UNIVERSIDADE FEDERAL DE MINAS GERAIS PROGRAMA DE PS-GRADUAO EM
ENGENHARIA ELTRICA Metodologia espao-temporal para a anlise de
antenas de microfitaVirglio Ribeiro Mota GAPTEM Grupo de Antenas,
Propagao e Teoria Eletromagntica Departamento de Engenharia
Eletrnica Escola de Engenharia Universidade Federal de Minas Gerais
Agosto de 2010 ii Universidade Federal de Minas Gerais UFMG
Metodologia espao-temporal para a anlise de antenas de microfita
Dissertao de mestrado submetida ao Colegiado de Ps-Graduao do
DepartamentodeEngenharia EltricadaUNIVERSIDADE FEDERALDEMINASGERAIS
comorequerimentoparcialpara obtenodottulodemestreem Engenharia. rea
de concentrao: ENGENHARIA DE COMPUTAO E TELECOMUNICAES Aluno:
Virglio Ribeiro Mota Orientador: Prof. Dr. Cssio Gonalves do Rego
Departamento de Engenharia UFMG 2010 iii AGRADECIMENTO
Primeiramente,agradeoaDeus,poissemeleasdificuldadesseriam
insuperveis. Aos meus pais e s minhas irms, pelo incentivo e apoio
nas horas mais difceis, especialmente a Rosilane e ao Jlio pela
imensa ajuda.Ao professor Cssio, pela confiana depositada em mim e
no meu trabalho, pelo incentivo, pacincia, apoio e pela orientao
deste trabalho.
ASimone,pelocarinho,pelaeternapacinciaepelacompreenso
incondicionais. Aos scios da Top Digital, pelo apoio epela pacincia
em relaos ausncias devido aos estudos, trabalhos e cansao.Aos
membros do GAPTEM, Danielle, Arnaldo, Ramon, Rafael pelo incentivo
e pelo apoio.Ao Jlio, pela ajuda no programa FDTD. iv RESUMO
Estetrabalhoapresentaodesenvolvimentoeaimplementaodeuma metodologia
baseada no Mtodo das Diferenas Finitas no Domnio do Tempo (FDTD),
quepermiteanalisareestudarocomportamentodeantenasmicrofitaemvrias
direes, atravs da transformao do campo prximo para o campo
distante.O processo inicia-se com a modificao do algoritmo
desenvolvido por Silva, de modo a obter os campos eltricos e
magnticos tangenciais em uma superfciefechada
nodomniodotempo,aplicandooTeoremadaSuperfcieEquivalentee,quando
necessrio, feita a reduo do plano terra da antena. Os campos
distantes so obtidos a
partirdocampoprximo,utilizandooMtododaDecomposiodaSuperfcieem
Multinveis(MSD),implementadoemFORTRAN.Emseguida,osdiagramasde
irradiao de antenas impressas so gerados no ambiente MATLAB. Para
poder validar a metodologia proposta, foi necessrio gerar os
diagramas de irradiao para o domnio
dafreqncia,umavezqueosresultadosnodomniodafreqnciaenodomniodo tempo
podem ser comparados com uma soluo de referncia que se baseia no
mtodo da cavidade, implementada no ambiente
MATLAB.Almdisso,foidesenvolvidoumcdigonoambienteMATLABpara
determinaoda perda deretorno dasantenasimpressas,com
oclculoevisualizao do parmetro de espalhamento ou perda de retorno,
aplicando o mtodo de expanso de momentos de sinais temporais.
Palavras-chave:Mtodo das Diferenas Finitas no Domnio do Tempo,
Antenas Microfita, Diagrama de Irradiao, Parmetro de Espalhamento v
ABSTRACTThisworkpresentsamethodologybasedonFinite-DifferenceTime-Domain
Method(FDTD)whichallowsanalyzingandstudyingaboutmicrostripantennas
behavior in many directions by near-field to far-field transforms.
ThisprocessmodifyanalgorithmdevelopedbySilvainordertoobtain
tangentialelectricandmagneticfieldstoclosedsurfaceintimedomain,byapplying
Surface Equivalence Theorem and, if necessary, reducing ground
plane of antenna.
Far-fieldsareobtainedfromnear-field,usingMultilevelSurfaceDecompositionMethod
(MSD),withcodedevelopedinFORTRANandprintedantennasradiationdiagrams
aregeneratedinMATLAB.Aformofvalidationtothismethodologywasgenerating
irradiationdiagramstofrequencydomain,sincefrequency/timedomainscanbe
comparedwithareferencesolutionbasedontheCavityMethod,whichcodewas
developed in MATLAB environment.
Besidesofthis,itwasdevelopedacodeinMATLABtodetermineprinted
antennas return loss, in order to calculate and to visualize
scattering parameter or return loss using Moment-Expansion
Deconvolution Method.
Keywords:finite-differencetime-domainmethod,microstripanntena,radiation
diagram, scattering parameter vi SUMRIO 1.
INTRODUO.......................................................................................................
1 1.1.
Problema..........................................................................................................
2 1.2. Objetivos
..........................................................................................................
2 1.3.
Metodologia......................................................................................................
3 1.4. Organizao do
texto.......................................................................................
5 2. ANLISE DE ANTENAS IMPRESSA:
FDTD/WP-PML.................................... 6 2.1.
Introduo........................................................................................................
6 2.2. Campos e
correntes..........................................................................................
7 2.3. Condies de Contorno Absorventes
............................................................ 11
2.3.1.
WP-PML................................................................................................
11 2.4. Critrio de Estabilidade Numrica
............................................................... 15
2.5. Matriz de Espalhamento
...............................................................................
15 2.5.1. Parmetro S11 utilizando Transformada de
Fourier.............................. 17 2.5.2. Parmetro S11 atravs
da Expanso de Momentos ................................ 18 2.6.
Campos distantes no domnio da freqncia
................................................ 20 2.6.1.
Transformao dos campos do domnio do tempo para o domnio da
frequncia
.......................................................................................................
21 2.6.2. Transformao do campo prximo em campos distantes
...................... 21 2.6.3. Teorema da superfcie equivalente
........................................................ 22 2.7.
Diagrama de
irradiao.................................................................................
26 2.8. Concluses
parciais........................................................................................
26 3. MTODO DE CLCULO DO CAMPO DISTANTE NO DOMNIO DO
TEMPO.....................................................................................................................
27 3.1.
Introduo......................................................................................................
27 3.2. Algoritmo para o clculo do campo distante no domnio do
tempo............. 27 3.3. Mtodo da Decomposio da superfcie em
multinveis (Multilevel Surface Decomposition Scheme MSD)
...........................................................................
30 3.3.1. Decomposio do eixo do
tempo............................................................
31 3.3.2. Decomposio multinveis hierrquica da superfcie
S......................... 32 3.3.3. Clculo direto dos modelos de
radiao dos subdomnios ..................... 33 3.4. Estudo de
Caso...............................................................................................
34 3.4.1. Antena de microfita circular utilizando o FDTD no domnio
do tempo 34 3.4.2. Antena de microfita retangular utilizando o FDTD
no domnio do
tempo........................................................................................................................
39 3.4.3. Antena de microfita retangular para UWB utilizando o FDTD
no domnio do
tempo............................................................................................
44 3.5. Concluses
parciais........................................................................................
48 4.
CONCLUSO.......................................................................................................
50 4.1. Concluses e Contribuies do
Trabalho...................................................... 50
4.2. Trabalhos futuros
..........................................................................................
51 vii REFERNCIAS
BIBLIOGRFICAS.....................................................................
53 APNDICE A -SOLUO DE REFERNCIA: MTODO DA CAVIDADE.... 56 A.1
Introduo......................................................................................................
56 A.2 Clculo dos
Campos.......................................................................................
56 A.3 Potncia irradiada
.........................................................................................
60 viii LISTA DE FIGURAS Figura 1.1: Viso Metodolgica
....................................................................................
4 Figura 2.1: Elementos bsicos da grade do
FDTD......................................................... 7
Figura 2.2:Exemplificao de circuito com N portas com as ondas
incidentes e espalhadas [20]
...........................................................................................................
16 Figura 2.3: Passos para o Teorema da Equivalncia [11]
............................................. 22 Figura 3.1:
Algoritmo para transformao dos campos prximos para campos distantes
no domnio do tempo
..................................................................................................
29 Figura 3.2: a) Antena dentro da superfcie fechada S circunscrita
pela esfera de raio Ra
b) Amostragem e decomposio em
multinveis..........................................................
32 Figura 3.3: Patch Circular.
..........................................................................................
35 Figura 3.4: Comparao dos parmetros de espalhamento 11S
..................................... 36 Figura 3.5: Diagrama do
campo eltrico para o patch circular no plano = 0 comparando o mtodo
do FDTD no domnio da freqncia, o FDTD-MSD no domnio do tempo e o
modelo de referncia (mtodo da
Cavidade)........................................... 37 Figura 3.6:
Diagrama do campo eltrico para o patch circular no plano = 90
comparando o mtodo do FDTD no domnio da freqncia, o FDTD-MSD no
domnio do tempo e o modelo de referncia (mtodo da
Cavidade)........................................... 38 Figura 3.7:
Patch retangular.
.......................................................................................
39 Figura 3.8: Comparao dos parmetros de espalhamento 11S
..................................... 40 Figura 3.9: Diagrama do
campo eltrico para o patch retangular no plano = 0 comparando o
mtodo do FDTD no domnio da freqncia, o FDTD-MSD no domnio do tempo
e o modelo de referncia (mtodo da
Cavidade)........................................... 42 Figura
3.10: Diagrama do campo eltrico para o patch retangular no plano =
90 comparando o mtodo do FDTD no domnio da freqncia, o FDTD-MSD no
domnio do tempo e o modelo de referncia (mtodo da
Cavidade)........................................... 43 Figura
3.11: Geometria da antena patch retangular
UWB............................................ 45 Figura 3.12:
Comparao dos parmetros de espalhamento 11S
................................... 46 Figura 3.13: Diagrama do
campo eltrico para o patch retangular UWB no plano = 0 comparando o
mtodo do FDTD no domnio da freqncia e o FDTD-MSD no domnio do
tempo.....................................................................................................................
47 ix Figura 3.14: Diagrama do campo eltrico para o patch
retangular UWB no plano =90 comparando o mtodo do FDTD no domnio da
freqncia e o FDTD-MSD no domnio do
tempo.....................................................................................................................
48 Figura A1.1: Microstrip patch antenna
........................................................................
57 Figura A1.2: Geometria de uma antena microstrip retangular
...................................... 59 x LISTA DE SIGLAS CPU
Central Processing Unit DFT Discrete Fourier Transform FDTD Finite
Difference Time DomainFITD Finite Integration Time Domain FVTD
Finite Volume Time Domain MOT Marching on in Time MSD Multilevel
Surface Decomposition PML Perfectly Matched Layer TMz Transverso
Magntico na direo do eixo z UWB Ultra Wide Band WP-PML Well Posed
Perfectly Matched Layer 1 1. INTRODUO A partir dos anos setenta,
com a possibilidade de osciloscpios de amostragem e
geradoresdepulsosconseguiremgerarintervalosdetemponafaixainferiora
nanosegundosedeserpossvelobterrespostastransientesderedesedemateriais
distribudos,arespostaimpulsionalestabeleceuumnovomodelopara
oentendimento
docomportamentodevriasredesesuasconexes,umavezquecadaconexogera uma
descontinuidade na rede que contribui com uma perda de retorno [1].
Os sistemas
lineareseinvariantesnotemposodescritosporsuarespostaimpulsionalquede
importncia central no estudo sobre antenas, no que diz respeito ao
dimensionamento e
anlise.Umentendimentodocomportamentodasantenasnodomniodotempo
entoimportante,porqueosprocessosnanaturezaemgeralnoseguempadres
senoidaisdecomportamentotemporal,comoimplcitonosmtodosnodomnioda
freqnciaqueutilizaarelaode t je e.Aanlisedasantenasnestetrabalhoest
baseadanosclculosdoscamposeltricosemagnticos,utilizandoomtododa
diferenasfinitasnodomniodotempo(FDTD),comoumaferramentaparaobteros
campos prximos e, atravs destes campos, extrada a resposta
impulsional e gerado o diagrama de irradiao da antena em estudo.
Em1988,Taflove[2]fezumarevisocompletadaformulaomatemticado
mtodonumricodasdiferenasfinitasnodomniodotempo(FDTD),desenvolvido
porYee(1966)[3],emostrouasdiversasaplicaesemproblemasenvolvendo
interaesdeondaseletromagnticas(circuitosdemicroondaseproblemasde
espalhamento).Em1990,SheeneAlimostraramquepossvelaplicaroFDTDpara
analisaraimpednciadeentradaeosparmetrosdeespalhamentoemsuperfcies
tridimensionaisdeantenasmicrofita[4].Em1991,LuebberseSchneiderforamos
primeirosemapresentaratransformao docampo prximo para ocampo
distanteno
domniodotempo[5].J2001,Gonalvesdesenvolveutcnicasassintticasque
permitiramanalisaroespalhamentodasondaseletromagnticaspelassuperfcies
condutorasdiretamentenodomniodotempo[6].Nessemesmoano,Belmutilizou
modelosbidimensionaisdecanaisderdioparaestudaradispersonumricaeseu
efeitoemumapropagaobidimensional[7].Em2006,Picanodesenvolveuuma
ferramenta,FDTDSTUDIO,paraanlisedeantenasnodomniodotempo.O 2
softwarepossuidiversasfuncionalidades,taiscomogeraodamalhaapartirde
objetosvetoriais,modelagemdefontes,implementaodascondiesdecontornoe
obteno dos diagramas de irradiao [8]. Mais tarde 2008, circuitos de
microfita foram analisados no domnio do tempo a partir de suas
respostas impulsionais e no domnio da
freqncia,paraobterosparmetrosdeespalhamento.Asanlisesforamrealizadas
utilizando a tcnica WP-PML da condio de contorno absorvente, que
permitiu avaliar as perdas nos circuitos [9]. Recentemente, em
2009, Shlivinski e Boag apresentaram um
algoritmootimizadoparaclculodatransformaodocampoprximoparaocampo
distante[10].Estealgoritmoreduziusignificativamenteotemponecessrioparafazer
essa transformao. Com base nesse algoritmo, foi proposta neste
trabalho uma soluo para o problema descrito a seguir. 1.1. Problema
Paraobterosparmetrosquedefinemascaractersticasdefuncionamentode
umaantena,utilizam-semaisosmtodosquetrabalhamnodomniodafreqncia.A
anlise feita por esses mtodos obtida, porm, para uma freqncia
especfica. Caso a anlise sejarealizadapara
umafaixadefreqncias,essemtodoserutilizadovrias vezes,ouseja,
paracadafreqnciaserrealizadaumaanliseeo resultadofinalser
obtidoatravsdainterpolaodecada um
doscomponentesdefreqnciacalculados. Nessecaso,
ocustocomputacional(CPU)aumentaconsideravelmentecom oaumento da
largura de banda. Uma opo para reduzir o custo computacional,
segundo os trabalhos abordados
naseoanterior,seriaousodemtodosquetrabalhamnodomniodotempo,mais
especificamenteoFDTD,poiselespermitemgerarumasoluodiretasemdiversas
iteraes, como no caso do mtodo no domnio da freqncia. 1.2.
Objetivos O principal objetivo deste trabalho foi o desenvolvimento
e a implementao de
umametodologiaqueutilizaomtododoFDTDparaanalisarocomportamentode
antenas emvrias direes, atravs da transformao do campo prximo para
o campo 3 distante,utilizandoafuno deGreenpara oespaolivre[11].Com
basenoscampos
distantesobtidos,sogeradososdiagramasdeirradiaoeparavalidaromtodo
desenvolvido, realizada uma anlise no domnio da freqncia, tendo em
vista que ao excitarumaantenacom umimpulsoidealno domnio
dotempo(porexemplo,funo
DeltadeDirac),ocampoirradiadoasuarespostatransiente.Nodomnioda
freqncia, esseimpulso est vinculado a uma faixa de freqncias, ou
seja, ao excitar
umaantenanodomniodotempocomesseimpulsoobtmoequivalenteaexcitara
antenanodomniodafreqnciaemrelaoatodososseuscomponentesespectrais.
Por isso, torna-se vivel a comparao dos resultados obtidos. Outro
objetivo tambm a
seralcanadoageraodoparmetrodeespalhamentoS11,aplicandoomtodode
expanso de momentos de sinais temporais [12]. 1.3. Metodologia
Otrabalhoiniciadoapartirdadiscretizaodaantenaedomapeamentodos
parmetrosdeentrada:tamanhodamalha,tempodeexecuo,localizaofsicada
antena dentro da malha, intervalos de tempo, variao espacial,
permissividade eltrica do substrato, permissividade eltrica do ar,
condutividade do meio que envolve a antena
econdutividadedocondutoreltrico[Figura1.1a,1.1b].Apartirdasinformaes
mapeadas, o algoritmo utilizado por Silva [9]foialterado para a
obteno dos campos
eltricosemagnticostangenciaisemumasuperfciefechadanodomniodotempo
[Figura1.1c],aplicandooTeorema
daSuperfcieEquivalente[13]etambmquando necessrio,paraareduodo
planoterradaantena.Emseguida,foidesenvolvido um
algoritmonoambienteMATLAB,paraconverteroscampostangenciais(campos
prximos) no domnio do tempo para o domnio da freqncia, gerando um
arquivo com
osresultadosobtidos[Figura1.1d].Apartirdessescampostangenciais,foi
implementadoumcdigoemFORTRANnoambienteVisualStudio,paracalcularas
correntesefazeratransformadadocampoprximoparaocampodistanteemum
determinado plano de observao [ Figura 1.1e]. Finalmente, os
diagramas de irradiao
nodomniodafreqnciaforamgeradosnoambienteMATLAB,apartirdosdados
obtidos no passo anterior [ Figura 1.1f].A abordagem da anlise no
domnio do tempo
foirealizadaapartirdosdadosgeradosatravsdoalgoritmomodificadodeSilva
(2008).Emseguida,oscamposdistantesforamobtidosapartirdocampoprximo,
utilizandoomtododadecomposiodasuperfcieemmultinveis(MSD),quefoi 4
implementadoemFORTRAN.Ento,osdiagramasdeirradiaoforamgeradosno
ambienteMATLAB,apartirdosresultadosobtidosnopassoanterior[Figura1.1c,
1.1g,1.1f].Umavezgeradososdiagramasdeirradiaoporambososmtodos(no
domniodafreqnciaenodomniodotempo),elesforamcomparadoscomuma soluo
de referncia que se baseia no mtodo da cavidadeimplementada no
ambiente MATLAB.
OparmetrodeespalhamentoS11foigeradoapartirdosdadosobtidospelo
algoritmomodificadodeSilva[9].Nestaetapa,duasabordagensforamrealizadas.A
primeirafoifeitaatravsdatransformadadeFourier[14]easegunda,atravsdo
mtododeexpansodemomentosdesinaistemporais[12,15],sendoqueambasas
abordagens foram implementadas no ambiente MATLAB [ Figura 1.1h,
1.1i]. Figura 1.1: Viso Metodolgica
Paravalidarosresultados,necessrioutilizarmodelosderefernciada
literatura.Emrelaoaoestudo decaso
propostonestetrabalho,acomparaofeita
comomodelodacavidadeaplicadonospatchesretangularecircular,quepossuem
resultadosutilizadoscomoreferncianaliteratura.Omodelomatemticodessas
referncias apresentado no Apndice A. 5 1.4. Organizao do texto
Opresentetextoestorganizadocomo descritoaseguir.NoCaptulo 2,faz-se
umadescriodaformulaomatemticautilizadanaimplementaocomputacional
desenvolvida,descrevendoomtododasdiferenasfinitasnodomniodotempo,o
conceitodecamposecorrentes,ascondiesdecontornoapropriadasparaobteruma
superfcieabsorvente(mtodoWP-PML),aescolhadotamanhodamalhaparaqueo
campoeletromagnticonovariesignificativamente,aobtenodoscamposno
domniodafreqncia,atransformaodoscamposprximosemcamposdistantes
utilizando o teorema da superfcie equivalente para o domnio da
freqncia, a obteno do diagrama de irradiao para o domnio da
freqncia e o estudo de caso comparando os resultados com a soluo de
referncia utilizando o mtodo da cavidade. O Captulo
3abordaumnovoalgoritmoqueutilizaadecomposiodasuperfcieemmultinveis
(MSD) para o clculo do campo distante no domnio do tempo e utiliza
o FDTD para o
clculodocampoprximo,ageraodamatrizdeespalhamentoeaobtenodo
parmetroS11(nodomniodafreqncia,utilizaatransformadadeFouriereno
domnio do tempo, utiliza o mtodo da expanso de momentos),gerando os
resultados para uma antena microfita circular, retangular e para um
modelo de antena utilizada em
UWB.OCaptulo4apresentaaconclusodestetrabalhoesugestesdetrabalhos
futuros para continuidade da soluo proposta neste trabalho. 6 2.
ANLISE DE ANTENAS IMPRESSA: FDTD/WP-PML 2.1. Introduo
AsequaesdiferenciaisparciaisdeMaxwellrepresentamumaunificaodo campo
eltrico e do campo magntico. Modelos numricos precisos para toda
interao
dovetordaondaeletromagnticacomasestruturasarbitrriassodifceisdeserem
modelados.EstruturastpicasdeinteressedaEngenhariatmformas,aberturas,
cavidades e composies de materiais ou superfcies complicadas, o que
produz campos prximos que no podem ser resolvidos em modos finitos
ou pela teoria de raios [2]. O FDTD uma soluo direta das equaes
rotacionais de Mawell dependentes
dotempo,ondenosoaplicadososvetorespotenciaisparasolucion-las.OFDTD
utilizaaaproximaodadiferenacentraldesegundaordemparaasderivadasdo
espaoedotempodoscamposeltricosemagnticosdiretamentecomooperador
diferencialdasequaesvetoriais.Arealizaodestaaproximaogerauma
amostragem de dados, reduzindo assim o campo eletromagntico contnuo
dentro de um volume fictcio de espao sob um perodo de tempo.Oespaoe
otemposo discretizados detalformaaevitarerrosnascondies
decontornodoprocessodeamostragemetambmparaasseguraraestabilidade
numrica do algoritmo. As componentes de campo eltrico e magntico so
intercaladas
noespaoparapermitirasatisfaonaturaldacondiodecontinuidadedocampo
tangencial das interfaces do meio, no qual a antena se encontra. O
FDTD simula a onda real e contnua no tempo. A cada intervalo de
tempo, o sistema de equaes que atualiza
ascomponentesdecampostotalmenteexplcito,noexistindoanecessidadede
arranjarouresolverumconjuntodeequaeslineares,oquerequereriamaior
armazenamentoduranteotempodesimulao,sendoesseproporcionalaotamanho
eltrico do volume modelado. 7 Figura 2.1: Elementos bsicos da grade
do FDTD Aformadecomofeitaadiscretizaoespacialpodeserexemplificadana
Figura2.1,ondeobserva-seasposiesdascomponentesdocampoeltricoe
magnticosobreaunidadedecluladagradedasuperfciediscretizada,conhecida
comocubodeYeedoFDTDemcoordenadascartesianas.Cadavetordocampo
magntico rodeado por quatro componentes do vetor campo eltrico e
vice-versa. Este arranjo permite no somente uma diferena centrada
para as derivadas do espao e das
equaesrotacionais,comotambmumageometrianaturalparaaimplementaoda
forma integral da Lei de Faraday e da Lei de Ampre [13] no nvel do
espao da clula. 2.2. Campos e correntes As equaes diferenciais
parciais de Maxwell para um meio isotrpico so: ( )( ) 0 ,,= V +cct
r Ett r B ,(2.1) (2.1) ( )( ) ( ) t r J t r Htt r D, ,, = V
cc,(2.2) (2.2) ( ) ( ) t r H t r B , , = ,(2.3) (2.3) ( ) ( ) t r E
t r D , ,c = ,(2.4) 8 (2.4) onde( ) t r J ,, e so dados em funo do
tempo e do espao.
Emcoordenadasretangulares,asequaes(2.1)e(2.2)soequivalentess
seguintes equaes escalares: ( ) ( )( )zt r Eyt r Ett r Byz
xcccc=cc,, , ,(2.5) (2.5) ( )( ) ( )xt r Ezt r Ett r Bz xycccc=cc,
,, ,(2.6) (2.6) ( ) ( )( )xt r Eyt r Ett r Byx zcccc=cc,, , ,(2.7)
(2.7) ( ) ( )( )( ) t r Jzt r Hyt r Htt r Dxyz x,,, , cccc=cc,(2.8)
(2.8) ( )( ) ( )( ) t r Jxt r Hzt r Htt r Dyz xy,, ,, cccc=cc,(2.9)
(2.9) ( )( )( )( ) t r Jyt r Hxt r Htt r Dzxyz,,,, cccc=cc.(2.10)
(2.10) Conforme a Figura 2.1, uma unidade da malha discretizada
representada por: ( ) ( ) z k y j x i F k j i F A A A = , , , ,
,(2.11) (2.11) e, em funo do tempo, obtm-se: ( ) ( ) t n z k y j x
i F t k j i FnA A A A = , , , , , , ,(2.12) (2.12) Aplicando a
diferena finita e o conceito da equao (2.12) para as equaes de
(2.5) a (2.10), obtm-se: 9 ,21, ,21, 1 ,,21, 1
,21,21,21,21,21,2121yk j i E k j i Ezk j i E k j i Etk j i B k j i
BnznznynynxnxA|.|
\|+ |.|
\|+ +A|.|
\|+ |.|
\|+ +=A|.|
\|+ + |.|
\|+ + + (2.13) (2.13) ,, ,211 , ,2121, ,21, , 121, ,2121,
,212121zk j i E k j i Exk j i E k j i Etk j i B k j i
BnxnxnznznynyA|.|
\| + |.|
\|+ +A|.|
\|+ |.|
\|+ +=A|.|
\|+ + |.|
\|+ + + (2.14) (2.14)
,,21, ,21, 1, ,21, 1 ,21,21,21,21,212121xk j i E k j i Eyk j i E
k j i Etk j i B k j i BnynynxnxnznzA|.|
\|+ |.|
\|+ +A|.|
\| + |.|
\|+ +=A|.|
\|+ + |.|
\|+ + + (2.15) (2.15) |.|
\| + +A|.|
\| + |.|
\|+ +A|.|
\| + |.|
\|+ +=A|.|
\| + |.|
\| + k j i Jzk j i H k j i Hyk j i H k j i Htk j i D k j i
Dnxnynynznznxnx, ,2121, ,2121, ,21,21,21,21,21, ,21,
,2121212121211, (2.16) (2.16)
|.|
\|+ +A|.|
\|+ |.|
\|+ +A|.|
\| + |.|
\|+ +=A|.|
\|+ |.|
\|+ k j i Jxk j i H k j i Hzk j i H k j i Htk j i D k j i
Dnynznznxnxnyny,21,,21,21,21,2121,21,21,21, ,21, ,21,21212121211,
(2.17) (2.17) 10 |.|
\|+ +A|.|
\|+ |.|
\|+ +A|.|
\|+ |.|
\|+ +=A|.|
\|+ |.|
\|+ 21, ,21,21,21,21,21, ,2121, ,2121, ,21, ,21212121211k j i
Jyk j i H k j i Hxk j i H k j i Htk j i D k j i Dnznxnxnynynznz,
(2.18) (2.18) Para obter os campos eltrico( ) t r E , e magntico(
), , t r H as equaes (2.3) e (2.4) so
substitudasnasequaes(2.13)a(2.18).Aseguir,demonstradocomoessa
substituioocorreparaumadascomponentesdocampoeltrico,sendooprocessoo
mesmo para as demais componentes. (((|.|
\| + +A|.|
\| + |.|
\|+ +
A|.|
\| + |.|
\|+ +=A|.|
\| + |.|
\| + k j i Jzk j i H k j i Hyk j i H k j i Htk j i E k j i
Enxnynynznznxnx, ,2121, ,2121, ,21,21,21,21,211, ,21,
,2121212121211c, (2.19) (2.19) onde as componentes do campo
magntico nos intervalos de tempo mltiplos de2 1
nnoserodeterminadaspeloalgoritmodoFDTD,pois,noalgoritmo,ointervalode
temponutilizadomltiplodenmerosinteiros,ouseja,nt.Porisso,uma
aproximaoparaqueoscampospossamsercalculadosnesseintervalodetempo 2
1 n utilizada, conforme a equao a seguir: 2,21,21,21,21,21,21121
|.|
\|+ + |.|
\|+ += |.|
\|+ +k j i H k j i Hk j i Hnznznz. (2.20) (2.20) 11 2.3. Condies
de Contorno Absorventes
Diversastcnicastmsidoutilizadasaolongodosanospararesolver
numericamenteproblemasdepropagaodeondasparaumdomnioilimitado.Estas
tcnicassobaseadasnotruncamentododomnioinfinito,utilizandoumlimitepr-estabelecidoparadefinirumdomniocomputacionalfinito.Porm,aimposiodesse
limitegerareflexesquedevemserminimizadasatravsdousodecondiesde
contorno especiais na fronteira, chamadas de condies absorventes.
QuandoatcnicadecamadaabsorventeparaoFDTDbaseadaemuma
separaofsicadoscamposcomeouaser usada,elafoichamadadePML(Camadas
Perfeitamente Casadas) [16]. A partir da utilizao do conceito de
continuidade analtica de coordenadas proposto por Chew [17],
diferentes tipos de aplicaes para propagao em diferentes meios
foram viabilizados. Para aplicaes envolvendo meios com perdas,
perturbaes podem facilmente tornar o algoritmo instvele, por esse
motivo, houve a
necessidadedeproporummtodocapazdeabsorver,semreflexes,ondasesprias
geradasporreflexesindesejadas.Assim,FaneLiu[18]propuseramumnovo
algoritmoqueutilizaoconceitodecontinuidadeanalticadascoordenadas,oqual
chamaramdecamadadeabsorobemestabelecida(WP-PML).Essealgoritmoser
utilizadonoestudodecasoparaobteroclculodoscamposeltricoemagnticonas
camadas absorventes. 2.3.1. WP-PML
OmtodoWP-PMLutilizaaaplicaodoconceitodecontinuidadeanaltica para as
coordenadas espaciaisdas equaes fasoriaisde Maxwell,sendo a mudana
de mtrica demonstrada por Silva [12] nas equaes a seguir: ( )x
axc((
cee x jxx, (2.21) (2.21)
( )y ayc((
cee y jyy,(2.22) (2.22) 12 ( )z azc((
cee z jzz, (2.23) (2.23) onde xa , ya e za
socoeficientesdeescalonamento, xe , ye e ze socoeficientesde
atenuaoeconsidera-seumadependnciatemporaldoscamposnaforma t je e.A
seguir, o mtodo apresentado para o caso tridimensional, onde o
processo se inicia a partir das equaes de Maxwell no domnio da
freqncia e do conceito de continuidade analtica das coordenadas
expressasnas equaes (2.21) a (2.23), em relao aos quais se obtm o
conjunto de equaes dos campos eltricos e magnticos descritos
aseguir [9]: ) 1 (~~-~ 1 ~x xz xy x yzxyz xH HzEyEtH| | e ||.|
\|cccc =cc, (2.24) (2.24) ) 1 (~~-~ 1 ~y yz yx y xzyz xyH
HxEyEtH| | e ||.|
\|cccc =cc, (2.25) (2.25) ) 1 (~~-~ 1 ~z zy zx z xyzxyzH
HyExEtH| | e ||.|
\|cccc =cc, (2.26)(2.26) ) 1 () 2 ( ~ ~-~ 1
~x xz xy yzxxz y x yzxyz xEE EzHyHtE((
+ |.|
\|+ ||.|
\|cccc=cc| | ecoe ecoecoc, (2.27)(2.27) ) 1 () 2 ( ~ ~-~ 1
~y yz yx xzyy z x y xzyz xyEE ExHzHtE((
+ |.|
\|+ ||.|
\|cccc=cc| | ecoe ecoecoc, (2.28) (2.28) 13 ) 1 () 2 ( ~ ~-~
1
~z zy zx xyzz y x z xyzxyzEE EyHxHtE((
+ |.|
\|+ ||.|
\|cccc=cc| | ecoe ecoecoc, (2.29) (2.29)
logo,oscamposfasoriaseltricosemagnticospodemserdescritosconformeas
equaes a seguir: ) 1 (~E E E + = e , (2.30)(2.30) ) 1 (~H H H + = e
, (2.31)(2.31) ( ) ( ) ( ) | | z y xz y xe e e e , , Diag = ,
(2.32) (2.32) com ) 1 (Ee ) 1 (Hdefinidos como: ) 1 () 1 (~H HtH e
=cc,(2.33)(2.33) ) 1 () 1 (~E EtE e =cc,(2.34)(2.34) ) 1 () 2
(EtE=cc,(2.35)(2.35) z y x xyze e e e + + = , (2.36) (2.36) n m mne
e | = , (2.37) (2.37) onde (m= x, y ou z) , (n = x, y ou z) e m n.
14 Apartirdasequaesdescritasacimaparaoclculodoscamposdacamada
absorventeutilizandoWP-PML,Silva[12]apresentouumaformulaoparaas
equaesnodomniodotempoatravsdomtododoFDTD,ondeasderivadas temporais
e espaciais do sistema de equaes (2.24) a (2.29) foram
discretizadas, de tal
formaqueasdiferenasfinitasdasderivadasseguiramosmtodosutilizadosporYee
[3].Destemodo,asexignciasdeestabilidadee
dispersonumricassoatendidas.A
seguir,soapresentadasasequaesparaoscamposeletromagnticosdassuas
componentes na direo x, sendo que para as componentes nas demais
direes a forma de clculo similar. A equao do clculo do campo
magntico apresentada a seguir: ( )nxanxabnxa anxHCt tHCCEtC Ct
tH||.|
\| AA ++||.|
\| +((
VA =||.|
\| AA++e|e e|e~2 2~1~11~2 2~11 , (2.38) (2.38) ondee| e~2 2~1t
tCaA+A+ =,(2.39) (2.39) e| e~2 2~1t tCbAA =,(2.40) (2.40) z y xe e
e e =~, (2.41) (2.41) e a equao do campo eltrico dada por: nxde
nxde nxEtCC tEtCC tE||.|
\| A+A + =||.|
\| A++A++ +2 1 2~12 1 2~11 1e e, (2.42) (2.42) onde ( )( ) (
)nxde nxdz y c nxddnxdnxECCECCECCHtCE1 2 1121~11111++||.|
\|++ VA+=+e ec,(2.43) (2.43) co tCcA=,(2.44) (2.44) 15 2yzx cdt
CCe A +=,(2.45) (2.45) 2 4xz xy yzx cz y c et CtC C| | ee eA
++A=.(2.46) (2.46) 2.4. Critrio de Estabilidade Numrica
NaSeo2.2,oscamposeltricoemagnticoforamcalculadosapartirdas equaes
diferenciaisdeMaxwell,sendo utilizadasasequaesfasoriaisdaSeo 2.3
paracalcularoscamposnascamadasabsorventes.Adiscretizaoconsideradano
tamanhodosespaosdasclulasnasmalhasdevesercalculada,demodoano
apresentarinstabilidadenumrica,ouseja,oespao
dotamanhodacluladevesertal
quesobrecadaincrementoespacialocampoeletromagnticonovarie
significativamente.Paragerarestabilidadecomputacional,necessriosatisfazera
relao entre o incremento de espao e o incremento de tempo t. A
dimenso linear da malha deve ser somente uma frao do comprimento de
onda, segundo [19]: t t cz y xA = A >A+A+Ac11 1 112 2 2, (2.47)
(2.47) onde c a velocidade da luz ou a velocidade mxima na regio de
estudo. 2.5. Matriz de Espalhamento Para o domnio do tempo em
circuitos de microondas, asgrandezas que podem
serdiretamentemensurveissoataxadeondaestacionria,aposiode ummnimo
dodiagramadaondaestacionriadocampoeltricoeapotncia.Asduasprimeiras
grandezas conduzem diretamente ao conhecimento do coeficiente de
reflexo. A medida de potncia ser necessria somente no caso de se
desejar o valor absoluto do campo no
dispositivoemanlise.Outroparmetroquediretamentemensurvelocoeficiente
detransmissoatravsdeumcircuitooujuno.Estagrandezaumamedidade 16
amplitudeefasedaondatransmitidaemrelaoamplitudeefasedeumaonda
incidente. Asgrandezas que podem ser diretamente mensurveis so as
amplitudes e a
fasedaondaincidente,sendoquenamaiorpartedosdispositivosdemicroondas,as
amplitudes das ondas espalhadas so linearmente relacionadas s
amplitudes das ondas incidentes. Assim, a matriz que descreve esta
relao linear definida como matriz de espalhamento [20]. Figura
2.2:Exemplificao de circuito com N portas com as ondas incidentes e
espalhadas [20] Ao considerar o modelo de circuito da Figura 2.2,
se uma onda com uma tenso equivalenteassociada +1V
incidirsobreajunonoplanoterminal 1t ,umaonda refletida +=1 1 11V V
Sser produzida na linha 1, onde S11 o coeficiente de reflexo ou
coeficientedeespalhamentoparaalinha1comumaondaincidentenessalinha.As
ondasserotambmtransmitidasouespalhadasparaforadasoutrasjunesetero
amplitudesproporcionaisa +1V .Estasamplitudespodemserexpressascomo
+ =1 1V S Vn n, onde n=2,3....N, e Sn1 o coeficiente de transmisso
da linha 1 para a linha n. Quando as ondas so incidentes em todas
as linhas, a onda espalhada em cada linha 17
contmcontribuiesdetodasasoutraslinhasedetodasasondasincidentessobrea
juno, inclusive a onda incidente da prpria linha. Essas relaes so
representadas na equao matricial a seguir:
((((((
(((((
=((((((
+++N NN N N NNNNVVVS S S SS S S SS S S SVVV. . .. . .. . . . . .
. . . . . . . . .. . .. . .. . .213 2 12 23 22 211 13 12
1121,(2.48) (2.48) | | | || |+ = V S V .(2.49) (2.49)
Aoseempregaramatrizdeespalhamentoparadescreverumajuno, conveniente
escolher todas as tenses equivalentes, de modo que a potncia
transmitida sejadadapor 221+nV
paratodososvaloresden.Istocorrespondeafazertodasas impedncias
caractersticas equivalentes iguais a uma unidade. A razo principal
de tal
normalizaoresidenavantagemdeseobtersimetrianamatrizdeespalhamentopara
estruturas recprocas. Se esta normalizao no for usada por causa de
diferentes nveis de impedncia em diferentes linhas, a matriz de
espalhamento no ser simtrica [20].
Nasseesanteriores,foramapresentadososmtodosimplementadosno programa
desenvolvido neste trabalho para o clculo dos campos eltrico e
magntico, conforme foi apresentado naFigura 1.1c. O prximo passo o
clculo do parmetro de espalhamento S11, um dos componentes da
matriz de espalhamento que foi mencionada naFigura 1.1h e 1.1i.
2.5.1. Parmetro S11 utilizando Transformada de Fourier No uso
domtodoFDTD,asimulaocalculaasoma da ondaincidente) (t Vk com a onda
refletida) (t Vj[4]. Ento, a onda incidente obtida atravs da
subtrao do
resultadodasimulaopelaondarefletida.necessriooconhecimentoprviodos
valoresdessasondasparaoclculodoparmetroS11(),poisnota-sequeexisteuma
dependnciadeleemrelaofreqncia,ou seja,S11 =S11().Oseuvalor podeser
obtido pelaTransformada deFourier da ondaincidentesobrea onda
refletida(Figura 1.1h), apresentado a seguir: 18 { }{ } ) () () (t
V Ft V FSkjjk= e . (2.50) (2.50) 2.5.2. Parmetro S11 atravs da
Expanso de Momentos
Arespostaimpulsionaldeantenasemmicrofitapodeserobtidaapartirda
inverso de Fourier em um processo de deconvoluo, conforme
apresentado na Seo
2.5.1.Porm,esteprocessomenoseficientenumericamentepelasaproximaesda
inversodeFouriercalculada doque o processo queutilizao
mtododeexpansode momentos desinaistemporais,oqualutilizadoemuma
respostatemporaldaantena emestudo[12].Paraumcircuitocomumaexcitao)
(t xm,sendoesseumpulso Gaussiano na porta m, a resposta a ele
associado em uma porta n com um sinal de sada ) (t ym est
representada na relao a seguir: }- = =tm n m m n m nt x t h d x t h
t y0) ( ) ( ) ( ) ( ) ( t t t ,(2.51) (2.51) onde) (t hn
marespostaimpulsionalentreasportasmen,conformeaequaoa seguir:
()()((
=eemnn mXYF t h1) ( , (2.52) (2.52) onde F-1 a transformada
inversa de Fourier,() emXe() enYso as transformadas de Fourier dos
sinais de entrada) (t xm e de sada) (t ym, respectivamente. O Mtodo
da Expanso de Momentos aplicado quando o sinalde entrada tem
umaduraopequenasecomparadoaosinaldesada,comoporexemplo,opulso
Gaussiano. A seguinte expanso de potncias de (-j) considerada [15]:
()( )= ~Nt jmjae X0!10eee, (2.53) (2.53) 19
sendoqueoscoeficientesdedeconvoluo{a }podemserobtidosdeacordocomo
procedimentodecasamentodemomentosrealizadoatravsdaexpansodeTaylorde
()0t jme Xee , com os momentos {ku } sendo dados por: }+ =||.|
\|= = ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) () (000pmp p kkpmkkX j tpkdt t x t t u
, (2.54) (2.54) cujoscoeficientes{a
}soobtidosseparadamenteemrelaoaosmomentos{ku }e truncados para cada
potncia de : 0 1 ) (!) (!0 0= ((
((
= =Nkk kNjkujae e , (2.55) (2.55) sendo que o parmetro de
deslocamento 0t definido como: ) 0 () 0 () 1 () 2 (0XXj t= .(2.56)
(2.56) Logo, a resposta impulsional pode ser escrita como [15]: )
(!) (0021100t t yt ddkad a t hnt tNkkkkn m+(((
+ ~}+=t .(2.57) (2.57)
NaaplicaoenvolvendoFDTD,osoperadoresdiferenciaisdaequao(2.57) so
aproximados pelo Mtodo das Diferenas Centrais e por uma aproximao
de quarta
ordem(N=4).Logo,arespostaimpulsionalparaumtempodiscretizadonaforma
t n t A = , ondet A o intervalo de tempo utilizado no clculo dos
campos, a seguinte [12]: 20 | || |), (4) 1 ( ) 1 (6 2) 2 ( ) 2 (24)
(0442200 044220 044n n ytataan n y n n ytatan n y n n ytan hnn nn n
mn+||.|
\|A+A ++ + + +||.|
\|AA++ + + +A= (2.58) (2.58) onde os parmetros 0a , 2a , 4ae
0nso [12]: Tat 210 = , (2.59) (2.59) 20 2T a a = ,(2.60) (2.60) 40
43 T a a = ,(2.61) (2.61) 0n = inteiro |.|
\|Att0,(2.62) (2.62) sendo T o perodo de durao do pulso
Gaussiano representado na equao a seguir: ( )||.|
\|=222) (TtGe t xt. (2.63) (2.63) 2.6. Campos distantes no
domnio da freqncia OmtodoFDTD utilizado para oclculo doscampos
prximosdaantenade
microfita.Comsuautilizao,foramobtidososresultadosdoscamposeltricose
magnticosnodomniodotempo.Porm,pararealizaratransformaodocampo
prximo para o campo distante, necessria a transformao dos
resultados dos campos que esto no domnio do tempo para o domnio da
freqncia.21 2.6.1. Transformao dos campos do domnio do tempo para o
domnio da frequncia
Oscamposnodomniodafreqnciapodemsercalculadosapartirda transformao
dos campos obtidos pelo FDTD no domnio do tempo ( Figura 1.1c) para
o domnio dafreqncia ( Figura 1.1d) atravs do mtodo da Transformada
de Fourier de Tempo Discreto (DTFT Discrete Time Fourier Transform)
dado por [21]: ( ) | | + ==nn j je n x e Xe e, (2.64) (2.64)
ondeatransformada( )e je X descreveosinal| | n x
comoumafunodafreqncia senoidal e denominada representao no domnio
da freqncia de| | n x . 2.6.2. Transformao do campo prximo em
campos distantes
Aanlisedocomportamentodoscamposeltricosemagnticosnaregiode
campodistante,ouseja,aumadistnciadevrioscomprimentosdeondainvivel,
poisaumentariaodomniocomputacionaldoproblemae,conseqentemente,a
quantidadedememriaedetempodeprocessamentonecessriosparaexecutara
simulao da antena. Uma forma para resolver esse problema consiste
na transformao
doscamposprximosemcamposdistantes,pormeiodousodafunodeGreenno
espaolivre[11].OusodafunodeGreenimplicanaobtenodasdensidadesdas
correntes eltricas e magnticas, realizada atravs do teorema da
superfcie equivalente.
Atransformaopodeserfeitatantonodomniodotempocomonodomnioda
freqncia.Foiutilizadonessecaptuloatransformaoatravsdodomnioda
freqncia e no Captulo 3, a transformao atravs do domnio do tempo.
22 2.6.3. Teorema da superfcie equivalente O teorema da superfcie
equivalente um princpio em que fontes originais so substitudas por
fontes equivalentes. As fontes fictcias so ditas equivalentes
dentro da
regiodeestudo,porqueproduzdentrodelaomesmocampoassimcomoasfontes
originais.Oteoremadasuperfcieequivalentebaseadonoteoremadaunicidade,ou
seja,asoluonicaparaascondiesdecontornoespecificadas.Peloteorema,os
camposforadasuperfcieimaginriasoobtidosfazendocomquesobreasuperfcie
fechada as densidades de corrente eltrica e magntica sejam
adequadas para satisfazer
ascondiesdecontorno.Adensidadedacorrenteselecionadaparaqueocampo
dentro da superfcie fechada seja zero e fora dela sejaigual radiao
produzida pelas
fontesoriginais.Aformulaoexata,masrequerintegraosobretodaasuperfcie
fechada [11]. Figura 2.3: Passos para o Teorema da Equivalncia [11]
23 AFigura2.3aesboaocasomaisgeraleprincipaltratadoeminteraesde
ondas eletromagnticas com uma estrutura tridimensional arbitrria.
Seguindo a notao de[13],assumidoqueocampo[ ) , ( ), , (1 1e e r H r
E]preenchetodooespaogerado
pelaaofsicadasfontesdecorrenteseltricasemagnticas) , (1e r Je) ,
(1e r M, fluindo na estrutura da superfcie de interesse. Na Figura
2.3b, assume-se que) , (1e r J e ) , (1e r
Msoremovidasequepassaaexistirumnovocampo[ ) , ( ), , ( e e r H r E]
dentrodeumasuperfcieSdeobservaoarbitrariamentefechada,queengloba
completamente a estrutura. Para observarocampo original [ ) , ( ),
, (1 1e e r H r E]fora dasuperfcieSe para satisfazer as condies de
contorno (as componentes tangenciais) , ( e r E e) , ( e r H na
superfcie S) deve existir uma corrente eltrica e magntica fluindo
tangencialmente ao longo dessa superfcie, conforme as equaes a
seguir: | | ) , ( ) , ( ) , (1e e e r H r H n r JS = ,(2.65) (2.65)
| | ) , ( ) , ( ) , (1e e e r E r E n r MS = ,(2.66) (2.66) onden
ovetornormalunitrioparaforadasuperfcieS.Ascorrentesvirtuais
eltricasemagnticasdasequaes(2.65)e(2.66)radiamemtodooespaolivree
geram os campos originais[ ) , ( ), , (1 1e e r H r E]em toda a
regio do espao livrefora
dasuperfcie.DesdequeoscamposdentrodasuperfcieSpossamassumirqualquer
valor,considera-sequeocampoeltricoeocampomagnticosejamiguaisazero.
Ento,oproblemaequivalentedaFigura2.3breduzidoparaaFigura2.3c,comas
densidades de correntes equivalentes iguais a: | | ) , ( ) , ( ) ,
( ) , (101e e e e r H n r H r H n r JHS = ==, (2.67) (2.67) | | ) ,
( ) , ( ) , ( ) , (101e e e e r E n r E r E n r MES = ==. (2.68)
(2.68) 24 AolongodasuperfcieS,ofasordecorrenteeltrica,) , ( e r
JS,eofasorde correntemagntica,) , ( e r
MS,socalculadosusandoumaTransformadaDiscretade Fourier (DFT) dos
campos tangenciais eltricos,) , ( t r E, e magnticos,) , ( t r H.
Ento,
ascorrentesequivalentessointegradascomafunodeGreendoespaolivre.O
clculo dos fasores de campo distante) , ( e r A e) , ( e r F so
descritos por [11]: }} ~ =SR k j R k jSr NredsRer J r A ) , (4' ) ,
(4) , (0 0etete, (2.69) (2.69) ) , (4' ) , (4) , (0 0etcetce r
LredsRer M r FSR k j R k jS}} ~ = , (2.70) (2.70) onde( )}}=Sr k
jSds e r J r N ' ) , ( ) , (cos ' e e, (2.71) (2.71) ( )}}=Sr k
jSds e r M r L ' ) , ( ) , (cos ' e e, (2.72) (2.72) = r r r posio
do ponto de observao (x,y,z),(2.73) (2.73) = ' ' ' r r rposio da
fonte na superfcie S (x,y,z) , (2.74) (2.74) 'r r R R R = ,(2.75)
(2.75) ngulo entrere' r , (2.76) (2.76) ( ) () | |() ~ +
=amplitude. de variao para,fase de variao para, cos 'cos ' 2 '2 12
2rr rr r r r R(2.77) (2.77)
Porcausadosvetorespotenciaisdaequao(2.69)e(2.70),osfasoresdos
campos eltrico e magntico so dados por: 25 ( ) ) , (1) , (1) , ( )
, (02ece e e e r F r Akr A j r E V ((
V V + = , (2.78)(2.78) ( ) ) , (1) , (1) , ( ) , (02ee e e e r A
r Fkr F j r H V ((
V V + = , (2.79) (2.79)
desconsiderandoostermosnasequaes(2.78)e(2.79)quedecaemnaordemde 21
r oumaiseacomponentedecamporadialqueaamplitudeinsignificante,se
comparada s componentes de e . Os campos eltricos e magnticos para
a regio decampo distante so ento dados por: 0 ) , ( ~ e r Er,(2.80)
(2.80) ( ) ( ) ) , ( ) , (4) , ( ) , ( ) , (0 0e q ete q e e eu | |
u ur N r Lre k jr F r A j r Er k j + = + ~, (2.81) (2.81) ( ) ( ) )
, ( ) , (4) , ( ) , ( ) , (0 0e q ete q e e e| u u | |r N r Lre k
jr F r A j r Er k j + + = + ~, (2.82) (2.82) 0 ) , ( ~ e r
Hr,(2.83) (2.83) ( )||.|
\| + = + ~000) , () , (4) , ( ) , ( ) , (q eete q eqeeu| u | ur
Lr Nre k jr F r Ajr Hr k j , (2.84) (2.84) ( )||.|
\|+ = + ~000) , () , (4) , ( ) , ( ) , (q eete q eqee|u | u |r
Lr Nre k jr F r Ajr Hr k j , (2.85) (2.85) ( ) ( ) ( ) ( )( )(
)}}+||.|
\|+ +=Sr k jzy xds esen r Jsen r J r Jr N ') , (cos ) , ( cos
cos ) , () , (cos ' uu e| u e | u ee , (2.86) (2.86) ( ) ( ) ( )(
)}}++ =Sr k jy xds e r J sen r J r N ' cos ) , ( ) , ( ) , (cos '
|| e | e e , (2.87) (2.87) 26 ( ) ( ) ( ) ( )( )( )}}+||.|
\|+ +=Sr k jzy xds esen r Msen r M r Mr L ') , (cos ) , ( cos
cos ) , () , (cos ' uu e| u e | u ee ,(2.88) (2.88) ( ) ( ) ( )(
)}}++ =Sr k jy xds e r M sen r M r L ' cos ) , ( ) , ( ) , (cos '
|| e | e e , (2.89) (2.89) onde 0 0 0c q = a impedncia intrnseca do
espao livre. 2.7. Diagrama de irradiao Apartirdoscamposeltricos uE
e |E calculadosparaaregiodecampo distante por meio das equaes
(2.81) e (2.82), determina-se um raio a partir da antena
emestudoevariaascoordenadaseparaqueodiagramadeirradiaopossaser
geradoapartirdocampoeltrico(Figura1.1f).Ocampoeltricototaldadopela
seguinte equao: 22| uE E E + =.(2.90) (2.90) 2.8. Concluses
parciais Este captulo apresentou o processo da implementao do FDTD
para o clculo dos campos prximos e distantes no domnio da freqncia.
O truncamento do domnio
foirealizadoatravsdaimplementaodeumalgoritmoqueutilizaoconceitode
continuidadeanalticadascoordenadas,chamadadecamadadeabsorobemcasada
(WP-PML).Ocoeficientereflexo(parmetrodeespalhamentoS11)foramcalculados
utilizandoduastcnicas:aprimeirautilizaaTransformadadeFouriereasegunda
baseia-seno conceito de Expanso de Momentos. Finalmente, os campos
distantesso obtidos atravs da transformao do campo prximo
utilizando o Teorema da Superfcie Equivalente. 27 3. MTODO DE
CLCULO DO CAMPO DISTANTE NO DOMNIO DO TEMPO 3.1. Introduo Os
resultados obtidos doscampos prximos eltricos e magnticos
utilizando o
mtodoFDTDnoCaptulo2representamumaetapaparaoclculodoscampos
distantes,quejfoirealizadonocaptuloanteriornodomniodafreqnciaeneste
captulo,feitonodomniodotempo.necessrioentofazeratransformaodos
campos prximos para os campos distantes nesse ltimo domnio (como
apresentado na
visometodolgicadessetrabalhonaFigura1.1g),afimdeobterosdiagramasde
irradiao das antenas dos estudos de caso j analisados no domnio da
freqncia. Com
isso,espera-seobtermelhorianaeficinciacomputacional,vistoqueaoinvsde
realizaratransformaodosvaloresdocampoprximodeumaumpontocomofoi
feito no captulo anterior, esses pontos so interpolados e
transformados a cada intervalo de tempo (janela) no domnio do
tempo.Para certos problemas, o clculo reduzido se eles forem
analisados no domnio dotempo,comoporexemplo,emaplicaesemqueo pico
derespostadeum objeto
paraumcampoimpulsivocalculado,omodelonodomniodotempoofereceuma
melhor eficincia se comparado ao modelo no domnio da freqncia.
Pois, este ltimo requer maiornmero defreqnciasparaautilizao
datransformada deFourierpara
obteramesmarespostanodomniodotempo.Tambmnocasodeproblemasque
envolvam meios e componentes no lineares, a modelagem no domnio do
tempo mais
diretaeeficiente,poisadiscretizaodeintervalosdetempopodeserusadapara
remover os efeitos de reflexes indesejadas em objetos de estruturas
muito largas.3.2. Algoritmo para o clculo do campo distante no
domnio do
tempoFenmenostransientesderadiaoeespalhamentosofreqentemente
analisadosutilizandoosmtodosdemodelagemdocampoprximo,taiscomoFDTD
28
([3],FITD(FiniteIntegrationTimeDomain)[24]eoFVTD(FiniteVolumeTime
Domain)[25],queobtmasoluo doscamposaoredordovolumedaantenaou do
espalhador.Nestasformulaes,ocampodistanteobtidointegrandoasequaesde
Stratton-Chu[26]oudeKirchhoff[13]sobreumasuperfciefechada,quecontma
antena ou o espalhador ( importante que os campos prximos sejam
conhecidos). Uma
outraalternativaseriaobteratransformadadocampoprximoparaocampodistante,
utilizandoaexpansoemmultipolosnodomniodotempo.Ambasasformulaes
envolvemrepetidosprocessosdeintegraosobreumgrandevolumededados
provenientesdocampoprximo,quefazemcomqueocustocomputacionalseja
incrementadoemrelaoaocustoobtidoquandoasoluodocampoprximo
utilizada,especialmentequandoocampodistantecalculadosobrevriosngulosde
observao.Noalgoritmoaquiproposto,utiliza-seoscamposprximoscalculadospelo
mtodo de modelagem do FDTD na superfcie S (Figura 3.1a) envolvendo
a antena em
estudoeasformulaesdasequaesdascorrentesequivalentes(3.11)e(3.12)s
equaesdeStratton-Chu[26]paraobteroscamposdistantes(Figura3.1c).Paraos
campos prximos calculados, de modo a melhorar a eficincia
computacional, foi feita a
discretizaoemjanelasdeintervalosdetempomaiores(Tw)eparaomtodoFDTD
(Figura3.1b),queutilizaoclculoparacadapassodetempoindividualmente.O
mtodoutilizadonessealgoritmobaseadonomtodoMSD(MultilevelSurface
Decomposition) a ser apresentado na Seo 3.3. A malha definida
previamente no incio do algoritmo (Figura 3.1a) deve possuir
dimenses inferiores a 2min, de acordo com os pr-requisitos da
formulao conceitual do mtodo MSD. E, para cada ponto de campo
distantecalculadoemrelaoaosistemadecoordenadasesfricas,somantidos
constantesosngulosreferentesaumadascoordenadasesfricas,=0 e=90 ,de
modoa obterplanosondeso obtidos oscamposdistantesvariando ongulo de
0 a 360 , conforme mostra a Figura 3.1d. 29 Figura 3.1: Algoritmo
para transformao dos campos prximos para campos distantes no domnio
do tempo 30 3.3. Mtodo da Decomposio da superfcie em multinveis
(Multilevel Surface Decomposition Scheme MSD)
OalgoritmodoMSDobtmarespostatransientedocampodistanteseguindo
umesquemadeintegraodepassoapassonotempo(MOT),ouseja,emjanelasde
intervalosdetempo.Areduodaalocaodememriaobtidaaplicandoatcnica
tambm chamada de janelamento (windowed-MOT) do sinal. Nesta tcnica,
o eixo do tempo (campo prximo) decomposto consecutivamenteemjanelas
com intervalos de
tempodecurtadurao.Osdadosparaocampoprximodasuperfciefechadaso
geradosutilizandoomtodoFDTD.E,asuperfciefechadamodeladanaformade
melhorenvolveraantenaemestudo,detalmodoareduzirotamanhododomnioda
simulaoe,conseqentemente,amemriaeacomplexidadecomputacional.A
superfciefechada hierarquicamente decomposta em subdomnios at
obtertamanhos de clulas aproximadamente do tamanho do comprimento
de onda quadrtico (na mais
altafreqncia),garantindoassimomelhornveldedecomposio[10].Paraestes
subdomnios,ocampodistantecalculadodiretamenteapartirdoscamposeltricoe
magnticoprximos,atravsdaquadraturanumrica[1]daintegralderadiao
aplicada svrias direes de observao. As contribuies dos subdomnios
atrasados so adicionadas para a rea dosubdomnio maior
correspondente (rea pai) at obter
oscamposdistantesemtodaasuperfciefechada.Devidoaousodemalhasmais
adequadas ao formato das antenas e de intervalos de tempo para a
hierarquia multinvel,
amenorcomplexidadecomputacionalalcanadaquandocomparadaaoesquema
direto de clculo do campo distante [10] em reas mltiplas de
2min.Ointervalodetempopodeterumtamanholimitadoeosintervalosde
janelamentos (windowed-MOT) podem estar parcialmente sobrepostos no
tempo. No
algoritmoimplementadonessetrabalho,asjanelasutilizadasforamconsecutivassem
sobreposioentreelasnotempo.Assim,omtodoaplicadoconsecutivamentepara
cadaintervalo,calculandoocampodistanteaolongodoespaotemporal
correspondente.OatrasodosefeitosdascorrentesdasuperfcieSnessecampo
compensadoparacadacontribuiodasjanelasdetempo(emcadadireode 31
observao).O ponto principal do mtodo MOT o clculo das contribuies
parciais no campo distante, assim que a soluo do campo prximo com
um intervalo de tempo wT calculada. Quando a contribuio docampo
distante obtida, os dados do campo
prximosoliberadosdamemriadocomputador,sendoalocadososdocampo prximo
do prximo intervalo de tempo. A propriedade do modelo de radiao
transiente obtida pelo clculo dos campos apartir de um intervalo de
tempo limitado permitiu que fosse formulado um algoritmo
maiseficiente,reduzindoacomplexidadecomputacionalsecomparadoaomtodo
FDTD.3.3.1. Decomposio do eixo do tempo Na tcnica de janelamento, o
eixo temporal decomposto em uma seqncia de intervalos consecutivos
de durao, onde wT muito menor do que o intervalo de tempo original
total pT , ou seja, p wT T
