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APLICAÇÃO DE CADEIAS DE MARKOV
PARA DETERMINAÇÃO DE
PROBABILIDADES DE ESTADOS
CLIMÁTICOS NA CIDADE DE CAXIAS
DO SUL
Ana Lucia Kuhn Pasqual (UCS )
JHONATAN LIPOSKI (UCS )
LEANDRO LUIS CORSO (UCS )
A previsão do tempo se tornou fundamental não apenas na relação do
ser humano com o meio ambiente, mas também para o
desenvolvimento de diversas atividades econômicas. Atualmente,
utilizam-se modelos de previsão numérica que tem como base uuma
massiva coleta de dados e uso de alta tecnologia para
acompanhamento do estado da atmosfera terrestre. Uma vez que o
clima é um processo aleatório multidimensional, o presente trabalho
propõe a aplicação de um modelamento a partir do processo
estocástico de Cadeias de Markov para determinação de
probabilidades de ocorrência de estados climáticos para a Cidade de
Caxias do Sul. A comparação entre os dados meteorológicos
observados e os sinteticamente gerados mostra que este modelamento é
uma eficiente ferramenta para descrever variações climáticas.
Palavras-chave: Cadeias de Markov, previsões meteorológicas
XXXVI ENCONTRO NACIONAL DE ENGENHARIA DE PRODUCÃO Contribuições da Engenharia de Produção para Melhores Práticas de Gestão e Modernização do Brasil
João Pessoa/PB, Brasil, de 03 a 06 de outubro de 2016.
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1. Introdução
A previsão do tempo se tornou fundamental não apenas na relação do ser humano com o meio
ambiente, mas também para o desenvolvimento de diversas atividades econômicas, como a
agricultura e a geração de energia em usinas hidrelétricas. Esta ciência milenar vem sendo
aprimorada por meio do uso de alta tecnologia para permitir melhor e mais precisa análise das
variáveis do clima. Atualmente, a previsão é feita a partir da análise de dados captados em
todo o mundo por uma rede internacional.
As previsões meteorológicas são realizadas a partir de uma massiva coleta de dados sobre o
estado atual da atmosfera terrestre, e por meio da compreensão científica dos processos
atmosféricos para projetar como o clima irá evoluir. Para tornar possível a análise da pressão
atmosférica e as causas de suas mudanças – principal plataforma para a previsão numérica do
tempo - foram criados modelos meteorológicos capazes de acompanhar o movimento das
massas de ar com diferentes pressões atmosféricas e suas relações. No entanto, com a atual
tecnologia não é possível prever todos os desdobramentos da atmosfera. Isto se deve ao fato
de que esta apresenta um comportamento caótico, ou seja, um pequeno fator, que pode ser
menor do que a margem de erro dos dados numéricos, pode desencadear em eventos
imprevisíveis.
Por apresentar este comportamento caótico, pode-se avaliar as mudanças de condições
climáticas como um fenômeno estocástico, uma vez que varia de forma imprevisível à medida
que o tempo passa. A partir desta definição, torna-se possível a aplicação das Cadeias de
Markov para a análise destas variáveis. De acordo com Almeida (2015), o processo de
Markov é um tipo especial de processo estocástico, onde as distribuições de probabilidade
para os passos futuros do processo dependem apenas do estado presente, desconsiderando
como o processo chegou a tal estado.
Neste contexto, este trabalho tem como objetivo apresentar um modelo para determinação de
probabilidades de ocorrência de determinadas situações climáticas para uma data futura na
cidade de Caxias do Sul, analisando os estados do clima através de Cadeias de Markov. Desta
forma busca-se, a partir da análise os dados históricos e identificação das probabilidades de
ocorrência dos estados, o desenvolvimento de um modelo que apresente resultados úteis à
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comunidade, sem que haja necessidade de utilização de alta tecnologia e conhecimentos sobre
o comportamento atmosférico.
2. Variação climática e suas características
2.1. Variação Climática
Historicamente, o clima mundial está em constante mudança, e a ação humana pode estar
interferindo no modo com que essa variação acontece. O aquecimento da Terra é uma
realidade comprovada em algumas partes do globo, e suas consequências podem ser
observadas, como o derretimento das calotas polares e o aumento do nível dos mares.
Pesquisas referentes a essas variações e seus impactos têm sido realizadas em todo o mundo
com o propósito de avaliar a influência do aquecimento global na estabilidade climática.
(JAYAWARDENA, 2015).
2.2. Modelos de previsão numérica
De acordo com Moura (1996), em 1950 concretizou-se a primeira previsão numérica de
tempo bem-sucedida no computador ENIAC, localizado na U.S. Army Aberdeen Proving
Ground, em Maryland. Este trabalho é considerado pelo autor como marco da meteorologia
moderna e foi realizado por um grupo de meteorologistas liderados por Jule Gregory Charney,
em coautoria com Ragnar Fjortoft e Von Neumann.
Atualmente, a previsão numérica é o tipo de previsão do tempo com cujo formato esta-se mais
familiarizado. De acordo com o NOAA (EUA, National Oceanic and Atmospheric
Administration), as observações meteorológicas atuais servem como entrada para os modelos
numéricos de computador por meio de um processo conhecido como assimilação de dados
para produzir saídas de temperatura, precipitação, e centenas de outros elementos
meteorológicos dos oceanos para o topo da atmosfera.
Os principais sistemas de previsão são:
a) Global Data Assimilation System (GDAS): sistema utilizado pelo Global Forecast
System (GFS) para colocar observações em um modelo em grade para a finalidade de
iniciar previsões do tempo com dados observados. O GDAS apresenta, para um modelo
em 3-D, observações de superfície, os dados de balão, dados dos ventos, relatórios de
aeronaves, observações das boias, observações de radar e as observações de satélite.
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b) Global Ensemble Forecast System (GEFS): modelo de previsão do tempo composta de
21 previsões separadas. Este conjunto de previsões é gerado perturbando-se
minimamente e de formas diferentes as observações originais, isto porque diferenças
imperceptíveis entre a realidade e o que é realmente medido podem, ao longo do
tempo, podem conduzir a diferenças notáveis entre o que é um modelo de previsão do
tempo prevê e própria realidade. Desta forma, busca quantificar incerteza em uma
previsão.
c) Global Forecast System (GFS): é composto por quatro outros modelos distintos - um
modelo de atmosfera, um modelo para o mar, um modelo de terra/ solo, e um modelo
de gelo do mar, que trabalham juntos para fornecer uma imagem precisa das condições
meteorológicas.
d) North American Mesoscale (NAM): É um dos principais modelos de tempo, executado
pelos centros nacionais de previsão ambiental para a produção de previsões
meteorológicas. A NAM gera múltiplas redes de previsões de tempo sobre o continente
norte-americano em várias resoluções horizontais. Previsões de alta resolução são
geradas dentro do NAM com modelos meteorológicos numéricos adicionais. Estas
janelas de previsão de alta resolução são geradas em regiões fixas e são ocasionalmente
utilizadas para acompanhar os acontecimentos meteorológicos significativos, como
furacões.
e) Rapid Refresh (RAP): O RAP é o modelo que tomou o lugar do Rapid Update Cycle
(RUC), a partir de 2012. O modelo é executado com duas versões. A primeira gera
dados meteorológicos em um de 13 km (8 milhas) resolução da grade horizontal e a
segunda, de alta resolução, gera dados para uma grade resolução de 3 km (2 milhas)
para as regiões de interesse menores. As previsões RAP são geradas a cada hora,
gerando uma previsão para até 18 horas.
3. Aplicação de Cadeias de Markov
3.1. Referencial teórico
Neste capítulo é apresentada a teoria base que dá suporte à aplicação desenvolvida, bem como
o histórico de desenvolvimento de modelos para previsão numérica e os tipos de modelos que
são utilizados para as previsões de tempo convencionais.
3.1.1. Processos estocásticos
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Em um processo estocástico as variáveis sofrem alteração de forma imprevisível à medida que
o tempo passa. De acordo com Almeida et al. (2015), um processo estocástico é uma família
de variáveis aleatórias {X(t), t ∈ T} definidas em um espaço de probabilidade, indexado por
um parâmetro t, onde t varia no conjunto T. O conjunto T é chamado de espaço de parâmetro.
Os valores assumidos por X(t) são chamados de estados, e o conjunto de todos os possíveis
estados é chamado de espaço de estados do processo estocástico e é denotado por E.
3.1.2. Cadeias de markov
Em 1907, o matemático russo Andrei Andreyevich Markov iniciou o estudo de um importante
tipo de processo, onde apenas o resultado de uma dada experiência atual pode afetar o
resultado da experiência seguinte, ou seja, as experiências anteriores não influenciam as
experiências futuras. Tal propriedade é conhecida como "perda de memória" ou Propriedade
de Markov, e é o que caracteriza uma Cadeia de Markov (GOLMAKANI et al., 2014).
Segundo Almeida (2007) para um processo estocástico ser considerado uma Cadeia de
Markov, seu comportamento dinâmico deve respeitar uma característica, chamada
propriedade markoviana. Essa característica demonstra a probabilidade condicional que em
um evento futuro, dado qualquer evento passado, no estado presente Xt = i, depende somente
do estado presente do processo, não importando como o processo chegou a tal estado.
De acordo com Barbosa (2009), para ser considerado uma Cadeia de Markov, um processo
estocástico {Xt, t = 0, 1, 2, ...} com espaço de estado S = {1,2,...s} deve satisfazer a
propriedade de Markov, para todo n pertencente aos números naturais e para todo i
pertencente ao conjunto S:
P (Xn = in|Xn-1 = in-1,..., X0 = i0) = P (Xn = in|Xn-1 = in-1)
Para a cadeia ser considerada homogênea ou estacionária no tempo, a probabilidade de ir de
um estado a outro deve independer do tempo em que o passo é dado. Ou seja, para quaisquer
estados i,j ∈ S, temos (BARBOSA, 2009):
P (Xn = j|Xn-1 = i) = P (Xn+k = j|Xn+k-1 = i), para k = -(n-1), -(n-2), ..., -1, 0, 1, 2, ...
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Golmakani et al. (2014) afirma que em uma Cadeia de Markov, seja S = {s1, s2, ..., sr} um
conjunto de estados, o processo começa em um desses estados e move-se sucessivamente de
um estado para outro, e cada movimento é chamado de passo. Se a cadeia está atualmente no
estado si, então ela se move para o estado sj no próximo passo com uma probabilidade
denotada por pij, e essa probabilidade não depende dos estados ocorridos nos passos
anteriores, apenas do estado atual. Este termo é chamado de probabilidade de transição.
Para Taha (2008), a notação matricial é uma forma conveniente de resumir as probabilidades
de transição. Assim, a matriz P define a cadeia de Markov, sendo todas as probabilidades de
transição fixas e independentes ao longo do tempo. Para determinar a matriz de decisão para
N fases, eleva-se a matriz P na n-ésima potência.
Considerando que em uma Cadeia de Markov {Xn} n≥1 composta por espaço de estados S =
{1, 2, ..., s} existam s2 probabilidades de transição, de acordo com { pij}, i = 1, ..., s e j = 1, 2,
..., s. A matriz P, demonstrada a seguir, expressa as probabilidades de transição de uma
Cadeia de Markov:
Pn =
Como as entradas da matriz de transição são probabilidades, as mesmas devem ser não-
negativas, podendo assumir valores iguais ou superiores a 0. Além disso, observa-se que a
soma de cada uma das linhas da matriz deve assumir o valor 1, ou seja 100%, visto que cada
valor da linha corresponde a probabilidade de sua ocorrência. (BARBOSA, 2009).
De acordo com Taha (2008), a partir das probabilidades a(0)
= {aj(0)
} de iniciar no estado j, e a
matriz de transição P de uma Cadeia de Markov, as probabilidades absolutas a(n)
= {aj(n)
} de
estar no estado j após n transições (n>0) são calculadas da seguinte maneira:
a(1)
= a(0)
. P
a(2)
= a(1)
. P = a(0)
. PP = a(0)
. P2
a(3)
= a(2)
. P = a(0)
. P2P = a
(0). P
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a(n)
= a(0)
. Pn, n = 1, 2, ...
A matriz Pn representa a matriz de transição após n etapas:
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Pn = P
n-1. P
Pn = P
n-m. P
m , 0 < m < n
Estas equações são conhecidas como equações de Chapman-Kolgomorov, e comprovam que a
matriz de probabilidades de transição de n estados pode ser obtida elevando a matriz de
transição da etapa a n-ésima potência (TAHA, 2008).
Uma das mais importantes características exibidas pelas Cadeias de Markov é um
comportamento de convergência ao equilíbrio em longo prazo (NORRIS, 1997). Ou seja,
depois de um longo período de tempo, a distribuição da Cadeia de Markov permanece
aproximadamente a mesma de período em período de tempo. Isso significa que, em longo
prazo, as probabilidades de o sistema estar em cada um dos vários estados pouco ou nada
variam à medida que o tempo passa.
Shamshad et al. (2005) afirmam que Cadeias de Markov são processos estocásticos que
podem ser parametrizados por probabilidades estimativas empíricas entre estados discretos
em sistemas observados. Os autores utilizaram Cadeias de Markov para gerar dados a partir
de variáveis aleatórias que previam as variações de velocidades do vento em estações
meteorológicas localizadas na Malásia e após os compararam com dados coletados no mesmo
período. De acordo os autores, a comparação da velocidade gerada pelos modelos de Cadeias
de Markov e os dados coletados nas estações foi satisfatória, pois as características dos
resultados foram estatisticamente preservadas.
Conforme Yang et al. (2011), uma vez que o clima é um processo aleatório multidimensional,
seu modelamento a partir das teorias de Cadeias de Markov é justificado. Os autores
utilizaram Cadeias de Markov para analisar variáveis climáticas como radiação solar,
temperatura e umidade absoluta com base em dados coletados por quinze anos na cidade de
Hong Kong. Com base nos resultados obtidos, realizam a comparação com os dados coletados
em dois modelos de previsão climática (TMY e TMR), e levando em conta critérios
estatísticos (erro relativo de 15% para TMY e 6,94% para TRY) concluíram que os resultados
se equiparam aos dos dois modelos.
Desta forma, justifica-se a aplicação deste método no presente trabalho, uma vez que o
mesmo foi utilizado por pesquisadores em localidades distintas e sua aplicação foi satisfatória,
mostrando-se uma eficiente ferramenta para descrever variações climáticas.
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4. Estudo de caso
4.1. Metodologia de aplicação
A metodologia aplicada para desenvolvimento do trabalho foi dividida em quatro etapas,
conforme segue:
Etapa 1 – Coleta de dados: os dados utilizados para este trabalho foram retirados de
uma base de informações coletadas sobre o clima da cidade de Caxias do Sul, no
período de 01/01/2000 a 11/11/2014, fornecida pelo INPE (Instituto Nacional de
Pesquisas Espaciais);
Etapa 2 – Identificação das probabilidades: realizou-se a separação dos dados em
faixas de condições de precipitação, umidade relativa e temperaturas máxima e
mínima medidas. Após, realizou-se a contagem do número de transições ocorridas
entre as faixas e desta forma, obteve-se a frequência absoluta das transições entre as
faixas no intervalo de tempo considerado, e com estes dados construiu-se a tabela de
transição;
Etapa 3 – Montagem da cadeia de Markov: Após a montagem da tabela de
transição foi obtida a matriz de transição probabilística (pij). As entradas dessa matriz
contêm as probabilidades associadas à transição entre estados, como mostrado no
referencial teórico deste trabalho;
Etapa 4 – Comparativo entre os métodos: Nesta etapa buscou-se a comparação
entre previsão gerada por meio da Cadeia de Markov em relação aos métodos
tradicionais de previsão, bem como em relação à situação real medida.
4.2. Resultados
Na etapa um, foram utilizados dados foram fornecidos pelo INPE, para o período de
01/01/2000 a 11/11/2014, que totalizaram 5180 linhas no Excel. Na etapa dois, realizou-se a
separação dos dados em faixas de condições de precipitação, umidade relativa e temperaturas
máxima e mínima medidas.
Após, foi realizada a contagem do número de transições de uma faixa inicial para a mesma e
para as demais faixas possíveis. Desta forma, obteve-se a frequência absoluta das transições
entre as faixas no intervalo de tempo considerado, e com estes dados construiu-se a tabela de
transição. Para a montagem da Cadeia de Markov, foram calculados os percentuais de
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transição de uma faixa inicial para cada uma das possibilidades de faixas finais. A matriz de
transição resultante desta etapa é apresentada no Anexo 1.
A partir da análise dos dados, verificou-se que a temperatura mínima aumentou 2580 vezes de
um dia para o outro, ou seja 49,80%, praticamente a metade das vezes. A temperatura máxima
aumentou 2760 vezes de um dia para o outro, ou seja ou seja 53,28% das vezes. As variações
dos índices de Precipitação, Temperatura Máxima, Mínima e Média no período analisado são
apresentadas nos gráficos da Figura 1.
Figura 1 – Gráficos de variação dos índices de precipitação e temperatura
Analisou-se que em 1733 transições, a temperatura máxima aumentou quando a temperatura
mínima também aumentou de um dia para o outro, o que significa 67,17%. Isso significa que
32,83% das vezes em que houve aumento da temperatura mínima, não se teve um aumento na
temperatura máxima.
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Constatou-se que das 5180 transições, em 1443 a precipitação aumentou de um dia para o
outro. Deste total, contatou-se que as temperaturas mínimas, médias e máximas sofreram
alterações. Ao aumentar a precipitação de um dia para o outro, não necessariamente se
reduziram as temperaturas médias, mas em sua maioria reduziu-se as temperaturas mínimas e
máximas. O aumento de precipitação de um dia para o outro, fez com que em 37,14% das
vezes a temperatura média fosse reduzida. A Tabela 1 apresenta estes valores.
Tabela 1 - Percentual de vezes em que ocorreu redução de temperatura ao se aumentar a precipitação
Temp. Mínima Temp. Média Temp. Máxima
60,91% 37,14% 67,01%
Para a realização da etapa 4, buscaram-se dados climáticos que possibilitassem a análise
comparativa entre a transição ocorrida e a probabilidade da mesma segundo a matriz
resultante das etapas anteriores. Os dados utilizados para comparação foram obtidos pelo site
AccuWeather.com no dia 05 de julho de 2015 para o intervalo de dias entre 01 e 05 de julho
do mesmo ano, apresentados na Figura 2. Já na Tabela 2, são indicadas as probabilidades de
ocorrência da situação climática do dia seguinte, considerando apenas o dia anterior.
Figura 2 – Dados climáticos
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Fonte: AccuWeather.com (2015)
Tabela 2 – Probabilidade de ocorrência da transição
Temperatura Máxima (°C) 15 19 41,70%
Temperatura Mínima (°C) 8 7 50,65%
Precipitação (mm) 1 0 82,00%
Temperatura Máxima (°C) 19 16 42,42%
Temperatura Mínima (°C) 7 10 50,64%
Precipitação (mm) 0 7 4,88%
Temperatura Máxima (°C) 16 10 2,76%
Temperatura Mínima (°C) 10 3 13,75%
Precipitação (mm) 7 2 66,00%
Realizado em
03/07/2015
Realizado em
04/07/2015
Probabilidade
desta transição
Realizado em
01/07/2015
Realizado em
02/07/2015
Realizado em
02/07/2015
Realizado em
03/07/2015
Probabilidade
desta transição
Probabilidade
desta transição
Verificou-se que todas as transições ocorridas no intervalo de datas definido possuíam
probabilidade de ocorrência. No entanto, a grande variação destas probabilidades para a
transição para valores bastante próximos, como é possível identificar nas Tabelas 1 e 2, indica
que as faixas determinadas para cada uma das características deveriam ser reajustadas, a fim
de aproximar ainda mais as probabilidades da situação real.
Para a identificação das probabilidades para dois e três dias depois de uma determinada
condição inicial, elevou-se as matrizes de transição nos expoentes 2 e 3, respectivamente,
seguindo as equações de Chapman-Kolgomorov. As matrizes de transição para dois e três dias
após a situação climática inicial estão apresentadas no Anexo 2 e 3. As probabilidades da
transição ocorrida, de acordo com as matrizes obtidas, estão indicadas na Tabela 3.
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Tabela 3 – Probabilidade de ocorrência da transição para 2 e 3 dias
Temperatura Máxima (°C) 15 16 37,06%
Temperatura Mínima (°C) 8 10 36,50%
Precipitação (mm) 1 7 5,80%
Temperatura Máxima (°C) 15 10 18,94%
Temperatura Mínima (°C) 8 3 12,17%
Precipitação (mm) 1 2 78,52%
Realizado em
01/07/2015
Realizado em
04/07/2015
Probabilidade
desta transição
Probabilidade para 3 dias
Probabilidade para 2 dias
Realizado em
01/07/2015
Realizado em
03/07/2015
Probabilidade
desta transição
Com base na situação ocorrida no dia 04 de julho, foi determinada qual a situação mais
provável para o dia seguinte, bem como a previsão convencional fornecida pelo mesmo site.
Identificou-se o erro entre a situação provável segundo a matriz e a situação real ocorrida na
data. Estas informações podem ser observadas na Tabela 4.
Tabela 4 – Comparativo entre as previsões e situação real
Temperatura Máxima (°C) 10 5,1 a 10 15 15 Erro máximo 5°C
Temperatura Mínima (°C) 3 0 a 5 8 1 0
Precipitação (mm) 2 0 a 5 0 0 0
Realizado em
04/07/2015
Condição mais
provável para
05/07/15
Previsão
convencional
Realizado em
05/07/2015
Erro da previsão
obtida pelo
modelo
Na Tabela 4, nota-se uma grande aproximação entre a previsão elaborada pelos métodos
convencionais, por meio de modelos numéricos, e a obtida por Cadeia de Markov, não sendo
possível a análise comparativa direta, uma vez que um apresenta a previsão dentro de uma
faixa e o outro os valores diretos previstos para cada característica. Na mesma tabela,
observa-se que o erro de previsão obtido pelo modelo apresentado, para a data em questão, é
pequeno e apresentado para apenas uma das três características estudadas.
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5. Conclusão
Cadeias de Markov foram definidas como um método que utiliza processos estocásticos no
qual matrizes são empregadas para previsão de dados futuros a partir de variáveis aleatórias
obtidas por meio de um histórico de recorrência. Este artigo propôs o emprego deste método
para previsão da variação de condições meteorológicas para alguns meses do ano de 2015 na
cidade de Caxias do Sul. Para esse estudo, foram utilizados dados de condições climáticas
como precipitação, umidade relativa, temperatura máxima e temperatura mínima coletados
por cerca de 15 anos junto ao INPE.
A partir da aplicação do modelo de Cadeias de Markov, foram realizados comparativos entre
os resultados obtidos pelo método, modelos de previsão convencionais e as condições reais
coletadas no período. Desta forma, constatou-se que a metodologia aplicada e os dados reais
coletados possuem uma margem de erro pequena, o que justifica a aplicação do método.
Quando comparados os resultados obtidos pela metodologia e as previsões convencionais, a
variação também demonstrou ser pequena.
Deve-se observar, contudo, que o nível de precisão dos dados climáticos torna-se relevante
para os resultados, uma vez que uma diferença de 0,1°C pode alocar um dado em uma faixa
diferente, alterando também a probabilidade de transição.
A partir dos resultados obtidos, verifica-se que a análise dos dados climáticos atuais
utilizando as Cadeias de Markov para identificação das probabilidades de transição para uma
determinada situação climática futura é válida, desde que sejam utilizados dados que atendam
a precisão exigida pelo modelo.
REFERÊNCIAS
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BARBOSA, Helenice Lopes. Métodos estatísticos em cadeias de Markov. 2009. 49 f. Dissertação (Mestrado) -
Curso de Mestrado em Probabilidade e Estatística; Modelagem Matemática, Universidade Federal do Rio
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JAYAWARDENA, A. W.. Climate change — Is it the cause or the effect? Ksce Journal Of Civil Engineering,
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XXXVI ENCONTRO NACIONAL DE ENGENHARIA DE PRODUCÃO Contribuições da Engenharia de Produção para Melhores Práticas de Gestão e Modernização do Brasil
João_Pessoa/PB, Brasil, de 03 a 06 de outubro de 2016. .
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ANEXO 1
XXXVI ENCONTRO NACIONAL DE ENGENHARIA DE PRODUCÃO Contribuições da Engenharia de Produção para Melhores Práticas de Gestão e Modernização do Brasil
João_Pessoa/PB, Brasil, de 03 a 06 de outubro de 2016. .
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2222
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2727
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XXXVI ENCONTRO NACIONAL DE ENGENHARIA DE PRODUCÃO Contribuições da Engenharia de Produção para Melhores Práticas de Gestão e Modernização do Brasil
João_Pessoa/PB, Brasil, de 03 a 06 de outubro de 2016. .
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Umidade Relativa 30,00 a 40,00 40,01 a 50,00 50,01 a 60,00 60,01 a 70,00 70,01 a 80,00 80,01 a 90,00 90,01 a 100,00
30,00 a 40,00 0,00000000 0,22222222 0,22222222 0,27777778 0,16666667 0,00000000 0,11111111
40,01 a 50,00 0,09756098 0,14634146 0,18292683 0,18292683 0,13414634 0,18292683 0,07317073
50,01 a 60,00 0,01336898 0,08823529 0,24331551 0,24598930 0,18449198 0,14438503 0,08021390
60,01 a 70,00 0,00210084 0,02310924 0,15336134 0,32773109 0,27521008 0,13130252 0,08718487
70,01 a 80,00 0,00148038 0,00740192 0,05625463 0,24056255 0,35085122 0,23982235 0,10362694
80,01 a 90,00 0,00075245 0,00075245 0,02106847 0,11587660 0,28668172 0,36794582 0,20692250
90,01 a 100,00 0,00000000 0,00000000 0,01507538 0,04824121 0,15175879 0,32663317 0,45829146
Temp máxima 0,0 a 5,0 5,1 a 10,0 10,1 a 15,0 15,1 a 20,0 20,1 a 25,0 25,1 a 30,0 30,1 a 35,0
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15,1 a 20,0 0,004512635 0,020758123 0,162454874 0,424187726 0,337545126 0,050541516 0,000000000
20,1 a 25,0 0,002344666 0,002344666 0,024618992 0,205744431 0,481242673 0,280773740 0,002930832
25,1 a 30,0 0,004155125 0,000000000 0,003462604 0,049168975 0,292243767 0,551939058 0,099030471
30,1 a 35,0 0,003636364 0,000000000 0,003636364 0,014545455 0,127272727 0,389090909 0,461818182
Temp mínima(-5,0) a 0,0 0,1 a 5,0 5,1 a 10,0 10,1 a 15,0 15,1 a 20,0 20,1 a 25,0
(-5,0) a 0,0 0,17647059 0,61764706 0,14705882 0,05882353 0,00000000 0,00000000
0,1 a 5,0 0,07333333 0,44000000 0,41333333 0,07000000 0,00333333 0,00000000
5,1 a 10,0 0,00324675 0,13744589 0,50649351 0,33658009 0,01623377 0,00000000
10,1 a 15,0 0,00108460 0,01030369 0,15075922 0,59815618 0,23915401 0,00054230
15,1 a 20,0 0,00055279 0,00110558 0,02542841 0,21890547 0,69375345 0,06025428
20,1 a 25,0 0,00000000 0,00000000 0,01578947 0,04210526 0,52105263 0,42105263
XXXVI ENCONTRO NACIONAL DE ENGENHARIA DE PRODUCÃO Contribuições da Engenharia de Produção para Melhores Práticas de Gestão e Modernização do Brasil
João_Pessoa/PB, Brasil, de 03 a 06 de outubro de 2016. .
18
ANEXO 2
XXXVI ENCONTRO NACIONAL DE ENGENHARIA DE PRODUCÃO Contribuições da Engenharia de Produção para Melhores Práticas de Gestão e Modernização do Brasil
João_Pessoa/PB, Brasil, de 03 a 06 de outubro de 2016. .
19
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7573
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1602
960,
0006
9538
0,00
4780
81
XXXVI ENCONTRO NACIONAL DE ENGENHARIA DE PRODUCÃO Contribuições da Engenharia de Produção para Melhores Práticas de Gestão e Modernização do Brasil
João_Pessoa/PB, Brasil, de 03 a 06 de outubro de 2016. .
20
m^2
Temp máxima 0,0 a 5,0 5,1 a 10,0 10,1 a 15,0 15,1 a 20,0 20,1 a 25,0 25,1 a 30,0 30,1 a 35,0
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m^3
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m^2
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