ANÁLISE ESTRUTURAL I

NOTAS DE AULA

Assunto: Linhas de Influência

de Estruturas Isostáticas Prof. Roberto Márcio da Silva

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1-) INTRODUÇÃO

As linhas de influência tem uma importante aplicação no projeto de estruturas submetidas a carregamentos móveis, tais como: pontes, viadutos, passarelas e vigas de rolamento.

Nos capítulos anteriores foram desenvolvidas técnicas para analisar estruturas isostáticas submetidas a carregamento fixo. Será mostrado agora como os esforços solicitantes numa estrutura isostática variam com a posição do carregamento móvel. 2-) DEFINIÇÃO

Uma linha de influência mostra como um determinado esforço numa seção varia quando uma carga concentrada move sobre a estrutura. A linha de influência é construída sobre o eixo da estrutura sendo que as abscissas representam as posições da carga móvel e as ordenadas representam os respectivos valores do esforço considerado. Exemplo: Linha de influência de momento fletor para uma seção S 3-) PROCEDIMENTO PARA ANÁLISE

Será mostrado a seguir os procedimentos para se construir uma linha de influência de um esforço numa determinada seção. 3.1-) Vigas sobre 2 apoios

Seja uma carga móvel vertical “P” deslocando-se sobre a viga AB mostrada abaixo, e x a posição desta carga.

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3.1.1-) Linha de influência das reações de apoio ∑MA = 0

VB.L – P(x-a) = 0 VB = P(x-a)/L

dividindo agora ambos os membros pela carga P para tornar o carregamento unitário e adimensional, temos:

VB/P = P(x-a)/(P.L) BV = (x-a)/L

Chama-se BV de “linha de influência” da reação de apoio VB, isto é, uma equação que mostra como a reação VB varia com a posição x de uma carga unitária que se desloca sobre a estrutura. Nota-se que os valores de BV são adimensionais. Dando valores para x determina-se os

respectivos valores de BV . x = a ⇒ BV = 0 (carga sobre o apoio A)

x = L+a ⇒ BV = (L+a-a)/L ⇒ BV = 1 (carga sobre o apoio B)

x = 0 ⇒ BV = -a/L (carga na extremidade do balanço esquerdo)

x = a+L+b ⇒ BV = (a+L+b-a)/L ⇒ BV = (L+b)/L > 1

A ordenada “YS” representa o valor da reação de apoio VB quando a carga móvel unitária estiver sobre a seção “s”. Analogamente, obtêm-se AV : ∑MB = 0

VA.L – P(L+a-x) = 0 VA = P(L+a-x)/L

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dividindo-se ambos os membros por P, resulta: AV = (L+a-x)/L Dando valores para x, obtêm-se: x = a ⇒ AV = (L+a-a)/L ⇒ AV = 1 (carga sobre o apoio A)

x = L+a ⇒ AV = [(L+a-(L+a)]/L ⇒ AV = 0 (carga sobre o apoio B)

x = 0 ⇒ AV = (L+a)/L > 1 (carga na extremidade do balanço esquerdo)

x = a+L+b ⇒ AV = [-(a+L+b)+L+a]/L ⇒ AV = -b/L

A ordenada “YS” representa o valor da reação de apoio VA quando

a carga móvel unitária estiver sobre a seção “s”.

Resumindo, pode-se concluir que as linhas de influência das reações de apoio de uma viga biapoiada são lineares e têm valor unitário no apoio analisado, e zero no outro apoio, prolongando-se a reta até as extremidades dos balanços. 3.1.2-) Linha de influência da força cortante numa seção entre os apoios

A linha de influência de QS pode ser obtida a partir das linhas de influência de VA e VB. Chamando a carga unitária de P = 1 e as reações de AV e BV , tem-se:

x<a+c ⇒ SQ = - BV

x>a+c ⇒ SQ = AV

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Resultando portanto:

A ordenada “YS1” representa o valor da força cortante na seção “S”, quando a carga unitária estiver na seção “S1”. 3.1.3-) Linha de influência do momento fletor numa seção entre os apoios

A linha de influência de MS pode também ser obtida a partir das linhas de influência de VA e VB. Fazendo a carga unitária P = 1 e as respectivas reações AV e BV , tem-se: x<a+c ⇒ SM = BV .d (tração no lado de referência)

x>a+c ⇒ SM = AV .c

Resultando portanto:

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A ordenada “YS1” representa o valor do momento fletor na seção “S” quando a carga unitária móvel estiver sobre a seção “S1”. Neste caso os valores de SM não são adimensionais pois foram obtidos do

produto de AV ou BV por uma distância “c” ou “d”, tendo portanto a dimensão de comprimento. As ordenadas positivas podem ser marcadas de qualquer lado desde que se indique o sinal. 3.2-) Vigas em balanço 3.2.1-) Linha de influência das reações de apoio ∑MA = 0

AM – 1.x = 0

AM = x ∑V = 0

AV –1 = 0

AV = 1 x = 0 ⇒ AM = 0; AV = 1

x = L ⇒ AM = L; AV = 1 Resultando portanto:

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3.2.2-) Linha de influência da força cortante numa seção do balanço x<c ⇒ SQ = 0

x>c ⇒ SQ = 1

Resultando portanto: OBS: No caso do balanço para a esquerda o sinal de SQ será negativo.

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3.2.3-) Linha de influência do momento fletor numa seção do balanço x<c ⇒ SM = 0

x≥c ⇒ SM = -1(x-c) (tração na face superior)

Dando valores para x obtém-se: x = c ⇒ SM = 0

x = L ⇒ SM = -1(L-c) = -1.d = -d

Resultando portanto: Para o balanço a esquerda a linha de influência é análoga. OBS: As linhas de influência dos esforços solicitantes numa seção do balanço de uma viga biapoiada são os mesmos obtidos para a viga em balanço.

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3.3-) Exemplo Para a viga biapoiada abaixo pede-se traçar as linhas de influência de:

AV , BV , S1Q , S1M , S2Q e S2M .

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3.4-) VIGAS GERBER Como visto anteriormente, vigas Gerber são estruturas isostáticas de eixo reto que resultam da associação de vigas simples (vigas em balanço, vigas biapoiadas). O traçado das linhas de influência de vigas Gerber é obtido a partir das linhas de influência das vigas simples, levando em consideração a transmissão de carga da viga que está apoiada para aquela que serve de apoio. Deve-se lembrar que quando a carga móvel está sobre um apoio ela é integralmente transmitida para ele. Através de alguns .exemplos mostrar-se-á como traçar as linhas de influência para as vigas Gerber. EXEMPLO 1 Para a viga abaixo pede-se as linhas de influência de AV , AM .

Decomposição da estrutura.

Traça a L.I. para a viga AB. Como a viga BCD esta apoiada em AB, haverá transmissão de carga.

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EXEMPLO 2

Para a viga abaixo, pede-se: CV , EV , S1Q e S1M .

Decomposição

Regra Geral: Traça-se a LI para a viga simples que contém a seção estudada, depois prolonga esta linha para as vigas que transmitem carga para a viga que contém a seção estudada.

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EXEMPLO 3

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3.5-) TRELIÇAS As linhas de influência das reações de apoio das vigas treliçadas são as mesmas obtidas para as vigas de alma cheia. ∑ EM = 0 ⇒ AV .L - 1(L-x) = O ⇒ AV = (L-x)/L

∑ AM = 0 ⇒ EV .L - 1.x = O ⇒ EV = x/L.

x = 0 ⇒ AV = 1; EV = 0

x = L ⇒ AV = 0; EV = 1 Cabe salientar que no caso das treliças o efeito do carregamento móvel chega nos nós indiretamente, através de elementos estruturais secundários como as transversinas. As linhas de influência das forças normais nas barras podem ser determinadas a partir das LI. das reações de apoio. Deve-se portanto procurar expressar a força normal na barra em função das reações de apoio.

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EXEMPLO Traçar as linhas de influência das forças normais nas barras BC, GH, GC, GB e HC da viga treliçada. Aplicando-se o processo das seções é possível expressar diretamente as forças normais nas barras em função das reações de apoio. BARRA BC: Seccionando a barra BC e substituindo-a pelas forças normais que ela aplica nos nós B e C têm-se: Liberdade: rotação em torno de G. Condição de equilíbrio: ∑MG(esq) = 0 ou ∑MG(dir) = 0 x ≤ a ⇒ ∑MG (dir) = 0 ⇒ EV .3a - BCN .b = 0

BCN = ( EV .3a)/b

x ≥ a ⇒ ∑MG (esq) = 0 ⇒ AV . a - BCN . b = 0

BCN = ( AV .a)/b

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BARRA GH: Seccionando a barra GH e substituindo-a por GHN nos nós G e H,

tem-se: Liberdade: rotação em torno de C. Condição de equilíbrio: ∑MC(dir) = 0 ou ∑MC(esq) = 0 x ≤ 2a ⇒ ∑MC(dir) = 0 ⇒ EV .2a + GHN .b = 0

GHN = -( EV .2a)/b

x ≥ 2a ⇒ ∑MC(esq)= 0 AV .2a + GHN .b = 0

GHN = -( AV .2a)/b

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BARRA GC: Seccionando a barra GC e substituindo-a por GCN nos nós G e C,

tem-se: Liberdade: translação vertical (dois corpos rígidos ligados por duas barras paralelas biarticuladas). Condição de equilíbrio: ∑V(esq) = 0 ou ∑V(dir) = 0 x ≤ a ⇒ ∑V(dir) = 0 ⇒ EV + GCN .sen α = 0

GCN = - EV /sen α

X ≥ 2a ⇒ ∑V(esq) = 0 ⇒ AV - GCN .sen α = 0

GCN = AV / sen α

Obs:. Quando a carga estiver no painel que contém a barra GC, parte dela transmite para o nó G e parte para o nó H. Como a linha de influência de estrutura isostática é sempre linear, então pode-se traçar a linha do início ao fim do painel; e ligar os pontos (N e M) através de uma reta.

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BARRA GB: Seccionando a barra GB e substituindo-a por GBN nos nós G e B,

tem-se: Liberdade: translação vertical (dois corpos rígidos ligados por 2 barras paralelas biarticuladas). Condição de equilíbrio: ∑V (esq) = 0 ou ∑V(dir) = 0 x ≥ a ⇒ ∑V (esq) = 0 ⇒ AV + GBN = 0 ⇒ GBN = - AV

Obs:. Para x < a, a variação é linear, basta ligar os pontos 1 e 2. BARRA HC: Seccionando a barra HC e substituindo-a por HCN nos nós H e C,

tem-se:

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Estudando o equilíbrio do nó H tem-se: ∑VH = 0 x ≤ a ou x ≥ 3a ⇒ ∑VH = 0 ⇒ HCN = 0

x = 2a ⇒ ∑VH = 0 ⇒ HCN + 1 = 0 ⇒ HCN = -1

a < x < 2a ⇒ parte de P =1, transmite para o nó H 2a < x < 3a ⇒ parte de P =1, transmite para o nó H, então a variação é linear de G até H e de H até I. 3.6-) CARREGAMENTO Em estruturas submetidas a carregamento móvel podem atuar cargas permanentes e cargas acidentais. A seguir mostra-se que será possível a partir das linhas de influência localizar as cargas acidentais na estrutura para que estas causem o máximo valor do esforço que está sendo analisado. Dois tipos de cargas serão considerados: 1 - Cargas Concentradas Como as ordenadas obtidas nas linhas de influência são determinadas usando uma carga unitária adimensional, então para qualquer carga concentrada "P" atuando na estrutura numa seção de abscissa x, o valor do seu efeito pode ser obtido multiplicando-se a ordenada adimensional na seção pelo valor da carga "P". 2 - Cargas Distribuídas Considere um pedaço de viga submetida a uma carga uniformemente distribuída p. Como mostrado na figura acima cada elemento dx da viga estará submetido a uma carga concentrada dP = p.dx. Se dP está localizado numa abscissa "x", onde a linha de influência tem ordenada "y", então o efeito de dP será: dP.y = p.dx.y

LINHA DE INFLUENCIA

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Portanto, o efeito de todas as cargas concentradas dP é obtido pela integração sobre todo o comprimento da viga, isto é:

∫ ∫ ∫ === áreapdxypydxpydP ......

Como p é constante, pode-se concluir que "o efeito da carga distribuída é simplesmente obtido multiplicando a carga "p" pela área sob a linha de influência". TREM - TIPO Em geral as cargas a serem consideradas nos projetos de estruturas solicitadas por carregamento móvel, são especificadas em Normas Técnicas. Estas cargas são representadas pelos chamados trem-tipo, onde são indicadas as cargas concentradas, as distâncias entre elas, além de eventuais cargas distribuídas. Por exemplo: 3.7-) ESFORÇOS MÁXIMOS Conhecido o carregamento permanente e dado um determinado "trem - tipo" constituído de cargas concentradas e distribuídas, pode-se determinar os valores máximos dos esforços numa seção. Na pesquisa destes valores máximos deve-se considerar o carregamento permanente em toda a estrutura e o carregamento acidental (trem - tipo) nas posições mais desfavoráveis.

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EXEMPLO: Seja determinar, para a viga abaixo, os valores máximos do momento fletor na seção “s”, para o carregamento a seguir :

PERMANENTESM = 0,5t/m × 4,562m2 = 2,281t.m

ACIDENTALSM⊕ = (6t × 1,875m) + (2t × 1,125m) + (1,5t/m × 7,5m2) = 24,7t.m

A1 = -1,25m2 A2 = 7,5m2 PERMANENTE

SM = 2,281t.m

A3 = -1,688m2 ACIDENTALSM⊕ = 24,7t.m

∑A= 4,562m2 ⊕SM = 27,03t.m

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PERMANENTESM = 0,5t/m × 4,562m2 = 2,281t.m

ACIDENTALSMθ = (1,5t/m × -1,25m2) + (1,5t/m × -1,688m2) + (6t × -1,125m) +

(2t × -0,375m) = -11,907t.m A1 = -1,25m2 A2 = 7,5m2 PERMANENTE

SM = 2,281t.m

A3 = -1,688m2 ACIDENTALSM θ = -11,907t.m

∑A= 4,562m2 θSM = -9,62t.m

Obs:. Deveria ser pesquisada a colocação da carga concentrada de 6t na ordenada y4. No caso verifica-se que se obtém o mesmo valor. (COINCIDÊNCIA !!) 4-) OBTENÇÃO GRÁFICA DAS LINHAS DE INFLUÊNCIA Em 1886, Heinrich Müller-Breslau desenvolveu uma técnica para construção gráfica da linha de Influência. Esta técnica é conhecida como "Princípio de Müller-Breslau".

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4.1-) PRINCÍPIO DE MÜLLER-BRESLAU A linha de Influência de um esforço numa seção tem a mesma forma da deformada da estrutura quando a capacidade de resistir tal esforço na seção da estrutura é eliminada, e esta é submetida a um deslocamento unitário associado ao esforço. EXEMPLO 1 - Para obtenção de SM , basta articular a seção “s” (retirar a capacidade

de resistir momento fletor na seção “s”), resultando portanto: - Para obtenção de SQ , basta liberar a translação vertical em “s”

(retirar a capacidade de resistir à força cortante na seção “s”), resultando portanto: -Para obtenção de AV , basta liberar a translação vertical em “A”, resultando:

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EXEMPLO 2 Para obtenção de BV , libera-se a translação vertical em “B”,

analogicamente obtém-se DV , S1Q , S2M e S3Q .

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EXEMPLO 3

Hibbeler, R.C “Structural Analysis”, Macmillan Publishing Company, New York, 1985.

Bibliografia:

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EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

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Exercício 1: Para a estrutura abaixo, pede-se:

a) Traçar a linha de influência de MS1, QS2, e QS3. b) Calcular ⊕máx

1SM e Οmáx1SM para os trens-tipo abaixo.

Respostas:

⊕máx1SM = 0,1684 + 14,25 = 14,42t.m

Οmáx1SM = 0,1684 - 12,99 = -12,83t.m

Οmáx1SM = 0,1684 - 11,67 = -10,99t.m

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a) b) A1 = -0,375 A2 = +1,50 A3 = -1,25 A4 = 0,4175 A5 = -0,2083 ∑A = 0,0842

m.t167,11)167,04()5,010()833,1.(3M

m.t99,12)75,010()833,1.(3M

m.t25,14)25,04()75,010()]4175,05,1.(3[M

m.t1684,020842,0M

.ACIDENTAL1S

.ACIDENTAL1S

.ACIDENTAL1S

PERMANENTE1S

−=×−×−−=

−=×−−=

=×+×++=

=×=

⊕

Ο

⊕

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Exercício 2: Para a estrutura abaixo, pede-se:

a) Traçar a linha de influência de QS1. b) Valores de ⊕máx

1SQ e Οmáx1SQ para o trem-tipo abaixo.

b) A1 = -0,125 A2 = +1,125 A3 = -1,250 ∑A = -0,250

m.t250,13)250,05()750,010()125,1.(4Q

m.t335,11)167,05()500,010()250,1125,0.(4Q

m.t500,0)m/t(2)m(250,0Q

.ACIDENTAL1S

.ACIDENTAL1S

2PERMANENTE1S

=×+×+=

−=×−×−−−=

−=×−=

⊕

Ο

Respostas:

Οmáx1SQ = -0,500 - 11,335 = -11,835t.m

⊕máx1SQ = -0,500 + 13,250 = 12,750t.m

a)

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Exercício 3: Para a treliça abaixo, pede-se:

a) Traçar a linha de influência dos esforços normais nas barras CI e IJ.

b) Calcular os esforços máximo e mínimo na barra CI para o carregamento indicado, definindo, inclusive, se eles correspondem a tração ou compressão na barra.

a)

)2,19x4,6(

V333,1N0N4,2N2,30M

)2,19x4,6(

VN0V

)2,3x0(

VN0VN0V

)2,3x0(

V667,2N04,2NV)2,3(20M

HIJIJCIB

HCI

KCIKCI

KIJIJKC

≤≤

⋅=∴=⋅+⋅∴=

≤≤

−=∴=

≤≤

=∴=+−∴=

≤≤

⋅=∴=⋅−⋅⋅∴=

∑

∑

∑

∑

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b) A1 = -0,53 A2 = -3,22 A3 = 2,14 ∑A = -1,61

t25,21)333,08()67,015()14,2(4N

t71,27)333,08()67,015()75,3(4N

t23,3)61,1(2N

.ACIDENTALCI

.ACIDENTALCI

PERMANENTECI

=×+×+⋅=

−=×−×−−⋅=

−=−⋅=

⊕

Ο

Respostas:

⊕máxCIN = -3,23 + 21,25 = 18,02t (tração)

ΟmáxCIN = -3,23 - 27,71 = -30,94t (compressão)

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Exercício 4: Para a treliça abaixo, pede-se: Calcular os valores máximos (positivos e negativos) da força normal na barra CI, para os trens-tipo abaixo e para “carregamento inferior”.

8,054)cos(

6,053)sen(

==α

==α

)16x12(

V667,1)sen(VN0)sen(NV0V

)8x0(

V667,1)sen(VN0)sen(NV0V

AA

CICIA

DD

CICID

≤≤

⋅−=α−=∴=α⋅+∴=

≤≤

⋅=α=∴=α⋅−∴=

∑

∑

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A1 = 6,666 A2 = 1,112 ∑A = 7,778

0N

t776,37)833,04()111,110()778,73(N

t667,11778,75,1N

.ACIDENTALCI

.ACIDENTALCI

PERMANENTECI

=

=⋅+⋅+⋅=

=⋅=

Ο

⊕

Respostas:

⊕máxCIN = 37,776 + 11,667 = 49,443t

ΟmáxCIN = 0 + 11,667 = 11,667t