Aplicações de EDO Em Sistemas Oscilantes

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Text of Aplicações de EDO Em Sistemas Oscilantes

  • UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA CENTRO DE CINCIAS FSICAS E MATEMTICAS

    DEPARTAMENTO DE MATEMTICA

    APLICAES DE EQUAES DIFERENCIAIS EM SISTEMAS OSCILANTES

    PATRICH LUIZ NEGRINI ORIENTADOR: SRGIO EDUARDO MICHELIN

    Florianpolis julho de 2000

  • J/ o S gio E uardo Michelin

    %cgt

    Esta Monografia foi julgada adequada como Trabalho de Concluso de Curso no curso de Matemtica Habilitao Licenciatura, e aprovada em sua forma final pela Banca Examinadora designados pela Portaria n 08/SCG/2000

    Prof a. Carme uzane Comit e GI nez Professora da disciplina

    Banca Examinadora

    tk-17;.--Pe.,,_u_touLsr Prof : Gustavo Rodolfo T. F da Costa

    arz-ta VfodCnwL 7'77a-tr.:4 Prof : Antonio Vladimir Martins

    Orientador

    II

  • DADOS GERAIS

    Nome do orientando: Patrich luiz Negrini

    Curso: Matemtica Licenciatura - Diurno

    Orintador : Sergio Eduardo Michelin (Departamento de Fsica UFSC)

    Monografia apresentada ao Curso de Graduao em Matemtica do Centro de Cincias Fsicas e Matemticas da Universidade Federal de Santa Catarina, para obteno de Licenciado em Matemtica.

    III

  • Agradecimentos

    Tenho muito a agradecer aos meus familiares que nunca deixaram de me incentivar e apoiar, em especial a minha me. Aos colegas pela amizade e companherismo, aos professores, em especial ao meu orientador pela pacincia, ateno e acima de tudo pela amizade.

    IV

  • NDICE

    Introduo 1

    1. Osciladores Mecnicos 3

    1.1 Oscilador Harmnico Simples 3 1.1 Oscilador Harmnico Amortecido 8 1.1.1 Raizes complexas 11 1.1.2 Raizes Reais Distintas 14 1,1.3 Raizes Reais e Iguais 15 1.2 Oscilador harmnico forado 17 1.2.1 Fora qualquer 17 1.2.2 Fora externa senoidal 18

    2. Eletromagnetismo 28

    2.1 Circuit FtLC em Serie 28 2.1.1 Circuito RLC Subcritico 30 2.1.2 Circuito RLC Supercritico 31 2.1.3 Circuito RLC Critico 31 2.2 Circuito LC 32

    3 Fora de amortecimento proporcional a velocidade ao quadrado 37

    4 Resoluo de alguns problemas na rea 40

    Concluso 49

    V

  • Introduo

    As equaes diferenciais estudadas rapidamente no curso de matemtica so uma poderosa ferramenta de clculo e tm aplicaes ern praticamente todas as areas da fisica, descrevem mesmo que aproximadamente a maioria dos fenmenos fisicos existentes, inclusive os sistemas oscilantes mecnicos e eltricos que nos chamaram bastante a ateno, isto nos motivou a realizar este trabalho sobre as equaes diferenciais aplicadas em alguns sistemas fisicos.

    Em especial ha uma grande variedade de fenmenos fisicos que so muito bem representados por equaes diferenciais de 2a ordem, especialmente com coeficientes constantes. Na verdade, a maioria das equaes diferenciais que descrevem situaes fisicas na mximo de 2a ordem, sejam elas ordinrias ou parciais.

    Podemos observar um sistema oscilante mecnico acoplando uma massa "M' na extremidade de uma mola e fixando a outra extremidade Quando esta mola 6 esticada por alguma fora, se essa fora retirada bruscamente a massa comea a oscilar, se for sobre uma superficie horizontal "perfeitamente plana" este sistema oscilante chama-se Oscilador Harmnico Simples (OHS), que manter uma amplitude constante indefinidamente. Porm no mundo real existem foras dissipativas que fazem com que o sistema perca energia, com o passar do tempo e oscile com amplitude cada vez menor, um exemplo disto a fora de atrito cintico (pois no existem superficies perfeitamente planas), que 6, em geral, proporcional a velocidade da massa. Este sistema oscilante chamado de Oscilador Harmnico Amortecido (OM), que pode ser critico, supercritico ou subcritico. Podemos tentar manter a amplitude do sistema constante se o sujeitarmos a uma fora externa que fornea a energia necessria para compensar a perda de energia sofrida Este sistema passa a se chamar ento Oscila-dor Harmnico Forado (OHF). Qual seria a fora necessria para manter o bloco oscilando? E se este bloco estivesse oscilando em um meio viscoso? E como ficaria a equao diferencial do movimento se considerarmos o atrito proporcional a "velocidade ao quadrado"? Estas so algumas perguntas que tentamos responder ao longo deste trabalho.

    Existem tambm sistemas oscilantes eltricos, circuitos que so formados por um resistor a?), um capacitor (C) e um indutor (L) e ado chamados circuitos RLC. Estes sistemas podem ser classificados como critico, supercritico ou subcritico, que tern tambm como principal caracterstica formarem uma associao em srie ou em paralelo Neste trabalho analisaremos somente alguns sistemas simples dispostos em srie. No circuito RLC, quando pela ao do elemento resistivo "R", ocorre dissipao de energia, e para manter o circuito oscilando acopla-se uma bateria que recompe a energia dissipada. Quando a resistncia retirada do circuito, temos uma situao especial o circuito LC, neste a corrente poderia fluir livremente, (este forma um anlogo do OHS), este um sistema fisico fictcio, pois

    1

  • os materiais sempre tm alguma resistncia. Quanto uma bateria precisa produzir de energia para compensar as perdas de um resistor?.

    Todas estas questes so respondidas durante o decorrer deste trabalho. No primeiro capitulo fizemos uma apresentao do formalismo, envolvido na

    soluo das equaes diferenciais aplicadas a sistemas mecnicos oscilantes, mostramos tambm como so resolvidas tais equaes e suas possveis solues, [1]; [2].

    No segundo capitulo descrevemos o sistema eltrico oscilante, resolvendo suas equaes diferenciais que advm da anlise dos elementos que compem o circuito, [ 1]; [5 ].

    No terceiro capitulo, mostraremos como fica a equao diferencial para sistemas mecnicos oscilantes quando supomos uma fora de atrito proporcional a "velocidade ao quadrado", [3].

    No quarto capitulo resolvemos alguns problemas propostos na literatura, mediante o emprego do formalismo das equaes diferenciais lineares. [4]; [2]

    Por fim apresentamos uma concluso de nosso trabalho sugerindo a utilizao do formalismo das equaes diferenciais em outros sistemas fisicos Cabe ressaltar que necessrio algum conhecimento sobre a parte fisica envolvida e de sua equivalncia diferencial para chegar nas respectivas formas gerais para o movimentos oscilatrios.

    2

  • Capitulo 1

    OSCILADORES MECNICOS

    1. 1 OSCILADOR HARMNICO SIMPLES

    0 sistema oscilante mais conhecido, mais simples e profimdamente estudado o oscilador harmnico simples. Um possvel esquema para este sistema apresentado na figura 1.1:

    Figure osollador ham-iamb simples representado por Elm sistema massa-moia

    A figura 1i apresenta um OHS formado por um sistema massa-mola composto de um corpo de massa m (excluindo as rodinhas) que se move sem atrito cintico sobre uma superficie, representada pelo eixo dos x. Esse corpo est preso uma mola que, por hiptese, tem uma massa muito menor que ele, ou seja, desprezvel quando comparada a massa m do corpo. A mola por sua vez est presa pela outra extremidade a algum ponto fixo que na figura representado pelo eixo y.

    Quando est em repouso a mola tm comprimento 1. Alem disso para eliminarmos a resistncia do ar podemos colocar este sistema em uma regido onde foi feito vcuo.

    E preciso ressaltar o fato que as rodas podem girar sem deslizar sobre a superficie, neste caso teremos uma fora de atrito esttico ou de rolamento, que age sobre o

    ponto P da roda que toca o cho, porm justamente por ser esttico no produz trabalho, pois o deslocamento que gera nulo, consequentemente no hi dissipao de energia.

    Experimentalmente, Robert Hooke verificou que a mola quando comprimida ou distendida por um agente externo produz uma fora sobre esse agente, essa fora

    oposta ao sentido da deformao, quando a mola comprimida, ela empurra o

    3

  • F = md2x

    dt 2 dt 2

    x k(x I) o que resulta em: M

    agente, e quando esticada ela puxa, o que significa que a mola tende a retornar ao seu comprimento natural I. Foras deste tipo so chamadas foras restauradoras. Ele percebeu que se a deformao no fosse muito grande (se for muito esticada ou comprimida ela pode perder a elasticidade), a fora a ola exercida pela mola seria proporcional a deformao (x -L), que tambm chamada elongao, em modulo,

    fmoia .0c Ix 11 (1.1.1)

    Essa proporcionalidade pode ser transformada numa igualdade atravs de uma constante k, que particular a cada mola, que depende da espessura da mola, do material de que ela feita etc, chamada constante elstica da mola, e assim,

    Lao = k(x (1.11)

    onde o sinal negativo aparece para representar o fato de que a fora restauradora ou seja se ope sempre ao deslocamento, est expresso chamada lei de Hooke.

    Para a figura 1.1 a nica fora que age sobre a massa m a fora restauradora da mola. Quando o sistema retirado do ponto de equilbrio x = I, a mola deformada, ela age sobre a massa, empurrando ou puxando, conforme for a deformao. Assim a massa m passa a oscilar em torno de x = I, e temos um

    oscilador harmnico simples. Para esse OHS, a 2a lei de Newton, onde a d2 x

    pode ser dada na forma: dt 2

    rd2 x

    n + k(x I) , 0 dt 2

    (1.1.3)

    que a equao diferencial, homognea de r ordem com coeficientes constantes, podemos simplifica-la fazendo a seguinte considerao:

    X = x I

    o que nos fornece

    dX kxc11 =_ Lit

    d2X d 2 x

    di dE dt di dt 2 dt2

    e assim,

    4

  • di d2X

    +co2X . (1.1.6)

    dX X=e int

    dt = me =m 2 e mt

    di 2

    d2 X

    m (1 2 X

    + kr =: 0 . dl' (1.1.4)

    Alm disso podemos dividir toda a equao por m e definir a