André Arbex Hallack 2017 - UFJF · B) O conjunto Q = { p/q : p,q ∈ Z, q 6= 0 } dos nume´ ros racionais, com as opera¸cões usuais, é um corpo. C) O conjunto IR dos nume´

Algebra Linear

Andre Arbex Hallack

2017

Indice

1 Sistemas Lineares 1

1.1 Corpos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Sistemas de Equacoes Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3 Sistemas equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.4 Operacoes elementares sobre as equacoes de um sistema - como produzir sistemasequivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.5 Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.6 Operacoes elementares sobre linhas de uma matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.7 Matrizes linha-reduzidas a forma em escada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.8 Multiplicacao de matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.9 Matrizes invertıveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.10 Determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2 Espacos Vetoriais 27

2.1 Definicao e exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.2 Subespacos Vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.3 Combinacoes lineares: geracao de subespacos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.4 Dependencia e independencia linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.5 Base e dimensao de um espaco vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3 Transformacoes Lineares 59

3.1 Definicao e exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

3.2 Resultados imediatos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

i

3.3 Nucleo e Imagem de uma transformacao linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

3.4 Transformacoes injetoras, sobrejetoras, bijetoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

3.5 Isomorfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

3.6 Representacao de transformacoes por matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

3.7 Composicao de transformacoes lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

3.8 Posto e Nulidade de uma transformacao linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

4 Formas Canonicas 89

4.1 Autovalores e autovetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

4.2 Obtendo autovalores e autovetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

4.3 Forma diagonal: a primeira forma canonica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

4.4 Polinomio minimal (ou mınimo) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

4.5 Matriz companheira . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

4.6 A forma canonica de Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

5 Espacos com Produto Interno 117

5.1 Produto interno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

5.2 Ortogonalidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

5.3 Norma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

5.4 Angulo entre dois vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

5.5 Ortogonalizacao; Projecao ortogonal: a melhor aproximacao; Complemento ortogonal . 126

5.6 Tipos especiais de operadores lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

A Respostas dos exercıcios 143

Referencias 173

Capıtulo 1

Sistemas Lineares

1.1 Corpos

Seja IK um conjunto de elementos x, y, z, ..., com duas operacoes:

Adicao: associa a cada par de elementos x, y ∈ IK um elemento x + y ∈ IK.

Multiplicacao: associa a cada par de elementos x, y ∈ IK um elemento x.y ∈ IK.

Suponhamos que estas duas operacoes possuam as seguintes propriedades:

1. x + y = y + x para todos (∀) x, y ∈ IK ;(comutatividade da adicao)

2. x + (y + z) = (x + y) + z ∀x, y, z ∈ IK ;(associatividade da adicao)

3. Existe um unico elemento nulo 0 (zero) em IK tal que 0 + x = x ∀x ∈ IK ;(elemento neutro da adicao)

4. A cada x ∈ IK corresponde um unico elemento (−x) ∈ IK tal que x + (−x) = 0 ;(simetrico na adicao)

5. x.y = y.x ∀x, y ∈ IK ;(comutatividade da multiplicacao)

6. x.(y.z) = (x.y).z ∀x, y, z ∈ IK ;(associatividade da multiplicacao)

7. Existe um unico elemento nao-nulo 1 (um) em IK tal que x.1 = x ∀x ∈ IK ;(elemento neutro da multiplicacao)

1

2 CAPITULO 1

8. Para cada x 6= 0 em IK existe um unico elemento x−1 (ou 1/x) em IK tal que x.x−1 = 1 ;(inverso na multiplicacao)

9. x.(y + z) = x.y + x.z ∀x, y, z ∈ IK .(distributividade da multiplicacao com relacao a adicao)

O conjunto IK, munido das duas operacoes com as propriedades acima, e denominado umCORPO.

Exemplos:

A) O conjunto Z = { ...,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, 4, ... } dos numeros inteiros, com as operacoes usuais,nao e um corpo.

B) O conjunto Q = { p/q : p, q ∈ Z, q 6= 0 } dos numeros racionais, com as operacoes usuais, e umcorpo.

C) O conjunto IR dos numeros reais (que fazemos corresponder geometricamente aos pontos de umareta orientada), com as operacoes usuais de adicao e multiplicacao, e um corpo.

D) O conjunto C = { x + iy : x, y ∈ IR } dos numeros complexos, onde{x e a parte real de x + iy , y e a parte imaginaria de x + iy

i2 = −1

com as operacoes usuais de adicao e multiplicacao, dadas por:

Adicao: (x1 + iy1) + (x2 + iy2) = (x1 + x2) + i(y1 + y2)

Multiplicacao: (x1 + iy1).(x2 + iy2) = (x1x2 − y1y2) + i(x1y2 + x2y1), e um corpo.

Observacoes:

• Os elementos de um corpo IK serao chamados ESCALARES.

• Neste curso iremos trabalhar com os corpos IR e C .

Sistemas Lineares 3

1.2 Sistemas de Equacoes Lineares

Seja IK um corpo (IR ou C). Consideremos o problema da determinacao de n escalares (elementosde IK) x1, x2, ..., xn que satisfacam as condicoes:

(*)

a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = y1

a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = y2

......

......

am1x1 + am2x2 + ... + amnxn = ym

onde y1, y2, ..., ym e aij , com 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ j ≤ n, sao elementos dados de IK.

Definicao 1.1. (*) e dito um SISTEMA DE m EQUACOES LINEARES A n INCOGNITAS. UmaSOLUCAO do sistema (*) e uma n-upla (x1, x2, ..., xn) de escalares em IK que satisfaz simultane-amente as m equacoes.

Observacao: Se, em particular, y1 = y2 = ... = ym = 0, entao o sistema e chamado um SIS-TEMA HOMOGENEO e, neste caso, a n-upla (0, 0, ..., 0) sera uma solucao, denominada SOLUCAOTRIVIAL.

Exemplos:

A) x = 5, y = 3, z = −1, ou seja (5, 3,−1), e (a unica) solucao do sistema linear:2x− y + 2z = 5−x + 3y − z = 5x + 2y + 3z = 8

B) O sistema linear

2x− y = 7−x + 3y = 4x + 2y = 10

nao admite nenhuma solucao.

C) Consideremos em um corpo IK o seguinte sistema:2x + y − 3z = 0x− y + z = 0x + 2y − z = 0

D) Consideremos em um corpo IK, o seguinte sistema homogeneo:2x + y − 3z = 0x− y + z = 0x + 2y − 4z = 0

4 CAPITULO 1

E) Consideremos, em C, o seguinte sistema linear:{ix + 2y = 3− 6i

3x + y = 2

F) Consideremos em um corpo IK, o seguinte sistema{2x + y − z = 1−x− y + z = 2

1.3 Sistemas equivalentes

Seja (x1, x2, ..., xn) uma solucao do sistema (*).

Dados m escalares c1, c2, ..., cm em IK, temosc1(a11x1 + ... + a1nxn) = c1y1

......

cm(am1x1 + ... + amnxn) = cmym

Somando as m equacoes, temos uma nova equacao

(c1a11 + ... + cmam1)x1 + ... + (c1a1n + ... + cmamn)xn = (c1y1 + ... + cmym)

Esta equacao e dita uma COMBINACAO LINEAR das equacoes do sistema (*) e e imediato quea solucao (x1, x2, ..., xn) atende a esta equacao.

(Exemplo)

Consequencia:

Se tivermos um outro sistema de equacoes lineares:

(**)

b11x1 + b12x2 + ... + b1nxn = z1

b21x1 + b22x2 + ... + b2nxn = z2

......

......

bk1x1 + bk2x2 + ... + bknxn = zk

no qual cada uma das k equacoes e combinacao linear das equacoes de (*), entao toda solucao de (*)e tambem uma solucao de (**).

Observacao: Pode acontecer de (**) ter solucoes que nao sao solucoes de (*). Isto nao ocorrerase tambem cada equacao de (*) for uma combinacao linear das equacoes de (**).

Sistemas Lineares 5

Definicao 1.2. Dizemos que dois sistemas de equacoes lineares sao EQUIVALENTES se cadaequacao de cada sistema for combinacao linear das equacoes do outro sistema.

Temos entao o

Teorema 1.3. Sistemas equivalentes de equacoes lineares tem exatamente as mesmas solucoes.

Nosso objetivo: Dado um sistema de equacoes lineares, vamos tentar produzir umoutro sistema equivalente ao sistema dado e que seja mais facil de resolver!

1.4 Operacoes elementares sobre as equacoes de um sistema - como

produzir sistemas equivalentes

Consideremos as seguintes operacoes, chamadas ELEMENTARES, sobre as equacoes de um sis-tema linear:

(i) multiplicacao de uma equacao por um escalar nao-nulo;

(ii) substituicao de uma equacao pela soma dela com uma outra equacao multiplicada por um escalar;

(iii) troca entre duas equacoes.

Qualquer uma destas operacoes ira produzir um sistema equivalente (e, portanto, com as mesmassolucoes) ao sistema original. Assim, basta produzirmos um sistema mais facil de resolver.

Exemplos:

A)

{2x + y = 5−x− 2y = 2

B)

2x− y = 7−x + 3y = 4x + 2y = 10

C)

2x− y − 3z = 0x− y + z = 0

x + 2y − 4z = 0

Observacao: Ao realizar operacoes elementares sobre as equacoes dos sistemas lineares, buscandoproduzir sistemas equivalentes mais simples de resolver, nos trabalhamos efetivamente apenas comos coeficientes aij e os escalares y1, ..., ym. Isto motiva a definicao de um novo tipo de objeto.

6 CAPITULO 1

1.5 Matrizes

Definicao 1.4. Uma MATRIZ m × n sobre um corpo IK e uma funcao A do conjunto dos paresde inteiros (i, j), 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n em IK. Os elementos da matriz A sao os escalaresA(i, j) = aij ∈ IK.

E conveniente descrever uma matriz exibindo seus elementos em uma tabela retangular com m

linhas e n colunas:

A =

a11 a12 ... a1n

a21 a22 ... a2n

......

. . ....

am1 am2 ... amn

As m-uplas verticais

a11

a21

...am1

...

a1n

a2n

...amn

sao as chamadas colunas da matriz A.

As n-uplas horizontais(

a11 a12 ... a1n

)...(

am1 am2 ... amn

)sao as chamadas linhas

da matriz A.

Um elemento aij esta disposto na linha i e na coluna j.

Tambem denotaremos uma matriz A com m linhas e n colunas por Am×n.

Exemplos:

A) A =

2 1−3 0

0 1

e uma matriz 3× 2 sobre IR.

B) B =

[2i 7

√2 + 5i 3

2 4 0 i

]e uma matriz 2× 4 sobre C.

Igualdade de Matrizes: Duas matrizes Am×n e Br×s sao iguais quando m = r, n = s eaij = bij , 1 ≤ i ≤ m , 1 ≤ j ≤ n, ou seja, quando possuem os mesmos numeros de linhas e colunas, eos elementos “correspondentes” sao todos iguais.

Sistemas Lineares 7

Alguns tipos de matrizes

A) Matriz Quadrada: Uma m×n matriz e dita quadrada quando tem o mesmo numero de linhase colunas (m = n). Exemplo:

A2×2 =

[i 1

−2 1

]

A diagonal principal de uma matriz quadrada A = (aij)n×n consiste nos elementos a11, a22, ..., ann.

B) Matriz Diagonal: Uma matriz A = (aij) e diagonal quando e quadrada e seus elementos quenao estao na diagonal principal sao todos nulos, ou seja, aij = 0 se i 6= j.Exemplo:

B =

3i 0 00 1 00 0 3

5

Um exemplo especial de matriz diagonal e a chamada matriz identidade: ela e uma matrizdiagonal onde os elementos da diagonal principal sao todos iguais a 1.Denotaremos uma n × n matriz identidade por In×n ou simplesmente I quando for claro(pelo contexto) qual a ordem da matriz.

C) Matriz Nula: Uma matriz A = (aij)n×m e dita nula se aij = 0 para todo i, j, 1 ≤ i ≤ n e1 ≤ j ≤ m. A matriz nula sera representada por O.

D) Matriz Triangular Superior: Uma matriz A = (aij) e triangular superior quando e quadradae seus elementos abaixo da diagonal principal sao todos nulos, isto e, aij = 0 se i > j.Exemplo:

D =

1 9 0 −60 1

6 −2 i

0 0 0 80 0 0 1

E) Matriz Triangular Inferior: Uma matriz A = (aij) e triangular inferior quando e quadrada e

seus elementos acima da diagonal principal sao todos nulos, isto e, aij = 0 se i < j.Exemplo:

E =

6 0 04 5

6 02 1 1

8 CAPITULO 1

F) Matriz Coluna: Matriz formada por uma unica coluna.Exemplo:

N =

628

G) Matriz Linha: Matriz formada por uma unica linha.

Exemplo:P =

[−1 0 −6i 6 3

4

]

Adicao de matrizes e multiplicacao de uma matriz por um escalar

Adicao de matrizes: A soma das matrizes Am×n e Bm×n e a m× n matriz denotada por A + B

e dada por:

A + B =

a11 + b11 a12 + b12 . . . a1n + b1n

a21 + b21 a22 + b22 . . . a2n + b2n

......

. . ....

am1 + bm1 am2 + bm2 . . . amn + bmn

Multiplicacao de uma matriz por um escalar: Se k ∈ IK, o produto k.A e a m × n matriz

denotada por kA e dada por:

kA =

k.a11 k.a12 . . . k.a1n

k.a21 k.a22 . . . k.a2n

......

. . ....

k.am1 k.am2 . . . k.amn

Tambem definimos : −A = (−1).A e A−B = A + (−1).B

Propriedades Basicas : Sejam A,B e C matrizes quaisquer m× n sobre um corpo IK ek1, k2 ∈ IK escalares em IK. Valem as seguintes propriedades:(1) A + (B + C) = (A + B) + C

(2) A + O (matriz nula) = A

(3) A + (−A) = O (matriz nula)(4) A + B = B + A

(5) k1(A + B) = k1A + k1B

(6) (k1 + k2)A = k1A + k2A

(7) (k1k2)A = k1(k2A)(8) 1.A = A

(9) 0.A = O (matriz nula)

Sistemas Lineares 9

1.6 Operacoes elementares sobre linhas de uma matriz

Ao buscar as solucoes de um sistema linear

(*)

a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = y1

a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = y2

......

......


realizamos operacoes elementares sobre as equacoes do sistema ate produzir um sistema equivalentemais simples de resolver.

Neste processo, nos essencialmente trabalhamos com os coeficientes aij e com os escalares y1, ..., ym.

As operacoes elementares sobre as equacoes do sistema (*) correspondem, portanto, operacoes“semelhantes” sobre as linhas da matriz

a11 a12 ... a1n

a21 a22 ... a2n

......

. . ....

am1 am2 ... amn

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣y1

y2

...ym

chamada a MATRIZ COMPLETA (ou AMPLIADA) do sistema (*). (Exemplo)

Definicao 1.5. Se A e B sao m × n matrizes sobre um corpo IK, dizemos que B e LINHA-EQUIVALENTE a A se B pode ser obtida aplicando-se sobre A uma sequencia finita de operacoeselementares sobre linhas.

Resumindo:

Sistema Linear

operacoes elementaressobre as equacoes

−→Sistema equivalentemais simples

l l

Matriz completado sistema

operacoes elementaressobre as linhas

−→Matriz linha-equivalentemais simples

Pergunta natural: A que tipo de matriz linha-equivalente estamos tentando chegar?

10 CAPITULO 1

1.7 Matrizes linha-reduzidas a forma em escada

Definicao 1.6. Uma matriz m× n e LINHA-REDUZIDA A FORMA EM ESCADA se as seguintescondicoes sao satisfeitas:

1. o primeiro elemento nao nulo de cada linha nao nula e igual a 1;

2. cada coluna que contem o primeiro elemento nao nulo de uma linha tem todos os seus outroselementos iguais a 0;

3. toda linha nula ocorre abaixo de todas as linhas nao nulas;

4. o primeiro elemento nao-nulo da primeira linha ocorre “antes”(em termos de coluna) do primeiroelemento nao-nulo da segunda linha, que por sua vez ocorre “antes” do primeiro elemento nao-nulo da terceira linha, e assim por diante ...

Exemplos:

A =

1 0 0 00 1 −1 00 0 1 0

B =

0 1 −3 0 30 0 0 1 20 0 0 0 0

C =

0 2 11 0 −30 0 0

D =

1 0 20 0 00 −1 2

Teorema 1.7. Toda matriz Am×n e linha-equivalente a uma unica matriz linha-reduzida a forma emescada.

Exemplos:

A)

2x − y = 7−x + 3y = 4x + 2y = 10

B)

{ix + 2y = 3− 6i

3x + y = 2

C)

{2x + y − z = 1−x − y + z = 2

Sistemas Lineares 11

Exercıcios:

1) Descreva todas as possıveis matrizes 2× 2, 2× 3 e 3× 3 que estao na forma linha-reduzida aforma escada.

2) Resolva os seguintes sistemas de equacoes lineares pelo metodo do escalonamento: rea-lizando as 3 operacoes elementares sobre as linhas da matriz completa do sistema ateque a matriz dos coeficientes fique linha-reduzida a forma escada, produzindo assim umsistema equivalente (portanto com as mesmas solucoes do original) e mais facil de resolver:

a.

{2x + y = 5x − 3y = 6

b.

{ √3x − iy = 0x − y = −3 + i

√3

c.

{x − 2y + 3z = 02x + 5y + 6z = 0

d.

2x − y + 3z = 114x − 3y + 2z = 0x + y + z = 63x + y + z = 4

e.

ix + z = 2i

2x − iz = 4−ix + z = −i

f.

y + 3z = −2

2x + y − 4z = 32x + 3y + 2z = −1

g.

x − 2y + 3z = 02x − y + 2z = 03x + y + 2z = 0

h.

3x + 5y = 12x + z = 35x + y − z = 0

12 CAPITULO 1

i.

x1 + 3x2 + 2x3 + 3x4 − 7x5 = 142x1 + 6x2 + x3 − 2x4 + 5x5 = −2x1 + 3x2 − x3 + 2x5 = −1

j.

x − 3y + z = 2−2x + 3y − 3z = −12x − 9y + z = 5

k.

x + 3y − 2z = 4− 4i

−ix + 2y + z = 8x + y − z = 1

l. x1 + 2x2 − x3 + 3x4 = 1

m.

{2x − i

√2y = 0

ix + y = 0

n.

{x + y + z = 42x + 5y − 2z = 3

o.

x + y + z = 42x + 5y − 2z = 3x + 7y − 7z = 5

p.

2y + 2z = 0

x + y + 3z = 03x − 4y + 2z = 02x − 3y + z = 0

q.

x + y + z + w = 0x + y + z − w = 4x + y − z + w = −4x − y + z + w = 2

r.

−2x + y + 5z = 0x − 2y − 4z = −3i

x − y − 3z = −i


3) Determine k para que o sistema abaixo admita solucao (e exiba a solucao):−4x + 3y = 25x − 4y = 02x − y = k

4) Determine k para que o sistema homogeneo abaixo admita solucao nao trivial (e exiba-a):2x − 5y + 2z = 0x + y + z = 02x + kz = 0

5) Dado o sistema linear3x + 5y + 12z − w = −3x + y + 4z − w = −6

2y + 2z + w = 5

(a) Discuta a solucao do sistema.(b) Acrescente a equacao 2z + kw = 9 a este sistema e encontre um valor de k que torne o sistemaimpossıvel.

6) Determine os valores de k de modo que o sistema abaixo (e obtenha as solucoes) tenhax + y + kz = 23x + 4y + 2z = k

2x + 3y − z = 1

(a) Solucao unica.(b) Infinitas solucoes.(c) Nenhuma solucao.

7) Considere o seguinte sistema de equacoes lineares:x − 2y + z = y1

2x + 4y + z = y2

5y − z = y3 − 1

(a) Quais as condicoes (se houver) sobre y1, y2 e y3 para que o sistema acima tenha solucao ?(b) Cite uma terna (y1, y2, y3) tal que o sistema acima tenha solucao.(c) Apresente a solucao correspondente a terna citada acima em (b).

14 CAPITULO 1

1.8 Multiplicacao de matrizes

Definicao 1.8. Sejam Am×n e Bn×p matrizes sobre um corpo IK. O PRODUTO DE A POR B euma m× p matriz C = A.B dada por:

cij =n∑

r=1

airbrj = ai1b1j + ai2b2j + ... + ainbnj .

Exemplos:

A) A =

2 −11 03 4

, B =

[1 −2 53 4 0

]

B) C =

[1 0−1 1

], D =

[5 −1 2

15 4 8

]

Observacao: O produto AB de A por B so esta definido quando o numero de colunas da matrizA e igual ao numero de linhas da matriz B.

Propriedades:

1. Seja A uma m× n matrizse Im×m e a m×m matriz identidade, entao Im×m.A = A

se In×n e a n× n matriz identidade, entao A.In×n = A

2. Seja A uma m× n matrizse Op×m e a p×m matriz nula, entao Op×m.A = Op×n (p× n matriz nula)se On×s e a n× s matriz nula, entao A.On×s = Om×s (m× s matriz nula)

3. Dadas matrizes Am×p, Bp×n e Cp×n, temos:A(B + C) = AB + AC .

4. Dadas matrizes An×p, Bm×n e Cm×n, temos:(B + C)A = BA + CA .

5. Dadas matrizes Am×n, Bn×p e Cp×k, temos:A(BC) = (AB)C .

6. Dadas matrizes Am×p, Bp×n e qualquer escalar λ, temos:λ(AB) = (λA)B = A(λB) .


Observacao: Em geral AB 6= BA (o produto de matrizes nao e comutativo).Por exemplo:

A =

1 −1 1−3 2 −1−2 1 0

e B =

1 2 32 4 61 2 3

Temos que,

AB = O3×3 e BA =

−11 6 −1−22 12 −2−11 6 −1

Consequencias importantes da definicao de multiplicacao de matrizes:

1a) Cada linha da matriz C = AB e uma combinacao linear das linhas de B. A combinacao linearque “fornece” a i-esima linha de C e dada pela i-esima linha de A.(Exemplo)

2a) Cada coluna da matriz C = AB e uma combinacao linear das colunas de A. A combinacao linearque “fornece” a j-esima coluna de C e dada pela j-esima coluna de B.(Exemplo)

3a) Todo sistema linear (*)

a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = y1

a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = y2

......

......


pode ser descrito por uma unica equacao matricial AX = Y , onde:

A =

a11 a12 ... a1n

a21 a22 ... a2n

......

. . ....

am1 am2 ... amn

e a matriz dos coeficientes do sistema, X =

x1

x2

...xn

e Y =

y1

y2

...ym

Observacao: Uma solucao (x1, x2, ..., xn) do sistema corresponde a uma matriz

X =

x1

x2

...xn

que satisfaz a equacao AX = Y.

(Exemplo)

16 CAPITULO 1

Exercıcio:

Considere o sistema

{x + 6y − 8z = 12x + 6y − 4z = 0

, que na forma matricial fica

[1 6 −82 6 −4

].

x

y

z

=

[10

]

(a) Verifique que a matriz X1 =

−11/3

0

e uma solucao particular para o sistema.

(b) Resolva o sistema e verifique que toda solucao e da forma X = λ.

−421

+

−11/3

0

(c) Mostre que λ.

−421

e a solucao de

[1 6 −82 6 −4

].

x

y

z

=

[00

]

(d) Generalize os resultados obtidos acima e mostre que toda solucao de um sistema linearAX = Y e a soma de uma solucao do sistema homogeneo AX = 0 com uma solucao particu-lar de AX = Y .

4a) Consideremos um sistema linear AX = Y como (*).

Se existir uma n×m matriz A tal que

{A.A = In×n

A.A = Im×m

, entao o sistema possui uma unica

solucao dada por X = A.Y .

(Exemplo)

1.9 Matrizes invertıveis

Definicao 1.9. Uma n × n matriz quadrada A sobre um corpo IK e dita INVERTIVEL se existiruma n × n matriz B tal que B.A = A.B = In×n. Neste caso B e dita a INVERSA da matriz A eescrevemos B = A−1.

(Exemplo)


Observacoes:

1. Se A e invertıvel, entao A−1 tambem e invertıvel e (A−1)−1 = A.

2. Se A e B sao invertıveis, entao AB tambem e invertıvel e (AB)−1 = B−1A−1.

Teorema 1.10. Seja A uma n× n matriz quadrada sobre um corpo IK. Temos:

A e uma matrizinvertıvel

⇐⇒Cada sistema AX = Y

possui uma unica solucao⇐⇒

A e linha-equivalente an× n matriz identidade

Procedimento para inversao de matrizes:

Consideremos a matriz A2×2 =

[2 1−1 −2

]e o problema de determinar a inversa de A, se ela

existir.

Estaremos procurando uma matriz B =

[b11 b12

b21 b22

]tal que A.B =

[1 00 1

].

E facil ver que este problema e equivalente a resolver os seguintes sistemas lineares (escritos naforma matricial):[

−2 13 1

].

[b11

b21

]=

[10

] [−2 13 1

].

[b12

b22

]=

[01

]

Para resolvermos estes sistemas, executamos sobre a matriz completa de cada um deles as operacoeselementares sobre linhas ate transformar a matriz A dos coeficientes em uma matriz linha-reduzidaa forma em escada (A sera invertıvel se, e so se, for linha-equivalente a 2× 2 matriz identidade).

Porem, como a matriz dos coeficientes de ambos os sistemas e a mesma (A), podemos resolveros sistemas simultaneamente. Para tal, colocamos a matriz identidade ao lado de A e realizamossobre I2×2 a mesma sequencia de operacoes sobre linhas que aplicada a matriz A devera produzir aidentidade.

A matriz resultante sera a inversa da matriz A.

Observacao: Se A nao for linha-equivalente a matriz identidade, entao A nao e invertıvel.

18 CAPITULO 1

Exercıcios:

1) Considere as seguintes matrizes:

A =

2 1 0 01 0 −1 10 1 1 1

−1 0 0 3

B =

3 −3 −3 2

−5 6 6 −44 −5 −4 31 −1 −1 1

(a) Obtenha os produtos: A.B e B.A .(b) Sabemos que cada sistema abaixo possui uma unica solucao (por que ?). Obtenha-as diretamente.

3x − 3y − 3z + 2w = 2−5x + 6y + 6z − 4w = −14x − 5y − 4z + 3w = 3x − y − z + w = 1

2x + y = 0x − z + w = 1

y + z + w = −2−x + 3w = 0

(c) Verifique as solucoes obtidas.

2) O objetivo deste exercıcio (dirigido) e mostrar que se A e B sao duas n × n matrizes tais queA.B = In×n , entao B.A = In×n (ou seja, na definicao de matriz invertıvel, basta que um dosprodutos seja verificado).

Suponhamos entao que A e B sejam duas n× n matrizes tais que A.B = In×n .

1o passo: Mostre que o sistema homogeneo BX = O so admite a solucao trivial.

2o passo: Conclua que cada sistema BX = Y admite uma unica solucao.

3o passo: Sem utilizar o resultado do Teorema 1.10, mostre diretamente do resultado do 2o passoque existe uma n× n matriz C tal que B.C = In×n .

4o passo: Conclua que C = A obrigatoriamente e portanto B.A = In×n .

3) Identifique quais matrizes, entre as dadas abaixo, sao invertıveis, obtenha as inversas (caso sejaminvertıveis) e verifique as inversas.

(Sugestao: Realize operacoes elementares sobre as linhas da matriz ate obter uma matriz linha-reduzida a forma escada e use que uma matriz An×n e invertıvel se, e somente se, A e linha-equivalentea n× n Matriz Identidade In×n)

A =

−2 −1 15 3 −13 1 −3

B =

[i −1

1 + 2i −3

]C =

1 0 1−1 3 1

0 1 1


1.10 Determinantes

Seja (x, y) uma solucao do seguinte sistema de equacoes lineares:{a11x + a12y = b1

a21x + a22y = b2

que na forma matricial e escrito como:[a11 a12

a21 a22

].

[x

y

]=

[b1

b2

]ou AX = Y

sendo A =

[a11 a12

a21 a22

]a matriz dos coeficientes do sistema, X =

[x

y

]e Y =

[b1

b2

]

Multiplicando cada equacao por constantes adequadas e somando-as, buscando “isolar” x e y

nas equacoes do sistema, chegamos a:

(a11a22 − a12a21).x = (b1a22 − a12b2) e (a11a22 − a12a21).y = (a11b2 − b1a21).

Se (a11a22 − a12a21) 6= 0 , podemos obter:

x =(b1a22 − a12b2)

(a11a22 − a12a21)e y =

(a11b2 − b1a21)(a11a22 − a12a21)

.

Existe portanto uma forte relacao entre o numero (a11a22−a12a21) e o sistema A.X = Y dado.

Temos entao:

Definicao 1.11. Seja A =

[a11 a12

a21 a22

]uma 2× 2 matriz (de numeros reais ou complexos).

Definimos o DETERMINANTE da matriz A ( det A ou |A| ) como:

det A = a11a22 − a12a21.

O raciocınio e a definicao anteriores podem ser generalizados de forma que possamos definir odeterminante de uma matriz de ordem n× n , com n ≥ 3 , atraves de um metodo conhecido comoDesenvolvimento de Laplace.

20 CAPITULO 1

Definicao 1.12. Seja A =

a11 a12 ... a1n

a21 a22 ... a2n

......

. . ....

an1 an2 ... ann

uma n × n (n ≥ 3) matriz sobre um corpo IK

(IR ou C).

Escolhendo qualquer linha i ∈ {1, 2, ..., n} , definimos

det A =n∑

j=1

aij∆ij = ai1∆i1 + ai2∆i2 + ... + ain∆in

sendo ∆ij (COFATOR do elemento aij da matriz A) o escalar dado por

∆ij = (−1)i+j .det A(i|j).

onde A(i|j) e a (n− 1)× (n− 1) matriz obtida retirando-se de A a linha i e a coluna j.

Obs.: O resultado independe da linha i escolhida.

(Exemplos)

Observacao: Em geral, para o calculo de determinantes de matrizes de ordem maior ou igual a4 e conveniente combinar as propriedades dos determinantes (a seguir) com a definicao (Desenvolvi-mento de Laplace).

Propriedades fundamentais dos determinantes:

A) Se multiplicarmos uma linha de uma matriz quadrada por uma constante, entao seu determinantefica multiplicado por esta constante.

B) Trocando a posicao de duas linhas de uma matriz quadrada, seu determinante muda de sinal.

C)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a11 a12 ... a1n

......

...bi1 + ci1 bi2 + ci2 ... bin + cin

......

...an1 an2 ... ann

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a11 a12 ... a1n

......

...bi1 bi2 ... bin

......

...an1 an2 ... ann

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣+

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a11 a12 ... a1n

......

...ci1 ci2 ... cin

......

...an1 an2 ... ann

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣D) Se A e B sao n× n matrizes, entao det(A.B) = det A.det B


E) Se A e uma n×n matriz e At e sua transposta, ou seja, Atij = Aji (as colunas de At sao as linhas

de A e as linhas de At sao as colunas de A, ordenadamente), entao

det At = detA .

Observacao: Esta ultima propriedade nos permite estender as propriedades anteriores referentes alinhas para propriedades semelhantes referentes a colunas.

Tambem temos, como det At = det A, que det A =∑n

i=1 aij∆ij , ou seja, o Desenvolvimento deLaplace na nossa definicao pode ser feito “ao longo” das colunas da matriz A.

F) Seja

[A B

O C

]uma n× n matriz na forma de blocos, onde A e C sao matrizes quadradas

e O e uma matriz nula, entao det

[A B

O C

]= detA.det C

(Exemplos)

A matriz adjunta: caracterizacao das matrizes invertıveis

Seja A =

a11 a12 ... a1n

a21 a22 ... a2n

......

. . ....

an1 an2 ... ann

uma n× n matriz quadrada.

Chamamos de MATRIZ ADJUNTA DE A, a transposta da matriz dos cofatores de A

adjA =

∆11 ∆12 ... ∆1n

∆21 ∆22 ... ∆2n

......

. . ....

∆n1 ∆n2 ... ∆nn

t

=

∆11 ∆21 ... ∆n1

∆12 ∆22 ... ∆n2

......

. . ....

∆1n ∆2n ... ∆nn

(Exemplo)

Teorema 1.13. Seja A uma n× n matriz sobre um corpo IK. Entao:

A. adjA = adjA.A = (det A).In

(Exemplo)

22 CAPITULO 1

Finalmente, chegamos ao resultado pretendido:

Teorema 1.14. Seja A uma n× n matriz sobre um corpo IK. Entao:

A e invertıvel ⇐⇒ det A 6= 0

Demonstracao:

(⇒) Se A e invertıvel, entao existe uma n× n matriz B tal que A.B = In×n. Segue entao

det A.det B = det(A.B) = det I = 1 ⇒ det A 6= 0 .

(⇐) Se det A 6= 0 , segue do Teorema anterior que

1det A

(A. adjA) =1

det A( adjA.A) =

1det A

(detA).In .

Logo

A.

(1

det AadjA

)=(

1det A

adjA)

.A = In .

Portanto A e invertıvel, e A−1 =1

det AadjA .

Resumo dos principais resultados deste capıtulo:

Seja A uma n× n matriz sobre um corpo IK.

Entao

Cada sistema linear AX = Y possui uma unica solucao.

m

O sistema homogeneo AX = O possui apenas a solucao trivial X = O.

m

A e linha-equivalente a n× n matriz identidade In×n.

m

A e invertıvel.

m

det A 6= 0 .


Exercıcios:

1) Dada a matriz A =

2 1 −30 2 15 1 3

calcule

(a) adj A

(b) detA

(c) A−1

2) Prove as seguintes propriedades dos determinantes, utilizando outras propriedades conhecidas oua propria definicao de determinante:

(a) Se todos os elementos de uma linha (ou coluna) de uma matriz sao nulos, entao seu determinantee igual a 0 (zero).(b) Se uma matriz tem duas linhas (ou colunas) iguais entao seu determinante e igual a 0 (zero).(c) Se em uma matriz quadrada, duas linhas (ou colunas) tem seus elementos correspondentes pro-porcionais, o determinante e igual a 0 (zero).(d) O determinante de uma matriz nao se altera se somarmos a uma linha (coluna) uma outra linha(coluna) multiplicada por uma constante.

Para cada uma das propriedades acima, de um exemplo com uma aplicacao da propriedade.

3) Propriedade: O determinante de uma matriz triangular An×n e igual ao produto dos elementosde sua diagonal principal.

(a) Prove esta propriedade no caso em que A e uma matriz triangular superior (generica) 4 × 4.(Sugestao: Use Laplace)

(b) O que voce pode dizer sobre o determinante da matriz abaixo ?

λ− 2 0 0 0

1 λ− 2 0 052 27 λ + 1 00 π

√3 5

4) Identifique, entre as matrizes dadas, quais sao invertıveis, obtenha as inversas (daquelas que foreminvertıveis) e verifique as inversas.

(Sugestao: Para identificar as invertıveis, calcule os determinantes e use que uma matriz An×n einvertıvel se, e somente se, det A 6= 0 - de uma olhada no enunciado do proximo exercıcio)

24 CAPITULO 1

A =

1 0 11 2 30 2 2

B =

2 0 −13 0 24 −3 7

C =

[2 + i 3

1 2− i

]

D =

4 −1 2 −23 −1 0 02 3 1 00 7 1 1

E =

1 0 21 1 42 2 4

F =

2 3 1 −25 3 1 40 1 2 23 −1 −2 4

G =

3 −3 −3 2

−5 6 6 −44 −5 −4 31 −1 −1 1

H =

3 0 0 0 0

19 18 0 0 0−6 π −5 0 0

4 2√

3 0 08 3 5 6 −1

J =

0 −i −2 i

1 −1 i 10 −1 1 −i

1 1 1 0

L =

[6 2

11 4

]M =

1 1 3 9

−2 1 6 30 0 3 −10 0 −1 1

N =

2 −3 71 0 30 2 −1

P =

2 0 i

1 −3 −i

i 1 1

Q =

[2 −4

−5i 7i

]R =

1 0 0 00 1 1 00 2 1 10 1 0 1

5) Calcule os determinantes das matrizes do exercıcio anterior.

6) Responda se cada uma das afirmativas abaixo e verdadeira ou falsa (considere matrizes n × n).Se for verdadeira, justifique-a. Se for falsa, apresente um contra-exemplo mostrando que e falsa:

(a) Se I e a matriz identidade, entao det I = 1(b) Se A e invertıvel entao detA−1 = 1

det A

(c) Para todas matrizes A e B temos que det(A + B) = det A + det B

(d) Para todas matrizes A e B temos que det(AB) = det(BA)(e) Se existe uma matriz invertıvel P tal que B = P−1.A.P entao det B = detA

(f) Se detA = 1 entao A−1 = A

(g) Para toda matriz A temos que det(k.A) = k. det A


7) Para cada um dos n× n sistemas homogeneos AX = λX (λ ∈ IK) dados a seguir (“arrume” ossistemas e observe que sao de fato homogeneos), faca:

(1) Determine os valores de λ para os quais o sistema admite pelo menos uma solucao nao trivial.

(Sugestao: CX = 0 so admite a solucao trivial X = 0 se, e somente se, detC 6= 0).

(2) Obtenha as solucoes de AX = λX para os valores de λ obtidos no item anterior.

a.

{−3x + 4y = λx

−x + 2y = λySobre o corpo IR

b.

5x − 6y − 6z = λx

−x + 4y + 2z = λy

3x − 6y − 4z = λz

Sobre o corpo IR

c.

1 −3 13 1 10 0 −1

.

x

y

z

= λ.

x

y

z

Sobre o corpo IR

d.

1 −3 13 1 10 0 −1

.

x

y

z

= λ.

x

y

z

Sobre o corpo C

Observando que o sistema homogeneo AX = λX corresponde a (A − λI)X = 0 (onde I e an× n matriz identidade) e baseado na resolucao dos ıtens (1) e (2) acima, descreva a condicao sobreλ para que AX = λX possua pelo menos uma solucao nao trivial.

Obs.: No futuro, ao estudarmos as transformacoes lineares, sera fundamental obtermos uma

matriz nao nula X =

x1

x2

...xn

tal que, dada uma n× n matriz A, AX seja um multiplo

de X, ou seja, AX = λX (X 6= 0).

26 CAPITULO 1

Capıtulo 2

Espacos Vetoriais

Ao estudarmos o “plano” IR2, o “espaco tridimensional” IR3, o conjunto Mm×n(IK) das m × n

matrizes sobre um corpo IK, o conjunto P (IK) = {anxn + ... + a1x + a0, ai ∈ IK} dos polinomios comcoeficientes num corpo IK ou o conjunto C(IR) das funcoes f : IR → IR contınuas, por exemplo, comsuas operacoes usuais de adicao e de multiplicacao por escalar, comecamos a perceber uma “estruturacomum” a todos estes conjuntos (com estas operacoes).

Seria entao natural estudar esta estrutura da maneira mais geral possıvel, de modo que os resul-tados obtidos possam ser aplicados a todos os conjuntos que possuam esta estrutura.

A estrutura comum a qual nos referimos acima e a estrutura de espaco vetorial e a Algebra Linearestuda (de modo geral) os espacos vetoriais, bem como certos tipos de funcoes naturais entre espacosvetoriais, as chamadas transformacoes lineares.

2.1 Definicao e exemplos

Definicao 2.1. Um ESPACO VETORIAL SOBRE UM CORPO IK e um conjunto V , cujos objetossao denominados VETORES, munido de duas operacoes:

• Adicao de vetores: que associa a cada par de vetores u, v em V um vetor u + v ∈ V ;

• Multiplicacao por escalar: que associa a cada escalar a ∈ IK e cada vetor u ∈ V um vetora.u ∈ V ,

as quais possuem as seguintes propriedades:

27

28 CAPITULO 2

EV.1) u + v = v + u ∀u, v ∈ V

EV.2) u + (v + w) = (u + v) + w ∀u, v, w ∈ V

EV.3) Existe um unico vetor 0 ∈ V , chamado o VETOR NULO, tal que u + 0 = u ∀u ∈ V

EV.4) Para cada vetor u ∈ V , existe um unico vetor −u ∈ V tal que u + (−u) = 0 (nulo)EV.5) 1.u = u ∀u ∈ V

EV.6) (a.b).u = a.(b.u) ∀a, b ∈ IK, ∀u ∈ V

EV.7) a.(u + v) = a.u + a.v ∀a ∈ IK, ∀u, v ∈ V

EV.8) (a + b).u = a.u + b.u ∀a, b ∈ IK, ∀u ∈ V

Exemplos:

A) Consideremos o conjunto IR2 = {(x, y) : x, y ∈ IR} com as operacoes usuais de adicao e demultiplicacao por escalar:

(x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2) ∀(x1, y1), (x2, y2) ∈ IR2

a.(x, y) = (ax, ay) ∀a ∈ IR, ∀(x, y) ∈ IR2

Identificamos geometricamente IR2 com o plano cartesiano (estudado na geometria analıtica):

Figura 2.1: Um ponto (vetor) no plano cartesiano

IR2, com as operacoes usuais acima, e um espaco vetorial sobre o corpo IR.

Espacos Vetoriais 29

B) Consideremos o conjunto IR3 = {(x, y, z) : x, y, z ∈ IR} com as operacoes usuais de adicao e demultiplicacao por escalar:

(x1, y1, z1) + (x2, y2, z2) = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2) ∀(x1, y1, z1), (x2, y2, z2) ∈ IR3

a.(x, y, z) = (ax, ay, az) ∀a ∈ IR, ∀(x, y, z) ∈ IR3

Identificamos geometricamente IR3 com o espaco euclidiano “tridimensional”:

Figura 2.2: Um ponto (vetor) no espaco tridimensional

IR3, com as operacoes usuais acima, e um espaco vetorial sobre o corpo IR.

C) Consideremos o conjunto IRn = {(x1, x2, ..., xn) : xi ∈ IR, i = 1, ..., n}, onde esta fixado n ∈ IN,com as operacoes:

(x1, ..., xn) + (y1, ..., yn) = (x1 + y1, x2 + y2, ..., xn + yn) ∀ (x1, x2, ..., xn), (y1, y2, ..., yn) ∈ IRn

a.(x1, x2, ..., xn) = (ax1, ax2, ..., axn) ∀a ∈ IR, ∀ (x1, x2, ..., xn) ∈ IRn

IRn, com as operacoes usuais acima, e um espaco vetorial sobre o corpo IR.

n = 1 ⇒ IR (reta) n = 2 ⇒ IR2 (plano) n = 3 ⇒ IR3 (espaco tridimensional)

Observacao: Analogamente, considerando Cn = {(x1, x2, ..., xn) : xi ∈ C, i = 1, ..., n}(n ∈ IN fixado) com as operacoes usuais, temos que Cn e um espaco vetorial sobre C.

D) Fixados m,n ∈ IN, o conjunto Mm×n(IK) das m× n matrizes sobre um corpo IK (IR ou C), comas operacoes usuais de adicao e de multiplicacao por escalar, e um espaco vetorial sobre o corpo IK.

30 CAPITULO 2

E) O conjunto P (IK) = {anxn + ... + a1x + a0 : ai ∈ IK} dos polinomios sobre um corpo IK (IR ouC), com as operacoes usuais de adicao e de multiplicacao por escalar, e espaco vetorial sobre o corpo IK.

F) Seja X um conjunto nao vazio. Fixado um corpo IK (IR ou C), consideremos o conjuntoF(X; IK) = {f : X → IK} das funcoes de X em IK, com as seguintes operacoes:

Dadas f, g ∈ F(X; IK), definimos (f + g) : X → IK como (f + g)(x) = f(x) + g(x) ∀ x ∈ X.

Dados a ∈ IK e f ∈ F(X; IK), definimos (af) : X → IK como (af)(x) = a.f(x) ∀ x ∈ X.

F(X; IK), com as operacoes acima, e um espaco vetorial sobre o corpo IK.

G) Consideremos o conjunto IR∞ = {(x1, x2, x3, ...) : xi ∈ IR, i = 1, 2, 3, ...}, com as operacoes:

(x1, x2, x3, ...) + (y1, y2, y3, ...) = (x1 + y1, x2 + y2, x3 + y3, ...) ∀ (x1, x2, ...), (y1, y2, ...) ∈ IR∞

a.(x1, x2, x3, ...) = (ax1, ax2, ax3, ...) ∀a ∈ IR, ∀ (x1, x2, ...) ∈ IR∞

IR∞, com as operacoes acima, e um espaco vetorial sobre o corpo IR.

H) Consideremos IR2 com as seguintes operacoes:(x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2) ∀ (x1, y1), (x2, y2) ∈ IR2

a(x, y) = (ax, y) ∀ a ∈ IK, ∀(x, y) ∈ IR2

Com estas operacoes, IR2 nao e um espaco vetorial sobre IR.

De fato, tomando a = 1, b = −3 ∈ IR e u = (2, 5) ∈ IR2 , temos (a + b).u = (−2).u = (−4, 5)mas a.u + b.u = (2, 5) + (−6, 5) = (−4, 10) e assim o conjunto IR2 , COM AS OPERACOESACIMA, nao possui a propriedade (EV.8), nao sendo portanto um espaco vetorial.

Algumas consequencias “imediatas” da definicao de espaco vetorial:

(a) Se w + u = w + v entao u = v ;

Como existe (−w) no espaco tal que w +(−w) = 0 , temos: w +u = w +v ⇒ (−w)+(w +u) =(−w) + (w + v) ⇒ (−w + w) + u = (−w + w) + v ⇒ 0 + u = 0 + v ⇒ u = v.

(b) Se 0 e o vetor nulo e a ∈ IK e um escalar qualquer, entao a.0 = 0 ;

Temos: (a.0) + 0 = a.0 = a.(0 + 0) = a.0 + a.0 e daı segue de (a) acima que 0 = a.0 .

(c) Dados 0 ∈ IK e u ∈ V , temos 0.u = 0 ;

Temos: (0.u) + 0 = 0.u = (0 + 0).u = 0.u + 0.u e daı segue de (a) acima que 0 = 0.u .


(d) Se a.v = 0 entao a = 0 (zero) ou v = 0 (vetor nulo) ;

Se a 6= 0 entao a possui um inverso multiplicativo a−1 e assim temos: 0 = a−1.0 = a−1.(a.v) =(a−1.a).v = 1.v = v e portanto a = 0 ou v = 0.

(e) (−1).u = −u .

(−1).u + u = (−1).u + 1.u = (−1 + 1).u = 0.u = 0 e como o inverso aditivo do vetor u e unicodevemos ter necessariamente (−1).u = −u

Exercıcios:

1) Descreva o vetor nulo de cada um dos espacos vetoriais abaixo (nos quais sao consideradas asoperacoes usuais de adicao de vetores e de multiplicacao por escalar) :

(a) IR2 (b) IR3 (c) IRn (d) Cn (e) M2×3 (C)

(f) P (IR) (polinomios com coeficientes em IR)

(g) F (IR) = {f : IR → IR} (funcoes de IR em IR)

2) Em cada item abaixo definimos em IR2 operacoes de adicao de vetores e de multiplicacao porescalar com as quais IR2 nao e espaco vetorial. Mostre (atraves de contra-exemplos), em cadacaso, quais propriedades de espacos vetoriais nao sao atendidas pelas operacoes dadas:

(a) (x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, 2y1 + 2y2)a.(x, y) = (ax, ay)

(b) (x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2)a.(x, y) = (ay, ax)

3) Seja V = {(1, x, 2) ; x ∈ IR} munido das operacoes:

(1, x1, 2) + (1, x2, 2) = (1, x1 + x2, 2) ∀ (1, x1, 2), (1, x2, 2) ∈ V

a.(1, x, 2) = (1, ax, 2) ∀ a ∈ IR, ∀ (1, x, 2) ∈ V

Mostre que V e um espaco vetorial sobre o corpo IR e obtenha o vetor nulo de V .

2.2 Subespacos Vetoriais

Definicao 2.2. Seja V um espaco vetorial sobre um corpo IK. Um subconjunto W ⊂ V e ditoum SUBESPACO VETORIAL DE V quando W tambem e um espaco vetorial se considerarmos W

munido das mesmas operacoes de adicao de vetores e de multiplicacao por escalar definidas em V .

32 CAPITULO 2

Teorema 2.3. Sejam V um espaco vetorial sobre um corpo IK e W ⊂ V .W e um subespaco vetorial de V se, e somente se:(i) O vetor nulo de V pertence a W (0 ∈ W )(ii) Dados u, v ∈ W , entao u + v ∈ W

(iii) Dados u ∈ W e a ∈ IK, entao a.u ∈ W .

Exemplos:

A) Seja W = {(x,−2x) : x ∈ IR} ⊂ IR2 (operacoes usuais). W e um subespaco vetorial do IR2.

E claro que o vetor nulo do IR2 , (0, 0) , per-tence a W . (1)

Dados u = (x,−2x) e v = (y,−2y) em W ,temos u + v = (x + y,−2x− 2y) ∈ W . (2)

Dados u = (x,−2x) e a ∈ IR , temosa.u = (ax,−2ax) ∈ W . (3)

Por (1), (2) e (3) segue (do Teorema acima)que W e subespaco vetorial do IR2 .

Figura 2.3: Subespaco W ⊂ IR2

B) Seja S = {(x, x2) : x ∈ IR} ⊂ IR2. S nao e subespaco do IR2.

Se tomarmos a = 3 ∈ IR e u = (−2, 4) ∈ S ,temos a.u = (−6, 12) 6∈ S .

Assim o subconjunto S nao atende ao item(iii) do Teorema acima e portanto S nao e sub-espaco vetorial do IR2 .

Figura 2.4: O subconjunto S ⊂ IR2 nao e sub-espaco vetorial do IR2


C) Seja W = {(x1, 0, x3, x4) : x1, x3, x4 ∈ IR} ⊂ IR4. W e um subespaco do IR4.

E imediato que o vetor nulo do IR4, (0, 0, 0, 0), pertence a W . (1)Dados u = (x1, 0, x3, x4), v = (y1, 0, y3, y4) ∈ W , temos u+v = (x1 +y1, 0, x3 +y3, x4 +y4) ∈ W .(2)Dados a ∈ IR e u = (x1, 0, x3, x4) ∈ W , temos a.u = (ax1, 0, ax3, ax4) ∈ W . (3)Por (1), (2) e (3) segue que W e subespaco vetorial do IR4.

D) Sejam W =

X =

x1

x2

...xn

tais que AX = O

⊂ Mn×1(IR) , A ∈ Mm×n(IR) fixada.

W e o conjunto solucao do sistema linear homogeneo AX = O. W e subespaco de Mn×1(IR).

De fato, e claro que o vetor nulo de Mn×1(IR), a n× 1 matriz nula, pertence a W , pois todo sistemalinear homogeneo admite trivialmente a matriz nula como solucao. (1)Se X1 , X2 ∈ W , temos A(X1 + X2) = AX1 + AX2 = O + O = O e assim X1 + X2 ∈ W . (2)Dados a ∈ IR e X ∈ W , temos A(aX) = a(AX) = aO = O e assim aX ∈ W . (3)Por (1), (2) e (3) segue que W e subespaco vetorial de Mn×1(IR).

E) Se A e uma 3× 3 matriz sobre IR e Y 6=

000

entao o conjunto solucao do sistema nao-

homogeneo AX = Y dado por W =

X =

x

y

z

tais que AX = Y

⊂ M3×1(IR) nao e um sub-

espaco de M3×1(IR).

E imediato que a 3 × 1 matriz nula (vetor nulo de M3×1(IR)) nao pertence a W , pois um sistemalinear nao-homogeneo nao admite a matriz nula como solucao. Portanto o conjunto solucao de umsistema linear nao homogeneo nao e um subespaco vetorial (resultado geral).

F) Uma n× n matriz A e dita simetrica quando At = A (A e igual a sua transposta).

Seja W = {A2×2 : At = A} ⊂ M2×2(IR), ou seja, W =

{[a b

b c

]: a, b, c ∈ IR

}.

Entao W (conjunto das 2× 2 matrizes simetricas sobre IR) e um subespaco de M2×2(IR).

Nao e difıcil verificar que a 2×2 matriz nula e simetrica, a soma de matrizes simetricas e uma matrizsimetrica e a multiplicacao de uma matriz simetrica por um escalar qualquer resulta em uma matrizsimetrica. Portanto, o conjunto W das 2×2 matrizes simetricas e um subespaco vetorial de M2×2(IR) .

34 CAPITULO 2

G) Seja P3(IK) = {a0 + a1x + a2x2 + a3x

3 : ai ∈ IK} ⊂ P (IK) o conjunto dos polinomios de grau ≤ 3sobre um corpo IK (IR ou C). P3(IK) e um subespaco vetorial de P (IK).

O polinomio nulo o(x) = 0 (vetor nulo de P (IK) ) pertence a P3(IK) . A soma de dois polinomiosde grau menor ou igual a tres e ainda um polinomio de grau menor ou igual a tres. A multiplicacaode um polinomio de grau menor ou igual a tres por um escalar qualquer e ainda um polinomio degrau menor ou igual a tres. Assim, P3(IK) e subespaco vetorial de P (IK) .

H) Seja A = {f : IR → IR tais que f(−x) = f(x) ∀x ∈ IR} ⊂ F(IR) o subconjunto das funcoes pares.A e um subespaco de F(IR). Analogamente, o subconjunto das funcoes ımpares em F(IR), dado porB = {f : IR → IR tais que f(−x) = −f(x) ∀x ∈ IR}, tambem e um subespaco vetorial de F(IR).

De fato: (1) A funcao nula o : IR → IR dada por o(x) = 0 para todo x ∈ IR e uma funcao par.(2) Se f e g sao funcoes pares, temos: (f + g)(−x) = f(−x) + g(−x) = f(x) + g(x) = (f + g)(x) eassim f + g e tambem uma funcao par. (3) Se f e uma funcao par e a um escalar qualquer, temos(af)(−x) = a.f(−x) = a.f(x) = (af)(x) e assim (af) e tambem uma funcao par.Por (1), (2) e (3) segue que o conjunto das funcoes pares A e um subespaco vetorial do espaco detodas as funcoes de IR em IR. O resultado para B (funcoes ımpares) e analogo.

I) Consideremos o espaco IR∞ de todas as sequencias de numeros reais. Denotaremos por coo osubconjunto de IR∞ formado pelas sequencias que tem um numero FINITO de termos nao nulos, ouseja, as sequencias que sao nulas a partir de um determinado termo.Por exemplo: (1,−3, π, 0,

√2, 0, 0, 0, . . .) ∈ coo e (1, 1, 1, . . . , 1, . . .) 6∈ coo.

coo e um subespaco vetorial de IR∞.

E claro que a sequencia nula (0, 0, 0, . . . , 0, . . .) (vetor nulo de IR∞ ) pertence a coo, a soma de duassequencias em coo e uma sequencia em coo e a multiplicacao de uma sequencia em coo por um escalarqualquer e ainda uma sequencia em coo.Portanto coo e subespaco vetorial de IR∞ .

Observacoes:

1. Fixado u ∈ V , o conjunto W = {a.u : a ∈ IK} ⊂ V e um subespaco vetorial de V . (exercıcio)

2. O subconjunto W = {0} ⊂ V , formado apenas pelo vetor nulo 0 ∈ V , e um subespaco de V ,denominado SUBESPACO NULO. (imediato)

3. Todo espaco V e subespaco de si mesmo. (imediato)

4. Os subespacos V e {0} de V sao denominados SUBESPACOS TRIVIAIS.


Exercıcios:

1) Considere C2 = {(x, y) ; x, y ∈ C} que, com as operacoes usuais de adicao de vetores e demultiplicacao por escalar, e espaco vetorial sobre o corpo C.Temos que IR2 = {(x, y) ; x, y ∈ IR} ⊂ C2 . IR2 e subespaco vetorial de C2 ? Justifique.

2) Considere os espacos V dados abaixo munidos das operacoes usuais de adicao de vetores e demultiplicacao por escalar. Para cada caso abaixo, responda se W e subespaco vetorial de V e proveque sua resposta esta correta:

(a) V = IR2 , W ={(x, x3) ; x ∈ IR

}(ilustre geometricamente)

(b) V = IR2 , W = {(3y, y) ; y ∈ IR} (ilustre geometricamente)

(c) V = IR2 , W = {(x, 3x) ; x ∈ IR ; x ≥ 0} (ilustre geometricamente)

(d) V = IR2 , W = {(x, 2x− 1) ; x ∈ IR} (ilustre geometricamente)

(e) V = IR3 , W = IR2

(f) V = IR3 , W ={(x, y, z) ∈ IR3 ; y = 3z − x

}(g) V = IR3 , W = {(3a− b, 2a + b, a− 2b) ; a, b ∈ IR}

(h) V = IR3 , W e o conjunto dos vetores do IR3 com pelo menos uma coordenada ≥ 0

(i) V = IR4 , W ={(x, y, z, w) ∈ IR4 ; 2x + y − w = 0 e z = 0

}(j) V = C4 , W e o conjunto dos vetores do C4 que tem pelo menos duas coordenadas iguais

(k) V = IR4 , W = {(x, y, x, z) ; x, y, z ∈ IR}

(l) V = IR5 , W e o conjunto dos vetores do IR5 com duas ou mais coordenadas nulas

(m) V = C3 , W ={(x, y, z) ∈ C3 ; x.y = 0

}(n) V = IRn , W = {(x, 2x, 3x, . . . , nx) ; x ∈ IR}

(o) V = M2×2(C) , W =

{ [a 00 b

]; a, b ∈ C

}(p) V = M3×3(IR) , W e o conjunto das matrizes triangulares superiores

(q) V = M2×3(C) , W e o conjunto das 2 × 3 matrizes sobre C que tem alguma coluna formada

36 CAPITULO 2

por elementos iguais.

(r) V = M2×2(C) , W ={A ∈ V ; At = −A

}(matrizes anti-simetricas)

(s) V = M4×4(IR) , W = {A ∈ V ; det A = 0}

(t) V = M2×2(IR) , W =

{ [0 10 a

]; a ∈ IR

}(u) V = P (IR) , W e o conjunto dos polinomios de grau par, acrescido do polinomio nulo

(v) V = F(IR) , W = {f : IR → IR ; f(−7) = 0}

(w) V = F(IR) , W = {f : IR → IR ; f(1) = 1}

(x) V = F(IR) , W = {f : IR → IR ; f(x + 2π) = f(x) ∀ x ∈ IR} (conjunto das funcoes periodicasde perıodo 2π)

(y) V = IR∞ , W = `∞ = conjunto das sequencias LIMITADAS de numeros reais, ou seja,(x1, x2, x3, . . .) esta em `∞ quando existir algum numero real M tal que |xi| ≤ M para todos ostermos xi da sequencia.

Por exemplo:(

1,12

,13

,14

,15

, . . .

)∈ `∞ e (1,−2, 1,−4, 1,−6, 1,−8, 1,−10, 1, . . .) 6∈ `∞.

(z) V = IR∞ , W e o conjunto das sequencias de numeros reais que tem uma quantidade INFINITAde termos iguais a zero.

Nosso objetivo agora sera construir subespacos a partir de outros subespacos dados. Como sub-espacos sao ainda subconjuntos dos espacos vetoriais nos quais estao inseridos, e natural tentarmosusar as operacoes de intersecao, uniao entre conjuntos para tentar produzir outros subespacos:

Teorema 2.4 (Intersecao de subespacos). Se W1 e W2 sao subespacos de um espaco vetorial V ,entao sua intersecao W1 ∩W2 e tambem um subespaco de V .

Observacao: O resultado acima pode ser generalizado para intersecao de uma famılia qualquer(finita ou infinita) de subespacos vetoriais de V .


Exemplos:

A) Consideremos os conjuntos W1 = {(x, y, z) ∈ IR3 ; 3x− y + 2z = 0} ⊂ IR3 eW2 = {(x, y, z) ∈ IR3 ; x + 2y + z = 0} ⊂ IR3, subespacos de IR3 (veja exemplo D).

E facil ver que a intersecao W1 ∩W2 e dada por

W1 ∩W2 ={

(x, y, z) ∈ IR3 ; 3x− y + 2z = 0 e x + 2y + z = 0}

(a intersecao e solucao de um sistema linear homogeneo com as duas equacoes acima).Resolvendo o sistema, chegamos a W1 ∩ W2 = { (5y, y,−7y) ; y ∈ IR} = { y.(5, 1,−7) ; y ∈ IR} .Note que W1 ∩W2 e de fato um subespaco do IR3 (uma reta passando pela origem) e que este resul-tado era esperado, uma vez que W1 e W2 sao dois planos nao-paralelos no IR3.

B) Sejam W1 =

{[a b

c 0

]; a, b, c ∈ C

}, W2 =

{[a 00 b

]; a, b ∈ C

}⊂ M2×2(C).

W1 e W2 sao subespacos de M2×2(C) (verifique!). Obtenha W1 ∩W2.

Pela simples descricao dos subespacos W1 e W2 chegamos diretamente a

W1 ∩W2 =

{[a 00 0

]; a ∈ C

}

Observacao: Com a intersecao de subespacos, obtemos naturalmente novos subespacos MENORESque os dados. Se pretendemos, indo em outra direcao, obter subespacos MAIORES que certos sube-spacos dados, somos naturalmente levados a tentar fazer a uniao de subespacos. Porem, e facil obtercontra-exemplos (tente) para mostrar que EM GERAL A UNIAO DE SUBESPACOS NAO E UMSUBESPACO. Por este motivo, se desejamos obter subespacos maiores que certos subespacos dados,devemos usar o conceito de SOMA DE SUBESPACOS:

Definicao 2.5. Dados k subconjuntos S1, S2, ..., Sk ⊂ V (espaco vetorial), definimos sua SOMA como

S1 + S2 + ... + Sk = {v = u1 + u2 + ... + uk : ui ∈ Si} ⊂ V .

Teorema 2.6 (Soma de subespacos). Se W1 e W2 sao subespacos de um espaco vetorial V , entaosua soma W1 + W2 e tambem um subespaco de V .

Observacao: O resultado acima e imediato tambem para a soma W1 + ... + Wk de uma colecaofinita de subespacos de V .

38 CAPITULO 2

Definicao 2.7. Sejam W1 e W2 dois subespacos de um espaco V . Quando W1 ∩ W2 = {0} entaoW1 + W2 e chamada SOMA DIRETA DE W1 E W2 e denotada por W1 ⊕W2.

Exemplos:

A) Sejam W1 =

{[a b

c 0

]; a, b, c ∈ C

}, W2 =

{[a 00 b

]; a, b ∈ C

}⊂ M2×2(C).

Ja temos W1 + W2 ⊂ M2×2(C) . (1)

Dada qualquer matriz A =

[a b

c d

]∈ M2×2(C), temos A = A1 + A2 , com

A1 =

[0 b

c 0

]∈ W1 e A2 =

[a 00 d

]∈ W2

ou seja, A ∈ W1 + W2 . Daı resulta M2×2(C) ⊂ W1 + W2 . (2)Por (1) e (2) podemos concluir que W1 + W2 = M2×2(C) e essa soma nao e direta, pois (ja vimosque) W1 ∩W2 6= {0} .

B) Sejam W1 = {(x, y, 0) : x, y ∈ IR} e W2 = {(0, 0, z) : z ∈ IR} subespacos do IR3.Ja temos W1 + W2 ⊂ IR3 . (1)Dado qualquer vetor u = (x, y, z) ∈ IR3, temos u = u1 + u2, com

u1 = (x, y, 0) ∈ W1 e u2 = (0, 0, z) ∈ W2

ou seja, u ∈ W1 + W2 . Daı resulta IR3 ⊂ W1 + W2 . (2)Por (1) e (2) podemos concluir que W1 +W2 = IR3 e essa soma e direta, pois W1∩W2 = {(0, 0, 0)} .Escrevemos entao IR3 = W1 ⊕W2 .

Exercıcios:

1) Sejam W1 ={(x, y, z, t) ∈ IR4 ; x + y = 0 e z − t = 0

}e

W2 ={(x, y, z, t) ∈ IR4 ; x− y − z + t = 0

}(subespacos de IR4). Determine W1 ∩W2.

2) Sejam W1 ={(x, y, z, t) ∈ IR4 ; 2x + y − t = 0 e z = 0

}e

W2 ={(x, y, z, t) ∈ IR4 ; x + y = 0 e z − t = 0

}(subespacos de IR4). Determine W1 ∩W2.

3) Sejam W1 = {(x, y, 0) ; x, y ∈ IR} , W2 = {(z, z, z) ; z ∈ IR} ⊂ IR3.Mostre que W1 e W2 sao subespacos de IR3 e que IR3 = W1 ⊕W2.

4) Dados u = (1, 2) e v = (−1, 2) , sejam W1 e W2 respectivamente as retas que passam pelaorigem de IR2 e contem u e v. Mostre que IR2 = W1 ⊕W2.


5) Sejam W1 =

{[a a

0 0

]; a ∈ IR

}, W2 =

{[b 00 b

]; b ∈ IR

}⊂ M2×2(IR).

Obtenha W1 + W2 e responda se esta soma e direta.

2.3 Combinacoes lineares: geracao de subespacos

Definicao 2.8. Seja V um espaco vetorial sobre um corpo IK. Uma COMBINACAO LINEAR dosvetores v1,v2, ..., vn ∈ V e um vetor

v = a1v1 + a2v2 + ... + anvn

onde a1, a2, ..., an sao escalares do corpo IK.

Exemplos:

A) Seja V = IR3. Consideremos os vetores v1 = (1, 2, 0) e v2 = (0, 1, 1).

O vetor u = (−3,−1, 5) e uma combinacao linear de v1 e v2, pois u = (−3).v1 + 5.v2 .De fato: (−3).(1, 2, 0) + 5.(0, 1, 1) = (−3,−6, 0) + (0, 5, 5) = (−3,−1, 5) = u .

Ja o vetor w = (2, 3,−3) nao e combinacao linear de v1 e v2, pois nao existem a, b ∈ IR taisque w = a.v1 + b.v2 .De fato, para que um vetor v = (x, y, z) ∈ IR3 seja combinacao linear de v1 e v2, devemos tera, b ∈ IR tais que (x, y, z) = a.(1, 2, 0) + b.(0, 1, 1) = (a, 2a + b, b) , ou seja, devemos ter

a = x

2a + b = y

b = z

Resolvendo o sistema acima (incognitas a e b), obtemos a = x, b = z, com y = 2x+z . Isto significaque, para que v = (x, y, z) seja combinacao linear de v1 e v2, devemos ter y = 2x + z e o vetorw = (2, 3,−3) nao satizfaz essa condicao (note que o vetor u = (−3,−1, 5) satisfaz).

B) Seja V = P (IR) (espaco dos polinomios em IR). Consideremos combinacoes lineares dos vetoresv1 = 1, v2 = x2, v3 = x3 .

O polinomio p(x) = 4x3 − x2 + 2 e uma combinacao linear dos polinomios v1, v2 e v3, poisp = 2.v1 + (−1).v2 + 4.v3 . E tambem facil ver que o polinomio q(x) = x3 − 4x2 + 2x − 7 nao ecombinacao linear de v1, v2 e v3.

40 CAPITULO 2

C) Seja M2×2(C). Sejam A =

[1 00 0

]e B =

[0 00 1

].

A matriz M =

[3i 00 −2

]e claramente uma combinacao linear das matrizes A e B acima, pois

M = 3i.A + (−2).B . E tambem facil ver que a matriz N =

[−3 i

0 1

]nao e combinacao linear de

A e B.

Note que as combinacoes lineares de A e B sao exatamente as matrizes da forma

[a 00 b

], ou seja,

as 2× 2 matrizes diagonais de numeros complexos.

O conjunto de todas as combinacoes lineares dos vetores de um subconjunto S ⊂ V e um sub-espaco de V , denominado SUBESPACO GERADO PELO CONJUNTO S e denotado por [S] .

Observacoes:

1. Se, em particular, S = {v1, v2, ..., vn} e finito , escrevemos W = [v1, v2, ..., vn] para denotar osubespaco gerado pelos vetores v1, v2, ..., vn.

2. Se W1 = [S1] e W2 = [S2] entao W1 + W2 = [S1 ∪ S2] (exercıcio: tente provar).

3. Se duas matrizes m×n em um corpo IK (IR ou C) sao linha-equivalentes, entao os espacos deIKn gerados pelos vetores linha de cada matriz sao exatamente os mesmos. Isto decorre do fato deque se duas matrizes sao linha-equivalentes, entao cada cada linha de cada uma delas e combinacaolinear das linhas da outra.

Por exemplo: Consideremos a matriz A =

1 −2 0−1 1 1−2 −1 5

. Ela e linha-equivalente a matriz

(escalonada-reduzida) B =

1 0 −20 1 −10 0 0

(verifique, escalonando a matriz A ate obter B).

Segue da observacao acima que o subespaco do IR3 gerado pelos vetores (1,−2, 0), (−1, 1, 1) e(−2,−1, 5) e o mesmo subespaco gerado por (1, 0,−2) e (0, 1,−1) (note que o vetor nulo (0, 0, 0) naotem efeito algum na geracao do subespaco).Note tambem que, como a matriz B e escalonada reduzida (e bem mais simples que A), fica maisfacil descrever as combinacoes lineares das linhas de B do que as combinacoes lineares das linhas deA, apesar de serem os mesmos conjuntos (subespaco gerado). Retomaremos essa ideia nos exemplosa seguir.


Exemplos:

A) Seja V = IR3. Sejam v1 = (1, 2, 0) e v2 = (0, 1, 1). W = [v1, v2] = ?

Ja vimos anteriormente que

W = [v1, v2] ={

(x, y, z) ∈ IR3 ; y = 2x + z}

= { (x, 2x + z, z) ; x, z ∈ IR}

Observemos que W (subespaco do IR3 gerado por v1 e v2 = conjunto de todas as combinacoeslineares de v1 e v2) e um plano que passa pela origem:

Figura 2.5: W = Subespaco gerado por v1 e v2

B) Seja S = {1, x, x2, x3} (conjunto de polinomios). O subespaco W = [1, x, x2, x3] ⊂ P (IR)gerado por S e o conjunto de todas as combinacoes lineares de 1, x, x2, x3 , ou seja...

[S] ={

ax3 + bx2 + cx + d ; a, b, c, d ∈ IR}

= P3(IR)

C) Dadas A =

[1 00 0

], B =

[0 00 1

]∈ M2×2(C), encontre W = [A,B].

Ja vimos que

W = [A,B] =

{ [a 00 b

]; a, b ∈ C

}

D) Dado qualquer (x, y, z) ∈ IR3, temos: (x, y, z) = x.(1, 0, 0) + y.(0, 1, 0) + z.(0, 0, 1) e com issoIR3 ⊂ [(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)] . Como ja temos (trivialmente) [(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)] ⊂ IR3

podemos concluir que

[(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)] = IR3

42 CAPITULO 2

E) Seja V = M2×2(IR). Obtenha geradores para o seguinte subespaco de V :

W =

{ [a b

b 0

]; a, b ∈ IR

}⊂ M2×2(IR)

Temos:

W =

{ [a b

b 0

]; a, b ∈ IR

}=

{ [a 00 0

]+

[0 b

b 0

]; a, b ∈ IR

}=

=

{a.

[1 00 0

]+ b.

[0 11 0

]; a, b ∈ IR

}=

[ [1 00 0

],

[0 11 0

] ]

F) Obtenha geradores para o subespaco do IR3 dado por:

W ={

(x, y, z) ∈ IR3 ; 2x− y + 3z = 0}

Temos:

W ={

(x, y, z) ∈ IR3 ; 2x− y + 3z = 0}

= { (x, 2x + 3z, z) ; x, z ∈ IR } =

= { x(1, 2, 0) + z(0, 3, 1) ; x, z ∈ IR } = [(1, 2, 0), (0, 3, 1)]

G) Consideremos os vetores u1 = (1, 2, 0,−1), u2 = (1, 1,−1, 3), u3 = (1, 4, 2,−3) no IR4. Epossıvel obter um conjunto menor de geradores para o mesmo subespaco [u1, u2, u3] ⊂ IR4 ?

A resposta sera SIM se algum dos vetores acima for combinacao linear dos demais (pois neste caso naoprecisaremos dele para gerar o mesmo subespaco). Pensando nisso, vamos montar a matriz A cujaslinhas sao os vetores dados e escalona-la. A situacao em que algum dos vetores (linhas) e combinacaodos demais ocorre quando a unica matriz escalonada reduzida que e linha-equivalente a A possui umaou mais linhas nulas.

A =

1 2 0 −11 1 −1 31 4 2 −3

↔ . . . ↔

1 0 −2 00 1 1 00 0 0 1

Como a unica matriz escalonada reduzida que e linha-equivalente a A nao possui nenhuma linha nula,segue que nenhum dos vetores originais e combinacao linear dos demais e portanto neste caso nao epossıvel obter um conjunto menor de geradores para o subespaco W = [u1, u2, u3] .


Exercıcios:

1) Responda V ou F, justificando:

(a)

[4 −4

−6 16

]e combinacao linear de

[1 23 4

],

[−1 2

3 −4

],

[1 −2

−3 4

](b) (1,−1, 2) ∈ [(1, 2, 3), (3, 2, 1)]

(c) [(−5, 3, 2), (3,−1, 3)] = IR3

2) Descreva o subespaco W ⊂ M3×2(IR) gerado por

0 01 10 0

,

0 10 −11 0

,

0 10 00 0

.

O vetor

0 23 45 0

pertence a W ?

3) Sejam U o subespaco de IR3 gerado por (1, 0, 0) e W o subespaco de IR3 gerado por (1, 1, 0)e (0, 1, 1) . Mostre que IR3 = U ⊕W .

4) Sejam V = M3×3(C) , W1 o subespaco de V formado pelas matrizes triangulares inferiores eW2 o subespaco de V formado pelas matrizes triangulares superiores. Descreva W1 ∩W2. Mostreque V = W1 + W2. A soma V = W1 + W2 e direta ? Justifique. Obtenha conjuntos de vetores quegeram W1, W2 e W1 ∩W2.

5) Considere V = IR3. Exprima o vetor z = (1,−3, 10) como combinacao linear dos vetoresu = (1, 0, 0), v = (1, 1, 0), e w = (2,−3, 5). Responda: z ∈ [u, v] ? Justifique.

6) Dados os vetores u1 = (0, 1,−2), u2 = (−1, 0, 3), v1 = (1, 1, 1), v2 = (2,−1, 0) em IR3, descrevaos subespacos W1 = [u1, v1] , W2 = [u2, v2] , W1 ∩W2 e obtenha geradores de W1 ∩W2.

7) Seja W o subespaco de M2×2(C) definido por

W =

{ [2a a + 2b

0 a− b

]; a, b ∈ C

}[

0 −2i

0 i

]∈ W ?

[0 2

3i 1

]∈ W ?

[4i 40 −2 + 3i

]∈ W ?

8) Mostre que os polinomios 1 − x3, (1 − x)2, 1 − x e 1 geram o espaco P3(IR) dos polinomiosreais de grau ≤ 3.

44 CAPITULO 2

9) Dados os vetores v1 = (1, 2, 3), v2 = (1, 1, 1) e v3 = (1, 0,−1) no IR3, obtenha um conjuntomais simples (se possıvel menor) de vetores que gere o mesmo subespaco que v1, v2 e v3. A partir daı,descreva esse subespaco e responda se o vetor v = (2, 2, 1) esta nesse subespaco.

10) Para cada subespaco obtido no segundo exercıcio da primeira lista da Secao 2.2, da letra (a)ate a letra (u), obtenha um conjunto de vetores que gera o subespaco.

2.4 Dependencia e independencia linear

Definicao 2.9. Seja V um espaco vetorial sobre um corpo IK. Um conjunto nao-vazio S ⊂ V edito LINEARMENTE INDEPENDENTE (L.I.) quando nenhum vetor de S e combinacao linear dosdemais elementos de S, ou entao quando S e composto apenas de um vetor nao-nulo. Do contrario,ou seja, se S = {0} ou algum vetor de S e combinacao linear de outros vetores de S, entao S e ditoLINEARMENTE DEPENDENTE (L.D.)

O resultado abaixo facilita a identificacao da dependencia ou independencia linear.

Teorema 2.10. Um subconjunto S ⊂ V e linearmente independente (L.I.) se, e somente se, sempreque c1v1 + c2v2 + ... + cnvn = 0 com v1, v2, ..., vn ∈ S e c1, c2, ..., cn ∈ IK, entao obrigatoriamentec1 = c2 = ... = cn = 0, ou seja, “a unica combinacao linear de vetores de S capaz de produzir ovetor nulo, 0, e aquela em que todos os escalares sao iguais a 0 (zero)” .

Exemplos:

A) V = IR3, v1 = (1, 2, 0) e v2 = (0, 1, 1).

Se a.(1, 2, 0) + b.(0, 1, 1) = (0, 0, 0), temos (a, 2a + b, b) = (0, 0, 0) . Resolvendo o sistema linearhomogeneo, obtemos a = b = 0 obrigatoriamente e portanto os vetores (1, 2, 0) e (0, 1, 1) sao L.I.

B) V = IR3, S = { (1, 2, 0), (0, 1, 1), (−2,−3, 1) }.

Se a.(1, 2, 0) + b.(0, 1, 1) + c.(−2,−3, 1) = (0, 0, 0), temos (a− 2c, 2a + b− 3c, b + c) = (0, 0, 0), o quenos leva ao seguinte sistema linear homogeneo

a − 2c = 02a + b − 3c = 0

b + c = 0

o qual admite solucoes nao-triviais ( { (2c,−c, c) ; c ∈ IR} ). Portanto o conjunto S = { (1, 2, 0), (0, 1, 1), (2,−3, 1)}e L.D.


C) S = { (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1) } ⊂ IR3 e L.I.

D) “As linhas nao-nulas de uma m×n matriz linha reduzida a forma escada (escalonada-reduzida)sobre IK correspondem a um conjunto LI de vetores do IKn”.

Exemplo: Seja S = { (1, 0,−1 + 2i, 0), (0, 1, 3− i, 0), (0, 0, 0, 1)} ⊂ C4 . Como a 3× 4 matriz

A =

1 0 −1 + 2i 00 1 3− i 00 0 0 1

e escalonada-reduzida, segue da observacao acima que o conjunto S e L.I. (faca tambem as contasnesse exemplo e tente enxergar porque a observacao funciona).

Observacoes: (Consequencias imediatas da definicao)

1. Todo conjunto que contem o vetor nulo e LD.

2. Se S e LD e S ⊂ Q entao Q e LD.

3. Se S e LI e R ⊂ S entao R e LI.

Exercıcios:

1) Seja V um espaco vetorial sobre um corpo IK. Dados dois vetores u, v ∈ V , mostre que eles saolinearmente dependentes (LD) se, e somente se, um e multiplo escalar do outro.

2) Determinar tres vetores em IR3 que sejam linearmente dependentes e tais que dois quaisquer delessejam linearmente independentes.

3) Considere os espacos V dados abaixo munidos das operacoes usuais de adicao de vetores e demultiplicacao por escalar. Para cada caso abaixo, responda se S ⊂ V e um conjunto de vetores LI(linearmente independentes) ou LD (linearmente dependentes) em V .

(a) V = C3 , S = {(1, 1, 1), (i, 2i, i), (2, 1, 2)} .

(b) V = IR3 , S = {(1, 1, 1), (1, 2, 3), (1, 4, 9)} .

(c) V = IR3 , S = {(1, 2, 3), (2, 1,−2), (3, 1, 1), (4,−1,−2)} .

(d) V = IR2 , S = {(1, 1), (−1, 1)} .

(e) V = M2×2(C) , S =

{ [1 10 0

],

[1 00 1

],

[1 11 1

] }.

46 CAPITULO 2

(f) V = P (IR) , S ={

x3 − 5x2 + 1, 2x4 + 5x− 6, x2 − 5x + 2}.

(g) V = P2(C) , S ={1, x + i, (x + i)2

}.

2.5 Base e dimensao de um espaco vetorial

Definicao 2.11. Um conjunto β ⊂ V (espaco vetorial sobre um corpo IK) e dito ser uma BASE deV quando:

(i) β gera V (qualquer vetor de V e combinacao linear de vetores de β);

(ii) β e linearmente independente (LI).

Exemplos:

A) V = IR3 e α = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} .

Ja vimos que [α] = IR3 (α gera o IR3) e α e L.I. Portanto α e uma base do IR3 (a chamada BASECANONICA DO IR3).

B) V = IR2 e β = {(1, 1), (−1, 2)} .

β e L.I. (pois possui dois vetores e nenhum deles e multiplo escalar do outro). Para ver qual o espacogerado por β, vamos escalonar a matriz que tem os vetores de β como linhas:[

1 1−1 2

]↔

[1 10 3

]↔

[1 10 1

]↔

[1 00 1

]

Daı o espaco gerado por β e o mesmo espaco gerado por {(1, 0), (0, 1)} (base canonica do IR2), ouseja, β gera o IR2 todo. Portanto β e uma base do IR2.

C) Sejam W = [(1, 2, 0), (0, 1, 1), (−2,−3, 1)] e γ = {(1, 2, 0), (0, 1, 1), (−2,−3, 1)} .

Ja vimos que o espaco gerado por (1, 2, 0) e (0, 1, 1) e dado por { (x, 2x + z, z) ; x, z ∈ IR}. Sendoassim, e facil ver que (−2,−3, 1) esta neste espaco, ou seja, e combinacao linear dos demais vetores.Portanto o conjunto γ e L.D., nao sendo portanto base de W (apesar de gerar W ).


D) O conjunto δ = {(1, 2, 0), (0, 1, 1)} , apesar de ser claramente L.I., nao e base do IR3, poisele nao gera todo o IR3 (de fato, o subespaco gerado por δ tem necessariamente os vetores na forma(x, 2x + z, z) e nem todo vetor do IR3 e dessa forma).

E) Obtenha uma base de W =

{[a 00 b

]; a, b ∈ C

}⊂ M2×2(C) .

Ja vimos que W e gerado pelas matrizes A =

[1 00 0

]e B =

[0 00 1

], as quais formam um

conjunto claramente L.I., sendo portanto uma base de W .

F) Obtenha uma base para W = [(0, 1, 1, 0), (1, 1, 1, 2), (−1, 1, 1,−2)] . 0 1 1 01 1 1 2

−1 1 1 −2

↔ 1 1 1 2

0 1 1 00 2 2 0

↔ 1 0 0 2

0 1 1 00 0 0 0

Como as linhas de matrizes linha-equivalentes geram os mesmos espacos, temos que W e gerado pelosvetores (1, 0, 0, 2) e (0, 1, 1, 0), os quais sao L.I. (claro). Portanto o conjunto { (1, 0, 0, 2), (0, 1, 1, 0)}e uma base de W .

G) Sejam V = P (IR) e β = {1, x, x2, ..., xn, ...} .

E imediato que β gera P (IR) (todo polinomio em P (IR) e combinacao de polinomios de β) e nao edifıcil ver que β e L.I., sendo portanto uma base de P (IR).

Observacoes:

1. Todo espaco vetorial V 6= {0} possui uma base.

2. Se um espaco vetorial V possui uma base finita, dizemos entao que ele possui DIMENSAO FINITA.Caso contrario, diremos que V possui DIMENSAO INFINITA.

Teorema 2.12. Sejam v1, v2, ..., vn vetores nao-nulos que geram um espaco vetorial V . Entao, dentreestes vetores, podemos extrair uma base de V .

Prova: Se β = { v1, v2, . . . , vn} e L.I. entao este conjunto ja e uma base de V e portanto oresultado e valido. Se, por outro lado, o conjunto e L.D. entao algum desses vetores, digamos vi1 , ecombinacao linear dos demais e portanto desnecessario na geracao de V , ou seja, β1 = β − {vi1}ainda gera V (como vi1 e combinacao dos demais, podemos descarta-lo e ainda geraremos V com osdemais). Olhamos entao para β1 ⊂ β. Se β1 e L.I. entao este conjunto e uma base de V (contidaem β) e o resultado e valido. Se, por outro lado, β2 e L.D. entao algum de seus vetores, digamos

48 CAPITULO 2

vi2 , e combinacao linear dos demais e pelo mesmo raciocınio de antes β2 = β1 − {vi2} ainda gera V .Prosseguindo nessa linha, apos um numero finito de passos chegamos a um conjunto β′ ⊂ β que geraV e e L.I., ou seja, e uma base de V contida em β e obtemos assim o resultado pretendido.

Consequencias: (tente prova-las)

1a) Se um espaco vetorial V e gerado por um conjunto finito de vetores v1, v2, ..., vn. Entao qualquerconjunto com mais de n vetores e LD.

2a) Se V e um espaco vetorial de dimensao finita, entao qualquer base de V tem sempre o mesmonumero de elementos. Este numero e chamado DIMENSAO DE V , e denotado por dim V .

3a) Seja V um espaco vetorial de dimensao finita, com dim V = n. Se um conjunto β, com n vetores,gera V , entao β e LI e, portanto, uma base de V .

Exemplos:

A) V = IR3 .

Vimos que α = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} e base do IR3 (BASE CANONICA). Portanto o IR3 temdimensao finita, todas as bases do IR3 tem 3 vetores e dim IR3 = 3.

B) W =

{[a 00 b

]; a, b ∈ C

}.

Ja vimos que as matrizes A =

[1 00 0

]e B =

[0 00 1

], formam uma base de W .

Portanto W tem dimensao finita, todas as bases de W tem dois vetores e dim W = 2 .

C) P3(IR)

E imediato que{1, x, x2, x3

}e uma base de P3(IR). Portanto P3(IR) tem dimensao finita, todas as

bases de P3(IR) tem 4 vetores e dim P3(IR) = 4 .

D) Seja W = [ (1, 0, 0, 0), (1, 1, 0, 0), (2, 3, 0, 0), (1, 0, 0, 1) ] ⊂ IR4 .

Vamos obter uma base para W :1 0 0 01 1 0 02 3 0 01 0 0 1

↔

1 0 0 00 1 0 00 3 0 00 0 0 1

↔

1 0 0 00 1 0 00 0 0 10 0 0 0


Portanto {(1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0), (0, 0, 0, 1)} e uma base de W , W tem dimensao finita, todas as basesde W tem 3 vetores e dim W = 3.

Teorema 2.13. Seja V um espaco vetorial de dimensao finita. Qualquer conjunto de vetores LI emV pode ser completado de modo a formar uma base de V .

Prova: Seja β ⊂ V um conjunto L.I. Se β gera V entao β ja e uma base de V e o resultado evalido. Se, por outro lado, β nao gera V , entao existe pelo menos um vetor (nao-nulo) em V , digamosv1, tal que v1 nao pertence a [β] (espaco gerado por β). Como β ja era L.I. e v1 nao e combinacaolinear de vetores de β segue que β1 = β ∪ {v1} e um conjunto L.I. contendo β. Olhemos entao paraβ1. Se β1 (que e L.I) gera V , entao β1 e base de V contendo β e o resultado enunciado e valido. Se,por outro lado, β1 nao gera V , entao existe pelo menos um vetor (nao-nulo) em V , digamos v2, quenao pertence a [β1]. Pelo mesmo raciocınio de antes, segue que β2 = β1 ∪ {v2} e um conjunto L.I.Prosseguindo desta forma e como V tem dimensao finita, apos um numero finito de passos obtemosum conjunto L.I. β′ ⊃ β que gera V , ou seja, obtemos uma base de V contendo β e o resultado estaprovado.

Consequencias: (tente prova-las)

1a) Seja V um espaco vetorial de dimensao finita, com dim V = n. Se um conjunto β, com n vetores,e LI, entao β gera V e e portanto uma base de V .

2a) Sejam V um espaco vetorial de dimensao finita e W um subespaco de V (W ⊂ V ).Entao: W 6= V ⇔ dim W < dim V .

3a) Se S ⊂ V (espaco) tem n elementos e e LI, entao dim V ≥ n . Em particular, se existir umconjunto INFINITO e LI em V , entao V tem dimensao infinita.

Exemplos:

A) V = IR2 e β = {(1, 1), (−1, 2)} .

Sabemos que o IR2 tem dimensao 2. Como o conjunto β ⊂ IR2 tem 2 vetores e e claramente L.I.,segue que β gera o IR2 e e portanto uma base do IR2.

B) P2(C) e γ = {1, (x− i), (x− i)2} .

Sabemos que P2(C) tem dimensao 3 e como γ ⊂ P2(C) tem 3 vetores, provar que γ e L.I. e suficientepara concluirmos que γ gera P2(C) e e portanto uma base de P2(C).De fato, supondo a.1+b.(x−i)+c.(x−i)2 = 0 (polinomio nulo), obtemos a+bx−bi+c(x2−2xi−1) = 0

50 CAPITULO 2

e daı (a− bi− c) + (b− 2ci)x + cx2 = 0 , o que nos leva a

a− bi− c = 0b− 2ci = 0

c = 0

⇒ a = b = c = 0

Logo γ e L.I. e o resultado segue.

C) Verifique se IR4 = [(1,−1, 3,−1), (2, 1, 3, 0), (0, 1,−1, 1), (1, 3,−1, 2)] .

Seja W ⊂ IR4 o subespaco gerado pelos quatro vetores acima. Teremos W = IR4 se, e somente se,dim W = dim IR4 = 4. Vamos entao descobrir qual a dimensao de W obtendo uma base para W :

1 −1 3 −12 1 3 00 1 −1 11 3 −1 2

↔

1 −1 3 −10 3 −3 20 1 −1 10 4 −4 3

↔

1 0 2 00 1 −1 10 0 0 −10 0 0 −1

↔

1 0 2 00 1 −1 00 0 0 10 0 0 0

Assim dim W = 3 6= 4 = dim IR4 e portanto W ⊂ IR4 nao e todo o IR4.

D) Consideremos em IR∞ o seguinte conjunto INFINITO de vetores: S = {w1, w2, w3, . . .} ,comw1 = (1, 0, 0, 0, . . .)w2 = (0, 1, 0, 0, . . .)w3 = (0, 0, 1, 0, . . .)

...

O conjunto infinito S ⊂ IR∞ e claramente L.I. (verifique) e a partir disto podemos concluir que oespaco IR∞ (das sequencias de nuneros reais) tem dimensao infinita.

Teorema 2.14. Se W1 e W2 sao subespacos de dimensao finita de um espaco vetorial V , entaoW1 + W2 possui dimensao finita e

dim(W1 + W2) = dim W1 + dim W2 − dim (W1 ∩W2)

Exemplo: Se W1 = {(x,−x, y, z) : x, y, z ∈ IR} e W2 = {(a, b,−a, c) : a, b, c ∈ IR} (subespacosde IR4), obtenha W1 ∩W2, dim W1, dim W2 e dim W1 ∩W2 e responda se W1 + W2 = IR4.

W1 = {x.(1,−1, 0, 0) + y.(0, 0, 1, 0) + z.(0, 0, 0, 1) ; x, y, z ∈ IR} = [(1,−1, 0, 0), (0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 1)]e como os vetores geradores de W1 acima sao L.I. (mostre), entao eles formam uma base de W1 edim W1 = 3.W2 = { a.(1, 0,−1, 0) + b.(0, 1, 0, 0) + c.(0, 0, 0, 1) ; a, b, c ∈ IR} = [(1, 0,−1, 0), (0, 1, 0, 0), (0, 0, 0, 1)] ecomo os vetores geradores de W2 acima sao L.I. (mostre), entao eles formam uma base de W2 edim W2 = 3.


Agora: (W1 ∩W2) = { (x,−x,−x,w) ; x,w ∈ IR} = {x.(1,−1,−1, 0) + w.(0, 0, 0, 1) ; x,w ∈ IR} =[(1,−1,−1, 0), (0, 0, 0, 1)]. Estes dois ultimos vetores que geram W1∩W2 sao claramente L.I. (mostre)e portanto formam uma base de W1 ∩W2, sendo entao dim(W1 ∩W2) = 2.Finalmente, usando o Teorema anterior, temos:

dim(W1 + W2) = dim W1 + dim W2 − dim(W1 ∩W2) = 3 + 3− 2 = 4

Como W1 + W2 ⊂ IR4 tem dimensao igual a 4 = dim IR4 segue que W1 + W2 = IR4.

Exercıcios:

1) Mostre que

β =

{ [1 00 0

],

[0 10 0

],

[0 01 0

],

[0 00 1

] }e uma base de M2×2(IR) (espaco das 2× 2 matrizes reais).

2) V = C e (com as operacoes usuais) um espaco vetorial sobre o corpo IR (mostre se quiser).Determine uma base e sua dimensao.

3) Considere o subespaco de IR3 gerado pelos vetores v1 = (1, 1, 0), v2 = (0,−1, 1), e v3 = (1, 1, 1).[v1, v2, v3] = IR3 ? Justifique.

4) Seja W = [ v1 = (1,−1, 0, 0), v2 = (0, 0, 1, 1), v3 = (−2, 2, 1, 1), v4 = (1, 0, 0, 0) ] ⊂ IR4.(a) (2,−3, 2, 2) ∈ W ? Justifique.(b) Exiba uma base para W . Qual a dimensao ?(c) W = IR4 ? Por que ?

5) Considere os seguintes vetores do IR3 : v1 = (1, 2, 3), v2 = (2, 1,−2), v3 = (3, 1, 1), v4 = (4,−1,−2) .(a) Estes vetores sao LD. Justifique.(b) Expresse o vetor nulo como combinacao linear destes vetores, na qual os coeficientes da com-binacao nao sao todo iguais a zero.

6) Considere o sistema linear homogeneo

2x + 4y − 6z = 0x − y + 4z = 0

6y − 14z = 0

(a) Se W ⊂ IR3 e o subespaco solucao do sistema acima, obtenha uma base e a dimensao de W .(b) Se U ⊂ IR3 e o espaco gerado pelos vetores-linha da matriz de coeficientes do sistema acima,obtenha uma base e a dimensao de U .

52 CAPITULO 2

7) De exemplo de uma 3× 3 matriz sobre IR cujos vetores-linha geram um subespaco de IR3 DIFER-ENTE do espaco gerado pelos vetores-coluna.

8) Sejam W1 ={(x, y, z, t) ∈ IR4 ; x + y = 0 e z − t = 0

}e

W2 ={(x, y, z, t) ∈ IR4 ; x− y − z + t = 0

}subespacos de IR4.

(a) Determine W1 ∩W2

(b) Exiba uma base para W1 ∩W2

(c) Determine W1 + W2

(d) A soma W1 + W2 e direta ? Justifique.(e) W1 + W2 = IR4 ? Justifique.

9) Sejam W1 =

{ [a b

c d

]; a = d e b = c

}e W2 =

{ [a b

c d

]; a = c e b = d

}subespacos de M2×2(C).

(a) Determine W1 ∩W2 e exiba uma base.(b) Determine W1 + W2. e soma direta ?(c) W1 + W2 = M2×2(C) ?

10) Seja V = M2×2(IR) e seja W o subespaco de V gerado por

β =

{ [1 −5

−4 2

],

[1 1

−1 5

],

[2 −4

−5 7

],

[1 −7

−5 1

] }Encontre uma base e a dimensao de W .

11) Pode-se obter uma base para Pn(IR) formada por n + 1 polnomios de grau n ?

12) Ja mostramos que, em IR∞ , o conjunto INFINITO S = {w1, w2, w3, . . .} , com

w1 = (1, 0, 0, 0, . . .)w2 = (0, 1, 0, 0, . . .)w3 = (0, 0, 1, 0, . . .)

...

e LI e daı concluımos que IR∞ tem dimensao infinita.

Perguntamos agora: S e BASE de IR∞ ? Justifique.

13) Seja W o subespaco (plano) do IR3 formado pelos vetores v = (x, y, z) tais que x−2y+4z = 0.Obtenha uma base β = {u1, u2, u3} do IR3 tal que u1, u2 ∈ W .


14) Seja W o subespaco do IR4 gerado pelos seguintes vetores :

v1 = (1, 1, 3, 1), v2 = (1,−3, 15, 9), v3 = (1, 2, 0,−1) .(a) Obtenha uma base para W .(b) Complete essa base obtida na letra (a) ate que se tenha uma base para o IR4.

Teorema 2.15. Dada uma base β = {v1, v2, ..., vn} de um espaco vetorial V , cada vetor de V eescrito de uma unica maneira como combinacao linear de v1, v2, ..., vn.

Definicao 2.16. Fixemos uma base β = {v1, v2, ..., vn} de um espaco vetorial V (dim V = n).Dado v ∈ V , sabemos que existem escalares a1, a2, ..., an, unicos, tais que

v = a1v1 + a2v2 + ... + anvn.

Estes escalares a1, a2, ..., an sao chamados as COORDENADAS DE v EM RELACAO a BASEβ e a n× 1 matriz

[v]β =

a1

a2

...an

e dita a MATRIZ DAS COORDENADAS DE v EM RELACAO a BASE β.

Exemplos:

A) Sendo α = { (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} a BASE CANONICA do IR3 entao dado qualquer vetorv = (x, y, z) ∈ IR3 temos

v = x.(1, 0, 0) + y.(0, 1, 0) + z.(0, 0, 1) ⇒ [v]α =

x

y

z

B) Ja vimos que β = { (1, 1), (−1, 2)} e base do IR2. Dado, por exemplo, o vetor w = (−8, 1) ∈ IR2

temos

w = (−8, 1) = (−5,−5) + (−3, 6) = (−5).(1, 1) + 3.(−1, 2) ⇒ [w]β =

[−5

3

]

C) Ja vimos que as matrizes A =

[1 00 0

]e B =

[0 00 1

], formam uma base, que chamaremos

de γ, de W =

{[a 00 b

]; a, b ∈ C

}(subespaco de M2×2(C) formado pelas matrizes diagonais).

54 CAPITULO 2

Seja, por exemplo, M =

[−2i 00 4 + i

]∈ W . E claro que [M ]γ =

[−2i

4 + i

].

Sejam v um vetor de um espaco vetorial V , de dimensao finita, e α e β duas bases de V .

Existe alguma relacao entre [v]α e [v]β ? A resposta e ... SIM!

De fato:

Fixemos duas bases α = {v1, v2, . . . , vn} e β = {w1, w2, . . . , wn} de um espaco vetorial V dedimensao finita (dim V = n).

Dado um vetor v ∈ V existem, pelo teorema anterior, escalares c1, c2, . . . , cn, unicos, tais que

v = c1v1 + c2v2 + . . . + cnvn ⇒ [v]α =

c1

c2

...cn

Como cada vetor vi da base α pode ser escrito de uma unica forma como combinacao linear

dos vetores da base β, temos

v1 = a11w1 + a21w2 + . . . + an1wn

v2 = a12w1 + a22w2 + . . . + an2wn

...

vn = a1nw1 + a2nw2 + . . . + annwn

sendo cada aij determinado de modo unico. Logo

v = c1v1 + c2v2 + . . . + cnvn =

= c1(a11w1 + . . . + an1wn) + c2(a12w1 + . . . + an2wn) + . . . + cn(a1nw1 + . . . + annwn) =

= (a11c1 + . . . + a1ncn) w1 + (a21c1 + . . . + a2ncn) w2 + . . . + (an1c1 + . . . + anncn) wn

Portanto

[v]β =

a11c1 + . . . + a1ncn

a21c1 + . . . + a2ncn

...an1c1 + . . . + anncn

=

a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n

......

. . ....

an1 an2 . . . ann

.

c1

c2

...cn

=

a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n

......

. . ....

an1 an2 . . . ann

. [v]α

↑ ↑ ↑[v1]β [v2]β . . . [vn]β


Segue entao o ...

Teorema 2.17. Seja V um espaco vetorial de dimensao finita, com dim V = n.

Fixadas duas bases ordenadas α e β de V , existe uma unica n×n matriz [I]αβ (denominadaa MATRIZ DE MUDANCA DA BASE α PARA A BASE β ) tal que,para todo vetor v ∈ V :

[v]β = [I]αβ . [v]α

Mais ainda, a j-esima coluna da matriz [I]αβ e dada pelas coordenadas do j-esimo vetor da baseα em relacao a base β.

Consequencia importante:

[I]βα . [I]αβ = In×n = [I]αβ . [I]βα

Portanto [I]αβ e [I]βα sao invertıveis e uma e a inversa da outra.

Exemplos:

A) α = {(1, 0), (0, 1)} e β = {(1, 1), (−1, 2)} sao bases do IR2.Obtenha [I]αβ e : [(3,−5)]β , [(0, 1)]β , [(7, 4)]β .

Vamos obter [I]αβ usando que [I]αβ =([I]βα

)−1e que [I]βα pode ser obtida diretamente:

[I]βα =

[1 −11 2

]

Invertendo a matriz acima (faca as contas) obtemos:

[I]αβ =

[2/3 1/3

−1/3 1/3

]

e assim:

[(3,−5)]β = [I]αβ · [(3,−5)]α =

[2/3 1/3

−1/3 1/3

]·

[3−5

]=

[1/3−8/3

]

[(0, 1)]β = [I]αβ · [(0, 1)]α =

[2/3 1/3

−1/3 1/3

]·

[01

]=

[1/31/3

]

[(7, 4)]β = [I]αβ · [(7, 4)]α =

[2/3 1/3

−1/3 1/3

]·

[74

]=

[6−1

]

56 CAPITULO 2

B) Seja α = {(1, 0), (0, 1)} a base canonica do IR2 e seja β = {w1, w2} a base obtida pelarotacao da base α de um angulo θ. Obtenha [I]αβ .

Figura 2.6: Rotacao da Base Canonica

Temos (veja a figura acima):w1 = (cos θ, sen θ)

w2 = (cos(θ + π/2), sen (θ + π/2)) = (− sen θ, cos θ)

e assim obtemos diretamente

[I]βα =

[cos θ − sen θ

sen θ cos θ

]Invertendo a matriz acima chegamos finalmente a

[I]αβ =

[cos θ sen θ

− sen θ cos θ

]

Exercıcios:

1) Mostre que os vetores u = (i, 1) e v = (1, i) formam uma base de C2 e exprima cada um dosvetores e1 = (1, 0) e e2 = (0, 1) da base canonica de C2 como combinacao linear de u e v .

2) Mostre que β = {(1, 1, 1), (−1, 1, 0), (1, 0,−1)} e uma base do IR3 e obtenha as coordenadas deu = (1, 0, 0) em relacao a base β.


3) Sejam β = { (1, 0), (0, 1) } , β1 = { (−1, 1), (1, 1) } , β2 ={

(√

3, 1), (√

3,−1)}

eβ3 = { (2, 0), (0, 2) } bases ordenadas de IR2.

(a) Obtenha as matrizes de mudanca de base: (i) [I]β1

β (ii) [I]ββ1(iii) [I]ββ2

(iv) [I]ββ3

(b) Quais sao as coordenadas do vetor v = (3,−2) em relacao as bases β, β1, β2 e β3 ?

(c) As coordenadas de um vetor u em relacao a base β1 sao dadas por [u]β1=

[40

].

Quais sao as coordenadas de u em relacao as bases β, β2 e β3 ?

4) Sejam V = IR3, α e α′ bases ordenadas de IR3 e seja [I]α′

α =

1 1 00 −1 11 0 −1

.

Obtenha [u]α, se [u]α′ =

−123

e obtenha [w]α′ , se [w]α =

−123

.

5) Se β e a base canonica do IR2 e β′ e obtida de β pela rotacao por um angulo de −π/3 rad ,obtenha [I]β

′

β e [I]ββ′ .

6) Sejam β1 = { (1, 0), (0, 2) } , β2 = { (−1, 0), (1, 1) } , e β3 = { (−1,−1), (0,−1) } tres basesordenadas de IR2.

(a) Obtenha: (i) [I]β2

β1(ii) [I]β3

β2(iii) [I]β3

β1(iv) [I]β2

β1. [I]β3

β2

(b) Obtenha alguma relacao geral a partir das matrizes de mudanca de base acima.

7) Seja V o espaco das 2× 2 matrizes triangulares superiores sobre o corpo IR e sejam

β =

{ [1 00 0

],

[0 10 0

],

[0 00 1

] }e β1 =

{ [1 00 0

],

[1 10 0

],

[1 10 1

] }

duas bases de V . Obtenha [I]ββ1.

8) Mostre que o conjunto α ={

1, x− 1, x2 − 3x + 1}

e uma base de P2(IR). Sabemos queβ =

{1, x, x2

}e uma outra base do mesmo espaco (mostre). Obtenha [I]βα e exprima os polinomios

u = 2x2 − 5x + 6 e v = x2 + 3x− 4 como combinacao linear dos polinomios que formam a base α.

9) Determinar a matriz das coordenadas do vetor v = (1, 0, 1) em relacao a base do espaco vetorialC3 dada por β = { (2i, 1, 0), (2,−1, 1), (0, 1 + i, 1− i) }.

58 CAPITULO 2

Capıtulo 3

Transformacoes Lineares

Existem funcoes naturais entre espacos vetoriais: sao aquelas que “preservam” as operacoes deadicao de vetores e de multiplicacao de um vetor por um escalar. Estas funcoes sao as chamadastransformacoes lineares e iremos estuda-las neste terceiro capıtulo.

3.1 Definicao e exemplos

Definicao 3.1. Sejam V e W espacos vetoriais sobre um mesmo corpo IK e T uma funcao deV em W ( T : V → W ). Dizemos que T e uma TRANSFORMACAO LINEAR de V em W

quando satisfaz as seguintes condicoes:

TL.1 T (u + v) = T (u) + T (v) para todos u, v ∈ V

TL.2 T (k.u) = k.T (u) para todos k ∈ IK e u ∈ V .

Obs.: Quando V = W tambem dizemos que T e um OPERADOR LINEAR sobre V .

Exemplos:

A) Algumas transformacoes de IR em IR:Seja T : IR → IR definida por T (x) = a.x , a ∈ IR. T e uma transformacao linear.De fato: Dados x e y em IR, temos T (x + y) = a.(x + y) = a.x + a.y = T (x) + T (y) .Dados x ∈ IR e k ∈ IR temos T (k.x) = a.(k.x) = k.(a.x) = k.T (x) .

59

60 CAPITULO 3

Seja F : IR → IR definida por F (x) = a.x + b , a, b ∈ IR, b 6= 0. F nao e linear.De fato: Tomemos, por exemplo, os numeros 3 e 1. Temos F (3) = a.3 + b , F (1) = a.1 + b e assimF (3) + F (1) = a.4 + 2b 6= a.4 + b = F (3 + 1), pois b 6= 0. Portanto F nao e linear.

B) Seja T : IR2 → IR3 dada por T (x, y) = (3x, 0, x− y). T e transformacao linear.De fato: Dados u = (x1, y1), v = (x2, y2) ∈ IR2, temos T (u + v) = T (x1 + x2, y1 + y2) == (3.(x1 + x2), 0, (x1 + x2) − (y1 + y2)) = (3x1 + 3x2, 0, x1 − y1 + x2 − y2) = (3x1, 0, x1 − y1) +(3x2, 0, x2 − y2) = T (u) + T (v) .Se u = (x, y) ∈ IR2 e k ∈ IR, temos T (k.u) = T (kx, ky) = (3kx, 0, kx−ky) = k.(3x, 0, x−y) = k.T (u) .

C) Aplicacao Linear Nula:Seja O : V → W dada por O(v) = 0 (vetor nulo de W ), ∀ v ∈ V . O e linear:O(u + v) = 0 = 0 + 0 = O(u) + O(v) e O(k.u) = 0 = k.0 = k.O(u) .

D) Operador Identidade:Seja I : V → V definida por I(v) = v para todo v ∈ V .I e um operador linear (conhecido como Operador Identico ou Identidade):I(u + v) = u + v = I(u) + I(v) e I(k.u) = k.u = k.I(u) .

Obs.: Se T : V → W e linear, entao T (0) = 0 (vetor nulo de W )De fato, T (0) = T (0 + 0) = T (0) + T (0) ⇒ T (0) = 0.

(i) T (0) = 0 e condicao necessaria para que T seja linear, porem nao e suficiente:Exemplo: T : IR → IR dada por T (x) = x2 cumpre T (0) = 0 mas nao e linear pois, por exemplo,T (1 + 1) = T (2) = 4 6= 2 = T (1) + T (1).

(ii) Vale a contra-recıproca, ou seja, se T (0) 6= 0 entao T nao e linear.Exemplo: T : IR3 → IR2 dada por T (x, y, z) = (x, y− 5) . T (0, 0, 0) = (0,−5) nao e o vetor nulo doIR2 e portanto T nao pode ser linear.

E) Algumas aplicacoes que nao sao lineares:f1 : IR → IR dada por f1(x) = a.x + b, a, b ∈ IR, b 6= 0 : f1(0) = b 6= 0.f2 : IR → IR dada por f2(x) = cos x : f2(0) = cos 0 = 1 6= 0.f3 : IR → IR dada por f3(x) = senx : apesar de f3(0) = sen 0 = 0 temos, por exemplo,f3(π/2 + π/2) = f3(π) = 0 6= 1 + 1 = f3(π/2) + f3(π/2) e portanto f3 nao e linear.f4 : C3 → C2 dada por f4(x, y, z) = (2y, x + z + i) : f4(0, 0, 0) = (0, i) 6= (0, 0).

Transformacoes Lineares 61

F) Seja V = P (C) o espaco dos polinomios com coeficientes complexos.Seja D : V → V dada por D(a0 + a1x + a2x

2 + . . . + anxn) = a1 + 2.a2x + . . . + nanxn−1

D e um operador linear (Operador Derivacao). De fato, o operador derivacao D assim definidocorresponde a derivacao do Calculo aplicada as funcoes polinomiais e sabemos (do Calculo) que:D(p + q) = (p + q)′ = p′ + q′ = D(p) + D(q) e D(k.p) = (k.p)′ = k.p′ = k.D(p)

G) Seja V = C ([a, b] ; IR) o espaco das funcoes f : [a, b] → IR contınuas.

T : V → IR dada por T (f) =∫ b

af(x) dx e uma transformacao linear. Novamente do Calculo

temos:

T (f + g) =∫ b

a(f + g)(x) dx =

∫ b

a[f(x) + g(x)] dx =

∫ b

af(x) dx +

∫ b

ag(x) dx = T (f) + T (g) e

T (k · f) =∫ b

a(k.f)(x) dx =

∫ b

ak.f(x) dx = k.

∫ b

af(x) dx = k · T (f) .

H) Transformacoes do Plano no Plano:As aplicacoes do espaco IR2 em IR2 sao chamadas em geral de Transformacoes do Plano no Plano, epodem ser ou nao lineares. Destacaremos algumas em particular:

1a) Homotetia:

H : IR2 → IR2 |α| > 1 −→ H e dita uma Expansao

v 7→ T (v) = α.v , α ∈ IR |α| < 1 −→ H e dita uma Contracao

Figura 3.1: Homotetia

Para todo v = (x, y) ∈ IR2 : H(v) = α.v = α.(x, y) = (α.x, α.y)

Na forma de vetor-coluna:

[x

y

]H7−→

[α.x

α.y

]=

[α 00 α

].

[x

y

]

62 CAPITULO 3

2a) Reflexao em torno do eixo Ox:

Fx : IR2 → IR2

(x, y) 7→ Fx(x, y) = (x,−y)

Figura 3.2: Reflexao em torno do eixo Ox

ou seja:

[x

y

]Fx7−→

[x

−y

]=

[1 00 −1

].

[x

y

]

3a) Reflexao em torno da origem:

S : IR2 → IR2

v 7→ S(v) = −v

Figura 3.3: Reflexao em torno da origem

ou seja:

[x

y

]S7−→

[−x

−y

]=

[−1 0

0 −1

].

[x

y

]


4a) Rotacao de um angulo θ:Seja Rθ : IR2 → IR2 a rotacao de um angulo θ no sentido anti-horario:

Figura 3.4: Rotacao de um angulo θ

Dado v = (x, y) ∈ IR2, sejam:α = angulo de ~Ox para v no sentido trigonometrico,Rθ(v) = (xθ, yθ) = imagem de v pela transformacao Rθ er = |v| = modulo de v (imagem geometrica) ⇒ r = |Rθ| , x = r. cos α, y = r. senα

Temos:xθ = r. cos(α + θ) = r. cos α. cos θ − r. senα. sen θ = x. cos θ − y. sen θ

yθ = r. sen (α + θ) = r. senα. cos θ + r. cos α. sen θ = y. cos θ + x. sen θ

Logo:Rθ(x, y) = ( x. cos θ − y. sen θ, y. cos θ + x. sen θ )

Na forma matricial:

[x

y

]Rθ7−→

[cos θ − sen θ

sen θ cos θ

].

[x

y

]

Exemplo: Rotacao de π/2 rad (90o)

5a) Translacao (segundo um vetor (a, b) 6= (0, 0) ):

T : IR2 → IR2

(x, y) 7→ T (x, y) = (x + a, y + b)

ou seja:

[x

y

]T7−→

[x + a

y + b

]=

[1 00 1

].

[x

y

]+

[a

b

]

T (0, 0) = (a, b) 6= (0, 0) ⇒ T nao e linear.

64 CAPITULO 3

Exercıcios:

1) Responda, justificando, quais das funcoes abaixo sao transformacoes lineares:(a) f : IR2 → IR2 dada por f(x, y) = (x + y, x− y)(b) g : IR2 → IR dada por g(x, y) = x.y

(c) h : M2×2(C) → C dada por h(A) = det A ∀ A ∈ M2×2(C)

(d) L : M3×3(IR) → IR dada por L(A) = trA = traco de A = a11 + a22 + a33 =3∑

i=1

aii

(e) U : IR3 → IR3 dada por U(x, y, z) = (x2 − 3y, 5z, 0)(f) M : P2(C) → P3(C) dada por M(ax2 + bx + c) = ax3 + bx2 + cx

(g) S : IR4 → IR3 dada por S(x, y, z, w) = (y, z − w, 2y + z + 2w)

(h) N : IR3 → IR2 tal que (x, y, z) N7−→ [x y z ] .

1 20 −11 1

(i) R : IR2 → IR2 dada por R(x, y) = (x, 2y − 2x)(j) T : IR → IR dada por T (x) = |x|(k) ϕ : IR2 → IR dada por ϕ(x, y) = x− 2y + 3

2) Sejam V = M4×1(IR) , W = M3×1(IR) e T : V → W a transformacao linear dada porT (X) = A.X , sendo A uma 3× 4 matriz fixa sobre o corpo IR. Mostre que se T e a TransformacaoLinear Nula, entao A e a 3× 4 matriz nula O3×4.

3) Seja T : V → W uma transformacao linear. Se existe um vetor u ∈ V tal que T (u) = 0(vetor nulo de W ), podemos concluir entao que u = 0 (vetor nulo de V ) ? Justifique se for verdadeou apresente um contra-exemplo se for falso.

3.2 Resultados imediatos

Seja T : V → W uma transformacao linear de um espaco vetorial V em um espaco vetorial W .Temos entao:

(a) T (0) = 0. De fato: T (0) = T (0 + 0) = T (0) + T (0) ⇒ T (0) = 0 .

(b) T (−u) = −T (u) ∀ u ∈ V : T (−u) = T (−1.u) = (−1).T (u) = −T (u) .

(c) Se v = c1.v1 + c2.v2 + . . . + cl.vl ∈ V e combinacao linear (ci ∈ IK) dos vetores v1, v2, . . . , vl

entao temos:

T (v) = T (c1.v1 + . . . + cl.vl) = T (c1.v1) + . . . + T (cl.vl) = c1.T (v1) + c2.T (v2) + . . . + cl.T (vl)

Este ultimo resultado mostra que as transformacoes lineares “conservam” as combinacoes linearese sao portanto as funcoes naturais entre espacos vetoriais


Esta ultima caracterıstica e reforcada no exemplo a seguir:

Exemplo:

Seja T : IR3 → W uma transformacao linear do IR3 em um espaco vetorial W .

Temos que B = { e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0), e3 = (0, 0, 1) } e a base canonica do IR3.

Dado qualquer vetor v ∈ IR3, temos:

v = (x, y, z) = x.(1, 0, 0) + y.(0, 1, 0) + z.(0, 0, 1) = x.e1 + y.e2 + z.e3 , com x, y, z ∈ IR.

Ora, temos T (v) = T (x.e1 +y.e2 +z.e3) = x.T (e1)+y.T (e2)+z.T (e3) , ou seja, qualquer trans-formacao linear do IR3 fica completamente determinada por sua atuacao nos vetores dabase {e1, e2, e3}. Por exemplo: T (−3, 5, 0) = −3.T (e1) + 5.T (e2) + 0.T (e3).

Tentaremos agora generalizar este resultado:

Teorema 3.2. Consideremos espacos vetoriais V e W sobre um mesmo corpo IK e sejaB = { v1, v2, . . . , vn } uma base de V (dim V = n). Entao, dados n elementos arbitrarios (naonecessariamente distintos) w1, w2, . . . , wn ∈ W , EXISTE UMA UNICA TRANSFORMACAOLINEAR T : V → W TAL QUE T (vi) = wi ∀ i = 1, . . . , n.

Demonstracao:

(Existencia) Dado v = a1v1 + a2v2 + . . . + anvn (ai ∈ IK) ∈ V , defina:

T (v) = a1w1 + a2w2 + . . . + anwn .

T e linear:

(i) ∀ u = a1v1 + . . . + anvn e v = b1v1 + . . . + bnvn ∈ V temos:

T (u + v) = T ( (a1 + b1)v1 + . . . + (an + bn)vn ) = (a1 + b1)w1 + . . . + (an + bn)wn =

= T (u) + T (v)

(ii) ∀ k ∈ IK e v = b1v1 + . . . + bnvn ∈ V temos:

T (k.v) = T (ka1v1 + . . . + kanvn) = ka1w1 + . . . + kanwn = k.T (v)

E tambem imediato que T (vi) = wi ∀ i = 1, . . . , n.

(Unicidade) Seja F : V → W linear e tal que F (vi) = wi ∀ i = 1, . . . , n.

Dado v ∈ V , temos v = a1v1 + . . . + anvn.

66 CAPITULO 3

Logo:

F (v) = F (a1v1 + . . . + anvn) = a1F (v1) + . . . + anF (vn) =

= a1w1 + . . . + anwn = T (v) .

Portanto F = T .

Assim, podemos concluir que uma transformacao linear T : V → W fica completa-mente determinada se conhecermos sua atuacao nos vetores de uma base de V .

Exemplos:

A) Qual e a transformacao linear T : IR2 → IR3 tal que T (1, 0) = (0, 1,−2) e T (0, 1) = (1, 0, 0) ?

α = { (1, 0), (0, 1)} e uma base do IR2 (Base Canonica).Assim, dado qualquer vetor (x, y) ∈ IR2, temos (x, y) = x.(1, 0) + y.(0, 1) e como T e linear:T (x, y) = x.T (1, 0) + y.T (0, 1) = x(0, 1,−2) + y(1, 0, 0) = (y, x,−2x) .Portanto temos: T (x, y) = (y, x,−2x) ∀ (x, y) ∈ IR2 .

B) Qual e a transformacao linear S : IR2 → IR3 tal que S(2, 0) = (1, 1, 0) e S(−1, 1) = (0, 2, 0) ?

β = { (2, 0), (−1, 1)} e uma base do IR2 (Voce sabe por que ?)Assim, dado qualquer vetor (x, y) ∈ IR2, temos (x, y) = a.(2, 0) + b.(−1, 1) . Resolvendo este sistema

(compare este exemplo com o anterior), obtemos a =x + y

2e b = y (note que a e b sao as

coordenadas de (x, y) em relacao a base β) e como S e linear:

S(x, y) = a · S(2, 0) + b · S(−1, 1) =(

x + y

2

)· (1, 1, 0) + y · (0, 2, 0) =

(x + y

2,x + 5y

2, 0)

.

Portanto temos: S(x, y) =(

x + y

2,x + 5y

2, 0)

∀ (x, y) ∈ IR2 .

Exercıcios:

1) Encontre a transf. linear T : IR3 → IR2 tal que T (1, 0, 0) = (2, 0), T (0, 1, 0) = (1, 1) eT (0, 0, 1) = (0,−1). Obtenha v ∈ IR3 tal que T (v) = (3, 2).

2) Qual e a transformacao linear T : IR2 → IR3 tq T (1, 1) = (3, 2, 1) e T (0,−2) = (0, 1, 0) ?Obtenha T (1, 0) e T (0, 1).

3) Qual e a transformacao linear S : IR3 → IR tal que S(1, 1, 1) = 3, S(0, 1,−2) = 1 eS(0, 0, 1) = −2 ?

4) Sabendo que a transformacao T do Plano no Plano dada por uma reflexao em torno da retax = y e linear, encontre-a. Escreva-a em forma matricial.


5) Seja A : IR2 → IR2 o operador linear dado por A(x, y) = (5x + 4y,−3x − 2y). Para quaisvalores de λ ∈ IR existem vetores nao nulos u ∈ IR2 tais que A(u) = λ.u ? Esses vetores u

sao unicos para cada λ fixado ? Determine esses vetores. O que voce pode concluir dos vetores“associados” a cada λ ?

6) Tente, usando sua intuicao geometrica, responder diretamente as perguntas do exercıcio ante-rior para o operador linear T do Exercıcio 4 acima! Agora faca isto algebricamente e confira com asrespostas obtidas intuitivamente.

7) Faca como no exercıcio anterior para o operador Rπ/2 : IR2 → IR2 dado por uma rotacao deπ/2 rad no sentido trigonometrico.

3.3 Nucleo e Imagem de uma transformacao linear

Definicao 3.3. (Nucleo) Seja T : V → W uma transformacao linear. Chama-se Nucleo datransformacao linear T ao conjunto de vetores v ∈ V que sao “levados” por T no vetor nulo0 ∈ W . Escreve-se: N(T ), NT , ou ker T .

ker T = { v ∈ V ; T (v) = 0 }

Exercıcio: Mostre que kerT ⊂ V e um subespaco vetorial de V .

Definicao 3.4. (Imagem) Seja T : V → W uma transformacao linear. Chama-se IMAGEM de T

e escreve-se Im (T ) ou Im T ao conjunto dos vetores w ∈ W para os quais existe v ∈ V comT (v) = w.

Im T = { w ∈ W ; w = T (v) para algum v ∈ V }

Exercıcio: Mostre que Im T ⊂ W e um subespaco vetorial de W .

Exemplos:

A) Determine o nucleo e a imagem da transformacao linear T : IR2 → IR3 dada por

T (x, y) = (y, x,−2x).

Temos: kerT ={

(x, y) ∈ IR2 ; (y, x,−2x) = T (x, y) = (0, 0, 0)}

. Obtemos entao diretamenteker T = { (0, 0)} (o nucleo de T e formado apenas pelo vetor nulo do IR2 e por isso dim kerT = 0).

68 CAPITULO 3

Im T ={

(y, x,−2x) = T (x, y) ; (x, y) ∈ IR2}

= {x · (0, 1,−2) + y · (1, 0, 0) ; x, y ∈ IR} = [(0, 1,−2), (1, 0, 0)] .E imediato que { (0, 1,−2), (1, 0, 0)} e uma base da Im T e portanto dim Im T = 2 .

B) Determine o nucleo e a imagem da transformacao linear S : IR3 → IR4 dada por

S(x, y, z) = (x + 2y − z, 0, y + z, x + y − 2z).

Obtenha tambem dim kerS e dim Im S.

Temos: kerS ={

(x, y, z) ∈ IR3 ; (x + 2y − z, 0, y + z, x + y − 2z) = S(x, y, z) = (0, 0, 0, 0)}

. Re-solvendo o sistema linear homogeneo correspondente, obtemos kerS = { (3z,−z, z) ; z ∈ IR} ={ z · (3,−1, 1) ; z ∈ IR} = [(3,−1, 1)] . E claro que { (3,−1, 1)} e uma base do kerS e dim ker S = 1 .Obteremos agora a imagem Im S =

{(x + 2y − z, 0, y + z, x + y − 2z) ; (x, y, z) ∈ IR3

}=

{x · (1, 0, 0, 1) + y · (2, 0, 1, 1) + z · (−1, 0, 1,−2) ; x, y, z ∈ IR} = [(1, 0, 0, 1), (2, 0, 1, 1), (−1, 0, 1,−2)] .A partir dos geradores, obtemos uma base para Im S: 1 0 0 1

2 0 1 1−1 0 1 −2

↔

1 0 0 10 0 1 −10 0 0 0

Assim { (1, 0, 0, 1), (0, 0, 1,−1)} e uma base da Im S e dim Im S = 2 .

C) Sejam V = M2×2(IR) e M =

[1 −1

−2 2

]uma matriz fixada.

Defina o operador linear F : M2×2(IR) → M2×2(IR) como F (A) = M.A ∀ A ∈ M2×2(IR).

Encontre Im F e kerF .

Dada

[a b

c d

]∈ M2×2(IR) temos F

( [a b

c d

] )=

[1 −1

−2 2

]·

[a b

c d

]=

[a− c b− d

−2a + 2c −2b + 2d

].

Assim ker F =

{ [a b

c d

]; a = c e b = d

}=

{ [a b

a b

]; a, b ∈ IR

}=

[[1 01 0

],

[0 10 1

] ].

Segue que dim kerF = 2 .

Nao e difıcil obter Im F =

{ [a− c b− d

−2a + 2c −2b + 2d

]; a, b, c, d ∈ IR

}=

=

[ [1 0

−2 0

],

[0 10 −2

],

[−1 0

2 0

],

[0 −10 2

] ].

E claro que

{ [1 0

−2 0

],

[0 10 −2

]}e base para a Im F e portanto dim Im F = 2 .


Teorema 3.5. (Sobre a dimensao do nucleo e a dimensao da imagem)Sejam V um espaco vetorial de dimensao finita e T : V → W uma transformacao linear.Entao Im T tem dimensao finita e

dim kerT + dim Im T = dim V

Demonstracao:

ker T e um subespaco de V .

Seja B = {u1, u2, . . . , ur} uma base de kerT (dim ker T = r).

Como B e LI, podemos completar B (completamento de base) com vetores de V ate obtermosuma base B′ = {u1, . . . , ur, v1, . . . , vs} de V (dim V = r + s) .

Basta portanto mostrarmos que dim Im T = s.

Mostremos que B′′ = {T (v1), T (v2), . . . , T (vs)} e uma base de Im T .

(i) {T (v1), T (v2), . . . , T (vs)} gera Im T :

Dado w ∈ Im T , existe v ∈ V tal que T (v) = w .

B′ e base de V ⇒ v = c1u1 + . . . + crur + d1v1 + . . . + dsvs , com c1, . . . , cr, d1, . . . , ds ∈ IK .

Como T e transformacao linear: w = T (v) = T (c1u1 + . . . + crur + d1v1 + . . . + dsvs) =

= c1T (u1) + . . . + crT (ur) + d1T (v1) + . . . + dsT (vs) = d1T (v1) + . . . + dsT (vs), pois temos que

ui ∈ ker T ⇒ T (ui) = 0 (i = 1 . . . r) .

Portanto {T (v1), T (v2), . . . , T (vs)} gera Im T .

(ii) {T (v1), T (v2), . . . , T (vs)} e LI:

Sejam d1, d2 . . . , ds ∈ IK tais que d1T (v1) + . . . + dsT (vs) = 0 .

Como T e linear, temos:

0 = d1T (v1) + . . . + dsT (vs) = T (d1v1 + . . . + dsvs) ⇒ d1v1 + . . . + dsvs ∈ ker T .

Mas B = {u1, u2, . . . , ur} e base de kerT . Logo existem c1, c2, . . . , cr ∈ IK tais qued1v1 + . . . + dsvs = c1u1 + . . . + crur .

Temos entao: (−c1)u1 + . . . + (−cr)ur + d1v1 + . . . + dsvs = 0 .

Como B′ = {u1, . . . , ur, v1, . . . , vs} e base de V , temos que B′ e LI, o que implica obrigatoria-mente em −c1 = . . . = −cr = d1 = . . . = ds = 0 .

Portanto {T (v1), T (v2), . . . , T (vs)} e LI.

70 CAPITULO 3

Por (i) e (ii), {T (v1), T (v2), . . . , T (vs)} e uma base de Im T .

Assim: dim Im T = s = dim V − dim kerT ⇒ dim kerT + dim Im T = dim V .

Obs.: Nomenclaturas (definicoes):

NULIDADE de T = dim kerT ;

POSTO de T = dim Im T ;

T e dita NAO-SINGULAR quando ker T = {0} .

Exercıcios:

1) Obtenha o nucleo, a imagem e suas respectivas dimensoes para cada uma das transformacoesdo exercıcio 1 da Secao 3.1 que forem lineares.Verifique o Teorema 3.5 em cada caso.

2) Obtenha o nucleo e a imagem do operador linear derivacao D : P3(IR) → P3(IR) .

3) Considere a transformacao linear T : IR3 → IR3 dada por T (x, y, z) = (z, x− y,−z).Determine uma base do nucleo de T . Qual a dimensao da imagem de T ? A imagem de T e todo oIR3 ? Justifique.

4) Pode existir uma transformacao linear T : IR4 → IR5 cuja imagem e todo IR5 ?Pode existir uma transformacao linear T : IR3 → IR2 tal que ker T = {(0, 0, 0)} ?Justifique e tente generalizar cada resultado.

5) Sejam T : V → W uma transformacao linear e B = {v1, v2, . . . , vn} uma base de V . Mostreentao que B′ = {T (v1), T (v2), . . . , T (vn)} gera a Im T , ou seja, qualquer vetor da imagem de T euma combinacao linear dos vetores de B′.

6) Descreva explicitamente uma transformacao linear T : C3 → C3 tal que sua imagem seja oespaco gerado pelos vetores u = (2i, 1,−3) e v = (0,−i, 1 + i).(Sugestao: combine o resultado do exercıcio anterior com o Teorema 3.2)

7) Descreva explicitamente um operador linear F : IR2 → IR2 cujo nucleo seja a reta y = x ecuja imagem seja a reta y = 3x.


3.4 Transformacoes injetoras, sobrejetoras, bijetoras

Definicao 3.6. Uma transformacao linear F : V → W diz-se:

(i) INJETORA (ou INJETIVA) quando nenhum par de vetores distintos tem a mesma imagem, istoe, se u 6= v (u, v ∈ V ) entao F (u) 6= F (v).

(ii) SOBREJETORA (ou SOBREJETIVA) quando a imagem de F e todo o espaco W, ou seja,dado w ∈ W existe v ∈ V tal que F (v) = w.

(iii) BIJETORA (ou BIJETIVA) quando F e injetora e sobrejetora.

O teorema a seguir, combinado com o Teorema 3.5, visa facilitar a classificacao das transformacoeslineares segundo a definicao acima:

Teorema 3.7. Uma transformacao linear T : V → W e injetora se, e somente se, ker T = {0}(ou seja, quando o seu nucleo possui apenas o vetor nulo).

Demonstracao:

(⇒) Seja T : V → W uma transformacao linear injetora.

Dado v ∈ ker T , temos T (v) = 0 = T (0).

Como T e injetora, entao podemos concluir que v = 0.

Logo kerT = {0}.

(⇐) Suponhamos agora que ker T = {0}.

Sejam u, v ∈ V tais que T (u) = T (v). Como T e linear:

0 = T (u)− T (v) = T (u− v) ⇒ u− v ∈ ker T = {0} ⇒ u− v = 0 ⇒ u = v .

Portanto T e injetora.

Exemplos:

A) Seja T : IR2 → IR3 dada por T (x, y) = (y, x,−2x) .

Ja vimos que ker T = { (0, 0)} . Portanto T e injetora.Temos ainda: 2 = dim IR2 = dim ker T + dim Im T = 0 + dim Im T ⇒ dim Im T = 2 . ComoIm T ⊂ IR3 e dim Im T < dim IR3, segue que T nao e sobrejetora.

72 CAPITULO 3

B) Seja S : IR4 → IR3 dada por S(x, y, z, w) = (x− y, w, z) .

Temos ker S = { (x, x, 0, 0) ; x ∈ IR} = [(1, 1, 0, 0)] . Assim kerS 6= {(0, 0, 0, 0)} e portanto S nao einjetora.4 = dim IR4 = dim kerS + dim Im S = 1 + dim Im S ⇒ dim Im S = 3 . Como Im S ⊂ IR3 edim Im S = 3 = dim IR3, segue que Im S = IR3 e portanto S e sobrejetora.

C) Sejam V = M2×2(IR) e M =

[1 01 0

]uma matriz fixada.

Consideremos o operador linear F : M2×2(IR) → M2×2(IR) definido por F (A) = M.A , paratoda A ∈ M2×2(IR).

Temos: F

( [a b

c d

] )=

[1 01 0

]·

[a b

c d

]=

[a b

a b

].

Assim kerF =

{ [0 0c d

]; c, d ∈ IR

}=

[ [0 01 0

],

[0 00 1

] ]e portanto F nao e injetora.

Temos: 4 = dim M2×2(IR) = dim kerF + dim Im F = 2 + dim Im F ⇒ dim Im F = 2 . ComoIm F ⊂ M2×2(IR) e dim Im F < dim M2×2(IR) segue que F nao e sobrejetora.

D) Seja Rπ/2 : IR2 → IR2 a rotacao de um angulo θ = π/2 (sentido anti-horario).

Temos:

[x

y

]Rθ7−→

[cos θ − sen θ

sen θ cos θ

].

[x

y

]=

[0 −11 0

].

[x

y

]=

[−y

x

].

Assim Rπ/2(x, y) = (−y, x) e fica facil ver que kerRπ/2 = { (0, 0)}, ou seja, Rπ/2 e injetora.Temos tambem: 2 = dim IR2 = dim ker Rπ/2 + dim Im Rπ/2 = 0 + dim Im Rπ/2 ⇒ dim Im Rπ/2 = 2 .Como Im Rπ/2 ⊂ IR2 e dim Im Rπ/2 = 2 = dim IR2 segue que Rπ/2 e sobrejetora.

Teorema 3.8. Sejam T : V → W uma transformacao linear, dim V = dim W < +∞ (isto, e, V eW tem mesma dimensao, finita). Entao sao equivalentes:

(a) T e sobrejetora.

(b) T e bijetora.

(c) T e injetora.

(d) T “leva” bases de V em bases de W , ou seja, se BV = {v1, v2, . . . , vn} e base de V entaoBW = {T (v1), T (v2), . . . , T (vn)} e base de W .


Demonstracao:

(a) ⇒ (b): T e sobrejetora ⇒ Im T = W ⇒ dim Im T = dim W .

Temos: dim Im T + dim kerT = dim V ⇒ dim W + dim kerT = dim V ⇒

⇒ dim kerT = 0 ⇒ ker T = {0} ⇒ T e injetora.

Logo T e bijetora.

(b) ⇒ (c): Imediato!

(c) ⇒ (d): Seja BV = {v1, v2, . . . , vn} uma base de V .

Mostremos que BW = {T (v1), T (v2), . . . , T (vn)} e LI.

Sejam c1, . . . , cn ∈ IK tais que c1T (v1) = . . . + cnT (vn) = 0.

Como T e uma transformacao linear: 0 = T (c1v1 + . . . + cnvn).

Logo c1v1 + . . . + cnvn ∈ ker T = {0}, pois T e injetora.

Assim, c1v1 + . . . + cnvn = 0, o que implica em c1 = c2 = . . . = cn.

Entao BW e LI e como dim V = dim W = n temos que BW e base de W .

(d) ⇒ (a): Seja w ∈ W . Tome BV = {v1, v2, . . . , vn} base de V .

Temos entao: BW = {T (v1), T (v2), . . . , T (vn)} e base de W ⇒

⇒ w = c1T (v1) + . . . + cnT (vn) = T (c1v1 + . . . + cnvn).

Portanto T e sobrejetora.

3.5 Isomorfismos

Definicao 3.9. Chama-se ISOMORFISMO uma transformacao linear T : V → W que e bijetora.Neste caso dizemos que os espacos vetoriais V e W sao isomorfos e escrevemos V ∼= W .

Observacao: Do ponto de vista da Algebra Linear, dois espacos vetoriais isomorfos sao “in-distinguıveis”, “semelhantes”, por possuırem a mesma estrutura vetorial (o que e garantido peloisomorfismo). Se ocorrer T : V → V linear e bijetora, temos um AUTOMORFISMO (um isomor-fismo de V em si proprio).

74 CAPITULO 3

Exemplos:

A) Seja T : IR2 → IR2 dada por T (x, y) = (−x, y) (reflexao em torno do eixo Oy)

E imediato que ker T = { (0, 0)} ⇒ T e injetora.Como dim IR2 = dim IR2 < +∞ segue do teorema anterior que T e um isomorfismo.

B) Seja S : IR4 → M2×2(IR) dada por S(x, y, z, w) =

[x y

z w

].

E imediato que ker S = { (0, 0, 0, 0)} ⇒ S e injetora.Como dim IR4 = dim M2×2(IR) < +∞ segue do teorema anterior que S e um isomorfismo.

Alguns resultados:

Seja T : V → W um isomorfismo. Entao T e bijetora e portanto admite uma funcao inversa(tambem bijetora) T−1 : W → V , sendo T−1(T (v)) = v para todo v ∈ V e T (T−1(w)) = w paratodo w ∈ W .

Convem entao questionarmos: sera T−1 linear ??? A resposta e...

Proposicao 3.10. Se T : V → W e um isomorfismo entao T−1 : W → V tambem e linear eportanto tambem e um isomorfismo.

Outras proposicoes interessantes (considere espacos de dimensao finita):

Proposicao 3.11. Se T : V → W e um isomorfismo entao dim V = dim W .

Proposicao 3.12. Se dim V = dim W entao existe um isomorfismo T : V → W .

Exemplo: Seja T : IR3 → IR3 dada por T (x, y, z) = (x− 2y, z, x + y).

Verifique que T e um isomorfismo e encontre T−1, isomorfismo inverso.

ker T ={

(x, y, z) ∈ IR3 ; (x− 2y, z, x + y) = (0, 0, 0)}

= { (0, 0, 0)} e assim T e injetora.Como dim IR3 = dim IR3 < +∞ segue do teorema anterior que T e um isomorfismo.

Para obter T−1, dado (x, y, z) ∈ IR3 vamos encontrar o unico vetor (a, b, c) ∈ IR3 tal queT (a, b, c) = (x, y, z) (pois T e bijetora) e com isso teremos (a, b, c) = T−1(x, y, z) .


Queremos encontrar (a, b, c) ∈ IR3 tal que (a− 2b, c, a+ b) = T (a, b, c) = (x, y, z) o que nos levaao sistema linear abaixo:

a − 2b = x

c = y

a + b = z

Resolvendo o sistema, encontramos a =x + 2z

3, b =

z − x

3, c = y e assim temos

T−1(x, y, z) = (a, b, c) =(

x− 2z

3,

z − x

3, y

)

Exercıcios:

1) Classifique as transformacoes lineares dos exercıcios 1, 2 e 3 da Secao 3.3 quanto a injetividadee a sobrejetividade.

2) Dados T : U → V linear e injetora e u1, . . . , uk vetores LI em U , mostre que o conjunto{T (u1), . . . , T (uk)} e LI.

3) De, quando possıvel, exemplos de transformacoes lineares T, S, L, M, H satisfazendo:(a) T : IR3 → IR2 sobrejetora.(b) S : IR3 → IR2 com ker S = {(0, 0, 0)} .(c) L : IR3 → IR2 com Im L = {(0, 0)} .(d) M : M2×2(C) → P3(C) bijetora (isomorfismo).(e) H : P2(IR) → IR4 bijetora (isomorfismo).

4) Sejam L : IR∞ → IR∞ dada por L(x1, x2, x3, . . .) = (x2, x3, x4, . . .) e R : IR∞ → IR∞ dadapor R(x1, x2, x3, . . .) = (0, x1, x2, . . .) .Classifique as transformacoes lineares L e R quanto a injetividade e a sobrejetividade.Este exercıcio mostra que o Teorema 3.8 nao vale para espacos de dimensao infinita.

5) Seja T o operador linear sobre IR3 dado por T (x, y, z) = (3x, x− y, 2x + y + z).Verifique se T e invertıvel e, em caso afirmativo, determine T−1.

6) Considere P : C3 → C3 como o operador linear sobre C3 que cumpre P (1, 0, 0) = (1, 0, i) ,P (0, 1, 0) = (0, 1, 1) , P (0, 0, 1) = (i, 1, 0). Verifique se P e isomorfismo (transformacao linearbijetora).

76 CAPITULO 3

3.6 Representacao de transformacoes por matrizes

Veremos agora que, sob certas condicoes, toda transformacao linear T : V → W (sendo V eW espacos de dimensao finita) pode ser representada por uma matriz. A partir daı, vamos simplificaro estudo das transformacoes lineares atraves do estudo das matrizes que as representam.

Exemplos:

A) H : IR2 → IR2 dada por H(x, y) = (α.x, α.y) , sendo α ∈ IR (fixo). H e uma Homotetia:

[x

y

]H7−→

[α.x

α.y

]=

[α 00 α

].

[x

y

]

B) Seja Rθ : IR2 → IR2 uma rotacao de um angulo θ no sentido anti-horario:

[x

y

]Rθ7−→

[(cos θ).x− ( sen θ).y( sen θ).x + (cos θ).y

]=

[cos θ − sen θ

sen θ cos θ

].

[x

y

]

C) Seja T : IR3 → IR4 dada por T (x, y, z) = (−x + 3y + z , 2x− 5z , x− 2y − 4z , 3x− 2y ) :

x

y

z

T7−→

−x + 3y + z

2x− 5z

x− 2y − 4z

3x− 2y

=

−1 3 1

2 0 −51 −2 −43 −2 0

·

x

y

z

Os exemplos anteriores podem ser generalizados:

Proposicao 3.13. Sejam V e W espacos vetoriais, β = {v1, v2, . . . , vn} uma base ordenada de V ,β′ = {w1, w1, . . . , wm} uma base ordenada de W .

Para cada transformacao linear T : V → W existe uma (unica) m×n matriz A que representaa transformacao T com relacao as bases β e β′, isto e:

[T (v)]β′ = A. [v]β para todo vetor v ∈ V (escrevemos A = [T ]ββ′ ) .


Demonstracao:

Dada uma transformacao linear T : V → W , como β′ e base de W , temos:

T (v1) = a11w1 + a21w2 + . . . + am1wm

T (v2) = a12w1 + a22w2 + . . . + am2wm

...

T (vn) = a1nw1 + a2nw2 + . . . + amnwm .

Para todo vetor v ∈ V temos: v = c1v1 + c2v2 + . . . + cnvn.

Entao:

T (v) = T (c1v1 + c2v2 + . . . + cnvn) = c1T (v1) + c2T (v2) + . . . + cnT (vn) =

= c1a11w1 + c1a21w2 + . . . + c1am1wm +

+ c2a12w1 + c2a22w2 + . . . + c2am2wm +

. . .

+ cna1nw1 + cna2nw2 + . . . + cnamnwm .

Buscando as coordenadas de T (v) em relacao a base β′:

T (v) = (a11c1 + a12c2 + . . . + a1ncn)w1 + (a21c1 + a22c2 + . . . + a2ncn)w2 + . . .

. . . + (am1c1 + am2c2 + . . . + amncn)wm .

Temos entao:

[T (v)]β′ =

a11c1 + a12c2 + . . . + a1ncn

a21c1 + a22c2 + . . . + a2ncn

...am1c1 + am2c2 + . . . + amncn

=

a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n

......

...am1 am2 . . . amn

.

c1

c2

...cn

= A. [v]β .

Onde: a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n

......

...am1 am2 . . . amn

= A = [T ]ββ′ .

Observe que, fixadas as bases β e β′, a matriz A = [T ]ββ′ e obtida de modo unico !!!

78 CAPITULO 3

Atencao: E importante termos sempre em mente que:

A primeira coluna da matriz A = [T ]ββ′ (que representa a transformacao linear T relativamente asbases β e β′) e a matriz das coordenadas de T (v1) em relacao a base β′ .

A segunda coluna da matriz A = [T ]ββ′ e [T (v2)]β′ .

A terceira coluna da matriz A = [T ]ββ′ e [T (v3)]β′ .

...

A i-esima coluna da matriz A = [T ]ββ′ e [T (vi)]β′ para todo i = 1, 2, . . . , n .

Exemplos:

A) Sejam β a base canonica do IR2 e β′ a base canonica do IR3. Considere a transformacaolinear T : IR2 → IR3 dada por T (x, y) = (x + y, y, y − x) e obtenha [T ]ββ′ .

A primeira coluna de [T ]ββ′ e dada pelas coordenadas de T (1, 0) = (1, 0,−1) em relacao a base β′;A segunda coluna de [T ]ββ′ e dada pelas coordenadas de T (0, 1) = (1, 1, 1) em relacao a base β′;Temos entao (diretamente):

[T ]ββ′ =

1 10 1

−1 1

B) Sendo S : IR3 → IR2 dada por S(x, y, z) = (2x− y + z, 3x + y − 2z) (linear) e considerandoα = {(1, 1, 1), (0, 1, 1), (0, 0, 1)} base do IR3 e β = {(2, 1), (5, 3)} base do IR2, obtenha [S]αβ .

A primeira coluna de [S]αβ e dada pelas coordenadas de S(1, 1, 1) = (2, 2) em relacao a base β ;A segunda coluna de [S]αβ e dada pelas coordenadas de S(0, 1, 1) = (0,−1) em relacao a base β ;A terceira coluna de [S]αβ e dada pelas coordenadas de S(0, 0, 1) = (1,−2) em relacao a base β ;

Para obtermos as coordenadas dos vetores acima em relacao a base β do IR2, vamos obter a matrizde mudanca de base [I]γβ , sendo γ a Base Canonica do IR2:

[I]γβ =([I]βγ

)−1=

([2 51 3

])−1

=

[3 −5

−1 2

]Assim, temos:[

3 −5−1 2

].

[22

]=

[−4

2

],

[3 −5

−1 2

].

[0

−1

]=

[5

−2

],

[3 −5

−1 2

].

[1

−2

]=

[13−5

]

[S]αβ =

[−4 5 13

2 −2 −5

]


C) Sendo D : P2(C) → P2(C) o operador derivacao e considerando as bases α ={1, x, x2

}e

β ={1 + x, 1− x, x2

}de P2(C), obtenha [D]αα, [D]βα, [D]αβ e [D]ββ .

D(1) = 0 , D(x) = 1 , D(x2) = 2x e portanto temos (diretamente):

[D]αα =

0 1 00 0 20 0 0

D(1 + x) = 1 , D(1− x) = −1 , D(x2) = 2x e assim:

[D]βα =

1 −1 00 0 20 0 0

D(1) = 0 , D(x) = 1 = 1/2.(1 + x) + 1/2.(1− x) , D(x2) = 2x = 1.(1 + x) + (−1).(1− x) e portanto:

[D]αβ =

0 1/2 10 1/2 −10 0 0

D(1+x) = 1 = 1/2.(1+x)+1/2.(1−x) , D(1−x) = −1 = (−1/2).(1+x)+(−1/2).(1−x) , D(x2) =2x = 1.(1 + x) + (−1).(1− x) e temos:

[D]ββ =

1/2 −1/2 11/2 −1/2 −1

0 0 0

D) Sejam β =

{[2 10 0

],

[1 0−1 1

],

[0 11 1

],

[−1 00 3

]}base de M2×2(IR) ,

α = {(−1, 0), (1, 2)} base do IR2 e U : M2×2(IR) → IR2 dada por

U

( [a b

c d

] )= (a + d, b + c) .

Obtenha [U ]βα.

Temos:

U

([2 10 0

])= (2, 1) , U

([1 0−1 1

])= (2,−1) , U

([0 11 1

])= (1, 2) , U

([−1 00 3

])= (2, 0)

80 CAPITULO 3

Obtemos entao as coordenadas dos vetores acima em relacao a base α do IR2 e teremos

[U ]βα =

[−3/2 −5/2 0 −2

1/2 −1/2 1 0

]

Um caso especial: Operadores lineares e mudanca de base

Sejam V um espaco vetorial sobre um corpo IK, α = {v1, v2, . . . , vn} , β = {w1, w2, . . . , wn}bases ordenadas de V (dim V = n).

Dado um operador linear T : V → V , T e representado pelas matrizes:

[T ]αα (em relacao a base α) e [T ]ββ (em relacao a base β) .

Pergunta-se: Existe alguma relacao entre [T ]αα e [T ]ββ ? A resposta e...

... SIM !

Para todo vetor v ∈ V , temos:

[Tv]β = [I]αβ . [Tv]α = [I]αβ . [T ]αα . [v]α = [I]αβ . [T ]αα . [I]βα . [v]β .

Entao, pela unicidade da matriz representante de T em relacao a base β, temos que

[T ]ββ = [I]αβ . [T ]αα . [I]βα .

Como [I]αβ =([I]βα

)−1, podemos concluir tambem que

[T ]αα = [I]βα . [T ]ββ . [I]αβ .

Definicao 3.14. Duas n×n matrizes A e B sobre um corpo IK sao chamadas SEMELHANTESquando existir uma n× n matriz invertıvel P (sobre IK) tal que

B = P−1.A.P

Portanto, se T : V → V e um operador linear e α, β sao bases de V , entao as matrizes [T ]αα e[T ]ββ sao semelhantes.

Podemos entao concluir que mudancas de base constituem uma fonte natural de ma-trizes semelhantes !


Exemplos:

A) Seja T : IR2 → IR2 o operador linear dado por T (x, y) = (7x− 4y,−4x + y) .

(a) Obtenha [T ] (matriz representante de T em relacao a base canonica).

T (1, 0) = (7,−4) e T (0, 1) = (−4, 1) . Logo:

[T ] =

[7 −4

−4 1

]

(b) Se β = { (3, 6), (−2, 1) } (base do IR2), obtenha [T ]ββ .

T (3, 6) = (−3,−6) = (−1).(3, 6) e T (−2, 1) = (−18, 9) = 9.(−2, 1) . Logo:

[T ]ββ =

[−1 0

0 9

]

B) Seja S : IR2 → IR2 o operador linear tal que [S] (matriz representante de S em relacao abase canonica) e dada por

[S] =

[5 −48 −7

].

(a) S(x, y) = ? Ou melhor: obtenha o operador S .

Dado (x, y) ∈ IR2, temos: (x, y) = x.(1, 0) + y.(0, 1) ⇒ S(x, y) = x.S(1, 0) + y.S(0, 1) == x.(5, 8) + y.(−4,−7) = (5x− 4y, 8x− 7y) .

(b) Obtenha vetores v e w em IR2 tais que S(v) = 1.v e S(w) = (−3).w .

Temos V1 ={

(x, y) ∈ IR2 ; (5x− 4y, 8x− 7y) = S(x, y) = 1.(x, y) = (x, y)}. Resolvendo o sistema

linear homogeneo correspondente, obtemos V1 = { (x, x) ; x ∈ IR} e podemos tomar v = (1, 1) .Temos V−3 =

{(x, y) ∈ IR2 ; (5x− 4y, 8x− 7y) = S(x, y) = (−3).(x, y) = (−3x,−3y)

}. Resolvendo

o sistema correspondente, obtemos V−3 = { (x, 2x) ; x ∈ IR} e podemos tomar w = (1, 2) .

(c) Verifique se β = {v, w} e base do IR2 e, em caso afirmativo, obtenha [S]ββ .

β = {(1, 1) , (1, 2)} e base do IR2, pois e um conjunto LI (sao apenas dois vetores e nenhum e multiploescalar do outro) no IR2 contendo 2 = dim IR2 vetores. Temos ainda:

[S]ββ =

[1 00 −3

]

82 CAPITULO 3

Exercıcios:

1) Seja T : IR3 → IR2 a transformacao linear dada por T (x, y, z) = (x + y, 2z − x) .

(a) Obtenha [T ]ββ′ , sendo β e β′ respectivamente as bases canonicas de IR3 e IR2.(b) Obtenha [T ]αα′ , considerando as bases ordenadas α = { (1, 0,−1), (1, 1, 1), (1, 0, 0) } de IR3 eα′ = { (0, 1), (1, 0) } de IR2 .

2) Seja T : C2 → C2 o operador linear dado por T (x, y) = (x, 0) e considere as bases ordenadasα = {(1, 0), (0, 1)} e β = {(1, i), (−i, 2)} de C2.

(a) Obtenha [T ]αα , [T ]βα , [T ]αβ e [T ]ββ .(b) Obtenha a matriz de T em relacao a base ordenada {(−i, 2), (1, i)} .

3) Seja S : IR3 → IR3 o operador linear sobre IR3 tal que [S] =

0 1 −21 −1 10 0 0

.

Obtenha S(x, y, z).

4) Sejam β =

{[1 00 0

],

[0 10 0

],

[0 01 0

],

[0 00 1

]}base de M2×2(IR) ,

α = {(1, 0), (0, 1)} base do IR2 e T : IR2 → M2×2(IR) tal que [T ]αβ =

2 11 −1

−1 00 1

.

Obtenha T (x, y).

5) Sejam α = {(1,−1), (0, 2)} e β = {(1, 0,−1), (0, 1, 2), (1, 2, 0)} bases de IR2 e IR3 .(a) Se S : IR2 → IR3 e dada por S(x, y) = (2y, x− y, x) , obtenha [S]αβ .

(b) Se T : IR2 → IR3 e tal que [T ]αβ =

1 01 10 −1

, ache T , isto e, T (x, y).

(c) Ache uma base γ de IR3 tal que [T ]αγ =

1 00 00 1

.

6) Seja P3(IR) o espaco vetorial dos polinomios de grau menor ou igual a 3 sobre IR e considere ooperador linear derivacao D : P3(IR) → P3(IR) dado por

D(a0 + a1x + a2x2 + a3x

3) = a1 + 2a2x + 3a3x2 .


Considerando a base β ={1, x− 1, (x− 1)2, (x− 1)3

}de P3(IR) , encontre [D]ββ (matriz represen-

tante de D em relacao a base β).

7) Consideremos a matriz A =

[5 3

−6 −4

]. Um problema fundamental da Algebra Linear consiste

em obter uma matriz B, semelhante a matriz A (isto e, B = P−1.A.P com P invertıvel) tal que B

seja o mais SIMPLES possıvel!

Ora, sabemos que uma fonte natural de matrizes semelhantes e a mudanca de base na representacaode transformacoes lineares, ou seja, se α e β sao bases de um espaco vetorial V (de dimensaofinita) e T : V → V e um operador linear sobre V , entao [T ]αα e [T ]ββ sao semelhantes.

Assim sendo, vamos considerar uma transformacao linear T : IR2 → IR2 tal que A = [T ] (A e amatriz representante de T em relacao a base canonica de IR2). Obtenha T (x, y).

Encontrar uma matriz simples e semelhante a matriz A significa entao obter uma base β = {u, v}do IR2 tal que B = [T ]ββ seja simples. As matrizes mais simples possıveis sao as matrizes diagonais.Vamos tentar entao obter uma base β tal que

B = [T ]ββ =

[λ1 00 λ2

]

Isto significa entao que, sendo β = {u, v} , teremos T (u) = λ1.u e T (v) = λ2.v .

Encontre valores de λ1 e λ2 tais que existam vetores nao-nulos u e v que satisfacam as condicoesacima. Obtenha entao u e v e verifique se β = {u, v} e base de IR2. Finalmente, obtenha a matrizB = [T ]ββ (que ja sabemos ser semelhante a matriz A).

8) Seja W o subespaco do IR3 dado por W ={

(x, y, z) ∈ IR3 ; x + 2y − z = 0}

.(W e um PLANO que passa pela origem)

Consideremos agora a transformacao linear R : IR3 → IR3 que e uma REFLEXAO em torno doplano W .

Obtenha a expressao para R(x, y, z).

Sugestao:(a) Obtenha uma base β′ = {v, w} para W (espera-se que dim W = 2).(b) Sabemos da Geometria Analıtica (e veremos mais adiante neste curso) que o vetor u = (1, 2,−1)e perpendicular (ortogonal) ao plano W (e um chamado vetor NORMAL ao plano).

Mostre que β = β′ ∪ {u} = {v, w, u} e uma base do IR3 (isto tambem e esperado - por que ?).(c) E facil perceber o efeito da transformacao R na base β e assim obter [R]ββ .(d) A partir de [R]ββ , obtenha [R] e daı fica facil descobrir R(x, y, z) .

84 CAPITULO 3

3.7 Composicao de transformacoes lineares

Definicao 3.15. Sejam V, W, Z espacos vetoriais, T : V → W e U : W → Z transformacoeslineares. Podemos construir a funcao composta (U ◦ T ) : V → Z dada por

(U ◦ T )v = U(Tv) ∀ v ∈ V

Figura 3.5: Composicao de transformacoes lineares

Podemos indagar: Sera U ◦ T linear? A resposta e ... SIM!

De fato:(U ◦ T )(v + w) = U(T (v + w)) = U(Tv + Tw) = U(Tv) + U(Tw) = (U ◦ T )v + (U ◦ T )w(U ◦ T )(k.v) = U(T (k.v)) = U(k.Tv) = k.U(Tv) = k.(U ◦ T )v

Logo U ◦ T e linear.

Exemplo: Sejam R : IR2 → IR2 e S : IR2 → IR2 dadas por

R(x, y) = (x, x− y) e S(x, y) = (2y, x) ∀ (x, y) ∈ IR2 .

Determine R ◦ S : IR2 → IR2 e S ◦R : IR2 → IR2 .

Dado (x, y) ∈ IR2 , temos:(R ◦ S)(x, y) = R(S(x, y)) = R(2y, x) = (2y, 2y − x) .(S ◦R)(x, y) = S(R(x, y)) = S(x, x− y) = (2x− 2y, x) .


Composicao e matrizes representantes

Sejam V, W e Z espacos vetoriais (todos de dimensao finita), α base de V , β base de W eγ base de Z. Sejam T : V → W e U : W → Z transformacoes lineares.

Acabamos de ver que (U ◦ T ) : V → Z e linear.

Nos interessa agora estabelecer uma relacao entre a matriz representante da composta U ◦ T eas matrizes representantes de U e T (fixadas as bases dos respectivos espacos) que possa nos ajudara obter informacoes sobre a composta de um modo mais direto.

Nesse sentido, verificamos a existencia da importante relacao dada abaixo:

[U ◦ T ]αγ = [U ]βγ . [T ]αβ .

De fato:

Para todo vetor v ∈ V temos [(U ◦ T )v]γ = [U(Tv)]γ = [U ]βγ . [Tv]β = [U ]βγ . [T ]αβ . [v]α .

Pela unicidade da matriz representante [U ◦ T ]αγ , podemos concluir que

[U ◦ T ]αγ = [U ]βγ . [T ]αβ .

Exemplo: Sejam R : IR2 → IR3 e S : IR3 → IR2 dadas por R(x, y) = (x, x + y, y) eS(x, y, z) = (z − x, z).

Sejam α = {(1,−1), (−2, 1)} base do IR2 , β = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} a base canonica doIR3 e γ = {(1, 0), (0, 1)} a base canonica do IR2.

Obtenha: [R ◦ S] , [S ◦R] , [S ◦R]αγ e [S ◦R]γα

Temos:

[R ◦ S] = [R]γβ · [S]βγ =

1 01 10 1

· [ −1 0 10 0 1

]=

−1 0 1−1 0 2

0 0 1

[S ◦R] = [S]βγ · [R]γβ =

[−1 0 1

0 0 1

]·

1 01 10 1

=

[−1 1

0 1

]

[S ◦R]αγ = [S]βγ · [R]αβ =

[−1 0 1

0 0 1

]·

1 −20 −1

−1 1

=

[−2 3−1 1

]

[S ◦R]γα = [S]βα · [R]γβ =

[1 0 −31 0 −2

]·

1 01 10 1

=

[1 −31 −2

]

86 CAPITULO 3

A proposicao seguinte e uma consequencia da representacao da composicao por matrizes:

Proposicao 3.16. Sejam V e W espacos vetoriais, de mesma dimensao (finita),T : V → W uma transformacao linear, α uma base de V e β uma base de W .

As seguintes afirmacoes sao equivalentes:

(i) T e invertıvel (bijetora, isomorfismo)

(ii) A matriz [T ]αβ e invertıvel

Em caso afirmativo, temos ainda [T−1

]βα

=([T ]αβ

)−1

Exemplo: Seja T : IR2 → IR2 dada por T (x, y) = (x− y, 2y − x).

Mostre que T e invertıvel e determine T−1.

Temos: [T ] =

[1 −1

−1 2

]e invertıvel ⇒ T e invertıvel e

[T−1] = [T ]−1 =

[2 11 1

]⇒ T−1(x, y) = (2x + y, x + y)

Exercıcios:

1) Sejam R : IR2 → IR3 e S : IR3 → IR2 as transformacoes lineares dadas por

R(x, y) = (2x, x− y, y) e S(x, y, z) = (y − z, z − x) .

Obtenha [R ◦ S] e [S ◦R].

2) Sejam R : IR2 → IR2 e S : IR3 → IR2 transformacoes lineares tais que

[R] =

[1 2

−1 3

]e [S] =

[1 0 −12 1 1

].

Sabemos que R ◦ S : IR3 → IR2. Obtenha R ◦ S (x, y, z).

3) No plano, uma rotacao anti-horaria de 45o e seguida por uma dilatacao (homotetia) de√

2 .Ache a aplicacao A : IR2 → IR2 que representa esta transformacao do plano.

(Sugestao: a aplicacao procurada e uma composicao de duas transformacoes lineares. Encontre suamatriz em relacao a base canonica do IR2 atraves das matrizes das transformacoes que a compoem).


4) Qual e a aplicacao A : IR2 → IR2 que representa uma contracao (homotetia) de 1/√

2seguida de uma rotacao horaria de 45o ?

5) Sejam R e S operadores lineares sobre IR3 tais que

[R] =

1 0 12 1 10 −1 1

e [S] =

−2 1 −13 1 21 −2 0

.

Encontre T : IR3 → IR3 tal que R = S ◦ T .

6) Seja T : IR2 → IR2 uma reflexao atraves da reta y = 3x.

(a) Encontre T (x, y) .(b) Obtenha uma base α de IR2 tal que

[T ]αα =

[1 00 −1

].

3.8 Posto e Nulidade de uma transformacao linear

Ao final da secao 3.3 definimos, para uma transformacao linear T : V → W de V em W

(espacos vetoriais de dimensao finita):

POSTO de T = dim Im T (dimensao da imagem de T ).

NULIDADE de T = dim ker T (dimensao do nucleo de T ).

Um resultado de utilidade pratica na obtencao do posto e da nulidade de T e o seguinte:

Proposicao 3.17. Seja T : V → W uma transformacao linear de V em W (espacos vetoriais dedimensao finita). Dadas duas bases, α de V e β de W , temos

Posto de T = Posto de [T ]αβ = numero de linhas nao-nulas da matriz linha-reduzida a formaescada que e linha-equivalente a matriz [T ]αβ .

Nulidade de T = (numero de colunas de [T ]αβ ) - (Posto de T ).

Exercıcios:

1) Seja T : IR3 → IR4 a transformacao linear dada por

T (x, y, z) = (x + 5y + 9z, 2x + 6y + 10z, 3x + 7y + 11z, 4x + 8y + 12z) .

Obtenha dim Im T (posto de T ) e dim ker T (nulidade de T ).

88 CAPITULO 3

2) Sejam R : IR2 → IR2 e S : IR4 → IR3 transformacoes lineares tais que

[R] =

[1 21 3

]e [S] =

1 0 −1 22 1 1 21 0 −1 2

.

Obtenha o posto e a nulidade de cada uma das transformacoes acima.

Capıtulo 4

Formas Canonicas

Neste capıtulo estaremos interessados em, dado um operador linear T : V → V sobre um espacode dimensao finita, obter uma base β de V tal que [T ]ββ (matriz representante de T em relacao abase β ) seja a mais simples possıvel (formas canonicas), no sentido de que possamos operar maisfacilmente com a mesma.

4.1 Autovalores e autovetores

Ao buscarmos uma base β de V que torne simples [T ]ββ , o primeiro tipo (mais simples) dematriz que surge e a matriz diagonal. Assim sendo, queremos que [T ]ββ seja, ou pelo menos seaproxime de, uma matriz diagonal. Somos entao levados naturalmente a procurar, para formarmosa base β, vetores (obviamente nao-nulos, pois irao compor uma base) v ∈ V tais que existamescalares λ ∈ IK com T (v) = λ.v .

Definicao 4.1. Seja T : V → V um operador linear (V sobre um corpo IK). Um escalar λ ∈ IK edito um AUTOVALOR de T quando existir um vetor nao-nulo v ∈ V tal que

T (v) = λ.v .

Um vetor v que cumpra esta condicao e dito um AUTOVETOR associado ao autovalor λ.

Se λ e um autovalor de T : V → V , o subespaco Vλ = {v ∈ V ; T (v) = λ.v} (subespaco vetorialde V - exercıcio) e chamado o SUBESPACO ASSOCIADO AO AUTOVALOR λ ou AUTOESPACOASSOCIADO A λ .

Obs.: Outras denominacoes:Autovalores: valores caracterısticos, valores proprios.Autovetores: vetores caracterısticos, vetores proprios.

89

90 CAPITULO 4

Exemplos:

A) Seja T : IR2 → IR2 o operador linear dado por T (x, y) = (4x + 5y, 2x + y).v = (5, 2) e um autovetor do operador T .w = (2, 1) nao e um autovetor do operador T .

De fato: T (v) = T (5, 2) = (30, 12) = 6 · (5, 2) = 6 · v e assim λ = 6 e um autovalor de T e v e umautovetor associado a este autovalor.T (w) = T (2, 1) = (13, 5) nao e multiplo escalar de w.

B) Nem todo operador possui autovetores !Seja Rπ/2 : IR2 → IR2 dado por Rπ/2(x, y) = (−y, x). Rπ/2 nao possui autovetores.

Buscamos escalares λ ∈ IR e vetores NAO-NULOS v = (x, y) tais que Rπ/2(v) = λ · v , ou seja,

(−y, x) = Rπ/2(x, y) = λ · (x, y) = (λ · x, λ · y)

Chegamos entao ao sistema linear homogeneo{− y = λ · x

x = λ · y⇔

{λ · x + y = 0−x + λ · y = 0

Para que o sistema linear homogeneo acima admita solucoes nao-triviais (LEMBRE-SE QUE ESTA-

MOS BUSCANDO v = (x, y) 6= (0, 0) ), devemos ter det A = 0 , sendo A =

[λ 1−1 λ

]a matriz

dos coeficientes do sistema.

Mas e facil ver que detA = λ2 + 1 6= 0 para todo λ ∈ IR. Isto significa que nenhum escalarλ ∈ IR admite solucoes nao-triviais para o sistema e assim o operador Rπ/2 nao possui autovalores(e consequentemente nao possui nenhum autovetor).

C) Proposicao: Dado um operador linear T : V → V e um autovetor v associado a um autovalorλ ( T (v) = λ.v ) entao, dado k ∈ IK , k.v tambem e um autovetor associado ao mesmo autovalor λ .

De fato: T (k.v) = k.T (v) = k.(λ.v) = λ.(k.v)

D) Seja Fx : IR2 → IR2 o operador dado por Fx(x, y) = (x,−y) . Encontre os autovalores eautovetores de Fx.

Buscamos escalares λ ∈ IR e vetores NAO-NULOS v = (x, y) tais que Fx(v) = λ · v , ou seja,

(x,−y) = Fx(x, y) = λ · (x, y) = (λ · x, λ · y)

Chegamos entao ao sistema linear homogeneo{x = λ · x

−y = λ · y⇔

{(λ− 1) · x = 0

(λ + 1) · y = 0

Formas Canonicas 91

Para que o sistema linear homogeneo acima admita solucoes nao-triviais (estamos buscando

v = (x, y) 6= (0, 0) ), devemos ter detB = 0 , sendo B =

[λ− 1 0

0 λ + 1

]a matriz dos coeficientes

do sistema.

Como det B = (λ − 1)(λ + 1) , os escalares λ ∈ IR para os quais temos solucoes nao-triviais sao:λ = 1 , λ = −1 , sendo estes portanto os autovalores de Fx.

Finalmente, vamos encontrar os autovetores associados a cada um destes autovalores:

• Autovetores associados ao autovalor λ = 1 :

Com λ = 1 o sistema fica

{0 = 0

2y = 0e temos:

V1 ={

v ∈ IR2 ; Fx(v) = 1 · v}

= { (x, 0) ; x ∈ IR } = [ (1, 0) ]

• Autovetores associados ao autovalor λ = −1 :

Com λ = −1 o sistema fica

{−2x = 0

0 = 0e temos:

V−1 ={

v ∈ IR2 ; Fx(v) = −1 · v}

= { (0, y) ; y ∈ IR } = [ (0, 1) ]

E) Seja T : IR2 → IR2 o operador dado por T (x, y) = (−3x+2y,−4x+3y) . Encontre os autovalorese autovetores de T .

Buscamos escalares λ ∈ IR e vetores NAO-NULOS v = (x, y) tais que T (v) = λ · v , ou seja,

(−3x + 2y,−4x + 3y) = T (x, y) = λ · (x, y) = (λ · x, λ · y)

Chegamos entao ao sistema linear homogeneo{−3x + 2y = λ · x−4x + 3y = λ · y

⇔

{(λ + 3) · x − 2y = 0

4x + (λ− 3) · y = 0


v = (x, y) 6= (0, 0) ), devemos ter det C = 0 , sendo C =

[λ + 3 −2

4 λ− 3

]a matriz dos coeficientes

do sistema.

Como detC = (λ − 1)(λ + 1) , os escalares λ ∈ IR para os quais temos solucoes nao-triviais sao:λ = 1 , λ = −1 , sendo estes portanto os autovalores de T .

92 CAPITULO 4




{4x − 2y = 04x − 2y = 0

e temos:

V1 ={

v ∈ IR2 ; T (v) = 1 · v}

= { (x, 2x) ; x ∈ IR } = [ (1, 2) ]


Com λ = −1 o sistema fica

{2x − 2y = 04x − 4y = 0

e temos:

V−1 ={

v ∈ IR2 ; T (v) = −1 · v}

= { (y, y) ; y ∈ IR } = [ (1, 1) ]

F) Seja S : IR3 → IR3 dado por S(x, y, z) = (2x,−z, y). Encontre os autovalores e autovetores de S.

Buscamos escalares λ ∈ IR e vetores NAO-NULOS v = (x, y) tais que S(v) = λ · v , ou seja,

(2x,−z, y) = S(x, y, z) = λ · (x, y, z) = (λ · x, λ · y, λ · z)

Chegamos entao ao sistema linear homogeneo2x = λ · x

− z = λ · yy = λ · z

⇔

(λ− 2) · x = 0

λ · y + z = 0− y + λ · z = 0


v = (x, y) 6= (0, 0) ), devemos ter detD = 0 , sendo D =

λ− 2 0 00 λ 10 −1 λ

a matriz dos

coeficientes do sistema.

Como det D = (λ − 2)(λ2 + 1) , o unico escalar λ ∈ IR para o qual temos solucoes nao-triviais eλ = 2 , sendo este portanto o unico autovalor de S. Vamos encontrar os autovetores associados esteautovalor:



{2y + z = 0−y + 2z = 0

e temos:

V2 ={

v ∈ IR3 ; S(v) = 2 · v}

= { (x, 0, 0) ; x ∈ IR } = [ (1, 0, 0) ]

Formas Canonicas 93

Autovalores de uma matriz:

Definicao 4.2. Dada uma n×n matriz A sobre um corpo IK, definimos os autovetores e autovaloresde A como os mesmos do operador T : IKn → IKn tal que [T ] = A.

4.2 Obtendo autovalores e autovetores

Sejam T : IKn → IKn (lembremos que IK = IR ou C) um operador linear e a n× n matriz A talque A = [T ] (A e a matriz que representa T em relacao a base canonica).

Para obtermos os autovalores e autovetores de T e A, procederemos da mesma forma que nosexemplos anteriores:

Queremos obter λ ∈ IK e v = (x1, x2, . . . , xn) 6= (0, 0, . . . , 0), v ∈ IKn tais que

T (v) = λ.v , ou seja, λ.v − T (v) = 0 (vetor nulo).

O que tambem pode ser descrito como: λ.I(v)− T (v) = 0 ⇔ (λ.I − T )(v) = 0 .

Na forma matricial:λx1

λx2

...λxn

−A.

x1

x2

...xn

=

00...0

⇔ (λ.I −A) .

x1

x2

...xn

=

00...0

(∗)

Para que o sistema (∗) acima possua solucoes nao-triviais (lembremos que estamos buscandovetores nao-nulos v), devemos ter

det(λI −A) = 0 .

Portanto, os valores caracterısticos do operador T (e da matriz A) sao exatamente os escalaresλ ∈ IK tais que det(λI −A) = 0 (equacao caracterıstica da matriz A ou do operador T ).

Definicao 4.3. Definimos o POLINOMIO CARACTERISTICO da matriz A como sendo o polinomio

pA(x) = det(xI −A) .

94 CAPITULO 4

Consequencias:

(a) Como A e uma n× n matriz sobre o corpo IK, seu polinomio caracterıstico sera um polinomiode grau n e coeficientes em IK.

(b) Se duas n×n matrizes A e B sao semelhantes entao elas tem o mesmo polinomio caracterıstico.

Esta consequencia nos permite definir o POLINOMIO CARACTERISTICO DE UM OPERADORT : V → V , pT (x), como o polinomio caracterıstico de qualquer matriz representante de T , [T ]ββem relacao a uma base β de V .

(c) E claro que os autovalores de A (e portanto de T ) sao as raızes do seu polinomio caracterıstico eusaremos o sistema (∗) acima para determinar seus autovetores.

Obs.: Se tivermos T : V → V, dim V = n e V 6= IKn (por exemplo, se V e um espaco depolinomios ou matrizes), entao escolha uma base α de V e a partir daı cada vetor v ∈ V podera serrepresentado por sua n-upla de coordenadas em relacao a base α, ou seja, podemos tomar os mesmosprocedimentos acima, como se estivessemos no espaco IKn (isomorfismo entre espacos de polinomiosou matrizes e espacos do tipo IKn).

Um pouco sobre polinomios:

Um polinomio p(x) = a0 + a1x + . . . + anxn de grau n tem no maximo n raızes distintas.

Um escalar λ e raiz de um polinomio p(x) se, e somente se, p(x) e divisıvel por (x− λ).

Se p(x) e um polinomio com coeficientes reais e o numero complexo a+ ib e raiz de p(x) entaoseu conjugado a− ib tambem e raiz de p(x).

Exemplo: Seja T : IR3 → IR3 dado por T (x, y, z) = (x + y, x− y + 2z, 2x + y − z).

Obtenha os autovalores e autovetores de T .

Obteremos inicialmente os AUTOVALORES de T . Os autovalores do operador T sao as raızes(reais) do polinomio caracterıstico pT (x) , de T , sendo este o polinomio caracterıstico de qualquermatriz representante de T (em relacao a qualquer base do IR3).

Desta forma, escolhemos a base canonica do IR3 (poderia ser qualquer outra base) e fazemos

A = [T ] =

1 1 01 −1 22 1 −1

Formas Canonicas 95

Temos entao

pT (x) = pA(x) = det(xI −A) = det

x− 1 −1 0−1 x + 1 −2−2 −1 x + 1

= (x + 1)(x + 2)(x− 2)

(calculamos o determinante e obtivemos o polinomio fatorado)

Os autovalores de T (raızes de pT (x)) sao portanto: λ = −1 , λ = −2 e λ = 2 .



V−1 ={

v ∈ IR3 ; T (v) = (−1) · v}

= { (x, y, z) ; (x + y, x− y + 2z, 2x + y − z) = T (x, y, z) = (−x,−y,−z) }

O sistema fica

−2x − y = 0−x − 2z = 0−2x − y = 0

e (resolvendo o sistema) obtemos

V−1 = { (−2z, 4z, z) ; z ∈ IR } = [ (−2, 4, 1) ]


V−2 ={

v ∈ IR3 ; T (v) = (−2) · v}

= { (x, y, z) ; (x + y, x− y + 2z, 2x + y − z) = T (x, y, z) = (−2x,−2y,−2z) }

O sistema fica

−3x − y = 0−x − y − 2z = 0−2x − y − z = 0


V−2 = { (z,−3z, z) ; z ∈ IR } = [ (1,−3, 1) ]


V2 ={

v ∈ IR3 ; T (v) = 2 · v}

= { (x, y, z) ; (x + y, x− y + 2z, 2x + y − z) = T (x, y, z) = (2x, 2y, 2z) }

O sistema fica

x − y = 0

−x + 3y − 2z = 0−2x − y + 3z = 0


V2 = { (z, z, z) ; z ∈ IR } = [ (1, 1, 1) ]

96 CAPITULO 4

Exercıcios:

1) Ache os autovalores e autovetores correspondentes dos operadores lineares dados abaixo:

(a) T : IR2 → IR2 dado por T (x, y) = (2y, x) .

(b) S : IR2 → IR2 dado por S(x, y) = (x + y, 2x + y) .

(c) L : IR3 → IR3 dado por L(x, y, z) = (x + y, x− y + 2z, 2x + y − z) .

(d) M : M2×2(C) → M2×2(C) dado por M(A) = At (transposta de A).

(e) H : P2(IR) → P2(IR) dado por H(ax2 + bx + c) = ax2 + cx + b .

(f) U : IR4 → IR4 dado por U(x, y, z, w) = (x, x + y, x + y + z, x + y + z + w) .

2) Encontre o operador linear T : IR2 → IR2 tal que T tenha autovalores −2 e 3 associadosaos autovetores (3y, y) e (−2y, y) respectivamente.

3) Ache os autovalores e autovetores correspondentes das matrizes:

(a) A =

[1 20 −1

](b) B =

[1 11 1

](c) C =

1 2 30 1 20 0 1

(d) D =

3 −3 −40 3 50 0 −1

(e) E =

1 0 2−1 0 1

1 1 2

(f) F =

1 1 21 2 12 1 1

(g) G =

0 1 00 0 1

−1 0 0

(h) H =

1 3 −30 4 0

−3 3 1

(i) I =

−1 −4 142 −7 142 −4 11

(j) J =

2 0 1 00 2 0 112 0 3 00 −1 0 0

4) Seja T : V → V um operador linear.Se λ = 0 e autovalor de T , mostre que T nao e injetora.A recıproca e verdadeira? Ou seja, se T nao e injetora, λ = 0 e autovalor de T ?

Formas Canonicas 97

5) Sejam A =

[0 21 1

]e T : IR2 → IR2 tal que [T ] = A.

(a) Mostre que T e invertıvel (bijetora, isomorfismo) e obtenha T−1.

(b) Mostre que os autovalores de qualquer operador linear invertıvel nao sao nulos, ou seja, λ = 0nao pode ser autovalor de T , se T for invertıvel.(Sugestao: De uma olhada no exercıcio anterior)

(c) Obtenha os autovalores e autovetores correspondentes de T e T−1 (o mesmo que obter os deA e A−1).

(d) Generalize o resultado obtido na letra (c) acima, para um operador invertıvel T : V → V .

6) Seja A =

−1 −2 00 −1 11 0 0

. Obtenha os autovalores e autovetores de A ...

(a) ... sobre o corpo IR dos numeros reais.

(b) ... sobre o corpo C dos numeros complexos.

4.3 Forma diagonal: a primeira forma canonica

Base de autovetores, operadores diagonalizaveis:

Seja T : V → V (dim V = n) um operador linear.

Se V possui uma base β = {v1, v2, . . . , vn} de autovetores de T , temos:

T (v1) = λ1.v1

T (v2) = λ2.v2

...T (vn) = λn.vn

⇒ [T ]ββ =

λ1 0 . . . 00 λ2 . . . 0...

.... . .

...0 0 . . . λn

Assim sendo, a matriz representante de T em relacao a base β e diagonal.

98 CAPITULO 4

Reciprocamente, se γ = {w1, w2, . . . , wn} e uma base de V tal que [T ]γγ e diagonal:

[T ]γγ =

a1 0 . . . 00 a2 . . . 0...

.... . .

...0 0 . . . an

⇒

T (w1) = a1.w1

T (w2) = a2.w2

...T (wn) = an.wn .

Logo γ e uma base de autovetores de T .

Portanto T : V → V admite uma base β (de V ) de autovetores se, e somente se, [T ]ββ e umamatriz diagonal.

Definicao 4.4. Seja T : V → V um operador linear.T e um operador DIAGONALIZAVEL se, e somente se, existe uma base de V cujos elementos sao(todos) autovetores de T .

Exemplos:

A) Seja T : IR2 → IR2 dado por T (x, y) = (−3x + 4y,−x + 2y).

T e diagonalizavel ?

Escolhemos inicialmente a base canonica do IR2 e temos:

A = [T ] =

[−3 4−1 2

]


[x + 3 −4

1 x− 2

]= x2 + x− 2 = (x + 2)(x− 1)

Os autovalores de T (raızes de pT (x)) sao portanto: λ = −2 e λ = 1 .

Vamos encontrar os autovetores associados a cada um destes autovalores e tentar montar uma basepara o IR2 formada por autovetores de T :


V−2 ={

v ∈ IR2 ; T (v) = (−2) · v}

= { (x, y) ; (−3x + 4y,−x + 2y) = T (x, y) = (−2x,−2y) }

O sistema fica

{x − 4y = 0x − 4y = 0


V−2 = { (4y, y) ; y ∈ IR } = [ (4, 1) ]

Formas Canonicas 99


V1 ={

v ∈ IR2 ; T (v) = 1 · v}

= { (x, y) ; (−3x + 4y,−x + 2y) = T (x, y) = (x, y) }

O sistema fica

{4x − 4y = 0x − y = 0


V1 = { (y, y) ; y ∈ IR } = [ (1, 1) ]

Finalmente, e facil ver que β = { (4, 1) , (1, 1) } e uma base do IR2 formada por autovetores dooperador T . Portanto T e diagonalizavel e temos

[T ]ββ =

[−2 0

0 1

]

B) Seja R : IR2 → IR2 tal que [R] =

[a −b

b a

], a, b ∈ IR, b 6= 0.

R e diagonalizavel ?

Sendo B = [R] , temos

pR(x) = pB(x) = det(xI −B) = det

[x− a b

−b x− a

]= (x− a)2 + b2

Como b 6= 0 temos que pR(x) nao possui raızes reais e assim R nao possui autovalores (e nemautovetores). Portanto R nao e diagonalizavel.

C) Seja S : IR3 → IR3 tal que [S] =

3 0 −40 3 50 0 −1

. S e diagonalizavel ?

Sendo C = [S] temos

pS(x) = pC(x) = det(xI − C) = det

x− 3 0 40 x− 3 −50 0 x + 1

= (x− 3)2(x + 1)

Os autovalores de S (raızes de pS(x)) sao portanto: λ = 3 e λ = −1 .

Vamos encontrar os autovetores associados a cada um destes autovalores e tentar montar uma basepara o IR3 formada por autovetores de S:

100 CAPITULO 4


V3 ={

v ∈ IR3 ; S(v) = 3 · v}

= { (x, y, z) ; (3x− 4z, 3y + 5z,−z) = S(x, y, z) = (3x, 3y, 3z) }

O sistema fica

− 4z = 0

5z = 04z = 0


V3 = { (x, y, 0) ; x, y ∈ IR } = [ (1, 0, 0) , (0, 1, 0) ]


V−1 ={

v ∈ IR3 ; S(v) = (−1) · v}

= { (x, y) ; (3x− 4z, 3y + 5z,−z) = S(x, y, z) = (−x,−y,−z) }

O sistema fica

{4x − 4z = 0

4y + 5z = 0e (resolvendo o sistema) obtemos

V−1 = { (z,−5z/4, z) ; z ∈ IR } = [ (4,−5, 4) ]

Finalmente, e facil ver que β = { (1, 0, 0) , (0, 1, 0) , (4,−5, 4) } e uma base do IR3 formada porautovetores do operador S.

Portanto S e diagonalizavel e temos

[S]ββ =

3 0 00 3 00 0 −1

D) Seja U : IR3 → IR3 tal que [U ] =

3 −3 −40 3 50 0 −1

. U e diagonalizavel ?

Sendo D = [U ] temos

pU (x) = pD(x) = det(xI −D) = det

x− 3 3 40 x− 3 −50 0 x + 1

= (x− 3)2(x + 1)

Os autovalores de U (raızes de pU (x)) sao portanto: λ = 3 e λ = −1 .

Vamos encontrar os autovetores associados a cada um destes autovalores e tentar montar uma basepara o IR3 formada por autovetores de S:

Formas Canonicas 101


V3 ={

v ∈ IR3 ; U(v) = 3 · v}

= { (x, y, z) ; (3x− 3y − 4z, 3y + 5z,−z) = U(x, y, z) = (3x, 3y, 3z) }

O sistema fica

−3y − 4z = 0

5z = 04z = 0


V3 = { (x, 0, 0) ; x, y ∈ IR } = [ (1, 0, 0) ]


V−1 ={

v ∈ IR3 ; U(v) = (−1) · v}

= { (x, y) ; (3x− 3y − 4z, 3y + 5z,−z) = U(x, y, z) = (−x,−y,−z) }

O sistema fica

{4x − 3y − 4z = 0

4y + 5z = 0e (resolvendo o sistema) obtemos

V−1 = { (z/16,−5z/4, z) ; z ∈ IR } = [ (1,−20, 16) ]

Finalmente, e facil ver que NAO E POSSIVEL obter uma base IR3 formada por autovetores dooperador U , pois conseguimos no maximo um subespaco de dimensao 2 formado por autovetores deU . Portanto U nao e diagonalizavel.

Uma propriedade importante: Autovetores nao-nulos associados a autovalores distintos saolinearmente independentes (LI).

Consequencia: Se V e um espaco vetorial de dimensao n e um operador linear T : V → V

possui n autovalores distintos, entao T e diagonalizavel. (ATENCAO)

4.4 Polinomio minimal (ou mınimo)

Polinomio minimal de uma matriz:

Definicao 4.5. Sejam p(x) = alxl + al−1x

l−1 + . . . + a1x + a0 um polinomio e A uma matrizquadrada. Entao p(A) (le-se p aplicado em A) e a matriz:

p(A) = alAl + al−1A

l−1 + . . . + a1A + a0I .

Quando p(A) = 0 (matriz nula), dizemos que o polinomio p ANULA a matriz A .

102 CAPITULO 4

Exemplo: Sejam A =

[−2 −1

3 2

], p(x) = 2x2 − x + 3, q(x) = x2 − 1 .

p(A) = 2.A2 −A + 3.I =

[7 1

−3 3

]e assim p nao anula A.

q(A) = A2 − I =

[0 00 0

]e assim q anula A.

Definicao 4.6. Seja A uma matriz quadrada. O POLINOMIO MINIMAL (ou MINIMO) de A eum polinomio mA(x) = xk + ak−1x

k−1 + . . . + a1x + a0 tal que

(i) mA(A) = 0 (mA anula a matriz A).

(ii) mA(x) e o polinomio, na forma acima, de menor grau entre aqueles que anulam A.

Veremos a seguir alguns criterios que ajudarao a obter o polinomio minimal de uma matriz:

Teorema 4.7. Se um polinomio f(x) anula a matriz A entao f e divisıvel pelo polinomio minimalde A.

Teorema 4.8. (Cayley-Hamilton) O polinomio caracterıstico de uma matriz anula essa matriz.

Teorema 4.9. As raızes do polinomio minimal sao as mesmas raızes (reais ou complexas) dopolinomio caracterıstico da matriz considerada.

Se combinarmos os tres resultados anteriores temos um bom metodo para a obtencao de “can-didatos a polinomio minimal” de uma matriz dada.

Observe que o polinomio minimal de uma matriz dada deve ser um divisor do polinomiocaracterıstico dessa matriz e possuir as mesmas raızes.

Por exemplo, se pA(x) = (x + 2)2(x− 1)(x− 3)2 e o polinomio caracterıstico de uma matriz A

entao os candidatos a polinomio minimal sao:

f1(x) = (x + 2)(x− 1)(x− 3)f2(x) = (x + 2)2(x− 1)(x− 3)f3(x) = (x + 2)(x− 1)(x− 3)2

f4(x) = (x + 2)2(x− 1)(x− 3)2 = pA(x)

Dentre estes, o de menor grau que anular a matriz A sera o polinomio minimal de A.


Exemplos:

A) Obtenha o polinomio minimal da matriz A =

1 2 30 1 20 0 1

.

Obtemos inicialmente o polinomio caracterıstico de A: pA(x)

pA(x) = det(xI −A) = det

x− 1 −2 −30 x− 1 −20 0 x− 1

= (x− 1)3

Os candidatos a polinomio minimal de A sao:f1(x) = x− 1f2(x) = (x− 1)2

f3(x) = (x− 1)3 = pA(x)

f1(A) = A− I =

0 2 30 0 20 0 0

6= 0 e assim f1 nao e o minimal.

f2(A) = (A− I)2 =

0 0 40 0 00 0 0


Portanto o polinomio minimal de A so pode ser mA(x) = (x− 1)3 = pA(x) .

B) Obtenha o polinomio minimal da matriz B =

2 2 21 3 2

−1 −2 −1

.

Obtemos inicialmente o polinomio caracterıstico de B: pB(x)

pB(x) = det(xI −B) = det

x− 2 −2 −2−1 x− 3 −21 2 x + 1

= x3 − 4x2 + 5x− 2 = (x− 1)2(x− 2)

Os candidatos a polinomio minimal de B sao:f1(x) = (x− 1)(x− 2)f2(x) = (x− 1)2(x− 2) = pB(x)

f1(B) = (B − I)(B − 2I) =

1 2 21 2 2

−1 −2 −2

· 0 2 2

1 1 2−1 −2 −3

=

0 0 00 0 00 0 0

e assim f1 e o

minimal.

Portanto o polinomio minimal de B e mB(x) = (x− 1)(x− 2) .

104 CAPITULO 4

C) Obtenha o polinomio minimal da matriz C =

2 0 0 01 2 0 00 0 2 00 0 0 −1

.

Obtemos inicialmente o polinomio caracterıstico de C: pC(x)

pC(x) = det(xI − C) = det

x− 2 0 0 0−1 x− 2 0 00 0 x− 2 00 0 0 x + 1

= (x− 2)3(x + 1)

Os candidatos a polinomio minimal de C sao:f1(x) = (x− 2)(x + 1)f2(x) = (x− 2)2(x + 1)f3(x) = (x− 2)3(x + 1) = pC(x)

f1(C) = (C − 2I)(C + I) =

0 0 0 01 0 0 00 0 0 00 0 0 −3

·

3 0 0 01 3 0 00 0 3 00 0 0 0

=

0 0 0 03 0 0 00 0 0 00 0 0 0

6= 0 e assim f1

nao e o minimal.

f2(C) = (C − 2I)2(C + I) =

0 0 0 01 0 0 00 0 0 00 0 0 −3

·

3 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 0

=

0 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 0

e assim f2 e o

minimal.

Portanto o polinomio minimal de C e mC(x) = (x− 2)2(x + 1) .

D) Obtenha o polinomio minimal da matriz D =

2 0 1 00 2 0 112 0 3 00 −1 0 0

.

Obtemos inicialmente o polinomio caracterıstico de D: pD(x)

pD(x) = det(xI −D) = det

x− 2 0 −1 0

0 x− 2 0 −1−12 0 x− 3 00 1 0 x

= (x− 1)2(x + 1)(x− 6)


Os candidatos a polinomio minimal de D sao:f1(x) = (x− 1)(x + 1)(x− 6)f2(x) = (x− 1)2(x + 1)(x− 6) = pD(x)

f1(D) = (D−I)(D+I)(D−6I) =

1 0 1 00 1 0 1

12 0 2 00 −1 0 −1

·

3 0 1 00 3 0 1

12 0 4 00 −1 0 1

·−4 0 1 0

0 −4 0 112 0 −3 00 −1 0 −6

=

0 0 0 00 −10 0 −100 0 0 00 10 0 10


Portanto o polinomio minimal de D so pode ser mD(x) = (x− 1)2(x + 1)(x− 6) = pD(x) .

Polinomio minimal de um operador linear:

Definicao 4.10. Definimos o polinomio minimal de um operador T : V → V como o polinomiominimal de qualquer matriz representante de T , [T ]ββ (onde β e uma base qualquer de V ).

O resultado a seguir justifica a obtencao do polinomio minimal de um operador linear:

Teorema 4.11. Um operador linear T : V → V e diagonalizavel se, e somente se, o polinomiominimal de T e da forma

mT (x) = (x− λ1).(x− λ2) . . . (x− λr) , com λ1, λ2, . . . , λr autovalores distintos.

Exemplos:

A) Seja T : IR4 → IR4 dado por T (x, y, z, w) = (3x− 4z, 3y + 5z,−z,−w).

Obtenha o polinomio minimal de T . T e diagonalizavel ?

Seja A = [T ] =

3 0 −4 00 3 5 00 0 −1 00 0 0 −1

. Temos:


x− 3 0 4 0

0 x− 3 −5 00 0 x + 1 00 0 0 x + 1

= (x− 3)2(x + 1)2

106 CAPITULO 4

Os candidatos a polinomio minimal de T (e de A) sao:f1(x) = (x− 3)(x + 1)f2(x) = (x− 3)2(x + 1)f3(x) = (x− 3)(x + 1)2

f4(x) = (x− 3)2(x + 1)2 = pT (x)

f1(A) = (A− 3I)(A + I) =

0 0 −4 00 0 5 00 0 −4 00 0 0 −4

·

4 0 −4 00 4 5 00 0 0 00 0 0 0

=

0 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 0

e assim f1 e o

minimal.

Portanto o polinomio minimal de T e mT (x) = (x−3)(x+1) e como mT (x) pode ser fatorado (sobreIR) como um produto de fatores lineares distintos, segue do teorema anterior que T e diagonalizavel.

B) S : IR3 → IR3 dado por S(x, y, z) = (x + y, y,−2z) e diagonalizavel ?

Seja B = [S] =

1 1 00 1 00 0 −2

.

Temos:

pS(x) = pB(x) = det(xI −B) = det

x− 1 −1 00 x− 1 00 0 x + 2

= (x− 1)2(x + 2)

Os candidatos a polinomio minimal de S (e de B) sao:f1(x) = (x− 1)(x + 2)f2(x) = (x− 1)2(x + 2) = pS(x)

f1(B) = (B − I)(B + 2I) =

0 1 00 0 00 0 −3

· 3 1 0

0 3 00 0 0

=

0 3 00 0 00 0 0

6= 0 e assim f1 nao e o

minimal.

Portanto o polinomio minimal de S so pode ser mS(x) = (x− 1)2(x + 2) e como mS(x) nao podeser fatorado (sobre IR) como um produto de fatores lineares distintos, segue do teorema anterior queS nao e diagonalizavel.

C) Seja U : IR2 → IR2 o operador linear dado por U(x, y) = (x− y, 2x− y).

Obtenha o polinomio minimal de U . U e diagonalizavel ? E se considerarmos U : C2 → C2 ?

Seja C = [U ] =

[1 −12 −1

].


Temos:

pU (x) = pC(x) = det(xI − C) = det

[x− 1 1−2 x + 1

]= x2 + 1

O unico candidato a polinomio minimal de U (e de C) e f1(x) = x2 + 1 = pU (x)

Portanto o polinomio minimal de U so pode ser mU (x) = x2 + 1 e como mU (x) nao pode serfatorado (sobre IR) como um produto de fatores lineares distintos, segue do teorema anterior que U

nao e diagonalizavel.

Considerando U : C2 → C2 terıamos as mesmas contas acima so que mU (x) poderia ser fatoradoSOBRE C como mU (x) = (x + i)(x − i) , ou seja, um produto de fatores lineares distintos e doteorema anterior terıamos U diagonalizavel!

Exercıcios:

1) Dentre os operadores do exercıcio 1 da Secao 4.2, quais sao diagonalizaveis ?

2) Uma n × n matriz quadrada A sobre um corpo IK e dita diagonalizavel quando o operadorlinear T : IKn → IKn tal que [T ] = A for diagonalizavel.

Quais matrizes do exercıcio 3 da Secao 4.2 sao diagonalizaveis ?

3) Para quais valores de a as matrizes abaixo sao diagonalizaveis ?

(a) A =

[1 10 a

].

(b) B =

[1 a

0 1

].

4) Seja T : IR3 → IR3 um operador linear tal que

[T ] =

2 0 10 −3 10 0 −3

.

Se for possıvel, encontre uma base γ de IR3 tal que [T ]γγ seja diagonal.

108 CAPITULO 4

5) Mostre que a matriz A =

[1 23 2

]e semelhante a matriz B =

[4 00 −1

], exibindo uma

matriz invertıvel P tal que B = P−1.A.P .

(Sugestao: Seja T : IR2 → IR2 tal que A = [T ] . Encontre uma base β do IR2 tal que B = [T ]ββe assim teremos A e B semelhantes como descrito acima, sendo P a matriz de mudanca de base dabase β para a base canonica do IR2)

6) Mostre que ...

(a) ... duas matrizes semelhantes possuem o mesmo determinante.

(b) ... se uma matriz quadrada A e diagonalizavel, o determinante de A a o produto de seusautovalores.

7) Diz-se que um operador linear T : V → V e NILPOTENTE se existir um numero inteiro epositivo k tal que T k = 0 (operador nulo), isto e, T ◦ T ◦ T ◦ . . . ◦ T (v) = 0 para todo v ∈ V .

a) Seja T nilpotente. Encontre seus autovalores. (Sugestao: observe que xk anula T )

b) Encontre uma matriz A = [T ] , T : IR3 → IR3 , com T nilpotente e nao-nulo.

c) Mostre que um operador linear nilpotente, nao-nulo, nao e diagonalizavel.

8) Diz-se que um operador linear T : V → V e IDEMPOTENTE se T 2 = T , isto e, quandoT ◦ T (v) = T (v) para todo v ∈ V .

a) Seja T idempotente. Encontre seus autovalores.

b) Encontre uma matriz A = [T ] , T : IR4 → IR4 , com T idempotente, nao-nulo e A 6= I .

c) Mostre que todo operador linear idempotente e diagonalizavel.

9) Mostre que A =

3 0 00 2 −50 1 −2

nao e diagonalizavel sobre o corpo IR dos numeros reais, mas

se A representar, numa certa base, um operador linear T : V → V , onde V e um espaco vetorialcomplexo, entao T e diagonalizavel. Obtenha ainda uma matriz , sobre C, diagonal e que sejasemelhante a matriz A.


10) Utilize a forma diagonal para obter An (n natural) nos seguintes casos

(a) A =

[−3 4−1 2

].

(b) A =

0 7 −6−1 4 0

0 2 −2

.

Sugestao: Ache uma matriz B semelhante a matriz A (A = P−1.B.P ) tal que seja facil de calcularBn (busque B diagonal) e observe que An = (P−1.B.P )n = P−1.Bn.P .

4.5 Matriz companheira

Seja f(x) = xn + an−1xn−1 + . . .+ a1x+ a0 um polinomio cujo coeficiente do termo de mais alto

grau e igual a 1.

Chama-se MATRIZ COMPANHEIRA DE f (ou matriz associada ao polinomio f) a n×n matrizquadrada Cf onde todos os elementos da “subdiagonal principal” (“paralela” a principal e logoabaixo) sao iguais a 1, cuja ultima coluna e formada pelos opostos dos coeficientes de f(x) e tal quetodos os seus demais elementos sao nulos, da seguinte forma:

Cf =

0 0 0 . . . 0 −a0

1 0 0 . . . 0 −a1

0 1 0 . . . 0 −a2

0 0 1. . .

......

......

.... . . 0 −an−2

0 0 0 . . . 1 −an−1

Exemplo: Encontre a matriz companheira de f(x) = x5 − 3x4 − 4x2 + x + 6.

Temos diretamente:

Cf =

0 0 0 0 −61 0 0 0 −10 1 0 0 40 0 1 0 00 0 0 1 3

110 CAPITULO 4

Propriedade: O polinomio minimal e o polinomio caracterıstico da matriz companheira de f

sao iguais ao proprio polinomio f .

Exercıcio: Obtenha a matriz companheira e verifique a propriedade acima para os seguintespolinomios:

(a) f(x) = x2 − 3x + 4 ;

(b) g(x) = x3 + x2 − x + 15 ;

(c) h(x) = x4 + 2x3 − 3x2 − 8x− 4 .

4.6 A forma canonica de Jordan

Ja vimos que, para certos operadores lineares T : V → V , e possıvel obter uma base β de V

tal que a matriz representante de T nesta base(

[T ]ββ)

e uma matriz diagonal (sao os operadoresdiagonalizaveis).

Quando T nao e diagonalizavel veremos que, sob certas condicoes, e possıvel obter uma base β

de V tal que [T ]ββ tenha ainda uma “forma simples”, a chamada Forma de Jordan.

Teorema 4.12. (Forma Canonica de Jordan)

Sejam T : V → V um operador linear sobreum espaco V de dimensao finita ( dim V = n )e A = [T ]αα uma matriz que represente T emrelacao a alguma base α de V .

Suponhamos que seu polinomio caracterısticoseja da seguinte forma:

pT (x) = pA(x) = (x−λ1)d1 .(x−λ2)d2 . . . (x−λk)dk

λ1, λ2, . . . , λk sao os autovalores de T e temosd1 + d2 + . . . + dk = n.

Seja seu polinomio minimal dado por

mT (x) = (x− λ1)r1 .(x− λ2)r2 . . . (x− λk)rk

com ri ≤ di ∀ i = 1, 2, . . . , k .

Entao...

Exemplo (para ilustrar) :

Seja T : V → V um operador sobre um espacovetorial V de dimensao finita.

Suponhamos que T (neste exemplo) tenhacomo polinomio caracterıstico

pT (x) = (x + 2)4(x− 3)3(x− 5)4

Os autovalores de T (raızes de pT (x)) sao

λ1 = −2 , λ2 = 3 , λ3 = 5

( dim V = grau(pT ) = 4 + 3 + 4 = 11 )

Suponhamos que T tenha como polinomiominimal

mT (x) = (x + 2)3(x− 3)(x− 5)2

Entao...


Forma canonica de Jordan: (cont.)

... existe uma base β de V tal que B = [T ]ββe uma matriz DIAGONAL POR BLOCOS

B =

B1

B2

©

©. . .

Bk

onde cada bloco Bi tem ordem di e esta rela-cionado com o autovalor λi , conforme veremosa seguir.

(1) Cada bloco Bi e diagonal por blocos

Bi =

J

(i)1

J(i)2

©

©. . .

J(i)li

onde cada bloco J (i) e da forma

J (i) =

λi 0 . . . . . . 01 λi 0 . . . 0

0 1. . . . . .

......

.... . . . . . 0

0 0 . . . 1 λi

e chamado Matriz Elementar de Jordan com valorcaracterıstico λi.

(2) O bloco J (i) de maior ordem e umamatriz ri × ri (ri e o expoente de (x − λi)no polinomio minimal) e costumamos escrever osblocos J (i) em ordem decrescente de tamanho.

(3) O numero de blocos J (i) que formam amatriz Bi e dado por dim Vλi

(dimensao dosubespaco associado ao autovalor λi)

A matriz B e dada, a menos da ordem dosblocos, de modo unico e e dita estar sob a Formade Jordan. Dizemos que a matriz B e a Formade Jordan da matriz A.

Exemplo: (cont.)

... existe uma base β de V tal que B = [T ]ββe uma matriz DIAGONAL POR BLOCOS

B =

B1 O O

O B2 O

O O B3

O “blocao” B1 tem ordem 4×4, esta associado aoautovalor λ1 = −2 e e formado por “bloquinhos”do tipo

J (1) =

−2 0 . . . 0

1 −2 . . . 0...

. . . . . ....

0 . . . 1 −2

sendo o maior destes bloquinhos de ordem 3× 3 :

B1 =

−2 0 0 0

1 −2 0 00 1 −2 00 0 0 −2

Analogamente, o blocao B2 tem ordem 3× 3,

esta associado ao autovalor λ2 = 3 e fica

B2 =

3 0 00 3 00 0 3

e o blocao B3 tem ordem 4× 4, esta associado ao

autovalor λ3 = 5 e fica

B3 =

5 0 0 01 5 0 00 0 5 00 0 x 5

x = 1 se dim V5 = 2 e x = 0 se dim V5 = 3(V5 = { v ∈ V ; T (v) = 5 · v } e o subespaco de V

formado pelos autovetores associados ao autovalorλ3 = 5)

112 CAPITULO 4

Este resultado vale para espacos V (ou matrizes A) reais ou complexos.

No caso real, contanto que o polinomio caracterıstico seja fatorado como um produto de fatoreslineares (e reais).

Exemplos:

A) Seja T : V → V um operador linear cujos polinomios caracterıstico pT (x) e minimal mT (x) saodados por

pT (x) = (x− 3)4(x + 1)3 e mT (x) = (x− 3)2(x + 1)2 .

Determine as possıveis Formas de Jordan para as matrizes representantes de T .

Os autovalores de T sao: λ1 = 3 e λ2 = −1 . dim V = 7 .Existe uma base β de V tal que B = [T ]ββ e uma matriz diagonal por blocos e esta na chamadaForma de Jordan:

B =

[B1 O

O B2

]O blocao B1 tem ordem 4× 4 e esta associado ao autovalor λ1 = 3 . Ele e formado por bloquinhosdo tipo

3 0 . . . 01 3 . . . 0...

. . . . . ....

0 . . . 1 3

sendo que o maior destes bloquinhos tem ordem 2× 2 (expoente de (x− 3) em mT (x)).

Entao:

B1 =

3 0 0 01 3 0 00 0 3 00 0 x 0

Temos: ou x = 1 (2 bloquinhos 2× 2) ou x = 0 (1 bloquinho 2× 2 e 2 bloquinhos 1× 1).O numero total de bloquinhos e a dimensao de V3 (subespaco de V formado pelos autovetores asso-ciados a λ1 = 3).

O blocao B2 tem ordem 3× 3 e esta associado ao autovalor λ2 = −1 . Ele e formado por bloquinhosdo tipo

−1 0 . . . 01 −1 . . . 0...

. . . . . ....

0 . . . 1 −1


sendo que o maior destes bloquinhos tem ordem 2× 2 (expoente de (x + 1) em mT (x)).

Entao:

B2 =

−1 0 01 −1 00 0 −1

B) Seja S : V → V um operador linear cujos polinomios caracterıstico pS(x) e minimal mS(x) saodados por

pS(x) = (x− 2)4(x− 7)4 e mS(x) = (x− 2)(x− 7)3 .

Determine as possıveis Formas de Jordan para as matrizes representantes de S .

Os autovalores de S sao: λ1 = 2 e λ2 = 7 . dim V = 8 .Existe uma base β de V tal que B = [S]ββ e uma matriz diagonal por blocos e esta na chamadaForma de Jordan:

B =

[B1 O

O B2


2 0 . . . 01 2 . . . 0...

. . . . . ....

0 . . . 1 2

sendo que o maior destes bloquinhos tem ordem 1× 1 (expoente de (x− 2) em mS(x)).

Entao:

B1 =

2 0 0 00 2 0 00 0 2 00 0 0 2

O blocao B2 tem ordem 4× 4 e esta associado ao autovalor λ2 = 7 . Ele e formado por bloquinhosdo tipo

7 0 . . . 01 7 . . . 0...

. . . . . ....

0 . . . 1 7

sendo que o maior destes bloquinhos tem ordem 3× 3 (expoente de (x− 7) em mS(x)).

Entao:

B2 =

7 0 0 01 7 0 00 1 7 00 0 0 7

114 CAPITULO 4

C) Obtenha a Forma Canonica de Jordan B da matriz A =

3 −3 −40 3 50 0 −1

.

Temos:

pA(x) = det(xI −A) = det

x− 3 3 40 x− 3 −50 0 x + 1

= (x− 3)2(x + 1)

Candidatos a polinomio minimal de A:f1(x) = (x− 3)(x + 1)f2(x) = (x− 3)2(x + 1) = pA(x)

f1(A) = (A − 3I)(A + I) =

0 −3 −40 0 50 0 −4

· 4 −3 −4

0 4 50 0 0

6= 0 e assim f1 nao e o polinomio

minimal de A.

O polinomio minimal de A so pode ser mA(x) = (x− 3)2(x + 1) = pA(x)

Os autovalores de S sao: λ1 = 2 e λ2 = 7 . dim V = 8 .Existe uma matriz B semelhante a matriz A tal que B e uma matriz diagonal por blocos e esta nachamada Forma de Jordan:

B =

[B1 O

O B2


3 0 . . . 01 3 . . . 0...

. . . . . ....

0 . . . 1 3

sendo que o maior destes bloquinhos tem ordem 2× 2 (expoente de (x− 3) em mA(x)).

Entao:

B1 =

[3 01 3

]O blocao B2 tem ordem 1× 1 e esta associado ao autovalor λ2 = −1 . Ele so pode ser:

B2 = [−1]

Portanto

B =

3 0 01 3 00 0 −1


Exercıcios:

1) Determine as Formas de Jordan possıveis para as matrizes representantes de um operador linearT : V → V (definido sobre um espaco vetorial real V de dimensao finita) cujos polinomios carac-terıstico pT (x) e minimal mT (x) sejam dados por:

(a) pT (x) = (x + 1)5(x− 2)3 , mT (x) = (x + 1)3(x− 2)3 .

(b) pT (x) = (x− 5)3(x + 3)2(x− 4)3 , mT (x) = (x− 5)(x + 3)2(x− 4)2 .

(c) pT (x) = (x + 2)7(x− 3)4 , mT (x) = (x + 2)3(x− 3)2 .

2) Obtenha as Formas Canonicas de Jordan das matrizes do exercıcio 3 da Secao 4.2 .

3) Sejam T : IRn → IRn um operador linear, A = [T ] (matriz representante de T em relacao a basecanonica do IRn).

Seja mT (x) = mA(x) = (x− λ1)(x− λ2) . . . (x− λk) (λ1, λ2, . . . , λk ∈ IR, distintos) o polinomiominimal de T (ou de A).

Um teorema garante que T e diagonalizavel (ou seja, existe uma base β, de autovetores, de modoque [T ]ββ e diagonal).

Justifique este fato utilizando o teorema da Forma Canonica de Jordan.


−1 −2 00 −1 11 0 0

Obtenha o polinomio caracterıstico pA(x) e o polinomio minimal mA(x) da matriz A e observeque, sobre o corpo dos REAIS, nao estamos em condicoes de aplicar o teorema da Forma de Jordan.Considerando agora o corpo dos numeros COMPLEXOS, obtenha a Forma Canonica de Jordan damatriz A.


−3 0 0 0

1 −3 0 00 0 −3 00 0 0 1

Utilize o teorema da Forma Canonica de Jordan para obter DIRETAMENTE os polinomios carac-terıstico e minimal de A e verifique o resultado.

116 CAPITULO 4

Capıtulo 5

Espacos com Produto Interno

Neste capıtulo introduzimos o conceito de Produto Interno e alguns exemplos e topicos basicosrelacionados, como ortogonalidade, a norma proveniente de um produto interno, ortogonalizacao,projecao ortogonal e complemento ortogonal.

5.1 Produto interno

Definicao 5.1. Seja V um espaco vetorial real. Um PRODUTO INTERNO sobre V e umafuncao que associa a cada par de vetores v1, v2 ∈ V um escalar < v1, v2 > ∈ IR chamado oproduto interno de v1 por v2, de modo que sejam satisfeitas as seguintes condicoes:

p.i.1) < λ.v1 + v2, v3 > = λ. < v1, v3 > + < v2, v3 > , v1, v2, v3 ∈ V , λ ∈ IR ;

p.i.2) < v, v > ≥ 0 ∀ v ∈ V ;

p.i.3) < v, v > = 0 ⇒ v = 0 ;

p.i.4) < v1, v2 > = < v2, v1 > ∀ v1, v2 ∈ V .

Obs.: Se V for um espaco vetorial sobre o corpo C entao a condicao p.i.4 para que se tenha umproduto interno deve ser: < v1, v2 > = < v2, v1 > ∀ v1, v2 ∈ V . Salvo mencao em contrario,sempre trabalharemos neste capıtulo com espacos vetoriais reais (sobre IR).

Exemplos:

A) Seja V = IR3. Dados u = (x1, x2, x3), v = (y1, y2, y3) ∈ IR3 , definamos:

< u, v > = x1y1 + x2y2 + x3y3 .

117

118 CAPITULO 5

Temos que < , > definido desta forma e um produto interno sobre o IR3, conhecido comoProduto Interno Usual (ou Canonico) do IR3.

B) Seja V = IRn. Dados u = (x1, x2, . . . , xn), v = (y1, y2, . . . , yn) ∈ IRn , definamos:

< u, v > = x1y1 + x2y2 + . . . + xnyn (Produto Interno Usual do IRn).

C) Seja V = IR2. Dados u = (x1, x2), v = (y1, y2) ∈ IR2 , defina:

< u, v > = 2x1y1 − x1y2 − x2y1 + x2y2 .

Exercıcio: Verifique que < , > acima definido e um produto interno sobre o IR2.

D) Seja V = C[a, b] o espaco das funcoes reais contınuas definidas no intervalo [a, b] :

V = { f : [a, b] → IR ; f e contınua } .

Dadas f, g ∈ C[a, b] , defina

< f, g > =∫ b

af(x).g(x) dx .

Temos que < , > acima definido e um produto interno sobre V . (Verifique!)

E) Seja V = Cper [−T2 , T

2 ] o espaco das funcoes f : IR → IR contınuas e periodicas de perıodoT > 0 :

V = Cper

[−T

2,T

2

]= { f : IR → IR ; f e contınua e f(x + T ) = f(x) ∀ x ∈ IR } .

Dadas f, g ∈ Cper [−T2 , T

2 ] , temos o seguinte produto interno sobre V :

< f, g > =∫ T/2

−T/2f(x).g(x) dx .

F) Seja V = M2×2(IR) o espaco das 2× 2 matrizes reais:

V = M2×2(IR) =

{ [a b

c d

]; a, b, c, d ∈ IR

}.

Dadas A =

[a b

c d

], B =

[e f

g h

]∈ V , definamos

< A,B > = ae + 2bf + 3cg + dh .

< , > acima definido e um produto interno sobre M2×2(IR) . (Verifique!)

Espacos com Produto Interno 119

G) (Um exemplo mais geral) Sejam V = IRn e Q uma n× n matriz invertıvel (fixa).

Dados u = (x1, x2, . . . , xn), v = (y1, y2, . . . , yn) ∈ IRn , definamos:

< u, v > = [u]tβ.Qt.Q.[v]β = (x1 x2 . . . xn).Qt.Q.

y1

y2

...yn

(onde β e a base canonica do IRn).

Obs.: Note que se Q = I (n × n matriz identidade), entao temos em particular o ProdutoInterno Usual no IRn.

Exercıcio: Mostre que a funcao acima definida e um produto interno sobre IRn.

Algumas propriedades imediatas:

Se V e um espaco vetorial (real) com produto interno < , > , entao:

(i) < 0, v > = 0 ∀v ∈ V ;

(ii) < α1u1 + . . . + αnun, v > = α1 < u1, v > + . . . + αn < un, v > ;

(iii) < α1u1 + . . . + αnun , β1v1 + . . . + βmvm > =∑i,j

αiβj < ui, vj > .

Obs.: Um produto interno < , > sobre um espaco vetorial V nos permite criar toda uma“GEOMETRIA” para o espaco V , generalizando uma serie de ideias ja estudadas, conforme veremosnas proximas secoes.

5.2 Ortogonalidade

Definicao 5.2. Seja V um espaco vetorial munido de um produto interno < , >. Dizemos quedois vetores u, v ∈ V sao ORTOGONAIS quando < u, v > = 0. Escreve-se neste caso: u ⊥ v (ouv ⊥ u ).

Um subconjunto S ⊂ V e dito ser um CONJUNTO ORTOGONAL de vetores quando seusvetores sao dois a dois ortogonais.

Obs.: E importante ressaltarmos que o conceito de ortogonalidade depende do produto in-terno < , > considerado.

120 CAPITULO 5

Exemplos:

A) Seja V = IR3 munido com o Produto Interno Usual < , > .Os vetores u = (3,−2, 1) e v = (0, 4, 8) sao ortogonais.

A base canonica do IR3 , α = { (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} e um conjunto ortogonal de vetores no IR3

(considerando o Produto Interno Usual).

Generalizando: Se V = IRn munido com o Produto Interno Usual < , > , sua base canonica

α = { (1, 0, 0, . . . , 0), (0, 1, 0, . . . , 0), . . . , (0, 0, 0, . . . , 1) }

e um conjunto ortogonal (pois seus vetores sao dois a dois ortogonais).

B) Seja V = IR2 com o produto interno dado por:

< (x1, x2), (y1, y2) > = 2x1y1 − x1y2 − x2y1 + x2y2 .

Os vetores (1, 0) e (0, 1) NAO SAO ORTOGONAIS (CONSIDERANDO O PRODUTO INTERNOACIMA), pois

< (1, 0), (0, 1) > = 0− 1− 0 + 0 = −1 6= 0

C) Seja V = C[−π, π] = { f : [−π, π] → IR ; f e contınua } munido do produto interno

< f, g > =∫ π

−πf(x).g(x) dx ∀ f, g ∈ V .

Sendo f, g : [−π, π] → IR dadas por f(x) = senx e g(x) = cos x , temos:

< f, g > =∫ π

−πsenx. cos x dx = 0 . (Verifique!)

Portanto f(x) = senx e g(x) = cos x sao ortogonais em C[−π, π].

D) Seja V = Cper [−T2 , T

2 ] = { f : IR → IR ; f e contınua e f(x + T ) = f(x) ∀ x ∈ IR } oespaco das funcoes contınuas e periodicas de perıodo T > 0, munido do produto interno

< f, g > =∫ T/2

−T/2f(x).g(x) dx ∀ f, g ∈ V .

O conjunto S = {1, cos wx, senwx, cos 2wx, sen 2wx, . . .} , onde w =2π

T, e um conjunto

ortogonal de vetores (funcoes) em V = Cper [−T2 , T

2 ] . (Tente provar!)


Algumas propriedades imediatas:

Se V e um espaco vetorial com produto interno < , > , entao:

(i) 0 ⊥ v para todo v ∈ V .

Pois < 0, v > = < 0.v, v > = 0 . < v, v > = 0 ∀ v ∈ V .

(ii) Se u ⊥ v e w ⊥ v entao (αu + βw) ⊥ v para todos α, β ∈ IR .

De fato: < αu + βw, v > = α < u, v > + β < w, v > = 0 + 0 = 0.

(iii) Se u ⊥ v para todo v ∈ V entao u = 0 (vetor nulo).

De fato: como u ⊥ v para todo v ∈ V , temos entao que, em particular,

u ⊥ u ⇒ < u, u > = 0 ⇒ u = 0 (pela condicao p.i.3 na definicao de produto interno).

Teorema 5.3. Seja V um espaco vetorial com produto interno < , >. Se S ⊂ V e um conjuntoortogonal de vetores nao-nulos, entao S e linearmente independente (LI).

Demonstracao:

Seja S ⊂ V um conjunto ortogonal de vetores nao-nulos em V .

Sejam v1, v2, . . . , vk ∈ S e c1, c2, . . . , ck ∈ IR tais que

c1v1 + c2v2 + . . . + ckvk = 0 (vetor nulo).

Para todo i = 1, 2, . . . , k temos:

0 = < 0, vi > = < c1v1 + c2v2 + . . . + ckvk, vi > =

= c1 < v1, vi > +c2 < v2, vi > + . . . + ck < vk, vi > = ci < vi, vi > ,

pois: S ortogonal ⇒ < vj , vi > = 0 se j 6= i.

Como os vetores de S sao nao-nulos, entao < vi, vi > 6= 0 . Logo ci = 0 .

Assim c1 = c2 = . . . = ck = 0 e portanto S e um conjunto linearmente independente.

122 CAPITULO 5

Consequencia da demonstracao acima:

Seja V um espaco vetorial munido de um produto interno < , >.

Se um vetor w ∈ V e combinacao linear de um conjunto ortogonal, finito, de vetores nao-nulosv1, v2, . . . , vk , ou seja, w = c1v1 + c2v2 + . . .+ ckvk , entao cada coeficiente ci da combinacao e dadodiretamente por

ci =< w, vi >

< vi, vi >(Coeficientes de Fourier).

De fato, para todo i = 1, 2, . . . , k , temos:

< w, vi > = < c1v1 + c2v2 + . . . + ckvk, vi > =

= c1 < v1, vi > +c2 < v2, vi > + . . . + ck < vk, vi > =

= ci < vi, vi > ,

pois {v1, . . . , vk} e ortogonal.

Portanto temos ci =< w, vi >

< vi, vi >, pois vi 6= 0 .

Exemplo: Considerando o Produto Interno Usual no IR2 , temos que o conjuntoβ = { (3,−2), (6, 9) } e uma base ortogonal de IR2.

Escrevamos, por exemplo, w = (1, 2) como combinacao linear de v1 = (3,−2) e v2 = (6, 9) :

Teremos w = c1 · v1 + c2 · v2 com c1 e c2 dados diretamente por

c1 =< w, v1 >

< v1, v1 >=

3− 49 + 4

= − 113

c2 =< w, v2 >

< v2, v2 >=

6 + 1836 + 81

=24117

=839

Moral da estoria: e muito bom que tenhamos um vetor como combinacao linear de um conjuntoortogonal de vetores nao-nulos.

Em particular, e otimo termos, em um espaco vetorial V com produto interno, uma BASE OR-TOGONAL (seus vetores sao dois a dois ortogonais), pois neste caso qualquer vetor de V e umacombinacao linear dos vetores desta base e as coordenadas sao obtidas diretamente.


5.3 Norma

Definicao 5.4. Seja V um espaco vetorial com produto interno < , >. A partir do produto interno< , > podemos construir uma funcao que associa a cada vetor v ∈ V um numero real ‖v‖ ≥ 0dado por

‖v‖ =√

< v, v > ,

que chamaremos de a NORMA de v construıda a partir do produto interno < , > .

Obs.: O conceito de norma corresponde ao conceito de comprimento de um vetor !

Exemplos:

A) Se V = IR3 e < , > e o Produto Interno Usual, entao, dado v = (x, y, z) ∈ IR3, temos:

‖v‖ =√

< v, v > =√

x2 + y2 + z2

(neste caso particular, a norma coincide com o modulo do vetor estudado na Geometria Analıtica).

B) Seja V = Cper [−T2 , T

2 ] = { f : IR → IR ; f e contınua e f(x + T ) = f(x) ∀ x ∈ IR } o espacodas funcoes contınuas e periodicas de perıodo T > 0, munido do produto interno

< f, g > =∫ T/2

−T/2f(x).g(x) dx ∀ f, g ∈ V .

Calcule ‖f‖ , se f ∈ S = { 1, cos wx, senwx, cos 2wx, sen 2wx, . . . }(

w =2π

T

).

C) Se w = c1v1 + c2v2 + . . .+ ckvk e {v1, v2, . . . , vk} e um conjunto ortogonal de vetores nao-nulos,entao:

ci =< w, vi >

< vi, vi >=

< w, vi >

‖vi‖2∀ i = 1, 2, . . . , k .

Propriedades (mais importantes) da norma:

Se V e um espaco vetorial com produto interno < , > e ‖ ‖ e a norma construıda a partirdeste produto interno, entao:

(i) ‖v‖ ≥ 0 para todo v ∈ V .

‖v‖ = 0 se, e somente se, v = 0 (vetor nulo).

124 CAPITULO 5

(ii) ‖α.v‖ = |α| . ‖v‖ quaisquer que sejam α ∈ IR e v ∈ V .

De fato:

‖α.v‖ =√

< αv, αv > =√

α2 < v, v > =√

α2 .√

< v, v > = |α| . ‖v‖ .

(iii) Desigualdade de Cauchy-Schwarz:

|< u, v >| ≤ ‖u‖ . ‖v‖ ∀ u, v ∈ V .

De fato, sejam dados u, v ∈ V .

Para todo t ∈ IR , temos:0 ≤ ‖u + tv‖2 = < u + tv, u + tv > = < u, u > + 2t < u, v > + t2 < v, v > .

Fazendo: < v, v > = a, 2 < u, v > = b e < u, u > = c , temos:

at2 + bt + c ≥ 0 ∀ t ∈ IR .

Sabemos entao (pelo estudo do sinal da expressao at2 + bt+ c) que 4 = b2− 4ac ≤ 0 , ou seja:

4 < u, v >2 − 4 < v, v > . < u, u > ≤ 0 ⇒ < u, v >2 ≤ ‖u‖2 . ‖v‖2 ⇒

⇒ |< u, v >| ≤ ‖u‖ . ‖v‖ .

(iv) Desigualdade Triangular:

‖u + v‖ ≤ ‖u‖+ ‖v‖ ∀ u, v ∈ V . (Exercıcio)

A partir da norma ‖ ‖ podemos construir naturalmente uma metrica d em V , que e uma funcaoque associa a cada par de vetores u, v ∈ V um numero real d(u, v) ≥ 0 dado por d(u, v) = ‖u− v‖ ,chamado a DISTANCIA entre u e v e satisfazendo as seguintes condicoes (Mostre!):

(i) d(u, v) ≥ 0 para todos u, v ∈ V .

d(u, v) = 0 se, e somente se, u = v .

(ii) d(u, v) = d(v, u) .

(iii) d(u, v) ≤ d(u, w) + d(w, v) ∀ u, v, w ∈ V .


Teorema 5.5. (“Teorema de Pitagoras” Generalizado) Seja V um espaco vetorial com produto in-terno < , > e seja ‖ ‖ a norma proveniente deste produto interno.Se u, v ∈ V sao vetores ortogonais (u ⊥ v) entao:

‖u + v‖2 = ‖u‖2 + ‖v‖2 .

De fato: ‖u + v‖2 = < u + v, u + v > = < u, u > +2 < u, v > + < v, v > =

= ‖u‖2 + ‖v‖2 .

Esta e de fato uma generalizacao do famoso Teorema de Pitagoras, para espacos V com produtointerno em geral, pois no caso de V = IR2 com Produto Interno Usual temos exatamente o referidoTeorema, como estudado na Geometria Euclidiana.

Temos ainda que, em geral, se {v1, v2, . . . , vk} e um conjunto ortogonal, entao:

‖v1 + v2 + . . . + vk‖2 = ‖v1‖2 + ‖v2‖2 + . . . + ‖vk‖2 .

5.4 Angulo entre dois vetores

Seja V um espaco vetorial com produto interno < , > e uma norma ‖ ‖ (construıda a partirdeste produto interno).

Dados dois vetores nao-nulos u, v ∈ V , a Desigualdade de Cauchy-Schwarz fornece:

|< u, v >| ≤ ‖u‖ . ‖v‖ ⇒∣∣∣∣< u, v >

‖u‖ . ‖v‖

∣∣∣∣ ≤ 1 , ou melhor: − 1 ≤ < u, v >

‖u‖ . ‖v‖≤ 1 .

Existe portanto um unico angulo θ entre 0 e π radianos tal que:

cos θ =< u, v >

‖u‖ . ‖v‖.

Definimos este como sendo o angulo entre u e v, ou seja:

θ = arc cos(

< u, v >

‖u‖ . ‖v‖

), θ ∈ [0, π]

Obs.: Note que essa e uma generalizacao do conceito de angulo entre vetores estudado naGeometria Analıtica, pois no caso particular de V = IR2 ou V = IR3 munido do Produto InternoUsual, o conceito aqui definido coincide com o conceito de angulo entre dois vetores normalmenteutilizado.

126 CAPITULO 5

5.5 Ortogonalizacao; Projecao ortogonal: a melhor aproximacao;

Complemento ortogonal

Seja V um espaco vetorial munido de um produto interno < , > e uma norma ‖ ‖ construıdaa partir deste produto interno.

Definicao 5.6. Se ‖v‖ = 1 entao dizemos que v e um VETOR UNITARIO, ou entao que v estaNORMALIZADO.

Qualquer vetor nao-nulo v pode “ser normalizado”, ou seja, podemos obter um multiplo escalarpositivo u = α.v (α ∈ IR, α > 0) tal que ‖u‖ = 1 , bastando para isso tomar u =

v

‖v‖.

Um conjunto S ⊂ V e dito ORTONORMAL quando e ortogonal e todos os seus vetores saounitarios (ou seja, tem norma igual a 1).

Por exemplo, considerando em V = IRn o Produto Interno Usual, temos que a base canonica,dada por α = {(1, 0, 0, . . . , 0), (0, 1, 0, . . . , 0), . . . , (0, 0, 0, . . . , 1)} e um conjunto ortonormal.

Obs.: E bom termos um vetor w como combinacao linear de um conjunto ortonormal devetores: w = c1v1 + c2v2 + . . . + ckvk , com {v1, . . . , vk} ortonormal, pois neste caso os coeficientesc1, . . . , ck sao dados facilmente por

ci =< w, vi >

< vi, vi >=

< w, vi >

‖vi‖2= < w, vi > ∀ i = 1, 2, . . . , k .

Em particular, e otimo que tenhamos, em um espaco V com produto interno < , > , uma BASEORTONORMAL, pois todos os vetores de V poderao ser escritos como combinacao linear dos vetoresdesta base e as coordenadas em relacao a esta base sao dadas diretamente !!!

Caminhando nesta direcao, veremos a seguir um metodo para obter, a partir de uma base dada emum espaco V de dimensao finita com produto interno, uma base ortogonal para este espaco. A partirdaı, basta “normalizarmos” cada vetor desta base ortogonal para que tenhamos uma base ortonormal.


O processo de ortogonalizacao de Gram-Schmidt:

Teorema 5.7. Seja V um espaco vetorial de dimensao finita, munido de um produto interno < , > .Entao, a partir de qualquer base β = { v1, v2, . . . , vn } de V dada, podemos obter uma nova baseβ′ = { v′1, v

′2, . . . , v

′n }, β′ ORTOGONAL, para V .

Demonstracao:

Definamos inicialmente:

v′1 = v1 e v′2 = v2 −< v2, v

′1 >

< v′1, v′1 >

v′1 .

Figura 5.1: Obtendo v′2 (w =< v2, v

′1 >

< v′1, v′1 >

v′1)

Temos: [v′1, v

′2

]= [v1, v2] e < v′2, v

′1 >=< v2, v

′1 > −< v2, v

′1 >

< v′1, v′1 >

< v′1, v′1 >= 0 .

Logo v′2 ⊥ v′1 e β2 = {v′1, v′2} e uma base ortogonal para o espaco [v1, v2] .

Consideremos agora

v′3 = v3 −(

< v3, v′1 >

< v′1, v′1 >

v′1 +< v3, v

′2 >

< v′2, v′2 >

v′2

).

Figura 5.2: Obtendo v′3 (w =(

< v3, v′1 >

< v′1, v′1 >

v′1 +< v3, v

′2 >

< v′2, v′2 >

v′2

))

128 CAPITULO 5

Temos entao v′3 ⊥ v′1 , v′3 ⊥ v′2 e [v′1, v′2, v

′3] = [v1, v2, v3] .

Assim, β3 = {v′1, v′2, v′3} e uma base ortogonal para o espaco [v1, v2, v3] .

Prosseguindo desta forma, apos um numero finito (n) de passos, obtemos uma base ortogonalβn = {v′1, v′2, . . . , v′n} para o espaco [v1, v2, . . . , vn] = V .

Obs.: Um aspecto interessante da demonstracao acima e que ela fornece um metodo para aobtencao da base ortogonal β′ = { v′1, v

′2, . . . , v

′n } a partir da base β.

Exemplos:

1) Seja V = IR3 com o Produto Interno Usual < , > . Usando o processo de ortogonalizacao deGram-Schmidt, obtenha a partir da base β = {(1, 1, 0), (1, 0, 1), (0, 2, 0)} uma base ortogonal β′ deIR3.

Tomamos inicialmente v′1 = v1 = (1, 1, 0) . A partir disto, fazemos

v′2 = v2−< v2, v

′1 >

< v′1, v′1 >

v′1 = (1, 0, 1)−< (1, 0, 1), (1, 1, 0) >

< (1, 1, 0), (1, 1, 0) >(1, 1, 0) = (1, 0, 1)− 1

2(1, 1, 0) =

(12

,− 12

, 1)

e finalmentev′3 = v3 −

(< v3, v

′1 >

< v′1, v′1 >

v′1 +< v3, v

′2 >

< v′2, v′2 >

v′2

)=

= (0, 2, 0)−(

< (0, 2, 0), (1, 1, 0) >

< (1, 1, 0), (1, 1, 0) >(1, 1, 0) +

< (0, 2, 0), (1/2,−1/2, 1) >

< (1/2,−1/2, 1), (1/2,−1/2, 1) >(1/2,−1/2, 1)

)=

= (0, 2, 0)−(

22

(1, 1, 0) +−13/2

(1/2,−1/2, 1))

= (0, 2, 0)−((1, 1, 0) + (−1/3, 1/3,−2/3)) =(− 2

3,

23

,23

)Assim, β′ =

{(1, 1, 0),

(12

,− 12

, 1)

,

(− 2

3,

23

,23

) }e uma base ortogonal do IR3, construıda

a partir da base β pelo metodo de Gram-Schmidt.

2) Seja V = IR3 com o Produto Interno Usual < , > . Obtenha uma base ortogonal para osubespaco W =

{(x, y, z) ∈ IR3 ; x− 3y + 2z = 0

}⊂ IR3 .

Obteremos inicialmente uma base para W :

W = { (3y − 2z, y, z) ; y, z ∈ IR } = { y.(3, 1, 0) + z(−2, 0, 1) ; y, z ∈ IR } = [(3, 1, 0), (−2, 0, 1)]

Assim β = {(3, 1, 0), (−2, 0, 1)} e uma base de W (pois gera W e e L.I.).


β NAO E UMA BASE ORTOGONAL (pois < (3, 1, 0), (−2, 0, 1) >= −6 6= 0 ) e por isso vamosusar o processo de ortogonalizacao de Gram-Schmidt para obter, a partir de β, uma base ortogonalde W :

Fazemos v′1 = v1 = (3, 1, 0) e v′2 = v2−< v2, v

′1 >

< v′1, v′1 >

v′1 = (−2, 0, 1)−< (−2, 0, 1), (3, 1, 0) >

< (3, 1, 0, (3, 1, 0) >·(3, 1, 0) =

= (−2, 0, 1)− (−6)10

(3, 1, 0) =(− 2

10,

610

, 1)

.

Chegamos portanto a β′ ={

(3, 1, 0),(− 2

10,

610

, 1)}

, que e uma base ortogonal de W .

Exercıcios:

1) Seja V = IR2. Dados u = (x1, y1), v = (x2, y2) ∈ V , defina

< u, v > = 2x1x2 + x1y2 + x2y1 + y1y2 .

(a) Mostre que < , > acima definido e um produto interno.(b) Obtenha o angulo entre os vetores da base canonica de IR2.(c) Usando o processo de ortogonalizacao de Gram-Schmidt, obtenha a partir da base β = {(−1, 1), (1, 1)}uma base ortonormal β′ de IR2, em relacao ao produto interno acima definido.

2) Determine uma base ortonormal (em relacao ao Produto Interno Canonico) para o seguinte sub-espaco de IR3:

V ={

(x, y, z) ∈ IR3 ; x− y + z = 0}

.

3) Seja V = IR3. Dados u = (x1, y1, z1), v = (x2, y2, z2) ∈ V , defina

< u, v > = x1x2 + 5y1y2 + 2z1z2 .

(a) Mostre que < , > acima definido e um produto interno.(b) Obtenha, usando o processo de ortogonalizacao de Gram-Schmidt a partir da base canonica, umabase ortonormal β′ de IR3, em relacao ao produto interno acima definido.

4) Seja V = P2(IR) o espaco vetorial das funcoes polinomiais reais de grau menor ou igual a dois.Dados f, g ∈ V , defina o produto interno

< f, g > =∫ 1

−1f(t).g(t) dt .

Se W e o subespaco de P2(IR) gerado pelos vetores p(t) = 1 e q(t) = 1− t , determine umabase ortogonal para W .

130 CAPITULO 5

5) Seja V = M2×2(IR) o espaco vetorial das 2× 2 matrizes reais.

Dadas A,B ∈ V , defina o produto interno

< A,B > = tr (Bt.A) onde tr e o traco .

Obtenha uma base ortogonal de V , segundo este produto interno, a partir da base

β =

{ (1 00 1

),

(1 10 0

),

(1 01 1

),

(1 11 1

) }.

Obtenha o angulo entre as duas ultimas matrizes da base acima.

6) A partir do exemplo G) da Secao 5.1, construa um produto interno, diferente do Produto InternoUsual, sobre o IR2 e repita os ıtens (b) e (c) do primeiro exercıcio desta lista, considerando oproduto interno construıdo.

Projecao ortogonal: a melhor aproximacao

Sejam V um espaco vetorial com um produto interno < , > , ‖ ‖ a norma construıda a partirdeste produto interno e W ⊂ V um subespaco de V tal que W tem dimensao finita.

Fixemos uma base ORTOGONAL β = {w1, w2, . . . , wk} do subespaco W .

Podemos entao construir uma transformacao linear (verifique) PW : V → W , definindo

PW (v) =< v, w1 >

< w1, w1 >w1 +

< v, w2 >

< w2, w2 >w2 + . . . +

< v, wk >

< wk, wk >wk ∀ v ∈ V .

PW e chamada a PROJECAO ORTOGONAL DE V SOBRE W :

Figura 5.3: PW (v) : Projecao ortogonal de v sobre o subespaco W


A utilidade marcante da projecao ortogonal PW : V → W acima definida e que, dado um vetorv ∈ V , PW (v) e a melhor aproximacao de v no subespaco W , segundo a norma ‖ ‖construıda a partir do produto interno < , > considerado.

A seguir veremos resultados que provarao tal afirmativa:

Proposicao 5.8. Para todo vetor w ∈ W tem-se: v − PW (v) ⊥ w .

Figura 5.4: v − PW (v) e ortogonal a todo vetor w ∈ W

Demonstracao:

Dado w ∈ W , como β = {w1, w2, . . . , wk} e base ortogonal de W , temos:

w =< w, w1 >

< w1, w1 >w1 +

< w, w2 >

< w2, w2 >w2 + . . . +

< w, wk >

< wk, wk >wk .

Entao < v − PW (v), w > =

= < v −[

< v, w1 >

< w1, w1 >w1 + . . . +

< v, wk >

< wk, wk >wk

],

< w, w1 >

< w1, w1 >w1 + . . . +

< w, wk >

< wk, wk >wk > =

=< w, w1 >

< w1, w1 >< v, w1 > + . . . +

< w, wk >

< wk, wk >< v, wk > −

− < v, w1 >

< w1, w1 >< w, w1 > − . . .− < v, wk >

< wk, wk >< w, wk > = 0 .

Portanto: < v − PW (v), w > = 0 para todo w ∈ W .

132 CAPITULO 5

Proposicao 5.9. Para todo vetor w ∈ W temos: ‖v − PW (v)‖ ≤ ‖v − w‖ .

Demonstracao:

Seja w ∈ W . Como PW (v) ∈ W e W e subespaco vetorial de V , entao podemos concluir quePW (v)− w ∈ W .

Pela proposicao anterior, temos que v − PW (v) ⊥ PW (v)− w .

Figura 5.5: ‖v − PW (v)‖ ≤ ‖v − w‖ ∀w ∈ W

Entao, pelo Teorema de Pitagoras generalizado (Teorema 5.5) temos:

‖v − w‖2 = ‖v − PW (v) + PW (v)− w‖2 = ‖v − PW (v)‖2 + ‖PW (v)− w‖2 ≥ ‖v − PW (v)‖2 .

Portanto ‖v − w‖ ≥ ‖v − PW (v)‖ , dado qualquer w ∈ W .

Obs.: Esta proposicao diz que a distancia entre v e PW (v) e menor ou igual a distancia de v aqualquer vetor w ∈ W , ou seja, PW (v) e o vetor de W que esta mais proximo do vetor v

(segundo a norma ‖ ‖ construıda a partir do produto interno considerado).

Exemplos:

1) Seja V = IR3 munido do Produto Interno Usual < , > e a norma construıda a partir deste. Qualo vetor do subespaco W =

{(x, y, 0) ∈ IR3 ; x, y ∈ IR

}⊂ IR3 mais proximo do vetor v = (3,−5, 2)

segundo a norma considerada ?

β = { w1 = (1, 0, 0) , w2 = (0, 1, 0) } e base ortogonal de W e o vetor de W mais proximo de v e

PW (v) =< v, w1 >

< w1, w1 >· w1 +

< v, w2 >

< w2, w2 >· w2 =

31· (1, 0, 0) +

(−5)1

· (0, 1, 0) = (3,−5, 0)


2) Seja V = IR3 munido do Produto Interno Usual < , > . Qual o vetor do subespacoW = [(1, 0, 0), (1, 1, 1)] ⊂ V mais proximo do vetor v = (3,−5, 2) ?

Estamos procurando PW (v) e para isso precisamos de uma base ortogonal de W .Ja temos uma base β = { w1 = (1, 0, 0) , w2 = (1, 1, 1) } de W , mas esta base nao e ortogonal.Utilizaremos entao Gram-Schmidt para obter, a partir de β, uma base ortogonal de W :

w′1 = w1 = (1, 0, 0) e w′2 = w2 −< w2, w

′1 >

< w′1, w′1 >

· w′1 = (1, 1, 1)− 11· (1, 0, 0) = (0, 1, 1)

Assim β′ = {(1, 0, 0), (0, 1, 1)} e base ortogonal de W e temos finalmente

PW (v) =< v, w′1 >

< w′1, w′1 >

· w′1 +< v, w′2 >

< w′2, w′2 >

· w′2 =31· (1, 0, 0) +

(−3)2

· (0, 1, 1) =(

3,−32

,−32

)

Complemento ortogonal:

Seja V um espaco vetorial munido de um produto interno < , > .

Definicao 5.10. Dado um subconjunto nao-vazio S ⊂ V , definimos:

S⊥ = { v ∈ V ; v e ortogonal a todos os vetores de S } .

S⊥ (le-se “S perp”) e um subespaco de V (exercıcio), chamado o COMPLEMENTO ORTO-GONAL de S.

Exemplo:

Sejam V = IR3 munido do Produto Interno Usual < , > e S = {(2, 1, 2)}. Determine S⊥.

Recordacoes:

Seja V um espaco vetorial e sejam U,W subespacos de V .

A soma dos subespacos U e W e um subespaco de V , dado por

U + W = {u + w ; u ∈ U , w ∈ W} .

Se U e W tem dimensao finita, temos: dim(U + W ) = dim U + dim W − dim(U ∩W ).

Uma situacao especial nos interessa: dizemos que V e a SOMA DIRETA de seus subespacos U eW e escrevemos V = U ⊕W quando todo vetor v ∈ V escreve-se de modo unico como v = u+w ,com u ∈ U e w ∈ W .

Isto equivale a dizer que V = U + W e U ∩W = {0}.

Se dim V < +∞ (finita) temos neste caso ( V = U ⊕W ): dim V = dim U + dim W .

134 CAPITULO 5

Teorema 5.11. Se W e um subespaco de dimensao finita de V , entao:

V = W ⊕W⊥

Demonstracao:

Seja dado v ∈ V .

Pelo Proposicao 5.8, temos: v − PW (v) ⊥ w ∀ w ∈ W .

Logo v − PW (v) = u ∈ W⊥ ⇒ v = PW (v) + u , onde PW (v) ∈ W e u ∈ W⊥.

Assim, qualquer vetor v ∈ V pode ser escrito como a soma de um vetor de W com um vetor deW⊥ e desta forma temos que V = W + W⊥.

Dado w ∈ W ∩W⊥ , temos: w ∈ W⊥ ⇒ w e ortogonal a todo vetor de W .

Como w ∈ W temos entao w ⊥ w ⇒ < w, w > = 0 ⇒ w = 0 (vetor nulo).

Logo W ∩W⊥ = {0}.

Pelo exposto acima, podemos concluir que V = W ⊕W⊥ .

Exemplo:

Sejam V = IR3 munido do Produto Interno Usual < , > e W = [(1, 1, 0), (2,−1, 3)] .

Determine W⊥ e uma base para W⊥.

Como W = [(1, 1, 0), (2,−1, 3)] , entao os vetores de W⊥ sao exatamente aqueles que sao ortogonaisa (1, 1, 0) e (2,−1, 3) (veja: 5.2 - Ortogonalidade, Algumas propriedades imediatas, (ii)).

Temos entao:

W⊥ = { v = (x, y, z) ; v ⊥ (1, 1, 0) e v ⊥ (2,−1, 3) } = { (x, y, z) ; x + y = 0 e 2x− y + 3z = 0 }

Resolvendo o sistema linear homogeneo acima, obtemos:

W⊥ = { v = (−z, z, z) ; z ∈ IR } = [(−1, 1, 1)]

e e claro que β = {(−1, 1, 1)} e uma base de W⊥ .

Obs.: Note que o resultado obtido e compatıvel com o teorema anterior: Como dim V = 3 edim W = 2 era esperado que dim W⊥ = 1 .


Exercıcios:

1) Consideremos o espaco V = IR3 munido do Produto Interno Usual < , > e o subespacoW = [(1, 2, 0), (−1,−1, 1), (−2,−1, 3)] ⊂ IR3 .

Obtenha o vetor de W que esta mais proximo de v = (1, 1, 2) com relacao a norma construıda apartir de < , >.

Determine tambem W⊥ e uma base ortogonal para W⊥.

2) Seja V = IR3 munido do Produto Interno Usual < , > e considere os subespacos

W1 = [(0, 1, 1), (1, 1, 1)] e W2 = [(0, 1, 0), (2, 0, 1)] .

(a) Obtenha o vetor de W1 que esta mais proximo do vetor v = (2, 2, 3) .(b) Obtenha o vetor de W2 que esta mais proximo do vetor v = (2, 2, 3) .(c) De qual subespaco o vetor v = (2, 2, 3) esta mais proximo: W1 ou W2 ?

(Sugestao: Calcule as distancias de v aos vetores de W1 e W2 dos quais ele esta mais proximo)

3) Seja V = P2(IR) (polinomios de grau menor ou igual a 2) munido do produto interno dado por:

< f, g > =∫ 1

0f(x).g(x) dx .

Se W =[1, 1 + 3x2

], obtenha o vetor de W que esta mais proximo de p = x + 2 em relacao a

norma construıda a partir do produto interno dado. Obtenha tambem W⊥.

4) Seja T : IR3 → IR3 dada por T (x, y, z) = (z, x− y,−z) e seja W = kerT . Encontre uma baseortonormal para W⊥ (em relacao ao Produto Interno Usual).

5) Sejam V = IR3 munido do Produto Interno Usual < , > e W = [(1, 0, 1), (1, 1, 0)]. DetermineW⊥ e uma base para W⊥.

Refaca o exercıcio considerando o produto interno dado por

< (x1, y1, z1), (x2, y2, z2) > = 2x1x2 + y1y2 + z1z2 .

6) Sejam: V um espaco vetorial com produto interno < , > , ‖ ‖ a norma que provem desteproduto interno, W um subespaco de dimensao finita de V e PW : V → W a projecao ortogonal deV sobre W .

(a) Mostre que a projecao ortogonal PW esta bem definida, no sentido em que, dado v ∈ V ,PW (v) e unicamente determinado, INDEPENDENTE DA BASE ORTOGONAL DE W UTILIZADAPARA OBTE-LO.

(b) Mostre que se w ∈ W entao PW (w) = w .

136 CAPITULO 5

5.6 Tipos especiais de operadores lineares

PARTE A) OPERADORES AUTO-ADJUNTOS:(aparecem naturalmente em problemas que envolvem SIMETRIA)

1) Matrizes Simetricas:

Uma n× n matriz real A e dita SIMETRICA quando At = A .

Exemplos: A =

−2 0 00 6 10 1 3

B =

1 4 24 −5 −42 −4 1

2) Operadores Auto-Adjuntos:

Seja V um espaco vetorial (real) de dimensao finita com um produto interno < , > . Umoperador linear T : V → V e dito AUTO-ADJUNTO quando a matriz [T ]αα for simetrica, sendoα uma base ortonormal de V .

Exemplo: Consideremos V = IR3 munido do Produto Interno Usual < , > e T : IR3 → IR3

o operador linear dado por

T (x, y, z) = (−2x, 6y + z, y + 3z) ∀ (x, y, z) ∈ IR3 .

Entao T e um operador auto-adjunto.

A base canonica β = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} do IR3 e uma base ortonormal (considerando-se oProduto Interno Usual) e temos

A = [T ] = [T ]ββ =

−2 0 00 6 10 1 3

Como A e uma matriz simetrica (At = A), segue que T e um operador auto-adjunto.

3) Alguns resultados importantes:

Teorema 5.12. Sejam V um espaco vetorial com produto interno < , > e T : V → V um operadorauto-adjunto. Entao:

< T (v), w > = < v, T (w) > ∀ v, w ∈ V .


Consequencia: Autovetores associados a autovalores distintos (no caso de operadores auto-adjuntos) sao ortogonais.

De fato:

Sejam u e v autovetores associados aos autovalores λ1 e λ2, respectivamente, para um determinadooperador auto-adjunto T : V → V .

Temos

λ1 < u, v > = < λ1u, v > = < Tu, v > = < u, Tv > = < u, λ2v > = λ2 < u, v > .

Entao (λ1 − λ2) < u, v > = 0 ⇒ < u, v > = 0 (pois λ1 6= λ2).

Portanto u ⊥ v .

Teorema 5.13. (Diagonalizacao de operadores auto-adjuntos)

Se T : V → V e um operador auto-adjunto entao T e diagonalizavel e e possıvel obter umabase ortogonal (ate ortonormal se assim preferir) de autovetores.

Exemplo: Consideremos V = IR3 munido do Produto Interno Usual < , > e U : IR3 → IR3

o operador linear dado por

U(x, y, z) = (2x + y + z, x + 2y − z, x− y + 2z) ∀ (x, y, z) ∈ IR3 .

Vamos verificar que U e um operador auto-adjunto e obter uma base ortogonal de autovetorespara o IR3.

A base canonica α = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} do IR3 e uma base ortonormal (considerando-se oProduto Interno Usual) e temos

B = [U ] = [U ]αα =

2 1 11 2 −11 −1 2

Como B e uma matriz simetrica (Bt = B), segue que U e um operador auto-adjunto.

Vamos obter inicialmente pU (x) = Polinomio Caracterıstico de U :

pU (x) = pB(x) = det(xI −B) = det

x− 2 −1 −1−1 x− 2 1−1 1 x− 2

= x(x− 3)2

Os autovalores de U sao portanto λ = 0 e λ = 3 (raızes de pU (x)).

138 CAPITULO 5

Sabemos que U e diagonalizavel (pois U e auto-adjunto). Vamos agora obter seus autovetores:


V0 ={

v ∈ IR3 ; U(v) = 0 · v}

= { (x, y, z) ; (2x + y + z, x + 2y − z, x− y + 2z) = U(x, y, z) = (0, 0, 0) }

O sistema fica

2x + y + z = 0x + 2y − z = 0x − y + 2z = 0


V0 = { (−z, z, z) ; z ∈ IR } = [ (−1, 1, 1) ]

β0 = {(−1, 1, 1)} e base (ortogonal) de V0.


V1 ={

v ∈ IR3 ; U(v) = 1 · v}

= { (x, y, z) ; (2x + y + z, x + 2y − z, x− y + 2z) = U(x, y, z) = (3x, 3y, 3z) }

O sistema fica

−x + y + z = 0

x − y − z = 0x − y − z = 0


V3 = { (y + z, y, z) ; y, z ∈ IR } = [ (1, 1, 0) , (1, 0, 1) ]

β3 = {(1, 1, 0), (1, 0, 1)} e base de V3, mas nao e ortogonal (note que cada vetor de β0 e ortogonal acada vetor de β3 - voce sabe porque ?). Vamos usar Gram-Schmidt para obter uma base ortogonalde V3 a partir de β3:

v′1 = (1, 1, 0) e v′2 = (1, 0, 1)− 12(1, 1, 0) =

(12

,− 12

, 1)

Assim obtemos β′3 ={

(1, 1, 0) ,

(12

,− 12

, 1) }

(base ortogonal de V3).

Juntando β0 e β′3 obtemos finalmente

β ={

(−1, 1, 1) , (1, 1, 0) ,

(12

,− 12

, 1) }

que e uma base ortogonal do IR3 formada por autovetores de U .


PARTE B) OPERADORES ORTOGONAIS:(aparecem em problemas que envolvem MOVIMENTOS RIGIDOS: rotacao, reflexao, etc.)

1) Matrizes Ortogonais:

Uma n× n matriz real A e dita ORTOGONAL quando At.A = A.At = I .

Exemplos: A =

[cos θ − sen θ

sen θ cos θ

]B =

−1 0 00 0 10 −1 0

Proposicao 5.14. Se A e uma matriz ortogonal, entao det A = + 1. (Prove)

Teorema 5.15. Uma n× n matriz real A e ortogonal se, e somente se, suas colunas, vistas comovetores de IRn, formam um conjunto ortonormal quando se considera o Produto Interno Usual.

Teorema 5.16. Sejam V um espaco vetorial (real) de dimensao finita, com produto interno, e α eβ duas bases ortonormais de V . Entao a matriz de mudanca de base [I]αβ e uma matriz ortogonal.

2) Operadores Ortogonais:

Seja V um espaco vetorial (real) de dimensao finita com um produto interno < , > . Umoperador linear T : V → V e dito ORTOGONAL quando a matriz [T ]αα for ortogonal, sendo α

uma base ortonormal de V .

Exemplo: Sejam V = IR2 munido do Produto Interno Usual < , > e T : IR2 → IR2 ooperador linear dado por T (x, y) = (x,−y) ∀ (x, y) ∈ IR2. (T e a reflexao em torno do eixo Ox)

T e um operador ortogonal.

De fato: a base canonica β = {(1, 0), (0, 1)} do IR2 e uma base ortonormal (considerando-se oProduto Interno Usual) e temos:

A = [T ] = [T ]ββ =

[1 00 −1

]

Como A e uma matriz ortogonal (At.A = A.At = I) segue que T e um operador ortogonal.

140 CAPITULO 5

3) Um resultado importante:

Teorema 5.17. (Caracterizacao dos operadores ortogonais)

Seja T : V → V e um operador linear sobre um espaco vetorial V (dim V = n < +∞) comproduto interno < , >. As condicoes abaixo sao equivalentes:

(a) T e um operador ortogonal.

(b) T transforma bases ortonormais em bases ortonormais, isto e, se {v1, v2, . . . , vn} e uma baseortonormal de V entao {Tv1, T v2, . . . , T vn} tambem e base ortonormal de V .

(c) T preserva o produto interno, ou seja, < Tu, Tv > = < u, v > ∀ u, v ∈ V .

(d) T preserva a norma, ou seja, ‖Tv‖ = ‖v‖ ∀ v ∈ V .

Obs.: O resultado acima torna clara a principal caracterıstica dos operadores ortogonais, que e:geometricamente, os operadores ortogonais representam movimentos rıgidos (rotacao, reflexao, etc.).Note que (d) mostra claramente que a distancia entre vetores e preservada por um operador linearortogonal:

d(Tu, Tv) = ‖Tu− Tv‖ = ‖T (u− v)‖ (d)= ‖u− v‖ = d(u, v) .

(a distancia entre u e v e igual a distancia entre Tu e Tv, para todos u, v ∈ V )

Exercıcios:

1) Sejam V = IR3 com o Produto Interno Usual < , > e T : IR3 → IR3 o operador linear dadopor T (x, y, z) = (x + 4y + 2z, 4x − 5y − 4z, 2x − 4y + z). Mostre que T e auto-adjunto e obtenhauma base ortonormal de autovetores de T .

2) Sejam V = IR3 com o Produto Interno Usual < , > e S : IR3 → IR3 o operador linear dadopor S(x, y, z) = (−2x + 2z,−3y, 2x + z).(a) Mostre que S e um operador auto-adjunto, mas nao ortogonal.(b) Se v = (2,−1, 5) e w = (3, 0, 1) , verifique que < Sv,w > = < v, Sw >.(c) Obtenha uma base ortogonal de autovetores de S e a matriz que representa S em relacao a estabase.

3) Seja V = IR2 com o Produto Interno Usual. Obtenha um operador linear T : IR2 → IR2 queseja auto-adjunto e tal que T 6= O e T 6= k.I (T nao pode ser o operador nulo nem multiplo dooperador identico).


4) Seja V = IR2 com o produto interno dado por:

< (x1, y1), (x2, y2) > = x1x2 + x1y2 + x2y1 + 2y1y2 .

O operador T : IR2 → IR2 dado por T (x, y) = (x− y,−x + 2y) e auto-adjunto ?

5) Sejam V = IR3 com o Produto Interno Usual < , > , β = {e1, e2, e3} a base ordenada canonicado IR3 (sabemos que β e ortonormal em relacao ao Produto Interno Usual).Sejam S : IR3 → IR3 o operador linear auto-adjunto dado no exercıcio 2) e A = [S]ββ a matriz querepresenta S em relacao a base canonica β.(a) Verifique que Aij = < Sej , ei > para todo i, j = 1, 2, 3.(b) Use a letra (a) e o fato de S ser auto-adjunto para concluir que

< Sei, ej > = < ei, Sej > para todos i, j = 1, 2, 3 .

(c) Usando a letra (b), verifique que v = (2,−1, 5) = 2e1 − e2 + 5e3 e w = (3, 0, 1) = 3e1 + e3

cumprem < Sv,w > = < v, Sw >.(d) Generalize a letra (c), mostrando que < Sv,w > = < v, Sw > ∀v, w ∈ IR3.

6) Ache valores para x e y tais que A =

[x y

−1 0

]seja uma matriz ortogonal.

7) Sabemos que se A e uma matriz ortogonal entao detA = 1 ou det A = −1.Mostre que nao vale a recıproca deste resultado exibindo uma matriz A tal que det A = 1 oudet A = −1 mas tal que A nao seja ortogonal.

8) Se V = IR2 com o Produto Interno Usual, obtenha duas bases ortonormais distintas α e β doIR2 e verifique que a matriz de mudanca de base [I]αβ e uma matriz ortogonal.

9) Seja T : V → V um operador linear sobre um espaco vetorial V (dim V < +∞) com umproduto interno < , > .(a) Mostre que se T preserva o produto interno entao T preserva a norma, isto e:

< Tu, Tv > = < u, v >

∀ u, v ∈ V⇒

‖Tv‖ = ‖v‖∀ v ∈ V

(b) Mostre que se T preserva a norma entao T preserva o produto interno, isto e:

‖Tv‖ = ‖v‖∀ v ∈ V

⇒< Tu, Tv > = < u, v >

∀ u, v ∈ V

142 CAPITULO

10) Seja T : V → V um operador ortogonal sobre um espaco vetorial (real) V de dimensao finita ecom produto interno.(a) Mostre que T e invertıvel.(b) Mostre que T preserva angulos, isto e, se u e v sao vetores nao-nulos quaisquer de V , entao oangulo entre Tu e Tv e igual ao angulo entre u e v.

11) Obtenha a transformacao linear T : IR2 → IR2 que leva o segmento de extremos (−6, 2) e(−1, 2) no segmento de extremos (−2, 6) e (1, 2) , respectivamente.Considerando agora o Produto Interno Usual < , > do IR2, mostre que T e um operador ortogonal(corresponde portanto a um movimento rıgido), corresponde a uma rotacao e obtenha seu angulo.

Apendice A

Respostas dos exercıcios

Capıtulo 1

Paginas 11, 12 e 13

1) (pag. 11)

2× 2 :

[0 00 0

] [1 a

0 0

] [0 10 0

] [1 00 1

]

2× 3 :

[0 0 00 0 0

] [1 a b

0 0 0

] [0 1 a

0 0 0

] [0 0 10 0 0

][

1 a 00 0 1

] [1 0 a

0 1 b

] [0 1 00 0 1

]

3× 3 :

0 0 00 0 00 0 0

1 a b

0 0 00 0 0

0 1 a

0 0 00 0 0

0 0 1

0 0 00 0 0

1 a 0

0 0 10 0 0

1 0 a

0 1 b

0 0 0

0 1 0

0 0 10 0 0

1 0 0

0 1 00 0 1

2) (pag. 11)

(a) x = 3 , y = −1 (b) x = i√

3 , y = 3 (c) x = −3z , y = 0 , z ∈ IK

(d) x = −1 , y = 2 , z = 5 (e) Nao admite nenhuma solucao.

(f) x = −5/2 + 7z/2 , y = −2− 3z , z ∈ IK (g) x = y = z = 0

(h) x = 7/16 , y = −1/16 , z = 17/8

143

144 APENDICE A

2) (pag. 11)

(i) x1 = 3/7− 3x2/7− 9x5/7 , x3 = 10/7 + 5x5/7 , x4 = 25/7 + 16x5/7 , x2, x5 ∈ IK

(j) Nao admite nenhuma solucao (k) x = 3i , y = 2− i , z = 1 + 2i

(l) x1 = 1− 2x2 + x3 − 3x4 , x2, x3, x4 ∈ IK (m) x = y = 0

(n) x = 17/3 + 7z/3 , y = −5/3 + 4z/3 , z ∈ IK (o) Nao admite nenhuma solucao

(p) x = −2z , y = −z , z ∈ IK (q) x = 1 , y = −1 , z = 2 , w = −2

(r) x = i + 2z , y = 2i− z , z ∈ C

3) (pag. 13) k = −6 e x = −8 , y = −10 4) (pag. 13) k = 2 e x = −z , y = 0 , z ∈ IK

5) (pag. 13) (a) x = −5/2 , y = 9/2− 2w , z = −2 + (w/2) , w ∈ IK (b) k = −1

6) (pag. 13) (a) k 6= 3 e x = 3k + 6 , y = −2k − 4 , z = −1 (b) k = 3 ex = 5− 10z , y = −3 + 7z , z ∈ IK (c) Sempre ha solucao!

7) (pag. 13) (a) Sempre ha solucao! (b) (0, 0, 1) (c) (0, 0, 0)

Pagina 18

1) (pag. 18) (a) A.B = I4×4 = B.A (b) BX =

2

−131

⇒ X = A.

2

−131

=

3031

AX =

01

−20

⇒ X = B.

01

−20

=

3

−631

3) (pag. 18) A nao e invertıvel; B e invertıvel e B−1 =

−3− 3i

21 + i

2

1− 3i

2−1 + i

2

C e invertıvel e C−1 =

2 1 −31 1 −2

−1 −1 3

Respostas dos exercıcios 145

Paginas 23, 24 e 25

1) (pag. 23)

(a) adjA =

5 −6 75 21 −2

−10 3 4

(b) det A = 45 (c) A−1 =

1/9 −2/15 7/451/9 7/15 −2/45

−2/9 1/15 4/45

3) (pag. 23) O det da matriz dada e igual a 5(λ + 1)(λ− 2)2

4) e 5) (pags. 23 e 24)

(a) detA = 0 ⇒ A nao e invertıvel

(b) det B = 21 ⇒ B e invertıvel e B−1 =

1/9 −2/15 7/451/9 7/15 −2/45

−2/9 1/15 4/45

(c) det C = 2 ⇒ C e invertıvel e C−1 =

[1/9 −2/151/9 7/15

]

(d) det D = 1 ⇒ D e invertıvel e D−1 =

−1 −1 4 −2−3 −4 12 −611 14 −43 2210 14 −41 21

(e) det E = −4 ⇒ E e invertıvel e E−1 =

1 −1 1/2−1 0 1/2

0 1/2 −1/4

(f) det F = 0 ⇒ F nao e invertıvel

(g) detG = 1 ⇒ G e invertıvel e G−1 =

2 1 0 01 0 −1 10 1 1 1

−1 0 0 3

(h) det H = 0 ⇒ H nao e invertıvel

(j) det J = −2−i ⇒ J e invertıvel e J−1 =

(3 + i)/5 (2− i)/5 (2− i)/5 (3 + i)/5(1 + 2i)/5 (−1− 2i)/5 (−1 + 3i)/5 (1 + 2i)/5

(−4− 3i)/5 (−1 + 3i)/5 (−1− 2i)/5 (1− 3i)/5−1 + i 1 −1 + i −1

(l) detL = 2 ⇒ L e invertıvel e L−1 =

[2 −1

11/2 3

]

146 APENDICE A

4) e 5) (pags. 23 e 24)

(m) det M = 6 ⇒ M e invertıvel e M−1 =

1/3 −1/3 −1/2 −5/22/3 1/3 −11/2 −25/2

0 0 1/2 1/20 0 1/2 3/2

(n) det N = −1 ⇒ N e invertıvel e N−1 =

6 −11 9−1 2 −1−2 4 −3

(p) det P = −1 ⇒ P e invertıvel e P−1 =

13

1− 3i

301− 3i

10

0−3− i

101− 3i

10

−i

33 + i

156 + 2i

10

(q) detQ = 2 ⇒ Q e invertıvel e Q−1 =

[−7/6 2i/3−5/2 i/3

](r) detR = 0 ⇒ R nao e invertıvel

6) (pag. 24)

(a) V (Verdadeira) (b) V (c) F (Falsa) (d) V (e) V (f) F (g) F

7) (pag. 25)

(a.1) λ = 1 , λ = −2

(a.2) λ = 1 ⇒ x = y , y ∈ IR ; λ = −2 ⇒ x = 4y , y ∈ IR

(b.1) λ = 1 , λ = 2

(b.2) λ = 1 ⇒ x = z , y = −z/3 , z ∈ IR ; λ = 2 ⇒ x = 2y + 2z , y, z ∈ IR

(c.1) λ = −1

(c.2) λ = −1 ⇒ x = −5y , z = 13y , y ∈ IR

(d.1) λ = −1 , λ = 1 + 3i , λ = 1− 3i

(d.2) λ = −1 ⇒ x = −5y , z = 13y , y ∈ C ;λ = 1 + 3i ⇒ x = iy , z = 0 , y ∈ C ; λ = 1− 3i ⇒ x = −iy , z = 0 , y ∈ C

Condicao sobre λ para que AX = λX tenha solucao nao-trivial: det(A− λI) = 0 .


Capıtulo 2

Pagina 31

1) (pag. 31)

(a) 0 = (0, 0) ∈ IR2 (b) 0 = (0, 0, 0) ∈ IR3 (c) 0 = (0, 0, . . . , 0) ∈ IRn

(d) 0 = (0, 0, . . . , 0) ∈ Cn (e) 0 =

[0 0 00 0 0

]∈ M2×3(C) (f) 0(x) = 0 ∈ P (IR) .

(g) O : IR → IR dada por O(x) = 0 ∀ x ∈ IR

2) (pag. 31)

(a) Nao sao atendidas: EV.2, EV.3 e EV.8

Tomando u = (1, 0) , v = (1, 1) e w = (0, 2) , temos:u + (v + w) = (1, 0) + (1, 6) = (2, 12) mas (u + v) + w = (2, 2) + (0, 2) = (2, 8)

(Nao existe vetor nulo)

(1 + 2).v = 3.v = (3, 3) mas 1.v + 2.v = (1, 1) + (2, 2) = (3, 6)

(b) Nao sao atendidas: EV.5 e EV.6

Tomando u = (1, 2) , temos:1.u = (2, 1) 6= u

(1.2).u = (2.u) = (4, 2) mas 1.(2.u) = 1.(4, 2) = (2, 4)

3) (pag. 31)

Vetor nulo de V : 0 = (1, 0, 2)

Paginas 35 e 36

1) (pag. 35)

IR2 nao e subespaco de C2 (espaco sobre C). Contra-exemplo: (1, 1) ∈ IR2 mas i.(1, 1) 6∈ IR2

2) (pags. 35 e 36)

Sao subespacos (PROVE USANDO O TEOREMA 2.3): (b), (f), (g), (i), (k), (n), (o), (p), (r),(v), (x), (y).

148 APENDICE A

2) (pags. 35 e 36)

Nao sao subespacos:

(a) (1, 1) ∈ W mas 2.(1, 1) = (2, 2) 6∈ W

(c) (1, 3) ∈ W mas −1.(1, 3) = (−1,−3) 6∈ W

(d) (0, 0) (vetor nulo do IR2) 6∈ W

(e) IR2 6⊂ IR3

(h) (1, 1, 1) ∈ W mas −1.(1, 1, 1) = (−1,−1,−1) 6∈ W

(j) u = (1, 1, 2, 3), v = (1, 2, 3, 1) ∈ W mas u + v = (2, 3, 5, 4) 6∈ W

(l) u = (0, 0, 1, 1, 1), v = (0, 1, 0, 0, 0) ∈ W mas u + v = (0, 1, 1, 1, 1) 6∈ W

(m) u = (1, 0, 1), v = (0, 1, 1) ∈ W mas u + v = (1, 1, 2) 6∈ W

(q) u =

[0 1 30 2 4

], v =

[−1 1 0

3 1 0

]∈ W mas u + v =

[−1 2 3

3 3 4

]6∈ W

(s) u =

0 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1

, v =

1 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 0

∈ W mas u + v =

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1

6∈ W

(t)

[0 00 0

](vetor nulo de V ) 6∈ W

(u) u = x4 + x3 − 2x , v = −x4 + x3 + 1 ∈ W mas u + v = 2x3 − 2x + 1 6∈ W

(w) A funcao nula O : IR → IR (vetor nulo de V ) 6∈ W

(z) u = (0, 1, 0, 1, 0, 1, . . .) , v = (1, 0, 1, 0, 1, 0, . . .) ∈ W mas u + v = (1, 1, 1, 1, 1, 1, . . .) 6∈ W

Paginas 38 e 39

1) (pag. 38)

W1 ∩W2 = { (0, 0, z, z) , z ∈ IR } ⊂ IR4

2) (pag. 38)

W1 ∩W2 = { (0, 0, 0, 0) } (subespaco nulo) ⊂ IR4


3) (pag. 38)

W1 ∩W2 = { (0, 0, 0) } (subespaco nulo) ⊂ IR3 .

Ja temos que W1 + W2 ⊂ IR3 .

Dado (x, y, z) ∈ IR3 , temos (x, y, z) = (x− z, y − z, 0) + (z, z, z) ∈ W1 + W2 .

Logo IR3 ⊂ W1 + W2 e portanto W1 + W2 = IR3 .

Como W1 ∩W2 = { 0 } temos entao W1 ⊕W2 = IR3 .

4) (pag. 38)

W1 = { (a, 2a) , a ∈ IR } e W2 = { (−b, 2b) , b ∈ IR }

W1 ∩W2 = { (0, 0) } (subespaco nulo) ⊂ IR2 (mostre).

Ja temos que W1 + W2 ⊂ IR2 .

Dado (x, y) ∈ IR2 , temos (x, y) =(

2x + y

4,2x + y

2

)+(

2x− y

4,y − 2x

2

)∈ W1 + W2 .

Logo IR2 ⊂ W1 + W2 e portanto W1 + W2 = IR2 .

Como W1 ∩W2 = { 0 } temos entao W1 ⊕W2 = IR2 .

5) (pag. 39) W1 + W2 =

{ [a + b a

0 b

], a, b ∈ IR

}

A soma e direta pois W1 ∩W2 =

{ [0 00 0

]}

Paginas 43 e 44

1) (pag. 43)

(a) V :

[4 −4

−6 16

]=

[1 23 4

]+ b.

[−1 2

3 −4

]+ (3− b).

[1 −2

−3 4

], b ∈ IR

(b) F : Nao existem a, b ∈ IR tais que (1,−1, 2) = a.(1, 2, 3) + b.(3, 2, 1)

(c) F : (1, 0, 0) 6∈ [(−5, 3, 2), (3,−1, 3)] (por exemplo).

2) (pag. 43)

W =

0 c

a a− b

b 0

, a, b, c ∈ IR

e claramente

0 23 45 0

6∈ W

150 APENDICE A

3) (pag. 43)

U = { (x, 0, 0) , x ∈ IR } e W = { (a, b, b− a) , a, b ∈ IR }

U ∩W = { (0, 0, 0) } (subespaco nulo) ⊂ IR3 . Ja temos que U + W ⊂ IR3 .

Dado (x, y, z) ∈ IR3 , temos (x, y, z) = (x− y).(1, 0, 0) + (y − z).(1, 1, 0) + z.(0, 1, 1) ∈ U + W .

Logo IR3 ⊂ U +W e portanto U +W = IR3 . Como U ∩W = { 0 } temos entao U⊕W = IR3 .

4) (pag. 43)

W1 ∩W2 =

a 0 0

0 b 00 0 c

, a, b, c ∈ C

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

=

a11 0 0a21 a22 0a31 a32 a33

+

0 a12 a13

0 0 a23

0 0 0

∈ W1 + W2

Logo V = W1 + W2 e a soma nao e direta, pois W1 ∩W2 nao e apenas o vetor nulo de V .

β1 =

1 0 0

0 0 00 0 0

,

0 0 00 1 00 0 0

,

0 0 00 0 00 0 1

,

0 0 01 0 00 0 0

,

0 0 00 0 00 1 0

,

0 0 00 0 01 0 0

gera W1

β2 =

1 0 0

0 0 00 0 0

,

0 0 00 1 00 0 0

,

0 0 00 0 00 0 1

,

0 1 00 0 00 0 0

,

0 0 00 0 10 0 0

,

0 0 10 0 00 0 0

gera W2

β3 =

1 0 0

0 0 00 0 0

,

0 0 00 1 00 0 0

,

0 0 00 0 00 0 1

gera W1 ∩W2

5) (pag. 43)

(1,−3, 10) = −6.(1, 0, 0) + 3.(1, 1, 0) + 2.(2,−3, 5)

[u, v] = { (a, b, 0) , a, b ∈ IR } e claramente (1,−3, 10) 6∈ [u, v]

6) (pag. 43)

W1 = { (a, b, 3a− 2b) , a, b ∈ IR }

W2 = { (x, y,−3x− 6y) , x, y ∈ IR }

W1 ∩W2 = { (t,−3t/2, 6t) , t ∈ IR } = [(2,−3, 12)]


7) (pag. 43)[0 −2i

0 i

]∈ W

[0 −2

3i 1

]6∈ W

[4i 40 −2 + 3i

]∈ W

8) (pag. 43)

Dados a, b, c, d ∈ IR , temos

a + bx + cx2 + dx3 = (a + b + c + d).1 + (−b− 2c).(1− x) + c.(1− x)2 − d.(1− x3) .

Logo P3(IR) =[(1− x3), (1− x)2, 1− x, 1

]9) (pag. 44)

W = [v1, v2, v3] = [(1, 0,−1), (0, 1, 2)] = { (a, b, 2b− a) , a, b ∈ IR } e v = (2, 2, 1) 6∈ W

10) (pag. 44)

(b) W = [(3, 1)] (f) W = [(1,−1, 0), (0, 3, 1)] (g) W = [(3, 2, 1), (−1, 1,−2)]

(i) W = [(1, 0, 0, 2), (0, 1, 0, 1)] (k) W = [(1, 0, 1, 0), (0, 1, 0, 0), (0, 0, 0, 1)]

(n) W = [(1, 2, . . . , n)] (o) W =

[[1 00 0

],

[0 00 1

]](r) W =

[[0 1

−1 0

]]

(p) W =

1 0 0

0 0 00 0 0

,

0 0 00 1 00 0 0

,

0 0 00 0 00 0 1

,

0 1 00 0 00 0 0

,

0 0 00 0 10 0 0

,

0 0 10 0 00 0 0

Paginas 45 e 46

2) (pag. 45)

(1, 0, 0) , (0, 1, 0) , (1, 1, 0)

3) (pags. 45 e 46)

(a) LD (b) LI (c) LD (d) LI (e) LI (f) LI (g) LI

Paginas 51, 52 e 53

2) (pag. 51)

β = { 1, i } e base de C (como espaco vetorial sobre IR). Logo dim C = 2

152 APENDICE A

3) (pag. 51)

β = {v1, v2, v3} ⊂ IR3 e LI e como β tem 3 = dim IR3 vetores, entao β gera o IR3 .

4) (pag. 51)

(a) (2,−3, 2, 2) ∈ W = { (a, b, c, c) , a, b, c ∈ IR }

(b) β = {(1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 1)} e base de W e dim W = 3 .

(c) W 6= IR4 pois W ⊂ IR4 e dim W < dim IR4 = 4

5) (pag. 51)

(a) dim IR3 = 3 ⇒ qualquer conjunto S ⊂ IR3 com mais do que 3 vetores e LD.

(b) 11.v1 + v2 − 15.v3 + 8.v4 = (0, 0, 0)

6) (pag. 51)

(a) β = { (5, 7, 3)} e base de W e dim W = 1

(b) γ = { (1, 0,−5/3), (0, 1,−7/3)} e base de U e dim U = 2

7) (pag. 52) 1 0 00 1 01 1 0

8) (pag. 52)

(a) W1 ∩W2 = { (0, 0, t, t) , t ∈ IR }

(b) β = { (0, 0, 1, 1)} e base de W1 ∩W2

(c) W1 + W2 = IR4

(d) Nao, pois W1 ∩W2 nao e apenas o vetor nulo (0, 0, 0, 0) do IR4

(e) dim(W1 + W2) = 2 + 3− 1 = 4 = dim IR4

9) (pag. 52)

(a) W1 ∩W2 =

{[a a

a a

], a ∈ C

}e β =

{[1 11 1

]}e base de W1 ∩W2


(b) A soma nao e direta e W1 + W2 =

{ [a + c b

b + c a

], a, b, c ∈ C

}(c) dim(W1 + W2) = 2 + 2− 1 = 3 < 4 = dim M2×2(C) ⇒ W1 + W2 6= M2×2(C)

10) (pag. 52)

γ =

{ [1 −5

−4 2

],

[1 1

−1 5

]}e base de W e dim W = 2

11) (pag. 52)

β ={

xn , xn + xn−1 , xn + xn−2 , . . . , xn + x2 , xn + x , xn + 1}

12) (pag. 52)

S nao e base de IR∞ .

(1, 1, 1, 1, . . .) ∈ IR∞ mas nao e combinacao linear de vetores de S (S nao gera IR∞).

Qualquer combinacao linear de vetores de S (por ser finita) e um vetor de IR∞ em que os ter-mos se anulam a partir de um certo ponto. O espaco gerado por S e coo (veja o exemplo I) da pag. 32)

13) (pag. 52)

β = { u1 = (2, 1, 0) , u2 = (−4, 0, 1) , u3 = (1, 0, 0) } e base do IR3 com u1, u2 ∈ W

14) (pag. 53)

(a) β = { (1, 0, 6, 3) , (0, 1,−3,−2)} e base de W

(b) γ = { (1, 0, 6, 3) , (0, 1,−3,−2) , (0, 0, 1, 0) , (0, 0, 0, 1) } e LI e portanto uma base do IR4

Paginas 56 e 57

1) (pag. 56)

β = {(i, 1) , (1, i)} e LI e tem 2 = dim C2 vetores. Logo β gera C2 e e uma base de C2

Temos (1, 0) = −i/2.(i, 1) + 1/2.(1, i) e (0, 1) = 1/2.(i, 1)− i/2.(1, i)

2) (pag. 56)

(1, 0, 0) =13

.(1, 1, 1)− 13

.(−1, 1, 0) +13

.(1, 0,−1) ⇒ [(1, 0, 0)]β =

1/3−1/3

1/3

154 APENDICE A

3) (pag. 57)

(a) (i) [I]β1

β =

[−1 1

1 1

](ii) [I]ββ1

=

[−1/2 1/2

1/2 1/2

]

(iii) [I]ββ2=

[ √3/6 1/2√3/6 −1/2

](iv) [I]ββ3

=

[1/2 0

0 1/2

]

(b) [v]β =

[3

−2

][v]β1

=

[−5/2

1/2

][v]β2

=

−2 +

√3

2

2 +√

32

[v]β3=

[3/2−1

]

(c) [u]β =

[−4

4

][u]β2

=

6− 2

√3

3

−6− 2√

33

[u]β3=

[−2

2

]

4) (pag. 57)

[u]α =

11

−4

[u]α′ =

2−3−2

5) (pag. 57)

[I]β′

β =

[1/2

√3/2

−√

3/2 1/2

][I]ββ′ =

[1/2 −

√3/2√

3/2 1/2

]

6) (pag. 57)

(a) (i) [I]β2

β1=

[−1 1

0 1/2

](ii) [I]β3

β2=

[0 −1

−1 −1

]

(iii) [I]β3

β1=

[−1 0

−1/2 −1/2

](iv) [I]β2

β1. [I]β3

β2=

[−1 0

−1/2 −1/2

]

[I]β3

β1= [I]β2

β1. [I]β3

β2

7) (pag. 57)

[I]ββ1=

1 −1 00 1 −10 0 1


8) (pag. 57)

[I]βα =

1 1 20 1 30 0 1

[2x2 − 5x + 6

]α

=

512

[x2 + 3x− 4

]α

=

161

9) (pag. 57)

[(1, 0, 1)]β =

−1− i

2

i

2

3 + i

4

Capıtulo 3

Pagina 64

1) (pag. 64)

Sao transformacoes lineares (prova-se pela definicao): (a)f, (d)L, (f)M, (g)S e (h)N .

Nao sao lineares:

(b) g : tome u = (1, 1) ∈ IR2 e k = 3 ∈ IR. g(k.u) = g(3, 3) = 9 mas k.g(u) = 3

(c) h : tome u = v =

[1 00 1

]. h(u + v) = 4 mas h(u) + h(v) = 2

(e) U : tome u = (1, 0, 0) ∈ IR3 e k = 5 ∈ IR. U(k.u) = (25, 0, 0) mas k.U(u) = (5, 0, 0)

(i) R : tome u = (0, 2) ∈ IR2 e k = 2 ∈ IR. R(k.u) = R(0, 4) = (0, 15) mas k.R(u) = (0, 6)

(j) T : T (−3) + T (2) = 3 + 2 = 5 mas T (−3 + 2) = T (−1) = 1

(k) ϕ : ϕ(0, 0) = 3 6= 0 (vetor nulo de IR)

2) (pag. 64)

T

x

y

z

w

= A ·

x

y

z

w

=

a11 a12 a13 a14

a21 a22 a23 a24

a31 a32 a33 a34

·

x

y

z

w

156 APENDICE A

Temos entao:

000

= T

1000

= A ·

1000

=

a11

a21

a31

Analogamente:

000

=

a12

a22

a32

=

a13

a23

a33

=

a14

a24

a34

e portanto A = 0 (matriz nula)

3) (pag. 64)

Nao ! Contra-exemplo: T : IR2 → IR3 dada por T (x, y) = (x− y, 2y − 2x, 0)

T (1, 1) = (0, 0, 0) mas (1, 1) 6= (0, 0) (vetor nulo do IR2)

Paginas 66 e 67

1) (pag. 66)

T (x, y, z) = (2x + y, y − z) . T (0, 3, 1) = (3, 2)

2) (pag. 66)

T (x, y) =(

3x,5x− y

2, x

). T (1, 0) = (1, 5/2, 1) , T (0, 1) = (0,−1/2, 0)

3) (pag. 66)

S(x, y, z) = 8x− 3y − 2z

4) (pag. 66)

T (x, y) = (y, x) .[x

y

]T7−→

[y

x

]=

[0 11 0

].

[x

y

]

5) (pag. 67)

λ = 1 , λ = 2 .

Esses vetores nao sao unicos.

Para λ = 1 , W1 ={

u ∈ IR2 ; A(u) = 1.u}

={

(−y, y) ∈ IR2 ; y ∈ IR}

= [(−1, 1)]

Para λ = 2 , W2 ={

u ∈ IR2 ; A(u) = 2.u}

={

(−4y/3, y) ∈ IR2 ; y ∈ IR}

= [(−4, 3)]

Para cada λ , os vetores associados a λ formam um subespaco do IR2 .


6) (pag. 67)

λ = 1 , λ = −1 .

Para λ = 1 , W1 ={

u ∈ IR2 ; A(u) = 1.u}

={

(x, x) ∈ IR2 ; x ∈ IR}

= [(1, 1)]

Para λ = −1 , W−1 ={

u ∈ IR2 ; A(u) = −1.u}

={

(x,−x) ∈ IR2 ; x ∈ IR}

= [(1,−1)]

7) (pag. 67)

Nao existe λ ∈ IR tal que Rπ/2(u) = λ.u para algum vetor nao-nulo u ∈ IR2

Pagina 70

1) (pag. 70)

(a) f(x, y) = (x + y, x− y)

ker f = {(0, 0)} , dim ker f = 0 , Im f = IR2 , dim Im f = 2

dim ker f + dim Im f = 0 + 2 = 2 = dim IR2

(d) L(A) = trA

ker L = { A ∈ M3×3(IR) ; a11 = −a22 − a33} , dim kerL = 8 , Im L = IR , dim Im L = 1

dim kerL + dim Im L = 8 + 1 = 9 = dim M3×3(IR)

(f) M(ax2 + bx + c) = ax3 + bx2 + cx

ker M = {0} , dim kerM = 0 , Im M = [x, x2, x3] , dim Im M = 3

dim kerM + dim Im M = 0 + 3 = 3 = dim P2(C)

(g) S(x, y, z, w) = (y, z − w, 2y + z + 2w)

ker S = [(1, 0, 0, 0)] , dim kerS = 1 , Im S = IR3 , dim Im S = 3

dim kerS + dim Im S = 1 + 3 = 4 = dim IR4

(h) N(x, y, z) = [ x y z ] ·A = (x + z, 2x− y + z)

ker N = [(−1,−1, 1)] , dim kerN = 1 , Im N = IR2 , dim Im N = 2

dim kerN + dim Im N = 1 + 2 = 3 = dim IR3

2) (pag. 70)

D(ax3 + bx2 + cx + d) = 3ax2 + 2bx + c

ker D = [1] , Im D = [x2, x, 1] = P2(IR)

158 APENDICE A

3) (pag. 70)

β = { (1, 1, 0) } e base de kerT . dim Im T = dim IR3 − dim kerT = 3− 1 = 2

Im T 6= IR3 , pois Im T (subespaco)⊂ IR3 e dim Im T = 2 < dim IR3

4) (pag. 70)

Nao existe T : IR4 → IR5 linear tal que Im T = IR5 , pois dim Im T ≤ dim IR4 < dim IR5 .

Generalizacao: Se T : V → W e transformacao linear e dim V < dim W (dim V finita) entaoIm T 6= W ( Im T nao e todo o espaco W )

Nao existe transformacao linear T : IR3 → IR2 tal que ker T = { (0, 0, 0)} , pois neste casoterıamos dim Im T = dim IR3− dim kerT = 3− 0 = 3 (impossıvel, pois Im T ⊂ IR2 e dim IR2 = 2).

Generalizacao: Se T : V → W e transformacao linear e dim V > dim W (dim V finita) entaoker T 6= { 0V } (ker T nao e apenas o vetor nulo 0V de V )

5) (pag. 70)

w ∈ Im T ⇒ w = T (v), v ∈ V . Como { v1, v2, . . . , vn} gera V , v = c1.v1 + . . . + cn.vn .

Assim w = T (v) = T (c1.v1 + . . . + cn.vn) = c1.T (v1) + . . . + cn.T (vn) (pois T e linear)

Portanto { T (v1), T (v2), . . . , T (vn)} gera Im T .

6) (pag. 70)

T (x, y, z) = (2ix, x− iy, (1 + i)y − 3x)

7) (pag. 70)

F (x, y) = (x− y, 3x− 3y)

Pagina 75

1) (pag. 75)

1a) f e injetora e e sobrejetora (e portanto bijetora)

1d) L nao e injetora e e sobrejetora

1f) M e injetora mas nao e sobrejetora

1g) S nao e injetora mas e sobrejetora

1h) N nao e injetora mas e sobrejetora


2) D nao e injetora e nao e sobrejetora

3) T nao e injetora e nao e sobrejetora

2) (pag. 75)

Seja c1.T (v1) + . . . + ck.T (vk) = 0V . Como T e linear, T (c1.v1 + . . . + ck.vk) = 0V

Entao c1.v1 + . . . + ck.vk = 0U (pois T e injetora).

Como { v1, . . . , vk} e LI, temos c1 = . . . = ck = 0 e portanto { T (v1), . . . , T (vk)} e LI.

3) (pag. 75)

(a) T (x, y, z) = (x, y)

(b) Nao e possıvel

(c) L(x, y, z) = (0, 0)

(d) M

([a b

c d

])= ax3 + bx2 + cx + d

(e) Nao e possıvel

4) (pag. 75)

L nao e injetora mas e sobrejetora.

R e injetora mas nao e sobrejetora.

5) (pag. 75)

ker T = {(0, 0, 0)} ⇒ T e injetora. Como T : IR3 → IR3 e T e injetora, entao T tambem esobrejetora e portanto um isomorfismo. Temos ainda T−1(a, b, c) = (a/3, (a− 3b)/3, b + c− a)

6) (pag. 75)

P (x, y, z) = (x + iz, y + z, ix + y) . kerP = [(i, 1,−1)] ⇒ P nao e injetora e portanto nao eisomorfismo.

Paginas 82 e 83

1) (pag. 82)

(a) [T ]ββ′ =

[1 1 0

−1 0 2

](b) [T ]αα′ =

[−3 1 −1

1 2 1

]

160 APENDICE A

2) (pag. 82)

(a) [T ]αα =

[1 00 0

][T ]βα =

[1 −i

0 0

][T ]αβ =

[2 0−i 0

][T ]ββ =

[2 −2i

−i −1

]

(b) [T ]γγ =

[1/3 i/3−2i/3 2/3

]

3) (pag. 82)

S(x, y, z) = (y − 2z, x− y + z, 0)

4) (pag. 82)

T (x, y) =

[2x + y x− y

−x y

]

5) (pag. 82)

(a) [S]αβ =

−11/3 20/3−4/3 10/3

5/3 −8/3

(b) T (x, y) =

(x− y

2,x− y

2, 2x + y

)(c) γ = { (1, 1, 1), (0, 1, 0), (−1,−1, 2)}

6) (pags. 82 e 83)

[D]ββ =

0 1 0 00 0 2 00 0 0 30 0 0 0

7) (pag. 83)

T (x, y) = (5x + 3y,−6x− 4y) . λ = −1 , λ = 2 :

Para λ = −1 , W−1 ={

u ∈ IR2 ; T (u) = −1.u}

={

(x,−2x) ∈ IR2 ; x ∈ IR}

= [(1,−2)]

Para λ = 2 , W2 ={

u ∈ IR2 ; T (u) = 2.u}

={

(−y, y) ∈ IR2 ; y ∈ IR}

= [(1,−1)]

β = { (1,−2), (1,−1)} e base do IR2 e [T ]ββ =

[−1 0

0 2

]

8) (pag. 83)

R(x, y, z) =(

2x− 2y + z

3,−2x− y + 2z

3,x + 2y + 2z

3

)


Paginas 86 e 87

1) (pag. 86)

[R ◦ S] =

0 2 −21 1 −2

−1 0 1

[S ◦R] =

[1 −2

−2 1

]

2) (pag. 86)

(R ◦ S)(x, y, z) = (5x + 2y + z, 5x + 3y + 2z)

3) (pag. 86)

A(x, y) = (x− y, x + y)

4) (pag. 87)

A(x, y) =(

x + y

2,−x + y

2

)

5) (pag. 87)

T (x, y, z) = (8x− y + 9z, 4x + 4z,−13x + 2y − 15z)

6) (pag. 87)

(a) T (x, y) =(−4x + 3y

5,3x + 4y

5

)(b) α = { (1, 3), (−3, 1)}

Paginas 87 e 88

1) (pag. 87)

Posto de T = 2 . Nulidade de T = 1

2) (pag. 88)

Posto de R = 2 . Nulidade de R = 0

Posto de S = 2 . Nulidade de S = 2

162 APENDICE A

Capıtulo 4

Paginas 96 e 97

1) (pag. 96)

(a) λ1 =√

2 e λ2 = −√

2 sao os autovalores de T .

V√2 =[(√

2 , 1)]

e V−√

2 =[(−√

2 , 1)]

sao os autoespacos.

(b) λ1 = 1 +√

2 e λ2 = 1−√

2 sao os autovalores de S.

V1+√

2 =[(1,√

2 )]

e V1−√

2 =[(1,−

√2 )]

sao os autoespacos.

(c) λ1 = −1 , λ2 = −2 e λ3 = 2 sao os autovalores de L.

V−1 = [(−2, 4, 1)] , V−2 = [(1,−3, 1)] e V2 = [(1, 1, 1)] sao os autoespacos.

(d) λ1 = −1 e λ2 = 1 sao os autovalores de M .

V−1 =

[(0 −11 0

)]e V1 =

[(1 00 0

),

(0 11 0

),

(0 11 0

)]sao os autoespacos.

(e) λ1 = −1 e λ2 = 1 sao os autovalores de H.

V−1 = [(x− 1)] e V1 =[x2, (x + 1)

]sao os autoespacos.

(f) λ = 1 e o unico autovalor de U .

V1 = [(0, 0, 0, 1)] e o autoespaco.

2) (pag. 96)

T (x, y) = (−6y,−x + y)

3) (pag. 96)

(a) λ1 = −1 e λ2 = 1 sao os autovalores de A.

V−1 = [(−1, 1)] , V1 = [(1, 0)] sao os autoespacos.

(b) λ1 = 0 e λ2 = 2 sao os autovalores de B.

V0 = [(−1, 1)] , V2 = [(1, 1)] sao os autoespacos.

(c) λ = 1 e o unico autovalor de C.

V1 = [(1, 0, 0)] e o autoespaco.

(d) λ1 = −1 e λ2 = 3 sao os autovalores de D.

V−1 = [(1,−20, 16)] , V3 = [(1, 0, 0)] sao os autoespacos.


(e) λ1 = −1 , λ2 = 1 e λ3 = 3 sao os autovalores de E.

V−1 = [(1, 2,−1)] , V1 = [(1,−1, 0)] e V3 = [(1, 0, 1)] sao os autoespacos.

(f) λ1 = −1 , λ2 = 1 e λ3 = 4 sao os autovalores de F .

V−1 = [(−1, 0, 1)] , V1 = [(1,−2, 1)] e V4 = [(1, 1, 1)] sao os autoespacos.

(g) λ = −1 e o unico autovalor de G.

V−1 = [(1,−1, 1)] e o autoespaco.

(h) λ1 = −2 e λ2 = 4 sao os autovalores de H.

V−2 = [(1, 0, 1)] , V4 = [(1, 1, 0), (−1, 0, 1)] sao os autoespacos.

(i) λ1 = −3 e λ2 = 9 sao os autovalores de I.

V−3 = [(2, 1, 0), (−7, 0, 1)] , V9 = [(1, 1, 1)] sao os autoespacos.

(j) λ1 = −1 , λ2 = 1 e λ3 = 6 sao os autovalores de J .

V−1 = [(1, 0,−3, 0)] , V1 = [(1, 0, 4, 0)] e V6 = [(0, 1, 0,−1)] sao os autoespacos.

4) (pag. 96)

Se λ = 0 e autovalor de T : V → V entao existe v 6= 0 em V tal que T (v) = 0.v = 0 = T (0) .Como v 6= 0 segue que T nao e injetora.

Sim. A recıproca e verdadeira: se T : V → V nao e injetora entao kerT 6= {0} . Logo existev 6= 0 em V tal que T (v) = 0 = 0.v e portanto λ = 0 e autovalor de T .

5) (pag. 97)

(a) detA = −2 6= 0 . Logo [T ] = A e invertıvel e portanto T e invertıvel, com

T−1(x, y) =(

2y − x

2,

x

2

)(b) T invertıvel implica T injetora e segue do exercıcio 4) anterior que λ = 0 nao e autovalor

de T , ou seja, se λ e autovalor de T , entao λ 6= 0 .

(c) λ1 = −1 e λ2 = 2 sao os autovalores de T . V−1 = [(−2, 1)] , V2 = [(1, 1)] sao osautoespacos.

λ1 = −1 e λ2 = 1/2 sao os autovalores de T . V−1 = [(−2, 1)] , V1/2 = [(1, 1)] sao osautoespacos.

(d) Se T : V → V e invertıvel, λ e autovalor de T e v ∈ V e autovetor de T associado a λ ,entao λ 6= 0 , 1/λ e autovalor de T−1 e v ∈ V e autovetor de T−1 associado a 1/λ .

De fato: T (v) = λ · v ⇒ v = T−1(λ · v) = λ · T−1(v) ⇒ T−1(v) =1λ· v .

164 APENDICE A

6) (pag. 97)

(a) Sobre IR : λ1 = −2 e o unico autovalor de A.

V−2 = [(−2,−1, 1)] e o autoespaco.

(b) Sobre C : λ1 = −2 , λ2 = −i e λ3 = i sao os autovalores de A.

V−2 = [(−2,−1, 1)] , V−i = [(−2i, 1 + i, 2)] e Vi = [(2i, 1− i, 2)] sao os autoespacos.

Paginas 107, 108 e 109

1) (pag. 107)

(a) mT (x) = (x−√

2 )(x +√

2 ) ⇒ T e diagonalizavel.

(b) mS(x) = (x− (1 +√

2 ))(x− (1−√

2 )) ⇒ S e diagonalizavel.

(c) mL(x) = (x + 1)(x + 2)(x− 2) ⇒ L e diagonalizavel.

(d) mM (x) = (x− 1)(x + 1) ⇒ M e diagonalizavel.

(e) mH(x) = (x− 1)(x + 1) ⇒ H e diagonalizavel.

(f) λ = 1 e o unico autovalor de U e dim V1 = 1 ⇒ U nao e diagonalizavel.

2) (pag. 107)

(a) mA(x) = (x + 1)(x− 1) ⇒ A e diagonalizavel.

(b) mB(x) = x(x− 2) ⇒ B e diagonalizavel.

(c) λ = 1 e o unico autovalor de C e dim V1 = 1 ⇒ C nao e diagonalizavel.

(d) mD(x) = (x− 3)2(x + 1) ⇒ D nao e diagonalizavel.

(e) mE(x) = (x− 1)(x + 3)(x + 1) ⇒ E e diagonalizavel.

(f) mF (x) = (x + 1)(x− 1)(x− 4) ⇒ F e diagonalizavel.

(g) mG(x) = (x + 1)(x2 − x + 1) ⇒ G nao e diagonalizavel.

(h) mH(x) = (x + 2)(x− 4) ⇒ H e diagonalizavel.

(i) mI(x) = (x− 9)(x + 3) ⇒ I e diagonalizavel.

(j) mJ(x) = (x +−1)2(x + 1)(x− 6) ⇒ J nao e diagonalizavel.

3) (pag. 107)

(a) A e diagonalizavel quando a 6= 1

(b) B e diagonalizavel quando a = 0


4) (pag. 107)

Nao e possıvel pois T nao e diagonalizavel.

5) (pag. 108)

P =

[2 −13 1

]e invertıvel e B = P−1 ·A · P .

6) (pag. 108)

(a) Se A e B sao semelhantes existe P (invertıvel) tal que B = P−1 ·A · P .

Logo det B = det(P−1 · A · P ) = det P−1 · det A · det P = det A , pois P invertıvel implica

det P 6= 0 e det P−1 =1

det P.

(b) Se A e diagonalizavel, existe uma matriz diagonal B semelhante a A, B com os autovaloresde A na diagonal.

Logo det A = detB (letra (a) anterior) e det B e o produto dos autovalores de A.

7) (pag. 108)

(a) Seja T NILPOTENTE. Entao existe k ∈ IN tal que T k = 0 (operador nulo). Se A equalquer matriz representante de T (em relacao a uma base de V ) entao 0 = [T k] = [T ]k = Ak .Logo o polinomio f(x) = xk anula A e portanto o polinomio minimal mT (x) = mA(x) e um divisorde xk , ou seja, mT (x) = mA(x) = xl , com 1 ≤ l ≤ k .

Como as raızes do polinomio minimal sao as mesmas raızes do polinomio caracterıstico (que saoos autovalores de T ), segue que λ = 0 e o unico autovalor de T , pois e a unica raiz do polinomiominimal de T , mT (x) = xl .

(b) Seja T : IR3 → IR3 dada por T (x, y, z) = (0, x, y) . T 6= 0 , T 3 = 0 e

A = [T ] =

0 0 01 0 00 1 0

(c) Se T e NILPOTENTE, entao existe k ∈ IN tal que T k = 0 (operador nulo) e ja vimos que

seu polinomio minimal e da forma mT (x) = xl , com 1 ≤ l ≤ k .

Se T 6= 0 , temos x(T ) = T 6= 0 e portanto f(x) = x nao anula T . Logo mT (x) = xl , com2 ≤ l ≤ k e T nao e diagonalizavel.

166 APENDICE A

8) (pag. 108)

(a) T IDEMPOTENTE ⇒ T 2 = T ⇒ T 2 − T = 0 (operador nulo).

Assim f(x) = x2 − x = x(x − 1) anula T e portanto mT (x) e um divisor de x(x − 1) . LogomT (x) = x ou mT (x) = (x − 1) ou mT (x) = x(x − 1) . De qualquer modo seus autovalores saoλ = 0 e/ou λ = 1 .

(b) Basta tomar A 6= 0 , A 6= I tal que A2 = A . Por exemplo: A =

1 0 0 00 1 0 00 0 0 00 0 0 0

(c) Do que ja consideramos em (a), se T e idempotente, seu polinomio minimal e mT (x) = x ou

mT (x) = (x− 1) ou mT (x) = x(x− 1) . Em qualquer caso, temos que T e diagonalizavel.

9) (pag. 108)

Se T : IR3 → IR3 e tal que A = [T ] , seu polinomio caracterıstico e pT (x) = (x − 3)(x2 + 1) .Entao, obrigatoriamente, seu polinomio minimal e mT (x) = (x − 3)(x2 + 1) e portanto A nao ediagonalizavel sobre IR .

Seja agora S : C3 → C3 tal que [S] = A . Temos pS(x) = (x− 3)(x + i)(x− i) = mS(x) .

Portanto A e diagonalizavel e a matriz B =

3 0 00 −i 00 0 i

representa S em relacao a alguma

base de C3 , sendo portanto semelhante (sobre C) a matriz A.

10) (pag. 109)

(a) An =

2n+2 − 1

32n+2 + 4

3

−2n − 13

2n + 43

(b) An =

(−1)n+1.5 + 27− 2n+4

6(−1)n+1.5− 27 + 2n+5

6(−1)n.5− 9 + 2n+2

(−1)n+1 + 9− 2n+3

6(−1)n+1 − 9 + 2n+4

6(−1)n − 3 + 2n+1

(−1)n+1.2 + 6− 2n+2

6(−1)n+1.2− 6 + 2n+3

6(−1)n.2− 2 + 2n


Pagina 110

(pag. 110)

Cf =

[0 −41 3

]Cg =

0 0 −151 0 10 1 −1

Ch =

0 0 0 41 0 0 80 1 0 30 0 1 −2

Pagina 115

1) (pag. 115)

(a)

[B1 00 B2

], com B1 =

−1 0 0 0 0

1 −1 0 0 00 1 −1 0 00 0 0 −1 00 0 0 a −1

e B2 =

2 0 01 2 00 1 2

,

sendo a = 0 ou a = 1 .

(b)

B1 0 00 B2 00 0 B3

, com B1 =

5 0 00 5 00 0 5

, B2 =

[−3 0

1 −3

]e B3 =

4 0 01 4 00 0 4

(c)

[B1 00 B2

], com B1 =

−2 0 0 0 0 0 01 −2 0 0 0 0 00 1 −2 0 0 0 00 0 0 −2 0 0 00 0 0 a −2 0 00 0 0 0 b −2 00 0 0 0 0 c −2

e B2 =

3 0 0 01 3 0 00 0 3 00 0 d 3

,

sendo (a = b = 1, c = 0) ou (a = c = 1, b = 0) ou (a = 1, b = c = 0) ou (a = b = c = 0) e sendod = 0 ou d = 1 .

2) (pag. 115)

(a)

[−1 0

0 1

](b)

[0 00 2

](c)

1 0 01 1 00 1 1

(d)

3 0 01 3 00 0 −1

168 APENDICE A

(e)

−1 0 00 1 00 0 3

(f)

−1 0 00 1 00 0 4

(g)

−1 0 01 −1 00 1 −1

(h)

−2 0 00 4 00 0 4

(i)

−3 0 00 −3 00 0 9

(j)

−1 0 0 0

0 6 0 00 0 1 00 0 1 1

3) (pag. 115)

Pelo Teorema da Forma Canonica de Jordan existe uma base β do IRn tal que [T ]ββ e diagonal

por blocos: [T ]ββ =

B1

B2

©

©. . .

Bk

. Cada bloco Bi esta associado ao autovalor λi

e e formado por sub-blocos do tipo

λi 0 . . . . . . 01 λi 0 . . . 0

0 1. . . . . .

......

.... . . . . . 0

0 0 . . . 1 λi

, de ordem 1 × 1 (pelo fato do

polinomio minimal ser produto de fatores lineares distintos), ou seja, Bi =

λi

λi

©

©. . .

λi

(DIAGONAL). Logo [T ]ββ e diagonal.

4) (pag. 115)

Sobre IR : pA(x) = (x + 2)(x2 + 1) = mA(x) . Como nao e possıel fatorar x2 + 1 em IR , naopodemos aplicar o Teorema da Forma de Jordan.

Sobre C : pA(x) = (x + 2)(x + i)(x− i) = mA(x) e portanto a Forma de Jordan de A e

B =

−2 0 00 −i 00 0 i

5) (pag. 115)

pA(x) = (x + 3)3(x− 1)

mA(x) = (x + 3)2(x− 1)


Capıtulo 5

Paginas 129 e 130

1) (pag. 129)

(a) Dados u = (x1, y1) , v = (x2, y2) no IR2, temos:

< u, v >=[

x1 y1

]·Qt ·Q ·

[x2

y2

], sendo Q =

[1 01 1

](invertıvel).

Segue do Exemplo G da pagina 119 que < , > acima definido e um produto interno sobre o IR2 .

(b) θ = arc cos(√

2 /2) =π

4rad

(c) β′ = { (−1, 1), (0, 1)} e uma base ortonormal do IR2 .

2) (pag. 129)

β′ = { (1, 1, 0), (−1/2, 1/2, 1)} e base ortogonal de V . Para obter uma base ON (ortonormal),basta normalizar os etores de β′ .

3) (pag. 129)

(a) Dados u = (x1, y1, z1) , v = (x2, y2, z2) no IR3, temos:

< u, v >=[

x1 y1 z1

]·Qt ·Q ·

x2

y2

z2

, sendo Q =

1 0 00√

5 00 0

√2

(invertıvel).

Segue do Exemplo G da pagina 119 que < , > acima definido e um produto interno sobre o IR3 .

(b) β′ ={

(1, 0, 0), (0, 1/√

5 , 0), (0, 0, 1/√

2}

e base ON do IR3.

4) (pag. 129)

β′ = { 1,−t} e base ortogonal de W .

5) (pag. 130)

β′ =

{ (1 00 1

),

(1/2 10 −1/2

),

(0 01 0

),

(−1/3 1/3

0 1/3

)}e base ortogonal de V e

θ = arc cos(√

3 /2) =π

6e o angulo pedido.

170 APENDICE A

6) (pag. 130)

Q =

[ √2 0

0 1

]e invertıvel. Dados u = (x1, y1) , v = (x2, y2) no IR2, temos:

< u, v >=[

x1 y1

]·Qt ·Q ·

[x2

y2

]= 2x1x2 + y1y2 .

θ = arc cos(0) =π

2rad

β′ =

{ (−1√

3,

1√3

),

( √3

3√

2,2√

33√

2

)}e uma base ortonormal do IR2 .

Pagina 135

1) (pag. 135)

PW (v) =(

0,32

,32

)e o vetor de W que esta mais proximo de v e γ = { (2,−1, 1)} e base

ortogonal de W⊥ .

2) (pag. 135)

(a) PW1(v) =(

2,52

,52

)(b) PW2(v) =

(145

, 2,75

)(c) v esta mais proximo de W1 (pois sua distancia ao vetor da letra (a) e menor do que sua

distancia ao vetor da letra (b)).

3) (pag. 135)

PW (p) =1516

x2 +3516

e W⊥ =[15x2 + 16x + 3

].

4) (pag. 135)

β′ ={ (

1√2

,− 1√2

, 0)

, (0, 0, 1)}

e base ON de W⊥ .

5) (pag. 135)

W⊥ = [(1,−1,−1)] e β′ ={(

1√3

,− 1√3

,− 1√3

)}e base ON de W⊥ .

Com o novo produto interno:

W⊥ = [(1,−2,−2)] e γ′ ={(

1√10

,− 2√10

,− 2√10

)}e base ON de W⊥ .


Paginas 140, 141 e 142

1) (pag. 140)

γ =

{(1√6

,− 2√6

,− 1√6

),

(2√5

,1√5

, 0)

,

(1√30

,− 2√30

,

√5√6

)}e base ON do IR3 for-

mada por autovetores de T .

2) (pag. 140)

(b) < Sv,w >= 27 =< v, Sw >

(c) β = { (−2, 0, 1), (0, 1, 0), (1, 0, 2)} e base ortogonal do IR3 formada por autoetores de S etemos

[S]ββ =

−3 0 00 −3 00 0 2

.

3) (pag. 140)

Exemplo: T (x, y) = (2x− y,−x + 3y) .

4) (pag. 141)

T nao e auto-adjunto (pois suas matrizes em relacao a bases ON do IR2 nao sao simetricas).

5) (pag. 141)

(a) Aij = i−esima coordenada de S(ej) em relacao a base β = < S(ej), ei > .

(b) < S(ei), ej >= Aji = Aij =< S(ej), ei >=< ei, S(ej) > .

6) (pag. 141)

x = 0 e y = ±1 .

7) (pag. 141)

A =

[1 1−1 0

].

172 APENDICE A

9) (pag. 141)

(a) ‖Tv‖2 = < Tv, Tv > = < v, v > = ‖v‖2 ⇒ ‖Tv‖ = ‖v‖ ∀ v ∈ V

(b) Dados u, v ∈ V, temos: ‖T (u + v)‖2 = ‖u + v‖2 ⇒ < T (u+v), T (u+v) > = < u+v, u+v >

⇒ < Tu+Tv, Tu+Tv > = < u+v, u+v > (pois T e linear). Pelas propriedades do produto interno,temos: ‖Tu‖2 + 2 < Tu, Tv > + ‖Tv‖2 = ‖u‖2 + 2 < u, v > + ‖v‖2 ⇒ < Tu, Tv > = < u, v >

(pois ‖Tu‖ = ‖u‖ e ‖Tv‖ = ‖v‖ ).

10) (pag. 142)

(a) T ortogonal ⇒ existe α base ON de V tal que A = [T ]αα e ortogonal, ou seja, A · At =At ·A = I ⇒ A e invertıvel ⇒ T e invertıvel.

(b) θ(Tu, Tv) = arc cos(

< Tu, Tv >

‖Tu‖ · ‖Tv‖

)= arc cos

(< u, v >

‖u‖ · ‖v‖

)= θ(u, v) .

11) (pag. 142)

[T ] =

[3/5 4/5

−4/5 3/5

]=

[cos θ − sen θ

sen θ cos θ

], sendo cos θ = 3/5 e sen θ = −4/5 .

Referencias

[1] Boldrini, Jose Luiz e outros, Algebra Linear, Editora Harbra, Sao Paulo.

[2] Lima, Elon Lages, Algebra Linear, Colecao Matematica Universitaria, IMPA, Rio de Janeiro.

[3] Hoffman, K. e Kunze, R., Algebra Linear, Editora Polıgono, Sao Paulo.

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André Arbex Hallack 2017 - UFJF · B) O conjunto Q = { p/q : p,q ∈ Z, q 6= 0 } dos nume´ ros racionais, com as opera¸cões usuais, é um corpo. C) O conjunto IR dos nume´