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Sinais e Sistemas Eng. da Computação Análise de Sistemas Contínuos por Transformada de Fourier Prof. Aluizio Fausto Ribeiro Araújo Depto. of Sistemas de Computação Centro de Informática - UFPE ES 413 Sinais e Sistemas Capítulo 7

Análise de Sistemas Contínuos por Transformada de Fourieres413/aulas/SS-ufpe-aula... · – A transformada de Fourier de uma função x(t) tem garantias de convergência se tal

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Sinais e SistemasEng. da Computação

Análise de Sistemas Contínuos por Transformada de Fourier

Prof. Aluizio Fausto Ribeiro AraújoDepto. of Sistemas de Computação

Centro de Informática - UFPE

ES 413 Sinais e Sistemas

Capítulo 7

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1-2Sinais e SistemasEng. da Computação

Conteúdo• Introdução

• Representação de Sinal Aperiódico por Integral de Fourier Trigonométrica

• Transformadas de Algumas Funções Úteis

• Propriedade da Transformada de Fourier

• Transmissão de Sinais através de Sistemas LTIC

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1-3Sinais e SistemasEng. da Computação

Introdução (i)– A Transformada de Fourier pode ser intuída como um caso

especial de Transformada de Laplace onde s=j? .

• Esta suposição nem sempre é verdadeira por causa da diferente natureza da convergência das integrais de Laplace e de Fourier.

– A integral de Fourier, que dá origem a transformada de Fourier, estende o papel da série de Fourier, representar um sinal periódico por um somatório de funções senoidais ou exponenciais. Isto é, tal integral permite a representação espectral de sinais aperiódicos.

– A Transformada de Fourier de um sinal:

• Representa as componentes espectrais do sinal.

• Provê mapeamento 1-1 com sua inversa entre domínio no tempo e na freqüência.

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1-4Sinais e SistemasEng. da Computação

Representação de Sinal Aperiódico (i)• Preliminares

– Para representar um sinal aperiódico x(t) por uma série de Fourier:

• Repita x(t) a cada T0 segundos, evitando superposições das repetições.

• Os coeficientes da série de Fourier são calculados para componentes a cada intervalo ? 0 de freqüência.

• Se T0→∞, as amostras no domínio da freqüência tornam-se um sinal contínuo em ? .

x(t)

t

X(? )

?-T0 0 T0

xp(t)

0

2p/T0 Xp(? )

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1-5Sinais e SistemasEng. da Computação

Representação de Sinal Aperiódico (ii)• Preliminares

– Um sinal aperiódico pode ser expresso por um somatório contínuo (integral) de exponenciais incessantes onde aplica-se operador de limite. Assim, o sinal aperiódico dá origem a um outro, periódico, que repete o sinal original a cada período.

)(1 : se- temequivalem, se )( e )(lim Como

2,)(1 onde ,)(

:acima casos dois os representaFourier de série mesma uma Assim,

)()(lim :portanto infinito, tempode intervalo um após

se-repete )( periódico sinal um então infinito, a tende)( periódo o Se

0

00

0

0

0

0

0

0

00

0

0

00

2/

2/0

0

∫∑∞

∞−

∞→

−∞

−∞=

∞→

=

===

=

dtetxT

Dtxtx

Tdtetx

TDeDtx

txtx

xT

tjnnTT

T

T

tjnTn

n

tjnnT

TT

T

ω

ωω πω

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1-6Sinais e SistemasEng. da Computação

Representação de Sinal Aperiódico (iii)• Definição: Integral de Fourier

– Pode-se definir uma integral, função da freqüência ? :

– O espectro de Fourier se modifica, em número de amostras e amplitude das componentes, com o aumento do período.

)(1

logo ,)()( 00

ωω ω nXT

DdtetxX ntj == ∫

∞−

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1-7Sinais e SistemasEng. da Computação

Representação de Sinal Aperiódico (iv)• Definição: Integral de Fourier

– Usando-se os coeficientes, escreve-se a série do sinal periódico:

−∞=

→∆∞→

−∞=

−∞=

∆∆==

=→∞→∆∆∆

∆∆

=

=∆

→∞→=

n

tjnTT

T

n

tjnT

n

tjnT

enXtxtx

txtxTnXn

enX

tx

T

TeTnX

tx

ωωπ

ωπωωω

πωω

πωω

ωω

ω

ω

ω

ω

)(

0

00

)(

00

000

0

)(21lim)(lim)(

:)()( e 0 então Quando .2/])([ é )( freqüência

de componente um de ãocontribuiç a somatório, este Para2

)()(

:se-rnaFourier to de série a e ,/2por se- trocaLogo

.0 então se ,)(

)(

00

0

0

0

0

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1-8Sinais e SistemasEng. da Computação

Representação de Sinal Aperiódico (iv)• Definição: Integral de Fourier

.0 lfundamenta freqüência comFourier de série a equivale integralA .)( aperiódico sinal o representa queFourier de integral a é Esta

)()(

: função a sob área uma como ser visto pode somatório O

→∆

= ∫∞

∞−

ω

ωω ω

tx

deXtx tj

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1-9Sinais e SistemasEng. da Computação

Representação de Sinal Aperiódico (v)• Definições: Transformada de Fourier e sua Inversa

– A Transformada de Fourier e sua inversa são definidas como:

– O conjugado pode ser escrito como:

– Exemplo de transformada e sua inversa:

ωωπ

ω

ω

ω

ω

ω

deXXFtx

dtetxtxFX

Xtx

tj

tj

∫∞

∞−

∞−

==

==

)(21)]([)(

)()]([)(

)()(

1

x(t)

t

X(? )

?

.conjugação da epropriedad - )()( logo

,)()]([)( se- temdefiniçãoPor ** >−⇔

==− ∫∞

∞−

ω

ω ω

Xtx

dtetxtxFX tj

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1-10Sinais e SistemasEng. da Computação

Representação de Sinal Aperiódico (vi)• A Transformada de Fourier

– A transformada de Fourier X(? ) é a especificação de x(t) no domínio da freqüência.

– Pode-se traçar o espectro de X(? ) como função de ? :

– Para um sinal x(t) real, o espectro de amplitude é uma função par e o espectro de fase é uma função ímpar de ? .

– A transformada de Fourier é linear

)()()( ωωω XeXX ∠=

)()(

)()(

ωω

ωω

XX

XX

−∠=−∠

=−

)()()()( então

)()( e )()( Sejam

22112211

2211

ωωωωXaXatxatxa

XtxXtx

+⇔+⇔⇔

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1-11Sinais e SistemasEng. da Computação

Representação de Sinal Aperiódico (vii)• Transformada de Fourier

– Exemplo: Encontre a transformada de Fourier para o sinal:

−=∠

+=

=∠=

>+

<∞=

+−

=

=

+−

===

==

∞+−

∞+−∞ +−∞

∞−

−−

∞−

−−

∫∫

aX

aX

XXX

aja

ae

jaX

e

eja

dtedtetueX

dtetxXtuetx

tja

tj

tjatjatjat

tjat

ωω

ωω

ωωω

ωω

ω

ωω

ω

ω

ω

ωωω

ω

1

22

0

)(

0

)(

0

)(

tan)(

1)()()()( Portanto,

01

0

1)(

portanto 1, que se-Tem

1)()( Logo,

)()( definiçãopor ),()(

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1-12Sinais e SistemasEng. da Computação

Representação de Sinal Aperiódico (viii)• Transformada de Fourier

– Exemplo (continuação): Traçado dos espectros de amplitude (função par) e fase (função ímpar):

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1-13Sinais e SistemasEng. da Computação

Representação de Sinal Aperiódico (ix)• Existência da Transformada de Fourier

– A transformada de Fourier de uma função x(t) tem garantias de convergência se tal função satisfaz as condições de Dirichlet. Além disto, nos pontos de descontinuidade, x(t) converge para a média dos valores em cada lado da descontinuidade.

– As condições de Dirichlet (condições de suficiência) são:

finito. tempode intervaloqualquer em mínimos e máximos de finito número ter que tem)( funçãoA (iii)

finito. tempode intervaloqualquer em finitas idadesdescontinu de finito número ter que tem)( funçãoA (ii)

.)( :integrável nteabsolutame é )( funçãoA (i)

tx

tx

dttxtx ∞<∫∞

∞−

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1-14Sinais e SistemasEng. da Computação

Transformadas de Algumas Funções Úteis (i)• Função Portal Unitária (Unit Gate)

– Esta função, rect(x), é definida como um pulso de altura e largura unitárias, centrada na origem:

– Função portal: unitária e ela expandida no eixo horizontal:

<

=

>

=

2/11

2/12/1

2/10

)(rect

x

x

x

x

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1-15Sinais e SistemasEng. da Computação

Transformadas de Algumas Funções Úteis (ii)• Função Triângulo Unitária (Triangular Gate)

– Esta função é definida como um pulso triangular de altura e largura unitárias, centrada na origem:

– Função triângulo: unitária e expandida no eixo horizontal:

<−

≥=∆

2/121

2/10)(

xx

xx

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1-16Sinais e SistemasEng. da Computação

Transformadas de Algumas Funções Úteis (iii)• Função Interpolação (Interpolation)

– Esta função, denotada por sinc (x), é definida a razão entre um seno e seu argumento. Ela também é conhecida como função filtrante ou interpolante.

– Características da função:

• É função par de x.

• sinc (x)=0 quando sen x=0, exceto em x=0.

• Pela regra do L’Hôpital determina-se sinc (0)=1.

• Exibe oscilações amortecidas de período 2p, com amplitude continuamente decrescente como 1/x.

xx

xsen

)( sinc =

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1-17Sinais e SistemasEng. da Computação

Transformadas de Algumas Funções Úteis (iv)• Função Interpolação (Interpolation)

– Gráfico da função sinc(x).

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1-18Sinais e SistemasEng. da Computação

Transformadas de Algumas Funções Úteis (v)• Transformada de Fourier

– Exemplo: Encontre a transformada de Fourier para o sinal:

=

=

=−−==

=

==

∞−

∞−

∫∫

2 sinc rect finalmente ,

2 sinc

2

2)(

22

)(1

)(

:função da valoresos doconsideran ,)/(rect)( Logo,

)()( definiçãopor ),/(rect)(

2/2/2/

2/

ωττ

τωτ

τωτ

ωτ

τω

ω

ωτ

τω

τω

ωτ

ωτωττ

τ

ω

ω

ω

tsen

X

senee

jdteX

dtetX

dtetxXttx

jjtj

tj

tj

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1-19Sinais e SistemasEng. da Computação

Transformadas de Algumas Funções Úteis (vi)• Transformada de Fourier

– Exemplo (continuação): Traçado (a) da função x(t) = rect (t/t); (b) da transformada de Fourier X(? ); (c) do espectro de amplitude (função par) e (d) do espectro de fase (função ímpar).

• A largura de banda de X(? ) é infinita, contudo, este é um filtro passa baixa, no qual a maior parte do espectro concentra-se no intervalo [0,2p/t ]. Portanto, uma avaliação grosseira da largura de banda a determina como 2p/t rad/s ou 1/t Hz.

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1-20Sinais e SistemasEng. da Computação

Transformadas de Algumas Funções Úteis (vii)• Transformada de Fourier

– Exemplo: Determine a transformada de Fourier da entrada impulso d(t).

( )[ ] ( ) ( ) 1 sejaou ,1 ⇔== ∫∞

∞−

− tdtettF tj δδδ ω

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1-21Sinais e SistemasEng. da Computação

Transformadas de Algumas Funções Úteis (viii)• Transformada de Fourier

– Exemplo: Determine a transformada de Fourier inversa de d(? ).

( )[ ] ( ) ( )ωπδπ

ωωδπ

ωδ ω 21 sejaou ,21

211 ⇔== ∫

∞−

− deF tj

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1-22Sinais e SistemasEng. da Computação

Transformadas de Algumas Funções Úteis (ix)• Transformada de Fourier

– Exemplo: Determine a transformada de Fourier inversa de d(? -? 0).

( )[ ] ( )

( )

( )0

0

0

001

2

:estendidaser pode acima equaçãoA . em simples impulso um é incessante

lexponencia função uma de espectro o que mostra resultado Este

2 sejaou

,21

21

0

0

0

0

ωωπδ

ωω

ωωπδπ

ωωωδπ

ωωδ

ω

ω

ω

ωω

+⇔

=

−⇔

=−=−

∞−

− ∫

tj

tj

tj

tjtj

e

e

e

edeF

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1-23Sinais e SistemasEng. da Computação

Transformadas de Algumas Funções Úteis (x)• Transformada de Fourier

– Exemplo: Encontre a transformada de Fourier:

Sinal cosseno e seu espectro de Fourier

( )( ) ( )

( ) ( )[ ]000

00

0

cos :elinearidad da epropriedad Pela

22 :anterior exemplo Do21

cos :determinaEuler de fórmulaA

00

00

ωωδωωδπω

ωωπδωωπδ

ω

ωω

ωω

++−⇔

+⇔−⇔

+=

t

ee

eet

tjtj

tjtj

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1-24Sinais e SistemasEng. da Computação

Transformadas de Algumas Funções Úteis (xi)• Transformada de Fourier

– Exemplo: Encontre a transformada de Fourier de um trem de impulsos como mostrado na figura abaixo:

( )

( ),2)( :Fourier de ada transformsua tem

2,)( :Fourier de série em expresso sinal um

assim, ,2 que se-mostrouanterior exemplo No

0

00

0

0

0

∑∞

−∞=

−∞=

−=

==

−⇔

nn

n

tjnn

tj

nDX

TeDtx

e

ωωδπω

πω

ωωπδ

ω

ω

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1-25Sinais e SistemasEng. da Computação

Transformadas de Algumas Funções Úteis (xii)• Transformada de Fourier

– Exemplo (continuação):

( ) ( )ωδωωωδπ

ω

δ

ω

ω

0

0

0

0

000

0

2/

2/0

2)(

: éFourier de série daFourier de ada transforma Logo,

1)(

1 :Fourier de ecoeficient do Cálculo

=−=

==

−∞=

nn

T

T

tjnn

nDT

X

Tdtet

TD

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1-26Sinais e SistemasEng. da Computação

Transformadas de Algumas Funções Úteis (xiii)• Transformada de Fourier

– Exemplo: Calcule a T. F. da função degrau unitária u(t).( )

( ) ( )

)(lim)( se-faz problema, esteresolver Para

para adoindetermin é desuperior limite O

/1

)( :adaindetermin é integral esta direta, integraçãoPor

0

00

tuetu

te

ejdteU

dtetuU

at

a

tj

tjtj

tj

∞−∞ −

∞−

=

∞→

−==∴

=

∫∫

ω

ωω

ω

ωω

ω

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1-27Sinais e SistemasEng. da Computação

Transformadas de Algumas Funções Úteis (xiv)• Transformada de Fourier

– Exemplo (continuação):

( )

( )ω

ωπδω

ω

πω

ωωω

ωωωω

ωω

jU

aa

ad

aa

aa

jaa

aj

aaU

a

aa

1)(

0lim

tan é sob Área

onde ,1limlim

:como expressaser podeFourier de madaA transfor

220

12222

22022220

+=

∴=

+

==++

+

+=

+−

+=

∞−

−∞

∞−

→→

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1-28Sinais e SistemasEng. da Computação

Transformadas de Algumas Funções Úteis (xv)• Transformada de Fourier

– Exemplo: Calcule a transformada de Fourier da função sgn(t):

ωjt

tuttut2)sgn( anteriores resultados os se-Usando

1)(2)sgn()(21)sgn(

−=∴=+

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1-29Sinais e SistemasEng. da Computação

Propriedades da Transformada de Fourier (i)• Objetivo

– Estudar propriedades e conhecer suas implicações e aplicações.

• Propriedades Consideradas

– Propriedade de Dualidade Tempo-freqüência nas Operações com Transformadas: Para qualquer resultado entre x(t) e X (? ) existe uma relação dual obtida pela trocas de papeis de x(t) e X (? ), pois as duas expressões são aproximadamente idênticas.

– Propriedade de Linearidade: Respeita o teorema da superposição. Permite representar um sinal como a combinação linear de outros sinais com transformadas de Fourier conhecidas.

– Conjugação e Simetria Conjugada:

)()( conjugado de simetria de epropriedad a se-Segue

)()( então )()( Se*

**

ωω

ωω

XX

XtxXtx

=−

−⇔⇔

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1-30Sinais e SistemasEng. da Computação

Propriedades da Transformada de Fourier (ii)– Propriedade de Dualidade:

• Operações no tempo levam a operações duais na freqüência.

• Pares de transformadas de Fourier são mutuamente duais.

– Propriedade DC: Integral de um sinal é determinada por sua T.F. em ? =0.

– Relação de Parceval: A potência do sinal pode ser determinada a partir do domínio do tempo ou do domínio da freqüência.

.por se- troca,)()(2

se- tem, tempopara assim ,)(21)(

pois ),(2)( então )()( Se

ωπ

π

ωπω

tdueuXtx

-tdueuXtx

xtXXtx

jut

jut

∫∞

∞−

∞−

=−

=

−⇔⇔

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1-31Sinais e SistemasEng. da Computação

Propriedades da Transformada de Fourier (iii)– Propriedade de Escalonamento no Tempo:

( )

[ ]

espectral. o)(compressã expansão em resulta fator pelo )( sinal do tempono (expansão) compressão que afirma epropriedad Esta

)()( se-calcula :compressão desta Prova

real. constante é ,//1)( então )()( Se

atx

dteatxatxF

aaXaatxXtx

tj∫∞

∞−

−=

⇔⇔

ω

ωω

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1-32Sinais e SistemasEng. da Computação

Propriedades da Transformada de Fourier (iv)– Propriedade de Escalonamento no Tempo (continuação):

• A largura de banda de um sinal é inversamente proporcional a duração ou largura deste sinal.

– Propriedade de inversão de Tempo e Freqüência:

– Propriedade de Deslocamento no Tempo:

[ ]

espectro.seu emlinear fase de todeslocamen um provoca sinal um em tempo)(no atraso o palavras, outras Em

. em fase de espectroseu muda e amplitude de espectroseu modifica

não segundos em )( sinal umatrasar que afirma epropriedad Esta

)()( se-calcula :Prova

)()( então )()( Se

0

0

00

00

t

ttx

dtettxttxF

eXttxXtxtj

tj

ω

ωωω

ω

−=−

⇔−⇔

∫∞

∞−

( ) .1 onde ,)( então )()( Se −=−⇔−⇔ aXtxXtx ωω

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1-33Sinais e SistemasEng. da Computação

Propriedades da Transformada de Fourier (v)– Propriedade de Deslocamento no Tempo (continuação):

– Exemplo: Encontre a T.F. do pulso portal da figura abaixo:

.4

3linear termoum de adicionado é fase de espectro O

)./(rect de mesmo o permanece eamplitudad de espectro O2

sinc 43

rect logo ,2

sinc rect

: tempono todeslocamen do epropriedad a se-Aplicasegundos. 4/3 de atrasado )/(rect portal pulso o é )( sinal O

0

ωττ

ωττ

ττ

ωττ

τ

ττ

ω

t

ett

ttx

tj

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1-34Sinais e SistemasEng. da Computação

Propriedades da Transformada de Fourier (vi)– Propriedade de Deslocamento no Tempo (continuação):

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1-35Sinais e SistemasEng. da Computação

Propriedades da Transformada de Fourier (vii)– Propriedade de Deslocamento na Freqüência:

[ ]

[ ] [ ])()(21)()(

21cos)(

:senoidal umapor sinal o se-ndomultiplica alcançado é real, mundo opara ,freqüência na todeslocamen o real, função uma é não Como

tempo.no todeslocamen ao dual é epropriedad Esta

. de sinal doespectro no todeslocamen causa por sinal um de çãomultiplicaA

)()( se-calculando obtida é provaA

)()( então ,)()(

000

0

0

00

0

0

00

0

ωωωωω

ωω

ωωω

ωω

ω

ω

ωωω

ω

++−⇔+=

=

=

−⇔⇔

∞−

−∫

XXetxetxttx

e

e

dteetxetxF

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tjtj

tj

tj

tjtjtj

tj

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1-36Sinais e SistemasEng. da Computação

Propriedades da Transformada de Fourier (viii)– Propriedade de Deslocamento na Freqüência (continuação):

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1-37Sinais e SistemasEng. da Computação

Propriedades da Transformada de Fourier (ix)– Propriedade de Deslocamento na Freqüência (continuação):

• Multiplicação de um sinal senoidal cos ? 0t pelo sinal x(t) modula a amplitude da senoidal. Esta operação é chamada de modulação em amplitude. A senoidal é chamada de portadora (carrier) e o sinal é dito ser o sinal modulante ou modulador. O produto é chamado de sinal modulado.

• Aplicações de Modulação:

– Multiplexação por divisão de freqüência: transmissão simultânea de alguns sinais sobre um mesmo canal por compartilhamento da banda de freqüência. Na prática, um dado sinal tem vários portadores (e.g., estação de rádios).

– Redução do tamanho de antenas (que deve ter o tamanho da ordem de grandeza do sinal a ser irradiado).

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1-38Sinais e SistemasEng. da Computação

Propriedades da Transformada de Fourier (x)– Propriedade de Convolução no Tempo e na Freqüência

– Propriedade de Diferenciação e Integração no Tempo:

( )[ ]definição. da aplicaçãopor se-Prova

)()(21)()( freqüência na Convolução )()()()( tempono Convolução

.)()( e )()( Se

2121

2121

2211

ωωπωω

ωω

XXtxtxXXtxtx

XtxXtx

∗⇔⇔∗

⇔⇔

+⇔

∫ ∞− tempono integração ),()0(

)()(

tempono çãodiferencia ),( então

,)()(

ωδπωω

ττ

ωω

ω

Xj

Xdx

Xjdtdx

Xtx

t

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1-39Sinais e SistemasEng. da Computação

Transmissão de Sinais por Sistemas LTIC (i)• Preliminares

– Sejam x(t) e y(t) entrada e saída de sistema LTIC com resposta ao impulso h(t), logo Y(? )=H(? )X(? ) (prop. convolução no tempo).

• Esta equação não se aplica a sistemas assintoticamente instáveis pois neste caso h(t) não é transformável por Fourier.

– Exemplo: Ache a resposta de estado zero para sist. LTIC (estável):

( )( )

( ) )()( logo ,2

11

1)(

121

)()()( Portanto,

11

)()( :Entrada

2

1|)(2

1)( :impluso ao Resposta

2 tueetyjj

Y

jjXHY

jtuetx

jsH

ssH

tt

t

js

−−

=

−=+

−+

=

++==

+⇔=

+=∴

+=

ωωω

ωωωωω

ω

ωω

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1-40Sinais e SistemasEng. da Computação

Transmissão de Sinais por Sistemas LTIC (ii)• Entendimento Heurístico de Resposta de Sistema Linear

– Resposta de um sistema LITC emprega integral de convolução(domínio do tempo) e integral de Fourier (domínio da freqüência):

sincessante exp. às respostas de .....soma )()(21

)(

sincessante isexponencia de ....soma.......... )(21)(

impulso ao sposta........re.................... )(

:freqüência da Domínio

impulso ao respostas de ......soma.......... )()()(

impulsos de a.......som.......... )()()(

impulso ao osta......resp.............................. )()( : tempono Domínio

-

-

-

-

∫∫

=

=

−=

−=

ωωωπ

ωωπ

ω

τττ

ττδτ

δ

ω

ω

ωω

deHXty

deXtx

eHe

dthxty

dtxtx

tht

tj

tj

tjtj

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1-41Sinais e SistemasEng. da Computação

Filtros Ideais e Práticos• Entendimento Heurístico de Resposta de Sistema Linear

– Resposta de um sistema LITC emprega integral de convolução(domínio do tempo) e integral de Fourier (domínio da freqüência):

sincessante exp. às respostas de .....soma )()(21

)(

sincessante isexponencia de ....soma.......... )(21)(

impulso ao sposta........re.................... )(

:freqüência da Domínio

impulso ao respostas de ......soma.......... )()()(

impulsos de a.......som.......... )()()(

impulso ao osta......resp.............................. )()( : tempono Domínio

-

-

-

-

∫∫

=

=

−=

−=

ωωωπ

ωωπ

ω

τττ

ττδτ

δ

ω

ω

ωω

deHXty

deXtx

eHe

dthxty

dtxtx

tht

tj

tj

tjtj

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1-42Sinais e SistemasEng. da Computação

Exercícios Recomendados• Propostos para o MATLAB ou SCILAB

– Todos

• Problemas– 7.1-3 até 7.1-7.

– 7.2-1, 7.2-4 até 7.2-5.

– 7.3-1 até 7.3-4, 7.3-6, 7.3-7 e 7.3-10.

– 7.4-1 até 7.4-3.