Aplicação do Método de Elementos Finitos em uma Placa

UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINAPROGRAMA DE PÓS GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA

Aplicação do Método de Elementos Finitos em uma Placa

Aluno: Giovanni BrattiProf.: Júlio A. Cordioli, Dr. Eng.

Florianópolis, 18 de Dezembro de 2009.

IntroduçãoEste exercício tem como objetivo aplicar o Método de Elementos Finitos (FEM) em um

modelo de placa fina engastada para obter a resposta aproximada em um determinado pontodevido a excitação de uma força.Serão então calculadas as mobilidade pontuais e de transferência na placa através de dois

métodos: o Método Modal e o Método Direto. No final são feitas as comparações entre osresultados obtidos entre os métodos e também uma validação através do software comercialVAone de simulações numéricas de Vibro-acústica.

2

Proposta do exercício1. Seja uma placa em flexão engastada de alumínio, com 2 mm de espessura e com as demais

dimensões abaixo (mm):

Universidade Federal de

Santa Catarina

EMC410005 – Métodos Numéricos em Acústica e Vibrações - 2009.2 Prof. Júlio A. Cordioli Email: [email protected]

Exercícios – Método de Elementos Finitos - Placa

1) Seja uma placa em flexão engastada de alumínio, com 2 mm de espessura e com as demais dimensões abaixo (mm):

500

20040

60140

80 AB

Modele a placa empregando o Método de Elementos Finitos e faça: 1.a) Calcule a mobilidade pontual no ponto A e a mobilidade de transferência considerando excitação no ponto A e resposta no ponto B para a faixa de freqüência de 10 a 500 Hz (Δf = 5 Hz). Compare os resultados obtidos pelo método direto e pelo método modal (calcule usando 2, 4 e 9 modos), e indique o tempo de processamento total com dada método. Assuma amortecimento estrutural η = 0.01 e adota uma discretização compatível com a faixa de freqüência adotada. 1.b) Compare o resultado obtido com o método modal (9 modos) do item 1.a com os resultados obtidos através de um software comercial FEM de sua escolha (inclua figuras do modelo desenvolvido no software comercial no relatório).

Figura 1: Placa engastada.

Modele a placa empregando o Metodo de Elementos Finitos e faca:a) Calcule a mobilidade pontual no ponto A e a mobilidade de transferência conside-

rando excitação no ponto A e resposta no ponto B para a faixa de frequência de 10a 500 Hz (δf = 5 Hz). Compare os resultados obtidos pelo método direto e pelométodo modal (calcule usando 2, 4 e 9 modos), e indique o tempo de processamentototal com cada método. Assuma amortecimento estrutural η = 0.01 e adota umadiscretizacao compatível com a faixa de frequência adotada.

b) Compare o resultado obtido com o método modal (9 modos) do item 1.a com osresultados obtidos através de um software comercial FEM de sua escolha (incluafiguras do modelo desenvolvido no software comercial no relatório).

2. Método de Elementos Finitos 3

2 Método de Elementos FinitosOmétodo de Elementos Finitos (FEM) é uma técnica numérica para obtenção de uma solução

aproximada das equações diferenciais parciais de um problema [1]. É de uso rotineiro nasanálises de problemas dinâmicos de estruturas, sendo normalmente utilizado quando o sistemaa ser modelado possui geometria complexa, inviabilizando a solução por métodos analíticostradicionais. Este método foi inicialmente desenvolvido para análise de tensões, e hoje, éutilizado na análise de problemas de várias áreas, tais como vibrações e acústica.Neste método, a estrutura de geometria qualquer é representada por um conjunto de elemen-

tos de geometria simples. Estes elementos são unidos de tal forma que sua união representaaproximadamente a forma geométrica real do sistema. As coordenadas dos vértices de cadaelemento definem os nós da malha de elementos usados no modelo.Ao selecionar o tipo de elemento, define-se o grupo de equações o qual monta-se um problema

de autovetores, e quando resolvidas produzem as respostas da estrutura em termos de um grupode frequências naturais. Para cada frequência natural (associada ao autovalor), as respostas nosnós na forma de amplitude e fase relativa (autovetor), fornecem a forma do modo de vibraçãoda estrutura naquela frequência .Geralmente este método é aplicado em regiões onde o tamanho do elemento do modelo

proporcione um tempo de solução razoável. Uma vantagem deste método é a possibilidade dese detalhar regiões complexas da geometria, como soldas, junções e reforços em chapas.O Método de Elementos Finitos pode ser visto como uma generalização do Método de Ray-

leigh Ritz (MRR) que fornece um procedimento automatizado para obter as funções base.Este procedimento é feito da seguinte forma:

1. Dividi-se a estrutura em elementos 1D, 2D ou 3D (malha)

2. Define-se um conjunto de pontos de referência (nós), cada um com número de grau deliberdade G.L

3. Define-se um conjunto de funções base que satisfazem os critérios de convergência doMRR e de forma que cada função forneça um valor unitário para um dado G.L e zeropara todas as demais.

2.1 Vibração de Flexão de uma placa EngastadaConsidere uma placa plana em flexão dividida em elementos retangulares não-conformados

de 4 nós, uma em cada vértice do elemento dada pela Fig.(2).As equações de energia e trabalho virtual para um elemento de placa fina são dadas por:

Ue = 12

∫AI {X(x, y)}T [D] {X(x, y)} dA (1)

T = 12

∫Aρhw(x, y)dA (2)

δW =∫AFz(x, y)δwdA (3)

4

470 8 Introduction to Numerically Based Analyses of Fluid–Structure Interaction

six elements per bending wavelength should be used: for beams and plates inflexure, the total number increases as the square root of frequency.

8.4.3 Flexural Vibration of Thin Flat Plates: FiniteElement Analysis

Many vibroacoustic problems involve the vibration of closed shells and theacoustics of fluids in the enclosed volumes. In general, the structures take theform of folded flat plates or curved shell structures whose vibrations transverse tothe mid-plane are coupled with the fluid in the cavity. The Finite Element Analysisfor flexural vibration of a thin flat plate is presented here as an example since itwill be used later to analyse the vibration of a thin rectangular plate that formsone wall of an otherwise rigid rectangular box coupled to a contained fluid. Inthis formulation, the effects of non-conservative forces due to external excitationsand dissipative effects will also be taken into account. Therefore the virtual workdone by external forces δWf , and non-conservative dissipative effects δWd , willbe included in the application of Hamilton’s principle.

Following the procedure introduced above, the flexural vibration of the rect-angular plate shown in Fig. 8.7(a) can be analysed by dividing it up into anassemblage of two-dimensional finite elements called thin-plate flexural elements.As shown in Fig. 8.8, these elements may be either quadrilateral or triangular inshape with straight or curved sides and, four/eight or three/six nodes respectively.A comprehensive formulation of the Finite Element Models for these elementscan be found, for example, in Cook et al. (1989), Bathe (1996), Petyt (1998),and Zienkiewicz and Taylor (2000). As an example, the simple case of a rectan-gular, thin-plate, non-conforming element with four nodes is introduced. Thus,as shown in Fig. 8.7b,a regular mesh of rectangular elements with four nodalpoints at the vertices has been constructed.

Fig. 8.7. (a) Thin flat rectangular plate; (b) 4×4 mesh of four-node rectangular thin-plateelements.

Figura 2: (a)Placa plana (fina) retangular (b)Malha 4x4 elementos com 4 nós por elemento.

onde h é a espessura da placa, I = h3

12 é o momento de área, [D] é relação tensão deformaçãoque para uma material isotrópico é dado por:

[D] =

E′ E ′ν 0

E ′ν E ′ 00 0 G

(4)

E ′ = E

1− ν2 (5)

G = E

2(1 + ν) (6)

E é o módulo de elasticidade, ν o coeficiente de Poisson, G o módulo de cisalhamento e {X(x, y)}é dado por:

{X(x, y)}T ={∂2w∂x2

∂2w∂y2 2 ∂2w

∂x∂y

}(7)

Seja então o elemento de placa dado pela Fig.(3) com o respectivo sistema de coordenadas lo-cal, tem-se que as equações de energia escritas para o sistema de coordenadas local (coordenadasadimensionais) são dadas por:

Te = 12

∫ 1

−1

∫ 1

−1ρhw(ξ, η)2abdξdη (8)

Ue = 12

∫ 1

−1

∫ 1

−1I {X(ξ, η)}T [D] {X(ξ, η)} abdξdη (9)

δWe =∫ 1

−1

∫ 1

−1Fz(ξ, η)δw(ξ, η)abdξdη (10)

onde:{X(ξ, η)}T =

{1a2∂2w∂ξ2

1b2∂2w∂η2

2ab

∂2w∂ξ∂η

}(11)

A derivada de mais alta ordem nas equações de energia é de 2a ordem (p = 2). Portanto,conclui-se[2] que são necessário 3G.L por nó (Fig.(3.b)): w = w(ξ, η), θx = ∂w

∂y= 1

b∂w∂η

eθy = −∂w

∂x= 1

a∂w∂ξ

2. Método de Elementos Finitos 58.4 Finite Element Analysis of Vibrations in Solid Structures 473

Fig. 8.9. Four-node rectangular bending element with straight edges.

the shape function must be a polynomial having twelve terms. A two-dimensionalcomplete cubic polynomial is chosen with the two additional cubic terms x3y

and xy3 which have been selected in such a way as to ensure that the elementsare geometrically invariant (Petyt, 1998). Thus, the polynomial in a-dimensionalcoordinates ξ and η is

w(ξ, η) = α1 + α2ξ + α3η + α4ξ2 + α5ξη + α6η

2

+ α7ξ3 + α8ξ

2η + α9ξη2 + α10η3 + α11ξ

3η + α12ξη3(8.44)

This expression and its derivatives with reference to ξ and η can be written inmatrix form as follows:

w(ξ, η) =⌊

1 ξ η ξ2 ξη η2 ξ3 ξ2η ξη2 η3 ξ3η ξη3⌋

{α}

= �p(ξ, η)� {α} (8.45a)

∂w

∂ξ=⌊

0 1 0 2ξ η 0 3ξ2 2ξη η2 0 3ξ2η η3⌋

{α}

= �∂p(ξ, η)/∂ξ� {α} (8.45b)

and

∂w

∂η=⌊

0 0 1 0 ξ 2η 0 ξ2 2ξη 3η2 ξ3 3ξη2⌋

{α}

= �∂p(ξ, η)/∂η� {α} (8.45c)

Figura 3: Elemento retangular com 4 nós e seus respectivos graus de liberdade GL e sistemade coordenadas local.

Portanto, para cada elemento tem-se 12 GL’s. Sendo assim, para que a função w(ξ, η) sejadefinida de forma única, é necessário que o polinômio possua 12 termos, que em coordenadasadimensionais, em forma matricial fica:

w(ξ, η) = {p(ξ, η)}T {α} (12)

onde:{α}T =

{α1 α2 . . . α12

}(13)

{p(ξ, η)} = {1 ξ η ξ2 ξη η2 ξ2η . . .ξη2 ξ3 η3 ξ3η ξη3} (14)

A Eq.(12) pode ser escrita em função dos GL’s usando a relação:

{we} = [Ae] {α} (15)

onde:

{we} ={w1 θx1 θy1 . . . w4 θx4 θy4

}(16)

e a matriz [Ae] é obtida avaliando w(ξ, η), ∂w∂η

e ∂w∂ξ

em ξ = ±1 e η = ±1, logo,

6

474 8 Introduction to Numerically Based Analyses of Fluid–Structure Interaction

where

{α}T = �α1 α2 α3 α4 α5 α6 α7 α8 α9 α10 α11 α12� (8.46)

Evaluating Eqs. (8.45a–c) at the four nodal points, i.e., at ξ = ∓1 and η = ∓1gives

{we} = [Ae] {α} (8.47)

where

[Ae]=

⎡

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎣

1 −1 −1 1 1 1 −1 −1 −1 −1 1 10 0 1/b 0 −1/b −2/b 0 1/b 2/b 3/b −1/b −3/b

0 −1/a 0 2/a 1/a 0 −3/a −2/a −1/a 0 3/a 1/a

1 1 −1 1 −1 1 1 −1 1 −1 −1 −10 0 1/b 0 1/b −2/b 0 1/b −2/b 3/b 1/b 3/b

0 −1/a 0 −2/a 1/a 0 −3/a 2/a −1/a 0 3/a 1/a

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 10 0 1/b 0 1/b 2/b 0 1/b 2/b 3/b 1/b 3/b

0 −1/a 0 −2/a −1/a 0 −3/a −2/a −1/a 0 −3/a −1/a

1 −1 1 1 −1 1 −1 1 −1 1 −1 −10 0 1/b 0 −1/b 2/b 0 1/b −2/b 3/b −1/b −3/b

0 −1/a 0 2/a −1/a 0 −3/a 2/a −1/a 0 −3/a −1/a

⎤

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎦

(8.48)

and {we} is a column vector with the nodal displacements and rotations

{we}T =⌊

w1 θx1 θy1 · · · w4 θx4 θy4⌋

(8.49)

where, according to Eqs. (8.43a,b) θx = 1b

∂w

∂ηand θy = − 1

a

∂w

∂ξ. Substituting

Eq. (8.45a–c) into Eqs. (8.40a,b) and (8.40c,d) the kinetic and strain energyterms for one element and the virtual work done by dissipative and externalforces on the element are found to be given by

Te = 12 {we}T [Me] {we}

Ue = 12 {we}T [Ke] {we}

(8.50a,b)

and

δWd,e = −{δwe}T [Ce] {we}

δWf,e = {δwe}T {fe}(8.50c,d)

Pré-multiplicando a Eq.(15) por [Ae]−1, substituindo na Eq.(12) e levando às Eq. de energiae do trabalho virtual, chega-se em:

Te = 12 {we}

T [Me] {we} (17)

Ue = 12 {we}

T [Me] {we} (18)

δWe = {δwe}T {fe} (19)

onde a matriz massa de cada elemento é dada por:

[Me] = [Ae]−T[∫ 1

−1

∫ 1

−1ρh {p(ξ, η)}T {p(ξ, η)} abdξdη

][Ae]T (20)

e a matriz de rigidez de cada elemento por:

[Ke] = [Ae]−T[∫ 1

−1

∫ 1

−1Iz [p′′(ξ, η)]T [D] [p′′(ξ, η)] abdξdη

][Ae]T (21)

{f} = [Ae]−T{∫ 1

−1

∫ 1

−1{p(ξ, η)} {Fz(ξ, η)} abdξdη

}(22)

onde

[p′′(ξ, η)] =

1a2

∂2

∂ξ2 {p(ξ, η)}T1b2

∂2

∂η2 {p(ξ, η)}T2ab

∂2

∂η∂ξ{p(ξ, η)}T

(23)

A partir das Eq.(20) a Eq.(22) e levando em consideração a posição de cada elemento naestrutura, é possível montar as equações de massa, de rigidez e de força da estrutura global.Para aplicar as condições de contornos, basta retirar os G.L do vetor w associados as condições


de contorno, e da mesma forma, as linhas e as colunas das matrizes de massa, rigidez e forçada placa associadas a esses G.L.Levando essas matrizes na equação do movimento,

[M ] {w(t)}+ [K] {w(t)} = {f} (24)

onde assume-se um sistema não amortecido, cai-se num problema de autovalores. Através dosoftware MatLab(R2007b), foram montadas as matrizes globais da placa e então foi resolvido oproblema de autovalores/autovetores encontrando-se assim as frequências naturais e respectivasformas modais.Uma das maneiras de representar o amortecimento estrutural é através do chamado Amor-

tecimento Estrutural Histerético, no qual a equação do movimento é reescrita como:

[M ] {w(t)}+

˜[K]︷︸︸︷[K] (1 + iη) {w(t)} = {f} (25)

onde é assumido um módulo de elasticidade complexo do tipo:

E = (1 + iη) (26)

para o cálculo da energia potencial elástica onde η é o fator de perda do material.Outra maneira de representar o amortecimento de estruturas é através do Amortecimento

Viscoso (Proporcional ou de Rayleigh) no qual a matriz de amortecimento é escrita como:

[C] = α1 [M ] + α2 [K] (27)

onde α1 e α2 são constantes que variam de material para material, e equação do movimentofica então:

[M ] {w(t)}+ [C] {w(t)}+ [K] {w(t)} = {f} (28)

2.2 Vibração Forçada – Método ModalO objetivo aqui é solucionar a Eq.(25). O primeiro passo nesse processo é solucionar o

problema de autovalor que se obtém com Eq.(24). A solução de {w} pode ser escrita comocombinação linear dos autovetores [Φ] através de:

{w} = [Φ] {q} (29)

e pode ser interpretada como uma mudança de coordenadas física para coordenadas modais{q} (resposta generalizada).Através dos autovetores, obtém-se então as matrizes de massa e rigidez generalizadas, onde

assume-se que os autovetores foram normalizados pela massa. No caso de todos os elementospossuírem o mesmo fator de perda, obtém-se então:

{q}+ (1 + iη)[K]{q} = {Q} (30)

onde a[K]é a matriz de rigidez generalizada e {Q} o vetor de força generalizado(excitação).

8

Assumindo uma excitação e uma resposta harmônica, a solução da Eq.(30) fica da seguinteforma:

{q} =((1 + iη)

[K]− ω2

[M])−1 {

Q}

(31)

onde {q} é a resposta complexa generalizada,{Q}é a excitação complexa generalizada e

[M]

a matriz massa generalizada. Levando a Eq.(31) para a Eq.(29) obtém-se:

{w} = [Φ]((1 + iη)

[K]− ω2

[M])−1

[Φ]T{f}

(32)

que é a solução do problema.Isolando-se {w}{f} obtém-se a matriz de receptância [α(ω)], no qual cada elemento da matriz é

dado por:

αjk = uj

fk=

N∑n=1

φj,nφk,nω2n − ω2 + iηω2

n

(33)

onde N é a quantidade de modos desejado para se obter uma maior precisão nos resultados daFRF.

2.3 Vibração Forçada – Método DiretoNo caso da análise direta da Eq.(28) e assumindo uma excitação e uma resposta harmônica,

da mesma forma que a anterior, obtém-se a solução do problema que é dada através de:

{w} =([K]− ω2 [M ] + iω [C]

)−1 {f}

(34)

considerando amortecimento viscoso, e para a Eq.(25), considerando amortecimento Histerético:

{w} =((1 + iη) [K]− ω2 [M ]

)−1 {f}

(35)

A inversão da matriz entre parênteses pode ser feita através de diferentes métodos e deve serfeita para cada frequência ω de interesse.

2.4 Implementação do Método no MatLab R2007bAtravés do software MatLab R2007b e a partir das funções de forma foram calculadas as

Matrizes de massa e rigidez de um elemento (conforme descrito anteriormente) que então foramutilizadas para montar as matrizes Globais de massa e de rigidez da estrutura através deum processo de montagem no qual partiu-se da observação de um modelo simples de 4x4elementos (observação de onde deveriam se localizar os elementos da matriz elementar de cadaelemento dentro da matriz global), procurando uma lógica de disposição de cada elemento eentão aplicando a lógica para o modelo com uma malha mais discretizada.Montadas as matrizes globais, foram então aplicadas as condições de contorno através da ex-

clusão dos GL (linhas e colunas) referente ao engaste da placa (neste também foi pensado numalógica para exclusão dos GL’s de um modelo simples e aplicado ao modelo mais discretizado).Assim, obteve-se as matrizes [M ] e [K] da placa engastada.Utilizando a função eigs do MatLab, foi possível extrair os autovetores e autovalores os quais


foram normalizados pela matriz massa e então utilizados para calcular a matriz de receptância(Eq.(33)) pontual e de transferência pelo método modal (descrito anteriormente) considerandoamortecimento histerético e a quantidade de modos requeridos pelo exercício. As localizaçõesdos GL (posições j e k dentro das matrizes) referentes a excitação e a resposta foram obtidasatravés do desenvolvimento de uma equação dado no código do programa.Utilizando as matrizes de massa e rigidez da estrutura (com as condições de contorno aplica-

das) foi aplicado o método Direto através da montagem da matriz entre parênteses da Eq.(35)(considerando amortecimento histerético) e então calculado inversão desta matriz e multipli-cado por um vetor força

{f}o qual foi pego como valor unitário no ponto de aplicação(linha k)

e zero nas demais posições, para calcular assim as FRF’s de uma só vez. O ponte de respostafoi pego na linha j do vetor {u}.

2.5 Comparação dos Métodos – Modal x Direto – Modal x SoftwareComercial

Utilizando uma discretização na qual cada elemento de placa fina tinha dimensões 0,0161x0,0167mmresultou um total de 32 elementos na dimensão de 500mm e 12 elementos na dimensão de 200mmobedecendo assim a discretização apropriada para a frequência máxima de 500 Hz.As figuras abaixo mostram as comparações dos resultados de mobilidade pontual e de trans-

ferência obtidos pelo Método Modal e pelo Método Direto.

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 50010

−6

10−5

10−4

10−3

10−2

10−1

Frequência [Hz]

Mob

ilida

de [m

/(s.

N)]

Mobilidade Pontual em A

Método DiretoMétodo Modal (2 Modos)Método Modal (4 Modos)Método Modal (9 Modos)

Figura 4: Comparação da mobilidade pontual em A calculada pelo Método Modal (usando2,4 e 9 modos) com o Método Direto

10

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 50010

−7

10−6

10−5

10−4

10−3

10−2

10−1

Frequência [Hz]

Mob

ilida

de [m

/(s.

N)]

Mobilidade de Transferência (A−>B)

Método DiretoMétodo Modal (2 Modos)Método Modal (4 Modos)Método Modal (9 Modos)

Figura 5: Comparação da mobilidade de transferência de A=>B calculada pelo MétodoModal (usando 2,4 e 9 modos) com o Método Direto

Utilizando um computador Intel(R)Core(TM)2 CPU6400 1,60GHz e 2,00GB de RAM ostempos necessários para a realização dos cálculos foram:

N o de Modos Pontual[s] Transferência [s]2 2,5 2,54 4,3 4,39 9,5 9,7

Tabela 1: Tempos necessários para calcular a mobilidade pelo Método Modal

Pontual[s] Transferência [s]4,4 4,1

Tabela 2: Tempos necessários para calcular a mobilidade pelo Método Direto

Utilizando software comercial VAone version 2009 (ESI Group) foi realizada a modelagem damesma placa engastada com o intuito de validar o programa criado em MatLab. Foi realizadaentão a comparação da mobilidade pontual e de transferência utilizando o Método Modal emambos os software (MatLab x VAone) considerando 9 modos, conforme mostrados nas figurasa seguir.As figuras a seguir mostram a malha e as formas modais utilizadas na simulação pelo VAone.


0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 50010

−5

10−4

10−3

10−2

10−1

Frequência [Hz]

Mob

ilida

de [m

/(s.

N)]

Mobilidade Pontual em A

Método Modal (9 modos)VAone (9 modos)

Figura 6: Comparação da mobilidade de pontual em A calculada pelo MatLab com o simu-lado no VAone

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 50010

−7

10−6

10−5

10−4

10−3

10−2

10−1

Frequência [Hz]

Mob

ilida

de [m

/(s.

N)]

Mobilidade de Transferência (A−>B)

Método Modal (9 modos)VAone (9 modos)

Figura 7: Comparação da mobilidade de transferência de A=>B calculada pelo MatLabcom o simulado no VAone

12

(a) Malha Utilizada (b) Aplicação do Sensor de resposta e de ex-citação

Figura 8: Placa de Alumínio modelada no VAone

Figura 9: Primeira Forma Modal da Placa de Alumínio simulada no VAone

Figura 10: Segunda Forma Modal da Placa de Alumínio simulada no VAone


Figura 11: Terceira Forma Modal da Placa de Alumínio simulada no VAone

2.6 ComentáriosPode-se observar com o presente trabalho que ambos os métodos Modal e Direto são ótimas

ferramentas para determinação da resposta ou da FRF de uma estrutura empregadas no Métodode Elementos Finitos. O método Direto é de mais simples implementação (em termos deprogramação) do que o Método modal, pois o método Modal necessita dos autovetores parapoder construir a matriz FRF.Em termos computacionais, no Método Direto a inversão de matrizes (para cada frequência

de interesse) de elevada ordem requer um custo computacional elevado, já o Método Modal,o custo computacional aumenta com o número de modos considerado (conforme mostrado naTabela 1).Via de regras, quando o número de modos é baixo e o número de passos de frequência é alto,

utiliza-se o Método Modal. Já quando o número de modos é altos e os passos de frequência sãobaixos, usa-se o Método Direto.

Referências Bibliográficas[1] CORDIOLI, J. A. Notas de aulas de métodos numéricos em vibrações e acústica. UFSC,

Programa de Pós-Graduação em Engenharia Mecânica, 2009.

[2] FAHY, F. J.; GARDONIO, P. Sound and structural vibration: Radiation, transmission andresponse. San Diego: Academic Press, 2001.

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Aplicação do Método de Elementos Finitos em uma Placa