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PRÓ-REITORIA DE PÓS-GRADUAÇÃO, PESQUISA E EXTENSÃO

ÁREA DE CIÊNCIAS TECNOLÓGICAS

CURSO DE MESTRADO PROFISSIONALIZANTE EM ENSINO

DE FÍSICA E DE MATEMÁTICA

ANGELITA UBERTI

AVALIAÇÃO DA APLICAÇÃO DE JOGOS NA 6ª SÉRIE: EQUAÇÕES, INEQUAÇÕES E SISTEMAS DE EQUAÇÕES DO 1º GRAU

Santa Maria, RS

2011

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ANGELITA UBERTI

AVALIAÇÃO DA APLICAÇÃO DE JOGOS NA 6ª SÉRIE: EQUAÇÕES, INEQUAÇÕES E SISTEMAS DE EQUAÇÕES DO 1º GRAU

Dissertação apresentada ao Curso de Mestrado Profissionalizante em Ensino de Física e de Matemática do Centro Universitário Franciscano de Santa Maria como requisito parcial para obtenção do título de mestre em Ensino de Matemática.

Orientador: Profª Dra. Helena Noronha Cury

Santa Maria, RS

2011

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AGRADECIMENTOS

Primeiramente, agradeço a Deus e à Nossa Senhora Aparecida, por sempre estarem

presentes em minha vida, cobrindo-me de proteção e força para enfrentar os desafios.

A minha família, especialmente aos meus pais, Hermes José e Leontina, e meu irmão

Hermes, pelo amor, carinho, apoio e compreensão durante minhas ausências na elaboração

desta pesquisa e, ainda, por serem os meus maiores orientadores.

A minha querida orientadora, Profª Drª Helena Noronha Cury, pela compreensão,

paciência, apoio, amizade demonstradas durante o trabalho, que com sua simplicidade,

inteligência, dedicação, conhecimento e organização, me inspiram em todos os instantes desta

trajetória, provocando mudanças em minha vida e concretizando este tão esperado sonho.

À coordenação do Curso de Mestrado Profissionalizante em Ensino de Física e de

Matemática da UNIFRA e a todos os queridos professores do curso, pela oportunidade de

aprendizagem.

Aos colegas do Mestrado, por terem partilhado suas trajetórias de vida, compartilhado

sonhos, conquistas, inseguranças e ousadias; pelos momentos em que relatando, trocando,

lendo, buscando, ouvindo, anotando, perguntando, construindo, me deram a certeza de que a

verdadeira amizade nos conduz, sempre, à vivência de momentos felizes

À escola onde esta pesquisa foi desenvolvida, pela confiança demonstrada na

realização dos trabalhos.

Aos meus queridos alunos da turma de 6ª série, do ano de 2009, o meu eterno carinho,

pois foram inspiradores para a realização deste trabalho, tendo participado das atividades com

esforço, empenho e dedicação e aos demais alunos que acompanharam esta pesquisa e

torceram pela minha ascensão pessoal e profissional.

Também agradeço aos colegas, direção e supervisão, das escolas em que trabalhei

durante esta pesquisa, pelo incentivo.

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RESUMO

Nesta pesquisa, investigou-se o uso de jogos como recurso para o ensino e a aprendizagem de equações, sistemas de equações e inequações de 1º grau. O trabalho desenvolveu-se com uma turma de 6º série do Ensino Fundamental, de uma escola municipal do interior do Rio Grande do Sul. A partir de revisão de literatura baseada em autores que trabalharam com jogos e com álgebra, bem como da análise de livros didáticos usados no Ensino Fundamental para o ensino de equações, sistemas de equações e inequações, construíram-se jogos, que foram aplicados a 24 alunos de uma 6ª série. A pesquisa é de caráter qualitativo e nela empregaram-se, como instrumentos, um pré-teste e anotações de observações em um diário de campo. Analisou-se a aplicação de cada um dos jogos e foi possível notar que houve melhor compreensão, por parte dos estudantes, sobre os conteúdos envolvidos. Considera-se que a experiência pode ser reaplicada em outras turmas e, para isso, elaborou-se um conjunto de atividades, em que são apresentados os jogos e sugestões para os professores. Este conjunto de atividades é o produto resultante da dissertação.

Palavras-chave: Jogos. Equações. Sistemas de equações. Inequações. Ensino Fundamental.

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ABSTRACT This research investigated the use of games as a resource for the teaching and learning of equations, systems of equations and inequalities of first degree. The work was developed with a group of 6th grade of elementary school, in a public school upstate Rio Grande do Sul. From the literature review based on research about games and algebra, as well as the analysis of textbooks used in elementary school for the teaching of equations, systems of equations and inequalities, games were built up, applied to 24 students at grade 6º of elementary school. The research is qualitative in nature and were employed, as instruments, a pre-test and notes of observations in a diary. Application of each of the games were analyzed and it was noticeable that there was better understanding about the content involved in the games. It is considered that the experience can be reapplied in other classes and then we elaborated a set of activities, in which games are presented, as well as suggestions for teachers. This set of activities is the product resulting from the dissertation.

Keywords: Games. Equations. Systems of equations. Inequalities. Elementary school.

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SUMÁRIO

1 INTRODUÇÃO ......................................................................................................... 07

2 REVISÃO DE LITERATURA ................................................................................. 09

2.1 JOGOS ...................................................................................................................... 09

2.2 A ÁLGEBRA E SEU ENSINO ................................................................................ 19

2.3 A ÁLGEBRA NOS LIVROS DIDÁTICOS DO ENSINO FUNDAMENTAL ...... 29

3 METODOLOGIA DA PESQUISA .......................................................................... 45

3.1 INSTRUMENTOS DE PESQUISA ......................................................................... 45

3.2 PARTICIPANTES DA PESQUISA ......................................................................... 46

3.3 PROCEDIMENTOS PARA APLICAÇÃO E ANÁLISE DOS DADOS ................ 46

4 APLICAÇÃO DO PRÉ-TESTE E ANÁLISE DAS RESPOSTAS ....................... 48

5 CONFECÇÃO E APLICAÇÃO DOS JOGOS ...................................................... 57

5.1 CONSTRUÇÃO DOS JOGOS ................................................................................. 57

5.1.1 Vira e Confere ................................................................................................ 57

5.1.2 Quebra-cabeça Triangular ........................................................................... 58

5.1.3 Quarteto das Equações ...................................................................................... 59

5.2 APLICAÇÃO DOS JOGOS ........................................................................... 61

5.2.1 Aplicação do Vira e Confere .......................................................................... 61

5.2.2 Aplicação de um jogo sobre operações com polinômios .................................. 63

5.2.3 Aplicação do Quebra-cabeça Triangular .......................................................... 64

5.2.4 Aplicação do Quarteto das Equações ........................................................... 66

6 CONSIDERAÇÕES FINAIS .......................................................................... 68

7 CONJUNTO DE ATIVIDADES PROPOSTAS ..................................................... 73

REFERÊNCIAS ..................................................................................................

ANEXO .............................................................................................................

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1 INTRODUÇÃO

A ideia de desenvolver uma pesquisa sobre jogos surgiu da intenção de buscar formas

de despertar o interesse dos alunos pela Matemática, tornando as aulas cada vez mais

agradáveis, participativas e possibilitando a compreensão de alguns conceitos matemáticos.

Licenciada em Matemática pela Universidade Regional e Integrada do Alto Uruguai e

das Missões – URI – em 2007, ingressei na profissão docente em 2008, logo após ter

concluído o curso, quando fui contratada por um período de um ano – contrato temporário –

pela Secretaria de Educação e Desporto do Município de Quevedos, RS.

Durante a graduação, tive pouco contato com as estruturas e aplicações de jogos no

processo de ensino e aprendizagem de Matemática. A metodologia de ensino utilizada pelos

professores do curso de graduação que frequentei era a tradicional; usavam giz e lousa e os

conteúdos da área de Matemática eram ensinados de forma isolada, sem relação com as

disciplinas da área de Educação. As aulas das disciplinas de Práticas de Ensino e Estágios

Supervisionados eram as únicas em que era mencionado o fato de que, quando fôssemos para

uma sala de aula, deveríamos utilizar novas abordagens de ensino que envolvessem o

emprego de recursos diversificados, como jogos, para que as aulas não fossem apenas no

modelo tradicional; no entanto, não tínhamos informações sobre quais eram essas novas

abordagens de ensino, quais recursos utilizar, como trabalhar de forma diferenciada.

O ensino repetitivo, que segue fielmente os livros didáticos, tornando as aulas

maçantes e sem atrativos, foi outra questão que me motivou a desenvolver uma pesquisa sobre

o uso de jogos no ensino de Matemática. Mesmo com pouca experiência de magistério, no

contato com os professores que são colegas na escola em que trabalho, tenho ouvido com

frequência que o aluno não consegue entender a Matemática que a escola lhe ensina, o que o

leva, muitas vezes, à reprovação nessa disciplina. Quando aprovado, sente dificuldades em

utilizar o conhecimento "adquirido". Em síntese, não consegue efetivamente ter acesso a esse

saber de fundamental importância.

Foi pensando nisso e no que a professora de Práticas de Ensino falava em suas aulas,

que resolvi trabalhar com jogos em um dos meus estágios supervisionados. A turma

escolhida, por coincidência, era uma 6ª série do Ensino Fundamental e os conteúdos

trabalhados foram multiplicação e divisão de números inteiros. A aplicação dos jogos foi feita

em uma aula, após o encerramento dos conteúdos, como uma forma de revisar os tópicos que

seriam apresentados em uma avaliação, bem como para que os alunos memorizassem a

aplicação da regra dos sinais. Nessa aula, pude observar que, durante a realização da

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atividade, os alunos sentiram-se mais motivados e participativos do que em outras ocasiões,

pois até mesmos aqueles mais tímidos e que tinham vergonha de fazer perguntas participaram

da aula e conseguiram sanar suas dúvidas.

Assim, ao ingressar no Mestrado Profissionalizante em Ensino de Física e de

Matemática do Centro Universitário Franciscano, em 2009, tive a atenção despertada pela

possibilidade de empregar jogos em sala de aula, visto que observara a dificuldade

apresentada por alunos da 6ª série, no ano de 2008, para resolver equações do 1º grau.

A proposta de desenvolvimento desta pesquisa partiu, então, do seguinte problema:

como ensinar o conteúdo de equações, inequações e sistemas de equações de 1º grau a alunos

de 6ª série do Ensino Fundamental?

O problema foi expresso por duas questões de pesquisa, a saber: a) quais as

dificuldades que os alunos apresentam na aprendizagem de equações, inequações e sistemas

de equações de 1º grau? b) quais jogos podem auxiliar a superar as dificuldades de

aprendizagem desses conteúdos?

Esta pesquisa foi desenvolvida, portanto, com o objetivo geral de analisar o uso de

jogos no ensino de equações, inequações e sistemas de equações de 1º grau.

Os objetivos específicos são:

a) listar dificuldades apresentadas por alunos de 6ª série do Ensino Fundamental, na

aprendizagem de equações, inequações e sistemas de equações;

b) analisar a aplicação de jogos instrucionais em uma turma de 6ª série, para verificar

se houve superação das dificuldades apresentadas.

Nesta dissertação, é apresentada, no Capítulo 2, a revisão de literatura que subsidia o

trabalho. Em seguida, no Capítulo 3, são indicados a metodologia, os instrumentos e os

participantes da pesquisa.

No Capítulo 4, são apresentadas a aplicação do pré-teste e a análise das respostas dos

estudantes. O Capítulo 5 traz a confecção e aplicação dos jogos.

No Capítulo 6, são tecidas algumas considerações finais sobre a pesquisa e seus

resultados.

Finalmente, no Capítulo 7, é apresentada um conjunto de atividades, como sugestão de

trabalho com os jogos empregados neste trabalho.

Ainda fazem parte da dissertação as referências às obras citadas e a autorização da

escola para a realização do trabalho.

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2 REVISÃO DE LITERATURA

2.1 JOGOS

Estabelecer uma definição para jogo é um desafio, pois existe na literatura sobre o

assunto uma grande variedade de concepções e definições sobre o que seja e sobre as

perspectivas diversas de seu papel nas áreas de Filosofia, História, Pedagogia e Psicologia.

Flemming e Mello (2003) consideram que jogos são atividades que podem ser

“relacionadas com o ensino, de natureza recreativa, usadas em sala de aula para obtenção de

um maior rendimento no processo ensino-aprendizagem de um conteúdo específico.” (p. 25).

Para as autoras, existe uma distinção entre jogar e brincar: o jogo tem um sistema linguístico

que funciona dentro de um contexto social, tem um sistema de regras, contêm, em geral,

objetos bem característicos e delineados; já os brinquedos têm características culturais

diversas, não possuem regras e representam os objetos reais ou uma nova representação criada

durante a brincadeira.

O jogo é considerado um importante auxílio para o professor, na preparação ou

elaboração de suas aulas. É um recurso significativo, pois desenvolve atitudes relativas à

disciplina, propiciando uma maior interação social do aluno com seus colegas de aula,

possibilitando, assim, o confronto entre diferentes ideias e atitudes que são indispensáveis no

processo de construção do conhecimento por parte do aluno, bem como promove o

aprendizado de regras e limites. Desenvolve, ainda, habilidades como a coordenação motora,

rapidez no cálculo mental, concentração e raciocínio dedutivo; aprimora atitudes relativas ao

interesse, à atenção, à honestidade, à solidariedade; traz confiança e motivação, possibilitando

ao aluno manifestar seu ponto de vista em relação ao conteúdo e a sua aprendizagem.

Por meio dos jogos, o aluno encontra formas interessantes e diferenciadas de assimilar

os conteúdos, pois assume o papel de agente de sua aprendizagem: o professor deixa de ser o

detentor do saber e assume um papel de mediador entre o aluno e o conhecimento no processo

de ensino e aprendizagem.

Ao serem aplicados em aulas de Matemática, os jogos oportunizam uma mudança na

rotina da aula, tendo por objetivo fazer com que desperte no aluno o interesse e o gosto de

aprender. Representam algo diferente para se fazer, deixando de lado práticas tradicionais de

ensino, tais como o uso de exercícios realizados com lápis e papel que, muitas vezes, tornam

as aulas de Matemática desinteressantes para a maioria dos alunos.

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Quando construídos apropriadamente, os jogos podem ter diferentes propósitos: para

diagnóstico informal da aprendizagem, para prática ou enriquecimento das atividades de sala

de aula, para completar o programa de Matemática. Podem ser usados para introduzir

conceitos novos e para reforçar ou enriquecer habilidades já ensinadas previamente. Também

podem ser transformados em uma parte integral do currículo de Matemática, desde que o

professor tenha conhecimento das vantagens do seu uso e saiba como construí-los e

incorporá-los no programa previsto.

Segundo Flemming e Mello (2003), quando tomamos a decisão de aplicar um jogo em

sala de aula, devemos planejar todas as etapas a serem percorridas. Inicialmente, as autoras

listam um conjunto de questionamentos que devem ser respondidos pelo professor e que

servem para coletar dados necessários para o planejamento das atividades com jogos.

Flemming e Mello (2003, p. 43-50) discutem as perguntas que o professor deve se

fazer antes de trabalhar com jogos:

1- Pretendo usar o jogo em minha sala de aula?

2- Qual é o objetivo que pretendo atingir?

3- Conheço algum jogo adequado?

4- Vou precisar fazer uma adaptação?

5- Quais os materiais necessários para aplicar o jogo escolhido?

6- Como aplicá-lo? Em que momento do conjunto de atividades o jogo vai ser

inserido?

7- O que pode acontecer na sala de aula?

8- Como avaliar os resultados da aplicação?

Para que os jogos se transformem em materiais instrucionais efetivos e não mero lazer,

o professor deve levar em conta a importância da definição dos conteúdos e das habilidades a

serem desenvolvidas com os jogos e o planejamento de sua ação. Isso envolve a seleção e a

construção de jogos que atendam necessidades específicas. Os jogos devem ser construídos de

maneira simples, para que o aluno se concentre no objetivo da aprendizagem e não se distraia

com outros elementos. Podem ser coloridos, pois a cor irá atrair os estudantes.

O professor que utiliza jogos como metodologia de ensino deve destinar a estes um

tempo no seu planejamento didático, visto que esse tipo de atividade exige bastante tempo,

principalmente quando os alunos aprovam o jogo. Por isso, o professor deve organizar-se e

planejar a ocasião de aplicação e a duração do jogo. É importante evitar deixar os jogos para o

final de aula ou para aqueles dias em que não é possível realizar atividades ao ar livre, caso

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contrário pode dar a impressão de que o jogo é apenas uma diversão substituta de outras, que

exigem maior energia física, tais como jogos de futebol, voleibol, etc.

O educador pode mostrar aos alunos que os jogos são importantes e que ajudarão na

construção dos saberes. Durante a realização de um jogo, é sugerido que o professor atue

como mediador da aprendizagem, fazendo observações, intervenções e dialogando, quando

necessário. Não é conveniente que o professor apenas entregue o jogo para os alunos e fique

envolvido com outras atividades que não sejam relacionadas àquele tema e aula. É importante

que o professor valorize o jogo e instigue os alunos a jogar, pois assim os estudantes

apreciarão o jogo como atividade didática, visto ser um excelente instrumento para a

aquisição do conhecimento.

Flemming e Mello (2003) citam uma classificação de jogos no contexto do ensino da

Matemática, apoiada em Corbalán:

� Jogos de conhecimento: estes jogos “envolvem os conteúdos ou temas da

Matemática e são recursos para que o processo de ensino-aprendizagem seja mais rico, mais

criativo e mais participativo. Podem ser usados para introduzir ou fixar conceitos de uma

maneira lúdica” (FLEMMING; MELLO, 2003, p. 37).

� Jogos de estratégias: promovem o desenvolvimento de etapas necessárias para a

resolução de problemas.

Já Borin (1995) menciona a seguinte classificação dos jogos, apoiada em Krulik e

Rudnik:

� Jogos de treinamento: idealizados para auxiliar a memorização ou fixação de

conceitos, ligados a alguns tópicos do conteúdo. São utilizados quando identificamos, através

de um diagnóstico, que alguns alunos necessitam de reforço em determinado tópico e,

também, como substituto das listas de exercícios.

� Jogos de estratégias: a meta principal desses jogos é proporcionar oportunidades para

o desenvolvimento do raciocínio lógico. Caracterizam-se por possuírem uma estratégia

vencedora a ser descoberta pelos jogadores. O jogador fica totalmente livre para fazer suas

opções dentro dos limites das regras do jogo.

Para Lara (2003), os jogos, quando bem elaborados, podem ser vistos como uma

estratégia de ensino que poderá atingir diferentes objetivos, variando desde o simples

treinamento, até a construção de um determinado conhecimento.

Lara (2003) classifica os jogos em quatro tipos:

• Jogos de construção: são aqueles que trazem ao aluno um assunto desconhecido,

fazendo com que, por meio da manipulação de materiais ou de perguntas e respostas, o

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estudante sinta a necessidade de uma novo conhecimento para resolver determinada

situação-problema. Jogos deste tipo permitem a construção de algumas abstrações

Matemáticas que, muitas vezes, são apenas transmitidas pelo professor e memorizadas

pelo aluno, sem uma real compreensão.

• Jogos de treinamento: são idealizados para auxiliar na memorização de conceitos,

técnicas operatórias, além de contribuir para o desenvolvimento de um pensamento

dedutivo mais rápido. Esse tipo de jogo deve ser utilizado quando o professor percebe

que alguns alunos precisam de reforço num determinado conteúdo e deseja substituir

as listas de exercícios.

• Jogos de aprofundamento: são aplicados depois que o aluno trabalhou um determinado

assunto, dando a oportunidade de avançar no seu aprendizado. Também podem ser

utilizados para articular diferentes assuntos ou para desafiar os alunos em diferentes

ciências.

• Jogos de estratégias: são jogos que têm como meta propiciar oportunidades para o

desenvolvimento do raciocínio dedutivo, que aparece nas escolhas dos lances; baseia-

se tanto nas jogadas certas quanto nas erradas e obriga o jogador a elaborar e

reelaborar sua hipóteses a todo momento.

A autora também destaca os cuidados que o professor deve ter, não só no momento de

elaborar o jogo como, também, no momento de executá-lo, colocando em evidencia as

palavras de Groenwald e Timm quando falam dos cuidados que devemos ter ao escolher os

jogos a serem aplicados:

- não tornar o jogo obrigatório; - escolher jogos em que o fator sorte não interfira nas jogadas, permitindo que vença aquele que descobrir as melhores estratégias; - utilizar atividades que envolvam dois ou mais alunos, para oportunizar a interação social; - estabelecer regras, que podem ou não ser modificadas no decorrer de uma rodada; - trabalhar a frustração pela derrota na criança, no sentido de minimizá-la; - estudar o jogo antes de aplicá-lo (o que só é possível jogando). (2002, apud LARA, 2003, p. 28).

Jones (1982) cita algumas vantagens do uso dos jogos, tanto para o aluno como para o

professor. Entre os benefícios para o aluno estão:

• progresso através dos estágios de desenvolvimento de aprendizagem, tendo em vista

que, por meio de jogos, o estudante tem a oportunidade de trabalhar com atividades manuais,

nas quais fica ativamente envolvido na aprendizagem de cálculos, contagem, classificação ou

aplicações das habilidades matemáticas;

• aumento na motivação, seja com jogos competitivos ou não, em que são

destacados as cores, os formatos e o grau de chance;

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• auxílio individual quando os jogos são destinados a um currículo centrado no aluno;

• promoção da aprendizagem contínua, pois, na maioria dos jogos, ocupa-se mais

tempo com o raciocínio e pouco se escreve;

• reforço da aprendizagem inicial e das experiências de reaprendizagem;

• auxílio no desenvolvimento positivo da auto-estima e oportunidade de interação

social.

Entre as vantagens para os professores, Jones (1982) destaca:

• por meio dos jogos, o professor pode verificar a qualidade e o nível de trabalho de

cada aluno, bem como sua compreensão da Matemática, tendo em vista que pode estar ao lado

dos estudantes enquanto jogam, ouvindo e registrando os acertos e erros;

• facilita o ensino de Matemática, tendo em vista que os alunos aprendem mais,

ficando motivados para fazer uso da Matemática;

• é possível reutilizar os jogos por vários anos, depois de construídos, o que os torna

um material barato para o ensino;

• permite fazer diagnósticos da aprendizagem dos alunos de maneira informal.

Também foram revisadas dissertações relacionadas ao uso de jogos na Educação

Matemática, em tópicos coincidentes com os desta pesquisa. As dissertações revisadas são as

de Silva (2004), Jelinek (2005), Souza (2006) e Soares (2008).

• O trabalho de Silva (2004), defendido na Universidade Luterana do Brasil, teve

como objetivo investigar a introdução de números inteiros negativos em uma 6ª série, por

meio de jogos. O autor propõe realizar um trabalho com os alunos, partindo sempre do jogo,

da brincadeira ou da “pegadinha” para chegar a uma aula participativa, ao mesmo tempo em

que testa os resultados de aprendizagem. Seu interesse em realizar a investigação estava

ligado ao interesse em jogos ou brincadeiras que pudessem ser usados no ensino da

Matemática, levando o aluno a desenvolver o raciocínio lógico, a estratégia e a agilidade de

cálculo. Sua investigação surgiu da necessidade de compreensão dos aspectos cognitivos

envolvidos na utilização de jogos no ensino e aprendizagem de Matemática e a questão

norteadora de sua pesquisa é: atividades realizadas com metodologias lúdicas interferem no

processo ensino e aprendizagem dos conteúdos de Matemática da 6ª série do Ensino

Fundamental, facilitando a compreensão dos mesmos?

O objetivo principal de Silva (2004) é verificar se há vantagens na aprendizagem dos

conteúdos de Matemática de 6ª série do ensino fundamental ao se utilizar uma metodologia de

ensino por meio de atividades lúdicas, ao invés do modelo tradicional desenvolvido nos livros

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didáticos. A pesquisa foi realizada nos anos 2002 e 2003, desenvolvida em quatro turmas de

6ª série, duas no 4º bimestre de 2002 e duas no 1º bimestre de 2003. Tanto no final de 2002

como no inicio de 2003, a autora trabalhou utilizando, em uma das turmas, o método de

ensino com a aplicação do lúdico e na outra, o método do ensino tradicional.

Para apresentar os resultados obtidos, a autora utilizou tabelas e gráficos, nos quais

foram colocadas as notas das provas das duas turmas, comparando as duas metodologias

empregadas. Também são relatados alguns depoimentos coletados com professores,

funcionários, pais e alunos da Escola por ocasião do concurso de “pegadinhas”. A análise dos

dados é qualitativa, por meio de observação direta do desempenho dos alunos durante as

aulas. Silva (2004) constatou que as aulas de Matemática deixaram de ser o “Bicho Papão” da

escola e passaram a ser aguardadas com ansiedade pelas crianças, que passaram a trabalhar

mais pelo prazer da descoberta ou da vitória do que pela obrigação de realizar as tarefas, pois,

afinal, deixaram de ser tarefas para se tornarem brincadeiras.

Muitos jogos foram sugeridos pelos próprios alunos e alguns foram por eles

confeccionados, sendo certas tarefas também sugeridas por eles, o que demonstra o seu grau

de entrosamento com o trabalho. Silva (2004) comenta que, quando houve a troca da

metodologia lúdica para a tradicional, a reação inicial foi de irritação e, depois, de apatia por

parte de alguns alunos que, com a outra metodologia, eram bastante ativos. Em alguns jogos,

quando foi possível perceber que um aluno estava com dificuldade, foram sugeridas

estratégias para facilitar seu desempenho e, então, era perceptível o aumento do interesse e da

vontade de fazer certo. O melhor resultado trazido pelo uso de uma metodologia lúdica foi, na

opinião da autora, ouvir dos alunos que a escola seria muito melhor se houvessem apenas

aulas de Educação Física e de Matemática. Após as análises, a autora comenta que não

avaliou o jogo pelo jogo, mas sim sua importância no desenvolvimento dos conteúdos de

Matemática, e considera que foi visível a validade do uso de jogos no ensino de Matemática

na sala de aula, devido ao fato de terem uma orientação clara e objetivos definidos. Essa

experiência mostrou à autora que a atitude do professor, ao utilizar o trabalho lúdico, deve

levar em conta as seguintes recomendações:

• não tornar o jogo obrigatório;

• utilizar atividades que envolvam dois ou mais alunos, para oportunizar a

interação social;

• estudar o jogo antes de aplicá-lo, para estabelecer suas possibilidades;

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• antes de iniciar qualquer jogo ou brincadeira, estabelecer com clareza suas regras e

condições;

• não utilizar jogos que só precisem de sorte, pois a habilidade mental do aluno deve

ser o mais importante;

• observar possíveis dificuldades de alguns alunos e dar apoio, para que não se sintam

excluídos;

• durante ou após uma brincadeira, analisar as conclusões e comentários que surgirem.

O trabalho realizado com jogos matemáticos em sala de aula permitiu a Silva (2004, p.

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tais como:

# é possível detectar os alunos que estão com dificuldades reais;

# os alunos têm mais liberdade para mostrar aos colegas e professores se o assunto foi

bem assimilado;

# existe uma competição entre jogadores e adversários, pois almejam vencer e para

isso aperfeiçoam-se e ultrapassam seus limites;

# durante o desenrolar de um jogo, o aluno se torna mais crítico, alerta e confiante,

expressando o que pensa, elaborando perguntas e tirando conclusões sem necessidade da

interferência ou aprovação do professor;

# não existe o medo de errar, pois o erro é considerado um degrau necessário para se

chegar a uma resposta correta;

# o aluno se empolga com o clima de uma aula diferente, o que faz com que aprenda

sem perceber.

Nessa pesquisa, Silva (2004) constatou, também, uma melhora nas notas dos alunos

quando a metodologia de trabalho foi trocada da tradicional para a lúdica, enquanto que na

troca inversa, da lúdica para a tradicional, houve uma diminuição das notas. Esse fato pode

reforçar a idéia de que a aprendizagem de Matemática no Ensino Fundamental tem vantagens

ao assumir o uso de uma metodologia lúdica.

• A dissertação de Jelinek (2005), defendida na Pontifícia Universidade Católica

do Rio Grande do Sul, teve como objetivo investigar de que forma os jogos podem ser

utilizados nas aulas de Matemática e qual o paradigma dos professores em relação aos jogos.

A pesquisa é de caráter naturalístico-construtivo, uma vez que buscou analisar o uso de jogos

em sala de aula, questionando um conhecimento já existente sobre o assunto e procurando

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esclarecer quais pressupostos os professores têm sobre os jogos: como os definem, se fazem

uso dessa ferramenta, se a julgam importante.

A pesquisa de Jelinek (2005) teve como ponto de partida um levantamento teórico

sobre os jogos, em que buscou estabelecer o que são jogos e de que forma poderiam auxiliar

no processo de ensino e aprendizagem da Matemática. Esses levantamentos deram apoio para

a segunda parte da pesquisa, que buscou esclarecer quais pressupostos os professores têm

sobre os jogos.

Procurando avaliar esses pressupostos, a coleta dos dados deu-se por meio de um

questionário escrito que apresentava três questões fechadas e quatro questões abertas. Tais

questões buscavam saber, fundamentalmente, se os professores fazem uso de jogos em suas

aulas, se os consideram importante e o que pensam sobre os jogos.

Jelinek (2005) ressalta, em sua dissertação, que os jogos se apresentam como

atividades superiores, que desafiam a criança. O jogo é caracterizado pela liberdade, tanto de

participação como de escolha das regras que fazem parte dele. Dessa forma, o jogo se destaca

como uma atividade em que a criança se envolve livremente, buscando superar desafios de

diferentes ordens e sob regras definidas.

O jogo mostra-se também como uma prática cultural, uma vez que é uma atividade por

meio da qual o educando compreende a si e ao mundo. Foi enfatizado que, por meio dos

jogos, a sociedade apresenta valores e costumes para a criança, que acaba os aceitando como

naturais e repassando para outros sujeitos. Com essa pesquisa, Jelinek (2005) verificou que a

expressão “aprender brincando” realmente tem sentido, pois os jogos envolvem descontração

e alegria, o educando pode desenvolver não apenas aspectos cognitivos, mas também morais,

psicológicos, afetivos, de linguagem, entre outros. Mas seu maior benefício ainda está em

promover o equilíbrio da personalidade do educando, uma necessidade vital do ser humano.

Jelinek (2005) considera, ainda, que os jogos se destacam como atividades que

exploram diferentes inteligências, visto que podem ser estruturados de diversas formas –

jogos de construção, de treinamento, de aprofundamento ou estratégicos – apresentando

desafios de naturezas variadas. Assim, ao fazer uso desse recurso, os educadores podem

explorar não apenas diferentes inteligências, mas também estudar distintas modalidades de

aprendizagem. Para os professores, os jogos podem ser grandes aliados, uma vez que

possibilitam evitar o desinteresse, a falta de concentração e motivação; surgem, ainda, como

um eficiente recurso para se trabalhar com as dificuldades de aprendizagem que muitos

educandos apresentam em relação à Matemática.

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• Souza (2006), cuja dissertação foi defendida na Universidade Cruzeiro do Sul,

trabalhou com jogos em aulas de reforço de Matemática para um grupo de alunos de 5ª a 7ª

série do Ensino Fundamental. Sua intenção era buscar formas de tornar essas aulas mais

agradáveis e participativas, possibilitando a construção de hipóteses e a compreensão de

alguns conceitos matemáticos. Dos jogos utilizados pela autora, alguns são existentes no

mercado e outros foram construídos durante a pesquisa, para facilitar a compreensão de

alguns conteúdos por parte dos alunos. Suas questões investigativas estavam centradas na

busca das contribuições que os jogos podem trazer para as aulas de reforço de Matemática. A

autora desenvolveu uma pesquisa-ação-intervenção, a fim de investigar as contribuições da

intervenção pedagógica com jogos nas aulas de reforço de Matemática.

Em seu trabalho, Souza (2006) discutiu as várias concepções de jogo e, com base em

sua pesquisa, identificou alguns conteúdos matemáticos que são trabalhados sem o

estabelecimento de relação com o cotidiano dos alunos. Esses conteúdos são os que mais

geraram dificuldades para as aulas de reforço e, pela relação do jogo com o cotidiano,

justifica-se seu uso para trabalhar com tais conteúdos. Para a autora, o jogo mostrou-se um

excelente recurso para a compreensão dos conteúdos matemáticos com os quais os alunos já

haviam tido contato.

Souza (2006) percebeu que a participação dos alunos era cada vez maior e melhor

quando utilizava algum jogo pedagógico e que os estudantes, desafiados pelos jogos,

demonstravam ansiedade para iniciar as atividades propostas, além de uma preocupação em

relação ao cumprimento das regras. Isso contribuiu para o desenvolvimento de valores, o que

teve uma importante função na sua formação como cidadãos.

Souza (2006) acredita que, com o uso de jogos, o ensino e a aprendizagem

compartilham o mesmo espaço na relação professor-aluno. Também foi percebido pela autora

que, ao longo das atividades com jogos pedagógicos, houve oportunidade de compreensão de

conteúdos que, apesar de já trabalhados nas aulas, não haviam sido entendidos pelos alunos.

Além disso, os jogos também contribuíram para despertar nos alunos o interesse pelo

trabalho em grupo, o que lhes ajudou a entender alguns assuntos ainda não compreendidos.

Souza (2006) considera que, por meio dos jogos, os alunos pensam, investigam, buscam

soluções e constroem suas próprias ações, o que estimula sua autonomia. A autora julga que

comprovou, em suas experiências, que os estudantes, ao terem oportunidade de pensar para

realizar as jogadas, também corrigem seus próprios erros.

• A dissertação de Soares (2008) foi defendida na Pontifícia Universidade

Católica de São Paulo e teve como objetivo a investigação da potencialidade de serem

18

reintroduzidos os números inteiros negativos, a partir de uma intervenção de ensino dirigida,

em resolução de problemas, utilizando jogos como recurso didático. Também buscou verificar

a compreensão dos alunos sobre as operações de adição e subtração com números inteiros,

positivos e negativos, a partir do trabalho realizado com o livro didático adotado na escola

onde foi realizada a pesquisa.

A investigação, de caráter intervencionista, contou com alunos de três classes de 7º

ano (antiga 6ª série) do Ensino Fundamental: duas turmas constituíram o grupo experimental,

nas quais houve intervenção de jogos relacionados aos números inteiros, e a terceira formou o

grupo de controle, que estudou assuntos diferentes sobre os inteiros, com atividades variadas,

inclusive jogos. A escolha do trabalho com jogos foi motivada pelo fato de que esses recursos

fazem parte do universo infanto-juvenil de atividades que as crianças e os adolescentes

geralmente gostam de realizar fora do ambiente escolar; também contribui para a escolha de

Soares (2008) a sua experiência com jogos em sala de aula.

O autor partiu de uma discussão sobre os números inteiros, do ponto de vista da

Matemática, envolvendo sua evolução histórica, fazendo um estudo dos números inteiros

negativos a partir da sugestão dos Parâmetros Curriculares Nacionais e da sua abordagem em

duas coleções de livros didáticos. A metodologia utilizada pelo autor na realização do estudo

constou de aplicação de um pré-teste, uma intervenção de ensino e um pós-teste. O objetivo

da aplicação do pré-teste era diagnosticar o que os alunos sabiam a respeito do assunto, já o

pós-teste tinha como finalidade analisar o progresso dos alunos ao lidarem com as operações

de adição e de subtração, bem como avaliar se o uso dos jogos contribuiu para que

aprendessem esses conceitos de forma significativa.

Soares (2008) ressalta que, antes do inicio da pesquisa, os alunos já haviam estudado

os números inteiros em aulas sob uma abordagem tradicional. Para analisar os resultados

obtidos, o autor usou procedimentos quantitativos e qualitativos. Na análise quantitativa,

investigou os dados obtidos do pré-teste e do pós-teste, fazendo uma comparação entre os

acertos; a seguir, fez uma análise dos resultados obtidos pelos alunos. Com relação à análise

qualitativa, o autor discutiu cada um dos encontros realizados com os alunos, os quais

sofreram a intervenção de ensino por meio dos jogos, com objetivo de identificar a

compreensão que os estudantes tiveram em relação aos números inteiros negativos. Após

estas análises, o autor pode constatar algumas contribuições que os jogos trouxeram para seus

alunos, dentre as quais:

• melhoria no uso da linguagem matemática para representar corretamente as

operações com números inteiros negativos;

19

• melhoria das habilidades de somar e subtrair números negativos. Essas operações

foram feitas por meio das diferentes relações numéricas estabelecidas durante a realização dos

jogos e nos seus registros e, também, por meio das discussões entre os próprios alunos e entre

estes e o professor, nos momentos de problematizações e discussões dos jogos;

• evidência de melhor comportamento dos alunos, pois, no decorrer dos encontros, os

alunos exercitavam a escuta do outro, respeitando as diferentes opiniões e ideias,

demonstrando alegria, diversão e prazer na busca de solução para os desafios que surgiam nos

jogos;

• colaboração entre os estudantes, pois faziam juntos as atividades propostas,

evidenciando o quanto a interação é importante no processo de ensino e aprendizagem;

• conhecimento da opinião dos alunos, de como eles pensavam, que estratégias

usavam, e ainda, descoberta do que eles aprenderam e o que precisaria ser retomado,

especialmente por meio dos seus registros escritos.

2. 2 A ÁLGEBRA E SEU ENSINO

As equações são tópicos de grande importância no ensino de Matemática e das suas

aplicações. Para compreender as origens desse conhecimento na História da Matemática,

fizemos, inicialmente, leituras das obras de Boyer (1974) e Garbi (1997), especialmente no

que se refere à história das equações algébricas. No entanto, para o desenvolvimento desta

dissertação, interessava-nos também conhecer o que está sendo estudado em dissertações e

teses sobre a Álgebra e seu ensino, em cursos de Pós-Graduação em Educação Matemática.

Muitos dos trabalhos encontrados apontam dificuldades dos alunos em aprender esse

conteúdo, especialmente as equações algébricas, ensinadas no Ensino Fundamental. Entre as

pesquisas sobre ensino de equações, inequações ou sistemas de equações no Ensino

Fundamental, na área de Ensino de Ciências e Matemática, encontramos os trabalhos de

Freitas (2002), Melo (2007), Damasco (2008) e Reis (2010), que abordam temas coincidentes

com nosso estudo.

• Freitas (2002), em dissertação defendida na Pontifícia Universidade Católica

de São Paulo, analisou a compreensão dos procedimentos usados por alunos do 1º ano do

Ensino Médio, de uma escola particular de São Paulo, na resolução de equações do 1º grau.

No primeiro capítulo, o autor apresentou a problemática e a justificativa que o levou a

escolher este tema. Ele considerou que, em geral, as equação do 1º grau são resolvidas pelo

20

método da transposição e que este método só tem eficácia quando utilizado com significado,

pois, quando aplicado mecanicamente, pode levar os alunos a cometer erros.

Além do mais, são deixados de lado os outros métodos de resolução, que o autor

denominou de: encobrimento, desfazer (operar ao contrário), substituição por tentativa e erro

e método das equações equivalentes. Após citar esses outros métodos, o autor explicou como

é a sua utilização. Freitas (2002) também comentou que o que leva os professores a utilizarem

somente o método da transposição é o curto espaço de tempo de que dispõem para ensinar os

conteúdos.

No segundo capítulo, Freitas (2002) abordou as várias concepções da Álgebra,

analisadas por diferentes autores, destacando concepções como aritmética generalizada,

estudo das funções, estudo das estruturas abstratas e dos cálculos e procedimentos para

resolver equações. Também foram apresentadas diversas pesquisas realizadas sobre as

equações e os métodos de resolução.

A expressão “aritmética generalizada” sugere que as operações aritméticas podem ser

generalizadas através de expressões envolvendo variáveis. O autor também destacou, com o

apoio a várias obras, que a Álgebra pode ser considerada como um raciocínio quantitativo

generalizado e que este é superior ao aritmético, pois baseia-se em situações que admitem as

formulações matemáticas em que as generalizações produzidas têm um forte componente

semântico. Além disso, essas generalizações podem orientar melhor a expressão de relação de

inferência em vez de servir para o cálculo de valores aritméticos.

Ao relacionar a Álgebra com o estudo das funções, o autor afirmou que isso significa

tratar as letras como variáveis dependentes e independentes, o que faz com que a variável x

deixe de ser uma incógnita e a variável independente passe a ser uma variável que, para cada

valor de x, é definido um respectivo valor de y.

Freitas (2002), ao tratar a Álgebra como um procedimento para resolver equações,

destacou autores que explicam o que significa pensar nos símbolos operatórios de outra

maneira, além daquela utilizada na aritmética. O autor considerou que, nesse enfoque, podem

ser geradas duas abordagens diferentes: uma aritmética, focalizada nas operações dadas, que

tem como base de procedimentos a resolução por tentativa erro, e outra centrada nas

operações inversas, que é caracterizada pelo procedimento de resolução de equações por

transposição de termos para o outro membro.

Em relação às pesquisas apresentadas, às equações e aos métodos de resolução, o autor

fez um estudo a respeito dos erros e dos procedimentos dos alunos nas resoluções de equações

do 1º grau. Um dos fatores de dificuldade dos alunos em aprender Álgebra deve-se a uma

21

incompatibilidade entre os métodos informais, utilizados por eles para resolver problemas, e

os métodos formais da Álgebra. O autor também comentou que a maioria dos erros cometidos

pelos alunos são resultados de uma adaptação sistemática de conhecimentos anteriores que se

têm generalizado e explorado de forma inadequada.

No terceiro capítulo, Freitas (2002) comentou que a pesquisa se realizou em uma

escola particular do bairro Butantã, zona Oeste de São Paulo. Na escola, os alunos aprendem

que estudar é buscar respostas a problemas utilizando métodos; são realizados projetos de

campo desde as séries inicias do Ensino Fundamental até o término do Ensino Médio. Esses

projetos constituem-se em atividades interdisciplinares de pesquisa e investigação. A escolha

pela turma deu-se pelo fato de que um terço dos seus alunos é proveniente da 8ª série da

escola e dois terços, de outras escolas particulares do Ensino Fundamental, de São Paulo.

Freitas (2002) também explicou a metodologia utilizada para o estudo. Foi realizado

um estudo piloto, com o 2º ano do Ensino Médio, que consistiu na aplicação de um

instrumento provisório e de entrevistas para o levantamento dos erros. A pesquisa foi

realizada no turno oposto ao da aula, o autor adotou uma entrevista semi-estruturada, tendo

como tópicos principais: o significado do sinal de igualdade, o processo de avaliação do

resultado encontrado, o significado do método da transposição de termos, as diferenças

sintáticas das equações.

Por meio do instrumento provisório, o autor pôde observar certa heterogeneidade no

desempenho dos alunos quanto aos aspectos conceituais e às escolhas dos procedimentos de

cálculos.

O autor comentou que a fundamentação teórica foi um dos critérios utilizados para

seleção das equações a serem aplicadas para os alunos na entrevista. Outro, foi o fato de que,

na maioria das vezes, só são considerados coeficientes inteiros nas equações. As equações do

tipo ax = b ou b=ax foram selecionadas com o objetivo de verificar se os alunos trocam o

sinal do coeficiente de x quando utilizam o método da transposição de termos, se eles

resolvem a partir do significado da igualdade, se percebem o zero como solução da equação,

se reconhecem a equação sem solução e como operam com a incógnita à direita da igualdade.

Já com as equações do tipo ax + b = c ou c = b +ax, o autor pretendeu observar se os

alunos operam com a incógnita no lado direito da igualdade, se há dificuldade de se trabalhar

com coeficientes negativos e se eles operam o coeficiente com o termo independente de x .

Com as equações ax ± b = cx ou b ± ax = cx, o autor pretendeu analisar se os alunos

fazem com que a incógnita permaneça no primeiro membro ou no segundo, se os alunos

22

efetuam o cálculo mental dos termos de x ou se usam o procedimento da transposição de

termos.

Para as equações do tipo ax ± b = cx ± d, Freitas (2002) pretendeu entender como os

alunos efetuam as operações com os termos independentes e os termos em x, se consideram a

propriedade simétrica da igualdade, aplicam o método da transposição dos termos

independentes ou em x, como procedem para isolar a incógnita x.

O autor escolheu equações do tipo a± bx ± c = dx ± ex +f para verificar se os alunos

utilizam a opção da escolha de qual membro ficará a incógnita como um facilitador da

resolução, ou se o termo em x ficará sempre do lado esquerdo.

Após a correção do instrumento, o autor destacou, em categorias, os erros cometidos

em maior quantidade:

1ª categoria: alteração do sinal do coeficiente, divisão dos termos independentes;

2ª categoria: transformação de ax = b em x = b – a;

3ª categoria: troca da posição do termo em x pelo do termo independente na divisão;

4ª categoria: transposição de termos independentes sem alterar o sinal;

5ª categoria: transposição de termos em x sem alterar o sinal;

6ª categoria: zero como complicador em equações em que é solução e nas equações

sem solução.

No quarto capítulo, o autor fez uma analise quantitativa dos resultados obtidos no

instrumento, considerando o número e os tipos de erros efetuados pelos alunos.

No quinto capítulo, o autor analisou os erros e as dificuldades manifestadas pelos

alunos, considerando os dados obtidos na resolução das equações, o discurso dos alunos nas

entrevistas e as contribuições enunciadas nos capítulos 1 e 2, chegando a algumas

constatações: não foi fator determinante no erro ter a variável x coeficiente positivo ou

negativo; os alunos erram a transposição tanto dos termos independentes como de x; os alunos

não possuem critérios para a transposição, ora transpõem e alteram indevidamente o sinal, ora

não o fazem em outras situações em que deveriam alterar.

Freitas (2002) concluiu que os erros cometidos estão relacionados tanto às equações

aritméticas, como às algébricas, sendo que não estão ligados a um aspecto conceitual ou das

técnicas, mas como consequência da inter-relação desses dois aspectos.

• Melo (2007), em sua dissertação defendida na Pontifícia Universidade Católica

de São Paulo, teve como objetivo investigar se o tópico “inequação” está sendo desenvolvido

no Ensino Fundamental da cidade de Indaiatuba, localizada no interior de São Paulo e, em

23

caso positivo, de que forma o assunto é abordado. Sua fundamentação teórica foi baseada na

teoria dos Registros de Representação Semiótica, de Duval.

Melo (2007) elaborou um questionário que foi aplicado a 27 professores de

Matemática de dez escolas do município de Indaiatuba. O questionário foi dividido em sete

blocos, sendo que o primeiro se refere aos dados pessoais e de formação dos professores, o

segundo, ao ensino de inequações e a série em que os professores costumam tratar deste tema,

o terceiro, sobre os principais tipos de inequações tratados pelos professores; o quarto bloco

diz respeito ao material didático utilizados pelos professores, o quinto trata das estratégias

gerais utilizadas pelos docentes em algumas situações didáticas; o sexto apresenta estratégias

de ensino específicas para inequações e o sétimo visa a que os professores expliquem como

trabalham o tema inequações e citem exemplos de exercícios e/ou atividades desenvolvidas

em suas aulas.

Além da analise das respostas do questionário, Melo (2007) analisou parte do material

didático (apostilas e livros) utilizado pelos professores participantes da pesquisa, com objetivo

de confrontar algumas informações, dadas pelos professores, com o livro didático utilizado

por cada um.

Feitas as analises, o autor chegou a algumas conclusões:

a) a maioria dos professores consultados desenvolvem o tema inequação e este é

trabalhado por meio da resolução de problemas; inicialmente os professores

propõem problemas para os alunos escreverem inequações que os solucionariam,

para depois resolverem essas inequações.

b) nas duas coleções de livros analisadas, os problemas de introdução de inequações

já vêm resolvidos para os alunos. Nesse aspecto, Melo (2007, p. 118) destacou:

Do ponto de vista cognitivo é a atividade de conversão que conduz aos mecanismos subjacentes à compreensão, no entanto, se elas são realizadas pelo professor ou pelo autor do livro, isso pouco contribui para a aprendizagem do aluno.

O autor também ressaltou que os professores pesquisados dizem propor, sempre ou

frequentemente, exercícios em que os alunos simplesmente resolvem as inequações, dando

privilégio ao tratamento no registro algébrico, e que esta resolução se dá de forma puramente

algorítmica. No que diz respeito aos livros didáticos analisados, em relação a este aspecto,

Melo (2007) notou que a maioria dos exemplos, exercícios ou problemas também exigem do

aluno apenas o tratamento no registro simbólico algébrico.

Quanto às tendências de ensino de Matemática, Melo (2007) observou, por meio das

respostas ao questionário, que quase todos os professores, frequentemente ou sempre,

24

explicam os conteúdos, resolvem alguns exercícios junto com os alunos e, logo em seguida,

propõem outros como tarefa. Ao analisar as coleções de livros didáticos utilizados pelo

professores, Melo observou que uma das coleções, ao tratar do assunto inequações, mostra

que uma das tendências predominantes no ensino de inequações é a forma clássica, pois são

dadas as definições e propriedades seguidas de exemplos resolvidos e exercícios, além de que

a relação professor – aluno parece dar-se num contexto de aulas expositivas, com destaque ao

papel do professor e do livro didático. Outra tendência predominante, nesta coleção, é a

tecnicista, pois os exercícios assemelham-se aos exemplos resolvidos, cabendo ao aluno a

simples reprodução de técnicas na resolução de exercícios.

Melo (2007) também notou que as tendências construtivistas e a resolução de

problemas estão presentes nos discursos dos professores pesquisados, como eixo organizador

do processo ensino e aprendizagem, pois grande parte deles mencionou propor alguns

exercícios e problemas como desafios para os alunos tentarem solucionar, discutirem

coletivamente, até chegar a um consenso sobre regras de resolução, privilegiando a

participação dos alunos em grupo.

Em relação à resolução de problemas como eixo organizador do processo ensino

aprendizagem, o autor notou um avanço em uma das coleções, pois fica evidente que os

problemas são tratados como forma de aplicação de conhecimentos adquiridos pelos alunos,

porém está longe de apresentar uma organização de ensino aprendizagem por meio de

resolução de problemas ou por meio de uma abordagem investigativa. Muitas das questões

que o autor da coleção denomina de problemas, não passam de exercícios, em que o aluno

aplica, de forma mecânica, um processo operatório.

Quanto à analise de como os professores trabalham com o tema inequações, Melo

(2007) chegou a conclusão que os professores fazem uma associação com o assunto

“equações” e, segundo o autor, talvez sejam essas associações que levam o aluno a resolver

uma inequação com os mesmo procedimentos usados para as equações.

• Damasco (2008) defendeu dissertação na Universidade Luterana do Brasil e

abordou o tema “equações do 1º grau”, na 6ª série do Ensino Fundamental, usando a

Engenharia Didática. O objetivo da autora foi investigar uma metodologia adequada ao

processo de ensino e aprendizagem de equações do 1º grau no Ensino Fundamental. Teve

como hipótese a idéia de que o professor de Matemática, quando desenvolve esse conteúdo na

6ª série, não pratica uma metodologia que privilegie a compreensão dos princípios aditivo e

multiplicativo, levando o aluno a não utilizá-los ao resolver uma equação do 1º grau na sua

25

forma algébrica. Da mesma forma, não é trabalhada a visão geométrica de equações na 6ª

série do Ensino Fundamental.

A pesquisa teve caráter qualitativo, os sujeitos participantes da pesquisa são alunos de

uma escola particular, do município de Canoas, Rio Grande do Sul. O processo seguiu as

quatro fases da Engenharia Didática: as analises preliminares, a concepção e analise a priori

das situações, a experimentação e a analise a posteriori com a validação. A autora iniciou seu

estudo com a observação de algumas aulas de uma turma de 6ª série, em seguida aplicou um

questionário ao professor regente da turma, realizando, logo após, uma analise de quatro

livros didáticos.

Com base nas informações coletadas na fase anterior, Damasco (2008) organizou uma

sequência didática, com introdução histórica do conteúdo, aplicação de fluxogramas,

resolução de problemas, utilização de livros didáticos e paradidáticos, material concreto e

software educativo, de maneira a satisfazer as necessidades de aprendizagem dos alunos. Em

seguida, passou para a experimentação da sequência didática e, para finalizar, realizou uma

analise a posteriori e a validação, que ocorreu mediante a confrontação entre os dados obtidos

das analises a priori e a posteriori, verificando, assim, as hipóteses feitas no inicio da

pesquisa.

Os livros analisados por Damasco (2008) foram: “A Conquista da Matemática”, dos

autores Jose Ruy Giovani, Benedito Castrucci e Jose Ruy Giovani Jr., da editora FTD; “Tudo

é Matemática”, do autor Luiz Roberto Dante, da editora Ática; “Ideias e Relações”, de

Claudia Miriam Tosatto, Edilaine do Pilar F. Peracchi, Violeta M. Estephan, da editora

Positivo e a apostila utilizada pelas escolas da rede ULBRA, da editora Positivo.

Na analise, a autora observou que o livro A Conquista da Matemática apresenta os

itens que considerou adequados para analise: a existência de introdução ao conteúdo; a

metodologia empregada; os conceitos de igualdade, identidade, equação; os princípios aditivo

e multiplicativo; os exercícios; os problemas; as aplicações práticas; a parte histórica.

No livro Tudo é Matemática, Damasco (2008) verificou que estão representados,

também, os seguintes itens: desenvolve situações-problema envolvendo geometria,

porcentagem, bem como situações monetárias para resolução das equações de 1º grau;

apresenta, brevemente, a parte histórica; aplica, na resolução de problemas, os princípios

aditivo e multiplicativo; apresenta curiosidades e desafios; sugere um projeto em equipe, em

que os alunos expressam seu entendimento sobre o assunto estudado e uma redação sobre o

capítulo.

26

A partir da analise sobre o livro Ideias e Relações, Damasco (2008) verificou que esse

não apresenta todos os itens necessários para uma metodologia adequada para o ensino e

aprendizagem das equações de 1º grau, na 6ª série do Ensino Fundamental, pois o capítulo

referente ao conteúdo é bastante simplificado e não traz embasamento para a parte histórica

das equações. O livro apresenta os princípios aditivo e multiplicativo na resolução das

situações-problema, desenvolvendo as equações do 1º grau somente na visão algébrica, sem

apresentar a visão geométrica.

Após analisar o Material Didático Positivo, utilizado pelas escolas da rede privada de

ensino, organizado pelo grupo Positivo, a autora observou que alguns critérios, como a parte

histórica, os conceitos de identidade, de equação e a aplicabilidade dos princípios aditivo e

multiplicativo, não são apresentados; também observou que os exercícios são extensos e

repetitivos e que o Material Didático Positivo desenvolve o conteúdo de equações unicamente

na visão algébrica, sem explorar geometricamente o conteúdo.

Ao organizar a sequência didática, que seria aplicada a um grupo de alunos, Damasco

(2008) introduziu o conteúdo equações por meio de uma abordagem histórica, utilizou a

resolução de problemas para dar inicio ao conceito de equações, fazendo uso de problemas

que introduzissem a necessidade de equações, aproveitou-se de fluxogramas para o

desenvolvimento dos conceitos de igualdade, identidade, equações do 1º grau. Para introduzir

a parte algébrica de resolução de uma equação do 1º grau, a autora fez uso de um jogo, no

qual o objetivo era o entendimento, por parte dos alunos, dos princípios aditivo e

multiplicativo, bem como da forma de organizar a resolução de uma equação do 1º grau com

uma variável.

Com o auxílio de um software, foi proposta aos alunos a resolução de equações

fazendo a analogia com uma balança de dois pratos; para desenvolver a parte geométrica de

representação das equações de 1º grau no sistema cartesiano de coordenadas, Damasco (2008)

utilizou a metodologia da resolução de problemas.

Após aplicação da sequência didática, a autora deu inicio a fase da validação, tendo

avaliado os processos da pesquisa, bem como os resultados alcançados nas aulas em que foi

aplicada sequência.

Em suas considerações finais, Damasco (2008) chegou às seguintes constatações:

� para um melhor entendimento, por parte dos alunos, em relação às equações de 1º

grau, é necessário que seja desenvolvida uma sequência didática que lhes possibilite a

utilização de recursos facilitadores do entendimento do conteúdo. Para que esse

desenvolvimento seja bem sucedido, é de fundamental importância o uso de uma metodologia

27

que privilegie a ação do aluno, tornando-o criativo e descobridor, na busca constante da

construção da autonomia, fazendo com que o professor passe a ser um mediador do processo

ensino aprendizagem.

� deve-se ter cuidado na escolha e utilização de um livro didático, para que esse

contenha todos os itens adequados para desenvolver uma metodologia de ensino; o livro tem

importância fundamental para o ensino e aprendizagem da Matemática e deve ser considerado

como um recurso didático a mais, à disposição do professor.

� é importante que, independente do conteúdo estudado, faça-se uso da História da

Matemática, para que o aluno possa relacionar o conteúdo com sua evolução, auxiliando-o na

sua contextualização. No experimento realizado por Damasco (2008), ficou evidente que os

alunos se interessaram pela historia das equações de 1º grau.

� outros recursos, como a utilização de livros paradidáticos e softwares educativos,

permitiu aos alunos construir seus conceitos em relação às equações de 1º grau, motivando-os

ao estudo e permitindo que permanecessem interessados durante as aulas.

� a atividade que mais interessou aos alunos, na sequência didática utilizada, foi o

jogo do “azul e vermelho”, também apresentada em nossa dissertação; isto demonstra que o

lúdico no ensino da Matemática, para alunos da 6ª série, é importante e motiva para o estudo.

Além disso, a concentração nas atividades possibilita uma reflexão sobre os conceitos a serem

desenvolvidos, levando à compreensão com mais facilidade.

� o uso de uma sequência didática, com recursos instrucionais adequados, permite ao

professor o desenvolvimento de aulas mais eficientes no conteúdo de equações de 1º grau.

� a metodologia da Engenharia Didática, utilizada na investigação de Damasco

(2008), possibilitou tanto para o professor/pesquisador, como para o aluno, a organização e

compreensão do conteúdo em desenvolvimento, bem como a construção de conceitos. Essa

metodologia facilita ao professor organizar sua sequência didática utilizando recursos já

existentes, propiciando também ao aluno a motivação e despertando o interesse pelo

conhecimento matemático.

• Reis (2010), em sua dissertação defendida na Universidade Federal de Mato

Grosso do Sul, teve como objetivo analisar como era proposto o ensino de sistemas de

equações do 1º grau em livros didáticos utilizados em escolas brasileiras na Primeira

Republica e como é proposto hoje, nos livros didáticos destinados aos anos finais do Ensino

Fundamental. As fontes utilizadas pelo autor para fazer este estudo foram: um livro didático

adotado no Colégio Pedro II no período de 1890 a 1930 (Tratado de Álgebra Elementar, de

José Adelino Serrasqueiro) e um livro contemporâneo (Matemática Para Todos, de Imenes &

28

Lellis), assim como os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN), as resenhas do Guia do

Livro Didático, do Plano Nacional do Livro Didático, e programas de estudos do Colégio

Pedro II.

A escolha do conteúdo de sistemas de equações do 1º grau deu-se pelo fato de estar

inserido na disciplina de Matemática, em particular no campo da Álgebra, em que Sistema de

Avaliação da Educação Básica (SAEB) vem mostrando haver uma defasagem grande entre o

ensino e a aprendizagem. Outro ponto a destacar é que os sistemas de equações aparecem

explicitamente em todos os programas de ensino do Colégio Pedro II, no período

compreendido de 1890 a 1930, e o tópico ainda persiste nos livros didáticos contemporâneos.

Reis (2010) utilizou a análise de conteúdo para avaliar as tarefas propostas no livro de

Serrasqueiro, no qual eram usadas cinco técnicas diferentes para resolução: Substituição,

Comparação, Redução, Bezout e Cramer.

A técnica de substituição é composta por quatro passos: o primeiro é isolar o valor de

x na primeira equação do sistema; o segundo, é substituir o valor de x obtido no passo anterior

na (s) equação(ões) que ainda não foi(ram) utilizada(s); segue-se então, para o terceiro passo,

que é isolar o valor de y na equação obtida no segundo passo; e, por fim, o quarto passo, que é

substituir o valor de y na equação obtida no primeiro passo, determinando, dessa forma, o

valor de x. Para explicar esta técnica, Serrasqueiro inicia com um exemplo, no qual é trazida a

resolução detalhada de um sistema que contem três equações e três incógnitas. Após a

realização deste exemplo, Serrasqueiro traz, em um texto em que não aparece nenhum número

ou incógnita, a explicação desta técnica.

Ao analisar o livro, no que diz respeito à organização didática do autor José Adelino

Serrasqueiro, Reis (2010) verificou a semelhança em conduzir o ensino das técnicas de

resolução de equações, desse autor e de livros modernos. Ele ainda ressaltou que essas

semelhanças se caracterizam, grosso modo, pela seguinte sequência: supor um sistema de três

equações e resolvê-lo, a seguir, sistematizar a partir do registro na língua portuguesa e,

finalmente, resolver mais uma tarefa.

Após a análise feita sobre o livro Tratado e Álgebra Elementar, Reis (2010) deu

continuidade ao seu trabalho analisando os PCN e o Guia de Livros Didáticos, com o objetivo

de identificar elementos significativos que contemplassem o processo de ensino e

aprendizagem de sistemas de equações algébricas lineares. Após analise desses documentos, o

autor pode concluir que esses documentos valorizam a utilização de diversas linguagens, a

contextualização das tarefas, a sistematização do conteúdo, a articulação com outras

29

disciplinas, as técnicas aplicadas para resolução das tarefas, a organização do estudo da

álgebra e, por fim, a presença da ideia de cidadania no contexto da Matemática.

Em seguida, Reis (2010) iniciou a analise de sistemas de equações do 1º grau em

livros contemporâneos e, para esta analise, foi escolhido o livro Matemática Para todos – 8º

ano do Ensino Fundamental, de Luiz Marcio Imenes e Marcelo Lellis, publicado em 2006

pela editora Scipione. Reis observou que este livro aponta para uma obra bem estruturada, no

qual os autores lançam mão de diversas formas de linguagem, dentre elas a linguagem

materna e a algébrica. Para Reis (2010), essa articulação é um ponto positivo, pois facilita o

entendimento do conteúdo pelos alunos. Quanto aos momentos de estudo, Reis destacou,

nessa obra, que predominam os momentos de trabalho com a técnica de substituição.

Para finalizar, Reis (2010) destacou alguns elementos que chamaram a atenção. Ao

observar a análise realizada em ambos os livros, de épocas diferentes, Reis constatou que

existem elementos bastante próximos, como, por exemplo, o uso da linguagem algébrica e da

linguagem materna, o que o leva a seguinte conclusão: ambas as linguagens acima citadas

eram mais valorizadas no livro utilizado na Primeira Republica do que no livro

contemporâneo, tendo em vista as ferramentas disponíveis naquela época, uma vez que, como

ele destaca, as outras linguagens, como a foto ou até mesmo o desenho, não estavam

disponíveis naquele período. Fazendo a comparação entre os livros, Reis (2010) concluiu que

ambos têm o mesmo valor e a mesma importância, se consideradas as suas épocas.

Visto que algumas dessas dissertações citadas analisam livros didáticos e propiciam

informações importantes para o ensino de Álgebra, também organizamos uma análise,

apresentada a seguir.

2.3 A ÁLGEBRA NOS LIVROS DIDÁTICOS DO ENSINO FUNDAMENTAL

Para verificar como os conteúdos “equações”, “sistema de equações” e “inequações”

são tratados em livros didáticos, escolhemos três livros, entre aqueles que são mais escolhidos

pelas escolas do município em que esta pesquisa foi realizada, a saber: “A Conquista da

Matemática – Nova”, de José Ruy Giovanni, Benedito Castrucci, José Ruy Giovanni Jr.,

editado pela FTD, datado de 1998; “Matemática – Ideias e Desafios”, para a 6ª série, de

Iracema Mori e Dulce Satiko Onaga, da editora Saraiva, de 2007; e “Tudo é Matemática – 6ª

série”, de Luiz Roberto Dante, da Editora Ática, de 2008.

• Em Giovanni, Castrucci e Giovanni Jr. (1998), o capítulo sobre equações e

sistemas de equações é constituído de 45 páginas. Tem inicio com o titulo “Estudando as

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Equações”, em que é contada um pouco da história das equações, ressaltando que teve inicio

com o papiro de Rhind. Para começar o conteúdo, os autores trazem um pequeno texto com

explicações sobre o que é uma igualdade, suas propriedades (reflexiva, simétrica e transitiva)

e os princípios de equivalência (aditivo e multiplicativo). Cada um desses itens é explicado

por meio de exemplos, seguidos de uma lista de exercícios, apresentados na seção “Fixação”,

em que são apresentadas algumas igualdades e, a partir destas, o aluno deve responder quais

propriedades ou quais princípios estão sendo aplicados.

Iniciando o conteúdo, os autores partem do subtítulo “O que é uma equação?” e, a

partir deste, trazem o comentário de que, ao resolvermos um problema no qual precisamos

encontrar o valor de um número desconhecido, é necessário fazer a transformação da sentença

na forma discursiva para uma sentença em linguagem matemática, utilizando letras e

símbolos, já que o uso de letras para representar os números desconhecidos facilita a

resolução do problema.

Logo em seguida, os autores trazem duas situações escritas na forma discursiva e, a

partir dessa forma, fazendo uso de uma letra, transformam-nas em sentenças escritas na

linguagem matemática. Após estas transformações, os autores respondem a pergunta feita no

subtítulo. São apresentados alguns exemplos, nos quais as sentenças estão escritas na

linguagem matemática e é explicado que cada equação é constituída de dois membros;

também é salientado que nem toda a igualdade é considerada como uma equação e que nem

toda a sentença matemática que contém uma letra é considerada também como uma equação.

Os exemplos são seguidos da seção “Fixação”, que traz uma lista de exercícios, em que os

alunos devem responder se as sentenças matemáticas dadas são equações, justificando suas

respostas; identificar em uma equação qual é o primeiro membro; escrever na linguagem

matemática algumas sentenças que estão escritas na forma discursiva; a partir de alguns

problemas escritos na linguagem discursiva, transformá-los para a linguagem matemática.

Dando continuidade ao assunto “equações”, os autores trazem explicações sobre

Conjunto Universo e Conjunto Solução de uma equação, mostrados por meio de situações. Na

primeira situação, é dado um conjunto formado por alguns elementos (números) e é

perguntado quais, dentre estes elementos, podem ser colocados no lugar da letra x em uma

certa equação, de modo a tornar verdadeiras as igualdades, partindo dos valores encontrados

que satisfazem a equação. São definidos Conjunto Universo e Conjunto Solução. Nas outras

situações, dada uma equação, é perguntado qual número, no conjunto dos números

naturais/inteiros, poderia ser colocado no lugar da letra x para que a equação seja verdadeira.

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No final é explicado que o número que torna a equação verdadeira é chamado de raiz da

equação.

Com base nessas situações, são propostos alguns exemplos, em seguida são mostrados,

por meio de dois exemplos, quais os procedimentos utilizados para verificar se um número

dado é raiz ou não de uma equação. Após, é proposta a seção “Fixação”, formada por

exercícios nos quais os alunos devem determinar o conjunto solução de cada equação

proposta e verificar se, dado um número, este é raiz de uma determinada equação.

Para ensinar o conteúdo “equações equivalentes”, os autores partem da ideia de que

um número pode ser representado de diferentes formas e que este fato pode também ocorrer

com as equações; são expostos dois exemplos em que, a partir de uma equação, são

encontradas outras duas equivalente. Após os exemplos, os autores apresentam a definição de

equações equivalentes. Para explicar que a partir de uma equação dada pode-se escrever outra,

equivalente à primeira, utilizando os princípios de equivalência, os autores fazem uso de

exemplos que envolvem uma balança de dois pratos. Após explicarem os princípios de

equivalências, são exibidos outros exemplos nos quais, para encontrar equações equivalentes,

é necessário utilizar os princípios aditivo e multiplicativo. Resolvidos os exemplos, é

apresentada uma lista de exercícios, nos quais os alunos devem, usando os princípios de

equivalência, escrever uma equação na forma mais simples, equivalente a cada uma das

equações dadas, e verificar se, dados pares de equações, estas são equivalentes.

Após explicarem os conteúdos de igualdade, equações, conjunto universo, conjunto

solução e equações equivalentes, os autores dão inicio ao conteúdo “Equações do 1º Grau

com uma Incógnita”, introduzido por meio de exemplos, nos quais as equações aparecem

escritas na forma ax = b. Para explicar como são resolvidas essas equações, os autores fazem

uso primeiramente da definição do que é resolver uma equação e, logo após, trazem oito

exemplos sobre como resolver uma equação. Em cada um dos exemplos, é dada uma equação

e explicado qual dos princípios de equivalência deve ser utilizado em primeiro lugar. Ao lado

de cada resolução de equação por meio dos princípios aditivo ou multiplicativo, é ensinado

um modo prático de como resolver estas mesmas equações, aplicando os princípios de

equivalências, porém sem que eles apareçam na resolução.

Convém destacar que os exemplos trazidos pelos autores são constituídos das

equações mais simples, passando pelas equações que contém parênteses e pelas que contém

denominadores, para depois ser exibida uma lista de exercícios em que, primeiramente, é

proposta a resolução das equações mais simples, depois, das equações com parênteses, para só

em outro exercício ser proposta a resolução de equações com frações algébricas. Observa-se

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que, em todos os exercícios contidos nesta lista, as equações são apresentadas com a

utilização de símbolos matemáticos.

Feitos os exercícios, o assunto “resolução de equações” é encerrado e é proposto o

conteúdo “Usando Equações na Resolução de Problemas”; este é ensinado por meio de

exemplos envolvendo problemas, destacando que a resolução de cada equação é apresentada

pelo método prático ensinado anteriormente. Ao iniciar o conteúdo, os autores salientam os

passos que devem ser seguidos para resolução de um problema; após os exemplos, é

apresentada uma lista de exercícios com alguns problemas, escritos na linguagem discursiva.

Ainda dentro do assunto “equações”, os autores apresentam o conteúdo “Aplicação

das Equações às Fórmulas Matemáticas”, sendo propostos alguns exemplos em que são

utilizadas as fórmulas envolvendo perímetro, área e volume de figuras geométricas; a seguir, é

proposta uma lista de exercícios com problemas envolvendo o cálculo de perímetro, área e o

volume de figuras geométricas.

O conteúdo “sistemas de equações do 1º grau” é trabalhado no capítulo dedicado às

equações, tendo inicio com o conteúdo das equações do 1º grau com duas incógnitas. O

trabalho parte de uma situação problema e, em seguida, há explicação do que são equações do

1º grau com duas incógnitas. Logo após, é explicado, também por meio de exemplos, que

cada equação do 1º grau com duas incógnitas possui infinitas soluções e que cada solução é

formada por um par ordenado. Após, é apresentada uma lista de exercícios com alguns

problemas, para os quais o aluno deve escrever a equação correspondente e, dada uma

equação e alguns pares ordenados, verificar quais são solução da equação.

Dando continuidade ao conteúdo, por meio de uma situação problema, os autores

explicam o que é um sistema de equações e como determinar a solução de um sistema de duas

equações do 1º grau com duas incógnitas. Esta situação é resolvida pelo método da

substituição, cujo nome é apresentado após a resolução. No exemplo seguinte, é dado um

sistema de equações e é pedido que este seja resolvido pelo método trabalhado anteriormente.

O terceiro exemplo é resolvido pelo método da comparação. No decorrer da resolução

são explicados os passos utilizados e, após encontrar a solução, os autores citam o nome do

método. No quarto exemplo, é proposto um sistema e solicitado que seja resolvido pelo novo

método. É a partir desse exemplo que os autores explicam o que significa resolver um sistema

de equações do 1º grau, por um dos dois métodos usados. Logo em seguida, é proposto outro

exemplo, escrito em linguagem discursiva e resolvido pelo método da substituição. Na seção

“Fixação”, são propostos exercícios, alguns escritos em linguagem discursiva, outros na

linguagem matemática.

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O capítulo é encerrado com a seção “Retomando o que aprendeu”, composta por

exercícios sobre equações do 1º grau com duas incógnitas e sistemas de equações do 1º grau.

Os autores também trazem, no final deste capítulo, uma nova seção chamada “Jornais e

Revistas”, constituída de informações oriundas desses meios.

O capítulo “Inequações do 1º grau” é introduzido com uma situação problema, em

que, ao passar da linguagem discursiva para a linguagem matemática, são formadas algumas

sentenças constituídas por um elemento desconhecido e por desigualdades, sendo já

mencionado que estas sentenças recebem o nome de Inequação. São dedicadas 14 páginas ao

assunto e os conteúdos tratados neste capítulo são desigualdade, inequação e inequação do 1º

grau.

No conteúdo desigualdade, são trabalhados exemplos de sentenças matemáticas em

que são utilizados os símbolos ≠, >, <, as propriedades e os princípios de equivalências. Estes

são mostrados utilizando apenas números e o conteúdo é encerrado com a seção “Fixação”,

formada por exercícios, nos quais são dadas desigualdades e é proposto que os alunos

indiquem qual propriedade ou princípio esta sendo utilizado ou apliquem alguma das

propriedades ou princípios nas sentenças e observem o que acontece.

Para enunciar o que são inequações, os autores fazem uso de duas situações: a

primeira, em que apresentam uma comparação dos perímetros de duas figuras geométricas

(retângulo e triangulo) e a segunda, referindo-se a um reservatório totalmente cheio, no qual,

ao retirar uma certa quantia de água, resta uma quantia menor que uma determinada parte de

sua capacidade. Seguido dos exemplos vem a seção “Fixação”, composta por exercícios nos

quais é proposto aos alunos que, dada uma sentença, justifiquem se é uma inequação ou não,

identifiquem primeiro e segundo membro de algumas inequações, escrevam uma inequação

para cada sentença escrita na forma discursiva e para cada situação problema.

O conteúdo das inequações do 1º grau com uma incógnita é iniciado com a definição,

seguida de exemplos; logo após, é explicado qual o significado de resolver uma inequação,

acrescentando que, para resolver uma inequação, é necessário aplicar os princípios de

equivalência das desigualdades, sendo os procedimentos usados na resolução semelhantes aos

aplicados para as equações. Esta explanação é seguida por quatro exemplos, nos quais são

trabalhadas inequações na forma mais simples, envolvendo denominadores ou parênteses;

todos os exemplos estão com suas sentenças escritas na linguagem matemática e são

resolvidos com aplicação dos princípios de equivalências.

Logo após, é proposta uma lista de exercícios, que faz parte da seção “Fixação”; a lista

é constituída de sentenças (inequações) escritas na linguagem simbólica da matemática,

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situações problemas escritas na linguagem discursiva, nos quais é solicitado aos alunos que

determinem a solução das inequações. A lista também é formada por exercícios em que,

dados alguns números e inequações, é pedido que os alunos verifiquem se aqueles números

fazem parte do conjunto solução de cada inequação.

O capítulo traz, ainda, uma seção denominada “Explorando a Álgebra”, na qual é

proposta uma situação que envolve algumas inequações e, a partir das analises feitas, é

solicitada a resposta a um questionário.

Para finalizar o capítulo, os autores trazem as seções “Retomando o que Aprendeu”,

com alguns exercícios de revisão, e “Jornais e Revistas”, que traz informações de uma revista

e, a partir desta, uma situação problema que pode ser resolvida por um sistema de equações

do 1º grau com duas incógnitas.

No ano de 2009, a editora FTD enviou para a escola um material de divulgação de

novos livros, entre os quais uma nova edição de “A Conquista da Matemática”, dos mesmos

autores. No volume correspondente à 6ª série, pode-se observar algumas diferenças quanto à

forma de propor o conteúdo das equações. Em termos de conteúdos, há poucas diferenças

entre as duas edições: na nova, o princípio de equivalência é trabalhado com uso de uma

balança de dois pratos; antes do trabalho com equações, são propostas algumas situações-

problema envolvendo expressões algébricas; o conteúdo relativo às inequações também é

iniciado por uma situação-problema e um questionamento. A diferença entre as edições está

relacionada à apresentação, com figuras coloridas, que não apareciam anteriormente.

• Em Mori e Onaga (2007), as autoras dedicam 35 páginas para o assunto

“equações”. O capítulo tem inicio com algumas informações históricas, em seguida são

apresentadas situações problemas, para que os alunos comecem a ler e compreender a

linguagem dos símbolos matemáticos e das letras. Nesse primeiro contato, é explicado o que

são expressões algébricas, e que estas são constituídas por números e letras. Logo após, é

proposta uma lista de exercícios, que as autoras denominam “Fazendo e Aprendendo”; a lista

é constituída de sentenças matemáticas escritas na linguagem cotidiana, sendo proposto aos

alunos que passem para a linguagem simbólica e vice-versa.

Dando continuidade ao capítulo, é trabalhada a simplificação de expressões algébricas,

por meio de situações problemas, seguida de uma lista de exercícios, com atividades

semelhantes às situações propostas anteriormente. Por meio de situações problemas

envolvendo uma balança de dois pratos, são retomadas as noções de igualdade e os princípios

aditivo e multiplicativo da igualdade.

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Para explicar o que são e como são resolvidas as equações do 1º grau com uma

incógnita, são utilizadas duas situações problemas, nas quais os alunos devem “montar” a

equação e, com a ajuda de uma balança de dois pratos e os princípios de igualdade, devem

encontrar o valor da incógnita, que é chamado de raiz da equação. Na seção “Fazendo e

Aprendendo”, são propostos exercícios, nos quais os alunos devem identificar, entre algumas

sentenças, quais são equações, verificar se um dado número é raiz de uma equação, escrever

equações para cada desenho de uma balança de dois pratos em equilíbrio, transpor algumas

sentenças escritas na linguagem cotidiana para a linguagem simbólica e encontrar a raiz de

algumas equações. Logo após, são trabalhadas equações equivalentes, também explicadas por

meio de situações problemas.

O livro também traz uma seção chamada “Troque Ideias e Resolva”, na qual são

propostos alguns exercícios para conferir a linguagem matemática, pois são apresentadas

algumas sentenças escritas na linguagem cotidiana e é solicitado que sejam transcritas para a

linguagem matemática; em outros exercícios, é proposto que seja encontrada a raiz de

algumas equações.

Para explicar o conteúdo “equações equivalentes”, é proposta uma situação, escrita em

linguagem cotidiana e, a seguir, escrita na forma de equação e resolvida, ressaltando que para

encontrar a raiz da equação é utilizado o princípio da igualdade. Também é proposto um

exercício de aplicação dos princípios e são encontradas algumas equações diferentes da

inicial, mas que possuem a mesma raiz; quando isto acontece, essas equações são chamadas

equações equivalentes. Segue-se a seção “Fazendo e Aprendendo” com alguns exercícios para

que os alunos fixem o conteúdo, resolvendo algumas equações, traduzindo da linguagem

cotidiana para a linguagem matemática.

No que diz respeito à resolução de equações com parênteses, a explicação destas vem

por meio de um exercício resolvido, no qual aparece o desenho de um menino falando que,

para a eliminação dos parênteses, é necessário usar a propriedade distributiva da

multiplicação; com este mesmo exercício, é mencionado que, para resumir o processo de

resolução de uma equação do 1º grau, são utilizados os princípios de equivalência, porém sem

escrevê-los. Finalmente, são propostos alguns exercícios para determinação da raiz de

algumas equações com parênteses. Tendo em vista que as autoras haviam mencionado o fato

de que, antigamente, as equações eram usadas para resolver problemas, elas trazem, ainda,

alguns problemas que são resolvidos por meio das equações.

Também são trabalhadas equações com frações algébricas e mencionado que esse tipo

de equação pode ser resolvido de várias maneiras, sendo que, no livro, é utilizada a mais

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usual, que é a redução de seus termos a um denominador comum; logo após a resolução, é

proposta aos alunos uma lista de exercícios contendo equações com denominadores, nos quais

é solicitada a determinação da raiz de cada equação e a indicação do conjunto numérico ao

qual pertence a raiz.

Para finalizar o capítulo, Mori e Onaga (2007) comentam que, dependendo do que

trata o problema, a sua solução pode ser um número natural, inteiro ou racional. Com base

nisso, são propostos alguns exercícios, nos quais, além de ser solicitado aos alunos que

encontrem a raiz de cada equação, lhes é questionado a qual conjunto essa raiz pertence.

Nestas atividades, havia equações semelhantes aos exercícios resolvidos anteriormente e, em

todas as atividades, a maioria das sentenças já vinha escrita na forma de equações e não na

forma de situações problemas, escritas na linguagem discursiva.

Sobre o assunto “sistema de equações”, o livro de Mori e Onaga (2007) dedica 20

páginas, nas quais as autoras trazem, por meio de algumas situações, a ideia de par ordenado,

representação geométrica de pares ordenados, probabilidade e estatística envolvendo pares

ordenados, sistemas de coordenadas e gráficos de colunas, para só depois dar inicio às

equações do 1º grau com duas variáveis. Estas também são apresentadas por meio de

situações problemas, nas quais os alunos devem, a partir do problema, montar a equação e

substituir valores para x e y, encontrando sentenças que podem ser falsas ou verdadeiras. Essa

situação vem seguida de outros exemplos e da seção “Fazendo e Aprendendo”, formada por

exercícios semelhantes aos exemplos.

Para explicar a resolução de sistemas de equações, Mori e Onaga (2007) consideram

que, para resolver problemas que apresentam duas variáveis, as informações podem ser

indicadas em duas equações do 1º grau com duas variáveis e que estas, juntas, formam um

sistema de equações. Então é proposta uma situação envolvendo sistemas de equações, para

explicar sua resolução. O método utilizado é o da substituição.

Resolvida a situação, é proposta a seção “Explore o Texto”, com alguma perguntas

relacionadas à situação problema e a sua resolução, seguida da seção “Fazendo e

Aprendendo”, com alguns exercícios sobre sistemas de equações, nos quais a maioria já

aparece em linguagem matemática.

O capítulo também traz a resolução de sistemas de equações com o método da

comparação, explicado também por meio de uma situação problema, seguido da seção

“Fazendo e Aprendendo”, na qual a maioria dos exercícios são apresentados na forma de

problemas escritos em linguagem cotidiana. Em seguida, é proposto um novo exercício

pertencente a seção “Problema Resolvido”, no qual a sentença matemática esta escrita na

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linguagem cotidiana, seguido de mais alguns exercícios semelhantes. As autoras encerram o

capítulo com a seção “Aprendendo um Pouco Mais”, na qual são propostos alguns problemas

que devem ser solucionados por meio de sistemas de equações do 1º grau. O livro de Mori e

Onaga (2007) não traz nenhum capítulo sobre o assunto inequações do 1º grau.

• Em Dante (2008), são dedicadas vinte e seis páginas para o assunto equações.

O capítulo tem inicio com duas situações-problemas nas quais é dado o problema e é feita

uma pergunta e, para responder a este pergunta, é necessário fazer uso de alguma letra. Em

seguida, por meio de uma situação, é explicado o que é expressão algébrica e, a partir desta,

como encontrar o seu valor numérico.

Na sequência, o autor propõe duas novas situações, em que os alunos devem encontrar

números que são desconhecidos; a principio, é deixada ao aluno a resolução e, em seguida,

Dante (2008) traz uma sugestão de como resolver essas situações; nessa sugestão, o autor

utiliza uma letra para representar os números desconhecidos em cada situação e, com o

objetivo de encontrar o seu valor, faz uso das operações inversas. Logo após, são apresentadas

algumas igualdades que contém uma incógnita e é solicitado aos alunos que descubram o

valor da incógnita em cada uma das igualdades.

Com base nas situações propostas anteriormente, o autor traz uma definição do que é

equação, juntamente com mais alguns exemplos em que são indicadas as equações e as

expressões que não se adéquam à definição. Também é proposto um exercício, no qual o

aluno deve separar as sentenças que não são equações, as que são equações com mais de uma

incógnita e as que são equações com uma incógnita.

Por meio de exemplos, é explicada uma maneira de encontrar a solução ou a raiz de

uma equação, por tentativa, em que um número racional qualquer substitui a incógnita e o

aluno obtém uma sentença, verdadeira ou falsa. O exemplo é seguido de um exercício, em que

é dado um número racional e uma equação e o autor pergunta se o número é solução da

equação dada.

Na sequência, Dante (2008) trabalha com a resolução de equações simples, que são

resolvidas mentalmente; são trabalhados dois exemplos e, em seguida, são propostos alguns

exercícios, semelhantes, também para resolver mentalmente.

Para mostrar que nem todas as equações podem ser resolvidas mentalmente, o autor

retoma alguns assuntos estudados na série anterior, item que ele apresenta com o título de

“Pré-requisito para resolução de equações”, subdividido em outros três. No primeiro, Dante

(2008) relembra as propriedades da adição e da multiplicação; são dadas algumas sentenças

matemáticas e o nome de cada propriedade, o aluno deve associar cada propriedade a alguma

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das sentenças. Em seguida, é proposto um exercício no qual o aluno deve aplicar a

propriedade distributiva para relacionar cada sentença com sua forma correspondente.

O segundo conteúdo a ser relembrado é relativo às operações inversas; são dadas

algumas deduções e é solicitado que o aluno copie em seu caderno apenas as deduções

corretas.

Em seguida, são retomadas as propriedades da igualdade, em que são apresentadas

algumas afirmações envolvendo igualdades e o aluno deve analisar cada uma e indicar qual

propriedade está sendo aplicada. O autor encerra essa revisão de conteúdos com um exercício,

no qual o aluno deve aplicar alguns dos pré-requisitos relembrados e completar algumas

sentenças matemáticas.

Dante (2008) também destaca que, para resolver problemas utilizando equações, é

importante saber representar expressões que contenham letras; então, por meio de alguns

exemplos e exercícios, trabalha com a transformação de sentenças escritas na linguagem

cotidiana para a linguagem simbólica da Matemática.

Somente então é que o autor apresenta a definição do que é uma equação do 1º grau

com uma incógnita, trazendo, na sequência, alguns exemplos, distinguindo sentenças que são

equações do 1º grau com uma incógnita daquelas que não o são. Os exemplos são seguidos de

um exercício, em que são dadas algumas equação do 1º grau com uma incógnita e é pedido

ao aluno que as escreva na forma reduzida ax = b.

Na continuação, Dante (2008) trabalha com a resolução das equação do 1º grau com

uma incógnita; é explicada a resolução com uso das operações inversas, sendo apresentados

dois exemplos: duas sentenças escritas na linguagem cotidiana e transformadas para a

linguagem simbólica, seguidas da resolução. Nesses exemplos, é proposto ao aluno que

analise cada situação e, com ajuda do colega, responda quais foram as operações inversas

utilizadas na resolução de cada equação. Com esses mesmos exemplos, é solicitado ao aluno

que verifique se a resposta encontrada em cada equação é sua solução. Os exemplos são

seguidos de um exercício, no qual o aluno deve resolver algumas equações aplicando as

operações inversas. O autor também menciona, por meio de dois exemplos, que situações-

problemas podem ser resolvidas utilizando equações.

Ainda para explicar a resolução de equação do 1º grau com uma incógnita, Dante

(2008) faz uso de uma balança de dois pratos, com algumas “latinhas” e pesos em cada prato

e é perguntado qual o peso de cada latinha. Para mostrar a solução dessa situação-problema, o

autor divide uma folha do livro em duas partes; na primeira página, resolve o problema,

retirando pesos iguais e o mesmo número de latinhas de cada um dos pratos. Faz o processo

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passo a passo, explicando que, se retirarmos a mesma quantidade de cada lado, a balança

continuará em equilíbrio. Do outro lado da página, o autor monta a equação correspondente à

situação proposta e, aplicando passo a passo os princípios aditivo e multiplicativo, encontra a

solução da equação.

A seguir, são trabalhados outros três exemplos, que se apresentam resolvidos, e é

pedido ao aluno que analise cada um, justificando qual principio ( aditivo / multiplicativo ) foi

utilizado em cada “passagem”. Os exemplos são seguidos de alguns exercícios, nos quais,

aplicando os princípios de igualdade, os alunos devem resolver algumas equações, escritas na

linguagem simbólica e na forma de situação-problema.

O autor também traz, por meio de exemplos, a resolução de equações que contêm

frações; estes exemplos são resolvidos de duas maneiras, a primeira, por meio do princípio

multiplicativo, seguido da aplicação da propriedade distributiva e a segunda maneira,

chamada de processo prático, utilizando a redução de frações ao mesmo denominador. Logo

após, é proposta a resolução de algumas equações com denominadores, que se apresentam na

linguagem simbólica e na forma de situações-problemas, ficando a critério de cada aluno qual

das duas maneiras, apresentadas anteriormente, utilizar na resolução das equações.

Em seguida, é trabalhada a resolução de equações com parênteses; a explicação sobre

esse tipo de equação dá-se por meio da resolução de dois exemplos, nos quais o autor salienta

o uso da propriedade distributiva. Dante (2008) ainda traz um exemplo de equações com

parênteses e com frações e, na sequência, são proposto alguns exercícios nos quais o aluno

deve resolver equações semelhantes aos exemplos dados, apresentadas tanto na forma de

situação-problema como na forma simbólica.

Dando continuidade ao conteúdo das equações do 1º grau com uma incógnita, é

trabalhada a resolução de problemas por meio das equações. Nesse tópico, Dante (2008)

destaca algumas “dicas” importantes para equacionar e resolver cada problema. Após, é

proposta uma lista de exercícios, com aproximadamente vinte situações, que o aluno deve

resolver por meio dos processos de solução de equação do 1º grau com uma incógnita. Nesse

caso, o aluno, além de estar trabalhando com a Álgebra, também está trabalhando com a

Geometria, pois a maioria dos exercícios envolvem esse último conteúdo.

Dante (2008) ainda trabalha com aplicação de equação do 1º grau com uma incógnita,

destacando a geratriz de uma dízima periódica, por meio de exemplos e exercícios. O autor

relembra o que são dizimas periódicas e como utilizar uma equação para transformá-la em

uma fração.

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Para finalizar o conteúdo, o autor traz mais alguns problemas que são resolvidos com a

ajuda das equações, apresentando situações que envolvem Geometria, porcentagem, gráficos e

temperatura. O capítulo encerra com uma lista de exercícios, chamada pelo autor de “revisão

cumulativa”; nesta, são propostos alguns exercícios que aparecem em forma de problemas e

são resolvidos por meio das equações. A lista é seguida de uma outra seção chamada “ler,

pensar e divertir-se”, na qual Dante (2008) traz um pouco da história das equações e uma

situação-problema para que o estudante pense e resolva.

Os assuntos “sistema de equações do 1º grau” e “inequações” são trabalhados por

Dante (2008) em um mesmo capítulo, sendo dedicadas nove páginas para o assunto sistemas

de equações e onze páginas para as inequações. O autor inicia propondo duas situações-

problema relacionadas aos assuntos estudados.

Antes de trabalhar com os sistemas de equações, o autor trabalha com os seguintes

conteúdos: equações com duas incógnitas, equações do 1º grau com duas incógnitas e

determinação de soluções de equações do 1º grau com duas incógnitas.

O conteúdo “equações com duas incógnitas” é explicado pelo autor por meio de duas

situações-problema, nas quais já é dada uma idéia do que são pares ordenados. Essas

situações são seguidas de atividades (questionamentos), que são resolvidas com base nas

informações das situações-problema. Já o conteúdo “equações do 1º grau com duas

incógnitas” é trabalhado a partir das equações obtidas nas situações anteriores, seguido da

definição do que é uma equação do 1º grau com duas incógnitas. Esta, por sua vez, é seguida

de outros exemplos de equações, nos quais Dante (2008) explica a distinção entre equação e

expressão. Logo em seguida, são propostos alguns exercícios envolvendo os dois conteúdos

trabalhados anteriormente, em que o aluno deve: identificar as equações do 1º grau com duas

incógnitas e reduzi-las à forma geral da definição dada; traduzir situações envolvendo

equações com duas incógnitas para a linguagem simbólica; dada uma equação e alguns pares

ordenados, verificar se eles são ou não solução da equação.

Para explicar como se determina a solução de equações com duas incógnitas, Dante

(2008) faz uso de um exemplo, uma equação do tipo ax + by = c, na qual, atribuindo um valor

qualquer (número racional) a uma das incógnitas, pode-se determinar o valor da outra,

resolvendo a equação com a incógnita obtida anteriormente. O autor atribui valor tanto para x

como para y. O exemplo é seguido de um exercício, semelhante ao exemplo. Em seguida,

Dante (2008) traz a seção “trocando ideias”, na qual é proposto aos alunos que conversem

entre si e respondam a seguinte pergunta: Quantas soluções possui uma equação do 1º grau

com duas incógnitas? Essa proposta é seguida de uma lista de exercícios, nos quais,

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basicamente, dada uma equação e um dos valores de uma das incógnitas, o aluno deve

encontrar o valor da outra incógnita. Dentre os exercícios da lista, o autor trabalha com a parte

gráfica das equações, dando um exemplo no qual o aluno deve se guiar para resolver os

exercícios seguintes, envolvendo construção de retas.

Destaca-se também que, em um desses exercícios, são dadas duas equações e é pedido

ao aluno que, em um mesmo plano cartesiano, construa o gráfico de cada equação,

observando qual é o ponto de cruzamento das duas retas.

O autor ainda traz a seção “desafio”, na qual são dadas duas equações e é proposto ao

aluno descobrir qual é o par ordenado que é, ao mesmo tempo, solução das equações.

Observa-se que, sem o aluno saber o que é um sistema de equações, por meio da parte gráfica

e do desafio proposto, já esta resolvendo um sistema de equações do 1º grau com duas

incógnitas.

Para abordar sistemas de equações do 1º grau com duas incógnitas, o autor retoma a

situação-problema utilizada na explicação do que são equações com duas incógnitas,

inserindo uma nova informação. A partir da nova situação, são propostos alguns

questionamentos, seguidos da explicação do que é um sistema de equações do 1º grau com

duas incógnitas e o que significa resolvê-lo. Em seguida, Dante (2008) trabalha com a

resolução de sistemas de equações do 1º grau com duas incógnitas por meio do cálculo

mental; são dados alguns sistemas e é proposto que o aluno determine mentalmente as

soluções de cada um destes, identificando quais dos sistemas são de equações do 1º grau com

duas incógnitas.

Na resolução de sistemas de equações do 1º grau com duas incógnitas, o autor trabalha

apenas com o método da substituição; este é explicado por meio de três exemplos, sendo que

no primeiro é explicada, passo a passo, a resolução. Os exemplos são seguidos de alguns

exercícios, nos quais é proposta a resolução de sistemas de equações do 1º grau com duas

incógnitas, utilizando o método da substituição. Dante (2008) também trabalha com a

resolução de situações-problemas por meio de sistemas. Esse trabalho de desenvolve a partir

de um exemplo (problema), seguido de sua resolução; com base no exemplo, é proposta uma

lista de exercícios.

No que diz respeito ao conteúdo das inequações, o autor inicia abordando a

desigualdade e, partindo dessa ideia, começa o trabalho. Após definir inequação, ele faz uso

de exemplos de resolução de inequações, por meio da substituição da incógnita por alguns

números racionais e da verificação da veracidade das sentenças obtidas; o exemplo é seguido

de alguns exercícios.

42

Por meio de exercícios, apenas com números racionais, Dante (2008) trabalha os

princípios aditivo e multiplicativo das desigualdades dos tipos > ( maior ) e < ( menor ).

Para dar início ao conteúdo das inequações do 1º grau com uma incógnita, o autor traz

primeiramente a definição, seguida de exemplos de sentenças consideradas inequações desse

tipo. Em seguida, Dante (2008) trabalha com a resolução de inequações do 1º grau com uma

incógnita, destacando que o processo de resolução é semelhante ao das equações do 1º grau

com uma incógnita, porém, é preciso ter muita atenção ao aplicar o princípio multiplicativo

das desigualdades. A resolução é trabalhada por meio de dois exemplos, seguidos de uma lista

de exercícios. O autor também traz o conteúdo de sistemas de inequações do 1º grau com duas

incógnitas, trabalhado a partir de exemplos seguidos de exercícios.

Ao encerrar os conteúdos desse capítulo, Dante (2008) propõe uma lista de exercícios

envolvendo os conteúdos trabalhados, juntamente com equações trabalhadas no capítulo

anterior. Para finalizar o capítulo, o autor traz a seção “revisão cumulativa”, com exercícios

envolvendo, além da Álgebra, a Geometria e a porcentagem.

A revisão é seguida da seção “para ler, pensar e divirtir-se”, na qual Dante (2008)

conta uma história sobre Gauss e o domingo de Páscoa, juntamente com um exercício de

raciocínio lógico e um jogo envolvendo as inequações do 1º grau, no qual o aluno irá aplicar a

resolução de inequações do 1º grau com uma incógnita.

Após a análise dos três livros, podemos comparar as obras e tecer considerações sobre

o que consideramos mais adequado para o ensino desses conteúdos em uma turma de 6ª série

que tenha dificuldades, como as que notamos nos nossos alunos.

Foi observada uma grande diferença quanto à metodologia empregada na construção

das explicações dos conteúdos analisados nesta pesquisa e que são trabalhados nesses livros.

No livro “Ideias e Desafios”, de Mori e Onaga (2007), verificou-se que as explicações dos

conteúdos ocorrem por meio de uma mescla entre situações-problema, que propiciam a

reflexão, a discussão e a sua resolução, de forma a desenvolver, no aluno, o ponto de partida

para a construção dos conceitos; há pequenos textos, escritos em linguagem simples, clara e

acessível.

Após cada texto, são apresentadas questões que ajudam o aluno a compreender as

ideias envolvidas; as atividades têm caráter dinâmico, pois envolvem uma troca de ideias,

estabelecendo conexões entre o tema abordado e o cotidiano dos alunos. Além disso, na seção

“fazendo e aprendendo”, são propostos exercícios para a fixação da teoria aprendida,

apresentados na linguagem simbólica da Matemática e na linguagem escrita, por meio de

problemas. Essa seção é seguida de outra em que exercícios e problemas ajudam o aluno a

43

ampliar seu conhecimento referente ao conteúdo estudado. O livro ainda traz outras seções

que auxiliam o estudante a desenvolver o pensamento algébrico. No entanto, verifica-se que

este livro não traz um embasamento teórico quanto ao conteúdo “inequações do 1º grau com

uma incógnita”, nem em relação à história das equações. Também pode-se destacar o fato de

que as atividades propostas possuem apenas caráter algébrico, levando o aluno a ter somente

essa visão, pois não é trabalhado o enfoque geométrico.

Já no livro “A conquista da Matemática” de Giovanni, Castrucci e Giovanni Jr.

(1998; 2009), observa-se que, primeiramente, é desenvolvida a parte histórica, seguida do

conteúdo. As explicações dos conteúdos são dadas por meio de textos, com linguagem de

fácil entendimento, e exemplos que se apresentam, na maioria das vezes, escritos na

linguagem simbólica da Matemática. O aluno deve exercitar, em exercícios, o que foi

trabalhado nos exemplos. No que diz respeito à resolução de problemas, destaca-se que essas

situações, além de desenvolverem o raciocínio algébrico, desenvolvem o geométrico, tendo

em vista que, na maioria das situações, os problemas abordam tópicos de geometria. O livro

ainda traz exercícios extras, nos quais o aluno pode complementar sua aprendizagem

revisando o que foi aprendido em cada capítulo.

O livro “Tudo é Matemática” (DANTE, 2008) traz um número reduzido de

explicações, dando prioridade à atividade do aluno, estimulando-o à reflexão. Os conteúdos

são trabalhados por meio de situações-problema, que primeiramente abordam os conceitos

matemáticos de forma intuitiva, antes da apresentação de símbolos; são situações que levam o

aluno a ver a Matemática como um assunto presente em praticamente tudo e que é aplicada

para resolver problemas do mundo real, bem como situações (desafios, jogos, problemas

curiosos) que estimulam o estudante a pensar, raciocinar, relacionar ideias e a realizar

descobertas, desenvolvendo o pensamento algébrico.

A parte histórica é apresentada no final do capítulo, trazendo um breve resumo da

história da equações e métodos de resolução. Em relação aos desafios propostos no livro,

estes ajudam o aluno a fixar o conteúdo e a desenvolver seu raciocínio lógico. O livro ainda

traz, como auxilio, o caderno de atividades extras, que complementam o conteúdo, trazendo

exercícios diversificados.

Para Damasco (2008), o livro didático deve ser considerado como um recurso a mais

para a disposição do professor, para a “transmissão” do conhecimento, no sentido do saber e

saber fazer, devendo apresentar exercícios diversificados, que desenvolvam habilidades

lógicas na resolução de situações-problema, com o intuito de despertar no aluno um raciocínio

rápido para resolver problemas do cotidiano. Tanto os conteúdos como os exercícios e as

44

explicações são necessários para a pesquisa dos alunos, pois facilitam o ensino e

aprendizagem e, em alguns casos, podem também ser aproveitados pelos pais que auxiliam

seus filhos nos conteúdos em estudo.

Após esta analise, constata-se que os três livros analisados têm muitas qualidades e

podem ser usados; a escolha de qual deles empregar como livro-texto deve ser objeto de

discussão entre os professores e direção da escola. É importante que a metodologia proposta

leve o aluno a fazer descobertas, a desenvolver o raciocínio. O livro didático não é o único

recurso do professor, mas auxilia o ensino, por meio de sugestões, de situações-problema, de

contextualizações. A partir das reflexões da equipe docente, o livro escolhido deve ser usado e

as dúvidas sobre sua utilização devem ser compartilhadas. A análise dos livros permitiu,

também, ver que o tema escolhido para esta pesquisa é abordado nos livros didáticos

sugeridos para a 6ª série e que os conteúdos são desenvolvidos seguindo a sequência que nos

propusemos a aplicar no trabalho. Essa sequência foi decidida conforme a proposta

pedagógica da escola em questão.

45

3 METODOLOGIA DA PESQUISA

Na realização desta pesquisa, empregamos uma abordagem qualitativa, do tipo

naturalista ou de campo (FIORENTINI; LORENZATO, 2006), visto que os dados foram

coletados diretamente no campo de trabalho, ou seja, nas aulas de Matemática nas quais

foram usados os jogos.

3.1 INSTRUMENTOS DE PESQUISA

O presente projeto teve como instrumentos de pesquisa um pré-teste e um diário de

campo, para anotação das observações das atividades desenvolvidas pelos alunos durante a

aplicação da intervenção de ensino.

O diário de campo é uma maneira de documentar o processo de investigação que está

sendo desenvolvido. Conforme Fiorentini e Lorenzato (2006, p. 119), é por esse instrumento

de coleta de dados que o pesquisador registra observações de fenômenos, faz descrições de

pessoas e cenários, descreve episódios ou retrata diálogos. O relato deve ser feito o mais

próximo possível do momento da observação, para que os detalhes não sejam perdidos.

Para Santos (2005), a análise das observações feitas na pesquisa e dos seus registros

ajuda a identificar e relacionar os diferentes elementos que as configuram e suscitar uma série

de perguntas problematizadoras, que podem ocasionar transformações, tanto na prática

docente do professor como na qualidade das observações e dos registros.

O diário de campo é considerado uma forma rica de informação, apesar de algumas

críticas que sofre, por ser julgado muito subjetivo. Feito um roteiro para a observação de

campo, no qual constam dia, hora, local e período da observação, as reflexões e comentários

do observador devem ficar explicitados no diário. Este instrumento de coleta de informações

complementa outros, tais como gravação em áudio ou vídeo, coleta de documentos

produzidos pelos alunos, questionários e entrevistas.

O pré-teste pode ser considerado um tipo de questionário que, segundo Fiorentini e

Lorenzato (2006), é um instrumento tradicional de coleta de dados e pode ter questões

fechadas, abertas ou mistas. No caso desta pesquisa, o pré-teste teve questões abertas de

Matemática, para que fosse possível analisar o desenvolvimento feito pelo aluno.

46

O pré-teste tem como objetivo diagnosticar o que os alunos sabem a respeito dos

conteúdos abordados. É importante destacar que os estudantes já tinham estudado esses

conteúdos antes do inicio da pesquisa, por meio de aulas sob abordagem tradicional, com

explicações da professora-pesquisadora e pela resolução de exercício propostos em livros

didáticos.

3.2 PARTICIPANTES DA PESQUISA

O estudo foi desenvolvido na Escola Municipal de Ensino Fundamental Olga Nunes da

Silveira, localizada no município de Quevedos, Rio Grande do Sul. Os sujeitos da pesquisa

foram 24 alunos da 6ª série, do turno da manhã, com idade média de 12 anos. A escolha dessa

série deve-se ao fato de ser a série na qual é estudada a resolução de problemas algébricos. A

pesquisadora foi a professora de Matemática da turma e esse fato, ainda que traga algumas

limitações para a análise dos resultados da pesquisa, está de acordo com a proposta de um

mestrado profissionalizante, em que os alunos mestrandos são estimulados a desenvolverem

as investigações em suas salas de aula.

3.3 PROCEDIMENTOS PARA APLICAÇÃO E ANÁLISE DOS DADOS

As atividades descritas nesta pesquisa foram realizadas conforme as seguintes etapas:

a) trabalho com o conteúdo “Equações do 1° grau com uma incógnita”;

b) aplicação do pré-teste;

c) aplicação do jogo “Vira e Confere”;

d) trabalho com o conteúdo “Sistemas de Equações do 1° grau com duas incógnitas”;

e) aplicação do jogo “Quebra-cabeça Triangular”;

f) trabalho com o conteúdo “Inequações do 1° grau com uma incógnita”;

g) aplicação do jogo “Quarteto das Equações”.

A análise dos dados, obtidos a partir das atividades desenvolvidas pelos alunos, foi

feita conforme as seguintes etapas:

a) para avaliar as respostas ao teste, foram inicialmente definidas as categorias de

respostas: corretas, parcialmente corretas e incorretas. A classificação das resoluções

das questões baseou-se nos seguintes critérios: uma resposta é considerada correta se o

aluno executou procedimentos que atendem às definições e propriedades das

47

operações com racionais, ensinadas no Ensino Fundamental. Uma resposta é

considerada parcialmente correta se as estratégias de resolução são encaminhadas de

forma adequada, mas algum(ns) procedimento(s) executado(s) estão em desacordo

com as definições ou propriedades. Uma resposta é considerada incorreta se

estratégias e procedimentos são inadequados.

b) para analisar as observações das atividades desenvolvidas pelos alunos durante a

aplicação dos jogos, após cada aula, foram registrados, no diário de campo, os

comportamentos dos alunos nos trabalhos individuais ou em duplas. Sempre que

possível, as respostas foram comparadas com aquelas que já haviam sido apresentadas

durante a realização do teste, para verificar se os erros, efetivamente, não se repetiram.

48

4 APLICAÇÃO DO PRÉ-TESTE E ANÁLISE DAS RESPOSTAS

No dia da realização do pré-teste, estavam presentes, na sala de aula, 17 alunos.

Explicamos do que se tratava o trabalho, a sua importância para esta pesquisa e que, para eles,

seria um trabalho avaliativo, individual e sem consulta ao material. Serviria para que a

professora detectasse quais dificuldades os alunos apresentavam e suas dúvidas, para que nas

próximas atividades pudessem ser sanadas.

O pré-teste foi composto por 12 equações do 1º grau, divididas em grupos, com as

quais pretendíamos analisar os procedimentos utilizados pelos alunos ao resolvê-las. A partir

de dificuldades ou erros já encontrados em experiências de sala de aula da pesquisadora, bem

como de ideias apresentadas em Freitas (2002), propusemos os tipos de equação a seguir

indicados.

• Equações do tipo bax = , que selecionamos com o intuito de verificar as

seguintes possibilidades de desenvolvimento:

a) se, ao utilizar o método da transposição de termos, os alunos “passam” o coeficiente

de x para o segundo membro, dividindo o segundo membro;

b) se, ao utilizar o método da transposição de termos, os alunos trocam o sinal do

coeficiente de x.

As equações desse primeiro tipo, utilizadas no instrumento, foram1

2) 1248 =x 4) 10535 −=x

• Equações do tipo cbax =+ ou caxb =+ , com as quais pretendemos

observar:

c) se há dificuldades em trabalhar com termo independente negativo;

d) se os alunos operam o termo independente com o coeficiente de x.

As equações escolhidas foram:

1) 367 =−x 3) 710 =+ x 11) 367 =+x

• Equações do tipo dcxbax ±=± , com as quais pretendemos entender como os

alunos:

e) efetuam as operações entre os termos independentes e os termos em x;

f) transpõem os termos independentes;

1 A numeração indicada é aquela com que a equação foi apresentada no teste.

49

g) procedem para isolar a incógnita x.

As equações escolhidas para esta finalidade foram:

5) 7423 −=− xx 9) 7423 −=− xx

• Escolhemos uma equação do tipo edxcxbax ±±=± para verificar:

h) se os alunos optam pela escolha do membro em que ficará a incógnita, como

um facilitador da resolução.

A equação escolhida com esta finalidade foi:

6) 22345 +−=+ xxx

• Nas equações do tipo ( ) ( ) gfexdcaxb =+++ ou edcxbax =+± )(

pretendemos observar:

i) se alunos aplicam a propriedade distributiva da multiplicação.

As equações selecionadas foram:

8) ( ) ( ) 01452 =−+− xx 12) ( ) 152239 =+− xx

• A escolha por uma equação do tipo fe

dxc

b

ax±=± deu-se para

observarmos:

j) se os alunos reduzem os denominadores a um denominador comum,

determinando o mínimo múltiplo comum entre eles.

Escolhemos a seguinte equação para este fim:

7) 52

74

+=+xx

• Ocorreu a escolha de uma equação do tipo j

ihxg

f

exd

b

cax −±=

±±

±

para verificarmos:

k) se os alunos aplicam todos os procedimentos utilizados nas outras

equações para a resolução desta.

A equação escolhida foi:

10) 3

121

2

5

2

2 −+=

−−

+ xxx

Durante a realização do pré-teste, os alunos não pediram explicações em relação à

resolução das equações, mas em relação aos cálculos com números inteiros, mostrando

dificuldades quanto às operações elementares.

50

Após a correção do pré-teste, construímos os seguintes quadros, nos quais foram

relacionados o número de soluções corretas, parcialmente corretas, incorretas e em branco,

para cada equação:

Soluções das equações

1 2 3

4 5 6

N % N % N % N % N % N %

Correta 7 41 5 29 8 47 8 47 9 53 9 53 Parcialmente Correta

1 6 5 29 3 18 1 6 3 18 5 29

Incorreta 8 47 6 35 4 24 7 41 5 29 3 18 Não respondeu

1 6 1 6 2 12 1 6 0 0 0 0

TOTAL 17 100 17 100 17 100 17 100 17 100 17 100

Quadro 1 – Distribuição das soluções às equações de 1 a 6

Soluções das equações

7 8 9

10 11 12

N % N % N % N % N % N %

Correta 4 24 7 41 8 47 3 18 8 47 2 12 Parcialmente Correta

6 35 3 18 4 24 7 41 0 0 5 29

Incorreta 6 35 5 29 5 29 3 18 5 29 7 41 Não respondeu

1 6 2 12 0 0 4 24 4 24 3 18

TOTAL 17 100 17 100 17 100 17 100 17 100 17 100

Quadro 2 – Distribuição das soluções das equações de 7 a 12

Observamos que:

• Na equação 2, do tipo bax = , o número de respostas incorretas foi maior que o

número de corretas; já na equação 4, que é do mesmo tipo que a 2, o número de acertos foi

maior que o número de erros.

A maior parte dos erros cometidos na resolução da equação 2 foi relacionada ao fato

de passar o coeficiente de x para o segundo membro com sinal negativo, que mostra não

terem sido atendidos os princípios aditivo e multiplicativo da igualdade. Um exemplo pode

ser visto na Figura 1:

51

Figura 1 – Exemplo de resolução da equação 2

Em relação às equações do tipo cbax =+ ou caxb =+ (equações 1, 3 e 11),

observamos que o número de soluções corretas para as equações 3 e 11 é o mesmo. Já o

número de erros nas resoluções da questão 1 é maior do que o número de erros nas duas

outras. No entanto, todas as três equações são do mesmo tipo, mostrando que existem

detalhes, em cada equação, que geram maiores dificuldades. Nesse caso, consideramos que o

sinal negativo, no primeiro membro da equação 1, pode ter dificultado sua solução pelos

estudantes. Essa hipótese pode ser analisada em outra pesquisa, que aprofunde,

especificamente, a resolução desse tipo de equação.

Quanto às resoluções das questões de número 5, 6 e 9, a maior parte dos erros está

relacionada ao fato de, na transposição de um termo em x do segundo membro para o

primeiro, não ter sido trocado o sinal do coeficiente de x, como podemos observar na solução

apresentada a seguir, na Figura 2. Destacamos, também, nesse exemplo, que a passagem do

número 2, do lado esquerdo para o direito, foi efetuada corretamente, mas a troca de membro

de 4x não atendeu ao princípio aditivo da igualdade. É interessante notar que, apesar de

serem iguais as equações 5 e 9, houve diferenças no número de soluções corretas e

parcialmente corretas.

52

Figura 2- Exemplo de resolução da equação 5

Na resolução da equação 7, que é do tipo fe

dxc

b

ax±=± , dentre os erros cometidos

destacam-se a inobservância da troca de sinal de algum termo ao passá-lo de um membro para

o outro da equação, a cópia errada de números, bem como a forma como os alunos tentaram

eliminar os denominadores, como podemos ver nas soluções das Figuras 3 e 4, a seguir

indicadas.

53

Figura 3 – Exemplo de resolução da equação 7

54

Figura 4 – Outro exemplo de resolução da equação 7

55

Quanto às resoluções das equações 8 e 12, do tipo ( ) ( ) gfexdcaxb =+++ ou

,)( edcxbax =+± apesar de serem do mesmo tipo, verificamos que o número de acertos na

resolução da equação 8 é maior do que na resolução da 12. Em termos de erros cometidos, a

maior parte deles está relacionada à aplicação equivocada da propriedade distributiva da

multiplicação, como podemos ver na solução representada na Figura 5:

Figura 5 – Exemplo de resolução da equação 12

Na resolução da equação 10, do tipo j

ihxg

f

exd

b

cax −±=

±±

±, apenas três alunos

erraram, a maioria deles acertou total ou parcialmente. Essa equação envolvia todos os

procedimentos utilizados, em parte, nas outras: determinar o mínimo múltiplo comum dos

denominadores, aplicar a propriedade distributiva, fazer a transposição de termos de um

membro para o outro, para em seguida isolar a variável x no primeiro membro e encontrar a

solução. Porém, apesar de envolver todas essas operações e propriedades, a equação 10 teve

mais acertos, em sua resolução, do que outras equações mais simples.

56

Dentre os erros cometidos, destacam-se a troca de sinal incorreta, a soma do

coeficiente de x com um termo independente e a falta da escrita da variável x, como se pode

ver no exemplo da Figura 6.

Figura 6 – Exemplo de resolução da equação 6

57

5 CONFECÇÃO E APLICAÇÃO DOS JOGOS

Face aos erros encontrados, consideramos que a confecção dos jogos deveria levar em

conta essas dificuldades, além de ser uma tentativa de retomar o conteúdo de forma lúdica,

para auxiliar os estudantes na sua compreensão. Para aplicação e observação, foram

elaborados os jogos indicados a seguir, mas no produto desta dissertação há outros jogos

sugeridos, para o trabalho com os mesmos conteúdos.

5.1 CONSTRUÇÃO DOS JOGOS

5.1.1 Vira e Confere

O primeiro jogo aplicado com a turma da 6ª série foi o “Vira e Confere”. Este jogo é

similar ao chamado “Wrap Ups”, disponível em um site sobre material manipulativo para

Matemática2.

O jogo consiste de uma cartela, em material rígido, em cuja ponta é inserido um

barbante com um nó. Os materiais utilizados para confeccionar a cartela foram: isopor,

coberto com EVA3, e fita (para substituir o barbante).

Na cartela havia seis equações do 1º grau com suas respectivas respostas; essas não

apareciam na mesma ordem em que as equações.

Cada aluno pega uma cartela, passa a fita sobre a primeira ranhura acima, à esquerda,

abaixo da qual há uma equação. Em seguida, encontra a solução correspondente a essa

equação, na parte inferior da cartela, e passa a fita por cima, até a ranhura correspondente à

resposta. Após, passa a fita por baixo da cartela até a segunda ranhura e continua o processo

até a última, depositando a fita na ranhura central à direita.Vira, então, a cartela e confere o

desenho determinado pela fita. Se coincidir com o da cartela, o aluno acertou todas as

questões, caso contrário poderá tentar novamente.

Conhecendo as dificuldades dos alunos, consideramos que, se eles vissem o desenho

no verso da cartela, não iriam resolver as equações, mas somente passar a fita; pensando

nisso, fizemos uma modificação na cartela, colamos um pedaço de papel em branco no verso,

assim eles não poderiam ver o desenho e teriam que resolver as equações. No momento em

2 http://learningwrapups.com/wrap-ups/math-wrap-ups.html

3 Esse material é uma borracha composta de etil vinil acetato.

58

que eles completassem o jogo, tiraríamos o papel para verificar se o desenho obtido por eles

coincidia com o desenho da cartela.

Também pensando na rapidez de alguns alunos em resolver as equações, ao construir

as cartelas, montamos dois grupos de equações. Nas cartelas de cor rosa, havia um grupo de

equações, nas cartelas azuis, outro grupo diferente, e nas amarelas, a metade era semelhante

às rosas e a outra metade, semelhante às azuis.

Abaixo, é apresentada a foto do jogo:

Figura 7 – Jogo Vira-e-Confere

5.1.2 Quebra-cabeça Triangular

O segundo jogo aplicado aos alunos foi o “Quebra-cabeça Triangular” (CURY, 1995).

O jogo consiste em um tabuleiro na forma de um triângulo equilátero, cujo interior é dividido

em nove triângulos equiláteros menores.

Para confeccionar o jogo, são utilizadas folhas de diferentes cores de papel cartão,

folhas de ofício e papel contact.

Os alunos recebem o tabuleiro juntamente com os nove triângulos menores, de cores

diferentes; na face de cada triângulo, sobre seus lados, são coladas três tiras de papel, nas

59

quais foram digitados três sistemas de equações (ou soluções de sistemas de equações),

conforme a Figura 8, a seguir. Aproveitando a moldura do tabuleiro, é possível propor dezoito

sistemas de equações e suas respectivas soluções. O aluno deve resolver cada sistema e,

encontrada a solução, deve encaixar o triângulo que tem a solução do sistema, de forma que

fique adjacente ao outro em que há o sistema correspondente. Como os triângulos pequenos

são de cores diferentes, o aluno vai formar uma sequência de cores que irá auxiliá-lo (e ao

professor) no momento de fazer a correção do seu quebra-cabeça.

Figura 8– Jogo Quebra-Cabeça Triangular

5.1.3 Quarteto das Equações

O terceiro jogo aplicado aos alunos da 6ª série foi o “Quarteto das Equações do 1º

Grau”. Este jogo de cartas é baseado em um similar elaborado por Mungo-Verlag4, e que foi

adaptado para a nossa realidade e para o conteúdo em questão (CURY; KONZEN, 2007).

Os materiais utilizados para a confecção do baralho foram: folhas de papel cartão,

folhas de oficio e papel contact. Para ilustrar a frente das cartas, foram usadas figuras que

4 Firma alemã, especializada em recursos didáticos: http://www.mungo-verlag.info/

60

representam fractais, retiradas de sites da Internet5. Na Figura 9, são apresentadas duas cartas

do baralho.

Os alunos recebem o baralho de 36 cartas, constituído de nove quartetos. Em cada

quarteto, há uma equação, um sistema de equações e duas inequações, uma das sentenças já

com a solução e as outras três em aberto. As cartas são embaralhadas e distribuídas para três

ou quatro jogadores. Se algum jogador notar que já tem um quarteto formado, ele o coloca de

lado.

Escolhe-se um jogador para iniciar o jogo. Este tem, por exemplo, a carta A1;

pergunta aos colegas quem tem a carta A2. Se um colega se manifesta afirmativamente, então

quem fez a pergunta deve responder corretamente à questão proposta na carta A2 e o outro

deve lhe entregar esta carta; ele continua perguntando, para qualquer colega do jogo, pelas

outras cartas que lhe faltam, do quarteto A. Quando errar a resposta, o colega a quem ele

perguntou continuará o jogo, da mesma forma. O jogo termina quando todos os quartetos

forem formados.

5 http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm14/galeria.htm e http://www.fractarte.com.br/galeria2/galeria.php

61

A1

1) XX −=− 2405

X = 7

A2) 10

3

4

1

5≤

+−

XX

A3)

=+

=+

112

9

YX

YX

A4) ( ) 0436 >−− XX

Figura 9 – Jogo Quarteto das Equações

5.2 APLICAÇÃO DOS JOGOS

5.2.1 Aplicação do Vira e Confere

Ao iniciar a aula, os alunos foram separados em duplas e explicamos que iriam fazer

um trabalho avaliativo, de uma maneira diferente da já trabalhada. Informamos que o material

recebido era um jogo que envolvia o conteúdo que estávamos trabalhando, as equações, e que

se chamava “Vira e Confere”. Também explicamos como funcionava e que eles teriam duas

horas-aula para desenvolver a atividade. Pedimos que trabalhassem em duplas, pois se um

deles tivesse dúvidas, o colega poderia explicar.

Avisamos que não era necessário fazer às pressas e que, quando não encontrassem a

solução da equação, voltassem e refizessem os cálculos. Quando a dupla tivesse dúvidas,

chamasse a professora.

No momento em que entregamos o jogo, a primeira pergunta foi o porquê de no verso

da cartela haver um pedaço de papel colado. Explicamos que o verso da cartela era a segunda

etapa do jogo, que, no momento, eles não podiam “tirar” o papel e deviam se preocupar em

A2

A1) XX −=− 2405

A2)10

3

4

1

5≤

+−

XX

X ≥≥≥≥ -11

A3)

=+

=+

112

9

YX

YX

A4) ( ) 0436 >−− XX

62

apenas resolver as equações e encontrar suas soluções. Na verdade, o que havia atrás da

cartela era o desenho que correspondia às respostas corretas do jogo.

Os alunos ficaram empolgados e logo começaram a resolver as equações. Suas

preocupações eram sobre a maneira de corrigir o trabalho e sobre as notas atribuídas. As

equações contidas no jogo eram semelhantes às que haviam resolvido no pré-teste.

Anotamos as observações sobre as atividades realizadas pelos alunos em um diário de

campo. Portanto, são dados qualitativos, não havendo, nessa etapa, a intenção de quantificar o

número de alunos que cometeu um determinado erro.

Durante a realização da atividade, observamos que apenas uma dupla olhou o que

havia no verso da cartela. Chamamos a atenção e um dos alunos disse que não tinha entendido

nada do que havia visto, que era um “monte de riscos”.

Pudemos observar que a realização da atividade em dupla ajudou alguns alunos na

compreensão da resolução das equações, pois a linguagem que o colega utilizava para

explicar era uma linguagem mais coloquial, mais simples que a do professor quando está

explicando o mesmo assunto.

Ao contrário do que aconteceu no pré-teste, os alunos não tiveram dúvidas quanto aos

cálculos das operações elementares; talvez por estarem trabalhando em duplas, quando surgia

uma dúvida, eles perguntavam ao colega.

Algumas dificuldades apresentadas pelas duplas na resolução das equações estão

relacionadas à transposição de um termo de um membro para outro, pois os alunos esqueciam

de fazer a troca de sinal.

Outro erro cometido por algumas duplas foi de “juntar”, somar ou subtrair, o

coeficiente de x com um termo independente em um dos membros da equação. Esse erro já

havia sido cometido por esses alunos no pré-teste e já havia sido chamada atenção para esse

fato, mas mesmo assim eles o repetiram.

Apesar de, em todas as aulas, estarmos trabalhando com a adição de números inteiros,

algumas duplas também apresentaram dificuldades quanto a esse assunto, pois não

lembravam como são somados dois números negativos ou um positivo com outro negativo.

Em relação aos procedimentos utilizados para resolver as equações, podemos afirmar

que a maioria dos alunos os conheciam, mesmo nas equações em que envolviam parênteses

ou frações. Os alunos que apresentaram dificuldades nesses tipos de equações foram os

mesmos que apresentaram as outras dificuldades.

A maioria das duplas resolveu as equações sem solicitar ajuda, só chamando para

confirmar se o jeito de passar a fita estava correto. No momento em que as duplas complevam

63

suas cartelas, os estudantes chamavam a professora e, juntos, retirávamos o papel que estava

encobrindo o verso, verificando se o desenho determinado por eles coincidia com o da cartela.

Feito isso, recebiam outra cartela de cor diferente da que haviam recebido no inicio e

resolviam um novo jogo.

Assim, a aula transcorreu normalmente, não houve tempo de todas as duplas jogarem

duas vezes o jogo, apenas aquelas mais rápidas, no entanto toda turma conseguiu realizar a

atividade proposta.

5.2.2 Aplicação de um jogo sobre operações com polinômios

Após o término desta aula, lembrando das dificuldades apresentadas pelos alunos,

começamos a pensar em alguma atividade que pudesse ajudá-los a sanar suas dúvidas;

lembramos de um jogo aprendido durante o curso de graduação, utilizado para auxiliar alunos

de 7ª série quando é trabalhado o conteúdo de operações com polinômios. Assim, esse jogo

foi adaptado para o conteúdo de equações.

O jogo consiste em resolver equações por meio de fichas feitas de pedaços de papel

cartão, cortados na forma de retângulos (8x2 cm2) e na forma de quadrados (2x2 cm2). Para

resolver as questões que propusemos aos alunos, em razão dos coeficientes escolhidos, foram

suficientes 20 retângulos na cor azul e 20 na cor vermelha, além de 20 quadrados azuis e 20

vermelhos.

Tanto os retângulos como os quadrados são compostos por duas cores, de um lado são

azuis e do outro, vermelhos. Um retângulo corresponde a 1 x; se a cor que estiver voltada para

cima for o azul, então esse retângulo corresponde a + 1x, caso a cor voltada para cima for o

vermelho, o retângulo corresponde a - 1x. Cada quadrado corresponde a uma unidade, se o

quadrado for azul temos uma unidade positiva e se for vermelho, temos uma unidade

negativa. Ao trocarmos uma ficha de um membro para outro de uma igualdade, temos que

virar a face dessa ficha. A forma de trabalhar com as fichas obedece ao princípio aditivo da

igualdade, ou seja, para cancelar um retângulo azul que está no lado esquerdo da igualdade,

deve-se somar a ambos os membros um retângulo vermelho. Da mesma forma é feito para

cancelar quadrados, sendo que cada quadrado azul cancela um vermelho.

Exemplos:

a) 5x – 4 = 3x+ 6

64

O objetivo que esperávamos alcançar com essa atividade era que os alunos

conseguissem compreender que, ao mudar um termo de lado, devemos trocar o seu sinal e que

não podemos somar termos independentes com coeficientes de x. Resolvemos fazer a

atividade individualmente e, como a turma é grande, na hora de confeccionar o material,

pedimos ajuda aos estudantes; assim cada um confeccionou seu material.

Na aula seguinte, apresentamos algumas equações e pedimos aos alunos que, com

ajuda do material concreto, as resolvessem. Pudemos observar que eles gostaram da atividade,

pois, ao passar pelas classes daqueles que haviam apresentado dificuldades com o jogo Vira e

Confere, verificamos que estavam resolvendo corretamente as equações.

5.2.3 Aplicação do Quebra-cabeça Triangular

A aula em que trabalhamos o segundo jogo, o “Quebra-cabeça Triangular”, foi

marcada por alguns imprevistos: choveu bastante e faltou energia elétrica, o que fez com que

os alunos ficassem agitados e tivessem dificuldade de iniciar a atividade.

Ao dar início à aula, explicamos que haveria outro jogo: um quebra cabeça que

envolvia os sistemas de equações que estávamos trabalhando. Quando dissemos que era um

jogo, todos ficaram motivados; pedimos que se reunissem em grupos de três, distribuímos os

quebra-cabeças, explicamos as regras do jogo e, em seguida, os alunos começaram a

trabalhar. A turma teria três horas-aula para montar o quebra-cabeça.

65

Ao entregarmos o jogo, os alunos “apavoraram-se” com a quantidade de sistemas de

equações que este continha; tentamos tranquilizá-los, dizendo que havia tempo para resolver

todos , com calma. Aos poucos, os alunos foram se concentrando e resolvendo os sistemas.

A falta de energia elétrica atrapalhou-os, pois estava cada vez mais escuro na sala de

aula; além disso, a agitação de alguns atrapalhava a concentração do restante da turma. Como

estava demorando em retornar a energia elétrica, a direção da escola resolveu liberar os

estudantes, fazendo com que a atividade proposta não fosse concluída.

Na aula seguinte, levamos novamente o quebra-cabeça triangular e propusemos a

atividade de uma maneira diferente: para essa aula estava agendado um trabalho avaliativo

que envolvia os sistemas de equações, então digitamos, em uma folha, todos os sistemas que

compunham o quebra-cabeça e a entregamos para cada um dos alunos; assim, o trabalho seria

resolvido individualmente.

Explicamos que, apesar de ser um trabalho avaliativo, quando tivessem dúvidas,

solicitassem ajuda. A aula foi passando e os alunos, em silêncio, resolvendo os sistemas, sem

reclamações quanto ao número de questões.

Entre as dificuldades apresentadas por alguns alunos, destacamos o fato de eles

esquecerem de substituir, na segunda equação do sistema, o que haviam isolado na primeira;

inserindo toda a primeira equação dentro da segunda. Por exemplo: dado o sistema de

equações

=−

=+

6

10

yx

yx , os alunos isolavam x na primeira equação: x = 10 – y ; em seguida,

escreviam esta equação como “substituta” de x na segunda equação, mas ainda conservando o

x: x +x = 10 – y - y = 6. Dessa forma, continuavam com duas incógnitas e não conseguiam

resolver a nova equação.

Ao término da resolução do trabalho, pedimos aos alunos que sentassem em grupos de

três componentes e que cada um corrigisse o seu trabalho, sempre discutindo com os colegas

e com a professora-pesquisadora as questões cuja resolução não coincidia.

Em seguida, pedimos que reproduzissem o trabalho, em outra folha, com aquelas

questões que eles sabiam que estavam corretas e com as que eles haviam feito em conjunto.

Quanto às duvidas que apareceram nesse momento, foram apenas sobre a troca de sinais, pois

alguns alunos esqueciam de trocar o sinal de algum termo ao fazer a transposição de um

membro para o outro.

Após esse momento, explicamos que eram eles que iriam corrigir o trabalho feito pelo

grupo por meio do quebra-cabeça triangular. Então entregamos novamente o jogo, com

explicação sobre como deviam proceder, e cada grupo começou a montar o seu quebra-

66

cabeça. Como cada quebra-cabeça tinha uma sequência de cores diferentes para seguir, os

alunos de um grupo não poderiam copiar as respostas de outro grupo.

Nesse dia, pelo fato de o transporte escolar não ter feito todo o trajeto para a escola,

apenas 18 alunos estavam presentes. Além disso, desses 18 estudantes, somente 12 se

propuseram a realizar todas as atividades propostas; os outros seis apenas assinaram seus

nomes no trabalho que eles pensaram ter que entregar.

5.2.4 Aplicação do Quarteto das Equações

Ao iniciar a aula, pedimos que os alunos se reunissem em grupos de quatro

componentes; como havia 23 alunos presentes, formaram-se cinco grupos com quatro alunos

e um grupo com três alunos. Explicamos que eles iriam trabalhar com outro jogo e, apesar de

estarem em grupo, o jogo era individual. Explicamos as regras do jogo, que o baralho era

constituído por equações, sistemas de equações e inequações do 1º grau.

Entregamos os baralhos e os alunos começaram a organizar suas cartas. Alguns não

haviam entendido as regras do jogo, então foram explicadas novamente. Os alunos dispunham

de duas horas-aula para a realização da atividade e deveriam chamar quando tivessem alguma

dúvida em relação aos seus cálculos.

Passados aproximadamente 30 minutos, um dos grupos já havia formado todos os

quartetos e os componentes reclamaram que não haviam gostado do jogo porque, a partir da

2ª rodada, apenas um aluno jogava e “tomava” as cartas dos outros colegas. Então, notando

que esse estudante resolvia os problemas com maior rapidez e correção, ele foi retirado do

grupo, novamente embaralhadas as cartas e apenas os outros três estudantes ficaram jogando.

Pedimos ao aluno que havia sido retirado do grupo que ficasse auxiliando os outros colegas,

já que os grupos chamavam a professora-pesquisadora a todo o momento, pois ao resolverem

uma sentença e não encontrarem a solução correta, queriam saber onde estava o erro.

Como foram os próprios alunos que se organizaram em grupos, houve dois grupos, em

especial, que solicitavam a atenção, um deles formado por alunos que já estavam aprovados

na disciplina e não queriam participar da atividade e outro, formado pelas quatro alunas que

apresentavam maior dificuldade em Matemática.

Tentando resolver a situação e ajudar as meninas, resolvemos colocá-las em duplas,

esperando que trabalhassem com mais facilidade. Então o jogo, nesse grupo, passou a ser de

uma dupla contra a outra. Observamos que isso ajudou um pouco e uma das duplas começou a

67

resolver as sentenças e a jogar. Também pedimos ao aluno que estava auxiliando que sentasse

junto a outra dupla e ajudasse com as explicações necessárias.

Continuamos a passar em todos os grupos e pudemos verificar que, na maioria, não

apresentavam dificuldades e que, entre eles, estava acontecendo uma competição acirrada.

68

6 CONSIDERAÇÕES FINAIS

Ao concluir esta dissertação, é possível tecer algumas considerações sobre as

atividades desenvolvidas.

Nas aulas em que os jogos foram usados como recurso metodológico, no momento em

que era mencionado o uso de um jogo, a primeira reação dos alunos era de empolgação e de

curiosidade, sobre como seria o jogo e quais as suas regras. Durante a realização dos jogos,

observou-se que a concentração dos alunos em resolver as atividades propostas era bem maior

do que a apresentada durante as aulas em que eram propostas listas de exercícios.

Essa constatação vem ao encontro das observações de alguns autores que trabalharam

com jogos em suas aulas. Lara (2003) destaca que, por meio de jogos, é possível

desenvolvermos no aluno, além de habilidades matemáticas, concentração, curiosidade,

consciência de grupo, coleguismo, companheirismo, autoconfiança e autoestima.

Em sua dissertação, Silva (2004) também constatou que as aulas de Matemática

deixaram de ser o “Bicho Papão” da escola e passaram a ser aguardadas com ansiedade pelas

crianças, que trabalharam mais pelo prazer da descoberta ou da vitória do que pela obrigação

de realizar as tarefas, que, afinal, deixaram de ser tarefas para se tornarem brincadeiras.

Souza (2006) percebeu que a participação dos alunos era cada vez maior e melhor

quando era utilizado algum jogo pedagógico e que os estudantes, desafiados pelos jogos,

demonstravam ansiedade para iniciar as atividades propostas. Além disso, a autora considerou

que, por meio dos jogos, os alunos pensam, investigam, buscam soluções e constroem suas

próprias ações, o que estimula sua autonomia. Souza (2006) julgou ter comprovado, em suas

experiências, que os estudantes, ao terem oportunidade de pensar para realizar as jogadas,

também corrigem seus próprios erros.

Para Jones (1982), os jogos são utilizados para sanar as duvidas apresentadas pelos

alunos, reforçando a aprendizagem inicial, bem como para experiências de reaprendizagem e,

ainda, para promover a aprendizagem contínua por parte do aluno.

Durante o período em que ocorreram as aulas com os jogos aplicados nesta pesquisa,

foi possível verificar uma mudança na rotina das aulas de Matemática, pois a professor-

pesquisadora não fazia uso apenas do quadro negro e do giz e os alunos, do caderno e do

lápis. Os estudantes não sentavam apenas em filas e ocorreu uma maior participação por parte

deles, em sanar suas dúvidas em relação ao conteúdo, tendo em vista que precisavam saber os

conceitos para poder jogar, o que não ocorria com freqüência durante as aulas que

antecederam o período da aplicação dos jogos. Segundo Jones (1982), os jogos oportunizam

69

uma mudança na rotina de sala de aula, pois representam algo diferente para se fazer,

deixando de lado a resolução de exercícios utilizando apenas lápis e papel que, às vezes,

fazem com que alguns alunos fiquem frustrados quando começa a aula de Matemática.

Também foi possível notar que os jogos realizados em duplas ou em grupos

contribuíram para despertar nos alunos o sentimento de coleguismo, companheirismo, além de

auxiliarem na sua aprendizagem, tendo em vista que a linguagem utilizada pelo outro colega

para explicar o conteúdo é mais acessível que a linguagem usada pelo professor. Borin (1995)

também menciona que os jogos devem ser trabalhados com pelo menos dois jogadores, pois

isso facilita a troca de informação, a colaboração e contribui para as deduções das estratégias

entre os alunos participantes.

Em seu trabalho, Souza (2006) observou que os jogos também contribuíram para

despertar nos alunos o interesse pelo trabalho em grupo, o que lhes ajudou a entender alguns

assuntos ainda não compreendidos, e que, ao longo das atividades com jogos pedagógicos,

houve oportunidade de compreensão de conteúdos que, apesar de já trabalhados nas aulas, não

haviam sido entendidos pelos alunos.

Porém, deve-se ter cuidado em relação à forma com que os grupos são organizados,

pois nesta pesquisa ocorreu, em certo momento, a formação de um grupo de alunos que

apresentava maiores dificuldades em relação ao conteúdo. Sobre esse aspecto, Smole, Pessoa,

Diniz e Ishihara (2008) destacam que a organização dos grupos pode ser feita pelo professor,

de modo que os alunos com mais facilidade em jogar fiquem juntos com outros que precisam

de ajuda. Ou ainda, pode-se formar grupos de alunos com compreensão semelhante do jogo

ou da Matemática nele envolvida, deixando que esses grupos joguem sozinhos, enquanto o

professor acompanha aqueles que precisam de uma maior intervenção.

Segundo Jones (1982), enquanto o jogo se desenvolve, o professor pode ficar ao lado

dos alunos, observando, ouvindo e registrando os acertos e erros; com isso, tem oportunidade

para verificar a qualidade e o nível de trabalho de cada aluno, bem como sua compreensão da

Matemática.

No que diz respeito à competição entre alunos, esta se deu em um dos jogos e não

esteve relacionada apenas com o prazer de ganhar, mas em mostrar que houve compreensão

do conteúdo e das técnicas necessárias à resolução das atividades. Segundo Lara (2003), é

importante que o professor comente que a competição não é por alguma recompensa, trata-se

da comparação do desempenho de um participante em relação a outros, comparação essa que

desafia o crescimento em busca de uma solidificação ou aperfeiçoamento de um determinado

conhecimento.

70

No período em que ocorreram os jogos desenvolvidos nesta pesquisa, foi possível

verificar os benefícios trazidos para os alunos, pois, por meio dos jogos, detectou-se com

facilidade os alunos que apresentavam maiores dificuldades em relação aos conteúdos

trabalhados; também foi possível constatar uma maior alegria, por parte dos alunos, em ter

aulas de Matemática, bem como em querer aprender os novos conteúdos, pois eles sabiam

que, no final de cada capítulo, seria proposto um jogo.

O trabalho realizado com jogos matemáticos em sala de aula permitiu à Silva (2004)

constatar que os jogos trouxeram alguns benefícios para os alunos, pois foi possível verificar

quais estudantes estavam com maiores dificuldades; os alunos tiveram mais liberdade para

demonstrar aos colegas e professores a assimilação do assunto, se empolgaram com o clima

de uma aula diferente, o que fez com que aprendessem sem perceber. A autora ressaltou que é

impossível observar esses benefícios em aulas tradicionais.

Outro ponto a ser levado em conta ao aplicar um jogo em sala de aula, são as

condições adversas de tempo. Ao trabalhar com o “Quebra-cabeça Triangular”, não houve

sucesso na realização do jogo por parte dos alunos, tendo em vista as condições

meteorológicas que atrapalharam a execução da tarefa. Ascoli e Brancher (2006) destacam

que o professor deve se organizar, planejando quanto e quando se deve jogar, ressaltando que

é preciso tornar cuidado em não deixar os jogos para finais de aula ou dias de chuva.

Pelos resultados da aplicação dos jogos, relatada nesta dissertação, consideramos que

os objetivos foram alcançados, pois foram analisadas as dificuldades dos alunos na

aprendizagem de equações, sistemas de equações, inequações, bem como a possibilidade de

usar jogos para auxiliá-los a superar tais dificuldades. Ao detectar os problemas dos alunos e

auxiliá-los na sua superação, foi possível, também, notar o entusiasmo e a alegria por eles

demonstrados durante o trabalho realizado.

A experiência de trabalhar com jogos durante a realização desta pesquisa foi

importante para a prática docente, pois foi possível comprovar, ao fazer uso dessa

metodologia, que existem outras maneiras de ensinar Matemática, não empregando apenas

quadro-negro, giz, caderno, lápis e enormes listas de exercícios, supostamente necessárias

para o aluno compreender as técnicas de resolução das equações, dos sistemas e das

inequações do 1º grau.

Por meio dos jogos, foi possível trabalhar com exercícios, porém estes foram

apresentados aos alunos de uma forma diferente, pois eles nem percebiam que, enquanto

jogavam, estavam estudando, aprendendo a fazer uso dos procedimentos necessários para a

resolução de exercícios do conteúdo.

71

Durante este período, acreditamos ter conseguido fazer com que os alunos se

sentissem mais motivados para as aulas de Matemática, se interessassem mais por aprender.

Também, por meio dos jogos, acreditamos ter conseguido uma maior participação por parte

dos estudantes no esclarecimento de suas dúvidas em relação aos conteúdos, tendo em vista

que, ao final de cada conteúdo, era-lhes proposto um jogo.

Com a aplicação dessa metodologia, foi possível ajudar mais os alunos a sanarem suas

duvidas quanto aos conteúdos trabalhados, pois no momento em que eles jogavam, se sentiam

tão descontraídos que perdiam a timidez, a vergonha de perguntar; além disso, o contato entre

estudantes e professora era maior, pois era proporcionada maior atenção a eles durante a

realização dos jogos.

Também quanto à maneira de ensinar, foi possível superar a apreensão em relação às

aulas, tendo em vista que antes havia uma preocupação muito grande em saber se realmente o

aluno havia compreendido o conteúdo. Também o reconhecimento e o agradecimento, por

parte dos alunos e de seus pais, motivavam a continuação do trabalho com essa metodologia.

Como essa experiência ocorreu em 2009, no ano seguinte foi possível fazer uso de

jogos em outros conteúdos e em outras séries, e novamente verificamos os benefícios obtidos

pelo uso de jogos, tanto para os alunos como para o professor.

No que diz respeito ao curso de mestrado, este trouxe grandes benefícios não apenas

para a vida profissional, mas também pessoal. Foi uma experiência desafiadora e

enriquecedora, na qual foram ampliados os conhecimentos de Matemática ampliados, não só

em termos de conteúdos específicos de Matemática, mas também de metodologias de ensino e

de como trabalhar com essas metodologias.

Em nossa opinião, é nesse aspecto que se encontra o grande diferencial entre o

mestrado e a graduação: na graduação, os professores, em especial os de práticas de ensino e

estágio supervisionado, apenas comentavam que a modelagem matemática, os jogos, o

material concreto, a resolução de problemas, entre outras abordagens, poderiam fazer a

diferença em nossas aulas, porém muito pouco era ensinado sobre como fazer uso destas

metodologias.

Hoje, a partir das disciplinas cursadas e da experiência desenvolvida com esta

dissertação, há mais segurança, preparação e motivação para entrar em uma sala de aula, visto

que a forma escolhida para trabalhar os conteúdos de Matemática faz a diferença, pois foi

possível fazer com que a maioria dos alunos aprendesse a gostar de Matemática. A

observação do prazer encontrado por eles proporciona, também à professora, prazer em

ministrar as aulas.

72

A partir dessas considerações, trago, então, como sugestão para outros colegas da

minha escola ou para outros professores que tiverem acesso a este trabalho, um conjunto de

atividades para utilizar jogos em suas aulas, que consiste, então, no produto desta dissertação

de mestrado profissional.

73

7 CONJUNTO DE ATIVIDADES PROPOSTAS

A proposta a seguir apresentada é composta por algumas atividades envolvendo os

conteúdos abordados nesta pesquisa, os quais são trabalhados com o auxilio de jogos. Tem

como objetivo proporcionar aos colegas, professores de Matemática, uma sugestão de

mudança na rotina em sala de aula, tendo em vista que representa algo diferente para se fazer,

deixando de lado práticas tradicionais de ensino, tais como o uso de exercícios realizados

apenas com lápis e papel, despertando no aluno o interesse e o gosto de aprender as equações,

os sistemas de equações e as inequações do 1º grau com uma incógnita.

Atividade I

Conteúdo Desenvolvido:

Resolução de equações do 1º grau com uma incógnita, utilizando o Principio de

Equivalência.

1. Objetivos

• Proporcionar ao aluno um maior entendimento da resolução de equações do 1º grau

utilizando os princípios de equivalência da igualdade (aditivo / multiplicativo);

• observar e listar as dificuldades apresentadas pelos alunos;

• desenvolver habilidades de raciocínio;

• fixar as regras que envolvem os princípios de equivalência da igualdade.

2. Carga Horária:

2 ( duas ) horas – aula.

3. Metodologia:

• Aulas expositivas e dialogadas

4. Recurso:

• Jogo

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5. Jogo “Operando com as Equações”

Material:

• 30 fichas de papel cartão, cortadas na forma de retângulos ( 8 x 2 cm2 ), sendo 15 de

cor azul e 15 de cor vermelha.

• 30 fichas de papel cartão, cortadas na forma de quadrados ( 2 x 2 cm2 ), sendo 15 de

cor azul e 15 de cor vermelha.

Objetivo:

• Por meio de fichas, montar e resolver equações do 1º grau com uma incógnita.

Regras:

• O jogo consiste em resolver equações utilizando as fichas, deixando todos os

retângulos no lado esquerdo da igualdade e os quadrados no lado direito; para isso aplicam-se

os princípios aditivo ou multiplicativo da igualdade. Um retângulo corresponde a 1 x; se for

da cor azul, corresponde a + 1x, se for da cor vermelha, corresponde a – 1x. Cada quadrado

corresponde a uma unidade, se for da cor azul, temos uma unidade positiva e se for vermelho,

temos uma unidade negativa.

• Pode ser jogado individualmente ou em duplas.

� Sugestão de equações a serem resolvidas com o uso do jogo:

a) 5649 +=− xx

b) 6745 −=+ xx

c) xx 4512 −=−

d) xx 2194 −=−

e) 13579 +−=−− xx

f) xx 4923 +=−−

g) 4923 +=−− x

h) 6283 −=− xx

i) 1552 −=+ xx

j) xx 2129 −=+

k) 1423 +−=− xx

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l) 263 −−=−− xx

m) 20512 −−=+− xx

Exemplo de Solução:

a) 5649 +=− xx

Para agrupar os quadrados, pode-se dispô-los verticalmente ou então em colunas,

como vemos abaixo, em que inicialmente os quatro quadrados vermelhos foram dispostos em

duas colunas de duas unidades e os quadrados azuis, à direita, foram agrupados em uma

coluna de três unidades e outra de duas.

76

Atividade II

Conteúdo Desenvolvido:

Resolução de equações do 1º grau com uma incógnita

1. Objetivos

• Observar e listar as dificuldades apresentadas pelos alunos;

• exercitar os conhecimentos adquiridos sobre a resolução de equações do 1º grau com

uma incógnita;

• desenvolver habilidades de raciocínio.

2. Carga Horária:

3 ( três ) horas – aula.

3. Metodologia:

• Aulas expositivas e dialogadas

4. Recurso:

• Jogo

5. Jogo “Trilha das Equações”

Material:

• um tabuleiro;

• duas tampas de creme dental (para servirem como peões).

Objetivo:

• Chegar em primeiro lugar ao espaço com a palavra CHEGADA.

Regras:

• O jogo consiste em percorrer o caminho (trilha), composto de retângulos nos quais

estão escritas equações;

• o aluno deve resolver as equações e, conforme a solução encontrada na equação, o

valor será o número de casas que ele deve percorrer; se a solução encontrada for um número

77

positivo, o aluno irá avançar este número de casas, caso a solução seja um número negativo, o

aluno terá que voltar o número de casas encontrado na solução da equação;

• dois alunos jogam alternadamente;

• vence o aluno que chegar em primeiro lugar ao espaço com a palavra CHEGADA.

78

Atividade III

Conteúdo Desenvolvido:

Resolução de equações do 1º grau com uma incógnita envolvendo parênteses.

1. Objetivos

• Observar e listar as dificuldades apresentadas pelos alunos;

• aplicar os conhecimentos adquiridos sobre a resolução de equações do 1º grau com

uma incógnita envolvendo parênteses;

• promover o trabalho em equipe.

2. Carga Horária:

2 ( duas ) horas – aula.

3. Metodologia:

• Aulas expositivas e dialogadas

4. Recurso:

• Jogo

5. Jogo “Vira e Confere”

O “Vira e Confere” consiste em uma cartela, em material rígido, em cuja a ponta é

inserido um barbante com um nó; na cartela há seis equações do 1º grau com suas respectivas

respostas, sendo que estas não aparecem na mesma ordem em que as equações.

Material:

• Folha de isopor;

• EVA;

• fita ou barbante.

Regras:

• Cada aluno deve pegar uma cartela, passar a fita sobre a primeira ranhura acima, à

esquerda, abaixo da qual há uma equação, em seguida, encontrar a solução correspondente a

79

essa equação, na parte inferior da cartela, e passar a fita por cima, até a ranhura

correspondente à resposta; após, passar a fita por baixo da cartela até a segunda ranhura e

continuar o processo até a última, depositando a fita na ranhura central à direita.Virar, então, a

cartela e conferir o desenho determinado pela fita. Se coincidir com o da cartela, o aluno

acertou todas as questões, caso contrário pode tentar novamente.

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Atividade IV

Conteúdo Desenvolvido:

Resolução de sistemas de equações do 1º grau com uma incógnita / Método da

Substituição.

1. Objetivos

• Observar e listar as dificuldades apresentadas pelos alunos;

• aplicar os conhecimentos adquiridos sobre a resolução de sistemas de equações do 1º

grau com uma incógnita utilizando o método da substituição.

2. Carga Horária:

2 ( duas ) horas – aula.

3. Metodologia:

• Aulas expositivas e dialogadas

4. Recurso:

• Jogo

5. Jogo “Quebra-cabeça”

O jogo consiste em montar figuras com o auxilio das sete peças de um tangram, que

podem ser de uma só ou de várias cores; nelas, estão escritos sistemas de equações e possíveis

soluções dos sistemas.

Material:

• Papel cartão para a confecção do tangram

Objetivo do jogo:

• Montar figuras estabelecidas com a resolução dos sistemas de equações do 1º grau

com uma incógnita.

81

Regras:

• O aluno deve resolver cada sistema e, encontrada a solução, deve encaixar a peça

que tem a solução do sistema, de forma que fique adjacente ao outro em que há o sistema

correspondente.

82

83

Atividade V

Conteúdo Desenvolvido:

Resolução de sistemas de equações do 1º grau com uma incógnita / Método da

Comparação.

1. Objetivos

• Observar e listar as dificuldades apresentadas pelos alunos;

• fixar a resolução de sistemas de equações do 1º grau com uma incógnita utilizando o

método da comparação.

2. Carga Horária:

2 ( duas ) horas – aula.

3. Metodologia:

• Aulas expositivas e dialogadas

4. Recurso:

• Jogo

5. Jogo Quebra-cabeça

84

85

86

Atividade VI

Conteúdo Desenvolvido:

Resolução de sistemas de equações do 1º grau com uma incógnita / Método da Adição.

1. Objetivos

• Observar e listar as dificuldades apresentadas pelos alunos;

• exercitar a resolução de sistemas de equações do 1º grau com uma incógnita

utilizando o método da adição.

2. Carga Horária:

2 ( duas ) horas – aula.

3. Metodologia:

• Aulas expositivas e dialogadas

4. Recurso:

• Jogo

5. Jogo Quebra-cabeça

87

88

Atividade VII

Conteúdo Desenvolvido:

Resolução de inequações do 1º grau com uma incógnita.

1. Objetivos

• Observar e listar as dificuldades apresentadas pelos alunos;

• desenvolver habilidades de raciocínio.

2. Carga Horária:

2 ( duas ) horas – aula.

3. Metodologia:

• Aulas expositivas e dialogadas

4. Recurso:

• Jogo

5. Jogo “É ou não é Solução”

Material:

• Dois dados confeccionados em papel cartão, como o modelo.

Objetivo do jogo:

• Vencer o maior número de rodadas.

Regras:

• É jogado por dois alunos;

• as jogadas são alternadas;

• cada aluno, na sua vez, lança os dados e verifica se o número que saiu no dado da

esquerda é solução da inequação que aparece no dado da direita.

• se o aluno encontrar a solução da inequação, marca dois pontos positivos; se o

número encontrado não for solução da inequação, o aluno marca um ponto negativo;

89

• vence o jogo quem marcar mais pontos positivos ao final de seis rodadas.

90

91

Atividade VIII

Conteúdo Desenvolvido:

Resolução de inequações do 1º grau com uma incógnita.

1. Objetivos

• Observar e listar as dificuldades apresentadas pelos alunos;

• exercitar os conhecimentos adquiridos sobre a resolução de inequações do 1º grau

com uma incógnita;

• desenvolver habilidades de raciocínio.

2. Carga Horária:

2 ( duas ) horas – aula.

3. Metodologia:

• Aulas expositivas e dialogadas

4. Recurso:

• Jogo

5. Jogo “Quarteto das Inequações”

Os alunos recebem o baralho de 36 cartas, constituídos de nove quartetos. Em cada

quarteto, há quatro inequações, uma das inequações já com a solução e as outras três em

aberto. As cartas são embaralhadas e distribuídas para três ou quatro jogadores. Se algum

jogador notar que já tem um quarteto formado, deve colocar ao lado.

Para ilustrar a frente das cartas, foram usadas figuras que representam fractais,

retiradas de sites da Internet.

Material:

• folhas de papel cartão;

• folhas de oficio;

• papel contac.

92

Objetivo do jogo:

• Conseguir o maior número de quartetos possíveis.

Regras:

• Cada grupo recebe um baralho com 36 cartas, constituídos de nove quartetos;

• escolhe-se um jogador para iniciar o jogo. Este tem, por exemplo, a carta A1;

pergunta aos colegas quem tem a carta A2. Se um colega se manifesta afirmativamente, então

quem fez a pergunta deve responder corretamente à questão proposta na carta A2 e o outro

deve lhe entregar esta carta; ele continua perguntando, para qualquer colega do jogo, pelas

outras cartas que lhe faltam, do quarteto A;

• quando errar a resposta, o colega a quem ele perguntou continuará o jogo, da mesma

forma;

• o jogo termina quando todos os quartetos forem formados.

93

A1

A2

A1) 8572 +<− xx 5−>x

A1) 8572 +<− xx

A2) 43)1(2 +<− xx

A2) 43)1(2 +<− xx 6−>x

A3) 9254 −>+ xx

A3) 9254 −>+ xx

A4) 5)1(3)1(2 <−+− xx A4) 5)1(3)1(2 <−+− xx

A3

A4

A1) 8572 +<− xx

A1) 8572 +<− xx

A2) 43)1(2 +<− xx

A2) 43)1(2 +<− xx

A3) 9254 −>+ xx 7>x

A3) 9254 −>+ xx

A4) 5)1(3)1(2 <−+− xx A4) 5)1(3)1(2 <−+− xx 2<x

94

B1

B2

B1) 14)6(35 −>+− xxx 4>x

B1) 14)6(35 −>+− xxx

B2) 7)13(2)1(4 <+−− xx

B2) 7)13(2)1(4 <+−− xx

2

13−>x

B3) 19113 +<− xx

B3) 19113 +<− xx

B4) )1(3)1(2)1(4 ++−>− xxx

B4) )1(3)1(2)1(4 ++−>− xxx

B3

B4

B1) 14)6(35 −>+− xxx

B1) 14)6(35 −>+− xxx

B2) 7)13(2)1(4 <+−− xx

B2) 7)13(2)1(4 <+−− xx

B3) 19113 +<− xx

2

1<x

B3) 19113 +<− xx

B4) )1(3)1(2)1(4 ++−>− xxx

B4) )1(3)1(2)1(4 ++−>− xxx 7<x

95

C1

C2

C1) 303158 +<+ xx 3<x

C1) 303158 +<+ xx

C2) 1110)12(3 +<+ xx

C2) 1110)12(3 +<+ xx 2−>x

C3) 20)3(5)5(2 −<+−− xxx

C3) 20)3(5)5(2 −<+−− xxx

C4) )3(84)1(7 −−<−− xxx C4) )3(84)1(7 −−<−− xxx

C3

C4

C1) 303158 +<+ xx

C1) 303158 +<+ xx

C2) 1110)12(3 +<+ xx

C2) 1110)12(3 +<+ xx

C3) 20)3(5)5(2 −<+−− xxx

4

5−>x

C3) 20)3(5)5(2 −<+−− xxx

C4) )3(84)1(7 −−<−− xxx C4) )3(84)1(7 −−<−− xxx

11

31≤x

96

D1

D1) 8325 +>− xx

5>x D2) 92)2(3 ≥−+ xx D3) )2(10)32(7 −>− xx D4) )1(3)1(2)2(4 ++−>+ xxx D3

D1) 8325 +>− xx D2) 92)2(3 ≥−+ xx D3) )2(10)32(7 −>− xx

4

1>x

D4) )1(3)1(2)2(4 ++−>+ xxx

D2

D1) 8325 +>− xx D2) 92)2(3 ≥−+ xx

3≥x D3) )2(10)32(7 −>− xx D4) )1(3)1(2)2(4 ++−>+ xxx D4

D1) 8325 +>− xx D2) 92)2(3 ≥−+ xx D3) )2(10)32(7 −>− xx D4) )1(3)1(2)2(4 ++−>+ xxx

7<x

97

E1

E2

E1) 4324 −≥− xx 2−≥x

E1) 4324 −≥− xx

E2) 2)2(35 <+− xx

E2) 2)2(35 <+− xx 4<x

E3) xxx <+−− )1(5)1(2

E3) xxx <+−− )1(5)1(2

E4) )2(3)1(52)1(3 −−+≥+− xxx E4) )2(3)1(52)1(3 −−+≥+− xxx

E3

E4

E1) 4324 −≥− xx E1) 4324 −≥− xx

E2) 2)2(35 <+− xx

E2) 2)2(35 <+− xx

E3) xxx <+−− )1(5)1(2

4

7−>x

E3) xxx <+−− )1(5)1(2

E4) )2(3)1(52)1(3 −−+≥+− xxx E4) )2(3)1(52)1(3 −−+≥+− xxx 12≥x

98

F1

F2

F1) 1654 +−≤−− xx 5≤x

F1) 1654 +−≤−− xx

F2) xxx 23)3(45 −<+−

F2) xxx 23)3(45 −<+− 5<x

F3) 5)1(3)1(2 <−+− xx

F3) 5)1(3)1(2 <−+− xx

F4) )3(711)12(5 +≤++ xx F4) )3(711)12(5 +≤++ xx

F3

F4

F1) 1654 +−≤−− xx

F1) 1654 +−≤−− xx

F2) xxx 23)3(45 −<+−

F2) xxx 23)3(45 −<+−

F3) 5)1(3)1(2 <−+− xx 2<x

F3) 5)1(3)1(2 <−+− xx

F4) )3(711)12(5 +≤++ xx F4) )3(711)12(5 +≤++ xx

3

2≤x

99

G1

G1) xx 4726 +>+

2

5>x

G2) )2(332 +≤+ xx G3) xx 252)2(3 +≥++ G4) )13(4)7(3)3(5 −−≥−−− xxx

G3

G1) xx 4726 +>+ G2) )2(332 +≤+ xx G3) xx 252)2(3 +≥++

3−≥x

G4) )13(4)7(3)3(5 −−≥−−− xxx

G2

G1) xx 4726 +>+ G2) )2(332 +≤+ xx

3−≥x G3) xx 252)2(3 +≥++ G4) )13(4)7(3)3(5 −−≥−−− xxx

G4

G1) xx 4726 +>+ G2) )2(332 +≤+ xx G3) xx 252)2(3 +≥++ G4) )13(4)7(3)3(5 −−≥−−− xxx

23−≤x

100

H1

H2

H1) 1110198 +≤+ xx 4≥x

H1) 1110198 +≤+ xx

H2) 15)12(3 −<− xx

H2) 15)12(3 −<− xx 2<x

H3) 1)3(5)2(9 <−−− xx

H3) 1)3(5)2(9 <−−− xx

H4) )1(5)72(2)1(5 xxx −−−>− H4) )1(5)72(2)1(5 xxx −−−>−

H3

H4

H1) 1110198 +≤+ xx

H1) 1110198 +≤+ xx

H2) 15)12(3 −<− xx

H2) 15)12(3 −<− xx

H3) 1)3(5)2(9 <−−− xx 1<x

H3) 1)3(5)2(9 <−−− xx

H4) )1(5)72(2)1(5 xxx −−−>−

H4) )1(5)72(2)1(5 xxx −−−>− 7>x

101

J1

J2

J1) xx 2911 ≥− 1≤x

J1) xx 2911 ≥−

J2) 132)1(3 ≥−− xx

J2) 132)1(3 ≥−− xx 16≥x

J3) )13(2)3(2 +−<+ xx

J3) )13(2)3(2 +−<+ xx

J4) 2)1(4)1(3)1(5 −−<−−+ xxx J4) 2)1(4)1(3)1(5 −−<−−+ xxx

J3

J4

J1) xx 2911 ≥−

J1) xx 2911 ≥−

J2) 132)1(3 ≥−− xx

J2) 132)1(3 ≥−− xx

J3) )13(2)3(2 +−<+ xx 1−<x

J3) )13(2)3(2 +−<+ xx

J4) 2)1(4)1(3)1(5 −−<−−+ xxx J4) 2)1(4)1(3)1(5 −−<−−+ xxx 1−<x

102

Sugestões para o professor, para a aplicação de qualquer uma das atividades:

� planejar o uso dos jogos;

� fazer jogos coloridos;

� confeccionar cartelas para os jogos de uma forma simples;

� tentar fazer jogos que possam ser usados para a prática de mais de uma habilidade

matemática;

� fornecer condições para que o próprio aluno verifique se sua resposta está correta

ou que possa comparar a resposta com a dos colegas;

� variar o nível de dificuldades e o formato dos materiais;

� construir os jogos com materiais resistentes;

� instigar os alunos a jogar e, durante a realização do jogo, atuar como mediador da

aprendizagem, passando constantemente nas classes dos alunos observando as dificuldades

apresentadas em relação ao jogo e ao conteúdo trabalhado, intervindo e dialogando quando

necessário para sanar possíveis dúvidas dos alunos;

� não tornar o jogo obrigatório;

� utilizar atividades que envolvam dois ou mais alunos, para oportunizar a interação

social;

� estudar o jogo antes de aplicá-lo, para estabelecer suas possibilidades;

� antes de iniciar qualquer jogo, estabelecer com clareza suas regras e condições;

� não utilizar jogos que só precisem de sorte: a habilidade mental do aluno deve ser o

mais importante;

� durante ou após o trabalho com um jogo, analisar as conclusões e comentários que

surgirem.

103

REFERÊNCIAS

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104

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105

ANEXO

106