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UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DO RIO DE JANEIRO INSTITUTO DE CIÊNCIAS SOCIAIS E HUMANAS DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS ADMINISTRATIVAS E CONTÁBEIS MATEMÁTICA FINANCEIRA MARCIA REBELLO DA SILVA

Apost Matematica Financeira

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UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DO RIO DE JANEIRO

INSTITUTO DE CIÊNCIAS SOCIAIS E HUMANAS

DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS ADMINISTRATIVAS E CONTÁBEIS

MATEMÁTICA FINANCEIRA

MARCIA REBELLO DA SILVA

2008/II

Page 2: Apost Matematica Financeira

CAPÍTULO 1: JUROS SIMPLES

Todos os direitos autorais reservados à

MARCIA REBELLO DA SILVA

1.1 - Objetivo da Matemática Financeira

A Matemática Financeira por tratar, em essência, do estudo do dinheiro ao longo do tempo,

tem como objetivo básico fazer análises e comparações dos vários fluxos de entrada e saída de

dinheiro de caixa verificados em vários momentos.

Assim sendo nada mais é do que o estudo da equivalência de "valores datados".

1.2 - Conceito de Juros

Juro é a remuneração a qualquer título do capital utilizado durante certo período de tempo

sob o ponto de vista do investidor, isto é, a renda do capital investido.

1.3 - Taxa de Juros

O elemento fundamental para a transposição e análise de valores datados é a taxa de juros,

isto é, o coeficiente que determina o valor dos juros.

As taxas de juros se referem sempre a uma unidade de tempo (dias, meses, trimestres, etc.)

e podem ser representados equivalentemente de duas maneiras: taxa unitária e taxa percentual.

1.3.1 - Taxa Unitária

Refere-se à unidade do capital. Reflete o rendimento de cada unidade de capital em certo

período de tempo.

Ex. 1: Taxa de 0,30 ao mês, então a aplicação de $ 1, 00, por 1 mês gera um juro de $ 0,30.

Taxa Unitária = 0,30 a.m. (1,00) (0,30) = 0,30

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1.3.2 - Taxa Percentual

Refere-se aos "centos do capital", isto é, o valor dos juros para cada centésima parte do

capital.

Ex. 2: Um capital de $ 100,00 rende $ 10,00 em 1 mês, então a taxa de juros é de 10% a.m.

Taxa percentual = 10 % a.m. (100,00) (10 / 100) = $ 10,00

NOTA:

Para transformar a taxa percentual em unitária basta dividir a notação da

porcentagem por 100.

Para transformar a taxa unitária em percentual basta multiplicar por 100 e

acrescentar o símbolo que representa o por cento que é “%”.

Ex. 3: 24% a.m. Þ Taxa percentual

taxa unitária = 24/100 = 0,24 a.m

Ex. 4: 0,6 a.s. Þ Taxa unitária

taxa percentual = (0,6) (100%) = 60% a.s

Nota:

Nas fórmulas de matemática financeira todos os cálculos são efetuados utilizando-se a

taxa unitária de juros.

1.4 - Diagrama do Capital no Tempo

Como os problemas financeiros dependem basicamente do fluxo de entradas e saídas de

dinheiro ao longo do tempo, o fluxo de caixa é de grande utilidade para as operações da matemática

financeira, permitindo assim, uma melhor visualização do que ocorre com o capital.

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Page 4: Apost Matematica Financeira

Entradas de

caixa (+)

Saídas de

caixa (-)

0

(-)

(+)

1 2 3 4 5

(-)

(+)

6 (tempo)

Convenções:

a) Reta horizontal: registra a escala de tempo, ou seja, o horizonte financeiro da operação, com a

progressão de tempo dando-se da esquerda para a direita.

b) Períodos de tempo: aparecem em intervalos contíguos, de modo que cada número representa os

períodos de tempo (datas) acumulados. O ponto zero indica o momento inicial.

c) Setas: significam entradas de dinheiro (para cima) da linha de tempo ou saídas de dinheiro (para

baixo) da linha de tempo.

d) Tamanho das setas: deveria representar proporcionalmente o valor do capital que está entrando

ou saindo.

1.5 - Cálculo dos Juros

No regime de juros simples somente o principal produz juros durante o período de tempo da

transação.

Os juros que um capital produz são constantes e proporcionais ao capital aplicado, na razão

da taxa de juros.

J = P i n

Onde:

J: Juros; Rendimento => [$]

P: Principal ou Capital => [$]

i : Taxa de Juros Unitária; Rentabilidade unitária => [1/tempo]

n: Período de Tempo da Transação => [tempo].

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Page 5: Apost Matematica Financeira

Ex. 5: Um capital de $ 20.000,00 foi aplicado a uma taxa de juros simples de 10% a.m. durante

nove meses. Qual o valor dos juros?

P = $ 20.00 0,00 n = 9 meses i = 10% a.m. J = ?

Solução: J = P i n

J = $ 20.000,00 (0,10/mês) (9meses) J = $ 18.000,00

1.6 - Cálculo do Montante

O montante é o capital acrescido dos Juros.

S = P + J J = P i n

S = P + P i n colocando “P” em evidência fica:

S = P [1 + (i) (n)] Onde:

S: montante, ou valor acumulado de P, ou valor de vencimento => [$].

(1 + i n): fator de acumulação a juros simples; ou valor acumulado de $ 1,00.

Ex. 6: Qual é o valor acumulado no final de 200 dias para um capital $ 6.900,00 que ficou aplicado

a uma taxa de juros simples de 0,4% a.d.?

P = $ 6.900,00 i = 0,4% a.d. n = 200 dias S = ?

Solução 1: S = P [1 + (i) (n)]

S = $ 6.900,00 [1+ (0,004/dia) (200 dias)] S = $ 12.420,00

Solução 2: S = P + J

S = $ 6.900,00 + [($ 6.900,00) (0,004/dia) (200 dias)] S = $ 12.420,00

1.7 - Homogeneidade entre Taxa e Tempo

Nos cálculos financeiros, devemos estar atentos para o fato de que a taxa de juros e o tempo

sejam considerados na mesma unidade de tempo expressa pelo período financeiro, isto é, se a taxa

de juros for ao ano, o tempo deverá ser em anos; ou se o tempo é expresso em meses a taxa de juros

terá quer ser em meses.

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Page 6: Apost Matematica Financeira

Mas por hipótese se isto não ocorrer, podemos transformar o tempo ou a taxa para

podermos obter a homogeneidade entre as unidades de tempo.

Ex. 7: O juro simples de um capital de $ 2.000,00 colocado à taxa de 10% a.a., durante seis meses

será igual a:

P = $ 2.000,00 i = 10% a.a. n = 6 meses J = ?

Solução 1: J = P i n (Mudando o tempo)

n = 6 meses n = (6 meses) (1 ano/12 meses) = 0,5 anos

J = ($ 2.000,00) (0,10/ano) (0,5 anos) J = $ 100,00

Solução 2: J = P i n (Mudando a taxa)

J = ($ 2.000,00) (0,10/12 meses) (6 meses) J = $ 100,00

Solução 3: J = P i n

J = ($ 2.000,00) (0,10/ano) (6 meses) (1 ano/12 meses) J = $ 100,00

Nota:

Quando multiplicamos por uma unidade a equação, não alteramos a equação, neste

caso como "1 ano = 12 meses", então, "1ano / 12 meses = 1"

1.8 - Considerações sobre Taxas de Juro

1.8.1 - Taxas Proporcionais

Duas taxas são proporcionais se houver igualdade de quociente das taxas com o quociente

dos respectivos períodos.

Ex. 8: Verificar se a taxa de 12 % a.s; e a taxa de 24 % a.a. são proporcionais. (regime de

capitalização simples)

Solução:

(1) à (0,12/sem) (ano/0,24) = (0,50) (ano/sem) (= quociente entre as taxas)

(2) à (1 ano/2 sem) = (0,50) (ano/sem) (= quociente entre os períodos)

Como: (1) = (2) Þ que são proporcionais.

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1.8.2 - Taxas Equivalentes

Duas taxas são ditas equivalentes se aplicadas ao mesmo capital pelo mesmo período de

tempo, ambas as taxas produzirem o mesmo montante.

Nota:

No Regime de Juros Simples as taxas proporcionais são igualmente equivalentes.

Ex. 9: Verificar se a taxa de juros de 12 % a.s. e a taxa de juros de 24 % a.a. são equivalentes.(em

regime de capitalização simples).

Solução:

(1) P = $1,00 i = 12% a.s. n = 1 ano

(2) P = $1,00 i = 24% a.a. n = 1 ano

(1) Þ S = $ 1,00 [1 + (0,12/sem) (2 sem)] = $ 1,24

(2) Þ S = $ 1,00 [1 + (0,24/ano) (1 ano)] = $ 1,24

Nota:

Como: (1) = (2) Þ são equivalentes; e se são equivalentes também são proporcionais;

mas somente em regime de capitalização simples.

1.8.3 - Taxa Nominal e Taxa Efetiva

A taxa nominal é aquela adotada geralmente nas operações financeiras; e a taxa efetiva é a

taxa de rendimento que a operação financeira proporciona efetivamente. Assim sendo, nem sempre

a taxa efetiva é igual a taxa nominal.

Os juros antecipados, os impostos, as taxas, as comissões, os artifícios usados nos cálculos

de juros fazem com que tanto no regime de capitalização a juros simples quanto no regime de

capitalização a juros compostos as taxas efetivas e nominais difiram.

1.9 - Valores: Nominal, Atual e Futuro de um Compromisso Financeiro.

1.9.1 - Valor Nominal

Corresponde o valor recebido por um compromisso na data de vencimento, isto é, o valor

que assume esse compromisso em sua data de vencimento.

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Page 8: Apost Matematica Financeira

1.9.2 - Valor Atual

Corresponde ao valor que um compromisso tem em uma data anterior a data de seu

vencimento.

1.9.3 - Valor Futuro

É o valor do compromisso em qualquer data posterior a que está sendo considerada no

momento.

Nota:

Quando a data posterior for data de vencimento do compromisso financeiro, então,

teremos o valor nominal do compromisso financeiro.

O valor Futuro só será igual ao montante quando a data futura for a data de

vencimento do compromisso financeiro.

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Page 9: Apost Matematica Financeira

CAPÍTULO 2: DESCONTO SIMPLES

Todos os direitos autorais reservados à

MARCIA REBELLO DA SILVA

Desconto: Desconto é o abatimento concedido sobre um título de crédito em virtude de

seu resgate antes do vencimento, recebendo o portador do título nesta operação um valor

menor do que aquele que receberia se aguardasse a data de vencimento.

Os títulos de créditos que podem ser descontados são: notas promissórias,

duplicatas, e letras de câmbio.

Notas promissórias: são documentos comuns entre pessoas físicas, podendo também

serem emitidas por pessoas jurídicas ou em favor de instituições.

Duplicatas: são emitidas por firmas contra seus clientes (pessoas físicas ou jurídicas)

para quem venderam mercadorias ou prestaram serviços a prazo.

Letras de Câmbio: são emitidas por empresas, com aceite de uma sociedade de crédito,

financiamento e investimento. São colocadas no mercado para captar recursos pra serem

aplicados no próprio mercado em forma de financiamentos, pelos quais são cobrados taxas

de juros maiores do que aquelas pagas aos portadores das letras de câmbio.

Estes títulos de crédito sempre tem um valor declarado que é o valor nominal (ou

valor de face) que representa o valor que deve ser pago na data de vencimento, que também

vem declarada.

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2.1 - Desconto Racional ou ‘Por Dentro’

O desconto racional, também chamado de desconto real, de desconto verdadeiro ou

de desconto por dentro, ou a taxa de juros é o desconto que se obtém pelo cálculo do juros

simples sobre o valor atual, do título que é quitado "n" períodos antes de seu vencimento.

Dr = Vr i n

Onde:

Dr = Desconto racional ou valor do desconto racional (juros do título de crédito)

Vr = Valor atual racional ou valor descontado racional ou valor líquido

n = Prazo (= Dia do vencimento - Dia do resgate)

i = Taxa de desconto racional

Desconto: é a quantia a ser abatida do valor nominal

Dr = N – Vr

Onde:

N = Valor Nominal ou valor de face, ou valor de emissão

Valor Descontado: é a diferença entre o valor nominal e o desconto

Vr = N – Dr

Como: Dr = Vr i n

Então: Vr = N – Vr i n => N = Vr + Vr i n

colocando Vr em evidência fica:

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Page 11: Apost Matematica Financeira

N = Vr [1 + (i) (n)]

Como: Vr = N .

1 + (i) (n)

Então: Dr = N – Vr => Dr = N – . N .

1 + (i) (n)

Dr = . N i n .

1 + (i) (n)

2.2 - Desconto Comercial ou ‘Por Fora’

É o desconto que se obtém pelo cálculo do juro simples sobre o valor nominal do

título que seja quitado "n" períodos antes do seu vencimento.

NOTA:

Em regime de capitalização simples, isto é, quando se trata de desconto

simples, se não estiver explícito se é desconto comercial ou racional, etc., será sempre

comercial, pois é este desconto que acontece na prática.

Dc = N i n Vc = N – Dc Vc = N [1 – (i) (n)]

Onde:

Dc = Desconto comercial, ou valor do desconto comercial, ou juros do título de crédito

Vc = Valor atual comercial, ou valor descontado comercial, ou valor líquido recebido.

N = Valor Nominal ou valor de face, ou valor de emissão

n = Prazo antes do vencimento que foi descontado o título de crédito

i = Taxa de desconto simples comercial

NOTA:

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Page 12: Apost Matematica Financeira

Este método por ser o mais utilizado pelos bancos para o cálculo da

remuneração do capital, muitos autores denominam também de desconto bancário.

2.3 - Equivalência de Capitais

O Capital 1 será igual ao Capital 2 em uma certa data a uma determinada taxa de

juros, se os respectivos Valores Atuais forem iguais.

P1 = P2 se V1 = V2

As equivalências podem ser com Desconto comercial ou Racional.

Aplicação:

A aplicação da equivalência de capitais pode ser na substituição de um ou mais

títulos de crédito, por outro ou outros, com vencimentos diferentes.

Equivalência entre Grupos de Capitais:

V1 + V2 + ¼ + Vn = V1' + V2' + ¼ + Vn'

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CAPÍTULO 3: JUROS COMPOSTOS

Todos os direitos autorais reservados à

MARCIA REBELLO DA SILVA

No Regime de Capitalização Composto os juros são acrescentados ao capital no final de

cada período de capitalização (juros) e depois disso rendem juros.

3.1 - Montante

O montante de um principal "P", colocado a render juros à taxa "i" de juros compostos

durante "n" períodos de capitalização, é a soma desse principal com os juros que lhe são devidos no

fim do prazo de aplicação.

Seja "P" o capital (ou principal) no começo do primeiro período de juros e "i" a taxa de

juros por período de capitalização,.o valor acumulado em cada período nada mais é do o valor

acumulado do período anterior, portanto os valores acumulados nos finais dos períodos sucessivos

de juros são:

Seja "P" o capital (ou principal) no começo do primeiro período de juros e "i" a taxa de

juros por período de capitalização,.o valor acumulado em cada período nada mais é do o valor

acumulado do período anterior, portanto os valores acumulados nos finais dos períodos sucessivos

de juros são:

No final do 1o. período:

P1 = P + J

P1 = P + P i colocando P em evidência fica:

P1 = P (1 + i)

No final do 2o. período:

P2 = P1 + J

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Page 14: Apost Matematica Financeira

P2 = P1 + P1 i = P1 (1 + i)

P2 = P (1 + i) (1 + i) = P (1 + i)2

No final do 3o. período:

P3 = P2 (1 + i) = P1 (1 + i)(1 + i) = P (1 + i) (1 + i) (1 + i) = P (1 + i)3

Assim sendo, vemos que os valores sucessivos acumulados,

S = P (1 + i)n

Onde:

n: Número de Períodos de Capitalização.

i: Taxa Efetiva de Juros (Taxa por Período de Capitalização).

S: Montante, Valor Acumulado, Valor Futuro

P: Principal, Capital, Valor Descontado, Valor Atual

(1 + i)n: Fator de Acumulação a Juros Compostos ou Valor Acumulado de $ 1,00.

Ex. 1: Sabendo que o principal é $ 1.500,00, o prazo de aplicação 3 anos e a taxa de juros

compostos de 10% a.a, qual é o valor do montante?

P = $ 1.500,00 prazo = n = 3 anos i = 10% a.a. S = ?

Solução: S = P (1 + i)n "i ": taxa efetiva e unitária

S = 1.500,00 (1 + 0,1)3 S = $ 1.996,50

Ex. 2: Calcular o fator de acumulação a juros compostos sendo que o prazo é doze trimestres e a

taxa de 4% a.t.

i = 4% a.t P = $ 1,00 n = 12 trim. (1 + i)n = ?

Solução: fator = (1 + i)n

fator = (1 + 0,04)12 fator = 1,6010

3.2 - Considerações sobre as Taxas de Juros

3.2.1 - Taxa Nominal e Taxa Efetiva de Juro

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Page 15: Apost Matematica Financeira

Os conceitos de taxa nominal e taxa efetiva de juros no regime de juros compostos são os

mesmos que os do sistema de juros simples.

Além das taxas, comissões, juros antecipados, artifícios nos cálculos de juros, costuma-se

utilizar taxas para um período e capitalização em período distinto.

Como geralmente a taxa de juros contratada numa operação financeira é fornecida em

termos anuais, e os períodos de capitalização são diários, mensais, trimestrais ou semestrais,

portanto, essa forma de expressar a taxa, faz com que a taxa nominal seja divergente da taxa efetiva.

Por convenção, como a taxa declarada será sempre a taxa nominal e a taxa efetiva é a taxa

de rendimento que a operação financeira proporciona efetivamente, então a taxa efetiva geralmente

não é igual a taxa nominal. Podemos citar como exemplos:

1) 90% ao ano, capitalizados diariamente;

2) 18% ao ano, capitalizados mensalmente

A taxa nominal embora muito utilizada no mercado, porém não poderá ser usada nos

cálculos financeiros, (por não proporcionar efetivamente o rendimento), e sim a taxa efetiva que

está embutida na taxa nominal, pois é esta que é efetivamente aplicada em cada período de

capitalização.

A taxa efetiva é aquela em que a unidade de referência de seu tempo coincide com a

unidade de tempo dos períodos de capitalização, isto é, é a taxa por período de juros (ou período de

capitalização). Podemos citar como exemplos:

1) 12% ao trimestre, capitalizados trimestralmente.

2) 10% ao mês, capitalizados mensalmente.

Devido a coincidência de medida dos tempos, simplesmente costuma-se dizer: 12% ao

trimestre; 10% ao mês, omitindo-se o período de capitalização.

Então, as taxas efetivas decorrentes das taxa nominais citadas anteriormente. Por exemplo:

1) 45% ao semestre capitalizados diariamente, significa uma taxa efetiva de:

(45% / sem.) (1 sem / 180 dias) = 0,25% a.d. Þ taxa efetiva

2) 3% ao trimestre capitalizados anualmente; significa uma taxa de:

(3% / trim) (4 trim / 1 ano) = 12% a.a. Þ taxa efetiva

Nota: A Taxa Nominal por convenção será sempre proporcional a Taxa Efetiva.

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Page 16: Apost Matematica Financeira

Nota:

Todos os cálculos financeiros devem ser realizados com as taxas efetivas

correspondentes as taxas nominais de juro.

Ex. 3: Sabendo-se que o principal é $ 2.500,00, o prazo de aplicação 6 semestres e a taxa de juros

de 10% a.a. capitalizados semestralmente, determinar o montante.

P = $ 2.500,00 S = ? taxa nominal = 10% a.a. capit. sem.

i = (10%/ano) (1 ano / 2 sem) Þ i = 5% a.s. prazo = 6 sem Þ n = 6

Solução: S = P (1 + i)n

S = 2.500,00 (1 + 0,05)6 S = $ 3.350,24

3.2.2 - Taxas Proporcionais e Taxas Equivalentes

No regime de juros compostos os conceitos para taxas proporcionais e taxas equivalentes

são os mesmos de juros simples, porém, no regime de juros compostos as taxas proporcionais

não são equivalentes, pois produzem montantes diferentes para capitais iguais em prazos iguais.

Diz-se que a taxa trimestral it é equivalente à taxa anual ia quando:

P (1 + ia)1 = P (1 + it)4

Ou seja:

Duas taxas referentes a períodos distintos de capitalização são equivalentes

quando produzem o mesmo montante ou o mesmo juro no final do mesmo prazo, pela

aplicação de um mesmo capital inicial.

Deduz-se da igualdade acima, que:

(1 + ia) = (1 + it)4

Ex. 4: Determinar as taxas mensais proporcional e equivalente a 36% a.s.

Solução:

Taxa Proporcional = (36% / sem) (1 sem / 6 meses)

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Page 17: Apost Matematica Financeira

Taxa Proporcional = 6% / mês

Taxa Equivalente:

P (1 + im)6 = P (1 + is)

(1 + im)6 = (1 + 0,36) im = (1 + 0,36)1/6 − 1

im = (1,36)1/6 − 1 Taxa Equivalente: im = 0,0526 a.m. = 5,26% a.m.

Ex. 5: Se a taxa de juros é 24% a.a. com capitalização trimestral, qual será a taxa de juros

correspondente ao ano mas com capitalização semestral.

taxa nominal = 24% a.a. (capitalização trimestral)

equivalente à = ? (ao ano com capitalização semestral)

Solução:

1 – achar a taxa efetiva correspondente a taxa nominal (taxa declarada)

taxa efetiva = it = (24% / ano) (1 ano / 4 trim) = 6% a.t

2 – achar a taxa semestral equivalente a taxa trimestral

P (1 + it)2 = P (1 + is)

P (1 + 0,06)2 = P (1 + is) 1,1236 = (1 + is)

is = 1,1236 − 1 is = 0,1236 a.s. = 12,36% a.s.

3 – achar a taxa nominal anual correspondente a taxa efetiva ao semestre

Taxa ao ano capitalização semestral = (12,36% / sem) (2 sem / 1 ano)

Taxa ao ano capitalização semestral = 24,72%

Nota:

Usa sempre taxas proporcionais quando não queremos mudar o período de

capitalização.

Usa sempre taxas equivalentes quando queremos mudar o período de capitalização.

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Page 18: Apost Matematica Financeira

3.3 - Cálculo dos Juros

Como: J = S − P e S = P (1 + i)n

Então: J = P (1 + i)n − P

Colocando “P” em evidência fica

J = P [(1 + i)n − 1]

Ex. 6: Um capital de $ 3.000,00 foi aplicado por um ano e meio, a uma taxa de juros compostos de

8% a.m. Calcular o rendimento.

P = $ 3.000,00 J = ? i = 8% a.m. prazo = 1,5 ano Þ n = 18m

Solução 1: J = P [(1 + i)n − 1]

i = 8% a.m. n = 18 m

J = 3.000,00 [(1 + 0,08)18 − 1] J = 3.000,00 (3,9960 − 1)

J = 3.000,00 (2,9960) J = $ 8.988,06

Solução 2: Usando taxas equivalentes

n = 1,5 ano i = 151,817% a.a

P(1 + im)12 = P (1 + ia)1 (1 + 0,08)12= (1 + ia)1

(1,08)12 − 1 = ia ia = 151,817% a.a

J = P [(1 + i)n − 1]

J = 3.000,00 [(1 + 1,51817)1,5 − 1] J = 3.000,00 [(2,51817)1,5 − 1] J =

3.000,00 (3,9960 − 1) J = 3.000,00 (2,99602) J = $ 8.988,06

3.4 - Cálculo do Capital ou Principal

O Principal ou o capital pode ser obtido através da fórmula do montante ou do juro.

Ex. 7: O valor acumulado ao final de dois anos e quatro meses é $ 5.000,00, a taxa de juros é 42%

a.a. capitalizados mensalmente, calcular o principal.

S = $ 5.000,00 i = (42%/12) = 3,5% a.m. n = 28 meses P = ?

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Page 19: Apost Matematica Financeira

Solução: S = P (1 + i)n

5.000,00 = P (1 + 0,035)28 5.000,00 = P (1,035)28

P = 5.000,00 (1,035)−28 fator de valor atual = (1,035)−28

P = 5.000,00 (0,3817) P = $ 1.908,27

3.5 - Cálculo da Taxa de Juros

Ex. 8: Qual foi a rentabilidade anual de uma aplicação se o prazo foi 30 meses; o montante $

31.645,00; e o rendimento $ 4.270,00?

S = $ 31.645,00 J = $ 4.270,00 prazo = 30 meses

i = ? (a.a) => ao ano capitalizado anualmente

Solução 1: Trabalhando com períodos de capitalizações anuais: n = 30/12 = 2,5 anos

S = P (1 + i)n

31.645,00 = (31.645,00 − 4.270,00) (1 + i)2,5

31.645,00 = (1 + i)2,5 1,1560 = (1 + i)2,5

27.375,00

1,1560(1) (1/2,5) = (1 + i)(2,5) (1/2,5) 1,1560(1/2,5) = 1 + i

1,0597 = 1 + i i = 0,0597 a.a = 5,97% a.a (capit. anualm.)

Solução 2: Trabalhando com períodos de capitalizações mensais => n = 30 meses

S = P (1 + i)n

31.645,00 = 27.375,00 (1 + i)30

31.645,00 = (1 + i)30 1,1560 = (1 + i)30

27.375,00 1,1560(1) (1/30) = (1 + i)(30) (1/30) 1,1560(1/30) = 1 + i

1,004844 = 1 + im im = 0,004844 a.m. = 0,4844% a.m. capit. mensalm.

Utilizar taxas equivalentes para mudar a capitalização

P(1 + im)12= P (1 + ia)1 (1 + 0,004844)12 = 1 + ia

(1,004844)12 − 1 = ia ia = 0,0597 a.a = 5,97% a.a

19

Page 20: Apost Matematica Financeira

3.6 - Cálculo de Tempo

Para calcular o tempo, isto é, o número de períodos "n" tem que usar o logarítimo decimal

ou neperiano.

Ex. 9: Pedro aplicou $ 27.600,00, após certo tempo ele recebeu de juros $ 5.654,80. Se a taxa de

juros paga foi de 6% a.m, por quantos anos ficou o dinheiro aplicado?

P = $ 27.600,00 J = $ 5.654,80 n = ? (anos) i = 6% a.m

Solução 1: Trabalhando com capitalização mensal

S = P (1 + i)n

27.600,00 + 5.654,80 = 27.600,00 (1 + 0,06)n

33.254,80 = (1,06)n 1,2049 = (1,06)n

27.600,00

Ln(1,2049) = Ln(1,06)n Ln 1,2049 = (n) Ln 1,06

1,8464 = (n) (0,0583) n = 3,1989 meses (1 ano/12 meses) n = 0,27 anos

Solução 2: Trabalhando com capitalização anual:

Temos que mudar a capitalização mensal para a capitalização anual (através de taxas

equivalentes)

P(1 + ia)1= P (1 + im)12 (1 + ia) = (1 + 0,06)12 1 + ia = (1,06)12 ia = 1,0122a.a.

27.600,00 + 5.654,80 = 27.600,00 (1 + 1,0122)n

1,2049 = (2,0122)n

n = (Ln 1,2049) = 1,8464 n = 0,267 anos (Ln 2,0122) 0,6992

3.7 - Equações de Equivalência de Valores Datados

A maioria dos princípios e dos procedimentos é feita sobre uma taxa de juros compostos.

3.7.1- Definição

A uma dada taxa de juros compostos "i", $ X devidos em uma determinada data será

equivale a $ Y devidos "n" períodos mais tarde, se:

20

Page 21: Apost Matematica Financeira

Y = X (1 + i )n

Valores Datados Equivalentes a um Dado Valor Datado de $ X:

3.7.2 - Propriedades da Equivalência

� Se $ X for equivalente a $ Y, a uma determinada taxa de juros compostos, e se $ Y for

equivalente a $ Z, então $ X será sempre equivalente a $ Z. (propriedade transitiva).

� Se 2 grupos de pagamentos são equivalentes em uma data de vencimento, então serão

equivalentes em qualquer data de vencimento.

NOTA:

Estas propriedades são só válidas para regimes de juros composto.

Como no regime de juros compostos a comparação de valores datados não depende da

data focal considerada, então, a data focal poderá ser escolhida de modo arbitrário.

Data Focal: é a data a qual se compara valores referidos a datas diferentes, que também é

denominada data de avaliação ou data de referência.

3.7.3 - Procedimento para a Elaboração da Equação de Equivalência de Valores Datados

Para se elaborar uma equação de equivalência de valores datados, recomenda-se realizar as

seguintes etapas:

21

Page 22: Apost Matematica Financeira

Etapa 1: Fazer um bom diagrama de tempo, colocando os valores datados, do primeiro

conjunto de pagamentos (ou recebimentos) de um lado da linha de tempo, e os

valores datados do segundo conjunto de pagamentos (ou recebimentos) do outro

lado da linha de tempo.

Etapa 2: Escolher uma data focal e transferir todos os valores datados para a data focal

que foi escolhida, utilizando a taxa de juros especificada.

Etapa 3: Escrever a equação de equivalência de valores datados nesta data focal.

Etapa 4: Resolver a equação de equivalência de valores datados, usando os métodos

algébricos adequados.

Ex. 10: Uma obrigação de $ 7.000,00 vencível no final de 3 anos. Se o dinheiro valer 12% a.a.

capitalizados trimestralmente, achar a dívida equivalente: a) hoje; b) no final de 4,5 anos.

a) $ 7.000,00 vencível em 3 anos i = 12% / 4 = 3% a.t

n = 12 trim. X = ? (hoje)

Solução 1: Equação de Valor na Data Focal: Zero

X = 7.000,00 (1,03)−(12 − 0) X = 7.000,00 (1,03)−12 X = $ 4.909,66

Solução 2: Equação de Valor na Data Focal: 12 trim

X (1,03)12 = 7.000,00 X = 7.000,00 (1,03)−12 X = $ 4.909,66

22

Page 23: Apost Matematica Financeira

b) $ 7.000,00 vencível em 4,5 anos

i = 3% a.t. n = 18 trim. X = ? (4,5 anos = 18 trim.)

Solução: Equação de Valor na Data Focal: 18 trim.

i = 3% a.t. n = 18 trim. X = ? (4,5 anos = 18 trim.)

X = 7.000,00 (1,03)(18 − 12) X = 7.000,00 (1,03)6 X = $ 8.538,37

Ex. 11: Um atacadista deve $ 3.000,00, vencível ao final de 1,5 anos e $ 4.500,00 vencível no início

do 33º mês, e se o dinheiro valer 6,5% a.m, qual será o pagamento único que liquidará com a dívida

em: a) 1 ano; b) no início do quarto ano

$ 3.000,00 vencível em 1,5 anos = 18 meses

$ 4.500,00 vencível em 32 meses i = 6,5% a.m.

a) X = ? (12 meses)

Solução: Data Focal: 12 meses

23

Page 24: Apost Matematica Financeira

X = 3.000,00 (1 + 0,065)(12 − 18) + 4.500,00 (1+ 0,065)(12 − 32)

X = 3.000,00 (1,065)−6 + 4.500,00 (1,065)−20

X = 3.000,00 (0,69) + 4.500,00 (0,28) X = $ 3.330,00

b) X = ? (início do quarto ano = final do terceiro ano = 3 anos = 36 meses)

Solução: Equação de Valor na Data Focal: 36 meses.

X = 3.000,00 (1 + 0,065)(36 − 18) + 4.500,00 (1 + 0,065)(36 − 32)

X = 3.000,00 (1,065)(36 − 18) + 4.500,00 (1,065)(36 − 32)

X = 3.000,00 (1,065)18 + 4.500,00 (1,065)4

X = 3.000,00 (3,11) + 4.500,00 (1,29) X = $ 15.135,00

Ex. 12: Um a parelho de jantar à vista custa $ 1.650,00, a prazo é necessário uma entrada de 20%

do preço à vista e mais dois pagamentos; sendo o valor do 1º pagamento 30% inferior ao valor do 2º

pagamento, vencendo respectivamente em nove e dezoito meses Qual será o valor do 1º pagamento

a uma taxa de juros for 12% a.t?

P = $ 1.650,00 i = 12% a.t 1ºpagamento = ?

E = (20%) (Preço à vista) = (0,2) (1.650,00) = $ 330,00

24

Page 25: Apost Matematica Financeira

SOLUÇÃO:

2ºpagamento = X (vencimento: 09 meses = 3 trim.)

1ºpagamento = X 0,30 X = 0,7 X (vencimento: 18 = 6 trim)

1.650,00(1,12)6 0 = 0 = 330,00(1,12)6 0 = 6 + 0,7 X(1,12)6 3 = 3 + X(1,12)6 6 = 0

1.650,00 (1,12)6 = 330,00 (1,12)6 + 0,7 X (1,12)3 + X(1,12)0

3.256,81 = 651,36 + 0,98 X + X 2.605,45 = 1,98 X

X = $ 1.315,88 (2º PAGAM)

1º PAGAM. = 0,7 X 1º PAGAM. = 0,7 (1.315,88)

1º PAGAMENTO = $ 921,12

$ 330,000,7 X

X

$ 1.650,00

3 TRIM.

6

DF

0

25

Page 26: Apost Matematica Financeira

CAPÍTULO 4: ANUIDADES OU RENDAS CERTAS

Todos os direitos autorais reservados à

MARCIA REBELLO DA SILVA

MARCIA REBELLO DA SILVA

4.1 - Definições

Anuidades ou Rendas Certas: é uma sucessão, finita ou infinita, de termos em geral iguais, feitos

em datas pré-estabelecidas.

Termos: são valores que constituem as anuidades; ou as rendas certas; ou as prestações; ou os

pagamentos periódicos; ou recebimentos periódicos; ou depósitos.

Intervalo de Pagamento ou Período: é o tempo decorrido entre os termos sucessivos de uma

anuidade.

Prazo de uma Anuidade: é o tempo decorrido entre o começo do primeiro intervalo de pagamento

e o fim do último intervalo de pagamento.

Anuidade Certa: quando o prazo de uma anuidade é fixo - datas do primeiro e do último

pagamento são fixas.

Anuidade Contingente: quando o prazo da anuidade depende de algum fato incerto.

Anuidade Simples: quando o intervalo de pagamento e o período de capitalização dos juros

coincidem.

Anuidade Geral: quando o intervalo de pagamento e o período de capitalização dos juros não

coincidem.

26

Page 27: Apost Matematica Financeira

4.2 - Classificação das Anuidades

Classificaremos as anuidades de acordo com quatro dados: prazo, valor, forma, e período dos

termos.

4.2.1 - Quanto ao Prazo dos Termos.

Podem ser:

a) temporárias: quando a duração for limitada

b) perpétuas: quando a duração for ilimitada

4.2.2 - Quanto ao Valor dos Termos.

Podem ser:

a) Constantes: quando todos os termos são iguais.

b) Variáveis: quando os termos não são iguais entre si.

4.2.3 - Quanto à Forma dos Termos.

Podem ser:

a) Imediatas: quando o primeiro termo ocorre no primeiro período, e sub-dividem- se em:

a.1) Postecipadas ou Vencidas: quando os termos ocorrem no final dos períodos.

a.2) Antecipadas ou a Vencer: quando os termos ocorrem no início dos períodos.

b) Diferidas: quando o primeiro termo não ocorre no primeiro período, e subdividem-se em:

b.1) Postecipadas ou Vencidas: quando os termos ocorrem no final dos períodos, ou seja,

após desconsiderada a carência, o primeiro termo ocorre um período após o término

da carência ou deferimento.

b.2) Antecipadas ou a Vencer: quando os termos ocorrem no início dos períodos, ou seja,

após desconsiderada a carência, o primeiro termo coincide com o final da carência ou

deferimento.

4.2.4 - Quanto ao Período dos Termos.

27

Page 28: Apost Matematica Financeira

Podem ser:

a) Periódicas: quando todos os intervalos entre os termos são iguais.

b) Não-Periódicas: quando os intervalos entre os termos não são iguais.

4.3 - Modelo Básico de Anuidade

4.3.1 - Introdução

Entendemos, por modelo básico de anuidades, as anuidades que são simultaneamente:

temporárias, constantes, imediatas postecipadas, e periódicas.

4.3.2 - Valor Acumulado

O valor acumulado "S" de uma anuidade simples de "n" termos feitos no fim dos períodos

é o valor datado equivalente do conjunto desses termos devidos no final do prazo da anuidade, isto

é, no final do último período - último termo.

A representação gráfica do modelo de uma Anuidade Postecipada é a seguinte:

Anuidade Postecipada

Onde:

S : Valor Acumulado ou Montante de uma Anuidade: [$]

R : Termos de uma Anuidade: [$/T]

n : Número de Termos durante o Prazo da Anuidade

i : Taxa Efetiva de Juros (Taxa por Período de Capitalização): [1/T]

Assim, o valor acumulado "S" no fim de um número de períodos (prazo) é:

28

Page 29: Apost Matematica Financeira

S = R + R (1 + i) + R (1 + i)2 + R (1 + i)3 + ¼ + R (1 + i)n−1 (1)

Multiplicando ambos os membros da equação por (1+ i) fica:

S (1 + i) = R (1 + i) + R (1 + i)2 + R (1 + i)3 + ¼ + R (1 + i)n (2)

Subtraindo a equação (2) da equação (1) fica:

S i = R (1 + i)n − R

S i = R [(1 + i)n − 1]

S = R [(1 + i) n − 1] = R (sn i)

iOnde: (1 + i) n − 1 = sn i

i

O fator de acumulação para "n" termos, ou valor acumulado de $ 1,00 por período para "n"

termos. (lê-se "ângulo n em i").

O fator sn i pode ser calculado, conforme expressão acima, ou então procurado em tabelas

financeiras, onde o resultado é apresentado para taxas e períodos mais usuais.

Ex 1: Achar o valor acumulado ao final de quinze meses de depósitos mensais de $ 200,00

postecipados para uma taxa de juros de 12% ao semestre acumulado mensalmente.

R = $ 200,00 / mês (postecipados Þ termos no final dos períodos)

i = (12%/6) = 2% a.m. prazo = 15 meses Þ n = 15 S = ?

Solução: S = R [(1 + i) n − 1] = R (sn i)

i

S = 200,00 (s15 2%) = 200,00 [(1 + 0,02) 15 − 1 ] 0,02

S = 200,00 (s15 2%) = 200,00 (1,3459 − 1) 0,02

S = 200,00 (s15 2%) = 200,00 (17,2950) S = $ 3.458,68

29

TRIM.Saldo = X = ?

Page 30: Apost Matematica Financeira

Ex. 2: Leonardo depositou inicialmente em uma poupança $ 34.000,00 e depois fez mais mais seis

depósitos de 760,00 por mês, nesta mesma poupança. Sabendo-se que a taxa de juros foi 5% a.m.,

quanto terá na poupança após o último depósito?

P= $ 34.000,00 i = 5% a.m. n = 6 Saldo = X= ?

R = 760,00/mês (não diz se os depósitos são postecipados ou antecipados então serão sempre

postecipados)Solução: ∑ Depósitos(DF) −∑ Retiradas(DF) = Saldo(DF)

Equação de Valor na Data Focal = Seis meses

Se o ∑ Retiradas = 0; então, o ∑ Depósitos(DF) = Saldo(DF)

X = 34.000,00 (1 + 0,05)6 + R [(1 + i) n − 1] i

X = 34.000,00 (1,05)6 + 760,00 [(1 + 0,05) 6 − 1] 0,05

X = 45.563,25 + 760,00 (6,8020)

X = 45.563,25 + 5.169,52

X = $ 50.732,77

4.3.3 - Valor Atual

$ 34.000,00

R = $ 760,00/MÊS

0 1 6

DF

DF

S

N = 6

I =5% A.M.

30

MESES

Saldo = X = ?

Page 31: Apost Matematica Financeira

O valor descontado, "A", de uma anuidade simples de "n" termos feitos no final dos

períodos é o valor datado equivalente do conjunto desses termos devidos, no início do prazo, isto é,

o início do primeiro período.

Uma vez que "A" e "S" são ambos valores datados do mesmo conjunto de termos eles

devem ser equivalentes entre si.

Lembrando que: S = P (1 + i)n

E S = R (sn i) = R [(1 + i) n − 1]

i

então: P (1 + i)n = R (sn i)

Como P se equivale a A, então fica:

A = R [1 + i) n − 1]

i (1 + i)n

Logo:

A = R [1 − (1 + i) −n ] = R (an i)

i

Onde:

an i = 1 − (1 + i) −n

i

O fator an i (lê-se "a ângulo n em i") é chamado de fator de desconto de "n" termos, ou

o valor descontado de $ 1,00 por período.

O fator an i pode ser calculado, conforme expressão acima, ou então também procurado

em tabelas financeiras, onde o resultado é apresentado para taxas e períodos mais usuais.

A representação gráfica é a seguinte:

Anuidade Postecipada

31

Page 32: Apost Matematica Financeira

Onde:

A : Valor Atual ou Valor Descontado de uma Anuidade: [$]

Ex. 3: Achar o valor atual e uma anuidade de $ 380,00 feitos no fim de cada mês durante três anos

a 6% a.t. acumulados mensalmente.

R = $ 380,00 / mês i = 2% a.m. prazo = 36 meses Þ n = 36 A = ?

Solução: A = R an i = R [1 − (1 + i) −n ]

i

A = 380,00 (a36 2%) = 380,00 [1− (1 + 0,02) −36 ] 0,02

A = 380,00 (a36 2%) = 380,00 (1−0,4902) 0,02

A = 380,00 (a362%) = 380,00 (25,49) A = $ 9.686,20

Ex. 4: Uma moto, a prazo está sendo vendida por $ 2.500,00 de entrada e o restante em prestações

mensais vencidas de $ 270,00 durante dois anos e meio. Qual seria o preço à vista da moto, se a

taxa de juros cobrada no financiamento for 3,5% a.m.

Entrada = $ 2.500,00 R = $ 210,00/mês Preço à vista = X = ?

i = 3,5% a.m. prazo = 2,5 (12) = 30 meses Þ n = 30

Solução: Equação de Valor: Data Focal = Zero

32

Page 33: Apost Matematica Financeira

X = E + R an i = E + R [1 − (1 + i) −n ]

iX = 2.500,00 + 270,00 (a30 3,5%)

X = 2.500,00 + 270,00 [1− (1 + 0,035) −30 ] 0,035

X = 2.500,00 + 270,00 (18,3914) X = $ 7.465,68

4.3.4 - Cálculo do Pagamento Periódico

O pagamento periódico pode ser obtido das seguintes fórmulas:

S = R [(1 + i) n − 1] = R (sn i) A = R [1 − (1 + i) −n ] = R an i i i

Ex. 5: Calcula-se que uma máquina industrial precisará ser substituída daqui a dez anos a um custo

de $ 80.000,00. Quanto deve ser reservado por ano para fornecer aquela importância se as

economias da empresa render juros de 8% ao ano?

R = ? ($/ano) (post.) i = 8% a.a. n = 10 S = $ 80.000,00

Solução: Equação de Valor: Data Focal = Dez anos

S = R [(1 + i) n − 1] = R (sn i)

i 80.000,00 = R (s10 8%) = R [(1 + 0,08) 10 − 1]

X = ?

R = $ 270,00/MÊS

0 1 30

DF

DF

aN = 30

I =1,5% A.M.$2.500,00

33

Page 34: Apost Matematica Financeira

0,08

80.000,00 = R (s10 8%) = R (14,4863)

R = 80.000,00 = 80.000,00 R = $ 5.522,46 s10 8% 14,4863

Ex. 6: Quanto devo depositar mensalmente, para obter um montante de $ 12.000,00, ao final de um

ano, sabendo-se que a taxa de remuneração do capital será de 4% a.m; e que o primeiro depósito

será feito ao final do primeiro mês?

S = $ 12.000,00 i = 4% a.m. n = 12 R = ?

S = R [(1 + i) n − 1] = R (sn i)

i

Solução: Equação de Valor: Data Focal = Doze meses

12.000,00 = R (s12 4%) = R [(1 + 0,04) 12 − 1] 0,04

12.000,00 = R (s12 4%) = R [(1,04) 12 − 1] 0,04

12.000,00 = R (s12 4%) = R (15,0258) R = $ 798,63

4.3.5 - Cálculo do Prazo

O prazo pode ser obtido das seguintes fórmulas:

S = R [(1 + i) n − 1] = R (sn i) A = R [1 − (1 + i) −n ] = R (an i)

i i

O cálculo de "n" terá que ser resolvido por logarítimo neperiano ou decimal.

Ex. 7: Um fundo de investimento de $ 7.998,55 deve ser acumulado em depósitos semestrais

vencidos de $ 200,00. Se o fundo render 12% a.a. capitalizados semestralmente, achar o número de

depósitos semestrais necessários para acumular tal quantia.

S = $ 7.998,55 R = $ 200,00/sem i = 6% a.s. n = ?

Solução: Equação de Valor: Data Focal = ”n” meses

S = R [(1 + i) n − 1] = R (sn i)

34

Page 35: Apost Matematica Financeira

i

7.998,55 = 200,00 [(1 + 0,06) n 1] 0,06

7.998,55 (0,06) + 1= (1,06)n 3,3996 = (1,06)n

200,00

Ln (3,3996) = Ln (1,06)n Ln (3,3996) = n Ln (1,06)

1,2237 = n (0,0583) n ≈ 21,00

Ex. 8: Um lancha à vista custa $ 71.100,00, e a prazo tem que fazer pagamentos mensais vencidos

de $ 3.850,00. Se a taxa de juros cobrada no financiamento for de 4,5% a.m., quantos pagamentos

mensais serão necessários na compra a prazo?

Preço = $ 71.100,00 R = $ 3.850,00/mês i = 4,5% a.m n = ?

Solução: Equação de Valor: Data Focal = zero

P = A = R an i = R [1 (1 + i) - n ]

i

71.100,00 = 3.850,00 [1 − (1 + 0,045) − n ] 0,045

71.100,00 (0,045) = 1 − (1,045)−n

3.850,00

(1,045)−n = 1 − 0,8310 Ln (1,045)−n = Ln (0,1690)

−n Ln (1,045) = Ln (0,1690) −n (0,0440) = (−1,7779)

n = −(− 40,4) n = 40,4

4.3.6- Cálculo da Taxa de Juros

S = R sn i

Onde:

sn i = [(1 + i)n - 1] / i i Þ sn i A = R an i

Onde:

an i = [1 - (1 + i)-n] / i i Þ an i ¯

35

Page 36: Apost Matematica Financeira

O cálculo da taxa de juros pode ser feito através de pesquisas em tabelas financeiras ou

pode ser calculado através da fórmula algébrica que neste caso a incógnita por estar tanto no

numerador quanto no denominador, então teremos que calcular valor de "i" por tentativa e erro até acharmos a taxa "i" que torna o fator sn i = S/R ou o fator an i = A/R; que neste caso a

utilização do método de interpolação linear seria o mais prático, pois o número de tentativas e erros

seriam menores, ou através de calculadoras financeiras.

Ex. 9: Achar a taxa de juros ao semestre, na qual depósitos semestrais de $ 500,00 que acumularão

$ 6.000,00 em cinco anos.

S = $ 6.000,00 R = $ 500,00/ semi = ? (a.s.) prazo = 5 anos => n = 10

Solução: Equação de Valor: Data Focal = Dez semestres

S = R (sn i) = R [(1 + i) n − 1]

i

6.000,00 = 500,00 (s10 i) = 500,00 [(1 + i ) 10 −1] i

6.000,00 = s10 i = [(1 + i ) 10 −1] s10 i = 12 500,00 i

1o. Chute: i = 7% a.s.

s10 7% = [(1 + 0,07) 10 −1] = 13,8164 0,07

Como: 13,8164 é maior que 12,00, então, temos que diminuir a taxa (sn i ¯ Þ i ¯)

2o. Chute: i = 5% a.s.

s10 5% = [(1 + 0,05) 10 −1] 0,05

s10 5% = 12,5779

Como: 12,5779 é maior que 12,00, então, temos que diminuir a taxa (sn i ¯ Þ i ¯)

3o. Chute: 3% a.s.

s10 3% = [(1 + 0,03) 10 −1] 0,03

s10 3% = 11,4639

36

Page 37: Apost Matematica Financeira

Como o valor 11,4639 é menor que o valor 12,00; então; temos dois valores de s10 i sendo um maior

que 12,00 e outro menor que 12,00; portanto, agora podemos fazer uma interpolação linear entre

esses valores mais n próximos de 12 que são 12,5779 (≈ 12,58), para taxa igual a 5% e 11,4639 (≈

11,46) para a taxa igual a 3%.

x = 5% − 3%

12,00 − 11,46 12,58 − 11,46

x = 2% 0,54 1,12

x = 2% (0,54) x = 0,96% 1,12

i = 3% + x i = 3% + 0,96 i = 3,96% a.s.

Ex. 10: Um comerciante vende um artigo por $ 540,00 à vista. Ele lhe permite comprá-lo por $

240,00 de entrada, e o saldo a ser pago em prestações mensais de $ 30,00, durante um ano. Qual é a

taxa de juros que está sendo cobrada no crediário?

Preço à Vista = $ 540,00 Entrada = $ 240,00

R = $ 30,00 / mês (não diz nada no problema => termos postecipados).

prazo = 1 ano Þ n = 12 i = ?

Solução: Equação de Valor: Data Focal = Zero

37

Page 38: Apost Matematica Financeira

Valor à Vista = Entrada + Prestações540,00 = 240,00 + R an i540,00 = 240,00 + 30,00 a12 i10,0 = a12 i = [1 – (1 + i ) ─12 ]

i

1o. Chute: 4% a.m.a12 i = 9,38507

Como o fator 9,3851 é menor que fator 10,0 Þ a12 i Þ i ¯

2o. Chute: 2% a.m.a12 i = 10,5753

Como o fator 10,5753 é maior que o fator 10,000

Então a taxa de juros está entre 2% e 4%. Portanto, será feito uma interpolação linear entre 2% e

4%.

10,5753 – 10,0 = 10,5753 – 9,3851 4% – 2%

0,5753 = 1,1892 x 2,0%

(0,5753) (2,0%) = x x = 0,34% 1,1892

i = 2% + 0,34% i @ 2,34% a.m.

38

Page 39: Apost Matematica Financeira

4.4 - Modelos Genéricos de Anuidades

4.4.1 - Anuidades Diferidas ( Anuidades com Carência)

Anuidades diferidas ou com carência são aquelas em que o primeiro termo não ocorre no

primeiro período.

Ex. 11: O preço de uma moto custa $ 4.800,00 à vista, sendo que pode ser paga em dez prestações

mensais iguais, sendo a primeira somente quatro meses após a compra. Se a taxa de juros for de

1,5% a.m., qual é o valor destas prestações?Preço = $ 4.800,00 n = 10 i = 1,5% a.m. R = ? (termos postecipados)

Solução: Equação de Valor: Data Focal = Zero

4.800,00 = R [1 − (1 + 0,015) −10 ] (1 + 0,015)−3 4.800,00 = R a101,5% (1 + 0,015)−3

0,015

4.800,00 = R (9,2222) (0,9563) R = $ 544,27

4.4.2 - Anuidades Perpétuas Postecipadas

Uma anuidade é dita perpétua postecipada quando o prazo da anuidade não tem limite, isto

é, o prazo é infinito e os termos acontecem no final de cada intervalo.

Como a duração de uma anuidade perpétua é ilimitada, só tem sentido calcular o Valor

Atual.

39

Page 40: Apost Matematica Financeira

Aplicando o limite e fazendo com que "n" tenda a infinito (ilimitada) na fórmula do valor

descontado de uma anuidade postecipada, teremos:

A = R an i = R [1 (1 + i) - n ]

i

Aplicando o limite e fazendo “n” tender ao infinito na seguinte equação:

A = lim R an i = lim R [1 (1 + i) - n ]

i

então: (1 + i)-n se torna igual a zero, logo:

A = R i

Ex. 12: São depositados inicialmente em um fundo de investimento $ 35.000, para serem feitas

retiradas mensais. Se a rentabilidade do fundo for de 2,5% a.m , quanto posso retirar deste fundo?

R = ? i = 1% a.m. n= infin. (perpetuid.) Dep. inicial = $ 35.000,00

Solução: Equação de Valor: Data Focal = Zero

A = R / i 35.000,00 = R / 0,025

35.000,00 (0,025) = R R = $ 875,00/mês

4.4.3 - Anuidades Antecipadas

Anuidades Antecipadas aquelas nas quais os termos são efetuados no início dos períodos.

Podemos chegar facilmente às fórmulas de equivalência com raciocínio análogo das demonstrações

anteriores.

a) Valor Acumulado (S) em função dos Termos (R)

40

Page 41: Apost Matematica Financeira

O Valor Acumulado na Data Focal "n" será :

S = R (1 + i) + R (1 + i)2 + ¼ + R (1 + i)n

Colocando R (1 + i) em evidência fica:

S = R (1 + i) [1 + (1 +i) + (1 + i)2 + ¼ + (1 + i)n - 1]

Podemos observar que dentro do colchete trata-se da soma dos termos de uma progressão

geométrica finita em que o primeiro termo é um e a razão (q) é igual a (1 + i). Logo se aplicarmos a

fórmula da soma dos termos de uma progressão geométrica que é:

[a1 (q n 1)]

q 1,

então, teremos: S = R [(1 + i) n − 1] (1 + i) S = R (sn i) (1 + i)

i

Ex. 13: Quanto terei acumulado daqui a dois anos se aplicar $ 350,00 no início de cada mês a uma

taxa de 3% a.m.?

R = $ 350,00 i = 3% a.m. n = 24 S = ?

Solução: Equação de Valor: Data Focal = Vinte e quatro meses

S = R [(1 + i) n − 1] (1 + i) = R (sn i) (1 + i)

i

S = 350,00 [(1 + 0,03) 24 − 1] (1 + 0,03) S = $ 12.410,74 0,03

b) Valor Atual (A) em Função dos Termos (R)

41

Page 42: Apost Matematica Financeira

Vimos em (a) que: S = R {[(1 + i)n -1] / i} (1 + i)

Data Focal: Zero Þ "A" e "S" são Equivalentes, então:

A = R [(1 + i) n − 1] (1 + i) (1 + i)−n

i

A = R [1 - (1 + i) − n ] (1 + i) A = R (an i) (1 + i)

i

Ex. 14: Um lojista deseja financiar a venda de uma moto em quinze prestações mensais

antecipadas de $ 240,00. Se a taxa de juros cobrada no financiamento for de 4% a.m., qual o valor

da moto?

R = $ 240,00/mês n = 15 i = 4% a.m. Valor da moto = X =?

Solução: Data Focal: Zero

A = R [1 - (1 + i) − n ] (1 + i) = R an i (1 + i)

i

X = A X = 240,00 [1 (1 + 0,04) −15 ] (1,04) 0,04

X = 240,00 (11,1184) (1,04) X = $ 2.775,15

4.4.4 - Anuidades Perpétuas Antecipadas

Uma anuidade é dita perpétua quando o prazo da anuidade não tem limite, isto é, o prazo é

infinito, e os termos acontecem no inicio cada intervalo.

Aplicando o limite e fazendo com que "n" tenda a infinito (ilimitada) na fórmula do valor

descontado de uma anuidade antecipada, teremos:

A = R an i = R [1 (1 + i) - n ] (1 + i)

42

Page 43: Apost Matematica Financeira

i

Aplicando o limite e fazendo “n” tender ao infinito na seguinte equação:

A = lim. R an i = lim. R [1 (1 + i) - n ] (1 + i)

i

então: (1 + i)-n se torna igual a zero, logo:

A = R (1 + i) i

Ex. 15: Quanto terei que investir hoje em um fundo para pagamentos de bolsa de estudo, sabendo

que serão feitas retiradas trimestrais antecipadas de $ 45.000,00 deste fundo, e que o fundo pagará

uma taxa de 5% a.t?

A = ? i = 5% a.t. n = infinito (perpetuidade) R = $ 45.000,00/trim.

Solução: Equação de Valor na Data Focal = Zero

A = (R / i) (1 + i)

A = (45.000,00 / 0,05) (1 + 0,05) A = $ 945.000,00

4.4.5 - Anuidade em que o Período dos Termos não coincide com aquela a que se refere a Taxa

de Juros

Quando os períodos de uma anuidade não coincidem com a taxa de juros a que se refere, a

transformação pode ser feito das seguintes maneiras:

� Transforma-se o período de capitalização da taxa de juros para o mesmo período em que

estão os termos, e isto, será através taxas equivalentes porque estamos mudando o

período de capitalização.

� Muda-se o período dos termos da anuidade geral para o mesmo período da taxa de juros,

transformando-a assim em anuidade simples.

Nota: Só será abordada a utilização de taxas equivalentes

43

Page 44: Apost Matematica Financeira

Ex. 16: Lauro fez depósitos trimestrais de $ 100,00 em uma poupança durante dois anos que pagou

uma taxa de juros de 6% a.m. Quanto obteve com a poupança no final do prazo?

R = $ 100,00/trim taxa = 6% a.m. prazo = 2 anos X = ?

Mudando o período de capitalização da taxa

Como "R" está por trimestre e "i" (taxa efetiva) é por mês Þ que a anuidade é geral, então

para transformá-la em anuidade simples, transforma-se a taxa de juros efetiva que é mensal para a

taxa efetiva trimestral, que será através de taxas equivalentes.

Taxas equivalentes: (1 + it) = (1 + im)3 (1 + it) = (1 + 0,06)3 i = 19,102% a.t.

Solução: Equação de Valor na Data Focal = Oito trimestres

S = R [(1 + i) n − 1] i

R = $ 100,00/trim i = 19,102% a.t. n = (2) (4) = 8

X = 100,00 [(1 +0,19102) 8 − 1] X = $ 1.596,190,19108

CAPÍTULO 5: SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO DE EMPRÉSTIMOS

E FINANCIAMENTOS

Todos os direitos autorais reservados à

MARCIA REBELLO DA SILVA

Os sistemas de amortização de empréstimos e financiamentos basicamente são

desenvolvidos para operações de longo prazo - mais de três anos - , envolvendo desembolsos

periódicos do principal e encargos financeiros.

A necessidade de recursos obriga àqueles que querem fazer investimentos a tomarem

empréstimos e assumirem dívidas que são pagas com juros que variam de acordo com contratos

estabelecidos entre as partes interessadas.

Uma característica destes sistemas de amortização que serão estudados; é a utilização do

critério de juros compostos, na qual os juros incidirão exclusivamente sobre o saldo devedor -

montante - apurado em período imediatamente anterior.

44

Page 45: Apost Matematica Financeira

5.1 - Definições

Mutuante ou Credor: quem concede o empréstimo

Mutuário ou Devedor: quem recebe o empréstimo

Taxa de Juros: é a taxa de juros contratada entre as partes. Dependendo das condições adotadas

pode-se referir ao custo efetivo do empréstimo ou não.

IOF: é o imposto sobre operações financeiras.

Prazo de Utilização: é o intervalo de tempo durante o qual o empréstimo é transferido do credor

para o devedor. Se o empréstimo for transferido em uma só parcela, este prazo é dito

unitário.

Prazo de Carência: corresponde ao período compreendido entre o prazo de utilização e o

pagamento da primeira amortização. Durante o prazo de carência, somente é pago os

juros.

Parcelas de Amortização: corresponde às parcelas de devolução do principal - capital emprestado.

Prazo de Amortização: é o intervalo de tempo, durante o qual são pagas as amortizações.

Prestação: corresponde a soma de amortização acrescida de juros e outros encargos, pagos em um

dado período.

Planilha (ou Plano): quadro, padronizado ou não, onde são colocados os valores referentes ao

empréstimo, ou seja, cronograma dos valores de recebimento e de pagamentos.

Prazo total do Financiamento: é a soma do prazo de carência com prazo de amortização.

Saldo Devedor: corresponde ao estado da dívida, ou seja, do débito, em um determinado instante

de tempo.

Período de Amortização: é o intervalo de tempo existente entre duas amortizações.

5.2 - Classificação das Modalidades de Amortização

Qualquer um dos sistemas de amortização pode ou não ter prazo de carência.

O sistema americano sempre tem carência, o principal é devolvido em uma única vez.

Os juros podem ser pagos ou capitalizados durante o prazo de carência, dependendo do

acordo de financiamento.

Os sistemas de amortização são os seguintes:

a) Sistema de Amortização Constante - SAC (Sistema Hamburguês)

45

Page 46: Apost Matematica Financeira

As parcelas de amortização são iguais entre si. Os juros são calculados, a cada período.

Neste sistema as prestações são continuamente decrescentes.

b) Sistema Francês de Amortização - SF

As prestações são iguais entre si e calculadas de tal modo que uma parte paga os juros e a

outra o principal; e a dívida fica completamente saldada na última prestação. Este sistema,

acrescida de certas peculiaridades de cálculo, é também conhecido como Sistema Price.

c) Sistema Americano - SA

Após certo prazo o devedor paga, em uma única parcela, o capital emprestado. A modalidade

mais comum é aquela em que o devedor paga juros durante a carência.

O devedor pode querer aplicar recursos disponíveis e gerar um fundo que iguale o

desembolso a ser efetuado para amortizar o principal. Tal fundo é conhecido por "sinking fund"

na literatura americana e, na brasileira por "fundo de amortização".

d) Sistema de Amortização Variável - SAV

O empréstimo é pago em parcelas iguais e periódicas que incluem juros antecipados e

amortizações imediatas.

5.3 - Sistema de Amortização Constante - SAC (Sistema Hamburguês)

Por este sistema o credor exige devolução do principal em "n" parcelas iguais, incidindo os

juros sobre o saldo devedor, cujo montante decresce após o pagamento de cada amortização.

Ex. 1: Uma indústria pegou emprestado $ 200.000,00; que foi entregue no ato. Sabendo-se que o

empréstimo deve ser pago dentro do prazo de dois anos em prestações semestrais pelo sistema de

amortização constante, sem carência, e que nesta operação a uma taxa de juros cobrada foi de 10%

a.s., construir a planilha financeira para esta operação.

Solução: Amk = A / n

Amk : Amortização do período k

A : Valor Emprestado

n : Número de Prestações

k : Período k

46

Page 47: Apost Matematica Financeira

SAC Þ Amk = Amk = 1 = Amk = 2 = ¼ = Amk = n

Amk = $ 200.000,00 Amk = $ 50.000,00 /sem

4Os juros incidem sobre o saldo devedor do período anterior.

Jk = (i) (SDk - 1)

J : Juros do período k

i : Taxa de Juros

SDk -1 : Saldo Devedor do período anterior ao período k

Jk = 1 = (i) (SDk = 0)

Jk = 1 = (0,10) (200.000,00) = $ 20.000,00

Jk = 2 = (i) (SDk = 1)

Jk = 2 = (0,10) (150.000,00) = $ 15.000,00

A prestação será: Rk = Amk + Jk

Rk : Prestação do período k

Rk = 1 = Amk = 1 + Jk = 1

Rk = 1 = $ 20.000,00 + $ 50.000,00 = $ 70.000,00

Rk = 2 = Amk = 2 + Jk = 2

Rk = 2 = $ 15.000,00 + $ 50.000,00 = $ 65.000,00

SDk = (SDk -1) (Amk)

SDk : Saldo Devedor do período k

SDk = 1 = (SDk = 0) (Amk =1)

SDk = 1 = 200.000,00 50.000,00 = $ 150.000,00

SDk = 2 = (SDk = 1) (Amk =2)

Plano de Amortização:

Sem.

(k)

Amortização.

(Amk)

Juros. ( Jk) Prestação (Rk) Saldo Devedor

(SDk)

0 200.000,00

1 50.000,00 20.000,00 70.000,00 150.000,00

47

Page 48: Apost Matematica Financeira

2 50.000,00 15.000,00 65.000,00 100.000,00

3 50.000,00 10.000,00 60.000,00 50.000,00

4 50.000,00 5.000,00 55.000,00 -

Total 200.000,00

6.4- Sistema Francês - SF

O sistema francês de amortização é amplamente adotado no mercado financeiro brasileiro,

onde as prestações são iguais, periódicas e sucessivas. Em outras palavras, se equivalem ao modelo

básico de uma anuidade.

Será admitido que a taxa de juros seja referida ao período de amortização (a menos que seja

dito o contrário).

A = R an i = R [1 − (1 + i)−n]

i

Rk = Amk + Jk

Jk = (i) SDk − 1

Ex. 2: Uma firma pegou emprestada em uma instituição financeira $ 300.000,00, que são entregues

no ato, sem prazo de carência, Sabendo que a instituição utiliza o sistema francês de amortização; a

taxa contratada foi de 15% a.a e a instituição quer a devolução em cinco prestações anuais, construir

o plano de amortização.

Solução:

O principal é devolvido em 5 prestações iguais e postecipadas => Modelo Básico de uma

Anuidade.

Valor Emprestado = A = $ 300.000,00

A = R an i = R [1 − (1 + i)−n]

i

300.000,00 = R a5 15% = R [1 − (1 + 0,15)−5]

0,15

300.000,00 = R (3,35216) R = $ 89.494,67/ano

Plano de Amortização:

48

Page 49: Apost Matematica Financeira

Anos

(K)

Amortização

(Amk)

Juros (15%)

(Jk)

Prestação

(Rk)

Saldo Devedor

(SDk)

0 300.000,00

1 44.494,67 45.000,00 89.494,67 255.505,33

2 51.168,87 38.325,80 89.494,67 204.336,46

3 58.844,20 30.650,47 89.494,67 145.492,26

4 67.670,83 21.823,84 89.494,67 77.821,43

5 77.821,43* 11.673,21 89.494,64*

Total 300.000,00 147.473,32 447.473,32

Nota: (*) Como o SDk = 5 tem que ser zero, portanto, fizemos um pequeno ajuste nos períodos

com *. A diferença é devido ao arredondamento dos valores.

Jk =1 = (i) SDk =0

Jk = 1 = (0,15) (300.000,00) = $ 45.000,00

Rk = Amk + Jk Amk = Rk − Jk

Amk = 1 = 89.494,67 45.000,00 = $ 44.494,67

SDk = 1 = SDk =0 − Amk = 1

SDk = 1 = 300.000,00 44.494,67 = $ 255.505,33

Jk = 2 = (0,15) (255.505,67) = $ 38.325,80,00

Amk = 2 = 89.494,67 38.325,80 = $ 51.168,87

SDk = 2 = 255.505,33 51.168,87 = $ 204.336,46

Jk = 3 = (0,15) (204.336,47) = $ 30.650,47

6.4.1- Sistema Francês, quando o período a que se refere a taxa de juros não coincide com o

período a que se refere a amortização - Planilha calculada com Taxa Efetiva

Para a resolução da planilha nestas condições se refere ao modelo genérico de anuidade

correspondente.

49

Page 50: Apost Matematica Financeira

Para se calcular as prestações admiti-se que o prazo total do financiamento seje dividido

em n períodos e que a taxa de juros i seje referida a estes períodos. Tendo-se um principal P e m

amortizações (m < n), para o cálculo das prestações, deve ser determinado a taxa de juros efetiva i'

correspondente ao período a que se refere a amortização. A prestação então será:

R = (P) / (am i')

A construção da planilha é o mesmo procedimento já visto para o sistema financeiro.

Ex. 3: Foi emprestada a importância de $ 250.000,00 para uma empresa a qual deve fazer a

amortização em cinco parcelas trimestrais pelo S.F., sem carência. Sabendo-se que a taxa de juros

cobrada é de 24% a.s. e que se vai trabalhar com a taxa efetiva, construir a planilha.

Solução:

A = $ 250.000,00 5 parcelas trimestrais sem carência

A taxa é 24% a.s., e a amortização é ao trimestre

(1 + it)2 = (1 + is)

(1 + it)2 = (1 + 0,24)

it = 1,241/2 − 1 it = 11,36% a.t.

A = R an i = R [1 − (1 + i)−n]

i

250.000,00 = Rk a5 11,36%= = R [1 − (1 + 0,1136)−5]

0,1136

Rk=1 = Rk=2 = . . .= Rk=5 = $ 68.256,22

Jk = (i) (SDk − 1)

Jk = 1 = (i) (SDk = 0) Jk = 1 = (0,1136) (250.000,00) = $ 28.400,00

Amk = Rk Jk

Amk = 1 = Rk = 1 − Jk = 1 Amk = 1 = 68.256,22 28.400,00 = $ 39.856,22

SDk = SDk - 1 Amk

SDk = 1 = SDk = 0 Amk = 1

SDk = 1 = 250.000,00 39.856,22 = $ 210.143,78

50

Page 51: Apost Matematica Financeira

Jk = 2 = (i) (SDk = 1) Jk = 2 = (0,1136) (210.143,78) = $ 23.872,33

Amk = 2 = Rk = 2 − Jk = 2

Amk = 2 = 68.256,22 23.872,33 = $ 44.383,89

SDk = 2 = SDk = 1 Amk = 2 SDk = 2 = 210.143,78 − 44.383,89 = $ 165.759,89

Plano de Amortização:

Trim.

(K)

Amortização

(Amk)

Juros:11,36%

(Jk)

Prestação

(Rk)

Saldo Devedor

(SDk)

0 250.000,00

1 39.856,22 28.400,00 68.256,22 210.143,78

2 44.383,89 23.872,33 68.256,22 165.759,89

3 49.425,90 18.830,32 68.256,22 116.333,99

4 55.040,68 13.215,54 68.256,22 61.293,31

5 61.293,31* 6.962,92 68.256,23*

Total 250.000,00 91.281,11 341.281,11

(*) Ajuste

6.4.2 - Sistema Francês, quando o período a que se refere a taxa de juros não coincide com o

período a que se refere a amortização – Sistema “Price”

O Sistema “Price” também conhecido como Tabela “Price" (lê-se praice) representa uma

variante do Sistema Francês. Este sistema é fundamentalmente adotado quando os períodos das

prestações (geralmente mensais) se forem menores que o da taxa de juros, tem como característica

básica o uso da taxa proporcional simples e não o da taxa equivalente composta de juros.

Ex. 4: O Banco de Desenvolvimento emprestou para as Indústrias Kroll $ 100.000,00 que foram

entregues no ato, sem prazo de carência. Sabendo-se que a taxa de juros cobrada pelo banco é de

36% a.a., tabela “Price”, e que a devolução deve ser feita em oito parcelas mensais. Calcular o saldo

devedor do segundo mês.

51

Page 52: Apost Matematica Financeira

Solução:

i = 36% a.a. 8 parcelas mensais

Tabela Price Þ Taxa proporcional mensal Þ 36%/12 = 3% a.m.

A = R an i = R [1 − (1 + i)−n]

i

100.000,00 = Rk a 8 3% Rk = $ 14.245,64

Jk = (i) SDk -1

Jk = 1 = (i) SDk = 0 = (0,03) (100.000,00) = $ 3.000,00

Amk = Rk Jk

Amk = 1 = Rk = 1 Jk = 1

Amk = 1 = 14.245,64 3.000,00 = $ 11.245,64

SDk = SDk Amk

SDk = 1 = SDk = 0 Amk = 1

SDk = 1 = 100.000,00 11.245,64 = $ 88.754,36

Jk = 2 = (i) SDk = 1

Jk = 2 = (0,03) (88.754,36) = $ 2.662,63

Amk = 2 = Rk Jk = 2

Amk = 2 = 14.245,64 2.662,63 = $ 11.583,01

SDk = 2 = SDk = 1 Amk = 2 SDk = 2 = 88.754,36 11.583,01 = $ 77.171,35

5.5- Sistema Americano - SA

Este sistema é pouco difundido no mercado brasileiro, mas muito adotado

internacionalmente, estipula que o mutuário deve devolver o capital emprestado em uma só parcela

ao final do período contratado. De acordo com a característica básica do Sistema Americano não é

previsto amortizações intermediárias durante o empréstimo. Os juros geralmente são pagos

periodicamente.

Ex. 5: Supondo que são tomados emprestados $ 50.000,00, que devem ser amortizados pelo

Sistema Americano ao final do 3o. ano, e que os juros são pagos semestralmente à taxa de 15% a.s,

elabore a planilha financeira.

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Page 53: Apost Matematica Financeira

Solução:

P = $ 50.000,00 i = 15% a.s. Carência = 3 anos = 6 sem.

Plano de Amortização:

Sem.

(K)

Amortização

(Amk)

Juros

(Jk)

Prestação

(Rk)

Saldo Devedor

(SDk)

0 50.000,00

1 7.500,00 7.500,00 50.000,00

2 7.500,00 7.500,00 50.000,00

3 7.500,00 7.500,00 50.000,00

4 7.500,00 7.500,00 50.000,00

5 7.500,00 7.500,00 50.000,00

6 50.000,00 7.500,00 57.500,00

Total 50.000,00 45.000,00 95.000,00

Jk = (i) SDk

Jk = 1 = (0,15) (50.000,00) = $ 7.500,00

Jk = 1 = Jk = 2 = ¼ = Jk = 6 Amk =1 = ¼ = Amk = 5 = 0

Rk = Amk + Jk

Rk = 1 = 0 + 7.500,00 = $ 7.500,00 Rk = 1 = Rk = 2 = ¼ = Rk = 5

SDk = SDk - 1 Ak

SDk = 1 = 50.000,00 0 = $ 50.000,00 SDk = 1 = SDk = 2 = = SDk = 5

Amk = 6 = 50.000,00

Rk = 6 = Amk = 6 + Jk = 6 = 50.000,00 + 7.500,00 = 57.500,00

Ex. 6: Mesmo exemplo do item anterior, mas em que se admite a capitalização dos juros durante a

carência.

P = $ 50.000,00 Carência = 3 anos = 6 sem. i = 15%a.s.

Solução: Jk = (i) SDk – 1 SDk = P (1 + i)n = k

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Page 54: Apost Matematica Financeira

SDk = 1 = 50.000,00 (1 + 0,15) = $ 57.500,00

SDk = 2 = 50.000,00 (1 + 0,15)2 = $ 66.125,00

Rk =1 = Rk =2 = ¼ = Rk =5 = 0

Rk = 6 = SDk = 6 = 50.000,00 (1 + 0,15)6 = $ 115.653,04

Jk = 6 = Rk = 6 Amk = 6 = 115.653,04 − 50.000,00 = $ 65.653,04

Ou: Jk = 6 = P [(1 + i)n = k − 1]

Jk = 6 = 50.000,00 [(1 + 0,15)6 − 1] = $ 65.653,04

Plano de Amortização:

Sem.

(K)

Amortização

(Amk)

Juros

(Jk)

Prestação

(Rk)

Saldo Devedor

(SDk)

0 50.000,00

1 57.500,00

2 66.125,00

3 76.043,75

4 87.450,31

5 100.567,86

6 50.000,00 65.653,04 115.653,04

Total 50.000,00 65.653,04 115.653,04

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