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    4. PRTICOS (QUADROS)4. PRTICOS (QUADROS)

    ISOSTTICOSISOSTTICOS

    So estruturas reticuladas formadas por vrias barras situadas num nicoplano, com carregamento atuante no mesmo plano do sistema estrutural.

    Os ns entre as barras so LIGAES RGIDAS ou ROTULADAS.

    Esforos solicitantes numa dada seo: MOMENTO FLETOR (M),

    ESFORO CORTANTE (V) e ESFORO NORMAL (N).

    Prticos simples ou compostos.

    Barras retilneas ou curvas (arcos).

    Observaes

    Teoria das Estruturas I 49

    a e n o

    b) Exemplos

    Prticos com barras retilneas

    4.1. INTRODUO

    P P P

    p

    ,

    articulao interna

    (d) Em balano (e) De mltiplos vos (f) De mltiplis andares

    P

    P

    P

    P

    P

    P

    pp

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    PRTICOS (QUADROS) ISOSTTICOS

    Teoria das Estruturas I 50

    Prticos com barras curvas

    Prticos compostos

    pp

    (c) Triarticulado

    (d) Atirantado

    pp

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    PRTICOS (QUADROS) ISOSTTICOS

    1. Momento Fletor (DMF)

    Teoria das Estruturas I

    2. Esforos Cortantes (DEC) e Esforos Normais (DEN)

    51

    Prticos espaciais

    c) Diagramas de esforos solicitantes

    Obteno imediata dos diagramas a partir do conhecimento das reaes de

    apoio.

    Obter os momentos fletores atuantes nos ns das barras e, em seguida, lig-los

    por uma linha reta tracejada. A partir dessa linha reta, penduram-se os

    diagramas de vigas biapoiadas referentes aos carregamentos que atuam sobre

    cada uma das barras que constituem o quadro.

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    PRTICOS (QUADROS) ISOSTTICOS

    Exemplo: Pede-se as reaes e os diagramas (DMF, DEC e DEN).

    Exemplo: Pede-se as reaes e os diagramas (DMF, DEC e DEN).

    Teoria das Estruturas I 52

    4.2. PRTICOS BIAPOIADOS

    4.3. PRTICOS ENGASTADOS-LIVRES

    CD E

    F

    A

    GB

    DE F

    A

    C

    B

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    PRTICOS (QUADROS) ISOSTTICOS

    Exemplo: Pede-se as reaes e os diagramas (DMF, DEC e DEN).

    Teoria das Estruturas I

    N

    N

    Esco

    ra

    N

    N

    Tirante

    53

    a) Escoras e tirantes

    4.4. PRTICOS TRIARTICULADOS

    4.5. PRTICOS BIAPOIADOS COM ARTICULAO E TIRANTE (OU ESCORA)

    Definio: Uma barra biapoiada sem carregamento aplicado diretamente sobre

    ela que funciona como uma ligao do primeiro gnero, na qual surgem apenas

    foras na direo do seu eixo (esforo normal).

    Quando a barra est COMPRIMIDA, diz-se ue uma ESCORA. Quando est

    TRACIONADA, diz-se que um TIRANTE.

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    PRTICOS (QUADROS) ISOSTTICOS

    b) Exemplo: Pede-se as reaes e os diagramas (DMF, DEC e DEN)

    a) Definio: So estruturas formadas atravs de associaes de quadros simples.

    Quadro Composto

    Teoria das Estruturas I

    Quadros Simples

    54

    4.6. PRTICOS COMPOSTOS

    D

    E F

    A

    C

    B

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    PRTICOS (QUADROS) ISOSTTICOS

    Teoria das Estruturas I 55

    b) Soluo

    1. Decompor o quadro composto original em quadros simples.

    2. Verificar quais os quadroscom e sem estabilidade prpria.

    3. Resolver primeiro os quadros simples sem estabilidade prpria para o

    carre amento atuante sobre eles.

    4. Resolver em seguida os quadros simplescom estabilidade prpria para o

    carregamento atuante sobre eles, acrescidos das foras transmitidas pelas

    rtulas.

    Quadro Composto

    Quadros Simples

    Exemplos:

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    PRTICOS (QUADROS) ISOSTTICOS

    Teoria das Estruturas I 56

    Quadro Composto

    Quadros Simples

    Quadro Composto

    Quadros Simples

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    PRTICOS (QUADROS) ISOSTTICOS

    Teoria das Estruturas I 57

    Quadro Composto

    Quadros Simples

    Quadro Composto

    Quadros Simples

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    PRTICOS (QUADROS) ISOSTTICOS

    c) Exemplo

    Quadro Composto

    Teoria das Estruturas I 58

    : Pede-se as reaes e os diagramas (DMF, DEC e DEN).

    Quadro Composto

    Quadros Simples

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    PRTICOS (QUADROS) ISOSTTICOS

    4.7. ESTABILIDADE

    Est relacionado com as restries impostas estrutura (vigas, quadros,

    prticos, etc), ou se a estrutura geometricamente instvel ou estvel.

    Restries Parciais

    Restries Inadequadas

    Teoria das Estruturas I

    r = nmero de incgnitas (reaes e foras)

    n = nmero de partes do sistema estrutural

    As reaes so concorrentes (as linhas de ao das reaes se interceptam

    um ponto em comum) ou so paralelas.

    Situaes

    59

    a) Conceito Bsico

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    PRTICOS (QUADROS) ISOSTTICOS

    Teoria das Estruturas I 60

    1. Restries Parciais:

    2. Restries Inadequadas:

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    PRTICOS (QUADROS) ISOSTTICOS

    (c)

    (a)

    (b)

    (d)

    (e)

    1. Estrutura Estaticamente Determinada

    Teoria das Estruturas I

    2. Estrutura Estaticamente Indeterminada

    r = nmero de incgnitas (reaes e foras)

    n = nmero de partes do sistema estrutural

    61

    f)Aplicao

    4.8. GRAU DE INDETERMINAO

    a) Conceito Bsico

    =r 3n

    >r 3n

    Todas as foras (reaes e esforos internos) podem ser avaliadas atravs das

    equaes de equilbrio da mecnica clssica.

    As estruturas (vigas, quadros, prticos, etc) tm mais foras incgnitas do que

    equaes de equilbrio da mecnica clssica.

    Classifique cada uma das estruturas a seguir como estvel ou instvel. As

    estruturas so submetidas a carregamentos externos conhecidos e que podem

    atuar em qualquer lugar.

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    PRTICOS (QUADROS) ISOSTTICOS

    Teoria das Estruturas I 62

    b) Aplicao

    Classifique cada uma das vigas a seguir como estaticamente determinada ou

    estaticamente indeterminada. Se estaticamente indeterminada avalie o grau de

    indeterminao. As vigas so submetidas a carregamentos externos conhecidos e

    que podem atuar em qualquer lugar.

    (e)

    (a) (b)

    (c)

    (d)

    (f) (g)

    (h) (i)

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    PRTICOS (QUADROS) ISOSTTICOS

    a) CASO A: Fora distribuda em uma barra inclinada

    Teoria das Estruturas I 63

    4.9. BARRAS INCLINADAS

    (k)

    (l)

    1 x y

    1p p=

    1pp xy2 =Definio de p1 e p2:

    Definio de p3 e p4: 3 1 2p p sen p cos= +

    4 1 2p p cos p sen= +

    2

    2

    xy2

    2

    y

    x3 ppp

    +=

    2

    yx

    y2

    yx

    x4 ppp

    +=

    e

    x

    cos =

    y

    sen =

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    PRTICOS (QUADROS) ISOSTTICOS

    b) CASO B: Fora distribuda transversal em uma barra inclinada

    c) Exemplo 1: Prtico plano biapoiado com uma barra inclinada.

    Teoria das Estruturas I

    (i) Reaes

    AR = 55,625 kN

    BR = 74,375 kN

    64

    cos 3 /5 0,6 = =

    sen 4 / 5 0,8 = =

    xcos =

    y

    sen =

    y

    331 psenpp ==Definio de p1 e p2:

    x332 pcospp

    ==

    y

    1x pp

    =

    x

    2y pp

    =

    3

    y

    y

    3

    y

    1x pppp ===

    3

    x

    x3

    x

    2y pppp ===

    Definio de p3 e p4:

    e

    B AM 0 R 8 30(1,5 5) 20 5 2,5 0= + =

    Y A BF 0 R R 30 20 5 0= + =

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    PRTICOS (QUADROS) ISOSTTICOS

    (ii) Esforos solicitantes

    Momento Fletor

    Esforo Cortantes e Normais

    Teoria das Estruturas I 65

    DMF (kNm)

    DMF

    Viga auxiliar

    DMF

    Seo A:

    Seo Cd:

    A AV R cos 55,625 0,6 33,375 kN= = =

    A AN R sen 55,625 0,8 44,5 kN= = =

    C' AV V 30cos 33,375 30 0,6 15,375 kN= = =

    cos 3 / 5 0,6 = =

    sen 4 / 5 0,8 = =

    Seo Dd:

    Seo B:

    D AV R 30 55,625 30 25,625 kN= = =

    DN 0=

    B D BV V 20 5 25,625 100 74,375 kN R= = = =

    BN 0=

    DEC (kN)

    DEN (kN)

    C' AN N 30sen 44,5 30 0,8 20,5 kN= + = =

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    PRTICOS (QUADROS) ISOSTTICOS

    Teoria das Estruturas I 66

    d) Exemplo 2: Barra biapoiada inclinada sob fora vertical uniformemente distribuda

    na horizontal.

    e) Exemplo 3: Barra biapoiada inclinada sob fora horizontal uniformemente distribuda

    na vertical.

    DMF DEC DEN

    Viga auxiliar

    DMF DEC DEN

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    PRTICOS (QUADROS) ISOSTTICOS

    Teoria das Estruturas I 67

    DMF DEC DEN

    f) Exemplo 4: Barra biapoiada inclinada sob fora horizontal uniformemente distribuda

    ao longo do comprimento da barra.

    g) Exemplo 5: Barra biapoiada inclinada sob fora vertical uniformemente distribuda

    ao longo do comprimento da barra

    DMF DEC DEN

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    PRTICOS (QUADROS) ISOSTTICOS

    Teoria das Estruturas I 68

    4.10. PRTICOS COM BARRAS CURVAS (ARCOS)

    4.11. ARCOS TRIARTICULADOS

    Exemplo: Pede-se as reaes e os diagramas de esforos (DMF, DEC e DEN).

    P

    s

    A B

    R

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    PRTICOS (QUADROS) ISOSTTICOS

    Arco: X,Y, A, B, VA, VB, MS, NS, VS

    Viga: x, y, a, b, Va, Vb, Ms, Ns, Vs

    Notao

    Teoria das Estruturas I 69

    a) Estudo

    b)Viga biapoiada de substituio

    1. Arcos triarticulados com carregamentos atuantes em todas as direes: princpios

    gerais da Esttica j utilizados.

    2. Arcos triarticulados com carregamentos verticais: Viga biapoiada de substituio.

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    PRTICOS (QUADROS) ISOSTTICOS

    = = = = ' ' ' ' 'X A B A BF 0 H cos H cos 0 H H H

    Y A B ii

    F 0 V V P 0

    = + =

    (1)

    (2)

    ( )

    ( )

    = =

    + =

    +

    B A 1 2 i 1 2 ii

    i 1 2 ii

    A1 2

    P l l x

    Vl l

    (3)

    Substituindo (3) em (1):

    ( )

    ( )

    i 1 2 ii

    B i A B ii i 1 2

    P l l x

    V P V V Pl l

    + = =

    +

    (4)

    ( )( )

    e

    A 1 i 1 i' ' i

    A 1 i 1 iGi

    V l P l x

    M 0 V l H cos f P l x 0 Hf cos

    = = =

    (5)

    y a b ii

    F 0 V V P 0

    = + =

    (6)

    (7)

    ( ) ( )

    ( )

    ( )

    b a 1 2 i 1 2 ii

    i 1 2 ii

    a1 2

    M 0 V l l P l l x 0

    P l l x

    Vl l

    = + + =

    + =

    +

    Teoria das Estruturas I

    Substituindo (7) em (6):

    (8)

    ( )g a 1 i 1 ii

    M V l P l x = (9)

    Momento fletor no ponto g:

    ( )

    ( )

    i 1 2 ii

    b i a b ii i 1 2

    P l l x

    V P V V Pl l

    + = =

    +

    70

    c)Equaes de equilbrio

    Arco

    Viga de substituio

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    PRTICOS (QUADROS) ISOSTTICOS

    Comparaes: Arco x Viga de Substituio

    Equaes (3) e (7): VA= Va

    Equaes (4) e (8): VB= Vb

    Equaes (5) e (9): =g'

    MH

    f cos

    (10)

    (11)

    (12)

    Concluso

    Teoria das Estruturas I

    Simplificando as expresses (14) e (15), tem-se:

    71

    d) Esforos solicitantes numa seo genrica S

    Arco

    As reaes do arco triarticulado podem ser obtidas analisando-se apenas

    a viga de substituio.

    ( ) 'S A i ii

    M V x P x x H cos y=

    ' 'S A i

    i

    V V cos P cos H cos sen H sen cos= +

    ' 'S A iN V sen P sen H cos cos H sen sen= +

    (13)

    (14)

    (15)

    ( ) 'S A i ii

    M V x P x x H cos y=

    ( )'S A ii

    V V P cos H sen

    =

    ( )'S A ii

    N V P sen H cos =

    (16)

    (17)

    (18)

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    PRTICOS (QUADROS) ISOSTTICOS

    Anlise dos esforos VA e H:

    ( )s a i ii

    M V x P x x=

    s a ii

    V V P=

    sN 0=

    Comparaes: Arco x Viga de Substituio

    (19)

    (20)

    (21)

    Teoria das Estruturas I

    Observao:essas expresses permanecem vlidas se ocorrerem tambm

    cargas verticais distribudas.

    72

    Viga

    VA

    Seo S

    N

    V

    VA

    N = - V sen

    V = V cos

    A

    A

    H cos :

    Seo S

    H' cos

    NN V

    N = - H' cos cos

    V = - H' cos sen

    H sen :

    H' sen

    N

    V

    N = - H' sen sen

    V = H' sen cos

    Seo S

    = '

    S sM M H cos y

    ( )= 'S sV V cos H sen

    ( ) 'S sN = V sen H cos

    (22)

    (23)

    (24)

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    PRTICOS (QUADROS) ISOSTTICOS

    Soluo: Na expresso (22), fazendo-se MS = 0, chega-se a:

    =

    (25)

    Demonstrao que VS= 0

    Derivando-se (25):

    E levando-se em conta que:

    (26)

    Teoria das Estruturas I

    (27)

    Chega-se, aps a substiuio de (27) em (23), a:

    73

    e) Linha de Presses: determinao e definio

    Problema: Qual a forma de um triarticulado AGB tal que, para um dado

    carregamento, todas as sees tenham MF nulo (MS = 0). Isto ,

    adotando-se a notao empregada, obter a ordenada y para cada

    seo S tal que MS= 0. So dados l1, l2, f e .

    'S sM M H cos y 0= =

    s

    s' '

    dM

    Vdy dx

    dx H cos H cos

    = =

    ** d dY d dy Y y tg tg

    dx dx dx dx= = =

    ( ) 's s'Vdy

    tg tg V tg tg H cosdx H cos

    = = =

    ( ) ( )' 'SV tg tg H cos cos H sen=

    (28)( ) ( )' 'SV H sen H sen 0= =

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    PRTICOS (QUADROS) ISOSTTICOS

    Inclinao da tangente ao eixo do arco

    (29)

    r ar cu a o na se o ver gura ou q. :

    Concluso: quando um arco triarticuladoAGB, para um dado carregamento, est

    submetido apenas aesforos normais, dizemos que sua forma a dalinha de

    presses desse carregamento.

    (30)

    Observaes Finais:

    Teoria das Estruturas I

    2. Arcos triarticulados com concavidade voltada para baixo e carregamento de cima

    para baixo: ESFOROS NORMAIS sempre de

    3. Arcos triarticulados com concavidade voltada para cima e carregamento de cima

    para baixo: ESFOROS NORMAIS sempre de TRAO (caso dos CABOS

    74

    1. No caso da reta AB ser horizontal:

    COMPRESSO.

    ).

    ( ) ( )= + +

    2 2' '

    S sN V H sen H cos

    +=

    's

    '

    V H sentg

    Hcos

    Avaliao de NS

    g' M

    Hf

    =

    s'

    My

    H=

    s

    V

    (32)

    (31)

    33'H

    2 '2S sN V H= + (34)

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    PRTICOS (QUADROS) ISOSTTICOS

    Teoria das Estruturas I 75

    4. Linha de presses: forma ideal para um arco triarticulado (forma mais econmica de

    trabalho estrutural).

    5. Linha de presses para carregamento uniforme: PARBOLA do 2 GRAU.

    6. Construtores da antiguidade: notvel intuio esttica (venceram grandes vos com

    arcos e abbadas de alvenaria de pedra).

    7. Arcos triarticulados: encontrados em vrias construes.

    Arcos biengastados (hiperestticos): mais utilizados na prtica.

    f)Aplicao

    Deseja-se construir uma estrutura cujo eixo coincida com a linha de presses do

    carregamento indicado na figura a seguir. Pede-se:

    a. A linha de presses.

    b. Os esforos normais mximo e mnimo atuantes.

    c. A inclinao da tangente ao eixo da estrutura na seo de abscissa x = 2,5 m.

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    PRTICOS (QUADROS) ISOSTTICOS

    Viga de substituio??

    Viga de substituioArco triarticulado

    Calcule as reaes e os esforos internos do prtico espacial mostrado abaixo:

    Teoria das Estruturas I 76

    Soluo

    4.12. PRTICOS ESPACIAIS

    a) Aplicao

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    PRTICOS (QUADROS) ISOSTTICOS

    Soluo 1: Reaes

    Foras

    Momentos

    Soluo 2: Esforos Internos

    Elemento 3, N 3 ao N 4 Elemento 2, N 2 ao N 3

    Teoria das Estruturas I 77

    x

    y

    z

    F 0

    F 0

    F 0

    =

    =

    =

    x

    y

    z

    M 0

    M 0

    M 0

    =

    =

    =

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    PRTICOS (QUADROS) ISOSTTICOS

    Elemento 1, N 1 ao N 2

    Teoria das Estruturas I 78

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    REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS

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