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CONTROLE DE PROCESSOS
Autor: Prof. Dr. Ricardo de Araújo Kalid – [email protected]
Laboratório de Controle e Otimização de Processos Industriais - LACOI
Departamento de Engenharia Química - DEQ
Escola Politécnica - EP
Universidade Federal da Bahia – UFBA
Salvador, março de 2007.
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C o n t r o l e d e P r o c e s s o s R i c a r d o d e A r a ú j o K a l i d – k a l i d @ u f b a . b r
Í N D I C E
CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO 1-2
1.1. MOTIVAÇÃO PARA IMPLANTAR UM SISTEMA DA CONTROLE 1-2 1.2. NORMAS UTILIZADAS EM INSTRUMENTAÇÃO 1-7
Í N D I C E D E T A B E L A S Tabela 1-1: Estratégias para o controle de temperatura de um tanque de aquecimento agitado. 1-5 Tabela 1-2: Sinais padrão de transmissão de informações. 1-7 Tabela 1-3: Exemplo de identificação de instrumento. 1-9
Í N D I C E D E F I G U R A S Figura 1-1: Exemplo de controle de processo. 1-3 Figura 1-2: Tanque de aquecimento com agitação. 1-4 Figura 1-3: Tanque de aquecimento agitado com controle feedback. 1-5 Figura 1-4: Símbolos gerais para instrumento ou função programada. 1-7 Figura 1-5: Letras de identificação de instrumento ou função programada. 1-9
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C A P Í T U L O 1 . I N T R O D U Ç Ã O
A finalidade do controle de processos é manter as variáveis de processo nas condições
desejadas com um mínimo custo operacional.
Variáveis de processo são as propriedades intensivas ou extensivas de uma corrente ou
substância.
Como exemplos de variáveis de processo temos:
• Temperatura;
• Pressão;
• Vazão;
• Composição;
• Viscosidade;
• Granulometria;
• Radioatividade;
• Condutividade;
• Dureza;
• Maleabilidade;
• Cor;
• Aroma;
• Sabor; etc.
1 . 1 . M o t i v a ç ã o p a r a i m p l a n t a r u m s i s t e m a d a c o n t r o l e
Mudança nas condições de alimentação do processo e no ambiente (perturbações) estão
sempre acontecendo e se nenhuma ação for tomada importantes variáveis do processo não
alcançarão as condições desejadas. Porém, esta ação deve ser estabelecida de modo que:
1. A segurança dos equipamentos e dos trabalhadores,
2. A qualidade do produto; e
3. A produção
sejam asseguradas com um mínimo custo de investimento e/ou operacional.
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√ Exemplo 01
F igura 1 -1 : Exemplo de cont ro le de p rocesso .
√ Exemplo 02 Seja um tanque agitado, aquecido pela condensação do vapor d’água, conforme mostra a
Figura 1-2. O objetivo deste processo é aquecer uma corrente de vazão w e temperatura T1 até
alcançar a temperatura T2.
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T2(t), w
T1(t), w
vapor condensado Figura 1 -2 : Tanque de aquec imento com ag i tação .
Vamos considerar duas perguntas:
Pergunta 1: Quanto de calor deve ser fornecido ao líquido no interior do tanque para
que atinja a temperatura desejada T2?
Considerando o tanque bem agitado não existem gradientes internos de temperatura e as
propriedades do fluido na saída do tanque são as mesmas do interior do tanque (tanque
perfeitamente agitado).
O balanço de energia em estado estacionário no tanque indica qual a quantidade de calor
que deve ser transferida é:
Equação 1 -1 ( )sssspssss TTcwQ ,1,2.. −=
Mas nas condições de projeto T2 é a temperatura de referência Tr ou temperatura desejada
(set point), então podemos escrever a equação de projeto para o aquecedor:
Equação 1 -2 ( )ssSPpssss TTcwQ ,1.. −=
Pergunta 2: Mas se as condições mudarem (a vazão de líquido aumentar ou diminuir, a
temperatura da alimentação oscilar ou se desejarmos uma temperatura na saída maior ou
menor que a estabelecida no projeto), como iremos atuar sobre o sistema para que a
temperatura na saída do tanque seja a temperatura desejada (T2 = Tr = TSP) ?
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Existem algumas possibilidades, uma delas é medir a temperatura no interior do tanque (T),
comparar esta com a temperatura desejada (TSP) e atuar sobre a válvula de controle para que
esta aumente ou diminua o fluxo de vapor para a serpentina, incrementando ou não a
transferência de energia para o fluido no tanque (veja Figura 1-3). Esta estratégia denomina-se
controle por retroalimentação (Feedback Control).
T
T2(t), w2(t)
T1(t), w1(t)
vapor
condensado
TT
TC
F igura 1 -3 : Tanque de aquec imento ag i tado com contro le feedback .
Na Tabela 1-1 vemos outras alternativas de estratégias de controle para este processo.
Tabe la 1 -1 : Es t ra tég ias para o cont ro le de tempera tura de um tanque de aquec imento ag i tado .
Método Variável Medida
Variável manipulada
Classificação
01 T Q Feedback
02 T1 Q Feedforward
03 T w Feedback
04 T1 w Feedforward
05 T1 e T Q Feedback / feedforward
06 T1 e T w Feedback / feedforward
Podemos ainda instalar um trocador de calor a montante do tanque de aquecimento para
diminuir ou eliminar a oscilação na temperatura T1 ou utilizar um tanque com um volume maior
de modo a diminuir a oscilação na temperatura de saída T.
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Uma vez estabelecida a estratégia de controle é necessário determinar qual a lei ou
algoritmo de controle para o controlador. Uma possibilidade é utilizar o controlador proporcional, no qual a mudança no fluxo de calor é proporcional à diferença entre a
temperatura desejada (TSP(t)) e a temperatura medida (T(t)):
Equação 1 -3 [ ])()(.)( tTtTKQtQSPcss −+=
Onde Kc é denominado ganho do controlador, este parâmetro é ajustável e define a
intensidade da correção a ser realizada sobre o processo.
Do discutido anteriormente deduz-se que para definir um sistema de controle é necessário:
(1) Conhecer o comportamento no estado estacionário do processo que desejamos
controlar;
(2) Conhecer o comportamento dinâmico do processo que desejamos controlar;
(3) Estabelecer quais as variáveis de processo que devem ser mantidas o mais
próximo possível dos valores desejados (set point), denomina-se de variáveis controladas;
(4) Estabelecer quais as variáveis de processo que devem ser monitoradas (variáveis
medidas) a fim de conhecer ou inferir os valores das variáveis controladas ou das
variáveis de processo que podem interferir no mesmo (perturbações).
(5) Estabelecer quais os fluxos de massa e energia que deverão ser modificados
(variáveis manipuladas) para manterem as variáveis controladas nos seus set point.
(6) Escolher e dimensionar os instrumentos necessários para o funcionamento do
sistema de controle:
(a) Sensores das variáveis de processo envolvidas ou elementos primários de
medição,
(b) Transmissores e / ou conversores de sinais,
(c) Indicadores e / ou registradores de sinais,
(d) Controladores,
(e) Elementos finais de controle (válvulas).
Para estabelecer com sucesso o sistema de controle de um processo temos que conhecer
seu comportamento dinâmico, realizando um estudo de processo em malha aberta, assunto
que é tratado de uma apostila deste autor, que deve ser consultada para maiores detalhes.
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1 . 2 . N o r m a s U t i l i z a d a s e m I n s t r u m e n t a ç ã o
A ISA - The Instrumentation, Systems, and Automation Society estabelece normas e
procedimentos para especificação e instalação de instrumentos para controle de processos,
bem como a simbologia a ser adotada nos fluxogramas e documentos (veja “Standards and
Recommended Pratices for Instrumentation and Control” editado pela ISA).
2 . 1 . 1 . S i n a i s d e T r a n s m i s s ã o
Existem alguns tipos e faixas padronizadas para transmissão de sinais em sistemas de
controle:
Tabe la 1 -2 : S ina is padrão de t ransmissão de in fo rmações .
Tipo de sinal Valores Representação
Sinal pneumático ⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
psig 27 a 3psig 30 a 6psig 15 a 3
representado por
Sinal elétrico ou eletrônico ⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
V 10 a 0V 5 a 1
mA 20 a 4
representado por
Sinal digital ou discreto ou binário
, binário elétrico
, binário pneumático
As próximas páginas têm um pequeno resumo da simbologia empregada na confecção de
fluxogramas para instrumentação e controle de processos.
F igura 1 -4 : S ímbo los gera is para ins t rumento ou função programada .
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F igura 1 -5 : Le t ras de iden t i f i cação de ins t rumento ou função programada .
Tabe la 1 -3 : Exemplo de iden t i f i cação de ins t rumento .
T RC 210 02 A
Variável Função Área de atividades
Nº seqüencial da malha Sufixo
Identificação funcional Identificação da malha
Identificação do instrumento
Onde:
T Variável medida ou iniciadora: temperatura;
R Função passiva ou de informação: registrador;
C Função ativa ou de saída: controlador;
210 Área de atividades, onde o instrumento ou função programada atua;
02 Número seqüencial da malha;
A Sufixo.
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Í N D I C E
CAPÍTULO 2. FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA 2-2
2.1. PROPRIEDADES DA FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA 2-3 2.2. NATUREZA QUALITATIVA DAS RESPOSTAS DE UM SISTEMA 2-5 2.3. FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA COM ENTRADAS E SAÍDAS MÚLTIPLAS 2-7
Í N D I C E D E T A B E L A S Tabela 2-1: Raízes da Função de Transferência. 2-6
Í N D I C E D E F I G U R A S Figura 2-1: Diagrama de blocos 01. 2-3 Figura 2-2: Diagrama de blocos 02. 2-4 Figura 2-3: Diagrama de blocos 03. 2-4 Figura 2-4: Localização das raízes da equação característica. 2-7 Figura 2-5: Função exponencial [(a) decrescente (b); crescente] e gráfico de oscilação [(a) crescente; (b)
decrescente; (c) amplitude constante]. 2-7 Figura 2-6: Diagrama de blocos 04. 2-8 Figura 2-7: Diagrama de blocos 05. 2-9
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C A P Í T U L O 2 . F U N Ç Ã O D E T R A N S F E R Ê N C I A
“... proporciona uma relação direta entre as entradas (distúrbios, variáveis manipuladas) e as
saídas (variáveis controladas) do processo.”
George Stephanoupolos
Vamos trabalhar com modelos lineares ou linearizados e variáveis desvio:
Equação 2 -1 ⎩⎨⎧
==
==
ss
ss
X - X(t) X(0) -X(t) (t)XY - Y(t) Y(0) -Y(t) (t)Y
Generalizando, as equações diferenciais ordinárias com coeficientes constantes são da
forma:
Equação 2 -2 ∑∑=
−
−
−=
=++++=m
jj
j
jn
n
nn
n
n
n
ii
i
i dtXdbYa
dtYda
dtYda
dtYda
dtYda
0011
1
10
.........
Equação 2 -3 XbdtXdb
dtXda
dtXdb
dtXdbonde m
m
mm
m
m
m
jj
j
j ........ 011
1
10
++++= −
−
−=∑
Onde, an, an -1, ..., a1, a0 e bm, bm -1, ..., b1, b0 são constantes.
Em sistemas fisicamente exeqüíveis n ≥ m.
Assumindo que inicialmente o sistema está relaxado:
Equação 2 -4 1000 −=== nkdt
Ydtk
k,...,,
e
Equação 2 -5 1000 −=== nldt
Xdtl
l,...,,
Ou seja, o termo relativo às condições iniciais I é nulo: I = 0
Equação transformada:
Equação 2 -6 ( ) ( ) ( ) ( )∑ ∑ ∑∑= = ==
=⇒=m
j
n
i
m
j
jj
ii
jj
n
i
ii sXsbsYsasXsbsYsa
0 0 00)(..)(..).(..).(..
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Equação 2 -7 ( )0.
.
)()()(
0
0 =+==⇒
∑
∑
=
= Isa
sb
sXsYsG
ii
n
i
m
j
jj
G(s) é chamada de função de transferência e é obtida apenas se I = 0.
Equação 2 -8 desviodeformaementradadaLaplacededaTransforma
desviodeformaemsaídadaLaplacededaTransformasG,
,)( =
Em diagrama de blocos:
F igura 2 -1 : D iagrama de b locos 01 .
Em geral a função de transferência pode ser representada por uma divisão entre dois
polinômios em s:
Equação 2 -9 P(s)Q(s)G(s)=
2 . 1 . P r o p r i e d a d e s d a F u n ç ã o d e T r a n s f e r ê n c i a
P1. Descreve as características dinâmicas de um sistema. Se adotarmos uma função
perturbação X(t) na entrada, cuja transformada é X(s), a resposta do sistema é Y(s) dada por:
Equação 2 -10 )().()( sXsGsY =
P2. Se o sistema sofre uma perturbação impulso unitário (Delta de Dirac – um funcional) a
função de transferência é a resposta do sistema porém deve-se notar que a Transformada de
Laplace deste sinal é igual a 1 (um) : X(t) = δ(t), então X(s) = L{δ (t)} = 1, logo:
Equação 2 -11 )()().()( sGsXsGsY ==
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P3. A equação diferencial do sistema pode ser obtida utilizando a Transformada Inversa de
Laplace, que não será abordada neste texto, porém uma regra prática para equações
diferenciais lineares invariantes no tempo pode ser aplicada substituindo s pelo operador
diferencial D ≡ d/dt e multiplicando este resultado pela variável de entrada em desvio no
domínio do tempo e igualando a variável de saída também em desvio no domínio de t.
Equação 2 -12 )(.1
1.2)(1
1.2)(:. 22 tXtYss
ssGex ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
+++
=⇒++
+=
DDD
Ou,
Equação 2 -13 XXYYY +=++ DDD .22
Equação 2 -14 )()(.)()()(""'" tXtXtYtYtY +=++⇒ 2
P4. O princípio da superposição é válido (operador linear) para:
Equação 2 -15 )()()( 21 sXsXsX +=
Equação 2 -16 )()()().()().()().()( 2121 sYsYsXsGsXsGsXsGsY +=+==
Em diagrama de blocos:
PROCESSO
X1(t)Y(t)
X2(t)
F igura 2 -2 : D iagrama de b locos 02 .
G(s)X1(s) Y1(s)
G(s)X2(s) Y2(s)
++
Y(s)
F igura 2 -3 : D iagrama de b locos 03 .
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P5. O denominador de G(s) igualado a zero é denominado de equação característica – equação cuja solução é uma matriz de autovalores. A estabilidade de um sistema linear
invariante com o tempo pode ser determinada avaliando as raízes da equação característica:
se todas as raízes têm partes reais negativas o sistema é estável, caso alguma raiz tenha parte
real positiva o sistema é instável. Exemplo:
Equação 2 -17 ).21().21(5.2
1)( 2 jC
jB
−−+
+−=
+−+
=ssss
ssG
Equação característica:
Equação 2 -18 0522 =+− ss
Raízes da equação característica:
Equação 2 -19
jr .211 +=
Equação 2 -20
jr .212 −=
Portanto, o sistema é instável pois as raízes do denominador da função de transferência
tem parte real positiva.
P6. As raízes do denominador são os pólos do sistema e as raízes do numerador são os
zeros do sistema. Quando o número de zeros (nz) é menor que o número de pólos (np), diz-se
que existem (nz – np) zeros no infinito; a recíproca é válida. Para a Equação 2-17:
Equação 2 -19 2.j- 1 P e 2.j 1 P :pólos 21 =+=
Equação 2 -20 ∞== z e 1- z :zeros z1
P7. Em sistemas físicos exeqüíveis: nz ≤ np.
2 . 2 . N a t u r e z a Q u a l i t a t i v a d a s R e s p o s t a s d e u m S i s t e m a
Freqüentemente, estamos interessados apenas em determinar a estabilidade do sistema,
uma forma simples e adequada para os propósitos de controle de processos é encontrar as
raízes do denominador da função de transferência (pólos do sistema) e verificar sua
localização no plano complexo. Seja G(s) uma função de transferência que pode ser escrita por
uma razão de dois polinômios Q(s) e P(s):
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Equação 2 -21
( )i
n
ips
sQsPsQsGsXsGsY
n −==⇒=
=0
)()()()()().()(
Na Tabela 2-1 vemos as diferentes formas das contribuições da função transferência para
as respostas dos sistemas. Enquanto que na Figura 2-4 podemos verificar a disposição das
raízes da equação característica no plano complexo.
Tabe la 2 -1 : Ra ízes da Função de T ransferênc ia .
Raízes Características Termos em ƒ (t) para t ≥ 0
p1 p2, p2
* p3, p3
* p4, p4
* p5
p6
Real, < 0 Complexa, Re < 0 Complexa, Re = 0 Complexa, Re > 0
Real, > 0 Real, = 0
C1. e-p1.t e-a2.t [C1.cos(b2.t) + C2.sen(b2.t)]
C1.cos(b3.t) + C2.sen(b3.t) Ea4.t [C1.cos(b4.t) + C2.sen(b4.t)]
C1 ep5.t
C1
Observações:
1. Onde a1, a2, ..., b1, b2, ..., p1, p2, ..., são constantes positivas.
2. Se algumas dessas raízes são repetidas o termo referente a essa raiz é multiplicado por
uma série de potências de t:
K1 + K2.t + K3.t2 + ... + Kr.tr-1, onde r é o número de repetições.
3. C1, C2, K1 ,K2, ... KR são obtidas a partir das condições iniciais.
Na Figura 2-4 vemos a disposição dos pólos no plano complexo. Observe que as raízes
reais geram resposta não oscilatória amortecida (p1), não oscilatória não amortecida (p6) e não
oscilatória com amplitude crescente (p5), portanto uma resposta instável; enquanto que as
raízes complexas originam resposta oscilatória amortecida (p2, p2*), não amortecida (p3, p3*) e
com amplitude crescente (p4, p4*), isto é, a saída do sistema é instável. Em outras palavras as
raízes localizadas no semi-eixo direito geram respostas instáveis.
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Eixoimaginário
Eixoreal
p4
p3
p2
p1
p*2
p6p5
p*3
p*4
F igura 2 -4 : Loca l i zação das ra í zes da equação carac ter ís t ica .
À esquerda do eixo Im: f(t) decresce exponencialmente com t
À direita do eixo Im: f(t) cresce exponencialmente com t
Sejam raízes múltiplas:
Na origem: f(t) = tn, cte. para n = 0, crescente para n > 0.
Figura 2-5: Função exponencial [(a) decrescente (b); crescente] e gráfico de oscilação [(a) crescente; (b) decrescente; (c) amplitude constante].
2 . 3 . F u n ç ã o d e T r a n s f e r ê n c i a c o m E n t r a d a s e S a í d a s M ú l t i p l a s
Considere a Figura 2-6:
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PROCESSO
X1(t)Y1(t)
X2(t)Y2(t)
F igura 2 -6 : D iagrama de b locos 04 .
Equação 2 -22
( )( )
( )( )⎩
⎨⎧
⎩⎨⎧
tYt
tt
2
1
2
1 Y SAÍDAS
XX
ENTRADAS
MODELO MATEMÁTICO (variáveis desvio ou sistema relaxado):
Equação 2 -23 2121112121111 XbXbYaYa
dtdY ... +++=
Equação 2 -24 2221212221122 XbXbYaYa
dtdY ... +++=
Condições iniciais:
Equação 2 -25 0 (0)Y (0)Y 21 ==
Aplicando a Transformada de Laplace e resolvendo para Y1(s) e Y2(s):
Equação 2 -26 (s)XP(s)
]ba)ba[(s(s)XP(s)
]ba)ba[(s(s)Y 222121222
121121122
1+−
++−
=
Equação 2 -27 (s)XP(s)
]ba)ba[(s(s)X
P(s)]ba)ba[(s
(s)Y 222212211
111212111
2+−
++−
=
Onde P(s) é a equação característica dada por:
Equação 2 -28 )().(P(s) 2211211222112 aaaasaas −−+−=
Equação 2 -29 ⎩⎨⎧
+=+=
⇒)().()().()(
)().()().()(
2221212
2121111
sXsGsXsGsYsXsGsXsGsY
Ou em notação matricial:
Equação 2 -30 ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡)()(
.)()()()(
)()(
2
1
2221
1211
2
1
sXsX
sGsGsGsG
sYsY
O sistema de Equação 2-30 é denominado Matriz das Funções de Transferência.
Em diagramas de blocos:
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X1(s)
X2(s)
G11(s)
G12(s)
G21(s)
G22(s)
++
++
Y2(s)
Y1(s)
F igura 2 -7 : D iagrama de b locos 05 .
Os sistemas podem ser:
SISO – Single Input Single Output
SIMO – Single Input Multiple Output
MISO - Multiple Input Single Output
MIMO - Multiple Input Multiple Output
Observação 1.: Os processos químicos são, na sua maioria, MIMO.
Observação 2.: Os processos químicos são, na sua maioria, não lineares.
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Í N D I C E
CAPÍTULO 3. ANÁLISE DA DINÂMICA DE PROCESSOS 3-3
3.1. ESTUDO DO COMPORTAMENTO DINÂMICO DE SISTEMAS DE PRIMEIRA ORDEM 3-6 3.2. ESTUDO DO COMPORTAMENTO DINÂMICO DE SISTEMAS CAPACITIVOS PUROS 3-21 3.3. ESTUDO DO COMPORTAMENTO DINÂMICO DE SISTEMAS DE SEGUNDA ORDEM 3-24 3.4. COMPORTAMENTO DINÂMICO DE PROCESSOS TIPO ATRASO-AVANÇO 3-45 3.5. COMPORTAMENTO DINÂMICO DE PROCESSOS COM TEMPO MORTO 3-48 3.6. EXERCÍCIOS 3-54
Í N D I C E D E T A B E L A S Tabela 3-1: Constantes de tempo de elementos primários de medição. 3-6
Tabela 3-2: Tempo (t) e valor alcançado pelo sistema ( )( ) . PY t A K . 3-11
Tabela 3-3: Tempo (t) e valor alcançado pelo sistema PKAtY .)( . 3-15
Tabela 3-4: Classificação dos Sistemas de 2ª ordem. 3-26 Tabela 3-5: Tanques em série com e sem interação. 3-39
Í N D I C E D E F I G U R A S Figura 3-1: Desenho esquemático de um termopoço / termopar. 3-3 Figura 3-2: Diagrama de blocos 01. 3-6 Figura 3-3: Diagrama de blocos 02. 3-8 Figura 3-4: Diagrama de blocos 03. 3-8 Figura 3-5: Função degrau de amplitude A. 3-10 Figura 3-6: Resposta de um sistema de 1ª ordem a perturbação degrau. 3-12 Figura 3-7: Comportamento dinâmico de termopares sem (τTs) e com poço (τTc). 3-13 Figura 3-8: Função impulso de amplitude A. 3-14 Figura 3-9: Resposta de um sistema de 1ª ordem a perturbação impulso de amplitude A. 3-15 Figura 3-10: Resposta real de um sistema de 1ª ordem a perturbação impulso de amplitude A. 3-16 Figura 3-11: Função pulso de amplitude A. 3-17 Figura 3-12: Resposta de sistema de 1ª ordem a perturbação pulso de amplitude A. 3-18 Figura 3-13: Função seno de amplitude A, freqüência ω e período T. 3-19 Figura 3-14: Resposta de um sistema de 1ª ordem a perturbação seno de amplitude A e freqüência w. 3-21
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Figura 3-15: Diagrama de blocos de um sistema capacitivo. 3-22 Figura 3-16: Tanque com vazão de descarga constante. 3-22 Figura 3-17: Processo capacitivo submetido a perturbação degrau de amplitude A. 3-24 Figura 3-18: Diagrama de bloco para sistema de 2ª ordem. 3-25 Figura 3-19: Resposta do sistema de 2ª ordem superamortecido a perturbação degrau. 3-27 Figura 3-20: Influência do fator de amortecimento ζ e do período natural de oscilação τ de um sistema de 2ª
ordem superamortecido a perturbação degrau. 3-28 Figura 3-21: Influência do fator de amortecimento ζ na resposta do sistema de 2ª ordem subamortecido,
submetido a perturbação de amplitude A. 3-29 Figura 3-22: Características do sistema de 2ª ordem subamortecido submetido a perturbação degrau de
amplitude A. 3-31 Figura 3-23: Respostas dos sistemas de 2ª ordem a perturbação impulso de amplitude A. 3-33 Figura 3-24: Dois tanques não-interativos em série. 3-34 Figura 3-25: Dois tanques interativos em série. 3-37 Figura 3-26: Respostas de sistemas e perturbação degrau de amplitude A. 3-39 Figura 3-27: Reator CSTR submetido a perturbação na composição e temperatura da alimentação. 3-40 Figura 3-28: Resposta do sistema (Equação 3-184). 3-46 Figura 3-29: Diagrama pólo-zero para o sistema (Equação 3-184) – X: localização do pólo, □ : localização do
zero. 3-46 Figura 3-30: Resposta ao degrau de um sistema superamortecido com um zero. 3-47 Figura 3-31: Transporte de fluido por uma tubulação em escoamento pistão. 3-48 Figura 3-32: (a) Resposta ao degrau das aproximações de Padé de 1ª e 2ª ordem de um tempo morto puro. (b)
Resposta ao degrau de um sistema de 1ª ordem com tempo morto (τm = 0.25τP) utilizando aproximações
de Padé de 1ª e 2ª ordem para sme τ−
. 3-50 Figura 3-33: Reator gotejante com reciclo. 3-51 Figura 3-34: Reator com reciclo submetido a perturbação degrau na composição da alimentação: (a) resposta
completa; (b) detalhe nos instantes iniciais. 3-54 Figura 3-35: Tanque para alivio de pressão. 3-55 Figura 3-36: Tanque não interativos em série. 3-56 Figura 3-37: Tanque de aquecimento. 3-59 Figura 3-38: Gráfico exercício (7). 3-59 Figura 3-39: Gráfico para exercício (9). 3-61 Figura 3-40: Gráfico do exercício (10). 3-62 Figura 3-41: Gráfico do exercício (11). 3-62 Figura 3-42: Gráfico do exercício (12). 3-63 Figura 3-43: Esquema do exercício (13). 3-63
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C A P Í T U L O 3 . A N Á L I S E D A D I N Â M I C A D E P R O C E S S O S
No capítulo anterior, verificamos que a modelagem matemática de processos conduz a
sistemas de equações diferenciais. Estas equações podem ser resolvidas pelo método da
Transformada de Laplace que conduz às suas respectivas funções de transferência. Neste
capítulo, estudaremos com mais detalhes alguns tipos de funções de transferência (1ª ordem e
2ª ordem) e a resposta desses sistemas a diversos tipos de perturbações (degrau, rampa,
impulso, pulso, seno).
Prosseguindo com a metodologia adotada, sempre partiremos de um sistema físico de
interesse no controle de processos químicos.
Elementos de medição, linhas de transmissão e elementos finais de controle introduzem
atrasos (lag) dinâmicos no sistema de controle. Por exemplo, a Figura 3-1 mostra um termopar
(thermocouple) inserido em poço de termopar (termopoço, termowell) de massa m e calor
específico C.
Termopoço
Termopar
Fluido atemperatura T(t)
F igura 3 -1 : Desenho esquemát ico de um termopoço / t e rmopar .
O atraso dinâmico introduzido pela combinação termopar/termopoço pode ser estimado se
assumimos algumas hipóteses simplificadoras:
a. O termopar e o termopoço estão sempre na mesma temperatura Tm(t), que pode ser
diferente da temperatura do fluido T(t) que envolve o poço;
b. Não existe perda de calor pela extremidade do poço exposta ao meio ambiente;
c. A resistência à transferência de calor é determinada pelo inverso do coeficiente global
de troca térmica R = 1/(UG.A);
d. Toda capacidade térmica se concentra na massa de metal que compõe o poço.
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Balanço de Energia no Poço1
Equação 3 -1 { } { } { }saientraacumula −=
Equação 3 -2 { } ( )[ ]tT
dtdCmacumula m..=
Equação 3 -3 { } { } { } { } { }radiaçãoconduçãoconvecçãosaientra ++=−
Equação 3 -4 { } { } ( ) ( )[ ]tTtTAUsaientra mG −=− .
Onde,
Equação 3 -5 ∑ ∑+= iiiG
RAhAU .
1.
1
Substituindo a Equação 3-2 e a Equação 3-4 na Equação 3-1, obtemos
Equação 3 -6 ( )[ ] ( ) ( )[ ]tTtTAUtT
dtdCm mGm −= ...
ou
Equação 3 -7 ( )[ ] ( ) ( )tTtTtT
dtd
mmT =+τ
Onde τT é a constante de tempo do termopoço no estado estacionário.
Equação 3 -8 [ ] ( )[ ] 00
..
=→== mG
T Tdtds
AUCmτ
Equação 3 -9 ssm,ss TT =⇒
Subtraindo a Equação 3-7 da Equação 3-9:
1 Devido às hipóteses adotadas este modelo denomina-se Modelo de Parâmetros
Concentrados, um modelo mais preciso conduziria a um Sistema de Equações Diferenciais
Parciais (SEDP).
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Equação 3 -10 ( )[ ] ( ) ( ) ssm,ssmm,ssmT TtTTtTTtT
dtd
−=−+−τ .
Definindo as variáveis desvio:
Equação 3 -11 ( ) ( ) m,ssmm TtTtT −=
e
Equação 3 -12 ( ) ( ) ssTtTtT −=
Então:
Equação 3 -13 ( )[ ] ( ) ( )tTtTtT
dtd
mmT =+τ ..
Aplicando o teorema derivação real - a Transformada de Laplace na Equação 3-13:
Equação 3 -14 )()()0()(.. sTsTTsTs mmmT
=+−τ
Mas,
Equação 3 -15 ( ) ( ) 000 =−=−= ssmssmssmmm TTTTT ,,,
Então:
Equação 3 -16
( )( ) 1.
1+
=ssT
sT
T
m
τ
Portanto, para que a temperatura indicada/transmitida pelo termopar esteja o mais próximo
possível da temperatura do fluido, ou seja, Tm(t) = T(t), a constante de tempo do conjunto
termopar/termopoço deve ser minimizada, para isto acontecer a capacitância térmica dos
sistema ( )Cm . deve ser mínima, enquanto a facilidade à transferência de calor (UG*A) deve
ser máxima (resistência mínima).
A Equação 3-16 define a função transferência de primeira ordem de ganho unitário e
constante de tempo τT, entre a entrada do sistema – temperatura do fluido, perturbação T(t) –
e a saída do sistema – temperatura medida Tm(t).
Podemos representar a função de transferência (da Equação 3-16) através de um diagrama
de bloco:
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1/ τTs + 1T(s) Tm(s)
F igura 3 -2 : D iagrama de b locos 01 .
Na Tabela 3-1 vemos valores típicos de constantes de tempo de alguns elementos primários
de medição.
Tabe la 3 -1 : Constan tes de tempo de e lementos pr imár ios de med ição .
Tipo Ordem de τm
Termômetro de vidro Minutos
Termômetro bimetálico < 1 minuto
Termômetro a expansão Minutos
Termopar em bainha Segundos
Termopar com poço Minutos
Termômetro a resistência Segundos a minutos
Transmissão pressão absoluta 0.2 - 1.7 segundos
Transmissão pressão diferencial 0.2 - 1.7 segundos
Turbina 0.03 segundos
Vortex 2.5 segundos
Em geral, as constantes de tempo dos elementos de medição e transmissão devem ser
menores que um décimo da constante de tempo do processo.
3 . 1 . E s t u d o d o C o m p o r t a m e n t o D i n â m i c o d e S i s t e m a s d e P r i m e i r a O r d e m
Genericamente, um sistema de 1ª ordem2 é definido pela seguinte situação diferencial:
2 A literatura também denomina o sistema de 1ª ordem de atraso de primeira ordem (first
order lag) ou atraso linear (linear lag).
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Equação 3 -17 ( )[ ] ( ) ( )txbtyatydtda ...1 =+ ο
Se ao ≠ 0, então podemos dividir a Equação 3-17 por ao e obtemos:
Equação 3 -18 ( )[ ] ( ) ( )txKtytydtd
PP Χ=+ ..τ
onde
Equação 3 -19 ο
τaa
P1=
Equação 3 -20 o
P abK =
Observe que aplicando a Equação 3-18 no estado estacionário:
Equação 3 -21 ss.Χ= Pss KY
E substituindo as variáveis desvio:
Equação 3 -22
( ) ( )( ) ( )⎪⎩
⎪⎨⎧
−=
−=
ss
ss
XtXtX
YtYtY
Obtemos:
Equação 3 -23 ( )[ ] ( ) ( )tKtYtYdtd
PP Χ=+ ..τ
O novo estado estacionário alcançado após o sistema sofrer a perturbação X(t) será:
Equação 3 -24 ∞Χ=∞ .pKY
logo
Equação 3 -25
( ) ( )( ) ( ) ss
ss
-00
Χ∞Χ−∞
=Χ−∞Χ
−∞=
∞Χ∞
=ΚYYYYY
p
ou
Equação 3 -26 entradaiosestacionárestadossaídaiosestacionárestados
p ΔΔ
=Κ
Portanto, o ganho do processo determina o estado estacionário que o sistema irá atingir
após sofrer uma perturbação.
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Aplicando a Transformada de Laplace na Equação 3-23.
Equação 3 -27 ( ) ( ) ( )ssYsYs pp ΧΚ=− ...τ
mas
Equação 3 -28 ( ) ( ) 000 =−=−= ssssss YYYYY
Então a função de transferência de um sistema de 1ª ordem é dada por:
Equação 3 -29
( ) ( )( ) 1. +
Κ=
Χ=
sssysG
p
p
τ
E a resposta do sistema ( )sY a uma perturbação ( )sX é
Equação 3 -30
( ) ( ) ( ) ( )ss
ssGsYp
p Χ+
Κ=Χ= .
1..
τ
Em diagramas de blocos:
G(s)( )sX ( )sY
F igura 3 -3 : D iagrama de b locos 02 .
ou
1. +
Κ
sp
p
τ
( )sX ( )sY
F igura 3 -4 : D iagrama de b locos 03 .
√ Resistência e Capacitância Os sistemas de 1ª ordem são caracterizados pelo ganho KP, que estabelece o seu estado
estacionário, e pela sua constante de tempo τP, que determina o seu comportamento
transitório.
A constante de tempo pode ser obtida se identificamos a capacitância C e a resistência R
do processo de 1ª ordem. Por definição estas propriedades são:
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Equação 3 -31 processodomotrizforçadovariaçãoprocessodocapacidadedavariaçãoC =
Equação 3 -32 resultantefluxodovariaçãoprocessodomotrizforçadavariaçãoR =
Por definição, a constante de tempo de um processo de 1ª ordem é o produto da
capacitância do processo vezes sua resistência:
Equação 3 -33 R.Cp =τ
Nos exemplos estudados:
Nível de um tanque
( ) ( )
[ ]
[ ][ ] sRARC
mAdh
hAddhdvC
msRdqdh
qRhRhqarlaescoamentopara
qghhqmasdqdhR
p ===
====
==
=⇒=
=⇒==
..
.
/
.min
f,
2
2
τ
Tanque de aquecimento
[ ]
( ) [ ]
[ ] sqV
CqCV
RC
sJC
CqdHdTRTTCq
CJCVCmdTCmH
dTd
dTdHC
p
pT
pp
pp
T
T p
====
===⇒−=ΔΗ
===⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ +== ∫
....
.
.º
..1
'º...'
º....º
º
ρρ
τ
ρρ
ρ
[ ]
[ ]
[ ] sAU
CmRC
sJC
AUdQdRdAUQ
CJCm
ddCm
G
GG
===
==Τ
=⇒Τ=Δ
==Τ
Τ=
Τ=
Τ ...
.º
.1
'..'
º...
ddQC
τ
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3 . 1 . 1 . C o m p o r t a m e n t o d e u m S i s t e m a d e P r i m e i r a O r d e m a P e r t u r b a ç ã o D e g r a u
A função degrau pode ser descrita matematicamente das seguintes formas:
Equação 3 -34 ( ) ( )οο t-t.uA+=− ssXttX
Onde,
A Amplitude de perturbação
u(t – to) Função degrau unitário
Equação 3 -35 ( ) ( )tXtX ss οt.uA+=
Onde, uto(t) ≡ u(t – to)
Equação 3 -36 ⎩⎨⎧
≥=+=
∞ o,,
o,
t , t ,
)(tparaXAXtparaX
tXssoss
oss ≺
Graficamente a função degrau corresponde a Figura 3-5:
F igura 3 -5 : Função degrau de ampl i tude A.
Aplicando a variável desvio ( ) ( ) ssXtXtX −= na Equação 3-34 e em seguida a
transformada de Laplace, obtemos a função perturbação no domínio de Laplace:
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Equação 3 -37 ( ) ( ).stο.
s−= esX A
Substituindo a Equação 3-37 na Equação 3-30:
Equação 3 -38
( ) ( ) ( )s.tPPs.t οο .1s.s
.1.
.s
−−
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡+
Κ=
+Κ
= ees
sYP
P
τ
ττ
.AA
Expandindo em frações parciais:
Equação 3 -39
( ) ( )s.t
P
PP
P
P ο.1
. −
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+
−⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ Κ= e
ss
sY
τ
τττ.A
Aplicando a Transformada Inversa de Laplace:
Equação 3 -40
( ) ( )oP t-t.exp1 u⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −−−Κ=
P
tttY
το.A
Ou
Equação 3 -41 ( ) ( )p o. . 1 exp . t-tssp
t tY t Y A ο
τ
⎡ ⎤⎛ ⎞−= + Κ − −⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
u
Calculando a razão PKAtY .)( para alguns valores de τP construímos a Tabela 3-2:
Tabe la 3 -2 : Tempo ( t ) e va lor a lcançado pe lo s is tema ( )( ) . PY t A K .
t – to 0.0 10
Pτ
5Pτ
2Pτ
τP 2*τP 3*τP 4*τP ∞
( )pΚ.A
tY
0.000 0.095 0.181 0.394 0.632 0.865 0.950 0.982 1.000
A partir da curva Pt τ versus PKAtY .)( , conforme a Figura 3-6, concluímos que todo
sistema de 1ª ordem é caracterizado por:
(a) O sistema alcança 63.2% do valor do estado estacionário após decorrer o espaço de
tempo de uma constante de tempo τP, isto é:
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Equação 3 -42
( )632.0
p
=Κ.A
pY τ
(b) No instante inicial a inclinação da curva é unitária, isto é:
Equação 3 -43
( ) 0.10p
=⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
Κ=t
tYdtd
.A
(c) A interseção da tangente da curva no instante inicial com a assíntota da função no
estado estacionário acontece no ponto (1.0, τP).
(d) Para fins práticos, admite-se que o estado estacionário foi atingido quando um espaço
de tempo equivalente a 3 ou 4 vezes a constante de tempo τP.
F igura 3 -6 : Resposta de um s is tema de 1 ª o rdem a per tu rbação degrau .
Observação: Curva vermelha (A) entrada X(t) e curva azul (B) resposta Y(t).
Comparando a resposta de um termopar sem e com poço, verificamos que o poço introduz
um atraso dinâmico que, a depender do sistema em estudo, não pode ser negligenciado. Veja
Figura 3-7.
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F igura 3 -7 : Compor tamento d inâmico de te rmopares sem (τ T s ) e com poço (τ T c ) .
Observação: Curva A perturbação; Curva B termopar sem poço Tm’s(t); Curva C termopar com poço
Tm’c(t).
3 . 1 . 2 . C o m p o r t a m e n t o d e u m S i s t e m a d e P r i m e i r a O r d e m a P e r t u r b a ç ã o I m p u l s o
A função impulso pode ser descrita matematicamente das seguintes formas:
Equação 3 -44 ( ) ( ) ( )οδδ t-t.t. AA +=+= sstoss XXtX
Onde A é a amplitude da perturbação e δ(t) é denominada Função Impulso Unitário ou
Função Delta de Dirac.
Equação 3 -45 ⎪⎩
⎪⎨
⎧
>
≥=+
<
= ∞
o,
o,,
o,
t , t , t ,
)(tparaXtparaXAXtparaX
tX
oss
ssoss
oss
Graficamente a função impulso correspondente ao Figura 3-8:
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F igura 3 -8 : Função impu lso de ampl i tude A.
Aplicando a variável desvio ( ) ( ) ssXtXtX −= na Equação 3-44 e em seguida a
Transformada de Laplace, obtemos a função perturbação no domínio de Laplace:
Equação 3 -46 ( ) ( )stoeAsX −= .
Substituindo a Equação 3-46 na Equação 3-30:
Equação 3 -47 ( ) ( ) ( ).st
P
PP.st οο .1s
.1.
−−
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+
Κ=
+Κ
= ees
sYP
P
τ
ττ
.A.A
Expandindo em frações parciais:
Equação 3 -48 ( ) ( )οt .sP
P
. .1sP
P
A KY s eττ
τ
−= ⋅+
Aplicando a Transformada Inversa de Laplace:
Equação 3 -49 ( ) ( )po
.. exp . t - t
p p
A t tY t ο
τ τ⎡ ⎤ ⎡ ⎤Κ −
= −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
u
e
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Equação 3 -50 ( ) ( )po
.. exp . t - tss
p p
A t tY t Y ο
τ τ⎡ ⎤ ⎡ ⎤Κ −
= + −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
u
Calculando a razão PKAtY .)( para alguns valores de τP, construímos a Tabela 3-3:
Tabe la 3 -3 : Tempo ( t ) e va lor a lcançado pe lo s is tema PKAtY .)( .
t – to 0.0 10
Pτ
5Pτ
2Pτ
τP 2*τP 3*τP 4*τP ∞
( )pΚ.A
tY
0.0 0.905 0.819 0.606 0.368 0.135 0.050 0.018 0.0
A partir da curva Pt τ versus PKAtY .)( , conforme a Figura 3-9, concluímos que todo
sistema de 1ª ordem, quando submetido a uma perturbação tipo impulso tem uma resposta
inicial muito rápida, mas decorrido um espaço de tempo equivalente a 3 ou 4 vezes, sua
constante de tempo retorna ao estado estacionário anterior à perturbação.
Figura 3-9: Resposta de um sistema de 1ª ordem a perturbação impulso de amplitude A.
Porém, um sistema físico real responderá a uma perturbação impulso conforme mostra a
Figura 3-10, pois é impossível que ele saia do seu estado de repouso Xss e alcance
instantaneamente o valor A.
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Figura 3-10: Resposta real de um sistema de 1ª ordem a perturbação impulso de amplitude A.
3 . 1 . 3 . C o m p o r t a m e n t o d e u m S i s t e m a d e P r i m e i r a O r d e m a P e r t u r b a ç ã o P u l s o
A função pulso pode ser descrita matematicamente das seguintes formas:
Equação 3 -51 ⎪⎩
⎪⎨
⎧
>
≤≤=+
<
= ∞
1,
1,,
o,
t , t t ,
t , )(
tparaXtparaXAXtparaX
tX
oss
ossoss
oss
Equação 3 -52 ( ) ( ) ( )[ ]ttXtX
1o ttss uu −+= .A
( ) ( ) ( ) ( )1
.oss t tX t X t X A u t u t⎡ ⎤= − = −⎣ ⎦
Equação 3-53
Graficamente a função impulso correspondente a Figura 3-11:
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F igura 3 -11 : Função pu lso de ampl i tude A.
Aplicando a variável desvio ( ) ( ) ssXtXtX −= na Equação 3-53 e em seguida a
Transformada de Laplace, obtemos a função perturbação no domínio de Laplace:
Equação 3 -54 ( ) ( ) ( ){ }1t-tut-tu −= οL.AsX
ou
Equação 3 -55 ( ) ( ){ } ( ){ }[ ]1t-tut-tu −= οL.AsX
Equação 3 -56 ( ) ( ){ } ( ) ( ){ } ( )[ ]stst eesX .. .. οο −− −= tutu LL.A
Equação 3 -57
( )( ) ( )
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
−−
se
sesX
stst .. 1
-ο
.A
Substituindo a Equação 3-57 na Equação 3-30:
Equação 3 -58 ( ) ( )
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
+=
−−
se
se
sK
AsYstst
p
po .. 1
1..)(τ
Expedindo em frações parciais:
Equação 3 -59 ( ) ( )( )
( )( )1. .
p1 1. . . .
. 1 . 1t sp p t s
p p
Y s A e es ss s
οτ τ
τ τ− −
⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎪ ⎪= Κ − − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎨ ⎬+ +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎪ ⎪⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎩ ⎭
Ou
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Equação 3 -60 ( ) ( ) ( )1. .p
1 1 1 1. . . .1 1
t s t S
p p
Y s A e es s
s s
ο
τ τ
− −
⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎢ ⎥= Κ − − −⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪ ⎪⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎩ ⎭
Aplicando a Transformada Inversa de Laplace:
( ) ( ) ( )1p. . 1 exp . 1 exp .o
p p
t t t tY t Aτ τ
⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞− −⎪ ⎪= Κ − − − − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎪ ⎪⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎩ ⎭o 1u t - t u t - t
Equação 3-61
ou
( ) ( ) ( )1p. . 1 exp . 1 expo
ssp p
t t t tY t Y Aτ τ
⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞− −⎪ ⎪= + Κ − − − − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎪ ⎪⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎩ ⎭o 1u t - t .u t - t
Equação 3-62
Na Figura 3-12, Pt τ versus ( )( ) . PY t A K , observamos o comportamento dinâmico de um
sistema de 1ª ordem quando submetido a uma perturbação tipo pulso de amplitude A:
F igura 3 -12 : Resposta de s is tema de 1 ª o rdem a per tu rbação pu lso de ampl i tude A.
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3 . 1 . 4 . C o m p o r t a m e n t o d e u m S i s t e m a d e P r i m e i r a O r d e m a P e r t u r b a ç ã o S e n o i d a l
A função seno pode ser descrita matematicamente da seguinte forma:
Equação 3 -63 ( ) ( )( ) ( )οοω+= t-tt-t.XtX ss u.sen.A
Onde, ω = 2πƒ.
Graficamente a função seno correspondente a Figura 3-13:
F igura 3 -13 : Função seno de ampl i tude A, f reqüênc ia ω e per íodo T .
Aplicando a variável desvio ( ) ( ) ssXtXtX −= na Equação 3-63 e em seguida a
Transformada de Laplace, obtemos a função perturbação no domínio de Laplace:
Equação 3 -64 ( ) 22s
.ωω
+=
AsX
Substituindo a Equação 3-64 na Equação 3-30, expandindo em frações parciais e aplicando
a Transformada Inversa de Laplace L-1:
Equação 3 -65
( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )[ ] ( )ooo22p t-tt-tt-t.
1.K
usencos ωωτωτωωτ
τ +−+
= −−p
ttp
p
poetY.A
Lembrando da seguinte identidade trigonométrica:
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Equação 3 -66 ( ) ( ) ( )θ+ω=ω+ω t.rt.qt.p sen.cos.sen.
onde
Equação 3 -67 ( )qp22 arcig=+= θeqpr
Equação 3 -68
( )( )( )
( )( ) ( )oo22p
22 t-tt-t1.
.1.
..usen⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡+
+
Κ+
+=
−−
θωωτωτ
τω τ
pp
ttpp
poeKtY
AA
Equação 3 -69 ( )t.-ω=θ arcig
Ou
Equação 3 -70 ( ) ( ) ( )tYtYtY estdin +=
Onde,
Equação 3 -71
( )( )( )
( )op
ttp
p t-te.
tYpo
u..
...din 122 +ωτ
τωΚ=
τ−−A
E,
Equação 3 -72
( ) ( )( ) ( )oop
pest t-tt-t.
KtY u.sen.
.
.θ+ω
+ωτ=
122A.
Observe que a resposta à perturbação seno é composta de duas partes: uma diminui a
medida que o tempo aumenta Ydin(t) e a outra é uma função periódica Yest(t). Portanto, no
estado estacionário a resposta de um sistema de 1ª ordem a uma perturbação seno é uma
função periódica, veja Figura 3-14, dada por:
Perturbação:
Equação 3 -73 ( ) ( ) ( )tt..XtX ss u.sen ω+= A
Resposta ( t → ∞ )
Equação 3 -74
( ) ( )[ ]θ+ω+ωτ
+= t.K
YtYp
pss sen.
.
.
122A.
Comparando Equação 3-63 com Equação 3-74, veja Figura 3-14, concluímos que:
(a) A amplitude da resposta do sistema é menor que a amplitude da perturbação, ou seja, o
sistema amortece a entrada;
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(b) A resposta do sistema é uma onda senoidal com a mesma freqüência de entrada;
(c) A resposta está defasada de um ângulo de fase θ em relação ao estímulo, neste caso
está atrasada pois θ é menor que zero.
F igura 3 -14 : Resposta de um s is tema de 1 ª o rdem a per tu rbação seno de ampl i tude A
e f reqüênc ia w .
3 . 2 . E s t u d o d o C o m p o r t a m e n t o D i n â m i c o d e S i s t e m a s C a p a c i t i v o s P u r o s
Se a constante ao da Equação 3-17 for zero, então:
Equação 3 -75 ( )[ ] ( )txbtY
dtda .. =1
Dividindo por a1:
Equação 3 -76 ( )[ ] ( ) ( )tXKtX
abtY
dtd .. ′==
1
Onde
Processos definidos pela Equação 3-75 são denominados capacitivos ou integradores.
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Utilizando variáveis desvio e aplicando a Transformada de Laplace na Equação 3-76:
Equação 3 -77 ( ) ( )sXsYs .. Κ′=
Então a função de transferência de um sistema capacitivo é dada por:
Equação 3 -78 ( ) ( )
( ) ssXsYsG Κ′==
Em diagramas de blocos:
s'Κ( )sX ( )sY
F igura 3 -15 : D iagrama de b locos de um s is tema capac i t i vo .
√ Exemplo de um processador integrador: Seja um tanque aberto no qual sua descarga é dada por uma bomba dosadora que mantém
a vazão constante, conforme a Figura 3-16:
q1(t)
h(t)q2 = cte.
Figura 3 -16 : Tanque com vaz ão de descarga constan te .
Realizando o balanço de massa no tanque, obtemos:
Equação 3 -79 ( )[ ] ( ) 21 qtqth
dtdA −=.
No estado estacionário:
Equação 3 -80 ( ) 2,2,121 00 qqqqq ssss ==⇒=−
Utilizando as variáveis desvio:
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Equação 3 -81 ( )[ ] ( )tqth
dtdA 1=.
Aplicando a Transformada de Laplace e rearranjando:
Equação 3 -82
( ) ( )( ) ssAsqshsG Κ′
===.1
1
3 . 2 . 1 . C o m p o r t a m e n t o d e u m S i s t e m a C a p a c i t i v o a P e r t u r b a ç ã o D e g r a u
Função de Transferência:
Equação 3 -83 ( ) ( )
( ) ssXsYsG Κ′==
Função Perturbação:
Equação 3 -84 ( ) stesX ..
sο−=
A
Resposta:
Equação 3 -85 ( ) stesY ..
s.2
Ο−Κ′=
A
Equação 3 -86 ( ) ( ) ( )ΟΟΚ′+= t-tt-t..YtY ss u.A
Analisando a Equação 3-86 observamos que o sistema tende para +∞ se a amplitude da
perturbação for positiva (A > 0), ou tende para -∞ se a amplitude da perturbação for negativa (A
< 0). Na Figura 3-17 está plotado o comportamento dinâmico do processo capacitivo a
perturbação degrau.
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F igura 3 -17 : Processo capac i t i vo submet ido a per tu rbação degrau de ampl i tude A.
Podemos constatar que:
(a) Processos integradores são instáveis e de difícil controle e são não auto-regulados
(enquanto que os sistemas de 1ª ordem são auto-regulados);
(b) No exemplo, pequenas diferenças entre vazões da alimentação q1(t) e da descarga
q2(t), levarão o tanque a transbordar ou secar.
3 . 3 . E s t u d o d o C o m p o r t a m e n t o D i n â m i c o d e S i s t e m a s d e S e g u n d a O r d e m
Genericamente, um sistema de 2ª ordem é definido pela seguinte equação diferencial:
Equação 3 -87 ( )[ ] ( )[ ] ( ) ( )tXbtYatY
dtdatY
dtdaZ .... 12
2
=++ Ο
Se ao ≠ 0 então podemos dividir a Equação 3-87 por ao e obtemos:
Equação 3 -88 ( )[ ] ( )[ ] ( ) ( )tXtYtY
dtdty
dtd
p ..... Κ=+ζτ+τ 22
22
Onde,
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oaa 2=τ
Período natural de oscilação
ζ Fator de amortecimento (Damping Factor)
Ο
=Κab
P
Ganho do processo
e Ο=ζτ
aa12 .
Utilizando variáveis desvio e aplicando a Transformada de Laplace na Equação 3-88,
obtemos a função de transferência do sistema de 2ª ordem:
Equação 3 -89 ( ) ( )
( ) 1...2. 22 ++Κ
==sssX
sYsG P
ζττ
Sistemas de 2ª ordem podem surgir devido a:
(1) Processos multiplicativos (sistemas de 1ª ordem em série), por exemplo: 2 tanques em
série;
(2) Sistemas intrinsecamente de 2ª ordem (raros em processos químicos), por exemplo:
válvula de controle;
(3) Sistema de controle feedback (malha fechada), por exemplo: sistema de 1ª ordem com
controlador P + I.
A resposta do sistema ( )sY a uma perturbação ( )sX é:
Equação 3 -90 ( ) ( ) ( ) ( )sX
sssXsGsY P .
1...2.. 22 ++
Κ==
ζττ
Em diagramas de blocos:
1..222 ++Κ
ssP
ζττ
( )sX ( )sY
F igura 3 -18 : D iagrama de b loco para s is t ema de 2 ª o rdem.
Logo:
Equação 3 -91 ( ) ( ) ( ) ( )sX
pspsKsY P .
. 21
2
−−=
τ
Onde p1 e p2 são as raízes da função de transferência, pólos do sistema:
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Equação 3 -92 2
4.4.222
2
1ττ
ζτζ
−+−=p
e 2
4.4.222
2
2ττ
ζτζ
−−−=p
Os parâmetros KP e τ tem o mesmos significados dos sistemas de 1ª ordem: KP é o ganho
do processo, enquanto que τ determina a velocidade da resposta dos sistema.
A Tabela 3- mostra a classificação dos sistemas de 2ª ordem a depender dos valores do
fator de amortecimento ζ.
Tabe la 3 -4 : C lass i f i cação dos S is temas de 2 ª o rdem.
Fator de amortecimento Pólos p1 e p2
Classificação
ζ > 1 Reais e distintos parte real negativa
Superamortecido
ζ = 1 Reais iguais parte real negativa
Criticamente amortecido
0 < ζ <1 Complexos conjugados parte real negativa
Subamortecido
ζ = 0 Complexas iguais parte real nula
Oscilatório com amplitude cte.
ζ < 0 Complexos conjugados parte real positiva
instável
3 . 3 . 1 . C o m p o r t a m e n t o d e u m S i s t e m a d e S e g u n d a O r d e m a P e r t u r b a ç ã o D e g r a u
Função degrau de amplitude A
Equação 3 -93 ( ) ( )Ο+= t-t.tX uAssX
Transformada de Laplace da função perturbação utilizando variáveis desvio:
Equação 3 -94 ( ) stesX ..
sΟ−=
A
Substituindo a Equação 3-94 na Equação 3-91:
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Equação 3 -95 ( ) ( ) ( )
stP epsps
KsY .
21
2
.s
..
Ο−
−−=
Aτ
Expandindo em frações parciais a Equação 3-95 e aplicando a Transformada Inversa de
Laplace, encontramos soluções diferentes a depender do valor do fator de amortecimento ζ.
√ Perturbação Degrau de Amplitude A e Sistema Superamortecido ζ > 1
Equação 3 -96
( ) ( )Ο
−
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ −
−+⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ −−Κ= t-t
1.
1
11 *
2
2
*2.
P
*
usenhhcos ttetYt
τζ
ζ
ζτ
ζτ
ζ
A
onde,
Equação 3 -97 t * = t - t o
Na Figura 3-19, Pt τ versus ( ) PKAtY . observamos que a resposta de um sistema de 2ª
ordem superamortecido a uma perturbação degrau é semelhante a resposta do sistema de 1ª
ordem, mas note que existe um ponto de inflexão em ti e que a resposta inicialmente é lenta
(derivada pequena), depois aumenta de velocidade derivada máxima no ponto de inflexão, ou
segunda derivada igual a zero) e então o sistema reage como se fosse de 1ª ordem.
F igura 3 -19 : Resposta do s is tema de 2 ª o rdem superamor tec ido a per tu rbação
degrau .
No Figura 3-20, Pt τ versus ( ) PKAtY . observamos que a medida que o fator de
amortecimento ζ aumenta, o sistema torna-se mais lento, isto é, o parâmetro ζ determina a
suavidade e rapidez da resposta do sistema a perturbação; percebemos também que, a
medida que o período natural de oscilação τ diminui, a resposta fica mais rápida.
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F igura 3 -20 : In f luênc ia do fa to r de amor tec imento ζ e do per íodo natura l de osc i lação
τ de um s is tema de 2 ª o rdem superamor tec i do a per tu rbação degrau .
Observação: Curva A – perturbação; Curva B - τ = 1.0 e ζ = 1.0; Curva C - τ = 1.5 e ζ = 1.0; Curva D - τ
= 1.0 e ζ = 1.5.
√ Perturbação Degrau e Sistema Criticamente Amortecido ζ = 1
Equação 3 -98
( ) ( )Οτ−
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
τ+−Κ= t-tet.tY t
p u...**
11A
Veja na Figura 3-20 a resposta do sistema de 2ª ordem criticamente amortecido a
perturbação degrau de amplitude A.
√ Perturbação Degrau e Sistema Superamortecido 0 < ζ < 1
Equação 3 -99
( ) ( )Ο−
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
−+
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−Κ= t-t
- 1
1
- 11 *
2
2
*2
p
*
usencos ttetY t
τζ
ζ
ζτζτA
Uma amostra mais conveniente de escrever a Equação 3-99 é:
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Equação 3 -100
( ) ( ) ( )Ο
−
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡+
−−Κ= t-t.t...
111.. *
.
2P
*
usen θωζ
τζ t
etY A
Onde,
Equação 3 -101 τζ−
=ω21
e
Equação 3 -102 ⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡
ζζ
=θ2-1
arcig
Portanto, observamos que a resposta de um sistema de 2ª ordem subamortecido a
perturbação degrau é uma senoide de amplitude decrescente (devido ao termo exponencial
eζ.t/τ), de freqüência ω e ângulo de fase θ.
Na Figura 3-21, Pt τ versus ( ) PKAtY . observamos que a resposta desse sistema
perturbação degrau é uma curva oscilatória que gradativamente tende a atingir A.KP,
diminuindo a amplitude da oscilação.
Através da Figura 3-21 percebemos que a medida que o amortecimento diminui, isto é, ζ
diminui, a oscilação aumenta, porém a rapidez da resposta também (maior derivada da curva
no ponto de inflexão, e este acontece em um menor intervalo de tempo).
F igura 3 -21 : In f luênc ia do fa to r de amor tec imento ζ na resposta do s is tema de 2 ª
o rdem subamor tec ido , submet ido a per tu rbação de ampl i tude A.
Algumas características importantes devem ser observadas nos sistemas subamortecidos
submetidos a perturbação degrau:
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C1. Tempo de ascensão (Rise Time) tr: Tempo necessário para atingir pela primeira vez o
novo estado estacionário.
C2. Tempo do Primeiro Pico (Time to First Peak) tp: Tempo requerido para atingir o primeiro
máximo da curva.
C3. Tempo de resposta (Setting Time) ts: Tempo decorrido até que a saída oscilatória do
sistema esteja dentro da faixa de +/- 5% do estado estacionário. Também se utiliza o valor ±1%
para determinar o ts.
C4. Sobre-elevação (Overshoot) OS: Razão entre o valor da função no pico máximo e o
valor do novo estado estacionário:
Equação 3 -103 ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ Π=
Κ==
2P -1
.-exp.
0ζ
ζA
abaS
C5. Razão de Decaimento (Decay Ratio) DR: razão entre o valor do segundo pico e do
primeiro pico:
Equação 3 -104 ⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡
ζ
ζΠ===
2-1-exp
acSDR ..20 2
C6. Período de oscilação (Period of oscilation) T1: Período de tempo transcorrido entre dois
máximos:
Equação 3 -105 21
1
2
ζ−
τΠ=
..T
Lembre que em uma senoide a freqüência em ciclos por unidade de tempo ft é dada por:
Equação 3 -106 Πω
=.2tf
E que o período de oscilação é o inverso da freqüência:
Equação 3 -107 ωΠ
==Τ.21
tt f
Onde a freqüência angular ω é dada pela Equação 3-101.
C7. Período Natural de Oscilação (Natural Period of oscilation) τ: período do sistema
quando o amortecimento é nulo, isto é, ζ = 0:
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Equação 3 -108 nn
nf... Π
=ω
=Π
Τ=τ
211
2
Onde ωn é a freqüência natural de oscilação do sistema não amortecido ζ = 0.
Veja na Figura 3-22 a indicação das características discutidas anteriormente.
F igura 3 -22 : Carac ter í s t icas do s is tema de 2 ª o rdem subamor tec ido submet ido a
per tu rbação degrau de ampl i tude A.
Quando um sistema refere uma perturbação o desejável é ter uma resposta sem oscilações
que atinja rapidamente o novo estado estacionário. Porém, estes objetivos são excludentes
entre si, pois para garantir uma resposta não oscilatória ζ ≥ 1 temos que sacrificar a rapidez da
resposta; por outro lado, se desejarmos uma resposta muito rápida, não podemos escolher um
fator de amortecimento muito pequeno, pois a mesma seria muito oscilatória com uma sobre-
elevação grande.
Os projetistas de sistemas de controle, freqüentemente, trabalham com um fator de
amortecimento na faixa de 0.4 a 0.8, isto é, 0.4 ≥ ζ ≤ 0.8, desta forma, consegue-se um
compromisso entre velocidade de resposta, sobre-elevação, tempo de resposta e oscilação
adequado para a maioria dos casos.
3 . 3 . 2 . C o m p o r t a m e n t o d e u m S i s t e m a d e S e g u n d a O r d e m a P e r t u r b a ç ã o I m p u l s o
A função impulso pode ser descrita matematicamente da seguinte forma:
Equação 3 -109 ( ) ( )Ο−δ+= tt.XtX ss A
Ou em variável no domínio de Laplace:
Equação 3 -110 ( ) ssX .t-e. Ο= A
Substituindo a Equação 3-110 na Equação 3-91:
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Equação 3 -111 ( ) ( ) ( )
sP
pspssX .t-
21
2
e..
Ο
−−Κ
= .Aτ
Expandindo em frações parciais a Equação 3-111 e aplicando a Transformada Inversa de
Laplace, encontramos soluções diferentes a depender do valor do fator de amortecimento ζ.
√ Perturbação Impulso de Amplitude A e Sistema Superamortecido ζ > 1
Equação 3 -112
( ) ( )**2.
2P t1
.1
11..*
uenh⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ −
−Κ=
−tsetY
t
τζ
ζττ
ζ
A
√ Perturbação Impulso e Sistema Criticamente amortecido ζ = 1:
Equação 3 -113 ( ) ( )*
2
*
P t....*
uτ
τ
t
ettY−
Κ=A
√ Perturbação Impulso e Sistema Subamortecido 0 < ζ < 1:
Equação 3 -114
( ) ( )*t
p tte.tY u..sen.... *. *
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡
τζ−
ζ−τΚ= τ
ζ− 2
2
1
1
11A
Na Figura 3-23 vemos a resposta do sistema de 2ª ordem a perturbação impulso. Observe
que o sistema retorna ao antigo estado estacionário depois de decorrido algum tempo
(processo auto-regulado). As características observadas para a perturbação degrau também
são aplicáveis para perturbação impulso (tp, ts, OS, DR).
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F igura 3 -23 : Respostas dos s is temas de 2 ª o rdem a per tu rbação impu lso de
ampl i tude A.
3 . 3 . 3 . P r o c e s s o s M u l t i c a p a c i t i v o s c o m o S i s t e m a s d e S e g u n d a O r d e m
Processos de ordem superior podem ser o resultado da associação em série de processos
de primeira ordem. Por exemplo, dois tanques (cada tanque é um sistema de 1ª ordem) em
série constituem um sistema de 2ª ordem, que podem ser não-interativos ou interativos.
Outro exemplo de sistemas multiplicativos são:
Tanque de aquecimento com agitação no qual a vazão e temperatura da corrente de alimentação variam: o balanço de massa constitui um sistema de 1ª ordem, mas o balanço de energia é de 2ª ordem em relação a vazão e de 1ª ordem em relação a temperatura de alimentação; Torre de destilação, pois cada prato acumula massa e energia, constituindo,
segundo um modelo de parâmetros concentrados, cada um deles um tanque agitado; Reatores de mistura perfeita (CSTR) com variação na composição e temperatura
de alimentação: as duas equações diferenciais (balanço molar e de energia), constituem um sistema de equações diferenciais interativas.
Estudaremos neste item os tanques em série e o reator CSTR.
√ Tanques não interativos em série
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Sejam dois tanques conforme a Figura 3-24, a descarga do primeiro tanque alimenta o
segundo, na saída de cada um existe uma válvula que impõe ao escoamento uma resistência
R1 e R2.
q1(t)
Tanque 1 h1(t)
Tanque 2 h2(t)q3(t)
R2
q2(t)
R1
F igura 3 -24 : Do is tanques não- in te ra t i vos em sér ie .
Realizando o balanço de massa nos dois tanques, assumindo escoamento laminar,
obtemos:
1º tanque
Equação 3 -115 ( )[ ] ( ) ( )tqthth
dtd
PP 11111 .. Κ=+τ
2º tanque
Equação 3 -116 ( )[ ] ( ) ( )tqthth
dtd
PP 21222 .. Κ=+τ
Onde
Equação 3 -117 11111 ,. RRA PP =Κ=τ
Equação 3 -118 22222 ,. RRA PP =Κ=τ
e
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Equação 3 -119 ( ) ( )
1
12 R
thtq =
Substituindo a Equação 3-119 na Equação 3-116 e utilizando variáveis desvio, temos:
Equação 3 -120 ( )[ ] ( ) ( )tqthth
dtd
PP 11111 .. Κ=+τ
Equação 3 -121 ( )[ ] ( ) ( )
1
11222 ..
Rththth
dtd
PP Κ=+τ
Aplicando a Transformada de Laplace e escrevendo as funções de transferências:
Equação 3 -122
( ) ( )( ) 1.1
1
1
11 +
Κ==
ssqshsG
P
P
τ
Equação 3 -123
( ) ( )( ) 1.2
2
2
22 +
Κ==
ssqshsG
P
P
τ
Mas,
Equação 3 -124 ( ) ( )
1
12 R
shsq =
Então,
Equação 3 -125 ( ) ( )
( ) 1.1. 2
12
2
12
1
2*2 +
=+
==sKK
sRK
shshsG
P
PP
P
P
ττ
Podemos escrever a função da transferência global do sistema Gg(s), isto é, com a saída do
processo (h2(t)) varia com a perturbação inicial (q1(t)):
Equação 3 -126
( ) ( ) ( ) ( )( )
( )( )
( )( )sqsh
shsh
sqshsGsGsGg
1
2
1
2
1
1*21 .. ===
Equação 3 -127 ( )
)1.(.)1.()1.(.
)1.( 21
2
2
12
1
1
++Κ
=+ΚΚ
+Κ
=ssss
sGPP
P
P
PP
P
Pg ττττ
Ou
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Equação 3 -128
( ) ( )( ) 1...2. 221
2
++Κ
==sssq
shsG Pg ζττ
Onde,
KP = KP2 = R2 21 . PP τττ = e
( )21
21
.2 PP
PP
ττττ
ζ+
=
Portanto, da Equação 3-126 concluímos que dois tanques em série formam um sistema de
2ª ordem.
Algumas particularidades são pertinentes a sistemas de 1ª ordem em série não-interativa:
(a) Os sistemas são sempre criticamente amortecidos ζ = 1 (quando τP1 = τP2) ou
superamortecidos ζ ≥ 1 (quando τP1 ≠ τP2) pois:
Equação 3 -129
( ) ( ) 212121
21 ..21..2 PPPP
PP
PP ττττττττ
ζ ≥+⇒≥+
=
Elevando ambos os membros da Equação 3-129 ao quadrado:
Equação 3 -130 212
2212
1 ..4..2 PPPPPP ττττττ ≥++
Equação 3 -131 0..2 2221
21 ≥+− PPPP ττττ
Equação 3 -132 ( ) 0221 ≥− PP ττ
Conforme queríamos demonstrar:
(b) As conclusões do item (a) podem ser estendidas para n tanques em série.
(c) Devido ao fato do sistema ser não-interativo, podemos resolver primeiro a Equação
3-120, conhecer o comportamento do nível do 1º tanque (h1(t)) a perturbação (q1(t)) e então
utilizar este resultado para resolver a Equação 3-121, obtendo a variação de h2(t) com h1(t),
√ Tanques interativos em série Seja dois tanques conforme a Figura 3-25, a descarga do primeiro tanque alimenta o
segundo, na saída de cada um existe uma válvula que impões ao escoamento uma resistência
R1 e R2, porém ao contrário do sistema não interativo, o nível de segundo tanque influência no
nível do primeiro.
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q1(t)
Tanque 1 h1(t) Tanque 2 h2(t)q2(t)
R1
q3(t)
R2 F igura 3 -25 : Do is tanques in te ra t i vos em sér ie .
Realizando os balanços de massa nos dois tanques, assumindo escoamento laminar,
obtemos:
1º tanque
Equação 3 -133 [ ] )()()(. 2111 tqtqthdtdA −=
2º tanque
Equação 3 -134 [ ] )()()(. 3222 tqtqthdtdA −=
Mas,
Equação 3 -135 ( ) ( ) ( )
1
212 R
ththtq −=
E,
Equação 3 -136 ( ) ( )
2
23 R
thtq =
Substituindo a Equação 3-135 e Equação 3-136 na Equação 3-133 e Equação 3-134 e
rearranjando:
Equação 3 -137 ( )[ ] ( ) ( ) ( )thtqRthth
dtdRA 2111111 +=+ ...
Equação 3 -138
( )[ ] ( ) ( )thRRth
RRth
dtdRA 1
1
22
1
2222 1 .... =⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡++
Observe que a Equação 3-137 e a Equação 3-138 dependem ao mesmo tempo de h1(t) e
h2(t) portanto, temos que resolvê-las simultaneamente, utilizando variáveis desvio e aplicando a
Transformada de Laplace, obtemos:
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Equação 3 -139 ( ) ( ) ( )tqRshshshsRA 1121111 .... =−+
Equação 3 -140
( ) ( ) ( )shRR
shRR
shsRA 1
1
22
1
2222 ..1... =⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡++
Definindo τ1 = A1R1 e τ2 = A2R2 e resolvendo para ( )sh1 e ( )sh2 :
Equação 3 -141 ( ) ( ) ( )sq
sRAsRRsR
sh 12121
221
21121
1......
++++++
=ττττ
τ
Equação 3 -142 ( ) ( ) ( )sq
sRAsR
sh 12121
221
22
1.... ++++=
ττττ
Observe que τ1 e τ2 não são constantes de tempo, embora possuam unidade de tempo.
Escrevendo as funções de transferência:
Equação 3 -143
( ) ( )( ) 1...2.
..22
2112
1
11 ++
++==
ssRRsR
sqshsG
ζτττ
Equação 3 -144
( ) ( )( ) 1...2. 22
2
1
22 ++
==ss
RsqshsG
ζττ
Onde,
Equação 3 -145 21 ττ=τ .
E,
Equação 3 -146
( )21
2121
2 ττ+τ+τ
=ζ..
.RA
Portanto, da Equação 3-143 e da Equação 3-144 concluímos que dois tanques em série
formam um sistema de 2ª ordem e que os denominadores das funções de transferências são
os mesmos. Algumas particularidades são pertinentes a sistemas de 1ª ordem em série
interativa:
(a) Os sistemas são sempre superamortecidos ζ > 1, pois:
Equação 3 -147
( ) ( ) 12
12 21
2121
21
21 >ττ
+τ+τ⇒≥
τττ+τ
...
..RAse
(b) As conclusões do item (a) podem ser estendidas para n tanques em série
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(c) “Sistemas capacitivos interativos são sempre superamortecidos, exceto quando ocorre
produção de substâncias ou absorção/liberação de energia”.
Da Tabela 3-4, concluímos que o amortecimento nos sistemas interativos é maior do que
nos não interativos, pois o produto A1*R2 denominado fator de interação é sempre maior que
1, quanto maior A1*R2 mais intensa é a interação.
Tabe la 3 -4 : Tanques em sér ie co m e sem in te ração .
Não-interativo Interativo
τ 21 . PP ττ 21 ττ .
ζ ( )
21
21
.2 PP
PP
ττττ +
( )21
21212 ττ
+τ+τ..
RA
( )( )sqsh
1
1
( )1.1 +
ΚsP
P
τ ( ) 1..
21212
21
211.2
+++++
++
sRAsRRsR
τττττ
( )( )sqsh
1
2
( ) 1... 21
221
2
+++Κ
ss PPPP
P
ττττ ( ) 1... 21212
21
2
+++++ sRAsRτττττ
Da Figura 3-26, concluímos que a associação de capacitâncias torna a resposta do sistema
mais lenta e que os sistemas interativos são mais amortecidos que os não interativos.
Figura 3-26: Respostas de sistemas e perturbação degrau de amplitude A.
Observação: Curva A – tanque; Curva B – 2 tanques não interativos; Curva C – 2 tanques interativos;
Curva D – 4 tanques não interativos.
√ Reator de Mistura Perfeita Uma configuração de reator bastante utilizada em processos químicos é o reator de mistura
perfeita (Continuos Stirred Tank Reacion) ou CSTR. O estudo desse sistema é interessante
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pois este reator submetido a uma perturbação na carga, isto é, na composição e temperatura
da alimentação constitui um sistema multiplicativo de 2ª ordem.
Seja um CSTR adiabático, conforme a Figura 3-27, no entanto acontece uma reação de
isomerização irreversível e exotérmica:
Equação 3 -148 B A →
Com equação da taxa:
Equação 3 -149 ( ) ( ) ( )tCtt A.ℜ=Γ
Onde,
Equação 3 -150 ( ) ( )( )tTRgEet .. −Οℜ=ℜ
CA(t)T(t)
h = cte.
q2T2(t)CA2(t)
q1T1(t)
CA1(t)
F igura 3 -27 : Reator CSTR submet ido a per tu rbação na composição e tempera tura da
a l imentação .
Balanço molar no reator:
Equação 3 -151
( ) ( ) ( ) ( )tVtCqtCqdt
tdCV AAAA Γ+−= .... 2211
Onde,
Equação 3 -152 ( ) ( ) ( )tCtt AAA ..v ℜ−=Γ−=Γ=Γ
Balanço de energia no reator:
Equação 3 -153
( ) ( )( ) ( )( ) ( )tVTtTCpqTtTCpqdt
tdTCV rp ΓΔΗ−−−−= °° ........ 222111 ρρρ
Por hipótese:
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Equação 3 -154 cteqqq === 21
E
Equação 3 -155 cteCCC ppp ===
21
Substituindo a Equação 3-154 e a Equação 3-155 na Equação 3-153 e rearranjando:
Equação 3 -156
( ) ( ) ( )( ) ( )tVtTtTCqdt
tdTCV rpp ΓΔΗ−−= ........ 21ρρ
Onde
Equação 3 -157 ( ) ( )( ) ( )tCet AtTRgE .. .−
Οℜ=Γ
Lembrando que o reator está perfeitamente agitado [CA2(t) = CA(t) e T2(t) = T(t)], então:
Equação 3 -158
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )tCeVtCqtCqdt
tdCV AtTRgE
AAA ...... .−
Οℜ−−= 1
E
Equação 3 -159
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )tCeVtTCqtTCqdt
tdTCV AtTRgE
rppp ............. .1
−ΟℜΔΗ−−= ρρρ
A Equação 3-158 e a Equação 3-159 constituem um sistema de equações diferenciais não-
lineares interativas. Portanto, antes de aplicar a Transformada de Laplace, devemos linearizar
os termos não-lineares:
Equação 3 -160 ( )( ) ( )tCe AtTRgE ..−
Expandindo a Equação 3-160 em série de Taylor e truncando no segundo termo:
Equação 3 -161
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( )( )ssssA
TRgE
ss
ssAATRgE
ssATRgE
AtTRgE
TtTCeTRg
ECtCeCetCe
SS
SSSS
−
+−+≅
−
−−
.,.
2
,.
,..
...
...
Substituindo a Equação 3-161 na Equação 3-158 e na Equação 3-159 e rearranjando:
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Equação 3 -162
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) ( )( )ssssATRgE
ssssAA
TRgE
ssATRgE
AAA
TtTCeTRg
EVCtCeV
CeVtCqtCqdt
tdCV
SSss
SS
−ℜ−−ℜ−
+ℜ−−=
−−
−
,.
2,.
,.
1
.
.....
οο
ο
e
Equação 3 -163
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )
( ) ( )( )ssssATRgE
ssAATRgE
rssATRgE
r
ppp
TtTCeV
CtCeVCeV
tTCqtTCqdt
tdTCV
SS
SSSS
−ℜ−
+−ℜΔΗ−ℜΔΗ−
+−=
−Ο
−Ο
−Ο
,.
,.
,.
1
..
..
......... ρρρ
Utilizando as variáveis desvio:
Equação 3 -164
( ) ( )[ ] ( ) ( )
( ) ( )tTCeTRg
EV
tCqtCeVqdt
tCdV
ssATRgE
ss
AATRgEA
ss
ss
,.
2
1.
...
.
..
−Ο
−Ο
ℜ−
+=ℜ++
e
Equação 3 -165
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )tCeTRg
EVtTCq
tTCeTRg
EVCqdt
tTdCV
ATRgE
ssrp
ssATRgE
ssrpp
ss
ss
...
......
.......
.21
,.
2
−Ο
−Ο
ℜΔΗ−
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ℜΔΗ++
ρ
ρρ
Definindo os seguintes ganhos e constantes de tempo:
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Equação 3 -166 ( )ssTRgEc eVq
V... −
Οℜ+=τ
Equação 3 -167 ( )ssTRgECC eVq
q... −
Οℜ+=Κ
Equação 3 -168 ssTgR
E
ssg
ssTgR
E
ssg
eVq
CeVK
TRE
o
ssATRE
o
CT.
2
.2
)..(.
.)..(.
.
,.
−
−
ℜ+
ℜ=
Equação 3 -168
( )ssA
TRgE
ssrp
p
T
CeTRg
EVCq
CV
ss,
.2 ..
......
..
−ΟℜΔΗ+
=ρ
ρτ
Equação 3 -169
( )ssA
TRgE
ssrp
p
TT
CeTRg
EVCq
CV
SS,
.2 .
.....
..
−ΟℜΔΗ+
=Κρ
ρ
Equação 3 -170
( ) ( )
( )ssA
TRgE
ssrp
TRgEr
TC
CeTRg
EVCq
eV
SS
ss
,.
2
.
..
....
...−
Ο
−Ο
ℜΔΗ+
ℜΔΗ−=Κρ
Substituindo da Equação 3-166 a Equação 3-170 na Equação 3-164 e na Equação 3-165:
Equação 3 -171
( ) ( ) ( ) ( )tTtCtCdt
tCdCTACCA
Ac ... Κ−Κ=+τ 1
Equação 3 -172 )(.)(.)()(1. tCKtTKtT
dttTd
ATCTTT +=+τ
A Equação 3-171 e a Equação 3-172 constituem um sistema de equações diferenciais
lineares simultâneas (sistema de equações interativas).
Aplicando a transformada de Laplace na Equação 3-171 e na Equação 3-172 e rearranjando
obtemos:
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Equação 3 -173 )()()( )1.(1)1.( sTsCsC s
KAs
KA C
CT
C
CC ⋅−⋅= ++ ττ
Equação 3 -174 )()()( )1.(1)1.( sCsTsT As
Ks
KT
TC
T
TT ⋅+⋅= ++ ττ
Resolvendo o sistema da Equação 3-173 e da Equação 3-174 para CA(s) e T(s), obtemos:
Equação 3 -176
)()()( 1.)1.).(1.(.
1.)1.).(1.()1..( sTsCsC
TCCTTC
TTCT
TCCTTC
TCCKKss
KKAKKss
sKA ⋅−⋅= ++++++
+ττττ
τ
Equação 3 -177
)()()( 1.)1.).(1.(.
1.)1.).(1.()1..( sCsTsT AKKss
KKKKss
sKTCCTTC
CCTC
TCCTTC
CTT ⋅+⋅= +++++++
τττττ
A Equação 3- e a Equação 3- são de 2ª ordem
Definindo as funções de transferência para as perturbações e respostas:
Equação 3 -178 TCCTTC
TCC
a
AKKss
sKsCsC
CCG .)1.).(1.()1..(
)()(
1 ++++== ττ
τ
Equação 3 -179 TCCTTC
TTCTAKKss
KKsTsC
CTG .)1.).(1.(.
)()(
1 +++== ττ
Equação 3 -175 TCCTTC
CTTKKss
sKsTsT
TTG .)1.).(1.()1..(
)()(
1 ++++== ττ
τ
Equação 3-180-b TCCTTC
CCTC
AKKss
KKsC
sTTC sG .)1.).(1.(
.)(
)(
1)( +++= ττ
Obtemos:
Equação 3 -176 ( ) ( ) ( )STGSCGsC CTACCA 11 .. −=
Equação 3 -177 ( ) ( ) ( )sCGsTGsT ATCTT 11 .. +=
As funções de transferência cujos denominadores tem zeros finitos, a Equação 3- e a
Equação 3-175, originam sistemas denominados atraso-avanço, que serão estudados no item
3.4.
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3 . 4 . C o m p o r t a m e n t o D i n â m i c o d e P r o c e s s o s T i p o A t r a s o - A v a n ç o
Seja o seguinte sistema:
Equação 3 -178
( ) ( ) ( ) ( )⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ +τ=+τ αι tX
dttdXKtY
dttdY ...
A função de transferência associada a Equação 3-178 é:
Equação 3 -179 ( ) ( )
( )1.1.
.++
=ss
KsGι
α
ττ
A resposta deste sistema à perturbação degrau de amplitude A é:
Equação 3 -180
( ) ( )( ) ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡+
−+=
++
=1.
1.1..
1..
ssK
sss
KsYι
ια
ι
α
τττ
ττ
.A .A
Equação 3 -181
( ) ( )t11 u⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−= − ι
ι
α
ττ tteKtY .A
A Figura 3-28 mostra a resposta deste sistema para τℓ e diferentes valores de τα:
Equação 3 -182 αι τ<τ<0
Equação 3 -183 ια τ<τ<0
Equação 3 -184 ια τ<<τ 0
A Figura 3-29 mostra a localização do pólo e do zero do sistema s = -1/τα, para cada caso.
Se τℓ = τα, a função de transferência simplifica-se para K como o resultado do cancelamento do
numerador e do denominador, isto é, ocorre o cancelamento pólo-zero.
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F igura 3 -28 : Resposta do s is tema (Equação 3 -179 ) .
F igura 3 -29 : D iagrama pó lo -zero para o s is tema (Equação 3 -179 ) – X : loca l i zação do
pó lo , □ : loca l i zação do zero .
Seja um sistema de 2ª ordem superamortecido com um zero diferente de infinito,
representado pela função de transferência da Equação 3-185:
Equação 3 -185 ( ) ( )
( ) )1(11
.21 ++
+=
sss
KsGττ
τα
Este sistema sofre uma perturbação degrau de amplitude A, então a resposta no domínio do
tempo será para τ1 ≠ τ2:
Equação 3 -186
( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−+
−
−+= −− 11
12
2
21
11. τατα
ττττ
ττττ tt eeKtY A
Após algumas análises matemáticas da Equação 3-186, concluímos que três tipos de
respostas podem acontecer:
Equação 3 -187 (a ) 1τ<τα
Equação 3 -188 (b ) 10 τ≤τ< α
Equação 3 -189 (c ) 0<τα
Na Figura 3-30 vemos a representação dessas possibilidades.
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F igura 3 -30 : Resposta ao degrau de um s is tema superamor tec ido com um zero .
No caso (a) ocorre a sobreelevação pois o avanço (lead) provoca uma rápida reação do
sistema. No caso (b), o sistema reage como sendo de 2ª ordem superamortecido. Porém, no
caso (c) acontece uma resposta inusitada: inicialmente o sistema reage no sentido inverso ao
da perturbação, após decorrido um certo intervalo de tempo a resposta toma o sentido da força
motriz. Este tipo de resposta denomina-se resposta inversa (inverse response) e pode ser
encontrado em alguns processos químicos, como por exemplo:
O nível de uma caldeira pode diminuir quando ocorre um aumento repentino na vazão de água, pois a maior quantidade de água numa temperatura inferior a temperatura do vapor que está sendo formado provoca a implosão das bolhas de vapor, diminuindo o nível aparente monitorado pelo elemento de medição, mas após algum tempo o sistema reage no sentido de aumentar o nível, pois a brusca perturbação inicial diminui de intensidade; Em um reator tubular, no qual acontece uma reação exotérmica, o aumento súbito
da temperatura da alimentação pode provocar uma diminuição da temperatura na saída do reator, pois maiores temperaturas na entrada do reator significa maiores taxas de reação e maiores conversões, conseqüentemente, decremento da quantidade de reagente nas seções posteriores do reator e diminuição das taxas de reação e menor temperatura na saída do mesmo (existe resfriamento do reator), mas decorrido algum tempo o sistema responde da maneira esperada, isto é, maiores temperaturas na entrada provocam maiores temperaturas na saída.
Na verdade, a resposta inversa ou a sobreelevação acontecem devido a diferença da
dinâmica dos vários fenômenos físicos envolvido em um processo.
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3 . 5 . C o m p o r t a m e n t o D i n â m i c o d e P r o c e s s o s c o m T e m p o M o r t o
Quando material ou energia é transferido em uma planta industrial existe um tempo morto
associado a este movimento. Por exemplo, em uma tubulação, conforme Figura 3-31, por onde
é transportado um fluido em escoamento pistão (plug flow) o tempo transcorrido entre o ponto
inicial (1) e o final (2) é τm:
Equação 3 -190 avolumétricvazãotubulaçãodavolume
fluidodovelocidadetubulaçãodaocompriment
m ==τ
D
L
V1(t)
q1(t)
1 2
V2(t)
q2(t)
Figura 3 -31 : T ranspor te de f lu ido por uma tubu lação em escoamento p is tão .
Para estabelecer o modelo matemático deste processo temos que assumir que o fluido seja
incompreensível, garantindo que a velocidade do mesmo não varie na direção axial, o
escoamento pistão.
Então:
Equação 3 -191 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )tq
Vtq
VtqLD
tVLtm
211
2
1
4==
Π==τ
..
Portanto, se a temperatura ou composição variam no ponto (1) este sinal demorará τm para
ser percebido no ponto (2), ou seja:
Equação 3 -192
( ) ( )⎩⎨⎧
≥−<
=mm
m
ttxt
tYτττ
,0
Ou
Equação 3 -193 ( ) ( ) ( )mm ttXtY τ−τ−= u.
A saída dos sistema Y(t) é o mesmo sinal de entrada X(t) defasado (atrasado) por um
intervalo de tempo igual a τm.
A função de transferência deste sistema é:
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Equação 3 -194 ( ) ( )
( )sme
sXsYsG τ−==
Podemos combinar funções de transferência no intuito de melhor representar a dinâmica de
um processo. Por exemplo, um sistema de 1ª ordem mais tempo morto tem a seguinte função
de transferência:
Equação 3 -195
( ) ( )( )
s
p
p messX
sYsG ..1.
τ
τ−
+
Κ==
A presença do tempo morto é um elemento dinâmico que dificulta o controle de processos,
pois as informações do estado do sistema ficam defasadas, provocando as reações do estado
do sistema de controle a uma situação ocorrida a τm atrás.
Podemos aproximar o tempo morto por uma razão de dois polinômios. Uma expansão
adequada é a aproximação de Padé:
Aproximação de Padé de 1ª ordem:
Equação 3 -196 s
se
m
m
sm
21
21
,
τ
ττ
+
−≈−
Aproximação de Padé de 2ª ordem:
Equação 3 -197 1221
1221
22
22
,
ss
ss
emm
mm
sm
ττ
τττ
++
+−≈−
Estas aproximações são mais precisas quanto maior a diferença entre o tempo morto τm e a
constante de tempo do processo τP, isto é, τm << τP, como na maioria das vezes isto acontece,
podemos utilizar a aproximação de Padé.
A Figura 3-32a ilustra a resposta da aproximação de 1ª ordem e de 2ª ordem a entrada
degrau. Verificamos que a aproximação de ordem maior é mais precisa. A Figura 3-32b, mostra
que a aproximação de Padé é satisfatória para um sistema de 2ª ordem mais tempo morto,
submetido a perturbação degrau pois quando τm =0.25τP.
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F igura 3 -32 : (a ) Resposta ao degrau das aprox imações de Padé de 1 ª e 2 ª o rdem de
um tempo mor to puro . (b ) Resposta ao degrau de um s is tema de 1 ª o rdem com tempo
mor to (τm = 0 .25τ P ) u t i l i zando aprox imações de Padé de 1 ª e 2 ª o rdem para sme τ−
.
√ Exemplo: Reator com reciclo O reator de leito gotejante mostrado na Figura 3-33 utiliza o reciclo para obter uma operação
satisfatória. O uso de um reciclo muito intenso elimina a necessidade de agitação mecânica. A
concentração do reagente é medida no ponto onde a corrente deixa o sistema reacional. A
reação é de 1ª ordem. Sob condições normais de operação as seguintes hipóteses podem ser
assumidas:
H.01. O reator opera isotermicamente;
H.02. As vazões de alimentação q e de reciclo α.q são constantes;
H.03. Não ocorre reação na tubulação e a dinâmica envolvida nos tubos pode ser
aproximada por atrasos devido apenas ao tempo morto τm1 e τm2, conforme indicado na Figura
3-33;
H.04. Devido a grande taxa de reciclo a mistura do reator é completa.
Pede-se:
(a) A função de transferência ( ) ( )sCsC i/1 ;
(b) Utilizando as informações a seguir, calcule ( )tC1 para a mudança em ( )tCi de
2,000Kg/m3.
V = 5.0 m3 α = 12
q = 0.005 m3/min τm1 = 0.9 min
ℜ = 0.004 min-1 τm2 = 1.1 min
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F igura 3 -33 : Reator go te jan te com rec ic lo .
Solução:
(a) Realizando o balanço molar para o reagente A em torno do reator (volume de controle
indicado pela superfície pontilhada).
Equação 3 -198
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )tCVtCqtCqtCqdt
tdCV i ........ ℜ−α+−α+= 12
Onde a concentração da espécie é denotada por C(t) omitindo o subscrito A por
conveniência. A Equação 3-198 é linear com coeficientes constantes, subtraindo do seu valor
no estado estacionário e substituindo as variáveis desvio, obtemos:
Equação 3 -199
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )tCVtCqtCqtCqdt
tCdV i ........ ℜ−α+−α+= 12
Relações adicionais são necessárias para conhecermos ( )tCi e ( )tC . Estas podem ser
obtidas da hipótese H03 que determina que a dinâmica das tubulações é determinada apenas
por elementos do tempo morto:
Equação 3 -200 ( ) ( )11 θ−= tCtC
Equação 3 -201 ( ) ( ) ( )( )21212 θ+θ−=θ−= tCtCtC
A Equação 3-199 a Equação 3-201 representam o modelo matemático deste processo.
Aplicando a Transformada de Laplace, obtemos:
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Equação 3 -202 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )sCVsCqsCqsCqsCsV i ....1..... 2 ℜ−+−+= αα
Equação 3 -203 ( ) ( )sCesC s ..1
1τ−=
Equação 3 -204 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )sCesCesCesC sss a .12
212 ττττ −+−− ===
Substituindo a Equação 3-204 na Equação 3-202 e resolvendo para ( )sC :
Equação 3 -205 ( )
( )( )sC
VqeqsVqsC is ℜ+++−
= − ..1... 3 αα τ
Dividindo a Equação 3-205 por (q + V.ℜ) e rearranjando:
Equação 3 -206 ( ) ( ) ( )sC
eKsKsC is.31..1 τατ −−++
=
Onde,
Equação 3 -207 ( )ℜ+=Κ .Vqq
Equação 3 -208 ( )ℜ+=τ .Vqv
Note que, no limite quando τ3 → 0, e-τ3s → 1, e
Equação 3 -209 ( ) ( )sC
sKsC i1+
=τ
Assim, K e τ podem ser interpretados como sendo o ganho e a constante de tempo do
processo, respectivamente, de um reator de reciclo sem tempo morto nas linhas de reciclo.
Combinando a Equação 3-203 e a Equação 3-206, concluímos que a função da
transferência ( ) ( )sCsC i/1 é:
Equação 3 -210
( )( ) ( )s
s
i ese
sCsC
.
.1
1
1
1..1.
τ
τ
ατ −
−
−Κ++Κ
=
(a) Para encontrar ( )tC quando ( ) 32000 mKgtCi /.= , nós multiplicaremos a Equação
3-210 por 2,000/s.
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Equação 3 -211 ( ) ( )[ ]s
s
aessesC .
.
1 1..1...2000 1
τ
τ
ατ −
−
−Κ++Κ
=
O termo exponencial no numerador não causa nenhum problema, porém, não existe nas
tabelas de Transformada de Laplace a inversa de termos com exponenciais no denominador.
Para obter a expressão analítica da solução no domínio do tempo temos que eliminar o termo
exponencial do denominador através de uma aproximação polinomial, por exemplo,
aproximação de Padé de 1ª ordem
Equação 3 -212 s
se
am
am
sm
.2
1
.2
1.1
τ
ττ
+
−≈−
Substituindo a Equação 3-212 na Equação 3-211 e rearranjando, obtemos:
Equação 3 -213
( )⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ Κ+++
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ +Κ
=
−
1...2
.2
..
.1.2
..2000
2
.
1
1
sss
essC
manama
sma m
τατ
ττ
τ
τ τ
A Equação 3-213 pode ser descrita da seguinte forma:
Equação 3 -214 ( ) ( )
( ) ( )1..1...1...2000
21
.
1
1
+++Κ
=−
ssses
sCs
am
τττ τ
Onde τα = τm3 e τ1 e τ2 são obtidos pela fatoração do denominador da Equação 3-213, neste
caso são reais e distintos pois o termo α.K.τm3 é sempre positivo.
Calculando os valores dos parâmetros:
Equação 3 -215 ( ) ( ) 200405050
050 ...
..
=+
=ℜ+
=ΚVqq
Equação 3 -216 ( ) ( ) minVq
200405050
5=
+=
ℜ+τ
=τ...
Equação 3 -217 min201.19.021 =+=+= mmma τττ
Substituindo-os na Equação 3-214:
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Equação 3 -218 ( ) ( ) ( )( )
( )( )( )( )[ ]( )
( )( )18.01251400
122.0121202012.02000 11
2
.
1 +++
=++++
+=
−−
ssses
sssessC
ss mm ττ
Invertendo obtemos:
Equação 3 -219 ( ) ( ) ( )[ ] ( )0.9 -t0826.09917.01400 8.09.0259.01 u−−−− −−= tt eetC
O qual está plotada na Figura 3-34. Note que não foi necessário aproximar o numerador,
assim o termo (t - 0.9) que aparece na solução do sistema é exato.
F igura 3 -34 : Reator com rec ic lo submet ido a per tu rbação degrau na composição da
a l imentação: (a ) resposta comple ta ; (b ) de ta lhe nos ins tan tes in ic ia is .
3 . 6 . E x e r c í c i o s
(1) O tanque mostrado na Figura 3-35 é colocado na linha para suavizar a variação
da pressão Pi(t), amortecendo a variação da pressão Po(t). No estado estacionário, a vazão de
alimentação e as pressões são:
qi, ss = 25.0 Kgmoles/s
Pi, ss = 2,000 KN/m2
Pss = 1,800 KN/m2
Po, ss = 1,600 KN/m2
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p(t)V T
pi(t) po(t)
qi(t) qo(t) Figura 3 -35 : Tanque para a l i v io de pressão .
O volume do tanque é V = 10m3. Um balanço molar no tanque assumindo comportamento
ideal para o gás e temperatura de 400 K, é dado por:
Equação 3 -220
( ) ( ) ( )tqtqdt
tdPRg
Vi Ο−=
Τ.
Onde Rg = 8,314 Nm/(kgmol.K).
As vazões de entrada e saída são dadas por:
Equação 3 -221 ( ) ( ) ( ) ( )[ ]tPtPtPtq iiii −Κ= ..
Equação 3 -222 ( ) ( ) ( ) ( )[ ]tPtPtPtq ooo −Κ= ..
Onde Ki e Ko são constantes.
Pede-se:
a) Linearize a equação diferencial.
b) Obtenha a resposta do sistema a uma variação degrau unitário na pressão de entrada,
com a pressão de saída constante.
c) obtenha a resposta do sistema a uma variação degrau unitário na pressão de saída, com
a pressão de entrada constante.
Use o método da Transformada de Laplace para resolver a equação diferencial.
(2) Encontre Y(t) da seguinte equação diferencial utilizando o método da
transformada de Laplace. O sistema é inicialmente relaxado. Esboce os gráficos e comente os
resultados.
Equação 3 -223
( ) ( ) ( ) ( )tXtYdt
tdYdt
tYd=++ .9.92
2
a) Para X(t) = U(t).
b) Para X(t) = e-3t.
Obs: Analise estabilidade; super, sub ou criticamente amortecimento, comportamento no
tempo t = 0 e t = ∞, etc.
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(3) Considere o processo mostrado na Figura 3-36. A vazão do líquido através dos
tanques, q, é constante e igual a 110 kg/min. A densidade do líquido pode ser assumida
constante e igual a 800 kg/m3. A capacidade calorífica do fluido também é constante e igual a
1.3 kcal/KgºC. O volume de cada tanque é 0.3 m3. A perda de calor para as vizinhanças é
negligenciável e a agitação é perfeita.
Obtenha as funções de transferência, com os valores numéricos e as unidades dos seus
parâmetros, que relacionam:
a) T3 com To.
Sugestão: Considere, neste caso, a taxa de transferência de calor Q constante.
b) T3 com Q.
Sugestão: Considere, neste caso, que a temperatura na entrada To é constante.
T1(t), q
vapor
condensadoQ(t)
To(t), q
T2(t), q
T3(t), q
F igura 3 -36 : Tanque não in tera t ivo s em sér ie .
(4) Considere um reator de mistura perfeita. Uma reação isotérmica acontece no
reator. A vazão volumétrica é constante.
A → B Com a equação da taxa: (-rA) = kCA.
O balanço da massa no reator é :
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Equação 3 -224 [ ] AAAiiA tCtC
Vq
dtdC
Γ+−= )()(
Onde:
qi Vazão volumétrica de alimentação [ = ] m3/s
CAi Concentração molar de A na alimentação [ = ] mol/m3
Identifique e comente sobre:
a) Função perturbação
b) Função de transferência
c) Pólos de função de transferência
d) Resposta a perturbação degrau de amplitude W
e) Se (-rA) = kCA2. qual seria a função de transferência
(5) Considere um reator de mistura perfeita no qual acontece uma reação isotérmica
de 1ª ordem. O processo pode ser perturbado pela vazão e/ou concentração na corrente de
alimentação.
Dados:
Reação: A → B
Equação da taxa de reação: (-rA) = kCA(t)
Escoamento turbulento na saída do reator.
Massa específica constante.
CAi é a concentração molar de A na alimentação [ = ] mol/m3
Pede-se:
a) Função(s) de transferência, indicando qual a ordem da(s) mesma(s)
b) Identifique constantes de tempo, ganho em estado estacionário (expressões e
unidades).
(6) Considere um reator de mistura perfeita no qual acontece uma reação isotérmica
de 2ª ordem. O processo pode ser perturbado simultaneamente pela vazão e pela
concentração da corrente de alimentação.
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Dados:
Reação: A → B
Equação da taxa de reação: (-rA) = kCA2(t)
Escoamento laminar na saída do reator
Massa específica constante
Pede-se:
a) Função(s) de transferência, indicando qual a ordem da(s) mesma(s)
b) Identifique constantes de tempo, ganho em estado estacionário (expressões e
unidades).
(7) Considere um tanque de aquecimento, conforme a Figura 3-37. A vazão
volumétrica q1(t) e temperatura T1(t) da alimentação são variáveis com o tempo. A densidade e
capacidade calorífica do líquido pode ser assumida constante. A transferência de calor pela
serpentina é constante e igual a qss. A perda de calor para as vizinhanças é dada por:
Equação 3 -225 ( ) ( ) ( )( )ambGextL TtTtUAtQ −= ..
e
Equação 3 -226 ( ) ( )tvUtU oG .α+=
Onde:
QL Calor perdido para o meio ambiente [ = ] J/s
UG(t) Coeficiente global de troca térmica [ = ] J/(m2.ºC.s)
Uo Constante [ = ] J/(m2.ºC.s)
Aext Área externa do tanque disponível para troca com o meio ambiente [ = ] m2
α Constante [ = ] J/(m3.ºC)
v(t) Velocidade do vento [ = ] m/s
T(t) Temperatura do fluido no tanque [ = ] ºC
Tamb Temperatura do meio ambiente [ = ] ºC
Assuma que a pressão do vapor é constante.
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h(t)
T2(t)q2(t)
T1(t), q1(t)
vaporsaturado
condensadoQst(t)
R
Motor
v(t)
Tamb
F igura 3 -37 : Tanque de aquec imento .
Pede-se:
a) O modelo matemático que representa este processo
b) As funções de transferência que relacionam as saídas [h(t) e T(t)] com as perturbações
[q1(t), T1(t) e v(t)].
c) A resposta deste processo a perturbação em v(t) conforme a Figura 3-38.
F igura 3 -38 : Grá f ico exerc íc io (7 ) .
Obs: Caso necessário acrescente outras hipóteses, justificando-as.
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(8) Considere um reator de mistura perfeita no qual acontece uma reação
exotérmica de 1ª ordem. O processo pode ser perturbado pela vazão q1(t), temperatura T1(t)
e/ou concentração CA1(t) da corrente de alimentação.
Dados:
Reação: A → B
Equação da taxa de reação: )()()
)((
tCekt AtRgT
E
o
−
=Γ
Escoamento turbulento na saída do reator
Massa específica constante
Capacidade calorífica constante
Entalpia da reação constante
Pede-se:
a) Funções de transferência entre as respostas do sistema T(t), CA(t), h(t) com as
perturbações q1(t), CA1(t) e T1(t), indicando qual a ordem da(s) mesma(s).
b) Identifique constantes de tempo, ganho em estado estacionário (expressões e
unidades).
(9) Um sistema integrador com tempo morto é submetido a uma perturbação
conforme a Figura 3-39.
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F igura 3 -39 : Grá f ico para exerc íc io (9 ) .
Obtenha a resposta no tempo.
(10) Assuma que a seguinte equação é a descrição de um certo processo
Equação 3 -227
( )( ) 2.0.5
.3 .5.0
+=
−
se
sXsY s
a) Obtenha o ganho no estado estacionário, a constante de tempo e o tempo morto.
b) A condição inicial da variável y é y(0) = 2. Para uma força motriz (perturbação) como
mostrada na Figura 3-40, qual o valor final e a expressão de y(t) ?
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F igura 3 -40 : Grá f ico do exerc íc io (10 ) .
(11) Um sistema de 1ª ordem com tempo morto é submetido a uma perturbação
pulso, conforme a Figura 3-41.
F igura 3 -41 : Grá f ico do exerc íc io (11 ) .
Obtenha a resposta no tempo.
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(12) Um sistema de 1ª ordem com tempo morto é submetido a uma perturbação
conforme a Figura 3-42.
F igura 3 -42 : Grá f ico do exerc íc io (12 ) .
Obtenha a resposta no tempo:
(13) Considere o processo mostrado na Figura 3-43.
Tanque demistura
qoρ
CAo(t)
qA(t)ρ
A puro
h1(t)
Bombacentrífuga
Reator
hRCA5(t)h2(t)
L1
2 3
4
5
PR
F igura 3 -43 : Esquema do exerc íc i o (13 ) .
q0 Vazão da corrente de alimentação com concentração CA0, constante
[ = ] m3/s
CAi(t) Concentração de A na seção i [ = ] Kgmol/m3
ρ Massa específica, constante [ = ] Kg/m3
hi(t) Altura do nível do líquido no equipamento i [ = ] m
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hR Altura da entrada do reator em relação à saída do mesmo [ = ] m
PR Pressão na copa do reator [ = ] kPa
L Comprimento [ = ] m
AT Área da seção transversal do tanque [ = ] m2
AR Área da seção transversal do reator [ = ] m2
As seguintes informações são conhecidas sobre este processo:
a) A massa específica de todas as correntes são aproximadamente constantes, e iguais.
b) O fluxo através da bomba de velocidade constante é dado pela Equação 3-228 em [ = ]
m3/s
Equação 3 -228 ( ) ( ) ( )[ ]{ }2211 tPtPBAtqb −+= ..
c) A tubulação entre os pontos 2 e 3 é longa, com comprimento L (em m). O fluxo através
da tubulação é muito turbulento (plug flow). O diâmetro do tubo é D (em m). A queda de
pressão ΔP entre estes dois pontos pode ser considerada constante.
d) Podemos assumir que os efeitos associados à reação são negligenciáveis,
conseqüentemente, a reação ocorre à temperatura constante. A taxa de reação (A → B)é dada
por
Equação 3 -229 ( ) ( )
smmolKgtCkt AA .
][. 3==Γ
e) O fluxo através da válvula é dado por
Equação 3 -230 ( ) ( ) ( )thtVPCtq vv 2..=
Onde VP é a posição onde se encontra a válvula.
Obtenha:
a) O modelo matemático que representa este processo.
b) As funções de transferência que relacionam as funções perturbação CAo(t), e qA(t) com
h1(t), h2(t) e CA5(t).
Sugestão: Trabalhe com o balanço de massa global e/ou com o balanço de massa para o
componente A.
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Í N D I C E
CAPÍTULO 4. IDENTIFICAÇÃO DA DINÂMICA DE PROCESSOS 4-3
4.1. CURVA DE RESPOSTA DE SISTEMA DE 1ª ORDEM A PERTURBAÇÃO DEGRAU 4-3 4.2. CURVA DE RESPOSTA DE SISTEMA DE 2ª ORDEM A PERTURBAÇÃO DEGRAU 4-6 4.3. REGRESSÃO LINEAR 4-10 4.4. SISTEMAS DE ORDEM SUPERIORES 4-16 4.5. OBSERVAÇÕES E CONCLUSÕES SOBRE IDENTIFICAÇÃO DE PROCESSOS 4-17 4.6. EXERCÍCIOS 4-19
Í N D I C E D E T A B E L A S Tabela 4-1: Dados para Identificação de Processos. 4-15
Í N D I C E D E F I G U R A S Figura 4-1: Resposta de um sistema de 1ª ordem a perturbação degrau. Curva A entrada X(t) e curva B
resposta do sistema Y(t). 4-4 Figura 4-2: POMTM ajuste pelo Método 1. 4-5 Figura 4-3: POMTM ajuste pelo Método 2. 4-5 Figura 4-4: POMTM ajuste pelo Método 3. 4-6 Figura 4-5: Resposta de um sistema de 2ª ordem a perturbação degrau: Curva A - entrada X(t); Curva B -
resposta Y(t) de um sistema super-amortecido; Curva C - resposta Y(t) de um sistema sub-amortecido.
4-7 Figura 4-6: Resposta de vários SOMTM a perturbação degrau. 4-8
Figura 4-7: Gráfico do Método de Harriot para ( ) 5.021 =+ττt . 4-8
Figura 4-8: Gráfico do Método de Smith, relação entre τ, ζ, t20 e t60. 4-10 Figura 4-9: Função contínua. 4-11 Figura 4-10: Aproximação de um sistema de 5ª ordem por uma função de transferência de 1ª ordem mais
tempo morto. 4-16 Figura 4-11: Etapas para identificação de processo. 4-18 Figura 4-12: Gráfico do exercício (1). 4-19
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Figura 4-13: Fornalha. 4-20 Figura 4-14: Curva de reação da fornalha para uma perturbação na saída do controlador. 4-21 Figura 4-15: Curva de reação para uma perturbação na saída do controlador. 4-22 Figura 4-16: Curva de reação para uma perturbação na umidade da alimentação 4-22 Figura 4-17: Secador de grãos. 4-23 Figura 4-18: Curva de reação para uma perturbação na vazão da corrente de alimentação. 4-23
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C A P Í T U L O 4 . I D E N T I F I C A Ç Ã O D A D I N Â M I C A D E P R O C E S S O S
Nos capítulos anteriores, estudamos o comportamento dinâmico de vários sistemas (1ª, 2ª
ordem, tempo morto, etc.). A identificação do sistema foi realizada através da modelagem
matemática dos fenômenos físicos envolvidos. Porém, nem sempre é possível obter um
modelo fenomenológico que represente satisfatoriamente o comportamento dinâmico de um
processo. Nestes casos, são realizados experimentos no intuito de identificar o
comportamento dinâmico do processo em estudo.
Esses experimentos têm o seguinte procedimento:
1. Tentamos eliminar todas as causas de distúrbios ao sistema;
2. Escolhemos uma fonte de distúrbio e aplicamos a perturbação, por exemplo, degrau de
amplitude A;
3. Monitoramos a perturbação e a resposta do sistema até atingir o estado estacionário;
4. Com os dados das etapas 2 e 3 ajustamos um modelo matemático o mais fidedigno
possível aos dados experimentais.
Neste capítulo, estudaremos alguns métodos de identificação de processos:
(a) Ajuste pela curva de resposta a perturbação degrau;
(b) Método de Harriot e Método de Smith;
(c) Regressão linear e não-linear (aproximação por diferenças finitas).
4 . 1 . C u r v a d e R e s p o s t a d e S i s t e m a d e 1 ª O r d e m a P e r t u r b a ç ã o D e g r a u
Um sistema de Primeira Ordem Mais Tempo Morto (POMTM) é descrito pela seguinte
equação diferencial.
Equação 4 -1 [ ] )(.)()(. mPP tXKtYtY
dtd ττ −=+
Dos estudos anteriores, sabemos que quando um POMTM esta submetido a uma
perturbação degrau de amplitude A [X(t) = Xss + A.u(t)], a resposta do mesmo é dado pela
Figura 4-1.
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F igura 4 -1 : Resposta de um s is tema de 1 ª o rdem a per tu rbação degrau . Cur va A en t rada X ( t ) e cur va B resposta do s is tema Y( t ) .
Ou seja:
(a) O sistema atinge 63.2% do valor final após transcorrido um intervalo de tempo igual a
uma constante de tempo, descontado o tempo morto:
Equação 4 -2 632.0
.)(=
P
P
KYAτ
(b) No instante inicial da resposta a inclinação da curva é unitária e a maior possível, isto é:
Equação 4 -3
0.1.
)(
0
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
=tPKtY
dtd
A
(c) A interseção da tangente da curva no instante inicial com a assíntota da função no
estado estacionário acontece no ponto (1.0; τP), descontado o tempo morto.
Portanto, podemos utilizar essas características do POMTM para obter os parâmetros do
sistema (τP, KP e τm).
4 . 1 . 1 . M é t o d o 1
Localizamos no gráfico ( )( ) tKAtY P versus. , o instante no qual a inclinação da curva é
máxima. Prolongamos esta reta até atingir o eixo do tempo, esse ponto determina o tempo
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morto τm. O prolongamento desta reta até intersectar o prolongamento da reta do estado
estacionário alcançado defini a constante de tempo τp, pois o valor da abscissa neste ponto
descontado do tempo morto é τp. Veja Figura 4-2.
F igura 4 -2 : POMTM a jus te pe lo Método 1 .
4 . 1 . 2 . M é t o d o 2
Neste método, τm é determinado da mesma maneira do Método 1, porém a constante de
tempo é obtida no ponto em que o sistema atinge 63.2% do estado estacionário alcançado,
descontando o tempo morto (vide Figura 4-3).
Este procedimento tem maior exatidão que o anterior e as constantes de tempo obtidas são,
em geral, menores que as obtidas através do Método 1.
F igura 4 -3 : POMTM a jus te pe lo Método 2 .
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4 . 1 . 3 . M é t o d o 3
Os dois métodos vistos até aqui dependiam da localização da tangente da curva no ponto
de maior inclinação, por isso esses métodos têm incerteza elevada. Uma alternativa que evita
essa dependência é descrita a seguir:
(a) Obtenha o tempo necessário para o sistema atingir 63.2% e 28.3% do estado
estacionário, t2 e t1, respectivamente;
(b) Resolva o seguinte sistema de equação algébricas:
Equação 4 -4 ⎪⎩
⎪⎨⎧
=+
=+
1
2
31 t
t
Pm
Pm
ττ
ττ
Ou seja,
Equação 4 -5
( )⎪⎩
⎪⎨⎧
−=
−=
Pm
m
t
tt
ττ
τ
2
12.23
Dos três procedimentos este é, geralmente, o mais exato, portanto mais recomendado.
F igura 4 -4 : POMTM a jus te pe lo Método 3 .
4 . 2 . C u r v a d e R e s p o s t a d e S i s t e m a d e 2 ª O r d e m a P e r t u r b a ç ã o D e g r a u
Um sistema de Segunda Ordem Mais Tempo Morto (SOMTM) é descrito pela seguinte
equação diferencial
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Equação 4 -6 [ ] [ ] )(.)()(...)(. mp tXKtYtY
dtdtY
dtd
τ−=+ξτ+τ 2
22
Dos estudos anteriores sabemos que quando um SOMTM esta submetido a uma
perturbação degrau de amplitude A [X(t) = Xss + A.u(t)] a resposta do mesmo é dada pela
Figura 4-5.
F igura 4 -5 : Resposta de um s is tema de 2 ª o rdem a per tu rbação degrau : Cur va A - en t rada X ( t ) ; Curva B - resposta Y ( t ) de um s is tema super -amor tec ido; Curva C -
resposta Y ( t ) de um s is tema sub -amor tec ido .
Descrevemos dois métodos de identificação de SOMTM:
(a) Método de Harriott, válido para sistema super-amortecidos;
(b) Método de Smith, válido para sistema super ou sub-amortecidos.
Nesses dois procedimentos o tempo morto τm deve ser identificado visualmente através do
gráfico da curva de resposta.
4 . 2 . 1 . M é t o d o d e H a r r i o t
Este método está baseado na seguinte função de transferência:
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Equação 4 -7 ( )( )1..1.)(
11 ++=
ssKsG P
ττ
Harriot percebeu que o gráfico ( )( ) ( )21. ττ +txKAtY P para várias funções de transferência
se interceptavam em torno de 73% (intervalo real entre 0.7275 e 0.7326) do valor final do
estado estacionário, correspondendo a 1.3 na abscissa, conforme Figura 4-6.
F igura 4 -6 : Resposta de vá r ios SOMTM a per tu rbação degrau .
Harriott notou, também, que o ponto que as curvas da Figura 4-6 mais se afastam acontece
quando ( ) 5.021 =+ττt , então ele construiu o gráfico de ( )( ) ( )21. ττ +txKAtY P para
( ) 5.021 =+ττt , veja Figura 4-7.
F igura 4 -7 : Grá f ico do Método de Har r io t para ( ) 5.021 =+ττt .
O procedimento para identificação dos parâmetros do modelo é o seguinte:
(a) Determine o tempo morto e trabalhe com o sistema de segunda ordem sem τm, depois de
identificado KP, τ1 e τ2, acrescente ao modelo o tempo morto;
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(b) Determine o ganho do sistema KP:
Equação 4 -8 )0()()0()(
XXYYK P −∞
−∞=
(c) Da curva de resposta do sistema a perturbação degrau, obtenha o tempo transcorrido até
o sistema atingir 73% do valor final, isto é, obtenha t73, assim esta determina a primeira
equação:
Equação 4 -9 3.173
21t=+ττ
(d) Calcule o tempo que satisfaça a equação
Equação 4 -10 )(5.0 215.0 ττ +=t
(e) Da curva de resposta do sistema a perturbação degrau, leia o valor de ( )( )PKAtY . para
t0.5, isto é, ( )( )5.0
.=tPKAtY ;
(f) Com o valor de ( )( )5.0
.=tPKAtY obtenha na Figura 4-7 o valor de ( )2115.0 ττττ += ,
determinando a segunda equação;
(g) Ao resolver o sistema algébrico (Equação 4-11) e com os valores do tempo morto τm e do
ganho K determinados anteriormente, identificamos o SOMTM.
Equação 4 -11 ⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+
=+
5.021
1
7321
)(
3.1
τττ
τττ t
O Método de Harriot só é válido para sistemas de segunda ordem superamortecidos com
0.2 < ( )( )PKAtY . < 0.39, para valores fora dessa faixa o sistema é geralmente de ordem
superior a 2 ou então subamortecido.
4 . 2 . 2 . M é t o d o d e S m i t h
Este método está baseado na seguinte função de transferência:
Equação 4 -12 1...2.
)( 22 ++=
ssKsG P
ςττ
Onde ζ determina se o sistema será sub, criti ou superamortecido.
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O procedimento para identificação dos parâmetros do modelo é o seguinte:
(a) Determine o tempo morto e trabalhe com o sistema de segunda ordem sem τm, depois de
identificado K, τ e ζ, acrescente ao modelo o tempo morto;
(b) Determine o ganho do sistema Kp:
Equação 4 -13
( )( ) )0(
)0(XXYYK P
−∞−∞
=
(c) Da curva de resposta do sistema a perturbação degrau, obtenha os tempos transcorridos
para o sistema atingir 20% e 60% do valor final, isto é, obtenha t20 e t60;
(d) Calcule a razão 6020 tt ;
(e) Da Figura 4-8 leia os valores de τ60t e ζ;
Figura 4 -8 : Grá f ico do Método de Smi th , re lação en t re τ , ζ , t 2 0 e t 6 0 .
(f) Com o valor de τ60t calcule τ, que esta identificando SOMTM, pois conhecemos τm
(passo (a)) e K (passo (b)), τ e ζ (passos (c) a (e)).
4 . 3 . R e g r e s s ã o L i n e a r
O modelo dinâmico de um processo é descrito por um sistema de equações diferenciais que
pode ser aproximado por um sistema de equações de diferenças finitas, cujos parâmetros são
obtidos através de métodos de regressão.
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4 . 3 . 1 . M é t o d o d a s D i f e r e n ç a s F i n i t a s
Dada a função contínua:
F igura 4 -9 : Função cont ínua .
Onde,
Equação 4 -14 Δ t = t j + 1 - t j
Ou,
Equação 4 -15 Δ t = t j - t j - 1
Expandindo Y(t) em série de Taylor, ou seja:
Conheço Yj e quero conhecer Y(j + 1)
Ou conheço Yj e quero conhecer Y(j - 1)
Equação 4 -16
( ) ..... +Δ+Δ+Δ+=+3
3
32
2
21 3
121 t
dtYd
!t
dtYd
!t
dtdYYY
jjjjj
ou
Equação 4 -17
( ) ..... +Δ−Δ+Δ−=−3
3
32
2
21 3
121 t
dtYd
!t
dtYd
!t
dtdYYY
jjjjj
Da Equação 4-16, obtém-se:
Equação 4 -18
( ) ....... +Δ′′′+Δ′′+′=Δ
−+ 2131
21 tY
!tY
!Y
tYY
jjj
E
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Equação 4 -19
( ) ....... +Δ′′′+Δ′′−′=Δ
−− 2131
21 tY
!tY
!Y
tYY
jjj
Truncando no 1º termo e da Equação 4-18, encontra-se
Equação 4 -20
( ) ( )⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡→Δ+
Δ
−=′= +
frenteaparafinitadiferença
Fórmulatord
tYY
YdtdY jj
jt j
1
Da Equação 4-19, encontra-se:
Equação 4 -21
( ) ( )⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡→Δ+
Δ
−=′= −
trásparafinitadiferença
Fórmulatord
tYY
YdtdY jj
jt j
1
Subtraindo a Equação 4-19 da Equação 4-18:
Equação 4 -22
( ) ( ) ( )⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡→Δ+
Δ
−= −+
centralfinitadiferença
Fórmulatord
tYY
dtdY jj
t j
211
.2
Somando a Equação 4-18 e a Equação 4-19:
Equação 4 -23
( ) ( )
( )( )
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡→Δ+
Δ
+−=′′ +−
centralfinitadiferença
Fórmulatord
t
YYYY
dtYd jjj
jt j
22
112
2 .2
Consideremos agora um processo no qual os fenômenos físicos ou químicos que ocorrerem
são pouco conhecidos ou que os vários parâmetros que o descrevem são incertos. Podemos
então aproximar o modelo do processo pela seguinte equação linear das diferenças finitas de
ordem k.
Equação 4 -24 KnKnnKnKnnn XbXbXbYaYaYaY −−−−−− +++++++= ...... 22112211
Onde Yi e Xi são os valores de saída e entrada, respectivamente, no instante ï” de
amostragem e a1, az, ..., ak; b1, bz, ..., bk são parâmetros constantes e desconhecidos do
processo.
Para obtermos os valores dos parâmetros usaremos o Método dos Mínimos Quadrados;
encontrando os melhores valores para os parâmetros a partir da minimização do erro, ou seja,
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os melhores valores serão aqueles que apresentem o menor valor para o erra entre o valor
experimental e o teórico.
Introduzimos no processo uma série de perturbações e obtemos os valores de resposta;
onde nX~
será o valor medido da perturbação e Ỹn será o valor medido da resposta do
processo à perturbação, no n-ésimo instante de amostragem com n = 1, 2, 3, ...
Comparando os valores computados das variáveis de resposta do modelo postulado,
Equação 4-24, com os valores de resposta medidos, teremos o erro:
Equação 4 -25 ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
++++
+++++−=−=
−−
−−−−−
KnKnK
nnKnKnnnnnn
XbXb
XbXbYaYaYaYYY ~...~...
~~~...~~~~
2
2211221nε
No Método dos Mínimos Quadrados minimiza-se o quadrado do erro, afim de garantir que
os erros não sejam compensados, calcula-se, então o somatório P.
Equação 4 -26
∑=ε=
N
nnN
P1
21
Para que P seja um ponto de mínimo temos que satisfazer as seguintes equações
algébricas, cuja condição necessária é que a derivada de P em relação aos parâmetros seja
igual a zero:
Equação 4 -27 0
2121=
∂Ρ∂
==∂Ρ∂
=∂Ρ∂
=∂Ρ∂
==∂Ρ∂
=∂Ρ∂
Kk bbbaaa......
Resolvendo o sistema de equação acima encontramos os parâmetros desejados a1, az, ...,
ak; b1, bz, ..., bk que tornam o erro mínimo.
Exemplo: Identificação da ordem e dos parâmetros de um processo.
Considere um processo com a dinâmica pouco conhecida de modo que não temos uma boa
estimativa da ordem do processo.
Inicialmente, consideraremos um processo de 1ª ordem; então pela Equação 4-24:
Equação 4 -28 Y n = a 1 Y n – 1 + b 1 X n – 1
Usando o Método dos Mínimos Quadrados:
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Equação 4 -29
( )∑=
−− −−=N
nnnn XbYay
NP
1
21111
1 ~~~
Os valores ótimos para os parâmetros devem satisfazer a condição necessária para um
ponto mínimo:
Equação 4 -30
( )( ) 021
111111
1=−−−=
∂∂ ∑
=−−−
N
nnnnn yXbYay
NbP ~~~~.
Equação 4 -31
( )( ) 021
111111
1=−−−=
∂∂ ∑
=−−−
N
nnnnn XXbYay
NbP ~~~~.
Resolvendo a Equação 4-30 e a Equação 4-31 para a1 e b1, sendo a Tabela 4-1 dos valores
medidos para ( )1521nXY 1n1n ...,,,,~
,~
=−− chegaremos ao sistema de equações abaixo:
Equação 4 -32 ⎩⎨⎧
=+=+
1866.01947.00881.05541.00881.05884.0
11
11
baba
Onde a1 = 0.8562 e b1 = 0.5710. Calculando o valor do mínimo erro pela Equação 4-29
temos que P = 0.00161.
Este mesmo raciocínio desenvolvido para um sistema de 1ª ordem pode ser estendido para
sistemas de ordem superiores.
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Tabe la 4 -1 : Dados para Iden t i f i cação de Processos .
Instante de Amostragem n Variável Perturbação Xn Variável Resposta Yn
n < 0 0.00 0.000
0 1.00 0.000
1 0.60 0.500
2 0.30 0.900
3 0.10 0.910
4 0.00 0.866
5 0.00 0.732
6 0.00 0.612
7 0.00 0.519
8 0.00 0.430
9 0.00 0.361
10 0.00 0.302
11 0.00 0.253
12 0.00 0.212
13 0.00 0.178
14 0.00 0.149
15 0.00 0.125
Seguindo o mesmo processo para um sistema de 2ª ordem, o modelo postulado terá a
seguinte forma:
Equação 4 -33 22112211 −−−− +++= nnnnn XbXbYaYaY ...
Então, linearizando pelo Método dos Mínimos Quadrados e resolvendo as condições
necessárias:
Equação 4 -34
( )∑=
−−−− −−−−=N
nnnnnn XbXbYaYay
NP
1
222112211
1 ~~~~~
Equação 4 -35 0
2121=
∂Ρ∂
=∂Ρ∂
=∂Ρ∂
=∂Ρ∂
bbaa
Encontramos a1 = 0.6, az = 0.2, b1 = 0.5, b2 = 0.3; donde estes valores levam a um erro
mínimo com P = 0. Então podemos concluir que o modelo postulado de 2ª ordem descreve
exatamente a dinâmica do processo e o modelo que pode ser usado no projeto de
controladores é:
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Equação 4 -36 2121 30502060 −−−− +++= nnnnn XXYYY ....
4 . 4 . S i s t e m a s d e O r d e m S u p e r i o r e s
Para os propósitos de controle de processos muitas vezes podemos aproximar a dinâmica
dos sistemas por um ou combinação das seguintes funções de transferências:
1ª ordem:
Equação 4 -37 ( )
1.1 +=
sKsG
P
P
τ
2ª ordem:
Equação 4 -38 ( )
1...2. 222 ++=
ssK
sG P
ζττ
Tempo Morto:
Equação 4 -39 ( ) sm
mesG .τ−=
Na Figura 4-10 observamos que um sistema de 5ª ordem é aproximado adequadamente por
um sistema de 1ª ordem mais tempo morto.
F igura 4 -10 : Aprox imação de um s is tema de 5 ª o rdem por uma função de t ransfe rên c ia de 1 ª o rdem mais tempo mor to .
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4 . 5 . O b s e r v a ç õ e s e C o n c l u s õ e s s o b r e I d e n t i f i c a ç ã o d e P r o c e s s o s
Neste capítulo discutimos diversos métodos de identificação de processos, alguns bastantes
simples, que utilizam dados experimentais para ajustar os parâmetros de uma dada função
transferência.
Procedimentos mais complexas de identificação existem e continuam sendo estudos pois os
processos reais estão submetidos a condições que complicam e prejudicam a identificação, tais
como:
(1) É impossível impor a um sistema químico uma perturbação degrau perfeita, pois os
equipamentos dos processos não podem mudar de estado instantaneamente, portanto a
análise dos dados fica comprometida quando assumimos degrau ideal;
(2) Os processos não são de 1ª, 2ª ordem ou lineares, apenas processos demasiadamente
simples se aproximam desses modelos;
(3) Os dados monitorados estão sempre sujeitos a ruídos, seja devido ao processo, aos
instrumentos de medição ou a outros elementos do sistema de controle, este ruído prejudica a
análise pois não há como isolar este efeito dos dados levantados;
(4) Em processos reais é impossível evitar que outras perturbações, além da que esta sendo
monitorada, atuem simultaneamente sobre o mesmo;
(5) Processos reais são, na sua grande maioria, sistema de múltiplas variáveis não lineares
(MIMO-NL), requerendo modelos matemáticos complexos e/ou técnicas de identificação
sofisticadas para determinação do modelo dinâmico do processo.
Uma boa ferramenta auxiliar na caracterização da dinâmica de processos é o software
MATLAB, com sua extensão apropriada para identificação MATIDENT. Neste encontramos
algumas técnicas sofisticadas de identificação e uma ambiente computacional adequado para o
desenvolvimento das tarefas necessárias para a identificação da dinâmica de processos.
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INÍCIO
DEFINIÇÃO DOS OBJETIVOS
PLANEJAMENTO DO EXPERIMENTO
OK ?
COLETA DE DADOS
VALIDAÇÃO DOS DADOS COLETADOS
OK ?
ESCOLHA DO MÉTODO DE IDENTIFICAÇÃO
IDENTIFICAÇÃO DA FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA
VALIDAÇÃO DA FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA
OK ?
FIM
SIM
SIM
SIM
NÃO
NÃO
NÃO
F igura 4 -11 : E tapas para iden t i f i cação de p rocesso .
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4 . 6 . E x e r c í c i o s
(1) Um processo responde a uma perturbação degrau conforme a Figura 4-12.
F igura 4 -12 : Grá f ico do exerc íc io (1 ) .
Pede-se
(a) Modelo matemático que melhor representa este processo. Identifique, se existir, os
seguintes parâmetros:
KP Ganho do processo
τP Constante de tempo do processo (para sistema de 1ª ordem)
τm Tempo morto do processo
τ Período natural de oscilação (para sistema de 2ª ordem)
ζ Fator de amortecimento
(b) Identifique a ordem do sistema e se o sistema é sub, criti ou superamortecido (se estes
conceitos forem aplicáveis).
(c) Trace no diagrama pólo-zero os pólos e zeros deste sistema.
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Controle de Processos
Ricardo de Araújo Kalid – [email protected]
(2) Considere uma fornalha, mostrada na Figura 4-13, usada para aquecer o ar de
um regenerador de catalisador. O transmissor de temperatura está calibrado para uma faixa de
300 ~ 500ºF. A curva de reação deste sistema foi obtida para uma variação de + 5% (ou + 0.8
mA) na saída do controlador (neste teste o controlador foi posto em manual).
TT
Gáscombustível
TC
arvazão constante
TW
I/P
F igura 4 -13 : Forna lha .
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Controle de Processos
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F igura 4 -14 : Curva de reação da fo rna lha para uma per tu rbação na sa ída do cont ro lador .
Pede-se para identificar a função de transferência que associa a saída do controlador com a
temperatura na saída do forno.
(3) Considere um secador, mostrado na Figura 4-17. A secagem dos grãos é devida
ao contrato direto das pelotas com os gases de combustão. A umidade dos grãos deve ser
controlada cuidadosamente pois, se secarem demais ocorrem muitas perdas, se ficarem muito
úmidos durante a armazenagem formam aglomerados não aproveitados.
A umidade dos grãos na entrada do secador esta em torno de 14% e na saída 3%. O
controle é realizado através da manipulação da velocidade de mesa de alimentação que
determina o tempo de residência dos grãos dentro do secador. O transmissor de umidade esta
calibrado para uma faixa de 1 a 6% de umidade. Um importante distúrbio neste processo é a
umidade dos grãos na alimentação. A Figura 4-15 foi obtida para uma variação de +1.0 mA na
saída do controlador (neste teste o controlador foi posto em manual). A Figura 4-16 mostra a
resposta do sistema em malha aberta quando ocorre uma variação de +2% na umidade da
corrente de alimentação.
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Controle de Processos
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F igura 4 -15 : Curva de reação para uma per t u rbação na sa ída do cont ro lador .
F igura 4 -16 : Curva de reação para uma per t u rbação na umidade da a l imentação
Pede-se para identificar as funções de transferência que associam a saída do controlador e
a umidade dos grãos na alimentação com a umidade dos grãos na saída do secador.
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Controle de Processos
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F igura 4 -17 : Secador de g rãos .
(4) O resultado de uma perturbação degrau aplicada a um reator químico é
mostrado na Figura 4-18. Esses dados foram obtidos através do aumento súbito da vazão da
corrente do reagente puro, do seu valor normal de 2.72 para 2.95 kg-mols/min.
F igura 4 -18 : Curva de reação para uma per t u rbação na vazão da cor ren te de a l imentação .
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Controle de Processos
Ricardo de Araújo Kalid – [email protected]
Encontram-se instalados os seguintes instrumentos:
(a) Uma válvula de controle, cuja vazão de descarga varia de 0 a 6.81 kg-mols/min de
reagente à medida que a pressão no diagrama varia de 1.02 a 0.20 atm. A válvula tem
constante de tempo de 20 segundos.
(b) Um dispositivo de medida de concentração, cuja saída elétrica varia de 0.15 a 2.0 mV, à
medida em que a fração molar do produto varia de 0.5 a 0.8 na corrente de saída, levando 12
min para processar cada amostra.
(c) Um transmissor que modifica sua saída de 4 a 20 mA à medida em que a entrada
elétrica varia de 0.05 a 3 mV.
(d) Um conversor que modifica sua saída de 0,2 a 1,2 (atm) à medida que a entrada varia de
4 a 20 mA.
Utilizando os instrumentos supracitados, desenvolva o fluxograma de controle deste
processo e identifique as funções de transferência entre o sinal pneumático da válvula de
controle de reagente (entrada) e a fração molar dos produtos na saída do reator (saída).
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C o n t r o l e d e P r o c e s s o s R i c a r d o d e A r a ú j o K a l i d – k a l i d @ u f b a . b r
Í N D I C E
CAPÍTULO 5. INSTRUMENTAÇÃO E VÁLVULAS DE CONTROLE 5-2
5.1. SELEÇÃO DE UM MEDIDOR DE VAZÃO 5-4 5.2. AUTOMAÇÃO INDUSTRIAL 5-8
Í N D I C E D E T A B E L A S Tabela 5-1: Guia de seleção de medidores de vazão. 5-2 Tabela 5-2: Etapas evolutivas dos sistemas de controle industriais. 5-7
Í N D I C E D E F I G U R A S Figura 5-1: Evolução dos Sistemas de Controle – Etapa I 5-5 Figura 5-2: Evolução dos Sistemas de Controle – Etapa II. 5-5 Figura 5-3: Evolução dos Sistemas de Controle – Etapa III. 5-5 Figura 5-4: Evolução dos Sistemas de Controle – Etapa IV. 5-6 Figura 5-5: Evolução dos Sistemas de Controle – Etapa V. 5-6 Figura 5-6: Evolução dos Sistemas de Controle – Etapa VI. 5-6 Figura 5-7: Evolução dos Sistemas de Controle – Etapa VII. 5-7
Página 5-2 de 8
C o n t r o l e d e P r o c e s s o s R i c a r d o d e A r a ú j o K a l i d – k a l i d @ u f b a . b r
C A P Í T U L O 5 . I N S T R U M E N T A Ç Ã O E V Á L V U L A S D E C O N T R O L E
A instrumentação industrial e um tema que por si só requer profissionais altamente
qualificados e especializados, principalmente para instrumentação analítica. Ao lado da teoria é
necessário um elevado conhecimento das normas utilizadas para dimensionar, aferir, calibrar,
montar e instalar os instrumentos.
O tema instrumentação industrial justifica um curso de graduação de 75 horas, no qual seria
abordado desde o projeto (dimensionamento) do instrumento até o conhecimento da
documentação necessária para compra e instalação do elemento primário de medição. Uma
boa referência sobre a documentação envolvida em projetos de sistemas de controle é a
monografia elaborada por Caiuby Alves da Costa: O Projeto de Controle e Instrumentação para
Processos Industriais.
A experiência e conhecimento prático também são fatores chaves para a formação de um
engenheiro de instrumentação com elevada qualificação técnica.
Embora formalmente não exista o curso de engenheiro de instrumentação, pode-se definir
claramente esta categoria entre as várias modalidades de engenharias. Nesta área atuam
engenheiros (de todas as formações), físicos, químicos, matemáticos, etc.
As referências citadas no início desta publicação cita as principais fontes de consulta para o
projeto, dimensionamento, instalação, calibração e aferição de instrumentos.
Medidores de canal aberto - A expressão "canal aberto" refere-se a qualquer elemento
condutor no qual o líquido flui com superfície areada. Dentro dos métodos mais comuns para
obter-se a vazão encontra-se o de profundidade. Existem diferentes desenhos de canais. O
método mais moderno de medição de altura é o ultra-sônico.
Na Tabela 5-1 estão as principais características dos instrumentos de medição de vazão:
Tabe la 5 -1 : Gu ia de se leção de med idores de vazão .
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Elementos de
Medição
Serviço recomendado
Rangea-bilidade
Perda de carga
Incerteza normal %
Trecho reto recomendado
Efeito de viscosidade
Orifício Fluidos limpos e com sol; alguns efluentes, vapor
4:1 Média + 2a +4F.E. 10 e 30 D Alto
Wedge Efluentes e fluidos viscosos 3:1 Baixa e
Média + 0.5a
+ 2F.E. 10 e 30 D Baixa
Tubo Ventum
Fluidos limpos com sólidos e viscosos e
alguns efluentes 4:1 Baixa + 1FE 5 e 20 D Alta
Bocal de fluxo
Fluidos limpos e com sólidos 4:1 Média
+ 1a + 2F.E.
10 e 30 D Alta
Tubo Pitor Líquidos limpos 3:1 Muito baixa
+ 3a +5F.E.
20 e 30 D Baixa
Elbow Meter
Líquidos limpos com sólidos e alguns
efluentes. 3:1 Muito
baixa + 5a
+ 10F.E. 30 D Baixa
Target Líquido limpos com sólidos viscosos e alguns efluentes
10:1 Média + 1a +5F.E. 10 e 30 D Média
Área variável
Líquidos limpos com sólidos viscosos 10:1 Média + 1a
+10F.E. Nenhum Média
Desloca-mento
Positivo
Líquidos limpos e viscosos 10:1 Alta + 0.5 de
vazão Nenhum Alto
Turbinas Fluidos limpos e viscosos 20:1 Média
+ 0.5%F.E.
para líquido +
1.0% F.E. para gases
5 e 10 D Alto
Nortex Fluidos limpos e viscosos 10:1 Média + 1 de
vazão 10 e 20 D Médio
Eletro-magnético
Líquidos condutivos limpos com sólidos
e efluentes ind. 30:1 Nenhum + 1.0 5 D Nenhum
Ultra-sônico
(doppler)
Líquido com sólidos viscosos e efluentes 10:1 Nenhum + 5F.E. 5 e 30 D Nenhum
Ultra-sônico
(tempo de viagem)
Líquidos limpos e viscosos 20:1 Nenhum + 1a
+5F.E. 5 e 30 D Nenhum
Mássico (Coriolis)
Limpos, com sólidos viscosos, alguns
efluentes 10:1 Baixa + 0.4 de
vazão Nenhum Nenhum
Mássico Limpos, com sólidos 10:1 Baixa + 1F.E. Nenhum Nenhum
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Elementos de
Medição
Serviço recomendado
Rangea-bilidade
Perda de carga
Incerteza normal %
Trecho reto recomendado
Efeito de viscosidade
(térmico) viscosos, alguns efluentes
Weir (V-Notch)
Líquidos limpos e com sólidos 100:1 Muito
baixa + 2a
+5F.E. Nenhum Muito Baixo
Calha (Parshall)
Líquidos limpos e com sólidos 50:1 Muito
baixa + 2a
+10F.E. Nenhum Muito Baixo
Nota: Os valores da incerteza indicados são médios, podendo haver variações em função de
fabricantes e/ou inovações tecnológicas.
5 . 1 . S e l e ç ã o d e u m M e d i d o r d e V a z ã o
O primeiro e mais importante passo é saber exatamente o que o instrumento deverá fazer.
Por exemplo: se a medição é para controle de processo ou para compra e venda. Que tipo de
sinal é requerido (proporcional ou fechamento de contato), ou apenas leitura local. Se o
produto a ser medido é viscoso, limpo ou sujo, eletricamente condutivo etc.
Levantados os dados, devemos avaliar os seguintes pontos, contra as características de
performance de cada tipo de medidor para selecionarmos a melhor opção:
a) Checar os tipos que têm condições de suportar as condições de operação: pressão, temperatura, corrosão, classificação da área. b) Verificar quais atendem aos requisitos de exatidão nas condições de processo. c) Verificar o (custo de aquisição + instalação) versus orçamento. d) Avaliar os requisitos de faturas manutenções: freqüência, custos, durabilidade, recalibrações. e) Perda de carga causada pelo medidor e nível de pulsação ou turbulência que possa causar. f) Adaptabilidade para futuras necessidades e facilidade de interfaceamento com o equipamento existente.
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PLANTA OPERADORSINALANALÓGICO
CAMPO
F igura 5 -1 : E vo lução dos S is temas de Cont ro le – E tapa I
CONTROLADORANALÓGICO 2
PLANTA SINALPNEUMATICO
CAMPO
CONTROLADORANALÓGICO 1
F igura 5 -2 : E vo lução dos S is temas de Cont ro le – E tapa I I .
CONTROLADORANALÓGICO 2
PLANTA SINALPNEUMATICO
CAMPO
CONTROLADORANALÓGICO 1
SALA DECONTROLE
F igura 5 -3 : Evo lução dos S is temas de Cont ro le – E tapa I I I .
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CONTROLADORANALÓGICO 2
PLANTA SINALELETRICO
CAMPO
CONTROLADORANALÓGICO 1
SALA DECONTROLE
CONVERSOR
I\P
F igura 5 -4 : E vo lução dos S is temas de Cont ro le – E tapa IV .
PLANTA SINALELETRICO
CAMPO
COMPUTADORCENTRAL
(DDC)
SALA DECONTROLE
CONVERSOR
I\P
CONVERSOR
I/D
F igura 5 -5 : E vo lução dos S is temas de Cont ro le – E tapa V .
PLANTASINAL
ELETRICO
CAMPOSALA DE
CONTROLE
CONVERSOR
I\P
CONVERSOR
I\D
CONTROLADORDIGITAL 2
CONTROLADORDIGITAL 1
F igura 5 -6 : E vo lução dos S is temas de Cont ro le – E tapa V I .
Página 5-7 de 8
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PLANTA
CAMPO SALA DECONTROLE
MULTIPLEXADOR
Controladordigital 1
ESTAÇÃO DEOPERAÇÃO E/OUCOMPUTADOR DE
PROCESSOControlador
digital 2
REDEFIELDBUS
F igura 5 -7 : E vo lução dos S is temas de Cont ro le – E tapa V I I .
Tabe la 5 -2 : E tapas e vo lu t i vas dos s is temas de cont ro le indust r ia is .
Etapa Controle Funções
geograficamente
Controladores geograficame
nte Tipo de sinal Observação
I Manual Distribuídas Não existiam Analógico-pneumático
Indicadores locais
II Automático Distribuídas Distribuídos Analógico-pneumático
Controladores de campo
III Automático Distribuídas Concentrados Analógico-pneumático
Sala de controle
IV Automático Distribuídas Concentrados Analógico – elétrico
Sala de controle
V Automático Concentradas ConcentradosAnalógico-
digital-analógico
DDC (controle digital direto)
VI Automático Distribuídas ConcentradosAnalógico-
digital-analógico
SDCD sem field bus
VII Automático Distribuídas Distribuídos Basicamente-digital
SDCD com field bus
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5 . 2 . A u t o m a ç ã o I n d u s t r i a l
Multidisciplinar:
(1) Engenharia de processos (engenheiro químico, mecânico, eletricista, sanitarista, de minas, etc.)
(2) Controle de processos (3) Engenharia de software * (4) Simulação e otimização de processos (5) Engenharia de “hardware” * (6) Instrumentação industrial (7) Inteligência artificial * (8) Informática * (9) Redes industriais *
* Intervenção dos profissionais de processamento de dados.
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Í N D I C E
CAPÍTULO 5. INSTRUMENTAÇÃO E VÁLVULAS DE CONTROLE 5-2
5.1. SELEÇÃO DE UM MEDIDOR DE VAZÃO 5-4 5.2. AUTOMAÇÃO INDUSTRIAL 5-8
Í N D I C E D E T A B E L A S Tabela 5-1: Guia de seleção de medidores de vazão. 5-2 Tabela 5-2: Etapas evolutivas dos sistemas de controle industriais. 5-7
Í N D I C E D E F I G U R A S Figura 5-1: Evolução dos Sistemas de Controle – Etapa I 5-5 Figura 5-2: Evolução dos Sistemas de Controle – Etapa II. 5-5 Figura 5-3: Evolução dos Sistemas de Controle – Etapa III. 5-5 Figura 5-4: Evolução dos Sistemas de Controle – Etapa IV. 5-6 Figura 5-5: Evolução dos Sistemas de Controle – Etapa V. 5-6 Figura 5-6: Evolução dos Sistemas de Controle – Etapa VI. 5-6 Figura 5-7: Evolução dos Sistemas de Controle – Etapa VII. 5-7
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C A P Í T U L O 5 . I N S T R U M E N T A Ç Ã O E V Á L V U L A S D E C O N T R O L E
A instrumentação industrial e um tema que por si só requer profissionais altamente
qualificados e especializados, principalmente para instrumentação analítica. Ao lado da teoria é
necessário um elevado conhecimento das normas utilizadas para dimensionar, aferir, calibrar,
montar e instalar os instrumentos.
O tema instrumentação industrial justifica um curso de graduação de 75 horas, no qual seria
abordado desde o projeto (dimensionamento) do instrumento até o conhecimento da
documentação necessária para compra e instalação do elemento primário de medição. Uma
boa referência sobre a documentação envolvida em projetos de sistemas de controle é a
monografia elaborada por Caiuby Alves da Costa: O Projeto de Controle e Instrumentação para
Processos Industriais.
A experiência e conhecimento prático também são fatores chaves para a formação de um
engenheiro de instrumentação com elevada qualificação técnica.
Embora formalmente não exista o curso de engenheiro de instrumentação, pode-se definir
claramente esta categoria entre as várias modalidades de engenharias. Nesta área atuam
engenheiros (de todas as formações), físicos, químicos, matemáticos, etc.
As referências citadas no início desta publicação cita as principais fontes de consulta para o
projeto, dimensionamento, instalação, calibração e aferição de instrumentos.
Medidores de canal aberto - A expressão "canal aberto" refere-se a qualquer elemento
condutor no qual o líquido flui com superfície areada. Dentro dos métodos mais comuns para
obter-se a vazão encontra-se o de profundidade. Existem diferentes desenhos de canais. O
método mais moderno de medição de altura é o ultra-sônico.
Na Tabela 5-1 estão as principais características dos instrumentos de medição de vazão:
Tabe la 5 -1 : Gu ia de se leção de med idores de vazão .
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Elementos de
Medição
Serviço recomendado
Rangea-bilidade
Perda de carga
Incerteza normal %
Trecho reto recomendado
Efeito de viscosidade
Orifício Fluidos limpos e com sol; alguns efluentes, vapor
4:1 Média + 2a +4F.E. 10 e 30 D Alto
Wedge Efluentes e fluidos viscosos 3:1 Baixa e
Média + 0.5a
+ 2F.E. 10 e 30 D Baixa
Tubo Ventum
Fluidos limpos com sólidos e viscosos e
alguns efluentes 4:1 Baixa + 1FE 5 e 20 D Alta
Bocal de fluxo
Fluidos limpos e com sólidos 4:1 Média
+ 1a + 2F.E.
10 e 30 D Alta
Tubo Pitor Líquidos limpos 3:1 Muito baixa
+ 3a +5F.E.
20 e 30 D Baixa
Elbow Meter
Líquidos limpos com sólidos e alguns
efluentes. 3:1 Muito
baixa + 5a
+ 10F.E. 30 D Baixa
Target Líquido limpos com sólidos viscosos e alguns efluentes
10:1 Média + 1a +5F.E. 10 e 30 D Média
Área variável
Líquidos limpos com sólidos viscosos 10:1 Média + 1a
+10F.E. Nenhum Média
Desloca-mento
Positivo
Líquidos limpos e viscosos 10:1 Alta + 0.5 de
vazão Nenhum Alto
Turbinas Fluidos limpos e viscosos 20:1 Média
+ 0.5%F.E.
para líquido +
1.0% F.E. para gases
5 e 10 D Alto
Nortex Fluidos limpos e viscosos 10:1 Média + 1 de
vazão 10 e 20 D Médio
Eletro-magnético
Líquidos condutivos limpos com sólidos
e efluentes ind. 30:1 Nenhum + 1.0 5 D Nenhum
Ultra-sônico
(doppler)
Líquido com sólidos viscosos e efluentes 10:1 Nenhum + 5F.E. 5 e 30 D Nenhum
Ultra-sônico
(tempo de viagem)
Líquidos limpos e viscosos 20:1 Nenhum + 1a
+5F.E. 5 e 30 D Nenhum
Mássico (Coriolis)
Limpos, com sólidos viscosos, alguns
efluentes 10:1 Baixa + 0.4 de
vazão Nenhum Nenhum
Mássico Limpos, com sólidos 10:1 Baixa + 1F.E. Nenhum Nenhum
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Elementos de
Medição
Serviço recomendado
Rangea-bilidade
Perda de carga
Incerteza normal %
Trecho reto recomendado
Efeito de viscosidade
(térmico) viscosos, alguns efluentes
Weir (V-Notch)
Líquidos limpos e com sólidos 100:1 Muito
baixa + 2a
+5F.E. Nenhum Muito Baixo
Calha (Parshall)
Líquidos limpos e com sólidos 50:1 Muito
baixa + 2a
+10F.E. Nenhum Muito Baixo
Nota: Os valores da incerteza indicados são médios, podendo haver variações em função de
fabricantes e/ou inovações tecnológicas.
5 . 1 . S e l e ç ã o d e u m M e d i d o r d e V a z ã o
O primeiro e mais importante passo é saber exatamente o que o instrumento deverá fazer.
Por exemplo: se a medição é para controle de processo ou para compra e venda. Que tipo de
sinal é requerido (proporcional ou fechamento de contato), ou apenas leitura local. Se o
produto a ser medido é viscoso, limpo ou sujo, eletricamente condutivo etc.
Levantados os dados, devemos avaliar os seguintes pontos, contra as características de
performance de cada tipo de medidor para selecionarmos a melhor opção:
a) Checar os tipos que têm condições de suportar as condições de operação: pressão, temperatura, corrosão, classificação da área. b) Verificar quais atendem aos requisitos de exatidão nas condições de processo. c) Verificar o (custo de aquisição + instalação) versus orçamento. d) Avaliar os requisitos de faturas manutenções: freqüência, custos, durabilidade, recalibrações. e) Perda de carga causada pelo medidor e nível de pulsação ou turbulência que possa causar. f) Adaptabilidade para futuras necessidades e facilidade de interfaceamento com o equipamento existente.
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PLANTA OPERADORSINALANALÓGICO
CAMPO
F igura 5 -1 : E vo lução dos S is temas de Cont ro le – E tapa I
CONTROLADORANALÓGICO 2
PLANTA SINALPNEUMATICO
CAMPO
CONTROLADORANALÓGICO 1
F igura 5 -2 : E vo lução dos S is temas de Cont ro le – E tapa I I .
CONTROLADORANALÓGICO 2
PLANTA SINALPNEUMATICO
CAMPO
CONTROLADORANALÓGICO 1
SALA DECONTROLE
F igura 5 -3 : Evo lução dos S is temas de Cont ro le – E tapa I I I .
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CONTROLADORANALÓGICO 2
PLANTA SINALELETRICO
CAMPO
CONTROLADORANALÓGICO 1
SALA DECONTROLE
CONVERSOR
I\P
F igura 5 -4 : E vo lução dos S is temas de Cont ro le – E tapa IV .
PLANTA SINALELETRICO
CAMPO
COMPUTADORCENTRAL
(DDC)
SALA DECONTROLE
CONVERSOR
I\P
CONVERSOR
I/D
F igura 5 -5 : E vo lução dos S is temas de Cont ro le – E tapa V .
PLANTASINAL
ELETRICO
CAMPOSALA DE
CONTROLE
CONVERSOR
I\P
CONVERSOR
I\D
CONTROLADORDIGITAL 2
CONTROLADORDIGITAL 1
F igura 5 -6 : E vo lução dos S is temas de Cont ro le – E tapa V I .
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PLANTA
CAMPO SALA DECONTROLE
MULTIPLEXADOR
Controladordigital 1
ESTAÇÃO DEOPERAÇÃO E/OUCOMPUTADOR DE
PROCESSOControlador
digital 2
REDEFIELDBUS
F igura 5 -7 : E vo lução dos S is temas de Cont ro le – E tapa V I I .
Tabe la 5 -2 : E tapas e vo lu t i vas dos s is temas de cont ro le indust r ia is .
Etapa Controle Funções
geograficamente
Controladores geograficame
nte Tipo de sinal Observação
I Manual Distribuídas Não existiam Analógico-pneumático
Indicadores locais
II Automático Distribuídas Distribuídos Analógico-pneumático
Controladores de campo
III Automático Distribuídas Concentrados Analógico-pneumático
Sala de controle
IV Automático Distribuídas Concentrados Analógico – elétrico
Sala de controle
V Automático Concentradas ConcentradosAnalógico-
digital-analógico
DDC (controle digital direto)
VI Automático Distribuídas ConcentradosAnalógico-
digital-analógico
SDCD sem field bus
VII Automático Distribuídas Distribuídos Basicamente-digital
SDCD com field bus
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5 . 2 . A u t o m a ç ã o I n d u s t r i a l
Multidisciplinar:
(1) Engenharia de processos (engenheiro químico, mecânico, eletricista, sanitarista, de minas, etc.)
(2) Controle de processos (3) Engenharia de software * (4) Simulação e otimização de processos (5) Engenharia de “hardware” * (6) Instrumentação industrial (7) Inteligência artificial * (8) Informática * (9) Redes industriais *
* Intervenção dos profissionais de processamento de dados.
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Í N D I C E
CAPÍTULO 6. SISTEMAS LINEARES EM MALHAS FECHADAS 6-6
6.1. DEFINIÇÕES 6-7
6.2. EXEMPLO DE UM SISTEMA DE CONTROLE: TANQUE DE AQUECIMENTO 6-9
6.3. TERMINOLOGIA 6-9
6.4. DIAGRAMA DE BLOCOS 6-10
6.5. FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA EM MALHA FECHADA 6-17
6.6. ÁLGEBRA DE DIAGRAMA LINEAR DE BLOCOS 6-19
6.7. FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA DE VÁLVULAS DE CONTROLE 6-21
6.8. FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA DE CONTROLADORES IDEAIS 6-22
6.9. FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA DE CONTROLADORES INDUSTRIAIS 6-24
6.10. COMPORTAMENTO DINÂMICO DE PROCESSOS COM SISTEMA CONTROLE FEEDBACK 6-31
6.11. AÇÃO DIRETA E AÇÃO REVERSA DO CONTROLADOR 6-42
6.12. PROJETO DE SISTEMAS DE CONTROLE FEEDBACK 6-46
6.13. MÉTODO DE SINTONIA RECOMENDADO: MÉTODO IMC OU MÉTODO Λ 6-57
6.14. EXERCÍCIOS 6-60
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Í N D I C E D E T A B E L A S Tabela 6-1: Operações com diagramas de bloco. 6-20
Tabela 6-2: Ação Direta do Controlador. 6-42
Tabela 6-3: Ação Reversa do Controlador. 6-43
Tabela 6-4: Características dinâmicas de variáveis de processo. 6-54
Tabela 6-5: Critério de Sintonia de Cohen & Coon. 6-55
Tabela 6-6: Critério de Sintonia de controladores pelo método λ-L. Método recomendado. 6-58
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Í N D I C E D E F I G U R A S Figura 6-1: Divisão do controle de processo. 6-7
Figura 6-2: Partes de um sistema 01. 6-8
Figura 6-3: Partes de um sistema 02. 6-8
Figura 6-4: Tanque de aquecimento. 6-9
Figura 6-5: Diagrama de blocos. 6-10
Figura 6-6: Tanque com aquecimento 02. 6-11
Figura 6-7: Diagrama de bloco do processo 01. 6-14
Figura 6-8: Diagrama de bloco do processo 02. 6-14
Figura 6-9: Diagrama de bloco do processo 03. 6-15
Figura 6-10: Diagrama de bloco do elemento primário de medição. 6-15
Figura 6-11: Diagrama de bloco do transmissor. 6-15
Figura 6-12: Diagrama de bloco do controlador proporcional. 6-16
Figura 6-13: Diagrama de bloco do conversor I/P. 6-16
Figura 6-14: Diagrama de bloco da válvula de controle. 6-16
Figura 6-15: Diagrama de blocos completo para o sistema de controle. 6-17
Figura 6-16: Mecanismo do controlador. 6-17
Figura 6-17: Diagrama de bloco para servomecanismo. 6-18
Figura 6-18: Diagrama de bloco para sistemas reguladores. 6-18
Figura 6-19: Redução de diagrama de blocos: (a) Diagrama original; (b) Primeira redução; (c) Diagrama
final com bloco único. 6-21
Figura 6-20: Diagrama de bloco da válvula de controle. 6-22
Figura 6-21: Mecanismo do controlador feedback. 6-31
Figura 6-22: Resposta em malha fechada de um sistema de 1ª ordem com controlador proporcional: (a)
perturbação no set point; (b) perturbação na carga. 6-33
Figura 6-23: Efeito do ganho do controlador na resposta de um sistema de 2ª ordem com controlador
proporcional. 6-35
Figura 6-24: Efeito do controlador na resposta de um sistema de 2ª ordem com apenas ação integral.
6-36
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Figura 6-25: Efeitos do controlador PID (Sistema regulador e perturbação em degrau). 6-39
Figura 6-26: Tanque com vazão de saída constante. 6-39
Figura 6-27: Diagrama de bloco para tanque com vazão de descarga constante. 6-40
Figura 6-28: Ação do controlador de temperatura de aquecedores de correntes através da manipulação da
vazão de vapor para o trocador. 6-44
Figura 6-29: Ação do controlador de temperatura de reatores (reação exotérmica) através da manipulação da
vazão de fluido refrigerante. 6-45
Figura 6-30: Controle de vazão de uma corrente cujo elemento final de controle seja uma válvula NA.
6-45
Figura 6-31: Tanque de aquecimento com agitação. 6-48
Figura 6-32: Sistema de controle para um tanque de aquecimento com agitação. 6-49
Figura 6-33: Processo com multiplicidade de estados estacionários. 6-50
Figura 6-34: Tanques não interativos em série. 6-61
Figura 6-35: Tanque de aquecimento com agitação. 6-62
Figura 6-36: Tanque não interativos com aquecimento. 6-63
Figura 6-37: Tanque pulmão. 6-64
Figura 6-38: Diagrama de blocos a. 6-65
Figura 6-39: Diagrama de blocos b. 6-65
Figura 6-40: Tanques em séries com controle de nível. 6-66
Figura 6-41: Tanques em série com aquecimento. 6-67
Figura 6-42: Tanque de aquecimento com agitação. 6-69
Figura 6-43: Diagrama de blocos exercício (11). 6-70
Figura 6-44: Tanque de mistura. 6-71
Figura 6-45: Diagrama de blocos para sistema de controle feedforward. 6-71
Figura 6-46: Diagrama de blocos para exercício (14). 6-72
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C A P Í T U L O 6 . S I S T E M A S L I N E A R E S E M M A L H A S F E C H A D A S
Processos físicos e/ou químicos estão sujeitos a influências as mais diversas e
imprevisíveis.
Ex.: Reator químico
Mudança da composição da alimentação
Desativação do catalisador
Lote de catalisador diferente
Ex.: Torre de destilação
Mudança da vazão, temperatura ou composição da alimentação
Controle de processos visa:
Produtos mais uniformes;
Aumento da qualidade dos produtos;
Aumento da segurança para equipamentos e pessoas;
Diminuição do consumo de energia;
Aumento do lucro.
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CONTROLE DE PROCESSO
MANUAL AUTOMÁTICO
PROCESSO SIMPLES PROCESSOS MUITO RÁPIDOS OU COMPLEXOSREGIÕES REMOTAS
OPERAÇÕES PERIGOSASOPERAÇÕES ROTINEIRAS
MAIS EFICIENTEMAIOR INVESTIMENTO INICIAL
MAIOR TAXA DE RETORNO
Figura 6-1: Divisão do controle de processo.
6 . 1 . D e f i n i ç õ e s
Sistema:
“Qualquer conjunto de unidades, entre as quais existem relações”
Um sistema é constituído de partes que formam um todo complexo, mas
organizado e que se inter-relacionam de tal maneira que o todo adquire características
próprias, diferente da simples soma das características de suas partes.
Exemplos:
Sistema do mundo físico:
Sistema solar
Sistema do mundo social:
Sistema político de um país
Sistema de trânsito de uma cidade
Sistemas do mundo tecnológico:
Sistema de computação eletrônica
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Sistema de produção de amônia
Sistema de controle de processos
Partes de um sistema:
1. Entrada ou “input”: aporte do meio externo para o sistema
2. Processo: série de operações ou transformações efetuadas no interior do sistema sobre as entradas.
3. Saída ou “output”: resultado da ação do sistema sobre as entradas, é o aporte do processo para o meio.
PROCESSOENTRADAESTÍMULO
"INPUT
SAÍDARESPOSTA"OUTPUT"
Figura 6-2: Partes de um sistema 01.
SUBSISTEMA 1
SISTEMA(META OU SUPRASISTEMA)
SUBSISTEMA 3SUBSISTEMA 2
Figura 6-3: Partes de um sistema 02.
Sistema de controle: “Disposição de componentes físicos, conectados ou relacionados de
maneira a comandar, dirigir ou regular a si mesmos ou a outros sistemas.”
Feedforward: A ação de controle é independente da saída (controle antecipatório)
Feedback: A ação de controle depende, de algum modo, da saída (realimentação)
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⎪⎩
⎪⎨
⎧→
⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
RIOANTECIPATÓ
ÇÃOREALIMENTA
ENTODESACOPLAMODISTRIBUÍD DIGITAL
DIRETO DIGITALIOSUPERVISÓR
ADAPTATIVORELAÇÃO
:CASCATA
CONTROLE DE SISTEMAS DE TIPOS
6 . 2 . E x e m p l o d e u m S i s t e m a d e C o n t r o l e : T a n q u e d e A q u e c i m e n t o
Procedimento possível:
1. Medir a variável a ser controlada (T);
2. Comparar t com o valor desejado (TSP);
3. Ligar ou desligar o aquecedor a depender da diferença TSP(t) – T(t).
T2(t), w2(t)
T1(t), w1(t)
vapor
condensadowst(t)TC
TT
Figura 6-4: Tanque de aquecimento.
6 . 3 . T e r m i n o l o g i a
Variável Controlada (VC ou PV): Variável a ser mantida no valor de
referência, por exemplo: temperatura T(t)
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Variável Manipulada (VM): Variável que recebe a ação do controlador,
variável que se modifica pela ação do elemento final de controle, ex.: vazão de vapor wst(t)
Distúrbio Externo (DE): Variável que interfere na variável controlada, ex.:
vazão w1(t) ou temperatura T1(t) da água fria ou vazão da água aquecida w2(t) – demanda do
processo ou vazão de vapor wst(t).
Variável Medida: Variável que é medida e serve como fonte de
informação para malha de controle, ex.: temperatura dentro ou na saída do tanque.
Elemento Final de Controle: Dispositivo físico que executa a ação de controle,
ex.: válvula de controle ou resistência elétrica.
Elemento Primário de Medição: Dispositivo físico que mensura as variáveis de
processo.
6 . 4 . D i a g r a m a d e B l o c o s
Apresenta visão global das relações entre as variáveis;
O sentido do fluxo de informações;
Função de cada uma das partes.
Diagrama de blocos:
( )sTSP
( )sTm
( )sT1
( )sT
( )sT
Figura 6-5: Diagrama de blocos.
Convenções:
Segmentos de reta: Representam sinais, que podem ser fluxos de informações, de
massa ou de energia.
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Junção circular: Soma algébrica dos sinais afluentes à junção (+ ou -).
A A + B
B
Ponto de ramificação: Reta que se ramifica em outra: divisão de um sinal em mais de um
canal sem sofrer modificação.
A
A
A
Retângulos: Representam uma modificação dos sinais efluentes e são usados
para simbolizar os elementos do sistema. Normalmente contêm as notações que descrevem as
características dinâmicas do sistema: Equações Diferenciais, Funções de Transferência, etc.
PROCESSOA B
√ Exemplo: Diagrama de blocos do tanque de aquecimento com agitação.
T2(t), w2(t)
T1(t), w1(t)
vapor
condensado
wst(t)Pst(t)TV
TE
OUT*(t)
TTT*m(t)
TCOUT(t)
h(t)
Figura 6-6: Tanque com aquecimento 02.
Variável controlada: T(t)
Distúrbios: w1(t), w2(t), wst(t), Pst(t), TSP(t), T1(t)
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Variável manipulada: wst(t)
Variável medida: Tm(t)
Hipóteses:
H01. w1(t) = w2 = constante
H02. Pst(t) = Pst = constante
Modelo para o processo
Balanço de Energia:
Equação 6-1 ( )[ ] ( ) ( ) ( )twtttdtd
stPPP ... 211 Κ+ΤΚ=Τ+Ττ
Onde,
Equação 6-2 s
qV
P ][==τ
Equação 6-3 Kg
sCCq
H
p
gf
P.][
..2
ο
ρ==Κ
Equação 6-4 lP aadimension][11 ==Κ
Modelo para o Elemento Primário de Medição
Equação 6-5 ( )[ ] ( ) ( )ttt
dtd
TEmmTE ΤΚ=Τ+Ττ .. **
Equação 6-6 s
AUCm
GTE ][
..
==τ
Onde,
T*m tem unidades do instrumento de medição, por exemplo, para termopar [ = ] mV
τTE é a constante de tempo do termopoço
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Equação 6-7 processodevariáveldarange
mediçãodeoinstrumentdorangeTE =Κ
Vamos assumir que a variável de processo T(t) esta compreendida no intervalo entre 50ºC e
150ºC, e que o termopar é do tipo T com a voltagem gerada, para este intervalo de
temperatura, entre 1.752 mV e 1.518 mV. Então:
Equação 6-8 CmV
CCmVmV
TE οοο 00234.050150518.1752.1
=−−
=Κ
Modelo para o Transmissor
Equação 6-9 ( ) ( )( ) mAtt minmTTm 4+Τ−ΤΚ=Τ **.
Onde,
T*min = 1.518mV ; Tm(t) [ = ] mA ; e
( )( ) mV
mAmVmV
mAmATT 3761.63
518.1752.1420
=−−
=Κ
Modelo para o Controlador
Por exemplo para controlador modo proporcional:
Equação 6-10 (t))T - (t).(TK BIAS OUT(t) mSPC+=
ou
Equação 6-11 (T) .EK BIAS OUT(t) C+=
Utilizando variáveis desvio:
Equação 6-12 (T).K(t)OUT c E=
Onde,
Equação 6-13 ( ) ( ) ( ) errottTT mSP −Τ−=E
Modelo para o Conversor I/P
Por exemplo assumindo válvula linear com atraso de 1ª ordem:
Equação 6-14 ( ) ( )( ) psigmAtOUTtOUT TY 34* +−Κ=
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Onde,
OUT*(t) [ = ] psig
Equação 6-15
( )( ) mA
psigmAmApsigpsig
TY 75.0420315
=−−
=Κ
Modelo para Válvula de Controle
Por exemplo assumindo válvula linear com atraso de 1ª ordem:
Equação 6-16 ( )[ ] ( ) ( )TOUTtWtW
dtd
VststV*.. Κ=+τ
Onde, KV [ = ] kg/h / psig
Da Equação 6-8 a Equação 6-16 representam o sistema utilizado a abordagem por
equações de estado (equações fenomenológicas). Para fins de controle de processos uma
forma muito conveniente de representar o comportamento dinâmico de processos é através de
modelos de entrada/saída, isto é, utilizando funções de transferência. A seguir, vemos a
representação das funções de transferência e do diagrama de blocos da Equação 6-8 a
Equação 6-16.
Função de transferência e diagrama de blocos para o processo
Equação 6-17 ( ) ( )
( ) 1.1
11 +
Κ==
ssTsTsG
P
PP τ
( )sT1 ( )sT( )sGP1
Figura 6-7: Diagrama de bloco do processo 01.
Equação 6-18 ( ) ( )
( ) 1.2
2 +Κ
==ssW
sTsGP
P
stP τ
( )swst ( )sT( )sGP2
Figura 6-8: Diagrama de bloco do processo 02.
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Equação 6-19 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )sGsWsGsTsT PstP 211 .. +=
( )swst ( )sT( )sGP2
( )sT1
( )sGP1
Σ
Figura 6-9: Diagrama de bloco do processo 03.
Função de transferência e diagrama de blocos para o elemento primário de
medição
Equação 6-20 ( )
( ) 1.
*
+Κ
==ssT
TsGTE
TEmTE τ
GTE(s)( )sT m*( )sT
Figura 6-10: Diagrama de bloco do elemento primário de medição.
Função de transferência e diagrama de blocos para o transmissor
Equação 6-21 ( ) ( )
( ) TTm
mTT
sT
sTsG Κ== *
( )sTm( )sGTT
( )sT m*
Figura 6-11: Diagrama de bloco do transmissor.
Função de transferência e diagrama de blocos para controlador proporcional
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Equação 6-22 ( ) ( )
( )( )
( ) ( ) CmSP
C sssOUT
ssOUTsG Κ=
Τ−Τ==
E
( )sOUT *( )sGC
( )sE( )sTSPΣ
( )sT m*
Figura 6-12: Diagrama de bloco do controlador proporcional.
Função de transferência e diagrama de blocos para o conversor I/P
Equação 6-23 ( ) ( )
( ) CTY sOUTsOUTsG Κ==
*
( )sTUO *( )sGTY( )sTUO
Figura 6-13: Diagrama de bloco do conversor I/P.
Função de transferência e diagrama de blocos para a válvula de controle
Equação 6-24 ( ) ( )
( ) 1.* +Κ
==ssOUT
sWsGV
VstV τ
( )sTUO *( )sGV
( )sWst
Figura 6-14: Diagrama de bloco da válvula de controle.
Diagrama de blocos para o sistema de controle
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( )sTm
( )sGTT
( )sT m*( )sGTE
( )sT
( )sT1
( )sGP1
Σ( )sGC
( )sE( )sTSPΣ
( )sTUO *( )sGTY
( )sTUO( )sGV
( )sWst ( )sGP2
++
( )sT
Figura 6-15: Diagrama de blocos completo para o sistema de controle.
6 . 5 . F u n ç ã o d e T r a n s f e r ê n c i a e m M a l h a F e c h a d a
Utilizando uma nomenclatura padrão para sistemas de controle, além das destacadas no
final da apostila:
Erro E = R ± B
G1 Função de transferência do elemento final de controle
G2 Função de transferência do processo
CGERΣ
B
1G M Σ
U
C2G
H
+/-+
+
+
Figura 6-16: Mecanismo do controlador.
OBS.: Todas as variáveis são desvios no domínio de Laplace.
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6 . 5 . 1 . S e r v o m e c a n i s m o s e s i s t e m a s r e g u l a d o r e s
√ Servomecanismos:
U = 0 Não ocorre distúrbio na carga
R ≠ 0 Mudança no set point
R CHG
G.1∓
CGER Σ
B
1G M C2G
H
+/-+
Figura 6-17: Diagrama de bloco para servomecanismo.
Equação 6-25
HGG
RC
CHB
GGMMGC
c
.1 HC)G.(RB)G.(R C
Gc.G1.G2 CGc.G1.G2.E C
.BR
. 1
2
∓∓=⇒
⎪⎩
⎪⎨
⎧
+=+===
⇒
⎩⎨⎧
==
⎩⎨⎧
==
E
E
Onde HG
GRC
.1∓= é a função de transferência global que relaciona C com R.
√ Sistemas Reguladores:
U ≠ 0 Ocorre distúrbios na carga
R = 0 Set point não se modifica
U CHG
G.1
2
∓
CGE0=R Σ
B
1G M C2G
H
+/-+Σ
U
+
+
Figura 6-18: Diagrama de bloco para sistemas reguladores.
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Equação 6-26
( )
HGG
RC
HCGGCHB
GGMMUGC
C
c
.1 GC).UG)G.(U C
.G1.G2G C.E.GG .(UG C
.B
.2
21
c
1Cc1
2
∓∓=⇒
⎪⎩
⎪⎨
⎧
+=+==
+=⇒
⎩⎨⎧
==
⎩⎨⎧
=+=
E
E
HGG
UC
.∓12=
função de transferência global que relaciona C com R.
Observações:
1. Equação característica: 1 ± G.H = 0 ⇒ a resposta dinâmica do processo em malha fechada depende da dinâmica do processo e, também, da dinâmica dos sensores, controladores e elementos finais de controle.
2. Servomecanismos ou sistema regulador o denominador da função transferência é o mesmo: 1 ± G.H função de transferência de malha aberta: G.H = GC.G1.G2.H
3. O numerador da função de transferência é o resultado do produto das funções de transferência entre o distúrbio e a saída:
Servomecanismo: G = GC.G1.G2
Sistema regulador: G2
4. Normalmente, os sistemas tem retroação negativa: E = R - B mas, em sistema de controle complexo, com muitas malhas, pode ocorrer a retroação positiva: E = R + B. este comportamento conduz a instabilidade.
5. Lembrado que o princípio da superposição é válido (sistema linear), a resposta do sistema a variação simultânea de R e U é:
Equação 6-27 U
HGGR
HGGC .
..
. ±+
±=
112
6 . 6 . Á l g e b r a d e D i a g r a m a L i n e a r d e B l o c o s
Na Tabela 6-1 temos a representação de equações algébricas através de diagramas de
blocos e regras para redução desses diagramas a estruturas mais simples.
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Tabela 6-1: Operações com diagramas de bloco.
A letra P representa qualquer função de transferência, W, X, Y, Z representam quaisquer
sinais no domínio de Laplace.
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Exemplo: Redução de Diagramas de Blocos.
Figura 6-19: Redução de diagrama de blocos: (a) Diagrama original; (b) Primeira redução;
(c) Diagrama final com bloco único.
6 . 7 . F u n ç ã o d e t r a n s f e r ê n c i a d e v á l v u l a s d e c o n t r o l e
Toda válvula apresenta sempre algum retardo dinâmico de experiências em válvulas
pneumáticas:
Equação 6-28 1.)(1 +=
sK
sGV
V
τ
Onde,
Kv é a constante de proporcionalidade entre a vazão em estado estacionário e a pressão no
topo da válvula.
Em instalações industriais τV << τ dos outros componentes
τV = 10s (valor típico), enquanto τ = 60s → G1(s) = Kv (retardamento dinâmico desprezível)
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( )sX1 ( )sKV( )sX 2
Figura 6-20: Diagrama de bloco da válvula de controle.
6 . 8 . F u n ç ã o d e T r a n s f e r ê n c i a d e C o n t r o l a d o r e s I d e a i s
Os sistemas de controle feedback necessitam de um elemento que compare o valor
desejado (set point) com o valor medido e então envie um sinal para a válvula de controle,
abrindo ou fechando a mesma. Nesta seção, discutiremos alguns tipos de controladores:
proporcional (P), proporcional mais integral (PI), proporcional mais derivativo (PD) e o
proporcional mais integral mais derivativo (PID).
6 . 8 . 1 . C o n t r o l a d o r M o d o P r o p o r c i o n a l ( P )
Produz um sinal de saída (pressão para controlador pneumático; tensão ou corrente para
controlador eletrônico) proporcional ao erro mensurado.
Equação 6-29 ( ) ( )tBIAStOUT c E.Κ+=
ou
Equação 6-30 ( ) ( )ttOUT c E.Κ=
Função de transferência:
Equação 6-31 ( ) ( )
( ) CCsOUTsG Κ==
sE
6 . 8 . 2 . C o n t r o l e l i g a - d e s l i g a ( o n - o f f )
Controlador proporcional com um ganho muito elevado (KC muito grande), com banda morta.
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6 . 8 . 3 . C o n t r o l e M o d o P r o p o r c i o n a l + I n t e g r a l ( P I )
Equação 6-32 ( ) ( ) ( ) BIASdttttOUT
toI
c +⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡τ
+Κ= ∫ EE .. 1
Equação 6-33 ( ) ( ) ( ) ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡τ
+Κ= ∫tcI
c dttttOUT EE .. 1
Função de transferência:
Equação 6-34 ( ) ( )
( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+Κ==
ssOUTsG
ICC .
11.s τE
6 . 8 . 4 . C o n t r o l e M o d o P r o p o r c i o n a l + D e r i v a t i v o ( P D )
Equação 6-35 ( ) ( ) ( ) BIASdtOUT DC +⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ +Κ=
dtt.t. EE τ
Função de transferência:
Equação 6-36 ( ) ( )
( ) [ ]ssOUTsG DCC .1.s
τ+Κ==E
6 . 8 . 5 . C o n t r o l e M o d o P r o p o r c i o n a l + I n t e g r a l + D e r i v a t i v o ( P I D )
Equação 6-37 ( ) ( ) ( ) ( ) BIASd
o dttOUT D
t
C +⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ ++Κ= ∫ dt
t.tt. EEE τ
Equação 6-38 ( ) ( )
( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡++Κ== s
ssOUTsG D
ICC .
.11.
sτ
τE
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6 . 9 . F u n ç ã o d e T r a n s f e r ê n c i a d e C o n t r o l a d o r e s I n d u s t r i a i s
A prática determina que variações bruscas devem ser evitadas, o que torna inconveniente
aplicar as equações de controladores ideais em sistemas de controle reais. Para tanto, a ação
derivativa nunca incide sobre o erro E(t), mas sobre a própria variável de processo medida:
Equação 6-39
( ) ( ) ( ) ( )dt
tdPVdt
tPVtdSPdt
td−≅
−=
E
A Equação 6-39 é exata quando as perturbações acontecem na carga, isto é, o set point é
constante. Outro procedimento que visa suavizar a ação de controle é fazer que a ação
proporcional incida somente sobre a variação da variável de estado e não sobre a função erro:
Equação 6-40 ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡++
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+Κ=
1..1.
..
11.s
ss
GD
D
ICC τα
ττ
Onde 0.05 < α < 0.1 e no limite para α → 0, obtemos a função de transferência do
controlador ideal PID.
Por outro lado em sistema digitais os sinais são discretos e as operações de integração e
derivação devem ser aproximadas. Existem basicamente dois algoritmos de controladores
digitais:
6 . 9 . 1 . C o n t r o l a d o r d e P o s i ç ã o
Aproximando a integral e derivada por:
Equação 6-41
( )∫ ∑=Κ
Δ≅to
nn tdtt
1.EE
Equação 6-42 tEE
dttdE nn
Δ−
= −1)(
Então,
Equação 6-43
( )⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−
Δ
τ+
τΔ
+Κ+= ∑=Κ
n1-nn
pn
Incn t
tBIASOUT1
EEEE ...
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6 . 9 . 2 . C o n t r o l a d o r d e V e l o c i d a d e
De
Equação 6-44 ( ) ( ) BIAStOUTtOUT −=
Então,
Equação 6-45 BIASOUTOUT nn −=
E
Equação 6-46 BIASOUTOUT nn −= −− 11
Logo,
Equação 6-47 nnnnnn OUTOUTOUTOUTOUTOUT Δ=−=−=Δ −− 11
Então,
Equação 6-48 1−+Δ= nnn OUTOUTOUT
Onde,
Equação 6-49 ( ) ( )⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+−
Δ+
Δ+−Κ=Δ 2-n1-nnn1-nn .2... EEEEEE
ttOUT P
Icn
ττ
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Tabela 5.04: Controladores contínuos PID ideais. Tipo de controlador Equação no domínio do tempo Funções de transferência Observações
P proporcional ( ) ( )tKctOP ε.= + bias ( ) KcsGc = alproporcionbandaPBKc
PB −= ,100
I integral ( ) ( )∫=t
I
dtttOP0
1 ετ
+ bias ( )s
sGcI .1
τ=
D derivativo ( ) ( )( )dt
tdtOP Dετ= + bias ( ) ssGc D .τ=
PI proporcional + integral
( ) ( ) ( )∫+=t
I dttKtKctOP0
.. εε + bias ( )s
KKcsGc I+= Não interativo: I
cI
KK
τ=
( ) ( ) ( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+= ∫
t
I
dtttKctOP0
1. ετ
ε + bias ( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+=
sKcsGc
Iτ11 Interativo
PD proporcional + derivativo
( ) ( ) ( )( )dt
tdKtKctOP Dεε += . + bias ( ) sKKcsGc D .+= Não interativo: DCD KK τ.=
( ) ( ) ( )( )⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ +=
dttdtKctOP D
ετε. + bias ( ) [ ]sKcsGc Dτ+= 1 Interativo
PID proporcional +
integral + derivativo
( ) ( ) ( ) ( )( )dt
tdKdttKtKctOP D
t
Iεεε ...
0
++= ∫ +
bias
( ) sKs
KKcsGc DI .++=
Não interativo:
I
cI
KK
τ= e DCD KK τ.=
( ) ( ) ( ) ( )( )⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡++= ∫ dt
tddtttKctOP D
t
I
ετετ
ε0
1.
+ bias
( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡++= s
sKcsGc D
I
..
11 ττ
Interativo
Legenda: ( ) ( ) ( )( ) setpoint−
−=tSP
tPVtSPtε , Kc – ganho proporcional , τI – tempo integral (min/repetição) , τD – tempo derivativo (min)
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Tabela 5.05: Controladores analógicos PID industriais.
Tipo de controlador Equação no domínio do tempo ou
funções de transferência (domínio de Laplace) Observações
P proporcional ( ) ( )tKctOP ε.= + bias alproporcionbandaPBKc
PB −= ,100
I integral ( ) ( )∫=t
i
dtttOP0
1 ετ
+ bias
D derivativo ( ) ( )( )dt
tPVdtOP Dτ−= + bias Ação derivativa apenas sobre a PV
PI proporcional +
integral
( ) ( ) ( )∫+=t
I dttKtKctOP0
.. εε + bias Não interativo: I
cI
KK
τ=
( ) ( ) ( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+= ∫
t
I
dtttKctOP0
1. ετ
ε + bias Interativo
P-D proporcional +
derivativo
( ) ( ) ( )( )dt
tPVdKtKctOP D−= ε. + bias Não interativo: DCD KK τ.=
( ) ( ) ( )( )⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −=
dttPVdtKctOP Dτε. + bias Interativo
PI-D proporcional +
integral + derivativo ( ) ( ) ( ) ( )( )
dttPVdKdttKtKctOP D
t
I −+= ∫0
.. εε + bias Não interativo I
cI
KK
τ= e DCD KK τ.=
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( ) ( ) ( ) ( )( )⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−+= ∫ dt
tPVddtttKctOP D
t
I
τετ
ε0
1. + bias Interativo
PID proporcional +
integral + derivativo
( )1.
.+
++=s
sKs
KKcsGc DI
γ Não interativo:
I
cI
KK
τ= e DCD KK τ.=
( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=
1..1
.11
ss
sKcsGc D
I γτ
τ Interativo
Legenda: γ - constante de tempo do filtro da ação derivativa
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Tabela 5.06: Controladores digitais (discretos) PID industriais. Tipo de controlador Equações no domínio do tempo discreto Observações
P proporcional
kk KcOP ε.= + bias algoritmo de posição
[ ]1
1 ..
−
−
+Δ=Δ=−=Δ
kkk
kkkk
OPOPOPKcKcOP εεε
algoritmo de velocidade
PID proporcional
+ integral + derivativo
( )⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡Δ
Δ⋅+Δ+= ∑
= ttKcOP k
D
k
jj
Ikk
ετε
τε
0.1. + bias algoritmo de posição
( )[ ]⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
ΔΔΔ
+Δ
+Δ=Δt
tKcOP k
DI
kkk
ετ
τε
ε.
. algoritmo de velocidade
PI-D
proporcional
+ integral
+ derivativo (na PV)
( )
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
ΔΔ
−Δ
+=∑=
tPV
tKcOP k
DI
k
jj
kk ττ
εε 0
.. + bias
algoritmo de posição com ação
derivativa sobre a PV
( )[ ]⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
ΔΔΔ
⋅−Δ
+Δ=Δt
PVtKcOP kD
I
kkk τ
τεε ..
algoritmo de velocidade com ação
derivativa sobre a PV
I-
PD
Integral +
+ proporcional (na
PV) + derivativo (na
[ ] ( )
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
ΔΔ
−−−Δ
=∑=
tPV
PVPVt
KcOP kDrefk
I
k
jj
k ττ
ε0
.. + bias
algoritmo de posição com ações
proporcional e derivativa
apenas sobre a PV
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PV)
( )[ ]⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
ΔΔΔ
−Δ−Δ
=Δt
PVPV
tKcOP k
DkI
kk τ
τε .
.
algoritmo de velocidade com ações
proporcional e derivativa
apenas sobre a PV
MAIS CONSERVADOR
Legenda: Δt – tempo de amostragem da malha de controle
( )[ ] ( ) ( )1−Δ−Δ=ΔΔ kkk PVPVPV
( ) 1−−=Δ kkk PVPVPV
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6 . 1 0 . C o m p o r t a m e n t o D i n â m i c o d e P r o c e s s o s c o m S i s t e m a C o n t r o l e F e e d b a c k
CGERΣ
B
1G M Σ
U
C2G
H
+/-+
+
+
Mecanismo do controlador
Figura 6-21: Mecanismo do controlador feedback.
Vimos que a resposta de um sistema controle de feedback é:
Equação 6-50 HGUG
HGGRC
..
. ++
+=
112
Onde:
Equação 6-51 HGGHHG c .... 21=
6 . 1 0 . 1 . C o n t r o l a d o r P r o p o r c i o n a l e S i s t e m a d e 1 ª O r d e m
Equação 6-52
( )1.
..
1. ª1
Pr
1
2
1
+ΚΚ
=⇒
⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪
⎬
⎫
+Κ
=⇒
Κ=⇒
==⇒
sHG
ssGordemdeSistema
GoporcionalrControlado
GHrsimplificaPara
P
PC
P
P
CC τ
τ
Equação 6-53 Us
Rs
CPCP
P
PCP
PC ..1.
..1
.ΚΚ++
Κ+
ΚΚ++ΚΚ
=ττ
Dividindo e multiplicando por (1 + KC.KP), obtemos:
Equação 6-54 Us
Rs
C UPR .1.
.1.
.+′
Κ+
+′ΚΚ
=ττ
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Onde,
Equação 6-55 PC
P
ΚΚ+=′
.1τ
τ
Equação 6-56 PC
PCR ΚΚ+
ΚΚ=Κ
.1.
Equação 6-57 PC
Pu ΚΚ+
Κ=Κ
.1
O sistema com controle proporcional continua sendo de 1ª ordem;
KR e KU são denominados ganhos estacionários em malha fechada;
KR < KC.KP e KU < KP → Ganhos estacionários menores;
τ’ < τP → Resposta da malha fechada mais rápida.
√ Problema Servo
Perturbação em degrau unitário:
Equação 6-58 ( ) ( )t 1u R s sο ⇒ =
Equação 6-59 ( )
ssR
ssC RR 1.
1..
1. 0 U
+′Κ
=+′
Κ=⇒=
ττ
Equação 6-60 ( ) ( )τ′−−Κ= tR etC 1.
Equação 6-61 ( ) RCt Κ=∞∞→ ,
Desvio permanente = nova referência – valor alcançado
Equação 6-62 0
.11
.1.
1-1offset R ≠ΚΚ+
=ΚΚ+
ΚΚ−=Κ=
PCPC
PC
√ Problema Regulador
Equação 6-63 ( )
ssU
ssC UU 1.
1..
1. 0 R
+′Κ
=+′
Κ=⇒=
ττ
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Equação 6-64 ( ) ( )τ′−−Κ= tU etC 1.
Equação 6-65 ( ) UCt Κ=∞∞→ ,
Equação 6-66 0
11
11 ≠
ΚΚ+=
ΚΚ+
ΚΚ−=Κ=
pcpc
pcR-1
...
offset
Figura 6-22: Resposta em malha fechada de um sistema de 1ª ordem com controlador
proporcional: (a) perturbação no set point; (b) perturbação na carga.
Observação: offset = 0 para KC → ∞, mas causa instabilidade.
6 . 1 0 . 2 . C o n t r o l a d o r P r o p o r c i o n a l e S i s t e m a d e 2 ª O r d e m
Equação 6-67 U
HGGGG
RHGGG
GGGC
cC
C ...1
....1
..
21
2
21
21
++
+=
Para simplificar:
Equação 6-68 11 == GH
Controlador Proporcional:
Equação 6-69 CCG Κ=
Sistema de 2ª ordem:
Equação 6-70 ( )
1...2. 222 ++Κ
=ss
sG P
τζτ
Equação 6-71 ( ) R
sssC R .
1...2. 0 U 22 +′′+′
Κ=⇒=
τζτ
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Onde,
Equação 6-72 ( ) 21.1 PC ΚΚ+=′
ττ
Equação 6-73 ( ) 21.1 PC ΚΚ+=′
ζζ
Equação 6-74 PC
PCR ΚΚ+
ΚΚ=Κ
.1.
O sistema com controle proporcional continua sendo de 2ª ordem;
ζ’ < ζ → Resposta da malha fechada é menos amortecida que na malha aberta,
o sistema pode oscilar na malha fechada;
τ’ < τP → Resposta da malha fechada mais rápida.
Perturbação em degrau unitário:
Equação 6-75 ( ) ( ) ssRt 1=⇒ου
Equação 6-76 ( )
ssSsC R 1.
1..2. 22 +′+′Κ
=⇒ − ζτ
Teorema do valor final:
Equação 6-77
( ) ( )[ ] RtC sCss
Κ=→
=∞→ .lim0
Equação 6-78 PCPC
PCR ΚΚ+
=ΚΚ+
ΚΚ−=Κ−=
.11
.1.
11offset
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Figura 6-23: Efeito do ganho do controlador na resposta de um sistema de 2ª ordem com
controlador proporcional.
6 . 1 0 . 3 . C o n t r o l a d o r I n t e g r a l e S i s t e m a d e 1 ª O r d e m
Equação 6-79 U
HGGGGR
HGGGGGG
CcC
C ....1
....1
..
21
2
21
21
++
+=
Para simplificar:
Equação 6-80 11 ==GH
Controlador integral:
Equação 6-81 s
GI
CC .1.
τΚ=
Sistema de 1ª ordem:
Equação 6-82 ( )1.2 +
Κ=
ssG
P
P
τ
√ Problema Servo
Equação 6-83 ( ) Rss
sCU .1...2.
10 22 +′′+′=⇒=
τζτ
O sistema com controle integral aumentou a ordem do sistema, passou de 1ª para
2ª ordem, ou seja, acrescentou um pólo.;
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Quanto maior a ordem de um sistema, mais susceptível a ocorrência de oscilações,
isto acontece com o controlador integral.
Onde,
Equação 6-84 PCP
I
PC
PI
ΚΚ=−′
ΚΚ=′
..21,
..
ττ
ζττ
τ
Perturbação em degrau unitário:
Equação 6-84 ( ) ( ) ssRu 1t o =⇒
Equação 6-85 ( )sss
sC 1.1...2.
122 +′′+′
=τζτ
Teorema do valor final:
Equação 6-86 ( ) ( )[ ] 1sC.slim0
=→
=∞→s
tC
Equação 6-87 Offset = 1 – 1 = 0
O controle integral elimina o offset;
A forma da resposta dos sistema depende de KC e τI, pois o fator de amortecimento
é função desses parâmetros;
Aumentando KC ou diminuindo τI, a resposta do sistema fica mais rápida, mas ζ
diminui (aumento da oscilação).
Figura 6-24: Efeito do controlador na resposta de um sistema de 2ª ordem com apenas ação
integral.
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6 . 1 0 . 4 . A ç ã o D e r i v a t i v a d e u m C o n t r o l a d o r e S i s t e m a d e 1 ª O r d e m
Equação 6-88 UHGGG
GR
HGGGGGG
CCC
C ....1
....1
..
21
2
21
21
++
+=
Para simplificar:
Equação 6-89 11 ==GH
Controlador derivativo:
Equação 6-90 sG DCC ..τΚ=
Sistema de 1ª ordem:
Equação 6-91 ( )1.2 +
Κ=
ssG
P
P
τ
√ Problema Servo
Equação 6-92 ( ) ( ) Rs
ssCU
DPCP
DPC .1...
...0
+ΚΚ+ΚΚ
=⇒=τττ
Perturbação em degrau unitário:
Equação 6-93 ( ) ( ) ssRu 1t o =⇒
Equação 6-94 ( ) ( ) sss
sCDPCP
DPC 1.1...
...+ΚΚ+
ΚΚ=
τττ
Teorema do valor final:
Equação 6-95 ( ) ( )0
lim s . C s 0s
C t→
→ ∞ = =⎡ ⎤⎣ ⎦
Equação 6-96 Offset = 1 – 0 = 1
O sistema com controle proporcional continua sendo de 1ª ordem;
O modo derivativo acrescentou um zero ao sistema;
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O modo derivativo só tem efeito quando o erro não é constante, por isso o valor
alcançado não é o mesmo no modo inicial;
O modo derivativo nunca atua sozinha, sempre está acompanhada do modo
proporcional, no mínimo;
Tem efeito contrário ao modo integral;
Não pode ser utilizada quando a medição apresenta ruído (medição de vazão) ou
quando o processo é muito rápido, a menos que algum filtro seja aplicado.
6 . 1 0 . 5 . C o m b i n a ç ã o e n t r e o s t i p o s d e c o n t r o l a d o r e s
a. Proporcional (P)
b. Proporcional-Integral (PI)
c. Proporcional-Integral-Derivativo (PID)
√ Efeitos do Controlador P:
1. A ordem do sistema permanece a mesma;
2. Deixa offset;
3. Com aumento de KC a resposta do sistema torna-se mais rápida e para sistemas de ordem superior a 2 mais oscilatória;
4. Se KC muito grande o sistema torna-se on-off.
√ Efeitos do Controlador PI
1. A ordem do sistema cresce (devido a ação integral);
2. O offset é eliminado (devido a ação integral);
5. Com o aumento de KC a resposta do sistema torna-se mais rápida e mais oscilatória (efeito da ação proporcional e da ação integral);
3. Se KC é muito grande, o sistema torna-se instável;
6. Para KC constante, a diminuição de τI torna a resposta mais rápida e mais oscilatória (efeito da ação integral).
√ Efeitos do Controlador PID
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Figura 6-25: Efeitos do controlador PID (Sistema regulador e perturbação em degrau).
6 . 1 0 . 6 . C o n t r o l a d o r P r o p o r c i o n a l e P r o c e s s o s C a p a c i t i v o s
Processos que apresentam um termo s1 na sua função de transferência quando submetido
a um controlador proporcional não exibem offset para mudança no set point, mas exista offset
para mudança na carga, enquanto a perturbação persistir.
Exemplo: Nível de um tanque cuja vazão de saída é constante
q1(t) qd(t)
q2 = cte.
h(t)LTLC
LY
Figura 6-26: Tanque com vazão de saída constante.
Onde,
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q1(t) Variável manipulada
qd(t) Distúrbio
q2 Vazão de saída constante
h(t) Variável controlada
Balanço de massa:
Equação 6-97 ( ) ( ) ( ) 21. qtqtq
dttdhA d −+=
Utilizando variáveis desvio:
Equação 6-98 ( ) ( ) ( )tqtq
dttdhA d+= 1.
Aplicando Laplace e rearrumando:
Equação 6-99 ( ) ( ) ( )sqsA
sqsA
sh d..1.
.1
1 +=
Ou
Equação 6-100 ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ]sqsqsGsqsqsA
sh dPd +=+= 11 ...
1
O diagrama de blocos deste sistema é:
CG)(shSP
Σ YG Σ PG
mG
VG
TG
( )sq1
( )sq d
( )sh
Figura 6-27: Diagrama de bloco para tanque com vazão de descarga constante.
Para Controlador Proporcional:
Equação 6-101 ( ) CC sG Κ=
Assumindo:
Equação 6-102 (F.T. elemento de medição) → Gm(s) = 1
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Equação 6-103 (F.T. transmissor) → GT(s) = 1
Equação 6-104 (F.T. conversor I/P) → GY(s) = 1
Equação 6-105 (F.T. válvula de controle) → GV(s) = 1
Então a resposta ( )sh com uma perturbação no set point ou na carga é dada por:
Equação 6-106 ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )sqsGsG
sGshsGsG
sGsh dmT
PSP
mT .1.
.1 ++
+=
Onde,
Equação 6-107 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )sGsGsGsGsG PVYC ...=
e
Equação 6-108 ( ) ( ) ( )sGsGsG TmmT .=
Substituindo as várias funções de transferência s e rearrumando:
Equação 6-109 ( ) ( ) ( )sqsA
shsA
sh d
C
CSP
C
.1.
1.
1.
1
+Κ
Κ+
+Κ
=
√ Problema Servo e Perturbação Degrau
Equação 6-110 ( ) ( )s
0 M== shesq SPd
Equação 6-112 ( )s
.1.
1 M
+Κ
=⇒sA
sh
C
Aplicando o Teorema do Valor Final:
Equação 6-111 ( ) ( ) M==→∞→
shst .limh lim0sT
Obs: Testar validade do T. V. F.
Cálculo do offset:
Offset = nova referência – valor alcançado
Offset = A – A = 0
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Logo não existe offset.
√ Problema Regulador e Perturbação degrau
Equação 6-114 ( ) ( ) 0== shesAsq SPd
Equação 6-112 ( )s
.1.
1 A
+Κ
Κ=⇒
sAsh
C
C
Aplicando o Teorema do Valor Final:
Equação 6-116 ( ) ( )cKshst A
==→∞→
.limh lim0sT
Obs: Testar validade do T. V. F.:
Cálculo do offset:
Offset = nova referência – valor alcançado
Equação 6-113 cc
0Κ
−=Κ
−=AAOffset
Logo não existe offset.
6 . 1 1 . A ç ã o D i r e t a e A ç ã o R e v e r s a d o C o n t r o l a d o r
Se o aumento (diminuição) da variável de processo PV(t) provocar um incremento
(decremento) na saída do controlador OUT(t), então diz-se o controlador tem ação direta
(Tabela 6-2).
Tabela 6-2: Ação Direta do Controlador.
PV(t) OUT(t) Equação do controlador proporcional
Aumento
↑
Incremento
↑ OUT (t) = BIAS - ( )t .EcΚ
Diminuição
↓
Decremento
↓
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Se, por outro lado, o aumento aumento (diminuição) da variável de processo PV(t) provocar
um decremento (incremento) na saída do controlador OUT(t), então diz-se o controlador tem
ação reversa (Tabela 6-3).
Tabela 6-3: Ação Reversa do Controlador.
PV(t) OUT(t) Equação do controlador proporcional
Maior
↑
Diminui
↓ OUT (t) = BIAS + ( )t .EcΚ
Menor
↓
Aumenta
↑
A definição da ação do controlador depende dos seguintes aspectos:
Sinal do ganho do transmissor da variável controlada;
Sinal do ganho entre variável controlada e variável manipulada, se a saída do controlador é
“setpoint” de outro controlador;
Sinal do ganho do elemento final de controle (sinal do produto entre o ganho da válvula,
quando for este o elemento final de controle, e do posicionador, se este existir), se a saída do
controlador é enviada para um elemento final de controle.
Mas o produto de todos os ganhos de uma malha de controle deve sempre ter sinal positivo,
pois estamos sempre considerando realimentação negativa da malha de controle, ou seja, o
erro (E) é a diferença entre o “setpoint” e a variável de processo (E = SP – PV).
Vamos ver alguns exemplos:
Sistema de aquecimento com vapor, com o controlador de temperatura enviando o sinal
para uma válvula de controle. Nesse caso a variável controlada é a temperatura do sistema e a
variável manipulada é a vazão de vapor. Se o ganho do transmissor tem sinal positivo (KTT > 0),
se o ganho do posicionador da válvula também for positivo (KTY > 0), se a válvula for normal
fechada ou ar-para-abrir (KTV > 0), como o ganho entre a PV (temperatura) e a MV (vazão de
vapor) também é positiva (KP > 0), o controlador será de ação reversa (+Kc), veja Figura 6-28.
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T1(t) T2(t)
Condensado
Vapor
NFAO
TT
TC
Ação reversa
OUTPV
Figura 6-28: Ação do controlador de temperatura de aquecedores de correntes através
da manipulação da vazão de vapor para o trocador.
Sistema de aquecimento com vapor, com o controlador de temperatura enviando o sinal
para a válvula de controle. Nesse caso a variável controlada é a temperatura do sistema e a
variável manipulada é a vazão de vapor. Se o ganho do transmissor tem sinal positivo (KTT>0),
se o ganho do posicionador da válvula também for positivo (KTY>0), se a válvula for normal
aberta ou ar-para-fechar (KTV < 0), como o ganho entre a PV (temperatura) e a MV (vazão de
vapor) também é positiva, o controlador será de ação direta (-Kc).
Na Figura 6-29 e Figura 6-30 é apresentado mais dois exemplos com as escolhas
apropriadas da ação da controlador.
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Figura 6-29: Ação do controlador de temperatura de reatores (reação exotérmica) através
da manipulação da vazão de fluido refrigerante.
Figura 6-30: Controle de vazão de uma corrente cujo elemento final de controle seja uma
válvula NA.
Portanto, para definir a ação do controlador que envia o sinal para o elemento final de
controle é antes necessário estabelecer se o elemento final de controle será normalmente
aberto (ar-para-fechar) ou normalmente fechado (ar-para-abrir).
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6 . 1 1 . 1 . V á l v u l a N o r m a l - A b e r t a e V á l v u l a N o r m a l - F e c h a d a
Foi dito anteriormente que uma das finalidades do sistema de controle é operar a planta em
condições seguras. Porém, em certas situações (por exemplo, falha no fornecimento de
energia elétrica ou parada de um compressor de ar de instrumento) fica impossível o controle
do processo. Neste caso, a planta por si só deve parar na condição mais segura possível,
apesar de todos os problemas. Isto pode ser conseguido, escolhendo adequadamente a
posição em que as válvulas de controle vão estar em caso de pane no sistema de fornecimento
de energia para o atuador da mesma.
Existem duas possibilidades para a posição de repouso de válvulas de controle:
NA ou FO ou AC Normal-Aberta (Ar-para-fechar ou Fail-Open ou Air-to-
close). Neste caso a falta de ar de instrumento provoca abertura total da válvula.
NF ou FC ou AO Normal-Fechada (Ar-para-Abrir ou Fail-Close ou Air-to-
Open. Neste caso a falta de ar de instrumento provoca fechamento total da válvula.
A escolha da posição de repouso da válvula depende de qual a condição mais segura para
a planta. Por exemplo:
(a) A vazão da alimentação de um reator, no qual acontecem reações exotérmicas, deve
ser modulada por uma válvula de controle NF, pois em caso de falha do ar de instrumento a
condição mais segura é cortar a alimentação do reator;
(b) Do mesmo modo, se este reator possui um sistema de refrigeração, a válvula de
controle que modula a vazão do fluido refrigerante deve ser NA, permitindo a continua
refrigeração do reator.
Portanto, para determinação da ação do controlador (ação direta ou reversa) deve-se
primeiro estabelecer a posição de repouso da válvula de controle (normalmente fechada ou
aberta) em seguida, a depender da necessidade do processo, é estabelecida a ação do
controlador.
6 . 1 2 . P r o j e t o d e S i s t e m a s d e C o n t r o l e F e e d b a c k
A definição do sistema de controle requer que algumas perguntas sejam respondidas:
(01) Quantos controladores um equipamento pode ter?
(02) Quais as variáveis controladas, manipuladas, quais os principais distúrbios?
(03) Qual o modo de controle mais apropriado (P, PI ou PID)?
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(04) Qual a ação do controlador (ação direta ou ação reversa) e qual a posição de
repouso das válvulas de controle (NA ou NF ou falha na posição corrente)?
(05) Qual a melhor sintonia do controlador (qual o valor do ganho proporcional KC do
tempo integral τI e do tempo derivativo τD)?
6 . 1 2 . 1 . G r a u s d e L i b e r d a d e d e u m P r o c e s s o d e C o n t r o l e
Para os propósitos do controle de processos a definição de graus de liberdade de um
sistema tem uma pequena diferença em relação a definição utilizada num projeto de um
processo.
Para nós graus de liberdade F pode ser definido como:
F = (nº de variáveis V) – (nº de equações E) - (nº de parâmetros conhecidos P)
- (nº de distúrbios externos D) – (nº de controladores C)
ou
F = V – (E + P + D + C)
Se F for maior que 0 (zero) então o processo (ou pelo menos alguma variável de processo)
não estará sobre controle.
Se F for menor que 0 (zero) então existem controladores em excesso e eles estarão
“brigando” entre si, um tentando suplantar o outro.
Portanto, para um processo estar sobre controle o número de controladores deve ser igual
a: C = V – (E + P + D).
√ Exemplo: Tanque de aquecimento com agitação
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T2(t), q2(t)
T1(t), q1(t)
vapor
condensado
Figura 6-31: Tanque de aquecimento com agitação.
Balanço de massa:
Equação 6-114 ( ) ( ) ( )tqtq
dttdhA 21. −=
Balanço de energia:
Equação 6-115 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )tWC
HtTtTtq
dttdTthA st
p
fg ..
... 11 ρ+−=
Portanto:
Nº de variáveis V 10 A, h(t), q1(t), q2(t), T1(t), T(t), Wst(t), ρ, CP, Hfg
Nº de equações E 02 (um balanço de massa e um balanço de energia)
Nº de parâmetros P 04 A, ρ, CP, Hfg
Nº de distúrbios D 02 q1(t), T1(t)
Sub-total 02 (nº de controladores C)
Logo, podemos e devemos instalar dois controladores neste processo, um para o controle
de nível e um para o controle de temperatura. Por exemplo, podemos propor o seguinte
sistema de controle para este processo:
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T2(t), q2(t)
T1(t), q1(t)
vapor
condensado
LCLT
TC
TT
Figura 6-32: Sistema de controle para um tanque de aquecimento com agitação.
Um fato importante deve ser lembrado: existem processos que apresentam multiplicidade de
estados estacionários, de modo que mesmo instalando o número correto de controladores, a
depender do procedimento de partida da planta, diferentes estados estacionários podem ser
alcançados.
Por exemplo, seja um reator de mistura (CSTR) no qual ocorrem reações exotérmicas. Este
reator tem uma camisa de resfriamento cujo objetivo é controlar a temperatura no interior do
reator. É sabido que este sistema pode apresentar multiplicidade de estados estacionários,
vide a Figura 6-33.
Portanto, para que este processo opere de acordo com o desejado, além de definir
corretamente o sistema de controle, o procedimento de partida do reator deve ser estabelecido
de modo que o estado estacionário alcançado seja o desejado.
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Figura 6-33: Processo com multiplicidade de estados estacionários.
6 . 1 2 . 2 . E s c o l h a d a E s t r u t u r a d e C o n t r o l e e d o A l g o r i t m o d o C o n t r o l a d o r
A definição da qual a estrutura de controle a ser adotada é uma tarefa complexa, que requer
um profundo conhecimento do processo e de teoria de controle. Porém, uma abordagem
qualitativa é possível, e deve ser aplicada, pois facilita o entendimento sobre o comportamento
dinâmico do processo, dando boas pistas sobre a estrutura de controle a ser implementada. De
maneira geral, podemos aplicar a seguinte metodologia na elaboração da estrutura (escolha
dos pares de variáveis controladas PV e manipuladas MV) de um sistema de controle:
(a) Mantenha sob controle o inventário de massa do processo.
(b) Mantenha sob controle o inventário de energia do processo.
(c) Mantenha sob controle a qualidade do processo.
Para cada etapa defina as estruturas segundo a seqüência abaixo:
(1) Selecione as variáveis controladas.
(2) Selecione a(s) variáveis(s) manipulada(s) para cada variável controlada.
(3) Verifique as interações entre as variáveis manipuladas e controladas e destas entre si.
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(4) Reduza as interações através da troca dos pares PV-MV.
(5) Retorne ao passo (1) sempre que o desempenho do sistema não for satisfatório.
O procedimento para estabelecer os pares PV-MV é o seguinte:
(a) Estabelecer quais as válvulas que serão utilizadas no controle do inventário;
(b) Estabelecer quais as válvulas que serão utilizadas no controle da qualidade;
(c) A partir de uma análise qualitativa escolher possíveis pares de variáveis manipuladas-
controladas (PV-MV);
(d) A partir da análise quantitativa definir os pares PV-MV, essa análise quantitativa requer o
emprego da Matriz de Ganhos Relativos e/ou da Decomposição por Valores Singulares (SVD);
(e) Verificar através de simulações (em computador ou na planta) da validade da estrutura
de controle estabelecida.
Na definição dos pares PV-MV, ou seja, na definição da estrutura do sistema de controle,
tem que ser considerada os seguintes aspectos:
(a) Satisfazer aos estados estacionários desejados (satisfazer os set point’s),
(b) Desempenho dinâmico apropriado,
(c) Satisfazer a operação global da planta/unidade.
Após decidir quais as variáveis a serem controladas, devem ser estabelecidas as variáveis
manipuladas. A escolha dos pares de variáveis manipuladas e controladas é uma tarefa
complexa. Neste capítulo, discutiremos qualitativamente alguns aspectos a esse respeito.
Contudo, encontrar o par “ótimo” requer a análise quantitativa das funções de transferência.
Após definir a estrutura temos que especificar o algoritmo que o controlador deve seguir, isto
é, escolher entre os modos P, PI, PID ou mesmo uma outra função de controle.
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6 . 1 2 . 3 . R e g r a s P r á t i c a s p a r a S e l e ç ã o d a s V a r i á v e i s C o n t r o l a d a s
A escolha da variável controlada depende das características do processo e da
disponibilidade de instrumentação adequada para efetuar sua medição. Porém, existem as
seguintes regras gerais:
(a) Sempre escolha as variáveis que não são auto-reguladas, por exemplo nível em tanques
com vazão de descarga sugada por uma bomba.
(b) Sempre escolha as variáveis que, embora sejam auto-reguladas, podem exceder um
limite operacional do equipamento ou processo.
(c) Sempre selecione as variáveis que, embora auto-reguladas interagem fortemente com
outros inventários do processo.
(d) Se o número de variáveis controladas por maior que o número de variáveis manipuladas,
apenas as regras (b) e (c) devem ser reconsideradas.
Essas regras são gerais e o engenheiro deve adaptá-las para seu problema, quando for
conveniente.
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6 . 1 2 . 4 . R e g r a s P r á t i c a s p a r a S e l e ç ã o d a s V a r i á v e i s M a n i p u l a d a s .
Após definir as variáveis controladas devem ser estabelecidas as variáveis manipuladas.
esta seleção não é uma tarefa simples e para sua definição é necessário uma análise
quantitativa da influência das variáveis manipuladas sobre as controladas. Mas, como guia
geral, temos as seguintes regra1:
(a) A variável manipulada deve ser a que tem maior influência sobre a variável controlada
associada;
(b) Se duas correntes têm a mesma influência sobre a variável controlada, deve ser
escolhida a corrente com menor vazão;
(c) A variável manipulada deve ter a maior relação linear com a variável controlada;
(d) A variável manipulada deve ser pouco sensível as condições ambientais;
(e) A variável manipulada deve ser a que causa menor interação com as demais malhas de
controle;
(f) Qualquer atraso (constante de tempo e tempo morto) associado a variável manipulada
deve ser pequeno quando comparado com a constante de tempo do processo;
(g) Escolha sempre que possível uma corrente de utilidades para ser a variável manipulada,
isto não sendo viável selecione por uma corrente de descarga do processo, e somente em
último caso opte por uma corrente de alimentação (“passe seus distúrbios para frente”).
1 Lipták, B. G., Instrument Engineers Handbook, 1ª ed., pg 1233 e Newell e Lee, Applied Process
Control, pg 131 a 141
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É praticamente impossível encontrar uma variável manipulada que satisfaça todas essas
observações, portanto a relativa importância de cada uma delas deve ser considerada para
cada processo.
A definição da PV depende da MV escolhida e vice-versa.
6 . 1 2 . 5 . E s c o l h a d o M o d o d o C o n t r o l a d o r : P , P I o u P I D
As variáveis de processo têm dinâmicas diferentes: a variável temperatura é muito mais
lenta que a variável vazão. Com isso queremos dizer que o modo de controle apropriado para a
variável temperatura via de regra inclui a ação derivativa, o que nunca deve acontecer com a
variável vazão (devido ao elevado nível de ruído que a medição dessa variável possui).
Outra característica que diferencia as variáveis de processo é a necessidade de eliminar o
offset. Freqüentemente, no controle de nível em tanques e de pressão em vasos é permitido, e
muitas vezes desejado, que aconteça o offset no intuito de absorver perturbações transitórias
do processo, evitando assim que tais distúrbios atinjam equipamentos críticos a jusante do
tanque ou vaso. Por outro lado, o controle de temperatura quase sempre não permite a
presença de offset, exigindo a atuação da ação integral.
Na Tabela 6-4 é apresentado um resumo das características dinâmicas das principais
variáveis de processos químicos.
Tabela 6-4: Características dinâmicas de variáveis de processo.
Tipo de variável Tempo de resposta dos elementos sensores Eliminar offset Modo
controlador
Concentração Na maioria das vezes grande, às vezes com tempo morto Sim PI ou PID
Temperatura Grande Sim PI ou PID
Nível
Na maioria das vezes pequeno (mas se o nível depender do equilíbrio
termodinâmico é grande)
Às vezes P ou PI (ou PID)
Pressão
Na maioria das vezes pequeno (mas se a pressão
depender do equilíbrio termodinâmico é grande)
Na maioria das vezes
P ou PI (ou PID)
Vazão Pequeno SIM PI
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6 . 1 2 . 6 . A ç ã o A p r o p r i a d a p a r a o C o n t r o l a d o r
Conforme discutido na seção 6.11, quem determina se ação do controlador será direta ou
reversa é a condição mais segura para operação da planta.
Na verdade outros elementos da malha de controle podem inverter a ação do controlador
(posicionadores de válvulas de controle ou mesmo os conversores I/P), de forma que, se for
conveniente, pode ser padronizada a ação dos controladores.
6 . 1 2 . 7 . S i n t o n i a d o C o n t r o l a d o r
Para o perfeito funcionamento de um sistema de controle além de responder corretamente
às 4 perguntas anteriores (itens 6.12.1 a 6.12.6) a escolha dos valores dos parâmetros do
controlador (KC, τI e τD) deve ser feita de forma criteriosa. A essa escolha criteriosa denomina-
se sintonia do controlador.
O primeiro problema que surge é qual o critério de sintonia a ser utilizado, pois certas
opções são contraditórias com outras. Por exemplo, não é possível obter simultaneamente
mínimo tempo de ascensão e mínima sobre-elevação.
Existem inúmeros critérios de sintonia, cada um adequado para um propósito. Alguns dos
critérios utilizados para sintonia de controladores estão citados a seguir.
(a) Mínima sobre-elevação (overshoot);
(b) Mínimo tempo de resposta;
(c) Razão de decaimento de ¼;
(d) Critério de Ziegler-Nichols;
(e) Critério de Cohen & Coon;
(f) Critérios integrais: IAE, ISE, ITAE e ITSE;
(g) Margem de ganho e margem de fase.
O critério de Cohen & Coon, por exemplo, se baseia nos parâmetros que caracterizam um
processo de 1ª ordem com tempo morto (KP, τP e τm) e determina o ajuste do controlador. Para
encontrar KP, τP e τm é necessário utilizar algum procedimento de identificação de processos.
Na Tabela 6-5, temos os valores dos parâmetros do controlador sugerido por Cohen & Coon.
Tabela 6-5: Critério de Sintonia de Cohen & Coon.
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Modo do Controlador Sintonia do Controlador Proporcional
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+
Κ=Κ
P
m
m
P
PC τ
τττ
.31.1
Proporcional +
Integral ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+
Κ=Κ
P
m
m
P
PC τ
τττ
.129.0.1
Pm
PmmI ττ
ττττ
.209
.330.++
=
Proporcional +
Integral +
Derivativo
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+
Κ=Κ
P
m
m
P
PC τ
τττ
.434.1
Pm
PmmI ττ
ττττ
.813
.632.
++
=
PmmD ττ
ττ.2114.
+=
A literatura contem os procedimentos utilizados na sintonia de controladores para os
diferentes critérios. Como fonte inicial de pesquisa deste assunto recomendo a monografia
elaborada por FREITAS no qual ele faz uma breve revisão dos vários métodos de sintonia e
utiliza o critério integral ITAE para sintonizar diferentes processos (representados pelas suas
funções de transferência) e as dissertações de SILVA JUNIOR2 e ALFANO NETO3.
Contudo o método que recomendamos utilizar para a sintonia inicial dos controladores PID
industriais é o método IMC também denominado método λ, que descreveremos a seguir.
2 SILVA JUNIOR, Antonio Francisco de Almeida. “Sintonia de Controladores PID”, (1998).
Dissertação de mestrado. UFBA.
3 ALFANO NETO, Carlos de Freitas “Sintonia Ótima de Controladores PID Aplicada a
Sistemas SISO e MIMO”, (2002). Dissertação de mestrado. UFBA.
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6 . 1 3 . M é t o d o d e s i n t o n i a r e c o m e n d a d o : m é t o d o I M C o u m é t o d o λ
O método recomendado para sintonia inicial de controladores industriais PID é o método λ.
Nesse método os parâmetros do controlador são funções das funções de transferências de
cada elemento que compõe a malha de controle e do critério de desempenho (constante de
tempo em malha fechada – λ). Na Tabela 6-6 é apresentada a sintonia pelo método λ.
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Tabela 6-6: Critério de Sintonia de controladores pelo método λ-L. Método recomendado.
Função de transferência em Malha Aberta (MA)
MA P V I/P MG G .G .G .G≅ ( )MA
MA
m
MA MAp
MA P V I/P M
.sG K
.s 1 .s
onde K K .K .K .K
eα
ττ
−= ⋅
+
=
Equação do Controlador
( ) ( ) ( )⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+= sPV
1s..1s.sE
s.11.KsOP C
D
D
I τγτ
τ ( )
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
Δ−+Δ=Δ PV..KkOP C DI
k ττεε
Função de transferência em Malha Fechada (MF)
( )1.s1
.G.G.G.GG1.G.K.G.GG
.GG1.G.K.G.GG
PVPVG
CMI/PVP
CMI/PVP
CMA
CMI/PVP
SPMF +
=+
=+
==λ
Constante de tempo da resposta desejada em MF ( λ )
( ) [ ] t.u. 6 comcomeçar recomendo , 3 e 9 entre número um
3.tr aberta malha em resposta de tempo
:integrador não sistema Parafechada malha em tempode constante
m1MA =+=
=
≅ ττλ
λ
Resposta instantânea τ1 = τ2 = τ3 = τm = α = 0
MAC K
1K =
Integrador com ou sem tempo morto
τ1 = τ2 = 0 τm = 0 ou τm ≠ 0 α = 1 ( )C
MA m
1KK . τ=
+λ
1ª ou 2ª ordem com ou sem tempo morto
τ1 ≠ 0 ; τ2 = 0 ou τ2 =≠ 0 τ1 > τ2 α = 0
( )1
CMA m
KK .
ττ=
+λ
τI = τ1 [=] u.t./repetições τD = τ 2 + τm/2 [=] u. t.
MÉTODO λ-L: Após definir a estimativa inicial utilizando as regras acima complete a sintonia através do método da SINTONIA ÓTIMA
GM
E
-
+
+
+
GC GI/P GV GP
GD DE
PVKM
PVSP
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Legenda:
α expoente do termo integrador, 1 para integrador ou capacitivo puro 0 para não integrador
λ - constante de tempo em malha fechada, critério de desempenho da malha, definido pelo usuário [=] u. t.
τD - tempo derivativo [=] u. t.
τI - tempo integral [=] u. t. / repetições
τj - parâmetros que caracterizam a dinâmica do sistema; j = 1 a 4 onde τ1 > τ2
τm - tempo morto [=] u. t.
DE - Distúrbio Externo [=] u.DE
FT - Função de Transferência
GC - função de transferência (FT) do controlador
GI/P - função de transferência (FT) do conversor I/P
GM - função de transferência (FT) do medidor/transmissor da PV
GMA - função de transferência (FT) global do processo GMA = Gp. Gv. GI/P. GT
GP - função de transferência (FT) do processo
GV - função de transferência (FT) da válvula
Kc - ganho do controlador [=] mA / mA
KI/P - ganho do conversor I/P [=] psi / mA
KM - ganho do transmissor da PV [=] mA / (u. e. da PV)
KMA - ganho global do processo = KP.KV.KI/P.KM.λα [=] adimensional
KP - ganho do processo [=] (u. e. da PV) / (u. e. da MV)
KV - ganho da válvula [=] (u. e. da MV) / psi
MA - Malha Aberta
MF - Malha Fechada
MV - variável manipulada (Manipulable Variable)
OP - sinal de saída do controlador
PV - variável de processo, variável controlada (Process Variable)
trMA – tempo de resposta em malha aberta, tempo para o processo atingir o estado estacionário para perturbação degrau [=] u. t.
u. e. - unidade de engenharia
u. t. - unidade de tempo
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6 . 1 4 . E x e r c í c i o s
(1) Considere um reator de mistura perfeita, no qual ocorrerá uma reação
homogênea endotérmica. Projete um sistema de controle feedback para esse processo.
Dados:
Vazão e concentrações na alimentação são constantes;
Temperatura da corrente de entrada = 70ºC;
Temperatura da corrente de saída = 50ºC;
Há necessidade de aquecimento do reator;
Fluido de aquecimento é vapor saturado;
(a) Faça um desenho simplificado do sistema de controle feedback identificando:
Elemento(s) primário(s) de medição;
Elemento(s) final(is) de controle;
Distúrbio(s);
Variável(is) controlada(s);
Variável(is) manipulada(s);
Malha de controle.
(b) Faça o diagrama de blocos associado.
(c) Identifique e justifique o tipo de controlador mais indicado para esse sistema (ação direta
ou reversa; modo P, PI ou PID).
(d) Se a reação fosse exotérmica, o que mudaria no controlador. Justifique.
(2) Examine os efeitos que valores diferentes do ganho do elemento de medição Km
irá produzir na resposta em malha fechada de um processo que tem a seguinte função de
transparência:
Equação 6-116 ( ) ( ) ( )1211
++=
sssGP
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Assuma que, H = Km, GV = 1, e que o controlador é proporcional com KC = 1.
(3) Considere dois tanques não interativos em série, veja figura abaixo. Nós
queremos controlar o nível do tanque 2 (hz), pela manipulação da vazão de alimentação q(t),
utilizando um controlador proporcional. Assuma que os tanques tem a mesma área transversal
(A = 5 ft2). Inicialmente o sistema está no estado estacionário com qs = 1 ft3/min e h1 = h2 = 3 ft.
Encontre os valores do ganho do controlador que:
(a) Produza uma resposta criticamente amortecida,
(b) Produza uma resposta subamortecida com razão de decaimento de ¼, em hz.
Obs.: A razão de decaimento de ¼ é, às vezes, utilizado como critério de ajuste de
controladores.
(c) Encontre a resposta dinâmica (resposta no tempo) do nível de líquido do tanque 1 (h1),
para uma perturbação degrau-unitário no set point de hz.
q(t)
h1
h2
q1
R1
q2
R2
Figura 6-34: Tanques não interativos em série.
(4) O sistema aquecedor-tanque com agitação, mostrando na Figura 6-35, é
controlado por um controlador P. Os seguintes dados são pertinentes ao problema:
w Vazão do líquido (cte) através do tanque [ = ] kg/min
V Volume de retenção do tanque [ = ] l
ρ Densidade do líquido [ = ] kg/l
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CP Capacidade calorífica [ = ] kcal/(kg.ºC)
Elemento final de controle: uma variação de ΔP atm do controlador faz variar o fluxo
de energia ΔQ kcal/min.
Elemento final de controle é linear.
Não há atraso na medição
To(t), w
Ti(t), w
vapor
condensadoTC
TT
Figura 6-35: Tanque de aquecimento com agitação.
Obtenha:
(a) O diagrama de blocos deste sistema indicando as funções de transferências (expressões
e unidades das constantes).
(b) Qual o valor máximo permitido para o ganho do controlador.
(5) O sistema aquecedor-tanque com agitação, mostrado na Figura 6-36, é
controlado por um controlador PI. Os seguintes dados são pertinentes ao problema:
w Vazão do líquido (cte) através dos tanques: 113.5 kg/min
V Volume de retenção de cada tanque: 283.2 l
ρ Densidade do líquido: 800 g/l
CP Capacidade calorífica: 1 kcal/(kg.ºC)
Elemento final de controle: uma variação de 1 atm do controlador faz variar o fluxo
de energia Q de 1,481.76 kcal/min.
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Elemento final de controle é linear.
Não há atraso na medição
Ti(t), w
vapor
condensado
T1(t), w
T2(t), w
TC
TT
Figura 6-36: Tanque não interativos com aquecimento.
Pede-se:
(a) Obtenha o modelo matemático do sistema;
(b) A partir do resultado anterior, obtenha o diagrama de blocos do sistema de controle.
Mostrar em detalhes as unidades e os valores numéricos dos parâmetros. Identifique a ação do
controlador (direta ou reversa);
(c) Para o controlador proporcional puro, quais os valores da constante proporcional para
que o sistema seja super, criti e sub-amortecido. Assuma perturbação degrau unitário no set
point.
(6) Um tanque pulmão de produtos intermediários, conforme Figura 6-37 está
instalado num processo. Acontecerá a ampliação da planta de modo que a vazão deste
produto intermediário duplicará.
Pede-se:
(a) Qual o ponto de operação (nível no estado estacionário) do tanque quando qs =
0.2m3/min, para R1 e R2;
(b) Para qs = 0.4 m3/min, há necessidade de trocar o tanque? Faça para R1 e R2, discuta os
resultados;
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(c) Para controlador PI, qual os valores do ganho proporcional (KC) que tornam o sistema
instável? (faça para R1 e R2);
h(t)
qi(t)
qo
R
LT
LC
Figura 6-37: Tanque pulmão.
Dados:
qs Vazão em estado estacionário antes da duplicação = 0.2 m3/min
A Área da seção transversal do tanque = 0.8 m2
hmax Altura máxima do tanque = 1.25 m
R1 Resistência ao fluxo de saída = 1.25m/(m3/min)
R2 Resistência ao fluxo de saída = 2.5 m/(m3/min)
q01(t) Fluxo de saída = 1R
h(t)
q02(t) Fluxo de saída = 2R
[h(t)]1/2
τI Tempo integral = 5 min
KV Ganho da válvula unitário. Não há atraso na resposta da válvula
Km Ganho do elemento de medição = 1
τm Constante de tempo do elemento de medição = 0.2 min
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(7) Considere o sistema indicado na Figura 6-38, onde K é um ganho ajustável e
G(s) e H(s) são componentes fixos. A função de transferência de malha-fechada para o
distúrbio N(s) é:
Equação 6-117 )K.G(s).H(s1
1N(s)C(s)
+=
Para minimizar o efeito dos distúrbios, o ganho ajustável K deve ser escolhido tão grande
quanto possível.
(a) Isto é também verdade para o sistema mostrado na Figura 6-39?
(b) Qual o valor que o ganho ajustável deveria assumir neste caso?
Obs.: Justifique sua resposta.
K)(sRΣ Σ
)(sH
)(sG
( )sN
( )sC
Figura 6-38: Diagrama de blocos a.
K)(sRΣ
Σ)(sH
)(sG
( )sN
( )sC
Figura 6-39: Diagrama de blocos b.
(8) Considere o processo mostrado na Figura 6-40.
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q5(t)
q1(t) q2(t)
q3(t)
qo(t)
m(t)
LV2
LV3
h1(t)
h2(t)
q4(t)
LV1
LY LC
LT
Figura 6-40: Tanques em séries com controle de nível.
As seguintes informações são fornecidas:
A densidade do líquido é constante.
A vazão de descarga dos tanques é dado por:
Equação 6-118 h/m ] [(t)..VPCv(t)q 3i iii == h
A vazão através da bomba é dada por:
Equação 6-119 [ ] /hm] [4-m(t).K(t)q 3b3 ==
Onde,
CVi Coeficiente de vazão da válvula, constante
VPi Posição da válvula, constante
M(t) Energia fornecida à bomba
A válvula de controle pode ser representado por um sistema de 1a (primeira) ordem
de ganho Kv e constante de tempo τv.
Os diâmetros dos tanques são D1 e D2.
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O transdutor de sinal I/P (LY1) e o transmissor (LT1) não têm atraso e apresentam
ganhos KLY e KLT, respectivamente.
Os distúrbios são q1(t) e m(t).
Controlador Proporcional + Integral.
Obtenha o diagrama de blocos, indicando as funções de transferência com suas constantes
de tempo, ganhos, e as seguintes variáveis desvio no domínio de Laplace Q1(s), Q2(s), M(s),
H2(s).
(9) Considere o processo mostrado na Figura 6-41. Nós queremos manter a
temperatura T3 em um determinado valor manipulando as vazões de vapor d’água q1,st e q2,st.
Tanque 1
T1(t), q
vapor
condensadoq1,st(t)
Tanque 2
T2(t), q
T3(t), q
vapor
condensado
q2,st(t)
Figura 6-41: Tanques em série com aquecimento.
As seguintes informações são fornecidas:
Vazão do produto constante, q = cte.
A temperatura de entrada T1(t) é o principal distúrbio.
A dinâmica dos dois tanques de aquecimento é dada por
Equação 6-120 ( ) ( ) ( )sQs
KsTs
sT 11
11
12 .
1..
1.1
++′
+=′
ττ
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Equação 6-121 ( ) ( ) ( )sQs
KsTs
sT 22
22
23 .
1..
1.1
++′
+=′
ττ
Onde,
τ1 = 4 ; τ2 = 10
K1 = 0.2 ; K2 = 0.1
Obs.: T’1(s), T’2(s), T’3(s), Q1(s), Q2(s) são variáveis desvio no domínio de Laplace.
O controlador é proporcional.
O ganho do elemento final de controle e do elemento de medição é unitário; a
dinâmica do elemento final de controle e do elemento de medição é desprezível.
É disponível apenas uma válvula de controle e uma válvula de acionamento
manual.
Duas alternativas são possíveis:
A - Elemento de controle atuando sobre q1,st, e q2,st submetida a uma válvula de
acionamento manual;
B - Elemento final de controle atuando sobre q2,st, e q1,st submetida a uma válvula de
acionamento manual.
Pede-se
(a) Identifique:
(1) Variável controlada,
(2) Variável manipulada.
(b) Decida, e justifique, qual o melhor local de instalação do elemento sensor de
temperatura.
(c) Faça os diagramas de blocos (para os casos A e B), identificando as funções de
transferência, com seus ganhos e ctes de tempo (valores); indique no diagrama de blocos
T’1(s), T’2(s), T’3(s), Q1(s), Q2(s).
(d) Estude para KC = 0.1 e KC = 50:
(1) Offset,
(2) Fator de amortecimento,
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(3) Período natural de oscilação;
(4) Estabilidade absoluta.
(e) Com base nas conclusões anteriores, decida, entre as alternativas A e B, qual o melhor
local de instalação do elemento final de controle.
(10) Seja o tanque de aquecimento com agitação conforme a Figura 6-42. A
temperatura e a vazão da alimentação podem variar com o tempo. Para manter este processo
nas condições desejadas são necessários dois controladores: um do nível do tanque, outro da
temperatura de saída do produto. O nível é controlado manipulando a vazão de descarga do
tanque, enquanto a temperatura pela vazão de vapor saturado.
T1(t), q1(t)
T0(t), q0(t)
vapor
condensado
LCLT
TC
TT
Figura 6-42: Tanque de aquecimento com agitação.
Dados complementares:
Controlador PID para temperatura de PI para nível;
Ganho da válvula de vazão de vapor KV1;
Ganho da válvula de vazão do produto KV2;
Constante de tempo da válvula de vazão de vapor τV1;
Constante de tempo da válvula do produto τV2;
Os transdutores/transmissores tem ganhos KTT e KLT para malha de temperatura e
nível, respectivamente;
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Existe um tempo morto na medida de temperatura dado por τm.
Obtenha o diagrama de blocos correspondente ao sistema de controle deste processo,
indicando as expressões de todas as funções de transferências.
(11) Seja o diagrama de blocos da Figura 6-43.
R GC2Σ
Gm2
Σ
U1
GP1
Gm1
Σ GC1 GY GV Σ GP2
U2
-
+
+-
+
++
+
Figura 6-43: Diagrama de blocos exercício (11).
Obtenha as seguintes funções de transferência:
(a) RC
(b) 1U
C
(c) 2U
C
(12) Duas correntes 1 e 2 são misturadas em tanque de mistura bem agitado,
originando a corrente 3, conforme a Figura 6-44. Cada corrente é composta de duas
substâncias A e B, com concentrações molares CA1, CB1 e CAZ, CBZ, respectivamente. Seja
também v1 e v2 as vazões volumétricas e T1 e T2 suas temperaturas. Uma serpentina está
submersa no líquido o tanque com a finalidade de aquecer a mistura.
Dados:
ρ1 = ρ2 = ρ3 = ρ constante
Cp1 = Cp2 = Cp3 = Cp = constante
CA1 >> CA2
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v1 << v2
Pede-se:
(a) O modelo matemático deste processo;
(b) Identifique as variáveis manipuladas e controladas, justifique sua resposta;
(c) O diagrama de bloco do sistema de controle deste processo, para sistema
isotérmico. Identifique a ordem das funções de transferências, suas constantes de tempo e
ganhos (expressões matemáticas).
Figura 6-44: Tanque de mistura.
(13) Um sistema de controle feedforward pode ser descrito pelo diagrama de blocos
da Figura 6-45.
CGR
Σ
mG
MΣ
U
2PGΣ VGQ 1PG C
+-
++E
FB
PAGFWG
FW
Figura 6-45: Diagrama de blocos para sistema de controle feedforward.
Pede-se:
(a) Prove que a resposta do sistema a uma perturbação no set point independe da função
de transferência do feedforward GFW.
(b) Obtenha a expressão de GFW em função das outras funções de transferência. Observe
que o ideal é que a variável controlada não se modifique apesar de ocorrer perturbações na
carga do sistema.
(14) Um sistema de controle multivariável pode ser descrito pelo diagrama de blocos
da Figura 6-46:
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1CGΣ
+ -
R1E1
1VG Σ
+
+11PG Σ
C1
1mG
2CGΣ
+ -
R2E2
2VG 22PG Σ
2mG
C2
12DG 12PG
Figura 6-46: Diagrama de blocos para exercício (14).
Pede-se:
(a) Prove que resposta da variável controlada C1 a uma perturbação no set point R1
independe da função de transferência do desacoplamento D12.
(b) Obtenha a expressão de D12 em função das outras funções de transferência.
Observe que o ideal é que a variável controlada C1 não se modifique apesar da malha de
controle 2 continuar atuando.
(15) Para a questão 4.03 pede-se:
(a) Especifique a ação do controlador (direta ou reversa) e o modo do controlador
mais adequado (P, PI ou PID). Justifique sua resposta.
(b) Diagrama de blocos representativo deste sistema identificando as dimensões de
cada sinal, as funções de transferência de cada bloco (os valores e dimensões dos ganhos,
constantes de tempo e tempos mortos).
(c) Estabeleça as restrições que os parâmetros do controlador de temperatura
devem obedecer para o sistema ser estável.
Sugestão: Aproxime o sistema por uma função de transferência de 1a ordem com tempo
morto.
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(16) Para a questão 4.04 pede-se:
(a) Fluxograma simplificado de engenharia do sistema de controle deste processo,
indicando os instrumentos necessários (transmissores, controladores, conversores, etc.). Listar
as suposições que devem ser feitas para completar este projeto.
(b) O modo (P, PI ou PID) e a ação (direta ou reversa) mais recomendada para o(s)
controlador(es). Justifique sua resposta.
(c) O diagrama de blocos deste sistema de controle com suas funções de
transferências (valores e unidades dos parâmetros).
(d) Relações para a sintonia do controlador que tornam o sistema estável. Justifique
sua resposta.
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Í N D I C E
CAPÍTULO 7. ESTABILIDADE DE SISTEMAS LINEARES 7-2
7.1. CRITÉRIO GERAL DE ESTABILIDADE 7-3 7.2. CRITÉRIO DE ROUTH-HURWITZ PARA ESTABILIDADE 7-4 7.3. MÉTODO DA SUBSTITUIÇÃO DIRETA 7-7 7.4. MÉTODO DO LUGAR DAS RAÍZES 7-8 7.5. EXERCÍCIOS 7-12
Í N D I C E D E T A B E L A S Tabela 7-1: Teste de estabilidade de Routh. 7-6 Tabela 7-2: Raízes da equação característica (Equação 7-37). 7-9
Í N D I C E D E F I G U R A S Figura 7-1: Diagrama de blocos de um sistema de controle. 7-2 Figura 7-2: Diagrama de blocos de um sistema de controle. 7-3 Figura 7-3: Diagrama de blocos para Exemplo (2). 7-6 Figura 7-4: Diagrama do lugar das raízes para Equação 7-37. 7-10 Figura 7-5: Exercício (3) – Tanque pulmão. 7-13 Figura 7-6: Diagrama de bloco do Exercício (4). 7-14
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C A P Í T U L O 7 . E S T A B I L I D A D E D E S I S T E M A S L I N E A R E S
Exemplo (1 ) Seja um processo representado pela sua função de transferência C(s):
Equação 7 -1 )(.1
5)(.1
10)( sDs
sMs
sC−
+−
=
Como o pólo da função de transferência, raiz da função de transferência, é p1 = +1 , com
parte real positiva, este processo é instável.
Vamos submeter este processo a um controle feedback com controlador proporcional. Veja
o diagrama de blocos na Figura 7-1.
D(s)
Σ C(s)CK
( )sRΣ
M(s)
110−s
+
+-
+
15−s
1
F igura 7 -1 : D iagrama de b locos de um s is tema de co nt ro le .
Então a resposta do sistema em malha fechada será:
Equação 7 -2 )(.).101(
5)(.).101(
.10)( sD
KssR
KsK
sCcc
c
−−+
−−=
Para este sistema ser estável implica que,
Equação 7 -3 0 )10.K - (1 C <
Então,
Equação 7 -4 0.1 K C >
Portanto, KC > 0.1 o sistema será estável em malha fechada, apesar de o processo ser
instável em malha aberta.
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7 . 1 . C r i t é r i o G e r a l d e E s t a b i l i d a d e
“Um sistema dinâmico é considerado estável se para toda entrada limitada o resultado é
uma saída limitada, qualquer que seja a condição inicial.”
U
Σ CErroCGR Σ
M+
+-
+
H
1G 2G
B
F igura 7 -2 : D iagrama de b locos de um s is tema de co nt ro le .
Equação 7 -5 UHG
GRHG
GUHGGG
GRHGGG
GGGCcc
c ..
..
....
....
..+
++
=+
++
=1111
2
1
2
1
21
Onde, G = GC.G1.G2
G.H ≡ Função de Transferência de Malha Aberta
1 + G . H = 0 ≡ Equação Característica
Observações:
1. Os denominadores dos termos são os mesmos;
2. As raízes da equação característica determinam, após aplicar a transformada inversa, a
forma da solução no tempo;
3. Como o estímulo é limitado a estabilidade do sistema depende apenas das raízes da
equação característica;
4. Como já vimos, se alguma raiz da equação característica estiver no semi-plano direito
do plano complexo o sistema é instável;
5. Para processos capacitivos puros entradas limitadas provocam saídas ilimitadas, por
exemplo para perturbação degrau.
“A estabilidade de um sistema de controle é determinada apenas pela sua função de
transferência na malha aberta através das raízes da equação característica.”
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Exemplo a:
Equação 7 -6 1
10 1, G ,K G 1, H 21CC −====
sG
Equação 7 -7 1
10 .K 1 .H.G.GG 1 G.H 1 C21C −+=+=+
s
s – 1 + 10 . KC = 0 → P1 = 1 – 10.KC (raiz da equação característica )
Se P1 ≥ 0 → Sistema Instável
Então KC > 0.1 → Sistema Estável
Exemplo b:
Equação 7 -8 1 G , .
11. 1, H 11
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+==
sKG CC τ
Equação 7 -9 2.2
122 ++
=ss
G
Equação 7 -10 02.2
1..
11.1.1 21
=++⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++=+
sssKHG C τ
Para KC = 100 e τ1 = 0.1:
Equação 7 -11 j.11.5 2.29
j.11.5 2.290 7.185-
0 1000 102.s 2.s s 23
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−+→=+++
→ O sistema é instável, pois a parte real de alguma das raízes é positiva.
7 . 2 . C r i t é r i o d e R o u t h - H u r w i t z p a r a E s t a b i l i d a d e
Equação 7 -12 0, n .sn ... .sa G.H1 a1-an
o =+++=+
Onde ao > 0
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1. Se algum coeficiente a1, ..., na é negativo, existe ao menos uma raiz da equação
característica com parte real positiva, portanto o sistema é instável.
2. Se todos os coeficientes são positivos, forme o seguinte arranjo:
Coluna 1 ao a2 a4 a6 ...
2 a1 a3 a5 a7 ...
3 A1 A2 A3 ... ...
4 B1 B2 B3 ... ...
5 C1 C2 C3 ... ...
... ... ... ... ... ...
n + 1 W1 W2 W3 ... ...
Onde,
Equação 7 -13
....
...
....
1
31312
1
21211
1
31512
1
21311
1
7613
1
5412
1
3211
BBAAB
CB
BAABC
AAaaA
BA
AaaAB
aaaaa
Aa
aaaaA
aaaaa
A ooo
−=
−=
−=
−=
−=
−=
−=
(a) Se alguma dos elementos da primeira coluna for negativo, temos ao menos uma raiz do
lado direito do eixo imaginário e o sistema é instável.
(b) O número de trocas de sinais entre esses elementos é igual ao número de raízes do
lado direito do eixo imaginário.
Este critério permite avaliar as condições críticas de estabilidade de um sistema: quais os
valores de KC, τI, τP que tornam um sistema instável, ou seja, permite avaliar a estabilidade
absoluta do sistema.
Exemplo (2 ) Seja um processo descrito pela seguinte função de transferência:
Equação 7 -14 )1().(1((
12.2
1)( 2 jsissssGP +−−+−−
=++
=
Portanto, estável pois os pólos têm parte real negativa.
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Submetendo este processo a um sistema de controle feedback com controlador PI,
assumindo todas as demais funções de transferência do sistema iguais a 1, obtemos o
seguinte diagrama de blocos:
C⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
sK
IC τ
11R(s) Σ+
-22
12 ++ ss
F igura 7 -3 : D iagrama de b locos para Exemplo (2 ) .
A estabilidade deste sistema é dada pela equação característica:
Equação 7 -15 0 G(s).H(s) 1 =+
Ou seja,
Equação 7 -16 02.2
1..
11.1 21
=++⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++
sssKc τ
Logo,
Equação 7 -17 0 1) .s( .K 2) 2.s .s(s( 1C2
1 =++++ ττ
Ou melhor,
Equação 7 -18 0)2(2. 112
13
1 =++++ CC KsKss ττττ
A depender dos valores ajustados para os parâmetros do controlador este sistema pode ser
estável ou instável, pois diferentes KC e τ1 implica em diferentes coeficientes da equação
característica podendo ocorrer raízes com parte real positiva.
Aplicando o teste de estabilidade de Routh:
Tabe la 7 -1 : Tes te de es tab i l idade de Routh .
1 τ1 2. τ1+ KC.τ1
2 2.τ1 KC
3
1
11112
22τ
τ−τ+ττ.
)).(()..).(.( cc KK0
4 KC
Como KC e τ1 são sempre positivos então para este sistema ser estável
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Equação 7 -19 0.2
)).(()..2).(.2(
1
1111 >−+
τττττ cc KK
Ou seja,
Equação 7 -20 0...2.4 22 >−+ cIcII KK τττ
Dividindo por τ1(pois, τ1 ≠ 0) e rearranjando:
Equação 7 -21 0).1.2(.4 1 >−+ cI Kττ
Desta equação concluímos que para valores de τ ≥ 0.5, o sistema é sempre estável,
qualquer que seja o valor do ganho do controlador, porém para valores de τ < 0.5 o ganho do
controlador é limitado pela seguinte restrição:
Equação 7 -22
12
12
1−
τ
<
.
cK
Com este exemplo demonstramos a utilidade do Critério de Routh para sintonia de
controladores.
7 . 3 . M é t o d o d a S u b s t i t u i ç ã o D i r e t a
O eixo imaginário divide o plano complexo em uma região estável (à esquerda da ordenada)
e outra instável (à direita do eixo vertical), isto é, a localização das raízes da equação
característica determina a estabilidade de um sistema de controle.
Portanto, o eixo imaginário (s = 0+j.w), quando a parte real da(s) raiz(es) da equação
característica é igual a zero delimita a região de estabilidade do sistema, logo fazendo:
Equação 7 -23 j.ws =
Em,
Equação 7 -24 01 G(s).H(s) =+
Obtemos expressões que delimitam a estabilidade do sistema: regiões nos quais a parte
real das raízes do denominador da FT assumem valor negativo.
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Exemplo (3 ) Seja o diagrama de blocos mostrado na Figura 7-4. O controlador é do tipo proporcional puro, a
válvula e o transmissor são modelados por modelos instantâneos (processo de ordem zero), e
o processo por um sistema de 1ª ordem. Utilizando o Método de Substituição Direta determine
o valor máximo que o ganho do controlador pode assumir.
F igura 7 -4 : D iagrama de b locos de um s is tema de co nt ro le .
A estabilidade é dada por
Equação 7 -25 0...1 =+ TCVp GGGG
Substituindo na Equação 7-25 as funções de transferência de cada componente, obtém-se:
Equação 7 -26 0...1.
1 =+
+ TCVP
p KKKs
Kτ
Equação 7 -27 0...1. =++ TCVpP KKKKsτ
Equação 7 -28 ( ) 0...1.. =++ TCVpP KKKKwjτ
Portanto se τp > 0 a raiz do denominador não cruza o eixo imaginário e o sistema é sempre
estável.
7 . 4 . M é t o d o d o L u g a r d a s R a í z e s
“Lugar das Raízes é um procedimento gráfico de busca das raízes da equação
característica, à medida que os parâmetros de G.H variam continuamente.”
Equação 7 -29 0 G.H 1 =+
Exemplo (4 ) Seja o diagrama de blocos da Figura 7-2. No plano complexo assinale as raízes da equação
característica à medida que o ganho do controlador aumenta.
Onde GC = KC (controlador proporcional puro)
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Equação 7 -30 ( ) 1.
11.
11.
12
22
11 +
=+
=+
=s
Hs
Gs
GHτττ
Portanto, a equação característica deste processo é:
Equação 7 -31 ( )
01.
1.1.
1.1.
1.1...1.1 221
21 =+++
+=+=+sss
KHGGGHGH
cc τττ
Que pode ser escrita da seguinte forma:
Equação 7 -32 ( )( ) ( ) 0..
.. 321
221 =+−−−
H
CH
Kpspsps
τττ
Onde,
Equação 7 -33 HHppp τττ /1/1/1 2211 −=−=−=
Para,
Equação 7 -34 35.485.245.1 221 −=−==−= Hba pppp
Variando o valor de KC, podemos construir o Lugar das Raízes, veja a Tabela 7-2 que
corresponde à Figura 7-5.
Tabe la 7 -2 : Ra ízes da equação ca rac t er ís t ica (Equação 7 -32 ) .
KC p1 pa2 pb
2 pH
0.0 -1.45 -2.85 -2.85 -4.35
1.0 -1.71 -2.30 + j(0.90) -2.30 + j(0.90) -4.74
5.0 -1.98 -1.71 + j(1.83) -1.71 + j(1.83) -5.87
20.0 -2.15 -1.09 + j(3.12) -1.09 + j(3.12) -7.20
50.0 -2.20 -0.48 + j(4.35) -0.48 + j(4.35) -8.61
100.0 -2.24 +0.35 + j(5.40) +0.35 + j(5.40) -9.75
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F igura 7 -5 : D iagrama do lugar das ra ízes para Equação 7 -32 .
Exemplo (5 ) Seja o diagrama de blocos mostrado na Figura 7-2. Para as funções de transferência a
seguir estude a estabilidade desse sistema.
Dados:
Equação 7 -35 1.3
15, 1 +===
sGGkG vcc
Equação 7 -36 1
7,01.240
212 +
=∴+
==s
Hs
GG p
Solução: a equação característica deste sistema é:
Equação 7 -37 01
7,0.1.240
21.1.3
15.1.1 =+++
+=+sss
KHG c
Equação 7 -38 0.5,2201.244.963.720 23 =++++ cKsss
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Fazendo s = j.w obtemos
Equação 7 -39 ( ) ( ) 0.720.244.963.5,2201 32 =−+−+ wwjwKc
Portanto para que as raízes estejam no eixo imaginário a parte real e a parte imaginária
devem ser iguais a zero, isto é:
Equação 7 -40 0.963.5,2201 2 =−+ wKc
E,
Equação 7 -41 ( ) 0.720244..720.244 23 ww ww =−=−
Então da Equação 7-41, as raízes que anulam a parte imaginária são:
Equação 7 -42
582,0582,0
0
−=+=
=
www
A raiz w = 0 é a solução trivial e equivale ao estado estacionário, portanto as raízes que
interessam são as diferentes de zero. Substituindo w = ±0,582 na Equação 7-40, o valor que
anula a parte real é
Equação 7 -43 4755,1=cK
Resolvendo a Equação 7-38 para diferentes valores de Kc se obtém as raízes do
denominador da função de transferência em malha fechada para várias sintonias (Lugar das
Raízes). A seguir é apresentado as instruções no MATLAB ® para construir o gráfico do lugar
das raízes (“root locus”):
Gv = tf( [ 15 ] , [ 3 1 ] ) % Função de transferência da válvula
Gp = tf( [ 21 ] , [ 240 1 ] ) % Função de transferência do processo
GT = tf( [ 0.7 ] , [ 1 1 ] ) % Função de transferência do transmissor
GMA = series(series(Gp,Gv),GT) % Função de transferência da malha aberta
rlocus(GMA) % Lugar das raízes
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Figura 7-6: Lugar das raízes para o exemplo 3 – sistema estável para 0 < Kc < 1,4755
Neste exemplo o controlador deve ter ação reversa (AR), pois sendo
KMA = Kp . KV . KT > 0 o coeficiente que multiplica o ganho do controlador também deve ser +1.
7 . 5 . E x e r c í c i o s
(1) Examine os efeitos que valores diferentes do ganho do elemento de medição Km
irá produzir na resposta em malha fechada de um processo que tem a seguinte função de
transferência:
Equação 7 -44 )12)(1(
1)(++
=ss
sGP
Assuma que, H = Km, Gv = 1, e que o controlador é proporcional com KC = 1.
Demonstre que este sistema é sempre estável.
(2) Discuta as seguintes afirmações:
(a) um sistema em instável em malha aberta não pode ser controlado.
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(b) Um sistema em malha fechada (feedback) de 1ª ordem com tempo morto é mais estável
que um sistema feedback de 2ª ordem.
Observações:
Justifique e demonstre suas conclusões As afirmações podem ser falsas.
(3) Um tanque pulmão de produtos intermediários, conforme figura abaixo está
instalado num processo. Acontecerá a ampliação da planta de modo que a vazão deste
produto intermediário duplicará.
Pede-se:
(a) qual o ponto (nível no estado estacionário) do tanque quando qs = 0.2 m3/min, para R1 e R2;
(b) para qs =0.4 m3/min, há necessidade de trocar o tanque? Faça para R1 e R2, discuta os
resultados;
(c) para controlador PI, qual os valores do ganho proporcional (KC) que tornam o sistema
instável? (faça para R1 e R2);
qi(t)
h(t)LTLC
LY
qo(t)R
F igura 7 -7 : Exerc íc io (3 ) – Tanque pu lmão .
Dados:
qs Vazão em estado estacionário antes da duplicação = 0.2 m3/min
A Área da seção transversal do tanque = 0.8 m2
Hmax Altura máxima do tanque = 1.25 m
R1 Resistência ao fluxo de saída = 1.25m/(m3/min)
R2 Resistência ao fluxo de saída = 2.5 m/(m3/min)
q01(t) Fluxo de saída = 1
)(R
th
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q01(t) Fluxo de saída = 2
)(R
th
τI Tempo integral = 5.0 min
Kv Ganho da válvula unitário. Não há atraso na resposta da válvula
Km Ganho do elemento de medição = 1.0
τm Constante de tempo do elemento de medição = 0.2 min
(4) Considere um sistema de controle cujo diagrama de blocos é dado na Figura
7-8. Obtenha a relação entre KC e τm que torna o sistema estável.
Dados:
Controlador é proporcional puro, com ganho Kc O ganho da válvula de controle é unitário
A constante de tempo da válvula é τv = 2
O ganho do transmissor é unitário
A constante de tempo do transmissor é τT = 1
A função de transferência Gp1 é caracterizado por ter apenas tempo morto τm;
A função de transferência Gpz é caracterizado por ter ganho 10.5 e constantes de tempo τP1 = 2.3, τP2 = 7.9 e τP3 = 15.0
GP2
Σ C(s)GC
( )sRΣ GV
+
+-
+
Gm
GP1
F igura 7 -8 : D iagrama de b loco do Exerc íc io (4 ) .
(5) Estabeleça a relação entre as sintonias do controlador mestre e o escravo, para
um controle em cascata, com o controlador mestre e escravo proporcionais, que torne o
sistema estável. Assuma que o GMA da malha mestre e da malha escrava são de 1ª ordem.
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(6) Repita o exercício (5) assumindo que o GMA da malha mestre e da malha
escrava são de 1ª ordem com tempo morto.
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Í N D I C E
CAPÍTULO 8. ESTRATÉGIAS DE CONTROLE 8-3
8.1. CONTROLE EM CASCATA 8-3 8.2. CONTROLE POR RELAÇÃO 8-5 8.3. COMBINAÇÃO DE CONTROLE EM CASCATA E POR RELAÇÃO 8-7 8.4. CONTROLE ANTECIPATÓRIO 8-8 8.5. COMBINAÇÃO DE CONTROLE POR REALIMENTAÇÃO E ANTECIPATÓRIO 8-10 8.6. CONTROLE POR INTERVALO DIVIDIDO (SPLIT-RANGE) 8-12 8.7. CONTROLE SELETIVO 8-13 8.8. CONTROLE COM BANDA MORTA E GANHO NÃO-LINEAR 8-14 8.9. COMPENSAÇÃO DO TEMPO MORTO 8-15 8.10. DESACOPLAMENTO 8-17 8.11. CONTROLE ADAPTATIVO 8-20 8.12. GANHO PROGRAMADO (GAIN SCHEDULING) 8-22 8.13. CONTROLE INFERENCIAL 8-22 8.14. EXERCÍCIOS 8-25
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Í N D I C E D E F I G U R A S Figura 8-1: Sistema de controle em cascata. 8-3 Figura 8-2: Controle de temperatura da camisa de um CSTR. (a) convencional; (b) cascata. 8-4 Figura 8-3: Diagrama de bloco. (a) Malha aberta; (b) Convencional; (c) Cascata. 8-5 Figura 8-4: Controle por relação. 8-5 Figura 8-5: Sistema de controle por relação. 8-7 Figura 8-6: Combinação de controle em cascata com controle relação. 8-8 Figura 8-7: Mistura de duas correntes. 8-8 Figura 8-8: Controle feedback/feedforward. 8-9 Figura 8-9: Combinação de controle feedback/feedforward. 8-11 Figura 8-10: Diagrama de bloco para controle feedback. 8-12 Figura 8-11: Diagrama de bloco para controle feedforward. 8-12 Figura 8-12: Controle split-range. 8-13 Figura 8-13: Controle split-rante. 8-13 Figura 8-14: Exemplo de sistema com controle seletivo. 8-14 Figura 8-15: Diagrama esquemático do compensador de tempo morto. 8-16 Figura 8-16: Diagrama de blocos para o Preditor de Smith. 8-16 Figura 8-17: Diagrama de bloco para sistema MIMO. 8-18 Figura 8-18: Função de transferência em s de um sistema MIMO 2x2. 8-19 Figura 8-19: Sistema MIMO 2x2 com desacoplamento no domínio s. 8-19 Figura 8-20: Controlador adaptativo. 8-21 Figura 8-21: Controle adaptativo por ganho programado. 8-22 Figura 8-22: Diagrama de blocos de sistema 2x2 em malha aberta. 8-23 Figura 8-23: Diagrama de blocos de sistema de controle inferencial. 8-24 Figura 8-24: Diagrama de blocos de sistema de controle inferencial com atualização do modelo. 8-25 Figura 8-25: Fluxograma para exercício (1). 8-26 Figura 8-26: Fluxograma para o exercício (2). 8-28 Figura 8-27: Fluxograma para o exercício (3). 8-29 Figura 8-28: Fluxograma para o exercício (4). 8-30
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C A P Í T U L O 8 . E S T R A T É G I A S D E C O N T R O L E
8 . 1 . C o n t r o l e e m C a s c a t a
Uma das aplicações do controle em cascata é evitar que aconteçam perturbações não
desejadas na variável manipulada. Por exemplo, no sistema de resfriamento de um reator a
vazão para a camisa é a variável manipulada, porém pode acontecer, devido a mudança na
pressão a montante ou a jusante da válvula de controle que esta vazão se modifique, apesar
da saída do controlador se manter constante. Neste caso, é aconselhável acrescentar um
controlador de vazão de líquido refrigerante, sendo que o set point deste controlador é a saída
do controlador de temperatura do reator (vide Figura 8-1).
reagenteA
reagenteB
catalisador
FY3
FC3
FT3
TI3
FY2
FC2
FT2
TI2
FY4
FC4
FT4
fluidorefrigerante
FY1
FC1
FT1
TT1
TC1
TI5
C + D
AI1
AC1
Controladorprimário
Controladorsecundário
F igura 8 -1 : S is tema de cont ro le em cascata .
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F igura 8 -2 : Cont ro le de tempera t ura da camisa de um CSTR. (a ) con venc iona l ; (b )
cascata .
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Figura 8-3: Diagrama de bloco. (a) Malha aberta; (b) Convencional; (c) Cascata.
8 . 2 . C o n t r o l e p o r R e l a ç ã o
Quando se deseja manter a razão entre duas vazões constantes é interessante utilizar o
controle por relação. Por exemplo, deseja-se manter constante a composição de uma
determinada corrente, para tanto, modula-se a vazão de uma segunda corrente:
q2(t), CA2(t), CB2(t)
FT1
FY1
FC1
q1(t), CA1(t), CB1(t)
FT2
FFC2
Estaçãode razão
q3(t), CA3(t), CB3(t)
CA3 - Variável controlada q2 - Variável manipulada
F igura 8 -4 : Cont ro le por re lação .
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√ Balanço de massa global
Equação 8 -1 ( ) ( ) ( )tqtqtqdtdm
321 −+=
√ Balanço do molar por componente
Equação 8 -2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )tCtqCtqtCtqdt
dmAAA
A332211 ... −+=
Equação 8 -3 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )tCtqCtqtCtqdt
dmBBB
B332211 ... −+=
√ Estado estacionário
Equação 8 -4 ssssss qqq ,,, 213 +=
Equação 8 -5 ( ) ssAssssAssssAssssssAss CqCqCqqCq ,,,,,,,,, .... 221132133 +=+=
Equação 8 -6 ssBssssBssssBss CqCqCq ,,,,,, ... 221133 +=
Admitindo que a variável manipulada não contém A, então CA2 = 0 e da Equação 8-5,
obtemos:
Equação 8 -7 121
1AAB C
qqqC .+
=
Obs: Para simplificar omitimos o subscrito ss. Se,
Equação 8 -8 12
112 AAB C
qqCqq .≅⇒>>
Então para CA1 constante, manipulando a razão 21 qq controla-se a composição na saída
do processo. Portanto, se a vazão q1(t) mudar a estação de razão, que tem a incumbência de
atender a relação 21 qq , modificará a vazão q2(t).
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reagenteA
reagenteB
catalisador
FY3
FC3
FT3
TI3
FY2
FC2
FT2
TI2
FY4
FC4
FT4
fluidorefrigerante
FY1
FC1
FT1
TT1
TC1
TI5
C + D
AI1
FFC2
F igura 8 -5 : S is tema de cont ro le por re lação .
8 . 3 . C o m b i n a ç ã o d e C o n t r o l e e m C a s c a t a e p o r R e l a ç ã o
O sistema de controle dos processos industriais são, freqüentemente, a combinação de
diversas estratégias de controle, por exemplo, combinação de controle em cascata com
controle por relação.
Esta combinação de sinais podem ser de diversas maneiras, por exemplo, pode ser uma
média ponderada (OUT) de sinais vindo da malha feedback (FB) e da malha por relação (FF).
Equação 8 -9 ( ) FFFBOUT .. ℜ−+ℜ= 1
Se ℜ = 0 ⇒ Controle por relação
Se ℜ = 1 ⇒ Controle em cascata
Se 0 < ℜ < 1 ⇒ Combinação cascata/relação
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reagenteA
reagenteB
catalisador
TI3
FY2
FC2
FT2
TI2
FY4
FC4
FT4
fluidorefrigerante
FY1
FC1
FT1
TT1
TC1
TI5
C + D
AI1
AC1
FFC2
FY3
FC3
FT3
FX1
FF
OUT
FB
F igura 8 -6 : Combinação de cont ro le em cascat a com cont ro le re lação .
A
B
A
B
FT101
FT102
FY101A
FY102A
FY102B
FY101B
A2A
B2
B
FIC101
B
SP
Estaçãode razão
B/A
F igura 8 -7 : M is tu ra de duas cor ren tes .
8 . 4 . C o n t r o l e A n t e c i p a t ó r i o
Quando o processo está submetido à grandes perturbações na carga ou quando não
permite muitas oscilações o emprego do controle antecipatório pode melhorar o desempenho
do processo.
Na Figura 8-8 vemos a representação em diagramas de blocos do controle feedforward.
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GCE FBΣ GP1
OUT QGVR
Gm
-+
Σ+
+Σ
+
+
GP3
U
FF
GFF
GP2C
F igura 8 -8 : Cont ro le feedback / f eed forward .
A resposta desse sistema de controle C a uma perturbação na carga U e no set point R é
dada por:
Equação 8 -10 UGGGGG
GGGGGGRGGGGG
GGGGCmPPVC
PPPPVFF
mPPVC
PPVC
21
2321
21
21
11 ++
++
=
O ideal é o que o sistema não sinta o efeito da perturbação na carga:
Equação 8 -11 0...0 2321 =+⇒= PPPPVFF GGGGGGUC
Então,
Equação 8 -12 1
3
. PV
PFF GG
GG =
Se,
Equação 8 -13 vv KG =
Se,
Equação 8 -14 1.
1
11 .
1.ms
P
PP e
sG τ
τ−
+Κ
=
Equação 8 -15 3.
3
33 .
1.ms
P
PP e
sG τ
τ−
+Κ
=
Então,
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Equação 8 -16 ( )( )
( )13.1.1..
. 3
1
1
3 mms
P
P
PV
PFF e
ss
KKKG ττ
ττ −−
++
−=
Para que a Equação 8-15 seja fisicamente exeqüível, é necessário que:
Se,
Equação 8 -17 13 mm
ττ ≥
Assumindo
Equação 8 -18 ( ) ( )1.
21
11 .
1..1.ms
PP
PP e
ssG τ
ττ−
++Κ
=
Então,
Equação 8 -19 ( ) ( )
( )( )13.
1.1..1..
. 3
21
1
3 mms
P
PP
PV
PFF e
sss
KKKG ττ
τττ −−
+++
−=
Que não é fisicamente exeqüível, pois o grau do numerador é maior que o grau do
denominador, nesses casos temos que fazer aproximações, por exemplo, utilizando o lead-lag.
A constante de tempo de lead é:
Equação 8 -20 21 PPld τττ +=
Então, a constante de tempo do lag é:
Equação 8 -21 3lg Pττ =
√ Aproximação utilizando o LEAD-LAG A Equação 8-15 pode ser aproximada através do uso do lead-lag com tempo morto:
Equação 8 -22 ( )( )
FFmsldFFFF e
ss
KG ..
lg
.1.1.
. τ
ττ −
++
−=
8 . 5 . C o m b i n a ç ã o d e C o n t r o l e p o r R e a l i m e n t a ç ã o e A n t e c i p a t ó r i o
Semelhante a combinação cascata/relação podemos combinar o feedforward com o
feedback ou com o controle em cascata. Por exemplo, na Figura 8-8 o sinal que vai para a
válvula de controle é a soma do sinal feedback (FB) com feedforward (FF): OUT = FB + FF
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Podemos implementar o controle (S) feedforward em combinação com feedback no sistema
de controle da Figura 8-1:
reagenteA
reagenteB
catalisador
TT3
FY2
FC2
FT2
TT2
FY4
FC4
FT4
fluidorefrigerante
FY1
FC1
FT1
TT1
TC1
TI5
C + D
AT1
AC1
FY3
FC3
FT3
FX1
OUTFB
Cálculo daquantidade de
catalisadorFF
Cálculo dacarga deprocesso
F igura 8 -9 : Combinação de cont ro le feedback / feed forward .
Novamente o sinal combinado do feedback com o feedforward pode ser uma média
ponderada:
Equação 8 -23 ( ) FFFBOUT .. ℜ−+ℜ= 1
Se ℜ = 0 ⇒ Controle antecipatório
Se ℜ = 1 ⇒ Controle por realimentação
Se 0 < ℜ = < 1 ⇒ Combinação feedback/feedforward
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F igura 8 -10 : D iagrama de b loco para cont ro le feedback .
F igura 8 -11 : D iagrama de b loco para cont ro le feed forw ard .
8 . 6 . C o n t r o l e p o r I n t e r v a l o D i v i d i d o ( S p l i t - r a n g e )
Algumas vezes se faz necessário o emprego de duas válvulas de controle para uma mesma
malha. Nestes casos, podemos reduzir o custo ou simplificar a implantação da estratégia
utilizando uma técnica denominada controle por intervalo dividido (split-range).
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√ Exemplo: Dois trocadores de calor em série.
Condensado
Vapor
NF3 a 9 psi
TT
TCposicionador
Condensado
Vapor
NF9 a 15 psi Ação reversa
SP OUTPV
F igura 8 -12 : Cont ro le sp l i t - range .
√ Exemplo: Controle de pressão em um vaso
N2
PC
NA3 a 9 psi
NF9 a 15 psi
Ação direta
SP OUTPV
PT
F igura 8 -13 : Cont ro le sp l i t - ran te .
8 . 7 . C o n t r o l e S e l e t i v o
As vezes é conveniente selecionar entre vários sinais disponíveis qual o melhor ou qual o
mais crítico para a segurança do planeta. Por exemplo, em reatores catalíticos de tubulares
submetidos a reações exotérmicas o ponto onde a temperatura mais alta acontece muda de
lugar a depender da atividade/estabilidade do catalisador. Neste caso, é conveniente espalhar
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alguns elementos primários de medição e escolher a temperatura mais crítica (mais alta) como
sinal de controle (veja Figura 8-14).
F igura 8 -14 : Exemplo de s is tema com cont ro le se le t i vo .
8 . 8 . C o n t r o l e c o m B a n d a M o r t a e G a n h o N ã o - L i n e a r
Freqüentemente, o controle de nível de tanques não é rígido, isto é, permite-se a existência
de desvio permanente, também denominado erro estacionário ou offset, aliás, é até
recomendado esse comportamento, pois o tanque funciona como amortecedor de perturbações
(filtro passa baixa). A implementação de uma função de controle que comporte essa
característica pode ser feita de várias maneiras.
(a) Controlador Feedback proporcional puro: Este controlador, Equação 8-24 permite o
offset para distúrbios na carga, mas elimina-o para perturbações no set point.
Equação 8 -24 ( ) ( ) ( ) ( )[ ]tPVtSPKtBIAStOUT c −+= .
Alguns fabricantes preferem trabalhar com o conceito de Banda Proporcional (PB –
Proporcional Band) em lugar de ganho do controlador, a Equação 8-25 define a relação entre
esses conceitos.
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Equação 8 -25 C
PBΚ
=100
(b) Controlador com banda morta: Neste caso divide-se o nível em duas regiões, dentro
da faixa mais interna o nível é deixado, por exemplo, controle apenas proporcional, fora dessa
faixa, muda-se a função de controle para, por exemplo, proporcional mais integral com o intuito
de forçar o nível a atingir valores mais próximos do valor desejado. A função de controle será:
Dentro da banda morta:
Equação 8 -26 ( ) ( ) ( ) ( )[ ]tPVtSPKtBIAStOUT c −+= .
Fora da banda morta:
Equação 8 -27 ( ) ( ) ( ) ( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡τ
++= ∫ dtttKtBIAStOUTI
c E E .. 1
Onde,
Equação 8 -28 ( ) ( ) ( )tPVtSPt −=E
(c) Controlador com ganho não linear: Outra possibilidade para tornar variável a função
de controle com o erro é o controlador com ganho não-linear. Neste caso, o ganho é
modificado continuamente de forma a ser proporcional à magnitude do erro, Equação 8-29.
Controlador com ganho não-linear:
Equação 8 -29 ( ) ( ) ( )[ ] ( )t.tKKK NLcc E E..++= tBIAStOUT
Onde,
( )tE é o módulo do erro
Podemos, ainda combinar essas possibilidades ou modificá-las de forma a atender
exigências específicas de uma planta.
Os valores dos controladores (KC, KNL, banda morta, etc.) devem ser de forma a satisfazer
um determinado critério, ou seja, o controlador deve ser sintonizado.
8 . 9 . C o m p e n s a ç ã o d o T e m p o M o r t o
A presença de tempo morto é um fator que prejudica o desempenho dos sistemas de
controle, particularmente um grande tempo morto pode instabilizar um processo, por isso, o
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projeto do processo deve procurar eliminar ou pelo menos diminuir o tempo morto, contudo, às
vezes é impossível removê-lo do processo, portanto, nesses casos temos que conviver com
ele.
Uma alternativa que pode melhorar o desempenho do sistema é considerar o tempo morto
na função de controle, compensando, assim, o seu efeito. A idéia básica do compensador de
tempo morto calculado na implementação do sistema de controle, conforme pode ser
visualizado na Figura 8-15.
EΣ ProcessoE'M
ControladorR
SensorB-
+CΣ
+
-
Compensadortempo morto
F igura 8 -15 : D iagrama esquemát i co do compensador de tempo mor to .
Ao implementar o compensador de Smith a estabilidade do sistema é melhorada pois
elimina-se da equação característica o tempo morto.
Seja G(s) a função de transferência do processo que relaciona a variável controlada C com
a variável manipulada M. Separe de G(s) a parte sem tempo morto G*(s).
O preditor de Smith é implementado conforme a Figura 8-16.
EΣ G(s)E'M
GC(s)R
-
+ CΣ+
-
( )smeG .*1 τ−−
Σ
U(s)
GU(s)
+
+
F igura 8 -16 : D iagrama de b locos para o Pred i to r de Smi th .
Onde,
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A Equação 8-30 é a função de transferência real:
Equação 8 -30 ( ) ( ) smesGsG .* . τ−=
E a Equação 8-31 é o modelo função de transferência:
Equação 8 -31 ( ) smesG .*. τ−
As funções de transferência que relacionam C com U e R são:
Equação 8 -32 ( ) ( ) ( ) [ ][ ]
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) sccc
scU
m
m
esGsGsGsGsGsG
esGsGsGUC
.**
.*
....1
1..1.τ
τ
−
−
−++
−+=
Equação 8 -33 ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) sccc
sc
m
m
esGsGsGsGsGsG
esGsGRC
.**
.*
....1
..τ
τ
−
−
−++=
Assumindo que o modelo do processo é perfeito, isto é:
Equação 8 -34 ( ) ( ) ( ) ss mm esGesGsG .*.* .. ττ −− ==
Substituindo Equação 8-34 na Equação 8-32 e re-arranjando, obtemos:
Equação 8 -35 ( ) ( ) ( ) [ ][ ]
( ) ( )sGsGesGsGsG
UC
c
scU
m
*
.*
.11..1.
+−+
=−τ
Equação 8 -36 ( ) ( )
( ) ( )sGsGesGsG
RC
c
sc
m
*
.*
.1..
+=
−τ
Observando a Equação 8-35 e a Equação 8-36 verificamos que o tempo morto não foi
eliminado da equação característica, conseqüentemente o sistema torna-se mais estável.
8 . 1 0 . D e s a c o p l a m e n t o
Os processos químicos são sistemas multivariáveis, conseqüentemente, é necessário
implementar várias malhas de controle num mesmo equipamento. Devido à interferência de
uma variável manipulada em mais de uma variável controlada, as malhas de controle interagem
entre si, resultando em um controle de baixo desempenho. No evaporador, por exemplo, as
malhas de controle de pressão e de composição interferem uma na outra. Outro exemplo típico
de interação entre malhas é o controle simultâneo das composições de topo e fundo de
colunas de destilação.
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8.10.1. Função de transferência em s de sistemas MIMO com desacoplamento
Considere Figura 8-17.
PROCESSO
X1(t)
X2(t)
Y1(t)
Y2(t)
F igura 8 -17 : D iagrama de b loco para s is t ema MIMO.
Equação 8 -37 ( )( )
( )( )⎩
⎨⎧
∴⎩⎨⎧
tYtY
SAÍDAStXtX
ENTRADAS2
1
2
1
MODELO MATEMÁTICO (Variáveis desvio ou sistema relaxado):
Equação 8 -38 2121112121111 XbXbYaYa
dtdY .... +++=
Equação 8 -39 2221212221212 XbXbYaYa
dtdY .... +++=
Condições iniciais:
Equação 8 -40 ( ) ( ) 000 21 == YY
Aplicando a transformada de Laplace e resolvendo para Y1(s) e Y2(s):
Equação 8 -41 ( ) ( )[ ]( ) ( ) ( )[ ]
( ) ( )sXsP
babassX
sPbabas
sY 222121222
121121122
1.
.. +−
++−
=
Equação 8 -42 ( ) ( )[ ]( ) ( ) ( )[ ]
( ) ( )sXsP
babassX
sPbabas
sY 212212211
111212111
2.
.. +−
++−
=
Onde P(s) é o denominador da função de transferência dada por:
Equação 8 -43 ( ) ( ) ( )2211211222112 .aaaasaassP −−+−=
Equação 8 -44 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )⎩
⎨⎧
+=+=
sXsGsXsGsYsXsGsXsGsY
2221212
2121111
....
Ou em notação matricial:
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Equação 8 -45 ( )( )
( ) ( )( ) ( )
( )( )⎥⎦⎤
⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡sXsX
sGsGsGsG
sYsY
2
1
2221
1211
2
1 .
O sistema de Equação 8-45 é denominado Matriz das Funções de Transferência. Em
diagrama de blocos:
X1(s)G11(s) Σ
Y1(s)
Y2(s)X2(s)ΣG22(s)
G21(s)
G12(s)
F igura 8 -18 : Função de t ransfe rênc ia em s de um s is tema MIMO 2x2 .
O desacoplamento é implementado, conforme a Figura 8-19:
X1(s)G11(s) Σ
Y1(s)
Y2(s)X2(s)ΣG22(s)
G21(s)
G12(s)
Σ
Σ
U1(s)
U2(s)
D21(s)
D12(s)U21
U12
F igura 8 -19 : S is tema MIMO 2x2 com desacop lamento no domín io s .
Os desacopladores D12(s) e D21(s) são descritos por:
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Equação 8 -46 ( ) ( )( )sGsG
sD11
1212 −=
Equação 8 -47 ( ) ( )( )sGsG
sD22
2121 −=
8 . 1 1 . C o n t r o l e A d a p t a t i v o
Os processos químicos são não-lineares e alguns são também não-variantes com o tempo.
Nas duas situações, e mais ainda na última, a sintonia dos controladores PID só são válidas
quando o processo encontra-se próximo do estado no qual foi realizado o ajuste dos
parâmetros do controlador. Portanto, quando o processo sofre uma grande perturbação, o
desempenho do controlador fica comprometido, a menos que seja ajustada uma nova função
de controle, neste caso é recomendado que seja implementado um procedimento automático
para sintonia/adaptação automática dos controladores. Esse controlador é denominado de
adaptativo pois se modifica, adequando-se às novas condições de processo.
O livro de Karl Johan Åström e Björn Wittenmark, Adaptativr Control, editado pela Addison-
Wesley Publisng Company, é uma excelente referência para iniciar os estudos sobre
controladores adaptativos.
Um controlador adaptativo segue as seguintes etapas de atuação:
(a) Monitoramento das entradas e saídas do processo;
(b) Estimativa das saídas a partir de um modelo de referência;
(c) Comparação das saídas calculadas com as medidas;
(d) Adaptação do modelo às novas condições de processo;
(e) Sintonia do controlador a partir do modelo adaptado.
Na Figura 8-20 vemos, em diagramas de blocos, o esquema de um controlador adaptativo.
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EΣ ProcessoControladorSP
-+C
Algoritmoestimador
Algoritmode sintonia
Novosparâmetros
F igura 8 -20 : Cont ro lador adapta t ivo .
Existem basicamente 5 tipos de controladores adaptativos:
(1) Ganho programado
Em Inglês: Gain Scheduling
(2) Controlador Robusto de Ganho Constante e Elevado
Em inglês: Robust High-gain Control
(3) Sistema Adaptativo Auto Oscilante
Em Inglês: SOAS – Self Oscillating Adaptative Systems
(4) Controle Adaptativo por Modelo de Referência
Em Inglês: MRAC – Model Reference Adaptative Control ou
MRAS – Model-Reference Adaptative Systems
(5) Controladores Auto Sintonizados
Em Inglês: STR – Self-Tuning Regulators
A diferença entre estes algoritmos reside nos procedimentos utilizados na implementação
das diversas etapas do controlador adaptativo.
Neste curso apresentaremos controlador de ganho programado. Os demais algoritmos
requerem um aprofundamento maior em teoria de controle que foge ao escopo e ao tempo
disponível para este curso.
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8 . 1 2 . G a n h o P r o g r a m a d o ( G a i n S c h e d u l i n g )
Neste tipo de controlador o ganho do controlador é modificado conforme for o valor de
alguma variável de processo, vide Figura 8-21.
EΣ ProcessoControladorSP
-+C
Tabela deganhos
Novoganho
Condiçãooperacional
F igura 8 -21 : Cont ro le adapta t i vo por ganho programado .
O ganho do controlador (KC) pode ser alterado continuamente de forma que seu produto
com o ganho do processo (KP) seja constante (Kg):
Equação 8 -48 gPC Κ=ΚΚ .
Assim, de acordo com a Equação 8-48 se o ganho do processo se modifica, o ganho do
controlador deve ser alterado para manter o ganho global constante.
Um procedimento para implementar um controlador programado é visto abaixo:
(a) Determine o ganho em malha aberta do processo no ponto de operação desejado à sua
volta.
(b) Obtenha o valor apropriado do ganho do controlador para o ponto de operação
desejado. Calcule neste ponto o ganho global da malha.
(c) Obtenha uma função que defina a variação do ganho do controlador com alguma
variável do processo.
8 . 1 3 . C o n t r o l e I n f e r e n c i a l
Freqüentemente, a variável que se deseja controlar não pode ser medida diretamente,
conseqüentemente, não é possível implementar um sistema de controle feedback ou qualquer
outra estratégia de controle que necessite a medição da variável controlada. Se os distúrbios
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que perturbem o processo forem mensurados, podemos instalar controladores feedforward
para manter a saída do sistema próxima do valor desejado.
Porém, quando não for possível medir as perturbações, ou quando o modelo disponível não
for adequado, a única alternativa é inferir o valor da variável controlada a partir de outras
medições e utilizar esta informação para realimentar a malha de controle. A esta técnica dá-se
o nome de Controle Inferencial.
Considere o diagrama de blocos de um sistema em malha aberta conforme a Figura 8-22.
MGP1 Σ
C
ΣGP2
GD1
Y
GD2
U
F igura 8 -22 : D iagrama de b locos de s is tema 2x2 em ma lha aber ta .
Da Figura 8-22 obtemos o modelo entrada-saída:
Equação 8 -49 UGMGC DP .. 11 +=
Equação 8 -50 UGMGY DP .. 22 +=
O intuito é encontrar uma equação que forneça o valor da variável controlada (C) a partir do
conhecimento da oura saída do sistema (Y). Para tanto, da Equação 8-50 vamos isolar o valor
de U:
Equação 8 -51 MGGY
GU
D
P
D..1
2
2
2−=
Substituindo a Equação 8-51 na Equação 8-49 e re-arranjando, obtemos:
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Equação 8 -52 YGGMG
GGGC
D
DP
D
DP ...~
2
12
2
11 +⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−=
A equação fornece a estimativa da variável controlada a partir da variável manipulada (M) e
da outra saída do processo (Y).
Implementando a Equação 8-52 numa malha feedback obtemos o diagrama de blocos
mostrado na Figura 8-23.
MGP1 Σ
C
ΣGP2
GD1
Y
GD2
U
GC
Σ
ΣCSP
22
11 P
D
DP G
GGG −
C~
2
1
D
D
GG
F igura 8 -23 : D iagrama de b locos de s is tema de cont ro le in fe renc ia l .
Como o controle inferencial requer um bom modelo matemático, o que raramente está
disponível, deve-se implementar algum procedimento para ajuste do inferenciador. Por
exemplo, no controle inferencial de malhas de composição, o modelo matemático pode ser
corrigido a partir das análises realizadas off-line, assim o sistema de controle estaria
periodicamente sendo “adaptado” às novas condições operacionais do processo, mantendo
seu bom desempenho. Na Figura 8-24 observamos a forma como o modelo do inferenciador é
atualizado.
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MGP1 Σ
C
ΣGP2
GD1
Y
GD2
U
GC
Σ
ΣCSP
22
11 P
D
DP G
GGG −
C~
2
1
D
D
GG
Σ C + MEDCorreção doganho de GP1
-
F igura 8 -24 : D iagrama de b locos de s is tema de cont ro le in fe renc ia l com a tua l i zação
do mode lo .
8 . 1 4 . E x e r c í c i o s
(1) Seja um forno e seu sistema de controle, conforme o fluxograma da Figura 8-25.
O objetivo deste processo é pré-aquecer a corrente de petróleo bruto que alimentará a seção
de fracionamento de uma refinaria. O combustível é um sub-produto dessa unidade (gás
natural), estando disponível em grande quantidade. A pressão da corrente de gás natural é
constante. O combustível é o ar atmosférico, sendo fornecido por um sistema de sopradores.
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Produto
TI1
AC1FT
2
FC2
FY2
AT1
AC1
TE5
TI5
TC5
FC4
FY4
gásnatural
ar
FE4
FT4
FE3
FY3
FFC3
FT3
F igura 8 -25 : F luxograma para exerc íc io (1 ) .
Devido a negligência do setor de documentação, a descrição do sistema de controle deste
forno foi perdida, havendo necessidade de reconstituir este documento. Pede-se que
engenheiro de controle (vossa senhoria) elabore tal documentação.
(2) Seja uma coluna de destilação e seu sistema de controle, conforme a Figura
8-26. O objetivo deste processo é separar os componentes leves (D) leves de uma mistura,
retirando pela base da coluna os componentes mais pesados (B). Não há limitações quanto a
quantidade de utilidades necessárias a este processo (vapor e fluido refrigerante).
Devido a negligência do setor de documentação, a descrição do sistema de controle desta
coluna foi perdida, restando apenas uma fotocópia em péssimo estado de conservação de
fluxograma de engenharia deste processo, havendo necessidade de reconstituir este
documento. Pede-se que o engenheiro de controle (vossa senhoria) elabore tal documentação,
complementando uma já existente.
Descreva o sistema de controle indicando e justificando para cada malha:
(a) Válvulas de controle: normal aberta ou normal fechada
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(b) Controladores (qual o modo – P, PI ou PID – e ação de controle mais recomendados –
direta ou reversa)
(c) Localiza os controles em cascata indicando o controlador primário (master) e o
controlador secundário (slave).
(d) Localize os controles de razão e feedforward presentes, indique os computadores
existentes, descrevendo quais os cálculos que realizam.
Descreva o sistema de controle indicando cada malha:
(a) Variável (s) controlada (s), justificando por que o projetista a (s) a (s) escolheu:
(b) Variável (s) manipulada (s), justificando por que o projetista a (s) escolheu;
(c) Variável (s) medida (s), justificando por que o projetista as escolheu;
(d) Elementos primários de medição (qual o tipo mais indicado);
(e) Elementos primários de medição (qual o tipo mais indicado);
(f) Transmissores e/ou transdutores (indique tipo de sinal de entrada e de saída);
(g) Controladores (qual o modo de controle mais recomendado);
(h) Localize os controles em cascata indicando o controlador primário (master) e o
controlador secundário (slave).
(i) No fluxograma está presente um controlador de razão (o sinal de saída do controlador
depende da razão entre dois sinais de entrada), porque há necessidade deste tipo de
estratégia de controle? Justifique sua resposta.
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÷
÷
( )tf
( )tf
×
F igura 8 -26 : F luxograma para o exerc íc io (2 ) .
(3) Seja um sistema reacional e seu sistema de controle, conforme a Figura 8-27. O
objetivo deste processo é produzir os compostos C e D a partir da reação de A com B. A
depender das condições mercadológicas, se maximiza a obtenção de C ou de D, alterando a
vazão de A e B na alimentação. A conversão dos reagentes é determinada pela quantidade de
catalisador admitida no sistema, que deve ser a menor possível para evitar a ocorrência de
reações indesejadas. Todas as reações que ocorrem são altamente exotérmicas. Não há
limitações quanto à quantidade de matérias-primas e utilidades necessárias a este processo
(fluido refrigerante).
Devido à negligência do setor de documentação, a descrição dos sistemas de controle deste
processo foi perdida, restando apenas um esboço do fluxograma de engenharia deste
processo.
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Havendo necessidade de descrição do sistema de controle, pede-se que o engenheiro de
controle elabore tal documentação. Descreva o sistema de controle indicando e justificando
para cada malha:
(a) Variáveis medidas, manipuladas e controladas;
(b) Localize, se existirem, os controladores em cascata indicando o controlador primário, o
controlador secundário, o terciário, etc.
(c) Localize, se existirem, os controles de razão e feedforward presentes, indique os
computadores existentes, descrevendo quais os cálculos que realizam;
(d) Localize, se existirem, os controles tipo split-range e seletivo, descrevendo seu modo de
funcionamento.
F igura 8 -27 : F luxograma para o exerc íc io (3 ) .
(4) Seja um forno e seu sistema de controle, conforme o fluxograma da Figura 8-28.
O objetivo deste processo é pré-aquecer a corrente de petróleo bruto que alimentará a seção
de fracionamento de uma refinaria. Um dos combustíveis é um subproduto dessa unidade (gás
natural), o outro é o óleo combustível utilizado na quantidade necessária à complementação de
carga térmica. A pressão da corrente de gás natural é constante. O comburente é o ar
atmosférico, sendo fornecido por um sistema de sopradores.
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Devido à negligência do setor de documentação, a descrição do sistema de controle desse
forno foi perdida, havendo necessidade de reconstituir este documento. Pede-se que o
engenheiro de controle (Vossa Senhoria) corrija o fluxograma e elabore tal documentação.
Descreva o sistema de controle indicando e justificando para cada malha:
(a) Localize, se existirem, os controles em cascata indicando o controlador primário, o
controlador secundário, o terciário, etc., indique também qual a variável controlada mais
importante;
(b) Localize, se existirem, o(s) controle(s) de razão, indique os computadores existentes,
descrevendo quais os cálculos que realizam, indique também qual a variável controlada mais
importante;
(c) Localize, se existirem, o(s) controle(s) e feedforward presentes, indique os
computadores existentes, descrevendo quais os cálculos que realizam; o(s) modelo(s)
utilizado(s) no(s) possível(is) feedforward existente(s) é (são) estacionário(s) ou transiente(s)?
tO
TI1
FT1 FY
1
O2
X
SP = K3X + K4qS
FY2
óleoar
FT2FT
3
FY3
AR1
AIC1
FFC3
TI3
I/P
FY3
WO
TC2
TY2
FC2
I/P
TY4
WO
TY3
gás
FT4
AR4
AR2
ho
hg
qs = qp - qc
AX1
SP de O2
FC1
I/P
FY2
TY1
ts
ΔT = ts - te
Wp
qp = WpCpΔT
x
w
w
qc = hgwg + howo
y = k1wg + k2wo
SP = Ry + b
F igura 8 -28 : F luxograma para o exerc íc io (4 ) .
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Í N D I C E
CAPÍTULO 9. CONTROLE AVANÇADO 9-2
9.1. OBJETIVOS DO CONTROLE AVANÇADO 9-2 9.2. ATRATIVOS PARA IMPLEMENTAÇÃO DE CONTROLE AVANÇADO 9-3 9.3. BENEFÍCIOS TRAZIDOS PELO CONTROLE AVANÇADO 9-4 9.4. ESTRATÉGIAS AVANÇADAS DE CONTROLE 9-4
Í N D I C E D E T A B E L A S Tabela 9-1: Objetivos do controle avançado. 9-2 Tabela 9-2: Estratégias de controle avançado. 9-4
Í N D I C E D E F I G U R A S Figura 9-1: Diagrama de bloco de controle feedback. 9-2 Figura 9-2: Pirâmide do controle avançado. 9-3 Figura 9-3: Benefícios do controle avançado. 9-4
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C A P Í T U L O 9 . C O N T R O L E A V A N Ç A D O
Principais problemas dos sistemas de controle de processos industriais:
• Substanciais capacitâncias (atrasos de 1ª ordem) e tempo morto na resposta dinâmica dos processos, que são variáveis com o tempo e/ou porto de operação do processo.
• Não medição em linha das variáveis controladas
• Resposta dinâmica não linear
• Modelos dinâmicos empíricos e aproximados
• Variáveis controladas e manipuladas sujeitas a restrições
• Significativa interação entre as malhas de controle
• Substanciais distúrbios externos não estacionários
Solução mais empregada (quando empregada!): Controle Feedback.
R GCEΣ G1
M Σ
U
CG2
HB
-+
+
+
Mecanismo do controlador
F igura 9 -1 : D iagrama de b loco de cont ro le feedback .
OBS: Todas as variáveis são desvios no domínio de Laplace.
9 . 1 . O b j e t i v o s d o C o n t r o l e A v a n ç a d o
Tabe la 9 -1 : Ob je t i vos do cont ro le a vançado .
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OPERACIONAIS COMERCIAIS
Aumento da segurança Maximizar o rendimento
Incrementar a flexibilidade Maximizar a produção
Atender as especificações de qualidade Incrementar os tempos de campanha
Operar em estado estacionário Reduzir consumo energia
Atender às restrições ambientais Reduzir estoques de produtos intermediários
Reduzir custos variáveis
CONTROLE AVANÇADO
CONTROLEFEEDBACK
QUANTIDADE
SEGURANÇA e MEIO AMBIENTE
QUALIDADE
F igura 9 -2 : P i râmide do cont ro le a vançado .
9 . 2 . A t r a t i v o s p a r a I m p l e m e n t a ç ã o d e C o n t r o l e A v a n ç a d o
√ Mudanças freqüentes:
• Vazão de alimentação
• Composição da alimentação
• Demanda de produção
• Abastecimento de energia
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√ Grande consumo de energia por unidade de produção;
√ Larga diferença entre os valores dos produtos;
√ Projeto altamente integrado;
√ Muitos controladores em manual;
√ Longos períodos entre a análise das correntes;
√ Resposta dinâmica lenta.
9 . 3 . B e n e f í c i o s t r a z i d o s p e l o C o n t r o l e A v a n ç a d o
CONTROLE REGULATÓRIOCONTROLE REGULATÓRIO
BÁSICO / AVANÇADOBÁSICO / AVANÇADO
CONTROLE PREDITIVOCONTROLE PREDITIVO
MULTIVARIÁVELMULTIVARIÁVEL
OPERAÇÃO NORMALOPERAÇÃO NORMAL REDUÇÃO DAS VARIAÇÕESREDUÇÃO DAS VARIAÇÕES OPERAÇÃO MAIS PRÓXIMAOPERAÇÃO MAIS PRÓXIMADO LIMITE DO LIMITE
LIMITE ESPECIFICADOLIMITE ESPECIFICADO
SETPOINTSETPOINT
F igura 9 -3 : Benef íc ios do cont ro le a vançado .
9 . 4 . E s t r a t é g i a s A v a n ç a d a s d e C o n t r o l e
Tabe la 9 -2 : Es t ra tég ias de cont ro le avan çado .
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PROBLEMA SOLUÇÃO
Mudanças na alimentação Controle feedforward1 Controle preditivo multivariável
Elevado tempo morto Compensação do tempo morto Controle preditivo multivariável
Ruído na medição Filtros passa-baixa
Variáveis não medidas Controle inferencial Controle preditivo multivariável
Interação Controle preditivo multivariável
Não linearidades Controle adaptativo Controle preditivo multivariável
Dinâmica difícil Controle preditivo multivariável
Restrições Controle com restrição Controle preditivo multivariável
Distúrbios de baixa freqüência Controle estatístico
Conseqüência econômica Otimização on-line
Modificação nas estratégias de controle Sistemas especialistas
1 Alguns autores não classificam o feedforward como controle avançado, mas estamos nos referindo ao controle antecipatório baseado nos modelos fenomenológicos dos processos.
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Í N D I C E
CAPÍTULO 10. TEORIA DE CONTROLE MODERNO: ABORDAGEM POR ESPAÇO DE
ESTADOS 10-2
Í N D I C E D E T A B E L A S Tabela 10-1: Controle Clássico x Controle Moderno. 10-2
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C A P Í T U L O 1 0 . T E O R I A D E C O N T R O L E M O D E R N O : A B O R D A G E M P O R E S P A Ç O D E E S T A D O S
Neste momento, faremos uma breve comparação entre a Teoria Clássica de Controle (o que
acabamos de estudar) e a denominada Teoria Moderna de Controle.
Tabe la 10 - 1 : Cont ro le C láss ico x Cont ro le Moderno .
Controle Clássico Controle Moderno
Sistemas lineares Sistemas lineares ou não lineares
SISO ou MIMO linear SISO ou MIMO não linear
Transformada de Laplace Equações diferenciais
Transformada Z Equações de diferenças finitas
Critério de Routh, Lugar das raízes,
Critério de Bode e de Nyquist
Autovalores e autovetores Planos de fases
Funções e critério de Liapunov
Multiplicidade de estados estacionários não é observada
Multiplicidade de estados estacionários é observada
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A B R E V I A T U R A S
a , b Constantes arbitrárias
A Amplitude de perturbação
A Área da seção transversal [ = ] m2
B Variável produzida pelo elemento de medida
BIAS Saída do controlador no estado estacionário
C Capacitância
C Concentração molar [ = ] kgmol/m3
C Variável de saída – controlada – não medida
CV Variável controlada (control variable)
cp Capacidade calorífica a pressão constante [ = ] kcal/(kg.K)
DE Carga do sistema (distúrbio externo)
E Erro
G Função de transferência
h Altura [ = ] m
H Entalpia [ = ] Kcal
H Função de transferência do elemento de medida
K Ganho do processo
L Comprimento da tubulação [ = ] m
m Massa [ = ] kg
M Sinal de saída da válvula
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MV Variável manipulada
OUT Sinal de saída do controlador [ = ] mA
PV Variável de processo (process variable)
q Vazão volumétrica [ = ] m3/s
Q Calor trocado [ = ] kcal/h
R Ponto de referência ou valor desejado
R Resistência
Rg Constante universal dos gases [ = ] J.mol-1
SP Valor desejado (set point)
t Tempo [ = ] h, min ou s
T Temperatura absoluta [ = ] K (graus Kelvin)
T Temperatura [ = ] ºC
U Variável de carga ou perturbação
UG Coeficiente global de troca térmica [ = ] kcal/m2. h.K
V Volume [ = ] m3
w Vazão mássica [ = ] kg/h
X Função entrada ou perturbação do sistema
Y Função saída ou resposta dos sistema
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Símbolos gregos
ν Coeficiente estequiométrico da substância
τ Constante de tempo para sistema de 1ª ordem
τ Período natural de oscilação para sistema de 2ª ordem
τD Tempo derivativo [ = ] min ou s
τI Tempo integral [ = ] min ou s
τm Tempo morto do processo
ζ Fator de amortecimento
ƒ Freqüência [ = ] rpm
ρ Massa específica [ = ] kg/m3
ℜ Constante da reação [ = ] s-1
ℜo Fator de freqüência [ = ] s-1
ω Freqüência angula da senoide [ = ] rad/s
Γ Taxa de consumo ou de reação [ = ] mol/m3.s
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Sobrescrito
- Variável em desvio
Subscrito
C Controlador
P Processo
SP Set point
ss Referente ao estado estacionário
st Referente à corrente de vapor (steam)
Abreviaturas
SISO - Uma entrada e Uma saída (Single-Input Single-Output)
SIMO - Uma entrada e Múltiplas saídas (Single-Input Multiple-Output)
MISO - Múltiplas entradas e Uma saída (Multiple-Input Single-Output)
MIMO -Múltiplas entradas e Múltiplas saídas (Multiple-Input Multiple-Output)
BIBO -Entrada Limitada e Saída Limitada (Bounded-Input Bounded-Output)
NL - Não Linear