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Ângulos, Triângulos e Quadriláteros. Prof° Carlos

Ângulos, Triângulos e Quadriláteros. · Ângulos formados por duas retas paralelas cortadas por uma transversal 2 1 3 4 6 5 7 8 Correspondentes: 1 e 5, 2 e 6, 3 e 7, 4 e 8

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Ângulos, Triângulos

e Quadriláteros.

Prof° Carlos

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RECORDANDO...

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Ângulos formados por duas retas paralelas cortadas

por uma transversal

2 1

3 4

6 5

7 8

Correspondentes: 1 e 5, 2 e 6,

3 e 7, 4 e 8.

Alternos internos: 3 e 5, 4 e 6.

Alternos externos: 1 e 7, 2 e 8.

Colaterais internos: 3 e 6, 4 e 5.

Colaterais externos:1 e 8, 2 e 7.

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A soma das amplitudes dos ângulos internos de qualquertriângulo é igual a 180º.

180ºa b c

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A soma das amplitudes dos ângulos externos de qualquertriângulo é igual a 360º.

360ºa b c

a

b

c

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Recorda…

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Triângulo : 3 lados

Quadrilátero: 4 lados

Pentágono: 5 lados

Hexágono: 6 lados

Heptágono: 7 lados

Octógono: 8 lados

Eneágono : 9 lados

Decágono: 10 lados

Undecágono: 11 lados

Dodecágono: 12 lados

Pentadecágono:15 lados

Icoságono: 20 lados

05- Polígono regular - É equilátero e

por sua vez equiângulo.

06- Polígono irregular - Seus lados

têm comprimentos diferentes.

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Polígonos

Soma das medidas dos ângulos internos:

180º 2iS n

Soma das medidas dos ângulos externos:

360ºeS

Ângulos internos de um polígono regular:

180º 2 ou i

i i

nSa a

n n

Ângulos externos de um polígono regular:

360º ou e

e e

Sa a

n n

Número de diagonais de um polígono:

3

2

n nd

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Congruência de triângulos

Dois triângulos são congruentes se coincidem ao serem sobrepostos. Isso significa que seus lados, dois a dois, terão a mesma medida e o mesmo ocorrerá com os seus ângulos.

1o caso: LALDois lados congruentes e o ângulo formado por eles congruente

3o caso: ALADois ângulos congruentes e o lado compreendido entre eles congruente

4o caso: LAAoUm lado congruente, um ângulo adjacente e o ângulo oposto a esse lado congruente

2o caso: LLLTrês lados congruentes

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Semelhança de triângulos

Dois triângulos são semelhantes se, e somente se, possuem os três ângulos ordenadamente congruentes e os lados homólogos proporcionais.Dessa forma, basta verificar alguns elementos para saber se os dois triângulos são semelhantes.

1o caso: AASe dois ângulos de um triângulo são respectivamente congruentes a dois ângulos de outro, o terceiro ângulo também será.

3o caso: LALDois triângulos são semelhantes se possuem um ângulo congruente compreendido entre lados

proporcionais.

2o caso: LLLDois triângulos são semelhantes se os lados de um são proporcionais aos lados do outro.

Casos de semelhança:

Assim teremos:

AB BC AC

constanteDE EF DF

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Num triângulo: A lados iguais opõem-se ângulos

iguais e a ângulos iguais opõem-se lados iguais.

Ao maior lado opõe-se o maior ângulo e ao maior ângulo opõe-se o maior lado.

Ao menor lado opõe-se o menor ângulo e ao menor ângulo opõe-se o menor lado.

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MEDIANA, BISSETRIZ E ALTURA DE

UM TRIÂNGULO

Ceviana Definição Ponto notável Figura

Mediana

É o segmento que tem como

extremidade um vértice do

triângulo e o ponto médio do lado

oposto a esse vértice.

Baricentro (G): é o ponto de

encontro das medianas do

triângulo; é o centro de

gravidade do triângulo.

Bissetriz

É o segmento que tem uma

extremidade em um vértice do

triângulo, divide o ângulo ao meio

e tem a outra extremidade no

lado oposto a esse vértice.

Incentro (I): é o encontro das

bissetrizes internas do

triângulo; é o centro da

circunferência inscrita no

triângulo, pois equidista dos

três lados.

Altura

É o segmento com uma

extremidade em um vértice e a

outra extremidade no lado oposto

ou no seu prolongamento,

formando com ele ângulos retos.

Ortocentro (H): é o ponto de

encontro das retas que contêm

as alturas, podendo pertencer

ao exterior do triângulo.

Mediatriz

Reta que passa pelo ponto médio

de um lado do triângulo e é

perpendicular a ele.

Circuncentro (C): é o ponto

de encontro das mediatrizes

dos lados do triângulo; é o

centro da circunferência

circunscrita ao triângulo, pois

equidista dos três vértices.

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Quadriláteros

Quanto aos

ângulos

Quanto às

diagonais

Quanto aos

lados

Paralelogramo

Ângulos opostos

congruentes e

ângulos

adjacentes

suplementares.

Encontram-se no

seu ponto médio.

Lados opostos

congruentes.

Retângulo

Quatro ângulos

retos.

São congruentes. Lados opostos

congruentes.

Losango

Ângulos opostos

congruentes e

ângulos

adjacentes

suplementares.

São perpendiculares

entre si e estão

contidas nas

bissetrizes dos

ângulos internos do

losango.

Quatro lados

congruentes.

Quadrado

Quatro ângulos

retos.

Encontram-se no

seu ponto médio e

são congruentes.

Quatro lados

congruentes.

São polígonos de quatro lados em que a soma das medidas dos ângulos internos é 360º.

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Num paralelogramo, os lados opostos são congruentes (iguais).

Num paralelogramo, as diagonais dividem-se ao meio.

Num paralelogramo, os ângulos opostos são iguais.

Num paralelogramo, dois ângulos consecutivos são suplementares.

180ºa b

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Quadriláteros

Os trapézios são quadriláteros que têm apenas um par de lados paralelos, chamados base maior e base menor.

Trapézio retânguloÉ todo trapézio que tem dois ângulos retos. Nele, um dos lados que não é base é perpendicular às duas bases.

Trapézio isóscelesÉ todo trapézio que tem dois lados não paralelos congruentes.