51
5/17/2018 APOSTILACONCRETO1[1]-slidepdf.com http://slidepdf.com/reader/full/apostila-concreto-11 1/51  CONCRETO 1 Prof. Eng. Miquéias V. Lemes Pág. 1 1. FUNDAMENTOS DO CONCRETO ARMADO: 1.1. Introdução: Até março de 2003 a principal norma para o projeto de estruturas de concreto armado era a NBR 6118/80, ou a NB1/78. Após passar por vários anos em processo de revisão, a NB 1/78 foi substituída por uma nova versão, a NBR 618/2003 “Projeto de Estruturas de Concreto – Procedimento”, que incluiu também as estruturas de Concreto Protendido. As recomendações para a execução das estruturas de concreto passaram a fazer parte da norma NBR 14931/03. 1.2. Composição do concreto: Os primeiros materiais a serem empregados nas construções foram a pedra natural e a madeira, sendo o ferro e o aço empregados séculos depois. O concreto armado só surgiu mais recentemente, por volta de 1850. Para um material de construção ser considerado bom, ele deve apresentar duas características básicas: resistência e durabilidade. A pedra natural tem resistência à compressão e durabilidade muito elevadas, porém, tem baixa resistência à tração. A madeira tem razoável resistência, mas tem durabilidade limitada. O aço tem resistência elevadas, mas requer proteção contra a corrosão. O concreto é um material composto, constituído por cimento, água, agregado miúdo (areia) e agregado graúdo (pedra ou brita), e ar. Pode também conter adições (cinza volante, pozolanas (1) , sílicas ativa (2) , etc.) e aditivos químicos com a finalidade de melhorar ou modificar suas propriedades básicas. 1. Os modernos cimentos pozolânicos são uma mistura de pozolanas naturais e industriais com cimento Portland. Para além do seu uso em obras submersas, a alta alcalinidade dos cimentos pozolânicos torna-os resistentes às causas mais comuns de corrosão, incluindo à provocada por sulfatos de origem atmosférica, em especial os resultantes das chuvas ácidas. Depois de completamente endurecido (após um período de cura em geral longo), as argamassas pozolânicas são em geral mais duras do que misturas semelhantes contendo apenas cimento Portland. Essa dureza deve-se à sua menor porosidade, o que também as torna menos propensa a absorver água por capilaridade e menos atreitas a fragmentação superficial ( spalling). O cimento Portland pozolânico (conforme norma ABNT NBR 5736), em geral conhecido pela sigla CP IV , é constituído por clínquer e gesso: 45 a 85%; escórias: 0 a 5%; pozolanas: 15 a 50%; material carbonatado: 0 a 5 2. Sílica ativa é um produto resultante do processo de fabricação de ferro-silício ou de silício metálico. Para obtenção destes utilizam-se como matérias-primas o quartzo (SiO2) e fontes de carbono  

APOSTILA CONCRETO 1[1]

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: APOSTILA CONCRETO 1[1]

5/17/2018 APOSTILA CONCRETO 1[1] - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/apostila-concreto-11 1/51

  CONCRETO 1

Prof. Eng. Miquéias V. Lemes Pág. 1

1.  FUNDAMENTOS DO CONCRETO ARMADO:

1.1. Introdução:

Até março de 2003 a principal norma para o projeto de estruturas de concreto armado era a NBR

6118/80, ou a NB1/78. Após passar por vários anos em processo de revisão, a NB 1/78 foi

substituída por uma nova versão, a NBR 618/2003 “Projeto de Estruturas de Concreto –

Procedimento”, que incluiu também as estruturas de Concreto Protendido. As recomendações

para a execução das estruturas de concreto passaram a fazer parte da norma NBR 14931/03.

1.2. Composição do concreto:

Os primeiros materiais a serem empregados nas construções foram a pedra natural e a madeira,

sendo o ferro e o aço empregados séculos depois. O concreto armado só surgiu mais

recentemente, por volta de 1850.

Para um material de construção ser considerado bom, ele deve apresentar duas características

básicas: resistência e durabilidade. A pedra natural tem resistência à compressão e durabilidade

muito elevadas, porém, tem baixa resistência à tração. A madeira tem razoável resistência, mas

tem durabilidade limitada. O aço tem resistência elevadas, mas requer proteção contra a

corrosão.O concreto é um material composto, constituído por cimento, água, agregado miúdo (areia) e

agregado graúdo (pedra ou brita), e ar. Pode também conter adições (cinza volante, pozolanas

(1), sílicas ativa (2), etc.) e aditivos químicos com a finalidade de melhorar ou modificar suas

propriedades básicas.

1.  Os modernos cimentos pozolânicos são uma mistura de pozolanas naturais e industriais com cimento Portland. Para além do seu uso

em obras submersas, a alta alcalinidade dos cimentos pozolânicos torna-os resistentes às causas mais comuns de corrosão, incluindo à

provocada por sulfatos de origem atmosférica, em especial os resultantes das chuvas ácidas. Depois de completamente endurecido

(após um período de cura em geral longo), as argamassas pozolânicas são em geral mais duras do que misturas semelhantes contendo

apenas cimento Portland. Essa dureza deve-se à sua menor porosidade, o que também as torna menos propensa a absorver água por

capilaridade e menos atreitas a fragmentação superficial (spalling). O cimento Portland pozolânico (conforme norma ABNT NBR 5736),

em geral conhecido pela sigla CP IV , é constituído por clínquer e gesso: 45 a 85%; escórias: 0 a 5%; pozolanas: 15 a 50%; material

carbonatado: 0 a 5 

2.  Sílica ativa é um produto resultante do processo de fabricação de ferro-silício ou de silício metálico. Para obtenção destes utilizam-se

como matérias-primas o quartzo (SiO2) e fontes de carbono 

Page 2: APOSTILA CONCRETO 1[1]

5/17/2018 APOSTILA CONCRETO 1[1] - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/apostila-concreto-11 2/51

  CONCRETO 1

Prof. Eng. Miquéias V. Lemes Pág. 2

2.1. Agregados:

Os agregados podem ser definidos como os “materiais granulosos e inertes que entram na

composição das argamassas e concretos”. São classificados quanto à origem em naturais

(encontrados na natureza: areias de rios e pedregulhos) e artificiais (passam por processo para

obter as características finais: britas originárias da trituração de rochas).

•  Brita 0 - 4,8 a 9,5 mm;

•  Brita 1 – 9,5 a 19 mm;

•  Brita 2 – 19 a 38 mm;

•  Brita 3 – 38 a 76 mm;

•  Pedra-de-mão - > 76 mm.

Por que não devemos usar areia da praia no concreto? O problema de sua utilização está

na composição. A areia de praia é composta por grãos extremamentes finos e por sais e

 partículas de decomposição marinha (ostras, conchas etc.). Os sais diminuem a

durabilidade do concreto, pois aumentam a corrosão do aço e sua granulometria exige

uma adição maior de água e cimento. Portanto, mesmo que lavássemos essa areia

retirando os sais, ainda inviabilizaria pelo aumento de cimento.

2.2. Água:

A água é necessária no concreto para possibilitar as reações químicas do cimento, chamada

reações de hidratação, que irão garantir as propriedades de resistência e durabilidade do

concreto. Tem também a função de lubrificar as demais partículas para proporcionar o manuseio

do concreto. Normalmente a água potável é a indicada para a confecção dos concretos.

2.3. Armadura:

Aço é uma liga metálica formada essencialmente por ferro e carbono, com percentagens deste

último variando entre 0,008 e 2,11%. Distingue-se do ferro fundido, que também é uma liga de ferro

e carbono, mas com teor de carbono entre 2,11% e 6,67%.

A diferença fundamental entre ambos é que o aço, pela sua ductibilidade, é facilmente deformável

por forja, laminação e extrusão, enquanto que uma peça em ferro fundido é fabricada pelo processo

de fundição.

Page 3: APOSTILA CONCRETO 1[1]

5/17/2018 APOSTILA CONCRETO 1[1] - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/apostila-concreto-11 3/51

  CONCRETO 1

Prof. Eng. Miquéias V. Lemes Pág. 3

A armadura é a denominação dada a montagem do aço para compor a peça dimensionada que será

formada por concreto armado.

1.3. Conceito do Concreto Armado:

O concreto é um material que apresenta alta resistência às tensões de compressão, porém,

apresenta baixa resistência à tração (cerca de 9% da sua resistência à compressão). Assim sendo, é

imperiosa a necessidade de juntar ao concreto um material com alta resistência à tração, com o

objetivo deste material, disposto convenientemente, resistir às tensões de tração atuantes. Com

esse material composto (concreto e armadura – barras de aço), surge então o chamado “concreto

armado”, onde as barras da armadura absorvem as tensões de tração e o concreto absorve as

tensões de compressão, no que pode ser auxiliado também por barras de aço (pilar).

No entanto, o conceito de concreto armado envolve ainda o fenômeno da aderência, que é essencial

e deve obrigatoriamente existir entre o concreto e a armadura, pois não basta apenas juntar os dois

materiais para se ter o concreto armado. Para a existência do concreto armado é imprescindível que

haja real solidariedade entre ambos o concreto e o aço, e que o trabalho seja realizado de forma

conjunta.

Em resumo, pode-se definir o concreto armado como “a união do concreto simples e de um materialresistente à tração (envolvido pelo concreto) de tal modo que ambos resistam solidariamente aos

esforços solicitantes”. De forma esquemática pode-se indicar que concreto armado é:

Concreto armado = concreto simples + armadura + aderência

Com a aderência, a deformação εs num ponto da barra de aço e a deformação εc no concreto que a

circunda, devem ser iguais, isto é: εc = εs.

2.  Fissuração no concreto armado:

A fissuração nos elementos estruturais de concreto armado é causado pela baixa resistência à tração

do concreto. Apesar de indesejável, o fenômeno da fissuração é natural (dentro de certos limites) no

concreto armado. O controle da fissuração é importante para a segurança estrutural em serviço,

εs = épsilon

Page 4: APOSTILA CONCRETO 1[1]

5/17/2018 APOSTILA CONCRETO 1[1] - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/apostila-concreto-11 4/51

  CONCRETO 1

Prof. Eng. Miquéias V. Lemes Pág. 4

condições de funcionalidade e estética (aparência), desempenho (durabilidade, impermeabilidade,

etc.).

Eliminar completamente as fissuras seria antieconômico, pois teria-se que aplicar tensões de tração

muito baixas na peça e na armadura. Isso leva a que o concreto armado deve conviver com as

fissuras, que não serão eliminadas e sim diminuídas a valores de abertura aceitáveis (geralmente até

0,3 mm)

No concreto armado, a armadura submetida a tensões de tração alonga-se, até o limite máximo de

10 %o (1 % = 10%o = 10 mm/m), imposto pela NBR 6118/2003 a fim de evitar fissuração excessiva no

concreto.

Pode-se imaginar um tirante com 1 m de comprimento tendo dez fissuras com abertura de 1 mm,

distribuídas ao longo do seu comprimento.

PROPRIEDADES DO CONCRETO E DO AÇO:

A NBR 6118/2003 (item 8.2.1) impõe que “as estruturas de concreto armado devem ser projetadas e

construídas com concreto classe C20 ou superior. A classe C15 pode ser usada apenas em fundações,

conforme a NBR 6122, e em obras provisórias.” C15 e C20 indicam concretos de resistência

característica à compressão (f ck) de 15 e 20 Mpa, respectivamente.

Page 5: APOSTILA CONCRETO 1[1]

5/17/2018 APOSTILA CONCRETO 1[1] - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/apostila-concreto-11 5/51

  CONCRETO 1

Prof. Eng. Miquéias V. Lemes Pág. 5

1.  MASSA ESPECÍFICA:

A massa específica dos concretos simples gira em torno de 2.400 kg/m³. A NBR 6118/2003 se aplica a

concretos com massa específica entre 2.000 kg/m³ e 2.800 kg/m³. Não sendo conhecida a massa

específica real, pode-se adotar o valor de 2.400 kg/³ para o concreto simples e 2.500 kg/m³ para o

concreto armado. Em situações diferentes das correntes deve-se estudar parâmetros mais consistentes

para a massa específica do concreto armado.

Considerando para as estruturas comuns uma taxa média de armadura de 100 kg de aço para cada

metro cúbico de concreto, a massa específica do concreto armado resulta 2.500 kg/m³.

2.  PROPRIEDADES MECÂNICAS

As principais propriedades mecânicas do concreto são: resistência à compressão, resistência à tração e

módulo de elasticidade. Essas propriedades  são determinadas a partir de ensaios, executados em

condições específicas. 

Geralmente, os ensaios são realizados para controle da qualidade e atendimento às especificações. 

2.2.1 Resistência à compressão

A resistência à compressão simples, denominada f c, é a característica mecânica mais importante. Para

estimá-la em um lote de concreto, são moldados e preparados corpos-de-prova para ensaio segundo a

NBR 5738 – Moldagem e cura  de corpos-de-prova cilíndricos ou prismáticos de concreto, os quais são

ensaiados segundo a NBR 5739 – Concreto – Ensaio de compressão de corpos-de-prova cilíndricos.

O corpo-de-prova padrão brasileiro é o cilíndrico, com 15 cm de diâmetro e 30 cm de altura, e a idade

de referência para o ensaio é 28 dias. Após ensaio de um número muito grande de corpos-de-prova,

pode ser feito um gráfico com os valores obtidos de f c versus a quantidade de corpos-de-prova relativos

a determinado valor de f c, também denominada densidade de freqüência. A curva encontrada

denomina se Curva Estatística de Gauss ou Curva de Distribuição Normal para a resistência do concretoà compressão (Figura 2.1).

Page 6: APOSTILA CONCRETO 1[1]

5/17/2018 APOSTILA CONCRETO 1[1] - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/apostila-concreto-11 6/51

  CONCRETO 1

Prof. Eng. Miquéias V. Lemes Pág. 6

Figura 2.1 – Curva de Gauss para a resistência do concreto à compressão

Na curva de Gauss encontram-se dois valores de fundamental importância: resistência média do

concreto à compressão, f cm, e resistência característica do concreto à compressão, f ck. O valor f cm é a

média aritmética dos valores de f c para o conjunto de corpos-de-prova ensaiados, e é utilizado na

determinação da resistência característica, f ck, por meio da fórmula:

f ck = f cm −1,65s.

O desvio-padrão s corresponde à distância entre a abscissa de f cm e a do ponto de inflexão da curva

(ponto em que ela muda de concavidade). O valor 1,65 corresponde ao quantil de 5%, ou seja, apenas

5% dos corpos-de-prova possuem f c < f ck, ou, ainda, 95% dos corpos-de-prova possuem f c ≥ f ck.

Portanto, pode-se definir f ck como sendo o valor da resistência que tem 5% de probabilidade de não ser

alcançado, em ensaios de corpos-de-prova de um determinado lote de concreto. Como será visto

posteriormente, a NBR 8953 define as classes de resistência em função de f ck. Concreto classe C30, por

exemplo, corresponde a um concreto com f ck = 30MPa.

Nas obras, devido ao pequeno número de corpos-de-prova ensaiados, calcula se f ck, est, valor estimado

da resistência característica do concreto à compressão.

2.2.2 Resistência à tração

Os conceitos relativos à resistência do concreto à tração direta, f ct, são análogos aos expostos no item

anterior, para a resistência à compressão. Portanto, tem-se a resistência média do concreto à tração,

f ctm, valor obtido da média aritmética dos resultados, e a resistência característica do concreto à tração,

f ctk ou simplesmente f tk, valor da resistência que tem 5% de probabilidade de não ser alcançado pelos

resultados de um lote de concreto.

A diferença no estudo da tração encontra-se nos tipos de ensaio. Há três normalizados: tração direta,

compressão diametral e tração na flexão.

Page 7: APOSTILA CONCRETO 1[1]

5/17/2018 APOSTILA CONCRETO 1[1] - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/apostila-concreto-11 7/51

  CONCRETO 1

Prof. Eng. Miquéias V. Lemes Pág. 7

a) Ensaio de tração direta

Neste ensaio, considerado o de referência, a resistência à tração direta, f ct, é determinada aplicando-se

tração axial, até a ruptura, em corpos-de-prova de concreto simples (Figura 2.2). A seção central é

retangular, medindo 9 cm por 15 cm, e as extremidades são quadradas, com 15 cm de lado.

Figura 2.2 – Ensaio de tração direta

b) Ensaio de tração na compressão diametral (spliting test)

É o ensaio mais utilizado. Também é conhecido internacionalmente como Ensaio Brasileiro. Foi

desenvolvido por Lobo Carneiro, em 1943. Para a sua realização, um corpo-de-prova cilíndrico de 15 cm

por 30 cm é colocado com o eixo horizontal entre os pratos da prensa (Figura 2.3), sendo aplicada uma

força até a sua ruptura por tração indireta (ruptura por fendilhamento).

Figura 2.3 – Ensaio de tração por compressão diametral

O valor da resistência à tração por compressão diametral, f ct, sp, encontrado neste ensaio, é um pouco

maior que o obtido no ensaio de tração direta. O ensaio de compressão diametral é simples de ser

executado e fornece resultados mais uniformes do que os da tração direta.

Page 8: APOSTILA CONCRETO 1[1]

5/17/2018 APOSTILA CONCRETO 1[1] - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/apostila-concreto-11 8/51

  CONCRETO 1

Prof. Eng. Miquéias V. Lemes Pág. 8

c) Ensaio de tração na flexão

Para a realização deste ensaio, um corpo-de-prova de seção prismática é submetido à flexão, com

carregamentos em duas seções simétricas, até à ruptura (Figura 2.4). O ensaio também é conhecido por

“carregamento nos terços”, pelo fato das seções carregadas se encontrarem nos terços do vão.

Analisando os diagramas de esforços solicitantes (Figura 2.5) pode-se notar que na região de momento

máximo tem-se cortante nula. Portanto, nesse trecho central ocorre flexão pura.

Os valores encontrados para a resistência à tração na flexão, f ct,f , são maiores que os encontrados nos

ensaios descritos anteriormente.

Figura 2.4 – Ensaio de tração na flexão

Figura 2.5 – Diagramas de esforços solicitantes (ensaio de tração na flexão)

Page 9: APOSTILA CONCRETO 1[1]

5/17/2018 APOSTILA CONCRETO 1[1] - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/apostila-concreto-11 9/51

  CONCRETO 1

Prof. Eng. Miquéias V. Lemes Pág. 9

d) Relações entre os resultados dos ensaios

Como os resultados obtidos nos dois últimos ensaios são diferentes dos relativos ao ensaio de

referência, de tração direta, há coeficientes de conversão. Considera-se a resistência à tração direta, f ct,

igual a 0,9 f ct,sp ou 0,7 f ct,f , ou seja, coeficientes de conversão 0,9 e 0,7, para os resultados decompressão diametral e de flexão, respectivamente.

Na falta de ensaios, as resistências à tração direta podem ser obtidas a partir da resistência à

compressão f ck:

f ctm = 0,3 f ck2/3 

f ctk,inf = 0,7 f ctm 

f ctk,sup = 1,3 f ctm

Nessas equações, as resistências são expressas em MPa. Será visto oportunamente que cada um desses

valores é utilizado em situações específicas.

2.2.3 Módulo de elasticidade

Outro aspecto fundamental no projeto de estruturas de concreto consiste na relação entre as tensões e

as deformações.

Sabe-se da Resistência dos Materiais que a relação entre tensão e deformação, para determinados

intervalos, pode ser considerada linear (Lei de Hooke), ou seja, σ = E*ε, sendo σ a tensão, ε adeformação específica e E ou Módulo de Elasticidade ou Módulo de Deformação Longitudinal (Figura

2.6).

Figura 2.6 - Módulo de elasticidade ou de deformação longitudinal

Page 10: APOSTILA CONCRETO 1[1]

5/17/2018 APOSTILA CONCRETO 1[1] - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/apostila-concreto-11 10/51

  CONCRETO 1

Prof. Eng. Miquéias V. Lemes Pág. 10

Para o concreto a expressão do Módulo de Elasticidade é aplicada somente à parte retilínea da curva

tensão-deformação ou, quando não existir uma parte retilínea, a expressão é aplicada à tangente da

curva na origem. Neste caso, tem-se o Módulo de Deformação Tangente Inicial, Eci (Figura 2.7).

Figura 2.7 - Módulo de deformação tangente inicial (Eci)

O módulo de deformação tangente inicial é obtido segundo ensaio descrito na NBR 8522 – Concreto – 

Determinação do módulo de deformação estática e diagrama tensão-deformação.

Quando não forem feitos ensaios e não existirem dados mais precisos sobre o concreto, para a idade dereferência de 28 dias, pode-se estimar o valor do módulo de elasticidade inicial usando a expressão:

Eci = 5600 f ck1/2

Eci e f ck são dados em MPa.

O Módulo de Elasticidade Secante, Ecs, a ser utilizado nas análises elásticas do projeto, especialmente

para determinação de esforços solicitantes e verificação de limites de serviço, deve ser calculado pela

expressão:

Ecs = 0,85 Eci 

Na avaliação do comportamento de um elemento estrutural ou de uma seção transversal, pode ser

adotado um módulo de elasticidade único, à tração e à compressão, igual ao módulo de elasticidade

secante (Ecs).

Page 11: APOSTILA CONCRETO 1[1]

5/17/2018 APOSTILA CONCRETO 1[1] - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/apostila-concreto-11 11/51

  CONCRETO 1

Prof. Eng. Miquéias V. Lemes Pág. 11

2.2.4 Coeficiente de Poisson

Quando uma força uniaxial é aplicada sobre uma peça de concreto, resulta uma deformação

longitudinal na direção da carga e, simultaneamente, uma deformação transversal com sinal contrário

(Figura 2.8).

Figura 2.8 – Deformações longitudinais e transversais

A relação entre a deformação transversal e a longitudinal é denominada coeficiente de Poisson  e

indicada pela letra ν. Para tensões de compressão menores que 0,5 f c e de tração menores que f ct, podeser adotado ν = 0,2.

2.2.5 Módulo de elasticidade transversal

O módulo de elasticidade transversal pode ser considerado Gc = 0,4 Ecs.

2.2.6 Estados múltiplos de tensão

Na compressão associada a confinamento lateral, como ocorre em pilares cintados, por exemplo, a

resistência do concreto é maior do que o valor relativo à compressão simples. O cintamento pode ser

feito com estribos, que impedem a expansão lateral do pilar, criando um estado múltiplo de tensões. O

cintamento também aumenta a dutilidade do elemento estrutural.

Na região dos apoios das vigas, pode ocorrer fissuração por causa da força cortante. Essas fissuras, com

inclinação aproximada de 45°, delimitam as chamadas bielas de compressão. Portanto, as bielas são

regiões comprimidas com tensões de tração na direção perpendicular, caracterizando um estado biaxialde tensões.

Page 12: APOSTILA CONCRETO 1[1]

5/17/2018 APOSTILA CONCRETO 1[1] - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/apostila-concreto-11 12/51

  CONCRETO 1

Prof. Eng. Miquéias V. Lemes Pág. 12

Nesse caso tem-se uma resistência à compressão menor que a da compressão simples.

Portanto, a resistência do concreto depende do estado de tensão a que ele se encontra submetido.

2.3 ESTRUTURA INTERNA DO CONCRETO

Na preparação do concreto, com as mistura dos agregados graúdos e miúdos com cimento e água, tem

início a reação química do cimento com a água, resultando gel de cimento, que constitui a massa

coesiva de cimento hidratado.

A reação química de hidratação do cimento ocorre com redução de volume, dando origem a poros, cujo

volume é da ordem de 28% do volume total do gel.

Durante o amassamento do concreto, o gel envolve os agregados e endurece com o tempo, formandocristais. Ao endurecer, o gel liga os agregados, resultando um material resistente e monolítico – o

concreto.

A estrutura interna do concreto resulta bastante heterogênea: adquire forma de retículos espaciais de

gel endurecido, de grãos de agregados graúdo e miúdo de várias formas e dimensões, envoltos por

grande quantidade de poros e capilares, portadores de água que não entrou na reação química e, ainda,

vapor d’água e ar.

Fisicamente, o concreto representa um material capilar pouco poroso, sem continuidade da massa, no

qual se acham presentes os três estados da agregação

 – sólido, líquido e gasoso.

2.4 DEFORMAÇÕES

As deformações do concreto dependem essencialmente de sua estrutura interna.

2.4.1 Retração

Denomina-se retração à redução de volume que ocorre no concreto, mesmo na ausência de tensões

mecânicas e de variações de temperatura.

As causas da retração são:

• Retração química: contração da água não evaporável, durante o endurecimento do concreto.

• Retração capilar: ocorre por evaporação parcial da água capilar e perda da água adsorvida. O tensão

superficial e o fluxo de água nos capilares provocam retração.

• Retração por carbonatação: Ca(OH)2 + CO2 → CaCO3 + H2O (ocorre com diminuição de volume).

Page 13: APOSTILA CONCRETO 1[1]

5/17/2018 APOSTILA CONCRETO 1[1] - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/apostila-concreto-11 13/51

  CONCRETO 1

Prof. Eng. Miquéias V. Lemes Pág. 13

2.4.2 Expansão

Expansão é o aumento de volume do concreto, que ocorre em peças submersas. Nessas peças, no início

tem-se retração química. Porém, o fluxo de água é de fora para dentro. As decorrentes tensões capilares

anulam a retração química e, em seguida, provocam a expansão da peça.

2.4.3 Deformação imediata

A deformação imediata se observa por ocasião do carregamento. Corresponde ao comportamento do

concreto como sólido verdadeiro, e é causada por uma acomodação dos cristais que formam o material.

2.4.4 Fluência

Fluência é uma deformação diferida, causada por uma força aplicada. Corresponde a um acréscimo de

deformação com o tempo, se a carga permanecer.Ao ser aplicada uma força no concreto, ocorre deformação imediata, com uma acomodação dos cristais.

Essa acomodação diminui o diâmetro dos capilares e aumenta a pressão na água capilar, favorecendo o

fluxo em direção à superfície.

Tanto a diminuição do diâmetro dos capilares quanto o acréscimo do fluxo aumentam a tensão

superficial nos capilares, provocando a fluência.

No caso de muitas estruturas reais, a fluência e a retração ocorrem ao mesmo tempo e, do ponto de

vista prático, é conveniente o tratamento conjunto das duas deformações.

2.4.5 Deformações térmicas

Define-se coeficiente de variação térmica αte como sendo a deformação correspondente a uma variação

de temperatura de 1°C. Para o concreto armado, para variações normais de temperatura, a NBR 6118

permite adotar αte = 10-5 /°C.

2.5 FATORES QUE INFLUEM

Os principais fatores que influem nas propriedades do concreto são:

• Tipo e quantidade de cimento;

• Qualidade da água e relação água-cimento;

• Tipos de agregados, granulometria e relação agregado-cimento;

• Presença de aditivos e adições;

• Procedimento e duração da mistura;

• Condições e duração de transporte e de lançamento;

Page 14: APOSTILA CONCRETO 1[1]

5/17/2018 APOSTILA CONCRETO 1[1] - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/apostila-concreto-11 14/51

  CONCRETO 1

Prof. Eng. Miquéias V. Lemes Pág. 14

• Condições de adensamento e de cura;

• Forma e dimensões dos corpos-de-prova;

• Tipo e duração do carregamento;• Idade do concreto; umidade; temperatura etc.

Page 15: APOSTILA CONCRETO 1[1]

5/17/2018 APOSTILA CONCRETO 1[1] - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/apostila-concreto-11 15/51

  CONCRETO 1

Prof. Eng. Miquéias V. Lemes Pág. 15

3.  ADERÊNCIA E ANCORAGEM

Aderência (bond , em inglês) é a propriedade que impede que haja escorregamento de uma barra em

relação ao concreto que a envolve. É, portanto, responsável pela solidariedade entre o aço e o concreto,fazendo com que esses dois materiais trabalhem em conjunto.

A transferência de esforços entre aço e concreto e a compatibilidade de deformações entre eles sãofundamentais para a existência do concreto armado. Isto só é possível por causa da aderência.

Ancoragem é a fixação da barra no concreto, para que ela possa ser interrompida. Na ancoragem poraderência, deve ser previsto um comprimento suficiente para que o esforço da barra (de tração ou decompressão) seja transferido para o concreto. Ele é denominado comprimento de ancoragem.

Além disso, em peças nas quais, por disposições construtivas ou pelo seu comprimento, necessita-sefazer emendas nas barras, também se deve garantir um comprimento suficiente para que os esforços

sejam transferidos de uma barra para outra, na região da emenda. Isto também é possível graças àaderência entre o aço e o concreto.

3.1 TIPOS DE ADERÊNCIA

Esquematicamente, a aderência pode ser decomposta em três parcelas: adesão, atrito e aderênciamecânica. Essas parcelas decorrem de diferentes fenômenos que intervêm na ligação dos doismateriais.

3.1.1 Aderência por Adesão

A aderência por adesão caracteriza-se por uma resistência à separação dos dois materiais. Ocorre emfunção de ligações físico-químicas, na interface das barras com a pasta, geradas durante as reações depega do cimento. Para pequenos deslocamentos relativos entre a barra e a massa de concreto que aenvolve, essa ligação é destruída. A Figura 3.1 mostra um cubo de concreto moldado sobre uma placade aço. A ligação entre os dois materiais se dá por adesão. Para separá-los, há necessidade de se aplicaruma ação representada pela força Fb1. Se a força fosse aplicada na horizontal, não se conseguiriadissociar a adesão do comportamento relativo ao atrito. No entanto, a adesão existe independente dadireção da força aplicada.

Figura 3.1 – Aderência por adesão

Page 16: APOSTILA CONCRETO 1[1]

5/17/2018 APOSTILA CONCRETO 1[1] - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/apostila-concreto-11 16/51

  CONCRETO 1

Prof. Eng. Miquéias V. Lemes Pág. 16

3.1.2 Aderência por Atrito

Por meio do arrancamento de uma barra em um bloco concreto (Figura 3.2), verifica-se que a força dearrancamento Fb2 é maior do que a força Fb1 mobilizada pela adesão. Esse acréscimo é devido ao atritoentre a barra e o concreto.

Figura 3.2 – Aderência por atrito

O atrito manifesta-se quando há tendência ao deslocamento relativo entre os materiais. Depende darugosidade superficial da barra e da pressão transversal σ, exercida pelo concreto sobre a barra, em

virtude da retração (Figura 3.2). Em barras curvas ou em regiões de apoio de vigas em pilares, aparecemacréscimos dessas pressões de contato, que favorecem a aderência por atrito.

O coeficiente de atrito entre aço e concreto é alto, em função da rugosidade da superfície das barras,resultando valores entre 0,3 e 0,6 (LEONHARDT, 1977).

Na Figura 3.2, a oposição à ação Fb2 é constituída pela resultante das tensões de aderência (τb)distribuídas ao longo da barra.

3.1.3 Aderência Mecânica

A aderência mecânica é devida à conformação superficial das barras. Nas barras de alta aderência(Figura 3.3), as saliências mobilizam forças localizadas, aumentando significativamente a aderência.

Figura 3.3 – Aderência mecânica em barras nervuradas

A Figura 3.4 (LEONHARDT, 1977) mostra que mesmo uma barra lisa pode apresentar aderênciamecânica, em função da rugosidade superficial, devida à corrosão e ao processo de fabricação, gerandoum denteamento da superfície. Para efeito de comparação, são apresentadas superfícies microscópicasde: barra de aço enferrujado, barra recém laminada e fio de aço obtido por laminação a quente eposterior encruamento a frio por estiramento. Nota-se que essas superfícies estão muito longe deserem efetivamente lisas.

Portanto, a separação da aderência nas três parcelas - adesão, atrito e aderência mecânica - é apenasesquemática, pois não é possível quantificar isoladamente cada uma delas.

Page 17: APOSTILA CONCRETO 1[1]

5/17/2018 APOSTILA CONCRETO 1[1] - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/apostila-concreto-11 17/51

  CONCRETO 1

Prof. Eng. Miquéias V. Lemes Pág. 17

Barra enferrujada

Barra recém laminada

Fio estirado

Figura 3.4 - Rugosidade superficial de barras e fios lisos (LEONHARDT, 1977)

3.2. TENSÃO DE ADERÊNCIA

Para uma barra de aço imersa em uma peça de concreto, como a indicada na figura 3.5, a tensão médiade aderência é dada por:

Figura 3.5 – Tensão de aderência

= ∙ ∙  

Rs é a força atuante na barra;φ é o diâmetro da barra;

lb é o comprimento de ancoragem.

A tensão de aderência depende de diversos fatores, entre os quais:• Rugosidade da barra;

• Posição da barra durante a concretagem;

• Diâmetro da barra;

• Resistência do concreto;

• Retração;

• Adensamento;

• Porosidade do concreto etc.

Alguns desses aspectos serão considerados na seqüência deste texto.

Page 18: APOSTILA CONCRETO 1[1]

5/17/2018 APOSTILA CONCRETO 1[1] - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/apostila-concreto-11 18/51

  CONCRETO 1

Prof. Eng. Miquéias V. Lemes Pág. 18

3.3. SITUAÇÕES DE ADERÊNCIA

Na concretagem de uma peça, tanto no lançamento como no adensamento, o envolvimento da barra

pelo concreto é influenciado pela inclinação dessa barra. Sua inclinação interfere, portanto, nascondições de aderência.

Por causa disso, a NBR 6118 (2003) considera em boa situação quanto à aderência os trechos das barrasque estejam com inclinação maior que 45º em relação à horizontal (figura 3.6 a).

FIGURA 3.6 – Situações de boa e de má aderência (PROMON, 1976)

As condições de aderência são influenciadas por mais dois aspectos:

• Altura da camada de concreto sobre a barra, cujo peso favorece o adensamento, melhorando ascondições de aderência;

• Nível da barra em relação ao fundo da forma; a exsudação produz porosidade no concreto, que é maisintensa nas camadas mais altas, prejudicando a aderência.

Essas duas condições fazem com que a NBR 6118 (2003) considere em boa situação quanto à aderênciaos trechos das barras que estejam em posição horizontal ou com inclinação menor que 45º, desde que:

• para elementos estruturais com h < 60 cm, localizados no máximo 30 cm acima da face inferior doelemento ou da junta de concretagem mais próxima (Figuras 3.6b e 3.6c);

• para elementos estruturais com h ≥ 60 cm, localizados no mínimo 30 cm abaixo da face superior do

elemento ou da junta de concretagem mais próxima (Figura 3.6d).

Page 19: APOSTILA CONCRETO 1[1]

5/17/2018 APOSTILA CONCRETO 1[1] - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/apostila-concreto-11 19/51

  CONCRETO 1

Prof. Eng. Miquéias V. Lemes Pág. 19

Em outras posições e quando do uso de formas deslizantes, os trechos das barras devem serconsiderados em má situação quanto à aderência.

No caso de lajes e vigas concretadas simultaneamente, a parte inferior da viga pode estar em umaregião de boa aderência e a parte superior em região de má aderência. Se a laje tiver espessura menor

do que 30 cm, estará em uma região de boa aderência. Sugere-se, então, a configuração das figuras 3.6ee 3.6f para determinação das zonas aderência.

3.4. RESISTÊNCIA DA ADERÊNCIA DE CÁLCULO

A caracterização da superfície de aderência das barras de aços destinados a armaduras para concretoarmado é feita pelo coeficiente de conformação superficial ƞ(eta), através de ensaio estabelecido pelaNBR 7477. Os valores mínimos para este coeficiente, apresentados na NBR 7480 são estabelecidos em

função da categoria do aço. Para a NBR 6118, a conformação superficial é medida pelo coeficiente ƞ1. Osvalores para este coeficiente são estabelecidos em função do tipo de superfície lateral das barras. Asrelações entre os coeficiente ƞ e ƞ1, apresentadas pela NBR 6118, item 8.3.2, são mostradas na Tabela3.1.

Superfície ƞ1 ƞ

Lisa (CA-25) 1,00 ≥ 1,0

Entalhada (CA-60) 1,40 ≥ 1,5

Nervurada (CA-50) 2,25 ≥ 1,5

Tabela 3.1 – Relação entre ƞ e ƞ1

A NBR 6118, item 9.3.2.1, estabelece que a resistência de aderência de cálculo entre armadura econcreto na ancoragem de armaduras passivas deve ser obtida pela seguinte expressão:

  = ƞ ∙ ƞ ∙ ƞ ∙ f  Eq. 3.1

Sendo:

 

=,

 

1,00 (barras lisas)

Ƞ1 = 1,40 (barras entalhadas)

2,25 (barras nervuradas ou alta aderência)

Ƞ2 = 1,00 (situação de boa aderência)

0,70 (situação de má aderência)

Ƞ3 = 1,00 (ø ≤ 32 mm)

0, 92 (ø = 40 mm)

Page 20: APOSTILA CONCRETO 1[1]

5/17/2018 APOSTILA CONCRETO 1[1] - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/apostila-concreto-11 20/51

  CONCRETO 1

Prof. Eng. Miquéias V. Lemes Pág. 20

Na falta de ensaios para a determinação mais precisa do valor da resistência à tração do concreto, épermitido pela NBR 6118, item 8.2.5, o uso das seguintes expressões:

 , = 0,3 ∙     

 , = 0,7 ∙ , (valores em MPa) Eq. 3.2

 , = 1,3 ∙ , 

Sendo f ckj ≥ 7 MPa, as expressões da Equação 3.2 podem também ser usadas para idades diferentes de

28 dias.

Combinando a Equação 3.1 e a Equação 3.2, tem-se:

 , = 0,7 ∙ , = 0,7 ∙ 0,3 ∙    = 0,21∙    

  =,

=0,21∙   

 

  = ƞ ∙ ƞ ∙ ƞ ∙ f  = ƞ ∙ ƞ ∙ ƞ ∙ 0,21∙     

  = ,∙ƞ∙ƞ∙ƞ ∙   (f ck em MPa) Eq. 3.3

1,40 (combinações normais)

Os valores de γc = 1,20 (combinações especiais ou de construção)

1,20 (combinações excepcionais)

Page 21: APOSTILA CONCRETO 1[1]

5/17/2018 APOSTILA CONCRETO 1[1] - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/apostila-concreto-11 21/51

  CONCRETO 1

Prof. Eng. Miquéias V. Lemes Pág. 21

Os valores de f db para situações de boa aderência e barras com diâmetro igual ou menor a 32 mm estãomostrados na Tabela 3.2.

f db 

ø ≤ 32 mm (boa aderência) γc = 1,4

concretobarras

lisas entalhadas nervuradas

C20 1,11 MPa 1,55 MPa 2,49 MPa

C25 1,28 MPa 1,80 MPa 2,89 MPa

C30 1,45 MPa 2,03 MPa 3,26 MPa

C35 1,60 MPa 2,25 MPa 3,61 MPa

C40 1,75 MPa 2,46 MPa 3,95 MPa

C45 1,90 MPa 2,66 MPa 4,27 MPa

C50 2,04 MPa 2,85 MPa 4,58 MPa

Tabela 3.2 – Valores de f bd 

3.5. COMPRIMENTO DE ANCORAGEM – VALORES DE CÁLCULO

Os valores de cálculo para comprimento de ancoragem de barras , a serem usados em projetos de

estruturas de concreto armado, são obtidos da Equação 3.3 substituindo τb,inf por f bd, de tal forma que:

, = ∅

Eq. 3.4

No caso particular em que a tensão normal σs corresponde ao valor limite de cálculo f yd, tem-se:

= ∅ ∙ Eq. 3.5

A NBR 6118, item 9.4.2.4, define o valor de lb da Equação 3.5 como sendo o comprimento de ancoragembásico, necessário para ancorar a força limite As f yd, atuante na barra, admitindo, ao longo desse

comprimento, resistência de aderência uniforme e igual a f bd.

Page 22: APOSTILA CONCRETO 1[1]

5/17/2018 APOSTILA CONCRETO 1[1] - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/apostila-concreto-11 22/51

  CONCRETO 1

Prof. Eng. Miquéias V. Lemes Pág. 22

Deve ser observado que o valor do comprimento de ancoragem necessário (lb,Nec da Equação 3.4) serásempre menor ou igual ao comprimento de ancoragem básico (lb da Equação 3.5) pois σs ≤ f yd.

De acordo com a NBR 6118, item 9.4.2.4 – Comprimento de ancoragem básico.

“Define-se comprimento de ancoragem básico como o comprimento reto de uma barra de armadurapassiva necessário para ancorar a força limite As f yd nessa barra, admitindo, ao longo dessecomprimento, resistência de aderência uniforme e igual a f bd, conforme item 9.3.2.1.”

O comprimento de ancoragem básico é dado por:

, = ∅4 ∙    

9.4.2.5 – Comprimento de ancoragem necessário.O comprimento de ancoragem necessário pode ser calculado por:

, = ∙ ∙ , , ≥ , 

Sendo:α = 1,0 para barras sem gancho;α = 0,7 para barras tracionadas com gancho, com cobrimento no plano normal ao longo do gancho ≥ 3ø;

α = 0,7 quando houver barras transversais soldadas conforme 9.4.2.2;α = 0,5 quando houver barras transversais soldadas conforme 9.4.2.2 e gancho, com cobrimento noplano normal ao do gancho ≥ 3ø;lb = calculado conforme 9.4.2.4;lb,min = o maior valor entre 0,3.lb, 10ø e 100 mm.

Permite-se, em casos especiais, considerar outros fatores redutores do comprimento de ancoragemnecessário.Deve ser observado que a apresentação do comprimento de ancoragem necessário apresentado peloitem 9.4.2.5 da NBR 6118, aparentemente, difere do estabelecido pela Equação 3.4. No entanto, os dois

modos de apresentação são equivalentes, como demonstrado a seguir.A Equação 3.4 decorre da Figura 3.5 onde é mostrado que:

=   =  , 

Onde As representa a área transversal ef etiva (As,ef ) da barra tracionada pela força Fs.Desta forma, a Equação 3.4 pode ser escrita

, =∅4 ∙

  =∅4 ∙

1  ∙

 , 

Page 23: APOSTILA CONCRETO 1[1]

5/17/2018 APOSTILA CONCRETO 1[1] - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/apostila-concreto-11 23/51

  CONCRETO 1

Prof. Eng. Miquéias V. Lemes Pág. 23

Como uma força pode ser sempre representada pelo produto de uma área por uma tensão, para a forçaFs vale:

= , ∙  

Onde As, cal representa a área a ser calculada (As, cal ≤ As, ef ), para que a tensão σs atuante na baratracionada pela força Fs resulte igual a f yd. Desta forma, tem-se:

, = ∅4 ∙ 1  ∙  , = ∅4 ∙ 1  ∙ , ∙  ,  

Ou ainda:

, = ∅

∙ ,

,

= ∙ ,

,

Eq. 3.6

A Equação 3.6 é, portanto, a mesma apresentada pela NBR 6118, item 9.4.2.5, a menos do fator α.

Desta forma, o valor de lb, Nec pode ser calculado por:

, = ∙ ∙ , , ≥ 0 , 3 ∙ 10∅10  

A combinação da Equação 3.4 com a Equação 3.6, resulta em:

, = ∅4 ∙   = ∅4 ∙   ∙ , ,  

De tal forma que, a tenso atuante na barra tracionada fica definida por:

= ,, ∙ Eq. 3.7

Page 24: APOSTILA CONCRETO 1[1]

5/17/2018 APOSTILA CONCRETO 1[1] - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/apostila-concreto-11 24/51

  CONCRETO 1

Prof. Eng. Miquéias V. Lemes Pág. 24

Os valores de lb para CA-50, situações de boa aderência e barras com diâmetro igual ou menor de 32mm estão mostrados na Tabela 3.3.

lb 

γc = 1,4 ø ≤ 32 mm

CA-50γs = 1,15 (boa aderência)

concretoBarras

lisas entalhadas nervuradas

C20 98ø 70ø 44ø

C25 85ø 61ø 38ø

C30 75ø 54ø 33ø

C35 68ø 48ø 30ø

C40 62ø 44ø 28ø

C45 57ø 41ø 25ø

C50 53ø 38ø 24ø

Tabela 3.3 – Comprimento de ancoragem básico – CA-50

(obs.: para situação de má aderência, dividir os valores da tabela por 0,7)

4.  DOMÍNIOS DE DEFORMAÇÕES

Os domínios são representações das deformações que ocorrem na seção transversal dos elementosestruturais. As deformações são de alongamento e de encurtamento, oriundas de tensões de tração ecompressão, respectivamente.Segundo a NBR 6118/03 (item 17.2.2), o estado limite último (ELU) de elementos lineares sujeitos a

solicitações normais é caracterizado quando a distribuição das deformações na seção transversalpertencer a um dos domínios definidos na Figura 4.1.

Page 25: APOSTILA CONCRETO 1[1]

5/17/2018 APOSTILA CONCRETO 1[1] - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/apostila-concreto-11 25/51

  CONCRETO 1

Prof. Eng. Miquéias V. Lemes Pág. 25

Figura 4.1 – Diagrama possíveis dos domínios de deformações

O estado limite último pode ocorrer por deformação plástica excessiva da armadura (reta a e domínios 1e 2) ou por encurtamento excessivo do concreto (domínios 3, 4, 4a, 5 e reta b).O desenho mostrado na Figura 88 representa vários diagramas de deformação de casos de solicitaçãodiferentes, com as deformações limites de 3,5 ‰ para o máximo encurtamento do concretocomprimido e 10 ‰ para o máximo alongamento na armadura tracionada. Os valores de 3,5 ‰ e 10 ‰são valores últimos, de onde se diz que todos os diagramas de deformação correspondem a estados

limites últimos. As linhas inclinadas dos diagramas de deformações são retas, pois se admite a hipótesebásica das seções transversais permanecerem planas até a ruptura.A capacidade resistente da peça é admitida esgotada quando se atinge o alongamento máximoconvencional de 10 ‰ na armadura tracionada ou mais tracionada, ou, de outro modo, correspondentea uma fissura com abertura de 1 mm para cada 10 cm de comprimento da peça.Os diagramas valem para todos os elementos estruturais que estiverem sob solicitações normais, comoa tração e a compressão uniformes e as flexões simples e compostas. Solicitação normal é definidacomo os esforços solicitantes que produzem tensões normais nas seções transversais das peças. Osesforços podem ser o momento fletor e a força normal.O desenho dos diagramas de domínios pode ser visto como uma peça sendo visualizada em vista ou

elevação, constituída com duas armaduras longitudinais próximas às faces superior e inferior da peça.A posição da linha neutra é dada pelo valor de x, contado a partir da fibra mais comprimida ou menostracionada da peça. No caso específico da Figura 88, x é contado a partir da face superior. Em funçãodos vários domínios possíveis, a linha neutra estará compreendida no intervalo entre - ∞ (lado superiordo diagrama no desenho da Figura 88) e + ∞ (lado inferior do diagrama). Quando 0 ≤ x ≤ h, a linhaneutra estará passando dentro da seção transversal.São descritas a seguir as características da cada um dos oito diferentes domínios de deformações.

4.1.  RETA AO caso de solicitação da reta a é a tração uniforme (também chamada tração simples ou tração axial),com a força normal de tração aplicada no centro de gravidade da seção transversal

Page 26: APOSTILA CONCRETO 1[1]

5/17/2018 APOSTILA CONCRETO 1[1] - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/apostila-concreto-11 26/51

  CONCRETO 1

Prof. Eng. Miquéias V. Lemes Pág. 26

(Figura 4.2). A linha neutra encontra-se no - ∞, e todos os pontos da seção transversal, inclusive asarmaduras estão com deformação de alongamento igual à máxima de 10 ‰. As duas armaduras,portanto, estão com a mesma tensão de tração, a de início de escoamento do aço, fyd (ver diagrama σ xε dos aços na Figura 4.3). Como exemplo, existem os elementos lineares chamados tirantes.

Figura 4.2 – Diagrama tensão-deformação para aços de armaduras passivasCom ou sem patamar de escoamento

Figura 4.3 – Tração uniforme na reta a

4.2.  DOMÍNIO 1O domínio 1 ocorre quando a força normal de tração não é aplicada no centro de gravidade da seçãotransversal, isto é, existe uma excentricidade da força normal em relação ao centro de gravidade. Nestedomínio, ocorre a tração não uniforme, e a seção ainda está inteiramente tracionada, embora comdeformações diferentes (Figura 4.4). Também se diz que a solicitação é de tração excêntrica compequena excentricidade, ou flexo-tração.

Page 27: APOSTILA CONCRETO 1[1]

5/17/2018 APOSTILA CONCRETO 1[1] - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/apostila-concreto-11 27/51

  CONCRETO 1

Prof. Eng. Miquéias V. Lemes Pág. 27

Figura 4.4 – Tração não uniforme no domínio 1: a) linha neutra com valor – x;b) linha neutra com x = 0

A deformação de alongamento na armadura mais tracionada é fixa e vale 10 ‰. A linha neutra é externaà seção transversal, podendo estar no intervalo entre – ∞ (reta a) e zero (limite entre os domínios 1 e2), com x tendo um valor negativo. A capacidade resistente da seção é proporcionada apenas pelasarmaduras tracionadas, pois o concreto encontra-se inteiramente fissurado.Como exemplo de elemento estruturais no domínio 1 há o tirante.

4.3.  DOMÍNIO 2No domínio 2 ocorrem os casos de solicitação de flexão simples, tração excêntrica com grandeexcentricidade e compressão excêntrica com grande excentricidade. A seção transversal tem partetracionada e parte comprimida (Figura 4.5). O domínio 2 é caracterizado pela deformação dealongamento fixada em 10 ‰ na armadura tracionada. Em função da posição da linha neutra, que podevariar de zero a x2lim (0 ≤ x ≤ x2 lim), a deformação de encurtamento na borda mais comprimida varia dezero até 3,5 ‰. Quando a linha neutra passar por x2lim, ou seja, x= x2lim, as deformações na armaduratracionada e no concreto da borda comprimida serão os valores últimos, 10 ‰ e 3,5 ‰,respectivamente.

No domínio 2 diz-se que a armadura tracionada (As2) é aproveitada ao máximo, com εsd = 10 ‰, mas oconcreto comprimido não, com εcd ≤ 3,5 ‰.O domínio 2 é subdividido em 2a e 2b em função da deformação máxima de encurtamento no concretocomprimido. No domínio 2a considera-se a deformação variando de zero a 2 ‰ e no domínio 2b de 2 ‰a 3,5 ‰.

Page 28: APOSTILA CONCRETO 1[1]

5/17/2018 APOSTILA CONCRETO 1[1] - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/apostila-concreto-11 28/51

  CONCRETO 1

Prof. Eng. Miquéias V. Lemes Pág. 28

Figura 4.6 – Casos de solicitação e diagrama genérico de deformações do domínio 2.

4.4.  DOMÍNIO 3

Os casos de solicitação são os mesmos do domínio 2, ou seja, flexão simples, tração excêntrica comgrande excentricidade e compressão excêntrica com grande excentricidade. A seção transversal temparte tracionada e parte comprimida (Figura 4.7). O domínio 3 é caracterizado pela deformação deencurtamento máxima fixada em 3,5 ‰ no concreto da borda comprimida. A deformação dealongamento na armadura tracionada varia da deformação de início de escoamento do aço (ε yd) até ovalor máximo de 10 ‰, o que implica que a tensão na armadura é a máxima permitida, f yd (ver Figura4.2).

Figura 4.7 – Casos de solicitação e diagrama genérico de deformações do domínio 3

A posição da linha neutra pode variar, desde o valor x2 lim até x3lim (x2lim ≤ x ≤ x3lim), que delimita os

domínios 3 e 4. A deformação de encurtamento na armadura comprimida é menor mas próxima a 3,5‰, por estar próxima à borda comprimida, onde a deformação é 3,5 ‰.Na situação última a ruptura do concreto comprimido ocorre simultaneamente com o escoamento daarmadura tracionada.

4.5.  DOMÍNIO 4Os casos de solicitação do domínio 4 são a flexão simples e a flexão composta (flexo compressão oucompressão excêntrica com grande excentricidade). A seção transversal tem parte tracionada e partecomprimida (Figura 4.8). O domínio 4 é caracterizado pela deformação de encurtamento máxima fixada

em 3,5 ‰ no concreto da borda comprimida. A deformação de alongamento na armadura tracionadavaria de zero até a deformação de início de escoamento do aço (ε yd), o que implica que a tensão na

Page 29: APOSTILA CONCRETO 1[1]

5/17/2018 APOSTILA CONCRETO 1[1] - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/apostila-concreto-11 29/51

  CONCRETO 1

Prof. Eng. Miquéias V. Lemes Pág. 29

armadura é menor que a máxima permitida, f yd (ver Figura 4.2). A posição da linha neutra pode variar dex3lim até a altura útil d (x3lim ≤ x ≤ d).

Figura 4.8 – Casos de solicitação e diagrama genérico de deformações do domínio 4.

4.6.  DOMÍNIO 4ANo domínio 4a a solicitação é de flexão composta (flexo-compressão). A seção transversal tem umapequena parte tracionada e a maior parte comprimida (Figura 4.9). O domínio 4a também écaracterizado pela deformação de encurtamento máxima fixada em 3,5 ‰ no concreto da borda

comprimida. A linha neutra ainda está dentro da seção transversal, na região de cobrimento daarmadura menos comprimida (As2), ou seja, d ≤ x ≤ h. Ambas as armaduras encontram-se comprimidas,embora a armadura próxima à linha neutra tenha tensões muito pequenas.

Figura 4.9 – Solicitação e diagrama genérico de deformações do domínio 4a.

4.7.  DOMÍNIO 5No domínio 5 ocorre a compressão não uniforme ou flexo-compressão com pequena excentricidade(flexão composta). A linha neutra não corta a seção transversal, que está completamente comprimida,embora com deformações diferentes. As duas armaduras também estão comprimidas. A posição dalinha neutra varia de h até + ∞ (Figura 4.10). O que caracteriza o domínio 5 é o ponto C a 3/7 h , comomostrado na Figura 88. A linha inclinada do diagrama de deformações passa sempre por este ponto no

Page 30: APOSTILA CONCRETO 1[1]

5/17/2018 APOSTILA CONCRETO 1[1] - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/apostila-concreto-11 30/51

  CONCRETO 1

Prof. Eng. Miquéias V. Lemes Pág. 30

domínio 5. A deformação de encurtamento na borda mais comprimida varia de 2 ‰ a 3,5 ‰ e na bordamenos comprimida varia de 0 a 2 ‰, em função da posição x da linha neutra. Com exceção do caso dalinha neutra x = h, a forma do diagrama de deformações será a de um trapézio.

Figura 4.10 – Compressão não uniforme no domínio 5.

4.8.  RETA BO caso de solicitação da reta b é a compressão uniforme (também chamada compressão simples oucompressão axial), com a força normal de compressão aplicada no centro de gravidade da seção

transversal (Figura 4.11). A linha neutra encontra-se no + ∞, e todos os pontos da seção transversalestão com deformação de encurtamento igual a 2 ‰. As duas armaduras, portanto, estão sob a mesmadeformação e a mesma tensão de compressão.

Figura 4.11 – Compressão uniforme na reta b.

4.9.  DETERMINAÇÃO DE x2lim E x3lim Tendo como base os diagramas de domínios mostrados na Figura 88, os valores limites de x2 lim e x3lim podem ser deduzidos. Da Figura 4.12 deduz-se o valor de x2lim:

Page 31: APOSTILA CONCRETO 1[1]

5/17/2018 APOSTILA CONCRETO 1[1] - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/apostila-concreto-11 31/51

  CONCRETO 1

Prof. Eng. Miquéias V. Lemes Pág. 31

3,5 = 13,5 

= 0,26 ∙  

Sendo = tem-se:

= 0,26 

Figura 4.12 – Diagrama de deformações para a dedução de x2lim 

Com procedimento análogo pode-se deduzir o valor de x3lim. Da Figura 4.13 encontra-se:

3,5 = 3, 5 + 

= 3, 5 ∙3, 5 + 

Sendo = tem-se:

= 3, 5 ∙

3, 5 + 

Page 32: APOSTILA CONCRETO 1[1]

5/17/2018 APOSTILA CONCRETO 1[1] - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/apostila-concreto-11 32/51

  CONCRETO 1

Prof. Eng. Miquéias V. Lemes Pág. 32

Figura 4.13 – Diagrama de deformações para a dedução de x3lim 

Como se observa nas equações acima os valores de x3 lim e βx3lim dependem de εyd, isto é, dependem dacategoria do aço da armadura passiva. A Tabela 1 mostra os valores de x3 lim e βx3lim em função dacategoria do aço.

AÇO (‰)     

CA-25 laminado a quente 1,04 0,77 d 0,77

CA-50 laminado a quente 2,07 0,63 d 0,63

CA-60 trefilado a fria 2,48 0,59 d 0,59Tabela 1 – Valores de εyd, x3lim e βx3lim em função da categoria do aço

Page 33: APOSTILA CONCRETO 1[1]

5/17/2018 APOSTILA CONCRETO 1[1] - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/apostila-concreto-11 33/51

  CONCRETO 1

Prof. Eng. Miquéias V. Lemes Pág. 33

5.  FLEXÃO NORMAL SIMPLES – VIGAS

5.1. INTRODUÇÃO

A flexão simples é definida como a flexão sem força normal. Quando a flexão ocorre acompanhadade força normal tem-se a flexão composta.Solicitações normais são aquelas cujos esforços solicitantes produzem tensões normais(perpendiculares) às seções transversais dos elementos estruturais. Os esforços que provocamtensões normais são o momento fletor (M) e a força normal (N).Nas estruturas de concreto armado são três os elementos estruturais mais importantes: as lajes, asvigas e os pilares. E dois desses elementos, as lajes e as vigas, são submetidas à flexão normalsimples, embora possam também, eventualmente, estarem submetidas à flexão composta.Por isso, o dimensionamento de seções retangulares e seções T sob flexão normal simples é a

atividade diária mais comum aos engenheiros projetistas de estruturas de concreto armado(SANTOS, 1983). De modo que o estudo da flexão simples é muito importante.O estudo da flexão normal simples tem como objetivo proporcionar ao aluno o corretoentendimento dos mecanismos resistentes proporcionados pelo concreto sob compressão e peloaço sob tração, em seções retangulares e T, visando levá-lo a bem dimensionar ou verificar aresistência dessas seções.O equacionamento para a resolução dos problemas da flexão simples é deduzido em função de duasequações de equilíbrio da estática, e que proporciona as aqui chamadas “equações teóricas”, quepodem ser facilmente implementadas para uso em programas computacionais.Também é apresentado o equacionamento com base em coeficientes tabelados tipo K, largamente

utilizado no Brasil.É importante esclarecer o aluno que no estudo desta apostila ele aprenderá a dimensionar as seçõestransversais das vigas aos momentos fletores máximos, e fazer o detalhamento das armaduras deflexão apenas na seção transversal correspondente. Nesta disciplina o estudo das vigas está apenasiniciando. O estudo completo das vigas simples ou contínuas, com dimensionamentos aos esforçoscortantes e momentos torçores, bem como o detalhamento completo e ancoragem das armaduras,só será alcançado ao término da disciplina 1309- Estruturas de Concreto II. Além disso, outrostópicos relativos às vigas, como fissuração e flecha, serão estudados na disciplina 1365 – Estruturasde Concreto IV.

5.2. DEFINIÇÃO DE VIGA

São elementos lineares em que a flexão é preponderante (NBR 6118/03, item 14.4.1.1).Elementos lineares são aqueles em que o comprimento longitudinal supera em pelo menos trêsvezes a maior dimensão da seção transversal, sendo também denominada barras.

5.3. COMPORTAMENTO RESISTENTE DE VIGAS SUBMETIDAS À FLEXÃO E À FORÇA CORTANTE

Considere uma viga de concreto armado bi apoiada (Figura 5.1), submetida a duas forçasconcentradas P crescentes e de igual intensidade. A armadura é composta por armaduralongitudinal, resistente às tensões de tração provenientes da flexão, e armadura transversal,

dimensionada para resistir aos esforços cortantes, composta por estribos verticais no lado esquerdoda viga e estribos e barras dobradas no lado direito da viga.

Page 34: APOSTILA CONCRETO 1[1]

5/17/2018 APOSTILA CONCRETO 1[1] - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/apostila-concreto-11 34/51

  CONCRETO 1

Prof. Eng. Miquéias V. Lemes Pág. 34

A Figura 5.2a mostra as trajetórias das tensões principais de tração e de compressão da viga aindano estádio I. Observe que no trecho de flexão pura as trajetórias das tensões de compressão e detração são paralelas ao eixo longitudinal da viga. Nos demais trechos as trajetórias das tensões sãoinclinadas devido à influência dos esforços cortantes.

Enquanto a resistência à tração do concreto é superior às tensões principais de tração, não surgemfissuras na viga. As primeiras fissuras de flexão só surgem na região de máximos momentos fletores,no instante que as tensões de tração atuantes igualam e superam a resistência do concreto à traçãona flexão (Figura 5.2b). Para este nível de carregamento a viga apresenta trechos fissurados, noestádio II, e trechos não fissurados, no estádio I. Note que a direção ou inclinação das fissuras éaproximadamente perpendicular à direção das tensões principais de tração, ou seja, a inclinaçãodas fissuras depende da inclinação das tensões principais de tração.Por esta razão, na região de flexão pura, as fissuras são verticais.A Figura 5.2c mostra os diagramas de deformações e de tensões nas seções a e b da viga, nosestádios I e II, respectivamente. No estádio I a máxima tensão de compressão (σc) ainda pode ser

avaliada de acordo com a lei de Hooke, o mesmo não valendo para o estádio II.Com o carregamento num patamar superior começam a surgir fissuras inclinadas nas proximidadesdos apoios, por influência das forças cortantes atuando em conjunto com os momentos fletores.Essas fissuras inclinadas são chamadas de fissuras de cisalhamento (Figura 5.2d), que não é umtermo adequado porque tensões de cisalhamento não ocorrem por ação exclusiva de forçacortante. Sugerimos fissura de “flexão com cortante”. Com carga elevada, a viga, em quase toda asua extensão, apresenta-se no estádio II. Apenas nas proximidades dos apoios a viga permanece noestádio I.

Figura 5.1 – Viga biapoiada e diagramas de esforços solicitantes.(LEONHARDT & MÖNNIG - 1982).

Page 35: APOSTILA CONCRETO 1[1]

5/17/2018 APOSTILA CONCRETO 1[1] - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/apostila-concreto-11 35/51

  CONCRETO 1

Prof. Eng. Miquéias V. Lemes Pág. 35

Figura 5.2 - Comportamento resistente de uma viga biapoiada.(LEONHARDT & MÖNNIG - 1982).

No caso de uma viga biapoiada sob carregamento uniformemente distribuído, no estádio I, as tensõesprincipais na altura da linha neutra (a meia altura da viga) apresentam inclinação de 45° (ou 135°) emrelação ao eixo longitudinal da viga, como mostrado na Figura 5.3. Observe que nas regiões próximasaos apoios as trajetórias das tensões principais inclinam-se por influência das forças cortantes,

mantendo, no entanto, a perpendicularidade entre as trajetórias.

Page 36: APOSTILA CONCRETO 1[1]

5/17/2018 APOSTILA CONCRETO 1[1] - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/apostila-concreto-11 36/51

  CONCRETO 1

Prof. Eng. Miquéias V. Lemes Pág. 36

Figura 3 - Trajetória das tensões principais de uma viga biapoiada no estádio I sob carregamentouniformemente distribuído (LEONHARDT & MÖNNIG, 1982).

O carregamento induz o surgimento de diferentes estados de tensão nos infinitos pontos que compõema viga, e que podem ser representados por um conjunto de diferentes componentes, em função daorientação do sistema de eixos considerados. Como exemplo, a Figura 4 mostra a representação dosestados de tensão em dois pontos da viga, conforme os eixos coordenados x-y e os eixos principais. Oestado de tensão segundo os eixos x-y define as tensões normais σx, as tensões σy e as tensões decisalhamento τxy e τyx. O estado de tensão segundo os eixos principais definem as tensões principais detração σI e de compressão σII.A tensão σy pode ser em geral desprezada, tendo importância apenas nos trechos próximos à introduçãode cargas. O dimensionamento das estruturas de concreto armado toma como base normalmente astensões σx e τxy.

Page 37: APOSTILA CONCRETO 1[1]

5/17/2018 APOSTILA CONCRETO 1[1] - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/apostila-concreto-11 37/51

  CONCRETO 1

Prof. Eng. Miquéias V. Lemes Pág. 37

Figura 4 – Componentes de tensão segundo os estados de tensão relativos aos eixos principais e aoseixos nas direções x e y (LEONHARDT & MÖNNIG, 1982).

6.  HIPÓTESE DE CÁLCULO

Na determinação dos esforços resistentes de elementos fletidos, como vigas, lajes e pilares, sãoadmitidas as seguintes hipóteses básicas (NBR 6118/03 item 17.2.2):a) As seções transversais permanecem planas até a ruptura, com distribuição linear das deformações naseção;b) A deformação em cada barra de aço é a mesma do concreto no seu entorno. Essa propriedade ocorredesde que haja aderência entre o concreto e a barra de aço;c) No estado limite último (ELU) despreza-se obrigatoriamente a resistência do concreto à tração;d) O encurtamento de ruptura convencional do concreto nas seções não inteiramente comprimidas é de3,5 % (domínios 3, 4 e 4a);e) O alongamento máximo permitido ao longo da armadura de tração é de 10 %, a fim de prevenirdeformações plásticas excessivas;f) A distribuição das tensões de compressão no concreto ocorre segundo o diagrama tensão-deformação

 parábola-retângulo. Porém, é permitida a substituição desse diagrama pelo retangular simplificado, comaltura y = 0,8x, e a mesma tensão de compressão σcd, como mostrado na Figura 6.1.

Page 38: APOSTILA CONCRETO 1[1]

5/17/2018 APOSTILA CONCRETO 1[1] - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/apostila-concreto-11 38/51

  CONCRETO 1

Prof. Eng. Miquéias V. Lemes Pág. 38

Figura 6.1 – Diagramas σ x ε parábola-retângulo e retangular simplificado para distribuição de tensões

de compressão no concreto.

A tensão de compressão no concreto (σcd) é definida como:

a) no caso da largura da seção, medida paralelamente à linha neutra, não diminuir da linha neutraem direção à borda comprimida (Figura 6.2), a tensão é:

= 0,85. = ,. (Eq. 1)

Figura 6.2 - Seções com tensão de compressão igual a 0,85 fcd .

b) em caso contrário, isto é, quando a seção diminui (Figura 6.3), a tensão é:

= 0,8. = ,. (Eq. 2)

Figura 6.3 - Seções com tensão de compressão igual a 0,8 fcd .

c) A tensão nas armaduras é a correspondente à deformação determinada de acordo com ashipóteses anteriores e obtida nos diagramas tensão-deformação do aço (ver Figura 6).

Page 39: APOSTILA CONCRETO 1[1]

5/17/2018 APOSTILA CONCRETO 1[1] - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/apostila-concreto-11 39/51

  CONCRETO 1

Prof. Eng. Miquéias V. Lemes Pág. 39

7.  SEÇÃO RETANGULAR COM ARMADURA SIMPLES

Embora as vigas possam ter a seção transversal com qualquer forma, na maioria dos casos da prática a

seção adotada é a retangular.Define-se por viga com armadura simples a seção que contém, como armadura longitudinal resistente,apenas a armadura tracionada, e não tem a necessidade de armadura longitudinal na regiãocomprimida. Por questões construtivas são colocadas no mínimo duas barras longitudinais na regiãocomprimida para amarração dos estribos, não sendo, no entanto, consideradas nos cálculos comobarras resistentes. Na seção com armadura simples as tensões de compressão são resistidas unicamentepelo concreto.Mais a frente será estudada a seção com armadura dupla, que é aquela que contém também umaarmadura resistente comprimida, além da armadura resistente tracionada.

7.1. EQUAÇÕES DE EQUILÍBRIO

A formulação dos esforços internos resistentes da seção é feita com base nas equações de equilíbrio dasforças normais e dos momentos fletores:

→  = 0 

→  = 0 (Eq. 3)

A Figura 7.1 mostra a seção transversal de uma viga sob flexão simples, de forma retangular e solicitadapor momento fletor positivo, com largura bw e altura h, armadura As e área A’c de concreto comprimido

delimitada pela linha neutra. A linha neutra é demarcada pela distância x, contada a partir da fibra maiscomprimida da seção transversal.

O diagrama de deformações ao longo da altura da seção, com as deformações notáveis εcd (máximadeformação de encurtamento do concreto comprimido) e εsd (deformação de alongamento naarmadura tracionada) e o diagrama retangular simplificado de distribuição de tensões de compressão,com altura y = 0,8x, e as respectivas resultantes de tensão (Rcc e Rst) também estão mostrados na Figura7.1.

Figura 7.1 – Distribuição de tensões e deformações em viga de seção retangular com armadura simples.

Page 40: APOSTILA CONCRETO 1[1]

5/17/2018 APOSTILA CONCRETO 1[1] - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/apostila-concreto-11 40/51

  CONCRETO 1

Prof. Eng. Miquéias V. Lemes Pág. 40

Para ilustrar melhor a forma de distribuição das tensões de compressão na seção, a Figura 7.2 mostra aseção transversal em perspectiva, com os diagramas parábola-retângulo e retangular simplificado, comoapresentados no item 6. O equacionamento apresentado a seguir será feito segundo o diagramaretangular simplificado, que conduz a equações mais simples e com resultados muito próximos aqueles

obtidos com o diagrama parábola-retângulo.

Figura 7.2 – Distribuição de tensões de compressão segundo os diagramas parábola-retângulo e

retangular simplificado.

a)  Equilíbrio de Forças Normais

Considerando que na flexão simples não ocorrem forças normais solicitantes, e que a força

resultante das tensões de compressão no concreto deve estar em equilíbrio com a forçaresultante das tensões de tração na armadura As, como indicadas na Figura 7.1, pode-seescrever:

= (Eq. 4)

Tomando da Resistência dos Materiais que = , a força resultante das tensões de

compressão no concreto pode ser escrita como:

= ∙ ′ = 0,85 ∙ ∙0,8 = 0,68 ∙ (Eq. 5)

E a força resultante das tensões de tração na armadura tracionada:

= ∙ (Eq. 6)

Com = tensão de cálculo na armadura tracionada;  = área de aço da armadura tracionada

Page 41: APOSTILA CONCRETO 1[1]

5/17/2018 APOSTILA CONCRETO 1[1] - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/apostila-concreto-11 41/51

  CONCRETO 1

Prof. Eng. Miquéias V. Lemes Pág. 41

b)  Equilíbrio de Momentos Fletores

Considerando o equilíbrio de momentos fletores na seção, o momento fletor solicitante deve serequilibrado por um momento fletor resistente, proporcionado pelo concreto comprimido e pela

armadura tracionada. Assumindo valores de cálculo, por simplicidade de notação ambos osmomentos fletores devem ser iguais ao momento fletor de cálculo Md, tal que:

= =  

As forças resistentes internas, proporcionadas pelo concreto comprimido e pela armaduratracionada, formam um binário oposto ao momento fletor solicitante, podendo ser escrito:

= ∙ (Eq. 7)

= ∙ (Eq. 8)

Onde: ∙ = momento interno resistente, proporcionado pelo concreto comprimido; ∙ = momento interno resistente, proporcionado pela armadura tracionada.

Com = − 0,4 e aplicando a Eq. 5 na Eq. 7 fica:

= 0,850,8( −0,4) 

= 0,68( − 0,4) (Eq. 9)

Onde: = largura da seção; = posição da linha neutra;  = resistência de cálculo do concreto à compressão; = altura útil;

Md é definido como o momento interno resistente proporcionado pelo concreto comprimido. Ovalor de Md deve ser considerado em valor absoluto na Eq. 9.Substituindo a Eq. 6 na Eq. 8 define-se o momento interno resistente proporcionado pelaarmadura tracionada:

=  ( −0,4) (Eq. 10)

Isolando a [área de armadura tracionada:

  = (,) (Eq. 11)

As Eq. 9 e 11 proporcionam o dimensionamento das seções retangulares com armadura simples.Nota-se que são sete as variáveis contidas nas duas equações, o que leva, portanto, nanecessidade de se adotarem valores para cinco das sete variáveis. De modo geral, na prática

Page 42: APOSTILA CONCRETO 1[1]

5/17/2018 APOSTILA CONCRETO 1[1] - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/apostila-concreto-11 42/51

  CONCRETO 1

Prof. Eng. Miquéias V. Lemes Pág. 42

fixam-se os materiais (concreto e aço) e a seção transversal, e o momento fletor solicitantegeralmente é conhecido, ficando como incógnitas apenas a posição da linha neutra (x) e a áreade armadura (As).Com a Eq. 9 determina-se a posição x para a linha neutra, e comparando x com os valores x2lim e

x3lim defini-se qual o domínio em que a viga se encontra (2, 3 ou 4). Nos domínios 2 ou 3 a tensãona armadura tracionada (σsd) é igual à máxima tensão possível, isto é, f yd (ver diagramas nasFigura 5 e Figura 6). Definidos x e σsd calcula-se a área de armadura tracionada (As) com a Eq. 11.Se resultar o domínio 4, a seção deverá ser dimensionada com armadura dupla, como se verá noitem 8. Caso não se queira dimensionar a viga com armadura dupla, alguma alteração deve serfeita de modo a tornar x ≤ x3lim , e resultar, como conseqüência, os domínios 2 ou 3.Portanto, algum parâmetro deve ser alterado para diminuir o valor de x. Conforme a Eq. 9verifica-se que para diminuir x pode-se:

- diminuir o valor do momento fletor solicitante (Md);

- aumentar a largura ou a altura da viga (> d);- aumentar a resistência do concreto.

Dessas possibilidades, geralmente a mais viável de ser implementada na prática é o aumento daaltura da viga (h). Senão, resta ainda estudar a possibilidade de fazer a armadura dupla.No caso da seção transversal da viga for de apoio ou de ligação com outros elementosestruturais, há ainda outras considerações a serem feitas. Segundo a NBR 6118/03 (item14.6.4.3),

“a capacidade de rotação dos elementos estruturais é função da posição da linha neutra no ELU.

Quanto menor for x/d, tanto maior será essa capacidade”. Com o intuito de melhorar a ductilidade dasvigas nessas situações, a norma impõe que a posição da linha neutra deve obedecer aos seguinteslimites:

a)  βx = x/d ≤ 0,50 para concretos C35 ou de menor resistência (f ck ≤ 35 MPa); ou

b)  βx = x/d ≤ 0,40 para concretos superiores ao C35 (f ck > 35 MPa). (Eq. 12)

Com esses limites a norma quer aumentar a ductilidade das vigas, que é a capacidade deladeformar-se mais até a ruptura. No entanto, nas seções ao longo dos vãos, não ocorrendo

ligação da viga com outros elementos estruturais, não será necessário limitar a posição da linhaneutra aos valores da Eq. 12.

c)  Permanência da Seção Plana

Do diagrama de deformações mostrado na Figura 7.1 define-se a relação entre as deformaçõesde cálculo na armadura (εsd) e no concreto correspondente à fibra mais comprimida:

=

(Eq. 13)

Considerando-se a variável βx, que relaciona a posição da linha neutra com a altura útil d, tem-se:

Page 43: APOSTILA CONCRETO 1[1]

5/17/2018 APOSTILA CONCRETO 1[1] - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/apostila-concreto-11 43/51

  CONCRETO 1

Prof. Eng. Miquéias V. Lemes Pág. 43

= (Eq. 14)

Substituindo x por βx . d na Eq. 13 fica:

= (Eq. 15)

7.2. CÁLCULO MEDIANTE COEFICIENTES TIPO K

Com o intuito de facilitar o cálculo manual, há muitos anos vem se ensinando no Brasil a utilização detabelas com variáveis do tipo K. Para diferentes posições da linha neutra, expressa pela relação βx = x/d,são tabelados coeficientes Kc  e Ks, relativos à resistência do concreto e à tensão na armaduratracionada. Os coeficientes Kc e Ks encontram-se apresentados nas Tabela A- 1 e Tabela A-2, constantesdos Anexos colocados no final desta apostila. A Tabela A-1 é para apenas o aço CA-50 e a Tabela A-2 épara todos os tipos de aço para concreto armado.

Considerando a Eq. 9, Md = 0,68bw x f cd (d − 0,4x), substituindo x por βx . d encontram se:

= 0,68( − 0,4) 

= 0,68²(1−0,4) 

Introduzindo o coeficiente kc:

=

 

Com

= 0,68 (1−0,4 (Eq. 16)

Isolando o coeficiente Kc tem-se:

= (Eq. 17)

O coeficiente Kc está apresentado na Tabela A-1 anexa. Observe na Eq. 16 que Kc depende da resistênciado concreto à compressão (f cd) e da posição da linha neutra, expressa pela variável βx.

O coeficiente tabelado Ks é definido substituindo-se x por βx . d na Eq. 11:

  = (,)    = (,) 

  = (,)  (Eq. 18)

A área de armadura tracionada As, em função do coeficiente Ks é:

  = (Eq. 19)

Page 44: APOSTILA CONCRETO 1[1]

5/17/2018 APOSTILA CONCRETO 1[1] - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/apostila-concreto-11 44/51

  CONCRETO 1

Prof. Eng. Miquéias V. Lemes Pág. 44

O coeficiente Ks está apresentado na Tabela A-1 anexa. Observe que Ks depende da tensão na armaduratracionada (σsd) e da posição da linha neutra, expressa por βx.

7.3. EXEMPLOS NUMÉRICOS

As vigas têm basicamente dois tipos de problemas para serem resolvidos: de dimensionamento e deverificação.O dimensionamento consiste em se determinar qual a armadura necessária para uma viga, sendopreviamente conhecidos: os materiais, a seção transversal e o momento fletor solicitante.Esse tipo de cálculo normalmente é feito durante a fase de projeto das estruturas, para a sua futuraconstrução.Nos problemas de verificação a incógnita principal é o máximo momento fletor que a seção poderesistir. Problemas de verificação normalmente ocorrem quando a viga pertence a uma construção jáexecutada e em utilização, e se deseja conhecer a capacidade de carga de uma viga.

Para isso é necessário conhecer os materiais que compõem a viga, como a classe do concreto (f ck), o tipode aço, a quantidade de armadura e o seu posicionamento na seção transversal, as dimensões da seçãotransversal, etc.Na grande maioria dos casos da prática os problemas são de dimensionamento, e esporadicamenteocorrem os problemas de verificação.

1º) Calcular a área de armadura necessária e as deformações nos materiais de uma viga, como mostradana Figura 7.3, para o momento fletor máximo, sendo conhecidos:

Mk,máx = 10.000 kN.cm

d = 47 cmγc = γf = 1,4 ; γs = 1,15concreto C20 (f ck = 20 MPa)aço CA-50c = 2,0 cmφt = 5 mm (diâmetro do estribo)concreto com brita 1obs.: a viga tem ligação com outros elementos estruturais.

Page 45: APOSTILA CONCRETO 1[1]

5/17/2018 APOSTILA CONCRETO 1[1] - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/apostila-concreto-11 45/51

  CONCRETO 1

Prof. Eng. Miquéias V. Lemes Pág. 45

Figura 7.3 - Viga biapoiada. 

RESOLUÇÃO

Page 46: APOSTILA CONCRETO 1[1]

5/17/2018 APOSTILA CONCRETO 1[1] - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/apostila-concreto-11 46/51

  CONCRETO 1

Prof. Eng. Miquéias V. Lemes Pág. 46

8.  SEÇÃO RETANGULAR COM ARMADURA DUPLA

Define-se seção com armadura dupla a seção que, além da armadura tracionada, contém tambémarmadura longitudinal resistente na região comprimida, calculada para auxiliar o concreto a resistir àstensões de compressão.A armadura dupla é um artifício que permite dimensionar as seções cujas deformações encontram-se nodomínio 4, sem que haja a necessidade de se alterar algum dos parâmetros inicialmente adotados. Aseção com armadura dupla surge como solução ao dimensionamento anti-econômico e contra asegurança (ruptura frágil, sem aviso prévio) proporcionado pelo domínio 4. Este domínio é evitadoalterando-se a posição da linha neutra para o limite entre os domínios 3 e 4, ou seja, com a linha neutrapassando por x3lim. Desse modo, aproveita-se a máxima seção comprimida possível dentro do domínio3. Ao se fazer assim, a área de concreto comprimido não mais considerada para a resistência da seção é

“compensada” pelo acréscimo de uma armadura longitudinal próxima à borda comprimida, que iráauxiliar o concreto no trabalho de resistência às tensões de compressão.Por outro lado, os novos limites impostos pela NBR 6118/03 (item 14.6.4.3) para a posição da linhaneutra (mostrados na Eq. 12), a fim de melhorar a ductilidade das estruturas nas regiões de apoio dasvigas ou de ligação com outros elementos estruturais, são também motivos de utilização da armaduradupla. Quando a linha neutra excede os limites, ao invés de se aumentar a altura da seção, por exemplo,é possível manter todos os dados iniciais colocando uma armadura na região comprimida da viga, e semultrapassar os limites impostos.Na maioria dos casos da prática a necessidade de armadura dupla surge nas seções sob momentosfletores negativos, nos apoios intermediários das vigas contínuas. Como os momentos fletores negativos

são significativamente maiores que os momentos fletores positivos nos vãos, eles requerem seçõestransversais com alturas bem maiores que os momentos positivos. Fixar a altura das vigas em funçãodos momentos negativos aumenta o seu custo, pois se na seção de apoio a altura fixada é a ideal, nasseções dos vãos a altura resulta exagerada. Por outro lado, não seria prático executar as vigas comalturas diferentes nos apoios e nos vãos.Para as seções retangulares, uma solução simples e econômica pode ser fixar a altura da viga de talforma a resultar armadura dupla nos apoios e armadura simples nos vãos.

8.1. EQUAÇÕES DE EQUILÍBRIO 

Do mesmo modo como feito na dedução das equações para a seção com armadura simples, aformulação será desenvolvida com base nas duas equações de equilíbrio da estática (Eq. 3).A Figura 8.1 mostra a seção retangular de uma viga, com armadura tracionada As e armaduracomprimida A’s, submetida a momento fletor positivo. O diagrama de distribuição de tensões decompressão no concreto é aquele retangular simplificado, com altura 0,8x.

Page 47: APOSTILA CONCRETO 1[1]

5/17/2018 APOSTILA CONCRETO 1[1] - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/apostila-concreto-11 47/51

  CONCRETO 1

Prof. Eng. Miquéias V. Lemes Pág. 47

Figura 8.1 – Seção retangular com armadura dupla

a)  Equilíbrio de Forças NormaisNa flexão simples não ocorre a força normal, de forma que existem apenas as forças resultantes

relativas aos esforços resistentes internos, que devem se equilibrar, de tal forma que:

Rcc + Rsc = Rst (Eq. 26)

sendo:

Rcc = força resultante de compressão proporcionada pelo concreto comprimido;Rsc = força resultante de compressão proporcionada pela armadura comprimida;Rst = força resultante de tração proporcionada pela armadura tracionada;σ’sd = tensão de cálculo na armadura comprimida;

σsd = tensão de cálculo na armadura tracionada.

Considerando que R = σ. A, as forças resultantes, definidas com auxílio da Figura 8.1, são:

Rcc = 0,85 f cd 0,8 x bw (Eq. 27)Rsc = A’s σ’sd (Eq. 28)Rst = As σsd (Eq. 29)

b)  Equilíbrio de Momentos Fletores

O momento fletor solicitante tem que ser equilibrado pelo momento interno resistente, proporcionadopelo concreto comprimido e pelas armaduras tracionadas e comprimidas, que podem ser representadospelo momento fletor de cálculo Md:

Msolic = Mresist = Md 

Fazendo o equilíbrio de momentos fletores em torno da linha de ação da força resultante R st, omomento resistente à compressão será dado pelas forças resultantes de compressão multiplicadaspelas suas respectivas distâncias à linha de ação de Rst (braços de alavanca – zcc e zsc):

Md = Rcc . zcc + Rsc . zsc 

Substituindo Rcc e Rsc pelas Eq. 27 e 28 fica:

Page 48: APOSTILA CONCRETO 1[1]

5/17/2018 APOSTILA CONCRETO 1[1] - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/apostila-concreto-11 48/51

  CONCRETO 1

Prof. Eng. Miquéias V. Lemes Pág. 48

Md = 0,85 f cd 0,8 x bw (zcc) + A's σ'sd (zsc)

Aplicando as distâncias zcc e zsc a equação torna-se:

Md = 0,68 bw x f cd (d - 0,4x) + A's σ'sd (d - d') (Eq. 30)

Com o intuito de facilitar o cálculo pode-se decompor o momento fletor Md em duas parcelas, comoindicado na Figura 8.2, tal que:

Md = M1d + M2d (Eq. 31)

Figura 8.2 –  Decomposição da seção com armadura dupla

O momento fletor M1d corresponde ao primeiro termo da Eq. 30, cujo significado físico é o de ser omomento interno resistente proporcionado por uma parcela As1 da armadura tracionada e pela área deconcreto comprimido com a maior altura possível, conforme esquema mostrado na Figura 8.2b.

M1d = 0,68bw x f cd (d − 0,4x) (Eq. 32)

O valor de x deve ser adotado conforme os critérios da NBR 6118/03 já apresentados no item 8.1,havendo as seguintes possibilidades:

a)  x = x3lim (0,77d para o aço CA-25, 0,63d para CA-50 e 0,59d para CA-60) nas seções que não sejamapoio da viga nem de ligação com outros elementos estruturais;

b)  x = 0,5d para concretos até C35 nas seções de apoio da viga ou de ligação com outros elementosestruturais;

c)  x = 0,4d para concretos de classes acima do C35 nas seções de apoio da viga ou de ligação com

outros elementos estruturais.

Determinada a primeira parcela M1d do momento fletor total, pode-se calcular a segunda parcela como:

Page 49: APOSTILA CONCRETO 1[1]

5/17/2018 APOSTILA CONCRETO 1[1] - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/apostila-concreto-11 49/51

  CONCRETO 1

Prof. Eng. Miquéias V. Lemes Pág. 49

M2d = Md −M1d (Eq. 33)

A armadura comprimida A’s equilibra a parcela As2 da armadura tracionada total (As), e surge doequilíbrio de momentos fletores na seção da Figura 8.2c, como a força resultante na armadura

comprimida multiplicada pela distância à armadura tracionada:

M2d = Rsc . zsc 

Aplicando a Eq. 28 de Rsc fica:

M2d = A’s σ’sd zsc = A’s σ’sd (d – d’)

Isolando a área de armadura comprimida:

 ′ = () (Eq. 34)

A tensão σ’sd na armadura comprimida depende do tipo de aço e da posição dessa armadura dentro daseção transversal, expressa pela relação d’/d, e da posição x assumida para a linha neutra, conforme umdos três valores indicados (x3lim, 0,5d ou 0,4d). Os valores para a tensão na armadura comprimida (σ’sd)estão mostrados nas Tabelas anexas Tabela A-5, Tabela A- 7 e Tabela A-9, em função da relação d’/d, daposição assumida para a linha neutra e do tipo de aço.As parcelas As1 e As2 da armadura tracionada resultam do equilíbrio de momentos fletores nas seções be c indicadas na Figura 8.2. São dadas pelas forças resultantes nas armaduras tracionadas multiplicadaspelos respectivos braços de alavanca, isto é, a distância entre as resultantes que se equilibram na seção.Para a seção b da Figura 8.2:

M1d = As1 σsd zcc = As1 σsd (d − 0,4x)

Isolando a parcela As1 da armadura tracionada:

 ′ = (,) (Eq. 35)

Para a seção c da Figura 8.2:

M2d = As2 σsd zsc = As2 σsd (d – d’)

Isolando a parcela As2 da armadura tracionada:

 ′ = () (Eq. 36)

A armadura total tracionada é a soma da parcelas As1 e As2:

As = As1 + As2 (Eq. 37)

Page 50: APOSTILA CONCRETO 1[1]

5/17/2018 APOSTILA CONCRETO 1[1] - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/apostila-concreto-11 50/51

  CONCRETO 1

Prof. Eng. Miquéias V. Lemes Pág. 50

onde:

As1 = parcela da armadura tracionada As que equilibra o momento fletor resistente proporcionado pelaárea de concreto comprimido com altura x;

As2 = parcela da armadura tracionada As que equilibra o momento fletor resistente proporcionado pelaarmadura comprimida A's.

d)  Permanência das Seções Planas

Conforme o diagrama de deformações mostrado na Figura 8.1 definem-se as relações entre asdeformações de cálculo nas armaduras tracionada (εsd) e comprimida (ε’sd) e no concreto da fibra maiscomprimida da seção.

=

(Eq. 38)

= =   (Eq. 39)

Assumindo a relação entre a posição da linha neutra e a altura útil d pode-se também escrever:

=  

=   (Eq. 40)

8.2 CÁLCULO MEDIANTE COEFICIENTES TIPO K

Como já apresentado no item 7.2 o cálculo de dimensionamento das vigas à flexão simples pode serfeito com equações mais simples, fazendo-se uso dos coeficientes K, como mostrados nas Tabelasanexas Tabela A-1 e Tabela A-2.Inicialmente deve-se definir qual será a posição da linha neutra na seção transversal. Se for seção deapoio da viga ou existir ligação com outros elementos estruturais, a variável βx será adotada em função

da classe do concreto:

a)  βx = x/d = 0,5 para concretos até C35;

b)  βx = x/d = 0,4 para concretos de resistência acima do C35.

Se a seção não for de apoio ou de ligação com outros elementos estruturais, a posição da linha neutrapoderá ser assumida passando por x3lim, isto é, no limite entre os domínios 3 e 4. Para o aço CA-50deverá ser assumido, portanto, βx = 0,63.Definida a posição da linha neutra, deve-se determinar os valores correspondentes de Kclim e de Kslim nas

Tabela A-1 ou Tabela A-2, conhecendo-se a classe do concreto e a categoria do aço.O momento fletor M1d fica assim determinado:

Page 51: APOSTILA CONCRETO 1[1]

5/17/2018 APOSTILA CONCRETO 1[1] - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/apostila-concreto-11 51/51

  CONCRETO 1

Prof. Eng. Miquéias V. Lemes Pág. 51

= . (Eq. 41)

A parcela M2d do momento total também fica determinada:

= − (Eq. 42)

A área total de armadura tracionada fica determinada por:

  = + .()  (Eq. 43)

A área de armadura comprimida é:

 ′ = ′ ()  (Eq. 44)

O coeficiente K’s é o inverso da tensão na armadura comprimida, assumindo diferentes valores emfunção da relação d’/d e da posição adotada para a linha neutra, que pode estar localizada em x3lim, 0,5dou 0,4d. Os valores de K’s estão mostrados nas Tabelas anexas Tabela A- 6, Tabela A-8 e Tabela A-10:

′ =   (Eq. 45)

EXEMPLOS:

1º) Dimensionar e detalhar a armadura longitudinal de flexão para o momento fletor negativo no apoiointermediário de uma viga contínua, considerando os dados a seguir:

bw = 20 cmh = 50 cmMk = - 15.700 kN.cmconcreto C20

aço CA-50c = 2,0 cmφt = 6,3 mmbrita 1