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"APLICAÇÃO DO ~TODO DAS DIFERENÇAS FINITAS
A UM PROBLEMA DE ELASTICIDADE PLANA"
GILBERTO AQUINO BENETTI
TESE SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DA COORDENAÇÃO DOS PROGRAMAS
DE PÕS-GRADUAÇÃO DE ENGENHARIA DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO
RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOS NECESSÃRIOS PARA A
OBTENÇÃO DO GRAU DE MESTRE EM CifNCIA CM.Se.).
Aprovada por:
e Yoru,o ,t -f -v~ ~ l(~"-y,
~~-.
RIO DE JANEIRO
ESTADO DA GUANABARA - BRASIL
NOVEMBRO DE 1971
i.
a minha esposa
ii.
AGRADECIMENTOS
Ao Prof. Sydney M.G. dos Santos, pela orienta -
çao dada a êste trabalho.
Ao Prof. Fernando L.L. Carneiro pelo estímulo e
atenções dispensados ao autor.
Ao Prof. AlcebÍades Vasconcellos Filho, por se
us ensinamentos e atenções, principalmente pela utilização de
seu programa em Elementos Finitos.
à UFSM e CAPES, pelo auxílio financeiro recebi-
do.
à Direção e Departamento de Engenharia Civil do '
Centro de Tecnologia da UFSM, pelo apôio na realização
trabalho.
Ao Prof. Sergio Vargas de Souza, pelo
na redação final dêste trabalho.
dêste
auxílio
Ao futuro engenheiro Francisco Amaral Wendt, p~
lo extraordinário e imprescindível suporte de programaçao, sem
o qual êste trabalho teria sido bem menos geral.
Aos funcionários do Núcleo de Processamento de
Dados,por sua solicitude,especialmente ao assessor de direção.
à Jane Carpes Athayde, pelos desenhos e gráficos.
Ao Robson P. Gonçalves, pela datilografia dêste
trabalho.
iii.
SINOPSE
Estuda-se um problema do estado plano de
tensões, mais especificamente o de placas de espessura delgada
de forma poligonal com carregamento no seu próprio plano,
Inicialmente estabelecem-se as fórmulas -
necessárias para resolver o problema, através de Diferenças Fi
nitas em coordenadas triangulares e em coordenadas oblíquas
comparando-se o resultado com os obtidos pelo Método dos Ele -
F . . 9 ~ 1 mentos initos , atraves do programa MEFI- .
Como casos particulares de aplicação da
teoria, sao estudadas algumas placas de contôrno poligonal com
carregamento uniformemente distribuído ao longo dos bordos su
perior e inferior.
Para a solução do problema desenvolveu-se
um programa que permite a análise de placas de espessura delg~
da ou chapas, no estado plano de tensões, válido para os siste
mas cartesiano, oblíquo ou triangular. tste programa é descri
to com algum detalhe e, para sua compreensão, inclui-se um flu
xograma simplificado no apêndice.
iv.
SINOPSIS
It is studied a problem of plane stres
ses, that is, the one of small thickness polygon form plates
with loading in its own plane.
Initially, the essential formulas tore
solve the problem are set up through finite differences in
triangular coordinates and skew coordinates comparing the re
sults got with the ones obtained by the Finite Element Method
using the MEFI-1 program.
As particular cases of the theory appli
cation, some polygon shape plates with loading uniformily dis
tributed through the superior and inferior edges are studied.
In order to give a solution to the
question it was developed a self-acting program which allows
an analysis of plane stresses small thickness plates or slabs,
valid for the Cartesian, skew or triangular systems. This pro
gram is outlined in some detail, and to help its understanding
it was inserted a simplified flowchart in the appendix.
fNDICE
NOTAÇOES ..•...•......•...........•....•..••.•...••.
INTRODUÇÃO ......................................... CAPfTULO I - ESTADOS PLANOS DE TENSÕES E DEFORMAÇÕES
1.1 - Considerações Gerais ........................ .
1.2 - Expressões Fundamentais ..................... .
1. 3 - Função das Tensões .......................... .
1. 4 - Condições de Contôrno ....................... .
CAPfTULO II - SOLUÇÃO APROXIMADA - MÉTODO DAS DIFE -
RENÇAS FINITAS
2 .1 - Condições Gerais ............................ .
2. 2 - Escolha do tipo de malha ................... ·;.
2.3 - Laplaciano em coordenadas triangulares ...... .
2.4 - Os operadores de ͪ, 2ª, 3ª e 4ª ordem, em di
ferenças finitas
2.5 - Molécula Geradora das Equações ....•....••....
2,6 - Diferenças Finitas em coordenadas oblíquas •..
CAPfTULO III - ESTUDO DAS TENSÕES
3 .1 - Condições Gerais ................. · ........... .
3.2 - A expressão das tensões em diferenças finitas.
3.3 - Tensões principais
CAPfTULO IV - APLICAÇÕES
4.1 - Estruturas analisadas
4·,2 ~ Molécula Geradora Específica .•........•...•..
v.
1
4
9
9
14
16
22
23
24
29
32
35
38
39
4 3
45
46
4.3
4.4
4.5
4.6
4.7
4.8
Pontos do Contôrno
Pontos Externos
............................
Placas 1 e 2
Placa lA
.................................. .....................................
Placa lB ...................................... Placa 2A •••••••••..•••••••••••••••••••••••••••••
CAPfTULO V ELEMENTOS FINITOS
5.1 Condiçôes Gerais .............................. Placa lB
Placa 2A
Placa 1
Placa 2
Placa lC
Placa 2B
......................................
.......................................
......................................
......................................
...................................... DISCUSSÃO DOS RESULTADOS
CONCLUSÃO ........................................... GRÁFICOS
APÊNDICE 1
..........................................
.......................................... PROGRAMA GEMOL
PROGRAMA GERSI
PROGRAMA RSIMQ
PROGRAMA TEDIF
................................. ..................................
......................................
...................................... REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ..........................
vi.
48
52
55
58
62
63
82
85
86
88
95
102
10 3
104
109
114
121
124
12 8
134
137
140
exy
a a , .x' y' xy
0 n• 'n
F ,F X y
E
\)
p
1.
NOTAÇÔES
deformações lineares, respectivamente se -
gundo Ox e Oy
deformação angular
tensões em um ponto da placa
tensão normal e tangencial em uma seção ,
cuja normal forma um ângulo (nx) com Ox
valor de máximo .. a , e minimo n
fôrças po_r unidade de massa
fôrças por unidade de contôrno, segundo
Ox e Oy
componentes, segundo Ox e Oy, das fôrças -
de contôrno, computadas desde uma origem -
até um ponto II s II do contôrno
componentes, segundo à normal e a tangente
das fôrças de contôrno, computadas desde -
uma origem até um ponto "s 11 do contôrno
(os eixos, normal e tangente se referem ao
ponto II s")
módulo de elasticidade do material da pla
ca
coeficiente de Poisson
densidade do corpo, ou massa por unidade -
de volume
U e V
z
K. J
nx
e
o
zs
H
a
b
h
z. J.
2 •
projeções do deslocamento segundo Ox e Oy
função das tensões ou função de Airy
ângulos de Ov.com Ou e de Ow com Ou
Laplacã:ano
bi-Laplacd.ano
diferença central de primeira .ordem, se -
gun.da ordem e quarta ordem
coeficiente da Molécula Geradora (j=l,2 ___ )
ângulo formado pela normal da seção consi
derada e o eixo Ox
valor de (nx) para as seçoes principais ,
onde ªn é máximo
espessura da placa
função z no contôrno
altura total da placa
dimensão da placa sôbre o eixo de simetria
horizontal
dimensão dos bordos inferior e superior
lado· do elemento da malha-triangular
base do elemento da malha oblíqua
ou
ponto comum ao bordo superior e ao bordo
lateral inclinado
ponto do bordo lateral sÔbre o eixo de si
metria horizontal
quando i for algarismo arábico se refere
B
K
3.
a pontos internos
quando i for algarismo romano se refere a
pontos do contôrno
quando i for literal se refere a pontos ex
ternos ou fictícios
carga uniformemente distribuída ao longo -
do bordo superior e inferior, por unidade
de espessura
base do elemento da malha triangular
fator que relaciona o lado e a base do ele
menta da malha oblíqua
bordo livre
eixo de simetria
malha
4.
INTRODUÇÃO
O problema do estado plano de tensões, no ca
so de placas de espessura delgada com carregamento no seu pró
prio plano, envolve a solução de uma equação diferencial par -
cial de quarta ordem, que nem sempre tem solução exata.
Pode-se atestar, baseado em afirmativas cate
gÓricas, que a solução formal do problema só é possível em ca
sos isolados.
Como decorrência natural da afirmativa acima
ter-se-á que lançar mão de métodos numéricos, que levarão a
soluções aproximadas.
Os métodos numéricos acarretam, por sua natu
reza, um grande esfôrço de cálculo e, em consequência uma gran , -de probabilidade de erro.
A utilização do computador se torna impres -
cindível, mormente se desejarmos ter soluções próximas da real.
t preciso que se diga, que nem sempre é fácil programar deter
minado método e, muitas vêzes, impossível automatizá-lo total
mente.
As novas concepçoes arquitetônicas exigem do
engenheiro soluções não usuais, bem como uma crescente necessi
dade de dominar razoãvelmente as técnicas de computação.
Um dos métodos numéricos mais utilizados na
solução de problemas de elasticidade é o das Diferenças Fi -
5 •
rti tas. Mesmo assim, apresenta êste método certas interrogações
quando aplicado a alguns problemas ainda pouco estudados.
A falta de pesquisa neste campo, talvez se ex
plique pelo grande volume de cálculo exigido e pelo surgimento
de novos métodos, totalmente programados através de comput~
dores 9
•
Como se nao bastassem as dificuldades já enum~
radas, surgem ainda outras- tais como: condições de contôrno;
necessidade de valores fictícios, externos à placa; a inexis
tência de um elemento de malha que se adapte a qualquer probl~
ma; grande complexidade quando se utiliza malhas irregulares e
que nem sempre o sistema de equações lineares obtido é bem con
dicionado.
O estudo de um tipo de problema do estado pla
no, do qual resultam as interrogações já mencionadas e a tent~
. .. . - .. tiva de levanta-las, bem como a comparaçao entre o Metodo das
Diferenças Finitas e o dos Elementos Finitos, deram origem a
êste trabalho.
A orientação seguida para desenvolver o traba
lho foi a seguinte:
a) Fundamentos teóricos.
b) Aplicação do Método de Diferenças Finitas e
de Elementos Finitos a um mesmo problema
apenas variando a forma geométrica. '
c) Um programa tão automático quanto possível,
6 •
limitado pelas condições do problema e
pela experiência de quem programou.
Os fundamentos teóricos são sobejamente de
senvolvidos na literatura conhecida 1
•2
•3
•4
•5
e expostos
capítulo I.
no
A contribuição pessoal se evidencia nos ca
pÍtulos II e III, embora não esteja com isto reinvidicando ne
nhum inedetismo.
Nestes capítulos se define o tipo de malha
adequado ao problema. Em função disto estuda-se a parte mate
mática correspondente, até se chegar a Molécula Geradora das
Equaçõês. Como complemento se determina o cálculo das tensões
e a respectiva molécula.
No capítulo IV, onde se estuda o problema
específico, sao determinadas: as Moléculas Geradoras Específi
cas; os pontos do Contêma; os Pontos Externos e as
específicas.
tensões
Examina-se, por Diferenças Finitas em coar
denadas triangulares e coordenadas oblíquas, 2 grupos de pla
cas <le espessura delgada, que diferem apenas na configuração
do contêma.
O primeiro grupo é composto de três placas
denominadas P-lA, P-1B e P-lC, as duas primeiras representam
a mesma placa, diferindo apenas na abertura da malha. A terce
ira placa, embora apresente o mesmo tipo de contôrno, possui
7.
r um ângulo de inclinação dos lados, diferente das duas inici
ais. Com as duas primeiras placas, uma com malha mais refina-
da do que a outra, busca-se uma tentativa de mostrar a conver
gência dos valores em diferenças finitas. A terceira placa
dectetaria uma possível influência da variação do ângulo de
inclinação dos lados, no valor da função z
O segundo grupo é constituído de 2 placas, am
bas com a mesma malha, variando apenas o ângulo de inclinação
dos lados.
No capítulo V, algumas destas placas sao resol
vidas pelo Méitodo dos Elementos Finitos, através do programa
MEFI-1 desenvolvido na tese de doutoramento do prof. AlcebÍa
des Vasconcellos Filho 9 . A resolução por Elementos Finitos
foi efetuada com a única finalidade de se comparar a precisão
dos resultados obtidos por diferenças finitas, desde que se
conhece a potencialidade e a grande vantagem da automatização
do Método dos Elementos Finitos.
Ainda neste capítulo,procura-se discutir os re
sultados obtidos, comparando-se os dois métodos, o das Dife -
renças Finitas e o dos Elementos Finitos. Da discussão prete~
de-se constatar diferenças ou mesmo discrepância entre os mé
todos, buscando sempre que possível, as suas causas. Esta ten
tativa de explicar as diferenças encontradas permitirá chegar
a algumas conclusões sôbre o Método das Diferenças Finitas,~
plicado a problemas do tipo estudado neste trabalho. As tabe-
8.
las e gráficos permitem uma mais detalhada e criteriosa obser
vaçao dos resultados e das diferenças entre os métodos.
Finalmente no apêndice 1, são explicados, de
uma maneira sucinta, os programas desenvolvidos. Às limita
ções dos conhecimentos de programação deve-se somar o pequeno
porte do computador disponível (1130-Sk) e a inadequação do.
problema para uma automatização total. A principal finalidade
dos programas desenvolvidos foi a de eliminar, o mais possí -
vel, a intervenção humana em operaçoes de cálculo, diminuindo
com isto a margem de êrro numérico.
A assimilação a uma treliça plana foi tentada
durante o desenvolvimento do trabalho, quando o autor buscava
solucionar o problema.
Os resultados obtidos foram satisfatórios ,
quando comparados aos dos Elementos Finitos e os das Diferen
ças Finitas.
Apenas foi constatada a viabilidade do método,
embora se saiba que o mesmo é passível de aprimoramento.
Não será incluído no presente trabalho, para
evitar que o mesmo se torne muito extenso e, principalmente ,
por fugir demasiado às diretrizes iniciais.
9.
CAPfTULO I - ESTADOS PLANOS DE TENS'õES E DEFORMAÇ'õES
1.1 - Considerações gerais
O objetivo dêste capftulo será o de relembrar alguns
conhecimentos básicos da teoria da elasticidade.
Procura-se, na redação, seguir a sequência e forma -
expositiva de Filonenko1 e Girkmann 2 • Houve, com i;to, a ten
tativa de fundir dois textos num só.
Como o problema a resolver é do estado plano de ten
soes, nao se estuda o estado plano de deformações detalhadamen
te.
O próprio. estado plano de tensões será estudado até
onde seja necessário e indispensável à compreensão do problema
particular do autor.
1.2 - Expressões fundamentais
Como o próprio tftulo sugere, se dará atenção aos
problemas que ocorram no plano, digamos O • Isto implicará em xy
que os deslocamentos segundo Oz sejam nulos e que os outros
dois, segundo Ox e Oy, sejam in_dependentes da coordenada z.
f; mui to diffcil conseguir tal situação na prática '
1 . . d • . b' l mas e a se mostra muito pareci a em varies pro ~emas
As equações fundamentais da elasticidade, isto é, as
de equilíbrio e de compatibilidade, são consideradas assunto -
conhecido e, como tal, serão simplesmente transcritas.
,
acr º'xy ~ + + Xp = ax ôy
º'yx acr + ___:j_ + Yp = ax ay
au e = ax ; e XX yy
Considerando-se as
o
Figura
cr = cr cos(nx) + nx X
a = 'yx cos(nx) ny +
o
o
a~ au av = ay e = ãy + -; xy ÔX
condições de contôrno
1.1
T xy
cr y
-----~ cr .,,,,,../:
/. I :
.// / l -·......:...-,f--' ªnx
/ 'n
sen(nx)
sen(nx)
10.
(1.1)
(1.2)
tem-se:
X
( 1. 3)
Das equaçoes (1.2) será fácil concluir-se que:
a2 e __ x_y= O
ôxôy (1. 4)
e da lei de Hooke deduz-se que:
11.
1 ( ) e = E ºx - \!O XX y
= 1 ( - ) e E ºy \!O ( 1. 5) yy X
e = 2(l+v)
xy E 'xy
Ao se assumir para os deslocamentos a ex
pressao funcional abaixo
u = fl (x,y) V = f2 (x,y) ( 1. 6)
As equaçoes (1.2) resultam
exx = fl (x,y) ; eyy = f2 (x,y)
(1. 7)
exy = f3 (x,y)
que sao as equaçoes do estado plano de de -
formações.
As equaçoes ( 1.5 ) sao derivadas como se
segue: a2e
[ª~º "ª2ºy] XX 1 X = ---
ay2 E ay 2 ay2
a2e [ª2º - "ª2ºx] yy = l_..:t. ( 1. 8) ax2 E ax2 ax 2
a2e X:);'. =
2(l+v) a2,xy
axay E axay
12.
Derivando as expressoes (1.1) e colocando-as na
forma abaixo, tem-se:
p ax = - - -
axay ax
a 2, a2cr. p yx y aY
- ... -- -axay ay2 ay
Somando-se as expressoes acima, membro a membro e
considerando as fôrças de massa constantes, obtém-se:
= axay (
a20. a2
0 ~ X + y -- -
ax 2 ay 2
(1.9)
IDe posse de (1.9) pode-se expressar (1.8) da se
guinte forma:
a2e :[~ '~i XX = ay2 E ay 2 ôx2
a2e 1 [a', , a2cr yy - y X
= ( 1.10) E --
ôx2 ôx2 ay2
ô2e l+v a2cr ª'"y l xy X
= --+
ôxôy E ax 2 ôy2
Se as equaçoes (1.4) receberem os valores calcula
dos em (1.10) conclui-se que:
1 [ª2 (crx + cry) + 32 (óx + cry)} o
E a 2 2 X lly
ou ainda que:
'J 2 (cr + cr ) = O X y
13.
( 1.11)
esta equaçao é também chamada de condição Maurice-Lévy.
Como o problema a ser estudado envolve exclusi
vamente o estado plano de tensões,o mesmo pode ser resolvido
com as seguintes equaçoes:
dC1 (l;r _..:t. + xy = O
ax ay ( 1.1) 1
a 'yx + .:..'.'._y + p = O ax ay
onde X = O e y = p
= cr cos(nx) +, sen(nx) X xy ( 1. 3)
=, cos(nx) +cr sen(nx) yx y
e finalmente:
(1.11)
Em nenhuma destas três equaçoes aparecem consta!!_
tes elásticas, isto quer dizer que o estado de tensões inde-
pende do material do corpo.
Esta conclusão é válida para corpos limitados-
.- . 1 1 por regioes simp esmente conectas , como os que êste traba
14·.
lho se propoe examinar.
1.3 Função das Tensões
Estudando a solução do problema, G.B.Airy indicou a
possibilidade de se simplificar a solução do problema. Esta
simplificação é baseada no fato de que é relativamente fácil a
char a solução geral do sistema de equaçÕe5.~l.l)'
·o sistema é não homogêneo, no entanto, a solução ge
ral representa a soma da solução ger-al do sistema homogêneo e
da solução particular dêste mesmo sistema. O sistema homogêneo
~
se escrevera como:
+ ay ( 1.12)
dTyX 'i- ~ : Q
ax ay
A solução particular é imediata, assumindo-se em
(1.1)' os valores abaixo:
o o X = y = 0 então:
T yx = Px
ou ainda: ºx = Txy = O , então: o y = - Py
A solução geral é possível através da introdução de
uma função arbitrária z(x,y), função das variáveis independe~
tes xy e que satisfaça as seguintes condições:
ax 2 , = -~
axay ( 1. 13)
15.
Substituindo-se (1.13) em (1.12) ve-se que z(x,y)
é de fato solução geral do sistema, admitindo-se que as deri
vadas parciais até quarta ordem inclusive existam e sejam
contínuas. Esta função é chamada FUNÇÃO DAS TENSnEs ou FUN
ÇÃO DE AIRY~
A solução geral poderia ser obtida fàcil~ente, e~
colhendo-se duas funções arbitrárias w(x,y) e x<x,y), onde:
a ]1. T - 11 X = ; xy = ' ay ax (1. 14)
'yx = lx ªY = lx ay ax
Estas funções satisfazem as equaçoes (1.12), sô -
mente se:
_ aw = lx ou 11 +ªL = o daí: ax ay ax ay ( 1. 15)
w = az -e X= az ay ax
As funções acima satisfazem as condições de Cau-
h R . - d. t 1' . 16 c y- iemann e sao ias ana iticas •
Das expressões (1.14) e (1.15) retiram-se os va
lores de ªx• ªy, 'xy •
ªx = 11 = a2z 'xy = - 11 = - l.:L.. ay ay2 ax axay
'yx = lx 12.._ a = a2z = - ; y ay axay ax2
16.
Comparando-se as expressoes anteriores com (1.13)
ve-se que sao idênticas.
A expressão de (1.11) resulta em:
então: 172 ( O' X
+ O' ) y = 17 2 17 2z = 17'z = O ( 1.16)
17'z =[li + 2 a 'z + a'z ]- o ( 1. 17) ax' ax 2 ay 2 ay"
A solução do problema do estado plano, em têrmos
de tensões, se reduz a integração da equação diferencial par-
cial (1.17). Uma vez determinada
tensões por (1.13).
z(x,y), pode-se achar as
As condições de contôrno, correspondentes ao pro
blema específico, devem ser adicionadas à equação para a sua
solução..-
Como o problema a ser tratado nêste trabalho -e
-o de placas de espessura delgada com carregamento no seu pro-
prio plano, tem-se que estudar as condições de contôrno para
êste tipo de problema,
1. 1+ - .Condições de contôrno
A investigação analítica do estado de tensões con
siste na determinação de uma função z(x,y), que satisfaça a
equação diferencial (1.17) e as condições prescritas pelas
fôrças de contôrno X e Y. Para expressar estas fôrças de uma
17.
forma simples, para uma configuração arbitrária do contôrno
se considera o equilíbrio de fôrças em um elemento do próprio
contôrno. y
C1
o
-X
>X
....
Xds
Yds
=
=
-dx ,:r-y
Figura
C1 dy ô-X
'yxdy ô-
n
x
1.2
'xy dx
C1 y dx
sendo ô a espessura
1 X = o dy + T X xy
ô ds
1 y T dy o·. = yx + y
ô ds
X
ô
ô
da chapa
dx
ds
dx
ds
Substituindo (1.13) em (1.20) obtém-se:
( 1.19)
(1.20)
'
1 X = 1-}~ ô2z + --
dx
o "ãy 2 ds ôxôy ds
lY = _ ô 2z ~ _ a2z dx
o ôxôy ds ax 2 ds
De (1.21) pode-se escrever:
1 x o
1 y ô
=
=
d Caz>
ds ôy
d
ds
ôz
ÔX
ilili.
(1.21)
(1.22)
Estas equaçoes permitem representar as condições
de contôrno em têrmos da função z(x,y) e não mais em função
das tensões. Isto equivale a dizer que o maior Óbice para a
solução da equação está superado.
Expressar as condições de contôrno em função- das
tensões nao só é mui to difíc,il, como em alguns casos impossí
vel.
A FUNÇÃO DAS TENSÕES ou de AIRY serve precisame!l
te para solucionar êste impasse, tornando as condições de con
tôrno possíveis, o que nao implica em ser fácil a sua determi
naçao em qualquer caso.
De (1.22) resulta:
Is,! X ds = ~z -[~] o . ôy ôy s
s, •
; Y ds ôz =
ôx s,
[ ::] s,
( 1. 2 3)
19.
A primeira integral dará a resultante das fôr
ças de contôrno, desde uma certa origem s0 até s, na direção
de Ox e a segunda na direção de Oy.
Os têrmos [ ~: L e [ ;! t. . sao constantes ar
bit·rári,;1s; elas expressam o valor das derivadas de az , <lz no dX <ly
ponto S = s0 do contôrno, isto é, na origem escolhida. Daí se
depreende que a origem é arbitrária, sendo escolhida pelas
conveniências do problema. r fácil de ver que esta escolha ar
bitrária não afeta as tensões, pois, se trata de acrescentar
valores con_stantes, que- podem dar origem a expressões linea -
res, mas estas se anulam com a derivada de segunda ordem.
Para que se visualize melhor o problema será -
feita uma analogia da seguinte maneira: assimilar o contôrno
do sólido que se está investigando a uma barra, que possui ·a
mesma forma geométrica, a qual é cortada em uma origem S = s0
e nela se aplicam as fôrças oriundas do corte. Como é sabido·
nas faces do corte surgem três esfôrços, cortante, normal e
um momento fletor.
Como a origem S = s0 é arbitrária, poder-se-á
escolher um ponto, tal que os esforços seccionais sejam aí nu
los.
Daí resulta a seguinte forma para ( 1. 2 3)
s s
dZ =1:Jxds ; dZ _ _! J. Y ds = ay ô o dX ô o
onde as integrais representam a resultante dos esforços de
T
T
20.
contôrno no trecho s 0 as, nas direções Ox e Oy respectivamen
te, Pode-se, mais simplesmente, chamá-los de:
F e = --x y
N
y
N
o Figura 1,3
az ax =
X
S=O
F y
(az\ ây/ o
( 1. 24)
X
Tomando-se novos eixos ON e OT, dirigidos se -
gundo à normal e à tangente respectivamente em s, em função do
novo sistema de referência tem-se:
(1. 25)
onde FT e FN representam, respectivamente, a resultante does
fôrço de contôrno segundo à tangente e à normal, considerando
os esforços desde uma origem s 0 até o ponto S.
Sendo z uma função de (x,y), pode-se escrever:
d = az dx + az dy
ax ay
onde: d 1 = õ [crxdy - ry dx)] por (1.24).
21.
A integração por partes permitirá escrever que
1 [ r X Cy8 - y) ds + ls y (x - xs) ds] (1.26) z = õ
o 1 11 o ( 1. 27) z = 6
y
y
Ys y
o X --xg-+. 1 ~ X ' ' ~ -+-----XQ !
Figura 1.4
Da fórmula expressa em (1.26) e da Figura a
cima depreende-se que z será igual ao momento das fôrças apli:_
cadas na parte s0 S da barra em relação ao pontos.
Assim sendo, as condições de contôrno ficam de
terminadas, conhecendo-se o valor de z no contôrno e de suas -
derivadas de primeira ordem em relação à tangente e à normal -
no ponto S.
22.
CAPfTULO II - SOLUÇÃO APROXIMADA - MfTODO DAS DIFE
RENÇAS FINITAS
2.1 - Considerações gerais
Normalmente, a equação (1.17) nao tem solução exata.
Em virtude disto, ter-se-á que lançar mão de métodos aproxima
dos.
Dentre os métodos numéricos para a solução aproxima
da do problema, o das diferenças finitas se apresenta como um
dos mais usados na resolução de problemas propostos pela teo -
ria da elasticidade,
A configuração geométrica do contôrno está a exigir
uma malha triangular ou oblfqua e, como tal, não mais se usará
o sistema cartesian°o ortogonal e sim o de coordenadas triangu
lares ou oblíquas.
fstes sistemas de coordenadas exigirão que a equa -
çao (1.17) seja também expressada nos citados sistemas.
Coube âo autor chegar à expressao de (1.17) em coor
denadas triangulares e coordenadas oblíquas, fato êsse nao mui
to difÍcQl, contudo, muito trabalhoso.
De posse da expressão (1.17) em coordenadas triang~
lares e oblíquas, passou-se aos operadores em diferenças fini
tas, gerando-se com isto as moléculas básicas.
Estas moléculas básicas ou geradoras das.equações ,
darão origem aos sistemas lineares, que contêm as funções z
2 3.
como incógnitas.
As funções z serao determinadas num número finito de
pontos, relacionados através de (1.13), que serão igualmente ex
pressados em diferenças finitas.
A primeira vista poderá parecer que, quanto mais refi
nada fÔr a malha, melhor conhecido será o estado de tensões do
corpo. A realidade, porém, é outra, nao sendo permitido o racio
cínio anterior sem restrições.
O refinamento terá um ponto Ótimo, além do qual os re
sultados não convergirão mais. Achar êste ponto Ótimo, ou pelo
menos discutÍ-lo,envolverá problemas matemáticos superiores as
pretensões dêste trabalho.
A afirmativa de que o refinamento poderá ser prejudi
cial parece ser paradoxal. A explicação reside no fato de que a
solução do problema, como ocorre com tÔda a solução numérica '
introduz um determinado êrro, suscetível de se propagar, muitas
vezes em consonância com o número de equações geradas.
2.2 - Escolha do tipo de malha
O tipo de malha dependerá diretamente da configuração
do contôrno.
t'. certo que se poderá tomar : ,uma determinada malha e
adotá-la para qualquer configuração do contôrno, mas êste proc~
dimento implicará em dois prováveis problemas. O primeiro . sera
o aparecimento de pontos não igualmente espaçados, daí resulta~
do as malhas irregulares. O segundo seria o problema da conver-
24.
gência dos resultados, condicionados pelo sistema de equaçoes.
O primeiro problema é muito importante pela alta com
plexidade no ato de gerar as equaçoes lineares. Do segundo na-
da se pode afirmar, porquanto só um estudo detalhado poderá
comprovar ou não, aquilo que intuitivamente parece certo.
-Na tentativa de evitar o primeiro problema, procuro,::
-se um tipo de malha que se ajustasse ao contôrno de uma manei
ra regular. Com isto,evitou-se também as possíveis consequen
cias do segundo.
Há duas malhas que se adaptam ao contôrno com regul~
ridade, a triangular e a oblíqua. SÕmente os resultados pode
rão comprovar qual a mais eficaz, embora pareça ser a oblíqua,
principalmente quando o ângulo a se aproxima de 90° graus.
Inicialmente será desenvolvido o sistema em coordena
das triangulares e posteriormente em oblíquas.
2.3 - Laplaciano em coordenadas triangulares
Um dos sistemas de coordenadas não cartesiano,comu
mente usado para cobrir os domínios de chapas irregulares,é o
sistema de coordenadas triangulares 6•
A correlação entre o sistema cartesiano e o sistema
de coordenadas triangulares será estudada a seguir.
t sabido que no plano sõmente duas coordenadas sao
linearmente independentes. A terceira sempre poderá ser escri
ta em função das outras duas.
25.
y
w
s
V
(l X = U
o
Figura 2.1
Assumindo a direção de Ou coincidente com Ox e cha
mando de a e S os ângulos entreveu, w eu, a transformação
para coordenadas cartesianas será:
w serao:
X= U + V COS Cl + W COS $
y = v sena+ w sen S ( 2 .1)
As derivadas parciais de x e y em relação a u, v e
ax 1 '
ax = ãü = ãv , ax = s cos (l aw cos ;
( 2. 2) av = o 1-Z = sen (l ; 1-Z = sen s -au ' av aw
A função Z (x,y) pode ser considerada como deu, v
e w, através das funções intermediárias x e y. Em decorrência
disto pode-se afirmar:
26.
az az ax + E.~ az ; au = ax = -,,x ílu ay au
az az ílx az ~ az cos a+ az sen a ' av = ãx - + ay = ax ay av av
az az ax +E.~ az cos ª+ az sen s ãw = ax ãw = ax ay ay aw
Derivando novamente, obtém-se as derivadas de segu~
da ordem:
;
a2z a 2 z cos 2 a + 2 a2 z cosa sena + a 2z sen 2a (2.4) ãv2" = ãic7 axay ã?
a 2z a 2 z cos 2 S + 2 a 2 z cosS senS + a2Z sen 2S
ãw7 = ãic7 axay ã? ,
das duas Últimas equaçoes de ( 2. 4) pode-se extrair o valor de
a 2 Z , que sao: axay
l - 15
sen 2a - a 2 z sen 2S + 2 a2Z cosa cosS ãv2" ãu2"
sendo D= 2 sena senS sen (a - S)
a2 z axay = l
- i5
sen<S-a)]
(2,5)
( 2. 6)
Continuando a derivar as expressoes (2,4), pode-se -
verificar que a derivada subsequente se obtém através da multi
plicação simbólica, Por exemplo, para se obter a 3 Z , basta a se ãvT
guinte operaçao:
..L [ a2 z] = a3z av av 2 · av 3
[~ cosex + az
ax ay
[ ª2
: ôx 2
sen ex],
ª2 axay
cos exsen ex +
onde se tem, após as simplificações possíveis: ,
2 7.
sen 2 ex]
ô 3 Z cos 3 ex + 3 ô 3 Z senex cos 2 ex + 3 ô 3 Z sen 2 excosex+ =
ôx 3 a* 2 ôy ôxôy 2
a 3 Z sen 3 ex + --
a~P (2.7)
Desejando obter a•z , pode-se continuar o procesav•
so sÔbre a derivada de terceira ordem. Daí resulta:
a•z a•z cos 4 ex + 4 a•z cos 3 exsenex + 6 a· z cos 2 exsen 2 ex+ =
ax• ôx 3 ôy ôx 2 ôy 2
+ 4 a•z cosex sen 3 ex + a•z sen• ex
axaf 3 ay• (2.8)
De uma maneira análoga apareceriam as expressoes
de a•z e a•z (2.9) aw• av 2 aw 2
No caso em estudo o ângulo B assume um valor parti
cular que é B= ,-ex , daí afirmar-se que:
cos 6= - cos ex; sen 6= sen ex (2.10)
De posse dos valores particulares de 6 e suas li
nhas trigonométricas, escreve-se os novos valores para a expre~
2 8.
sar (2.9):
a•z a•z cos'ci 4 a• z COS 3
CI senci + 6 a• z sen 2 ci cos 2 ci -=
aw• ax• ax 3 ay ax 2 ély 2
- 4 a• z senci COS3
CI + a•z sen 4 ci (2.11)
axay 3
de a•z
av 2 aw 2
a•z =
av 2 aw 2
ay•
Procedendo de maneira análoga chega-se a expressao
, que é a seguinte:
a •z cos • ci
ax •
sen 2 CI COS 2 CI + él'Z sen'ci
ay •
(2.12)
Somando, membro a membro, as expressoes (2.8),
(2.11) e (2.12), aparecerá o valor de él 4 Z , escrita assim: ély.
a•z =
ay • 1 [ª'z + a•z + J_ a•z
4 sen'ci av• aw• av 2 aw 2
a•z ] + aw 2 au 2
4 a•z cos•ci - 4 cos 2 ci +
aw•
(2.13)
Assumindo o valor particular de B , a expressao de
D se torna:
D= - 2 sen 2 ci sen2ci;
êste valor será introduzido na expressão (2.5) e como resulta
do tem-se:
a2 z 1 = + a2z - 2 a
2z cos
2ci]
aw 2 au 2
(2.14)
Aplicando a operaçao simbólica para se obter a•z
ay 2 ax 2
29.
cos 2 C'L] ( 2 .15)
Esta lei de multiplicação simbólica permitirá de -
terminar:
= ( 2 .16)
Estas expressoes sao necessárias para se obter o
bilaplaciano em coordenadas triangulares. Para tal, retorna
-se a (1.17), que é:
__ a_•z_ + a•z ax 2 ay 2 ay•
(1.17)
A simples substituição de Z por z e a introdução
de (2.13), (2.15) e (2.16), resultam em:
'J "z 1 [ a•z a•z + 2 a•z = -- +
4 sen•a ax• aw• av 2 aw 2
cos 2 2a + 4 a•z cos 2 2 a] au• (2.18)
A expressao (2.18), representa o mesmo que a
(1.17), só que em coordenadas triangulares.
2.4 - Os operadores de 1ª, 2ª, 3ª e 4ª ordem, em
diferenças finitas
Como· se sabe a equaçao (2.18) será resolvida atra
vés do método das Diferenças Finitas.
A técnica é simples e consiste na substituição de
30.
uma diferencial (diferença com intervalo infinitesimal), por
uma diferença fin.ita (diferença com intervalo finito).
As diferenças centrais foram escolhidas, tendo -
em vista a sua maior precisão e o seu largo emprêgo na solu -
ção de problemas de condições de cóntôrno.
Será abordado ape~as o estritamente necessário -
para a compreensão do problema.
Logo a seguir será mostrado como se obtém aproxi
maçoes para derivadas parciais.
Seja a função z= f(x,y). Desenvolvendo f(x+h,y)
e f(x - h,y) em séries de Taylor, nas vizinhas de (x,y), ob
tém-se:
f(x + h,y) = f(x,y) + h L ax h2 a2 h3 a3
f(x,y) + f(x,y) + -21 ax 2 31 ax 3
h" a• f(x,y) + f(~,y) 41 ax• 1
a h 2 a2
f(x - h,y) = f(x,y) - h f(x,y) + f(x,y) ax 21 ax 2
h" f(x,y) + -4 !
a• f( ~AY)
dX 4 L
( 2 .19)
(2.20)
somando-se, membro a membro, (2.19) e (2.20) obter-se-á:
a2 1 -- f(x,y) = ax 2 h 2
f(x + h,y) - 2 f(x,y) + f(x - h,y)
h2 a• f( ~ ,h) + f( ~,h) 4 ! ax• 1 2
(2.21)
A expressão (2.21) poderá ser escrita de uma ma-
neira mais sintética:
•
31.
ª2 f(x,y) 1 [f(x+h,y) - 2f(x,y) + f(x-h ,y>] + O(h 2) = ax 2 h2
(2.22)
De uma maneira análoga seriam obtidas as expressoes:
a f(x,y) = 1 [f(x+h,y) - f(x-h,y)] + O(h 2) (2.23) ax 2h
= [ f(x+2h ,y) -_ '+f(x+h ,y) + 6f(x,y) - '+f(x-h ,y) +
+ f(x-2h,y)j + O(h 2) * (2.2'+)
Como se pode observar das expressoes (2.22), (2.23)
e (2.2'+), o êrro de truncamento ida ordem de h 2•
O elemento triangular, que determinará, em seus vér
tices, os pontos da malha e, como tal, os interva.los finitos,
onde será aplicada (2.18), w
~
sera: V
a
\ I ' 1 \'
L-L----~----~----B = 2hcosa
Figura 2.2
u
* O (hK) significa o êrro de truncamento, onde o incremento h
aparece elevado ã potência K.
32.
a "z /'> 4 a "z /'> 4 a•z /'>2/'>2 a•z I'>" vZ --wZ V wZ vuz -.- = = = = ;
av• h" aw• h" av 2 aw 2 h" av 2 au 2 lfh 4 cos 2 ex
a• z I'>" a•z !'>~ z wuz (2.25) = =
aw 2 au 2 lfh 4 cos 2 ex au• 16h 4 cos 4 ex
Substituindo as diferenciais de (2.18) pelas dife
renças dadas em (2.25), obtém-se:
/'> 4 z = 1
li sen 4 ex
+ cos 2 2ex l'>~z] lfh 4 cos 4 ex
cos2ex· /'>2
/'>2
( V U
h 4 cos 2 ex.
(2.26)
A expressao (2.26) representa, em Diferenças Fini
tas, a equaçao (2.18).
As expressoes (2.22), (2.23) e (2.24) permitirão
o desenvolvimento das expressões I'>, !'> 2 , !'> 4•
2.5 - Molécula Geradora das Eguacões
A obtenção da· Molécula Geradora se faz, tomando -
um ponto central (i,j) e desenvolvendo (2.26), de acôrdo com
(2.22) e (2.24).
Uma vez· feitas as operaçoes e simplificações, ob
tém-se a seguinte expressão para ( 2. 2 6).
chamando de F = 1 - tg 2 ex e (2.27)
j-2,i-2 j-l,i-2 j,i-2 •--- . --- .
l.\ !.\ /.,\;.i,i-1 •---. ----•----•
/ j)i / \, / j\ !.\ •---. --- . ----• .
\!-,\,/;\,!.,\ (,,., . --- . ---- . ----·
\ !.,\ !.,\ l ·"' l t,"z = ---
4sen"h"
. ---- . ---- .
Figura 2.3
[z·2·2+ 2 z·1·2 J- ,i- J- ,i-
33.
j+2,i
- z. . ( 8-F) - ( 8- F) z . l · l - F z · l · l+ J ,i-1 J- ,i- J+ ,i-
+ F2 z.+ 2 • + (2+4F-F2 ) (20-8F+6F2 ) 4 J ,i Zj+l,i+ -4-
2 2 z . . + ( 2 + 4 F- F ) z . l . + F z . 2 · - F z · l · l i,J J- ,i 4 J- ,i J- ,i+
- F Zj+2,i+l + (8-F) zj,i+l + (8-F) Zj+l,i+l +
+ z · . +2 - 2 J ,i
(2.28)
34,
Os coeficientes dos pontos da malha, vértices -
dos triângulos, serão os coeficientes da molécula geradora das
equaçoes,
Para maior compacidade da simbologia, fêz-se a
seguinte correlação: 2
(2-t:4F-F2) F2
(20-8F4) = Kl = K2 K3 ; ' 4 = ' (, 8-F) = K4 - F = K5
Antes de apresentar a expressao final da molécu
la sob uma forma compacta, deve-se dizer que os coeficientes -•
da molécula, dos quais se originarão as equações lineares, que
por sua vez determinarão os valores da função nos pontos inte!
nos, dependem exclusivamente do ângulo de inclinação do contÔ~
no em relação ao eixo Ou= Ox.
A molécula geradora terá a forma e coeficientes
vistos na Figura 2,4 •
Figura 2.4
35.
2.6 - Diferenças Finitas em coordenadas oblíquas
O sistema de coordenadas oblíquas às vêzes é usa
do com certa vantagem, em relação ao sistema de coordenadas
triangulares.
O autor nao se deterá em detalhes, urna vez que a
semelhança entre ambos é bastante evidente.
y
a
o
então:
V
----------------• x,y
a u_ 1 rx-
X
u
X
=
=
" , 1 , 1
, 1 , 1
, ' / ' / : y
, 1 , 1
u + V
X -
Figura
cos a
:i tan a
au 1
;
;
a Y - tan a
X = U
2.5
y = V sen
V = :i: sena
a V_ O ; rx-
a
av 1 ; ãy = sen a
( 2. 30)
(2.31)
( 2. 32)
Considerando-se a função Z(U,V), na qual U e V
sao funções de x e y, tem-se:
a2 z + -- =
ay2
az az au az av az = -- +-- =
ax au ax av ax au
az 1 az 1 az = - +
ay tan a au sen a av
a2z = ,a2z
ax 2 au 2
a 2z 1 a 2z a 2z = (cos 2ct-- - 2cosa -+
ay2 sen 2a au 2 auav
O Laplaciano em coordenadas oblíquas:
1 e _a2_z _ au 2
a2 z 2cosa --auav
+ a2 z> av 2
36.
(2. 33)
a 2z -) av 2
( 2. 34)
De posse do Laplaciano, obtém-se a expressao -
das derivadas em diferenças através de (2.22) e (2.24):
1
ou ainda:
K cos ai', t, Z U V
( 2. 35)
2K 2 (z,., - 2z,. +z. '+l) - Kcosa(z. 1 , 1-J. ,J-ó: J. ,J J. ,J J.- ,J-
- zi-1,j+l + zi+l,j+l - zi+l,j-1) + Z(zi-1,j -
- 2z. , + Z, l ,) J.,J J.+ ,J
( 2. 36)
37.
A expressao ( 2. 36) pode ser consubstanciada -
na molécula desenhada a seguir.
Kcosa 2 -Kcosa j+l
2K 2h~en 2aV 2= 2K2 - 4(l+K 2) 2K 2 j
/ / - Kcos a 2 Kcosa j-1
i-1 i i+l
Figura 2.6
Para se obter a expressao (1.17), isto é, o
v•z , deve-se reaplicar o operador V2 à expressão de (2.36).
4K'h'sen•a v•z= [2K2(V2z .. 1 - 2Vz2 .. + V2z .. 1 ) - Kcos a i,J- i,J i,J+
cv2z. l . l - v2z. ' . l + i- ,J- i-:i.,J+ v2
z i+l,j+l -
- v2z. 1
. 1 ) + 2(V 2z. 1 • - 2V 2z .. + i+ ,J- i- ,'.l i,J
+ v2z. l .)] i+ ,J (2.37)
A expressão final do v•z, inclusive já com os
coeficientes calculados, é objeto,de um programa de computa -
dor, que em função de K e de cosa, dará as diferentes molécu
las geradoras específicas.
38.
CAP!TULO III - ESTUDO DAS TENSOES
3.1 - Considerações Gerais
Como se sabe, são as tensões fundamentais para o
dimensionamento de qualquer peça estrutural.
As placas de estrutura delgada, com carregamento
no seu próprio plano, possuem tensões planas de tração, com
pressao e cizalhamento.
A própria condição fundamental é escrita em têr
mos de tensões. Basta se reportar ã expressão (1.11).
Justamente a dificuldade de se obter condições -
de contôrno em função das tensões, é que condicionou o apareci
menta da função z , chamada função das tensões ou de Airy.
Esta função das tensões determina um relaciona -
menta entre o carregamento, atuante no corpo, a configuração -
do contôrno e as tensões nos pontos da malha. Basta recordar a
expressao (1.13), para se conhecer o tipo de relacionamento en
tre z e as tensões.
Uma vez obtido os z internos pela aplicação da
molécula da figura (2.4) em cada ponto interno; os z do:con -
tôrno são conhecidos através de (1.27) e obtidos os pontos ex
ternos fictícios por meio de (1.24) e (1.25). Assim o sistema
de equações gerado fica determinado. Resolve-se o sistema e
suas raízes representam os z internos.
O conhecimento dêsses valores possibilitará o
39,
cálculo das tensões, desde que (1.13) sejam tomadas em dife -
renças finitas.
3,2 - A expressao das tensões em diferenças fi
nitas
A solução numérica está a exigir a substitui T
çao das diferenciais pelas diferenças. Assim sendo, as rela
ções (1.13) que são escritas:
;
passam a ser pepresentadas por:
1 [ a2z a 2z _ 2 a2z
C1 X = -- + 2sen 2 ci av 2 aw 2 au 2
validada através da expressao (2.14);
retirada das expressoes (2,4)
e finalmente 1 'xy =
2sencicosci
a y
(1.13)
esta expressao ~ a sera obtida se diminµirmos a 3-
2ª ~ . - do proprio (2.4),
( 3. 1)
(3,2)
( 3. 3)
de (2.4) da
Com as expressoes de ªx' ªy e 'xy em coordena
das triangulares em (3,1), (3.2) e (3.3), faz-se a· passagem
destas expressões para diferenças finitas. Para tanto deve-se
atentar para (2.25) e daí resulta:
'+O•
ªx 1 [ 2 ( t,~ + t, 2) z - t,~z] ; =
'+h 2 sen 2 cx w (3.'+)
ªy = 1 t, 2 z '+h 2 cos 2 cx
u, (3.5)
T 1 [ t,~z- t,! z] xy = '+h 2 sencxcos ex
(3.6)
Aplicando-se estas expressoes a um ponto
(j,i), pode-se obter uma molécula geradora das tensões.
1 ªx = -----
'+h2sen2cx [2 (z.
1 .
1 - 2 z. . + z.
1 .
1 + z. .
1 J- ,1.- J,1. ]+ ,1.+ J,1.-
- 2z . • + z. '+l) - ( z. 1 . - 2z • . + z. 1 .)] J,1. J,1. J- ,1. J,1. ]+ ,1.
1
'+h 2 cos 2cx [z. 1 . -J- ,1. 2 z. . + z . l ·] J ,1. J + ,1.
( 3. 7)
( 3, 8)
'xy = -1
'+h 2 sencxcos ex [ z · · 1 - z · l · 1 + z · · + l -J,1.- J- ,1.- J,1.
( 3. 9)
Estas Últimas expressõesensejarn a obtenção de
urna molécula geradora das tensões em coordenadas triangulares.
X l l----------<-21----------< l
41.
2--2
1 /\/\
a = X -1---6---1 X 4h 2 sen 2 a \/\/
2--2
-1 1
- 1 ~ ,: = X xy 4h 2 sen<Xcosa
/ 1 -1
Figura 3.1
As moléculas geradoras das tensões em coordena -
das oblíquas sao:
= 1 Kcosó ó z + 2621]
U V V
A molécula geradora e:
2Kcos et 4
i-1 i
Figura 3. 2
-? COS(X
j+l
i+l
( 3. 10 )
1+ 2 •
cr a2z a 2z l /12 z = = = y ôx 2 au 2 n:2 u (3.11)
A molécula geradora ~
e:
X CDf-----Q)>----CD j
i-1 i i+l
Figura 3, 3
-~ l [11uz11vz - t+Kcos cx/1~z] ( 3, 12 ) T = = xy axay 1+Kh 2 sencx
A molécula geradora .~ e:
-1 o l
-1 1 1 ! X - 4Kcosa 8Kcos a -- -4Kcosa
4Kh 2 sena
1-----0 -------1
Figura 3,1+
Nas figuras acima tem-se as moléculas geradoras
das tensõescrx, cry e Txy respectivamente.
4 3.
3.3 - Tensões pr,:i.ncipais
Como já foi dito, as tensões sao fundamentais -
par.a o dimensionamento da peça estrutural. i:ste dimensionamen
to requer a obtenção das tensões principais e, é esta determi
naçao que se está buscando.
Será Útil rememorar o que consta na fórmula
( 1. 3) e na .Figura 1.1 .
ªnx = (1 X cos (nx) + 'xy sen(nx) ;
ªny = 'yx cos (nx) + (1 sen(nx) y
ainda na Figura 1.1 depreende-se:
ªn = ªnx cos(nx) + ªny sen(nx) ;
'n = ªnx sen(nx) - ªny cos(nx) ;
( 1. 3)
introduzindo os valores de (1.3) em (3.13) resulta:
(3.13)
( 3.14)
expressao da tensão normal, em função de ªx• cry e 'xy' segundo
uma seçao, cuja normal forma um ângulo (nx) com Ox.
A tensão ªn• é pois uma função do ângulo (nx) e,
para se determinar o seu valor máximo, tem-se que derivar
(3.14) em relação a (nx) e igualar a zero.
d (1 n
d(nx) = - 2crxcos(nx)sen(nx) + 2crysen(nx)cos(nx) + 2,xycos2(nx)=O
44.
(o -o) sen2(nx) + 2, cos2(nx) = O y X xy
( 3. 15) 2 ~xy tg2(nx) =
o - ºy X
êste será o valor do ângulo (nx) para o qual a tensão normal
~ ~ . e maxima.
Da expressao (3.15) retira-se o valor parti
cular de (nx), que será denominado de 8.
Usando conhecidas propriedades trigonométri
cas, será possível determinar os valores de ºn• máximos e mí
nimos, taxando-os de o 1 e o 2 , respectivamente.
1 = 2
(o +o)+ X y -
lv'co - º , 2 + 4, 2
2 X y XY (3.16)
45,
CAPÍTULO IV - APLICAÇOES
4.1 - Estruturas Analisadas
Serão estudados dois grupos de placas de espe~
sura delgada com carregamento no seu próprio plano, também cha-
madas de ---+-- b
chapas, 1
i Placa 1
evidenciados pela configuração do contôrno,
+b 1 +
_____ j_~----' 1
1 placa 2
Figura 4,1
. Placa - lA será coberta por urna mâlha (lOxlO) em coordenadas
triangulares e coordenadas oblíquas.
Placa - 1B e lC: serão cobertas por urna malha (24x24) em coor
Placa - 2A e 2B
denadas triangulares e oblíquas,
serão cobertas por urna malha (27x27) em coor
denadas triangulares e oblíquas.
Placa - lA e 1B com um ângulo a, tal que a tg a= 3,33
Placa - 2A com um ângulo S:, tal que a tgfl = - 3, 3 3
'+6.
Placa - lC e 2 B com ângulos ex e S, tais que tg ex = /3 e
tg s = - /3 respectivamente.
Em tôdas as situações o carregamento será uni
formemente distribuído ao longo dos bordos superior e inferior
.,. - 2 e igual a p t/m ou p Kg/cm, dai se ter as tensoes em t/m ou
Kg/cm2 • t evidente que a carga atuante na placa não deve prov~
car instabilidade elástica, isto é, deve se manter abaixo do
valor crítico,
De tudo o que foi dito, conclui-se que ases -
truturas terão simetria de forma, vinculação e carregamento e,
como tal, será lícito examinar o comportamento de sua quarta
parte, tomada em relação aos dois eixos de simetria.
A espessura ô das placas será constante ao
longo do contôrno, com valor de ô , tal que P0 = p/ô = lt ou
1Kg. O corpo será simplesmente conexo e todo o material terá o
mesmo módulo de elasticidade E. Como se trata de um problema
do estado plano de tensões, independente das constantes elásti
cas, não se necessita, nem o valor particular de E, nem o de
\) . '+. 2 - Molécula Geradora Específica
Partindo da Molécula Geradora da Figura (2.'+),
determinaremos os valores específicos dos coeficientes K5 K¼ ,
K2
, K3
, K4 , em função da tg ex •
Nos casos lA e lB, tgex = 3,333 , F = - 10,109
47.
e F2 = 102,192 , reportar-se a (2.28),
2 Com os valores específicos de F e F., calculam-
-se as expressoes (2.29), cujos resultados serão indicados -
abaixo:
K1 = 254,24 K = - 140,68 K = 25,56 ' 2 ' 3
;
K4 = - 18,11 ; K5 = 10,11 ( 4. 1)
Para o cálculo dos coeficientes da molécula de
2A, ter-se-ia tgct = - 3,33 = - tgct, mas como no cálculo de
F e F2 , a tangente comparece elevada ao expoente 2, a situa -
çao será idêntica à das placas lA e 1B,
Do que se disse acima, pode-se afirmar que a mo
lécula geradora específica das placas lA, 1B e 2A, será a
mesma, consubstanciada na Figura 4.3
Figura 4.2
48.
Para as placas lC e 2B, em que a=60° e 6=120~
respectivamente, teremos F = - 2 e F2
= 4, de (2.28) resulta:
(4.2)
Assim sendo, pode-se escrever a molécula gera
dora específica, tanto para lC como para 2B, cujos valores i -
rão coincidir com os existentes na Figura 5.46, pg. 247 de Sal
vadore e Baron6
•
Figura 4.3
4.3 - Pontos do Contôrno
A teoria é suficientemente explícita no tocan-
te aos pontos do contôrno. A situação nova que se apresenta -e
a do contôrno ser formado por ângulos internos diferentes de
90° como usualmente aparecem os problemas resolvidos na litera
tura.
49.
A assimilação do contôrno a uma viga em balanço
é perfeita e pode ser fàcilmente constatada na Figura 1.4 e
no exame da fórmula (1.26).
A origem escolhida, será ditada pela simetria e
conveniência do problema específico. Como já se sabe, a ori -
gem é arbitrária (ver Capítulo I).
Como as tensões são dadas em função das deriva
das de segunda ordem de z , esta es cÔlha arbitrária nao as
afetará qualquer que seja a origem escolhida.
IOBlltOOtliJ P 1
Placa 1
Figura 4.4
UIBIB P 1
Placa 2
Figura 4.5
Dada a simetria to±al de carregamento, vincula-
çao e forma, pode-se adotar apenas a quarta parte da placa , para se conhecer a plenitude de seu comportamento.
Os pontos do contôrno receberão uma notação di
ferente da dos internos, justamente para os diferenciar. Se -
50,
rao anotados em algarismos romanos, enquanto ós internos o se
rao em arábicos.
A origem escolhida é o, e o caminhamente ~
sera
da esquerda para a direita.
Usualmente se tem, na literatura sÔbre o assun
to, um caminhamente da direita para a esquerda 3 , mas há exem -
1 1 ·d · h · 2 p os reso vi os com camin amento inverso,
O contôrno sendo assimilável a uma viga em ba -
lanço, fará com que o sinal do momento seja o mesmo, em qual -
quer dos dois sentidos.
Relembrando que os espaçamentos entre os pontos
da borda superior são iguais entre si, pois, a malha é regular
e tem um valor igual a 2hcosa (Figura 2,2), tsse espaçamento -
entre pontos do contôrno, no bordo superior, será anotado por
B = 2hcosa •
Conhecidas estas preliminares e munidos da fór
mula (1.26), pode-se calcular os valores dez do contôrno,
Na fórmula (1.26), de acôrdo com o que está ex
presso em (1.22), sabendo-se.que o carregamento, por ser verti
cal, não admitirá componente horizontal, s
J Y. (x - xs) ds 1
z = 6 o
tem-se:
;
ou ainda, dado o fato do carregamento ser uniformemente distri
buÍdo ao longo do bordo superior, admite-se que:
z = - p /.i, J\ x - xs_') ds o
( 4. 3)
51.
O fato do contôrno ser retilíneo possibilita
rá a integração imediata de (4.3).
z = .E. x2
s
o 2 (4.4)
como p/o = P0 = 1, definido na seçao 4.1 dêste Capítulo, a ex
pressão (4.4) resultará:
z = s
x2 s
2 (4.5)
A variável xs assumirá os valores (0,B,2B,3B,
4B), no contôrno superior da Figura (4.4). Em consonância com
isto, a expressão (4.5) assumirá os valores:
z s
ZI
= - 8B 2 • '
= - n~ l.
= -B2 ; 9B 2
-2-2
observando que B = 2hcosa
' sendo que ni varia de (0,1,2, ••• nE), onde nE
é o Último ponto do bordo superior. B2 2 O.e ni" nE (4,6)
No contôrno inclinado, a consideração será um
pouco diferente. Para a Placa 1, o momento diminuirá; uma vez
que a distância ao ponto de aplicação da resultante das fÔr -
ças de contôrno diminui. Para a placa 2 se dará o inverso.
No contôrno inclinado a função z assumirá os
seguintes valores:
z s (Placa 1) (4.7)
52,
z (Placa 2) ( 4. 8) s
ni~ nE ; sendo n 1 o Último ponto do contôrno,
percorrendo-o no sentido arbitrado; n. '!:
. sera
computado desde a origem até nE' que é o Úl
timo ponto do bordo superior; nj é computado
do Último ponto do bordo superior até o Últi
mo ponto do contôrno inclinado.
4.4 - Pontos Externos
Na geração das equaçoes, quando da aplicação
da molécula geradora aos pontos internos adjacentes ao contôr
no, nota-se a necessidade de definir alguns pontos fora do
contôrno, portanto externos, também chamados fictícios.
Será necessário estabelecer uma ligação en -
tre êstes pontos externos e os demais pontos do sistema, por
exemplo os internos. Isto será possível através das fórmulas
(1.24) e (1.25).
A correspondência evidenciada nas fórmulas -
citadas no parágrafo anterior, vale tanto para os pontos sim
plesmente externos, quanto para os dupla ou mais vêzes exter
nos, desde que se tome o ponto interno simétrico, em relação
ao contôrno.
A seguir descreve-se, em ordem cronológica,
5 3.
as diversas tentativas para estabelecer uma ligação racional
entre os pontos externos, portanto fictícios, ·e os internos. 1
w
Figura 4.6
A primeira tentativa foi a de estabelecer uma -
fórmula exata para a derivada em relação à normal, em função
de dois dos eixos (Ou, Ov, Ow).
Seja por imperfeição do método, seja por erro -
na determinação exata da derivada em relação à normal, ou por
ambos os fatôres, constatou-se não ser exequível o problema
por êste caminho.
Posteriormente se procurou fazer uma interpola
çao linear (Figura 4.6) entre r e s, com os pontos da malhai
mediatamente acima e abaixo. Igualmente, para esta tentativa,
não se chegou a resultados razoáveis. Nêste caso, poder-se-ia
alegar, além dos dois fatôres anteriores, o fato da variação
entre 3 e III não ser linear e com isto, introduzir um erro a
54.
preciável.
Como o esfôrço tangente, no contôrno inclinado,
é constante, a derivada em relação à normal também o será, de
acôrdo com (1.25). A terceira tentativa possibilitava uma sim
plificação, pois, apenas uma interpolação era necessária, a
do ponto m (Figura 4.6). Novamente os resultados obtidos nao
foram satisfatórios.
Imaginando ser a adoção da hipótese da variação
linear, quando sabe-se que de fato ela nao o é, a responsável
pelos insucessos, resolveu-se adotar a fórmula (1.24).
A interpretação mais simples da fórmula (1.24)
foi a que levou aos resultados satisfatórios.
ÔZ F ÔZ F (1.24) = ; = ÔX
y ôy X
por (2. 3), ter-se-á:
.ll Po b ÔZ l .( Ê+ Ê ) = - 2 ; =
ÔX ôy sen et ÔV ôw
F PO b F o longo de todo = - 2 e = ao o y X
,
contôrno inclinado. Do exposto conclui-se que:
FT será constante ao longo do citado contôrno.
Substituindo a derivada pela diferença finita,
de acôrdo (2.23).
55.
tiz = 1
tix 4hcosa. ( 4. 9)
ti z 1 = tiy sena.
Apenas para exemplificar, na Placa da Figura -
4.6, a expressão de zG sera:
~
G e um ponto simplesmente externo.
z K
= z 2
- 16B 2
K e um ponto duplamente externo.
L é um ponto triplamente externo.
4.5 - Placas 1 e 2
Placas de forma poligonal, bordos liVres, isó
tropas, homogêneas, espessura constante ao longo do contôrno.
Carga uniformemente distribuída total ao longo
dos bordos superior e inferior e de intensidade p, tal que
p/ô = P0 = 1.
Devido à simetria, sera analisado tão sÕmente
o quadrante superior direito.
O carregamento atua no próprio plano'da placa
e está aquem da carga crítica de flambagem.
56.
HBBBlíOUfl P ffBIBB p
b/2
a/2 a/2
Placa 1 Placa 2
Figura 4,7
Para a geraçao das equaçoes lineares, ·aplica
-se a molécula geradora específica, A citada molécula é cen
tralizada em cada ponto interno, correspondendo a êste ponto
o coeficiente central K1 e aos adjacentes os demais coeficien
tes da molécula.
O número de equaçoes será, portanto, igual ao
número de pontos internos ou nós da malha.
Os cálculos, decorrentes da geraçao das equa
çoes, sao trabalhosos e monótonos, por isso mesmo, altamente
sucetíveis a erros.
Procurou-se obter a geraçao das equaçoes atra ~
ves de um programa de computador, denominado de GERSI, o que
nao é tarefa muito simples, se o fim almejado fôr uma automa
tização de fato do problema.
fstes programas sao mais ou menos gerais, em
bora guardem certos aspectos, inerentes ao problema específi
5 7.
co.
Uma vez geradas as equaçoes lineares, estas -
sao resolvidas e suas raízes correspondem aos valores dos z
internos (nós da malha).
A solução do sistema linear é tarefa simples,
quando se dispõe de computador.
O autor utilizou a subrotina SIMQ, da biblio
teca de programas da IBM, apenas introduzindo alguns comandos
de entrada e saída, requeridos pelo proplema • •
Solucionado o sistema, de posse dos valores
dos z internos, calculam-se os externos pela fórmula ( 4. 9')
automatizadas através de um programa de computador.
Com os valores da função z , nos pontos inter
nos, do contôrno e externos, passa-se de imediato ao cálculo -
d_as tens Ões cr x, cr y, ,: xy e logo a seguir, ao cálculo das ten
sões principais. (programa TEDIF)
Como se pode observar, tôda a sequência do
cálculo está automatizada através dos programas elaborados pa
ra êste fim e mencionados a'cima.
Por questões inerentes a programaçao, para a
geraçao das equaçoes lineares se preferiu ortogonalizar a molf
cula geradora e a malha da Placa, bem como seguir um caminha -
mento ditado pela otimização do programa.
A seguir serão representadas as moléculas or
togonalizadas, em coordenadas triangulares e oblíquas.
Coordenadas Triangulares
>---~2>-----1
Figura 4,9
4,6 - Placa lA
Figura 4,10
5 8.
Coordenadas Oblíquas
59 •
Valores especfficos:
B = 0,75 b - P 0 2 = - 3,oo '
tgcx = 3,33
= 4 ; ; ;
(O X ~) 2 para Ü"'ni"nE
F Po b
Ü"ni"'nE = 2 para y
Fx = o para todo o contôrno
Pontos do contôrno:
= 0,000; ZI = - 0,281; ZII = - 1,125 ; ZIII = - 2,531 ;
ZIV = - 4,500 ; zv = - 3,375 ; ZVI = - 2,250 ; z vrr= - 1,125
ZVIII = O,OOO
•
Pontos externos:
a) Contôrno superior
t,z = O t,y
z -z·z -z·z -z·z -z•z -z A - l' B - 2' C - 3'. D - V' E - G
o) Contôrno inclinado
6 O.
z G = z 3 - 4,500
z H - z - 6 - 4,500
z I = z 8 - 4,500
z j = z 10 - 4,500
Multiplicadores das moléculas das tensões
Coordenadas Triangulares Coordenadas Oblrquas
para ªx = 0,16 X a = O ,16 X X
para ªY = 1,78 X a = 1,78 X y
para 'xy = - 0,55 X 'xy = - O, 2 7 X
Ortogonaliza.ção da Placa lA segundo Ov
1 1 2 3 21 14
16 15 16 17 18 19 20 r----------,
2 1 1 1~2 3 1 21 14 1 1 l f 1 1
6 5 '® 5 6 1 22 13 L--·-7· 1 1 1
8 7 1 7 8 23 12 1
1 ' 1 1
24 10 1 9-10 1 24 11 L---- ___ J
8 7 7 8 23
6 5 4 5 6
Figura 4.11
A ortogonalização depende em relação a que
o eixo inclinado é feita.Poderá ser em relação a Ov, conforme
a figura,
61.
ou então, Ow. 4.7 - Placa lB
1
i ' B e D E F G
D
-·-·
Figura 4.12
Placa lB e lC ortogonalizada em relação a Ov
1 1 2 3 4 5 39 30
33 32 33 34 35 36 37 38 31 í---- ---- -- - - - --- -7
2 1 1 1- 2 3 { 5 1 39 30
i© 1 l 1 1
1 8 7 7 8 9 10 40 29
L ___ 7 t 1 1 1 13 12 11 1 11 12 13 14 41 28
1 1 1 1 1 1
18 17 16 1 15 16 17 18 42 27 L---7 ! 1 1
43 21 20 19 1 19 20 21 43 26 1
1 j j 1 25 32 24 23 l'-22 23-24 1 32 25
L ______ - ---- --1
43 21 20 19 19 20 21 43
18 17 16 15 16 17 18
Figura 4,13
Placa 1B e lC
Valores específicos:
6 2.
B = O, 500 ; b -P0 2 = - 3,00 ; nE = 6 ; n 1 = 6
b = - P0 2 ; para
para todo o contôrno
B=0,500; K = 1,74, K = 1,00
Pontos do contôrno:
z0
= 0,000; z 1 = - 0,125; ZII = - 0,500; ZIII = -1,125;
zIV = - 2,000 ; zV = - 3,125 ; ZVI = - 4,500 ; ZVII = - 3,750;
zvrrr = - 3,ooo ; zrx = - 2,2so ; zx = - 1,soo ; zxr = - o,1so;
z = o ,ooo XII
Pontos externos:
ZA =z1; ZB =z2; zc = Z3; ZD = Z4; ZE =Zvrr ;zG =Zi
ZH = - 6,125 ; Zj: = z5 - 3,000 ; zj = zlO - 3,000 ; ZK=Z14-3,00
Z L = zl8 - 3,000 ; ZM = z21 - 3,000 , ZN = z24 - 3,000
Multiplicadores das tensões PlB e P2A
Coordenadas Triangulares
para cr x = O, 36 x
para C1 : 4 ,00 X y
para Txy = - 1,20 x
Coordenadas Oblíquas
C1 : 0, 36 X X
C1y = 4 ,00 X
T : - 0 ,60 X xy
Placas P-2B e P-lC •
Coordenadas Triangulares
o = 1,33 X X
o = 4, 00 X y
T = - 2,31 X xy
4. 8 - Placa 2A -
Figura 4.14
Coordenadas Oblíquas
(JX : 1, 33 X
O : 4,00 X y
T =-0,87x xy .
6 3.
15
19
24
18
13
Placa 2A e 2B ortogonalizada em relação Ow
3 2 1 1 2 3
37 36 35 34 35 36 37 r-----------~
3 2 1 1 1~2 3 1 39 1 1 r--- __ _J f 1 f 1
7 6 5 :-4 5 6 7 40 1
1 f 1 1 1
10 9 8 1 8 9 .10 11 41 í ___ _J
1 f f f 14 13 1 12 13 14 15 16 42
1 f f f 1 f ! 1
18 17 1 17 18 19 20 21 1 43 1 r- _ _1 f I f 1 1 1
23 : @-23 24 -25 26 -27 1 44 L ____________________ J
17 17 18 19 20 21 43 29
12 13 14 15 16 42 30 46
Figura 4.15
Valores específicos:
B 0,500 K 1,74 b 1,50 = = ; -Paz = -
nL = 6 ; K = 1,00
P0
x b Q,;ni"' nE Fy = - ; ( º"' x,,2) ; para
F b = P02 ; para ni~nE y
ao longo de· ·todo o contôrno
Pontos do contôrno:
39
38
33
32
31
30
29
28
45
47
; nE
64.
= 3 '
Zo = 0,000 ; ZI = - 0,125 ; ZII = - o:;500 ; ZIII = - 1.125 ;
·z = -IV 1 , 5 O O ; z V = - 1,875 ; z VI = - 2 , 2 5 O ; z VII = - 2 , 6 2 5 ;
zVIII=-3,ooo ;zix=-3,375
65.
Pontos externos:
ZA = z 1; z B = z2; zc = z 3; ZD = ZIV
ZF = -2,000 ; ZG = z3 - 1,500 ; z H = z7 -1,500
ZI = z 11 1,500 z. = z 16 1,500 J
ZK = z21 - 1,500 ; ZL = z27 - 1,500
Tabelas
4.1 - Tensões na Placa lA, obtidas por Diferenças Finitas em
coordenadas triangulares.
4.2 - Tensões na Placa lA, obtidas por Diferenças Finitas em
coordenadas oblíquas.
4.3 - Funções z na Placa 1B, obtidas por Diferenças Finitas,
em coordenadas triangulares.
4.4 - Tensões na Placa 1B, obtidas por Diferenças Finitas em
coordenadas triangulares.
4.5 - Funções z na Placa 2A, obtidas por Diferenças Finitas
em coordenadas oblíquas.
4.6 - Tensões na Placa 2A, obtidas por Diferenças Finitas em
coordenadas oblíquas.
4.7 - Tensões na Placa lC, obtidas por Diferenças Finitas em
coordenadas triangulares.
4.8 - Tensões na Placa 2B, obtidas por Diferenças Finitas em
coordenadas oblíquas.
6 6 •
Placa lA - Coordenadas Triangulares
PONTO SIGX SIGY SIGXY
o 0.57 -1. DO o.ao
I 0.53 -1. 00 o.ao
II 0.41 -1. 00 º·ºº III 0.21 -1. DO º·ºº
IV -o .14 -0.98 o.ao
1 O .12 -1.10 -o.os
2 o.os -1.11 -o .15
3 o.ao -1.13 -0.25
V -0.09 -1.29 -o. 35
4 -o.os -1.33 º·ºº 5 -0.06 -1. 33 -o .15
6 -0.09 -1. 33 -o. 31
VI -0.13 -1. 33 -0.43
7 -o .15 -1.59 -o.os
8 -o .12 "-1. 6 3 -0.22
VII -0.20 -1. 54 -o. 59
9 -0.40 --:1. 71 o.ao
10 -0.34 -1. 88 -o.ao
VIII -o.os -2.52 º·ºº
Tabela 4_. l
67.
Placa lA - Coordenadas Oblíquas
PONTO SIGX SIGY SIGXY
o 0.54 -1.00 -0.03
I o.ss -1. ao 0.03
II O. 4 3 -1.00 O. O 3
III 0.25 -1.00 0.06
1 0.13 -1.10 -0.03
2 o.os -1.11 -0.13
3 o.ao -1.13 -o. 2 3
V -0.11 -1.29 -o. 38
4 -o.os -1. 33 0.18
5 -o.os -1. 33 -0.13
6 -o.os -1. 33 -0.28
VI -0.11 -1.33 -o. 39
7 -o .16 -1.59 -0.07
8 -o .12 -1.63 -0.23
VII -0.13 -1.54 -0.46
9 -0.31 -1. 71 O .14
10 -o. 39 -1. 88 -0.07
VIII -0.22 -2.52 -0.28
Tabela 4. 2
6 8.
MATRIZ DOS COEFICIENTES
-361222 20.222 0.000 01000 01000 2541241 -2811358 51,117
º"ººº o.oco -361222 20.222 º"ººº 0,000 21000 2.000 01000 0.000 0.000 01000 01000 o.coo º"ººº º"ººº 116.562 -114.120 251559 º"ººº o.coo -1e.111 -e.coo 10.111
º"ººº 0.000 31000 1,000 º"ººº 0,000 o.oco 0•000
º"ººº o.coo 0.000 o.oco 0.000 o.oco 01000 01000 -114. 120 256,241 -139.679 25.559 o.coo 10.111 -1e.111 -1e.111
10.111 o.oco 1.000 2.000 1.000 o.coo o.coo 01000
º"ººº o.coo o.coo o.oco o.coo 0.000 01000 01000 -e.oco -10.111 10.111 OeOOO 0.000 -140.679 279,799 -140.679 25e559 0.000 -e.ooo -10.111 10.111 0.000 1.000 2.000
1.000 º•ººº º•ººº 0.000 0.000 0.000 01000 01000 3•000 1.000 o.oco o.coo o.oco -1e.111 -e.oco 10.111 o.oco o.coo 113.562 -1151120 251559 o.coo -18.lll -e.oco
10.111 o.oco 31000 1.000 o.oco o.coo 01000 o.oco 0.000 º·ººº º•ººº 0.000 o.coo 2.000 2.000 o.oco 0.000 º·ººº -36.222 20.222 o.coo 0.000 254.241 -2811358
511117 o.coo -36.222 20.222 0.000 2.000 2.000 o.oco o.oco º•ººº º•ººº 01000 o.oco o.coo o.oco o.oco o.oco º·ººº º·ººº o.coo 0.000 0.000 4,000 41000 o.oco º•ººº -72,444 401444 0.000 254.241 -281,358 51.117 o.coo º·ººº º·ººº o.oco o.oco º•ººº o.oco o.coo o.coo º·ººº 31000 1.000 o.oco o.coo -18,111 -e.oco
10.111 o.coo 116.562 -ll4el20 25.559 -10.111 -e.oco 10.111 o.coo º•ººº º•ººº o.coo o.coo 1.000 2.000 1.000 o.coo o.coo -e.oco -10.111 10.111 0.000 -1401679 279 • 799
-1401679 25.559 -a.oco -1a.111 10.111 1.000 2.000 1.000 1.000 2.000 1.000 o.oco o.oco 10.111 -10.111 -1e.111
10.111 o.oco -115.120 2541241 -140.679 25.559 10.111 -18,lll -10.111 10.111 1.000 2.000 1.000 o.oco 01000 01000
10.111 -18.lll -18.lll 10.111 0.000 251559 -140,679 2541241 -140.679 2;.i.559 10.lll -1a.111 -18,lll 10.111 o.oco 1.000
2.000 1.000 º•ººº o.oco 0.000 o.oco o.oco o.coo 25.559 -139.679 256.241 -1390679 25.559 o.oco 10.111 -18.111
-1e.111 10.111 º·ººº 1.000 2.000 1.000 o.oco 0,000 0.000 º·ººº º•ººº 0.000 o.coo o.coo o.coo 0.000 o.oco 25.559 -139.679 256.241 -1391679 o.coo o.coo 10.111
-1e.111 -18.111 o.oco o.coo 1.000 2.000 0.000 0.000 o.coo º•ººº º·ººº o.oco o.oco o.oco 0.000 01000 o.oco 10 • 111 -10.111 -181111 10.111 o.oco 250559 -140.679
254e24l -140.679 o.coo 10.111 -1a.111 -10.111 o.coo 0.000 1.000 2.000 º•ººº o.coo o.oco 0.000 o.oco 01000 0.000 1.000 2.000 1.000 o.oco o.oco 10 • 111 -1e.111
-1e.111 10.111 25.559 -140e679 2540241 -140,679 0.000 10.111 -1a.111 -18,111 o.coo 11000 2.000 0.000 º"ººº o.coo
º•ººº 1.000 254.241
0.000 o.coo
-18.111 o.oco
º•ººº 2.000 o.coo 0.000 40000 o.oco
ººººº -18.111 o.coo 2•000
-140•679 0,000
-1e.111 10,lll
ººººº -1400679 o.oco 0.000
10.111 o.oco
0.25
º·ºº 19.16
0.19 -0.64 0.11
Ool9
º·ººº º•ººº -140.679
º•ººº o.coo 10.111
º•ººº º·ººº o.oco
º·ººº o.oco 2.000
º·ººº 0.000 -1e.111
o.coo 1.000
2790799 o.coo
-18,lll -e.ooo
0.000 279.799
2.000 0.000
-e.coo
º·ººº
4,05 o.oo OoOO
-0.05 -1066 -0.11
º·ººº 10.111 10.111
º·ººº 1.000 -114.120
º·ººº º•ººº -160000 o.oco
º•ººº 20.222
º·ººº 0.000 25.559
º•ººº o.oco o.oco 1,000 o.oco o.coo
10.111 o.coo
º•ººº 25.559
º·ººº º•ººº
o.os 2,25
91,84
-0.57 1.07 1,80
0.000 º•ººº -l8olll -19.111 -19.111 -1e.111
o.oco o.coo 2•000 1.000
256.241 -139.679 o.oco o.coo o.coo º•ººº -360222 20.222 0.000 0.000
ººººº 0.000 -360222 -360222
o.coo o.coo 1•000 2.000
-139,679 281.799 o.oco o.oco
10.111 -18.lll 10.111 -e.coo 2.000 1.000
250559 -140.679 o.oco 2.000
-1e.111 -18,lll o.coo 10.111 o.coo 0.000
-1390679 2810799 o.coo o.oco 0.000 o.oco
VETOR CONSTANTE
0,75 -7.94 17,41
o.oo 108048 -91.84
RAIZES DO SISTEMA
-l.36 0.74 lo39
-2.41 0.01 0,54
FUNCOES NA PLACA
0.000 10.111 o.coo o.oco o.oco
10.l 11
º•ººº o.oco -140.679
0.000 o.oco
25.559 0.000 1.000 o.coo o.coo
-1e.111
ººººº 0,000 279,799
o.coo
ººººº -e.ooo 0.000 o.oco 2.000 o.oco
o.oo 105,67
-201,85
Oo65 -0.91
l 099
loOOO 25.559
1.000
º•ººº 10.111 -1e.111
0.000 2.000
2790799 0.000 0.000
-1400679 0.000
ººººº 10.111 o.oco o.coo o.coo o.oco o.coo o.oco
ººººº ººººº 0.000 o.coo 0.000 o.coo
o.oo 73042
-303,61
o.si lo53 lo78
Ool9 -0.05 -0.57 -l.36 -2.41 -3.75 -So41
69 •
2.000 -1400679
2.000 o.oco
-19.111 -lBolll
o.coo 40000
-1400679 o.oco 2.000
2790799
ººººº 10 • 111 -e.ooo
1.000 25.559
2.000 10.111 o.oco o.coo
250559
ººººº o.coo o.coo o.coo
ººººº
o.ao 45092
-499,56
Oo07 l,34 lol4
70.
-Ool2 ºººº -Ool2 -Oo50 -lol2 -2000 -3ol2 -4050 -6012
-Oo05 Ool9 Ool9 -Oo05 -Oo57 -lo36 -2o4l -3075 -5041
Oo07 Oo5l Oo65 Oo51 Oo07 -Oo64 -l.66 -3000 -4066
Oo07 Oo74 lo07 lo07 0.74 Oo07 -Oo9l -2025 -3.91
-Ool7 O-o 17 lo34 lo53 lo34 Oo77 -Ool7 -lo50 -3ol7
-0.15 Oo54 l 039 loso loSO lo39 Oo54 -0075 -2045
-108 5 ºººº lol4 lo78 lo99 lo78 1.14 ºººº -lo85
-0.75 Oo54 l 039 loSO 1.ao lo39 Oo54 -0075
Tabela 4.3
71.
PLACA COM 24 PONTOS - TRIANGo ,:D GRAUS
PONTO SIGX S!GY SIGXY SIGl SIG2 ALFA
-----------------------------------------------------------------FII 1 Oo65 I -1. 00 I -o.oo I Oe65 I -1.00 I -o.oo
-----------------------------------------------------------------II 1 Oo60 I -lo 00 I o.oo I Oo60 I -1 .ao 1 o.ao
-------------------------------------------------~---------------III I Oo53 I -1.00 I O.OO I Oo53 I -1.00 I o.ao
-----------------------------------------------------------------IV I Oo4l I -1.00 I o.oo I Oe4l I -1.00 I o.oo
----------------------------------------------------------------V 1 Oo2l I -1.00 I o.ao 1 Oo21 I -leOO I o.ao
---------------------------------------------------------------VI I -o. 14 I -1 • 00 I OoOO I -Oel4 I -1.00 I o.oo
-----------------------------------------------------------------l I Oo27 I -l.03 1 -0.02 I Oe27 I -1.03 I -0.01
----------------------------------------------------------------2 I Oo24 1 -lo04 I -0.07 I Oo24 I - l • 04 I -o.os
-----------------------------------------------------------------3 I Ool8 I -l.04 I -0.12 I Oel9 I -1 e06 I -0.09
----------------------------------------------------------------4 I OelO I -l.07 I -0.17 I Ool2 I -1.10 I -0.14
-----------------------------------------------------------------5 I OoOO I -l.14 I -0.24 I 0.05 I -l.19 I -0.20
----------------------------------------------------------------VII I -Oo09 I -lo30 I -0.35 I OeOO I -lo39 I -ô,26
-----------------------------------------------------------------6 I Oo04 I -l.15 I o.oo I Oe04 I -lel5 I o.oo
-----------------------------------------------------------------7 I 0.03 1 -1.15 I -o.os I Oe04 I -lol6 I -0.07
-----------------------------------------------------------------8 1 OoOl I -lol6 I -0.17 I Oe03 I -lol9 I -0.14
----------------------------------------------------------------9 l -Oo03 I -lol8 I -0.25 I Oe02 I -lo24 I -0.21
-----------------------------------------------------------------10 l -o.os l -lo23 I -0.33 1 OoOO I -l.32 I -0.26
-----------------------------------------------------------------VI 11 1 -Ooll I -l.34 I -0.39 I OeOO I -1 e46 I -o.2s
-----------------------------------------------------------------l l I -Oo06 I -lo32 I -o 005 I -0.06 I -le33 I -0.04
-----------------------------------------------------------------12 l -Oo06 I -l.33 1 -Oel6 I -0.04 I -le35 I -0.12
-----------------------------------------------------------------13 I -Oo08 I -l.33 1 -0.27 I -0.02 l -l.38 l -0.20
-----------------------------------------------------------------14 1 -OolO I -l.33 l -0.36 I -o.oo 1 -1.43 I -0.26
-----------------------------------------------------------------
72.
IX I -0.12 1 -lo34 1 -O o 41 I OoOO I -lo47 I -Oo29 -----------------------------------------------------------------
lS 1 -Ool3 1 -loSl 1 OoOO I -Ool3 I -loSl I ºººº -----------------------------------------------------------------16 I -0.12 1 -loS2 I -Oo09 I -Ool2 I -lo52 I -0.06
-----------------------------------------------------------------17 1 -Ooll I -loS3 I -Oo2l I -O.OS I -lo56 I -0.14
-----------------------------------------------------------------18 I -Ooll I -lo49 I -Oo3S I -Oo02 I -1.sa I -0.23
-----------------------------------------------------------------X 1 -l,39 I -0,44 I 0,00 I -lo53 I -0.31
-----------------------------------------------------------------19 1 -o.2s 1 -lo65 I -0,02 I -0.25 I -l.65 I -0.01
----------------------------------------------------------------20 I -0,21 I -l,72 I -0,08 I -0.20 I -l,72 I -0.05
-----------------------------------------------------------------2 l I -o, 1 S I -1.eo 1 -0.23 I -0, 12 I -l,83 I -0,13
-----------------------------------------------------------------X 1 1 -0,23 I -l,62 I -0,63 I O,Ol I -1,87 1 -0.30
----------------------------------------------------------------22 1 -O• 39 I -1066 I 0,00 I -0,39 I -l ,66 I 0,00
---------------------------------------------------------------23 1 -0,38 I -la73 I 0,00 I -0,38 I -l,73 I ºººº -----------------------------------------------------------------24 I -0,32 I -2,0l I o.ao I -0.32 I -2,01 I o.oo
----------------------------------------------------------------XII 1 -Oo03 I -2,83 I 0,00 I . -0.03 I -2,83 I 0,00
-----------------------------------------------------------------
Tabela 4.4
73.
MATRIZ 00S COEFICIENTES o.oo o.oo o.oo o.oo o.oo o.oo o.oo o.oo o.oo
ºººº ºººº 160 00 30000 -16000 2.00 ºººº -450065 371009 -48044 o.oo o.oo 1367050-1560082 289.32 ºººº o.oo ·OoOO
o.oo OoOO o.oo o.oo ºººº o.oo ºººº o.oo OoOO
ºººº ºººº 15000 8000 16000 -8.oo loOO -39077 -249054 185054 -24022 o.oo -780041 1512016 -780041 144066 o.oo ºººº ºººº o.oo o.oo o.oo ºººº o.oo OoOO 22.00 -1.00
1 •00 OoOO -257076 193076 ºººº o.oo ºººº 596009 -62lo75 136066 1.00 o.oo 32044 -233054 161.32 -24022 º•ºº o.oo
o.ao OoOO o.oo 8.oo 15 .oo -e.oo 1.00 -225.32 185054 -24022 o.oo 1367050-1560082 289032 o.oo OoOO -225.32 185,54 -24022 o.oo º•ºº e.oo 15000 -8.oo 1.00 o.oo o.oo
-225,32 18 5, 54 -24,22 1367,50-1560082 289032 o.oo -225 o 32 185054 -24022 o.ao 8.oo l5o00 -8.oo 1.00 o.oo o.oo o.oo
o.oo º•ºº º·ºº o.oo o.oo º·ºº o.oo o.oo o.oo 22.00 -1.00 1.00 -257076 193,76 o.oo o.oo 587.09 -635075
144066 o.oo 32044 -233,54 161,32 -24,22 ºººº 9o00 14,00 -8.oo 1.00 o.oo º•ºº o.oo o.ao o.oo o.oo o.oo
ºººº OoOO o.ao 14,00 OoOO 2.00 OoOO -96044 8022 24022 o.oo -780.41 1512016 -780,41 144066 o.oo 56,66 -257,76
l6lo32 -24022 ºººº 1 ººº 8000 14,00 -8ººº 1 .oo o.oo o.oo o.oo o.oo o.oo o.oo º•ºº ºººº 6000 9oOO loOO o.oo 161032 -281,98 32044 24,22 o.oo -634,75 1375,50
-766041 136066 1.00 24.22 32044 .:.251.16 161,32 -24.22 o.oo o.oo o.oo º·ºº 0,00 0,00 º•ºº o.oo o.ao o.oo o,oo ºººº -8. oo 16,00 16,00 15.00 -5.oo l6lo32 -225032
-225.32 185,54 -24.22 144066 -780,41 1367.50 -780041 144066 o.ao o.oo o.ao o.oo º·ºº o.oo o.ao 0,00 o.oo o.oo OoOO o.oo 1.00 -e.oo l5o00 16000 16000 -24.22 185054
-225032 -225032 185,54 o. 00 144066 -780,41 1367.50 -780.41 144.66 o.oo 0,00 0,00 o.ao o.oo o.oo º"ºº -1.00 14000 8.oo 1.00 -24,22 161032 -257.76 32,44 24022 144.66 -779041
1375050 -766,41 136.66 o.oo 24.22 32,44 -257,76 161.32 -24122 ·o.oo o.oo o.ao -e.ao 15 ,OO 8,00 loOO 137,10 -257076
32 ,44 24022 144,66 -780.41 1367.50 -780041 144066 24022 32,44 -257,76 161•32 -24,22 o.oo 1.00 8000 14000 -8.oo 1.00
6,00 9,00 1.00 161.32 -281.98 32,44 24022 -635075 1367050 -780.41 144066 24.22 32044 -257,76 l6lo32 -24022 l .oo 8000
l4o00 -8,00 1.00 o.ao º"ºº o.ao OoOO OoOO ºººº -96.44 8,22 24 o 22 -780,41 1512.16 -780,41 144,66 56,66 -257,76 lól,32 -24,22 1,00 8,00 14,00 -8,00 1,00 o.ao o.ao
o.oo o.oo 0,00 o.ao OoOO 0,00 OoOO o.oo º"ºº 609,09 -642,75 145066 32044 -233054 161,32 -24022 9o00 14,00 -e.oo loOO 0,00 o.ao OoOO o.ao ºººº o.oo OoOO o.oo ºººº o.oo o.ao 0,00 ºººº 0,00 º•ºº o.oo
-629075 1376050 -779.41 24022 32044 -257,76 161032 l .oo 8000
14.00 o.ao
137010 -257.76
o.ao -1.00
1367050 a.ao ºººº
-257076 32044
ºººº 14000 -779e4l
ºººº o.oo 185054
ºººº o.ao -24e22
o.ao -s.oo
144e66 o.ao
161032 24e22
1.00 -780.41
1.00 -24•22
32.44 o.ao
137066 8000 o.ao
o.ao -92.16 366.82
-a.oo o.ao
-257076 161 o 32
o.ao 14000
-780041 l4o00
ºººº 32044 -257.76
ºººº 8000 1375050
o.oo OoOO
-225032 o.oo o.ao
161•32 o.ao
15000 -778041
o.ao -233.54
32 044 -a.ao
1512016 e.ao
161 • 32 -281098
o.ao -766041
15000 o.ao
o.ao 3.00
395.56
o.ao o.ao o.ao o.ao o.ao o.ao º·ºº o.ao o.ao o.oo
32044 144066 -780041 1367.50 -780041 o.ao 1 o 00 8000 14000 -e.oo o.ao OoOO OoOO o.ao o.oo e.ao -24022 161.32 -257076 32044 o.ao 24e22 32044 -257076 161032
-a.ao OoOO OoOO o.ao OoOO
ºººº loOO -e.o o 14000 8000 o.oo 144066 -780041 1367.50 -780041
161032 o.oo o.ao 1.00 8000 o.ao OoOO o.ao o.ao o.oo o.ao -24022 161032 -257076 32e44
-765.41 o.ao o.oo 24022 32.44 o.ao o.oo ºººº o.oo ºººº o.ao loOO -e.ao 16.00 e.ao
-249054 o. 00 o.ao 144.66 -780041 o.ao o.ao o.oo º•ºº o.ao o.ao o.ao 2.00 -16.00 30.00
-39 .11 o.ao o.ao o.oo 144.66 o.ao o.ao oººº o.ao o.ao o.oo o.ao -24022 161.32 -233.54
1512016 o.ao o.ao o.ao 24.22 o.oo o.ao loOO -a.oo l5e00 o.oo o.ao 144e66 -780.41 1512016'
-281 .9.8 o.oo o.ao o.ao 1.00 15.00 o.ao -24022 161.3,2 -233e54 o.ao o.ao 24.22 32.44 -2Ble98
15.00 o.ao o.ao o.ao o.oo -233.54 o.ao 144066 -780.41 1512.16
o.ao o.ao 1.00 a.ao 15.00 o.ao o.ao º•ºº º•ºº o.ao
1520016 o.ao 24.22 32.44 -281.98 o.ao o.ao o.oo o.ao o.ao o.ao o.oo o.oo º•ºº o.oo
VETOR CONSTANTE
o.ao o.oo -1.00 o.oo o.oo o.oo o.oo 1.00 24.22 182004
1038e91-2842e22-l442oll-1283e62-1063e63
RAIZES 00 SISTEMA
o.ao o.ao
24022
ºººº o.ao 1440.66
o.ao OoOO
-24022
ºººº 14000 loOO o.oo
-257.76 o.oo o.oo
1367.50 OoOO o.ao
-780.41 o.ao o.ao
32.44 o.ao o.ao a.ao o.ao o.ao o.ao o.oo o.ao º•ºº o.oo o.oo o.oo
o.oo 262.70
-837113
o
74.
o.oo OoOO
32044 OoOO o.oo
-780041 loOO
ºººº 161032 24e22 -e.oo -s.oo
144066 l6le32
0•00 -24022
-780.41 OoOO o.oo
1512016 loOO OoOO
-281.98 -24•22
OoOO l5o00
144e66 o.ao o.oo
24.22 o.oo o.oo 1.00 o.ao o.oo
2e62 3llo82
-726.25
75.
-0.14 -0.37 -0.83 -0.29 -0.39 -0.10 -1 .20 -0.49 -0.67 -1003 -1.56 -0.62 -0.10 -0.95 -1.37 -1.93 -0.74 -0.90 -1.22 -l.69 -2.29 -0.76 -0.94 -1.oa -1047 -2.00 -2.64
FUNCOES NA PLACA
-0.37 -0.14 -o. 14 -0.37 -0.83 -1.50 -2.33
-0.12 o.oo -0.12 -o.se -1.12 -2.00 o.oo
-0.37 -0.14 -Ool4 -0.37 -0.83 -1.50 -2.33
-0.39 -0.29 -0.39 -0.10 -1.20 -1.87 -2.10
-0.67 -0.49 -0.49 -o.67 -1.03 -1.56 -2.25 -3.06
-0.10 -0.62 -0.10 -0.95 -1.37 -1.93 -2.62 -3.43
-0.90 -0.74 -o.74 -0.90 -1 .22 -1.69 -2.29 -3.00 -3.79
-0.84 -0.76 -0.84 -1.oe -1.47 -2.00 -2.64 -3,37 -4.14
-0.74 -0.74 -0,90 -1.22 -1.69 -2.29 -3,00 -3.79 -4.69
Tabela 4.5
76.
PLACA COM 27 PONTOS COORDo OBLIQUAS
PONTO SIGX SIGY SIGXY SIGl SIG2 ALF ------1---------1---------1---------1--------1---------1---------
FO 1 -0.33 I -1.00 1 Oo02 I -Oo33 I -1.00 I lo82 ------1---------1---------1---------1---------1---------1---------
I I -Oo3l I -1.00 l 0,02 I -Oo3l I -loOO I 2,12 ------1--------1---------1---------1---------1---------1---------
II I -Oo24 1 -l,00 I 0,04 1 -0.23 I -1.00 1 3,04 -----1--------I---------1---------1---------I---------r---------
III I -0,07 I -loOO I 0,07 1 -0,07 I -1,00 I 4,52 ------I---------1---------I---------1---------1---------I---------
l I -0,08 I -0,93 I 0,03 I -0,08 I -0,93 I 2,22 -----I---------I---------1---------1---------I---------l---------
2 1 -0,07 1 -0,90 1 0,08 1 -0,06 1 -0,90 I 5,92 -----1--------1---------1---------1---------1---------1---------
3 1 -0,05 I -o.az I Ool4 1 -0,03 1 -o.as 1 10,32 ------1--------1---------1---------1---------1---------1---------
IV I -0.06 1 ·0068 1 .Oo20 1 0,00 1 -0.74 1 16,69 ------1---------1---------1---------1---------r---------1---------
4 1 -o.ao 1 -o.a2 1 -o.ao 1 -o.ao 1 -o,a2 1 -0,12 -----1--------1---------1---------1---------1---------1---------
5 1 -o,oo 1 -o.ai I o.os I -o.oo 1 -o.ai I 3,90 ------1--------1---------1---------1---------1---------1---------
6 1 -0.01 1 -0.16 1 0.10 1 o.ao 1 -o,1a I a.os ------1--------1---------1---------1---------1---------1---------
7 l -0,03 I -0,69 1 Ool5 1 0,00 1 -0,73 1 12058 ------1---------1---------1---------1---------1~--------1---------
v 1 -Oo05 1 -0,61 1 OolS 1 0,00 l -0,66 l 16,69 ------1---------1---------1---------1---------1---------1---------
8 I Oo03 1 -0.73 1 OoOl 1 0,03 1 -0,73 1 lo33 ------1---------1---------1---------1---------1---------1---------
9 1 Oo02 1 -0.71 I Oo06 l 0,03 1 -Oo7l 1 4o63 ------1--------1---------1---------1---------1---------1---------
10 1 o.ao 1 -D.66 1 0.09 1 0.02 1 -o,6a I a,23 ------1---------1---------1---------1---------1---------r-------~-
11 1 -Oo02 I -Oo60 1 Ool3 1 OoOO 1 -0,63 I l2o27 ------1---------1---------1---------1---------1---------1---------
VI I -Oo04 1 -Oo54 1 Ool6 1 0,00 1 -0,59 1 l6o69 ------1---------1---------1---------1---------1---------1---------
12 1 Oo06 1 -0068 1 -o.ao 1 0,06 1 -0,68 1 -0,26 ------1---------1----~----1---------1---------1---------1---------
13 1 0,06 1 -0,67 1 Oo02 1 Oo06 l -0.67 1 lo76 ------I---------I---------1---------1---------1---------1---------
14 I 0,04 I -0.63 l Oo04 1 0,05 l -0,64 1 3,96 ------1---------1---------1---------1---------1---------1---------
15 1 Oo02 1 -0.59 I Oo07 1 0,03 1 -0,59 1 6,70
77.
-----I---------I---------I---------I---------I---------I---------16 I -o.oo I -Oo52 I OolO I OoOl I -0.54 I 10,59
------1-------1---------I---------I---------I---------1---------VII I -0.04 I -0.46 I 0.13 I o.ao I -o.se I 16069
------I---------I---------1---------1---------1---------I---------17 I Oo09 I -0.65 I 0,00 I Oo09 I -0.65 I Oo23
------I--------I---------I---------I---------I---------I---------18 I Oo08 I -0.62 I OoOl I Oo08 I -0.62 I loll
------1--------1---------1---------1---------1---------1---------19 I Oo07 I -o.ss I 0,02 I Oo07 I -0,58 I 2ol8
------1--------1---------1---------r---------1---------r-~-------20 I Oo04 I -0.52 I Oo03 I Oo04 I -o.52 I 3,79
------I---------I---------I---------I---------I---------1---------21 I OoOl I -Oo43 I 0,05 I Oo02 I -0,44 1 7o30
------1--------1---------1---------I---------I---------r---------VIII 1 -0.03 I -0.33 I 0.10 I o.ao 1 -0,36 1 16,69 -----1---------1---------1---------1---------1---------1---------
22 I OolO I -Oo64 I -0.00 I OolO I -Oo64 l -0.12 ------1---------1---------I---------1---------1---------1---------
23 1 0.10 1 -o.63 1 -o.ao I 0.10 I -o.63 I -0.09 ------1---------1---------1---------1---------1---------1---------
24 I Oo09 I -0.60 I -OoOO 1 0,09 I -0,60 1 -Ooll ------1---------1---------1---------1---------1---------1---------
25 I 0,08 I -0.54 I -o.oo I Oo08 I -0.55 I -Ool6 ------1--------1---------1---------1---------1---------r---------
26 I Oo06 I -0.46 I -0,00 I 0,06 I -Oo46 I -0,47 ------1--------1---------1---------1---------r---------r---------
21 I Oo03 I -0.34 I -0,01 I Oo03 I -o.34 I -2,18 ------1--------1---------I---------1---------I---------I---------
IX I -o.oo 1 -0.16 I -0.06 1 Oo02 l -0,18 I -20,48 ------1---------1---------1---------1---------1---------1---------
Tabela 4.6
78.
PLACA COM 24 PONTOS - TRIANGo 60 GRAUS
PONTO SIGX SIGY SIGXY S!Gl SIG2 ALFA
-----------------------------------------------------------------F 1 1 I lo59 I -1.00 I o.oo I lo59 l -1 • 00 I o.oo
-----------------------------------------------------------------I I I lo55 I -1.00 I O.OO I lo55 I -0.99 I o.oo
----------------------------------------------------------------III I lo43 I -1.00 I o.oo I lo43 l -1.00 l o.ao
----------------------------------------------------------------IV I lol9 I -1. 00 I OoOO I 1.19 l -0.99 I o.oo -----------------------------------------------------------------
V I 0068 I -1.00 l o.oo l 0068 l -1.00 I o.oo -----------------------------------------------------------------
VI I -0.64 I -loOO I o.oo l -0.64 l -1.00 I o.oo -----------------------------------------------------------------
l I Oo93 I -l.00 I -0.00 I Oo93 l -1 • 00 l -o.oo -----------------------------------------------------------------
2 I o.se 1 -l.02 I -0.04 I o.sa 1 -1.02 I -0.02
-----------------------------------------------------------------3 I 0.76 I -lo03 I -0.12 l Oo77 I -1•04 I -o.oó
-----------------------------------------------------------------4 I Oo5l I -lo05 I -0.23 l Oo55 I -1.oe 1 -0.14
-----------------------------------------------------------------5 I Ool3 I -l.14 I -0.39 I 0.24 l -1.26 l -o. 27
-----------------------------------------------------------------VI I ! -Oo38 I -l.46 l -o.75 1 o.ao 1 -lo85 l -0.47
-----------------------------------------------------------------6 I Oo34 I -1.03 l º•ºº l Oo34 I -1.03 l o.oo
-----------------------------------------------------------------7 I Oo'.32 I -1 • 06 I -o.os l 0.33 l -1.06 l -0.04
-----------------------------------------------------------------8 I Oo26 l -l.13 l -0.17 I 0.2a 1 -1.15 l -0.12
-----------------------------------------------------------------9 I Oo09 l -1.19 I -0.38 l 0.20 l -1.29 l -0.26
-----------------------------------------------------------------lO I -o• 18 I -1.27 I -0.61 I 0.09 I -1.55 l -0.42
-----------------------------------------------------------------VIII I -Oo48 I -l.62 l -o• 89 I o.oo l -2.11 l -0.50
-----------------------------------------------------------------l l I -0.15 I -lolO I -0.02 I -0.15 l -1.10 I -0.02
-----------------------------------------------------------------12 l -Ool5 I -1.22 l -0.13 l -0.14 l -1.24 l -0.11
-----------------------------------------------------------------13 I -0.20 I -l.39 l -0.37 l -0.09 I -l.50 I -0.28
-----------------------------------------------------------------14 l -Oo37 I -lo46 I -0.73 l -OoOO I -l.83 I -Oo46
79.
-----------------------------------------------------------------IX I -Oe54 I -l.61 I -0.93 I o.ao I -2.16 I -0.52
-----------------------------------------------------------------15 I -0.56 I -1.12 I o.ao 1 -0.56 I -1.12 I o.oo
-----------------------------------------------------------------16 I -0.54 I -l.24 I -0.04 I -0.54 I -1.24 1 -0.06
-----------------------------------------------------------------17 I -0.49 I -l.55 1 -0.20 I -0.45 1 -le59 I -0.18
-----------------------------------------------------------------18 I -0.54 I -l.81. I -0.69 1 -0.23 1 -2 •.12 I -0.41
-----------------------------------------------------------------X I -0.11 -l.62 1 -l.09 I 0.01 1 -2.35 1 -o.5a
-----------------------------------------------------------------19 I -o.as 1 -l.18 I -o.ao I -o.as I -l.18 I -0.01
-----------------------------------------------------------------20 I -o.ao 1 -l.50 I -0.04 I -o.ao I -1.50 1 -0.06
----------------------------------------------------------------21 I -Oe65 I -2.22 1 -0.27 I -0.61 I -2.27 I -O.l6
-----------------------------------------------------------------XI I -l.26 1 -2.16 1 -1.11 1 Oe06 I -3.48 I -o.65
-----------------------------------------------------------------22 I -0.96 I -l.14 1 0.00 I -0.96 I -l.14 I o.oo
-----------------------------------------------------------------23 I -0.96 I -l.31 1 0.00 I -0.96 I -l.3l I o.o o
-----------------------------------------------------------------24 I -o• 88 I -l.94 1 o.ao 1 -o.as 1 -l.94 I o.oo
-----------------------------------------------------------------XII I -o.oo -4.32 I o.ao 1 -o.ao I -4.32 I o.oo
-----------------------------------------------------------------
Tabela 4.7
sa.
PLACA COM 27 PONTOS COORDe OBLIQUAS
PONTO SIGX SIGY SIGXY SIGl SIG2 ALF ------1---------1---------1---------1---------1---------1--------
FO 1 -0.47 1 -leOO I o.ao 1 -0.47 1 -1.00 1 Oe48 ------I---------I---------I--------I---------1---------1---------
I 1 -0.46 1 -1.00 1 OeOl 1 -0.46 1 -1.00 1 le36 ------1---------1---------1---------1---------1---------1---------
II 1 -0•43 1 -l.00 1 Oe04 1 -0.42 1 -leOO 1 4e77 ------1---------1---------1---------1---------1---------1--------111 1 -0.21 1 -1.00 1 o.is 1 -o.ia 1 -1.02 1 l0e69 ------1---------1---------1---------1---------1---------1---------
l 1 -Oe2l J -Oe98 1 OeOl 1 ·Oe2l 1 -Oo99 1 lo37 ------1---------1---------1---------1---------r--------1--------
2 J -Ool9 1 -0.95 1 Oo05 I -Ool9 1 •Oo95 l 4o08 ------1---------1---------1---------1---------1---------1---------
3 J -0.15 l -0.82 1 0.12 1 -0.12 1 -o.~4 1 9o83 ------1---------1---------1---------1---------1---------1---------
IV 1 -Ool5 1 -0.46 l 0.20 l -0.05 1 -Oo55 1 26025 ------1---------1---------1---------1---------1---------1---------
4 1 -0.04 1 -o.96 1 o.ao 1 -0.04 1 -o.96 1 0.29 ------1---------1---------1---------1---------1---------1---------
5 ! -0.04 l -Oo93 l Oo03 1 -0.04 l -0.93 1 2156 ------1---------1---------1---------1---------1---------1---------
6 1 -0.03 1 -0182 1 o.os 1 -0.02 1 -0183 1 6102 ------1---------1---------1---------1---------1---------1---------
7 1 -0.05 l -0161 1 0.12 1 -0.02 1 -0.64 1 12.29 ------1---------1---------1---------1---------1---------1---------v 1 -Oo09 l -0.28 1 Ool2 l -0.03 l -0.34 1 26025 ------1---------1---------1---------1---------1---------1---------
8 1 Oo06 1 -0.91 1 0.01 1 Oo06 1 -Oo9l 1 lo09 ------1---------1---------1---------1---------1---------1---------
9 l Oo05 I -Oo84 I OoOS I OoOS 1 -0184 I 3133 ------1---------1---------1---------1---------1---------1---------
lO I Oo03 1 •0068 1 Oo08 I Oo04 1 -Oo69 1 6058 ------1---------1---------1---------1---------1---------1---------
ll 1 •OoOl I -0.4S I OolO I OoOl 1 -0.47 1 12025 ------1---------1---------1---------1---------1---------1---------
VI 1 •Oo06 1 -Ool9 1 Oo08 1 -Oo02 1 -Q.23 1 26025 ------1--------1---------1---------1---------1--------1--------
12 1 Ool3 1 •0088 1 OoOO I Ool3 1 -o.aa l Oo05 ------1---------1---------1--------1---------1--------1---------
13 1 Ool2 1 -o.as 1 0.02 1 Ool2 l -o.as I le49 ------1---------1---------1---------1--------1---------1---------
14 1 OolO 1 -0.74 l Oo04 l OolO 1 -0.74 1 3e20 ------1---------1---------1---------1---------1---------1---------
15 1 Oo06 1 -0.56 1 0~06 1 Oe06 1 -Oo57 1 5e7l ------1---------1---------1---------1---------1---------1---------
81.
16 I OoOO 1 -0.33 1 Oo06 1 OoOl 1 -0034 1 10041 ------1---------1---------1---------1---------1---------1---------VII 1 -0.03 1 -Ooll I Oo05 1 -OoOl 1 -Ool4 1 26025 ------1---------1---------1---------1---------1---------1--------
17 I Ool6 1 -0.85 1 OoOO I Ool6 1 -Oo85 1 Oo39 ------I---------I---------1---------I---------I---------1---------
18 I Ool5 I -0.78 1 OoOl I Ool5 1 -Oo78 I lol3 ------1---------1---------1---------1---------1---------1---------
19 I Ooll I -Oo64 1 Oo02 1 Ooll 1 -Oo65 1 2ol4 ------I---------I---------1---------1---------1---------1---------
20 I Oo06 1 -0.45 1 Oo03 1 Oo06 1 -0.45 1 3o55 ------I---------I---------1---------1---------1---------I---------
21 1 OoOl I -Oo22 1 Oo02 I OoOl I -Oo22 1 6068 ------1---------1---------1---------1---------1---------1---------VIII l -0.01 I ~o.os I 0.02 l -o.oo I -0.06 1 26025 ------I---------I---------I---------I---------l---------I---------
22 l OolB I -Oo85 I OoOO I OolB l -Oo85 1 Oo02 ------I---------I---------I---------I---------1---------I---------
23 I Ool7 1 -0.82 l OoOO I Ool7 I -Oo82 I Oo05 ------1---------1---------I---------I---------1---------1---------
24 1 Ool4 1 -Oo72 l OoOO I Ool4 I -Oo72 1 Oo08 ------I---------1---------I---------1---------1---------1---------
25 I OolO I -0.55 I OoOO l OolO I -Oo55 1 Ool4 ------I---------1---------1---------1---------1---------I---------
26 I Oo05 1 -0.34 I OoOO I Oo05 I -Oo34 I Oo39 ------1---------1---------1---------1---------1---------1---------
27 1 Oo03 I -Ooll I -o.ao l Oo03 l -Ooll 1 -3065 ------l---------1---------1---------1---------1---------I---------
IX I OoOS I -OoOl I -OoOS I OoOB 1 -Oo04 1 -28086 ------1---------1---------1---------1---------1---------1---------
Tabela 4.8
82.
CAPfTULO V - ELEMENTOS FINITOS
5.1 - Considerações Gerais
O autor irá se socorrer dos resultados obti -
dos através dos Elementos Finitos para fins de comparação.
Não há nenhuma pretensão de se estudar ateo
ria dos Elementos Finitos, dadas as limitações do autor e do
propósito dêste trabalho.
Tudo o que fÔr dito sôbre Elementos Finitos ,
será decorrente da tese de doutoramento do prof. Alcebfades
. 9 ... . - .. Vasconcellos Filho • Deste importante trabalho serao extrai -
dos, não só os conceitos emitidos, como também o programa
MEFI-1, que permi'tirá a resolução, através dos Elementos Fini -.
tos, dos exemplos resolvidos por Diferenças Finitas.
~ bom ressaltar que nao se deseja compara~ o
Método dos Elementos Finitos com o das Diferenças e sim o das
Diferenças com o dos Elementos. Isto quer dizer que se está a
ceitando o Método dos Elementos Finitos como padrão.
O que foi dito acima dá a medida exata do que
se pretende com o Método dos Elementos Finitos.
Serão examinadas P-1B e P-2Apor Elementos Fini 9 tos, através da aplicação do programa MEFI-1 •
Posteriormente se examinará P-1 e P-2, atra -
vês de uma malha bem refinada, quase a máxima capacidade de
MEFI-1,podendo-se admitir que os resultados numéricos obtidos
estejam bem próximos dos reais.
83.
P - 1B e P - 2A
Placa P-1B Placa P-2A
Antes de.se apresentar o programa com os resulta
dos das tensões nos pontos será preciso fazer algumas conside
raçoes:
19 - A malha nao é muito própria para Elementos Finitos, uma
vez que os triângulos têm ângulos muito agudos e um dos
lados bem menor que os outros dois. Adotou-se esta malha
para se fazer uma comparação efetiva com as Diferenças -
Finitas, inclusive nos mesmos pontos da placa.
29 - O carregamento é considerado como concentrado nos vérti
ces dos triângulos. tste carregamento é obtido, multipl!
cando-se a carga uniformemente distribuída por sua zona
84.
de influência. Assim sendo, os vértices extremos terão -
sõmente a metade do carregamento.
39 - A vinculação nos eixos de simetria obedece à compatibili
dade dos deslocamentos.
Tabelas
Tabela 5 .1 - Tensões de P-1B, calculadas por Elementos Finitos
Tabela 5.2 - Tensões de P-2A, calculadas por Elementos Finitos
Tabela 5. 3 - Tensões de P-1 (com 142 pontos no quadrante) cal
culadas por Elementos Finitos.
Tabela 5,4 - Tensões de P-2 (com 142 pontos no quadrante) cal
culadas por Elementos Finitos.
Tabela 5.5 - Tensões de ~-lC, calculadas por Elementos Finitos
Tabela 5.6 - Tensões de P-2B, calculadas por Elementos Finitos
85.
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Tabela 5.1
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Tabela 5. 2
86.
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Tabela 5.3
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Tabela 5.3
95.
65
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43 44 45 46
33 34 35 36 37 38 39
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102.
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" 0.87304 -1.07051 -0.15128 -4,42 o. 684 74
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" 0.24690 -l.23519 -0.43454 -15.19 0.36491 li EJE:CT
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Tabela
10 3,
-------- - ------
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" -ü.00840 -0.18345 0.05330 15.b7 0.00655 -0.19841 20 0.01,v.~ -0.91207 0.03251 1.</0 0.06b':il -0.9L 31 ':i 21 o.ot.100 -0.83748 0.07307 4. bl Q.Obb<JL -0.84H'l 22 0.03428 -0.672't0 o. l 1786 9.22 0.05342 -0,691':i4
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" -0.03L':i8 -0.27878 0.10't67 20.13 0.00678 -0,3171~ 25 -o.o•,410 -0.95708 . 0.01908 _ 1.21_ -0.05369 -O.'l574B -------------------------26 -0,04213 -0.93195 0.04690 3.01 -0.04027 -0.93442 27 -0.03l3l -0.81801 0.11276 7.</9 -0.01547 -0.83306· 28 -0,05026 -0.5B3't7 0,17040 16,29 -0.00046 29 -0.064)3 -0.39023 0,15669 21.•n -0.00121 30 -0.22526 -0.98173 0.01641 l,2't -0.22490 ,. -0.19~20 -0.94620 0.055ll 4. 11 -o. 19118 32 -0.1<,092 -0. 79051 0.14647 12.13 -0.10942 33 -0-10533 -0.58735 0, 18369 10.ós -0.04331
" -0.33955 -0.98b92 0,00755 O,ób -o. 33946 35 -0.36917 -0.98353 0.01418 1.32 -0.3ó8ô5 36 · -0.29040 -D.91764 0,0841>2 7.55 -0.27926 37 -0.20419 -0. 77495 o.1se47 llo.52 -O.Lb3L4
Tabela ~. 6
104.
DISCUSSÃO DOS RESULTADOS
Placa lB - Método das Diferenças Finitas - Coordenadas Triang~
lares.
Tabela (4.4) - Apresenta os valores das tensões nos pontos da
malha (24x24).
Tensão cr : y
Tensão cr : X
Apresenta bons resultados em todos os pontos.No
bordo superior tem valor unitário em todos os
pontos, crescendo nos demais pontos, do centro
para o contôrno inclinado. A medida que se apr2
xima do ponto XII do contôrno, sofre algumas ai
terações. Por exemplo: nos pontos X e XI apre -
senta valores mais baixos que seus adjacentes ,
no ponto XII, apresenta um valor bem alto, esp~
lhando a concentração de tensões, provocada pe
lo entalhe.
Apresenta valores razoáveis em todos os pontos.
O bordo superior é tracionado, diminuindo a ten
são de tração do centro para a periferia. A me
dida que se penetra no interior da placa, a ten
são de tração diminui e, continua diminuindo
sempre do centro para a periferia. Na altura da
linha média já se nota uma pequena tensão de
compressao. Esta já se torna uma considerável -
tensão de compressão nos pontos sÔbre o eixo de
simetria horizontal.
Tensão , xy
Gráficos
(6. 3) ,(6.4)
10 5.
Apresenta bons valores, mormente nos pontos do
bordo superior e sôbre os eixos de simetria, on
de deve ser nula. Aumenta de valor absoluto ao
se aproximar dos pontos do bordo inclinado, po~
suindo, nêstes pontos e adjacentes, valores bem
significativos.
Compara os resultados obtidos por Diferenças Fi
nitas em coordenadas triangulares e os obtidos
pelo Método dos Elementos Finitos, respectiva -
mente para as tensões ºY e ºx· No gráfico (6,3)
se observa que os valores de ºy são pràticamen
te coincidentes·, apenas nos pontos próximos de
XII, há diferenças mais acentuadas.
No gráfico (6.4) as tensões ºx apresentam uma
variação significativa entre os métodos~hbs po~
tos do bordo superior e do eixo de simetria ho
rizontal. Como estas tensões dependem do momen
to atuante na placa e êste, por sua vez, depen
de da distribuição do o , constata-se a viabili y
dade destas diferenças. Os valores de o ,no bor X -
do superior e eixo de simetria horizontal, se ~
proximam mais daqueles calculados por Elementos
Finitos, para a placa 1 e apresentados na Tabe
la 5. 3 •
106.
Placa 2A - Método das Diferenças Finitas - Coordenadas OblÍ -
quas.
Tabela (4,6): Apresenta os valores das tensões nos pontos da
malha ( 2 7x2'7).
Tensão cr : y
Tensão cr · x·
Tensão 'xy
Gráfico (6,5)
Apresenta bons valores em todos os pontos. No
bordo superior tem valor unitário, diminuindo
para o interior da placa, bem como, do centro
para a periferia,
Apresenta valores razoáveis, sendo o bordo su
perior comprimido, diminuindo a tensão de com
pressão do centro para a periferia, bem como,
nos pontos interiores, Na altura da linha mé -. ~
ira dia, há uma pequena tensão de tração, que
assumir valor significativo nos pontos sÔbre
o eixo de simetria horizontal,
Valores razoáveis em todos os pontos.
Compara os resultados de cr , obtidos por Dife-. y
renças Finitas em coordenadas oblíquas e os do
Método dos Elementos Finitos. As diferenças
são muito pequenas entre o? Métodos.
Gráfico (6,6) As tensões ºx apresentam variação significati
va no bordo superior e alguns pontos do eixo
de simetria horizontal, motivada pela distri -
buição do ºy A exemplo da Placa 1B, êstes va
10 7.
leres sao mais próximos dos obtidos por Elemen
tos Finitos, com a Placa 2, cujos valor~s es -
tão na Tabela 5.4
Placa lC - Método das Diferenças Finitas - Coordenadas Trian
gulares.
Tabela (4.7): Apresenta os valores das tensões nos pontos da
màlha (24x24).
Como esta placa é idêntica à anterior, sõmente
variando o ângulo a, o autor procurará ser sin
tético em seus comentários.
Em linhas gerais tôdas as observações feitas
para a placa 1B, valem para à lC, no entanto,
nota-se nesta placa, que os pontos do contôrno
apresentam valores em Diferenças Finitas bem
mais altos do que os obtidos por Elementos Fi
nitos. São os valores de o·.-. e T os que se A XY
mostram mais sensíveis a esta variação, inclu-
sive o ponto XII apresenta um valor de ºx nulo
e um valor de ºy bastante alto, sentindo de
uma maneira extraordinária a influência da in
clinação do contôrno, isto em Diferenças Fini
tas.
Placa. 2B -- Método das Diferenças Finitas - Coordenadas OblÍ -
quas.
Tabela ( 6 • 6)
10 8.
Apresenta os valores das tensões nos pontos da
malha (27x27).
Os comentários feitos para 2A sao inteiramente
aplicáveis a 2B.
10 9.
CONCLUSÃO
Como se sabe, o Método dos Elementos Finitos e
o das Diferenças Finitas são conceitualmente bem diferentes.
O primeiro consiste em dividir o contínuo em elementos, tra -
tando-se de uma aproximação física do real e, através de su -
perposição, se chegar a um sistema linear. O segundo consiste
na substituição das equações diferenciais e condições de con
tôrno, em têrmos de um número finito de incógnitas, referidas
a pontos discretos, dentro ou fora do contôrno. Trata-se, po
is, de uma aproximação matemática do real, formando as equa -
ções de Diferenças Finitas um sistema de equações lineares,
Os resultados obtidos por Diferenças Finitas ,
tanto em coordenadas oblíquas, como em coordenadas triangula
res, se apresentam bons, quando comparados com os obtidos pe
lo método dos Elementos Finitos. Parece que o ângulo de incli
nação do contôrno lateral, em outras palavras, o entalhe ou
saliência,exerce influência na distribuição das tensões, mor
mente em pontos do contôrno e, de uma maneira especial, na
placa com entalhe, onde deve haver uma grande concentração de
tensões.
Esta observação da influência do ângulo na dis
tribuição das tensões, carece de um estudo mais minucioso pa
ra ser admitida como conclusão.
O autor deseja chamar atenção para os valores
numéricos dos coeficientes do sistema linear em Diferenças Fi
110.
nitas, de uma maneira particular, para os coeficientes centr~
is, isto é, aquêles que, em valor absoluto, sao bem maiores
que os demais. Qualquer variação no valor numérico dos coefi
cientes, mormente os de maior valor absoluto, determinará res
postas completamente diferentes para o sistema. Note-se que
se está falando de êrros inferiores a 2% nos coeficientes cen
trais da molécula.
O próprio autor possui uma experiência pessoal
nesse sentido, onde as raízes mudaram completamente e, como
tal, a distribuição de tensões ficou totalmente alterada, in
clusive houve mudança de sinal. Isto para um êrro da ordem
de 1,5% no coeficiente K2 da molécula em coordenadas. trian
gulares.
Conforme se pode observar no presente trabalho, •
as condições de contôrno são tratadas com extrema simplicida
de. Espera-se, com isto, dar uma contribuição válida para o
estudo de chapas, pois, embora o assunto seja bem conhecido,
a sua aplicabilidade a casos especiais é pràticamente desco -
nhecida. Não só os pontos externos ,fictícios, são de fácil
determinação, como também os dupla e triplamente externos • conforme se pode constatar no texto.
Como se disse na introdução: o grande volu-
me de cálculo torna imprescindível a utilização do computador
na solução do problema, embora nem sempre seja fácil uma auto
matização total do cálculo.
111.
Os programas apresentados no apêndice, nao têm
esta pretensão, mas trazem consigo as imposições do problema
específico e as limitações de quem programou, Deve-se dizer,
contudo, que face a inexistência, ou pelo menos, desconheci -
rnento da existência de outros similares, espera-se que o mes
mo seja aceito. Pode-se afirmar que se procurou, com honesti
dade, desenvolver um "programa eficiente". Esta afirmativa P.2
de ser. corroborada pelo simples exame do programa que gera
as equações lineares, êste programa admite o sistema de coor
denadas triangulares, oblíquas, cartesianas e, à primeira vi~
ta, parece admitir também o sistema de coordenadas polares e
outros sistemas planos.
O que se afirmou no parágrafo anterior é de
urna importância capital, pois, o tipo de malha e de coordena
das, é função direta da configuração do contôrno.
Corno já se disse no Capítulo em que se aprese~
ta os resultados por Elementos Finitos, o autor não deseja e~
tabelecer comparações entre os dois métodos, mas entre os re
sultados obtidos por um e por outro. As cornparaçoes que, por
ventura, aparecerem sao extensíveis tão sÕrnente ao problema -
específico, isto é, placas de espessura delgada de forma po
ligonal, com carregamento no contôrno, atuando no próprio pl~
no da placa.
A potencialidade do Método dos Elementos Fini
tos e a sua total automatização, através do trabalho do prof.
112.
AlcebÍades Vasconcellos Filho9 , que tornou o assunto mais aces
sível aos estudiosos, constituem argumentos irrefutáveis a fa
vor dos Elementos Finitos,
A realidade das universidades brasileiras, a
maioria com computadores de pequeno porte (8K de capacidade de
memória) e a divulgação, ainda incipiente, dos métodos matrici
ais para o cálculo de estruturas, quase que exclusivamente co
nhecidos dos alunos egressos de cursos de pós-graduação, pare
cem se constituir, a curto prazo, em Óbices para uma maior di
fusão do Método dos Elementos Finitos.
Até que estas condições adversas sejam supera -
das, o Método das Diferenças Finitas e os programas desenvolvi
dos no presente trabalho, poderão ser Úteis na solução de al -
guns problemas estruturais.
Resumindo as conclusões, procurar-se-á sinteti
zar os aspectos mais importantes, que irão determinar a maior
ou menor aplicabilidade e amplitude do Método das Diferenças
Finitas, sempre tendo em vista o problema específico.
O Método das Diferenças Finitas, largamente uti
lizado na análise numérica, bem como na solução de problemas -
da teoria da elasticidade exige:
a) Definição do tipo de malha e daí do sistema de coordenadas,
função direta da configuração do contôrno, No caso de con -
tôrnos irregulares, a geração do sistema linear torna-se
bastante complexa, mormente se,o pretendido fÔr a automatiza
113.
çao dos cálculos. Deve-se procurar uma malha que se adapte
regularmente ao contôrno.
b) As condições de contôrno, pontos do contôrno e pontos ex
ternos, que inicialmente apresentavam dificuldades para a
sua determinação, se tornam bastante simples. r necessário
que se observe, que isto nem sempre é possível. Dependerá
da configuração do contôrno e da distribuição do carrega
mento ao longo dêle.
c) A resposta do sistema é crítica, portanto, altamente sensí
vela pequenas variações dos coeficientes da molécula, em
particular, os de maior valor absoluto.
d) O Método das Diferenças Finitas parece ter uma maior sensi
bilidade às irregularidades do contôrno, de uma maneira
particular onde houver concentração das tensões. O Método
dos Elementos Finitos parece não ter tanta sensibilidade,
havendo até um certo abrandamento ou "amaciamento" ·das ten
sões. Isto concorre para uma certa homogeinização dos re -
sultados.
e) O grande volume de cálculo exige a automatização, nem sem
pre possível na sua totalidade, devido às características
do problema. Os programas foram desenvolvidos em um compu
tador IBM-1130-SK da Universidade Federal de Santa Maria •
f) O tratamento de placas com orifícios, descontinuidades, a
nisotropia, contôrnos irregulares, bem como, problemas de
natureza dinâmica e de estabilidade elástica são tratados
de uma maneira geral através dos Elementos Finitos.
6.1 -
6.2 -
6. 3 -
6.4 -
6.5 -
6.6 -
•
114.
GRÁFICOS
Representa as tensões cr y para a Placa lA, calcula
das por diferenças finitas em coordenadas triangula
res.
Representa as tensões ºx para a Placa lA, calcul!!
das por diferenças finitas em coordenadas triangula-
res.
Representa as tensões ºy para a Placa 1B, result!!
dos obtidos por diferenças finitas em coordenadas
triangulares e por Elementos Finitos.
Representa as tensões ºx
dos obtidos por diferenças
para a Placa 1B, result!!
finitas em coordenadas
triangulares e por Elementos Finitos.
Representa as tensões ºy para a Placa 2A, result!!
dos obtidos por diferenças finitas em coordenadas
oblíquas e por Elementos Finitos.
Representa as tensões ºx para a Placa 2A, result!!
dos obtidos por diferenças finitas em coordenadas
oblíquas e por Elementos Finitos .
115.
P L A C A 1 - A
o li Ili IV
4
7
9 10 VIII
' GRAFICO 6.1
116.
P L A C A 1- A
4 6 VI
9 10 VII 1
' GRAF\CO 6.2
P L A C A
o li Ili
2 3 4
6 7 8 9
11 12 13 14
15 16 17 18
19
22 23 24 X li
GRÁFICO 8.3
1-8
IV V
10
VI
CONVENÇÃO:
DIF. FINITAS
ELE M FINITOS
117.
6
1 !i
. . . . . . . . .
22
. .
P L A C A
7• • 9 10
16 17 18
23 24 XII
. GRAFICO 6.4
X
1-!!l
VIII
CONVENÇÃO:
DIF. FINITAS
ELEM. FINITOS
118.
P L A C A 2-A
o 11 111
o 2 3
4 6 7
e 9 10 11
12 13 14 15 16
17 18 1 9 20 21
22 24
G R A F I C O 6 .5
7
CONVENÇÃO:
DIF. FINITAS
ELEM.FINITOS
IX
119.
P L A C A
o li 111
4 5 6 7 V
12 13 14 1:1 16
22 23 24 25 26
' GRAFICO 6,6
2-A
VII
27
CONVENÇÃO:
OI F. FINITAS
E LEM.FINITOS
IX
12 º·
121.
APtNDICE 1
Considerações Gerais
A razao central do uso do computador digital é
o elevado número de eqúaç.Ões através do Método das Diferenças
Finitas. Não só a resolução das equações lineares, como as de
mais etapas, são tôdas elas .extremamente laboriosas e é neces
sário automatizá-las ao máximo.
A análise total compõe-se de 4 programas em
"cascata", isto é, os dados para o seguinte já saem em car -
tões perfurados pelo anterior.
O primeiro programa, denominado GEMOL, gera
os coeficientes da molécula específica, tanto para coordena -
das triangulares como para coordenadas oblíquas.
O segundo programa, denominado de GERSI, gera
o sistema de equações lineares, perfurando os coeficientes e
têrmos corhecidos em cartões virgens, colocados no fim do pr2
grama, além de permitir a saída dos dados atrávés da impress2
ra.
O terceiro programa, denominado RSIMQ, calcula
as raízes do sistema, que são os valores dos z internos, utili
zando como dados os cartões perfurados pelo primeiro. Além dis
so, possibilita a saída dos valores da função nos pontos in-
teriores?do contôrno e exteriores em cartões perfurados e na
impressora.
122.
O quarto programa, denominado TEDIF, tomando co - -
mo dados os cartões perfurados pelo RSIMQ, calcula as tensões
(J x'
(J y' T em cada ponto da malha do contôrno, bem como as xy
tensões principais º1• º2 e o ângulo teta.
tstes quatro programas sao mais ou menos gerais,
embora guardem uma acentuada conotação específica. tste, ali
ás, é o maior empecilho para a automatização efetiva do método
das Diferenças Finitas.
Face a inexistência, ou então, a divulgação li
mitadíssima de programas para o Método das Diferenças Finitas
no que tange ao estudo de chapas, espera-se que o programa te-
nha validade, embora o autor reconheça suas limitações.
Deve-se frisar que o programa GERSI poderá ser
usado, com adaptações, a outros problemas de elasticidade, de
termodinâmica, de mecânica vibratória e outros, que envolvam -
resolução por Diferenças Finitas.
A seguir, apresenta-se um fluxograma simplific~
do dos programas com as devidas explicações.
DIAGRAMAS EM BLOCOS
FLUXOGRAMA DE ENTRADA E SAIDA DO SISTEMA
, Sist. de
Coordenadas
GEMOL
Matriz da 1----c>---~
molécula
,
,,
Matriz de
funcões .
TEDIF
.. Listagem das tensõe;
Condições
da nlaca .
GERSI
.
Sist. de Enua,..Ões
RSIMQ
Listagem l--1>---I do sist. e
_fun - -
12 3.
PROGRAMA GEMOL
IN!CIO
r-r
4 1
L ---
Perfuração, impres
são da matriz da molécula.
CÃLCULO D
MOLeCULA
OPERADOR
FORMAÇÃO D
MO~CULA
OPERANDO
LOOP DE
ELEM:
SOMA DE
WRITE
. 124.
Leitura dos parâmetros do sist. de coordenadas
EXIT
*LIST SOURCE PROGRAM *IOCS(CARD,1132 PRINTER) *EXTENDED PRECISION C************************************************ C***** TESE DE MESTRADO **** C***** ENG, GILBERTO A, BENETTI **** C***** GERADOR DE COEFÍCIENTES DA MOLECULA **** C***************~********************************
4
5
10
20 40
35
30 36
DIMENSION XMAT<5,5),0PER1(3,3) ,OPER<7,7> DATA OPER / 49*0,0 / DIMENSION FIRST(20) READ(2,4lF!RST FORMAT(20A2) READ(2,5)XK,XCOS FORMAT<2Fl0,5) OPER(3,3l= XK*XCOS OPER(3,4)=2, OPER(3•5>= OPER(4,3l= OPER<4,4)= OPER(4t5)= OPER(5,3)= OPER(5,4)= OPER(5,5)= DO 10 !=3,5 DO 10 J=3,5
-XK*XCOS 2,*XK*XK -4,*(XK*XK 2,*XK*XK -XK*XCOS 2, XK*XCOS·
+ 1,)
OPERl<I-2,J-2) = OPER(!,J) DO 40 I=l,5 D040 J=l,5 XMAT(I,J) = 0,0 DO 20 K=l,3 DO 20 L=l,3 M =I+K-1
N=J+L-1 XMAT(I,Jl = XMAT<I,J> + OPERl<K,Ll*OPER(M,N) XMAT(I,J) = XMAT<I,J)*4, WRITE(3,35)FIRST FORMAT(1Hl,20A2/) WRITE(3,30) ( (XMAT( I,Jl ,J=l,5>,I=l,5> W R I TE 1 2 , 3 6 ) ( ( XM A T e I , J l t I = 1 t 5 l , J = l t 5 ) FORMAT(lH0,5(/,lXt5Fl0,3ll FORMAT(//l,<5Fl0,4l) CALL EXIT END
12 5 ,
*LIST SOURCE PROGRAM *IOCS(CAR0,1132 PRINTERl *EXTENOED PRECISION C************************************************ C***** TESE DE MESTRADO **** C***** ENG. GILBERTO Ae BENETTI **** C***** GERADOR DE COEFICIENTES DA MOLECULA **** C************************************************
OIMENSION XMAT(5,5l,OPER1(3,31,0PER(7,7l DATA OPER / 49*0,0 / DIMENSION FIRST(20l REA0(2,4)FIRST
4 FORMAT(20A2l REA0(2,5lF
5 FORMAT(2Fl0,5l OPER(3,3l = 2, OPER( 3,4) = 2. OPER(4,3) = -F OPER(4,4l = 2,*F - 8, OPER(4,5l = -F OPER(5,4l = 2• OPER( 5,5) = 2. DO 10 !=3,5 DO 10 J=3t5
10 OPERl(!-2,J-2) = OPER(l,Jl DO 40 I = 1, 5 0040 J=l,5 X MA T ( I , J ) = O• O DO 20 K=l,3 DO 20 L=l,3 M =I+K-l
N=J+L-1 20 XMAT(l,J) = XMAT<I,J) + OPERl(K,Ll*OPER(M,Nl 40 XMAT(I,Jl = XMAT(l,Jl/4,
WRITE(3,35)FIRST 35 FORMAT<lHl,20A2/)
WRITE(3,30)( (XMAT( I,Jl ,J=l,5>,I=l,5> WR ! TE ( 2 , 3 6 l ( ( XMA T ( I , J 1 , I = 1 , 5 ) , J= l , 5 )
30 FORMAT<lH0,5(/,1X,5Fl0,3ll 36 FORMAT(///,(5Fl0,4l)
CALL EX!T END
FEATURES SUPPORTED EXTENDED PREC!S!ON IOCS
CORE REQUIREMENTS FOR COMMON O VARIABLES 338 PROGRAM 388
12 6 •
GEMOL
MOLtCULAS GERADORAS ESPEC!FICAS
COORDENADAS TRIANGULARES
Para um ângulo a, tal que tga = 3,333
1.0000 10.1111 25.5586
2.0000 -18.1111
-140.6789 10.1111
1.0000 -18.1111 254.2406 -18.1111
1.0000
Para um ângulo a= 60°
2.0000 -10.0000
10.1111 -140.6789
-18.1111 2.0000
25.5586 10.1111
1.0000
1.0000 2.0000 1.0000 -10.0000
2.0000
1.0000 -10.0000
42.0000 -10.0000
1. O 00 O
2.0000 -10. 0000 -10. 0000
1. 00 00 2.0000
2.0000 1. ºº o o
COORDENADAS OBL!QUAS
Para um ângulo a, tal que. tga = - 3,333
1. 0000 -2 4. 2 210 144.6610
24.221Q 1.0000
-8.0000 161.3250
-780.4133 32.4400
8.0000
14.0000 -257.7666 1367.5030 -257.7666
14.0000
Para um ângulo a= 120°
1.0000 -8.0000 14.0000
8.0000 1. 0000
-8.0000 64.0000
-128.0000
º·ºººº 8.0000
14.0000 -128.0000
324.0000 -128.0000
14.0000
8.0000 32.4400
-780.4133 161. 3250 -8.0000
8.0000
º·ºººº -128.0000 64.0000 -8.0000
1.0000 24. 2210
144.6610 -24.2210
1.0000
1. 0000 8.0000
14.0000 -8.0000
1.0000
12 7.
PROGRAMA GERSI
IN!CIO
r---1
1 1
1
1 1
1 1
1 1
i
r---1
1
1
1
PONTOS
INTERNOS
PONTOS DE
CONTÕRNO
L---------
MOVIMENTO
P/ CIMA
MOVIMENTO
LATERAL
L ___ _ -----
EXIT
12 8.
Leitura da molécula,
matriz de pontos r
funções no contôrno
e caract. da placa
PONTOS
EXTERNOS
MOVIMENTO
P/ BAIXO
*ONE WORO INTEGERS . *EXTENDED PRECIS!ON *LIST SOURCE PROGRAM *IOCS(CARD,1132 PRINTER) C************************************************ C***** TESE DE MESTRADO ****** C***** PROGRAMA DE GERACAO DE EQUACOES ****** C************************************************
REAL MOLEC DIMENSION FI(l2•15,2)tCOEF(49l ,CONST(l4) OIMENSION NROTA(48l,KSKIP(6) DATA KX,JI,IN / 0,1,6 / JF = J I +4 I E = IN +4 WRITE(3,47l
47 FORMAT(lHl,70( 1 * 1 ))
READ(2,400)NPONT,NCONS,NLAT,LAST,IBEXT,ITEXT 400 FORMAT(6!3l
READt2,40l)CORTE,KSKIP 401 FORMATIF10o5 ,613)
REA0(2,402)NROTA 402 FORMAT(50lll
NCOEF = NPONT + 1 LATER = NPONT + NLAT READt2,225)(CONSTtLl,L=l,NCONS)
225 FORMATl8Fl0o4l R EAO ( 2 , 2 5 l ( ( F I ( I , J, 2 l , '! = I N, I E l , J=J I , J F )
25 FORMAT(5Fl0o4l READ(2tl5l((FJ(I,J•ll,J=l,15l,I=l,12)
15 FORMAT(l5F4o0l WRITE12,625l(CONST(Ll,L=l,NCONSl
625 FORMAT(//,(8Fl0o4ll C ESCRITA DOS CAMPOS INCIDENTES
40 JF=Jl+4 IE=IN+4 KX=KX+l 00 56 L=l,6 lf(KX-KSKIP(Lll56t35,56
56 CONTINUE DO 320 L =1,NCOEF
320 COEF( Ll=OoO DO 60 I=IN, !E WRITE<3,37)((FI<I,J,K),K=l,2l,J=JI,JFl
37 FORMAT( 1 0 1 5!F4oO,F8.2,8Xll C GERÀCAO DA EQUACAO NO PONTO
DO 70 J=JI ,JF H = lo INDEX = IFIX(FI < I ,J,l l + Oo5 l MOLEC=FI ( I ,J,2) IF(INDEX - NC0EF) 150,121,121
129 •
PAGE
121 150
160 161
162 163
164
170 171
70 60
45
235
81
82 80
237
46
35 c
54 c 11
110
c 22
2 GEROB
IFl!NDEX - LATERll70tl70tl60 COEFCINDEX)=COEFIINDEXl+MOLEC GOTO 70 !F(!NDEX-IBEXT)l6ltl62,l62 KONST = INDEX-LATER COEFCNCOEF) = COEF(NCOEF) + CONSTCKONST)*MOLEC GOTO 70 IF(INDEX-ITEXTll63tl64,164 KDESV = IFIX(FICI,J-4,ll+0,5) H = 2, GOTO 171 KDESV = IFIX( FIC I,J-6,ll+0,5) H = 3, GO JO 171 KDESV = IFIX(FICI,J-2,ll+0,5) COEF(NCOEF) = COEFCNCOEF) + MOLEC*CORTE*H COEFCKDESV)=COEFCKDESV)+MOLEC CONTINUE CONTINUE WRITE13,45l FORMATI 1 0 1 140( ,_,) l COEF(NCOEF) =-COEFCNCOEFl WRITEC3,235)(COEFCLltL=loNCOEF) FORMAT(/lX,lOFl0,3) DO 80 LL=l,NCOEF IF(COEF(LL> )81,80,82 COEF(LL)=COEFCLL)-0,000501 GOTO 80 COEFCLL)=COEFCLLl+0,000501 CONTINUE WRITE12,237l CCOEFCL),L=l,NCOEFl FORMAT(Bfl0,3) WRITEC3,46l FORMAT(lX,70( '*'ll WRITE(3,47) Kc2
DESVIA PARA O PROXIMO DESLOCAMENIO IF(KX-LAST)54t54,90 IF(NROTACKX) -2)11,22,33
MOVIMENTO PARA CIMA DO 110 J=JI,JF DO 110 I=IN,IE Fl(I-ltJ,Kl=FI(l,J,K) I N= IN-1 GOTO 40
MOVIMENTO LATERAL DO 21 O I = I N, I E
130.
PAGE 3 GEROB
DO 210 J=Jl,JF JJ=JI+JF-J
210 Fl(I,JJ+l,K)=FI(I,JJ,K) JI=Jl+l GOTO 40
C MOVIMENTO PARA BAIXO 33 00 310 J=JI,JF
DO 31 O 1 = I N, I E II=!N+IE-I
310 F!(II+l,J,K)=Fl(II,J,Kl IN=IN+l GOTO 40
90 CALL EXIT END
FEATURES SUPPORTED ONE WORD INTEGERS EXTENDED PRECISION IOCS
CORE REQUIREMENTS FOR COMMON O VARIABLES
END OF COMPILATION ·
1360 PROGRAM
131.
934
NPONT
NCONST
NLAT
NLAST
IBEXT
ITEXT
CORTE
KSKIP
GERSI
cartões de dados
19 cartão
NPONT, NCONST, NLAT, NLAST, IBEXT, ITEXT
número de pontos internos da malha
132.
número de valores constantes (pontos do contôr
no e pontos externos que não forem funções dos
internos).
número de pontos externos que correspondem ao
contôrno lateral, sÕmente aqueles que são fun
ções dos internos.
número de movimento_s da molécula.
caracteriza o primeiro ponto bi-externo.
caracteriza o primeiro ponto tri-externo.
Formato 400 do GERSI
29 cartão
CORTE, KSKIP
valor do esfôrço cortante, na direção vertical,
no contêma inclinado,
número de ordem dos pontos onde o programa de
ve saltar, considerando o caminhamente Ótimo.
Os pontos são renumerados para efeito de gerar
as equações, esta renumeração não é efetuada ,
mas apenas idealizada.
Formato 401 do GERSI
NROTA
NCONST
Coeficientes
da molécula
39 cartão
NROTA
movimentos da molécula
1 - desloca para cima
2 - desloca para a direita
3 - desloca para baixo
Formato 402 do GERSI
49 cartão
NCONST
13 3.
valor numérico dos po,n,tos do contôrno e de to
dos os pontos externos que não são funções dos
pontos internos.
Formato 625 do GERSI
O número de cartões será dimensionado de acôr
do com o número de constantes.
Próximos cartões
Número de cartões igual ao número de linhas -
da molécula.
Formato 25 do GERSI
Cartões seguintes
Leitura dos pontos internos, do contôrno, ex -
ternos, se necessário, bi e tri-externos.
Cada cartão conterá urna linha da Placa aberta.
Se ultrapassar a capacidade do cartão, deverá
ser adotado outro formato.
Formato 15 do GERSI
PROGRAMA RSIMQ
IN!CIO
KS = 1 SIM
READ.
1442
CALL
SIMQ
1132
1442
EXIT
134,
Leitura das constantes
de contôrno
Leitura do sistema de
equaçoes e imediata
listagem
>---t----\ ·KS = 2 NÃO
Listagem das raizes
e da distribuição de
funções na placa
Perfuração das funções
a serem lidas pelo pr2
grama seguinte
*LIST SOURCE PROGRAM *EXTENDED PRECISION *ONE WORD INTEGERS *IOCS(CARD,ll32PRINTERI •IOCS(TYPEWRITERI C************************************************ C***** TESE DE MESTRADO ***** C***** ENG. GILBERTO BENETTI ***** C***** RESOLUCAO DO SISTEMA DE EQUACOES ***** C****************************************~*******
DIMENSION A127,271 ,B1271,C( 121 tDl61 DATA E/ le5 / READ(2t2001C
200 FORMAT(8Fl0e41 DO 222 I=l,27
222 READ(2t801 (A(! ,JI ,J=l,271 ,BI I > 80 FORMAT(8Fl0e41
WR I TE ( 3 , l O 1 ( ( A ( I , J 1 , J= l , 27 1 , I = l , 2 7 1
135 •.
10 FORMAT(lHl///27X 1 MATRI2 DOS COEFICIENTES 1 ,/,(9F8e211 30 FORMAT(lH0///27X, 1 RAIZES DO SISTEMA 1 ,//,(9F8e2ll
WRITE<3,201CBCJl,J=l,271 20 FORMATClH0//27X 1 VETOR CONSTANTE 1 //,C9F8e21l
CALL SIMQIA,B,27,KSI WRITE(l,251 KS
25 FORMATC/ 1 KS = 1 161 WRITE(3,301CB(Jl,J=lt27) D ( li =BC 3 l-E D(21=B(71-E D(3l=B<ll>-E D<41=B<l61-E D( 51=8( 211-E D(61=B(271-E F=B(201-E*2• READ(2,205)
205 FORMAT(/1 WRITE<3,2021
202 FORMAT(///27X'FUNCOES NA PLACA') 201 FORMAT(lOF8e4) 203 FORMAT(lH0,9F8e21
WRITE(2,2011B(2l,B(ll,tB(J),J=l,31,CC6),0(l) WR I TE ( 3 , 2 O 3 > B ( 2 ) , B ( l ) , C B ( J) , J= l • 3 l • C ( 6 1 • D ( l ) WR I TE ( 2 • 2 O l > C ( 2 > , ( C ( J) , J= l , 5 l , C ( 12 > WR!TE<3,2031C(2l,CC(Jl,J=l,51,C(l21 WR I TE ( 2 , 2 O l > B 1 2 l , B ( l l , C B ( J 1 , J= l , 3 ) , C ( 6 > , D ( l ) WR I TE ( 3 , 20 3 > B ( 2 l , B ( l 1 , < B ( J > , J= l , 3 > , C ( 6 l , D I l > W RI TE ( 2 , 20 l l B ( 5 1 , C B I J 1 , J=4, 7 ) , C C 7 l , D C 2 1 WR I TE ( 3 , 2 O 3 > B ( 5 > , ( B < J) , J=4, 7 l , C ( 7 1 , D C 2 1 WRITE(2,2011BC9l,B181,CBIJl,J=8,ll),CC81,D13l WRITE(3,203)B(91,BC8>,(B(J),J=8,lll,C(8),Dl31 WR!TE12,2011B(l3l,IBIJl,J=l2,l61,C(9l,D(4l
PAGE 3 SIMQ P2
WRITE<3,203)8(l3>,<B(Jl,J=l2,16l,C(9l,D(4l W RI TE ( 2 , 2 O 1 > B ( l 8 1 , B ( l 7 l , < B ( J l , J= 1 7, 21 l , C < l O l , D ( 5 ) WRITEt3,2031B(l8l,B(l7l,<B<Jl,J=l7,21),C(l0ltD(5l WRITE(2,201)8(23l,(B(Jl,J=22,27>,C<lll,D(6) WRITEt3,203)8(231,(B(Jl,J=22,27l,C(ll),D(6) WRITE(Z,2011 B(l7l,(B(Jl,J•l7•2ll,C(lOltD(5ltF
136.
C PARA COORDo TRIANGULARES SUBSTITUA O CARTAO PELO COM COMENTARIO C WRITE(2,20l)B(l8>,B<l7),(B(J),J=l7,2ll,C(l0l,D(5l,F
W RI TE ( 3 , 20 3 l B ( 1 7 ) , ( B ( J l , J= l 7,211 , C ( l O ) , D ( 5 ) , F CALL EXIT END
FEATURES SUPPORTED ONE WORD INTEGERS EXTENDED PRECISION JOCS
CORE REQUIREMENTS FOR COMMON O VARIABLES
END OF COMP!LATION
2346 PROGRAM 1020
118
"' IH IH
m l 2f, 127 m
"' 130
"' rn m
"' "' l3ó IH
"' "' l<O l<l 1'2
"
" " 102
'"' 108 111 11' 117
" 10. 111
0.02n u.01,5!1 0.01111 O.,H,87
0.0000 u.0000 o.ocoo 0.0000
lfr~!,,l(S •1ntOIAIS t OE C[SALMAMENHl. TFNSOES NORl'IAIS PRINCIPAIS.
SI GYY SI GXY ALFA S !Gl
Cf,IU\1.(,AMlcNTO '"· -0.12'>71 -0.<16471 o.01q46 l. 32 -0.12482 -0.15038 -0.9M,98 Q.OH60 2- 21 -0.14''116 -u, 1 Ji!ltl -0.··)',f,',<j O.OM70 4. 54 -0.13313
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-O.V8'11J -0.83272 0.1 ';897 l l. 57 -0.0!>657 -o .u6/',.1 -o. 705611 0.1 !1264 14. 79 -0.0141 e -~. 21 'H' L -0.'J<l'l'll 0.0183<) 1. 34 -0.21858
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-o, l ':>104 -Q.9L4'H, Q.10764 7.UB -0.l3Ul2 -0.07l!J'I -0.82496 o. 1';797 11. 46 -0.04634 .:.o. JJ)IIII -1.0202'> o. 00969 o. 80 -O.JB75 -o. 14 ,~., -1.007?7 0.002!>0 0.21 -0.3'1758 -í'. \;>l)f}l -O.<J'1882 O.OO<JS7 o.ao -0.31<,JU7 -c-~L 1',.!7. -0.'HBJS o.03356 2. 7Z -0.27362 -O.l.l4l6 -0.94851 0.08322 6. 38 -0.204114 -o. l 01145 -0.89966 0.11963 8.41 -O.O'l076
SJG2
-0.91>516 -0.'16821 -Q.Q', l 74 -0.'J254<J -0.8fi528 -o. 75392 -t.00035 -0.'196Al -0.97894 -O.'15677 -0.92'lB7 -0.85702 -l.02039 -l.007'l8 -O.<J'l8'l6 -O.'l7995 -0.'l57112 -0.91736
f,.ESULTAOOS PJ\RA. SUl>ESTRUTURA '°· ' ••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• (JESL,."CAl'.FNTQ:, DOS NOS
01 02
Q.OOOuOUO -2.2377072 u.1.111;,.01 -2.10,,q745 0.1<iO<','Hl -l.74611921 0.074(•/'l -2.4707".163 \).280L'>l3 -2,2307")74 O.OOUJUllO -2. 76}'H62 o.zo,;:,6n -2-~'l31642 0.371 /010 -Z.O'l'l482'l
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Dl 02
o.016<J'l76 -2.2231016 o.2871076 -2.0057312
.0.4269130 -l.62[6427 0.1477727 -2.4280008 0.33'>1659 -2.0947329 0.0700185 -2.7451764 o.2676697 -2.4635586
"'
fE"l:.,,tS ·,uK.''1AlS E OE C!SAL!-IA"ENTO. TENSO[$ NORMAIS PRINCIPAIS.
Tabela 5,4
03 "
" 101 10, 107 110 113 11'
Dl 02
0.1520238 -2.1781880 o.J4J1s22 -1.8a511a2 0.0000000 -2.4950426 0.2170592 -2.3441882 0.4055090 -t.8514772 0.1390896 -2.6881142 0.3219391 -2.3052176
96.
03
"º
10< 105 10,
'"' '°' '"' "º '" '" "' '" '" '" t 11'
'" '" "º "' '" '" m
"º
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s1.,0 S 1r,yy
CARR~CAM~NfO NO.
• -0.0Pr,,t -0.8W87 .:.o.ut)7IH -o. B4196 -o.o l 11 L -0.A?.325 -O.IJL117 -o. 7'/0'1', -o.on, 12 -o. 146'12 -U, IJ4U I o; -0.6'1;>44 -u.i;<;O 13 -0.6451l7 -1). 02'> 7<,i -0.ttíl 129 -0,0Jóll -o. B!l41 l -o.n.H,l<- -ri. 86407 -0.0H,it, -O.ll2841 •0. U4V?O" -0.17S31 -0.052)6 -0.70163 -0.0S'J,ll -0.64771 -0.064<'.6 -o. l2384 -C,.0~0',8 -O.Y27l9 -C.t'l'>SS -Q.')065:> -o.ru,121 -0.86967 -(J .u,,ooo -0.81296 -O.ll';9J7 -o. 13273 -C.O'i'IH -0.67998
ICESULTAUOS PARA su~ESTRUTURA ""· OESl.llCAMENTIJS oos NOS
o, oz 03
CARREGAl".HHO NO.
o.ooonooo -L.S\44'l<J5 0.232-,100 -l.42Ql593 0.413',237 - l. 11165~1 I o.oooocon -1. 74', 7440 o.22<l•10•,t, -t.i,449034 0.4044 7H6 -I.3679155
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1o1Et.Cflí:S NOS APOIOS .. , CARRlGAMENTO NO.
-0.0lbR -0.0113 -O.OU96
0.0000
º·ºººº o. 0000
SIGXY ALFII S IGl SIG2
0.01917 L. 30 0.00002 -0.84030 0.03824 2- ól -0.00606 -O.84371 0.01100 5.43 -o.oono -0.!13065 O.\ L '>4 7 a. H -0.00050 -0.110186 o. l'oll02 11.17 o.002Jt -0.17blb 0.11',[7 14.05 0.00343 -o. 7)(,0)
Q.[8270 15- 77 0.00069 -0.6'H50 0.02022 1- 35 -0.02'.i]l -0.fl8l77 0.01'142 2.ó5 -0-03449 -0.118594 0.0fH24 5. 55 -0.02B36 -O.B7L97 o. 12211 a. sr -0.01855 -0.U4b83 o. 159411 11. 72 -0.0070'l -0.80842 0.107(,lt, 15.03 -0.00189 -0.752t2 0.18611 11,.10 -0.00511 -0.10101 0.0201.1 1.35 -0.06378 -0.92"J2 0.03755 2. 53 -0.071:1"2 -0.92885
·0.07816 5.32 -0.06326 -0.91382 0.1202 L e. 3'- -0.0'-964 -0.88730 0.16HO 11.12 -0.02611 -0.8'-685 O. l'H29 14.ao -0.00882 -0.78328 0.18623 15.',B -0.00753 -0.73156
............................................................................. "°
12
" 7B 81
" 87 ,o
"
"' 02
o.ouo2n1 -t.50411'-78 0.)006782 -1.3645766 0.45',2243 -1.0714399 0.0791787 -1.7334927 0.2955151 -l.5698587 0.46505'l0 -1.1762663 0.1543928 -1.9309322 0,3492874 -1.6748105
.. 3
03 NO
13
" ,, 82 85 88 '1
"
o, 02
0.1584~'>2 -l.',762186 0.361)071 -l.2835013 0,4828552 -0.9679934 O.L5624l7,-l.69993ó6 0.3542458 -1.4767270 0.0000000 -1-982ból 7 0.2262025 -1.8672691 0.3981625 -1-5514027
T~NSOES :lQRMAIS E OE CISALHAMENTO. TF.NSOES NORl'\AlS PRINCIPAIS.
s 1.;xx SIGYY S 1GXY ALF~ SIGl SIG2
Tabela 5. 4
9 7.
(
03
e:
e
PROGRAMA TEDIF
INlCIO
r--1
1
1
1
1
l 1
1
+ 1
1 1
1
1 1
l 1 1
1
L_
WRITE
1132
LOOP DE
DESLOC.
CÃLCULO DE
PRODX, y
E XY.
CÃLCULO DAS
ENSÕES.
1132
REAJUSTA
OS PARÃM.
- -
13 7.
Leitura das funções
e das moléculas das
tensões
Impressão do título
e cabeçalho
Impressão das
tensões no ponto
EXIT
*LIST SOURCE PROGRAM *EXTENDED PRECISION *ONE WORD INTEGERS *IOCSCCARD,1132 PRINTER) C************************************************ C***** TESE DE MESTRADO ***** C***** ENGo GILBERTO BENETTI ***** C***** CALCULO DAS TENSOES ***** C************************************************
13 8 •
OIMENSION FJ(lltl5l,POJNT(l0tl5l ,PROOXC9l,PROOYC9l,PROOTC9l DIMENSION OPERXl9l,O?ERY(9l,OPERT(9l DIMENSION SOMA(3) DATA M,JI,JBERG,JENO,JF / 1 1 1 ,5,4,9,8 /
95 FORMAT(lX, 1------ 1 ,6( 1 I--------'l l REA0(2o45)0PERX,OPERY,OPERT
45 FORMATl3Fl0.3) REA0(2,85l ( (POINT( I,Jl ,J=l,15) tl=2,Bl
85 FORMAT(l5A4l DO 20 l=l,7,2 DO 30 K=l,2 I 1 = I+K-1
30 REAOC2t25l(FICII,Jl,J•JBERG,JENOl 25 FORMAT(l0F8•4l
20 JBERG = JBERG - l REA0(2,25l(FI( 9,Jl,J=l,91 WRITE(3,54l
c
54 FORMAT(lHlo//tlX, 1 PLACA COM 27 PONTOS COORO. OBLIQUAS 'l WRITE(3,55l
55 FORMAT(lH0 1 PONT0 1 6X 1 SIGX 1 6X 1 SIGY 1 5X'SIGXY 1 6X 1 S1Gl 1 6X 1 SIG2 1 6X 1 ALI WRITE ( 3 ,95 l 00 70 1=2,8 DO 80 J=Jl,JF KI = 1-l KF=l+l LI=J-1 l.F=J+l N=O DO 91 K=Kl,KF 00 91 L•LI ,LF N=N+l PROOX(Nl = Fl(Ktll*OPERX(Nl PROOY(Nl= Fl(K,Ll*OPERY(Nl
91 PROOT(Nl = FICK,Ll*OPERTCN) DO 40 L=l,3
40 SOMA(Ll= o.
DO 50 N=l,9 SOMA(ll = SOMA(l) + PROOX(Nl SOMA(2) = SOMA(2) + PROOYCNl
PAGE 2
c 50 SOMA(3l = SOMA(3l + PRODT<Nl
SOMA(ll=Oo36*SOMA(ll SOMA(2l=4o00*SOMA(2) SOMA(3l=-Oo6000*SOMA(3l SUB= SOMA(l) - SOMA(2l ALPHA = (ATAN(2o*SOMA(3l/SU8ll/2o ALPHA = ALPHA*l80o/3ol415932 Pl= (SOMA(ll + SOMA(2))/2o P2 =(SQRT(SUB**2 + 4o*SOMA(3l**2))/2o SIGl= Pl + P2
139.
SIG2= Pl - P2 WRITE<3,65)POINT(I,J),(M,SOMA(L),L=l,3),M,SIGl,MtSIG2,M,ALPHA
65 FORMAT(2X,A4,6(1X,Al,F8o2l) WRITE(3,95l
80 CONTINUE IF(!-(I/2)*2)76,70,76
76 J I = J I -1 70 CONTINUE
CALL EXIT END
FEATURES SUPPORTED CNE WORD INTEGERS EXTENDED PRECISION IOCS
CORE REQUIREMENTS FOR COMMON O VARIABLES
END OF COMPILATION
1162 PROGRAM 672
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