Anderson Moreira TI 2 de Março de 2010 Anderson L. S. Moreira [email protected] Instituto Federal de Pernambuco Recife - PE Arquitetura

Anderson Moreira TI 2 de Março de 2010

Anderson L. S. [email protected]

Instituto Federal de PernambucoRecife - PE

Arquitetura de ComputadoresArquitetura de Computadores

Aula 1 – IntroduçãoAula 1 – Introdução


AgendaAgenda

• Introdução• Sistemas de Numeração• Conversão de Bases• Representação de números• Exemplos


IntroduçãoIntrodução

• Não tem como fugir:– Matemática Computação

• Com Arquitetura de Computadores o sistema se torna o mesmo:– Tudo depende em parte de sistemas matemáticos de estudo;

• Porém qual o método mais prático de contagem?



• No início utilizou-se o sistema de correspondência um-para-um, para cada objeto e os dedos das mãos;

• Aprimoramento foi o uso de traços:

• Os primeiros algarismos encontrados consistiam de marcas horizontais e verticais (como os acima). Podemos considerar os romanos como a evolução dos traços:

I = 1 V = 5 X = 10 L = 50 C = 100 D = 500 M = 1000

• Além disso utilizou uma série de regras para formar números de grandeza maior:

VI = 5+1 = 6 IV = 5-1 = 4 CXVI = 100+10+5+1 = 116



• A realização de cálculos com esse sistema, especialmente para operações como multiplicação e divisão era extremamente complexa e de aplicação praticamente impossível:

Exercício 1 – Procurar como realizar operações matemáticas com algarismos romanos.

• Posteriormente os árabes utilizaram-se de um sistema originário da Índia, que possuía 10 algarismos (0 a 9)





• Esse sistema começou a ser utilizado na Europa no século 12. Destaca-se pelas seguintes características:

– Existe um símbolo para o valor nulo;– Cada algarismo utilizado é uma unidade maior que seu

predecessor;– A notação é posicional;– Cada posição possui um determinado peso.


Representação de númerosRepresentação de números

• Os sistemas atuais formam os números pela fórmula a seguir, onde a representa o número propriamente dito; B representa a base do sistema de numeração (B >= 2); xi representa os algarismos (0 ≤ xi ≤ B); e o intervalo de –m a n-1 representa o número de posições utilizadas. Com B=10 tem-se o sistema decimal.

1

)(n

mi

ii Bxa


Representação de númerosRepresentação de números

• Para os sistemas de numeração utilizam-se as seguintes regras:– A base B de um sistema é igual à quantidade de algarismos

distintos utilizados. Para a base decimal, tem-se 10 algarismos distintos (de 0 a 9);

– Quando uma posição é ocupada pelo maior algarismo e ela deve ser aumentada de uma unidade, esta posição recebe o símbolo nulo e a posição seguinte deve ser aumentada de uma unidade;

– O algarismo mais à direita (digito menos significativo) tem peso 1, o imediatamente a esquerda tem peso B, o seguinte peso B ao quadrado e assim sucessivamente;

– O valor de cada algarismo de um número é determinado multiplicando-se o algarismo pelo peso de sua posição;

– O valor de um número é determinado pela soma dos valores de cada algarismo.


• Os computadores manipulam dadosdados (sinais brutos e sem significado individual) para produzir informaçõesinformações.

• A conversão de dados em informações, e estas novamente em dados, é uma parte tão fundamental em relação ao que os computadores fazem que é preciso saber como a conversão ocorre para compreender como o computador funciona.

• Infelizmente os computadores não usam nosso sistema de numeração.

A Informação e sua Representação


Sistema de NumeraçãoSistema de Numeração

• Conjunto de símbolos utilizados para representação de quantidades e de regras que definem a forma de representação.

• Cada sistema de numeração é apenas um método diferente de representar quantidades.

• As quantidades em si não mudam, mudam apenas os símbolos usados para representá-las.

• A quantidade de algarismos disponíveis em um dado sistema de numeração é chamada de basebase.

• Representação numérica mais empregada: notação posicionalnotação posicional.

A Informação e sua Representação


Não PosicionaisNão Posicionais Valor atribuído a um símbolo é Valor atribuído a um símbolo é inalterávelinalterável, ,

independente da posição em que se encontre no independente da posição em que se encontre no conjunto de símbolos que representam uma conjunto de símbolos que representam uma quantidade.quantidade.

Sistema de numeração Sistema de numeração RomanoRomano

XXI XIXXXI XIX

10 10 1 10 1 1010 10 1 10 1 10

Sistemas de Numeração


PosicionaisPosicionais Valor atribuído a um símbolo dependente da

posição em que se encontre no conjunto de símbolos que representa uma quantidade.

Sistema de Numeração Decimal

55 7 3 7 3 33 5 7 5 7

500 70 3 300 50 7 500 70 3 300 50 7



• Sistema de numeração – códigocódigo

• Operação básica – contagemcontagem

• Grupo com um determinado número de objetos – base (raiz)base (raiz)

• Sistemas de numeração básicosSistemas de numeração básicos::– Decimal– Binário– Octal– Hexadecimal



Exemplos de Sistemas de NumeraçãoExemplos de Sistemas de Numeração

Sistema Base Algarismos

Binário 2 0,1

Ternário 3 0,1,2

Octal 8 0,1,2,3,4,5,6,7

Decimal 10 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9

Duodecimal 12 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B

Hexadecimal 16 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F

Como os números representados em base 2 são muito extensos e, portanto, de difícil manipulação visual, costuma-se representar externamente os valores binários em outras bases de valor mais elevado (octal ou hexadecimal). Isso permite maior compactação de algarismos e melhor visualização dos valores.



Padrões de RepresentaçãoPadrões de Representação

• Letra após o número para indicar a base;• Número entre parênteses e a base como um

índice do número.

• Exemplo:

– Sistema Decimal – 2763D ou (2763)10 ou 276310



• Sistema mais utilizado.

• 10 símbolos para representar quantidades.

00 1 2 1 2 3 3 4 5 64 5 6 7 7 8 98 9

• PesoPeso – representar quantidades maiores que a base.

• Peso trouxe: unidade, dezena, (dez unidades), centena (cem unidades), milhar (mil unidades), dezena de milhar, centena de milhar, etc.

• ExemploExemplo: 2574 é composto por 4 unidades, 7 dezenas, 5 centenas e 2 milhares, ou 2000 + 500 + 70 + 4 = 2574

Sistema Decimal (Base 10)



• Utiliza dois símbolos para representar quantidades.

00 e e 1 1

• Segue as regras do sistema decimal - válidos os conceitos de peso e posição. Posições não têm nome específico.

• Cada algarismo é chamado de bitbit. Exemplo: 1012

• Expressão oralExpressão oral - diferente dos números decimais. – Caractere mais à esquerda - Most-Significative-Bit -

“MSBMSB”. – Caractere mais à direita - Least-Significative-Bit -

“LSBLSB”.

Sistema Binário (Base 2)



• Utiliza 8 símbolos.

00 1 2 1 2 3 3 4 5 6 7 4 5 6 7

• Exemplo: 5638

• Expressão oralExpressão oral - similar ao sistema binário.

Sistema Octal (Base 8)



• Possui 16 símbolos (algarismos) para representar qualquer quantidade.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

A B C D E F A B C D E F

• Uso das letras - facilidade de manuseiofacilidade de manuseio.

• Exemplo: 5A316

• Expressão oralExpressão oral - similar ao sistema binário.

Sistema Hexadecimal (Base 16)



Ao trabalhar com sistemas de numeração, em qualquer Ao trabalhar com sistemas de numeração, em qualquer base, deve-se observar o seguinte:base, deve-se observar o seguinte:

• O número de dígitos usado no sistema é igual à base.• O maior dígito é sempre menor que a base.• O dígito mais significativo está à esquerda, e o menos

significativo à direita• Um “vai-um” de uma posição para outra tem um peso

igual a uma potência da base.• Em geral se toma a base decimal como referênciaEm geral se toma a base decimal como referência.



Decimal Binário Octal Hexadecimal 0 0 0 0 1 1 1 1 2 10 2 2 3 11 3 3 4 100 4 4 5 101 5 5 6 110 6 6 7 111 7 7 8 1000 10 8 9 1001 11 9

10 1010 12 A 11 1011 13 B 12 1100 14 C 13 1101 15 D 14 1110 16 E 15 1111 17 F . . .

.

.

.

.

.

.

.

.

.



Conversão entre Sistemas de Numeração

• Procedimentos básicos: - divisãodivisão (números inteiros) - polinômiopolinômio

- agrupamento de bitsagrupamento de bits

OCTAL



• Divisão (Decimal outro sistema)Divisão (Decimal outro sistema)

– Divisão inteira (do quociente) sucessiva pela base, até que resto seja menor do que a base.

– Valor na base = composição do último último quocientequociente (MSB) com restosrestos (primeiro resto é o bit menos significativo - LSB)




• DivisãoDivisão (DecimalDecimal outro sistemaoutro sistema)

• Dividir o número por b (base do sistema) e os resultados consecutivas vezes.

Ex.: (125)(125)10 10 = = (?(? ))22 (538)(538)10 10 = = (?(? ))1616




Notação Polinomial ou PosicionalNotação Polinomial ou Posicional

• Válida para qualquer base numéricaVálida para qualquer base numérica.

• LEI DE FORMAÇÃO (Notação ou Representação Polinomial):

Número Número ==

an = algarismo, b = base do númeron = quantidade de algarismo - 1

00

22

11 ... babababa n

nn

nn

n




Ex.: Ex.:

a) (1111101)a) (1111101)2 2 = (? )= (? )1010

b) (21A)b) (21A)16 16 = = (?(? ))1010

(21A)16 = 2x162 + 1x161 + 10x160 = 53810

(1111101)2 =

1x26 + 1x25 + 1x24 + 1x23 + 1x22 + 0x21 + 1x20 = 1251251010




Agrupamento de BitsAgrupamento de Bits

• Sistemas octal e hexa binário (e vice versa)• associando 3 bits ou 4 bits (quando octal

ou hexadecimal, respectivamente) e vice-versa.

Ex.: (1011110010100111)Ex.: (1011110010100111)22 = ( ? ) = ( ? )1616 (A79E) (A79E)1616 = ( ? ) = ( ? )22




Conversão octal hexadecimalConversão octal hexadecimal

• Não é realizada diretamente - não há relação de potências entre as bases oito e dezesseis.

• Semelhante à conversão entre duas bases quaisquer - base intermediáriabase intermediária (base binária)

• Conversão em duas etapas: 1 - número: base octal (hexadecimal) binária. 2 - resultado intermediário: binária hexadecimal

(octal).




Ex.:

a) (175)(175)88 = ( ? ) = ( ? )1616

(175)8 = (1111101)2 = (7D)(7D)1616

b) (21A)(21A)16 16 = (?= (? ))88

(21A)16 = (001000011010)2 = (1032)(1032)88




Conversão de Números FracionáriosConversão de Números Fracionários

• Lei de Formação ampliada (polinômio):


Exemplo: Exemplo: (101,110)(101,110)22 = ( ? ) = ( ? )1010

1 22 + 0 21 + 1 20 +1 2-1 + 1 2-2 + 0 2-3 = (5,75)(5,75)1010



Conversão de Números Fracionários

• Operação inversa: multiplicar a parte fracionária pela base até que a parte fracionária do resultado seja zero.

Decimal outro sistemaDecimal outro sistema

Exemplo:Exemplo: (8,375)(8,375)1010 = ( ? ) = ( ? )22



• Mostre que:Mostre que:

– 5,85,81010 = 101,11001100... = 101,11001100... 22 (uma dízima). (uma dízima).

– 11,611,61010 = 1011,10011001100... = 1011,10011001100... 22

• a vírgula foi deslocada uma casa para a direita, pois 11,6 = 2 x 5,8 .



• Uma caixa alienígena com o número 25 gravado na tampa foi entregue a um grupo de cientistas. Ao abrirem a caixa, encontraram 17 objetos. Considerando que o alienígena tem um formato humanóide, quantos dedos ele tem nas duas mãos?



• Solução:1710 = 25b

17 = 2xb1 + 5xb0 17 = 2b + 5b = (17-5)/2 b = 6



• Elabore um programa que realiza conversões entre sistemas de numeração, conforme descrição apresentada na figura abaixo.



Como um computador “identifica” que um número é Como um computador “identifica” que um número é negativo?negativo?



• A resposta a esta pergunta é que isso depende da convenção usada na representação de números.

• As convenções mais usuais são as seguintes :

– Representação de grandeza com Representação de grandeza com sinal (sinal e magnitude)sinal (sinal e magnitude)

– Representação em complemento Representação em complemento de 2de 2



Exemplo : (8 bits)

001010012 = 4110

11010111c2 = - 4110

Exemplo : (8 bits)

000011002 = 1210

11110100c2 = -1210

Representação de números inteiros positivosRepresentação de números inteiros positivos

– igual à representação usual já apresentada

Representação de números inteiros negativosRepresentação de números inteiros negativos

– mantém-se os bits menos significativos da direita para a esquerda até à ocorrência do primeiro bit igual a 1 (inclusive), sendo os bits restantes complementados de 1.

– Esta operação equivale a: complemento de 1 + 1.

Representação de Números Inteiros (Complemento de 2)


ExemploExemplo: Números inteiros codificados em binário de 8 binário de 8 bitsbits em um sistema que utiliza complemento de 2:

(-128, -127, ..., -2. -1,(-128, -127, ..., -2. -1, 0,0, +1, +2,..., +127)+1, +2,..., +127)

{10000000, 10000001, ..., 11111110, 11111111, {10000000, 10000001, ..., 11111110, 11111111, 00000000,00000000,

00000001, 00000010, ..., 01111111}00000001, 00000010, ..., 01111111}

Bit mais significativo informação de sinal (0 = positivo e 1 = negativo)



Requer um só circuito (somador) para fazer a adição e a subtração.

Há apenas uma representação para o valor 0 (disponibilidade para mais uma representação) - mais um número negativo pode ser representado (para 8 bits, pode-se representar o número –12810 100000002) .

A quantidade de números positivos é diferente da quantidade de números negativos.



ExemploExemplo:

Escreva os números decimais abaixo na representação em complemento de 2 (utilizando 8 bits, se existir representação).a) -1 b) –20 c) –127 d) –128



• Até meados dos anos 1980, cada fabricante de computador tinha seu próprio formato para representar números em ponto flutuante.

• SoluçãoSolução: criação do Padrão 754Padrão 754 (IEEE 1985).

• O Padrão IEEE 754 procurou uniformizar a maneira como as diferentes máquinas representam os números em ponto flutuante, bem como devem operá-los.

• O padrão IEEE 754 para ponto (vírgula) flutuante é a representação mais comum para números reais em computadores de hoje, incluindo PC's compatíveis com Intel, Macintosh, e a maioria das plataformas Unix/Linux.

Representação de Números Reais


O padrão IEEE 754 define três formatosO padrão IEEE 754 define três formatos:

• Precisão simplesPrecisão simples (32 bits)• Precisão duplaPrecisão dupla (64 bits)• Precisão estendida (80 bits)

• Os formatos de precisão simples e precisão dupla usam a base 2 para o significando e a notação em excesso para o expoente.

O Padrão IEEE 754 para Números em Ponto Flutuante


Bits 1 8 23

Significando

Sinal Expoente

Bits 1 11 52

Significando

Sinal Expoente

Precisão simplesPrecisão simples

Precisão duplaPrecisão dupla



• SinalSinal: 0 = + e 1 = -• CombinaçõesCombinações: Sinal + Expoente + Significando• Notação emNotação em excesso de 127excesso de 127 (bit de polarização): precisão

simples.• Notação emNotação em excesso de 1023excesso de 1023 (bit de polarização): precisão

dupla.

Precisão Sinal Expoente(+/-) Significando

Simples (32bits) 1 [bit31] 8 [bits30-23] 23 [bits22-00]

Dupla (64 bits) 1 [bit63] 11 [bits62-52] 52 [bits51-00]



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• Dúvidas?

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