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1 UNIVERSIDADE DO VALE DO RIO DOS SINOS – UNISINOS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL 100538 CONCRETO ARMADO I Prof. Volnei Pereira da Silva 2012/2

Apostila Completa - Concreto Armado

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UNIVERSIDADE DO VALE DO RIO DOS SINOS – UNISINOS

CURSO DE ENGENHARIA CIVIL

100538 CONCRETO ARMADO I

Prof. Volnei Pereira da Silva

2012/2

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CONCRETO ARMADO I

LAJES E VIGAS Cálculo das solicitações e dimensionamento à Flexão Simples, Cisalhamento e Torção. Referências Bibliográficas:

[1] ABNT. NBR-6118:2007 - Projeto de Estruturas de Concreto - Procedimento

[2] ABNT. NBR-6120:1980: Cargas para o Cálculo de Estruturas de Edificações.

[3] ARAÚJO, José Milton de. Curso de Concreto Armado. 3ed. Rio Grande: Dunas, 2010.

[4] CARVALHO, R. C.; FILHO, J. R. F. Cálculo e Detalhamento de Estruturas Usuais de Concreto Armado. 3ª ed. São Carlos: EduFSCar, 2009. [5] FUSCO, Péricles Brasiliense. Estruturas de Concreto: Solicitações Normais, estados

limites últimos, teoria e aplicações. Rio de Janeiro: Guanabara Dois, 1981.

[6] FUSCO, Péricles Brasiliense. Estruturas de Concreto: Solicitações Tangenciais. São

Paulo: Editora Pini, 2008.

[7] HSU, THOMAS T.C., MO, Y.L. Softening of Concrete in Torsional Members - Design

Recommendations. ACI Journal, July-August 1985. p. 443-451.

[8] MONTOYA, Gimenez, MESEGUER, Garcia, CABRÉ, Morán. Hormigón Armado.

15ed. Barcelona: Editorial Gustavo Gili, S.A., 2010.

[9] PFEIL, Walter. Concreto Armado: Dimensionamento. 5ed. Rio de Janeiro: Livros

Técnicos e Científicos, 1989.

[10] SÜSSEKIND, José C. Curso de Concreto Vol II. Ed. Globo, São Paulo, 1991

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1 - INTRODUÇÃO. 1.1 - Definição. Concreto Armado (C.A.) é a união do aço com o concreto, mediante adequada disposição do primeiro no segundo, de tal modo que ambos resistem solidariamente aos esforços a que forem submetidos. De outra forma pode-se definir o Concreto Armado como um material complexo, obtido pela união de dois materiais “simples”, o concreto e o aço, dispostos de modo a utilizar econômica e racionalmente as resistências próprias de cada um deles. O princípio básico das peças de C.A. é a combinação do concreto e do aço de maneira que, em uma mesma peça, os esforços de tração sejam absorvidos pelo aço e os esforços de compressão pelo concreto e pelo aço. O C.A. nasceu da necessidade de se criar um tipo de construção que, utilizando uma pedra artificial, apresentasse a durabilidade da pedra natural, tivesse a propriedade de ser fundida nas dimensões e formas desejadas e, associando o aço a esta pedra artificial, aproveitasse a alta resistência deste material, ao mesmo tempo em que, protegendo-o, aumentasse sua durabilidade. A associação do concreto e do aço é possível graças às seguintes características dos dois materiais: • elevadas resistências à compressão do concreto e à tração do aço; • propriedades de aderência destes materiais, assegurando a sua ação conjunta; • coeficientes de dilatação térmica aproximadamente iguais; • possibilidade de proteção do aço contra a corrosão, através do concreto que o envolve. 1.2 - Histórico. Os fatos mais importantes relacionados com o concreto armado e as suas respectivas datas de ocorrência são os seguintes: 1824 – o pedreiro Joseph Aspdin, na localidade de Hunslet, próximo a Leeds (Inglaterra), consegue calcinar uma parte de argila e três partes de pedra calcária, moída até obter um pó fino. Descobre, então, um cimento que não se dissolve na água. É o cimento tipo Portland. 1848 – Lambot (França) constrói um barco com argamassa de cimento reforçada com ferro. 1852 – o engenheiro francês François Coignet executa elementos de construção com emprego de concreto armado (vigotas e pequenas lajes). 1861 – o jardineiro do Palácio de Versailles, Joseph Monier fabrica vasos de flores com argamassa de cimento, utilizando como reforço uma malha de fios de aço. François Coignet publica alguns princípios básicos para construções em concreto armado. 1867 - Joseph Monier recebe sua primeira patente para vasos de flores de concreto armado com armadura de aço. Em anos seguintes, obtém outras patentes para tubos e lajes e dedica-se com perseverança e sucesso a sua utilização. Suas construções, desenvolvidas em bases puramente empíricas, mostram que o inventor ainda não possui uma noção clara da função estrutural de armaduras de aço em concreto. 1877 – T. Hyatt, advogado americano, publica resultados de ensaios em construções de concreto armado. Hyatt já reconhece claramente o efeito de aderência. 1880 – Hennebique, construtor com atividade na França e na Bélgica, constrói a primeira laje armada com barras de aço de seção circular. 1884 – As firmas Freytag & Heidschuch e Martenstein & Josseaux obtém de Monier os direitos de patente para o sul da Alemanha e reservam-se o direito de revenda para toda a Alemanha.

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1886 – As duas firmas cedem o direito de revenda ao engenheiro G. A. Wayss, fundador de uma empresa em Berlim para construções de concreto segundo o sistema Monier. Wayss realiza provas de carga e publica resultados. Koenen, com base nestes ensaios, desenvolve um método de dimensionamento empírico para alguns tipos de construção Monier, mostrando que compreendia claramente o efeito estrutural das armaduras de aço. 1892 – Hennebique obtém patente do primeiro tipo de viga, como as atuais, com estribos. 1897 – Rabut inicia o primeiro curso sobre concreto armado, na Ecole des Ponts et Chaussées, em Paris. 1900 – Emil Mörsch, professor da Universidade de Stuttgart de 1916 a 1948, desenvolve a teoria iniciada por Koenen, e a sustenta através de inúmeros ensaios, que começou a realizar por incumbência da firma Wayss & Freytag, a qual pertencia. Depois do seu ingresso na Universidade de Stuttgart, prosseguiu os ensaios com Bach e Graf, sob bases mais amplas. Os conceitos desenvolvidos por Mörsch constituíram, ao longo da primeira metade do século e em todo o mundo, os fundamentos da teoria do concreto armado e seus elementos essenciais ainda são válidos. A partir de 1900, o concreto armado teve grande desenvolvimento e aplicação, tornando-se necessário regulamentar o seu projeto e a sua execução, surgindo as primeiras instruções ou normas: 1904 na Alemanha, 1906 na França e 1909 na Suíça. No Brasil, a primeira norma data de 1960 (NB-1), revisada em 1978 (NBR-6118) e em 2003 (NBR-6118:2003). O concreto com armadura previamente tracionada (concreto protendido) só nasceu em 1928. As primeiras tentativas, efetuadas no início do século falharam, porque não se sabia que o concreto, com o tempo, encurta-se pela retração e pela deformação lenta. Assim, perdia-se a protensão realizada em aço comum. Somente em 1928, E. Freyssinet desenvolveu um processo com o empreso de aço de alta resistência, mediante o qual se poderia provocar tensões de compressão suficientemente elevadas e permanentes.

1.3 – Vantagens e desvantagens do C.A.

O concreto armado é, hoje, largamente empregado em todos os tipos de construção e suas principais vantagens são as seguintes: a) flexibilidade. O concreto é facilmente moldável; o concreto fresco adapta-se a qualquer

tipo de forma e é sempre possível, por um conveniente dimensionamento da peça e de suas armaduras, absorver os diversos tipos de solicitação a que ela pode ser submetida.

b) monolitismo. O concreto armado é próprio para estruturas monolíticas (sem juntas), que por serem muitas vezes hiperestáticas, apresentam uma elevada reserva de capacidade resistente e de segurança.

c) simplicidade de execução. A execução do concreto armado não necessita quase de operários altamente especializados. Além disso, a possibilidade de racionalização e de mecanização dos canteiros de obra torna a qualidade do trabalho cada vez mais independente da mão de obra.

d) economia. O concreto armado é econômico (matéria prima barata, como areia e brita), dispensando, via de regra, qualquer manutenção ou conservação.

e) incombustibilidade. Em caso de incêndios, as peças estruturais em concreto armado ficam expostas às altas temperaturas das chamas. Devido à má condutibilidade térmica do concreto, o calor penetra lentamente, de modo que as estruturas normais apresentam, em geral, uma boa resistência ao fogo, mesmo sem proteção adicional. Em incêndios de curta duração, o fogo afeta só as camadas externas, até uma profundidade de 50 a 100 mm, provocando fissuras superficiais seguidas de descascamentos que podem deixar as armaduras expostas ao calor do fogo. A resistência do concreto não se reduz até 200 ºC. É de 80% de sua resistência normal aos 300 ºC e de 50% aos 500 ºC. O aquecimento do aço

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é particularmente perigoso porque com temperaturas acima de 400ºC o aço perde rapidamente sua resistência chegando a valores da ordem de 40º da sua resistência a frio quando atinge 600 ºC.

f) maior resistência a choques e vibrações. As pontes, as vigas de pontes rolantes de prédios industriais e outras estruturas de concreto armado, sujeitas a cargas móveis, são menos sensíveis aos esforços rítmicos destas ações, do que aquelas executadas com materiais que conduzam a um peso próprio menor.

Como desvantagens citam-se: - alto peso próprio (25 kN/m³); - dificuldade para reformas e para demolições;

- baixo grau de isolamento térmico e acústico.

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2- TIPOS DE PEÇAS ESTRUTURAIS De modo geral, as peças estruturais de C. A. podem se dividir em 3 grandes grupos: 2.1 – Peças volumétricas: São caracterizadas por possuírem as três dimensões de mesma ordem de grandeza. Estão submetidas, geralmente, a um “estado tri-axial de tensões”. Exemplos: blocos de fundação rasa, bloco de estacas. 2.2 – Peças (ou estruturas) de superfície: São peças que possuem duas dimensões de mesma ordem de grandeza, enquanto a terceira é muito menor que elas. Trabalham sob um “estado plano de tensões”. Exemplos: 2.2.1 - Cascas 2.2.2 – Lajes (ou placas): se caracterizam por receber carga que atuam no seu plano médio e são normais a ele. São submetidas, fundamentalmente, a esforços de flexão. Para isto, devem ser delgadas e apresentar flecha pequena para que não ocorram tensões de membrana.

h/b ≤ 0,2 w/h ≤ 0,2 Algumas formas: As lajes se diferem por forma, condições de contorno e tipos de carregamento. Transmitem as cargas dos pisos para as vigas, paredes ou pilares que as suportem. 2.2.3 – Vigas-paredes: são vigas nas quais a relação entre vão e altura é menor do que 2, quando isostática, ou menor do que 2,5 quando a viga é contínua. Estes elementos geralmente trabalham como chapa, por terem as cargas atuando no seu plano médio, e como placa, por possuírem cargas atuando perpendicularmente ao seu plano médio.

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Estr. Terciária

Estr. Secundária

Estr. Prim

ária

2.3 – Peças lineares: São peças que têm duas dimensões da mesma ordem de grandeza e muito menores que a terceira. 2.3.1 – Vigas: - geralmente submetidas à Flexão Simples Reta (cargas contidas no plano que contém um dos eixos principais de inércia e o eixo longitudinal) estando, portanto, submetidas a momento fletor e esforço cortante; - podem, também, estar solicitadas a esforço normal de tração ou de compressão e a momento torçor; - recebem cargas das lajes, das paredes e de outras vigas e as transmitem aos pilares. Quando o cálculo é feito considerando o sistema plano ou espacial é elemento importante dos pórticos. Algumas seções: 2.3.2 – Pilares: - são peças, na maioria dos casos, verticais. Geralmente a solicitação predominante é a Normal, mas na maioria das vezes estão sujeitos à Flexo-Compressão (ou Presso-Flexão); - a função principal dos pilares é transmitir a carga da estrutura para as fundações, daí toda a sua responsabilidade e importância. Algumas seções: 3- A COMPOSIÇÃO DA ESTRUTURA A estrutura sob o ponto de vista da sustentação e transmissão de cargas, pode ser dividida em três partes: - a estrutura terciária: tem por finalidade suportar a aplicação direta das cargas distribuídas em superfícies, sendo, usualmente, composta pelas lajes; - a estrutura secundária: tem por finalidade garantir a resistência localizada às diferentes partes da construção, recebendo cargas diretas ou apenas as reações da estrutura terciária. É formada pelas vigas e, em algumas situações especiais, pelos pilares (lajes cogumelos); - a estrutura primária: é a parte que garante a estabilidade total da construção, recebendo as cargas da estrutura secundária e, em alguns casos especiais, da estrutura terciária.

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fre

qüê

ncia

f cf ck

5%

4- CARACTETÍSTICAS DO CONCRETO, DO AÇO E DO CONCRET O ARMADO. 4.1 – Características Mecânicas e Reológicas do Concreto.

4.1.1 – Características Mecânicas a) Resistência à Compressão. - a resistência medida nos ensaios depende, fundamentalmente, de dois fatores: da forma dos corpos de prova e da duração da solicitação. - com relação à forma: no Brasil, conforme Norma Técnica, e adotando o corpo de prova cilíndrico com diâmetro de 15 cm e altura de 30 cm, que será ensaiado aos 28 dias de idade. Em outros países como, por exemplo, na Alemanha, são utilizados corpos de prova cúbicos com 20 cm de lado. Fornecem resultados de ensaio menores que os dos cilindros, em virtude do atrito com a máquina do ensaio. O fator de conversão é da ordem de 0,85. - com relação ao fator tempo: os ensaios são de curta duração com posterior correção para levar em conta os efeitos dos carregamentos de longa duração. Às vezes, há a necessidade de se conhecer a resistência do concreto aos 28 dias, através da resistência de uma idade inferior. O CEB nos fornece a seguinte tabela: Tabela 4.1 – Relações fcj/fc, admitindo cura úmida em temperatura de 21ºC a 30ºC (ver 12.3.3, pág. 63)

Cimento Portland

Idade (dias)

3 7 14 28 63 91 120 240 360 720 CP III CP IV 0,46 0,68 0,85 1,00 1,13 1,18 1,21 1,28 1,31 1,36

CP I CP II 0,59 0,78 0,90 1,00 1,08 1,12 1,14 1,18 1,20 1,22

CP V 0,66 0,82 0,92 1,00 1,07 1,09 1,11 1,14 1,16 1,17 NOTA: CP I = cimento comum; CP II = cimento composto; CP III = cimento de alto formo; CP IV = cimento pozolânico; CP V = cimento de alta resistência inicial.

a.1) Resistência Característica (fck) do concreto a compressão. f : tensão

c: compressão k: característica Os métodos dos ensaios à compressão fornecem, com boa aproximação, uma curva normal de distribuição de freqüências (curva de Gauss):

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Sendo “n” o número de corpos de prova ensaiados e fci a resistência à compressão de cada um deles, a resistência média aos “j” dias é dada por:

e o desvio-padrão “s” é dado por:

Através de muitos ensaios realizados observa-se que o desvio-padrão independe da resistência do concreto e sim da qualidade da execução. A variação de “s” e a seguinte: 0,20 ≤ s ≤ 0,70 MPa Nos trabalhos de cálculo se usa a resistência à compressão característica dada por:

fck = fcj – 1,645 s ou fck = fcj (1-1,645 ν) onde ν = s/fcj é o coeficiente de variação. O valor acima para fck é aceito praticamente em todo o mundo e é obtido por considerações probabilísticas. Significa que abaixo do valor fck só existirão 5% dos ensaios realizados, ou seja, significa que há 95% de probabilidade dos resultados dos ensaios estarem acima de fck. A NBR-6118 estabelece, em 8.2.1 (22), que: Esta Norma se aplica a concretos compreendidos nas classes de resistência do grupo I, indicadas na NBR-8953, ou seja, até C50. A classe C20, ou superior, se aplica a concreto com armadura passiva e a classe C25, ou superior, a concreto com armadura ativa. A classe C15 pode ser usada apenas em fundações, conforme NBR 6122, e em obras provisórias. a.2) Carregamento de longa duração. Os estudos realizados por H. Rusch, mostram que a resistência à compressão do concreto é reduzida em cerca de 15% quando submetido a carregamento de longa duração, comparando com a resistência dos ensaios de curta duração. Em vista disso, as normas mais recentes adotam o coeficiente “0,85” para afetar a resistência obtida nos ensaios de curta duração. Ver NBR 6118, itens 12.1 – 12.2 – 12.3.1 – 12.3.3 – 12.4 – 12.5. b) Módulo de Elasticidade Longitudinal Conforme a NBR-6118, em 8.2.8 (23): O módulo de elasticidade deve ser obtido segundo ensaio descrito na NBR 8522, sendo considerado nesta Norma o módulo de deformação tangente inicial cordal a 30% fc, ou outra tensão especificada em projeto. Quando não forem feitos ensaios e não existirem dados mais precisos sobre o concreto usado na idade de 28 dias, pode-se estimar o valor do módulo de elasticidade usando a expressão:

onde Ec e fck são dados em MPa.

ci

n

icj f

nf

1

1=Σ=

( )1

2

1

−=

Σ=

n

ffs

cjci

n

i

2/15600 ckc fE =

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O módulo de elasticidade inicial numa idade j ≥ 7 dias pode também ser avaliado através dessa expressão, substituindo-se fck por fckj. Quando for o caso, é esse o módulo de elasticidade a ser especificado em projeto e controlado na obra. O módulo de elasticidade secante a ser utilizado nas análises elásticas de projeto, especialmente para determinação de esforços solicitantes e verificação de estados limites de serviço, deve ser calculado pela expressão:

Ecs = 0,85 Ec

onde Ecs e Ec são dados em MPa. Na avaliação do comportamento de um elemento estrutural ou seção transversal pode ser adotado um módulo de elasticidade único, à tração e à compressão, igual ao módulo de elasticidade secante (Ecs).

c) Diagrama tensão-deformação c-1) Compressão: Para uniformizar o critério de dimensionamento para as diferentes resistências de ruptura dos concretos, as normas dos diversos países utilizam um diagrama tensão-deformação simplificado. A NBR-6118 (8.2.10.1, pág. 24) recomenda o seguinte diagrama: Para valores da resistência de cálculo à compressão, ver Norma em 12.3.3 (63) e 12.4.1 (64)

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c-2) Tração: Conforme a Norma em 8.2.10.2 (24), “para o concreto não fissurado,

pode ser adotado o diagrama tensão-deformação bilinear de tração”, indicado abaixo: Para valores da resistência de cálculo à tração, ver Norma em 8.2.5 (22). d) Coeficiente de Poisson e Módulo de Elasticidade Transversal Conforme item 8.2.9 (24), “para tensões de compressão menores que 0,5 fc e tensões de tração menores do que fct, o coeficiente de Poisson ν pode ser tomado como igual a 0,2 e o módulo de elasticidade transversal Gc igual a 0,4 Ecs”.

4.1.1 – Características Reológicas a) Retração. É um fenômeno volumétrico que apresenta o concreto, independentemente da aplicação de cargas. Fisicamente é causado pela perda do excesso de água que não foi consumida no processo de hidratação do cimento quando a peça entra em contato com o ar. O processo inicia com a água dos poros mais externos, o que cria um diferencial de tensão entre a sua superfície e o seu interior. Em conseqüência, também aparecem deformações diferentes nos seus vários pontos, causando fissuração no concreto. Para prevenir este fato pode-se usar uma armadura adicional. O fenômeno inverso da retração, o inchamento, também pode ocorrer quando a peça é submersa depois de seca. A retração depende da: - umidade relativa do ambiente; - espessura fictícia da peça; - consistência do concreto no lançamento; Para mais informações a respeito, acessar a NBR-6118, itens 8.2.11 (25), 11.3.3.1 (52) e A.2.3 (192). b) Deformação lenta ou fluência. A deformação lenta ou fluência é um processo semelhante ao da retração. O processo físico é praticamente o mesmo, diferindo daquele pela causa. A deformação lenta acontece quando se aplicam cargas sobre o concreto, ocorrendo a expulsão da água não absorvida. Para mais informações a respeito, acessar a NBR-6118, itens 8.2.11 (25), 11.3.3.2 (53) e A.2.2 (189). Entre os efeitos desfavoráveis da deformação lenta, estão: - aumento das flechas; - aumento da curvatura de pilares com cargas excêntricas; - perdas de tensão nos cabos de protensão. Entre os efeitos favoráveis, temos: - alívio, com o tempo, das concentrações de tensões; - alívio das tensões oriundas das deformações impostas às estruturas.

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c) Temperatura. A deformação axial, específica, causada por uma variação uniforme de temperatura é dada por: tcs ∆= αε

Para mais informações a respeito, acessar a NBR-6118, itens 8.2.3 (22), 11.4.2.1 (56) e 11.4.2.2 (57). 4.2 – Características do Aço. 4.2.1 Tipos de aço empregados no Concreto Armado. a) Aspecto Geométrico. CA-25 e CA-50: são barras de aço obtidas por laminação a quente de tarugos de lingotamento contínuo. São produzidos de acordo com as especificações da NBR-7480/96. Podem ter a superfície lisa, como o CA-25, ou nervurada, como o CA-50. As bitolas até 12,5mm podem ser fornecidas em barras retas, como as demais, ou em rolos. CA-60: são barras obtidas por trefilação de máquina. São produzidos segundo as especificações da NBR–7080/96. Caracterizam-se pela alta resistência e pelos entalhes, o que aumentam a aderência do aço ao concreto. São fornecidos em rolos ou em barras retas. b) Denominação. Os aços recebem sua denominação em função de sua tensão de escoamento fy (real ou convencional) em kN/cm². c) Bitolas comerciais. As barras têm comprimento de 12m (ou comprimentos especiais, a pedido) e os seguintes diâmetros, em mm, padronizados: CA-25 e CA-50: 6,3 – 8,0 – 10,0 – 12,5 – 16,0 – 20,0 – 25,0 – 32,0 – 40,0. CA-60: 4,2 – 5,0 – 6,0 – 7,0 – 8,0 – 9,5. Para mais informações a respeito, acessar a NBR-6118, itens 8.3 (26) especialmente no que se refere à conformação superficial, massa específica, módulo de elasticidade e diagrama tensão-deformação. 4.2.2 Características mecânicas. a) Diagrama tensão-deformação.

Aço fyk (MPa) fyd (MPa) ydε (‰)

CA-25 250 217,4 1,04 CA-50 500 434,8 2,07 CA-60 600 521,7 4,48

Para os aços CA-25 e CA-50: 510*1,2*15,1yk

s

ydyd

f

E

f==ε

Para os aços CA-60: 002,010*1,2*15,1 5

+== yk

s

ydyd

f

E

b) Fadiga. As armaduras empregadas em peças de concreto armado submetidas a solicitações alternadas (ex.: pontes), têm o seguinte comportamento:

CA-25: não há qualquer problema; CA-50 e CA-60: sofrem diminuição de resistência sob cargas cíclicas.

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As nervuras inclinadas são mais eficientes que as perpendiculares ao eixo longitudinal. A DIN-1045, nos casos em que a fadiga pode ocorrer, não permite tensão superior a 18 kN/cm², qualquer que seja o aço. Para mais informações a respeito, acessar a NBR-6118, itens 23.5.5 (176). 4.3 – Características do Concreto Armado (C.A.). O material concreto armado deve a sua grande aplicação nos dias atuais às três seguintes características: a) aderência: é o que assegura o trabalho conjunto do concreto e do aço, garantindo a transmissão dos esforços do aço para o concreto e vice-versa. Isto como conseqüência da igualdade de deformações específicas das barras de aço e do concreto que as envolve. Nas regiões tracionadas, por exemplo, o concreto fissura e tende a se alongar. Isto faz com que as barras da armadura absorvam as tensões de tração, através da aderência entre os dois materiais. Do mesmo modo acontece nas posições comprimidas onde o concreto sozinho não consegue absorver as tensões de compressão. b) coeficiente de dilatação térmica: os coeficientes de dilatação térmica do aço e do concreto são, praticamente, iguais. O coeficiente de dilatação térmica do concreto varia entre (0,9 e 1,4) . 510− /ºC, com valor médio de 1,0 . 510− /ºC. O do aço vale 1,2 . 510− ºC, sendo, portanto, mínima a diferença considerando as variações temperaturas correntes. c) proteção do aço: o concreto protege o aço da oxidação garantindo, assim, a durabilidade da estrutura. Essa proteção se dá de duas formas: - proteção física, através da camada de cobrimento; - proteção química, através de uma camada alcalina inibidora da oxidação que se forma sobre a superfície do aço.

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LAJES 1- Generalidades 1.1) Definição: Entre as distintas partes que constituem uma construção comum de concreto armado, as lajes são elementos estruturais planos de pequena espessura, se comparada com as suas outras dimensões que, formando parte dos entrepisos, e que têm por finalidade receber diretamente as cargas que atuam sobre os mesmos para transferi-los às vigas. Conforme a NBR-6118, item 14.4.2.1, placas (lajes) são elementos de superfície plana sujeitos principalmente a ações normais a seu plano. 1.2) Cargas: As cargas que atuam sobre as lajes podem ser concentradas, lineares ou distribuídas. Nos entrepisos, para o cálculo, se consideram as cargas, em geral, como uniformemente distribuídas, estando constituídas por cargas permanentes (g) e por cargas acidentais (q). As primeiras correspondem ao peso próprio da laje e dos materiais rigidamente vinculados a ela. As segundas são cargas de diversos tipos (pessoas, móveis, equipamentos, etc.) que, para simplificar o cálculo, se substituem, salvo casos especiais, por cargas equivalentes uniformemente distribuídas que dão lugar a solicitações de mesma ordem de grandeza que as originadas pelas cargas reais. As cargas concentradas ou lineares (paredes) são consideradas como transmitidas segundo um ângulo de 45º até o plano médio. A NBR-6120 apresenta pesos específicos a serem utilizados no cálculo do peso próprio e especificam, também, sobrecargas típicas (cargas acidentais) aplicáveis aos distintos ambientes (cômodos) segundo seu destino (uso). 1.3) Condições de contorno: As diferentes condições de contorno que podem se apresentar são: a) bordos simplesmente apoiados ou rotulados: permitem a livre rotação do bordo da laje, mas impedem sua flecha; b) bordos engastados: impedem a livre rotação e a flecha; c) bordos engastados parcialmente ou bordos contínuos: impedem a flecha e impedem parcialmente a rotação; d) bordos livres: não impedem nem a flecha e nem a rotação; e) combinação dos distintos bordos mencionados. 1.4) Situações/casos usuais:

• Lajes armadas em cruz (ou bidirecionais): (ver na fig. abaixo as diferentes

condições de contorno possíveis).

21 ≤≤y

x

l

l

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1 2a 2b 3a

3b 4 5a

5b 6

• Lajes armadas em uma direção:

2>y

x

l

l

Quando a relação entre os lados maior e menor de uma laje for maior do que 2, esta deve ser considerada apoiada (ou engastada) nos dois lados mais próximos (menor vão). Este fato é comprovado através de ensaios de laboratório e ocorre mesmo que se coloque armadura na direção do maior vão. Todos os casos de condições de contorno para lajes armadas em cruz podem ocorrer nas lajes armadas em uma só direção, estando a diferença no método de obtenção das solicitações (momentos fletores, reações de apoio, flechas, etc.), como veremos mais adiante.

• Lajes com lados livres: nesta situação temos várias possibilidades que vão desde a

laje com três lados engastados e um livre até à laje com dois lados apoiados e dois livres.

• Lajes em balanço: marquises e sacadas.

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Laje

PilarCapitel

2- Classificação das lajes 2.1) Lajes maciças: são as lajes mais utilizadas, sendo moldadas na própria obra (in loco) e tem, geralmente, altura constante.

2.2) Lajes nervuradas: são lajes moldadas no local ou com nervuras pré-moldadas, cuja zona de tração, para momentos positivos está localizada nas nervuras entre as quais pode ser colocado material inerte de modo a tornar plana a superfície externa (14.7.7).

2.3) Laje-caixão: são lajes nervuradas com laje inferior (como forro).

2.4) Lajes-cogumelo e lajes lisas: Lajes-cogumelo são lajes apoiadas diretamente em pilares com capitéis, enquanto lajes lisas são as lajes apoiadas nos pilares sem capitéis (14.7.8).

2.5) Lajes protendidas: são lajes maciças com armadura pré-tensionada (armadura ativa). Tem possibilidade de vencer maiores vãos.

2.6) Lajes pré-moldadas: são lajes construídas previamente no mesmo local da obra ou em outro local. Apresentam-se nos mais variados tipos, maciças, ocas, com armadura ativa ou com armadura passiva.

Page 17: Apostila Completa - Concreto Armado

17

3) Determinação da espessura das lajes. A espessura necessária para uma laje está intimamente ligada a sua deformação. Assim, a verificação do Estado Limite de Deformações Excessivas tem por objetivo contribuir para garantir a manutenção das boas condições de uso da estrutura. Deslocamentos excessivos podem:

• ocasionar desconforto aos usuários; • causar danos a elementos estruturais; • causar danos aos elementos não-estruturais suportados pela peça fletida, • interferir desfavoravelmente no funcionamento e na durabilidade dos elementos

estruturais ou das estruturas. A NBR-6118, na tabela 13.2, fixa valores limites para os deslocamentos. Esses limites “são valores práticos utilizados para verificação em serviço do Estado Limite de Deformações Excessivas da estrutura”. A Norma classifica os motivos para estabelecer esses valores limites em quatro grupos básicos (13.3):

• aceitabilidade sensorial; • efeitos específicos ; • efeitos em elementos não estruturais; • efeitos em elementos estruturais.

Para o cálculo de flechas em lajes temos duas situações:

O item 14.7.3.1 – Valores de rigidez, diz que

O valor do momento de fissuração é (17.3.1):

t

cctr y

IfM

α=

Se o momento atuante for superior ao momento de fissuração, no cálculo de deformações pode-se considerar a não linearidade física de maneira aproximada, conforme 15.7.3. Para lajes,

cci IEEI 3,0)( sec =

∝� 1,5

�� � �12 � 1.

12 � 12��

Para laje:

��� � �����,���: ���������������� ��çã�������# ����$: ������������������ ��çã��%&����'�

(� � 2 ∴ *+ � 1,5. ��� . 212 � 14���- .*/�- . �-0

Page 18: Apostila Completa - Concreto Armado

18

*+ � 14��� -. 10 .2/�� 0 � 250. ���-32/� �4 5 Para o Estado Limite Último de Formação de Fissura:

*+ � 250. ����,��� . - � 250. 0,7. 0,3. ���- 4 . -32/� �4 5

*+ � 52,5. -���- 4 32/� �4 5 Exemplo:

Se ��� � 20*8�� � 8&� ∴ *+ � 52,5. 0,08-. 20- 4 � 2,48 2/� �4 Para o Estado Limite de Deformação Excessiva:

*+ � 250. ���$. - � 250. 0,3. ���- 4 . -32/� �4 5

*+ � 75. -���- 4 32/� �4 5 Exemplo:

Se ��� � 20*8�� � 8&� ∴ *+ � 72. 0,08-. 20- 4 � 3,54 2/� �4 Para avaliação da flecha inicial podemos nos valer dos seguintes processos:

Page 19: Apostila Completa - Concreto Armado

19

Aqui utilizaremos o processo simplificado proposto por Czerny (Hahn pág. 198):

fo = 1

wm

pl

Ehy4

3 ; λ = l

lx

y

Valores de wm :

λ 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,8 2,0 1 20,5 17,1 14,8 13,1 11,8 10,8 10,0 8,9 8,2

T 2a 30,0 26,3 23,8 22,0 20,6 19,6 18,9 17,8 17,1 2b 30,0 23,7 19,6 16,6 14,5 12,9 11,7 10,0 9,0 I 3a 43,5 40,0 37,5 35,7 34,5 33,7 33,1 32,5 32,0 3b 43,5 33,0 26,1 21,4 18,1 15,7 13,9 11,4 9,9

P 4 39,7 33,1 28,7 25,7 23,5 21,8 20,8 19,2 17,8 5a 53,2 46,6 42,5 39,5 37,3 35,8 34,5 33,4 32,4

O 5b 53,2 42,4 35,2 30,4 27,0 24,5 22,3 19,0 18,6 6 65,8 55,2 48,3 43,5 40,3 37,8 35,8 34,2 32,9

No entanto, a flecha final é composta de uma flecha inicial acrescida da flecha diferida que é decorrente das cargas de longa duração em função da fluência (item 17.3.2.1.2, pág. 113). ( ) of ff αα += 1

�: � 1;$<= > 0,3?@��0,3A.

0,3? ⇒ C�����11.2��/DE6118: 2007. 0,3A ⇒ Gã���G�� ������í��&�, ����15.7��/DE6118: 2007. A NBR-6118, no item 13.2.4.1, traz os limites mínimos para a espessura de lajes maciças e que devem ser respeitados, independentemente de valores obtidos da forma acima.

Tipo de laje Espessura mínima • de cobertura não em balanço 5 cm • de piso ou de cobertura em balanço 7 cm • que suportem veículos de peso total ≤ 30 kN 10 cm • que suportem veículos de peso total > 30 kN 12 cm • cogumelo 14 cm • com protensão apoiadas em vigas, � 32⁄ para lajes de piso

biapoiadas e � 50⁄ para lajes de piso contínuas 15 cm

• lisas 16 cm

Page 20: Apostila Completa - Concreto Armado

20

10 – Segurança e estados limites. 10.1 – Critérios de segurança. 10.2 – Estados limites. 10.3 – Estados limites últimos (ELU) 10.4 – Estados limites de serviço (ELS) 11- Ações. 11.1 – Simbologia específica desta norma. 11.2 – Ações a considerar. 11.2.1 – Generalidades. 11.2.2 – Classificação das ações: Permanentes, Variáveis e Excepcionais. 11.3 – Ações permanentes. 11.3.1 – Generalidades. 11.3.2 – Ações permanentes diretas. 11.3.2.1 – Peso próprio 11.3.2.2 - Peso dos elementos construtivos fixos e de instalações permanentes 11.3.2.3 – Empuxos permanentes. 11.3.3 – Ações permanentes indiretas. 11.3.3.1 – Retração do concreto. 11.3.3 2 – Fluência do concreto. 11.3.3.3 – Deslocamentos de apoio. 11.3.3.4 – Imperfeições geométricas. 11.3.3.4.1 – Imperfeições globais. 11.3.3.4.2 – Imperfeições locais. 11.3.3.4.3 – Momento mínimo. 11.3.3.5 – Protensão. 11.4 – Ações variáveis. 11.4.1 – Ações variáveis diretas. 11.4.1.1 – Cargas acidentais previstas para o uso da construção. 11.4.1.2 – Ação do vento. 11.4.1.3 – Ação da água. 11.4.1.4 – Ações variáveis durante a construção. 11.4.2 – Ações variáveis indiretas. 11.4.2.1 – Variações uniformes de temperatura. 11.4.2.2 – Variações não uniformes de temperatura. 11.4.2.3 – Ações dinâmicas. 11.5 – Ações excepcionais

Page 21: Apostila Completa - Concreto Armado

21

Ações: (11.2)

permanentes Fgk

(11.3)

diretas (11.3.2)

indiretas (11.3.3)

peso próprio (11.3.2.1) peso elementos construtivos fixos (11.3.2.2) peso instalações permanentes (11.3.2.2) empuxos permanentes (11.3.2.3)

deformações impostas por retração (11.3.3.1) deformações impostas por fluência (11.3.3.2) deslocamentos de apoio (11.3.3.3) imperfeições geométricas (11.3.3.4) protensão (11.3.3.5)

variáveis Fqk

(11.4)

diretas (11.4.1)

acidentais (11.4.1.1) ação do vento (NBR-6123) (11.4.1.2) ação da água (11.4.1.3) ações variáveis durante a construção (11.4.1.4)

indiretas (11.4.2)

variação uniforme de temp. (11.4.2.1) variação não uniforme de temp. (11.4.2.2) ações dinâmicas (11.4.2.3)

excepcionais (11.5)

Page 22: Apostila Completa - Concreto Armado

22

50 anos/0,25 = 200 anos 50 anos/0,35 = 140 anos

11.6 – Valores das ações. 11.6.1 – Valores característicos: Fk 11.6.1.1 – Ações permanentes: Fgk => valores médios das respectivas distribuições de

probabilidade (ver NBR-6120). 11.6.1.2 – Ações variáveis: Fqk => valores que têm de 25% a 35% de probabilidade de serem

ultrapassados no sentido desfavorável durante um período de 50 anos (ver NBR-6120).

Período de retorno: 11.6.2 – Valores representativos:

• valores característicos (11.6.1); • valores convencionais excepcionais; • valores reduzidos (combinações): função da combinação de ações.

o verificações no ELU: sk ELUdosoverificaçãparaF ⇒Ψ− .0

o verificações no ELS: ( )( )spermanentequasevaloresELSdosoverificaçãparaF

frequentesvaloresELSdosoverificaçãparaF

sk

sk

⇒Ψ−⇒Ψ−

.

.

2

1

11.6.3 – Valores de cálculo: Fd = Fk . γf 11.7 – Coeficientes de ponderação das ações: 321 .. ffff γγγγ =

−−

.

;

;tan

;var

3

2

1

essolicitaçõ

dasvistadepontodoprojetoemfeitasesaproximaçõas

sconstruçõenasgeradosdesviosos

consideraquedeparte

açõesdasatuaçãodeeidadesimulaconsideraquedeparte

açõesdasiabilidadeaconsideraquedeparte

ff

ff

ff

γγ

γγγγ

11.7.1 – Coeficientes de ponderação das ações no ELU : Tabs. 11.1 e 11.2. Ver tabela 11.1 para valores de 31 . ff γγ e tabela 11.2 para valores de 2fγ

<−<≤−

⇒.19

;1912:

cmhcompilares

cmhcmcomsestruturaiparedesaaplicáveloajustamentdeecoeficientnγ

11.7.2 – Coeficientes de ponderação das ações no ELS.

( )

Ψ=

Ψ=

=

=

spermanentequasescombinaçõepara

freqüentesscombinaçõepara

rarasscombinaçõepara

ondeTab

f

f

f

ff

22

12

2

2 ;

;1

2.11.

γγγ

γγ

11.8 – Combinações de ações. 11.8.1 – Generalidades. 11.8.2 – Combinações últimas: Normais, Especiais ou de Construção, Excepcionais. 11.8.2.1 – Combinações últimas normais. 11.8.2.2 – Combinações últimas especiais ou de construção. 11.8.2.3 – Combinações últimas excepcionais.

Page 23: Apostila Completa - Concreto Armado

23

T A B E L A 11 . 3 11.8.3 – Combinações de serviço. 11.8.3.1 – Classificação TABELA 11 . 4

Page 24: Apostila Completa - Concreto Armado

24

LAJES – CÁLCULO DAS REAÇÕES DE APOIO NBR 6118, ítem 14.7.6.1, pág. 85.

ε = b

a ; k = pab ; Ka = Vak ; Kb = Vbk

Ri = K

li

i

Valores de 1000 V

Tipo ε 1,00 1,05 1,10 1,15 1,20 1,25 1,30 1,35 1,40 1,45 1,50 1,55 1,60 1,80 2,00

1 Va 250 238 227 217 208 200 192 185 179 173 167 161 156 139 125 Vb 250 262 273 283 292 300 308 315 321 327 333 339 344 361 375 Va 183 175 167 160 153 147 141 136 131 126 122 118 115 102 092 2a Vbe 402 412 422 431 440 447 455 461 468 474 479 484 488 504 517 Vbr 232 238 244 249 254 259 263 267 270 274 277 280 282 292 299 Vae 402 388 378 366 355 342 331 320 310 300 289 280 272 241 217 2b Var 232 226 218 212 205 198 191 184 179 173 167 161 156 139 125 Vb 183 193 202 211 220 230 239 248 256 264 272 280 286 310 329 3a Va 144 137 131 125 120 115 111 107 103 099 096 093 090 080 072 Vb 356 363 369 375 380 385 389 393 397 401 404 407 410 420 428 3b Va 356 349 341 334 327 320 312 304 297 290 283 275 267 241 217 Vb 144 151 159 166 173 180 188 196 203 210 217 225 233 259 283 Vae 317 302 288 276 264 254 244 235 227 219 211 204 198 176 159 4 Var 183 175 167 160 153 147 141 136 131 126 122 118 115 102 091 Vbe 317 332 347 359 371 381 391 400 408 416 424 431 437 459 476 Vbr 183 191 198 205 212 218 224 229 234 239 243 247 250 263 274 Vae 250 237 227 217 208 200 192 185 179 173 166 161 156 138 125 5a Var 144 137 131 125 120 114 110 107 103 099 096 093 090 080 071 Vb 303 313 321 329 336 343 349 354 359 364 369 373 377 391 402 Va 304 294 284 274 264 254 244 235 227 219 211 204 198 176 159 5b Vbe 250 263 275 288 301 314 327 339 350 360 370 378 387 416 437 Vbr 142 149 157 164 171 178 185 191 196 202 208 214 217 232 245 6 Va 250 238 227 217 208 200 192 185 179 173 167 161 156 139 125 Vb 250 262 273 283 292 300 308 315 321 327 333 339 344 361 375

1 2a 2b 3a

3b 4 5a

5b 6

Page 25: Apostila Completa - Concreto Armado

25

LAJES - CÁLCULO DAS SOLICITAÇÕES

MÉTODO DAS GRELHAS

Cálculo dos quinhões de carga:

pkp

pkp

yy

xx

==

Tipo de laje 1=3=6 2 4 5 kx

14

4

+λλ

25

54

4

+λλ

15

54

4

+λλ

12

24

4

+λλ

ky

1

14 +λ

25

24 +λ

15

14 +λ

12

14 +λ

Cálculo dos Momentos Fletores:

x

xxx m

lpM

2

= y

yy

y m

lpM

2

= x

xxx n

lpX

2

= y

yy

y n

lpX

2

=

Valores de

xm ym xn yn

2 apoios 8 8 - - 1 apoio e 1 engaste 14,22 14,22 8 8 2 engastes 24 24 12 12

1 2 3

4 5 6

Page 26: Apostila Completa - Concreto Armado

26

MÉTODO DE MARCUS

xx

xxx V

m

lpM

2

= yy

yy

y Vm

lpM

2

= x

xxx n

lpX

2

= y

yy

y n

lpX

2

=

Em que:

23

201

λx

xx

m

kV −=

y

y

ym

kV

3

201

2λ−=

Então:

x

x

xx

x

xx

x

xxx

x

xxx

pl

Vk

mpl

Vm

lpkV

m

lpM

µ

2222

====

y

x

yy

y

x

y

x

yy

y

x

x

x

y

y

yyy

y

yyy

pl

kV

m

pl

l

l

kV

m

pl

l

l

V

m

lpkV

m

lpM

µλ

2

2

2

2

2

2

2

222

=====

x

x

x

x

x

x

xx

x

xxx

pl

k

n

pl

n

lpk

n

lpX

ν

2222

====

y

x

y

x

y

y

x

x

x

y

yy

y

yy

y

pl

l

l

k

n

pl

l

l

n

lpk

n

lpX

ν

2

2

2

2

2

222

====

Page 27: Apostila Completa - Concreto Armado

27

Page 28: Apostila Completa - Concreto Armado

28

Page 29: Apostila Completa - Concreto Armado

29

lx

LAJES MACIÇAS RETANGULARES CARGA UNIFORMEMENTE DISTRIBUÍDA

TABELA DE MARCUS: CASO 1

ly/lx mx my nx ny ly/lx mx my nx ny 1,00 27,4 27,4 1,50 13,9 31,3 1,01 27,0 27,4 1,51 13,8 31,4 1,02 26,5 27,4 1,52 13,7 31,6 1,03 26,0 27,4 1,53 13,6 31,8 1,04 25,6 27,5 1,54 13,5 31,9 1,05 25,1 27,5 1,55 13,4 32,1 1,06 24,6 27,5 1,56 13,3 32,3 1,07 24,2 27,5 1,57 13,2 32,4 1,08 23,7 27,5 1,58 13,1 32,6 1,09 23,2 27,6 1,59 13,0 32,8 1,10 22,8 27,6 1,60 12,9 33,0 1,11 22,4 27,6 1,61 12,8 33,2 1,12 22,1 27,7 1,62 12,7 33,4 1,13 21,8 27,7 1,63 12,6 33,6 1,14 21,4 27,8 1,64 12,5 33,8 1,15 21,1 27,8 1,65 12,4 34,0 1,16 20,8 27,8 1,66 12,4 34,2 1,17 20,4 27,9 1,67 12,3 34,4 1,18 20,1 27,9 1,68 12,2 34,6 1,19 19,8 27,9 1,69 12,1 34,8 1,20 19,4 28,0 1,70 12,0 35,0 1,21 19,2 28,1 1,71 12,0 35,2 1,22 19,0 28,2 1,72 11,8 35,5 1,23 18,7 28,3 1,73 11,8 35,7 1,24 18,5 28,4 1,74 11,7 35,9 1,25 18,2 28,4 1,75 11,7 36,2 1,26 18,0 28,5 1,76 11,6 36,4 1,27 17,7 28,6 1,77 11,5 36,7 1,28 17,5 28,7 1,78 11,5 36,9 1,29 17,2 28,8 1,79 11,4 37,1 1,30 17,0 28,8 1,80 11,4 37,4 1,31 16,8 28,9 1,81 11,4 37,6 1,32 16,7 29,0 1,82 11,3 37,8 1,33 16,5 29,1 1,83 11,3 38,1 1,34 16,3 29,2 1,84 11,2 38,3 1,35 16,1 29,3 1,85 11,2 38,5 1,36 16,0 29,5 1,86 11,1 38,8 1,37 15,8 29,6 1,87 11,1 39,0 1,38 15,6 29,7 1,88 11,0 39,2 1,39 15,4 29,8 1,89 11,0 39,5 1,40 15,2 29,9 1,90 11,0 39,7 1,41 15,1 30,0 1,91 10,9 40,0 1,42 14,9 30,2 1,92 10,9 40,2 1,43 14,8 30,3 1,93 10,8 40,5 1,44 14,7 30,5 1,94 10,8 40,8 1,45 14,5 30,6 1,95 10,8 41,0 1,46 14,4 30,7 1,96 10,7 41,3 1,47 14,3 30,9 1,97 10,7 41,6 1,48 14,1 31,0 1,98 10,6 41,8 1,49 14,0 31,2 1,99 10,6 42,1 1,50 13,9 31,3 2,00 10,6 42,3

x

xx m

lpM

2

=y

xy m

lpM

2

=

Page 30: Apostila Completa - Concreto Armado

30

lx

LAJES MACIÇAS RETANGULARES CARGA UNIFORMEMENTE DISTRIBUÍDA

TABELA DE MARCUS: CASO 2

ly/lx mx my nx ny ly/lx mx my nx ny 0,50 140,9 45,1 59,2 1,00 29,9 36,7 11,2 0,51 134,2 44,3 55,2 1,02 29,1 37,2 11,0 0,52 127,5 43,4 51,6 1,04 28,3 37,7 10,8 0,53 120,8 42,6 48,2 1,06 27,5 38,2 10,6 0,54 114,1 41,8 45,5 1,08 26,7 38,7 10,4 0,55 107,4 40,9 43,0 1,10 26,0 39,3 10,2 0,56 103,0 40.4 40,4 1,12 25,5 39,0 10,1 0,57 98,5 39,8 38,1 1,14 25,0 40,5 9,9 0,58 94,1 39,3 36,2 1,16 24,4 41,2 9,8 0,59 87,7 38,7 34,5 1,18 23,8 41,8 9,6 0,60 85,3 38,1 32,7 1,20 23,4 42,6 9,5 0,61 82,3 37,7 31,1 1,22 23,0 43,3 9,4 0,62 79,4 37,3 29,6 1,24 22,6 44,1 9,3 0,63 76,4 36,9 28,3 1,26 22,2 44,9 9,3 0,64 73,5 36,5 27,1 1,28 21,8 45,7 9,2 0,65 70,6 36,1 25,9 1,30 21,4 46,6 9,1 0,66 69,3 35,9 24,8 1,32 21,1 47,6 9,1 0,67 66,0 35,7 23,9 1,34 20,8 48,5 9,0 0,68 63,8 35,5 23,0 1,36 20,5 49,5 8,9 0,69 61,6 35,3 22,1 1,38 20,2 50,4 8,9 0,70 59,3 35,1 21,3 1,40 20,0 51,2 8,8 0,71 57,6 34,9 20,6 1,42 19,8 52,2 8,8 0,72 56,0 34,8 20,0 1,44 19,6 53,2 8,8 0,73 54,3 34,7 19,3 1,46 19,4 54,2 8,7 0,74 52,6 34,6 18,7 1,48 19,2 55,2 8,7 0,75 50,9 34,5 18,1 1,50 19,0 56,3 8,6 0,76 49,7 34,5 17,6 1,52 18,8 57,2 8,6 0,77 48,4 34,5 17,1 1,54 18,7 58,3 8,6 0,78 47,2 34,4 16,6 1,56 18,6 59,4 8,6 0,79 45,9 34,4 16,2 1,58 18,5 60,6 8,5 0,80 44,6 34,3 15,8 1,60 18,3 61,9 8,5 0,81 43,6 34,3 15,4 1,62 18,2 63,1 8,5 0,82 42,6 34,4 15,1 1,64 18,0 64,3 8,4 0,83 41,7 34,4 14,8 1,66 17,8 65,6 8,4 0,84 40,7 34,5 14,4 1,68 17,7 66,9 8,4 0,85 39,7 34,5 14,1 1,70 17,6 68,1 8,4 0,86 38,9 34,6 13,9 1,72 17,5 69,3 8,4 0,87 38,1 34,7 13,6 1,74 17,4 70,5 8,4 0,88 37,3 34,8 13,4 1,76 17,3 71,7 8,3 0,89 36,5 34,9 13,1 1,78 17,2 72,8 8,3 0,90 35,7 35,0 12,9 1,80 17,0 74,0 8,3 0,91 35,1 35,1 12,7 1,82 16,9 75,5 8,3 0,92 34,5 35,3 12,5 1,84 16,8 77,0 8,3 0,93 33,9 35,5 12,3 1,86 16,8 78,5 8,3 0,94 33,3 35,6 12,1 1,88 16,7 80,1 8,2 0,95 32,7 35,8 11,9 1,90 16,6 81,7 8,2 0,96 32,2 36,0 11,8 1,92 16,6 83,2 8,2 0,97 31,6 36,2 11,6 1,94 16,6 84,7 8,2 0,98 31,0 36,3 11,5 1,96 16,5 86,2 8,2 0,99 30,4 36,5 11,3 1,98 16,5 87,7 8,2 1,00 29,9 36,7 11,2 2,00 16,5 89,2 8,2

x

xx m

lpM

2

=y

xy m

lpM

2

=x

xx n

lpX

2

−=

Page 31: Apostila Completa - Concreto Armado

31

lx

LAJES MACIÇAS RETANGULARES CARGA UNIFORMEMENTE DISTRIBUÍDA

TABELA DE MARCUS: CASO 3

ly/lx mx my nx ny ly/lx mx my nx ny 1,00 37,1 37,1 16,0 16,0 1,50 20,6 46,4 9,6 21,6 1,01 36,5 37,2 15,7 16,0 1,51 20,5 46,8 9,5 21,8 1,02 35,9 37,2 15,4 16,0 1,52 20,4 47,1 9,5 22,0 1,03 35,3 37,3 15,1 16,1 1,53 20,3 47,5 9,4 22,2 1,04 34,7 37,3 14,9 16,1 1,54 20,2 47,8 9,4 22,4 1,05 34,1 37,4 14,6 16,1 1,55 20,0 48,2 9,4 22,6 1,06 33,5 37,4 14,4 16,2 1,56 19,9 48,5 9,3 22,8 1,07 32,9 37,5 14,1 16,2 1,57 19,8 48,9 9,3 23,0 1,08 32,3 37,5 13,9 16,2 1,58 19,7 49,2 9,2 23,2 1,09 31,7 37,6 13,7 16,3 1,59 19,6 49,6 9,2 23,4 1,10 31,1 37,6 13,5 16,3 1,60 19,5 49,9 9,2 23,7 1,11 30,6 37,7 13,3 16,3 1,61 19,4 50,3 9,2 23,9 1,12 30,2 37,8 13,1 16,4 1,62 19,3 50,7 9,1 24,1 1,13 29,8 38,0 12,9 16,5 1,63 19,2 51,1 9,1 24,3 1,14 29,4 38,1 12,8 16,6 1,64 19,1 51,4 9,1 24,5 1,15 29,0 38,2 12,6 16,7 1,65 19,0 51,8 9,1 24,8 1,16 28,6 38,4 12,4 16,7 1,66 19,0 52,2 9,0 25,0 1,17 28,2 38,5 12,3 16,8 1,67 18,9 52,6 9,0 25,2 1,18 27,8 38,6 12,2 16,9 1,68 18,8 53,0 9,0 25,4 1,19 27,4 38,8 12,0 17,0 1,69 18,7 53,4 9,0 25,6 1,20 27,0 38,9 11,9 17,1 1,70 18,6 53,8 8,9 25,9 1,21 26,7 39,1 11,8 17,2 1,71 18,5 54,2 8,9 26,1 1,22 26,4 39,3 11,6 17,3 1,72 18,4 54,7 8,9 26,4 1,23 26,1 39,5 11,5 17,4 1,73 18,4 55,1 8,9 26,6 1,24 25,9 39,7 11,4 17,6 1,74 18,3 55,6 8,9 26,9 1,25 25,7 39,9 11,3 17,7 1,75 18,2 56,0 8,8 27,1 1,26 25,4 40,0 11,2 17,8 1,76 18,2 56,5 8,8 27,4 1,27 25,1 40,2 11,1 17,9 1,77 18,1 56,9 8,8 27,6 1,28 24,8 40,4 11,0 18,0 1,78 18,0 57,4 8,8 27,9 1,29 24,5 40,6 10,9 18,1 1,79 18,0 57,8 8,8 28,1 1,30 24,2 40,8 10,8 18,3 1,80 17,9 58,2 8,8 28,4 1,31 24,0 41,0 10,7 18,4 1,81 17,8 58,7 8,8 28,6 1,32 23,8 41,3 10,6 18,6 1,82 17,8 59,2 8,7 28,9 1,33 23,6 41,5 10,6 18,7 1,83 17,7 59,6 8,7 29,2 1,34 23,4 41,8 10,5 18,9 1,84 17,7 60,1 8,7 29,5 1,35 23,2 42,0 10,4 19,0 1,85 17,6 60,6 8,7 29,7 1,36 23,0 42,3 10,4 19,2 1,86 17,6 61,0 8,7 30,0 1,37 22,8 42,5 10,3 19,3 1,87 17,5 61,5 8,7 30,3 1,38 22,6 42,8 10,2 19,5 1,88 17,5 62,0 8,6 30,6 1,39 22,3 43,0 10,1 19,6 1,89 17,4 62,4 8,6 30,9 1,40 22,1 43,3 10,1 19,8 1,90 17,4 62,9 8,6 31,2 1,41 22,0 43,6 10,0 19,9 1,91 17,3 63,4 8,6 31,4 1,42 21,8 43,9 10,0 20,1 1,92 17,3 63,9 8,6 31,7 1,43 21,7 44,2 9,9 20,3 1,93 17,3 64,4 8,6 32,0 1,44 21,5 44,5 9,9 20,5 1,94 17,2 64,9 8,6 32,2 1,45 21,4 44,8 9,8 20,6 1,95 17,2 65,4 8,6 32,5 1,46 21,2 45,3 9,8 20,8 1,96 17,1 65,9 8,5 32,8 1,47 21,1 45,4 9,7 21,0 1,97 17,1 66,4 8,5 33,0 1,48 20,9 45,7 9,7 21,2 1,98 17,0 66,9 8,5 33,3 1,49 20,8 46,0 9,6 21,4 1,99 17,0 67,4 8,5 33,6 1,50 20,6 46,4 9,6 21,6 2,00 17,0 67,9 8,5 33,9

x

xx m

lpM

2

=y

xy m

lpM

2

=x

xx n

lpX

2

−=y

xy n

lpX

2

−=

Page 32: Apostila Completa - Concreto Armado

32

lx

LAJES MACIÇAS RETANGULARES CARGA UNIFORMEMENTE DISTRIBUÍDA

TABELA DE MARCUS: CASO 4

ly/lx mx my nx ny ly/lx mx my nx ny 0,50 136,1 49,9 50,4 1,00 37,5 55,7 14,4 0,51 130,4 49,3 47,4 1,02 36,8 57,0 14,2 0,52 124,6 48,6 44,7 1,04 36,2 58,3 14,1 0,53 118,9 48,0 42,4 1,06 35,5 59,6 14,0 0,54 113,1 47,3 40,3 1,08 34,8 60,9 13,8 0,55 107,4 46,6 38,2 1,10 34,2 62,2 13,6 0,56 103,4 46,3 36,3 1,12 33,7 63,9 13,5 0,57 99,5 45,9 34,8 1,14 33,2 65,6 13,5 0,58 95,5 45,6 33,2 1,16 32,8 67,2 13,4 0,59 91,6 45,2 31,8 1,18 32,3 68,9 13,3 0,60 87,6 44,8 30,5 1,20 31,9 70,6 13,2 0,61 84,8 44,6 29,4 1,22 31,6 72,4 13,1 0,62 82,0 44,5 28,2 1,24 31,3 74,3 13,0 0,63 79,3 44,3 27,3 1,26 31,0 76,0 13,0 0,64 76,6 44,2 26,3 1,28 30,7 77,8 12,9 0,65 73,8 44,0 25,4 1,30 30,3 79,7 12,9 0,66 71,8 44,0 24,7 1,32 30,1 81,7 12,8 0,67 69,8 44,0 23,9 1,34 29,9 83,7 12,8 0,68 67,7 44,1 23,2 1,36 29,7 85,7 12,7 0,69 65,7 44,1 22,6 1,38 29,5 87,7 12,6 0,70 63,7 44,1 22,0 1,40 29,2 89,7 12,6 0,71 62,2 44,3 21,4 1,42 29,1 91,9 12,6 0,72 60,7 44,4 21,0 1,44 28,9 94,1 12,6 0,73 59,2 44,6 20,4 1,46 28,7 96,3 12,5 0,74 57,7 44,7 20,0 1,48 28,5 98,5 12,5 0,75 56,2 44,9 19,6 1,50 28,3 100,7 12,5 0,76 55,0 45,1 19,2 1,52 28,1 103,1 12,5 0,77 53,8 45,4 18,9 1,54 28,0 105,5 12,4 0,78 52,6 45,6 18,5 1,56 27,9 107,9 12,4 0,79 51,5 45,9 18,2 1,58 27,7 110,3 12,4 0,80 50,4 46,2 17,9 1,60 27,6 112,6 12,4 0,81 49,5 46,5 17,6 1,62 27,5 115,2 12,4 0,82 48,6 46,9 17,3 1,64 27,4 117,8 12,3 0,83 47,8 47,2 17,1 1,66 27,3 120,4 12,3 0,84 46,9 47,6 16,8 1,68 27,2 122,9 12,3 0,85 46,0 48,0 16,6 1,70 27,1 125,4 12,3 0,86 45,3 48,4 16,4 1,72 27,0 128,1 12,3 0,87 44,6 48,9 16,2 1,74 27,0 130,8 12,3 0,88 43,9 49,3 16,0 1,76 26,9 133,5 12,3 0,89 43,2 49,8 15,9 1,78 26,8 136,3 12,3 0,90 42,5 50,2 15,7 1,80 26,7 139,1 12,2 0,91 42,0 50,7 15,5 1,82 26,6 143,0 12,2 0,92 41,4 51,2 15,4 1,84 26,5 145,9 12,2 0,93 40,9 51,7 15,2 1,86 26,5 148,8 12,2 0,94 40,3 52,2 15,1 1,88 26,4 151,7 12,2 0,95 39,7 52,8 14,9 1,90 26,4 153,6 12,2 0,96 39,2 53,3 14,8 1,92 26,3 156,7 12,2 0,97 38,8 53,9 14,7 1,94 26,3 159,7 12,2 0,98 38,3 54,6 14,6 1,96 26,2 162,8 12,2 0,99 37,9 55,1 14,5 1,98 26,1 165,8 12,2 1,00 37,5 55,7 14,4 2,00 26,1 168,9 12,1

x

xx m

lpM

2

=y

xy m

lpM

2

=x

xx n

lpX

2

−=

Page 33: Apostila Completa - Concreto Armado

33

lx

LAJES MACIÇAS RETANGULARES CARGA UNIFORMEMENTE DISTRIBUÍDA

TABELA DE MARCUS: CASO 5

ly/lx mx my nx ny ly/lx mx my nx ny 0,50 246,4 71,5 108,1 35,6 1,00 44,2 50,6 18,0 24,0 0,51 234,5 69,8 100,8 34,7 1,02 43,1 51,3 17,6 24,3 0,52 222,6 68,1 94,4 33,8 1,04 42,0 52,0 17,2 24,7 0,53 210,7 66,4 88,2 32,9 1,06 40,9 52,7 16,8 25,1 0,54 198,8 64,7 82,7 32,1 1,08 39,9 53,4 16,4 25,5 0,55 187,0 63,0 77,3 31,3 1,10 38,9 54,0 16,1 25,9 0,56 177,3 61,8 72,6 30,6 1,12 38,1 54,9 15,9 26,4 0,57 167,6 60,6 68,5 29,9 1,14 37,4 55,8 15,6 26,9 0,58 157,9 59,4 64,8 29,2 1,16 36,7 56,7 15,4 27,4 0,59 148,2 58,2 61,5 28,6 1,18 36,0 57,6 15,1 28,0 0,60 138,6 57,1 58,2 28,0 1,20 35,3 58,5 14,9 28,6 0,61 132,9 56,4 55,3 27,5 1,22 34,8 59,7 14,7 29,2 0,62 127,2 55,8 52,3 27,0 1,24 34,3 60,8 14,5 29,8 0,63 121,5 55,1 49,9 26,5 1,26 33,8 61,9 14,4 30,4 0,64 115,9 54,3 47,6 26,1 1,28 33,3 63,1 14,3 31,1 0,65 110,3 53,5 45,6 25,7 1,30 32,8 64,2 14,1 31,8 0,66 106,3 52,9 43,6 25,3 1,32 32,4 65,4 14,0 32,5 0,67 102,3 52,4 41,7 25,0 1,34 32,0 66,7 13,9 33,2 0,68 98,4 52,0 40,0 24,7 1,36 31,6 68,0 13,8 34,0 0,69 94,5 51,4 38,5 24,4 1,38 31,3 69,3 13,7 34,7 0,70 90,6 50,9 37,0 24,1 1,40 31,0 70,5 13,6 35,5 0,71 87,8 50,6 35,7 23,0 1,42 30,7 71,9 13,5 36,3 0,72 85,0 50,2 34,4 23,7 1,44 30,4 73,3 13,4 37,1 0,73 82,2 49,9 33,2 23,5 1,46 30,1 74,8 13,3 37,9 0,74 79,4 49,5 32,0 23,3 1,48 29,9 76,2 13,3 38,7 0,75 76,6 49,2 30,9 23,2 1,50 29,7 77,7 13,2 39,5 0,76 74,5 49,1 30,0 23,1 1,52 29,5 79,3 13,1 40,4 0,77 72,4 48,9 29,0 23,0 1,54 29,3 80,9 13,1 41,3 0,78 70,3 48,8 28,2 22,9 1,56 29,1 82,5 13,0 42,2 0,79 68,2 48,6 27,4 22,8 1,58 28,9 84,1 13,0 43,1 0,80 66,2 48,4 26,7 22,7 1,60 28,7 85,7 12,9 44,0 0,81 64,6 48,4 26,0 22,6 1,62 28,5 87,4 12,9 44,9 0,82 63,0 48,3 25,3 22,6 1,64 28,3 89,1 12,8 45,8 0,83 61,5 48,3 24,7 22,6 1,66 28,2 90,8 12,8 46,7 0,84 60,0 48,2 24,0 22,6 1,68 28,1 92,5 12,8 47,6 0,85 58,5 48,2 23,5 22,6 1,70 28,0 94,3 12,7 48,5 0,86 57,3 48,3 23,0 22,7 1,72 27,8 96,2 12,7 49,5 0,87 56,1 48,3 22,5 22,7 1,74 27,7 98,1 12,7 50,5 0,88 54,9 48,4 22,0 22,8 1,76 27,6 100,0 12,7 51,5 0,89 53,7 48,4 21,6 22,8 1,78 27,5 101,9 12,6 52,6 0,90 52,5 48,5 21,1 22,8 1,80 27,4 103,7 12,6 53,7 0,91 51,5 48,7 20,7 22,9 1,82 27,3 105,0 12,5 54,9 0,92 50,6 48,9 20,4 23,0 1,84 27,2 107,7 12,5 56,1 0,93 49,7 49,0 20,0 23,1 1,86 27,1 109,7 12,5 57,3 0,94 48,8 49,2 19,7 23,2 1,88 27,0 111,7 12,5 58,5 0,95 47,9 49,4 19,4 23,3 1,90 26,9 113,7 12,5 59,8 0,96 47,1 49,6 19,1 23,5 1,92 26,8 115,9 12,4 61,1 0,97 46,3 49,9 18,8 23,6 1,94 26,7 118,1 12,4 62,5 0,98 45,6 50,1 18,5 23,8 1,96 26,6 120,2 12,4 63,9 0,99 44,9 50,4 18,2 23,9 1,98 26,5 122,3 12,4 65,3 1,00 44,2 50,6 18,0 24,0 2,00 26,5 124,4 12,4 66,7

x

xx m

lpM

2

=y

xy m

lpM

2

=x

xx n

lpX

2

−=y

xy n

lpX

2

−=

Page 34: Apostila Completa - Concreto Armado

34

lx

LAJES MACIÇAS RETANGULARES CARGA UNIFORMEMENTE DISTRIBUÍDA

TABELA DE MARCUS: CASO 6

ly/lx mx my nx ny ly/lx mx my nx ny 1,00 55,7 55,7 24,0 24,0 1,50 32,0 72,2 14,4 32,3 1,01 54,8 55,8 23,6 24,0 1,51 31,9 72,8 14,3 32,6 1,02 53,9 55,9 23,1 24,0 1,52 31,7 73,4 14,3 32,9 1,03 53,0 56,0 22,7 24,1 1,53 31,6 74,0 14,2 33,2 1,04 52,1 56,0 22,3 24,1 1,54 31,4 74,6 14,2 33,6 1,05 51,2 56,1 21,9 24,2 1,55 31,3 75,2 14,1 33,9 1,06 50,3 56,2 21,7 24,2 1,56 31,1 75,8 14,0 34,2 1,07 49,4 56,3 21,2 24,3 1,57 31,0 76,4 14,0 34,5 1,08 48,5 56,4 20,9 24,3 1,58 30,8 77,0 14,0 34,9 1,09 47,6 56,5 20,5 24,4 1,59 30,6 77,6 13,9 35,2 1,10 46,8 56,6 20,2 24,4 1,60 30,5 78,2 13,8 35,5 1,11 46,2 56,8 20,0 24,5 1,61 30,4 78,8 13,8 35,8 1,12 45,6 57,0 19,7 24,6 1,62 30,3 79,5 13,7 36,1 1,13 45,0 57,3 19,4 24,7 1,63 30,2 80,2 13,7 36,5 1,14 44,4 57,5 19,2 24,8 1,64 30,1 80,8 13,7 36,8 1,15 43,8 57,7 18,9 25,0 1,65 30,0 81,5 13,6 37,1 1,16 43,2 58,0 18,7 25,1 1,66 29,9 82,2 13,6 37,5 1,17 42,6 58,2 18,4 25,2 1,67 29,8 82,8 13,6 37,8 1,18 42,0 58,4 18,2 25,3 1,68 29,7 83,5 13,5 38,1 1,19 41,4 58,7 18,0 25,4 1,69 29,6 84,2 13,5 38,5 1,20 40,9 58,9 17,8 25,6 1,70 29,4 84,9 13,5 38,8 1,21 40,5 59,2 17,6 25,7 1,71 29,3 85,6 13,4 39,1 1,22 40,1 59,6 17,4 25,9 1,72 29,2 86,4 13,4 39,5 1,23 39,7 59,9 17,3 26,0 1,73 29,1 87,1 13,4 39,9 1,24 39,3 60,3 17,1 26,2 1,74 29,0 87,9 13,3 40,2 1,25 38,9 60,6 16,9 26,4 1,75 29,0 88,6 13,3 40,6 1,26 38,5 61,0 16,8 26,6 1,76 28,9 89,4 13,3 41,0 1,27 38,1 61,3 16,6 26,8 1,77 28,8 90,1 13,2 41,3 1,28 37,7 61,7 16,5 27,0 1,78 28,7 90,9 13,2 41,7 1,29 37,3 62,0 16,4 27,2 1,79 28,6 91,6 13,2 42,1 1,30 36,9 62,4 16,2 27,4 1,80 28,5 92,5 13,1 42,5 1,31 36,6 62,8 16,1 27,6 1,81 28,4 93,2 13,1 42,9 1,32 36,3 63,3 16,0 27,8 1,82 28,3 94,0 13,1 43,3 1,33 36,0 63,7 15,9 28,0 1,83 28,2 94,7 13,1 43,8 1,34 35,7 64,2 15,8 28,3 1,84 28,1 95,5 13,0 44,2 1,35 35,5 64,6 15,6 28,5 1,85 28,0 96,2 13,0 44,6 1,36 35,2 65,0 15,5 28,7 1,86 28,0 97,0 13,0 45,1 1,37 34,9 65,5 15,4 29,0 1,87 27,9 97,7 13,0 45,5 1,38 34,6 65,9 15,3 29,3 1,88 27,8 98,5 13,0 45,9 1,39 34,3 66,4 15,2 29,5 1,89 27,7 99,2 12,9 46,4 1,40 34,1 66,8 15,1 29,7 1,90 27,7 100,0 12,9 46,8 1,41 33,9 67,3 15,0 30,0 1,91 27,6 100,9 12,9 47,2 1,42 33,7 67,9 15,0 30,2 1,92 27,6 101,8 12,9 47,6 1,43 33,5 68,4 14,9 30,5 1,93 27,5 102,7 12,9 48,0 1,44 33,3 69,0 14,8 30,7 1,94 27,5 103,6 12,8 48,4 1,45 33,1 69,5 14,8 31,0 1,95 27,5 104,5 12,8 48,8 1,46 32,9 70,0 14,7 31,3 1,96 27,4 105,4 12,8 49,2 1,47 32,7 70,6 14,6 31,5 1,97 27,4 106,3 12,8 49,6 1,48 32,5 71,1 14,5 31,8 1,98 27,3 107,3 12,8 50,0 1,49 32,0 71,7 14,5 32,0 1,99 27,3 108,1 12,8 50,4 1,50 32,0 72,2 14,4 32,3 2,00 27,3 109,1 12,7 50,8

x

xx m

lpM

2

=y

xy m

lpM

2

=x

xx n

lpX

2

−=y

xy n

lpX

2

−=

Page 35: Apostila Completa - Concreto Armado

35

σ

ε

LAJES: Cálculo das Solicitações Método das Charneiras Plásticas (Ruptura)

A análise elástica de uma estrutura é importante para estudar o seu comportamento sob a ação das cargas de serviço. Entretanto, se o carregamento aumentar em direção à carga última, as seções mais solicitadas da estrutura se plastificam e formam rótulas plásticas que transformam a estrutura em um mecanismo (situação limite que pode conduzir a estrutura ao colapso sob o menor acréscimo de carga). Princípios em que se baseia o Método de Ruptura: O material é considerado rígido-plástico perfeito, ou seja, pode-se desprezar as deformações elásticas em vista das deformações plásticas, na ruptura. O movimento de cada parte da laje é apenas rotação, cujos eixos são determinados pelas condições de apoio, pela forma e pela carga da laje. A linha de ruptura que separa duas partes da laje passa pelo ponto de interseção dos seus respectivos eixos de rotação. Um apoio retilíneo, é um eixo de rotação de uma parte da laje. Quando a parte da laje está sustentada por um apoio isolado, seu eixo de rotação passa por esse ponto. Pode-se determinar a forma de ruptura da laje sempre que se conheça os eixos de rotação de cada parte e seu respectivo ângulo de giro.

Page 36: Apostila Completa - Concreto Armado

36

Métodos para se obter a configuração de equilíbrio: Método do equilíbrio Método dos trabalhos virtuais Método das tentativas sucessivas Quadro comparativo dos Momentos Fletores em lajes armadas em uma só direção. A : Apoio E : Engaste V : Vão Condições de Contorno Regime Elástico Regime Rígido-Plástico

2

8

2

plR

plM

A

V

=

=

2

8

2

plR

plM

A

V

=

=

l

MplR

l

MplR

plM

plM

EA

EE

VE

−=∴+=

=∴−=

22

128

9

8

22

l

MplR

l

MplR

plM

plM

EA

EE

VE

−=∴+=

=∴−=

22

7,117,11

22

2

2412

22

plR

plM

plM

E

VE

=

=∴−=

2

1616

22

plR

plM

plM

E

VE

=

=∴−=

plR

plM

E

E

=

−=2

2

plR

plM

E

E

=

−=2

2

p

l

p

l

p

l

p

l

Page 37: Apostila Completa - Concreto Armado

37

Exemplo do método de equilíbrio: armadura isótropa - armaduras isótropas: iguais nas duas direções; - armaduras ortótropas: diferentes nas duas direções.

Eliminando “m”: % � �4� JK�- > 12�- L �M

De posse de “x”, calcula-se “m”. Se a armadura for ortótropa: N��O�P: Algumas alterações:

1. a dimensão na direção x deve ser multiplicada pelo fator Q � RST não mudando na

direção y e sendo Oo coeficiente de ortotropia; 2. a carga distribuída se mantém com o mesmo valor; 3. a nova laje é calculada como isótropa.

LAJES RETANGULARES COM CARGA UNIFORME E COM ARMADURA ORTÓTROPA. As lajes ortótropas apresentam armaduras distintas nas direções dos vãos �T��U , isto é, V�T W V�UX���*T W *U. Normalmente as lajes com armadura ortótropa são aquelas que melhor se adaptam às condições econômicas e de limitação de abertura de fissuras. LAJES RETANGULARES COM CARGA UNIFORME E COM ARMADUR A ORTÓTROPA. As lajes ortótropas apresentam armaduras distintas nas direções dos vãos �T��U , isto é, V�T W V�UX���*T W *U. Normalmente as lajes com armadura ortótropa são aquelas que melhor se adaptam às condições econômicas e de limitação de abertura de fissuras. �TY ⇒ &��X ���G����'ã� ��#Z���G��� �çã�x. �(E⇒&��X ���G����'ã� ��#Z���G��� �çã�y.

X: &� =��������#�G��G���]�. �:����G������� X� #G�������&��X ���G��. �. � � X .<� L %@ �2 . �4 > �2 % 12 . �60

�. � � X�%2 . %3

* em torno de “b”:

* em torno de “a”:

Page 38: Apostila Completa - Concreto Armado

38

X � = > ? ⇒ &� =������<2//�-@. *T ⇒ ����G������� X�����'�G��� �çã�%. *U ⇒ ����G������� X�����'�G��� �çã�(.

O ⇒ &����&��G����� ��� �X�� ∴ O � _�TY�UY`-

�S, �-, �, �� ⇒ &����&��G������G=������G��.

�S � aS*T ……………… . . �� � a�*U

CÁLCULO DOS MOMENTOS FLETORES:

*T � X. c�UYd-8 e1 > f�UY�TYg

- > f�TY�UYg-h

*U � O*T aS � *T. �S

a- � *U. �- a � *T. � a� � *U. ��

0,7 i � i 2,0

� � 0

VARIAÇÃO DO COEFICIENTE DE ENGASTAMENTO: a) borda engastada:

b) borda apoiada ou rotulada:

�TY � 2�TK1 > �S > K1 > �

�UY � 2�UK1 > �- > K1 > ��

Page 39: Apostila Completa - Concreto Armado

39

CÁLCULO DAS REAÇÕES DE APOIO: a) quando *T > *U

b) quando *T < *U

l � m6.*UX

lS = X. �TY f1 − l�UYg2

l- = X. l2

l = m6.*TX

l- = X. �UY J1 − l�TYM2

lS = X. l2

ES = lS. K1 + �S E- = l-. K1 + �- E = lS. K1 + � E� = l-. K1 + ��

Page 40: Apostila Completa - Concreto Armado

40

DIAGRAMA DE BLOCOS: Cálculo dos momentos fletores

�T, �U, X �S, �-, �, ��

VS � K1 > �S ∴ V- � K1 > �- V � K1 > � ∴ V� � K1 > ��

�TY � 2�TVS > V ∴ �UY � 2�UV- > V�

DS � c�TY �UY⁄ d- ∴ D- � c�UY �TY⁄ d-

*T � X�UY-8<1 > DS > D-@ *U � DS*T

aS � L�S*T ∴ a- � L�-*U

a � L�*T ∴ a� � ��*U

Page 41: Apostila Completa - Concreto Armado

41

DIAGRAMA DE BLOCOS: Cálculo das reações de apoio

Sim Não *T > *U

l � m6*TX

lS = Xl2

l- = 12X�UY f1 − l�TYg

l = m6*UX

lS = 12X�TY _1 − l�UY`

l- = Xl2

ES = lSVS E- = l-V- E = lSV E� = l-V�

Page 42: Apostila Completa - Concreto Armado

42

DIMENSIONAMENTO E VERIFICAÇÃO DE ELEMENTOS LINEARES . - item 17.2: Elementos lineares sujeitos a solicitações normais – ELU - item 17.2.1: Introdução. - item 17.2.2: Hipóteses básicas (a, b, d, e, f, g). Domínios de deformações no estado-limite último em uma seção transversal

Reta “a”: tração uniforme.

10sε = ‰ e 10cε = ‰ ; x = −∞ .

Domínio 1: tração não uniforme, sem compressão.

- início: 10sε = ‰ e 10cε = ‰ ; x = −∞ → reta a → tração uniforme;

- término: 10sε = ‰ e 0cε = ; % � 0;

- o estado-limite último é caracterizado pela deformação 10sε = ‰ ;

- a reta de deformação gira em torno do ponto A (10sε = ‰ );

- a linha neutra (LN) é externa à seção transversal; - a seção resistente é composta por aço, não havendo participação do concreto que se encontra totalmente tracionado e, portanto, fissurado; e

Page 43: Apostila Completa - Concreto Armado

43

- tração simples (a resultante das tensões atua no centro de gravidade da armadura – todas as fibras têm a mesma deformação de tração – uniforme, reta “a” ou tração composta (tração excêntrica – não-uniforme; as deformações de tração são diferentes em cada fibra) em toda a seção. Domínio 2: flexão simples ou composta.

- início: 10sε = ‰ e 0cε = ; % � 0;

- término: 10sε = ‰ e 3,5cε = ‰ : % � 0,259�;

- o estado-limite último é caracterizado pela deformação 10sε = ‰ (grandes

deformações); - a reta de deformação gira em torno do ponto A (10sε = ‰ );

- o concreto não alcança a ruptura ( 3,5cε < ‰ );

- a reta de deformação continua girando em torno do pto. A ( 10sε = ‰ );

- a linha neutra (LN) corta a seção transversal (tração e compressão); e - a seção resistente é composta por aço tracionado e concreto comprimido.

Domínio 3: flexão simples (seção subarmada) ou composta.

- início: 10sε = ‰ e 3,5cε = ‰; % � 0,259�;

- término: s ydε ε= (deformação específica de

escoamento do aço) e 3,5cε = ‰; % � %o�$

- o estado-limite último é caracterizado por 3,5cε = ‰ (deformação de ruptura do

concreto); - a linha neutra corta a seção transversal (tração e compressão): na fronteira entre os domínios 3 e 4, sua altura (% � %o�$) é variável com o tipo de aço;

p&% � p�� L %

3,5‰% � 10‰�L %

3,5<� L %@ � 10%

3,5� � 13,5%

2% � %� � 3,513,5 � 0,259

3,5‰%��� � p(�� L %���

3,5‰<� L %o�$@ � pUr. %o�$

3,5‰� � c3,5‰> pUrd%o�$

2%��� � %���� � 3,5‰3,5‰> p(�

Page 44: Apostila Completa - Concreto Armado

44

- a seção resistente é composta por aço tracionado e por concreto comprimido; - a ruptura do concreto ocorre simultaneamente ao escoamento da armadura: situação ideal, pois os dois materiais atingem sua capacidade resistente máxima (são aproveitados integralmente); - a ruína ocorre com aviso (grandes deformações); e - as peças que chegam ao estado-limite último no domínio 3 são denominadas “subarmadas” (ou “normalmente armadas”). Valores de pUr e de 2To�$ para os diferentes aços:

- aço CA-25 e CA-50: pUr � �Ur Ast ∴ As � 210.000*8�

- aço CA-60: pUr � 2,0‰> �Ur Ast

Aço �Ur pUr 2To�$ CA-25 217,4 1,035‰ 0,772 CA-50 434,8 2,070‰ 0,628 CA-60 521,7 4,484‰ 0,438 Domínio 4 – flexão simples (seção superarmada) ou composta.

- início: s ydε ε= e 3,5cε = ‰; % � %o�$;

- término: us � 0 e 3,5cε = ‰; % � �;

- o estado-limite último é caracterizado por 3,5cε = ‰ (deformação de ruptura do

concreto); - a linha neutra corta a seção transversal (tração e compressão); - no estado-limite último, a deformação da armadura é inferior a ydε

(a tensão

do aço não atinge seu valor de escoamento); - a seção resistente é composta por aço tracionado e concreto comprimido; - a ruptura é frágil, sem aviso, pois o concreto se rompe sem que a armadura atinja sua deformação de escoamento (não há grandes deformações do aço nem fissuração do concreto que sirvam de advertência); - a seção necessita de duas armaduras: uma tracionada e uma comprimida; e - as peças que chegam ao estado-limite último no domínio 4 são denominadas “superarmadas” e são antieconômicas, pois o aço não é utilizado com toda sua capacidade resistente: se possível, devem ser evitadas.

Page 45: Apostila Completa - Concreto Armado

45

Domínio 4ª: flexão composta com armaduras comprimidas.

- início: 0sε = e 3,5cε = ‰; % � �;

- término: 0sε < (compressão) e 3,5cε = ‰: % � ;

- o estado-limite último é caracterizado por 3,5cε = ‰ (deformação de ruptura do

concreto); - a reta de deformação continua girando em torno do ponto B ( 3,5cε = ‰);

- a linha neutra corta a seção transversal na região de cobrimento da armadura menos comprimida; - a seção resistente é composta por aço e concreto comprimidos; e - a ruptura é frágil, sem aviso, pois o concreto se rompe com o encurtamento da armadura (não há fissuração nem deformação que sirvam de advertência). Domínio 5: compressão não-uniforme, sem tração.

- início: 0sε < e 3,5cε = ‰;% � ;

- término: ps � 2,0‰(compressão), 2,0cε = ‰: % � >∞→ reta b → compressão

uniforme; - o estado-limite último é caracterizado por 3,5cε = ‰ (na flexão-compressão) e

2,0cε = ‰(na compressão uniforme);

- a reta de deformação gira em torno do ponto C, distante (3 7).h da borda mais comprimida; - a linha neutra não corta a seção transversal, que está inteiramente comprimida; - a seção resistente é composta por aço e concreto comprimidos;

1,5‰% � 2,0‰ L % 2,0% � 1,5< L %@ <2,0 > 1,5@% � 1,5 3,5% � 1,5

% � 1,53,5 � 37

Page 46: Apostila Completa - Concreto Armado

46

d

d'

Rst

Rsc

Md Md

0,85fcd

Rccx y

ε1

h

Vsw , x-

Vs, xS

- compressão simples (uniforme a reta b) ou composta (excêntrica); e - a ruptura é frágil, sem aviso, pois o concreto se rompe com o encurtamento da armadura (não há fissuração nem deformação que sirvam de advertência).

Reta “b”: compressão uniforme. ps = 2,0‰(compressão), 2,0cε = ‰: % = +∞.

Para mais detalhes ver: � mozila; � projeto FAPESP:

� animações desenvolvidas; � domínios de deformação; � hipóteses de ruptura na flexão; � modelo resistente na flexão: armadura simples; � modelo resistente na flexão: armadura dupla.

FLEXÃO SIMPLES: Dimensionamento e verificação de seções retangulares. *r = y�*� Momento fletor de cálculo �z, ℎ, � Dimensões da seção transversal ���, �U� Tensões características dos materiais Vs, Vsw Armaduras incógnitas Equações de equilíbrio: E�� + Es� − Es� = 0 E��<� − 0,5(@ + Es�<� − �w@ − *r = 0 0,85��r ∙ �z ∙ ( + Vswx- − VsxS = 0 0,85��r ∙ �z ∙ (<� − 0,5(@ + Vswx-<� − �w@ − *r = 0

a) Armadura simples: Vsw = 0 0,85��r ∙ �z ∙ ( − VsxS = 0<1@ 0,85��r ∙ �z ∙ (<� − 0,5(@ − *r = 0<2@

3,5 � ��⁄

Page 47: Apostila Completa - Concreto Armado

47

A's

As

d'

12

34

xlim

dh

|}~

A's

As

d'

x

dh

De (2) temos: 0,85��r ∙ �z ∙ �. ( − 0,425��r ∙ �z ∙ (- −*r = 0 0,425��r ∙ �z ∙ (- − 0,85��r ∙ �z ∙ � ∙ ( + *r = 0 ( = 0,85��r ∙ �z ∙ � ± K<0,85��r ∙ �z ∙ �@- − 4 ∙ 0,425��r ∙ �z ∙ *r0,85��r ∙ �z

} = � ± m�- − 2,353*r��r ∙ �z = ~�� − m� − �~�, �����~ ∙ �� ∙ ~��

De (1) temos: {na tração �� = �}~} �� = �, ����~ ∙ ���}~ } Limite da armadura simples: De (2): �~ = �, ����~ ∙ �� ∙ }<~ − �, �}@… . . <��@ 3,5‰% = pS� − %

pS = 3,5‰� − %%

Quando *r = *r,o�$: pS = pUr % = %o�$ ( = (o�$ ��G�������íG��3 ��çã�/�E*V�*A/CAVE*V�V Retomando a equação (2a): *r,o�$ = 0,85��r ∙ �z ∙ (o�$<� − 0,5(o�$@ ∴ *��} = �, ��� ∙ ~

3,5‰

pS ≥ pUr % ≤ %o�$ ( ≤ (o�$

( ↑∴ % ↑∴ Vs ↑∴ pS ↓

Validade da equação:

Se *r ↑, então:

3,5‰

Page 48: Apostila Completa - Concreto Armado

48

3,5‰

A's

As

d'

xlim

dh

ε yd

ε 2

*r,o�$ = 0,85��r ∙ �z ∙ 0,82T,o�$ ∙ �c� − 0,5 ∙ 0,82T,o�$�d *r,o�$ = �, ����r ∙ �z ∙ ��,��� ∙ �-c� − �, ���,���d Fazendo: 0,682T,o�$c1 − 0,42T,o�$d = �o�$ �~,��� = ������~ ��~� Valores de ����: Sabendo que: �Ur = �U�1,15 ∴ Vç���V − 25��V − 50 → pUr = �Ur Ast ∴

Vç��V − 60 → pUr = 2‰+ �UrAs

2T,o�$ = 3,5‰pUr + 3,5‰

�}� <*8�@ �}~<*8�@ |}~ (‰) ��,��� ����

CA-25 250 217,4 1,04 0,772 0,363 CA-50 500 434,8 2,07 0,628 0,320 CA-60 600 521,7 4,48 0,438 0,246

b) Armadura dupla: Vsw ≠ 0

0,85��r ∙ �z ∙ (o�$ + Vswx- − VsxS = 0<3@ 0,85��r ∙ �z ∙ (o�$<� − 0,5(o�$@ + Vswx-<� − �w@ − *r = 0<4@ De (4): Vsw = *r − 0,85��r ∙ �z ∙ (o�$<� − 0,5(o�$@x-<� − �w@ = *r −*r,o�$x-<� − �w@

De (3): Vs = 0,85��r ∙ �z ∙ (o�$�Ur + Vswx-�Ur

Valor �� 3,5‰%o�$ = p-%o�$ − �w p- = 3,5‰%o�$ − �w%o�$

Page 49: Apostila Completa - Concreto Armado

49

2T,o�$ = %o�$�

p- = 3,5‰2T,o�$ ∙ � − �w2T,o�$ ∙ �

|� = ¡, �‰��,��� − ~w~��,���

~w ~⁄ CA-25 CA-50 CA-60

0,05 3,27‰ 3,22‰ 3,10‰ 0,10 3,05‰ 2,94‰ 2,70‰ 0,15 2,82‰ 2,66‰ 2,30‰ 0,20 2,59‰ 2,39‰ 1,90‰

>1,04‰ >2,07‰ <4,48‰ OK OK ????

p- = x-As + 145 _ x-�Ur − 0,7`- ∴ �Ur = �U�1,15 ∴ �U� = 600*8�

x- = �U�2%1,15 ¢1,4 − 45�U�1,15%2,1%10£ +m_ 45�U�1,15%2,1%10- − 1,4`- − 4<0,49 − 45p-@¤ x- = 260,8696¥1,2882 + K1,6595 − 1,96 + 180p-¦ x- = 336,0522 + 260,8696K180p- − 0,3005 x- = 336,0522 + 260,8696K0,180p-<‰@ − 0,3005 x- = 336,0522 + 260,8696K0,18<p- − 1,6694@ x- = 336,0522 + 110,6776Kp- − 1,6694 ∴ p-��‰ Vimos que :

p- = 3,5‰2T,o�$ − �w�2T,o�$ = 3,5‰0,438 − �w�0,438 = 3,5‰_1 − 2,28 �w� `

x- = 336,0522 + 110,6776m3,5 f1 − 2,28 �w� g − 1,6694

�� = ¡¡�, ���� + ���, �§§�m�, �¡ − §, ¨¨~w~

x- = �Ur

p- = x-As + 145_ x-�Ur − 0,7`-

Para CA-25 e CA-50:

Para CA-60: x- dependerá de p-

Page 50: Apostila Completa - Concreto Armado

50

~w ~⁄ |� ��(MPa) 0,05 3,10‰ 468,43 0,10 2,70‰ 448,43 0,15 2,30‰ 424,00 0,20 1,90‰ 389,36

Exercícios: Dada uma viga bi-apoiada, seção de 20x45cm, C25, aço CA-50, calcular a armadura(s) necessária(s) se:

a) *� � 1102/� → *r = 1,4%110 = 154,002/� b) *� = 1502/� → *r = 1,4%150 = 210,002/�

Adotar: � = 41&���w = 3&� *r,o�$ = �o�$ ∙ ��r ∙ �z ∙ �- = 0,320% 25%10©S1,4 %20%41- = 19.2112/&� �~,��� = �¨�, ���ª�

a) *r < *r,o�$ → � ���# ����X���. ( = 41

«¬­1 − ®1 − 154%10-0,425 2,5 1,44 %20%41-°± = 41%0,37 = 15,18&�

Vs = 0,85 2,5 1,44 %2050 1,154 ( = 10,60&�²

b) *r > *r,o�$ → � ���# ��#X��

Vsw = 210%10- − 19.21150 1,154 <41 − 3@ = 1,08&�-

(o�$ = 0,8 ∙ 2T,o�$ ∙ � = 0,8%0,628%41 = 20,6&�

Vs = 0,85 2,5 1,44 %2050 1,154 (o�$ + Vsw = 14,38&�² + 1,08 = 15,46&�²

Organização de tabela para dimensionamento. As equações de equilíbrio para armadura simples <Vsw = 0@,são: 0,85��r ∙ �z ∙ ( − VsxS = 0<1@ 0,85��r ∙ �z ∙ (<� − 0,5(@ − *r = 0<2@

�Ur = �U�ys = 6001,15 = 521,74*8�

Para comparar lembremos que, para o aço CA-60,

Page 51: Apostila Completa - Concreto Armado

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kx

kx,lim

0,00

. . .

. .

. . .

. . .

.

k6

fcd . . . . . . . . .

kx

kx,lim

0,00

. . .

. .

. . .

. . .

.

fyd . . . . . . . . .

k3

de (2) com *r � 1,4*�:

( = � �1 − m1 − 1,4��0,425 ∙ �� ∙ ~� ∙ ��r� ∴ ��Z�G�� �� ∙ ~��� = �� ∴ ( = 0,8 ∙ 2T ∙ �

0,8 ∙ 2T ∙ � = � �1 − m1 − 1,40,425 ∙ 2³��r�

m1 − 1,40,425 ∙ 2³��r = 1 − 0,82T → ���'�G����?#�� ������������� ��: 1 − 1,40,425 ∙ 2³��r = <1 − 0,82T@- ∴ 1 − <1 − 0,82T@- = 1,40,425 ∙ ����r

2³ = 1,40,425��rN1 − <1 − 0,82T@-P ∴ 2³ = �<��r �2T@ de (1) com xS = �Ur: Vs = 0,85��r ∙ �z�Ur }

Vs = 0,85��r ∙ �z�Ur 0,8 ∙ 2T ∙ �

multiplicando os dois membros por ~ ��4

Vs �*� = 0,85��r ∙ �z�Ur ∙ 0,82T ∙ � ∙ �*� ∴ ��Z�G�� �� ∙ ~�� = �¡

2 = 0,68�� ∙ ��r ∙ 2T�Ur = 0,68��~�Ur ∙ 2T ∙ 1,40,425��~N1 − <1 − 0,82T@-P 2 = 2,24�Ur ∙ 2T1 − <1 − 0,82T@- 2 = �c�Ur�2Td

Page 52: Apostila Completa - Concreto Armado

52

kx

kx,lim

0,00

. . .

. . .

. .

. . .

.

kx k6 k3

fck . . . . . . . . . fyk . . . . . . . . .

�� � �� ∙ ~���

�� � �¡ ��~

Finalmente:

Page 53: Apostila Completa - Concreto Armado

53

TABELA PARA DIMENSIONAMENTO À FLEXÃO SIMPLES

k

w

M

dbk

2

6 = Unidades: kN e cm d

MkA k

s 3=

Valores de k6 para fck= k3 kx 15,0 20,0 25,0 30,0 35,0 CA-25 CA-50 CA-60 0,01 192,928 144,696 115,757 96,464 82,684 0,0647 0,0323 0,0269 0,02 96,853 72,640 58,112 48,427 41,509 0,0649 0,0325 0,0270 0,03 64,830 48,623 38,898 32,415 27,784 0,0652 0,0326 0,0272 0,04 48,820 36,615 29,292 24,410 20,923 0,0654 0,0327 0,0273 0,05 39,216 29,412 23,529 19,608 16,807 0,0657 0,0329 0,0274 0,06 32,814 24,610 19,688 16,407 14,063 0,0660 0,0330 0,0275 0,07 28,242 21,181 16,945 14,121 12,104 0,0663 0,0331 0,0276 0,08 24,814 18,610 14,888 12,407 10,634 0,0665 0,0333 0,0277 0,09 22,148 16,611 13,289 11,074 9,492 0,0668 0,0334 0,0278 0,10 20,016 15,012 12,010 10,008 8,578 0,0671 0,0335 0,0280 0,11 18,273 13,705 10,964 9,136 7,831 0,0674 0,0337 0,0281 0,12 16,820 12,615 10,092 8,410 7,209 0,0676 0,0338 0,0282 0,13 15,592 11,694 9,355 7,796 6,682 0,0679 0,0340 0,0283 0,14 14,540 10,905 8,724 7,270 6,231 0,0682 0,0341 0,0284 0,15 13,628 10,221 8,177 6,814 5,841 0,0685 0,0343 0,0285 0,16 12,831 9,623 7,699 6,416 5,499 0,0688 0,0344 0,0287 0,17 12,128 9,096 7,277 6,064 5,198 0,0691 0,0345 0,0288 0,18 11,504 8,628 6,902 5,752 4,930 0,0694 0,0347 0,0289 0,19 10,925 8,209 6,567 5,473 4,691 0,0697 0,0348 0,0290 0,20 10,443 7,833 6,266 5,222 4,476 0,0700 0,0350 0,0292 0,21 9,989 7,492 5,994 4,995 4,281 0,0703 0,0352 0,0293 0,22 9,577 7,183 5,746 4,789 4,105 0,0706 0,0353 0,0294 0,23 9,201 6,901 5,521 4,601 3,943 0,0709 0,0355 0,0296 0,24 8,857 6,643 5,314 4,428 3,796 0,0712 0,0356 0,0297 0,25 8,540 6,405 5,124 4,270 3,660 0,0716 0,0358 0,0298 0,26 8,248 6,186 4,949 4,124 3,535 0,0719 0,0359 0,0299 0,27 7,979 5,984 4,787 3,989 3,419 0,0722 0,0361 0,0301 0,28 7,728 5,796 4,637 3,864 3,312 0,0725 0,0363 0,0302 0,29 7,496 5,622 4,497 3,748 3,212 0,0729 0,0364 0,0304 0,30 7,279 5,459 4,367 3,639 3,119 0,0732 0,0366 0,0305 0,31 7,076 5,307 4,246 3,538 3,033 0,0735 0,0368 0,0306 0,32 6,886 5,165 4,132 3,443 2,951 0,0739 0,0369 0,0308 0,33 6,708 5,031 4,025 3,354 2,875 0,0742 0,0371 0,0309 0,34 6,541 4,906 3,925 3,271 2,803 0,0745 0,0373 0,0311 0,35 6,384 4,788 3,830 3,192 2,736 0,0749 0,0374 0,0312 0,36 6,236 4,677 3,741 3,118 2,672 0,0752 0,0376 0,0313 0,37 6,096 4,572 3,657 3,048 2,612 0,0756 0,0378 0,0315 0,38 5,963 4,472 3,578 2,982 2,556 0,0759 0,0380 0,0316 0,39 5,838 4,378 3,503 2,919 2,502 0,0763 0,0382 0,0318 0,40 5,719 4,289 3,431 2,860 2,451 0,0767 0,0383 0,0319 0,41 5,606 4,205 3,364 2,803 2,403 0,0770 0,0385 0,0321 0,42 5,499 4,124 3,299 2,750 2,357 0,0774 0,0387 0,0323 0,43 5,397 4,048 3,238 2,699 2,313 0,0778 0,0389 0,0324 0,44 5,300 3,975 3,180 2,650 2,271 0,0782 0,0391 0,0326 0,45 5,208 3,906 3,125 2,604 2,232 0,0785 0,0393 0,46 5,119 3,840 3,072 2,560 2,194 0,0789 0,0395 0,47 5,035 3,776 3,021 2,518 2,158 0,0793 0,0397 0,48 4,955 3,716 2,973 2,477 2,123 0,0797 0,0399 0,49 4,878 3,658 2,927 2,439 2,090 0,0801 0,0400 0,50 4,804 3,603 2,882 2,402 2,059 0,0805 0,0402 0,51 4,733 3,550 2,840 2,367 2,029 0,0809 0,0405 0,52 4,666 3,499 2,800 2,333 2,000 0,0813 0,0407 0,53 4,601 3,451 2,761 2,301 1,972 0,0817 0,0409 0,54 4,539 3,404 2,723 2,269 1,945 0,0821 0,0411

Page 54: Apostila Completa - Concreto Armado

54

Valores de k6 para fck= k3 kx 15,0 20,0 25,0 30,0 35,0 CA-25 CA-50 CA-60 0,55 4,479 3,359 2,688 2,240 1,920 0,0826 0,0413 0,56 4,422 3,316 2,653 2,211 1,895 0,0830 0,0415 0,57 4,367 3,275 2,620 2,183 1,872 0,0834 0,0417 0,58 4,314 3,235 2,588 2,157 1,849 0,0839 0,0419 0,59 4,263 3,197 2,558 2,132 1,827 0,0843 0,0421 0,60 4,214 3,161 2,528 2,107 1,806 0,0847 0,0424 0,61 4,167 3,125 2,500 2,083 1,786 0,0852 0,0426 0,62 4,121 3,091 2,473 2,061 1,766 0,0856 0.0428 0,63 4,078 3,058 2,447 2,039 1,748 0,0861 0,0430 0,64 4,036 3,027 2,421 2,018 1,730 0,0866 0,65 3,995 2,996 2,397 1,998 1,712 0,0870 0,66 3,956 2,967 2,374 1,978 1,695 0,0875 0,67 3,918 2,939 2,351 1,959 1,679 0,0880 0,68 3,882 2,911 2,329 1,941 1,664 0,0885 0,69 3,847 2,885 2,308 1,923 1,649 0,0890 0,70 3,813 2,860 2,288 1,907 1,634 0,0894 0,71 3,780 2,835 2,268 1,890 1,620 0,0899 0,72 3,748 2,811 2,249 1,874 1,606 0,0904 0,73 3,718 2,788 2,231 1,859 1,593 0,0910 0,74 3,689 2,766 2,213 1,844 1,581 0,0915 0,75 3,660 2,745 2,196 1,830 1,569 0,0920 0,76 3,633 2,725 2,180 1,816 1,557 0,0925 0,77 3,606 2,705 2,164 1,803 1,546 0,0931

NBR 6118:2007 Vãos efetivos: - 14.6.2.4: vãos efetivos de vigas. - 14.7.2.2: vãos efetivos de lajes ou placas. Durabilidade das estruturas: - item 6.4: Agressividade do ambiente. - item 7.4: Qualidade do concreto de cobrimento. Estruturas usuais de edifícios. Aproximações permitidas. - item 14.6.7.1: Vigas contínuas [letras a) e b)] Armaduras longitudinais máximas e mínimas: - item 17.3.5.1: Princípios básicos. - item 17.3.5.2: Valores limites para armaduras longitudinais de vigas. Detalhamento de elementos lineares (vigas): - item 18.3.1: Generalidades. - item 18.3.2: Armadura longitudinal. - item 18.3.5: Armadura de pele. - item 18.3.6: Armadura de suspensão. - item 18.3.7: Armadura de ligação mesa-alma ou talão-alma. Dimensionamento e verificação de lajes: - item 19.3.3: Armaduras longitudinais máximas e mínimas (lajes) - item 19.4: Força cortante em lajes e elementos lineares com �z ≥ 5� Detalhamento de lajes: - item 20.1: Prescrições gerais. - item 20.2: Bordas livres e aberturas.

Page 55: Apostila Completa - Concreto Armado

55

b1

bw

b2

a = L

a = 0,75L

a = 0,60L

a = 2L

L

VIGAS DE SEÇÃO T Ver item 14.6.2.2 (78) da NBR-6118:2007. Podem ocorrer três (3) casos: 0 < y < hf hf < y < ylim ylim < y 1° Caso: 0 < y < hf Equações de equilíbrio:

Resolvendo o sistema:

Limite: de (2) - y = hf; Md = Mo

2° Caso: hf < y < ylim Equações de equilíbrio:

Resolvendo o sistema:

( )( ) ( )

=−−

=−

205,085,0

1085,0

dfcd

ydsfcd

Mydybf

fAybf

yf

bfAe

fdb

Mdy

yd

fcd

s

cdf

d85,0

425,011

2=

−−=

( ) comprimidaestámesaaTodahdhbfM fffcdo ⇒−= 5,085,0

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

=−−+−−

=−+−

405,085,05,085,0

3085,085,0

dwcdffwfcd

ydswcdfwfcd

Mydybfhdhbbf

fAybfhbbf

( )

−−−−= ff

w

f

wcd

d hdhb

b

bf

Mddy 5,01

85,022

( )[ ]ybhbbf

fA wfwf

yd

cds +−= 85,0

bf

bf = bw + 2b1

b1 ≤ 0,10 a ≤ 0,5 b2

Page 56: Apostila Completa - Concreto Armado

56

Limite: de (4) - y = ylim e Md = Md,máx

Como:

3° Caso: y > ylim Equações de equilíbrio:

Fazendo: dky x lim,lim 8,0=

Sabendo que: ( ) ( ) ( ) máxdffwfcdwcd Mhdhbbfydybf ,limlim 5,085,05,085,0 =−−+−

Resolvendo o sistema: De (5):

( )[ ] 2lim,8,085,0 σsfwfwxcdyds AhbbbdkffA ′+−+=

De (6):

( ) ( )dd

MMAeddAMM máxdd

ssmáxdd ′−−

=′′−′+=2

,2, σ

σ

( )[ ]

( )ddf

MM

f

dbkhbbfA

yd

máxdd

yd

wxfwfcd

s ′−−

++−

= ,lim,8,085,0

Detalhamento de elementos lineares (vigas): - item 18.3.7: Armadura de ligação mesa-alma ou talão-alma.

( ) ( ) ( )limlim, 5,085,05,085,0 ydybfhdhbbfM wcdffwfcdmáxd −+−−=

( ) gularreseçãoMydybf dwcd tan5,085,0 lim,limlim ⇒=−

( ) ( )ffwfcddmáxd hdhbbfMM 5,085,0lim,, −−+=

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

=′−′+−+−−

=−′++−

65,085,05,085,0

5085,085,0

2limlim

2lim

dswcdffwfcd

ydsswcdfwfcd

MddAydybfhdhbbf

fAAybfhbbf

σσ

máxdd MMM ,0 ≤<

Page 57: Apostila Completa - Concreto Armado

57

60

20

100

10

As

A's

2Exercício Geral: Dada a seção T abaixo, calcular a(s) armadura(s) necessária(s).

cmd

cmd

cmb

cmh

cmb

CAAço

MPaf

w

f

f

ck

4

60

20

10

100

50

20

=′==

=

=−

=

Exemplo 1:

( )

2

2

2

0

0

96,16

15,1

50

100.4,1

0,2.85,0

07,6

4,1

0,2.60.100.425,0

10.4201160

420300.4,1

86,677786.6710.5,060.10.100.4,1

0,285,0

300

cmyAcmy

hyMMkNmM

kNmkNcmM

kNmM

s

fdd

k

===

−−=

<⇔<∴==

==−=

=

Exemplo 2:

( )

( ) ( )

( ) ( )

máxdd

máxd

cdwd

ffwfcddmáxd

fdd

k

MMM

kNmkNcmM

kNmkNcmfdbM

hdhbbfMM

hyMMkNmM

kNmkNcmM

kNmM

,0

,

22limlim,

lim,,

0

0

43,863343.8610.5,060.10.20100.4,1

0,285,032914

14,329914.324,1

0,2.60.20.320,0

5,085,0

770550.4,1

86,677786.6710.5,060.10.100.4,1

0,285,0

550

<<

==−−+=

====

−−+=

>⇔>∴==

==−=

=

µ

Page 58: Apostila Completa - Concreto Armado

58

( )

( )[ ] 2

22

11,332010.20100

15,1

504,1

0,2.85,0

27,1910.5,060.10.120

100

20.4,1

0,2.85,0

10.77026060

cmyA

cmy

s =+−=

=

−−−−=

Exemplo 3:

( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

( )[ ]2

22

,0

,

22limlim,

lim,,

0

0

84,4666,718,39

15,1

50

60.20.628,0.8,010.201004,1

0,285,0

66,7460.

15,1

508634310.1050

43,863343.8610.5,060.10.20100.4,1

0,285,032914

14,329914.324,1

0,2.60.20.320,0

5,085,0

050.1750.4,1

86,677786.6710.5,060.10.100.4,1

0,285,0

750

cmAA

cmA

duplaArmaduraMMM

kNmkNcmM

kNmkNcmfdbM

hdhbbfMM

hyMMkNmM

kNmkNcmM

kNmM

ss

s

máxdd

máxd

cdwd

ffwfcddmáxd

fdd

k

=+=′++−

=

=−

−=′

⇒><

==−−+=

====

−−+=

>⇔>∴==

==−=

=

µ

Page 59: Apostila Completa - Concreto Armado

59

SEÇÃO TRANSVERSAL PARA GRUPOS DE BARRAS/FIOS Fonte: Catálogo da Siderúrgica Riograndense S.A.

Diâm. (mm)

Peso (kgf/m)

Perím. (cm)

SEÇÃO TRANSVERSAL PARA GRUPOS DE BARRAS (cm2) - CA-25 e CA-50. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

6,3 0,25 2,00 0,31 0,63 0,94 1,26 1,57 1,89 2,20 2,52 2,83 3,15 8 0,40 2,50 0,50 1,00 1,50 2,00 2,50 3,00 3,50 4,00 4,50 5,00 10 0,63 3,15 0,80 1,60 2,40 3,20 4,00 4,80 5,60 6,40 7,20 8,00

12,5 1,00 4,00 1,25 2,50 3,75 5,00 6,25 7,50 8,75 10,00 11,25 12,50 16 1,60 5,00 2,00 4,00 6,00 8,00 10,00 12,00 14,00 16,00 18,00 20,00 20 2,50 6,30 3,15 6,30 9,45 12,60 15,75 18,90 22,05 25,20 28,35 31,50 25 4,00 8,00 5,00 10,00 15,00 20,00 25,00 30,00 35,00 40,00 45,00 50,00 32 6,30 10,00 8,00 16,00 24,00 32,00 40,00 48,00 56,00 64,00 72,00 80,00

Diâm. (mm)

Peso (kgf/m)

Perím. (cm)

SEÇÃO TRANSVERSAL PARA GRUPOS DE FIOS IGUAIS (cm2) - CA-60. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

3,4 0,072 1,07 0,09 0,18 0,27 0,36 0,45 0,54 0,63 0,72 0,81 0,90 4,2 0,110 1,30 0,14 0,28 0,42 0,56 0,70 0,84 0,98 1,12 1,26 1,40 4,6 0,132 1,45 0,17 0,34 0,51 0,68 0,85 1,02 1,19 1,36 1,53 1,70 5,0 0,160 1,60 0,20 0,40 0,60 0,80 1,00 1,20 1,40 1,60 1,80 2,00 6,0 0,230 1,90 0,28 0,56 0,84 1,12 1,40 1,68 1,96 2,24 2,52 2,80 6,4 0,260 2,00 0,32 0,64 0,96 1,28 1,60 1,92 2,24 2,56 2,88 3,20 7,0 0,300 2,20 0,39 0,77 1,16 1,54 1,93 2,31 2,70 3,08 3,47 3,85 8,0 0,400 2,50 0,50 1,00 1,50 2,00 2,50 3,00 3,50 4,00 4,50 5,00

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60

Dimensionamento de vigas ao cisalhamento - NBR 6118/2003 17.4.1 (119) Hipóteses básicas. A NBR 6118/2003 prescreve dois modelos de cálculo, que admitem o funcionamento das peças de concreto submetidas à flexão simples como uma treliça, cujo concreto e armadura de compressão superior (caso exista) correspondem ao banzo superior comprimido, a armadura tracionada corresponde ao banzo inferior tracionado, a armadura transversal corresponde às diagonais tracionadas e as bielas comprimidas do concreto correspondem às diagonais comprimidas.

Analogia da Treliça O primeiro modelo, denominado Modelo de Cálculo I, é baseado na teoria de Ritter-Mörsch que sugere que a inclinação das diagonais de compressão da treliça (θ) devem ser tomadas sempre com ângulo igual a 45º em relação ao eixo longitudinal do elemento estrutural, e a inclinação da armadura de cisalhamento (α) deve ser escolhida entre os limites de 45º e 90º. O Modelo de Cálculo II é baseado na analogia da treliça generalizada, na qual mantém a limitação da inclinação da armadura de cisalhamento entre os limites de 45º e 90º, mas permite diagonais comprimidas com inclinação variável livremente entre 30º e 45º.

Estes dois modelos admitem a colaboração de mecanismos resistentes complementares ao modelo na treliça, através da parcela Vc. No modelo I esta parcela complementar tem valor constante, independente de VSd (Força cortante solicitante de cálculo). Já no modelo II, Vc sofre redução com o aumento de VSd. Esta analogia de treliça não se aplica ao estudo da resistência à força cortante das vigas-parede e consolos curtos.

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Modelo I: θ = 45º = cte. - 45º ≤ α ≤ 90º - Vc = cte. Modelo II: 30º ≤ θ ≤ 45 - 45º ≤ α ≤ 90 - Vc↓ = f(Vsd) ↑ 17.4.2 (121) Verificação do estado limite último A condição de segurança do elemento estrutural, em uma determinada seção transversal, deve ser considerada satisfatória quando atendidas simultaneamente as duas seguintes condições:

onde: VSd é a força cortante solicitante de cálculo; VRd2 é a força cortante resistente de cálculo, relativa à ruína das diagonais comprimidas de concreto, de acordo com o modelo adotado; VRd3 é a força cortante resistente de cálculo, relativa à ruína por tração diagonal; Vc é a parcela de força cortante absorvida por mecanismos complementares ao de treliça; Vsw é a parcela resistida pela armadura transversal. O valor do esforço cortante atuante sobre a viga pode ser obtido acessando o diagrama de cortantes da viga. Modelo de cálculo I (item 17.4.2.2) Admite diagonais de compressão inclinadas de θ = 45º e Vc constante, independente de VSd. a) verificação da compressão diagonal no concreto: VRd2= 0,27 αv2 fcd bw d onde: αv2 = (1 - fck/250) fck em MPa b) cálculo da armadura transversal: VRd3= Vc + Vsw onde: Vsw = (Asw /s) 0,9 d fywd (sen α + cos α) Vc = 0 nos elementos estruturais tracionados quando a linha neutra se situa fora da seção; Vc = Vc0 na flexão simples e na flexo-tração com a linha neutra cortando a seção; Vc = Vc0 (1 + M0/MSd,máx) ≤ 2 Vc0 na flexo-compressão Vc0 = 0,6 fctd bw d fctd = fctk,inf /γc Têm-se: bw - largura da alma da seção transversal da peça; d - altura útil da seção transversal da peça; Asw - área da seção transversal dos estribos; s - espaçamento entre eixos dos estribos; α - inclinação da armadura de cisalhamento; M0 - momento fletor que anula a tensão normal de compressão na borda da seção; MSd,máx - momento fletor de cálculo máximo no trecho em análise.

fywd ≤

fyd (estribos)

70% fyd (barras dobradas) 435 MPa

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O modelo de treliça tem como base a hipótese da linha neutra cortar a seção do elemento, existindo portanto um banzo tracionado e outro comprimido. Nos casos em que a linha neutra se situa fora da seção não existe a possibilidade de associar o modelo ao de treliça, sendo o motivo de desconsiderar a parcela resistente da biela comprimida (Vc = 0). Modelo de cálculo II (item 17.4.2.3) Admite diagonais de compressão inclinadas de θ variando livremente entre 30º e 45º e Vc sofrendo redução com o aumento de VSd. a) verificação da compressão diagonal no concreto: VRd2= 0,54 αv2 fcd bw d sen2θ (cotg α + cotg θ) onde: αv2 = (1 - fck/250) fck em MPa b) cálculo da armadura transversal: VRd3= Vc + Vsw onde: Vsw = (Asw /s) 0,9 d fywd (cotg α + cotg θ) sen α Vc = 0 nos elementos estruturais tracionados quando a linha neutra se situa fora da seção; Vc = Vc1 na flexão simples e na flexo-tração com a linha neutra cortando a seção; Vc = Vc1 (1 + M0/MSd,máx) < 2 Vc1 na flexo-compressão Vc1 = Vc0 quando VSd ≤ Vc0 Vc1 = 0 quando VSd = VRd2 , interpolando-se linearmente para valores intermediários. Armadura transversal mínima: Segundo o item 17.4.1.1.1, todos os elementos lineares submetidos a força cortante, com exceção dos casos indicados em 17.4.1.1.2, devem conter armadura transversal mínima constituída por estribos com taxa geométrica:

Obtém-se o valor do esforço cortante resistido pela seção com a armadura mínima de cisalhamento, pois para esforços atuantes abaixo deste, o trecho da viga terá armadura com espaçamento constante e igual a esta mínima estabelecida pela norma. Segundo item 18.3.3.2, o espaçamento máximo dos estribos, medido paralelamente ao eixo da peça, deve atender às seguintes condições: - se Vd ≤ 0,67 VRd2 , então smáx = 0,6 d ≤ 300 mm; - se Vd > 0,67 VRd2 , então smáx = 0,3 d ≤ 200 mm. Se houver armadura longitudinal de compressão exigida pelo cálculo, o espaçamento máximo dos estribos não pode, também, ser maior que: 24 vezes o diâmetro das barras longitudinais no caso de aço CA-25; 12 vezes o diâmetro das barras longitudinais no caso de aço CA-50.

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FORÇA CORTANTE: tabela comparativa entre os Modelos I e II → Verificação do Estado Limite Último (ELU)

SWCRdRdSd

RdSd

VVVVV

VV

+=∴≤≤

33

2

MODELO I MODELO II a. Verificação da compressão diagonal do concreto:

250127,0 222

ckVwcdVRd

fdbfV −=∴= αα

b. Cálculo da armadura transversal:

( )αα cos9,0

6,0

,21

/,

,0

,

+=⇒

=⇒

−≤

+

⟨−⟩

=

senfdS

AV

dbfV

CompressãoFlexoVM

MV

hycTraçãoFlexoeSimplesFlexãoV

hycomTraçãose

V

ywdSW

SW

wctdCO

COmáxSd

OCO

COC

a. Verificação da compressão diagonal do concreto:

( )250

1cotcot54,0 22

22ck

VwcdVRd

fggsendbfV −=∴+= αθαθα

b. Cálculo da armadura transversal:

( ) αθα sencoyggfdS

AV

erpolarVVse

VVseVV

CompressãoFlexoVM

MV

hycTraçãoFlexoeSimplesFlexãoV

hycomTraçãose

V

ywdSW

SW

RdSd

COSdCOC

CmáxSd

OC

CC

+=⇒

=≤

=⇒

−≤

+

⟨−⟩

=

cot9,0

int,0

,

,21

/,

,0

21

1,

1

1

Page 64: Apostila Completa - Concreto Armado

64

20

380

20

31,5kN/m

15

40

DEC

63 k

N

63

kN

DMF

63kNm

P1 P2

Exemplo numérico: Viga com um único trecho de vão de cálculo de 4 metros, submetida à flexão simples, com os dados apresentados a seguir. Será utilizado o modelo de cálculo II, com θ = 30º. fck = 25 MPa cobrimento da armadura = 2,5 cm bw = 15 cm h=40 cm d = 35,5 cm aço: CA-50 α = 90º Carregamento total = 31,5 kN/m (incluído peso-próprio)

µ � E � 12 31,50%4,00 = 63,002/

*$áT = 1831,50%4,00- = 63,002/� 2³ = 3,001 ∴ 2 = 0,0397 ∴ Vs = 7,05&�- → 3·16,0 + 1·12,5<7,25&�²@ ���,$ = 0,3. ���- 4 = 0,3%25- 4 = 2,565*8� ����,��� = 0,7%2,565 = 1,795*8� ���r = 1,795 1,4⁄ = 1,2825*8� Verificação da compressão diagonal no concreto: µr = 1,4%63,00 = 88,202/ ¸¹- = <1 − 25 250⁄ @ = 0,90

Yr- = 0,54%0,90% 2,5 1,44 %15%35,5%��G-30<cot 90 + cot 30@ = 200,112/

A condição de resistência foi atendida: ½¾~ ≤ ½¿~� Cálculo da armadura transversal: ½¾~ ≤ ½¿~¡ = ½� + ½�� Para obtenção de ½�� (parcela resistida pela armadura transversal) deve-se inicialmente obter o valor de ½� (parcela de força cortante absorvida por mecanismos complementares ao de treliça), abatendo do valor de ½¾~ esta parcela. - flexão simples: ½� = ½�� �À= 0,6*0,12825*15*36,5 = 42,13kN Como ½¾~ está entre ½�Á e ½¿~�, deve-se interpolar linearmente para obtenção de ½��.

�S = �À − �À. < µr − �À@Yr- − �À = 42,13 − 42,13. <88,20 − 42,13@200,11 − 42,13 = 29,842/

�S = �À = 29,842/ ∴ sz = 88,20 − 29,84 = 58,362/ Obtendo-se o valor do esforço resistido pela armadura transversal, pode-se calcular então a área necessária.

Page 65: Apostila Completa - Concreto Armado

65

Vsz� � sz0,9��Uzr<cot ¸ + cot Â@ sin ¸ = 58,360,9%36,5% 50 1,15⁄ <cot 90 + cot 30@ sin 90= 0,0236 &�- &�⁄ = �, ¡� ��� � → Æ�, ��/����⁄ Adotando bitola para estribo de 5,0 mm, tem-se: �s= 0,20&�- ·⁄ Gs= Asw / nº ramos estribo * �s = 2,36 / 2*0,2 = 5,9 estribos / m s = 100 / Gs= 16,95 cm ≅ 16 cm Armadura transversal mínima: A armadura mínima necessária é: Vsz,$í�� = 0,2 ���$�z sin ¸�Uz� = 0,2 0,2565%15% sin 9050 = 0,0154 &�- &�⁄= �, �� ��� � → Æ�, ��/����⁄ Deve-se lembrar que o espaçamento máximo para os estribos é definido como (18.3.3.2): - se µr ≤ 0,67 Yr-�G�ã��$áT = 0,6� ≤ 300�� - se µr > 0,67 Yr-�G�ã��$áT = 0,3� ≤ 200�� µr = 88,202/� Yr- = 200,112/ ∴ µr = 0,44 Yr- Adota-se portanto a condição 1: �$áT = 0,6� ≤ 300�� = 0,6*36,5 = 21,9 cm < 30 cm �$áT = 20 cm (valor adotado). Será adotado para o trecho de armadura mínima Æ�, ��/����. O cortante resistido por esta armadura mínima será: Vsz,$í� = 100. Gº ����. �s�$áT = 100%2%0,220 = 2,00 &�- � = 0,02 &�- &�⁄⁄

µ,$í� = Vsz,$í�0,9��Uzr<cot ¸ + cot Â@ sin ¸ µ,$í� = 0,02%0,9%36,5 %50 1,15⁄ <cot 90 + cot 30@ sin 90 =49,482/ Temos sz = 58,362/, portanto haverá, nos apoios, uma armadura transversal superior à armadura da região central da viga. Comparando os modelos:

Modelo I Modelo II <É = ¡�Á@ Modelo II <É = ��Á@ µr 88,20 kN 88,20 kN 88,20 kN Yr- 231,07 kN 200,11 kN 231,06 kN � 40,98 kN 29,84 kN 31,86 Kn sz 47,22 kN 58,36 kN 56,34 kN Vsz 3,40 cm²/m 2,36 cm²/m 3,94 cm²/m Vsz,$í� 1,54 cm²/m 1,54 cm²/m 1,54 cm²/m

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66

20

380

20

31,5kN/m

15

40

DEC

63

kN

P1 P2

35

,34

kN

27

,66

kN

n Ø5,0c/16 nØ5,0c/20 n Ø5,0c/16

~ 88 ~ 88

10

35

n Ø5,0 - 110

Entre os resultados do modelo de cálculo II verifica-se: Para θ = 30º, há uma menor capacidade resistente (menor valor para Yr-), o que pode levar a maior facilidade da seção não atender a verificação de resistência < µr i Yr-@, podendo necessitar seções transversais maiores. Para θ = 30º, há uma menor quantidade de armadura transversal necessária, levando a uma economia de armadura.