93
1 1. MATRIZES 1.1. INTRODUÇÃO Definição Tabela de elementos dispostos em linhas e colunas Altura Peso Idade Equivalente matricial [m] [kg] [anos] Pessoa 1 1,50 51 27 1,50 51 27 Pessoa 2 1,32 30 14 1,32 30 14 Pessoa 3 1,70 75 20 1,70 75 20 Pessoa 4 1,65 70 34 1,65 70 34 Os elementos de uma matriz podem ser reais, complexos, funções ou outras matrizes Exemplo 0 3 - 1 5 3 x 1 - 0 3 5z 1.2. REPRESENTAÇÃO DE UMA MATRIZ MxN mxn ij mn m m m n n n mxn A A A A A A A A A A A A A A A A A A . .......... .......... .......... .. .......... .......... .......... . .......... .......... .......... . .......... .......... .......... 3 2 1 3 33 32 31 2 23 22 21 1 13 12 11 Figura 1. Representação de uma matriz mxn A Nome da matriz (maiúsculas) ij A Elemento da posição (i, j) m Número de linhas da matriz A n Número de colunas da matriz A 1.2.1. Denotação de uma matriz: O nome da matriz será denotado com letras maiúsculas, e para especificar a ordem da matriz (número de linhas e colunas) escreveremos da seguinte forma A mxn . Outras notações para uma matriz são o uso de colchetes, parêntesis ou duas barras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Apostila Algebra

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    1. MATRIZES

    1.1. INTRODUO

    Definio Tabela de elementos dispostos em linhas e colunas

    Altura Peso Idade Equivalente matricial [m] [kg] [anos]

    Pessoa 1 1,50 51 27 1,50 51 27

    Pessoa 2 1,32 30 14 1,32 30 14

    Pessoa 3 1,70 75 20 1,70 75 20

    Pessoa 4 1,65 70 34 1,65 70 34

    Os elementos de uma matriz podem ser reais, complexos, funes ou outras matrizes

    Exemplo

    0 3- 1

    5 3 x 1- 0 3 5z

    1.2. REPRESENTAO DE UMA MATRIZ MxN

    mxnij

    mnmmm

    n

    n

    n

    mxn A

    AAAA

    AAAA

    AAAA

    AAAA

    A

    ...............................

    ................................

    ...............................

    ...............................

    321

    3333231

    2232221

    1131211

    Figura 1. Representao de uma matriz mxn

    A Nome da matriz (maisculas)

    ijA Elemento da posio (i, j)

    m Nmero de linhas da matriz A

    n Nmero de colunas da matriz A

    1.2.1. Denotao de uma matriz: O nome da matriz ser denotado com letras maisculas, e para especificar a ordem da matriz (nmero de linhas e colunas)

    escreveremos da seguinte forma Amxn. Outras notaes para uma matriz so o uso de

    colchetes, parntesis ou duas barras

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

  • 2

    Exemplo

    4 0

    1- 2

    4 0

    1- 2

    4 0

    1- 2

    1.2.2. Localizao de um elemento de uma matriz: Para localizar um elemento de uma matriz, dizemos a linha e a coluna na qual ele est.

    Exemplo

    4 2- 2

    3 1- 132xA

    Aij

    4

    2

    2

    3

    1

    1

    23

    22

    21

    13

    12

    11

    A

    A

    A

    A

    A

    A

    1.2.3. Definio: Duas matrizes mxnijmxn

    AA e rxsijrxs

    BB so iguais se A=B e as

    duas tem o mesmo numero de linhas m=r e de colunas n=s e todos seus elementos

    correspondentes so iguais, ijij BA

    Exemplo

    9 4

    1- 3

    3 2

    )cos(180 3

    2

    1.3. TIPOS ESPECIAIS DE MATRIZES

    1.3.1. Matriz quadrada: Aquela cujo nmero de linhas igual ao nmero de colunas (m=n)

    Exemplo

    8 0 1

    5 4 3

    x2 1

    33xA 3

    3

    n

    m

    Posio na coluna

    Posio na linha

  • 3

    1.3.2. Matriz nula: Aquela cujos elementos ijA so 0 para todo i e j 0ijA , denotada

    por 0mxn

    Exemplo

    0 0 0

    0 0 032xA

    0 0

    0 022xB

    1.3.3. Matriz Coluna Aquela que possui uma nica coluna 1n

    Exemplo

    3

    1-

    5

    13xA

    7-

    4

    5

    3

    0

    15xB

    1.3.4. Matriz Linha: Aquela onde m=1, uma nica linha

    Exemplo

    2 521 xA zy x 31 xB

    1.3.5. Matriz Diagonal: Matriz quadrada (m=n) onde 0ijA para ji . Os

    elementos que no esto na diagonal so nulos

    Exemplo

    x 0 0

    0 1- 0

    0 0 7

    33XA

    4- 0 0 0

    0 2 0 0

    0 0 3- 0

    0 0 0 1

    44xB

    1.3.6. Matriz Identidade Quadrada: Aquela em que 1ijA para ji e 0ijA para

    ji . Denotada por Imxn

    Exemplo

    1 0 0

    0 1 0

    0 0 1

    33xI

    1 0

    0 122xI

    1.3.7. Matriz triangular superior: Aquela onde todos os elementos abaixo da

    diagonal so nulos, nm e 0ijA para ji

  • 4

    Exemplo

    5 0 0

    1- 4 0

    8 9 3

    33xA

    j 0 0 0

    ih 0 0

    g f e 0

    d c b

    44

    a

    B x

    1.3.8. Matriz Triangular inferior Aquela onde todos os elementos acima da diagonal

    so nulos, nm e 0ijA para ji

    Exemplo

    3 9 3

    0 4 1

    0 0 5

    33xA

    d c b

    0 g f

    0 0 i

    0 0 0

    44

    a

    e

    h

    j

    B x

    1.3.9. Matriz Simtrica Aquela onde nm e jiij AA

    Exemplo

    5 0 1-

    0 2 3

    1- 3 4

    33xA

    z

    y 22

    y

    xA x

    1.4. OPERAES COM MATRIZES

    1.4.1. Adio: A soma de duas matrizes da mesma ordem, mxnijmxn

    AA e

    mxnijmxn

    BB uma matriz mxn, que se denotar A+B cujos elementos so somas dos

    elementos correspondentes de A e B

    mxnijij

    BABA

    Exemplo

    32

    325 2 0

    3 1- 1

    x

    xA

    32

    328 6 2

    10 5- 7

    x

    xB

    32

    32

    13 8 2

    13 6- 8

    58 )62( )20(

    103 )51( )71(

    X

    X

    BA

    BA

  • 5

    1.4.1.1. Propriedades

    a) A+B=B+A b) (A+B)+C=A+(B+C) c) (A+0)=A 0 Matriz Nula

    1.4.2. Multiplicao por um escalar: Seja mxnij

    AA e k um nmero, ento

    definimos uma nova matriz:

    mxnij

    AkAk

    Exemplo

    236 4-

    1 2

    0 3

    x

    A

    , 3k

    23

    23

    18- 12

    3- 6-

    0 9-

    )63( )43(

    )13( )23(

    )03( )33(

    x

    x

    Ak

    Ak

    1.4.2.1. Propriedades

    a) k(A+B) = kA + kB b) (k1+k2 )A = k1 A + k2 A c) 0A = 0 , 0k 0 Matriz Nula d) k1(k2 A) = (k1k2 )A

    1.4.3. Transposio: Dada uma matriz mxnij

    AA , podemos obter uma matriz

    nxmij

    BA ' , cujas linhas so as colunas de A, jiij AB . 'A denominada a transposta

    de A

    Exemplo

    9 4

    3 0

    1 2

    A

    9 3 1

    4 0 2'A

  • 6

    1 5

    3 1B

    1 3

    5 1'B

    7 0 4

    0 5 3

    4 3 1

    C

    7 0 4

    0 5 3

    4 3 1'C

    1.4.3.1. Propriedades

    a) Uma matriz simtrica se e somente se ela igual sua transposta 'AA

    b) AA ''

    c) ''' BABA d) ')'( AkAk

    1.4.4. Multiplicao de Matrizes: Sejam mxnij

    AA e nxprs

    BB , Definimos

    mxpuv

    CBA , onde

    nvunvuvu

    n

    k

    kvukuv BABABABAC

    .........22111

    S poderemos multiplicar duas matrizes, se o nmero de colunas da primeira matriz igual ao nmero de linhas da segunda matriz

    O elemento ijC obtido multiplicando os elementos da i-sima linha da primeira

    matriz pelos elementos correspondentes da j-sima coluna da segunda matriz, e

    somando estes produtos

    Figura 2. Multiplicao de Matrizes

    Exemplo Achar a matriz resultante de BA

    238 4

    1- 0

    5 3

    x

    A

    22

    1 3

    1- 5

    x

    B

    Iguais

    Amxn* Bnxp = ABmxp Iguais

    Tamanho de AB

  • 7

    A multiplicao de BA pode ser feita j que o nmero de colunas da matriz A igual ao nmero de linhas da matriz B

    23

    23

    4 44

    1- 3-

    2 30

    )1814( )3854(

    )1110( )3150(

    )151-3( )3553(

    x

    x

    BA

    BA

    Exemplo Achar a matriz resultante de BA

    332- 1 0

    1 2 4

    3 2- 1

    x

    A

    232 2-

    1- 3

    4 1

    x

    B

    23

    23

    23

    5- 7

    61 8

    21 11-

    )410( )430(

    )2216( )264(

    )624( )661(

    )221140( )223110(

    )211244( )213214(

    )231241( )233211(

    x

    x

    x

    BA

    BA

    BA

    1.4.4.1. Propriedades

    a) ABBA b) AIAIA I Matriz Identidade Quadrada

    c) CABACBA )(

    d) CBCACBA )(

    e) )()( CBACBA

    f) '')'( ABBA (Nessa Ordem!)

    g) 00 A ; 00 A 0 Matriz nula

    Nmero de colunas da matriz B

    Nmero de linhas da matriz A

  • 8

    2. SISTEMAS E MATRIZES

    Conceitos Um sistema de equaes lineares com m equaes e n incgnitas um

    conjunto de equaes do tipo:

    mnmnmm

    nn

    nn

    BXAXAXA

    BXAXAXA

    BXAXAXA

    ......

    ......

    ......

    2211

    22222121

    11212111

    Com ijA , mi 1 , nj 1 .

    Uma soluo do sistema denotado anteriormente uma n-dupla de nmeros

    nXXX ...,........., 21 que satisfaa simultaneamente estas m equaes

    2.1. SISTEMA DE EQUAES EM FORMA MATRICIAL

    m

    2

    1

    n

    2

    1

    mnm2m1

    2n2221

    1n1211

    B

    B

    X

    X

    ...A..........A A

    ....A..........A A

    ....A..........A BXA

    Figura 3. Forma matricial de um sistema de equaes AX=B

    Outra matriz que podemos associar ao sistema :

    mmnm2m1

    22n2221

    11n1211

    B .A ............A A

    B ....A..........A A

    B ....A..........A A

    A qual chamamos MATRIZ AMPLIADA DO SISTEMA

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    MATRIZ DOS

    COEFICIENTES

    MATRIZ DOS

    COEFICIENTES

    MATRIZ DOS

    TERMOS

    INDEPENDENTES

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

  • 9

    Exemplo Considere o sistema linear

    523

    4452

    134

    321

    321

    321

    XXX

    XXX

    XXX

    5

    4

    1

    X

    X

    2- 3- 1

    4 5 2

    3 4 1

    3

    2

    1X

    5 2- 3- 1

    4 4 5 2

    1 3 4 1

    2.2. OPERAES ELEMETARES SOBRE AS LINHAS DE UMA MATRIZ a) Permuta as i-sima e j-sima linhas

    Exemplo

    2- 3- 1

    4 5 2

    3 4 1

    12 LL

    2- 3- 1

    3 4 1

    4 5 2

    So permutados os elementos da linha 2 pelos elementos de linha 1 e

    viceversa

    b) Multiplicao da i-sima linha por um escalar no nulo k ii kLL

    Exemplo

    2- 3- 1

    4 5 2

    3 4 1

    33 2LL

    Forma matricial do

    sistema linear

    Sistema linear

    A matriz ampliada do

    sistema linear

    Operao de Permuta!

    Operao de multiplicao por um

    escalar!

  • 10

    2)(-2 2)(-3 2)(1

    4 5 2

    3 4 1

    4- 6- 2

    4 5 2

    3 4 1

    Cada elemento da linha 3 multiplicado pelo numero 2, os produtos sero os novos elementos da linha 3 de uma nova matriz. Os elementos da

    linha 1 e da linha 2 no sofrem alterao nenhuma

    c) Substituio da i-sima linha pela i-esima linha mais k vezes a j-sima

    linha jii kLLL

    Exemplo

    2- 3- 1

    4 5 2

    3 4 1

    211 3LLL

    2- 3- 1

    4 5 2

    4)3(3 5)3(4 2)3(1

    2- 3- 1

    4 5 2

    15 19 7

    Cada elemento da linha 1 substitudo pela soma do elemento da linha 1

    mais 3 vezes cada elemento da linha 2

    2.3. FORMA ESCADA REDUZIDA POR LINHAS DE UMA MATRIZ O objetivo deste capitulo manipular a matriz ampliada que representa um sistema

    linear , ate chegar a uma forma a partir da qual a soluo possa ser facilmente

    encontrada.

    Definio1: Uma matriz mxn est na forma Escada Reduzida por linhas se ela satisfaz

    as seguintes propriedades:

    a) Todas as linhas nulas (Isto , que todos os elementos so iguais a zero0), se existirem, ocorrem abaixo de todas as linhas no nulas.

    b) O primeiro elemento no nulo de uma linha no nula um 1, (Lendo-se de esquerda direita)

    c) Se as linhas i e i+1 so duas linhas sucessivas no nulas, ento o primeiro elemento no nulo de linha i+1 est a direita do primeiro elemento no

    nulo da linha i

    Operao de sustituo

  • 11

    d) Se uma coluna contem o primeiro elemento no nulo de alguma linha, ento todos os elementos desta coluna so iguais a zero 0

    Exemplo

    0 0 0

    1 1- 0

    0 0 1

    0 0 0

    1 1 0

    0 2 1

    3- 1 0 0

    0 0 0 0

    4 0 2 1

    0 0 0 0

    2 1 0 0

    5 2- 1 0

    4 3 2 1

    0 0 0 0

    2 2 1 0

    5 2- 1 0

    4 3 2 1

    Exemplo de uma matriz reduzida

    9 1 0 0

    7 0 1 0

    6 0 0 1

    A

    0 0 0 0 0

    0 0 0 0 0

    1 0 0 0 0

    0 0 1 0 0

    0 3 0 0 1

    B

    Definio 2: Toda matriz no nula mxn equivalente por linhas a uma nica matriz em

    forma escada reduzida por linhas.

    No cumpre a propriedade b

    No cumpre a propriedade d

    No cumpre a propriedade a

    No cumpre a propriedade d

    No cumpre as propriedades d, c

  • 12

    Exemplo: Seja

    3 1- 0 3

    8 1 1- 2

    9 3 2 1

    A

    O procedimento para transformar uma matriz sua forma escada reduzida por linhas

    descrito a seguir:

    a) Encontrar a primeira coluna no nula (esquerda a direita) na matriz A

    3 1- 0 3

    8 1 1- 2

    9 3 2 1

    A

    b) Identificar o primeiro elemento no nulo (de cima para baixo) da mesma coluna

    3 1- 0 3

    8 1 1- 2

    9 3 2 1

    A

    O primeiro elemento deve ficar na primeira linha, se este est em outra linha teramos que permutar ditas linhas

    c) Este primeiro elemento deve ser 1. Caso contrario que no seja 1 teramos que multiplicar a primeira linha de A pelo inverso do primeiro elemento

    3 1- 0 3

    8 1 1- 2

    9 3 2 1

    A

    d) Os elementos nesta primeira coluna que pertencem as linhas 1, 2 e 3 devem ficar nulos. Realizamos ento a seguinte operao: Somar a linha 1 de A com os

    mltiplos da linha 2 e a linha 3 de forma tal que possam ser anulados.

    24- 10- 6- 0

    10- 5- 5- 0

    9 3 2 1

    1A

    Primeiro Elemento

    J de valor 1

  • 13

    Obteno de A1

    3 1- 0 3

    8 1 1- 2

    9 3 2 1

    A 133

    122

    3

    2

    LLL

    LLL

    9)3(3 3)3(-1 2)3(0 1)3(3

    9)2(8 3)2(1 2)2(-1 1)2(2

    9 3 2 1

    1A

    24- 10- 6- 0

    10- 5- 5- 0

    9 3 2 1

    1A

    e) No apagamos a primeira linha da matriz A1 e repetimos os passos a at d na

    matriz xnmA )1(1

    24- 10- 6- 0

    10- 5- 5- 0

    9 3 2 1

    1A

    f) Encontrar a primeira coluna no nula da matriz xnmA )1(1 (esquerda a direita)

    24- 10- 6- 0

    10- 5- 5- 0

    9 3 2 1

    1A

    g) Identificar o primeiro elemento dessa coluna (de cima para baixo), j que seu valor no 1, aplicamos a seguinte operao. Multiplicar a linha 2 pelo inverso do primeiro elemento

    24- 10- 6- 0

    10- 5- 5- 0

    9 3 2 1

    1A

    A1(m-1)xn

    Primeira coluna no nula

    Primeiro elemento no nulo

  • 14

    h) Aplicando a anterior operao fica uma nova matriz

    24- 10- 6- 0

    2 1 1 0

    9 3 2 1

    2A

    Obteno de A2

    24- 10- 6- 0

    10- 5- 5- 0

    9 3 2 1

    1A22

    5

    1LL

    24- 10- 6- 0

    )5

    110( )5

    15( )5

    1(-5 )5

    10(

    9 3 2 1

    2A

    24- 10- 6- 0

    2 1 1 0

    9 3 2 1

    2A

    i) Os elementos da coluna 2, (sem ter em conta o elemento da coluna 2 linha 1),

    devem ser igual a zero. Realizamos a seguinte operao. 233 6LLL

    12- 4- 0 0

    2 1 1 0

    9 3 2 1

    3A

    Obteno de A3

    24- 10- 6- 0

    2 1 1 0

    9 3 2 1

    2A 233 6LLL

    )26(-24 )16(-10 )16(-6 )060(

    2 1 1 0

    9 3 2 1

    3A

    Primeiro elemento no nulo

    convertido em 1

  • 15

    12- 4- 0 0

    2 1 1 0

    9 3 2 1

    3A

    j) Agora sem apagar as duas primeiras linhas da matriz A3 repetimos os passos a

    ate d para a matriz xnmA )2(3

    12- 4- 0 0

    2 1 1 0

    9 3 2 1

    3A

    k) Encontrar a primeira coluna no nula da matriz xnmA )2(3 (esquerda a direita)

    12- 4- 0 0

    2 1 1 0

    9 3 2 1

    3A

    l) Identificar o primeiro elemento no nulo (de cima para baixo) da mesma coluna, sem ter em conta os elementos das linhas 1 e 2 que se encontram na mesma

    coluna

    12- 4- 0 0

    2 1 1 0

    9 3 2 1

    3A

    m) Aplicamos a operao 33 41 LL , j que este primeiro elemento deve ser

    igual a 1

    3 1 0 0

    2 1 1 0

    9 3 2 1

    4A

    A3(m-2)xn

    Primeira coluna no

    nula

    Primeiro elemento no nulo

    Primeiro elemento no nulo

    convertido em 1

  • 16

    Obteno de A4

    12- 4- 0 0

    2 1 1 0

    9 3 2 1

    3A 33 41 LL

    )124

    1( )44

    1( )04

    1( )04

    1(

    2 1 1 0

    9 3 2 1

    4A

    3 1 0 0

    2 1 1 0

    9 3 2 1

    4A

    n) Agora analisamos cada coluna da matriz A4 e linha da mesma matriz. O primeiro elemento da linha 1 1 e os elemento da coluna 1 so 0 exceto o primeiro elemento da linha 1

    3 1 0 0

    2 1 1 0

    9 3 2 1

    4A

    o) Na segunda coluna de A4 observamos que contem um primeiro elemento, o qual pertence segunda linha, mas seus outros elementos no so 0. Realizamos ento o passo d, assim obtemos a matriz A5

    3 1 0 0

    2 1 1 0

    9 3 2 1

    4A

    3 1 0 0

    2 1 1 0

    5 1 0 1

    5A

    Obteno de A5

    3 1 0 0

    2 1 1 0

    9 3 2 1

    4A 211 2LLL

    Deve ser 0

  • 17

    3 1 0 0

    2 1 1 0

    )129( )123( )122( )021(

    5A

    3 1 0 0

    2 1 1 0

    5 1 0 1

    5A

    p) Analisamos a terceira coluna de A5. Ela contem o primeiro elemento da linha 3, ento seus outros elementos devem ser 0. Aplicamos o passo d nas linhas 1 e 2 da matriz A5. Depois de fazer as seguintes operaes em A5

    322

    311

    LLL

    LLL

    3 1 0 0

    2 1 1 0

    5 1 0 1

    5A

    3 1 0 0

    1- 0 1 0

    2 0 0 1

    6A

    Obteno de A6

    3 1 0 0

    2 1 1 0

    5 1 0 1

    5A322

    311

    LLL

    LLL

    3 1 0 0

    )32( )11( )01( )00(

    )35( )11( )00( )01(

    5A

    3 1 0 0

    1- 0 1 0

    2 0 0 1

    6A Matriz Escada Reduzida por Linhas

    A matriz A6 est na sua forma Escada Reduzida por Linhas e equivalente matriz A. Por conseguinte no h que realizar mais operaes nas linhas da matriz A6.

    Devem ser 0

  • 18

    Exemplo: Encontrar a matriz da forma escada reduzida por linhas da matriz B

    1 1 2- 1

    5 3 0 1-

    0 1 2 1

    B

    1 1 2- 1

    5 3 0 1-

    0 1 2 1

    133

    122

    LLL

    LLL

    1 0 4- 0

    5 4 2 0

    0 1 2 1

    222

    1LL

    1 0 4- 0

    25 2 1 0

    0 1 2 1

    233 4LLL

    11 8 0 0

    25 2 1 0

    0 1 2 1

    338

    1LL

    811 1 0 0

    25 2 1 0

    0 1 2 1

    211 2LLL

    811 1 0 0

    25 2 1 0

    5- 3- 0 1

    322

    311

    2

    3

    LLL

    LLL

    811 1 0 0

    41- 0 1 0

    87- 0 0 1

    Matriz Escada Reduzida por Linhas

  • 19

    3. SOLUES DOS SISTEMAS LINEARES

    Existem trs situaes que podem ocorrer na resoluo de um sistema linear:

    a) Um sistema linear pode no ter soluo

    b) Um sistema linear pode ter uma nica soluo

    c) Um sistema linear pode ter uma infinidade de solues

    Exemplo de um sistema linear que tem soluo:

    63

    52

    21

    21

    XX

    XX

    Figura 4. Reta no plano de duas retas que se interceptam

    O sistema tem uma nica soluo, isto , as duas retas (Reta de primeira equao e reta

    da segunda equao), se interceptam em um e apenas um ponto.

    A matriz ampliada deste sistema :

    63

    52

    21

    21

    XX

    XX

    6 3- 1

    5 1 2Matriz ampliada

    Transformado-a em matriz escada reduzida por linhas:

    6 3- 1

    5 1 2 21 LL

    5 1 2

    6 3- 1 122 2LLL

    7 7 0

    6 3- 122

    7

    1LL

    1 1 0

    6 3- 1211 3LLL

    1 1 0

    3 0 1 Matriz Escada Reduzida por Linhas

    Esta matriz a matriz ampliada de sistema linear:

    (3, -1)

    X2

    X1

  • 20

    1

    3

    2

    1

    X

    X

    Exemplo de um sistema linear com uma infinidade de solues:

    1536

    52

    21

    21

    XX

    XX

    Figura 5. Reta no plano de duas retas que coincidem

    O sistema tem uma infinidade de solues, isto , as duas retas (Reta de primeira

    equao e teta da segunda equao), coincidem.

    A matriz ampliada deste sistema :

    1536

    52

    21

    21

    XX

    XX

    15 3 6

    5 1 2Matriz ampliada

    Transformado-a em matriz escada reduzida por linhas:

    15 3 6

    5 1 211

    2

    1LL

    15 3 6

    25

    21 1

    122 6LLL

    0 0 0

    25

    21 1

    Matriz Escada Reduzida por Linhas:

    Esta matriz a matriz ampliada de sistema linear:

    2

    5

    2

    121 XX

    O sistema tem uma nica soluo.

    Quando 31 X e 12 X , como foi

    analisado graficamente

    Os conjuntos de solues deste sistema linear sero

    dados, atribuindo-se valores arbitrrios para a

    incgnita 2X e tomando 212

    1

    2

    5XX

    X1

    X2

  • 21

    Assim, para 2X , ento:

    2

    12

    1

    2

    5

    X

    X

    Este sistema admite infinitas solues

    Exemplo de um sistema linear que no tem soluo:

    1036

    52

    21

    21

    XX

    XX

    Figura 6. Reta no plano de duas retas que no se interceptam

    O sistema no tem soluo, isto , as duas retas (Reta de primeira equao e teta da

    segunda equao), no se interceptam.

    A matriz ampliada deste sistema :

    1036

    52

    21

    21

    XX

    XX

    01 3 6

    5 1 2Matriz ampliada

    Transformado-a em matriz escada reduzida por linhas:

    01 3 6

    5 1 211

    2

    1LL

    01 3 6

    25

    21 1

    122 6LLL

    5 0 0

    25

    21 1

    225

    1LL

    1 0 0

    25

    21 1

    2112

    5LLL

    1 0 0

    0 2

    1 1 Matriz Escada Reduzida por Linhas:

    X1

    X2

  • 22

    Esta matriz a matriz ampliada de sistema linear:

    100

    02

    1

    21

    21

    XX

    XX

    Assim, para 2X , ento:

    2

    12

    1

    2

    5

    X

    X

    Este sistema admite infinitas solues

    3.1. DEFINICO POSTO DE UMA MATRIZ

    Dada uma matriz mxnA , seja mxnB a matriz escada reduzida por linhas equivalente da

    matriz A. O posto de A, denotado por p o nmero de linhas no nulas de B.

    3.2. NULIDADE DE UMA MATRIZ A nulidade de A o nmero n-p, onde n o numero de colunas da matriz A e p o

    posto da matriz A.

    Exemplo: Achar o posto e a nulidade de A

    4 4 3

    8 2 1A

    Soluo

    Efetuamos as operaes correspondentes para chegar matriz escada reduzida por

    linhas da matriz A

    4 4 3

    8 2 1122 3LLL

    20- 10 0

    8 2 122

    10

    1LL

    2 1 0

    8 2 1 211 2LLL

    2 1 0

    4 0 1 Matriz Escada Reduzida por Linhas:

    p o numero de linhas no nulas de matriz escada reduzida de A.

    2p

    No existe valor nenhum de 1X e 2X capaz de

    satisfazer a segunda equao, assim o sistema inicial

    no tem soluo.

  • 23

    N a nulidade de A

    1

    23

    N

    N

    pnN

    3.3. TEOREMA a) Um sistema de m equaes e n incognitas admite soluo se e somente se o

    posto da matriz ampliada igual ao posto da matriz dos coeficientes.

    b) Se as duas matrizes tm o mesmo posto p e np , a soluo ser nica.

    c) Se as duas matrizes tem o mesmo posto p e np , podemos escolher p e

    pn incgnitas, e as outras p incognitas sero dadas en em funo destas.

    Em cada exemplo, dada a matriz escada reduzida por linhas da matriz ampliada. Usaremos a seguinte notao Pc posto da matriz dos coeficientes e

    Pa posto da matriz ampliada

    d) Se ca PP o sistema linear no tem soluo

    Exemplo: A seguinte matriz est na sua forma escada reduzida por linhas

    2 1 0 0

    2- 0 1 0

    3 0 0 1

    2 1 0 0

    2- 0 1 0

    3 0 0 1

    Matriz dos Coeficientes Matriz escada reduzida ampliada

    3

    3

    a

    c

    P

    P

    J que ca PP , ento o sistema cuja matriz ampliada do exemplo, tem uma nica

    soluo

    Exemplo: A seguinte matriz est na sua forma escada reduzida por linhas

    6- 5 1 0

    10- 7 0 1

    6- 5 1 0

    10- 7 0 1

    Matriz dos Coeficientes Matriz escada reduzida ampliada

  • 24

    1

    23

    2

    2

    N

    N

    pnN

    P

    P

    a

    c

    J que np , ento o sistema linear equivalente matriz cuja matriz escada reduzida

    ampliada do exemplo, tem uma infinidade de solues e como sua nulidade igual a

    1, significa que tem uma varivel livre. Escrevendo o sistema linear da matriz escada do

    reduzida do exemplo temos,

    6- 5 1 0

    10- 7 0 1

    650

    1070

    321

    321

    XXX

    XXX

    65

    107

    32

    31

    XX

    XX

    3X a varivel livre, se 3X ento o sistema ficaria:

    3

    2

    1

    56

    710

    X

    X

    X

    Exemplo: A seguinte matriz est na sua forma escada reduzida por linhas

    2 0 0 0

    6- 5 1 0

    10- 7 0 1

    2 0 0 0

    6- 5 1 0

    10- 7 0 1

    Matriz dos Coeficientes Matriz escada reduzida ampliada

    3

    2

    a

    c

    P

    P

    J que ca PP , ento o sistema linear correspondente matriz escada reduzida

    ampliada do exemplo, no tem soluo

    3.4. METODO DE REDUO GAUSS JORDAN Mtodo matrizial para o desenvolvimento de um sistema linear. Para resolver um

    sistema linear BAX mediante o mtodo Gauss Jordan, devemos seguir os seguintes passos:

  • 25

    Primeiro Passo: Forme a matriz ampliada do sistema linear, [A B]

    Segundo Passo: Transforme a matriz ampliada sua forma escada reduzida por linhas

    usando operaes elementares em suas linhas

    Terceiro Passo: O sistema linear correspondente matriz na forma escada reduzida

    por linhas no segundo passo tem exatamente as mesmas solues que o sistema

    original. Para cada linha no nula da matriz em forma escada reduzida, resolva a

    equao correspondente para a incgnita associada ao primeiro elemento no nulo. As

    linhas no nulas podem ser ignoradas

    Exemplo: Resolva o seguinte sistema linear mediante o mtodo de Gauss Jordan

    33

    82

    932

    ZX

    ZYX

    ZYX

    Primeiro Passo:A matriz ampliada do sistema linear

    3 1- 0 3

    8 1 1- 2

    9 3 2 1

    Segundo Passo: Transformar a matriz ampliada do sistema linear matriz escada

    reduzida por linhas

    3 1- 0 3

    8 1 1- 2

    9 3 2 1

    233

    122

    3

    2

    LLL

    LLL

    24- 10- 6- 0

    10- 5- 5- 0

    9 3 2 1

    225

    1LL

    24- 10- 6- 0

    2 1 1 0

    9 3 2 1

    233 6LLL

    12- 4- 0 0

    2 1 1 0

    9 3 2 1

    334

    1LL

  • 26

    3 1 0 0

    2 1 1 0

    9 3 2 1

    211 2LLL

    3 1 0 0

    2 1 1 0

    5 1 0 1

    322

    311

    LLL

    LLL

    3 1 0 0

    1- 0 1 0

    2 0 0 1

    Matriz Escada Reduzida por Linhas

    Terceiro Passo: Respresentar a matriz reduzida por linhas no segundo passo, pelo

    sistema linear correspondente,

    3 1 0 0

    1- 0 1 0

    2 0 0 1

    300

    100

    200

    ZYX

    ZYX

    ZYX

    ou

    3

    1

    2

    Z

    Y

    X

    Como observamos este um sistema com uma unica soluo, alem:

    0

    33

    3

    3

    N

    N

    pnN

    P

    P

    a

    c

    Zero variveis livres

    Exemplo: Resolva o seguinte sistema linear mediante o mtodo de Gauss Jordan

    5723

    1132

    3952

    352

    WZYX

    WZYX

    WZYX

    WZYX

    Primeiro Passo:A matriz ampliada do sistema linear

    5- 7 2 3- 1

    11 - 3 1- 1 2

    3- 9- 1- 5 2

    3 5- 2 1 1

  • 27

    Segundo Passo: Transformar a matriz ampliada do sistema linear matriz escada

    reduzida por linhas

    5- 7 2 3- 1

    11 - 3 1- 1 2

    3- 9- 1- 5 2

    3 5- 2 1 1

    144

    133

    122

    2

    2

    LLL

    LLL

    LLL

    8- 12 0 4- 0

    17 - 13 5- 1- 0

    9- 1 5- 3 0

    3 5- 2 1 1

    223

    1LL

    8- 12 0 4- 0

    17 - 13 5- 1- 0

    3- 3

    1 3

    5- 1 0

    3 5- 2 1 1

    244

    233

    4LLL

    LLL

    20- 3

    40 3

    20- 0 0

    20 - 3

    40 3

    20- 0 0

    3- 3

    1 3

    5- 1 0

    3 5- 2 1 1

    3320

    3LL

    20- 3

    40 3

    20- 0 0

    3 2- 1 0 0

    3- 3

    1 3

    5- 1 0

    3 5- 2 1 1

    3443

    20LLL

    0 0 0 0 0

    3 2- 1 0 0

    3- 3

    1 3

    5- 1 0

    3 5- 2 1 1

    211 LLL

  • 28

    0 0 0 0 0

    3 2- 1 0 0

    3- 3

    1 3

    5- 1 0

    6 3

    16 - 3

    11 0 1

    322

    311

    3

    5

    3

    11

    LLL

    LLL

    0 0 0 0 0

    3 2- 1 0 0

    2 3- 0 1 0

    5- 2 0 0 1

    Matriz Escada Reduzida por Linhas

    Terceiro Passo: Respresentar a matriz reduzida por linhas no segundo passo, pelo

    sistema linear correspondente,

    0 0 0 0 0

    3 2- 1 0 0

    2 3- 0 1 0

    5- 2 0 0 1

    00000

    3200

    2300

    5200

    WZYX

    WZYX

    WZYX

    WZYX

    ou

    32

    23

    52

    WZ

    WY

    WX

    Como observamos este um sistema com uma infinidade de solues,

    Se W , ento o sistema ficaria assim:

    W

    Z

    Y

    X

    32

    23

    52

    Alem, a nulidade demonstra que este um sistema com infinidade de solues

    1

    34

    3

    3

    N

    N

    pnN

    P

    P

    a

    c

    Uma varivel livre, neste caso a incgnita W

  • 29

    4. SISTEMAS LINEARES HOMOGENEOS

    Um sistema linear da forma:

    0......

    0......

    0......

    2211

    2222121

    1212111

    nmnmm

    nn

    nn

    XAXAXA

    XAXAXA

    XAXAXA

    chamado de um Sistema Linear Homogneo, cuja soluo ,

    021 nXXX

    Soluo Trivial

    Uma soluo nXXXX ,......,, 321 de um sistema homogneo onde nem todos os iX

    so zero, chamada de Soluo no trivial.

    Exemplo: Considere o sistema homogneo

    022

    023

    032

    ZYX

    ZYX

    ZYX

    A matriz aumentada do sistema :

    0 2- 1 2

    0 2 3 1-

    0 3 2 1

    Procuramos a matriz escada reduzida por linhas,

    0 2- 1 2

    0 2 3 1-

    0 3 2 1

    133

    122

    2LLL

    LLL

    0 8- 3- 0

    0 5 5 0

    0 3 2 1

    225

    1LL

    0 8- 3- 0

    0 1 1 0

    0 3 2 1

    233 3LLL

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

  • 30

    0 5- 0 0

    0 1 1 0

    0 3 2 1

    335

    1LL

    0 1 0 0

    0 1 1 0

    0 3 2 1

    211 2LLL

    0 1 0 0

    0 1 1 0

    0 1 0 1

    322

    311

    LLL

    LLL

    0 1 0 0

    0 0 1 0

    0 0 0 1

    Matriz Escada Reduzida por Linhas

    0 ZYX , Soluo Trivial

    Exemplo: Considere o sistema homogneo

    02

    0

    0

    ZYX

    WX

    WZYX

    A matriz aumentada do sistema :

    0 0 1 2 1

    0 1 0 0 1

    0 1 1 1 1

    Procuramos a matriz escada reduzida por linhas,

    0 0 1 2 1

    0 1 0 0 1

    0 1 1 1 1

    133

    122

    LLL

    LLL

    0 1- 0 1 0

    0 0 1- 1- 0

    0 1 1 1 1

    22 LL

  • 31

    0 1- 0 1 0

    0 0 1 1 0

    0 1 1 1 1

    32 LL

    0 0 1 1 0

    0 1- 0 1 0

    0 1 1 1 1

    233 LLL

    0 1 1 0 0

    0 1- 0 1 0

    0 1 1 1 1

    211 LLL

    0 1 1 0 0

    0 1- 0 1 0

    0 2 1 0 1

    311 LLL

    0 1 1 0 0

    0 1- 0 1 0

    0 1 0 0 1

    Matriz Escada Reduzida por Linhas

    A soluo para o sistema linear inicial seria,

    0

    0

    0

    WZ

    WY

    WX

    ou

    WZ

    WY

    WX

    Se W e onde qualquer nmero real, ento:

    Z

    Y

    X

    W

    J que 0,,, ZYXW , ento a soluo deste sistema linear uma Soluo no Trivial

  • 32

    5. INVERSA DE UMA MATRIZ

    Definio: Uma matriz nxnA dita invertivel (ou no singular), se existe uma matriz

    nxnB tal que:

    nIBAAB

    Onde nI a matriz identidade de ordem n. A matriz B chamada de Inversa da matriz

    A. Se no existir tal matriz B, dizemos que A singular (ou no invertivel).

    Exemplo: Sejam

    2 2

    3 2A e

    1- 1

    2

    3 1-B

    12)2

    32( 12)12(

    13)2

    32( 13)12(BA

    1 0

    0 12IBA

    e

    21)31( )21()21(

    22

    3)31( 22

    3)21(AB

    1 0

    0 12IAB

    Como 2IBAAB , podemos concluir que B a matriz inversa de A e que a matriz A

    invertivel.

    Vamos denotar a inversa de uma matriz A se existir, por 1A , ento,

    nIAAAA 11

    Exemplo: Seja

    4 3

    2 1A

    Achar 1A

  • 33

    Soluo: Suponha

    z

    y 1

    w

    xA e nIAAAA

    11 , ento

    1 0

    0 1

    z

    y

    4 3

    2 11

    w

    xAA

    1 0

    0 1

    4z3y 43

    2zy 21

    wx

    wxAA

    Igualando trminos correspondentes destas duas matrizes:

    043

    12

    wx

    wx

    143

    02

    zy

    zy

    Solucionando o sistema linear, mediante Gauss - Jordan

    143

    02

    043

    12

    zy

    zy

    wx

    wx

    A matriz ampliada deste sistema linear,

    1 0 4 3 0

    0 0 2 1 0

    0 4 0 0 3

    1 2 0 0 1

    Reduzimos a sua forma escada reduzida por linhas

    1 0 4 3 0

    0 0 2 1 0

    0 4 0 0 3

    1 2 0 0 1

    122 3LLL

    1 0 4 3 0

    0 0 2 1 0

    3- 2- 0 0 0

    1 2 0 0 1

    32 LL

  • 34

    1 0 4 3 0

    3- 2- 0 0 0

    0 0 2 1 0

    1 2 0 0 1

    244 3LLL

    1 0 2- 0 0

    3- 2- 0 0 0

    0 0 2 1 0

    1 2 0 0 1

    32 LL

    3- 2- 0 0 0

    1 0 2- 0 0

    0 0 2 1 0

    1 2 0 0 1

    332

    1LL

    3- 2- 0 0 0

    21- 0 1 0 0

    0 0 2 1 0

    1 2 0 0 1

    442

    1LL

    23 1 0 0 0

    21- 0 1 0 0

    0 0 2 1 0

    1 2 0 0 1

    322 2LLL

    23 1 0 0 0

    21- 0 1 0 0

    1 0 0 1 0

    1 2 0 0 1

    411 2LLL

    23 1 0 0 0

    21- 0 1 0 0

    1 0 0 1 0

    2- 0 0 0 1

    Matriz Escada Reduzida por Linhas

  • 35

    Segundo a matriz reduzida da matriz ampliada do sistema linear, os valores das

    incgnitas x, y, z e w so:

    23

    21

    1

    2

    w

    z

    y

    x

    ento

    21-

    23

    1 2-

    z

    y 1

    w

    xA

    J que:

    2

    11 IAAAA , substitumos o valor da matriz 1A

    1 0

    0 1

    21-

    23

    1 2-

    4 3

    2 11AA

    1 0

    0 1

    214)13( )

    234()23(

    2

    12)11( 2

    32)21(1AA

    1 0

    0 1

    1 0

    0 11AA Satisfaz o teorema nIAAAA

    11

    5.1. PROPIEDADES DA INVERSA

    a) Se A uma matriz invertivel, ento 1A invertivel

    AA 11 b) Se A e B sao matrizes invertiveis, entao BA invertivel, e:

    111 ABBA c) Se A uma matriz invertivel, ento:

    )'(' 11 AA

    Exemplo: Sejam

    4 3

    2 1A

  • 36

    21-

    23

    1 2-1A

    Comprovar se a matriz 1A invertivel

    Soluo: Suponha

    d

    b )( 11

    c

    aA e nIAAAA

    111111 )())(( , ento

    1 0

    0 1

    d

    b

    21-

    23

    1 2-

    c

    a

    1 0

    0 1

    d2

    1b2

    3 2

    12

    3

    d2b- 2

    ca

    ca

    Igualando trminos correspondentes destas duas matrizes:

    1d2

    1b2

    3 02

    12

    3

    0d2b- 1 2

    ca

    ca

    Solucionando o sistema linear, mediante o mtodo de eliminao

    Das equaes 1) e 2),

    02

    12

    3

    1 2

    ca

    ca

    03

    1 2

    ca

    ca

    a = 1

    Substituir o valor de a na equao 1)

    3c

    1 )1(2

    1 2

    c

    ca

    Das equaes 3) e 4),

    1d2

    1b2

    3

    0d2b-

    1)

    2)

    3)

    4)

  • 37

    2d3b

    0d2b-

    b = 2

    Substituir o valor de b na equao 3)

    4d

    0 )2(2

    0 2

    d

    db

    Logo a matriz 11)( A :

    Ac

    aA

    4 3

    2 1

    d

    b )( 11

    5.2. MTODO PRTICO PARA ENCONTRAR 1A O mtodo prtico para calcular a inversa da matriz A o seguinte:

    Etapa 1: Forme a matriz nx2n [A In], juntando a matriz identidade matriz A.

    Etapa 2: Coloque a matriz obtida na etapa q na sua forma escada reduzida por linhas

    usando as operaes elementares nas linhas. Lembre-se que qualquer operao feita em

    uma linha de A tem que ser feita tambm na linha correspondente de In.

    Etapa 3: Suponha que a etapa e produziu uma matriz [C D] em forma escada reduzida

    por linhas:

    a) Se nIC , ento 1 AD

    b) Se nIC , ento C tem uma linha nula. Neste caso, A singular e 1A no

    existe

    Exemplo: Encontrar a inversa da matriz A, se existir

    1 5 5

    3 2 0

    1 1 1

    A

    Soluo:

    Etapa 1 A matriz nx2n [A In] ser uma matriz de ordem 3x6

    63

    3

    1 0 0 1 5 5

    0 1 0 3 2 0

    0 0 1 1 1 1

    ]I[A

    x

    A I3

  • 38

    Etapa 2 Colocamos a matriz obtida na etapa 1 em sua forma escada reduzida por linhas

    1

    1 0 0 1 5 5

    0 1 0 3 2 0

    0 0 1 1 1 1

    133 5LLL

    1 0 5- 4- 0 0

    0 1 0 3 2 0

    0 0 1 1 1 1

    222

    1LL

    1 0 5- 4- 0 0

    0 2

    1 0 2

    3 1 0

    0 0 1 1 1 1

    334

    1LL

    4

    1- 0 4

    5 1 0 0

    0 2

    1 0 2

    3 1 0

    0 0 1 1 1 1

    211 LLL

    4

    1- 0 4

    5 1 0 0

    0 2

    1 0 2

    3 1 0

    0 2

    1- 1 2

    1- 0 1

    322

    311

    2

    3

    2

    1

    LLL

    LLL

    4

    1- 0 4

    5 1 0 0

    83

    21

    815- 0 1 0

    81-

    21-

    813 0 0 1

    Matriz Escada Reduzida por Linhas

    C D

    Etapa 3 J que 3IC , conclumos que a matriz D a inversa da matriz A

    4

    1- 0 4

    5

    83

    21

    815-

    81-

    21-

    813

    1A

  • 39

    Exemplo: Encontrar a inversa da matriz A, se existir

    3- 2 - 5

    1 2 - 1

    3- 2 1

    A

    Soluo:

    Etapa 1 A matriz nx2n [A In] ser uma matriz de ordem 3x6

    63

    3

    1 0 0 3- 2 - 5

    0 1 0 1 2 - 1

    0 0 1 3- 2 1

    ]I[A

    x

    A I3

    Etapa 2 Colocamos a matriz obtida na etapa 1 em sua forma escada reduzida por linhas

    1

    1 0 0 3- 2 - 5

    0 1 0 1 2 - 1

    0 0 1 3- 2 1

    133

    122

    5LLL

    LLL

    1 0 5- 12 12 - 0

    0 1 1- 4 4 - 0

    0 0 1 3- 2 1

    224

    1LL

    1 0 5- 12 12 - 0

    0 4

    1- 4

    1 1- 1 0

    0 0 1 3- 2 1

    233 12LLL

    1 3 - 2- 0 0 0

    0 4

    1- 4

    1 1- 1 0

    0 0 1 3- 2 1

    Matriz Escada Reduzida por Linhas

    Linha Nula

    Etapa 3 Neste caso apareceu uma linha nula na matriz C, aqui paramos e no

    continuamos, isto significa que a matriz A uma matriz singular ou seja esta matriz

    no invertivel.

  • 40

    5.3. SISTEMAS LINEARES E INVERSAS Se A uma matriz nxn ento o sistema linear AX=B um sistemas de n equaes em n

    incgnitas. Suponha que A invertivel. Ento 1A existe e podemos multiplicar AX=B

    por 1A em ambos lados, obtendo:

    BAX

    BAXI

    BAAXA

    BAX

    n

    1

    1

    11

    BAX 1 uma soluo do sistema linear dado. Por tanto, se A invertivel, temos uma nica soluo.

    Exemplo:

    4

    8224

    223

    ZYX

    ZYX

    ZYX

    A matriz A: A matriz X: A matriz B:

    1 1 - 1

    2 2 4

    1 2 3

    Z

    Y

    X

    4

    8

    2

    Para achar 1A ,

    1 0 0 1 1 - 1

    0 1 0 2 2 4

    0 0 1 1 2 3

    31 LL

    0 0 1 1 2 3

    0 1 0 2 2 4

    1 0 0 1 1- 1

    133

    122

    3

    4

    LLL

    LLL

    3- 0 1 2- 5 0

    4- 1 0 2 - 6 0

    1 0 0 1 1- 1

    226

    1LL

    XXIn

    nI

  • 41

    3- 0 1 2- 5 0

    32-

    61 0

    31 - 1 0

    1 0 0 1 1- 1

    233 5LLL

    31

    65- 1

    31- 0 0

    32-

    61 0

    31 - 1 0

    1 0 0 1 1- 1

    33 3LL

    1- 2

    5 3- 1 0 0

    32-

    61 0

    31 - 1 0

    1 0 0 1 1- 1

    211 LLL

    1- 2

    5 3- 1 0 0

    32-

    61 0

    31 - 1 0

    31

    61 0

    32 0 1

    322

    311

    3

    1

    3

    2

    LLL

    LLL

    1- 2

    5 3- 1 0 0

    1- 1 1- 0 1 0

    1 2

    3- 2 0 0 1

    1- 2

    5 3-

    1- 1 1-

    1 2

    3- 2

    1A

    J que a soluo ao sistema linear anterior BAX 1 , ento

    4

    8

    2

    1- 2

    5 3-

    1- 1 1-

    1 2

    3- 2

    X

    4)(-1 8)2

    5( 2)(-3

    4)(-1 8)(1 2)(-1

    4)1 ( 8)2

    3(- 2)(2

    X

  • 42

    10

    2

    4-

    X Logo a soluo para as incgnitas X, Y e Z so:

    10

    2

    4

    Z

    Y

    X

  • 43

    6. DETERMINANTES

    6.1. PERMUTAES

    Seja nS ......,3,2,1 o conjunto de tosos os inteiros de 1 a n arrumados em ordem crescente. Uma outra ordem nJJJ ,.....,, 21 dos elementos de S chamada uma

    Permutao de S.

    Exemplo:

    11 S Uma permutao, 1 2,12 S Duas permutaes, 12, 21 3,2,13 S Seis permutaes, 123, 132, 231, 213, 312, 321

    Por tanto existem

    12).....2()1( nnn

    permutaes de nS ; vamos denotar o conjunto de todas as permutaes de S por nS

    !12).....2()1( nnnn

    n! o fatorial de um nmero n

    temos:

    362880123456789!9

    4032012345678!8

    50401234567!7

    720123456!6

    12012345!5

    241234!4

    6123!3

    212!2

    1!1

    6.2. INVERSES

    Uma permutao nJJJ ,.....,, 21 de nS ......,3,2,1 tem uma Inverso se um inteiro rJ precede um inteiro menor sJ . Uma permutao denominada Par se o nmero total de

    inverses Par e uma permutao denominada Impar se o nmero total de inverses

    Impar.

    Exemplo: A permutao 4132 de 4,3,2,1S , tem quatro inverses 4 1 3 2 o 4 antes do 1

    4 1 3 2 o 4 antes do 3

    4 1 3 2 o 4 antes do 2

    4 1 3 2 o 3 antes do 2

  • 44

    J que estas permutaes tm 4 inverses e 4 um nmero par, ento a permutao

    4132 uma permutao Par.

    Exemplo: Seja 3,2,13 S , o nmero de permutaes deste conjunto so:

    6!

    !3!

    3

    n

    n

    n

    Seis o nmero de permutaes; as quais so:

    a) 1 2 3 Zero inverses, permutao par = 0

    b) 1 3 2 o 3 antes do 2, permutao impar = 1

    c) 2 1 3 o 2 antes do 1, permutao impar = 1

    d) 2 3 1 o 3 antes do 1, permutao par = 2

    o 2 antes do 1

    e) 3 2 1 o 2 antes do 1, permutao impar = 3

    o 3 antes do 1

    o 3 antes do 2

    f) 3 1 2 o 3 antes do 1, permutao par = 2

    o 3 antes do 2

    6.3. DEFINIO DO DETERMINANTE

    Seja ijAA uma matriz nxn. Definimos o determinante de A (denotado por det(A) ou por A ) como,

    nn jAjAjAAA ......)(det 2211

    Onde a somatria tomada sobre todas as permutaes njjj ,.....,, 21 do conjunto

    nS ......,3,2,1 . O sinal do termo correspondente permutao njjj ,.....,, 21 + se ela for par e - se for impar.

    Exemplo: Se

    2221

    1211

    A A

    A AA

    uma matriz 2x2 ento, para obter o det(A), escrevemos os termos

    1A 1 2A 2 e 1A 2 2A 1

    Permutao 12 Permutao 21

  • 45

    Preenchemos os element4os ou espaos vazios com todos os elementos de 2S , os quais

    so 2,12 S , e j que 12 uma permutao par o termo 2211AA tem sinal positivo (+) e como 21 uma permutao impar, o termo 2112 AA tem sinal negativo (-). Por tanto

    21122211)det( AAAAA

    Tambm podemos obter )det(A formando o produto indicado pela seta da esquerda para

    a direita no diagrama a seguir e diminuindo deste nmero o produto indicado pela ser

    para a esquerda

    2221

    1211

    A A

    A A

    A

    21122211)det( AAAAA

    Exemplo: Achar o determinante de A

    5 4

    3- 2

    A

    Ento o det(A) :

    22)det(

    )43()52()det(

    )det( 21122211

    A

    A

    AAAAA

    Exemplo: Se

    333231

    232221

    131211

    A A A

    A A A

    A A A

    A

    uma matriz 3x3 ento, para obter o det(A), escrevemos os seis trminos

    a) 1A 1 2A 2 3A 3 Permutao (123) Par(+)

    b) 1A 1 2A 3 3A 2 Permutao (132) Impar(-)

    c) 1A 2 2A 1 3A 3 Permutao (213) Impar(-)

    d) 1A 2 2A 3 3A 1 Permutao (231) Par(+)

    e) 1A 3 2A 1 3A 2 Permutao (312) Par(+)

    f) 1A 3 2A 2 3A 1 Permutao (321) Impar(-)

  • 46

    312213332112322311322113312312332211)det( AAAAAAAAAAAAAAAAAAA

    Tambm podemos obter )det(A da seguinte forma: Repita as duas primeiras colunas de

    A como ilustrado a seguir. Forme a soma dos produtos dos elementos indicados pelas

    sers da esquerda para direita e subtraia deste nmero os produtos dos elementos

    indicados pelas setas da direita para esquerda

    3231333231

    2221232221

    1211 131211

    A A A A A

    A A A A A

    A A A AA

    A

    312213332112322311322113312312332211)det( AAAAAAAAAAAAAAAAAAA

    O mtodo das setas s valido para matrizes 2n e 3n , no valido para 4n

    Exemplo: Se

    2 1 3

    3 1 2

    3 2 1

    A

    6)det(

    2026)det(

    )839(6182)det(

    )222()131()313()123()332()211()det(

    )det( 312213332112322311322113312312332211

    A

    A

    A

    A

    AAAAAAAAAAAAAAAAAAA

    6.4. PROPIEDADES DOS DETERMINANTES 6.4.1. Os determinantes de uma matriz e de sua transposta sao iguais, isto ,

    )det()'det( AA

    Exemplo: Se

    2 1 3

    3 1 2

    3 2 1

    A

    2 3 3

    1 1 2

    3 2 1

    'A

    3- 0 0 3

    3- 0 0 3

  • 47

    6)'det(

    2026)'det(

    )839(1862)'det(

    )222()311()313()323()312()211()'det(

    )'det( 312213332112322311322113312312332211

    A

    A

    A

    A

    AAAAAAAAAAAAAAAAAAA

    6)det(

    2026)det(

    )938(6182)det(

    )313()131()222()123()332()211()det(

    )det( 312213332112322311322113312312332211

    A

    A

    A

    A

    AAAAAAAAAAAAAAAAAAA

    6.4.2. Se uma matriz B obtida de uma matriz A trocando-se duas linhas (ou colunas)

    de A, ento )det()det( AB

    Exemplo: Se

    2 3

    1- 2A 21 LL

    1- 2

    2 3B

    7)det(

    )31()22()det(

    )det( 21122211

    A

    A

    AAAAA

    7)det(

    )22()13()det(

    )det( 21122211

    B

    B

    BBBBB

    2 3

    1- 2A 21 CC

    3 2

    2 1-C

    7)det(

    )31()22()det(

    )det( 21122211

    A

    A

    AAAAA

  • 48

    7)det(

    )22()13()det(

    )det( 21122211

    C

    C

    CCCCC

    6.4.3. Se duas linhas ou colunas de A so iguais, ento o 0)det( A

    Exemplo: Se

    3 2 1

    7 0 1-

    3 2 1

    A

    0)det(

    61406140)det(

    )213()172()103()213()172()301()det(

    )det( 312213332112322311322113312312332211

    A

    A

    A

    AAAAAAAAAAAAAAAAAAA

    6.4.4. Se A tem uma linha ou coluna nula, ento o 0)det( A

    Exemplo: Se

    0 0 0

    6 5 4

    3 2 1

    A

    0)det(

    )042()061()053()034()062()051()det(

    )det( 312213332112322311322113312312332211

    A

    A

    AAAAAAAAAAAAAAAAAAA

    6.4.5. Se B obtida de A multiplicando-se uma linha ou coluna de A por um nmero

    real c, ento )det()det( AcB

    Exemplo: Se

    2 1 1

    6 2A 11 5LL

    12 1

    30 10B

    18)det(

    )16()122()det(

    )det( 21122211

    A

    A

    AAAAA

  • 49

    90)det(

    )130()1210()det(

    )det( 21122211

    B

    B

    BBBBB

    90)det(

    )18(5)det(

    )det()det(

    B

    B

    AcB

    6.4.6. Se uma matriz ijAA uma matriz triangular superior ou inferior ento nnAAAA .........)det( 2211 ; isto , o determinante de uma matriz triangular igual ao

    produto dos elementos da diagonal principal.

    Exemplo: Achar o determinante da matriz A

    6 4 2

    5 2- 3

    2 3 4

    A

    Para converter a matriz em sua matriz triangular equivalente, realizamos operaes nas

    linhas, sem olvidar que qualquer mudana na matriz original, o determinante tambm

    muda

    6 4 2

    5 2- 3

    2 3 4

    4 11

    4

    1LL

    6 4 2

    5 2- 3

    21

    43 1

    4 133

    122

    2

    3

    LLL

    LLL

    5 2

    5 0

    27

    417- 0

    21

    43 1

    4 22

    17

    4LL

    5 2

    5 0

    1714- 1 0

    21

    43 1

    44

    17

    2332

    5LLL

    17120 0 0

    1714- 1 0

    21

    43 1

    17 Determinante Matriz Triangular Superior Equivalente

  • 50

    120)det(

    17

    1201117)det(

    )(17)det( 332211

    A

    A

    AAAA

    6.4.7. O determinante um produto de matrizes igual ao produto de seus

    determinantes, )det()det()det( BABA

    Exemplo: Se

    4 3

    2 1A

    2 1

    1- 2B

    2)det(

    )23()41()det(

    )det( 21122211

    A

    A

    AAAAA

    5)det(

    )11()22()det(

    )det( 21122211

    B

    B

    BBBBB

    10)det()det( BA ou,

    10)det(

    )103()54()det(

    )det(

    5 10

    3 4

    24)13( 14)23(

    22)11( 12)21(

    21122211

    BA

    BA

    ABABABABBA

    BA

    BA

    6.4.8. Se A invertivel, ento 0)det( A e )det(

    1)det( 1

    AA

    Exemplo: Se

    4 3

    2 1A

    1 0 4 3

    0 1 2 1122 3LLL

    1 3- 2- 0

    0 1 2 122

    2

    1LL

  • 51

    21-

    23 1 0

    0 1 2 1

    211 2LLL

    21-

    23 1 0

    1 2- 0 1

    1A

    2

    1)det(

    12

    3

    2

    12)det(

    1

    1

    A

    A

    ou

    2

    1)det(

    )32()41(

    1

    )det(

    1)det(

    1

    1

    A

    AA

    6.5. EXPANSO EM COFATORES E APLICAES

    Definio Seja ijAA uma matriz nxn. Seja ijM a submatriz )1()1( nxn de A obtida eliminando-se a i-sima linha e a j-sima coluna de A. O determinante ijMdet chamado de Determinante Menor de ijA . O Cofator

    ijA de ijA definido por:

    ijji

    ij MA det1

    Exemplo:

    2 1 7

    6 5 4

    2 1- 3

    A

    Cofator de 12A

    1221

    12 1 MA

    2 1 7

    6 5 4

    2 1- 3

    12M

    2 7

    6 412M

  • 52

    Ento

    2 7

    6 41

    21

    12

    A

    34

    428

    6724

    12

    12

    12

    A

    A

    A

    Cofator de 23A

    2332

    23 1 MA

    2 1 7

    6 5 4

    2 1- 3

    23M

    1 7

    1- 323M

    Ento

    1 7

    1- 31

    32

    23

    A

    10

    73

    7113

    23

    23

    23

    A

    A

    A

    Definio: Seja A uma matriz nxn, ento para cada ni 1 ,

    ininiiii AAAAAAA ...........)det( 2211

    (Expanso do det(A) em relao i-sima linha)

    e para cada nj 1 , njnjjjjj AAAAAAA ...........)det( 2211

    (Expanso do det(A) em relao j-sima linha)

    Temos que: seja 33xAA

    312213332112322311322113312312332211)det( AAAAAAAAAAAAAAAAAAA

    312232211333213123123223332211)det( AAAAAAAAAAAAAAAA 131312121111)det( AAAAAAA

    Cofator do elemento A12

    34

    428

    6724

    12

    12

    12

    A

    A

    A

    34

    428

    6724

    12

    12

    12

    A

    A

    A

    34

    428

    6724

    12

    12

    12

    A

    A

    A

    Cofator do elemento A23

    34

    428

    6724

    12

    12

    12

    A

    A

    A

    34

    428

    6724

    12

    12

    12

    A

    A

    A

    34

    428

    6724

    12

    12

    12

    A

    A

    A

    Expanso do det(A) com relao primeira linha

  • 53

    32233322333231

    232221

    131211

    11

    11

    A A A

    A A A

    A A

    1 AAAA

    A

    A

    3321312331233321333231

    232221

    131211

    21

    12

    A A A

    A A A

    A A

    1 AAAAAAAA

    A

    A

    31223221333231

    232221

    131211

    31

    13

    A A A

    A A A

    A A

    1 AAAA

    A

    A

    Ou

    333323231313)det( AAAAAAA

    31223221333231

    232221

    131211

    31

    13

    A A A

    A A A

    A A

    1 AAAA

    A

    A

    32113112333231

    232221

    131211

    32

    23

    A A A

    A A A

    A A

    1 AAAA

    A

    A

    21122211333231

    232221

    131211

    33

    33

    A A A

    A A A

    A A

    1 AAAA

    A

    A

    Exemplo:

    3 2- 0 2

    3- 0 0 3

    3 1 2 4-

    4 3- 2 1

    A

    Expandir com relao linha 3.

    Dica, sempre melhor expandir com relao linha ou coluna que contenha mais

    elementos nulos

    3434333332323131)det( AAAAAAAAA

    Expanso do det(A) com relao terceira coluna

    3- 0 0 3

    3- 0 0 3

  • 54

    2- 0 2

    1 2 4-

    3- 2 1

    1)3(

    3 0 2

    3 2 4-

    4 2 1

    10

    3 2- 2

    3 1 4-

    4 3- 1

    10

    3 2- 0

    3 1 2

    4 3- 2

    13)det(

    43

    332313

    A

    2- 0 2

    1 2 4-

    3- 2 1

    3

    3 2- 0

    3 1 2

    4 3- 2

    3)det( A

    B C

    O determinante da matriz B, ser expandido com relao coluna 1 e o determinante da

    matriz C ser expandido com relao coluna 2

    323222221212313121211111 33)det( CCCCCCBBBBBBA

    1 4-

    3- 110

    2- 2

    3- 112

    2- 2

    1 4-123

    3 1

    4 3-10

    3 2-

    4 3-12

    3 2-

    3- 1123)det(

    232221

    131211A

    23212212423

    24332233123)det(

    A

    622`28238926323)det( A

    81232183)det( A

    48)det(

    1260)det(

    A

    A

  • 55

    6.6. MATRIZ ADJUNTA

    Seja ijAA uma matriz nxn. A matriz adjunta de A, denotada por adj(A) a matriz nxn cujo elemento (i,j) o cofator

    jiA de jiA , ou seja:

    nmmm

    n

    n

    AAA

    AAA

    AAA

    Aadj

    ........... ......

    ............ ......

    ........... ......

    )(

    21

    22212

    12111

    Exemplo: Calcular a adjunta de A

    3- 0 1

    2 6 5

    1 2- 3

    A

    18 3- 0

    2 61

    11

    11 A

    17 3- 1

    2 51

    21

    12 A

    6 0 1

    6 51

    31

    13 A

    6 3- 0

    1 2-1

    12

    21 A

    10 3- 1

    1 31

    22

    22 A

    2 0 1

    2- 31

    32

    23 A

    10 2 6

    1 2-1

    13

    31 A

    1 2 5

    1 31

    23

    32 A

    28 6 5

    2- 31

    33

    33 A

    Ento a matriz adjunta da matriz A fica:

    28 2- 6-

    1- 10- 17

    10- 6- 18

    )(Aadj

    .

    .

    .

    .

    111111

    111111

    111111

    ........... ......

    ............ ......

    ........... ......

    AAA

    AAA

    AAA

    .

    .

    .

    .

    .

    111111

    111111

    111111

    ........... ......

    ............ ......

    ........... ......

    AAA

    AAA

    AAA

    .

  • 56

    6.7. REGRA DE CRAMER Mtodo utilizado para resolver um sistema linear de m equaes e n incgnitas, tendo

    uma matriz dos coeficientes inverivel. A soluo para resolver um sistema do tipo

    AX=B, sera a seguinte:

    Etapa 1 Calcular o determinante da matriz A det(A). Se 0)det( A , a regra de Cramer

    no aplicvel. Use o mtodo de reduo Gauss-Jordan.

    Etapa 2 Se 0)det( A para cada i:

    AA

    X iidet

    det

    Onde iA a matriz obtida de A trocando-se sua i-sima coluna por B

    Exemplo: Considere o sistema linear

    32

    42

    132

    ZYX

    ZYX

    ZYX

    Etapa 1 Achamos o determinante da matriz que representa os coeficientes que

    acompanham as variaveis

    1 1- 2-

    1- 2 1

    1- 3 2-

    A

    2)det(

    221112113111213122)det(

    1 1- 2-

    1- 2 1

    1- 3 2-

    )det(

    A

    A

    A

    Etapa 2 J que o determinante de A diferente de zero, achamos cada uns dos valores

    de iX , por tanto:

    2

    2

    4

    2

    1 1- 3-

    1- 2 4

    1- 3 1

    X

    X

    Colunas de A Coluna de B

    Valor achado da varivel X

  • 57

    3

    2

    6

    2

    1 3- 2-

    1- 4 1

    1- 1 2-

    Y

    Y

    4

    2

    8

    2

    3- 1- 2-

    4 2 1

    1 3 2-

    Z

    Z

    Coluna de B Coluna de A Coluna de A

    Colunas de A Coluna de B

    Valor achado da varivel Y

    Valor achado da varivel Z

  • 58

    7. VETORES EM R2 E Rn

    7.1. SISTEMA DE COORDENADAS

    7.1.1. Vetores: Quantidades mesurveis como velocidade, fora e acelerao, que necessitam no s de um valor numrico (intensidade ou magnitude) mas tambm de

    direo e sentido. Sero representados em minsculas e em negrito.

    7.1.2. Escalares: Grupo dos nmeros reais. Sero representados por letras minsculas e em itlico.

    7.1.3. Valor absoluto: O valor absoluto ou mdulo X do nmero real X definido

    por:

    X 0

    0

    X

    X

    Exemplo:

    11

    23

    23

    33

    11

    23

    23

    33

    7.1.4. Representao grfica dos nmeros reais

    Figura 7. Reta dos nmeros reais

    O a origem da reta L

    Reta L o eixo de coordenadas

    Coordenadas Nmero real correspondente a um ponto no eixo de coordenadas

    Figura 8. Reta L

    X se

    -X se

    ......-5 -4 -3 -2 - 1 0 1 2 3 4 5 6....

    E D O A B C

    Origem

    Sentido Negativo Reta L Sentido Positivo

    Q O P

    a 0 b

  • 59

    O nmero correspondente a P chamado coordenada de P e o ponto P cuja

    coordenada x representado por xP . Se P est a direita de O, sua coordenada o comprimento do segmento OP . SE Q est esquerda, sua coordenada menos o

    comprimento do segmento OQ . A distncia entre os pontos P e Q com coordenadas

    b e a ba

    Exemplo:

    As coordenadas dos pontos A, B, C, D, e E so respectivamente 1, 3, -3, 5 e -4.5

    Distncia entre B e C 633

    Distncia entre A e B 213

    Distancia entre C e E 5.1)3(5.4

    7.1.5. Plano: Desenhamos um par de retas perpendiculares interceptando se em um ponto O, a origem. Uma das retas, o eixo dos X normalmente, colocado em posio

    horizontal. A outra reta, o eixo dos Y colocado por tanto em posio vertical.

    Figura 9. Plano

    7.1.6. Sistema Cartesiano de Coordenadas: Sejam P um ponto no plano e Q a sua projeo no eixo dos X. A coordenada de Q no eixo do X chamada de coordenada X,

    ou abscissa de P. Analogamente se Q projeo de P no eixo dos Y, a coordenada de Q a coordenada Y ou ordenada de P. Dessa forma associa a cada ponto do plano um par ordenado (x,y) de nmeros reais, suas coordenadas. Essa correspondncia entre

    pontos no plano e chamada de Sistema Cartesiano de Coordenadas. O conjunto de

    pontos no plano representado por R2, tambm chamado de Espao Bidimensional

    -3 -2 -1 0 1 2 3-3

    -2

    -1

    0

    1

    2

    3

    EIX

    O D

    OS

    Y

    EIXO DOS X

    Sentido Positivo

    Sentido Positivo

    O

  • 60

    Figura 10. Espao bidimensional

    Figura 11. Coordenadas no plano

    7.2. VETORES Matriz da ordem (1xn) ou (mx1). Nesta parte vamos considerar vetores bidimensionais

    (n=2), do ponto de vista geomtrico

    1

    1

    y

    xu

    x1 e y1 so nmeros reais. Associamos a u o segmento de reta orientado que tem ponto

    inicial na origem O(0,0) e ponto final em P(x1,y1). Este segmento representado por

    OP. Um segmento de reta orientado tem direo e sentido dado pelo ngulo com o semi

    eixo positivo dos X e indicados pela seta no seu ponto final. O tamanho de um segmento de reta orientado seu comprimento.

    -3 -2 -1 0 1 2 3-3

    -2

    -1

    0

    1

    2

    3

    EIX

    O D

    OS

    Y

    EIXO DOS X

    P(x,y)X

    O

    Y

    -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 -6

    -5

    -4

    -3

    -2

    -1

    0

    1

    2

    3

    4

    5

    6

    ABSCISSA

    (3,3)

    O

    (4,-3)

    (-3,-2)

    (-2,-4)

    (0,2)

    (2,)

    Vetor bidimensional

    ou vetor no plano

    (2,0)

    ORDENADA

  • 61

    Figura 12. Representao de um vetor

    Exemplo: Seja

    3

    2u

    u o segmento de reta associado ao vetor OP com ponto inicial em (0,0) e ponto final

    P(2,3)

    Figura 13. Representao do vetor

    3

    2u

  • 62

    Definio: O vetor tambm pode se escrever como:

    11, yxu

    J que o plano pode ser visto tanto como um conjunto de todos os pontos quanto como o

    conjunto de todos os vetores. Com isto consideramos R2

    algumas vezes como o conjunto

    dos pares ordenados (x1, y1) e outras vezes como um conjunto de todos os vetores

    bidimensionais

    1

    1

    y

    x

    Figura 14. Vetores iguais com diferente origem

    Figura 15. Vetores iguais com diferente origem (-3, 1), (0, 0), (3, 2)

  • 63

    Diferentes segmentos de reta orientados representando o mesmo valor.

    112233 QPQPQP

    7.2.1. Comprimento: Pelo teorema de Pitgoras o Comprimento ou Tamanho do vetor

    11, yxu : 2

    1

    2

    1 yxu

    Figura 16. Comprimento de um vetor com origem (0,0)

    Tambm pelo teorema de Pitgoras o segmento orientado com ponto inicial P(x1, y1) e

    ponto final P(x2, y2) :

    2122

    12 yyxxu

  • 64

    Figura 17. Comprimento de um vetor com origem diferente de (0,0)

    Exemplo: O comprimento dos seguintes vetores :

    1) )5,2( u

    2)

    )5,1(

    )2,3(

    Q

    P

    PQv

    1) 2952 22 u

    2) 59162531 22 PQ

    7.2.2. Operaes com vetores: Sejam 11, yxu e 22 , yxv dois vetores no plano, a Soma dos vetores u e v o vetor:

    2121 , yyxx

    e indicada por u+v, logo, os vetores so somados componente a componente

    Exemplo: Sejam

    )2,1(u e )4,3( v ento

    )2,4(

    )42,31(

    vu

    vu

    Podemos tambm descrever u+v como sendo a diagonal do paralelogramo definido por

    u e v

  • 65

    Figura 18. Representao do vetor resultante da soma de dois vetores

    Figura 19. Representao grfica do exemplo u + v

    Definio: Se 11, yxu e a um escalar (um nmero real), ento o mltiplo escalar ua de u por a o vetor 11,ayax . Logo o mltiplo escalar ua de u por a obtido

    multiplicando-se cada componente de u por a. Se a >0 ento ua tem o mesmo sentido de u, enquanto, se a

  • 66

    Exemplo: Se

    2a , 3b e )2,1( u ento

    6,3)2,1(3

    4,2)2,1(2

    ub

    ua

    Figura 21. Representao grfica do exemplo au e bu

    Exemplo: Suponha que um barco est atravessando um rio na direo leste a uma

    velocidade de 4km/h, enquanto a corrente de rio esta fluindo na direo sul a uma

    velocidade de 3km/h .Encontre a velocidade resultante do barco

    OA Velocidade do barco

    OB Velocidade do rio

    OC Velocidade resultante

    OBOAOC

    525

    34 22

    OC

    OC

    Velocidade resultante igual a 5km/h

    7.2.3. ngulo entre dois vetores: O ngulo entre dois vetores nao nulos 11, yxu e 22 , yxv o ngulo , 0 . Aplicando a lei dos cossenos ao triangulo na

    figura 16 obtemos:

    cos2222

    vuvuvu

    A(4, 0)

    3 5

    4

    B(0, 3) (4, 3)

    O(0,0)

  • 67

    temos

    2121222

    2121

    2

    2

    2

    1

    2

    2

    2

    1

    2

    2

    21

    2

    21

    2

    2

    2

    yyxxvuvu

    yyxxyyxxvu

    yyxxvu

    ento substituindo 21212 yyxx em cos2 vu ficaria:

    vu

    yyxx

    yyxxvu

    yyxxvu

    2121

    2121

    2121

    cos

    cos

    2cos2

    j que o Produto Escalar vu igual a 2121 yyxx , ento,

    vu

    vu

    cos 0

    Esta a equao para achar o ngulo entre dois vetores.

    Exemplo: Seja )4,2(u e )2,1(v , achar o ngulo formado entre os dois vetores.

    6

    2412

    2121

    vu

    vu

    yyxxvu

    521

    2042

    22

    22

    v

    u

    Ento

    13.53

    10

    6cos

    10

    6cos

    520

    6cos

    1

  • 68

    Figura 22. Representao grfica do exemplo do ngulo entre dois vetores

    Definio: Se u um vetor em R2, podemos usar a definio de produto escalar para

    escrever:

    uuu

    Se os vetores u = v fazem um ngulo reto, ento o cosseno do ngulo entre eles zero. Logo temos que u-v=0. Reciprocamente, se u-v=0, ento 0cos , os vetores fazem um ngulo reto. Por tanto o vetores no nulos vu so perpendiculares ou ortogonais se e somente, u-v=0. Tambm se dize que pelo menos um dos vetores

    nulo, h ortogonalidade entre eles.

    Exemplo: Seja )4,2( u e )2,4(v , so ortogonais j que:

    0

    )24()42(

    2121

    vu

    vu

    yyxxvu

  • 69

    Figura 23. Representao grfica de dois vetores ortogonais

    7.2.4. Propiedades do produto escalar

    a) 0uu se 0u ; 0uu se e somente se 0u b) uvvu

    c) wvwuwvu d) vuaavuvau

    7.2.5. Vetores Unitarios: um vetor de comprimento 1. Se x um vetor no nulo, ento o vetor

    xx

    u1

    um vetor unitrio com a mesma direo e o mesmo sentido de x

    Exemplo: Seja )4,3(x

    5

    43 22

    x

    x

    Logo o vetor unitario seria

    5

    4,

    5

    3

    4,35

    1

    u

    u

    Ento seu comprimento deve ser 1

  • 70

    125

    25

    54

    53

    22

    u

    u

    Figura 24. Representao grfica do exemplo de um vetor unitario

  • 71

    ANEXO APOSTILA MATLAB

  • 72

    1. NUMEROS NO MATLAB 1.1. Representao: O MATLAB utiliza a seguinte notao para representar

    nmeros

    - Representa nmero negativo

    . Representa casa decimal

    e Representa notao cientifica

    i e j Representam um nmero complexo Exemplo: Digite dentro da janela Command Window

    1.2. O MATLAB possui constantes predefinidas:

    Constante Valor

    pi () 3.1415926535...

    i ou j Raiz imaginaria 1 eps Preciso numrica relativa (2.2204e-016)

    realmin Menor nmero real (2.2251e-308)

    realmax Maior nmero real (1.7977e+308)

    inf Infinito

    NaN No existe

    Exemplo: Digite dentro da janela Command Window

  • 73

    1.3. Formato de exibio dos nmeros na tela. Pelo comando format ou

    File/Preferences

    [short] 4 dgitos decimais

    [long] 15 dgitos decimais

    [short e] 4 dgitos decimais notao exponencial

    [long e] 15 dgitos decimais notao exponencial

    [hex] Hexadecimal

    [bank] Dois dgitos decimais

    [rational] Diviso por nmeros inteiro Exemplo: Digite dentro da janela Command Window

  • 74

    2. MATRIZES 2.1. Vetores e matrizes so definidos da seguinte forma:

    Os valores numricos dos elementos que compem a matriz ou o vetor devem ser definidos entre [ ]

    Valores das colunas so delimitados por ou ,

    Valores das linhas so delimitados por ; Exemplo: Digite dentro da janela Command Window

  • 75

  • 76

    2.2. Variveis no MATLAB

    O nome da varivel deve ser alfanumrico comeado por uma letra, Exemplo: Y1, matriz_2x2.

    Exemplo: Digite dentro da janela Command Window

    case sensitive, ou seja diferencia entre letras maisculas e minsculas

    Exemplo: Digite dentro da janela Command Window

    Aceita o carter _ no meio do nome da varivel Exemplo: Digite dentro da janela Command Window

    As variveis definidas no MATLAB ficam armazenadas na memria em uma

    regio denominada Workspace,exibida na janela [workspace]

  • 77

    No caso dos vetores e das matrizes, possvel visualizar e alterar o contedo das

    variveis no Array Editor

    3. OPERADORES E FUNES No MATLAB, expresses matemticas so compostas por:

    Nmeros, vetores e matrizes

    Variveis

    Operadores

    Funes 3.1. Operadores: No MATLAB, operadores aritmticos trabalham com nmeros,

    vetores e matrizes

    Exemplo: Digite dentro da janela Command Window

  • 78

    Operador Descrio Exemplo

    + Soma

    - Subtrao

    * Multiplicao matricial

    .* Multiplicao escalar

    / Diviso matricial (a/b)

    a/b=a*b-1

    ./ Diviso escalar

  • 79

    \ Diviso esquerda

    a\b=a-1

    *b

    ^ Potencia (matriz^escalar)

    a*a*a

    .^ Potencia Escalar

    ' Transposta

    ( ) Precedncia

    3.2. Os valores obtidos numa operao podem ser guardados numa varivel diferente aos nomes das variveis a e b

    Exemplo: Digite dentro da janela Command Window

  • 80

    3.3. Funes: A sintaxe bsica para chamada de cualquer funo do MATLAB, segue este formato

    [Saida1,...,SaidaN]: Funo (Entrada1,...,EntradaN)

    [Saida1,...,SaidaN] : Parmetros de sada

    Funo: Nome da funo

    (Entrada1,...,EntradaN) : Parmetros de entrada

    3.3.1. Funes trigonomtricas: Exemplo: Digite dentro da janela Command Window

    3.3.2. Funes Matemticas: Exemplo: Digite dentro da janela Command Window

  • 81

    3.3.3. Funes matriciais: Exemplo: Digite dentro da janela Command Window

    Comando help, lista classes de