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EB-003 OSTENSIVO
APOSTILA
MATEMÁTICA II
CURSO DE FORMAÇÃO DE
APRENDIZES-MARINHEIROS
(C-FMN)
MARINHA DO BRASIL
ESCOLA DE APRENDIZES-MARINHEIROS DO BRASIL
2017
MATEMÁTICA II
MARINHA DO BRASIL
ESCOLA DE APRENDIZES-MARINHEROS DO ESPÍRITO SANTO
2017
FINALIDADE: DIDÁTICA
ORIGINAL
ATO DE APROVAÇÃO
Aprovo, para emprego nas Escolas de Aprendizes-Marinheiros, O ORIGINAL da publicação
EB-003 – APOSTILA DE MATEMÁTICA II.
VILA VELHA, ES.
Em, de janeiro de 2017.
FÁBIO CASES PASSOS
Capitão de Fragata
Comandante
ASSINADO DIGITALMENTE
AUTENTICADO
PELO ORC
RUBRICA
Em _____/___/____ CARIMBO
-II-
ÍNDICE
PÁGINA
Folha de Rosto..................................................................................................................... I
Ato de Aprovação................................................................................................................ II
Índice................................................................................................................................... III
Introdução............................................................................................................................ V
CAPÍTULO 1 - RAZÕES E PROPORÇÕES
1.1 - razões........................................................................................................................... 1-1
1.2 - Escalas......................................................................................................................... 1-1
1.3 - Proporções................................................................................................................... 1-1
1.4 - Regra de três................................................................................................................ 1-2
1.5 - Porcentagem................................................................................................................ 1-2
1.6 - Exercícios.................................................................................................................... 1-2
CAPÍTULO 2 - FUNÇÃO DO 1º GRAU
2.1 - Definição..................................................................................................................... 2-1
2.2 - Exemplos..................................................................................................................... 2-1
2.3 - Gráfico de uma Função do 1º Grau............................................................................. 2-1
2.4 - Raiz e Intercepto.......................................................................................................... 2-2
2.5 - Exercícios.................................................................................................................... 2-2
CAPÍTULO 3 - FUNÇÃO DO 2º GRAU
3.1 - Definição..................................................................................................................... 3-1
3.2 - Gráfico......................................................................................................................... 3-1
3.3 - Vértice......................................................................................................................... 3-1
3.4 - Raiz e Intercepto.......................................................................................................... 3-1
3.5 - Exercícios.................................................................................................................... 3-1
CAPÍTULO 4 - GRÁFICOS ESTATÍSTICOS
-III-
4.1 - Introdução.................................................................................................................... 4-1
4.2 - Gráfico de Coluna....................................................................................................... 4-1
4.3 - Gráficos de Setores...................................................................................................... 4-1
4.4 - Gráficos de Linha........................................................................................................ 4-2
4.5 - Médias......................................................................................................................... 4-2
4.6 - Exercícios.................................................................................................................... 4-3
-IV-
INTRODUÇÃO
1 – PROPÓSITO
Esta publicação tem o propósito de conteúdos da disciplina de Matemática II do C-FMN,
construindo relações entre conceitos matemáticos e as situações do cotidiano do trabalho
marinheiro. Além disso, contribui para a padronização do conteúdo ministrado pelos
Instrutores das EAM.
2 - DESCRIÇÃO
Esta publicação está dividida em 6 capítulos
3 - RECOMENDAÇÃO
Prioritariamente, essa publicação destina-se à aplicação da disciplina de Matemática II noC-FMN.
4 - CLASSIFICAÇÃO
Esta publicação é classificada, de acordo com o EMA-411, Manual de Publicações daMarinha, como Publicação da Marinha do Brasil não controlada, ostensiva, didática e manual.
-V-
OSTENSIVO EB-003
CAPÍTULO 1
RAZÕES E PROPORÇÕES
1.1 - RAZÕES
A palavra razão tem origem no termo latino ratio. A razão entre os números a e b, nessa
ordem, é o quociente (ou a/b ou a:b), com b≠0, isto é, uma razão indica uma divisão.
Dada uma razão ab
, sua inversa é ba
(ou b/a ou b:a), com a≠0.
As razões também servem para relacionar os valores de duas grandezas entre si, sendo
operadas e simplificadas da mesma forma que as frações.
1.2 - ESCALAS
Ao confeccionar um mapa, reproduzimos uma determinada figura de forma reduzida, mas não
aleatoriamente. Ao fazer isso busca-se manter a proporção entre o objeto reproduzido e a sua
figura no mapa. O número que expressa numericamente essa redução é uma escala.
Por exemplo, se a escala de um mapa é 1:4000, cada centímetro no mapa representa 4000
centímetros do espaço real. Essa proporção é, portanto, 1 para 4000.
A escala apresentada acima é uma escala numérica, por utilizar números. A escala numérica
representa a relação na forma de razão.
Assim, podemos fazer a seguinte representação para o cálculo da escala:
E = dR
Nesse caso, E representa o valor da escala, d a medida no mapa e R é a medida da figura
real.
1.3 - PROPORÇÕES
A palavra proporção deriva da palavra latina proportione, que significa relação entre partes de
uma grandeza.
Uma proporção é uma é uma igualdade entre duas razões.
A proporção entre a, b, c e d, na ordem, é a igualdade ab= c
d .
Na proporção acima os números a e d são os extremos enquanto b e c são os meios.
Na proporção acima, temos a seguinte propriedade: o produto dos meios é igual ao produto
dos extremos, ou seja, a.d = b.c.
OSTENSIVO -1-1- ORIGINAL
OSTENSIVO EB-003
1.4 - REGRA DE TRÊS
Os exercícios de regra de três envolvem a resolução de proporções nas quais um de quatro
elementos é desconhecido. Antes de tentar resolver o exercício é necessário classificar as
grandezas envolvidas em diretamente proporcionais (dp) ou inversamente proporcionais (ip).
Duas grandezas são dp quando, ao multiplicar (ou dividir) o valor de uma delas por um
número diferente de zero, o valor da outra é multiplicado (ou dividido) por esse número.
Exemplo: as grandezas distância e tempo de viagem (com velocidade constante) são
diretamente proporcionais, pois o aumento da distância (ou a sua diminuição) leva ao aumento
(ou diminuição) da duração.
Duas grandezas são ip quando, ao multiplicar (ou dividir) o valor de uma delas por um número
diferente de zero, o valor da outra é dividido (ou multiplicado) por esse mesmo número.
Exemplo: as grandezas velocidade e tempo de viagem (sem alterar a distância a percorrer) são
inversamente proporcionais, pois o aumento da velocidade (ou a sua diminuição) leva à
diminuição (ou aumento) da duração.
Um roteiro simples para resolver exercícios de regra de três é o seguinte:
1. Agrupar as grandezas da mesma espécie por colunas;
2. Escrever os valores das grandezas de espécies diferentes na mesma linha.
3. Identificar se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais.
4. Escrever a proporção e resolvê-la. Lembre-se de que para aplicar a propriedade do produto
dos meios igual ao dos extremos é necessário que a proporção seja direta.
1.5 - PORCENTAGEM
Razão centesimal é aquela que tem que como consequente o número 100.
Exemplos: 24/100; 125:100; 4
100
As razões centesimais também podem ser representadas na forma de percentuais.
Exemplos: 24%; 125%; 4%.
As razões centesimais também são chamadas de taxas percentuais. As taxas percentuais
também podem ser expressas na forma de número decimal.
Exemplos: 0,24; 1,25; 0,04.
1.6 - EXERCÍCIOS
1. Se a razão a/b entre os números a e b é igual a 20, determine sua razão inversa.
OSTENSIVO -1-2- ORIGINAL
OSTENSIVO EB-003
2. Os tempos de serviço de dois militares são, respectivamente, 20 anos e 15 anos. Determine a
razão entre esses tempos.
3. Em uma embalagem no rancho está escrito que a cada 500g de “peso” líquido correspondem
600g de “peso” bruto. Calcule a razão entre os pesos bruto e líquido.
4. Se uma embalagem do produto do exercício anterior indicar o valor bruto de 1250g, qual o
valor líquido?
5. Em um determinado momento do dia a razão entre a sombra de um marinheiro e a sua altura
é 3/2. Se a altura do militar é 1,80m, qual o comprimento da sombra?
6. Em uma tabela divulgada no sítio http://www.defesa.gov.br podem ser encontrados os
seguintes dados a respeito do soldo do Aprendiz-Marinheiro: Valor “atual” R$ 789,00; Valor
a partir de 01/08/2016: R$ 832,00. Qual o valor aproximado e com duas casas decimais da
razão entre o valor de agosto e o “atual”?
7. Se um aprendiz recebe o seu soldo e gasta 4/5 do valor total, quantos reais sobrarão?
8. Uma cisterna da escola, de capacidade 6m³ de água, está com 1500L de água.
a) Calcule a razão entre a quantidade de água no reservatório e a capacidade total, dado
que 1dm³ equivale a 1L de água.
b) Calcule a razão entre o volume que já saiu da cisterna e o volume que nela se encontra.
c) Calcule a razão entre o volume que já saiu da cisterna e o seu volume total.
9. Sabendo que x + y = 21, determine x e y na proporção xy= 10
18 .
10.Na disputa de um torneio de futebol entre os pelotões da EAMES, um time teve 12 pênaltis
assinalados a seu favor. A razão entre o total de acertos e o de cobranças foi de ¾.
a) Quantos pênaltis foram convertidos em gol pelo pelotão?
b) Quantos pênaltis foram perdidos por pelo pelotão?
11.E = 1:100.000 é uma escala em que, cada 1 centímetro no mapa, representamos quantos
centímetros da figura real?
12.Um mapa na escala 1:300.000 apresenta uma distância de 25 cm entre os pontos A e B. Qual
é o valor da distância real entre esses pontos?
13.Considere dois mapas do Brasil. Um deles está na escala de 1/10.000.000. O outro está na
escala 1/50.000.000. Se uma distância real entre dois pontos for de 45 km, qual a distância
representada em cada mapa?
OSTENSIVO -1-3- ORIGINAL
OSTENSIVO EB-003
14.Considere que a distância real entre duas cidades é de 120km e a distância entre elas no
mapa é de 6cm. Determine a escala de produção do mapa.
15.Em um mapa construído em escala 1:725.000 temos a localização de uma reserva florestal,
representada por um quadrado de lado 9cm. Qual é a área aproximada dessa reserva na
realidade?
16.(ENEM - adaptada) Para uma atividade realizada no laboratório de Matemática, um aluno
precisa construir uma maquete da quadra de esportes da escola que tem 28 m de
comprimento por 12 m de largura. A maquete deverá ser construída na escala de 1:250. Que
medidas de comprimento e largura, em cm, o aluno utilizará na construção da maquete?
17.(ENEM - adaptada) Um biólogo mediu a altura de cinco árvores distintas e representou-as
em uma mesma malha quadriculada, utilizando escalas diferentes, conforme indicações na
figura a seguir. Qual é a árvore que apresenta a maior altura real?
18.(ENEM - adaptada) Sabe-se que a distância real, em linha reta, de uma cidade A, localizada
no estado de São Paulo, a uma cidade B, localizada no estado de Alagoas, é igual a 2000
km. Um estudante, ao analisar um mapa, verificou com sua régua que a distância entre essas
duas cidades, A e B, era 8 cm. Os dados nos indicam que o mapa observado pelo estudante
está em que escala?
19.(ENEM - adaptada) A figura mostra as medidas reais de uma aero-nave que será fabricada
para utilização por companhias de transporte aéreo. Um
engenheiro precisa fazer o desenho desse avião em
escala de 1:150. Para o engenheiro fazer esse desenho
em uma folha de papel, deixando uma margem de 1cm
em relação às bordas da folha, quais as dimensões
mínimas, em centímetros, que essa folha deverá ter?
20.Em um mapa, a distância real de 20km equivale a 4cm sobre a figura. Se uma reserva
florestal tiver a forma aproximada de um quadrado 250000 m2, sua representação terá
quantos centímetros de lado sobre o mapa?
OSTENSIVO -1-4- ORIGINAL
OSTENSIVO EB-003
21.As razões 1/4 e 3/12 são equivalentes? Elas formam uma proporção? Explique de duas
formas diferentes.
22.Os números 5, 4, 50 e x (x≠0), na ordem, formam uma proporção. Qual é o valor de x?
Explique de duas formas diferentes.
23.A soma de dois números é 120 e eles estão entre si como 5 está para 7. Quais os números?
24.Uma empresa tem 210 funcionários, sendo que a relação entre os totais de efetivos e
contratados é 5 para 2.
a) Qual o total de funcionários efetivos?
b) Qual o total de funcionários contratados?
25.De acordo com http://www.eletrica.ufpr.br/piazza/materiais/CesarCanata.pdf, uma liga de
cobre com zinco “[...] pertence ao grupo dos latões e o conteúdo de zinco varia de 5% a
45% [...]”. Se uma liga tem 40 partes de zinco calcule, para 250g de liga:
a) O total de cobre;
b) O total de zinco.
26.Sabe-se que 20 laranjas rendem 13 litros de suco Calcule quantos litros de suco pode-se
obter com 50 laranjas.
27.A soma da idade do pai com a do filho é 90 anos. Sabe-se que a idade do pai está para a do
filhona razão de 7 para 2. Calcule a idade de cada um.
28.Em um determinado bairro, a razão entre a área construída e o total de terreno deve ser, no
máximo, de 1:30. Uma construção de 600 m² de área está em um terreno de 2100 m². Essa
construção está de acordo com o regulamento da área?
29.A densidade do óleo de cozinha é de, aproximadamente, 0,86 g/cm³. Qual é a massa
aproximada do óleo contido em um litro?
30.(ENEM 2012 - adaptada) Há, em virtude da demanda crescente de economia de água,
equipamentos e utensílios como, por exemplo, as bacias sanitárias ecológicas, que utilizam
6 litros de água por descarga em vez dos 15 litros utilizados por bacias sanitárias não
ecológicas, conforme dados da Associação Brasileira de Normas Técnicas (ABNT). Qual
será a economia diária de água obtida por meio da substituição de uma bacia sanitária não
ecológica, que gasta cerca de 60 litros por dia com a descarga, por uma bacia sanitária
ecológica?
OSTENSIVO -1-5- ORIGINAL
OSTENSIVO EB-003
31.Tico e Teco foram colher nozes. Tico colheu 1000 nozes em 2 h e Teco 2400 em 8 h.
Quantas nozes cada um receberá se a divisão for proporcional a quantidade de horas
trabalhadas?
32.A roda dianteira de um trator tem 1 m de diâmetro e a roda traseira, 1 m de raio. Se a roda
dianteira se deslocar 1 m , quanto se deslocará a roda traseira?
33.O pote de margarina de 20 g custa R$ 1,50 e o de 50 g R$ 3,00. Quanto deve custar o pote
de 35 g? E o de 30 g? E o de 60 g?
34.Uma torneira enche um tanque em 2 h. Um outra torneira enche o mesmo tanque em 3 h. As
duas torneiras juntas encherão o tanque em quanto tempo? E se colocarmos um ralo que
esvazia o tanque em 4 h?
35.Classifique os pares de grandezas a seguir em diretas ou inversas.
a) Valor aplicado em dinheiro em um banco e o total de rendimentos obtidos.
b) Quantidade de operários para concluir uma obra e o seu tempo de conclusão.
c) Quantidade de alunos na EAMES e o total de pães necessários para o café da manhã.
d) Quantidade de alunos na EAMES e a duração do estoque de comida para o rancho.
e) Vazão de uma torneira e o tempo necessário para preencher um depósito.
f) Quantidade de litros de tinta para pintar uma parede e as medidas da parede.
36.Quatro trabalhadores com aproximadamente a mesma produtividade constroem um muro
com 32m². Quantos trabalhadores são necessários para construir um muro de 64m²?
37.Um automóvel com velocidade 80 km/h gasta 20 minutos em um percurso. Se a velocidade
for reduzida para 60 km/h, quanto tempo será gasto nesse mesmo percurso?
38.Vinte e cinco professores gastaram 28 dias para corrigir as provas de redação de um
vestibular. Guardando essa proporção, quantos dias setenta e cinco professores levariam
para corrigir a mesma quantidade de provas?
39.Uma torneira despeja 60 litros de água em um tanque em 10 minutos. Quantos litros essa
mesma torneira despejaria em 25 minutos?
40.Cinco torneiras enchem completamente um tanque em duas horas. Se fossem seis torneiras,
quanto tempo levariam para encher o mesmo tanque?
41.Lendo 12 páginas por dia, consegui ler um livro em 15 dias. Se tivesse lido 6 páginas por
dia, em quanto tempo eu leria o mesmo livro?
42.Se oito metros de um tecido custam R$ 71,20, qual o preço de 28 metros do mesmo tecido?
OSTENSIVO -1-6- ORIGINAL
OSTENSIVO EB-003
43.Com 9 tratores de mesma capacidade de trabalho são gastos 5 dias de trabalho de 8 horas
diárias para concluir um aterro. Em quantos dias de 8 horas de trabalho diário 15 tratores
equivalentes aos primeiros concluem o mesmo aterro?
44.Em 30 dias na EAMES são necessários 13500 pães para o café da manhã dos aluno.
Quantos pães são necessários para o mês de fevereiro de um ano que não é bissexto?
45.Calcule
a) 25% de 600
b) 35% de 800
c) 50% de 1234
d) 0,5% de 6
e) 0,003% de 1200
f) 123% de 0,25
46.Escreva os seguintes números na forma de fração centesimal.
a) 0,35
b) 42:10
c) 30/200
d) 0,3
e) 5%
47. 3. Escreva na forma de número decimal.
a) 320/400
b) 35/700
c) 0,32/100
d) 32,2%
48.Em uma loja, uma mercadoria pode ser comprada em até três parcelas mensais e iguais, que
totalizam R$ 750,00. Se a mesma mercadoria for adquirida à vista, a loja oferece desconto
de 15% sobre o total da venda parcelada. Calcule:
a) o desconto para a compra à vista.
b) o preço da mercadoria com desconto.
49.Em um pelotão da EAMES que tem 32 alunos, sabe-se que 28 deles nasceram no estado do
Rio de Janeiro. Que porcentagem de alunos desse pelotão não nasceu no estado do Rio de
Janeiro?
OSTENSIVO -1-7- ORIGINAL
OSTENSIVO EB-003
50.Em uma pesquisa sobre a preferência por um time de futebol, 1260 pessoas foram
entrevistadas. Destas, 52% rejeitam o time A. Quantas pessoas não rejeitam o time A?
51.José é um trabalhador isento de desconto de imposto de renda na fonte. Do salário bruto,
11% são descontados pela previdência, 30% são depositados em uma poupança e 35% são
despendidos com a própria alimentação. Restam ainda R$ 479,76 para outros gastos.
Calcule:
a) o salário bruto de José;
b) o total recolhido pela previdência;
c) o valor depositado na poupança;
d) o valor gasto com a alimentação.
52.Aplicar dois descontos sucessivos, de 20% e 30% respectivamente, corresponde a um único
desconto de que percentual?
53.Um comerciante vendia uma mercadoria por R$ 350,00 e aumentou o preço em 30%. Em
seguida, anunciou a mercadoria em promoção com 20% de desconto. Qual o preço da
mercadoria nessa promoção.
54.O valor de R$ 175,80 representa eu percentual de R$ 879,00?
55.Analisando os dados do gráfico, quantos internautas responderam “NÃO” à enquete:
a) Menos de 23.
b) Mais de 23 e menos de 25.
c) Mais de 50 e menos de 75.
d) Mais de 100 e menos de 190.
e) Mais de 200.
56.(ENEM - 2011) Uma enquete, realizada em março de 2010, perguntava aos internautas se
eles acreditavam que as atividades humanas provocam o aquecimento global. Eram três as
alternativas possíveis e 279 internautas responderam à enquete, como mostra o gráfico:
57.Uma loja vende uma mercadoria à vista por R$ 400,00 para pagamento ou em duas parcelas
iguais de R$ 260,00, da seguinte forma:
a) a primeira no ato da compra;
b) a segunda, 30 dias depois da aquisição da mercadoria.
c) Qual a taxa de juros mensal praticada pela loja?
OSTENSIVO -1-8- ORIGINAL
OSTENSIVO EB-003
CAPÍTULO 2
FUNÇÃO DO 1º GRAU
2.1 - DEFINIÇÃO
Uma função é chamada de Função do 1º Grau se
a é chamado coeficiente angular e b, coeficiente linear.
2.2 - EXEMPLOS
São exemplos de funções do 1º grau:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Não são funções do 1º grau:
1. , pois o coeficiente da variável x é -1.
2. , pois, por definição, , que é uma função modular.
2.3 - GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO DO 1º GRAU
O gráfico de uma função do 1º grau é uma reta, mas nem toda reta é o gráfico de uma função
do 1º grau.
Exemplo:
1. Construir o gráfico da função do 1º grau .
x y
0
OSTENSIVO -2-1- ORIGINAL
OSTENSIVO EB-003
2.4 - RAIZ E INTERCEPTO
Quando x = 0, temos que y = b e quando , temos que y = 0. Os pontos y = b e
são chamados de intercepto do eixo-y e raiz da função, respectivamente.
2.5 - EXERCÍCIOS
1. Determine os coeficientes angulares e lineares, os interceptos e a raiz e construa o gráfico
das seguintes funções do 1º grau:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
OSTENSIVO -2-2- ORIGINAL
OSTENSIVO EB-003
CAPÍTULO 3
FUNÇÃO DO 2º GRAU
3.1 - DEFINIÇÃO
Uma função é chamada de Função do 2º grau se
3.2 - GRÁFICO
O gráfico de uma função do 2º grau é uma parábola.
Exemplo:
Contruir o gráfico da parábola
3.3 - VÉRTICE
Ao aplicar o Método de Completar Quadrados temos que a expressão da função do 2º grau
se torna
onde .
Para , temos que .
O ponto é chamado de Vértice.
O vértice possui as seguintes propriedades:
1. É o ponto da parábola onde ocorre seu mínimo (se a < 0) ou seu máximo (se a > 0). A
coordenada x do vértice é chamada de ponto de mínimo (ou máximo) e a coordenada
y é chamada de valor mínimo (ou máximo);
2. Pelo vértice passa o eixo de simetria da parábola.
3.4 - RAIZ E INTERCEPTO
Os pontos y = c e , onde , são chamados de intercepto do eixo-y
e raiz da função, respectivamente.
3.5 - EXERCÍCIOS
1. Considere um retângulo de dimensões 5x cm e 2x cm. Escreva a fórmula da sua área e a do
seu perímetro. Qual dessas fórmulas não pode ser considerada uma função de segundo grau?
2. Dada a função , calcule f(54321) – f(54320).
OSTENSIVO -3-1- ORIGINAL
OSTENSIVO EB-003
3. Determine o vértice, o eixo de simetria e o gráfico de cada função a seguir. Depois disso,
classifique o vértice como um ponto de máximo ou de mínimo da função.
a) .
b) .
c) .
d) .
e) .
4. Dispondo de 100 metros de arame para delimitar um curral de forma retangular, quais são as
dimensões da construção para que a área cercada seja máxima?
5. Suponha que ainda disponha de 100 metros de arame para delimitar um curral de forma
retangular, mas aproveitando uma parede, de modo a cercar apenas três lados. Se x é o
comprimento de um lado perpendicular à parede do celeiro, calcule o valor de x para que a
área cercada seja máxima. Qual é o valor dessa área máxima?
6. (PUC Campinas, adaptada) O biodiesel resulta da reação química desencadeada por uma
mistura de óleo vegetal (soja, milho, mamona, babaçu e outros) com álcool de cana. O ideal
é empregar uma mistura do biodiesel com diesel de petróleo. Quantidades exageradas de
biodiesel fazem decair o desempenho do combustível.
Seja f a função desempenho do combustível obtido pela mistura de biodiesel com
combustível de petróleo, dada por , em que p é a porcentagem de
biodiesel na mistura, . Qual o valor de p que gera o melhor desempenho?
7. (ENEM) A parte interior de uma taça foi gerada pela rotação de uma parábola em torno de
um eixo z, conforme mostra a figura. A função real que expressa a
parábola, no plano cartesiano da figura, é dada pela lei
onde C é a medida da altura do líquido contido na taça, em
centímetros. Sabe-se que o ponto V, na figura, representa o vértice
da parábola, localizado sobre o eixo x. Nessas condições, a altura do
líquido contido na taça, em centímetros, é:
a) 1
b) 2
OSTENSIVO -3-2- ORIGINAL
OSTENSIVO EB-003
CAPÍTULO 4
GRÁFICOS ESTATÍSTICOS
4.1 - INTRODUÇÃO
O gráfico é um recurso visual para representar a quantificação (ou determinadas qualidades)
de diferentes fenômenos. Portanto, é necessário aprender a ler e interpretar corretamente o que
está representado no gráfico.
4.2 - GRÁFICO DE COLUNA
Os gráficos de coluna são geralmente utilizados para indicar dados quantitativos a respeito de
uma variável. O eixo das ordenadas representa a variação do dado analisado e as colunas
devem ter a mesma largura.
(FONTE: https://matematicamania.wordpress.com/2008/07)
Na confecção dos gráficos os eixos podem ser apresentados de forma explícita ou não. Na
horizontal do gráfico acima são representadas diferentes modalidades de gasto energético e, na
vertical, estão representados os gastos de energia referentes a cada modalidade.
Note que os eixos não estão representados explicitamente, mas é possível verificar as
quantidades de gasto de energia referentes a cada atividade. O número acima de cada coluna
substitui a marcação das ordenadas.
4.3 - GRÁFICOS DE SETORES
Os gráficos de setores são mais utilizados para representar dados expressos na forma de
porcentagem. A verificação de quais percentuais são maiores (ou menores) se faz pela
comparação da superfície ocupada por setor.
O gráfico a seguir representa a quantidade de medalhas de ouro dos principais vencedores da
liga mundial de vôlei.
OSTENSIVO -4-1- ORIGINAL
OSTENSIVO EB-003
(FONTE: http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=22698)
4.4 - GRÁFICOS DE LINHA
Já os gráficos de linha são mais utilizados para representar graficamente a distribuição de um
dado ao longo do tempo. O gráfico abaixo representa a evolução da quantidade de alunos
matriculados no curso de comunicação da PUC Rio.
(FONTE: http://puc-riodigital.com.puc-rio.br)
4.5 - MÉDIAS
A palavra média é um termo estatístico. Ela é uma medida de tendência central, pois é um
valor localizado entre o maior e o menor número de uma lista. A média aritmética simples é
calculada dividindo a soma dos valores pela quantidade de elementos.
A média aritmética ponderada é calculada atribuindo um peso a cada valor. Aquele que for
considerado mais importante terá peso maior. Assim, os itens com maior peso influenciam
mais a média do que aqueles que possuem menor peso.
OSTENSIVO -4-2- ORIGINAL
OSTENSIVO EB-003
4.6 - EXERCÍCIOS
1. (ENEM 2012) O dono de uma farmácia resolveu colocar à vista do público o gráfico
mostrado a seguir, que representa a evolução do total de vendas (em Reais) de certo
medicamento ao longo do ano de 2011.
De acordo com o gráfico, os meses em que ocorreram, respectivamente, a maior e a menor
venda absolutas em 2011 foram
a) Março e Abril
b) Março e Agosto
c) Agosto e Setembro
d) Junho e Setembro
e) Junho e Agosto
2. (ENEM 2012) Uma enquete, realizada em março de 2010, perguntava aos internautas se
eles acreditavam que as atividades humanas provocam o aquecimento global.
Analisando os dados do gráfico, quantos internautas responderam “NÃO” à enquete?
a) Menos de 23
b) Mais de 23 e menos de 25
c) Mais de 50 e menos de 75
d) Mais de 100 e menos de 190
e) Mais de 200
3. (ENEM 2012) O gráfico mostra a variação da extensão média de gelo marítimo, em milhões
de quilômetros quadrados, comparando dados dos anos 1995, 1998, 2000, 2005 e 2007. Os
dados correspondem aos meses de junho a setembro. O Ártico começa a recobrar o gelo
quando termina o verão, em meados de setembro. O gelo do mar atua como o sistema de
resfriamento da Terra, refletindo quase toda a luz solar de volta ao espaço. Águas de
oceanos escuros, por sua vez, absorvem a luz solar e reforçam o aquecimento do Ártico,
ocasionando derretimento crescente do gelo.
Com base no gráfico e nas
informações do texto, é possível
inferir que houve maior aquecimento
global em
a) 1995
b) 1998
OSTENSIVO -4-3- ORIGINAL
OSTENSIVO EB-003
c) 2000
d) 2005
e) 2007
4. (Enem - 2005) Podemos estimar o consumo de energia elétrica de uma casa, considerando
as principais fontes desse consumo. Pense na situação em que apenas os aparelhos que
constam da tabela abaixo, fossem utilizados diariamente da mesma forma.
5. Aparelho
6. Potênc
ia
(Kw)
7. Tempo de Uso Diário
(horas)
8. Ar
Condicio
nado 9. 1,5 10.8
11.Chuveiro
Elétrico 12.3,3 13.1/3
14.Freezer 15.0,2 16.10
17.Geladeira 18.0,35 19.10
20.Lâmpadas 21.0,1 22.6
23.Tabela 1: A tabela fornece a potência e o tempo efetivo de uso diário de cada aparelho
doméstico.
Supondo que o mês tenha 30 dias e que o custo de 1 KWh é de R$ 0,40, o consumo de
energia elétrica mensal dessa casa, é de aproximadamente.
a) R$ 135
b) R$ 165
c) R$ 190
d) R$ 210
e) R$ 230
24.(Enem - 2005) Moradores de três cidades, aqui chamadas de X, Y e Z, foram indagados
quanto aos tipos de poluição que mais afligiam as suas áreas urbanas. Nos gráficos abaixo,
estão representadas as porcentagens de reclamações sobre cada tipo de poluição ambiental.
OSTENSIVO -4-4- ORIGINAL
OSTENSIVO EB-003
Considerando a queixa principal dos cidadãos de cada cidade, a primeira medida de
combate à poluição em cada uma delas seria, respectivamente:
a) Manejamento de lixo, Esgotamento sanitário, Controle emissão de gases;
b) Controle de despejo industrial, Manejamento de lixo, Controle emissão de gases;
c) Manejamento de lixo, Esgotamento sanitário,
d) Controle de despejo industrial;
e) Controle emissão de gases, Controle de despejo industrial, Esgotamento sanitário;
f) Controle de despejo industrial, Manejamento de lixo, Esgotamento sanitário.
25.(Enem - 2005) A escolaridade dos jogadores de futebol nos grandes centros é maior do que
se imagina, como mostra a pesquisa abaixo, realizada com os jogadores profissionais dos
quatro principais clubes de futebol do Rio de Janeiro.
De acordo com esses dados, o percentual dos jogadores dos quatro clubes que concluíram o
Ensino Médio é de aproximadamente:
a) 14%
b) 48%
c) 54%
d) 60%
e) 68%
26.Qual é a média aritmética dos
números 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7?
27.Qual é a média dos números: 4, 5, 5, 5, 5, 6, 7, 7, 7 e 7?
28.Qual é a média aritmética dos números 4/6, 14/5 e 2/3?
29.(UFC) A média aritmética das notas dos alunos de uma turma formada por 25 meninas e 5
meninos é igual a 7. Se a média aritmética das notas dos meninos é igual a 6, a média
aritmética das notas das meninas é igual a:
OSTENSIVO -4-5- ORIGINAL
OSTENSIVO EB-003
a) 6,5
b) 7,2
c) 7,4
d) 7,8
e) 8,0
30.(PMES - 2010) O número de horas extras trabalhadas por 5 funcionários de determinado
setor de uma empresa durante uma semana estão registradas na seguinte tabela:
FUNCIONÁRIOS A B C D E
Nº horas extras x x+2 1 4 3
Sabendo-se que nessa semana, na média, o número de horas extras trabalhadas por um
funcionário foi 4, então os dois funcionários que fizeram o maior número de horas extras
foram
a) A e B
b) B e E
c) B e D
d) C e D
e) D e E
31.(PMES - 2008) Uma pessoa comprou 5 garrafas de suco de frutas, uma de cada tipo. A
tabela mostra o preço de cada garrafa de suco.
SUCOS Maracujá Laranja Caju Abacaxi Uva
Preço por Garrafa R$ 5,70 R$ 3,50 R$ 2,30 R$ 3,20 ?
Sabendo que nessa compra o preço médio de uma garrafa foi R$ 3,80, pode-se concluir que
o preço da garrafa de suco de uva é:
a) R$ 3,80
b) R$ 4,20
c) R$ 4,30
d) R$ 4,70
e) R$ 4,90
32.(PMES - 2009) A média das alturas de três amigos é 1,60 m. Se mais um amigo, que mede
1,80 m, entrar nesse grupo, a nova média das alturas será de
a) 1,75 m
b) 1,72 m
OSTENSIVO -4-6- ORIGINAL
OSTENSIVO EB-003
c) 1,70 m
d) 1,68 m
e) 1,65 m
33.(FGV, SP - adaptada) A tabela abaixo representa a distribuição de frequências dos salários
de um grupo de 50 empregados de uma empresa, em certo mês. Determine o salário médio
dos empregados nesse mês.
Número da classe Salário do mês R$ Número de empregados1 1000 a 2000 202 2001 a 3000 183 3001 a 4000 94 4001 a 5000 3
34.(UNCISAL/2015) Em cada bimestre, uma faculdade exige a realização de quatro tipos de
avaliação, calculando a nota bimestral pela média ponderada dessas avaliações.
Avaliação Nota Peso
Prova escrita 6,00 4
Avaliação continuada 7,00 4
Seminário 8,00 2
Trabalho em grupo 9,00 2
35.Se a tabela apresenta as notas obtidas por uma aluna nos quatro tipos de avaliações
realizadas e os pesos dessas avaliações, sua nota bimestral foi aproximadamente igual a
a) 8,6
b) 8,0
c) 7,5
d) 7,2
e) 6,8
36.(UNIUBE, MG - 2014) Um aluno deve atingir 70 pontos para ser aprovado. Esse total de
pontos é resultado de uma média ponderada de 3 notas, N1, N2 e N3, cujos pesos são,
respectivamente, 1, 2, 2. As suas notas, N1 e N2, são, respectivamente, em um total de 100
pontos distribuídos em cada uma, 50 e 65. Para ser aprovado, a sua nota N3 (em 100 pontos
distribuídos) deverá ser:
a) Maior ou igual a 70 pontos.
b) Maior que 70 pontos.
c) Maior que 85 pontos.
OSTENSIVO -4-7- ORIGINAL