Análise Combinatória, Binômio de Newton e probabilidadeprepapp.positivoon.com.br/assets/Modular/... · 6 Análise Combinatória, Binômio de Newton e probabilidade Por exemplo,

APRESENTAÇÃO

Este módulo faz parte da coleção intitulada MATERIAL MODULAR, destinada às três

séries do Ensino Médio e produzida para atender às necessidades das diferentes rea-

lidades brasileiras. Por meio dessa coleção, o professor pode escolher a sequência que

melhor se encaixa à organização curricular de sua escola.

A metodologia de trabalho dos Modulares auxilia os alunos na construção de argumen-

tações; possibilita o diálogo com outras áreas do conhecimento; desenvolve as capaci-

dades de raciocínio, de resolução de problemas e de comunicação, bem como o espírito

crítico e a criatividade. Além disso, trabalha com diferentes gêneros textuais (poemas,

histórias em quadrinhos, obras de arte, gráficos, tabelas, reportagens, etc.), a fim de

dinamizar o processo educativo, assim como aborda temas contemporâneos com o ob-

jetivo de subsidiar e ampliar a compreensão dos assuntos mais debatidos na atualidade.

As atividades propostas priorizam a análise, a avaliação e o posicionamento perante

situações sistematizadas, assim como aplicam conhecimentos relativos aos conteúdos

privilegiados nas unidades de trabalho. Além disso, é apresentada uma diversidade de

questões relacionadas ao ENEM e aos vestibulares das principais universidades de cada

região brasileira.

Desejamos a você, aluno, com a utilização deste material, a aquisição de autonomia

intelectual e a você, professor, sucesso nas escolhas pedagógicas para possibilitar o

aprofundamento do conhecimento de forma prazerosa e eficaz.

Gerente Editorial

Análise Combinatória, Binômio de

Newton e probabilidade

© Editora Positivo Ltda., 2011Proibida a reprodução total ou parcial desta obra, por qualquer meio, sem autorização da Editora.

DIRETOR-SUPERINTENDENTE: DIRETOR-GERAL:

DIRETOR EDITORIAL: GERENTE EDITORIAL:

GERENTE DE ARTE E ICONOGRAFIA: AUTORIA:

ORGANIZAÇÃO:EDIÇÃO DE CONTEÚDO:

EDIÇÃO:ANALISTAS DE ARTE:

PESQUISA ICONOGRÁFICA:EDIÇÃO DE ARTE:

ILUSTRAÇÃO:PROJETO GRÁFICO:

EDITORAÇÃO:CRÉDITO DAS IMAGENS DE ABERTURA E CAPA:

PRODUÇÃO:

IMPRESSÃO E ACABAMENTO:

CONTATO:

Ruben FormighieriEmerson Walter dos SantosJoseph Razouk JuniorMaria Elenice Costa DantasCláudio Espósito GodoyJorge Luiz Farago / Lucio Nicolau dos Santos CarneiroÂngela Ferreira Pires da TrindadeÂngela Ferreira Pires da TrindadeJeferson FreitasGiselle Alice Pupo / Tatiane Esmanhotto KaminskiTassiane SauerbierAngela Giseli de SouzaAngela Giseli / Divo / Jack ArtO2 ComunicaçãoSinal Gráfico / Bettina Toedter Pospissil / Sérgio Reis© iStockphoto.com/Jorge Delgado; © iStockphoto.com/Dario Sabljak; LatinStock/Corbis/DK Limited; Mary Evans Picture Library; © 2001-2009 HAAP Media Ltd/Klaus Post; P.Images/PithEditora Positivo Ltda.Rua Major Heitor Guimarães, 17480440−120 Curitiba – PRTel.: (0xx41) 3312−3500 Fax: (0xx41) 3312−3599Gráfica Posigraf S.A.Rua Senador Accioly Filho, 50081300−000 Curitiba – PRFax: (0xx41) 3212−5452E-mail: [email protected]@positivo.com.br

Dados Internacionais para Catalogação na Publicação (CIP)(Maria Teresa A. Gonzati / CRB 9-1584 / Curitiba, PR, Brasil)

Todos os direitos reservados à Editora Positivo Ltda.

F219 Farago, Jorge Luiz.Ensino médio : modular : matemática : Análise Combinatória, Binômio de

Newton e probabilidade / Jorge Luiz Farago, Lucio Nicolau dos Santos Carneiro ; ilustrações Angela Giseli, Divo, Jack Art. – Curitiba : Positivo, 2011.

: il.

ISBN 978-85-385-6395-2 (livro do aluno)ISBN 978-85-385-6396-9 (livro do professor)

1. Matemática. 2. Ensino médio – Currículos. I. Carneiro, Lucio Nicolau dos

Santos. II. Giseli, Angela. III. Divo. IV. Jack Art. V. Título. CDU 373.33

Neste livro, você encontra ícones com códigos de acesso aos conteúdos digitais. Veja o exemplo:

Acesse o Portal e digite o código na Pesquisa Escolar.

@MAT809Cubos

@MAT809

SUMÁRIO

Princípio Fundamental da Contagem 8

Fatorial de um número 11

Permutação simples 13

Permutações com repetições 17

Arranjo simples 20

Combinações simples 23

Triângulo de Pascal 31

Termo geral do desenvolvimento 35

Soma dos coeficientes do desenvolvimento de um binômio 38

Experimento aleatório e experimento determinístico 41

Espaço amostral e evento 42

Probabilidade 43

Adição de probabilidades 48

Multiplicação de probabilidades 51

Probabilidade condicional 55

Unidade 2: Binômio de Newton

Unidade 1: Análise Combinatória

Unidade 3: Probabilidades

Análise Combinatória, Binômio de Newton e probabilidade4

Não há ramo da matemática, por abstrato que seja, que não possa um

dia ser aplicado aos fenômenos do mundo real.

Lobachevsky

BOYER, Carl B. História da matemática. Tradução de Elza F. Gomide. 2. ed. São Paulo: Edgard

Blucher, 1996. p. 369.

Análise Combinatória1

Ensino Médio | Modular 5

MATEMÁTICA

Atualmente, uma das grandes preocupações de diretores de banco e de usuários, nas grandes e pequenas cidades do Brasil, é o roubo a caixas eletrônicos, pois, além de onerar o patrimônio da instituição em relação ao maquinário e ao valor roubado, coloca em risco a segurança dos clientes. Para minimizar esses roubos, os bancos estão colocando dispositivos carregados com tinta colorida. Assim que um caixa eletrônico é arrombado, mancham-se automaticamente as notas e, dessa forma, elas ficam marcadas e, consequente-mente, inutilizadas. Observe que em praticamente todos os caixas eletrônicos há mensagens para que as pessoas não aceitem notas manchadas nem queimadas, pois a procedência é ilícita.

Outro cuidado que se deve ter é quanto ao uso da senha de acesso às contas para realizar saques, consultas de saldo e extrato, transferências, entres outras transações bancárias. Alguns bancos, para dificultar que outras pessoas tenham acesso às senhas dos clientes, criaram dispositivos eficientes para isso. Na imagem a seguir de um caixa eletrônico, a senha de acesso é composta de 4 números e 3 letras escolhidos pelo usuário da conta.

O cliente digita os números na 1.a tela com o teclado abaixo e, após o banco verificar a senha numérica, a sequência de letras na 2a. tela. As letras são digitadas nos botões laterais de acordo com a ordem da senha.

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1.a Tela 2a. Tela

Ang

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Gis

eli.

2011

. Vet

or.


Por exemplo, se um usuário escolhe como senha numérica 1879 e RNF, ele digita os números na 1.a tela, e o banco verifica a senha com o nome do cliente. Em seguida, abre-se a 2a. tela, em que uma das opções é a pessoa digitar as letras escolhendo o 2.o botão da esquerda para a letra R, depois o 1.o botão da direita para a N e, por último, o 2.o botão da direita para a F.

Determine quantas senhas numéricas podem ser compostas com 4 algarismos:

Determine quantas senhas alfabéticas podem ser compostas com 3 letras:

Determine o total de senhas considerando 4 números e 3 letras que podem ser compostas:

No Brasil, no início da década de 1980, começaram a ser instaladas caixas eletrônicos em agências ban-cárias, o que trouxe comodidade aos usuários, pois o correntista poderia retirar dinheiro ou consultar saldos fora do horário convencional dos bancos. Com o passar do tempo, esses caixas passaram a dispor de outros serviços, como depósitos, transferências, pagamento de contas e aplicações financeiras. Com essa inovação, problemas surgiram, como assaltos a correntistas no momento da retirada de dinheiro.

Para tentar evitar problemas, que a cada ano aumentam, recomenda-se que o uso dos caixas eletrônicos seja feito durante o dia e em lugares movimentados. Se for usar o caixa eletrônico à noite, leve um ou mais acompanhantes e nunca aceite ajuda de estranhos. Se possível, utilize um caixa eletrônico em ambientes internos, como em supermercados, postos de combustível e shopping centers e fique atento à proximidade de estranhos, principalmente ao digitar a senha do cartão. Evite que outras pessoas vejam a senha do cartão e, em hipótese alguma, forneça-a para uma pessoa que não seja de sua confiança. Se o caixa retiver o cartão, notifique imediatamente o banco e evite retirar quantias muito grandes de dinheiro.

NoN Brasil

Uma lanchonete dá desconto para o cliente que opta por um lanche composto de um sanduíche, uma bebida e uma sobremesa. Entre os sanduíches, o cliente pode escolher entre sanduíche de presunto ou hambúrguer. As opções de bebidas são suco natural, água mineral ou mate gelado, e as sobremesas são melancia ou torta de morango.

A seguir, estão representadas as opções de lanches que um cliente pode optar:Ja

ck A

rt. 2

011.

Vet

or.

Ensino Médio | Modular

FÍSICA

7

FÍSICAMATEMÁTICA

O esquema representado denomina-se árvore de possibilidades. Agora, determine o número de opções diferentes que um cliente tem para escolher um sanduíche, uma bebida e uma sobremesa:

A Análise Combinatória é um ramo da Matemática que estuda a formação de agrupamentos e a forma de contagem de cada um deles.

Esses agrupamentos são divididos em dois tipos:1.o) Agrupamentos que se diferenciam pela natureza e ordem dos seus elementos.

Escreva os números com dois algarismos distintos formados pelos algarismos 1, 2 e 3:

O que você observou quanto aos agrupamentos formados?

2o.) Agrupamentos que se diferenciam apenas pela natureza dos seus elementos.Escreva as duplas de vôlei de praia que podem ser formadas pelos jogadores André, Beto e Carlos:

O que você observou quanto aos agrupamentos formados?

Nas atividades a seguir, classifique os agrupamentos de acordo com os dois tipos estudados anteriormente.

a) Agrupamentos em que são escolhidos três algarismos do conjunto {5, 6, 7, 9} para formar números:

b) Agrupamentos em que são escolhidas duas frutas de uma cesta com banana, maçã, pera, uva e manga para fazer um suco:

c) Agrupamentos em que são escolhidas duas pessoas de um grupo de seis pessoas de uma empresa, sendo que uma será o presidente e a outra, o vice-presidente:

d) Agrupamentos em que são escolhidas duas pessoas de um grupo de seis pessoas de uma empresa, sendo que ambas farão parte de um conselho:


Princípio Fundamental da Contagem

Em determinada convenção de um partido político, são escolhidos dois representantes que vão concorrer às próximas eleições para presidente de um país – um para ocupar o cargo de candidato a presidente e outro para ser o vice-presidente. Na convenção, concorreram ao cargo de candidato a presidente: João, Fernanda e Juliano; e ao cargo de candidato a vice- -presidente: Giovana e Rodrigo. Represente a árvore de possibilidades e determine o número de chapas que podem ser compostas de um candidato ao cargo de presidente e outro ao cargo de vice-presidente.

1. Giovana pretende viajar de uma cidade A até outra cidade C, mas deve passar pela cidade B. Da cidade A para a cidade B, ela pode optar por 3 linhas de ônibus diferentes. Da cidade B até a cidade C, ela tem 4 opções de linhas de ônibus diferentes. Represente, no desenho a seguir, as linhas e determine quantas possibilidades existem para Giovana sair da cidade A e ir para a cidade C passando por B?

A B C

2. João Pedro vai a um restaurante e pede um prato acompanhado de uma bebida e uma sobremesa. Nesse restaurante, há seis opções de prato, cinco de bebida e três de sobremesa. Assim, para fazer um pedido, quantas são as opções de João Pedro?

3. Maria Eduarda, para sair com suas amigas, vai vestir uma saia, um par de sapatos e uma blusa. Em seu armário, há três opções de saia, quatro pares de sapatos e seis opções de blusa. Quantas opções Maria Eduarda tem usando uma saia, um par de sapatos e uma blusa?

4. No banco em que Rodrigo tem conta, as senhas para movimentações em caixas eletrônicos são compostas de quatro algarismos, isto é, ele deve escolher quatro algarismos do conjunto {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Dessa forma, quantas possibilidades de senhas diferentes existem?

5. Rafael vai a uma loja comprar uma camisa e a vendedora oferece camisas de manga curta ou com-prida de três marcas diferentes e em cinco cores, com listras ou lisas. Rafael tem quantas opções diferentes para comprar uma camisa?

Árvore das

possibilidades

@MAT1099

Princípio

Fundamental

da Contagem

@MAT946


FÍSICA

9

FÍSICAMATEMÁTICA

6. Dos números com três algarismos formados pelos algarismos do conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6}, responda:

a) Quantos números podem ser formados?

b) Quantos números com algarismos distintos podem ser formados?

c) Quantos números são pares?

d) Quantos números são pares e têm os algarismos distintos?

Se um fato ou acontecimento ocorre em n etapas sucessivas e independentes e,

x1 é o número de possibilidades da 1.a etapa

x2 é o número de possibilidades da 2a. etapa

x3 é o número de possibilidades da 3a. etapa . . .xn é o número de possibilidades da n-ésima etapa,

o número total de possibilidades de ocorrer o fato ou acontecimento é dado pelo produto x1 . x2 . x3 . ... . xn

1. A soma de todos os números de três algaris-mos, não repetidos, que podem ser formados com os algarismos 1, 3 e 5 é:

a) 734 b) 1 017

c) 1 998 d) 3 994

e) 5 322

2. Uma questão é composta de 5 itens que devem ser avaliados e marcados com (V) se forem ver-dadeiros ou (F) se forem falsos. Dessa forma, determine de quantas formas distintas essa questão pode ser respondida.

3. Um aluno matriculado em uma universidade tem um número de identificação composto de 9 algarismos. Os quatro primeiros são o ano de ingresso na universidade, os núme-ros que estão na 5.a e 6.a posição indicam o curso em que o aluno passou. Os números na 7.a, 8.a e 9.a posição podem ser quaisquer algarismos de 0 a 9. Determine o número máximo de alunos que podem ser matricula-dos nos cursos de Engenharia Civil e Medici-na por ano.


4. Gabriel, ao criar a senha de acesso do seu compu-tador, deve escolher 5 símbolos distintos entre os algarismos 1 a 9 e as 23 letras do alfabeto (foram excluídas as letras k, w e y). Dessa forma, calcule:

a) O número de senhas, nas quais o primeiro símbolo seja um algarismo e os 4 últimos se-jam vogais.

b) O número de senhas compostas de letras, nas quais as duas primeiras são consoantes e as três últimas são vogais.

c) O número de senhas compostas apenas dos algarismos 1, 2, 3, 8 e 9.

d) O número de senhas compostas de 5 algaris-mos, sendo que os dois primeiros são alga-rismos pares e os três últimos são algarismos ímpares.

e) O número de senhas iniciadas pelas letras GAB nessa ordem e por 2 algarismos.

5. Uma bandeira com 5 listras verticais vai ser co-lorida com 4 cores diferentes.

Cada listra é pintada com uma cor, mas listras adjacentes não podem ter a mesma cor. Quan-tas bandeiras podem ser feitas?

6. (ENEM) Estima-se que haja, no Acre, 209 es-pécies de mamíferos, distribuídas conforme a tabela a seguir.

Grupos taxonômicos Número de espécies

Artiodáctilos 4

Carnívoros 18

Cetáceos 2

Quirópteros 103

Lagomorfos 1

Marsupiais 16

Perissodáctilos 1

Primatas 20

Roedores 33

Sirênios 1

Edentados 10

Total 209

T & C Amazônia, ano 1, n. 3, dez. 2003.

Deseja-se realizar um estudo comparativo en-tre três dessas espécies de mamíferos – uma do grupo Cetáceos, outra do grupo Primatas e a terceira do grupo Roedores. O número de conjuntos distintos que podem ser formados com essas espécies para esse estudo é igual a:

a) 1 320

b) 2 090

c) 5 845

d) 6 600

e) 7 245

7. A região a seguir foi dividida em 4 áreas e cada uma delas deve ser colorida com uma cor di-ferente. São disponibilizadas 4 cores, porém áreas cujo limite seja uma linha não podem ser pintadas da mesma cor.

1 2

3 4

Dessa forma, determine o número de possibili-dades em que

a) as áreas 2 e 3 tenham cores diferentes:

b) as áreas 2 e 3 tenham a mesma cor:

8. (UEPA) Uma loja de um shopping center na cidade de Manaus divulga inscrições para um torneio de games. Para realizar essas inscri-ções, a loja gerou um código de inscrição com uma sequência de quatro dígitos distintos, sendo o primeiro elemento da sequência di-ferente de zero. A quantidade de códigos de inscrição que podem ser gerados utilizando os elementos do conjunto {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} é:

a) 4 500

b) 4 536

c) 4 684

d) 4 693

e) 5 000

9. (UFAM) As cidades A, X, Y, Z e B estão interliga-das por rodovias indicadas conforme a figura a seguir. De quantos modos uma pessoa pode


FÍSICA

11

FÍSICAMATEMÁTICA

sair da cidade A e chegar à cidade B, passando apenas uma vez por cada cidade em cada cami-nho escolhido?

a) 90

b) 92

c) 94

d) 95

e) 102

10. (UNIR – RO) João precisa agendar suas aulas de inglês e de musculação a serem realizadas, cada uma, duas vezes por semana. As aulas de inglês são ofertadas às 15h, às 16h e às 17h, de segunda a sexta-feira, e as de musculação são ofertadas às 19h e às 20h, também de segun-da a sexta-feira. Admita que João deva fazer, obrigatoriamente, as duas atividades no mes-mo dia, em dias não consecutivos e que um dos dias da semana seja a segunda-feira. Nessas condições, é correto afirmar que a quantidade máxima de horários que João pode optar é:

a) 72 b) 36 c) 216

d) 108 e) 144

Fatorial de um número

Latin

Stoc

k/M

oodb

oard

Em uma escola, um professor, ao fazer um trabalho oral, dividiu a turma em 4 equipes, definiu um tema para cada uma e escolheu um dia para apresentarem para toda a turma. No dia da apresentação, o professor determinou de quantas for-mas diferentes poderia chamar as equipes para apresentar o trabalho. De quantas maneiras esse professor poderia chamar as equipes?

Um DJ faz festas de casamento e, para animar a pista, toca uma sequência de 6 músicas para divertir os convidados. Em todos os casamentos, ele inicia sempre com essas 6 músicas. Quantos casamentos esse DJ pode tocar iniciando com essas 6 músicas em sequências diferentes?

Em cálculos combinatórios, é comum trabalhar com produtos cujos fatores sejam números naturais consecutivos em ordem decrescente. Para isso foi cria-do um símbolo que representa essa multiplicação. Esse símbolo é o fatorial e é representado por ! ao lado do número.

Nos casos estudados anteriormente, observe como é possível representar o produto de fatores por meio do símbolo de fatorial.

4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 4!6 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 6!

Core

l.


a) 6

4

!

!

b) 10

9

!

!

c) 12 8

10 9

! !

! !

⋅⋅

d) 20 19

18

! !

!

−

e) ( )!

!

n

n

+ 2

f) ( )!

( )!

n

n

+−

1

1

Obtenha os resultados usando a simplificação:

O fatorial de um número natural n (n > 1), representado por n!, é definido como o produto dos n números naturais consecutivos de 1 a n.

n! = n ∙ (n – 1) ∙ (n – 2) ∙ (n – 3) ∙ ... ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1

Uma consequência da definição do fatorial é: n! = n ∙ (n – 1)!

Nos casos particulares para n = 1 e n = 0, define-se:1! = 1 0! = 1

Algumas calculadoras científicas trazem o cálculo do fa-torial de um número programado em sua memória. Observe a seguir.

Para obter o fatorial nesse caso, digitam-se o número (nesse caso 5) e, em seguida, as teclas shift e a referente ao símbolo do fatorial. Ao teclar o sinal de igual (=), o resultado 120 aparece na tela.Com o auxílio da calculadora, escreva o valor de cada fatorial a seguir:

hift

P. Im

agen

s/Pi

th

1. Simplifique as expressões a seguir.

a) 101 102100! !

!+

b) 15 1414 13

! !! !

++

c) ( )! ( )!( )! ( )!n nn n

+ ⋅ −+ ⋅ −

2 21 1

0!

1!

2!

3!

4!

5!

6!

7!

8!

9!

10!

11!

12!

2. Nas equações a seguir, determine a(s) raiz (raí-zes).

a) (n – 6)! = 720

b) (x!)2 = 36

c) (5x – 7)! = 1

FÍSICAFÍSICAMATEMÁTICA

7. (UFRJ) Seja n = 20!. Determine o maior fator primo de n.

8. (FURG – RS) Os telefones de Rio Grande têm seus números formados por 8 algarismos, sendo o primeiro igual a 3 e o segundo igual a 2. Dos 6 números restantes, os dois primeiros constituem o prefixo da central telefônica correspondente ao bairro. A quantidade máxima de números telefônicos que podem ser instalados nos bairros servidos pelas centrais de prefixos 31, 32, 33, 35 e 36 é:

a) 5 . 104 b) 10!

c) 105

!!

d) 105

4 e) 5 . 10!

9. (UESC – BA) O valor de x ∈ , tal que

x 2 ! 2x 2 !

402x 1 ! x 1 x!

, é:

(01) 6 (02) 3 (04) 3

(04) 5 (05) 2

3. Determine o valor de n na igualdade:

1 2 3

11

240+ + + +

+=...

( )!n

n

O numerador do 1.o membro é a soma dos n termos de uma PA, logo:

4. (UFC – CE) Dentre os cinco números inteiros lis-tados a seguir, aquele que representa a melhor aproximação para a expressão:

2 . 2! + 3 . 3! + 4 . 4! + 5 . 5! + 6 . 6! é:

a) 5 030 b) 5 042 c) 5 050

d) 5 058 e) 5 070

5. Determine o(s) valor(es) de n na equação

3 12

( )!( )!

nn

n+

+=

6. (UNIFRA – RS) Para que valores de n a equação (n + 2)! + (n + 1)! = 15n! é satisfeita?

a) 2 b) 2 e –6 c) –2 e 6

d) 6 e) –2 e –6

Permutação simples

O princípio fundamental da contagem é a ferramenta básica para resolução de problemas de Análise Combinatória. Porém, essa ferramenta pode se tornar trabalhosa se aplicada diretamente na resolução de alguns problemas. Dessa forma, são trabalhadas relações que facilitam o desenvolvimento e as respostas de várias situações particulares de acordo com a formação dos agrupamentos.

Você conhece o desenho animado Shrek? Ele conquistou boa parte do mundo pela irreverência e pelo humor que agrada adultos e crianças, fazendo alusões a vários outros filmes. O primeiro filme do Shrek estreou em 2001 e conta com mais 3 filmes, todos feitos para o cinema. A história do desenho gira em torno de um ogro que procura paz e tranquilidade na sua casa, que fica em um pântano, mas é frequentemente atra-palhado por várias situações engraçadas. Com o decorrer da sequência, 4 personagens se destacaram: Shrek, Burro, Gato

de Botas e Fiona. A história desses 4 filmes conta com situações engraçadas, que, por vezes, as crianças não têm alcance de en-

tender, ficando claro que também é um desenho para os adultos.

Latin

Stoc

k/A

lbum

/Dre

amw

orks

Pic

ture

s

LatinStock/Album/Dreamworks Pictures

Glow Images/Courtesy Everett Collection/Paramount Pictures

Latin

Stoc

k/A

lbum

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14

Foto

s: L

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Stoc

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Latin

Stoc

k/A

lbum

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y Ev

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Para

mou

nt

Agora, acompanhe esses 4 personagens se posicionando para tirar uma foto. Observe a seguir algumas possibilidades para esta foto:


Cada uma das posições é uma foto diferente. Qual o total de fotos diferentes que poderiam ser tiradas apenas mudando a ordem dos personagens?

Como poderia escrever o produto utilizando o conceito de fatorial?

As várias possibilidades de fotos dos personagens do desenho são denominadas de permutações. Segundo o Dicionário Aurélio, permutar significa: dar mutuamente; trocar. Assim, cada elemento que muda de lugar caracteriza uma das permutações que são possíveis de

se obter com 5 elementos. Observe outro exemplo:Rodrigo é um estudante do Ensino Médio. Depois de chegar da escola e almoçar, ele realiza quatro

atividades: Pratica um esporte durante uma hora (atividade A).

Estuda as disciplinas que teve naquele dia (atividade B).

Responde aos e-mails dos seus amigos (atividade C).

Joga videogame (atividade D).

Escreva todas as maneiras com que Rodrigo pode realizar essas atividades:

Permutações simples de n elementos são agrupamentos formados de um conjunto com n elementos, que se diferenciam pela ordem de seus elementos. O número de permutações de n elementos, representada por Pn, é determinada por:

Pn = n!

Resolva as atividades a seguir:

1. Escreva, em ordem crescente, todas as permutações formadas com os elementos do conjunto {1, 2, 3}.

2. Dados o conjunto A = {2, 4, 5, 7, 8, 9}, determine

a) a quantidade de números com 6 algarismos, sem repetição, formados com os elementos de A:

b) a quantidade de números pares com 6 algarismos, sem repetição, formados com os elementos de A:



c) a quantidade de números menores que 5 000 e múltiplos de 5 com 6 algarismos, sem repetição, formados com os elementos de A:

3. O representante de um laboratório vai deixar amostras grátis de medicamentos no consultório de 4 médicos. De quantas maneiras diferentes ele deixará uma amostra em cada consultório?

Os anagramas podem formar palavras ou apenas sequências de letras sem qualquer sentido.

Escreva a seguir os anagramas da palavra AMOR e destaque aqueles que formam palavras, isto é, têm significado.

Anagramas: são permutações

formadas com as letras de uma

palavra.

1. Em relação aos anagramas da palavra FUTEBOL:

a) Quantos são ao todo?

b) Quantos começam por F e terminam por L?

c) Quantas terminam por vogal?

2. Claudino criou uma senha de acesso a um site da internet usando os algarismos do seu ano de nascimento, ou seja, 1, 9, 7 e 3. Após al-gum tempo, ele esqueceu a senha, mas sabia que não era o ano do seu nascimento. Qual o número máximo de tentativas diferentes de se-nhas ele teria de digitar para conseguir acessar o site?

3. De quantos modos diferentes podemos arru-mar 7 livros de disciplinas diferentes em uma estante, sendo que os livros de Matemática e Física devem permanecer juntos?

4. Qual é número de anagramas da palavra CINE-MA que começam por C e terminam por A?

5. Na festa de fim de ano de uma escola, os 5 alu-nos que obtiveram as melhores médias no ano pediram a 2 professores que se posicionassem para uma foto, lado a lado. O fotógrafo pe-diu aos alunos que ficassem enfileirados, lado a lado, e os professores, um em cada extremi-dade. Dessa forma, determine a quantidade de maneiras que essas pessoas podem se posicio-nar para a foto.

6. Se todos os anagramas da palavra AMOR fo-rem colocados em ordem alfabética, o anagra-ma ROMA estará em qual posição?


FÍSICA

17

FÍSICAMATEMÁTICA

7. (ENEM) Imagine uma eleição envolvendo 3 can-didatos A, B, C e 33 eleitores (votantes). Cada eleitor vota fazendo uma ordenação dos três candidatos. Os resultados são os seguintes:

Ordenação No. de votantes

ABC 10

ACB 04

BAC 02

BCA 07

CAB 03

CBA 07

Total de votantes 33

A primeira linha do quadro descreve que 10 elei-tores escolheram A em 1.º lugar, B em 2.º lugar e C em 3.º lugar e assim por diante. Considere o sistema de eleição no qual cada candidato ga-nha 3 pontos quando é escolhido em 1.º lugar, 2 pontos quando é escolhido em 2.º lugar e 1 ponto se é escolhido em 3.º lugar. O candidato que acumular mais pontos é eleito. Nesse caso:

a) A é eleito com 70 pontos.

b) A é eleito com 68 pontos.

c) B é eleito com 70 pontos.

d) B é eleito com 68 pontos.

e) C é eleito com 68 pontos.

8. (UFSCAR – SP) Todas as permutações com as letras da palavra SORTE foram ordenadas alfa-beticamente, como em um dicionário. A última letra da 86.ª palavra desta lista é:

a) S b) O c) R

d) T e) E

9. (UESC – BA) O número de modos para se for-mar uma fila com 8 casais de namorados, de forma que cada namorada fique junto do seu namorado e que pessoas do mesmo sexo não fiquem juntas, é:

(01) 28

(02) 28 . 8!

(03) 8!

(04) 16!

(05) 2 . 8!

10. (UNEAL) Considere os algarismos 2, 3, 4, 6 e 9. Quantos múltiplos de 3 com quatro algarismos distintos podemos obter usando apenas os al-garismos acima?

a) 64 b) 62 c) 72

d) 74 e) 66

Permutações com repetições

Considere todos os anagramas da palavra CASA. Determine a quantidade de anagramas de acordo com o conceito de permutação simples:

Observe os anagramas representados a seguir:

Começando por C Começando por A (vermelho)

CASA ACSA

CAAS ACAS

CSAA AACS

CSAA AASC

CASA ASCA

CAAS ASAC

Permutação

com

repetição

@MAT939

Começando por S Começando por A (verde)

SACA ACSA

SAAC ACAS

SAAC AACS

SACA AASC

SCAA ASCA

SCAA ASAC

Porém as letras A vermelha (A) e A verde (A) no anagrama não são distintas. Assim, quantos anagramas repetidos são formados com as letras da palavra CASA?

Aponte dois anagramas dos 24 obtidos que são iguais:

Quantos anagramas são formados com as letras da palavra CASA?

Quando são calculados os anagramas de uma palavra que tem letras repetidas, é necessário que se desconsiderem os anagramas que permutam essas letras entre si. Observe outro exemplo:

Considere os anagramas da palavra ARARA iniciados pela letra A.Para perceber melhor como ocorrem as repetições em um anagrama, a palavra será escrita da

seguinte maneira AR1AR2A.

Quando se permutam as letras AAA entre si e as letras R1 e R2 entre si, obtêm-se novos anagramas que diferem na cor das letras A ou no índice das letras R. Por exemplo:

AAAR1R2

AAARR AAAR2R1

AAAR1R2

AAARR AAAR2R1

AAAR1R2

AAARR AAAR2R1

AAAR1R2

AAARR AAAR2R1

AAAR1R2

AAARR AAAR2R1

AAAR1R2

AAARR AAAR2R1

Porém, mesmo que se permutem essas letras entre si, o anagrama é o mesmo. Dessa forma, para cada anagrama, em que apenas as letras A são permutadas, existem 3! possibilidades iguais. E cada anagrama em que apenas as letras R são permutadas existem 2! possibilidades iguais. Então, cada anagrama é considerado 12 vezes. Agora, determine o número de anagramas da palavra ARARA:

Escreva todos os anagramas da palavra ARARA:



FÍSICA

19

FÍSICAMATEMÁTICA

O número de permutações de n elementos em que existem α elementos iguais a a, β elementos iguais a b, γ elementos iguais a c, ... , é determinado por:

Pn

nα β γ

α β γ, , , ... !

! ! ! . ...=

⋅ ⋅

1. Determine o número de anagramas de cada palavra.

a) SUCESSO

b) VERDE

c) MACACA

d) POSITIVO

2. De acordo com os dados dos últimos campeo-natos brasileiros da série A, um time que atin-giu 46 pontos ou mais na classificação ficou fora da chamada “zona de rebaixamento” e manteve-se na elite do futebol nacional. Con-sidere um time que está com 36 pontos e ain-da tem 4 jogos para disputar com adversários antes do término do campeonato. A cada vi-tória, são somados 3 pontos para o vencedor, nenhum ponto para o perdedor e, a cada em-pate, 1 ponto para cada time. Responda:

a) Esse time tem condições de se manter na sé-rie A do campeonato e não ser rebaixado? Justifique.

b) Escreva as possibilidades que ele pode ter para não ser rebaixado.

3. Quantos números de 5 algarismos podemos formar permutando os dígitos 2, 2, 5, 5, e 7? Quantos desses números são pares?

4. Uma moeda é lançada 5 vezes. Quantas sequên-cias existem com:

a) 5 caras.

b) 4 caras e 1 coroa.

c) 3 caras e 2 coroas.

d) 2 caras e 3 coroas.

e) 1 cara e 4 coroas.

f) 5 coroas.

5. A escola onde Rafael estuda e sua casa estão re-presentadas na ilustração a seguir pelos pontos A e B respectivamente. As linhas são as ruas, e os quadrados são as quadras. Rafael faz diariamente, de segunda a sexta-feira, este trajeto após a aula.

Para não perder tempo, Rafael percorre as ruas sempre para a direita e para cima. Quantos ca-minhos diferentes Rafael pode fazer de sua es-cola até sua casa?

6. De uma urna são extraídas 3 bolas verdes e 2 bolas vermelhas. Elas são extraídas uma a uma e sem reposição. Quantas sequências di-ferentes existem para a retirada dessas bolas?

7. (FGV – SP) O número de permutações da pala-vra ECONOMIA que não começam nem termi-nam com a letra O é:

a) 9 400 b) 9 600

c) 9 800 d) 10 200

e) 10 800


8. (UEPG – PR) Em relação aos anagramas da pa-lavra "cidade", assinale o que for correto:

(01) Em 72 anagramas as vogais aparecem jun-tas.

(02) Podem ser formados 360 anagramas.

(04) Em 72 anagramas as consoantes apare-cem juntas.

(08) 60 anagramas começam com "c".

(16) 180 é o número de anagramas que come-çam por vogal.

9. (UNESP) A figura mostra a planta de um bair-ro de uma cidade. Uma pessoa quer caminhar do ponto A ao ponto B por um dos percursos mais curtos. Assim, ela caminhará sempre nos sentidos “de baixo para cima” ou “da esquerda

para a direita”. O número de percursos diferen-tes que essa pessoa poderá fazer de A até B é:

a) 95 040 b) 40 635 c) 924

d) 792 e) 35

10. Com uma letra M, uma letra O e um certo nú-mero de letras A, podemos formar 20 permuta-ções. Quantas letras A são usadas?

Arranjo simples

Imagem de um Grande Prêmio da Fórmula 1, um dos esportes mais populares atualmente

Latin

Stoc

k/Co

rbis

/Dav

id E

bene

r

Massa, Rubens Barrichello e Bruno Senna, sobrinho do piloto brasileiro Ayrton Senna, morto em um acidente em 1994 no Grande Prêmio de San Marino.

No começo de cada temporada, apostas e previsões são feitas para se conhecer o futuro campeão. No ano de 2011, a Fórmula 1 contou com 24 pilotos e 12 equi-pes. Quantas possibilidades de resultado puderam ser calculadas para o 1.°, 2.° e 3.° lugares dessa temporada?

Atualmente, a mais popular modalidade de automobilismo é a Fórmula 1, que teve origem na Europa antes da Segunda Guerra Mundial. Ela foi suspensa durante a guerra, que durou de 1939 a 1945, e retornou em 1950. Nessa época, eram disputados apenas seis grandes prêmios e as 500 milhas de Indianápolis, nos Estados Unidos.

Hoje, a Fórmula 1 é disputada em 20 grandes prêmios em vários lugares do mundo, com exceção da África. O Brasil tem uma participação muito ativa e importante e, em 2011, estava representado pelos pilotos Felipe


O número de possibilidades de resultados diferentes são agrupamentos que diferem na natureza e posição de seus elementos, ou seja, para cada uma das possibilidades, se for alterada a ordem dos elementos, tem-se outro agrupamento diferente.

No caso abordado foram considerados 24 pilotos em 3 posições. Cada um dos resultados é de-nominado de arranjo, e o total de resultados é o total de arranjos de 24 elementos escolhidos 3 a 3. Esse total é representado por A24

3 ou A24,3.Observe como é possível determinar os arranjos por meio de fatorial:

A243 = 24 ∙ 23 ∙ 22

Multiplicando o produto por 21

21

!

!A24

3 = 24 ∙ 23 ∙ 22 ∙ 21

21

!

!

A243 24 23 22 21

21= ⋅ ⋅ ⋅ !

!

Escrevendo o numerador como 24! e o denominador como (24 – 3)!, tem-se:

A243 24

24 3=

−!

( )!

Dessa forma, o número de arranjos pode ser escrito em função do número de elementos, e o número de elementos de cada agrupamento é denominado de taxa de escolha.

Ao formar um arranjo, os elementos estão ordenados de maneira sequencial. Em um arranjo, quando algum elemento é mudado por outro ou a posição de algum elemento é mudada, obtém-se uma nova sequência diferente da anterior. Dessa forma, os arranjos simples estão relacionados à formação de sequências, na qual a mudança na ordem ou na natureza dos elementos caracteriza sequências diferentes.

Arranjos simples de n elementos escolhidos p a p são agrupamentos formados com p elementos de um conjunto com n elementos. Esses agrupamentos se diferenciam pela ordem e natureza de seus elementos.

O número de arranjos simples de n elementos escolhidos p a p, representado por Anp ou

An, p, é determinado por:

An

n pnp =

−!

( )!

com n, p ∈ N* e n ≥ p

a) A103

b) A62

c) A53

d) A5049

e) Ann

Determine os arranjos a seguir:



1. Considere todos os números com 2 algarismos distintos formados pelos algarismos 1, 2, 3 e 5.

a) Escreva todas as possibilidades.

b) Determine o número de possibilidades utili-zando o conceito de arranjos.

2. Em uma competição de natação, participaram representantes dos seguintes estados: Paraná, Santa Catarina, São Paulo, Rio de Janeiro, Bahia, Ceará, Mato Grosso e Amazonas. De quantas maneiras poderiam ser distribuídas as medalhas de ouro, prata e bronze?

3. Determine a quantidade de números inteiros formados por três algarismos distintos, escolhi-dos dentre 1, 3, 5, 7 e 9, e que são maiores que 200 e menores que 800.

4. Qual a quantidade de números pares com qua-tro algarismos distintos que podem ser formados com os elementos do conjunto {0, 1, 2, 3, 4, 5}?

5. No Brasil, os números de telefone são compos-tos por oito algarismos, sendo que os quatro primeiros formam o prefixo. Determine:

a) o total de números de telefone com prefixo 0800 que têm os demais algarismos distin-tos e distintos do prefixo.

b) o total de números de telefone com prefixo 0800 nos quais a segunda parte, independentemente do prefixo, tem todos os algarismos distintos.

c) o total de números de telefone iniciados por 3 que têm todos os algarismos distintos.

d) o total de números de telefone iniciados com 9 ou 8 nos quais o prefixo, independentemente da segunda parte, tem os algarismos distintos.

e) o total de números de telefone com prefixo 3039 nos quais a segunda parte é constituí-da de algarismos diferentes dos que figuram no prefixo.

6. Em 1990, as placas no Brasil passaram a ter 3 letras seguidas de 4 algarismos. A placa com o número 0000 não é usada. Determine:

a) o número máximo de placas que podem ser usadas no Brasil.

b) o número máximo de placas com letras e al-garismos distintos que podem ser usadas no Brasil.

7. O sistema de numeração utiliza os dígitos de 0 a 9 para formar os números naturais. Quantos são os números naturais de cinco algarismos formados por cinco dígitos diferentes?

8. (IFPE – PE) Um órgão público federal tem oito servidores em cargos de chefia. Desse grupo, três serão escolhidos para formar uma comis-são de licitação. Sabendo que essa comissão é formada por um presidente, um vice-presiden-te e um secretário, de quantas maneiras dis-tintas poderá ser feita a escolha dos membros dessa comissão?

a) 330 b) 332

c) 334 d) 338

e) 336

9. (UFJF – MG) Uma empresa fornece a seus fun-cionários um cartão de acesso ao seu escritório e uma senha, que é um número com 4 algaris-mos, escolhidos dentre os elementos do con-junto {1, 2, 3, 4}. Não são admitidas senhas em que um mesmo algarismo apareça 3 vezes ou mais. Qual é o número máximo de senhas desse tipo que poderão ser oferecidas pela em-presa?

a) 204 b) 208

c) 240 d) 252

e) 256

10. (PUCRS) Uma melodia é uma sequência de no-tas musicais. Para compor um trecho de três notas musicais sem repeti-las, um músico pode utilizar as sete notas que existem na escala mu-sical. O número de melodias diferentes possí-veis de serem escritas é:

a) 3 b) 21 c) 35

d) 210 e) 5040

11. (UFAM) Um estádio de futebol é composto por n cadeiras numeradas. De quantas maneiras di-ferentes os sete primeiros torcedores que che-garem para assistir a um jogo de futebol nesse estádio podem escolher seus lugares?

a) An,7 b) n c) A7,7

d) 71

nn +

e) n (n + 7)


FÍSICA

23

FÍSICAMATEMÁTICA

Combinações simples

Em 2010, foi realizada a 19.a Copa do Mundo de Futebol, e a Espanha sagrou-se campeã, vencendo a Holanda por 1 a 0. O Brasil foi eliminado nas quartas de final pela Holanda, por 2 a 1, mas passou a 1.a fase em primeiro lugar de sua chave. Na mesma chave da Seleção Brasileira, estavam Portugal, Costa do Marfim e Coreia do Norte. As quatro equipes jogaram entre si.

Cartaz oficial da Copa do Mundo de Futebol de 2010 realizada na África do Sul

© 2

010

FIFA

TM Agora, responda:

a) Representando as equipes do Brasil, de Portugal, da Costa do Marfim e da Coreia do Norte por B, P, CM e CN, respectivamente, escreva todos os jogos que acon-teceram na 1.a fase no grupo do Brasil:

b) Por meio do conceito de arranjos simples, determine a quantidade de jogos dessa fase:

Considerando as respostas dadas às questões a e b, o que se pode afirmar quanto aos resultados?

Os jogos são agrupamentos formados em que não importa a ordem dos elementos. Agrupamentos que têm os mesmos elementos em ordens diferentes são iguais. Por isso são contados uma única vez.

Observe outro exemplo:Considerando as frutas maçã, banana, laranja, morango e abacaxi e utilizando o conceito de arranjos

simples, determine quantos sucos com 3 frutas podem ser feitos:

Cada um dos conjuntos formados é denominado de combinações simples. Nesses agrupamentos, não importa a ordem dos elementos, ou seja, eles diferem apenas na natureza dos elementos.

Para o caso do número de jogos, o número de combinações simples é determinado por A6

2

2! = 6.

E, no caso do número de conjuntos formados, o número de combinações simples é A5

3

3! = 10.

Em uma combinação, quando a posição de algum elemento é mudada, não se obtém uma nova com-binação, pois os elementos fazem parte de um subconjunto. Dessa forma, as combinações simples estão relacionadas à formação de subconjuntos, na qual a mudança na ordem dos elementos não caracteriza uma nova combinação. Apenas a mudança na natureza dos elementos caracteriza subconjuntos diferentes.

©Fi

fa 2

010

TM

Combinações

@MAT870


Combinações simples de n elementos escolhidos p a p são agrupamentos formados de um conjunto com n elementos. Essas combinações se diferenciam pela natureza de seus elementos.

O número de combinações simples de n elementos escolhidos p a p, representado por Cnp ou

Cn,p, é determinado por:

CA

pou C

n

p n pnp n

p

np= =

⋅ −!

!

! ( )!

com n, p ∈ N* e n ≥ p

Determine as combinações a seguir:

a) C124

b) C62

c) C53

d) C5049

e) Cnn

f) Cn0

Com o uso da calculadora, determine os pares de combinação a seguir:

a) C e C64

62 b) C e C9

297 c) C e C11

4117

O que podemos afirmar quanto aos pares de combinações em cada item?

1. O Campeonato Brasileiro de Futebol, ou “Bra-sileirão” (Série A), é composto de 20 times que jogam entre si em dois turnos. É um cam-peonato de pontos corridos em que o vence-dor é o time que acumula mais pontos em to-dos os jogos. Em cada jogo, o time vencedor ganha três pontos, e o perdedor não ganha pontos. No caso de empate, ambos recebem um ponto cada. Com base nessas informa-ções, determine:

a) o total de jogos que um time disputa no 1.o turno.

b) o total de jogos do 1.º turno.

c) o total de jogos nos dois turnos.

d) no começo do campeonato, o número de possibilidades para o 1.º, 2.º e 3.º lugares.

e) o número máximo de pontos que um time pode obter até o término do campeonato.

f) o total de possibilidades de sequências que podemos formar do 1.º até o 20.º lugar.


FÍSICA

25

FÍSICAMATEMÁTICA

2. (ACAFE – SC) Uma confeitaria produz 6 tipos diferentes de bombons de frutas. O número de embalagens diferentes que ela pode formar, sabendo que em cada embalagem deve conter 4 tipos diferentes de bombons, é:

a) 10 b) 30 c) 120

d) 45 e) 15

3. (UNIFEI – MG) O icosaedro regular é um polie-dro convexo formado por 20 faces triangulares. Quantas diagonais tem o icosaedro?

4. Qual é o número de segmentos de reta que têm ambas as extremidades localizadas nos vértices de um cubo? Desses segmentos, quantos não são arestas?

5. (UEMS) O matemático francês René Descartes (1596-1650) escreveu: “Quando quero pen-sar em um quiliógono, concebo na verdade que é um polígono composto de mil lados tão facilmente quanto concebo que um tri-ângulo é um polígono de três lados; mas não posso imaginar os mil lados de um qui-liógono como faço com os três lados de um triângulo, nem, por assim dizer, vê-los como presentes com os olhos de meu espírito”.DESCARTES, René. Meditações. Trad. de J. Guinsburg e Bento Prado Júnior. São Paulo: Nova Cultural, 1988.

Com base nesse texto, quantos triângulos po-dem ser obtidos tendo vértices em três quais-quer dos vértices de um quiliógono?

a) 164 165 000 b) 165 166 000

c) 166 167 000 d) 997 002 000

e) 997 003 000

6. Na Copa do Mundo, as 32 equipes são dividi-das em 8 chaves, e em cada chave é escolhido um país como cabeça de chave. Uma das razões para essa escolha é evitar que os times mais for-tes se concentrem em uma única chave e, con-sequentemente, em outra estejam apenas times mais fracos. Dessa forma, haverá um equilíbrio. Supondo que em uma Copa do Mundo os cabe-ças de chave já estão definidos, as chaves A e B também estão definidas e o Brasil está na chave C, qual é o número de possibilidades diferentes que teremos para formar a chave do Brasil?

7. O jogo da megassena consiste em escolher de 6 a 15 dezenas de um cartão com 60 dezenas. A

aposta mínima é de 6 dezenas e custa R$ 2,00. A cada combinação de 6 dezenas, o preço é de R$ 2,00. Assim, determine:

a) o custo da aposta de 7 cartões com 6 deze-nas em cada.

b) o custo da aposta de um cartão com 7 dezenas.

c) o custo da aposta de um cartão com 9 dezenas.

d) o total de combinações que podem ser for-madas utilizando os 60 números.

e) se uma pessoa faz apostas com todas as combinações possíveis, qual é o valor pago por ela?

8. Em um hospital há 15 profissionais, sendo 10 médicos e 5 enfermeiros. Determine o número de comissões que podem ser formadas:

a) Com 4 profissionais desse hospital.

b) Com 3 profissionais, entre eles pelo menos um enfermeiro.

c) Com 5 profissionais, todos médicos.

9. (UFRN) A figura ao lado mostra um quadro com sete lâmpadas fluorescentes, as quais podem estar acesas ou apagadas, in-dependentemente umas das outras. Cada uma das situações possíveis corresponde a um sinal de um código. Nesse caso, o nú-mero total de sinais possíveis é:

a) 21 b) 42 c) 128 d) 256

10. (UERJ) Um cofre eletrônico possui um painel com dez teclas numéricas e pode ser aberto por meio da digitação, em qualquer ordem, de três teclas distintas dentre seis habilitadas pre-viamente pelo fabricante.

Considere n o número máximo de conjuntos distintos de três teclas que abrem o cofre. Na figura em destaque, as teclas azuis represen-tam as habilitadas previamente.

Se o fabricante reduzisse para cinco o núme-ro de teclas habilitadas, haveria entre elas um total de m conjuntos distintos de três teclas distintas para abrir o cofre. Calcule o valor de n – m.

11. (FFFCMPA – RS) Um técnico de laboratório dispõe de nove substâncias que podem reagir entre si formando novas substâncias. Para ob-ter essas novas substâncias, pretende colocar duas substâncias no primeiro frasco, três subs-tâncias no segundo frasco e quatro substân-cias no terceiro frasco. De quantas maneiras distintas ele poderá fazer essa distribuição?

a) 5 040 b) 1 260 c) 2 520

d) 252 e) 72

12. (ITA – SP) Dentre 4 moças e 5 rapazes deve-se formar uma comissão de 5 pessoas com, pelo menos, 1 moça e 1 rapaz. De quantas formas distintas tal comissão poderá ser formada?

13. (UDESC – SC) A soma dos valores de m e n, que são soluções do sistema

A C

C Am n

m n

, ,

, ,

2 2

1 2

2 14

11

− =

+ =

⎧⎨⎪

⎩⎪, é:

a) 6 b) 7 c) 8 d) 5 e) 3

1. João é um pai de família que todas as segundas- -feiras cumpre com as seguintes atividades:

Vai ao mercado fazer compras para a semana.

Leva às 13 h sua filha Maria Eduarda para a escola.

Vai ao banco tirar dinheiro para despesas ge-rais. O horário do banco é das 10 h às 16 h, ininterruptamente, e ele vai sempre depois de deixar Maria Eduarda na escola.

Busca às 17 h 30 a sua filha Maria Eduarda na escola.

Passa no escritório para pegar a correspondência.

De quantas maneiras diferentes João pode cum-prir todas essas atividades?

a) 10 b) 12 c) 8 d) 20 e) 120

2. (ENEM) No Nordeste brasileiro, é comum en-contrarmos peças de artesanato constituídas por garrafas preenchidas com areia de diferen-tes cores, formando desenhos. Um artesão de-seja fazer peças com areia de cores cinza, azul, verde e amarela, mantendo o mesmo desenho,

mas variando as cores da paisagem (casa, palmeira e fundo), conforme a figura.

O fundo pode ser representado nas cores azul ou cinza; a casa, nas cores azul, verde ou amarela; e a palmeira, nas cores cinza ou verde. Se o fundo não pode ter a mesma cor nem da casa nem da palmeira, por uma questão de contraste, então o número de va-riações que podem ser obtidas para a paisagem é:

a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10

3. (ENEM) O código de barras, contido na maior parte dos produtos industrializados, consiste num conjunto de várias barras que podem estar preenchidas com cor escura ou não. Quando um leitor óptico passa sobre essas barras, a leitura de uma barra clara é convertida no número 0 e a de uma barra escura no número 1. Observe a seguir um exemplo simplificado de um código em um sistema de código com 20 barras.



Se o leitor óptico for passado da esquerda para a direita, irá ler: 01011010111010110001. Se o leitor óptico for passado da direita para a es-querda, irá ler: 10001101011101011010. No sistema de código de barras, para se organizar o processo de leitura óptica de cada código, deve-se levar em consideração que alguns códi-gos podem ter leitura da esquerda para a direita igual à da direita para a esquerda, como o códi-go 00000000111100000000, no sistema descri-to acima. Em um sistema de códigos que utilize apenas cinco barras, a quantidade de códigos com leitura da esquerda para a direita igual à da direita para a esquerda, desconsiderando-se todas as barras claras ou todas as escuras, é:

a) 14 b) 12 c) 8 d) 6 e) 4

4. (UNESP – SP) Uma rede de supermercados forne-ce a seus clientes um cartão de crédito cuja iden-tificação é formada por 3 letras distintas (dentre 26), seguidas de 4 algarismos distintos. Uma de-terminada cidade receberá os cartões que têm L como terceira letra, o último algarismo é zero e o penúltimo é 1. A quantidade total de cartões distintos oferecidos por tal rede de supermerca-dos para essa cidade é:

a) 33 600 b) 37 800 c) 43 200

d) 58 500 e) 67 600

5. (UESPI) O código de abertura de um cofre é forma-do por seis dígitos (que podem se repetir, e o códi-go pode começar com o dígito 0). Quantos são os códigos de abertura com pelo menos um dígito 7?

a) 468 559 b) 468 595 c) 486 595

d) 645 985 e) 855 964

6. Escreva o conjunto-solução da equação:

(x + 1)! = x! + 6x:

7. (UEPB) Simplificando-se a expressão

[( )!] ( )! ( )!( )! ( )!

n n nn n

− − − ⋅ −− ⋅ −

1 2 12 1

2, obtém-se:

a) (n – 1)! b) n – 1 c) n!

d) n – 2 e) (n – 2)!

8. (PUCPR) Uma indústria alimentícia prepara um buffet com seus produtos para a apreciação de especialistas do setor. São dois tipos de suco, cinco tipos de prato salgado e quatro tipos de sobremesa. Cada especialista prova o buffet in-

dividualmente e, entre um especialista e outro, o buffet é reorganizado em ordem diferente, se-guindo as seguintes instruções:

I. Sucos, salgados e sobremesas devem ser dis-postos em linha.

II. Cada tipo de produto deve ser agrupado de modo conjunto. Os sucos devem ficar juntos, assim como os pratos salgados e as sobreme-sas, ou seja, não se devem intercalar produ-tos de tipos diferentes.

III. A sequência dos tipos de produto pode ser alterada, ou seja, pode ser iniciada com os sucos, ou com os pratos salgados, ou ainda pelas sobremesas.

De quantas maneiras diferentes o buffet pode ser composto?

a) 5 760 b) 11 c) 120

d) 165 e) 34 560

9. (CEFET – PI) Em uma sala de aula existem 10 me-ninas e 10 meninos e quando “toca” o sinal de intervalo, por questões de organização, eles de-vem sair da sala em fila indiana. O número de filas distintas que se pode formar de modo que nunca fiquem dois homens juntos ou duas mu-lheres juntas é:

a) 100! b) 200! c) 2 . (10!)2

d) 2(1002)! e) (100!)2

10. (UCS – RS) O administrador de um fundo de ações tem como opção de compra ações de 8 empre-sas. Ele deverá escolher ações de 6 empresas dife-rentes e, dentre elas, obrigatoriamente, das em-presas: A, da qual comprará 25% das ações; e B, da qual também comprará 25% das ações. Das empresas restantes, deverá escolher uma para comprar 20%, uma para comprar 15%, uma para comprar 10% e uma para comprar 5% das ações pretendidas. O número de opções diferentes que o administrador terá para compor a lista de em-presas das quais irá adquirir as ações é igual a:

a) 360 b) 15 c) 70 d) 28 e) 30

11. (UECE – CE) De quantas maneiras diferentes é possível escolher o primeiro, o segundo e o ter-ceiro colocados, em uma competição artística da qual participam 15 pessoas, todos com a mesma chance de ganhar?a) 45 b) 225

c) 455 d) 2 730



Uma aplicação do cálculo combinatório está no desenvolvimento dos binômios (a + b)n, com n ∈ N. O desenvolvimento das potências de (a + b) é denominado de Binômio de Newton. Alguns desenvolvimentos foram abordados no Ensino Fundamental para o expoente do binômio igual a 2. Essa unidade trabalha os desenvolvimentos com expoentes maiores ou igual a 2, ou seja, para:

(a + b)n com n ≥ 2 (n ∈ N). No quadrado PQRS a seguir, complete a tabela com a medida da área de cada quadrilátero.

Quadrilátero Medida da área

1

2

3

4

Agora, escreva a medida da área do quadrado PQRS:

a) Em função da medida do lado do quadrado:

b) Em função da medida da área dos quadriláteros 1, 2, 3 e 4:

Binômio de Newton2


MATEMÁTICA

c) O que se pode afirmar quanto à medida da área obtida nos itens a e b?

Do quadrado PQRS, complete a tabela com a medida da área de cada quadrilátero:

Quadrilátero Medida da área

1

2

3

Escreva a medida da área do quadrado M:

a) Em função das medidas a e b:

b) Em função da medida da área dos quadriláteros 1, 2 e 3:

c) O que se pode afirmar quanto à medida da área obtida nos itens a e b?

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a – b)2 = a2 – 2ab + b2

Com base na atividade anterior, desenvolva:

a) (a + b)3 b) (a – b)3

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 (a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3

Os desenvolvimentos dos binômios em que n é maior que 3 (n > 3) podem ser realizados de acordo com as atividades anteriores. Ao realizar o raciocínio dos desenvolvimentos anteriores para n > 3, obtêm-se os desenvolvimentos a seguir. Observe:

(a + b)4 = (a + b) ∙ (a + b) ∙ (a + b) ∙ (a + b) (a + b)4 = (a2 + 2ab + b2) ∙ (a2 + 2ab + b2) (a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4

(a + b)5 = (a + b) ∙ (a + b) ∙ (a + b) ∙ (a + b) ∙ (a + b) (a + b)5 = (a2 + 2ab + b2) ∙ (a3 + 3a2b + 3ab2 + b3)(a + b)5 = a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 +5ab4 + b5

Assim, realizando o produto dos 6 fatores (a + b) do desenvolvimento de (a + b)6, obtém-se:(a + b)6 = a6 + 6a5b + 15a4b2 + 20a3b3 +15a2b4 + 6ab5 + b6

Dessa forma, pode-se escrever os desenvolvimentos:

(a + b)0 = 1

(a + b)1 = a + b

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

(a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4

(a + b)5 = a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + b5

(a + b)6 = a6 + 6a5b + 15a4b2 + 20a3b3 + 15a2b4 + 6ab5 + b6

(a + b)7 = a7 + 7a6b + 21a5b2 + 35a4b3 + 35a3b4 + 21a2b5 + 7ab6 + b7

(a + b)8 = a8 + 8a7b + 28a6b2 + 56a5b3 + 70a4b4 + 56a3b5 + 28a2b6 + 8ab7 + b8

(a + b)9 = a9 + 9a8b + 36a7b2 + 74a6b3 + 126a5b4 + 126a4b5 + 74a3b6 + 36a2b7 + 9ab8 +b9

.

.

.

Responda às questões a seguir, com base nos desenvolvimentos observados anteriormente.

a) Qual a relação entre o número de termos de cada desenvolvimento e o expoente do binômio?

b) O que foi possível observar quanto aos expoentes de a e b?

c) Considerando que a parte numérica de cada termo é o coeficiente e a parte composta pelas letras a e b é a parte literal, escreva:

o 5o. termo do desenvolvimento de (a + b)7 o 4.o. termo do desenvolvimento de (a + b)8 o coeficiente do 3o. termo do desenvolvimento de (a + b)4

o coeficiente do 5o. termo do desenvolvimento de (a + b)9 a parte literal do 7o. termo do desenvolvimento de (a + b)8 a parte literal do 2o. termo do desenvolvimento de (a + b)5


Padrões em

desenvolvimentos

binomiais

@MAT935


FÍSICA

31

FÍSICAMATEMÁTICA

Triângulo de Pascal

Blaise Pascal era filósofo, matemático, físico, teólogo e es-critor. Nasceu na França em 19 de junho de 1623. Era filho de Etienne Pascal, um matemático e alto funcionário do Estado, que se dedicou com muita eficiência na formação educacional de seus dois filhos, Pascal e Jacqueline.

Com 31 anos de idade, Pascal publicou um trabalho matemático intitulado Traité du Triangle Arithmétique (Tra-tado do Triângulo Aritmético), em que estabelece as séries:

Thinkstock/Getty Im

ages

11 1

1 2 11 3 3 1

1 4 6 4 1

Esse triângulo é conhecido como Triângulo de Pascal ou Triângulo de Tartaglia, apre-sentando inúmeras propriedades e relações.

Com base no Triângulo de Pascal, escreva a 6.a e 7.a linhas:

A obtenção dos desenvolvimentos de (a + b)n é trabalhosa se for realizada pelo produto dos n fatores. Em qualquer desenvolvimento, o expoente das potências de a diminui uma unidade a cada termo, ao passo que o expoente das potências de b aumenta uma unidade. Com isso, para se obter um desenvolvimento de (a + b)n, basta descobrirmos os coeficientes de cada termo.

O matemático Blaise Pascal organizou os coeficientes dos desenvolvimentos de (a + b)n de uma forma conveniente. Isso facilitou a obtenção desses desenvolvimentos. Como já destacado, essa organização é denominada de Triângulo de Pascal ou Triângulo de Tartaglia. Observe:

11 1

1 2 11 3 3 1

1 4 6 4 11 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 11 7 21 35 35 21 7 1

1 8 28 56 70 56 28 8 11 9 36 84 126 126 84 36 9 1

.

.

.


Explique como essas linhas são formadas:

Realize a soma dos elementos da 3.a, 4.a, 5.a e 6.a linhas do Triângulo de Pascal:

Com base nos resultados da atividade anterior, escreva a soma dos elementos da n-ésima linha desse triângulo:

Números binomiais

Denomina-se número binomial de classe p e ordem n o número representado por n

p

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ , (lê-

-se: binomial n sobre p) em que n

p

n

p n p

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

−!

! ( )! com n, p ∈ N e n ≥ p.

No cálculo dos números binomiais, não é considerado o significado combinatório da combinação simples n elementos escolhidos p a p, porém são calculados da mesma forma.

Determine os números binomiais a seguir:

a) 6

3

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

b) 5

2

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

Determine os números binomiais a seguir:

a) 5

2

5

3

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟e

b) 9

3

9

6

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟e

c) 5

2

5

3

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟e

Números

binomiais

@MAT846


FÍSICA

33

FÍSICAMATEMÁTICA

Dois números binomiaisn

pe

n

q

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ são denominados complementares quando

p + q = n, com p, q ∈ N, p ≤ n e q ≤ n. Quando dois números binomiais são complementares, tem-se que:

n

p

n

qou

n

p

n

n p

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

−⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

O Triângulo de Pascal pode ser escrito por meio de números binomiais. Observe:

0

0

1

0

1

1

2

0

2

1

2

2

3

0

3

1

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

⎛⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

⎛

3

2

3

3

4

0

4

1

4

2

4

3

4

4⎝⎝⎜

⎞

⎠⎟

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

⎛

⎝

5

0

5

1

5

2

5

3

5

4

5

5

6

0⎜⎜⎞

⎠⎟

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

⎛

⎝⎜

6

1

6

2

6

3

6

4

6

5

6

6

7

0

⎞⎞

⎠⎟

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

⎛

⎝⎜

⎞7

1

7

2

7

3

7

4

7

5

7

6

7

7⎠⎠⎟

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

⎛

⎝⎜

⎞

⎠

8

0

8

1

8

2

8

3

8

4

8

5

8

6⎟⎟⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞

⎠⎟

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

⎛

⎝⎜

⎞

⎠

8

7

8

8

0 1 2 3 4

�

n n n n n⎟⎟ −

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ −

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟...

n

n

n

n

n

n2 1.

De acordo com a formação observada do Triângulo de Pascal, pode-se escrever que:

a) 4

2

4

3

5

3

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ +

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ b)

6

4

6

5

7

4

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ +

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ c)

7

5

7

6

8

6

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ +

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

Essa relação é denominada Relação de Stifel e é escrita da seguinte forma:

n

p

n

p

n

p

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ +

+⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

++

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟1

1

1

1. Desenvolver o binômio (2x + 1)4.

2. Para que valores de a e b, a igualdade (a + b)2 = a2 + b2 é verdadeira? E a igualdade (a + b)3 = a3 + b3?

3. Se p = 2x + 3, então qual é o coeficiente de x2 no polinômio p3?

4. No desenvolvimento do binômio (x2 – 2)5, tem-se: (x2 – 2)5 = x10+ mx8 + 40x6 – 80x4 + 80x2 + n.

Qual é o valor de m + n?

5. Se um dos termos do desenvolvimento do binômio (x + k)5, com a ∈ R, é 80x2, então qual é o valor de k?

6. O volume de um paralelepípedo retângulo de dimensões a, b e c é V = a . b . c. Um sólido em formato de um cubo é formado por dois cubos, um com a medida da aresta igual a a e outro com a medida da aresta igual a b, e 6 paralelepípedos, 3 paralelepípedos cujas medidas das arestas são a, a e b e outros 3 cujas medidas das arestas são a, b e b.

Realizando-se a soma dos volumes dos 8 sólidos que formam o sólido em formato de cubo, obtemos um volume igual a:

a) (a + b)3 b) (a – b)2 c) (2a + b)3 d) (a + 2b)3 e) (a – 2b)3

7. Determine o(s) valor(es) de x nas igualdades a seguir:

a) 41

4⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=⎛⎝⎜

⎞⎠⎟x

b) 82

8⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=⎛⎝⎜

⎞⎠⎟x

c) 9 9

5x⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

8. Determine o valor de cada soma a seguir:

a) 60

61

62

63

64

65

66

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+⎛⎝⎜⎜

⎞⎠⎟

b) 90

91

92

93

94

95

96

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+⎛⎝⎜⎜

⎞⎠⎟

+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

97

98

99

c) 30

31

32

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

d) 82

83

84

85

86

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

9. Determine o(s) valor(es) de x nas equações:

a) 53

54

6⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=⎛⎝⎜

⎞⎠⎟x

b) 265

268x x

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=+

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

?

10. (UNIFOR – CE) Por uma das propriedades do triângulo de Pascal, a soma 5020

5021

5122

5223

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ +

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ +

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ +

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ é

igual a:

a) 5323

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

b) 5221⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ c) 52

22⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ d) 51

21⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ e) 51

22⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟



FÍSICA

35

FÍSICAMATEMÁTICA

Termo geral do desenvolvimento

No desenvolvimento das potências (a + b)n, é possível generalizar por meio de um somatório. Observe.

Ao desenvolver o binômio (a + b)10, são escritos 11 termos. Observe seu desenvolvimento.

(a + b)10 = (a b) (a b) b) ... (a b)10 fatores

+ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ +(a� ��

(a + b)10 = 10

0

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

a10 + 10

1

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

a9b + 10

2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

a8b2 + 10

3

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

a7b3 + 10

4

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

a6b4 + 10

5

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

a5b5 + 10

6

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

a4b6 +

+ 10

7

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

a3b7 + 10

8

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

a2b8 + 10

9

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

ab9 + 10

10

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

b10

No desenvolvimento do 2o. membro em potências decrescentes de a e crescentes de b, após todas as multiplicações da propriedade distributiva e a soma (algébrica) dos termos semelhantes, tem-se o desenvolvimento de (a + b)10.

Com base no desenvolvimento de (a + b)10, considere o desenvolvimento do binômio (2x + y)10 e determine o 9o. e 5o. termos.

Quando se conhece o desenvolvimento de um binômio, para obter um termo, basta substituir a e b pelos termos do binômio considerado, porém nem sempre o desenvolvimento está explícito. Por exemplo, para calcular um termo de um binômio (x + 2)20 ou (2x + y)45, mesmo se conhecendo os coe-ficientes pelo Triângulo de Pascal, a resolução seria muito trabalhosa.

Existe uma maneira que facilita a obtenção de um termo num desenvolvimento. Acompanhe no-vamente o desenvolvimento de (a + b)10:

(a + b)10 = 10

0

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

a10 + 10

1

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

a9b + 10

2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

a8b2 + 10

3

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

a7b3 + 10

4

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

a6b4 + 10

5

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

a5b5 + 10

6

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

a4b6 +

+ 10

7

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

a3b7 + 10

8

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

a2b8 + 10

9

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

ab9 + 10

10

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

b10

Escrevendo alguns termos do desenvolvimento, tem-se:

T2 = 10

1

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

∙ a9 ∙ b1 = 10

1

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

∙ a10 – 1 ∙ b1

T3 = 10

2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

a8 ∙ b2 = 10

2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

∙ a10 – 2 ∙ b2

Fórmula

para os

binomiais

@MAT972

De acordo com os termos escritos anteriormente, escreva os termos a seguir:

T4 =

T5 =

T6 = ...

Para esse desenvolvimento, o termo geral é:

Tp + 1 = 10

p

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

∙ a10 – p ∙ bp

Dessa forma, é possível generalizar um termo qualquer de um desenvolvimento

(x + a)n = n

0

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

xn + n

1

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

a1xn – 1 + n

2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

a2xn – 2 + ... + n

n −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟1

an – 1x1 + n

n

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

an

(a + b)n = n

pa b

p

nn p p⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

⋅ ⋅=

−∑0

como sendo

Tp + 1 = n

p

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

∙ an – p ∙ bp → Equação do termo geral de Binômio de Newton

O desenvolvimento de um binômio (a + b)n pode ser escrito desta forma:

(a + b)n = n

0

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

an + n

1

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

b1 an – 1 + n

2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

b2 an – 2 + n

3

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

b3 an – 3 + ... + n

n −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟1

bn – 1 a1 + n

n

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

bn

E cada uma das parcelas, ou seja, cada um dos termos desse desenvolvimento pode ser escrito da seguinte forma:

Tp + 1 = n

n

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

∙ an – p ∙ bp

com n, p ∈ N e p ≤ n



FÍSICA

37

FÍSICAMATEMÁTICA

1. Calcule o valor numérico do coeficiente do ter-

mo em x4 no desenvolvimento de xx

252

+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

.

2. Qual é o termo independente de x no desenvol-

vimento de xx

261

+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

?

3. Qual é o coeficiente do termo contendo x4y3 no

desenvolvimento do binômio (2x + 3y)7?

4. Qual termo possui x3 no desenvolvimento de

(x + 3)6?

5. No desenvolvimento de xx

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

1 8, qual é o ter-

mo independente?

6. Qual é o coeficiente de x5 no desenvolvimento de (x2 – 4x + 4)4?

7. (FAC. RUY BARBOSA – BA) O valor do coeficiente

do termo de grau 6 da expressão xx

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

1 10é:

(01) 25

(02) 30

(03) 45

(04) 60

(05) 86

8. (UNIFOR – CE) No desenvolvimento do binômio

xx

32

102+⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

, o termo independente de x é:

a) 3 360

b) 5 780

c) 8 064

d) 13 440

e) 15 760

9. (UESPI) Qual o coeficiente independente de x na expansão de (1 + x + x2)10?

a) 0

b) 1

c) 2

d) 3

e) 4

No desenvolvimento do binômio (2x + 3)5, determine o 4.º termo e o termo independente:


1. Determine a soma dos coeficientes de todos os termos do desenvolvimento do binômio (2x2 – 3y)10.

2. A soma dos coeficientes do desenvolvimento (a + b)x é 2 048. Qual é o valor de x?

Soma dos coeficientes do

desenvolvimento de um binômio

Dados os binômios e seus respectivos desenvolvimentos:

a) (x + 2)3 = x3 + 6x2 + 12x + 8

b) (2x – y)4 = 16x4 – 32x3y + 24x2y2 – 8xy3 + y4

c) (x2 + 2y)6 = x12 + 12x10y + 60x8y2 + 160x6y3 + 240x4y4 + 192x2y5 + 64y6

Determine a soma dos coeficientes de cada binômio:

A soma dos coeficientes pode ser obtida pela soma das parcelas que correspondem aos coeficien-tes, porém existe outra forma de obter a soma. Nos desenvolvimentos do 2.o membro, substitua a(s) variável(variáveis) pelo número 1. O que você observa?

Agora, substitua a(s) variável(variáveis) pelo número 1 no 1.o membro de cada binômio. O que você observa?

3. (SUPRA – SC) A soma de todos os coeficientes do polinômio (x2 – 9x + 7)51 é:

a) –1 b) 2

c) 0 d) 751

e) 951


FÍSICA

39

FÍSICAMATEMÁTICA

4. O coeficiente de x5 no desenvolvimento de (x + 2)9 é:

a) 64

b) 126

c) 524

d) 1 024

e) 2 016

5. (UP – PR) O desenvolvimento de um binômio da forma (x + a)n é dado por:

(x + a)n = xn + Cn1 a1 xn – 1 + Cn

2 a2 xn – 2 +

+ Cn3 a3 xn – 3 + ... + Cn

n– 1an – 1 x1 + an

Com o auxílio desse desenvolvimento, é possível fazer aproximações para cálculos de potências, utilizando-se apenas alguns termos do desenvol-vimento. Nesse sentido, o valor mais próximo de (1,002)20 é:

a) 1,08 b) 2,01

c) 1,06 d) 1,04

e) 2

6. (UEMA) Seja S a soma de n termos da PG infinita

1, 12

, 14

, 18

, 116

, ..., então o quinto termo do

binômio xx

S2

2

41+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

é:

a) 84 b) 96

c) 14 d) 35

e) 70

7. Qual é o coeficiente de x–1 no desenvolvimento

de 1 24

xx+⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

?

1. (UNIFOR – CE) Se (n + 1)! = 10n!, então o valor

de nn

+−

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

11

é igual a:

a) 9 b) 45 c) 55 d) 90 e) 110

2. (UFG – GO) O triângulo de Pascal é uma tabela de nú- meros dispostos em linhas e colunas, como segue:

Coluna

Linh

a

0 1 2 3 4 5

0 1

1 1 1

2 1 2 1

3 1 3 3 1

4 1 4 6 4 1

5 1 5 10 10 5 1

Um exemplo desse triângulo é dado pela combi-nação de n elementos tomados p a p. Exemplo: C4, 2 = 6 (linha 4 e coluna 2)

Marque a alternativa incorreta:

a) C7, 3 = C7, 4

b) C2, 2 + C5, 3 = C4, 2 + C6, 1

c) C6, 2 + C6, 3 = C7, 3

d) C6, 0 + C6, 1 + ... + C6, 6 = 26

e) C0, 0 + C1, 0 + C2, 0 + ... + Cn, 0 = n + 1

3. (PUCPR) O valor da expressão

1034 – 4 . 1033 . 3 + 6 . 1032 . 32 – 4 . 103 . 33 + 34

é igual a:

a) 1014 b) 1012 c) 1010

d) 108 e) 106

1 (U(U((U(U((((U(UNINNNN FOR CE) S

4. (UEL – PR) Se a soma dos coeficientes do desen-volvimento do binômio (2x + y)n é igual a 243, então o número n é:

a) 12 b) 10

c) 8 d) 5

e) 3

5. (UNIT – SE) Se no desenvolvimento do binômio (x + 3y)n, em que n ∈ , a soma dos coeficien-tes é igual a 4 096, o coeficiente do quarto ter-mo é igual a:

a) 60 b) 90 c) 120

d) 270 e) 540


Probabilidades3

Os primeiros registros sobre probabilidade vêm do antigo Egito, dos jo-gos em que se utilizava um dado com quatro faces denominado astragali.

Segundo o historiador Plutarco, o imperador romano Júlio César jogou dados com os senadores antes de dissolver o Senado e tornar-se imperador. Em certa ocasião, Júlio César proferiu sua famosa frase Alea jacta est, que significa “A sorte está lançada”.

O matemático italiano (e jogador) Girolamo Cardano (1501-1576) é considerado um dos primeiros estudiosos da teoria das probabilidades, registrada em sua obra Liber de Ludo Aleae (O livro dos jogos de azar ).

Na Idade Média, o jogo de dados tornou-se muito popular entre os cavaleiros e, na França do século XVII, no reinado de Luís XIV, um nome se destacou no estudo das probabilidades: Chevalier de Méré.

Chevalier de Méré estudou um método que acreditava estar correto para ganhar uma aposta. Ele alegava que, no lançamento de um dado cúbico, a probabilidade de ocorrência de uma face igual a

6 era 1

6, mas, em quatro jogadas, a probabilidade de ocorrência dessa face, pelo menos uma vez,

era de 4

6, ou seja, 2

3. Assim, ele acreditava que a cada quatro jogadas, sua chance de acertar a

face 6 seria de 2 em 3. Chevalier de Méré também acreditava que a ocorrência de um par de 6, no lançamento de dois

dados cúbicos, era 1

36, logo, no lançamento de 24 vezes um par de dados, a probabilidade de obter,

no mínimo, um par de 6 era de 24

36, ou seja 2

3. Com essas “certezas”, Chevalier de Méré teve muitas

decepções nos jogos e, suspeitando que poderia não estar correto em suas “certezas”, mandou uma carta a Blaise Pascal, que dividiu a dúvida com Pierre de Fermat. Esses dois matemáticos descobriram o erro cometido por Chevalier de Méré, o que foi fundamental para que esses dois matemáticos desenvolvessem a Teoria do Cálculo das Probabilidades. Essa questão vai ser abordada no decorrer desta unidade de trabalho.

os jo-gali.iiar e e

é es,ar ).

Jack

Art.

201

2. D

igita

l

MATEMÁTICA

No experimento, descrito anteriormente, sobre a moeda que é solta de uma altura de 20 metros, no vácuo, foi possível observar duas situações:

1. Quando uma moeda é solta no vácuo de uma altura de 20 metros, atinge o solo com uma velocidade v, em um intervalo de tempo de t segundos.

20 m

Dessa forma, determine:

a) o tempo t que ela atinge o solo (g = 10 m/s2):

b) a velocidade v em que a moeda chega ao solo:

2. Se esse experimento for repetido nas mesmas condições, ou seja, se essa moeda for solta a uma altura de 20 metros, no vácuo, o que se pode afirmar quanto ao tempo de queda e quanto à velocidade que leva para chegar ao solo?

3. Porém, ao atingir o solo, qual face estará voltada para cima? Cara ou coroa?

A seguir, classifique os experimentos em determinísticos ou aleatórios:

a) Sortear uma bola com o número 7 de uma urna com 15 bolas numeradas de 1 a 15:

b) Ferver água em um recipiente em uma região no nível do mar e observar a temperatura:

c) Lançar um dado e obter uma face voltada para cima que seja o número 2:

d) Medir o impacto de um carro com velocidade de 72 km/h, que se desloque em um plano horizontal e se choque contra uma parede:

1.a) A velocidade com que a moeda atinge o solo e o intervalo de tempo são sempre iguais a 20 m/s e 2 segundos, respectiva-mente. Essa situação é um experimento que, se repetido nas mesmas condições, terá sempre os mesmos resultados. Tal experimento é denominado experimento determinístico.

2.a) Não se pode afirmar qual face, cara ou coroa, estará voltada para cima quando a moeda atingir o chão. Essa situação é um experimento que, se repetido nas mesmas condições, terá resultados imprevisíveis, pois depende do acaso. Tal experimento é denominado experimento aleatório.

Jack

Art.

201

2. D

igita

l.

Experimento aleatório e

experimento determinístico


Exemplos de

experimentos

aleatórios

@MAT1279


Espaço amostral e evento

Nos experimentos aleatórios a seguir, escreva o conjunto formado por todos os resultados possíveis e o número de elementos de cada conjunto:

Banco

Cen

tral d

o Br

asil

1. Lançar uma moeda e observar a face de cima:

2. Lançar uma moeda duas vezes e observar a sequên-cia de caras e coroas:

3. Desse experimento, qual é o conjunto dos resultados cujas faces são iguais e qual o número de elementos desse conjunto?

4. Lançar um dado e observar a face voltada para cima:

5. Desse experimento, qual é o conjunto dos resultados pares e o número de elementos desse conjunto?

6. Desse experimento, qual é o conjunto dos resultados menores que 6 e o número de elementos desse conjunto? Como é denominado esse evento?

7. Retirar uma bola de uma urna que possua 10 bolas numeradas de 1 a 10:

8. Desse experimento, qual é o conjunto dos resultados que são números primos e o número de elementos desse conjunto?

9. Desse experimento, qual é o conjunto dos resultados maiores que 10 e o número de elementos desse conjunto? Como é denominado esse evento?

10. Escolher uma letra da palavra VOLUME:

11. Desse experimento, qual é o conjunto dos resulta-dos que são vogais e o número de elementos desse conjunto?

Thi

nkst

ock/

Get

ty

Imag

es

Evento certo evento cujo conjunto de elementos (resultados) corresponde ao conjunto formado pelo espaço amostral.Evento impossível evento cujo conjunto de resultados é vazio.

O conjunto formado por todas as possibilidades de resultado de cada experimento é denominado espaço amostral. Qualquer subconjunto formado do espaço amostral é denominado evento.


FÍSICA

43

FÍSICAMATEMÁTICA

Probabilidade

1. Nos experimentos descritos a seguir, escreva o espaço amostral, os eventos pedidos e o número de elementos de cada conjunto ou subconjunto:

a) Lançar um dado e uma moeda e observar as faces voltadas para cima:

A = Resultados que possuam a face do dado com um número que seja quadrado perfeito.

B = Resultados que possuam cara na face da moeda e a face do dado seja um número maior que 5.

b) Para um casal que deseja ter três filhos, a sequência do sexo dos filhos:

A= Resultados que possuem apenas um sexo.

B= Resultados que possuem pelo menos duas filhas.

c) As soluções (x, y) da equação x + y = 5, para x, y IN.

A= Resultados em que x > y

B= Resultados em que x = y

2. No experimento, lançar dois dados e observar as faces voltadas para cima:

a) Qual é o espaço amostral?

b) Qual é o número de elementos de cada um dos eventos?

c) Resultados em que as faces possuam o mesmo número.

d) Resultados em que a soma das faces seja igual a 10.

e) Resultados em que ambas as faces pos-suam números primos.

Thi

nkst

ock/

Get

ty

Imag

es

©Sh

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Mat

thew

Ben

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Banco C

entra

l do

Bras

il

BBBaaaannnccooCe

oBr

asill

O número de arranjos simples de n elementos es-colhidos p a p pode ser determinado por:

An

n pnp =

−!

( )!

O número de permutações simples de n elementos pode ser determinado por:

Pn = n!

O número de permutações de n elementos em que existem elementos iguais a a, elementos iguais a b, elementos iguais a c, ... , pode ser determinado por:

Pn

nα β γ

α β γ, , , ... !

! ! ! . ...=

⋅ ⋅

O número de combinações simples de n elementos escolhidos p a p pode ser determinado por:

Cn

p n pnp =

⋅ −!

! ( )!

O conjunto formado por todos os resultados possíveis de um experimento aleatório é deno-minado espaço amostral, é representado por E e o número de elementos por n(E).

Um subconjunto formado do espaço amostral é denominado evento, é representado por uma letra maiúscula do alfabeto, A, B, C, ..., e o número de elementos desse subconjunto por n(A), n(B), n(C), ..., respectivamente.


Acumulada, Mega-Sena sorteia prêmio de R$ 72 milhões no sábado

O concurso de número 1 295 da Mega-Sena, que será sorteado no próximo sábado (25), deve pagar R$ 72 milhões para a aposta que acertar as seis dezenas, segundo estimativa da Caixa Econômica Federal.

Ontem (22), nenhuma aposta acertou os seis números do concurso 1 294 e o prêmio acumulou. Os nú-meros sorteados na ocasião, em Caruaru (PE), foram: 04 - 06 - 29 - 48 - 50 - 51.

Ao todo, 148 bilhetes acertaram a quina e devem levar R$ 25.649,30 cada um. Outras 10 401 apostas levaram a quadra e ganharão R$ 521,39 cada.

A Mega-Sena realiza sorteios duas vezes por semana, às quartas e aos sábados. As apostas devem ser feitas até as 19 h (horário de Brasília) do dia do sorteio. A aposta mínima – seis números – custa R$ 2.

FOLHA.UOL. Acumulada, Mega-Sena sorteia prêmio de R$ 72 milhões no sábado. Disponível em: <http://www1.folha.uol.com.br/cotidiano/934003-acumulada-mega-sena-sorteia-premio-de-r-72-milhoes-no-sabado.shtml>. Acesso em: 23 jun. 2011.

A

De acordo com o texto, responda às questões:

a) Qual é a quantidade de números que corresponde à aposta mínima? Qual é o custo dessa aposta?

b) Considerando que um cartão tenha 60 números e uma pessoa deseje fazer a aposta mínima, quantas combinações de seis números podem ser feitas?

c) Qual seria o custo, se essa pessoa fizesse todas as combinações possíveis?

d) Qual é a chance de essa pessoa ganhar o prêmio máximo da Mega-Sena, ou seja, acertar os seis números com um único cartão (com 6 dezenas)?

A Mega-Sena é um jogo promovido pela Caixa Econômica Federal em que os apostadores devem escolher de 6 a 15 números em um cartão que possui 60 números. Cada combinação de 6 números custa R$ 2,00 e o prêmio máximo é pago para o apostador que acerta os seis números sorteados. Porém, apostadores que acertam cinco dos seis números ou quatro dos seis números também recebem prêmios.

A chance de ocorrência de um evento é medida pela probabilidade. No caso de uma pessoa que faz uma aposta mínima na Mega-Sena, a probabilidade é de:

1

50 063 860

0,000000002 ou 0,000002%

Em um experimento aleatório, a probabilidade de ocorrência de um evento A é o quociente entre o número de elementos do evento ou n(A) pelo número de elementos do espaço amostral E ou n(E).

probabilidade = número de elementos do evento n(A)

número de elementos do espaço amostral n E

Cálculo de

probabilidade

no lançamento

de uma moeda

@MAT2299


FÍSICA

45

FÍSICAMATEMÁTICA

Agora, considere a retirada de uma bola do experimento aleatório de uma urna, que contém exatamente dez bolas numeradas de 1 a 10. Qual é a probabilidade, em percentual, de se obter uma bola com:

a) um número par?

b) um número primo?

c) um número múltiplo de 3?

d) um número que não seja múltiplo de 3?

e) um número maior que 10?

f) um número menor ou igual a 10?

1. Um calendário é fabrica-do com um dodecaedro regular e, em cada face, é gravado um mês do ano. Ao lançar esse calendário, qual é a probabilidade de o mês que está voltado para cima ter 31 dias?

a) 512

b) 712

c) 112

d) 612

e) 1112

2. Considere o seguinte experimento aleatório: lançar uma moeda três vezes e observar as sequências formadas com as faces cara ou coroa. Escreva o espaço amostral e determine a probabilidade de cada evento:

a) Evento A: ocorrência de três caras.

b) Evento B: ocorrência de duas ou mais coroas.

c) Evento C: ocorrência de coroa.

3. Um casal pretende ter exatamente três filhos. Dessa forma:

a) escreva o espaço amostral.

b) Qual é a probabilidade de nascerem dois meninos e uma menina?

c) Qual é a probabilidade de os três filhos se-rem meninos?

d) Qual é a probabilidade de as três crianças serem do mesmo sexo?

4. No lançamento simultâneo de dois dados, cal-cule a probabilidade de se obterem:

a) dois números cuja soma seja 5;

b) dois números cuja soma seja 6 ou 11.

5. Em um restaurante, o cardápio apresenta três

opções de entrada, três de prato principal e duas sobremesas, de acordo com o quadro a seguir. Um cliente desse restaurante opta por uma entrada, um prato principal e uma sobre-mesa. Determine:

Entrada Prato principal Sobremesa

Salada verde Peito de frango Sorvete

Maionese Filé mignon Pudim

Carpaccio Salmão

a) De quantas formas uma pessoa poderá compor a sua refeição?

P. Im

agen

s/Pi

th


b) Qual é a probabilidade de uma pessoa esco-lher maionese, filé mignon e pudim?

c) Qual é a probabilidade de uma pessoa esco-lher uma entrada e que seja salada verde?

d) Qual é a probabilidade de uma pessoa esco-lher uma sobremesa que não seja sorvete?

6. Uma senha com três algarismos distintos é com-posta pelos algarismos 6, 7 e 8. Qual é a proba-bilidade de essa senha ter o algarismo da direita ímpar?

7. Em uma competição de paraquedismo, um para-quedista, ao saltar de um avião sobre um campo de futebol, cujas medidas são 90 m de largura por 120 m de comprimento, deve tocar o solo na área relativa ao círculo central, cuja medida do raio é 9,15 m. Determine a probabilidade apro-ximada de esse paraquedista tocar o solo dentro do círculo central. ( = 3,1)

a) 7% b) 2,4%

c) 26% d) 1,2%

e) 13%

8.Escolhendo-se dois vértices de um hexágono regular, qual é a pro-babilidade de o segmento de reta com extremidades nesses vértices passar pelo centro do hexágono?

9. 2, com o formato a seguir, é atendido por duas emisso-ras de rádio, cujas antenas A e B alcançam um raio de 10 km do município:

Município

10 km

A

B

10 km

Para orçar um contrato publicitário, uma agên-cia precisa avaliar a probabilidade que um mo-rador tem de, circulando livremente pelo muni-cípio, encontrar-se na área de alcance de pelo menos uma das emissoras. Essa probabilidade é de aproximadamente:

a) 30% b) 40%

c) 10% d) 25%

e) 20%

10. (PUC-Rio – RJ) A probabilidade de um dos cem números 1, 2, 3, 4, ..., 100 ser múltiplo de 6 e de 10 ao mesmo tempo é:

a) 3% b) 6%

c) 2% d) 10%

e) 60%

11. (PUCSP) Em uma urna há 10 cartões, cada qual marcado com apenas um dos números: 2, 5, 6, 7, 9, 13, 14, 19, 21 e 24. Para compor uma potência, devem ser sorteados sucessivamente e sem reposição dois cartões: no primeiro o nú-mero assinalado deverá corresponder à base da potência e, no segundo, ao expoente. Assim, a probabilidade de que a potência obtida seja equivalente a um número par é de:

12. (UFG) Um grupo de 150 pessoas é formado por 28% de crianças, enquanto o restante é com-posto de adultos. Classificando esse grupo por sexo, sabe-se que 1/3 entre os de sexo masculi-no é formado por crianças e que 1/5 entre os de sexo feminino também é formado por crianças. Escolhendo ao acaso uma pessoa nesse grupo, calcule a probabilidade de essa pessoa ser uma criança do sexo feminino.

Algumas propriedades das probabilidades

As probabilidades possuem algumas propriedades. Em um espaço amostral E e um evento A, tem-se:I. A probabilidade de um evento impossível é 0 e a probabilidade de um evento certo é 1. Logo, 0 ≤ P(A) ≤ 1.

II. A probabilidade de ocorrência de um evento p(A) mais a probabilidade da não ocorrência de um evento P(A), é certa, ou seja, P(A) + P(A) = 1.

III. Em uma urna, existem 20 bolas e, dessas, 6 são brancas. Na retirada de uma bola, determine a probabilidade de ela:a) ser branca; b) não ser branca.

Propriedade aditiva de

eventos mutuamente

exclusivos

@MAT2214


FÍSICA

47

FÍSICAMATEMÁTICA

1. Uma urna contém apenas bolas amarelas, ver-des, vermelhas e pretas. Retira-se ao acaso uma bola da urna. A probabilidade de sair uma bola

amarela é 7

25. Qual é a probabilidade de sair

uma bola que não seja amarela?

2. Três competidores, João, Fábio e Juliano, estão disputando uma corrida e a probabilidade de Fá-bio ganhar é o dobro da probabilidade de Julia-no ganhar. A probabilidade de João ganhar é o dobro da probabilidade de Fábio ganhar. Dessa forma, qual é a probabilidade de João ganhar?

3. Ao lançar uma moeda viciada, sabe-se que a pro-babilidade de ocorrer cara é o triplo da proba-bilidade de ocorrer coroa. No lançamento dessa moeda, determine a probabilidade de sair coroa.

4. (PUCSP) Um experimento aleatório é realizado. A

probabilidade de ocorrer um evento A é 8

21. A

probabilidade de não ocorrer o evento A é:

a) 7

21 b) 8

21 c ) 1

d) 13

21 e)

1521

5. (ENEM) Dados do Instituto de Pesquisas Econômicas Apli-cadas (IPEA) revelaram que no biênio 2004/2005, nas rodovias federais, os atropelamentos com mor-te ocuparam o segundo lugar no ranking de mor-talidade por acidentes. A cada 34 atropelamentos, ocorreram 10 mortes. Cerca de 4 mil atropelamen-tos/ano, um a cada duas horas, aproximadamente.

Disponível em: <http://www.ipea.gov.br>. Acesso em: 6 jan. 2009>.

De acordo com os dados, se for escolhido ale-atoriamente para investigação mais detalhada um dos atropelamentos ocorridos no biênio 2004/2005, a probabilidade de ter sido um atro-pelamento sem morte é:

a) 217

b) 517

c) 25

d) 35

e) 1217

6. (FAAP – SP) Seja E o espaço amostral de um ex-perimento aleatório e seja p uma propriedade que caracteriza alguns elementos de E. Pode-mos afirmar que os eventos:

A = {x E/x possui a propriedade p}, e

B = {x E/x não possui a propriedade p}

são tais que:

a) p(A) > p(B)

b) p(A) < p(B)

c) p(A) + p(B) = 1

d) A – B =

e) A B = A

7. (PUC-Rio – RJ) Uma doença congênita afeta 1 em cada 700 homens. Numa população de um milhão de homens, a probabilidade de que um homem, tomado ao acaso, não seja afetado, é:

a) superior a 0,99;

b) igual a 0,99;

c) menor que 0,99;

d) igual a 1/700;

e) 1/2 ou 50%.

8. (CESCEM – SP) Um evento A de um espaço

amostral é tal que N(A) = n e p An

( ) =− 43

. O

maior número possível de elementos de A é:

a) 4 b) 8 c) 9 d) 5 e) 7

9. De um grupo de dança composto por seis mo-ças, duas serão selecionadas para uma apresen-tação em um festival de dança e, nesse grupo, estão Maria Eduarda e Giovana. Assim, qual é a probabilidade de elas não serem escolhidas para se apresentarem juntas?

10. Considere os números de cinco algarismos dis-tintos que se pode formar com os algarismos 2, 3, 4, 5 e 7. Ao escolher um desses números ao acaso, determine:

a) a probabilidade de ser um número par;

b) a probabilidade de ser um número ímpar.


Adição de probabilidades

Evento B: Escolha de uma bola numerada em que o número seja múltiplo de 2 ou múltiplo de 5.

a) Qual é a probabilidade de uma bola que tenha um número múltiplo de 2 ser escolhida?

b) Qual é a probabilidade de um número que tenha um número múltiplo de 5 ser escolhido?

c) Qual é a probabilidade de um número que seja múltiplo de 2 ou múltiplo de 5 ser escolhido?

d) O que se pode afirmar quanto às probabilidades dos itens a, b e c? Por que isso ocorre?

e) Como é possível determinar a probabilidade do item “c” por meio das probabilidades dos itens “a” e “b”?

Considere o experimento aleatório que consiste em escolher uma bola numerada de 1 a 25 de uma urna com 25 bolas. Em relação a esse experimento, calcule a probabilidade de ocorrência dos eventos A e B.

Evento A: Escolha de uma bola numerada em que o número seja primo ou quadrado perfeito.

a) Qual é a probabilidade de uma bola que tenha um número quadrado perfeito ser escolhida?

b) Qual é a probabilidade de uma bola que tenha um número primo ser escolhida?

c) Qual é a probabilidade de uma bola cujo nú-mero seja um quadrado perfeito ou primo ser escolhida?

d) O que se pode afirmar quanto às probabilidades dos itens a, b e c?


FÍSICA

49

FÍSICAMATEMÁTICA

1. Uma loja que vende sapatos, a pedido do distribuidor, reuniu os dados relativos às vendas, em um mês, de uma marca específica de sapatos femininos e masculinos nos números 35 a 38 e nos núme-ros 38 a 41, respectivamente. Esses dados foram apresentados nos gráficos a seguir:

Em um experimento aleatório com espaço amostral E, dados dois eventos A e B desse espaço amostral, tem-se:p(A B) = p(A) + P(B) – p(A B)

Quando A B = , ou seja, p(A B) = 0, os eventos A e B são denominados mutuamente ex-clusivos.

gostar de jogos apenas em consoles de video-game?

gostar de jogos no computador e em consoles de videogame?

gostar de jogos no computador ou em consoles de videogame?

não gostar de jogar videogames?

Em uma pesquisa com 100 adolescentes sobre a preferência entre jogos no computador e jogos com consoles de videogames, contatou-se que 30 não gostavam de jogar games, 60 gostavam de jogar em consoles de videogames, e 30, no computador.

a) Dessa forma, determine quantos adolescentes gostam de jogar no computador e nos consoles de videogames:

b) Escolhendo-se aleatoriamente um adolescente dessa pesquisa, qual é a probabilidade de ele:

gostar de jogos apenas no computador?

1 U l j


Com base nessas informações e escolhendo-se ao acaso um par de sapatos, qual é a probabili-dade de que seja:

a) do número 38?

b) de um número menor que 36 ou maior que 40?

c) masculino?

2. No lançamento simultâneo de dois dados, calcu-le a probabilidade de se obterem dois resultados cuja soma seja um número múltiplo de 2 ou múl-tiplo de 3.

3. Os baralhos convencionais têm 52 cartas divididas em quatro naipes (ouros, copas, espadas e paus). A sequên-cia de cada naipe começa no ás, seguido das cartas nu-meradas de 2 a 10 e depois as três últimas, que são o valete, a dama e o rei. Re-tirando-se uma carta de um baralho, qual é a probabili-dade de sair uma carta de copas ou um valete?

4. (CEFET-PB) A tabela ilustra o desempenho do Brasil nas Olimpíadas de Pequim em 2008 e destaca as conquistas nas modalidades masculinas no evento:

Medalhas em modalidades masculinas

Ouro Prata Bronze

1 3 5

Total de medalhas conquistadas

Ouro Prata Bronze

3 4 8

Considere o universo de todas as modalidades em que o Brasil conquistou medalhas. Sabe-se que, nas modalidades femininas, cada atleta ou equipe (no caso dos esportes coletivos) obteve exatamente uma medalha. Nessas condições, es-colhendo-se ao acaso uma modalidade premiada com medalha, a probabilidade de que o Brasil te-nha obtido, nesta modalidade, medalha de bron-ze ou que esta seja uma modalidade feminina é:

a) 1415

b) 1115

c) 115

d) 1315

e) 1215

5. -das de 1 a 20. Sorteando-se uma delas, qual é a probabilidade de que ela tenha um número múltiplo de 3 ou de 5?

a) 40% b) 45% c) 30% d) 50%

6. -par dos Jogos Olímpicos Universitários com 140 acadêmicos distintos dos seguintes cursos: 80 de Matemática, 40 de Engenharia Elétrica e 20 de Ciência da Computação. Sorteando-se um acadêmico ao acaso, para representar a Univer-sidade na Solenidade de Abertura destes jogos, qual a probabilidade de que ele pertença ao cur-so de Matemática ou de Engenharia Elétrica?

a) 87

c) 87

e) 57

b) 37

d) 67

7. Em um exame de seleção com 1 800 candi-datos, 600 deles atingiram a nota mínima em Matemática, 450 atingiram a nota mínima em Português e 240 atingiram a nota mínima em Matemática e Português. Se um dos candidatos for escolhido ao acaso, qual é a probabilidade:

a) de ele não ter atingido a nota mínima em ambas as disciplinas?

b) de ele ter atingido a nota mínima em pelo menos uma das disciplinas?

c) de ele ter atingido a nota mínima em Mate-mática, mas não ter atingido em Português?

d) de ele ter atingido a nota mínima em ambas as disciplinas?

8. (PUCRS) Um número é escolhido aleatoriamen-te entre os inteiros de 1 a 50. A probabilidade de que ele seja divisível por 2 ou por 5 é:

a) 35

c) 75

e) 7

10

b) 45

d) 1

10

©Sh

utte

rsto

ck/L

uca

Villa

nova


FÍSICA

51

FÍSICAMATEMÁTICA

Multiplicação de probabilidades

Em 1930, o cientista austríaco Karl Landsteiner (1868-1943) ganhou o Prêmio Nobel de Medicina por classificar o sangue humano em três

grupos: A, B e O (o 4o. grupo – AB – foi descoberto posteriormente). Com esse traba-lho, ele pôde explicar por que algumas pessoas morriam e outras não depois de uma transfusão sanguínea.

O tipo sanguíneo de uma pessoa é caracterizado pelo sistema ABO que classifica o sangue em quatro grupos (A, B, O e AB):

Pessoas do grupo O podem receber apenas sangue do grupo O, mas podem doar para todos os grupos, por isso são chamados de doadores universais.

Pessoas do grupo A podem receber sangue dos grupos 0 e A e doar para os grupos A e AB.

Pessoas do grupo B podem receber sangue dos grupos 0 e B e doar para os grupos B e AB.

Pessoas do grupo AB podem receber sangue de qualquer grupo, mas podem doar apenas para o grupo AB, por isso são chamados de receptores universais.

Além do sistema ABO, o tipo sanguíneo também identifica o fator Rh em dois grupos – positivo ou negativo.

o

para

LatinStock/Corbis/Bettmann

A

O

AB

B

1. Você sabe qual é o seu tipo sanguíneo?

2. De acordo com o texto responda:

a) Supondo-se que uma pessoa tem tipo sanguíneo A e precisa receber sangue de um doador do qual se desconhece o tipo sanguíneo. Qual é a probabilidade de risco de incompatibilidade?

b) Supondo-se que uma pessoa tem tipo sanguíneo O e precisa receber sangue de um doador do qual se desconhece o tipo sanguíneo. Qual é a probabilidade de risco de incompatibilidade que essa pessoa tem?

3. Uma pesquisa feita com um grupo de funcionári-os em uma empresa foi registrada nos quadros a seguir:

Grupo

sanguíneoA B AB O

Número de

pessoas80 20 10 90

Grupo

sanguíneoA B AB O

Fator Rh+ Rh– Rh+ Rh– Rh+ Rh– Rh+ Rh–

Número de

pessoas64 16 15 5 9 1 72 18

a) Da pesquisa feita e tabulada, determine a probabilidade de escolher um funcionário da empresa que tenha:

I. grupo sanguíneo A:


II. fator Rh positivo (Rh+):

III. grupo sanguíneo A com fator Rh+:

b) Como é possível determinar a probabilidade do item c por meio das probabilidades dos itens a e b?

Dados dois eventos A e B, a probabilidade de ocorrência simultânea dos dois eventos, ou seja, p(A B) é determinada pelo produto p(A) . p(B/A) em que p(A/B) é a probabilidade de ocorrência do evento B, dada a ocorrência do evento A.

1. Em uma urna são colocadas fichas com as letras da palavra “SUCESSO”.

a) Retirando-se sucessivamente duas fichas, sem reposição, determine a probabilidade de se obterem duas vogais.

b) Retirando-se sucessivamente duas fichas, com reposição, determine a probabilidade de se obterem duas vogais.

c) Qual probabilidade é maior?

2. Em um recipiente são colocadas oito bolas que diferem apenas pela cor. São três bolas pretas e cinco bolas brancas. Retira-se uma bola e ano-ta-se a cor. Repete-se essa operação mais duas vezes. Calcule a probabilidade de as bolas reti-radas serem brancas.

3. (ENEM) Em um determinado semáforo, as luzes completam um ciclo de verde, amarelo e verme-lho em 1 minuto e 40 segundos. Desse tempo, 25 segundos são para a luz verde, 5 segundos para a amarela e 70 segundos para a vermelha. Ao se

aproximar do semáforo, um veículo tem uma de-terminada probabilidade de encontrá-lo na luz verde, amarela ou vermelha. Se essa aproxima-ção for de forma aleatória, pode-se admitir que a probabilidade de encontrá-lo com uma dessas cores é diretamente proporcional ao tempo em que cada uma delas fica acesa. Suponha que um motorista passa por um semáforo duas vezes ao dia, de maneira aleatória e independente uma da outra. Qual é a probabilidade de o motorista encontrar esse semáforo com a luz verde acesa nas duas vezes em que passar?

a) 1/25 d) 1/3

b) 1/16 e) 1/2

c) 1/9

4. Um dado com seis faces tem o número 1 em uma das faces, o número 2 em duas faces e o número 3 em três faces. Lança-se o dado e anota-se o número da face de cima. Repete-se a operação mais uma vez. Qual é a probabilidade de que a soma dos números seja 5?


FÍSICA

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FÍSICAMATEMÁTICA

5. Uma prova é constituída de quatro questões de múltipla escolha, com cinco alternativas cada uma, sendo apenas uma alternativa correta. Qual a probabilidade de um aluno acertar todas as questões “no chute”?

6. Um rato é colocado na entrada de um labirinto. No fim do trajeto, há uma quantidade de comi-da. Qual é a probabilidade de o rato chegar à comida na primeira tentativa?

C

O

M

I

D

A

7. Em um armário, há quatro camisetas azuis e três camisetas verdes. Sem poder ver a cor das cami-setas e escolhendo-se, ao acaso, duas delas, sem reposição, qual é a probabilidade de elas serem da mesma cor?

8. Em uma fábrica, as máquinas M1 e M2 produzem a mesma mercadoria. Do total da produção da fábrica, a máquina M1 produz 60%; e a máquina M2, o restante. Porém, da máquina M1, 1,2% das mercadorias produzidas vem defeituosa e, da máquina M2, 2,1% das mercadorias vêm defeitu-osas. Marque V para verdadeiro e F para falso:

( ) 3,3% das peças produzidas são defeituosas.

( ) Ao escolher uma mercadoria, a probabilida-de de ela ter sido produzida pela máquina M1 e ser defeituosa é menor que a probabili-dade de ela ter sido produzida pela máquina M2 e ser defeituosa.

( ) A probabilidade de uma mercadoria ter sido produzida pela máquina M1 e ser defeituosa é 0,72%.

( ) A probabilidade de uma mercadoria ter sido produzida pela máquina M2 e ser defeituosa é de 2,1%.

9. Os times Arrancatoco e Pernadepau disputam três partidas. A probabilidade de o time Arrancatoco

vencer é 23

, e a probabilidade de o time Pernade-

pau vencer é 14

. Qual é a probabilidade de o time

Pernadepau vencer apenas uma das partidas?

10. (FUVEST – SP) Escolhendo-se ao acaso duas ares-tas de um cubo, a probabilidade de elas serem reversas é:

a) 13

b) 14

c) 211

d) 411

e) 511

11. (FUVEST – SP) Escolhe-se ao acaso três vértices distintos de um cubo. A probabilidade de que esses vértices pertençam a uma mesma face é:

a) 314

b) 27

e) 1318

c) 514

d) 37

12. Se um casal pretende ter quatro filhos, qual é a probabilidade de ter dois meninos e duas meni-nas?

13. (UFAL) Os times X e Y disputam um jogo nos pênaltis. A probabilidade de o goleiro do time X defender o pênalti é 1/8, e a probabilidade de o goleiro do time Y defender o pênalti é 1/5. Se cada time terá direito a um pênalti, qual a probabilidade de exatamente um dos goleiros defender o pênalti, e, assim, vencer o time do goleiro que defendeu o pênalti?

a) 14

b) 1140

c) 1340

d) 720

e) 38

14. O Campeonato Brasileiro de Futebol ocorre por pontos corridos. Isso significa que o time que acumular mais pontos é o campeão. Os quatro últimos colocados são rebaixados para a série B ou 2a. divisão. Considere que o último colocado tenha 80% de probabilidades de ser rebaixado; e o penúltimo colocado, 60%. A probabilidade de que ao menos um desses times venha a ser rebaixado é:

15. (PUCSP) Um aluno prestou vestibular em ape-nas duas universidades. Suponha que, em uma delas, a probabilidade de que ele seja aprova-do é de 30%, enquanto na outra, pelo fato de a prova ter sido mais fácil, a probabilidade de sua aprovação sobe para 40%. Nessas condi-ções, a probabilidade de que esse aluno seja aprovado em pelo menos uma dessas universi-dades é de:a) 70% b) 68% c) 60% d) 58% e) 52%

16. (ENEM) A figura I a seguir mostra um esque-ma das principais vias que interligam a cidade A com a cidade B. Cada número indicado na figura II representa a probabilidade de pegar um engarrafamento quando se passa na via in-dicada. Assim, há uma probabilidade de 30% de se pegar engarrafamento no deslocamento do ponto C ao ponto B, passando pela estrada E4, e de 50%, quando se passa por E3. Essas probabilidades são independentes umas das outras:

E3E1

E2E5

E4

E6

AB

C

D

Figura I

0,50,8

0,70,4

0,3

0,6

AB

C

D

Figura II

Paula deseja se deslocar da cidade A para a cidade B usando exatamente duas das vias in-dicadas, percorrendo um trajeto com a menor probabilidade de engarrafamento possível. O melhor trajeto para Paula é:

a) E1E3 b) E1E4 c) E2E4

d) E2E5 e) E2E6

17.Qual é a probabilidade de se obterem no míni-mo quatro caras?

a) 12

d) 1332

b) 1316

e) 1132

c) 1116

Eventos independentes Dados dois eventos A e B em que p(A) e p(B) são a probabilidade de ocorrência desses eventos,

respectivamente, os eventos A e B são denominados eventos independentes quando:

p(A) . p(B) = p(A B)

Fábio e João praticam arremessos com uma bola de basquete em uma cesta. Fábio, de cada três arremessos acerta dois, ou seja, a probabilidade

de acerto é 23

, enquanto João, de cada três ar-

remessos, acerta um, ou seja, sua probabilidade

de acerto é 13

. Considerando que os arremessos

de Fábio e João são independentes, se os dois ar-remessam a bola em direção à cesta, determine:

a) a probabilidade de ambos atingirem o alvo:

b) a probabilidade de pelo menos um deles acertar o alvo:


Eventos independentes

– o lançamento de um

dado

@MAT2219


FÍSICA

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FÍSICAMATEMÁTICA

b) Uma pessoa é escolhida ao acaso e sabe-se que ela tem sangue com fator Rh–; qual é a probabilidade de ela ser tipo O?

c) Uma pessoa é escolhida ao acaso e sabe-se que ela só pode receber sangue tipo B e AB:

qual a probabilidade de ela ter sangue tipo B?

qual a probabilidade de ela ter fator RH– ?

Probabilidade condicional

Em um espaço amostral E, considerando os eventos A e B, a probabilidade de ocorrência do evento A, tendo o evento B ocorrido, é representado por p(A/B). Nessa probabilidade, o espaço amostral é um subconjunto de E, ou seja, é formado pelos elementos de B.

Considere os dados tabulados de uma pesquisa feita em uma empresa e responda às questões:

Grupo

sanguíneoA B AB O

Número de pessoas 80 20 10 90

Grupo

sanguíneoA B AB O

Fator Rh+ Rh– Rh+ Rh– Rh+ Rh– Rh+ Rh–

Número de pessoas 64 16 15 5 9 1 72 18

a) Uma pessoa é escolhida ao acaso e sabe-se que ela tem sangue tipo A; qual é a probabilidade de ela ter RH+?

1. Fabinei lança um dado sem que Claudino veja o resultado pela face voltada para cima. Fabinei diz que o número é par, então qual a probabilidade de Claudino acertar o número?

2. Uma pesquisa feita em certa região apontou que, entre as pessoas com mais de 50 anos, 8% dos homens e 1% das mulheres têm problemas cardíacos. Se uma pessoa, nessa faixa de idade, é escolhida e tem problemas de coração, qual é a probabilidade de ser uma mulher?

3. Dois amigos, Rodrigo e João Pedro, lançam dois dados e, se a soma das faces voltadas para cima for 5, Rodrigo ganha, mas, se a soma for 8, João Pedro ganha. Os dados fo-ram lançados e sabe-se que Rodrigo não ga-nhou, então qual é a probabilidade de João Pedro ter ganhado?

4. Tecidos com defeito são descartados pelas malharias e não são vendidos para o consumi-dor. Uma malharia produz tecidos e, para isso,


Câncer de pulmãoOutros tipos

de câncerTotal

Fumante Não fumante

Homem 54 6 40 100

Mulher 45 5 20 70

A probabilidade de uma dessas pessoas, esco-lhida ao acaso, ser mulher, sabendo-se que tem câncer de pulmão, é:

a) 517

b) 717

c) 617

d) 311

7. (UFG – GO) Segundo uma pesquisa realizada no Brasil sobre a preferência de cor de carros, a cor prata domina a frota de carros brasi-leiros, representando 31%, seguida pela cor preta, com 25%, depois a cinza, com 16% e a branca, com 12%. Com base nestas informa-ções, tomando um carro ao acaso, entre to-dos os carros brasileiros de uma dessas quatro cores citadas, qual a probabilidade de ele não ser cinza?

a) 425

b) 37

c) 1725

d) 3750

e) 1721

8. (UFPE) Um construtor compra 60% das suas telhas da Companhia A e o restante da Compa-nhia B. Suponha que 96% das telhas compra-das de A são entregues sem defeito, e o mesmo ocorre com 98% das telhas de B. Se uma telha foi entregue com defeito, calcule a probabili-dade percentual p% de ter sido entregue pela Companhia A. Indique p.

utiliza duas máquinas: máquina 1 e máquina 2. Cada uma dessas máquinas produz bobinas com 50 metros cada uma. Da venda final para o con-sumidor, a máquina 1 produz 60% do total; e a máquina 2 o restante. Sabe-se ainda que, das bobinas produzidas, 1,5% da máquina 1 e 2,5% da máquina 2 são defeituosas. Dessa forma, de-termine:

a) a probabilidade de uma bobina ser defeituosa;

b) sendo a bobina defeituosa, a probabilidade de ela ser da máquina 1;

c) sendo a bobina defeituosa, a probabilidade de ela ser da máquina 2.

5. (ENEM) O diretor de um colégio leu numa revis-ta que os pés das mulheres estavam aumentan-do. Há alguns anos, a média do tamanho dos calçados das mulheres era de 35,5 e, hoje, é de 37,0. Embora não fosse uma informação cientí-fica, ele ficou curioso e fez uma pesquisa com as funcionárias do seu colégio, obtendo o quadro a seguir:

Tamanho dos calçados Número de funcionárias

39,0 1

38,0 10

37,0 3

36,0 5

35,0 6

Escolhendo uma funcionária ao acaso e sabendo que ela tem calçado maior que 36,0, a probabili-dade de ela calçar 38,0 é:

a) 13

d) 57

b) 15

e) 514

c) 25

6. (UFRN) Em determinado hospital, no segundo semestre de 2007, foram registrados 170 casos de câncer, distribuídos de acordo com a tabela a seguir:



1. Um dado é fabricado a partir de um icosaedro re-gular. Assim, em cada face foi gravado um único número da seguinte maneira:

O número 2 foi gravado em 6 faces. O número 3 foi gravado em 5 faces. O número 4 foi gravado em 4 faces. O número 5 foi gravado em 3 faces. O número 6 foi gravado em 2 faces.

Dessa forma, ao lançar esse dado, pode-se afir-mar que:

a) A probabilidade de a face voltada para cima

ser um número primo é 25

.

b) A probabilidade de a face voltada para cima ser um número par é igual à probabilidade de a face voltada para cima ser um número ímpar.

c) A probabilidade de a face voltada para cima

ser maior que 4 é igual a 15

.

d) A probabilidade de a face voltada para cima

ser o número 6 é 110

.

e) Se a face voltada para cima for um número par, a probabilidade de essa face ser o número

2 será 16

.

2.duas vezes e em cada uma delas o resultado foi anotado. Qual é a probabilidade de a soma dos números anotados ser maior ou igual a 7?

a) 76

d) 716

b) 14

e) 712

c) 23

3. Em cada semana, João, Fábio e Juliano jogam na Mega-Sena. Cada um deles faz a quantidade de jogos que acha mais conveniente para aumentar as probabilidades de ganhar o prêmio principal. Para cada jogador, não existem cartões com os mesmos números e João joga um cartão com 8 números, Fábio joga 14 cartões com 6 números em cada cartão e Juliano joga dois cartões com 7 números em cada cartão. Dessa forma, marque V para verdadeiro e F para falso:

( ) A probabilidade de João ganhar é maior que a de Fábio.

( ) A probabilidade de Fábio ganhar é maior que a de Juliano.

( ) A probabilidade de João ganhar é menor que a de Juliano.

( ) A probabilidade de Juliano ganhar é igual a de Fábio.

( ) A probabilidade de João ganhar é igual à soma das probabilidades de Fábio e Juliano.

4. (ENEM) O controle de qualidade de uma empre-sa fabricante de telefones celulares aponta que a probabilidade de um aparelho de determina-do modelo apresentar defeito de fabricação é de 0,2%. Se uma loja acaba de vender 4 aparelhos desse modelo para um cliente, qual é a probabili-dade de esse cliente sair da loja com exatamente dois aparelhos defeituosos?a) 2 . (0,2%)4 d) 4 . (0,2%)b) 4 . (0,2%)2 e) 6 . (0,2%) . (99,8%) c) 6 . (0,2%)2 . (99,8%)2

5. Uma das provas da gincana de um colégio con-sistia em colocar três cartas com as letras A, B e C (cada uma com uma letra) com as letras volta-das para baixo. Um integrante escolhido de cada equipe colocaria as cartas enfileiradas e depois disso viraria cada carta.Para cada carta, que, ao ser virada, estiver em seu lugar próprio do alfabeto, a equipe ganhará 10 pontos. Com base nisso, pode-se afirmar que:

a) a probabilidade de uma equipe obter 30 pon-

tos é 13

;

b) a probabilidade de uma equipe obter 10 pon-

tos é 16

;

c) uma equipe pode obter 20 pontos;d) a probabilidade de uma equipe não obter

pontos é 12

;

e) existem duas possibilidades de nenhuma das letras ocupar o seu lugar próprio no alfabeto.

6. (UEG – GO) Numa reunião de trabalho estão seis pessoas, entre elas Luís e Geraldinho. Escolhen-do-se, ao acaso, uma comissão com quatro pes-soas, qual é a probabilidade de Luís ou Geraldi-nho pertencerem a essa comissão?


7. (UFPR) Dois matemáticos saíram para comer uma pizza. Para decidir quem pagaria a conta, eles resolveram lançar uma moeda 4 vezes: se NÃO aparecessem duas caras seguidas, Alfredo pagaria a conta, caso contrário Orlando paga-ria.

Qual é a probabilidade de Alfredo pagar a conta?

a) 12

d) 58

b) 716

e) 916

c) 34

Total de possibilidades = 16

8. Uma mesa tem oito cadeiras das quais quatro são defeituosas. Escolhendo-se, ao acaso, três cadeiras, determine a probabilidade de que al-guma seja defeituosa.

9. Uma urna contém n bolas. Retira-se ao acaso uma bola dessa urna. Sabe-se que a probabilidade de

sair uma bola azul dessa urna é p An

( ) =−74

. En-

tão, qual é o número máximo e mínimo de bolas que a urna pode conter?

10. (UFMG) Dois jovens partiram, do acampamen-to em que estavam, em direção à Cachoeira Grande e à Cachoeira Pequena, localizadas na região, seguindo a trilha indicada neste es-quema:

Cachoeira Grande

Acampamento

Cachoeira Pequena

Em cada bifurcação encontrada na trilha, eles escolhiam, com igual probabilidade, qualquer um dos caminhos e seguiam adiante. Então, é CORRETO afirmar que a probabilidade de eles chegarem à Cachoeira Pequena é:

a) 12

b) 23

c) 34

d) 56

11. (ENEM) Um casal decidiu que vai ter 3 filhos. Contudo, quer exatamente 2 filhos homens e decide que, se a probabilidade fosse inferior a 50%, iria procurar uma clínica para fazer um tratamento específico para garantir que teria os dois filhos homens. Após os cálculos, o casal concluiu que a probabilidade de ter exatamente 2 filhos homens é:

a) 66,7%, assim ele não precisará fazer um tra-tamento.

b) 50%, assim ele não precisará fazer um trata-mento.

c) 7,5%, assim ele não precisará fazer um trata-mento.

d) 25%, assim ele precisará procurar uma clínica para fazer um tratamento.

e) 37,5%, assim ele precisará procurar uma clí-nica para fazer um tratamento.

12. (CEFET/PI) Durante a disputa de um campeonato de futebol sempre aparecem aquelas previsões de ganho, perda ou empate em uma determi-nada partida. Existem pessoas que acreditam que condições extrínsecas ao campo podem in-terferir no resultado de uma partida. Considere as previsões sobre uma partida de futebol entre Flamengo e Vasco:

A probabilidade de chover no dia do jogo é 37

.

A probabilidade de empate é 25

.

A probabilidade de o Flamengo ganhar é 38

.

Analisando apenas tais “previsões” pode-se di-zer que a probabilidade de não chover e o Vas-co ganhar é:

a) 1970

d) 719

b) 970

e) 1431

c) 330


Anotações

MATEMÁTICA

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MATEMÁTICA

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