APLICAÇÃO DA TEORIA DO TANQUE DE …livros01.livrosgratis.com.br/cp040837.pdfna estabilidade de embarcações. Trata-se de um fenômeno no qual a embarcação pode, em poucos ciclos,

APLICAÇÃO DA TEORIA DO TANQUE DE ESTABILIZAÇÃO

PASSIVO TIPO U NA DIMINUIÇÃO DO JOGO PARAMÉTRICO

Jorge Antonio Merino Muñoz

DISSERTAÇÃO SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DA COORDENAÇÃO

DOS PROGRAMAS DE PÓS-GRADUAÇÃO DE ENGENHARIA DA

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS

REQUISITOS NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE MESTRE

EM CIÊNCIAS EM ENGENHARIA OCEÂNICA.

Aprovada por:

________________________________________________

Prof. Marcelo de Almeida Santos Neves, Ph.D.

________________________________________________ Prof. Carlos Antonio Levi da Conceição, Ph.D.

________________________________________________ Prof. Paulo de Tarso Themistocles Esperança, D.Sc

________________________________________________ Dr. Mauro Costa de Oliveira, D.Sc

RIO DE JANEIRO, RJ - BRASIL

FEVEREIRO DE 2007

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MUÑOZ, JORGE ANTONIO MERINO

Aplicação da Teoria do Tanque de

Estabilização Passivo Tipo U na

Diminuição do Jogo Paramétrico [Rio

de Janeiro] 2007

XIV, 140 p. 29,7 cm (COPPE/UFRJ, M.Sc.,

Engenharia Oceânica, 2007)

Dissertação - Universidade Federal do Rio de

Janeiro, COPPE

1. Tanque de Estabilização em Navios

2. Estabilidade Dinâmica de Navios

3. Ressonância Paramétrica

I. COPPE/UFRJ II. Título (Série)

ii

A Deus pela força espiritual.

A meus pais Jorge e Maria pelo

constante apoio, amor e compreensão

em cada etapa da minha vida.

A meu filho Jorgito pela

força e motivação que me ajuda

a lutar a cada momento.

iii

AGRADECIMENTOS

Ao professor Marcelo de Almeida Santos Neves pelo apoio e orientação

no desenvolvimento do presente trabalho.

Aos professores do Programa de Engenharia Oceânica da COPPE/UFRJ

pelos ensinamentos, aos amigos peruanos pelo companheirismo e a todo o pessoal

do PENO e DENO pela amizade e apoio.

À Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior e ao

Programa de Engenharia Oceânica da COPPE/UFRJ pelo suporte financeiro.

iv

Resumo da Dissertação apresentada à COPPE/UFRJ como parte dos requisitos

necessários para a obtenção do grau de Mestre em Ciências (M.Sc.)

APLICAÇÃO DA TEORIA DO TANQUE DE ESTABILIZAÇÃO

PASSIVO TIPO U NA DIMINUIÇÃO DO JOGO PARAMÉTRICO


Fevereiro/2007

Orientador: Marcelo de Almeida Santos Neves

Programa: Engenharia Oceânica

Nos últimos anos evidenciou-se a importância da ressonância paramétrica

na estabilidade de embarcações. Trata-se de um fenômeno no qual a embarcação

pode, em poucos ciclos, atingir grandes amplitudes de jogo (jogo paramétrico),

não pela excitação direta das ondas, mas sim por uma excitação interna devido às

variações periódicas de certos parâmetros do sistema oscilatório (excitação

paramétrica).

O presente trabalho aplica a teoria do tanque de estabilização passivo tipo

U para diminuir o jogo paramétrico. Um sistema de equações diferenciais não

lineares que descreve o movimento do fluido dentro do tanque bem como as

forças e momentos que o tanque gera no navio é desenvolvido. O sistema de

equações que representa o sistema navio-tanque é resolvido numericamente em

função do tempo.

Posteriormente, são apresentadas as respostas do navio com e sem tanque

de estabilização, assim como também se analisa a influência dos parâmetros

geométricos do tanque no comportamento do navio. Finalmente, com base nos

resultados, se conclui que um tanque passivo tipo U é um eficiente amortecedor

do jogo paramétrico, reduzindo e eliminando a ressonância paramétrica.

v

Abstract of Dissertation presented to COPPE/UFRJ as a partial fulfillment of the

requirements for the degree of Master of Science (M.Sc.)

APLICATION OF THE U PASSIVE STABILIZATION TANK THEORY

ON THE REDUCTION OF PARAMETRIC ROLL


February/2007

Advisor: Marcelo de Almeida Santos Neves

Department: Ocean Engineering

This work uses the U passive stabilization tank theory to reduce parametric

roll. The behavior of ships prone to parametric resonance is studied. The nonlinear

differential equation that describes the fluid movement in the tank and the forces

and moments that this movement generates on the ship are presented. A

mathematical model that describes the ship movements is a third order nonlinear

model applied to ship with three degrees of freedom. The nonlinear equations are

solved numerically in time domain, after the ship’s response in frequency domain

is obtained from steady state of each time domain. To obtain the ship’s responses

is supposed the ship navigating on regular waves in head seas conditions.

The ship behavior with and without stabilization tank are presented in

frequency domain. The influence of the stabilization tank’s geometric parameters

on the performance ship is analyzed. Finally, it was concluded that the well tuned

U passive tank is an efficient damper of parametric roll, reducing and eliminating

the parametric resonance.

vi

ÍNDICE

CAPITULO 1: INTRODUÇÃO 01

1.1 Generalidades e Motivação do Presente Trabalho 02 1.1.1 Jogo Clássico 02 1.1.2 Jogo Paramétrico 02

1.2 Estabilização do Movimento de Jogo 05

1.3 Classificação dos Tanques de Estabilização 07 1.3.1 Segundo a Natureza do Trabalho 07 1.3.2 Segundo a Geometria 08

1.4 Antecedentes e Cenário Atual 09

1.5 Objetivo e Conteúdo da tese 15

CAPITULO 2: MODELO MATEMÁTICO 17

2.1 Sistemas de Referência 17

2.2 Equação do Movimento de Fluido dentro do Tanque 20 2.2.1 Reservatório de Bombordo 20 2.2.2 Duto de Conexão Horizontal 26 2.2.3 Reservatório de Boreste 30 2.2.4 Equação Não-Linear do Tanque 33 2.2.5 Forças e Momentos Exercidos sobre o Navio

Devido ao Movimento do Fluido Dentro do Tanque

39

2.2.6 Equação Linear do Tanque 45

2.3 Movimento do Navio em Ondas 47 2.3.1 Equações Lineares do Comportamento do Navio

em Ondas 49

2.3.2 Coeficientes Hidrodinâmicos e as Forças de Excitação

50

2.3.3 Coeficientes de Amortecimento em Jogo 52 2.3.4 Equações Não-Lineares do Comportamento do

Navio em Ondas 53

vii

2.4 Equações Acopladas de Quarta Ordem do Sistema Navio-

Tanque 54

CAPITULO 3: ANÁLISES E RESULTADOS 57

3.1 Generalidades 57

3.2 Testes Experimentais – Resultados 58

3.3 Sem tanque de estabilização – Respostas do Navio em Jogo 62

3.3.1 Efeito da Freqüência Natural de Jogo ( 4nω ) 62 3.3.2 Efeito da Velocidade de Avanço, Número de

Froude (Fn) 65

3.3.3 Efeito da Inclinação da Onda ( /w wH L ) 67

3.3.4 Efeito da Amplitude de Onda ( ) wA 69 3.3.5 Mapeamento no Plano 4/e nω ω vs. wA 72

3.4 Projeto e Sintonização do Tanque 82

3.5 Respostas em Jogo COM Tanque de Estabilização 86 3.5.1 Influência da Freqüência do Tanque ( tω ) 86 3.5.2 Influência da Massa do Fluido Dentro do Tanque

( ) tm 88

3.5.3 Influência do Amortecimento do Tanque ( tη ) 90 3.5.4 Influência da Posição Vertical ( ) do Tanque zL 93 3.5.5 Simulações no Tempo 95

CAPITULO 4: CONCLUSÕES E RECOMENDAÇÕES 99 4.1 Conclusões e Recomendações Gerais 100 4.2 Trabalhos Futuros 102

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 104

APÊNDICE I 111 APÊNDICE II 120

viii

LISTA DE SÍMBOLOS

GERAL g - aceleração da gravidade;

ugr - vetor unitário na direção da aceleração da gravidade; x, y, z - eixos do sistema de coordenadas móveis (solidário ao navio); X,Y,Z - eixos do sistema de coordenadas inercial (fixo à terra); NAVIO E ONDA

wA - amplitude da onda (m); Fn - número de Froude;

wL - comprimento da onda (m); k - número de onda; χ (ksi) - ângulo de incidência da onda (º); m - massa do navio;

,xx yyJ J - momentos de inércia do navio com respeito aos eixos x e y respectivamente;

wω - freqüência da onda (rad/s);

eω - freqüência de encontro (rad/s);

4nω - freqüência natural de jogo (rad/s);

, ,x y z - deslocamento do navio na direção dos eixos, x, y, z ,

respectivamente (avanço, desvio e afundamento);

, ,u v w - velocidade do navio na direção dos eixos x, y, z respectivamente;

ix

, ,φ θ ψ - deslocamentos angulares do navio na direção dos eixos, x, y, z ,

respectivamente (jogo, arfagem e guinada);

, , ,p q rΩ - velocidade angular do navio e as componentes na direção dos eixos x, y, z , respectivamente;

, ,p q r& & & - aceleração angular do navio na direção dos eixos x, y, z ,

respectivamente;

0 0v ,a - velocidade e aceleração absoluta da origem de coordenadas O, respectivamente;

U - velocidade do navio;

, ,w w wZ K M - excitação externa exercida sobre o navio devido às ondas nos movimentos de afundamento, jogo e arfagem;

TANQUE DE ESTABILIZAÇÃO a A - aceleração absoluta do diferencial de volume de fluido;

,r dA A - área da seção transversal do reservatório e do duto,

respectivamente;

tB - amortecimento devido às paredes dentro do tanque;

2,,, HWHB rdw - parâmetros geométricos do tanque (vide Figura 2.2);

1 2, ,wB C C% - constantes;

b, db - posição e largura do diferencial de volume de fluido no duto

horizontal, com respeito ao ponto O;

h, dh - posição e altura do diferencial de volume de fluido nos

reservatórios, com respeito à posição de equilíbrio;

x

rH - altura de equilíbrio de fluido dentro do tanque;

d ,drVol Vold - diferencial de volume do fluido, no reservatório e no duto,

respectivamente;

tη - amortecimento adimensional do tanque;

tL - comprimento longitudinal do tanque na direção do eixo x (m);

,r dτ τ - esforços tangenciais nas paredes do reservatório e do duto, respectivamente;

,x yN N - componentes normais das ações que as paredes do tanque exercem

sobre o fluido, nas direções do eixo x e y , respectivamente; E - potência entregue pela bomba ao fluido;

acelF - força exercida sobre o fluido do tanque devido à aceleração absoluta e da gravidade;

tanqueF , , ,ta ta taX Y Z - força que o fluido do tanque exerce sobre o navio, e suas

componentes na direção dos eixos x, y e z , respectivamente;

tanqueM , , ,ta ta taK M N - momento que o fluido do tanque exerce sobre o navio e suas componentes na direção dos eixos x, y e z respectivamente;

K - coeficiente de perda de carga nas uniões internas do tanque;

,x zL L - componentes do vetor posição do centro do duto com respeito ao ponto O, na direção dos eixos x e z , respectivamente;

r , v ,aB B B - posição, velocidade e aceleração absoluta do diferencial de volume,

respectivamente; dF ,dF ,dFpeso pressao paredes - forças devidas ao peso, à pressão e às paredes do tanque

sobre o diferencial de volume; d tm - massa do diferencial de volume;

tm - massa do fluido dentro do tanque;

tρ - densidade do fluido dentro do tanque;

xi

P, dP - pressão e diferencial de pressão exercido sobre o diferencial de volume;

,p sP P - pressão interna ao tanque nos reservatórios de bombordo e boreste,

respectivamente;

1 2 3 4 5 6P ,P ,P ,P ,P ,P - pressões internas em diferentes seções do tanque (vide Figura 2.2).

,r dPe Pe - perímetro da seção transversal do reservatório e do duto,

respectivamente; R - relação entre as áreas do reservatório e do duto, respectivamente;

tω - freqüência natural do tanque (rad/s);

( ) ( ) ( ), ,t t tZ Z Z& && - posição, velocidade e aceleração relativa do fluido dentro do tanque;

Coeficientes Devido ao Tanque

, , , , , , , , , ,

, , , , , , , ,z x y

ext y x z

T T T T T T T T T T

T T T T T T T T Tτ τ τ φθτθτ θτ φτ φφτ θθτ φψτ

φθ ψ ψφ φθ φ θψ

&& & & & & & & &&& & && && &

& & & && && &&&& & &&

- da Equação do TANQUE nos seis

graus de liberdade do navio

, , , , , , ,

,z ,Z Z Z Z Z Z Z Z

Z Zτ τφθτθ φτ τφφ τθθ φτ

φφττ θθττ

&& & & & & & && &&&& &

& & & &

ττ - das forças devido ao tanque na equação

de AFUNDAMENTO

, , , , , , ,

, , , , , ,z z

z

K K K K K K K

K K K K K K Kτ τ τφθτφ θτ τ φ τφθ

φθτ φθττθθτ φττ φττ φττ φθττ

&& && & & &&& && &

& & && & & & && &

- dos momentos devido ao tanque na

equação de JOGO

, , , , , , ,

, , , , , ,z z

z

M M M M M M M M

M M M M M M M

,τ τθ τφθτθ φτ φτ τφφ τ θ

ττ θττθττ θττ φθτ φφττ θ ττ

&& && & & & &&& & &

&& & & & & & &&& & &

- dos momentos devido ao tanque na

equação de ARFAGEM

xii

COEFICIENTES DE MASSA ADICIONAL E AMORTECIMENTO

, ,zZ K Mφ θ&& &&&& - Coeficientes de massa adicional em afundamento, jogo e arfagem, respectivamente;

, zZ Mθ&& && - Coeficientes de massa adicional entre os modos acoplados de

afundamento e arfagem;

, ,zZ K Mφ θ& && - Coeficientes de amortecimento linear em afundamento, jogo e arfagem, respectivamente;

K

φ φ& & - Coeficientes de amortecimento quadrático em jogo;

COEFICIENTES DE RESTAURAÇÃO Linear

, ,zZ K Mφ θ - Coeficientes de restauração linear em afundamento, jogo e arfagem, respectivamente;

, zZ Mθ - Coeficientes de restauração linear entre os modos acoplados de

afundamento e arfagem; Segunda ordem

, , ,zz zZ Z Z Zθ φφ θθ - Coeficientes de restauração em afundamento;

,zK Kφ φθ - Coeficientes de restauração em jogo;

, , ,zz zM M M Mθ φφ θθ - Coeficientes de restauração em arfagem; Terceira ordem

, , , , ,zzz zz z zZ Z Z Z Z Zθ φφ φφθ θθ θθθ - Coeficientes de restauração em afundamento;

, ,zzK K Kφ φφφ θθφ - Coeficientes de restauração em jogo;

, , , , ,zzz zz z zM M M M M Mθ φφ φφθ θθ θθθ - Coeficientes de restauração em arfagem;

xiii

zK φθ - Coeficientes de restauração entre os modos acoplados de afundamento, jogo e arfagem;

Devido à Passagem da Onda Segunda Ordem

,zZ Zζ ζθ - em afundamento; Kζφ - em jogo;

,zM Mζ ζθ - em arfagem; Terceira ordem

, , , , ,z zz zZ Z Z Z Z Zζζ ζ ζζθ ζ θ φφζ θθζ - em afundamento;

, ,zK K Kζζφ ζ φ ζφθ - em jogo;

, , , , ,z zz zM M M M M Mζζ ζ ζζθ ζ θ φφζ θθζ - em arfagem

xiv

Capítulo 1.- Introdução

CAPÍTULO 1

INTRODUÇÃO

Os movimentos do navio e o controle desses movimentos têm sido pontos de interesse de

muitos pesquisadores desde muitos anos. Um navio no mar estará suscetível à influência de ondas

e vento que podem ocasionar movimentos de grandes amplitudes, gerando desconforto e ainda

pondo em risco a vida da tripulação e dos passageiros a bordo. Assim, desde o ponto de vista de

segurança a redução dos movimentos do navio é um ponto importante a ser analisado.

Nos navios porta-contentores se tem tratado de evitar os grandes movimentos, que

possam ocasionar danos à carga e embarque de água no convés e que podem ser tão intensos ao

ponto de jogar os contêineres pela borda, como é descrito por France et al (2003). Além disso,

eliminando-se os grandes movimentos pode reduzir-se a resistência ao avanço e

consequentemente o consumo de combustível, aumentando a eficiência e os ganhos do navio.

No caso de embarcações de lançamentos de tubulações (risers) e navios de perfuração,

grandes movimentos podem afetar o desempenho destes. Em navios pesqueiros, podem afetar

diretamente a segurança da tripulação e ocasionar danos aos equipamentos e aparelhos de pesca.

Nas plataformas offshore, navios militares e de suporte, é recomendável uma estabilidade

eficiente para não ocorrer a interdição do heliponto e outros itens cujas operações sejam

limitadas por altos níveis de aceleração. O mesmo aplica-se para navios de passageiros, onde o

critério de conforto a bordo é exigente. Para diminuir os grandes movimentos que o navio sofre

no mar, o capitão se vê forçado a alterar a rota ou diminuir a velocidade; isto pode produzir

indesejáveis limitações na missão de navios militares ou reduzir os ganhos nos navios comerciais.

Neste tipo de tarefas de engenharia a redução e/ou eliminação dos movimentos do navio é a

característica mais importante a ser estudada.

1


1.1 Generalidades e Motivação do Presente Trabalho

Dentre os movimentos do navio, o mais crítico corresponde ao movimento

de jogo, devido aos baixos momentos de inércia e amortecimento associados. O

movimento de jogo é propenso a alcançar grandes amplitudes, seja no caso do

Jogo Ressonante Clássico ou do Jogo Paramétrico.

1.1.1 Jogo Ressonante Clássico

O Jogo Clássico é causado pela excitação direta das ondas do mar sobre o

navio. Se o navio, com certa velocidade de avanço, é atingido por ondas com certa

freqüência e ângulo de incidência, determinando uma freqüência de encontro

próxima à freqüência natural de jogo, podem ocorrer condições ressonantes que

levem o navio a atingir movimentos de grandes amplitudes. Esse jogo ressonante

clássico pode ocorrer em ondas de través ou ondas oblíquas. Em ondas

estritamente longitudinais e cascos simétricos o movimento de jogo causado pela

excitação direta das ondas não é possível (Bhattacharyya, 1978, Lewis, 1989).

1.1.2 Jogo Paramétrico

Quando o navio atinge certas freqüências de encontro, em mar de proa ou

popa (ondas longitudinais), o movimento de jogo pode ser excitado indiretamente

e atingir grandes amplitudes. Esse movimento de excitação indireta, denominado

“movimento excitado auto-parametricamente” e usualmente conhecido como

“jogo paramétrico”, é causado por uma excitação interna devido às variações

periódicas de certos parâmetros do sistema oscilatório. Froude (1863) foi um dos

primeiros a notar a existência do fenômeno da ressonância paramétrica.

O Jogo Paramétrico deriva da variação periódica do momento de

restauração como resultado da modificação da forma submersa produzida pelas

ondas, principalmente quando o navio navega em ondas longitudinais. Este tipo

de fenômeno dá origem a uma excitação interna do sistema navio-onda, que para

2


alguns valores de freqüência de encontro induz ângulos de jogo que aumentam

progressivamente. Dependendo da amplitude da excitação interna, esse processo

de amplificação do jogo pode provocar o emborcamento do navio em poucas

oscilações (Pérez, 1985, Valério, 1994). No caso de navios de pequeno porte,

como é o caso de um grande número de pesqueiros que operam no litoral do

Brasil e do Peru, a instabilidade paramétrica se torna potencialmente bem mais

perigosa, com a agravante de que pode desenvolver-se em condições de mar

moderadas (Neves, 2002). Com a intenção de analisar a ressonância paramétrica,

(Pérez e Sanguinetti, 1995) realizaram ensaios experimentais com modelos de

navios pesqueiros. Os resultados desses ensaios mostram que a instabilidade

paramétrica pode ocorrer para valores de altura metacêntrica transversal dentro

dos valores exigidos pelos regulamentos internacionais.

Por outro lado, com a finalidade de estudar a estabilidade da equação de

jogo e reproduzir as características dinâmicas da ressonância paramétrica, foram

desenvolvidos vários modelos matemáticos (analíticos e numéricos). Um estudo

analítico da equação de jogo permite analisar sistematicamente vários parâmetros

do sistema dinâmico que influem no comportamento do navio em jogo.

Usando estes modelos matemáticos podem ser obtidos limites de

estabilidade, geralmente por meio da equação variacional linear desenvolvida a

partir da equação não linear de jogo. Sanguinetti (1985) estuda analiticamente a

estabilidade do jogo paramétrico, para o navio sem velocidade e com três graus de

liberdade (afundamento, jogo e arfagem), utilizando um modelo não linear de

segunda ordem, nesse trabalho foram utilizados dois navios pesqueiros

semelhantes com forma de popa diferentes. Posteriormente, Pernambuco (1990)

aprimora o modelo anterior considerando seis graus de liberdade e incorporando o

amortecimento não linear em jogo assim como a velocidade de avanço em mar de

popa. Salas (1991) analisa os limites de estabilidade dos mesmos navios utilizados

por Sanguinetti (1985), confirmando a existência de jogo paramétrico em zonas de

baixas freqüências, característica da condição de mar de popa.

3


Seguindo com a mesma linha de pesquisa, Valério (1994) estuda a

estabilidade desses navios pesqueiros incorporando termos de restauração devido

ao efeito da passagem da onda, aprimorando assim o modelo analítico

desenvolvido anteriormente. Posteriormente, Neves et al. (1999) estudaram

analítica, numérica e experimentalmente a estabilidade desses navios pesqueiros,

analisando a influência das formas da popa na estabilidade paramétrica de jogo. O

estudo analítico foi baseado na equação de Mathieu utilizando um modelo de

segunda ordem. Valério (2000) aprimora o modelo de Valério (1994) adicionando

não linearidades nas equações de afundamento e arfagem e analisando os limites

de estabilidade, compara os resultados numéricos obtidos com os experimentais,

obtendo limitação nos resultados para grandes ângulos de jogo. Lorca (2001)

estuda analítica e experimentalmente a influência da velocidade do navio sobre a

ressonância paramétrica em jogo em mar de proa, obtendo os respectivos limites

de estabilidade baseado na equação de Mathieu.

A desvantagem de fazer uma análise de estabilidade a partir da equação de

Mathieu (modelo com termos de segunda ordem na restauração) é que no caso de

movimentos de jogo intensos este modelo no reproduz eficientemente a dinâmica

da ressonância paramétrica (Rodrigues, 2004). Por este motivo Rodrigues (2004)

desenvolve um modelo não linear de terceira ordem para o navio com três graus

de liberdade. Os resultados obtidos reproduzem eficientemente a dinâmica da

ressonância paramétrica, obtendo respostas numéricas de jogo que apresentam boa

concordância com os resultados experimentais. A existência de termos de terceira

ordem dá origem a termos bi-harmônicos na equação variacional de jogo, fazendo

inaplicável a equação de Mathieu para a análise de estabilidade, caindo esta

análise agora na equação de Hill, com características próprias do modelo de

terceira ordem. O modelo de terceira ordem é capaz de reproduzir adequadamente

as respostas do navio quando atinge grandes ângulos de jogo paramétrico (Neves

e Rodrigues, 2004), em mar de proa.

Outros trabalhos relativos ao desenvolvimento de modelos matemáticos e

testes experimentais para reproduzir a ressonância paramétrica podem encontrar-

se em Skomedal (1982), Dallinga et al. (1998), Spyrou (2000), Bulian et al.

4


(2003), ABS (2004), Munif et al.(2006), Ahmed et al. (2006), Harukuni et al.

(2006).

1.2 Estabilização do Movimento de Jogo

Para reduzir os movimentos que se produzem no navio, são comumente

empregados mecanismos estabilizadores. Com a ajuda destes estabilizadores, as

amplitudes dos movimentos, em geral o movimento de jogo, podem ser reduzidas

consideravelmente. No estudo da estabilização de navios é importante saber o tipo

e magnitude das forças que deveriam ser aplicadas para obter uma redução

significativa nas amplitudes e nas acelerações dos movimentos. Alguns

estabilizadores e outros meios usualmente empregados no controle do movimento

de jogo são apresentados a seguir:

A bolina pode ser o dispositivo mais simples empregado para diminuir o

movimento de jogo. Ela atua gerando forças de arrasto, incrementando

consideravelmente a dissipação de energia devido ao fluxo viscoso. Essas forças

de arrasto se opõem ao movimento de jogo, aumentando o amortecimento e

consequentemente diminuindo esse movimento. No entanto, a eficiência da bolina

pode ser limitada por razões de tamanho e fixação na parte externa do casco,

aumentando a resistência ao avanço.

Aletas de estabilização ativas. Este sistema de estabilização trabalha fora

do casco e geralmente é composto por pelo menos um par de aletas móveis na

parte submersa, uma de cada lado do navio. O ângulo de incidência das aletas é

continuamente ajustado por um sistema de controle que é governado pelos

movimentos do navio. As aletas exercem forças de sustentação que fornecem

momentos em jogo. Esses momentos são arranjados para se opor ao momento de

excitação das ondas, consequentemente diminuindo o movimento de jogo. A

grande desvantagem da bolina e das aletas de estabilização é que a eficiência delas

depende da velocidade de avanço do navio e no caso das aletas de estabilização, a

instalação e a manutenção têm custos elevados.

5


O giroscópio é um mecanismo que, em geral, consiste em um pesado anel

que gira em torno de seu próprio eixo, confinado por um marco externo que

novamente gira livre sobre um eixo perpendicular ao eixo do anel. Esta massa

giratória produz uma maior oposição contra as excitações externas, trabalhando

para alterar a direção do movimento. A desvantagem do giroscópio é que ele

precisa de uma grande massa para ter um desempenho aceitável, o que pode

ocupar um grande espaço dentro do navio, diminuindo a capacidade de carga.

Além disso, é importante notar que os cascos dos navios, na maioria, não são

construídos para alojar cargas altamente concentradas. Essas cargas pesadas e

concentradas tendem a causar grandes esforços de torção no casco durante os

movimentos de afundamento, jogo e/ou arfagem.

Movimentação de peso transversalmente, em geral no convés do navio. É

um sistema dinâmico que produz um momento que, sintonizado devidamente, se

opõe ao momento externo exercido pelas ondas. As desvantagens são que a

resposta do sistema pode não ser suficientemente rápida, o grande peso no convés

diminui a estabilidade do navio e problemas mecânicos são produzidos pela

montagem e operação dos grandes pesos a bordo. Treakle et al (2000) apresenta

um método, usando um controlador ativo, para avaliar o movimento de pesos a

bordo na redução do movimento de jogo.

Ação do leme. Quando o plano diametral do leme está fora da linha de

centro do navio, o leme exerce uma força de sustentação que geralmente atua num

ponto situado abaixo do centro de gravidade do navio. Essa força fornece

momentos em jogo e guinada. Esse momento em jogo, devido ao leme, pode ser

empregado para contra-arrestar o momento devido às forças externas. As

desvantagens são que os momentos fornecidos pelo leme são relativamente

pequenos e o movimento do leme pode mudar a rota estabelecida para o navio.

Baitis (1989) reporta os resultados que obteve a Marinha Americana utilizando

um sistema de estabilização de jogo por ação do leme.

6


Tanques de estabilização. É um sistema dinâmico que consiste em

reservatórios que contêm uma quantidade determinada de fluido, geralmente água.

As oscilações do fluido dentro dos reservatórios podem causar momentos que,

sintonizados devidamente, podem opor-se à excitação aplicada pelas ondas ou

pela excitação interna (excitação paramétrica). Vantagens:

a) Reduz o movimento de jogo, diminuindo a resistência ao avanço.

b) Podem trabalhar eficientemente em baixa ou sem velocidade.

c) Fácil instalação e funcionamento simples, quase não precisam de

manutenção (no caso de tanques passivos).

d) O espaço dentro dos tanques pode ser utilizado para levar fluidos

consumíveis.

Em Sellars e Martin (1992) se pode encontrar uma comparação de vários

sistemas de estabilização de jogo onde bolinas, tanques passivos, aletas ativas, e a

ação do leme foram consideradas. Nesse trabalho se descrevem e discutem

procedimentos para a seleção e avaliação da eficiência de diferentes sistemas de

estabilização com o objetivo de diminuir o movimento.

Outros detalhes com respeito a esses estabilizadores são apresentados por

Vasta et al. (1961), Parker (1965), Bhattacharyya (1978).

1.3 Classificação dos Tanques de Estabilização

1.3.1 Segundo a Natureza de Trabalho:

a) Passivos: quando o fluido dentro do tanque pode movimentar-se

livremente.

b) Passivos controlados: quando o movimento do fluido é controlado

pelo uso de obstrutores de fluxo (chicanas) ou pela limitação do fluxo

7


utilizando pressão de ar, isto para aumentar o amortecimento interno

do tanque.

c) Ativos: quando é fornecida energia para movimentar o fluido dentro do

tanque, com a finalidade de obter uma resposta mais rápida, aumentar

o amortecimento e/ou modificar a freqüência natural do tanque.

Em geral tem-se como referência que os tanques de estabilização passivos

trabalham bem em navios com baixas velocidades embora, em geral, eles não

sejam tão efetivos como os tanques de estabilização ativos trabalhando em navios

com altas velocidades, Lloyds (1989).

1.3.2 Segundo a Geometria:

a) Superfície Livre ou Flume: comumente constituído de reservatórios de

água na parte superior dos navios. A característica principal desse

tanque é o amortecimento que produz contra o movimento de jogo. Em

geral não é muito eficiente em baixas freqüências de onda, (ondas

compridas de grande período), além do que reduz consideravelmente a

altura metacêntrica, e conseqüentemente, a estabilidade do navio.

b) Tipo U: geralmente consiste em dois reservatórios, colocados nas duas

bandas do navio e conectados entre si, na parte inferior, por um duto

horizontal transversal. A parte superior dos reservatórios pode estar

aberta à atmosfera ou conectada por um duto horizontal de ar que pode

controlar a freqüência natural do tanque.

Esta geometria é mais eficiente, devido à menor perda de estabilidade

por superfície livre e à grande capacidade de mudar seus parâmetros

geométricos na fase de projeto. É sempre desejável incorporar ao

projeto algum nível de controle sobre a freqüência natural do tanque,

de maneira de atingir as faixas de freqüências que o navio encontra ao

8


longo de seu percurso. A Figura 1.1 mostra os diferentes tipos de

tanques segundo a classificação apresentada neste trabalho.

(a) Superfície livre ou Flume Simples (b) Superfície Livre com chicanas

(bafles)

(c) Tipo U Simples (d) Tipo U com duto e válvula de ar

(e) Tipo U com válvula reguladora (f) Tipo U Ativo com bomba

Figura 1.1 Classificação dos Tanques de Estabilização

Devemos assinalar que segundo a natureza do trabalho: as

Figuras 1.1 (a) e (c) são tanques passivos, as Figuras 1.1 (b), (d) e (e)

são tanques passivos controlados e a Figura 1.1 (f) é tanque ativo.

Segundo a geometria: as Figuras 1.1 (a) e (b) são tanques de superfície

livre ou Flume, as Figuras 1.1 (c), (d), (e) e (f) são tanques tipo U.

1.4 Antecedentes e Cenário Atual

9


A idéia de utilizar tanques de superfície livre para estabilizar o movimento

de jogo foi introduzida pela primeira vez por William Froude em 1862, seguida de

uma aplicação pratica de P. Watts em 1880. O tanque utilizado foi de seção

transversal retangular e ocupava toda a boca de um navio de guerra. Obstrutores

de fluxo longitudinais dentro do tanque forneciam amortecimento interno ao

fluido. Esses tanques de superfície livre, com diferentes geometrias, estão ainda

em uso.

Em 1910, H. Frahm propôs o uso de um tanque com forma de U para a

estabilização de jogo e demonstrou que essa geometria é mais eficiente do que o

sistema do tanque com superfície livre.

Vasta et al. (1961) apresentam um resumo de vários sistemas de

estabilização e desenvolve um sistema de equações, no domínio da freqüência,

para descrever a dinâmica de um navio com tanque de estabilização passivo em

forma de U. A derivação começa a partir das equações de Lagrange e o sistema

tanque navio é considerado como um pêndulo duplo. A principal desvantagem

desse trabalho é que foram utilizadas técnicas de aproximação e simplificação

para resolver diretamente a equação do movimento no domínio da freqüência,

considerando os movimentos do navio como movimentos desacoplados.

Webster et al. (1967) investigaram um sistema de controle ativo de um

tanque em U para estabilizar o movimento de jogo. Nesse trabalho os autores

formulam as equações do movimento do navio, do tanque, e da bomba que

fornece energia ao fluido. As respostas lineares para o movimento do navio foram

formuladas e resolvidas no domínio da freqüência. Os autores descrevem a

modelagem do controle da bomba utilizando um tipo de controlador retro-

alimentado com a aceleração de jogo. As equações do tanque ativo foram

formuladas com efeitos de saturação e resolvidas no domínio do tempo usando o

método de integração de Runge Kutta. Devido a que a resposta do navio foi

calculada no domínio da freqüência, teve-se que calcular a resposta do tanque,

acoplado com jogo, desvio e guinada, para cada freqüência. Como conclusão

10


desse trabalho o tanque ativo mostra resultados mais favoráveis na redução do

movimento de jogo, quando comparado com o tanque passivo.

Webster et al. (1988) discutem um método para avaliar o desempenho de

tanques de estabilização externos de livre inundação. Um estudo da eficiência

desses tanques de livre inundação foi realizado no navio USS Midway. Esses

tanques externos se compõem de dois reservatórios, um a boreste e outro a

bombordo, e têm a principal característica de ter contato direto com o mar. O

modelo analítico utilizado é simplificado, e o amortecimento dentro do tanque é

controlado utilizando dutos de ventilação, livres à atmosfera ou pressurizados.

Nesse trabalho se conclui que essa forma de tanque não precisa ter um duto que

comunique os reservatórios para diminuir o movimento de jogo. No entanto, na

prática, tem-se a desvantagem de que esse tanque aumenta a resistência ao

avanço, além de precisar de maior manutenção devido a que os reservatórios

externos estão em contínuo contato com a água de mar altamente corrosiva.

Francescutto e Armenio (1990) estudam os limites de estabilidade para os

movimentos anti-simétricos de desvio, jogo e guinada, além do movimento da

água no tanque. Para este estudo consideram os autovalores e autovetores de um

sistema de equações diferenciais acopladas em forma linear. Nesse trabalho é

utilizado um modelo com tanque de estabilização passivo tipo U, em uma

determinada condição de carga e velocidade em mar de través. Como conclusão

desse trabalho se mostra que o movimento da água dentro do tanque não tem

influência considerável sobre os movimentos de desvio e guinada.

Bass (1998) apresenta um trabalho na qual compara experimentalmente e

em escala real a eficiência de dois sistemas de estabilização diferentes, utilizando

paravanes1 e tanque de estabilização passivo, em três embarcações pesqueiras

similares e de pequeno porte. A principal conclusão desse trabalho é que o tanque

passivo é mais eficiente para este tipo de embarcações.

1. Sistema de estabilização utilizado em embarcações de pesca por arrasto, para reduzir o

movimento de jogo.

11


Balcer (2001) analisa a resposta do navio utilizando um tanque passivo

com superfície livre. Nesse trabalho se deduz e compara um modelo analítico,

desenvolvido a partir das equações de Lagrange de segunda ordem, e um modelo

físico do sistema navio-tanque baseado na idéia de dois pêndulos acoplados

matematicamente com dois graus de liberdade. Concluí-se que nesse tipo de

tanque a eficiência será maior quanto maior seja o raio metacêntrico, ou seja, que

se encontre localizado mais acima do centro de gravidade do navio.

Gawad et al. (2001) utilizam a teoria do tanque de estabilização passivo

tipo U, similar à Lloyd (1989), para estudar a influência da freqüência, do

amortecimento, dos parâmetros geométricos e da massa do fluido na diminuição

do movimento de jogo. Para obter os resultados numéricos assume-se que as

respostas de jogo e do tanque como harmônicas resolvendo as equações do

movimento a nível linear. Como resultado desse trabalho obtém uma metodologia

para a o projeto do tanque escolhendo os parâmetros mais adequados, priorizando

a sintonização do tanque em função da altura da coluna de água dentro dos

reservatórios. Os resultados apresentados mostram que o tanque tipo U é um

amortecedor eficiente do movimento de jogo para um navio navegando em mar de

través.

Youssef et al. (2002) utilizam a teoria do tanque de estabilização passivo

tipo U apresentada por Lloyds (1989), sendo que a equação do movimento da

água dentro do tanque é apresentada em forma linear. Para obter resultados

numéricos utilizam um navio cargueiro da Série 60 (Cb=0.7) navegando em mar

de través com velocidade constante. Utilizam a teoria do fluido-potencial

incompressível para resolver as equações do movimento, e integram estas

equações no domínio do tempo. Os resultados apresentados forem calculados para

diferentes ângulos de incidências de onda. Como parte desse trabalho se analisa o

amortecimento, a quantidade da massa da água e o efeito da freqüência natural do

tanque na diminuição do movimento de jogo. Os resultados mostram que se pode

atingir ate 95% da redução do movimento de jogo. Posteriormente, Youssef et al.

(2003) aprimoram esse modelo matemático e modelam o movimento da água

12


dentro de tanque a nível não linear, tomando em consideração as perdas de

energia devido às uniões internas do tanque. Nesse trabalho são utilizados vários

tubos em forma U para distribuir estes simetricamente ao longo do comprimento

do navio. São obtidos resultados aceitáveis tanto para mar regular como irregular.

Iglesias et al. (2003) realizaram ensaios experimentais em um tanque

retangular, para avaliar a deformação da superfície livre e calcular os momentos

que a água exerce neste tanque. Os resultados foram comparados com resultados

numéricos. O amortecimento é mudado utilizando obstrutores de fluxo (chicanas)

tanto nos resultados experimentais como numéricos. Os resultados numéricos são

obtidos utilizando o método de malha-partícula SPH (Smoothed Particle

Hydrodynamics) para resolver a equação de Navier-Stokes, obtendo resultados

quantitativos aceitáveis quando comparados com os experimentais.

Harukuni et al. (2003) investigam numérica e experimentalmente o

movimento do jogo de um pequeno navio pesqueiro com tanque de estabilização

passivo tipo U. O ensaio experimental é realizado em condições normais e de

baixa estabilidade com ondas regulares em mar de través. No modelo numérico,

não linearidades são apresentadas no momento de restauração do navio. Utiliza-se

uma expressão aproximada para definir a curva de estabilidade; esta expressão é

incluída nas equações acopladas entre o jogo e o movimento da água dentro do

tanque. Finalmente apresenta-se uma análise utilizando diagramas de Bifurcação

para encontrar as zonas de instabilidade em função da freqüência e inclinação

(steepness) da onda.

O trabalho de Jones et al. (2003) compara resultados numéricos e

experimentais, utilizando um tanque em forma de U e outro de superfície livre,

respectivamente; ambos em um navio pesqueiro de arraste (Forever Grateful).

Nos testes experimentais, estuda a influência do amortecimento do tanque

utilizando diferentes formas de obstrutores de fluxo, testados a diferentes ângulos

de incidência em relação à linha de fluxo da água dentro do tanque. Para obter os

resultados numéricos é utilizado um sistema de equações diferenciais acopladas

linearmente com dois graus de liberdade. Nesse trabalho se demonstra a maior

13


eficiência do tanque tipo U comparado com o de superfície livre, ambos passivos,

podendo-se alcançar uma maior eficiência utilizando um tanque de estabilização

de superfície livre com obstrutores de fluxo controláveis. Webster et al. (2003)

apresentam uma análise estatística baseada no monitoramento, feito no mesmo

navio pesqueiro em escala real, para avaliar as respostas do navio com e sem

tanque de estabilização.

Shin et al. (2004) apresentam critérios para análise da existência da

ressonância paramétrica em mar de proa e popa e utiliza um tanque de

estabilização passivo tipo tubo em U para diminuir o movimento de jogo

paramétrico. Para obter a equação do movimento e as forças e momentos que a

água do tanque gera no navio, utilizam a teoria apresentada por Youssef et al.

(2003). Nesse trabalho se analisa a influência da massa da água dentro do tanque

para obter a resposta de jogo em um navio porta-container. Os resultados são

apresentados em função da freqüência de encontro. Adicionalmente, apresentam

diagramas polares para analisar a eficiência do tanque passivo, obtendo resultados

satisfatórios para diferentes ângulos de incidência de onda e várias velocidades.

No intuito de melhorar a rapidez da resposta em jogo, do navio em mar de

través, com tanque de estabilização, Phairoh e Huang (2005) utilizam um tanque

de estabilização ativo tipo tubo em U. Para isto fornece-se energia ao fluido

utilizando uma bomba de água. Posteriormente estudam o efeito dos parâmetros

do tanque e da bomba sobre o movimento de jogo. Apresentam a derivação de um

modelo não linear para representar o movimento da água dentro do tanque, assim

como as forças e momentos que esse movimento exerce sobre o navio. Para obter

os resultados numéricos o modelo matemático é linearizado. O autor amostra que

o sistema ativo é mais eficiente no que concerne à rapidez de resposta, comparado

com o sistema passivo. Assim como também mostram a importância da sintonia e

amortecimento do tanque para diminuir o movimento de jogo.

Como se pode apreciar, muitas pesquisas estão sendo feitas na análise da

estabilização de movimentos na área naval e oceânica. Vale a pena mencionar que

uma área relativa à estabilização de movimentos é o controle de movimento de

14


edifícios. Nos últimos anos, se tem utilizado a movimentação de pesos e sistemas

tanque-fluido para a estabilização do movimento de edifícios devido ao vento,

terremotos e vibrações de tráfego. Tamura et al. (1995) apresentam um estudo

sobre o controle do movimento de uma torre no aeroporto de Nagasaki, onde é

utilizada uma coluna amortecedora sintonizada com líquido, para reduzir a

vibração induzida por vento sobre a torre. O autor mostra que os movimentos na

parte superior da torre diminuem em 35-50%, dependendo da velocidade e direção

do vento.

1.5 Objetivo e Conteúdo da Tese

Dando continuidade a esta linha de pesquisa sobre tanques estabilizadores

e ressonância paramétrica, se trata nesta tese de unir as duas teorias, para

desenvolver um modelo matemático que nos permita eliminar a ressonância

paramétrica e em geral estabilizar o movimento de jogo do navio.

É assim que este trabalho tem como objetivo eliminar numericamente o

jogo paramétrico utilizando a teoria do tanque de estabilização passivo tipo U,

estudando a influência da posição e da geometria do tanque sobre a ressonância

paramétrica. Os parâmetros de onda serão modificados para estudar a influência

destes sobre a resposta do navio.

Para obter os resultados numéricos serão utilizados dois navios pesqueiros

de pequeno porte e propensos a forte ressonância paramétrica, ambos similares,

com a diferença de ter a forma da popa diferente. Se analisará a influência desta

forma do navio sobre a estabilização do movimento de jogo.

Neste Capítulo 1, como parte da motivação deste trabalho, se definem e

explicam a dinâmica do Jogo Ressonante Clássico e do Jogo Paramétrico,

apresentou-se um resumo sobre os principais sistemas de estabilização em navios,

assim como também apresentou-se uma definição e classificação dos tanques de

15


estabilização. Faz-se um resumo de alguns trabalhos realizados sobre os tanques

de estabilização em navios no intuito de estabilizar o movimento de jogo.

No Capítulo 2 desenvolve-se o modelo matemático utilizado para definir o

movimento do fluido dentro do tanque e as forças e momentos que este

movimento fornece ao navio. Apresentam-se as equações do movimento do navio

a nível linear e não linear. São introduzidos os termos de acoplamentos entre os

movimentos de afundamento, arfagem e jogo no navio sem tanque.

Posteriormente, apresenta-se o sistema navio-tanque, onde mostram-se os termos

de acoplamento entre os três graus de liberdade do navio e o movimento do fluido

dentro do tanque.

No Capítulo 3, aplica-se um procedimento para o projeto do tanque, no

qual são escolhidos os parâmetros geométricos mais adequados a serem utilizados

para atingir a máxima eficiência do tanque. Apresentam-se os resultados

numéricos das respostas do navio com e sem tanque de estabilização utilizando

diagramas de estabilidade 4/e nω ω vs. , e respostas em função do tempo e da

freqüência. Também se apresentam as respostas do movimento de jogo em função

da amplitude de onda, do amortecimento, da geometria e da posição do tanque

dentro do navio.

wA

No Capítulo 4, apresentam-se as conclusões e observações obtidas no

desenvolvimento deste trabalho. Analisa-se a importância da freqüência do tanque

passivo tipo U na estabilização do movimento de jogo, especificamente sobre o

Jogo Paramétrico. Ao final são feitas as recomendações para trabalhos posteriores

na continuação a esta linha de pesquisa.

16

Capítulo 2.- Modelo Matemático

CAPÍTULO 2

MODELO MATEMÁTICO

No presente capitulo será desenvolvida a equação diferencial não linear que governa o

movimento do fluido dentro do tanque, assim como as forças e momentos que este movimento gera

no navio nos seis graus de liberdade. Também será apresentado o sistema de equações não

lineares, até terceira ordem, que governa o movimento do navio em mar regular. Finalmente, se

apresentará o sistema acoplado navio-tanque com quatro graus de liberdade, três para os

movimentos do navio em afundamento, jogo e arfagem, e o movimento do fluido dentro do tanque.

2.1 Sistemas de Referência

Para descrever o movimento do fluido dentro do tanque e os movimentos

do navio usaremos dois sistemas de referência. Um sistema inercial CXYZ

deslocando-se com a mesma velocidade de avanço do navio (U), tal que no

instante t=0, o plano XY coincide com a superfície livre em águas calmas, com o

ponto C na mesma vertical que o centro de gravidade G do navio. O segundo

sistema de referência é o sistema móvel Oxyz , utilizado para definir o

movimento do fluido dentro do tanque. Este sistema móvel está fixo no casco e o

plano xy coincide inicialmente com o plano de flutuação do navio em águas

calmas, o eixo Ox pertence ao plano diametral, sendo positivo no sentido do

avanço, o eixo Oy aponta na direção de bombordo e o eixo Oz passa sempre

pelo centro de gravidade G do navio com sentido positivo para cima.

17


Com os sistemas de referência definidos, denominamos os movimentos

de translação do navio na direção dos eixos X, Y, Z como avanço (surge), desvio

(sway), e afundamento (heave), respectivamente. Definiremos como o ângulo

de incidência das ondas em relação ao curso do navio, notando que

representa mar de popa e mar de proa. Os sistemas de referência

descritos anteriormente estão ilustrados na Figura 2.1, assim como a convenção de

sinais aplicada para os movimentos do navio, notando-se que estes sistemas são

sistemas destrógiros (definidos pela regra da mão direita).

χ

χ = 0º

χ = 180º

Figura 2.1: Sistemas de referências em equilíbrio

No presente trabalho o tanque tipo U consiste em dois reservatórios

verticais unidos por um duto horizontal na parte inferior, todos de seção

retangular constante, como se mostra na Figura 2.2. Nesta Figura 2.2 podem

notar-se as características geométricas do tanque, que posteriormente serão

arranjadas para sintonizar o sistema navio-tanque. Pode notar-se ainda que o

movimento do fluido dentro do tanque está definido inicialmente pelo

deslocamento ( )Z t , sendo ( )Z t& a velocidade do fluido relativa ao tanque. Vale

notar que o ponto O não coincide necessariamente com o centro de gravidade G

do navio.

18


Figura 2.2: Representação esquemática do tanque em forma de U

É importante indicar que na derivação das equações do tanque será

apresentado o movimento do fluido em função do deslocamento Z(t), como se

mostra na Figura 2.2. Já na apresentação final da equação do tanque e obtenção

dos resultados no Capítulo 3, será utilizado o deslocamento angular τ , ao qual

chamaremos ângulo do tanque. Da Figura 2.3 pode notar-se que as variáveis estão

relacionadas geometricamente pela expressão:

tan( )w

ZB

τ = (2.1)

Figura 2.3: Definição do movimento do fluido dentro do tanque

19


2.2 Equação do Movimento do Fluido dentro do Tanque.

A seguir desenvolvemos a equação que governa o movimento do fluido

dentro do tanque, sendo que este, por sua vez, é influenciado pelos movimentos

do navio. Com o intuito de organizar o desenvolvimento dessa equação,

consideramos o tanque em três partes individualmente (os dois reservatórios

verticais e o duto horizontal na parte inferior).

2.2.1 Reservatório de Bombordo

Como se pode ver na Figura 2.2, consideramos que o fluido dentro

do tanque se movimenta desde o reservatório de boreste até o reservatório

de bombordo. Assim podemos definir um diferencial de volume (dVol)

localizado no reservatório de bombordo que é um paralelepípedo de

dimensões por com altura , onde é o comprimento longitudinal

do tanque na direção do eixo x. Este parâmetro geométrico terá grande

importância quando buscarmos definir a quantidade do fluido dentro do

tanque. Por outro lado, devido a que a largura do reservatório ( ) é muito

menor comparada com os comprimentos

rW tL dh tL

rW

wB e , trataremos o diferencial

de volume como um ponto e consideraremos o fluxo dentro do reservatório

como unidimensional. Assim, o diferencial de volume nos reservatórios é

definido como:

2H

d dr r t rVol W L h A hd= = (2.2)

Definido o diferencial de volume podemos construir o diagrama de

corpo livre deste, como se mostra na Figura 2.4. Aqui vemos que as forças

que atuam no diferencial de volume são: a força da gravidade (peso), a força

da pressão e a força que as paredes do tanque exercem sobre o fluido. Deve

notar-se que haverá um diferencial de pressão ( ) na parte inferior do dP

20


volume elementar causado pela coluna de fluido na parte superior. Além

disso, note-se que a tensão tangencial ( rτ ) sempre se opõe à direção do

movimento do fluido Z(t).

Figura 2.4: Diagrama de corpo livre do volume elementar do fluido no reservatório de

bombordo.

Aplicando a Segunda Lei de Newton neste volume elementar temos:

dF dF dF dF a dpeso paredes pressao t r AA hρ= + + = (2.3)

Onde tρ é a massa específica do fluido dentro do tanque, a é a

aceleração absoluta do volume elementar, com as componentes expressadas

no sistema móvel. Deve notar-se na Equação (2.2) que a massa do volume

elementar é

A

t t rdm A dhρ= . A seguir, deduziremos a expressão que define a

aceleração absoluta a . A

Sejam o vetor posição do volume elementar com relação ao

sistema móvel, e o vetor posição deste sistema móvel em relação ao

sistema inercial. Então o vetor posição do volume elementar com relação ao

sistema inercial ( ) é definido (vide Figura 2.1) por:

rB

0r

rA

0r r rA B= + (2.4)

21


Seja a velocidade absoluta da origem do sistema móvel (O), em

relação ao sistema inercial, definida por:

0v

00

rv i jt

d u v wd

= = + + k (2.5)

Derivando a Equação (2.5) podemos encontrar a aceleração absoluta

do ponto O, expressada por:

00

va i j kt

d u v wd

= = + + +Ω×& & & 0v (2.6)

Onde, definimos a velocidade e a aceleração angular do navio como:

i j kp q rΩ = + + (2.7)

i j kp q rΩ = + +& & & & (2.8)

A seguir derivamos o vetor posição do volume elementar

definido na Equação (2.4), encontrando a velocidade absoluta: (r )A

00

rr rv v vA BA

dd ddt dt dt

= = + = + + Ω×( r )B B (2.9)

Derivando , encontramos a aceleração absoluta do volume

elementar:

vA

0vv v [(a A BA

dd d ddt dt dt dt

r )]BΩ×= = + + (2.10)

Operando a Equação (2.10), a aceleração absoluta é definida pela

seguinte expressão:

22


( )0a a r r 2 v aA B B B= +Ω× Ω× +Ω× + Ω× +&B (2.11)

Seguindo com a análise e com ajuda da Figura 2.2, o vetor posição

do volume elementar localizado no reservatório de bombordo é definido

por:

( )1 2r i+ jB x wL B H h= − + k (2.12)

Onde xL é a posição longitudinal do tanque com respeito à origem

do sistema móvel O, na direção do eixo x (positivo à proa).

A velocidade e aceleração relativa do volume elementar localizado

no reservatório do bombordo, com as componentes expressadas no

sistema móvel, são definidas por:

1v (B )kZ t= & (2.13)

1a (B )kZ t= && (2.14)

Substituindo as Equações (2.12) à (2.14) na equação (2.11) obtemos

a aceleração absoluta do volume elementar no reservatório de bombordo:

1

2 22

2 22

2 22

a ( ) ( ) 2 ( ) ( )(

( ) ( ) 2 ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) k

A x w

x w

x w

u qw rv q r L r pq B qZ t q pr H h

v ru pw r pq L p r B pZ t p qr H h

w pv qu q pr L p qr B Z t p q H h

⎡ ⎤= + − − + − − + − + +⎣ ⎦⎡ ⎤+ + − + + − + − + − +⎣ ⎦⎡ ⎤+ + − − − + + + + + +⎣ ⎦

&& & &

&& & &

&&& & &

) i

j (2.15)

Deve notar-se na Equação (2.15) que para facilitar nos passos da

integração, colocamos por último as parcelas que dependem da posição

vertical do volume diferencial (h), o qual será integrado ao longo do

reservatório. As outras parcelas são constantes ao longo da integração.

23


A seguir serão definidas vetorialmente as componentes de cada uma

das forças representadas na Equação (2.3). A força peso com as

componentes expressadas no sistema móvel é definida por:

1dF d

( sen i sen cos j cos cos k)dpeso t r u

t r

gA g h

gA h

ρ

ρ θ φ θ φ θ

= − =

− − + +

r

(2.16)

Onde:

sen i sen cos j cos cos kug θ φ θ φ θ= − + +r é o vetor unitário, na direção da

força de gravidade, com as componentes expressadas no sistema móvel.

A força exercida pelas paredes do tanque será (vide Figura 2.4):

1dF d i+d j d kparedes x y r rN N Pe hτ= − (2.17)

Onde:

rτ é a tensão tangencial nas paredes do reservatório.

2( )r rPe W L= + t é o perímetro da seção transversal dos reservatórios.

,x yN N são as componentes normais das ações que as paredes exercem

sobre o fluido.

Finalmente, tem-se a força da pressão que a coluna de fluido exerce

sobre o volume elementar; a pressão é sobre a parte superior da

superfície e na superfície inferior (vide Figura 2.4). A força da

pressão resultante fica dada como:

P

dP P+

1dF d kpressao rA P= (2.18)

24


Substituindo as Equações (2.15), (2.16), (2.17) e (2.18) na Equação

(2.3), obteremos as expressões para d ,dx yN N e . dP

Antes de integrar podemos indicar que uma integral notável, para

este reservatório, que ajudará a simplificar as operações, é:

22

1( ) ( )2

rH

zZH h dh L H Z 2

2⎡ ⎤+ = − +⎣ ⎦∫ (2.19)

As integrações serão feitas separadamente, primeiramente com as

componentes relacionadas ao vetor unitário i. Assim vemos na Equação

(2.15) que podemos mudar a parcela da aceleração absoluta com relação a i

e independente de h por:

(2.20) 1

2 2a ( ) ( )iA xu qw rv q r L r pq B qZ t⎡ ⎤= + − − + − − +⎣ ⎦

&& & 2 ( )w

Fazendo esta mudança de variável, substituímos as componentes

relacionadas ao i das Equações (2.16), (2.17), (2.18) e (2.15) na Equação

(2.3), obtendo:

1 1 2sen a ( )( )it r x t r AgA dh dN A q pr H h dhρ θ ρ ⎡ ⎤+ = − + +⎣ ⎦& (2.21)

Logo, tomando como referência a posição de equilíbrio, integramos

desde até : h Z= rh H=

1 1

2

sen a

( ) ( )

r r r

i

r

H H H

t r x t r AZ Z ZH

t r Z

gA dh dN A dh

A q pr H h dh

ρ θ ρ

ρ

+ = −

+ +

∫ ∫ ∫∫&

(2.22)

Notamos na Equação (2.22), que as primeiras três integrais são

simples de ser resolvidas e ademais na última parcela se encontra a integral

25


notável, mostrada na Equação (2.19). Depois de resolver as integrais e

substituir a Equação (2.20), obtemos a componente normal 1xN :

1

2 2

2 22

{[ sen ( ) ( )

12 ]( ) ( )[ ( ) ]}2

x t r x w

r z

N A g u qw rv q r L r pq B

qZ H Z q pr L H Z

ρ θ= − + + − − + − −

+ − − + − +

& &

& &(2.23)

Repetindo o procedimento anterior, agora para as componentes

relacionadas com j e k, obtemos 1yN e a diferença de pressão ,

respectivamente:

1pP P−

1

2 2

2 22

{[ sen cos ( ) ( )

12 ]( ) ( )[ ( ) ]}2

y t r w

r z

N A g v ru pw p r B r pq L

pZ H Z p qr L H Z

ρ θ φ= + + − − + +

− − + − − +

& &

& &

x+ (2.24)

1

2 2 2 22

{[ cos cos ( ) ( )

1]( ) ( )[ ( ) ]}2

r rp t x w

t r

r z

PeP P g w pv qu q pr L p qr BA

Z H Z p q L H Z

τρ φ θρ

− = − + + + − − − + +

+ − + + − +

& & &

&&

(2.25)

Deve notar-se que g é a magnitude da aceleração devido à gravidade

e é a distância vertical entre o duto e o ponto O, como

mostrado na Figura 2.2.

2z rL H H= +

2.2.2 Duto de Conexão Horizontal

O passo seguinte é considerar o duto transversal que conecta os

reservatórios, como mostrado na Figura 2.2. A altura do duto é e a área

da seção transversal . Deve notar-se que o volume elementar no duto é

definido por:

dH

dA

26


d dd d t dVol H L b A bd= = (2.26)

A seguir integramos por separado primeiro a parcela do lado de

bombordo e posteriormente a parcela de boreste, do duto.

Na parcela de bombordo, o vetor posição do volume elementar fica

definido por (Vide Figura 2.2):

2r i+ jB x zkL b L= − (2.27)

Quando assumimos que o movimento do fluido dentro do tanque é

unidimensional, podemos concluir que a vazão de fluido dentro dos

reservatórios e do duto são iguais. Assim, a velocidade e a aceleração

relativa do fluido dentro do duto são definidas por:

2v (B RZ t= & ) j

) j

(2.28)

2a (B RZ t= && (2.29)

Onde:

r

d d

rA WRA H

= = (2.30)

Substituindo as Equações (2.27) até (2.29) dentro da equação (2.11),

obtemos a aceleração absoluta para o duto na parcela de bombordo:

2

2 2

2 2

2 2

a ( ) ( ) 2 ( ) (

( ) ( ) ( ) ( ) j

( ) ( ) 2 ( ) ( )

A x z

x z

x z

u qw rv q r L q pr L rRZ t r pq b

v ru pw r pq L p qr L RZ t p r b

w pv qu q pr L p q L pRZ t p qr b

⎡ ⎤= + − − + − + − − −⎣ ⎦⎡ ⎤+ + − + + + − + − +⎣ ⎦⎡ ⎤+ + − − − + + + + +⎣ ⎦

&& & &

&&& & &

&& & &

) i

k

(2.31)

27


Pode notar-se na Equação (2.31) que na última parcela de cada

componente se encontra a variável b que muda ao longo da integração.

Com ajuda da Figura 2.2 fazemos o diagrama de corpo livre do

volume elementar dentro do duto, como mostrado na Figura 2.5:

Figura 2.5: Diagrama de corpo livre do volume elementar no duto horizontal.

A seguir definimos vetorialmente as forças que atuam neste volume

elementar:

2dF d i d j+d kparedes x d d zN Pe b Nτ= − (2.32)

2dF d jpressao dA P= (2.33)

2dF d

d ( sen i sen cos j cos cos k)peso t d u

t d

gA bg

gA b

ρ

ρ θ φ θ φ θ

= −

= − − + +

r

(2.34)

Aplicando a Segunda Lei de Newton sobre o volume elementar, ou

seja, substituindo a Equação (2.32), (2.33) e (2.34) na Equação (2.3),

podemos obter as expressões para d ,dx zN N e . Para realizar a integração

seguimos o mesmo procedimento apresentado anteriormente para obter a

dP

28


Equação (2.23) no Item 2.2.1. Deve notar-se que agora os limites de

integração vão desde até 0b = wb B= , (observar que estamos integrando só

a parcela de bombordo do duto). Ademais, observa-se na Equação (2.31)

que não será necessário utilizar a integral notável. Assim, depois da

integração obtemos:

2

2 2

2

{[ sen ( ) ( )

12 ] ( ) }2

rx t x

w w

AN g u qw rv q r L qR

rRZ B r pq B

ρ θ= − + + − − + − +

− − −

& &

& &

zpr L (2.35)

2 3

2 2 2

{[ sen cos ( ) ( )

1] ( ) }2

d dt x z

t d

w w

PeP P g v ru pw r pq L p qr LA

RZ B p r B

τρ φ θρ

− = + + + − + + + −

+ − +

& & &

&& (2.36)

2

2 2

2

{[ cos cos ( ) ( )

12 ] ( ) }2

rz t x

w w

AN g w pv qu q pr L pR

pRZ B p qr B

ρ φ θ= + + − − − +

+ + +

& &

& &

zq L+

t

k

(2.37)

Onde é o perímetro da seção transversal do duto. 2( )d dPe H L= +

Agora, na parcela de boreste, com ajuda da Figura 2.2, podemos

observar que o vetor posição é:

3r i jB x zL b L= − − (2.38)

Fazendo o mesmo procedimento que na parcela de bombordo,

encontramos a aceleração absoluta para este volume elementar na parcela

de boreste, ficando assim:

29


3

2 2

2 2

2 2

a ( ) ( ) 2 ( ) ( ) i

( ) ( ) ( ) ( ) j

( ) ( ) 2 ( ) ( )

A x z

x z

x z

u qw rv q r L q pr L rRZ t r pq b

v ru pw r pq L p qr L RZ t p r b

w pv qu q pr L p q L pRZ t p qr b

⎡ ⎤= + − − + − + − + −⎣ ⎦⎡ ⎤+ + − + + + − + + +⎣ ⎦⎡ ⎤+ + − − − + + + − +⎣ ⎦

&& & &

&&& & &

&& & & k

(2.39)

Podemos observar que comparando esta aceleração absoluta de

boreste, Equação (2.39), com a aceleração absoluta de bombordo, Equação

(2.31), as componentes que multiplicam a posição b trocam de sinal, tanto

no vetor posição como na aceleração. Com as mesmas forças consideradas

na parcela de bombordo podemos utilizar a Segunda Lei de Newton na

parcela de boreste. Para a integração se utiliza o mesmo procedimento

utilizado na parcela de bombordo com os mesmos limites de integração

desde até , obtemos assim as componentes normais e a

diferença de pressão:

0b = wb B=

3

2 2

2

{[ sen ( ) ( )

12 ] ( ) }2

rx t x

w w

AN g u qw rv q r L qR

rRZ B r pq B

ρ θ= − + + − − + − +

− + −

& &

& &

zpr L (2.40)

4 5

2 2 2

{[ sen cos ( ) ( )

1] ( ) }2

d dt x z

t d

w w

PeP P g v ru pw r pq L p qr LA

RZ B p r B

τρ φ θρ

− = + + + − + + + −

+ + +

& & &

&& (2.41)

3

2 2

2

{[ cos cos ( ) ( )

12 ] ( ) }2

rz t x

w w

AN g w pv qu q pr L pR

pRZ B p qr B

ρ φ θ= + + − − − +

+ − +

& &

& &

zq L+ (2.42)

2.2.3 Reservatório de Boreste

30


Continuando com a análise, consideramos a coluna de fluido no

reservatório de boreste. A posição do volume elementar é definida por

(vide Figura 2.2):

4 2r i j (B x w )kL B H h= − − + (2.43)

No presente caso, a velocidade e aceleração relativa ao volume

elementar são definidas por:

4v (B )kZ t= − & (2.44)

4a (B )kZ t= − && (2.45)

O diagrama de corpo livre do volume elementar no reservatório de

boreste se apresenta na Figura 2.6.

Figura 2.6: Diagrama de corpo livre do volume elementar no reservatório de boreste.

Notamos na Figura 2.6 que no reservatório de boreste a velocidade

do fluido e as tensões tangenciais mudaram de direção, quando se compara

com o reservatório de bombordo. Modificado o vetor posição, se substitui as

Equações (2.43) até (2.45) na Equação (2.11), definindo a aceleração

absoluta como:

31


4

2 22

2 22

2 22

a ( ) ( ) 2 ( ) ( )(

( ) ( ) 2 ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) k

A x w

x w

x w

u qw rv q r L r pq B qZ t q pr H h

v ru pw r pq L p r B pZ t p qr H h

w pv qu q pr L p qr B Z t p q H h

⎡ ⎤= + − − + + − − − + +⎣ ⎦⎡ ⎤+ + − + + + + + + − +⎣ ⎦⎡ ⎤+ + − − − − + − + + +⎣ ⎦

&& & &

&& & &

&&& & &

) i

j (2.46)

Comparando a Equação (2.46) com a Equação (2.15) se observa que

trocam de sinal tanto o parâmetro wB como a velocidade ( )Z t& e a

aceleração ( )Z t&& .

A seguir calculamos a força exercida pelas paredes do reservatório

sobre este volume elementar, assim:

4dF d i d j+ d kparedes x y r rN N Pe hτ= + (2.47)

As forças restantes mostradas nas Equações (2.16) e (2.18) não

mudam. Logo, aplicamos a Segunda Lei de Newton, substituindo as

Equações (2.16), (2.18) e (2.47) na Equação (2.3), obtemos as expressões

para d ,dx yN N , e integramos seguindo o mesmo procedimento

apresentado para obter a Equação (2.23), com a diferença de que os limites

de integração agora são desde

dP

h Z= − até rh H= . Por conseguinte, muda a

integral notável para:

22

1( ) ( )2

rH

zZH h dh L H Z

−

22⎡ ⎤+ = − −⎣ ⎦∫ (2.48)

Depois de realizar as integrações, obtemos:

4

2 2

2 22

{[ sen ( ) ( )

12 ]( ) ( )[ ( ) ]}2

x t r x w

r z

N A g u qw rv q r L r pq B

qZ H Z q pr L H Z

ρ θ= − + + − − + + −

− + − + − −

& &

& & (2.49)

32


4

2 2

2 22

{[ sen cos ( ) ( )

12 ]( ) ( )[ ( ) ]}2

y t r w

r z

N A g v ru pw p r B r pq L

pZ H Z p qr L H Z

ρ θ φ= + + − + + +

+ + + − − −

& &

& &

x+ (2.50)

6

2 2 2 22

{[ cos cos ( ) ( )

1]( ) ( )[ ( ) ]}2

r rs t x w

t r

r z

PeP P g w pv qu q pr L p qr BA

Z H Z p q L H Z

τρ φ θρ

− = − + + + − − − − +

− + + + − −

& & &

&& (2.51)

Nas uniões entre os reservatórios e o duto há perdas menores que

podem ser aproximadas por:

2

1 2 tP P KZρ− = & (2.52)

2

5 6 tP P KZρ− = & (2.53)

Onde K é o coeficiente de perda de carga nas uniões.

De maneira geral, se desenvolverá uma equação do movimento para

um tanque ativo, colocando uma bomba de água na parte central do duto,

isto para fornecer energia ao fluido e aumentar a rapidez da resposta.

Consideramos que no centro do duto, a bomba aplica um diferencial de

pressão, dado por:

3 4r

EP PA Z

− = −&

(2.54)

Onde E é a potência entregue pela bomba ao fluido.

2.2.4 Equação Não-Linear do Tanque

33


Com o intuito de simplificar as operações, notamos nas Equações

(2.25), (2.36), (2.41) e (2.51) que podemos fazer a seguinte mudança de

variáveis:

2 2

*

*

*

sen ( )sen cos ( )cos cos ( )

x

x

x

X g u qw rv q r LY g v ru pw r pq LZ g w pv qu q pr L

θθ φθ φ

= − + + − − +

= + + − + +

= + + − − −

&

& &

& &

(2.55)

Assim, podemos somar de uma maneira mais simples a Equação

(2.25) com (2.51), obtendo-se para os reservatórios:

1 6

2 2* 2

{ 2 [ ( ) ]

2 2 ( )}

r rp s t r w

t r

PeP P P P H p qr B ZA

Z Z H Z p q

τρρ

− + − = − + + + +

+ +

&&& (2.56)

Da mesma maneira se soma a Equação (2.36) com (2.41), obtendo-se

para o duto horizontal:

2 3 4 5 *2 [ ( )d dt w z

t d

PeP P P P B Y p qr L RZA

]τρρ

− + − = + + − + &&& (2.57)

Usando o procedimento anterior se soma a Equação (2.52) com

(2.53), obtendo:

2

1 2 5 6 2 tP P P P KZρ− + − = & (2.58)

Finalmente, somamos as Equações (2.54), (2.56), (2.57) e (2.58),

eliminamos as pressões de sinal oposto do lado esquerdo e substituímos a

Equação (2.55), obtendo a equação que governa o movimento do fluido

dentro do tanque em função de Z(t):

34


2

2 22

( )2

[ cos cos ( ) ( ) ]

[ sen cos ( ) ( )2

( ) ]

w dr rr w d r r

d r t d t r t r

x

p sx z

t

r w

B PeH Pe EW Z B H KZH W A A A Z

g w pv qu q pr L p q H ZP P

g v ru pw r pq L p

p qr H B

τ τρ ρ ρ

φ θ

φ θρ

− + − + −

+ + + − − − + +−

= − + + − + + + −

− +

&& &&

& &

& & &

&

qr L (2.59)

Onde e pP sP são as pressões internas nos reservatórios de

bombordo e boreste, respectivamente. Em geral a diferença de pressão e a

potência entregada à bomba tomam lugar como ação externa seja para

aumentar o amortecimento ou entregar energia ao fluido. Tendo estas

considerações, vamos representar estas ações externas como . extT

É importante destacar que uma das maneiras de avaliar as forças de

amortecimento interiores ao tanque, que estão diretamente relacionadas com

as tensões tangenciais ( ,r dτ τ ) e mostradas na Equação (2.59), é usando

fórmulas semi-empíricas da mecânica dos fluidos. Assim, as tensões

tangenciais podem ser relacionadas com o fator de atrito f utilizando a

relação (vide White, 1999):

2

, 8r dZfg

γτ =&

(2.60)

Aqui se pode notar que as tensões tangenciais são proporcionais à

velocidade do fluido ao quadrado, e o fator de atrito f depende do Número

de Reynolds (Re). Para avaliar Re utilizamos a seguinte expressão:

,r dZDRe

ν=&

(2.61)

35


Onde D é a largura do reservatório ( ) ou a altura do duto ( ),

dependendo em que lugar do tanque se esteja avaliando Re,

rW dH

ν é a

viscosidade cinemática do fluido. Com a avaliação de Re podem utilizar-se

fórmulas para dutos circulares com o intuito de avaliar o fator de atrito f. A

fórmula a ser utilizada depende do regime na qual se encontre o fluido,

como se mostra a seguir:

a) Se (Regime Laminar) 2000Re <

64fRe

= (2.62)

b) Se 2000 (Regime Transiente) 4000 5000Re< < −

Fórmula de Colebrook

1 1.14 2log ef D

9.35Re f

⎛ ⎞= − +⎜⎜

⎝ ⎠⎟⎟ (2.63)

c) Se (Regime Turbulento ) 85000 10Re< <

(Swamee and Jain, 1976)

2

0.9

0.255.74log

3.7

feD Re

=⎡ ⎤⎛ ⎞ +⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

(2.64)

Aqui e representa a rugosidade das paredes internas ao tanque.

Como notamos na Equação (2.59) temos outra parcela do

amortecimento quadrático relacionado com a perda de energia nas uniões

entre os reservatórios e o duto, os quais são proporcionais ao coeficiente de

perda K, sendo determinado experimentalmente.

36


No presente trabalho, supomos que as forças de amortecimento são

proporcionais à velocidade Z& e que existe um coeficiente de amortecimento

equivalente ( Bττ ). Ou seja, fazemos a seguinte aproximação:

2d rw d r r

t d t r

Pe PeB H KZ BA A τττ τ

ρ ρ− + ≈& Z& (2.65)

Por outro lado, com o intuito de apreciar melhor os acoplamentos na

Equação (2.59) e obter uma nomenclatura compatível com as equações do

navio, assumimos a hipótese de pequenos ângulos para o movimento de

fluido ( tanτ τ≈ ). Então, podemos definir a partir de agora o movimento

fluido em função do ângulo do tanque (τ ), substituindo wZ B τ= (vide

Equação 2.1).

Além disso, substituímos a Equação (2.65) em (2.59) e fazemos as

seguintes mudanças de variáveis para os movimentos do navio:

u xu xv yv yw zw z

======

&

& &&

&

& &&

&

& &&

ppq

qrr

φ

φ

θ

θψψ

=

=

=

===

&

&&&

&

&&&

&

&&&

(2.66)

Pode definir-se uma nova nomenclatura para os coeficientes do

tanque, transformando a Equação (2.59) para:

37


2 2

cos cos

[ sen cos ]

z x y

ext

y x z

T T T z T T x T y T

T T T T

T T y T x T z T T T T

τ τ τ φθτθτ θτ φτ

φφτ θθτ φψτ

φθ ψ ψφ φθ φ θ

τ τ τ θτ θτ φτ φ θτ

φ τ θ τ φψτ

ψφ θ ψ φ ψ φθ φ

+ + + + + + +

+ + =

− + + + + + + +

&& & &&& & && & &

& & & & & &

& & & && && &&&& & &&

&& & &&& & & &&&

& & & &

& & & &&& &&&& & & θψ& &

(2.67)

No presente trabalho se considera que os reservatórios estejam

abertos na parte superior, sendo as pressões iguais à pressão atmosférica.

Além disso, se considera a bomba como desligada (E = 0), trabalhando o

tanque de estabilização como passivo, então 0extT = .

A definição de cada coeficiente da Equação (2.67) mostra-se na Tabela 3.1

Tabela 3.1 Coeficientes da Equação do Tanque.

Primeira Ordem

22 w rt r w r

d r

B HT A B WH Wτ ρ

⎛ ⎞= −⎜ ⎟

⎝ ⎠&& 22T A Bt r wBτ ττ& wBρ= 22y t rT Aρ=&&

22 (t r w z rT A B L Hφ ρ=&& )− L 22 t r w xT A Bψ ρ=&&

Segunda Ordem

22x t r wT Aψ ρ=&& B wB φ ρ= −&&

g 22z t rT Aτ ρ=&& 22 t r wzT A B

22 t r wT A Bφθ ρ=*

22T A Bt r w xθτ ρ= −&&22 (t r w z rT A B Lθψ ρ= − +& &

22 t r w xT A B Lφθ ρ=& &L

)H

Terceira Ordem

22 t r wxT Aθτ ρ= −&&B B g 22 t r wyT Aφτ ρ=&& * 22 t r wT A Bφθτ ρ=

222 t r wT A Bφφτ ρ=& & H H L 2

22 t r wT A Bθθτ ρ=& & 22 t r w xT A Bφψτ ρ=& &

* Estes coeficientes mudam para primeira ordem quando a equação do tanque é linearizada.

Deve notar-se que a Equação (2.67) é uma equação com não

linearidades de até de terceira ordem, na qual se aprecia melhor os

acoplamentos entre o movimento do tanque e os seis graus de liberdade do

38


navio. Deve assinalar-se que para obter os resultados numéricos no presente

trabalho se considerará que o navio pode movimentar-se em afundamento,

jogo e arfagem, sendo eliminados os coeficientes relacionados aos outros

três graus de liberdade.

2.2.5 Forças e Momentos exercidos sobre o Navio devido ao

Movimento do Fluido dentro do Tanque

Depois de desenvolver a equação que governa o movimento do

fluido dentro do tanque é necessário avaliar as forças e momentos que o

tanque exerce sobre o navio. Estas forças e momentos serão inseridos dentro

das equações do navio e trabalharão como ações externas, as quais poderão

estabilizar os movimentos do navio. A seguir apresentamos o procedimento

para avaliar estas forças e momentos devido ao tanque.

Da Segunda Lei de Newton (vide Equação 2.3), a força exercida

sobre qualquer volume elementar do fluido devido às forças superficiais

(forças devido à pressão e às paredes do tanque) será igual à força devida à

aceleração absoluta menos a força do peso:

pressao paredes aceldF +dF =dF (a +g )dA ug mt=r (2.68)

Onde, recordemos (conforme a Equação 2.16)

sen i sen cos j cos cos kug θ φ θ φ θ= − + +r .

Deve notar-se que na Equação (2.68) a força do peso passa para o

outro lado da igualdade com sinal trocado. Da Terceira Lei de Newton, a

força exercida sobre o navio devido ao volume elementar será dada por:

tanque aceldF dF= − (2.69)

39


tanquedF = (a +g )dA ug mt−r (2.70)

Onde d t tm dVolρ= é a massa do volume elementar. Integrando a

equação (2.70) ao longo dos reservatórios e do duto, da mesma forma como

feito nos itens 2.2.1, 2.2.2 e 2.2.3, se obtém a força exercida sobre o navio:

tanqueF i+ j+ta ta takX Y Z= (2.71)

Onde:

2 2

1

2

{ [ sen ( )] 2 ( )

( ) 4( ) }ta t r x w

w

X A C g u qw rv L q r B r pq Z

C q pr B r qZ Z

ρ θ= − − + + − − + + −

− + − +

& &

&&(2.72)

1

2 22

{ [ sen cos ( )] 4

( ) 2 ( ) 2 }ta t r x

w w

Y A C g v ru pw L r pq p

C p qr B p r Z B Z

ρ φ θ= − + + − + + +

+ − + + +

&& &

&&&

ZZ (2.73)

1

2 22

{ [ cos cos ( )] 4

( ) 2 ( ) 2 }ta t r x w

w

Z A C g w pv qu L q pr B pZ

C p q B p qr Z ZZ

ρ φ θ= − + + − − − +

+ + − + −

&& &

&&& (2.74)

Onde:

ww

BBR

=% , e . (2.75) 1 2( )r wC H B= + % 2 2 22 2 2zC L H Z L B= − − + %

z w

Em seguida calculamos o momento exercido pela força elementar

em relação ao ponto O:

tanque tanquedM r dFB= × (2.76)

tanquedM r (a +g )dB A ug mt= − ×r (2.77)

40


Em seguida, integra-se a Equação (2.77) ao longo dos reservatórios e

do duto. Assim, o momento aplicado ao navio devido ao movimento de

fluido dentro do tanque será:

tanqueM i+ j+ta ta takK M N= (2.78)

Onde:

2

2 12 2

2

2 2 2 2 32 2 2

2

{2 ( ) 4 1/ 3 ( 4 )( )

2 [ cos cos ( ) ( )]

2 / 3(3 3 3 3 )( )[ sen cos ( )]}

ta t r w r z w r

w x

w z r r r

x

K A B H L Z H pZZ B C H p qr

B g w pv qu L q pr H q r Z

B L H H H Z H H H p qrC g v pw ru L r pq

ρ

φ θ

φ θ

= − + + + + +

− + + − − − +

+ + − + + −+ + − + + +

&& & &

& &

% &

& &

−

(2.79)

2

1

2 2 2 2 32 2 2

2

2 22

{2 4( )[ cos cos ( )]

2 / 3(3 3 3 3 )( )2 ( ) 2 ( )

[ sen ( )]}

ta t r x w z w x

x x

w z r r r

w w x

x

M A L ZZ H qZ B L r B L p ZL C g w qu pv L q pr

B L H H H Z H H H q prB H r pq Z B L p qr Z

C g u rv qw L p r

ρφ θ

θ

= − + + −− + − + − −

+ + − + + +− − + +

− − + − + + −

&& &

& &

% &

& &

&

(2.80)

2

2 22

2 12 2

{2 4( ) 2 / 3 ( 3 )( )

2 [ sen ( ) ( )]( ) 2 [ sen cos ( )]

2 ( ) }

ta t r x w x w r w w r

w x

x x x

w x

N A L B Z L pZ B H q Z B B H r pq

B g u rv qw L p q H q pr ZC L p qr C L g v ru pw L r pq

B L p r Z

ρ

θφ θ

= − + − + + −

+ − + − + + − − +

+ − + + + − + +

+ +

&& & % &

& &

& & &

(2.81)

Aplicando-se a mesma mudança de variáveis utilizada para

desenvolver a Equação (2.67), podemos representar as forças e momentos

devido ao tanque, nos graus de liberdade de afundamento, jogo e arfagem,

da seguinte forma:

41


2 2

2 2 2 2

cos costa zZ Z z Z

Z Z Z Z Z Z

Z Z

τ τθ

τφθ ττφτ τφφ τθθ φτ

φφττ θθττ

θ

φτ φ θ φ θ φτ

φ τ θ τ

= +

+ + + + + +

+ +

&&&&

& & & & & && &&&

& & & &

&&&&

& & & &&& &

& &

ττ& (2.82)

2 2

2 2 2

sen cos

cos cos( )

sen cos( )

ta z z

z

K K K K z K K z K K

K K K K

K K z K

τ τ τφθτφ θτ τ φ τφθ

φθτθθτ φττ φττ

φθττ φττ φθττ

τ φ τ θτ φ φθ φ

θ τ φτ φττ φ θ τ

φ θ τ φτ φθτ

= + + + + + +

+ + + +

+ +

&& && & & &&& && &

& & && & &

& & &&

&& && & & &&& && &

& && & &

& & &&

θ +

(2.83)

2

2

2 2 2

sen

cos cos

sen

ta z

z

z

M M z M M

M M M M z M M

M M M M

M M z

τ τθτθ

τφθ ττφτ φτ τφφ τ θ

θττθττ θττ φθτ

φφττ θ ττ

θ θ

φτ φτ φ θ φ θ τ

θττ θττ θτ φθτ

φ τ θ τ

= + +

+ + + + + +

+ + + +

+ +

&&&&

&& & & & & &&& &

&& & & &&

& & & &

&&&&

&& & & && &&

&& & & &&

& & &

τ& (2.84)

Onde cada coeficiente é definido em função da ordem das variáveis.

Estas variáveis podem ser encontradas nas Tabelas 2.2: (a), (b), (c), (d).

Assim, podemos notar que nas Equações (2.82) a (2.84) encontramos termos

de até quarta ordem. Ademais, deve assinalar-se que nesta nomenclatura,

nos coeficientes que incluem como sub-índice a variável τ à direita das

variáveis ,z φ ou θ , representa-se um grau a mais de liberdade. Se τ estiver

no lado esquerdo, significa que esse coeficiente está relacionado com o

tanque, mas não representa um grau de liberdade adicional.

Tabela 2.2 (a) Coeficientes de Primeira Ordem das Forças e Momentos devido ao

tanque em Afundamento, Jogo e Arfagem.

Afundamento Jogo Arfagem

Primeira Ordem

0Zτ =&& 22 (t r w z r )K A B L Hτ ρ= +&& 0Mτ =&&

42


1z t rZ A Cτ ρ=&& 0zKτ =&& 1z t r xM A L Cτ ρ= −&&

0Zτφ =&&

2

2 2 32 22

1

2 [

3

( 4 ) 6]

t r w z

r r r

w r

K A B L

H H H H H

B C H

τφ ρ= +

+ + +

+

&&%

0Mτφ =&&

0Z =τθ τθ 0K = 2 2

2(

2 )t r z

z w

M A g L H

L Bτθ ρ= − +

%

1t r xZ A C Lτθ ρ= −&& 0Kτθ =&&

2

2 2 32 2

21

2 (

3

2)

t r w z

r r r

x

M A B L

H H H H H

L C

τθ ρ= +

+ + +

&&%

Tabela 2.2 (b) Coeficientes de Segunda Ordem das Forças e Momentos devido ao



Segunda Ordem

22 t r wZ A Bττ ρ= −&& 0Kττ =&& 22 t r w xM A B Lττ ρ=&&

0zZ τ =&& 22z t r wK A Bτ ρ= −&& 0zM τ =&&

22 t r wZ A Bφτ ρ= −&& 0Kφτ =&& 22 t r w xM A B Lφτ ρ=&&

0Zθτ =&& 22 t r w xK A Bθτ ρ=&& L 0Mθτ =&&

24 t r wZ A Bφτ ρ=& & 0Kφτ =& &

24 t r w xM A B Lφτ ρ= −& &

2 2

2(

2 )t r z

z w

Z A L H

L Bτφφ ρ= − +& &

%0Kτφφ =& &

2 22(

2 )t r z

z w

M A L H

L Bτφφ ρ= − −& &

%

+

2 2

2(

2 )t r z

z w

Z A L H

L Bτθθ ρ= − +& &

%0Kτθθ =& & τθθ 0M =& &

1t rZ A C gτφθ ρ=2 2

2(

2 )t r z

z w

K A g L H

L Bτφθ ρ= − +

% 1t r x** M A L C g ** τφθ ρ= **

0zZτ φ =&& 2 2

2(

2 )t r zz

z w

K A L H

L Bτ φ ρ= − −&&

%

+ 0zMτ φ =&&

0Zτφθ =& & 2 2

2(

2 )t r x z

z w

K A L L H

L Bτφθ ρ= − +& &

% 0Mτφθ =& &

43


0Z =zτ θ&& zτ θ 0K =&& 2 2

2(

2 )t r zz

z w

M A L H

L Bτ θ ρ= − −&&

%

+

** Estes coeficientes viram de primeira ordem quando as forças e momentos são linearizados.

Tabela 2.2 (c) Coeficientes de Terceira Ordem das Forças e Momentos devido ao



Terceira Ordem

0Zθττ = 0Kθττ = 2t r wM A B gθττ ρ=

0Zθττ =& & 0Kθττ =& &

224 t r wM A B Hθττ ρ=& &

0Zθττ =&& 0Kθττ =&& 222 t r wM A B Hθττ ρ= −&&

0Zθθτ =& & 222 t r wK A B Hθθτ ρ= −& & 0Mθθτ =& &

0Zφττ =& 224 t r wK A Bφττ ρ=& H 0Mφττ =&

0Zφθτ = **22 t r wK A Bφθτ ρ= − 0Mφθτg =

0Zφθτ =& & 0Kφθτ =& & 222 t r wM A B Hφθτ ρ=& &

0Zφττ =&& 222 t r wK A B Hφττ ρ= −&& 0Mφττ =&&

** Este coeficiente vira de primeira ordem quando as forças e momentos são linearizados.

Tabela 2.2 (d) Coeficientes de Quarta Ordem das Forças e Momentos devido ao tanque

em Afundamento, Jogo e Arfagem.


Quarta Ordem

2t r wZ A Bφφττ ρ= −& & 0Kφφττ =& & 2

t r w xM A B Lφφττ ρ=& &

2t r wZ A Bθθττ ρ= −& & 0Kθθττ =& & 0Mθθττ =& &

0zZ φττ =&& 2t r wzK Aφττ ρ=&&

B 0zM φττ =&&

0Zφθττ = **2

t r wK A Bφθττ ρ= − 0Mφθττg =

0Zφθττ =& & 2t r w xK A B Lφθττ ρ= −& & 0Mφθττ =& &

44


0zZθ ττ =& & 0zKθ ττ =& &

2t r wzM A Bθ ττ ρ=& &

** Este coeficiente vira de terceira ordem quando as forças e momentos são linearizados.

2.2.6 Equação Linear do Tanque

Para avaliar as características dinâmicas da equação do tanque

linearizamos a Equação (2.67), tendo em consideração que o navio pode

movimentar-se em afundamento, jogo e arfagem; eliminamos as não

linearidades e assumimos a hipótese de pequenos ângulos, cos cos 1φ θ≈ ≈ ,

senφ φ≈ , obtendo-se a seguinte equação linear:

(T T T T Tτ τ φθτ φθ φ )τ τ τ φ+ + = − + &&&& &&&&& & φ (2.85)

As forças e momentos devidos ao tanque também podem ser

linearizados, de forma similar à equação do tanque, obtendo-se as seguintes

expressões:

ta zZ Z z Z Zτ τφθτθθ= + +&&&&&&&& (2.86)

taK K K K Kτ τφθ φθττφτ φ φ= + + +&&&&&&&& τ (2.87)

ta zM M z M M Mτ τθ τφθτθθ θ= + + +&&&&&&&& (2.88)

Aqui deve-se notar que devido à hipótese de pequenos ângulos, os

coeficientes não-lineares , , ,Z K K Mτφθ τφθ φθτ τφθ passaram a participar de

termos lineares.

45


Um parâmetro importante que será analisado no Capítulo 3 é o

amortecimento do tanque. Para obter uma avaliação comparativa precisamos

adimensionalizar este coeficiente. Assim, a partir da Equação (2.85)

podemos adimensionalizar o coeficiente de amortecimento Bττ , conforme é

apresentado por Lloyd, 1989:

2 2 (t

w rr

d r

T BT T B HgW

H W

τ ττ

τ φθτ

η = =−

&

&& ) (2.89)

Onde tη é também conhecido como coeficiente de decaimento, o

qual pode ser determinado experimentalmente utilizando um modelo do

tanque fixado numa plataforma de testes.

Adicionalmente, outra característica importante a ser analisada é a

freqüência natural do tanque tω . A partir da Equação (2.85) pode aplicar-se

a definição da freqüência natural de um sistema dinâmico encontrando-se

que a freqüência natural do tanque é:

tr w

rd

T gW BT H

H

φθτ

τ

ω = =−&&

(2.90)

Nesta Equação (2.90) é importante notar os parâmetros geométricos

dos quais depende a freqüência natural tω . Assim, na prática, quando o

tanque já esteja construído e se esteja na necessidade de mudar a freqüência

natural do tanque, o único parâmetro que pode ser modificado é a altura do

fluido nos reservatórios ( ). rH

Finalmente, outro parâmetro importante a ser analisado é a massa do

fluido dentro do tanque. Esta massa será avaliada, em forma percentual, em

46


relação à massa do navio (m). Pode notar-se da Figura 2.2 que a massa do

fluido dentro do tanque pode ser definida como:

( )2t t t w d rm L B H H Wρ= + r (2.91)

2.3 Movimento do Navio em Ondas

A resposta do navio movimentando-se num fluido, que ademais tem o

efeito das ondas, é um fenômeno muito complexo devido a que contém a

interação entre a dinâmica do navio, a hidrodinâmica do fluido, a coexistência

entre dois meios diferentes, fluido e ar, e o efeito adicional das ondas. Utilizando

a Teoria das Faixas (vide Lloyd, 1989), podem obter-se os coeficientes

hidrodinâmicos das equações diferenciais, a nível linear, que geram

comportamento muito semelhante ao comportamento real do navio. Porém, é bem

conhecido, o comportamento real do navio é não linear, por isso serão utilizados

termos não lineares no amortecimento de jogo, na restauração entre os modos

acoplados de afundamento, jogo e arfagem e na restauração adicional devido à

passagem da onda.

A formulação apresentada a seguir representa os movimentos do navio

considerando as seguintes hipóteses:

a. Navio intacto.

b. Movimentos do navio como corpo rígido.

c. Navio deslocando-se com velocidade de avanço constante.

d. Ondas incidentes longitudinais regulares correspondentes às

descritas pela Teoria de Ondas Lineares.

e. Emersão da proa e popa associada à ocorrência de cargas de

culapada (slamming) não consideradas.

f. Efeito da água no convés desprezível.

47


A seguir define-se a freqüência de encontro eω como a freqüência com a

qual o navio, deslocando-se a velocidade constante U, encontra as ondas de

freqüência wω e ângulo de incidência χ . Esta freqüência de encontro tem

influência direta sobre os movimentos do navio. A seguinte relação existe entre as

freqüências de encontro e das ondas:

2 (χ)e w wU Cosg

ω ω ω= − (2.92)

No caso de ondas longitudinais e mar de proa ( ), a Equação

(2.92) simplifica-se:

χ = 180º

2e w

Ug wω ω= + ω (2.93)

Outro parâmetro importante a ser definido é a equação da superfície da

onda, que segundo a Teoria Linear de Airy, e definida por:

eζ( , , ,χ) = [ (χ) + (χ) ]wx y t A Cos kxCos kySen tω− (2.94)

Onde:

wA - Amplitude da onda;

k - Número de onda, dado por: 2 2w

w

kg Lω π

= = ;

wL - Comprimento da onda

Para ondas longitudinais e mar de proa, a equação da superfície da onda

ficará sendo:

eζ( , ) = [ + ]wx t A Cos kx tω (2.95)

48


2.3.1 Equações Lineares do Comportamento do Navio em Ondas

A seguir apresentamos o sistema de equações diferenciais que representa

o movimento do navio em ondas com três graus de liberdade; afundamento, jogo e

arfagem respectivamente. A nomenclatura é a mesma empregada por Rodriguez

(2004):

( ) ( )

( ) ( )

( )

z z z w

xx w

z z z yy w

m Z z Z z Z z Z Z Z Z t

J K K K K t

( )M z M z M z J M M M M t

θθ θ

φφ φ

θθ θ

θ θ θ

φ φ φ

θ θ θ

+ + + + + + =

+ + + =

+ + + + + + =

&& &&& &

&& &

&& &&& &

&& &&& &

&& &

&& &&& &

(2.96)

onde:

m: massa do navio

,xx yyJ J : inércias de massa do navio referida aos eixos x e y,

respectivamente.

, , , ,z zZ Z K M Mθ φ θ&& && &&&& && : termos de massa adicional

, , , ,z zZ Z K M Mθ φ θ& & && &

z

: termos de amortecimentos

, , , ,zZ Z K M Mθ φ θ : termos de restauração

,w w wZ K M excitação externa devido à onda, para os movimentos de

afundamento, jogo e arfagem, respectivamente.

Pode notar-se na Equação (2.96) que as equações de afundamento e

arfagem estão mutuamente acopladas, enquanto que a equação de jogo é

independente delas.

É interessante analisar como se modifica a Equação (2.96) quando se

considera o tanque acoplado linearmente. Assim, adicionamos as forças e

momentos devidos ao tanque representados nas Equações (2.86) até (2.88) e

consideramos a Equação (2.85), chegando ao seguinte sistema de equações:

49


( ) ( )

( ) ( )

( )

z z z z w

xx w

yy z z z z w

m Z z Z z Z z Z Z Z Z z Z Z Z t

J K K K K K K K K t

J M M M M z M z M z M M M z M M t

θ τ τφθθ θ τθ

φ τ φθτ τφθφ φ τφ

θ τθ τθ θ τθ

θ θ θ θ

φ φ φ τ τ φ φ

θ θ θ θ θ

+ + + + + + + + + =

+ + + + + + + =

+ + + + + + + + + + =

&& & &&&& & &&

&& & &&&&

&& & &&&& & &&

&& & &&&& & &&

&& & &&&&

&& & &&&& & && )

0T T T T Tτ τ φθτ φθφτ τ τ φ φ+ + + + =&&&& &&&&& &

(τφθ

(2.97)

Notamos na Equação (2.97) que a equação do tanque está diretamente

acoplada com o jogo e que devido ao tanque aparecem termos inerciais nos modos

de afundamento jogo e arfagem. Note-se também que o tanque introduz nas

equações de afundamento e arfagem termos constantes devido ao peso do fluido

dentro do tanque ( ,Z Mτφθ τφθ ).

Os acoplamentos lineares entre o jogo e o tanque podem ser observados na

forma matricial abaixo:

000

xx wJ K K K K K K K K

T TT T Kτφ τφ φ τφθ φθτφ

φθ φθττφ τ

φφ φττ τ

+ +⎡ ⎤ +⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ + =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦⎣ ⎦

&& && && &

&& && &

&& &

&& &

(2.98)

Aqui as matrizes de inércia e restauração evidenciam os acoplamentos

entre jogo e o tanque.

2.3.2 Coeficientes Hidrodinâmicos e as Forças de Excitação:

A avaliação dos coeficientes de massa adicionada e amortecimento,

assim como as forças e momentos de excitação devido às ondas podem ser

obtidos utilizando a Teoria Potencial bidimensional. Assume-se que o

potencial de velocidade que caracteriza o campo de velocidades no entorno

do navio está dividido em uma parcela permanente associada à velocidade de

avanço do navio e outra parcela não permanente (em função do tempo)

50


associada às ondas incidentes e ao movimento permanente do navio. Para a

análise de comportamento em ondas este potencial não permanente é mais

importante e pode ser dividido em três componentes: potencial de onda

incidente, potencial de onda de difração e potencial de irradiação, sendo um

potencial para cada grau de liberdade do navio. Com a solução numérica dos

correspondentes problemas de valor de contorno (PVC) pode obter-se o

potencial total, para logo aplicar a equação de Bernoulli e obter as pressões na

superfície do casco, e com isto, as forças atuando no navio. As ações que

derivam do potencial incidente e difratado correspondem às forças e

momentos de excitação e as ações associadas ao potencial de irradiação

fornecerão as forças e momentos hidrodinâmicos.

As forças e momentos hidrodinâmicos são decompostas em parcelas

proporcionais à aceleração e à velocidade, onde definem-se os coeficientes de

massa adicional e amortecimento. Para obtenção desses coeficientes se utiliza

a Teoria das Faixas definida por Salvesen, Tuck e Faltinsen (1971), que

modela o problema tridimensional complexo como se fora a integração de

problemas bidimensionais. Ainda mediante a Teoria das Faixas podem ser

também calculadas as forças e momentos de excitação, as quais são

decompostas em duas parcelas: forças de Froude-Krilov e de difração.

Para o caso de ondas regulares, as forças de excitação para os

movimentos de afundamento, jogo e arfagem são expressas da seguinte

maneira:

)tcos(Z)t,(Z 3wewo αωχ +=

)tcos(K)t,(K 4wewo αωχ += (2.99) )tcos(M)t,(M 5wewo αωχ +=

2.3.3 Coeficientes de Amortecimento em Jogo

51


Como foi mencionado anteriormente, a Teoria Potencial é incapaz

de representar adequadamente os fenômenos de origem viscosa,

reconhecidamente relevantes no caso do amortecimento em jogo.

Conhecidas essas limitações, os efeitos viscosos foram tratados

separadamente, com a utilização de métodos semi-empíricos, que foram

obtidos a partir de experimentos com modelos em escala reduzida e alguns

resultados analíticos.

A formulação de Ikeda, apresentada por Himeno (1981), pode

adequar-se a uma grande variedade de formas de navios, além de levar em

conta o efeito de bolina e de velocidade de avanço. Levando em conta os

fenômenos físicos envolvidos no amortecimento de jogo ligados às

propriedades do escoamento fluido em torno do casco, o amortecimento em

jogo pode ser subdividido em cinco componentes principais, que são

expressas da seguinte maneira:

D F E L BKB B B B B Bφ = + + + + (2.100)

onde:

φB : Amortecimento total em jogo

DB : Amortecimento de onda do casco sem bolinas (wave damping).

FB : Amortecimento de fricção.

EB : Amortecimento por formação de vórtices (eddy damping).

LB : Amortecimento devido à sustentação (lift damping).

BKB : Amortecimento devido às bolinas (bilge keel damping)

O amortecimento devido à presença de bolinas não será avaliado,

devido a que está fora do objetivo deste trabalho.

As diferentes componentes do amortecimento possibilitam a

determinação de um coeficiente de amortecimento para um movimento

52


oscilatório forçado de jogo para uma dada freqüência e amplitude máxima

de jogo

O momento de amortecimento não linear em jogo é definido como

sendo do tipo:

φφφφ&&&

21 BBB += (2.101)

No Apêndice I são apresentados os coeficientes 1B e 2B , obtidos

pelo Método de Ikeda, para os navios analisados neste trabalho.

2.3.4 Equações Não-Lineares do Comportamento do Navio em

Ondas

Devido a que o modelo linear clássico representado na equação

(2.100) tem limitações para reproduzir alguns fenômenos físicos da

ressonância paramétrica, foram desenvolvidos vários modelos matemáticos

para reproduzir eficientemente estes fenômenos. Um desses modelos, que se

compara satisfatoriamente com resultados experimentais, é apresentado por

Rodríguez (2004), que desenvolve equações não-lineares para descrever os

acoplamentos entre afundamento, jogo e arfagem, incorporando termos não-

lineares até a terceira ordem. A seguir apresenta-se este sistema de equações

não lineares incluindo-se, no lado direito das equações, as forças e

momentos devido ao movimento do fluido dentro do tanque , ,ta ta taZ K M ,

assim:

( ) +++++++++++ θθφθθθ θθθφφθθθ zZZZzZZzZZZzZzZm zzzzzz222

21

21

21&&&&&& &&&&&&

++++++ 322223

61

21

21

21

21

61 θθθφφθ θθθθθφφθφφθ ZzZZzZzZzZ zzzzzzz

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) +++++++ 22 φθθθ φφζθζζζθζζζζθζ tZztZtZztZztZtZztZ zzzzz

53


( ) taw ZtZtZ +=2)( θθθζ (2.102)

( ) +++++++ φθφφφφφφ φθφφφφφφ KzKKKKKJ zxx&&&&&

&&&&&

++++ φθφθφφ φθθθφφφφφ zKKKzK zzz 21

61

21 232

( ) ( ) ( ) ( ) tawz KtKtKztKtKtK +=+++ )( φθφφφ ζφθφζζζφζφ (2.103)

( ) +θ+θ+φ++θ++++θ+θ+ θθθφφθθθ zMMMzMMzMzMzMMMJ zzzzzzyy222

21

21

21

&&&&&&&&&&&&

++++++ 322223

61

21

21

21

21

61 θθθφφθ θθθθθφφθφφθ MzMMzMzMzM zzzzzzz

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) +++++++ 22 φθθθ φφζθζζζθζζζζθζ tMztMtMztMztMtMztM zzzzz

( ) taw MtMtM +=2)( θθθζ

(2.104)

Nas Equações (2.102), (2.103) e (2.104) pode notar-se, além dos

termos lineares, o termo quadrático no amortecimento de jogo, o qual ajuda

a reproduzir eficientemente o amortecimento devido aos efeitos viscosos.

Os termos de segunda e terceira ordem na restauração, assim como

os termos de restauração devido à passagem da onda, incorporam os

acoplamentos dinâmicos do jogo com afundamento e arfagem, os quais são

fundamentais para reproduzir os efeitos da ressonância paramétrica (Neves e

Rodriguez, 2004, Neves e Rodriguez, 2005).

2.4 Equações Acopladas do Sistema Navio-Tanque com Coeficientes de

Quarta Ordem

Substituímos as Equações (2.82), (2.83) e (2.84) dentro das Equações

(2.102), (2.103) e (2.104), respectivamente. Ademais, consideramos o navio em

54


mar de proa. Então, para o movimento de jogo, a excitação devido às ondas é nula

. ( ) 0wK t =

Finalmente, com estas considerações o sistema de quatro equações não

lineares que representa o sistema dinâmico navio-tanque com quatro graus de

liberdade fica assim:

( ) +++++++++++ θθφθθθ θθθφφθθθ zZZZzZZzZZZzZzZm zzzzzz222

21

21

21&&&&&& &&&&&&

++++++ 322223

61

21

21

21

21

61 θθθφφθ θθθθθφφθφφθ ZzZZzZzZzZ zzzzzzz

( ) ( ) ( )z zZ t z Z t Z t zζ ζθ ζζθ+ + + (2.105)

( ) ( ) ( ) ( )2 2 ( )zz zZ t z Z t Z t z Z t Z tζ ζζθ ζ θ φφζ θθζ2θ θ φ+ + + + θ +

ττ

2 2 cos coszZ z Z Z Z Z Z Z Zτ τφθτθ φτ τφφ τθθ φτθ φτ φ θ φ θ φτ ττ+ + + + + + +&& & & & & & && &&&& &

&& & & & &&& &&& +& 2 2 2 2 ( )wZ Z Zφφττ θθττφ τ θ τ+ =& & & && & t

( ) +++++++ φθφφφφφφ φθφφφφφφ KzKKKKKJ zxx&&&&&

&&&&&

++++ φθφθφφ φθθθφφφφφ zKKKzK zzz 21

61

21 232

( ) ( ) ( ) ( ) ++++ φθφφφ ζφθφζζζφζφ tKztKtKtK z (2.106)

sen cosz zK K K z K K z K Kτ τ τφθτφ θτ τ φ τφθτ φ τ θτ φ φθ φ θ+ + + + + +&& && & & &&& && &&& && & & &&& && & +

2 2 cos cos( )K K K Kφθτθθτ φττ φττθ τ φτ φττ φ θ τ+ + +& & && & && && & & +

2 =

2 2sen cos( ) 0zK K z Kφθττ φττ φθττφ θ τ φτ φθτ+ +& & &&

& & &&

( ) +θ+θ+φ++θ++++θ+θ+ θθθφφθθθ zMMMzMMzMzMzMMMJ zzzzzzyy222

21

21

21

&&&&&&&&&&&&

++++++ 322223

61

21

21

21

21

61 θθθφφθ θθθθθφφθφφθ MzMMzMzMzM zzzzzzz

( ) ( ) ( )z zM t z M t M t zζ ζθ ζζθ+ + +

55


( ) ( ) ( ) ( )2 2 ( )zz zM t z M t M t z M t M tζ ζζθ ζ θ φφζ θθζ2θ θ φ+ + + +

2

2

2 2 2

sen

cos cos

sen( )

( )

z

z

wz

M z M M

M M M M z M M

M M M M

M M z M t

τ τθτθ

τφθ ττφτ φτ τφφ τ θ

θττθττ θττ φθτ

φφττ θ ττ

θ θ

θ +

φτ φτ φ θ φ θ ττ

θττ θττ θ τ φθτ

φ τ θ τ

+ + +

+ + + + +

+ + + +

+ =

&&&&

&& & & & & &&& &

&& & & &&

& & & &

&&&&

&& & & && &&

&& & & &&

& & &

+& (2.107)

2 2

sen cos

cos cos( ) 0z zT T T T z T T T z T

T T Tτ τ τ φθφ θτ φ φθ

φθτφφτ θθτ

τ τ φ τ θτ φ θ φ φθ

φ τ θ τ φ θ τ

+ + + + + + +

+ + =

&& && & & &&& & && &

& & & &

&& && & & &&& & && &

& &

+ (2.108)

Deve notar-se que os coeficientes , , , , ,Z K K K M Mτφθ τφθ φθτ φθττ τθ τφθ e Mθττ

representam as influências do peso do fluido dentro do tanque. Além disso,

notamos que este sistema não linear inclui termos de até quarta ordem devido aos

acoplamentos do tanque com os outros movimentos. Este sistema será resolvido

numericamente e se apresentará os resultados no Capitulo 3.

56

Capítulo 3.- Análises e Resultados

CAPÍTULO 3

ANÁLISES E RESULTADOS

Neste capítulo apresentam-se os resultados numéricos obtidos no presente trabalho. Dois

navios pesqueiros similares, Round - Stern (RS) e Transom Stern (TS) são utilizados para obter as

respostas numéricas. Foi mostrado experimental e numericamente que os dois navios são

propensos à ressonância paramétrica, (Pérez et al., 2000, Neves et al., 2002). Inicialmente serão

apresentadas as respostas de jogo sem tanque de estabilização. Em seguida será projetado o

tanque capaz de proporcionar uma eficiente sintonia com o navio. Posteriormente, serão

apresentadas as respostas dos navios com tanque de estabilização e estas serão comparadas com

as respostas dos navios sem tanque. Serão variados os diferentes parâmetros do tanque com o

objetivo de verificar suas influências sobre a ressonância paramétrica. As respostas serão

apresentadas para o movimento de jogo com as ondas incidindo sobre o navio pela proa.

3.1 Generalidades

Como foi apresentado no Capítulo 1, o objetivo do presente trabalho é

analisar a influência do tanque estabilizador passivo tipo U sobre a ressonância

paramétrica. Para atingir este objetivo precisamos inicialmente determinar e

analisar as respostas dos navios sem tanque de estabilização, para diferentes

condições de mar e velocidade de avanço.

Sabemos que em geral os movimentos do navio podem ser definidos

linearmente por equações diferenciais ordinárias, sendo facilmente resolvidas em

forma analítica, obtendo os resultados em função da freqüência. No entanto, para

57


n

reproduzir a dinâmica da ressonância paramétrica precisamos usar equações não

lineares. Uma dessas equações não lineares, comparadas satisfatoriamente com

resultados experimentais, foi desenvolvida por Rodríguez (2004) e apresentadas

no Capítulo 2. Estas equações não lineares NÃO têm soluções analíticas

conhecidas, e para serem solucionadas devemos integrá-las numericamente em

função do tempo. Assim, no presente trabalho foi utilizado um algoritmo de

integração, baseado no método de Runge Kutta de 4a ordem, para solucionar o

sistema de equações diferencias não lineares que representa os movimentos do

navio em afundamento, jogo e arfagem, obtendo as soluções em função do tempo.

Assim podem obter-se as respostas para uma faixa de freqüências, a partir do

regime permanente de cada série temporal. Uma das principais vantagens de obter

resultados numéricos, que representam os movimentos do navio, é que podem ser

analisadas outras zonas de instabilidade para diferentes sintonias, com tempo e

custos muito menores ao serem comparados com testes experimentais.

3.2 Testes Experimentais – Resultados

É importante ressaltar que os navios RS e TS já foram testados

experimentalmente com modelos reduzidos no Canal de Experiências

Hidrodinâmicas da Universidade Austral do Chile, com o objetivo de identificar

algumas características dinâmicas relacionadas com a ressonância paramétrica.

Serão considerados aqui estes resultados experimentais para tê-los por referência

ao obter os resultados numéricos quando consideramos o navio trabalhando sem

tanque de estabilização. Deve notar-se que os resultados experimentais foram

realizados somente para a sintonia 42eω ω= , que é a primeira região de

instabilidade, onde se mostrou grande possibilidade de encontrar ressonância

paramétrica. Informações adicionais referentes a estes testes podem ser

encontradas em Pérez et al. (2000) e Neves et al. (2002). A seguir apresentam-se

os resultados dos testes experimentais para os dois navios em duas condições de

carregamento, para diferentes velocidades e amplitudes de onda.

58


Tabela 3.1

Resultados Experimentais: Navio RS, mar de proa, e ωe = 2ωn4

GMt Fn Aw Ww Wave Slope φ [m] [m] [rad/s] Hw wL= [deg]

We = 1.417 rad/s 0.59 1/36 7

0.69 1/31 14 0.10

0.84

1.203

1/25 30

0.51 1/46 3

0.80 1/29 20 0.14

0.84

1.145

1/28 24

0.75 1/36 5

0.87 1/31 7 0.20

0.96

1.075

1/28 17

0.90 1/37 0

0.34

0.34 1.02

0.957 1/33 5

We = 1.775 rad/s 0.48 1/30 10

0.66 1/22 20 0.10

0.90

1.460

1/16 32

0.54 1/30 9

0.66 1/25 18 0.14

0.90

1.381

1/18 30

0.48 1/39 5

0.66 1/28 16

0.90 1/21 20 0.20

1.02

1.286

1/18 21

0.90 1/27 0

0.54

0.34 1.02

1.131 1/24 0

A Tabela 3.1 apresenta os resultados dos testes experimentais do navio RS.

Aqui pode observar-se que, para os dois valores de GM e em todas as velocidades

testadas, a amplitude do jogo paramétrico aumenta com a amplitude de onda. E na

maioria dos casos pode notar-se que o RS atinge maiores valores de jogo

paramétrico com o maior GM=0.54m.

59


Tabela 3.2

Resultados Experimentais: Navio TS, mar de proa, e ωe = 2ωn4

GMt Fn Aw Ww Wave Slope φ [m] [m] [rad/s]

w wH L= [deg]

We = 1.717 rad/s

0.30 1/53 15 0.11

0.66 1.396

1/24 27

0.45 1/39 18 0.15

1.02 1.323

1/17 28

0.45 1/44 4 0.20

0.60 1.249

1/33 19

0.60 1/40 5

0.37

0.30 0.78

1.136 1/31 38

We = 1.968 rad/s

0.39 1/32 19

0.63 1/20 22 0.11

1.02

1.564

1/12 27

0.39 1/36 2

0.60 1/24 13 0.15

1.08

1.477

1/13 16.5

0.20 1.02 1.389 1/16 0

0.50

0.30 1.02 1.257 1/19 0

Ondeφ é o regime permanente das respostas temporais em jogo.

Considerando os resultados experimentais do TS (Tabela 3.2) pode

observar-se as mesmas tendências das respostas, quando são comparados o

aumento do jogo paramétrico com a amplitude de onda.

Para obter um melhor estudo da ressonância paramétrica em função da

velocidade do navio, da Tabela 3.1 podemos analisar as respostas experimentais

do RS para as duas condições de carregamento, mantendo a amplitude da onda

constante.

60


Navio RS: Jogo (We=2Wn4,experimental)

0

10

20

30

40

0,00 0,10 0,20 0,30Fn

Âng

ulo

de J

ogo

(gra

us)

GM=0.34m, Aw=0.84mGM=0.54m, Aw=0.90m

Figura 3.1 Navio RS: Resposta em Jogo (experimental), sintonia ( 42e nω ω= ).

Da Figura 3.1 podemos notar que para uma amplitude de onda constante, a

amplitude do jogo paramétrico diminui com a velocidade. Esta tendência é

mantida para as duas condições de carregamento. Isto possivelmente é devido ao

amortecimento linear ( Kφ& ) que aumenta com a velocidade, aumentando a

dissipação de energia. A dependência deste coeficiente com a velocidade e

freqüência é apresentada no Apêndice I. Outra característica importante a notar-se

é que numa mesma velocidade, a resposta de jogo incrementa para o maior GM.

Com ajuda da Tabela 3.2 repetimos o procedimento anterior, agora para o

TS. Assim, apresentamos as respostas experimentais em duas condições de

carregamento mantendo a amplitude de onda constante e para diferentes números

de Froude. Devemos assinalar que com o objetivo de manter a amplitude

constante para diferentes velocidades e supondo que o jogo paramétrico aumenta

com a amplitude da onda, foram interpoladas algumas amplitudes de jogo. Esta

interpolação pode trazer erros nas respostas reais, por isso estas respostas

experimentais serão comparadas posteriormente com as respostas numéricas

obtidas no presente trabalho.

61


Navio TS: Jogo (We=2Wn4, experimental)

0

10

20

30

40

0,00 0,10 0,20 0,30Fn

Âng

ulo

de J

ogo

(gra

us)

GM=0.37m, Aw=0.78mGM=0.50m, Aw=1.02m

Figura 3.2 Navio TS: Resposta em Jogo (experimental), sintonia ( 42e nω ω= ).

Na Figura 3.2 deve notar-se que com GM e amplitude de onda menor, se

atinge maiores amplitudes de jogo, esta tendência é contraria ao RS. Assim

também deve notar-se, para o GM= 0.50m (maior), que a amplitude de jogo

diminui com o aumento da velocidade. Esta tendência pode notar-se para todas as

velocidades testadas. Já para o GM=0.37m (menor) mantém-se a mesma

tendência para baixas velocidades ( 0.15Fn ≤ ) e pelo contrario, para altas

velocidades o jogo paramétrico aumenta. Como veremos mais adiante, esta

configuração nem sempre acontece em todas as sintonias e as respostas dependem

de outros parâmetros do sistema.

3.3 Respostas em Jogo SEM Tanque de Estabilização

Em seqüência são apresentados os resultados numéricos para os navios

sem tanque de estabilização. Com a intenção de comparar as respostas em iguais

condições, começamos as simulações numéricas para os navios avançando com

. 0.20Fn =

3.3.1 Efeito da Freqüência Natural de Jogo 4( )nω

62


Quando o navio muda de massa, seja pelo consumo de

combustível ou mudança da carga, varia a posição do centro de

gravidade do navio, varia o GM e consequentemente varia a freqüência

natural de jogo. Daí a importância de analisar as respostas dos navios

para diferentes condições de carregamento.

Para o navio RS obtemos as respostas, para amplitude de onda

0.69wA m= , mostradas na Figura 3.3 para diferentes GMs e

freqüências naturais de jogo.

Figura 3.3 Respostas em Jogo SEM tanque Navio RS: Fn=0.20, Onda: Aw=0.69m, ksi=18

É interessante observar na Figura 3.3 que as máximas respostas

não oco

0º

rrem sempre para o menor GM, embora a região de freqüências

que excitam o jogo paramétrico seja mais ampla (ver resposta para

GM=0.34m). Pelo contrário, as maiores amplificações ocorrem para o

maior GM em uma região de freqüências menor.

63


A seguir são apresentadas as respostas de jogo para o navio TS

para as mesmas condições de carregamento para uma amplitude de

onda de 0.60wA m= , estas respostas são apresentadas na Figura 3.4.

Figura 3.4 Respostas em Jogo SEM tanque Navio TS: Fn=0.20, Onda: Aw=0.60m, ksi=180º

No caso do navio TS (Figura 3.4) as variações não são tão

marcan

Outra característica importante a ser notada é que

compro

tes, mas as mesmas tendências são mantidas, obtendo-se em

geral respostas menores para o navio TS com uma maior região de

freqüências. Deve lembrar-se que estas respostas de jogo são obtidas

para 0.20Fn = .

vamos o inicio do jogo paramétrico sempre próximo à sintonia

de ressonância 42e nω ω= , para todas as condições de carregamento

analisadas. Poré os que o jogo paramétrico não se limita

somente a esta sintonia de ressonância, senão que atinge outras

sintonias maiores; estas características de instabilidade não foram

m, notam

64


observadas nos testes experimentais devido a que a sintonia testada foi

limitada a um único valor.

3.3.2 Efeito da Velocidade de Avanço, Número de Froude ( ) nF

Como notamos nas Figuras 3.1 e 3.2, outro parâmetro

importante a ser analisado é a velocidade de avanço do navio (número

de Froude). Paralelamente, depois de analisar as respostas do navio

para diferentes condições de carregamento, se decide prosseguir com a

análise utilizando um GM alto para o navio RS (GM=0.50m) e um GM

baixo para o TS (GM=0.37m), isto com a intenção de obter maiores

amplitudes de jogo e ao mesmo tempo obter uma mesma freqüência

natural ( 4 0.858nω = rad/s), permitindo sintonizar-se um mesmo

tanque para os dois navios.

Figura 3.5 Respostas em Jogo SEM tanque,

Navio RS: GM=0.50m, Onda: Aw=0.69m, ksi=180º

65


A Figura 3.5 mostra a resposta do RS para diferentes números

de Froude. A tendência é que a amplitude do jogo aumenta com a

velocidade em toda a faixa de freqüências, à exceção das respostas

para , que atinge amplitudes de jogo maiores quando se

compara com e

0.00Fn =

0.10Fn = 0.14Fn = . É interessante notar que este

comportamento é diferente dos resultados dos testes experimentais

mostrados na Figura 3.1, onde a amplitude de jogo diminui com o

aumento do número de Froude. Isto é devido a que analisamos as

respostas para outro GM e com amplitude de onda menor

( 0.69wA m= ).

A seguir repetimos a mesma análise para o TS, chegando aos

resultados da Figura 3.6.

Figura 3.6 Respostas em Jogo SEM tanque, Navio TS: GM=0.37m, Onda: Aw=0.60m, ksi=180º

66


As respostas do navio TS para diferentes números de Froude

(Figura 3.6) mantém as mesmas tendências que o navio RS (Figura

3.5). Mas pode notar-se que algumas respostas não concordam com a

física do problema, atingindo valores de jogo muito acima do

esperado, inclusive indo para o infinito. Isto pode ser visto na Figura

3.6 para as respostas com 0.00Fn = e 0.30Fn = . Esse problema será

discutido no item seguinte.

3.3.3 Efeito da Inclinação da Onda ( )w

w

HsteepnessL

=

Um dos motivos pela qual se atinge grandes amplitudes de

jogo, é que nos resultados analisados a amplitude de onda se mantém

constante para todas as freqüências. Ao manter a amplitude de onda

constante e atingir altas freqüências, o perfil da onda se deforma

consideravelmente, chegando a configurações muito diferentes das

ondas reais.

Para solucionar este problema, se quantifica o perfil da onda em

função do adimensional steepness (ou inclinação da onda), que

relaciona altura ( )wH e comprimento da onda ( )wL . Supondo que o

navio navega em águas profundas, o comprimento de onda pode ser

relacionado facilmente com a freqüência da onda ( )wω . Esta análise é

importante porque ao manter o steepness constante ao longo da

freqüência, se representa melhor o perfil da onda. Assim, para baixas

freqüências haverá altas amplitudes de onda e para altas

freqüências haverá baixas amplitudes de onda mantendo um perfil

de onda proporcional ao longo da freqüência.

Tendo esta consideração fazemos os cálculos anteriores para

diferentes velocidades e mantemos o steepness constante

, obtendo as seguintes respostas em jogo. ( / 1/ 40w wH L = )

67


Figura 3.7 Respostas em Jogo SEM tanque, Navio RS

: GM=0.50m, Onda: / 1/ 40w wH L = , ksi=180º

Na Figura 3.7 são apresentadas as respostas do navio RS. Aqui

pode notar-se com

om o intuito de melhorar as respostas do navio TS, quando

analisam

o diminuem as amplitudes máximas de jogo,

principalmente em altas freqüências. Agora, notamos que o jogo

aumenta proporcionalmente para todas as velocidades. Este fenômeno

não pode ser visto quando se mantém a amplitude de onda constante.

Em geral, comparando a Figura 3.5 com a Figura 3.7, nota-se que

mantendo um stepness constante, ou seja, modificando a amplitude da

onda para cada freqüência, a resposta de jogo é muito melhor

comportada.

C

os a resposta de jogo para diferentes velocidades, se repete o

procedimento anterior mantendo o mesmo steepness constante,

obtendo as respostas apresentadas na Figura 3.8.

68


0Figura 3.8 Respostas em Jogo SEM tanque,

Navio TS: GM=0.37m, Onda: / 1/ 4w wH L = , ksi=180º

Na Figura 3.8 pode notar-se como os resultados concordam

com a física do problema, eliminando os casos em que o jogo tende ao

infinito e suavizando as curvas de resposta.

Comparando as Figuras 3.6 e 3.8 uma vez mais, notamos que a

amplitude do movimento de jogo é proporcional à velocidade do navio,

à exceção da resposta sem velocidade ( 0.00Fn = ), que incrementa a

amplitude de jogo quando se compara com 0.11Fn = . Este fenômeno

é devido a que a componente de amortecimento devido à sustentação

ajuda a uma maior dissipação de energia com o navio avançando. Estas

forças de sustentação estão relacionadas com Kφ& . Este fenômeno

também pode notar-se nos resultados experimentais (Figura 3.1).

3.3.4 Efeito da Amplitude de Onda ( )wA

69


n

Outro parâmetro importante a ser analisado é a amplitude da

onda. Para isto fazemos o procedimento similar ao Item 3.3.1, com a

diferença de que agora mantemos a freqüência de onda constante e

mudamos a amplitude de onda. Com o intuito de analisar o

desenvolvimento da ressonância paramétrica, as respostas serão

calculadas para sintonias próximas à sintonia de ressonância

42eω ω= . Com estas considerações obtemos os seguintes resultados,

para os dois navios com 0.20Fn = , apresentados nas Figuras 3.9 e

3.10.

Figura 3.9 Respostas em Jogo SEM tanque, Navio RS: GM=0.50m,Fn=0.20, Onda: ksi=180º

Na Figura 3.9 apresentam-se as respostas do navio RS. Aqui

também pode notar-se como o jogo paramétrico se inicia próximo à

sintonia 42e nω ω= , desenvolvendo-se para uma pequena região de

amplitudes de onda, além de ter uma suave linha de tendência.

Conforme incrementamos a sintonia, pode notar-se que aumentam as

amplitudes de jogo em uma maior região de amplitudes de onda.

70


Assim comprovamos novamente que a ressonância paramétrica não se

limita à sintonia 42e nω ω= .

Figura 3.10 Respostas em Jogo SEM tanque, Navio TS: GM=0.37m, Fn=0.20, Onda: ksi=180º

Notamos nas Figuras 3.9 e 3.10 que na maioria das respostas, a

amplitude do movimento de jogo incrementa-se com a amplitude da

onda (esta tendência foi notada nos testes experimentais), chegando a

um valor de amplitude onde as respostas decrescem muito

rapidamente. Esta característica é própria do modelo de terceira ordem

presente na primeira zona de instabilidade, onde a amplitude de jogo

tende a estabilizar-se para altas amplitudes de onda (Neves e

Rodriguez, 2006). Isto será analisado posteriormente utilizando o

diagrama 4/e nω ω vs. wA .

Deve notar-se que nestas últimas respostas se apresentam, no

eixo das abscissas, os diferentes steepness atingidos para cada

amplitude de onda. Cabe assinalar que as faixas de steepness

71


encontrados num mar real estão na ordem de 0.016 (1/60) até 0.05

(1/20), os quais são mostrados nos resultados anteriores.

3.3.5 Mapeamento no plano 4/e nω ω vs. wA

Como foi notado nos Itens 3.3.1 até 3.3.4 os parâmetros mais

importantes a serem analisados com respeito à onda são amplitude e

freqüência. Para uma análise mais detalhada da influência destes

parâmetros construímos os gráficos 4/e nω ω vs. wA , onde as

amplitudes de jogo são apresentadas em função de cores conforme as

legendas mostradas. Esses gráficos representam as zonas de

instabilidade em jogo. Os limites de sintonia ( 4/e nω ω ) e amplitude de

onda ( wA ) foram escolhidos tratando de não atingir valores de

steepness onde a onda quebra ( / 1/w wH L 11≤ ).

Estas zonas de instabilidade foram analisadas por Valério

(1994), que mostrou que os limites de estabilidade da equação não

linear de segunda ordem de jogo podem ser obtidos por expansão da

equação de Mathieu utilizando o método das perturbações. Desse

trabalho podemos ressaltar que da equação não linear de jogo (de

segunda ordem) podemos encontrar duas zonas marcantes de

instabilidade: a primeira zona de instabilidade próxima à sintonia

42e nω ω= com uma maior região instável, e a segunda zona de

instabilidade próxima à sintonia 4e nω ω= . O autor concluiu que a

segunda zona de instabilidade é mais sensível ao amortecimento

comparado com a primeira zona.

O modelo anterior foi aprimorado por Rodrigues (2004), que

apresentou o modelo não linear de terceira ordem e mostrou que este

modelo tem melhor concordância com os testes experimentais.

Também analisou os limites de estabilidade analiticamente, baseado na

72



Notamos na Figura 3.11 a existência das duas regiões de

instabil

metodologia apresentada por Hsu (1963). O autor concluiu que, neste

novo modelo, não pode ser aplicada a equação de Mathieu para a

análise da estabilidade, devido aos termos bi-harmônicos associados ao

modelo de terceira ordem, sendo a alternativa mais adequada a

Equação de Hill. Posteriormente, Neves e Rodriguez (2006)

propuseram uma metodologia numérica para o levantamento dos

limites de estabilidade do sistema de terceira ordem, que é a

sistemática que será empregada aqui.

Com o intuito de comparar as respostas para duas condições de

carregamento, se realizam os cálculos no RS com GM=0.34m e

GM=0.50m, para dois números de Froude diferentes.

idade, a primeira zona de instabilidade próxima à sintonia

42e nω ω= e a segunda zona de instabilidade, próxima à sintonia

4e nω ω= .

73


otamos uma maior região na primeira zona de instabilidade,

atingin

N

do ângulos de jogo de até 48ºφ = . Também pode conferir-se

que a primeira zona de instabilida icia na sintonia próxima a

42e n

de se in

ω ω= (esta característica pode ser notada nos resultados

tais da Tabela 3.1) e continua para freqüências e amplitudes

de onda maiores.

experimen

ode notar-se, na primeira zona de instabilidade (pela diferença

de core

om a intenção de analisar a influência da velocidade do navio,

repetim

P

s), que em uma mesma sintonia o jogo paramétrico aumenta

progressivamente com a amplitude de onda, existindo um limite

superior onde o jogo decresce rapidamente até estabilizar-se. Esta

característica é própria do modelo de terceira ordem onde os

parâmetros do sistema dinâmico estabilizam o movimento de jogo para

amplitude de ondas maiores. Deve apontar-se que está característica

não é reproduzida pelo modelo de segunda ordem, como apontado por

Neves e Rodrigues (2005).

C

os os cálculos anteriores para uma velocidade maior com

0.34Fn = . Segundo os testes experimentais, pode esperar-se que na

42e nsintonia ω ω= diminua a resposta de jogo, numa mesma amplitude

de onda 0.900.84wA m− . ≈

74



Efetivamente, comparando as Figuras 3.11 e 3.12, pode notar-

se que o jogo paramétrico diminui de amplitude na sintonia 42e nω ω= ,

embora aumente para sintonias maiores. Com o aumento da

velocidade, no início da primeira zona de instabilidade, é mais difícil

encontrar ressonância paramétrica para pequenas amplitudes de onda

( 0.75wA m≤ ), embora tendo uma maior região de instabilidade para

mais altas sintonias. A tendência para este GM é que com o aumento

da velocidade a primeira zona de instabilidade se desloca para cima da

sintonia 42e nω ω= , e no entorno da segunda zona de instabilidade

tende a desaparecer. Estas características foram encontradas por

Valério (1994), que são atribuídas ao amortecimento linear que

incrementa com a velocidade.

A seguir apresentamos na Figura 3.13 as respostas do navio RS

para um GM maior (GM=0.50m) com 0.20Fn = .

75


n


Comparando as Figuras 3.11 e 3.13, mesma velocidade com

GM diferentes, notamos que o aumento do GM diminui

consideravelmente a regiao da primeira zona de instabilidade, embora

fique mais instável devido a que se atinge jogo paramétrico em baixas

amplitude de onda, sobretudo em sintonias proximas a 42eω ω= . Pode

conferir-se que estas tendências forem notadas claramente nos ensaios

experimentais (Figura 3.1). Devido a isto, é mais interessante escolher

o GM=0.50m para testar o tanque de estabilização.

A seguir mantemos o mesmo GM=0.50 e aumentamos a

velocidade ( ), obtendo os seguintes resultados para o navio

RS, apresentados na Figura 3.14.

0.34Fn =

76



Comparando as Figuras 3.13 e 3.14, notamos que com uma

maior velocidade se elimina completamente a segunda zona de

instabilidade e aumenta ligeiramente a região da primeira zona de

instabilidade, mostrando-se ainda a presença de ressonância

paramétrica em baixas amplitudes de onda e em sintonias maiores.

Devido a que atingimos a zona de instabilidade com baixas amplitudes

de onda, decide-se aqui por calcular as respostas do navio com tanque

considerando o GM=0.50m e 0.34Fn = . Assim estaremos verificando

a aplicação do tanque estabilizador para a pior condição desse navio.

Comparando as Figuras 3.12 e 3.14, mesma velocidade com

diferentes GM, pode observar-se a mesma tendência do caso de

, ficando mais instável para o maior GM=0.50m, atingindo

jogo paramétrico a partir de

0.20Fn =

0.33wA m= na sintonia 42.25e nω ω= . Já

77


no menor GM=0.34m, começa a aparecer o jogo paramétrico em uma

amplitude de onda maior com 0.50wA m= e sintonia 42.50e nω ω= .

A seguir repetimos o procedimento anterior agora para o navio

TS. Devido a resultados numéricos anteriores, se esperam obter

respostas menores em uma região maior de freqüências (Figura 3.4),

quando se compara com o RS (Figura 3.3).

Assim, obtemos as respostas para um baixo GM=0.37m e

, obtendo os seguintes resultados apresentados na Figura

3.15.

0.20Fn =


Comparando a Figura 3.11 com a Figura 3.15, navios RS e TS

com baixos GM e mesma velocidade, pode notar-se que o TS atinge

menores amplitudes de jogo embora seja mais instável devido a que

atinge o jogo paramétrico para menores amplitudes de onda, sobretudo

na primeira zona de instabilidade. Estas características das respostas

são atribuídas à diferença da forma do casco que influencia

direitamente os coeficientes de restauração estáticos e devidos à

78


passagem da onda. Ou seja, a forma da popa Transom é mais instável

do ponto de vista dinâmico. Esta forma da popa influencia diretamente

a distribuição longitudinal de “flare” (inclinação do casco na linha de

flutuação), que por sua vez determina todos os coeficientes

restaurativos. Como podemos notar no Apêndice I, Item I.4., estes

coeficientes são maiores no TS para todas as freqüências de onda.

Deve observar-se na Figura 3.15 que a primeira zona de

instabilidade apresenta novamente limite superior. Estas características

dinâmicas não foram percebidas durante os testes experimentais,

devido ao fato de que estes foram realizados para uma única sintonia.

A seguir mantemos o GM=0.37m e aumentamos a velocidade

para . Os resultados são apresentados na Figura 3.16. 0.30Fn =


Pode notar-se da Figura 3.16, que para uma maior velocidade e

0.60wA m< se atinge aproximadamente os mesmos ângulos de jogo.

Para valores maiores notamos um aumento rápido de jogo passando de

79


35ºφ = a 90ºφ = (emborcamento), para um pequeno incremento na

amplitude de onda, sendo esta a configuração mais perigosa até o

momento. Pode conferir-se da Tabela 3.2, GM=0.37m, , que

a resposta para

0.30Fn =

0.60wA m= é 5ºφ = . Depois de um pequeno

incremento da amplitude de onda atingimos 38ºφ = . Estas respostas

experimentais são bem reproduzidas nas respostas numéricas da Figura

3.16.

Nesta última figura pode notar-se que dentro da primeira zona

de instabilidade existe uma zona instável crítica bem marcante (região

vermelha). Esta zona pode ser atingida para sintonias 42e nω ω≥ e

amplitudes de onda entre 0.57 0.87wm A m≤ ≤ . Se comparamos as

Figuras 3.12 e 3.16, RS e TS com GM baixos e altas velocidades,

notamos que em condições semelhantes o TS é novamente mais

instável, atribuindo-se esta característica à diferencia na forma da

popa, como discutimos anteriormente.

Repetimos aqui o procedimento anterior para GM=0.50m, para

duas velocidades diferentes.


80


Comparando as Figuras 3.15 e 3.17, notamos para uma mesma

velocidade, que o aumento do GM diminui a região da primeira zona

de instabilidade, embora sejam atingidos maiores amplitudes de jogo

em amplitudes de onda e freqüências altas. Para estes dois casos inicia-

se a zona de instabilidade para baixas amplitudes de onda

( 0.25wA m≈ ). A segunda zona de instabilidade só aparece para

amplitudes de onda 0.75wA m> . De forma geral podemos afirmar que

o aumento do GM estabiliza o movimento de jogo para este número de

Froude. Na segunda zona de instabilidade podemos notar aumentos

violentos do jogo paramétrico, sendo possível chegar facilmente ao

emborcamento com uma pequena mudança na amplitude de onda.

Devemos lembrar que ao aumentar o GM, os parâmetros que influem

no comportamento do navio são os coeficientes de restauração estática

que ajustam a curva de estabilidade estática.

Agora, para analisar a influência da velocidade mantemos o

GM=0.50m e aumentamos velocidade ( 0.30Fn = ).


81


n

Comparando as Figuras 3.17 com 3.18, mesmo GM e diferentes

velocidades, notamos que o aumento da velocidade aumenta a região

da primeira zona de instabilidades. Pelo contrário, a região da segunda

zona de instabilidade tende a diminuir, sendo que esta tendência pode

notar-se nos casos anteriores com o aumento da velocidade.

Igualmente, ao comparar as Figuras 3.16 com 3.18 notamos que

para uma mesma velocidade o GM maior mostra menor região das

zonas de instabilidade. Isto confirma que o TS é mais estável para um

maior GM. Além disso, podemos notar na Figura 3.18, na sintonia

42eω ω= , que não aparecem incrementos rápidos da respostas de jogo

(desaparece a zona vermelha nesta sintonia). Esta tendência pode ser

conferida nos resultados experimentais mostrados na Tabela 3.2.

Depois de todos os mapeamentos anteriores, podemos concluir

que com o aumento da velocidade, para um mesmo GM, tende a

diminuir a região da segunda zona de instabilidade. Pelo contrário, a

região da primeira zona de instabilidade tende a aumentar. O aumento

do GM, para uma mesma velocidade, diminui tanto a primeira como a

segunda zona de instabilidade. Além disso, devemos apontar que para

continuar com a análise e utilizar o tanque de estabilização,

escolhemos os casos mais críticos encontrados nos dois navios: para o

RS: GM=0.50m com 0.34Fn = , e para o TS: GM=0.37m com

. 0.30Fn =

3.4 Projeto e Sintonização do Tanque

Analisadas as respostas em jogo e escolhidos os casos mais críticos, nosso

passo seguinte é projetar o tanque de estabilização para atingir uma máxima

eficiência e verificar a possibilidade de eliminar o jogo paramétrico em todas as

amplitudes e freqüências de onda.

82


Projetar um tanque de estabilização consiste, por um lado, em estabelecer

a configuração geométrica interior mais adequada, de acordo com as limitações de

projeto impostas: localização do tanque no navio, dimensões máximas e

amortecimento. E por outro lado, definir, em função do estado de mar, as

características de navegação do navio e a quantidade de fluído que deve conter o

tanque.

O primeiro parâmetro que pode ser definido é o comprimento transversal

do tanque 2 wB (vide Figura 2.2), dimensionando o tanque para ocupar a boca do

navio. Sabemos que os navios RS e TS têm a boca aproximadamente de 6m, então

podemos definir nosso primeiro parâmetro como 3wB m= .

Por outro lado, com ajuda da Equação (2.90), podemos analisar a

influência da geometria do tanque sobre sua freqüência natural. Como referência,

as seguintes relações são consideradas neste analise: e

.

/(2 ) 1/ 3r wH B =

/(2 ) 1/ 40d wH B =

Figura 3.19 (a) Figura 3.19 (b)

83


)

Figura 3.19 (c) Figura 3.19 (d)

Figura 3.19 Influência da geometria do tanque sobre sua freqüência natural ( tω para Hr/(2Bw)=1/3 e Hd/(2Bw)=1/40

Notamos na Figura 3.19(a), que ao avaliar 2 6wB m= , utilizando a relação

de , atingimos aproximadamente a freqüência natural dos navios /(2 ) 1/ 4r wW B =

4( 0.858)nω = . Com esta última relação, também atingimos a mesma freqüência

natural para as demais geometrias [vide Figura 3.19(b), 3.19(c), 3.19(d)]. Deve-se

lembrar que as geometrias selecionadas estão dentro de valores reais a serem

utilizados. Assim, dos valores anteriores podemos encontrar a seguinte geometria

do tanque, . 1.5rW m=

Por outro lado, sabemos que durante a rota o navio sofre mudanças na sua

freqüência natural. Este aspecto é mais notório em navios petroleiros e cargueiros,

onde a carga está mudando de um porto a outro, pelo que o GM se modifica,

mudando com este a freqüência natural de jogo. Tendo esta consideração, os

seguintes parâmetros geométricos deverão ser definidos com a intenção de poder

modificar a freqüência do tanque. Do ponto de vista prático podemos notar na

Equação (2.90) que o único parâmetro que pode ser alterado quando o tanque já

esteja construído é a altura da água dentro dos reservatórios ( )rH , então o

objetivo é atingir diferentes freqüências naturais mudando só este parâmetro.

84


Depois de determinar os valores de wB e , construímos a Figura 3.20

para analisar a influência de

rW

rH sobre a freqüência do tanque, obtendo:

Figura 3.20 Influência da altura do fluído ( )rH sobre

a freqüência natural do tanque ( )tω , quando 3wB m=

Notamos da Figura 3.20 que a altura rH não influencia consideravelmente

a freqüência do tanque, sendo necessário mudar o último parâmetro dH para

atingir varias freqüências. Agora nos vemos na necessidade de fixar a freqüência

natural do tanque para uma única freqüência natural de jogo. No presente

trabalho, pode considerar-se que não muda consideravelmente a freqüência

natural de jogo para os dois navios, sendo esta 4 0.858nω = . Assim pode-se fixar

1.5rH m= mudando agora a freqüência do tanque com dH .

A Tabela 3.3 mostra as características geométricas do tanque, utilizadas

nos navios RS e TS, para diferentes sintonias 4/t nω ω .

rW rH dH tω 4/t nω ω1 1,50 1,50 0,251 0,773 0,900 2 1,50 1,50 0,304 0,859 1,000 3 1,50 1,50 0,360 0,944 1,100 4 1,50 1,50 0,419 1,030 1,200

85


5 1,50 1,50 0,480 1,116 1,300 Tabela 3.3 Geometrias do Tanque: Bw=3m

Deve assinalar-se que o comprimento longitudinal do tanque ( tL ) será

calculado com ajuda da Equação (2.91) depois de escolher a porcentagem de

massa do fluido dentro do tanque com respeito à massa do navio ( ). /tm m

3.5 Respostas em Jogo COM Tanque de Estabilização

Como foram apontados anteriormente, os casos mais críticos em que

atingimos ressonância paramétrica e grandes amplitudes de jogo paramétrico são

RS: GM=0.50m com , e TS: GM=0.37m com 0.34Fn = 0.30Fn = . A idéia aqui é

de buscarmos demonstrar a eficiência do tanque estabilizador passivo mesmo nos

casos mais críticos.

Com o intuito de analisar diferentes configurações do tanque verificando-

se as influências dos principais parâmetros, foram obtidas diferentes respostas

para variações sistemáticas de sintonias, massas e amortecimentos do tanque.

Foram obtidas e analisadas cinco sintonias ( 4/t nω ω = 0.9, 1.0, 1.1, 1.2 e 1.3), cada

sintonia com três amortecimentos ( tη = 0.3, 0.4 e 0.5).

Para o navio TS foram analisadas as sintonias e amortecimentos definidas

acima, cada uma com três relações de massa ( /tm m = 3%, 4% e 5%), obtendo-se

um total de 45 gráficos de estabilidade com tanque. Devido a que a ressonância

paramétrica tem menor influência no navio RS, foram analisadas duas relações de

massa ( 2% e 3%), obtendo-se 30 gráficos de estabilidade com tanque

para as diferentes sintonias, massas e amortecimentos.

/tm m =

Todos esses gráficos de estabilidade obtidos para o RS e TS, para

diferentes sintonias, massas e amortecimentos, são apresentadas no Apêndice II.

Neste Capitulo serão apresentados e analisados os gráficos mais relevantes.

86


Devido a que o navio TS é mais sensível à ressonância paramétrica em

uma maior faixa de freqüências de encontro, é mais interessante analisar a

influência do tanque neste navio.

Como é conhecido, encontramos na literatura (modelo linear para mar de

través) que o tanque deve ser sintonizado na mesma freqüência natural de jogo

para atingir uma máxima eficiência 4t nω ω= . Assim, notamos que um dos

parâmetros mais importantes para iniciar a análise é a freqüência natural do

tanque. Como foi apontado anteriormente, a freqüência do tanque será analisada

com respeito à freqüência natural de jogo, variando desde a sintonia 4/ 0t n .9ω ω =

até 4/ 1t n .3ω ω = . Inicialmente, apresentamos as respostas para uma massa do

tanque de / 3tm m %= e amortecimento adimensional de 0.3tη = .

3.5.1 Influência da Freqüência do Tanque ( )tω

Figura 3.21(b) Figura 3.21(a)

87


Figura 3.21 Respostas de Jogo COM tanque.

S: GM=0.37m,

Figura 3.21(c) Figura 3.21(d)

Figura 3.21(e)

Navio T 0.30Fn = , Tanque: t / 3%m m = 0.3, tη =

as Figuras 3.21 (a),(b),(c),(d) e (e) apresentam-se as respostas

de jogo

N

para o TS, trabalhando com o tanque de estabilização passivo.

Nesta figura são apresentadas diferentes sintonias do tanque. As

configurações para atingir as diferentes sintonias do tanque são

mostradas na Tabela 3.3.

88


Uma observação que podemos apontar, comparando a Figura

3.16 com as Figuras 3.21, é que o jogo paramétrico diminui

consideravelmente para uma grande parte das sintonias analisadas, e

inclusive se mantém a tendência de estabilizar o jogo paramétrico na

região com altas amplitudes de onda. É notório que o tanque de

estabilização é eficiente para quase todas as regiões de instabilidade.

Outra característica a notar é que com o aumento da freqüência do

tanque (sintonia do tanque), tende a diminuir a segunda zona de

instabilidade.

A principal característica desta análise é que existe uma

freqüência ( tω ) na qual o navio sintoniza com o tanque e atinge uma

máxima eficiência, eliminando uma grande parte da região da primeira

zona de instabilidade. Quando se comparam as Figuras 3.21: (a), (b),

(c), (d) e (e), pode observar-se que a sintonia que elimina a maior parte

da primeira zona de instabilidade é 4/ 1t n .1ω ω = . Nas outras figuras

pode observar-se como a região de instabilidade tende a desaparecer

com uma declividade positiva (inclinada à direita) para baixas

sintonias do tanque ( 4/ 1t n .1ω ω < ), chegando a desaparecer totalmente,

e logo aumenta com uma declividade negativa (inclinada à esquerda)

para maiores sintonias ( 4/ 1t n .1ω ω > ).

3.5.2 Influência da Massa do Fluído Dentro do Tanque ( )tm

Após definir a sintonia mais eficiente entre o tanque e o navio,

o seguinte parâmetro a ser analisado é a massa do fluido dentro do

tanque. Para esta análise mantemos constante a sintonia do tanque

4/ 1t n .1ω ω = e o amortecimento 0.3tη = , mudando os valores de

massa: 3%, 4% e 5%, obtendo os seguintes resultados,

apresentados na Figura 3.22.

/tm m =

89


Figura 3.22(a) Figura 3.22(b)

Figura 3.22 (c)

Figura 3.22 Respostas de Jogo COM tanque.

Navio TS: GM=0.37m, 0.30Fn = , Tanque: 4/ 1.1 0.3tt nω ω = , η =

Uma vez que o tanque esteja bem sintonizado, pode notar-se

como a massa do fluido não influi consideravelmente sobre as

respostas em jogo (Figuras 3.22). Nestas figuras deve observar-se

como a sintonia do tanque é o parâmetro mais importante a ser

definido no início do projeto.

90


A recomendação geral é ter a menor quantidade de massa do

fluido possível, mas por outro lado notamos que para massa

3% ainda temos algumas pequenas regiões na primeira zona

de instabilidade [Figura 3.22(a)], por isso se decide seguir a análise do

amortecimento com uma massa de

/tm m =

/tm m = 4%.

3.5.3 Influência do Amortecimento do Tanque ( )tη

A última característica do tanque a ser analisada é o

amortecimento (adimensional tη ). Mantendo a sintonia e a massa

constantes, se muda o amortecimento desde 0.3tη = até 0.5tη = ,

assim são obtidos os resultados apresentados na Figura 3.23.

Figura 3.23(a) Figura 3.23(b)

91


Figura 3.23 (c)

Figura 3.23 Respostas de Jogo COM tanque Navio TS: GM=0.37m, 0.30Fn = ,

Tanque: 4/ 1.1t n = , m m/ 4%tω ω =

Podemos notar nas Figuras 3.23(a) e 3.23(b) que para

amortecimentos 0.4tη ≤ , as regiões de instabilidade não são

influenciadas consideravelmente. Já para valores maiores, Figura

3.23(c), começa a aparecer a região da primeira zona de instabilidade.

Uma conclusão prévia que podemos apontar é que para um

determinado tanque, com uma determinada freqüência e massa, existe

uma faixa de amortecimentos onde o tanque trabalha eficientemente.

Como apontamos anteriormente, na prática este amortecimento pode

ser controlado utilizando chicanas na parte interna do duto.

3.5.4 Influência da Posição Vertical ( )zL do Tanque

Outro parâmetro importante que deve ser analisado é a posição

do tanque dentro do navio, para isto fazemos coincidir a origem do

sistema móvel (O) mostrado na Figura 2.1 com o centro de gravidade

do navio (CG). O ponto de referência do tanque será o centro do duto,

como pode ver-se na Figura 2.2. Devemos assinalar que em toda a

92


análise do tanque feita anteriormente teve-se em consideração que a

origem do sistema móvel estava no CG.

Por outro lado, a condição que nos apresenta a resposta mais

crítica entre os dois navios é a da Figura 3.16, onde podemos notar

como atingimos ângulos de emborcamento para uma grande região de

amplitudes de onda e sintonia. Desta Figura 3.16 escolhemos as

condições de mar para o navio TS com amplitude de onda 0.70wA m=

e analisamos a influência da posição vertical do tanque para várias

freqüências de encontro. Da Figura 3.21(e) escolhemos as

características do tanque menos eficiente (dessintonizado), isto para

fazer notória a influência da posição vertical do tanque sobre as

respostas de jogo.

Com estas últimas condições podemos fazer um mapeamento

detalhado da melhor posição que deve ter o tanque dentro do navio

para atingir uma máxima eficiência. Para isto construímos o gráfico

4/e nω ω vs. zL . Devemos lembrar que o sinal negativo de zL significa

que o centro do duto (do tanque) se localiza acima do CG do navio e o

sinal positivo o contrario. Tendo estas considerações, apresentamos as

respostas para o navio TS com tanque em diferentes posições verticais,

estas respostas são mostrados na Figura 3.24.

93


Figura 3.24 Influência da Posição do Tanque sobre as respostas de Jogo

Navio TS: GM=0.37m, 0.30Fn =

Da Figura 3.24 pode notar-se como para uma mesma sintonia o

tanque é mais eficiente quando se localiza acima do CG, tendo aqui

uma menor zona instável onde o jogo paramétrico está presente. Na

mesma figura observa-se como a amplitude de jogo paramétrico

aumenta quando o tanque vai-se aproximando do CG e segue

aumentando quando o tanque fica mais embaixo deste. Assim mesmo

deve notar-se como a eficiência do tanque é independente da

localização em baixas freqüências de encontro ( 4/ 1.e n 60ω ω ≤ ).

3.5.5 Simulações no Tempo

Com o objetivo de analisar outras características do

comportamento do navio com tanque, apresentamos as respostas do

navio em função do tempo. A seguir, primeiro se mostra a resposta do

TS nos três graus de liberdade sem tanque.

94


Figura 3.25 Respostas do Navio TS SEM tanque em Afundamento, Jogo e Arfagem

Notamos na Figura 3.25 que a amplitude máxima do jogo

paramétrico é atingida em menos de 40 segundos no quinto ciclo,

chegando a uma amplitude máxima de 20.4º. Do ponto de vista prático

esta amplitude é potencialmente perigosa. A seguir se apresenta na

Figura 3.25 a série temporal anterior, agora utilizando o tanque de

estabilização projetado.

Figura 3.26 Respostas do Navio TS COM tanque em Afundamento, Jogo e Arfagem

Pode notar-se na Figura 3.26 como o tanque elimina

completamente o jogo paramétrico. Para os movimentos de

afundamento e arfagem, a influência do tanque não é significativa.

95


Para apreciar melhor o comportamento do jogo com e sem tanque de

estabilização apresenta-se a seguinte série temporal, vide a Figura 3.27.

Figura 3.27 Respostas em Jogo do Navio TS, COM e SEM tanque

Pode notar-se claramente na Figura 3.27 a eficiência do tanque

para eliminar o jogo paramétrico: a amplitude de jogo é eliminada

antes dos 60 segundos de iniciado o movimento, aproximadamente no

quinto ciclo. Para entender melhor a dinâmica das respostas de jogo e

do tanque se apresenta a Figura 3.28.

Figura 3.28 Resposta em Jogo com Tanque em regime permanente

96


Uma característica interessante a notar-se na dinâmica do

controle do jogo paramétrico por meio de tanques estabilizadores é a

defasagem entre o movimento de jogo e o movimento do fluido, que

devem opor-se ao longo do tempo. Ou seja, quando o tanque é bem

sintonizado com massa e amortecimento adequados, o movimento do

fluido deverá estar em defasagem com jogo em cerca de 180º.

Movimentos angulares acoplados em sentidos opostos tendem a

eliminar-se ao longo do tempo, este fenômeno é o principio do tanque

de estabilização. A Figura 3.28 ilustra um caso de quase anti-fase.

Deve apontar-se que na Figura 3.28 utilizou-se um amortecimento

maior, isto para obter respostas de jogo que não se eliminem ao longo

do tempo e poder assim apreciar melhor as respostas do tanque e do

navio.

Outro caso interessante a ser explorado é quando a respostas de

jogo são correspondentes a emborcamento, para isto podemos notar da

Figura 3.16 que este caso acontece com o navio TS com .

Assim escolhemos uma sintonia de

0.30Fn =

4/e nω ω = 2.45 com amplitude de

onda de 0.70wA m= e comparamos as séries temporais com e sem

tanque de estabilização, obtendo as respostas mostradas na Figura

3.29.

Figura 3.29 Respostas em Jogo do Navio TS COM e SEM tanque em mar crítico

97


Pode notar-se da Figura 3.29 que neste caso crítico o navio sem

tanque chega a atingir o emborcamento em menos de 85 seg. Assim

mesmo pode observar-se claramente a eficiência do tanque de

estabilização quando está bem sintonizado, eliminando rapidamente as

amplitudes do jogo paramétrico, não deixando que a ressonância

paramétrica desenvolva-se completamente.

98

Capítulo 4.- Conclusões

CAPÍTULO 4

CONCLUSÕES E RECOMENDAÇÕES

No presente trabalho foi utilizada a teoria do tanque de estabilização passivo tipo U para

desenvolver um modelo matemático que descreve o movimento do fluido, assim como as forças e

momentos que o tanque fornece ao navio. Posteriormente, acopla-se o tanque a um modelo

dinâmico de um navio com três graus de liberdade, com a finalidade de eliminar o jogo

paramétrico em mar de proa. Foram comparados os resultados para dois navios com

características semelhantes com diferentes formas de popa, ambos os navios propensos a forte

ressonância paramétrica. No presente capítulo se apresenta as conclusões e recomendações com

base nos resultados obtidos. Finalmente são feitas recomendações para trabalhos futuros.

4.1 Conclusões e Recomendações Gerais

• O modelo proposto desenvolve uma equação não linear de terceira ordem

para descrever o movimento do fluido dentro do tanque com um grau de

liberdade. As ações (forças e momentos) do tanque são de até quarta

ordem. Acoplando este modelo do tanque a um modelo não linear de

terceira ordem, que representa eficientemente as respostas do navio em

mar de proa, podemos mostrar que o tanque atenua e elimina o jogo

paramétrico em diferentes regiões de instabilidade.

• O modelo aqui proposto foi desenvolvido tendo-se em mente tanques em

U com seções retangulares / quadradas. No entanto, a adaptação para

seções tubulares pode ser feita sem dificuldades.

99


• Pode concluir-se que o modelo aqui proposto reproduz eficientemente as

respostas do navio sem tanque de estabilização. Para conseguir isto foram

anuladas as forças e momentos que o tanque impõe ao navio. Nestas

respostas pode notar-se as características das zonas de instabilidade

próprias do modelo de terceira ordem.

• A principal contribuição deste trabalho é a demonstração de que,

numericamente, o tanque de estabilização passivo tipo U elimina a

ressonância paramétrica diminuindo consideravelmente as zonas instáveis.

• A freqüência natural do tanque deve ser o primeiro e mais importante

parâmetro a ser definido, com o objetivo de sintonizar o tanque com o

navio, obtendo-se assim a geometria do tanque. De acordo com as

condições de projeto o parâmetro seguinte que deve ser definido é a massa

do fluido dentro do tanque. Finalmente, o amortecimento é o último

refinamento na diminuição do jogo paramétrico. No presente trabalho,

encontrou-se a melhor resposta do navio com tanque na sintonia

4/ 1.1t nω ω = , massa / 4%tm m = e amortecimento 0.3tη = . Comprova-se

que o tanque NÃO necessariamente deve estar na sintonia 41.0t nω ω= ,

como muitos autores indicam na análise do tanque de estabilização tipo U

com o navio em mar de través (Lloyd, 1989, Gawad et al., 2001, Yousset,

et al., 2003, Phairoh et al., 2005).

• Analisando as simulações numéricas em função do tempo, concluímos que

pode eliminar-se totalmente o jogo paramétrico em quase sessenta

segundos (60 seg.) depois de iniciar-se o movimento, como mostra a

Figura 3.27, dependendo o tempo das condições iniciais do movimento do

navio. Isso evidencia que a ação do tanque é de evitar a amplificação

progressiva de jogo, que é característica essencial de jogo paramétrico sem

estabilização.

100


• O tanque passivo tipo U é mais eficiente quando o duto horizontal do

tanque se localiza mais acima do centro de gravidade (CG), como mostra a

Figura 3.24. Quando o tanque é bem sintonizado não é relevante a

localização vertical, mas na maioria dos casos o navio chega a atingir

diferentes freqüências naturais numa mesma viagem, nestes casos quando

o tanque é dessintonizado será mais eficiente quando esteja mais acima do

CG. As amplitudes de jogo atingidas com o tanque dessintonizado

aumentam progressivamente quando o tanque fica mais embaixo do CG. O

tanque dessintonizado pode ser eficiente para baixas freqüências de onda

(vide Figura 3.24).

• Comparando os navios, podemos conferir que o TS é mais sensível a

atingir ressonância paramétrica, necessitando uma massa e amortecimento

maior que o RS. Esta característica pode trazer limitações na prática,

necessitando possivelmente de um tanque ativo para diminuir a massa do

tanque e aumentar a rapidez da resposta.

• O fato de que a sintonia navio-tanque, favorável para cancelar a

amplificação paramétrica, não coincide com aquela usualmente definida

para a atuação de tanques em mar de través, impõe a conclusão de que

tanques projetados para atuar eficientemente em ambas condições deverão

ser dotados de algum mecanismo de controle.

4.2 Trabalhos Futuros

• Vemos a necessidade de comparar e validar os resultados numéricos,

obtidos no presente trabalho, com resultados experimentais feitos com

modelos em escala reduzida.

• Tentar eliminar outras zonas de instabilidade utilizando um tanque ativo

tipo U, por meio de uma bomba de água no duto e/ou pressão interna nos

101


reservatórios, isto para diminuir a massa do fluido dentro do tanque. O

tanque ativo pode ser governado por sistemas de controle que podem ser

alimentados pelos movimentos do navio, especificamente jogo.

• Estudar os efeitos do tanque tipo U trabalhando paralelamente com outros

sistemas de estabilização, como bolinas ou aletas de estabilização.

• Considerar o movimento do fluido dentro do tanque com seis graus de

liberdade acoplados com os seis graus de liberdade do navio, analisando

a influência dos acoplamentos do tanque com os movimentos de avanço

(surge), desvio (sway) e guinada (yaw).

• Investigar a influência do tanque sobre o navio em diferentes ângulos de

incidência da onda, estudando os limites de estabilidade correspondentes,

sobretudo em mar de popa, onde podem iniciar-se outros tipos de

instabilidades dinâmicas.

• Estudar as respostas do navio com vários tanques em forma de tubo em

U, colocados ao longo do comprimento do navio, isto com o intuito de

diminuir a massa do fluido e aumentar a eficiência do tanque.

• Analisar a influência do tanque em U sobre outras formas de navios

propensos à ressonância paramétrica, como porta-contentores. Pode

analisar-se, também, a influência do tanque tipo U sobre outros sistemas

flutuantes.

102

Referências Bibliográficas

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

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110

APÊNDICE I

MASSA ADICIONAL, AMORTECIMENTO, RESTAURAÇÃO E

FORÇAS DE EXCITAÇÃO PARA OS NAVIOS RS E TS

I.1. Coeficientes de Massa Adicional

Como mencionado anteriormente, os coeficientes de massa adicional podem ser

calculados usando a teoria potencial associada à teoria das faixas. Meyers et al. (1975)

apresentam um programa numérico baseado em Salvesen et al. (1970) que permite

calcular estes coeficientes para velocidade de avanço nula. O efeito da velocidade é

incorporado usando as expressões apresentadas em Salvesen et al. (1970), e

reproduzidas por Lewis (1989). A seguir são apresentados os coeficientes de massa

adicional para velocidade de avanço nula e mar de proa (χ=180°):

Fig. AI-1.- Massas adicionais para os navios RS e TS (Fn = 0.0, χ=180°)

111

Apêndice I

I.2. Coeficientes Lineares de Amortecimento (Potencial)

Como mencionado anteriormente, (vide Capítulo 2) a teoria potencial fornece

também resultados satisfatórios no cálculo dos coeficientes de amortecimento em

afundamento e arfagem. Estes coeficientes foram calculados (para velocidade de avanço

nula) usando o programa descrito em Meyers et al. (1975), e posteriormente corrigidos

para levar em conta o efeito da velocidade. Para mar de proa (χ = 180°), os coeficientes

de amortecimento em Fn = 0.0 são apresentados nas figuras a seguir:

Fig. AI-2.- Amortecimentos potenciais para os navios RS e TS (Fn = 0.0, χ=180°)

I.3. Coeficientes Não-Lineares de Amortecimento em Jogo

Para o caso do amortecimento em jogo, a teoria potencial não se mostra

satisfatória. Himeno (1981) apresenta um método semi-empírico desenvolvido por

Ikeda que leva em conta as não linearidades do amortecimento (causadas

112

Apêndice I principalmente pelos efeitos viscosos) e a velocidade de avanço. Para uma fácil inclusão

na equação de movimento, o amortecimento calculado segundo Ikeda é decomposto em

duas parcelas: uma que varia linearmente com a velocidade angular de jogo, e outra que

varia quadraticamente (vide Capítulo 2). Os coeficientes destas parcelas são

respectivamente, B1 e B2. A seguir, apresentam-se os coeficientes de amortecimento

para os navio RS e TS para as condições de GM e números de Froude (Fn) ensaiados

nos testes experimentais, em função da freqüência de oscilação em jogo.

Navio RS (GM = 0.34 m): Coeficiente de Amortecimento Linear (B1)

0

50

100

150

200

250

300

350

400

450

0,00 0,50 1,00 1,50 2,00 2,50We (rad/ s)

F n = 0.00F n = 0.10F n = 0.14F n = 0.20F n = 0.34

Navio RS (GM =0.34 m): Coeficiente de Amortecimento Quadratico (B2)

0

50

100

150

200

250

300

350

400

450

0,00 0,50 1,00 1,50 2,00 2,50We (rad/ s)

F n = 0.00F n = 0.10F n = 0.14F n = 0.20F n = 0.34

Navio RS (GM = 0.54 m): Coeficiente de Amortecimento Linear (B1)

0

50

100

150

200

250

300

350

400

450

0,00 0,50 1,00 1,50 2,00 2,50We (rad/ s)

F n = 0.00F n = 0.10F n = 0.14F n = 0.20F n = 0.34

Navio RS (GM = 0.54 m): Coeficiente de Amortecimento Quadratico (B2)

0

50

100

150

200

250

300

350

400

450

0,00 0,50 1,00 1,50 2,00 2,50We (rad/ s)

F n = 0.00F n = 0.10F n = 0.14F n = 0.20F n = 0.34

Fig. AI-3.- Coeficientes de amortecimento em Jogo segundo Himeno (1981) para o navio RS

113

Apêndice I

Navio TS (GM = 0.37 m): Coeficiente de Amortecimento Linear (B1)

0

50

100

150

200

250

300

350

400

450

0,00 0,50 1,00 1,50 2,00 2,50We (rad/ s)

F n = 0.00F n = 0.11F n = 0.15F n = 0.20F n = 0.30

Navio TS (GM =0.37 m): Coeficiente de Amortecimento Quadratico (B2)

0

50

100

150

200

250

300

350

400

450

0,00 0,50 1,00 1,50 2,00 2,50We (rad/ s)

F n = 0.00F n = 0.11F n = 0.15F n = 0.20F n = 0.30

Navio TS (GM = 0.50 m): Coeficiente de Amortecimento Linear (B1)

0

50

100

150

200

250

300

350

400

450

0,00 0,50 1,00 1,50 2,00 2,50We (rad/ s)

F n = 0.00F n = 0.11F n = 0.15F n = 0.20F n = 0.30

Navio TS (GM = 0.50 m): Coeficiente de Amortecimento Quadratico (B2)

0

50

100

150

200

250

300

350

400

450

0,00 0,50 1,00 1,50 2,00 2,50We (rad/ s)

F n = 0.00F n = 0.11F n = 0.15F n = 0.20F n = 0.30

Fig. AI-4.- Coeficientes de amortecimento em Jogo segundo Himeno (1981) para o navio TS

I.4. Coeficientes de Restauração devido à Passagem da Onda para mar de

proa.

I.4.1 Em Afundamento

114

Apêndice I

Fig. AI-5.- Coeficientes de restauração devido à passagem da onda em Afundamento, mar de proa.

115

Apêndice I

I.4.2 Em Jogo

Fig. AI-6.- Coeficientes de restauração devido à passagem da onda em Jogo, mar de proa.

116

Apêndice I

I.4.3 Em Arfagem

117

Apêndice I

Fig. AI-7.- Coeficientes de restauração devido à passagem da onda em Arfagem, mar de proa.

I.5. Forças de Excitação devido à Onda

As forças e momentos de excitação, compostas pelas forças de Froude-Kriloff e

as forças de difração, também são calculadas aqui usando a teoria potencial e aplicando

a teoria das faixas. O programa usado é o apresentado por Meyers et al. (1975), o qual

fornece as forças de excitação e suas fases para diferentes números de Froude, e em

função da freqüência de encontro. A seguir são mostradas as amplitudes das forças de

excitação em afundamento e arfagem, e suas respectivas fases em relação à onda para os

navios RS e TS, em mar de proa (χ = 180°).

Fig. AI-8.- Força de excitação (por unidade de amplitude de onda) em Afundamento (navios RS e TS)

118

Apêndice I

Fig. AI-9.- Fase da força de excitação em Afundamento (navios RS e TS)

Fig. AI-10.- Momento de excitação (por unidade de amplitude de onda) em Arfagem (navios RS e TS)

Fig. AI-11.- Fase do momento de excitação em Arfagem (navios RS e TS)

119

Apêndice I

I.5 Coeficientes de Restauração Hidrostática em Jogo

Coef. Jogo RS TS Puro GM = 0.34 m GM = 0.48 m GM = 0.37 m GM = 0.50 m

Kφ 574.0 810.4 669.8 905.2

Kφφφ 287.2 228.9 -728.9 -860.1

5K φ -936.2 -888.8 330.2 493.8

7K φ 337.0 310.9 -206.7 -288.8

Tabela AI.1 Coeficientes de Restauração Hidrostática em Jogo devido ao jogo puro

(Navio RS e TS)

120

APÊNDICE II

RESPOSTAS DOS NAVIOS RS E TS:

COM E SEM TANQUE DE ESTABILIZAÇÃO

II.1. Navio RS: Respostas Sem Tanque de Estabilização

Navio RS: GM=0.34m, wn4= 0.708 rad/s Sem Tanque

121

Apêndice II

Navio RS: GM=0.50m, wn4=0.858 rad/s

Sem Tanque

122

Apêndice II

II.2. Navio TS: Respostas Sem Tanque de Estabilização

Navio TS: GM=0.37m, wn4=0.858 rad/s Sem Tanque

123

Apêndice II

Navio TS: GM=0.50m, wn4=0.984 rad/s

Sem Tanque

124

Apêndice II

125

Apêndice II

II.3. Navio RS: Respostas Com Tanque de Estabilização

Navio RS: GM=0.50, Fn=0.34 mt=2%m, nt=0.3

126

Apêndice II

mt=2%m, nt=0.4

127

Apêndice II

mt=2%m, nt=0.5

128

Apêndice II

mt=3%m, nt=0.3

129

Apêndice II

mt=3%m, nt=0.4

130

Apêndice II

mt=3%m, nt=0.5

131

Apêndice II

II.4. Navio TS: Respostas Com Tanque de Estabilização

Navio TS: GM=0.37, Fn=0.30 mt=3%m, nt=0.3

132

Apêndice II

mt=3%m, nt=0.4

133

Apêndice II

mt=3%m, nt=0.5

134

Apêndice II

mt=4%m, nt=0.3

135

Apêndice II

mt=4%m, nt=0.4

136

Apêndice II

mt=4%m, nt=0.5

137

Apêndice II

mt=5%m, nt=0.3

138

Apêndice II

mt=5%m, nt=0.4

139

Apêndice II

mt=5%m, nt=0.5

140

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APLICAÇÃO DA TEORIA DO TANQUE DE …livros01.livrosgratis.com.br/cp040837.pdfna estabilidade de embarcações. Trata-se de um fenômeno no qual a embarcação pode, em poucos ciclos,