-
1
PVE1
9_7_
POR_
A_AP
O
Apoio ao professor
Praticando
1. a) O trecho do texto com regência semelhante é “a quem
per-
tenciam”.
b) Em ambos os casos, os verbos “assistir” e “pertencer” são
tran-sitivos indiretos e exigem a mesma preposição: “a”.
2. D “À vontade” é uma locução adverbial de modo. Neste caso, a
pre-posição virá craseada, por anteceder a palavra feminina
“vontade”.
3. BAo contrário do que se afirma em II, o uso do acento grave
indi-cativo de crase, fusão da preposição “a” e do artigo definido
“a”, é obrigatório na indicação de horas e, de maneira geral, nas
locuções adverbiais femininas. Por pressupor a existência de
artigo, a crase não acontece antes de verbos, no entanto pode
acontecer com os pronomes relativos “a qual” e sua flexão ”as
quais” quando a regência dos verbos exigir a preposição “a”, o que
restringe a vali-dade da afirmativa III. Como II e IV são
incorretas e, na ausência de uma opção que considerasse correta
apenas a I, a resposta mais adequada é a letra B.
4. Resposta: 23 (01 + 02 + 04 + 16).A crase deve ser empregada
para sinalizar a fusão de duas vogais “a” em uma só, quando está
empregada uma preposição “a” antes de uma vogal “a”. Em “Àqueles
que acreditam em propaganda devem ser advertidos”, o emprego da
crase está incorreto, pois sendo “aqueles” parte do sujeito, não
recebe preposição. Assim, a afirmação 08 é a única incorreta.
Regência nominal e verbal e crase PVE19_7_POR_A_25
Praticando
1. a) Temática.
b) Texto 1: influenciar o comportamento do leitor para que não
fume e adote atitudes mais saudáveis.Texto 2: informar o leitor
sobre dados da OMS acerca do tabagismo.
c) Texto 1: anúncio publicitário institucional.Texto 2:
notícia.
d) Texto 1: tipologia injuntiva.Texto 2: tipologia
expositiva.
2. AA ideia central do anúncio publicitário é a de que o consumo
consciente pode resultar em economia de água, a qual é gasta na
fabricação/produção de vários produtos.
3. ANesse poema, causa estranhamento ao leitor o emprego da
tipo-logia injuntiva, característica de gêneros como a receita
culinária.
Construção e recepção de textos: leitura I PVE19_7_POR_A_26
Praticando
1. A
2. A
3. C
4. BPara a resolução da questão, é preciso inicialmente observar
o elemento coesivo “isto”, que faz a retomada de uma informação
anterior: “beijava-lhe a mão”. Feita esta retomada é preciso
enten-der a relação que a conjunção “porque” estabelece entre
“beijar a mão” e “era praxe”. A relação é causal: a causa de se
beijar a mão é que essa era uma ação de praxe, rotineira.
Construção e recepção de textos: leitura II PVE19_7_POR_A_27
-
2
PVE1
9_7_
POR_
A_AP
O
Praticando
1. CNo texto apresentam-se a norma culta e a coloquial. A
intenção do anúncio publicitário em apresentar essas duas
variedades é, em relação à norma culta, manter a formalidade por se
tratar de uma empresa e inserir os dados referentes a esta na norma
de maior prestígio. Ao mesmo tempo, no contexto das festividades
juninas, busca apresentar a variedade regional nordestina.
2. CApesar de ambos os textos possuírem em comum a referência à
palavra notícia, divergem em variados aspectos. Como afirma a
alternativa C, o texto 1 é tipicamente jornalístico e possui marcas
desse gênero; o texto 2, por sua vez, é poético e tipicamente
subjetivo, características que os tornam totalmente
divergentes.
3. ENão há no texto nenhuma referência aos estilos musicais funk
e axé, portanto não há identificação do interlocutor quanto a esse
aspecto, o que torna a alternativa E incorreta.
Construção e recepção de textos: leitura III
PVE19_7_POR_A_28
-
3
PVE1
9_7_
RED
_B_A
PO
Apoio ao professor
Praticando
1. AA crítica da charge versa sobre a situação atual da
população de menor renda, que consequentemente tem acesso à
educação. Nesse sentido, a charge ironiza o fato de a educação
estar relacio-nada às classes mais ricas e isso pode ser inferido
pela expressão da mãe com a frase: “Lá vem você com suas manias de
grandeza!!”, ou seja, para ela, esse desejo é algo restrito e quase
que inatingível.
2. O fato é que os guardas pertencem à mesma classe social dos
jovens, pois o cartum chama a atenção para possíveis vínculos de
classe social, de cor e de origem entre aqueles que reprimem e
aqueles que são reprimidos. A resposta do segundo guarda, na qual
ele identifica as pessoas cuja entrada deve proibir como aqueles
“parecidos com a gente”, e a cor da pele deles sugerem esses
vínculos.
3. A forma difusa das pessoas ao fundo aponta para essa
generali-zação, pois preconceitos são generalizantes: julgam-se
todas as pessoas de um grupo, por exemplo, a partir do julgamento
estabe-lecido uma única vez e para um único indivíduo. O aspecto
gráfico do cartum, que sugere o caráter generalizante de um
preconceito, é exatamente a forma difusa das pessoas ao fundo,
mostrando como a visão preconceituosa não distingue indivíduos e
diferenças.
4. A crítica da charge está relacionada à distribuição da
riqueza no país. Uma das características da atual Constituição
Brasileira, promulgada em 1988, é a considerável ampliação da
cidadania, abrangendo garantias políticas e sociais, como os
direitos à edu-cação e à moradia. O acesso a esses direitos,
contudo, é limitado pelas condições de vida de segmentos
expressivos da população brasileira, em que a situação de pobreza e
a baixa renda tornam-se elementos de exclusão. A charge de Miguel
Paiva ironiza, de forma crítica, essa contradição.
5. As críticas nas duas charges envolvem a ideia de que o
desemprego no país atinge níveis muito altos e a de que as relações
trabalhistas são injustas.
6. A ironia do repórter em noticiar sua própria demissão.
Charge e cartum PVE19_7_RED_B_25
Praticando
1. Carl Honoré aponta o critério da qualidade como forma de
supera-ção do estilo acelerado da vida atual, sugerindo que nos
movimen-temos cada vez melhor, e não cada vez mais rápido. De sua
parte, James Gleick considera que não se pode mais voltar a um
tempo mais lento, mais tranquilo, porque a sociedade já optou por
mais velocidade. Os dois pontos de vista, portanto, se diferenciam
na avaliação dos mesmos fatos do cotidiano, relativos à aceleração
do tempo. O reconhecimento dessa diferença contribui para a
compreensão da complexidade do tema.
2. DÉ correta a opção D, pois o uso dos termos verbais na 1.ª
pessoa do plural (“carregamos”, ”podemos reduzir-nos”,
“desenvolvemos”, “somos”, “controlamos”) inclui o leitor nas
apreciações que o autor emite ao longo do texto.
3. CA letra C é a correta, pois ela explica o motivo pelo qual
existe um desinteresse dos jovens em relação à votação do dia 7 de
outubro de 2012. Segundo o autor, os jovens cultivam mais o
individualismo do que as questões coletivas e sociais.
4. CO artigo de opinião é um gênero textual pertencente à esfera
jornalística. No caso do Jornal de Londrina, a seção Ponto de vista
é um espaço para que pessoas que ocupam posições sociais
im-portantes e de reconhecimento se coloquem como articulistas. Em
se tratando de um jornal impresso de divulgação em Londrina e
região, os articulistas manifestam seus posicionamentos sobre temas
atuais. Isso quer dizer que a articulista Kenza Borges Sengik
assume uma posição sobre o assédio moral na família, tornando-a
pública por meio da veiculação no jornal citado.I. Incorreta. As
práticas “inofensivas”, segundo o texto, se propagam e são formas
de assédio moral.II. Incorreta. Considerando os sentidos do
adjetivo “sorrateiro” (atos praticados às escondidas, ou seja,
mediante disfarce, dissimulação), não é possível afirmar que o
assédio moral no âmbito familiar se deu às claras, isto é,
explicitamente.III. Correta. No último parágrafo do artigo de
opinião, a articulista nomeia o assédio moral na família como
“psicoterror familiar”, fazendo uso da conjunção alternativa
“ou”.IV. Correta. Em outro momento, outra especificação é dada à
pala-vra “afeto”, “elemento agregador”, quando, no quinto
parágrafo, a principal função da família é apontada. Nesse sentido,
é possível relacionar o desaparecimento do afeto, como dito no
quarto pará-grafo, com o desaparecimento do “elemento
agregador”.
Artigo de opinião PVE19_7_RED_B_26
-
4
PVE1
9_7_
RED
_B_A
PO
Praticando
1. O trecho “Aí, em pleno século 21, empresas oferecem produtos
em embalagens diferentes para meninas e para meninos!”. Uma das
características da escrita do blog, como já vimos, é a escrita
informal, dependendo do público que se quer atingir. No caso do
texto da psicóloga Rosely Sayão, o uso do termo informal “Aí” foi
proposital, tendo como objetivo se aproximar do leitor.
2. AO único gênero do contexto das novas tecnologias que mantém
relação com outros já existentes na língua é o e-mail, uma vez que
possui características típicas da carta e do bilhete, como
assinatura, data, saudação, despedida.
3. DOs usuários, ao escolherem o e-mail como meio de
comunicação, levam em consideração que ele independe da presença
simul-tânea entre destinatário e remetente, pois ambos podem estar
muito distantes. Sendo assim, a alternativa D é a correta, pois o
texto destaca um dos fatores para a escolha do e-mail: “alcance
espaço-temporal da mensagem”.
Gêneros digitais PVE19_7_RED_B_27
Praticando
1. a) Resposta pessoal.
b) Resposta pessoal.
c) Resposta pessoal.
2. BO autor analisa o contexto atual do turismo mercadológico
nas comunidades do Rio de Janeiro e adverte para a
descaracterização a que elas estão sujeitas pela necessidade de se
adequarem às exi-gências de turistas, comerciantes e empresários:
“Se os moradores não se organizarem e se não assumirem o
protagonismo das ações de turismo e de entretenimento no Santa
Marta, vamos assistir aos nativos – os de dentro – servindo de
testa de ferro para empreendi-mentos e iniciativas dos de fora, às
custas de uma identidade local que aos poucos vai perdendo suas
características”.
3. EA conclusão do autor é contrária à redução da maioridade
penal, conforme indica a leitura do último parágrafo (“Em vez de
sugerir redução dos seus direitos”), uma vez que se trata de um
grupo frágil, que merece cuidado para se desenvolver (“faz-se
necessário pensar e criar alternativas para as necessidades
específicas desse grupo”). O posicionamento do autor fica claro em
“Reivindicar o direito de puni-los como adultos é ceifar direitos e
oportunidades e diminuir o tempo da fase mais importante da
formação humana.”.
4. Resposta: 3, 4, 1, 2.
5. EAo término da introdução, o autor afirma “Tais novas
condições tanto se dão no plano empírico quanto no plano teórico.”.
Essas são as duas dimensões teórico-conceituais utilizadas como
argumentos para sustentar a tese.
6. DO autor critica o posicionamento da indústria farmacêutica e
a aponta como uma entidade que se aproveita da fragilidade do ser
humano atual, que necessita de compensações imediatas.
Redação nos vestibulares PVE19_7_RED_B_28
-
5
PVE1
9_7_
LIT_
C_AP
O
Apoio ao professor
Praticando
1. EO tropicalismo inovou ao criar um sincretismo entre vários
estilos musicais, um exemplo deles é MPB com o rock.
2. EA poesia concreta, conforme apresentam as assertivas,
valorizava a expressão visual de elaboração do poema, a fim de
proporcionar dinamicidade. Devido a isso, utilizavam o processo
ideogramático para construção do poema. A sintaxe não era uma
preocupação dos concretistas, uma vez que o verso tradicional foi
desconstruído por esses escritores. Essa arte escrita revolucionou
a maneira de se pensar a poesia.
3. Da) João Cabral de Melo Neto fez parte da 3.ª geração
modernista e
não escrevia poemas concretos. Cacaso, por sua vez, é
conside-rado um autor contemporâneo relacionado à poesia
marginal.
b) Cacaso e Paulo Leminski são autores contemporâneos
relacio-nados à poesia marginal.
c) Mario Chamie, embora tenha escrito poemas concretos, não foi
um dos criadores do movimento concreto.
d) Décio Pignatari, Augusto de Campos e Haroldo de Campos.
Concretismo e Tropicalismo PVE19_7_LIT_C_25
Praticando
1. 43 (01+ 02 + 08 + 32)O poema Fotonovela, de Cacaso, extraído
do livro Poesia Marginal, procurava estabelecer uma relação
comparativa entre o título do poema e outras narrativas seriadas,
tais como a telenovela (ou novelas de televisão), de grande
conhecimento e consumo pú-blico. Se não fosse pelo caminho da
telenovela, a associação com narrativa seriada poderia ter se dado
em outro fenômeno cultural contemporâneo, as séries e os seriados
de TV, consumidos no es-paço privado e muitas vezes
problematizado-os em sala de aula. A proposição procurava não
deixar dúvidas quanto ao comparativo fotonovela/telenovela por
relacionar um gênero, novela, com um qualificativo, fotográfico, e
apontar para uma forma narrativa marcada por ganchos em final de
episódio, o folhetim.
2. 50 (02 + 16 + 32)A questão, com três proposições verdadeiras
e três falsas, trata do livro O Beijo no Asfalto, focalizando, além
da leitura do excerto apresentado, a temática, o enredo e o
contexto da obra, bem como os recursos estilísticos analisados sob
o ponto de vista gramatical. A proposição 02 se ancora no excerto
apresentado e trata da manipulação da informação por parte de uma
imprensa
inescrupulosa. A proposição 04 (incorreta) requer a compreensão
da expressão “ingênuo incorrigível” e a capacidade de reconhecer
que é impossível atribuir tal característica ao inescrupuloso
jornalista Amado Ribeiro. A proposição 08 (incorreta) requer
conhecimento mais específico sobre o que caracteriza a modernização
dos centros urbanos. As proposições de número 16 e 32 envolvem a
linguagem entrecortada que marca a obra e atribui-lhe significado.
Em geral, a obra traz uma ruptura de alguns preceitos da norma
culta como sinal de coloquialidade na fala das personagens. A peça
também desmascara a imprensa sensacionalista.
3. 26 (02 + 08 + 16)A violência exercida durante o regime
militar era imitada na lin-guagem poética que, sem obedecer à
norma-padrão, objetivava transmitir a realidade por meio de textos
com humor e ironia, sem se prender à credibilidades. Assim, a
linguagem estava completa-mente vinculada a práticas sociais.
4. CO poema de Ana Cristina César não apresenta rimas, métrica
uni-forme nos versos nem linguagem hermética, características que o
situam na estética da poesia marginal, que preza pela métrica livre
e linguagem coloquial.
Literatura contemporânea I PVE19_7_LIT_C_26
-
6
PVE1
9_7_
LIT_
C_AP
O
Praticando
1. 15 (01 + 02 + 04 + 08)A questão destacava um trecho da obra
de Moacyr Scliar e a tomava como base para considerar, além de
questões estilísticas, aspectos gerais de A majestade do Xingu
(tais como a premissa do romance, o tipo de narrador empregado, o
destino dos personagens principais). A proposição 08 apresentou
construções metafóricas mais simples, que envolviam a comparação
(destacada na própria proposição) de massas tectônicas com placas
tectônicas. Por outro lado, na proposição 04, era preciso
distinguir os dois tipos de viagem pre-sentes no excerto, baseadas
nas próprias conclusões do autor sobre o deslocamento dos povos
nômades ao redor do globo (os índios telúricos) e o deslocamento
dos imigrantes de uma região a outra.
2. EAs afirmações sobre a crônica estão todas corretas. É
possível perceber que Luis Fernando Verissimo utiliza trechos de
músicas da Bossa Nova para caracterizar o estilo musical de sua
geração. A melancolia, referida no item III, evidencia o início do
Rock, que toma o espaço da Bossa Nova.
3. 40 (08 + 32)O item (01) está incorreto, pois os pseudônimos
“Anjo Negro” e “Corvo” foram criados pela imprensa, à época do
governo de Getúlio Vargas. O item (02) está incorreto, porque o
termo “lacer-dismo” diz respeito ao governo (e pensamento político)
de Carlos Lacerda, governador do antigo Estado da Guanabara. O item
(04) está incorreto, porque o alter ego do autor Rubem Fonseca,
comis-sário Mattos, atua como protagonista da obra e relata, em
terceira pessoa, acontecimentos ocorridos durante a crise do
governo Getúlio, levando-o ao suicídio. O item (16) está incorreto,
porque o comissário Mattos não foi responsável pelo atentado a
Lacerda. Por fim, o item (64) também está incorreto, pois o termo
“opróbrio” significa, no contexto, “injúria”, “infâmia”.
4. BNo contexto, o próprio texto do Luis Fernando Veríssimo
dialoga com o leitor como se estivesse fazendo uma reflexão sobre o
conteúdo que será abordado na crônica. Essa característica torna o
trecho da alternativa B metalinguístico.
Literatura contemporânea II PVE19_7_LIT_C_27
Praticando
1. DA temática do tempo é ligada, na maioria das vezes, à outra
te-mática: a da memória. Sabendo que os grandes transmissores das
tradições são os mais velhos, que em algumas regiões recebem o nome
de griôs (ou gritos), a preocupação do avô no conto é repassar seus
conhecimentos ao neto, a fim de que se mantenha viva a
tradição.
2. CA questão central da literatura africana em Moçambique se dá
pela relação entre a tradição oral e a lusofonia, o que explica os
neologismos. Mia Couto é, pois, exemplo maior, por ser filho de
portugueses em Moçambique, articulando ambas as culturas em sua
literatura.
3. EO Planalto e a Estepe narra a história da paixão entre Júlio
(jovem an-golano simpatizante do comunismo) e Sarangerel (moça
mongol) na cidade de Moscou. Devido a questões políticas entre os
países envolvidos, o amor entre os dois não é permitido. Assim, a
história de amor tem como pano de fundo as contradições ideológicas
do bloco comunista na chamada Guerra Fria.
4. CI. Incorreta. Júlio nunca chega a consumar a paixão que
sente por
Ludmila. Ele buscará a vida inteira por Sarangerel, com quem
viverá um amor real, inclusive fisicamente.
II. Incorreta. O trecho se refere à partilha de segredos. Os
amigos sabiam que era impossível concretizar uma relação carnal com
ela e, por isso, não se importavam em partilhar as fantasias em
relação à bela professora.
III. Correta. Os trechos “mas sabíamos, Ludmila era um sonho
impossível” e “era bela demais, não existia na realidade, fugaz
produto de um pintor inspirador” demonstram a idealização da figura
feminina por parte do narrador, recuperando o clichê romântico da
mulher inalcançável.
IV. Correta. O amor não realizado e, por isso, apenas vivenciado
como fantasia contribui para mostrar o caráter idealista do grupo
de jovens.
5. AO romance é narrado por Júlio em primeira pessoa, isto é, o
foco narrativo está centrado nele. A escolha desse foco permite o
acom-panhamento de questões interiores da personagem,
principalmen-te aquelas que dizem respeito à Sarangerel. Trata-se,
pois, de um foco narrativo que aproxima leitor e texto, leitor e
personagem.
6. AUma das características da linguagem de Mia Couto é
transformar substantivos ou adjetivos em verbos. O sufixo -ando
corresponde à forma nominal do verbo, indicando uma ação contínua,
que está, esteve ou estará em andamento. Logo, é um processo verbal
não finalizado. Ao transformar o substantivo bonito em verbo no
ge-rúndio, a personagem quer evidenciar que a ação de se embelezar
apresenta um efeito prolongado.
Multiculturalidade PVE19_7_LIT_C_28
-
7
PVE1
9_7_
ING
_APO
Teacher Support
Putting into practice
1. D
2. D
3. C
This is the book that he bought PVE19_7_ING_25
Putting into practice
1. D
2. C
3. A
He told me I looked great PVE19_7_ING_26
Putting into practice
1. a) will have been working
b) will you have been waiting
c) won’t have been eating
d) will she have been looking for
e) Will she have been waiting
2. D
3. a) In two years, Meg will have graduated.
b) Next year, we will have been living in this house for two
de-cades.
c) This time next week we will have been sailing in the Pacific
for a month.
d) How long will Jane have been studying Spanish when she leaves
school?
We’ll have received our prize PVE19_7_ING_27
Putting into practice
1. E, C, C. A resposta para o item IV é a letra C.
2. A
3. D
Keep up with the good work PVE19_7_ING_28
-
8
PVE1
9_7_
MAT
_A_S
OL
Solucionário
Praticando
1. a)
Pelo teorema do resto, P(1) = 0. Substituindo:
P kP
k k k( ) ( ) ( ) ( )( )1 1 2 1 11 0
1 2 1 0 2 0 25 4= − ⋅ − +
=
⇒ − − + = ⇒ − + = ⇒ =
b) Pelo teorema do resto, P(– 1) = 3. Logo,
P kP
k k k
( ) ( ) ( ) ( )( )− = − + ⋅ − − − +− =
⇒
⇒− + + + = ⇒ + = ⇒ =
1 1 2 1 3 11 3
1 2 3 3 4 3
3 2
33 4 1− = −
2. I. B
Note que 1 é raiz de P(x). Dessa forma, P(x) é divisível por x –
1. Veja também que (x – 1)(4x³ + 1) = 4x4 + x – 4x³ – 1 = P(x).
Logo, a alternativa correta é a letra B.
II. EA alternativa correta é a letra E. De fato,
P x x
x( ) +
−
2 1
1 2
Dessa forma,
P x x x x x x( ) = +( ) −( )+ = − + −2 3 21 2 1 2 13. A
Determinando o polinômio q(x) = p xr x
( )( )+
–2 1 3 –2 –2 12
1 1 –4 6 0
x
Portanto, q(x) = x3 + x2 – 4x + 6 e a soma de suas raízes será
dada
por S =− = −11
1.
Desenvolvendo Habilidades
1. DPelo Teorema de d’Alembert, observa-se que se um polinômio
qualquer Q(x) é divisível por x – a e conclui-se que o resto da
divisão será igual a zero (R = 0) se P(a) = 0.Logo, se x = 3 é um
zero de f, a função polinomial f é divisível por x – 3.
2. AO resto da divisão de p(x) por x + 1 é igual a 3. Dessa
forma, m e n devem ser números pares, pois:
p(–1) = 3 ⇒ p(–1) = (–1)n + (–1)m + 1 = 3 ⇒ −( ) =−( ) =
1 1
1 1
n
m
3. EDo enunciado,
● P(x) é divisível por (x – 2). Portanto P(2) = 0; ● o resto da
divisão de P(x) por (x + 3) é –45, assim P(–3) = –45.
Obtemos, então:0 2 2 2
45 3 2 3
3
3
= � + � +
− = � −( ) + � −( ) +���
��
a b
a b
���a = 1; b = –12
4. APelas informações apresentadas,
P x x x ax b P a ba b a
( ) ( )� � � � � � � � � � � � �� � � � � � �
4 2 4 28 2 0 2 8 2 2 00 16 32 2 16 2 bbP a b a b
a ba b
a b a b a b
( )1 9 1 8 9 16
16 216
2 0
� � � � � � � � �
�� �� �
���
� � � � � � � �116
4 645� � � �a b
5. BAplicando o dispositivo prático de Briot-Ruffini:
2 –7 3 8 –4
2 2 –3 –3 2 0
2 2 1 –1 0
Assim, 2 1 1 012
1
2 1
2
x x raizesx
x+ − = ⇒
=
= −
raízes 2 1 1 0
12
1
2 1
2
x x raizesx
x+ − = ⇒
=
= −
cuja soma vale –0,5.
6. DTemos como raízes r, –r e x0. Pela relação de soma, sabemos
que
r r x
x
p a
a
+ −( )+ = −= −
− = −( ) + −( ) + ⋅ −( )− ==
0
0
3 2
1
1
1 1 1 1 3 0
3
( )
Portanto, p x x x x( )= + − −3 2 3 3 para todo x real. Em
particular, se x = 1, conclui-se que p( )1 1 1 3 1 3 43 2= + − ⋅ −
= − .
7. DConsiderando que 232 = x, podemos resolver o problema por
meio de uma divisão de polinômios: (x2 + 1) por (x + 1).O resto R
da divisão de x2 + 1 por (x + 1) é o valor numérico de x2 + 1 para
x = –1 (Teorema do Resto), ou seja, R = (–1)2 + 1 = 2.
Polinômios II PVE19_7_MAT_A_25
-
9
PVE1
9_7_
MAT
_A_S
OL
8. CEfetuando a divisão:
6 2 8 10 2 3 2
6 18 12 6 20 64
20 4
4 3 2 2
4 3 2 2
3 2
x x x x x x
x x x x x
x x
− − + − + −
− − + − +
− + +11020 60 40
64 30 2
64 192 128
222 126
3 2
2
2
x
x x x
x x
x x
x
+ −
− −− − +
− +
O dobro do resto será dado por 2 · (–222x + 126) = –444x +
252.
9. BSendo (x2 + x + 1)2 = x4 + 2x3 + 3x2 + 2x + 1, pelo método
da chave encontramos:
x x x x x xx x x x xx x xx x
4 3 2 2
4 3 2 2
3 2
3 2
2 3 2 1 13 5
3 2 2 13 3
+ + + + − +− + − + +
+ + +− + −33
5 15 5 54 4
2
2
xx xx xx
− +− + −
−
Portanto, a resposta é 4x – 4 = 4(x – 1).
10. E Como um dos fatores de P(x) é x + 3, x = –3 é uma raiz de
P(x).Assim, usando o dispositivo prático de Briot-Ruffini:
–3 1
1
2
–1
–5
–2
–6
0
Dessa forma, P(x) = (x + 3) · (x2 – x – 2).Calculando as raízes
de x2 – x – 2 = 0, obtemos x2 = 2 e x3 = –1.
Dessa forma, x2 – x – 2 = (x – 2) · (x – (– 1))x2 – x – 2 = (x –
2) · (x + 1)
Então, P(x) = (x + 3) · (x – 2) · (x + 1).
Complementares
1. AO quociente da divisão equivale a 2x2 + x + 3. Logo, o
produto entre o maior e o menor dos coeficientes equivale a 3.
2. CFazendo a divisão, encontramos como resto (mx + n + 4), que
deve ser igual a zero. Para que a expressão forme um polinômio,
temos mx + n + 4 = 0.Logo, m = 0 e n = –4.
3. DTem-se: x ax b x x x x2 22 1 2+ + = +( ) −( ) = + − . Logo,
conclui-se que a = 1 e b = –2 e, portanto, a – b = 1 – (–2) =
3.
4. BDividindo p por d obtemos:
2x³ + 5x² + x + 17 = + +( )⋅ − −+ − −
+ +2 4 52
5 62
2 722
x nx xn n n
x n
Para que o resto da divisão seja 5, devemos ter
n nn
n nen
n2 5 6 0
2 7 5
1 6
11
− − =+ =
���
���
= − =
= −
�
��
��
� = −;
Portanto, n é um número negativo e maior que −4.
5. EFazendo a divisão, x x ax a x x x a x a3 2 23 4 4 2 3 6 4 8+
− − = − −( )⋅ +( )+ − +( ) + − +( ).
Dessa forma, − + = ⇔ =− + = ⇔ =
3 6 0 24 8 0 2
a aa a
Logo, a = 2.
6. DSe q(x) é o quociente da divisão de p por (x – 2)(x – 4)(x –
5), e x + 3 é o resto. Então, p(x) = q(x)(x – 2)(x – 4)(x
– 5) + x + 3.Assim, A = p(2) = 2 + 3 = 5B = p(4) = 4 + 3 = 7C =
p(5) = 5 + 3 = 8Portanto, ABC = 5 ∙ 7 · 8 = 280.
7. AA divisão do polinômio pelo método da chave resulta em x x x
x x x x x x x5 4 3 2 3 2 20 0 1 3 2 2 6 3+ − + + + = − +( ) +( )+ −
+ −( ) .
Logo, r(x) = –x² + 6x – 3 e r(–1) = –(–1)² + 6(–1) – 3 =
–10.
8. AO desenvolvimento do determinante resulta em
A x x x x x x
A x x x x
A x x x x
A x
( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
= + − − − += + − −= + − +=
3 2
3 2
2
2 2
2 2
2 1 2
(( )( )x x+ −2 12
A alternativa A é a incorreta, pois A(x) possui raízes comuns
com B(x), já que possui o fator x² – 1.
9. 23 (01 + 02 + 04 + 16)
(01) Correto. P xp qp q
( ) = ⇒ + − =+ =
02 1 0
0
Da segunda, temos p = –q. Substituindo na primeira, temos
2p – p – 1 = 0 e, portanto, p =
1. Se p = 1, substituindo na segunda, temos q = –1. Logo, p – q = 1
– (–1) = 2.
(02) Correto.
x a x a x b x ax a x bx ax ab ax a bx ab+( ) − +( ) −( ) = + + −
− + −( ) = + + +2 2 2 2 22x a x a x b x ax a x bx ax ab ax a bx
ab+( ) − +( ) −( ) = + + − − + −( ) = + + +2 2 2 2 22
Por hipótese, ax a bx ab x+ + + = −2 2 3. Logo, a aba b
2 32
+ = −+ =
Da segunda, temos b = 2 – a. Substituindo na primeira,
a a a2 2 3+ −( ) = −
2 332
a a= − ⇒ = −
Logo, b = − −= + =2 3
22
32
72
(04) Correto. 4 3 2 23 2 3 2 2x ax x Q x R x mx mx nx nx+ − = (
)⋅ ( ) = − + −Então, 2 4 2m m= ⇒ =2n m a− =
n= 3
-
10
PVE1
9_7_
MAT
_A_S
OL
Logo, a = 6 – 2 = 4.
Então, a + m + n = 9.
(08) Incorreto. Sejam f e g polinômios de grau 3. Logo, o grau
do polinômio f + g é 3 e não 6. Portanto, a afirmação é falsa.
(16) Correto. As raízes de x2 7 12− + são 3 e 4. Dessa forma, se
Q(x) é divisível por R(x), temos que ter c = 3 e d = 4 ou c = 4 e d
= 3. Dessa forma, c + d = 7.
10. Se a0, a1, ..., an estão em P.G. de razão q, tem-se:
P x a a qx a q x a q x a qx qx qxn nn
( ) ... ...� � � � � � � � � � � � � ��� ��0 0 02 2
0 021
a)
Pq
a qq
qq
qq
an
11
1 1 11 1 10
2
0
�
��
�
�� � � � � �
�
��
�
�� � �
�
��
�
��
�
���
�
���� � � 22 01 1� �� � � �� �... .n a n
b) P(x) pode ser reescrito como:
P xa qx
qxse x
q
P x a n se xq
n
( ) ,
( ) ( ),
=⋅ ( ) −
−≠
= + =
+0
1
0
1
11
11
Como a P xqx
qx
n
0
1
0 01
1≠ = ⇒ ( ) =
≠
+
, ( )
Se q é um número real, o sistema é satisfeito se, e somente se,
qx = –1 e qx n( ) =+1 1. Portanto, essas equações mostram que n não
pode ser par.
Praticando
1. 12
é raiz e tem multiplicidade 5. − 27
é raiz e tem multiplicidade 3.
Como 20 = 1, então 1 é raiz e tem multiplicidade 2.
Por fim, 21 é raiz de multiplicidade 1.
2. Sabemos que i2 = –1. Além disso, pelo Teorema do Conjugado,
observamos que os conjugados dos números complexos 7i, i + 14 e (–6
– i) também são soluções da equação. Dessa forma, notamos que –7i,
–i + 14 e –6 + i também são raízes. Assim, concluímos que o menor
grau do polinômio será 7.
3. B Sejam r, s e t as raízes da equação x x x3 24 6 0+ + − = ,
e considere que r = s + t.Utilizando a relação de soma de
Girard,
r s t
r rr
+ + = −
+ = −= −
41
42
Concluímos, então, que 2 é uma das raízes.Dividindo, agora, x x
x3 24 6+ + − por ( )x +2
–2 –3
–61 14
2 01
x x x x x xx x
x x x ou x
3 2 2
2
4 6 2 2 3 02 0 2
2 3 3
+ + − = + ⋅ + − =+ = ⇒ = −+ − ⇒ = − =
( ) ( )
11
Logo, S = {–3, –2, +1}.
Desenvolvendo Habilidades
1. AÉ fácil ver, por inspeção, que x = –1 é raiz de P. Logo,
temos P(x) = (x + 1)(x4 + x2 + 1). Então, como x4 + x2 + 1 = 0 não
possui raízes reais, podemos concluir que a única raiz real de P é
x = –1.Portanto, sendo M o conjunto das raízes reais de P,
concluímos que a resposta é 1.
2. DComo P(x) é divisível por 2x – 3, tem-se que P
32
0
= .
Se x = 2i é raiz, então x = –2i também é.Logo,
P( )x x x i x i
x x x xx
= −
−( ) +( ) =
= −
+( ) = + − −
32
2 2
32
4 43
262 3
2
== + − − =
= − + −
2 8 3 6
2 3 8 12
3 2
3 2
x x x
x x x
3. A
xx
x x
x x
x x i
� � � �
� � � �
� � � �
� � � � �
�
���
���
44
4 2
2
2
161
16
116
14
14
12
14
12
Em que i é a unidade imaginária dos números complexos.
4. EAplicando Briot-Ruffini:
1 2 –7 –8 12
2 1 4 1 –6
–2 1 2 –3
Logo, p(x) = (x + 2) (x – 2) (x2 + 2x –3).Como –3 e 1 são raízes
de x2 + 2x –3, verificamos que as raízes de p(x) são –3, –2, 1 e
2.
5. BConsiderando que a equação não possui raízes complexas e que
suas três raízes são iguais a 1, podemos escrever que:(x – 1) · (x2
+ p · x + q) =(x – 1) · (x2 – 2x + 1), para todo x ∈ .Ou seja, p =
–2 ou q = 1.Logo, a alternativa correta é B, p < 0 < q.
6. Da) Incorreta. Se b = 0, então p(x) = x2 + 3. Logo, p não
possui
nenhuma raiz real para b = 0.
⇐
Equações algébricas PVE19_7_MAT_A_26
-
11
PVE1
9_7_
MAT
_A_S
OL
b) Incorreta. Desde que ∆ = b2 –12, temos ∆ > 0 para b = 12
e, portanto, p possui duas raízes reais distintas para b = 12.
c) Incorreta. Conforme explicado na alternativa A.
d) Correta. 113
12 2 3+ < = .
e) Incorreta. O polinômio tem grau 2 e, portanto, não pode ter
três raízes reais. Além disso, tem-se π2 –12 < 0 e, assim, p não
possui nenhuma raiz real.
7. BPara t = 1, N(1) = 1 – 21 + 126 + 304 = 410 (1 não é
raiz)Para t = 2, N(2) = 8 – 84 + 252 + 304 = 480 (2 é
raiz)Realizando a divisão de N(t) por x – 2, obtém-se como
quociente x² – 19x + 88, cujas raízes são 8 e
11. Logo, o número de tablets vendidos foi igual a 480 nos meses 2,
8 e 11, ou seja, fevereiro, agosto e novembro.
8. ESejam r1, r2 e r3 as raízes de P(x) e M a média aritmética
dessas raízes.
Pela relação de Girard, r r r1 2 3112
112
+ + = − −
=
Mr r r
=+ +
= =1 2 33
1123
116
9. E
x xx
x
xx
x x
− + +−
=
+( )+
= −( ) +( )
4 10 104
10 14
1 1
2
Como x = –1 não é solução,
104
1
10 1 4 6x
x
x x x−
= −( )= −( )⋅ −( )⇒ =
Assim, 2R – 2 = 10.
Complementares
1. APelas relações de Girard, conclui-se que o produto equivale
a
x x xda1 2 3
21
2⋅ ⋅ = = =
2. AAplicando as relações de Girard, tem-se:I.
x x x x xp
i i i ip
pp
1 2 3 4 5 2
2 2 1 2 1 212 2
132 2
13
+ + + + = −
⇒ + + − + + + − + = −
⇒ = − ⇒ = −
II.
x x x x xq
i i i iq
q
1 2 3 4 5 2
2 2 1 2 1 212 2
5 512
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = −
⇒ +( ) −( ) +( ) −( )⋅ = −
⇒ ⋅ ⋅ = −22
25
13 25 13 25 38 325 287
⇒ = −
∴ + + = − − + −( )⋅ −( ) = − + =q
p q pq
3. BCalculando o determinante de P(x),P(x) = nx³ + 2m + nx –
mnx² – x² – 2n P(x) = nx³ – (mn + 1)x² + nx + 2m – 2n.Comparando
com Q(x)= x³ – 4x² + x + 4, obtêm-se n = 1 e mn + 1 = 4,
ou seja, m + 1 = 4. Logo, m = 3. Assim, mn= 3.
4. BSendo x x x1 2 3, , as raízes de P(x), pelas relações de
Girard, tem-se:
x x x
x x x
x x xx x x
x xx x
1 2 3
1 2 4
1 2 3
1 2 43 4
1
18
12
32
32
� �� �
���
� � � ��
. ,Então
22 3
1 2 43 4 4 4
4 3
032
2 3
� � �� � �
���
� � � � � � � �
� � � � �
x a
x x xx x a x x a
x a x a;
Substituindo em p(x), tem-se:
( a) ( a)
(a )
� � � � �
� � � �
� � � �
3 3 18 0
27 9 18 0
18 18 1
2 2
3 3
3
a
a a
a a
Então,
x
b b b b b a
4
3
2
2 2 12 0 8 2 12 0 2 4 2 2
� �
� �� � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � .
5. CI. Correta.
a b c
abc
ab bc aca b c
abc
+ + =
=
+ + = + + =
⇒ = −
92
32
1 1 13
31219
log
II. Correta.
V V
r r
r r
r raio
cone esfera� �
� � �
� � �
�
60
13
843
60
16 360 0
6
2 3
3 2
�
� � �
do ccone
da esfera
� �� � �r raio3
III. Incorreta.O determinante da matriz é (–abc). Como o produto
das raízes é abc = –12, temos det = –(–12) = 12.
6. DI. Se {a – r; a; a + r} for o conjunto verdade da
equação
x3 – 9x2 + 23x – 15 = 0, com r > 0, então:
(a r) a )a r(a r) a (a r) (a r )
− + + + =− ⋅ ⋅ + =
⇒=
⋅ − =
⇒=9
15
3 9
15
32 2
a
a
ar == 2
II. A progressão aritmética crescente é (1; 3; 5; ...).
III. O vigésimo termo da progressão é 1 + (20 – 1) ∙ 2 = 39.
IV. A soma dos vinte primeiros termos é 1 39
220 400
+ ⋅ = .
-
12
PVE1
9_7_
MAT
_A_S
OL
7. Sendo reais as raízes do polinômio p(x) = x³ + ax² + bx + x,
se duas de suas raízes são –1 e 1 + ai, então a terceira raiz é 1 −
ai.Pode-se escrever p(x) = (x +1)(x −1− ai)(x −1+ ai).a) Se o resto
da divisão de p(x) por (x – 1) é 8, então:
p i i
p i i
( ) ( )
( )
1 1 1 1 1 1 1 8
1 2
= + − −( ) − +( ) =⇒ = −( )( )
α α
α α
Com a > 0, tem-se 2a² = 8 e, assim, a = 2.
b) Sendo a = 2, p(x) = (x +1)(x −1− 2i)(x −1+ 2i) ⇒
q xp xx
x x i x ix
q x x i x i( )( )
( )=+
=+( ) − −( ) − +( )
+⇒ = − −( ) − +(
11 1 2 1 2
11 2 1 2 ))⇒
= −( ) −( ) = − + + ⇒ = − +q x x i x x q x x( ) (x)1 2 2 1 4 2
52 2 2 2
8. 33 (01 + 32)(1) Correta.
3 5 31
225 3 52
22 2
5 5 52 2n
n nn
n� � � � � � � � �
�log log log
(2) Incorreta. Sendo
2x = t ⇒ 4x + 4 = 5 · 2x
2x · 2x + 4 = 5 · 2x
Chamando t = 2x, temos:
t2 + 4 = 5t
t2 – 5t + 4 = 0Resolvendo a equação, temos t = 4 e t = 1.
Calculando os valores de x:
2 4 2 2 1 0x xx e x� � � � � �
Nenhum dos dois valores pertencem ao intervalo (2, 4].
(3) Incorreta. Cada face tem
16
de chance de ocorrer. Neste caso, ele tem 16
de chance de ganhar (saindo 3) e 56
de chance de perder
(saindo 1, 2, 4, 5 ou 6).
(4) Incorreta. Como 4x – 1 é um polinômio do primeiro grau,
basta que P(m) = 0, sendo m a raiz de 4x – 1, para que o polinômio
P(x) seja divisível por 4x – 1. Calculemos m primeiramente:
4 1 0 4 114
m m m� � � � � �
Assim, basta que P14
0
= e que se calcule o valor de p
correspondente:
P x x px
P p
p p
( ) � � �
���
��� �
���
��� �
���
��� �
� ��
�
2
2
0
14
14
14
0
116 4
1 416
0�� � � � � � � � �4 1 0 4 114
p p p
(5) Incorreta. Pelas relações de Girard, tem-se que:
ab ac bcabc
a b cab ac bc
abc
+ + ==
⇒ + + = + + = =
⇒
125250
1 1 1 125250
12
12
log≠ 0
(6) Correta.A P C6
25 5
3 30 120 10 140+ − = + − =
Praticando
1. Note que para x = 0, p x( ) = − ⋅ + ⋅ + ⋅ − = −0 5 0 5 0 5 0
6 64 3 2 , e para x = 4, p x( ) = − ⋅ + ⋅ + ⋅ − = − + + − =4 5
4 5 4 5 4 6 256 320 80 20 6 304 3 2 .Pelo Teorema de Bolzano, o
polinômio admite pelo menos uma raiz entre 0 e 4.
2. Pelas relações de Girard, observamos que x x xd
a1 2 3⋅ ⋅ = − , assim
− ⋅ ⋅ = ⇒ ⋅ = −2 4 21 2 1 2x x x x .
3. Sabendo que 1 e –1 são raízes de p(x) e usando o dispositivo
de Briot-Ruffini,
p x x x x x x x x x( ) = − + + − = −( ) −( ) +( ) −( )4 3 25 5 5
6 2 3 1 1 q x x x x x( ) = + − = −( ) +( )2 2 15 3 5Assim, m d c p
q x. . . ,( ) = −( )3 m m c p q x x x x x. . . ,( ) = −( ) −( ) +(
) −( ) +( )2 3 1 1 5
Desenvolvendo Habilidades
1. BPela propriedade de progressão aritmética,
a rr a r r a r
− = ⇒ − = ⇒ =2
2 3
Equações algébricas: relações de Girard
PVE19_7_MAT_A_27
Pelas relações de Girard,− ⋅ − ⋅ + ⋅ = − ⇒ = ⇒ =r r r a r a r a9
3 9
2. APelas informações, o polinômio em questão é:( )( )( )( )
( )( )
x i x i x x
x x x x x x x
− + − − == + − + = − + + −
2 2 3 4
4 7 12 7 12 4 22 2 4 3 2 2 88 48
7 16 28 484 3 2x
x x x x
+ == − + − +
3. EO resto da divisão de p(x) = x² + 1 por g(x) = x – 1 é igual
a p(1) = 2.Temos, então, a P.G. dada por (k, 2k, 4k, 8k).A soma dos
seus termos, por hipótese, resulta 15. Logo, k + 2k + 4k + 8k = 15
⇒ k = 1, ou seja, a P.G. é dada por (1, 2, 4, 8).Portanto, f(x) é
igual a:
f x x x x x
f x x x x x
( ) ( )( )( )( )
( )
= − − − −= − + − +
2 1 2 4 8
2 30 140 240 1284 3 2
4. APelas relações de Girard,
7 7= − ⇒ = −ba
b (observe que, nos polinômios apresentados, a = 1)
-
13
PVE1
9_7_
MAT
_A_S
OL
8 8= − ⇒ = −da
d
14 14= ⇒ =ca
c
Logo, os números pensados por João são raízes da equação x x x3
27 14 8 0− + − = .
5. ADe acordo com o gráfico, A > 0, F > 0 e P(x) possui
duas raízes reais, sendo uma de multiplicidade 1 e outra de
multiplicidade 2. Mas, como P(x) é do grau 5, tem-se que as outras
duas raízes são complexas conjugadas.
6. AAplicando as relações de Girard,
x1 + x2 + x3 = –ba
= 21
= 2 (I)
x1 · x2 + x1 · x3 + x2 · x3 = ca
= –51
= –5 (II)
x1 · x2 · x3 = –da
= –61
= –6 (III)Sabendo que 1 é raiz, pois p(1) = 0, temos de (I) e
(III):
x x x
x x x
x x
x x
x x
x1 2 3
1 2 3
2 3
2 3
2 3
2
2
6
1 2
1 6
1+ + =⋅ ⋅ = −
⇒+ + =⋅ ⋅ = −
⇒+ =⋅xx3 6= −
Chegamos a um caso de soma e produto, em que a soma das duas
raízes vale 1 e o produto vale –6. Logo, x2 = 3 e x3 = –2.Portanto,
o polinômio possui três raízes reais.
7. BSejam a, b e c as raízes da equação, com a2 = bc. Logo,
pelas rela-ções de Girard,
a b cab ac bc kabc
a b c
a b c a k
a
+ + =+ + == −
⇔
+ + =+ + == −
7
216
7
216
2
3
( )
⇔+ =
− ⋅ + == −
⇔+ == −= −
b ck
a
b cka
136 13 36
6
13426
8. D2 1 3 2 1 3 0
2 1 1 1 3
3 2 3 2
2
⋅ + = ⋅ + ⇒ ⋅ + − ⋅ + = ⇒⋅ + ⋅ − + − ⋅( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
x x x x x x
x x x xx x
x x x x
x x x
x
⋅ + = ⇒+ ⋅ − + − = ⇒+ ⋅ − + = ⇒
+ = ⇒
( )
( ) ( )
( ) ( )
1 0
1 2 2 2 3 0
1 2 5 2 0
1 0
2
2
xx ou x x x ou x= − − + = ⇒ = = −1 2 5 2 0 2 12
2
Portanto, o conjunto S será dado por:
S = − −
112
2, ,
Então, {–1, 2} ⊂ S.
9. DSe 1 + i é raiz de p, então 1 – i também é raiz. Em
consequência, p é divisível por x2 – 2x + 2. Assim, p(x) = (x3 –
1)(x2 – 2x + 2) = (x – 1)(x2 + x + 1)(x2 –2x + 2)e, portanto, como
x2 + x + 1 = 0 possui duas raízes complexas não reais, tem-se que p
possui apenas uma raiz real e quatro raízes complexas não
reais.
10. CO número de cubos sem nenhuma face pintada é igual ao
número de cubos internos, sendo n o número de cubos de uma aresta.
Então, P3(n) = (n – 2)3.O número de cubos com apenas uma face
pintada é igual ao nú-mero de cubos que estão nas faces e não fazem
parte da aresta: P2(n) = 6 · (n – 2)2.Os cubos com duas faces
pintadas são os cubos que estão nas arestas, mas não nos cantos:
P1(n) = 12(n – 2).Logo,
P x x x x
P x x x x x
P x
( )
( )
(
= −( ) − −( )+ −( )= −( ) − + − + −( )
2 12 2 6 2
2 4 4 12 6 12
3 2
2
)) .= −( ) + −( )x x x2 2 202Portanto, uma das raízes é 2.Como a
soma das raízes do segundo polinômio é –2 e o produto é –20,
x xx x x x
1 2
1 2 1 2
1 1 220
110
12
110
610
35
��
� � ���
� � � � �
Complementares
1. AA soma das raízes equivale a − = −
−( ) =ba
11
1 .
O produto das raízes equivale a ea= =48
148 .
2. ESe todo polinômio de grau ímpar tem pelo menos uma raiz
real, então basta procurar um polinômio de grau par, ou seja, o
coeficiente do termo de maior grau deve ser nulo. Logo, (m – 1)(m2
+ 1) = 0 ⇒ ⇒ m =1 e p(x) = x² + kx +1.Para que p(x) não tenha
raízes reais, deve-se ter:
b ac
k
kk
2
2
2
4 0
4 0
42 2
− <− <<
− < <3. A
Pelas informações do enunciado, pelas relações de Girard e sendo
K1 e K2 as raízes de p(x), tem-se:
K KK K
Mas K Kr
r
1 21 2
1 2
27 14
228
�� � � �
� � � � � �
Sejam q1 e q2 as raízes do polinômio q. Logo,
q qs
s1 22
2 32
2 12+ = ⇒
−
= ⇒ = −
Assim, p(x) + q(x) = 3x² – 12x – 2 + 2x² – 28x + 5 = 5x² – 40x +
3 e a
média aritmética das raízes de p(x) + q(x) é
4052
4
=
4. AAnalisando o gráfico, tem-se que as raízes são todas
negativas. Fazendo o teste, conclui-se que x = –1 é uma das raízes
e, por Briot-Ruffini, conclui-se que o quociente é x² + 8x +15,
cujas raízes são –5 e –3.
Logo, 2 2 2 2 2 212
18
132
16 4 132
2132
1 3 5a b c+ + = + + = + + = + + =− − −
-
14
PVE1
9_7_
MAT
_A_S
OL
5. E1. Se {–1; a; b} for o conjunto solução da equação 2x³ – 3x²
– 3x + 2 = 0,
então:
− + + =
− − + = −
− ⋅ ⋅ = −
⇒+ =
⋅ =
132
32
1 1
52
1
a b
a b ab
a b
a b
a b
2. a b a b ab
a b a b
+( ) = + +
⇒
= + + ⋅ ⇔ + =
2 2 2
22 2 2 2
2
52
2 1174
6. EComo 4 é uma das raízes, tem-se que o quociente da divisão
de x³ – 15x – 4 = 0 por x – 4, por Briot-Ruffini, é x² + 4x + 1. Se
as raízes de x² + 4x + 1 são r1 e r2, tem-se:
1 1 41
41 2
1 2
1 2r rr r
rr+ = + = − = −
7. BSe i é raiz, pelo Teorema das Raízes Complexas, –i também é.
Então, temos 3 raízes descobertas:{2, i, –i} (observe que todas
essas raízes estão fora do intervalo dado). Pelo Teorema de
Bolzano, se P(a) ∙ P(b) < 0, então existe um número ímpar de
raízes no intervalo ]a, b[. Como podemos ter no máximo duas raízes
nesse intervalo, pois as outras três já estão descobertas, a única
possibilidade é ter uma raiz, já que três ultrapassa o número de
raízes desse polinômio.
8. Para que x pertença ao intervalo fechado entre as
raízes, o valor de f(3) deve possuir sinal contrário ao da
concavidade da função ou depender de que f(3) = 0.f(3) = 9a + 3 –
3a + 1 = 6a + 4Veja que dois números m e n são opostos se m ∙ n ≤
0.Desta forma,a ∙ f(3) ≤ 0a ∙ (6a + 4) = 6a² + 4a ≤ 0.Portanto,
− ≤
-
15
PVE1
9_7_
MAT
_A_S
OL
4. CP(x) = a (x – r1) (x – r2) (x – r3) (x – r4) (x – r5)
São raízes de p(x): –2i, 2i, − +3 i , − −3 i , r5
Como P(x) é divisível por x – 5, P(5) = 0 ⇒ r5 = 5 Então:
P(x) a(x i)(x i)(x i)(x i)(x )
P( ) ( )
( )
= + − + − + + −
= +
+
2 2 3 3 5
1 20 5 2 3
20 5 2 3 == + − + − + + −
+ = + +( ) +a( i)( i)(x i)( i)( )
( ) ( )
1 2 1 2 3 1 3 4
20 5 2 3 1 4 1 3 12
a ⋅ −
+ = ⋅ − += −
= − + −
( )
( ) ( )( )a
P(x) ( )(x i)(x )(
4
20 5 2 3 20 5 2 31
1 2 2
a
i xx i)(x i)(x )
P( ) ( )( )( )( )
P( ) ( )
+ − + + −
∴ − = − − −
− = −
3 3 5
1 1 5 5 2 3 6
1 30 5 2 3
Complementares
1. DTodas as afirmações são corretas pelas propriedades dos
polinô-mios.
2. C
I. Correto. Se a = 0, temos xx
8
6 5= , ou seja, x x2 5 5= ⇒ = ± .
IV. Correto.
( )x a x a x a x a x a x a8 8 4 4 4 4 4 4 2 2 2 2− = +( ) −( ) =
+( ) +( ) −( )
x x a x a a x x a a x a x a x a6 4 2 2 4 6 4 2 2 4 2 2 4 4 2 2−(
)+ ( )− = −( )+ −( ) = +( ) −( )Então,
( )x ax x a x a a
x a8 8
6 4 2 2 4 62 25 5
−−( )+ ( )− = ⇒ + = . Se a = 5, temos
x² = –20 e, portanto, obtemos duas raízes imaginárias para a =
5.
3. BSeja y a raiz desejada. Do enunciado, tem-se que y =
2x.Substituindo na equação dada,
y y y
y y y
y
22
22
21 0
82
42
21 0
4
3 2
3 2
3
−
+
− =
⇒ − ⋅ + ⋅ − =
⇒ − yy y2 8 8 0+ − =
4. BI. Verdadeira. Por ser uma equação recíproca de segunda
espé-
cie com grau par, com certeza 1 e –1 serão
raízes. Efetuando Briot-Ruffini para reduzir o grau e utilizando a
raiz 1, teremos:
3 –10 0 10 –3
1 3 –7 –7 3 0
Aplicando Briot-Ruffini novamente no quociente, agora com a
raiz –1, teremos:
3 –7 –7 3
–1 3 –10 3 0
Portanto, as raízes do polinômio em questão são 1,
–1 e as duas da equação (que são reais).
II. Falsa. 6 11 11 6 03 2x x x− − + = , por exemplo, é recíproca
e, por ter grau ímpar, possui um número ímpar de raízes.
III. Verdadeira. Podemos provar isso vendo a soma e o produto
das raízes.
5. EPodemos reescrever o polinômio como (x – 1)(x + 1)(bx + 2x2
+ 2). Duas de suas raízes são 1 e –1. Note que temos de encontrar
as outras raízes, que serão oriundas de bx + 2x2 + 2 = 0.
Por Bhaskara, chegamos a − ± − ⋅ ⋅b b2 4 2 24
.
Logo, precisamos que as raízes sejam reais e, portanto, b2 16 0
4− ≥ ⇒ ≥b . Mas note que se b = 4, temos que o resultado
de − − ⋅ ⋅±b b2 4 2 2
4 é –1, que já é uma das raízes. Logo, b > 4.
6. C150t³ – 190t + 30 = 50t³ + 35t + 30 100t³ – 225t =
0 t(100t² – 225) = 0 t = 0
t
t ht
2 225100
1 52 25
=
== ,
,
7. a) Sejam r, s e t as raízes do polinômio. Utilizando as
relações
de Girard e comparando com as fórmulas da área total e do
volume, temos:
P x x x x x x x
iSoma raizes a
( )
)( )
� � � � � � � � � � �
�
0 3 13 7 1 0133
73
13
0
2 2
3 2 3 2
rrs rt st Area total
Area total rs r
� � � � � ����
��� �
� � �
73
273
143
2
( )
( ) ( tt st
iioduto raizes r s t Volume
�
�
��
��
� � � � � ����
��� � � �
)
)Pr ( )
13
13
133
Volume r s t� � �
�
��
��
(raízes)
Área
(raízes)
Área
Logo, a razão procurada é Area total
Volumem
( ).= = =
14313
143
31
14
b) As dimensões são os zeros do polinômio. Fazendo a pesquisa de
raízes:
P x x x x Possiveis raizes
P
( ) ( ) : ,
( ) ( )
= − + − ⇒ ± ±
=
3 13 7 1 113
1 3 1
3 2
33 2
3 2
13 1 7 1 1 3 13 7 1 4 0
1 3 1 13 1 7 1 1
− + − = − + − = − ≠− = − − − + − −
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )P == − − − − = − ≠
=
−
+
3 13 7 1 24 0
13
313
1313
713
3 2
P − = − + − =
= − + − = − = ⇒
13
27139
73
1
3 39 63 2727
66 6627
013
e raiz
Possíveis (raízes):
é raiz.
Aplicando o dispositivo prático de Briot-Ruffini, temos:
13
3 –13 7 –1
3 –12 3 0
-
16
PVE1
9_7_
MAT
_A_S
OL
Resolvendo a equação 3x2 – 12x + 3 = 0, temos:
3 12 3 0 4 1 04 16 4 1 1
2
4 122
4 2 32
2 2
1
x x x x x
x
� � � � � � � � �� � � �
�
��
��
��
( ) ( )( )
22 3
2 3
2 3 2 313
2
�
� �
���
��
� � ����
���
x
Logo S, , ,
8. DSubstituindo x por 1, tem-se:1 – (a + b + c) + 6 – 3c + 6 –
1 = 0a + b + 4c = 12 (1) Substituindo x por –1, tem-se que a + b –
2c = 0 (2).Resolvendo o sistema formado por (1) e (2), tem-se
que:
x x x x x6 5 4 26 6 6 6 1 0− + − + − =Por Briot-Ruffini, tem-se
x x x x x x−( ) +( ) − + − −( )1 1 6 7 6 14 3 2 .Como 1 e –1 são
raízes, basta fazer:
xx
xx
xx
y xx
y
y y xx
22
22
2
2
16
17
1 12
6 5 01
����
��� � �
���
��� �
� � � � � �
� � � � � �� � �51
1 ou xx
Assim, as raízes são
1 11 3
21 3
25 21
25 21
24, , , , , , .− + − + −i i sendo delas reais
9. CSendo uma equação recíproca de segunda espécie com grau par
(sexto grau), com certeza terá as raízes 1 e –1.O
exercício nos diz que i é uma raiz e, portanto, seu
conjuga-do –i também será.Por ser um polinômio recíproco,
as outras duas raízes são recípro-
cas, ou seja, uma será r e outra será 1r
. Fatorando o polinômio com as informações que temos:
p x a x x x i x i x r xr
p x a x x
( ) ( )( )( )( )( )
( ) ( )(
= − + − + − −
⇒ = − +
1 11
12 2 111
1
11
1
2
4 2
)
( ) ( )
⋅ − +
⋅ +
⇒ = − ⋅ − +
⋅ +
x rr
x
p x a x x rr
x
Substituindo as informações dadas (p
p
( )
( )
2105
8
2255
8
= −
− =
e
p
p
( )
( )
2105
8
2255
8
= −
− = ), tem-se:
− = − ⋅ − +
⋅ +
1058
2 1 21
2 14 2a rr
(( ) ) ( )
e
2558
2 1 21
2 14 2= − − ⋅ − − +
⋅ +
a r r
(( ) ) ( )
Fazendo k rr
= +
1, tem-se:
�� � � �
� � � �
�
���
���
� � ���
� �
1058
15 5 2
2558
15 5 2
177
5 25 2
6a
ak
( k)
( k)
kk
Logo, a soma de todas as raízes dessa equação equivale a –1 + 1
+ i – i + 6 = 6.
-
17
PVE1
9_7_
MAT
_B_S
OL
Solucionário
Praticando
1. CBasta perceber que
● sen(a – 30°) = sen a · cos 30° – sen 30° · cos a =
� � �3
212
sena a mcos
● cos(60° + a) = cos 60° · cos a – sen 60° · sen a =
= 12
32
1cos a sena m� � �
2. DTem-se que sen sen15
302
� ���
��
��� . Sendo assim, pela fórmula do
arco metade, tem-se
sen151 30
2
13
22
2 322
2 34
2 3
2� �
� ��
��
�
��
��� �cos
3. BNotamos que (sen 22,5° + cos 22,5°)2 = sen2(22,5) +
cos2(22,5) + + 2 · sen 22,5° · cos 22,5° = 1 + 2 · sen 22,5° ·
cos 22,5°. Sendo assim, basta calcular os valores de sen 22,5° e
cos 22,5°. Pela fórmula do arco metade,
cos ,cos
,cos
22 51 45
2
12
22
2 222
2 24
22 51 45
2
12
� �� �
��
�
�
��
� �� �
��
e
sen 222
2 222
2 24
�
�
��
Então, sen 22,5° · cos 22,5° =
=2 2
42 2
42 2
42 2
44 2 2 2 2 2
162
162
4�
��
��
��
�� � �
� �
2 24
2 24
2 24
2 24
4 2 2 2 2 216
216
24
��
��
���
�� � �
� �
Dessa forma, concluímos que 2 · sen 22,5° · cos 22,5° = 2
2 e, portanto,
(sen 22,5° + cos 22,5°)2 = 12
2+ .
Desenvolvendo Habilidades
1. Ecos cos
cos co
a b b sen a b sen b
a b b
2 2 2 2 2 2
2 2 2
2 2
2
�� � � � � � �� � � � � �� � �� � � ss cosa b a b a b2 2�� � �
�� � � �� ��� ��
2. DElevando ao quadrado os dois membros da igualdade:
cos cos2 2 223
1 223
213
� � � �
�
�
� � �
� � � �
� � �
sen sen
sen
sen
3. E
sen x x sen x x
p qx
p qx
p q xp q
912
2 9
29
2
18
� � � �� �
��
��
�
���
���
�� ��
cos cos
�����
� � �2
10 8x
p x e q x
Logo, sen x x sen x sen x912
10 8� � �� �cos .4. A
Utilizando o Teorema de Cramer para o cálculo de y:
y
sensen
sensen
sensen
se�
� ��
��
� � �� �
�
10150
50110
10 1050 50
2cos
cosnn sen10 50 50 10
250 10
2
32
4
3
4 33� � � � �� �
�� � �� �
� � �cos sen cos
y
sensen
sensen
sensen
se�
� ��
��
� � �� �
�
10150
50110
10 1050 50
2cos
cosnn sen10 50 50 10
250 10
2
32
4
3
4 33� � � � �� �
�� � �� �
� � �cos sen cos
5. ECalculando o cos 15° por meio da fórmula do arco metade:
cos
cos
151
32
22 3
4
152 3
2
� ��
��
� ��
No triângulo da figura:
cos cos1516
16 15 162 3
28 2 3� � � � � �� � �
�� � �� �c c c m
6. D
senx seny
x y
sen x senx seny sen y� �
� �
�
��
���
� � �152
1
2159
2 2
cos cos
•
coss cos •cos cos
cos • cos •c
2 2
2 2
2 1
2
x x y y
sen x x senx seny x
� � �
���
��
� � � � oos cos
• cos •cos
•
y sen y y
senx seny x y
senx se
� � � � � �
� �� � �
�
2 2 53
1
223
1nny x
x y
x y
��
��� �
�
� �� � �
cos •cosy
cos
sec
3
13
3
Operações com arcos II PVE19_7_MAT_B_25
-
18
PVE1
9_7_
MAT
_B_S
OL
7. DConsidere a figura a seguir:
2
a
θ3
4
56
O arco compreendido entre quaisquer dois pontos consecutivos
indicados sobre a circunferência, na figura, vale 36012
30�� � .
Logo, � � � � � �4 30 120 . Por outro lado, o deslocamento do
pon-
teiro das horas, em 30 minutos, é � ��� �
302
15 .
Portanto, o resultado pedido é dado por:
cos cos
cos
cos cos
� ��� � � � �� �� �� � �� �� � � ��
105
45 60
45 60 45 60sen sen �� �
� � � � ��
� ��2
212
22
32
2 64
6 24
8. E
��
� �2 4 2 2 2
0
1
12425
2 2
2
� � � � � � ���
��� �
� �
� � ���
�
xx x
x sen x
x
cos
cos
cos��� � � �
2 725
cos x
Como �
�2� �x , temos cos x � �
725
Utilizando, agora, a fórmula do arco metade para o cosseno,
temos:
cos cosx cosx x2
12 2
17
252
18252
1850
���
��� �
�� �
��
��� �
� ����
����
� � �99
2535
� �
Como cosx2
0���
��� � , temos cos
x2
35
���
��� �
Complementares
1. A
senx x a senx x a sen x asen x
�� � � � � � � � � � �cos cos2 22
1 2 2 1� �� ��
2. Dy sen seny sen sen� � � � � �� � � � � � �
70 50 260 28070 50 10 80
cos coscos ( cos ))
ysen cos cos
cos
��� �
��� �
��� �� ��
sen
ysen sen
120 202
90 702
120 90 20 ccos70
23
20 0
23
4
�� �
�� �
�
y
y
3. B
tgtg tg
tg tg
tg
� �� �� �
� �
�� � � �� �
�� � ��
� ��
113
12
113
12
1
Logo, � ��
� �4
rad.
45°
C
1
1
11 BMA
ba135°
45°
4. Atg sen
sen
10 5 5 5 5
1010
15
1
� � � � �� � � � �� � �
����
��
sec cossec cos
cos cos ssensen
sen sen
55 5
5 5
5 55 5
��
��
�
�� � � �� � �
��� �� �� � �� �
�� �
cos
coscos ��
� ��
��
�
�� � � �� � �
�� �
� � �
�
sensen
sen
sen
5 55 5
2 5 5
5 52 2
coscos
cos
cos����
�
���
� � �� �
�
���
�
��� � � �� � �
�
sensen
sen5 55 5
5 5
252
coscos
cos
cos �� � ����
��� � � � � � �� � �� � �
�
sencos cos cos
cos
22 2
55 5 5 5 5 5
2
sen sen sen
22 2
2 2
5 55 5 2
� � �
�
���
�
��� � � �� � �sen cos sen
5. BLembrando que cos cos cos3 4 33x x x� �
4 9 3 4 27 3
9 4 9 3 4
2 2
2
cos cos
cos cos co
�� � ��� �� �� � ��� �� �
��� � �� � ��� �� ss
cos
cos cos cos
2
3 2
27 3
9
4 9 3 9 4 27 3
�� � ��� ���� �
�
��� � � �� ��� �� �� � ���� ��
�� ��
��� � � �� � ��� ��
�� ��
��� � �
cos
cos cos
cos
cos
9
27 4 27 3
9
4 27
2
3 33 27
9
81
9
9
99
cos
cos
cos
cos cos
�� ��� ���� �
��� ��� �
��� ��� �� ��sen tg ��
-
19
PVE1
9_7_
MAT
_B_S
OL
Praticando
1. B
Note que sen 45° = cos 45° = 2
2, 0 = cos 90° ≠ sen 90° = 1 e 0 = sen 180° ≠
≠ cos 180° = 1.
A partir disso, concluímos que a única alternativa que respeita
essas igualdades e/ou desigualdades é a B.
2. CTemos cos cos
cosx tgx x
senxx
� � �
Daí,
coscos cos
2 2
01 0
0
1 52
x senxx
sen x senxx
senx��
���
���
� � ��
���
��� �
��
ccos cosx
senx
x�
�
��
��� �
� �
�
�
��
��0
5 12
0
Como –1 ≤ sen x ≤ 1, sen x ��5 1
2
Equações e inequações trigonométricas PVE19_7_MAT_B_26
3. cos 2x + cos x ≤ –1 ⇔ (2cos2 x –1) + cos x ≤ –1 ⇔ ⇔ 2cos2 x +
cos x ≤ 0 ⇔ cos x (2cos x + 1) ≤ 0 ⇔ −
12
≤ cos x ≤ 0.
�
�
�
�
22312
43
34
�
�
�
�
�
22312
43
34
�
�
�
�
�
22312
43
34
�
�
�
�
�
22312
43
34
�
�
�
�
�
22312
43
34
�
S x k x k ou k x k k� � � � � ����
� � � � � ���
� �/ ,� � � � � � � �2
223
243
232
2
6.
f x x x
f x x x sen x
f x x
( ) cos cos
( ) cos cos
( ) cos co
� � � �
� � �� �
� �
12
2
1212
2 2
ss cos
( ) cos cos
2 2
2
1
12
x x
f x x x
� �� �
� � �
Temos uma função do segundo grau na variável cos x.O valor de
cos x para que f(x) seja mínimo será dado por:
cos cosx x� ��� � �
12 1
12
Portanto, para 0 2� �x �, a função f(x) assume valor mínimo
para
x ou x� �23
43
� �.
7. B
� ��
��
�
� � ��
�
� �
� � � � �
� � � ����
���
� �
43
43
43
2
sen sen sen sen
sen sen sen
4432
243
2
223
��
�
� ��
�
�
��
�
�
�� �
��
�
��
�
�
��
� � ���
���
cos
cossen sen sen ���
��
��
�
����
���
� � � �
� �
23
23
0 2
23
2
a k com k
k
,
Se k = 0, temos ��
�23
Se k = 1, temos ��
�53
que é maior que43��
��
���
Logo, ��
�23
.
8. DComo
sen sen
sen sen
15 45 30
45 30 30 45
22
32
12
2
� � � � �� � �� � � � � � �
� � � �
cos cos
226 2
4�
�
Então,
senha
ha
156 2
41
1� � � ��� �
Além disso,
senha
ha
452
22
2� � � �
Então,
h ha a a
1 2
6 2
42
2
6 2
4� �
�� �� �
�� �
Por outro lado,
sen sen
sen sen
75 45 30
45 30 30 45
22
32
12
2
� � � � �� � �� � � � � � �
� � � �
cos cos
226 2
4�
�
Então,
senha
ha
756 2
43
3� � � ��� �
Portanto, h h h1 2 3� � .
-
20
PVE1
9_7_
MAT
_B_S
OL
Desenvolvendo Habilidades
1. AComo a função cosseno é par, temos:cos cos cos cosx x x x S(
) = −( )⇔ = ⇔ =
2. CComo os gráficos das funções y = sen x e y
x=
10 apresentam 7 pon-
tos de interseção, a equação senxx=
10 admite 7 soluções reais.
3. ASendo k ∈:
cos cos cos3 1 33 2
2 13
x xx k
xk
� � � �� � �
� ���
��
���
�� �
�
Para k = 0, temos x = π3
e, portanto, cos x = 12
.
Para k = 1, temos x = π e, portanto, cos x = –1.
Prosseguindo para outros valores de k, que sempre alternarão
entre 12
e – 1.
Dessa forma, temos cos x = –1 ou cosx =12
.
4. ESabendo que sen x = 1 é uma das raízes da equação polinomial
na incógnita sen x:
sen x sen x senx senx sen x senx3 2 22 5 6 0 1 6 0� � � � � �� �
� � �( )Temos então:
● sen x – 1 = 0 ou ● sen2 x – sen x –6 = 0
Da primeira, senx x= ⇒ =12π
ou x �52�
.
Da segunda, sen x = 3 ou sen x = –2. No entanto, ambas não
con-vêm, pois –1 ≤ sen x ≤ 1.Portanto, a soma pedida é 3π.
5. B
2 3 1 0
3 4 2 1 1
3 12
2
2
sen x senx
Logo
senx
� � �
� � � � � � � �
�� � �
�
, ( )
( )Então,
22
112
12 2 2 2
��
�
���
��
� � � �
senx
senx
sen p q sen p sen q
Portanto,
cos ( ) �� � � � � ���
��� � � �sen p sen q
2 2 22
1 112
114
0 25,
6. A2 3 0
2 1 3 0
2 2 3 0
2 3
2
2
2
2
sen x x
x x
x x
x
� �
� � � �
� � �
�
cos
( cos ) cos
cos cos
cos coos x � �2 0
Resolvendo a equação do segundo grau na incógnita cos x:
cosx =12
ou cos x = –2 (não convém).
Portanto, o valor pedido é x ��3
.
7. BSabendo que |y|² = y²,
senx sen x senx senx senx� � � � � � � �1 2 2 1 012
2 2
Daí, como 0 2� �x � , observa-se que x����
���
� � � �6
56
76
116
, , , .
Portanto, � � � � � �6
56
76
116
19636
499
2 2 2 2 2 2���
��� �
���
��� �
���
��� �
���
��� � � .
8. BLembrando que sen 2x = 2sen x cos x,
02 2
11 0
2 2
11
02
2 2
��
�� � �
�
�� �
� �
sen x sen xtgx
sen x senx xsenx
xs
cos
coseenx
x senxx
senx x
sen sen x
(senx cos x)cos
coscos
��
� �
� � � �
� � �
1
0 2 1
0 2 ssen
x
�
�2
04
�
� � �
Portanto, o resultado pedido é 04
,��
�����
.
9. D
Notemos que cos cos cos cos
co
23
32
023
032
x x xou
x���
����
���
��� � �
���
��� �
���
���
ss , ,23
023 2
34
32
x xk k x k k�
��
��� � � � � � � � � � �
��
� �
Verifiquemos cada caso:
●
cos cos cos cos
co
23
32
023
032
x x xou
x���
����
���
��� � �
���
��� �
���
���
ss , ,23
023 2
34
32
x xk k x k k�
��
��� � � � � � � � � � �
��
� �
Para k = 0, temos x �34�
Para k = 1, temos x �94�
(maior que π)
● cos , ,32
032 2 3
23
x xk k x k k�
��
��� � � � � � � � � � �
��
� �
Para k = 0, temos x ��3
Para k = 1, temos x = π
Para k = 2, temos x �53�
(maior que π)
Logo, o conjunto solução da equação será � �
�3
34
, ,���
���
.
10. A2 2 2
2 2
2 1
2
2 2 2
2 2 2
cos cos
cos cos
cos cos ( cos )
x x
x x sen x
x x x
� � � �� � �
� � � ��
� �
� � �
2
4 3 0
32
32
2cos
cos cos
x
x ou x
-
21
PVE1
9_7_
MAT
_B_S
OL
0π
56
32
63
2
�
�
�56
32
63
2
�
�
�
56
32
63
2
�
�
�56
32
63
2
�
�
�
Logo, o conjunto solução será:
S x x ou x� �� � � � � ����
���
0 06
56
, /�� �
�
Complementares
1. C
3 23
2 0 0tgx senx senxx
senx� � ��
���
�
��� � � �cos
ou
cosx x� � �3
20 ou x � � ou x �
�6
ou x �11
6� .
Portanto, a única alternativa correta é a letra C.
2. Esen tg
sensen
2
2
2 1122
2
453
2
2
� �
� ���
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
� � �
coscos
cos
cos
cos
��4
3. Dsen x sen x sen x senx senx senx senx4 3 2 44 6 4 1 0 1 0 1
0 1� � � � � � � � � � � � �( )
sen x sen x sen x senx senx senx senx4 3 2 44 6 4 1 0 1 0 1 0 1�
� � � � � � � � � � � �( )Utilizando a relação fundamental:sen x
x
x
x
2 2
2 2
2
1
1 1
0
� �
� �
�
cos
cos
cosPortanto, cos x = 0.
4. Resolvendo para 0 2� �x �.
senx x sen x x x x x x� � � � � � � � � � � �1 1 1 1 02 2 2cos
cos cos cos cos cos
senx x sen x x x x x x� � � � � � � � � � � �1 1 1 1 02 2 2cos
cos cos cos cos cos
Logo, cos x = 0 ou cos ,x x x� � � �12
32
� � (não convém) ou x = 0.
Temos, então, duas raízes para cada volta e um total de 40
voltas. Logo, o número de raízes será 40 · 2 = 80.
5. A A temperatura média máxima ocorre quando:
sent
sent
sen
t
2 105364
12 105
364 22 1
� � �
�
( ) ( )
(
����
��� � �
����
��� �
�� 005
364 22
105 91 364196 364
)
,
� �
� � � �� � � �
��k
t kt k k
Assim, tomando k = 0, concluímos que a temperatura média máxi-ma
ocorre 196 dias após o início do ano, ou seja, no mês de julho.
6. DO maior subconjunto dos números reais para o qual a função f
está
definida é tal que sen xsenx
senx xsenx
20
20≥ ⇔ ≥cos .
Como sen ≠ 0 para x k k� ��, , tem-se que 2
0 0senx x
senxx
coscos≥ ⇒ ≥ .
Portanto, o resultado pedido é
D f x k x k k x k k( ) / ,� � � � � � � � � ����
���
22
232
2 2 2��
��
� � � ou
7. C
2 1 1 4 3 022 2 6 2 4 2
2
cos ( cos ) cos cos cos cos
cos
x x x x x x
x
�� � � � � � � �� � �
�� 00
4 3 0
0
1
3
4 2
ou
x x
xou
xou
x
cos cos
cos
cos
cos
� � �
�
��
��
�
�
� �
� �
�
�
���
�
����
�� � �
� �
���
��
x ou x ou x
x ou x
0 2
232
� �� �
2 1 1 4 3 022 2 6 2 4 2
2
cos ( cos ) cos cos cos cos
cos
x x x x x x
x
�� � � � � � � �� � �
�� 00
4 3 0
0
1
3
4 2
ou
x x
xou
xou
x
cos cos
cos
cos
cos
� � �
�
��
��
�
�
� �
� �
�
�
���
�
����
�� � �
� �
���
��
x ou x ou x
x ou x
0 2
232
� �� �
Portanto, a soma pedida é igual a � �
� � �2
32
0 2 5� � � � � .
8. D
3 3 0
3 3 1 0
2 3
2 2
2 2
2
sen x senx x
sen x senx sen x
senx s
− + =− + − =
−
| | cos
| |
| | | eenx | + =1 0
Resolvendo, por Bhaskara, obtém-se que
| |senx = 1 ou | |senx =12
Para sen x=1 ou sen x = –1, temos x ��2
ou x = 32ππ
Para senx = 12
ou senx = − 12
, temos x ��5
, x �56�
, x �76�
e
x �11
6�
Logo, a equação terá 6 raízes.
-
22
PVE1
9_7_
MAT
_B_S
OL
Praticando
1. t ano mesesiC
J C i t R� ���
�
��
��
� � � � � � � �1 120 05540
540 0 05 12 324 0, , $ , 00
2. t meses semestre
iC
M C J C C i t C i
� �
��
�
���
���
� � � � � � � � � �
886
0 72180
1
,
( tt
M
) ,
, ( , )
� � � ����
��� �
� � � �� �� � � � �
180 1 0 7286
180 1 0 12 8 180 1 0 96 180 �� �1 96 352 80, $ ,R
3. EO total de juros que Fábio deverá pagar depois de dois anos
é igual a
J = 10000 · 0,2 · 2 = 4000.
Sendo assim, o montante passa a ser
M = 10000 + 4000 = 14000. Se Fábio
pagou R$4.000,00 na primeira parcela, o valor da segunda foi de
14000 – 4000 = R$10.000,00.
Desenvolvendo Habilidades
1. E
M C it n n� � � �� � � �( ) , ,1 80 1 0 3 80 2 4
2. C
iy x
xyx
��
� � � � � �1 2 08 1 1 08 108, , %
3. BUm contribuinte, que vende por R$34 mil um lote de ações que
custou R$26 mil reais, teve um lucro de (34 000 – 26 000 = 8
000) reais. Ele pagará à Receita Federal 0,15 ∙ R$8.000 =
R$1.200,00.
4. C
i ��
� � �145000 132000
13200013
1320 098 9 8, , %
5. AComo ambas as situações estão sob juros simples, temos um
juros de 320 reais em quatro meses na primeira situação.
Aplicando a fórmula de juros simples:J C i t i i� � � � � � � � �
�320 1000 4 0 08 8, %Na segunda situação:J C i t i i� � � � � � � �
� �600 1200 5 0 1 10, %
Juros simples PVE19_7_MAT_B_27
6. DJ C i t
J
J
� � �
� � �
�
30000 8100
18
432
,
Logo, o montante M será dado por:M R� � �3 000 432 3 432 00. $ .
,
7. BSeja C a parte financiada pelo agricultor.Como i = =2 0 02%
, a.m. e n = 10 meses:
208 800 1 0 02 10208 800
1 2174 000 00
� � � � � �
� �
C C
C
( , ),
$ . ,R
8. CMontante : x
Após oprimeiromês :
Após o segundomês :
x x x� � � �0 30 0 70, ,00 70 0 2 0 3 0 76
0 76 380038000 76
5000
, , , ,
,,
� � � � � �
� � � � � �
x x x
x x x
9. AO leite foi encarecido em 40%, assim, temos que o novo preço
do leite será de 1,4 ∙ 1,5 = 2,10 reais. Como o mercado cortou 20%
da compra, passou a ser comprado 0,8 ∙ 3 000 = 2 400 caixas.
Portanto, o valor que o mercado gastou após os cortes foi de 2 400
∙ 2,10 = R$5.040,00.Como antes esse valor era de 3 000 ∙ 1,50 =
R$4.500,00, esse forne-cedor teve aumento de 540 reais.
10. DCalculando os valores:I) Poupança: 500 ∙ (1 + 0,0056) = 500
∙ (1,0056) = R$502,80 de
resgate (sem imposto).
II) CDB: 500 ∙ (1 + 0,876) = 500 ∙ (1,00876) = R$504,38. O
ga-nho é de 504,38 – 500 = R$4,38. O imposto cobrado será
(0,04)∙(4,38) = R$0,17. Logo, resgata-se (504,38 – 0,17) =
R$504,21.
Logo, a aplicação mais vantajosa será o CDB.
Complementares
1. BO acréscimo percentual, em relação ao valor inicial, é igual
a 5 · 0,7 = 3,5.
9. EConsidere a figura a seguir, em que M é o ponto médio do
lado AB.
A M B
CDO
Do triangulo retângulo OMB, obtemos:
tg M BBM
MOMO
AB
tgÔ � � �
22�
Sem perda de generalidade, suponhamos que AB =1 . Assim,
( )AOBAB MO
tg�
��
���
���
21
42�
A área do quadrado ABCD é maior do que a área do triangulo AOB
se
( ) ( ) ,ABCD AOBtg
tg� � ����
���
� ���
��� � �1
1
42
214
0 252�
�
Logo, como tg15 0 2679 0 25° ≅ >, , e 0 180° < < °θ ,
vem que 30 180° < < °θ . Notemos que 30 150 30 180° °] [ ⊂ °
°] [, , e, portanto, a resposta procurada é 30°
-
23
PVE1
9_7_
MAT
_B_S
OL
2. CValor emprestado com juros: 600 + 2 ∙ 0,4 ∙ 600 = 648
reais.Desconto concedido pelo sorteio: 648 – 602,64 = 45,36
reais.
Em porcentagem: 45 36648
0 07 7,
, %.= =
3. CSabendo que o valor das parcelas no plano II é de x reais, e
supondo que 3x seja o preço de tabela da mercadoria, segue que o
valor pago no plano I é igual a 3x ∙ 0,85 = 2,55x. Os juros mensais
pagos no plano III correspondem a 3x ∙ 0,02 = 0,06x e, dessa forma,
o valor pago pela mercadoria no plano III é dado por 3x + 6 ∙ 0,06x
= 3,36x. Portanto, a diferença entre o valor pago pela mercadoria
nos planos I e III é de 3,36x – 2,55x = 0,81x reais.
4. EComo 2a = 3b e 2c=7b, então a + b + c equivale a
aa a
a a a a� ����
��� � � � � � �
23
73
4 410
1000 4 40, %
5. CDepreciação mensal da roçadeira:
3600012 12
250 00�
�R$ , .
Decréscimo percentual em 1.º de setembro: 8 2503 600
5≅ %.
6. CA primeira parcela de R$460,00 será paga à vista (portanto,
não há incidência de juros). A segunda parcela, caso não houvesse
incidência de juros, seria de R$400,00, pois o preço do fogão à
vista é de R$860,00 (860 – 460 = 400). No entanto, há um acréscimo
de R$60,00 na segunda parcela, os quais representam os juros após
30 dias.
Logo, os juros são iguais a 60400
0 15 15� �, %.
7. ADe acordo com o enunciado, o preço para pagamentoà vista é
95% ∙ p = 0,95p.Se o pagamento for feito n meses após a compra,
serápago 0,05p de juros.Sendo i% a taxa mensal de juros simples,
temos:
0 050 95
10010019
,,
pp i n
in
�� �
� �
A taxa mensal de juros simples do financiamento é 10019n
%.
8. a) Pagamento à vista: 1000 ∙ 0,9 = 900,00.
Aplicando a 3% a.m.: 900,00 ∙ 1,03 = 927,00.
b) Preço do produto para pagamento à vista:
1 000 1 00010
100900 00� ��
��
��� �$ , .
Preço do produto para pagamento em 30 dias:
1 000 1 0007 2100
928 00� ����
��� �
,$ , . $928,00.
Montante do valor a ser desembolsado no pagamento à
vista, aplicado pelo comprador em uma aplicação de 30 dias
com um rendimento de 3%: 900 9003
100927 00� ��
��
��� �$ , .
Esse montante é menor que o preço a pagar. Assim, a opção mais
vantajosa é pagar à vista.
9. E
2000 1 0 02 1850 1 0 03 4
2000 40 1850 0 88 0 03
�� � � � �� �� ��� � � �� �
, ,
, ,
n n
n n
�� � � �� �
2000 40 1628 55 524
n nn
,
Logo, 2 + 4 = 6.
Praticando
1. ACalculando o preço à vista da mercadoria:
5005761 2
576
1 2500 480 100 1 380 002� � � �
� � � �, ,
$ . ,R
2. M C i t
t t
t
� � �� �� � �� � � �� � � �
�
1
2 000 1 000 1 0 06 1 0 06 2
1 062 2
, ,
log ( , ) log 22 1 06 1
0 084 1 11 911 11
2� � � �� � � ��
t log ( , )
t , t , anost anos e meses
Juros compostos PVE19_7_MAT_B_28
3. 3 000 1 000 1 08 1 083 0001 000
1 08 3 31 08
� � � � �
� � � � �
( , ) ( , )
( , ) logl
,
n n
n noog
log ,,
log
,log log log
,
31 08
0 482 310
0 482 2 3 3 2 10
0 482
2 3
2
��
