APOSTILA DE MATEMÁTICA-CONCURSO EPCAR 2011

Operações com conjuntos:

Exemplo de interseção de conjuntos.

►Interseção

Os elementos que fazem parte do conjunto interseção são os elementos comuns aos conjuntos relacionados.

Exemplo 1: Dados dois conjuntos A = {5,6,9,8} e B = {0,1,2,3,4,5}, se pedimos a interseção deles teremos: A ∩ B = {5}, dizemos que A “inter” B é igual a 5.

Exemplo 2: Dados os conjuntos B = {-3, -4, -5, -6} e C = {-7, -8, -9}, se pedirmos a interseção deles teremos:

B ∩ C = { } ou B ∩ C = , então B e C são conjuntos distintos.

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Exemplo 3: Dados os conjuntos D = {1,2,3,4,5} e E = {3,4,5}. A interseção dos conjuntos ficaria assim: E ∩ D = {3,4,5} ou E ∩ D = E, pode ser concluído também que E D.

►União Conjunto união são todos os elementos dos conjuntos relacionados.

Exemplo 1: Dados os conjuntos A = { x | x é inteiro e -1 < x < 2} e B = {1,2,3,4} a união desses dois conjuntos é : A U B = {0,1,2,3,4}

Exemplo 2: Dados os conjuntos A = {1,2,3} e B = {1,2,3,4,5} a união desses conjuntos é: A U B = {1,2,3,4,5}, nesse caso podemos dizer que A U B = B.

►Diferença entre dois conjuntos.

Dados dois conjuntos A e B chama-se conjunto diferença ou diferença entre A e B o conjunto formado pelos elementos de A que não pertencem a B. O conjunto diferença é representado por A – B.

Exemplo 1: A = {1,2,3,4,5} e B = {3,4,5,6,7} a diferença dos conjuntos é: A – B = {1,2}

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Exemplo 2: A = {1,2,3,4,5} e B = {8,9,10} a diferença dos conjuntos é: A – B = {1,2,3,4,5}

Exemplo 3: A = {1,2,3} e B = {1,2,3,4,5}a diferença dos conjuntos é:

A – B =

Exemplo 4: Dados os conjuntos A = {1,2,3,4,5,6} e B = {5,6}, a diferença dos conjuntos é: A – B = {1,2,3,4}. Como B A podemos escrever em forma de complementar:

A – B = A B = {1,2,3,4}.

Relações Binárias:

Definição

Uma relação binária R sobre dois universos A e B é

Em outras palavras, uma relação binária é definida como sendo um subconjunto do produto cartesiano entre dois conjuntos A e B. Isto é, uma relação R é um conjunto de pares ordenados. Um subconjunto de A×A pode ser chamado simplesmente de relação binária em A.

Suponha que R é uma relação de A para B. Então R é um conjunto de pares ordenados onde cada primeiro elemento pertence a A e cada segundo elemento pertence a B. Isto é,

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para cada par (a,b), a ∈ A e b ∈ B. Então exatamente uma das seguintes afirmativas é verdadeira:

• (a,b) ∈ R: dizemos que “a é R-relacionado a b”, escrevendo aRb.• (a,b) ∈ R: dizemos que “a não é R-relacionado a b”, escrevendo aRb.

O domínio de uma relação R é o conjunto de todos os primeiros elementos de um par ordenado que pertence a R. A imagem de R é o conjunto dos segundos elementos. No caso descrito acima, o domínio é um subconjunto de A e a imagem é um subconjunto de B.

Exemplos:

• Sejam A = {1, 2, 3} e B = { x, y, z} , e seja R = {(1,y), (1,z), (3,y)}. Então R é uma relação de A para B, uma vez que R é um subconjunto de A x B. Com respeito a esta relação, 1Ry, 1Rz, 3Ry, mas 1Rx, 2Rx, 2Ry, 2Rz, 3Rx, 3Rz. O domínio de R é {1.3} e a imagem é {y.z}.

• Seja A um conjunto qualquer. Uma relação importante em A é a relação de igualdade, {(a,a); a ∈ A}, que é usualmente denotada por =. Essa relação é também chamada de identidade ou relação diagonhal em A e será também denotado por δ.

Outra definição

Uma relação binária R também pode ser definida como um trio ordenado (A, B, G) onde A e B são conjuntos arbitrários, e G é um subconjunto do produto cartesiano A×B. Os conjuntos A e B são chamados de domínio e codomínio da relação, respectivamente, e G é chamado de grafo.

A notação final corresponde a visualizar R como uma Função indicadora do conjunto de pares G. A ordem de cada par de G é importante: se a ? b, então aRb pode ser verdadeiro ou falso independentemente de bRa o ser.

Exemplos

• Numa relação P definida por

ou seja, P = {(2,0), (1, 1), (0, 2)}, P(0,2) é verdadeiro, já P(-1,3) é falso;

• As relações de igualdade e diferença: a = a e b ? c;

• Suponha que existam 4 objetos: {carro, bola, boneca, bala} e quatro pessoas {João, Maria, Marcos, Pedro}.

Suponha que João tem a bola, Maria tem a boneca, e Pedro tem o carro. Ninguém tem a bala e Marcos não tem nada.

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Então a relação binária R "pertence a" é dada como R = ({bola, carro, boneca, bala}, {João, Maria, Marcos, Pedro}, {(bola, João), (boneca, Maria), (carro, Pedro)}).

Tipos de relações binárias

Dada uma relação R A×B, podemos classificá-la como:⊆

• Relação total

Ou seja, todo elemento de A se relaciona com algum de B.

• Relação sobrejetora

É o inverso da total, todo elemento de B é relacionado com algum de A.

• Relação funcional

Ou seja, um elemento de A não pode se relacionar com mais de um elemento de B.

• Relação injetora:

O contrário da funcional: um elemento de B não pode ser relacionado com dois ou mais elementos de A diferentes.

Uma relação é dita um monomorfismo se ela é total e injetora. Uma relação é dita um epimorfismo se ela é funcional e sobrejetora. Uma relação é dita um isomorfismo se ela é um monomorfismo e um epimorfismo.

Operações em relações binárias

Relações inversas

Seja R uma relação qualquer A×B. A inversa de R, denotada por R-1, é a relação de B×A consiste nos pares ordenados que, quando têm sua ordem revertida, pertencem a R, isto é,

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Por exemplo, a inversa da relação R = {(1, y), (1, z), (3, y)} é a seguinte: R-1 = {(y, 1), (z, 1), (y, 3)}.

Claramente, (R-1)-1 = R. Além disso o domínio e a imagem de R-1 são, respectivamente, iguais à imagem e ao domínio de R. Ademais, se R é uma relação em A, então R-1

também é uma relação em A.

Composição de relações

Relacionar elementos de A com elementos de B é destacar um subconjunto de AxB. Dadas R1 ⊆ A×B e R2 ⊆ B×C:

A composição das relações R1 com R2, denotado por R2 ⋅ R1, é a relação

{(a,c): (∃b B), com (∈ a,b) ∈ R1 e (b,c) ∈ R2} ⊆ A×C

Exemplo: Sejam os conjuntos

A = {a, b, c}; B = {c, d, e} e C = {a, e}; e as relações R1 = {(a,c), (a,e), (b,c), (c,d)} e R2

= {(c,a), (d,a), (d,e), (e,e)}.

Então R2 ⋅ R1 = {(a,a), (a,e), (b,a), (c,a). (c,e)}.

Composição de Relações e Matrizes

Existe uma outra maneira de determinar R ⋅ S. Sejam Mr e Ms, respectivamente, as matrizes da relação R e S. Então,

Multiplicando-se Mr e Ms, obtemos a matriz

Os elementos não nulos dessa matriz nos mostram quais elementos estão relacionados por R×S. Portanto, M = Mr Ms e Mr⋅s têm os mesmos elementos não nulos.

Teorema: Sejam A, B, C e D conjuntos. Suponha que R é uma relação A×B, S é uma relação de B×C e T é uma relação de C×D. Então, (R ⋅ S) ⋅ T = R ⋅ (S ⋅ T). Ou seja, a composição de relações é associativa.

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Prova: Para demonstrar o teorema é necessário mostrar que cada par ordenado em (R ⋅ S) ⋅ T pertence a R ⋅ (S ⋅ T) e vice-versa. Então:

Suponha que (a,d) pertence a (R ⋅ S) ⋅ T. Então, existe um c em C tal que (a,c) ∈ (R ⋅ S) e (c,d) ∈ T. Como (a,c) ∈ (R ⋅ S), existe b em B tal que (a,b) ∈ R e (b,c) ∈ S. Como (b,c) ∈ S e (c,d) ∈ T, temos (b,d) ∈ (S ⋅ T); como (a,b) ∈ R e (b,d) e S ⋅ T, temos (a,b) ∈ R ⋅ (S ⋅ T). Portanto, (R ⋅ S) ⋅ T ⊆ R ⋅ (S ⋅ T). De modo similar, R ⋅ (S ⋅ T) ⊆ (R ⋅ S) ⋅ T. Ambas as inclusões provam que (R ⋅ S) ⋅ T = R ⋅ (S ⋅ T).

Propriedades das relações

Dada uma relação binária R sobre um conjunto A.

Considere a serviço de exemplo as seguintes cinco relações em um conjunto A = { 1, 2, 3, 4}:

R1 = {(1,1), (1,2), (2,3), (1,3), (4,4)};R2 = {(1,1), (1,2), (2,1), (2,2), (3,3), (4,4)};R3 = {(1,3), (2,1)};R4 = ∅, a relação vazia;R5 = A×A, a relação universal.

Reflexividade

R é dita reflexiva se aRa para todo a ∈ A, isto é, se (a,a) ∈ R para todo a ∈ A. Ou seja, se todos os elementos se relacionam com si próprios. Em um conjunto finito com n elementos existem 2n² relações binárias, das quais 2n²-n são reflexivas.

Uma relação é irreflexiva se nenhum elemento se relaciona com si próprio.

Dos exemplos citados, como A contém os quatro elementos, 1, 2, 3 e 4, uma relação R em A é reflexiva se contém os quatro pares (1,1), (2.2), (3.3), (4,4). Portanto, apenas R2

e a relação universal R5 são reflexivas. Note que R1 , R3 e R4 não são reflexivas, uma vez que, por exemplo, (2,2) não pertence a nenhuma delas.

Simetria

Uma relação binária é simétrica se qualquer aRb implica bRa. Em um conjunto finito

com n elementos, há relações simétricas.

R1 não é simétrica já que (1,2) ∈ R1 mas (2,1) &nin; R1 . R3; não é simétrica já que (1,3) ∈ R3 mas (3,1) &nin; R3 . As outras relações são simétricas.

Uma relação anti-simétrica é tal que se aRb e bRa então a=b. Assimétrica é uma relação em que aRb implica que não bRa.

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R2 não é anti-simétrica, já que (1,2) e (2,1) pertencem a R2 , mas 1 &neq; 2. Analogamente, a relação universal R5 não é anti-simétrica. Todas as outras são anti-simétricas.

Note que as propriedades de simetria e anti-simetria não são mutuamente excludentes. Por exemplo, a relação R = {(1,3), (3,1), (2,3)} não é nem simétrica nem anti-simétrica. Por outro lado, a relação R' = {(1,1), (2.2)} é simétrica e anti-simétrica.

Transitividade

A transitividade de uma relação binária vale quando aRb e bRc implicam que aRc. A relação se diz antitransitiva quando aRb e bRc implicam que não é verdade aRc.

A relação R3 não é transitiva porque (2,1) e (1,3) ∈ R3, mas (2,3) &nin; R3 . Todas as outras relações são transitivas.

A propriedade de transitividade também pode ser expressa em termos da composição de relações. Para uma relação R em A, definimos R² = R⋅R e, mais geralmente, Rn = Rn-1⋅R.

Teorema: a relação R é transitiva se e somente se , Rn ⊆ R para n ≥ 1.

Algumas outras propriedades

• Relação total (ou linear): para todo a e b em A é verdade que aRb ou bRa (ou ambos).

• Relação euclidiana: para todo a, b e c em A, é verdade que se aRb e aRc então bRc.

• Relação extensível (ou serial): para todo a em A, existe um b em A tal que aRb. "Maior que” é uma relação extensível nos inteiros. Mas não é um relação extensível nos inteiros positivos, porque não existe um x nos inteiros positivos tal que 1>x.

Uma relação R que é simétrica e anti-simétrica ao mesmo tempo tem a propriedade que se xRy então x = y. Em um conjunto finito com n elementos existem apenas 2n dessa relaçãos.

Uma relação que é simétrica, transitiva e extensível é também reflexiva

Uma relação que é reflexiva, simétrica e transitiva é chamada de uma relação de equivalência. Uma relação que é reflexiva, anti-simétrica e transitiva é chamada de ordem parcial. Uma ordem parcial que é total é chamada de relação de ordem total ou uma ordem linear ou uma chain. Uma ordem linear na qual todo conjunto não vazio tem um menor elemento é chamado bem ordenado.

Exemplo:

Seja Z* o conjunto dos inteiros não nulos e seja ≡ a relação em Z*×Z* definida por (a,b)≡(c,d) sempre que ad = bc. Demonstra-se que ≡ é uma relação de equivalência:

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(i) Reflexividade: temos (a,b)≡(a,b), já que ab = ba. Portanto, ≡ é reflexiva.(ii) Simetria: temos (a,b)≡(c,d). Então ad = bc. Por conseguinte, cb = da e, portanto, (a,b)≡(c,d). Assim, ≡ é simétrica.(iii) Transitividade: suponha (a,b)≡(c,d) e (c,d)≡(e,f). Então, ad = bc e cf = de. A multiplicação dos termos correspondentes da equação leva a (ad)(cf) = (bc)(de). Cancelando c ≠ 0 e d ≠ 0 dos dois lados da equação, obtém-se af = be, e portanto (a,b)≡(e,f). Logo, ≡ é transitiva.

Consequentemente, ≡ é uma relação de equivalência.

Obs.: Do ponto de vista gráfico, uma relação é reflexiva se para todo vértice existir uma aresta ligando-o a ele mesmo. A estas arestas dá-se o nome de lacetes. A relação será simétrica se sempre que ao existir uma aresta de a para b também exista uma aresta de b para a e será transitiva sempre que ao existir uma aresta da a para b e outra de b para c, também exista uma aresta de a para c.

Subconjuntos:

A é um subconjunto de B.

Em teoria dos conjuntos, um conjunto A diz-se um subconjunto de um conjunto B se todos os elementos de A estiverem em B. Se B contiver elementos que não estão em A, então A diz-se um subconjunto próprio de B. Quando A é um subconjunto de B, diz-se que B é um superconjunto de A.

Cardinalidade

Se A é um subconjunto de B, então A tem uma cardinalidade não superior à de B. Quando B é finito e A é um subconjunto próprio de B, então a cardinalidade de A é inferior à de B. Se B é um conjunto infinito, tem subconjuntos próprios com a mesma cardinalidade de B. O conjunto de todos os subconjuntos de B chama-se o conjunto de partes de B. Subconjunto é um conjunto dentro de um outro conjunto.

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Exemplos

• O conjunto vazio é um subconjunto de qualquer conjunto.• O conjunto {1,2} tem quatro subconjuntos: o conjunto vazio, {1}, {2} e {1,2}.• O conjunto dos números naturais é um subconjunto próprio do conjunto dos

números inteiros, com a mesma cardinalidade.• O conjunto dos números naturais é um subconjunto próprio do conjunto dos

números reais, com cardinalidade inferior.

Notação

A notação de subconjunto não é padronizada. Existem duas notações para subconjunto:

indica, de forma não-ambígua, que A é um subconjunto de Bpode indicar que A é um subconjunto de B, ou pode indicar que A é um

subconjunto próprio de B, ou seja, que

Quando for necessário explicitar que A é um subconjunto próprio de B, pode-se usar a

notação

Analogamente, temos que:

Com os elementos B formamos o elemento H H-homens e M - mulheres. Dizemos que H e M são subconjuntos de B .Se um conjunto T de pessoas possui pelo menos uma pessoa nao brasileira T não é subconjunto do conjunto B

Conjunto dos números naturais:

Introdução aos Números Naturais

O conjunto dos números naturais é representado pela letra maiúscula N e estes números são construídos com os algarismos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, que também são conhecidos como algarismos indo-arábicos. No século VII, os árabes invadiram a Índia, difundindo o seu sistema numérico.

Embora o zero não seja um número natural no sentido que tenha sido proveniente de objetos de contagens naturais, iremos considerá-lo como um número natural uma vez que ele tem as mesmas propriedades algébricas que os números naturais. Na verdade, o zero foi criado pelos hindus na montagem do sistema posicional de numeração para suprir a deficiência de algo nulo.

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Na sequência consideraremos que os naturais têm início com o número zero e escreveremos este conjunto como:

N = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...}

Representaremos o conjunto dos números naturais com a letra N. As reticências (três pontos) indicam que este conjunto não tem fim. N é um conjunto com infinitos números.

Excluindo o zero do conjunto dos números naturais, o conjunto será representado por:

N* = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ...}

A construção dos Números Naturais

1. Todo número natural dado tem um sucessor (número que vem depois do número dado), considerando também o zero.

Exemplos: Seja m um número natural.

(a) O sucessor de m é m+1.(b) O sucessor de 0 é 1.(c) O sucessor de 1 é 2.(d) O sucessor de 19 é 20.

2. Se um número natural é sucessor de outro, então os dois números juntos são chamados números consecutivos.

Exemplos:

(a) 1 e 2 são números consecutivos.(b) 5 e 6 são números consecutivos.(c) 50 e 51 são números consecutivos.

3. Vários números formam uma coleção de números naturais consecutivos se o segundo é sucessor do primeiro, o terceiro é sucessor do segundo, o quarto é sucessor do terceiro e assim sucessivamente.

Exemplos:

(a) 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7 são consecutivos.(b) 5, 6 e 7 são consecutivos.(c) 50, 51, 52 e 53 são consecutivos.

4. Todo número natural dado n, exceto o zero, tem um antecessor (número que vem antes do número dado).

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Exemplos: Se m é um número natural finito diferente de zero.

(a) O antecessor do número m é m-1.(b) O antecessor de 2 é 1.(c) O antecessor de 56 é 55.(d) O antecessor de 10 é 9.

O conjunto abaixo é conhecido como o conjunto dos números naturais pares. Embora uma seqüência real seja um outro objeto matemático denominado função, algumas vezes utilizaremos a denominação sequência dos números naturais pares para representar o conjunto dos números naturais pares:

P = { 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, ...}

O conjunto abaixo é conhecido como o conjunto dos números naturais ímpares, às vezes também chamado, a sequência dos números ímpares.

I = { 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, ...}

Igualdade e Desigualdades

Diremos que um conjunto A é igual a um conjunto B se, e somente se, o conjunto A está contido no conjunto B e o conjunto B está contido no conjunto A. Quando a condição acima for satisfeita, escreveremos A=B (lê-se: A é igual a B) e quando não for satisfeita denotaremos tal fato por:

(lê-se: A é diferente de B). Na definição de igualdade de conjuntos, vemos que não é importante a ordem dos elementos no conjunto.

Exemplo com igualdade: No desenho, em anexo, observamos que os elementos do conjunto A são os mesmos elementos do conjunto B. Neste caso, A=B.

Consideraremos agora uma situação em que os elementos dos conjuntos A e B serão distintos.

Sejam A={a,b,c,d} e B={1,2,3,d}. Nem todos os elementos do conjunto A estão no conjunto B e nem todos os elementos do conjunto B estão no conjunto A. Também não

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podemos afirmar que um conjunto é maior do que o outro conjunto. Neste caso, afirmamos que o conjunto A é diferente do conjunto B.

Exercício: Há um espaço em branco entre dois números em cada linha. Qual é o sinal apropriado que deve ser posto neste espaço: <, > ou =?

159 170

852 321

587 587

Exercício: Representar analiticamente cada conjunto, isto é, através de alguma propriedade e depois por extensão, apresentando os elementos:

a. Conjunto N dos números Naturaisb. Conjunto P dos números Naturais Paresc. Conjunto I dos números Naturais Ímparesd. Conjunto E dos números Naturais menores que 16e. Conjunto L dos números Naturais maiores que 11f. Conjunto R dos números Naturais maiores ou iguais a 28g. Conjunto C dos números Naturais que estão entre 6 e 10

Sistema de numeração:

Um numeral é um símbolo ou grupo de símbolos que representa um número em um deteminado instante da evolução do homem. Tem-se que, numa determinada escrita ou época, os numerais diferenciaram-se dos números do mesmo modo que as palavras se diferenciaram das coisas a que se referem. Os símbolos "11", "onze" e "XI" (onze em latim) são numerais diferentes, representativos do mesmo número, apenas escrito em idiomas e épocas diferentes. Este artigo debruça-se sobre os vários aspectos dos sistemas de numerais. Ver também nomes dos números.

Um sistema de numeração, (ou sistema numeral) é um sistema em que um conjunto de números são representados por numerais de uma forma consistente. Pode ser visto como o contexto que permite ao numeral "11" ser interpretado como o numeral romano para dois, o numeral binário para três ou o numeral decimal para onze.

Em condições ideais, um sistema de numeração deve:

• Representar uma grande quantidade de números úteis (ex.: todos os números inteiros, ou todos os números reais);

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• Dar a cada número representado uma única descrição (ou pelo menos uma representação padrão);

• Refletir as estruturas algébricas e aritméticas dos números.

Por exemplo, a representação comum decimal dos números inteiros fornece a cada número inteiro uma representação única como uma seqüência finita de algarismos, com as operações aritméticas (adição, subtração, multiplicação e divisão) estando presentes como os algoritmos padrões da aritmética. Contudo, quando a representação decimal é usada para os números racionais ou para os números reais, a representação deixa de ser padronizada: muitos números racionais têm dois tipos de numerais, um padrão que tem fim (por exemplo 2,31), e outro que repete-se periodicamente (como 2,30999999...).

Base:

Sistemas numéricos por baseSistema Decimal (10)

2, 4, 8, 16, 32, 641, 3, 6, 9, 12, 20, 24, 30, 36, 60

v • e

Em Matemática, a base é o que determina a quantidade de símbolos e o valor de cada símbolo em um sistema de numeração posicional, isto é, onde o valor de cada símbolo é determinado pela sua posição no número.

sistema binário, que utiliza a base 2. sistema octal, que utiliza a base 8. sistema decimal, que utiliza a base 10. sistema duodecimal, que utiliza a base 12. sistema hexadecimal, que utiliza a base 16. sistema vigesimal, que utiliza a base 20. sistema sexagesimal, que utiliza a base 60, inventado pelos sumérios, e usado para

tempo (horas, minutos e segundos) e ângulos.

Operações com números naturais:

Propriedades da Adição

1. Fechamento: A adição no conjunto dos números naturais é fechada, pois a soma de dois números naturais é ainda um número natural. O fato que a operação de adição é fechada em N é conhecido na literatura do assunto como: A adição é uma lei de composição interna no conjunto N.

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2. Associativa: A adição no conjunto dos números naturais é associativa, pois na adição de três ou mais parcelas de números naturais quaisquer é possível associar as parcelas de quaisquer modos, ou seja, com três números naturais, somando o primeiro com o segundo e ao resultado obtido somarmos um terceiro, obteremos um resultado que é igual à soma do primeiro com a soma do segundo e o terceiro.

3. Elemento neutro: No conjunto dos números naturais, existe o elemento neutro que é o zero, pois tomando um número natural qualquer e somando com o elemento neutro (zero), o resultado será o próprio número natural.

4. Comutativa: No conjunto dos números naturais, a adição é comutativa, pois a ordem das parcelas não altera a soma, ou seja, somando a primeira parcela com a segunda parcela, teremos o mesmo resultado que se somando a segunda parcela com a primeira parcela.

Curiosidade: Tabela de adição

Para somar dois números, com a tabela, um em uma linha e outro em uma coluna, basta fixar um número na 1a. coluna e um segundo número na 1a. linha. Na interseção da linha e coluna fixadas, obtemos a soma dos números.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

15

4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21

Por exemplo, se tomarmos o número 7 na linha horizontal e o número 6 na linha vertical, obteremos a soma 13 que está no cruzamento da linha do 7 com a coluna do 6.

Multiplicação de Números Naturais

É a operação que tem por finalidade adicionar o primeiro número denominado multiplicando ou parcela, tantas vezes quantas são as unidades do segundo número denominado multiplicador.

Exemplo: 4 vezes 9 é somar o número 9 quatro vezes:

4 x 9 = 9 + 9 + 9 + 9 = 36

O resultado da multiplicação é denominado produto e os números dados que geraram o produto, são chamados fatores. Usamos o sinal × ou · ou x, para representar a multiplicação.

Propriedades da multiplicação

1. Fechamento: A multiplicação é fechada no conjunto N dos números naturais, pois realizando o produto de dois ou mais númros naturais, o resultado estará em N. O fato que a operação de multiplicação é fechada em N é conhecido na literatura do assunto como: A multiplicação é uma lei de composição interna no conjunto N.

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2. Associativa: Na multiplicação, podemos associar 3 ou mais fatores de modos diferentes, pois se multiplicarmos o primeiro fator com o segundo e depois multiplicarmos por um terceiro número natural, teremos o mesmo resultado que multiplicar o terceiro pelo produto do primeiro pelo segundo.

(m.n).p = m.(n.p)(3.4).5 = 3.(4.5) = 60

3. Elemento Neutro: No conjunto dos números naturais existe um elemento neutro para a multiplicação que é o 1. Qualquer que seja o número natural n, tem-se que:

1.n = n.1 = n1.7 = 7.1 = 7

4. Comutativa: Quando multiplicamos dois números naturais quaisquer, a ordem dos fatores não altera o produto, ou seja, multiplicando o primeiro elemento pelo segundo elemento teremos o mesmo resultado que multiplicando o segundo elemento pelo primeiro elemento.

m.n = n.m3.4 = 4.3 = 12

Propriedade Distributiva

Multiplicando um número natural pela soma de dois números naturais, é o mesmo que multiplicar o fator, por cada uma das parcelas e a seguir adicionar os resultados obtidos.

m.(p+q) = m.p + m.q6x(5+3) = 6x5 + 6x3 = 30 + 18 = 48

Divisão de Números Naturais

Dados dois números naturais, às vezes necessitamos saber quantas vezes o segundo está contido no primeiro. O primeiro número que é o maior é denominado dividendo e o outro número que é menor é o divisor. O resultado da divisão é chamado quociente. Se multiplicarmos o divisor pelo quociente obteremos o dividendo.

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No conjunto dos números naturais, a divisão não é fechada, pois nem sempre é possível dividir um número natural por outro número natural e na ocorrência disto a divisão não é exata.

Relações essenciais numa divisão de números naturais

1. Em uma divisão exata de números naturais, o divisor deve ser menor do que o dividendo.

35 : 7 = 5

2. Em uma divisão exata de números naturais, o dividendo é o produto do divisor pelo quociente.

35 = 5 x 7

3. A divisão de um número natural n por zero não é possível pois, se admitíssemos que o quociente fosse q, então poderiamos escrever:

n ÷ 0 = q

e isto significaria que:

n = 0 x q = 0

o que não é correto! Assim, a divisão de n por 0 não tem sentido ou ainda é dita impossível.

Exercício: Substituindo X por 6 e Y por 9, qual é o valor da soma do dobro de X pelo triplo de Y.

Potenciação de Números Naturais

Para dois números naturais m e n, a expressão mn é um produto de n fatores iguais ao número m, ou seja:

mn = m . m . m ... m . mm aparece n vezes

O número que se repete como fator é denominado base que neste caso é m. O número de vezes que a base se repete é denominado expoente que neste caso é n. O resultado é donominado potência.

Esta operação não passa de uma multiplicação com fatores iguais, como por exemplo:

18

23 = 2 × 2 × 2 = 843 = 4 × 4 × 4 = 64

Propriedades da Potenciação

1. Uma potência cuja base é igual a 1 e o expoente natural é n, denotada por 1n, será sempre igual a 1.

Exemplos:

a. 1n = 1×1×...×1 (n vezes) = 1b. 13 = 1×1×1 = 1c. 17 = 1×1×1×1×1×1×1 = 1

2. Se n é um número natural não nulo, então temos que no=1. Por exemplo:3. (a) nº = 14. (b) 5º = 15. (c) 49º = 1

6. A potência zero elevado a zero, denotada por 0o, é carente de sentido no contexto do Ensino Fundamental. O visitante que necessitar aprofundamento neste assunto, deve visitar nosso link Zero elevado a zero?

7. Qualquer que seja a potência em que a base é o número natural n e o expoente é igual a 1, denotada por n1, é igual ao próprio n. Por exemplo:

8. (a) n¹ = n9. (b) 5¹ = 510. (c) 64¹ = 64

11. Toda potência 10n é o número formado pelo algarismo 1 seguido de n zeros.

Exemplos:

a. 103 = 1000b. 108 = 100.000.000c. 10o = 1

Divisibilidade:

2Um número é divisível por 2 quando é par (o algarismo das unidades é 0, 2, 4, 6, 8).Por exemplo são divisíveis por 2 : 46, 188, 234...

3

19

Um número é divisível por 3 quando a soma dos seus algarismos é 0, 3, 6 ou 9 (ou então noves fora dá 0, 3 ou 6).Por exemplo: 147 - 1+4+7= 12 (Pode-se somar novamente ) e 1+2= 3.

167265 - 1 + 6 + 7 + 2 + 6 + 5 = 27 e 2 + 7 = 9 é divisível.

65926 - 6 + 5 + 9 + 2 + 6 = 28 e 2 + 8 = 10 não é divisível por 3.

4Se os dois últimos algarismos de um número forem divisíveis por 4, então o número é divisível por 4.

Para ver se os dois últimos algarismos formam um número divisível por 4 - deve ser um número par e a sua metade continuar par.

Por exemplo: 758836 - 36 é par e metade de 36 é 18 que é par então o número é divisível por 4.

9881654 - 54 é par mas metade não é o número não é divisível por 4.

5Um número é divisível por 5 se terminar em 0 ou 5.

6Se um número for divisível por 2 e por 3 é divisível por 6.

7Duplica-se o algarismo das unidades e subtrai-se do resto do número . Se o resultado for divisível por 7 o número é divisível por 7.Por exemplo:245 - 5 x 2 = 10 e depois 24 - 10 = 14 então é divisível por 7.1589 - 9 x 2 = 18 e 158 - 18 = 140 então é divisível por 7 .

204568 - 8 x 2 = 16 e 20456 - 16 = 20440 e aplicando novamente 0 x 2 = 0 2044 - 0 = 2044 e novamente 4 x 2 = 8 204 - 8 = 196 e novamente 6 x 2 = 12 19 - 12 = 7então é divisível por 7.

8

20

Se os 3 últimos algarismos forem divisíveis por 8 então o número é divisível por 8. (3 últimos pares , a sua metade par e novamente metade par).

772673290168 - 168 é par , 168:2=84 é par e 84:2= 32 é par então o número inicial é divisível por 8.

9Somar os algarismos do número e verificar se a soma é divisível por nove ( ou fazer os noves fora e dar zero).

Por exemplo. 3464514 - 3+4+6+4+5+1+4=27 e 2 + 7 = 9 então é divisível por 9

4524562 - 4+5+2+4+5+6+2 =28 e 2 + 8= 10 então não é divisível por 9.

10Um número é divisível por 10 se o algarismo das unidades é zero.

11Soma o 1º, o 3º, o 5º, o 7º algarismo ....Soma o 2º, o 4º, o 6º, o 8º algarismo ....

Se a diferença for múltiplo de 11 (incluindo o zero) então o número é divisível por 11.

Por exemplo: 94186565 - 9 + 1 + 6 + 6 = 22 4 + 8 + 5 + 5 = 22 e 22 - 22 = 0 então o número é divisível por 11.

4723866862 - 4+2+8+6+6 = 26 7+3+6+8+2 = 26 e 26-26 = 0 então o número é divisível por 11

12Se o número for divisível por 3 e por 4 é divisível por 12.

13Multiplica o algarismo das unidades por 9 e subtrai-o do restante número. Se o resultado for múltiplo de 13 então o número inicial é múltiplo de 13.

Por exemplo:

21

1105 - 5 x9=45 e 110 - 45 = 65 ( se ainda tiveres dúvidas podes fazer novamente.... ) que é múltiplo de 13 - 13x5= 65

Números Primos:

Números primos são os números naturais que têm apenas dois divisores diferentes: o 1 e ele mesmo.

Exemplos: 1) 2 tem apenas os divisores 1 e 2, portanto 2 é um número primo. 2) 17 tem apenas os divisores 1 e 17, portanto 17 é um número primo. 3) 10 tem os divisores 1, 2, 5 e 10, portanto 10 não é um número primo.

Observações: => 1 não é um número primo, porque ele tem apenas um divisor que é ele mesmo. => 2 é o único número primo que é par.

Os números que têm mais de dois divisores são chamados números compostos. Exemplo: 15 tem mais de dois divisores => 15 é um número composto.

• Reconhecimento de um número primo

Para saber se um número é primo, dividimos esse número pelos números primos 2, 3, 5, 7, 11 etc. até que tenhamos: => ou uma divisão com resto zero e neste caso o número não é primo, => ou uma divisão com quociente menor que o divisor e o resto diferente de zero. Neste caso o número é primo.

Exemplos:

1) O número 161:

• não é par, portanto não é divisível por 2;• 1+6+1 = 8, portanto não é divisível por 3;• não termina em 0 nem em 5, portanto não é divisível por 5;• por 7: 161 / 7 = 23, com resto zero, logo 161 é divisível por 7, e portanto

não é um número primo.

2) O número 113:

• não é par, portanto não é divisível por 2;

22

• 1+1+3 = 5, portanto não é divisível por 3;• não termina em 0 nem em 5, portanto não é divisível por 5;• por 7: 113 / 7 = 16, com resto 1. O quociente (16) ainda é maior que o

divisor (7).• por 11: 113 / 11 = 10, com resto 3. O quociente (10) é menor que o

divisor (11), e além disso o resto é diferente de zero (o resto vale 3), portanto 113 é um número primo.

Fatoração Completa:

A fatoração completa implica na união de todos os métodos de fatoração de polinômios para tornar um polinômio fatorado ao máximo, ou seja, que não pode ser mais fatorado. Considere o polinômio x4 − y4, que é a diferença de dois quadrados, fatorando-o temos: x4 − y4 = (x2 − y2).(x2 + y2), note que o primeiro termo da fatoração [(x2 − y2)] é uma diferença de dois quadrados, devemos fatora-lo: x4 − y4 = (x2 − y2).(x2 + y2) = (x − y).(x + y).(x2 + y2), assim, temos a fatoração completa do polinômio x4 − y4.

Outros exemplos:

3x2 − 6x + 3 = 3.(x2 − 2x + 1) = 3.(x − 1)2

a2 + 2ab + b2 − c2 = (a + b)2 − c2 = (a + b − c)(a + b + c)

Números racionais e frações

Fração é um número que exprime uma ou mais partes iguais que foi divida uma unidade ou um inteiro.

Assim, por exemplo, se tivermos uma pizza inteira e a dividirmos em quatro partes iguais, cada parte representará uma fração da pizza.

Na matemática, um número racional (ou, vulgarmente, fração) é uma razão entre dois

inteiros, geralmente escrita na forma onde é um número inteiro diferente de Zero.

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Exemplos:

A adição e multiplicação de racionais é dada da seguinte forma:

Exemplo:

+ =

Dois números racionais a/b e c/d são iguais apenas se ad = bc.

O conjunto de todos os números racionais é Q, ou:

Cada número racional pode ser escrito de diversas formas, como, por exemplo, 3/6 = 2/4 = 1/2. A forma mais simples é quando a e b não possuem divisores em comum, e todo racional tem uma forma como esta. A expansão decimal de um racional é finita ou periódica, propriedade que caracteriza os números racionais.

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Definições

De modo simples, pode-se dizer que uma fração de um número, representada de modo

genérico como designa este número dividido em partes iguais. Neste caso, corresponde ao numerador, enquanto corresponde ao denominador.

Por exemplo, a fração designa o quociente de por Ela é igual a pois x =

Nota: A divisão é a operação inversa da multiplicação.

Os números expressos em frações são chamados de números racionais. O conjunto dos racionais é representado por

= { / = com e }

Decimais

Decimais exatos

=

=

Decimais periódicos

= (a)

= (b)

Os decimais periódicos são denominados dízimas periódicas. As dízimas periódicas podem ser simples como no exemplo (a) ou compostas como no exemplo (b). A fração que originou a dízima periódica é denominada de fração geratriz e a parte que repete na dízima é denominada período.

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Geratriz de dízima periódica

Dízima simples

A fração geratriz é obtida usando-se como numerador o período e como denominador um número formado por tantos noves quantos forem os algarismos do período.

Dízima composta

A fração geratriz terá como numerador a parte não-periódica, seguida do período menos a parte não-periódica, e denominador um número formado de tantos noves quanto são os algarismos do período, seguido de tantos zeros quantos são os algarismos da parte não-periódica (ante-período).

=> + = + = =

Conversão entre dízima e fração

Seja o número x = 2,333... (dízima). O periodo da dízima é o número 3 (um só dígito), assim, para colocar o período da dízima antes da vírgula, fazemos 10*x = 23,333.... Agora, podemos eliminar a dízima fazendo a subtração: 10*x - x = 23,333... - 2,333...,

ou seja, 9*x = 21 x =

Outro exemplo mais complexo desta conversão, que ocorre quando a dízima se apresente mais à frente da vírgula: x = 38,07821821821... (dízima). Após a virgula, temos os números "07"´(dois dígitos) que não fazem parte do período e o período "821" (três dígitos).

Primeiro isolamos o período logo após a vírgula:

100*x = 3807,821821821...

Agora repetimos o processo do exemplo anterior:

100.000*x = 3807821,821821821...

Fazemos então a subtração

100.000*x - 100*x = 3807821,821821821... - 3807,821821821..., assim, temos que

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99900*x = 3804014 , portanto

x = , que poderá ainda ser simplificada.

Como decorrência da repetição deste processo de conversão, podemos chegar à seguinte regra prática de conversão de dízimas em frações. Vamos aplicá-la ao número 38,07821821821...

Eis os passos:

1. O período da dízima tem 3 dígitos, que é o número de algarismos nove (999 portanto);

2. Após a vírgula temos 2 dígitos que não fazem parte da dízima, que é o número de zeros (00 portanto);

3. Temos assim o denominador da fração que será 99900;

4. O númerador da fração será a diferença do número formado pelos algarismos até o primeiro período da dízima, no caso 3807821, pelo número formado pelos algarismos que antecedem o início da dízima, no caso 3807. Temos então 3807821 - 3807.

5. A fração será, portanto, .

Tipos de frações

• própria: o numerador é menor que o denominador. Ex.:

• imprópria: o numerador é maior que o denominador. Ex.:

• mista: constituída por uma parte inteira e uma fracionária. Ex.:

• aparente: o numerador é múltiplo do denominador. Ex.: • equivalentes: aquelas que mantêm a mesma proporção de outra fração. Ex.:

• irredutível: o numerador e o denominador são primos entre si, não permitindo

simplificação. Ex.:

• unitária: o numerador é igual a 1 e o denominador é um inteiro positivo. Ex.: • egípcia: fração que é a soma de frações unitárias, distintas entre si. Ex:

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• decimal: o denominador é uma potência de 10. Ex.:

• composta: fração cujo numerador e denominador são frações: • contínua: fração constituída a partir de uma sequência de inteiros naturais

(a0,a1,a2,a3,...,ak,...) da seguinte maneira Quando esta fração contínua termina, o seu resultado é um número racional, porém quando esta fração não termina, o resultado pode ser racional ou irracional.

Operações

Multiplicação

Multiplicam-se os numeradores entre si e os denominadores entre si. Ex.:

Para multiplicar uma fração por um número inteiro, considera-se que este é uma fração cujo denominador é igual a 1. Ex.:

Divisão

Como visto, a divisão é a operação inversa da multiplicação. É importante ter isso em mente para resolver uma divisão entre frações:

÷

Primeiramente inverte-se o divisor da segunda fração. Com isto, tem-se a inversão da operação, isto é, passará a haver uma multiplicação:

Que se resolve como mostrado acima.

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Adição

Caso os denominadores não sejam iguais é preciso, antes de efetuar a adição, encontrar o menor múltiplo comum (MMC) entre os denominadores:

Encontrado o MMC, este será dividido por cada um dos denominadores, multiplicando-se o resultado desta divisão pelo respectivo numerador. Como o MMC de 3 e 5 é 15, tem-se que:

∴ ∴

Sendo iguais os denominadores, pode-se efetuar a adição entre os numeradores:

O denominador comum é mantido:

Subtração

A subtração é feita seguindo-se os mesmos passos da adição.

Exponenciação

É indiferente resolver primeiro a exponenciação ou a divisão:

Efetuando-se primeiramente a divisão obtém-se o mesmo resultado:

Radiciação

A radiciação de uma fração é feita seguindo-se os mesmos passos da potenciação.

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Expoente fracionário

Da mesma forma que na divisão entre frações, a ocorrência de expoente fracionário causa a inversão da operação:

Simplificação de frações

Uma fração pode ser simplificada quando numerador e denominador não são primos entre si. Ex.:

Para tanto basta dividi-los pelo máximo divisor comum (MDC) entre eles, obtendo-se uma fração que, além de manter a proporção da original, é do tipo irredutível:

Comparação entre frações

Para estabelecer comparação entre frações, é preciso que elas tenham o mesmo denominador. Isso é obtido através do menor múltiplo comum, como foi visto na adição.

?

O MMC entre 5 e 7 é 35.

∴ ∴

Uma vez igualados os denomidores,pode-se fazer a comparação entre as frações:

< ∴ <

A comparação entre frações com denominadores diversos vale-se do fato de que há frações que são equivalentes entre si, pois:

e

30

Conversão entre frações impróprias e mistas

Uma fração do tipo imprópria pode ser convertida para mista e vice-versa.

Para tanto, basta dividir o numerador pelo denominador. O quociente será o numerador da fração mista e o resto será o numerador. Como o quociente da divisão 7 ÷ 3 é igual a 2 e o resto é 1, tem-se que a fração acima, escrita como fração mista, terá a seguinte notação:

Para fazer o caminho inverso, basta multiplicar o denominador pela parte inteira e somar o resultado ao numerador, mantendo-se o denominador. Como o produto 3 × 2 é igual a 6 e a soma 6 + 1 é igual a 7, obtém-se novamente a notação sob a forma de fração imprópria, como visto acima.

A comparação pela operação inversa Toda a gente sabe como se comparam dois números: coloca-se um ao lado do outro, e escolhe-se um dos sinais, “maior” > ou “menor” <, que se aplica entre os dois números para transmitir o sentido à comparação.

O problema coloca-se, quando se pretende comparar valores, em vez de números. A diferença é que há certos valores que não são representados por números simples, mas sim por resultados de operações sobre dois ou mais números. Um exemplo simples é a comparação de números racionais, representados por fracções que são constituídas por um par de números inteiros.

Neste caso, temos duas opções:

Uma delas é completar as operações que são indicadas pelos valores que se querem comparar, e proceder à comparação final entre os números que foram calculados. Este é o procedimento mais corrente, mas não é o único, e apresenta o inconveniente de poder obrigar a fazer arredondamentos dum lado ou de outro, os quais podem até viciar o resultado final da comparação.

Se apenas se pretende o resultado da comparação, e não interessa obter o valor de cada um dos comparandos, dispomos de uma opção mais interessante que é a comparação pela operação inversa.

Chamei a esta opção por este nome, porque podemos considerar dois casos, que são a divisão e a subtracção, as quais se podem substituir pelas operações da multiplicação ou da soma, para efeitos de proceder à comparação final.

Assim, se o que pretendo é comparar as fracções 4/3 e 7/5, por exemplo, em vez de fazer as divisões posso comparar os produtos 4x5 =20 e 7x3 =21. como 20 <21, logo se

31

conclui que 4/3 será menor do que 7/5.

O mesmo procedimento se pode aplicar aos resultados de uma subtracção. Utilizando os mesmos números, posso comparar 4 – 3 com 7 – 5 substituindo as subtracções indicadas pelas somas 4+5=9 e 7+3=10. Como 9 <10, logo 4 – 3 será menor do que 7 – 5.

Em qualquer um dos casos, o raciocínio é o mesmo: coloca-se num dos lados, a contribuição positiva de um dos lados, seguida da contribuição negativa do outro lado; aplica-se aos termos a operação inversa, e comparam-se os resultados. O resultado dessa comparação, é aplicado à comparação final que se pretende.

Nos exemplos acima, o 4 e o 7 contribuem positivamente para a comparação, ao passo que o 3 e o 5 contribuem negativamente para os resultados das comparações.

Problemas envolvendo números fracionários:

A maneira como resolvemos uma situação problema é sempre a mesma, o que as tornam diferentes é a estratégia de resolução, pois cada um deles envolve um conteúdo diferente.

Levando em consideração os problemas matemáticos que envolvem números fracionários, podemos utilizar como estratégia na sua resolução a construção de figuras que representem os inteiros ou partes deles (fração).

Veja o exemplo de situação problema envolvendo números fracionários.

Uma piscina retangular ocupa 2/15 de uma área de lazer de 300 m2. A parte restante da área de lazer equivale a quantos metros quadrados?

Resolução:

Considere o retângulo abaixo como sendo a área de lazer completa.

Para representarmos 2/15 (área ocupada pela piscina) na região retangular que está representando a área de lazer, basta dividir esse retângulo em 15 partes iguais e considerar apenas duas como sendo ocupadas pela piscina.

32

Foi dito no enunciado que a área total é de 300m², portanto, a área que a piscina ocupa será de:

2 de 300 = 300:15 x2 = 40m2. Dessa forma, cada 1/15 do terreno corresponde a 20m². 15

Observando a figura acima percebemos que a fração que irá corresponder à parte restante da área de lazer é 13/15, dessa forma, para descobrirmos quanto isso representa em metros quadrados basta multiplicar 20 por 13 que será igual a 260m2 de área restante.

Razões

A palavra razão vem do latim ratio e significa a divisão ou o quociente entre dois números A e B, denotada por:

AB

Exemplo: A razão entre 12 e 3 é 4 porque:

123

= 4

e a razão entre 3 e 6 é 0,5 pois:

36

= 0,5

A razão também pode ser expressa na forma de divisão entre duas grandezas de algum sistema de medidas. Por exemplo, para preparar uma bebida na forma de suco, normalmente adicionamos A litros de suco concentrado com B litros de água. A relação entre a quantidade de litros de suco concentrado e de água é um número real expresso como uma fração ou razão (que não tem unidade), é a razão:

A = A/B

33

B

Exemplo: Tomemos a situação apresentada na tabela abaixo.

Líquido Situação1 Situação2 Situação3 Situação4Suco puro 3 6 8 30

Água 8 16 32 80Suco pronto 11 22 40 110

Na Situação1, para cada 3 litros de suco puro coloca-se 8 litros de água, perfazendo o total de 11 litros de suco pronto.

Na Situação2, para cada 6 litros de suco puro coloca-se 16 litros de água, perfazendo o total de 24 litros de suco pronto.

Exemplo: Em uma partida de basquete um jogador faz 20 arremessos e acerta 10.

Podemos avaliar o aproveitamento desse jogador, dividindo o número de arremessos que ele acertou pelo total de arremessos, o que significa que o jogador acertou 1 para cada dois arremessos, o que também pode ser pensado como o acerto de 0,5 para cada arremesso.

10 : 20 = 1 : 2 = 0,5

Proporções

Proporção é a igualdade entre duas razões. A proporção entre A/B e C/D é a igualdade:

AB

=CD

Notas históricas: A palavra proporção vem do latim proportione e significa uma relação entre as partes de uma grandeza, ou seja, é uma igualdade entre duas razões. No século XV, o matemático árabe Al-Kassadi empregou o símbolo "..." para indicar as proporções e em 1.537, o italiano Niccola Fontana, conhecido por Tartaglia, escreveu uma proporção na forma

34

6:3::8:4.

Regiomontanus foi um dos matemáticos italianos que mais divulgou o emprego das proporções durante o período do Renascimento.

Propriedade fundamental das proporções

Numa proporção:

AB

=CD

os números A e D são denominados extremos enquanto os números B e C são os meios e vale a propriedade: o produto dos meios é igual ao produto dos extremos, isto é:

A · D = B · C

Exemplo: A fração 3/4 está em proporção com 6/8, pois:

34

=68

Exercício: Determinar o valor de X para que a razão X/3 esteja em proporção com 4/6.

Solução: Deve-se montar a proporção da seguinte forma:

x3

=46

Para obter X=2.

Razões e Proporções de Segmentos

Consideremos dois segmentos AB e CD, cujas medidas são dadas, respectivamente, por 2cm e 4cm.

A________B, C ______________ D

Comparando os segmentos AB e CD, estabelecemos uma razão entre as suas medidas.

m(AB)m(CD)

=24

35

Podemos também afirmar que AB está para CD na razão de 1 para 2 ou que CD está para AB na razão de 2 para 1.

Polígonos Semelhantes

Dois polígonos são semelhantes se têm ângulos correspondentes congruentes e os lados correspondentes proporcionais.

Exemplo: Sejam os triângulos ABC e RST.

Observamos que os ângulos correspondentes possuem as mesmas medidas, denotadas aqui por, A~R, B~S, C~T e os lados correspondentes são proporcionais.

AB/RS=5/(2,5)=2 BC/ST=4/2=2 AC/RT=3/(1,5)=2

Afirmamos que os polígonos (triângulos) ABC e RST são semelhantes e indicamos isto por :

ABC ~ DEF

Figuras Semelhantes

Duas figuras são semelhantes quando elas têm a mesma forma com medidas correspondentes congruentes, ou seja, quando uma é uma ampliação ou redução da outra. Isto significa que existe uma proporção constante entre elas sem ocorrência de deformação. A figura final e a figura original são chamadas figuras semelhantes.

As figuras geométricas são semelhantes quando existe uma igualdade entre as razões dos segmentos que ocupam as correspondentes posições relativas nas figuras.

Exemplo: Nos triângulos

36

observamos que os ângulos correspondentes possuem a mesma medida, ou seja, A=R, B=S e C=T e os lados correspondentes são proporcionais.

AB/RS = BC/ST = CA/TR = 2

Assim, os triângulos ABC e DEF são semelhantes e indicamos por:

ABC ~ DEF

Exemplo: O mapa do Brasil está em duas escalas diferentes.

Os dois mapas possuem a mesma forma mas têm tamanhos diferentes. O mapa verde é uma ampliação do mapa amarelo ou o mapa amarelo é uma redução do mapa verde.

Aplicações práticas das razões

Existem algumas razões especiais muito utilizadas em nosso cotidiano, entre as quais: velocidade média, escala, densidade demográfica e densidade de um corpo.

1. Velocidade Média: A "velocidade média", em geral, é uma grandeza obtida pela razão entre uma distância percorrida (expressa em quilômetros ou metros) e um tempo por ele gasto (expresso em horas, minutos ou segundos).

vmédia = distância percorrida / tempo gasto

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Exemplo: Suponhamos que um carro de Fórmula MAT percorreu 328Km em 2h. Qual foi a velocidade média do veículo nesse percurso?

A partir dos dados do problema, teremos:

vmédia = 328 Km / 2h = 164 Km/h

o que significa que a velocidade média do veículo durante a corrida foi de 164 Km/h, ou seja, para cada hora percorrida o carro se deslocou 164 Km.

2. Escala: Uma das aplicações da razão entre duas grandezas se encontra na escala de redução ou escala de ampliação, conhecidas simplesmente como escala. Chamamos de escala de um desenho à razão entre o comprimento considerado no desenho e o comprimento real correspondente, ambos medidos na mesma unidade.

escala = comprimento no desenho / comprimento real

Usamos escala quando queremos representar um esboço gráfico de objetos como móveis, plantas de uma casa ou de uma cidade, fachadas de prédios, mapas, maquetes, etc.

Exemplo: Observemos as figuras dos barcos:

Base menor barco azul/Base menor barco vermelho = 2/4Base maior barco azul/Base maior barco vermelho = 4/8Altura do barco azul/Altura do barco vermelho = 3/6

38

O barco vermelho é uma ampliação do barco azul, pois as dimensões do barco vermelho são 2 vezes maiores do que as dimensões do barco azul, ou seja, os lados correspondentes foram reduzidos à metade na mesma proporção.

3. Densidade Demográfica: O cálculo da densidade demográfica, também chamada de população relativa de uma região é considerada uma aplicação de razão entre duas grandezas. Ela expressa a razão entre o numero de habitantes e a área ocupada em uma certa região.

Exemplo: Em um jogo de vôlei há 6 jogadores para cada time, o que significa 6 jogadores em cada lado da quadra. Se, por algum motivo, ocorre a expulsão de 1 jogador de um time, sendo que não pode haver substituição, observa-se que sobra mais espaço vazio para ser ocupado pelo time que tem um jogador expulso. Neste caso, afirmamos que a densidade demográfica é menor na quadra que tem um jogador expulso e maior na outra quadra.

Exemplo: Um estado brasileiro ocupa a área de 200.000 Km². De acordo com o censo realizado, o estado tem uma população aproximada de 12.000.000 habitantes. Assim:

dens.demográfica=12.000.000 habitantes/200.000 Km²densidade demográfica = 60 habitantes/ Km2

Isto significa que para cada 1 Km2existem aproximadamente 60 habitantes.

4. Densidade de um Corpo: Densidade de um corpo é mais uma aplicação de razão entre duas grandezas. Assim, a densidade (volumétrica) de um corpo é a razão entre a massa desse corpo, medida em Kg ou gramas e o seu volume, medido em m³, dm³ ou qualquer outra unidade de volume.

Exemplo: Se uma estátua de bronze possui uma densidade volumétrica de 8,75 kg/dm³ então para cada dm³ há uma massa de 8,75 kg.

Curiosidade:Devido à existência de densidades diferentes, observamos que ao colocarmos corpos diferentes em um recipiente com água, alguns afundam e outros flutuam.

Uma bolinha de isopor flutuará na água enquanto que uma de chumbo, de mesmo volume afundará. Isso ocorre porque a densidade do chumbo é maior que a densidade do isopor. Algumas substâncias e suas densidades estão na tabela abaixo:

Substância Densidade [g/cm³]

39

madeira 0,5

gasolina 0,7

álcool 0,8

alumínio 2,7

ferro 7,8

mercúrio 13,6

5. Pi: Uma razão muito famosa: Os egípcios trabalhavam muito com certas razões e descobriram a razão entre o comprimento de uma circunferência e seu diâmetro. Este é um fato fundamental pois esta razão é a mesma para toda circunferência. O nome desta razão é Pi e seu valor é aproximadamente:

Pi = 3,1415926535

Exemplo: Se C é o comprimento da circunferência e D a medida do diâmetro da circunferência, temos uma razão notável:

C / D = Pi = 3,14159265358979323846264338327950...

significando que

C = Pi . D

Exemplo: Se a medida do raio de uma circunferência tem 1,5cm então o perímetro da circunferência é igual a 9,43cm.

PORCENTAGEM:

É frequente o uso de expressões que refletem acréscimos ou reduções em preços, números ou quantidades, sempre tomando por base 100 unidades. Alguns exemplos:

• A gasolina teve um aumento de 15%Significa que em cada R$100 houve um acréscimo de R$15,00

• O cliente recebeu um desconto de 10% em todas as mercadorias.Significa que em cada R$100 foi dado um desconto de R$10,00

• Dos jogadores que jogam no Grêmio, 90% são craques.Significa que em cada 100 jogadores que jogam no Grêmio, 90 são craques.

Razão centesimal

Toda a razão que tem para consequente o número 100 denomina-se razão centesimal. Alguns exemplos:

40

Podemos representar uma razão centesimal de outras formas:

As expressões 7%, 16% e 125% são chamadas taxas centesimais ou taxas percentuais.

Considere o seguinte problema:

João vendeu 50% dos seus 50 cavalos. Quantos cavalos ele vendeu? Para solucionar esse problema devemos aplicar a taxa percentual (50%) sobre o total de cavalos.

Logo, ele vendeu 25 cavalos, que representa a porcentagem procurada.

Portanto,

Porcentagem é o valor obtido ao aplicarmos uma taxa percentual a um determinado valor.

Exemplos:

• Calcular 10% de 300.

• Calcular 25% de 200kg.

Logo, 50kg é o valor correspondente à porcentagem procurada.

EXERCÍCIOS:

1) Um jogador de futebol, ao longo de um campeonato, cobrou 75 faltas, transformando em gols 8% dessas faltas. Quantos gols de falta esse jogador fez?

41

Portanto o jogador fez 6 gols de falta.

2) Se eu comprei uma ação de um clube por R$250,00 e a revendi por R$300,00, qual a taxa percentual de lucro obtida?

Montamos uma equação, onde somando os R$250,00 iniciais com a porcentagem que aumentou em relação a esses R$250,00, resulte nos R$300,00.

Portanto, a taxa percentual de lucro foi de 20%.

Uma dica importante: o FATOR DE MULTIPLICAÇÃO.

Se, por exemplo, há um acréscimo de 10% a um determinado valor, podemos calcular o novo valor apenas multiplicando esse valor por 1,10, que é o fator de multiplicação. Se o acréscimo for de 20%, multiplicamos por 1,20, e assim por diante. Veja a tabela abaixo:

Acréscimo ou LucroFator de

Multiplicação

10% 1,10

15% 1,15

20% 1,20

47% 1,47

67% 1,67

Exemplo: Aumentando 10% no valor de R$10,00 temos: 10 * 1,10 = R$ 11,00

No caso de haver um decréscimo, o fator de multiplicação será: Fator de Multiplicação = 1 - taxa de desconto (na forma decimal)

Veja a tabela abaixo:

DescontoFator de

Multiplicação

42

10% 0,90

25% 0,75

34% 0,66

60% 0,40

90% 0,10

Exemplo: Descontando 10% no valor de R$10,00 temos: 10 * 0,90 = R$ 9,00

Números Proporcionais:

Os números proporcionais são divididos em diretamente e inversamente proporcionais, e são utilizados em situações envolvendo regra de sociedade, abordando as divisões de lucros, prejuízos, sociedade em investimentos entre outras situações de repartição de capitais.

Números diretamente proporcionais

Dados os números a, b, c e d, e, f, dizemos que eles são diretamente proporcionais quando a igualdade entre as respectivas razões possuem o mesmo valor. Dessa forma, concluímos que:

. O resultado das divisões é denominado coeficiente de proporcionalidade. E no caso das proporções, também é válida a seguinte propriedade:

.

Exemplo 1

Vamos verificar se os números 2, 5, 8 e 10 são diretamente proporcionais aos números 6, 15, 24 e 30 respectivamente. Para isso, vamos aplicar a regra da igualdade entre as

43

razões.

Após simplificar as frações à forma irredutível, verificamos que a igualdade entre as razões foi comprovada. Dessa forma, dizemos que os números nessa ordem são proporcionais e o coeficiente de proporcionalidade é igual a 1/3.

Exemplo 2

Vamos determinar os valores de x e y, considerando que os números 6, 8, 16 são diretamente proporcionais aos números 30, x, y.

Os valores de x e y são, respectivamente, 40 e 80.

Números inversamente proporcionais

Dados os números a, b, c e d, e, f, dizemos que eles são inversamente proporcionais quando um número está para o inverso do outro, prevalecendo a igualdade entre as respectivas razões. Dessa forma, concluímos que:

Exemplo 3

Verifique se os números 2, 4, 6 são inversamente proporcionais aos números 90, 45, 30,

44

respectivamente.

Para desenvolver as frações acima, devemos conservar o numerador e multiplicar pelo inverso do denominador.

Verificada a igualdade, dizemos que os números são inversamente proporcionais.

Exemplo 4

Vamos verificar se os números 2, 4, 8 são inversamente proporcionais aos números 20, 10, 5. Para que eles sejam inversamente proporcionais, devemos aplicar a regra do exemplo 3.

Os números são inversamente proporcionais, pois possuem o mesmo coeficiente de proporcionalidade.

Regra de três simples:

Regra de três simples é um processo prático para resolver problemas que envolvam quatro valores dos quais conhecemos três deles. Devemos, portanto, determinar um valor a partir dos três já conhecidos.

Passos utilizados numa regra de três simples:

1º) Construir uma tabela, agrupando as grandezas da mesma espécie em colunas e mantendo na mesma linha as grandezas de espécies diferentes em correspondência.

45

2º) Identificar se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais.

3º) Montar a proporção e resolver a equação.

Exemplos:

1) Com uma área de absorção de raios solares de 1,2m2, uma lancha com motor movido a energia solar consegue produzir 400 watts por hora de energia. Aumentando-se essa área para 1,5m2, qual será a energia produzida?

Solução: montando a tabela:

Área (m2) Energia (Wh)1,2 4001,5 x

Identificação do tipo de relação:

Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª coluna). Observe que: Aumentando a área de absorção, a energia solar aumenta. Como as palavras correspondem (aumentando - aumenta), podemos afirmar que as grandezas são diretamente proporcionais. Assim sendo, colocamos uma outra seta no mesmo sentido (para baixo) na 1ª coluna. Montando a proporção e resolvendo a equação temos:

Logo, a energia produzida será de 500 watts por hora.

2) Um trem, deslocando-se a uma velocidade média de 400Km/h, faz um determinado percurso em 3 horas. Em quanto tempo faria esse mesmo percurso, se a velocidade utilizada fosse de 480km/h?

Solução: montando a tabela:

Velocidade (Km/h)

Tempo (h)

400 3

46

480 x

Identificação do tipo de relação:

Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª coluna). Observe que: Aumentando a velocidade, o tempo do percurso diminui. Como as palavras são contrárias (aumentando - diminui), podemos afirmar que as grandezas são inversamente proporcionais. Assim sendo, colocamos uma outra seta no sentido contrário (para cima) na 1ª coluna. Montando a proporção e resolvendo a equação temos:

Logo, o tempo desse percurso seria de 2,5 horas ou 2 horas e 30 minutos.

3) Bianca comprou 3 camisetas e pagou R$120,00. Quanto ela pagaria se comprasse 5 camisetas do mesmo tipo e preço?

Solução: montando a tabela:

Camisetas Preço (R$)3 1205 x

Observe que: Aumentando o número de camisetas, o preço aumenta. Como as palavras correspondem (aumentando - aumenta), podemos afirmar que as grandezas são diretamente proporcionais. Montando a proporção e resolvendo a equação temos:

Logo, a Bianca pagaria R$200,00 pelas 5 camisetas.

47

4) Uma equipe de operários, trabalhando 8 horas por dia, realizou determinada obra em 20 dias. Se o número de horas de serviço for reduzido para 5 horas, em que prazo essa equipe fará o mesmo trabalho?

Solução: montando a tabela:

Horas por diaPrazo para término

(dias)8 205 x

Observe que: Diminuindo o número de horas trabalhadas por dia, o prazo para término aumenta. Como as palavras são contrárias (diminuindo - aumenta), podemos afirmar que as grandezas são inversamente proporcionais. Montando a proporção e resolvendo a equação temos:

Regra de três composta:

A regra de três composta é utilizada em problemas com mais de duas grandezas, direta ou inversamente proporcionais.

Exemplos:

1) Em 8 horas, 20 caminhões descarregam 160m3 de areia. Em 5 horas, quantos caminhões serão necessários para descarregar 125m3?

Solução: montando a tabela, colocando em cada coluna as grandezas de mesma espécie e, em cada linha, as grandezas de espécies diferentes que se correspondem:

Horas Caminhões Volume8 20 1605 x 125

Identificação dos tipos de relação: Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª coluna).

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A seguir, devemos comparar cada grandeza com aquela onde está o x. Observe que: Aumentando o número de horas de trabalho, podemos diminuir o número de caminhões. Portanto a relação é inversamente proporcional (seta para cima na 1ª coluna).

Aumentando o volume de areia, devemos aumentar o número de caminhões. Portanto a relação é diretamente proporcional (seta para baixo na 3ª coluna). Devemos igualar a razão que contém o termo x com o produto das outras razões de acordo com o sentido das setas.

Montando a proporção e resolvendo a equação temos:

Logo, serão necessários 25 caminhões.

2) Numa fábrica de brinquedos, 8 homens montam 20 carrinhos em 5 dias. Quantos carrinhos serão montados por 4 homens em 16 dias?

Solução: montando a tabela:

Homens Carrinhos Dias8 20 54 x 16

Observe que: Aumentando o número de homens, a produção de carrinhos aumenta. Portanto a relação é diretamente proporcional (não precisamos inverter a razão).

Aumentando o número de dias, a produção de carrinhos aumenta. Portanto a relação também é diretamente proporcional (não precisamos inverter a razão). Devemos igualar a razão que contém o termo x com o produto das outras razões.

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Montando a proporção e resolvendo a equação temos:

Logo, serão montados 32 carrinhos.

3) Dois pedreiros levam 9 dias para construir um muro com 2m de altura. Trabalhando 3 pedreiros e aumentando a altura para 4m, qual será o tempo necessário para completar esse muro?

Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x. Depois colocam-se flechas concordantes para as grandezas diretamente proporcionais com a incógnita e discordantes para as inversamente proporcionais, como mostra a figura abaixo:

Montando a proporção e resolvendo a equação temos:

Logo, para completar o muro serão necessários 12 dias.

Exercícios complementares

Agora chegou a sua vez de tentar. Pratique tentando fazer esses exercícios:

1) Três torneiras enchem uma piscina em 10 horas. Quantas horas levarão 10 torneiras para encher 2 piscinas? Resposta: 6 horas.

2) Uma equipe composta de 15 homens extrai, em 30 dias, 3,6 toneladas de carvão. Se for aumentada para 20 homens, em quantos dias conseguirão extrair 5,6 toneladas de carvão? Resposta: 35 dias.

50

3) Vinte operários, trabalhando 8 horas por dia, gastam 18 dias para construir um muro de 300m. Quanto tempo levará uma turma de 16 operários, trabalhando 9 horas por dia, para construir um muro de 225m? Resposta: 15 dias.

4) Um caminhoneiro entrega uma carga em um mês, viajando 8 horas por dia, a uma velocidade média de 50 km/h. Quantas horas por dia ele deveria viajar para entregar essa carga em 20 dias, a uma velocidade média de 60 km/h? Resposta: 10 horas por dia.

5) Com uma certa quantidade de fio, uma fábrica produz 5400m de tecido com 90cm de largura em 50 minutos. Quantos metros de tecido, com 1 metro e 20 centímetros de largura, seriam produzidos em 25 minutos? Resposta: 2025 metros.

Juros:

Quem nunca ouviu falar do tal dos Juros? Ou das taxas de juros fixadas pelo Copom (Banco Central do Brasil), taxas selic e etc?

Primeiramente, passamos o que é juros: Juros é um atributo de uma aplicação financeira, ou seja, referimos a uma quantia em dinheiro que deve ser paga por um devedor (o que pede emprestado), pela utilização de dinheiro de um credor (aquele que empresta).

Existem dois tipos de juros:

Os Juros Simples - São acréscimos que são somados ao capital inicial no final da aplicaçãoJuros Compostos - São acréscimos que são somados ao capital, ao fim de cada período de aplicação, formando com esta soma um novo capital.

Capital é o valor que é financiado, seja na compra de produtos ou empréstimos em dinheiro.

A grande diferença dos juros é que no final das contas quem financia por juros simples obtem um montante (valor total a pagar) inferior ao que financia por juros compostos.

A fórmula do Juro Simples é: j = C. i. t

Onde:

j = juros, C = capital, i = taxa, t = tempo.

Considerando que uma pessoa empresta a outra a quantia de R$ 2.000,00, a juros simples, pelo prazo de 3 meses, à taxa de 3% ao mês. Quanto deverá ser pago de juros?

Antes de iniciarmos a resolução deste problema, devemos descobrir, o que é o que, ou seja, quais dados fazem parte das contas.

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Capital Aplicado (C) : R$ 2.000,00Tempo de Aplicação (t) : R$ 3 mesesTaxa (i): 3% ou 0,03 ao mês (a.m.)

Fazendo o cálculo, teremos:

J = c . i. t → J = 2.000 x 3 x 0,03 → R$ 180,00

Ao final do empréstimo, a pessoa pagará R$ 180,00 de juros.Observe, que se fizermos a conta mês a mês, o valor dos juros será de R$ 60,00 por mês e esse valor será somado mês a mês, nunca mudará.

tA fórmula dos Juros Compostos é: M = C. (1 + i)

Onde:

M = Montante, C = Capital, i = taxa de juros, t = tempo.

Considerando o mesmo problema anterior, da pessoa que emprestou R$ 2.000,00 a uma taxa de 3% (0,03) durante 3 meses, em juros simples, teremos:

Capital Aplicado (C) = R$ 2.000,00Tempo de Aplicação (t) = 3 mesesTaxa de Aplicação (i) = 0,03 (3% ao mês)

Fazendo os cálculos, teremos:

M = 2.000 . ( 1 + 0,03)³ → M = 2.000 . (1,03)³ → M = R$ 2.185,45

Ao final do empréstimo, a pessoa pagará R$ 185,45 de juros.Observe, que se fizermos a conta mês a mês, no primeiro mês ela pagará R$ 60,00, no segundo mês ela pagará R$ 61,80 e no terceiro mês ela pagará R$ 63,65.

Normalmente quando fazemos uma compra nas "Casas Bahia", por exemplo, os Juros cobrados são os Juros Compostos, praticamente todas lojas comerciais adotam os Juros sobre Juros (Juros Compostos).

Câmbio:

Entenda como funcionam as operações de câmbio, isto é, trocas de moedas, feitas a cada vez que você viaja para fora do Brasil, ou quando compra algum produto importado em moeda estrangeira.

Veja a tabela abaixo:

Moeda Cotação do câmbio

Dólar americano R$ 2,33

Franco suíço R$ 1,77

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Libra esterlina R$ 4,04

Libra síria R$ 0,044

Peso argentino R$ 0,77

Ela representa a cotação de 4 moedas estrangeiras em relação ao nosso real em um certo dia.

Analisando a tabela vemos que para comprar 1 dólar americano precisamos de 2,33 reais; para comprar 1 franco suíço de 1,77; para a libra esterlina (Grã Bretanha) de 4,04. Mas para se comprar 1 real precisa-se de 22,73 libras sírias e para 1 peso argentino 1,30 reais.

Força e fraquezaNo dia em que essas cotações foram extraídas, o real estava mais forte do que a libra síria e do peso argentino e mais fraca do que o dólar, o franco e a libra esterlina.

Mas é importante lembrar que o que faz uma moeda ser forte ou fraca em relação a uma outra não é a sua cotação pontual. A moeda é um espelho da economia de um país, então, a questão depende das condições econômicas que os países apresentam. O euro, quando foi criado, valia menos que o dólar. Agora vale cerca de 20% mais. Dessa maneira pode-se verificar que, ultimamente o dólar tem perdido força.

Dólar paralelo, oficial e turismoExistem no Brasil três mercados de dólares, o paralelo, o oficial e o turismo. Teoricamente estes mercados são independentes entre si e regulados pelas leis de oferta e procura.

O mercado oficial é onde as empresas importadoras e exportadoras compram e vendem os dólares das suas transações com o exterior. Também as empresas multinacionais recorrem a este mercado quando querem mandar lucros para o a matriz ou quando recebem dinheiro vivo para investimentos.

O mercado de dólar turismo é usado tanto pelo turista que quer viajar para fora do Brasil como para o turista que vem ao Brasil e troca seus dólares por reais.

O mercado paralelo ou mercado negro é usado por contraventores que usam o caixa 2, que agora está sendo chamado eufemisticamente de "dinheiro não contabilizado", para mandar ou receber dinheiro vivo do exterior.

Caixa 2Só por curiosidade, fique sabendo que toda empresa tinha sua contabilidade, sujeita à fiscalização, escriturada em um livro chamado "livro caixa". Para controlar tudo o que se queria esconder da fiscalização, e do pagamento de impostos, escriturava-se um segundo livro o "livro caixa 2".

Voltando aos mercados do dólar eles são independentes porque são três tipos de clientes e normalmente não há a interferência entre eles.

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Oferta e procuraÀs vezes "pesos pesados" atuam em um deles e afetam a lei da oferta e procura, por exemplo, quando o governo federal tem que pagar alguma parcela grande de empréstimos feitos em bancos do exterior, o Banco Central compra milhões ou até bilhões de dólares no mercado oficial afetando a cotação para cima.

A lei de oferta e procura diz que se muita gente quer comprar um produto e ele não tem uma oferta abundante o preço sobe, e ao contrário se um produto tem muita abundância e poucos compradores o preço cai.

Números inteiros relativos:

Conjuntos de números

Naturais Inteiros

Racionais Reais

ImagináriosComplexos

Números hiperreaisNúmeros hipercomplexos

Quaterniões Octoniões Sedeniões

Complexos hiperbólicos Quaterniões hiperbólicos

BicomplexosBiquaterniõesCoquaterniões

Tessarines

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Interseção do conjunto dos naturais e dos inteiros.

Pertencem ao conjunto dos números inteiros os números negativos, os números positivos e o zero. Fazendo uma comparação entre os números naturais e os inteiros percebemos que o conjunto dos naturais está contido no conjunto dos inteiros.

N = { 0,1,2,3,4,5,6, ... }

Z = { ... , -3,-2,-1,0,1,2,3,4, ... }

N Z

O conjunto dos números inteiros é representado pela letra Z maiúscula. Os números positivos são representados com o sinal de (+) positivo na frente ou com sinal nenhum (+2 ou 2), já os números negativos são representados com o sinal de negativo (-) na sua frente (-2).

►Os números inteiros são encontrados com freqüência em nosso cotidiano, por exemplo:

♦ Exemplo 1:

Um termômetro em certa cidade que marcou 10°C acima de zero durante o dia, à noite e na manhã seguinte o termômetro passou a marcar 3°C abaixo de zero. Qual a relação dessas temperaturas com os números inteiros?

Quando falamos acima de zero, estamos nos referindo aos números positivos e quando falamos dos números abaixo de zero estamos referindo aos números negativos.

+10° C ------------- 10° C acima de zero- 3° C --------------- 3° C abaixo de zero

♦ Exemplo 2:

Vamos imaginar agora que uma pessoa tem R$500,00 depositados num banco e faça sucessivas retiradas:

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• dos R$500,00 retira R$200,00 e fica com R$300,00

• dos R$300,00 retira R$200,00 e fica com R$100,00

• dos R$100,00 retira R$200,00 e fica devendo R$ 100,00

A última retirada fez com que a pessoa ficasse devendo dinheiro ao banco. Assim:

Dever R$100,00 significa ter R$100,00 menos que zero. Essa dívida pode ser representada por – R$100,00.

►Oposto de um número inteiro

O oposto de um número positivo é um número negativo simétrico. Por exemplo: o oposto de +2 é -2; o oposto de -3 é +3.

►O conjunto dos números inteiros possui alguns subconjuntos:

- Inteiros não – nulosSão os números inteiros, menos o zero.Na sua representação devemos colocar * ao lado do Z.Z* = {..., -3, -2, -1, 1, 2, 3,...}

- Inteiros não positivosSão os números negativos incluindo o zero.Na sua representação deve ser colocado - ao lado do Z.Z_ = {..., -3, -2, -1, 0}

- Inteiros não positivos e não – nulos São os números inteiros do conjunto do Z_ excluindo o zero.Na sua representação devemos colocar o _ e o * ao lado do Z.Z*_ = {..., -3, -2, -1}

- Inteiros não negativosSão os números positivos incluindo o zero.Na sua representação devemos colocar o + ao lado do Z. Z + = { 0,1 ,2 ,3, 4,...} O Conjunto Z + é igual ao Conjunto dos N

- Inteiros não negativos e não - nulosSão os números do conjunto Z+, excluindo o zero.Na sua representação devemos colocar o + e o * ao lado do Z.Z* + = {1, 2, 3, 4,...}O Conjunto Z* + é igual ao Conjunto N*

56

OU:

Os números inteiros são constituídos pelos números naturais {0, 1, 2, …} e pelos seus opostos {0, -1, -2, …}. Dois números são opostos se, e somente se, sua soma é zero. Chamam-se a estes números inteiros relativos.

O conjunto de todos os inteiros é denominado por Z (mais apropriadamente, um Z em blackboard bold, ), que vem do alemão die Zahlen, “números”.

Os resultados das operações de soma, subtracção e multiplicação entre dois inteiros são inteiros. Dois inteiros admitem relações binárias como =, > e <.

A ordem de Z é dada por … < -2 < -1 < 0 < 1 < 2 < … e faz de Z uma ordenação total sem limite superior ou inferior. Chama-se de inteiro positivo aos inteiros maiores que zero; o próprio zero não é considerado um positivo.

Tal como os números naturais, os números inteiros formam um conjunto infinito contável.

Números Racionais Relativos:

Representação dos conjuntos Naturais, Inteiros, Racionais.

Pertence ao conjunto dos números racionais, qualquer número que possa ser escrito na forma de fração, onde o numerador e o denominador são números inteiros.

Portanto, o Conjunto dos números Racionais engloba o conjunto dos inteiros, os números decimais finitos (Ex: 45,236) e os números decimais infinitos periódicos (que

57

repete uma seqüência de algarismos da parte decimal infinitamente), como: “1,3333333”... ; “0,232323...” ; “1,5888...”, chamados também de dízimas periódicas.

A letra Q maiúscula é a representação do Conjunto dos Números Racionais.

Subconjuntos de Q:

♦ Q* é o conjunto dos números racionais diferentes de zero.

♦ Q+ é o conjunto dos números racionais positivos e o zero.

♦ Q- é o conjunto dos números racionais negativos e o zero.

♦Q*+ é o conjunto dos números racionais positivos.

♦ Q*- é o conjunto dos números racionais negativos.

OU:

Chamamos números racionais aos números inteiros reunidos com os números fraccionários.

Ao conjunto dos números racionais positivos, negativos e zero, chamamos conjunto dos

números racionais relativos e representa-se por .

58

Nota: Nem todos os números são racionais relativos.

Por exemplo:

• não é um número racional relativo, porque é uma dízima infinita não periódica;

• não é um número racional relativo, porque é uma dízima infinita não periódica;

Conjunto dos números racionais relativosTodos os seguintes conjuntos são subconjuntos de , pois, estes conjuntos estão

contidos em .

• = {Números naturais}= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...};

• = {Números naturais e o zero} = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...};

• = {Números inteiros relativos}= {..., -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...};

o = {Números inteiros positivos} = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...};

o = {Números inteiros negativos} = {..., -6, -5, -4, -3, -2, -1};

o = {Números inteiros não negativos} = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,...};

o = {Números inteiros não positivos} = {..., -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0};

• = {Números racionais positivos};

• = {Números racionais negativos};

• = {Números racionais não negativos};

• = {Números racionais não positivos}.

Nota: Como podemos verificar, o conjunto dos números naturais é igual ao conjunto dos números inteiros positivos, tal como, o conjunto dos números naturais e o zero é igual ao conjunto dos números inteiros não negativos.

59

Exercício 20

Verdadeiro ou Falso?

a) 6

b) -5

c) 0

d) -2,5

e)

f) 4,5

g) -1,(3)

h)

i) 0

j) 1000

Operações inversas:

Gilberto Gil, num dos versos da música Copo Vazio, lembra que um copo vazio está cheio de ar!

Se enchermos um copo de água e a seguir o esvaziarmos ele volta a ficar cheio de ar.

Responda rápido: o avesso do avesso é avesso ou é direito?

60

Quando uma operação desfaz outra realizada anteriormente, determinando a volta ao estado original, dizemos que uma é a inversa da outra. Vejamos mais alguns exemplos:

A adição e a subtração são operações inversas. Uma desfaz o que a outra fez. Se a um número a somamos o número b, obtemos o número c, então de c subtraimos b, voltamos ao número a. Essa idéia pode ser representada assim:

Da mesma forma:

Entre a multiplicação e a divisão há uma relação parecida com a que existe entre a adição e a subtração. Veja os exemplos:

A multiplicação e a divisão são operações inversas. Uma desfaz o que a outra fez. Se o número a é multiplicado pelo número b, obtendo-se o número c, então, dividindo c por b voltamos ao número a.

Da mesma forma:

Em outras palavras essa idéia pode ser expressa assim: dividir o número a pelo número b significa encontrar o número c que, multiplicado por b, dá a. Assim,

61

por exemplo, dividir 793 por 13 significa encontrar o número que multiplicado por 13 dá 793. Que número é este?

De fato, 61 x 13 = 793.Nesse cálculo mental, a divisão de 793 por 13 foi efetuada com base na relação inversa existente entre a multiplicação e a divisão. Ela não foi efetuada assim:

Nomenclatura: quando a : b = c chamamos a de dividendo, b de divisor e c de quociente. Por exemplo, na divisão de 793 por 13, 793 é o dividendo, 13 é o divisor e 61 é o quociente.

Pensei um número. Multipliquei-o por 4 e, ao resultado, acrescentei 30. Depois dividi por 2 e, finalmente, subtrai 3. Resultado final: 22. Em que número pensei? (Sugestão: faça o caminho inverso)

O número pensado foi

Resposta:5

Operações com números racionais

Adição e Subtração

62

ENTRAR

Para simplificar a escrita, transformamos a adição e subtração em somas algébricas. Eliminamos os parenteses e escrevemos os números um ao lado do outro, da mesma forma como fazemos com os números inteiros.

Exemplo 1: Qual é a soma:

Exemplo 2: Calcule o valor da expressão

Multiplicação e divisão

Na multiplicação de números racionais, devemos multiplicar numerador por numerador, e denominador por denominador, assim como é mostrado nos exemplos abaixo:

Na divisão de números racionais, devemos multiplicar a primeira fração pelo inverso da segunda, como é mostrado no exemplo abaixo:

Potenciação e radiciação

63

Na potenciação, quando elevamos um número racional a um determinado expoente, estamos elevando o numerador e o denominador a esse expoente, conforme os exemplos abaixo:

Na radiciação, quando aplicamos a raiz quadrada a um número racional, estamos aplicando essa raiz ao numerador e ao denominador, conforme o exemplo abaixo:

Exercícios com números inteiros:

1. Numa adição com três parcelas, o total era 58. Somando-se 13 à primeira parcela, 21 à segunda e subtraindo-se 10 da terceira, qual será o novo total?

2. Numa subtração a soma do minuendo com o subtraendo e o resto resulto 412. Qual o valor do minuendo?

3. O produto de dois números é 620. Se adicionasse-mos 5 unidades a um de seus fatores, o produto ficaria aumentado de 155 unidades. Quais são os dois fatores?

4. Numa divisão inteira, o divisor é 12, o quociente é uma unidade maior que o divisor e o resto, uma unidade menor que o divisor. Qual é o valor do dividendo?

5. Certo prêmio será distribuído entre três vendedores de modo que o primeiro receberá R$ 325, 00; o segundo receberá R$ 60,00 menos que o primeiro; o terceiro receberá R$ 250,00 menos que o primeiro e o segundo juntos. Qual o valor total do prêmio repartindo entre os três vendedores?

6. Um dicionário tem 950 páginas; cada página é dividida em 2 colunas; cada coluna tem 64 linhas; cada linha tem, em média 35 letras. Quantas letras há nesse dicionário?

7. Uma pessoa ganha R$ 40,00 por dia de trabalho e gasta R$ 800,00 por mês. Quanto ela economizará em uma ano se ela trabalhar, em média, 23 dias por mês?

8. Um negociante comprou 8 barricas de vinho, todas com a mesma capacidade. Tendo pago R$ 7,00 o litro e vendido a R$ 9,00, ele ganhou, ao todo, R$ 1.760,00. Qual era a

64

capacidade de cada barrica?

9. Em um saco havia 432 balinhas. Dividindo-as em três montes iguais, um deles foi repartido entre 4 meninos e os dois montes restantes foram repartidos entre 6 meninas. Quantas balinhas recebeu cada menino e cada menina?

10. Marta, Marisa e Yara têm, juntas, R$ 275, 00. Marisa tem R$ 15,00 mais o que Yara e Marta possui R$ 20,00 mais que Marisa. Quanto tem cada uma das três meninas?

11. Do salário de R$ 3.302,00, Seu José transferiu uma parte para uma conta de poupança. Já a caminho de casa, Seu José considerou que se tivesse transferido o dobro daquele valor, ainda lhe restariam R$ 2.058,00 do seu salário em conta corrente. De quanto foi o depósito feito?

12. Renato e Flávia ganharam, ao todo, 23 bombons. Se Renato comesse 3 bombons e desse 2 para Flávia, eles ficariam com o mesmo número de bombons. Quantos bombons ganhou cada um deles?

Gabarito

1. 822. 2063. 20 e 314. 1675. R$ 930,006. 4.256.0007. R$ 1.4408. 110 litros9. Cada menino recebeu 36 e cada menina, 4810. Marta: R$ 110,00, Marisa: R$ 90,00 e Yara: R$ 75,0011. R$ 622,0012. Renato: 15 e Flávia: 8

Introdução às equações de primeiro grau

Para resolver um problema matemático, quase sempre devemos transformar uma sentença apresentada com palavras em uma sentença que esteja escrita em linguagem matemática. Esta é a parte mais importante e talvez seja a mais difícil da Matemática.

Sentença com palavras Sentença matemática

2 melancias + 2Kg = 14Kg 2 x + 2 = 14

Normalmente aparecem letras conhecidas como variáveis ou incógnitas. A partir daqui, a Matemática se posiciona perante diferentes situações e será necessário conhecer o valor de algo desconhecido, que é o objetivo do estudo de equações.

65

Equações do primeiro grau em 1 variável

Trabalharemos com uma situação real e dela tiraremos algumas informações importantes. Observe a balança:

A balança está equilibrada. No prato esquerdo há um "peso" de 2Kg e duas melancias com "pesos" iguais. No prato direito há um "peso" de 14Kg. Quanto pesa cada melancia?

2 melancias + 2Kg = 14Kg

Usaremos uma letra qualquer, por exemplo x, para simbolizar o peso de cada melancia. Assim, a equação poderá ser escrita, do ponto de vista matemático, como:

2x + 2 = 14

Este é um exemplo simples de uma equação contendo uma variável, mas que é extremamente útil e aparece na maioria das situações reais. Valorize este exemplo simples.

Podemos ver que toda equação tem:

Uma ou mais letras indicando valores desconhecidos, que são denominadas variáveis ou incognitas;

Um sinal de igualdade, denotado por =. Uma expressão à esquerda da igualdade, denominada primeiro membro ou

membro da esquerda; Uma expressão à direita da igualdade, denominada segundo membro ou membro

da direita.

No link Expressões Algébricas, estudamos várias situações contendo variáveis. A letra x é a incógnita da equação. A palavra incógnita significa desconhecida e equação tem o prefixo equa que provém do Latim e significa igual.

2 x + 2 = 14

1o. membro sinal de igualdade 2o. membro

As expressões do primeiro e segundo membro da equação são os termos da equação.

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Para resolver essa equação, utilizamos o seguinte processo para obter o valor de x.

2x + 2 = 14 Equação original

2x + 2 - 2 = 14 - 2 Subtraímos 2 dos dois membros

2x = 12 Dividimos por 2 os dois membros

x = 6 Solução

Observação: Quando adicionamos (ou subtraímos) valores iguais em ambos os membros da equação, ela permanece em equilíbrio. Da mesma forma, se multiplicamos ou dividimos ambos os membros da equação por um valor não nulo, a equação permanece em equilíbrio. Este processo nos permite resolver uma equação, ou seja, permite obter as raízes da equação.

Exemplos:

1. A soma das idades de André e Carlos é 22 anos. Descubra as idades de cada um deles, sabendo-se que André é 4 anos mais novo do que Carlos.

Solução: Primeiro passamos o problema para a linguagem matemática. Vamos tomar a letra c para a idade de Carlos e a letra a para a idade de André, logo a=c-4. Assim:

c + a = 22c + (c - 4) = 222c - 4 = 222c - 4 + 4 = 22 + 42c = 26c = 13

Resposta: Carlos tem 13 anos e André tem 13-4=9 anos.

2. A população de uma cidade A é o triplo da população da cidade B. Se as duas cidades juntas têm uma população de 100.000 habitantes, quantos habitantes tem a cidade B?

Solução: Identificaremos a população da cidade A com a letra a e a população da cidade com a letra b. Assumiremos que a=3b. Dessa forma, poderemos escrever:

a + b = 100.0003b + b = 100.0004b = 100.000b = 25.000

Resposta: Como a=3b, então a população de A corresponde a: a=3×25.000=75.000 habitantes.

3. Uma casa com 260m2 de área construída possui 3 quartos de mesmo tamanho. Qual é a área de cada quarto, se as outras dependências da casa ocupam 140m2?

Solução: Tomaremos a área de cada dormitório com letra x.

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3x + 140 = 2603x = 260 -1403x = 120x = 40

Resposta: Cada quarto tem 40m2.

Exercícios: Resolver as equações

1. 2x + 4 = 102. 5k - 12 = 203. 2y + 15 - y = 224. 9h - 2 = 16 + 2h

Desigualdades do primeiro grau em 1 variável

Relacionadas com as equações de primeiro grau, existem as desigualdades de primeiro grau, (também denominadas inequações) que são expressões matemáticas em que os termos estão ligados por um dos quatro sinais:

< menor

> maior

< menor ou igual

> maior ou igual

Nas desigualdades, o objetivo é obter um conjunto de todas os possíveis valores que pode(m) assumir uma ou mais incógnitas na equação proposta.

Exemplo: Determinar todos os números inteiros positivos para os quais vale a desigualdade:

2x + 2 < 14

Para resolver esta desigualdade, seguiremos os seguintes passos:

Passo 1 2x + 2 < 14 Escrever a equação original

Passo 2 2x + 2 - 2 < 14 - 2 Subtrair o número 2 dos dois membros

Passo 3 2x < 12 Dividir pelo número 2 ambos os membros

Passo 4 x < 6 Solução

Concluímos que o conjunto solução é formado por todos os números inteiros positivos menores do que 6:

S = {1, 2, 3, 4, 5}

Exemplo: Para obter todos os números pares positivos que satisfazem à desigualdade

68

2x + 2 < 14

obteremos o conjunto solução:

S = {2, 4}

Observação: Se há mais do que um sinal de desigualdade na expressão, temos várias desigualdades "disfarçadas" em uma.

Exemplo: Para determinar todos os números inteiros positivos para os quais valem as (duas) desigualdades:

12 < 2x + 2 < 20

poderemos seguir o seguinte processo:

12 < 2x + 2 < 20 Equação original

12 - 2 < 2x + 2 - 2 < 20 - 2 Subtraímos 2 de todos os membros

10 < 2x < 18 Dividimos por 2 todos os membros

5 < x < 9 Solução

O conjunto solução é:

S = {6, 7, 8, 9}

Exemplo: Para obter todos os números inteiros negativos que satisfazem às (duas) desigualdades

12 < 2x + 2 < 20

obteremos apenas o conjunto vazio, como solução, isto é:

S = Ø = { }

Desigualdades do primeiro grau em 2 variáveis

Uma situação comum em aplicações é aquela em que temos uma desigualdade envolvendo uma equação com 2 ou mais incógnitas. Estudaremos aqui apenas o caso em aparecem 2 incógnitas x e y. Uma forma geral típica, pode ser:

a x + b y < c

onde a, b e c são valores dados.

Exemplo: Para obter todos os pares ordenados de números reais para os quais:

69

2x + 3y > 0

observamos que o conjunto solução contém os pares:

(0,0), (1,0), (0,1), (-1,1), (1,-1), ...

Há infinitos pares ordenados de números reais satisfazendo a esta desigualdade, o que torna impossível exibir todas as soluções. Para remediar isto, utilizaremos um processo geométrico que permitirá obter uma solução geométrica satisfatória.

Processo geométrico:

(1) Traçamos a reta 2x+3y=0;

(2) Escolhemos um par ordenado, como (1,1), fora da reta;

(3) Se (1,1) satisfaz à desigualdade 2x+3y>0, colorimos a região que contém este ponto, caso contrário, colorimos a região que está do outro lado da reta.

(4) A região colorida é o conjunto solução para a desigualdade.

Sistemas linear de equações do primeiro grau

Uma equação do primeiro grau, é aquela em que todas as incógnitas estão elevadas à potência 1. Este tipo de equação poderá ter mais do que uma incógnita.

Um sistema de equações do primeiro grau em duas incógnitas x e y, é um conjunto formado por duas equações do primeiro nessas duas incógnitas.

Exemplo: Seja o sistema de duas equações:

2 x + 3 y = 383 x - 2 y = 18

Resolver este sistema de equações é o mesmo que obter os valores de x e de y que satisfazem simultaneamente a ambas as equações.

x=10 e y=6 são as soluções deste sistema e denotamos esta resposta como um par ordenado de números reais:

70

S = { (10,6) }

Método de substituição para resolver este sistema

Entre muitos outros, o método da substituição, consiste na idéia básica de isolar o valor algébrico de uma das variáveis, por exemplo x, e, aplicar o resultado à outra equação.

Para entender o método, consideremos o sistema:

2 x + 3 y = 383 x - 2 y = 18

Para extrair o valor de x na primeira equação, usaremos o seguinte processo:

2x + 3y = 38 Primeira equação

2x + 3y - 3y = 38 - 3y Subtraímos 3y de ambos os membros

2x = 38 - 3y Dividimos ambos os membros por 2

x = 19 - (3y/2) Este é o valor de x em função de y

Substituímos aqora o valor de x na segunda equação 3x-2y=18:

3x - 2y = 18 Segunda equação

3(19 - (3y/2)) - 2y = 18 Após substituir x, eliminamos os parênteses

57 - 9y/2 - 2y = 18 multiplicamos os termos por 2

114 - 9y - 4y = 36 reduzimos os termos semelhantes

114 - 13y = 36 separamos variáveis e números

114 - 36 = 13y simplificamos a equação

78 = 13y mudamos a posição dos dois membros

13 y = 78 dividimos ambos os membros por 6

y = 6 Valor obtido para y

Substituindo y=6 na equação x=19-(3y/2), obtemos:

x = 19 - (3×6/2) = 19 - 18/2 = 19-9 = 10

Exercício: Determinar a solução do sistema:

x + y = 2x - y = 0

71

Cada equação do sistema acima pode ser visto como reta no plano cartesiano. Construa as duas retas no plano e verifique que, neste caso, a solução é um par ordenado que pertence à interseção das duas retas.

Relação entre sistemas lineares e retas no plano

No contexto que estamos trabalhando aqui, cada equação da forma ax+by=c, representa uma reta no plano cartesiano. Um sistema com duas equações de primeiro grau em 2 incógnitas sempre pode ser interpretado como um conjunto de duas retas localizadas no plano cartesiano.

Reta 1: ax + by = cReta 2: dx + ey = f

Há três modos de construir retas no plano: retas concorrentes, retas paralelas e retas coincidentes.

Se o sistema é formado por duas equações que são retas no plano cartesiano, temos a ocorrência de:

Retas concorrentes: quando o sistema admite uma única solução que é um par ordenado localizado na interseção das duas retas;

Retas paralelas: quando o não admite solução, pois um ponto não pode estar localizado em duas retas paralelas;

Retas coincidentes: quando o admite uma infinidade de soluções pois as retas estão sobrepostas.

Exemplos das três situações

Tipos de retas Sistema

Concorrentesx + y = 2x - y = 0

Paralelasx + y = 2x + y = 4

Coincidentes x + y = 2

2x + 2y = 4

Problemas com sistemas de equações:

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1. A soma das idades de André e Carlos é 22 anos. Descubra as idades de cada um deles, sabendo-se que André é 4 anos mais novo do que Carlos.

Solução: A idade de André será tomada com a letra A e a idade de Carlos com a letra C. O sistema de equações será:

C + A = 22C - A = 4

Resposta: C = 13 e A = 9

2. A população de uma cidade A é o triplo da população da cidade B. Se as duas cidades juntas têm uma população de 100.000 habitantes, quantos habitantes tem a cidade B?

Solucão: Identificando a população da cidade A com a letra A e a população da cidade B com B, o sistema de equações será:

A + B = 100000A = 3B

Resposta: A = 75000, B= 25000.

3. Uma casa com 260m2 de área construída tem 3 dormitórios de mesmo tamanho. Qual é a área de cada dormitório se as outras dependências da casa ocupam 140m2?

Solução: Identificaremos a área de cada dormitório com a letra D e a área das outras dependências com a letra O. Assim, o sistema será:

3D + O = 260O = 140

Resposta: D = 40

Desigualdades com 2 Equações em 2 variáveis

Outra situação bastante comum é aquela em que existe uma desigualdade com 2 equações em 2 ou mais incógnitas. Estudaremos aqui apenas o caso em aparecem 2 equações e 2 incógnitas x e y. Uma forma geral pode ter a seguinte forma típica:

a x + b y < cd x + e y > f

onde as constantes: a, b, c, d, e, f; são conhecidas.

Exemplo: Determinar todos os pares ordenados de números reais para os quais:

2x + 3y > 65x + 2y < 20

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Há infinitos pares ordenados de números reais satisfazendo a esta desigualdade, o que torna impossível exibir todas as soluções. Para remediar isto, utilizaremos um processo geométrico que permitirá obter uma solução geométrica satisfatória.

Processo geométrico:

(1) Traçar a reta 2x+3y=6 (em vermelho);

(2) Escolher um ponto fora da reta, como o par (2,2) e observar que ele satisfaz à primeira desigualdade;

(3) Devemos colorir o semi-plano contendo o ponto (2,2) (em verde);

(4) Traçar a reta 5x+2y=20 (em azul);

(5) Escolher um ponto fora da reta, por exemplo, o próprio par já usado antes (2,2) (não é necessário que seja o mesmo) e observamos que ele satisfaz à segunda desigualdade;

(6) Colorir o semi-plano contendo o ponto (2,2), inclusive a própria reta. (cor azul)

(7) Construir a interseção (em vermelho) das duas regiões coloridas.

(8) Esta interseção é o conjunto solução para o sistema com as duas desigualdades.

Esta situação gráfica é bastante utilizada em aplicações da Matemática a estudos de Economia e Processos de otimização. Um dos ramos da Matemática que estuda este assunto é a Pesquisa Operacional.

EXPRESSÕES EQUIVALENTES

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A balança e a equação.

Princípio da igualdade

Para melhor visualizarmos uma igualdade, vamos observar a balança de dois pratos.

Na balança acima temos uma balança equilibrada (igual), pois a quantidade de cubos que tem em um prato é a mesma que tem em outro. Os cubos verdes e laranja têm massas iguais.

Agora, se pegarmos essa mesma balança e somarmos ou retirarmos cubos? O que irá acontecer?

6 + 2 = 1 + 7

Para que a balança continue em equilíbrio o mesmo peso que colocarmos em um lado deveremos colocar do outro, então:

acrescentei 3 cubos laranjas em cada lado.

6 + 2 + 3 = 1 + 7 + 3

Se retirarmos algum cubo, devemos retirar a mesma quantidade de cada lado para que a

75

balança continue equilibrada.

Princípio aditivo da igualdade: adicionando ou subtraindo um mesmo número nos dois membros de uma igualdade obtém-se outra sentença que ainda é uma igualdade.

Observe a balança abaixo:

2 + 3 = 1 + 4

Se dobrarmos a quantidade de cubos em cada lado teremos:

2 . (2 + 3) = 2 . (1 + 4)

Concluímos que 2 + 3 = 1 + 4 e 2 . (2 + 3) = 2 . (1 + 4) são duas igualdades.

Princípio multiplicativo da igualdade: Multiplicando ou dividindo por um mesmo número (diferente de zero) os dois membros de uma igualdade obtém-se uma nova sentença que ainda é uma igualdade.

Equações Equivalentes

Para obter duas equações equivalentes partiremos do mesmo princípio da igualdade.

Por exemplo, observe essas igualdades:

3X + 2 = X + 10 (equação 1) Para que seja verdadeira essa igualdade o X nos dois lados irá assumir o mesmo valor: X = 4 (equação 2) Então:

3 . 4 + 2 = 4 + 10

12 + 2 = 4 + 10

14 = 14

2X = 8 (equação 3)

2 . 4 = 8

8 = 8

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X = 4 (equação 4)

Nas equações 1, 2, 3, 4 o valor da incógnita (raiz da equação) é o mesmo, dizemos que elas são equivalentes entre si.

Para acharmos mais facilmente a raiz de uma equação transformamos a equação inicial em outras equações mais simples até chegar ao valor da incógnita.

Para transformar as equações em outras equivalentes utilizamos: O princípio aditivo da equivalência de equações – conseqüência do princípio aditivo da igualdade. O principio multiplicativo da equivalência de equações – conseqüência do princípio multiplicativo da igualdade

Sistema de reduçãoOrigem: Wikipédia, a enciclopédia livre.Ir para: navegação, pesquisa

Em matemática um sistema de redução é um sistema onde termos podem ser reescritos usando uma lista finita, ou infinita, de regras de reescrita

Exemplos de sistemas de redução incluem sistemas de reescrita de cadeias de caractere, sistemas de reescrita de termos, cálculo lambda sob conversão lambda e sistemas de redução combinatória.

Quando nenhuma regra de redução pode ser aplicada para uma determinada expressão, é dito que esta está na Forma Normal.

Visão geral

Um sistema de liguagem formal que pode ser transformado de acordo com um conjunto finito de regras de reescrita é chamado de sistema de redução. Enquanto sistemas de redução também são conhecidos como sistemas de reescrita de strings ou sistema de reescrita de termos, o termo sistemas de redução é mais geral.

Cálculo lambda, como já foi dito, é um exemplo de sistema de redução com regras conversões lambda, constituindo assim as regras de reescrita.

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Exemplo

Se nenhuma das regras de reescrita de um sistema de redução é aplicada a Expressão E, então E está em forma normal para um sistema de redução.

Um par de expressões (x,y) é chamado juntável (joinable), se ambos, x e y, podem ser reduzidos para a mesma expressão em zero ou mais passos de redução (exemplo, a aplicação de regras de redução).

Se x é reduzido para y em um passo, isso é indicado por . Se Se x é reduzido

para y em zaro ou mais passos, isso é indicado por .

Sistema de Redução Abstrato

Um sistema de redução abstrato (SRA) é uma modelagem matemática que permite o estudo de propriedades sobre sistema de reescrita de termos sem a necessidade de nos preocuparmos com a natureza dos objetos que são reescritos.

Um sistema de redução abstrato (SRA) é um par (A, ), em que a redução é uma relação binária sobre o conjunto A, isto é, em A x A.

Redução

Se temos (a,b) a para a e b A, então escrevemos a b e chamamos b de uma redução de a, ou a uma expansão de b.

Cadeia de redução ou seqüência de redução

Seja o SRA (A, ), uma cadeia de redução é uma cadeia finita ou infinita da seguintes forma: ... .

n-Redução

Dizemos que an é uma n-redução de a1 se existir uma cadeia .

Notações

Para o SRA (a, ) temos as seguintes notações para :

• Fecho reflexivo: .• Fecho transitivo: .• Fecho simétrico: .• Fecho transitivo e reflexivo: .• Fecho transitivo e simétrico: .• Fecho transitivo, simétrico e reflexivo: .• Relação inversa: .

Para o SRA (A, ) e x, y e z A dizemos que:

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• y é um sucessor direto de x se e somente se x y;• y é um sucessor de x se e somente se x y;• x e y são ligáveis se e somente se existe um z tal que x z y.

FatoraçãoOrigem: Wikipédia, a enciclopédia livre.Ir para: navegação, pesquisa

Fatoração (Factoração, em português europeu) é o termo usado na álgebra para designar a decomposição que se faz de cada um dos elementos que integram um produto, ou seja, o resultado de uma multiplicação. Assim como parcela é cada uma das partes que integram uma adição, o fator é como se chama cada elemento que integra o produto. Com a fatoração busca-se a simplificação das fórmulas matemáticas em que ocorre a multiplicação, especialmente das chamadas equações.

Há centenas de aplicações e problemas relacionados, tais quais os de fatoração de números primos e criptografia.

De forma mais genérica, a fatoração é o ato de se representar um elemento de um monoide sobre o qual está definida uma operação multiplicativa como um produto de elementos do grupo. Um caso particular importante é a fatoração de um polinômio, que consiste em transformá-lo em um produto de polinômios de graus menores, ou mais simples, em linguagem não-matemática.

Essa fatoração é indispensável na resolução de equações do segundo grau ou maior.

Principais tipos de fatoração

• Fator comum em evidência :• Agrupamento :

• Trinômio quadrado perfeito :

• Trinômio do 2º Grau :• Diferença de dois quadrados (não há soma de dois quadrados):

• Soma de dois cubos :

• Diferença de dois cubos : • Diferença de potências:

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• Soma de potências (n ímpar):

• Diferença entre uma potência de 2 e 1:

• Diferença entre uma potência de um natural e 1:

Sistemas equivalentes de equações simultâneas Sistemas equivalentes de equações simultâneas

Exercícios

1)Resolver os sistemasx + 2y = 34x - 3y = 7

x + 2y = 3x= -2y + 3

Substituindo os valores de "X" :4x - 3y = 74(-2y +3) -3y = 7-8y + 12 -3y = 7-11y + 12 = 7-11y = 7-12-11y = -5-y = -5 ___ 11

y = 5 ___ 11

Substituindo os valores de "Y":

x + 2y = 3x + 2 ( 5 ) = 3 ___ 11

x + 10

80

___ = 3 11

11x + 10 33________ = 11

11x + 10 = 3311x = 33 - 1011x = 23

x = 23 ___ 11

V = 23 5 ___ ; ___11 11

2) 6x - 4y = 04x + 2y = 7

6x - 4y =06x = 0 + 4y6x = 4y

x = 4y ___ 6

x = 2y --- 3

Substituindo os valores de "X"

4x + 2y = 74(2y ) + 2y = 7 __ 3

8y + 2y = 7__

81

3

8y + 6y = 21___________ 3

14y = 21

y = 21 ___ 14

y = 3 _ 2

Substituindo o valor de "Y"

x= 2y --- 3

x = 2(3 ) __ 2 __ 3

x = 6 ___ 2 ___ 3

x = 3 __ = 1 3

V = 1; 3 ___ 2

82

3) -3x + 5y = 04x - 3y = 4

-3x + 5y = 0-3x = 0 - 5y-3x = -5y

-x = -5y ___ 3

x = 5y ___ 3

Substituindo os valores de "X"4x - 3y = 4

4(5y) - 3y = 4 __ 3

20y - 3y = 4___ 3

20y - 9y = 12_____________ 3

11y = 12

y = 12 ___ 11

Substituindo os valores de "Y"

x = 5y ___ 3

x = 5 (12)

83

___ 11 ____ 3

x = 60 ____ 11 ____ 3

x = 20 ___ 11

V = 20 ; 12 ___ ___ 11 11

4) 7u + 7v = 1-u -3v = -2

-u -3v = -2-u = -2 + 3vu = 2 - 3v

Substituindo os valores de "U"

7u + 7v = 17(2-3v) + 7v = 114 -21v + 7v = 114 - 14v = 1-14 v = 1 - 14-14v = -13

-v = -13 ___ 14

v = 13 ___ 14

84

Substituindo os valores de "V"

u = 2 - 3vu = 2 - 3 (13) ___ 14

u = 2 - 39 ___ 14

u = 28 - 39 _______ 14

u = -39 + 28 _______ 14

u = - 11 ___ 14

V = -11 ; 13 ____ ___ 14 14

TEORIA DOS POLINÔMIOS

1. Definição:Denomina-se polinômio na variável x e indica-sepor P(x) a toda expressão do tipo:P(x) = anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + ... + a2x2 + a1x1 + a0

Onde:an, an-1, an-2,... , a2 e a1 são números reaisdenominados coeficientes.

a0 (termo independente)n é um número naturalO maior valor do expoente de x, numa parcela decoeficiente não nulo, define o GRAU de um polinômio.

Exemplos 1:

a) P(x) = 2x4 + 5x3 + 6x – 2 é um polinômio do 4º

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grau (gr(P) = 4) e seus coeficientes são: a4 = 2, a3 = 5,a2 = 0, a1 = 6 e a0 = -2 (termo independente).

b) A (x) = -5x3 + 2x2 + 7x – 1 é um polinômio do 3ºgrau (gr (A) = 3) e seus coeficientes são: a3 = -5, a2 = 2,a1 = 7 e a0 = -1 (termo independente).

c) B(x) = 5 é um polinômio de grau zero(gr (B) = 0).

d) C(x) = x 2 +1 xnão representa um polinômio,pois 1 = x-1

x.02. Valor Numérico de Um Polinômio:O valor numérico de um polinômio P(x) para umnúmero x = k, é obtido quando substituímos a variável xpelo número k e efetuamos as operações indicadas.

Exemplos 2:1. Sendo P(x) = 3x + 3, calcule P(4).

Resolução:Observe que no lugar da variável x encontra-se onúmero 4, logo no polinômio dado, onde aparecer avariável x, deveremos substituir por seu valor numérico,que neste caso está sendo representado pelo número 4.Daí teremos:P(4) = 3. 4 + 3P(4) = 152. Dado o polinômio P(x) = 4x3 – 2x2 – x – 1,encontre P(1).Resolução:P(1) = 4. (1)3 – 2. (1)2 – (1) – 1P(1) = 4 – 2 – 1 – 1P(1) = 0, logo, 1 é raiz do polinômio P(x)

Observação:Se P(k) = 0, então k é denominado RAIZ do polinômio.

03. Igualdade de Polinômio:Dados os polinômios:P(x) = anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + ... + a2x2 + a1x1 + a0 eQ(x) = bnxn + bn-1xn-1 + bn-2xn-2 + ... + b2x2 + b1x1 + b0 ,dizemos que P(x) = Q(x) se, e somente se:{gr(P)=gr(Q) ou m=n{ai=bi,0<i <n

86

Exemplos 3:Se P(x) = 2x 2 - 3x + 1 e Q(x) = 1 + 2x 2 - 3x, entãoP(x) = Q(x).

Exercício Resolvido

Determinar os valores de a e b, sabendo queF(x) = 2x 2 - (a + b). x + 3 e G(x) = (2a – b – 1). x 2 - 3x +(5b – a) são iguais.

Exercício Resolvido

Determinar os valores de a e b, sabendo queF(x) = 2x 2 - (a + b). x + 3 e G(x) = (2a – b – 1). x 2 - 3x +(5b – a) são iguais.

01. Determinar o valor de n, de tal forma que o polinômioP(x) = (n2 – 4)x3 + x2 + 2x = 3 tenha grau 2.

02. Dado o polinômio P(x) = 2x2 – 3x + k, determinar ovalor de k de modo que a raiz do polinômio P(x) seja 4.

03. Determinar o polinômio P(x) = a.x + b, com a ≠ 0 eP(-1) = 1 e P(3) = 9.

04. Dado o polinômio P(x) = -4x3 + 2x2 + x – 1, calcule:a) P(1) c) P(-3)b) P(2) d) P(0)

05.Sendo P(X) = x 3 - 6x 2 + 11x – 6, identificar quais dentreos elementos do conjunto A = {0, 1, 2, 3, 4} são raizes deP(x).

06. Determinar o polinômio P(x), unitario e de 2º grau,sabendo que 2 é raiz e que P(4) = 30.

07. Sendo P(x) = x 4 + x 2 - 5x – 1, calculeP(0)+P(1)

08. Determine o polinômio unitario F(x) do 2º grau,sabendo que -1 é raiz e que F(3) = 2.

Noção intuitiva do conceito de "zeros" de um polinômio.

São os valores da variável independente(que pode ser representada pela x ) para os quais o polinômio vale zero.Por exemplo, o polinômio P(x)=5x-10 tem como raiz o valor x=2,pois 5.2-10=0.Boa sorte e Jesus te ama.

87

Graficamente,seriam os pontos em que o gráfico corta o eixo-x.

Os "zeros" de um polinômio são os valores em que a incógnita do polinômio assumem de tal forma que o resultado é igual a zero.

Ex:No polinômio 3x+5=0x é a nossa incógnita.que valor x pode assumir para que este polinômio (equação) seja verdadeiro?

3x+5=0 se e somente se3x=-5x=-5/3

Note que se substiuirmos este valor de x no polinômio acima o resultado será zero:3*(-5/3)+5=-5+5=0

A quantidade de "zeros" de um polinômio está relacionado com o grau dele.No nosso exemplo o polinomio tem grau 1 (x=x^1) e portanto só pode assumir um valor.

Se o polinomio for de grau 2 (equação do segundo grau por exemplo) ele tera 2 "zeros"

Se for de grau 3, 3 "zeros"

E assim sucessivamente.

Introdução às equações algébricas

Equações algébricas são equações nas quais a incógnita x está sujeita a operações algébricas como: adição, subtração, multiplicação, divisão e radiciação.

Exemplos:

1. a x + b = 02. a x² + bx + c = 03. a x4 + b x² + c = 0

Uma equação algébrica está em sua forma canônica, quando ela pode ser escrita como:

ao xn + a1 xn-1 + ... + an-1 x1 + an = 0

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onde n é um número inteiro positivo (número natural). O maior expoente da incógnita em uma equação algébrica é denominado o grau da equação e o coeficiente do termo de mais alto grau é denominado coeficiente do termo dominante.

Exemplo: A equação 4x²+3x+2=0 tem o grau 2 e o coeficiente do termo dominante é 4. Neste caso, dizemos que esta é uma equação do segundo grau.

A fórmula quadrática de Sridhara (Bhaskara)

Mostraremos na sequência como o matemático Sridhara, obteve a Fórmula (conhecida como sendo) de Bhaskara, que é a fórmula geral para a resolução de equações do segundo grau. Um fato curioso é que a Fórmula de Bhaskara não foi descoberta por ele mas pelo matemático hindu Sridhara, pelo menos um século antes da publicação de Bhaskara, fato reconhecido pelo próprio Bhaskara, embora o material construído pelo pioneiro não tenha chegado até nós.

O fundamento usado para obter esta fórmula foi buscar uma forma de reduzir a equação do segundo grau a uma do primeiro grau, através da extração de raízes quadradas de ambos os membros da mesma.

Seja a equação:

a x² + b x + c = 0

com a não nulo e dividindo todos os coeficientes por a, temos:

x² + (b/a) x + c/a = 0

Passando o termo constante para o segundo membro, teremos:

x² + (b/a) x = -c/a

Prosseguindo, faremos com que o lado esquerdo da equação seja um quadrado perfeito e para isto somaremos o quadrado de b/2a a ambos os membros da equação para obter:

x² + (b/a) x + (b/2a)² = -c/a + (b/2a)²

Simplificando ambos os lados da equação, obteremos:

[x+(b/2a)]2 = (b² - 4ac) / 4a²

Notação: Usaremos a notação R[x] para representar a raiz quadrada de x>0. R[5] representará a raiz quadrada de 5. Esta notação está sendo introduzida aqui para fazer com que a página seja carregada mais rapidamente, pois a

89

linguagem HTML ainda não permite apresentar notações matemáticas na Internet de uma forma fácil.

Extraindo a raiz quadrada de cada membro da equação e lembrando que a raiz quadrada de todo número real não negativo é também não negativa, obteremos duas respostas para a nossa equação:

x + (b/2a) = + R[(b²-4ac) / 4a²]

ou

x + (b/2a) = - R[(b²-4ac) / 4a²]

que alguns, por preguiça ou descuido, escrevem:

contendo um sinal ± que é lido como mais ou menos. Lembramos que este sinal ± não tem qualquer significado em Matemática.

Como estamos procurando duas raízes para a equação do segundo grau, deveremos sempre escrever:

x' = -b/2a + R[b²-4ac] /2a

ou

x" = -b/2a - R[b²-4ac] /2a

A fórmula de Bhaskara ainda pode ser escrita como:

onde D (às vezes usamos a letra maiúscula "delta" do alfabeto grego) é o discriminante da equação do segundo grau, definido por:

D = b² - 4ac

Equação do segundo grau

Uma equação do segundo grau na incógnita x é da forma:

90

a x² + b x + c = 0

onde os números reais a, b e c são os coeficientes da equação, sendo que a deve ser diferente de zero. Essa equação é também chamada de equação quadrática, pois o termo de maior grau está elevado ao quadrado.

Equação Completa do segundo grau

Uma equação do segundo grau é completa, se todos os coeficientes a, b e c são diferentes de zero.

Exemplos:

1. 2 x² + 7x + 5 = 02. 3 x² + x + 2 = 0

Equação incompleta do segundo grau

Uma equação do segundo grau é incompleta se b=0 ou c=0 ou b=c=0. Na equação incompleta o coeficiente a é diferente de zero.

Exemplos:

1. 4 x² + 6x = 02. 3 x² + 9 = 03. 2 x² = 0

Resolução de equações incompletas do 2o. grau

Equações do tipo ax²=0: Basta dividir toda a equação por a para obter:

x² = 0

significando que a equação possui duas raízes iguais a zero.

Equações do tipo ax²+c=0: Novamente dividimos toda a equação por a e passamos o termo constante para o segundo membro para obter:

x² = -c/a

Se -c/a for negativo, não existe solução no conjunto dos números reais.

Se -c/a for positivo, a equação terá duas raízes com o mesmo valor absoluto (módulo) mas de sinais contrários.

91

Equações do tipo ax²+bx=0: Neste caso, fatoramos a equação para obter:

x (ax + b) = 0

e a equação terá duas raízes:

x' = 0 ou x" = -b/a

Exemplos gerais

1. 4x²=0 tem duas raízes nulas.2. 4x²-8=0 tem duas raízes: x'=R[2], x"= -R[2]3. 4x²+5=0 não tem raízes reais.4. 4x²-12x=0 tem duas raízes reais: x'=3, x"=0

Exercícios: Resolver as equações incompletas do segundo grau.

1. x² + 6x = 02. 2 x² = 03. 3 x² + 7 = 04. 2 x² + 5 = 05. 10 x² = 06. 9 x² - 18 = 0

Resolução de equações completas do 2o. grau

Como vimos, uma equação do tipo: ax²+bx+c=0, é uma equação completa do segundo grau e para resolvê-la basta usar a fórmula quadrática (atribuída a Bhaskara), que pode ser escrita na forma:

onde D=b²-4ac é o discriminante da equação.

Para esse discriminante D há três possíveis situações:

1. Se D<0, não há solução real, pois não existe raiz quadrada real de número negativo.

2. Se D=0, há duas soluções iguais:

x' = x" = -b / 2a

3. Se D>0, há duas soluções reais e diferentes:

92

x' = (-b + R[D])/2ax" = (-b - R[D])/2a

Exemplos: Preencher a tabela com os coeficientes e o discriminante de cada equação do segundo grau, analisando os tipos de raízes da equação.

Equação a b c Delta Tipos de raízesx²-6x+8=0 1 -6 8 4 reais e diferentes

x²-10x+25=0 x²+2x+7=0 x²+2x+1=0

x²+2x=0

O uso da fórmula de Bhaskara

Você pode realizar o Cálculo das Raízes da Equação do segundo grau com a entrada dos coeficientes a, b e c em um formulário, mesmo no caso em que D é negativo, o que força a existência de raízes complexas conjugadas. Para estudar estas raízes, visite o nosso link Números Complexos.

Mostraremos agora como usar a fórmula de Bhaskara para resolver a equação:

x² - 5 x + 6 = 0

1. Identificar os coeficientes: a=1, b= -5, c=62. Escrever o discriminante D = b²-4ac.3. Calcular D=(-5)²-4×1×6=25-24=14. Escrever a fórmula de Bhaskara:

5. Substituir os valores dos coeficientes a, b e c na fórmula:

x' = (1/2)(5+R[1]) = (5+1)/2 = 3x" = (1/2)(5-R[1]) = (5-1)/2 = 2

Exercícios

1. Calcular o discriminante de cada equação e analisar as raízes em cada caso:

a. x² + 9 x + 8 = 0b. 9 x² - 24 x + 16 = 0c. x² - 2 x + 4 = 0

93

d. 3 x² - 15 x + 12 = 0e. 10 x² + 72 x - 64 = 0

2. Resolver as equações:a. x² + 6 x + 9 = 0b. 3 x² - x + 3 = 0c. 2 x² - 2 x - 12 = 0d. 3 x² - 10 x + 3 = 0

Equações fracionárias do segundo grau

São equações do segundo grau com a incógnita aparecendo no denominador.

Exemplos:

1. 3/(x² - 4) + 1/(x - 3) = 02. 3/(x²-4)+1/(x-2)=0

Para resolver este tipo de equação, primeiramente devemos eliminar os valores de x que anulam os denominadores, uma vez que tais valores não servirão para as raízes da equação, pois não existe fração com denominador igual a 0. Na sequência extraímos o mínimo múltiplo comum de todos os termos dos denominadores das frações, se houver necessidade.

1. Consideremos o primeiro exemplo:

3/(x² - 4) + 1/(x - 3) = 0

x deve ser diferente de 3, diferente de 2 e diferente de -2, assim podemos obter o mínimo múltiplo comum entre os termos como:

MMC(x) = (x² - 4)(x - 3)

Reduzindo as frações ao mesmo denominador que deverá ser MMC(x), teremos:

[3(x-3) + 1(x²-4)] / (x²-4)(x-3) = 0

o que significa que o numerador deverá ser:

3(x - 3) + 1(x² - 4) = 0

que desenvolvido nos dá:

x2 + 3x - 13 = 0

que é uma equação do segundo grau que pode ser resolvida pela fórmula de Bhaskara. Não existirão números reais satisfazendo esta equação.

94

2. Consideremos agora o segundo exemplo:

(x+3)/(2x-1)=2x/(x+4)

O mínimo múltiplo comum entre 2x-1 e x+4 é MMC=(2x-1)(x-4) (o produto entre estes fatores) e MMC somente se anulará se x=1/2 ou x= -4. Multiplicando os termos da equação pelo MMC, teremos uma sequência de expressões como:

(x+3)(x+4)=2x(2x-1)x² + 7x + 12 = 4x² - 2x-3x² + 9x + 12 = 03x² - 9x - 12 = 0x² - 3x - 4 = 0(x-4)(x+1) = 0

Solução: x'=4 ou x"= -1

3. Estudemos outro exemplo:

3/(x²-4)+1/(x-2)=0

O mínimo múltiplo comum é MMC=x²-4=(x-2)(x+2) e este MMC somente se anulará se x=2 ou x= -2. Multiplicando os termos da equação pelo MMC, obteremos:

3 + (x+2)=0

cuja solução é x= -5

Exercícios: Resolver as equações do segundo grau fracionárias:

1. x + 6/x = -72. (x+2)/(x+1) = 2x/(x-4)3. (2-x)/x + 1/x² = 3/x4. (x+2)/(x-2) + (x-2)/(x+2) = 1

Equações bi-quadradas

São equações do 4o. grau na incógnita x, da forma geral:

a x4 + b x² + c = 0

Na verdade, esta é uma equação que pode ser escrita como uma equação do segundo grau através da substituição:

y = x²

95

para gerar

a y² + b y + c = 0

Aplicamos a fórmula quadrática para resolver esta última equação e obter as soluções y' e y" e o procedimento final deve ser mais cuidadoso, uma vez que

x² = y' ou x² = y"

e se y' ou y" for negativo, as soluções não existirão para x.

Exemplos:

1. Para resolver x4-13x²+36=0, tomamos y=x², para obter y²-13y+36=0, cujas raízes são y'=4 ou y"=9, assim:

x² = 4 ou x² = 9

o que garante que o conjunto solução é:

S = { 2, -2, 3, -3}

2. Para resolver x4-5x²-36=0, tomamos y=x², para obter y²-5y-36=0, cujas raízes são y'= -4 ou y"=9 e desse modo:

x² = -4 ou x² = 9

o que garante que o conjunto solução é:

S = {3, -3}

3. Se tomarmos y=x² na equação x4+13x²+36=0, obteremos y²+13y+36=0, cujas raízes são y'= -4 ou y"= -9 e dessa forma:

x² = -4 ou x² = -9

o que garante que o conjunto solução é vazio.

RELAÇÕES ENTRE OS COEFICIENTES E AS RAÍZES

Considere a equação ax2 + bx + c = 0, com a 0 e sejam x'e x'' as raízes reais dessa equação.

Logo:

96

Observe as seguintes relações:

• Soma das raízes (S)

• Produto das raízes (P)

Como ,temos:

Denominamos essas relações de relações de Girard. Verifique alguns exemplos de aplicação dessas relações.

• Determine a soma e o produto das raízes da equação 10x2 + x - 2 = 0.

Solução

Nesta equação, temos: a=10, b=1 e c=-2.

A soma das raízes é igual a . O produto das raízes é igual a

Assim: Assim:

• Determine o valor de k na equação x2 + ( 2k - 3)x + 2 = 0, de modo que a soma de suas raízes seja igual a 7.

Solução

97

Nesta equação, temos: a=1, b=2k e c=2.

S= x1 + x2 = 7

Logo, o valor de k é -2.

grau

Seja a equação ax2+bx+c = 0. Dividindo ambos os membros por a ≠ 0, vem:x2 + (b/a)x + (c/a) = 0Sendo x1 e x2 as raízes, temos as seguintes fórmulas para a soma S e o produto P das raízes.

Forma (S,P) de uma equação de segundo grau

Ora, poderemos escrever então:S = -b / a Þ -S = b/aSubstituindo os valores de b/a e c/a na equação acima, vem finalmente:x2 – Sx + P = 0, que é a forma (S,P) da equação do 2º grau.

Esta maneira de apresentar a equação do 2º grau é bastante conveniente, uma vez que permite conhecer a soma das raízes e o produto das raízes, sem resolver a equação. Este fato, facilita até a solução mental da equação, sem aplicação da fórmula de Bhaskara.

Exemplos:

a) x2 – 5x + 6 = 0Soma das raízes = S = 5Produto das raízes = P = 6Ora, os números que somados dá 5 e multiplicados dá 6, são 2 e 3 que são as raízes da equação.

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b) x2 – x – 12 = 0S = 1 e P = -12Os números que somados é igual 1 e multiplicados dá - 12 são 4 e –3 , que são as raízes da equação.

c) x2 +3x - 4 = 0S = - 3 e P = -4Os números que somados dá –3 e multiplicados dá –4 são –4 e 1, que são as raízes da equação.

d) x2 + x - 999000 = 0S = -1 e P = -999000Verifique mentalmente que as raízes são -1000 e 999.A solução pela fórmula de Bhaskara seria um pouco trabalhosa. Perceberam?

e) x2 – (1+Ö 3)x + Ö 3 = 0Verifique mentalmente que as raízes são 1 e Ö 3.

Com a prática, você será capaz de resolver muitas equações do 2º grau, sem o uso da fórmula de Bhaskara, com o uso do método acima.

Nota: a fórmula de Bhaskara – matemático hindu do século XII – é dada por:x = (-b ± ÖD) / 2a onde D = b2 – 4ac (D : é conhecido como discriminante da equação).Esta fórmula – atribuída a Bhaskara – resolve a equação do segundo grau ax2

+ bx + c = 0, com a ¹ 0.Observe que se D = 0, a equação possui duas raízes reais e iguais; se D > 0, a equação possui duas raízes reais e distintas entre si; se D < 0, a equação não possui raízes reais.

Com a forma (S,P) da equação do 2º grau [x2 – Sx + P=0], podemos resolver o problema inverso da determinação das raízes, ou seja, compor a equação cujas raízes são conhecidas.Exemplo: Qual a equação do 2º grau cujas raízes são 10 e 78?Temos: S = 10+78 = 88 e P = 10.78 = 780Logo, a equação é: x2 – 88x + 780 = 0.

Qual a equação cujas raízes são -4 e 100?Temos: S = -4 + 100 = 96 e P = -4(100) = -400Logo, a equação procurada é x2 - 96x – 400 = 0.

Qual a equação cujas raízes são w -1 e w+1?Temos: S = w –1 + w + 1 = 2wP = (w –1)(w+1) = w2-1Logo, a equação procurada é:x2 – 2wx + w2 – 1 = 0.

Agora resolva mentalmente a equação x2 + 100x – 60000 = 0Resposta: as raízes são -300 e 200.

99

COMPOSIÇÃO DE UMA EQUAÇÃO DO 2º GRAU, CONHECIDAS AS RAÍZES

Considere a equação do 2º grau ax2 + bx + c = 0.

Dividindo todos os termos por a , obtemos:

Como , podemos escrever a equação desta maneira.

x2 - Sx + P= 0

Exemplos:

• Componha a equação do 2º grau cujas raízes são -2 e 7.

Solução

A soma das raízes corresponde a:

S= x1 + x2 = -2 + 7 = 5

O produto das raízes corresponde a:

P= x1 . x2 = ( -2) . 7 = -14

A equação do 2º grau é dada por x2 - Sx + P = 0, onde S=5 e P= -14.

Logo, x2 - 5x - 14 = 0 é a equação procurada.

• Formar a equação do 2º grau, de coeficientes racionais, sabendo-se que

uma das raízes é .

Solução

100

Se uma equação do 2º grau, de coeficientes racionais, tem uma raiz , a

outra raíz será .

Assim:

Logo, x2 - 2x - 2 = 0 é a equação procurada.

FORMA FATORADA

Considere a equação ax2 + bx + c = 0.

Colocando a em evidência, obtemos:

Então, podemos escrever:

Logo, a forma fatorada da equação ax2 + bx + c = 0 é:

a.(x - x') . (x - x'') = 0

101

Exemplos:

• Escreva na forma fatorada a equação x2 - 5x + 6 = 0.

Solução

Calculando as raízes da equação x2 - 5x + 6 = 0, obtemos x1= 2 e x2= 3.

Sendo a= 1, x1= 2 e x2= 3, a forma fatorada de x2 - 5x + 6 = 0 pode ser assim escrita:

(x-2).(x-3) = 0

• Escreva na forma fatorada a equação 2x2 - 20x + 50 = 0.

Solução

Calculando as raízes da equação 2x2 - 20x + 50 = 0, obtemos duas raízes reais e iguais a 5.

Sendo a= 2, x1=x2= 5, a forma fatorada de 2x2 - 20x + 50 = 0 pode ser assim escrita:

2.(x - 5) (x - 5) = 0 ou 2. (x - 5)2=0

• Escreva na forma fatorada a equação x2 + 2x + 2 = 0.

Solução

Como o , a equação não possui raízes reais.

Logo, essa equação não possui forma fatorada em IR.

Equações Irracionais

Considere as seguintes equações:

Observe que todas elas apresentam variável ou incógnita no radicando. Essas equações são chamadas irracionais. Ou seja:

102

Equação irracional é toda equação que possui incógnita no radicando

Resolução de uma Equação Irracional

A resolução de uma equação irracional deverá ser efetuada procurando transformá-la, inicialmente, numa equação racional, obtida quando elevarmos ambos os membros da equação a uma potência conveniente. Se for uma raiz quadrada elevaremos ao quadrado, se for uma raiz cúbica elevaremos ao cubo, e assim, por diante.

Em seguida, resolvemos a equação racional encontrada e, finalmente, verificamos se as raízes da equação racional obtidas podem ou não ser aceitas como raízes da equação irracional original ( verificar a igualdade).

É necessária essa verificação, pois, ao elevarmos os dois membros de uma equação a uma potência, podem aparecer na equação obtida raízes estranhas à equação original.

Observemos alguns exemplos de resolução de equações irracionais no conjunto dos reais.

Exercícios Resolvidos

103

104

Respostas dos Exercícios Propostos

01

x = 11 02 x = 2 03 x = 7

04 x = 35 05 x = 8 06 x = 1 ou x = 2

07 x = 2 ou x = 3 08 x = 4 ou x = 5 09 x = 3

10 x = 4 11 x = 4 12 x = 9

13 x = 2 14 x = 1 15 x = 4 ou x = - 4

16 x = 10 17 x = 8 ou x = 1 18 x = 5

19 x = 15 20 x = 24 21 k = 15

22 x = 4 23 x = 5 24 x = 9

25 x = 7 26 x = 7 27 x = 2

28 k = 16 29 a = 2/3 30 x = 5

SISTEMAS DE EQUAÇÕES DO 2º GRAU

Observe o seguinte problema:

105

Uma quadra de tênis tem a forma da figura, com perímetro de 64 m e área de 192 m2. Determine as medidas x e y indicadas na figura.

De acordo com os dados, podemos escrever:

8x + 4y = 64

2x . ( 2x + 2y) = 192 4x2 + 4xy = 192

Simplificando, obtemos:

2x + y = 16 1

x2 +xy = 48 2

Temos aí um sistema de equações do 2º grau, pois uma das equações é do 2º grau.

Podemos resolvê-lo pelo método a substituição:

Assim: 2x + y = 16 1

y = 16 - 2x

Substituindo y em 2 , temos:

x2 + x ( 16 - 2x) = 48

x 2 + 16x - 2x2 = 48

- x2 + 16x - 48 = 0 Multiplicando ambos os membros por -1.

x2 - 16x + 48 = 0

x'=4 e x''=12

106

Determinando y para cada um dos valores de x, obtemos:

y'=16 - 2 . 4 = 8

y''=16 - 2 . 12 = - 8

As soluções do sistema são os pares ordenados (4,8) e ( 12, -8).

desprezando o par ordenado que possui ordenada negativa, teremos para dimensões da quadra:

Comprimento =2x + 2y = 2.4 + 2.8 = 24m

Largura =2x = 2. 4 = 8m

Verifique agora a solução deste outro sistema:

Isolando y em 1

y - 3x = -1 y = 3x - 1

Substituindo em 2

x2 - 2x(3x - 1) = -3

x2 - 6x2 + 2x = -3

-5x2 + 2x + 3 = 0 Multiplicando ambos os membros por -1.

5x2 - 2x - 3 = 0

x'=1 e x''=-

Determinando y para cada um dos valores de x, obtemos:

107

As soluções do sistema são os pares ordenados ( 1, 2) e .

Logo, temos para conjunto verdade:

PROBLEMAS DO 2º GRAU

Para resolução de problemas do 2º grau, devemos seguir etapas:

Sequência prática

• Estabeleça a equação ou sistema de equações que traduzem o problema para a linguagem matemática.

• Resolva a equação ou o sistema de equações.• Interprete as raízes encontradas, verificando se são compatíveis com os

dados do problema.

Observe agora, a resolução de alguns problemas do 2º grau:

• Determine dois números inteiros consecutivos tais que a soma de seus

inversos seja .

Solução

Representamos um número por x, e por x + 1 o seu consecutivo. Os seus

inversos serão representados por .

Temos estão a equação: .

Resolvendo-a:

108

Observe que a raiz não é utilizada, pois não se trata de número inteiro.

Resposta: Os números pedidos são, portanto, 6 e o seu consecutivo 7.

• Um número de dois algarismos é tal que, trocando-se a ordem dos seus algarismos, obtém-se um número que o excede de 27 unidades. Determine esse número, sabendo-se que o produto dos valores absolutos dos algarismos é 18.

Solução

Representamos um número por 10x + y, e o número com a ordem dos algarismos trocada por 10y + x.

Observe:

Número: 10x + y

Número com a ordem dos algarismos trocada: 10y + x.

Temos, então, o sistema de equações:

Resolvendo o sistema, temos:

Isolando y em 1 :

-x + y = 3 y= x + 3

Substituindo y em 2:

xy = 18x ( x + 3) = 18x2 + 3x = 18

109

x2 + 3x - 18 = 0x'= 3 e x''= -6

Determinando y para cada um dos valores de x, obtemos:

y'= 3 + 3 = 6

y''= -6 + 3 = -3

Logo, o conjunto verdade do sistema é dado por: V= { (3,6), ( -6, -3)}.

Desprezando o par ordenado de coordenadas negativas, temos para solução do problema o número

36 ( x=3 e y=6).

Resposta: O número procurado é 36.

• Duas torneiras enchem um tanque em 6 horas. Sozinha, uma delas gasta 5 horas mais que a outra. Determine o tempo que uma delas leva para encher esse tanque isoladamente.

Solução

Consideremos x o tempo gasto para a 1ª torneira encher o tanque e x+5 o tempo gasto para a 2ª torneira encher o tanque.

Em uma hora, cada torneira enche a seguinte fração do tanque:

Em uma hora, as duas torneiras juntas encherão do tanque; observe a equação correspondente:

Resolvendo-a, temos:

6( x + 5 ) + 6x = x ( x + 5 )

6x + 30 + 6x = x2 + 5x

x2 - 7x - 30 = 0

x'= - 3 e x''=10

110

Como a raiz negativa não é utilizada, teremos como solução x= 10.

Resposta: A 1ª torneira enche o tanque em 10 horas e a 2ª torneira, em 15 horas.

• Num jantar de confraternização, seria distribuído, em partes iguais, um prêmio de R$ 24.000,00 entre os convidados. Como faltaram 5 pessoas, cada um dos presentes recebeu um acréscimo de R$ 400,00 no seu prêmio. Quantos pessoas estavam presentes nesse jantar?

Solução

Podemos representar por:

Resolvendo-a:

Resposta: Nesse jantar deveriam estar presentes 20 pessoas. Como faltaram 5, então 15 pessoas estavam presentes no jantar.

Funções

Uma função é uma relação especial, que é definida da seguinte maneira: sejam dois conjuntos A e B, tais que para todo elemento x pertencente a A, haja uma correspondência de um elemento y pertencente a B. Essa correspondência é a função: a associação, definida de algum modo, entre todos os elementos de um conjunto e os elementos de outro conjunto.

A função que associa um elemento x a outro valor pode ser indicada por f(x). O aparecimento de x na simbologia da função não ocorre por acaso, uma vez que

111

o valor f(x) depende de x. Por isso mesmo, x é chamada variável independente e f(x) (ou y) é chamada de variável dependente. Matematicamente a função é definida:

, ou mais simplificadamente,

Um exemplo de função: dado o conjunto dos números naturais, uma função pode associar cada número ao seu quadrado. Assim, essa função assumiria os valores: { 1,4,9,16,... }.

Uma função pode, na verdade, associar mais de um conjunto a outro; podem haver diversas variáveis independentes. Por exemplo: uma função pode tomar dois valores inteiros e expressar sua soma:

f(x,y) = x + y

No entanto, neste livro será dada mais atenção às funções de uma variável, apenas. São duas características da função enquanto relação:

• há correspondência unívoca entre um elemento e o valor associado a ele pela função: isso significa que para cada valor assumido pela variável independente (x), há um único valor da variável dependente (y) associado pela função. Consequentemente, se t = f(x) e w = f(x), então t = w.

• a correspondência é total, ou seja, um valor assumido pela variável dependente estará associado para todo valor possível de ser assumido pela variável independente.

A tabela a seguir mostra dois exemplos de relações que não são funções:

Nesse caso, um mesmo elemento (3) do domínio X aparece associado a dois elementos do contradomínio Y (c,d).

Aqui a correspondência não é total: falta um valor associado a 1.

Já o diagrama a seguir representa uma função:

112

Duas funções f(x) e g(x) são ditas iguais (f = g) se e somente se para cada valor de x no domínio D, f(x) e g(x) assumam o mesmo valor:

Introdução

Relações que estabeleçam dependência entre os elementos de dois conjuntos são denominadas funções.

Um exemplo clássico de função é a do salário de vendedores que ganham por comissão:

Existe um valor fixo que o vendedor ganha mesmo se não conseguir vender nada naquele mês e uma comissão, que depende da quantidade de vendas que o vendedor realizou. Por exemplo:

Gráfico salário X vendas

VendasComissão por venda

Valor Fixo

Salário

0 55 300 3001 55 300 3552 55 300 410... ... ... ...

Da tabela acima podemos construir uma relação entre as vendas e o salário do vendedor:

113

E com isso, construímos um gráfico que relaciona vendas a salário, onde verifica-se que:

• O salário depende das vendas.• O salário é uma função das vendas.

Definição

Ao aplicar uma função em um dado conjunto , cada elemento deste deverá ter como correspondente um elemento em um dado conjunto .

Ao conjunto denomina-se domínio da função, sendo seus elementos denominados abscissas, e ao conjunto denomina-se contra-domínio, sendo seus elementos denominados ordenadas ou imagens, quando estas se correlacionarem a um elemento de .

Ou seja:

Dados dois conjuntos e não vazios, dizemos que a relação f de em será função se, e somente se,

.

(Para qualquer x pertencente a D existe um y pertencente a C tal que o par ordenado (x,y) pertence à função f)

Obs: Para cada , deve haver apenas um

Representações

Existem várias maneiras de se representar funções.

Abaixo você pode ver as três mais comumente utilizadas, sendo a primeira a predominante.

As representações abaixo são de uma função em relação a seu domínio e contra-domínio.

Há também as representações por sua fórmula algébrica em relação a sua imagem, como a seguir:

114

Nomenclaturas

Abaixo você confere o que significa cada nome utilizado ao se falar sobre funções:

Domínio, Contradomínio e Imagem

Domínio Conjunto ao qual será aplicada a função.

Contra-Domínio Conjunto que contém os elementos que farão o papel de imagem dos elementos do domínio.

Imagem Subconjunto do contra-domínio. Contém apenas os elementos que são realmente imagens das abscissas.

Gráfico Cartesiano

Abscissa Todo e qualquer elemento do domínio.

Ordenada Todo e qualquer elemento do conjunto imagem.

Gráfico em Plano Cartesiano da função Representação de todos os pontos que compõem uma função através de dois eixos perpendiculares.

115

Funções Sobrejetoras, Injetoras e Bijetoras

Tomemos dois conjuntos e . Digamos que o primeiro seja um conjunto de mulheres e o segundo é de homens. Então estabelecemos a relação "é casada com" de para .

• Se houver ao menos uma mulher no conjunto que não seja casada com um homem do conjunto , então esta relação nem consiste em uma função.

• Se houver ao menos uma mulher no conjunto casada com mais de um homem do conjunto , então esta relação também não consiste em uma função.

• Se toda mulher de for casada com apenas um homem de , então a função é injetora, independentemente de haver ou não algum homem em que não seja casado com alguma mulher de .

• Se não há um homem de que não é casado com uma mulher de (ou seja, a imagem é igual ao contra-domínio), então a função é sobrejetora, independentemente de duas mulheres de serem casadas com o mesmo homem de .

• No caso em que a função é tanto injetora quanto sobrejetora, ou seja, cada mulher de é casada com um único homem de , e cada homem de é casado com uma única mulher de , então a função é bijetora.

Função Injetora e não sobrejetora

Função Sobrejetora e não injetora

Função Bijetora

• Resumindo: o Função Injetora é aquela na qual cada elemento do domínio

corresponde a um único do contra-domínio.o Função sobrejetora é aquela na qual o contra-domínio é igual à

imagem, ou seja, cada elemento do contradomínio é correspondido por ao menos um do domínio.

o Função bijetora é aquela na qual para cada elemento no domínio corresponde a um único elemento no contradomínio, e cada elemento no contradomínio corresponde a um único do domínio.

116

Exemplos

• Funções bijetoras o Funções do primeiro grau são bijetoras.

• Funções estritamente sobrejetoras

• Funções estritamente injetoras

Funções Pares e Ímpares

• Uma função f é denominada par quando f(x) = f( − x), para todo

(domínio de f).• Uma função f é denominada ímpar quando f(x) = − f( − x), para todo

.

Domínio, contradomínio e imagem

Função x2, definida para { -3,-2,-1,0 }. Observar o conjunto domínio (D), contra-domínio (CD) e imagem (delineado pela linha tracejada).

São três conjuntos especiais associados à função. O domínio é o conjunto A do exemplo dado no início deste capítulo: contém todos os elementos x para os quais a função deve ser definida. Já o conjunto B do exemplo é o contradomínio: o conjunto que contém os elementos que podem ser relacionados a elementos do domínio.

Também define-se o conjunto imagem como o conjunto de valores que efetivamente f(x) assume. O conjunto imagem é, pois, sempre um subconjunto do contradomínio.

Por exemplo, suponha a função que associa um elemento do domínio D = { 1,2,3,4,5 } a uma vogal ordenada no alfabeto.

O domínio, já especificado, é D = {1,2,3,4,5}O contradomínio é CD = {a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l,m,n,o,p,q,r,s,t,u,v,w,x,y,z}A imagem é Im = {a,e,i,o,u}

117

FUNÇÕES LOGARÍTMICAS

A figura 1 que se encontram no item família de funções exponenciais

sugere que se b > 0 e b 1, então o gráfico de y = satisfaz o teste da reta

horizontal, e isso implica que a função f (x) = tem uma inversa. Para encontrar uma fórmula para esta inversa (com x como variável independente),

podemos resolver a equação x = para y com uma função de x. Isto pode ser feito tomando o logaritmo na base de b de ambos os lados desta equação. Isto dá lugar a

= ( )

Porém, se pensarmos ( ) como expoente ao qual b se deve ser elevado

para produzir , então fica evidente que ( ). Assim, pode ser reescrito como

y =

de onde concluímos que a inversa de f (x) = é (x) = x. Isto implica

que o gráfico de x = e o de y = são reflexões um do outro, em relação relação à reta y = x.

Chamaremos de função logarítmica na base b.

Em particular, se tomarmos f (x) = e (x) = , e se tivermos em

mente que o domínio de é o mesmo que a imagem de f, então obtemos

logb(bx)=x para todos os valores reais de xblog x=x para x>0

118

Em outras palavras, a equação nos diz que as funções logb(bx) e blog x cancelam o efeito de outra quando compostas em qualquer ordem; por exemplo

DIFERENCIAÇÃO IMPLÍCITA

• FUNÇÕES DEFINIDAS EXPLICITAMENTE E IMPLICITAMENTE

Até agora, estávamos preocupados em diferenciar funções que são expressas na forma y = f (x). Dizemos que uma equação desta forma define y explicitamente como uma função de x, pois a variável y aparece sozinha de um lado da equação. Entretanto, algumas vezes as funções estão definidas com equações nas quais y não está sozinho de um lado; por exemplo, a equação

yx + y +1 = x

não está na forma y = f (x). Contudo, esta equação ainda define y como uma função de x, uma vez se pode reescrever como

y =

Assim dizemos que xy + y +1 = x define y implicitamente como uma função de x, sendo

f (x) =

Uma equação em x e y pode implicitamente definir mais do que uma função de x; por exemplo, se resolvermos a equação

para y em termos de x, obtemos ; assim, encontramos duas

funções que estão definidas implicitamente por , isto é

e

Os gráficos destas funções são semicírculos superiores e inferiores do círculo

.

119

y= y = -

Em geral, se tivermos uma equação em x e y, então qualquer segmento de seu gráfico que passe pelo teste vertical pode ser visto como gráfico de una função definida pela equação. Assim fazemos a seguinte definição:

Definição. Dizemos que uma dada equação em x e y define a função f implicitamente se o gráfico de y = f (x) coincidir com algum segmento do gráfico da equação.

Assim, por exemplo, a equação define as funções e

implicitamente, uma vez que os gráficos dessas funções são os

segmentos do círculo .

Às vezes, pode ser difícil ou impossível resolver uma equação em x e y para y em termos de x.

Com persistência, a equação

por exemplo, pode ser resolvida para y em termos de x, mas a álgebra é enfadonha e as fórmulas resultantes são complicadas. Por outro lado, a equação

sen(xy) = y

não pode ser resolvida para y em termos de x por qualquer método elementar. Assim, mesmo que uma equação em x e y possa definir uma ou mais funções de x, pode não ser prático ou possível achar fórmulas explícitas para aquelas funções.

Sistema de coordenadas cartesiano

120

Chama-se Sistema de Coordenadas no plano cartesiano ou espaço cartesiano ou plano cartesiano um esquema reticulado necessário para especificar pontos num determinado "espaço" com n dimensões. Cartesiano é um adjetivo que se refere ao matemático francês e filósofo Descartes que, entre outras coisas, desenvolveu uma síntese da álgebra com a geometria euclidiana. Os seus trabalhos permitiram o desenvolvimento de áreas científicas como a geometria analítica, o cálculo e a cartografia.

A idéia para este sistema foi desenvolvida em 1637 em duas obras de Descartes:

• Discurso sobre o método o Na segunda parte, Descartes apresenta a ideia de especificar a posição de

um ponto ou objecto numa superfície, usando dois eixos que se intersectam.

• La Géométrie o onde desenvolve o conceito que apenas tinha sido referido na obra

anterior.

O plano cartesiano contém dois eixos perpendiculares entre si. A localização de um ponto P no plano cartesiano é feita pelas coordenadas do plano V (abscissa e ordenada - x, y).

Quando se representam duas grandezas diretamente proporcionais num referencial cartesiano, todos os pontos pertencem a uma reta que passa pela origem que se chama vival(ulteral)

Nos quadrantes I e III os sinas de x,y são os mesmos (+,+) e (-,-), já nos quadrantes II e IV os sinas de x,y são opostos (-,+) e (+,-), respectivamente.

Quadrantes das bissetrizes ímpares ( quadrantes I e III ) Quadrantes das bissetrizes pares ( quadrantes II e IV )

Coordenadas cartesianas de alguns pontos do plano.

121

Quadrantes

Os quatro quadrantes. O ponto A está no primeiro quadrante.

Círculo de raio 2 marcado com seu ponto central no ponto de origem. A equação algébrica cria a imagem em vermelho acima, ao manipular as coordenadas de x e y na seguinte fórmula: x2 + y2 = 22.

Função polinomial

Função polinomial é uma função cuja regra que associa os elementos do domínio (x) às respectivas imagens (y) é um polinômio.

Grau de uma função polinomial

O grau de uma função polinomial corresponde ao valor do maior expoente da variável do polinômio.

122

o grau é 1 e é composto de dois monômios.

o grau é 2 e é composto de três monômios.

não há variável, mas pode-se considerar que o grau é zero

neste caso, é conveniente dizer que não há grau, ou que o grau é negativo (menos infinito)

As definições acima são consistentes com as seguintes leis:

• O grau de f(x).g(x) é a soma do grau de f(x) e do grau de g(x)

• Se f(x) e g(x) têm grau diferente, então o grau de f(x) + g(x) é igual ao maior dos dois

• Se f(x) e g(x) têm o mesmo grau, então o grau de f(x) + g(x) é menor ou igual ao grau de f(x)

Exemplo = A função f(x)= 1/3x³ - 7x + 2/3 expressa por um polinômio de grau 3, é uma função polinomial de grau 3º.

Função constante

Gráfico de uma função constante

Define-se função constante por :

Dado um número k,

Ou seja, o valor da imagem será sempre o mesmo, independente do valor do "x".

123

O gráfico de uma função constante é uma reta paralela ao eixo x.

Função Afim

Uma função afim é definida como uma função que apresenta o expoente 1 como maior expoente da variável independente. O seu gráfico é constituído por uma reta inclinada, podendo determiná-lo apenas com dois pontos. É expressa por:

onde o "a" é denominado o coeficiente angular e o "b" o coeficiente linear

Função linear

Gráfico de uma função do 1º Grau

Uma função linear é aquela cujo coeficiente linear é igual a 0. É expressa por:

Apresenta duas propriedades

• Aditividade:

;

• Homogeneidade:

.

124

Crescimento ou decrescimento da função afim

Uma função afim é crescente quando o valor do coeficiente angular for superior a 0 e decrescente quando for inferior.

a > 0 - função crescente - ângulo agudo

a < 0 - função decrescente - ângulo obtuso

Função quadrática

Gráfico de uma função do 2º Grau

Uma função quadrática é definida como uma função que apresenta o expoente 2 como maior expoente das variáveis. O seu gráfico é constituído por uma parábola. É expressa por:

Concavidade do gráfico da função quadrática

A concavidade é a abertura da parábola, que ora está voltada para cima e ora está voltada para baixo. O sentido da concavidade depende do coeficiente a, se este for superior a 0, ou seja, positivo, ela é voltada para cima, caso seja negativo ela é voltada para baixo.

Zeros (ou raízes) de uma função quadrática

Os zeros da função quadrática são os valores de x, para a imagem ser 0, ou seja onde o gráfico corta o "eixo x". O número de zeros depende do valor do

discriminante, ou delta, definido por .

125

• Se , a função terá dois zeros.

• Se , a equação terá um zero apenas (com maior precisão, diz-se que a equação tem dois zeros iguais)

• Se , não terá zeros (com maior precisão, diz-se que a equação não tem zero reais, tendo dois zeros complexos conjugados).

Vértice da parábola

O vértice da parábola corresponde ao ponto mais extremo dela. É definido pelas seguintes coordenadas:

Crescimento e decrescimento de uma função quadrática

Em uma parábola, metade é crescente e a outra metade é decrescente.

• Concavidade voltada para cima: o Decrescente do -infinito ao vérticeo Crescente do vértice ao infinito

• Concavidade voltada para baixo: o Crescente do -infinito ao vérticeo Decrescente do vértice ao infinito

Declividade

Declividade é a relação entre a diferença de altura entre dois pontos e a distância horizontal entre esses pontos. [1]

dh = Diferença de altura BC (Eqüidistância vertical)

dH = Distância horizontal AC (distância entre os pontos)

Assim,

Declividade (D) é a relação : dh/dH

Quando expressamos em percentual a declividade de uma inclinação:

Rampa = D x 100 = (dh/dH) x 100

126

Inequações de primeiro grau

Introdução

Denominamos inequação toda sentença matemática aberta por uma desigualdade.

As inequações do 1º grau com uma variável podem ser escritas numa das seguintes formas:

, , , , como a e b reais . Exemplos:

Representação gráfica de uma inequação do 1º grau com duas variáveis

Método prático

• Substituímos a desigualdade por uma igualdade. • Traçamos a reta no plano cartesiano. • Escolhemos um ponto auxiliar, de preferência o ponto (0, 0) e

verificamos se o mesmo satisfaz ou não a desigualdade inicial.

Em caso positivo, a solução da inequação corresponde ao semiplano ao qual pertence o ponto

auxiliar.

Em caso negativo, a solução da inequação corresponde ao semiplano oposto aquele ao qual pertence

o ponto auxiliar. Exemplos:

• Representa graficamente a inequação •

127

Tabela

x y (x, y)

0 4 (0, 4)

2 0 (2, 0)

Substituindo o ponto auxiliar (0, 0) na inequação

Inequações de primeiro grau

Resolução Gráfica de um Sistema de Inequações do 1º grau

Para resolver um sistema de inequações do 1º grau graficamente, devemos:

• traçar num mesmo plano o gráfico de cada inequação; • determinar a região correspondente à intersecção dos dois semiplanos.

Exemplos:

• Dê a resolução gráfica do sistema:

Solução

Traçando as rectas -x + y = 4 e 3x + 2y = 6.

Tabela

x y (x, y)

0 4 (0, 4)

-4 0 (-4, 0)

Tabela

Gráfico

128

x y (x, y)

0 -1 (0, -1)

1 0 (1, 0)

Verificamos:

(Afirmativa positiva, o ponto auxiliar satisfaz a inequação)

A solução da inequação corresponde ao semiplano ao qual pertence o ponto auxiliar (0, 0).

Geometria Espacial: Elementos de Geometria Espacial

Introdução

A Geometria espacial (euclidiana) funciona como uma ampliação da Geometria plana (euclidiana) e trata dos métodos apropriados para o estudo de objetos espaciais assim como a relação entre esses elementos. Os objetos primitivos do ponto de vista espacial, são: pontos, retas, segmentos de retas, planos, curvas, ângulos e superfícies. Os principais tipos de cálculos que podemos realizar são: comprimentos de curvas, áreas de superfícies e volumes de regiões sólidas. Tomaremos ponto, reta e plano como conceitos primitivos, os quais serão aceitos sem definição.

129

Planos e retas

Um plano é um subconjunto do espaço R3 de tal modo que quaisquer dois pontos desse conjunto, podem ser ligados por um segmento de reta inteiramente contido no conjunto.

Duas retas (segmentos de reta) no espaço R3 podem ser: paralelas, concorrentes ou reversas.

Retas paralelas: Duas retas são paralelas se elas não possuem interseção e estão em um mesmo plano.

Retas concorrentes: Duas retas são concorrentes se elas têm um ponto em comum. As retas perpendiculares são retas concorrentes que formam entre si um ângulo reto.

Retas reversas: Duas retas são ditas reversas quando uma não tem interseção com a outra e elas não são paralelas. Isto significa que elas estão em planos diferentes. Pode-se pensar de uma reta r desenhada no chão de uma casa e uma reta s, não paralela a r, desenhada no teto dessa mesma casa.

Posições de pontos, retas e planos

Um plano no espaço R3 pode ser determinado por qualquer uma das situações:

1. Três pontos não colineares (não pertencentes à mesma reta).2. Um ponto e uma reta ou um segmento de reta que não contém o ponto.3. Um ponto e um segmento de reta que não contém o ponto.4. Duas retas paralelas que não se sobrepõe.

130

5. Dois segmentos de reta paralelos que não se sobrepõe.6. Duas retas concorrentes.7. Dois segmentos de reta concorrentes.

Posições de retas e planos

Há duas relações importantes, relacionando uma reta e um plano no espaço R3.

Reta paralela a um plano: Uma reta r é paralela a um plano no espaço R3, se existe uma reta s inteiramente contida no plano que é paralela à reta dada.

Reta perpendicular a um plano: Uma reta é perpendicular a um plano no espaço R3, se ela intersecta o plano em um ponto P e todo segmento de reta contido no plano que tem P como uma de suas extremidades é perpendicular à reta.

Distância de um ponto a um plano

Seja P um ponto localizado fora de um plano. A distância do ponto ao plano é a medida do segmento de reta perpendicular ao plano em que uma extremidade é o ponto P e a outra extremidade é o ponto que é a interseção entre o plano e o segmento.

Se o ponto P estiver no plano, a distância é nula.

Posições entre planos

1. Planos concorrentes no espaço R3 são planos cuja interseção é uma reta.

2. Planos paralelos no espaço R3 são planos que não tem interseção.

131

3. Diedro: Quando dois planos são concorrentes, dizemos que tais planos formam um diedro.

4. Ângulo diedral: É ângulo formado por dois planos concorrentes. Para obter o ângulo diedral, basta tomar o ângulo formado por quaisquer duas retas perpendiculares aos planos concorrentes.

5. Planos normais são aqueles cujo ângulo diedral é um ângulo reto (90 graus).

Função trinômio do segundo grau

Construção de gráficos

As raízes da equação são chamadas de zero da função. Pois, (x1, 0) e (x2, 0)

Se o valor do coeficiente de x² for maior que zero, tem-se a concavidade da parábola voltada para cima, se o coeficiente de x² for menor que zero tem-se a concavidade voltada para baixa.

O valor do termo independente da função intercepta o eixo OY.

Inequação do 2º Grau

Uma inequação do 2° grau na incógnita x é uma expressão do 2° grau que pode ser escrita numa das seguintes formas:

ax² + bx + c > 0;ax² + bx + c < 0;ax² + bx + c ≥ 0;ax² + bx + c ≤ 0.

Para resolvermos uma inequação do Segundo grau devemos estudar o sinal da função correspondente equação.

132

1. Igualar a sentença do 2° grau a zero;2. Localizar e (se existir) as raízes da equação no eixo x.3. Estudar o sinal da função correspondente, tendo-se como possibilidades:

a > 0 a < 0

Exemplo 1: Resolva a inequação -x² + 4 ≥ 0.

Solução:-x² + 4 = 0.x² – 4 = 0.x1 = 2x2 = -2

Ponto, Reta e Plano

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Ponto, Reta e Plano são noções primitivas dentre os conceitos geométricos. Os conceitos geométricos são estabelecidos por meio de definições. As noções primitivas são adotadas sem definição. Como podemos imaginar ou formar idéias de ponto, reta e plano, então serão aceitos sem definição.

Podemos ilustrar com as seguintes idéias para entender alguns conceitos primitivos em Geometria:

Ponto: uma estrela, um pingo de caneta, um furo de agulha, ...

Reta: fio esticado, lados de um quadro, ...

Plano: o quadro negro, a superfície de uma mesa, ...

Notações de Ponto, Reta e Plano: As representações de objetos geométricos podem ser realizadas por letras usadas em nosso cotidiano, da seguinte forma:

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Pontos A, B, L e M representados por letras maiúsculas latinas;

Retas r, s, x, p, q, u e v representados por letras minúsculas latinas;

Planos Alfa, Beta e Gama representados por letras gregas minúsculas. Plano Alfa (rosa), Plano Beta (azul claro) e Plano Gama (amarelo).

Observação: Por um único ponto passam infinitas retas. De um ponto de vista prático, imagine o Pólo Norte e todas as linhas meridianas (imaginárias) da Terra passando por este ponto. Numa reta, bem como fora dela, há infinitos pontos, mas dois pontos distintos determinam uma única reta. Em um plano e também fora dele, há infinitos pontos.

As expressões "infinitos pontos" ou "infinitas retas", significam "tantos pontos ou retas quantas você desejar".

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Pontos Colineares e semi-retas

Pontos colineares: são pontos que pertencem a uma mesma reta. Na figura da esquerda, os pontos A, B e C são colineares, pois todos pertencem à mesma reta r. Na figura da direita, os pontos R, S e T não são colineares, pois T não pertence a reta s.

Semi-retas: Um ponto O sobre uma reta s, divide esta reta em duas semi-retas. O ponto O é a origem comum às duas semi-retas que são denominadas semi-retas opostas.

O ponto A é a origem da semi-reta que contém os pontos A e B e também é a origem da semi-reta que contém os pontos A e C, nas duas figuras ao lado. A semi-reta que contém os pontos A e B e a semi-reta que contém os pontos A e C são semi-retas opostas. A notação XY para uma semi-reta significa uma semi-reta que contém os pontos X e Y.

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As semi-retas AB e AC estão na mesma reta, têm a mesma origem e são infinitas em sentidos contrários, isto é, iniciam em um ponto e se prolongam infinitamente.

Segmentos Consecutivos, Colineares, Congruentes e Adjacentes

Dada uma reta s e dois pontos distintos A e B sobre a reta, o conjunto de todos os pontos localizados entre A e B, inclusive os próprios A e B, recebe o nome de segmento de reta, neste caso, denotado por AB. Às vezes, é interessante trabalhar com segmentos que tem início em um ponto chamado origem e terminam em outro ponto chamado extremidade. Os segmentos de reta são classificados como: consecutivos, colineares, congruentes e adjacentes.

Segmentos Consecutivos: Dois segmentos de reta são consecutivos se, a extremidade de um deles é também extremidade do outro, ou seja, uma extremidade de um coincide com uma extremidade do outro.

AB e BCsão consecutivos

MN e NPsão consecutivos

EF e GHnão são consecutivos

Segmentos Colineares: Dois segmentos de reta são colineares se estão numa mesma reta.

AB e CDsão colineares

MN e NPsão colineares

EF e FGnão são colineares

Sobre segmentos consecutivos e colineares, podemos ter algumas situações:

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Os segmentos AB, BC e CD são consecutivos e colineares, mas os segmentos AB e CD não são consecutivos embora sejam colineares, mas os segmentos de reta EF e FG são consecutivos e não são colineares

Segmentos Congruentes: são aqueles que têm as mesmas medidas. No desenho ao lado, AB e CD são congruentes. A congruência entre os segmentos AB e CD é denotada por AB~CD, onde "~" é o símbolo de congruência.

Segmentos Adjacentes: Dois segmentos consecutivos e colineares são adjacentes, se possuem em comum apenas uma extremidade e não têm outros pontos em comum. MN e NP são adjacentes, tendo somente N em comum. MP e NP não são adjacentes, pois existem muitos pontos em comum.

Ponto Médio de um segmento

M é o ponto médio do segmento de reta AB, se M divide o segmento AB em dois segmentos congruentes, ou seja, AM~MB. O ponto médio é o ponto de equilíbrio de um segmento de reta.

Construção do ponto médio com régua e compasso

Com o compasso centrado no ponto A, traçamos um arco com o raio igual à medida do segmento AB;Com o compasso centrado no ponto B, traçamos

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um outro arco com o mesmo raio que antes;Os arcos terão interseção em dois pontos localizados fora do segmento AB;Traçamos a reta (vermelha) ligando os pontos obtidos na interseção dos arcos;

O ponto médio M é a interseção da reta (vermelha) com o segmento AB.

Retas paralelas

Duas retas são paralelas se estão em um mesmo plano e não possuem qualquer ponto em comum. Se as retas são coincidentes ("a mesma reta") elas são paralelas.

É usual a notação a||b, para indicar que as retas a e b são paralelas.

Propriedade da paralela: Por um ponto localizado fora de uma reta dada, pode ser traçada apenas uma reta paralela. Este fato é verdadeiro apenas na Geometria Euclidiana, que é a Geometria do nosso cotidiano.

Construção de paralela com régua e compasso

Dada uma reta r e um ponto C fora dessa reta, podemos construir uma reta paralela à reta dada que passa por C. Este tipo de construção gerou muitas controvérsias e culminou com outras definições de geometrias denominadas

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"não Euclidianas", que embora sejam utilizadas na prática, não se comportam da forma usual como um ser humano olha localmente para um objeto geométrico.

Centrar o compasso no ponto C, traçar um arco que corta a reta em E.Com a mesma abertura do compasso, colocar a ponta seca do mesmo no ponto E e traçar um outro arco cortando a reta em F.Do ponto E, com abertura igual à corda CF, traçar um arco para obter D.Traçar uma reta ligando os pontos C e D e observar que a reta que passa em CD é paralela à reta que passa em EF.

Retas concorrentes

Duas retas são concorrentes se possuem um único ponto em comum. Um exemplo de retas concorrentes pode ser obtido pelas linhas retas que representam ruas no mapa de uma cidade e a concorrência ocorre no cruzamento das retas (ruas).

Retas perpendiculares

Ângulo reto: Um ângulo que mede 90 graus. Todos os ângulos retos são congruentes. Este tipo de ângulo é fundamental nas edificações.

Retas perpendiculares: são retas concorrentes que formam ângulos de 90 graus. Usamos a notação a b para indicar que as retas a e b são perpendiculares.

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Propriedade da reta perpendicular: Por um ponto localizado fora de uma reta dada, pode ser traçada apenas uma reta perpendicular.

Construir perpendicular com régua e compasso (1)

Dada uma reta e um ponto fora da reta, podemos construir uma outra reta perpendicular à primeira, da seguinte forma:

Centrar o compasso no ponto P e com uma abertura maior do que a distância de P à reta e traçar um arco cortando a reta em dois pontos A e B;Centrar o compasso no ponto A e com um raio igual à medida do segmento AB traçar um arco;Centrar o compasso no ponto B e com a mesma abertura que antes traçar outro arco cortando o arco obtido antes no ponto C;

A reta que une os pontos P e C é perpendicular à reta dada, Portanto AB é perpendicular a PC.

Construir perpendicular com régua e compasso (2)

Dada uma reta e um ponto P na reta, podemos obter uma reta perpendicular à reta dada, do seguinte modo:

Centrar o compasso no ponto P e marcar os pontos A e B sobre a reta que estão à mesma distância de P;

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Centrar o compasso no ponto A e raio igual à medida de AB para traçar um arco;Centrar o compasso no ponto B e com o mesmo raio, traçar um outro arco;Os arcos cruzam-se em C;

A reta contendo PC é perpendicular à reta contendo o segmento AB.

Retas transversais e ângulos especiais

Reta transversal a outras retas, é uma reta que tem interseção com as outras retas em pontos diferentes.

Na figura acima, a reta t é transversal às retas m e n e estas três retas formam 8 ângulos, sendo que os ângulos 3, 4, 5 e 6 são ângulos internos e os ângulos 1, 2, 7 e 8 são ângulos externos. Cada par destes ângulos, recebe nomes de acordo com a localização em relação à reta transversal e às retas m e n.

Ângulos CorrespondentesEstão do mesmo lado da reta transversal.

Um deles é interno e o outro é externo.

1 e 5 2 e 6 3 e 7 4 e 8

Ângulos AlternosEstão em lados opostos da reta transversal.Ambos são externos ou ambos são internos.

1 e 8 2 e 7 3 e 6 4 e 5

Ângulos ColateraisEstão do mesmo lado da reta transversal.

Ambos são externos ou ambos são internos.

1 e 7 2 e 8 3 e 5 4 e 6

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Ângulos alternos e colaterais ainda podem ser internos ou externos:

alternosalternos internos 3 e 6 4 e 5alternos externos 1 e 8 2 e 7

colateraiscolaterais internos 3 e 5 4 e 6colaterais externos 1 e 7 2 e 8

Propriedades das retas tranversais

Se duas retas paralelas (em cor preta) são cortadas por uma reta transversal (em cor vermelha), os ângulos correspondentes são congruentes, isto é, têm as mesmas medidas.

Se duas retas paralelas são cortadas por uma reta transversal, os ângulos alternos internos são congruentes.

Na figura ao lado, o ângulo 3 também é congruente aos ângulos 1 e 2.

Quando duas retas r e s são paralelas e uma reta transversal t é perpendicular a uma das paralelas, então ela também será perpendicular à outra.

Ângulos de lados paralelos: são ângulos cujos lados são paralelos, sendo que tais ângulos podem ser congruentes ou suplementares.

Congruentes: Quando ambos os ângulos são agudos, retos ou obtusos.

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Suplementares: Quando ambos os ângulos são retos ou quando um deles for agudo e o outro obtuso.

Ângulos de lados perpendiculares: são ângulos cujos lados são perpendiculares e também podem ser congruentes ou suplementares.

Congruentes: Quando os dois ângulos são: agudos, retos ou obtusos.

Suplementares: Quando os dois ângulos são retos ou um dos ângulos é agudo e o outro obtuso.

Alguns exercícios resolvidos

Em todos os exercícios abaixo, você deve obter as medidas dos ângulos, levando em consideração cada figura anexada.

1. Calcular a medida do ângulo x.Solução: x/2=40graus, pois são ângulos agudos de lados perpendiculares x=80º.

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2. Calcular a medida do ângulo x.Solução: 2x+40º=180º (ângulos de lados perpendiculares um deles agudo e o outro obtuso), logo x=70º.

3. Calcular as medidas dos ângulos x e y.Solução: Como x+2x/3=180º (ângulos colaterais externos), então 3x+2x=540º, logo x=108º. Mas, y=2x/3 (ângulos opostos pelos vértices) e temos que y=72º

4. Calcular as medidas dos ângulo a, b e c.Solução: Como b+120º=180º (ângulos com lados perpendiculares um deles agudo e o outro obtuso), então b=60º, mas a=c (ângulos agudos com lados perpendiculares) e a+b+90º=180º(soma dos ângulos de um triângulo). Assim: a=30º e c=30º.

5. Calcular as medidas dos ângulos a e b, se as retas r, s e t são paralelas.Solução: Como a=35º (r||s e os ângulos correspondentes), segue que b-a=70º (s||t e os ângulos correspondentes). Assim b=105º.

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6. Se as retas r e t são paralelas, determinar as medidas dos ângulos a e b.Solução: a+125º=180º (ângulos com lados paralelos um agudo e outro obtuso) e b+60º=125º (ângulos agudos com lados paralelos). Logo a=55º e b=65º.

Polígonos

Segmentos Lineares e poligonais abertas

Na que segue, apresentamos um segmento, dois segmentos consecutivos e três segmentos consecutivos. Segmentos consecutivos são aqueles em que a extremidade final do primeiro segmento é a extremidade inicial do segundo e a extremidade final do segundo é a extremidadade inicial do terceiro e assim por diante.

Uma linha poligonal aberta é formada por segmentos de reta consecutivos e não colineares, ou seja, segmentos de reta que não estão alinhados na mesma reta e que não se fecham.

Polígono (Poligonal fechada) e Região poligonal

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Polígono é uma figura geométrica cuja palavra é proveniente do grego que quer dizer: poli(muitos) + gonos(ângulos). Um polígono é uma linha poligonal fechada formada por segmentos consecutivos, não colineares que se fecham.

A região interna a um polígono é a região plana delimitada por um polígono.

Muitas vezes encontramos na literatura sobre Geometria a palavra polígono identificada com a região localizada dentro da linha poligonal fechada ms é bom deixar claro que polígono representa apenas a linha. Quando não há perigo na informação sobre o que se pretende obter, pode-se usar a palavra num ou no outro sentido.

Considerando a figura anexada, observamos que:

1. Os segmentos AB, BC, CD, DE e EA são os lados do polígono e da região poligonal.

2. Os pontos A, B, C, D, E são os vértices da região poligonal e do polígono.

3. Os ângulos da linha poligonal, da região poligonal fechada e do polígono são: A, B, C, D e E.

Regiões poligonais quanto à convexidade

Região poligonal convexa: É uma região poligonal que não apresenta reentrâncias no corpo da mesma. Isto significa que todo segmento de reta cujas extremidades estão nesta região estará totalmente contido na região poligonal.

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Região poligonal não convexa: É uma região poligonal que apresenta reentrâncias no corpo da mesma, o que ela possui segmentos de reta cujas extremidades estão na região poligonal mas que não estão totalmente contidos na região poligonal.

Nomes dos polígonos

Dependendo do número de lados, um polígono recebe os seguintes nomes de acordo com a tabela:

No. de lados Polígono No. de lados Polígono1 não existe 11 undecágono2 não existe 12 dodecágono3 triângulo 13 tridecágono4 quadrilátero 14 tetradecágono5 pentágono 15 pentadecágono6 hexágono 16 hexadecágono7 heptágono 17 heptadecágono8 octógono 18 octadecágono9 eneágono 19 eneadecágono

10 decágono 20 icoságono

Polígono Regular: É o polígono que possui todos os lados congruentes e todos os ângulos internos congruentes. No desenho animado ao lado podemos observar os polígonos: triângulo, quadrado, pentágono, hexágono e heptágono.

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Triângulos e a sua classificação

Triângulo é um polígono de três lados. É o polígono que possui o menor número de lados. Talvez seja o polígono mais importante que existe. Todo triângulo possui alguns elementos e os principais são: vértices, lados, ângulos, alturas, medianas e bissetrizes.

Apresentaremos agora alguns objetos com detalhes sobre os mesmos.

1. Vértices: A,B,C.2. Lados: AB,BC e AC.3. Ângulos internos: a, b e c.

Altura: É um segmento de reta traçado a partir de um vértice de forma a encontrar o lado oposto ao vértice formando um ângulo reto. BH é uma altura do triângulo.

Mediana: É o segmento que une um vértice ao ponto médio do lado oposto. BM é uma mediana.

Bissetriz: É a semi-reta que divide um ângulo em duas partes iguais. O ângulo B está dividido ao meio e neste caso Ê = Ô.

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Ângulo Interno: É formado por dois lados do triângulo. Todo triângulo possui três ângulos internos.

Ângulo Externo: É formado por um dos lados do triângulo e pelo prolongamento do lado adjacente(ao lado).

Classificação dos triângulos quanto ao número de lados

Triângulo EquiláteroOs três lados têm medidas iguais.

m(AB)=m(BC)=m(CA)

Triângulo IsóscelesDois lados têm a mesma medida.

m(AB)=m(AC)

Triângulo EscalenoTodos os três lados

têm medidas diferentes.

Classificação dos triângulos quanto às medidas dos ângulos

Triângulo Acutângulo

Todos os ângulos internos são agudos, isto é, as medidas dos ângulos são menores do que

90º.

Triângulo Obtusângulo

Um ângulo interno é obtuso, isto é, possui um ângulo com medida maior do que 90º.

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Triângulo Retângulo

Possui um ângulo interno reto (90 graus).

Medidas dos ângulos de um triângulo

Ângulos Internos: Consideremos o triângulo ABC. Poderemos identificar com as letras a, b e c as medidas dos ângulos internos desse triângulo. Em alguns locais escrevemos as letras maiúsculas A, B e C para representar os ângulos.

A soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é sempre igual a 180 graus, isto é:

a + b + c = 180º

Exemplo: Considerando o triângulo abaixo, podemos escrever que: 70º+60º+x=180º e dessa forma, obtemos x=180º-70º-60º=50º.

Ângulos Externos: Consideremos o triângulo ABC. Como observamos no desenho, em anexo, as letras minúsculas representam os ângulos internos e as respectivas letras maiúsculas os ângulos externos.

Todo ângulo externo de um triângulo é igual à soma dos dois ângulos internos não adjacentes a esse ângulo externo. Assim:

A = b+c, B = a+c, C = a+b

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Exemplo: No triângulo desenhado ao lado: x=50º+80º=130º.

Congruência de Triângulos

A idéia de congruência: Duas figuras planas são congruentes quando têm a mesma forma e as mesmas dimensões, isto é, o mesmo tamanho.

Para escrever que dois triângulos ABC e DEF são congruentes, usaremos a notação:

ABC ~ DEF

Para os triângulos das figuras abaixo:

existe a congruência entre os lados, tal que:

AB ~ RS, BC ~ ST, CA ~ TR

e entre os ângulos:

A ~ R , B ~ S , C ~ T

Se o triângulo ABC é congruente ao triângulo RST, escrevemos:

ABC ~ RST

Dois triângulos são congruentes, se os seus elementos correspondentes são ordenadamente congruentes, isto é, os três lados e os três ângulos de cada triângulo têm respectivamente as mesmas medidas.

Para verificar se um triângulo é congruente a outro, não é necessário saber a medida de todos os seis elementos, basta conhecer três elementos, entre os quais esteja presente pelo menos um lado. Para facilitar o estudo, indicaremos os lados correspondentes congruentes marcados com símbolos gráficos iguais.

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Casos de Congruência de Triângulos

1. LLL (Lado, Lado, Lado): Os três lados são conhecidos.

Dois triângulos são congruentes quando têm, respectivamente, os três lados congruentes. Observe que os elementos congruentes têm a mesma marca.

2. LAL (Lado, Ângulo, Lado): Dados dois lados e um ângulo

Dois triângulos são congruentes quando têm dois lados congruentes e os ângulos formados por eles também são congruentes.

3. ALA (Ângulo, Lado, Ângulo): Dados dois ângulos e um lado

Dois triângulos são congruentes quando têm um lado e dois ângulos adjacentes a esse lado, respectivamente, congruentes.

4. LAAo (Lado, Ângulo, Ângulo oposto): Conhecido um lado, um ângulo e um ângulo oposto ao lado.

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Dois triângulos são congruentes quando têm um lado, um ângulo, um ângulo adjacente e um ângulo oposto a esse lado respectivamente congruentes.

Razão entre segmentos de Reta

Segmento de reta é o conjunto de todos os pontos de uma reta que estão limitados por dois pontos que são as extremidades do segmento, sendo um deles o ponto inicial e o outro o ponto final. Denotamos um segmento por duas letras como por exemplo, AB, sendo A o início e B o final do segmento.

Exemplo: AB é um segmento de reta que denotamos por AB.

A _____________ B

Não é possível dividir um segmento de reta por outro, mas é possível realizar a divisão entre as medidas dos dois segmentos.

Consideremos os segmentos AB e CD, indicados:

A ________ B m(AB) =2cmC ______________ D m(CD)=5 cm

A razão entre os segmentos AB e CD, denotado aqui por, AB/CD, é definida como a razão entre as medidas desse segmentos , isto é:

AB/CD=2/5

Segmentos Proporcionais

Proporção é a igualdade entre duas razões equivalentes. De forma semelhante aos que já estudamos com números racionais, é possível eatabelecer a proporcionalidade entre segmentos de reta, através das medidas desse segmentos.

Vamos considerar primeiramente um caso particular com quatro segmentos de reta:

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m(AB) =2cm A______B P__________Q m(PQ) =4cm

m(CD) =3cm C__________D R___________________S m(RS) =6cm

A razão entre os segmentos AB e CD e a razão entre os segmentos PQ e RS, são dadas por frações equivalentes, isto é:

AB/CD = 2/3; PQ/RS = 4/6

e como 2/3 = 4/6, segue a existência de uma proporção entre esses quatro segmentos de reta. Isto nos conduz à definição de segmentos proporcionais.

Diremos que quatro segmentos de reta, AB, BC, CD e DE, nesta ordem, são proporcionais se:

AB/BC = CD/DE

Os segmentos AB e DE são os segmentos extremos e os segmentos BC e CD são os segmentos meios.

A proporcionalidade acima é garantida pelo fato que existe uma proporção entre os números reais que representam as medidas dos segmentos:

m(AB)m(BC)

=m(CD)m(DE)

Propriedade Fundamental das proporções: Numa proporção de segmentos, o produto das medidas dos segmentos meios é igual ao produto das medidas dos segmentos extremos.

m(AB) · m(DE) = m(BC) · m(CD)

Feixe de retas paralelas

Um conjunto de três ou mais retas paralelas num plano é chamado feixe de retas paralelas. A reta que intercepta as retas do feixe é chamada de reta transversal. As retas A, B, C e D que aparecem no desenho anexado, formam um feixe de retas paralelas enquanto que as retas S e T são retas transversais.

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Teorema de Tales: Um feixe de retas paralelas determina sobre duas transversais quaisquer, segmentos proporcionais. A figura ao lado representa uma situação onde aparece um feixe de três retas paralelas cortado por duas retas transversais.

Identificamos na sequência algumas proporções:

AB/BC = DE/EFBC/AB = EF/DEAB/DE = BC/EFDE/AB = EF/BC

Exemplo: Consideremos a figura ao lado com um feixe de retas paralelas, sendo as medidas dos segmentos indicadas em centímetros.

Assim:

BC/AB = EF/DEAB/DE = BC/EFDE/AB = EF/BC

Observamos que uma proporção pode ser formulada de várias maneiras. Se um dos segmentos do feixe de paralelas for desconhecido, a sua dimensão pode ser determinada com o uso de razões proporcionais.

Semelhança de Triângulos

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A idéia de semelhança: Duas figuras são semelhantes quando têm a mesma forma, mas não necessariamente o mesmo tamanho.

Se duas figuras R e S são semelhantes, denotamos: R~S.

Exemplo: As ampliações e as reduções fotográficas são figuras semelhantes. Para os triângulos:

os três ângulos são respectivamente congruentes, isto é:

A~R, B~S, C~T

Observação: Dados dois triângulos semelhantes, tais triângulos possuem lados proporcionais e ângulos congruentes. Se um lado do primeiro triângulo é proporcional a um lado do outro triângulo, então estes dois lados são ditos homólogos. Nos triângulos acima, todos os lados proporcionais são homólogos.

Realmente:

AB~RS pois m(AB)/m(RS)=2BC~ST pois m(BC)/m(ST)=2AC~RT pois m(AC)/m(RT)=2

Como as razões acima são todas iguais a 2, este valor comum é chamado razão de semelhança entre os triângulos. Podemos concluir que o triângulo ABC é semelhante ao triângulo RST.

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Dois triângulos são semelhantes se, têm os 3 ângulos e os 3 lados correspondentes proporcionais, mas existem alguns casos interessantes a analisar.

Casos de Semelhança de Triângulos

Dois ângulos congruentes: Se dois triângulos tem dois ângulos correspondentes congruentes, então os triângulos são semelhantes.

Se A~D e C~F então:

ABC~DEF

Dois lados congruentes:Se dois triângulos tem dois lados correspondentes proporcionais e os ângulos formados por esses lados também são congruentes, então os triângulos são semelhantes.

Como

m(AB) / m(EF) = m(BC) / m(FG) = 2

então

ABC ~ EFG

Exemplo: Na figura abaixo, observamos que um triângulo pode ser "rodado" sobre o outro para gerar dois triângulos semelhantes e o valor de x será igual a 8.

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Realmente, x pode ser determinado a partir da semelhança de triângulos. Identificaremos os lados homólogos e com eles construiremos a proporção:

36

=4x

Três lados proporcionais: Se dois triângulos têm os três lados correspondentes proporcionais, então os triângulos são semelhantes.

Quadriláteros e a sua classificação

Quadrilátero é um polígono com quatro lados e os principais quadriláteros são: quadrado, retângulo, losango, trapézio e trapezóide.

No quadrilátero acima, observamos alguns elementos geométricos:

1. Os vértices são os pontos: A, B, C e D.2. Os ângulos internos são A, B, C e D.3. Os lados são os segmentos AB, BC, CD e DA.

Observação: Ao unir os vértices opostos de um quadrilátero qualquer, obtemos sempre dois triângulos e como a soma das medidas dos ângulos

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internos de um triângulo é 180 graus, concluímos que a soma dos ângulos internos de um quadrilátero é igual a 360 graus.

Exercício: Determinar a medida do ângulo x na gravura abaixo.

Classificação dos Quadriláteros

Paralelogramo: É o quadrilátero que tem lados opostos paralelos. Num paralelogramo, os ângulos opostos são congruentes. Os paralelogramos mais importantes recebem nomes especiais:

1. Losango: 4 lados congruentes2. Retângulo: 4 ângulos retos (90 graus)3. Quadrado: 4 lados congruentes e 4 ângulos retos.

Trapézio: É o quadrilátero que tem apenas dois lados opostos paralelos. Alguns elementos gráficos de um trapézio (parecido com aquele de um circo).

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1. AB é paralelo a CD2. BC é não é paralelo a AD3. AB é a base maior4. DC é a base menor

Os trapézios recebem nomes de acordo com os triângulos que têm características semelhantes. Um trapézio pode ser:

1. Retângulo: dois ângulos retos2. Isósceles: lados não paralelos congruentes3. Escaleno: lados não paralelos diferentes

Exercício: Prolongar as retas apoiadas nos lados opostos não paralelos dos trapézios da figura acima para obter, respectivamente, um triângulo retângulo, um isósceles e um escaleno. Observar mais acima nesta mesma página os nomes dos triângulos obtidos e os nomes destes trapézios!

Translação

Translação de três objectos

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Translação é o movimento que um objeto realiza de um ponto a outro. Ele é o deslocamento paralelo em linha recta de um objecto ou figura, em função de um vector.

Na simetria de translação a figura "desliza" sobre uma reta, mantendo se inalterada. Podemos citar como exemplo de translação, elevadores, escadas rolantes e até mesmo escorregadores.

Em todas as translações podes observar que um mesmo elemento se desloca numa determinada direcção e sempre paralelo a si próprio, isto é, sem nunca rodar. Num friso há um motivo que se repete periodicamente, numa determinada direcção e sempre paralelo a si mesmo.

Rotação

Rotação como mudança de um sistema de coordenadas para outro.

Em álgebra linear e geometria, uma rotação é o tipo de uma transformação de um sistema de coordenadas. Em outras palavras, uma rotação é um tipo de isometria – note entretanto que há outras isometrias além das rotações, tais como translações e reflexões.

Duas dimensões

Em duas dimensões, uma rotação em sentido anti-horário de um plano sobre a origem, onde (x,y) é mapeado para (x',y'), é dada pelas mesmas fórmulas como uma transformação de eixos de coordenadas com uma rotação horária, resultando uma mudança de coordenadas (x,y) em (x',y'):

Em outras palavras

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Então a magnitude do vetor (x, y) é a mesma do vetor (x′, y′).

Uma rotação de 360° caracteriza uma revolução.

Rotação é a figura que, sem sair da origem, vai rodando em diferentes graus definindo a sua posição final. Pode ser positiva, quando se move ao contrário do sentido dos ponteiros do relógio, ou negativa, quando se move no mesmo sentido dos ponteiros dos relógios.

Nós encontramos no nosso dia-a-dia muitos exemplos, como quando vamos a uma feira, numa roda gigante nós estamos em constante rotação sobre um eixo que nunca sai do sítio.

Simetria

A simetria é uma característica que pode ser observada em algumas formas geométricas, equações matemáticas ou outros objetos. O seu conceito está relacionado com o de isometria (e às operações geométricas associadas: reflexão, reflexão deslizante, rotação e translação).

Neste artigo serão consideradas apenas a reflexão e a reflexão deslizante, que, na maioria dos textos, são as operações da isometria que estão directamente relacionadas com a simetria.

Através da reflexão, uma imagem é invertida em relação a um eixo, formando-se uma imagem espelhada da original.

De forma mais lata, existe simetria se uma mudança num dado sistema mantém as características essenciais do sistema inalteradas; e.g., num determinado arranjo de cargas eléctricas, se trocarmos o sinal de cada uma das cargas eléctricas aí presentes, o comportamento eléctrico do sistema permanecerá inalterado.

A simetria ocorre ou é aplicada em várias das vertentes da acção humana: na geometria, matemática, física, biologia, arte e até na literatura (nos palíndromos), etc.

Ainda que dois objectos semelhantes pareçam o mesmo, eles são, logicamente, diferentes. De facto, a simetria refere-se mais a semelhanças que a igualdades (até porque muitas imagens simétricas não são sobreponíveis ponto por ponto, à luz da geometria euclidiana). A dificuldade que a nossa capacidade perceptiva tem em diferenciar imagens que à partida parecem ser iguais (o que se percebe nas crianças que têm dificuldade em desenhar figuras geométricas a partir de um eixo) será, provavelmente, responsável pela ligeireza e ameno estado de consciência alterada provocado pela observação de padrões geométricos intrincados baseados na simetria.

Simetria na geometria

Em termos geométricos, considera-se simetria como a semelhança exata da forma em torno de uma determinada linha reta (eixo), ponto ou plano. Se, ao rodarmos a figura,

163

invertendo-a, ela for sobreponível ponto por ponto (segundo os princípios da geometria euclidiana) ela é simétrica. É o caso Para a maioria das pessoas, a idéia de simetria está ligada mais a pensamentos sobre Arte e Natureza do que sobre Matemática. De fato, nossas idéias de beleza estão intimamente relacionada a princípios de simetria e simetrias são encontradas por toda a parte no mundo que nos rodeia.das imagens reflectidas por um espelho, como já foi referido. Efectivamente, se no meio da letra O colocarmos um espelho exactamente a meio da figura, na vertical, a mistura das duas imagens (a real e a reflectida) forma um novo O já que a letra referida tem esse eixo de simetria. Dada uma imagem, a sua simétrica preservará comprimentos e ângulos, mas nem sempre mantém a direcção e sentido das várias partes da figura (embora isso possa acontecer em alguns casos).

Simetria na Matemática

Na matemática, um dos exemplos de Tipos de Simetrias são:

Uma das primeiras coisas que notamos a respeito de simetrias é que elas podem ser de diferentes tipos. Os dois tipos principais são as simetrias axiais e as simetrias centrais.

Simetrias Axiais

Simetrias axiais ou em relação a retas são aquelas onde pontos, objetos ou partes de objetos são a imagem espelhada um do outro em relação à reta dada, chamada eixo de simetria. O eixo de simetria é a mediatriz do segmento que une os pontos correspondentes de uma expressão matemática onde está presente simetria é em a²c + 3ab + b²c. Se a e b forem trocados, o valor da expressão mantém-se inalterado devido à propriedade comutativa da adição algébrica e à propriedade comutativa da multiplicação.

Na matemática estuda-se a simetria de um dado objecto, fazendo-se o levantamento de todas as operações que não modificam o objecto (restituindo-o à sua identidade). Ao conjunto destas operações dá-se o nome de grupo. Se o objecto for geométrico, é um grupo de simetrias. Se for um objecto algébrico, designa-se por automorfismo de grupo. É sobre isso que se debruça a teoria de Galois, ao tratar das simetrias de corpo.

Generalização da simetria

Se tivermos um dado conjunto de objectos estruturados torna-se possível para uma simetria converter apenas um objecto noutro, em vez de actuar em todos os objectos simultaneamente. Isto requer a generalização do conceito de grupo de simetria para o conceito de grupóide.

Simetria na Contabilidade

Ela é conceita em dois tipos de objetos que pode ser ocasionada a relação entre um fato e outro ex: x+1 1+x.

Semelhança de polígonos

164

Introdução

Observe as figuras:

Figura A

Figura B

Figura C

Elas representam retângulos com escalas diferentes. Observe que os três retângulos tem a mesma forma, mas de tamanhos diferentes. Dizemos que esse mapas são figuras semelhantes. Nessas figuras podemos identificar: AB - distância entre A e B (comprimento do retângulo) CD - distância entre C e D (largura do retângulo)

- ângulos agudos formados pelos segmentos

Medindo os segmentos de reta e e os ângulos ( ) das figuras, podemos organizar a seguinte tabela:

m ( ) m ( ) ângulo

Fig. C 3,9 cm 1,3 cm = 90º

Fig. B 4,5 cm 1,5 cm = 90ºFig. A 6,0 cm 2,0 cm = 90º

Observe que:

• Os ângulos correspondente nas três figuras têm medidas iguais;• As medidas dos segmentos correspondentes são proporcionais;

165

Desse exemplo, podemos concluir que duas ou mais figuras são semelhantes em geometria quando:

• os ângulos correspondentes têm medidas iguais ; • as medidas dos segmentos correspondentes são proporcionais; • os elementos das figuras são comuns.

Outro exemplos de figuras semelhantes:

têm formas iguais e tamanhos diferentes.

Polígonos Semelhantes

Considere os polígonos ABCD e A'B'C'D', nas figuras:

166

Observe que:

• os ângulos correspondentes são congruentes:

• os lados correspondentes (ou homólogos) são proporcionais:

ou

Podemos concluir que os polígonos ABCD e A'B'C'D' são semelhantes e indicamos:

ABCD ~ A'B'D'C' (lê-se "polígonos ABCD é semelhante ao polígono A'B'D'C' ")

Ou seja:

Dois polígonos são semelhantes quando os ângulos correspondentes são congruentes e os lados correspondentes são proporcionais.

A razão entre dois lados correspondentes em polígonos semelhante denomina-se razão de semelhança, ou seja:

A razão de semelhança dos polígonos considerados é

Obs: A definição de polígonos semelhantes só é válida quando ambas as condições são satisfeitas: Ângulos correspondentes congruentes e lados correspondentes proporcionais. Apenas uma das condições não é suficiente para indicar a semelhança entre polígonos.

Propriedades

Se dois polígonos são semelhantes, então a razão entre seus perímetros é igual à razão entre as medidas de dois lados homólogos quaisquer dos polígonos.

Demonstração:

Sendo ABCD ~ A'B'C'D', temos que:

167

Os perímetros desses polígonos podem ser assim representados: Perímetro de ABCDE (2p) = AB + BC + CD + DE + EA

Perímetro de A'B'C'D'E' (2p') = A'B' + B'C' + C'D' + D'E' + E'A'Por uma propriedade das proporções, podemos afirmar que:

Exemplo:

• Os lados de um triângulo medem 3,6 cm, 6,4 cm e 8 cm. Esse triângulo é semelhante a um outro cujo perímetro mede 45 cm. calcule os lados do segundo triângulo.

Solução

Razão de semelhança =

Logo, os lados do segundo triângulo são 9cm, 16cm e 20cm.

168

Razões trigonométricas de ângulos agudos

Catetos e Hipotenusa

Em um triângulo chamamos o lado oposto ao ângulo reto de hipotenusa e os lados adjacentes de catetos.

Observe a figura:

Hipotenusa:

Catetos: e

Seno, Cosseno e Tangente

Considere um triângulo retângulo BAC:

Hipotenusa: , m( ) = a.

Catetos: , m( ) = b.

, m( ) = c.

Ângulos: , e .

Tomando por base os elementos desse triângulo, podemos definir as seguintes razões trigonométricas:

• Seno de um ângulo agudo é a razão entre a medida do cateto oposto a esse ângulo e a medida da hipotenusa.

Assim:

169

• Cosseno de um ângulo agudo é a razão entre a medida do cateto adjacente a esse ângulo e a medida da hipotenusa.

Assim:

Consideremos um triângulo rectangulo.Seja a um dos seus àngulos agudos.O seno do ângulo a define-se como a razão entre o comprimento do cateto oposto e o comprimento da hipotenusa.O co-seno do ângulo a define-se como a razão entre o comprimento do cateto adjacente e a hipotenusa.A tangente do ângulo a define-se como a razão entre o comprimento do cateto oposto e o cateto adjacente.Por consequência da definição de tangente, esta também pode ser definida como a razão: sen(a) / cos(a).

170

A fórmula fundamental da trigonometria é conhecida pelo seguinte articulado:o quadrado do sen(a) mais o quadrado do cos(a) é sempre igual à unidade.

Relações Métricas do Triângulo Retângulo

As Relações Métricas do Triângulo Retângulo são 4, sabendo que os 3 triângulos formados são retângulos e semelhantes

• A hipotenusa é igual à soma das projeções.

Por semelhança de triângulos, temos que:

• O quadrado da altura relativa à hipotenusa é igual ao produto das projeções dos catetos.

• O quadrado de um cateto é igual ao produto entre a sua projeção(que se encontra do seu lado) e a hipotenusa.

171

• O produto entre a hipotenusa e a altura relativa a ela é igual ao produto dos catetos.

.

Teorema de Pitágoras

O Teorema de Pitágoras diz que "A soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa!" (b²+c²=a²).

Se somarmos as relações

Geometria Espacial

Perpendicularismo entre planos

Dois planos, , são perpendiculares se, e somente se, existe uma reta de um deles que é perpendicular ao outro:

172

Observação: Existem infinitos planos perpendiculares a um plano dado; esses planos podem ser paralelos entre si ou secantes.

Projeção ortogonal

A projeção ortogonal de um ponto P sobre um plano é a intersecção do plano com a reta perpendicular a ele, conduzida pelo ponto P:

A projeção ortogonal de uma figura geométrica F ( qualquer conjunto de pontos) sobre um plano é o conjunto das projeções ortogonais de todos os pontos de F sobre :

Distâncias

173

A distância entre um ponto e um plano é a medida do segmento cujos extremos são o ponto e sua projeção ortogonal sobre o plano:

A distância entre uma reta e um plano paralelo é a distância entre um ponto qualquer da reta e o plano:

A distância entre dois planos paralelos é a distância entre um ponto qualquer de um deles e o outro plano:

A distância entre duas retas reversas, r e s, é a distância entre um ponto qualquer de uma delas e o plano que passa pela outra e é paralelo à primeira reta:

Resolução de triângulos

174

Os elementos fundamentais de um triângulo são os seus lados, os seus ângulos e a sua área, resolver um triângulo, segnifica conhecer as medidas destes elementos. Conhecendo-se três entre estes elementos podemos usar as relações métricas ou as relações trigonométricas dependendo do caso, para calcular os outros elementos. Estas relações estão expostas na sequência.

Lei dos Senos

Seja um triângulo qualquer, como o que aparece na figura ao lado, com lados a, b e c, que são os lados opostos aos ângulos A, B e C, respectivamente. O quociente entre a medida de cada lado e o seno do ângulo oposto a este lado é uma constante igual a 2R, em que R é o raio da circunferência circunscrita ao triângulo, isto é:

asen(A)

=b

sen(B)=

csen(C)

=2R

Demonstração: Para simplificar as notações iremos denotar o ângulo correspondente a cada vértice pelo nome do vértice, por exemplo para o triângulo de vértices ABC os ângulos serão A, B e C respectivamente, assim quando escrevermos sen(A) estaremos nos referindo ao seno do ângulo correspondente ao vértice A.

Seja ABC um triângulo qualquer, inscrito numa circunferência de raio R. Tomando como base do triângulo o lado BC, construimos um novo triângulo BCA', de tal modo que o segmento BA' seja um diâmetro da circunferência. Este novo triângulo é retângulo em C.

Temos três casos a considerar, dependendo se o triângulo ABC é acutângulo, obtusângulo ou retângulo.

175

1. Triângulo acutângulo: Os ângulos correspondentes aos vértices A e A' são congruentes, pois são ângulos inscritos à circunferência que correspondem a um mesmo arco BC. Então:

sen(A')=sen(A)=a

2R

isto é,

asen(A)

=2R

Repetindo o mesmo processo para as bases AC e AB, encontraremos os outros quocientes

bsen(B)

=c

sen(C)=2R

2. Triângulo obtusângulo: Se A e A' são os ângulos que correspondem aos vértices A e A', a relação entre eles é dada por A'= -A, pois são ângulos inscritos à circunferência correspondentes a arcos replementares BAC e BA'C. Então

sen( -A)=a

2R= sen( -A)

isto é,

asen(A)

=2R

176

Repetindo o mesmo processo para as bases AC e AB, encontraremos os outros quocientes

bsen(B)

=c

sen(C)=2R

3. Triângulo retângulo: Como o triângulo ABC é um triângulo retângulo, é imediato que

sen(B)=ba

, sen(C)=ca

e sen(A)=sen( /2)=1

Como, neste caso a=2R, temos,

asen(A)

=b

sen(B)=

csen(C)

Lei dos Co-senos

Em um triângulo qualquer, o quadrado da medida de um lado é igual a diferença entre a soma dos quadrados das medidas dos outros dois lados e o dobro do produto das medidas desses lados pelo co-seno do ângulo formado por estes lados.

a² = b² + c² - 2bc cos(A)b² = a² + c² - 2ac cos(B)c² = a² + b² - 2ab cos(C)

177

Demonstração: Temos três casos a considerar, dependendo se o triângulo ABC é acutângulo, obtusângulo ou retângulo.

1. Triângulo retângulo: Se o triângulo ABC é retângulo, com ângulo reto no vértice A. A relação

a² = b² + c² - 2bc cos(A)

recai no teorema de Pitágoras.

a² = b² + c²

uma vez que cos(A)=cos( /2)=0.

2. Triângulo acutângulo: Seja o triângulo ABC um triângulo acutângulo com ângulo agudo correspondente ao vértice A, como mostra a figura.

Seja o segmento de reta HC perpendicular ao lado AB (altura do triângulo relativa ao lado AB), passando pelo vértice C. Aplicando o Torema de Pitágoras no triângulo CHB, temos:

a² = h²+(c-x)² = h²+(c²-2cx+x²) = =(h²+x²)+c²-2cx (Eq.1)

No triângulo AHC, temos que b²=h²+x² e também cos(A)=x/b, ou seja, x = b cos(A)

Substituindo estes resultados na equação (Eq. 1), obtemos:

a²=b² + c² - 2bc cosA

3. Triângulo obtusângulo: Seja o triângulo obtusângulo ABC com o ângulo obtuso correspondente ao vértice A, como mostra a figura.

178

Seja o segmento de reta HC perpendicular ao lado AB (altura do triângulo relativa ao lado AB), passando pelo vértice C. Aplicando o Torema de Pitágoras no triângulo CHB, temos que:

a² = h²+(c+x)² = h²+(c²+2cx+x²) = =(h²+x²)+c²+2cx (Eq.2)

No triângulo AHC, temos que b²=h²+x² e também:

cos(D)=x/b=cos( -A)=-cos(A), então, x = -b cos(A)

Substituindo estes resultados na equação (Eq.2), obtemos:

a² = b² + c² - 2bc cos(A)

As expressões da lei dos co-senos podem ser escritas na forma

cos(A)=

b²+c²-a²2bc

,cos(B)=a²+c²-b²

2ac,cos(C)=

a²+b²-c²2ab

Área de um triângulo em função dos lados

Existe uma fórmula que permite calcular a área de um triângulo conhecendo-se as medidas de seus lados. Se a, b e c são as medidas dos lados do triângulo, p a metade do perímetro do triângulo, isto é: 2p=a+b+c, então,

S = R[p(p-a)(p-b)(p-c)]

onde R[z] é a nossa notação para a raiz quadrada de z>0.

A demonstração está em nosso link Fórmula de Heron.

179

Relações métricas no círculo

A circunferência possui algumas importantes relações métricas envolvendo segmentos internos, secantes e tangentes. Através dessas relações obtemos as medidas procuradas.

Cruzamento entre duas cordas

O cruzamento de duas cordas na circunferência gera segmentos proporcionais, e a multiplicação entre as medidas das duas partes de uma corda é igual à multiplicação das medidas das duas partes da outra corda. Observe:

AP * PC = BP * PD

Exemplo 1

x * 6 = 24 * 8 6x = 192 x = 192/6 x = 32

Dois segmentos secantes partindo de um mesmo ponto

Em qualquer circunferência, quando traçamos dois segmentos secantes, partindo de um mesmo ponto, a multiplicação da medida de um deles pela medida de sua parte externa é igual à multiplicação da medida do outro segmento pela medida de sua parte externa. Observe:

180

RP * RQ = RT * RS

Exemplo 2

x * (42 + x) = 10 * (30 + 10) x2 + 42x = 400 x2 + 42x – 400 = 0

Aplicando a forma resolutiva de uma equação do 2º grau:

Os resultados obtidos são x’ = 8 e x’’ = – 50. Como estamos trabalhando com medidas, devemos considerar somente o valor positivo x = 8.

Segmento secante e segmento tangente partindo de um mesmo ponto

Nesse caso, o quadrado da medida do segmento tangente é igual à

181

multiplicação da medida do segmento secante pela medida de sua parte externa.

(PQ)2 = PS * PR

Exemplo 3

x2 = 6 * (18 + 6) x2 = 6 * 24 x2 = 144 √x2 = √144 x = 12

As razões trigonométricas de 30º, 45º e 60º

Considere as figuras:

quadrado de lado l e diagonal

182

Triângulo eqüilátero de lado

I e altura

Seno, cosseno e tangente de 30º

Aplicando as definições de seno, cosseno e tangente para os ângulos de 30º, temos:

Seno, cosseno e tangente de 45º

Aplicando as definições de seno, cosseno e tangente´para um ângulo de 45º, temos:

Seno, cosseno e tangente de 60º

Aplicando as definições de seno, cosseno e tangente para um ângulo de 60º, temos:

183

Resumindo

x sen x cos x tg x

30º

45º

60º

Aplicação Um foguete é lançado a 200m/s, segundo um ângulo de inclinação de 60º (ver figura). Determinar a altura do foguete após 4s, supondo a trajetória retilínea e a velocidade constante.

184

Relações entre as razões trigonométricas

As relações entre os valores das funções trigonométricas de um mesmo arco são denominadas relações trigonométricas.

185

Observações:

a) cotg x = co-tangente de x

b) sec x = secante de x

c) cosec x = co-ssecante de x

Aplicação Simplificar a expressão:

1 – sen x . cos x . tg

186

Aplicação

Calcular sen 75°.

Solução:

Podemos observar que 75º = 30º + 45º; logo sen 75º = sen (30º + 45º). A partir da fórmula, temos:

sen (30º + 45º) = sen 30º. cos 45º + sen 45º . cos 30º =

TABELA TRIGONOMÉTRICA

Ângulo sen cos tg

1 0,017452 0,999848 0,017455

187

2 0,034899 0,999391 0,034921

3 0,052336 0,99863 0,052408

4 0,069756 0,997564 0,069927

5 0,087156 0,996195 0,087489

6 0,104528 0,994522 0,105104

7 0,121869 0,992546 0,122785

8 0,139173 0,990268 0,140541

9 0,156434 0,987688 0,158384

10 0,173648 0,984808 0,176327

11 0,190809 0,981627 0,19438

12 0,207912 0,978148 0,212557

13 0,224951 0,97437 0,230868

14 0,241922 0,970296 0,249328

15 0,258819 0,965926 0,267949

16 0,275637 0,961262 0,286745

17 0,292372 0,956305 0,305731

18 0,309017 0,951057 0,32492

19 0,325568 0,945519 0,344328

20 0,34202 0,939693 0,36397

21 0,358368 0,93358 0,383864

22 0,374607 0,927184 0,404026

23 0,390731 0,920505 0,424475

24 0,406737 0,913545 0,445229

25 0,422618 0,906308 0,466308

26 0,438371 0,898794 0,487733

27 0,45399 0,891007 0,509525

28 0,469472 0,882948 0,531709

29 0,48481 0,87462 0,554309

30 0,5 0,866025 0,57735

31 0,515038 0,857167 0,600861

32 0,529919 0,848048 0,624869

33 0,544639 0,838671 0,649408

34 0,559193 0,829038 0,674509

35 0,573576 0,819152 0,700208

36 0,587785 0,809017 0,726543

37 0,601815 0,798636 0,753554

38 0,615661 0,788011 0,781286

39 0,62932 0,777146 0,809784

40 0,642788 0,766044 0,8391

188

41 0,656059 0,75471 0,869287

42 0,669131 0,743145 0,900404

43 0,681998 0,731354 0,932515

44 0,694658 0,71934 0,965689

45 0,707107 0,707107 1

46 0,71934 0,694658 1,03553

47 0,731354 0,681998 1,072369

48 0,743145 0,669131 1,110613

49 0,75471 0,656059 1,150368

50 0,766044 0,642788 1,191754

51 0,777146 0,62932 1,234897

52 0,788011 0,615661 1,279942

53 0,798636 0,601815 1,327045

54 0,809017 0,587785 1,376382

55 0,819152 0,573576 1,428148

56 0,829038 0,559193 1,482561

57 0,838671 0,544639 1,539865

58 0,848048 0,529919 1,600335

59 0,857167 0,515038 1,664279

60 0,866025 0,5 1,732051

61 0,87462 0,48481 1,804048

62 0,882948 0,469472 1,880726

63 0,891007 0,45399 1,962611

64 0,898794 0,438371 2,050304

65 0,906308 0,422618 2,144507

66 0,913545 0,406737 2,246037

67 0,920505 0,390731 2,355852

68 0,927184 0,374607 2,475087

69 0,93358 0,358368 2,605089

70 0,939693 0,34202 2,747477

71 0,945519 0,325568 2,904211

72 0,951057 0,309017 3,077684

73 0,956305 0,292372 3,270853

74 0,961262 0,275637 3,487414

75 0,965926 0,258819 3,732051

76 0,970296 0,241922 4,010781

77 0,97437 0,224951 4,331476

78 0,978148 0,207912 4,70463

79 0,981627 0,190809 5,144554

189

80 0,984808 0,173648 5,671282

81 0,987688 0,156434 6,313752

82 0,990268 0,139173 7,11537

83 0,992546 0,121869 8,144346

84 0,994522 0,104528 9,514364

85 0,996195 0,087156 11,43005

86 0,997564 0,069756 14,30067

87 0,99863 0,052336 19,08114

88 0,999391 0,034899 28,63625

89 0,999848 0,017452 57,28996

90 1 0 -

Aplicações da trigonometria

A trigonometria possui diversas aplicações práticas. Encontramos aplicações da Trigonometria na Engenharia, na Mecânica, na Eletricidade, na Acústica, na Medicina, na Astronomia e até na Música. Por exemplo, a trigonometria do triângulo retângulo nos permite realizar facilmente cálculos como:

• altura de um prédio através de sua sombra.• distância a ser percorrida em uma pista circular de atletismo. • largura de rios, montanhas etc.• medida do raio da Terra, distância entre a Terra e a Lua.

Problema de trigonometria

Se a distância entre uma pessoa e uma torre é 100 m e o ângulo formado pelo topo da torre e o chão é30o, qual a altura da torre em metros?

Passos:

• Desenhe um simples diagrama para representar o problema. Nomeie cuidadosamente e claramente marque os valores que são dados e os que precisam ser calculados. Denote a dimensão desconhecida por digamos h se você estiver calculando a altura ou por x se você estiver calculando a distância.

• Identifique qual função trigonométrica representa a razão do lado sobre o qual informação é dada e o lado cujas dimensões se quer descobrir. Monte uma equação trigonométrica.

190

• Substitua o valor da função trigonométrica e resolva a equação para a variável desconhecida.

Solução:

• AB = distância entre o homem e a torre = 100 m• BC = altura da torre = h (a ser calculada)• A função trigonométrica que usa AB e BC é tan A , onde A = 30o.

Então tan 30o = BC / AB = h / 100

Portanto a altura da torre é h = 100 tan 30o = (100) = 57.74 m.

Polígono inscrito e polígono circunscrito em uma circunferência

Polígono inscrito e polígono circunscrito em uma circunferência Quando os vértices de um polígono estão sobre uma circunferência (figura 1), dizemos que: • o polígono está inscrito na circunferência;• a circunferência está circunscrita ao polígono. Quando os lados do polígono são tangentes a uma circunferência (figura 2), dizemos que: • o polígono está circunscrito à circunferência;• a circunferência está inscrita no polígono.

191

Polígonos regulares

Um polígono é chamado de eqüiângulo quando possui todos os ângulos internos congruentes, e eqüilátero quando possui todos os lados congruentes.

Exemplos:

a) O retângulo tem todos os ângulos internos congruentes.Logo, o retângulo é eqüiângulo.

b) O losango tem todos os lados congruentes. Logo, o losango é eqüilátero.

192

c) O quadrado tem todos os lados e todos os ângulos internos congruentes.Logo, o quadrado é eqüilátero e eqüiângulo.

Todo polígono eqüilátero e eqüiângulo é chamado de polígono regular. Um polígono é regular quando todos os seus lados e todos os seus ângulos são congruentes Exemplos:

Propriedade dos polígonos regulares

• Se uma circunferência for dividida em três ou mais arcos congruentes, então as cordas consecutivas formam um polígono regular inscrito na circunferência.• Se uma circunferência for dividida em três ou mais arcos congruentes, então as tangentes aos pontos consecutivos de divisão formam um polígono regular circunscrito à circunferência.

Na circunferência abaixo, traçamos dois diâmetros perpendiculares entre si. A circunferência ficou dividida em quatro arcos congruentes.

193

.

As cordas consecutivas formam um quadrado inscrito na circunferência.

• Todo polígono regular é inscritível numa circunferência.• Todo polígono regular é circunscritível a uma circunferência.

194

195

196

197

Área de um Polígono Regular

Todo polígono regular pode ser inscrito em uma circunferência. Ao decompormos esse polígono notamos várias regiões triangulares, então se o polígono for decomposto em n triângulos basta calcularmos sua área e multiplicarmos pelo número de triângulos.

Obs.: O número de lados da figura é igual ao número de triângulos que compõem a figura.

No pentágono inscrito abaixo podemos notar que a altura de cada triângulo que o compõe corresponde ao apótema do polígono, podemos substituir a altura h pelo apótema a, na expressão que calcula a área de cada triângulo:

Para calcular a área total basta multiplicarmos a expressão da área de cada

198

triângulo pelo perímetro do polígono e dividir por dois como demonstra a expressão final:

Vamos calcular a área de um pentágono regular, onde cada lado mede 4m.

Já vimos que o pentágono é formado por cinco triângulos e vale lembrarmos que em qualquer polígono a soma dos ângulos externos é sempre igual a 360º. Para calcularmos o apótema deste triângulo devemos recorrer à relação trigonométrica tangente. Veja que o apótema divide a base em duas partes iguais.

199

A área total de um pentágono cujo lado mede 4 metros é de 27,5 m2.

Exemplos de relações métricas

Triângulo retângulo

Num triângulo retângulo, os lados perpendiculares, aqueles que formam um ângulo de 90º, são denominados catetos e o lado oposto ao ângulo de 90º recebe o nome de hipotenusa. O teorema de Pitágoras é aplicado ao triângulo retângulo e diz que: hipotenusa ao quadrado é igual à soma dos quadrados dos catetos, hip² = c² + c².

200

Relações métricas no triângulo retângulo

Observe os triângulos:

Os triângulos AHB e AHC são semelhantes, então podemos estabelecer algumas relações métricas importantes:

h² = mn b² = na c² = am bc = ah

Aplicações do Teorema de Pitágoras

Diagonal do quadrado

Dado o quadrado de lado l, a diagonal D do quadrado será a hipotenusa de um triângulo retângulo com catetos l, com base nessa definição usaremos o teorema de Pitágoras para uma expressão que calcula a diagonal do quadrado em função da medida do lado.

201

Altura de um triângulo equilátero

O triângulo PQR é equilátero, vamos calcular sua altura com base na medida l dos lados. Ao determinarmos a altura (h) do triângulo PQR, podemos observar um triângulo retângulo PHQ catetos: h e l/2 e hipotenusa h. Aplicando o teorema de Pitágoras temos:

Diagonal do bloco retangular (paralelepípedo)

Observe o bloco de arestas a, b e c, iremos calcular a diagonal (d), mas usaremos a diagonal x da base em nossos cálculos. Veja:

202

x² = a² + b² d² = x² + c²

substituindo, temos:

Diagonal do cubo (caso particular do paralelepípedo)

Consideremos o cubo um caso particular de um bloco retangular, então: a = b = c = l

Área das figuras planas

RetânguloQuadrado

Triângulo Paralelogramo

203

Trapézio Losango

Triângulo equilátero

Medidas de volume

Introdução

Frequentemente nos deparamos com problemas que envolvem o uso de três dimensões: comprimento, largura e altura. De posse de tais medidas tridimensionais, poderemos calcular medidas de metros cúbicos e volume.

Metro cúbico

A unidade fundamental de volume chama-se metro cúbico. O metro cúbico (m3) é medida correspondente ao espaço ocupado por um cubo com 1 m de aresta.

204

Múltiplos e submúltiplos do metro cúbico

Múltiplos Unidade

Fundamental

Submúltiplos

quilômetro cúbico

hectômetro cúbico

decâmetro cúbico

metro cúbico

decímetro cúbico

centímetro cúbico

milímetro cúbico

km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3 1.000.000.000

m3 1.000.000

m3 1.000m3 1m3 0,001m3

0,000001m3

0,000000001 m3

Leitura das medidas de volume

A leitura das medidas de volume segue o mesmo procedimento do aplicado às medidas lineares. Devemos utilizar porem, tres algarismo em cada unidade no quadro. No caso de alguma casa ficar incompleta, completa-se com zero(s). Exemplos.

• Leia a seguinte medida: 75,84m3

km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3

75, 840

Lê-se "75 metros cúbicos e 840 decímetros cúbicos".

• Leia a medida: 0,0064dm3

km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3

0, 006 400

Lê-se "6400 centímetros cúbicos".

Medidas de capacidade

A quantidade de líquido é igual ao volume interno de um recipiente, afinal quando enchemos este recipiente, o líquido assume a forma do mesmo. Capacidade é o volume interno de um recipiente.

A unidade fundamental de capacidade chama-se litro.

Litro é a capacidade de um cubo que tem 1dm de aresta.

1l = 1dm3

205

Múltiplos e submúltiplos do litro

Múltiplos Unidade Fundamental Submúltiplos quilolitro hectolitro decalitro litro decilitro centilitro mililitro

kl hl dal l dl cl ml 1000l 100l 10l 1l 0,1l 0,01l 0,001l

Cada unidade é 10 vezes maior que a unidade imediatamente inferior.

Relações

1l = 1dm3

1ml = 1cm3

1kl = 1m3

Leitura das medidas de capacidade

• Exemplo: leia a seguinte medida: 2,478 dal

kl hl dal l dl cl ml 2, 4 7 8

Lê-se "2 decalitros e 478 centilitros".

Medidas de massa

Relações Importantes

Podemos relacionar as medidas de massa com as medidas de volume e capacidade.

Assim, para a água pura (destilada) a uma temperatura de 4ºC é válida a seguinte equivalência:

1 kg <=> 1dm3 <=> 1L

São válidas também as relações:

1m3 <=> 1 Kl <=> 1t 1cm3 <=> 1ml <=> 1g

Observação:

206

Na medida de grandes massas, podemos utilizar ainda as seguintes unidades especiais:

1 arroba = 15 kg

1 tonelada (t) = 1.000 kg

1 megaton = 1.000 t ou 1.000.000 kg

Leitura das Medidas de Massa

A leitura das medidas de massa segue o mesmo procedimento aplicado às medidas lineares. Exemplos:

• Leia a seguinte medida: 83,732 hg

kg hg dag g dg cg mg8 3, 7 3 1

Lê-se "83 hectogramas e 731 decigramas".

• Leia a medida: 0,043g

kg hg dag g dg cg mg 0, 0 4 3

Lê-se " 43 miligramas".

Medidas de Comprimento

Sistema Métrico Decimal

Desde a Antiguidade os povos foram criando suas unidades de medida. Cada um deles possuía suas próprias unidades-padrão. Com o desenvolvimento do comércio ficavam cada vez mais difíceis a troca de informações e as negociações com tantas medidas diferentes. Era necessário que se adotasse um padrão de medida único para cada grandeza.

Foi assim que, em 1791, época da Revolução francesa, um grupo de representantes de vários países reuniu-se para discutir a adoção de um sistema único de medidas. Surgia o sistema métrico decimal.

207

Metro

A palavra metro vem do gegro métron e significa "o que mede". Foi estabelecido inicialmente que a medida do metro seria a décima milionésima parte da distância do Pólo Norte ao Equador, no meridiano que passa por Paris. No Brasil o metro foi adotado oficialmente em 1928.

Múltiplos e Submúltiplos do Metro

Além da unidade fundamental de comprimento, o metro, existem ainda os seus múltiplos e submúltiplos, cujos nomes são formados com o uso dos prefixos: quilo, hecto, deca, deci, centi e mili. Observe o quadro:

MúltiplosUnidade

FundamentalSubmúltiplos

quilômetro hectômetro decâmetro metro decímetro centímetro milímetrokm hm dam m dm cm mm

1.000m 100m 10m 1m 0,1m 0,01m 0,001m

Os múltiplos do metro são utilizados para medir grandes distâncias, enquanto os submúltiplos, para pequenas distâncias. Para medidas milimétricas, em que se exige precisão, utilizamos:

mícron (µ) = 10-6 m angströn (Å) = 10-10 m

Para distâncias astronômicas utilizamos o Ano-luz (distância percorrida pela luz em um ano):

Ano-luz = 9,5 · 1012 km

O pé, a polegada, a milha e a jarda são unidades não pertencentes ao sistemas métrico decimal, são utilizadas em países de língua inglesa. Observe as igualdades abaixo:

Pé = 30,48 cmPolegada = 2,54 cmJarda = 91,44 cmMilha terrestre = 1.609 mMilha marítima = 1.852 m

Observe que:

1 pé = 12 polegadas

1 jarda = 3 pés

208

Leitura das Medidas de Comprimento

A leitura das medidas de comprimentos pode ser efetuada com o auxílio do quadro de unidades. Exemplos: Leia a seguinte medida: 15,048 m.

Seqüência prática

1º) Escrever o quadro de unidades:

km hm dam m dm cm mm

2º) Colocar o número no quadro de unidades, localizando o último algarismo da parte inteira sob a sua respectiva.

km hm dam m dm cm mm 1 5, 0 4 8

3º) Ler a parte inteira acompanhada da unidade de medida do seu último algarismo e a parte decimal acompanhada da unidade de medida do último algarismo da mesma.

15 metros e 48 milímetros

Outros exemplos:

6,07 km lê-se "seis quilômetros e sete decâmetros"

82,107 damlê-se "oitenta e dois decâmetros e cento e sete centímetros".

0,003 m lê-se "três milímetros".

Transformação de Unidades

Observe as seguintes transformações:

• Transforme 16,584hm em m.

km hm dam m dm cm mm

209

Para transformar hm em m (duas posições à direita) devemos multiplicar por 100 (10 x 10).

16,584 x 100 = 1.658,4

Ou seja:

16,584hm = 1.658,4m

• Transforme 1,463 dam em cm.

km hm dam m dm cm mm

Para transformar dam em cm (três posições à direita) devemos multiplicar por 1.000 (10 x 10 x 10).

1,463 x 1.000 = 1,463

Ou seja:

1,463dam = 1.463cm.

• Transforme 176,9m em dam.

km hm dam m dm cm mm

Para transformar m em dam (uma posição à esquerda) devemos dividir por 10.

176,9 : 10 = 17,69

Ou seja:

176,9m = 17,69dam

• Transforme 978m em km.

km hm dam m dm cm mm

Para transformar m em km (três posições à esquerda) devemos dividir por 1.000.

978 : 1.000 = 0,978

Ou seja:

978m = 0,978km.

210

Observação:

Para resolver uma expressão formada por termos com diferentes unidades, devemos inicialmente transformar todos eles numa mesma unidade, para a seguir efetuar as operações.

Perímetro de um Polígono

Perímetro de um polígono é a soma das medidas dos seus lados.

Perímetro do retângulo

b - base ou comprimento

h - altura ou largura

Perímetro = 2b + 2h = 2(b + h)

Perímetro dos polígonos regulares

Triângulo equilátero QuadradoP = l+ l + lP = 3 · l

P = l + l + l+ lP = 4 · l

Pentágono HexágonoP = l + l + l + l + l

P = 5 ·lP = l + l + l + l + l + l

P = 6 · l

l - medida do lado do polígono regular P - perímetro do polígono regular

211

Para um polígono de n lados, temos:

P = n · l

Comprimento da Circunferência

Um pneu tem 40cm de diâmetro, conforme a figura. Pergunta-se: Cada volta completa deste pneu corresponde na horizontal a quantos centímetros?

Envolva a roda com um barbante. Marque o início e o fim desta volta no barbante. Estique o bastante e meça o comprimento da circunferência correspondente à roda.

Medindo essa dimensão você encontrará aproximadamente 125,6cm, que é um valor um pouco superior a 3 vezes o seu diâmetro. Vamos ver como determinar este comprimento por um processo não experimental.

Você provavelmente já ouviu falar de uma antiga descoberta matemática:

Dividindo o comprimento de uma circunferência (C) pela medida do seu diâmetro (D), encontramos sempre um valor aproximadamente igual a 3,14.

Assim:

212

O número 3,141592... corresponde em matemática à letra grega (lê-se "pi"), que é a primeira lera da palavra grega perímetro. Costuma-se considera = 3,14.

Logo:

Utilizando essa fórmula, podemos determinar o comprimento de qualquer circunferência. Podemos agora conferir com auxílio da fórmula o comprimento da toda obtido experimentalmente.

C = 2 r C = 2 3,14 · 20 · C = 125,6 cm

3,141592...

Medidas de superfície

Introdução

As medidas de superficie fazem parte de nosso dia a dia e respondem a nossas perguntas mais corriqueiras do cotidiano:

• Qual a area desta sala? • Qual a area desse apartamento? • Quantos metros quadrados de azulejos são necessarios para revestir

essa piscina? • Qual a area dessa quadra de futebol de salão? • Qual a area pintada dessa parede?

Superfície e área

Superficie é uma grandeza com duas dimensòes, enquanto área é a medida dessa grandeza, portanto, um número.

Metro Quadrado

A unidade fundamental de superfície chama-se metro quadrado.

O metro quadrado (m2) é a medida correspondente à superfície de um quadrado com 1 metro de lado.

Múltiplos Unidade

Fundamental

Submúltiplos

213

quilômetros quadrado

hectômetro

quadrado

decâmetro

quadrado

metro quadrado

decímetro

quadrado

centímetro

quadrado

milímetro quadrado

km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2

1.000.000m2 10.000m2 100m2 1m2 0,01m2 0,0001m2 0,000001m2

O dam2, o hm2 e km2 sào utilizados para medir grandes superfícies, enquanto o dm2, o cm2 e o mm2 são utilizados para pequenas superfícies.

Exemplos:

1) Leia a seguinte medida: 12,56m2

km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2

12, 56

Lê-se “12 metros quadrados e 56 decímetros quadrados”. Cada coluna dessa tabela corresponde a uma unidade de área.

2) Leia a seguinte medida: 178,3 m2

km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2

1 78, 30

Lê-se “178 metros quadrados e 30 decímetros quadrados”

3) Leia a seguinte medida: 0,917 dam2

km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2

0, 91 70

Lê-se 9.170 decímetros quadrados.

Medidas Agrárias

As medidas agrárias são utilizadas parea medir superfícies de campo, plantações, pastos, fazendas, etc. A principal unidade destas medidas é o are (a). Possui um múltiplo, o hectare (ha), e um submúltiplo, o centiare (ca).

Unidade hectare (ha) are (a) centiare (ca)

214

agrária Equivalência

de valor100a 1a 0,01a

Lembre-se:

1 ha = 1hm2

1a = 1 dam2

1ca = 1m2

Transformação de unidades

Na transformação de unidades de volume, no sistema métrico decimal, devemos lembrar que cada unidade de volume é 1.000 vezes maior que a unidade imediatamente inferior.

Observe a seguinte transformação:

• transformar 2,45 m3 para dm3.

km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3

Para transformar m3 em dm3 (uma posição à direita) devemos multiplicar por 1.000.

2,45 x 1.000 = 2.450 dm3

Pratique! Tente resolver esses exercícios:

1) Transforme 8,132 km3 em hm3 (R: 8.132 hm3) 2) Transforme 180 hm3 em km3 (R: 0,18 km3) 3) Transforme 1 dm3 em dam3 (R: 0,000001 dam3) 4) Expresse em metros cúbicos o valor da expressão: 3.540dm3 + 340.000cm3 (R: 3,88 m3)

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