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SECÇÃO DE MECÂNICA ESTRUTURAL E ESTRUTURAS DISCIPLINA DE ESTRUTURAS METÁLICAS E MISTAS APONTAMENTOS DE ESTRUTURAS METÁLICAS DINAR CAMOTIM CILMAR BASAGLIA NUNO SILVESTRE LISBOA, SETEMBRO DE 2010

Apontamentos de Estruturas Metalicas - Parte I

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SECÇÃO DE MECÂNICA ESTRUTURAL E ESTRUTURAS

DISCIPLINA DE ESTRUTURAS METÁLICAS E MISTAS

APONTAMENTOS DE ESTRUTURAS METÁLICAS

DINAR CAMOTIM

CILMAR BASAGLIA

NUNO SILVESTRE

LISBOA, SETEMBRO DE 2010

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1

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Estruturas Metálicas (de Aço)

1

ESTRUTURAS METÁLICAS (DE AÇO)

1. INTRODUÇÃO

• Em Portugal, as estruturas metálicas são quase exclusivamente utilizadas na construção

de edifícios com fins de natureza industrial e/ou comercial (instalações fabris, armazéns,

centros comerciais, pavilhões gimnodesportivos, etc.). Utilizam-se ainda frequentemente

em pontes de pequeno porte e em passadiços para peões.

Figura 1.1 – Estruturas de edifícios industrial e comercial

• Recentemente, tem-se observado a utilização de estruturas metálicas em várias obras

“de prestígio” (e.g., na Expo 98), com grande impacto estético/visual, e ainda na reparação

de estruturas deterioradas (constituídas por diversos materiais: betão, madeira, etc.).

Figura 1.2 – Edifícios (i) “Turning Torso” (Suécia) e (ii) “Burj Al Arab” (Dubai)

• É (ainda) rara a utilização de estruturas metálicas em edifícios destinados a habitação

ou a escritórios, apesar de esta tendência esteja a mudar lentamente. Existem várias razões

para este facto, nomeadamente razões de natureza económica/comercial (não científica).

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Estruturas Metálicas (de Aço)

2

Figura 1.3 – Estruturas de edifícios destinados a habitação

• Tem-se ainda assistido recentemente a um incremento significativo da construção mista –

elementos estruturais em que o aço e o betão (armado) trabalham conjuntamente.

Figura 1.4 – Estruturas mistas aço-betão

• O objectivo da primeira parte da disciplina de Estruturas Metálicas e Mistas (EMM)

consiste em fornecer os conhecimentos necessários para o dimensionamento e verificação

de segurança de estruturas constituídas por um conjunto de pórticos planos, nomeadamente

edifícios industriais correntes.

Figura 1.5 – Pórticos planos com divesas configurações

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Estruturas Metálicas (de Aço)

3

Figura 1.6 – Estrutura tridimensional constituída por um conjunto de pórticos planos

• Procurar-se-á proporcionar uma familiarização com a filosofia, os fundamentos e a

aplicação das disposições do novo Eurocódigo 3, o qual está já em vigor no nosso país com

o estatuto de Norma Europeia (EN). Após um “período experimental”, que se estenderá até

2012-2013, a utilização deste regulamento passará a ser obrigatória em todos os países da

Comunidade Europeia.

• Algumas disposições do Eurocódigo 3 (versões ENV ou EN) foram já introduzidas na

disciplina de Estruturas Metálicas e/ou de Dimensionamento de Estruturas.

• O Eurocódigo 3 (EC3) – Dimensionamento de Estruturas de Aço – é um de um conjunto

de dez regulamentos estruturais europeus. É constituído pelos seguintes 17 documentos,

os quais se encontram agrupados em 6 “Partes”:

(i) Parte 1.1: Regras Gerais e Regras para Edifícios

(ii) Parte 1.2: Segurança ao Fogo

(iii) Parte 1.3: Elementos e Chapas Enformados a Frio

(iv) Parte 1.4: Aços Inoxidáveis

(v) Parte 1.5: Estruturas Laminares Planas (carregadas no seu próprio plano)

(vi) Parte 1.6: Cascas

(vii) Parte 1.7: Estruturas Laminares Planas Carregadas Transversalmente

(viii) Parte 1.8: Ligações

(ix) Parte 1.9: Fadiga

(x) Parte 1.10: Tenacidade

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Estruturas Metálicas (de Aço)

4

(xi) Parte 1.11: Estruturas com Elementos Traccionados

(xii) Parte 1.12: Aços de Alta Resistência.

(xiii) Parte 2: Pontes

(xiv) Parte 3: Torres, Mastros e Chaminés

(xv) Parte 4: Reservatórios, Silos e Condutas

(xvi) Parte 5: Estacas

(xvii) Parte 6: Estruturas de Aparelhos de Elevação

• Nesta disciplina apenas se vão abordar disposições contidas nas Partes 1.1 (regras gerais e

regras para edifícios), 1.5 (estruturas laminares planas) e, eventualmente, 1.8 (ligações).

Note-se que algumas das Partes referidas atrás não se encontram ainda traduzida em

português – encontram-se em vários “estágios de evolução” (muito provavelmente,

algumas delas não chegarão msmo a ser traduzidas).

• Apresentar-se-ão ainda vários anexos da Parte 1.1 da versão anterior do EC3 (ENV

– estatuto de Pré-Norma Europeia), os quais deixaram de figurar na nova versão (EN).

• Para além destes apontamentos, fundamentais para o acompanhamento da primeira parte

desta disciplina (Estruturas Metálicas), referem-se ainda os livros (i) “Estabilidade

Estrutural”, de António Reis e Dinar Camotim, (ii) “Manual de Dimensionamento de

Estruturas Metálicas”, de Rui Simões, e (iii) “Manual de Dimensionamento de Estruturas

Metálicas: Métodos Avançados”, de Luís Simões da Silva e Helena Gervásio. Enquanto o

primeiro contém princípios fundamentais de estabilidade estrutural e métodos de análise

não-linear de estruturas (esbeltas), o segundo e terceiro abordam e ilustram a aplicação

das disposições das Partes 1.1 e 1.5 do EC3.

• A restante bibliografia fornecida na disciplina tem um carácter mais abrangente e destina-

se a proporcionar conhecimentos fundamentais e/ou especializados sobre tópicos

relacionados com a análise e o dimensionamento de estruturas metálicas (de aço).

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Estruturas Metálicas (de Aço)

5

2. SISTEMATIZAÇÃO DAS DISPOSIÇÕES DO EC3 RELATIVAS A PÓRTICOS PLANOS

• A utilização do EC3 para dimensionar e verificar a segurança de pórticos planos envolve

o cumprimento sequencial de um certo número de etapas que não se encontram explicita

e/ou adequadamente identificados no texto do EC3.

• Identificam-se e descrevem-se sucintamente as várias etapas, definidas de modo a

minimizar o (inevitável) grau de interdependência entre elas. Em seguida, trata-se cada

uma delas separadamente, introduzindo os conceitos fundamentais e ilustrando a aplicação

das respectivas disposições regulamentares.

• Pode dizer-se que, para cada combinação de acções relevante, o Dimensionamento e

a Verificação da Segurança (DVS) de um pórtico plano envolve as seguintes etapas:

(I) Classificação do Pórtico

- Necessidade de considerar efeitos de 2ª ordem (equilíbrio na configuração deformada

– não linearidade geométrica)

- Secção das barras (fenómenos de encurvadura local – esbelteza das paredes)

Classe 1: Análise plástica (com formação de rótula plástica)

Classe 2: Análise plástica (sem formação de rótula plástica)

Classe 3: Análise elástica (secção bruta)

Classe 4: Análise elástica (secção efectiva − “enfraquecida”)

Rigidez (análise elástica)

- Ligações

Resistência (análise plástica)

(II) Consideração das Imperfeições

- Imperfeições Globais (do pórtico)

- Imperfeições Locais (das barras)

- Forças Equivalentes às Imperfeições

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Estruturas Metálicas (de Aço)

6

(III) Escolha do Método de Análise Global

- Análise Elástica

Rígido-Plastica

- Análise Plástica Elástica-Perfeitamente Plástica (conceito de rótula plástica − RP)

Elasto-Plástica (espalhamento)

(IV) Cálculo dos Esforços de Dimensionamento

- Análise de 1ª ordem (geometricamente linear)

- Análise de 2ª ordem (geometricamente não-linear − várias possibilidades)

(V) Verificação da Estabilidade do Pórtico

- Escolha e cálculo dos comprimentos de encurvadura das barras comprimidas

(VI) Verificação da Segurança das Barras

- Tensões Directas (secções)

- Fenómenos de Instabilidade (barras e/ou troços livres de barra – contraventamento)

- Outros Fenómenos

(VII) Verificação da Segurança das Ligações corte

Parafusos tracção

corte + tracção

Conjuntos de parafusos

- Ligações soldadas – tipos de cordões de soldadura

- Ligações mistas – parafusos + soldadura

(VIII) Verificação da Deformabilidade do Pórtico Deslocamentos

- Estados Limites de Utilização (Serviço) Vibrações

- Ligações aparafusadas

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Estruturas Metálicas (de Aço)

7

• Para combinações de acções que incluam uma acção sísmica, há ainda que satisfazer as

disposições relevantes do Eurocódigo 8 (EC8). Estas disposições serão abordadas na

disciplina de “Dinâmica e Engenharia Sísmica”.

• De uma maneira um pouco simplista, pode dizer-se que o processo de DVS de um

pórtico plano pode subdividir-se nos seguintes grandes blocos:

Dados: Geometria + Acções

Esforços de Dimensionamento

Comprimentos de Encurvadura

VS das

Barra

VS das

Ligações

Deformabilidade

(I) – (V)

(VI) (VII)

Estados Limites Últimos (ELU)

Estados Limites de Serviço (ELS) (ou de Utilização)

• Inicialmente, aborda-se a Verificação da Segurança (VS) das barras, admitindo conhecidos

os valores dos esforços de dimensionamento e dos comprimentos de encurvadura.

• Abordam-se em seguida os aspectos relacionados com a determinação dos esforços

de dimensionamento e dos comprimentos de encurvadura.

• Finalmente, no caso de haver ainda tempo disponível, apresentam-se alguns conceitos

relativos à VS das ligações.

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Estruturas Metálicas (de Aço)

8

3. VERIFICAÇÃO DA SEGURANÇA DAS BARRAS

3.1 CLASSIFICAÇÃO DAS SECÇÕES TRANSVERSAIS

• A geometria da secção transversal dos perfis é, muitas vezes, condicionada pelos requisitos

específicos de uma determinada aplicação, o que faz com que existam secções com uma

enorme variedade de formas e dimensões (sobretudo no caso dos perfis enformados

a frio). A figura 3.1 mostra as geometrias das secções de alguns dos perfis de aço utilizados

com mais frequência em estruturas de edifícios: secções em U, C, Z, “hat”, “rack” e I.

Figura 3.1 – Geometria das secções dos erfis em U, C, Z, “hat”, “rack” e I

• A classificação de uma secção está relacionada com a sua resistência e capacidade de

rotação quando submetida a tensões normais. Essa classificação depende das dimensões e

da tensão de cedência dos seus elementos (paredes) comprimidos, os quais podem ser

(i) interiores (ambas as extremidades apoiadas) ou (ii) salientes (uma extremidade

apoiada e a outra livre).

Elementos salientes

Elemento interior

Elemento interior

Figura 3.2 – Defnição dos elementos (paredes) interiores e salientes de uma secção

• Esta classificação destina-se a permitir avaliar a resistência última e a capacidade de rotação

da secção, tomando em consideração a possibilidade da ocorrência de fenómenos de

encurvadura local (das paredes da secção – a abordar mais adiante).

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Estruturas Metálicas (de Aço)

9

• O EC3 considera 4 Classes de Secção, as quais se caracterizam em seguida (aprsenta-se a

exemplificação para o caso de uma secção a flexão pura)

4 3 2 1

σ

ε

(σcr)EL

Encurvadura Local

(i) Classe 1 – secções em que se pode atingir a resistência plástica e, para além disso,

existe capacidade de rotação suficiente para que se forme uma rótula plástica.

ϕpl ϕ

Mpl

M

EL

ϕpl ϕ

Mpl

M

EL

fy

fy

Mpl

(ii) Classe 2 – secções em que se pode atingir resistência plástica, mas sem ser possível

garantir capacidade de rotação suficiente para que se forme uma rótula plástica

(é necessário efectuar a verificação, a qual depende da ordem de formação das rótulas

plásticas na estrutura m análise).

fy

fy

Mpl

ϕpl ϕ

Mpl

M

EL

ϕpl ϕ

Mpl

M

EL

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Estruturas Metálicas (de Aço)

10

(iii) Classe 3 – secções onde se pode atingir apenas a resistência elástica (tensão de

cedência na fibra mais solicitada), em virtude de os fenómenos de encurvadura

local impedirem que se chegue à resistência plástica.

fy

fy

Mel

ϕ

Mpl

M

EL Mel

ϕ

M

EL Mel

ϕel

(iv) Classe 4 – secções onde a ocorrência (prematura) de fenómenos de encurvadura local

faz com que não se atinja sequer a tensão de cedência na fibra mais solicitada.

fy

σmax < fy

Mmax < Mel ϕ

Mpl

M

EL

Mel Mmax

ϕ

Mpl

M

EL

Mel

O processo de dimensionamento das secções de classe 4 envolve a substituição

da secção bruta por uma secção efectiva, a qual é posteriormente tratada como uma

secção de classe 3.

fy

fy

Zona não efectiva

da secção

σ

σ

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Estruturas Metálicas (de Aço)

11

Page 14: Apontamentos de Estruturas Metalicas - Parte I

Estruturas Metálicas (de Aço)

12

ANEXO: FENÓMENOS DE ENCURVADURA LOCAL

• Os “fenómenos de encurvadura local”, de grande importância no dimensionamento de

estruturas metálicas constituídas por perfis com paredes muito esbeltas (por exemplo, as

vigas de alma cheia ou os perfis enformados a frio), consistem na encurvadura das

paredes dos perfis, enquanto os respectivos eixos permanecem indeformados (rectos).

Deste modo, é indispensável utilizar conceitos de estabilidade de placas para efectuar a

verificação da segurança das barras em relação a estados limites últimos que envolvam este

tipo de fenómenos de encurvadura.

• A figura A.1 ilustra fenómenos de encurvadura local em barras de aço com secção em I.

Figura A.1 – Fenómenos de encurvadura local em barras com secção em I.

A.1 PLACAS UNIFORMEMENTE COMPRIMIDAS E SIMPLESMENTE APOIADAS

• A tensão crítica de bifurcação elástica de uma placa quadrada “ideal” (geometricamente

“perfeita”) simplesmente apoiada e uniformemente comprimida é dada por

2

2

2

crb

t

v112

E4

−=

)(

πσ , (A.1)

onde (i) E é o módulo de elasticidade, (ii) v é o coeficiente de Poisson e (iii) b e t

são a largura/comprimento e a espessura da placa. A bifurcação ocorre num modo

de instabilidade (ou encurvadura) caracterizado por uma semi-onda tanto na direcção

longitudinal (a da compressão) como na direcção transversal.

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Estruturas Metálicas (de Aço)

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σ/σcr

1

δ

σ

b

σ b

b

b

Figura A.2 – Bifurcação de equilíbrio e modo de encurvadura de uma placa quadrada

“ideal” simplesmente apoiada e uniformemente comprimida

• Em “placas longas” (a >>b − em termos práticos, basta que se tenha a > 4 b), como é o caso

das paredes das barras metálicas com secção de parede fina, os valores de σcr são

(praticamente) independentes do comprimento da placa (a) e do grau de restrição à

rotação dos bordos transversais (de comprimento b). Esta característica deve-se ao facto

de o modo de encurvadura da placa envolver uma combinação de (i) várias semi-ondas

longitudinais, de comprimento igual à sua largura, com (ii) uma única semi-onda

transversal. Deste modo, pode dizer-se que uma placa longa se comporta como um

“conjunto” de placas quadradas ligadas entre si, conforme mostra a figura A.3, o que quer

dizer que os resultados relativos a placas quadradas são também válidos para placas longas.

σσσ

a >>b

b

b

σ b

b

b b

b b bb

Placa quadrada Placa longa

Figura A.3 – Modo de encurvadura de uma placa quadrada e uma placa longa

• A título de exemplo, a figura A.4 mostra dois elementos estruturais constituídos por

placas longas e submetidos a compressão: (i) uma coluna tubular e (ii) um painel reforçado.

Em ambos os casos, podem obter-se estimativas (em geral, conservativas) da tensão crítica

das placas/paredes através de (A.1), pois são placas longas cujos bordos longitudinais se

admitem (conservativamente) como simplesmente apoiados (i.e., sem restrição à rotação).

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Estruturas Metálicas (de Aço)

14

(a) (b)

Figura A.4 – Elementos estruturais constituídos por placas longas: (a) coluna tubular e (b) painel reforçado.

• As placas comprimidas têm, em regime elástico, um comportamento de pós-encurvadura

(trajectória de equilíbrio) estável caracterizado por uma elevada “resistência pós-crítica” (ou

“resistência de pós-encurvadura”). Isto significa que, mesmo após ocorrer a encurvadura

(bifurcação), a placa pode ainda suportar um aumento de carga considerável sem apresentar

deslocamentos significativos. O comportamento de pós-encurvadura de uma placa

(quadrada ou longa) comprimida “ideal” (sem imperfeições geométricas) é definido por

2

2

cr t

qv1

8

31

−+= )(σσ

, (A.2)

onde σ é a tensão aplicada e q o deslocamento transversal máximo por ela provocado.

A trajectória de pós-encurvadura da placa está representada na figura A.5, onde se mostra

também as distribuições das tensões de compressão na placa antes e depois da bifurcação.

Observa-se que as tensões permanecem uniformes até à bifurcação, passando a exibir um

andamento não linear após essa occorrência − dá-se uma redistribuição das tensões normais

longitudinais, caracterizada por uma “transferência” da zona central (mais flexível ou

“fraca”) para a vizinhança dos bordos longitudinais (zona mais rígida ou “forte”). Por outro

lado, a figura A.6 mostra as distribuições das tensões normais longitudinais (σx) e

transversais (σy) instaladas na placa na fase de pós-encurvadura. Para além da redistribuição

de σx, já referida, desenvolvem-se também tensões transversais de tracção na zona central

da placa, as quais têm um papel crucial na resistência de pós-encurvadura (a tracção

transversal aumenta a rigidez de flexão da zona central da placa − analogia com um cabo).

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Estruturas Metálicas (de Aço)

15

δ

σ/ crσ

crσ

Figura A.5 – Distribuições das tensões de compressão na placa antes e depois da bifurcação

Figura A.6 – Distribuição de tensões, na fase de pós-encurvadura, de uma placa quadrada

• A figura A.7 compara qualitativamente as trajectórias de equilíbrio de colunas e placas

“ideais” comprimidas. Observa-se que a resistência de pós-encurvadura das placas é

muito superior à das colunas (quase desprezável), o que justifica a diferença entre os

métodos de dimensionamento destes dois elementos estruturais. Enquanto é aceitável

σ/σcr

1

Trajectória Fundamental

Trajectórias de Pós-encurvadura

Bifurcação

q/t

Coluna

Placa

Figura A.7 – Trajectórias de equilíbrio de placas e colunas uniformemente comprimidas

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Estruturas Metálicas (de Aço)

16

admitir que σcr é a máxima tensão (carga) que as colunas podem suportar, essa hipótese é

claramente demasiado (excessivamente) conservativa no caso das placas.

• Põe-se então a seguinte questão, de grande importância para o dimensionamento de estruturas

metálicas constituídas por perfis de parede fina: qual o valor da tensão (carga), já em fase

de pós-encurvadura, que corresponde ao estado limite último da placa (colapso iminente)?

Na grande maioria dos regulamentos de estruturas metálicas, a resposta a esta questão

envolve o conceito de “largura efectiva”.

A.1.1 CONCEITO DE LARGURA EFECTIVA

• A resposta mais lógica à questão colocada no ponto anterior consiste em admitir que o

estado limite último da placa corresponde a atingir-se a tensão de cedência (fy) na

fibra mais solicitada. Esta situação está representada na figura A.8. Note-se que, ao admitir

esta hipótese se está a desprezar a “reserva de resistência elasto-plástica” da placa (o

colapso dá-se quando se atinge um ponto limite da trajectória). Esta resistência adicional, de

difícil determinação (é necessário um método numérico que contabilize o espalhamento da

plasticidade), é pequena e pode ser encarada como um “factor de segurança” − a figura A.8

ilustra este facto.

δ

σ

σmax = f yσmax = f y

Colapso

Reserva de resistênciaelasto-plástica

Figura A.8 – Estado último (cedência da fibra mais solicitada) e colapso da placa quadrada

• Subsiste a (muito importante) questão de saber para que carga (isto é , em que ponto da

trajectória de pós-encurvadura) se tem σmax=fy. Para resolver este problema, von Karman

sugeriu uma metodologia aproximada baseada nas seguintes duas ideias fundamentais (uma

delas é uma hipótese simplificativa que foi posteriormente validada experimentalmente):

Page 19: Apontamentos de Estruturas Metalicas - Parte I

Estruturas Metálicas (de Aço)

17

IDEIA 1: Substituir a secção bruta com uma distribuição de tensões variável por uma

“secção efectiva” submetida a uma distribuição de tensões uniforme (ambas estaticamente

equivalentes ao esforço de compressão actuante) − a secção efectiva obtém-se removendo

material da zona central da placa (a zona mais “fraca”). No estado limite último da

placa, o valore do esforço normal (Nu) é então dado por

b

b /2e

b /2e

fy fyfy fy

u

b

0u tbdytyN σσ == ∫ )( (secção bruta) yeu ftbN = (secção efectiva)

onde uσ é a tensão média da placa no estado limite último (ou “colapso”). Igualando as

duas expressões, obtém-se

ye

u fb

b=σ

expressão que relaciona a tensão média no colapso com a largura efectiva.

DIFICULDADE: Para determinar o valor de be é necessário conhecer a distribuição de

tensões instalada na placa ( )( yσ ), no estado último da placa (σmax=fy). Por outras palavras,

apenas se “substituiu o conceito de “pós-encurvadura” pelo conceito de “largura efectiva”,

mas sem dimnuir a complexidade do problema a resolver. Para simplificar o problema, é

indispensável a segunda “ideia” que se apresenta a seguir. Antes disso, apresenta-se na

figura A.9, a título ilustrativo, a variação “exacta” da largura efectiva com a tensão aplicada

(σm é a tensão média actuante na placa).

1 σm / σcr

1

0.5

be / b

Figura A.9 – Variação da largura efectiva com a tensão actuante (placa simplesmente apoiada)

Page 20: Apontamentos de Estruturas Metalicas - Parte I

Estruturas Metálicas (de Aço)

18

IDEIA 2 (Hipótese Simplificativa): Na placa com a secção efectiva a encurvadura ocorre

precisamente quando se atinge a tensão de cedência, isto é, tem-se σcre=fy. Logo, vem

2

2

2

crb

t

v112

E4

−=

)(

πσ (placa real)

2

e

2

2

creb

t

v112

E4

−=

)(

πσ (placa efectiva − fictícia)

Utilizando agora a hipótese simplificativa , tem-se

y

2

e

cr

2

e

2

2

cre fb

b

b

t

v112

E4 =

=

−= σ

πσ

)( ⇒

y

cre

fb

b σ= (mas sempre < 1)

Finalmente, utilizando a relação da página anterior, vem

ycrye

u ffb

bσσ ==

expressão que permite determinar (aproximadamente) a tensão média no colapso a partir

de duas quantidades fáceis de calcular − deste modo, evita-se a necessidade de

conhecer o comportamento de pós-encurvadura da placa.

A.2 PLACAS SUBMETIDAS A OUTRAS DISTRIBUIÇÕES DE TENSÕES

No caso de placas submetidas a outras distribuições de tensões, definidas por um

parâmetro ψ=σ1 / σ2, onde σ1 é a máxima tensão de compressão e σ2 é a tensão actuante na

outra extremidade da placa, é necessário introduzir, na expressão que fornece uσ , o

valor correcto de σcr, o qual é dado pela expressão genérica

σ1 σ1

σ1ψ(ψ > 0) (ψ < 0)

σ2= σ1ψσ2=

2

2

2

crb

t

v112

Ek

−=

)(

πσ σ , (A.3)

Page 21: Apontamentos de Estruturas Metalicas - Parte I

Estruturas Metálicas (de Aço)

19

onde kσ é um coeficiente de encurvadura que depende da distribuição das tensões actuantes

e pode ser encontrado na literatura (por exemplo, nas tabelas 4.1 e 4.2 do EC3-1-5). A título

ilustrativo, refira-se que (i) kσ=4.0 para a compressão pura (ψ=1 − problema estudado) e

(ii) kσ=23.4 para a flexão pura (ψ= −1 ).

A.3 PLACAS COM OUTRAS CONDIÇÕES DE FRONTEIRA

• A expressão (A.3) também se aplica a placas com outras condições de fronteira (apoio)

− é válida para placas com combinações arbitrárias de distribuições de tensões actuantes

e condições de apoio. Os valores de kσ podem ser encontrados na literatura,

nomeadamente nas tabelas 4.1 e 4.2 do EC3-1-5 (para duas condições de apoio: (i) quatro

bordos simplesmente apoiados e (ii) três bordos simplesmente apoiados e um bordo

livre). A tabela A.1 ilustra alguns valores de coeficientes de encurvadura.

Condições de Fronteira Carga Coeficiente de

encurvadura (kσ)

Compressão Uniforme

4.0

Compressão Uniforme

0.43

Flexão Pura 23.9

Tabela A.1 – Valores de kσ

A.4 ESBELTEZA NORMALIZADA DE PLACA − LARGURA EFECTIVA

• Tal como as restantes esbeltezas normalizadas (de coluna, de viga, etc.), a “esbelteza

normalizada de (uma) placa”, definida como

cr

y

p

f

σλ =

é uma grandeza que traduz a importância relativa da plasticidade e da instabilidade no

colapso da placa. Assim, enquanto (i) valores baixos e elevados de pλ (em relação a 1.0)

indicam colapsos governados pela plasticidade e pela instabilidade, respectivamente, (ii) um

Page 22: Apontamentos de Estruturas Metalicas - Parte I

Estruturas Metálicas (de Aço)

20

valor de pλ próximo de 1.0 significa que ambos os fenómenos têm uma influência

significativa no colapso da placa.

• No caso de uma placa constituída por uma aço com E=210 GPa (103 N/mm

2), tomando

em consideração (A.3) e fazendo [ ] 50

y MPaf235.)(/=ε , o valor de pλ é dado por

σε

λk428

tbp

.

/=

expressão que figura no EC3 e a partir da qual se obtém directamente o valor da

largura efectiva da placa no seu estado limite último (be).

• Tem-se então que bbe ρ= , onde ρ é um coeficiente (ou factor) de redução. Pode

mostrar-se que este coefciente de redução relaciona também os valores de Nu (esforço

normal último) e Npl (esforço normal de plastificação ou resistência plástica). De facto,

plye

yeu Nftbb

bftbN ρ===

• Com base neste conceito, von Karman propôs a seguinte fórmula para determinar a

resistência útima de uma placa (a qual corresponde à curva da figura abaixo)

≥=

≤=

1se1

1se1

p

p

p

λλ

ρ

λρ

1

ρ

λp

1

fy fy

σcr

σcr

σ

σ

δ

δ

1 / λp

Note-se que os dois troços da curva correspondem ao colapso de placas em que se tem

(i) σcr > fy (troço horizontal) e (ii) (i) fy >σcr (troço horizontal) expressão que figura

no EC3 e a partir da qual se obtém directamente o valor da largura efectiva da placa

Page 23: Apontamentos de Estruturas Metalicas - Parte I

Estruturas Metálicas (de Aço)

21

no seu estado limite último (be). Para além disso, é importante realçar a semelhança

formal entre a fórmula de von Karman e a expressão da curva de dimensionamento

de colunas perfeitas, estudada na disciplina de Estruturas Metálicas. A única (e muito

importante) diferença reside na troca de “ 21 λ/ ” (colunas) por “ p1 λ/ ” (placas), o que

traduz o facto de o dimensionamento de colunas não contabilizar qualquer resistência

de pós-encurvadura (a curva de colunas fica “abaixo” da de placas − ver a figura A.11).

A.5 PLACAS “REAIS” (COM IMPERFEIÇÕES)

• No caso das placas “reais”, as quais possuem imperfeições geométricas (sobretudo) e

tensões residuais, deixa de ocorrer bifurcação de equilíbrio. O conjunto “trajectória

fundamental + trajectória de pós-encuvadura” das placas “ideais” é substuído por uma

trajectória de equilíbrio não linear, à qual estão associados deslocamentos de flexão

desde o início do carregamento, conforme mostra a figura A.10.

• Como, para um determinado nível de carregamento, existem maiores deslocamentos na

placa “real” que na placa “ideal”, o correspondente estado limite último é atingido

para uma carga mais baixa − ver a figura A.10.

Placa “real”

Placa “ideal”

σmax = fy

σ

q

σcr

Figura A.10 – Trajectórias de equilíbrio e estados limites últimos das placas “ideais” e “reais”

• Para contabilizar a diminuição da carga última, devido à presença das imperfeições

geométricas e das tensões residuais, Winter propôs, com base num elevado número de

resultados experimentais, a substituição (modificação) da fórmula de von Karman por

≥−

=

≤=

6730se220

6730se1

p2

p

p

p

..

.

λλ

λρ

λρ

Page 24: Apontamentos de Estruturas Metalicas - Parte I

Estruturas Metálicas (de Aço)

22

expressão que ainda hoje figura em vários regulamentos, nomedamente no EC3. Deve

referir-se, no entanto, que os valores do coeficiente 0.22 e da esbelteza limite 0.673

têm sofrido variações resultantes de estudos mais recentes (a título de curiosidade, é

interessante mencionar que Winter propôs originalmente o valor 0.25 para o coeficiente).

• Finalmente, a figura A.11 mostra uma comparação entre as curvas de dimensionamento (i)

de von Karman, (ii) de Winter e (iii) baseada na carga crítica de bifurcação (semelhante

à curva de dimensionamento de colunas). É interessante observar que, para valores de pλ

superiores a cerca de 1.3, a curva de Winter (placas “reais”) passa a estar acima da

curva baseada na tensão crítica de bifurcação (placas “ideais” ), facto que reflecte a

contabilização da resistência de pós-encurvadura (note que a diferença aumenta com pλ ).

Figura A.11 – Comparação entre curvas de dimensionamento de von Karman, de Winter e

baseada na tensão crítica de bifurcação.

Page 25: Apontamentos de Estruturas Metalicas - Parte I

Estruturas Metálicas (de Aço)

23

3.2 DETERMINAÇÃO DA CLASSE DE UMA SECÇÃO

• A determinação da classe de uma secção faz-se classificando os seus elementos (paredes)

comprimidos, através das Tabelas 5.2 do EC3-1-1 (ver figs. 3.2 a 3.4) e com base

nos diagramas das tensões actuantes.

• A classificação faz-se com base na esbelteza dos elementos b/t, envolve o parâmetro

yf235 /=ε e o coeficiente de encurvadura kσ. Depende ainda do tipo de elemento, o

qual pode ser interior (tratado como simplesmente apoiado) ou saliente (tratado como

apoiado-livre).

• Os valores limites de esbelteza dos elementos comprimidos são fixados com base em

análises estatísticas de resultados experimentais e/ou numéricos, os quais contabilizam a

influência de imperfeições geométricas iniciais, tensões residuais, etc.

• A classe de uma secção é maior das classes dos seus elementos comprimidos.

• A classe de uma barra é maior das classes das suas secções.

• A classe de uma secção depende (i) dos esforços que nela actuam, no estado limite último,

e (ii) do aço que a constitui (ver tabelas).

• A determinação da classe de uma secção submetida a flexão composta não é imediata –

conservativamente, pode sempre considerar-se o caso da compressão pura.

• Um grande número de perfis laminados correntes (formados por aços de resistência

“normal”) são de classe 1 ou 2 para qualquer solicitação (e.g., ver a tabela da fig. 3.5).

• Os perfis soldados e as chapas utilizadas na construção mista têm frequentemente secções

de classe 3 ou 4.

Page 26: Apontamentos de Estruturas Metalicas - Parte I

Estruturas Metálicas (de Aço)

24

Figura 3.2

Page 27: Apontamentos de Estruturas Metalicas - Parte I

Estruturas Metálicas (de Aço)

25

Figura 3.3

Page 28: Apontamentos de Estruturas Metalicas - Parte I

Estruturas Metálicas (de Aço)

26

Figura 3.4

Page 29: Apontamentos de Estruturas Metalicas - Parte I

Estruturas Metálicas (de Aço)

27

Figura 3.5

Page 30: Apontamentos de Estruturas Metalicas - Parte I

Estruturas Metálicas (de Aço)

28

EXEMPLO ILUSTRATIVO

IPE 550

Aço S235 (fy=235 MPa = 235N/mm2) ⇒ ε=1

Área A=13440 mm2

d=46

8mm

b=210mm

ft =17.2mm

t =11.1mmw

Classificar a secção representada, quando submetida a flexão em torno do eixo de maior

inércia composta com compressão de valor NEd=1300kN (Caso I) ou NEd=750kN (Caso II) RESOLUÇÃO

• Classificação do Banzo Comprimido

Compressão uniforme

45992

111210

2

tbc w .

.=

−=

−= (desprezando os raios de concordância)

99785217

4599

t

c

f

=<== ε..

. ⇒ Banzo de classe 1

• Classificação da Alma

4242242111

468

t

c

w

=>== ε..

⇒ Alma de classe 4 à compressão pura (classificação conservativa)

∴ Nada se pode concluir

(i) Determinação da classe da secção para NEd=1300kN (Caso I)

Hipótese 1: Distribuição plástica de tensões no estado limite último da secção (classe 1 ou 2)

- Cálculo do esforço normal de plastificação da alma

Page 31: Apontamentos de Estruturas Metalicas - Parte I

Estruturas Metálicas (de Aço)

29

kN122110235111468fdtN 3

ywwpl =×××== −.,

Como Npl,w=1221kN < NEd=1300kN, a alma estaria submetida a compressão uniforme e,

portanto, seria de classe 4 – esta conclusão estaria em contradição com a hipótese admitida, pois

numa secção de classe 4 não pode existir uma distribuição plástica de tensões.

Hipótese 2: Distribuição elástica de tensões no estado limite último da secção (classe 3 ou 4)

- Determinação da relação entre tensões ψ

h c

2h

h1

ψ fy

yf

- Determinação das alturas h1 e h2

mm45022172468h .. =×+= (desprezando os raios de concordância)

mm854261771

4502h1 .

.

.== mm5575hhh 12 .=−=

- Determinação da relação entre tensões na alma ψw

1141021785426

2175575w −>−=

−−= .

)..(

)..(ψ

36671410330670

42

330670

42242

t

c

ww

......

. =×−

=+

<=ψ

ε ⇒ Alma de classe 3

∴ Secção de classe 3

(ii) Determinação da classe da secção para NEd=750kN (Caso II)

Hipótese 1: Distribuição plástica de tensões no estado limite último da secção (classe 1 ou 2)

Parcela da flexão

Parcela da compressão

Eliminando σf A

Nf Ed

fy += σ

A

Nf Ed

fy +−= σψ

1770123513440

10130021

fA

N2 3

y

Ed .−=−×

××=−=ψ

Page 32: Apontamentos de Estruturas Metalicas - Parte I

Estruturas Metálicas (de Aço)

30

Como Npl,w=1221kN > NEd=750kN, a linha neutra plástica cruza a alma, como mostra a figura

3.18. Assim, o primeiro passo consiste em determinar a zona plastificada da alma devido ao

esforço normal, i.e.,

ywNEd ftcN = ⇒ mm52287235111

10750c

3

N ..

×=

mm763772

52287468

2

c

2

c NC .

.=

+=+=α

Em seguida, determina-se o parâmetro α, o qual corresponde à relação entre a altura da zona

da alma comprimida (αc) e a altura total da alma (c).

508070468

76377

c

C ...

>===α

α

7411807013

396

113

396242

t

c

w

..

. =−×

=−

>=α

ε

05481807013

456

113

456242

t

c

w

..

. =−×

=−

<=α

ε ⇒ Alma de classe 2

∴ Secção de classe 2

h

fy

c

yf fy

yf

fy

αc cN

Zona da alma plastificadadevido a N =750kNEd

Zona da secção plastificadadevido ao momento flector

Figura 3.6 − Zonas plastificadas da secção devido ao esforço normal e ao momento flector

Page 33: Apontamentos de Estruturas Metalicas - Parte I

Estruturas Metálicas (de Aço)

31

3.3 RESISTÊNCIA A TENSÕES DIRECTAS

3.3.1 TENSÕES NORMAIS (NEd + My,Ed + Mz,Ed)

• Secções de Classe 1 e 2

- Resistência Plástica

- Critérios (diagramas) de interacção não lineares

Resistência plástica (a forma do diagrama varia de secção para secção)

Resistência plástica (aproximação linear – conservativa)

Resistência elástica

1

1

M / Mpl

N / Npl

Figura 3.7 – Critérios (diagramas) de interacção não lineares

No caso mais geral (comportamento tridimensional), existem N+My+Mz. É habitual serem

desenvolvidos critérios de interacção planos MN,y – MN,z, em que a presença do esforço

normal já está “embebida” nos valores de MN,y e MN,z. Em alternativa, pode utilizar-se um

critério (diagrama) de interacção espacial (tridimensional).

• Secções de Classe 3

- Resistência Elástica

- Critérios (diagramas) de interacção lineares equivalente a ydEdx f≤,σ , (3.10)

onde 0Myyd ff γ/= e 0Mγ é o coeficiente parcial de segurança (para o qual o EC3-1-1

propõe o valor 1.0).

Page 34: Apontamentos de Estruturas Metalicas - Parte I

Estruturas Metálicas (de Aço)

32

1

1

M / Mel

N / Nel

Figura 3.8 – Critério de interacção linear

• Secções de Classe 4

- Resistência Elástica da secção efectiva

• Critérios que envolvem secções efectivas correspondentes à actuação individual de

cada um dos esforços actuantes (NEd, My,Ed, Mz,Ed)

• Equivalência a ydEdx f≤,σ 0Myyd ff γ/= , (3.11)

na reunião das secções efectivas.

• Já se estudaram, na disciplina de Estruturas Metálicas, as VS das secções de Classe 1 e 2.

• A VS das secções de Classe 3 envolve apenas a resistência elástica e resume-se a um

simples problema de Resistência de Materiais.

• A VS das secções de Classe 4 é qualitativamente semelhante à das secções de Classe 3,

mas requer o conhecimento prévio das características geométricas da(s) secção (ões)

efectivas envolvidas − propriedades efectivas.

EXEMPLO ILUSTRATIVO (SECÇÃO DE CLASSE 2)

Verificar a segurança da secção

Page 35: Apontamentos de Estruturas Metalicas - Parte I

Estruturas Metálicas (de Aço)

33

d=hw=249.6mm A=45.94cm2

tw=6.6mm Wpl.y=484cm3

b=135mm Wpl.z=96.95cm3

tf=10.2mm

de aço S235 (fy=235MPa), sujeita aos esforços NEd=580kN, My,Ed=25.5 kNm e Mz,Ed=16.4 kNm

RESOLUÇÃO

• Necessidade de contabilizar a redução de Mpl.y,Rd devida a NEd – EC3-1-1 (6.2.9.1)

kN59107901

102354594AfN

3

0M

y

Rdpl .., =

××==

γ

NEd=580kN > 0.25Npl,Rd=270kN

kN56193101

23566624950

fth50N50kN580N

3

0M

yww

RdwplEd ...... ,, =××××==>= −

γ

∴ É necessário reduzir Mpl.y,Rd (bastava uma das condições)

• Necessidade de contabilizar a redução de Mpl.z,Rd devida a NEd – EC3-1-1 (6.2.9.1)

kN12387101

235666249

fthNkN580N

3

0M

yww

RdwplEd ...,, =×××==>= −

γ

∴ É necessário reduzir Mpl.z,Rd

• Como a secção está submetida a flexão desviada, adopta-se o critério

1M

M

M

M

RdzN

Edz

RdyN

Edy ≤

+

βα

,,

,

,,

,

onde (i) MN,y,Rd e MN,z,Rd são momentos plásticos reduzidos pela presença de NEd e (ii) α e β são constantes que dependem do tipo da secção Secção em I: 1βmasn5β;2α ≥==

5370591079

580

N

Nn

Rdpl

Ed ..,

=== ⇒ β=2.685 > 1.0

IPE 270

Page 36: Apontamentos de Estruturas Metalicas - Parte I

Estruturas Metálicas (de Aço)

34

Page 37: Apontamentos de Estruturas Metalicas - Parte I

Estruturas Metálicas (de Aço)

35

Page 38: Apontamentos de Estruturas Metalicas - Parte I

Estruturas Metálicas (de Aço)

36

).(

)(,,,,

a501

n1MM RdyplRdyN −

−=

kNm7411301

1023510484fWM

63

0M

yypl

Rdypl ..

,,, =

×××=

×=

γ

{ } 40104010509445

0215132944550

A

bt2A50a

f ..,.min.

...,.min,.min ==

××−

=

=

)(.)..(

).(. ,,, EdyRdyN MkNm8765

4010501

5370174113M >=

×−

−=

n ≤ a: MN,z,Rd=Mpl,z,Rd

n > a: MN,z,Rd=Mpl,z,Rd

−−

−2

a1

an1

n=0.537 e a=0.401 ⇒ n > a

kNm782201

10235109596fWM

63

0M

yzpl

Rdzpl ..

.,,, =

×××=

×=

γ

)(..

..,,,,, Edz

2

RdzplRdzN MkNm612140101

401053701MM >=

−−=

Finalmente, tem-se

1M

M

M

M

RdzN

Edz

RdyN

Edy ≤

+

βα

,,

,

,,

, ⇒ 1627047701506121

416

8765

22568522

<=+=

+

...

.

.

.

..

∴ A segurança da secção está verificada

• Nota: Se se utilizasse o critério linear (mais simples) – EC3-1-1 6.2.1 (7)

148117200224053707822

416

74113

525

591079

580

M

M

M

M

N

N

Rdzpl

Edz

Rdypl

Edy

Rdpl

Ed >=++=++=++ .....

.

.

.

.,,

,

,,

,

,

∴ A segurança da secção não seria verificada (o critério linear é muito conservativo)

Page 39: Apontamentos de Estruturas Metalicas - Parte I

Estruturas Metálicas (de Aço)

37

3.3.1.1 SECÇÕES DE CLASSE 4

• A VS das secções de Classe 4 requer, no caso mais geral, o conhecimento dos valores

das seguintes características geométricas:

(i) Área Efectiva Aeff

(ii) Excentricidades eNy e eNz (afastamento em relação ao eixo – nova posição de G)

(iii) Módulo de flexão efectiva Weff,y,min (fibra com tensão máxima)

(iv) Módulo de flexão efectiva Weff,z,min (fibra com tensão máxima)

• Os valores de Aeff, eNy e eNz são determinados numa secção efectiva obtida admitindo

que na secção bruta actua apenas Nc,Ed (esforço nomal de compressão)

• O valor de Weff,y,min é determinado numa secção efectiva obtida admitindo que na secção

bruta actua apenas My,Ed.

• O valor de Weff,z,min é determinado numa secção efectiva obtida admitindo que na secção

bruta actua apenas Mz,Ed.

• Deste modo, constata-se que, no caso mais eral, existem três secções efectivas diferentes.

A figura 3.9 ilustra as secções efectivas de uma secção em I com banzos iguais.

Figura 3.9 – Tipos de secções efectivas numa secção em I

• Em secções bissimétricas e monossimétricas tem-se eNy=eNz=0 e eNy=0 ou eNz=0.

Page 40: Apontamentos de Estruturas Metalicas - Parte I

Estruturas Metálicas (de Aço)

38

3.3.1.1.1 DETERMINAÇÃO DE UMA SECÇÃO EFECTIVA

• Passos

(i) Determinar os valores de ψ (os quais definem o diagrama das tensões actuantes) nos

elementos (paredes) comprimidos paralelos ao eixo de flexão, com base nos valores dos

esforços actuantes e nas propriedades da secção bruta.

(ii) Determinar os valores e a localização das larguras efectivas nos elementos comprimidos

paralelos ao eixo de flexão, através do seguinte procedimento:

(a) A partir do valor de ψ, determinar o coeficiente de encurvadura kσ , através das

tabelas 4.1 e 4.2 do EC3-1-5.

(b) A partir do valore de kσ, determinar a esbelteza normalizadas de placa pλ ,

através da expressão

σεσ

λk428

tbf

cr

y

p.

/== . (3.12)

(c) A partir dos valores de pλ e ψ, determinar o factor de redução ρ, através de expressões

que dependem de o elemento ser interno ou saliente:

- Elementos Internos

ρ=1.0 para 6730p .≤λ

2

p

p 30550

λ

ψλρ

)(. +−= para 6730p .>λ [com 03 ≥+ )( ψ )]

- Elementos Salientes

ρ=1.0 para 7480p .≤λ

2

p

p 1880

λ

λρ

).−= ρ=1.0 para 7480p .>λ

Page 41: Apontamentos de Estruturas Metalicas - Parte I

Estruturas Metálicas (de Aço)

39

Page 42: Apontamentos de Estruturas Metalicas - Parte I

Estruturas Metálicas (de Aço)

40

(d) Uma vez conhecido o valor de ρ, determinar os valores das larguras efectivas (bc,eff) dos

elementos comprimidos através das tabelas 4.1 e 4.2 do EC3-1-5 − a partir dos

valores de bc,eff , é imediato obter as respectivas áreas efectivas (Ac,eff).

(e) Se for necessário (i.e., se a largura efectiva não for “contínua”), determinar, a partir

de bc,eff, as parcelas que constituem a largura efectiva do elemento comprimido

(be1 e be2), também através das tabelas 4.1 e 4.2 do EC3-1-5.

(iii) Determinar os valores de ψ nos elementos (paredes) comprimidos perpendiculares ao

eixo de flexão, com base nos valores dos esforços actuantes e nas propriedades de uma

“secção fictícia”, constituída pelas respectivas áreas brutas e pelas áreas efectivas

dos elementos paralelos ao eixo de flexão (já determinadas em (ii)).

(iv) Determinar os valores e a localização das larguras efectivas nos elementos comprimidos

perpendiculaes ao eixo de flexão, através do procedimento descrito em (ii).

(v) Determinar a(s) propriedade(s) efectiva(s) relevante(s).

• NOTA: No caso de uma secção submetida a compressão pura, tem-se sempre ψ = 1.

3.3.1.1.2 VERIFICAÇÃO DA SEGURANÇA

• Flexão desviada composta com tracção

0M

y

yd

zeff

Edz

yeff

EdyEdf

fW

M

W

M

A

N

γ=≤++

min,,

,

min,,

, . (3.13)

• Flexão desviada composta com compressão

0M

y

yd

zeff

NzEdEdz

yeff

NyEdEdy

eff

Edf

fW

eNM

W

eNM

A

N

γ=≤

++

++

min,,

,

min,,

, . (3.14)

• OBSERVAÇÕES

(i) A aplicação das equações de interacção faz-se para a fibra mais solicitada pertencente

à reunião de todas (no máximo três) secções efectivas. Os valores de Weff,y,min e

Weff,z,min dizem respeito a essa fibra.

Page 43: Apontamentos de Estruturas Metalicas - Parte I

Estruturas Metálicas (de Aço)

41

(ii) No caso de a fibra mais solicitada não pertencer a alguma das secções efectivas, o

valor da parcela associada ao esforço correspondente será nulo.

(iii) Os sinais das parcelas dependem da combinação de compressões e tracções, a qual

varia de caso para caso. Não podem “somar-se” compressões e tracções e é

conveniente adoptar a convenção de atribuir sinal positivo à tensão “dominante”

(compressão ou tracção).

EXEMPLO ILUSTRATIVO

Verificar a segurança da secção

10

400

6

10

800

300

y

zG

(mm)z

zG=444.32 mm (medido a partir da base)

formada por três chapas de aço S355 (fy=355MPa) soldadas entre si (cordões de soldadura de

largura a=6 mm), sujeita aos esforços NEd=390kN (compressão ou tracção) e My,Ed=630 kNm

(momento flector positivo)

RESOLUÇÃO

- 8140355

235

f

235

y

.===ε

- Área: 2mm11800680010300400A =×+×+= )(

- Cordões de soldadura: a=6mm ⇒ mm49826a .==

a

a

6 mm

Page 44: Apontamentos de Estruturas Metalicas - Parte I

Estruturas Metálicas (de Aço)

42

(I) Determinação de Aeff e eNy (NEd)

• Secção Efectiva do Banzo Superior

mm51188249826400c ./).( =×−−=

ψ=1.0 (banzo uniformemente comprimido) ⇒ kσ=0.43

kσ=0.43 ⇒ ( )

748024414308140428

1051188

K428

tc f

p .....

)/.(

.

/>=

××==

σελ

68201880

2

p

p ..

=−

λρ

mm56128511886820cb effc ..., =×== ρ

mm128049826561282a2tb2b weffcbanzoe ...)( ,sup. =×++×=++=

• Secção Efectiva do Banzo Inferior

mm51138249826300c ./).( =×−−=

ψ=1.0 (banzo uniformemente comprimido) ⇒ kσ=0.43

kσ=0.43 ⇒ ( )

748091404308140428

1051138

K428

tc f

p .....

)/.(

.

/>=

××==

σελ

86901880

2

p

p ..

=−

λρ

mm37120511388690cb effc ..., =×== ρ

mm7226349826371202b banzoe ...)( inf. =×++×=

• Secção Efectiva da Alma

mm027834982800b .).( =×−=

ψ=1.0 (alma uniformemente comprimida) ⇒ kσ=4.0

Page 45: Apontamentos de Estruturas Metalicas - Parte I

Estruturas Metálicas (de Aço)

43

kσ=4.0 ⇒ ( )

6730823248140428

602783

K428

tb wp ..

..

)/.(

.

/>=

××==

σελ

32708232

13055082323055022

p

p ..

)(..)(.=

+−=

+−=

λ

ψλρ

mm05256027833270bb effc ..., =×== ρ

mm03128b50bb effc2e1e .. , ===

mm5213649803128b almae ...)( =+= (junto de cada banzo)

A figura abaixo mostra a secção efectiva determinadas.

136.52

136.52

263.72

• Cálculo da área efectiva (Aeff) e da excentricidade (eNy)

2

eff mm447076652136210722631280A .).()..( =××+×+=

mm37419447076

67474152136267852136105722638151280z effG .

.

)....()..()( =

××+×+××+×=

mm95243741932444eNy ... =−= (↓)

(II) Determinação de Weff,y,min (My,Ed)

• Secção Efectiva do Banzo Superior

mm128049826561282b be ...)( sup. =×++×= (idêntico ao caso anterior)

Page 46: Apontamentos de Estruturas Metalicas - Parte I

Estruturas Metálicas (de Aço)

44

• Secção Efectiva da Alma

- Cálculo de ψ na alma

280.1

σ = ψ2 1σ

2mm106016800103001280A =×+×+=′ ).(

mm4040210601

41068001053008151280zG .

).(=

××+××+×=′

962040402498810

4981040402.

..

)..(−=

−−

−−−=ψ

- Cálculo de ρ na alma

9620.−=ψ ⇒ 9122789296817k 2 .... =+−= ψψσ (Tabela 4.1 do EC3-1-5)

9122k .=σ ⇒ ( )

6730179191228140428

602783

K428

tb wp ..

...

)/.(

.

/>=

××==

σελ

76801791

96203055017913055022

p

p ..

).(..)(.=

−−=

+−=

λ

ψλρ

- Cálculo de bc e das parcelas be1 e be2

mm0939996201

02783

1

bbc .

.

.=

+=

−=

ψ

Page 47: Apontamentos de Estruturas Metalicas - Parte I

Estruturas Metálicas (de Aço)

45

mm50306093997680bb ceff ... =×== ρ

mm61225030640b40b eff1e .... =×==

mm91835030660b60b eff2e .... =×==

mm091314986122abb 1ealmae ...)( sup, =+=+=

mm3257649809399027839183abbb t2ealmae ..)..(.)( inf, =+−+=++=

A figura abaixo mostra a secção efectiva determinada.

280.1

131.09

576.32

300

• Cálculo do Módulo de Flexão Efectivo (Weff,y,min)

)basedapartiramedido(.

)(

mm67389

6131.09)(576.3210280.1)(300

65.55)-(8106131.06298.166576.3210815)280.15(300z effG

=

=×++×+

××+××+××+×=

4

22

22

3333

effy

mm1175472955

6738955658106091311629867389632576

6738981510128038410300

12

091316

12

325766

12

101280

12

10300I

=

=−−××+−××+

+−××+××+

=

)..(.)..(.

).(.

...)(

3effy

yeff mm72273156167389820

IW .

).(

)()( supmin,, =

−=

3effy

yeff mm714301658567389

IW .

).(

)()( infmin,, ==

Page 48: Apontamentos de Estruturas Metalicas - Parte I

Estruturas Metálicas (de Aço)

46

(III) Verificação da Segurança

MPa35501

355ff

0M

y

yd ===.γ

• NEd=390kN (Compressão) - Fibras superiores

01815066001550

355722731561

95241039010630

355447076

10390

fW

eNM

fA

N 363

ydyeff

NyEdEdy

ydeff

Ed

....

.

.

.)( supmin,,

,

<=+=

××+×+

×

×=

++

∴ A segurança da secção está verificada

• NEd=390kN (Tracção) - Fibras superiores

01557065000930355722731561

10630

35511800

10390

fW

M

Af

N 63

ydyeff

Edy

yd

Ed .....)( supmin,,

, <=+−=×

×+

×

×−=+−

∴ A segurança está verificada - Fibras inferiores

016810588009303557143016585

10630

35511800

10390

fW

M

Af

N63

ydyeff

Edy

yd

Ed .....)( infmin,,

, <=+=×

×+

×

×=+−

∴ A segurança está verificada

• NOTA: As fibra mais solicitada são as inferiores, que não correspondem ao valor mínimo do

módulo de flexão efectivo. Por outro lado, como a compressão é sempre mais penalizadora

que a tracção, não havia qualquer dúvida que a segurança da secção seria verificada.

EXEMPLO ILUSTRATIVO

Verificar a segurança da chapa de pavimento misto representada na figura 3.10 durante a

fase construtiva (i.e., enquanto o betão está “fresco” e, portanto, não desempenha

funções resistentes − traduz-se apenas por uma acção).

Page 49: Apontamentos de Estruturas Metalicas - Parte I

Estruturas Metálicas (de Aço)

47

L=2.60 m

p

b/2 b/2bc c

a

t

a = 150.0mm b = 60.5mm h = 54.0 mmc = 14.5mm t = 1.0mm

h

H

Secção Transversal

Betão

H = 120mm

y yGZ

Figura 3.10 – Geometria, dimensões e acções da chapa de pavimento misto

Page 50: Apontamentos de Estruturas Metalicas - Parte I

Estruturas Metálicas (de Aço)

48

RESOLUÇÃO

(I) Dados - Chapa de pavimento: HI Bond 55 com fy=320MPa

8570320

235.==ε

- Valor do momento actuante máximo

mmkN4382250925010898312p 3 //.)...( =×+××= − (carga uniformemente distribuída) Chapa Betão Coeficiente de majoração

mkNm0938

62438251M

2

Edy /...

., =×

×= (momento máximo − meio vão)

(II) Características Geométricas da Secção Bruta - Área

º..

031554

514arctg ==α mm91.55

º03.15cos

54= (comprimento das paredes inclinadas)

2mm83232019155256025302A ..)...( =××+××= (célula com 150mm de largura)

mmm21552m150

83232A 2 /.

)(.

.== (área por metro de largura)

- Centro de gravidade zG=27mm (a partir da linha média) - Momento de inércia:

Ia=Ibcos2α + Icsen

2α αaa

b

c

c

Page 51: Apontamentos de Estruturas Metalicas - Parte I

Estruturas Metálicas (de Aço)

49

[ ] )célulapor(....

).(..

).(cos..

....

4

23

23

23

y

mm291153893130791358420888219

0315sen12

019155

031512

01915522701560

12

015602I

=+×+=

=

×

×+

××+

××+

××=

mmm9769261150

29115389I 4

y /..

.==

(II) Determinação de Weff,y,min (My,Ed)

• Secção Efectiva do Banzo Superior

mm559502560c ... =×−=

ψ=1.0 (banzo uniformemente comprimido) ⇒ kσ=4.0

kσ=4.0 ⇒ ( )

67302221048570428

01559

K428

tc f

p .....

)./.(

.

/>=

××==

σελ

67102221

13055017913055022

p

p ..

)(..)(.=

+−=

+−=

λ

ψλρ

mm92395596710cb effc ..., =×== ρ

mm9619923950b50bb effc2e1e .... , =×===

be1

be2e1b = = 19.96mm

e1b

• Secção Efectiva das Almas

- Cálculo de ψ nas almas

[ ] )célulapor(..)..(.. 2mm24213010192399155225302A =×++×+×=′

)secçãodabasedapartiramedido(..

.)..(......

mm0225

24213

5540192395270191552500125302zG

=

=×++×××+×××

=′

Page 52: Apontamentos de Estruturas Metalicas - Parte I

Estruturas Metálicas (de Aço)

50

8290022453

0224

1

2 .).(

.−=

−==

σσ

ψ

- Cálculo de bc e das parcelas be1 e be2

8290.−=ψ ⇒ 7519789296817k 2 .... =+−= ψψσ (Tabela 4.1 do EC3-1-5)

mm91545029155b ... =×−=

7519k .=σ ⇒ ( )

6730508075198570428

019154

K428

tb wp ..

...

)./.(

.

/<=

××==

σελ

∴ A alma é toda efectiva

• Cálculo de Weff,y,min (zG)eff = 25.02 mm

[ ])célulapor(.....

)..(..)..(

)..(..)..(....

)(

4

2

223

effy

mm464981329442785703933895439363740425

0225527019155313079135842

02255540192405002250156012

01560I

=+++=

=−××++×+

+−××+−××+×

=

mmm427654216150

46498132I 4

effy /..

.)( ==

(III) Verificação da Resistência

014430

01

32076221821

10093

fW

M 6

ydmimyeff

Edy ..

..

.

,,

, <=×

×=

∴ A resistência da chapa está verificada

3.3.2 TENSÕES TANGENCIAIS (Vz,Ed + Vy,Ed)

• Secções de Classe 1, 2, 3 ou 4 (a classificação das secções não tem qualquer relação com

a resistência às tensões tangenciais)

• O valor de cálculo do esforço transverso VEd deve satisfazer a condição

Page 53: Apontamentos de Estruturas Metalicas - Parte I

Estruturas Metálicas (de Aço)

51

01V

V

Rdc

Ed .,

≤ , (3.15)

onde Vc,Rd é o valor de cálculo da resistência da secção ao esforço transverso. No

caso do dimensionamento plástico, Vc,Rd é igual a Vpl,Rd (valor de cálculo da resistência

plástica), dado por

0M

yv

RdplRdc

3fAVV

γ

)/(,, == , (3.16)

onde Av é a área de corte da secção, a qual depende da sua geometria e do sentido de

actuação esforço transverso.

• O dimensionamento elástico é conservativo e, por esse motivo, só se adopta quando tal é

indispensável, nomeadamente na verificação da segurança de secções de Classe 3 ou 4

submetidas a combinações de esforço transverso, momento flector e/ou momento torsor.

• O valor de Vc,Rd=Vel,Rd obtém-se a partir da condição

0,1)3(f 0My

Ed ≤γ

τ , (3.17)

onde τEd é determinado através de expressão (já conhecida da Resistência de Materiais)

tI

SVEdEd =τ . (3.18)

• Em secções em I ou H em que a relação entre Af (área de um banzo) Aw (área da alma)

satisfaz a condição 60AA wf ./ ≥ , a tensão tangencial na alma (provocada por um esforço

transverso paralelo a ela) pode ser determinada, aproximadamente, através da expressão

w

EdEd A

V=τ . (3.20)

Page 54: Apontamentos de Estruturas Metalicas - Parte I

Estruturas Metálicas (de Aço)

52

Page 55: Apontamentos de Estruturas Metalicas - Parte I

Estruturas Metálicas (de Aço)

53

Page 56: Apontamentos de Estruturas Metalicas - Parte I

Estruturas Metálicas (de Aço)

54

3.3.3 TENSÕES NORMAIS (NEd + My,Ed + VY,Ed) + TENSÕES TANGENCIAIS (VZ,Ed + VY,Ed)

• O EC3 estipula que, no caso de se ter RdplEd V50V ..≤ (o esforço transverso actuante não

excede 50% da resistência plástica da secção ao corte), a influência do esforço transverso

pode ser desprezada e a resistência da secção é condicionada unicamente pelas tensões

normais (situação já abordada na secção 3.3.1).

• Se RdzplEdz V50V ,,, .> e/ou RdyplEdy V50V ,,, .> o EC3 preconiza que a influência do esforço

transverso (i) tem que ser considerada e (ii) pode ser traduzida por uma redução da tensão

de cedência do aço na(s) respectiva(s) área(s) de corte Av,z e/ou Av,y. Essa redução da

tensão de cedência é definida por:

Av,z : fy → (1-ρz) fy com

2

Rdzpl

Edz

z 1V

V2

−=

,,

,ρ (3.21)

Av,y : fy → (1-ρy) fy com

2

Rdypl

Edy

y 1V

V2

−=

,,

,ρ . (3.22)

• Verifica-se então a resistência às tensões normais de uma secção transversal “enfraquecida”

(pela redução da tensão de cedência) em uma ou em ambas as áreas de corte.

• Observe-se que a redução da tensão de cedência pode fazer baixar a classe da secção.

Para além disso, nas secções de Classe 4 (sem e com redução de fy), a presença de esforço

transverso superior a 50% da resistência plástica da secção influencia as propriedades

efectivas (“aproxima-as” das propriedades brutas).

• No caso de secções de Classe 3 ou 4, as quais apenas podem atingir uma resistência

elástica, pode adoptar-se um procedimento alternativo: verificar a resistência da secção

através do bem conhecido critério de von-Mises, cuja expessão é

0M

y

yd

2

Ed

2

EdEdcomp

ff3

γσσσ =≤+=, . (3.23)

No caso das secções de Classe 4, o valor de Edσ é nula nas zonas não efectivas da secção.

Page 57: Apontamentos de Estruturas Metalicas - Parte I

Estruturas Metálicas (de Aço)

55

Page 58: Apontamentos de Estruturas Metalicas - Parte I

Estruturas Metálicas (de Aço)

56

EXEMPLO ILUSTRATIVO (SECÇÃO DE CLASSE 1)

Verificar a segurança da secção de um perfil IPE 270 de aço Aço S235 (fy=fyd=235MPa)

cujas caracteristicas geométricas são

A=45.95 cm2 hw=249.6 mm tw=6.6 mm Wpl,y=484 cm

3 Av,z=22.14 cm3 ,

a qual se encontra submetida à combinação de esforços My,Ed=105 kNm e

Vz,Ed=210 kN, a qual ocorre tipicamente em apoios intermédios de vigas contínuas.

RESOLUÇÃO

)(..

)/.(.)/(,

,,, Edz

0M

yzv

Rdzpl VkN430001

352314223fAV >=

×==

γ

kN2150V50kN210V RdzplEdz .. ,,, =>=

∴∴∴∴ É necessário considerar a interacção entre tensões normais e tangenciais

• No caso das secções em I com banzos iguais submetidas a flexão em torno do eixo de

maior inércia, o EC3-1-1 preconiza explicitamente a utilização da expressão

0M

w

2

wzypl

RdVy

t4

AW

ρ

=,

,, com Aw=hwtw (área da alma) − em geral, tem-se Aw < Av,z

para estimar o momento resistente da secção, tomando em consideração a influência

do esforço transverso. No entanto, apesar de designar esse momento resistente por

“plástico”, estipula que ele deve ser limitado pela condição

Wpl,y fy / γM0 (Classe 1 ou 2)

=≤ RdC,y, RdV,y, MM Wel,y fy / γM0 (Classe 3)

Weff,y fy / γM0 (Classe 4)

Como a aplicação desta disposição ao caso das secções de Classe 3 ou 4 parece não fazer

sentido (o momento resistente da secção sem esforço transverso é “elástico”), ela será

apenas considerada em secções de classe 1 e 2.

Page 59: Apontamentos de Estruturas Metalicas - Parte I

Estruturas Metálicas (de Aço)

57

Page 60: Apontamentos de Estruturas Metalicas - Parte I

Estruturas Metálicas (de Aço)

58

159014300

21021

V

V222

Rdzpl

Edz

z ..,,

, =

−×

=

−=ρ

).(... ,2

zv

22

w cm1422Acm471610666249A =<=××= −

kNm911091001

235

664

4716159010484M

62

3

RdVy ...

..,, =××

×

×−×= −

kNm9109MkNm105M RdVyEdy .,,, =<=

∴ A resistência da secção está verificada

EXEMPLO ILUSTRATIVO (SECÇÃO DE CLASSE 4)

Verificar a segurança da secção soldada já considerada anteriormente (ver página 30)

10

400

6

10

800

300

y

zG

(mm)z

zG=444.32 mm (medido a partir da base)

É formada por chapas de aço S355 (fy=355MPa), tem cordões de soldadura de largura a=6 mm

e está sujeita a NEd=390kN (compressão), My,Ed=630 kNm (momento positivo) e Vz,Ed=800 kN.

RESOLUÇÃO

)almaaárea(, dmm48006800A 2

zv =×=

)(..

)/()/(,

,,, Edz

3

0M

yzv

Rdzpl VkN898301

10335548003fAV >=

××==

γ

kN9491V50kN800V RdzplEdz .. ,,, =>=

∴∴∴∴ É necessário considerar a interacção entre tensões normais e tangenciais

Page 61: Apontamentos de Estruturas Metalicas - Parte I

Estruturas Metálicas (de Aço)

59

3923018983

80021

V

V22

2

Rdzpl

Edz

z ..,,

, =

−×

=

−=ρ

wydyzwy fMPa7215355392301f1f ,, .).()( ≡=×−=−= ρ ⇒ 04417215

235w .

.==ε

fydyfy fMPa355ff ,, ≡== ⇒ 8140355

235f .==ε

(I) Determinação de Aeff e eNy (NEd)

• Secção Efectiva do Banzo Superior

mm51188249826400c ./).( =×−−=

ψ=1.0 (banzo uniformemente comprimido) ⇒ kσ=0.43

kσ=0.43 ⇒ ( )

748024414308140428

1051188

K428

tc

f

f

p .....

)/.(

.

/>=

××==

σελ

68201880

2

p

p ..

=−

λρ

mm56128511886820cb effc ..., =×== ρ

mm128049826561282a2tb2b weffcbanzoe ...)( ,sup. =×++×=++=

• Secção Efectiva do Banzo Inferior

mm51138249826300c ./).( =×−−=

ψ=1.0 (banzo uniformemente comprimido) ⇒ kσ=0.43

kσ=0.43 ⇒ ( )

748091404308140428

1051138

K428

tc

f

f

p .....

)/.(

.

/>=

××==

σελ

86901880

2

p

p ..

=−

λρ

mm37120511388690cb effc ..., =×== ρ

mm7226349826371202b banzoe ...)( inf. =×++×=

Page 62: Apontamentos de Estruturas Metalicas - Parte I

Estruturas Metálicas (de Aço)

60

• Secção Efectiva da Alma

mm027834982800b .).( =×−=

ψ=1.0 (alma uniformemente comprimida) ⇒ kσ=4.0

kσ=4.0 ⇒ ( )

6730200240441428

602783

K428

tb

w

wp ..

..

)/.(

.

/>=

××==

σελ

40902002

13055020023055022

p

p ..

)(..)(.=

+−=

+−=

λ

ψλρ

mm26320027834090bb effc ..., =×== ρ

mm13160b50bb effc2e1e .. , ===

mm6216849813160b almae ...)( =+= (junto de cada banzo)

A figura abaixo mostra a secção efectiva determinada.

263.72

168.62

168.62

• Cálculo de Aeff e eNy

2

eff mm647461662168210722631280A .).()..( =××+×+=

mm89418647461

66972562168319462168105722638151280z effG .

.)....()..(

)( =××+×+××+×

=

mm43258941832444eNy ... =−= (↓)

Page 63: Apontamentos de Estruturas Metalicas - Parte I

Estruturas Metálicas (de Aço)

61

(II) Determinação de Weff,y,min (My,Ed)

• Secção Efectiva do Banzo Superior

mm128049826561282b be ...)( sup. =×++×= (idêntico ao caso anterior)

• Secção Efectiva da Alma

- Cálculo de ψ na alma

280.1

σ = ψ2 1σ

2mm106016800103001280A =×+×+=′ ).(

mm4040210601

41068001053008151280zG .

).(=

××+××+×=′

962040402498810

4981040402.

..

)..(−=

−−

−−−=ψ

962.0−=ψ ⇒ 9122789296817k 2 .... =+−= ψψσ (Tabela 4.1 do EC3-1-5)

9122k .=σ ⇒ ( )

673092009196091220441428

602783

K428

tb

w

wp ...

...

)/.(

.

/>≅=

××==

σελ

95409200

96203055092003055022

p

p ..

).(..)(.=

−−=

+−=

λ

ψλρ

Page 64: Apontamentos de Estruturas Metalicas - Parte I

Estruturas Metálicas (de Aço)

62

- Cálculo de bc e das parcelas be1 e be2

mm0939996201

02783

1

bbc .

.

.=

+=

−=

ψ

mm73380093999540bb ceff ... =×== ρ

mm291527338040b40b eff1e .... =×==

mm442287338060b60b eff2e .... =×==

mm7816049829152abb 1ealmae ...)( sup, =+=+=

mm866204989338344228abbb t2ealmae ....)( inf, =++=++=

A figura abaixo mostra a secção efectiva determinada.

280.1

300

160.78

620.86

• Cálculo do Módulo de Flexão Efectivo (Weff,y,min)

)basedapartiramedido(.

)(

mm90399

6160.78)(620.8610280.1)(300

80.39)-(8106160.78320.436620.8610815)280.15(300z effG

=

=×++×+

××+××+××+×=

Page 65: Apontamentos de Estruturas Metalicas - Parte I

Estruturas Metálicas (de Aço)

63

42

22

23333

effy

mm120065504093993980810678160

4332093996866209399815101280

593991030012

781606

12

866206

12

101280

12

10300I

=−−××+

+−××+−××+

+−××+×

=

)..(.

)..(.).(.

).(...

)(

3effy

fyeff mm99528580219399820

IW .

).(

)()( sup,min,, =

−= (fibras superiores do banzo comprimido)

3effy

almawyeff mm8512927712109399820

IW .

).(

)()( ,min,, =

−−= (fibras superiores da alma)

(III) Verificação da Segurança

• Fibras Superiores do Banzo Comprimido

1778063101470

3559952858021

43251039010630

355647461

10390

fW

eNM

fA

N 363

fydfyeff

NyEdEdy

fydeff

Ed

<=+=

××+×+

×

×=

++

...

.

.

.)( ,sup,min,,

,

,

• Fibras Superiores da Alma

1255101312420

72158512927712

43251039010630

7215647461

10390

fW

eNM

fA

N 363

fydfyeff

NyEdEdy

fydeff

Ed

>=+=

××+×+

××

=+

+

...

..

.

..)( ,sup,min,,

,

,

∴∴∴∴ A segurança da seccção não é verificada (nas fibras superiores da alma)

• Em alternativa, poder-se-ia ter utilizado o critério de von Mises, o que envolveria os

seguintes procedimentos:

(i) Determinar as tensões normais devidas a NEd + My,Sd, o que obrigaria a calcular

as propriedades efectivas da secção (tal como foi feito anteriormente).

(ii) Determinar as tensões tangenciais devidas a Vz,Ed, com base na secção bruta.

(iii) Determinar o ponto da secção onde o valor da tensão de comparação σcomp,Ed é

máximo e comparar esse valor com fyd – como é óbvio, admite-se que a tensão normal

σEd é nula nas zonas não efectivas da secção.

Page 66: Apontamentos de Estruturas Metalicas - Parte I

Estruturas Metálicas (de Aço)

64

(iv) Neste caso particular, a máxima tensão de comparação ocorreria na vizinhança do

nó alma-banzo superior – (i) nas fibras superiores do banzo comprimido (ponto 1 −

máxima tensão normal) ou (ii) nas fibras superiores da alma (ponto 2 − tensão

normal um pouco inferior ao valor máximo, mas tensão tangencial cerca do dobro da

anterior – ponto 2). Como a tensão de cedência é menor no ponto 2, este

condiciona a resistência da secção.

2

1

3.3.4 TORÇÃO

• Uma barra com secção de parede fina aberta submetida a um momento torsor T exibe

(i) rotação φ das suas secções transversais em torno do eixo da barra e (ii) deslocamentos

axiais de empenamento u (a secção deixa de estar contida num plano).

u

u

x

y

T

T

φ

Figura 3.11 – Barra submetida a momento torsor T – empenamentos u e rotações φ

• Se as secções puderem empenar livremente, isto é, se (i) os apoios da barra não impedirem

o empenamento e (ii) o momento torsor for constante, diz-se que a barra está submetida a

“Torção Uniforme” (ou “Torção de Saint-Venant”) – ver a figura 3.12.

Page 67: Apontamentos de Estruturas Metalicas - Parte I

Estruturas Metálicas (de Aço)

65

Figura 3.12 – Barra submetida a torção uniforme

• Se (i) o empenamento for restringido (impedido) em alguma secção (e.g., num apoio) ou

(ii) o momento torsor for variável, diz-se que a barra está submetida a “Torção Não-

Uniforme” – ver a figura 3.13 (o empenamento está impedido no encastramento).

Figura 3.13 – Barra submetida a torção não uniforme

• No caso da torção uniforme, as secções exibem deslocamentos axiais de empenamento que,

por serem iguas em todas as secções, não introduzem tensões normais. O momento torsor

Tsv é equilibrado unicamente por tensões tangenciais τsv, cuja determinação foi

estudada na disciplina de Resistência de Materiais.

Page 68: Apontamentos de Estruturas Metalicas - Parte I

Estruturas Metálicas (de Aço)

66

• No caso da torção não uniforme, para além das tensões tangenciais τsv, desenvolvem-se

também (i) tensões normais σw (devidas à restrição ao empenamento), cuja resultante se

designa por bimomento (Bw) e (ii) tensões tangenciais τw (também devidas à restrição ao

empenamento) que equilibram as tensões normais σw. Deste modo, o momento torsor

resistente (TR) é constituído por duas parcelas (ver a figura 3.13)

wsvR TTT +=

onde (i) Tsv=GJφ’ (torção uniforme) e (ii) Tw=–EIwφ’’’ (torção não uniforme) − φ é

o ângulo de rotação da secção em torno do eixo da barra. Conforme mostra a figura 3.13,

os valores relativos de Tsv e Tw variam ao longo do comprimento da barra.

Tw

Tsv

T

T=TR=Tsv+Tw

Figura 3.13 – Parcelas Tsv e Tw do momento torsor resistente

• Para caracterizar o comportamento de torção de uma secção é necessário conhecer duas

propriedades geométricas: (i) a constante de torção de Saint-Venant (J), cuja

determinação se estudou na disiplina de Resistência de Materiais, e (ii) a constante de

empenamento (Iw). Existem tabelas com expressões analíticas e/ou valores de J e Iw

para diversos tipos de secções.

• O EC3 estipula que o momento torsor devido ao empenamento (Tw,Ed) pode ser desprezado

nas secções de parede fina fechada (por exemplo, secções RHS − secções tubulares

rectangulares). Em secções circulares tubulares circulares, Tw,Ed é mesmo nulo (devido à

simetria radial da secção).

Resultante

de τsv

Resultante

de τw

Page 69: Apontamentos de Estruturas Metalicas - Parte I

Estruturas Metálicas (de Aço)

67

• O EC3 estipula também que o momento torsor de Saint-Venant (Tt,Ed) pode ser desprezado

nas secções de parede fina aberta (por exemplo, em I ou H). Neste tipo de secções a

resistência à torção é devida, quase unicamente, à resistência das secções ao empenamento.

• Como o comportamento das secções de parede fina aberta é bastante complexo (devido

ao empenamento), aborda-se aqui apenas a torção das secções de parede fina fechada.

• Sabe-se, da Resistência dos Materiais, que a tensão tangencial elástica devido à torção de

Saint-Venant, em secções tubulares circulares (CHS) e rectangulares (RHS), é dada por

rI

T

p

tt =τ )( 4

i

4

ep RR2

I −=π

tA2

T

m

tt =τ ))(( thtbAm −−=

3.3.4.1 VERIFICAÇÃO DA SEGURANÇA

• Em secções de Classe 1, 2, 3 ou 4 (a classificação das secções não envolve a resistência às

tensões tangenciais, inclusive as devidas à torção), tem-se

01T

T

Rd

Ed .≤

• Dimensionamento Plástico

- Secções circulares

( )3

fRR

3

2drrr2

3

fT

yd3

i

3

e

R

R

yd

Rdpl

e

i

−=××= ∫π

π )(,

- Secções rectangulares

3

ftA2T

yd

mRdpl )(, =

Ri

Re

r

3

f yd

3

f yd

r

t

h

b

Am

Page 70: Apontamentos de Estruturas Metalicas - Parte I

Estruturas Metálicas (de Aço)

68

• Dimensionamento Elástico

- Secções circulares

−=

=

3

fRR

R23

f

R

IT

yd4

i

4

e

e

yd

e

p

Rdel )(,

π

Observe-se que, para um dado valor de Re, quanto maior for o valor de Ri (isto é, menor

o valor de t=(Re–Ri)), mais pequena é a diferença entre os valores de Tel,Rd e Tpl,Rd.

- Secções rectangulares

Como a tensão tangencial se admite uniforme na espessura em regime elástico, os valores

das resistências elástica e plástica são idênticos: (TRd)el=(TRd)pl.

3.3.4.1.1 ESFORÇO TRANSVERSO (VEd) + MOMENTO TORSOR (TEd)

• Numa combinação VEd + TEd, a verificação da segurança toma a forma

01V

V

RdTpl

Ed ...

onde Vpl.T.Rd é o esforço transverso resistente (plástico) da secção reduzido pela presença das

tensões tangenciais de torção (τt,Ed − tensões elásticas). Nas secções tubulares, tem-se

−==

0M

y

Edt

RdplRdTpl3f

1VV

γ

τ

)/(,

...

3.3.4.1.2 MOMENTO FLECTOR (MEd) + ESFORÇO TRANSVERSO (VEd) + MOMENTO TORSOR (TEd)

• Numa combinação MEd + VEd + TEd em que o nível de esforço transverso seja elevado em

relação ao esforço transverso reduzido pelas tensões tangenciais de torção (VEd > 0.5Vpl.T.Rd),

o factor de redução da tensão de cedência do aço na área de corte (ρ) +e dado por

2

RdTpl

Ed 1V

V2

−=

..

ρ

Page 71: Apontamentos de Estruturas Metalicas - Parte I

Estruturas Metálicas (de Aço)

69

Page 72: Apontamentos de Estruturas Metalicas - Parte I

Estruturas Metálicas (de Aço)

70

• Alternativamente, pode sempre recorrer-se ao critério de von-Mises, que neste caso toma

a forma

01f

3f

2

0My

Ed

2

0My

Ed .//

+

γτ

γσ

Como se trata de um critério de resistência elástica, a sua utilização é (i) rigorosa, nas

secções de Classe 3 ou 4, e (ii) conservativa, nas secções de Classe 1 ou 2.

EXEMPLO ILUSTRATIVO (SECÇÃO CIRCULAR)

Determine o momento torsor resistente de dimensionamento (i) plástico e (ii)

elástico de um perfil de secção CHS 127×10 de aço S235, cujas geometria é definida

por (i) um diâmetro exterior igual a 127.0 mm e uma espessura de 10.0 mm.

RESOLUÇÃO

mm5632

127Re .== mm55310563tRR ei .. =−=−=

( ) ( ) Nmm102529013

235553563

3

2

3

fRR

3

2T 633yd3

i

3

eRdpl ×=×

×−=−= ..

..,

ππ

( ) ( ) Nmm100727013

235553563

56323

fRR

R2T

644yd4

i

4

e

e

Rdel ×=×

×−×

=−= ..

...,

ππ

EXEMPLO ILUSTRATIVO (SECÇÃO RECTANGULAR DE CLASSE 1)

Verifique a resistência da secção RHS 400×200×10 representada, de aço S235 e

submetida aos esforços My,Ed=220 kNm, Vz,Ed=435 kN e TEd=100 kNm.

Page 73: Apontamentos de Estruturas Metalicas - Parte I

Estruturas Metálicas (de Aço)

71

RESOLUÇÃO 1) Esforço Transverso Resistente Vpl.T.Rd

−=

0My

Edt

RdzplRdTpl3f

1VVγ

τ

/)/(,

,,,,

0M

yzv

Rdzpl3

fAV

γ×= ,

,,

22

zv mm7600210380mm37733400200

40011600

hb

hAA =××≅=

+

×=

+

×= .,

kN21049013

23537733V Rdzpl .

.

.,, =

×

×=

26

m

EdEdt mmN567

101903902

Nmm10100

tA2

T/.

)(

)(, =

×××

×==τ

kN6527013235

567121049V RdTpl .

./)/(

..,, =

−×= (redução de cerca de 50%)

2) Interacção entre VEd e Mpl,y,Rd

kN3263V50kN435V RdTplEdz .. ,,, =>= ⇒ É necessário considerar a interacção

3) Factor de Redução da Tensão de Cedência em Av,z

424017526

43521

V

V222

RdTpl

Ed ..,,

=

−×

=

−=ρ

MPa613523542401f1 y .).()( =×−=− ρ

alma

Page 74: Apontamentos de Estruturas Metalicas - Parte I

Estruturas Metálicas (de Aço)

72

4) Verificação da Segurança

01

613549510190

01

235219510200M RdVy .

.)(

.)(,, ××××+××××=

kNm220MkNm2281M EdyRdVy =>= ,,, . ∴∴∴∴ A resistência da secção está verificada

Banzos Wpl,y

Almas Wpl,y