Aplicações de Teoria Quântica de Campos 

        na Física da Matéria Condensada

        E.C.Marino

            UFRJ

   

1)1) IntroduçãoIntrodução

2)2) O que é uma TQC?O que é uma TQC?

3) Poliacetileno3) Poliacetileno

4) Elétrons “Relativísticos” em Sistemas de 4) Elétrons “Relativísticos” em Sistemas de Matéria Condensada em 2DMatéria Condensada em 2D

( 4a) Mais coisas se houver tempo....)( 4a) Mais coisas se houver tempo....)

5) Conclusão5) Conclusão

    SUMÁRIOSUMÁRIO

   M.Born, W.Heisenberg and P.Jordan, M.Born, W.Heisenberg and P.Jordan, Z. f. Phys. Z. f. Phys. 36 36 (1926) 336(1926) 336                                                                  

        W. HeisenbergW. Heisenberg             M. BornM. Born       P. JordanP. Jordan

1) Introdução1) Introdução

  Primeira aplicação da MQ ao campo de radiação livre ­ 1926Primeira aplicação da MQ ao campo de radiação livre ­ 1926

1.1) Nasce a Teoria Quântica de Campos  1.1) Nasce a Teoria Quântica de Campos  

             W. HeisenbergW. Heisenberg         W. PauliW. Pauli

Teoria Geral de Campos Quânticos ­ 1929­1930Teoria Geral de Campos Quânticos ­ 1929­1930

W.Heisenberg and W.Pauli, Z. f. Phys. 5Z. f. Phys. 56 6 (1929) 1(1929) 1

W.Heisenberg and W.Pauli, Z. f. Phys. 59Z. f. Phys. 59  (1930) 168(1930) 168

   

1.2) Amadurecimneto e Evolução1.2) Amadurecimneto e Evolução

1930 a 1950 – A infância da TQC 1930 a 1950 – A infância da TQC 

                                  Esquema para conciliar a MQ com a TRR, Esquema para conciliar a MQ com a TRR,                 reinterpretação da MQ relativística de                 reinterpretação da MQ relativística de Dirac, problemas com os infinitos.......Dirac, problemas com os infinitos.......

Heisenberg, Dirac, Born, Pauli, Jordan, Weisskopf, Heisenberg, Dirac, Born, Pauli, Jordan, Weisskopf, Lamb... Lamb... 

   

1950 a 1960 – Maturidade da TQC1950 a 1960 – Maturidade da TQC

                                                Eletrodinâmica Quântica, Renormalização...Eletrodinâmica Quântica, Renormalização...

  (Feynman, Schwinger, Dyson,Tomonaga, Bogoliubov...)(Feynman, Schwinger, Dyson,Tomonaga, Bogoliubov...)

      Fator giromagnético do elétron , Fator giromagnético do elétron , gg::

                                                  12( 2) 1159 652 156,4(22,9) 10Tg -- =

12( 2) 1159 652 188,4(4,3) 10Expg -- =

              Esta á melhor previsão teórica feita até hoje Esta á melhor previsão teórica feita até hoje 

                                em qualquer área do conhecimento!!!        em qualquer área do conhecimento!!!        

   

1960 a 1980 – Sucesso glorioso da TQC1960 a 1980 – Sucesso glorioso da TQC

Teorias de calibre, teoria eletrofraca, cromodinâmica Teorias de calibre, teoria eletrofraca, cromodinâmica quântica, liberdade assintótica, confinamento, quarks, quântica, liberdade assintótica, confinamento, quarks, modelo padrão das interações fundamentais....modelo padrão das interações fundamentais....

Yang, Gell’Mann, Salam, Weinberg, Glashow, ‘t Hooft, Yang, Gell’Mann, Salam, Weinberg, Glashow, ‘t Hooft, Veltman, Gross, Wilczek...Veltman, Gross, Wilczek...

   

      1980 – 1990 Três paradigmas da Matéria Condensada caíram1980 – 1990 Três paradigmas da Matéria Condensada caíram

                  1­ A aproximação de elétrons independentes1­ A aproximação de elétrons independentes

                  2­ A teoria do líquido de Fermi de Landau2­ A teoria do líquido de Fermi de Landau

                  3­ A teoria BCS da supercondutividade3­ A teoria BCS da supercondutividade

1.3) A Queda dos Paradigmas da Matéria Condensada1.3) A Queda dos Paradigmas da Matéria Condensada

  1980 – 1990  Duas descobertas fundamentais1980 – 1990  Duas descobertas fundamentais

1­ O Efeito Hall Quântico1­ O Efeito Hall Quântico

2­ A Supercondutividade de Alta Temperatura2­ A Supercondutividade de Alta Temperatura

Von Klitzing, Laughlin, Bednorz, Müller...Von Klitzing, Laughlin, Bednorz, Müller...

   

Na mesma época, os esforços para obter uma teoria Na mesma época, os esforços para obter uma teoria grã­unificada das interações fundamentais da natureza, grã­unificada das interações fundamentais da natureza, baseada na TQC, falharambaseada na TQC, falharam

Um campo novo e frutífero de aplicações da Um campo novo e frutífero de aplicações da TQC, abriu­se na física da Matéria CondensadaTQC, abriu­se na física da Matéria Condensada

A TQC é um método para descrever a dinâmica quântica A TQC é um método para descrever a dinâmica quântica de sistemas de muitas partículas cujo número total não é de sistemas de muitas partículas cujo número total não é necessariamente fixo!!!necessariamente fixo!!!

   

2) O que é uma TQC?2) O que é uma TQC?

CampoCampo ( ),x tj

Deslocamento de moléculas em um meio elástico, Deslocamento de moléculas em um meio elástico, potencial escalar EM, componente de campos elétricos potencial escalar EM, componente de campos elétricos ou magnéticos,... ou magnéticos,... 

Classicamente pode assumir a forma de ondas, .....Classicamente pode assumir a forma de ondas, .....

( ) ( ), i kx tx t e wj -= por exemplopor exemplo

   

                                                  Modelo microscópicoModelo microscópico

aa

uunnuun­1n­1 uun+1n+1

HamiltonianoHamiltoniano

massa massa mm

( )nu t Deslocamento da Deslocamento da nn­ésima massa­ésima massa

( )2

21

12 2

nn n

n

pH k u um += + -

( )np t Momento da Momento da nn­ésima massa­ésima massa

   

Equações de movimentoEquações de movimento

( ) ( )1 1n n n n nmu k u u u u+ -= - - -gg

nnp mu=g

nn

Hup

=g

nn

Hpu

= -g

HamiltonHamilton

   

Limite contínuo: Campo!Limite contínuo: Campo!

0a

na x( ) ( ),nu t x tj ( ),nu x tj

g g

10

n na

u ua x

j+ -

( ) ( )2

1 12 0 21

n n n n au u u ua x

j+ -- - -

( ),x tj

   

A equação de movimento A equação de movimento 

2 2

2 2 0m kaa t x

j j- =FazendoFazendo 0a

ma

r Densidade Densidade 

              TensãoTensão

2 2

2 2 0m kaa t x

j j- =

2 2

2 2 21 0

x v tj j

- =Equação de Equação de ondasondas

VelocidadeVelocidade

( ) ( )1 1n n n n nmu k u u u u+ -= - - -gg

0aka T

Tvr

=

ficafica

   

Soluções clássicasSoluções clássicas ( ) ( ), i kx tx t e wj -=

( )k vkw =Relação de dispersãoRelação de dispersão

        QuantizaçãoQuantização

( ),x tjOperadores no espaço de HilbertOperadores no espaço de Hilbert

( )nu t ( )np t

( ),x tjg

   

DefinindoDefinindo

( ) 1( ) ( ) ( )2 2 ( )

ikx m ka k dx e x i xm k

wj j

w= +

g

h h

( )†( ), ( )a k a q k qd= -

HamiltonianoHamiltoniano † 1( ) ( ) ( )2

H dk k a k a kw= +h

   

( )( ) ( )†

( ) 0( )!

n ka k

n kn k

=Estados de Estados de n n fônons  fônons  

( )kwh

† ( ) ( ) ( ) ( ) ( )a k a k n k n k n k=

Autovetores de energiaAutovetores de energia

Energia do fônonEnergia do fônon

p k= hMomento do fônonMomento do fônon

( )k vkw =

              O número de fônons O número de fônons n(k) n(k) é arbitrário!!!é arbitrário!!!

( ) 0 0a k =

( ) 0,1, 2...n k =

   

O campo de vibrações elásticas O campo de vibrações elásticas quantizado é equivalente a um sistema quantizado é equivalente a um sistema de muitos fônons (excitações quânticas)de muitos fônons (excitações quânticas)

HH descreve a dinâmica quântica dos fônons.  descreve a dinâmica quântica dos fônons. Na aproximação harmônica: fônons livresNa aproximação harmônica: fônons livres

Indo além da aproximação harmônica teremos Indo além da aproximação harmônica teremos interação entre os fônonsinteração entre os fônons

A utilização de fônons no cálculo do calor A utilização de fônons no cálculo do calor específico de redes cristalinas foi um dos específico de redes cristalinas foi um dos primeiros grandes sucessos da Teoria Quântica!primeiros grandes sucessos da Teoria Quântica!

   

O mesmo princípio aplicado a outros camposO mesmo princípio aplicado a outros campos

Campo Eletromagnético       Campo Eletromagnético       ⇒⇒      Fótons      Fótons

Campo satisfazendo a equação de Dirac       Campo satisfazendo a equação de Dirac       ⇒⇒    Elétrons    Elétrons

Campo de calibre não­abelianos     Campo de calibre não­abelianos     ⇒⇒    Glúons    Glúons

Campo satisfazendo a equação de Dirac com graus de    Campo satisfazendo a equação de Dirac com graus de    liberdade de cor    liberdade de cor    ⇒⇒    Quarks    Quarks

   

2) Poliacetileno2) Poliacetileno

      Poliacetileno

          Duas formasDuas formas

(trans)(trans)

   

 Outubro de 2000 ­ Shirakawa, Heeger e McDiarmid ganham o Prêmio Nobel de Química por suas pesquisas com polímeros condutores.

The Nobel Prize in Chemistry 2000

"for the discovery and development of conductive polymers"

Hideki Shirakawa 

Alan G. MacDiarmid 

Alan J. Heeger 

Polímero puro – isolantePolímero puro – isolante

Polímero dopado com halogênios/alcalinos – condutor !!!Polímero dopado com halogênios/alcalinos – condutor !!!

   

Publicado no PRL.....Publicado no PRL.....

   

Aumento Aumento dramático na dramático na condutividade condutividade elétrica por elétrica por dopagemdopagem

   

Corrente elétrica

Corrente elétrica

Corrente elétrica

Movimento

Luz

Ácido/base

Gases

Mudança de cor

Reação química reversível

movimento

Corrente elétrica

Corrente elétrica

Mudança de cor

Mudança de condutividade

Janelas inteligentes,displays

Baterias secundárias

Músculos artificiais

Sensor de pressão

fotocélulas

Sensores de pH

Sensor de gás

estímulo resposta aplicação

Inúmeras aplicações...Inúmeras aplicações...

   

   

    Modelo Teórico para o trans­poliacetileno Modelo Teórico para o trans­poliacetileno 

Hamiltoniano de elétrons em uma rede estática perfeita   Hamiltoniano de elétrons em uma rede estática perfeita                                                                                                                                         

                                                                                                                      com espaçamento com espaçamento aa      

Autovalores de Autovalores de energiaenergia

02 cosk t kae = -

†,n sc Cria eCria e­ ­ c/ spin c/ spin  ,s =

no sítio no sítio nn  

   

02 cosk t kae = -

Forma diagonalForma diagonal

†

,k ks ks

k sH c cp e=

†,k sc Cria elétron com momentoCria elétron com momento

e spin e spin  ,s =

p k= h

   

Hamiltoniano da redeHamiltoniano da rede

MM :  Massa do radical CH :  Massa do radical CH

n np M u=g

MomentoMomento

nu Deslocamento do radical CH do ponto Deslocamento do radical CH do ponto na na da rede ideal da rede ideal 

   

Hamiltoniano de interação elétrons­redeHamiltoniano de interação elétrons­rede

Este termo descreve como o salto de elétrons Este termo descreve como o salto de elétrons entre sítios vizinhos é alterado pela dinâmica entre sítios vizinhos é alterado pela dinâmica da rededa rede

Numa rede idealNuma rede ideal 0nu =

   

Uma TQC para o poliacetilenoUma TQC para o poliacetileno

No hamiltoniano dos elétrons No hamiltoniano dos elétrons ⇒⇒ Linearização em  Linearização em torno do nível de Fermi torno do nível de Fermi 

Elétrons tipo 1Elétrons tipo 1

Elétrons tipo 2Elétrons tipo 2

   

Forma diagonal da energia dos elétronsForma diagonal da energia dos elétrons

†

,k ks ks

k sH c cp e=

02 cosk t kae = -comcom

Após linearizar em torno do nível de FermiApós linearizar em torno do nível de Fermi

†,i ksc Cria um elétron do tipo Cria um elétron do tipo i i =1,2 com momento =1,2 com momento  p k= h

,s =              e spine spin

† †1, 1, 2, 2,

,[ ]F ks ks ks ks

k sH v k c c c cp = -h

   

No hamiltoniano da redeNo hamiltoniano da rede

Definimos o “parâmetro de Definimos o “parâmetro de dimerização”dimerização” ( 1)n

n nuD -

nD ⇒⇒  Deformação da rede com extensãoDeformação da rede com extensão a:

  Momento envolvidoMomento envolvido 2 Fpa a

p=

h h: ;

A interação com a rede mistura elétrons 1 e 2A interação com a rede mistura elétrons 1 e 2

                 “                 “rightmovers” e “leftmovers”rightmovers” e “leftmovers”

   

Hamiltoniano de interaçãoHamiltoniano de interação

† †1, 1, 2, 2, , 1, 1,

,[ ]el ph n n s ns n s n s

n sH c c c ca- + += D +

Hamiltoniano da redeHamiltoniano da rede

2

2

0

nph n

nH l

D= + D

W

gEm termos do parâmetro Em termos do parâmetro 

de dimerização      de dimerização      ⇒⇒

   

† †1, 1, 2, 2, , 1, 1,

,[ ]el ph n n s ns n s n s

n sH c c c ca- + += D +

2

2

0

nph n

nH l

D= + D

W

g

† †1, 1, 2, 2,

,[ ]F ks ks ks ks

k sH v k c c c cp = -h

Hamiltoniano que descreve a dinâmica perto doHamiltoniano que descreve a dinâmica perto do

                                                      nível de Ferminível de Fermi

( 1)nn nuD -    ondeonde

   

O limite contínuo : TQCO limite contínuo : TQC

Introduzindo os campos:Introduzindo os campos:

( ) ( )( )

†1,††2,

, lim ss

na x s

c nax t

c naY =

( ) ( ), limna x

x t naD = DRedeRede

ElétronsElétrons

   

Hamilltoniano para os campos Hamilltoniano para os campos  sY Dee

† † 2 1 23 1 0( )F s x s sH dx i v s s l -= - Y Y + DY Y + D +W D

g

h

TQC para o poliacetilenoTQC para o poliacetileno

O primeiro termo é o O primeiro termo é o hamiltoniano de Dirac  para hamiltoniano de Dirac  para férmions de massa nula      férmions de massa nula      ⇒⇒

( ) Fk v ke = h

        Energia Energia 

   

Integrando sobre os férmions Integrando sobre os férmions ⇒⇒ Teoria efetiva para Teoria efetiva para D

DDD

( )V D

0D0- D

Potencial Potencial efetivo para o efetivo para o campo de campo de dimerizaçãodimerização

2 1 2 20

0

( ) ln 3effH dx gl - D= D +W D + D -

D

g

   

0D

0- D

Dois mínimos Dois mínimos degeneradosdegenerados

Temos que expandir Temos que expandir os campos em torno os campos em torno dos mínimos !dos mínimos ! 0 jD= D +

† † 2 1 23 1 0( )F s x s sH dx i v s s l -= - Y Y + DY Y + D +W D

g

h

   

Geração dinâmica de um gap isolanteGeração dinâmica de um gap isolante

0 † †3 0 1F s x s sH dx i v

ps s= - Y Y + D Y Yh

Hamilitoniano Hamilitoniano dos elétrons dos elétrons 

EnergiaEnergia ( ) ( ) 2 20Fk v ke = + Dh

Energia “relativística” de uma partícula com energia de Energia “relativística” de uma partícula com energia de repouso (massa)             e  momento repouso (massa)             e  momento 0D p k= h

   

Abre­se um gap Abre­se um gap perto do nível perto do nível de Fermide Fermi

O material O material é isolanteé isolante

Análogo à geração dinâmica de massa na      Análogo à geração dinâmica de massa na      

                                      Teoria Eletrofraca!!!                 Teoria Eletrofraca!!!                 

   

                      Excitações tipo sólitonExcitações tipo sóliton

Defeitos topológicos Defeitos topológicos conectando os dois conectando os dois tipos de cadeiatipos de cadeia

ClassicamenteClassicamente ( ) 00 tanh x xx

x-

D = D

   

O sólitonO sóliton

0D

0- D

   

Os sólitons criam um estado na metade do gap Os sólitons criam um estado na metade do gap 

Espaçamento uniforme  Espaçamento uniforme  aa         como na rede ideal       como na rede ideal

   

Conexão matemática profundaConexão matemática profunda

Teorema de Atiyah­SingerTeorema de Atiyah­Singer

““O operadorO operador possui um númeropossui um número

de autovalores nulos que é igual à carga topológica da de autovalores nulos que é igual à carga topológica da configuração de campo  configuração de campo   ( )xD ””

Carga Carga TopológicaTopológica

Para o sólitonPara o sóliton 1TQ = ⇒⇒        Estado no meio do gap!!!Estado no meio do gap!!!

( ) ( )0 0

1 1( )2 2TQ dx x

x-

= D = D + - D -D D

3 1( )F xi v xs s- + Dh

   

Ao dopar o sistema com Ao dopar o sistema com doadores/receptores de carga (doadores/receptores de carga (Na Na  ou  ou II))

É energeticamente favorável criar É energeticamente favorável criar sólitons carregados!!!sólitons carregados!!!

   

Os sólitons estão intimamente ligados ao mecanismo Os sólitons estão intimamente ligados ao mecanismo de condução elétrica no poliacetileno!!!de condução elétrica no poliacetileno!!!

Regime metálicoRegime metálico

Sólitons clássicosSólitons clássicos

Sólitons quânticosSólitons quânticos

   

O mecanismo de condução elétrica no O mecanismo de condução elétrica no poliacetileno ainda não é completamente poliacetileno ainda não é completamente entendido, especialmente na região de entendido, especialmente na região de dopagem intermediária onde o tratamento dos dopagem intermediária onde o tratamento dos sólitons deve ser puramente quântico!!!sólitons deve ser puramente quântico!!!

   

4) Elétrons “relativísticos” (Dirac) em 4) Elétrons “relativísticos” (Dirac) em sistemas de matéria condensada em 2Dsistemas de matéria condensada em 2D

Grafeno   Grafeno   

   

              AbstractAbstract

   

                                        GrafenoGrafeno

O Grafeno é uma únca folha de grafiteO Grafeno é uma únca folha de grafite

        CarbonoCarbono

   

                            Unit Cells – BlackUnit Cells – Black

            First Brillouin Zone ­ GreenFirst Brillouin Zone ­ Green

   

Estrutura de bandas do grafenoEstrutura de bandas do grafeno   Ponto de Dirac Ponto de Dirac 

   

Utilizamos uma TQC “relativística” para Utilizamos uma TQC “relativística” para descrever os  elétrons ativos de materias como o descrever os  elétrons ativos de materias como o grafeno, supercondutores high­Tc, .....grafeno, supercondutores high­Tc, .....

Ponto de Dirac Ponto de Dirac 

            PlanoPlano

        SpinSpin

Lagrangeana dos elétrons com Lagrangeana dos elétrons com interação supercondutorainteração supercondutora

   

NormalNormal

SCSC

   

        Phase Diagram for LaPhase Diagram for La2­x2­xSrSrxxCuOCuO44

   

5) Conclusão5) Conclusão

A TQC é um método extremamente poderoso e eficiente A TQC é um método extremamente poderoso e eficiente para descrever sistemas de Matéria Condensadapara descrever sistemas de Matéria Condensada

É especialmente útil para sistemas de baixa É especialmente útil para sistemas de baixa dimensionalidade e fortemente correlacionados onde os dimensionalidade e fortemente correlacionados onde os métodos tradicionais falhammétodos tradicionais falham

Existe aberto um vasto campo de aplicações incluindo Existe aberto um vasto campo de aplicações incluindo alguns problemas fundamentais tais como a alguns problemas fundamentais tais como a supercondutividade de alta temperaturasupercondutividade de alta temperatura

   

2) Quantum Magnetic Chains2) Quantum Magnetic Chains

2.1) Isotropic Heisenberg AF2.1) Isotropic Heisenberg AF

1i ii

H J S S +=ur ur

            Best realization!Best realization!

   

Jordan­Wigner TransformationJordan­Wigner Transformation

† 1zi i iS y y= -

1† †exp

i

i i j jj

S ìy p y y-

+ =

1 1 1{ }x x y y z zi i i i i i

iH J S S S S S Sd+ + += + +      HeisenbergHeisenberg

Continuum limit and BosonizationContinuum limit and Bosonization

( 1) cos2

izi xS b

f bfp b

-= +

2

[cos ( 1) ]i

iiS e

pq

b bf-

+ = + -

   

Dual Bosonic FieldsDual Bosonic Fields

Coupling and VelocityCoupling and Velocity1

212 [1 arccos ]b p dp

-= -

HamiltonianHamiltonian

Static Susceptibility  Static Susceptibility      

                    (T=0)(T=0)

( , ) (0,0)z zdx d S x Sc t t=

2 21[ ( ) ]2 xvH dx KK Kφ φ= Π + ∂∫

2 21[ ( ) ]2 xvH dx KK Kθ θ= Π + ∂∫

x tKv

θ φ∂ = ∂ x tKv

φ θ∂ = − ∂2

4K β

π=

2v Jp

=

   

0 7.7T J

Finite T: conformal Finite T: conformal perturbation techniquesperturbation techniques

20

1 1( ) 12 ln( / )

[ ]TJ T T

χπ

= +

[N.Motoyama et al. PRL 76, 3212 (1996)][N.Motoyama et al. PRL 76, 3212 (1996)]

[Eggert, Affleck, Takahashi,[Eggert, Affleck, Takahashi,

PRL 73, 332 (1994)]PRL 73, 332 (1994)]

   

2.1) Heisenberg AF in Anisotropic Field ­2.1) Heisenberg AF in Anisotropic Field ­

                        Copper BenzoateCopper Benzoate

          Cu(CCu(C66HH55COO)COO)22  • 3 H• 3 H22OO

1[ ( 1) ]z i xi i i i

i

H JS S H S h S+= - - -r r

              Effective HamiltonianEffective Hamiltonian

          Staggered Transverse FieldStaggered Transverse Field

Induced by Induced by HH h H h H=

   

0.65 0.03( )H HD

              Field Induced Gap Field Induced Gap ∆∆

            ((HHzz – Field) – Field)                              Specific HeatSpecific Heat

[D.C.Dender et al. PRL 79, 1750 (1997)][D.C.Dender et al. PRL 79, 1750 (1997)]

   

BosonizationBosonization

Sine­Gordon Gap   (Scaling argument)Sine­Gordon Gap   (Scaling argument)

2 2b p= 2/ 3hD 2/ 3 0.67    ⇒⇒

7 / 4

222 (1/ 6) (3 / 4) 1/[2 / ] 1/[2 / ]2 (1/ 4)(2 / 3)

[ ] ( )hJ J

π β π βπ

∆ Γ Γ − −=ΓΓ

Isotropic case – Weak fieldIsotropic case – Weak field

[I.Affleck, M.Oshikawa, Phys. Rev. B60, 1038 (1999)][I.Affleck, M.Oshikawa, Phys. Rev. B60, 1038 (1999)]

2 21 2[ ( ) ] cos2

{ ( )}xvH dx K h CK Kθ

πθ θβ

= Π + ∂ −∫

   

Thermal Bethe Ansatz Thermal Bethe Ansatz ⇒⇒  Free Energy   Free Energy ⇒⇒ Specific Heat Specific Heat

11

1 1 11

22 ( 1)( ) ( / ) ( / )n

n

TMTf T K n T K M Tnπ π

+∞

=

∆ −= − ∆ −∑

Mass of the first breatherMass of the first breather

              Specific HeatSpecific Heat2

2( )f TC T

T∂=

∂

(small T)(small T)

1 2 sin( / 2}M πξ= ∆

2

28βξ

π β=

−

[F.Essler, Phys. Rev. B59, 14376 (1999)][F.Essler, Phys. Rev. B59, 14376 (1999)]

   

BreatherBreather

0.17 meV0.17 meV

SolitonSoliton

0.22 meV0.22 meV

Neutron ScatteringNeutron Scattering

2

( 7 ) 0.822

H Tβπ

= =

              Bethe AnsatzBethe Ansatz

1 0,170,780, 22

M = ≈∆

Breather/SolitonBreather/Soliton

  Mass ratio (7T)Mass ratio (7T)[D.C.Dender et al. PRL 79, 1750 (1997)][D.C.Dender et al. PRL 79, 1750 (1997)]

   

3) Strongly Correlated Organic Conductors 3) Strongly Correlated Organic Conductors 

Bechgaard SaltsBechgaard Salts

(TMTSF)(TMTSF)2 2 XX

: : 3000 : 300 : 20a b ct t t =

      TMTSFTMTSF

PFPF66

  Top ViewTop View

X = PFX = PF6 6 , ClO, ClO44, AsF, AsF44

   

HubbardHubbard

HamiltonianHamiltonian

Continuum limit and Bosonization (1/2n filling Continuum limit and Bosonization (1/2n filling  umklap term)  umklap term) 

Dynamic ConductivityDynamic Conductivity

Current correlatorCurrent correlator

†, , , ,

,( . )s s

s

= - + +i i i iij i

H t c c h c U n n

( , ) [ ( , ), (0,0)]ww -P = - i t iqxretq i dxdt e e j x t j

2f

p= tj    Bosonized CurrentBosonized Current

0

2( ) lim ( , )[ ]s w ww p

= P +q

i vKq

2 21/ 2

1 ( ) cos[ 8 ]2

}{Fx n

vH dx K g nK Kφ φ πφ= Π + ∂ +∫

   

              Dynamic ConductivityDynamic ConductivityFor For 

ω ∆?

24 5( ) n Kσ ω ω −≈

Adjusted toAdjusted to

24 5 1.3n K − ≈ −

0.23K ≈For n=2For n=2

[A.Schwartz et  al. Phys. Rev. B58, 1261 (1998)][A.Schwartz et  al. Phys. Rev. B58, 1261 (1998)]

   

4) Carbon Nanotubes4) Carbon Nanotubes

                                  Folded graphene (graphite) sheetsFolded graphene (graphite) sheets

   

Synthesized CarbonSynthesized Carbon

            NanotubesNanotubes

   

2 22 2( ) ln(1/ ) ln( / )effe eV k kR L Rκ κ

= ≈ 1.4κ ≈

Dielectric constant (experimentally determined)Dielectric constant (experimentally determined)

† †, , , , , , , ,[ ]F R a x R a L a x L aH dx v i iσ σ σ σψ ψ ψ ψ= ∂ − ∂∫

1 ´ ( ) ( )́ ( )́2 effdx dx x V x x xρ ρ+ −∫

HamiltonianHamiltonian

BosonizationBosonization

21/ 281 ln( / )[ ]

F

eK L Rvπ κ

−= + 0.28K ≈

Strong interaction!Strong interaction!

(a=1,2 bands)(a=1,2 bands)

2 21 ( )2

[ ]Fx

vH dxK K

K φ φ= + ∂Π∫

Effective Effective Coulomb Coulomb InteractionInteraction

58 10 /Fv m s

   

                  Conductance MeasurementConductance Measurement

    Carbon nanotube between electrodesCarbon nanotube between electrodes 50 nm50 nm

   

  Density of StatesDensity of States

( ) αρ ε ε=

Tunneling into BulkTunneling into Bulk

  Tunneling into EdgeTunneling into Edge

                                Tunneling CurrentTunneling Current

1( 2) / 8K Kα −= + −1 1edge Kα −= −

Current densityCurrent density

2t

ej φπ

= ∂

1 2cosh2 2 4

( )| |B B

dI eV eVT idV k T k T

α απ

+∝ Γ +

   

1dIdV T α

Scaled Scaled ConductanceConductance

    BulkBulk     EdgeEdge

[Bockrath et al., Nature (1999)][Bockrath et al., Nature (1999)]

   

5) High­Tc Superconductors5) High­Tc Superconductors

            

  LaLa2­x2­xSrSrxxCuOCuO44

  Crystal StructureCrystal Structure

CuOCuO2 2  planesplanes1 electron /site1 electron /site

holesholes

  Doping with SrDoping with Sr

(LSCO)(LSCO)

2D Relevant Physics!!!2D Relevant Physics!!!

   

              General Phase DiagramGeneral Phase Diagram

   

Field Theory Model Field Theory Model 

( ) ( )22,,

1,2 ,00

12 i z

iS d d x iA z i q A

g

bm m

m m m a la la l

t y g s y=

= - + -h

†iji jS z zs=

ur ur † 1i iz z =CuCu++++ spin spin CPCP11 fields fields

† † †, .i i ic fa am=Hole creation operatorHole creation operator

†im

†.if a

,,

,

e

o

ffa l

a la l

y =  Dirac field Dirac field e,o : even/odd sitese,o : even/odd sites

λ:  Fermi surface branch:  Fermi surface branch

Quantum Skyrmion OperatorQuantum Skyrmion Operator

Spinon Creation Operator Spinon Creation Operator 

HOLE CHARGEHOLE CHARGE

        HOLE  SPINHOLE  SPIN

   

                      Néel TransitionNéel Transition

          Superconducting TransitionSuperconducting Transition

Quantum Quantum Skyrmion Skyrmion CorrelatorCorrelator

( ) ( )( )

( )

2

2

2 ,†

2

M T x y

q

ex yx y

π δ

δµ µ

− −

=−

( , )M Tδ

Sublattice Sublattice 

MagnetizationMagnetization

Effective Effective Quantum Quantum Skyrmion Skyrmion InteractionInteraction

( ; , )V r Tδr

,z ψ fluctuationsfluctuations

AttractiveAttractive

( )cT δ

   

                  T=0 MagnetizationT=0 Magnetization  Doping Doping

  YBCOYBCO LSCOLSCO

                    [E.M.,M.B.Silva Neto, PRB 64, 092511 (2001)][E.M.,M.B.Silva Neto, PRB 64, 092511 (2001)]

( ,0)M d

   

              Néel TransitionNéel Transition

YBCOYBCO LSCOLSCO[E.M.,M.B.Silva Neto, PRB 64, 092511 (2001)][E.M.,M.B.Silva Neto, PRB 64, 092511 (2001)]

( , ) 0M Td = ( )NT d  ⇒⇒

   

  YBCOYBCO

LSCOLSCO

          Superconducting TransitionSuperconducting Transition

  [E.M, M.B.Silva Neto, Phys. Rev. B66, 224512 (2002)][E.M, M.B.Silva Neto, Phys. Rev. B66, 224512 (2002)]

( ; , )V r Tδr

  attractiveattractive

              

( )cT d

   

6) Conclusion6) Conclusion

QFT is an extremely powerful and efficient method to    QFT is an extremely powerful and efficient method to    describe Condensed Matter systems.describe Condensed Matter systems.

Especially useful for low­dimensional and strongly Especially useful for low­dimensional and strongly correlated systems where traditional  methods fail.correlated systems where traditional  methods fail.

A vast field of applications is open including some  A vast field of applications is open including some  fundamental problems like High­Tc superconductivityfundamental problems like High­Tc superconductivity

   

  7) Agradecimentos7) Agradecimentos