Aplica§µes de lgebra Linear - .Bibliograï¬a bsica Gilbert Strang. Linear Algebra and Its Applications

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Aplicaes de lgebra Linear

Humberto Jos Bortolossi

Departamento de Matemtica Aplicada

Universidade Federal Fluminense

Aula 1

6 de janeiro de 2010

1/62 Aula 1 Aplicaes de lgebra Linear 1/1

Apresentao

2/62 Aula 1 Aplicaes de lgebra Linear 1/1

Ementa

Reviso: base, transformao linear, ncleo, imagem, posto.

Mtodos numricos para resoluo de sistemas lineares.

Ortogonalizao, decomposio em valores singulares e aplicaes.

Programao Linear: mtodo simplex. Dualidade e teoria dos jogos.

3/62 Aula 1 Aplicaes de lgebra Linear 1/1

Bibliografia bsica

Gilbert Strang. Linear Algebra and Its Applications. Third edition.Thomson Learning, 1988.

Elon Lages Lima. lgebra Linear. Coleo MatemticaUniversitria. IMPA, 2008.

Flvio Ulhoa Coelho e Mary Lilian Loureno. Um Curso de lgebraLinear. Editora da Universidade de So Paulo, 2002.

Grgoire Allaire and Sidi Mahmoud Kaber. Numerical LinearAlgebra. Springer-Verlag, 2008.

4/62 Aula 1 Aplicaes de lgebra Linear 1/1

Programao e Avaliao

Programao: O curso ter aulas expositivas com o instrutor ssegundas, quartas e sextas. As sesses de tera e quintasero realizadas com o monitor e consistiro de resoluoe discusso das listas de exerccios.

Avaliao: Baseada em duas provas e desempenho nas aulas esesses de discusso.

Datas das provas: 18/01/2010 e 01/02/2010.

Pgina WEB:

http://www.professores.uff.br/hjbortol/disciplinas/2010.1/fgv00000/

5/62 Aula 1 Aplicaes de lgebra Linear 1/2

Programao e Avaliao

Programao: O curso ter aulas expositivas com o instrutor ssegundas, quartas e sextas. As sesses de tera e quintasero realizadas com o monitor e consistiro de resoluoe discusso das listas de exerccios.

Avaliao: Baseada em duas provas e desempenho nas aulas esesses de discusso.

Datas das provas: 18/01/2010 e 01/02/2010.

Pgina WEB:

http://www.professores.uff.br/hjbortol/disciplinas/2010.1/fgv00000/

5/62 Aula 1 Aplicaes de lgebra Linear 2/2

Espaos Vetoriais

6/62 Aula 1 Aplicaes de lgebra Linear 1/1

Espaos vetoriais

Sejam:

(1) V 6= (conjunto de vetores),

(2) K = Q ou K = R ou K = C (conjunto de escalares),

(3) +: V V V(u,v) 7 u + v

(adio de vetores),

(4) : K V V(,v) 7 v

(multiplicao de vetor por escalar).

Definio

7/62 Aula 1 Aplicaes de lgebra Linear 1/4

Espaos vetoriais

Sejam:

(1) V 6= (conjunto de vetores),

(2) K = Q ou K = R ou K = C (conjunto de escalares),

(3) +: V V V(u,v) 7 u + v

(adio de vetores),

(4) : K V V(,v) 7 v

(multiplicao de vetor por escalar).

Definio

7/62 Aula 1 Aplicaes de lgebra Linear 2/4

Espaos vetoriais

Sejam:

(1) V 6= (conjunto de vetores),

(2) K = Q ou K = R ou K = C (conjunto de escalares),

(3) +: V V V(u,v) 7 u + v

(adio de vetores),

(4) : K V V(,v) 7 v

(multiplicao de vetor por escalar).

Definio

7/62 Aula 1 Aplicaes de lgebra Linear 3/4

Espaos vetoriais

Sejam:

(1) V 6= (conjunto de vetores),

(2) K = Q ou K = R ou K = C (conjunto de escalares),

(3) +: V V V(u,v) 7 u + v

(adio de vetores),

(4) : K V V(,v) 7 v

(multiplicao de vetor por escalar).

Definio

7/62 Aula 1 Aplicaes de lgebra Linear 4/4

Espaos vetoriais

Dizemos que (V ,K,+, ) um espao vetorial se as seguintescondies forem satisfeitas , K e u,v,w V :

(A1) (comutatividade) u + v = v + u,

(A2) (associatividade) (u + v) + w = u + (v + w),

(A3) (vetor nulo) 0 V tal que v V , v + 0 = 0 + v = v,

(A4) (inverso aditivo) v V , w V tal que v + w = w + v = 0,[notaes: w = v e u v = u + (v)]

(M1) (associatividade) ( ) v = ( v),

(M2) (multiplicao por 1) 1 v = v,

(D1) (distributividade) (u + v) = u + v,

(D2) (distributividade) ( + ) v = v + v.

Definio

8/62 Aula 1 Aplicaes de lgebra Linear 1/4

Espaos vetoriais

Dizemos que (V ,K,+, ) um espao vetorial se as seguintescondies forem satisfeitas , K e u,v,w V :

(A1) (comutatividade) u + v = v + u,

(A2) (associatividade) (u + v) + w = u + (v + w),

(A3) (vetor nulo) 0 V tal que v V , v + 0 = 0 + v = v,

(A4) (inverso aditivo) v V , w V tal que v + w = w + v = 0,[notaes: w = v e u v = u + (v)]

(M1) (associatividade) ( ) v = ( v),

(M2) (multiplicao por 1) 1 v = v,

(D1) (distributividade) (u + v) = u + v,

(D2) (distributividade) ( + ) v = v + v.

Definio

8/62 Aula 1 Aplicaes de lgebra Linear 2/4

Espaos vetoriais

Dizemos que (V ,K,+, ) um espao vetorial se as seguintescondies forem satisfeitas , K e u,v,w V :

(A1) (comutatividade) u + v = v + u,

(A2) (associatividade) (u + v) + w = u + (v + w),

(A3) (vetor nulo) 0 V tal que v V , v + 0 = 0 + v = v,

(A4) (inverso aditivo) v V , w V tal que v + w = w + v = 0,[notaes: w = v e u v = u + (v)]

(M1) (associatividade) ( ) v = ( v),

(M2) (multiplicao por 1) 1 v = v,

(D1) (distributividade) (u + v) = u + v,

(D2) (distributividade) ( + ) v = v + v.

Definio

8/62 Aula 1 Aplicaes de lgebra Linear 3/4

Espaos vetoriais

Dizemos que (V ,K,+, ) um espao vetorial se as seguintescondies forem satisfeitas , K e u,v,w V :

(A1) (comutatividade) u + v = v + u,

(A2) (associatividade) (u + v) + w = u + (v + w),

(A3) (vetor nulo) 0 V tal que v V , v + 0 = 0 + v = v,

(A4) (inverso aditivo) v V , w V tal que v + w = w + v = 0,[notaes: w = v e u v = u + (v)]

(M1) (associatividade) ( ) v = ( v),

(M2) (multiplicao por 1) 1 v = v,

(D1) (distributividade) (u + v) = u + v,

(D2) (distributividade) ( + ) v = v + v.

Definio

8/62 Aula 1 Aplicaes de lgebra Linear 4/4

Exemplo: Rn

V = Rn = {(v1, . . . , vn) | v1 R, . . . , vn R}

K = R

u + v = (u1, . . . ,un) + (v1, . . . , vn) = (u1 + v1, . . . ,un + vn)

u = (u1, . . . ,un) = ( u1, . . . , un)

0 = (0, . . . ,0)

u = (u1, . . . ,un) = (u1, . . . ,un)

9/62 Aula 1 Aplicaes de lgebra Linear 1/6

Exemplo: Rn

V = Rn = {(v1, . . . , vn) | v1 R, . . . , vn R}

K = R

u + v = (u1, . . . ,un) + (v1, . . . , vn) = (u1 + v1, . . . ,un + vn)

u = (u1, . . . ,un) = ( u1, . . . , un)

0 = (0, . . . ,0)

u = (u1, . . . ,un) = (u1, . . . ,un)

9/62 Aula 1 Aplicaes de lgebra Linear 2/6

Exemplo: Rn

V = Rn = {(v1, . . . , vn) | v1 R, . . . , vn R}

K = R

u + v = (u1, . . . ,un) + (v1, . . . , vn) = (u1 + v1, . . . ,un + vn)

u = (u1, . . . ,un) = ( u1, . . . , un)

0 = (0, . . . ,0)

u = (u1, . . . ,un) = (u1, . . . ,un)

9/62 Aula 1 Aplicaes de lgebra Linear 3/6

Exemplo: Rn

V = Rn = {(v1, . . . , vn) | v1 R, . . . , vn R}

K = R

u + v = (u1, . . . ,un) + (v1, . . . , vn) = (u1 + v1, . . . ,un + vn)

u = (u1, . . . ,un) = ( u1, . . . , un)

0 = (0, . . . ,0)

u = (u1, . . . ,un) = (u1, . . . ,un)

9/62 Aula 1 Aplicaes de lgebra Linear 4/6

Exemplo: Rn

V = Rn = {(v1, . . . , vn) | v1 R, . . . , vn R}

K = R

u + v = (u1, . . . ,un) + (v1, . . . , vn) = (u1 + v1, . . . ,un + vn)

u = (u1, . . . ,un) = ( u1, . . . , un)

0 = (0, . . . ,0)

u = (u1, . . . ,un) = (u1, . . . ,un)

9/62 Aula 1 Aplicaes de lgebra Linear 5/6

Exemplo: Rn

V = Rn = {(v1, . . . , vn) | v1 R, . . . , vn R}

K = R

u + v = (u1, . . . ,un) + (v1, . . . , vn) = (u1 + v1, . . . ,un + vn)

u = (u1, . . . ,un) = ( u1, . . . , un)

0 = (0, . . . ,0)

u = (u1, . . . ,un) = (u1, . . . ,un)

9/62 Aula 1 Aplicaes de lgebra Linear 6/6

Exemplo: o espao das sequncias reais

V = R = {(v1, . . . , vi , . . .) | v1 R, . . . , vi R, . . .}

K = R

u + v = (u1, . . . ,ui , . . .) + (v1, . . . , vi , . . .) = (u1 + v1, . . . ,ui + vi , . . .)

u = (u1, . . . ,ui , . . .) = ( u1, . . . , ui , . . .)

0 = (0, . . . ,0, . . .)

u = (u1, . . . ,ui , . . .) = (u1, . . . ,ui , . . .)

10/62 Aula 1 Aplicaes de lgebra Linear 1/6

Exemplo: o espao das sequncias reais

V = R = {(v1, . . . , vi , . . .) | v1 R, . . . , vi R, . . .}

K = R

u + v = (u1, . . . ,ui , . . .) + (v1, . . . , vi , . . .) = (u1 + v1, . . . ,ui + vi , . . .)

u = (u1, . . . ,ui , . . .) = ( u1, . . . , ui , . . .)

0 = (0, . . . ,0, . . .)

u = (u1, . . . ,ui , . . .) = (u1, . . . ,ui , . . .)

10/62 Aula 1 Aplicaes de lgebra Linear 2/6

Exemplo: o espao das sequncias reais

V = R = {(v1, . . . , vi , . . .) | v1 R, . . . , vi R, . . .}

K = R

u + v = (u1, . . . ,ui , . . .) + (v1, . . . , vi , . . .) = (u1 + v1, . . . ,ui + vi , . . .)

u = (u1, . . . ,ui , . . .) = ( u1, . . . , ui , . . .)

0 = (0, . . . ,0, . . .)

u = (u1, . . . ,ui , . . .) = (u1, . . . ,ui , . . .)

10/62 Aula 1 Aplicaes de lgebra Linear 3/6

Exemplo: o espao das sequncias reais

V = R = {(v1, . . . , vi , . . .) | v1 R, . . . , vi R, . . .}

K = R

u + v = (u1, . . . ,ui , . . .) + (v1, . . . , vi , . . .) = (u1 + v1, . . . ,ui + vi , . . .)