APLICAÇÕES À GEOMETRIA DIFERENCIAL Fundamentos de ... · e a geometria analítica para entender propriedades de curvas e superfícies. Entre as propriedades interessantes, do ponto

Licenciatura em ciências · USP/ Univesp

9.1 Introdução9.2 Tangentes e perpendiculares a Curvas

9.2.1 Vetores Normais a uma Curva e Raio de Curvatura9.3 Diferencial total de uma função escalar9.4 Derivada numa Direção e Máxima Derivada Direcional9.5 Perpendicular a uma superfície9.6 Plano tangente a uma superfície por um ponto9.7 Direções Normais a Superfícies e Tangenciais a Curvas 9.8 Elementos de volume e de superfície

9.8.1 Exemplo: Coordenadas Esféricas9.9 Bases de Vetores

Fund

amen

tos

de M

atem

átic

a II

Gil da Costa Marques

9APLICAÇÕES À GEOMETRIA DIFERENCIAL

167

Fundamentos de Matemática II

Licenciatura em Ciências · USP/Univesp · Módulo 2

9.1 IntroduçãoA geometria diferencial é o ramo da matemática que se ocupa de utilizar o cálculo diferencial

e a geometria analítica para entender propriedades de curvas e superfícies.

Entre as propriedades interessantes, do ponto de vista das curvas, podemos mencionar a

curvatura, a torção, a direção tangente e a direção normal, em cada ponto de uma curva.

Dada uma superfície, podemos estar interessados na sua curvatura, na direção normal e no

plano tangente em cada ponto ao longo da mesma.

Neste texto discutiremos algumas dessas questões, especialmente como inferi-las utilizando

as derivadas parciais de funções escalares ou derivadas de funções vetoriais.

Por ser de grande aplicação prática, introduziremos uma forma de efetuar integrais de super-

fícies ou de volumes, quando introduzimos coordenadas generalizadas.

Vale recordar que uma superfície - ou parte dela - pode ser descrita por meio de uma função

de três variáveis W(x, y, z) e isto se deve ao fato de que os valores constantes de tal função

descrevem uma superfície.

9.1

A seguir, consideraremos três superfícies caracterizadas pelas funções: Q1(x, y, z), Q2(x, y, z), Q3(x, y, z). Elas definem algo que, usualmente, denominamos coordenadas generalizadas e isso

porque um ponto no espaço pode ser especificado a partir de valores das coordenadas (Q1, Q2, Q3). Por exemplo, ao ponto P0 corresponde o valor das coordenadas:

onde Qi0 é o valor assumido pela coordenada Qi, 1 ≤ i ≤ 3, no ponto P0.

Assim, pontos do espaço estão associados a valores fixos das coordenadas (Q1, Q2, Q3). É importante lembrar, no entanto, que a condição para que uma particular coordenada do

espaço tenha um valor fixo se escreve como:

9.2

W W x y z0 = ( ), ,

P Q Q Q0 10 20 30⇔ ( ), ,

Q x y z Qi , ,( ) = =10 constante

168

9 Aplicações à Geometria Diferencial


e, consequentemente, essa condição descreve o lugar geométrico dos pontos do espaço perten-

centes a uma superfície.

O conjunto de duas condições para valores constantes das coor-

denadas generalizadas do espaço, quando impostas simultaneamente,

como, por exemplo, as condições:

9.3

descreve a intersecção de duas superfícies. Assim, o lugar geo-

métrico dos pontos do espaço tais que duas coordenadas gene-

ralizadas tenham um valor fixo descreve uma curva no espaço.

Com a superfície Q3 definida em 9.2, leva a um ponto.

9.2 Tangentes e perpendiculares a CurvasUma curva é descrita por meio de um vetor dependente de um parâmetro λ, isto é, o vetor

associado a um ponto da curva é dado pela função vetorial:

9.4

e a cada valor de λ corresponde um - e apenas um - ponto da curva.

A seguir, adotaremos o parâmetro λ como se fosse o comprimento de arco da curva. O ideal,

nesses casos, é adotar a coordenada espaço. Assim, a cada valor da coordenada espaço, fica

assegurado que existe apenas um ponto da curva. Escrevemos:

9.5

E, portanto, em termos da coordenada espaço, o vetor posição será escrito como:

9.6

Figura 9.1: Superfícies podem ser utilizadas para determinar pontos no espaço ou curvas.

Q x y z Q

Q x y z Q1 10

2 20

, ,

, ,( ) =( ) =

r x i y j z kλ λ λ λ( ) = ( ) + ( ) + ( )

λ = s

r s x s i y s j z s k( ) = ( ) + ( ) + ( )

169



O elemento de comprimento da curva, ds, é dado por:

9.7

O vetor

t definido por:

9.8

tem propriedades interessantes. Em primeiro lugar, sua direção é tangente à curva em cada

ponto. Seu sentido indica valores crescentes das coordenadas e, finalmente, ele tem um módulo

unitário. De fato, de 9.7, temos:

9.9

e, portanto, o vetor

t é um versor (isto é, tem módulo unitário).

Exemplos

• ExEmplo 1Escreva uma expressão para o vetor velocidade ao longo de uma curva.

→ REsolução:Lembrando que a velocidade vetorial é definida por

9.10

e levando em conta que, agora, estamos considerando as coordenadas como dependentes do parâ-metro s, podemos escrever a velocidade sob a forma:

9.11

Lembrando a definição 9.10, vemos que a velocidade, de acordo com 9.6, é dada por:

9.12

donde se infere que a velocidade é tangente à curva e o módulo dela é a velocidade escalar.

ds dx dy dz= + +2 2 2

t s drds

dx sds

idy sds

jdz sds

k( ) = =( )

+( )

+( )

t s drds

22

2 1( ) = =

v drdt

dx sdt

idy sdt

jdz sdt

k= =( )

+( )

+( )

vdx sds

idy sds

jdz sds

k dsdt

=( )

+( )

+( )

v dsdtt=

170



9.2.1 Vetores Normais a uma Curva e Raio de Curvatura

No espaço tridimensional, existem infinitos vetores normais a uma curva passando por um ponto

dessa curva. No entanto, a seguir estaremos interessados pelo vetor normal que passa pelo

centro da circunferência osculadora. Uma circunferência osculadora de uma curva, na geometria

diferencial, é uma circunferência que tangencia a curva por aquele ponto. Ósculo é quase um

sinônimo para beijo. Assim, a circunferência osculadora toca - ou beija - a curva em um deter-

minado ponto. Daí a razão para o termo.

Para construir tal circunferência consideramos, primeiramente,

três pontos suficientemente próximos e por eles traçamos uma

circunferência. Ela sempre existe e é univocamente determinada.

Em seguida, tomamos o limite em que os três pontos coincidam.

O vetor tangente à circunferência osculadora é igual ao vetor

tangente à curva por aquele ponto.

O raio de curvatura num determinado ponto da curva é igual ao

raio da circunferência osculadora.

Introduzimos agora o conceito de vetor normal à curva por um

ponto dessa curva. É um vetor tal que aponta para o centro da circun-

ferência osculadora. Naturalmente, esse vetor será perpendicular ao

vetor tangente à curva.

Um vetor normal é obtido a partir do vetor

t (s) derivando-o mais uma vez com respeito ao

parâmetro s. Efetuando tal derivada obtemos o vetor

N (s), o qual é dado por:

9.13

Tendo em vista que o versor

t (s) tem módulo igual a 1, obtém-se:

9.14

Figura 9.2: A circunferência osculadora no ponto P.

N sdt sds

d x sds

id y sds

jd z sds

k( ) = ( )=

( )+

( )+

( )2

2

2

2

2

2

d t tds

.( )= 0

171



Consequentemente, de 9.14 obtemos:

9.15

daí ficando constatado que o vetor

N (s) definido por:

9.16

é um vetor perpendicular ao vetor

t (s). Assim, o versor n(s) indicando a direção normal à curva

é dado por:

9.17

Define-se a curvatura (κ(s)) de uma curva como igual ao módulo do vetor

N (s). Dessa forma,

podemos verificar que a curvatura se escreve como:

9.18

O raio de curvatura da circunferência osculadora (R(s)) é dado pelo inverso da curvatura:

9.19

e, portanto, uma vez conhecida a forma da curva dada pela funções x, y e z como funções do

parâmetro s, podemos determinar o raio de curvatura em cada ponto. De 9.18 resulta que:

9.20

Os centros das circunferências oscu-

ladoras formam a evoluta da curva.

d tds

t N t

( )⋅ = ⋅ = 0

N sd tds

( ) = ( )

n sN sN s

s N s( ) = ( )( )

= ( ) ( )κ

Figura 9.3: Vetores tangente e normal a uma curva em cada ponto.

κ s N sd x sds

d y sds

d z sds

( ) = ( ) = ( )

+

( )

+ +

( )

2

2

2 2

2

2 2

2

2

R ss

( ) = ( )1

κ

1 2

2

2 2

2

2 2

2R sd x sds

d y sds

d z sds( )

=( )

+

( )

+

( )

2

172



• ExEmplo 2Determine os vetores tangente e normal a uma circunferência. Determine também a sua curvatura.

→ REsolução:Uma circunferência é tal que todos os pontos ao longo dela podem ser escritos em termos de uma função vetorial da variável espaço, s, da forma:

9.21

onde R é o raio da circunferência.Portanto, o vetor cuja direção é a da tangente a cada ponto da circunferência é

9.22

enquanto o vetor normal a ela, em cada ponto, é:

9.23

O vetor normal sempre aponta para o centro da circunferência osculadora. No caso em apreço, ele aponta para o centro da circunferência considerada. A curvatura da circunferência é constante e, de acordo com 9.18 e 9.23, ela é dada pelo inverso do raio dessa circunferência:

9.24

9.3 Diferencial total de uma função escalarA diferencial total de uma função de três variáveis V = V(x,y,z) é definida como

9.25

r s R sRi s

Rj( ) =

+

cos sen

t sdr sds

sRi s

Rj( ) = ( )

= −

+

sen cos

N sd r sds R

sRi s

Rj( ) = ( )

= −

+

2

2

1 cos sen

κ sR

( ) = 1

dVV x y z

xdx

V x y zy

dyV x y z

zdz=

∂ ( )∂

+∂ ( )

∂+∂ ( )

∂, , , , , ,

173



• ExEmplo 3:

Seja V x y x y,( ) = 13

2 2. Utilizando a diferencial da função V, vamos encontrar um valor aproximado

para a variação ΔV quando passamos do ponto (1, 2) para o ponto (1,03; 2,01); em seguida, vamos

avaliar o erro cometido nessa aproximação. Temos:

9.26

e, portanto,

9.27

Fazendo x = 1, y = 2, dx = 0,03 e dy = 0,01, temos

9.28

Por outro lado,

9.29

Fazendo x = 1, y = 2, dx = 0,03 e dy = 0,01, obtemos

9.30

o que nos leva à conclusão de que se trata de uma boa aproximação quando dizemos que ΔV é bem aproximado por dV.

• ExEmplo 4:Vamos calcular um valor aproximado para (1,02)2,01. Em primeiro lugar, consideremos a função V(x, y) = xy e então temos:

9.31

e

9.32

e, portanto,

9.33

∂∂

=∂∂

=Vx

xy Vy

x y23

23

2 2 e

dV xy dx x ydy= +23

23

2 2

dV ≅ 0 09,

∆ = + + −V x dx x dy x y13

13

2 2 2 2( ) ( )

∆ ≅V 0 09,

∂∂

= −Vx

y x y. 1 (fazendo y constante)

∂∂

=Vy

x xy ln (fazendo x constante)

dV y x dx x x dyy y= +−. ln1

174



Fazendo x = 1, y = 2, dx = 0,02 e dy = 0,01, temos

9.34

Por outro lado,

9.35

• ExEmplo 5: Calcule aproximadamente 2 01 4 02 1 97, . , . , .

Vamos considerar a função V x y z xyz( , , ) = e suas derivadas parciais:

9.36

9.37

9.38

e, portanto,

9.39

Fazendo x = 1, y = 4, z = 2, dx = 0,01, dy = 0,02 e dz = −0,03 temos

9.40

(Verifique!)Logo,

9.41

dV ≅ 0 04,

∆ = − ≅ − =V ( , ) , ,,1 02 1 1 0406 1 0 04062 01 2

∂∂

=Vx

yzxyz2

∂∂

=Vy

xzxyz2

∂∂

=Vz

xyxyz2

dV yzxyz

dx xzxyz

dy xyxyz

dz= + +2 2 2

dV ≅ −0 01,

2 01 4 02 1 97 3 99, . , . , ,≅

175



9.4 Derivada numa Direção e Máxima Derivada Direcional

Consideremos uma direção e sentido especificados pelo versor:

9.42

isto é, um vetor que tem módulo unitário (para esses vetores colocamos um acento circunflexo

a fim de denotar tal fato). Assim,

9.43

Um vetor derivado desse mediante a multiplicação por uma constante h,

9.44

tem a mesma direção e sentido do versor a, se h > 0, e tem sentido contrário se h < 0.

O módulo desse vetor é, evidentemente, igual a |h|, uma vez que |a| = 1.

Sendo V = V(x, y, z), (x0, y0, z0) um ponto do domínio de V, e h tal que os pontos

(x0 + axh, y0 + ayh, z0 + azh) também pertencem ao domínio de V, definimos a derivada

direcional de V, no ponto (x0, y0, z0) e na direção de

9.45

como

9.46

se tal limite existe e é finito.

Denotamos a derivada direcional definida acima como

9.47

x y za a i a j a k= + +

�� a a a a ax y z⋅ = ⇒ ( ) + ( ) + ( ) =1 12 2 2

ha ha i ha j ha kx y z

= + +


lim, , , ,

h

x y zV x a h y a h z a h V x y zh→

+ + +( ) − ( )0

0 0 0 0 0 0

D V x y zV x a h y a h z a h V x y z

ha h

x y z ( , , ) lim

( , , ) ( , , )0 0 0 0

0 0 0 0 0 0=+ + + −

→

176



Se a função V e suas derivadas parciais forem contínuas então a derivada direcional definida

em 9.47 é dada por:

9.48

9.49

Observamos assim que a derivada direcional de V, no ponto (x0, y0, z0) e na direção de a, é igual ao produto escalar do vetor ˆ


pelo vetor cujas componentes são as

derivadas parciais da função V no ponto (x0, y0, z0). Este último vetor é denominado vetor

gradiente da função V no ponto (x0, y0, z0) e é indicado com a seguinte notação:

9.50

Assim, escrevemos

9.51

Consequentemente, a derivada direcional de uma função pode ser escrita em função do

ângulo θ entre o vetor unitário a e o gradiente da função (definido em 9.51), como:

9.52

E, assim, a direção e sentido, para os quais a deri-

vada direcional de uma função V é máxima, são os do

vetor gradiente de V, pois nesse caso cosθ = 1.

Lembrando que a variação infinitesimal do vetor de

posição ou, ainda, o vetor deslocamento infinitesimal

é dado pela expressão:

9.53

D V a Vx

a Vy

a Vz

a Va x y z

=∂∂

+∂∂

+∂∂

= ⋅∇

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0ˆ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , )a x y z

V V VD V x y z a x y z a x y z a x y z a Vx y z

∂ ∂ ∂= + + = ⋅∇

∂ ∂ ∂

∇ =∂∂

+∂∂

+∂∂

V x y z Vxx y z i V

yx y z j V

zx( , , ) ( , , ). ( , , ). ( ,0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 yy z k0 0, ).

ˆ 0 0 0 0 0 0ˆ( , , ) ( , , )aD V x y z a V x y z= ⋅∇

Figura 9.4: O gradiente de uma função determina a normal à superfície associada a valores constantes da mesma.

cosa

D V V a V= ∇ ⋅ = ∇ θ

dr dxi dyj dzk

= + +

177



podemos observar que a variação infinitesimal de uma função escalar V, sua diferencial, pode

ser escrita sob a forma do produto escalar de dois vetores:

9.54

pois o vetor gradiente

∇V é, por definição,

9.55

• ExEmplo 6: Encontre o vetor

∇u no ponto (5,3,−1), sendo u(x, y, z) = 3x2 − 3y2 + z2.Temos

9.56

Como

9.57

obtemos

9.58

• ExEmplo 7:Sendo V(x, y, z) = x2 + y2 + z2, vamos encontrar a derivada direcional D V x y za ( , , )0 0 0 em (x0, y0, z0) = (1, 2, 3) na direção do vetor

u i j k= + −2 2 2 13 .Sabemos que

9.59

Temos

9.60

dV x y z V dr, ,( ) = ∇ ⋅

∇ =∂∂

+∂∂

+∂∂

V Vxi V

yj V

zk

∂∂

=∂∂

= −∂∂

=ux

x uy

y uz

z6 6 2, e

∇ =∂∂

+∂∂

+∂∂

u x y z uxx y z i u

yx y z j u

zx( , , ) ( , , ). ( , , ). ( ,0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 yy z k0 0, ).

∇ − =∂∂

− +∂∂

− +∂∂

−u ux

i uy

j uz

( , , ) ( , , ). ( , , ). ( , , ).5 3 1 5 3 1 5 3 1 5 3 1 kk i j k= − −30 18 2

D V x y z a Vxx y z a V

yx y z a V

zxa x y z ( , , ) ( , , ) ( , , ) (0 0 0 0 0 0 0 0 0 0=

∂∂

+∂∂

+∂∂

,, , )y z0 0

∂∂

=∂∂

=∂∂

=Vx

x Vy

y Vz

z2 2 2, e

178



Logo,

9.61

Como a é um vetor unitário, versor do vetor u dado, vamos encontrar o módulo do vetor

u:

9.62

Assim,

9.63

Logo,

9.64

• ExEmplo 8: Sendo

9.65

determine o vetor em que a derivada direcional no ponto (1,1,1) é máxima e encontre esse valor máximo.Em primeiro lugar, temos o vetor gradiente

9.66

e, portanto, como

9.67

9.68

A direção e sentido, segundo os quais a derivada direcional da função V é máxima, são os do vetor gradiente de V; logo, segundo o versor,

9.69

Como

9.70

o valor máximo procurado da derivada direcional é 6.

∂∂

=∂∂

=∂∂

=Vx

Vy

Vx

( , , ) ( , , ) ( , , )1 2 3 2 1 2 3 4 1 2 3 6, e

| |u = + + =4 8 13 5

2 2 2 13ˆ 5 5 5

a i j k= + −

ˆ2 2 2 13 4 8 2 6 13(1,2,3) 2 4 65 5 5 5aD V + −

= ⋅ + ⋅ − ⋅ =

V x y z xyz( , , ) = 2

∇ =∂∂

+∂∂

+∂∂

= + +V Vxi V

yj V

zk yz i xz j xyz k2 2 2

∇ =∂∂

+∂∂

+∂∂

V x y z Vxx y z i V

yx y z j V

zx( , , ) ( , , ). ( , , ). ( ,0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 yy z k0 0, ).

∇ = + +V i j k( , , )1 1 1 2

(1,1,1) 1 1 2ˆ6 6 6 6

Va i j k∇= = + +

ˆˆ ˆ| | . | | | |aD V V a V a V= ∇ ⋅ = ∇ = ∇

179



• ExEmplo 9: Seja f(x,y) = 3x2 − 2y2. Encontre a derivada direcional de f no ponto (1,1) na direção que forma um ângulo de 120° com o eixo horizontal.Sendo f(x,y) = 3x2 − 2y2, temos:

9.71

Logo,

9.72

O vetor unitário que tenha a direção que forma um ângulo de 120° com o eixo horizontal é

9.73

Logo,

9.74

e, portanto, como

9.75

9.76

9.5 Perpendicular a uma superfícieConsideremos uma função escalar de três variáveis

9.77

A equação

9.78

onde wi é uma constante, para cada i é a equação de uma superfície.

∇ =∂∂

+∂∂

= −f fxi f

yj x i y j6 4

∇ = −f i j( , )1 1 6 4

ˆ cos120 sen120a i j= ° + °

1 3ˆ2 2

a i j= − +

ˆˆ

aD f f a= ∇ ⋅

ˆ1 3ˆ(1,1) (1,1) 6. ( 4). 3 2 32 2aD f f a

= ∇ ⋅ = − + − = − −

W W x y z= ( , , )

w W x y zi = ( , , )

180



Sendo wi uma constante, sua diferencial é nula. Escrevemos:

9.79

Tendo em vista que o vetor deslocamento pertence à superfície aludida, definida por 9.78

concluímos, de 9.79, que o gradiente de uma função escalar da forma 9.77 é tal que ele é

perpendicular à superfície definida em 9.78.

Assim, podemos dizer que a normal tem a direção do vetor

9.80

Em cada ponto P0 = (x0, y0, z0) pertencente a uma superfície,

podemos determinar o vetor normal a ela passando pelo ponto P0.

Esse vetor é dado por:

9.81

9.6 Plano tangente a uma superfície por um pontoDada a função

9.82

que admite derivadas parciais contínuas no ponto P0 = (x0, y0), o plano de equação

9.83

é denominado plano tangente à superfície, que é o gráfico de f, no ponto (x0, y0, f(x0, y0)).

dw W dri W wi= ∇ ⋅ =

=

0

Figura 9.5: Direção da normal em pontos de uma superfície.

n WW wi

= ∇=

n x y z W x y zW wi

0 0 0 0 0 0, , , ,( ) = ∇ ( )=

z f x y= ( , )

z f x y fxx y x x f

yx y y y− =

∂∂

− +∂∂

−( , ) ( , )( ) ( , )( )0 0 0 0 0 0 0 0

181



Convém observar que a equação do plano tangente acima pode ser entendida como o

resultado do produto escalar

9.84

onde o vetor ∂∂

+∂∂

−

fxx y i f

yx y j k( , ). ( , ).0 0 0 0

é o vetor normal à superfície no ponto

(x0, y0, f(x0, y0)).No caso de W = W(x, y, z), já vimos que

∇W x y z( , , )0 0 0 é normal à superfície de nível

9.85

no ponto (x0, y0, z0). O plano que passa por esse ponto e é perpen-

dicular ao vetor

∇W x y z( , , )0 0 0 denomina-se plano tangente à

superfície W(x, y, z) = wi no ponto (x0, y0, z0).A equação desse plano é obtida tomando o produto escalar

9.86

• ExEmplo 10: A equação do plano tangente à superfície dada por z = f(x, y) = x2 − y2 no ponto (x0, y0, f(x0, y0)) = (1, 2, −3) é:

9.87

isto é,

9.88

Agora

9.89

∂∂

+∂∂

−

⋅ − + −

fxx y i f

yx y j k x x i y y j( , ). ( , ). ( ). ( ).0 0 0 0 0 0

++ −( ) =( ( , ).z f x y k0 0 0

Figura 9.6: Plano tangente a uma superfície.

W x y z wi( , , ) =

∇ ⋅ −( ) =W x y z x y z x y z( , , ) ( , , ) ( , , )0 0 0 0 0 0 0

z f x y fxx y x x f

yx y y y− =

∂∂

− +∂∂

−( , ) ( , )( ) ( , )( )0 0 0 0 0 0 0 0

z fx

x fy

y+ =∂∂

− +∂∂

−3 1 2 1 1 2 2( , ).( ) ( , ).( )

∂∂

=∂∂

= −fx

fy

( , ) ( , )1 2 2 1 2 4 e

182



Logo,

9.90

de onde z − 2x + 4y − 3 = 0 é a equação do plano tangente à superfície dada no ponto (1,2,−3).Por outro lado,

n i j k= − −2 4 é o vetor normal à superfície no ponto (1, 2, -3). Logo, a equação da reta normal é:

9.91

ou seja,

9.92

que são as equações paramétricas da reta normal procurada.

• ExEmplo 11:

Suponha que z = z(x, y) é uma função contínua que admite derivadas parciais contínuas e que é

dada implicitamente pela equação xa

yb

zc

2

2

2

2

2

2 1+ + = . Mostre que x xa

y yb

z zc

02

02

02 1+ + = é a equação

do plano tangente no ponto (x0, y0, z0), z0 ≠ 0.Vejamos:

9.93

acarreta, por derivação implícita, que:

9.94

derivando implicitamente com relação a x. Por outro lado,

9.95

derivando, agora, implicitamente com relação a y.Mas, então,

9.96

z x y+ = − − −3 2 1 4 2.( ) .( )

( , , ) ( , , ) ( , , )x y z = − + − −1 2 3 2 4 1λ

xyz

= += −= − −

1 22 43

λλλ

xa

yb

zc

2

2

2

2

2

2 1+ + =

2 2 02 2

xa

zc

zx

+ ⋅∂∂

=

2 2 02 2

yb

zc

zy

+ ⋅∂∂

=

∂∂

= − ⋅ = − ⋅∂∂

= − ⋅ = − ⋅zx

xa

cz

ca

xz

zy

yb

cz

cb

yz

22

222

2 2

2 2

2 2

2 e

183



Logo, a equação do plano tangente no ponto (x0, y0, z0) é:

9.97

de onde

9.98

isto é,

9.99

e, portanto,

9.100

9.7 Direções Normais a Superfícies e Tangenciais a Curvas

Tomando um conjunto de três coordenadas Q1(x, y, z), Q2(x, y, z) e Q3(x, y, z) adotadas aqui

como se fossem as mais gerais possíveis, consideremos o problema de determinar vetores normais

a cada uma delas. Para cada superfície associada a um valor constante das coordenadas generalizadas,

dada pela condição 9.2, podemos introduzir um vetor indicando a direção

normal a essas superfícies. Temos, portanto, três direções normais a cada super-

fície passando por um determinado ponto do espaço.

9.101

z z ca

xz

x x cb

yz

y y− = − ⋅ ⋅ − − ⋅ ⋅ −0

2

20

00

2

20

00( ) ( )

z zc

zc

xa

x x yb

y y. ( ) ( )02

02

202 0

02 0− = − − − −

z zc

zc

x xa

xa

y yb

yb

. . .02

02

20

20

2

20

20

2

2− = − + − +

z zc

x xa

y yb

xa

yb

zb

. . .02

02

02

02

20

2

20

2

21 1+ + = + + = pois

Figura 9.7: Vetores

b1,

b2 e

b3 normais

às três superfícies.

b x y z Q x y z

b x y z Q x y z

b x y z Q

1 1

2 2

3

, , , ,

, , , ,

, ,

( ) = ∇ ( )( ) = ∇ ( )( ) = ∇ 33

1 1

x y z

b x y z ix

jy

kzQ x y z

, ,

, , , ,

( )

⇔

( ) = ∂∂

+∂∂

+∂∂

(( )

( ) = ∂∂

+∂∂

+∂∂

( )

( ) =

b x y z ix

jy

kzQ x y z

b x y z

2 2

3

, , , ,

, , iix

jy

kzQ x y z∂

∂+

∂∂

+∂∂

( )

3 , ,

184



A curva representada pelo encontro de duas superfícies tem vetores tangentes a ela em cada

ponto, vetores esses dados por:

9.102

onde fica subentendida pela notação, que, por exemplo,

b∗1(x, y, z) é um vetor tangente às curvas

definidas pelas condições:

9.103

e que, ademais, esse vetor indica a direção de valores crescentes, ao longo da curva, da coordenada Q1.

De acordo com as definições acima, verificamos que os vetores normais a superfícies são

perpendiculares aos vetores tangentes e isso porque, como se pode verificar, a seguinte identi-

dade é satisfeita:

9.104

Cada direção indica, por outro lado, a direção de máxima variação de cada coordenada.

Tais vetores normais, no entanto, não são vetores unitários. Escrevemos, geralmente:

9.105

donde inferimos que os fatores hi são dados por:

9.106

b x y z xQi y

Qj z

Qk r

Q

b x y z xQ

11 1 1 1

2

*

*

, ,

, ,

( ) = ∂∂

+∂∂

+∂∂

=∂∂

( ) = ∂∂ 22 2 2 2

33 3

i yQj z

Qk r

Q

b x y z xQi y

Qj z

+∂∂

+∂∂

=∂∂

( ) = ∂∂

+∂∂

+∂∂

* , ,QQk r

Q3 3

=∂∂

Q x y z Q

Q x y z Q2 20

3 30

, ,

, ,( ) =( ) =

b b QQi ji

jij⋅ =

∂∂

=* δ

b h e

b h e

b h e

1 1 1

2 2 2

3 3 3

*

*

*

=

=

=

h bi i=

* para i = 1,2,3.

185



E os versores ei são definidos, portanto, como:

9.107

9.8 Elementos de volume e de superfícieO vetor deslocamento infinitesimal, escrito em termos das coordenadas generalizadas, é

dado pela soma:

9.108

Assim, o vetor deslocamento infinitesimal para a curva associada à intersecção das superfícies

de valores constantes das variáveis Q1 e Q2 constantes é dado por:

9.109

Portanto, o elemento de comprimento infinitesimal ao longo dessa curva será dado por:

9.110

Temos, assim, três elementos de comprimento infinitesimais:

9.111

e bh

bbi

i

i

i

i

= =* *

*

Figura 9.8: Vetores tangentes a curvas resultantes da intersecção de três superfícies.

dr rQdQ b dQii

i ii

i

=∂∂

== =∑ ∑

1

3

1

3*

dr b dQ

3 3 3= *

dl dr b dQ h dQ3 3 3 3 3 3= = =

*

dl h dQdl h dQdl h dQ

1 1 1

2 2 2

3 3 3

===

186



O elemento de volume infinitesimal, associado a volumes nos quais as coordenadas variam dQ,

é dado por:

9.112

O elemento de superfície quando esta se encontra inteiramente na superfície Q3 = Q30 é:

9.113

Analogamente, podemos introduzir os elementos de superfície associados às superfícies Q1 = Q10

e Q2 = Q20. Eles são dados, respectivamente, por:

9.114

9.115

Assim, temos formas simples de determinar áreas contidas em superfícies e integrar sobre

volumes delimitados por superfícies cujas formas são conhecidas.

9.8.1 Exemplo: Coordenadas Esféricas

Definimos as coordenadas esféricas a partir das expressões:

9.116

Invertendo as relações acima, obtemos:

9.117

dV dl dl dl h h h dQ dQ dQ= =1 2 3 1 2 3 1 2 3

dS dl dl h h dQ dQ3 1 2 1 2 1 2= =

dS dl dl h h dQ dQ1 2 3 3 2 3 2= =

dS dl dl h h dQ dQ2 1 3 3 1 3 1= =

x ry rz r

===

sen cossen sencos

θ ϕθ ϕθ

r x y z= + +2 2 2

ϕ

θ

=

=+

arctg

arctg

yx

x yz

2 2

187



A superfície

r = R (constante)

Ou, equivalentemente,

9.118

corresponde a uma esfera de raio R.

A superfície descrita por

9.119

Ou, equivalentemente,

9.120

descreve um semiplano, enquanto a equação

9.121

que implica a relação

9.122

descreve um cone de ângulo θ0.

O encontro das três superfícies determina um ponto no espaço especificado pelas coorde-

nadas (r0, θ0, φ0).

x y z R2 2 2+ + =

ϕ ϕ= 0

y x= tan ϕ0

θ θ= 0

x y z2 20+ = tgθ

Figura 9.9: Superfícies associadas a valores constantes das coordenadas esféricas. Figura 9.10: Normais às superfícies esférica, cônica e semiplana.

188



Os vetores

bi(x, y, z), em coordenadas esféricas, são dados por:

9.123

Os vetores tangentes à curva determinada pela intersecção de duas superfícies são:

9.124

Donde inferimos que:

9.125

Nesse caso, os vetores normais e tangentes são vetores paralelos. Diferem apenas no valor

do módulo. Por essa razão, é muito mais prático fazer uso de apenas um conjunto de vetores

ortonormalizados. A esse conjunto de vetores denominamos er, eθ, eϕ.

9.126

b x y z r x y z i j k

b x y z

r , , , , sen cos sen sen cos

, ,

( ) = ∇ ( ) = + +θ ϕ θ ϕ θ

θ (( ) = ∇ ( ) = + −( )( ) =

θ θ ϕ θ ϕ θ

ϕ

x y zr

i j k

b x y z

, , cos cos cos sen sen

, ,

1

∇ ( ) = − +( )ϕθ

θ ϕ θ ϕx y zr

i j, ,sen

sen sen sen cos1

Figura 9.11: Tangentes a curvas determinadas pela intersecção de duas superfícies.

b x y z rr

i j k

b x y z

r*

*

, , sen cos sen sen cos

, ,

( ) = ∂∂

= + +

( ) =

θ ϕ θ ϕ θ

θ∂∂∂

= + −

( ) = ∂∂

= −

r r i r j r k

b x y z r r

θθ ϕ θ ϕ θ

ϕϕ

cos cos cos sen sen

, ,* ssen sen sen cosθ ϕ θ ϕ

i r j+

hh rh r

r ==

=

1

θ

ϕ θsen

ebb

i j k

ebb

rr

r

= = + +

= = +

sen cos sen cos

cos cos cos

θ ϕ θ θ

θ ϕθθ

θ

θθ ϕ θ

θ ϕ θ ϕϕϕ

ϕ

sen sen

sen sen sen cos

j k

eb

bi j

−( )

= = − +( )

189



Esses vetores se constituem numa base ortonormal em coordenadas esféricas.

O elemento de volume em coordenadas esféricas é dado por:

9.127

O elemento de superfície inteiramente contida numa esfera descrita por r = R é

9.128

Analogamente, o elemento infinitesimal de uma superfície contida no cone (superfície θ = θ0) é:

9.129

Assim, temos formas simples de determinar áreas contidas em superfícies planas, cônicas e esféricas.

• ExEmplo 12Determinar o volume delimitado pelas superfícies r = r1 e θ = θ1, θ = θ2 e φ = φ1, φ = φ2 (vide Figura 9.12).

→ REsolução:O volume solicitado é obtido a partir do produto de três integrais de funções de uma variável:

9.130

dV h h h drd d r drd dr= =θ ϕ θ ϕ θ θ ϕ2 sen

dS h h d d R d dr = =θ ϕ θ ϕ θ θ ϕ2 sen

dS h h drd r drdrθ ϕ ϕ θ ϕ= = 20sen

Figura 9.12: Volume solicitado no exemplo 12.

V r d d dr r dr dr

r

r

r

= = −( ) =∫∫∫ ∫ ∫22 1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

ϕ

ϕ

θ

θ

θ

θ

θ θ ϕ ϕ ϕ θ θsen sen ϕϕ ϕ θ θθ

θ

2 12

1

2

1

2

−( ) ∫ ∫r dr dr

r

sen

190



Integrando em r e θ entre os limites propostos, encontramos:

9.131

Assim, o volume delimitado por uma superfície esférica de raio R e de abertura θ0 é:

9.132

• ExEmplo 13 Determine a área de uma superfície inteiramente contida numa esfera de raio R delimitada pelas superfícies θ = θ1 e θ = θ2, bem como pelas superfícies φ = φ1 e φ = φ2 (veja Figura 9.13).

→ REsolução:Tal área é dada pelo produto de duas integrais:

9.133

Assim, a área de uma calota delimitada pelo cone descrito pela condição θ = θ0 é:

9.134

Donde concluímos que a área de um hemisfério é A0 = 2πR2 e que a área da superfície esférica é igual a 4πR2, resultados esses bastante conhecidos.

V r r= −( ) −( ) −( )13 2 1 2

313

1 2ϕ ϕ θ θcos cos

V R= ( ) −( )23

130

πθcos

Figura 9.13: Área sobre uma esfera.

A R d d R= = −( ) −( )∫∫ 2 22 1 1 2

1

2

1

2

ϕ

ϕ

θ

θ

θ θ ϕ ϕ ϕ θ θsen cos cos

A R02

02 1= −( )π θcos

191



9.9 Bases de VetoresOs vetores

bi∗ e

bi, para i variando de 1 a 3, constituem-se em dois referenciais muito úteis.

Assim, um vetor qualquer pode ser expresso em termos dos vetores de uma base - a base

bi - da

seguinte forma:

9.135

Podemos igualmente utilizar outros vetores - a base

bi∗ - denominada base dual. Utilizando

essa base, escrevemos:

9.136

As duas bases definem dois tipos de componentes de um vetor.

As componentes contravariantes (V i) e covariantes (Vi) são obtidas a partir das projeções:

9.137

e

9.138

Observe que os vetores

bi e

bi∗ não são, necessariamente, versores. Podemos construir dois

tipos de versores dividindo cada vetor pelo seu respectivo módulo.

V V bi ii

==∑

1

3

V V bi ii

==∑ *

1

3

V V bii= ⋅

*

V V bi i= ⋅

Agora é a sua vez...Continue explorando os recursos de aprendizagem disponíveis no Ambiente Virtual de Aprendizagem e realize a(s) atividade(s) proposta(s).

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APLICAÇÕES À GEOMETRIA DIFERENCIAL Fundamentos de ... · e a geometria analítica para entender propriedades de curvas e superfícies. Entre as propriedades interessantes, do ponto