Aplicações de Álgebra Linear - · PDF fileBibliografia básica Gilbert Strang. Linear Algebra and Its Applications. Third edition. Thomson Learning, 1988. Elon Lages Lima. Álgebra

Aplicaes de lgebra Linear

Humberto Jos Bortolossi

Departamento de Matemtica Aplicada

Universidade Federal Fluminense

Aula 1

6 de janeiro de 2010

1/62 Aula 1 Aplicaes de lgebra Linear 1/1

Apresentao

2/62 Aula 1 Aplicaes de lgebra Linear 1/1

Ementa

Reviso: base, transformao linear, ncleo, imagem, posto.

Mtodos numricos para resoluo de sistemas lineares.

Ortogonalizao, decomposio em valores singulares e aplicaes.

Programao Linear: mtodo simplex. Dualidade e teoria dos jogos.

3/62 Aula 1 Aplicaes de lgebra Linear 1/1

Bibliografia bsica

Gilbert Strang. Linear Algebra and Its Applications. Third edition.Thomson Learning, 1988.

Elon Lages Lima. lgebra Linear. Coleo MatemticaUniversitria. IMPA, 2008.

Flvio Ulhoa Coelho e Mary Lilian Loureno. Um Curso de lgebraLinear. Editora da Universidade de So Paulo, 2002.

Grgoire Allaire and Sidi Mahmoud Kaber. Numerical LinearAlgebra. Springer-Verlag, 2008.

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Programao e Avaliao

Programao: O curso ter aulas expositivas com o instrutor ssegundas, quartas e sextas. As sesses de tera e quintasero realizadas com o monitor e consistiro de resoluoe discusso das listas de exerccios.

Avaliao: Baseada em duas provas e desempenho nas aulas esesses de discusso.

Datas das provas: 18/01/2010 e 01/02/2010.

Pgina WEB:

http://www.professores.uff.br/hjbortol/disciplinas/2010.1/fgv00000/

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Programao e Avaliao

Programao: O curso ter aulas expositivas com o instrutor ssegundas, quartas e sextas. As sesses de tera e quintasero realizadas com o monitor e consistiro de resoluoe discusso das listas de exerccios.

Avaliao: Baseada em duas provas e desempenho nas aulas esesses de discusso.

Datas das provas: 18/01/2010 e 01/02/2010.

Pgina WEB:

http://www.professores.uff.br/hjbortol/disciplinas/2010.1/fgv00000/

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Espaos Vetoriais

6/62 Aula 1 Aplicaes de lgebra Linear 1/1

Espaos vetoriais

Sejam:

(1) V 6= (conjunto de vetores),

(2) K = Q ou K = R ou K = C (conjunto de escalares),

(3) +: V V V(u,v) 7 u + v

(adio de vetores),

(4) : K V V(,v) 7 v

(multiplicao de vetor por escalar).

Definio

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Espaos vetoriais

Sejam:

(1) V 6= (conjunto de vetores),

(2) K = Q ou K = R ou K = C (conjunto de escalares),

(3) +: V V V(u,v) 7 u + v

(adio de vetores),

(4) : K V V(,v) 7 v

(multiplicao de vetor por escalar).

Definio

7/62 Aula 1 Aplicaes de lgebra Linear 2/4

Espaos vetoriais

Sejam:

(1) V 6= (conjunto de vetores),

(2) K = Q ou K = R ou K = C (conjunto de escalares),

(3) +: V V V(u,v) 7 u + v

(adio de vetores),

(4) : K V V(,v) 7 v

(multiplicao de vetor por escalar).

Definio

7/62 Aula 1 Aplicaes de lgebra Linear 3/4

Espaos vetoriais

Sejam:

(1) V 6= (conjunto de vetores),

(2) K = Q ou K = R ou K = C (conjunto de escalares),

(3) +: V V V(u,v) 7 u + v

(adio de vetores),

(4) : K V V(,v) 7 v

(multiplicao de vetor por escalar).

Definio

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Espaos vetoriais

Dizemos que (V ,K,+, ) um espao vetorial se as seguintescondies forem satisfeitas , K e u,v,w V :

(A1) (comutatividade) u + v = v + u,

(A2) (associatividade) (u + v) + w = u + (v + w),

(A3) (vetor nulo) 0 V tal que v V , v + 0 = 0 + v = v,

(A4) (inverso aditivo) v V , w V tal que v + w = w + v = 0,[notaes: w = v e u v = u + (v)]

(M1) (associatividade) ( ) v = ( v),

(M2) (multiplicao por 1) 1 v = v,

(D1) (distributividade) (u + v) = u + v,

(D2) (distributividade) ( + ) v = v + v.

Definio

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Espaos vetoriais

Dizemos que (V ,K,+, ) um espao vetorial se as seguintescondies forem satisfeitas , K e u,v,w V :

(A1) (comutatividade) u + v = v + u,

(A2) (associatividade) (u + v) + w = u + (v + w),

(A3) (vetor nulo) 0 V tal que v V , v + 0 = 0 + v = v,

(A4) (inverso aditivo) v V , w V tal que v + w = w + v = 0,[notaes: w = v e u v = u + (v)]

(M1) (associatividade) ( ) v = ( v),

(M2) (multiplicao por 1) 1 v = v,

(D1) (distributividade) (u + v) = u + v,

(D2) (distributividade) ( + ) v = v + v.

Definio

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Espaos vetoriais

Dizemos que (V ,K,+, ) um espao vetorial se as seguintescondies forem satisfeitas , K e u,v,w V :

(A1) (comutatividade) u + v = v + u,

(A2) (associatividade) (u + v) + w = u + (v + w),

(A3) (vetor nulo) 0 V tal que v V , v + 0 = 0 + v = v,

(A4) (inverso aditivo) v V , w V tal que v + w = w + v = 0,[notaes: w = v e u v = u + (v)]

(M1) (associatividade) ( ) v = ( v),

(M2) (multiplicao por 1) 1 v = v,

(D1) (distributividade) (u + v) = u + v,

(D2) (distributividade) ( + ) v = v + v.

Definio

8/62 Aula 1 Aplicaes de lgebra Linear 3/4

Espaos vetoriais

Dizemos que (V ,K,+, ) um espao vetorial se as seguintescondies forem satisfeitas , K e u,v,w V :

(A1) (comutatividade) u + v = v + u,

(A2) (associatividade) (u + v) + w = u + (v + w),

(A3) (vetor nulo) 0 V tal que v V , v + 0 = 0 + v = v,

(A4) (inverso aditivo) v V , w V tal que v + w = w + v = 0,[notaes: w = v e u v = u + (v)]

(M1) (associatividade) ( ) v = ( v),

(M2) (multiplicao por 1) 1 v = v,

(D1) (distributividade) (u + v) = u + v,

(D2) (distributividade) ( + ) v = v + v.

Definio

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Exemplo: Rn

V = Rn = {(v1, . . . , vn) | v1 R, . . . , vn R}

K = R

u + v = (u1, . . . ,un) + (v1, . . . , vn) = (u1 + v1, . . . ,un + vn)

u = (u1, . . . ,un) = ( u1, . . . , un)

0 = (0, . . . ,0)

u = (u1, . . . ,un) = (u1, . . . ,un)

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Exemplo: Rn

V = Rn = {(v1, . . . , vn) | v1 R, . . . , vn R}

K = R

u + v = (u1, . . . ,un) + (v1, . . . , vn) = (u1 + v1, . . . ,un + vn)

u = (u1, . . . ,un) = ( u1, . . . , un)

0 = (0, . . . ,0)

u = (u1, . . . ,un) = (u1, . . . ,un)

9/62 Aula 1 Aplicaes de lgebra Linear 2/6

Exemplo: Rn

V = Rn = {(v1, . . . , vn) | v1 R, . . . , vn R}

K = R

u + v = (u1, . . . ,un) + (v1, . . . , vn) = (u1 + v1, . . . ,un + vn)

u = (u1, . . . ,un) = ( u1, . . . , un)

0 = (0, . . . ,0)

u = (u1, . . . ,un) = (u1, . . . ,un)

9/62 Aula 1 Aplicaes de lgebra Linear 3/6

Exemplo: Rn

V = Rn = {(v1, . . . , vn) | v1 R, . . . , vn R}

K = R

u + v = (u1, . . . ,un) + (v1, . . . , vn) = (u1 + v1, . . . ,un + vn)

u = (u1, . . . ,un) = ( u1, . . . , un)

0 = (0, . . . ,0)

u = (u1, . . . ,un) = (u1, . . . ,un)

9/62 Aula 1 Aplicaes de lgebra Linear 4/6

Exemplo: Rn

V = Rn = {(v1, . . . , vn) | v1 R, . . . , vn R}

K = R

u + v = (u1, . . . ,un) + (v1, . . . , vn) = (u1 + v1, . . . ,un + vn)

u = (u1, . . . ,un) = ( u1, . . . , un)

0 = (0, . . . ,0)

u = (u1, . . . ,un) = (u1, . . . ,un)

9/62 Aula 1 Aplicaes de lgebra Linear 5/6

Exemplo: Rn

V = Rn = {(v1, . . . , vn) | v1 R, . . . , vn R}

K = R

u + v = (u1, . . . ,un) + (v1, . . . , vn) = (u1 + v1, . . . ,un + vn)

u = (u1, . . . ,un) = ( u1, . . . , un)

0 = (0, . . . ,0)

u = (u1, . . . ,un) = (u1, . . . ,un)

9/62 Aula 1 Aplicaes de lgebra Linear 6/6

Exemplo: o espao das sequncias reais

V = R = {(v1, . . . , vi , . . .) | v1 R, . . . , vi R, . . .}

K = R

u + v = (u1, . . . ,ui , . . .) + (v1, . . . , vi , . . .) = (u1 + v1, . . . ,ui + vi , . . .)

u = (u1, . . . ,ui , . . .) = ( u1, . . . , ui , . . .)

0 = (0, . . . ,0, . . .)

u = (u1, . . . ,ui , . . .) = (u1, . . . ,ui , . . .)

10/62 Aula 1 Aplicaes de lgebra Linear 1/6

Exemplo: o espao das sequncias reais

V = R = {(v1, . . . , vi , . . .) | v1 R, . . . , vi R, . . .}

K = R

u + v = (u1, . . . ,ui , . . .) + (v1, . . . , vi , . . .) = (u1 + v1, . . . ,ui + vi , . . .)

u = (u1, . . . ,ui , . . .) = ( u1, . . . , ui , . . .)

0 = (0, . . . ,0, . . .)

u = (u1, . . . ,ui , . . .) = (u1, . . . ,ui , . . .)

10/62 Aula 1 Aplicaes de lgebra Linear 2/6

Exemplo: o espao das sequncias reais

V = R = {(v1, . . . , vi , . . .) | v1 R, . . . , vi R, . . .}

K = R

u + v = (u1, . . . ,ui , . . .) + (v1, . . . , vi , . . .) = (u1 + v1, . . . ,ui + vi , . . .)

u = (u1, . . . ,ui , . . .) = ( u1, . . . , ui , . . .)

0 = (0, . . . ,0, . . .)

u = (u1, . . . ,ui , . . .) = (u1, . . . ,ui , . . .)

10/62 Aula 1 Aplicaes de lgebra Linear 3/6

Exemplo: o espao das sequncias reais

V = R = {(v1, . . . , vi , . . .) | v1 R, . . . , vi R, . . .}

K = R

u + v = (u1, . . . ,ui , . . .) + (v1, . . . , vi , . . .) = (u1 + v1, . . . ,ui + vi , . . .)