura. Por esta razn slo se incluyen aqu los tipos ms usuales de estructuras, atendiendo a sus diferencias desde el punto de vista de su anlisis, pero no desde el punto de vista de su funcionalidad. Ya las primeras definiciones del concepto de estructura orientan a considerar dos grandes tipos de ellas: con elementos discretos o con elementos continuos. Ambos tipos se detallan a continuacin. 1.3.1 Estructuras con elementos discretos

En estas estructuras se identifican claramente los elementos que la forman. Estos elementos se caracterizan por tener: una dimensin longitudinal mucho mayor que las otras dos,


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el material agrupado alrededor de la lnea directriz del elemento, que normalmente es recta. Estos elementos son por lo tanto piezas prismticas y se denominan habitualmente vigas o barras. Los puntos de unin de unos elementos con otros se llaman nudos y cada elemento siempre tiene dos nudos extremos. Con esto la estructura se asemeja a una retcula formada por los distintos elementos unidos en los nudos. De hecho a estas estructuras se les denomina habitualmente reticulares. La unin de unos elementos con otros en los nudos puede hacerse de distintas formas, siendo las ms importantes: unin rgida o empotramiento, que impone desplazamientos y giros comunes al elemento y al nudo, de tal manera que entre ellos se transmiten fuerzas y momentos, articulacin, que permite giros distintos del elemento y del nudo, y en la que no se transmite momento en la direccin de la articulacin, unin flexible, en la que los giros del elemento y el nudo son diferentes, pero se transmite un momento entre ambos elementos. Los tipos ms importantes de estructuras reticulares son: Cerchas o celosas. Estn formadas por elementos articulados entre s, y con cargas actuantes nicamente en los nudos. Los elementos trabajan a esfuerzo axial, y no hay flexin ni cortadura. Por su disposicin espacial pueden ser planas o tridimensionales. Vigas. Estn formadas por elementos lineales unidos rgidamente entre s, y que pueden absorber esfuerzos de flexin y cortadura, sin torsin. Tambin pueden absorber esfuerzo axial, pero ste est desacoplado de los esfuerzos de flexin y cortadura, en la hiptesis de pequeas deformaciones. Prticos planos. Son estructuras compuestas por elementos prismticos, unidos rgidamente entre s, y dispuestos formando una retcula plana, con las fuerzas actuantes situadas en su plano. Estas estructuras se deforman dentro de su plano y sus elementos trabajan a flexin, cortadura y esfuerzo axial. Prticos espaciales. Son similares a los anteriores, pero situados formando una retcula espacial. Sus elementos pueden trabajar a esfuerzo axial, torsin y flexin en dos planos. Arcos. Son estructuras compuestas por una nica pieza, cuya directriz es habitualmente una curva plana. Absorben esfuerzos axiales, de flexin y de cortadura. Como caso general existen tambin los arcos espaciales, cuya directriz es una curva no plana. En muchas ocasiones los arcos se encuentran integrados en otras estructuras ms complejas, del tipo prtico plano o espacial. Emparrillados planos. Son estructuras formadas por elementos viga dispuestos formando una retcula plana, pero con fuerzas actuantes perpendiculares a su plano. Se deforman perpendicularmente a su plano, y sus elementos trabajan a torsin y flexin. La figura 1.1 muestra algunos ejemplos de los tipos anteriores.

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Viga

Celosa plana

Celosa espacial

Prtico plano

Prtico espacial

Emparrillado

ArcoFigura 1.1

1.3.2

Estructuras con elementos continuos

En esta estructuras no se identifica a priori ninguna direccin preponderante y el material est distribuido de manera continua en toda la estructura. El concepto de nudo estructural tampoco puede introducirse de forma intuitiva y simple. Su anlisis es ms complejo que para las estructuras reticulares y no se aborda en este texto. Sin embargo, a continuacin se resumen los casos ms habituales de estructuras continuas. Membranas planas. Consisten en un material continuo, de espesor pequeo frente a sus dimensiones transversales, situado en un plano y con cargas contenidas en l. Corresponde al problema de elasticidad bidimensional, y son el equivalente continuo de un prtico.


7

Placas. Consisten en un medio continuo plano, de espesor pequeo frente a sus dimensiones transversales, con fuerzas actuantes perpendiculares a su plano. Son el equivalente continuo de un emparrillado plano. Slidos. Son medios continuos tridimensionales sometidos a un estado general de tensiones y deformaciones. Cscaras. Son medios continuos curvos, con pequeo espesor. Son el equivalente a la suma de una membrana y una placa, pero cuya superficie directriz es curva.

1.4 CLASIFICACIN DE LOS MTODOS DE ANLISISA continuacin se resumen los principales mtodos de anlisis estructural para estructuras discretas, no pretendindose hacer una clasificacin exhaustiva, sino slo indicar los ms importantes. Se presentan englobados en cuatro grandes bloques, en base a su naturaleza. Soluciones analticas. Consisten en resolver directamente las ecuaciones que controlan el problema, por lo que normalmente slo se pueden aplicar a casos sencillos. Integracin de la ecuacin de la elstica en vigas. Teoremas de Mohr para vigas. Mtodo de la viga conjugada para vigas. Empleo de las ecuaciones de la esttica: slo se pueden aplicar a estructuras isostticas. Mtodo del equilibrio de los nudos para celosas. Mtodo de las secciones para celosas. Mtodo de la barra sustituida para celosas. Mtodos basados en la flexibilidad. Principio del Trabajo Virtual Complementario y principio del potencial complementario estacionario. Segundo teorema de Castigliano y teorema de Crotti-Engesser. Mtodo general de flexibilidad, basado en el segundo teorema de Engesser. Mtodo de la compatibilidad de deformaciones en vigas. Frmula de los tres momentos para vigas. Principio de Mller-Breslau para cargas mviles. Mtodos basados en la rigidez. Principio del Trabajo Virtual y principio del potencial total estacionario. Primer teorema de Castigliano. Mtodo de rigidez en formulacin matricial, para estructuras de cualquier tipo. Mtodo de la distribucin de momentos, o de Cross, para prticos planos.

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1.5 CONDICIONES DE SUSTENTACIN DE LAS ESTRUCTURASPara que una estructura pueda considerarse como tal, debe estar en equilibrio bajo la accin de todas las fuerzas que actan sobre ella, entre las que se incluyen tanto las acciones exteriores conocidas, como las reacciones desconocidas en los puntos de sustentacin. En el equilibrio de la estructura juega un papel fundamental la forma en que la estructura se halla unida a su sustentacin, que se efecta habitualmente a travs de uno o varios puntos de apoyo, cada uno de los cuales introduce una o varias restricciones al movimiento de la estructura. Se denomina condicin de ligadura (o simplemente ligadura, o tambin condicin de apoyo) a una condicin que define la deformacin en un punto y una direccin dados de la estructura. Como cada ligadura define la forma en que la estructura puede deformarse en el punto y la direccin donde est aplicada, aparece una fuerza o momento desconocido en la direccin de la ligadura, denominada fuerza o momento de reaccin. Esta fuerza de reaccin es la fuerza que la sustentacin debe hacer para que se satisfaga la condicin de ligadura. Las ligaduras son direccionales, es decir que cada una de ellas acta en una sola direccin del espacio. Sin embargo las condiciones de apoyo habituales de las estructuras hacen que varias ligaduras aparezcan agrupadas, introduciendo simultneamente varias condiciones de deformacin. Siempre se cumple que en la direccin donde hay una ligadura aplicada se conoce el valor de la deformacin (normalmente dicho valor es cero), y se desconoce el valor de la reaccin que aparece. En el caso de desconocerse el valor de la deformacin se dice que no hay ninguna ligadura aplicada, y en ese caso se conocer el valor de la fuerza exterior aplicada en esa direccin, estando la deformacin controlada por el comportamiento de la estructura. A continuacin se describen los tipos de apoyos ms habituales que pueden encontrarse en las estructuras, indicando las condiciones de ligadura que introducen. 1.5.1 Estructuras planas

Apoyo deslizante o de rodillos Impide el desplazamiento perpendicular a la lnea de apoyo, y su reaccin es una fuerza perpendicular a dicha lnea. Se supone sin rozamiento y bidireccional, es decir que es capaz de ejercer reaccin en los dos sentidos (a pesar de la forma sencilla que se emplea para su representacin). Este apoyo no influye en el giro de la estructura, que puede tener uno o varios giros, en funcin de la forma en que los distintos elementos estructurales se unan al nudo, como se muestra en la figura 1.2.


9

V

1 V

2 V

Figura 1.2

Apoyo articulado No permite ningn tipo de desplazamiento, y su reaccin es una fuerza de direccin arbitraria, que equivale a dos fuerzas segn dos ejes ortogonales. Este apoyo no influye en el giro de la estructura, que puede tener uno o varios giros, en funcin de la forma en que los distintos elementos estructurales se unen al nudo (figura 1.3).

1H V

2H V

H

V

Figura 1.3

Empotramiento No permite ningn desplazamiento ni el giro. Su reaccin son dos fuerzas (H y V) contenidas en el plano de la estructura, y un momento M perpendicular a l (figura 1.4).

V H MFigura 1.4

Empotramiento deslizante Permite nicamente el desplazamiento en una direccin, pero impide el desplazamiento en la direccin perpendicular y tambin el giro. Se trata por lo tanto de un caso particular del empotramiento, pero que permite el deslizamiento en una direccin determinada. Su

10


reaccin es una fuerza perpendicular al eje de deslizamiento H, y un momento M perpendicular al plano de la estructura (figura 1.5). Este tipo de apoyo no suele encontrarse habitualmente en la realidad, pero aparece cuando se emplean simplificaciones para considerar la simetra de una estructura.

M H

Figura 1.5

Apoyo flexible El apoyo flexible est constituido por un punto de la estructura que est unido a la sustentacin mediante uno o varios muelles, como se muestra en la figura 1.6. En general puede haber constantes de rigidez distintas en cada direccin, pudiendo ser cero en alguna de ellas (direccin libre). Asimismo el apoyo elstico puede coexistir con otras condiciones de ligadura.

Y XKX KY KX

XKFigura 1.6

Es habitual incluir el apoyo flexible en la descripcin de los tipos de apoyos, pero en sentido estricto este apoyo no es una condicin de ligadura para la estructura, pues no es un punto en el que se conoce el valor de la deformacin. En efecto, no se conocen ni el desplazamiento del nudo ni la fuerza en el muelle, sino nicamente la relacin entre ellos, que es la constante de rigidez del muelle: la fuerza en el muelle es proporcional a la deformacin del apoyo y la reaccin de la sustentacin es igual a la fuerza en el muelle. Esta igualdad entre la fuerza en el muelle y la reaccin de la sustentacin es la que hace que este nudo se considere a veces como un apoyo, aunque como se ha dicho no lo es. Se trata por lo tanto de un nudo de la estructura como cualquier otro, al que llegan una serie de elementos estructurales y adems el muelle, que debe considerarse como uno ms. En este sentido, siempre se considerarn aqu los muelles como elementos estructurales, y se les dar el mismo tratamiento que a los dems. 1.5.2 Estructuras tridimensionales

Rtula esfrica Es el equivalente tridimensional de la articulacin plana. No permite ningn desplazamiento, y s permite los tres giros. Su reaccin son tres fuerzas ortogonales (o un vector fuerza de direccin arbitraria), como se indica en la figura 1.7.

Introduccin al anlisis estructuralZ

11RZ

X

RXY

RY

Figura 1.7

Apoyo deslizante sobre un plano Se trata de un punto que puede moverse apoyado sobre todo un plano, el cual puede ser uno de los planos coordenados, u otro cualquiera. Su reaccin es una fuerza normal al plano de deslizamiento (figura 1.8). No influye en los giros que pueda tener la estructura, que podrn ser uno o varios, en funcin de la forma en que los distintos elementos estructurales se unan al nudo.Z

RZY

X

Figura 1.8

Apoyo deslizante sobre una recta. En este caso el punto de apoyo est obligado a moverse sobre una recta conocida, por lo que el nico desplazamiento posible es en la direccin de dicha recta (figura 1.9). La reaccin son dos fuerzas perpendiculares a la recta (H, V). Al igual que en caso anterior, esta condicin de ligadura no influye sobre los giros.Z

VY

X

HFigura 1.9

12 Empotramiento deslizante prismtico


En este caso el punto de apoyo se mueve sobre una recta, pero no tiene ninguna posibilidad de giro, como se muestra en la figura 1.10. Existe por lo tanto un slo grado de libertad, que es el desplazamiento en la direccin de la recta. La reaccin tiene cinco componentes: dos fuerzas perpendiculares a la recta (V y T) y tres momentos ( ML, MV y MT).

V

MT TFigura 1.10

MV ML

Empotramiento deslizante cilndrico En este caso el punto puede deslizar sobre una recta y adems puede girar respecto a ella. Existen por lo tanto dos grados de libertad: el desplazamiento en la direccin de la recta y la rotacin alrededor de ella (figura 1.11). La reaccin tiene cuatro componentes: dos fuerzas perpendiculares a la recta (V y T), y dos momentos tambin perpendiculares a ella (MV y MT).Z

Y X

V MV MT

Figura 1.11

T

1.6 CONDICIONES DE CONSTRUCCINLos distintos elementos que componen una estructura reticular se pueden unir bsicamente de dos formas: De forma totalmente rgida, transmitindose entre los elementos unidos todas las fuerzas y momentos posibles: tres fuerzas y tres momentos en el caso espacial, y dos fuerzas y un momento en el caso plano. En este caso todas las deformaciones de los elementos unidos son iguales. Mediante uniones imperfectas, que permiten un cierto movimiento relativo entre los elementos unidos. Estas uniones imperfectas se obtienen a base de anular la capacidad de transmisin de alguno de los esfuerzos transmitidos entre los elementos. Al


13

eliminarse esta capacidad de transmitir algn esfuerzo, aparece un movimiento relativo entre los elementos, en la direccin del esfuerzo anulado. Se denominan condiciones de construccin a estas condiciones de esfuerzo nulo impuestas a las uniones entre los elementos de la estructura. Su presencia juega un papel importante en la estabilidad de la estructura, o en su naturaleza isosttica o hiperesttica. Los tipos ms importantes de condiciones de construccin se indican en la tabla 1.1. Tipo Articulacin (o rtula) Esfuerzo anulado Momento flector Representacin

Deslizadera

Esfuerzo cortante

Deslizadera axial

Esfuerzo axial

Articulacin a torsin

Momento torsor

Rtula esfrica

Dos momentos flectores, y un momento torsorTabla 1.1

Puede ocurrir que en un mismo punto existan varias condiciones de construccin, que se deben ir identificando de manera independiente, y cuyos efectos se suman. As por ejemplo, la rtula esfrica est compuesta por dos articulaciones segn dos ejes perpendiculares al elemento y una articulacin a la torsin. Ejemplo En un nudo totalmente articulado de una estructura plana, al que llegan n barras, el nmero de condiciones de construccin es n-1. La ecuacin n-sima es la ecuacin esttica de suma de momentos nulos en el nudo.

M1=0

M2=0 M3=-M1-M2=0

14


1.7 ESTABILIDAD Y GRADO DE DETERMINACIN EXTERNOPara analizar una estructura se debe establecer en primer lugar el diagrama de slido libre de toda ella. En este diagrama se considera a toda la estructura como un slido rgido, y se sustituyen las ligaduras por sus reacciones correspondientes, con lo que se obtienen tantas incgnitas como reacciones haya, en nmero r. A este conjunto se le aplica un estudio de estabilidad. La esttica facilita q=3 ecuaciones de equilibrio en el caso plano, y q=6 ecuaciones en el espacial. En funcin de como sea el nmero de reacciones incgnita, en relacin con este nmero de ecuaciones de equilibrio se presentan tres casos diferentes. Suponiendo que no hay condiciones de construccin en la estructura, es decir que las uniones en todos los nudos son rgidas, dichos casos son: A. El nmero de reacciones es menor que el de ecuaciones de equilibrio rq. La estructura est estticamente indeterminada en principio, y se dice que es externamente hiperesttica: es necesario introducir nuevas condiciones, adems de las de la esttica, para calcular las reacciones exteriores. Al igual que en el caso anterior esta condicin es necesaria pero no suficiente: puede ocurrir que aunque haya reacciones en exceso, stas tengan una disposicin espacial tal que no impidan la existencia de algn tipo de inestabilidad en alguna otra direccin. Normalmente los casos de inestabilidad externa suelen ir acompaados de algn tipo de hiperestaticidad externa en alguna otra direccin, de tal manera que el cmputo global de incgnitas y ecuaciones no da una respuesta correcta. La tabla 1.2 resume las posibles situaciones.Isosttica externamente Hiperesttica externamente rq Tabla 1.2 Inestable externamente

Puede concluirse que la comparacin del nmero de reacciones r con el nmero de ecuaciones de la esttica q, brinda nada ms que un balance global del estado de la


15

estructura, pero no permite determinar con precisin su situacin. Esto requiere en general una inspeccin de la misma y un anlisis de si existen posibles situaciones de inestabilidad. Ejemplos Las estructuras de la figura siguiente tienen ambas r=q=3. Sin embargo la de la izquierda es estable e isosttica, ya que las tres reacciones son independientes, mientras que la de la derecha es inestable, pues las tres reacciones se cortan en el apoyo de la izquierda.

Estable, isottica

Inestable

La estructura de la figura siguiente tiene r=4, y es externamente hiperesttica.

HiperestticaLas estructuras siguientes tienen ambas r=q=3, pero su situacin es muy diferente, pues la disposicin de las reacciones produce inestabilidad de distinto tipo. Esta inestabilidad est unida a una hiperestaticidad en otra direccin, de tal manera que el cmputo total de reacciones hace parecer que la estructura es isosttica.

Hiperesttica s/X

Hiperesttica s/Y

Inestable al giro

Inestable s/X

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1.8 BIBLIOGRAFA1. Argelles Alvarez, R., y Argelles Bustillo, R., Anlisis de Estructuras: Teora, Problemas y Programas, Escuela Tcnica Superior de Ingenieros de Montes, Madrid, 1996. Hibbeler, R. C., Structural Analysis, Prentice-Hall, New Jersey, 1996. Oravas, G. A., McLean, L., Historical Development of Energetical Principles in Elastomechanics, Applied Mechanics Review, Parte I, Vol. 19, N 8, pp. 647-658, Agosto 1966. Oravas, G. A., McLean, L., Historical Development of Energetical Principles in Elastomechanics, Applied Mechanics Review, Parte II, Vol. 19, N 11, pp. 919-933, Noviembre 1966. Timoshenko, S. P., History of Strength of Materials, McGraw-Hill, New York, 1953. Timoshenko, S. P., y Young, D. H., Teora de las Estructuras, Ed. Urmo, Bilbao, 1974. Tuma, J. J., Anlisis Estructural, Serie Schaum, McGraw-Hill, New York, 1970. Wang, C. K., Intermediate Structural Analysis, McGraw-Hill, New York, 1983.

2. 3.

4.

5. 6. 7. 8.

&DSWXOR

7HRUHPDVIXQGDPHQWDOHV

2.1 INTRODUCCINEn este captulo se presentan los teoremas fundamentales en que se basa el anlisis estructural. Su estudio se hace desde la ptica de la mecnica de slidos, considerando un medio continuo, con lo que se obtienen expresiones muy generales, aptas para ser empleadas tanto en el anlisis de estructuras discretas como continuas. Se considera aplicable la hiptesis de pequeas deformaciones: la posicin deformada del slido coincide con la posicin sin deformar, con lo que las ecuaciones de equilibrio esttico se pueden plantear en la configuracin inicial del slido, que es conocida. Se supone en principio un comportamiento elstico del material, pero siempre que es posible los desarrollos se hacen con la mayor generalidad, obtenindose en ocasiones expresiones vlidas para casos elsticos lineales o no lineales 2.1.1 Fuerzas exteriores

Sobre el slido pueden actuar las siguientes fuerzas (figura 2.1): Fuerzas distribuidas sobre el volumen del slido qv. Tienen tres componentes y cada una de ellas es una funcin del punto sobre el que actan. Estn definidas en principio sobre todo el volumen del slido. Fuerzas distribuidas sobre la superficie exterior del slido qs. Tienen tres componentes, cada una de las cuales es una funcin del punto sobre el que actan, aunque slo estn definidas en puntos situados sobre la superficie exterior del slido. Fuerzas y momentos puntuales, aplicadas directamente en determinados puntos del slido. No son consistentes con la mecnica de los medios continuos, pero se introducen, cuando es posible, por su gran inters prctico. Habitualmente se manejan descompuestas en todas sus componentes escalares, y agrupadas en un nico vector P

17

18

Curso de anlisis estructural que contiene todas las componentes escalares de todas las fuerzas y momentos, en nmero N.

qv

%q K = &q Kq '

vx vy vz

( K ) K *qsx

qs

%q K = &q Kq '

sx sy sz

( K ) K *1

%P ( KP K K K P=& ) K ... K KP K ' *1 2 N

(2.1)

P1 qvz qvx qvy

qsz qsy

uz ux uy

P2Figura 2.1

2

2.1.2

Campo de deformaciones

En cada punto del slido existe una deformacin (figura 2.1) que se denomina

%u ( K K u = &u ) Ku K ' *x y z

(2.2)

y cuyas tres componentes son funcin de las coordenadas del punto (x,y,z). Se define asimismo un vector , que contiene los valores que adopta el campo de deformaciones en los puntos de aplicacin y en la direccin de las fuerzas puntuales aplicadas. Es decir que contiene las deformaciones del slido medidas en la direccin de las fuerzas aplicadas, consideradas como escalares.

% ( K K K K =& ) K ... K K K ' *1 2 N

(2.3)

2.2 TRABAJOEl trabajo efectuado por las fuerzas puntuales P, cuando su punto de aplicacin se deforma una cantidad , tiene la expresin: WP = P T d0

I

(2.4)

Si el slido es elstico lineal, existe una proporcionalidad entre deformaciones y fuerzas a travs de una matriz k que mide la rigidez del slido: P = k (2.5)

Teoremas fundamentales con lo que el valor del trabajo es WP = T kd =0

19

I

1 T 1 k = P T 2 2

(2.6)

Para las fuerzas distribuidas de volumen y superficie se define el trabajo unitario, o trabajo efectuado por unidad de volumen o de superficie, segn corresponda por el tipo de fuerza, como (figura 2.2): W0 = q T du + q T du v s0 0

Iu

Iu

(2.7)

qv

W0 uFigura 2.2

En rgimen lineal las fuerzas y las deformaciones son proporcionales a travs de unas matrices simtricas kv y ks, con lo que el trabajo unitario queda: W0 = u T k v du + u T k s du =0 0

Iu

Iu

1 T 1 1 1 u kv u + uT ks u = qT u + qT u v s 2 2 2 2

(2.8)

El trabajo producido por las fuerzas de volumen y superficie Wd sobre todo el slido es la integral al volumen o a la superficie correspondientes, del trabajo unitario. En rgimen lineal, su expresin es: Wd = 2.2.1 1 T 1 T q v u dv + q s u ds 2v 2s

I

I

(2.9)

& El trabajo complementario efectuado por una fuerza F , cuando su punto de aplicacin se & mueve una magnitud u es:* WF

Trabajo complementario

& & = u dF0

I& F

(2.10)

El trabajo complementario efectuado por las fuerzas puntuales tiene la expresin:* WP = T dP 0

IP

(2.11)

En el caso lineal existe proporcionalidad entre deformaciones y fuerzas, por lo que su valor es :

20* WP =

Curso de anlisis estructural 1 T P 2 (2.12)

que como puede comprobarse es igual al trabajo de las fuerzas WP dado por (2.6). Para las fuerzas de volumen y distribuidas se define el trabajo complementario unitario, o trabajo complementario efectuado sobre la unidad de volumen o de superficie, segn el tipo de fuerza (figura 2.3):qv

W0* =

I0

qs

u T dq v + u T dq s0

I

(2.13)

qv* W0v

uFigura 2.3

En rgimen lineal las fuerzas y las deformaciones son proporcionales, con lo que el trabajo complementario unitario es: W0* = 1 T 1 u qv + uT q s 2 2 (2.14)

El trabajo complementario producido por las fuerzas de volumen y superficie en todo el slido es la integral, a su volumen o superficie, del trabajo unitario correspondiente. Su expresin en rgimen lineal es: Wd* = 1 T 1 T u q v dv + u q s ds 2v 2s

I

I

(2.15)

que como puede comprobarse es igual al trabajo de las fuerzas Wd dado por (2.9). 2.2.2 Trabajo virtual

El trabajo virtual se define como el trabajo que efectan las fuerzas aplicadas sobre la estructura cuando sta se somete a un pequeo desplazamiento hipottico, llamado desplazamiento virtual, compatible con las condiciones de sustentacin de la misma. Para aplicar este concepto a un slido deformable se vara el campo de desplazamientos u en una magnitud u que es el desplazamiento virtual. Este es un campo de desplazamientos continuo que cumple con la condicin de pequeas deformaciones y es compatible con todas las condiciones de sustentacin existentes en el slido. Esto quiere decir que en aquellas zonas del slido donde existen desplazamientos impuestos de valor conocido, el desplazamiento virtual es nulo. Durante esta variacin del campo de desplazamientos todas las fuerzas aplicadas sobre el slido se mantienen constantes. Al aplicarse la variacin u , tambin se produce una variacin en el vector de deformaciones en la direccin de las fuerzas puntuales. El trabajo virtual que se produce es:

Teoremas fundamentales

21

W = q T u dv + q T u ds + P T v sv s

I

I

(2.16)

Esta expresin es vlida tanto en rgimen lineal como en no lineal (figura 2.4).

P GW

WG'Figura 2.4

2.2.3

Trabajo complementario virtual

Por analoga con el trabajo virtual, se define el trabajo complementario virtual como el trabajo producido por las fuerzas aplicadas sobre el slido, cuando se aplica una variacin hipottica a dichas fuerzas llamada variacin virtual, manteniendo fijos los desplazamientos. La variacin virtual de las fuerzas debe cumplir con el equilibrio de fuerzas, por lo que es necesario en general variar tanto las fuerzas exteriores como las reacciones en los puntos de apoyo. Si la variacin de las fuerzas es q v , q s , P , el trabajo complementario virtual que se produce es:

W * = u T q v dv + u T q s ds + T Pv s

I

I

(2.17)

Esta expresin es vlida tanto en rgimen lineal como en no lineal (figura 2.5).

P GP GW *

W*Figura 2.5

2.3 RESUMEN DE ELASTICIDAD2.3.1 Campo de tensiones

Para introducir el concepto de tensin, se efecta un corte arbitrario al slido en equilibrio y & en dicho corte se considera un elemento infinitesimal de superficie s, siendo n el vector unitario normal a l. La resultante de las acciones que el resto del slido efecta sobre el & & elemento de superficie est compuesta por una fuerza f y un momento m (figura 2.6).

22


f n's

m

Figura 2.6

Se define el vector tensin como:

& &n f (2.18) t = Lim s 0 s & El vector tensin depende de la orientacin n del elemento de superficie, por lo que se aade el superndice n para indicarlo. Con objeto de hallar una expresin ms detallada del vector tensin se considera un tetraedro elemental (figura 2.7) y se estudia su equilibrio de fuerzas. Este equilibrio se expresa en forma vectorial1 como: & & & & (2.19) An t n A1t 1 A2 t 2 A3t 3 = 0 siendo: An el rea de la base del tetraedro, & n es el vector unitario normal a la base del tetraedro, Ai es el rea de la cara i del tetraedro, & t n es el vector tensin sobre la base del tetraedro, & t i es el vector tensin en la cara i del tetraedro.3

-t1 n -t2

tn

2 1

-t3

Figura 2.7

Pero se cumple que: Ai = An ni i = 1,3 (2.20)

1

En los desarrollos siguientes se emplean indistintamente las denominaciones X,Y,Z o 1,2,3 para los ejes coordenados.

Teoremas fundamentales luego el equilibrio queda: & & & & t n = n1t 1 + n2 t 2 + n3t 3

23

(2.21)

Pero a su vez cada vector tensin se puede expresar2 en funcin de los tres vectores de la & base ui en la forma: & & (2.22) t i = ij u j i, j = 1,3 siendo ij las componentes del vector tensin en la cara i segn los tres ejes. Sustituyendo en la ecuacin de equilibrio se obtiene: & & & & t n = 1 j u j n1 + 2 j u j n2 + 3 j u j n3 (2.23) &n & t = ij ni u j (2.24) Esta es la denominada frmula de Cauchy, que proporciona el valor del vector tensin en una direccin cualquiera dada por el vector ni . Esta frmula introduce el tensor de tensiones ij e indica que multiplicando este tensor por el vector unitario de una direccin & n se obtiene el vector de tensiones en dicha direccin. As pues el tensor de tensiones caracteriza la totalidad del estado de tensiones del material en el punto considerado y es independiente de la direccin en que se mida. La representacin de la frmula de Cauchy en notacin de subndices y matricial es: t n = ij ni j donde es la matriz que representa al tensor ij . El vector tensin se equilibra en el interior del slido con el vector tensin en la cara opuesta de la seccin de corte, que es igual y de sentido contrario. En la superficie exterior del slido (figura 2.8) el vector tensin se equilibra con las fuerzas exteriores aplicadas sobre ella: & & (2.26) qs = t n Por lo tanto se cumple que: & & qs = ij ni u j tn = T n (2.25)

qs = T n

(2.27)

que es la expresin de la ecuacin de equilibrio en la superficie.

tn

qs

n

Figura 2.8

2

Con notacin de subndices, se emplea el criterio de la suma en los ndices mudos.

24 2.3.2 Deformaciones unitarias


Al aceptarse la hiptesis de pequeas deformaciones, las deformaciones unitarias se representan mediante el tensor infinitesimal de deformaciones unitarias, cuya definicin, en funcin de las deformaciones, es:

ij =

1 ui u j + 2 x j xi

(2.28)

Se observa que es un tensor simtrico, por lo que slo seis de sus componentes son distintas. Este tensor se emplea bien como tensor, tal y como se ha definido, o bien como un vector , que agrupa slo las seis componentes distintas. Cuando se usa como vector, para las tres componentes de cortadura (aquellas en que ij) se emplean las deformaciones ingenieriles , que son el doble de las exactas.

ii =

ui xi

i= j

ij =

% K K K =& K K K '

11 22 33 12 23 31

( K K K ) K K K *

ui u j + = 2 ij x j xi

i j

(2.29)

(2.30)

El empleo de esta representacin simplifica algunos desarrollos posteriores, permitiendo pasar con sencillez de la notacin tensorial a la vectorial. 2.3.3 Ecuaciones de equilibrio

Para obtener las ecuaciones de equilibrio del slido se asla un subdominio arbitrario del mismo, de volumen V y superficie S y se le aplican las ecuaciones de equilibrio de fuerzas y de momentos. Equilibrio de fuerzas Las tres ecuaciones de equilibrio del dominio se pueden expresar como qvi dv + tin ds = 0S

I IV S

i = 1,3

(2.31)

Las fuerzas en la superficie de dominio se pueden sustituir por su valor en funcin del tensor de tensiones mediante la frmula de Cauchy, quedando:

I IV

qvi dv + ji n j ds = 0

i = 1,3

(2.32)


25

Aplicando el teorema de la divergencia, la segunda integral se puede transformar en una integral de volumen:

I I I qvi dv +V V

ji x j

dv = 0

i = 1,3

(2.33)

qvi +

ji x j

V

dv = 0

i = 1,3

(2.34)

pero como el dominio V es arbitrario el integrando debe ser nulo, con lo que se obtiene:

ji x j

+ qvi = 0

i = 1,3

(2.35)

que son las ecuaciones de equilibrio del slido, expresadas usando el tensor de tensiones como incgnita. Equilibrio de momentos Aplicando el equilibrio de momentos al dominio arbitrario, y tras un desarrollo que se omite, se obtiene:

ij = ji

= T

(2.36)

Es decir que el tensor de tensiones es simtrico. 2.3.4 Ecuacin constitutiva

La ecuacin constitutiva del material representa su comportamiento mecnico y establece una relacin entre los tensores de tensiones y de deformaciones unitarias:

ij = Dijkl kl

(2.37)

donde Dijkl es un tensor que define las propiedades del material. Es de orden 4 y por lo tanto requiere 81 coeficientes para su definicin; pero al ser los tensores y simtricos, el D tambin lo es, por lo que slo requiere 36 trminos distintos. Por consideraciones termodinmicas relativas a la naturaleza reversible del proceso de carga y descarga del material se puede reducir el nmero de parmetros requeridos hasta 21. Finalmente para materiales orttropos (materiales con dos direcciones preponderantes) el nmero de parmetros es de slo 9; y si el material es istropo (materiales con propiedades iguales en todas las direcciones) se demuestra que slo son necesarios dos parmetros diferentes para definir el tensor D. Estos parmetros son habitualmente el mdulo de elasticidad E y el mdulo de Poisson . En particular se consideran aqu los materiales elsticos, en los cuales se cumple que el proceso de carga y descarga del material se lleva a cabo siempre por la misma curva; y sea cual sea la historia de cargas, el material siempre se encuentra en un punto de dicha curva caracterstica (figura 2.9).

26


V

H

Figura 2.9

La expresin de la ecuacin constitutiva para un material istropo elstico, puesta en notacin matricial es:

% K K K & K K K 'xx yy zz xy yz zx

= D1

1 1

1 1 1 0 0 0

0 0 0 1 2 2(1 ) 0 0

0 0 0 0 1 2 2(1 ) 0

( K K K = E(1 ) ) (1 + )(1 2 ) K K K * !

1 1 0 0 0

1 0 0 0

"# # 0 # % # K K 0 # ##K & 0 # K #K 0 # K #' 1 2 # # 2(1 ) $0

(2.38)

xx yy zz xy yz zx

( K K K ) K K K *

(2.39)

La matriz simtrica D se denomina matriz elstica. Si el material es lineal, los coeficientes de D son constantes, y en caso contrario pueden ser funcin de la propias deformacin o tensin en el material.

2.4 DENSIDAD DE ENERGA DE DEFORMACINSe define la densidad de energa de deformacin, o energa de deformacin unitaria, como la integral: ij

U0 ( ij ) = ij d ij0

I

(2.40)

con la condicin de que sea slo funcin del estado final de deformacin unitaria, es decir que la integral sea independiente del camino (figura 2.10).

V

U0

H

Figura 2.10

Para ello debe cumplirse que el integrando sea una diferencial perfecta, es decir que exista una magnitud U0 tal que se cumpla:

Teoremas fundamentales dU0 = ij d ij Esto implica que las tensiones deben poderse obtener como

27 (2.41)

ij =

U0 ij

(2.42)

El anlisis riguroso de la existencia de la densidad de energa requiere complejos razonamientos termodinmicos, y de ellos se deduce que la funcin U0 definida antes existe si el proceso de carga y descarga es reversible. Esta condicin se cumple siempre si el material tiene un comportamiento elstico, lineal o no, por lo que para todos los materiales elsticos puede considerarse la existencia de la U0 . El significado fsico de la densidad de energa puede obtenerse efectuando el desarrollo que se indica a continuacin, que no se incluye aqu en detalle, y puede consultarse en Shames y Dym (1985). Se considera un elemento diferencial de volumen y se aplican sobre sus caras las fuerzas originadas por las tensiones, a continuacin se calcula el trabajo efectuado por dichas fuerzas al producirse las deformaciones en las caras del elemento. El valor del trabajo que se obtiene, dividido por el volumen el elemento, resulta ser igual al valor de la U0 en ese punto. Por lo tanto puede decirse que la densidad de energa U0 representa el trabajo efectuado en una unidad de volumen por las tensiones, al producirse la deformacin elstica del slido. De hecho tambin se suele denominar a la densidad de energa como trabajo interno unitario. Dado que el trabajo producido por las tensiones es igual a la energa que se acumula en el slido, ocurre que la densidad de energa U0 es la energa elstica acumulada en el slido por unidad de volumen. La densidad de energa puede expresarse en notacin de vectores como: U0 = T d0

I

(2.43)

en este caso las tres componentes de cortadura del vector son las distorsiones ingenieriles , que son el doble de las reales. De esta forma la expresin de U0 es la misma si se calcula a partir de la frmula en notacin de tensores (2.40) o de vectores (2.43). Este es uno de los aspectos que justifican el empleo de la distorsiones de cortadura ingenieriles. Comprobacin: Si la energa se calcula empleando el tensor ij , su valor es: ij

U0 =

I10

11d 11 + 22 d 22 + 33 d 33 + 12 d 12 + 21d 21 +...

6

Si se emplea el vector se obtiene: ij

U0 =

I10

11d 11 + 22 d 22 + 33 d 33 + 12 d 12 +...

6

28


Los tres trminos debidos a la tensin axial (i=j) son iguales en ambos casos. Para cada tensin cortante hay dos sumandos en el primer caso y slo uno en el segundo caso, pero se comprueba fcilmente que ambos son iguales, precisamente por ser la ij=2ij. ij

I30

ij d ij + ji d ji = ij d ij + d ji = ij d ij0 0

8

ij

I

3

8

ij

I

i j

Caso de material lineal Si el material es elstico lineal (figura 2.11), la relacin entre tensin y deformacin es una matriz D constante y la integral que define la densidad de energa puede efectuarse con sencillez: U0 = T d = T D T d =0 0

I

I

1 T T 1 D = T 2 2

(2.44)

V

U0

H

Figura 2.11

Variacin de la densidad de energa Resulta de inters determinar la variacin que sufre la densidad de energa cuando se aplica una variacin virtual a los desplazamientos u , manteniendo constante el valor de las tensiones, es decir en condiciones similares a las aplicadas para calcular el trabajo virtual. Al variar los desplazamientos se origina una variacin virtual de las deformaciones unitarias ij , y ello da lugar a una variacin de la densidad de energa (figura 2.12) cuyo valor es: ij + ij

U0 =

ij

I

ij + ij

ij d ij = ijV

ij

I

d ij = ij ij

(2.45)

GU0 U0 HFigura 2.12


29

2.5 ENERGA DE DEFORMACINLa energa de deformacin es la energa elstica total que se acumula en el slido. Se obtiene por integracin de la densidad de energa a todo el volumen: U = U0 dvv

I

U=

IIv 0

ij

ij d ij dv

(2.46)

Caso de material lineal Para un material lineal la densidad de energa tiene una expresin sencilla, por lo que la energa total acumulada es: U= 1 T 1 T Ddv = dv 2 2v v

I

I

(2.47)

Ejemplo. Energa acumulada en una pieza sometida a una distribucin uniforme de tensiones provocada por una fuerza axial N, sobre un rea A.

=U= Frmula de Clapeyron

1 T 1 dv = 2 2

I

N A

=

I

N = E EA

N N 1 Adx = EA A 2

I

N2 dx EA

En el caso de un slido elstico lineal, la energa elstica acumulada U es igual al trabajo efectuado por las fuerzas exteriores aplicadas, de acuerdo con la frmula deducida por Clapeyron en 1833. Para el caso de fuerzas puntuales dicha frmula se puede poner como: U = WP = Variacin de la energa de deformacin Si la densidad de energa U0 sufre una variacin, la energa total acumulada U sufre tambin una variacin, cuyo valor es: Pi i 1 T = P 2 2 (2.48)

U = U0 dv = ij ij dvv v

I

I

(2.49)

2.6 DENSIDAD DE ENERGA DE DEFORMACIN COMPLEMENTARIADe manera anloga a la densidad de energa de deformacin se define la densidad de energa de deformacin complementaria o energa de deformacin unitaria complementaria como la integral:

30 ij* U0 ( ij )


=

I0

ij d ij

(2.50)

con la condicin de que sea slo funcin del estado final de tensin, es decir que la integral sea independiente del camino (figura 2.13). Para ello debe cumplirse que el integrando sea una diferencial perfecta, es * decir que exista una magnitud U0 tal que se cumpla* dU0 = ij d ij

V* U0

(2.51)Figura 2.13

H

Esto implica que las deformaciones unitarias deben poderse obtener como

ij =

* U0 ij

(2.52)

El anlisis de la existencia de la densidad de energa complementaria es similar al de la densidad de energa, y al igual que para sta se demuestra que la densidad de energa complementaria existe si el material tiene un comportamiento elstico. En realidad la densidad de energa complementaria representa el trabajo complementario efectuado por las tensiones al producirse la deformacin elstica, en una unidad de volumen. La densidad de energa complementaria puede expresarse tambin en notacin de vectores como:* U 0 = T d 0

I

(2.53)

En este caso las tres componentes de cortadura del vector son las distorsiones ingenieriles , con el fin de que la expresin (2.53) d el mismo valor que la (2.50). Caso de material lineal Si el material es elstico lineal (figura 2.14), la relacin entre tensin y deformacin es una matriz D constante, y la integral que define la densidad de energa complementaria puede efectuarse con sencillez, obtenindose:* U0 = T d = T D T d = 0 0

I I

1 T T 1 1 D = T D 1 = T = U 0 2 2 2

(2.54)

Es decir que la densidad de energa en un material lineal tiene el mismo valor que la densidad de energa complementaria.


31

V * U0 U0Variacin de la densidad de energa complementaria Para los desarrollos posteriores, resulta de inters determinar la variacin que sufre la densidad de energa complementaria cuando se aplica una variacin virtual a las fuerzas exteriores, manteniendo constante el valor de las deformaciones, es decir en condiciones similares a las aplicadas para calcular el trabajo virtual complementario. La variacin de las fuerzas produce una variacin virtual de las tensiones , y ello da lugar a una variacin de la densidad de energa complementaria (figura 2.15) cuyo valor es: ij* U0

H

Figura 2.14

GV

V U 0 GU 0 HFigura 2.15

=

I0

ij

ij d ij = ij

I0

d ij = ij ij

(2.55)

2.7 ENERGA DE DEFORMACIN COMPLEMENTARIALa energa de deformacin complementaria es la integral de la densidad de energa complementaria a todo el volumen del slido:* U * = U0 dv v

I

U* =

IIv 0

ij

ij d ij dv

(2.56)

Caso de material lineal Para un material lineal la densidad de energa complementaria tiene una expresin sencilla, por lo que la energa complementaria total acumulada es: U* = 1 1 T D 1dv = T dv = U 2 2v v

I

I

(2.57)

y tiene el mismo valor que la energa elstica.

2.8 PRINCIPIO DEL TRABAJO VIRTUALSe considera un slido en equilibrio y se estudia la expresin del trabajo virtual producido en l al aplicar una variacin virtual a las deformaciones u . En notacin de subndices este trabajo virtual es:

32

W = qviui dv + qsiui dsv s

I

I

Curso de anlisis estructural (2.58)

En esta expresin no se ha introducido el trmino correspondiente a las fuerzas puntuales. Las fuerzas de superficie aplicadas en el contorno del slido se pueden poner en funcin del tensor de tensiones en dicho contorno mediante la frmula de Cauchy.

W = qviui dv + ij n jui dsv s

I

I

(2.59)

La integral de superficie puede transformarse en una integral de volumen aplicando el teorema de la divergencia:

W = qviui dv +

W =

I v

Iv

qvi +

ij x j

u dv + i

I3v

ijui x j

8 dv

(2.60)

Iv

ij

ui dv x j

(2.61)

Como el slido est en equilibrio, la primera integral es nula pues su integrando son las ecuaciones de equilibrio del slido. Para desarrollar la segunda integral, se considera la descomposicin del tensor gradiente de la deformacin en sus componentes simtrica y antimtrica:

ui 1 ui u j 1 ui u j = + + = ij + ij x j 2 x j xi 2 x j xi

(2.62)

Donde se han identificado el tensor de deformaciones unitarias infinitesimales ij y el tensor de rotacin (antisimtrico) ij . Esta misma relacin es aplicable a la variacin de ui , dado que los operadores variacin y derivada son intercambiables.

ui = ij + ij x jSustituyendo en la expresin del trabajo virtual se obtiene.

(2.63)

W = ij ij + ij dv =v

I

3

8

I3v

ij ij + ij ij dv

8

(2.64)

Pero el segundo trmino es nulo pues representa el producto interno de un tensor simtrico ij por uno antisimtrico ij , con lo que se obtiene:

W = ij ij dvv

I

(2.65)

Sustituyendo el trabajo virtual por su valor se obtiene: qviui dv + qsiui ds = ij ij dvs v

Iv

I

I

(2.66)


33

que es la expresin del principio de los trabajos virtuales aplicado a un slido elstico. El trmino de la izquierda es el trabajo virtual de las fuerzas exteriores, mientras que el de la derecha representa el trabajo virtual interno, esto es, el trabajo virtual que hacen las fuerzas originadas por las tensiones cuando el campo de deformaciones unitarias sufre una variacin virtual, a tensin constante. La deduccin anterior ha permitido hallar una condicin necesaria para el equilibrio, y mediante un desarrollo similar puede demostrarse que dicha condicin es tambin suficiente (ver Shames y Dym, 1985). Se puede por lo tanto enunciar que la condicin necesaria y suficiente para que un slido deformable est en equilibrio es que para cualquier variacin virtual de las deformaciones (compatibles con los enlaces) el trabajo virtual de las fuerzas exteriores sea igual al trabajo virtual interno de las tensiones. Tal y como se ha obtenido, este principio es vlido para cualquier tipo de material, elstico o no, pues no se ha incluido en l la ecuacin constitutiva. Est limitado a pequeas deformaciones pues la condicin de equilibrio se ha aplicado en el estado sin deformar. Tambin es aplicable a problemas con grandes deformaciones si el dominio donde se aplica el equilibrio es la situacin deformada. Caso de material elstico Si el material es elstico, existe la energa de deformacin U, y puede comprobarse que el trmino de la derecha del Principio del Trabajo Virtual, coincide con la variacin de dicha energa (ecuacin (2.45)). Por lo tanto se puede poner:

W = U0 dv = Uv

I

(2.67)

Se puede por lo tanto enunciar que la condicin necesaria y suficiente para que haya equilibrio, en una estructura elstica, es que para cualquier desplazamiento virtual (compatible con los enlaces) el trabajo virtual de las fuerzas exteriores sea igual a la variacin de la energa elstica (figura 2.16).

q GW W Gu u

V VGH GU0 U0 GHFigura 2.16

H

2.9

PRINCIPIO DE LA MNIMA ENERGA POTENCIAL

Se considera un slido elstico, para el que por lo tanto existe la energa elstica. Se define el potencial de las fuerzas exteriores V como una funcin del campo de deformaciones y de las cargas:

34

V qvi ui dv qsi ui dsv s

I

I


Si se aplica una variacin virtual a las deformaciones, el potencial de la fuerzas sufre una variacin de valor:

V = qviui dv qsiui ds = Wv s

I

I

(2.69)

que coincide con el valor del trabajo virtual cambiado de signo. Aplicando el principio de los trabajos virtuales se puede poner que, para cualquier desplazamiento virtual:

V = W = U (U + V ) = 0La cantidad =U+V, es la energa potencial total del slido:

(2.70) (2.71)

= U + V = U qvi ui dv qsi ui dsv s

I

I

(2.72)

La ecuacin (2.71) indica que el potencial total es estacionario para cualquier desplazamiento virtual. Queda as demostrado que la condicin necesaria para que la estructura est en equilibrio es que el potencial total sea estacionario. Por un proceso similar puede demostrarse que la condicin de potencial estacionario es una condicin suficiente para el equilibrio. Se puede por lo tanto enunciar el principio de la mnima energa potencial como: la condicin necesaria y suficiente para que un slido est en equilibrio es que el potencial total sea estacionario para cualquier variacin virtual de las deformaciones. Es decir que, en el equilibrio, los campos de deformaciones y tensiones y las fuerzas exteriores definen un valor extremo del potencial total. Se puede demostrar tambin que el potencial total tiene un valor mnimo en la posicin de equilibrio del slido, comparado con el valor en cualquier posicin vecina admisible (ver Oden, 1980). Por lo tanto dicha posicin es de equilibrio estable.

2.10

PRINCIPIO DEL TRABAJO VIRTUAL COMPLEMENTARIO

Se considera un slido en equilibrio y se estudia la expresin del trabajo virtual complementario producido al aplicar una variacin virtual a las fuerzas exteriores. En notacin de subndices el trabajo virtual se expresa como:

W * = uiqvi dv + uiqsi dsv s

I

I

(2.73)

La variacin de las fuerzas de superficie aplicadas en el contorno del slido se puede poner en funcin del tensor de tensiones en dicho contorno mediante la frmula de Cauchy.

W * = uiqvi dv + ui ij n j dsv s

I

I

(2.74)


35

Aplicando el teorema de la divergencia la integral de superficie puede transformarse en una integral de volumen:

W * = uiqvi dv +

W * = ui qvi +v

I

Iv

I3v

ui ij x j

8 dv

(2.75)

ij x j

dv +

Iv

ui ij dv x j

(2.76)

Como el slido est en equilibrio, la primera integral es nula, pues su integrando es la variacin de las ecuaciones de equilibrio. Para desarrollar la segunda integral se considera la descomposicin del tensor gradiente de la deformacin en sus componentes simtrica y antimtrica, dada por (2.62). Sustituyendo en la expresin del trabajo virtual se obtiene:

W * =

I3v

ij + ij ij dv =

8

I3v

ij ij + ij ij dv

8

(2.77)

Pero el segundo trmino es nulo pues representa el producto interno de un tensor simtrico ij por uno antisimtrico ij , con lo que se obtiene:

W * = ij ij dv

Iv

uiqvi dv + uiqsi ds = ij ij dvs v

I

Iv

(2.78)

I

(2.79)

que es la expresin del principio del trabajo virtual complementario. El trmino de la izquierda es el trabajo virtual complementario de las fuerzas exteriores, mientras que el de la derecha representa el trabajo virtual complementario interno, esto es, el trabajo virtual complementario que hacen las deformaciones unitarias, cuando el campo de tensiones originadas por las fuerzas exteriores sufre una variacin virtual, a deformacin constante. La deduccin anterior ha permitido hallar una condicin necesaria para el equilibrio, pero mediante un desarrollo similar puede demostrarse que dicha condicin es tambin suficiente. Se puede por lo tanto enunciar que la condicin necesaria y suficiente para que un slido deformable est en equilibrio es que para cualquier variacin virtual de las fuerzas exteriores (que satisfaga el equilibrio) el trabajo virtual de complementario producido por las deformaciones sea igual al trabajo virtual complementario interno de las tensiones. Tal y como se ha obtenido este principio es vlido para cualquier tipo de material, elstico o no, pues no se ha incluido en l la ecuacin constitutiva. Est limitado a las pequeas deformaciones pues la condicin de equilibrio se ha aplicado en el estado sin deformar.

36 Caso de material elstico


Si el material es elstico, existe la energa de deformacin complementaria U*, y puede comprobarse que el trmino de la derecha del Principio del Trabajo Virtual Complementario (2.79) coincide con la variacin de dicha energa (ecuacin (2.55)). Por lo tanto se puede escribir:* W * = U0 dv = U * v

I

(2.80)

y puede enunciarse como: la condicin necesaria y suficiente para que un slido est en equilibrio es que para cualquier variacin virtual de las fuerzas (que cumpla el equilibrio) el trabajo virtual complementario producido sea igual a la variacin de la energa complementaria elstica. La figura 2.17 muestra las distintas magnitudes involucradas.

q Gq W*

GW *

V GV U* 0 uFigura 2.17

HGV GU* 0

H

2.11

PRINCIPIO DE LA MNIMA ENERGA POTENCIAL COMPLEMENTARIA

Se considera un slido elstico, para el que por lo tanto existe la energa elstica complementaria. Se define el potencial complementario de las fuerzas exteriores V* como una funcin del campo de deformaciones y de las cargas: V * qvi ui dv qsi ui dsv s

I

I

(2.81)

Si se aplica una variacin virtual a las fuerzas exteriores, el potencial complementario de las fuerzas sufre una variacin de valor:

V * = qvi ui dv qsi ui ds = W *v s

I

I

(2.82)

que coincide con el valor del trabajo virtual complementario cambiado de signo. Aplicando el principio del trabajo virtual complementario se puede poner que, para cualquier variacin virtual de las fuerzas:

V * = W * = U * (U * + V * ) = 0La cantidad *=U*+V* se llama energa potencial complementaria total del cuerpo: (2.83)


* = U * + V * = U * qvi ui dv qsi ui dsv s

I

I

37 (2.84)

La ecuacin (2.83) indica que * es estacionario, para cualquier variacin virtual de las fuerzas. Queda as demostrado que el potencial total complementario es estacionario si la estructura est en equilibrio, es decir que se trata de una condicin necesaria. Por un proceso similar puede demostrarse que la condicin de potencial complementario estacionario es una condicin suficiente para el equilibrio. Se puede por lo tanto enunciar el principio de la mnima energa potencial complementaria como: la condicin necesaria y suficiente para que un slido est en equilibrio es que el potencial total complementario * sea estacionario, es decir que los campos de deformaciones y tensiones y las fuerzas exteriores definan un valor del potencial total complementario que adopte un valor extremo. Se puede demostrar tambin que el potencial complementario total * tiene un valor mnimo en la posicin de equilibrio del slido, comparado con el valor en cualquier posicin vecina admisible. Por lo tanto dicha posicin es de equilibrio estable.

2.12

PRIMER TEOREMA DE CASTIGLIANO

Se considera un slido elstico en equilibrio, sometido a un sistema de N cargas puntuales exteriores Pi , que pueden ser indistintamente fuerzas o momentos. En cada punto de aplicacin de una carga se identifica la deformacin i en la direccin de la carga, que es un desplazamiento si se trata de una fuerza o un giro si se trata de un momento (figura 2.18).

P1 '1 '4 P4 '2 '3

P2

P3

Figura 2.18

Supongamos que es posible expresar la energa elstica almacenada en el slido en funcin de las deformaciones U ( i ) . El potencial total puede entonces ponerse como:

= U(i ) + V = U(i )

i =1, N

Pi

i

(2.85)

Al estar el slido en equilibrio, este potencial es estacionario, con lo que:

= 0

i

i =1, N

i

i = 0

(2.86)

38


i =1, N

i =1, N

U P = 0 U P = 0 i i i i i i i

(2.87)

(2.88)

Pero al ser la variacin de los desplazamientos arbitraria, debe ser cero cada uno de los trminos del sumatorio, es decir: Pi =

U i

i = 1, N

(2.89)

Esta es la expresin del conocido primer teorema de Castigliano (1879), que es de gran utilidad para el anlisis de estructuras, y que de hecho es la base del denominado mtodo de rigidez. Es aplicable a sistemas elsticos, con la condicin de que pueda expresarse la energa elstica en funcin de las deformaciones. En estructuras reticulares formadas por vigas, con las suposiciones habituales para su anlisis, siempre es posible expresar dicha energa en funcin de una serie de parmetros de deformacin (desplazamientos y giros de los extremos de las vigas), por lo que este teorema es de gran inters.

2.13 SEGUNDO TEOREMA DE CASTIGLIANOSe considera nuevamente un slido elstico en equilibrio (figura 2.18), sometido a un sistema de cargas puntuales exteriores Pi , y sean i las deformaciones en la direccin de las cargas. Se supone ahora que es posible expresar la energa elstica complementaria almacenada en el slido en funcin de las fuerzas U * ( Pi ). El potencial complementario total puede entonces ponerse como:

* = U * ( Pi ) + V * = U * ( Pi )

i =1, N

P

i i

(2.90)

Al estar el cuerpo en equilibrio, este potencial complementario es estacionario, con lo que:

* = 0

Pi

i =1, N

P i =1, N

U

* Pi = 0 Pi i =1, N

(2.91)

*

Pi iPi = 0*

i

P

U

i Pi = 0

i

(2.92)

(2.93)

Pero al ser la variacin de las fuerzas arbitraria, debe ser cero cada uno de los trminos del sumatorio, es decir:

Teoremas fundamentales i =

39

U * Pi U Pi

i = 1, N

(2.94)

Si el slido es lineal la energa y la energa complementaria coinciden, con lo que queda: i = i = 1, N (2.95)

Esta es la expresin del conocido segundo teorema de Castigliano (1879), de enorme utilidad para el anlisis de estructuras y en particular para el clculo de deformaciones. De hecho este teorema es la base del denominado mtodo de flexibilidad para anlisis estructural. Es aplicable a sistema elsticos, con la condicin de que pueda expresarse la energa elstica complementaria en funcin de las fuerzas generalizadas, lo cual es siempre posible en estructuras reticulares con las suposiciones que habitualmente se hacen para su estudio.

2.14 TEOREMA DE BETTI-RAYLEIGH O DEL TRABAJO RECPROCOSea un sistema elstico lineal, sometido a dos sistemas de fuerzas distintos: Sistema A, compuesto por una sola fuerza PA , que produce una deformacin A A A en otro punto B (figura 2.19). en su punto de aplicacin A y B Sistema B, compuesto por una sola fuerza PB , que produce una deformacin B B B en el otro punto A (figura 2.19). en su punto de aplicacin B y APAA A

A A

BB

A

AB

PBB

BB

Sistema AFigura 2.19

Sistema B

Si se aplican ambos sistemas sobre el slido, en primer lugar el sistema A y a continuacin el B, el trabajo que producen es: W A, B = 1 1 PA A + PB B + PA B A B A 2 2 (2.96)

El primer sumando corresponde al trabajo efectuado por la fuerza PA durante su aplicacin, el segundo corresponde al trabajo producido por la fuerza PB durante su aplicacin y el ltimo corresponde al trabajo efectuado por PA durante la aplicacin de PB . Se considera ahora la situacin inversa: se aplica en primer lugar el sistema B y a continuacin el A. El trabajo que se produce es:

40 W B, A = 1 1 PB B + PA A + PB A B A B 2 2


El primer sumando corresponde al trabajo efectuado por la fuerza PB durante su aplicacin, el segundo corresponde al trabajo producido por la fuerza PA durante su aplicacin y el ltimo corresponde al trabajo efectuado por PB durante la aplicacin de PA . Como el trabajo total es el mismo en ambos casos, igualndolos se obtiene: PA B = PB A A B (2.98)

Esta es la expresin del teorema del trabajo recproco, enunciado por E. Betti (1872) y Lord Rayleigh (1874). Se puede enunciar como: el trabajo producido por un sistema de fuerzas A actuando sobre las deformaciones producidas por otro sistema B es igual al trabajo producido por el sistema de fuerzas B actuando sobre las deformaciones producidas por el sistema A. Este teorema es aplicable a slidos elsticos y lineales, donde es aplicable el principo de superposicin. Es vlido para cualquier tipo de fuerza o momento, considerando en cada caso la deformacin correspondiente en la direccin de la fuerza o momento. En el caso general, si actan fuerzas de volumen y de superficie, la expresin del teorema de los trabajos recprocos es:

Iv

A A B B q v u B dv + q s u B ds = q v u A dv + q s u A ds s v s

T

I

T

I

T

I

T

(2.99)

2.15 TEOREMA DE MAXWELL O DE LAS DEFORMACIONES REC

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Analisis Estructural - Juan Tomas