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Aplicaes de lgebra Linear
Humberto Jos Bortolossi
Departamento de Matemtica Aplicada
Universidade Federal Fluminense
Aula 1
6 de janeiro de 2010
1/62 Aula 1 Aplicaes de lgebra Linear 1/1
Apresentao
2/62 Aula 1 Aplicaes de lgebra Linear 1/1
Ementa
Reviso: base, transformao linear, ncleo, imagem, posto.
Mtodos numricos para resoluo de sistemas lineares.
Ortogonalizao, decomposio em valores singulares e aplicaes.
Programao Linear: mtodo simplex. Dualidade e teoria dos jogos.
3/62 Aula 1 Aplicaes de lgebra Linear 1/1
Bibliografia bsica
Gilbert Strang. Linear Algebra and Its Applications. Third edition.Thomson Learning, 1988.
Elon Lages Lima. lgebra Linear. Coleo MatemticaUniversitria. IMPA, 2008.
Flvio Ulhoa Coelho e Mary Lilian Loureno. Um Curso de lgebraLinear. Editora da Universidade de So Paulo, 2002.
Grgoire Allaire and Sidi Mahmoud Kaber. Numerical LinearAlgebra. Springer-Verlag, 2008.
4/62 Aula 1 Aplicaes de lgebra Linear 1/1
Programao e Avaliao
Programao: O curso ter aulas expositivas com o instrutor ssegundas, quartas e sextas. As sesses de tera e quintasero realizadas com o monitor e consistiro de resoluoe discusso das listas de exerccios.
Avaliao: Baseada em duas provas e desempenho nas aulas esesses de discusso.
Datas das provas: 18/01/2010 e 01/02/2010.
Pgina WEB:
http://www.professores.uff.br/hjbortol/disciplinas/2010.1/fgv00000/
5/62 Aula 1 Aplicaes de lgebra Linear 1/2
Programao e Avaliao
Programao: O curso ter aulas expositivas com o instrutor ssegundas, quartas e sextas. As sesses de tera e quintasero realizadas com o monitor e consistiro de resoluoe discusso das listas de exerccios.
Avaliao: Baseada em duas provas e desempenho nas aulas esesses de discusso.
Datas das provas: 18/01/2010 e 01/02/2010.
Pgina WEB:
http://www.professores.uff.br/hjbortol/disciplinas/2010.1/fgv00000/
5/62 Aula 1 Aplicaes de lgebra Linear 2/2
Espaos Vetoriais
6/62 Aula 1 Aplicaes de lgebra Linear 1/1
Espaos vetoriais
Sejam:
(1) V 6= (conjunto de vetores),
(2) K = Q ou K = R ou K = C (conjunto de escalares),
(3) +: V V V(u,v) 7 u + v
(adio de vetores),
(4) : K V V(,v) 7 v
(multiplicao de vetor por escalar).
Definio
7/62 Aula 1 Aplicaes de lgebra Linear 1/4
Espaos vetoriais
Sejam:
(1) V 6= (conjunto de vetores),
(2) K = Q ou K = R ou K = C (conjunto de escalares),
(3) +: V V V(u,v) 7 u + v
(adio de vetores),
(4) : K V V(,v) 7 v
(multiplicao de vetor por escalar).
Definio
7/62 Aula 1 Aplicaes de lgebra Linear 2/4
Espaos vetoriais
Sejam:
(1) V 6= (conjunto de vetores),
(2) K = Q ou K = R ou K = C (conjunto de escalares),
(3) +: V V V(u,v) 7 u + v
(adio de vetores),
(4) : K V V(,v) 7 v
(multiplicao de vetor por escalar).
Definio
7/62 Aula 1 Aplicaes de lgebra Linear 3/4
Espaos vetoriais
Sejam:
(1) V 6= (conjunto de vetores),
(2) K = Q ou K = R ou K = C (conjunto de escalares),
(3) +: V V V(u,v) 7 u + v
(adio de vetores),
(4) : K V V(,v) 7 v
(multiplicao de vetor por escalar).
Definio
7/62 Aula 1 Aplicaes de lgebra Linear 4/4
Espaos vetoriais
Dizemos que (V ,K,+, ) um espao vetorial se as seguintescondies forem satisfeitas , K e u,v,w V :
(A1) (comutatividade) u + v = v + u,
(A2) (associatividade) (u + v) + w = u + (v + w),
(A3) (vetor nulo) 0 V tal que v V , v + 0 = 0 + v = v,
(A4) (inverso aditivo) v V , w V tal que v + w = w + v = 0,[notaes: w = v e u v = u + (v)]
(M1) (associatividade) ( ) v = ( v),
(M2) (multiplicao por 1) 1 v = v,
(D1) (distributividade) (u + v) = u + v,
(D2) (distributividade) ( + ) v = v + v.
Definio
8/62 Aula 1 Aplicaes de lgebra Linear 1/4
Espaos vetoriais
Dizemos que (V ,K,+, ) um espao vetorial se as seguintescondies forem satisfeitas , K e u,v,w V :
(A1) (comutatividade) u + v = v + u,
(A2) (associatividade) (u + v) + w = u + (v + w),
(A3) (vetor nulo) 0 V tal que v V , v + 0 = 0 + v = v,
(A4) (inverso aditivo) v V , w V tal que v + w = w + v = 0,[notaes: w = v e u v = u + (v)]
(M1) (associatividade) ( ) v = ( v),
(M2) (multiplicao por 1) 1 v = v,
(D1) (distributividade) (u + v) = u + v,
(D2) (distributividade) ( + ) v = v + v.
Definio
8/62 Aula 1 Aplicaes de lgebra Linear 2/4
Espaos vetoriais
Dizemos que (V ,K,+, ) um espao vetorial se as seguintescondies forem satisfeitas , K e u,v,w V :
(A1) (comutatividade) u + v = v + u,
(A2) (associatividade) (u + v) + w = u + (v + w),
(A3) (vetor nulo) 0 V tal que v V , v + 0 = 0 + v = v,
(A4) (inverso aditivo) v V , w V tal que v + w = w + v = 0,[notaes: w = v e u v = u + (v)]
(M1) (associatividade) ( ) v = ( v),
(M2) (multiplicao por 1) 1 v = v,
(D1) (distributividade) (u + v) = u + v,
(D2) (distributividade) ( + ) v = v + v.
Definio
8/62 Aula 1 Aplicaes de lgebra Linear 3/4
Espaos vetoriais
Dizemos que (V ,K,+, ) um espao vetorial se as seguintescondies forem satisfeitas , K e u,v,w V :
(A1) (comutatividade) u + v = v + u,
(A2) (associatividade) (u + v) + w = u + (v + w),
(A3) (vetor nulo) 0 V tal que v V , v + 0 = 0 + v = v,
(A4) (inverso aditivo) v V , w V tal que v + w = w + v = 0,[notaes: w = v e u v = u + (v)]
(M1) (associatividade) ( ) v = ( v),
(M2) (multiplicao por 1) 1 v = v,
(D1) (distributividade) (u + v) = u + v,
(D2) (distributividade) ( + ) v = v + v.
Definio
8/62 Aula 1 Aplicaes de lgebra Linear 4/4
Exemplo: Rn
V = Rn = {(v1, . . . , vn) | v1 R, . . . , vn R}
K = R
u + v = (u1, . . . ,un) + (v1, . . . , vn) = (u1 + v1, . . . ,un + vn)
u = (u1, . . . ,un) = ( u1, . . . , un)
0 = (0, . . . ,0)
u = (u1, . . . ,un) = (u1, . . . ,un)
9/62 Aula 1 Aplicaes de lgebra Linear 1/6
Exemplo: Rn
V = Rn = {(v1, . . . , vn) | v1 R, . . . , vn R}
K = R
u + v = (u1, . . . ,un) + (v1, . . . , vn) = (u1 + v1, . . . ,un + vn)
u = (u1, . . . ,un) = ( u1, . . . , un)
0 = (0, . . . ,0)
u = (u1, . . . ,un) = (u1, . . . ,un)
9/62 Aula 1 Aplicaes de lgebra Linear 2/6
Exemplo: Rn
V = Rn = {(v1, . . . , vn) | v1 R, . . . , vn R}
K = R
u + v = (u1, . . . ,un) + (v1, . . . , vn) = (u1 + v1, . . . ,un + vn)
u = (u1, . . . ,un) = ( u1, . . . , un)
0 = (0, . . . ,0)
u = (u1, . . . ,un) = (u1, . . . ,un)
9/62 Aula 1 Aplicaes de lgebra Linear 3/6
Exemplo: Rn
V = Rn = {(v1, . . . , vn) | v1 R, . . . , vn R}
K = R
u + v = (u1, . . . ,un) + (v1, . . . , vn) = (u1 + v1, . . . ,un + vn)
u = (u1, . . . ,un) = ( u1, . . . , un)
0 = (0, . . . ,0)
u = (u1, . . . ,un) = (u1, . . . ,un)
9/62 Aula 1 Aplicaes de lgebra Linear 4/6
Exemplo: Rn
V = Rn = {(v1, . . . , vn) | v1 R, . . . , vn R}
K = R
u + v = (u1, . . . ,un) + (v1, . . . , vn) = (u1 + v1, . . . ,un + vn)
u = (u1, . . . ,un) = ( u1, . . . , un)
0 = (0, . . . ,0)
u = (u1, . . . ,un) = (u1, . . . ,un)
9/62 Aula 1 Aplicaes de lgebra Linear 5/6
Exemplo: Rn
V = Rn = {(v1, . . . , vn) | v1 R, . . . , vn R}
K = R
u + v = (u1, . . . ,un) + (v1, . . . , vn) = (u1 + v1, . . . ,un + vn)
u = (u1, . . . ,un) = ( u1, . . . , un)
0 = (0, . . . ,0)
u = (u1, . . . ,un) = (u1, . . . ,un)
9/62 Aula 1 Aplicaes de lgebra Linear 6/6
Exemplo: o espao das sequncias reais
V = R = {(v1, . . . , vi , . . .) | v1 R, . . . , vi R, . . .}
K = R
u + v = (u1, . . . ,ui , . . .) + (v1, . . . , vi , . . .) = (u1 + v1, . . . ,ui + vi , . . .)
u = (u1, . . . ,ui , . . .) = ( u1, . . . , ui , . . .)
0 = (0, . . . ,0, . . .)
u = (u1, . . . ,ui , . . .) = (u1, . . . ,ui , . . .)
10/62 Aula 1 Aplicaes de lgebra Linear 1/6
Exemplo: o espao das sequncias reais
V = R = {(v1, . . . , vi , . . .) | v1 R, . . . , vi R, . . .}
K = R
u + v = (u1, . . . ,ui , . . .) + (v1, . . . , vi , . . .) = (u1 + v1, . . . ,ui + vi , . . .)
u = (u1, . . . ,ui , . . .) = ( u1, . . . , ui , . . .)
0 = (0, . . . ,0, . . .)
u = (u1, . . . ,ui , . . .) = (u1, . . . ,ui , . . .)
10/62 Aula 1 Aplicaes de lgebra Linear 2/6
Exemplo: o espao das sequncias reais
V = R = {(v1, . . . , vi , . . .) | v1 R, . . . , vi R, . . .}
K = R
u + v = (u1, . . . ,ui , . . .) + (v1, . . . , vi , . . .) = (u1 + v1, . . . ,ui + vi , . . .)
u = (u1, . . . ,ui , . . .) = ( u1, . . . , ui , . . .)
0 = (0, . . . ,0, . . .)
u = (u1, . . . ,ui , . . .) = (u1, . . . ,ui , . . .)
10/62 Aula 1 Aplicaes de lgebra Linear 3/6
Exemplo: o espao das sequncias reais
V = R = {(v1, . . . , vi , . . .) | v1 R, . . . , vi R, . . .}
K = R
u + v = (u1, . . . ,ui , . . .) + (v1, . . . , vi , . . .) = (u1 + v1, . . . ,ui + vi , . . .)
