Estatística e Cálculo

Numérico

ENGENHARIAS

1º semestre – 2010

1 Prof. Renato Casal de Rey

2

PROGRAMA DE ESTATÍTICA E CÁLCULO NUMÉRICO 1º SEMESTRE – Cálculo Numérico 1) Correlação Linear e Regressão Linear. 2) Raízes de funções:

• Método de Newton-Raphson; 3) Cálculo de integrais:

a) Pela regra do trapézio b) Pela regra 1/3 de Simpson

4) Interpolação

• Interpolação Linear

5) Bibliografia básica para Cálculo Numérico: RUGGIERO, M.A.G. et al. Cálculo Numérico: aspectos teóricos e computacional. São Paulo: Pearson Makron Books, 2006. 5) Bibliografia complementar: CHAPRA, S. et al, Numerical methods for engineers , Boston : McGraw-Hill , 1998

OBSERVAÇÃO: Estes serão os conteúdos pedidos nas provas AD, AS e Especial do 1º semestre

3

2º SEMESTRE – Estatística 1) Estatística Descritiva:

a) Tabelas de freqüência b) Histogramas, gráfico de barras e diagrama circular c) Medidas de tendência central d) Medidas de dispersão

2) Probabilidade

a) União de dois eventos b) Intersecção de dois eventos

3) Distribuição de Probabilidades para uma variável aleatória contínua

a) Distribuição Normal b) Normal reduzida c) Distribuição de médias amostrais

4) Intervalo de Confiança para a média

a) Utilizando a distribuição normal padronizada b) Utilizando a distribuição t-Student

5) Bibliografia básica para Estatística: MORETTIN, Pedro A.; BUSSAB, Wilton O. Estatística Básica. São Paulo: Saraiva, 2006. 6) Bibliografia complementar STEVENSON, W.J. Estatística Aplicada a Administração. São Paulo: Habra, 1986. SPIEGEL, M.R. Estatística. 3ª edição, São Paulo: Makron Books, 1994.

OBSERVAÇÃO: Estes serão os conteúdos pedidos nas provas AD, AS e Especial do 2º semestre

4

Curso de Cálculo Numérico 2010 – 1º Semestre

REVISÃO GERAL DOS FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA ...................................................5

LISTA 1 ....................................................................................................................................5 LISTA 2 ....................................................................................................................................7

1. INTRODUÇÃO......................................................................................................................9 2. RESOLVENDO PROBLEMAS..............................................................................................9

2.1. APROXIMAÇÕES NUMÉRICAS .................................................................................10 3. REGRESSÃO LINEAR .......................................................................................................11

3.1. INTRODUÇÃO REGRESSÃO LINEAR .......................................................................12 3.2. CALCULANDO O COEFICIENTE DE CORRELAÇÃO ..............................................14

1ª LISTA DE EXERCÍCIOS:REGRESSÃO LINEAR .................................................................18 4. ZEROS DE FUNÇÕES OU RAÍZES DE FUNÇÕES ..........................................................19

4.1. ENCONTRANDO A RAIZ DE UMA FUNÇÃO DO 1º OU 2º GRAU.............................19 4.2. BUSCANDO RAÍZES PARA UMA FUNÇÃO QUALQUER..........................................23 4.3. MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON PARA A BUSCA DE RAÍZES ............................24

4.3.1. RELEMBRANDO ALGUMAS REGRAS DE DERIVADAS...................................28

EXTRAS : LABORATÓRIO DE INFORMÁTICA.....................................................................33 2ª LISTA DE EXERCÍCIOS: MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON ...........................................35 5. MÉTODOS NUMÉRICOS PARA O CÁLCULO DE INTEGRAIS ........................................37

5.1. INTRODUÇÃO: REVENDO O CONCEITO DE INTEGRAL E APLICAÇÕES .............37 5.2. REGRA 1/3 DE SIMPSON PARA O CÁLCULO APROXIMADO DE INTEGRAIS..........43

3ª LISTA DE EXERCÍCIOS: INTEGRAÇÃO .............................................................................48 6. INTERPOLAÇÃO................................................................................................................50

6.1. INTERPOLAÇÃO LINEAR...........................................................................................50 4ª LISTA DE EXERCÍCIOS: INTERPOLAÇÃO LINEAR..........................................................53 FORMULÁRIO GERAL DO 1º SEMESTRE...............................................................................54

REVISÃO GERAL DOS FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA OBS: Não utilizar a calculadora em nenhum dos exercícios!!! LISTA 1 1) Resolva as expressões numéricas (o resultado deve estar na sua forma simplificada): a) ( -14 + 8 ).( 2 - 10 ).( -7 + 14 ) = ( -8 - 4 ).( 7 - 3) b) ( 7 - 3 ).( 4 - 2 ) = 6 4 3

c) 232

21

61

31

611

++

−−

)(

)( =

d) 36 . 63 . 35 = 45 42 28 2) Resolva a equação (encontre o valor de X que satisfaz a igualdade): 22 - 6( x - 7 ) - 6 = 9 - ( 2x + 7 ) + 3( 4 - 2x )

5

3)Encontre as raízes das equações abaixo: a) x2 - 8 - 2x = 0 b) 2x2 - 14x = 0 4) Resolva o sistema (encontre os valores de X e Y que satisfazem as equações): 2x - 3y = -16 x + 2y = 6 5) Dado o triângulo retângulo ao lado, determine os valores de x e y. sen 37º = 0,6 25 cos 37º = 0,8 x tg 37º = 0,75 37º

y

6

REVISÃO GERAL DOS FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA OBS: Não utilizar a calculadora em nenhum dos exercícios!!! LISTA 2 1) Resolva as expressões numéricas ( o resultado deve estar na sua forma

simplificada): a) ( -16 + 9 ).( 5 - 11 ).( -4 + 13 ) = ( -9 - 5 ).( 17 - 5) b) ( 8 - 7 ).( 5 - 7 ) = 3 4 5

c) 254

51

43

21

1

1

)(

)(

−+

− =

e) 27 . 64 . 25 = 72 45 24 2) Resolva a equação (encontre o valor de X que satisfaz a igualdade): 25 - 3( 2x - 4 ) - 5 = 9 - ( 4x + 6 ) + 5( 3 - 3x )

7

3) Encontre as raízes das equações abaixo: a) x2 - 3 - 2x = 0 b) 2x2 - 12x = 0 4) Resolva o sistema (encontre os valores de X e Y que satisfazem as equações): 3x - 4y = -23 x + 2y = -1 5) Dado o triângulo retângulo ao lado, determine os valores de x e y. sen 37º = 0,6 y cos 37º = 0,8 18 tg 37º = 0,75 37º x

8

1º SEMESTRE : CÁLCULO NUMÉRICO

1. INTRODUÇÃO O que é o Cálculo Numérico (ou Métodos Numéricos, Solução Numérica, Análise Numérica) ? É um conjunto de regras escritas (procedimentos) sob a forma de uma seqüência de operações elementares que levam à solução de um problema matemático. Estudaremos basicamente métodos numéricos para solucionar os seguintes problemas: 1) A partir de uma tabela de pontos, encontrar uma função de 1º grau que melhor se ajusta aos pontos (Regressão Linear); 2) Encontrar raízes de funções; 3) Achar o valor aproximado de integrais. 4) A partir de uma tabela de dados, estimar valores intermediários (Interpolação);

2. RESOLVENDO PROBLEMAS

PROBLEMAS DE ENGENHARIA MODELO MATEMÁTICO SOLUÇÃO

A solução encontrada nunca é exata, sempre imprecisa e aproximada.

9

Fontes de erro: a) Simplificação (inevitável) do problema real → modelagem matemática. b) Métodos diferentes de resolução conduzem a resultados diferentes. c) Erros nas coletas de dados (precisão?) d) Erros de arredondamento e propagação de erros.

2.1. APROXIMAÇÕES NUMÉRICAS Estudo dos erros. ERRO ABSOLUTO ( ET ) ET = |V - α | onde V= valor verdadeiro e α = valor encontrado (aproximado) O problema da ponte e do prego Ponte Prego Valor verdadeiro (V) 100m = 10.000cm 10 cm Valor encontrado (α ) 9.998 cm 9cm

ET = |V - α | 2 cm 1cm ERRO RELATIVO (ЄT) ЄT = ET / V = |V - α | / V

ERRO RELATIVO PERCENTUAL VERDADEIRO (ℇT ) ℇT = ЄT .100 (porcentagem)

ERRO RELATIVO PERCENTUAL APROXIMADO (ℇa ) Quando não conhecemos o valor verdadeiro, mas fazemos sucessivas aproximações, calculamos o ℇa. Valores encontrados para a raiz através de sucessivas aproximações: α 0 , α 1 , α 2 , α 3 ,... , α i , α i+1, ...

FÓRMULA GERAL : ℇa =1

1

+

+ −

i

ii

ααα .100 = %

1ª estimativa de erro: ℇa = 1

01

ααα − .100 = %

2ª estimativa de erro: ℇa = 2

12

ααα − .100 = %

3ª estimativa de erro: ℇa = 3

23

ααα − .100 = %

10

11

3. REGRESSÃO LINEAR EXEMPLO: Um engenheiro acompanhou o desempenho de uma máquina (torno mecânico) e montou a tabela abaixo:

Rotação ( rpm ) 160 220 250 Tempo sem quebra de

ferramenta ( horas) 38 29 23

Supondo que existe uma relação linear entre as variáveis rotação e tempo sem quebra, responda:

a) Caso a rotação de trabalho seja de 174 rpm, qual o tempo sem quebra que devemos esperar?

b) Caso a rotação seja de 127 rpm, qual o tempo sem quebra que devemos esperar?

c) Qual deve ser a rotação (rpm) da máquina para que ela fique 32 horas sem quebrar?

OBS: arredondar na 3ª casa decimal

3.1. INTRODUÇÃO REGRESSÃO LINEAR Chamamos de REGRESSÃO LINEAR o cálculo da equação da reta: y = a0 + a1 x , que melhor se ajusta a um conjunto de pontos dados (pares ordenados).

Tempo Produção Rotação Máquina

Dada a equação da reta y = a0 + a1 x , a equação é do tipo: y = 2x – 3 → a0 = a1 = y = 5 – 4x → a0 = a1 = y = 3x → a0 = a1 = y = - 8 → a0 = a1 = onde : a0 é o coeficiente linear:____________________________________________

e a1 é o coeficiente angular (tg α = a1 ):_____________________________________ ______________________________________________________________________ Se a1 > 0 (+) a reta é crescente Se a1 < 0 (-) a reta é decrescente

12

F1(x) F2(x) F4(x) F3(x)

Faça um esboço do gráfico das funções abaixo: OBS: identifique no gráfico a raiz da função, o coeficiente linear e o ângulo que a reta faz com o eixo x ( ângulo α )

Y = 53

4−

x Y = 14 – 4 x

Y= -2,5X Y = 3

Dado um conjunto de pontos (pares ordenados), calculamos os coeficientes a0 e a1 como segue abaixo:

Regressão Linear: y = a0 + a1 x

∑ ∑

∑ ∑ ∑

= =

= = =

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−

−=

n

i

n

iii

n

i

n

i

n

iiiii

xxn

yxyxna

1

2

1

2

1 1.

1

.

..1

13

simplificando a nomenclatura:

( )∑ ∑∑ ∑∑

−

−= 221

ii

iiii

xxn

yxyxna

e xayaO 1−= , n

yy

n

ii∑

== 1 , n

xx

n

ii∑

== 1

Com a equação da regressão linear, podemos fazer uma estimativa para valores fora da tabela de dados conhecida, mas para que esta estimativa seja válida é importante que haja uma dependência linear entre as variáveis em estudo. Para podermos estudar o grau de dependência linear entre duas variáveis é conveniente calcularmos o COEFICIENTE DE CORRELAÇÃO entre as variáveis. 3.2. CALCULANDO O COEFICIENTE DE CORRELAÇÃO O coeficiente de correlação (r) mede a dependência linear entre duas variáveis e é calculado da seguinte forma:

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛−

−=

∑∑

∑

==

=

n

ii

n

ii

n

iii

ynyxnx

yxnyxr

1

22

1

22

1

).(.).(

...

onde n é o número de pares ordenados e -1 1≤≤ r Interpretando os resultados do coeficiente de correlação:

14

15

OBS: Correlação linear igual a zero não indica independência, mas sim que não há dependência linear entre as variáveis. EXEMPLOS: 1)RESOLVENDO O PROBLEMA INICIAL (calcular o coeficiente de correlação, a equação da regressão linear e fazer as estimativas) 2) Uma empresa tem vendido seus produtos durante um certo tempo por 4 preços diferentes:

Preço R$ 4,5 5,2 5,8 7,1 Vendas (unidades) 925 779 700 617

Supondo que existe uma relação linear entre as variáveis preço e vendas, responda: a)Qual é a estimativa de vendas caso o preço seja R$ 6,30 ? b) Qual deve ser o preço caso queira vender 830 unidades ? OBS: arredondar na 3ª casa decimal

16

3)Uma empresa tem 3 unidades de produção (A, B e C). Sabendo que há uma relação linear entre o número de máquinas e a produção, quantas máquinas deverão haver numa 4ª unidade a ser construída, para que a produção seja de 1500 peças.

unidade A B C Nº de máquinas 5 8 14

Produção (peças) 630 820 1100 OBS: arredondar na 2ª casa decimal

17

4) Uma empresa tem obtido vendas de acordo com a tabela abaixo: Mês 2 3 4 5 6

Vendas (unid) 5 9 11 15 22 Supondo que a tendência de vendas irá se manter ( e assumindo uma relação linear entre as variáveis):

a) Qual a previsão de vendas para o mês 9 (setembro)? b) Em que mês as vendas atingirão 40 unidades ?

OBS: arredondar na 1ª casa decimal

18

1ª LISTA DE EXERCÍCIOS:REGRESSÃO LINEAR

Construa uma planilha Excel (como o modelo abaixo) para que, fornecidos 10 pontos, calcule os somatórios, as médias, o coeficiente linear (a0), o coeficiente angular (a1) e apresente a equação da reta (y = a0 + a1.x ). Construa também um campo para o cálculo das estimativas para valores de x e y MODELO - RL xi yi xi.yi xi² yi² somatórios

N= Arredondamento: Coef. Correlação:R=

x médio= a1= y médio= a0=

a0 a1 Equação da Reta: Y= *X FAZENDO ESTIMATIVAS a) Valor de X fornecido = Valor de Y calculado = b) Valor de Y fornecido = Valor de X calculado = Construa a tabela acima a partir dos valores abaixo, depois invente mais duas tabelas de valores (x e y) e calcule as estimativas. Valores tabelados:

X 3 7 9 14 17 26 33 38 42 51 Y 2,3 4,2 5,1 8,3 8,1 9,2 13,4 12,8 14 19,4

a) Faça uma estimativa de Y quando X = 13,1. b) Faça uma estimativa de X quando Y = 12 Apresente os dados arredondados na 2ª casa decimal.

4. ZEROS DE FUNÇÕES OU RAÍZES DE FUNÇÕES Dada uma função f(x), as raízes (ou zeros) da função são os valores de x para os quais o valor da função é zero: f(x) = 0 Graficamente, as raízes são os pontos em que o gráfico da função______________ ___________________________________________________________________

19

Raízes da função no intervalo [ x0 , xn ] : Análise do sinal da função F(x) nos intervalos:

Intervalo Sinal da função ] A , B [

] B , C [ ] C , D [

Faça o esboço de gráficos de funções que não possuem raízes reais.

y (ordenadas) x (abscissas) F(x)

4.1. ENCONTRANDO A RAIZ DE UMA FUNÇÃO DO 1º OU 2º GRAU Fórmula geral para determinar a raiz de uma função do 1º grau : f(x) = ax + b

Exemplos: Determine a raiz das funções abaixo, usando a fórmula geral: a) f(x) = 5x -15 b) f(x) = - 2x - 8 c) f(x) = 3x + 14 d) Encontrar a raiz da função f(x) = 2x – 6 e faça seu gráfico.

Construindo o gráfico da função:

x y -1 0 1 4

Para a mesma função, calcule f(x) = 7

20

21

Fórmula geral para determinar a raiz de uma função do 2º grau : f(x) = ax² + bx + c

a) Encontrar as raízes da função f(x) = 2x² - 6x + 4

Esboço do gráfico

Testando as raízes em f(x): x1 = f(x1) = x2 = f(x2) = Para a mesma função, calcule f(x) = 24 Fazendo a formulação inicial e criando a função g(x) Testando as raízes na função g(x) : Testando na função inicial f(x): x1 = x1 = g( ) = f( ) = x2 = x2 = g( ) = f( ) =

22

4.2. BUSCANDO RAÍZES PARA UMA FUNÇÃO QUALQUER Seja f(x) uma função contínua. Se f(x) muda de sinal no intervalo [ a , b ], ela tem pelo menos uma raiz no intervalo.

f(a) a b f(b)

f(a) a b f(b)

f(a) a b f(b)

f(b) a b f(a)

CASO PARTICULAR

f(a) f(b) a b

EXEMPLO : Encontre a raiz da função f(x)= x² - 4x +4

x F(x)

23

24

4.3. MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON PARA A BUSCA DE RAÍZES

Relembrando alguns conceitos: Dado um triângulo retângulo qualquer: 3) Determine as medidas e os ângulos dos triângulos abaixo, dados: cos 53º = 0,6 sen 53º = 0,8 a) k 70m 53º

w __________________________________________________________________________________ b) 20m

37º z x k

y

sen α = B A cos α = α C tg α = tg α =

25

ompreendendo o Método de Newton-Raphson para busca de raízes.

x) = f ‘(x) =

C

f(x)

f( x² + x -2

Generalizando:

f (x) f(Xi) f ‘ (Xi) =

α x Xi+1 Xi

26

FÓRMULA DE RECORRÊNCIA DO MÉTODO:

)(')(

1 xxxx

i

iii f

f−=

+

Resolvendo o problema anterior. Aplicando mais dois passos.

valor aproximado para a raiz é:

Testando o valor encontrado na função f(x) = x² + x -2:

O

CRITÉRIO DE PARADA: Erro relativo percentual aproximado (ℇa).

ℇa = 100.1

1

xxx

i

ii

+

+−

≤ Erro máximo

EXEMPLO Sabendo que a função f(x) = x² - 2x – 5 possui uma raiz no intervalo [ 3 , 4 ], determine esta raiz utilizando o método de Newton-Raphson. OBS: Critério de parada: ℇa ≤ 0,5%. Arredondamento na 4ª casa decimal. VALOR INICIAL PARA COMEÇAR A BUSCA ( X 0 ): 1º PASSO:___________________________________________________________

)(')(

1 xxxx

i

iii f

f−=

+

3º PASSO: Montar a tabela abaixo

Xi Xi+1 Erro (ℇa )

O valor aproximado para a raiz é: Testando o valor encontrado na função f(x):

27

28

.3.1. RELEMBRANDO ALGUMAS REGRAS DE DERIVADAS 4 Derivadas bás

icas de funções: obs: a,c, e n são constantes.

) [ ] 0=cdxd a

b) xnx nndx ⎦⎣d . 1−=⎥

⎤⎢⎡

c) ene xnxnd . ⎤⎡dx ⎥⎦⎢⎣ . .=

d) ccc xxd ln.=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

dx

[ ]e) xdx

axd 1=ln

f) )(log)(log excdx

d 1⎤⎡ cx =⎥⎦⎢⎣

g) [ ] axasenaxd cos= dx

h) [ ] asenaxaxd−=cos

dx

[ ] xtgxdxd tg2

1 += i)

Funções compostas:

) f(x) = c.v(x) →f ’(x) = c.v ’(x) 1 f(x) = 7x³ f ’(x) =

) f(x) = u(x) + v ) → f ’(x) = u ’(x) + v ’(x) 2 (x a) f(x) = 2x² -3x 5 f ’(x) =

) f(x) = 4 e3x + x f ’(x) =

+ b -2

3) f(x) = u(x) . v(x) → f ’(x) = u ’(x) . v(x) + u(x) . v ’(x) a) f(x) = e-2x. ln x f ’(x) = b) f(x) = log x . cos x f ’(x) =

)()(

xvxu → f ’(x) = [ u ’(x) . v(x) – u(x) . v ’(x)] / [v(x)]² 4) f(x) =

29

f(x) = xe x3

2 f ’(x) =

x) = [u(x)]n → f ’(x) = n.[u(x)] n-1.u ’(x) 5) f(

= (x² + 1)³ f ’(x) =

as:

alcule a der ada da função f(x) = x².lnx.senx

Calcule a derivada da função f(x) = x².lnx.senx .5 x

RCÍCIOS

f(x) Extr a) C iv b)

EXE

etermine a raiz da função f(x) = e-2x – x , utilizando o método de Newton-Raphson, tomando como valor inicial para a busca x0 = 0.

S: Critério de pa da: ℇa ≤ 1%. Arredondamento na 5ª casa decimal.

i Xi+1 Erro (ℇa )

1) D

OB ra

X

valor aproximado para a raiz dO a função f(x) é:

trado na função f(x): Testando o valor encon

30

) Dada a função f(x) = x log x - 2, determine o valor de x para que f(x) = 3,06 , al para a busca

BS: Critério de parada: ℇa ≤ 0,01%. Arredondamento na 5ª casa decimal.

Erro (ℇa )

2utilizando o método de Newton-Raphson, tomando como valor inicix0 = 5. O

Xi Xi+1

O valo proximado pa raiz da função g(x) é:

estando o valor encontrado na função f(x):

r a ra a T

31

ritério de parada: ℇa ≤ 0,01%. mal.

Xi Xi+1 Erro (ℇa )

3) Dada a função f(x) = (5 – x)ex + 8, determine f(x) = 13, utilizando o método de Newton-Raphson, tomando como valor inicial (xi ) para a busca x0 = 4,8. OBS: C Arredondamento na 5ª casa deci

O valor aproximado para a raiz da função g(x) é:

estando o valor encontrado na função f(x): T

32

acordo com a

etermine o tempo necessário (em horas) para que a concentração bacteriana seja ual a 9, usando o método de Newton-Raphson, com valor inicial de t = 12,5 horas , ℇa 0,01% e arredondamento na 5ª casa decimal.

Xi Xi+1 Erro (ℇa )

4) A concentração (C) de uma bactéria poluidora em um lago decai deequação:

C(t) = 70 e -1,5 t + 25 e -0,075 t

Dig<

O valor aproximado para a raiz da função g(t) é: Testando o valor encontrado na função C(t):

33

EXTRAS: LABORATÓRIO DE INFORMÁTICA EXERCÍCIOS:

) Dado a função f(x) = 2 log x - ex , calcule o valor de x para que f(x) = - 9,947.

x g(x)

1 OBS: Critério de parada: ℇa ≤ 0,01%. Arredondamento na 4ª casa decimal.

0,5 1

1,5 2

2,5 3

2) Dado a função f(x) = x log x - 5 cos 2x , calcule o valor de x para que

x) = 6,599.

BS: Critério de para a: ℇa ≤ 0,01%. Arredondament na 4ª casa decimal e x em radianos.

x g(x)

f( O d

o

2 3 4 5 6 7

34

or de x para que f(x) = 12,274.

parada: ℇa ≤ 0,01%. Arredondamento na 4ª casa decimal.

3) Dado a função f(x) = e- x- x , calcule o val OBS: Critério de

x g(x) -5 -4 -3 -2 -1 0

4) O deslocamento de uma estrutura (ao sofrer a ação de um impulso) é definido pela eguinte função matemática:

(t) = 10 e-k t cos w t , onde k = 0,5 e w = 2 .

sta função está representada no gráfico abaixo (deslocamento x tempo). Sabendo que entral)

determine os instantes em que ela passa pela posição central, com um rro percentual aproximado, menor que 0,02% e arredondamento na 4ª casa decimal ngulos em radianos).

s D Eentre os instantes 2 e 8 segundos a estrutura passa por D(x) = 0 (posição cquatro vezes,e(â

2 4 6 8 10

y

t

-4

-2

2

) Uma partícula dentro de um campo magnético tem sua velocidade descrita pela função V(t) = 2 t³ - 3t² + t – 1 (SI). Determine em que instante sua velocidade será de 61, 125 m/s. OBS: Critério de parada: ℇa ≤ 0,01%. Arredondamento na 4ª casa decimal.

5

2ª LISTA DE EXERCÍCIOS: MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON

1) O crescimento de populações microbianas é importante em muitos processos de

atamento de efluentes. Um exemplo importante na Engenharia Civil é o modelo de crescimento de uma

população bact a em um lago. A equação que descreve este fenômeno é:

tr

erian

(p)..(max

max

max11)

tpk

O

ep

ppt

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+

=

nde P(t) é a função que estima a densidade de bactérias (células/litro) no lago com o assar do tempo (t em dias). Pmax é a maior densidade possível desta bactéria e é um

ão é pequena e P(t = 0) = Po = 10 célula/litro. Foi ulação alcançou uma densidade de

la -6 litros/célula dia. É preciso

-Raphson para determinar o valor de Pmax (a partir da om P(60) ) e depois faça uma estimativa para P(90). Para

determinar o valor de Pmax, sabemos que ele está no intervalo de [ 60.000 , 70.000 ] . Assuma um erro relativo máximo de 0,1% para o valor de Pmax e arredondamento na 4ª casa decimal. 2) Estimando o coeficiente de arrasto de um pára-quedista Soluções analítica para um pára-quedista em queda livre (antes da abertura do pára-quedas)

Solução analítica (Segunda lei de Newton): (1)

opvalor constante e Po é o valor da concentração inicial desta bactéria no lago.

No inverno (t = 0), a populaçconhecido que depois de 60 dias (t = 60) a pop

5.000 célu s/litro e a taxa de crescimento k é de 2.101calcular a população bacteriana quando t = 90 dias, pois se a população bacteriana exceder 50.000 células/litro, a qualidade da água estará comprometida e será necessária a implementação de algum procedimento para o abatimento das bactérias e proteger os banhistas que usam o lago.

Use o método de Newton

informação obtida c

amF .=dtdva = (2) Rg FFF −= (3)

R R

em que: F = força resultante que atua na queda; Fg = força da gravidade (Fg = m.g); F = força de resistência (F = c.v); c = coeficiente de arrasto (kg/s). Substituindo (2) e (3) em (1):

35

36

dt ↔ dvmFF Rg =− Rg FF

dtm −= → dv

mdt= (4) vcgmdv .. −

Integrando-se a equação (4) em função do tempo tem-se:

ct) =

emg mtc ]1.[. /).(−−v(

onde : v(t) = função matemática que calcula a velocidade (em m/s) que um pára-quedista atinge em queda livre (antes da abertura do pára-quedas) em função do tempo. g = aceleração da gravidade (em m/s²) m = massa do pára-quedista (em kg)

erguntas:

m = 68,1 kg g =

c = coeficiente de arrasto do pára-quedista (sem a abertura do pára-quedas, em kg/s) t = tempo de queda em segundos P

a) Um pára-quedista salta de seu avião e após 10 seg. de queda (antes da abertura do pára-quedas) sua velocidade é de 40 m/s (ou seja v(10) = 40 m/s). Calcule o coeficiente de arrasto deste pára-quedista, usando o método de Newton-Raphson, com parada em Ea < 0,1% e arredondamento na 4 casa decimal. Dados:

9,8 m/s2

DICA: Construa uma função matemática f(c) cuja única variável seja “c”, equacionada na forma f(c)=0. Para encontrar o intervalo inicial para a busca de raízes, construa uma tabela de valores c x f(c) , com valores de c múltiplos de 4 (4,8,...). b) Após calcular o valor do coeficiente de arrasto ( c ), determine a velocidade do pára-

ta velocidade (em km/h).

Ve pára-quedista atinge com o passar do tempo, an

quedista após 5 segundos de queda, em km/h.

a) Sabendo que o pára-quedista atinge uma velocidade limite, faça uma estimativa des

locidade Limite: Velocidade máxima que o

tes de abrir o pára-quedas.

37

5. MÉTODOS TEGRAIS NUMÉRICOS PARA O CÁLCULO DE IN 5.1. INTRODUÇÃO: REVENDO O CONCEITO DE INTEGRAL E APLICAÇÕES Dada a situação inicial de um automóvel sobre uma trajetória: Posição inicial (S0) :100 km Velocidade inicial (V0) : 50 km/h

celeração constante (a) : 6 km/h² NTAS:

ual a velocidade do automóvel após 3 horas?

Velocidade do automóvel após 3 horas: Posição ocupada pelo automóvel após 3 horas: Instante em que ele atingirá a posição 385,75 km:

APERGUQQual a posição ocupada pelo automóvel após 3 horas? Em que instante ele atingirá a posição 385,75 km?

38

INTEGRAIS 5.2. REGRA DO TRAPÉZIO PARA O CÁLCULO APROXIMADO DE Dada uma partícula com uma aceleração variável, cujo gráfico e equação das elocidades é dado por:

Determine o espaço percorrido entre os instantes 2 e 8 segundos? a) Resolvendo analiticamente:

b) Pela Regra do Trapézio:

ividindo o intervalo em 3 trapézios e determinando a medida de suas bases:

x0 x1 x2 x3t X 2 4 6 8

v

V(m/s) V(t) = -t² + 9t + 10

0 2 4 6 8 t(s)

( ) =++−==Δ ∫∫ dtttdttvS .109)(8

2

28

2

V(m/s) V(t) = -t² + 9t + 10 0 2 4 6 8 t(s)

D

V(t) F(x) f(x ) f(x1) f(x2) f(x3) 0

ΔS = Área sob o gráfico no intervalo

ΔS ≅ (Área trapézio 1) + (Área trapézio 2) + (Área trapézio 3)

39

ΔS A =

FORMALIZANDO A REGRA DO TRAPÉZIO

≅

ara realizarmos a integraçP

dão de uma função f(x) num intervalo [ x0 , xn ], devemos

ividir o intervalo em n sub-intervalos (ou sub-conjuntos) igualmente espaçados de amplitude h e aplicarmos a regra abaixo:

n = nº de áreas a ser dividido o intervalo [ x0 , xn ]

f(x) x0 xn

h = amplitude ou espaçamento (altura dos trapézios) : nxx

h On −=

Regra do trapézio: ( ) ( ixf ) ( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++ ∑∫

−

=

1

12

2)(

n

i

x

xffhxfn

≅dx n OxxO

40

trapézios unca se ajustarem perfeitamente a curva da função. Quanto maior o número de áreas m que for dividido o intervalo de integração, melhor (mais próximo à solução analítica)

será o resultado encontrado.

XEMPLOS:

) Calcule ) Utilizando a regra do trapézio, dividindo o intervalo de integração em 4 sub-intervalos reas). Arredondar na 2ª casa decimal.

Rascunho para visuali

x0 x1 x2 x3 xn = x4x

O erro no cálculo de integrais utilizando este método deve-se ao fato dos ne

F(x)

X0 Xn

F(x) X0 Xn

E

∫ +7

1)1ln( dxx 1

a(á

zar a resolução: não precisa conhecer o gráfico da função

f(x) f(x0) f(x1) f(x2) f(x3) f(x4)

b) Resolver analiticamente.

41

c) Calcule o erro relativo percentual verdadeiro.

)(cos dxx utilizando a regra do trapézio, dividindo o intervalo de

tegração em 5 subintervalos. Arredondar na 2ª casa decimal e x em radianos.

zar a resolução: não precisa conhecer o gráfico da função

x3 x4 xn = x5x

2) Calcule ∫0

4,1

2,

in Rascunho para visuali

x0 x1 x2

f(x) f(x0) f(x1) f(x2) f(x3) f ) f(x4 (x5)

42

) Calcule 2 pela regra do trapézio, dado: x 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5

5)( dxxf∫3

f(x) 1,2 1,8 2,5 3,3 4,2 5,3 6,5

4) Calcule 2)1ln(. dxxe pela regra do trapézio, dividindo o intervalo de

tegração em 4 subintervalos e arredondamento na 2ª casa decimal. ∫ −+8,4 1x

in

43

5.2. REGRA 1/3 DE SIMPSON PARA O CÁLCULO APROXIMADO DE INTEGRAIS Dado um polinômio de 2º grau qualquer ( P(x) = ax² + bx + c ), a integral deste polinômio nu dado alo [ , x2 ] p ser ca ada (solução exata) através da expressão:

egra 1/3 de Simpson:

m interv x0 ode lcul

P(x) P(x0) P(x1) P(x2) x0 x1 x2

R

( ))()(4)(3

)( 2102

0

xPxPxPhdxxPx

x++=

220

1xxx +

= e 202 xxh −

= ∫ Onde

te notar que esta fórmula de

oderemos aplicar esta fórmula para calcularmos o resultado de integrais cujas funções ão sejam polinômios de 2º grau, com isso obteremos uma solução aproximada para valor das integrais. Dividiremos o intervalo de integração num número par de ubintervalos, de forma a podermos aplicar várias vezes à fórmula de Simpson (de dois m dois subintervalos).

FÓRMULA DE 1/3 DE SIMPSON REPETIDA

É importan somente se aplica quando dividimos o intervalointegração em duas partes iguais (dois subintervalos de mesmo espaçamento). Pnose

Dado uma função f(x) qualquer, buscaremos estimar o valor de sua integral no intervalo

[x0 , x6]. (

∫6

0

)(x

xdxxf )

f(x) f(x1) f(x5) f(x6) f(xo) f(x2) f(x4) f(x3) x0 x1 x2 x3 x4 x5 x6

44

[ 4 , x6 ]. Com isso, faremos uma aproximação da função f(x) em cada subintervalo por m polinômio de 2º grau p(x) que passa exatamente pelos mesmos pontos.

x x0 2 4321

onde, para os pontos x0 , x1 , ..., x6 teremos f(xi) = p(xi) ( f(x0) = p(x0) ; f(x1) = p(x1); ...) ou seja:

Aplicaremos a Fórmula de 1/3 de Simpson para os sub-intervalos [ x0 , x2 ], [ x2 , x4 ] exu

dxxpdxxpdxxpdxxfIx x xx

x)()()()( 2 4 66

0∫ ∫ ∫∫ ++≅=

x

( ) ( ) ( ))()(4)(3

)()(4)(3

)()(4)(3 654432210 xfxfxfhxfxfxfhxfxfxfhI ++++++++≅

FÓRMULA 1/3 DE SIMPSON REPETIDA:

( ) ( ) ( ) ( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+++≅ ∑∑∫

−

=

−

=n

n

jj

n

ii

x

x

xfxfxfxfhdxxfn

O

2

,...4,2

1

,...3,10 24

3)(

onde n = nº de sub-intervalos e nxx

h On −= é o espaçamento entre os pontos.

45

valo de tegração em 4 subintervalos. Arredondar na 2ª casa decimal.

EXEMPLOS:

1)Resolva pelo método 1/3 de Simpson a integral ∫8,0

0dxxe x

, dividindo o interin

( ) ( ) ( ) ( )⎤⎡+++≅ ∑∑∫ 24)( xfxfxfxfhdxxf

x n

⎥⎦

⎢⎣ ==

4,...4,2,...3,1

03 jj

ii

x O

x0 x1 x2 x3 xn = x4x

f(x) f(x0) f(x1) f(x2) f(x3) f(x4)

) Resolva pelo método 1/3 de Simpson a integral , dividindo o tervalo de integração em 6 subintervalos. Arredondar na 2ª casa decimal e x em dianos.

∫8,2

1

2 )2cos( dxxx2inra

) ( ) ( ) ( )+++( ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡≅ ∑∑

==6

,...4,2,...3,10 24

3)( xfxfxfxfhdxxf

jj

ii

x

x

n

O

x0 x1 x2 x3 x4 x5 xn = x6x

∫

f(x) f(x0) f(x1) f(x2) f(x3) f(x4) f(x5) f(x6)

46

sa decimal.

x

3) Resolva pelo método 1/3 de Simpson a integral , dividindo o intervalo de integração em 4 subintervalos. Arredondar na 2ª ca

∫ +3

1

21 . dxxe x

f(x)

) Calcule a área abaixo utilizando os métodos de integração.

4

Y x0 x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 X

x0 x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8

X 0 6 12 18 20 24 28 32 36

F(x) 0 25 28 43 37 33 26 24 0

47

EXERCÍCIOS EXTRAS: Determine o valor das integrais abaixo, dividindo o intervalo de integrubintervalos e arredondando na 2ª casa decimal. Resolva cada uma das in

ação em 8 tegrais pelo

étodo do Trapézio e 1/3 de Simpson.

a) 12 3lncos. dxxxx

)

sM

(e )∫ −+3

1

∫9

5

2,1 ..4log dxxx b

48

LISTA DE EXERCÍCIOS: INTEGRAÇÃO 3ª

resolva:

a) Analiticamente; b) Pela regra do trapézio, dividindo o intervalo [1, 13] em 8 subintervalos. c) Pela regra de 1/3 de Simpson, dividindo o intervalo [1, 13] em 8 subintervalos.

Resolva a integral a partir dos dados tabelados abaixo:

x 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6

1) Dada a integral ∫ +−13

3 )42( dxxx , 1

∫6,0

0)( dxxf2)

f(x) 1 7 4 3 5 9 6

a) Pela regra do trapézio; b) Pela regra de 1/3 de Simpson.

3) Integrar a função

a) Analiticamente; b) Pela regra do trapézio, dividindo o intervalo de integração em 6 subintervalos. c) Pela regra de 1/3 de Simpson, dividindo o intervalo de integração em 6

subintervalos.

4) Calcule pela regra 1/3 de Simpson, dado:

x 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5

∫4,4

2dxe x

∫5

2

)( dxxf

F(x) 1,2 1,8 2,5 3,3 4,2 5,3 6,5

49

5) A figura a seguir re s medidas em km)

6,5 km 7 km 6,4 km 6,5 km 7 km

0 8 16 24 32 40 48 x (km)

3

4 km 3,8 km 4 km 4,2 km

) Calc área d lago u zando a regra do trapézio. ) lizando a regra 1/3 de Simpson. (arredondar na 2ª casa

dec

presenta a fotografia aérea de um lago (com a

,5 km

ab

ule a o tiliCalcule a área do lago utiimal)

50

AÇÃO 6. INTERPOL

s a partir de um conjunto de dados conhecidos. 6.1. INTE

Procedimento utilizado para estimarmos valore

RPOLAÇÃO LINEAR Ex 1) A tabela abai de um líquido em relação às variações Temperat

xo representa o comportamento do volume de temperatura:

ura (ºC) Volume (ml) 10 200 15 220 20 250 25 290

a) Faça uma estimativa para o volume do líquido, quando a temperatura for de 17ºC.

b) Faça uma estimativa para a temperatura do líquido, quando o volume for de 258 ml.

OBS: Como a tabela acima não possui uma relação linear entre os valores de temperatura e volume, os valores encontrados são apenas estimativas.

51

x 2) Faça as transformações em calorimetria. Determine os valores de X, Y, Z, W.

ºC (Celsius) ºF (Fahrenheit)

E

101 213,8 100 212 72 Y W 100 X 63 0 32 Z 0

O uma r entre as escalas Celsius e Fahrenheit, os valores BS: Como existe relação lineaencontrados para X, Y, Z e W são exatos.

52

(ºC (atm)

Ex 3 ) Dada a tabela abaixo, responda:

Temperatura ) Pressão 10 4,4 12 5 15 5,4 17 5,9 18 6

a) Exis u não uma rel o linear entre os valores de temperatura e pressão acima?

ssão, quando a temperatura é de 15,3 ºC.

c) Faça uma estimativa para o valor da temperatura, quando a pressão é de 5,1 atm. IMPORTANTE: Quando queremos uma estimativa para um valor que se encontra entre

te o açã b) Faça uma estimativa para o valor da pre

os valores tabelados, deve-se dar preferência para os métodos de INTERPOLAÇÃO. Quando os valores a serem estimados estão fora da tabela, caracterizando uma projeção, numa tabela de valores cuja relação não é linear, deve-se usar preferencialmente a REGRESSÃO LINEAR.

53

4ª LISTA DE EXERCÍCIOS: INTERPOLAÇÃO LINEAR

Dadas as tabelas abaixo, responda as questões utilizando a interpolação linear. Propriedades termofísicas do ar à pressão atmosférica. T= tempe ra em graus Kelvinratu ρ = densidade ou massa específica

pC = calor específico a pressão constante μ =viscosidade dinâmica ou absoluta υ = viscosidade cinemática

ρ (kg/m³) Cp (kJ/kg.K) μ .107 (N.s/m²) υT (K) (m²/s) 250 1,3947 1,006 159,6 11,44 300 1,1614 1,007 184,6 15,89 350 0,9950 1,009 208,2 20,92 400 0,8711 1,014 230,1 26,41 450 0,7740 1,021 250,7 32,39

a) Para uma temperatura de 284 K, calcule a densidade do ar? ) Para uma temperatura de 379 K, calcule sua viscosidade cinemática? ) Para que temperatura o ar possui uma densidade de 0,8 kg/m³?

de

) Calcule o valor do calor específico do ar quando sua densidade é de 1,25 kg/m³ ? Calcule o valor da viscosidade dinâmica quando sua viscosidade cinemática é de 22,2 ²/s ? ) Complete a tabela abaixo:

T (K)

bcd) Calcule o valor da viscosidade dinâmica do ar quando seu calor específico é

,0125 kj/kg.K ? 1ef)mg

ρ (kg/m³) Cp (kJ/kg.K) μ .107 (N.s/m²) υ (m²/s) 273 373

FORMULÁRIO GERAL DO 1º SEMESTRE

Regressão Linear: y = a0 + a1x, onde n = nº de pontos e

54

( )∑ ∑∑ ∑∑ − iiii yxyxn

a e nx

x i∑= n

yy i∑=

− ii xxn= 22

, aO xay= −1 , 1

Correlação Linear:

[ ][ ]∑∑

∑ −=

2 .().(

.

nyxn

x

i

i

−2

− .ni2 2 )y.

. yxy

x i

r

( )Método de Newton-Raphson: ( )

ixf100

1iii xf

xx′

−=+1 Erro: ℇa = 1+

i

ix

.+

− ixx

Integração: n = nº de sub-intervalos e nh é o espaçamento

xx On −=

( ) ( )+ ∑2 ixf ( )Regra do trapézio: ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎣+

−1

12

nnO

x

xxfx

O

( ⎢⎡

≅ fhdxx )∫ fn

=i

( ) ( ) ( ) ( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+++≅ ∑∑∫

−

=

−

=n

n

jj

n

ii

x

xxfxfxfxfhdxxf

n

O

2

42

1

310 24

3 ,...,,...,)( Regra 1/3 de Simpson: