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Rgia Maria Sigl Brardilli Sadra Rgia Lm Frsr Cálculo Dierencial e Integral I

Apostila Calculo Diferencial e Integral i

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Rgia Maria Sigl Brardilli

Sadra Rgia Lm Frsr

Cálculo Dierencial

e Integral I

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É com satisação que a Unisa Digital oerece a você, aluno(a), esta apostila de Cálculo Diferencial 

e Integral I , parte integrante de um conjunto de materiais de pesquisa voltado ao aprendizado dinâmi-

co e autônomo que a educação a distância exige. O principal objetivo desta apostila é propiciar aos(às)

alunos(as) uma apresentação do conteúdo básico da disciplina.

A Unisa Digital oerece outras ormas de solidicar seu aprendizado, por meio de recursos multidis-

ciplinares, como chats, óruns, aulas web, material de apoio e e-mail .

Para enriquecer o seu aprendizado, você ainda pode contar com a Biblioteca Virtual: www.unisa.br,

a Biblioteca Central da Unisa, juntamente às bibliotecas setoriais, que ornecem acervo digital e impresso,

bem como acesso a redes de inormação e documentação.

Nesse contexto, os recursos disponíveis e necessários para apoiá-lo(a) no seu estudo são o suple-

mento que a Unisa Digital oerece, tornando seu aprendizado eciente e prazeroso, concorrendo para

uma ormação completa, na qual o conteúdo aprendido infuencia sua vida prossional e pessoal.

A Unisa Digital é assim para você: Universidade a qualquer hora e em qualquer lugar!

Unisa Digital

ApReSentAção

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  SUMÁRIo

IntRoDUção............................................................................................................................................... 5

1 ConJUntoS nUMÉRICoS............................................................................................................... 71.1 Conjunto dos Números Naturais ...............................................................................................................................71.2 Conjunto dos Números Inteiros .................................................................................................................................81.3 Conjunto dos Números Racionais ..........................................................................................................................11.4 Números Irracionais .....................................................................................................................................................121.5 Conjunto dos Números Reais...................................................................................................................................12

1.6 Desigualdades ...............................................................................................................................................................161.7 Aplicações das Desigualdades ................................................................................................................................181.8 Resumo do Capítulo ....................................................................................................................................................181.9 Atividades Propostas ...................................................................................................................................................19

2 FUnção ..................................................................................................................................................... 212.1 Par Ordenado .................................................................................................................................................................212.2 Produto Cartesiano ......................................................................................................................................................222.3 Relação .............................................................................................................................................................................252.4 Função ..............................................................................................................................................................................26

2.5 Funções do 1° Grau ......................................................................................................................................................32.6 Função Constante.........................................................................................................................................................392.7 Função Quadrática .......................................................................................................................................................422.8 Função Exponencial ....................................................................................................................................................52.9 Função Logarítmica .....................................................................................................................................................532.1 Função Modular ..........................................................................................................................................................592.11 Aplicações das Funções ...........................................................................................................................................632.12 Resumo do Capítulo .................................................................................................................................................722.13 Atividades Propostas ................................................................................................................................................72

3 IntRoDUção Ao LIMIte ..............................................................................................................75

3.1 Símbolo Matemático para Limite de Função .....................................................................................................753.2 O Conceito de Limite ...................................................................................................................................................773.3 Propriedade dos Limites ............................................................................................................................................813.4 Limite da Função Racional ........................................................................................................................................813.5 Resumo do Capítulo ....................................................................................................................................................883.6 Atividades Propostas ...................................................................................................................................................88

ReSpoStAS CoMentADAS DAS AtIVIDADeS pRopoStAS ..................................... 91

ReFeRÊnCIAS ...........................................................................................................................................109

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Caro(a) aluno(a),

Esta apostila destina-se aos(às) alunos(as) dos cursos de Engenharia de Ambiental e Engenharia de

Produção, com a nalidade de servir de orientação aos estudos da disciplina Cálculo Dierencial e Inte-

gral I. Ela oi elaborada com o objetivo de ornecer erramentas para ampliar os conhecimentos e auxiliar

o(a) aluno(a) do Ensino a Distância (EaD). Em sua elaboração, procurou-se criar uma linguagem dierenciada daquela que normalmente apa-

rece nos livros, a m de proporcionar uma melhor compreensão para os(as) alunos(as) do EaD.

A apresentação dos conteúdos está estruturada em partes teóricas, aplicações em orma de exercí-

cios resolvidos que aparecem como exemplos e exercícios de aprendizagem para melhor compreensão

dos assuntos abordados.

Espera-se, com este material, contribuir de orma expressiva no aprendizado dos(as) alunos(as),

porém sua participação nas aulas ao vivo, realização das atividades e interação no correio, óruns de dis-

cussões e chats são undamentais para o seu sucesso.Embora a apostila seja um pouco extensa, ela se divide em apenas três capítulos. No capítulo 1, es-

tudaremos os conjuntos numéricos, pois é necessário que se entenda com clareza o número real, já que

em todas as disciplinas a reerência será esse conjunto. No capítulo 2, será tratado com detalhes o estudo

de algumas unções, tais como: a unção polinomial do 1º grau, do 2º grau, exponencial, logarítmica

e modular. A unção racional, tão importante como as anteriormente citadas, não está presente nesta

apostila, mas será apresentada em aula web, junto ao limite de uma unção. No capítulo 3 (Introdução

aos limites), será apresentada apenas uma ideia do limite de uma unção, o qual será estudado com mais

detalhes na disciplina Cálculo Dierencial e Integral II. O capítulo 3 será utilizado como onte de estudospara eeito de atividades e avaliações, tanto no módulo 4 quanto no módulo 5 deste curso.

Caso discorde de algo apresentado nesta apostila, comunique ao proessor da disciplina, pois de-

sejamos ouvi-lo(la) para que possamos melhorar o curso a cada trimestre.

Sandra Regina Leme Forster 

IntRoDUção

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Caro(a) aluno(a),

A disciplina Cálculo, a qual será desenvolvi-da ao longo deste curso, está dividida em quatrograndes tópicos, pois cada um deles tratará umconteúdo especíco, com aproundamentos pormeio de poucas demonstrações de algumas pro-

priedades e por aplicações diversas pertinentes acada uma delas.

Mas o que será que esses tópicos terão emcomum?

Se você “arriscou” a responder que são osnúmeros reais, muito bem! Você acertou! Por essemotivo, este primeiro capítulo apresentará uma re-visão acerca dos conjuntos numéricos, já que nãoteria lógica iniciarmos nossos estudos pelos núme-ros reais, pois estes estão ormados por elementos

pertencentes aos números naturais, inteiros, racio-nais e irracionais.

Então, vamos lá? Ou melhor, então vamosestudar um pouquinho de cada um desses conjun-tos?

1 ConJUntoS nUMÉRICoS

1.1 Conjunto dos Números Naturais

Você está lembrado(a) desse conjunto? Faz tempo, não é? Você o estudou quando criança. Aliás,antes de estudá-lo, você já azia uso desse tipo de número.

Ele é indicado pela letra N e, caso esteja em dúvida de qual conjunto estamos alando, aqui está ele:N = , 1, 2, 3, 4, 5, 6, ... }.

Vejam sua representação na reta:

 

Quando excluímos o zero, obtemos o conjunto dos naturais não nulos, que é indicado por: N* = 1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ... }.

Sejam m e n dois números naturais. Então, podemos ter:

m = n ou m > n ou m < nsendo que: m > n e m < n

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Observação:

Ao justicar as armações anteriores, temos que m > n ⇔ (m - n) ∈ N*, pois como o m > n, o resul-tado m – n obrigatoriamente será um número positivo, já que está sendo realizada a subtração de umnúmero menor em relação a um número maior.

Ainda, temos que m < n ⇔ (m - n) ∉ N, pois, nessa operação, o resultado será negativo, e vimos

anteriormente que o conjunto N é constituído de números positivos e o zero.  

Exemplos

Bom, agora que relembramos o conjunto dos números naturais e algumas de suas propriedadesoperatórias, vamos ao próximo conjunto.

Qual é a dierença do conjunto dos númerosnaturais e dos números inteiros?

Bom, o número natural também é um núme-ro inteiro, mas, no conjunto dos números inteiros,teremos os números positivos e negativos.

Esse conjunto é indicado pela letra Z, e podeser escrito como:

Z = ..., -4, -3, -2, -1, , 1, 2, 3, 4, 5, 6, ... }

Vejam sua representação na reta:

1.2 Conjunto dos Números Inteiros

  0 1 32 4 5∙∙∙  ∙∙∙ 

-1-2-3-4

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O conjunto dos números inteiros tem diversos subconjuntos, mas, na sequência, apresentaremosos principais:

Exemplos

Antes de apresentarmos o próximo conjunto numérico, que tal pensarmos um pouco em comoexplicar as armações contidas em cada retângulo. Elas são importantes para você ter certeza que enten-deu o que oi apresentado sobre os números inteiros e seus subconjuntos. Vamos a elas.

Sejam m e n dois números inteiros. Então, podemos ter: m = n ou m > n ou m < n sendo que:

Agora, escreva como se lê cada uma das sentenças contidas nos retângulos.

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Prezado(a) aluno(a), quais são as lembrançasque você tem desses números? Talvez não seja uma

das melhores, mas acredite, é muito importanteentendê-los e saber operar com eles, já que nossodia a dia está “lotado” de situações que envolvemesses números. Quando somamos nosso dinheiro,quando azemos uma receita de culinária, ao me-dirmos as dimensões de um terreno para determi-nar a área e o perímetro e em muitas outras.

Indicado pela letra Q, é o seguinte conjunto:

1.3 Conjunto dos Números Racionais

Exemplos

AtençãoAtenção

Observando os exemplos anteriores, convém notar que, quando escrevemos umnúmero racional na orma decimal, este pode apresentar um número fnito de ca-sas decimais (decimal exato, como nos exemplos 1 e 2) ou um número infnito decasas decimais (dízimas periódicas simples e compostas, como nos exemplos 5 e6). É conveniente observar também que todo número inteiro é racional, pois podeser escrito na orma m ∈ Z e n ∈ Z*}. Logo, Z ⊂ Q.

É importante saber que o número racional não representa apenas uma “di-visão”, mas também pode representar “parte e todo”, uma “razão” e um “operador”.

Q = x | x = , ou seja, é

todo número obtido pela divisão de dois inteiros,

com “n” dierente de zero.

Mas, você sabe por que o “n” deve ser die-rente de zero?

Se não se lembra, que tranquilo! Mas o “n”deve ser dierente de zero pois, nesse caso, o “n” édivisor do “m” e não é possível dividir por zero.

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Agora, sugiro que, antes da leitura dos próximos exemplos, você tente entender o que armamosa seguir.

Sejam x e y dois números racionais. Então, podemos ter:

Exemplos

Antes de apresentarmos o conjunto dos números racionais, nós o(a) convidamos a responder àsquestões a seguir, pois com elas poderá vericar como estão seus conhecimentos sobre os númerosracionais.

As questões são:

Dê dois exemplos de números racionais nas ormas decimal nita, decimal innita periódicasimples e decimal innita periódica composta. Justique o porquê de cada exemplo dado serum número racional.

Compare os números racionais e apresente o caminho utilizado para azer essa comparação.

Se você não conseguiu respondê-las, poderá retornar ao tópico sobre os “Números Racionais”, mas,se isso não or suciente, que tal entrar em contato com o seu proessor? Um bom local para essa discus-são é o órum de discussões.

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Você sabe quais são esses números?

São os números não periódicos que podemser escritos na orma decimal com innitas casasdecimais. Esses números não são racionais (não

podem ser obtidos pela divisão de dois inteiros) euma das ormas de indicá-los é por Q (não racio-

nais).

1.4 Números Irracionais

1.5 Conjunto dos Números Reais

Exemplos

Agora, para instigá-lo(la), propomos que classique cada número a seguir como racional ou irracio-nal e, em seguida, explique a sua resposta.

Caso não tenha conseguido classicar ou explicar algum item proposto, convido-o(a) a buscar umadiscussão sobre o tema no órum de discussão desta disciplina.

Bom, você deve ter percebido que chegamosao tema que deu origem a este capítulo, ou seja, osnúmeros reais.

O número real é todo número racional ouirracional. Desse modo, indicado pela letra R, é areunião do conjunto dos números racionais (Q)com o conjunto dos números irracionais (Q ).

QQ ∪=ℜ  

Convém notar que os números reais po-dem ser representados numa reta de tal modo quetodo número real corresponde a um ponto da reta,todo ponto da reta corresponde a um número reale, ainda, que N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R.

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Uma propriedade dos números reais é queeles se apresentam ordenados: é menor do que 1,-2 é menor do que - 1,8, p é maior do que 1,45327...e assim por diante. Na reta real, podemos observarque a é menor do que b, se, e somente se, a está àesquerda de b.

Sejam a e b dois números reais. Então, pode-mos ter:

a = b ou a > b ou a < b 

O conjunto dos números inteiros tem diver-sos subconjuntos, mas, na sequência, apresentare-mos apenas alguns:

a) o conjunto dos números naturais;

b) o conjunto dos números inteiros;

c) o conjunto dos números racionais;

d) o conjunto dos números irracionais;

e) os innitos intervalos numéricos.

Mas, o que é um intervalo numérico? Tenteentender com a leitura do próximo quadro.

Sejam a e b dois números reais com a < b. Te-mos:

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Vamos estudar como é que se opera com esses intervalos?

Exemplos

1.  Dados os intervalos: I = [2, 7] e J = ]5, 9[, determine I ∩ J .

Explicando a resposta:

O símbolo é para indicar a operação deinterseção entre dois conjuntos. Nessa operação,é considerado como resposta o conjunto conten-do os elementos que são comuns aos conjuntos.Nos conjuntos I e J, os elementos que se repetemvão do 5 ao 7, incluindo o 7, pois o conjunto I = [2,

7] está ormado por todos os números reais entre2 e 7, incluindo os extremos, pois esse intervalo éechado. Já o conjunto J = ]5, 9[ está composto portodos os números entre 5 e 9, sem incluir os extre-mos, pois o intervalo é aberto. Ao representarmosisso gracamente, o intervalo echado tem extre-mos com “bolas” echadas e o intervalo aberto temextremos com “bolas” abertas. Note que, na repre-sentação gráca, ca evidente qual é o intervalo

numérico comum aos conjuntos ou, se preerir, aosintervalos I e J. Isso pode ser acilmente observadoao traçarmos segmentos pontilhados pelos pon-tos extremos de cada um dos intervalos. Para esseexemplo, o intervalo de números que se repetemestá entre o 5 e o 7. Note que o conjunto I tem onúmero 5, mas o conjunto J não tem esse número,pois em 5 o intervalo é aberto, o que signica quenúmeros maiores do que 5, mas bem próximosdele, são elementos desse intervalo; por exemplo:5,1. Em relação ao número 7, este pertenceaos dois conjuntos, pois, em I, ele é um extremocom “bola” echada, o que signica que pertenceao conjunto. Isso justica o porquê de a respostaser ]5,7], o que inorma que são todos os númerosentre 5 e 7, incluindo o 7.

Explicando a resposta:

O símbolo é para indicar a operação deunião entre dois conjuntos. Nessa operação, é con-siderado como resposta o conjunto contendo to-dos os elementos dos conjuntos. Nos conjuntos I e

J, todos os elementos vão do -1 ao 8, incluindo o -1,pois o conjunto I = [-1, 6] está ormado por todos

os números reais entre -1 e 6, incluindo os extre-mos, pois esse intervalo é echado. Já o conjuntoJ = ]3, 8[ está composto por todos os números en-tre 3 e 8, sem incluir os extremos, pois o intervalo

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é aberto. Note que, na representação gráca, caevidente qual é o intervalo numérico com todos oselementos dos conjuntos apresentados ou, se pre-erir, dos intervalos I e J. Para esse exemplo, o inter-valo contendo todos os números dos dois conjun-tos está entre o -1 e o 8. Note que o conjunto I tem

o número -1, mas o conjunto J não tem esse núme-ro, mas, na união, deve ser considerada a “junçãodos conjuntos”, logo não importa se há ou não arepetição dos elementos. Em relação ao número 8,este não pertence a nenhum dos conjuntos, poisobserve que, em J, o 8 está representado por uma“bola” aberta. Como o 8 não pertence a nenhumdos conjuntos, ele não pertence à união dos doisconjuntos. Isso justica o porquê de a resposta ser[-1,8[, o que inorma que são todos os números en-tre -1 e 8, incluindo o -1.

Bom, caso você queira testar se o que oi es-tudado em intervalos numéricos e as operações deinterseção e união caram bem entendidos, res-ponda aos testes a seguir com F para as alternati-vas alsas e V para as alternativas verdadeiras.

1. ( ) A = [2,1[ é um intervalo semiaberto,em que o extremo esquerdo pertence aoconjunto A e o extremo direito não per-tence.

2. ( ) B = (2,3) é um conjunto com umnúmero innito de elementos.

3. ( ) C = [2,4] = 2, 3, 4}

4. ( ) Sejam A, B e C os conjuntos dos itensanteriores, pode-se armar que

A B C = A

Em caso de dúvidas, não deixe para amanhã.Poste, agora mesmo, seus questionamentos e ob-servações no órum de dúvidas.

Saiba maisSaiba mais

Um uc d hisóriaRegistros arqueológicos datam de 50.000 anos a capacidade do homem em contar. Essa capaci-dade se desenvolveu ao longo da história humana conorme as atividades práticas e sociológicasoram acontecendo.O conceito de sistema numérico surgiu para atender às necessidades em sistematizar a contagem.A partir daí, cada civilização criou sua orma particular de representação escrita (símbolos), com ointuito de acilitar as operações matemáticas. Surgia, então, o que chamamos números naturais.Já com os Pitagóricos, surgiu o culto místico ao número; eles acreditavam que o universo era umarelação harmoniosa entre eles. Esse conceito oi ortemente abalado quando o próprio Pitágorasou um dos pitagóricos calculou a medida da diagonal de um quadrado de lado unitário.A partir da invenção da moeda e, mais tarde, com a expansão comercial do mundo conhecido, acirculação de dinheiro aumentou, isso obrigou os comerciantes a se adaptarem às situações en-volvendo lucros e prejuízos. Dessa evolução, surgiu o que denominamos números inteiros.Com o considerável desenvolvimento da geometria e da álgebra, surgiu a necessidade de expres-sar a razão entre segmentos e quantidades; surgiam, então, os números racionais.No século XVII, a geometria analítica estabeleceu a relação entre o geométrico e o algébrico,surgindo, então, a ideia de número incomensurável, mas somente no século XVIII Newton reco-nheceu a existência de três conjuntos de números: os inteiros, os racionais e os irracionais. Nessemesmo período, surgiu o número complexo, provado apenas geometricamente, que mais tardese tornaria uma teoria aceita.

O conjunto dos números reais é a designação da união do conjunto dos números racionais e doconjunto dos números irracionais. Esse conjunto numérico existe para criar condições de resolu-ção para equações e unções.

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Querido(a) aluno(a),

Você já resolveu problemas sobre desigual-

dades?Cuidado, aqui a questão não é sobre desi-

gualdade social ou algo similar, o que seria muitomais complicado do que a que estamos propondo!

Uma desigualdade, em matemática, é o mes-mo que inequação. Isso mesmo, inequação, quesão aquelas sentenças matemáticas envolvendo,normalmente, os sinais de > (maior), < (menor),(maior ou igual) e (menor ou igual).

Muitas vezes, devemos resolver desigualda-des que envolvem expressões como 2x – 5 < 9. O

número a é uma solução de uma desigualdade seesta é verdadeira quando substituímos x por a. Oconjunto de todos os valores de x que satisazemuma desigualdade é chamado conjunto soluçãoda desigualdade. Na resolução da desigualdade,aplicam-se as propriedades apresentadas na tabe-la a seguir:

1.6 Desigualdades

 

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As desigualdades têm aplicação requentepara denir condições que ocorrem em diversas

áreas; um exemplo disso está em analisarmos osníveis de produção.

Exemplo

Além do custo administrativo xo, de R$72,, o custo da produção de x unidades de cer-to item é R$ 3, por unidade. Durante o mês deoutubro, o custo total da produção variou entre omáximo de R$ 1.155, e o mínimo de R$ 1.12,por dia. Determine os níveis de produção máximoe mínimo durante o mês.

Resolução:

Como o custo de produção de uma unidadeé R$ 3,, a produção de x unidades é 3x. Além dis-so, como o custo xo diário é R$ 72,, o custototal da produção de x unidades é C = 3.x + 72.

Ora, como o custo variou de R$ 1.12 a R$1.155, podemos escrever que:

1.12 ≤ 3.x + 72 ≤ 1.155

1.12 - 72 ≤ 3.x + 72 – 72 ≤ 1.155 – 72

4 ≤ 3.x ≤ 435

3

435

3

3

3

400≤

⋅≤

x

133,33 ≤ x ≤ 145

Assim, os níveis de produção diária duranteo mês variam entre um mínimo de 133 unidades eum máximo de 145 unidades.

1.7 Aplicações das Desigualdades

1.8 Resumo do Captulo

Neste capítulo, estudamos os conjuntos numéricos (naturais, inteiros, racionais, irracionais e reais),que serão explorados ao longo das disciplinas Cálculo Dierencial e Integral.

Além desses conjuntos, também revisamos como se opera com intervalos numéricos e como sãoresolvidas as inequações do 1º grau e aplicadas em problemas relacionados à economia.

Vamos, agora, avaliar a sua aprendizagem?

 

Produção diáriaProdução diária

Produção de cada dia durante o

0 100 150 200

133 145

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1.9 Atividades Propostas

1. Forme o subconjuntos de Z para F = .

2. Determine os elementos do conjunto A = .

3. Represente na reta o subconjunto .

4. Sendo I = ], 2] e J = [5, + ∞ [, determine: a) I ∩ J; b) I ∪ J.

5. Determine o conjunto solução da desigualdade3

1

5

2

5

1

3

2+≤− x  x  .

6. A receita da venda de x unidades de um produto é R = 12,2x e o custo da produção de x uni-

dades é C = 98x +8. Para que haja lucro, a receita de venda há de ser maior do que o custo.

Para que valores de x esse produto dará lucro?

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Caro(a) aluno(a),

Você sabia que as unções são as melhoreserramentas para descrever o mundo real em ter-mos matemáticos?

Esse é um dos motivos que nos leva a relem-brar vários tópicos importantes sobre esse tema e

apresentar um capítulo com as ideias básicas dasunções, seus grácos, seus métodos para transla-dá-los, mas, ao contrário do que normalmente seapresenta, existirá uma preocupação em apresen-

tar a unção em suas diversas representações, ouseja, a partir de uma unção representada alge-bricamente, será solicitado seu gráco; a partir dográco de uma unção, será pedida a sua represen-tação numérica; ou a partir de sua representaçãonumérica, será solicitada a sua representação algé-

brica.Iniciaremos este capítulo com algumas de-

nições que irão nos auxiliar na compreensão doconceito de unção.

2 FUnção

Imaginem a seguinte situação: “para ormara equipe de basquete de um colégio, vamos sele-cionar 5 alunos entre os da 3ª série A e da 3ª sérieB, indicando as quantidades de alunos escolhidosem cada classe do seguinte modo: anotamos entreparênteses, primeiramente, o número de selecio-nados da 3ª série A e, depois, o da 3ª série B”.

Então, (3, 2) indicará que oram selecionados3 alunos da 3ª A e 2 alunos da 3ª B, enquanto (2, 3)

indicará que oram selecionados 2 alunos da 3ª A e3 alunos da 3ª B. Assim, em (3, 2) e (2, 3) temos asmesmas quantidades, 3 e 2, porém dispostas emordens dierentes. Por isso, dizemos que (3, 2) e (2,3) são dois  pares ordenados dierentes. No nossoexemplo, podem ocorrer os seguintes pares orde-nados: (5, ), (4, 1), (3, 2), (2, 3), (1, 4) e (, 5).

Com esse exemplo, podemos ormar a ideiade par ordenado como sendo um conjunto de

dois elementos considerados numa dada ordem.Para lembrar que na representação de um par or-denado a ordem é importante, usamos parêntesesao invés de chaves, como nos conjuntos em geral.

Assim, (x, y) é o par ordenado de 1º termo x e 2º ter-mo y, enquanto (y, x) é o par ordenado de 1º termoy e 2º termo x.

Podemos representar os pares ordenados denúmeros reais por pontos de um plano.

Consideremos duas retas orientadas (eixos) xe y, perpendiculares e que se cortam num ponto O.Então, essas duas retas concorrentes determinamum único plano α cujos pontos serão associados

aos pares ordenados (a, b) de números reais do se-guinte modo:

1. marcamos em x o ponto P1

correspon-dente ao número a e, por ele, traçamos areta y’ paralela a y;

2. marcamos em y o ponto P2

correspon-dente ao número b e, por ele, traçamos a

reta x’ paralela a x.Desse modo, as retas x’ e y’ interceptam-se

num ponto P, que é associado ao par (a, b).

2.1 Par Ordenado

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A cada par de números reais azemos corres-ponder um ponto do plano α e, também, a cadaponto do plano corresponde um par de númerosreais. Essa correspondência é denominada sistema

de coordenadas cartesianas ortogonais (ou siste-ma cartesiano ortogonal). O plano α é chamadoplano cartesiano.

Sejam A e B dois conjuntos não vazios. Denominamos produto cartesiano de A por B o conjuntoA x B cujos elementos são todos pares ordenados (x, y), em que o primeiro elemento pertence a A e osegundo elemento pertence a B.

2.2 Produto Cartesiano

Temos então:

P é o ponto de coordenadas (a,b);

o número a é a abscissa de P;

o número b é a ordenada de P;

o eixo x é o eixo das abscissas; o eixo y é o eixo das ordenadas;

o ponto O é a origem e tem coorde-nadas (O, O).

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Exemplos

1.  Se A = 1, 2} e B = 2, 3, 4}, o produto cartesiano:

2. Se A = {x ∈ ℜ /2 ≤ x < 4} e B = 3}, apresente em dierentes representações:

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3.  Se A = {x ∈ ℜ /2 < x ≤ 4} e B = {x ∈ ℜ /2 ≤ x < 6}, apresente em dierentes representações:

Olá, agora que você estudou um pouquinho sobre produto cartesiano, seria interessante ter certe-za que você entendeu o que oi lido. Aproveite esse momento para vericar se já está preparado(a) parapassar para o próximo tópico. Leia e responda aos questionamentos a seguir.

1. Observando o exemplo (1), o que se pode concluir em relação à quantidade de elementos de

um produto cartesiano, ou seja, se o conjunto A tem m elementos e o conjunto B tem n ele-mentos, então o conjunto A x B será ormado por quantos pares ordenados?

2. Se o conjunto A é dierente do conjunto B, então A X B e B X A são dierentes? Explique deta-

lhadamente a sua resposta.

3. Se o conjunto A está composto por 3 elementos e o conjunto B por 4 elementos, então a

quantidade de elementos, ou seja, de pares ordenados de A X B e de B x A é dierente? Justi-que a sua resposta.

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4. Explique o porquê de o gráco do exemplo (2) ser um segmento de reta a, além do ato de

conter a extremidade esquerda e não conter a extremidade direita.

5. Justique o ato de os grácos do exemplo (3) serem representados pela área de uma região

retangular. Explique, ainda, as linhas tracejadas em cada retângulo.

Caso tenha tido diculdade em responder a algum dos questionamentos, discuta-os com seus co-legas de curso e com seus proessores. Não se esqueça de usar os óruns para socializar seus conhecimen-tos e suas ansiedades.

2.3 Relação

Você está lembrado(a) desse assunto?

Caso sua resposta seja negativa, não se preocupe.

Denominamos relação de A em B todo subconjunto R de A x B.

Exemplos

1. Se A = 1, 2} e B = 2, 3, 4}, determine R = {(x, y) ∈ A x B / x < y}, que está sendo apresentada emuma linguagem simbólica, nas representações numéricas e grácas

A x B = (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 2), (2, 3), (2, 4)}.

 R é uma relação de A em B B AR ×⊂⇔  

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2. Dados A = 1, 2, 3, 4} e B = 1, 3, 5, 7}, represente numericamente e em orma de diagrama defechas as relações de A em B:

a) R =

b) S =

a) A relação R é ormada pelos pares (x, y),  Ax∈ e By ∈ , com a soma dos termos x + y = 8. Essespares são: (1, 7) e (3, 5). Logo, R = (1, 7), (3, 5)}.

b) A relação S é ormada pelos pares (x, y), x ∈ A e y ∈ B, com o produto dos termos ≤ 1. Essespares são: (1, 1), (1, 3), (1, 5), (1, 7), (2, 1), (2, 3), (2, 5), (3, 1), (3, 3) e (4, 1) Logo,

S = (1, 1), (1, 3), (1, 5), (1, 7), (2, 1), (2, 3), (2, 5), (3, 1), (3, 3), (4, 1)}.

Agora, aça mais uma rápida leitura sobre produto cartesiano e relação e, por meio da observação

do exemplo (1), tente explicar qual é a dierença do produto cartesiano e da relação.

2.4 Função

Agora que revisamos alguns pré-requisitos

para o ensino da unção, vamos deni-la?Uma unção ou aplicação de A em B é uma

relação que a todo elemento x de A az correspon-der um único elemento y de B.

Observação: A e B são dois conjuntos, com A≠ 0 e B ≠ 0.

Exemplo

“O perímetro (y) de um quadrado é unçãodo lado (x) desse quadrado. Se o lado medir 2 cm, operímetro será 8 cm; se o lado medir 1 cm, o perí-

metro será 4 cm; para cada x, o perímetro será y =

4x, onde x pode ser qualquer número real positivo.”

Observações

1. Em relação ao diagrama de fechas, umarelação de A em B é uma unção se:

a) todo elemento de A é ponto de par-tida de fecha;

b) cada elemento de A é ponto de par-tida de uma única fecha.

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3. Em relação à representação cartesiana,uma relação de A em B é uma unção se:

“A reta paralela ao eixo y conduzida peloponto (x, ), onde x ∈ A, encontra sempre o grá-co da unção em um só ponto.”

4. A seguinte linguagem é utilizada:

a) o conjunto A é o domnio da unção;

b) o conjunto B é o contradomnio daunção;

c) o elemento y de B, associado ao ele-mento x de A, é denominado ima-gem de x;

d) o subconjunto de B ormado peloselementos que são imagens dos ele-mentos de A é denominado conjun-to imagem (ou apenas imagem) daunção.

5. Notações

Função: em geral, usamos as letras , g,h e outras para designarmos as unções.

Também podemos escrever:

: A→ B (leia: de A em B), para indicar

uma unção de A em B;

y = (x) (leia: y = de x), para indicar que

y é a imagem de x. Domnio: utilizamos D ou D ( ) (leia: D de

) para indicarmos o domínio da unção .

Imagem: utilizamos Im ou Im () (leia:imagem de ), para indicarmos a imagemda unção .

Assim, para uma unção : A→ B, temos:

D () = A e Im ( ) = y y)}(x)f / Ax(/B =∈∃∈

Para uma unção car bem denida, deve-mos dizer quem é o domínio (A), o contradomínio(B) e a lei (ou regra) pela qual a cada x de A corres-ponde o elemento y = (x) de B.

Observe ainda que, quando temos uma un-

ção : A→ B, tal que y = (x), x e y recebem o nome

variável, com x como variável independente e y,

variável dependente.

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Exemplos

1. Dados os conjuntos A = , 1, 2, 3} e B = -1, , 1, 2, 3}, verique pelo diagrama de fechas, quais

das seguintes relações denidas a seguir são unções.

Resolução:

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2.  Dadas as representações cartesianas das relações de A em ℜ, verique quais são unções:

Observe que o item (a) representa uma unção, pois qualquer reta traçada paralelamente a y porpontos do intervalo [-1, 2] intercepta o gráco cartesiano num único ponto. O item ( b) não representauma unção, pois, se traçarmos retas paralelas a y por pontos do intervalo [-1, 1], estas interceptam o

gráco cartesiano em dois pontos. O item (c) também não representa uma unção, pois retas traçadasparalelamente a y por pontos do intervalo [, 2[ não interceptam o gráco cartesiano em ponto algum.Se, no item (c), tivéssemos A = , daí teríamos uma unção.

3. Dado A = -1, -2, -3, -4}, consideremos a unção ℜ→ A:f  denida por (x) = 2 x. Qual a imagemdessa unção?

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Atribuindo a x os valores do D () = A, temos:

Querido(a) aluno(a),

Que tal, antes de iniciar a leitura do próximo tópico, você vericar se o tema sobre unções realmen-te está aprendido?

Para isso, tente responder às duas questões a seguir.

1. Com base nas observações constantes no tópico sobre unções, justique as respostas do

exemplo (1).

2. Qual é a dierença de uma relação e de uma unção? Toda unção é uma relação? E toda rela-

ção é uma unção?

É muito importante que responda às duas questões e, se houver algum tipo de diculdade, nãodeixe para depois. Faça uma pesquisa sobre o assunto e compartilhe com todos os resultados adquiridos.

2.5 Funções do 1° Grau

Agora, vamos iniciar o estudo de diversos ti-pos de unções. Todos os exemplos que apresen-taremos neste capítulo você já estudou no ensinomédio, mas precisamos relembrá-los, pois todo oCálculo Dierencial e Integral desenvolveu-se emtorno de dois conceitos undamentais: o conceitode unção e o conceito de limite.

Então, vamos, a partir de agora, estudar umpouquinho de cada uma das unções que apare-cerão ao longo das disciplinas Cálculo Dierencial eIntegral deste curso.

Como já oi enunciado anteriormente, apre-sentaremos, neste momento, a unção do primeirograu.

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Defnição da unção do 1º grau e “afm”

Uma aplicação de ℜ em ℜ recebe o nome unção afm quando a cada x ∈ ℜ estiver associado oelemento (ax + b) ∈ ℜ, com a≠, isto é:

Exemplos

Apresente as unções dos itens (a), (b) e (c) nas representações algébrica, numérica e gráca.

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Bom, será que você entendeu o conceito e os exemplos de representações de uma unção am?Para ter certeza, tente responder às questões a seguir.

Observando os exemplos anteriores, podemos notar que, para representar essa unção por meiode um gráco, apenas dois pontos oram utilizados. O que ocorreria se utilizássemos mais de 2 pontos?O que garante que apenas dois pontos sejam necessários para o esboço do gráco da unção polinomialdo 1° grau?

Domnio e imagem da unção afm: D () = ℜ e Im ( ) = ℜ.

Coefcientes da unção afm: (x) = ax + b.

a: coeciente angular ou declividade da reta representada no plano cartesiano;

b: coeciente linear (ordenada do ponto onde a reta corta o eixo y).

Exemplos

1. Obter a equação da reta que passa pelos pontos (1, 2) e (3, -2).

Resolução:

A equação da reta é da orma: y = ax + b.

2.  Obter a equação da reta que passa pelo ponto (1,3) e tem coeciente angular igual a 2.

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Resolução:

A equação da reta é da orma: y = ax + b.

Se o coeciente angular é igual a 2, temos que a = 2.

Portanto, a equação ca: y = 2x + b.

Como o ponto (1, 3) pertence à reta, vem: 3 = 2 . 1 + b ⇒ b = 1.

Portanto, a equação da reta é: y = 2x + 1

3. Obter a equação da reta que passa pelo ponto (-2, 1) e tem coeciente linear igual a 4.

Resolução:

A equação da reta é da orma: y = ax + b.

Se o coeciente linear é igual a 4, temos que b = 4.

Portanto, a equação ca: y = ax + 4.

Como o ponto (-2, 1) pertence à reta, vem: 1 = -2a + 4 ⇒ -2a = -3 ⇒ a =2

3.

Portanto, a equação da reta é: y =2

3x + 4

Zero da unção afm: é todo número x cuja imagem é nula, isto é, (x) = .

x é zero de y = (x) ⇔ (x) =

Exemplo

y = (x) = 2x – 2 (x) = ⇒ 2x – 2 = ⇒ 2x = 2 ⇒ x = 1

Gracamente, o zero da unção am é a abscissa do ponto onde a reta corta o eixo x.

Funções crescentes ou decrescentes

Função crescente: a unção : A→ B denida por y = (x) é crescente no conjunto A1⊂ A se,

para dois valores quaisquer x1e x

2de A

1, com x

1< x

2, tivermos (x

1) < (x

2);

Função decrescente: a unção : A→ B denida por y = (x) é decrescente no conjunto A1⊂ A

se, para dois valores quaisquer x1e x

2de A

1, com x

1< x

2, tivermos (x

1) > (x

2).

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Teorema: “A unção am é crescente ou decrescente se, e somente se, o coeciente angular é res-pectivamente positivo ou negativo.”

Exemplos

a. y = 2x – 3; a = 2 > ⇒ y é crescente;

b. y = -3x +3; a = -3 < ⇒ y é decrescente.

Sinal da unção afm: seja y = (x) = ax + b.

Portanto, podemos resumir os dois casos anteriores em um único caso:

 

a

b−  

c/a m/ay = 0

x

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Exemplos

Estude as unções:

a. y = (x) = 2x – 2;

b. y = (x) = -3x +6.

Resolução:

AtençãoAtenção

Estudar uma unção do 1º grau é, no mínimo, apontar sua raiz (ou zero), verifcarse a unção é crescente ou decrescente e escrever para qual intervalo a unção épositiva e negativa.

Para estudarmos o sinal da unção, inicialmente a igualamos a zero. Quando igua-lamos a zero a unção y = (x) para determinar sua raiz (interseção da reta com oeixo x), passamos a ter uma equação do 1º grau na incógnita x, a qual queremosdeterminar. Ao conhecermos essa raiz, fca ácil azer o estudo do sinal.

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Agora que você já teve a oportunidade de revisar um pouquinho a unção do 1º grau e ”am”, antesde iniciar a leitura sobre a unção do 1º grau e “linear”, convido-o(a) a vericar se está apto(a) a prosseguircom suas leituras. Para isso, responda às questões a seguir e, em caso de dúvidas, por avor, enumere-asno órum de discussão sobre “A unção do 1º grau”.

Então, vamos trabalhar esse assunto?

Dados os grácos das unções dos itens (a) e (b) a seguir:

1. represente a unção algebricamente;

2. determine os coecientes (angular e linear);

3. determine o zero de cada uma das unções;

4. as unções são crescentes ou decrescentes? Por quê?

Defnição da unção do 1º grau e “linear”

Se, na unção am y = (x) = ax + b, a ≠ , tivermos b = , teremos a unção linear, que é uma apli-cação de ℜ em ℜ e que associa a cada elemento x ∈ ℜ o elemento a ∈ ℜ, a ≠ .

0aax,(x)f yx

:f 

≠==

ℜ→ℜ

Domnio e imagem da unção linear: D () = ℜ e Im () = ℜ.

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Exemplos

Represente as unções a seguir dadas de orma algébrica nas ormas numérica e gráca:

Prezado(a) aluno(a),

Como pode ser observado nos exemplos anteriores, o gráco da unção linear também é represen-tado por uma reta, mas esse gráco apresenta uma particularidade em relação à unção am. Qual é essaparticularidade? Se você conseguiu perceber qual é a dierença entre esses dois tipos de unção, estude,

então, o próximo tipo de unção do 1º grau.

Defnição da unção do 1º grau e “identidade”

Se, na unção am y = (x) = ax + b, a ≠ , tivermos b = e a = 1, teremos a unção identidade, queé uma aplicação de ℜ em ℜ e que associa a cada elemento x ∈ ℜ o próprio x.

x(x)f yx

:f 

==

ℜ→ℜ

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Gráfco da unção do 1º grau e “identidade”

O gráco da unção identidade também é uma reta que contém as bissetrizes do 1º e 3º quadrantese que passa pela origem.

Domnio e imagem da unção do 1º grau e “identidade”: D () = ℜ e Im () = ℜ.

Exemplos

Construir o gráco das unções:

a) y = x b) y = -x

Para cada item, vamos atribuir valores a x.

Bom, agora que você já revisou o que é uma unção do 1º grau am, linear e identidade, com certe-za se sentirá muito à vontade em responder aos próximos questionamentos. Vamos a eles?

1. Existe dierença entre as unções linear e identidade? Em caso armativo, quais?

2. Toda unção linear é identidade? E toda unção identidade é linear? Por quê?

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3. Por que o domínio de uma unção linear é todos os números reais?

4. Se uma unção linear estiver denida para x ∈ ℜ / 3 < x < 1, a sua imagem estará composta

por todos os números reais? Por quê?

5. Se uma unção linear estiver denida para x ∈ ℜ / 3 < x < 5, a sua imagem estará composta por

um número nito de elementos? Por quê?

E então, você respondeu com acilidade? Ainda restam dúvidas? Em caso armativo, entre em con-tato com o seu proessor, ele terá um imenso prazer em discutir cada uma de suas dúvidas para que vocêpossa dar sequência às leituras desta apostila.

2.6 Função Constante

Defnição

Se, na unção am y = (x) = ax + b, tivermos a = , teremos a unção constante, que é uma aplica-ção de ℜ em ℜe que associa a cada elemento x ∈ ℜ sempre o mesmo elemento b ∈ ℜ.

)(constanteb(x)f yx

:f 

==

ℜ→ℜ

Gráfco

O gráco da unção constante é uma reta paralela ao eixo x, passando pelo ponto (, b).

Domnio e imagem: D () = ℜ e Im () = b}.

Exemplos

Construir os grácos das unções:

a. y = 2 b. y = -1

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Observe que as duas unções não dependem de x, isto é, para qualquer x ∈ ℜ, em (a), o y vale sem-pre 4 e, em (b), vale sempre -2.

Agora, responda: a unção constante é uma unção polinomial do 1° grau? Por quê?

Saiba maisSaiba mais

DclividadDeclividade da reta é a tangente do ângulo que a reta orma com o eixo Ox. Na unção polinomialdo primeiro grau, essa tangente coincide com a própria reta do gráfco da unção e tem valor igual

ao coefciente angular “a”.A partir do gráfco da unção do 1º grau, é possível determinar o valor do coefciente angular. Paraisso, tomamos dois pontos A e B da unção ou da reta.Para determinar a declividade ou coefciente angular de uma reta, prosseguimos conorme podeser lido a seguir.Seja “a” o coefciente angular da reta, então

, onde A = (x1,y1) e B = (x2,y2).

Note que o triângulo ABC destacado da fgura é um triângulo retângulo. Assim, temos:

12

12

 x x

 y ya

−=

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Exemplos (Declividade)

1.  Determine a inclinação da reta apresentada no gráco a seguir.

Resolução:

2.  Determine a equação da reta do exemplo anterior.

Resolução:

Uma das ormas de determinar a equação de uma reta é usar a equação reduzida da reta, dada por:y – y

= m(x – x

), onde m é o coeciente angular da reta, também conhecido por “a”, e as coordenadas

(x,y

) representam as coordenadas de qualquer ponto conhecido da reta. Para o exemplo em questão,

conhecemos as coordenadas dos pontos A e B, portanto pode-se usar qualquer um dos dois pontos.

Ainda, temos o coeciente angular m = a = 2. Substituindo o 2 e o ponto A, por exemplo, teremos: y – y  = m(x – x

), ⇒ y – () = 2(x – (-2)) ⇒ y = 2x + 4.

Portanto, a equação da reta é dada por: y = 2x + 4.

Querido(a) aluno(a),

Antes de continuar seus estudos sobre unção, aça uma refexão acerca de seus conhecimentosreerentes às unções do 1º grau e constante. Você se sente motivado(a) a prosseguir em sua leitura?Então, vamos a ela.

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Defnição

Uma aplicação de R em R recebe o nome unção quadrática ou do 2º grau quando associa a cadax ∈ ℜ o elemento (ax2 + bx + c) ∈ ℜ, onde a ≠ .

Exemplos

a. (x) = x2 – 2x + 3; a = 1; b = -2; c = 3;

b. (x) = -2x2 + 5x – 1; a = -2; b = 5; c = -1;

c. (x) = x2 – 4; a = 1; b = ; c = -4 ;

d. (x) = -2x2 + 3x; a = -2; b = 3; c = ;

e. (x) = -4x2; a = -4; b = ; c = .

Gráfco

O gráco da unção quadrática (x) = ax2 + bx + c, a ≠ , é uma parábola.

Concavidade

a. a > ⇒ concavidade voltada para cima (boca para cima)

b. a < ⇒ concavidade voltada para baixo (boca para baixo)

2.7 Função Quadrática

 

x

y

y

x

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Zeros da unção do 2° grau

Os zeros ou raízes da unção quadrática y = (x) = ax2 + bx + c, a ≠ , são os valores de x reais taisque (x) = e, portanto, as soluções da equação do 2º grau

ax2 + bx + c = na incógnita x.

Discussão:

Exemplo

Determine os valores de m para que a unção quadrática (x) = mx2 + (2m – 1)x + (m – 2) tenha doiszeros reais e distintos.

Resolução:

Para a unção ser quadrática, devemos ter a = m ≠ .

Para que a unção tenha dois zeros reais e distintos, devemos ter ∆ > .

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Vértice da parábola

O ponto V = ( ) é chamado vértice da parábola representativa da unção quadrática.

Máximo e mnimo

Dizemos que o número yM

∈ Im () (ou ym

∈ Im ()) é o valor de máximo (ou mínimo) da unção y =  (x) se, e somente se, y

M≥ y (ou y

m ≤ y) para qualquer y ∈ Im () e o valor x

M∈ D () (ou x

m∈ D ()) tal que y

= (xM

) (ou ym

= (xm

)) é chamado ponto de máximo (ou mínimo) da unção.

Teorema:

A unção quadrática y = ax2 + bx + c, a ≠ admite um valor máximo (ou mínimo)

y = em x = se, e somente se, a < (ou a > ).

Exemplos

1. Determine o valor máximo ou o valor mínimo e o ponto de máximo ou o ponto de mínimo daunção a seguir, denida em ℜ.

a. y = 4x2

– 8x + 4

Resolução:

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Olá,

Verique, a seguir, se você entendeu o conceito e como se az para determinar o valor de máximoe mínimo de uma unção.

1. Determine o valor máximo ou o valor mínimo e o ponto de máximo ou o ponto de mínimo daunção a seguir, denida em ℜ: y = -3x2 + 12x.

2. Determine o valor de m na unção real (x) = (m – 1)x2 + (m + 1)x - m para que o valor mínimoseja 1.

Caso não tenha conseguido responder a alguma questão anterior, sugiro que leia novamente aresolução dos exemplos sobre máximo e mínimo e, em permanência das dúvidas, não hesite em azerseus questionamentos.

Domnio e imagem

D () = ℜ. Para determinarmos a Im (), azemos: (x) = ax2 + bx + c, a ≠

a. a > ⇒ y ;

b. a < ⇒ y .

Exemplos

1.  Obter a imagem da unção de ℜ em ℜ denida por: (x) = 2x2 – 8x + 6.

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2. Determine m na unção (x) = 3x2 – 4x + m denida em ℜ para que a imagem seja

Im () = {y ∈ ℜ / y ≥ 2}.

Sinal da unção quadrática

(x) = ax2 + bx + c, a ≠

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Exemplos

Faça o estudo completo das unções:

1. (x) = x2 – 2x + 1;

2. (x) = x2 – x – 6.

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Resolução:

Sinal:

Para x < 1 ⇒ (x) > .

Para x = 1 ⇒ (x) = .

Para x > 1 ⇒ (x) > .

Vértice: V = ( ) = (1, ) ⇒ ponto de mínimo da unção.

Imagem: Im ( ) = .

2.  (x) = x2 – x – 6; a = 1 > ⇒ a parábola tem a concavidade voltada para cima.

Vamos achar as raízes da unção. Para isso, azemos (x) = e obtemos a seguinte equação na in-cógnita x:

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Sinal:

Para x < -2 ⇒ (x) > . Para x = -2 ⇒ (x) = .

Para -2 < x < 3 ⇒ (x) < . Para x = 3 ⇒ (x) = .

Para x > 3 ⇒ (x) > .

Vértice: V = ( ) = ⇒ ponto de mínimo da unção.

Imagem: Im ( ) = .

Querido(a) aluno(a),

Se você entendeu os exemplos anteriores, agora é sua vez de resolver: aça o estudo completo daunção denida por: (x) = -2x2 + 3x – 2. Conseguiu? Caso a resposta seja negativa, aça uma nova leiturado tópico da unção do 2º grau, pois, embora as demais unções a serem estudadas a seguir sejam im-portantes, as unções polinomiais do 1º e 2º graus, nessa ase inicial, serão as mais utilizadas. Por isso, nãodeixe para entendê-las apenas no próximo módulo.

Então, antes de iniciar a leitura sobre a unção exponencial, procure ter certeza que não existemdúvidas sobre o assunto anterior.

2.8 Função Exponencial

Defnição

Chama-se unção exponencial de base a, com { }1a −ℜ∈ ∗+ , a unção de ∗

+ℜ→ℜ denida porxaf(x) = .

AtençãoAtenção

É importante dierenciar rapidamente a unção potência e polinomial de grau “n” daunção exponencial.Na unção exponencial, a base é um número real e o expoente é a variável; já naunção polinomial, o expoente é um número inteiro.Veja a dierença:

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Exemplos

1. Construa os grácos das unções exponenciais ∗+ℜ→ℜ: f   denidas por x2f(x) = e x)

2

1(g(x) =  

e, em seguida, comparando-os, escreva algumas conclusões.

Conclusões:

a) O gráco da unção exponencial está sempre acima do eixo Ox, pois ℜ∈∀> x,0ax ;

b) O gráco da unção exponencial sempre intercepta o eixo Oy no ponto (,1), pois{ }1a,1a0 −ℜ∈∀= ∗

+ ;

c) Se a > 1, a unção exponencial é estritamente crescente;

d) Se < a < 1, a unção exponencial é estritamente decrescente;

e) A unção exponencial é sobrejetora, pois o contradomínio e o conjunto imagem são, ambos,iguais a ∗

+ℜ ;

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) A unção exponencial é injetora, pois qualquer reta horizontal intercepta seu gráco no máxi-mo uma vez;

g) A unção exponencial é, pois, bijetora;

h) 21

xx xxaa 21 =⇔= , pois a unção exponencial é injetora;

i) Se a > 1, então 21

xx

xxaa21

≥⇔≥ , pois a unção exponencial é estritamente crescente;

 j) Se < a < 1, então 212x1x xxaa ≤⇔≥ , pois a unção exponencial é estritamente decrescente.

Observação:

Todas essas observações são válidas desde que não seja somada uma constante real e dierentede zero à unção exponencial e, também, desde que essa mesma unção não seja multiplicada por umnúmero negativo.

2. Determine m ∈ ℜ para que a unção (x) = (2m – 1)x seja crescente em ℜ.

Resolução:

Vimos que a unção exponencial (x) = ax é estritamente crescente quando a > 1.

Na unção dada, a = 2m – 1. Logo, azemos:

2m – 1 > 1 ⇒ 2m > 2 ⇒ m > 1

Caro(a) aluno(a),

Aproveite o exemplo 1 e verique o que acontece com o gráco das duas unções exponenciaisapresentadas anteriormente, nas situações a seguir:

1. ao adicionar a constante (-4) em cada um dos exemplos;

2. ao multiplicar cada uma das unções pela constante (-1);

Alguma conclusão anterior soreu alterações? Qual(is)?

Bom, caso não tenha entendido o proposto ou não tenha conseguido esboçar os grácos solicita-dos em (1) e (2), entre em contato.

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Defnição

Chama-se unção logarítmica de base a, com a > e 1a ≠ , a unção ℜ→ℜ∗

+: f   denida porxlog(x)f  a= .

Defnição de logaritmo

Se 010,, >≠<ℜ∈ beaba , então ba xb x

a =⇔=log . (lê-se: logaritmo de b na base a

balog→ ), onde: b é o logaritmando; a é a base do logaritmo; x é o logaritmo.

Exemplos de gráfcos

Construa os grácos das unções ℜ→ℜ∗+:f  denidas por xlog(x)f  2= e xlog(x)

2

1= g  e, em

seguida, comparando-os, escreva algumas conclusões.

2.9 Função Logartmica

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Conclusões:

a) O gráco da unção logarítmica está sempre à direita do eixo Oy, pois seu domínio é ∗

+ℜ ;

b) O gráco da unção logarítmica sempre intercepta o eixo Ox no ponto (1,), pois{ }1a,01log a −ℜ∈∀= ∗

+ ;

c) Se a > 1, a unção logarítmica é estritamente crescente;

d) Se < a < 1, a unção logarítmica é estritamente decrescente;

e) A unção logarítmica é sobrejetora, pois o contradomínio e o conjunto imagem são ambosiguais a ℜ .

) A unção logarítmica é injetora, pois qualquer reta horizontal intercepta o seu gráco no máxi-mo uma vez;

g) A unção logarítmica é, pois, bijetora;

h) A unção exponencial de ℜem ∗

+ℜ e a unção logarítmica de ∗

+ℜ em ℜ são inversas uma daoutra.

De ato: xx aya(x)f  =⇒= .

Trocando-se x por y e vice-versa, vem: yax = . Isolando-se y, temos: xlogy a= .

xlog(x)f a(x)f  a1x =⇔=∴ −  

i) Por serem inversas uma da outra, o gráco da unção exponencial e o gráco da unção loga-rítmica são simétricos em relação à bissetriz dos quadrantes ímpares, que é a reta de equaçãoy = x. Veja:

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 j) j. 0xxxlogxlog 212a1a >=⇔= , pois a unção logarítmica é injetora;

k) k. Se a > 1, então 0xxxlogxlog 212a1a >>⇔> , pois a unção logarítmica é estritamentecrescente;

l) l. Se < a < 1, então 212a1a xx0xlogxlog <<⇔> , pois a unção logarítmica é estritamentedecrescente.

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Condições de Existência (CE) do logaritmo

blogy a= , CE

≠<

>

1a0

e

0b

Observação:

Todas as observações anteriores são válidas desde que não seja somada uma constante real e di-erente de zero ao logaritmando da unção e, também, desde que essa mesma unção não seja multipli-cada por um número negativo.

Caro(a) aluno(a),

Aproveite o exemplo anterior e verique o que acontece com o gráco das duas unções logarítmi-cas, nas situações a seguir:

1. ao adicionar a constante (3) no logaritmando em cada um dos exemplos;

2. ao multiplicar cada uma das unções pela constante (-1).

Alguma das conclusões anteriores soreu alterações? Qual(is)?

Bom, caso não tenha entendido o proposto ou não tenha conseguido esboçar os grácos solicita-dos em (1) e (2), entre em contato.

Vamos estudar mais alguns exemplos?

Nos exemplos a seguir, você verá como se determina o domínio de uma unção logarítmica e ovalor da unção em diversos pontos.

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1. Qual é o domínio da unção ?

Resolução:

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2. Seja (x) = )(2xlog 2 . Determine:

a. o domínio de ;

b. os valores de x, tais que (x) = 1.

Observação:

Quando a base do logaritmo não é especicada, vale 1. Por exemplo,

3log3log 10= .

Também usamos a seguinte notação:

  5ln5log e = , onde e = 2,718281828459453..., chamado número de Nepper, é um número realirracional para o qual usamos a seguinte aproximação: 2,718e ≅ .

Resolução:

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2.10 Função Modular

Defnição

Uma aplicação de ℜem ℜ recebe o nome unção módulo ou modular quando a cada x ℜ∈  

associa-se o elemento ℜ∈x .

xx

:f 

ℜ→ℜ

Utilizando o conceito de módulo de um número real, a unção modular pode ser denida da se-guinte orma:

Gráfco da unção modular

O gráco da unção modular ((x) = |x|) é a reunião de duas semirretas de origem O, que são as

bissetrizes do 1º e 2º quadrantes.

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Domnio e imagem

Domínio: D () = ℜ .

Imagem: Im () = +ℜ .

Exemplos

1. Construa o gráco da unção real denida por: 2x(x)f  += .

Resolução:

Portanto, a unção (x) será a reta x +2, para valores de x ≥ -2, e a unção (x) será a reta –x – 2, para

valores de x < -2.

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2.  Construa o gráco da unção denida em ℜ por: (x) = |x – 1| + 1.

Resolução:

3. Construa o gráco da unção denida em ℜpor: (x) = |x + 2| + x – 1.

Resolução:

 

f (x) = 2x + 1

f x  

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4. Construa o gráco da unção denida em ℜpor: (x) = |2x + 1| + |x – 1|.

Resolução:

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Prezado(a) aluno(a),

Agora que já tivemos a oportunidade de revisar o estudo das principais unções que serão utiliza-das ao longo da realização das disciplinas Cálculo Dierencial e Integral, que tal conhecermos algumasde suas aplicações no dia a dia?

Vamos a elas, então.

2.11 Aplicações das Funções

Já escrevemos anteriormente que as unções são os principais instrumentos para descrever mate-maticamente o mundo real. Com as unções, podem-se estudar, por exemplo, as alterações na requênciacardíaca, o crescimento populacional de uma bactéria, o movimento dos planetas e muito mais. Muitasunções são importantes devido ao comportamento que descrevem; as unções exponenciais e loga-rítmicas, por exemplo, descrevem o crescimento e declínio, e as unções polinomiais podem aproximarestas e muitas outras unções.

Aplicação da unção polinomial do 1º grau

Exemplos

1. Uma pessoa vai escolher um plano de saúde entre duas opções: A e B.

Condições dos planos:

Plano A: cobra um valor xo mensal de R$ 15, e R$ 22, por consulta num certo período; Plano B: cobra um valor xo mensal de R$ 128, e R$ 27, por consulta num certo período.

Temos que o gasto total de cada plano é dado em unção do número de consultas x dentro do período

preestabelecido.

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Vamos determinar:

a) a unção correspondente a cada plano;

b) em qual situação o plano A é mais econômico; o plano B é mais econômico; os dois se equiva-lem;

c) esboce um gráco de comparação das duas unções dos dois planos;

d) para uma pessoa que tem certeza que usará no máximo 3 consultas por mês, qual é a melhoropção de plano?

Resolução:

a. Para determinar a unção correspondente a cada plano, vamos adotar a unção do plano A comoPA(x) e a unção correspondente ao plano B como PB(x). Então teremos:

Plano A: PA(x) = Valor xo mensal + Valor de uma consulta X a quantidade de consultas realizadas,ou seja, PA(x) = 22x + 15;

Plano B: Valor xo mensal + Valor de uma consulta X a quantidade de consultas realizadas, ou

seja, PB(X)= 27x + 128.

b. Para que o plano A seja mais econômico:

PB(x) > PA(x)

27x + 128 > 22x + 15

27x – 22x > 15 – 1285x > 22

x > 22/5

x > 4,4

Como o x corresponde a um número de consulta e estas admitem apenas valores inteiros (nin-guém marca ½ consulta!), então devemos considerar o x > 4. Logo, o plano A será mais econômico, paraum número de consultas igual ou superior a 5.

Para que o Plano B seja mais econômico, como podemos notar na resolução anterior, o número deconsultas tem de ser igual ou inerior a 4.

Para que eles sejam equivalentes, devemos ter um número de consulta que aça que o pagamentodos dois planos seja idêntico. Para isso, devemos resolver:

PB(x) = PA(x)

27x + 128 = 22x + 15

o que resultará em x = 4,4. Logo, não existirá um número de consulta que torne esses planos equi-valentes, pois 4,4, como já vimos, não é um número admissível para consultas, ou seja, não az parte do

domínio dessas unções.

c.  Para esboçar o gráco de cada uma dessas unções, são sucientes dois pontos, pois são unçõesdo 1º grau e, dessa orma, seus grácos são representados por retas. Então, dê dois valores inteiros para o

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x de cada questão e determine o valor do plano para cada x. Esboce o gráco. Como o objetivo é compa-rar as duas unções, então os grácos serão esboçados em um mesmo plano cartesiano.

Observações sobre o gráco:

Os dois grácos tem um ponto I de encontro. Esse ponto é o suposto ponto de equilíbrio, ou seja,

o ponto que torna os dois planos médicos equivalentes, mas, como vimos, esse ponto está para x = 4,4,logo ele é “ctício”.

Também é importante observar que essas retas não deveriam ser traçadas com essas linhas contí-nuas, já que a unção não está denida para todos os números reais e sim para os valores inteiros de x ≥. Logo, os grácos dessas unções estão representados apenas pelos pontos sobre a linha.

Note, ainda, que as retas não estão traçadas à esquerda do eixo y, pois não existe quantidade deconsulta negativa.

d. Para uma pessoa que usará apenas 3 vezes por mês o plano de saúde, ou seja, passará por con-

sulta no máximo 3 vezes por mês, o melhor plano é o B.

2. (Vunesp) Apresentamos, a seguir, o gráco do volume do álcool em unção de sua massa, a umatemperatura xa de °C.

Com base nos dados do gráco, determine:

a. a lei da unção apresentada no gráco;

b. a massa (em gramas) de 3 cm³ de álcool.

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Resolução:

a. A lei de ormação dessa reta é dada pela equação da reta. Já vimos que uma das ormas de de-terminar a equação de uma reta é usar a equação reduzida da reta, dada por: y – y

= m(x – x

), onde m é

o coeciente angular da reta. As coordenadas (x,y

) representam as coordenadas de qualquer ponto co-

nhecido da reta. Para o exemplo em questão, conhecemos as coordenadas dos pontos O(,) e A(4,5),

portanto pode-se usar qualquer um dos dois pontos.

Aplicação da unção polinomial do 2º grau

Exemplos

1. (FAAP-SP) Suponha que, no dia 5 de dezembro de 1995, o Serviço de Meteorologia do Estadode São Paulo tenha inormado que a temperatura na cidade de São Paulo atingiu o seu valor máximo às14h e que, nesse dia, a temperatura (t) em graus é uma unção do tempo t medido em horas, dada por(t) = -t² + bt – 156, quando 8 < t < 2. Obtenha o valor do b.

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67

Resolução:

Os dados ornecidos no problema são:

a unção (t) = -t² + bt – 156 (1);

a abscissa do ponto de máximo dessa unção, ou seja, xv

= 14 (2).

O problema pede para determinar o valor do b.

2. (UFPE) Num voo com capacidade para 1 pessoas, uma companhia aérea cobra R$ 2, por

pessoa quando todos os lugares estão ocupados. Se existirem lugares não ocupados, ao preço de cadapassagem será acrescida a importância de R$ 4, para cada lugar não ocupado (por exemplo, se existi-rem 1 lugares não ocupados o preço de cada passagem será R$ 24,). Quantos devem ser os lugaresnão ocupados para que a companhia obtenha o aturamento máximo?

Resolução:

Vamos, inicialmente, azer uma simulação da relação existente entre números de cadeiras não ocu-padas, valor a ser acrescido no pagamento por pessoa e valor que a empresa receberá pelo total de pes-soas no avião.

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Então, a unção que expressa o valor a ser acrescido é uma unção de variável independente n, emque n é o número de cadeiras vazias, tal que

(n) = (1-n) x (2 + 4.n)

O desenvolvimento dessa unção nos leva a uma unção do 2º grau, observe:

(n) = 2. + 4n – 2n – 4n²

(n) = 2. + 2n – 4n²

O problema pede o número de lugares para a empresa obter aturamento máximo. Como se tratade uma unção do 2º grau e com concavidade para baixo, então o número de pessoas para que o atura-mento seja máximo está representado no vértice dessa unção, ou seja:

.

Para a empresa obter o aturamento máximo, o número máximo de acentos não ocupados deveser 25.

3. A quantidade demandada de bolas de utebol da marca “Esporte Máximo” é dada pela lei qd =9 – p², onde qd é a quantidade demandada e p é o preço.

a) Esboce o gráco;

b) Qual a demanda se o preço or R$ 12, a unidade?

Resolução:

a. Para esboçar o gráco de uma unção do 2º grau, podemos usar uma tabela de valores ou de-terminar os pontos principais (raízes, vértice, intercepto em Oy e concavidade). Também sabemos que aunção do 2º grau tem como gráco uma parábola e, com reerência nisso, já ca mais ácil termos umaideia de como cará esse gráco.

Como a unção dada se reere a uma aplicação, em que a variável independente é o preço de umabola, então essa variável deverá ser um valor positivo, ou seja, o domínio dessa unção é valores reais epositivos. Além disso, esses valores deverão garantir que a quantidade demandada seja positiva ou nula,pois não existe quantidade demandada negativa. Logo, qd ≥ , ou seja, 9 – p² ≥ , então < p ≤ 3. Esseé o domínio dessa unção, ou seja, essa unção existe para < p ≤ 3.

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Ao determinarmos os zeros da unção, teremos que 9 – p² = ⇒ p = ±3. Como p > , entãoo único zero dessa unção é o p = 3;

O vértice dessa unção pode ser determinado pela órmula

Logo, o vértice dessa unção está no ponto de máximo dessa unção e será V(,9).

Observações sobre o gráco:

Note que a parte da parábola que representa essa unção está destacada em negrito. Não é corretodesenhar parte da parábola para x < , pois, para esses valores, essa unção não está denida. Tambémnão é possível desenhar a parábola abaixo do eixo Ox, pois, para quantidades negativas, essa unçãotambém não tem lógica.

b. Para o preço de R$ 12,, a demanda é de qd = 9 – 12² = 9 – 144 = 756 unidades.

4. (GV) O preço do ingresso numa peça de teatro (p) relaciona-se com a quantidade de requenta-dores (x) por sessão através da relação: p = - ,2x + 1.

a. Qual a receita arrecadada por sessão, se o preço do ingresso or R$6,?

b. Qual o preço que deve ser cobrado para dar a máxima receita por sessão?

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Resolução:

Aplicação da unção exponencial

Exemplo

O montante M é a quantia que uma pessoa deve receber, após aplicar um capital C, a juros compos-tos, a uma taxa i durante um tempo t. O montante pode ser calculado pela órmula M = C(1 + i)t. Supondoque o capital aplicado é de R$ 5., a uma taxa de 12% ao ano durante 5 anos, qual o montante nonal da aplicação?

Resolução:

C = 5.

I = 12% ao não (,12)

t = 5

M = 5.(1 + ,12)5 = 5.(1,12)5 = 5. x 1,762 = 8881.17,84

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Aplicação da unção logartmica

Exemplo

(Dante-25) O número de bactérias numa cultura, depois de um tempo t, é dado por N = Nert, em

que N

é o número inicial (quando t = ) e r é a taxa de crescimento relativo. Em quanto tempo o número

de bactérias dobrará se a taxa de crescimento contínuo é de 5% por minuto?

Resolução:

Pelos dados do problema, a questão é: em quanto tempo N = 2N?

Assim, temos:

Saiba maisSaiba mais

As fuõs

Há muitas aplicações das unções matemáticas no dia a dia; para compreendê-las, é necessário terem mente que o termo ‘unção’ é muito abrangente e complexo. As unções são erramentas ma-temáticas utilizadas para analisar enômenos científcos, descrever regularidades, interpretar inter-dependências e generalizar. Da generalização, surge o que denominamos órmula matemática.As unções matemáticas estabelecem relações entre dois parâmetros, por isso são defnidas porassociar a cada valor do argumento x um único valor (x). Dessa associação, surgem seus elemen-tos, seu campo de validade e sua representação gráfca. A representação gráfca se dá em duasou três dimensões.

Nosso cotidiano é repleto de exemplos de aplicação das unções matemáticas e elas são de muitaimportância para o contexto social, pois estão presentes em várias áreas do conhecimento huma-no: relações de mercado e de capital, engenharia, economia, saúde, transportes, indústrias, artes,energia etc.

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Neste capítulo, estudamos as principais unções, tais como: unção polinomial do 1º grau, unçãopolinomial do 2º grau, unção exponencial, unção logarítmica e unção modular. Em cada uma delas,revisamos como se esboça um gráco, o que pode ser observado ao estudarmos uma unção em relaçãoao crescimento e decrescimento e estudo do sinal. Também apresentamos algumas aplicações para cada

uma delas.Essa revisão será utilizada nas disciplinas Cálculo Dierencial e Integral II, II e IV, nas quais serão estu-

dados os conceitos e aplicações do Limite de uma unção de uma variável ou mais variáveis, da derivadae da Integral.

Na Astronomia, com o mapeamento do céu (orientação para navegação); na Geologia, em medi-ções de abalos sísmicos (escala Richter – equação logarítmica); na Eletrodinâmica, para o cálculoda resistência equivalente de um circuito elétrico (progressão aritmética); em Operações Finan-ceiras (empréstimos); nas Engenharias (projetos e construções); na Balística, com o lançamentode projéteis etc.É comum emissoras de TV anunciarem aumentos no preço do barril de petróleo; isso provoca au-mento em seus derivados. Esse aumento esperado pelos consumidores é regido por uma unção.Esse exemplo mostra claramente o envolvimento dessa técnica matemática nas áreas de Econo-mia, Contabilidade e Administração: demanda e oerta estão relacionadas a unções de 1º grau;custos, receita e lucro remetem a unções do 2º grau; lucro máximo e mínimo (derivada), e esseassunto será estudado em Cálculo II.Nas indústrias, seus produtos e preços necessitam desse tratamento matemático para reger osprocedimentos de planejamento, de pesquisa de mercado, análise de competitividade, aceitabi-lidade de produto, custos de abricação, comercialização e lucros.

2.12 Resumo do Captulo

2.13 Atividades Propostas

1. Dados A = 1,2,3,4} e B = , 2, 4, 6, 8, 1, 12}, determine as relações a seguir:

a)

b)

c)

d)

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2. Estabeleça se os itens a seguir são unções.

 

3. Seja a unção de R em R assim denida:

Em cada unção dos exerccios 4 ao 7, aça cada item descrito a seguir:

4. (x) = -2x + 1

5. (x) = - x ² + 2

a) Determine (2).

b) Determine ( 5 ).

a) Faça uma tabela para determinar os pontos para x = -2, x = -1, x = , x = 1, x = 2.

b) Esboce o gráco, tendo como reerência os pontos determinados no item (a).

c) Determine a(s) raiz(es) ou zero(s) da unção (quando houver).

d) Escreva para qual(is) intervalo(s) de x a unção é crescente ou decrescente.

e) Escreva para qual(is) intervalo(s) de x a unção é positiva ou negativa.

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6. Dados os conjuntos assinale a alternativa que repre-

senta AXB.

7. Esboce o gráco e determine o conjunto imagem da unção de domínio R: (x) = 2x – 2.

8. Construa o gráco da unção: (x) =

2

2xlog

. CE: x ≠ .

9. Estamos estabelecendo um negócio de tempo parcial com investimento inicial de R$ 8.,.

O custo unitário do produto é R$ 1, e o preço de venda é R$ 2,. Determine o ponto de

equilíbrio para a venda dessa mercadoria.

1. A receita R de uma empresa que produz certo bem de consumo é o produto do preço de

venda y pela quantidade vendida x aquele bem de consumo. Suponha que o preço y varie de

acordo com x, segundo a equação y = 12 – 3x. Qual a quantidade a ser vendida para que a

receita seja máxima? Esboce o gráco para representar essa situação.

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Querido(a) aluno(a),

Você já havia estudado o limite de uma un-ção em algum outro curso?

O que será que é isso?

O limite é um simples número real, obtido

por certas técnicas, que representa determinadassituações práticas e teóricas e, com apoio em seuconceito, se estudam as derivadas e as integrais, asquais veremos com detalhes nas disciplinas Cálcu-lo II e Cálculo III.

A denição de limite oi obtida no decorrerde um caminho muito longo, que teve início compreocupações acerca do problema do movimento,no qual oi necessário encontrar uma explicaçãousando uma teoria quantitativa que nos permitis-se, por meio do cálculo, obter resultados. Para isso,oi criado o conceito de innitésimo, para respon-der à questão do que se passa em um ponto, sepassa em pontos vizinhos. Com base nesse concei-to, estabelece-se o de limite, o qual oi escrito nodecorrer deste capítulo tendo como onte as ree-rências apontadas no nal desta apostila.

Na linguagem cotidiana, reerimo-nos ao li-mite de uma velocidade, ao limite do peso de um

lutador, ao limite da resistência humana, ao limite

de um desconto que pode ser oerecido na ven-da de uma mercadoria, ao limite de material quepode ser usado ao produzir uma embalagem etc.Todas essas expressões sugerem que limite é umacota, que, em certas ocasiões, pode não ser atingi-da, mas em outras pode.

Então, todas as vezes que, no estudo de umenômeno de qualquer natureza – ísico, biológico,econômico, geométrico –, para a determinaçãoquantitativa de seu estado, nos apareça como in-dispensável considerar a aparência desse estadocom os estados vizinhos, essa determinação seráeita por meio do limite, que é a resultante da in-nidade de possibilidades dos estados vizinhos.

Então, esse limite é um número que, pormeio de uma operação, reside no ato de construir

um resultado à custa de uma innidade de possi-bilidades, tomando o innito como um elementoativo de construção.

O matemático moderno, adotando em rela-ção ao conceito de limite uma atitude dinâmica etomando-o com audácia como elemento de cons-trução, obtém o resultado que a ciência conrmae constrói o elemento matemático que permiteintegrar o movimento no mundo da continuidade.

3 IntRoDUção Ao LIMIte

O símbolo de limite para apresentarmos matematicamente a operação solicitada só oi utilizadopela primeira vez por Cauchy, no século XIX. Vamos ver, então, um exemplo de como é esse símbolo querepresenta esse número real denominado limite.

Para a unção , é possível achar o valor de y, menos quando x = 5. No entanto, é possí-

vel azer y car tão próximo de 1 quanto se queira, bastando tomar x a uma distância conveniente de 5,quer pela sua esquerda, como em 4,99, quer pela direita, como em 5,1.

3.1 Smbolo Matemático para Limite de Função

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A comunicação dos atos descritos no parágrao anterior é eita, em matemática, escrevendo-se:

 

Porém, x² - 25 pode ser atorado, ou seja, escrito em orma de produto.

Dessa orma, vamos ter:

Simplicando

Vamos ter que:

A expressão pode ser interpretada assim: é possível azer o valor tornar-se tão pró-

ximo de 1 quanto se queira, bastando para isso tomar valores de x a uma distância sucientemente

próxima a 5. No ponto x = 5, o limite é 1. Observar também que, para qualquer x ≠ 5, nunca y será 1. De

todos os números reais, ca altando apenas o par (5,1). Veja (no Gráco 3.1) o gráco e a tabela que re-

presentam essa situação; com eles podemos observar que a medida que nos aproximamos de 5, ou seja,

à medida que a dierença do x para 5 se aproxima de zero, o (x) se aproxima de 1, ou seja, o limite é 10.

5x

25xlim

2

5x −

 

5x

)5x()5x(

−⋅+

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Tendo ainda como exemplo a unção do tópico 3.1, poderíamos azer diversos questionamentos,como, por exemplo:

a) Quando x = 3, y vale?

Resposta: 8. Isso pode ser observado no gráco dessa unção, assim como pelo cálculo do valor daunção no ponto 3.

b) Quando x se aproxima de 3, de qual valor y se aproxima?

Resolução: Podemos responder a essa questão que oi apresentada em linguagem natural, usandoregistros de representações dierentes, como, por exemplo: registro gráco, registro numérico e registroalgébrico.

b1. Por meio do registro gráco, esboçamos o gráco dessa unção e passamos a observar qual éo comportamento dela quando x se aproxima de 3, ou seja, devemos observar para quais valores de y aunção se aproxima, quando x se aproxima de 3.

Devemos lembrar que, quando x se aproxima de 3, ele se aproxima pelos valores menores, ou seja,2,8; 2,9; 2,99 etc. e também pelos valores maiores que 3, porém bem próximos, como, por exemplo, 3,1;3,1; 3,1 etc. Observando o Gráco 3.2, podemos notar que o y está se aproximando de 8.

3.2 O Conceito de Limite

AtençãoAtenção

Nem sempre a utilização do gráfco será indicada, pois, muitas vezes, é muito maisdemorado esboçar o gráfco de determinadas unções do que determinar essesvalores por outros procedimentos.

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b2. Por meio de registro numérico, ou seja, vamos obter numericamente a resposta desse exercício.Para tanto, costuma-se azer uma tabela, tendo como x valores bem próximos de 3 e, como y, os valoresda unção nos pontos x. Observe as tabelas a seguir.

b3. Por meio do registro algébrico, resolvemos o limite da seguinte maneira:

Essa orma de resolução é bastante rápida, mas é aconselhável apenas após o entendimento doporquê de ela poder ser eita dessa maneira!

a) Esboce o gráco dessa unção.

b) Determine o domínio e a imagem de .

c) Qual o comportamento de , quanto ao crescimento e decrescimento?

d) Calcule; (-1); (); (1/2) e (1).

e) Complete a tabela a seguir (essa tabela se encontra na resolução dessa alternativa) e respondaàs seguintes perguntas:

) Quando nos aproximamos de x = pelo lado esquerdo, o valor de (x) aproxima-se de qualvalor?

g) Quando nos aproximamos de x = pelo lado direito, o que acontece com o (x)?

h) Assim, escrevemos que o limite pela esquerda é: =−→

)x(f lim0x

____ e que o limite pela direita é:=

+→)x(f lim

0x___ e =

→)x(f lim

0x_____.

AtençãoAtenção

O limite de (x), quando x tende a a, é igual a L e escrevemos se é

possível tomar valores de (x) arbitrariamente próximos de L (tão próximos quanto

quisermos), tomando x sufcientemente próximo de a, mas não igual a a.

lim f (x) = L,x → a

Exemplo

Considere o gráco da unção

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Solução:

a)

b) D = R e Im = {y ∈ R / y ≥ -2}.

c) (x) é crescente para qualquer x ∈ R.

d) Calcule:

(-1) = -(-1)² + 2 = 1

() = + 2 =

(1/2) = ½ + 2 = 5/2 = 2,5

(1) = 1 + 2 = 3

e)

x (x) x (x)

- ,5 1,75 ,5 2,5

-,25 1,9375 ,25 2,25

- ,1 1,99 ,1 2,1

-,1 1,9999 ,1 2,1

-,1 1,999999 ,1 2,1

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) Quando nos aproximamos de x = pelo lado direito, o que acontece com o (x)?

A (x) se aproxima de 2.

g) Assim, escrevemos que o limite pela esquerda: =−→

)x(f lim0x

2 e que o limite pela direita: =+→

)x(f lim0x

 2 e =

→)x(f lim

0x2.

Querido(a) aluno(a),

Caso tenha encontrado diculdade em entender a resolução desse exemplo, assista às aulas web “Esboço de gráco e análise de gráco – Partes 1 e 2”, pois nelas está sendo apresentada a resolução de-talhada de cada uma das alternativas desse exemplo.

No exemplo estudado anteriormente, note que

⇔=→

L)x(f limax

==−→

L)x(f limax

)x(f limax +→

AtençãoAtenção

O limite de (x) para x tendendo a a é igual a L se, e somente se, o limite lateral de(x) para x tendendo a a la squrda or igual ao limite lateral de (x) para x ten-dendo a a la diria e estes orem iguais a L.

Saiba maisSaiba mais

Quando consideramos lim (x), estamos interessados em valores no intervalo aber-

to contendo a, mas não no próprio a, isto é, em valores de x próximos a a, maiores

ou menores do que a. Mas suponha que tenhamos a unção , como, por exemplo,

(x) = √x -2. Como (x) não existe para x < 2, não está defnida em nenhum intervalo

aberto contendo 2. Logo, lim √x - 2 não tem signifcado. No entanto, se x estiver

restrito a valores maiores do que 2, o valor de √x - 2 poderá se tornar tão próximode zero quanto desejarmos, tomando x sufcientemente próximo de 2, mas maior

do que 2. Em tal caso, deixamos x aproximar-se de 2 pela direita e consideramos o

limite lateral direito.

Agora, para qualquer valor de x > 2, verifca-se que os limites laterais existem e

são iguais e, por esse motivo, podemos afrmar que, para qualquer x > 2, a (x) tem

limite.

x a

x 2

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Se existem os limites lim (x)e lim g(x)e K é uma constante, então:

Exemplo

Usando as propriedades de limite, determine2x

7xlim

7x +

→.

Solução:

09

0

27

77

2xlim

7xlim

2x

7xlim

7x

7x

7x

==+

−=

+

=+

3.3 Propriedade dos Limites

3.4 Limite da Função Racional

Uma unção racional é aquela que pode ser escrita como quociente de polinômios. Ela se diz im-própria se o grau do polinômio do numerador or maior ou igual ao do polinômio do denominador; caso

contrário, ela se diz própria.

x a x a

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Exemplos

1. Escreva quais são os limites de unções racionais impróprias e próprias.

2. Resolva o limite4x

2xlim

23x −

−→

.

Solução:

5

1

49

1

43

23

4x

2xlim

22

3x

=

=

−=

No início deste capítulo, você teve a oportunidade de ler um exemplo no qual a unção que o repre-

senta é uma unção racional (caso você ainda não o tenha lido, agora é um excelente momento para azê-lo).

Trata-se de um exemplo em que, para resolver o seu limite, não basta azê-lo da orma em que acabamos

de proceder no exercício anterior. Isso ocorre pois, pelo procedimento anterior, vamos “encontrar” que o

é igual a00 e

00 não possui signicado numérico. No entanto, o exemplo mostra que ao ato-

rarmos o numerador, vamos poder simplicar os atores que anulam o numerador e o denominador, ou

seja, , de onde vamos obter que .

a) 8x6x

9x

lim 2

2

0x +−

→ (unção racional imprópria)

b)4x

2xlim

23x −

−→

(unção racional própria)

c) (unção racional imprópria)

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83

AtençãoAtenção

Vamos tentar entender o que está escrito na

última linha do quadro?

Seja, por exemplo, o2x

1xlim

2

2x −

+

→. Para deter-

minar o limite dessa unção, podemos inicialmente

calcular o valor da unção do numerador no ponto

2, ou seja, P(2) = 5 e o valor da unção do deno-

minador no ponto 2, ou seja, Q(2) = . Nesse caso,

temos que P(2) ≠ e Q(2) = . Aí, conorme as inor-

mações do quadro anterior, vamos ter uma das três

respostas, ou seja, +∞, -∞ ou ±∞. Para decidir por

uma dessas respostas, não é necessário represen-

tar a unção por meio de um gráco (a não ser que

você queira azer utilizando esse recurso). Então,

devemos estudar o sinal da unção racional para x

próximo do ponto 2, lateralmente se necessário. Se

esse sinal or positivo, o limite é +∞; se negativo é

-∞. Nesse caso, ao estudarmos lateralmente, vamos

ter que, quando x se aproxima de 2 pela esquerda,

o sinal da unção nesses pontos será negativo, ou

seja,2x

1xlim

2

2x −

+−→

terá um resultado negativo, pois o

numerador será sempre positivo e o denominador

negativo (pois vamos operar com x-2, para valores

sempre menores que 2). Daí recorre o resultado

negativo, já que, na divisão “positivo” com “nega-

tivo”, é negativo. De maneira análoga, podemos

estudar quando o x está se aproximando de 2 pela

direita e, dessa orma, observar que essa unção é

positiva. Mas os nossos cálculos ainda não estão

terminados, pois até agora encontramos apenas

os sinais dos limites laterais dessa unção. Para -

nalizarmos, devemos notar, por exemplo, que, no

2x

1xlim

2

2x −

+−→

, à medida que nos aproximamos de x

pela esquerda, o denominador irá se aproximar de

5 e o denominador de “zero”; o quociente desses

dois números será um número muito grande, po-

rém negativo. Para você entender esse resultado,

pense no seguinte: (5/(1,9 –2) = -5; 5/(1,99 –2) =

- 5; 5/ (1,999-2) = -5 etc.). Como se trata de

uma operação em que estamos azendo o x ten-

der a 2 pela direita indenidamente, quanto mais

próximo desse valor estivermos, mais o resultado

dessa unção estará indo para a esquerda, ou seja,

para -∞. De maneira análoga, vamos concluir que,

quando x tende a 2 pela direita, a unção estará

tendendo a + ∞. Logo, nessa questão, vamos ter

que .

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Exemplos

Observe a resolução dos três exemplos a seguir e tente associar cada uma das repostas com o qua-

dro anterior. Em seguida, responda às questões:

a) =∞→ 3

7

x x4

x5lim

Resolução:

Ao iniciarmos a resolução deste exercício, devemos nos lembrar de que ∞ não é número e que,

portanto,∞

∞é uma indeterminação. O signicado de x tender ao innito é que x está assumindo valores

cada vez maiores; mas quais valores são esses? O ato de não sabermos apontar quais valores são essesaz com que pensemos: “quanto vale o innito do numerador e quanto vale o innito do denominador?”

e é essa dúvida que torna essa representação, ou seja, o∞

∞, uma indeterminação.

Para essa questão em que o grau do polinômio do numerador é maior que o grau do polinômio

do denominador, basta dividirmos o numerador pelo denominador, usando a propriedade de potência

(quociente de mesma base). Então, vamos ter:

b)4

5

4

5lim

x4

x5lim

x7

7

x==

∞→∞→

c) 004

5

x

1lim

4

5

x

1

4

5lim

x4

x5lim

4x4x7

3

x=⋅==⋅=

∞→∞→∞→

AtençãoAtenção

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Agora, tente responder às questões a seguir e, em caso de dúvidas, entre em contato no órumsobre esse assunto.

1. Na resolução do limite de unções racionais, quando o expoente do numerador é maior que o

expoente do denominador e o x tende ao innito, o que acontece com o resultado?

2. Na resolução do limite de unções racionais, quando o expoente do numerador é igual ao ex-

poente do denominador e o x tende ao innito, o que acontece com o resultado?

3. Na resolução do limite de unções racionais, quando o expoente do numerador é menor que

o expoente do denominador e o x tende ao innito, o que acontece com o resultado?

Limites infnitos

Nos limites innitos, os valores das unções aumentam ou diminuem sem limitações quando avariável aproxima-se cada vez mais de um número xo. Vamos ver no Gráco 3.3 o que isso quer dizer?

Exemplo

Responda:

a) No Gráco 3.3(a), o comportamento da unção é o mesmo se x tende a 2 pela esquerda e peladireita? Por quê?

b) No Gráco 3.3 (b), o comportamento da unção é o mesmo se x tende a 1 pela direita e pelaesquerda? Por quê?

c) No Gráco 3.3 (c), o comportamento da unção é o mesmo se x tende a zero?

 

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Solução:

a) Sim, pois, nos dois casos, quando x se aproxima de “dois” pela direita ou de “dois” pela esquerda,o y está tendendo ao innito positivo. Como innito não é número, devemos dizer que y estáindo para o innito.

b) Sim, pois, nos dois casos, quando x se aproxima de “um” pela direita ou de “um” pela esquerda,o y está tendendo ao innito negativo. Como innito não é número, devemos dizer que y estáindo para o innito negativo.

c) Não, pois, quando x tende a “zero” pela esquerda, o y está indo para o innito negativo e, quan-do x tende a “zero” pela direita, o y está indo para o innito positivo.

Limite no infnito

Nos limites no innito, é a variável independente que cresce ou diminui indenidamente. Vamos

ver no Gráco 3.4 o que isso quer dizer?

Gráfco 3.3 – Limite innito.

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No Gráco 3.4(a), podemos observar que, quando x cresce ou decresce arbitrariamente, ou seja,

quando x→ ± ∞ o (x – 2)² cresce arbitrariamente; logo,2)2x(

1

−se aproxima de zero (se você não entendeu

essa última armação, veja:

etc.) e indica-se: .

Gráfco 3.4 – Limites no innito.

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AtençãoAtenção

3.5 Resumo do Captulo

3.6 Atividades Propostas

Neste capítulo, estudamos o limite de diversos tipos de unções. Vimos que o limite é um númeroreal e que esse assunto será undamental para o estudo das derivadas e das integrais.

Também oi apresentado que, embora a ideia de limite e os cálculos relacionados a ele datem daIdade Antiga, a notação e a ormalização dele se deram apenas no século XIX.

Para conceituar o limite, oi utilizada uma unção racional com resolução indeterminada, inicial-mente, e, partir desse exemplo, vários outros oram resolvidos.

1. Considere a unção denida por (x) = x² - 5x – 6.

a) Construa o gráco de .

b) Determine o domínio e a imagem.

c) Os intervalos em que cresce e decresce.

d) Pelo gráco, você pode notar que, quando x se aproxima de –1 o valor de (x) aproxima-se de________.

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e) Na tabela a seguir, temos duas situações para x. Da esquerda para a direita, os valores de xaproximam-se de pelo lado esquerdo, mas, da direita para a esquerda, os valores aproximam-

-se de x = pelo lado direito. Complete a tabela e responda às seguintes perguntas:

) Nessa tabela, você nota que os valores de (x) aproximam-se de -6 quando x está próximode______.

g) Podemos tomar os valores de (x) tão próximos de 3 quanto quisermos? Se sim, de que orma?

h) Expressamos que “o limite de (x) dada por (x) = x² - 5x – 6, quando x tende a “zero”, é iguala _______”. Com a seguinte notação =−−

→)65(lim 2

0 x x

 x________.

2. Calcule os limites:

a)

b)

c)

d)

e)

)

g)

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3. Conorme as leis do limite e os grácos de e g plotados a seguir, pode-se armar que (obser-

vação: cada quadrado do plano cartesiano tem 1 unidade de lado):

a) =+→→

)(lim)(lim55

 x g  x f  x  x 

b) =→→

)(lim).(lim55

 x g  x f  x  x 

c) =−→−→

)(lim).(lim11

 x g  x f  x  x 

d) =−→→

)(lim)(lim55

 x g  x f  x  x 

e) =−−→−→

)(lim)(lim11

 x g  x f  x  x 

4. O gráco a seguir sugere que:

a) quando x tende a 1 pela esquerda, o y se aproxima de -15.

b) quando x tende a 1 pela direita, o limite da unção que representa esse gráco é -15.

c) quando x tende a 1, o limite da unção que representa esse gráco é o menos innito.

d) quando x tende a 1, o limite da unção que representa esse gráco é o innito.

e) quando x tende a 1, o limite da unção que representa esse gráco é 15.

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CAPíTULO 1

1. F = -1, , 1, 2, 3}. Como se trata de um subconjunto do Z, ou seja, dos números inteiros, é pos-

sível enumerar esses elementos. Note que o -2 não pertence a esse conjunto, pois -2 < x; já o

3 pertence a F, pois x ≤3.

2. Bom, neste exercício, é necessário observar que x ∈ Q, ou seja, x é um número racional.

Para determinar quais são os elementos do conjunto A, sugiro que seja resolvida a equação

x . (x - 1) . (4x + 1) . (2x - 4) = . Note que essa equação apresenta um produto igual a zero.

Sabemos que, se um produto é igual a zero, ao menos um de seus atores será zero.

Então:

Observe que os quatro valores apresentados para o x são números racionais, pois podem serapresentados na orma a/b, com a ∈ Z e b ∈ Z*, então:

A = -1/4; , 1, 2}

3. O conjunto R_ está ormado por todos os números reais não positivo, ou seja, são todos os

números negativos, incluindo o zero.

ReSpoStAS CoMentADAS DASAtIVIDADeS pRopoStAS

 0

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4. a)

O símbolo ∩ é para indicar a operação de interseção entre dois conjuntos. Nessa operação, éconsiderado como resposta o conjunto contendo os elementos que são comuns aos conjun-tos. Nos conjuntos I e J, não existem elementos que se repetem; logo, a solução é um conjuntovazio, pois o conjunto I = ], 2] está ormado por todos os números reais entre e 2, excluindo o e incluindo 2, pois esse intervalo é semiechado em 2. Já o conjunto J = [5, ∞ [ está compostopor todos os números maiores ou iguais a 5. Note que, na representação gráca, ca evidenteque não há intervalo numérico comum a esses dois intervalos. Isso pode ser acilmente obser-vado ao traçarmos segmentos pontilhados pelos pontos extremos de cada um dos intervalos.

Logo, não existe elementos na interseção de I e J.

b)

O símbolo ∪ é para indicar a operação de união entre dois conjuntos. Nessa operação, é consi-derado como resposta o conjunto contendo todos os elementos dos conjuntos. Nos conjuntosI e J, não existem elementos que se repitam; logo, a solução são dois conjuntos disjuntos. O I= ], 2] termina no elemento 2. Já o conjunto J = [5, ∞[ inicia no elemento 5. Então, na uniãoentre esses dois conjuntos, não existem elementos entre 2 e 5. Note que, na representação

gráca, ca evidente que a solução será representada por dois intervalos numéricos. Isso podeser acilmente observado ao traçarmos segmentos pontilhados pelos pontos extremos de cadaum dos intervalos.

5.

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Como isso pode ser eito?

1º) Determine o mmc dos números 3 e 5.

2º ) Como o 15 é o menor múltiplo comum entre 3 e 5, então ele divide cada um desses núme-

ros. Por essa razão, poderá ser usado como denominador comum às rações, que serão reescri-

tas como rações equivalentes a3

1

5

2,

5

1,

3

2e .

3º)3

1

5

2

5

1

3

2+≤− x  x 

Para a primeira ração, aremos 15 : 3 = 5 e esse resultado multiplicado por 2, ou seja, 5 x 2= 1 será o numerador da ração, quando o denominador or o 15;

Para a segunda ração, aremos 15 : 5 = 3 e esse resultado multiplicado por 1, ou seja, 3 x 1= 3 será o numerador da ração, quando o denominador or o 15;

Para a terceira ração, aremos 15 : 5 = 3 e esse resultado multiplicado por 2, ou seja, 3 x 2 =6 será o numerador da ração, quando o denominador or o 15;

Para a segunda ração, aremos 15 : 3 = 5 e esse resultado multiplicado por 1, ou seja, 5 x 1= 5 será o numerador da ração, quando o denominador or o 15.

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6. Para que haja lucro, é necessário que a Receita seja maior do que o custo de uma mercadoria.

Então, o número x (quantidade do produto), para que ocorra o lucro, será dado por:

R > C

Como R = 12,2x e C = 98x +8

Faremos:

12,2x > 98x +8

A resolução dessa inequação ornece o resultado desse problema.

12,2x – 98x = 8

22,2 x = 8

x = 8 / 22,2x = 36,36

Dependendo do tipo de produto, é necessário arredondar o resultado para 37.

Então, uma resposta possível é:

Haverá lucro para x > 37 unidades.

CAPíTULO 2

1.

a) A R1

é uma relação que tem como “lei” que o y é igual a dois vezes o x.

Uma maneira de determinar esses elementos é observar quais são os valores de x. Veja

que na R1, os valores do x são elementos pertencentes ao conjunto A; logo, os valores de x

podem ser: 1, 2, 3 e 4.

Vamos substituir cada um desses valores na sentença y = 2x.

Se x = 1, então y = 2.1; logo, y = 2. Observe se no conjunto B existe o número 2. Como existe,

o par (1,2) az parte da resposta. (x=1, y=2).

Se x = 2, então y = 2.2; logo, y = 4. Observe se no conjunto B existe o número 4. Como existe,

o par (2,4) az parte da resposta. (x=2, y=4).Se x = 3, então y = 2.3; logo, y = 6. Observe se no conjunto B existe o número 6. Como existe,

o par (3,6) az parte da resposta. (x=3, y=6).

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Se x = 4, então y = 2.4; logo, y = 8. Observe se no conjunto B existe o número 8. Como existe,

o par (4,8) az parte da resposta. (x=4, y=8).

Logo, R1= x∈A e y∈B/ y = 2x} = (1,2), (2,4), (3,6), (4,8)}.

b) A R2

é uma relação que tem como “lei” que o y é igual a três vezes o x.

Uma maneira de determinar esses elementos é observar quais são os valores de x. Veja,

que na R2, os valores do x são elementos pertencentes ao conjunto A; logo, os valores de x

podem ser: 1, 2, 3 e 4.

Vamos substituir cada um desses valores na sentença y = 3x.

Se x = 1, então y = 3.1; logo, y = 3. Observe se no conjunto B existe o número 3. Como não

existe, o par (1,3) não az parte da resposta. (x=1, y=3).

Se x = 2, então y = 3.2; logo, y = 6. Observe se no conjunto B existe o número 6. Como existe,

o par (2,6) az parte da resposta. (x=2, y=6).

Se x = 3, então y = 3.3; logo, y = 9. Observe se no conjunto B existe o número 9. Como não

existe, o par (3,6) não az parte da resposta. (x=3, y=9).

Se x = 4, então y = 3.4; logo, y = 12. Observe se no conjunto B existe o número 12. Como

existe, o par (4,12) az parte da resposta. (x=4, y=12).

Logo, R2

= x∈A e y∈B/ y = 3x} = (2,6), (4,12)}.

c) R3

= x∈A e y∈B/ y < x}

Agora queremos que, em cada par ,o valor do y seja menor que o valor do x.

Ainda temos que o x pertence ao A, ou seja, os elementos do x são os valores: 1, 2, 3, 4.

Temos também que os valores do y pertencem ao B, ou seja, os y são os valores: , 2, 4, 6, 8,

1, 12.

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Como vamos ter pares ordenados do tipo (x > y), então os pares serão:

d) R4

= x∈B e y∈A/ y = x - 3}

A R4 é uma relação que tem como “lei” que o y é igual x menos o 3.

Uma maneira de determinar esses elementos é observar quais são os valores de x. Veja

que, na R4, os valores do x são elementos pertencentes ao conjunto B; logo, os valores de x

podem ser: , 2, 4, 6, 8, 1, 12.

Vamos substituir cada um desses valores na sentença y = x -3.

Se x =, então y = – 3; logo. y = -3. Observe se no conjunto A existe o número -3. Como nãoexiste, o par (,-3) não az parte da resposta.

Se x = 2, então y = 2 – 3; logo, y = -1. Observe se no conjunto A existe o número -1. Como não

existe, o par (2,-1) não az parte da resposta.

Se x = 4, então y = 4 – 3; logo, y = 1. Observe se no conjunto A existe o número 1. Como

existe, o par (4,1) az parte da resposta.

Se x = 6, então y = 6 – 3; logo, y = 3. Observe se no conjunto A existe o número 3. Como

existe, o par (6,3) az parte da resposta.

Ao continuar azendo esses cálculos, concluirá que:

R4

= x∈B e y∈A/ y = x - 3} = (4,1), (6,3)}.

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97

2.

a) É unção, pois todo elemento do domínio tem um representante no contradomínio e esse

representante é único.

b) Não é unção, pois o domínio é todos os valores de a 2, mas podemos observar que

existem valores do domínio que não tem imagem, como, por exemplo, o 1,5. Observe o

“buraco” no gráco.

3. Para x = 2, devemos usar a primeira parte da unção, pois nela o x é racional. Então, teremos

(2) = 2 – 7 = - 5.

Para x = 5 , devemos usar a segunda parte da unção, pois nela o x é irracional. Então, teremos

( 5 ) = 5 + 3, como 5 é aproximadamente 2,2, teremos 2,2 + 3 = 5,2

4. a)

b)

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c) Zero da unção: é o valor de x que zera a unção, ou seja, que az com que a unção seja

igual a zero. No gráco, é possível observar qual é esse valor, pois é só ver o ponto em que a

reta interceptou o eixo x, uma vez que o ponto sobre o eixo x tem o valor de y igual a zero.

Mas, quando não or observar o gráco, deverá determinar esse valor por meio de resolução

algébrica. Para isso, devemos igualar a unção a zero, ou seja, azer o (x) = . Como o (x) = -2x

+ 1, então o -2x + 1 = . Ao resolver essa equação, você estará determinando o valor do x que

zera a unção.

-2x + 1 = ⇒ -2x = -1 ⇒ -2x = -1 (como o x é negativo, vamos multiplicar os dois membros

por -1) ⇒ 2x = 1 ⇒ x = ½, ou x = 0,5.

x = ½ é o zero da unção, pois se substituir o x = ½ na unção terá o resultado igual a zero.

d) Observando o gráco da unção da esquerda para a direita, ou seja, no mesmo sentido da

escrita de um texto, vemos que a reta está descendo, ou seja, está decrescendo. Outra orma

de armar se o gráco da unção do 1º grau é crescente ou decrescente é observar o sinal

do a (número que multiplica o x). Se o a > (positivo), o gráco da unção cresce. Se o a <

(negativo), o gráco da unção do 1º grau decresce. Nesse caso, o a = -2, ou seja, a < . Logo,

podemos armar (sem olhar para o gráco) que o gráco dessa unção DECRESCE.

e) A unção é positiva para os valores de x que tornam o y> e é negativa para os valores de

x que tornam o y<. Isso pode ser observado no gráco ou por meio da resolução algébrica.

Observe que, no gráco, para x < ½, a reta está acima do eixo x, ou seja, a unção é positiva e,

para x > ½, a reta está abaixo do eixo x, ou seja, a unção é negativa. Conclusão:

Para x < 1/2, a (x) > .

Para x > 1/2, a (x) < .

Para x = ½, a (x) = .

5. (x) = - x ² + 2

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99

a) Os pontos

b)

c) No gráco, podemos observar que essa unção tem duas raízes, pois o gráco intercepta o eixo

x duas vezes.

Para determinar as raízes algebricamente, aremos:

x² - 2 = ⇒ x² = 2 ⇒  2±= x , pois, se elevarmos 2+= x , vamos ter 2 – 2 = e, se elevarmos

2−= x ao quadrado, vamos ter que 2 – 2 = .

d) Como o gráco é uma parábola, perceba que ora ela cresce, ora ela decresce. Determinar os

intervalos de crescimento e decrescimento signica vericar para quais valores de x a unção estádecrescendo e para quais valores de x está crescendo.

Para x < , a (x) cresce.

Para x > , (x) decresce.

e) Podemos ver que o gráco dessa unção tem parte acima do eixo x; isso signica que, para

qualquer valor de x associado à parte da parábola que está acima do eixo x, a unção é positiva.Observe que, em duas das partes do gráco, ele está abaixo do eixo x; logo, para essas partes,

temos os valores de x que tornam a unção negativa.

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100

Conclusão:

Para 2+= x , a (x) = .

Qualquer que seja x < 2−= x , a (x) < (negativa).

Qualquer que seja x < 2+= x , a (x) < (negativa).

Qualquer que seja 2− < ,x < 2+ a (x) > (positiva).

6. Embora esse exercício pareça com o anterior, ele é bem dierente, pois agora os valores de

x são números reais e isso implica que, no intervalo entre dois números inteiros, devemos

“pegar” os innitos números reais existentes. Como se tratam de números reais e são inni-

tos, a representação de A X B não pode ser eita no conjunto por pares ordenados, pois nãoconseguiríamos representar os innitos pares existentes. Por esse motivo, vamos azer essa

representação no plano cartesiano, ou seja, vamos representar esse produto cartesiano por

meio de um gráco.

Como queremos A X B, vamos ter os elementos do x (eixo x) no conjunto A. Veja que os

elementos de A são todos os valores entre e 2, incluindo o zero, pois ≤ x e não incluindo o

2, pois x < 2. Para azer isso no plano, vamos iniciar com algumas demarcações.

Para x = , vamos passar uma reta. Essa reta estará bem acima do eixo y, pois a reta do eixo y

é a reta x = (está em cor laranja e é uma reta contínua, pois isso indica que o x = az parte

do conjunto).

Agora, vamos passar em x = 2 uma reta tracejada, pois isso evidencia que estamos admitindo

valores colados no x = 2, mas não o 2.

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101

Agora, vamos indicar os elementos do y, ou seja, os elementos que estão em B. Como eles

pertencem aos reais, devemos tomar o cuidado de “pegar todos os valores reais no intervalo

dado”. Nesse caso, é 2 < y < 4. Então, queremos os innitos números reais entre 2 e 4. Vamos

azer essa representação no plano.

Em y = 2, vamos passar uma reta pontilhada (está em azul). Ela é pontilhada para indicar que

estamos tomando valores bem encostados no 2, mas não o 2. Também iremos passar umareta pontilhada em y = 4.

O resultado procurado é o quadrado ormado por essas 4 retas, pois, se pegarmos qualquer

ponto interior a esse quadrado, o ponto pertencerá ao AXB.

Veja a resposta assinalada a seguir:

7. (x) = 2x – 2

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8.

9.

Custo xo = CF

= 8..

Custo variável = Cv = 1x. Custo total = CT

= CF

+ Cv = 8 + 1x.

Receita total = preço de venda vezes a quantidade vendida = 2x.

Ponto de equilíbrio ocorre quando o Custo total = Receita total, ou seja, para esse caso:

2x = 8 + 1x ⇒ 2x – 1x = 8 ⇒ 1x = 8 ⇒ x = 8 /1 ⇒ x = 8.

O ponto de equilíbrio será alcançado com 8 mercadorias vendidas.

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1. R = (12 – 3x).x

R = 12x– 3x²

Como se trata de uma unção do 2º grau, o gráco é uma parábola. Essa parábola tem

concavidade para baixo, pois a = -3, ou seja, a < .

Fazendo um esboço da parábola, vamos ter:

Então, a receita máxima será dada por x = 2 unidades.

Veja, se tivesse determinado as raízes pela órmula de Bhaskara, teria encontrado as raízes

x1 = e x2 = 4 e a metade do caminho entre e 4 é o 2.

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CAPíTULO 3

1. a)

 

b) D = R e Im = y∈R / y ≥ yv}Observação: O y

vé a ordenada do vértice da parábola, pois todos os valores de y iguais ou

maiores que essa ordenada são imagem dessa unção.

c) Para analisarmos os intervalos de crescimento e decrescimento, devemos observar para quais

valores de x a unção é crescente, ou seja, em que intervalo essa unção é crescente e, depois, em

qual intervalo é decrescente. Veja que, para qualquer x menor que Xv, os seja, menor do que a

abscissa do vértice da parábola, a unção é decrescente e, para o x > Xv, a unção é crescente.

Resposta:

Qualquer que seja x∈R e x < 2,5, a (x) é decrescente e. qualquer que seja x∈R e x > 2,5, a (x) é

crescente. Para x = 2,5, a unção não cresce nem decresce, pois esse é o ponto de mínimo.

Observação:

Para calcular o vértice de uma parábola da unção do 2º grau, basta utilizarmos as órmulas

a ye

a

b x

vv 42

∆−=

−= .

d) Zero.

e)

 

) -6 e .

g) Sim, nos aproximando de 3 a valores maiores e menores do que 3.

h) -6 e 6.

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105

2.

Se substituir o x pelo innito nessa unção racional, vamos ter algo do tipo (innito/innito)

e isso é uma indeterminação, pois não sabemos qual é o innito do numerador e qual é oinnito do denominador. Quando isso acontece, devemos reescrever a unção que desejamos

calcular o limite. Uma orma de reescrever essa unção é atorar o numerador pelo x de maior

expoente e azer o mesmo no denominador. Como o x de maior expoente no numerador é o

x6, vamos atorar o numerador por x6. O mesmo aremos com o x5 do denominador.

Simplicando numerador com denominador.

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Como x tende a innito, note que cada uma das rações restantes, ao

terem em seu x o innito (ou seja, um número muitíssimo grande), irá tender a zero. Isso ocorre com

todas as rações tracejadas.

Observação:

Sempre que o limite or de uma unção racional, para x tendendo a innito, e o grau do

numerador or maior que o grau do denominador, o resultado será - ∞ ou +∞.

Observação:

Sempre que o limite or de uma unção racional, para x tendendo a innito, e o grau do

numerador or menor que o grau do denominador, o resultado será .

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Então se trata de uma indeterminação matemática. Para dar sequência a essa resolução,

atoram-se os termos dessa razão e simplicam-se, de modo que a unção racional será

reescrita e, provavelmente, o cálculo do limite passará a ser um números real.

É claro que essa ração não existe, ou seja, a ração 6/, mas é importante lembrar que, se se

trata de um limite, o zero do denominador não é zero e sim um número muito próximo de

zero.

Também é importante observar que, se x tende a 3 pela esquerda, o denominador será

negativo, mas, se tende a 3 pela direita, o denominador será positivo.

Como um número real dividido por um número bem próximo de zero resulta em um número

muito grande e, na divisão positivo com negativo = negativo e positivo com positivo = positivo,

teremos:

3.

a) 633)(lim)(lim55

=+=+→→

 x g  x f  x  x 

b) 93.3)(lim).(lim55

==→→

 x g  x f  x  x 

c) 11.7)(lim).(lim11

==−→−→

 x g  x f  x  x 

d) 033)(lim)(lim55

=−=−→→

 x g  x f  x  x 

e) 617)(lim)(lim11

=−=−−→−→

 x g  x f  x  x 

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4. Observe, no gráco, que as setas horizontais estão dando uma ideia de aproximação do x ao

1, tanto pela esquerda quanto pela direita, e as setas verticais estão apontando para baixo, ou

seja, dando a ideia de resposta indo para o menos innito. Logo, a alternativa é a “c”.

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