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Técnicas de integração. Há apostilas melhores, mas preciso baixar um livro. vlw, kkk
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Calculo II
Beto Rober Bautista Saavedra
Juazeiro, 02/03/2009
1
.
0. Metodos de Integracao
.
• Metodo das Fracoes Parciais.
• Metodo da Substituicao Trigonometrica.
Metodo das Fracoes Parciais.
Esta tecnica nos ensina como integrar func~oes racionais proprias . Ela e baseada
na idea de decompor uma func~ao racional em uma soma de func~oes racionais
mais simples, que possam ser integrados pelos metodos ja estudados, como
descreveremos a seguir :
• Seja a func~ao racional propriaf(x)
g(x). Isto e, o grau do polinomio com coeficientes
reais f(x) e menor que o grau do polinomio com coeficientes reais g(x).
• Escrevemos g(x) como um produto de fatores reais lineares e fatores reais quadraticos.Na
teoria geral da Algebra, isto sempre e possivel. Na pratica, pode ser difıcil
encontrar esses fatores.
• Seja px−q um fator linear de g(x). Suponha que (px−q)m seja a maior potencia
de px − q que divide g(x). Ent~ao , atribua a esse fator a soma de m frac~oes
parciais:A1
px − q+
A2
(px − q)2+ · · · + A2
(px − q)m.
Faca isso para cada fator linear distinto de g(x).
• Seja px2 + qx+ r um fator quadratico de g(x). Suponha que (px2 + qx+ r)n seja a
maior potencia desse fator que divide g(x). Ent~ao atribua a esse fator a soma
de n frac~oes parciais:
B1x + C1
(px2 + qx + r)+
B2x + C2
(px2 + qx + r)2+ · · · + Bnx + Cn
(px2 + qx + r)n
Faca isso para cada fator quadratico distinto de g(x) que n~ao pode ser decomposto
como produto de fatores lineares com coeficientes reais.
2
• Iguale a frac~ao originalf(x)
g(x)a soma de todas essas frac~oes parciais.E, multiplique
a ambos os lados da equac~ao por g(x). Logo, organize os termos, de um lado da
equac~ao resultante, em potencias decrescentes de x.
• Iguale os coeficientes das potencias correspondentes de x e resolva o sistema
de equac~oes obtido desse modo para encontrar os coeficientes indeterminados.
Assim, nosso problema de integrar frac~oes parciais proprias se reduz principalmente
a encontrar os coeficientes Ai, Bj , Ck, que a priori sabemos existem.
3
.
0.1 Exercıcios.
• Decomponha os quocientes dos exercıcios 1-8 em frac~oes parciais.
1.5x − 13
(x − 3)(x − 2)2.
5x − 7
x2 − 3x + 23.
x + 4
(x + 1)24.
2x + 2
x2 − 2x + 15.
z + 1
z2(z − 1)
6.z
z3 − z2 − 6z7.
t2 + 8
t2 − 5t + 68.
t4 + 9
t4 + 9t2
• Calcule as integrais dos exercıcios 9-27
9.
∫dx
1 − x210.
∫dx
x2 + 2x11.
∫dt
t3 + t2 − 2t12.
∫ 1
12
y + 4
y2 + ydy
13.
∫ 1
0
x3dx
x2 + 2x + 114.
∫ 0
−1
x3dx
x2 − 2x + 115.
∫dt
(t2 − 1)216.
∫x2dx
(x − 1)(x2 + 2x + 1)
17.
∫ 1
0
dx
(x + 1)(x2 + 1)18.
∫ √3
1
3t2 + t + 4
t3 + tdt 19.
∫8x2 + 8x + 2
(4x2 + 1)2dx 20.
∫s4 + 81
s(s2 + 9)
21.
∫2x3 − 2x2 + 1
x2 − xdx 22.
∫9t3 − 3t + 1
t3 − t2dt 23.
∫x4
x2 − 1dx 24.
∫s4 + s2 − 1
s3 + s
25.
∫etdt
e2t + 3et + 226.
∫senθdθ
cos2θ + 3cosθ − 227.
∫(x + 1)2arctg(3x) + 9x3 + x
(9x2 + 1)(x + 1)2dx
.
28.
∫(x − 1)4
x2 + 129.
∫x2(x − 1)4
x2 + 130.
∫x4(x − 1)4
x2 + 1
.
• A aproximac~ao 227 ≈ π e razoavel ? Descubra isso expressando ( 22
7 − π) como
porcentagem de π. Ver o exercıcio 30.
4
Metodo da Substituicao Trigonometrica.
Na tabela a seguir listamos substituicoes trigonometricas que sao posivelmente eficazes, para as
expressoes radicais que envolvem√
a2 − x2,√
a2 + x2,√
x2 − a2, por causa de certas identidades
trigonometricas. Em cada caso a restricao de θ e imposta para assegurar que a funcao que define
a substituicao seja um a um.
.
Tabela de Substituicoes Trigonometricas
.
Express~ao Substituic~ao Identidade
√a2 − x2 x = a.sen θ, −π
2 ≤ θ ≤ π2 1 − sen2 θ = cosθ
√a2 + x2 x = a.tgθ, −π
2 ≤ θ ≤ π2 1 + tg2 θ = sec2θ
√x2 − a2 x = a.sec θ, 0 ≤ θ ≤ π
2 ou π ≤ θ < 3π2 1 + tg2 θ = sec2 θ
5
.
0.2 Exercıcios
1. Calcule a primitiva de
∫ √9 − x2
x2dx
2. Encontre a area limitada pela elipsex2
a2+
y2
b2
3. Calcule a primitiva de
a)
∫1
x2√
x2 − 9dx b)
∫
x3√
9 − x2dx c)
∫ 2√
3
0
x3
√16 − x2
dx d)
∫x
(x2 + 4)52
dx
e)
∫√
1 − 4x2dx f)
∫
x√
25 + x2dx g)
∫ 3
0
x√
9 − x2dx h)
∫
x2√
4x − x2dx
i)
∫
et√
e2t − 9dt j)
∫√
e2t − 9dt
4. A substituicao z = tg( z2 ) reduz o problema de integrar uma expressao racional de
sen(x) e cos(x) ao problema de integrar uma funcao racional de z :
(a) Provar que tg(x2 ) = sen(x)
1+cos(x) , cos(x) = 1−z2
1+z2 , sen(x) = 2z1+z2 e dx = 2dz
1+z2 .
(b) Calcular∫
dx1+sen(x)+cos(x)
(c) Calcular∫ 2π
3π
2
cos(θ)dθ
sen(θ)cos(θ)+sen(θ)
(c) Calcular∫
sec(x)dx
(d) Calcular∫
cosec(θ)dθ.
.
6
.
1. Integrais Improprias
• Limites Infinitos de Integracao .
• A Integral
∫ ∞
1
1
xpdx.
• Integrandos com Descontinuidades Infinitas.
• Testes para Convergencia e Divergencia.
Na definicao da integral definida∫ b
af(x)dx trabalhamos com uma funcao contınua f definida num
intervalo limitado [a, b]. Neste capıtulo estendemos o conceito de integral definida para o caso onde o
intervalo e infinito e tambem para o caso onde f tem um numero finito de descontinuidades.
Limites Infinitos de Integracao .
.
1.1 Definicao . Integrais Improprias com Limites de Integracao Infi-
nitos
Integrais com limites infinitos de integracao sao Integrais Improprias.
1. Se f(x) e contınua em [a,+∞), entao
∫ +∞
a
f(x)dx = limt→+∞
∫ t
a
f(x)dx.
2. Se f(x) e contınua em (−∞, b], entao
∫ b
−∞
f(x)dx = limt→−∞
∫ b
t
f(x)dx.
3. Se f(x) e contınua em (−∞,+∞), , entao definimos
∫ +∞
−∞
f(x)dx =
∫ a
−∞
f(x)dx +
∫ +∞
a
f(x)dx
onde a e qualquer numero real.
.
7
z Nas partes 1 e 2, se o limite for finito, a integral impropria converge e o limite e o valor da integral
impropria. Se o limite nao existe, a integral impropria diverge. Na parte 3, a integral do lado
esquerdo da equacao converge se as duas integrais do lado direito tambem sao convergentes; se
nao , a integral diverge.
z Qualquer uma das integrais improprias anteriores pode ser interpretado como uma area, desde que
f seja uma funcao positiva.
.
1.2 Exercıcio.
Encontre os valores de p para os quais a integral abaixo converge e calcule a integral para
esses valores de p.
.∫ 1
0
xpln(x)dx
A Integral
∫+∞
1
1
xpdx.
A funcao y = 1x
e a fronteira entre as integrais convergentes e divergentes improprias com
integrandos da forma y = 1xp . O seguinte teorema explica.
.
1.3 Teorema. A integral
∫ +∞
1
1
xpdx =
1
p − 1, se p > 1 ;
+∞, se p ≤ 1 .
.
8
Integrandos com Descontinuidades Infinitas.
Outro tipo de integral impropria aparece quando o integrando tem uma assıntota vertical
- Descontinuidade Infinita - em um limite da integracao ou em algum ponto entre os limites da
integracao .
.
1.4 Definicao . Integrais Improprias com Descontinuidades Infinitas
1. Se f(x) e contınua em (a, b], e tem uma assıntota vertical em x = a, entao
∫ b
a
f(x)dx = limt→a+
∫ b
t
f(x)dx.
2. Se f(x) e contınua em [a, b), e tem uma assıntota vertical em x = b, entao
∫ b
a
f(x)dx = limt→b−
∫ t
a
f(x)dx.
3. Se f e contınua em [a, b] − {c}, onde a < c < b, e tem assıntota em x = c, entao
∫ b
a
f(x)dx =
∫ c
a
f(x)dx +
∫ b
c
f(x)dx
.
z Nas partes 1 e 2, se o limite for finito, a integral impropria converge e o limite e o valor da integral
impropria. Se o limite nao existe, a integral impropria diverge. Na parte 3, a integral do lado
esquerdo da equacao converge se as duas integrais do lado direito tambem sao convergentes; se
nao , a integral diverge.
Testes para Convergencia e Divergencia.
Algumas vezes e imposıvel encontrar o valor exato de uma integral impropria, mas ainda assim e
importante saber se ela e convergente ou divergente. Se a integral diverge, acabou a historia. Se ela
converge, podemos entao utilizar metodos numericos para ter seu valor aproximado. Os principais testes
para convergencia ou divergencia sao o Teste de Comparacao e o Teste de Comparacao no Limite.
9
.
1.5 Teorema. Teste de Comparacao
a. Sejam f e g contınuas em [a,+∞) com 0 ≤ f(x) ≤ g(x) para qualquer x ≥ a. Entao
1.
∫ +∞
a
f(x)dx converge se
∫ +∞
a
g(x)dx converge
2.
∫ +∞
a
g(x)dx diverge se
∫ +∞
a
f(x)dx diverge
b. Sejam f e g contınuas em (−∞, b] com 0 ≤ f(x) ≤ g(x) para qualquer x ≤ b. Entao
1.
∫ b
−∞
f(x)dx converge se
∫ b
−∞
g(x)dx converge
2.
∫ b
−∞
g(x)dx diverge se
∫ b
−∞
f(x)dx diverge
c. Sejam f e g contınuas em (a, b] que tem assıntota em x = a tal que 0 ≤ f(x) ≤g(x) para qualquer a < x ≤ b. Entao
1.
∫ b
a
f(x)dx converge se
∫ b
a
g(x)dx converge
2.
∫ b
a
g(x)dx diverge se
∫ b
a
f(x)dx diverge
d. Sejam f e g contınuas em [a, b) que tem assıntota em x = b tal que 0 ≤ f(x) ≤g(x) para qualquer a ≤ x < b. Entao
1.
∫ b
a
f(x)dx converge se
∫ b
a
g(x)dx converge
2.
∫ b
a
g(x)dx diverge se
∫ b
a
f(x)dx diverge
.
10
.
1.6 Teorema. Teste de Comparacao no Limite
a. Se as funcoes positivas f e g sao contınuas em [a,+∞) e se
limx→+∞
f(x)
g(x)= L, 0 < L < ∞,
entao∫ +∞
a
f(x)dx e
∫ +∞
a
g(x)dx
sao ambas convergentes ou ambas divergentes.
b. Se as funcoes positivas f e g sao contınuas em (−∞, b] e se
limx→−∞
f(x)
g(x)= L, 0 < L < ∞,
entao∫ b
−∞
f(x)dx e
∫ b
−∞
g(x)dx
sao ambas convergentes ou ambas divergentes.
c. Se as funcoes positivas f e g sao contınuas em (a, b] e se
limx→a+
f(x)
g(x)= L, 0 < L < ∞,
entao∫ b
a
f(x)dx e
∫ b
a
g(x)dx
sao ambas convergentes ou ambas divergentes.
d. Se as funcoes positivas f e g sao contınuas em [a, b) e se
limx→b−
f(x)
g(x)= L, 0 < L < ∞,
entao∫ b
a
f(x)dx e
∫ b
a
g(x)dx
sao ambas convergentes ou ambas divergentes.
.
11
.
1.7 Exercıcios.
1. Explique porque cada uma das seguintes integrais e impropria.
a)
∫ +∞
1
x4e−x4
dx b)
∫ π
2
0
sec(x)dx c)
∫ 2
0
x
x2 − 5x + 6
2. Quais das seguintes integrais e impropria ? Porque ?
a)
∫ 2
1
1
2x − 1dx b)
∫ 1
0
1
2x − 1dx c)
∫ +∞
−∞
sen(x)
1 + x2dx
3. Determine se cada integral e convergente ou divergente. Avalie aquelas que sao conver-
gentes.
a)
∫ +∞
1
1
(3x + 1)2dx b)
∫ 0
−∞
1
2x − 5dx c)
∫ +∞
−∞
x3dx
d)
∫ +∞
0
e−xdx e)
∫ −1
−∞
e−2tdx f)
∫ +∞
−∞
x2e−x3
dx
4. Esboce a regiao e encontre sua area ( se a area e finita).
a. R = {(x, y)/x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ ex}
b. R = {(x, y)/x ≥ −2, 0 ≤ y ≤ ex2}
c. R = {(x, y)/x ≥ 0, 0 ≤ y ≤ 1√x+1
}
5. Use o teorema da Comparacao para determinar se a integral e convergente ou divergente.
a.
∫ ∞
1
cos2(x)
1 + x2b.
∫ +∞
t
1√x3 + 1
c.
∫ ∞
1
dx
x + e2x
d.
∫ +∞
1
√
1 +√
x√x
e.
∫ 1
0
e−x
√x
f.
∫ π
2
0
dx
xsen(x)
6. A integral∫ ∞
0
1√x(1 + x)
e impropria por duas razoes: o intervalo [0,+∞) e infinito, e o integrando tem des-
continuidade em 0. Avalie-a expressando-a como a seguir
∫ ∞
0
1√x(1 + x)
=
∫ 1
0
1√x(1 + x)
+
∫ +∞
1
1√x(1 + x)
.
12
.
2 Aplicacoes da Integral Definida
.
• Volumes por Fatiamento.
• Solidos de Revolucao : Seccoes Transversais Circulares.
• Formula da Casca para Revolucao em torno de uma Reta Vertical.
• Areas de Superfıcies de Revolucao .
• Comprimento de Curvas Planas.
.
Figura 2A
Volumes por Fatiamento.
Seja o solido S como o da figura 2A. A seccao transversal do solido em cada ponto x no
intervalo [a, b] e uma regiao R(x) de area A(x). Se A for uma funcao contınua de x, poderemos
usa-la para definir e calcular o volume do solido como uma integral, da maneira a seguir.
13
.
2.1 Definicao . Volume de um solido
O volume de um solido compreendido entre os planos x = a e x = b e cuja area da seccao
transversal por x e uma funcao integravel de a a b de A,
V =
∫ b
a
A(x)dx
Para aplicarmos essa formula, procedemos da maneira a seguir.
.
2.2 Como Calcular o Volume pelo Metodo do Fatiamento
Passo 1. Esboce o solido e uma seccao tranversal tıpica.
Passo 2. Encontre uma formula para A(x).
Passo 3. Encontre os limites de integracao .
Passo 4. Integre A(x) para determinar o volume.
.
2.3 Exercıcios.
1. Uma piramide com 3 m. de altura tem uma base quadrada com 3 m. de lado. A
seccao tansversal da piramide, perpendicular a altura x m abaixo do vertice, e um
quadrado com x m. de lado. Determine o volume da piramide.
2. Uma cunha foi obtida por meio do corte de um cilindro de raio 3 por dois planos. Um
deles e perpendicular ao eixo do cilindro. O segundo cruza o primeiro formando um
angulo de 450 no centro do cilindro. Determine o volume da cunha.
.
14
Solidos de Revolucao : Seccoes Transversais Circulares.
.
2.4 Teorema. Um Solido de Revolucao ( Rotacao em torno do Eixo X )
Seja S o solido gerado pela rotacao da regiao entre a curva y = f(x), a ≤ x ≤ b, e o eixo X em
torno do eixo X. O volume de S e dado pela formula
V =
∫ b
a
π[f(x)]2dx
.
2.5 Teorema. Um Solido de Revolucao ( Rotacao em torno da reta y = c )
Seja S o solido gerado pela rotacao da regiao entre a curva y = f(x), a ≤ x ≤ b, e o eixo
y = c em torno do eixo y = c. O volume de S e dado pela formula
V =
∫ b
a
π[f(x) − c]2dx
.
2.6 Teorema. Um Solido de Revolucao ( Rotacao em torno do Eixo Y )
Seja S o solido gerado pela rotacao da regiao da curva x = f(y), a ≤ y ≤ b, e o eixo Y em
torno do eixo Y. O volume de S e dado pela formula
V =
∫ b
a
π[f(y)]2dy
.
2.7 Teorema. Um Solido de Revolucao ( Rotacao em torno do Eixo x = c )
Seja S o solido gerado pela rotacao da regiao entre a curva x = f(y), a ≤ y ≤ b, e o eixo
x = c em torno do eixo x = c. O volume de S e dado pela formula
V =
∫ b
a
π[f(y) − c]2dy
15
.
2.8 Exercıcios.
1. Determine o volume do solido com a rotacao , em torno da reta y = 1, da regiao definida
por y =√
x e pelas retas y = 1 e x = 4.
2. Determine o volume do solido obtido com a rotacao , em torno da reta x = 3, da regiao
compreendida entre a parabola x = y2 + 1 e a reta x = 3.
.
Formulas da Casca para Revolucao em torno de uma Reta Vertical.
Ha uma outra maneira de determinar o volume dos solidos de revolucao , que pode ser util
quando o eixo de revolucao e perpendicular ao eixo que contem o intervalo natural de integracao .
Esta maneira e o Metodo das Cascas Cilındricas que nos mune da seguintes formulas.
.
2.9 Teorema. Um Solido de Revolucao ( Rotacao em torno do Eixo x = c )
Seja S o solido gerado pela rotacao da regiao entre a curva y = f(x), a ≤ x ≤ b, e o eixo X em
torno do eixo x = c. O volume de S e dado pela formula
V =
∫ b
a
2π(x − c)[f(x)]dx
.
2.10 Teorema. Um Solido de Revolucao ( Rotacao em torno do Eixo
y = c )
Seja S o solido gerado pela rotacao da regiao entre a curva x = f(y), a ≤ x ≤ b, e o eixo X em
torno do eixo y = c. O volume de S e dado pela formula
V =
∫ b
a
2π(y − c)[f(y)]dy
16
.
2.11 Exercıcios.
1. Provar o teorema 2.9.
2. Provar o teorema 2.10.
3. A regiao compreendida pelo eixo x e pela parabola y = f(x) = 3x − x2 gira em torno da
reta x = −1 para gerar o formato de um solido S.
a. Tente deteminar o volume de S sem usar uma formula da casca cilındrica.
b. Deteminar o volume de S usando o teorema 2.9.
4. Um frasco cilındrico de raio r e altura L e parcialmente cheio com um lıquido de volume
V. Se o frasco e girado ao redor do seu eixo de simetria com uma velocidade angular ω, constante,
entao o frasco induzira um movimento rotacional do liquido ao redor do mesmo eixo. Eventual-
mente, o lıquido se tornara concava para cima, como indicado na figura 2.B, porque a forca
centrıfuga nas partıculas do lıquido aumenta com a distancia do eixo do frasco. Pode-se mostrar
que a superfıcie do lıquido e um paraboloide de revolucao gerado pela rotacao da parabola
y = h +ω.x2
2g
ao redor do eixo y, onde g e a aceleracao da gravidade. Determine h como uma funcao
de ω.
L
Figura 2B
17
Comprimento de Curvas Planas.
.
2.12 Teorema. Formula do Comprimento de um Arco de uma Curva Lisa
Se f : [a, b] → R for uma funcao com derivada contınua, entao o comprimento da curva y =
f(x), de a a b, e o numero
L =
∫ b
a
√
1 + (f ’(x))2dx (I)
.
.
2.13 Teorema. Formula Parametrica para o Comprimento de um Arco
Se uma curva C for descrita por equacoes parametricas x = f(t), y = g(t), α ≤ t ≤ β, onde
f ’ e g’ sao contınuas e nao simultaneamente nulas em [α, β], e se C for percorrida exatamente
uma vez, quando t vai de α a β, entao o comprimento de C sera
L =
∫ β
α
√
[f ’(t)]2 + [g’(t)]2dt (II)
.
18
z Se houver duas parametrizacoes diferentes para uma curva, cujo comprimento desejamos deter-
minar, importa qual delas vamos usar ? A resposta (do calculo avanzado) e nao , desde que a
parametrizacao escolhida se adapte as condicoes que precedem a equacao (II).
.
2.14 Exercıcios.
1. Seja a curva y = (x2 )
23 de x = 0 a x = 2.
a. Verificar que nao pode determinar o comprimento da curva usando a formula do teorema
2.12 se y esta em funcao de x.
b. Tentar determinar o comprimento da curva usando a formula do teorema 2.12 se x esta
em funcao de y.
2. Determine o comprimento da curva
x = cos(t), y = t + sen(t), 0 ≤ t ≤ π.
19
Areas de Superfıcies de Revolucao .
.
2.15 Teorema. Seja C uma curva da equacao y = f(x), onde f e f′
sao funcoes contınuas
em [a, b] e f(x) ≥ 0, ∀x ∈ [a, b]. A area da superfıcie de revolucao S, gerada pela rotacao da
curva C ao redor do eixo dos x, e dada pela formula
A = 2π
∫ b
a
f(x)√
1 + [f ′(x)]2dx
.
2.16 Exercıcios.
1. Calcular a area da superfıcie gerada pela rotacao do arco de curva dado, em torno do eixo
indicado.
a. y = x2, 0 ≤ x ≤ 2; eixo dos x.
b. x =√
y, 1 ≤ y ≤ 4; eixo dos y.
c. y =√
4 − x2, 0 ≤ x ≤ 1; eixo dos x.
d. y =√
16 − x2, −3 ≤ x ≤ 3; eixo dos x.
2. Calcular a area da superfıcie obtida pela revolucao do arco da parabola y2 = 8x, 1 ≤ x ≤12, ao redor do eixo dos x.
3. Mostre que a area da superfıcie obtida pela rotacao da circunferencia
x2 + y2 = r2 ao redor da reta y = r e dada por 4π2r2.
20
.
3 Funcoes de Varias Variaveis
• Funcoes de Duas Variaveis.
• Tipos de Regioes no Plano.
• Graficos e Curvas de Nıvel de Funcoes de Duas Variaveis.
• Curvas de Contorno.
• Funcoes de Tres ou Mais Variaveis.
• Superfıcies de Nıvel de Funcoes de Tres Variaveis.
.
Funcoes de Duas Variaveis.
.
3.1 Definicoes . Seja o subconjunto D ⊂ R2.
1. Uma Funcao Real f : D → R de duas variaveis em D e uma regra que associa um
unico numero real w = f(x, y) a cada par ordenado (x, y) ∈ D.
2. O conjunto D e o domınio de f, e o conjunto de valores de w assumidos por f e a
sua imagem.
3. As variaveis independentes x e y sao as variaveis de entrada da funcao , e a variavel
dependente w e a variavel de saıda da funcao .
.
21
.
3.2 Exemplos.
1. Funcao Distancia da Origem a um Ponto no Plano
A distancia de um ponto (x, y) a origem e dada pela funcao
dist(x, y) =√
x2 + y2.
O valor de dist no ponto (3, 4) e dist(3, 4) =√
32 + 42 =√
25 = 5.
2. Funcao Volume de um Cilindro Circular Reto
A funcao V = π.r2.h calcula o volume de um cilindro circular reto a partir do seu
raio e altura.
.
Tipos de Regioes no Plano .
.
3.3 Definicoes .
1. Um ponto (x0, y0) em uma regiao (conjunto) R no plano xy e um ponto interior de R
se e o centro de um disco que esta inteiramente em R ( Ver figura 1 ).
2. Um ponto (x0, y0) em uma regiao (conjunto) R no plano xy e um ponto fronteira de
R se todo disco centrado em (x0, y0) contem ao mesmo tempo pontos que estao em R e do
lado de fora de R. O ponto de fronteira propriamente dito nao precisa pertenecer a R ( ver
figura 2 ).
.
22
R
X Y0( )0 ,
Figura 1: Ponto Interior
R
X Y0( )0 ,
Figura 2: Ponto de Fronteira
.
3.4 Definicoes .
1. O interior de uma regiao R no plano e o conjunto formado por todos os pontos
interiores da regiao . Denotamos este conjunto por◦
R .
2. A fronteira de uma regiao no plano e o conjunto formado por todos os pontos de
fronteira da regiao .Denotamos este conjunto por Fr[R].
3. Uma regiao R no plano e aberta se R =◦
R .
4. Uma regiao R no plano e fechada se R ⊇ Fr[R].
5. Uma regiao R no plano e limitada se esta dentro de um disco de raio fixo. Caso
contrario e nao limitada.
.
23
.
3.5 Exercicios.
1. Seja a regiao no plano R = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 < 1}.
• A regiao R e aberta ?
• Encontrar a fronteira de R
• A regiao R e limitada ?
2. Seja a regiao no plano R = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 ≤ 1}.
• A regiao R e aberta ?
• Encontrar a fronteira de R
• A regiao R e limitada ?
3. Descreva o domınio da funcao f(x, y) =√
y − x2. Este domınio e limitado ?
4. Dar exemplos de regioes que nao sao abertas nem fechadas ?
.
Graficos e Curvas de Nıvel de Funcoes de Duas Variaveis.
Uma maneira-padrao de visualizar os valores de uma funcao f(x, y) e identificar e desenhar
curvas no domınio nas quais f tem um valor constante. Logo, usando estas informacoes , esbocar
a superfıcie z = f(x, y) no espaco.
.
3.6 Definicoes .
1. O conjunto de pontos no plano onde uma funcao f(x, y) tem um valor constante f(x, y) =
c e chamado de Curva de Nıvel de f.
2. O conjunto de todos os pontos (x, y, f(x, y)) no espaco, para (x, y) no domınio de f, e
chamado de Grafico de f.
3. O grafico de f tambem e chamado de Superfıcie z = f(x, y).
.
24
.
3.7 Exercıcios.
1. Seja a funcao f(x, y) = x2 + y2. Determine o domınio e a imagem da funcao . Usando
as curvas de nıvel, esboce o grafico.
2. Seja a funcao f(x, y) = 4 + x2 + y2. Determine o domınio e a imagem da funcao .
Usando as curvas de nıvel, esboce o grafico.
3. Seja a funcao f(x, y) = 100 − x2 − y2. Determine o domınio e a imagem da funcao .
Usando as curvas de nıvel, esboce o grafico.
4. Seja a funcao f(x, y) = x2 − y2. Determine o domınio e a imagem da funcao . Usando
as curvas de nıvel, esboce o grafico.
5. Determine o domınio e a imagem da funcao f(x, y) = x. Esboce o grafico.
6. Determine o domınio e a imagem da funcao f(x, y) = y. Esboce o grafico.
7. Determine o domınio e a imagem da funcao f(x, y) = 5. Esboce o grafico.
.
Curvas de Contorno. A curva no espaco na qual o plano z = c corta uma superfıcie
z = f(x, y) consiste em todos os pontos (x, y, f(x, y) = c). Ela e chamada de Curva de Contorno
f(x, y) = c para distingui-la da curva de nıvel f(x, y) = c no domınio de f.
Contudo, nem todo mundo faz essa distincao , e voce pode preferir chamar ambos os tipos de
curvas por um unico nome e se basear no contexto para especificar qual tem em mente.
25
Funcoes de Tres Variaveis..
3.8 Definicoes . Seja o subconjunto D ⊂ R3 = R × R × R.
1. Uma Funcao Real f : D → R de Tres variaveis em D e uma regra que associa um
unico numero real w = f(x, y, z) a cada terna ordenada (x, y, z) ∈ D.
2. O conjunto D e o domınio de f, e o conjunto de valores de w assumidos por f e a
sua imagem.
3. As variaveis independentes x, y e z sao as variaveis de entrada da funcao , e a variavel
dependente w e a variavel de saıda da funcao .
.
.
3.9 Exercıcios. Encontrar o Domınio e a Imagem das seguintes funcoes :
1. dist(x, y, z) =√
x2 + y2 + z2. Esta funcao fornece a distancia da origem ao ponto
(x, y, z) no espaco em coordenadas Cartesianas.
2. w =1
x2 + y2 + z2.
3. w = x.y.ln(z + 1).
.
Superfıcies de Nıvel de Funcoes de Tres Variaveis ..
3.10 Definicao . O conjunto de pontos (x, y, z) no espaco onde uma funcao de tres
variaveis independentes tem um valor constantes f(x, y, z) = c e chamado de Superfıcie de
Nıvel de f.
.
.
3.11 Observacao . Os graficos de funcoes de tres variaveis consistem em pontos
(x, y, z, f(x, y, z)) em um espaco quadridimensional nao podemos graficar-los de maneira
eficaz. Mas, podemos ver como a funcao se comporta analisando suas superfıcies de nıvel
tridimensionais.
26
.
3.12 Exercıcio. Descreva as superfıcies de nıvel da funcao
f(x, y, z) =√
x2 + y2 + z2.
.
z As definicoes de interior, fronteira, aberto, fechado, limitado e ilimitado para regioes no espaco sao
similares aquelas para regioes no plano. A unica diferenca e o uso de esferas solidas em vez de
discos.
z z Para o estudo de Funcoes de Mais de Tres Variaveis, precisamos metodos matematicos mais
poderosos que os estudados em Calculo II. Mas, as definicoes dadas aqui ate o momento sao
similares : Domınio , Imagem, interior, fronteira, etc.
27
.
4 Limites e Continuidade em Dimensoes Maiores.
• Limite de uma Funcao de Duas Variaveis.
• Continuidade de uma Fumcao de Duas Variaveis.
• Funcoes de Mais de Duas Variaveis.
• Valores Extremos de Funcoes Contınuas em Conjuntos Fechados e Limita-
dos.
.
Limite de uma Funcao de Duas Variaveis.
.
4.1 Definicao . Limite de uma Funcao de Duas Variaveis Independentes
A func~ao f tem limite L quando (x, y) se aproxima de (x0, y0) se, dado qualquer numero
positivo ε, existe um numero positivo δ tal que, para todo (x, y) no domınio de f,
0 <√
(x − x0)2 + (y − y0)2 < δ ⇒ | f(x, y) − L |< ε.
Escrevemos
lim(x,y)→(x0,y0)
f(x, y) = L.
.
z A definicao de limite aplica-se tanto a pontos fronteiras como a pontos interiores do domınio de
f. A unica exigencia e que o ponto (x, y) permaneca no domınio todo o tempo.
28
.
4.2 Teorema. Propriedades dos Limites de Funcoes de Duas
Variaveis As regras a seguir sao verdadeiras se L,M e k sao numeros reais e
lim(x,y)→(x0,y0)
f(x, y) = L e lim(x,y)→(x0,y0)
g(x, y) = M
1. Regra da Soma: lim(x,y)→(x0,y0)[f(x, y) + g(x, y)] = L + M
2. Regra da Diferenca: lim(x,y)→(x0,y0)[f(x, y) − g(x, y)] = L − M
3. Regra do Produto: lim(x,y)→(x0,y0)[f(x, y) . g(x, y)] = L .M
4. Regra da Multiplic~ao por Constante:
lim(x,y)→(x0,y0)
k.f(x, y) = k . L (para todo numero k)
5. Regra do Quociente: lim(x,y)→(x0,y0)
f(x, y)
g(x, y)=
L
Mse M 6= 0.
6. Regra da Potencia: Se m e n 6= 0 forem inteiros, entao
lim(x,y)→(x0,y0)
[f(x, y)]m
n = Lm
n ,
desde que Lm
n seja um numero real.
.
z Quando aplicamos este Teorema a polinomios e funcoes racionais, obtemos o resultado util de
que os limites dessas funcoes quando (x, y) → (x0, y0) podem ser calculados determinando-
se a funcoes em (x0, y0). A unica exigencia e que as funcoes racionais sejam definidas em
(x0, y0).
.
4.3 Exercıcios. Encontre
1. lim(x,y)→(0,1)x − xy + 3
x2y + 5xy − y3
2. lim(x,y)→(0,1)
√
x2 + y2
3. lim(x,y)→(0,1)x2 − xy√x −√
y
.
29
Continuidade de uma Funcao de Duas Variaveis
.
4.4 Definicoes . Uma funcao f(x, y) e contınua no ponto (x0, y0) se
1. f for definida em (x0, y0);
2. lim(x,y)→(x0,y0) f(x, y) existe;
3. lim(x,y)→(x0,y0) f(x, y) = f(x0, y0).
Uma funcao e contınua quando e contınua em todos os pontos de seu domınio.
.
z Somas, diferencas, produtos, multiplicacao por constantes, quocientes e potencias de funcoes
contınuas sao contınuas onde sao definidas.
z Em especial, polinomios e funcoes racionais de duas variaveis sao contınuas em todo ponto onde
sao definidas.
z Se z = f(x, y) e uma funcao contınua de x e y e w = g(z) e uma funcao contınua de z, entao
a composta w = g(f(x, y)) e contınua. Deste modo,
ex−y, cos(xy
x2 + 1), ln(1 + x2y2)
sao contınuas em todo ponto (x, y).
.
4.5 Teorema. Teste dos Dois Caminhos para a Nao -Existencia de um
Limite Se f(x, y) tem limites diferentes ao longo de dois caminhos diferentes quando (x, y) se
aproxima de (x0, y0), entao lim(x,y)→(x0,y0) f(x, y) nao existe.
.
30
.
4.6 Exercıcios.
1. Mostre que
f(x, y) =
2xy
x2 + y2, (x, y) 6= 0;
0, (x, y) = 0 .
e contınua em todo ponto exceto a origem.
2. Mostre que a funcao
f(x, y) =2x2y
x4 + y2
nao tem limite quando (x, y) se aproxima de (0, 0).
.
Funcoes de Mais de Duas Variaveis
As definic~oes de limite e continuidade para func~oes de duas variaveis e as conclus~oes
sobre limites e continuidade para somas, produtos, quocien- tes, potencias e composic~oes
estendem-se a func~oes de tres variaveis ou mais. Func~oes como
ln(x + y + z) eysen(z)
x − 1
s~ao contınuas nos seus domınios. Porque ?
Limites como
limp→(1,0,−1)
ex+z
z2 + cos(√
xy)=
1
2,
onde P indica o ponto (x, y, z), podem ser encontrados por meio de substituic~ao direta.
31
Valores Extremos de Funcoes Contınuas em Conjuntos Fechados e Limita-
dos Sabemos que uma func~ao de uma variavel que e contınua em um intervalo fechado
e limitado [a, b] assume um valor maximo absoluto e um valor mınimo absoluto pelo menos
uma vez em [a, b]. O mesmo vale para uma func~ao z = f(x, y) que e contınua em um conjunto
R fechado e limitado no plano ( como um segmento de reta, um disco ou um triangulo
cheio ). A func~ao assume um valor maximo aboluto em algum ponto em R e um valor
mınimo aboluto em algum ponto em R.
Teoremas similares a esses e outros teoremas desta sec~ao s~ao verdadeiros
para func~oes de tres ou mais variaveis. Uma func~ao contınua w = f(x, y, z),
por exemplo, deve assumir valores maximo e mınimo absolutos em qualquer
conjunto fechado e limitado ( esfera solida ou cubo, casca esferica, solido
retangular ) no qual e definida.
Posteriormente, aprenderemos como encontrar esses valoresextremos !!
32
.
5 Derivadas Parciais
.
.
• Derivadas Parciais de uma Funcao de Duas Variaveis
• Funcoes de Mais de Duas Variaveis
• Derivadas Parciais e Continuidade
• Diferenciabilidade
• Derivadas Parciais de Segunda Ordem
• Derivadas Parciais de Ordem Superior
Derivadas Parciais de uma Funcao de Duas Variaveis
.
5.1 Definicoes . Derivadas Parciais em Relacao a x e em Relacao a
y
• A derivada parcial de f(x, y) em relacao x no ponto (xo, yo) e
∂f
∂x|(xo,yo) =
d
dxf(x, yo)|x=xo
= limh→0
f(xo + h, yo) − f(xo, yo)
h
• A derivada parcial de f(x, y) em relacao y no ponto (xo, yo) e
∂f
∂y|(xo,yo) =
d
dxf(xo, y)|y=yo
= limh→0
f(xo, yo + h) − f(xo, yo)
h
.
33
.
5.2 Observacoes .
1. O sımbolo ∂ ( chamado de del ) e apenas um outro tipo de d. E conveniente ter
essa maneira distinta de estender a notacao diferencial de Leibniz para um contexto
de varias variaveis.
2. O coeficiente angular da curva z = f(x, yo) no ponto P (xo, yo, f(xo, yo)) no plano
y = yo e o valor da derivada parcial de f em relacao x em (xo, yo).
3. O coeficiente angular da curva z = f(xo, y) no ponto P (xo, yo, f(xo, yo)) no plano
x = xo e o valor da derivada parcial de f em relacao x em (xo, yo).
4. A reta tangente L1 a curva z = f(x, yo) em P no plano y = yo e a reta que passa
por P com o coeficiente angular ∂f∂x
|(xo,yo).
5. A reta tangente L2 a curva z = f(x, yo) em P no plano x = xo e a reta que passa
por P com o coeficiente angular ∂f∂y
|(xo,yo).
6. A derivada parcial ∂f∂x
em (xo, yo) fornece a taxa de variacao de f em relacao a
x quando y e mantido fixo no valor yo. Essa e taxa de variacao de f na direcao de
i = (1, 0) em (xo, yo).
7. A derivada parcial ∂f∂y
em (xo, yo) fornece a taxa de variacao de f em relacao a
y quando x e mantido fixo no valor xo. Essa e taxa de variacao de f na direcao de
j = (0, 1) em (xo, yo).
8. Posteriormente, veremos em que condicoes as retas L1, L2 determinam um plano
tangente a superfıcie z = f(x, y) no ponto P (xo, yo, f(xo, yo)).
.
34
.
5.3 Notacoes . A notacao para uma derivada parcial depende do que queremos enfatizar:
∂f
∂x(xo, yo), ou fx(xo, yo)
Derivada parcial de f em relac~ao a
x em (xo, yo) ou fx em (xo, yo). Conveni-
ente paa enfatizar o ponto (xo, yo).
∂f
∂y(xo, yo), ou fy(xo, yo)
Derivada parcial de f em relac~ao a
y em (xo, yo) ou fy em (xo, yo). Conveni-
ente paa enfatizar o ponto (xo, yo).
∂z
∂y
∣∣∣∣(xo,yo)
ou∂z
∂x
∣∣∣∣(xo,yo)
Derivada parcial de z em relac~ao
a x, ou em relac~ao a y, em
(xo, yo). Comum em ciencias e engenha-
ria quando se lida com as variaveis e nao se
menciona a funcao explicitamente.
fx, fy,∂f
∂x,
∂f
∂y, zx, zy,
∂z
∂x,
∂z
∂y
Derivada parcial de f (ou z ) em
relac~ao a x (ou em relac~ao a y). Con-
veniente quando se considera a derivada par-
cial como uma funcao .
.
35
.
5.4 Exercıcios.
1. Ilustrar por meio de um grafico as definicoes anteriores relacionadas a derivadas par-
ciais.
2. Encontre os valores de ∂f∂x
e ∂f∂y
no ponto (4,−5) se f(x, y) = x2 + 3xy + y − 1.
3. Encontre a funcao ∂f∂y
se f(x, y) = ysen(xy).
4. Encontre∂z
∂xse a equacao
yz − ln(z) = x + y
definir z como uma funcao de duas variaveis independentes x e y e a derivada parcial
existir.
5. O plano x = 1 apresenta interseccao com o paraboloide z = x2+y2 em uma parabola.
Encontre o coeficiente angular da tangente a parabola em (1, 2, 5).
.
Funcoes de Mais de Duas Variaveis
As definic~oes de derivadas parciais de func~oes de mais de duas variaveis independentes
s~ao parecidas com as definic~oes para func~oes de duas variaveis. Elas s~ao derivadas
comuns em relac~ao a uma variavel, tomadas enquanto as outras variaveis independentes
s~ao mantidas constantes.
.
5.5 Exercıcios.
1. Uma Funcao de Tres Variaveis. Se f(x, y, z) entao calcular ∂f∂z
.
2. Resistores em Paralelo. Se resistores eletricos de R1, R2, R3 ohms sao conectados
em paralelo para formar um resistor de R ohms, o valor de R pode ser encontrado a
partir da equacao1
R=
1
R1+
1
R2+
1
R3
Encontre o valor de ∂R∂R2
quando R1 = 30, R2 = 45 e R3 = 90 ohms.
.
36
Derivadas Parciais e Continuidade
Uma func~ao f(x, y) pode ter derivadas parciais em relac~ao a x e y em um ponto
sem ser contınua nesse ponto. Isso e diferente de uma func~ao de uma unica variavel,
onde a existencia da derivada implica continui- dade. Contudo, se as derivadas
parciais de f(x, y) existirem e forem contınuas em um disco centrado em
(xo, yo), ent~ao f sera contınua, como veremos depois.
.
5.6 Exercıcio. Seja a funcao
f(x, y) =
0, se xy 6= 0;
1, se xy = 0.
a. Fazer um esboco do grafico de f
b. Encontre o limite de f quando (x, y) se aproxima de (0, 0) ao longo da reta y = x.
c. Prove que f nao e contınua na origem.
d. Mostre que ambas as derivadas parciais∂f
∂xe
∂f
∂yexistem na origem.
e. esbocar os graficos de∂f
∂xe
∂f
∂y.
.
37
DiferenciabilidadeAgora veremos que a diferenciabilidade implica continuidade
.
5.7 Teorema. Teorema do Incremento para Funcoes de Duas
Variaveis
Suponha que as derivadas parciais de primeira ordem de f(x, y) sejam definidas em uma
regiao aberta R que contenha o ponto (xo, yo) e que fx e fy sejam contınuas em
(xo, yo). Entao a variacao
4z = f(xo + 4x, yo + 4y) − f(xo, yo)
no valor de f que resulta do movimento de (xo, yo) para um outro ponto (xo + 4x, yo +
4y) em R satisfaz uma equacao da forma
4z = fx(xo, yo)4x + fy(xo, yo)4y + ε14x + ε24y,
na qual ε1, ε2 → 0 quando 4x,4y → 0.
.
.
5.8 Definicao . Diferenciabilidade de uma Funcao de Duas Variaveis
A funcao z = f(x, y) e diferenciavel em (xo, yo) se fx(xo, yo) e fy(xo, yo) existem e
4z satisfaz uma equacao da forma
4z = fx(xo, yo)4x + fy(xo, yo)4y + ε14x + ε24y,
na qual ε1, ε2 → 0 quando 4x,4y → 0. Dizemos que f e diferenciavel se ela e
diferenciavel em todos os pontos de seu domınio.
.
38
.
5.9 Corolario.Continuidade de Derivadas Parciais
Implica Diferenciabilidade
• Se as derivadas parciais fx e fy de uma funcao f(x, y) sao contınuas em (xo, yo), entao f
e diferenciavel em (xo, yo). Logo
• Se as derivadas parciais fx e fy de uma funcao f(x, y) sao contınuas ao longo de uma regiao
aberta R, entao f e diferenciavel em todos os pontos de R.
.
.
5.10 Teorema. Diferenciabilidade Implica Continuidade
Se uma funcao f(x, y) e diferenciavel em (xo, yo) entao ela e contınua em (xo, yo).
.
.
5.11 Observacao . Como podemos ver nos teoremas 5.9 e 5.10, uma funcao f(x, y) e contınua
em (xo, yo) se fx e fy sao contınuas em (xo, yo). Lembre-se, como vimos anteriormente,
que n~ao e suficiente que existam derivadas parciais fx e fy em (xo, yo).
.
39
Derivadas Parciais de Segunda Ordem
Quando derivamos uma funcao f(x, y) duas vezes, produzimos suas derivadas de segunda
ordem. Essas derivadas sao em geral denotadas por
∂2f
∂x2del dois f del x dois ou fxx
∂2f
∂y2del dois f del y dois ou fyy
∂2f
∂x∂ydel dois f del x del y ou fyx
∂2f
∂y∂xdel dois f del y del x ou fxy
As equacoes de definicao sao
∂2f
∂x2= fxx =
∂
∂x
(∂f
∂x
)
,∂2f
∂x∂y= fxy =
∂
∂x
(∂f
∂y
)
,
e assim por diante. Observe a ordem na qual as derivadas sao tomadas:
.∂2f
∂x∂y, Derive primeiro em relacao a y, depois em relacao a x.
.
5.12 Exercıcio. Se f(x, y) = xcos(y) + y ex, encontre
∂2f
∂x2,
∂2f
∂y2,
∂2f
∂x∂y, fx,
e verifique∂2f
∂x∂y=
∂2f
∂y∂x
.
40
.
5.13 Teorema. Teorema das Derivadas Mistas
Se f(x, y) e suas derivadas parciais fx, fy, fxy, fyx, forem definidas em uma regiao aberta
contendo um ponto (a, b) e todas forem contınuas em (a, b) entao
fx,y(a, b) = fy,x(a, b).
.
Derivadas Parciais de Ordem Superior
Apesar de lidarmos na maioria das vezes com derivadas parciais de primeira e
segunda ordens, porque elas aparecem com mais frequencia em aplicac~oes , n~ao existe
limite teorico pra o numero de vezes que podemos diferenciar uma func~ao desde que as
derivadas envolvidas existam. Assim, obtemos derivadas parciais de terceira e quarta
ordens que denotamos por sımbolos como
∂3f
∂x∂y2= fyyx,
∂4f
∂2x∂y2= fyyxx,
e assim por diante. Como acontece com derivadas de segunda ordem, a ordem de diferenciac~ao
e irrelevante desde que as derivadas na ordem em quest~ao sejam contınuas.
41
.
6 A Regra da Cadeia.
• Funcoes Compostas em Dimensoes Maiores.
• Diferenciacao Implıcita Revista.
Funcoes Compostas em Dimensoes Maiores.
Podemos formar func~oes compostas de varias variaveis em domınios apropriados da mesma
maneira que criamos func~oes compostas de uma variavel. Aqui como usar a Regra da Cadeia
para encontrar derivadas parciais de
func~oes compostas de varias variaveis.
.
6.1 Teorema.Regra da Cadeia para Uma Variavel Independente e
Duas Variaveis Intermediarias
Se w = f(x, y) for diferenciavel e x e y forem funcoes diferenciaveis de t, entao w sera
uma funcao diferenciavel de t e
dw
dt=
∂f
∂x
∂x
∂t+
∂f
∂y
∂y
∂t.
.
6.2 Teorema.Regra da Cadeia para Uma Variavel Independente e
Tres Variaveis Intermediarias
Se w = f(x, y, z) for diferenciavel e x, y e z forem funcoes diferenciaveis de t, entao w
sera uma funcao diferenciavel de t e
dw
dt=
∂f
∂x
∂x
∂t+
∂f
∂y
∂y
∂t+
∂f
∂z
∂z
∂t.
42
.
6.3 Teorema.Regra da Cadeia para Duas Variaveis Independentes
e Duas Variaveis Intermediarias
Se w = f(x, y) for diferenciavel e x = g(r, s), e y = h(r, s) forem funcoes diferenciaveis de
r, s entao w tera derivadas parciais em relacao a r e s, dadas pelas formulas
dw
dr=
∂f
∂x
∂x
∂r+
∂f
∂y
∂y
∂r.
dw
ds=
∂f
∂x
∂x
∂s+
∂f
∂y
∂y
∂s.
.
6.4 Teorema.Regra da Cadeia para Duas Variaveis Independentes
e Tres Variaveis Intermediarias
Se w = f(x, y, z) for diferenciavel e x = g(r, s), y = h(r, s) e z = k(r, s) forem funcoes
diferenciaveis de r, s entao w tera derivadas parciais em relacao a r e s, dadas pelas
formulas
dw
dr=
∂f
∂x
∂x
∂r+
∂f
∂y
∂y
∂r+
∂f
∂z
∂z
∂r.
dw
ds=
∂f
∂x
∂x
∂s+
∂f
∂y
∂y
∂s+
∂f
∂z
∂z
∂s.
Vimos varias formas diferentes Regra da Cadeia, mas voce n~ao tem que memorizar todas
elas se as vir como casos especiais da mesma formula geral que apresentaremos a seguir
.
6.5 Teorema. Formula Geral da Regra da Cadeia
Suponha que w = f(x, y, z, . . . , v) seja uma funcao diferenciavel das variaveis
x, y, z, . . . , v (um conjunto finito de variaveis ) e x, y, z, . . . , v forem funcoes diferenciaveis
de p, q, . . . , t (outro conjunto finito). Entao w sera uma funcao diferenciavel das
variaveis p, q, . . . , t e as derivadas parciais em relacao a essas variaveis serao dadas dadas
pelas formulas
dw
dp=
∂f
∂x
∂x
∂p+
∂f
∂y
∂y
∂p+
∂f
∂z
∂z
∂p+ · · · + ∂f
∂v
∂v
∂p.
As outras equacoes sao obtidas trocando-se por q, r, . . . , t uma de cada vez.
.
43
z Uma maneira de lembrar dessa equacao e pensar no lado direito como o produto escalar de dois
vetores componentes
(∂w
∂x,
∂w
∂y, . . . ,
∂w
∂v
)
︸ ︷︷ ︸
Derivadas de w em relacao as variaveis intermediarias
e(
∂x
∂p,
∂y
∂p, . . . ,
∂v
∂p
)
︸ ︷︷ ︸
Derivadas de w em relacao as variaveis independentes seleccionadas
.
6.6 Exercıcios.
1. Use a Regra da Cadeia para encontrar a derivada de w = xy em relacao a t ao longo
do caminho x = cos(t), y = sen(t). Qual e o valor da derivada em t = π2 .
2. Grafique o caminho x = cos(t), y = sen(t), z = t. Encontredw
dtse w = xy + z.
3. Expresse∂w
∂re
∂w
∂sse
w = x2 + y2, x = r − s, y = r + s.
.
Diferenciacao Implıcita Revista
A regra da Cadeia do Teorema .1 leva a uma formula que simplifica muito a diferenciacao
implıcita.
.
6.7 Teorema. Uma Formula de Diferenciacao Implıcita
Suponha que F (x, y) seja diferenciavel e que a equacao F (x, y) = 0 defina y como
uma funcao diferenciavel de x. Entao em qualquer ponto onde Fy 6= 0,
dy
dx= −Fx
Fy
.
44
.
6.8 Exercıcios.
1. Provar o teorema 6.7
2. Encontrardy
dxse y2 + x2 − sen(xy) = 0
.
45
.
7 Derivadas Direcionais, Vetor Gradiente e PlanoTangente
.
• Derivadas Direcionais no Plano.
• Interpretacao da Derivada Direcional.
• Propriedades da Derivada Direcional.
• Vetor Gradiente e Reta Tangente a uma Curva de Nıvel.
• Propriedades Algebricas do Vetor Gradiente.
• Funcoes de Tres Variaveis.
• Planos Tangentes e Retas Normais.
Derivadas Direcionais no Plano.
Denotamos os vetores i = (1, 0) e j = (0, 1). Assim qualquer vetor a = (a1, a2)
pode ser escrito como
a = a1i + a2j
Um vetor u = (u1, u2) de comprimento 1 e chamado de vetor unitario ou versor,
isto e√
u21 + u2
2 = 1
A seguir, daremos a definicao de Derivada Direcional.
.
7.1 Definicao . Derivada Direcional
A derivada de f em Po(xo, yo) na direcao do vetor unitario (versor)
u = u1i + u2j e o numero
(df
ds
)
u,Po
= lims→0
f(xo + su1, yo + su2) − f(xo, yo)
s,
desde que o limite exista.
.
46
z A derivada direcional e denotada tambem por
(Duf)Po
, A derivada de f em Po de u
Interpretacao da Derivada Direcional
Suponha que a funcao f(x, y) seja definida em uma regiao R no plano XY, que Po(xo, yo)
seja um ponto em R e que u = u1i + u2j seja um versor. Entao as equacoes
x = xo + su1, y = yo + su2
parametrizam a reta que passa por Po paralelamente a u ( Ver figura .1)
Direção do Aumentode s
u = u I + u j
P ( x , y )
Reta x = x + su , y = + suy
Figura .1: A reta que passa por Po paralelamente a u
A equac~ao z = f(x, y) representa uma superfıcie S no espaco. Se zo = f(xo, yo),
entao o ponto P = (xo, yo, zo) estara em S.
O plano vertical que passa por P e Po(xo, yo) e e paralelo a u apresenta interseccao
com S em uma curva C ( Figura .2 ).
Ent~ao , como observamos graficamente, a Derivada de f em Po(xo, yo) na direc~ao
u,(
dfds
)
u,Po
, e
47
.
A Taxa de Variacao de f na direcao de u e o Coeficiente
Angular da Tangente a curva C em P.
Superfície
Reta Tangente
Curva
Figura .2: A Reta Tangente a curva C
.
7.2 Exercıcio.
Usando a definicao , encontre a derivada de
. f(x, y) = x2 + xy
em Po(1, 2) na direcao do versor u = 1√2i + 1√
2j
48
Propriedades da Derivada Direcional
.
7.3 Definicao . Vetor Gradiente ou Gradiente
O vetor gradiente ( gradiente) de f(x, y) no ponto Po(xo, yo) e o vetor
∇f =∂f
∂xi +
∂f
∂yj
obtido por meio do calculo das derivadas parciais de f em P0.
.
7.4 Notacao .
A notacao ∇f e lida tanto como grad f quanto como gradiente de f . O sımbolo
∇ isolado e lido como nabla. Uma outra notacao para o gradiente e grad f, lida da maneira
como esta escrita.
Agora vejamos sua relacao com as Derivadas Direcionais.
.
7.5 Teorema. A Derivada Direcional e um Produto Escalar
Se f(x, y) for diferenciavel em Po(xo, yo), entao
(df
ds
)
u,Po
.u,
o produto escalar do gradiente de f em Po e u.
.
7.6 Exercıcios.
1. Demonstrar o Teorema 7.5
2. Encontre a derivada de f(x, y) = xey + cos(xy) no ponto (2, 0) na direcao de
v = 3i − 4j.
49
.
7.7 Teorema Propriedades da Derivada Direcional Duf = ∇f.u =
|∇f |cosθ
1. A funcao f aumenta mais rapidamente quando cos(θ) = 1 ou quando u e o versor
de ∇f. Isto e, a cada ponto P no seu domınio, f cresce mais rapidamente na
direcao e no sentido do vetor gradiente ∇f em P. A derivada nessa direcao e
Duf = |∇f |cos(0) = |∇f |.
2. De maneira similar, f decresce mais rapidamente na direcao e no sentido de −∇f. A
derivada nessa direcao e
Duf = |∇f |cos(π) = −|∇f |.
3. Qualquer direcao u ortogonal ao gradiente e uma direcao de variacao zero em
f porque θ = π2 e
Duf = |∇f |cos(π
2) = 0.
.
7.8 Exercıcio. Encontre as direcoes nas quais f(x, y) = ( x2
2 ) + ( y2
2 ).
a. Cresce mais rapidamente no ponto (1, 1);
b. Decresce mais rapidamente no ponto (1, 1);
c. Quais sao as direcoes de variacao zero de f em (1, 1).
50
Vetor Gradiente e Reta Tangente a uma Curva de Nıvel
.
7.9 Teorema.
Em todo ponto (xo, yo) no domınio de f(x, y), o gradiente de f e normal ( ou
perpendicular ) a curva de nıvel por (xo, yo), isto e, perpendicular a reta tangente a curva
de nıvel que passa pelo ponto (xo, yo) (Ver Figura .3).
Reta Tangente
Figura .3: O gradiente de uma funcao diferenciavel de duas variaveis em um ponto e sempre
normal a curva de nıvel da funcao naquele ponto.
.
7.10 Exercıcios.
1. Provar o Teorema 7.9
2. Encontre uma equacao para a tangente da elipse
x2
4+ y2 = 2
no ponto (−2, 1).
51
.
7.11 Teorema Propriedades Algebricas do Vetor Gradiente.
1. Multiplicac~ao por Constante: ∇(kf) = k∇f para qualquer numero k.
2. Regra da Soma: ∇(f + g) = ∇f + ∇g
3. Regra da Diferenca: ∇(f − g) = ∇f −∇g
4. Regra do Produto: ∇(fg) = f∇g − g∇f
5. Regra do Quociente: ∇(
f
g
)
=g∇f − f∇g
g2
.
7.12 Exercıcios
a. Provar o Teorema 7.11
b. Sejam as funcoes
f(x, y) = x − y g(x, y) = 3y,
calcular
1. ∇(2f)
2. ∇(f + g)
3. ∇(f − g)
4. ∇(fg)
5. ∇(
fg
)
6. Estimar quanto o valor de
f(x, y) = xey
variara se o ponto P (x, y) se mover 0, 1 unidades de Po(2, 0) em direcao a P1(4, 1).
.
52
Funcoes de Tres Variaveis
Neste caso, daremos as seguintes notac~oes :
i = (1, 0, 0); j = (0, 1, 0)); k = (0, 0, 1)
Obtemos formulas para func~ao de tres variaveis adicionando os termos em
z as formulas para func~ao de duas variaveis. Para uma func~ao diferenciavel
f(x, y, z) e um versor u = u1i + u2j + u3k no espaco, temos
∇f =∂f
∂xi +
∂f
∂yj +
∂f
∂zk
e
Du = ∇f.u =∂f
∂xu1 +
∂f
∂yu2 +
∂f
∂zu3
A derivada direcional pode ser escrita novamente na forma
Duf = ∇f.u = |∇f ||u|cos(θ) = |∇f |cos(θ),
Assim as propriedades relacionadas anteriormente para funcoes de duas variaveis con-
tinuam valendo. Em qualquer ponto dado, f aumenta mais rapidamente na direc~ao
de ∇f e decresce mais rapidamente na direc~ao de −∇f. Em qualquer direc~ao ortogonal
a ∇f, a derivada e zero.
.
7.13 Exercıcio.
a. Encontre a derivada de f(x, y, z) = x3−xy2−z em Po(1, 1, 0) na direcao de v = 2i−3j+6k.
b. Em que direcoes f varia mais rapidamente em Po e quais sao as taxas de varicao nessas
direcoes ?
.
53
Planos Tangentes e Retas Normais Da mesma maneira para os gradientes
de duas variaveis, em todo ponto Po no domınio de f(x, y, z) o gradiente
∇f e normal a superfıcie de nıvel em Po. Essa observac~ao nos leva
as definic~oes a seguir.
.
7.14 Definicoes Plano Tangente e Reta Normal
O Plano Tangente no ponto Po(xo, yo, zo) na superfıcie de nıvel f(x, y, z) = c e o plano
que passa por Po e e normal a ∇f |Po.
A reta normal a suprfıcie em Po e a reta que passa por Po e e paralela a ∇f |Po.
.
.
7.15 Exercıcio
Encontre o plano tangente e a reta normal a superfıcie
f(x, y, z) = x2 + y2 + z − 9 = 0
no ponto Po(1, 2, 4).
.
z Observamos que a equac~ao z = f(x, y) e equivalente a f(x, y) − z =
0. A superfıcie z = f(x, y) e, portanto, de nıvel zero da func~ao
F (x, y, z) = f(x, y) − z.
Desta observacao temos o seguinte teorema:
.
7.16 Teorema Plano Tangente a uma Superfıcie z = f(x, y) em
(xo, yo, f(xo, yo))
O plano tangente a superfıcie z = f(x, y) no ponto Po(xo, yo, zo) = (xo, yo, f(xo, yo)) e
fx(xo, yo)(x − xo) + fy(xo, yo)(y − yo) − (z − zo) = 0
.
54
.
7.17 Exercıcios
a. Provar o teorema 7.16
b. Encontre o plano tangente a superfıcie z = xcos(y) − yex em (0, 0, 0).
.
55
.
8 Valores Extremos e Pontos de Sela
.
• Maximo Local e Mınimo Local
• Maximos e Mınimo Absolutos em Regioes Fechadas e Limitadas
• Limitacoes do Teste da Derivada de Primeira Ordem.
.
Maximo Local e Mınimo Local
.
8.1 Definicoes . Maximo Local e Mınimo Local
Seja f(x, y) definida em uma regiao R que contem o ponto (a, b). Entao
1. f(a, b) e um valor maximo local de f se f(a, b) ≥ f(x, y) para todos os pontos do
domınio (x, y) em um disco aberto centrado em (a, b).
2. f(a, b) e um valor mınimo local de f se f(a, b) ≤ f(x, y) para todos os pontos do
domınio (x, y) em um disco aberto centrado em (a, b).
.
8.2 Definicoes . Ponto Crıtico e Ponto Sela
1. Um ponto interior do domınio de uma funcao f(x, y) onde tanto fx como fy sejam zero
ou onde fx ou fy ou ambas nao existam e um ponto crıtico de f.
2. Uma funcao diferenciavel f(x, y) tem um ponto de sela em ponto crıtico (a, b) se em todo
disco aberto centrado em (a, b) existem pontos do domınio (x, y) onde f(x, y) > f(a, b) e
pontos do domınio (x, y) onde f(x, y) < f(a, b). O ponto correspondente (a, b, f(a, b)) na
superfıcie z = f(x, y) e chamado de ponto de sela da superfıcie
56
.
8.3 Teorema. Teste da Derivada de Primeira Ordem para Valores Ex-
tremos Locais
Se f(x, y) tiver um valor de maximo ou mınimo local em um ponto interior (a, b) do seu
domınio e se as derivadas parciais de primeira ordem existirem la, entao fx(a, b) = 0 e fy(a, b) =
0.
z O Teorema 8.3 diz que os unicos lugares onde uma func~ao f(x, y) pode ter um valor
extremo s~ao
1. Pontos interiores onde fx = fy = 0;
2. Pontos interiores onde fx ou fy ou ambas n~ao existam;
3. Pontos de fronteira do domınio da func~ao .
.
8.4 Exercıcios.
1. Encontre os valores extremos locais de f(x, y) = x2 + y2.
2. Encontre os valores extremos locais ( se existirem ) de f(x, y) = y2 − x2.
.
z O fato de que fx = fy = 0 em um ponto interior (a, b) da regi~ao R n~ao garante
que f tenha um valor extremo local la. Se f e suas derivadas de primeira
e segunda ordem forem contınuas em R, contudo, podemos aprender mais a partir
do teorema a seguir.
57
.
8.5 Teorema. Teste da Derivada de Segunda Ordem para Valores Ex-
tremos Locais
Suponha que f(x, y) e suas derivadas parciais de primeira e segunda ordem sejam contınuas em
um disco centrado em (a, b) e que fx(a, b) = fy(a, b) = 0. Entao
i. f tem um maximo local em (a, b) se fxx < 0 e fxxfyy − f2xy > 0 em (a, b).
ii. f tem um mınimo local em (a, b) se fxx > 0 e fxxfyy − f2xy > 0 em (a, b).
iii. f tem um ponto de sela em (a, b) se fxxfyy − f2xy < 0 em (a, b).
iv. O Teste e inconclusivo em (a, b) se fxxfyy − f2xy = 0 em (a, b).
Nesse caso, devemos encontrar uma outra maneira de determinar o comportamento de f
em (a, b).
.
.
8.6 Exercıcios.
1. Encontre os valores extremos locais da funcao
f(x, y) = xy − x2 − y2 − 2x − 2y + 4
2. Encontre os valores extremos locais de f(x, y) = xy.
.
58
Maximos e Mınimos Absolutos em Regioes Fechadas e Limitadas
Organizamos a procura por extremos absolutos de uma func~ao contınua f(x, y)
em uma regi~ao fechada e limitada R em tres passos.
Passo 1: Relacione os pontos interiores de R onde f possa ter maximo e mınimo locais
e calcule f nesses pontos. Esses sao os pontos nos quais fx = fy = 0 ou onde uma ou
ambas as derivadas parciais fx e fy deixam de existir (pontos crıticos de f ).
Passo 2: Relacione os pontos da fronteira de R onde f tem maximos e mınimos locais
e calcule f nesses pontos.
Passo 3: Procure na Relac~ao pelos valores maximo e mınimo de f. Estes serao os valores
maximos e mınimos absolutos ( ou globais ) de f em R.
.
.
8.7 Exercıcios.
1. Encontre o maximo e o mınimo global de
f(x, y) = 2 + 2x + 2y − x2 − y2
na regiao triangular no primeiro quadrante limitada pelas retas x = 0, y = 0, y = 9 − x.
2. Uma empresa de entrega aceita apenas caixas retangulares cuja soma dos perımetros das
secoes transversas nao ultrapassem 108 pol. Encontre as dimensoes de uma caixa aceitavel
de maior volume possıvel.
.
59
Limitacoes do Teste da Derivada Primeira. A pesar do Teorema 8.3, insistimos
na importancia de lembrar de suas limitacoes . Ele nao se aplica a pontos de fronteira no domınio
de uma funcao , onde e possıvel que a funcao tenha valores extremos com derivadas diferentes de
zero. Tambem nao se aplica a pontos onde fx ou fy nao existem.
.
Lembrar: Os valores extremos de f(x, y) podem ocorrer apenas em
i. pontos de fronteira do domınio de f ;
ii. pontos crıticos ( pontos interiores onde fx = fy = 0 ou pontos onde fx ou fy nao
existem ).
60
.
9 Multiplicadores de Lagrange
.
Introducao . Nesta secao apresentaremos o metodo de Lagrange para maximizar ou
minimizar uma funcao generica diferenciavel f(x, y, z) ( ou f(x, y) ) sujeita a uma
restricao (ou condicao ) da forma g(x, y, z) = k (ou g(x, y) = k ).
Em termos geometricos, o metodo maximiza ou minimiza uma funcao generica f sobre a
superficie de nıvel dada por g(x, y, z) = k ( ou sobre a curva de nıvel dada por g(x, y) = k ).
A seguir, explicaremos a base geometrica do metodo de Lagrange para funcoes
de tres variaveis. Suponha que uma funcao diferenciavel f tenha um valor extremo no
ponto P (xo, yo, zo) sobre a superfıcie de nıvel S e seja C a curva com equacao vetorial
−→r (t) = (x(t), y(t), z(t)) que esta incluida em S e passe pelo ponto P. Se to e o valor
do parametro correspondente ao ponto P, entao −→r (to) = (xo, yo, zo). A funcao composta
h(t) = f(x(t), y(t), z(t)) fornece os valores de f sobre C. Como f tem um valor extremo
em (xo, yo, zo), segue que h tem um valor extremo em to, e portanto h′
(to) = 0. Usando
a Regra da Cadeia podemos escrever
0 = h′
(to) = ∇f(xo, yo, zo).−→r ′
(to)
Isso mostra que o vetor gradiente ∇f(xo, yo, zo) e ortogonal ao vetor tangente −→r ′
(to) de
toda curva C que passa pelo ponto P (xo, yo, zo). Isto e, o vetor gradiente ∇f(xo, yo, zo) e
ortogonal ao plano tangente de S no ponto P. Por outro lado, sabemos que ∇g(xo, yo, zo)
e ortogonal ao vetor tangente −→r ′
(to) de toda curva C que passa pelo ponto P (xo, yo, zo).
Isto e, o vetor gradiente ∇g(xo, yo, zo) e ortogonal ao plano tangente de S no ponto P.
Isso significa que os vetores ∇g(xo, yo, zo) e ∇f(xo, yo, zo) sao paralelos. Portanto, se
∇g(xo, yo, zo) 6= 0, existe um numero λ tal que
∇f(xo, yo, zo) = λ∇g(xo, yo, zo) (1)
61
.
Exercıcios Complementarios.
1. Dar exemplos de uma funcao real de duas variaveis e de tres variaveis.
2. Dar um exemplos de equacoes de uma curva no plano e no espaco.
3. Explicar o que e uma curva de nıvel e o que e uma superfıcie de nıvel.
4. Determine o valor maximo da funcao f(x, y) = x2 + y2 na elipse x2
4 + y2
9 = 1.
5. Explicar a base geometrica do metodo de Lagrange para funcoes reais de duas variaveis.
.
O numero λ na equacao (1) e chamado o multiplicador de Lagrange. O procedimento
baseado na equacao (1) e o seguinte
.
Metodo dos Multiplicadores de Lagrange. Para determinar os valores maximo
e mınimo de f(x, y, z) sujeita a restricao g(x, y, z) = k ( supondo que esses valores extremos
existam e ∇g(x, y, z) 6= 0 em toda a restricao g(x, y, z) = k ):
(a) Determine todos os valores de x, y, z e λ tal que
∇f(x, y, z) = λ∇g(x, y, z)
g(x, y, z) = k.
(b) Calcule f em todos os pontos (x, y, z) que resultaram do passo (a). O maior desses
valores sera o valor maximo de f, e o menor sera o valor mınimo de f.
62
.
Lembrete.
• Teorema do Valor Extremo para Funcoes de Duas Variaveis. Se f for
contınua em um conjunto fechado e limitado B, entao f atinge um valor maximo
absoluto f(x1, y1) e um valor mınimo absoluto f(x2, y2) para alguns pontos (x1, y1) e
(x2, y2), respetivamente, em B.
• Para determinar um maximo ou um mınimo absoluto de uma funcao contınua f em
um disco fechado D :
1. Determine os valores de f nos pontos crıticos de f no interior de D.
2. Determine os valores extremos de f na fronteira de D.
3. O maior dos valores dos passos 1 e 2 e o valor maximo absoluto; o menor desses
valores e o valor mınimo absoluto.
.
9.1 Exercıcios.
1. Uma caixa retangular sem tampa e feita de 12m2 de papelao . Determine o volume
maximo dessa caixa.
2. Determine os valores extremos da funcao f(x, y) = x2 + 2y2 no circulo x2 + y2 = 1.
3. Determine os valores extremos de f(x, y) = x2 + 2y2 no disco x2 + y2 ≤ 1.
63
.
Metodo dos Multiplicadores de Lagrange com duas restricoes . Para
determinar os valores maximo e mınimo de f(x, y, z) sujeita a duas restricoes g(x, y, z) = k
e h(x, y, z) = c ( supondo que esses valores extremos existam e os vetores gradientes−→0 6= ∇h,
−→0 6= ∇g sao nao paralelos, em toda a intersecao das restricoes .):
(a) Determine todos os valores de x, y, z e λ, µ tal que
∇f(x, y, z) = λ∇g(x, y, z) + µ∇h(x, y, z)
g(x, y, z) = k
h(x, y, z) = c
(b) Calcule f em todos os pontos (x, y, z) que resultaram do passo (a). O maior desses
valores sera o valor maximo de f, e o menor sera o valor mınimo de f.
9.2 Exercıcios.
1. Explicar de forma precisa a base geometrica do metodo de Lagrange para funcoes de
tres variaveis com duas restricoes .
2. Determine o valor maximo da funcao f(x, y, z) = x+2y +3z na curva da interseccao
do plano x − y + z = 1 com o cilindro x2 + y2 = 1.
