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Análise modal com Elementos Finitos
Larissa Driemeier
Rafael Traldi Moura
Marcílio Alves
1
Algumas questões
• Frequências naturais e modos de vibrar
– para projeto estrutural
– para análise forçada
– resposta estrutural a cargas harmônicas (resposta transiente
ignorada)
• Resposta da estrutura ao longo do tempo devido a carregamentos
repentinos ou não periódicos (integração da equação do
movimento)
– Se apenas baixos modos de vibração são excitados ou tempo
de resposta requerido for longo: usar integração implícita ou
superposição modal
– Se carregamento excita várias frequências e tempo de resposta
for curto: usar integração explícita
• Análise espectral: máxima resposta a cargas não periódicas
2
ESTÁTICO:
•Monta-se a matriz de rigidez
•Monta-se o vetor de carregamento
•Obtém-se o deslocamento u=k-1f
DINÂMICO I:
•Monta-se a matriz de rigidez
•Monta-se a matriz de massa
•Obtém-se as freqüências naturais
e modos de vibrar
DINÂMICO II:
•Monta-se a matriz de rigidez
•Monta-se a matriz de massa
•Monta-se o vetor carregamento
•Obtém-se o deslocamento,
velocidades e acelerações de
mx’’+cx’+kx=f
Algumas estratégias de solução não
montam a matriz de rigidez ou de massa3
Análise modal
• Objetiva determinar as
freqüências naturais de uma
estrutura e os modos de vibrar
associados
4
2
2
1 2 1
1 2
{ } { }sin { } { }sin
[ { }
[ { }
[ [ [ { }
[
t t
D D D D
M]{D}+[K]{D} = 0
M] {D}+[K]{D} = 0
M] M] {D}+ M] [K]{D} = 0
M] [K]{D} = {D}
Sem amortecimento
Problema de auto vetor – auto valor
Procura-se (auto) valores não
triviais associados ao (auto)
vetor {D}
Exemplo
>> M=[3 0;0 7]
M =
3 0
0 7
>> K=[5 -3;-3 2]
K =
5 -3
-3 2
>> [V,W] = eig(K\M)
V =
-0.9676 -0.5202
0.2526 -0.8541
W =
0.5188 0
0 40.4812
>> K\M*V1
-0.5010
0.1326
>> W*V1
-0.5010
0.1326
6
Importância da Análise Modal: método de solução
Modes and frequencies7
Importância da Análise Modal: aplicações
8
Trabalho das forças concentradas externas
=
Trabalho absorvido por forças de inércia,
de amortecimento e internas
1
n
ì iic dV
T T T Tδu p δu u + δu u + δε σ
Forças de corpo e de tração
na superfície são desprezadas aqui
int
int
{ } [ ] [ ] [ ] ] 0
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] { } ]
[ ] [ ] [
T T T T
i
T
ext
dV c dV dV
dV c dV dV
T T
{u} = [N]{d} {u} = [N]{d} {u} = [N]{d} {ε} = [B]{d}
d N N d + N] [N d + [B σ p
m N N c N N r [B σ
[m]{d}+ c {d}+{r} = {r} [m]{d}+ c {d}+ k]{d} = { ext
ext
r}
[M]{D}+[C]{D}+[K]{D} = {R}
Exercício em classe: deduza estas equações
Se Rext=0 então a análise é modal.
Se Rext≠0 então a análise é transiente.
nos nós
Se material linearPode-se optar por não montar K
Matriz de massa
[ ] [ ] [ ]dV T
m N N
1 0[ ]
0 12
m
m
Consistente:
Porque é obtida a
partir das funções
de forma
Distribuida nos nós:
Ad hoc
Não diagonal
Diagonal (treliça)
Elemento de viga:
Sem inércia de rotação
Com inércia de rotação
2 2[ ] 1/ 2 1/ 2 1/ 242
[ ] 1/ 2 0 1/ 2 02
mL L
m
m
m
Matriz de massa consistente para viga (sem inércia axial)
0
2 3
2 3
2 3
2 3 2 3 2 3 2 3 2
2 3 2 2 3 2 2 30
2 3
2 3
2
2 2
2
[ ] [ ] [ ]
1 3 2
2
[ ] [1 3 2 2 3 2 ]
3 2
156 22 54 13
4 13 3[ ]
156 22420
4
L
L
A dx
x x
L L
x xx
x x x x x x x x L Lm A x dx
L L L L L L L L x x
L L
x x
L L
L L
L L Lmm
L
L
Tm N N
M=ρ A L
12
Matriz de massa consistente para elemento de barra
• Quando as integrações são feitas utilizando as funções de forma
para elemento de barra a matriz de massa obtida é,
0
2 1 2 1
1 2 1 26 6
LT AL m
A d
m N N
2 1 1 1
1 2 1 16
i i i
j j j
u u fAL AE
u u fL
mu ku f
Portanto, a equação de equilíbrio para o elemento de barra é dada por,
13
2
2
2
1
ALm
ALm
m1 e m2 são obtidos “distribuindo” a massa total da barraigualmente nos dois nós.
1 0 1 0
0 1 0 12 2
AL m
m
1 2
14
13 3
mc
ml
15
• Usando considerações sobre energia, pode-se provar que matrizes de massa se transformam da mesma maneira que matrizes de rigidez.
Matriz de massa para elementos de treliça
T m T mT
0 0
0 0
0 0
0 0
C S
S C
C S
S C
Tcos
sin
C
S
2 0 1 0
0 2 0 1
1 0 2 06
0 1 0 2
m
m
Note que a segunda e quarta linhas da matriz de massa não são nulas porque
elementos de treliça têm resistência inercial a forças perpendiculares a seu eixo
(em contraste à sua rigidez)
16
• Equação de equilíbrio dinâmico para treliça
2 2
2 2
2 2
2 2
2 0 1 0
0 2 0 1
1 0 2 06
0 1 0 2
i i i
i i i
j j j
j j j
u u pC CS C CS
v v qCS S CS SAL AE
u u pL C CS C CS
v v qCS S CS S
17
Exemplo 1: Análise modal de uma barra
• Considere um barra de seçãotransversal A, comprimento L, módulo de Elasticidade E, densidade e com um dos ladosfixos.
• Determine a freqüência natural da barra usando matriz de massaconsistente e diagonal com
a) um elemento de barra
b) dois elementos de barra
• Compare seus cálculos em EF com resultado exato
A, E,
L
18
Item a: Modelo com 1 elemento
(MM Consistente)
• Usando um elemento e matriz de massa consistente, a
estrutura tem dois nós (um fixo), resultando em um sistema
de 1 GL.
1 0u 2u t
1 1
2 2
2 1 1 1 0
1 2 1 1 06
u uAL AE
u uL
2 22
30
Eu u
L
11
3 E
L
19
• Se a matriz de massa diagonal é utilizada,
• Obviamente o uso de matrizes de massa diferentes produzem resultados
diferentes.
1 1
2 2
1 0 1 1 0
0 1 1 1 02
u uAL AE
u uL
2 22
20
Eu u
L
11
2 E
L
Item a: Modelo com 1 elemento
(MM Diagonal)
20
Comparação com resultado exato
Exato 1 elemento
(consistente)
1 elemento
(diagonal)
2 elementos
(consistente)
2 elementos
(diagonal)
-- --
1
2
/2 1.571
3 /2 4.712
1.732 1.414 1.611
5.629
1.531
3.696
1 E
L
21
Discussão de resultados
• As comparações na tabela demonstram que,
a) Maior número de elementos e GL aproximam melhor a aproximação
do resultado exato
b) O uso da matriz de massa consistente produz resultados um pouco
melhores para as freqüências fundamentais
c) Aproximações para freqüências maiores são muito piores em todos os
casos.
d) Necessita-se de um número substancialmente maior de GL que o
número de freqüências e modos de vibrar desejados para ter uma
aproximação razoável para todas as freqüências calculadas (tente
fazer essa análise com vários GL em um programa comercial de EF).
22
Métodos híbridos
Combina os métodos consistente e diagonal paraaproveitar os benefícios de cada um.
Matriz diagonal HRZ (Hinton, Rock, and Zienkiewicz)
(HRZ Lumping)
Para elemento de barra:
30
03
6
2
3
64
21
12
6
LA
s
m
LAs
LAm
LA
m
m
23
HRZ – Elemento de viga
312
420
420312
422313
221561354
313422
135422156
42022
22
s
m
LAs
LAm
LLLL
LL
LLLL
LL
m
m
22
2
2
420156 0 0 0
31239420
0 4 0 0312
420 39420 780 0 156 0
312
4200 0 0 4
312
LLm m
L
L
m
>use matriz consistente
>massa total do elemento é
preservada
>use somente termos da
diagonal
>s=some só termos de
translação m_ii
>multiplique todos os
coeficientes da diagonal por
m/s
Usar esta
24
25
Matrizes de massa
• Produto ma deve resultar no valor correto das forças totais
aplicadas no elemento (F = ma) quando a representa a aceleração
translacional de corpo rígido.
• Matrizes de massa consistentes m e M são positivas definidas.
• Matriz diagonal de massa é positiva semi-definida quando zeros
aparecem na diagonal principal.
• Matriz de massa diagonal é indefinida quando números negativos
aparecem na diagonal principal.
• Ambos os casos anteriores necessitam de tratamento especial…
26
Matrizes consistentessão mais precisas paraproblemas com flexão.
Matrizes consistentesdão limites superiorespara freqüênciasnaturais.
• Matrizes diagonais usualmentedão freqüências naturaismenores que os valoresexatos.
• Matrizes diagonais têm forma mais simples e ocupam menosespaço para armazenamento.
• Matrizes diagonais requeremmenos esforço computacional.
• Usualmente mais importantesem problemas de variáveisdependentes do tempo que emproblemas de vibração.
27
Aspectos computacionais
• Matriz de massa global é montada da mesma forma que a matriz de rigidez
• O problema de auto-valoresé resolvido porprocedimento dedicado
– No Matlab use eig ou eigs
– [modes,omegasquare]=
eig(m_global\k_global)
• Use também tranformaçãode coordenadas, m_e=T'*m_e*T
• Tenha em mente a eficiência do elemento parao caso estático
Programa para análise modal de vigas
function beam
%% A FE programme for static, dynamic and modal analysis of
beams
% Marcílio / Trodenheim and Sao Paulo, Feb-April 2008
set(0,'DefaultFigureWindowStyle','docked');
close all;clc;clear all;format short;
%% Global variables
global analysis nel nno h b In L Em rho m dofg
global gc cm bc nrn k_global m_global f v
global fa bca freq modes mode modef f_dyn beta alpha t_max ni
nd
%% Basic data input and loads
input
%% Mesh and bc
mesh
%% Main loop for global and stiffness matrixes
global_MK
%% Assembling load/bc vector
assembly_load_bc
%% Results
if analysis==1
displacement
elseif analysis==2
eig_problem
elseif analysis==3
dynamic_imp
elseif analysis==4
dynamic_exp
end
%% Plotting
plotting
Escreva um programa de elementos finitos (use elementos
de viga ou plano) para análise modal de vigas
Compare os resultados de seu programa com os dados
experimentais e com resultados teóricos
Obs. As equações teóricas podem ser obtidas diretamente da literatura mas a
dedução das mesmas valoriza o trabalho
Análise modal de vigas
dxxA(x)=b(x)h(x)
v(x,t)
p(x,t)
M(x,t) + M(x,t) dx
x
v(x,t)
dx
x x+dx
M(x,t)
Q(x,t)
Q(x,t) + Q(x,t) dx
x
p(x,t)
31
txvctxvmtxpx
Q,,,
Q
x
M
, e :vEIM
txptxEIvtxvctxvm iv ,,,,
p(x,t) = 0: 0,, 2 txvctxv ivm
EIc
Análise modal (vibração livre)
amortecimento=0
32
tTxtxv ),( separação
de variáveis
22
tT
tT
x
xc
constante
xCxC
xCxCx
xc
x
coshsinh
cossin
0
43
21
2
Ci: determinados a partir das
condições de contorno
cc //2/1
mEIc /22 ou
tBtAtT
tTtT
cossin
02
A,B: determinados a partir das
condições iniciais
Movimento é oscilatório no
tempo e tem freqüência
33
L
EI, A
Viga bi-apoiada...
Viga biapoiada:
i. v(x=0)=0
ii. v(x=L)=0
iii. M(x=0)=EIv”(x=0)=0
iv. M(x=L)=EIv”(x=L)=0
, flecha nula no apoio à esquerda.
, flecha nula no apoio à direita.
, momento nulo no apoio à esquerda.
, momento nulo no apoio à direita.
Exemplo
34
0)0(,0)0()(,0),0( ttTttv
0)0cosh()0sinh()0cos()0sin( 4321 CCCC
0)(,0)()(,0),( LtLtTttLv
0)cosh()sinh()cos()sin( 4321 CCCC
0)0(,0)0()(,0),0( ttTttvEI
0)0cosh()0sinh()0cos()0sin( 4321
2 CCCC
0)(,0)()(,0),( LtLtTttLvEI
0)cosh()sinh()cos()sin( 4321
2 CCCC
1{
2{
3{
4{
0
0
0
0
.
coshsinhcossin
1010
coshsinhcossin
1010
4
3
2
1
)(
C
C
C
C
141444
0.)(xxx
Aplicando as condições de contorno:
L
35
0
coshsenhcossen
1010
coshsenhcossen
1010
)(det
0sinhsin
c2
L
cLc22 /
0sinhsin ii 0sin ,.........2,1,0i
00sinh i 1i
em [Hz] : cL
if ii
2
2)2/(
em [rad/s] : cL
ii
2
-10
0
10
20
0 2 4 6 8 10
sin
sinh
36
0
0
0
0
.
coshsinhcossin
1010
coshsinhcossin
1010
4
3
2
1
)(
C
C
C
C
141444
0.)(xxx
Com , calcula-se C1,...C4
O sistema de equações acima é indeterminado.
É necessário arbitrar um valor, eg c1=1.
)/sinh()/sin()(00
03142
42
42LxCLxCxCC
CC
CCiiiii
00sinhsin
0sinhsin3
31
31
C
CC
CC
e 01 C
)/sin()/sin()( LxiLxx ii
,...,5,4,3,2,1i
37
PRIMEIRO MODO
)/ sin()(1 Lxx
[seg] )/2( 4
1 EImLT
SEGUNDO MODO
)/ 2sin()(2 Lxx
4/12 TT
)/ 3sin()(3 Lxx
9/13 TT
TERCEIRO MODO
38
Procedimento experimental: viga em balanço
L =______m
b =______m
h =______m
Área da secção, A= b*h = __________ m2
Massa distribuída, m= *A = __________ Kg/m
Momento de inércia, I = b*h3/12 = __________ m4
Rigidez à flexão, EI = __________ N.m2
AÇO: E = 210Gpa = 210E9 N/m2
= 7500 Kg/m3
Tabela de Comparação de Resultados
MODO
Freqüências Naturais em Hz Desvio %
Teórico (Ft) Experimental (Fe) 100*(Ft-Fe)/Fe
1
2
3
39
5 10 15 20
-20
-15
-10
-5
5
10
15
20
1+cos(L)cosh(L)
Raízes:
L=1.8751
L=4.694
L=7.854
L=10.9955 ...
Solução teórica: viga em balanço
xx
LL
LLxx
C
x
sinsinh
sinhsin
coshcoscoshcos
2
0.2 0.4 0.6 0.8 1
-2
-1.5
-1
-0.5
0.2 0.4 0.6 0.8 1
-1.5
-1
-0.5
0.5
1
1.5
2
0.2 0.4 0.6 0.8 1
-2
-1.5
-1
-0.5
0.5
1
40