Aplicação EDO-Foguetes

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA CENTRO DE CINCIAS FSICAS E MATEMTICAS DEPARTAMENTO DE MATEMTICA

EQUAES DIFERENCIAIS APLICADAS EM ESCOAMENTO DE FLUIDOS

ALOISIO JOS BATTISTI ORIENTADOR: SRGIO EDUARDO MICHELIN

Florianpolis setembro de 2002

0. 268. 1 6 9 - 8

Esta Monografia foi julgada adequada como TRABALHO DE CONCLUSO DE CURSO no curso de Matemtica Habilitaao Licenciatura, e aprovada em sua forma final pela Banca Examinadora designada pela Portaria n 33 / SCG / 2002.

,gce2u;i4Prof N reu Estanislau Burin Professor da disciplina

Banca Examinadora:

rgio Eduardo Michelin Orientador

Lb

VW,Advmpi.

Antonio Vladimir Martins

Daniel Norberto Kozakevich

II

DADOS GERAIS

Nome do Orientando: Aloisio Jos Battisti Curso: Matemtica / Licenciatura Orientador: Srgio Eduardo Michelin (Depto de Fsica da UFSC)

Monografia apresentada ao Curso de Graduao em Matemtica do Centro de Cincias Fsicas e Matemticas da Universidade Federal de Santa Catarina, para obteno de Licenciado em Matemtica.

AGRADECIMENTOS

Agradeo principalmente os meus queridos familiares, e tambm as secretrias da coordenadoria, a todos do departamento, os colegas de aula, e meus professores, mais especialmente meu orientador pela sua ateno e bom humor.

IV

DEDICATRIA

Dedico esta monografia a minha sempre querida e amada Fernanda.

V

NDICEPginas

Introduo 1 Equaes Diferenciais 1.1 Introduo as Equaes Diferenciais 1.2 Equaes Diferenciais de l a Ordem com Variveis Separveis

01

03 04

2 Massa Varivel 2.1 Sistema de Massa Varivel 2.2 Momento Linear e Impulso Linear 2.3 Fluxo de Massa Constante 2.4 Lanamento de Partculas 2.4.1 Partcula Projetada Verticalmente para Cima sem Resistncia 2.4.2 Partcula Projetada Verticalmente para Cima com Resistncia

06 07 10 11 13 14

Proporcional a Velocidade2.4.3 Partcula que Escapa da Atrao Gravitacional da Terra 3 Aplicaes 3.1 Sistema de Massa Varivel em Problemas de Lanamento de Foguetes 3.1.1 Lanamento de Foguete na Vertical Desprezando a Fora de Atrito e com a Acelerao da Gravidade Constante 3.1.2 Lanamento de Foguete considerando a Fora de Atrito 3.1.3 Lanamento de Foguete na Horizontal 4 Escoamento de Fluidos 4.1 Escoamento em Hidrodindmica 4.2 Escoamento do Liquido de um Tanque 4.2.1 Escoamento do Liquido de um Recipiente em Forma Cilndrica 4.2.2 Escoamento do Liquido de um Recipiente em Forma de Funil 4.2.3 Escoamento do Liquido de urn Recipiente em Forma de Hemisfrio 4.3 Escoamento em Bacias Hidrogrficas 5 Modelo Terico em Previso de Enchentes 5.1 Modelagem Matemtica 5.2 Escoamento Varivel 5.3 Determinao da Inundao 5.3.1 Fluxo Constante 5.3.2 Fluxo Varivel Concluso

16 18 20 23

26

2729 30 32 33

36 38 40 41 44 45 46

Bibliografia

INTRODUO

No podemos negar, que, em todas as reas das cincias exatas, uma poderosa ferramenta para a descrio e modelao de muitos fenmenos so as equaes diferenciais. Particularmente, na rea das cincias fsicas, a aplicao das equaes diferenciais encontra uma enorme gama de aplicaes, desde sua formulao mais simples, que so as equaes lineares de primeira ordem, at aplicaes em problemas mais complexos envolvendo equaes diferencias no-lineares de altas ordens. Procuraremos, neste trabalho, dar uma viso simplificada da aplicao das equaes diferenciais, em alguns problemas encontrados na Area das cincias fsicas, que possuem solues bastante conhecidas, indo at uma tentativa mais modesta de se descrever alguns fenmenos naturais encontrados na previso de enchentes. Em nosso trabalho, resolvemos analiticamente, e numericamente, as equaes diferenciais que mostram o desempenho dos fenmenos de sistemas de massa varivel. Como exemplos de aplicaes das equaes diferenciais lineares, que envolvam sistemas de massas variveis, abordaremos no presente trabalho, alguns problemas simples, onde as equaes diferenciais so utilizadas para descrever o comportamento de sistemas com massa varivel. Estas equaes buscam descrever matematicamente e fisicamente tais problemas, onde, com base nestas equaes podemos tentar prever o comportamento de tais sistemas.Em especial as equaes diferenciais ordinrias de 1a ordem, que descrevem os fenmenos fisicos, so de grande importncia prtica na resoluo dos problemas em sistemas de massa varivel, o que nos oferece uma compreenso quantitativa e qualitativa de tais experimentos. Nem sempre possvel trabalhar com um modelo matemtico que represente de maneira exata um problema real em toda sua complexidade. Contudo, pode-se tentar uma formulao aproximada, empregando para tal, algumas variveis que so essenciais na formulao do fenmeno fsico. Desta forma, podemos simular tal fenmeno, com o emprego de um modelo matemtico que descreva o seu comportamento. Como exemplo do exposto acima, vamos observar a desintegrao de uma substncia radioativa. Podemos observar, neste caso, que o nmero de desintegraes por unidade de tempo proporcional A. quantidade de substncia presente em cada instante. Se postularmos que; x = x(t) representa a quantidade de substncia presente em cada instante t, a equao matemtica que descreve a taxa de variao instantneadx(t) dt

sofrida pela substncia, pode ser descrita como:dx(t) dt --= a.x.(t)

onde, a o coefi ciente de proporcionalidade, entre o valor inicial e a sua variao instantinea. Esta constante deve ser determinada analiticamente, resolvendo a equao acima formulada, ela depende do material envolvido. No capitulo 2, estudamos conceitos, classi ficao e como resolver as equaes diferenciais envolvidas. Neste item, as aplicaes de tais equaes so de fundamental importncia para modelagem matemtica de problemas de escoamento e lanamento de foguetes. No Capitulo 3, centramos nosso estudo na area da fisica, onde estudamos os conceitos de momento linear, de impulso linear e descrevemos sistemas de massa varivel. Estudamos tambm, neste capitulo, o lanamento de partculas segundo os seguintes aspectos: - sob a ao da fora de gravidade, desprezando a resistncia do ar; - sob a ao da fora da gravidade e considerando a resistncia do ar; - desprezando a fora de gravidade e a resistncia do ar. No capitulo 4, estudamos problemas de escoamento de fluidos que envolvam aplicaes fisicas simples das equaes diferenciais, em que o volume do liquido no recipiente varia como funo da taxa de escoamento do liquido. Como exemplos aplicados, apresentamos a resoluo dos problemas para recipiente com diversas formas: cilndrico, de cone invertido: "funil", e recipiente hemisfrico e escoamento em bacias hidrogrficas. No capitulo 5, estudamos problemas como o do lanamento de foguetes, no qual utilizamos os conceitos utilizados em problemas com sistemas de massa varivel. Nestes estudos, somente analticos, consideramos o foguete nas seguintes situaes: - sob a ao da gravidade; - sob a ao da resistncia do ar; - lanamento na horizontal, onde desprezamos a ao da gravidade. No capitulo 6 estudamos, o problema do escoamento das guas em enchentes, baseados em dados coletados durante o perodo de enchentes em julho de 1983, na bacia hidrogrfica do rio Canoas. Isto foi feito utilizando uma modelagem onde inclumos dados coletados. Neste caso, seguimos um roteiro da forma: - Determinamos a sea responsvel pelo escoamento, em cada momento, conhecidos o volume e altura em funo do tempo. Com o software grfico Origen40, encontramos uma equao polinomial da area, a(t). A partir da equao diferencial estudada para escoamento no capitulo 4, estudamos a taxa de escoamento instantneo da area inundada, no perodo estudado, desprezando qualquer variao no escoamento. Finalmente, com a frmula de modelagem obtemos as vrias fases do comportamento da area inundada. Por ltimo, apresentamos uma pequena concluso sobre este trabalho.

Capitulo 1

EQUAES DIFERENCIAIS

1.1 INTRODUO AS EQUAES DIFERENCIAIS Equaes diferenciais so equaes que envolvem derivadas de uma ou mais variveis dependentes em relao a uma ou mais variveis independentes. [10] So exemplos de equaes diferenciais: d2Y( dY ) 3

dx 2

dx

=0

Xi/dx 3

d2x ln d- 2

(1.1.2)

Enquanto a equao diferencial eq.(1.1.1), que apresenta somente uma varivel independente, x, chamada de ordinria, a segunda eq.(1.1.2), com duas variveis independentes, x e z, denominada como equao diferencial parcial. Para classificar uma equao diferencial segundo a ordem, necessrio comparar os graus dos termos existentes, assim a ordem dada pelo grau da derivada de maior ordem existente, nas equaes apresentadas acima, a ordem da eq.(1.1.1) de grau 2, enquanto que a ordem da eq.(1.1.2) de grau 3. Tambm para diferenciar equao diferencial linear de uma no linear, adota-se alguns critrios, toda equao chamada de linear quando no aparecem os termos tais como: 1 transcendentais: ln y(x) , cos(%) , sen 2 produtos do tipo:a 2 x ax i. i;x(y,z). 8z 2 ay dz dh [Y(X)1 2 ; (dt/ )2 .(1.1.4)

r d2x

ciy z

(1.1.3)

dhi

4

Quando as equaes envolvem termos como os descritos acima, (1.1.4) e (1.1.4), estas equaes so denominadas de equao diferencial no-linear. Toda equao diferencial linear ordinria de ordem n escrita como:a 0 (x).

dy d"y d"-1 y + ...+a_, (x). + a (x).y = b(x) + a,(x). dx dx" dx" -1

(1.1.5)

em que a (x) no identicamente nulo, x a varivel independente e y(x) a nica funo de x. Toda equao diferencial de la ordem escrita na forma dydx

= f(x,

(1.1.6)

tambm possvel reescrever esta equao como f (x, = M(x, y) N(x, y)

(1.1.7)

Que mais bem representada na forma M(x, y).dx N(x, y).dy = 0 (1.1.8)

e pode ser transformada numa equao diferencial separvel nas variveis x e y, como veremos a seguir.

1.2 EQUAES DIFERENCIAIS DE la