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APLICAÇÃO DE METODOLOGIAS PARA ANÁLISE NUMÉRICA E
EXPERIMENTAL DE ESTRUTURAS
Thiago Vasconcelos Leão Veloso
Projeto de Graduação apresentado ao
curso de Engenharia Civil da Escola
Politécnica, Universidade Federal do Rio de
Janeiro, como parte dos requisitos
necessários à obtenção do título de
Engenheiro.
Orientadores:
Carlos Magluta
José Antonio Fontes Santiago
Rio de Janeiro
Abril de 2016
iii
Veloso, Thiago Vasconcelos Leão
Aplicação de Metodologias de Análise Numérica e
Experimental de Estruturas – Rio de Janeiro: UFRJ/Escola
Politécnica, 2016.
XVII, 43 p: iI.; 29,7cm
Orientadores: José Antônio Fontes Santiago e Carlos
Magluta
Projeto de Graduação – UFRJ/Escola Politécnica/ Curso
de Engenharia Civil, 2016
Referências Bibliográficas: p. 42-43
1.Catenária. 2.Paramêtros Modais.
I. Santiago, José Antônio Fontes et al. II. Universidade
Federal do Rio de Janeiro, Escola Politécnica, Curso de
Engenharia Civil. III. Aplicação de Metodologias de Análise
Numérica e Experimental de Estruturas.
iv
AGRADECIMENTOS
Aos professores Ney Roitman e Carlos Magluta, pela paciência e pelos
ensinamentos durante os anos de iniciação científica. Anos estes que me fizeram ter mais
certeza de que devo continuar buscando o sonho de ser professor.
Ao professor José Santiago, pela assistência durante o projeto de graduação e
pela paciência.
Ao professor Gilberto Ellwanger, pelos ensinamentos durante as disciplinas da
graduação e pela honra de tê-lo avaliando este trabalho
Aos funcionários e alunos do Labest, pela amizade e pela paciência durante todos
estes anos de convivência, em especial para Nelson, Mariana e Flávia.
Aos inúmeros amigos do ciclo básico e da Engenharia civil que tive o prazer de
conhecer nestes longos anos de graduação.
Aos amigos mais especiais Rafael, Priscilla e Ana Carolina pela amizade na
faculdade e fora dela.
Aos demais professores da Engenharia Cvil que de alguma forma contribuíram
para a formação de um engenheiro e cidadão.
A ANP e ao PRH-35, pelo apoio financeiro durante os anos de estudo no
laboratório, em especial à Cassia pela simpatia de sempre e pela paciência.
v
Resumo do Projeto de Graduação apresentado à Escola Politécnica/ UFRJ como parte
dos requisitos necessários para a obtenção do grau de Engenheiro Civil.
Aplicação de Metodologias para Análise Numérica e Experimental de Estruturas
Thiago Vasconcelos Leão Veloso
Abril/2016
Orientadores: Carlos Magluta
José Antônio Fontes Santiago
Curso: Engenharia Civil
As recentes descobertas nos campos de produção de petróleo e gás necessitam
desbravar lâminas d’água cada vez maiores. Estes recentes desafios demandam novas
tecnologias de exploração, que durante as últimas décadas permitiram que
profundidades cada vez maiores fossem exploradas. Porém, os equipamentos com a
constante utilização são danificados e necessitam de reparos. Estes, sendo tardios,
podem gerar enormes custos para a indústria. Com isso são propostas metodologias de
identificação, onde metodologias mais conhecidas são automatizadas e comparadas
com um modelo numérico.
Palavras chave: Catenária, Parâmetros Modais
vi
Abstract of Undergraduate Project presented to POLI/ UFRJ as a partial fulfillment of the
requirements for the degree of Engineer.
Application of numerical and experimental methods for structural analysis
Thiago Vasconcelos Leão Veloso
April/2016
Advisors: José Antônio Fontes Santiago
Carlos Magluta
Course: Civil Engineering
Recent discoveries in oil and gas production fields needs to explore deepwater . These
recent challenges require new exploration technology, which in recent decades have
allowed increasingly greater depths to be explored. However, equipment with constant use
are damaged and need repairs. These, being late, can generate huge costs for industry.
This work propose methods of identification, where most known methodologies are
automated and correlated with a numerical model.
Keywords: Catenary, Modal parameters
vii
Sumário
1. INTRODUÇÃO ................................................................................................. 1
1.1. Motivação ......................................................................................................... 1
1.2. Conceitos básicos sobre Catenárias aplicadas à estruturas offshore ............... 2
1.3. Objetivo ............................................................................................................ 5
2. Conceitos Gerais do Problema ......................................................................... 6
2.1.1. Formulação analítica das equações da geometria de uma catenária sem
consideração de rigidez à flexão ............................................................................ 6
2.2. Conceitos básicos de análise dinâmica ................................................... 10
2.2.1. Equações de movimento ......................................................................... 11
2.2.2. Formulação em análise modal ................................................................. 12
2.3. Identificação de sistemas ........................................................................ 14
2.3.1. Short Time Fourier Transform (STFT) ..................................................... 15
2.3.2. Estimando a Função de Resposta em Frequência (FRF) ........................ 18
2.3.2.1. Definição de Função de Resposta em Frequência ............................. 18
2.3.2.2. . Estimando FRF a partir de dados experimentais .............................. 20
2.4. Análise Numérica Utilizando o Método dos Elementos Finitos ................. 24
2.4.1. Análise Estática do Problema .................................................................. 24
2.4.2. Análise Dinâmica do Problema ................................................................ 27
3. IMPLEMENTAÇÃO ........................................................................................ 28
3.1 Metodologia utilizando a STFT ................................................................ 28
3.2 Metodologia utilizando a STFT em conjunto com a FRF .......................... 30
viii
3.3 Implementação da análise numérica ....................................................... 31
3.3.1 Resolvendo o Problema estático ............................................................. 31
3.3.2 Resolvendo o Problema Dinâmico ........................................................... 32
4. APLICAÇÕES E DISCUSSÃO DE RESULTADOS ......................................... 33
4.1. Analise dos dados do ensaio em uma viga biapoiada ............................. 33
4.2. Análise dos resultados do ensaio estático da catenária ........................... 35
5.2.1 Cálculo e comparação do valor de força horizontal ................................. 37
4.3. Resultados do ensaio dinâmico na catenária ........................................... 38
4.4. Resultados da análise numérica da catenária ......................................... 38
5. COMENTARIOS FINAIS ................................................................................ 41
6. BIBLIOGRAFIA............................................................................................... 42
1
1. INTRODUÇÃO
1.1. Motivação
Nas últimas décadas, a indústria do petróleo brasileira vem investindo milhões
de reais em pesquisas para desbravar lâminas d’água cada vez maiores, chegando ao
nível dos 2000m de profundidade. Com isso, foram desenvolvidas novas tecnologias
para que isso fosse possível. Inovações em perfuração de poços, árvores de natal,
logística de transporte, materiais mais resistentes e outros casos. A Fig. 1.1 ilustra os
avanços na bacia de campos no decorrer dos anos com as descobertas de novos
campos de exploração.
Figura 1.1 – Bacia de Campos (SOUSA, 2005)
Porém, depois de muitos anos de uso, certos equipamentos necessitam de
substituição, reparos e/ou reforços. Por vezes, estas medidas são tardias, podendo
colocar em risco a segurança das pessoas, ambiental e da estrutura, e além disso
podem ter elevados custos caso essas medidas não sejam tomadas com antecedência,
em um momento que fosse possível perceber certos danos.
Para evitar estes riscos, tecnologias para monitoramento e detecção de danos
devem ser empregadas nas estruturas e com isso avaliar as necessidades ou não de
reparos ou substituições de elementos de produção e exploração de petróleo.
Uma metodologia viável para este tipo de problema é a identificação de
sistemas, na qual são estimadas propriedades dinâmicas dos sistemas que variam
conforme estes sofrem danos. Ou seja, avaliar de forma precisa os parâmetros modais
2
de uma estrutura é a primeira etapa para iniciar os estudos de detecção de danos.
Porém, como estruturas de produção e exploração são muito valiosas, não
podem ser aplicadas quaisquer metodologias. Estas devem ser verificadas para que não
ocorram erros grosseiros nas estimativas, levando a grandes perdas materiais e de
vidas.
Com isso, devem ser realizados estudos sobre as técnicas existentes de
identificação de parâmetros das estruturas com simulações e verificações das suas
incertezas.
Uma das estruturas a ser estudada neste trabalho é o riser formando uma
catenária cuja geometria tem um certa complexidade, o que torna importante discorrer
sobre alguns conceitos.
1.2. Conceitos básicos sobre Catenárias aplicadas a
estruturas offshore
Para que um elemento retilíneo seja suspenso e permaneça perfeitamente reto,
é necessário uma força de tração de valor infinito. Como isto não é possível, ocorre uma
deformada conhecida como catenária. Esta deformada é vista constantemente em
linhas de transmissão, cordas simplesmente apoiadas e outros exemplo típicos,
conforme ilustra a Fig. 1.2.
Figura 1.2: Exemplo de corrente apoiada formando catenária (JACOVAZZO,2015)
Esta geometria é aplicada em estruturas offshore no caso de risers. Um riser
pode ser definido como uma linha flexível ou rígida que liga o fundo do mar ao sistema
flutuante de produção e está sujeito a ações dinâmicas. Alguns dos arranjos mais usuais
3
são apresentados na Fig. 1.3.
Figura 1.3 – Diferentes configurações de risers para produção de óleo e gás
(CLAUSEN & D’SOUZA, 2001)
Atualmente, a configuração mais utilizada é a catenária simples, ilustrada na
Fig. 1.3 (a).
Como dito anteriormente existem dois tipos de risers. Os rígidos, conhecidos
como Steel Catenary Riser (SCR), que são compostos por dutos metálicos, geralmente
em liga de aço. O outro tipo é o flexível, composto por diversas camadas metálicas e
poliméricas que trabalhando em conjunto propiciam resistência e estanqueidade sem
prejudicar a flexibilidade necessária. A Fig. 1.4 ilustra um riser flexível típico.
Figura 1.4– Linha Flexível típica (SOUSA,2005)
A PETROBRAS vem utilizando este tipo de linha flexível desde do início da
produção offshore na Bacia de Campos com o objetivo de iniciar o mais rápido possível
4
a extração de petróleo nos campos descobertos na década de 70 e 80 (SOUSA,2005).
A Fig. 1.5 ilustra a configuração de catenária utilizada em um dos primeiros campos de
produção na Bacia de Campos.
Figura 1.5 – Sistema de produção no campo de Enchova na Bacia de Campos em
1977 (SOUSA,99)
Com base no desenvolvimento da produção offshore durantes as décadas
seguintes através de sistemas flutuantes e completação submarina, operação
executada após a perfuração que visa iniciar ou garantir a produção de um poço
(SOUSA,2005), as linhas flexíveis assumiram um papel muito importante e passaram a
ser, praticamente, a maioria das estruturas responsáveis por conduzir o óleo e o gás,
produzido na Bacia de Campos. A Fig.1.6 ilustra os avanços e mudanças de
configurações utilizadas para exploração na indústria durante as últimas décadas.
Maiores detalhes sobre componentes de risers podem ser vistos na tese de
(SOUSA, 2005).
5
Figura 1.6 – Desenvolvimento dos sistemas flutuantes de exploração de óleo e gás
(SOUSA,2005)
1.3. Objetivo
Este trabalho tem como objetivo propor uma metodologia de análise estática de
uma catenária, considerando sua rigidez a flexão através de um modelo numérico e
propor duas metodologias de análise automatizadas para estimar os parâmetros modais
de estruturas, baseados em resultados de ensaios de vibração.
Uma das técnicas que será descrita neste trabalho para avaliar as propriedades
dinâmicas em uma viga biapoiada e compará-las com as calculadas por um modelo de
elementos finitos foi apresentada através do artigo escrito por (VELOSO et. al., 2013).
Este trabalho, além de expor e detalhar esta análise, aplica a outra metodologia em um
modelo reduzido de riser formando uma catenária simples. Os ensaios necessários
foram realizados no Laboratório de Estruturas e Materiais da COPPE.
6
2. Conceitos Gerais do Problema
Para detalhar e explorar o problema, são descritos a seguir alguns conceitos
teóricos relevantes.
2.1.1. Formulação analítica das equações da geometria de u ma catenária sem
consideração de rigidez à flexão
Figura 2.1 – Sistema de forças atuantes em um nó da estrutura da catenária
(JACOVAZZO,2015)
Na Fig. 2.1, são ilustradas as forças que atuam em um elemento de catenária
simples. Para calcular a geometria de uma catenária simples, sem rigidez, são
necessárias as seguintes variáveis:
W:= Força resultante devido ao peso próprio da estrutura;
T:= Força reativa de tração;
Fx:=Força de restauração horizontal;
q:= Peso submerso por metro da linha em questão;
s:= Comprimento da linha.
A força � pode ser definida como:
� = �. � (2.1)
O ângulo θ ilustrado na Fig. 2.1 possui a seguinte relação:
7
tan� = �� (2.2)
Supondo a catenária uma curva plana, utilizando o sistema de coordenadas
acima e tendo em vista que tan� = �� ��� , é possível concluir que:
���� = �. �� = �� (2.3)
onde � = � �� , conhecido como parâmetro da catenária.
Considerando um trecho infinitesimal de uma catenária, é possível aproximar o
comprimento infinitesimal da linha pela seguinte equação:
��� = ��� + ��� (2.4)
Dividindo a expressão (2.4) por dx², obtém-se:
������� = 1 + ������� (2.5)
Derivando a expressão (2.3) em relação a � e introduzindo a equação (2.5),
chega-se a::
������ = 1� �1 + ���������/� (2.6)
Supondo a catenária livre e tangente ao solo, são utilizadas as condições de
contorno a seguir e deduzida a equação final para a geometria.
�0� = 0; ���� 0� = 0; (2.7)
Resolvendo a equação diferencial ordinária (2.6), sujeita às condições de
contorno (2.7), obtem-se:
� = � cosh %��& − 1( )* � = �. +)�ℎ-� �� + �� � (2.8)
8
Para obter o comprimento suspenso da linha, é necessário resolver a seguinte
integral:
� = . �� � � = �. �/0ℎ %��& = �. tan� (2.9)
O esforço de tração em uma determinada coordena (x,y) é dado por:
1 = ��� + 2� × 4�, ��6���/� (2.10)
Onde,
4�, ��:= Projeção horizontal do comprimento suspenso na coordenada �, ��.
Esta formulação possui algumas vantagens como: conceitos simples com uma
solução composta por fórmulas simples para aplicação na engenharia; resultados
confiáveis para casos de curvatura não exageradas e uma geometria inicial para
métodos analíticos e/ou numéricos mais refinados (KANG, 2015).
Porém, existem duas desvantagens: esta formulação não considera a rigidez à
flexão e necessita do conhecimento da força �ℎ que ocorre no topo da estrutura. Para
solucionar estes problemas, são propostas metodologias de análise.
Para obter o valor da força �ℎ , foi utilizada uma metodologia iterativa que usa
a geometria ilustrada na Fig. 2.2 abaixo.
Figura 2.2– Geometria do problema a ser analisado
9
Para dar início à solução do problema são necessários os valores de 78, 9+, �8,
: e um valor inicial para a força �ℎ.
Figura 2.3 – Formulação da catenária
A sequência básica de cálculos é ilustrada na Fig. 2.3. Esta sequência se encerra
com o cálculo de 78 que é igual a soma de 7ℎ com 7+ calculados. Este deve ser próximo
do valor fornecido inicialmente, sendo esta diferença comandada por um valor de erro
relativo próximo de zero.
Esta primeira iteração não converge para o valor inicial fornecido, sendo
necessário um incremento no valor da força horizontal �ℎ. A partir deste novo valor da
força horizontal, os cálculos descritos acima são repetidos e é obtido um novo valor de
78. Estes são utilizados para calcular uma derivada secante. Esta derivada é utilizada
para calcular um novo valor de força horizontal utilizando a técnica de Newton-Raphson.
A Fig. 2.5 ilustra como esta derivada é utilizada.
Figura 2.4 – Método de Newton-Raphson para buscar valores diferentes de zero
10
Utilizando as variáveis da Fig. 2.4 como referência, pode-se dizer que a variável
�;<� refere-se ao valor de força horizontal referente ao valor Y que equivale ao valor de
78 fornecido como dado de entrada do problema.
Figura 2.5 – Fluxograma do processo iterativo
Realizando iterações conforme o fluxograma da Fig. 2.5, o resultado converge
para um valor final de força horizontal �ℎ, solucionando a falta de conhecimento desta
variável.
Para levar em consideração a rigidez à flexão, foi utilizada uma metodologia
acoplada a um modelo de elementos finitos reticulados. Este modelo será detalhado
mais adiante, pois além de calcular a geometria com rigidez, este modelo calcula os
parâmetros modais da estrutura. Uma breve introdução sobre estes parâmetros modais
será dada a seguir para que mais adiante o modelo numérico seja detalhado
completamente.
2.2. Conceitos básicos de análise dinâmica
Para compreender o significado e cálculo dos parâmetros modais de uma
estrutura, são descritos a seguir conceitos básicos de análise dinâmica de estruturas
com enfoque em análise modal.
11
2.2.1. Equações de movimento
O comportamento dinâmico de um sistema estrutural qualquer pode ser definido
matematicamente por um problema de valor inicial/de contorno (PVI/C), constituído de
um sistema de equações diferenciais parciais hiperbólicas (EDP’s), condições de
contorno no espaço e condições iniciais no tempo (JACOB, 2015).
Os sistemas estruturais sob carregamentos estáticos, seguem a seguinte
equação de equilíbrio, que é deduzida após uma discretização espacial e temporal do
PVI/C:
=>?@ = =AB@ (2.11)
onde,
=CDE ::= Vetor de forças internas da estrutura
=FGE ::= Vetor de forças externas da estrutura
Figura 2.6 – Diferença entre uma estrutura sob a) carregamento estático e
b) carregamento dinâmico (CLOUGH e PENZIEN, 1995)
Porém, como é visto na Fig. 2.6, em casos onde a força externa varia no tempo,
existe uma nova componente na equação de equilíbrio devido ao carregamento
dinâmico. Esta componente é denominada vetor de forças inerciais. Com isso a equação
de equilíbrio se escreve:
=> + =>?@ = =AB@ (2.12)
=C ::= Vetor de forças inerciais da estrutura.
Em casos onde os efeitos não-lineares são desprezíveis (JACOB, 1990), as
parcelas que compõem o sistema semi-discretizado acima são:
12
=> = H IJ 8�; =>?@ = K IL 8� + M I8�; =AB@ = =8� (2.13)
onde,
H:= Matriz de massa do sistema;
K:= Matriz de amortecimento do sistema;
M:= Matriz de rigidez do sistema;
I(t), IL (t) e IJ (t):= Vetores de deslocamento, velocidade e aceleração, respectivamente;
=(t):= Carregamento externo aplicado no sistema.
2.2.2. Formulação em análise modal
Em alguns casos de geometria e materiais, as matrizes citadas são difíceis de
serem montadas e, além disso, geram sistemas de equações acoplados. Estes sistemas
geram grande custo computacional para a resolução do problema, as vezes
inviabilizando métodos tradicionais de integração das equações diferenciais.
Para solucionar esta dificuldade, é proposta uma mudança de base para o
sistema. Existem alguns tipos de mudanças de base. Neste trabalho, será abordado
uma das mais tradicionais, a mudança para o “espaço modal”. Esta mudança é baseada
na solução de problemas de autovalor e autovetor das matrizes da equação de
movimento.
Para efetuar a mudança de espaço o vetor de deslocamentos I8� é substituído
por um vetor de deslocamentos no espaço modal N8� multiplicado por uma matriz ∅ de
transformação.
I8� = ∅ N8� (2.14)
Assim, a equação de movimento se transforma em:
H ∅ NJ 8� + K ∅ NL 8� + M ∅ N8� = =8� (2.15)
Pré multiplicando os termos da equação por ∅@, tem-se:
∅TH ∅ NJ 8� + ∅TK ∅ NL 8� + ∅TM ∅ N8� = ∅T=8� (2.16)
Para encontrar a matriz que deve ser utilizada, este problema recai no caso de
vibração livre não amortecida (CLOUGH e PENZIEN, 1995).
13
H IJ 8� + M I8� = Q (2.17)
Assim, manipulando a equação acima, finalmente se encontra o problema
clássico de autovetor e autovalor.
M ∅ = R H ∅ (2.18)
Conforme é visto na literatura (CLOUGH e PENZIEN, 1995; JACOB,2015 e
INMAN,2008), a solução do problema é dada por:
S; = T;� (2.19)
T; :=Frequência Natural do modo de vibração i do sistema;
∅:=Matriz com as formas modais normalizadas com a matriz de massa
Para dar andamento ao projeto, é necessário entender o significado físico destas
grandezas calculadas.
Frequência natural de uma estrutura é a frequência na qual esta estrutura entra
em ressonância sob uma carga harmônica de mesma frequência. Para carga de
pequena amplitude e de frequência próxima da natural, este pode sofrer grandes
deslocamentos.
Figura 2.7 – Exemplo de variação do deslocamento em função da frequência da carga
aplicada (CLOUGH e PENZIEN, 1995).
Na Fig. 2.7, é mostrado o aumento do deslocamento produzido por cargas com
frequência de excitação próxima da natural do sistema, onde β é a razão entre
frequência de excitação e a frequência natural e ξ é a taxa de amortecimento.
14
De posse do significado físico destas grandezas, será deduzida uma outra
equação de movimento. Basicamente, os termos da equação de movimento com
redução de base (2.16), serão substituídos por:
∅@H ∅ = C (2.20a)
∅@M ∅ = �U�VT��, T��, TW�, … TY�� = Z[ (2.20b)
∅@K ∅ = �U�V2]�T�, 2]�T�, … 2]YTY� = ^ (2.20c)
NJ 8� + ^8� + M[N8� = ∅@=8� (2.20d)
A taxa de amortecimento pode ser definida como a taxa de perda de energia a
cada ciclo de vibração. Esta perda de energia pode ser observada nos deslocamentos
e na velocidade a cada instante de tempo. Esta grandeza não tem forma de ser
calculada, sendo necessário extrair seus valores de ensaios dinâmicos. Esta é uma das
grandezas procuradas nas chamadas identificações de sistemas.
2.3. Identificação de sistemas
Na Engenharia, um sistema pode ser descrito como uma representação
matemática que responde a uma ou mais excitações impostas, segundo suas variáveis.
Estas realizam um evento cujos registros compreendem a geração de novos sinais,
denominadas respostas ou saídas. Alternativamente, esta relação pode ser expressa
dizendo-se que há um filtro operando entre a sequência de entrada e a sequência de
saída (OTNES e ENOCHSON, 1978).
Na análise estrutural, a identificação de sistemas consiste no problema inverso,
o qual se estimam as características do sistema baseado na análise das entradas e
saídas. A Fig. 2.8 ilustra o funcionamento de um sistema típico.
Figura 2.8 – Desenho esquemático, típico de um sistema (ARAGAO,2008)
15
O estudo do problema inverso se justifica pela permanente necessidade de se
obter informações sobre os parâmetros físicos que compõem os sistemas estruturais,
sejam para validar o modelo utilizado para o dimensionamento de uma obra civil, sejam
para verificar sua integridade após longos anos de uso, permitindo o planejamento de
sua manutenção, reparo ou substituição gerando economia (ARAGAO,2008).
As duas metodologias propostas neste trabalho utilizam como base duas
técnicas de identificação de sistemas conhecidas como STFT (Short Time Fourier
Transform ) e a Função de Resposta em Frequência (FRF) apresentadas a seguir.
2.3.1. Short Time Fourier Transform (STFT)
Figura 2.9 – Exemplo de sinal fatiado utilizando uma janela retangular (BUCHER,2001)
A STFT foi uma das primeiras técnicas tempo-frequência desenvolvidas e é
bastante utilizada até hoje principalmente devido ao fato de ser rápida e ter simples
interpretação, uma vez que é uma derivação da Transformada de Fourier.
A ideia básica é simples, divide-se o sinal em pedaços e se toma a transformada
16
de cada pedaço. Esta divisão é feita utilizando funções de janela, um retângulo
transladado, conforme ilustra a Fig. 2.9
A função fatiada pode ser escrita como
ab� = `b�c8 − b� (2.21)
onde,
c := Função de janelamento retangular.
A expressão da Transformada de Fourier da expressão (2.21) é dada por:
�aT� = 1√2e . a
<f-f b�/-;gh�b = 1
√2e . `b�c8 − b�<f-f /-;gh�b (2.22)
Como a STFT possui descrição simultânea no tempo e na frequência, ela
permite avaliar o comportamento do sinal observando os dois espaços. A Fig. 2.10
ilustra um sinal harmônico que ocorre em um determinado trecho de tempo.
Figura 2.10 – Exemplo de sinal harmônico no domínio tempo-frequência (PITELLA,
2006)
A transformada tempo-frequência pode ser utilizada no caso de sinais que
possuam vários harmônicos como um filtro, separando cada uma das componentes que
constitui o sinal, conforme é ilustrado na Fig. 2.11. Nesta figura, é apresentado um
exemplo que simula a resposta em vibração livre de uma estrutura que possui três
modos de vibração com amortecimento do tipo viscoso. Observando esta figura, fica
17
nítida a presença dos três harmônicos, o que permite a fácil identificação das três
componentes frequências que constituem o sinal.
Figura 2.11 – Transformada tempo-frequência de um sinal constituído por sinais
harmônicos com amplitudes decrescentes de forma logarítmica (PITELLA, 2006)
A taxa de amortecimento pode ser estimada de forma simples tomando a crista
de cada uma das componentes, conforme ilustrado na equação (2.23):
�+iU�8�� = Z. /-jga (2.23)
Onde,
�+iU�8�� := Expressão que define a forma do decaimento da crista;
K:= Constante
Aplicando-se o logaritmo neperiano aos dois lados da equação (2.23), a crista
se transforma em uma reta. Sendo facilmente extraído o coeficiente angular desta reta
que é proporcional a taxa de amortecimento.
Vale a pena ressaltar que a integral que define a STFT nada mais é do que uma
convolução entre o sinal no tempo e a janela escolhida o que poderia demandar um
elevado custo computacional. A fim de simplificar este processo foi utilizado o teorema
da convolução, no qual a convolução no tempo é igual ao produto entre as funções no
domínio da frequência. ou seja,
`8� ∗ ℎ8� = �T�. lT� (2.24)
18
Esta abordagem permite uma economia de tempo para o cálculo da
transformada, uma vez que somente é realizada para as frequências naturais permitindo
extrair diretamente a crista da componente.
2.3.2. Estimando a Função de Resposta em Frequência (FRF)
A Função de Resposta em Frequência possui um papel importante em uma das
metodologias, a serem propostas, pois uma delas trabalha com sinais de entrada e
saída. A seguir, é descrita uma abordagem para estimar FRF’s encontrada na tese de
(ANDRADE, 1997)
2.3.2.1. Definição de Função de Resposta em Frequên cia
A resposta de um sistema estrutural elástico-linear, de um grau de liberdade
invariante no tempo, submetido a um carregamento qualquer pode ser obtida através
do somatório de respostas impulsivas defasadas, devidas a pulsos de carregamento �(t)
justapostos no tempo, constituindo uma equação de convolução contínua, conhecida
como integral de Duhamel (CLOUGH e PENZIEN, 1995):
�8� = . �b�. ℎ8 − b��bfm (2.25)
ℎ8�:= Função de transferência;
�8�:=Sinal de saída de um sistema qualquer;
�8�:=Sinal de entrada de um sistema qualquer.
A Fig. 2.12 demonstra que um carregamento qualquer pode ser separado em
uma série de impulsos. A resposta de cada impulso é sobreposta com a resposta do
impulso seguinte. A resposta típica de um impulso é conhecida como IRF (Impulse
Response Function). Uma IRF típica é vista na Fig. 2.13.
19
Figura 2.12 – Demonstração da superposição de impulsos em um carregamento
qualquer (CLOUGH e PENZIEN, 1995).
Figura 2.13 – Exemplo de um resposta a impulso típica
Definindo o operador de Transformada de Fourier como:
�T� = . `8�. /-;.g.a�8<f-f (2.26)
e aplicando-o na equação (2.25), é fácil obter a seguinte expressão:
9T� = lT�. 7T� (2.27)
A Fig. 2.14 abaixo mostra as relações entre domínio do tempo e da frequência
para as variáveis tratadas.
20
Figura 2.14 – Relações de transferência entre o domínio do tempo e domínio da
frequência.
A função de resposta em frequência fica então definida como a razão entre os
valores de entrada e saída do sistema, no domínio da frequência.
Função de Resposta em Frequência (FRF) pode ser definida simplesmente
como a transformada de Fourier da função de resposta a impulso. A FRF é um caso
especial da Função de Transferência sem perda de informação útil, ou seja, as
características dinâmicas de um sistema LTI (Linear Invariante no Tempo) estável
podem ser suficientemente descritas pela FRF.
Figura 2.15 – Exemplo de uma FRF (ANDRADE,1997)
2.3.2.2. . Estimando FRF a partir de dados experime ntais
A abordagem descrita no item anterior para calcular a função de resposta em
frequência é simples, porém, só é válida para sinais com ausência de ruídos. Para estes
21
casos, que são os mais comuns de ocorrerem, outra metodologia deve ser utilizada.
Cabe ressaltar que este item foi baseado na ref. (ANDRADE,1997).
Como o ruído é um sinal aleatório não correlacionado, o sinal deve ser
considerado como um sinal aleatório.
Figura 2.16 – Fluxo do modelo de estimativa das FRF’s (ANDRADE,1997)
Como é possível observar na Fig. 2.16, os ruídos podem ocorrer nos dados de
entrada e de saída. Assim, os sinais de entrada e saída do sistema ficam definidos por:
N8� = I8� + n8� (2.28)
o8� = p8� + q8� (2.29)
Nos testes de vibração estrutural, geralmente erros são propagados devido à
presença de ruído, erros e amostragem na aquisição e no sistema de processamento
dos dados.
Os sinais são medidos com certa precisão e é realizada uma amostragem no
domínio do tempo discreto, podendo perder informação devido a frequências de
aquisição equivocadas ou devido à calibração dos aparelhos envolvidos nos ensaios.
Estes erros são epistêmicos e são conhecidos como erros de medição. Este tipo de erro
pode ser reduzido através do uso de sensores mais precisos e melhorando o
processamento dos dados.
Os fatores externos também podem ser uma fonte de ruídos. Basicamente
incluem aqueles relacionados ao teste de vibração, a variabilidade da resposta, a massa
e posição dos sensores, incertezas associados à posição da força de excitação e da
distância atual entre os apoios e outras distorções não lineares no ambiente e na
operação.
Para solucionar o problema com a existência de ruídos, são definidas as
seguintes grandezas:
22
r T� = lim@→f21 w27∗T�. 7T�6 (2.30)
rxxT� = lim@→f21 w29∗T�. 9T�6 (2.31)
r xT� = lim@→f21 w27∗T�. 9T�6 (2.32)
rx T� = lim@→f21 w29∗T�. 7T�6 (2.33)
onde,
r T� e rxxT�:= Densidades de autoespectro;
r xT� e rx T� :=Densidades de espectros cruzados;
7∗T� e 9∗T� : = Valores complexos conjugados;
w2… 6:=Valor médio de N diferentes medições ou valor esperado.
Atuando no caso geral de sistemas com ruídos na entrada e saída, substituindo
as transformadas de Fourier das equações (2.28) e (2.29) na equação (2.27).
|7T� − zT�| lT� = 9T� − {T� (2.34)
O problema agora consiste em estimar uma função l|T� que minimize o erro
quadrático da excitação e da resposta, simultaneamente. Os erros a serem minimizados
podem ser representados graficamente como a distância perpendicular à reta “H”,
ilustrada na Fig. 2.17 abaixo.
Figura 2.17 – Ilustração da minimização realizada pelo estimador
Para realizar esta minimização é utilizado o método dos mínimos quadrados
totais (ANDRADE,1997). Escrevendo a equação (2.34) em notação matricial:
23
27T� − zT� 9T� − {T�6 }l|T�−1 ~ = 0 (2.35)
É importante ressaltar que a equação matricial (2.35) acima é nula, já que
7T� − zT� e 9T� − {T� são iguais a �T� / �T�, respectivamente. Assim esta
equação representa o sistema sem ruído. Quando são considerados os valores medidos
da excitação e resposta, 7T� / 9T�, respectivamente, a equação acima deve ser
diferente de zero já que se encontram ruídos na excitação e na resposta. Assim, a
equação (2.33) é reescrita como:
27T� 9T�6 }l|T�−1 ~ = � (2.36)
O erro quadrático pode ser escrito pela seguinte equação:
|�|� = �∗. � = 2l|∗ −16 7∗9∗( 27 96 l|−1( (2.37)
|�|� = 2l|∗ −16 7∗7 7∗99∗7 9∗9( l|−1( (2.38)
A variância pode ser obtida pelo valor esperado do erro quadrático
(ANDRADE,1997). Multiplicando-se os termos das matrizes por (2/NT), tomando-se N
amostras e fazendo o período tender a infinito, é possível escrever o problema em
função dos autoespectros e espectros cruzados. Onde:
r x = �r r xrx rxx� (2.39)
Segundo a teoria de mínimos quadrados totais, a variância mínima é dada pelo
menor auto-valor do problema:
�r x − S��∅ = 0 (2.40)
Sendo:
∅ = l|−1( = �−∅�,��;Y ∅�,��;Y�−1 � (2.41)
24
Concluindo que a FRF pode ser estimada por:
l| = −∅�,��;Y ∅�,��;Y� (2.42)
Este problema se estende para o caso de excitações múltiplas que é abordado
na tese de Ricardo Franklin de Andrade (ANDRADE,1997) desenvolvida no Laboratório
de Estruturas de COPPE.
As teorias do cálculo da FRF e da STFT serão combinadas em uma metodologia
única que utiliza dados de entrada e saída de um ensaio para estimar todos os
parâmetros modais. Sua implementação será detalhada mais adiante
2.4. Análise Numérica Utilizando o Método dos Elementos Finitos
Para fazer uma análise da geometria da catenária e calcular seus parâmetros
modais, será elaborado um modelo utilizando o método dos elementos finitos. Esta
análise é dívida nas partes estática, para calcular a geometria final da estrutura, e
dinâmica, para calcular os parâmetros modais.
Este método consiste em realizar uma divisão do problema em elementos e
interliga-los por nós (COOK, 1984). Este trabalho irá utilizar elementos de pórtico plano
Cada elemento é definido por um conjunto de nós, cada nó recebe a contribuição
dos elementos adjacentes e o problema é resolvido nó a nó. Com isso, se obtém uma
resposta discretizada diferente da resposta continua, obtida da teoria clássica de análise
de estruturas.
2.4.1. Análise Estática do Problema
Para resolver o problema estático e obter a configuração final de uma estrutura
qualquer, é necessário construir a matriz de rigidez e o vetor de forças globais do
sistema.
Cada elemento possui sua matriz de rigidez e ao final estas são combinadas
adequadamente em uma matriz de rigidez global, que se refere à estrutura completa em
um determinado sistema de referência.
25
Z/ =
����������
w� 4� 0 00 12w� 4³� 6w� 4²�0 6w� 4²� 4w� 4�
−w� 4� 0 00 − 12w� 4³� −6w� 4²�0 6w� 4²� 2w� 4�
−w� 4� 0 00 − 12w� 4³� −6w� 4²�0 6w� 4²� 2w� 4�
w� 4� 0 00 12w� 4³� −6w� 4²�0 −6w� 4²� 4w� 4� ��
��������
Onde:
Ke := Matriz de rigidez de um elemento em seus sistema local de coordenadas;
E := Módulo de elasticidade do material;
A := Área da seção transversal;
L := Comprimento do elemento.
Inicialmente, a matriz de rigidez do elemento é calculada de acordo com um
sistema local de coordenadas. Tradicionalmente, este sistema é definido pela própria
posição do elemento. A Fig. 2.18 mostra um exemplo de estrutura com os eixos locais
dos elementos definidos por sua própria geometria.
Figura 2.18 – Exemplo de estrutura reticulada com seus eixos locais e global
Como a estrutura da catenária recebe cargas axiais, além da matriz de rigidez
tradicional mostrada acima, é necessário utilizar a matriz geométrica, que leva em
consideração uma interação entre esforços de flexão e esforços axiais (tração ou
compressão) (CLOUGH e PENZIEN, 1995). Tradicionalmente, esta matriz é inserida em
problemas que trabalham com não linearidade da estrutura como no caso de
flambagem. Porém, neste trabalho, o interesse é avaliar as propriedades dinâmicas,
26
dentre elas a frequência natural, que é afetada pelos esforços de tração atuantes. As
expressões da matriz geométrica são ilustradas a seguir.
ZV/) = �
���������1 4� 0 0
0 6 154� + 12� �. 4³� 1 10�0 1 10� 24 15�
−1 4� 0 00 − 6 54� 1 10�0 − 1 10� −4 30�
0 0 00 − 6 54� −1 10�0 1 10� −4 30�
0 0 00 6 54� −1 10�0 −1 10� 24 15� ��
�������
Onde:
Kgeo:=Matriz geométrica de um elemento;
P:= Esforço axial atuando no elemento.
Um exemplo deste fenômeno de variação de frequência natural de acordo com
o esforço axial é a corda de um violão, a qual sofre alteração de frequência conforme os
esforços de tração variam de acordo com a afinação requerida para determinada
música.
Para o cálculo do vetor de forças globais, os carregamentos externos são
concentrados nos nós de referência dos elementos. As cargas que não coincidem com
os nós, como por exemplo o peso próprio, são transportadas para eles mantendo-se o
equilíbrio do elemento. Além disso são acrescidos os momentos resultantes da distância
entre as cargas e os nós
Para calcular os deslocamentos é necessário resolver o sistema linear abaixo:
M. N = = (2.43)
Onde:
=:= Vetor de forças globais;
N:= Vetor de deslocamentos.
Para resolver este tipo de problema, com interação entre esforços de flexão e
axiais, é necessário um processo iterativo. Inicialmente se calculam os esforços com a
matriz de rigidez e configuração iniciais e de posse dos esforços internos da estrutura,
são utilizados os esforços axiais para montar a matriz geométrica que é somada com a
matriz de rigidez inicial. A partir daí, são realizadas iterações até que os deslocamentos
não se alterem muito de uma iteração para outra. Ou seja, até que a diferença entre as
iterações seja menor que um erro relativo. O valor da força axial � e as coordenadas
27
devem ser atualizados a cada iteração para obter a configuração final da estrutura.
2.4.2. Análise Dinâmica do Problema
Para realizar a etapa de análise dinâmica é necessário montar a matriz de massa
do sistema além das matrizes já montadas.
Para calcular os termos da matriz de massa foi adotado, de forma simplificada,
que metade da massa de um elemento é concentrada nos nós adjacentes, sendo estas
massas sobrepostas às massas dos elementos adjacentes. Ou seja, a massa do nó i
que une dois elementos é a metade da massa de um elemento mais a metade da massa
do outro elemento. Essa idéia se estende para caso onde vários elementos coincidem
em um mesmo nó.
Para calcular as frequências naturais e a matriz de forma modal utilizando o
método dos elementos finitos, basta montar as matrizes de rigidez e de massa e resolver
o problema de autovalor e autovetor conforme a equação (2.18). Como as matrizes
podem ser de grandes dimensões, são utilizados certos métodos numéricos. (CORREA,
2008) descreve alguns métodos existentes na literatura em geral como o método de
Jacobi.
28
3. IMPLEMENTAÇÃO
O Laboratório de Estruturas e Materiais (COPPE) possui uma área especializada
em processamento de sinais. (ANDRADE, 1997) e (BUCHER, 2001) elaboraram as
primeiras versões dos programas de verificação utilizados neste trabalho, o
“Analisador”, que estima as funções de resposta em frequência e o “STFT”, que estima
as taxas de amortecimento.
Estes programas supra citados, necessitam do usuário para definir certos
parâmetros como trecho de sinal a ser considerado, número de amostras, trechos de
reta para estimar coeficiente angular e outros. As metodologias, descritas a seguir,
buscam reduzir a necessidade da interação com o usuário, automatizando ao máximo
o processo de estimação dos parâmetros modais.
3.1 Metodologia utilizando a STFT
Neste trabalho, foi elaborada uma metodologia que utiliza os conceitos da STFT,
citada no capítulo anterior. Esta metodologia foi elaborada utilizando o software
MATLAB e possui a seguinte sequência de execução:
a) Realizar a leitura das respostas medidas ao logo do tempo;
b) Estimar períodos para as janelas de separação do sinal baseado nas
características do sinal da resposta. Isto é, buscar no sinal do ensaio cada um
dos trechos associados a um único impacto.
Um passo importante no processo é definir a janela que será utilizada no
processamento. A técnica de janelamento é muito difundida em processamento de
sinais e é utilizada para preservar as informações devido a possíveis efeitos de
descontinuidades no sinal a ser analisado e reduzir a ocorrência de um erro conhecido
como leakage. Este fenômeno ocorre devido a um erro de janelamento. Quando o
período da janela não coincide com o período do sinal, a transformada acumula certos
erros na sua discretização. Estes erros podem ser minimizados na escolha de uma
janela adequada.
Uma das funções mais utilizadas, adotada neste trabalho, é a janela de Hanning,
ilustrada na Fig. 3.1 e definida por:
29
l�00� = 0,5. �1 − cos 2e0{ � (3.1)
Figura 3.1 – Exemplo da forma de uma janela Hanning no domínio do tempo
Onde:
N:=Tamanho da amostra;
n:=Coordenada dentro da janela selecionada.
Conhecida a devida técnica de janelamento a ser adotada, continua-se com os
passos da metodologia
c) Aplicar a janela Hanning ao trecho correspondente a um dos impactos;
d) Estimar as frequências naturais e as respectivas amplitudes através de
transformada discreta de Fourier. Cabe destacar que para obter todas as
frequências naturais associadas as componentes existentes na resposta foi
desenvolvido um pequeno algoritmo de busca baseado na variação das
derivadas antes e após o ponto;
e) Com as frequências naturais, é realizada a convolução entre a janela Hanning e
os dados de saída multiplicados pela exponencial da expressão (2.21) que leva
em consideração a frequência natural de um determinado modo;
30
f) Da convolução é possível obter a função da crista e aplicando o logaritmo
neperiano a este sinal, obtém-se uma reta;
g) Aplicando uma metodologia simples de mínimos quadrados com valores de
tempo extremos previamente determinados baseados no gráfico da reta, é
calculado o coeficiente angular da reta e sua taxa de amortecimento para
determinado modo;
h) Estas etapas finais se repetem para cada modo de vibração desejado;
i) Este processo é repetido para todos os impactos e ao final são estimados o valor
médio e o desvio das frequências naturais e taxas de amortecimento associados
a cada um dos modos de vibração.
3.2 Metodologia utilizando a STFT em conjunto com a FRF
Esta metodologia possui algumas semelhanças com a primeira. Isto ocorre já
que as duas utilizam a STFT para calcular as taxas de amortecimento. Porém, esta
metodologia utiliza dados de entrada além dos de saída. Com isso é possível calcular a
FRF conforme a abordagem detalhada no capítulo anterior.
A seguir são detalhados algumas etapas importantes para a implementação
desta metodologia.
a) Leitura dos dados de entrada da força aplicada e das respostas de uma
determinada posição da estrutura;
b) Determinação do tempo da janela a ser utilizada para separar porções do sinal
para calcular as médias mais à frente. A escolha correta do período de cada
janela é fundamental uma vez que quanto maior for a janela maior é a resolução
em frequência, por outro lado, menor será o número de amostras adotadas, ou
seja, mais ruído poderá estar contido na FRF;
c) Sobrepor as janelas em 65% com a anterior, ou seja, a janela seguinte possui
65% de informação da janela anterior. Além disso, deve ser utilizada a janela
Hanning;
d) Calcular os autoespectros e espectro cruzados para cada amostra conforme
31
apresentado na formulação apresentada no item 2.3.2.2;
e) Calcular a matriz de espectros cruzados e seus autovalores e autovetores para
cada valor de frequência discretizada;
f) Calcular a l�T� a partir dos autovalores;
g) Estimar faixas de frequência onde se encontram os picos da FRF;
h) Localizar as frequências referentes aos picos e as amplitudes dos picos. Estas
são as frequências naturais e amplitudes dos respectivos modos de vibração;
i) Aplicar a transformada inversa de Fourier na l�T� e assim obter uma IRF;
j) Aplicar a STFT para estimar as taxas de amortecimento de cada modo de
vibração.
Seguindo estes passos e se existirem vários pontos de medição de
deslocamento, é possível estimar as frequências naturais, taxas de amortecimento e as
formas dos modos de vibração da estrutura inteira. Mais adiante serão ilustrados modos
de vibração de uma estrutura.
3.3 Implementação da análise numérica
3.3.1 Resolvendo o Problema estático
Para elaborar o modelo numérico citado no capítulo anterior, foi utilizado o
software MATLAB.
Foi elaborado um arquivo de texto com os dados de entrada como quantidade
de nós, elementos e forças concentradas, materiais, matriz de incidência dos nós e
elementos. Esta matriz de incidência indica o número do elemento de pórtico e quais os
nós que definem este elemento. Vale lembrar que as coordenadas de entrada deste
modelo são as fornecidas pela equação da catenária sem rigidez deduzida no capítulo
anterior. Estes elementos de pórtico fornecem a rigidez à flexão inexistente na
formulação analítica da catenária.
A partir deste arquivo, são criadas as matrizes de rigidez de cada elemento que
são posicionadas em uma matriz de rigidez global. Além desta matriz de rigidez, são
construídas a matriz de massa do sistema e o vetor de forças globais.
32
Ao resolver o problema estático sem a matriz geométrica, são calculados os
esforços axiais e os deslocamentos. As coordenadas são atualizadas e a matriz
geométrica é criada para cada elemento com auxílio da força axial atuante no respectivo
elemento. Assim, novas iterações são realizadas sempre atualizando as coordenadas
com os deslocamentos da iteração anterior e atualizando a matriz de rigidez com a
matriz geométrica devido ao esforço axial da iteração anterior.
3.3.2 Resolvendo o Problema Dinâmico
Para resolver o problema dinâmico, são utilizadas as matrizes de massa e a de
rigidez da última iteração do cálculo da geometria. Com estas duas matrizes é resolvido
o problema de autovalor e autovetor com auxílio de um rotinas existentes no MATLAB.
A raiz quadrada dos autovalores fornece as frequências naturais de cada modo de
vibração e os autovetores fornecem as amplitudes da forma de cada modo de vibração.
33
4. APLICAÇÕES E DISCUSSÃO DE RESULTADOS
Este capitulo tem como objetivo apresentar e discutir os ensaios e resultados
das análises para duas estruturas, uma viga biapoiada e a uma catenária. Para a viga,
são apresentados os resultados que constam no artigo (VELOSO et. al., 2013) e para a
catenária são calculados seu valores para que seja feita uma comparação.
4.1. Analise dos dados do ensaio em uma viga biapoiada
Foram realizados ensaios dinâmicos em uma viga para obter dados e aplicar as
metodologias propostas. Neste caso, não houve preocupação em analisar a geometria
estática. Esta estrutura é utilizada normalmente para aulas práticas em disciplinas da
COPPE.
O momento de inércia, a área da seção transversal, o modulo de elasticidade e
a densidade são, respectivamente, 3.1756 × 10-� ��, 6.0484 × 10-� ��, 207 r�� e 7.85 × 10W ¢V/�W. A Fig. 4.1 ilustra a instrumentação utilizada apresentando as posições dos
acelerômetros utilizados para medir os deslocamentos ao longo da viga. As forças foram
aplicadas próximo ao acelerômetro número dois como indica a figura. Isto foi feito com
o objetivo de excitar mais modos de vibração.
Figura 4.1 – Esquema da viga ensaiada (VELOSO et. al., 2013)
As vibrações foram geradas a partir de uma série de impactos gerando IRF’s
espaçadas.
A partir do ensaio descrito acima, foram extraídos dados de entrada e saída dos
acelerômetros e do martelo utilizado para excitação. Com isso, foi aplicada a
metodologia que utilizada a FRF e a STFT para estimar os parâmetros modais e
compará-los com os valores fornecidos por um modelo numérico em elementos finitos.
Foram estimados os valores de frequência natural para os três primeiros modos
34
de vibração e as suas formas de vibração.
Para estimar estes parâmetros foram utilizadas algumas variações na
metodologia. Neste caso, o tamanho da janela de amostragem e o tempo inicial de
amostragem foram variando em cada análise, sendo consideradas variáveis aleatórias.
O tamanho da janela variou até 15% de seu valor no tempo e o tempo inicial da série
temporal variou de zero até um quarto do tempo total de forma aleatória. Foram
realizadas no total, 160 rodadas com seus resultados ilustrados abaixo.
Para localizar os picos e as frequências naturais, foi utilizada a técnica peak
picking, que busca os valores máximos a partir da variação das derivadas. Com isso a
técnica foi denominada por FRF-PP.
A Fig.4.2 mostra as funções de probabilidade das frequências para os três
primeiros modos e a Fig. 4.3 ilustra as formas modais dos três primeiros modos de
vibração. Além da FRF, foi utilizada a técnica TDD (Time Domain Decomposition) que
não foi abordada neste trabalho. Informações sobre esta técnica podem ser encontrados
em (Kim et. al.,2005) e (VELOSO et. al., 2013).
Com este trabalho foi possível observar que existe uma certa sensibilidade da
frequência natural com relação a estas variações propostas. Em relação às formas
modais, não houve muita sensibilidade com relação às variações propostas.
Figura 4.2 – Função de densidade de probabilidade dos três primeiros modos
(VELOSO et. al., 2013)
35
Figura 4.3 – Formas modais dos primeiros três modos de vibração (VELOSO et. al.,
2013)
4.2. Análise dos resultados do ensaio estático da catená ria
No Labest, foi realizado uma extensa pesquisa para avaliar a viabilidade de
aumentar a vida útil de riser rígido através da utilização de materiais viscoelástico, como
é visto em (BORGES, 2014). Para esta pesquisa foi utilizado um tubo metálico que era
içado por meio de um cabo de maneira a formar uma catenária. Na extremidade inferior,
foi instalado uma célula de carga para mensurar a força horizontal atuante. A Fig. 4.4
ilustra uma vista de uma posição içada da catenária e a instrumentação utilizada.
Nesta pesquisa, foram realizados diversos ensaios variando-se a posição da
catenária e o trecho de tubo revestidos com o material viscoelástico. Cabe ressaltar que
este trabalho analisa apenas uma das situações de ensaio com tubo simples.
Para obter as coordenadas da geometria, foram medidas as projeções verticais
e horizontais dos pontos extremos e intermediários da estrutura.
36
Figura 4.4 – Vista do içamento da catenária
37
Serão apresentados a geometria e o valor de força horizontal �ℎ para posterior
comparação com os modelos teórico e numérico utilizados.
A Tab 4.1 indica as propriedades geométricas e do material da seção composta.
Estas propriedades são dados de entrada do modelo numérico.
Tabela 4.1 – Dados das propriedades geométricas e do material do tubo utilizado
Após aferir estas propriedades a estrutura foi içada e posicionada em uma certa
configuração.
A massa total do tubo foi medida e seu valor é de 8,73kg. Multiplicando por
g=9,81m/s², seu peso é de 85,64N. Com isso seu peso por metro é de 4,59N/m. O peso
por metro é um dos dados importantes para a solução analítica do problema da
catenária.
O último elemento, constituído pelas duas últimas coordenadas, é o cabo de
içamento. Este trecho não foi considerado para gerar o modelo numérico.
Através da célula de carga foi possível medir o valor da força horizontal
�ℎ atuante na estrutura, que para esta configuração foi de 70,5 N.
5.2.1 Cálculo e comparação do valor de força horizo ntal
Foi utilizada a metodologia de cálculo da força horizontal �ℎ através do método
iterativo. A Tab 4.2 mostra as variáveis utilizadas e o valor final obtido.
Tabela 4.2 – Varáveis de entrada e valor calculado da força horizontal
Tabela 4.3 – Comparação dos valores medido e calculado com o devido erro relativo
L(m) I( ) A(m²) E(N/m²) Densidade (kg/m³)
18,65 2,3E-09 5,46E-05 1,01E+11 8572,1
��
w (N/m) St (m) Fh,o (N)
4,59 18,65 100
Ensaio Xt (m) Yc (m) Fh (N)
S3.1 15,30 9,78 71,9
Valores fixos
Ensaio Força Medida (N) Força Calculada (N) Erro (%)S3.1 70,5 71,90 1,94
38
A Tab 4.3 mostra os valores medido e calculado conforme metodologia mostrada
no capítulo 2. O erro relativo foi de aproximadamente 2% mostrando uma grande
proximidade entre os valores estimado sem a rigidez à flexão e medido no ensaio.
4.3. Resultados do ensaio dinâmico na catenária
O ensaio dinâmico foi realizado aplicando uma série de impactos na direção
vertical na região próxima ao acelerômetro. Como não há dados da força imposta, não
é possível utilizar a metodologia com cálculo de FRF. Então, será utilizada a STFT
apenas.
Aplicando a metodologia, o sinal foi separado em trechos, de acordo com a
visualização das acelerações ao longo do tempo, para separar os impactos. Com isso,
foram obtidos os seguintes resultados, mostrados nas Tab 4.4 e Tab 4.5.
Tabela 4.4 – Valores de frequência natural para os quatro primeiros modos de
vibração
Tabela 4.5 – Valores das taxas de amortecimento para os quatro primeiros modos
4.4. Resultados da análise numérica da catenária
A seguir, são descritos os resultados da simulação numérica da catenária. Nesta
simulação, foi calculada a geometria final. Como dado de entrada foi utilizada a
catenária descrita pela expressão analítica da catenária descrita no início deste trabalho.
Além disso, é resolvido o problema de autovalor para calcular as frequências naturais
da estrutura e compará-las com as estimadas pela metodologia utilizando a STFT.
A Fig 4.6 mostra a geometria encontrada pela equação da catenária e pelo
modelo numérico. A geometria inicial, fornecida pela equação, foi obtida fixando os
valores de altura medidos e calculados os valores das projeções horizontais.
w1 (Hz) w2 (Hz) w3 (Hz) w4 (Hz)
0,75 ± 0,00 1,27 ± 0,00 1,95 ± 0,00 2,53 ± 0,04
ξ1 (%) ξ2 (%) ξ3 (%) ξ4 (%)
0,32 ± 0,05 0,17 ± 0,13 0,22 ± 0,05 0,45 ± 0,05
39
Figura 4.6 – Geometria da catenária segundo sua equação e extraída do modelo
numérico
A tabela 4.6 mostra os valores calculados de frequência natural através do
modelo numérico.
Tabela 4.6 – Valores de frequência natural calculados pelo modelo numérico
Após os cálculos efetuados, estes valores são comparados com os valores
estimados nos ensaios. A Fig. 4.7 ilustra a comparação entre os valores de frequência
natural calculados e os estimados, onde o eixo horizontal é o respectivo modo de
vibração e o eixo vertical são os valores de frequência natural de cada modo. E o gráfico
da Fig. 4.8 ilustra a comparação entre as geometrias de catenária medida e calculada.
0
2
4
6
8
10
12
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18
Y
X
Comparação entre Equação e MEF
Modelo Numérico Eq. Catenária
w1 (Hz) w2 (Hz) w3 (Hz) w4 (Hz)
0,73 1,53 2,14 2,65
40
Figura 4.7 – Comparação entre os valores estimados e calculados de frequência
natural
Observando o gráfico da Fig. 4.8, é possível concluir que a estrutura ensaiada possui
uma rigidez e efeitos não lineares elevados e o modelo numérico não foi capaz de
representar adequadamente estes efeitos.
Figura 4.8 – Comparação entre as geometria calculadas e medida
0,00
0,50
1,00
1,50
2,00
2,50
3,00
1 2 3 4
Fre
qu
en
cia
(H
z)
Modos de Vibração
Frequência x Modos de Vibração
Numérico Experimental
0
2
4
6
8
10
12
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18
Y
X
Comparação entre Numerico e Experimental
Modelo Numérico Eq. Catenária Ensaio
41
5. COMENTARIOS FINAIS
Este trabalho teve como objetivo propor duas metodologias de identificação de
parâmetros modais. Uma utilizando sinais de entrada e saída, com os cálculos da FRF
e da STFT e a outra com apenas o sinal de saída utilizando apenas a STFT.
O objetivo de automatizar o processo foi concluído, onde não foi necessário
muito esforço do usuário para inserir os dados de entrada.
As metodologias foram aplicadas em duas estruturas diferentes. Cada
metodologia em uma estrutura.
A estrutura mais simples apresentou resultados bons, mostrando pontos de
sensibilidade onde podem ser trabalhadas melhorias.
O modelo numérico proposto, para tratar a catenária com rigidez, acabou não
proporcionando uma rigidez suficiente para se igualar à estrutura ensaiada. Porém,
pode-se observar que a estrutura ganha uma certa rigidez, o que era um dos objetivos
do estudo. Este modelo deve ser refinado para considerar efeitos não lineares maiores.
A seguir são dadas as seguintes sugestões para trabalhos futuros:
a) Elaboração de um modelo numérico em três dimensões para avaliar a rigidez
fora do plano da catenária;
b) Elaboração de um modelo não linear que busque representar melhor os efeitos
não lineares;
c) Aplicação de mais métodos de identificação de estruturas, onde seja possível
comparar os resultados entre eles e com um modelo numérico refinado.
42
6. BIBLIOGRAFIA
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