Frações

O símbolo significa a:b, sendo a e b números naturais e b diferente de zero.Chamamos:

de fração;a de numerador;b de denominador.

Se a é múltiplo de b, então é um número natural.Veja um exemplo:

A fração é igual a 8:2. Neste caso, 8 é o numerador e 2 é o denominador.

Efetuando a divisão de 8 por 2, obtemos o quociente 4. Assim, é um número natural e 8 é múltiplo de 2.Durante muito tempo, os números naturais foram os únicos conhecidos e usados pelos homens. Depois começaram a surgir questões que não poderiam ser resolvidas com números naturais. Então surgiu o conceito de número fracionário.

O significado de uma fração

Algumas vezes, é um número natural. Outras vezes, isso não acontece. Neste

caso, qual é o significado de ?Uma fração envolve a seguinte idéia: dividir algo em partes iguais. Dentre essas partes, consideramos uma ou algumas, conforme nosso interesse.

Exemplo: Roberval comeu de um chocolate. Isso significa que, se dividíssemos o chocolate em 4 partes iguais, Roberval teria comido 3 partes:

Na figura acima, as partes pintadas seriam as partes comidas por Roberval, e a parte branca é a parte que sobrou do chocolate.

Como se lê uma fração

As frações recebem nomes especiais quando os denominadores são 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 e também quando os denominadores são 10, 100, 1000, ......

um meio dois quintos

um terço quatro sétimos

um quarto sete oitavos

um quinto quinze nonos

um sexto um décimo

um sétimo um centésimo

um oitavo um milésimo

um nono oito milésimos

Classificação das frações

Fração própria: o numerador é menor que o denominador:

Fração imprópria: o numerador é maior ou igual ao denominador.

Fração aparente: o numerador é múltiplo do denominador.

Frações equivalentesFrações equivalentes são frações que representam a mesma parte do todo.

Exemplo: são equivalentesPara encontrar frações equivalentes devemos multiplicar o numerador e o denominador por um mesmo número natural, diferente de zero.

Exemplo: obter frações equivalentes à fração .

Portanto as frações são algumas das frações equivalentes a .Simplificação de frações

Uma fração equivalente a , com termos menores, é . A fração foi obtida

dividindo-se ambos os termos da fração pelo fator comum 3. Dizemos que a

fração é uma fração simplificada de .

A fração não pode ser simplificada, por isso é chamada de fração irredutível. A

fração não pode ser simplificada porque 3 e 4 não possuem nenhum fator comum.

Números fracionários

Seria possível substituir a letra X por um número natural que torne a sentença abaixo verdadeira?

5 . X = 1Substituindo X, temos: X por 0 temos: 5.0 = 0X por 1 temos: 5.1 = 5.Portanto, substituindo X por qualquer número natural jamais encontraremos o produto 1. Para resolver esse problema temos que criar novos números. Assim, surgem os números fracionários.Toda fração equivalente representa o mesmo número fracionário.

Portanto, uma fração (n diferente de zero) e todas frações equivalentes a ela

representam o mesmo número fracionário .

Resolvendo agora o problema inicial, concluímos que X = , pois .

Adição e subtração de números fracionários

Temos que analisar dois casos:1º) denominadores iguaisPara somar frações com denominadores iguais, basta somar os numeradores e conservar o denominador.Para subtrair frações com denominadores iguais, basta subtrair os numeradores e conservar o denominador.Observe os exemplos:

2º) denominadores diferentes

Para somar frações com denominadores diferentes, uma solução é obter frações equivalentes, de denominadores iguais ao mmc dos denominadores das frações.

Exemplo: somar as frações .Obtendo o mmc dos denominadores temos mmc(5,2) = 10.

(10:5).4 = 8 (10:2).5 = 25

Resumindo: utilizamos o mmc para obter as frações equivalentes e depois somamos normalmente as frações, que já terão o mesmo denominador, ou seja, utilizamos o caso 1.

Multiplicação e divisão de números fracionários

Na multiplicação de números fracionários, devemos multiplicar numerador por numerador, e denominador por denominador, assim como é mostrado nos exemplos abaixo:

Na divisão de números fracionários, devemos multiplicar a primeira fração pelo inverso da segunda, como é mostrado no exemplo abaixo:

Potenciação e radiciação de números fracionários

Na potenciação, quando elevamos um número fracionário a um determinado expoente, estamos elevando o numerador e o denominador a esse expoente, conforme os exemplos abaixo:

Na radiciação, quando aplicamos a raiz quadrada a um número fracionário, estamos aplicando essa raiz ao numerador e ao denominador, conforme o exemplo abaixo:

Exercícios de Frações

1) Observe a figura:

a) Em quantas partes iguais o retângulo foi dividido?O retângulo está dividido em 8 partes

b) Cada uma dessas partes representa que fração do retângulo?

Cada uma das partes é igual a .

c) A parte pintada representa que fração do retângulo?

A parte pintada representa .

2) Observe as figuras e diga quanto representa cada parte da figura e a parte pintada:

a) b) c)

Resposta a:

Cada parte representa e a parte pintada representa , que é o mesmo que

dizermos .

Resposta b:

Cada parte representa e a parte pintada representa .

Resposta c:

Cada parte representa e a parte pintada representa , que é o mesmo que dizermos 1 inteiro.

3) Um sexto de uma pizza custa 3 reais, quanto custa:

a) da pizza

b) da pizzac) a pizza toda

Resposta a:

Sabemos que uma parte de seis custa 3 reais. Logo, três partes custam:

3*3 = 9

Resposta b:

5*3 = 15

4) Se do que eu tenho são 195 reais, a quanto corresponde do que eu tenho?

Preciso descobrir quanto vale um sétimo do que eu tenho, para ficar mais fácil saber quanto tenho no total.

195/3 = 65 reais

7*65 = 455 reais é o que eu tenho.

Agora preciso saber quanto vale quatro quintos disso.

Vou primeiro descobrir quanto que é um quinto de 455 reais.

455 / 5 = 91 reais.

Agora basta eu multiplicar 91 por 4.

91*4 = 364 reais correspondem a do que eu tenho.

5) Encontre o resultado dos cálculos abaixo:

a) b) c)

Resposta a:

Como temos o mesmo denominador, basta fazermos a diferença do numerador:

Então 7-3 = 4

Logo, .

Resposta b:

Apenas temos que somar o numerador:

4 + 2 = 6

Logo, .

Resposta c:

Como os denominadores são diferentes, temos que achar o MMC entre eles (ou, seja, reduzir a um mesmo denominador):

, que é o mesmo que

1) Das figurinhas que eu possuía, 3/7 eu perdi e 2/5 foram dadas ao meu irmão, ficando 72 delas comigo. Quantas figurinhas foram dadas ao meu irmão?

Do total de figurinhas que eu possuía, já não possuo mais, ou seja, estou sem

delas, como demonstrado abaixo:

1 representa a fração total das figurinhas e é a fração que não está mais comigo. Subtraindo um valor do outro temos:

Logo representa a parte que ficou comigo.

Se soubéssemos o total de figurinhas e o multiplicássemos por , naturalmente

iríamos obter 72, então se dividirmos 72 por iremos obter a quantidade total de figurinhas:

Se a quantidade total de figurinhas é igual a 420, então disto será:

Então:

Foram dadas 168 figurinhas ao meu irmão.

2) Um grande depósito foi esvaziado a um terço da sua capacidade e mais tarde, do que sobrou foram retirados três quartos. Sabe-se que o reservatório ainda ficou com vinte mil litros de água. Qual é a capacidade total deste reservatório?

Primeiramente o reservatório foi deixado com da sua capacidade e depois

reduziu-se este volume em do que havia restado, podemos então montar a seguinte sentença matemática:

Que pode ser resumida a:

Se multiplicarmos a capacidade total do reservatório por , iremos obter os 20000 litros que restam nele, obviamente realizando a operação inversa, se

dividirmos os 20000 por iremos obter a capacidade total do depósito:

Portanto:

A capacidade total deste reservatório é de 240 mil litros.

3) Se eu conseguir reduzir do valor de um produto, um quinto deste preço à vista e pagar R$ 128,00 por quatro das nove parcelas. Qual é o preço total do produto sem este desconto?

Se de 1 que representa a fração total do preço do produto, subtrairmos do mesmo

ficaremos apenas com :

As quatro das nove parcelas, equivalem a dos :

Ou seja, os R$ 128,00 equivalem a do preço total sem o desconto. Fazendo a operação inversa, se dividirmos esta quantia por esta fração, iremos obter o preço total do produto sem o desconto:

Temos então que:

O preço total do produto sem este desconto é de R$ 360,00.

4) Dos frascos de xampu utilizados mensalmente por uma família, a mãe consome 7/9 de um frasco, a filha caçula consome 1/3 de um frasco e a mais velha consome 3/5 de um frasco, sendo que do total de mililitros ainda sobram 260 ml não consumidos. Visto que elas utilizam a menor quantidade necessária de frascos, qual é a capacidade em mililitros de cada frasco de xampu?

Primeiramente devemos somar as três frações para obtermos a fração de frascos consumida por mês:

Ou seja, por mês é gasto um frasco inteiro, mais de outro frasco. Subtraindo esta fração de 1 (um frasco inteiro), teremos a fração que sobrou no frasco:

Dividindo os 260 ml por iremos obter o volume total de xampu de cada frasco:

Logo, mensalmente elas utilizam 2 frascos de 900 ml, sendo que do volume total 1800 ml, ainda restam 260 ml não utilizados. Se cada uma utilizasse um frasco à parte, utilizariam 3 frascos, o que seria mais que o mínimo necessário.

A capacidade de cada frasco de xampu é de 900 ml.

5) Meus dois sobrinhos me visitaram neste final de semana e lhes dei 4/5 dos doces que eu possuía em casa. Um ganhou 10 doces e outro ganhou 7/12 dos doces que eu dei. Quantos doces eu deixei de dar?

Se um dos sobrinhos ganhou dos doces que eu dei, o outro ganhou deles:

Como equivale a 10 doces, dividindo 10 por teremos o total dado de doces:

Se eu dei 24 doces, correspondentes a dos doces que eu possuía, então originalmente eu tinha 30 doces conforme calculado abaixo:

Ora, se dos 30 doces que eu possuía eu dei 24, obviamente fiquei com 6:

Assim sendo:

Eu deixei de dar 6 doces.

6) Um assentador de pisos consegue assentar todos os pisos de um salão em 24 horas. Um outro assentador consegue fazer o mesmo trabalho em 21 horas. Trabalhando juntos, conseguem realizar tal trabalho em quantas horas?

Sabemos que um dos assentadores consegue assentar do salão por hora, ao

passo que o outro consegue assentar apenas neste mesmo período.

Trabalhando em conjunto, eles conseguem assentar do salão por hora, que corresponde à soma destas duas frações:

Em uma hora eles conseguem assentar do salão, basta dividirmos 1 (o salão todo) por esta fração para encontrarmos a resposta desejada:

11,2 horas equivalem a 11 horas e 12 minutos, as 11 horas correspondem à parte inteira e os 12 minutos à parte fracionária multiplicada por 60, já que temos 60 minutos em uma hora.

Então:

Trabalhando juntos, os assentadores conseguem realizar tal trabalho em 11 horas e 12 minutos.

7) Para comprar um certo brinquedo, da quantia necessária João possui um terço e Maria possui um quarto. Dona Lurdes, a mãe deles, prometeu completar com os R$ 125,00 que faltam para eles completarem o valor. Quanto custa tal brinquedo?

Se dividirmos a fração referente aos R$ 125,00 que serão fornecidos por Dona Lurdes, iremos encontrar justamente o valor do brinquedo, mas que fração é esta?

Sabemos que 1 corresponde ao valor total do brinquedo, desta forma se dele subtraímos a fração referente à parte de João, juntamente com a parte de Maria, teremos a parte referente aos R$ 125,00 que faltam:

Como dito, ao dividirmos R$ 125,00 por iremos descobrir quanto custa o tal brinquedo:

Desta forma:

Tal brinquedo custa R$ 300,00.

8) Para transportar uma determinada carga, um caminhão A precisa de quatro viagens e um caminhão B precisa de cinco viagens. Trabalhando em conjunto com um caminhão C, eles conseguem transportar a carga em apenas duas viagens. Quantas viagens o caminhão C precisaria para transportar esta carga sozinho?

Como sempre 1 representa o todo, neste caso equivale a toda a carga.

Como em conjunto os três caminhões fazem apenas duas viagens, em cada uma

delas eles levam metade da carga ( ).

Segundo este mesmo raciocínio, o caminhão A transporta da carga por viagem,

assim como o caminhão B transporta . Subtraindo de estas duas frações temos:

Ou seja, em cada viagem o caminhão C transporta da carga.

Concluímos então que para transportar toda a carga, o caminhão C precisaria de 20

viagens, que podemos calcular simplesmente dividindo 1 por :

Então:

O caminhão C precisaria de 20 viagens para transportar esta carga sozinho.

9) Um feirante vendeu metade das trezentas dúzias de laranjas que comprou, a R$ 2,00 a dúzia. Dois terços da outra metade vendeu a R$ 1,50 a dúzia e o restante vendeu a R$ 1,00 a dúzia. Qual é a fração das dúzias correspondentes a cada valor de venda e quanto o vendedor faturou na venda?

A fração correspondente ao preço de R$ 2,00 tiramos diretamente do enunciado: .

A fração correspondente ao preço de R$ 1,50 é obtido calculando-se de :

Se de 1, a fração correspondente às 300 dúzias, subtrairmos correspondente as

laranjas vendidas a R$ 2,00 a dúzia e também correspondente as laranjas vendidas a R$ 1,50 a dúzia, encontraremos a fração que foi vendida a um real a dúzia:

Agora ao somarmos os produtos do número total de dúzias por cada uma das frações multiplicada por seus respectivos valores da dúzia, teremos o valor total faturado:

Portanto:

Na venda o feirante faturou R$ 500,00, sendo que 1/2 das 300 dúzias foram vendidas a R$ 2,00 a dúzia, 1/3 a R$ 1,50 a dúzia e 1/6 a R$ 1,00 a dúzia.

10) Cinco oitavos de três sétimos do valor de uma multa de trânsito que Zeca pé de chumbo recebeu, é igual a R$ 75,00. Qual é o valor da multa de trânsito referente à infração que Zeca pé de chumbo cometeu?

Este problema é bastante simples, basta refazermos as contas em ordem inversa.

Primeiro dividimos R$ 75,00 por e depois dividimos por :

Logo:

O valor da multa de trânsito referente à infração é de R$ 280,00.

01 – Com 12 litros de leite, quantas garrafas de 2/3 de litros poderão ser cheias ?

02 – Coriolano faz um cinto com 3/5 de um metro de couro. Quantos cintos poderão ser feitos com 18 metros de couro ?

03 – Qual é o número cujos 4/5 equivalem a 108 ?

04 – Distribuíram-se 3 1/2 quilogramas de bombons entre vários meninos. Cada um recebeu 1/4 de quilograma. Quantos eram os meninos ?

05 – Para ladrilhar 2/3 de um pátio empregaram-se 5 456 ladrilhos. Para ladrilhar 5/8 do mesmo pátio, quantos ladrilhos seriam necessários ?

06 – Dona Solange pagou R$ 5.960,00 por 4/7 de um terreno. Quanto pagaria por 4/5 desse terreno?

07 – Luciano fez uma viagem de 1.210 km, sendo 7/11 de aeroplano; 2/5 do resto, de trem, 3/8 do novo resto, de automóvel e os demais quilômetros, a cavalo. Calcular quantos quilômetros percorreu a cavalo ?

08 – A terça parte de um número adicionado a seus 3/5 é igual a 28. Calcule a metade desse número ?

09 – Carolina tinha R$ 175,00. Gastou 1/7 de 1/5 dessa importância. Quanto sobrou ?

10 – Que número é necessário somar a um e três quartos para se obter cinco e quatro sétimos ?

11 – A soma de dois números é 850. Um vale 12/5 do outro. Quais são eles ?

12 – Se dos 2/3 de um número subtrairmos seus 3/7, ficaremos com 45. Qual é o número?

13 – A soma de três números é 30. O primeiro corresponde aos 2/3 do segundo e este, aos 3/5 do terceiro. Calcular o produto destes três números.

14 – Se 7/8 de um terreno valem R$ 21.000,00, qual é o valor de 5/48 do mesmo terreno?

15 – Qual é o número que se da metade subtrairmos 8 unidades ficaremos com 1/3 dele mesmo ?

16 – Da terça parte de um número subtraindo-se 12, fica-se com 1/6 do mesmo número. Que número é esse ?

17 – Qual é o número que retirando 48 unidades de sua metade, encontramos a sua oitava parte ?

18 – A diferença entre dois números é 90; um é 3/13 do outro. Calcular os números.

19 – A soma de dois números é 345; um é 12/11 do outro. Calcule-os.

20 – Seu Áureo tendo gasto 4/7 do dinheiro que possuía, ficou com 1/3 dessa quantia mais R$ 164,00. Quanto tinha o velho Áureo?

21 – Divida R$ 1590,00 em três partes de modo que a primeira seja 3/4 da segunda e esta 4/5 da terceira.

22 – Se eu tivesse apenas 1/5 do que tenho, mais R$ 25,00. teria R$ 58,00. Quanto tenho ?

23 – A nona parte do que tenho aumentada de R$ 17,00 é igual a R$ 32,50. Quanto possuo ?

24 – Zé Augusto despendeu o inverso de 8/3 de seu dinheiro e ficou com a metade mais R$ 4,30. Quanto possuía ?

25 – Repartir 153 cards em três montes de forma que o primeiro contenha 2/3 do segundo o qual deverá ter 3/4 do terceiro.

26 – Distribuir 3.717 tijolos por três depósitos de tal maneira que o primeiro tenha 3/4 do segundo e este 5/6 do terceiro.

27 – O diretor de um colégio quer distribuir os 105 alunos da 4ª série em três turmas de modo que a 1ª comporte a terça parte do efetivo; a 2ª, 6/5 da 1ª, menos 8 estudantes e a 3ª, 18/17 da 2ª. Quantos alunos haverá em cada turma ?

28 – Dividiu-se uma certa quantia entre três pessoas. A primeira recebeu 3/5 da quantia, menos R$ 100,00; a segunda, 1/4 , mais R$ 30,00 e a terceira, R$ 160,00. Qual era a quantia ?

29 – Um número é tal que, se de seus 2/3 subtrairmos 1.036, ficaremos com 4/9 do mesmo. Que número é esse?

30 – Das laranjas de uma caixa foram retirados 4/9, depois 3/5 do resto, e ficaram 24 delas. Quantas eram as laranjas ?

31 – Marieta tinha R$ 240,00. Gastou um quinto dessa quantia, e, depois, a terça parte do resto. Com quanto ficou ?

32 – Repartir R$ 671,00 entre três pessoas de modo que a primeira seja contemplada com 2/5 do que receber a segunda e esta, 3/8 do receber a terceira.

33 – Dividir R$ 480,00 por três pessoas, de modo que as partes da primeira e da segunda sejam, respectivamente, 1/3 e 4/5 da parte a ser recebida pela terceira

34 – Argemiro tinha R$ 375,00. Despendeu 2/5, menos R$ 6,00; depois a terça parte do resto, mais R$ 18,00. Quanto sobrou ?

35 – Um reservatório é alimentado por duas torneiras. A primeira pode enchê-lo em 15 horas e a segunda, em 12 horas. Que fração do reservatório encherão em uma hora, as duas juntas ?

36 – Uma torneira enche um reservatório em 2 horas e outra em 3 horas. Ambas, em que tempo enchê-lo-ão ?

37 – Uma torneira enche uma cisterna em 1/8 da hora e uma válvula o esvazia em 1/4 da hora. Abertas, em que tempo o reservatório ficará completamente cheio ?

38 – Uma torneira enche um depósito d’água em 1/14 da hora enquanto uma válvula pode esvaziá-lo em 1/9 da hora. Trabalhando juntas, em quanto tempo o líquido contido no depósito atingirá seus 5/6 ?

39 – Um reservatório é alimentado por duas torneiras. A primeira pode enchê-lo em 15 horas e a segunda, em 10 horas. A primeira é conservada aberta durante 2/3 da hora e a segunda durante 1/2 hora. Que fração do reservatório ficará cheia ?

40 – Claudia fez 2/9 de um trabalho em 12 horas e Mariana, 4/7 do resto em 8 horas. Quantas horas levarão para fazer a mesma obra, se trabalharem juntas ?

41 – Taninha fez 2/5 de um bordado em 8 horas e Clarisse, 1/3 do resto em 6 horas. Em quanto tempo poderão concluí-lo, se trabalharem juntas ?

42 – Vó Marieta é capaz de fazer um bordado em 16 horas e tia Celeste, 5/7 do resto em 15 horas. Em quanto tempo aprontarão o bordado todo, se operarem juntas ?

43 – Roberval, um investidor no mercado de capitais, perdeu a quarta parte de um capital. Em outros negócios, ganhou o quíntuplo de R$ 30.000,00. Sendo a fortuna atual o dobro do capital inicial. Que capital era esse ?

44 – Um quitandeiro vendeu ao primeiro freguês 3/5 das melancias que tinha, mais quatro, e ao segundo, 1/3, também do total. Tendo o primeiro ficado com mais duas dúzias de melancias do que o outro, pergunta-se quantas melancias o comerciante possuía e com quantas ficou ?

45 – Andréa tem 2/9 do dinheiro necessário para comprar um apartamento, e seu marido, 3/11 dessa quantia. Se a essa importância o casal adicionar R$ 3.500,00 poderão comprar a casa própria. Qual é o preço do imóvel ? Quanto tem cada um deles ?

46 – Uma torneira enche um reservatório em 6 horas e outra, em 2 horas. Ambas, funcionando conjuntamente, em que tempo encherão o reservatório ?

47 – Uma torneira enche um tanque em duas horas e outra o esvazia em dez horas. O tanque estando vazio e abrindo-se as duas torneiras, em que tempo ficará ele completamente cheio ?

48 – Silvana executa um bordado em nove horas de trabalho e Fernanda, em doze horas. Com auxílio de Eliane, aprontam-no em quatro horas. Calcular o tempo em que Eliane faria o mesmo bordado sozinha.

49 – Alfredo pode pintar uma casa em sete horas de trabalho e seu irmão, em cinco horas. Juntos, que fração do trabalho executarão em uma hora ? Em quanto tempo farão todo a pintura da casa ?

50 – Um trem partiu do Rio com um certo número de passageiros. Na primeira parada, saltaram 3/7 dos passageiros e na quarta entraram 40 pessoas. Em outras estações saltaram 5/8 dos passageiros restantes. O trem chegou à estação final com 36 passageiros. Com quantos passageiros o trem partiu do Rio ?

51 – Um número vale 8/5 de um segundo ou 2/3 de um terceiro. Calcular os três números sabendo que sua soma é igual a 500.

52 – Cuidadosamente, Severina, a empregada dos “Cavalcante” arruma uma bela cesta de maçãs. O patriarca ao ver as maçãs toma para si 1/6 das frutas, sua esposa pega 1/5 das restantes, o filho mais velho pega para si 1/4 do restante, o filho do meio e o mais novo pegam, respectivamente 1/3 e 1/2 dos restantes. Quando Severina chega e percebe o cesto praticamente vazio, fica magoada com a gulodice dos patrões e decide pegar para si as 3 frutas restantes. Quantas eram as maçãs arrumadas originalmente por Severina ?

Resolução dos exercícios de frações

01) 18 garrafas02) 30 cintos03) 13504) 14 meninos05) 5.11506) R$ 8.344,0007) 165 km08) 1509) R$ 170,00

10)

11) 600 e 25012) 18913) 81014) R$ 2.500,0015) 4816) 7217) 12818) 117 e 2719) 180 e 16520) R$ 1.722,0021) R$ 397,50 , R$ 530,00 e R$ 662,5022) R$ 165,0023) R$ 139,5024) R$ 34,4025) 34 , 51 e 6826) 945, 1260 e 151227) 35 , 34 e 3628) R$ 600,0029) 4.66230) 10831) R$ 128,0032) R$ 66,00 , R$ 165,00 e R$ 440,0033) R$ 75,00 , R$ 180,00 e R$ 225,0034) R$ 136,0035) 3/2036) 1 horas e 12 minutos37) 1/4 h ou 15 min38) 1/6 h ou 10 min39) 17/18040) 13 h 30 min41) 12 h

42) <!--[endif]--> h

43) R$ 120.000,0044) 75 e 145) R$ 6.930,00, R$ 1.540,00 e R$ 1.890,0046) 1h 30 min47) 2 h 30 min48) 18 horas49) 12/35 e 2 h 55 min50) 9851) 160 , 100 e 24052) 18 maçãs

Critérios de divisibilidadePara alguns números como o dois, o três, o cinco e outros, existem regras que permitem verificar a divisibilidade sem se efetuar a divisão. Essas regras são chamadas de critérios de divisibilidade.

Divisibilidade por 2

Um número natural é divisível por 2 quando ele termina em 0, ou 2, ou 4, ou 6, ou 8, ou seja, quando ele é par.Exemplos:1) 5040 é divisível por 2, pois termina em 0.2) 237 não é divisível por 2, pois não é um número par.

Divisibilidade por 3

Um número é divisível por 3 quando a soma dos valores absolutos dos seus algarismos for divisível por 3.Exemplo:234 é divisível por 3, pois a soma de seus algarismos é igual a 2+3+4=9, e como 9 é divisível por 3, então 234 é divisível por 3.

Divisibilidade por 4

Um número é divisível por 4 quando termina em 00 ou quando o número formado pelos dois últimos algarismos da direita for divisível por 4.Exemplo:1800 é divisível por 4, pois termina em 00.4116 é divisível por 4, pois 16 é divisível por 4.1324 é divisível por 4, pois 24 é divisível por 4.3850 não é divisível por 4, pois não termina em 00 e 50 não é divisível por 4.

Divisibilidade por 5

Um número natural é divisível por 5 quando ele termina em 0 ou 5.Exemplos:1) 55 é divisível por 5, pois termina em 5.2) 90 é divisível por 5, pois termina em 0.3) 87 não é divisível por 5, pois não termina em 0 nem em 5.

Divisibilidade por 6

Um número é divisível por 6 quando é divisível por 2 e por 3.Exemplos:1) 312 é divisível por 6, porque é divisível por 2 (par) e por 3 (soma: 6).2) 5214 é divisível por 6, porque é divisível por 2 (par) e por 3 (soma: 12).3) 716 não é divisível por 6, (é divisível por 2, mas não é divisível por 3).4) 3405 não é divisível por 6 (é divisível por 3, mas não é divisível por 2).

Divisibilidade por 8

Um número é divisível por 8 quando termina em 000, ou quando o número formado pelos três últimos algarismos da direita for divisível por 8.Exemplos:1) 7000 é divisível por 8, pois termina em 000.2) 56104 é divisível por 8, pois 104 é divisível por 8.3) 61112 é divisível por 8, pois 112 é divisível por 8.4) 78164 não é divisível por 8, pois 164 não é divisível por 8.

Divisibilidade por 9

Um número é divisível por 9 quando a soma dos valores absolutos dos seus algarismos for divisível por 9.Exemplo:2871 é divisível por 9, pois a soma de seus algarismos é igual a 2+8+7+1=18, e como 18 é divisível por 9, então 2871 é divisível por 9.

Divisibilidade por 10

Um número natural é divisível por 10 quando ele termina em 0.Exemplos:1) 4150 é divisível por 10, pois termina em 0.2) 2106 não é divisível por 10, pois não termina em 0.

Divisibilidade por 11

Um número é divisível por 11 quando a diferença entre as somas dos valores absolutos dos algarismos de ordem ímpar e a dos de ordem par é divisível por 11.O algarismo das unidades é de 1ª ordem, o das dezenas de 2ª ordem, o das centenas de 3ª ordem, e assim sucessivamente.Exemplos:1) 87549Si (soma das ordens ímpares) = 9+5+8 = 22Sp (soma das ordens pares) = 4+7 = 11Si-Sp = 22-11 = 11Como 11 é divisível por 11, então o número 87549 é divisível por 11.2) 439087Si (soma das ordens ímpares) = 7+0+3 = 10Sp (soma das ordens pares) = 8+9+4 = 21Si-Sp = 10-21Como a subtração não pode ser realizada, acrescenta-se o menor múltiplo de 11 (diferente de zero) ao minuendo, para que a subtração possa ser realizada: 10+11 = 21. Então temos a subtração 21-21 = 0.Como zero é divisível por 11, o número 439087 é divisível por 11.

Divisibilidade por 12

Um número é divisível por 12 quando é divisível por 3 e por 4.Exemplos:1) 720 é divisível por 12, porque é divisível por 3 (soma=9) e por 4 (dois últimos algarismos, 20).2) 870 não é divisível por 12 (é divisível por 3, mas não é divisível por 4).3) 340 não é divisível por 12 (é divisível por 4, mas não é divisível por 3).

Divisibilidade por 15

Um número é divisível por 15 quando é divisível por 3 e por 5.Exemplos:1) 105 é divisível por 15, porque é divisível por 3 (soma=6) e por 5 (termina em 5).2) 324 não é divisível por 15 (é divisível por 3, mas não é divisível por 5).3) 530 não é divisível por 15 (é divisível por 5, mas não é divisível por 3).

Divisibilidade por 25

Um número é divisível por 25 quando os dois algarismos finais forem 00, 25, 50 ou 75.Exemplos:200, 525, 850 e 975 são divisíveis por 25.

Números PrimosNúmeros primos são os números naturais que têm apenas dois divisores diferentes: o 1 e ele mesmo.Exemplos:1) 2 tem apenas os divisores 1 e 2, portanto 2 é um número primo.2) 17 tem apenas os divisores 1 e 17, portanto 17 é um número primo.3) 10 tem os divisores 1, 2, 5 e 10, portanto 10 não é um número primo.Observações:=> 1 não é um número primo, porque ele tem apenas um divisor que é ele mesmo.=> 2 é o único número primo que é par.Os números que têm mais de dois divisores são chamados números compostos.Exemplo: 15 tem mais de dois divisores => 15 é um número composto.

Reconhecimento de um número primo

Para saber se um número é primo, dividimos esse número pelos números primos 2, 3, 5, 7, 11 etc. até que tenhamos:=> ou uma divisão com resto zero e neste caso o número não é primo,=> ou uma divisão com quociente menor que o divisor e o resto diferente de zero. Neste caso o número é primo.Exemplos:1) O número 161:

não é par, portanto não é divisível por 2; 1+6+1 = 8, portanto não é divisível por 3; não termina em 0 nem em 5, portanto não é divisível por 5; por 7: 161 / 7 = 23, com resto zero, logo 161 é divisível por 7, e portanto não é um número primo.

2) O número 113:

não é par, portanto não é divisível por 2; 1+1+3 = 5, portanto não é divisível por 3; não termina em 0 nem em 5, portanto não é divisível por 5; por 7: 113 / 7 = 16, com resto 1. O quociente (16) ainda é maior que o divisor (7). por 11: 113 / 11 = 10, com resto 3. O quociente (10) é menor que o divisor (11), e além disso o resto é

diferente de zero (o resto vale 3), portanto 113 é um número primo.

Decomposição em fatores primos

Todo número natural, maior que 1, pode ser decomposto num produto de dois ou mais fatores. Decomposição do número 24 num produto:24 = 4 x 624 = 2 x 2 x 624 = 2 x 2 x 2 x 3 = 23 x 3No produto 2 x 2 x 2 x 3 todos os fatores são primos.Chamamos de fatoração de 24 a decomposição de 24 num produto de fatores primos. Então a fatoração de 24 é 23 x 3.

De um modo geral, chamamos de fatoração de um número natural, maiorque 1, a sua decomposição num produto de fatores primos.

Regra prática para a fatoração

Existe um dispositivo prático para fatorar um número. Acompanhe, no exemplo, os passos para montar esse dispositivo:

1º) Dividimos o número pelo seu menor divisor primo;2º) a seguir, dividimos o quociente obtido pelo menor divisor primo desse quociente e assim sucessivamente até obter o quociente 1.A figura ao lado mostra a fatoração do número 630.

Então 630 = 2 x 3 x 3 x 5 x 7.630 = 2 x 32 x 5 x 7.

Determinação dos divisores de um númeroNa prática determinamos todos os divisores de um número utilizando os seus fatores primos.Vamos determinar, por exemplo, os divisores de 90:

1º) decompomos o número em fatores primos;2º) traçamos uma linha e escrevemos o 1 no alto, porque ele é divisor de qualquer número;

3º) multiplicamos sucessivamente cada fator primo pelos divisores já obtidos e escrevemos esses produtos ao lado de cada fator primo;

4º) os divisores já obtidos não precisam ser repetidos.

Portanto os divisores de 90 são 1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 30, 45, 90.

Máximo Divisor ComumDois números naturais sempre têm divisores comuns. Por exemplo: os divisores comuns de 12 e 18 são 1,2,3 e 6. Dentre eles, 6 é o maior. Então chamamos o 6 de máximo divisor comum de 12 e 18 e indicamos m.d.c.(12,18) = 6.

O maior divisor comum de dois ou mais números é chamado de máximo divisor comum desses números. Usamos a abreviação m.d.c.

Alguns exemplos:mdc (6,12) = 6mdc (12,20) = 4mdc (20,24) = 4mdc (12,20,24) = 4mdc (6,12,15) = 3

CÁLCULO DO M.D.C.

Um modo de calcular o m.d.c. de dois ou mais números é utilizar a decomposição desses números em fatores primos.1) decompomos os números em fatores primos;2) o m.d.c. é o produto dos fatores primos comuns.Acompanhe o cálculo do m.d.c. entre 36 e 90:36 = 2 x 2 x 3 x 390 = 2 x 3 x 3 x 5O m.d.c. é o produto dos fatores primos comuns => m.d.c.(36,90) = 2 x 3 x 3Portanto m.d.c.(36,90) = 18.Escrevendo a fatoração do número na forma de potência temos:36 = 22 x 32

90 = 2 x 32 x5Portanto m.d.c.(36,90) = 2 x 32 = 18.

O m.d.c. de dois ou mais números, quando fatorados, é o produto dos fatores comuns a eles, cada um elevado ao menor expoente.

CÁLCULO DO M.D.C. PELO PROCESSO DAS DIVISÕES SUCESSIVAS

Nesse processo efetuamos várias divisões até chegar a uma divisão exata. O divisor desta divisão é o m.d.c. Acompanhe o cálculo do m.d.c.(48,30).Regra prática:1º) dividimos o número maior pelo número menor;48 / 30 = 1 (com resto 18)2º) dividimos o divisor 30, que é divisor da divisão anterior, por 18, que é o resto da divisão anterior, e assim sucessivamente;30 / 18 = 1 (com resto 12)18 / 12 = 1 (com resto 6)12 / 6 = 2 (com resto zero - divisão exata)3º) O divisor da divisão exata é 6. Então m.d.c.(48,30) = 6.

NÚMEROS PRIMOS ENTRE SI

Dois ou mais números são primos entre si quando o máximodivisor comum desses números é 1.

Exemplos:Os números 35 e 24 são números primos entre si, pois mdc (35,24) = 1.Os números 35 e 21 não são números primos entre si, pois mdc (35,21) = 7.

PROPRIEDADE DO M.D.C.

Dentre os números 6, 18 e 30, o número 6 é divisor dos outros dois. Neste caso, 6 é o m.d.c.(6,18,30). Observe:6 = 2 x 318 = 2 x 32

30 = 2 x 3 x 5Portanto m.d.c.(6,18,30) = 6

Dados dois ou mais números, se um deles é divisor de todos os outros, entãoele é o m.d.c. dos números dados.

Mínimo Múltiplo Comum

MÚLTIPLO DE UM NÚMERO NATURAL

Como 24 é divisível por 3 dizemos que 24 é múltiplo de 3.24 também é múltiplo de 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 e 24.

Se um número é divisível por outro, diferente de zero, entãodizemos que ele é múltiplo desse outro.

Os múltiplos de um número são calculados multiplicando-se esse número pelos números naturais.Exemplo: os múltiplos de 7 são:7x0 , 7x1, 7x2 , 7x3 , 7x4 , ... = 0 , 7 , 14 , 21 , 28 , ...Observações importantes:1) Um número tem infinitos múltiplos2) Zero é múltiplo de qualquer número natural

MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM (M.M.C.)

Dois ou mais números sempre têm múltiplos comuns a eles.Vamos achar os múltiplos comuns de 4 e 6:Múltiplos de 6: 0, 6, 12, 18, 24, 30,...Múltiplos de 4: 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24,...Múltiplos comuns de 4 e 6: 0, 12, 24,...Dentre estes múltiplos, diferentes de zero, 12 é o menor deles. Chamamos o 12 de mínimo múltiplo comum de 4 e 6.

O menor múltiplo comum de dois ou mais números, diferente de zero, é chamado de mínimo múltiplo comum desses números. Usamos a abreviação m.m.c.

CÁLCULO DO M.M.C.

Podemos calcular o m.m.c. de dois ou mais números utilizando a fatoração. Acompanhe o cálculo do m.m.c. de 12 e 30:1º) decompomos os números em fatores primos2º) o m.m.c. é o produto dos fatores primos comuns e não-comuns:12 = 2 x 2 x 330 = 2 x 3 x 5m.m.c (12,30) = 2 x 2 x 3 x 5Escrevendo a fatoração dos números na forma de potência, temos:12 = 22 x 330 = 2 x 3 x 5 m.m.c (12,30) = 22 x 3 x 5

O m.m.c. de dois ou mais números, quando fatorados, é o produto dos fatorescomuns e não-comuns a eles, cada um elevado ao maior expoente.

PROCESSO DA DECOMPOSIÇÃO SIMULTÂNEA

Neste processo decompomos todos os números ao mesmo tempo, num dispositivo como mostra a figura ao lado. O produto dos fatores primos que obtemos nessa decomposição é o m.m.c. desses números. Ao lado vemos o cálculo do m.m.c.(15,24,60)Portanto, m.m.c.(15,24,60) = 2 x 2 x 2 x 3 x 5 = 120

PROPRIEDADE DO M.M.C.

Entre os números 3, 6 e 30, o número 30 é múltiplo dos outros dois. Neste caso, 30 é o m.m.c.(3,6,30). Observe:

m.m.c.(3,6,30) = 2 x 3 x 5 = 30Dados dois ou mais números, se um deles é múltiplo de todos os outros, então

ele é o m.m.c. dos números dados.

Considerando os números 4 e 15, ques são primos entre si. O m.m.c.(4,15) é igual a 60, que é o produto de 4 por 15. Observe:

m.m.c.(4,15) = 2 x 2 x 3 x 5 = 60Dados dois números primos entre si, o m.m.c. deles é o produto desses números.

1) Se um número natural n for dividido por 27, o resto desta divisão será igual a

7. Se dividirmos o número n + 50 também por 27, qual será o resto obtido?

O resto da divisão de 50 por 27 é igual a 23.

Já o resto da divisão de n por 27 é igual a 7.

Ao somarmos 23 com 7 obtemos 30, o resto da divisão de 30 por 27 é igual a 3.

Você pode também pensar da seguinte forma:

Originalmente como o resto era igual a 7, isto significa dizer que para se obter o próximo número divisível por 27, era necessário que se acrescentasse 20 a ele, como foi acrescentado 50, que é igual a 20 + 27 + 3, pode-se dizer que ao acrescentarmos 20, o resultado obtido era divisível por 27, ao acrescentarmos mais 27, obviamente o número ainda continuou divisível por 27, mas ao finalmente ao acrescentarmos 3, este passou a ser o resto da divisão de n + 50 por 27.

Portanto:

Ao dividirmos o número n + 50 por 27 o resto obtido será igual a 3.

2) Qual é o menor número que devemos subtrair de 61577 para que a diferença

seja divisível ao mesmo tempo por 5 e por 9?

Um número que ao mesmo tempo divisível por 5 e por 9, é divisível tamtém por 5 . 9, ou seja, é divisível por 45.

O número 61577 seria divisível por 45 se o resto da divisão fosse igual a zero, como não é, o que precisamos fazer então é subtrair de 61577 este resto, para que ele se torne um número divisível por 45.

Você poderia ter interpretado o enunciado deste exercício como sendo: Qual é o resto da divisão de 61577 por 45?

61577 dividido por 45 é igual a 1368, com um resto de 17.

Logo:

Devemos subtrair 17 de 61577 para que a diferença seja divisível ao mesmo

tempo por 5 e por 9.

3) Qual é o menor número que devemos adicionar a 25013 para que a soma seja

divisível ao mesmo tempo por 3 e por 7?

Este problema é semelhante ao anterior, mas há uma pequena diferença.

25013 dividido por 21, o produto de 3 por 7, é igual a 1191, com um resto de 2.

Se subtrairmos 2 de 25013, o resultado será um número divisível por 21, mas o enunciado diz que devemos adicionar e não subtrair, então devemos acrescentar 19, que é o resultado de 21 - 2, para obtermos o próximo número após 25013, que assim como ele também será divisível por 21.

Assim sendo:

Devemos adicionar 19 a 25013 para que a soma seja divisível ao mesmo tempo

por 3 e por 7.

4) Qual valor devemos atribuir a x, o último dígito do número 38748x para que

ele se torne um número divisível por 6, mas não divisível por 2?

Sabemos que todo número divisível por 6, é também divisível por 2.

Portanto:

Tal valor não existe, pois todo número divisível por 6 é também divisível por 2.

5) Qual é o menor número com dois dígitos que somado a 12345 o tornará um

número divisível por nove?

Ao somarmos 1 + 2 + 3 + 4 + 5, os algarismos de 12345, obtemos 15, que dividido por nove tem um resto de 6. Isto quer dizer que 12345 dividido por seis apresenta o mesmo resto.

Devemos então encontrar o menor múltiplo de nove com dois dígitos, que ao ser subtraído em seis unidades ainda continue com dois algarismos.

Quando falamos em número com dois dígitos, obviamente estamos falando em algarismos significativos, já que 06, por exemplo, possui dois dígitos, mas o primeiro deles não é significativo.

Este número é o número 18, que menos 6 é igual a 12.

Então:

O menor número com dois dígitos que somado a 12345 o tornará um número

divisível por nove é o número 12.

6) Sendo x e y algarismos do número 32x84y, qual deve ser o menor valor

atribuído a cada uma destas variáveis, tal que 32x84y seja simultaneamente divisível por 3 e por 5?

Para que seja divisível por 5, y deve ser igual a 0 ou a 5. Obviamente escolheremos 0 pois é o menor.

Somando os algarismos conhecidos temos: 3 + 2 + 8 + 4 + 0 = 17

Após 17, o próximo número divisível por três é o 18, portanto devemos atribuir 1 a x.

Logo:

x = 1, y = 0.

7) Sendo x e y os dois últimos dígitos do número 1xy, qual deve ser o maior valor

atribuído a eles de sorte que o número resultante seja tanto divisível por 5 e por 6?

Para que seja divisível por 5, y deve ser igual a 0 ou a 5, mas como o número precisa ser par, para que seja também divisível por seis, só nos resta o dígito 0.

Temos então o número 1x0. Como 1 + 0 = 1, o maior dígito que podemos somar a ele de sorte a obtermos um número divisível por três e consequentemente por seis já que y é par, é o dígito 8.

Portanto:

x = 8, y = 0.

8) Qual é o menor número ímpar com cinco dígitos que é divisível por 50?

Todos os múltiplos de 50 são pares, pois podemos expressar cinquenta como 2 . 25.

Portanto:

Não existe um número natural ímpar, qualquer que seja a sua quantidade de

algarismos, que seja divisível por 50.

9) Qual é o maior número com três dígitos que é divisível por 4 e também por 5?

Os números divisíveis por quatro e também por cinco são todos terminados em 00, 20, 40 e 80.

Como não importa o primeiro dígito, o maior número com três dígitos, obviamente significativos, é o número 980.

Portanto:

980 é o maior número com três dígitos que é divisível por 4 e também por 5.

10) Um número é divisível por 9 e por 5. Se somarmos 315 a este número ele

ainda continuará divisível por 9 e por 5?

Sabemos que se a um número a divisível por n, somarmos n ou qualquer um dos seus múltiplos, o número resultante continuará sendo divisível por n. Como 315 também é divisível por 5 e por 9, tal soma não afetará em nada a divisibilidade por tais números.

Portanto:

Sim, se adicionarmos 315 a este número ele ainda continuará sendo divisível por

9 e por 5.

Equações de primeiro grau(com uma variável)

IntroduçãoEquação é toda sentença matemática aberta que exprime uma relação de igualdade. A palavra equação tem o prefixo equa, que em latim quer dizer "igual". Exemplos:2x + 8 = 05x - 4 = 6x + 8

3a - b - c = 0Não são equações:4 + 8 = 7 + 5 (Não é uma sentença aberta)x - 5 < 3 (Não é igualdade)

(não é sentença aberta, nem igualdade)

A equação geral do primeiro grau:

ax+b = 0onde a e b são números conhecidos e a diferente de 0, se resolve de maneira simples: subtraindo b dos dois lados, obtemos:

ax = -bdividindo agora por a (dos dois lados), temos:

Considera a equação 2x - 8 = 3x -10

A letra é a incógnita da equação. A palavra incógnita significa "

desconhecida".Na equação acima a incógnita é x; tudo que antecede o sinal da igualdade denomina-se 1º membro, e o que sucede, 2º membro.

Qualquer parcela, do 1º ou do 2º membro, é um termo da equação.

Equação do 1º grau na incógnita x é toda equação que pode ser escrita na forma ax=b, sendo a e b números racionais, com a diferente de zero.

Conjunto Verdade e Conjunto Universo de uma Equação

Considere o conjunto A = {0, 1, 2, 3, 4, 5} e a equação x + 2 = 5.Observe que o número 3 do conjunto A é denominado conjunto universo da equação e o conjunto {3} é o conjunto verdade dessa mesma equação.Observe este outro exemplo:

Determine os números inteiros que satisfazem a equação x² = 25

O conjunto dos números inteiro é o conjunto universo da equação.Os números -5 e 5, que satisfazem a equação, formam o conjunto verdade, podendo ser indicado por: V = {-5, 5}.Daí concluímos que:

Conjunto Universo é o conjunto de todos os valores que variável pode assumir. Indica-se por U.

Conjunto verdade é o conjunto dos valores de U, que tornam verdadeira a equação . Indica-se por V.

Observações:

O conjunto verdade é subconjunto do conjunto universo.

Não sendo citado o conjunto universo, devemos considerar como conjunto universo o conjunto dos números racionais.

O conjunto verdade é também conhecido por conjunto solução e pode ser indicado por S.

Raízes de uma equação

Os elementos do conjunto verdade de uma equação são chamados raízes da equação.Para verificar se um número é raiz de uma equação, devemos obedecer à seguinte seqüência:

Substituir a incógnita por esse número. Determinar o valor de cada membro da equação. Verificar a igualdade, sendo uma sentença verdadeira, o número considerado é raiz da equação.

Exemplos:Verifique quais dos elementos do conjunto universo são raízes das equações abaixo, determinando em cada caso o conjunto verdade.

Resolva a equação x - 2 = 0, sendo U = {0, 1, 2, 3}. Para x = 0 na equação x - 2 = 0 temos: 0 - 2 = 0 => -2 = 0. (F)Para x = 1 na equação x - 2 = 0 temos: 1 - 2 = 0 => -1 = 0. (F)Para x = 2 na equação x - 2 = 0 temos: 2 - 2 = 0 => 0 = 0. (V)Para x = 3 na equação x - 2 = 0 temos: 3 - 2 = 0 => 1 = 0. (F)Verificamos que 2 é raiz da equação x - 2 = 0, logo V = {2}.

Resolva a equação 2x - 5 = 1, sendo U = {-1, 0, 1, 2}. Para x = -1 na equação 2x - 5 = 1 temos: 2 . (-1) - 5 = 1 => -7 = 1. (F)Para x = 0 na equação 2x - 5 = 1 temos: 2 . 0 - 5 = 1 => -5 = 1. (F)Para x = 1 na equação 2x - 5 = 1 temos: 2 . 1 - 5 = 1 => -3 = 1. (F)Para x = 2 na equação 2x - 5 = 1 temos: 2 . 2 - 5 = 1 => -1 = 1. (F)A equação 2x - 5 = 1 não possui raiz em U, logo V = Ø.

Resolução de uma equaçãoResolver uma equação consiste em realizar uma espécie de operações de operações que nos conduzem a equações equivalentes cada vez mais simples e que nos permitem, finalmente, determinar os elementos do conjunto verdade ou as raízes da equação. Resumindo:

Resolver uma equação significa determinar o seu conjunto verdade, dentro do conjunto universo considerado.

Na resolução de uma equação do 1º grau com uma incógnita, devemos aplicar os princípios de equivalência das igualdades (aditivo e multiplicativo). Exemplos:

Sendo , resolva a equação

.

MMC (4, 6) = 12

-9x = 10 => Multiplicador por (-1)

9x = -10

Como , então . Sendo , resolva a equação

2 . (x - 2) - 3 . (1 - x) = 2 . (x - 4).

Iniciamos aplicando a propriedade distributiva da multiplicação:

2x - 4 - 3 + 3x = 2x - 8 2x + 3x -2

x = - 8 + 4 + 3

3x = -1

Como , então

Equações impossíveis e identidades

Sendo , considere a seguinte equação: 2 . (6x - 4) = 3 . (4x - 1). Observe, agora, a sua resolução:

2 . 6x - 2 . 4 = 3 . 4x - 3 . 112x - 8 = 12x - 3

12x - 12x = - 3 + 80 . x = 5

Como nenhum número multiplicado por zero é igual a 5, dizemos que a equação é impossível e, portanto, não tem solução. Logo, V = Ø.

Assim, uma equação do tipo ax + b = 0 é impossível quando e

Sendo , considere a seguinte equação: 10 - 3x - 8 = 2 - 3x. Observe a sua resolução:

-3x + 3x = 2 - 10 + 80 . x = 0

Como todo número multiplicado por zero é igual a zero, dizemos que a equação possui infinitas soluções. Equações desse tipo, em que qualquer valor atribuído à variável torna a equação verdadeira, são denominadas identidades.

Denomina-se equação do 1° grau com uma incógnita, qualquer equação que possa ser reduzida à forma ax = b, onde x é a incógnita e a e b são números reais, com a ≠ 0. a e b são coeficientes da equação.Equações do 1° grau podem possuir mais de uma incógnita. Como exemplo, temos as equações do 1° grau com duas incógnitas, que são quaisquer equações que podem ser reduzidas a uma equação equivalente da forma ax + by = c, com a ≠ 0 e b ≠ 0. Neste caso, além de a e b, temos também c como coeficientes da equação.Utilizamos equações do 1° grau com uma incógnita na resolução de problemas tal qual o seguinte:"Se eu tivesse o dobro da quantia que eu possuo, com mais dez reais eu poderia comprar um certo livro que custa cem reais. Quantos reais eu possuo?"Inicialmente iremos expressar este mesmo problema em linguagem matemática. Para isto vamos chamar a quantia que eu possuo atualmente de x. Este é valor procurado.Ao referir-me ao dobro da quantia, matematicamente estou me referindo a 2x, ou seja, ao dobro de x.O dobro da quantia mais dez reais será expresso matematicamente como 2x + 10.Finalmente devemos expressar que o dobro da quantia mais dez é igual a cem, logo a expressão inteira será: 2x + 10 = 100.Basicamente substituímos o texto em português pelos seus respectivos operadores matemáticos.

Resolução de equações do 1° grau com uma incógnita

Para solucionarmos a equação 2x + 10 = 100 iremos recorrer aos conceitos de equações equivalentes, princípio aditivo da igualdade e princípio multiplicativo da igualdade, vistos no tópico Equação. Resumindo, iremos obter equações equivalentes sucessivamente através da aplicação destes princípios, até que a raiz da equação seja encontrada.Primeiramente vamos lembrar que o oposto de um número real é igual a este mesmo número com o sinal trocado. O oposto de 2 é igual a -2. Obviamente o oposto de -2 voltará ao número 2 inicial. Note ainda que a soma de um número pelo seu oposto sempre resultará em 0.Precisamos também lembrar o que vem a ser o inverso de um número real diferente de zero. De antemão sabemos que um número real diferente de zero multiplicado pelo seu inverso resultará sempre em 1.Segundo este conceito, o inverso de 2 é 1/2, já que 2 . 1/2 = 1. Obviamente o inverso de 1/2 é 2 pelo mesmo motivo.O inverso de 3/5 é 5/3, pois 3/5 . 5/3 = 1.Simplificando, se a for um número real inteiro e diferente zero, o seu inverso será 1/a. No caso de frações, o inverso multiplicativo da fração a/b será b/a, com a e b diferentes de zero.A partir deste conceito podemos começar a solucionar a equação.Vejamos:

A ideia é deixarmos a incógnita x isolada no primeiro membro à direita do sinal de igualdade e a raiz no segundo membro, à esquerda. Gradualmente iremos passando os números do primeiro membro para o segundo membro.Para passarmos o número 10 no primeiro membro, para o segundo membro, iremos recorrer ao princípio aditivo da igualdade. Vamos subtrair 10 dos dois membros da equação:

Ao subtrairmos 10 nos dois membros da equação, na verdade estamos somando o oposto de 10, que é -10 em ambos os membros como vemos abaixo, de sorte que o 10 saia do primeiro membro, pois como já vimos, ao somarmos um número real ao seu oposto o resultado sempre será igual a zero:

Ao realizarmos as operações chegaremos à equação:

Que é equivalente a:

Para tirarmos o coeficiente 2 do primeiro membro, iremos recorrer ao princípio multiplicativo da igualdade, dividindo ambos os membros por 2:

Na verdade o que estamos fazendo é multiplicando ambos os membros pelo inverso multiplicativo do coeficiente 2 que é 1/2, para que ele saia do primeiro membro, já que será reduzido ao número 1. Na realidade o cálculo seria este:

Realizando os cálculos em qualquer um dos dois casos encontramos a raiz procurada:

Passando para o outro lado

Depois de adquirido tais conhecimentos, podemos ver uma forma mais simples de solucionarmos este tipo de equação. Vejamos:

A ideia agora é passar o termo 10 do primeiro para o segundo membro. Como ele está sendo somado, passará para o outro lado sendo subtraído, já que a subtração é a operação inversa da adição:

Que se resume a:

Passamos agora o coeficiente 2 para o segundo membro. Como ele está multiplicando, do outro lado ele estará dividindo. Isto porque a divisão é a operação inversa da multiplicação:

Realizando a divisão encontramos a raiz 45 encontrada anteriormente:

Apenas a título de verificação, vamos substituir a incógnita x por 45 para confirmarmos que este valor torna a equação verdadeira:

Resumo

Este método que acabamos de estudar resume-se em isolar a incógnita no primeiro membro, passando progressivamente cada um dos coeficientes para o segundo membro. A passagem é feita passando o termo para o outro lado, invertendo-se a operação que é realizada sobre o mesmo:

Se for adição, passa a subtração; Se for subtração, passa a adição; Se for multiplicação, passa a divisão; Se for divisão, passa a multiplicação.

Na verdade tais inversões nada mais são que uma forma simplificada de utilização dos princípios aditivo e multiplicativo da igualdade, como visto inicialmente.

Exemplo de problema envolvendo a utilização de equação do primeiro grau

O perímetro de um terreno retangular é de 200m. O terreno tem de largura 28m a menos

que o seu comprimento. Qual é a área deste terreno?

Chamemos de x o comprimento do terreno, então x - 28 será a medida da sua largura. Sabemos que o perímetro de uma figura retangular é igual ao dobro da soma do seu comprimento com a sua largura. Matematicamente temos:2 . (x + x - 28) = 200Resolvendo a equação temos:

Então já temos que o comprimento do terreno é de 64m. Como de largura ele tem 28 metros a menos que isto, então ele tem 36m de largura.Como sabemos, a área do terreno será obtida multiplicando-se a medida do seu comprimento, pela medida da sua largura, portanto:

A área deste terreno é de 2304m2.

1) Se eu adicionar 8 à quantidade de carrinhos que possuo, ficarei com a mesma quantidade de carrinhos de meu irmão, se dos 28 que ele possui, for retirada a quantidade que eu possuo. Quantos carrinhos eu tenho? Primeiramente vamos assumir que x seja a quantidade de carrinhos que eu possuo. Vamos montar então a expressão matemática por partes.Sendo x a quantidade de carrinhos que eu possuo, ao adicionar 8, ficarei com x + 8.Do enunciado sabemos que ele tem 28 carrinhos e se subtrairmos deste número a quantidade que eu possuo (x), ficaremos com quantidade iguais. Então:x + 8 = 28 - xA partir daí devemos deixar a incógnita x isolada no lado direito, passando os coeficientes para o outro lado.O x que está sendo subtraído no segundo membro, passará ao primeiro membro sendo adicionado.x + x + 8 = 28x mais x é igual a 2x, assim como uma laranja mais uma laranja é igual a duas laranjas.2x + 8 = 28Passemos agora o 8 que está sendo adicionado, para o outro lado, na operação inversa, ou seja, sendo subtraído:2x = 28 - 8Realizando a subtração:2x = 20

O coeficiente 2 que está multiplicando a incógnita x, passará para o outro membro dividindo o termo 20:

Realizando a divisão encontramos a raiz 10:x = 10Portanto:

Eu tenho 10 carrinhos.2) Comprei 7,5kg de um produto e recebi um troco de R$ 1,25. Caso eu

tivesse comprado 6kg, o troco teria sido de R$ 5,00. Quanto dei em dinheiro para pagar a mercadoria? Digamos que p seja o preço por kg da mercadoria. Como em ambos os casos eu teria um troco a receber, então o valor que eu dei em pagamento seria igual à massa comprada vezes o preço por kg mais o troco nas duas situações. Teríamos então:

O 6p que está sendo somado no segundo membro, passará ao primeiro membro sendo subtraído, ao mesmo tempo em que o 1,25 à esquerda que está sendo somado passará à direita subtraindo:

Realizando as subtrações:

O coeficiente 1,5 que está multiplicando a incógnita p irá para o outro lado dividindo o termo 3,75:

Que dividindo dá:

Tomemos então o primeiro membro da equação inicial

Ele representa quanto me custou o produto mais quanto recebi de troco, ou seja, quanto dei em dinheiro para o pagamento. Vamos então substituir p pelo valor encontrado de 2,5 e realizar os cálculos:

Portanto:Eu dei R$ 20,00 em dinheiro para o pagamento da mercadoria.3) A soma da minha idade, com a idade de meu irmão que é 7 anos mais

velho que eu dá 37 anos. Quantos anos eu tenho de idade? Partamos do princípio que a minha idade seja igual a x. Como o meu irmão tem 7 anos a mais que eu, então ele tem x + 7 anos de idade. Como a soma das idades é de 37 anos, podemos escrever a seguinte sentença:

Ou seja:

Passando para o outro lado o 7 como subtraindo, já que ele se encontra adicionando no primeiro membro, temos:

Realizando a subtração:

Passando o multiplicador 2 para a direita como divisor:

Que dividindo dá:

Portanto:Eu tenho 15 anos de idade.4) Tenho a seguinte escolha: Ou compro 20 unidades de um produto com

todo o dinheiro que tenho, ou compro apenas 14 unidades e ainda me sobra um troco de R$ 30,00. Qual o valor unitário deste produto? Vou chamar de x o preço da unidade deste produto.A partir do enunciando chegamos à seguinte equação:

O termo 20x se refere às 20 unidades do produto multiplicado pelo seu valor unitário.Sabemos que isto é igual a 14 unidades do produto multiplicado pelo seu valor unitário, mais 30 reais de troco, ou seja, 14x + 30.

Vamos passar o 14x para o primeiro membro, lembrando que por estar sendo adicionado, ele passará subtraindo:

Ao fazermos a subtração:

Passamos o 6 para o outro lado, dividindo já que ele está multiplicando:

Que dividindo dá:

Portanto:O valor unitário deste produto é de R$ 5,00.5) O volume de chuvas na minha região foi de 30 ml nos dois últimos dias.

Sabe-se que ontem choveu o dobro da quantidade que choveu hoje. Qual foi o volume de chuva de hoje? Chamemos de v o volume da chuva hoje.Do enunciando tiramos que 2v corresponde ao volume de chuva de ontem, assim como 30 é o volume total. Podemos então montar à seguinte equação:

Somando os termos do primeiro membro temos:

Passando o 3 para o outro lado, como divisor já que ele é um multiplicador:

Ao dividirmos:

Portanto:O volume de chuva de hoje foi de 10 ml.6) Qual é o conjunto solução da equação 4x - 8 = 10?

Portanto:S = { 4,5 }.7) Qual é a raiz da equação 7x - 2 = -4x + 5?

Portanto:7/11 é a raiz da equação.8) U = { -5, 0, 3 } é o conjunto universo da equação 6x + 18 = 0. Qual é o

conjunto solução desta equação?

Portanto:S = {} é o conjunto solução (conjunto vazio), pois -3 não pertence ao

conjunto universo.9) Encontre o conjunto verdade da equação -2x = -4 + 3x?

Portanto:V = {4/5} é o conjunto solução da equação.10) 7 é raiz da equação x + 5 = 2?

Portanto:Não, pois -3 é que é a raiz desta equação.

Equações de 1º grau (com duas variáveis)

Pares ordenadosMuitas vezes, para localizar um ponto num plano, utilizamos dois números racionais, numa certa ordem.Denominamos esses números de par ordenado. Exemplos:

Assim:Indicamos por (x, y) o par ordenado formado pelos elementos x e y, onde x é o 1º elemento e y é o 2º elemento.

Observações

1. De um modo geral, sendo x e y dois números racionais quaisquer, temos: . Exemplos

2. Dois pares ordenados (x, y) e (r, s) são iguais somente se x = r e y = s.

Representação gráfica de um Par OrdenadoPodemos representar um par ordenado através de um ponto em um plano.Esse ponto é chamado de imagem do par ordenado.Coordenadas CartesianasOs números do par ordenados são chamados coordenadas cartesianas. Exemplos:

A (3, 5) ==> 3 e 5 são as coordenadas do ponto A.Denominamos de abscissa o 1º número do par ordenado, e ordenada, o 2º número desse par. Assim:

Plano Cartesiano

Representamos um par ordenado em um plano cartesiano.Esse plano é formado por duas retas, x e y, perpendiculares entre si.A reta horizontal é o eixo das abscissas (eixo x).A reta vertical é o eixo das ordenadas (eixo y).O ponto comum dessas duas retas é denominadoorigem, que corresponde ao par ordenado (0, 0).

Localização de um PontoPara localizar um ponto num plano cartesiano, utilizamos a seqüência prática:

O 1º número do par ordenado deve ser localizado no eixo das abscissas. O 2º número do par ordenado deve ser localizado no eixo das ordenadas. No encontro das perpendiculares aos eixos x e y, por esses pontos, determinamos o ponto

procurado. Exemplo:

Localize o ponto (4, 3).

Produto Cartesiano

Sejam os conjuntos A = {1, 2, 3} e B = {3, 4}.Com auxílio do diagrama de flechas ao lado formaremos o conjunto de todos os pares ordenados em que o 1º elemento pertença ao conjunto A e o 2º pertença ao conjunto B.

Assim , obtemos o conjunto: {(1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 3), (3, 4)}Esse conjunto é denominado produto cartesiano de A por B, e é indicado por:

Logo:Dados dois conjuntos A e B, não-vazios, denominamos produtos cartesiano A x B o conjunto de

todos os pares ordenados (x, y) onde

Equações de primeiro grau(com duas variáveis)

Considere a equação: 2x - 6 = 5 - 3yTrata-se de uma equação com duas variáveis, x e y, pode ser transformada numa equação equivalente mais simples. Assim:2x + 3y = 5 + 6

2x + 3y = 11 ==> Equação do 1º grau na forma ax + by = c . Denominando equação de 1º grau com duas variáveis, x e y, a toda equação que pode ser reproduzida à forma ax + by = c, sendo a e b números diferentes de zero, simultaneamente.

Na equação ax + by = c, denominamos:

x + y - variáveis ou incógnita

a - coeficiente de xb - coeficiente de y

c - termo independenteExemplos:

x + y = 302x + 3y = 15x - 4y = 10

-3x - 7y = -482x- 3y = 0x - y = 8

Solução de uma equação de 1º grau com duas variáveisQuais o valores de x e y que tornam a sentença x - 2y = 4 verdadeira?Observe os pares abaixo:

x = 6, y = 1x - 2y = 4

6 - 2 . 1 = 46 - 2 = 44 = 4 (V)

x = 8, y = 2

x - 2y = 48 - 2 . 2 = 4

8 - 4 = 44 = 4 (V)

x = -2, y = -3x - 2y = 4

-2 - 2 . (-3) = 4-2 + 6 = 44 = 4 (V)

Verificamos que todos esses pares são soluções da equação x - 2y = 4.Assim, os pares (6, 1); (8, 2); (-2, -3) são algumas das soluções dessa equação.

Uma equações do 1º grau com duas variáveis tem infinitas soluções - infinitos (x, y) - , sendo,

portanto, seu conjunto universo .Podemos determinar essas soluções, atribuindo-se valores quaisquer para uma das variáveis, calculando a seguir o valor da outra. Exemplo:

Determine uma solução para a equação 3x - y = 8.

Atribuímos para o x o valor 1, e calculamos o valor de y. Assim:

3x - y = 83 . (1) - y = 83 - y = 8-y = 5 ==> Multiplicamos por -1

y = -5O par (1, -5) é uma das soluções dessa equação.V = {(1, -5)}Resumindo:

Um par ordenado (r, s) é solução de uma equação ax + by = c (a e b não-nulos simultaneamente), se para x = r e y = s a sentença é verdadeira.

Gráfico de uma equação de 1º grau com duas variáveisSabemos que uma equação do 1º grau com duas variáveis possui infinitas soluções.Cada uma dessas soluções pode ser representada por um par ordenado (x, y).Dispondo de dois pares ordenados de um equação, podemos representá-los graficamente num plano cartesiano, determinando, através da reta que os une, o conjunto das solução dessa equação. Exemplo:

Construir um gráfico da equação x + y = 4.

Inicialmente, escolhemos dois pares ordenados que solucionam essa equação.1º par: A (4, 0)2º par: B (0, 4)A seguir, representamos esses pontos num plano cartesiano.

x y4 00 4

Finalmente, unimos os pontos A e B, determinando a reta r, que contém todos os pontos soluções da equação.

A reta r é chamada reta suporte do gráfico da equação.

Sistemas de EquaçõesConsidere o seguinte problema:Pipoca, em sua última partida, acertou x arremessos de 2 pontos e y arremessos de 3 pontos. Ele acertou 25 arremessos e marcou 55 pontos. Quantos arremessos de 3 pontos ele acertou?Podemos traduzir essa situação através de duas equações, a saber:x + y = 25 (total de arremessos certo)2x + 3y = 55 (total de pontos obtidos)Essas equações contém um sistema de equações.Costuma-se indicar o sistema usando chave.

O par ordenado (20, 5), que torna ambas as sentenças verdadeiras, é chamado solução do sistema. Um sistema de duas equações com duas variáveis possui uma única solução.

Resolução de SistemasA resolução de um sistema de duas equações com duas variáveis consiste em determinar um par ordenado que torne verdadeiras, ao mesmo tempo, essas equações.Estudaremos a seguir alguns métodos:Método de substituição

Solução determinamos o valor de x na 1ª equação.

x = 4 - y

Substituímos esse valor na 2ª equação.

2 . (4 - y) -3y = 3

Resolvemos a equação formada.

8 - 2y -3y = 38 - 2y -3y = 3

-5y = -5 => Multiplicamos por -1

5y = 5

y = 1

Substituímos o valor encontrado de y, em qualquer das equações, determinando x.

x + 1 = 4x = 4 - 1

x = 3

A solução do sistema é o par ordenado (3, 1).

V = {(3, 1)}

Método da adiçãoSendo U = , observe a solução de cada um dos sistemas a seguir, pelo método da adição. Resolva o sistema abaixo:

Solução Adicionamos membros a membros as equações:

2x = 16

x = 8 Substituímos o valor encontrado de x, em qualquer das equações, determinado y:

8 + y = 10 y = 10 - 8y = 2A solução do sistema é o par ordenado (8, 2)V = {(8, 2)}

1) Na geladeira de Ana há 15 litros de refrigerante, dispostos tanto em garrafas

de um litro e meio, quanto de 600 ml. Qual é a quantidade de garrafas de cada capacidade sabendo-se que são 13 garrafas no total?

Talvez a maior dificuldade ao resolvermos sistemas de equação do 1° grau com 2 incógnitas, não seja a resolução do sistema em si, pois basta escolhermos um dos dois métodos de resolução de sistemas apresentados aqui e pronto, mas sim a dificuldade de equacionarmos o sistema.

Neste problema estamos tratando de garrafas em duas capacidades: 1,5 l e 600 ml que convertidos em litros são 0,6 l. Sabemos também que temos um total de 15 l de refrigerante, acondicionados em 13 garrafas.

Então vamos montar duas equações. Uma tratando a quantidade de garrafas e outra tratando a quantidade de refrigerante.

Vamos atribuir x à quantidade de garrafas com capacidade de 1,5 l e y às garrafas de 0,6 l.

Segundo o enunciado temos x garrafas de 1,5 l e mais y garrafas de 0,6 l que totalizam 15 l. Então temos a primeira equação:

O enunciado também nos leva a concluir que temos x garrafas de 1,5 l e mais y garrafas de 0,6 l em um total de 13 garrafas. Temos então a segunda equação:

Eis portanto o nosso sistema:

Para solucionarmos o problema pelo método da adição, vamos começar multiplicando todos os termos da segunda equação por -0,6:

Escolhemos -0,6 por ser o oposto do coeficiente de y na primeira equação.

Repare agora que ao somarmos as duas equações estaremos eliminando a variável y:

Agora para encontramos o valor de x, basta passarmos o coeficiente 0,9 para o segundo membro, dividindo o termo 7,2:

Agora que temos o valor de x, vamos substituir o x da segunda equação por 8 para encontrarmos o valor de y:

Portanto para ordenado (8, 5) é a solução do referido sistema.

Na geladeira de Ana há 8 garrafas de 1500 ml e 5 garrafas de 600 ml.

2) Pedrinho comprou duas coxinhas e um refrigerante pelos quais pagou R$ 7,00.

Seu irmão Joãozinho comprou uma coxinha e um refrigerante a mais, pagando R$ 11,50. Qual é o preço do refrigerante e o da coxinha?

Para montarmos as equações vamos utilizar a incógnita c para representar a quantidade de coxinhas e a variável r para a representação da quantidade de refrigerantes.

Como Pedrinho comprou 2 coxinhas e 1 refrigerante a R$ 7,00, temos:

Como Joãozinho comprou uma unidade a mais de cada item, ele comprou 3 coxinhas e 2 refrigerantes a R$ 11,50, temos:

Temos então o seguinte sistema:

Neste exercício vamos utilizar o método da substituição. Para isto vamos começar isolando no primeiro membro, a incógnita r da primeira equação:

Escolhemos o isolamento desta variável, pois ela possuía coeficiente 1, o que tornaria as operações mais simples e rápidas. Em não havendo uma variável nesta situação, devemos escolher a que mais nos pareça simplificar a resolução do sistema.

Agora vamos substituir r na segunda equação:

A partir de c = 2,5 vamos obter o valor de r:

Então:

O valor unitário do refrigerante é R$ 2,00 e o da coxinha é R$ 2,50.

3) Em uma prateleira há 42 produtos em embalagens de 400 g e de 500 g, num

total de 18,5 kg. Quantas embalagens de 400 g precisam ser retiradas para que o número de embalagens de 400 g seja o mesmo que o número de embalagens de 500 g?

Para que as quantidades fiquem iguais, precisamos retirar da prateleira a diferença entre elas. Se representarmos a maior quantidade por x e a menor quantidade por y, precisamos retirar x - y embalagens de 400 g.

Obviamente primeiro é preciso obter o valor de x e y. Para isto iremos montar com estas duas variáveis um sistema de equações do primeiro grau.

A partir do enunciado podemos facilmente montar o seguinte sistema:

A primeira equação representa que a quantidade de embalagens com 400 g, juntamente com a quantidade com 500 g totalizam 42 embalagens.

A segunda equação representa que a massa das embalagens com 400 g, mais a massa das embalagens com 500 g totalizam 18,5 kg. Observe que passamos a massa das embalagens para kg, pois a massa total também está em kg, no entanto poderíamos ter passado a massa total para g se desejássemos.

Vamos resolver este exercício pelo método da substituição. Para que possamos eliminar a variável y, vamos multiplicar todos os termos da primeira equação pelo oposto do coeficiente de y na segunda equação que é -0,5:

Agora podemos somar as duas equações:

Para obtermos o valor de y vamos substituir o valor de x na primeira equação:

Como x = 25 e y = 17 a diferença x - y é igual a 8, portanto:

8 embalagens de 400 g precisam ser retiradas para que o número destas

embalagens seja o mesmo que o número das embalagens de 500 g.

4) Um certo jogo possui fichas com duas ou quatro figuras cada uma. Um certo

jogador possui 8 fichas com um total de 22 figuras. Quantas fichas de cada tipo possui este jogador?

Como sempre vamos atribuir uma letra a cada uma das variáveis do problema. Para as fichas com duas figuras vamos atribuir a letra x e para as fichas com quatro figuras vamos atribuir a letra y.

Lendo o enunciado fica evidente a primeira equação:

Como a letra x está associada às fichas com 2 figuras, assim como a letra y às fichas com quatro figura e como no total temos 22 figuras, podemos escrever a segunda equação:

Então temos que solucionar o seguinte sistema:

Vamos solucioná-lo pelo método da substituição, primeiramente isolando no primeiro membro a incógnita x da primeira equação:

Agora vamos substituir o resultado obtido na segunda equação:

Finalmente vamos obter o valor de x:

Portanto:

Este jogador possui 5 fichas com duas figuras e 3 fichas com quatro figuras.

5) Possuo R$ 2.300,00 em notas de R$ 50,00 e R$ 100,00, totalizando 30 notas.

Quantas notas possuo de cada valor?

Representando por x as notas de R$ 50,00 e por y as notas de R$ 100,00, a partir das informações do problema podemos equacionar o seguinte sistema:

Vamos utilizar o método da adição e para que não fiquemos com nenhum termo negativo após efetuarmos a soma, vamos escolher eliminar a variável x e não a y. Para isto iremos multiplicar por -50 todos os termos da primeira equação, valor este simétrico ao coeficiente de x na segunda equação:

Após executarmos a soma e isolarmos y temos:

E por fim, substituindo o valor de y na primeira equação:

Logo:

Possuo 14 notas de R$ 50,00 e 16 notas de R$ 100,00.

6) Comprando 5 unidades de um produto A mais 3 unidades de um produto B,

terei que desembolsar R$ 90,00. Se eu comprar 15 unidades do produto A e 9 unidades do produto B, pagarei R$ 250,00. Qual é o preço unitário de cada um dos produtos?

Os dados do problema nos levam ao seguinte sistema:

Vamos solucioná-lo pelo método da adição. Iremos começar multiplicando a primeira equação por -3:

Agora realizaremos a soma:

Note que chegamos a uma sentença inválida, portanto o sistema é impossível, não admitindo soluções.

Logo:

Não é possível obtermos o preço unitário de cada um dos produtos.

7) No supermercado comprei arroz a R$ 2,00/kg e feijão a R$ 3,00/kg, pagando

R$ 13,00. Na vendinha do seu Joaquim o arroz teria custado R$ 3,00/kg e o feijão R$ 4,50/kg, pagando R$ 19,50 no total. Quantos quilogramas foram comprados de cada item?

Do enunciado chegamos ao sistema:

Vamos isolar a variável A da primeira equação para aplicarmos o método da substituição:

Agora vamos substituir A na segunda equação:

Logo o sistema é possível e indeterminado, possuindo uma infinidade de soluções.

Então:

As informações do enunciado nos levam a um sistema possível indeterminado

que possui uma infinidade de soluções.

8) Em um pasto há tanto bois quanto cavalos, num total de 50 animais.

Somando-se o número de patas de bois ao número de patas de cavalos, obtemos um total de 180 patas. Quantos cavalos temos no pasto, sabendo-se que todos os animais são normais?

Vamos representar os cavalos pela incógnita C e o bois pela incógnita B e a partir destas variáveis expressarmos as duas equações que nos permitirão formar um sistema de equações com duas variáveis.

Inicialmente o enunciado nos diz que:

Como cavalos e bois normais possuem 4 patas, do enunciado tiramos a segunda equação:

Podemos então montar o seguinte sistema:

Na primeira equação, vamos isolar a variável B, já que estamos em busca do número de cavalos. Se estivéssemos em busca da quantidade de bois, iríamos isolar a variável referente aos cavalos:

Agora vamos substituir B na segunda equação para obtermos o número de cavalos. Foi por isto que no passo anterior isolamos a variável B e não a C:

Como já vimos, esta sentença inválida no indica que este sistema não possui soluções, o que já era de se esperar, já que sendo normais os animais, teríamos que ter 200 patas no total e não apenas 180, mas neste caso ainda assim não teríamos como identificar o número de cavalos, já que o sistema seria possível indeterminado, visto que no final iríamos obter a sentença 0 = 0.

Logo:

Não é possível se calcular o número de cavalos, pois estamos diante de um

sistema impossível.

9) Têm-se vários quadrados iguais e também vários triângulos iguais. Se destes

tomarmos dois triângulos e quatro quadrados, a soma das suas áreas será igual a 784 cm2, já se tomarmos apenas um triângulo e dois quadrados, a soma das suas áreas será igual a 392 cm2. Qual é a área de cada um destes triângulos e quadrados?

Para equacionarmos o problema, vamos atribuir a letra T aos triângulos e a letra Q aos quadrados, então a partir do enunciado podemos montar o seguinte sistema de equações com duas variáveis:

Vamos resolvê-lo pelo método da adição, multiplicando a segunda equação por -2 e adicionando à primeira:

O fato de termos chegado a 0 = 0 nos indica que este é um sistema possível e indeterminado, pois embora haja solução para o mesmo, não temos apenas uma única solução.

Logo:

Os dados do enunciado nos levam a um sistema possível indeterminado que

possui uma infinidade de soluções.

10) A soma de dois números é 530 e a diferença entre eles é 178. Quais são

estes números?

Representando por x o número maior e por y o número menor, temos o seguinte sistema a resolver:

É bastante claro para nós que ao somarmos as equações iremos eliminar os termos com a variável y e é isto o que iremos fazer para apuramos o valor de x:

Agora vamos obter o valor de y trocando o x na primeira equação pelo valor encontrado:

Pronto:

Os números são 354 e 176.

Inequações de primeiro grauIntrodução

Denominamos inequação toda sentença matemática aberta por uma desigualdade.

As inequações do 1º grau com uma variável podem ser escritas numa das seguintes formas:

, , , , como a e b reais . Exemplos:

Representação gráfica de uma inequação do 1º grau com duas variáveisMétodo prático

Substituímos a desigualdade por uma igualdade. Traçamos a reta no plano cartesiano. Escolhemos um ponto auxiliar, de preferência o ponto (0, 0) e verificamos se o mesmo

satisfaz ou não a desigualdade inicial. Em caso positivo, a solução da inequação corresponde ao semiplano ao qual pertence o ponto auxiliar.Em caso negativo, a solução da inequação corresponde ao semiplano oposto aquele ao qual pertence o ponto auxiliar. Exemplos:

Representamos graficamente a inequação

Tabelax y (x, y)

0 4 (0, 4)

2 0 (2, 0)

Substituindo o ponto auxiliar (0, 0) na inequação Verificamos:

(Afirmativa positiva, o ponto auxiliar satisfaz a inequação)A solução da inequação corresponde ao semiplano ao qual pertence o ponto auxiliar (0, 0).

Inequações de primeiro grauResolução Gráfica de um Sistema de Inequações do 1º grau

Para resolver um sistema de inequações do 1º grau graficamente, devemos: traçar num mesmo plano o gráfico de cada inequação; determinar a região correspondente à intersecção dos dois semiplanos. Exemplos:

Dê a resolução gráfica do sistema: SoluçãoTraçando as retas -x + y = 4 e 3x + 2y = 6.

Tabelax y (x, y)

0 4 (0, 4)

-4 0 (-4, 0)Tabela

x y (x, y)

0 3 (0, 3)

1 3/2 (1, 3/2)

Gráfico

Exercícios de Inequações de 1º Grau Resolva as seguintes inequações, em :

a) 2x + 1 x + 6

Diminuir x dos dois lados:

2x - x + 1 x - x + 6

x + 1 6

x 5

b) 2 - 3x x + 14

2 - 3x - x x - x + 14

2 - 4x 14

-4x 12

- x 3

x -3

c) 2(x + 3) > 3 (1 - x)

2x + 6 > 3 - 3x

2x - 2x + 6 > 3 - 3x - 2x

6 - 3 > -5x

3 > - 5x

-x < 3/5

x > -3/5

d) 3(1 - 2x) < 2(x + 1) + x - 7

3 - 6x < 2x + 2 + x - 7

-6x - 3x < -8

-9x < -8

9x > 8

x > 8/9

e) x/3 - (x+1)/2 < (1 - x) / 4

Primeiro devemos achar um mesmo denominador.

-2x - 6 < 3 - 3x

x < 9

f) (x + 3) > (-x-1)

x + 3 > -x - 1

2x > -4

x > -4/2

x > -2

g) [1 - 2*(x-1)] < 2

1 - 2x + 2 < 2

- 2x < 2 - 1 - 2

- 2x < -1

2x > 1

x > 1/2

h) 6x + 3 < 3x + 18

6x - 3x < 18 - 3

3x < 15

x < 15/3

x < 5

i) 8(x + 3) > 12 (1 - x)

8x + 24 > 12 - 12x

20x > 12 - 24

20x > -12

x > -12/20

x > -3/5

j) (x + 10) > ( -x +6)

x + x > 6 - 10

2x > -4

x > -4/2

x > -2

RadiciaçãoPotenciação de RadicaisObservando as potencias, temos que:

De modo geral, para se elevar um radical a um dado expoente, basta elevar o radicando àquele expoente. Exemplos:

Divisão de RadicaisSegundo as propriedades dos radicais, temos que:

De um modo geral, na divisão de radicais de mesmo índice, mantemos o índice e dividimos os radicais: Exemplos:

: =

Se os radicais forem diferentes, devemos reduzi-los ao mesmo índice e depois efetue a operação. Exemplos:

Racionalização de denominadores

Considere a fração: que seu denominador é um número irracional.

Vamos agora multiplicar o numerador e o denominador desta fração por , obtendo uma fração equivalente:

Observe que a fração equivalente possui um denominador racional.A essa transformação, damos o nome de racionalização de denomindores. A racionalização de denominadores consiste, portanto, na obtenção de um fração com denominador racional, equivalente a uma anterior, que possuía um ou mais radicais em seu denominador. Para racionalizar o denominador de uma fração devemos multiplicar os termos desta fração por uma expressão com radical, denominado fator racionalizante, de modo a obter uma nova fração equivalente com denominador sem radical. Principais casos de racionalização: 1º Caso: O denominador é um radical de índice 2: Exemplos:

é o fator racionalizante de , pois . = = a 2º Caso: O denominador é um radical de índice diferente de 2. Exemplos:

é o fator racionalizante de

é o fator racionalizante de

é o fator racionalizante de

é o fator racionalizante de Potência com expoente racional Observe as seguintes igualdades:

ou Igualmente podemos transformar uma potência com expoente fracionário em um radical.

De modo geral, definimos:

, com a R,m,n, N, a >0, n>0, m>0 Podemos também transformar um radical com expoente fracionário:

Propriedade das potências com expoentes racionais As propriedades das potências com expoentes racionais são as mesmas para os expoentes inteiros. Sendo a e b números reais e positivos e os expoentes números racionais, temos que:

Exemplo:

O tópico em questão agora é a radiciação que é a operação inversa da exponenciação.

Observe a figura em vermelho à direita:

Esta imagem representa a raiz cúbica de oito. A expressão matemática é um radical, ela é composta pelo número 3 que é o índice da raiz, pelo símbolo da radiciação e pelo número 8 que é o seu radicando.Mas o que significa a raiz cúbica de oito?Quando estudamos a potenciação, vimos que 23 é igual a 2 . 2 . 2 que é igual a 8. Partimos do número 2 e através de uma multiplicação de 3 fatores iguais a 2, chegamos ao número 8. Agora temos o caminho inverso, a raiz cúbica de oito é a operação que nos aponta qual é número que elevado a 3 é igual a 8, ou seja, é a operação inversa da potenciação.

Raízes de Radicando Real com Índice Não Nulo

A raiz enésima de a é igual a b, se e somente se b elevado a enésima potência for igual a a:

Não Existe a Raiz de um Radicando Negativo e Índice Par

Por quê?

Vamos tomar como exemplo a raiz quadrada de menos 16 expressa por . Segundo a definição temos:

Qual é o valor numérico que b deve assumir para que multiplicado por ele mesmo seja igual a -16?

Como sabemos na multiplicação de números reais ao multiplicarmos dois números, diferentes de zero, com o mesmo sinal, o resultado sempre será positivo, então não existe um número no conjunto dos números reais que multiplicado por ele mesmo dará um valor negativo, pois o sinal é o mesmo em ambos os fatores da multiplicação.

A Raiz de um Radicando Negativo e Índice Ímpar é Negativa

Em uma multiplicação se todos os sinais forem positivos, obviamente o produto final também será positivo, já se tivermos fatores negativos, se estes forem em quantidade par o resultado será positivo, se forem em quantidade ímpar o resultado será negativo. É evidente que nenhum dos fatores pode ser igual a zero. Então a raiz enésima de a, um número real negativo será negativa se o índice for ímpar. Se for par como vimos acima, não existirá.

Vamos analisar a raiz quinta de menos 32 que se expressa como :

Como o expoente de b é ímpar, ou seja, o número de fatores que representa a potência é impar, para que o resultado seja -32, é preciso que b seja negativo. Então a raiz de um número negativo e índice ímpar sempre será um número negativo.Neste exemplo -2 é o número negativo que elevado a 5 resulta em -32, logo:

Note que na potência colocamos o -2 entre parênteses, pois se não o fizéssemos, apenas o 2 estaria elevado à quinta potência. Como o expoente é ímpar, não faria diferença no resultado se não os tivéssemos utilizado, mas isto seria imprescindível se o expoente fosse um número par, para que não houvesse erro de sinal no resultado da potenciação.

A Raiz de um Radicando Positivo também é Positiva

Não importa se o índice é par ou impar, em não sendo nulo, a raiz de um radicando positivo também será positiva.

Vamos analisar a , que se lê raiz quadrada de nove:

Logo 3 é o número que elevado ao quadrado dá 9.Mas você pode também se perguntar:E se for -3? Se elevarmos -3 ao quadrado também iremos obter nove!Correto, mas lembra-se da definição da raiz para um radicando positivo?

Tanto o radicando quanto a raiz devem ser positivos, é por isto que não podemos considerar o -3.

A Raiz de um Radicando Nulo também é Nula

Isto é verdade desde que o índice não seja nulo também.

Exemplo:

, pois .

Propriedades da Radiciação

As propriedades que vamos estudar agora são consideradas no conjunto dos números reais positivos ou nulos, podendo não se verificar caso o radicando seja negativo, pois como sabemos, não existe raiz real de um número negativo.

A Raiz de uma Potência é uma Potência com Expoente Fracionário

Assim como de uma potenciação podemos chegar a uma radiciação, desta podemos chegar a uma potenciação:

Exemplo:

Já que n não pode ser zero, a partir desta propriedade concluímos que não existe raiz de índice zero. Se n fosse zero, o denominador da fração do expoente seria zero, que sabemos não ser permitido.

Mudança de Índice pela sua Multiplicação/Divisão e do Expoente do Radicando por um Mesmo número Não Nulo

Se multiplicarmos ou dividirmos tanto o índice do radical, quanto o expoente do radicando por um mesmo número diferente de zero, o valor do radical continuará o mesmo:

Exemplos:

Raiz de uma Potência

A raiz n de uma potência de a elevado a m, é a potência m da raiz n de a:

Exemplo:

Produto de Radicais de Mesmo Índice

O produto de dois radicais de mesmo índice é igual à raiz deste índice do produto dos dois radicandos:

Exemplo:

Vamos verificar:

Divisão de Radicais de Mesmo Índice

O quociente de dois radicais de mesmo índice é igual a raiz deste índice do quociente dos dois radicandos:

Exemplo:

Verificando:

Simplificação de Radicais Através da Fatoração

Podemos simplificar e em alguns casos até mesmo eliminar radicais, através da decomposição do radicando em fatores primos. O raciocínio é simples, decompomos o radicando em fatores primos por fatoração e depois simplificamos os expoentes que são divisíveis pelo índice do radicando.

Vamos simplificar decompondo 91125 em fatores primos:

Como 91125 = 36 . 53 podemos dizer que:

Repare que tanto o expoente do fator 36, quanto o expoente do fator 53 são múltiplos do índice do radicando que é igual a 3. Vamos então simplificá-los:

Perceba que através da fatoração de 91125 e da simplificação dos expoentes dos fatores pelo índice do radicando, extraímos a sua raiz cúbica eliminando assim o radical.Vejamos agora o caso do radical :

Logo 2205 = 32 . 5 . 72, então:

Como os expoentes dos fatores 32 e 72 são divisíveis pelo índice 2, vamos simplificá-los retirando-os assim do radical:

Neste caso o expoente do fator 5 não é divisível pelo índice 2 do radicando, por isto após a simplificação não conseguimos eliminar o radical.

Agora vamos analisar o número :

Note que 729 = 36, então:

Neste caso o expoente de 36 não é divisível pelo índice 5, mas é maior, então podemos escrever:

Repare que agora o expoente do fator 35 é divisível pelo índice 5, podemos então retirá-lo do radical:

Agora vamos pensar um pouco. Após a fatoração tínhamos o radical . O expoente 6 não é divisível por 5, pois ao realizarmos a divisão, obtemos um quociente de 1 e um resto também de 1. Pois bem, o 1 do quociente será o expoente da base 3 ao sair o radical. A parte que ainda ficou no radical terá como expoente o 1 do resto. Vamos a alguns exemplos para melhor entendermos a questão:

Simplifique .Dividindo 18 por 7 obtemos um quociente de 2 é um resto de 4, logo fora do radical a base 5 terá o expoente 2 do quociente e a base dentro do radical terá o expoente 4 que é o resto da divisão:

Logo:

Outro exemplo, simplifique .A divisão de 15 por 5 resulta em quociente 3 e resto 0, pois a divisão é exata, mas não há problema. Seguindo as explicações temos:

Veja que quando o é resto for zero podemos eliminar o radical, já que o radicando sempre será igual a 1, pois todo número natural não nulo elevado a zero é igual a um:

Nos casos em que os expoentes de todos os fatores forem menores que o índice do radical

como, por exemplo, em , a simplificação não poderá ser realizada.

Exercícios de RadiciaçãoEscreva simplificadamente::

a)

b)

c)

Efetue as operações, escrevendo de forma mais simplificada:

d)

e)

Racionalize os denominadores:

f)

g)

h)

i)

j)

6) Calcule .

Vamos resolver este exercício de duas maneiras distintas. Na primeira vamos passar o expoente 8 para dentro do radical e na segunda vamos transformar o radical em uma potência com expoente fracionário.

Passando o expoente 8 para dentro do radical temos:

Agora vamos utilizar a propriedade da mudança de índice pela sua divisão e do expoente do radicando por 4:

A raiz de índice 1 de um número é igual ao próprio número:

Pela outra forma temos:

Agora multiplicamos os expoentes e resolvemos a potência:

Então:

.

7) Calcule .

Podemos resolver este exercício multiplicando índice e expoente, ambos por 3. Isto eliminará as frações e de quebra o radicando:

Uma outra forma de resolução é transformarmos o radicando em uma potência de expoente fracionário:

Logo:

.

8) Calcule .

Inicialmente vamos fatorar 8, 147 e 81:

Você pode utilizar a nossa calculadora para decomposição de um número natural em fatores primos, se estiver com duvidas sobre a fatoração.

Após realizarmos as substituições temos:

Agora segundo a propriedade da raiz de uma potência, em vamos transformar a raiz de uma potência, na potência de uma raiz, tirando o expoente do radicando para fora do radical:

Em vamos dividir por 3, tanto o índice quanto os expoentes, para eliminarmos o radical:

Em vamos fazer algo semelhante, dividindo por 2, tanto o índice quanto o expoente de 72, para também retirarmos o 7 do radical:

Observe que na realidade tomamos um atalho, pois a operação completa para retirarmos o 7 do radicando seria:

Repare que primeiro separamos a multiplicação no radicando em dois radicais e depois realizamos a divisão por 2.

Continuando, vamos simplificar agora o índice e o expoente de , dividindo-os por 4:

Como e possuem o mesmo radical, podemos subtrair um do outro:

Agora vamos simplificar a fração dividindo numerador e denominador por :

Portanto:

.

9) Extraia a raiz cúbica de 3375 pelo método da fatoração.

Fatorando 3375 temos:

Como 3375 = 33 . 53 temos:

Como ambos os expoentes são divisíveis pelo índice 3 do radicando, pois são iguais a 3, podemos retirar ambos os fatores do radical, dividindo os expoentes pelo índice 3 e repetindo as bases das potências, agora sem o radical:

Então:

.

10) Simplifique o radical .

Para facilitar a explicação vamos iniciar separando os fatores em um radical à parte, todos com o mesmo índice:

No primeiro radical a divisão de 14 por 3 terá como quociente 4 e como resto 2, então o radical simplificado será a base 5 elevada ao quociente 4 multiplicada pela raiz cúbica de 5 elevado ao resto 2:

O segundo radical não iremos simplificar, pois o expoente do radicando é menor que o índice do radical, além de serem primos entre si. Se houvesse um divisor comum maior que 1, iríamos dividi-los por este divisor:

Por fim no último radical, como o expoente é igual ao próprio índice, teremos como fator apenas a base 10:

Substituindo os radicais por suas simplificações temos:

.

Razões - IntroduçãoVamos considerar um carro de corrida com 4m de comprimento e um kart com 2m de comprimento. Para compararmos as medidas dos carros, basta dividir o comprimento de um deles pelo outro. Assim:

(o tamanho do carro de corrida é duas vezes o tamanho do kart).

Podemos afirmar também que o kart tem a metade do comprimento do carro de corrida.A comparação entre dois números racionais, através de uma divisão, chama-se razão.

A razão pode também ser representada por 1:2 e significa que cada metro do kart corresponde a 2m do carro de corrida.

Denominamos de razão entre dois números a e b (b diferente de zero)

o quociente ou a:b.A palavra razão, vem do latim ratio, e significa "divisão". Como no exemplo anterior, são diversas as situações em que utilizamos o conceito de razão. Exemplos:

Dos 1200 inscritos num concurso, passaram 240 candidatos.Razão dos candidatos aprovados nesse concurso:

(de cada 5 candidatos inscritos, 1 foi aprovado). Para cada 100 convidados, 75 eram mulheres.

Razão entre o número de mulheres e o número de convidados:

(de cada 4 convidados, 3 eram mulheres).

Observações:1) A razão entre dois números racionais pode ser apresentada de três formas. Exemplo:

Razão entre 1 e 4: 1:4 ou ou 0,25.2) A razão entre dois números racionais pode ser expressa com sinal negativo, desde que seus termos tenham sinais contrários. Exemplos:

A razão entre 1 e -8 é .

A razão entre é .

Termos de uma razão

Observe a razão:

(lê-se "a está para b" ou "a para b").

Na razão a:b ou , o número a é denominado antecedente e o número b é denominado consequente. Veja o exemplo:

3:5 = Leitura da razão: 3 está para 5 ou 3 para 5.

Razões inversas

Considere as razões .

Observe que o produto dessas duas razões é igual a 1, ou seja, .

Nesse caso, podemos afirmar que são razões inversas.Duas razões são inversas entre si quando o produto delas é igual a 1.

Exemplo:

são razões inversas, pois .Verifique que nas razões inversas o antecedente de uma é o consequente da outra, e vice-versa.

Observações:1) Uma razão de antecedente zero não possui inversa.2) Para determinar a razão inversa de uma razão dada, devemos permutar (trocar) os seus termos.

Exemplo: O inverso de .

Razões equivalentesDada uma razão entre dois números, obtemos uma razão equivalente da seguinte maneira:

Multiplicando-se ou dividindo-se os termos de uma razão por um mesmo número racional (diferente de zero), obtemos uma razão equivalente.

Exemplos:

são razões equivalentes.

são razões equivalentes.

Razões entre grandezas da mesma espécie

O conceito é o seguinte:Denomina-se razão entre grandezas de mesma espécie o quociente entre os números que

expressam as medidas dessas grandezas numa mesma unidade.Exemplos:1) Calcular a razão entre a altura de dois anões, sabendo que o primeiro possui uma altura h1= 1,20m e o segundo possui uma altura h2= 1,50m. A razão entre as alturas h1 e h2 é dada por:

2) Determinar a razão entre as áreas das superfícies das quadras de vôlei e basquete, sabendo que a quadra de vôlei possui uma área de 162m2 e a de basquete possui uma área de 240m2.

Razão entre as área da quadra de vôlei e basquete: .

Razões entre grandezas de espécies diferentesO conceito é o seguinte:

Para determinar a razão entre duas grandezas de espécies diferentes, determina-se o quociente entre as medidas dessas grandezas. Essa razão deve ser acompanhada da

notação que relaciona as grandezas envolvidas.Exemplos:1) Consumo médio:

Beatriz foi de São Paulo a Campinas (92Km) no seu carro. Foram gastos nesse percurso 8 litros de combustível. Qual a razão entre a distância e o combustível consumido? O que significa essa razão? Solução:

Razão =

Razão = (lê-se "11,5 quilômetros por litro").Essa razão significa que a cada litro consumido foram percorridos em média 11,5 km.2) Velocidade média:

Moacir fez o percurso Rio-São Paulo (450Km) em 5 horas. Qual a razão entre a medida dessas grandezas? O que significa essa razão?Solução:

Razão = Razão = 90 km/h (lê-se "90 quilômetros por hora").Essa razão significa que a cada hora foram percorridos em média 90 km.3) Densidade demográfica:

O estado do Ceará no último censo teve uma população avaliada em 6.701.924 habitantes. Sua área é de 145.694 km2. Determine a razão entre o número de habitantes e a área desse estado. O que significa essa razão?Solução:

Razão = Razão = 46 hab/km2 (lê-se "46 habitantes por quilômetro quadrado").Essa razão significa que em cada quilômetro quadrado existem em média 46 habitantes.4) Densidade absoluta ou massa específica:

Um cubo de ferro de 1cm de aresta tem massa igual a 7,8g. Determine a razão entre a massa e o volume desse corpo. O que significa essa razão?Solução:

Volume = 1cm . 1cm . 1cm = 1cm3

Razão = Razão = 7,8 g/cm3 (lê-se "7,8 gramas por centímetro cúbico").Essa razão significa que 1cm3 de ferro pesa 7,8g.

Exercícios de Razões

a) A razão é igual a 10. Determine a razão .

.

b) A distância entre duas cidades num mapa de escala 1:2000 é de 8,5 cm. Qual a distância real entre essas duas cidades?

2000 * 8,5 = 17000 cm.

c) A idade de Pedro é 30 anos e a idade de Josefa é 45 anos. Qual é a razão entre as idades de Pedro e Josefa?

A razão é: .

d) Uma caixa de chocolate possui 250g de peso líquido e 300g de peso bruto. Qual é a razão do peso líquido para o peso bruto?

A razão é: .

e) A razão entre o comprimento da sombra e da altura de um edifício é de . Se o edifício tem 12 m de altura, qual o comprimento da sombra?

2 * 12 / 3 = 8m de comprimento.

f) Pedrinho resolveu 20 problemas de Matemática e acertou 18. Cláudia resolveu 30 problemas e acertou 24. Quem apresentou o melhor desempenho?

Pedrinho acertou e Cláudia acertou .

Pedrinho teve o melhor desempenho.

g) A razão entre a quantia que gasto e a quantia que recebo como salário por

mês é de . O que resta coloco em caderneta de poupança. Se neste mês meu salário foi de R$ 840,00, qual a quantia que aplicarei na caderneta de poupança?

840,00 / 5 = 168,00*1 = 168,00

h) Uma equipe de futebol obteve, durante o ano de 2010, 26 vitórias, 15 empates e 11 derrotas. Qual é a razão do número de vitórias para o número total de partidas disputadas?

26 + 15 + 11 = 52 jogos ao total.

Então: .

i) Durante o Campeonato Brasileiro de 2010, uma equipe teve 12 penaltis a seu favor. Sabendo que a razão do número de acertos para o total de penaltis

foi de , quantos penaltis foram convertidos em gol por essa equipe?

12 / 4 = 3 * 3 = 9 penaltis.

j) Um reservatório com capacidade para 8m³ de água, está com 2000L de água. Qual a razão da quantidade de água que está no reservatório para a capacidade total do reservatório? (Lembre-se que 1dm³ = 1L).

8 m³ * 1000 = 8.000dm³

.

Proporções - IntroduçãoRogerião e Claudinho passeiam com seus cachorros. Rogerião pesa 120kg, e seu cão, 40kg. Claudinho, por sua vez, pesa 48kg, e seu cão, 16kg.Observe a razão entre o peso dos dois rapazes:

Observe, agora, a razão entre o peso dos cachorros:

Verificamos que as duas razões são iguais. Nesse caso, podemos afirmar que a igualdade é uma proporção. Assim:

Proporção é uma igualdade entre duas razões.

Elementos de uma proporçãoDados quatro números racionais a, b, c, d, não-nulos, nessa ordem, dizemos que eles formam uma proporção quando a razão do 1º para o 2º for igual à razão do 3º para o 4º. Assim:

ou a:b=c:d(lê-se "a está para b assim como c está para d")

Os números a, b, c e d são os termos da proporção, sendo:

b e c os meios da proporção. a e d os extremos da proporção.

Exemplo:

Dada a proporção , temos:Leitura: 3 está para 4 assim como 27 está para 36.Meios: 4 e 27 Extremos: 3 e 36

Propriedade fundamental das proporções

Observe as seguintes proporções:

Produto dos meios = 4.30 = 120Produto dos extremos = 3.40 = 120

Produto dos meios = 9.20 = 180Produto dos extremos = 4.45 = 180

Produto dos meios = 8.45 = 360Produto dos extremos = 5.72 = 360

De modo geral, temos que:

Daí podemos enunciar a propriedade fundamental das proporções:Em toda proporção, o produto dos meios é igual ao produto dos extremos.

Aplicações da propriedade fundamentalDeterminação do termo desconhecido de uma proporçãoExemplos:

Determine o valor de x na proporção:

Solução:5 . x = 8 . 15 (aplicando a propriedade fundamental)5 . x = 120

x = 24Logo, o valor de x é 24.

Determine o valor de x na proporção:

Solução:5 . (x-3) = 4 . (2x+1) (aplicando a propriedade fundamental)5x - 15 = 8x + 45x - 8x = 4 + 15-3x = 193x = -19

x =

Logo, o valor de x é .

Os números 5, 8, 35 e x formam, nessa ordem, uma proporção. Determine o valor de x.

Solução:

(aplicando a propriedade fundamental)5 . x = 8 . 355x = 280

x = 56Logo, o valor de x é 56.Resolução de problemas envolvendo proporçõesExemplo:

Numa salina, de cada metro cúbico (m3) de água salgada, são retirados 40 dm3 de sal. Para obtermos 2 m3 de sal, quantos metros cúbicos de água salgada são necessários?

Solução:A quantidade de sal retirada é proporcional ao volume de água salgada.Indicamos por x a quantidade de água salgada a ser determinada e armamos a proporção:

Lembre-se que 40dm3 = 0,04m3.

(aplicando a propriedade fundamental)1 . 2 = 0,04 . x0,04x = 2

x = 50 m3

Logo, são necessários 50 m3 de água salgada.

Quarta proporcionalDados três números racionais a, b e c, não-nulos, denomina-se quarta proporcional desses números um número x tal que:

Exemplo:

Determine a quarta proporcional dos números 8, 12 e 6.

Solução: Indicamos por x a quarta proporcional e armamos a proporção:

(aplicando a propriedade fundamental)8 . x = 12 . 6 8 . x = 72

x = 9Logo, a quarta proporcional é 9.

Proporção contínua

Considere a seguinte proporção: Observe que os seus meios são iguais, sendo, por isso, denominada proporção contínua. Assim:

Proporção contínua é toda a proporção que apresenta os meios iguais.De um modo geral, uma proporção contínua pode ser representada por:

Terceira proporcionalDados dois números naturais a e b, não-nulos, denomina-se terceira proporcional desses números o número x tal que:

Exemplo:Determine a terceira proporcional dos números 20 e 10.SoluçãoIndicamos por x a terceira proporcional e armamos a proporção:

(aplicando a propriedade fundamental)20 . x = 10 . 1020x = 100

x = 5Logo, a terceira proporcional é 5.Média geométrica ou média proporcional

Dada uma proporção contínua , o número b é denominado média geométrica ou média proporcional entre a e c. Exemplo:

Determine a média geométrica positiva entre 5 e 20.Solução:

5 . 20 = b . b100 = b2

b2 = 100

b = b = 10Logo, a média geométrica positiva é 10.

Propriedades das proporções1ª propriedade:

Numa proporção, a soma dos dois primeiros termos está para o 2º (ou 1º) termo,assim como a soma dos dois últimos está para o 4º (ou 3º).

DemonstraçãoConsidere as proporções:

Adicionando 1 a cada membro obtemos:

Exemplo:

Determine x e y na proporção , sabendo que x+y=84.Solução:

Assim:

x+y = 84 => x = 84-y => x = 84-48 => x=36.Logo, x=36 e y=48.2ª propriedade:

Numa proporção, a diferença dos dois primeiros termos está para o 2º (ou 1º) termo,assim como a diferença dos dois últimos está para o 4º (ou 3º).

DemonstraçãoConsidere as proporções:

Subtraindo 1 a cada membro obtemos:

(Mult. os 2 membros por -1)

Exemplo:

Sabendo-se que x-y=18, determine x e y na proporção .Solução:

Pela 2ª propriedade temos que:

x-y = 18 => x=18+y => x = 18+12 => x=30.Logo, x=30 e y=12.3ª propriedade:

Numa proporção, a soma dos antecedentes está para a soma dos consequentes,assim como cada antecedente está para o seu consequente.

DemonstraçãoConsidere a proporção:

Permutando os meios, temos:

Aplicando a 1ª propriedade, obtemos:

Permutando os meios, finalmente obtemos:

4ª propriedade:Numa proporção, a diferença dos antecedentes está para a diferença dos consequentes,

assim como cada antecedente está para o seu consequente.DemonstraçãoConsidere a proporção:

Permutando os meios, temos:

Aplicando a 2ª propriedade, obtemos:

Permutando os meios, finalmente obtemos:

Exemplo:

Sabendo que a-b = -24, determine a e b na proporção .Solução:

Pela 4ª propriedade, temos que:

5ª propriedade:Numa proporção, o produto dos antecedentes está para o produto dos consequentes,

assim como o quadrado de cada antecedente está para quadrado do seu consequente.

DemonstraçãoConsidere a proporção:

Multiplicando os dois membros por , temos:

Assim:

Observação: a 5ª propriedade pode ser estendida para qualquer número de razões. Exemplo:

Proporção múltiplaDenominamos proporção múltipla uma série de razões iguais. Assim:

é uma proporção múltipla.

Dada a série de razões iguais , de acordo com a 3ª e 4ª propriedade, podemos escrever:

1) Dois números somados totalizam 510. Sabe-se que um deles está para 8, assim como o outro está para 9. Quais são os dois números?

Chamemos o primeiro número de a e o outro número de b. Do enunciado, tiramos que a está para 8, assim como b está para 9. Utilizando-nos da terceira propriedade das proporções temos:

Sabemos que a e b somados resultam em 510, assim como a adição de 8 a 9 resulta em 17. Substituindo estes valores na proporção teremos:

Portanto:

Chegamos então que os dois números são 240 e 270.

2) Um número a somado a um outro número b totaliza 216. a está para 12, assim

como b está para 15. Qual o valor de a e de b?

Recorrendo à terceira propriedade das proporções montamos a seguinte proporção:

Sabemos que a soma de a com b é igual a 216, assim como também sabemos que 12 mais 15 totaliza 27. Substituindo tais valores teremos:

Portanto:

Os dois números são 96 e 120.

3) Um número a subtraído de um outro número b resulta em 54. a está para 13,

assim como b está para 7. Qual o valor de a e de b?

Recorremos à terceira propriedade das proporções para montarmos a seguinte proporção:

Sabemos que a diferença entre a e b é igual a 54, e sabemos também que 13 menos 7 dá 6. Substituindo tais valores teremos:

Portanto:

Os dois números são 117 e 63.

4) A diferença entre dois números é igual a 52. O maior deles está para 23, assim

como o menor está para 19. Quais são os números?

Vamos chamar o número maior de a e o menor de b. Do enunciado, a está para 23, assim como b está para 19. Ao utilizarmos a terceira propriedade das proporções temos:

Sabemos que a menos b é igual a 52, assim como 23 menos 19 é igual a 4. Ao substituirmos estes valores na proporção teremos:

Portanto:

Chegamos então que os dois números são 299 e 247.

5) A idade de Pedro está para a idade de Paulo, assim como 5 está para 6. Quantos anos tem Pedro e Paulo sabendo-se que as duas idades somadas totalizam 55 anos?

Identifiquemos a idade de Pedro por a e a idade de Paulo por b. A partir do enunciado, temos que a está para b, assim como 5 está para 6. Utilizando-nos da segunda propriedade das proporções temos:

Sabemos que a soma a e b resulta em 55, assim como 5 mais 6 resulta em 11. Substituindo estes valores na proporção temos:

Para calcularmos o valor de a temos:

Portanto:

Pedro tem 25 anos e Paulo tem 30 anos.

6) O peso de uma sacola em kg está para o peso de uma outra sacola também em

kg, assim como 32 está para 28. Quanto pesa cada uma das sacolas, sabendo-se que juntas elas pesam 15kg?

Identifiquemos o peso da primeira sacola por a e o peso da segunda por b. Como expresso no enunciado, temos que a está para b, assim como 32 está para 28. Da segunda propriedade das proporções temos que:

Temos que a e b somados resultam em 15, assim como 32 mais 28 resulta em 60. Substituindo-os na proporção temos:

Calculemos o valor de b:

Portanto:

Uma das sacolas pesa 8kg ao passo que a outra pesa 7kg.

7) A soma de dois números é igual a 46. O primeiro está para o segundo, assim

como 87 está para 51. Quais são os números?

Identifiquemos o primeiro deles por a e o segundo por b. Como dito no enunciado, a está para b, assim como 87 está para 51. A segunda propriedade das proporções nos diz que:

Temos que a mais b dá 46, assim como 87 mais 51 resulta em 138. Substituindo-os na proporção temos:

Calculemos o valor de b:

Portanto:

O segundo dos números é igual a 17 e o primeiro é igual a 29.

8) Dois números a e b diferem entre si em 18 unidades. a está para b, assim

como 825 está para 627. Qual o valor de a e de b?

Da segunda propriedade das proporções temos:

Sabemos que a diferença entre a e b resulta em 18, assim como 825 menos 627 resulta em 198. Substituindo tais valores na proporção temos:

Para calcularmos o valor de a temos:

Portanto:

75 e 57 respectivamente se referem ao valor de a e de b.

9) Quatro números, 72, 56, 90 e x, todos diferentes de zero, formam nesta ordem

uma proporção. Qual o valor da quarta proporcional x?

De acordo com a quarta proporcional temos:

O valor da quarta proporcional x é 70.

10) Quatro números, x, 15, 15 e 9, todos diferentes de zero, formam nesta ordem

uma proporção. Qual o valor da terceira proporcional x?

De acordo com a terceira proporcional temos:

O valor da terceira proporcional x é 25.

Exercícios de ProporçõesResolva as seguintes proporções:

a) b)

c) d)

e) f)

g)

Resposta a:

x * 35 = 21 * 5

35x = 105

x = 3

Resposta b:

10 * x = 7 * 50

10x = 350

x = 35

Resposta c:

1 * 49 = 7(x - 6)

49 = 7x - 42

49 + 42 = 7x

91 = 7x

x = 13

Resposta d:

(5x + 3) * 30 = 10 ( -21)

150x + 90 = -210

150x = -210 - 90

150x = -300

x = -2

Resposta e:

5 * 54 = (x + 4) * 30

270 = 30x + 120

270 - 120 = 30x

150 = 30x

x = 5

Resposta f:

0,9 * 27 = x (-18)

24,3 = -18x

x = -1,35

Resposta g:

(7x + 5) * (3/4) = 4 * 2x

(7x + 5) * (3/4) = 8x

21x + 15 = 32x

15 = 11x

x = 15/11

h) Sabendo que x + y = 42, determine x e y na proporção .

Propriedade:

(x + y) / y = (5 + 9) / 9

Assim:

42 / y = 14 / 9

42 * 9 = 14 * y

378 / 14 = y

y = 27

Sabendo que y = 27, vamos descobrir o x:

x + 27 = 42

x = 42 - 27

x = 15

i) Sabendo que a + b = 55, determine a e b na proporção .

Propriedade:

(a + b) / b = (4 + 7) / 7

55 / b = 11 / 7

55 * 7 = 11 * b

b = 385 / 11 = 35

a + 35 = 55

a = 55 - 35 = 20

j) A soma da idade do pai e do filho é 45 anos. A idade do pai está para a idade do filho, assim como 7 está para 2. Determine a idade do pai e do filho.

x + y = 45

x / y = 7 / 2

Propriedade:

(x+y) / y = (7+2) / 2

45 / y = 9 / 2

45 * 2 = 9 * y

y = 90 / 9 = 10

A idade do filho é 10 anos.

x + 10 = 45

x = 45 - 10 = 35

A idade do pai é 35 anos