1

LISTA 1 1. Para obter um quadrado com área igual a 198 cm2, qual deve ser a medida do lado desse quadrado? Essa medida é um número é racional? 2. Existem dois números reais cujo quadrado é 16, quais são estes números? São números inteiros? 3. Existe algum número real que elevado ao quadrado resulta – 25? Justifique sua resposta.

4. Localizar na reta numérica os números: 0,1; 35

; 0,333..; 2 ; 3 ; - 2; 1; 1918

; 1615

; 2

5. Represente, usando a notação de intervalos, os seguintes subconjuntos de R: a) b)

6. Mostre que 22

2

7. Simplificando 12

323 obtemos o número decimal ......

8. Mostre que 31324 9. Desenvolva os produtos

a) 1616

b) 2)35(

c) 23 )228( 10. Sejam p e q números reais. A esse respeito, assinale a opção correta e justifique as incorretas.

a) pp0p 2 b) p e q são pares qp é ímpar c) 0qe0p0qp d) qep0qp tem sinais contrários

e) qpouqpqp 22 11. Sejam a, b, c números reais tais que a > 0, b > 0, a > b e c ≠ 0. Qual das afirmações seguintes é falsa? Justifique.

a) 0cse,cb

ca

b) cbca c) cbca d) 22 bcac

e) 0cse,bcac

12. Se x e y são números reais tais que 0yx , então é verdade que ..... Justifique as demais. a) |y||x|

b) y1

x1

2

c) 22 yx

d) 0yx

e) 33 yx

13. Seja x um número real maior que zero e menor que um. Se 2xzexy , então julgue, justificando, os itens falsos a seguir: a) yx

b) zx

c) zy

d) yyx

e) 5yyz

f) 2yz

14. Dados 3 2me3n , efetue as operações indicadas e classifique as afirmações em verdadeira (V) ou falsa (F). Justifique as falsas a) nm é racional b) nm é irracional

c) 2m é irracional

d) 3m é irracional 15. Represente sobre a reta real cada um dos seguintes conjuntos:

2x1/xA 3x0/xB 1xou0x/xC 3xou001/xD

Respostas Lista 1 1. A medida do lado deve ser de 198 cm. Esse número pertence ao conjunto dos números irracionais. 2. Sim existe e são números inteiros, são eles, x = 4 e x = - 4. 3. Não existe (∄) pois qualquer número elevado ao quadrado resulta num número positivo.

4. -2 < 35

< 1615

< 0,1 < 0,333.. < 1918

< 1 < 2 < 3 < 2

5. a) ],( 23 b) )6,3[

6. Racionalizar 7. 1,5 8. Elevar ao quadrado ambos os lados.

9. a) 5 b) 1528 c) 33 4423264 10. opção e) Justificativas: a) p > 0; b) subtração de números pares gera número par; c) basta que um deles seja zero,

0qou0p ; d) p e q devem ter sinais iguais. 11. opção a) Justificativa: se a > b a desigualdade não se verifica. 12. Opção b)

3

Justificativas: a) em função do módulo, por exemplo, 23 ; c) em função da potência, por exemplo, 22 )2()3( ; d)

soma de números negativos resulta em número negativo, por exemplo, 05)2()3( ; e) em função do radical, por

exemplo, 33 18 . 13. F, F, V, V, V, F Justificativas: a) pois 0 < x < 1, por exemplo, se 4

1x ; b) idem anterior; f) para qualquer valor de x, xx2 . 14. F, V, V, F Justificativas: a) n + m é irracional; d) m é racional. 15. LISTA 2 1. Marque as alternativas corretas.

a) ( ) 34

4 3 33 b) ( ) 31

3 66 c) ( ) 32

3 2 66

d) ( ) 554 4 e) ( ) 3 223

55 f) ( ) 8 585

1515

g) ( ) 5 252

33 h) ( ) 7721

i) ( ) 5 885

1515 2. Marque as igualdades verdadeiras:

a) ( ) 6 23 33 b) ( ) 4 28 2 44 c) ( ) 336 3 d) ( ) 3443 e) ( ) 361681 f) ( ) 16222 3. Simplificando os radicais as respostas corretas são:

a) ( ) 5420 b) ( ) 3212 c) ( ) 2672 d) ( ) 5945 4. Marque a igualdade verdadeira.

a) ( ) 9494

b) ( ) 9494 5. O resultado verdadeiro das operações é:

a) ( ) 54535

b) ( ) 3333234

c) ( ) 333 10104310

4

6. Se n é um número natural, calcule o valor de nn33n2n2 1111A . 7. Se a e b são números reais, então em que condições 222 baba ? 8. Calcule o valor das expressões:

a)

22

121

22222

b) 22

22

3333

c) 32

32

21

21

21

9. Remova os expoentes negativos e simplifique a expressão 1

11

xyyx

, em que *y,x .

10. Classifique em verdadeira (V) ou falsa (F) cada uma das sentenças abaixo:

a) 623 55 f) 8

6

2

555

b) 162 4 g) 111 632

c) 222 22 h) 11

d) 3133 54 i) 623 22

e) 35

2

777

j) 133 22

11. Se *aeZn , simplifique as expressões:

a) n3n11n2 aaa c) n1

n3)1n(2

aaa

b) )1n(2

1n3n2

aaa

d) n4

n34n

aaaaa

12. Classifique em verdadeira (V) ou falsa (F) cada uma das sentenças abaixo:

a) 3273 f) x,xx 24

b) 24 g) x,xx 510

c) 39 h) x,xx 36

d) 1xex,1x1x 2 i) 003

e) 3xex,x33x 2 j) 21

81

3

13. Efetue as operações: a) 375327212

b) 23523

c) 2325 14. Efetue:

a) 1212

b) 625625

5

15. Racionalize os denominadores das frações:

a) 3

1 b)

3 21

c) 73

5

d) 321

1

16. Determine o valor da expressão 21

43

0 x4x3x5

, para x = 16. 17. Simplifique:

a) 33 223 b) 12123 c)

23

48

7527

482

18. Determine o valor da expressão 1nn1nn 3322 , para todo n real. 19. Chamam-se cosseno hiperbólico de x e seno hiperbólico de x, e representam-se respectivamente por cosh(x) e senh(x), os

números: 2

ee)xcosh(

xx e

2ee

)x(senhxx

, calcule 22 )x(senh)xcosh( .

20. Assinale a alternativa que contém a afirmação correta. Justifique as demais.

a) Para quaisquer a e b reais, sendo a não nulo,

a2bba2 1 .

b) Para quaisquer a e b reais, 632 abba . c) Para quaisquer a e b reais, ab9b4a5 . d) Para quaisquer a e b reais, se ba,ba 33 .

e) Para quaisquer a e b reais, sendo a > 0 e b > 0, baba 22 . 21. Nas questões abaixo utilizando os critérios de arredondamento, marque os resultados que são corretos com duas casas decimais.

a) ( ) 2,28 34 3 b) ( ) 82,163 c) ( ) 3.363 2

d) ( ) 554 4 e) ( ) 89,2523

f) ( ) 43,51585

g) ( ) 50,1352

h) ( ) 65,2721

i) ( ) 20,13558

22. Marque os números que estão corretamente representados em notação científica. a) ( ) 2300000000000 = 2,3.1012 b) ( ) 0,00045 =4,5.10-4 c) ( ) 0,00000032 =3,2.10-6 23. Escreva em notação científica os seguintes números. a) 2010000 b) 0,0005 c) 0,00000047 24. Adicione os radicais e encontre um resultado aproximado, arredondando-o para décimos

a) 637 b) 33234 25. Arredonde os valores a seguir conforme indicação entre parênteses. a) 123, 05 (inteiro) b) 14,25 (décimos) c) 3,7535 (milésimos) d) 58,34 (inteiro) e) 25,678 (centésimos) f) 132,5007 (décimos)

6

Respostas - Lista 2 1.

b) 31

3 66 c) 32

3 2 66 d) 554 4

f) 8 585

1515 g) 5 252

33 h) 7721

2. ===================================================================

a) 326 22 33 c) 3336 33 e) 364.916811681 3. ===================================================================

b) 323.212 2 c) 263.272 23 4. ==================================================================

b) 63.236

9494

5. ================================================================== a) 54535 6. 2 7. Somente quando a = 0 ou b = 0 8. a) - 16/17 b) 40/41 c) 2 9. x + y 10. a) V b) F c) F d) F e) F f) V g) V h) F i)V j) V

11. a) 5a b) 4na c) 4n2a d) a

1a

12. a) V b) F c) V d) V e) V f) V g) F h) V i)V j) V

13. a) 33 b) 249 c) 32037 14. a) 1 b) 1

15. a) 33

b) 243

c) 2

)73(5 d)

42)321(

16. 30 17. a) 3 b) 3 c) 215 18. 6n 19. 1 20. Opção correta letra d) 21. a) b) c) d) f) h) 22. a) b) 23. a) 2,01.106 b) 5.10-4 c)4,7.10-7 24. a)10,6 b) 8,7 25. a) 123 b) 14,2 c) 3,754 d) 58 e)25,68 f) 132,5 LISTA 3 – Fatoração e Simplificação

1. Seja o polinômio 5x3x)x(P 24 . Calcule )3(P71)1(P .

2. Fatore os trinômios abaixo. a) 3x4x2 b) 10x7x2 c) 18x3x2 d) 5y4y2 e) 12tt2 f) 24a10a2

3. Supondo x -1, simplifique a fração algébrica 1x

3x4x2

.

7

4. Simplifique a fração algébrica5x4x

15x8x2

2

, supondo 05x4x2 .

5. Dados os polinômios 4x3x7x5x8)x(P 345 e 5x4)x(Q 2 determine: a) )x)(QP( d) )x)(QP(

b) )x)(QP( e) 2x)x(P

c) )x(Q

)x(P)2(

6. Seja o polinômio 5x3x2)x(P 2 , determine: a) )1x(P b) )x1(P c) )x2x(P 2 7. Completar os quadrados a) 7x2x2 b) 2xx83 8. Fatorar os polinômios a) 2xx6y d) 1xy 7 b) 25xy 2 e) 246 xx2xy c) 44 ax16y f) x9x6xy 35 9. O resto da divisão do polinômio 7x4x8x4x2)x(P 356 pelo binômio 2x)x(Q vale: ( ) 7 ( ) 9 ( ) 25 ( ) 63 ( ) 191 10. O polinômio 3ax)x(p 2 é tal que 2x4)1x(p)x(p . Então o valor de “a” é: ( ) -2 ( ) 0 ( ) 8 ( ) 10 ( ) 2

11. Se 6y

B4y

A24y2y

1y2

então BA3 é igual a:

( ) 1 ( ) 0 ( ) 2 ( ) 3 ( ) 4 12. Determine o valor de r no polinômio 2rxx)x(P 23 , sabendo-se que 1x é raiz desse polinômio. Determine a equação do polinômio. 13. Para que o polinômio k2x3x5xxP 23 , seja divisível por 2x , k deve ser igual a: ( ) 11 ( ) 10 ( ) - 6 ( ) - 8 ( ) - 12 14. Determine m e n no polinômio 1nxx2mxxP 23 , sabendo-se que 1 é a raiz do polinômio e que P(- 2) = -21. 15. Uma das raízes da equação 02xx2x 23 , é -2. A soma das outras duas raízes vale: ( ) 0 ( ) - 1 ( ) - 2 ( ) 2 ( ) - 3 16. Determine quais afirmações são verdadeiras. Justifique as demais. a) A soma de dois polinômios de grau 5 é sempre um polinômio de grau 5. b) O produto de dois polinômios de grau 5 e 8, respectivamente, é um polinômio de grau 13.

8

c) A diferença de dois polinômios de grau 9 pode ser um polinômio de grau 5. 17. Encontre as raízes reais da equação, caso existam e apresente os polinômios na forma fatorada, quando possível. a) x597x3 b) 02xx2x 23 c) 03x2x2 2 d) 02x2x2 e) 060x4x2 f) 0xxx2 23 g) 03x5xx 23 h) 015x13x12x2 23 Respostas Lista 3 1. – 14

2. a) 1x3x b) 5x2x c) 3x6x d) 1y5y e) 3t4t f) 6a4a 3. 3x

4. 1x3x

5. a) 1x3x4x7x5x8 2345 b) 9x3x4x7x5x8 2345

c) 8

25x2

17x25x4 23

resto:

625.7x5.36)x(r

d) 20x15x16x47x25x12x20x32 234567 e) 193x98x49x21x8 234 resto: 382)x(r 6. a) 4xx2 2 b) 4xx2 2 c) 5x6x5x8x2 234

7. a) 6)1x( 2 b)

2)4x(19

8. a) )6x(x b) 5x5x c) )ax2)(ax2)(ax4( 22 d) )1xxxxxx)(1x( 23456

e) 222 )1x(x f) 22 3x)3x(x 9. 63 10. 2 11. 2 12. r = 3 ; 2x3x)x(P 23 13. K = 11 14. m = 1 e n = 2 15. 0 16. b e c. Justificativa da a)não necessariamente, basta que os coeficientes do polinômio de grau 5 sejam opostos que a soma resultará num polinômio de grau menor que 5.

9

17. a) {2} b) {-2, -1, 1} 01x1x2x c) { }

d) 31,31 0)31(x)31(x e) {-10, 6} 06x10x

f) {-0.5, 1, 0} 01xxx2 21 g) {-3, 1} 01x3x 2

h) {5} 03x2x25x 2 LISTA 4 – Grandezas Proporcionais 1) Determine a razão entre os números abaixo.

1.1) 76

e3 (a) 3,5 (b) 2,5 (c) 1,5 (d) 4,5 (e) 5,5

1.2) 31

e21

(a) 0,5 (b) 2,5 (c) 1,5 (d) 3,5 (e) 4,5

1.3) 5e5,1 (a) 0,1 (b) 1,5 (c) 2,3 (d) 0,3 (e) 3,3 2) Calcule as razões entre as grandezas a seguir: 2.1) 27 km e 3 de álcool (a) 7 km/ (b) 8 km/ (c) 5 km/ (d) 9 km/ (e) 6 km/ 2.2) 40 g e 5 cm3 (a) 8 g/cm3 (b) 7 g/cm3 (c) 5 g/cm3 (d) 0,8 g/cm3 (e) 80 g/cm3 2.3) 20 cm e 4 dm (a) 0,5 (b) 5 (c) 1,5 (d) 50 (e) 0,15 3) Calcule o valor de x para que se tenha, em cada caso, uma proporção.

A) 24

=5x

(a) 5 (b) 100 (c) 10 (d) 0,1 (e) 1000

B) x

20=

45

(a) 16 (b) 14 (c) 12 (d) 10 (e) 1,6

C) 52

51

41 32

x

(a) 0,1 (b) 10 (c) 3/5 (d) 9/52 (e) 8/52

D) 52

41x3

- (a) 2,5 (b) 13/15 (c) 26 (d) 0,25 (e) 0,025

4) Uma empresa pretende aplicar 200 mil reais entre pesquisa e propaganda, de modo que a razão entre as quantias se 2 : 3. Quais os valores alocados para a pesquisa e propaganda? 5) Gustavo gasta 1/5 do seu salário com a prestação do apartamento. 1/8 do salário com alimentação e ainda lhe sobram R$ 2.430,00. Qual é o salário de Gustavo? 6) Suponha que os 169 milhões de reais desviados na construção do TRT de São Paulo sejam reavidos, e que o Governo Federal decida usá-los para investimento nas áreas de saúde, educação e segurança pública, fazendo a seguinte distribuição: a área da educação receberia 2 vezes o que receberia a área da segurança pública; a área de saúde receberia 2/3 do que receberia a área da educação. Assim sendo, quanto receberia cada área?

10

7) Um mapa esta desenhado em uma escala em que 2 cm equivale a 5 km. Uma região assinalada nesse mapa tem a forma de um quadrado de 3 cm de lado. A área real dessa região é? a) 37,50 km2 b) 56,25 km2 c) 67,50 km2 d) 22,5 km2 Regra de três 1. 100 kg de trigo fornecem 85 kg de farinha. Que quantidade de farinha se obterá com 150 sacos de 75 kg cada um? (a) 8564 kg (b) 6789 kg (c) 34526,87 kg (d) 6543,98 kg (e) 9562,5 kg 2. Num acampamento 30 homens possuem alimentos para dois meses. Tendo chegado ao acampamento mais 90 homens, pergunta-se por quanto tempo o acampamento disporá de alimentos? (a) 1,5 meses (b) 2 meses (c) 3,5 meses (d) 0,5 meses (e) 4,5 meses 3. Um negociante pagou $330 u.m. (unidades monetárias) por um rolo de arame e $264 u.m. por outro da mesma qualidade. Qual é o comprimento de cada um dos rolos, se o primeiro tem 12 metros a mais do que o segundo? (a) 50m e 24 m (b) 60 m e 48 m (c) 30m e 14 m (d) 70m e 35 m (e) 65m 23m 4. Cinco torneiras idênticas enchem um tanque em 144 minutos. Quantas dessas torneiras são necessárias para encher o mesmo tanque em uma hora e meia? (a) 6 (b) 7 (c) 8 (d) 5 (e) 10 5. A produção de uma tecelagem é de 8000 metros de tecido por dia. Com a admissão de mais 300 operários a indústria passou a produzir 14000 metros de tecido por dia. Qual era o número de operários antes da admissão dos 300 operários? (a) 500 (b) 400 (c) 200 (d) 800 (e) 300 6. Um navio partiu para uma viagem levando a bordo alimentos para 12 tripulantes durante 30 dias. Quando o navio partiu descobre-se três passageiros clandestinos. Nestas condições, quantos dias deverão durar o alimento? (a) 12 dias (b) 36 dias (c) 6 dias (d) 32 dias (e) 24 dias 7. Empregaram-se 27,4 kg de lã para tecer 24 m de um tecido de 60 cm de largura. Qual será o comprimento de tecido que se poderia tecer com 3,425 toneladas de lã para se obter uma largura de 90 cm (1 tonelada = 1000 kg)? (a) 1000m (b) 3000m (c) 2000m (d) 4000m (e) 5000m 8. Vinte operários levam 10 dias para levantar um muro de 2 m de altura e 25 m de comprimento. Quantos dias levarão 15 operários para construir um outro muro de 3 m de altura e 40 m de comprimento? (a) 23 dias (b) 32 dias (c) 42 dias (d) 52 dias (e) 67 dias 9. Para asfaltar 1800 m de uma estrada, 15 operários utilizam 12 dias num regime de 10 horas por dia. Num regime de 8 horas por dia serão necessários, no mínimo quantos dias, para que 32 operários façam 6000 m de asfaltamento de uma estrada em condições idênticas? (a) 32 dias (b) 23 dias (c) 13 dias (d) 43 dias (e) 34 dias 10. Se 15 homens, trabalhando 8 horas por dia, cavaram um poço de 400 m3 em 10 dias, quantos homens devem ser acrescentados para que em 15 dias, trabalhando 6 horas por dia cavem 600 m3? (a) 4 (b) 5 (c) 6 (d) 3 (e) 7

11

Porcentagem 1. Um jornal recebia por dia R$ 42.000,00 de anúncios. Os preços dos anúncios foram aumentados em 6%. Qual será a nova diária do jornal? 2. Em quanto por cento aumentou a população de uma cidade que era de 67.200 habitantes e agora é de 92.400 habitantes? 3. Em uma cidade, 35% da população é constituída de homens e 40% de mulheres. Qual a população da cidade, se o número de crianças é de 8.000?

4. Vendo uma mercadoria recebendo 25% de entrada e o restante em três prestações de R$ 160,00 e uma de R$ 180,00. Qual o preço da mercadoria? 5. Um vendedor recebe 3% de comissão sobre as vendas que efetua. Qual a quantia a receber pelas vendas de R$ 8.000,00 R$3.700,00 e R$ 9.500,00? 6. Em um dos grandes prêmios de Fórmula I largaram 24 carros e terminaram a competição 10 carros. De quanto por cento foi o n.º de carros que não terminaram a prova? 7. Um comerciante comprou 120 bonés a R$ 8 cada um. Vendeu a metade a R$ 10,00 e o restante a R$ 12,00. De quanto por cento foi o lucro? 8. Uma casa está alugada por R$ 9.600,00 ao ano, foi comprada por R$ 98.000,00. O proprietário gastou com ela, durante o ano, R$1.180,00 em impostos e reparos. Qual foi a taxa de rendimento do capital empregado? 9. Uma pessoa deseja adquirir uma televisão catalogada por R$ 460,00. Se o pagamento for à vista, a loja oferece um desconto de 5%. Como a pessoa não pode fazê-lo, paga 2/5 à vista e o restante em três prestações sofrendo um aumento de 25% sobre a parte relativa às prestações. a) qual o preço à vista da televisão? b) qual o valor de cada prestação? 10. Um concurso prestado por certo n.º de candidatos houve 18% de aproveitamento, ou seja, 117 aprovados; num outro, a que concorreram 350 candidatos, houve 22% de aproveitamento. Determine o n.º de candidatos do 1º concurso e quantos foram reprovados no 2º. Respostas Lista 4 01) 1.1) a 1.2) c 1.3) d 02) 2.1) d 2.2) a 2.3) a 03) A) c B) a C) d D) b 4) 80 mil reais para pesquisa e 120 mil reais para propaganda. 5) R$ 3.600,00 6)Educação: 78 milhões; Saúde: 52 milhões; Segurança publica: 39 milhões 7) letra b) 56,25 km2

12

Regra de três 1. E 2.D 3.B 4.C 5.B 6.E 7.C 8.B 9.B 10.B

Porcentagem 1)R$ 44.520,00 2)37,5% 3) 32.000 hab. 4) R$ 880,00 5)R$ 636,00 6)58,33% 7)37,5% 8)8,59% 9)a) R$ 437,00 b) R$ 115,00 10)1º = 650; 2º = 273 Lista 5 – Razões Trigonométricas 1) Calcule as razões trigonométricas (seno, cosseno, tangente) de 45o partindo de um quadrado de lado "x". (Dica: trace a diagonal do quadrado). 2) Calcule as razões trigonométricas (seno, cosseno, tangente) para os ângulos de 30o e 60o partindo de um triângulo equilátero. (Dica: trace uma altura e obtenha um triângulo retângulo cujos ângulos medem 30o e 60o).

3) Dado 23

)xcos( , sendo x um ângulo do 1º quadrante, obtenha os seguintes valores:

a) )x(sen b) )x(tg c) )xcos(2)x(sen3 d) xcosxsen 22 e) xcosxsenxcosxsen f) xcosxsenxcosxsen

4) Mostre que 1)xsec()xcos(

cossec(x))x(sen

5) Mostre que )x(cos)x(gcot1

)x(gcot 22

2

6) Simplifique a expressão x3cosx)x3(xsen

)xcos()x(tg22

7. Uma rampa lisa de 10m de comprimento faz ângulo e 30o com o plano horizontal. Uma pessoa que sobe essa rampa inteira eleva-se quantos metros verticalmente?

8. Uma pessoa está distante a 80 m da base de um prédio e vê o seu ponto mais alto sob um ângulo de 16o em relação à horizontal. Qual é a altura do prédio? 9. Uma escada de bombeiro pode ser estendida até um comprimento de 25 m, formando um ângulo de 70o com a base, que está apoiada sobre um caminhão, a 2 m do solo. Qual é, aproximadamente, a altura máxima que a escada atinge? 10. Um observador vê um prédio, construído em um terreno plano, sob um ângulo de 60o. Afastando-se do edifício mais 30 m, passa a ver o edifício sob um ângulo de 45o. Qual é, aproximadamente, a altura do prédio?

13

11. Um avião está a 7000 m de altura e inicia a aterrissagem(aeroporto ao nível do mar) sob um ângulo constante de 6o. A que distância o avião está da pista? Qual a distância que o avião vai percorrer? Aproxime os valores. 12. Uma firma de engenharia deve construir uma ponte unindo duas montanhas, para dar continuidade a uma estrada. O engenheiro tomou como referência uma árvore, conforme figura abaixo. Qual será o comprimento da ponte? Aproxime o valor.

13. Um barco de pescadores localizados num ponto A emite um sinal de socorro que é recebido por dois radioamadores, B e C, distantes entre si 70 km. Sabendo que os ângulos B e C medem respectivamente, 64o e 50o, determine qual radioamador se encontra mais próximo do barco A. A que distância ele está do barco? 14. Do alto de uma torre de 50 m de altura, localizada numa ilha, avista-se a praia sob um ângulo de 45o em relação ao plano horizontal. Para transportar material da praia até a ilha, um barqueiro cobra R$0,20 por metro navegado. Quanto ele recebe em cada transporte que faz?

15. Na construção de um telhado foram usadas telhas francesas e o “caimento” do telhado é de 20o em relação ao plano horizontal. Sabendo que, em cada lado da casa, foram construídos 6 m de telhado e que, até a laje do teto, a casa tem 3m de altura, determine, aproximadamente, a que altura se encontra o ponto mais alto do telhado dessa casa.

Respostas

1. 1)45(tg;22

)45cos(;22

)45(sen ooo

2. 33

)30(tg;23

)30cos(;21

)30(sen ooo

3)60(tg;21

)60cos(;23

)60(sen ooo

3. a) 21)x(sen b)

33

)x(tg c) 2

323 d) 1 e)

3

f) -1/2

4. verificar utilizando as identidades 5. verificar utilizando as identidades

6. x

)x(sen

7. 5 m 8. Aproximadamente 22,9 m 9. Aproximadamente 25,5 m 10. Aproximadamente 71 m

20o 24o

10 m

14

11. 66,6 km 66,97 km 12. 44,8 m 13. Mais próximo do barco é o radioamador B. Ele está aproximadamente 58,7 Km do barco A. 14. R$ 10,00 15. Aproximadamente 5 m LISTA 6 1. O gráfico a seguir mostra a quantidade de pontos obtidos por Ayrton Senna na fórmula 1.

Determine: a) Variáveis envolvidas ___________________________________________________ b) Variável dependente ___________________________________________________ c) Variável independente __________________________________________________ d) Domínio da função _____________________________________________________ e) Conjunto imagem ______________________________________________________ f) Quando foi obtido o maior número de pontos? _______________________________ g) E o menor número de pontos? ____________________________________________ h) Em quais intervalos de tempo houve aumento no número de pontos? ______________ i) Em quais intervalos de tempo houve redução no número de pontos? ________________ 2. Um reservatório, contendo 500 litros de água, dispõe de uma válvula na sua parte inferior. Um dispositivo foi utilizado para registrar o volume de água a cada instante, a partir do momento em que a válvula foi aberta. Os valores obtidos durante a operação permitiram construir o gráfico do volume de água (em litros) em função do tempo (em minutos).

a)Quais as variáveis envolvidas? ______________________________________________________ b) O volume de água permaneceu constante no reservatório? _________________________

15

c) Após 10 minutos, qual o volume de água existente no reservatório? ___________________ d) Quantos minutos decorreram até que o volume da água existente no reservatório caísse pela metade? Em quanto tempo o reservatório foi esvaziado? ______________________________ e) Qual o significado do intercepto vertical? E do intercepto horizontal? ___________________________ ________________________________________________________________________ 3. O gráfico abaixo mostra a taxa de desemprego na região metropolitana de São Paulo em % da PEA – População Economicamente Ativa) em funções do tempo. (De novembro de 1999 a outubro de 2000)

a) Quais as variáveis envolvidas? ________________________________________________ b) Em que meses desse período a taxa de desemprego ficou abaixo de 18%? _____________ c) Em que períodos a taxa de desemprego decresceu? _______________________________ ____________________________________________________________________________ d)Em que períodos a taxa de desemprego aumentou? ________________________________

4. Considere o gráfico de f(x) e determine o que se pede.

a) O valor de f(0) e, a imagem do elemento 7. ____________________________ b) O elemento do domínio cuja imagem é 3.______________________________ c) Qual é o valor maior, f(1) ou f(6)? ____________________________________ d) Quais os valores de x que tem como imagem o zero? _____________________ e) f(4) é positiva ou negativa? __________________________________________ f) f(6) é positiva ou negativa? __________________________________________ g) Qual é o domínio de f(x) __________ e a imagem de f(x)? _________________ 5. Nas funções a seguir obtenha os valores de f(1), f(2) e f(3)

a)

5x2sex1

2x0sex)x(f f(1)=_____ f(2)= _____ f(3)=_______

16

b)

x5,2sex4

5,2x2sex12xsex

)x(f

2

f(1)=_____ f(2)= _____ f(3)=_______

Considerando o gráfico de cada uma das funções, responda as questões abaixo: 6. 4x2xf

a) Qual é o domínio da função?____________________ b)Qual é a imagem da função?_____________________ c)A função é crescente ( ) decrescente ( ) d) 0xf se _________________________________

e) 0xf se ________________________________

7. 1xxf 2

a) Qual é o domínio da função? __________________________ b) Qual é a imagem da função? __________________________ c) 0xf se ________________________ d) 0xf se ________________________ e) Qual é o valor máximo que f(x) atinge? _________________

8. x2xf .

a) Qual é o domínio da função? __________________ b) Qual é a imagem da função? __________________ c) Existe x, tal que 0xf ? ___________________ d) A função é decrescente? ____________________ e) Existe x, tal que 0xf ? _________________ f) Para que valor de x, 1xf ? ________________ g) Para que valores de x, 2xf ? _____________

9. x2xf

a) Qual é o domínio da função? __________________ b) Qual é a imagem da função? ___________________ c) A função é crescente? ________________________ d) 0xf se _________________________________ e) xf se aproxima de zero quando ______________

17

Respostas 1) a) tempo (anos) e número de pontos b) número de pontos c) tempo d) D=[1984,1994] e) Im=[3,96] f) 1991 g) 1994 h) [1984,1988],[1989,1991],[1992,1993] i) [1988,1989],[1991,1992],[1993,1994] 2) a) volume (litros) e tempo (minutos) b) não c) 200 l d) 7 min. 35 min. e) intercepto vertical → capacidade máxima do reservatório intercepto horizontal → tempo máximo para o reservatório esvaziar completamente 3) a) tempo (meses) e taxa de desemprego (%) b) dezembro, janeiro, fevereiro, agosto, setembro, outubro c) [novembro, dezembro], [janeiro, fevereiro], [maio, junho], [julho, outubro] d) [dezembro, janeiro], [fevereiro, maio],[junho, julho] 4. a)1 e -1; b) 2; c) f(1); d)-1, 5, 9; e) positiva; f) negativa; g) D(f)=[-1, 9] e Im(f)= [-1, 3] 5. a) 1; 3; 4 b) π ; 3; 12 6.a) D(f) = R; b) Im(f) = R; c) crescente; d) x = -2; e) x < -2 7. a) D(f) = R; b) ]1,])fIm( ; c) x =1 e x =-1; d) 1x1 ; e) y = 1 8. a) D(f) = R; b) ],0])fIm( ; c) não; d) não; e)não; f) x = 0; g) 1x 9. a) }0x/Rx{)f(D ; b) }0y/Ry{)fIm( ; c) não; d) 0x ; e) x tende ao infinito (positivo ou negativo)

LISTA 7 1. Escreva uma equação para a função do primeiro grau a partir das condições dadas. Represente as funções graficamente. a) 5)1(fe1)2(f b) 1)0(fe5)4(f c) 4)3(fe4)3(f 2. Em uma indústria metalúrgica o custo de produção de uma peça automotiva corresponde a um custo fixo mensal de R$ 5.000,00 acrescido de um custo variável de R$ 55,00 por unidade produzida mais 25% de impostos sobre o custo variável. Considerando que o preço de venda dessa peça pela indústria aos comerciantes é de R$ 102,00, determine: a) a função custo da produção de x peças.

18

b) a função receita referente a venda de x peças. c) a função lucro na venda de x peças. d) o lucro obtido com a venda de 500 unidades. 3. Construa o gráfico das funções e classifique se a função é crescente ou decrescente:

a) x3y b) 5x23xf

4. Determine m para que a função m3x3m2y seja crescente. 5. Seja :f definida por nmxxf . Se 3 é raiz da função e 81f , então o gráfico da função: a) ( ) é uma reta paralela ao eixo y; b) ( ) intercepta o eixo x no ponto (1, 0); c) ( ) intercepta xy , chamada bissetriz dos quadrantes ímpares, no ponto (4, 4); d) ( ) intercepta o eixo y no ponto (0, - 12); e) ( ) é uma reta paralela ao eixo x. 6. O gráfico ao lado mostra como o dinheiro gasto (y), por uma fábrica, na produção de determinado produto varia com a quantidade (x), que poderá ser produzida. Assim, podemos afirmar que:

a) ( ) quando a fábrica não produz nada, não gasta nada; b) ( ) para produzir 2 unidades do produto, a fábrica gasta R$ 60,00; c) ( ) para produzir 3 unidades do produto, a fábrica gasta R$ 90,00; d) ( ) se a fábrica gasta R$ 180,00 então ela fabrica 6 unidades do produto.

7. Numa pequena indústria, o faturamento líquido relativo a um certo produto é calculado pela relação

1000x4)x(f , na qual f(x) representa o faturamento líquido de x unidades vendidas. Determine a quantidade mínima de unidades que devem ser vendidas para que haja lucro. Nas duas questões abaixo, faça o esboço dos gráficos das funções (letras a, b e c em um mesmo sistema cartesiano e com linhas/cores diferentes para cada uma das funções). Observe as modificações que ocorrem de acordo com as variações dos coeficientes. 8. a) 2x)x(f b) 2x2)x(g c) 2x3)x(h Descreva o que você percebeu sobre as alterações ocorridas nos gráficos das funções quando alteramos o coeficiente “a” (coeficiente angular)? Caso necessite de mais simulações, para perceber as alterações, utilize um aplicativo gráfico (Winplot, Graph, etc.) 9. a) x2)x(f b) 2x2)x(g c) 5x2)x(h O que você percebeu sobre as alterações ocorridas nos gráficos das funções quando alteramos o coeficiente “b” (coeficiente linear)? Caso necessite de mais simulações, para perceber as alterações, utilize um aplicativo gráfico (Winplot, Graph, etc.) 10. Com base nas analises anteriores, marque quais das afirmações abaixo são verdadeiras para uma função baxxfy . Justifique as alternativas falsas. ( ) o coeficiente angular é responsável pela inclinação da reta. ( ) se o coeficiente angular é positivo a reta é decrescente. ( ) o coeficiente linear determina o ponto de interseção da reta com o eixo das ordenadas.

8 x

190

30

y

19

( ) quando somamos uma constante positiva “k” a f(x), obtemos uma nova função do tipo kxfy , essa operação translada o gráfico de xfy em “k” unidades para cima. ( ) quando multiplicamos uma constante positiva “k > 1” a x, obtemos uma nova função do tipo xkfy , essa operação comprime a reta horizontalmente, ou seja, diminui o ângulo de inclinação em relação ao eixo “x”. 11. Das funções definidas abaixo, faça o esboço do gráfico e determine: a) o domínio e a imagem; b) a raiz ou as raízes (caso existam); c) o(s) intervalo(s) onde a função é positiva(caso exista(m)); d) o intervalo onde a função é crescente. a) x2x)x(f 2 b) 2x)x(f 2 c) 9x6x)x(f 2 12. Calcule k na função k3x1kx1k3)x(f 2 , de modo que seu gráfico seja uma parábola com concavidade voltada para baixo. 13. Uma bola colocada no chão é chutada para o alto e percorre uma trajetória descrita por 2xx6)x(f , onde y é a altura, dada em metros. Determine a altura máxima atingida pela bola.

14. Numa microempresa de confecções, o custo diário da produção x camisas é dado por

410x40x)x(C 2 em R$. Encontre o custo mínimo da produção diária. 15. (UA–AM) Após várias experiências em laboratórios, observou-se que a concentração de certo antibiótico, no sangue de cobaias, varia de acordo com a função y = 12x – 2x², em que x é o tempo decorrido, em horas, após a ingestão do antibiótico. Nessas condições, qual o tempo necessário para atingir o nível máximo de concentração desse antibiótico, no sangue dessas cobaias? Nas duas questões abaixo, faça o esboço dos gráficos das funções cbxax)x(f 2 (letras a, b e c em um mesmo sistema cartesiano e com linhas/cores diferentes para cada uma das funções). Observe as modificações que ocorrem de acordo com as variações dos coeficientes. 16. a) 2x)x(f b) 2x2)x(g c) 2x)x(h Descreva o que você percebeu sobre as alterações ocorridas nos gráficos das funções quando alteramos o coeficiente “a”? Caso necessite de mais simulações, para perceber as alterações, utilize um aplicativo gráfico (Winplot, Graph, etc.) 17. a) xx)x(f 2 b) x2x)x(g 2 c) x3x)x(h 2 O que você percebeu sobre as alterações ocorridas nos gráficos das funções quando alteramos o coeficiente “b”? Caso necessite de mais simulações, para perceber as alterações, utilize um aplicativo gráfico (Winplot, Graph, etc.) 18. a) 2x)x(f b) 1x)x(g 2 c) 3x)x(h 2 O que você percebeu sobre as alterações ocorridas nos gráficos das funções quando alteramos o coeficiente “c”? Caso necessite de mais simulações, para perceber as alterações, utilize um aplicativo gráfico (Winplot, Graph, etc.) 19. Com base nas analises anteriores, marque quais das afirmações abaixo são verdadeiras para uma função cbxaxxf 2 . Justifique as alternativas falsas. ( ) o coeficiente “a” é responsável pela concavidade da parábola. ( ) quanto maior o valor do coeficiente “a” em módulo menor será a abertura da parábola. ( ) o coeficiente “c” determina o ponto de interseção da curva com o eixo das ordenadas.

20

( ) quando alteramos o coeficiente “c” da função estamos provocando um deslocamento da curva no sentido horizontal. ( ) quando subtraímos uma constante positiva “d” a f(x), obtemos uma nova função do tipo dxfy , essa operação translada o gráfico de xfy em “d” unidades para baixo. ( ) quando somamos uma constante positiva “d” a x, obtemos uma nova função do tipo dxfy , essa operação translada o gráfico de xfy em “d” unidades para a esquerda. 20. Das funções definidas abaixo, faça o esboço do gráfico e determine: a) o domínio e a imagem; b) a raiz ou as raízes (caso existam); c) o(s) intervalo(s) onde a função é positiva(caso exista(m)); a) 1xy 3 b) x3x2xy 23 c) 3xx3xxf 23 d) 3x5xxxf 23 LISTA 8 Considere as funções abaixo e determine: a. Determine o domínio e a imagem de cada função. b. Determine, se existir, as assíntotas verticais e horizontais de cada função. c. Determine, se existir, o(s) zero(s) de cada função. d. Represente graficamente estas funções num gráfico para cada função.

1. 2x

1)x(f

2. 4x1x)x(f

3. 2xx

x)x(f 2

4. x)x(f 5. 3 x)x(f 6. 2x)x(f 7. 3x)x(f 8. 1xy 2

9. 3xy

10.

1xse1x

1xse1x)x(f 2

11.

3xse4x

3xse2xy

12.

1xse31xse2x

xf

13. Uma chapa metálica deve ter as dimensões descritas abaixo.

21

x

y

x

y

Considerando que a parte superior da chapa, é formada pelas funções do segundo grau (domínio [0,5] ), constante (domínio ]5,8[ ) e do primeiro grau (domínio [8,12] ), pede-se: a) Qual a lei função que descreve a peça no domínio [0,5] ? b) Qual a lei função que descreve a peça no domínio ]5,8[ ? c) Qual a lei função que descreve a peça no domínio [8,12] ? 14. Associe cada gráfico a sua função e explique o porquê da sua escolha.

a) 2x

x)x(f

b) 1x

1y

c) 4x2)x(f d)

3xse2x3x2se1

2xsexy

( ) ( ) ( ) ( ) LISTA 9 1. Construa o gráfico das seguintes funções, determine o domínio e a imagem e classifique a função como crescente ou decrescente. a) x3y b) x)5,0(y c) xey d) 1xlogy e) xlogy

31 f) xlny

g) 23)x(f x h) 2xlny i) 2xlny

x

y

x

y

22

2. Associe cada gráfico a sua função e explique o porquê da sua escolha. a) x2y b) x2y c) x2y d) 12y x

( ) ( ) ( ) ( ) 3. Numa certa cultura existem 1000 bactérias em determinado instante. Após 10 minutos, existem 4000. Quantas bactérias existirão em 1 hora, sabendo que elas aumentam através da fórmula kt

0 ePP , em que P é o número de bactérias, t é o tempo em horas e k é a taxa de crescimento? 4. As seguintes funções dão as populações de 4 cidades, com o tempo t em anos: A) t12,1600P B) t03,11000P C) t08,1200P D) t9,0900P a. Qual cidade tem maior taxa percentual de crescimento? Qual é sua taxa? b. Qual cidade tem maior população inicial? Que população é essa? c. Alguma cidade está diminuindo de tamanho? Qual é sua taxa percentual de redução? 5. Devido a um novo programa rural de saúde pública, a mortalidade infantil no Senegal está sendo reduzida a uma taxa de 10% ao ano. Quanto tempo levará para que a mortalidade infantil seja reduzida a 50%, sabendo que essa situação pode ser modelada por uma função exponencial do tipo t

0 byy . 6. Segundo Richter (Sismologia Elementar, 1958) a magnitude M dum tremor de terra, que corra a 100 km de certo sismógrafo, é dada por M = log10 A +3, onde A é a amplitude máxima em mm, do registo feito pelo aparelho. Qual o significado da constante 3? LISTA 10 1. Construa o gráfico das funções indicando período, imagem e domínio. Analise a influência de cada um dos parâmetros a, b e c, na função )xc(asenbxf , comprando com a função )x(senxf .

23

a) )x(sen2xf b) )x(sen2xf c) )x(senxf 2

1 d) )x(sen21xf e) )x2(senxf

2. Repita para a função )xc(cosabxf , comprando com a função y = cos(x). 3. Repita para a função )xc(atgbxf , comprando com a função y = tg(x). 4. Com base nas análises realizadas acima indique qual a situação correspondente em cada caso. a) A translação ao longo do eixo dos y de uma função f(x), para cima ou para baixo, é obtida quando acrescentamos o parâmetro “c” (constante), na situação ... ( ) f(x) + c ( ) f(x + c) ( ) c f(x) ( ) f(cx) b) Comprimimos ou esticamos o gráfico de f(x) verticalmente quando acrescentamos o parâmetro “c” (constante), na situação ... ( ) f(x) + c ( ) f(x + c) ( ) c f(x) ( ) f(cx) c) Comprimimos ou esticamos o gráfico de f(x) horizontalmente quando acrescentamos o parâmetro “c” (constante), na situação ... ( ) f(x) + c ( ) f(x + c) ( ) c f(x) ( ) f(cx) d) A translação ao longo do eixo dos x de uma função f(x), para a direita ou para a esquerda, é obtida quando acrescentamos o parâmetro “c” (constante), na situação ... ( ) f(x) + c ( ) f(x + c) ( ) c f(x) ( ) f(cx) Respostas Lista 7

1. a) f(x) = 2x +3 b) 1x23)x(f d) x

34)x(f

2. a) Custo = 5000 + 55x + 0,25 * 55x b) Receita = 102x c) Lucro = 33,25x – 5000 d) O lucro obtido é igual a R$ 11 625,00. 3. a) crescente b) decrescente gráficos a cargo do leitor!

4. 23m

5. Opção d) e c) 6. Opção c) 7. x > 250

8. Altera o comportamento da função (crescente e decrescente); altera o ângulo de inclinação em relação ao eixo “x” (alonga ou comprime).

9. Altera a interseção com o eixo “y”; translada a função verticalmente.

gráficos a cargo do leitor!

24

x

y

x

y

10. V; F; V; V; 11.

(a) a)

),1[Im;D ;

b) x = 0 e x = 2; c) f(x) > 0 se x < 0 e x > 2; d) f(x) é crescente se x > 1. (b) a)

]2,(Im;D ;

b) não existe (∄) c) ∄ d) f(x) é crescente se x < 0. (c) a)

],0(Im;D ;

b) x = -3 c) f(x) > 0 se x ≠ -3 d) f(x) é crescente se x > -3. 12. Parábola côncava para baixo para valores de k < - 1/3 13. A altura máxima atingida pela bola será de 9 metros. 14. Custo mínimo de R$ 10,00. 15. O antibiótico atinge o nível máximo de concentração em 3 horas. 16. A variação do coeficiente “a” Altera a concavidade da parábola; Comprime ou expande a função. gráficos a cargo do leitor! 17. A variação do coeficiente “b” Translada a função no sentido horizontal e vertical. gráficos a cargo do leitor! 18. A variação do coeficiente “c” Translada a função verticalmente gráficos a cargo do leitor! 19. V; V; V; F; V; V

x

y

25

x

y

x

y

20. (a) a)

Im;D ; b) x = -1 ; c) f(x) > 0 se x > -1

(b) a)

Im;D ; b) x = -1; x = 0 e x = 3 ;

c) f(x) > 0 se x < -1 e 0 < x < 3

(c) a)

Im;D ; b) x = -3; x = 0 e x = 1 ;

c) f(x) > 0 se -3 < x < -1 e x > 1

(d) a)

Im;D ; b) x = -3 e x = 1 ;

c) f(x) > 0 se x > -3 e x ≠ 1

Respostas Lista 8 1. y = 1/(x-2)

a) *Im};2{D b) Assíntotas: vertical x = 2; horizontal em y = 0 c) zero(s): ∄ 2. y = (x+1)/(x+4) a) }1{Im};4{D b) Assíntotas: vertical x = -4 ; horizontal em y = 1 c) zero(s): x = -1 3. y = x/(x^2+x-2) a) Im;1,2D b) Assíntotas: vertical x = -2 e x = 1; horizontal em y = 0 c) zero(s): x = 0

x

y

x

y

26

4. y = x^(1/2) a) Im;D b) Assíntotas: horizontal e vertical não existem c) zero(s): x = 0 5. y = x ^(1/3) ou no Winplot) root (3, x) a) Im;D b) Assíntotas: não existem c) zero(s): x = 0 6. y = (x-2)^(1/2) a) Im;2D b) Assíntotas: não existem c) zero(s): x = 2 7. y = (-x+3)^(1/2) a) Im};3x/x{D b) Assíntotas: não existem c) zero(s): x = 3 8. y = abs(x^2-1) a) Im;D b) Assíntotas: não existem c) zero(s): x = -1 e x = 1 9. y = abs(-x+3) a) Im;D b) Assíntotas: não existem c) zero(s): x = 3 10. a) Im;D b) Assíntotas: não existem c) zero(s): x = -1 e x = 1 11. a) ]1,(Im;D b) Assíntotas: não existem c) zero(s)”x= 2 e x = 4 12. a) 3ye]1,(Im;D b) Assíntotas: não existem c) zero(s): não existem gráficos a cargo do leitor! 13. a) 6xxy 15

34215

8 b) y = 4 c) y = x – 4

14. (c) (b) (d) (a) Respostas Lista 9 1. a) y = 3^x; Im;D ; função crescente b) y = (0.5)^x; Im;D ; função decrescente

27

c) y = e^x; Im;D ; função crescente d) y = log(x-1); Im;1D ; função crescente

e) y = log(1/3, x); Im;D * ; f decrescente; f) y = ln(x); Im;D * ; função crescente; g) y = 3^x-2; ),2(Im;D ; f crescente; h) y = ln(x+2); Im;2D ; f crescente;

i) y = ln(x)+2; Im;0D ; f crescente; gráficos a cargo do leitor! 2. (a) (d) (c) (b) 3. 4.096.000 4. a) A, 12% b) B, 1.000 c) D,10% 5. 6,58 anos 6. Para A = 1, vem M = 3. Isto significa que o tremor de terra tem magnitude 3, se provoca um registo de amplitude máxima 1 mm, nas condições indicadas. Respostas Lista 10 1. a) y = 2+sen(x) b) y = -2 sen(x) O parâmetro aditivo “b” provocou um deslocamento vertical no gráfico. Se for positivo desloca para cima, se for negativo desloca para baixo.

O parâmetro multiplicativo “a” provocou uma expansão vertical no gráfico e por ser negativo, uma reflexão da em torno do eixo “x”.

c) y =1/2sen(x) d) y = -1+2 sen(x) O parâmetro multiplicativo “a” provocou uma contração vertical no gráfico. Se o parâmetro for maior que 1 alonga, se for 0<a< 1 contrai.

O parâmetro aditivo “b” provocou um deslocamento de uma unidade para baixo e o parâmetro multiplicativo “a” provocou uma expansão vertical no gráfico.

e) y = sen(2x)

2 e 3) As modificações provocadas no gráfico da função seno, se repetem para as demais funções trigonométricas. Usar aplicativo gráfico para verificar! 4) a) f(x) + c; b) c f(x); c) f(cx); d) f(x+c)

O parâmetro “c”, multiplicativo ao arco da função, provocou uma contração no sentido horizontal. Se for maior que 1 contrai e se for 0<c<1 expande. Isso modifica o período da função.