ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS análise estrutural é classificada como linear, quando a estrutura tem comportamento linear, e não-linear, em caso contrário

UNIVERSIDADE DO OESTE DE SANTA CATARINA – UNOESC

ÁREA DAS CIÊNCIAS EXATAS E DA TERRA

CURSO: ENGENHARIA CIVIL

DISCIPLINA: ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS

PROFESSOR: JACKSON ANTONIO CARELLI

ANÁLISE MATRICIAL

DE ESTRUTURAS

Análise Matricial de Estruturas Professor: Jackson Antonio Carelli i

SUMÁRIO

LISTA DE FIGURAS ............................................................................................................. iv

LISTA DE TABELAS .............................................................................................................. v

1 INTRODUÇÃO ................................................................................................................ 1

1.1 Análise estrutural ............................................................................................................ 1

1.2 Análise matricial de estruturas ....................................................................................... 1

1.3 Idealização estrutural ...................................................................................................... 2

1.3.1 Definições ............................................................................................................. 2

1.4 Divisão em elementos .................................................................................................... 3

1.5 Sistemas de coordenadas ................................................................................................ 4

1.6 Método das forças e método dos deslocamentos ........................................................... 4

1.6.1 Método das forças (método da flexibilidade) ....................................................... 4

1.6.2 Método dos deslocamentos (método da rigidez) .................................................. 5

2 MATRIZES DE RIGIDEZ E FLEXIBILIDADE ......................................................... 6

2.1 Relação entre ações e deslocamentos ............................................................................. 6

2.1.1 Equação da força em termos do deslocamento .................................................... 6

2.1.2 Equação do deslocamento em termos da força .................................................... 6

Análise Matricial de Estruturas Professor: Jackson Antonio Carelli ii

2.1.3 Relação entre rigidez e flexibilidade .................................................................... 7

2.2 Definições ....................................................................................................................... 8

2.3 Exemplo de discretização de uma barra contínua composta por duas hastes e solicitada por

esforço normal ................................................................................................................ 9

2.3.1 Forças em função dos deslocamentos .................................................................. 9

2.3.2 Obtenção da matriz de rigidez da estrutura ........................................................ 10

2.3.3 Deslocamentos em função das forças ................................................................. 11

2.3.4 Obtenção da matriz de flexibilidade da estrutura ............................................... 12

2.3.5 Obtenção da matriz de rigidez mediante discretização da estrutura .................. 13

2.4 Obtenção da matriz de rigidez de um elemento de pórtico plano ................................ 14

2.4.1 Cálculo dos coeficientes da matriz de rigidez .................................................... 15

3 MÉTODO DA RIGIDEZ............................................................................................... 22

3.1 Matriz de rotação de um elemento de pórtico plano .................................................... 22

3.2 Matriz de rigidez de um elemento no sistema global - SG ........................................... 24

3.3 Vetor de ações nodais equivalentes .............................................................................. 25

3.4 Sistema de equações de equilíbrio para estrutura não-restritingida (sem apoios) ........ 28

3.5 Montagem da matriz de rigidez da estrutura ................................................................ 29

3.5.1 Regra da correspondência .................................................................................. 30

3.6 Montagem do vetor de ações da estrutura .................................................................... 33

3.7 Sistema de equações de equilíbrio para a estrutura restringida .................................... 36

3.7.1 Técnica da reordenação ...................................................................................... 36

3.8 Cálculo dos esforços nas extremidades dos elementos ................................................ 39

Análise Matricial de Estruturas Professor: Jackson Antonio Carelli iii

Análise Matricial de Estruturas Professor: Jackson Antonio Carelli iv

LISTA DE FIGURAS

Figura 1.1 – Estrutura contínua e discretizada ........................................................................... 3

Figura 1.2 – Inserção de nó fictício ............................................................................................ 3

Figura 2.1 – Coeficientes de rigidez em barra composta por duas hastes e solicitada por

esforço normal .................................................................................................................... 9

Figura 3.1 – Ações locais de engastamento perfeito - ALEP (elemento de viga) ...................... 26

Figura 3.2 – Ações nodais equivalentes – (-ALEP) ................................................................... 27

Figura 3.3 – Exemplo de montagem de matriz de rigidez (pórtico plano) ............................... 29

Figura 3.4 – Exemplo regra da correspondência (pórtico plano) ............................................. 31

Figura 3.5 – Exemplo montagem vetor de ações da estrutura ................................................. 34

Análise Matricial de Estruturas Professor: Jackson Antonio Carelli v

LISTA DE TABELAS

Tabela 2.1 – Matrizes de rigidez elementares .......................................................................... 21

Tabela 3.1 – correspondência entre sistemas para elemento 3 ................................................. 31

Análise Matricial de Estruturas Professor: Jackson Antonio Carelli 1

1 INTRODUÇÃO

1.1 Análise estrutural

Definido o sistema construtivo e o material a ser empregado, a análise estrutural e a

primeira etapa de um projeto estrutural.

O objetivo da análise estrutural e, à partir de uma estrutura, com características

geométricas e mecânicas conhecidas, submetida a ações (cargas ou deformações impostas),

determinar os deslocamentos (translações e /ou rotações) de todos os seus pontos, os esforços

internos e as reações de apoio.

A análise estrutural é classificada como linear, quando a estrutura tem comportamento

linear, e não-linear, em caso contrário. Para que uma estrutura tenha comportamento linear,

ela deve sofrer pequenos deslocamentos e deformações específicas e seu material deve ser

elástico-linear (validade da Lei de Hooke). Isto permite a aplicação do princípio da

“superposição dos efeitos”.

1.2 Análise matricial de estruturas

A análise matricial de estruturas é um tópico da análise estrutural, em que as equações

que regem o problema a resolver são formuladas matricialmente, sejam equações de equilíbrio

de forças ou de compatibilidade de deformações, dependendo do método utilizado (método

das forças ou método dos deslocamentos), sendo o método dos deslocamentos o mais

adequado para implementação computacional.

O objetivo desta disciplina é a modelagem e análise estática linear de estruturas

reticuladas(constituídas por elementos onde uma dimensão predomina em relação às outras

duas – barras), utilizando principalmente o método dos deslocamentos com formulação

matricial, capacitando os alunos a utilizar de maneira racional os programas de análise

estrutural e a desenvolverem seus próprios programas.


1.3 Idealização estrutural

1.3.1 Definições

⇒ Graus de liberdade

São as variáveis envolvidas no processo de análise de uma estrutura. Quando se trata do

método dos deslocamento, por exemplo, os graus de liberdade são as deformações

(deslocamentos e/ou rotações) dos nós da estrutura.

⇒ Sistemas contínuos

Sistemas contínuos são aqueles compostos por uma infinidade de pontos materiais e que

possuem portanto um número infinito de graus de liberdade.

⇒ Sistemas discretos

Sistemas discretos são aqueles que possuem um número finito de pontos materiais e

portanto um número finito de graus de liberdade.

A maioria das estruturas consistem de uma montagem de diferentes elementos

estruturais conectados entre si por ligações contínuas ou discretas. O passo mais importante

na análise matricial de estruturas é a formulação de um modelo matemático de elementos

discretos equivalente à estrutura contínua real. Este modelo é necessário a fim de se obter um

sistema com um número finito de variáveis (graus de liberdade) nos quais as operações de

álgebra matricial poderão ser realizadas. À formulação de tal modelo chama-se de idealização

estrutural.


Estrutura contínua Estrutura discretizada

Figura 1.1 – Estrutura contínua e discretizada

1.4 Divisão em elementos

As estruturas estudadas nesta disciplina serão divididas em elementos de dimensão

finita, ligados entre si por pontos nodais (nós) aonde se supõem concentradas todas as forças

de ligação entre elementos. As ações e deslocamentos serão discretizados nos nós e a

composição destes elementos para constituir a estrutura resultará em um sistema de equações

algébricas que será tratado matricialmente.

Em geral um nó é constituído pelas ligações entre barras, extremidades livres, pontos

de vinculação, no entanto, um nó fictício poderá, por conveniência do problema, ser inserido

em qualquer ponto da estrutura, por exemplo no meio de uma barra qualquer (neste caso

estaríamos dividindo a barra em duas).

Figura 1.2 – Inserção de nó fictício

5 6

4 Nó fictício


1.5 Sistemas de coordenadas

Com o fim de identificar e ordenar matricialmente as ações mecânicas (forças e

momentos) e os deslocamentos (lineares ou angulares) existentes nos nós de uma estrutura

integrada (montada, contínua) ou nas extremidades de um elemento (isolado, quando

subdividida a estrutura – “estrutura discretizada”), torna-se imprescindível a determinação de

um sistema de coordenadas arbitrário.

Na verdade, serão necessários dois sistemas de coordenadas chamados de Sistema de

Coordenadas Globais e Sistema de Coordenadas Locais.

O sistema de coordenadas globais refere-se aos graus de liberdade da estrutura como um

todo, ou seja estrutura montada, já o sistema de coordenadas locais refere-se aos graus de

liberdade dos elementos discretizados, ou seja, das partes da estrutura.

1.6 Método das forças e método dos deslocamentos

1.6.1 Método das forças (método da flexibilidade)

No método das forças determinam-se diretamente os esforços (forças) e indiretamente,

isto é, a partir destes, os deslocamentos.

Este método pode ser usado para analisar qualquer estrutura hiperestática, ou seja,

qualquer estrutura estaticamente indeterminada.

A estrutura é modificada por meio de liberações ou cortes, tornado-a isostática (este

sistema é chamado de principal)

O sistema de equações que resolve o problema á constituído por equações de

compatibilidade de deformações; as incógnitas são os esforços nas liberações ou cortes.

O número de equações (incógnitas) é igual ao grau de hiperestaticidade da estrutura.

Para analisar uma estrutura podem ser adotados uma infinidade de sistemas principais. A a

escolha do sistema mais conveniente depende da experiência do analista.


1.6.2 Método dos deslocamentos (método da rigidez)

Neste método determina-se inicialmente os deslocamentos e indiretamente, por meio

destes, os esforços.

Este método pode ser usado para analisar qualquer estrutura isostática ou hiperestática.

A única estrutura que não pode ser resolvida por este método é a composta de uma única barra

bi-engastada.

A estrutura é modificada introduzindo-se fixações de forma a torná-la cinematicamente

determinada (sistema principal).

O sistema de equações que resolve o problema é constituído por equações de equilíbrio

de forças em torno destas fixações. As incógnitas são os respectivos deslocamentos (rotações

e/ou translações).

No caso de estruturas reticuladas, o único sistema principal possível é obtido pela

fixação de todos os deslocamentos possíveis dos nós (denominados graus de liberdade).

O número de equações é igual ao grau de indeterminação da estrutura, ou seja, é igula

ao número de graus de liberdade da estrutura.

Adotando-se este sistema principal único desaparece o problema da escolha do sistema

principal do Método das Forças, por este motivo o Método dos Deslocamentos é o mais

adequado, e praticamente o único utilizado para implementação computacional em Análise de

Estruturas.


2 MATRIZES DE RIGIDEZ E FLEXIBILIDADE

2.1 Relação entre ações e deslocamentos

2.1.1 Equação da força em termos do deslocamento

(2.1)

Onde a rigidez da mola (k) é a força por unidade de deslocamento, ou seja, é a força

requerida para produzir um deslocamento unitário na mola.

2.1.2 Equação do deslocamento em termos da força

(2.2)

u=δδδδ

Fu ⋅⋅⋅⋅==== δδδδ

ukF ⋅⋅⋅⋅====


Onde δ é a deformabilidade da mola, geralmente chamada de flexibilidade, sendo o

deslocamento por unidade de força, ou seja, é o deslocamento produzido pela aplicação de

uma força de valor unitário.

2.1.3 Relação entre rigidez e flexibilidade

(2.3)

Se ao invés de uma mola tivermos uma barra contínua (como a viga de um edifício, por

exemplo), porém discretizada, ou seja, com um número finito de graus de liberdade (neste

caso apenas um) de acordo com a resistência dos materiais podemos dizer:

(2.4)

(2.5)

Comparando-se (2.4) com (2.5) tem-se:

(2.6)

(2.7)

Substituindo-se (2.7) em (2.6) tem-se:

(2.8)

k

1====δδδδ

εεεεσσσσ ⋅⋅⋅⋅==== E

A

F====σσσσ

εεεε⋅⋅⋅⋅==== EA

F

L

u

l

l====

∆∆∆∆====

0

εεεε

L

uE

A

F⋅⋅⋅⋅====


Ou:

(2.9)

Comparando-se (2.9) com (2.1) conclui-se que o coeficiente de rigidez da barra é:

(2.10)

Logo, o coeficiente de flexibilidade da barra é dado por:

(2.11)

Nesta disciplina será adotada a seguinte notação: o termo coeficiente de rigidez será

indicado pela letra “S” e o coeficiente de flexibilidade pela letra “C”

2.2 Definições

⇒ Sij – Coeficiente de rigidez:

Representa a ação (força) na direção i causado por um deslocamento unitário na direção

j (enquanto todos os outros deslocamentos são impostos como nulos).

⇒ Cij – Coeficiente de flexibilidade:

Representa o deslocamento na direção i causado por uma ação (força) de valor unitário

na direção j (enquanto todas as outras são nulas).

uL

AEF ⋅⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅====

L

AEk

⋅⋅⋅⋅====

AE

L

⋅⋅⋅⋅====δδδδ


2.3 Exemplo de discretização de uma barra contínua composta por duas hastes e

solicitada por esforço normal

2.3.1 Forças em função dos deslocamentos

Figura 2.1 – Coeficientes de rigidez em barra composta por duas hastes e solicitada por

esforço normal

Neste caso são conhecidas as ações que atuam nas coordenadas 1 e 2 (A1 e A2) e os

coeficientes de rigidez (S11, S12, S21 e S22), que devem ser obtidos previamente, desejando-se

obter os deslocamento nas coordenadas 1 e 2 (u1 e u2).

Para que o nó da coordenada 1 esteja em equilíbrio a força externa deve ser igual ao

somatório das forças internas resultantes dos deslocamentos ocorridos ao longo da estrutura,

ou seja:

(2.12)

O mesmo pode ser dito com relação ao nó da coordenada 2:

(2.13)

E2A2L2

S11

S22 S12

S21

u1=1 u2=0

u2=1 u1=0

Sistema de

coordenadas globais

Coeficientes de

rigidez (Sij)

Coeficientes de

rigidez (Sij)

2121111 uSuSA ⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅====

2221212 uSuSA ⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅====


Unindo as equações (2.12) e (2.13), pode-se, matricialmente escrever:

(2.14)

onde:

{A} é o vetor das ações externas (solicitações);

{u} é o vetor dos deslocamentos nos GL’s 1 e 2;

[S] é a matriz de rigidez da estrutura em estudo, de dimensões (2x2),

correspondente ao número de coordenadas utilizadas. A matriz de rigidez é uma matriz de

transformação linear: transforma o vetor dos deslocamentos no vetor das ações.

2.3.2 Obtenção da matriz de rigidez da estrutura

A matriz de rigidez da estrutura pode ser obtida pela conceituação de seus coeficientes,

e das relações existentes na haste submetida à carregamentos axiais.

S11 - é a força na coordenada 1 decorrente da imposição de um deslocamento unitário

também na coordenada 1, mantendo-se as demais coordenadas restringidas.

S21 - é a força na coordenada 2 decorrente da imposição de um deslocamento unitário na

coordenada 1, mantendo-se as demais coordenadas restringidas.

{{{{ }}}} [[[[ ]]]] {{{{ }}}}uSAu

u

SS

SS

A

A⋅⋅⋅⋅====⇒⇒⇒⇒

⋅⋅⋅⋅

====

2

1

2221

1211

2

1

⋅⋅⋅⋅++++

⋅⋅⋅⋅====⇒⇒⇒⇒

====

====

2

22

1

1111

2

1

0

1

L

AE

L

AES

u

u

⋅⋅⋅⋅−−−−====⇒⇒⇒⇒

====

====

2

2221

2

1

0

1

L

AES

u

u






Obtendo-se assim a matriz de rigidez da estrutura:

2.3.3 Deslocamentos em função das forças

No item 2.3.1 foram determinadas as forças (ou ações) da estrutura em estudo em

função dos deslocamentos. De forma análoga pode-se determinar os deslocamentos em

função das forças. Neste caso, ao invés da imposição de um deslocamento unitário com

posterior determinação das forças equivalentes, deve-se impor uma força unitária com

posterior determinação dos deslocamentos equivalentes. Desta forma chega-se às

seguintes equações de equilíbrio para os nós da estrutura:

(2.15)

(2.16)

⋅⋅⋅⋅−−−−====⇒⇒⇒⇒

====

====

2

2212

2

1

1

0

L

AES

u

u

⋅⋅⋅⋅====⇒⇒⇒⇒

====

====

2

2222

2

1

1

0

L

AES

u

u

[[[[ ]]]]

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−−−−

⋅⋅⋅⋅−−−−

⋅⋅⋅⋅++++

⋅⋅⋅⋅

====

2

22

2

22

2

22

2

22

1

11

L

AE

L

AE

L

AE

L

AE

L

AE

S

2121111 ACACu ⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅====

2221212 ACACu ⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅====


Unindo as equações (2.15) e (2.16), pode-se, matricialmente escrever:

(2.17)

onde:

{A} é o vetor das ações externas (solicitações);

{u} é o vetor dos deslocamentos nos GL’s 1 e 2;

[C] é a matriz de flexibilidade da estrutura em estudo, de dimensões (2x2),

correspondente ao número de coordenadas utilizadas.

2.3.4 Obtenção da matriz de flexibilidade da estrutura

A matriz de flexibilidade da estrutura pode ser obtida de forma análoga ao apresentado

no item 2.3.2, ou seja, pela conceituação de seus coeficientes, ou pela inversão da matriz de

rigidez, já encontrada.

Invertendo-se a matriz de rigidez (S), obtém-se a matriz de flexibilidade da estrutura:

Muitas vezes é mais fácil determinar inicialmente a matriz de flexibilidade para em

seguida, através da inversão desta, obter a matriz de rigidez, caso por exemplo da

determinação da matriz de rigidez de uma barra com inércia variável.

{{{{ }}}} [[[[ ]]]] {{{{ }}}}ACuA

A

CC

CC

u

u⋅⋅⋅⋅====⇒⇒⇒⇒

⋅⋅⋅⋅

====

2

1

2221

1211

2

1

[[[[ ]]]]

⋅⋅⋅⋅++++

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅====

22

2

11

1

11

1

11

1

11

1

AE

L

AE

L

AE

L

AE

L

AE

L

C


2.3.5 Obtenção da matriz de rigidez mediante discretização da estrutura

A mesma matriz de rigidez já encontrada para a estrutura em questão poderia também

ser obtida mediante analise de cada uma das barras isoladamente, conforme seque.

⇒ Análise da primeira barra

Como a primeira barra apresenta apenas um grau de liberdade coincidente com os graus

de liberdade da estrutura original sua matriz de rigidez será 1 x 1:

⇒ Análise da segunda barra

u1 = 1 ; u2 = 0

u1 = 0 ; u2 = 1

E1A1L1 S11

u1=1

1

1111

11

1111 1

L

AES

AE

LSu

⋅⋅⋅⋅====

====⋅⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅====

⋅⋅⋅⋅====

1

111

L

AES

E2A2L2

S11

u1=1

S21

2

2211

22

2111 1

L

AES

AE

LSu

⋅⋅⋅⋅====

====⋅⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅====

2

2221

2111 0

0

L

AES

SS

xSii

⋅⋅⋅⋅−−−−====

====++++

====ΣΣΣΣ

S12

E2A2L2

u2=1

S22

2

2222

22

2222 1

L

AES

AE

LSu

⋅⋅⋅⋅====

====⋅⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅====

2

2212

2212 0

0

L

AES

SS

xSii

⋅⋅⋅⋅−−−−====

====++++

====ΣΣΣΣ


Como a segunda barra apresenta dois grau de liberdade coincidentes com os graus de

liberdade da estrutura original sua matriz de rigidez será 2 x 2:

Somando-se as matrizes de rigidez da primeira e da segunda barras tem-se:

Ou seja, chega-se ao mesmo resultado.

Para este exemplo simples talvez a primeira forma para determinação da matriz de

rigidez seja mais simples, porém, para estruturas com grande número de graus de liberdade a

segunda maneira (dividir a estrutura em elementos simples) é, sem dúvida, a melhor opção.

2.4 Obtenção da matriz de rigidez de um elemento de pórtico plano

Um elemento de pórtico plano é na verdade uma barra que possui um nó em cada uma

de suas extremidades. Cada um dos nós de um elemento de pórtico plano apresenta três graus

de liberdade, uma translação vertical, uma translação horizontal e uma rotação. A matriz de

rigidez do elemento será referenciada à um sistema de coordenadas locais, onde o eixo “XL”

coincide com o eixo do elemento, o eixo “YL” é perpendicular à “XL” e o eixo “ZL” é

perpendicular ao plano formado por “XL” e “YL”.

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−−−−

⋅⋅⋅⋅−−−−

⋅⋅⋅⋅

====

2

22

2

22

2

22

2

22

2

L

AE

L

AE

L

AE

L

AE

S

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−−−−

⋅⋅⋅⋅−−−−

⋅⋅⋅⋅++++

⋅⋅⋅⋅

====

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−−−−

⋅⋅⋅⋅−−−−

⋅⋅⋅⋅

++++

⋅⋅⋅⋅

====++++

2

22

2

22

2

22

2

22

1

11

2

22

2

22

2

22

2

22

1

11

21

00

0

L

AE

L

AE

L

AE

L

AE

L

AE

L

AE

L

AE

L

AE

L

AE

L

AE

SS


Sistema local é definido pela incidência do elemento: eiso “XL” de J para K.

Vetor de deslocamentos no sistema local: [uL](6x1)

Ações devido aos deslocamento nodais: [AL] = [SL].[uL]

2.4.1 Cálculo dos coeficientes da matriz de rigidez

Seja o elemento restringido abaixo. Inicialmente vamos determinar as equações que

regem os deslocamentos em uma das extremidades do elemento. Para tanto deve-se considerar

a extremidade em questão não restringida e a partir daí, com auxílio do método da carga

unitária serão definidas as equações.

Liberando os deslocamentos do nó J,

XL

YL

ZL

(i)

uL1

uL4

uL2

uL5

uL3

uL6

J

K Elemento (i)

nó inicial – J

nó final – K

uL1

uL4

E-A-I

uL5 uL2

uL6 uL3

L J K

uL1

uL4

E-A-I

uL5 uL2

uL6 uL3

L K J


cujos graus de liberdade são “uL1, uL2, e uL3”, tem-se:

Aplicando-se cargas unitárias nas direções agora liberadas tem-se os seguintes

diagramas de momentos fletores (DMF’s) e diagramas de esforços normais (DEN’s):

Comparando-se os diagramas obtém-se:

Como não existe carregamento externo na estrutura, os termos δ10, δ20 e δ30 são nulos,

ficando o sistema da seguinte forma:

F1=1

DMF (1)

nulo F1=1 DEN (1)

1

-

DMF (2) nulo DEN (2)

L F2=1 F2=1 +

1 F3=1

DMF (3) nulo

DEN (2) L

- F3=1

00

0

000

110

3113

2112

11

====⋅⋅⋅⋅

++++========

====⋅⋅⋅⋅

++++⋅⋅⋅⋅

========

⋅⋅⋅⋅====

⋅⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅++++

⋅⋅⋅⋅====

AE

AEIE

AE

L

AE

L

IE

δδδδδδδδ

δδδδδδδδ

δδδδ

IE

L

IE

L

IE

L

IE

LL

IE

L

IE

LLL

⋅⋅⋅⋅====++++

⋅⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅====

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−−−−====++++

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅========

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅====++++

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅====

011

20

21

30

3

33

2

3223

3

22

δδδδ

δδδδδδδδ

δδδδ


Lembrando que um coeficiente de rigidez é na verdade uma força que aplicada na

direção de um grau de liberdade causa uma deformação unitária nesta direção, mantidas todas

as demais fixas. Assim, basta impor uma deformação unitária em cada uma das equações

acima mantendo as outras duas nulas e serão obtidos alguns dos coeficientes de rigidez de

rigidez do elemento (a condição de deformações nulas nas direções uL4, uL5 e uL6 é assegurada

pelo engaste).

Impondo uL1 = 1; uL2 = 0 e uL3 = 0; obtém-se: S1 = EA/L; S2 = 0; S3 = 0

Estes coeficientes são devidos à imposição de um deslocamento unitário na direção uL1,

portanto pode-se escrever em lugar de S1, S11, em lugar de S2, S21 e em lugar de S3, S31.

Impondo uL1 = 0; uL2 = 1 e uL3 = 0; obtém-se: S1 = 0; S2 = 12EI/L3; S3 = 6EI/L2

Ou, de forma análoga, S12 = 0; S22 = 12EI/L3; S32 = 6EI/L2, pois estes coeficientes

são devidos à um deslocamento unitário na direção uL2.

====⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

−−−−⋅⋅⋅⋅

====⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

−−−−⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

++++⋅⋅⋅⋅

====⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

====⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

−−−−⋅⋅⋅⋅++++

====⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

−−−−⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

++++⋅⋅⋅⋅++++

====⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

++++

====⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅++++

====⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅++++

====⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅++++

332

2

1

23

2

2

3

1

1321

332

2

1

23

2

2

3

1

1321

333323213130

232322212120

131321211110

20

230

00

200

2300

000

L

L

L

L

L

L

L

L

L

uSIE

LS

IE

LS

uSIE

LS

IE

LS

uSSSAE

L

uSIE

LS

IE

LS

uSIE

LS

IE

LS

uSSSAE

L

uSSS

uSSS

uSSS

δδδδδδδδδδδδδδδδ




Impondo uL1 = 0; uL2 = 0 e uL3 = 1; obtém-se: S1 = 0; S2 = 6EI/L2; S3 = 4EI/L

Ou: S13 = 0; S23 = 6EI/L2; S33 = 4EI/L

Assim ficam determinados todos os coeficientes chamados SJJ, ou seja, os coeficientes

que surgem no nó “J” (esforços) devido à imposição de deformações unitárias neste mesmo

nó.

Resta agora determinar os coeficientes que surgem no nó “K” devido à imposição de

deformações unitárias no nó “J”, ou SKJ, os coeficientes que surgem no nó “K” devido à

imposição de deformações unitárias no nó “K”, ou SKK, e os coeficientes que surgem no nó

“J” devido à imposição de deformações unitárias no nó “K”, ou SJK.

Antes porém, alguns comentários são importantes. Analisando os coeficientes já

determinados pode-se observar que os efeitos causados por deformações axiais interferem nos

efeitos causados por deformações de flexão, e vice-versa, ou seja, as deformações axiais e de

flexão são independentes, desde que sejam verificados pequenos deslocamentos na estrutura

(caso contrário a estrutura apresentará efeitos de segunda ordem, não contemplados no estudo

desta disciplina).

Outra observação que se faz é com relação à simetria dos coeficientes, S23 = S32. Esta é

uma característica das matrizes de rigidez (e de flexibilidade também) em geral, elas são

simétricas, portanto pode-se dizer que SJK = SKJ.

Com estas observações pode-se prosseguir na determinação dos demais coeficientes de

rigidez, da seguinte maneira: inicialmente, por equilíbrio do elemento serão determinados os

coeficientes SJK, na seqüência, por simetria serão determinados os coeficientes SKJ e por fim,

novamente por equilíbrio serão determinados os coeficientes SKK.


Por equilíbrio encontram-se os coeficientes SKJ à partir de SJJ: (mais 09 coeficientes):

SL41 = - SL11

SL42 = 0

SL43 = 0

SL51 = 0

SL52 = - SL22

SL53 = - SL23

SL61 = 0

SL62 = - SL32 + SL22.L

SL63 = - SL33 + SL23.L

SL5J SL6J SL4J

E-A-I

SL32

SL12

uL2=1

SL42

SL52 SL22

SL62

K

J

L

SL65

SL35

SL15 K

J L

E-A-I

SL55 SL25

uL5=1

SL45

SL13 SL43

E-A-I

SL53 SL23

SL63 SL33

L K J uL3=1 SL16 SL46

E-A-I

SL56 SL26

SL66 SL36

L K J

uL6=1

SL64 SL34

SL14

uL4=1

SL44

E-A-I

SL54 SL24

L K J

SL11

uL1=1

SL41

E-A-I

SL51 SL21

SL61 SL31

L K J

uL1 = 1 uL4 = 1

uL2 = 1 uL5 = 1

uL3 = 1 uL6 = 1


Por simetria encontram-se os coeficientes SJK = SKJ: (mais 09 coeficientes):

Por equilíbrio encontram-se os coeficientes SKK à partir de SJK: (mais 09 coeficientes):

Assim, fica determinada a matriz de rigidez de um elemento de pórtico plano:

Para este elemento pode-se agora definir uma correlação entre ações (forças) e

deslocamentos:

SL14 = SL41

SL15 = SL51

SL16 = SL61

SL24 = SL42

SL25 = SL52

SL26 = SL62

SL34 = SL43

SL35 = SL53

SL36 = SL63

SL2K SL3K SL1K

SL44 = - SL14

SL45 = 0

SL46 = 0

SL54 = 0

SL55 = - SL25

SL56 = - SL26

SL64 = 0

SL65 = - SL35 + SL25.L

SL66 = - SL36 + SL26.L

SL5K SL6K SL4K

[[[[ ]]]]

−−−−

−−−−−−−−−−−−

−−−−

−−−−

−−−−

−−−−

====

L

EI

L

EI

L

EI

L

EI

L

EI

L

EI

L

EI

L

EI

L

EA

L

EA

L

EI

L

EI

L

EI

L

EI

L

EI

L

EI

L

EI

L

EI

L

EA

L

EA

S

460

260

6120

6120

0000

260

460

6120

6120

0000

22

2323

22

2323


(2.18)

Apesar de deduzido para o sistema de coordenadas locais, esta expressão é geral,

portanto válida também para o sistema de coordenadas globais assim como para outros

elementos.

Com o mesmo procedimento adotado, ou então calculando inicialmente a matriz de

flexibilidade e posteriormente invertendo-a pode-se determinar as matrizes de rigidez de

outros elementos estruturais, como o de uma viga, o de uma treliça, entre outros, como pode

ser observado na Tabela 2.1

Tabela 2.1 – Matrizes de rigidez elementares

TRELIÇA

VIGA

[[[[ ]]]] [[[[ ]]]] [[[[ ]]]]uSA ⋅⋅⋅⋅====


3 MÉTODO DA RIGIDEZ

3.1 Matriz de rotação de um elemento de pórtico plano

Até agora os tópicos vistos limitaram-se ao sistema de coordenadas locais. Entretanto,

nas estruturas em geral os elementos constituintes não possuem uma mesma inclinação (vigas

e pilares, por exemplo) o que faz com que o sistema local de um não coincida com o sistema

local de outro, sendo então necessário rescrever as matrizes de rigidez dos elementos em

função de um único sistema de coordenadas, o global. Isto será feito com auxílio de uma

matriz chamada matriz de rotação, que será deduzida a seguir, para um elemento de pórtico

plano.

Seja, portanto, um elemento de pórtico plano, cujos nós tem, conforme já citado, três

graus de liberdade, representado abaixo:

Onde θ é o ângulo do eixo global para o eixo local, positivo no sentido anti-horário;

[uL] é o vetor de deslocamentos nodais do elemento no sistema local e

[uG] é o vetor de deslocamentos nodais do elemento no sistema global.

Decompondo [uG] na direção [uL], tem-se:

XG

YG

uG1

uG2

uG3

J

uG4

uG5

uG6

K

Sistema Local Sistema Global

uL4

uL5

uL6

K

YL

uL1

uL2

uL3

J

θθθθ(+)

XL


Estas equações pode ser escritas de forma matricial conforme segue:

ou,

(3.1)

onde [R] é a matriz de rotação do elemento do sistema global para o local.

À partir de (3.1) é possível escrever:

como [R] é uma matriz ortogonal:

logo,

(3.2)

G3L3

G2G1L2

G2G1L1

u = u

cosusenu- = u

sucosu = u

:J nó o Para

θθθθθθθθ

θθθθθθθθ

⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅ en

G6L6

G5G4L5

G5G4L4

u = u

cosusenu- = u

sucosu = u

:K nó o Para

θθθθθθθθ

θθθθθθθθ

⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅ en

⋅⋅⋅⋅

−−−−

−−−−

====

G6

G5

G4

G3

G2

G1

L6

L5

L4

L3

L2

L1

u

u

u

u

u

u

100000

0cos000

0cos000

000100

0000cos

0000cos

u

u

u

u

u

u

θθθθθθθθ

θθθθθθθθ

θθθθθθθθ

θθθθθθθθ

sen

sen

sen

sen

[[[[ ]]]] [[[[ ]]]] [[[[ ]]]]GL uRu ⋅⋅⋅⋅====

[[[[ ]]]] [[[[ ]]]] [[[[ ]]]]L1-

G uRu ⋅⋅⋅⋅====

[[[[ ]]]] [[[[ ]]]]T1- RR ====

[[[[ ]]]] [[[[ ]]]] [[[[ ]]]]LT

G uRu ⋅⋅⋅⋅====


O mesmo resutado obtido com a utilização da matriz de rotação inversa ou transposta

poderá ser obtido com a simples utilização da matriz de rotação, desde que se considere o

ângulo com sinal negativo (- θθθθ)

3.2 Matriz de rigidez de um elemento no sistema global - SG

À partir da expressão dada em (2.18) que informa as ações nas extremidades do

elemento devido aos deslocamentos nodais, apenas (supondo o elemento sem carga), pode-se

dizer que:

(3.3)

e

(3.4)

Assim como os deslocamentos globais e locais, as ações locais e globais também

correlacionam-se pela matriz de rotação [R] pelas seguintes expressões:

(3.5)

(3.6)

Substituindo (3.1) em (3.3) tem-se:

(3.7)

Pré-multiplicando (3.7) por [RT], tem-se:

[[[[ ]]]] [[[[ ]]]] [[[[ ]]]]LLL uSA ⋅⋅⋅⋅====

[[[[ ]]]] [[[[ ]]]] [[[[ ]]]]GGG uSA ⋅⋅⋅⋅====

[[[[ ]]]] [[[[ ]]]] [[[[ ]]]]GL ARA ⋅⋅⋅⋅====

[[[[ ]]]] [[[[ ]]]] [[[[ ]]]]LT

G ARA ⋅⋅⋅⋅====

[[[[ ]]]] [[[[ ]]]] [[[[ ]]]] [[[[ ]]]]GL uRSA L ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅====


(3.8)

como,

(3.9)

Substituindo (3.4) em (3.9) tem-se:

(3.10)

Simplificando a expressão (3.10) resulta:

(3.11)

3.3 Vetor de ações nodais equivalentes

Até o presente momento estudou-se a correlação entre deslocamentos nodais e ações

aplicadas nos nós de um elemento estrutural. Esta correlação é expressa no sistema local,

conforme já citado, da seguinte forma:

Ou seja, conhecidos os deslocamentos dos nós é possível determinar as ações atuantes

nestes nós e vice-versa.

[[[[ ]]]] [[[[ ]]]] [[[[ ]]]] [[[[ ]]]] [[[[ ]]]] [[[[ ]]]]GT

LT uRSRAR L ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅====⋅⋅⋅⋅

[[[[ ]]]] [[[[ ]]]] [[[[ ]]]]GLT AAR ====⋅⋅⋅⋅

[[[[ ]]]] [[[[ ]]]] [[[[ ]]]] [[[[ ]]]] [[[[ ]]]]GT

G uRSRA L ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅====

[[[[ ]]]] [[[[ ]]]] [[[[ ]]]] [[[[ ]]]] [[[[ ]]]] [[[[ ]]]]GT

GG uRSRuS L ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅====⋅⋅⋅⋅

[[[[ ]]]] [[[[ ]]]] [[[[ ]]]] [[[[ ]]]]RSRS LT

G ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅====

[[[[ ]]]] [[[[ ]]]] [[[[ ]]]]LL uSA L ⋅⋅⋅⋅====


No entanto, toda a dedução até aqui apresentada não levou em consideração a existência

de carregamentos (distribuídos ou concentrados) aplicados ao longo dos elementos. Nestes

casos será necessário calcular as chamadas ações nodais equivalentes e aplicar o princípio da

superposição dos efeitos.

Seja por exemplo o elemento de viga mostrado na Figura 3.1. Nesta figura estão

indicadas as ações (ou reações) de engastamento perfeito do elemento submetido à um

carregamento uniformemente distribuído. Estas ações de engastamento perfeito atuam nas

extremidades do elemento e compõem, juntamente com a parcela de esfoços devidos aos

deslocamentos nodais, as ações totais na extremidade do elemento, conforme indica a equação

(3.12), onde [ALEP] é o vetor de Ações Locais Engastamento Perfeito.

Figura 3.1 – Ações locais de engastamento perfeito - ALEP (elemento de viga)

(3.12)

onde:

[AL] - é o vetor de Ações Locais aplicadas diretamente nos nós;

[ALEP] - é o vetor de Ações Locais de Engastamento Perfeito nas extremidades

do elemento;

[SL]. [uL] - é o vetor de Ações Locais devido aos deslocamentos nodais nas

extremidades do elemento.

A igualdade entre os dois membros indica o equilíbrio entre forças aplicadas nos nós e

forças aplicadas nas extremidades dos elementos.

[[[[ ]]]] [[[[ ]]]] [[[[ ]]]] [[[[ ]]]]LLLEP uSAAL ⋅⋅⋅⋅++++====


Como no processo de resolução de uma estrutura [AL] e [ALEP] são valores conhecidos

e [uL] é a incógnita, é interessante deixar os termos conhecidos no mesmo lados da equação,

que resulta:

(3.13)

Ou seja, passando [ALEP] para o outro lado da equação, obtém-se -[ALEP], que

corresponde a passar as ações das extremidades do elemento para os nós do elemento,

obtendo assim as ações nodais equivalentes, conforme mostra a Figura 3.2

Figura 3.2 – Ações nodais equivalentes – (-ALEP)

Entretanto, a equação de equilíbrio dos nós não é feita no sistema local, e sim no global,

ou seja, deve-se transformar o vetor ações de engastamento perfeito. Esta transformação nada

mais é do que uma rotação do elemento do sistema local para o global, realizada com o

auxílio da matriz de rotação transposta [RT], definida no item 3.1 para elemento de pórtico

plano.

(3.14)

[[[[ ]]]] [[[[ ]]]] [[[[ ]]]] [[[[ ]]]]LLLEP uSAAL ⋅⋅⋅⋅====−−−−

Ações nos nós:

(-ALEP)

Ações nos nós:

(-ALEP)

Ações nas extremidades do elemento:

(ALEP)

[[[[ ]]]] [[[[ ]]]] [[[[ ]]]]LEPGEP ARA T ⋅⋅⋅⋅====


O vetor de ações de engastamento perfeito da estrutura [A*EP] deve ser montado

considerando a influência de todos os elementos constituintes, ou seja:

(3.15)

onde, “nelm” corresponde ao número de elementos da estrutura.

3.4 Sistema de equações de equilíbrio para estrutura não-restritingida (sem apoios)

O sistema de equações de equilíbrio de uma estrutura pode ser escrito como na equação

(3.12), porém agora não mais no sistema local, mas sim de uma forma geral:

(3.16)

onde:

[A] - é o vetor de ações aplicadas nos nós;

[AEP] - é o vetor de ações engastamento perfeito nas extremidades dos

elementos;

[S] - é a matriz de rigidez da estrutura;

[D] - é o vetor de deslocamentos nodais da estrutura;

[S]. [D] - é o vetor de ações devido aos deslocamentos nodais.

A equação (3.16) pode ser rescrita para a estrutura não restringida (sem apoios):

(3.17)

Estes sistemas de equações devem ser considerados no sistema global em relação aos

GL dos nós da estrutura, que devem ser numerados seqüencialmente.

[[[[ ]]]] ∑∑∑∑====

====

nelm

1i

(i)*EP GEP

AA

[[[[ ]]]] [[[[ ]]]] [[[[ ]]]] [[[[ ]]]]DSAA EP ⋅⋅⋅⋅++++====

[[[[ ]]]] [[[[ ]]]] [[[[ ]]]]**** DSAAEP

⋅⋅⋅⋅++++

====


A montagem da matriz de rigidez da estrutura deve levar em consideração a influência

da matriz de rigidez de todos os elementos no sistema global. A relação entre os GL dos

elementos e os GL da estrutura será feita através da Regra da Correspondência.

3.5 Montagem da matriz de rigidez da estrutura

A matriz de rigidez de uma estrutura é montada a partir das matrizes de rigidez no

sistema global dos elementos que compõem esta estrutura:

(3.18)

onde: “nelm” é o número de elementos da estrutura.

Exemplo: pórtico plano com 04 elementos e 05 nós, portanto, com um total de 15 graus

de liberdade, ou seja, uma matriz de rigidez de15 x 15.

Figura 3.3 – Exemplo de montagem de matriz de rigidez (pórtico plano)

No nó 5 por exemplo, concorrem três elementos, (2), (3) e (4). Destes, o elemento (4)

apresenta sistema local coincidindo com global, os demais necessitam de uma transformação

do vetor de deslocamentos do sistema local para o sistema global.

A direção do GL 15 da estrutura (D15, que é o terceiro grau de liberdade do nó 5),

correspondem as direções:

- 6 do elemento (2); - 3 do elemento (3); - 6 do elemento (4).

[[[[ ]]]] [[[[ ]]]]∑∑∑∑∑∑∑∑========

⋅⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅

====

====

nelm

1i

(i)(i)T(i)nelm

1i

(i)* RSRSSLG

1 2 3

4 5

1

4

2 3

D2D1

D3

D5

D6

D4

D14D13

D15

D11

D12

D10

D8D7

D9

ZX

Y


A direção do GL 13 da estrutura (D13, que é o primeiro grau de liberdade do nó 5),

correspondem as direções:

- 4 do elemento (2); - 1 do elemento (3); - 4 do elemento (4).

Ou seja, o coeficiente S*15,13 da estrutura corresponde à soma das parcelas SG6,4 do

elemento (2), SG3,1 do elemento (3) e SG6,4 do elemento (4), ou seja:

3.5.1 Regra da correspondência

A regra da correspondência correlaciona a numeração dos deslocamentos das

extremidades dos elementos ( [uG] ), com a numeração dos deslocamentos nodais da estrutura

( [D] ). Em cada elemento (i) os deslocamentos são numerados de 1 ate 2 vezes o número de

graus de liberdade de um nó. Por exemplo, cada nó de um elemento de pórtico plano possui

três graus de liberdade, portanto os deslocamentos são numerados de 1 até 2 x 3, ou seja de 1

até 6.

Nesta disciplina o número de graus de liberdade de um nó será designado por “NGL”,

logo, cada elemento (i) terá seus deslocamentos numerados de 1 até 2 x NGL, sendo que os

deslocamentos do nó inicial “J” serão numerados de 1 até NGL e os do nó final “K” serão

numerados de NGL + 1 até 2 x NGL. Portanto, para um elemento de pórtico plano os

deslocamentos do nó “J” serão numerados de 1 até 3 e os do nó “K” serão numerados de

4 até 6.

Na estrutura, os deslocamentos são numerados na ordem dos nós sendo que, em cada nó

há “NGL” deslocamentos em ordem determinada pelos eixos do sistema global.

Assim, no nó 1 do exemplo da Figura 3.3 (pórtico plano - NGL = 3) os deslocamentos

serão uG1, uG2 e uG3, no nó 2, serão uG4, uG5 e uG6, e assim por diante. No nó 5, portanto, os

deslocamentos serão uG13, uG14 e uG15, conforme pode ser observado na Figura 3.3.

Exemplo – regra da correspondência: pórtico plano

(4)G

(3)G

(2)G

*15,13 643164

SSSS ++++++++====


Figura 3.4 – Exemplo regra da correspondência (pórtico plano)

Tomando-se como exemplo o elemento 3 que liga o nó J=5 ao nó K=3, tem-se:

Tabela 3.1 – correspondência entre sistemas para elemento 3

GL da estrutura ( [D*] ) GL do elemento (i) ( [uG] )

(ligando J(i) a K(i)) 3J(i) – 2 = 13 1 3J(i) – 1 = 14 2

3J(i) = 15 3 3K(i) – 2 = 7 4 3K(i) – 1 = 8 5

3K(i) = 9 6

Por esta correlação pode-se dizer por exemplo que o coeficiente uG2,6 do elemento

corresponde ao coeficiente S*14,9 da estrutura, assim como que o coeficiente uG3,1 do elemento

corresponde ao coeficiente S*15,13 da estrutura, conforme já se havia citado no item 3.5.

Desta forma é possível fazer uso de um vetor que faça a correspondência entre os graus

de liberdade do elemento e da estrutura. Este vetor será chamado de JK e, como já indicado na

Tabela 3.1, é dado por:

1

1

4

X2

2

4

5

3

3

D11

D12

D10D14

D15

D13

D5

D6

D4 D7D8

D9

D2

D3

D1 XZ

Y

uG3

uG2J uG1

K

3

uG4

uG6

uG5


Para montagem da matriz de rigidez de um pórtico plano, pode-se, como sugestão,

adotar o algoritmo apresentado à seguir:

[[[[ ]]]]

(i)(i),6

(i)(i),5

(i)(i),4

(i)(i),3

(i)(i),2

(i)(i),1

(i)

(i)

(i)

(i)

(i)

(i)

(i)

K3JK

1K3JK

2K3JK

J3JK

1J3JK

2J3JK

K3

1K3

2K3

J3

1J3

2J3

JK

⋅⋅⋅⋅====

−−−−⋅⋅⋅⋅====

−−−−⋅⋅⋅⋅====

⋅⋅⋅⋅====

−−−−⋅⋅⋅⋅====

−−−−⋅⋅⋅⋅====

⇒⇒⇒⇒

⋅⋅⋅⋅

−−−−⋅⋅⋅⋅

−−−−⋅⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅

−−−−⋅⋅⋅⋅

−−−−⋅⋅⋅⋅

====

DE I=1 ATÉ NGL FAZER

DE J=1 ATÉ NGL FAZER

S* (I,J) = 0

FIM

DE I=1 ATÉ NELM FAZER

MONTAR MATRIZ DE ROTAÇÃO DO ELEMENTO ([R])

MONTAR MATRIZ DE RIGIDEZ LOCAL DO ELEMENTO ([SL])

MONTAR MATRIZ DE RIGIDEZ GLOBAL DO ELEMENTO ([SG])

MONTAR VETOR “JK” DO ELEMENTO ([JK])

DE M=1 ATÉ 6 FAZER

DE N=1 ATÉ 6 FAZER

S* (JK(I,M),JK(I,N) = S* (JK(I,M),JK(I,N) + SG (M,N)

FIM

Inicialmente deve-se

varrer a estrutura

zerando a matriz de

rigidez

Um elemento S*(I,J) é igual a ele mesmo mais a parcela SG

correspondente ao elemento em análise. Isto ocorre porque mais de

um elemento pode contribuir para o termo S*(I,J),


Exemplo regra da correspondência: viga contínua – NGL = 2

3.6 Montagem do vetor de ações da estrutura

O vetor de ações da estrutura é constituído pela soma de dois outros vetores, [A*] (ações

aplicadas diretamente nos nós) e -[A*EP] (ações provenientes de cargas aplicadas nos

elementos - ações nodais equivalentes).

O vetor [A*] que está no sistema global está relacionado aos nós da estrutura não

estando vinculado a nenhum elemento específico, já o vetor -[A*EP] é obtido levando-se em

conta a contribuição de todos os elementos, somando-se os coeficientes [AGEP] dos elementos

que concorrem em um mesmo nó, correspondentes ao mesmo GL deste nó.

A montagem do vetor -[A*EP] pode ser realizada de forma similar ao apresentado para

montagem da matriz de rigidez (item 3.5), ou seja, com auxílio da regra da correspondência,

através dos vetores JK dos elementos. Assim, para um certo GL “L” do elemento, tem-se que

AGEP(L) vai contribuir para [A*EP(JK(L))].


Exemplo: pórtico plano

Considerando o elemento 3 do exemplo do item 3.5.1, agora com carregamento

aplicado no elemento, de acordo com a Figura 3.5.

Figura 3.5 – Exemplo montagem vetor de ações da estrutura

Tem-se:

Supondo o ângulo θ = 315º teríamos como [A(3)GEP]:

3

J = 5

K = 3

θXG

XL

L

qL2/12

q

qL2/12

ql/2

qL/2

3[ALEP]

AGEP1

AGEP2

AGEP3

AGEP4AGEP5

AGEP6

[AGEP]3

[[[[ ]]]]

⋅⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅

====

12Lq-

2Lq

0

12Lq

2Lq

0

A

2

2(3)

LEP

[[[[ ]]]] [[[[ ]]]][[[[ ]]]]

⋅⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅

−−−−

−−−−

========

12Lq-

2Lq

0

12Lq

2Lq

0

100000

0cos000

0cos000

000100

0000cos

0000cos

ARA

2

2(3)

LEPT(3)

GEP

θθθθθθθθ

θθθθθθθθ

θθθθθθθθ

θθθθθθθθ

sen

sen

sen

sen


De acordo com o item 3.5.1 o vetor JK deste elemento seria (J = 5; K = 3):

Ou seja, o coeficiente A(3)GEP1 irá contribuir para o coeficiente A*

EP13 assim como

A(3)GEP2 contribuirá para A*

EP14, A(3)GEP3 contribuirá para A*

EP15, A(3)GEP4 contribuirá para

A*EP7, A

(3)GEP5 contribuirá para A*

EP8 e A(3)GEP6 contribuirá para A*

EP9.

Não se pode esquecer que um coeficiente do vetor [A*EP] deve contemplar os

coeficientes A(i)GEP de todos os elementos que concorrem naquele nó e naquele grau de

liberdade (cumulatividade).

[[[[ ]]]] [[[[ ]]]][[[[ ]]]]

[[[[ ]]]]

⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒

⋅⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

====

⋅⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅

−−−−

−−−−

========

6

5

4

3

2

1

12Lq-

2Lq0,707

2Lq0,707

12Lq

2Lq0,707

2Lq0,707

A

12Lq-

2Lq

0

12Lq

2Lq

0

100000

0707,0707,0000

0707,0707,0000

000100

0000707,0707,0

0000707,0707,0

ARA

2

2(3)

GEP

2

2(3)

LEPT(3)

GEP

[[[[ ]]]]

⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒

====

⋅⋅⋅⋅

−−−−⋅⋅⋅⋅

−−−−⋅⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅

−−−−⋅⋅⋅⋅

−−−−⋅⋅⋅⋅

====

⋅⋅⋅⋅

−−−−⋅⋅⋅⋅

−−−−⋅⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅

−−−−⋅⋅⋅⋅

−−−−⋅⋅⋅⋅

====

6

5

4

3

2

1

9

8

7

15

14

13

33

133

233

53

153

253

K3

1K3

2K3

J3

1J3

2J3

JK

(3)

(3)

(3)

(3)

(3)

(3)

(3)


3.7 Sistema de equações de equilíbrio para a estrutura restringida

3.7.1 Técnica da reordenação

Consiste em renumerar todas as direções de deslocamentos nodais, começando pelas

direções livres e deixando para o final as direções restringidas.

Para utilização desta técnica será necessário estabelecer um índice para direções

restringidas e livres, que será:

direção livre – índice ( 1 )

direção restringida – índice ( 0 )

Será necessário ainda estabelecer para todo sistema o número de direções livres,

chamado NDL, e para cada direção em estudo um Índice de Restrição Acumulado, aqui

chamado IRA. O IRA de uma dada direção é o seu índice de restrição (0 ou 1) somado aos

índices de restrição das direções anteriores.

Assim, as novas direções são:

Direção Nova Livre = Direção Antiga Livre – IRA

Direção Nova Restringida = NDL + IRA

Exemplo: pórtico plano (mesmo exemplo do item 3.5, agora porém, com apoios)

NDL = 7

D2 D5

D1

D3 D6

D4D8 D9

D9

D7 D8

D10

D11D10

D12

D14D13

D15

D14D12

D11

D15

D13

D1

D2D3

D4

D5D6

D7


A partir deste momento, as linhas e colunas da matriz de rigidez da estrutura, [S*],

devem ser trocadas, deixando as direções livres no início e as restringidas no final. As novas

direções deverão ser armazenadas em um vetor que as correlacione com as antigas. Como

sugestão este novo vetor poderia chamar-se ND.

Neste ponto torna-se importante salientar que a numeração dos GL’s da estrutura foi

alterada, o que torna necessária a alteração dos vetores JK dos elementos, adequando-os à

nova numeração, pois estes vetores serão utilizados no futuro para determinação dos esforços

nas extremidades dos elementos.

Após isso, o sistema de equações (3.17) pode ser rescrito da seguinte forma:

(3.19)

ou então:

(3.20)

onde:

Direção Antiga Índice de Restrição IRA Direção Nova1 1 1 7 + 1 = 82 1 2 7 + 2 = 93 1 3 7 + 3 = 104 1 4 7 + 4 = 115 1 5 7 + 5 = 126 0 5 6 - 5 = 17 1 6 7 + 6 = 138 1 7 7 + 7 = 149 1 8 7 + 8 = 15

10 0 8 10 - 8 = 211 0 8 11 - 8 = 312 0 8 12 - 8 = 413 0 8 13 - 8 = 514 0 8 14 - 8 = 615 0 8 15 - 8 = 7

[[[[ ]]]] [[[[ ]]]][[[[ ]]]] [[[[ ]]]]

[[[[ ]]]][[[[ ]]]]

[[[[ ]]]][[[[ ]]]]

[[[[ ]]]][[[[ ]]]]

−−−−

====

⋅⋅⋅⋅

REP,

DEP,

R

D

R

D

RRRD

DRDD

A

A

A

A

D

D

SS

SS

[[[[ ]]]] [[[[ ]]]][[[[ ]]]] [[[[ ]]]]

[[[[ ]]]][[[[ ]]]]

[[[[ ]]]][[[[ ]]]]

[[[[ ]]]][[[[ ]]]]

−−−−

====

⋅⋅⋅⋅

REP,

EP

RRRRD

DR

A

A

Re

A

D

D

SS

SS


[SDD] ou [S] é a matriz de rigidez da estrutura restringida, com apoios;

[SDR] é a sub-matriz de [S*] que contém os coeficientes de influência dos deslocamentos

dos nós restringidos sobre as ações nos nós deslocáveis ou livres;

[SRD] é a sub-matriz de [S*] que contém os coeficientes de influência dos deslocamentos

dos nós livres sobre as reações nos nós restringidos;

[SRR] é a sub-matriz de [S*] que contém os coeficientes de influência dos deslocamentos

dos nós restringidos sobre as reações nos nós restringidos.

Nos casos práticos mais comuns, ou seja, sem deslocamentos de apoios, com [DR] = 0,

o sistema de equações (3.20) pode ser simplificado e escrito de explicitamente da seguinte

forma:

(3.21)

(3.22)

Resolvendo o sistema de equações (3.21) obtém-se os deslocamentos nodais:

(3.23)

e, a partir destes, obtém-se as reações de apoio:

(3.24)

[[[[ ]]]] [[[[ ]]]] [[[[ ]]]] [[[[ ]]]][[[[ ]]]] [[[[ ]]]] [[[[ ]]]] [[[[ ]]]]

−−−−====⋅⋅⋅⋅

−−−−====⋅⋅⋅⋅

REP,RD

EP

AReDS

AADS

[[[[ ]]]] [[[[ ]]]] [[[[ ]]]] [[[[ ]]]](((( ))))EP1- AASD −−−−⋅⋅⋅⋅====

[[[[ ]]]] [[[[ ]]]] [[[[ ]]]] [[[[ ]]]]REP,RD ADSRe ++++⋅⋅⋅⋅====


3.8 Cálculo dos esforços nas extremidades dos elementos

Estando resolvida a equação (3.23), ou seja, sendo determinados os deslocamentos

globais da estrutura, podem então ser determinados os deslocamentos nodais no sistema

global de cada um dos elementos, portanto “uG”. Para tanto, deve-se utilizar o vetor JK que

correlaciona os deslocamento nodais da estrutura com os deslocamentos nodais (no sistema

global) dos elementos. Antes porém, é necessário que se faça uma alteração dos vetores JK,

adequando-os às novas direções da estrutura, que foram modificadas no momento da

reordenação. Isto pode ser feito com auxílio do vetor ND que correlaciona as novas direções

(após a reordenação) com as antigas (após a reordenação).

Seja por exemplo o elemento 3 do pórtico da Figura 3.3, cujo vetor JK dado na Tabela

3.1 é composto pelos seguintes coeficientes:

JK3 = [13, 14, 15, 7, 8, 9]

O vetor ND da estrutura (obtido após reordenação) é dado pelos seguintes coeficientes:

ND = [8, 9, 10, 11, 12, 1, 13, 14, 15, 2, 3, 4, 5, 6, 7]

ou seja, o GL 13 da estrutura tornou-se, após a reordenação, o GL 5, o GL 14 tornou-se 6 e os

GL’s 15, 7, 8 e 9 tornaram-se respectivamente 7, 13, 14 e 15, portanto, o novo vetor JK do

elemento 3 será composto pelos seguintes elementos:

JK3 = [5, 6, 7, 13, 14, 15]

Assim, o vetor de deslocamento globais do elemento 3 será constituído pelos

deslocamentos D5, D6, D7 ,D13, D14 e D15 da estrutura, ou seja:

uG3 = [D5, D6, D7 ,D13, D14 e D15]


pois o deslocamento de um nó da estrutura em uma dada direção é igual aos deslocamentos

globais de todos elementos neste mesma direção.

Computacionalmente, a determinação do vetor uG de um determinado elemento pode

ser feita variando-se os graus de liberdade do elemento, L, de 1 a 2NGL e efetuando-se à cada

variação o seguinte cálculo:

uG(L) = D (JK(L))

Obtido o vetor uG do elemento, pode-se agora obter os esforços totais em suas

extremidades no sistema local, AL. Para tanto, deve-se utilizar a equação (3.7) com a devida

adição das ações locais de engastamento perfeito, ou seja:

(equação (3.7))

adicionando-se a esta expressão o vetor de ações de engastamento perfeito [ALEP], tem-se:

(3.25)

Para que todas as operações mencionadas e necessárias ao desenvolvimento de um

programa sejam de realização possível, alguns vetores e algumas matrizes, como por

exemplo, [ALEP], [SL] x [R], [JK], e outros(as), deverão ser armazenadas em memória ou em

disco (em arquivos), sendo a segunda opção mais interessante em função da economia de

memória.

[[[[ ]]]] [[[[ ]]]] [[[[ ]]]] [[[[ ]]]]GL uRSA L ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅====

[[[[ ]]]] [[[[ ]]]] [[[[ ]]]] [[[[ ]]]] [[[[ ]]]]LEPGL AuRSA L ++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅====

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ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS análise estrutural é classificada como linear, quando a estrutura tem comportamento linear, e não-linear, em caso contrário