Apostila Cap 1

CURSO DE EXTENSO FUNES

FUNES

1.

Anlise de Grficos No grfico abaixo, fornecido pela CEEE, cada curva representa o consumo de

energia durante um dia no estado do Rio Grande do Sul. Observe as seguintes curvas de carga de alguns dias em que ocorreram jogos da Copa do Mundo de 2010. Quais informaes podem ser obtidas a partir da anlise desse grfico?

Copa do Mundo 20104500 4250 4000 3750 3500 3250 3000 2750 2500 2250 2000 1750 10:00 10:50 11:40 12:30 13:20 14:10 15:00 15:50 16:40 17:30 18:20 19:10 20:00 20:50 21:40 22:30 23:20 0:00 0:50 1:40 2:30 3:20 4:10 5:00 5:50 6:40 7:30 8:20 9:10

Tera feira - 15/06

Domingo - 20/06

Dia Normal - 01/10

1


O horrio de vero outro fator que influencia na curva de carga. Analise o grfico a seguir:

Horrio de Vero5000 4750 4500 4250 4000 3750 3500 3250 3000 2750 10:00 10:50 11:40 12:30 13:20 14:10 15:00 15:50 16:40 17:30 18:20 19:10 20:00 20:50 21:40 22:30 23:20 0:00 0:50 1:40 2:30 3:20 4:10 5:00 5:50 6:40 7:30 8:20 9:10

10/02 - com H. V.

31/03 - sem H. V.

2.

Conceito de Funo Para cada instante do dia existe um nico valor de consumo associado. Logo, podemos dizer

que o consumo uma funo do tempo. Dizemos que uma relao entre dois conjuntos de valores uma funo se para todo valor

x , pertencente a um conjunto denominado domnio da f, existe um nico valor de y pertencenteao contradomnio da f, tal que y a imagem de x , ou y = f(x). Dizemos que x a varivel independente e y a varivel dependente na funo.

3.

Conceito de Domnio, Contradomnio e Imagem de uma Funo

Domnio: conjunto dos valores que a varivel independente assume. Contradomnio: conjunto dos valores que a varivel dependente pode assumir. Imagem: conjunto dos valores que a varivel dependente assume; conjunto das imagensdos valores do domnio. Sejam A e B subconjuntos no vazios de nmeros reais: uma funo

f :AB

denominada funo real de varivel real, tendo A como domnio e B como contra-domnio.2


Daqui em diante, todas as funes de que trataremos sero funes reais de uma varivel real. Em muitos casos, o domnio ser o prprio conjunto dos nmeros reais, representado por |R. Mas em alguns casos, para podermos considerar uma relao funo, temos que restringir o domnio. Exemplo: abaixo temos o grfico de y =

1 . Essa relao funo, se considerarmos x

Dom(f) = |R {0}

Exerccios: 1) Para cada uma das figuras abaixo, verifique se pode representar uma funo y = f(x).

2)

(PUCRS 2002) O domnio da funo g definida por g (x ) = (A) (B) (C) (D) (E) (0;+ ) |R+ - {1} |R {1} |R {-1, 1} |R

x x 1

:

3)

Para a funo representada no grfico ao lado, determine o domnio e a imagem.

3


4.

Estudo do Comportamento da Funo Observamos nos grficos que h intervalos do dia onde h aumento ou queda de consumo

de energia, onde o consumo cresce ou decresce. Em geral, podemos definir funo crescente e decrescente como: Funo crescente: uma funo f crescente em um determinado intervalo do domnio, quando para qualquer par de pontos x1 e x2 pertencentes a esse intervalo, sendo x1 < x2 , vale

f(x1) < f(x2). Ou seja, quando x1 - x2 tem sempre o mesmo sinal que f(x1) - f(x2). Funo decrescente: uma funo f decrescente em um determinado intervalo do domnio, quando para qualquer par de pontos x1 e x2 pertencentes a esse intervalo, sendo x1 < x2 vale,

f(x1) > f(x2). Ou seja, quando x1 - x2 tem sempre o sinal oposto ao de

f(x1) - f(x2).Exerccios: 1) (ENEM 2004) O nmero de atletas nas Olimpadas vem aumentando nos ltimos anos, como mostra o grfico.

Mais de 10.000 atletas participaram dos Jogos Olmpicos de Sydney. Nas ltimas cinco Olimpadas, esse aumento ocorreu devido ao crescimento da participao de: (A) homens e mulheres, na mesma proporo. (B) homens, pois a de mulheres vem diminuindo a cada Olimpada. (C) homens, pois a de mulheres praticamente no se alterou. (D) mulheres, pois a de homens vem diminuindo a cada Olimpada. (E) mulheres, pois a de homens praticamente no se alterou.

4


2)

(UFRGS 2000)

A taxa de crescimento natural de uma populao igual diferena entre

as taxas de natalidade e mortalidade, cujas evolues esto representadas no grfico abaixo.

Dentre as opes abaixo, a maior taxa de crescimento natural da populao ocorreu no ano de: (A) 1881 (B) 1900 (C) 1930 (D) 1955 (E) 1993 5. Razes ou Zeros da Funo Zeros da funo so os valores do domnio da f onde a funo se anula. Ou seja: se x raiz da funo, ento f(x) = 0.

Exemplo: Na funo representada no grfico abaixo, quais so as razes?

5


6.

Funo Modular Funo Modular aquela que associa a cada nmero x real o seu mdulo |x| |R. Ou

seja: g(x) = |x|. Lembramos que:

|x| = x, se x 0; |x| = -x, se x < 0.

Assim, o grfico da g(x) = |x| ser obtido a partir do grfico da f(x) = x, sendo que a parte negativa do grfico ser refletida em relao ao eixo das abscissas para uma imagem positiva.

Exemplos:

Exerccios: 1) (UFRGS 2000) O desenho ao lado representa o grfico de y = f(x).

O grfico que representa a funo y = |f(x)| :

6


2)

(UFRGS 2009) Considerando a funo definida por f (x ) =

x + 1 , assinale, entre os x

grficos apresentados nas alternativas, aquele que pode representar f.

7.

Funo Linear AfimExemplo: No Brasil, usamos frequentemente a escala Celsius (C) para medir a temperatura.

Em outros pases, a temperatura medida com a escala Fahrenheit (F). Nessas escalas, o gelo se funde a 0 C ou a 32 F e a gua ferve a 100 C ou a 212 F (em condies normais de presso). Encontre a relao entre essas duas grandezas e determine a temperatura de combusto do papel em C, sabendo que ele queima a 451 F. Primeiramente, vamos descobrir a relao entre a variao da temperatura em F para cada grau acrescido em C: Sejam F1 e F2 as temperaturas, em F, em que a gua congela e ferve respectivamente. Sejam C1 e C2 as temperaturas, em C, em que a gua congela e ferve respectivamente.F F F1 = 2 C C 2 C1

A partir dos dados do problema, temos que:F F1 212 F 32 F 180 F F F = 2 = = = 1 ,8 C 2 C1 100 C 0 C 100 C C C

Usando dois termmetros de mercrio semelhantes como instrumento de medida, um com as marcaes na escala C e o outro na escala F, e sabendo que o mercrio se expande uniformemente quando a temperatura varia, temos que a variao da altura nas colunas de mercrio nos dois termmetros deve ser a mesma. Logo, se uma variao de 100C corresponde a uma variao de 180F, temos 1,8F para cada unidade acrescida em C. Essa variao constante e ser o coeficiente angular da funo linear afim que modela esse problema.7


Sendo F a varivel temperatura na escala F e C a varivel temperatura na escala C, podemos escrever F em funo de C. Como sabemos que 0 C corresponde a 32 F, temos que:

F (C) = 1,8 C + 32A funo pode ser representada graficamente por:

Ou: Em termos gerais, a funo linear afim pode ser representada analiticamente por

f(x) = ax + b, onde a e b so,respectivamente, os coeficientes angular e linear da funo.

Neste caso, a = 1,8 que representa a variao constante da varivel dependente para cada unidade acrescida na varivel independente. Como f( 0) = 32, temos neste caso que b =32.

8


Exerccio: (PUCRS 2007) Com base na tabela a seguir, que representa dos dados sobre as funes g, h, k, m,

f, a funo cujo grfico est sobre uma mesma reta :(A) (B) (C) (D) (E) g h k m f

8.

Funo Linear A funo linear um caso particular da funo linear afim e pode ser escrita como f(x) =a.x.

Nesse caso, o coeficiente linear igual a zero e f(0) = 0. Dizemos que essa funo reparte a soma, ou seja, f(m+n) = f(m) + f(n). Prova: Seja f(x) = a.x

f(m) = a.m

e

f(n) = a.n

f(m+n) = a.(m+n) f(m) + f(n) = a.m + a.n. = a(m + n) = f(m + n)Note que o mesmo no ocorre com a funo linear afim quando b 0 : Seja g(x) = a.x + b

g(m) = a.m + b

e

g(n) = a.n + b

g(m + n) = a.(m + n) + b g(m) + g(n) = a.m + b + a.n + b = a.m + a.n + 2b = a(m + n) + 2b g(m + n)Exerccio: (PUCRS 2006) Uma grandeza y proporcional a uma grandeza x. Quando x= 5 e y = 4,5, podemos representar essa relao atravs da expresso: (A) x = y 0,5 (D) x = 0,9 y (E) y = 0,9

x +2 2 y (C) x = + 2 2(B) y =9


9.

Fenmenos que Podem Ser Modelados por Funes Lineares Afins Exemplo: Os produtos farmacuticos devem especificar as dosagens recomendadas para

adultos e crianas. Duas frmulas de modificao da dosagem de adulto para uso por crianas so: Regra de Cowling: y = Regra de Friend: y =

1 .(t + 1 )a 24 2 .t .a 25

onde a denota a dose de adulto (em miligramas) e t a idade da criana (em anos). Neste caso a uma constante para cada produto, t a varivel independente e y a dependente. a. Sendo a = 100, faa o grfico das duas equaes, no mesmo sistema de eixos. b. Para que idade as duas frmulas especificam a mesma dosagem?

10.

Coeficiente Angular, Coeficiente Linear e Raiz da Funo no Grfico Raiz da Funo: o valor de x quando f(x) = 0. Coeficiente Linear: o valor de f(0). Coeficiente Angular: representa a variao de f(x) a cada unidade de x. Quanto maior a inclinao da reta que representa a funo, maior a variao.

Exemplos: 1) O grfico mostra o resultado de uma experincia relativa absoro de potssio pelo tecido de uma folha de certo vegetal, em funo do tempo e em condies diferentes de luminosidade. Nos dois casos a funo linear y = m.x ajustou-se razoavelmente bem aos dados, da a referncia a m como taxa de absoro (geralmente medida em micromols por unidade de peso por hora). Com base no grfico, se m1 a taxa de absoro no claro e m2 a taxa de absoro no escuro, a relao entre essas duas taxas : ((A) m1 = m2 (B) m2 = 2m110

(C) m1.m2 = 1 (D) m1.m2 = -1

(E)

m1

=

2.m2


2) A reta oramentria o conjunto de produtos que custam exatamente m, como mostra a equao:

p1 x1 + p2x2 = mSendo m a renda do sujeito, p1 o preo do bem 1, p2 o preo do bem 2, e x1 e x2 a quantidade dos bens 1 e 2, respectivamente (os bens podem ser algo especfico ou simbolizar um conjunto de mercadorias). a) b) c) Reescreva a equao oramentria, com x2 em funo de x1. Represente a funo graficamente. O que ocorre com a reta oramentria se o preo do bem 2 aumentar, mas a renda e

o preo do bem 1 permanecerem constantes? d) Se o preo do bem 1 duplicar e o do bem 2 triplicar, como ficar a reta oramentria:

mais inclinada ou menos inclinada?

11.

Estudo do Sinal da Funo Dado o grfico de uma funo f qualquer, podemos estudar o sinal da funo, como neste

exemplo:

f(x) < 0, para x < s; f(x) > 0, para x > s e x r; f(x) = 0 para x = s e x = rPara analisar o sinal da funo linear afim, no necessrio obtermos o grfico, uma vez que j conhecido o seu comportamento e sabendo que a funo linear afim tem, no mximo, uma raiz, que ser b . a

11


Exemplo: (UFRGS 2004) O domnio da funo real definida por f ( x) = (A) (-, -3] (B) [-3, -1) (C) (-3, 0) (D) [-3, 1] (E) [1, +)

(1 x)(3 + x) o intervalo:

12.

Obter a Lei da Funo dados Dois Pontos Sendo f(x) = ax + b, podemos calcular os coeficientes a e b substituindo as coordenadas de

cada ponto na equao, formando um sistema com duas variveis.

Exerccio:

1 , o grfico da funo y = |x + 1| + |2x 1| coincide com o grfico 2 da funo y = ax + b. Os valores de a e b so, respectivamente:(UFRGS 1998) Para -1< x < (A) (B) (C) (D) (E) -1 e -1 2 e -1 -1 e 21 e -1 2

-

1 e1 2

Lista de Exerccios1) (PUCRS 2004) A reta r de equao

y = a.x+ b passa pelo ponto (0,-1), e para cadaunidade de variao de x h uma variao em y, no mesmo sentido, de 7 unidades. Sua equao : (A) (B) (C) (D) (E) 2) y = 7x 1 y = 7x + 1 y=x7 y=x+7 y = -7x 1 Analisando o grfico, verifica-se que o carro que (UFRGS 2002) Dois carros partem de uma partiu primeiro foi alcanado pelo outro ao ter percorrido exatamente: (A) 60 km (B) 85 km12

cidade, deslocando-se pela mesma estrada. O grfico abaixo representa as distncias percorridas pelos carros, em funo do tempo.

(C) 88 km (D) 90 km

(E) 91km


3)

(UFRGS 2006) Considere o grfico abaixo, que

5) (UFRGS 2009) Nas olimpadas de 2008, o atleta Usain Bolt percorreu 200m no tempo de 19,30s. Supondo que esse atleta conseguisse manter a mesma velocidade mdia, ele percorreria 500m em: (A) (B) (C) (D) (E) 47 s 47,25 s 47,50 s 48 s 48,25 s

representa a taxa mdia de crescimento anual de certas cidades em funo do nmero de seus habitantes.

6)

(ENEM 2008) Uma pesquisa da ONU estima

que, j em 2008, pela primeira vez na histria das civilizaes, a maioria das pessoas viver na zona urbana. O grfico a seguir mostra o crescimento A partir desses dados, pode-se afirmar que a taxa mdia de crescimento anual de uma cidade que possui 750.000 habitantes : (A) 1,95% (B) 2,00% (C) 2,85% (D) 3,00% (E) 3,35% da populao urbana desde 1950, quando essa populao era de 700 milhes de pessoas, e apresenta uma previso para 2030, baseada em crescimento linear no perodo de 2008 a 2030.

4) (UFRGS

2007)

Considere

os

coeficientes

angulares das retas r, s e t que contm os lados do tringulo representado abaixo. A sequncia das retas r, s e t que corresponde ordenao crescente dos coeficientes angulares :

De acordo com o grfico, a populao urbana mundial em 2020 corresponder,

aproximadamente, a quantos bilhes de pessoas? (A) 4,00 (B) 4,10 (A) r, s, t (B) r, t, s (C) s, r, t (D)s, t, r13

(E) t, s, r

(C) 4,15 (D) 4,25 (E) 4,50


7)

(ENEM 2008) No quadro ao lado esto

as contas de luz e gua de uma residncia. Alm do valor a pagar, cada conta mostra como calcul-lo, em funo do consumo de gua (em m3) e de eletricidade (em kwh). Observe que, na conta de luz, o valor a pagar igual ao consumo multiplicado por um certo fator. J na conta de gua, existe uma tarifa mnima e diferentes faixas de tarifao. Dos grficos abaixo, o que melhor representa o valor da conta de gua, de acordo com o consumo :

(A) 8) (UFRGS) Um grupo de estudantes

(B)

dedicado confeco de produtos de artesanato gasta R$15,00 em material, por unidade produzida e, alm disso, tem um gasto fixo de R$ 600,00. Cada unidade ser vendida por R$85,00. Quantas unidades tero de vender para obterem um lucro de R$800,00? (A) 7 (B) 10 (C) 12 (D) 15 (E) 20 9) (UFRGS) O consumo de energia eltrica de (C) 10) (D) (E) (UFRGS) Considere a funo f que a cada

nmero real x positivo faz corresponder a rea do tringulo ABP, como representado na figura abaixo. Entre os grficos, o que melhor representa o grfico da funo f :

um eletrodomstico diretamente proporcional ao tempo que ele fica ligado. Sabendo-se que um televisor consome 150 watts de energia por hora de uso, o grfico que melhor expressa o consumo de energia y em watts em funo do tempo x, em horas, em que a TV permanece ligada :14

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