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1 Antenas e Propagação Artur Andrade Moura [email protected]

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1

Antenas e Propagação

Artur Andrade [email protected]

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2Antenas Filiformes

• Equações de Maxwell e Relações Constitutivas– Forma diferencial no domínio do tempo

Lei de Faraday

Lei de Ampére

Lei de Gauss

Continuidade das linhas de força de B

Equações de Maxwell

Relações Constitutivas

ε - permitividade

µ - permeabilidade

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3Antenas Filiformes– Notação fasorial para grandezas sinusoidais

(o mesmo para H)

Equações de Maxwell

Relações Constitutivas

Condutividade

Num meio linear, homogéneo e isotrópico ε, µ e σ são constantes.

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4Antenas Filiformes

• Determinação dos campos radiados– Normalmente é mais simples determinar os campos devidos às

fontes recorrendo a vectores potenciais• A – vector potencial magnético

• F – vector potencial eléctrico

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5Antenas Filiformes– Vector potencial magnético A devido a uma fonte de corrente J

• Dado que

• E usando a identidade vectorial (válida para qualquer vector)

• Podemos definir o vector potencial magnético pela relação

• Substituindo na equação de Maxwell para o rotacional de E vem

• Da identidade vectorial (onde φe é um potencial eléctrico escalar arbitrário)

• Podemos escrever para o campo eléctrico

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6Antenas Filiformes– Equação de onda

• Aplicando o operador rotacional à equação

e usando a identidade vectorial

temos

• Substituindo as relações seguintes em (1)

• Obtém-se

• Definindo a divergência de A pela condição de Lorentz

• Obtemos finalmente

(1)

sendo

Equação de onda

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7Antenas Filiformes– A equação de onda

é uma equação não homogénea que permite calcular o vector potencial A a partir do conhecimento da densidade de corrente Jda fonte

– Uma vez obtido A podem-se calcular os campos pelas relações seguintes

Obtém-se o campo magnético a partir de A

A partir do campo magnético obtém-se o campo eléctrico, supondo a densidade de corrente nula pois estamos interessados nos pontos do espaço fora da fonte

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8Antenas Filiformes– A solução da equação de onda, para pontos do espaço fora da

fonte, pode ser feita por analogia com o caso estático (w = 0 e k= 0) mas multiplicando pelo factor e-jKr

– Para o caso da fonte estar na origem das coordenadas o integral a resolver é o seguinte

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9Antenas Filiformes– Para o caso da fonte estar fora da origem das coordenadas o

integral a resolver é o seguinte

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10Antenas Filiformes

• Dualidade• Se duas equações que descrevem o comportamento de duas grandezas

distintas têm a mesma forma matemática as suas soluções são idênticas; as grandezas que ocupam as mesmas posições nas duas equações são ditas grandezas duais assim como as equações

Grandezas Duais Equações Duais

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11Antenas Filiformes

• Dipolo infinitesimal ou elementar(comprimento l << λ e raio a << λ)

– Esta antena constitui o elemento base para o estudo das antenas filiformes de qualquer comprimento

– Considerando a antena na origem dos sistema de coordenadas e orientada segundo o eixo dos zztemos

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12Antenas Filiformes– Partindo do potencial vector magnético

– Considerando que a densidade de corrente pode ser substituída por uma corrente constante na direcção do eixo dos zz

– No passo seguinte obtém-se o campo magnético calculando o rotacional do vector potencial, pela relação

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13Antenas Filiformes– A transformação de coordenadas rectangulares para esféricas é

– O rotacional em coordenadas esféricas terá apenas componente segundo φ que podemos obter pela expressão seguinte

00

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14Antenas Filiformes– Do rotacional do potencial vector obtém-se o campo magnético

– Obtemos agora o campo eléctrico da equação de Maxwell

• considerando J = 0 pois estamos interessados no campo eléctrico em pontos do espaço fora da fonte

Impedância intrínseca de meio

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15Antenas FiliformesAs expressões obtidas para os campos permitem distinguir três regiões espaciais em torno do dipolo elementar

• Região reactiva do campo próximo Kr << 1– No campo eléctrico dominam os termos proporcionais a 1/r3

Em fase entre si mas em quadratura com o campo magnético (a potência média associada é nula, daí o nome de região reactiva)

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16Antenas Filiformes

• Região de radiação do campo próximo Kr > 1– No campo eléctrico o termo proporcional a 1/r3 é desprezável

Existe uma componente relevante do campo eléctrico (Er) segundo a direcção da propagação pelo que não temos ainda uma onda TEM

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17Antenas Filiformes

• Região do campo distante Kr >> 1– No campo eléctrico domina o termo proporcional a 1/r

Esta é a região de interesse do ponto vista da radiação. Os campos eléctrico e magnético estão em fase, são perpendiculares entre si e estão num plano perpendicular à direcção radial da propagação, constituindo assim uma onda TEM (Transverse ElectroMagnetic).

A impedância de onda é igual à impedância intrínseca do meio.

No campo distante a onda electromagnética radiada comporta-se como uma onda plana.

Impedância de onda

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18Antenas Filiformes

• Densidade de potência– É dada pelo vector de Poynting

– Com componentes segundo r e θ

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19Antenas Filiformes

• Potência Média Total– A potência média total na direcção radial é dada por

– Podemos também escrever

Prad + jQ

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20Antenas Filiformes

• Potência radiada– A parte real da potência média total é a potência média radiada

que normalmente designamos apenas por potência radiada Prad

• Potência reactiva Q– A parte imaginária da potência média total é a potência reactiva

Note-se que não depende de r, o que significa que terá sempre o mesmo valor qualquer que seja a esfera que se considera para integrar a densidade de potência. Isto significa que a densidade de potência W tem de diminuir proporcionalmente ao aumento da área da esfera de integração, isto é, W ~1/r2

Decresce rapidamente com a distância r, sendo desprezável no campo distante

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21Antenas Filiformes

• Resistência de radiação do dipolo elementar– A partir da potência radiada pode-se definir a resistência de

radiação da seguinte forma

– Uma antena filiforme real pode ser aproximada pelo dipoloelementar se l << λ (usualmente considera-se l ≤ λ/50)

– Para l = λ/50 obtém-se uma resistência de radiação de 0,361 Ωo que significa uma desadaptação elevada quando estas antenas são alimentadas por linhas de 50 ou 75 Ω

120π

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22Antenas Filiformes

• Diagrama de radiação– A intensidade de radiação é dada por

– Cujo máximo ocorre para θ = 90º

Diagrama de radiação normalizado

Omnidireccional nos planos perpendiculares ao dipolo e tipo “figura de oito” nos planos que contêm o dipolo

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23Antenas Filiformes

• Directividade– Aplicando a definição obtém-se para a directividade máxima do

dipolo elementar

• Área efectiva máxima

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24Antenas Filiformes

• Dipolo pequeno ou electricamente curto(comprimento λ/50< l ≤ λ/10 e raio a << λ)

Distribuição de corrente linear com máximo na origem e nula nos extremos da antena

z’ = z e R ≈ r

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25Antenas Filiformes– Calculando o potencial vector com a distribuição de corrente

triangular vem

– Como z’ = z e R ≈ r obtemos o resultado seguinte

Metade do valor do potencial vector do dipolo elementar

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26Antenas Filiformes– Como o potencial vector do dipolo curto é metade do obtido para

o dipolo elementar então os campos radiados serão também metade

– Para o campo distante temos

– Como a intensidade de radiação é proporcional a Eθ2 então a

intensidade do dipolo curto será ¼ da do dipolo elementar– O mesmo para a densidade de potência

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27Antenas Filiformes– Do mesmo modo se conclui que quer a potência radiada quer a

resistência de radiação do dipolo curto serão as do dipoloelementar multiplicadas por ¼

– A directividade e a área efectiva têm o mesmo valor do dipoloelementar

– O diagrama de radiação normalizado é igual para os dois dipolos (curto e elementar)

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28Antenas Filiformes

• Dipolo de comprimento finito (Regiões envolventes)

• Região do campo distante

Para o campo distante podemos considerar R e r paralelos e tomar as seguintes aproximações

Nas amplitudesR ≈ rNas fasesR ≈ r – z’cosθ

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29Antenas Filiformes

• Região do campo distante– As aproximações R ≈ r nas amplitudes e R ≈ r – z’cosθ nas

fases são válidas para r ≥ 2l2/λ• Garantem um erro de fase menor que π/8 rad

– Esta aproximação é estendida para outros tipos de antenas substituindo-se l pela maior dimensão da antena D

• Define-se região reactiva do campo próximo se

• Região de radiação do campo próximo se

Região do campo distante (Fraunhofer)

Região de Fresnel

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30Antenas Filiformes

• Dipolo de comprimento finito– Distribuição de corrente na antena

Toma-se como analogia o que se passa numa linha de transmissão em circuito aberto e considera-se para a antena uma distribuição de corrente sinusoidal, com um máximo I0 e com nulos de corrente nos extremos.

Distribuição de corrente para vários valores de l

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31Antenas Filiformes

• Determinação dos campos radiados distantes• Considera-se o dipolo de comprimento finito constituído por dipolos

elementares de comprimento dz’.• Cada dipolo elementar colocado na sua coordenada z’ tem uma distribuição

de corrente constante e igual ao valor da distribuição de corrente I(z’) para essa coordenada.

• Recorrendo à sobreposição somam-se os campos distantes devidos a todos os dipolos elementares que constituem o dipolo finito. Esta soma é um integral onde se tomam as aproximações para o cálculo do campo distante, isto é, nas amplitudes R ≈ r e nas fases R ≈ r – z’cosθ

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32Antenas Filiformes

• Determinação dos campos radiados distantes• A resolução do integral anterior pode fazer-se recorrendo a

• O resultado obtido é

• E para o campo magnético vem

sendo

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33Antenas Filiformes

• Densidade média de potência radiada

• Intensidade de radiação

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34Antenas Filiformes

• Diagrama de radiação

Para l ≤ λ não ocorrem lóbulos secundários

Plano vertical

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35Antenas Filiformes

• Diagrama de radiação– Para l ≥ λ teremos lóbulos secundários (na figura l = 1.25 λ)

Diagrama 3D

Plano vertical

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36Antenas Filiformes

• Potência radiada

– A resolução deste integral exige manipulações matemáticas extensas obtendo-se

– Onde C = 0,5772 é a constante de Euler e os integrais Ci e Si aolado estão tabelados

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37Antenas Filiformes

• Resistência de radiação, directividade e área efectiva

• Resistência de entradaDependendo do valor de l normalmente o valor da corrente de entrada será diferente do máximo I0 da distribuição de corrente; deve referir-se a resistência de entrada àcorrente de entrada I in

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38Antenas Filiformes

• Dipolo de meio comprimento de onda• Utilizam-se as expressões para o dipolo de comprimento finito com l = λ/2

• Campos radiados distantes

• Densidade de radiação, intensidade de radiação

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39Antenas Filiformes

• Diagrama de radiação (normalizado)

Diagrama 3D

Omnidireccional nos planos perpendiculares à antena

Direcção de máximo θ = π/2

Largura de feixe a meia potência de 78º

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40Antenas Filiformes

• Potência radiada

• Directividade e área efectiva

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41Antenas Filiformes

• Resistência de radiação– Neste caso temos distribuição de corrente com I in = I0

• Impedância de entrada

– Normalmente para eliminar a parte imaginária de Zin reduz-se o comprimento físico l da antena para valores entre 0,47λ e 0,48λ, isto é, procura-se o valor de l correspondente à primeira ressonância onde Zin fica puramente real

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42Antenas Filiformes

• Dipolo dobrado• Em certos casos práticos usam-se linhas de transmissão com impedâncias

características mais elevadas que 50 Ω ou 75 Ω (por ex. 300 Ω). Para promover a adaptação podem usar-se modificações do dipolo, sendo um exemplo o dipolo dobrado.

λ/2

s→ 0

Id Idd

Dipolo λ/2 DipoloDobrado

Com s muito pequeno podemos dizer que o campo distante radiado pelo dipolo dobrado é o dobro do dipolo de meio comprimento de onda, logo para as resistências de radiação teremos a relação

Se em vez de dois elementos usarmos N elementos próximos teremos

Rdd = 4Rd

Rdd = N2Rd

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43Antenas Filiformes

• Dipolo situado acima de um plano condutor perfeito e infinito– Recorre-se à teoria das imagens considerando uma antena

virtual, a antena imagem, abaixo do plano condutor

A localização da antena imagem é tal que o campo produzido pela antena real, em qualquer ponto acima do plano condutor, pode ser obtido somando o campo directo proveniente da antena real com o campo proveniente da antena imagem

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44Antenas Filiformes

• Dipolo elementar vertical a uma altura h do plano condutor perfeito e infinito

Nas amplitudesr1 ≈ r2 ≈ r

Nas fasesr1 ≈ r – hcosθr2 ≈ r + hcosθ

Aproximações para cálculo do campo distante

Imagem

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45Antenas Filiformes– Campo directo

– Campo reflectido (provem da antena imagem)

– Somando os dois campos e aplicando as aproximações nas amplitudes e nas fases para o cálculo do campo distante temos

Coeficiente de reflexão vale 1

Factor do elemento EF(θ)

Factor de agrupamento

AF(θ)

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46Antenas Filiformes– Intensidade de radiação (máxima em θ = π/2)

– Diagrama de radiação

Plano Vertical

O número total de lóbulos vem dado pelo inteiro mais próximo de 2h/λ + 1

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47Antenas Filiformes– Potência radiada, directividade e resistência de radiação

• Kh elevado então D0 e Rr ficam iguais às do dipolo isolado

• Kh = 0 então D0 e Rr são o dobro do dipolo isolado

• O máximo da directividadeocorre para h = 0,458λ

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48Antenas Filiformes

• O monopolo– Antena vertical com l = λ/4, alimentada na sua base junto a um

plano condutor perfeito

Monopolo

DipoloEquivalente

Imagem

• Acima do plano xy as antenas produzem o mesmo campo, logo a intensidade de radiação e densidade de potência são iguais nesse semi-espaço

• A potência radiada pelo monopolo e a resistência de radiação são metade do dipolo isolado

• A directividade do monopolo é o dobro do dipolo isolado

• A impedãncia de entrada é metade da do dipolo isolado

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49Antenas Filiformes

• Dipolo elementar horizontal a uma altura h do plano condutor perfeito e infinito

Nas amplitudesr1 ≈ r2 ≈ r

Nas fasesr1 ≈ r – hcosθr2 ≈ r + hcosθ

Usam-se as mesmas aproximações para cálculo do campo distante

Supondo antena na direcção do eixo dos yy

Imagem

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50Antenas Filiformes– Campo directo

– Campo reflectido (provem da antena imagem)

– Somando os dois campos e aplicando as aproximações nas amplitudes e nas fases para o cálculo do campo distante temos

Coeficiente de reflexão vale -1

EF(θ) AF(θ)

Nota:

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51Antenas Filiformes– Intensidade de radiação

– Diagrama de radiação

Plano vertical que contém a antena

O número total de lóbulos vem dado pelo inteiro mais próximo de2h/λ com no mínimo 1

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52Antenas Filiformes– Potência radiada, resistência de radiação e directividade

R(kh)

Notar que h = 0 não pode ser considerado pois antena ficaria sobre o plano condutor perfeito não radiando

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53Antenas Filiformes

• Efeito da terra (considerada como plana)– Campo distante para o dipolo elementar vertical a uma altura h

da terra

Plano Vertical

• O coeficiente de reflexão Rv

depende das impedâncias intrínsecas do ar e da terra e dos ângulos de incidência e de refracção

• O programa que iremos usar permite considerar este efeito de terra para vários tipos de solos

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54Antenas Filiformes

• Efeito da terra (considerada como plana)– Campo distante para o dipolo elementar horizontal a uma altura

h da terra

Plano vertical que contém a antena

• O coeficiente de reflexão Rh

depende das impedâncias intrínsecas do ar e da terra e dos ângulos de incidência e de refracção

• Neste caso o diagrama não é muito diferente da situação de um plano condutor perfeito