Apostila Controle - 23 - Modelagem de Estado

MODELAGEM DE ESTADO

Conceito de Estado Caractersticas e Vantagens Modelo Geral Diagrama de Blocos Formas de Representao Modelo Fsico Exerccios

Controle de Sistemas Mecnicos

Conceito de estadoO estado de um sistema o menor conjunto de variveis que permita uma descrio completa do sistema, ou seja, conhecida sua equao dinmica e respectivas entradas, os seus estados futuros podem ser previstos. Por exemplo, para que o deslocamento da massa em um sistema MMA seja previsto necessrio que se conhea o deslocamento e velocidade iniciais e a fora exercida ao longo do tempo. Portanto um possvel vetor de estado o deslocamento e velocidade, ou diferentes combinaes destas variveisControle de Sistemas Mecnicos

Caractersticas do modelo de estadoDomnio do tempo Notao matricial Vamos trabalhar com sistemas lineares invariantes no tempo (LIT), mas pode representar, da mesma forma, sistemas: no lineares variantes no tempo de mltiplas entradas e sadas


Vantagens do Modelo de Estadoequaes mais adaptadas soluo computacional, por ser matricial equaes de primeira ordem, onde a soluo conceitualmente simples e conhecida em particular para o caso de sistemas LIT, a mesma estrutura matricial aplica-se a todos os sistemas


Modelo de estado geralConsiderando um sistema de ordem n com p entradas e q sadas

u1 u2

y1 y2Planta

M up

M yq

o modelo mais geral dado por

yk (t ) = g k [x1 , x2 K xn , u1 , u2 Ku p , t ] k = 1,2K qControle de Sistemas Mecnicos

& xi (t ) = fi x1, x2 K xn , u1, u2 Ku p , t

[

]

i = 1,2Kn

Sistemas LITAs equaes podem ser resumidas: equaes de estado & x ( t ) = f ( x ( t ), u ( t ), t )

y ( t ) = g ( x ( t ), u ( t ), t )

equaes de sada

Ou ainda, na forma matricial linearizada p/ parmetros constantes e invariantes no tempo (LIT):

& x (t ) = A x (t ) + B u (t ) y (t ) = C x (t ) + D u (t )Onde A n x n, B n x p, C q x n e D q x p.


Diagrama de Blocos Modelo de Estado

r (t )Kp

u (t )B

-

A

x(t )C

y (t )

& x = Ax + Bu y = CxK


Representao no Espao de EstadosMuitas tcnicas esto disponveis para obteno da representao Representao no espao de estados de no nica sistemas descritos por equaes diferenciais lineares Modelo Fsico modelo com variveis fsicas Formas cannicas Controlvel Observvel Diagonal JordanControle de Sistemas Mecnicos

Exerccio MMAPara um sistema MMA, determine o modelo de estado fsico correspondente e o seu diagrama de blocos. c k u && + y + y = & y m m m c k o vetor de estado m x1 y y

x= = & x2 y

respostay = deslocamentoControle de Sistemas Mecnicos

Exerccio MMA continuao& x1 x2 = 0 c k u & x2 + x2 + x1 = m m m

vetor de estado

x1 y x= = & x2 y

respostay = x1

na forma matricial 0 & x1 x = k &2 my = [1

1 0 x1 c + 1 u x2 m m x1 0] x2


Exerccio MMA continuaona forma matricial padronizada1 0 0 0 0 1 A= M M M a0 a1 a2 0 L 0 O M L an1 L 0 0 B= M 1

c k u && + y + y = & y m m mT

(b0 bn a0 ) (b b a ) C= 1 n 1 M (bn 1 bn an-1 )

D = bn

0 A= k m

1 c m

0 B= 1

1 C = m

0

D = [0 ]


Exerccio MMA: Diagrama de blocosDiagrama de blocos do sistemau 1/m + c/m

&& = x2 y &

z

& y = x2

z

y y = x1

k/m

notar que as sadas dos integradores so as variveis de estadoControle de Sistemas Mecnicos

Exerccio MMA: MatlabConsiderando m=2kg, c=3 N/m/s, k=10 N/m, montar o modelo de estado anterior usando Matlab. Usar os comandos ss, eig, damp, tf, roots e mostrar que os autovalores e os plos do sistema so os mesmos.


Matlab: programa p/ o Exerccio MMAm=2; c=3; k=10; A=[0 1;-k/m -c/m]; B=[0;1/m]; C=[1 0]; D=0; sys=ss(A,B,C,D); impulse(sys)np=1/m; dp=[1 c/m k/m]; sys2=tf(np,dp); figure(2), impulse(sys2) eig(A) roots(dp) damp(A) damp(sys2)


Exerccio 2DGLDetermine o modelo de estado fsico para o sistema abaixo, com 2 GDL.m1 = 2 c1 = 3 k1 = 10m2 = 50 c2 = 3 k 2 = 10

k1

c1

mk2

1

c2

& y 1 , y 1 , && 1 y

f (t ) = 10sen(2t ) N

mf (t )

2

y

2

& , y

2

, && 2 y


Exerccio 2DGL : soluoAplicando-se a lei de Newton a cada massa chega-se s seguintes equaes:& & m1 &&1 + 2cy1 cy2 + 2ky1 ky2 = 0 y & & m2 &&2 cy1 + cy2 ky1 + ky2 = f y

A partir dessas equaes deduzir os modelos de estado. Usar como vetor de estado o deslocamento e a velocidade de cada massa.


Exerccio 2DGL : soluoDefinindo-se o vetor de estado como x1 = y1 x3 = y2& x2 = y1 & x4 = y 2

as equaes ficam ou ainda

& m1 x2 + 2cx2 cx4 + 2kx1 kx3 = 0 & m2 x4 cx2 + cx4 kx1 + kx3 = f

2c 2k k c & x3 x1 + x4 x2 = x2 + m1 m1 m1 m1 c c k k 1 & x4 = f+ x2 x4 + x1 x3 m2 m2 m2 m2 m2


Exerccio 2DGL : soluoOrdenando os termos x &= k c 2k 2c x1 x2 + x3 + x4 m1 m1 m1 m1

2

& x4 =

k c k c 1 x1 + x2 x3 x4 + f m2 m2 m2 m2 m2

e lembrando que o modelo fica

& & x1 = y1 = x2 & & x3 = y2 = x4

0 & x1 2k x & 2 = m1 & x3 0 & k x4 m2

1 2c m1 0 c m2

0 k m1 0 k m2

0 0 x1 c x2 0 m1 u + 1 x3 0 c 1 x4 m2 m2


Exerccio 2DGL : soluoConsiderando a sada como a posio da massa 1:

y = x1 = y1

x1 x y = [1 0 0 0] 2 x3 x4 x1 1 0 0 0 x2 y= 0 0 1 0 x3 x4 Controle de Sistemas Mecnicos

Se desejarmos as duas posies:

Exerccio IRCPara o circuito abaixo, determine um modelo de estado fsico onde as variveis de estado so tenses no capacitores C1 e C2, a entrada uma fonte de tenso e a sada a tenso no segundo capacitor.R1K

R2 vo C1 C2

vi


Exerccio IRC : SoluoAplicando as leis de Kirchhoff e as relaes de cada componente:

vi = R1i1 + vC1

R1K

R2

v2 = KvC1 v2 = R2i2 + vC 2vo C2

vi C1

v2

i1 = C1

dvC1 dt dvC 2 i2 = C2 dt v0 = vC 2


Exerccio IRC : continuandoAdmitindo como variveis de estado e sada:

x1 = vC1vi = R1i1 + vC1 v2 = R2i2 + vC 2 v2 = KvC1 dvC1 dt dvC 2 i2 = C2 dt i1 = C1

x2 = vC 2 u = vi1 1 dx1 = x1 + u dt R1C1 R1C1 dx2 K 1 x1 x2 = dt R2C2 R2C2

y = vC 2

dx u = R1C1 1 + x1 dt dx2 + x2 Kx1 = R2C2 dt


Exerccio IRC : concluindoO modelo de estado na forma matricial portanto1 1 dx1 = x1 + u dt R1C1 R1C1 dx2 K 1 x1 x2 = dt R2C2 R2C2 1 & x1 R1C1 x = K &2 R2C2 x1 1 + R1C1 u 1 x2 0 R2C2 0

y = x2

x1 y = [0 1] x2

O sistema acima chamado de modelo de estado com variveis fsicas.Controle de Sistemas Mecnicos

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