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? CONTROLE DE PROCESSOS Autor: Prof. Dr. Ricardo de Araújo Kalid – [email protected] Laboratório de Controle e Otimização de Processos Industriais - LACOI Departamento de Engenharia Química - DEQ Escola Politécnica - EP Universidade Federal da Bahia – UFBA Salvador, março de 2007.

[Apostila] Controle de Processos - UFBA

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CONTROLE DE PROCESSOS

Autor: Prof. Dr. Ricardo de Araújo Kalid – [email protected]

Laboratório de Controle e Otimização de Processos Industriais - LACOI

Departamento de Engenharia Química - DEQ

Escola Politécnica - EP

Universidade Federal da Bahia – UFBA

Salvador, março de 2007.

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C o n t r o l e d e P r o c e s s o s R i c a r d o d e A r a ú j o K a l i d – k a l i d @ u f b a . b r

Í N D I C E

CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO 1-2

1.1. MOTIVAÇÃO PARA IMPLANTAR UM SISTEMA DA CONTROLE 1-2 1.2. NORMAS UTILIZADAS EM INSTRUMENTAÇÃO 1-7

Í N D I C E D E T A B E L A S Tabela 1-1: Estratégias para o controle de temperatura de um tanque de aquecimento agitado. 1-5 Tabela 1-2: Sinais padrão de transmissão de informações. 1-7 Tabela 1-3: Exemplo de identificação de instrumento. 1-9

Í N D I C E D E F I G U R A S Figura 1-1: Exemplo de controle de processo. 1-3 Figura 1-2: Tanque de aquecimento com agitação. 1-4 Figura 1-3: Tanque de aquecimento agitado com controle feedback. 1-5 Figura 1-4: Símbolos gerais para instrumento ou função programada. 1-7 Figura 1-5: Letras de identificação de instrumento ou função programada. 1-9

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C A P Í T U L O 1 . I N T R O D U Ç Ã O

A finalidade do controle de processos é manter as variáveis de processo nas condições

desejadas com um mínimo custo operacional.

Variáveis de processo são as propriedades intensivas ou extensivas de uma corrente ou

substância.

Como exemplos de variáveis de processo temos:

• Temperatura;

• Pressão;

• Vazão;

• Composição;

• Viscosidade;

• Granulometria;

• Radioatividade;

• Condutividade;

• Dureza;

• Maleabilidade;

• Cor;

• Aroma;

• Sabor; etc.

1 . 1 . M o t i v a ç ã o p a r a i m p l a n t a r u m s i s t e m a d a c o n t r o l e

Mudança nas condições de alimentação do processo e no ambiente (perturbações) estão

sempre acontecendo e se nenhuma ação for tomada importantes variáveis do processo não

alcançarão as condições desejadas. Porém, esta ação deve ser estabelecida de modo que:

1. A segurança dos equipamentos e dos trabalhadores,

2. A qualidade do produto; e

3. A produção

sejam asseguradas com um mínimo custo de investimento e/ou operacional.

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√ Exemplo 01

F igura 1 -1 : Exemplo de cont ro le de p rocesso .

√ Exemplo 02 Seja um tanque agitado, aquecido pela condensação do vapor d’água, conforme mostra a

Figura 1-2. O objetivo deste processo é aquecer uma corrente de vazão w e temperatura T1 até

alcançar a temperatura T2.

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T2(t), w

T1(t), w

vapor condensado Figura 1 -2 : Tanque de aquec imento com ag i tação .

Vamos considerar duas perguntas:

Pergunta 1: Quanto de calor deve ser fornecido ao líquido no interior do tanque para

que atinja a temperatura desejada T2?

Considerando o tanque bem agitado não existem gradientes internos de temperatura e as

propriedades do fluido na saída do tanque são as mesmas do interior do tanque (tanque

perfeitamente agitado).

O balanço de energia em estado estacionário no tanque indica qual a quantidade de calor

que deve ser transferida é:

Equação 1 -1 ( )sssspssss TTcwQ ,1,2.. −=

Mas nas condições de projeto T2 é a temperatura de referência Tr ou temperatura desejada

(set point), então podemos escrever a equação de projeto para o aquecedor:

Equação 1 -2 ( )ssSPpssss TTcwQ ,1.. −=

Pergunta 2: Mas se as condições mudarem (a vazão de líquido aumentar ou diminuir, a

temperatura da alimentação oscilar ou se desejarmos uma temperatura na saída maior ou

menor que a estabelecida no projeto), como iremos atuar sobre o sistema para que a

temperatura na saída do tanque seja a temperatura desejada (T2 = Tr = TSP) ?

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Existem algumas possibilidades, uma delas é medir a temperatura no interior do tanque (T),

comparar esta com a temperatura desejada (TSP) e atuar sobre a válvula de controle para que

esta aumente ou diminua o fluxo de vapor para a serpentina, incrementando ou não a

transferência de energia para o fluido no tanque (veja Figura 1-3). Esta estratégia denomina-se

controle por retroalimentação (Feedback Control).

T

T2(t), w2(t)

T1(t), w1(t)

vapor

condensado

TT

TC

F igura 1 -3 : Tanque de aquec imento ag i tado com contro le feedback .

Na Tabela 1-1 vemos outras alternativas de estratégias de controle para este processo.

Tabe la 1 -1 : Es t ra tég ias para o cont ro le de tempera tura de um tanque de aquec imento ag i tado .

Método Variável Medida

Variável manipulada

Classificação

01 T Q Feedback

02 T1 Q Feedforward

03 T w Feedback

04 T1 w Feedforward

05 T1 e T Q Feedback / feedforward

06 T1 e T w Feedback / feedforward

Podemos ainda instalar um trocador de calor a montante do tanque de aquecimento para

diminuir ou eliminar a oscilação na temperatura T1 ou utilizar um tanque com um volume maior

de modo a diminuir a oscilação na temperatura de saída T.

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Uma vez estabelecida a estratégia de controle é necessário determinar qual a lei ou

algoritmo de controle para o controlador. Uma possibilidade é utilizar o controlador proporcional, no qual a mudança no fluxo de calor é proporcional à diferença entre a

temperatura desejada (TSP(t)) e a temperatura medida (T(t)):

Equação 1 -3 [ ])()(.)( tTtTKQtQSPcss −+=

Onde Kc é denominado ganho do controlador, este parâmetro é ajustável e define a

intensidade da correção a ser realizada sobre o processo.

Do discutido anteriormente deduz-se que para definir um sistema de controle é necessário:

(1) Conhecer o comportamento no estado estacionário do processo que desejamos

controlar;

(2) Conhecer o comportamento dinâmico do processo que desejamos controlar;

(3) Estabelecer quais as variáveis de processo que devem ser mantidas o mais

próximo possível dos valores desejados (set point), denomina-se de variáveis controladas;

(4) Estabelecer quais as variáveis de processo que devem ser monitoradas (variáveis

medidas) a fim de conhecer ou inferir os valores das variáveis controladas ou das

variáveis de processo que podem interferir no mesmo (perturbações).

(5) Estabelecer quais os fluxos de massa e energia que deverão ser modificados

(variáveis manipuladas) para manterem as variáveis controladas nos seus set point.

(6) Escolher e dimensionar os instrumentos necessários para o funcionamento do

sistema de controle:

(a) Sensores das variáveis de processo envolvidas ou elementos primários de

medição,

(b) Transmissores e / ou conversores de sinais,

(c) Indicadores e / ou registradores de sinais,

(d) Controladores,

(e) Elementos finais de controle (válvulas).

Para estabelecer com sucesso o sistema de controle de um processo temos que conhecer

seu comportamento dinâmico, realizando um estudo de processo em malha aberta, assunto

que é tratado de uma apostila deste autor, que deve ser consultada para maiores detalhes.

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1 . 2 . N o r m a s U t i l i z a d a s e m I n s t r u m e n t a ç ã o

A ISA - The Instrumentation, Systems, and Automation Society estabelece normas e

procedimentos para especificação e instalação de instrumentos para controle de processos,

bem como a simbologia a ser adotada nos fluxogramas e documentos (veja “Standards and

Recommended Pratices for Instrumentation and Control” editado pela ISA).

2 . 1 . 1 . S i n a i s d e T r a n s m i s s ã o

Existem alguns tipos e faixas padronizadas para transmissão de sinais em sistemas de

controle:

Tabe la 1 -2 : S ina is padrão de t ransmissão de in fo rmações .

Tipo de sinal Valores Representação

Sinal pneumático ⎪⎭

⎪⎬

⎪⎩

⎪⎨

psig 27 a 3psig 30 a 6psig 15 a 3

representado por

Sinal elétrico ou eletrônico ⎪⎭

⎪⎬

⎪⎩

⎪⎨

V 10 a 0V 5 a 1

mA 20 a 4

representado por

Sinal digital ou discreto ou binário

, binário elétrico

, binário pneumático

As próximas páginas têm um pequeno resumo da simbologia empregada na confecção de

fluxogramas para instrumentação e controle de processos.

F igura 1 -4 : S ímbo los gera is para ins t rumento ou função programada .

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F igura 1 -5 : Le t ras de iden t i f i cação de ins t rumento ou função programada .

Tabe la 1 -3 : Exemplo de iden t i f i cação de ins t rumento .

T RC 210 02 A

Variável Função Área de atividades

Nº seqüencial da malha Sufixo

Identificação funcional Identificação da malha

Identificação do instrumento

Onde:

T Variável medida ou iniciadora: temperatura;

R Função passiva ou de informação: registrador;

C Função ativa ou de saída: controlador;

210 Área de atividades, onde o instrumento ou função programada atua;

02 Número seqüencial da malha;

A Sufixo.

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Í N D I C E

CAPÍTULO 2. FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA 2-2

2.1. PROPRIEDADES DA FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA 2-3 2.2. NATUREZA QUALITATIVA DAS RESPOSTAS DE UM SISTEMA 2-5 2.3. FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA COM ENTRADAS E SAÍDAS MÚLTIPLAS 2-7

Í N D I C E D E T A B E L A S Tabela 2-1: Raízes da Função de Transferência. 2-6

Í N D I C E D E F I G U R A S Figura 2-1: Diagrama de blocos 01. 2-3 Figura 2-2: Diagrama de blocos 02. 2-4 Figura 2-3: Diagrama de blocos 03. 2-4 Figura 2-4: Localização das raízes da equação característica. 2-7 Figura 2-5: Função exponencial [(a) decrescente (b); crescente] e gráfico de oscilação [(a) crescente; (b)

decrescente; (c) amplitude constante]. 2-7 Figura 2-6: Diagrama de blocos 04. 2-8 Figura 2-7: Diagrama de blocos 05. 2-9

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C A P Í T U L O 2 . F U N Ç Ã O D E T R A N S F E R Ê N C I A

“... proporciona uma relação direta entre as entradas (distúrbios, variáveis manipuladas) e as

saídas (variáveis controladas) do processo.”

George Stephanoupolos

Vamos trabalhar com modelos lineares ou linearizados e variáveis desvio:

Equação 2 -1 ⎩⎨⎧

==

==

ss

ss

X - X(t) X(0) -X(t) (t)XY - Y(t) Y(0) -Y(t) (t)Y

Generalizando, as equações diferenciais ordinárias com coeficientes constantes são da

forma:

Equação 2 -2 ∑∑=

−=

=++++=m

jj

j

jn

n

nn

n

n

n

ii

i

i dtXdbYa

dtYda

dtYda

dtYda

dtYda

0011

1

10

.........

Equação 2 -3 XbdtXdb

dtXda

dtXdb

dtXdbonde m

m

mm

m

m

m

jj

j

j ........ 011

1

10

++++= −

−=∑

Onde, an, an -1, ..., a1, a0 e bm, bm -1, ..., b1, b0 são constantes.

Em sistemas fisicamente exeqüíveis n ≥ m.

Assumindo que inicialmente o sistema está relaxado:

Equação 2 -4 1000 −=== nkdt

Ydtk

k,...,,

e

Equação 2 -5 1000 −=== nldt

Xdtl

l,...,,

Ou seja, o termo relativo às condições iniciais I é nulo: I = 0

Equação transformada:

Equação 2 -6 ( ) ( ) ( ) ( )∑ ∑ ∑∑= = ==

=⇒=m

j

n

i

m

j

jj

ii

jj

n

i

ii sXsbsYsasXsbsYsa

0 0 00)(..)(..).(..).(..

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Equação 2 -7 ( )0.

.

)()()(

0

0 =+==⇒

=

= Isa

sb

sXsYsG

ii

n

i

m

j

jj

G(s) é chamada de função de transferência e é obtida apenas se I = 0.

Equação 2 -8 desviodeformaementradadaLaplacededaTransforma

desviodeformaemsaídadaLaplacededaTransformasG,

,)( =

Em diagrama de blocos:

F igura 2 -1 : D iagrama de b locos 01 .

Em geral a função de transferência pode ser representada por uma divisão entre dois

polinômios em s:

Equação 2 -9 P(s)Q(s)G(s)=

2 . 1 . P r o p r i e d a d e s d a F u n ç ã o d e T r a n s f e r ê n c i a

P1. Descreve as características dinâmicas de um sistema. Se adotarmos uma função

perturbação X(t) na entrada, cuja transformada é X(s), a resposta do sistema é Y(s) dada por:

Equação 2 -10 )().()( sXsGsY =

P2. Se o sistema sofre uma perturbação impulso unitário (Delta de Dirac – um funcional) a

função de transferência é a resposta do sistema porém deve-se notar que a Transformada de

Laplace deste sinal é igual a 1 (um) : X(t) = δ(t), então X(s) = L{δ (t)} = 1, logo:

Equação 2 -11 )()().()( sGsXsGsY ==

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P3. A equação diferencial do sistema pode ser obtida utilizando a Transformada Inversa de

Laplace, que não será abordada neste texto, porém uma regra prática para equações

diferenciais lineares invariantes no tempo pode ser aplicada substituindo s pelo operador

diferencial D ≡ d/dt e multiplicando este resultado pela variável de entrada em desvio no

domínio do tempo e igualando a variável de saída também em desvio no domínio de t.

Equação 2 -12 )(.1

1.2)(1

1.2)(:. 22 tXtYss

ssGex ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

+++

=⇒++

+=

DDD

Ou,

Equação 2 -13 XXYYY +=++ DDD .22

Equação 2 -14 )()(.)()()(""'" tXtXtYtYtY +=++⇒ 2

P4. O princípio da superposição é válido (operador linear) para:

Equação 2 -15 )()()( 21 sXsXsX +=

Equação 2 -16 )()()().()().()().()( 2121 sYsYsXsGsXsGsXsGsY +=+==

Em diagrama de blocos:

PROCESSO

X1(t)Y(t)

X2(t)

F igura 2 -2 : D iagrama de b locos 02 .

G(s)X1(s) Y1(s)

G(s)X2(s) Y2(s)

++

Y(s)

F igura 2 -3 : D iagrama de b locos 03 .

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P5. O denominador de G(s) igualado a zero é denominado de equação característica – equação cuja solução é uma matriz de autovalores. A estabilidade de um sistema linear

invariante com o tempo pode ser determinada avaliando as raízes da equação característica:

se todas as raízes têm partes reais negativas o sistema é estável, caso alguma raiz tenha parte

real positiva o sistema é instável. Exemplo:

Equação 2 -17 ).21().21(5.2

1)( 2 jC

jB

−−+

+−=

+−+

=ssss

ssG

Equação característica:

Equação 2 -18 0522 =+− ss

Raízes da equação característica:

Equação 2 -19

jr .211 +=

Equação 2 -20

jr .212 −=

Portanto, o sistema é instável pois as raízes do denominador da função de transferência

tem parte real positiva.

P6. As raízes do denominador são os pólos do sistema e as raízes do numerador são os

zeros do sistema. Quando o número de zeros (nz) é menor que o número de pólos (np), diz-se

que existem (nz – np) zeros no infinito; a recíproca é válida. Para a Equação 2-17:

Equação 2 -19 2.j- 1 P e 2.j 1 P :pólos 21 =+=

Equação 2 -20 ∞== z e 1- z :zeros z1

P7. Em sistemas físicos exeqüíveis: nz ≤ np.

2 . 2 . N a t u r e z a Q u a l i t a t i v a d a s R e s p o s t a s d e u m S i s t e m a

Freqüentemente, estamos interessados apenas em determinar a estabilidade do sistema,

uma forma simples e adequada para os propósitos de controle de processos é encontrar as

raízes do denominador da função de transferência (pólos do sistema) e verificar sua

localização no plano complexo. Seja G(s) uma função de transferência que pode ser escrita por

uma razão de dois polinômios Q(s) e P(s):

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Equação 2 -21

( )i

n

ips

sQsPsQsGsXsGsY

n −==⇒=

=0

)()()()()().()(

Na Tabela 2-1 vemos as diferentes formas das contribuições da função transferência para

as respostas dos sistemas. Enquanto que na Figura 2-4 podemos verificar a disposição das

raízes da equação característica no plano complexo.

Tabe la 2 -1 : Ra ízes da Função de T ransferênc ia .

Raízes Características Termos em ƒ (t) para t ≥ 0

p1 p2, p2

* p3, p3

* p4, p4

* p5

p6

Real, < 0 Complexa, Re < 0 Complexa, Re = 0 Complexa, Re > 0

Real, > 0 Real, = 0

C1. e-p1.t e-a2.t [C1.cos(b2.t) + C2.sen(b2.t)]

C1.cos(b3.t) + C2.sen(b3.t) Ea4.t [C1.cos(b4.t) + C2.sen(b4.t)]

C1 ep5.t

C1

Observações:

1. Onde a1, a2, ..., b1, b2, ..., p1, p2, ..., são constantes positivas.

2. Se algumas dessas raízes são repetidas o termo referente a essa raiz é multiplicado por

uma série de potências de t:

K1 + K2.t + K3.t2 + ... + Kr.tr-1, onde r é o número de repetições.

3. C1, C2, K1 ,K2, ... KR são obtidas a partir das condições iniciais.

Na Figura 2-4 vemos a disposição dos pólos no plano complexo. Observe que as raízes

reais geram resposta não oscilatória amortecida (p1), não oscilatória não amortecida (p6) e não

oscilatória com amplitude crescente (p5), portanto uma resposta instável; enquanto que as

raízes complexas originam resposta oscilatória amortecida (p2, p2*), não amortecida (p3, p3*) e

com amplitude crescente (p4, p4*), isto é, a saída do sistema é instável. Em outras palavras as

raízes localizadas no semi-eixo direito geram respostas instáveis.

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Eixoimaginário

Eixoreal

p4

p3

p2

p1

p*2

p6p5

p*3

p*4

F igura 2 -4 : Loca l i zação das ra í zes da equação carac ter ís t ica .

À esquerda do eixo Im: f(t) decresce exponencialmente com t

À direita do eixo Im: f(t) cresce exponencialmente com t

Sejam raízes múltiplas:

Na origem: f(t) = tn, cte. para n = 0, crescente para n > 0.

Figura 2-5: Função exponencial [(a) decrescente (b); crescente] e gráfico de oscilação [(a) crescente; (b) decrescente; (c) amplitude constante].

2 . 3 . F u n ç ã o d e T r a n s f e r ê n c i a c o m E n t r a d a s e S a í d a s M ú l t i p l a s

Considere a Figura 2-6:

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PROCESSO

X1(t)Y1(t)

X2(t)Y2(t)

F igura 2 -6 : D iagrama de b locos 04 .

Equação 2 -22

( )( )

( )( )⎩

⎨⎧

⎩⎨⎧

tYt

tt

2

1

2

1 Y SAÍDAS

XX

ENTRADAS

MODELO MATEMÁTICO (variáveis desvio ou sistema relaxado):

Equação 2 -23 2121112121111 XbXbYaYa

dtdY ... +++=

Equação 2 -24 2221212221122 XbXbYaYa

dtdY ... +++=

Condições iniciais:

Equação 2 -25 0 (0)Y (0)Y 21 ==

Aplicando a Transformada de Laplace e resolvendo para Y1(s) e Y2(s):

Equação 2 -26 (s)XP(s)

]ba)ba[(s(s)XP(s)

]ba)ba[(s(s)Y 222121222

121121122

1+−

++−

=

Equação 2 -27 (s)XP(s)

]ba)ba[(s(s)X

P(s)]ba)ba[(s

(s)Y 222212211

111212111

2+−

++−

=

Onde P(s) é a equação característica dada por:

Equação 2 -28 )().(P(s) 2211211222112 aaaasaas −−+−=

Equação 2 -29 ⎩⎨⎧

+=+=

⇒)().()().()(

)().()().()(

2221212

2121111

sXsGsXsGsYsXsGsXsGsY

Ou em notação matricial:

Equação 2 -30 ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎤⎢⎣

⎡)()(

.)()()()(

)()(

2

1

2221

1211

2

1

sXsX

sGsGsGsG

sYsY

O sistema de Equação 2-30 é denominado Matriz das Funções de Transferência.

Em diagramas de blocos:

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X1(s)

X2(s)

G11(s)

G12(s)

G21(s)

G22(s)

++

++

Y2(s)

Y1(s)

F igura 2 -7 : D iagrama de b locos 05 .

Os sistemas podem ser:

SISO – Single Input Single Output

SIMO – Single Input Multiple Output

MISO - Multiple Input Single Output

MIMO - Multiple Input Multiple Output

Observação 1.: Os processos químicos são, na sua maioria, MIMO.

Observação 2.: Os processos químicos são, na sua maioria, não lineares.

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Í N D I C E

CAPÍTULO 3. ANÁLISE DA DINÂMICA DE PROCESSOS 3-3

3.1. ESTUDO DO COMPORTAMENTO DINÂMICO DE SISTEMAS DE PRIMEIRA ORDEM 3-6 3.2. ESTUDO DO COMPORTAMENTO DINÂMICO DE SISTEMAS CAPACITIVOS PUROS 3-21 3.3. ESTUDO DO COMPORTAMENTO DINÂMICO DE SISTEMAS DE SEGUNDA ORDEM 3-24 3.4. COMPORTAMENTO DINÂMICO DE PROCESSOS TIPO ATRASO-AVANÇO 3-45 3.5. COMPORTAMENTO DINÂMICO DE PROCESSOS COM TEMPO MORTO 3-48 3.6. EXERCÍCIOS 3-54

Í N D I C E D E T A B E L A S Tabela 3-1: Constantes de tempo de elementos primários de medição. 3-6

Tabela 3-2: Tempo (t) e valor alcançado pelo sistema ( )( ) . PY t A K . 3-11

Tabela 3-3: Tempo (t) e valor alcançado pelo sistema PKAtY .)( . 3-15

Tabela 3-4: Classificação dos Sistemas de 2ª ordem. 3-26 Tabela 3-5: Tanques em série com e sem interação. 3-39

Í N D I C E D E F I G U R A S Figura 3-1: Desenho esquemático de um termopoço / termopar. 3-3 Figura 3-2: Diagrama de blocos 01. 3-6 Figura 3-3: Diagrama de blocos 02. 3-8 Figura 3-4: Diagrama de blocos 03. 3-8 Figura 3-5: Função degrau de amplitude A. 3-10 Figura 3-6: Resposta de um sistema de 1ª ordem a perturbação degrau. 3-12 Figura 3-7: Comportamento dinâmico de termopares sem (τTs) e com poço (τTc). 3-13 Figura 3-8: Função impulso de amplitude A. 3-14 Figura 3-9: Resposta de um sistema de 1ª ordem a perturbação impulso de amplitude A. 3-15 Figura 3-10: Resposta real de um sistema de 1ª ordem a perturbação impulso de amplitude A. 3-16 Figura 3-11: Função pulso de amplitude A. 3-17 Figura 3-12: Resposta de sistema de 1ª ordem a perturbação pulso de amplitude A. 3-18 Figura 3-13: Função seno de amplitude A, freqüência ω e período T. 3-19 Figura 3-14: Resposta de um sistema de 1ª ordem a perturbação seno de amplitude A e freqüência w. 3-21

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Figura 3-15: Diagrama de blocos de um sistema capacitivo. 3-22 Figura 3-16: Tanque com vazão de descarga constante. 3-22 Figura 3-17: Processo capacitivo submetido a perturbação degrau de amplitude A. 3-24 Figura 3-18: Diagrama de bloco para sistema de 2ª ordem. 3-25 Figura 3-19: Resposta do sistema de 2ª ordem superamortecido a perturbação degrau. 3-27 Figura 3-20: Influência do fator de amortecimento ζ e do período natural de oscilação τ de um sistema de 2ª

ordem superamortecido a perturbação degrau. 3-28 Figura 3-21: Influência do fator de amortecimento ζ na resposta do sistema de 2ª ordem subamortecido,

submetido a perturbação de amplitude A. 3-29 Figura 3-22: Características do sistema de 2ª ordem subamortecido submetido a perturbação degrau de

amplitude A. 3-31 Figura 3-23: Respostas dos sistemas de 2ª ordem a perturbação impulso de amplitude A. 3-33 Figura 3-24: Dois tanques não-interativos em série. 3-34 Figura 3-25: Dois tanques interativos em série. 3-37 Figura 3-26: Respostas de sistemas e perturbação degrau de amplitude A. 3-39 Figura 3-27: Reator CSTR submetido a perturbação na composição e temperatura da alimentação. 3-40 Figura 3-28: Resposta do sistema (Equação 3-184). 3-46 Figura 3-29: Diagrama pólo-zero para o sistema (Equação 3-184) – X: localização do pólo, □ : localização do

zero. 3-46 Figura 3-30: Resposta ao degrau de um sistema superamortecido com um zero. 3-47 Figura 3-31: Transporte de fluido por uma tubulação em escoamento pistão. 3-48 Figura 3-32: (a) Resposta ao degrau das aproximações de Padé de 1ª e 2ª ordem de um tempo morto puro. (b)

Resposta ao degrau de um sistema de 1ª ordem com tempo morto (τm = 0.25τP) utilizando aproximações

de Padé de 1ª e 2ª ordem para sme τ−

. 3-50 Figura 3-33: Reator gotejante com reciclo. 3-51 Figura 3-34: Reator com reciclo submetido a perturbação degrau na composição da alimentação: (a) resposta

completa; (b) detalhe nos instantes iniciais. 3-54 Figura 3-35: Tanque para alivio de pressão. 3-55 Figura 3-36: Tanque não interativos em série. 3-56 Figura 3-37: Tanque de aquecimento. 3-59 Figura 3-38: Gráfico exercício (7). 3-59 Figura 3-39: Gráfico para exercício (9). 3-61 Figura 3-40: Gráfico do exercício (10). 3-62 Figura 3-41: Gráfico do exercício (11). 3-62 Figura 3-42: Gráfico do exercício (12). 3-63 Figura 3-43: Esquema do exercício (13). 3-63

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C A P Í T U L O 3 . A N Á L I S E D A D I N Â M I C A D E P R O C E S S O S

No capítulo anterior, verificamos que a modelagem matemática de processos conduz a

sistemas de equações diferenciais. Estas equações podem ser resolvidas pelo método da

Transformada de Laplace que conduz às suas respectivas funções de transferência. Neste

capítulo, estudaremos com mais detalhes alguns tipos de funções de transferência (1ª ordem e

2ª ordem) e a resposta desses sistemas a diversos tipos de perturbações (degrau, rampa,

impulso, pulso, seno).

Prosseguindo com a metodologia adotada, sempre partiremos de um sistema físico de

interesse no controle de processos químicos.

Elementos de medição, linhas de transmissão e elementos finais de controle introduzem

atrasos (lag) dinâmicos no sistema de controle. Por exemplo, a Figura 3-1 mostra um termopar

(thermocouple) inserido em poço de termopar (termopoço, termowell) de massa m e calor

específico C.

Termopoço

Termopar

Fluido atemperatura T(t)

F igura 3 -1 : Desenho esquemát ico de um termopoço / t e rmopar .

O atraso dinâmico introduzido pela combinação termopar/termopoço pode ser estimado se

assumimos algumas hipóteses simplificadoras:

a. O termopar e o termopoço estão sempre na mesma temperatura Tm(t), que pode ser

diferente da temperatura do fluido T(t) que envolve o poço;

b. Não existe perda de calor pela extremidade do poço exposta ao meio ambiente;

c. A resistência à transferência de calor é determinada pelo inverso do coeficiente global

de troca térmica R = 1/(UG.A);

d. Toda capacidade térmica se concentra na massa de metal que compõe o poço.

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Balanço de Energia no Poço1

Equação 3 -1 { } { } { }saientraacumula −=

Equação 3 -2 { } ( )[ ]tT

dtdCmacumula m..=

Equação 3 -3 { } { } { } { } { }radiaçãoconduçãoconvecçãosaientra ++=−

Equação 3 -4 { } { } ( ) ( )[ ]tTtTAUsaientra mG −=− .

Onde,

Equação 3 -5 ∑ ∑+= iiiG

RAhAU .

1.

1

Substituindo a Equação 3-2 e a Equação 3-4 na Equação 3-1, obtemos

Equação 3 -6 ( )[ ] ( ) ( )[ ]tTtTAUtT

dtdCm mGm −= ...

ou

Equação 3 -7 ( )[ ] ( ) ( )tTtTtT

dtd

mmT =+τ

Onde τT é a constante de tempo do termopoço no estado estacionário.

Equação 3 -8 [ ] ( )[ ] 00

..

=→== mG

T Tdtds

AUCmτ

Equação 3 -9 ssm,ss TT =⇒

Subtraindo a Equação 3-7 da Equação 3-9:

1 Devido às hipóteses adotadas este modelo denomina-se Modelo de Parâmetros

Concentrados, um modelo mais preciso conduziria a um Sistema de Equações Diferenciais

Parciais (SEDP).

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Equação 3 -10 ( )[ ] ( ) ( ) ssm,ssmm,ssmT TtTTtTTtT

dtd

−=−+−τ .

Definindo as variáveis desvio:

Equação 3 -11 ( ) ( ) m,ssmm TtTtT −=

e

Equação 3 -12 ( ) ( ) ssTtTtT −=

Então:

Equação 3 -13 ( )[ ] ( ) ( )tTtTtT

dtd

mmT =+τ ..

Aplicando o teorema derivação real - a Transformada de Laplace na Equação 3-13:

Equação 3 -14 )()()0()(.. sTsTTsTs mmmT

=+−τ

Mas,

Equação 3 -15 ( ) ( ) 000 =−=−= ssmssmssmmm TTTTT ,,,

Então:

Equação 3 -16

( )( ) 1.

1+

=ssT

sT

T

m

τ

Portanto, para que a temperatura indicada/transmitida pelo termopar esteja o mais próximo

possível da temperatura do fluido, ou seja, Tm(t) = T(t), a constante de tempo do conjunto

termopar/termopoço deve ser minimizada, para isto acontecer a capacitância térmica dos

sistema ( )Cm . deve ser mínima, enquanto a facilidade à transferência de calor (UG*A) deve

ser máxima (resistência mínima).

A Equação 3-16 define a função transferência de primeira ordem de ganho unitário e

constante de tempo τT, entre a entrada do sistema – temperatura do fluido, perturbação T(t) –

e a saída do sistema – temperatura medida Tm(t).

Podemos representar a função de transferência (da Equação 3-16) através de um diagrama

de bloco:

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1/ τTs + 1T(s) Tm(s)

F igura 3 -2 : D iagrama de b locos 01 .

Na Tabela 3-1 vemos valores típicos de constantes de tempo de alguns elementos primários

de medição.

Tabe la 3 -1 : Constan tes de tempo de e lementos pr imár ios de med ição .

Tipo Ordem de τm

Termômetro de vidro Minutos

Termômetro bimetálico < 1 minuto

Termômetro a expansão Minutos

Termopar em bainha Segundos

Termopar com poço Minutos

Termômetro a resistência Segundos a minutos

Transmissão pressão absoluta 0.2 - 1.7 segundos

Transmissão pressão diferencial 0.2 - 1.7 segundos

Turbina 0.03 segundos

Vortex 2.5 segundos

Em geral, as constantes de tempo dos elementos de medição e transmissão devem ser

menores que um décimo da constante de tempo do processo.

3 . 1 . E s t u d o d o C o m p o r t a m e n t o D i n â m i c o d e S i s t e m a s d e P r i m e i r a O r d e m

Genericamente, um sistema de 1ª ordem2 é definido pela seguinte situação diferencial:

2 A literatura também denomina o sistema de 1ª ordem de atraso de primeira ordem (first

order lag) ou atraso linear (linear lag).

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Equação 3 -17 ( )[ ] ( ) ( )txbtyatydtda ...1 =+ ο

Se ao ≠ 0, então podemos dividir a Equação 3-17 por ao e obtemos:

Equação 3 -18 ( )[ ] ( ) ( )txKtytydtd

PP Χ=+ ..τ

onde

Equação 3 -19 ο

τaa

P1=

Equação 3 -20 o

P abK =

Observe que aplicando a Equação 3-18 no estado estacionário:

Equação 3 -21 ss.Χ= Pss KY

E substituindo as variáveis desvio:

Equação 3 -22

( ) ( )( ) ( )⎪⎩

⎪⎨⎧

−=

−=

ss

ss

XtXtX

YtYtY

Obtemos:

Equação 3 -23 ( )[ ] ( ) ( )tKtYtYdtd

PP Χ=+ ..τ

O novo estado estacionário alcançado após o sistema sofrer a perturbação X(t) será:

Equação 3 -24 ∞Χ=∞ .pKY

logo

Equação 3 -25

( ) ( )( ) ( ) ss

ss

-00

Χ∞Χ−∞

=Χ−∞Χ

−∞=

∞Χ∞

=ΚYYYYY

p

ou

Equação 3 -26 entradaiosestacionárestadossaídaiosestacionárestados

p ΔΔ

Portanto, o ganho do processo determina o estado estacionário que o sistema irá atingir

após sofrer uma perturbação.

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Aplicando a Transformada de Laplace na Equação 3-23.

Equação 3 -27 ( ) ( ) ( )ssYsYs pp ΧΚ=− ...τ

mas

Equação 3 -28 ( ) ( ) 000 =−=−= ssssss YYYYY

Então a função de transferência de um sistema de 1ª ordem é dada por:

Equação 3 -29

( ) ( )( ) 1. +

Κ=

Χ=

sssysG

p

p

τ

E a resposta do sistema ( )sY a uma perturbação ( )sX é

Equação 3 -30

( ) ( ) ( ) ( )ss

ssGsYp

p Χ+

Κ=Χ= .

1..

τ

Em diagramas de blocos:

G(s)( )sX ( )sY

F igura 3 -3 : D iagrama de b locos 02 .

ou

1. +

Κ

sp

p

τ

( )sX ( )sY

F igura 3 -4 : D iagrama de b locos 03 .

√ Resistência e Capacitância Os sistemas de 1ª ordem são caracterizados pelo ganho KP, que estabelece o seu estado

estacionário, e pela sua constante de tempo τP, que determina o seu comportamento

transitório.

A constante de tempo pode ser obtida se identificamos a capacitância C e a resistência R

do processo de 1ª ordem. Por definição estas propriedades são:

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Equação 3 -31 processodomotrizforçadovariaçãoprocessodocapacidadedavariaçãoC =

Equação 3 -32 resultantefluxodovariaçãoprocessodomotrizforçadavariaçãoR =

Por definição, a constante de tempo de um processo de 1ª ordem é o produto da

capacitância do processo vezes sua resistência:

Equação 3 -33 R.Cp =τ

Nos exemplos estudados:

Nível de um tanque

( ) ( )

[ ]

[ ][ ] sRARC

mAdh

hAddhdvC

msRdqdh

qRhRhqarlaescoamentopara

qghhqmasdqdhR

p ===

====

==

=⇒=

=⇒==

..

.

/

.min

f,

2

2

τ

Tanque de aquecimento

[ ]

( ) [ ]

[ ] sqV

CqCV

RC

sJC

CqdHdTRTTCq

CJCVCmdTCmH

dTd

dTdHC

p

pT

pp

pp

T

T p

====

===⇒−=ΔΗ

===⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +== ∫

....

.

..1

'º...'

º....º

º

ρρ

τ

ρρ

ρ

[ ]

[ ]

[ ] sAU

CmRC

sJC

AUdQdRdAUQ

CJCm

ddCm

G

GG

===

==Τ

=⇒Τ=Δ

==Τ

Τ=

Τ=

Τ ...

.1

'..'

º...

ddQC

τ

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3 . 1 . 1 . C o m p o r t a m e n t o d e u m S i s t e m a d e P r i m e i r a O r d e m a P e r t u r b a ç ã o D e g r a u

A função degrau pode ser descrita matematicamente das seguintes formas:

Equação 3 -34 ( ) ( )οο t-t.uA+=− ssXttX

Onde,

A Amplitude de perturbação

u(t – to) Função degrau unitário

Equação 3 -35 ( ) ( )tXtX ss οt.uA+=

Onde, uto(t) ≡ u(t – to)

Equação 3 -36 ⎩⎨⎧

≥=+=

∞ o,,

o,

t , t ,

)(tparaXAXtparaX

tXssoss

oss ≺

Graficamente a função degrau corresponde a Figura 3-5:

F igura 3 -5 : Função degrau de ampl i tude A.

Aplicando a variável desvio ( ) ( ) ssXtXtX −= na Equação 3-34 e em seguida a

transformada de Laplace, obtemos a função perturbação no domínio de Laplace:

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Equação 3 -37 ( ) ( ).stο.

s−= esX A

Substituindo a Equação 3-37 na Equação 3-30:

Equação 3 -38

( ) ( ) ( )s.tPPs.t οο .1s.s

.1.

.s

−−

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡+

Κ=

= ees

sYP

P

τ

ττ

.AA

Expandindo em frações parciais:

Equação 3 -39

( ) ( )s.t

P

PP

P

P ο.1

. −

⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎢

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ Κ= e

ss

sY

τ

τττ.A

Aplicando a Transformada Inversa de Laplace:

Equação 3 -40

( ) ( )oP t-t.exp1 u⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −−−Κ=

P

tttY

το.A

Ou

Equação 3 -41 ( ) ( )p o. . 1 exp . t-tssp

t tY t Y A ο

τ

⎡ ⎤⎛ ⎞−= + Κ − −⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

u

Calculando a razão PKAtY .)( para alguns valores de τP construímos a Tabela 3-2:

Tabe la 3 -2 : Tempo ( t ) e va lor a lcançado pe lo s is tema ( )( ) . PY t A K .

t – to 0.0 10

5Pτ

2Pτ

τP 2*τP 3*τP 4*τP ∞

( )pΚ.A

tY

0.000 0.095 0.181 0.394 0.632 0.865 0.950 0.982 1.000

A partir da curva Pt τ versus PKAtY .)( , conforme a Figura 3-6, concluímos que todo

sistema de 1ª ordem é caracterizado por:

(a) O sistema alcança 63.2% do valor do estado estacionário após decorrer o espaço de

tempo de uma constante de tempo τP, isto é:

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Equação 3 -42

( )632.0

p

=Κ.A

pY τ

(b) No instante inicial a inclinação da curva é unitária, isto é:

Equação 3 -43

( ) 0.10p

=⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

Κ=t

tYdtd

.A

(c) A interseção da tangente da curva no instante inicial com a assíntota da função no

estado estacionário acontece no ponto (1.0, τP).

(d) Para fins práticos, admite-se que o estado estacionário foi atingido quando um espaço

de tempo equivalente a 3 ou 4 vezes a constante de tempo τP.

F igura 3 -6 : Resposta de um s is tema de 1 ª o rdem a per tu rbação degrau .

Observação: Curva vermelha (A) entrada X(t) e curva azul (B) resposta Y(t).

Comparando a resposta de um termopar sem e com poço, verificamos que o poço introduz

um atraso dinâmico que, a depender do sistema em estudo, não pode ser negligenciado. Veja

Figura 3-7.

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F igura 3 -7 : Compor tamento d inâmico de te rmopares sem (τ T s ) e com poço (τ T c ) .

Observação: Curva A perturbação; Curva B termopar sem poço Tm’s(t); Curva C termopar com poço

Tm’c(t).

3 . 1 . 2 . C o m p o r t a m e n t o d e u m S i s t e m a d e P r i m e i r a O r d e m a P e r t u r b a ç ã o I m p u l s o

A função impulso pode ser descrita matematicamente das seguintes formas:

Equação 3 -44 ( ) ( ) ( )οδδ t-t.t. AA +=+= sstoss XXtX

Onde A é a amplitude da perturbação e δ(t) é denominada Função Impulso Unitário ou

Função Delta de Dirac.

Equação 3 -45 ⎪⎩

⎪⎨

>

≥=+

<

= ∞

o,

o,,

o,

t , t , t ,

)(tparaXtparaXAXtparaX

tX

oss

ssoss

oss

Graficamente a função impulso correspondente ao Figura 3-8:

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F igura 3 -8 : Função impu lso de ampl i tude A.

Aplicando a variável desvio ( ) ( ) ssXtXtX −= na Equação 3-44 e em seguida a

Transformada de Laplace, obtemos a função perturbação no domínio de Laplace:

Equação 3 -46 ( ) ( )stoeAsX −= .

Substituindo a Equação 3-46 na Equação 3-30:

Equação 3 -47 ( ) ( ) ( ).st

P

PP.st οο .1s

.1.

−−

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

Κ=

= ees

sYP

P

τ

ττ

.A.A

Expandindo em frações parciais:

Equação 3 -48 ( ) ( )οt .sP

P

. .1sP

P

A KY s eττ

τ

−= ⋅+

Aplicando a Transformada Inversa de Laplace:

Equação 3 -49 ( ) ( )po

.. exp . t - t

p p

A t tY t ο

τ τ⎡ ⎤ ⎡ ⎤Κ −

= −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

u

e

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Equação 3 -50 ( ) ( )po

.. exp . t - tss

p p

A t tY t Y ο

τ τ⎡ ⎤ ⎡ ⎤Κ −

= + −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

u

Calculando a razão PKAtY .)( para alguns valores de τP, construímos a Tabela 3-3:

Tabe la 3 -3 : Tempo ( t ) e va lor a lcançado pe lo s is tema PKAtY .)( .

t – to 0.0 10

5Pτ

2Pτ

τP 2*τP 3*τP 4*τP ∞

( )pΚ.A

tY

0.0 0.905 0.819 0.606 0.368 0.135 0.050 0.018 0.0

A partir da curva Pt τ versus PKAtY .)( , conforme a Figura 3-9, concluímos que todo

sistema de 1ª ordem, quando submetido a uma perturbação tipo impulso tem uma resposta

inicial muito rápida, mas decorrido um espaço de tempo equivalente a 3 ou 4 vezes, sua

constante de tempo retorna ao estado estacionário anterior à perturbação.

Figura 3-9: Resposta de um sistema de 1ª ordem a perturbação impulso de amplitude A.

Porém, um sistema físico real responderá a uma perturbação impulso conforme mostra a

Figura 3-10, pois é impossível que ele saia do seu estado de repouso Xss e alcance

instantaneamente o valor A.

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Figura 3-10: Resposta real de um sistema de 1ª ordem a perturbação impulso de amplitude A.

3 . 1 . 3 . C o m p o r t a m e n t o d e u m S i s t e m a d e P r i m e i r a O r d e m a P e r t u r b a ç ã o P u l s o

A função pulso pode ser descrita matematicamente das seguintes formas:

Equação 3 -51 ⎪⎩

⎪⎨

>

≤≤=+

<

= ∞

1,

1,,

o,

t , t t ,

t , )(

tparaXtparaXAXtparaX

tX

oss

ossoss

oss

Equação 3 -52 ( ) ( ) ( )[ ]ttXtX

1o ttss uu −+= .A

( ) ( ) ( ) ( )1

.oss t tX t X t X A u t u t⎡ ⎤= − = −⎣ ⎦

Equação 3-53

Graficamente a função impulso correspondente a Figura 3-11:

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F igura 3 -11 : Função pu lso de ampl i tude A.

Aplicando a variável desvio ( ) ( ) ssXtXtX −= na Equação 3-53 e em seguida a

Transformada de Laplace, obtemos a função perturbação no domínio de Laplace:

Equação 3 -54 ( ) ( ) ( ){ }1t-tut-tu −= οL.AsX

ou

Equação 3 -55 ( ) ( ){ } ( ){ }[ ]1t-tut-tu −= οL.AsX

Equação 3 -56 ( ) ( ){ } ( ) ( ){ } ( )[ ]stst eesX .. .. οο −− −= tutu LL.A

Equação 3 -57

( )( ) ( )

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

−−

se

sesX

stst .. 1

-ο

.A

Substituindo a Equação 3-57 na Equação 3-30:

Equação 3 -58 ( ) ( )

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

+=

−−

se

se

sK

AsYstst

p

po .. 1

1..)(τ

Expedindo em frações parciais:

Equação 3 -59 ( ) ( )( )

( )( )1. .

p1 1. . . .

. 1 . 1t sp p t s

p p

Y s A e es ss s

οτ τ

τ τ− −

⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎪ ⎪= Κ − − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎨ ⎬+ +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎪ ⎪⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎩ ⎭

Ou

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Equação 3 -60 ( ) ( ) ( )1. .p

1 1 1 1. . . .1 1

t s t S

p p

Y s A e es s

s s

ο

τ τ

− −

⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎢ ⎥= Κ − − −⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪ ⎪⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎩ ⎭

Aplicando a Transformada Inversa de Laplace:

( ) ( ) ( )1p. . 1 exp . 1 exp .o

p p

t t t tY t Aτ τ

⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞− −⎪ ⎪= Κ − − − − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎪ ⎪⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎩ ⎭o 1u t - t u t - t

Equação 3-61

ou

( ) ( ) ( )1p. . 1 exp . 1 expo

ssp p

t t t tY t Y Aτ τ

⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞− −⎪ ⎪= + Κ − − − − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎪ ⎪⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎩ ⎭o 1u t - t .u t - t

Equação 3-62

Na Figura 3-12, Pt τ versus ( )( ) . PY t A K , observamos o comportamento dinâmico de um

sistema de 1ª ordem quando submetido a uma perturbação tipo pulso de amplitude A:

F igura 3 -12 : Resposta de s is tema de 1 ª o rdem a per tu rbação pu lso de ampl i tude A.

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3 . 1 . 4 . C o m p o r t a m e n t o d e u m S i s t e m a d e P r i m e i r a O r d e m a P e r t u r b a ç ã o S e n o i d a l

A função seno pode ser descrita matematicamente da seguinte forma:

Equação 3 -63 ( ) ( )( ) ( )οοω+= t-tt-t.XtX ss u.sen.A

Onde, ω = 2πƒ.

Graficamente a função seno correspondente a Figura 3-13:

F igura 3 -13 : Função seno de ampl i tude A, f reqüênc ia ω e per íodo T .

Aplicando a variável desvio ( ) ( ) ssXtXtX −= na Equação 3-63 e em seguida a

Transformada de Laplace, obtemos a função perturbação no domínio de Laplace:

Equação 3 -64 ( ) 22s

.ωω

+=

AsX

Substituindo a Equação 3-64 na Equação 3-30, expandindo em frações parciais e aplicando

a Transformada Inversa de Laplace L-1:

Equação 3 -65

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )[ ] ( )ooo22p t-tt-tt-t.

1.K

usencos ωωτωτωωτ

τ +−+

= −−p

ttp

p

poetY.A

Lembrando da seguinte identidade trigonométrica:

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Equação 3 -66 ( ) ( ) ( )θ+ω=ω+ω t.rt.qt.p sen.cos.sen.

onde

Equação 3 -67 ( )qp22 arcig=+= θeqpr

Equação 3 -68

( )( )( )

( )( ) ( )oo22p

22 t-tt-t1.

.1.

..usen⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡+

+

Κ+

+=

−−

θωωτωτ

τω τ

pp

ttpp

poeKtY

AA

Equação 3 -69 ( )t.-ω=θ arcig

Ou

Equação 3 -70 ( ) ( ) ( )tYtYtY estdin +=

Onde,

Equação 3 -71

( )( )( )

( )op

ttp

p t-te.

tYpo

u..

...din 122 +ωτ

τωΚ=

τ−−A

E,

Equação 3 -72

( ) ( )( ) ( )oop

pest t-tt-t.

KtY u.sen.

.

.θ+ω

+ωτ=

122A.

Observe que a resposta à perturbação seno é composta de duas partes: uma diminui a

medida que o tempo aumenta Ydin(t) e a outra é uma função periódica Yest(t). Portanto, no

estado estacionário a resposta de um sistema de 1ª ordem a uma perturbação seno é uma

função periódica, veja Figura 3-14, dada por:

Perturbação:

Equação 3 -73 ( ) ( ) ( )tt..XtX ss u.sen ω+= A

Resposta ( t → ∞ )

Equação 3 -74

( ) ( )[ ]θ+ω+ωτ

+= t.K

YtYp

pss sen.

.

.

122A.

Comparando Equação 3-63 com Equação 3-74, veja Figura 3-14, concluímos que:

(a) A amplitude da resposta do sistema é menor que a amplitude da perturbação, ou seja, o

sistema amortece a entrada;

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(b) A resposta do sistema é uma onda senoidal com a mesma freqüência de entrada;

(c) A resposta está defasada de um ângulo de fase θ em relação ao estímulo, neste caso

está atrasada pois θ é menor que zero.

F igura 3 -14 : Resposta de um s is tema de 1 ª o rdem a per tu rbação seno de ampl i tude A

e f reqüênc ia w .

3 . 2 . E s t u d o d o C o m p o r t a m e n t o D i n â m i c o d e S i s t e m a s C a p a c i t i v o s P u r o s

Se a constante ao da Equação 3-17 for zero, então:

Equação 3 -75 ( )[ ] ( )txbtY

dtda .. =1

Dividindo por a1:

Equação 3 -76 ( )[ ] ( ) ( )tXKtX

abtY

dtd .. ′==

1

Onde

Processos definidos pela Equação 3-75 são denominados capacitivos ou integradores.

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Utilizando variáveis desvio e aplicando a Transformada de Laplace na Equação 3-76:

Equação 3 -77 ( ) ( )sXsYs .. Κ′=

Então a função de transferência de um sistema capacitivo é dada por:

Equação 3 -78 ( ) ( )

( ) ssXsYsG Κ′==

Em diagramas de blocos:

s'Κ( )sX ( )sY

F igura 3 -15 : D iagrama de b locos de um s is tema capac i t i vo .

√ Exemplo de um processador integrador: Seja um tanque aberto no qual sua descarga é dada por uma bomba dosadora que mantém

a vazão constante, conforme a Figura 3-16:

q1(t)

h(t)q2 = cte.

Figura 3 -16 : Tanque com vaz ão de descarga constan te .

Realizando o balanço de massa no tanque, obtemos:

Equação 3 -79 ( )[ ] ( ) 21 qtqth

dtdA −=.

No estado estacionário:

Equação 3 -80 ( ) 2,2,121 00 qqqqq ssss ==⇒=−

Utilizando as variáveis desvio:

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Equação 3 -81 ( )[ ] ( )tqth

dtdA 1=.

Aplicando a Transformada de Laplace e rearranjando:

Equação 3 -82

( ) ( )( ) ssAsqshsG Κ′

===.1

1

3 . 2 . 1 . C o m p o r t a m e n t o d e u m S i s t e m a C a p a c i t i v o a P e r t u r b a ç ã o D e g r a u

Função de Transferência:

Equação 3 -83 ( ) ( )

( ) ssXsYsG Κ′==

Função Perturbação:

Equação 3 -84 ( ) stesX ..

sο−=

A

Resposta:

Equação 3 -85 ( ) stesY ..

s.2

Ο−Κ′=

A

Equação 3 -86 ( ) ( ) ( )ΟΟΚ′+= t-tt-t..YtY ss u.A

Analisando a Equação 3-86 observamos que o sistema tende para +∞ se a amplitude da

perturbação for positiva (A > 0), ou tende para -∞ se a amplitude da perturbação for negativa (A

< 0). Na Figura 3-17 está plotado o comportamento dinâmico do processo capacitivo a

perturbação degrau.

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F igura 3 -17 : Processo capac i t i vo submet ido a per tu rbação degrau de ampl i tude A.

Podemos constatar que:

(a) Processos integradores são instáveis e de difícil controle e são não auto-regulados

(enquanto que os sistemas de 1ª ordem são auto-regulados);

(b) No exemplo, pequenas diferenças entre vazões da alimentação q1(t) e da descarga

q2(t), levarão o tanque a transbordar ou secar.

3 . 3 . E s t u d o d o C o m p o r t a m e n t o D i n â m i c o d e S i s t e m a s d e S e g u n d a O r d e m

Genericamente, um sistema de 2ª ordem é definido pela seguinte equação diferencial:

Equação 3 -87 ( )[ ] ( )[ ] ( ) ( )tXbtYatY

dtdatY

dtdaZ .... 12

2

=++ Ο

Se ao ≠ 0 então podemos dividir a Equação 3-87 por ao e obtemos:

Equação 3 -88 ( )[ ] ( )[ ] ( ) ( )tXtYtY

dtdty

dtd

p ..... Κ=+ζτ+τ 22

22

Onde,

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oaa 2=τ

Período natural de oscilação

ζ Fator de amortecimento (Damping Factor)

Ο

=Κab

P

Ganho do processo

e Ο=ζτ

aa12 .

Utilizando variáveis desvio e aplicando a Transformada de Laplace na Equação 3-88,

obtemos a função de transferência do sistema de 2ª ordem:

Equação 3 -89 ( ) ( )

( ) 1...2. 22 ++Κ

==sssX

sYsG P

ζττ

Sistemas de 2ª ordem podem surgir devido a:

(1) Processos multiplicativos (sistemas de 1ª ordem em série), por exemplo: 2 tanques em

série;

(2) Sistemas intrinsecamente de 2ª ordem (raros em processos químicos), por exemplo:

válvula de controle;

(3) Sistema de controle feedback (malha fechada), por exemplo: sistema de 1ª ordem com

controlador P + I.

A resposta do sistema ( )sY a uma perturbação ( )sX é:

Equação 3 -90 ( ) ( ) ( ) ( )sX

sssXsGsY P .

1...2.. 22 ++

Κ==

ζττ

Em diagramas de blocos:

1..222 ++Κ

ssP

ζττ

( )sX ( )sY

F igura 3 -18 : D iagrama de b loco para s is t ema de 2 ª o rdem.

Logo:

Equação 3 -91 ( ) ( ) ( ) ( )sX

pspsKsY P .

. 21

2

−−=

τ

Onde p1 e p2 são as raízes da função de transferência, pólos do sistema:

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Equação 3 -92 2

4.4.222

2

1ττ

ζτζ

−+−=p

e 2

4.4.222

2

2ττ

ζτζ

−−−=p

Os parâmetros KP e τ tem o mesmos significados dos sistemas de 1ª ordem: KP é o ganho

do processo, enquanto que τ determina a velocidade da resposta dos sistema.

A Tabela 3- mostra a classificação dos sistemas de 2ª ordem a depender dos valores do

fator de amortecimento ζ.

Tabe la 3 -4 : C lass i f i cação dos S is temas de 2 ª o rdem.

Fator de amortecimento Pólos p1 e p2

Classificação

ζ > 1 Reais e distintos parte real negativa

Superamortecido

ζ = 1 Reais iguais parte real negativa

Criticamente amortecido

0 < ζ <1 Complexos conjugados parte real negativa

Subamortecido

ζ = 0 Complexas iguais parte real nula

Oscilatório com amplitude cte.

ζ < 0 Complexos conjugados parte real positiva

instável

3 . 3 . 1 . C o m p o r t a m e n t o d e u m S i s t e m a d e S e g u n d a O r d e m a P e r t u r b a ç ã o D e g r a u

Função degrau de amplitude A

Equação 3 -93 ( ) ( )Ο+= t-t.tX uAssX

Transformada de Laplace da função perturbação utilizando variáveis desvio:

Equação 3 -94 ( ) stesX ..

sΟ−=

A

Substituindo a Equação 3-94 na Equação 3-91:

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Equação 3 -95 ( ) ( ) ( )

stP epsps

KsY .

21

2

.s

..

Ο−

−−=

Expandindo em frações parciais a Equação 3-95 e aplicando a Transformada Inversa de

Laplace, encontramos soluções diferentes a depender do valor do fator de amortecimento ζ.

√ Perturbação Degrau de Amplitude A e Sistema Superamortecido ζ > 1

Equação 3 -96

( ) ( )Ο

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎥

⎢⎢

⎟⎟

⎜⎜

⎛ −

−+⎟

⎜⎜

⎛ −−Κ= t-t

1.

1

11 *

2

2

*2.

P

*

usenhhcos ttetYt

τζ

ζ

ζτ

ζτ

ζ

A

onde,

Equação 3 -97 t * = t - t o

Na Figura 3-19, Pt τ versus ( ) PKAtY . observamos que a resposta de um sistema de 2ª

ordem superamortecido a uma perturbação degrau é semelhante a resposta do sistema de 1ª

ordem, mas note que existe um ponto de inflexão em ti e que a resposta inicialmente é lenta

(derivada pequena), depois aumenta de velocidade derivada máxima no ponto de inflexão, ou

segunda derivada igual a zero) e então o sistema reage como se fosse de 1ª ordem.

F igura 3 -19 : Resposta do s is tema de 2 ª o rdem superamor tec ido a per tu rbação

degrau .

No Figura 3-20, Pt τ versus ( ) PKAtY . observamos que a medida que o fator de

amortecimento ζ aumenta, o sistema torna-se mais lento, isto é, o parâmetro ζ determina a

suavidade e rapidez da resposta do sistema a perturbação; percebemos também que, a

medida que o período natural de oscilação τ diminui, a resposta fica mais rápida.

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F igura 3 -20 : In f luênc ia do fa to r de amor tec imento ζ e do per íodo natura l de osc i lação

τ de um s is tema de 2 ª o rdem superamor tec i do a per tu rbação degrau .

Observação: Curva A – perturbação; Curva B - τ = 1.0 e ζ = 1.0; Curva C - τ = 1.5 e ζ = 1.0; Curva D - τ

= 1.0 e ζ = 1.5.

√ Perturbação Degrau e Sistema Criticamente Amortecido ζ = 1

Equação 3 -98

( ) ( )Οτ−

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

τ+−Κ= t-tet.tY t

p u...**

11A

Veja na Figura 3-20 a resposta do sistema de 2ª ordem criticamente amortecido a

perturbação degrau de amplitude A.

√ Perturbação Degrau e Sistema Superamortecido 0 < ζ < 1

Equação 3 -99

( ) ( )Ο−

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎥

⎢⎢

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

−+

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡−Κ= t-t

- 1

1

- 11 *

2

2

*2

p

*

usencos ttetY t

τζ

ζ

ζτζτA

Uma amostra mais conveniente de escrever a Equação 3-99 é:

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Equação 3 -100

( ) ( ) ( )Ο

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡+

−−Κ= t-t.t...

111.. *

.

2P

*

usen θωζ

τζ t

etY A

Onde,

Equação 3 -101 τζ−

=ω21

e

Equação 3 -102 ⎥⎥

⎢⎢

ζζ

=θ2-1

arcig

Portanto, observamos que a resposta de um sistema de 2ª ordem subamortecido a

perturbação degrau é uma senoide de amplitude decrescente (devido ao termo exponencial

eζ.t/τ), de freqüência ω e ângulo de fase θ.

Na Figura 3-21, Pt τ versus ( ) PKAtY . observamos que a resposta desse sistema

perturbação degrau é uma curva oscilatória que gradativamente tende a atingir A.KP,

diminuindo a amplitude da oscilação.

Através da Figura 3-21 percebemos que a medida que o amortecimento diminui, isto é, ζ

diminui, a oscilação aumenta, porém a rapidez da resposta também (maior derivada da curva

no ponto de inflexão, e este acontece em um menor intervalo de tempo).

F igura 3 -21 : In f luênc ia do fa to r de amor tec imento ζ na resposta do s is tema de 2 ª

o rdem subamor tec ido , submet ido a per tu rbação de ampl i tude A.

Algumas características importantes devem ser observadas nos sistemas subamortecidos

submetidos a perturbação degrau:

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C1. Tempo de ascensão (Rise Time) tr: Tempo necessário para atingir pela primeira vez o

novo estado estacionário.

C2. Tempo do Primeiro Pico (Time to First Peak) tp: Tempo requerido para atingir o primeiro

máximo da curva.

C3. Tempo de resposta (Setting Time) ts: Tempo decorrido até que a saída oscilatória do

sistema esteja dentro da faixa de +/- 5% do estado estacionário. Também se utiliza o valor ±1%

para determinar o ts.

C4. Sobre-elevação (Overshoot) OS: Razão entre o valor da função no pico máximo e o

valor do novo estado estacionário:

Equação 3 -103 ⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡ Π=

Κ==

2P -1

.-exp.

ζA

abaS

C5. Razão de Decaimento (Decay Ratio) DR: razão entre o valor do segundo pico e do

primeiro pico:

Equação 3 -104 ⎥⎥

⎢⎢

ζ

ζΠ===

2-1-exp

acSDR ..20 2

C6. Período de oscilação (Period of oscilation) T1: Período de tempo transcorrido entre dois

máximos:

Equação 3 -105 21

1

2

ζ−

τΠ=

..T

Lembre que em uma senoide a freqüência em ciclos por unidade de tempo ft é dada por:

Equação 3 -106 Πω

=.2tf

E que o período de oscilação é o inverso da freqüência:

Equação 3 -107 ωΠ

==Τ.21

tt f

Onde a freqüência angular ω é dada pela Equação 3-101.

C7. Período Natural de Oscilação (Natural Period of oscilation) τ: período do sistema

quando o amortecimento é nulo, isto é, ζ = 0:

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Equação 3 -108 nn

nf... Π

Τ=τ

211

2

Onde ωn é a freqüência natural de oscilação do sistema não amortecido ζ = 0.

Veja na Figura 3-22 a indicação das características discutidas anteriormente.

F igura 3 -22 : Carac ter í s t icas do s is tema de 2 ª o rdem subamor tec ido submet ido a

per tu rbação degrau de ampl i tude A.

Quando um sistema refere uma perturbação o desejável é ter uma resposta sem oscilações

que atinja rapidamente o novo estado estacionário. Porém, estes objetivos são excludentes

entre si, pois para garantir uma resposta não oscilatória ζ ≥ 1 temos que sacrificar a rapidez da

resposta; por outro lado, se desejarmos uma resposta muito rápida, não podemos escolher um

fator de amortecimento muito pequeno, pois a mesma seria muito oscilatória com uma sobre-

elevação grande.

Os projetistas de sistemas de controle, freqüentemente, trabalham com um fator de

amortecimento na faixa de 0.4 a 0.8, isto é, 0.4 ≥ ζ ≤ 0.8, desta forma, consegue-se um

compromisso entre velocidade de resposta, sobre-elevação, tempo de resposta e oscilação

adequado para a maioria dos casos.

3 . 3 . 2 . C o m p o r t a m e n t o d e u m S i s t e m a d e S e g u n d a O r d e m a P e r t u r b a ç ã o I m p u l s o

A função impulso pode ser descrita matematicamente da seguinte forma:

Equação 3 -109 ( ) ( )Ο−δ+= tt.XtX ss A

Ou em variável no domínio de Laplace:

Equação 3 -110 ( ) ssX .t-e. Ο= A

Substituindo a Equação 3-110 na Equação 3-91:

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Equação 3 -111 ( ) ( ) ( )

sP

pspssX .t-

21

2

e..

Ο

−−Κ

= .Aτ

Expandindo em frações parciais a Equação 3-111 e aplicando a Transformada Inversa de

Laplace, encontramos soluções diferentes a depender do valor do fator de amortecimento ζ.

√ Perturbação Impulso de Amplitude A e Sistema Superamortecido ζ > 1

Equação 3 -112

( ) ( )**2.

2P t1

.1

11..*

uenh⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡ −

−Κ=

−tsetY

t

τζ

ζττ

ζ

A

√ Perturbação Impulso e Sistema Criticamente amortecido ζ = 1:

Equação 3 -113 ( ) ( )*

2

*

P t....*

τ

t

ettY−

Κ=A

√ Perturbação Impulso e Sistema Subamortecido 0 < ζ < 1:

Equação 3 -114

( ) ( )*t

p tte.tY u..sen.... *. *

⎥⎥

⎢⎢

τζ−

ζ−τΚ= τ

ζ− 2

2

1

1

11A

Na Figura 3-23 vemos a resposta do sistema de 2ª ordem a perturbação impulso. Observe

que o sistema retorna ao antigo estado estacionário depois de decorrido algum tempo

(processo auto-regulado). As características observadas para a perturbação degrau também

são aplicáveis para perturbação impulso (tp, ts, OS, DR).

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F igura 3 -23 : Respostas dos s is temas de 2 ª o rdem a per tu rbação impu lso de

ampl i tude A.

3 . 3 . 3 . P r o c e s s o s M u l t i c a p a c i t i v o s c o m o S i s t e m a s d e S e g u n d a O r d e m

Processos de ordem superior podem ser o resultado da associação em série de processos

de primeira ordem. Por exemplo, dois tanques (cada tanque é um sistema de 1ª ordem) em

série constituem um sistema de 2ª ordem, que podem ser não-interativos ou interativos.

Outro exemplo de sistemas multiplicativos são:

Tanque de aquecimento com agitação no qual a vazão e temperatura da corrente de alimentação variam: o balanço de massa constitui um sistema de 1ª ordem, mas o balanço de energia é de 2ª ordem em relação a vazão e de 1ª ordem em relação a temperatura de alimentação; Torre de destilação, pois cada prato acumula massa e energia, constituindo,

segundo um modelo de parâmetros concentrados, cada um deles um tanque agitado; Reatores de mistura perfeita (CSTR) com variação na composição e temperatura

de alimentação: as duas equações diferenciais (balanço molar e de energia), constituem um sistema de equações diferenciais interativas.

Estudaremos neste item os tanques em série e o reator CSTR.

√ Tanques não interativos em série

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Sejam dois tanques conforme a Figura 3-24, a descarga do primeiro tanque alimenta o

segundo, na saída de cada um existe uma válvula que impõe ao escoamento uma resistência

R1 e R2.

q1(t)

Tanque 1 h1(t)

Tanque 2 h2(t)q3(t)

R2

q2(t)

R1

F igura 3 -24 : Do is tanques não- in te ra t i vos em sér ie .

Realizando o balanço de massa nos dois tanques, assumindo escoamento laminar,

obtemos:

1º tanque

Equação 3 -115 ( )[ ] ( ) ( )tqthth

dtd

PP 11111 .. Κ=+τ

2º tanque

Equação 3 -116 ( )[ ] ( ) ( )tqthth

dtd

PP 21222 .. Κ=+τ

Onde

Equação 3 -117 11111 ,. RRA PP =Κ=τ

Equação 3 -118 22222 ,. RRA PP =Κ=τ

e

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Equação 3 -119 ( ) ( )

1

12 R

thtq =

Substituindo a Equação 3-119 na Equação 3-116 e utilizando variáveis desvio, temos:

Equação 3 -120 ( )[ ] ( ) ( )tqthth

dtd

PP 11111 .. Κ=+τ

Equação 3 -121 ( )[ ] ( ) ( )

1

11222 ..

Rththth

dtd

PP Κ=+τ

Aplicando a Transformada de Laplace e escrevendo as funções de transferências:

Equação 3 -122

( ) ( )( ) 1.1

1

1

11 +

Κ==

ssqshsG

P

P

τ

Equação 3 -123

( ) ( )( ) 1.2

2

2

22 +

Κ==

ssqshsG

P

P

τ

Mas,

Equação 3 -124 ( ) ( )

1

12 R

shsq =

Então,

Equação 3 -125 ( ) ( )

( ) 1.1. 2

12

2

12

1

2*2 +

=+

==sKK

sRK

shshsG

P

PP

P

P

ττ

Podemos escrever a função da transferência global do sistema Gg(s), isto é, com a saída do

processo (h2(t)) varia com a perturbação inicial (q1(t)):

Equação 3 -126

( ) ( ) ( ) ( )( )

( )( )

( )( )sqsh

shsh

sqshsGsGsGg

1

2

1

2

1

1*21 .. ===

Equação 3 -127 ( )

)1.(.)1.()1.(.

)1.( 21

2

2

12

1

1

++Κ

=+ΚΚ

=ssss

sGPP

P

P

PP

P

Pg ττττ

Ou

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Equação 3 -128

( ) ( )( ) 1...2. 221

2

++Κ

==sssq

shsG Pg ζττ

Onde,

KP = KP2 = R2 21 . PP τττ = e

( )21

21

.2 PP

PP

ττττ

ζ+

=

Portanto, da Equação 3-126 concluímos que dois tanques em série formam um sistema de

2ª ordem.

Algumas particularidades são pertinentes a sistemas de 1ª ordem em série não-interativa:

(a) Os sistemas são sempre criticamente amortecidos ζ = 1 (quando τP1 = τP2) ou

superamortecidos ζ ≥ 1 (quando τP1 ≠ τP2) pois:

Equação 3 -129

( ) ( ) 212121

21 ..21..2 PPPP

PP

PP ττττττττ

ζ ≥+⇒≥+

=

Elevando ambos os membros da Equação 3-129 ao quadrado:

Equação 3 -130 212

2212

1 ..4..2 PPPPPP ττττττ ≥++

Equação 3 -131 0..2 2221

21 ≥+− PPPP ττττ

Equação 3 -132 ( ) 0221 ≥− PP ττ

Conforme queríamos demonstrar:

(b) As conclusões do item (a) podem ser estendidas para n tanques em série.

(c) Devido ao fato do sistema ser não-interativo, podemos resolver primeiro a Equação

3-120, conhecer o comportamento do nível do 1º tanque (h1(t)) a perturbação (q1(t)) e então

utilizar este resultado para resolver a Equação 3-121, obtendo a variação de h2(t) com h1(t),

√ Tanques interativos em série Seja dois tanques conforme a Figura 3-25, a descarga do primeiro tanque alimenta o

segundo, na saída de cada um existe uma válvula que impões ao escoamento uma resistência

R1 e R2, porém ao contrário do sistema não interativo, o nível de segundo tanque influência no

nível do primeiro.

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q1(t)

Tanque 1 h1(t) Tanque 2 h2(t)q2(t)

R1

q3(t)

R2 F igura 3 -25 : Do is tanques in te ra t i vos em sér ie .

Realizando os balanços de massa nos dois tanques, assumindo escoamento laminar,

obtemos:

1º tanque

Equação 3 -133 [ ] )()()(. 2111 tqtqthdtdA −=

2º tanque

Equação 3 -134 [ ] )()()(. 3222 tqtqthdtdA −=

Mas,

Equação 3 -135 ( ) ( ) ( )

1

212 R

ththtq −=

E,

Equação 3 -136 ( ) ( )

2

23 R

thtq =

Substituindo a Equação 3-135 e Equação 3-136 na Equação 3-133 e Equação 3-134 e

rearranjando:

Equação 3 -137 ( )[ ] ( ) ( ) ( )thtqRthth

dtdRA 2111111 +=+ ...

Equação 3 -138

( )[ ] ( ) ( )thRRth

RRth

dtdRA 1

1

22

1

2222 1 .... =⎥

⎤⎢⎣

⎡++

Observe que a Equação 3-137 e a Equação 3-138 dependem ao mesmo tempo de h1(t) e

h2(t) portanto, temos que resolvê-las simultaneamente, utilizando variáveis desvio e aplicando a

Transformada de Laplace, obtemos:

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Equação 3 -139 ( ) ( ) ( )tqRshshshsRA 1121111 .... =−+

Equação 3 -140

( ) ( ) ( )shRR

shRR

shsRA 1

1

22

1

2222 ..1... =⎥

⎤⎢⎣

⎡++

Definindo τ1 = A1R1 e τ2 = A2R2 e resolvendo para ( )sh1 e ( )sh2 :

Equação 3 -141 ( ) ( ) ( )sq

sRAsRRsR

sh 12121

221

21121

1......

++++++

=ττττ

τ

Equação 3 -142 ( ) ( ) ( )sq

sRAsR

sh 12121

221

22

1.... ++++=

ττττ

Observe que τ1 e τ2 não são constantes de tempo, embora possuam unidade de tempo.

Escrevendo as funções de transferência:

Equação 3 -143

( ) ( )( ) 1...2.

..22

2112

1

11 ++

++==

ssRRsR

sqshsG

ζτττ

Equação 3 -144

( ) ( )( ) 1...2. 22

2

1

22 ++

==ss

RsqshsG

ζττ

Onde,

Equação 3 -145 21 ττ=τ .

E,

Equação 3 -146

( )21

2121

2 ττ+τ+τ

=ζ..

.RA

Portanto, da Equação 3-143 e da Equação 3-144 concluímos que dois tanques em série

formam um sistema de 2ª ordem e que os denominadores das funções de transferências são

os mesmos. Algumas particularidades são pertinentes a sistemas de 1ª ordem em série

interativa:

(a) Os sistemas são sempre superamortecidos ζ > 1, pois:

Equação 3 -147

( ) ( ) 12

12 21

2121

21

21 >ττ

+τ+τ⇒≥

τττ+τ

...

..RAse

(b) As conclusões do item (a) podem ser estendidas para n tanques em série

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(c) “Sistemas capacitivos interativos são sempre superamortecidos, exceto quando ocorre

produção de substâncias ou absorção/liberação de energia”.

Da Tabela 3-4, concluímos que o amortecimento nos sistemas interativos é maior do que

nos não interativos, pois o produto A1*R2 denominado fator de interação é sempre maior que

1, quanto maior A1*R2 mais intensa é a interação.

Tabe la 3 -4 : Tanques em sér ie co m e sem in te ração .

Não-interativo Interativo

τ 21 . PP ττ 21 ττ .

ζ ( )

21

21

.2 PP

PP

ττττ +

( )21

21212 ττ

+τ+τ..

RA

( )( )sqsh

1

1

( )1.1 +

ΚsP

P

τ ( ) 1..

21212

21

211.2

+++++

++

sRAsRRsR

τττττ

( )( )sqsh

1

2

( ) 1... 21

221

2

+++Κ

ss PPPP

P

ττττ ( ) 1... 21212

21

2

+++++ sRAsRτττττ

Da Figura 3-26, concluímos que a associação de capacitâncias torna a resposta do sistema

mais lenta e que os sistemas interativos são mais amortecidos que os não interativos.

Figura 3-26: Respostas de sistemas e perturbação degrau de amplitude A.

Observação: Curva A – tanque; Curva B – 2 tanques não interativos; Curva C – 2 tanques interativos;

Curva D – 4 tanques não interativos.

√ Reator de Mistura Perfeita Uma configuração de reator bastante utilizada em processos químicos é o reator de mistura

perfeita (Continuos Stirred Tank Reacion) ou CSTR. O estudo desse sistema é interessante

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pois este reator submetido a uma perturbação na carga, isto é, na composição e temperatura

da alimentação constitui um sistema multiplicativo de 2ª ordem.

Seja um CSTR adiabático, conforme a Figura 3-27, no entanto acontece uma reação de

isomerização irreversível e exotérmica:

Equação 3 -148 B A →

Com equação da taxa:

Equação 3 -149 ( ) ( ) ( )tCtt A.ℜ=Γ

Onde,

Equação 3 -150 ( ) ( )( )tTRgEet .. −Οℜ=ℜ

CA(t)T(t)

h = cte.

q2T2(t)CA2(t)

q1T1(t)

CA1(t)

F igura 3 -27 : Reator CSTR submet ido a per tu rbação na composição e tempera tura da

a l imentação .

Balanço molar no reator:

Equação 3 -151

( ) ( ) ( ) ( )tVtCqtCqdt

tdCV AAAA Γ+−= .... 2211

Onde,

Equação 3 -152 ( ) ( ) ( )tCtt AAA ..v ℜ−=Γ−=Γ=Γ

Balanço de energia no reator:

Equação 3 -153

( ) ( )( ) ( )( ) ( )tVTtTCpqTtTCpqdt

tdTCV rp ΓΔΗ−−−−= °° ........ 222111 ρρρ

Por hipótese:

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Equação 3 -154 cteqqq === 21

E

Equação 3 -155 cteCCC ppp ===

21

Substituindo a Equação 3-154 e a Equação 3-155 na Equação 3-153 e rearranjando:

Equação 3 -156

( ) ( ) ( )( ) ( )tVtTtTCqdt

tdTCV rpp ΓΔΗ−−= ........ 21ρρ

Onde

Equação 3 -157 ( ) ( )( ) ( )tCet AtTRgE .. .−

Οℜ=Γ

Lembrando que o reator está perfeitamente agitado [CA2(t) = CA(t) e T2(t) = T(t)], então:

Equação 3 -158

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )tCeVtCqtCqdt

tdCV AtTRgE

AAA ...... .−

Οℜ−−= 1

E

Equação 3 -159

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )tCeVtTCqtTCqdt

tdTCV AtTRgE

rppp ............. .1

−ΟℜΔΗ−−= ρρρ

A Equação 3-158 e a Equação 3-159 constituem um sistema de equações diferenciais não-

lineares interativas. Portanto, antes de aplicar a Transformada de Laplace, devemos linearizar

os termos não-lineares:

Equação 3 -160 ( )( ) ( )tCe AtTRgE ..−

Expandindo a Equação 3-160 em série de Taylor e truncando no segundo termo:

Equação 3 -161

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( )( )ssssA

TRgE

ss

ssAATRgE

ssATRgE

AtTRgE

TtTCeTRg

ECtCeCetCe

SS

SSSS

+−+≅

−−

.,.

2

,.

,..

...

...

Substituindo a Equação 3-161 na Equação 3-158 e na Equação 3-159 e rearranjando:

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Equação 3 -162

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( )( )ssssATRgE

ssssAA

TRgE

ssATRgE

AAA

TtTCeTRg

EVCtCeV

CeVtCqtCqdt

tdCV

SSss

SS

−ℜ−−ℜ−

+ℜ−−=

−−

,.

2,.

,.

1

.

.....

οο

ο

e

Equação 3 -163

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )

( ) ( )( )ssssATRgE

ssAATRgE

rssATRgE

r

ppp

TtTCeV

CtCeVCeV

tTCqtTCqdt

tdTCV

SS

SSSS

−ℜ−

+−ℜΔΗ−ℜΔΗ−

+−=

−Ο

−Ο

−Ο

,.

,.

,.

1

..

..

......... ρρρ

Utilizando as variáveis desvio:

Equação 3 -164

( ) ( )[ ] ( ) ( )

( ) ( )tTCeTRg

EV

tCqtCeVqdt

tCdV

ssATRgE

ss

AATRgEA

ss

ss

,.

2

1.

...

.

..

−Ο

−Ο

ℜ−

+=ℜ++

e

Equação 3 -165

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )tCeTRg

EVtTCq

tTCeTRg

EVCqdt

tTdCV

ATRgE

ssrp

ssATRgE

ssrpp

ss

ss

...

......

.......

.21

,.

2

−Ο

−Ο

ℜΔΗ−

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ℜΔΗ++

ρ

ρρ

Definindo os seguintes ganhos e constantes de tempo:

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Equação 3 -166 ( )ssTRgEc eVq

V... −

Οℜ+=τ

Equação 3 -167 ( )ssTRgECC eVq

q... −

Οℜ+=Κ

Equação 3 -168 ssTgR

E

ssg

ssTgR

E

ssg

eVq

CeVK

TRE

o

ssATRE

o

CT.

2

.2

)..(.

.)..(.

.

,.

ℜ+

ℜ=

Equação 3 -168

( )ssA

TRgE

ssrp

p

T

CeTRg

EVCq

CV

ss,

.2 ..

......

..

−ΟℜΔΗ+

ρτ

Equação 3 -169

( )ssA

TRgE

ssrp

p

TT

CeTRg

EVCq

CV

SS,

.2 .

.....

..

−ΟℜΔΗ+

=Κρ

ρ

Equação 3 -170

( ) ( )

( )ssA

TRgE

ssrp

TRgEr

TC

CeTRg

EVCq

eV

SS

ss

,.

2

.

..

....

...−

Ο

−Ο

ℜΔΗ+

ℜΔΗ−=Κρ

Substituindo da Equação 3-166 a Equação 3-170 na Equação 3-164 e na Equação 3-165:

Equação 3 -171

( ) ( ) ( ) ( )tTtCtCdt

tCdCTACCA

Ac ... Κ−Κ=+τ 1

Equação 3 -172 )(.)(.)()(1. tCKtTKtT

dttTd

ATCTTT +=+τ

A Equação 3-171 e a Equação 3-172 constituem um sistema de equações diferenciais

lineares simultâneas (sistema de equações interativas).

Aplicando a transformada de Laplace na Equação 3-171 e na Equação 3-172 e rearranjando

obtemos:

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Equação 3 -173 )()()( )1.(1)1.( sTsCsC s

KAs

KA C

CT

C

CC ⋅−⋅= ++ ττ

Equação 3 -174 )()()( )1.(1)1.( sCsTsT As

Ks

KT

TC

T

TT ⋅+⋅= ++ ττ

Resolvendo o sistema da Equação 3-173 e da Equação 3-174 para CA(s) e T(s), obtemos:

Equação 3 -176

)()()( 1.)1.).(1.(.

1.)1.).(1.()1..( sTsCsC

TCCTTC

TTCT

TCCTTC

TCCKKss

KKAKKss

sKA ⋅−⋅= ++++++

+ττττ

τ

Equação 3 -177

)()()( 1.)1.).(1.(.

1.)1.).(1.()1..( sCsTsT AKKss

KKKKss

sKTCCTTC

CCTC

TCCTTC

CTT ⋅+⋅= +++++++

τττττ

A Equação 3- e a Equação 3- são de 2ª ordem

Definindo as funções de transferência para as perturbações e respostas:

Equação 3 -178 TCCTTC

TCC

a

AKKss

sKsCsC

CCG .)1.).(1.()1..(

)()(

1 ++++== ττ

τ

Equação 3 -179 TCCTTC

TTCTAKKss

KKsTsC

CTG .)1.).(1.(.

)()(

1 +++== ττ

Equação 3 -175 TCCTTC

CTTKKss

sKsTsT

TTG .)1.).(1.()1..(

)()(

1 ++++== ττ

τ

Equação 3-180-b TCCTTC

CCTC

AKKss

KKsC

sTTC sG .)1.).(1.(

.)(

)(

1)( +++= ττ

Obtemos:

Equação 3 -176 ( ) ( ) ( )STGSCGsC CTACCA 11 .. −=

Equação 3 -177 ( ) ( ) ( )sCGsTGsT ATCTT 11 .. +=

As funções de transferência cujos denominadores tem zeros finitos, a Equação 3- e a

Equação 3-175, originam sistemas denominados atraso-avanço, que serão estudados no item

3.4.

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3 . 4 . C o m p o r t a m e n t o D i n â m i c o d e P r o c e s s o s T i p o A t r a s o - A v a n ç o

Seja o seguinte sistema:

Equação 3 -178

( ) ( ) ( ) ( )⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +τ=+τ αι tX

dttdXKtY

dttdY ...

A função de transferência associada a Equação 3-178 é:

Equação 3 -179 ( ) ( )

( )1.1.

.++

=ss

KsGι

α

ττ

A resposta deste sistema à perturbação degrau de amplitude A é:

Equação 3 -180

( ) ( )( ) ⎥

⎤⎢⎣

⎡+

−+=

++

=1.

1.1..

1..

ssK

sss

KsYι

ια

ι

α

τττ

ττ

.A .A

Equação 3 -181

( ) ( )t11 u⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−= − ι

ι

α

ττ tteKtY .A

A Figura 3-28 mostra a resposta deste sistema para τℓ e diferentes valores de τα:

Equação 3 -182 αι τ<τ<0

Equação 3 -183 ια τ<τ<0

Equação 3 -184 ια τ<<τ 0

A Figura 3-29 mostra a localização do pólo e do zero do sistema s = -1/τα, para cada caso.

Se τℓ = τα, a função de transferência simplifica-se para K como o resultado do cancelamento do

numerador e do denominador, isto é, ocorre o cancelamento pólo-zero.

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F igura 3 -28 : Resposta do s is tema (Equação 3 -179 ) .

F igura 3 -29 : D iagrama pó lo -zero para o s is tema (Equação 3 -179 ) – X : loca l i zação do

pó lo , □ : loca l i zação do zero .

Seja um sistema de 2ª ordem superamortecido com um zero diferente de infinito,

representado pela função de transferência da Equação 3-185:

Equação 3 -185 ( ) ( )

( ) )1(11

.21 ++

+=

sss

KsGττ

τα

Este sistema sofre uma perturbação degrau de amplitude A, então a resposta no domínio do

tempo será para τ1 ≠ τ2:

Equação 3 -186

( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−+

−+= −− 11

12

2

21

11. τατα

ττττ

ττττ tt eeKtY A

Após algumas análises matemáticas da Equação 3-186, concluímos que três tipos de

respostas podem acontecer:

Equação 3 -187 (a ) 1τ<τα

Equação 3 -188 (b ) 10 τ≤τ< α

Equação 3 -189 (c ) 0<τα

Na Figura 3-30 vemos a representação dessas possibilidades.

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F igura 3 -30 : Resposta ao degrau de um s is tema superamor tec ido com um zero .

No caso (a) ocorre a sobreelevação pois o avanço (lead) provoca uma rápida reação do

sistema. No caso (b), o sistema reage como sendo de 2ª ordem superamortecido. Porém, no

caso (c) acontece uma resposta inusitada: inicialmente o sistema reage no sentido inverso ao

da perturbação, após decorrido um certo intervalo de tempo a resposta toma o sentido da força

motriz. Este tipo de resposta denomina-se resposta inversa (inverse response) e pode ser

encontrado em alguns processos químicos, como por exemplo:

O nível de uma caldeira pode diminuir quando ocorre um aumento repentino na vazão de água, pois a maior quantidade de água numa temperatura inferior a temperatura do vapor que está sendo formado provoca a implosão das bolhas de vapor, diminuindo o nível aparente monitorado pelo elemento de medição, mas após algum tempo o sistema reage no sentido de aumentar o nível, pois a brusca perturbação inicial diminui de intensidade; Em um reator tubular, no qual acontece uma reação exotérmica, o aumento súbito

da temperatura da alimentação pode provocar uma diminuição da temperatura na saída do reator, pois maiores temperaturas na entrada do reator significa maiores taxas de reação e maiores conversões, conseqüentemente, decremento da quantidade de reagente nas seções posteriores do reator e diminuição das taxas de reação e menor temperatura na saída do mesmo (existe resfriamento do reator), mas decorrido algum tempo o sistema responde da maneira esperada, isto é, maiores temperaturas na entrada provocam maiores temperaturas na saída.

Na verdade, a resposta inversa ou a sobreelevação acontecem devido a diferença da

dinâmica dos vários fenômenos físicos envolvido em um processo.

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3 . 5 . C o m p o r t a m e n t o D i n â m i c o d e P r o c e s s o s c o m T e m p o M o r t o

Quando material ou energia é transferido em uma planta industrial existe um tempo morto

associado a este movimento. Por exemplo, em uma tubulação, conforme Figura 3-31, por onde

é transportado um fluido em escoamento pistão (plug flow) o tempo transcorrido entre o ponto

inicial (1) e o final (2) é τm:

Equação 3 -190 avolumétricvazãotubulaçãodavolume

fluidodovelocidadetubulaçãodaocompriment

m ==τ

D

L

V1(t)

q1(t)

1 2

V2(t)

q2(t)

Figura 3 -31 : T ranspor te de f lu ido por uma tubu lação em escoamento p is tão .

Para estabelecer o modelo matemático deste processo temos que assumir que o fluido seja

incompreensível, garantindo que a velocidade do mesmo não varie na direção axial, o

escoamento pistão.

Então:

Equação 3 -191 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )tq

Vtq

VtqLD

tVLtm

211

2

1

4==

Π==τ

..

Portanto, se a temperatura ou composição variam no ponto (1) este sinal demorará τm para

ser percebido no ponto (2), ou seja:

Equação 3 -192

( ) ( )⎩⎨⎧

≥−<

=mm

m

ttxt

tYτττ

,0

Ou

Equação 3 -193 ( ) ( ) ( )mm ttXtY τ−τ−= u.

A saída dos sistema Y(t) é o mesmo sinal de entrada X(t) defasado (atrasado) por um

intervalo de tempo igual a τm.

A função de transferência deste sistema é:

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Equação 3 -194 ( ) ( )

( )sme

sXsYsG τ−==

Podemos combinar funções de transferência no intuito de melhor representar a dinâmica de

um processo. Por exemplo, um sistema de 1ª ordem mais tempo morto tem a seguinte função

de transferência:

Equação 3 -195

( ) ( )( )

s

p

p messX

sYsG ..1.

τ

τ−

+

Κ==

A presença do tempo morto é um elemento dinâmico que dificulta o controle de processos,

pois as informações do estado do sistema ficam defasadas, provocando as reações do estado

do sistema de controle a uma situação ocorrida a τm atrás.

Podemos aproximar o tempo morto por uma razão de dois polinômios. Uma expansão

adequada é a aproximação de Padé:

Aproximação de Padé de 1ª ordem:

Equação 3 -196 s

se

m

m

sm

21

21

,

τ

ττ

+

−≈−

Aproximação de Padé de 2ª ordem:

Equação 3 -197 1221

1221

22

22

,

ss

ss

emm

mm

sm

ττ

τττ

++

+−≈−

Estas aproximações são mais precisas quanto maior a diferença entre o tempo morto τm e a

constante de tempo do processo τP, isto é, τm << τP, como na maioria das vezes isto acontece,

podemos utilizar a aproximação de Padé.

A Figura 3-32a ilustra a resposta da aproximação de 1ª ordem e de 2ª ordem a entrada

degrau. Verificamos que a aproximação de ordem maior é mais precisa. A Figura 3-32b, mostra

que a aproximação de Padé é satisfatória para um sistema de 2ª ordem mais tempo morto,

submetido a perturbação degrau pois quando τm =0.25τP.

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F igura 3 -32 : (a ) Resposta ao degrau das aprox imações de Padé de 1 ª e 2 ª o rdem de

um tempo mor to puro . (b ) Resposta ao degrau de um s is tema de 1 ª o rdem com tempo

mor to (τm = 0 .25τ P ) u t i l i zando aprox imações de Padé de 1 ª e 2 ª o rdem para sme τ−

.

√ Exemplo: Reator com reciclo O reator de leito gotejante mostrado na Figura 3-33 utiliza o reciclo para obter uma operação

satisfatória. O uso de um reciclo muito intenso elimina a necessidade de agitação mecânica. A

concentração do reagente é medida no ponto onde a corrente deixa o sistema reacional. A

reação é de 1ª ordem. Sob condições normais de operação as seguintes hipóteses podem ser

assumidas:

H.01. O reator opera isotermicamente;

H.02. As vazões de alimentação q e de reciclo α.q são constantes;

H.03. Não ocorre reação na tubulação e a dinâmica envolvida nos tubos pode ser

aproximada por atrasos devido apenas ao tempo morto τm1 e τm2, conforme indicado na Figura

3-33;

H.04. Devido a grande taxa de reciclo a mistura do reator é completa.

Pede-se:

(a) A função de transferência ( ) ( )sCsC i/1 ;

(b) Utilizando as informações a seguir, calcule ( )tC1 para a mudança em ( )tCi de

2,000Kg/m3.

V = 5.0 m3 α = 12

q = 0.005 m3/min τm1 = 0.9 min

ℜ = 0.004 min-1 τm2 = 1.1 min

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F igura 3 -33 : Reator go te jan te com rec ic lo .

Solução:

(a) Realizando o balanço molar para o reagente A em torno do reator (volume de controle

indicado pela superfície pontilhada).

Equação 3 -198

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )tCVtCqtCqtCqdt

tdCV i ........ ℜ−α+−α+= 12

Onde a concentração da espécie é denotada por C(t) omitindo o subscrito A por

conveniência. A Equação 3-198 é linear com coeficientes constantes, subtraindo do seu valor

no estado estacionário e substituindo as variáveis desvio, obtemos:

Equação 3 -199

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )tCVtCqtCqtCqdt

tCdV i ........ ℜ−α+−α+= 12

Relações adicionais são necessárias para conhecermos ( )tCi e ( )tC . Estas podem ser

obtidas da hipótese H03 que determina que a dinâmica das tubulações é determinada apenas

por elementos do tempo morto:

Equação 3 -200 ( ) ( )11 θ−= tCtC

Equação 3 -201 ( ) ( ) ( )( )21212 θ+θ−=θ−= tCtCtC

A Equação 3-199 a Equação 3-201 representam o modelo matemático deste processo.

Aplicando a Transformada de Laplace, obtemos:

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Equação 3 -202 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )sCVsCqsCqsCqsCsV i ....1..... 2 ℜ−+−+= αα

Equação 3 -203 ( ) ( )sCesC s ..1

1τ−=

Equação 3 -204 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )sCesCesCesC sss a .12

212 ττττ −+−− ===

Substituindo a Equação 3-204 na Equação 3-202 e resolvendo para ( )sC :

Equação 3 -205 ( )

( )( )sC

VqeqsVqsC is ℜ+++−

= − ..1... 3 αα τ

Dividindo a Equação 3-205 por (q + V.ℜ) e rearranjando:

Equação 3 -206 ( ) ( ) ( )sC

eKsKsC is.31..1 τατ −−++

=

Onde,

Equação 3 -207 ( )ℜ+=Κ .Vqq

Equação 3 -208 ( )ℜ+=τ .Vqv

Note que, no limite quando τ3 → 0, e-τ3s → 1, e

Equação 3 -209 ( ) ( )sC

sKsC i1+

Assim, K e τ podem ser interpretados como sendo o ganho e a constante de tempo do

processo, respectivamente, de um reator de reciclo sem tempo morto nas linhas de reciclo.

Combinando a Equação 3-203 e a Equação 3-206, concluímos que a função da

transferência ( ) ( )sCsC i/1 é:

Equação 3 -210

( )( ) ( )s

s

i ese

sCsC

.

.1

1

1

1..1.

τ

τ

ατ −

−Κ++Κ

=

(a) Para encontrar ( )tC quando ( ) 32000 mKgtCi /.= , nós multiplicaremos a Equação

3-210 por 2,000/s.

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Equação 3 -211 ( ) ( )[ ]s

s

aessesC .

.

1 1..1...2000 1

τ

τ

ατ −

−Κ++Κ

=

O termo exponencial no numerador não causa nenhum problema, porém, não existe nas

tabelas de Transformada de Laplace a inversa de termos com exponenciais no denominador.

Para obter a expressão analítica da solução no domínio do tempo temos que eliminar o termo

exponencial do denominador através de uma aproximação polinomial, por exemplo,

aproximação de Padé de 1ª ordem

Equação 3 -212 s

se

am

am

sm

.2

1

.2

1.1

τ

ττ

+

−≈−

Substituindo a Equação 3-212 na Equação 3-211 e rearranjando, obtemos:

Equação 3 -213

( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ Κ+++

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +Κ

=

1...2

.2

..

.1.2

..2000

2

.

1

1

sss

essC

manama

sma m

τατ

ττ

τ

τ τ

A Equação 3-213 pode ser descrita da seguinte forma:

Equação 3 -214 ( ) ( )

( ) ( )1..1...1...2000

21

.

1

1

+++Κ

=−

ssses

sCs

am

τττ τ

Onde τα = τm3 e τ1 e τ2 são obtidos pela fatoração do denominador da Equação 3-213, neste

caso são reais e distintos pois o termo α.K.τm3 é sempre positivo.

Calculando os valores dos parâmetros:

Equação 3 -215 ( ) ( ) 200405050

050 ...

..

=+

=ℜ+

=ΚVqq

Equação 3 -216 ( ) ( ) minVq

200405050

5=

+=

ℜ+τ

=τ...

Equação 3 -217 min201.19.021 =+=+= mmma τττ

Substituindo-os na Equação 3-214:

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Equação 3 -218 ( ) ( ) ( )( )

( )( )( )( )[ ]( )

( )( )18.01251400

122.0121202012.02000 11

2

.

1 +++

=++++

+=

−−

ssses

sssessC

ss mm ττ

Invertendo obtemos:

Equação 3 -219 ( ) ( ) ( )[ ] ( )0.9 -t0826.09917.01400 8.09.0259.01 u−−−− −−= tt eetC

O qual está plotada na Figura 3-34. Note que não foi necessário aproximar o numerador,

assim o termo (t - 0.9) que aparece na solução do sistema é exato.

F igura 3 -34 : Reator com rec ic lo submet ido a per tu rbação degrau na composição da

a l imentação: (a ) resposta comple ta ; (b ) de ta lhe nos ins tan tes in ic ia is .

3 . 6 . E x e r c í c i o s

(1) O tanque mostrado na Figura 3-35 é colocado na linha para suavizar a variação

da pressão Pi(t), amortecendo a variação da pressão Po(t). No estado estacionário, a vazão de

alimentação e as pressões são:

qi, ss = 25.0 Kgmoles/s

Pi, ss = 2,000 KN/m2

Pss = 1,800 KN/m2

Po, ss = 1,600 KN/m2

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p(t)V T

pi(t) po(t)

qi(t) qo(t) Figura 3 -35 : Tanque para a l i v io de pressão .

O volume do tanque é V = 10m3. Um balanço molar no tanque assumindo comportamento

ideal para o gás e temperatura de 400 K, é dado por:

Equação 3 -220

( ) ( ) ( )tqtqdt

tdPRg

Vi Ο−=

Τ.

Onde Rg = 8,314 Nm/(kgmol.K).

As vazões de entrada e saída são dadas por:

Equação 3 -221 ( ) ( ) ( ) ( )[ ]tPtPtPtq iiii −Κ= ..

Equação 3 -222 ( ) ( ) ( ) ( )[ ]tPtPtPtq ooo −Κ= ..

Onde Ki e Ko são constantes.

Pede-se:

a) Linearize a equação diferencial.

b) Obtenha a resposta do sistema a uma variação degrau unitário na pressão de entrada,

com a pressão de saída constante.

c) obtenha a resposta do sistema a uma variação degrau unitário na pressão de saída, com

a pressão de entrada constante.

Use o método da Transformada de Laplace para resolver a equação diferencial.

(2) Encontre Y(t) da seguinte equação diferencial utilizando o método da

transformada de Laplace. O sistema é inicialmente relaxado. Esboce os gráficos e comente os

resultados.

Equação 3 -223

( ) ( ) ( ) ( )tXtYdt

tdYdt

tYd=++ .9.92

2

a) Para X(t) = U(t).

b) Para X(t) = e-3t.

Obs: Analise estabilidade; super, sub ou criticamente amortecimento, comportamento no

tempo t = 0 e t = ∞, etc.

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(3) Considere o processo mostrado na Figura 3-36. A vazão do líquido através dos

tanques, q, é constante e igual a 110 kg/min. A densidade do líquido pode ser assumida

constante e igual a 800 kg/m3. A capacidade calorífica do fluido também é constante e igual a

1.3 kcal/KgºC. O volume de cada tanque é 0.3 m3. A perda de calor para as vizinhanças é

negligenciável e a agitação é perfeita.

Obtenha as funções de transferência, com os valores numéricos e as unidades dos seus

parâmetros, que relacionam:

a) T3 com To.

Sugestão: Considere, neste caso, a taxa de transferência de calor Q constante.

b) T3 com Q.

Sugestão: Considere, neste caso, que a temperatura na entrada To é constante.

T1(t), q

vapor

condensadoQ(t)

To(t), q

T2(t), q

T3(t), q

F igura 3 -36 : Tanque não in tera t ivo s em sér ie .

(4) Considere um reator de mistura perfeita. Uma reação isotérmica acontece no

reator. A vazão volumétrica é constante.

A → B Com a equação da taxa: (-rA) = kCA.

O balanço da massa no reator é :

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Equação 3 -224 [ ] AAAiiA tCtC

Vq

dtdC

Γ+−= )()(

Onde:

qi Vazão volumétrica de alimentação [ = ] m3/s

CAi Concentração molar de A na alimentação [ = ] mol/m3

Identifique e comente sobre:

a) Função perturbação

b) Função de transferência

c) Pólos de função de transferência

d) Resposta a perturbação degrau de amplitude W

e) Se (-rA) = kCA2. qual seria a função de transferência

(5) Considere um reator de mistura perfeita no qual acontece uma reação isotérmica

de 1ª ordem. O processo pode ser perturbado pela vazão e/ou concentração na corrente de

alimentação.

Dados:

Reação: A → B

Equação da taxa de reação: (-rA) = kCA(t)

Escoamento turbulento na saída do reator.

Massa específica constante.

CAi é a concentração molar de A na alimentação [ = ] mol/m3

Pede-se:

a) Função(s) de transferência, indicando qual a ordem da(s) mesma(s)

b) Identifique constantes de tempo, ganho em estado estacionário (expressões e

unidades).

(6) Considere um reator de mistura perfeita no qual acontece uma reação isotérmica

de 2ª ordem. O processo pode ser perturbado simultaneamente pela vazão e pela

concentração da corrente de alimentação.

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Dados:

Reação: A → B

Equação da taxa de reação: (-rA) = kCA2(t)

Escoamento laminar na saída do reator

Massa específica constante

Pede-se:

a) Função(s) de transferência, indicando qual a ordem da(s) mesma(s)

b) Identifique constantes de tempo, ganho em estado estacionário (expressões e

unidades).

(7) Considere um tanque de aquecimento, conforme a Figura 3-37. A vazão

volumétrica q1(t) e temperatura T1(t) da alimentação são variáveis com o tempo. A densidade e

capacidade calorífica do líquido pode ser assumida constante. A transferência de calor pela

serpentina é constante e igual a qss. A perda de calor para as vizinhanças é dada por:

Equação 3 -225 ( ) ( ) ( )( )ambGextL TtTtUAtQ −= ..

e

Equação 3 -226 ( ) ( )tvUtU oG .α+=

Onde:

QL Calor perdido para o meio ambiente [ = ] J/s

UG(t) Coeficiente global de troca térmica [ = ] J/(m2.ºC.s)

Uo Constante [ = ] J/(m2.ºC.s)

Aext Área externa do tanque disponível para troca com o meio ambiente [ = ] m2

α Constante [ = ] J/(m3.ºC)

v(t) Velocidade do vento [ = ] m/s

T(t) Temperatura do fluido no tanque [ = ] ºC

Tamb Temperatura do meio ambiente [ = ] ºC

Assuma que a pressão do vapor é constante.

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h(t)

T2(t)q2(t)

T1(t), q1(t)

vaporsaturado

condensadoQst(t)

R

Motor

v(t)

Tamb

F igura 3 -37 : Tanque de aquec imento .

Pede-se:

a) O modelo matemático que representa este processo

b) As funções de transferência que relacionam as saídas [h(t) e T(t)] com as perturbações

[q1(t), T1(t) e v(t)].

c) A resposta deste processo a perturbação em v(t) conforme a Figura 3-38.

F igura 3 -38 : Grá f ico exerc íc io (7 ) .

Obs: Caso necessário acrescente outras hipóteses, justificando-as.

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(8) Considere um reator de mistura perfeita no qual acontece uma reação

exotérmica de 1ª ordem. O processo pode ser perturbado pela vazão q1(t), temperatura T1(t)

e/ou concentração CA1(t) da corrente de alimentação.

Dados:

Reação: A → B

Equação da taxa de reação: )()()

)((

tCekt AtRgT

E

o

Escoamento turbulento na saída do reator

Massa específica constante

Capacidade calorífica constante

Entalpia da reação constante

Pede-se:

a) Funções de transferência entre as respostas do sistema T(t), CA(t), h(t) com as

perturbações q1(t), CA1(t) e T1(t), indicando qual a ordem da(s) mesma(s).

b) Identifique constantes de tempo, ganho em estado estacionário (expressões e

unidades).

(9) Um sistema integrador com tempo morto é submetido a uma perturbação

conforme a Figura 3-39.

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F igura 3 -39 : Grá f ico para exerc íc io (9 ) .

Obtenha a resposta no tempo.

(10) Assuma que a seguinte equação é a descrição de um certo processo

Equação 3 -227

( )( ) 2.0.5

.3 .5.0

+=

se

sXsY s

a) Obtenha o ganho no estado estacionário, a constante de tempo e o tempo morto.

b) A condição inicial da variável y é y(0) = 2. Para uma força motriz (perturbação) como

mostrada na Figura 3-40, qual o valor final e a expressão de y(t) ?

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F igura 3 -40 : Grá f ico do exerc íc io (10 ) .

(11) Um sistema de 1ª ordem com tempo morto é submetido a uma perturbação

pulso, conforme a Figura 3-41.

F igura 3 -41 : Grá f ico do exerc íc io (11 ) .

Obtenha a resposta no tempo.

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(12) Um sistema de 1ª ordem com tempo morto é submetido a uma perturbação

conforme a Figura 3-42.

F igura 3 -42 : Grá f ico do exerc íc io (12 ) .

Obtenha a resposta no tempo:

(13) Considere o processo mostrado na Figura 3-43.

Tanque demistura

qoρ

CAo(t)

qA(t)ρ

A puro

h1(t)

Bombacentrífuga

Reator

hRCA5(t)h2(t)

L1

2 3

4

5

PR

F igura 3 -43 : Esquema do exerc íc i o (13 ) .

q0 Vazão da corrente de alimentação com concentração CA0, constante

[ = ] m3/s

CAi(t) Concentração de A na seção i [ = ] Kgmol/m3

ρ Massa específica, constante [ = ] Kg/m3

hi(t) Altura do nível do líquido no equipamento i [ = ] m

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hR Altura da entrada do reator em relação à saída do mesmo [ = ] m

PR Pressão na copa do reator [ = ] kPa

L Comprimento [ = ] m

AT Área da seção transversal do tanque [ = ] m2

AR Área da seção transversal do reator [ = ] m2

As seguintes informações são conhecidas sobre este processo:

a) A massa específica de todas as correntes são aproximadamente constantes, e iguais.

b) O fluxo através da bomba de velocidade constante é dado pela Equação 3-228 em [ = ]

m3/s

Equação 3 -228 ( ) ( ) ( )[ ]{ }2211 tPtPBAtqb −+= ..

c) A tubulação entre os pontos 2 e 3 é longa, com comprimento L (em m). O fluxo através

da tubulação é muito turbulento (plug flow). O diâmetro do tubo é D (em m). A queda de

pressão ΔP entre estes dois pontos pode ser considerada constante.

d) Podemos assumir que os efeitos associados à reação são negligenciáveis,

conseqüentemente, a reação ocorre à temperatura constante. A taxa de reação (A → B)é dada

por

Equação 3 -229 ( ) ( )

smmolKgtCkt AA .

][. 3==Γ

e) O fluxo através da válvula é dado por

Equação 3 -230 ( ) ( ) ( )thtVPCtq vv 2..=

Onde VP é a posição onde se encontra a válvula.

Obtenha:

a) O modelo matemático que representa este processo.

b) As funções de transferência que relacionam as funções perturbação CAo(t), e qA(t) com

h1(t), h2(t) e CA5(t).

Sugestão: Trabalhe com o balanço de massa global e/ou com o balanço de massa para o

componente A.

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Í N D I C E

CAPÍTULO 4. IDENTIFICAÇÃO DA DINÂMICA DE PROCESSOS 4-3

4.1. CURVA DE RESPOSTA DE SISTEMA DE 1ª ORDEM A PERTURBAÇÃO DEGRAU 4-3 4.2. CURVA DE RESPOSTA DE SISTEMA DE 2ª ORDEM A PERTURBAÇÃO DEGRAU 4-6 4.3. REGRESSÃO LINEAR 4-10 4.4. SISTEMAS DE ORDEM SUPERIORES 4-16 4.5. OBSERVAÇÕES E CONCLUSÕES SOBRE IDENTIFICAÇÃO DE PROCESSOS 4-17 4.6. EXERCÍCIOS 4-19

Í N D I C E D E T A B E L A S Tabela 4-1: Dados para Identificação de Processos. 4-15

Í N D I C E D E F I G U R A S Figura 4-1: Resposta de um sistema de 1ª ordem a perturbação degrau. Curva A entrada X(t) e curva B

resposta do sistema Y(t). 4-4 Figura 4-2: POMTM ajuste pelo Método 1. 4-5 Figura 4-3: POMTM ajuste pelo Método 2. 4-5 Figura 4-4: POMTM ajuste pelo Método 3. 4-6 Figura 4-5: Resposta de um sistema de 2ª ordem a perturbação degrau: Curva A - entrada X(t); Curva B -

resposta Y(t) de um sistema super-amortecido; Curva C - resposta Y(t) de um sistema sub-amortecido.

4-7 Figura 4-6: Resposta de vários SOMTM a perturbação degrau. 4-8

Figura 4-7: Gráfico do Método de Harriot para ( ) 5.021 =+ττt . 4-8

Figura 4-8: Gráfico do Método de Smith, relação entre τ, ζ, t20 e t60. 4-10 Figura 4-9: Função contínua. 4-11 Figura 4-10: Aproximação de um sistema de 5ª ordem por uma função de transferência de 1ª ordem mais

tempo morto. 4-16 Figura 4-11: Etapas para identificação de processo. 4-18 Figura 4-12: Gráfico do exercício (1). 4-19

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Figura 4-13: Fornalha. 4-20 Figura 4-14: Curva de reação da fornalha para uma perturbação na saída do controlador. 4-21 Figura 4-15: Curva de reação para uma perturbação na saída do controlador. 4-22 Figura 4-16: Curva de reação para uma perturbação na umidade da alimentação 4-22 Figura 4-17: Secador de grãos. 4-23 Figura 4-18: Curva de reação para uma perturbação na vazão da corrente de alimentação. 4-23

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C A P Í T U L O 4 . I D E N T I F I C A Ç Ã O D A D I N Â M I C A D E P R O C E S S O S

Nos capítulos anteriores, estudamos o comportamento dinâmico de vários sistemas (1ª, 2ª

ordem, tempo morto, etc.). A identificação do sistema foi realizada através da modelagem

matemática dos fenômenos físicos envolvidos. Porém, nem sempre é possível obter um

modelo fenomenológico que represente satisfatoriamente o comportamento dinâmico de um

processo. Nestes casos, são realizados experimentos no intuito de identificar o

comportamento dinâmico do processo em estudo.

Esses experimentos têm o seguinte procedimento:

1. Tentamos eliminar todas as causas de distúrbios ao sistema;

2. Escolhemos uma fonte de distúrbio e aplicamos a perturbação, por exemplo, degrau de

amplitude A;

3. Monitoramos a perturbação e a resposta do sistema até atingir o estado estacionário;

4. Com os dados das etapas 2 e 3 ajustamos um modelo matemático o mais fidedigno

possível aos dados experimentais.

Neste capítulo, estudaremos alguns métodos de identificação de processos:

(a) Ajuste pela curva de resposta a perturbação degrau;

(b) Método de Harriot e Método de Smith;

(c) Regressão linear e não-linear (aproximação por diferenças finitas).

4 . 1 . C u r v a d e R e s p o s t a d e S i s t e m a d e 1 ª O r d e m a P e r t u r b a ç ã o D e g r a u

Um sistema de Primeira Ordem Mais Tempo Morto (POMTM) é descrito pela seguinte

equação diferencial.

Equação 4 -1 [ ] )(.)()(. mPP tXKtYtY

dtd ττ −=+

Dos estudos anteriores, sabemos que quando um POMTM esta submetido a uma

perturbação degrau de amplitude A [X(t) = Xss + A.u(t)], a resposta do mesmo é dado pela

Figura 4-1.

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F igura 4 -1 : Resposta de um s is tema de 1 ª o rdem a per tu rbação degrau . Cur va A en t rada X ( t ) e cur va B resposta do s is tema Y( t ) .

Ou seja:

(a) O sistema atinge 63.2% do valor final após transcorrido um intervalo de tempo igual a

uma constante de tempo, descontado o tempo morto:

Equação 4 -2 632.0

.)(=

P

P

KYAτ

(b) No instante inicial da resposta a inclinação da curva é unitária e a maior possível, isto é:

Equação 4 -3

0.1.

)(

0

=⎥⎦

⎤⎢⎣

=tPKtY

dtd

A

(c) A interseção da tangente da curva no instante inicial com a assíntota da função no

estado estacionário acontece no ponto (1.0; τP), descontado o tempo morto.

Portanto, podemos utilizar essas características do POMTM para obter os parâmetros do

sistema (τP, KP e τm).

4 . 1 . 1 . M é t o d o 1

Localizamos no gráfico ( )( ) tKAtY P versus. , o instante no qual a inclinação da curva é

máxima. Prolongamos esta reta até atingir o eixo do tempo, esse ponto determina o tempo

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morto τm. O prolongamento desta reta até intersectar o prolongamento da reta do estado

estacionário alcançado defini a constante de tempo τp, pois o valor da abscissa neste ponto

descontado do tempo morto é τp. Veja Figura 4-2.

F igura 4 -2 : POMTM a jus te pe lo Método 1 .

4 . 1 . 2 . M é t o d o 2

Neste método, τm é determinado da mesma maneira do Método 1, porém a constante de

tempo é obtida no ponto em que o sistema atinge 63.2% do estado estacionário alcançado,

descontando o tempo morto (vide Figura 4-3).

Este procedimento tem maior exatidão que o anterior e as constantes de tempo obtidas são,

em geral, menores que as obtidas através do Método 1.

F igura 4 -3 : POMTM a jus te pe lo Método 2 .

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4 . 1 . 3 . M é t o d o 3

Os dois métodos vistos até aqui dependiam da localização da tangente da curva no ponto

de maior inclinação, por isso esses métodos têm incerteza elevada. Uma alternativa que evita

essa dependência é descrita a seguir:

(a) Obtenha o tempo necessário para o sistema atingir 63.2% e 28.3% do estado

estacionário, t2 e t1, respectivamente;

(b) Resolva o seguinte sistema de equação algébricas:

Equação 4 -4 ⎪⎩

⎪⎨⎧

=+

=+

1

2

31 t

t

Pm

Pm

ττ

ττ

Ou seja,

Equação 4 -5

( )⎪⎩

⎪⎨⎧

−=

−=

Pm

m

t

tt

ττ

τ

2

12.23

Dos três procedimentos este é, geralmente, o mais exato, portanto mais recomendado.

F igura 4 -4 : POMTM a jus te pe lo Método 3 .

4 . 2 . C u r v a d e R e s p o s t a d e S i s t e m a d e 2 ª O r d e m a P e r t u r b a ç ã o D e g r a u

Um sistema de Segunda Ordem Mais Tempo Morto (SOMTM) é descrito pela seguinte

equação diferencial

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Equação 4 -6 [ ] [ ] )(.)()(...)(. mp tXKtYtY

dtdtY

dtd

τ−=+ξτ+τ 2

22

Dos estudos anteriores sabemos que quando um SOMTM esta submetido a uma

perturbação degrau de amplitude A [X(t) = Xss + A.u(t)] a resposta do mesmo é dada pela

Figura 4-5.

F igura 4 -5 : Resposta de um s is tema de 2 ª o rdem a per tu rbação degrau : Cur va A - en t rada X ( t ) ; Curva B - resposta Y ( t ) de um s is tema super -amor tec ido; Curva C -

resposta Y ( t ) de um s is tema sub -amor tec ido .

Descrevemos dois métodos de identificação de SOMTM:

(a) Método de Harriott, válido para sistema super-amortecidos;

(b) Método de Smith, válido para sistema super ou sub-amortecidos.

Nesses dois procedimentos o tempo morto τm deve ser identificado visualmente através do

gráfico da curva de resposta.

4 . 2 . 1 . M é t o d o d e H a r r i o t

Este método está baseado na seguinte função de transferência:

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Equação 4 -7 ( )( )1..1.)(

11 ++=

ssKsG P

ττ

Harriot percebeu que o gráfico ( )( ) ( )21. ττ +txKAtY P para várias funções de transferência

se interceptavam em torno de 73% (intervalo real entre 0.7275 e 0.7326) do valor final do

estado estacionário, correspondendo a 1.3 na abscissa, conforme Figura 4-6.

F igura 4 -6 : Resposta de vá r ios SOMTM a per tu rbação degrau .

Harriott notou, também, que o ponto que as curvas da Figura 4-6 mais se afastam acontece

quando ( ) 5.021 =+ττt , então ele construiu o gráfico de ( )( ) ( )21. ττ +txKAtY P para

( ) 5.021 =+ττt , veja Figura 4-7.

F igura 4 -7 : Grá f ico do Método de Har r io t para ( ) 5.021 =+ττt .

O procedimento para identificação dos parâmetros do modelo é o seguinte:

(a) Determine o tempo morto e trabalhe com o sistema de segunda ordem sem τm, depois de

identificado KP, τ1 e τ2, acrescente ao modelo o tempo morto;

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(b) Determine o ganho do sistema KP:

Equação 4 -8 )0()()0()(

XXYYK P −∞

−∞=

(c) Da curva de resposta do sistema a perturbação degrau, obtenha o tempo transcorrido até

o sistema atingir 73% do valor final, isto é, obtenha t73, assim esta determina a primeira

equação:

Equação 4 -9 3.173

21t=+ττ

(d) Calcule o tempo que satisfaça a equação

Equação 4 -10 )(5.0 215.0 ττ +=t

(e) Da curva de resposta do sistema a perturbação degrau, leia o valor de ( )( )PKAtY . para

t0.5, isto é, ( )( )5.0

.=tPKAtY ;

(f) Com o valor de ( )( )5.0

.=tPKAtY obtenha na Figura 4-7 o valor de ( )2115.0 ττττ += ,

determinando a segunda equação;

(g) Ao resolver o sistema algébrico (Equação 4-11) e com os valores do tempo morto τm e do

ganho K determinados anteriormente, identificamos o SOMTM.

Equação 4 -11 ⎪⎩

⎪⎨

=+

=+

5.021

1

7321

)(

3.1

τττ

τττ t

O Método de Harriot só é válido para sistemas de segunda ordem superamortecidos com

0.2 < ( )( )PKAtY . < 0.39, para valores fora dessa faixa o sistema é geralmente de ordem

superior a 2 ou então subamortecido.

4 . 2 . 2 . M é t o d o d e S m i t h

Este método está baseado na seguinte função de transferência:

Equação 4 -12 1...2.

)( 22 ++=

ssKsG P

ςττ

Onde ζ determina se o sistema será sub, criti ou superamortecido.

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O procedimento para identificação dos parâmetros do modelo é o seguinte:

(a) Determine o tempo morto e trabalhe com o sistema de segunda ordem sem τm, depois de

identificado K, τ e ζ, acrescente ao modelo o tempo morto;

(b) Determine o ganho do sistema Kp:

Equação 4 -13

( )( ) )0(

)0(XXYYK P

−∞−∞

=

(c) Da curva de resposta do sistema a perturbação degrau, obtenha os tempos transcorridos

para o sistema atingir 20% e 60% do valor final, isto é, obtenha t20 e t60;

(d) Calcule a razão 6020 tt ;

(e) Da Figura 4-8 leia os valores de τ60t e ζ;

Figura 4 -8 : Grá f ico do Método de Smi th , re lação en t re τ , ζ , t 2 0 e t 6 0 .

(f) Com o valor de τ60t calcule τ, que esta identificando SOMTM, pois conhecemos τm

(passo (a)) e K (passo (b)), τ e ζ (passos (c) a (e)).

4 . 3 . R e g r e s s ã o L i n e a r

O modelo dinâmico de um processo é descrito por um sistema de equações diferenciais que

pode ser aproximado por um sistema de equações de diferenças finitas, cujos parâmetros são

obtidos através de métodos de regressão.

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4 . 3 . 1 . M é t o d o d a s D i f e r e n ç a s F i n i t a s

Dada a função contínua:

F igura 4 -9 : Função cont ínua .

Onde,

Equação 4 -14 Δ t = t j + 1 - t j

Ou,

Equação 4 -15 Δ t = t j - t j - 1

Expandindo Y(t) em série de Taylor, ou seja:

Conheço Yj e quero conhecer Y(j + 1)

Ou conheço Yj e quero conhecer Y(j - 1)

Equação 4 -16

( ) ..... +Δ+Δ+Δ+=+3

3

32

2

21 3

121 t

dtYd

!t

dtYd

!t

dtdYYY

jjjjj

ou

Equação 4 -17

( ) ..... +Δ−Δ+Δ−=−3

3

32

2

21 3

121 t

dtYd

!t

dtYd

!t

dtdYYY

jjjjj

Da Equação 4-16, obtém-se:

Equação 4 -18

( ) ....... +Δ′′′+Δ′′+′=Δ

−+ 2131

21 tY

!tY

!Y

tYY

jjj

E

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Equação 4 -19

( ) ....... +Δ′′′+Δ′′−′=Δ

−− 2131

21 tY

!tY

!Y

tYY

jjj

Truncando no 1º termo e da Equação 4-18, encontra-se

Equação 4 -20

( ) ( )⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

⎡→Δ+

Δ

−=′= +

frenteaparafinitadiferença

Fórmulatord

tYY

YdtdY jj

jt j

1

Da Equação 4-19, encontra-se:

Equação 4 -21

( ) ( )⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

⎡→Δ+

Δ

−=′= −

trásparafinitadiferença

Fórmulatord

tYY

YdtdY jj

jt j

1

Subtraindo a Equação 4-19 da Equação 4-18:

Equação 4 -22

( ) ( ) ( )⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

⎡→Δ+

Δ

−= −+

centralfinitadiferença

Fórmulatord

tYY

dtdY jj

t j

211

.2

Somando a Equação 4-18 e a Equação 4-19:

Equação 4 -23

( ) ( )

( )( )

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

⎡→Δ+

Δ

+−=′′ +−

centralfinitadiferença

Fórmulatord

t

YYYY

dtYd jjj

jt j

22

112

2 .2

Consideremos agora um processo no qual os fenômenos físicos ou químicos que ocorrerem

são pouco conhecidos ou que os vários parâmetros que o descrevem são incertos. Podemos

então aproximar o modelo do processo pela seguinte equação linear das diferenças finitas de

ordem k.

Equação 4 -24 KnKnnKnKnnn XbXbXbYaYaYaY −−−−−− +++++++= ...... 22112211

Onde Yi e Xi são os valores de saída e entrada, respectivamente, no instante ï” de

amostragem e a1, az, ..., ak; b1, bz, ..., bk são parâmetros constantes e desconhecidos do

processo.

Para obtermos os valores dos parâmetros usaremos o Método dos Mínimos Quadrados;

encontrando os melhores valores para os parâmetros a partir da minimização do erro, ou seja,

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os melhores valores serão aqueles que apresentem o menor valor para o erra entre o valor

experimental e o teórico.

Introduzimos no processo uma série de perturbações e obtemos os valores de resposta;

onde nX~

será o valor medido da perturbação e Ỹn será o valor medido da resposta do

processo à perturbação, no n-ésimo instante de amostragem com n = 1, 2, 3, ...

Comparando os valores computados das variáveis de resposta do modelo postulado,

Equação 4-24, com os valores de resposta medidos, teremos o erro:

Equação 4 -25 ⎟⎟

⎜⎜

++++

+++++−=−=

−−

−−−−−

KnKnK

nnKnKnnnnnn

XbXb

XbXbYaYaYaYYY ~...~...

~~~...~~~~

2

2211221nε

No Método dos Mínimos Quadrados minimiza-se o quadrado do erro, afim de garantir que

os erros não sejam compensados, calcula-se, então o somatório P.

Equação 4 -26

∑=ε=

N

nnN

P1

21

Para que P seja um ponto de mínimo temos que satisfazer as seguintes equações

algébricas, cuja condição necessária é que a derivada de P em relação aos parâmetros seja

igual a zero:

Equação 4 -27 0

2121=

∂Ρ∂

==∂Ρ∂

=∂Ρ∂

=∂Ρ∂

==∂Ρ∂

=∂Ρ∂

Kk bbbaaa......

Resolvendo o sistema de equação acima encontramos os parâmetros desejados a1, az, ...,

ak; b1, bz, ..., bk que tornam o erro mínimo.

Exemplo: Identificação da ordem e dos parâmetros de um processo.

Considere um processo com a dinâmica pouco conhecida de modo que não temos uma boa

estimativa da ordem do processo.

Inicialmente, consideraremos um processo de 1ª ordem; então pela Equação 4-24:

Equação 4 -28 Y n = a 1 Y n – 1 + b 1 X n – 1

Usando o Método dos Mínimos Quadrados:

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Equação 4 -29

( )∑=

−− −−=N

nnnn XbYay

NP

1

21111

1 ~~~

Os valores ótimos para os parâmetros devem satisfazer a condição necessária para um

ponto mínimo:

Equação 4 -30

( )( ) 021

111111

1=−−−=

∂∂ ∑

=−−−

N

nnnnn yXbYay

NbP ~~~~.

Equação 4 -31

( )( ) 021

111111

1=−−−=

∂∂ ∑

=−−−

N

nnnnn XXbYay

NbP ~~~~.

Resolvendo a Equação 4-30 e a Equação 4-31 para a1 e b1, sendo a Tabela 4-1 dos valores

medidos para ( )1521nXY 1n1n ...,,,,~

,~

=−− chegaremos ao sistema de equações abaixo:

Equação 4 -32 ⎩⎨⎧

=+=+

1866.01947.00881.05541.00881.05884.0

11

11

baba

Onde a1 = 0.8562 e b1 = 0.5710. Calculando o valor do mínimo erro pela Equação 4-29

temos que P = 0.00161.

Este mesmo raciocínio desenvolvido para um sistema de 1ª ordem pode ser estendido para

sistemas de ordem superiores.

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Tabe la 4 -1 : Dados para Iden t i f i cação de Processos .

Instante de Amostragem n Variável Perturbação Xn Variável Resposta Yn

n < 0 0.00 0.000

0 1.00 0.000

1 0.60 0.500

2 0.30 0.900

3 0.10 0.910

4 0.00 0.866

5 0.00 0.732

6 0.00 0.612

7 0.00 0.519

8 0.00 0.430

9 0.00 0.361

10 0.00 0.302

11 0.00 0.253

12 0.00 0.212

13 0.00 0.178

14 0.00 0.149

15 0.00 0.125

Seguindo o mesmo processo para um sistema de 2ª ordem, o modelo postulado terá a

seguinte forma:

Equação 4 -33 22112211 −−−− +++= nnnnn XbXbYaYaY ...

Então, linearizando pelo Método dos Mínimos Quadrados e resolvendo as condições

necessárias:

Equação 4 -34

( )∑=

−−−− −−−−=N

nnnnnn XbXbYaYay

NP

1

222112211

1 ~~~~~

Equação 4 -35 0

2121=

∂Ρ∂

=∂Ρ∂

=∂Ρ∂

=∂Ρ∂

bbaa

Encontramos a1 = 0.6, az = 0.2, b1 = 0.5, b2 = 0.3; donde estes valores levam a um erro

mínimo com P = 0. Então podemos concluir que o modelo postulado de 2ª ordem descreve

exatamente a dinâmica do processo e o modelo que pode ser usado no projeto de

controladores é:

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Controle de Processos

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Equação 4 -36 2121 30502060 −−−− +++= nnnnn XXYYY ....

4 . 4 . S i s t e m a s d e O r d e m S u p e r i o r e s

Para os propósitos de controle de processos muitas vezes podemos aproximar a dinâmica

dos sistemas por um ou combinação das seguintes funções de transferências:

1ª ordem:

Equação 4 -37 ( )

1.1 +=

sKsG

P

P

τ

2ª ordem:

Equação 4 -38 ( )

1...2. 222 ++=

ssK

sG P

ζττ

Tempo Morto:

Equação 4 -39 ( ) sm

mesG .τ−=

Na Figura 4-10 observamos que um sistema de 5ª ordem é aproximado adequadamente por

um sistema de 1ª ordem mais tempo morto.

F igura 4 -10 : Aprox imação de um s is tema de 5 ª o rdem por uma função de t ransfe rên c ia de 1 ª o rdem mais tempo mor to .

Page 100: [Apostila] Controle de Processos - UFBA

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Controle de Processos

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4 . 5 . O b s e r v a ç õ e s e C o n c l u s õ e s s o b r e I d e n t i f i c a ç ã o d e P r o c e s s o s

Neste capítulo discutimos diversos métodos de identificação de processos, alguns bastantes

simples, que utilizam dados experimentais para ajustar os parâmetros de uma dada função

transferência.

Procedimentos mais complexas de identificação existem e continuam sendo estudos pois os

processos reais estão submetidos a condições que complicam e prejudicam a identificação, tais

como:

(1) É impossível impor a um sistema químico uma perturbação degrau perfeita, pois os

equipamentos dos processos não podem mudar de estado instantaneamente, portanto a

análise dos dados fica comprometida quando assumimos degrau ideal;

(2) Os processos não são de 1ª, 2ª ordem ou lineares, apenas processos demasiadamente

simples se aproximam desses modelos;

(3) Os dados monitorados estão sempre sujeitos a ruídos, seja devido ao processo, aos

instrumentos de medição ou a outros elementos do sistema de controle, este ruído prejudica a

análise pois não há como isolar este efeito dos dados levantados;

(4) Em processos reais é impossível evitar que outras perturbações, além da que esta sendo

monitorada, atuem simultaneamente sobre o mesmo;

(5) Processos reais são, na sua grande maioria, sistema de múltiplas variáveis não lineares

(MIMO-NL), requerendo modelos matemáticos complexos e/ou técnicas de identificação

sofisticadas para determinação do modelo dinâmico do processo.

Uma boa ferramenta auxiliar na caracterização da dinâmica de processos é o software

MATLAB, com sua extensão apropriada para identificação MATIDENT. Neste encontramos

algumas técnicas sofisticadas de identificação e uma ambiente computacional adequado para o

desenvolvimento das tarefas necessárias para a identificação da dinâmica de processos.

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INÍCIO

DEFINIÇÃO DOS OBJETIVOS

PLANEJAMENTO DO EXPERIMENTO

OK ?

COLETA DE DADOS

VALIDAÇÃO DOS DADOS COLETADOS

OK ?

ESCOLHA DO MÉTODO DE IDENTIFICAÇÃO

IDENTIFICAÇÃO DA FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA

VALIDAÇÃO DA FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA

OK ?

FIM

SIM

SIM

SIM

NÃO

NÃO

NÃO

F igura 4 -11 : E tapas para iden t i f i cação de p rocesso .

Page 102: [Apostila] Controle de Processos - UFBA

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Controle de Processos

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4 . 6 . E x e r c í c i o s

(1) Um processo responde a uma perturbação degrau conforme a Figura 4-12.

F igura 4 -12 : Grá f ico do exerc íc io (1 ) .

Pede-se

(a) Modelo matemático que melhor representa este processo. Identifique, se existir, os

seguintes parâmetros:

KP Ganho do processo

τP Constante de tempo do processo (para sistema de 1ª ordem)

τm Tempo morto do processo

τ Período natural de oscilação (para sistema de 2ª ordem)

ζ Fator de amortecimento

(b) Identifique a ordem do sistema e se o sistema é sub, criti ou superamortecido (se estes

conceitos forem aplicáveis).

(c) Trace no diagrama pólo-zero os pólos e zeros deste sistema.

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(2) Considere uma fornalha, mostrada na Figura 4-13, usada para aquecer o ar de

um regenerador de catalisador. O transmissor de temperatura está calibrado para uma faixa de

300 ~ 500ºF. A curva de reação deste sistema foi obtida para uma variação de + 5% (ou + 0.8

mA) na saída do controlador (neste teste o controlador foi posto em manual).

TT

Gáscombustível

TC

arvazão constante

TW

I/P

F igura 4 -13 : Forna lha .

Page 104: [Apostila] Controle de Processos - UFBA

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F igura 4 -14 : Curva de reação da fo rna lha para uma per tu rbação na sa ída do cont ro lador .

Pede-se para identificar a função de transferência que associa a saída do controlador com a

temperatura na saída do forno.

(3) Considere um secador, mostrado na Figura 4-17. A secagem dos grãos é devida

ao contrato direto das pelotas com os gases de combustão. A umidade dos grãos deve ser

controlada cuidadosamente pois, se secarem demais ocorrem muitas perdas, se ficarem muito

úmidos durante a armazenagem formam aglomerados não aproveitados.

A umidade dos grãos na entrada do secador esta em torno de 14% e na saída 3%. O

controle é realizado através da manipulação da velocidade de mesa de alimentação que

determina o tempo de residência dos grãos dentro do secador. O transmissor de umidade esta

calibrado para uma faixa de 1 a 6% de umidade. Um importante distúrbio neste processo é a

umidade dos grãos na alimentação. A Figura 4-15 foi obtida para uma variação de +1.0 mA na

saída do controlador (neste teste o controlador foi posto em manual). A Figura 4-16 mostra a

resposta do sistema em malha aberta quando ocorre uma variação de +2% na umidade da

corrente de alimentação.

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Controle de Processos

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F igura 4 -15 : Curva de reação para uma per t u rbação na sa ída do cont ro lador .

F igura 4 -16 : Curva de reação para uma per t u rbação na umidade da a l imentação

Pede-se para identificar as funções de transferência que associam a saída do controlador e

a umidade dos grãos na alimentação com a umidade dos grãos na saída do secador.

Page 106: [Apostila] Controle de Processos - UFBA

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F igura 4 -17 : Secador de g rãos .

(4) O resultado de uma perturbação degrau aplicada a um reator químico é

mostrado na Figura 4-18. Esses dados foram obtidos através do aumento súbito da vazão da

corrente do reagente puro, do seu valor normal de 2.72 para 2.95 kg-mols/min.

F igura 4 -18 : Curva de reação para uma per t u rbação na vazão da cor ren te de a l imentação .

Page 107: [Apostila] Controle de Processos - UFBA

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Encontram-se instalados os seguintes instrumentos:

(a) Uma válvula de controle, cuja vazão de descarga varia de 0 a 6.81 kg-mols/min de

reagente à medida que a pressão no diagrama varia de 1.02 a 0.20 atm. A válvula tem

constante de tempo de 20 segundos.

(b) Um dispositivo de medida de concentração, cuja saída elétrica varia de 0.15 a 2.0 mV, à

medida em que a fração molar do produto varia de 0.5 a 0.8 na corrente de saída, levando 12

min para processar cada amostra.

(c) Um transmissor que modifica sua saída de 4 a 20 mA à medida em que a entrada

elétrica varia de 0.05 a 3 mV.

(d) Um conversor que modifica sua saída de 0,2 a 1,2 (atm) à medida que a entrada varia de

4 a 20 mA.

Utilizando os instrumentos supracitados, desenvolva o fluxograma de controle deste

processo e identifique as funções de transferência entre o sinal pneumático da válvula de

controle de reagente (entrada) e a fração molar dos produtos na saída do reator (saída).

Page 108: [Apostila] Controle de Processos - UFBA

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Í N D I C E

CAPÍTULO 5. INSTRUMENTAÇÃO E VÁLVULAS DE CONTROLE 5-2

5.1. SELEÇÃO DE UM MEDIDOR DE VAZÃO 5-4 5.2. AUTOMAÇÃO INDUSTRIAL 5-8

Í N D I C E D E T A B E L A S Tabela 5-1: Guia de seleção de medidores de vazão. 5-2 Tabela 5-2: Etapas evolutivas dos sistemas de controle industriais. 5-7

Í N D I C E D E F I G U R A S Figura 5-1: Evolução dos Sistemas de Controle – Etapa I 5-5 Figura 5-2: Evolução dos Sistemas de Controle – Etapa II. 5-5 Figura 5-3: Evolução dos Sistemas de Controle – Etapa III. 5-5 Figura 5-4: Evolução dos Sistemas de Controle – Etapa IV. 5-6 Figura 5-5: Evolução dos Sistemas de Controle – Etapa V. 5-6 Figura 5-6: Evolução dos Sistemas de Controle – Etapa VI. 5-6 Figura 5-7: Evolução dos Sistemas de Controle – Etapa VII. 5-7

Page 109: [Apostila] Controle de Processos - UFBA

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C A P Í T U L O 5 . I N S T R U M E N T A Ç Ã O E V Á L V U L A S D E C O N T R O L E

A instrumentação industrial e um tema que por si só requer profissionais altamente

qualificados e especializados, principalmente para instrumentação analítica. Ao lado da teoria é

necessário um elevado conhecimento das normas utilizadas para dimensionar, aferir, calibrar,

montar e instalar os instrumentos.

O tema instrumentação industrial justifica um curso de graduação de 75 horas, no qual seria

abordado desde o projeto (dimensionamento) do instrumento até o conhecimento da

documentação necessária para compra e instalação do elemento primário de medição. Uma

boa referência sobre a documentação envolvida em projetos de sistemas de controle é a

monografia elaborada por Caiuby Alves da Costa: O Projeto de Controle e Instrumentação para

Processos Industriais.

A experiência e conhecimento prático também são fatores chaves para a formação de um

engenheiro de instrumentação com elevada qualificação técnica.

Embora formalmente não exista o curso de engenheiro de instrumentação, pode-se definir

claramente esta categoria entre as várias modalidades de engenharias. Nesta área atuam

engenheiros (de todas as formações), físicos, químicos, matemáticos, etc.

As referências citadas no início desta publicação cita as principais fontes de consulta para o

projeto, dimensionamento, instalação, calibração e aferição de instrumentos.

Medidores de canal aberto - A expressão "canal aberto" refere-se a qualquer elemento

condutor no qual o líquido flui com superfície areada. Dentro dos métodos mais comuns para

obter-se a vazão encontra-se o de profundidade. Existem diferentes desenhos de canais. O

método mais moderno de medição de altura é o ultra-sônico.

Na Tabela 5-1 estão as principais características dos instrumentos de medição de vazão:

Tabe la 5 -1 : Gu ia de se leção de med idores de vazão .

Page 110: [Apostila] Controle de Processos - UFBA

Página 5-3 de 8

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Elementos de

Medição

Serviço recomendado

Rangea-bilidade

Perda de carga

Incerteza normal %

Trecho reto recomendado

Efeito de viscosidade

Orifício Fluidos limpos e com sol; alguns efluentes, vapor

4:1 Média + 2a +4F.E. 10 e 30 D Alto

Wedge Efluentes e fluidos viscosos 3:1 Baixa e

Média + 0.5a

+ 2F.E. 10 e 30 D Baixa

Tubo Ventum

Fluidos limpos com sólidos e viscosos e

alguns efluentes 4:1 Baixa + 1FE 5 e 20 D Alta

Bocal de fluxo

Fluidos limpos e com sólidos 4:1 Média

+ 1a + 2F.E.

10 e 30 D Alta

Tubo Pitor Líquidos limpos 3:1 Muito baixa

+ 3a +5F.E.

20 e 30 D Baixa

Elbow Meter

Líquidos limpos com sólidos e alguns

efluentes. 3:1 Muito

baixa + 5a

+ 10F.E. 30 D Baixa

Target Líquido limpos com sólidos viscosos e alguns efluentes

10:1 Média + 1a +5F.E. 10 e 30 D Média

Área variável

Líquidos limpos com sólidos viscosos 10:1 Média + 1a

+10F.E. Nenhum Média

Desloca-mento

Positivo

Líquidos limpos e viscosos 10:1 Alta + 0.5 de

vazão Nenhum Alto

Turbinas Fluidos limpos e viscosos 20:1 Média

+ 0.5%F.E.

para líquido +

1.0% F.E. para gases

5 e 10 D Alto

Nortex Fluidos limpos e viscosos 10:1 Média + 1 de

vazão 10 e 20 D Médio

Eletro-magnético

Líquidos condutivos limpos com sólidos

e efluentes ind. 30:1 Nenhum + 1.0 5 D Nenhum

Ultra-sônico

(doppler)

Líquido com sólidos viscosos e efluentes 10:1 Nenhum + 5F.E. 5 e 30 D Nenhum

Ultra-sônico

(tempo de viagem)

Líquidos limpos e viscosos 20:1 Nenhum + 1a

+5F.E. 5 e 30 D Nenhum

Mássico (Coriolis)

Limpos, com sólidos viscosos, alguns

efluentes 10:1 Baixa + 0.4 de

vazão Nenhum Nenhum

Mássico Limpos, com sólidos 10:1 Baixa + 1F.E. Nenhum Nenhum

Page 111: [Apostila] Controle de Processos - UFBA

Página 5-4 de 8

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Elementos de

Medição

Serviço recomendado

Rangea-bilidade

Perda de carga

Incerteza normal %

Trecho reto recomendado

Efeito de viscosidade

(térmico) viscosos, alguns efluentes

Weir (V-Notch)

Líquidos limpos e com sólidos 100:1 Muito

baixa + 2a

+5F.E. Nenhum Muito Baixo

Calha (Parshall)

Líquidos limpos e com sólidos 50:1 Muito

baixa + 2a

+10F.E. Nenhum Muito Baixo

Nota: Os valores da incerteza indicados são médios, podendo haver variações em função de

fabricantes e/ou inovações tecnológicas.

5 . 1 . S e l e ç ã o d e u m M e d i d o r d e V a z ã o

O primeiro e mais importante passo é saber exatamente o que o instrumento deverá fazer.

Por exemplo: se a medição é para controle de processo ou para compra e venda. Que tipo de

sinal é requerido (proporcional ou fechamento de contato), ou apenas leitura local. Se o

produto a ser medido é viscoso, limpo ou sujo, eletricamente condutivo etc.

Levantados os dados, devemos avaliar os seguintes pontos, contra as características de

performance de cada tipo de medidor para selecionarmos a melhor opção:

a) Checar os tipos que têm condições de suportar as condições de operação: pressão, temperatura, corrosão, classificação da área. b) Verificar quais atendem aos requisitos de exatidão nas condições de processo. c) Verificar o (custo de aquisição + instalação) versus orçamento. d) Avaliar os requisitos de faturas manutenções: freqüência, custos, durabilidade, recalibrações. e) Perda de carga causada pelo medidor e nível de pulsação ou turbulência que possa causar. f) Adaptabilidade para futuras necessidades e facilidade de interfaceamento com o equipamento existente.

Page 112: [Apostila] Controle de Processos - UFBA

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PLANTA OPERADORSINALANALÓGICO

CAMPO

F igura 5 -1 : E vo lução dos S is temas de Cont ro le – E tapa I

CONTROLADORANALÓGICO 2

PLANTA SINALPNEUMATICO

CAMPO

CONTROLADORANALÓGICO 1

F igura 5 -2 : E vo lução dos S is temas de Cont ro le – E tapa I I .

CONTROLADORANALÓGICO 2

PLANTA SINALPNEUMATICO

CAMPO

CONTROLADORANALÓGICO 1

SALA DECONTROLE

F igura 5 -3 : Evo lução dos S is temas de Cont ro le – E tapa I I I .

Page 113: [Apostila] Controle de Processos - UFBA

Página 5-6 de 8

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CONTROLADORANALÓGICO 2

PLANTA SINALELETRICO

CAMPO

CONTROLADORANALÓGICO 1

SALA DECONTROLE

CONVERSOR

I\P

F igura 5 -4 : E vo lução dos S is temas de Cont ro le – E tapa IV .

PLANTA SINALELETRICO

CAMPO

COMPUTADORCENTRAL

(DDC)

SALA DECONTROLE

CONVERSOR

I\P

CONVERSOR

I/D

F igura 5 -5 : E vo lução dos S is temas de Cont ro le – E tapa V .

PLANTASINAL

ELETRICO

CAMPOSALA DE

CONTROLE

CONVERSOR

I\P

CONVERSOR

I\D

CONTROLADORDIGITAL 2

CONTROLADORDIGITAL 1

F igura 5 -6 : E vo lução dos S is temas de Cont ro le – E tapa V I .

Page 114: [Apostila] Controle de Processos - UFBA

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PLANTA

CAMPO SALA DECONTROLE

MULTIPLEXADOR

Controladordigital 1

ESTAÇÃO DEOPERAÇÃO E/OUCOMPUTADOR DE

PROCESSOControlador

digital 2

REDEFIELDBUS

F igura 5 -7 : E vo lução dos S is temas de Cont ro le – E tapa V I I .

Tabe la 5 -2 : E tapas e vo lu t i vas dos s is temas de cont ro le indust r ia is .

Etapa Controle Funções

geograficamente

Controladores geograficame

nte Tipo de sinal Observação

I Manual Distribuídas Não existiam Analógico-pneumático

Indicadores locais

II Automático Distribuídas Distribuídos Analógico-pneumático

Controladores de campo

III Automático Distribuídas Concentrados Analógico-pneumático

Sala de controle

IV Automático Distribuídas Concentrados Analógico – elétrico

Sala de controle

V Automático Concentradas ConcentradosAnalógico-

digital-analógico

DDC (controle digital direto)

VI Automático Distribuídas ConcentradosAnalógico-

digital-analógico

SDCD sem field bus

VII Automático Distribuídas Distribuídos Basicamente-digital

SDCD com field bus

Page 115: [Apostila] Controle de Processos - UFBA

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5 . 2 . A u t o m a ç ã o I n d u s t r i a l

Multidisciplinar:

(1) Engenharia de processos (engenheiro químico, mecânico, eletricista, sanitarista, de minas, etc.)

(2) Controle de processos (3) Engenharia de software * (4) Simulação e otimização de processos (5) Engenharia de “hardware” * (6) Instrumentação industrial (7) Inteligência artificial * (8) Informática * (9) Redes industriais *

* Intervenção dos profissionais de processamento de dados.

Page 116: [Apostila] Controle de Processos - UFBA

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Í N D I C E

CAPÍTULO 5. INSTRUMENTAÇÃO E VÁLVULAS DE CONTROLE 5-2

5.1. SELEÇÃO DE UM MEDIDOR DE VAZÃO 5-4 5.2. AUTOMAÇÃO INDUSTRIAL 5-8

Í N D I C E D E T A B E L A S Tabela 5-1: Guia de seleção de medidores de vazão. 5-2 Tabela 5-2: Etapas evolutivas dos sistemas de controle industriais. 5-7

Í N D I C E D E F I G U R A S Figura 5-1: Evolução dos Sistemas de Controle – Etapa I 5-5 Figura 5-2: Evolução dos Sistemas de Controle – Etapa II. 5-5 Figura 5-3: Evolução dos Sistemas de Controle – Etapa III. 5-5 Figura 5-4: Evolução dos Sistemas de Controle – Etapa IV. 5-6 Figura 5-5: Evolução dos Sistemas de Controle – Etapa V. 5-6 Figura 5-6: Evolução dos Sistemas de Controle – Etapa VI. 5-6 Figura 5-7: Evolução dos Sistemas de Controle – Etapa VII. 5-7

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C A P Í T U L O 5 . I N S T R U M E N T A Ç Ã O E V Á L V U L A S D E C O N T R O L E

A instrumentação industrial e um tema que por si só requer profissionais altamente

qualificados e especializados, principalmente para instrumentação analítica. Ao lado da teoria é

necessário um elevado conhecimento das normas utilizadas para dimensionar, aferir, calibrar,

montar e instalar os instrumentos.

O tema instrumentação industrial justifica um curso de graduação de 75 horas, no qual seria

abordado desde o projeto (dimensionamento) do instrumento até o conhecimento da

documentação necessária para compra e instalação do elemento primário de medição. Uma

boa referência sobre a documentação envolvida em projetos de sistemas de controle é a

monografia elaborada por Caiuby Alves da Costa: O Projeto de Controle e Instrumentação para

Processos Industriais.

A experiência e conhecimento prático também são fatores chaves para a formação de um

engenheiro de instrumentação com elevada qualificação técnica.

Embora formalmente não exista o curso de engenheiro de instrumentação, pode-se definir

claramente esta categoria entre as várias modalidades de engenharias. Nesta área atuam

engenheiros (de todas as formações), físicos, químicos, matemáticos, etc.

As referências citadas no início desta publicação cita as principais fontes de consulta para o

projeto, dimensionamento, instalação, calibração e aferição de instrumentos.

Medidores de canal aberto - A expressão "canal aberto" refere-se a qualquer elemento

condutor no qual o líquido flui com superfície areada. Dentro dos métodos mais comuns para

obter-se a vazão encontra-se o de profundidade. Existem diferentes desenhos de canais. O

método mais moderno de medição de altura é o ultra-sônico.

Na Tabela 5-1 estão as principais características dos instrumentos de medição de vazão:

Tabe la 5 -1 : Gu ia de se leção de med idores de vazão .

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Elementos de

Medição

Serviço recomendado

Rangea-bilidade

Perda de carga

Incerteza normal %

Trecho reto recomendado

Efeito de viscosidade

Orifício Fluidos limpos e com sol; alguns efluentes, vapor

4:1 Média + 2a +4F.E. 10 e 30 D Alto

Wedge Efluentes e fluidos viscosos 3:1 Baixa e

Média + 0.5a

+ 2F.E. 10 e 30 D Baixa

Tubo Ventum

Fluidos limpos com sólidos e viscosos e

alguns efluentes 4:1 Baixa + 1FE 5 e 20 D Alta

Bocal de fluxo

Fluidos limpos e com sólidos 4:1 Média

+ 1a + 2F.E.

10 e 30 D Alta

Tubo Pitor Líquidos limpos 3:1 Muito baixa

+ 3a +5F.E.

20 e 30 D Baixa

Elbow Meter

Líquidos limpos com sólidos e alguns

efluentes. 3:1 Muito

baixa + 5a

+ 10F.E. 30 D Baixa

Target Líquido limpos com sólidos viscosos e alguns efluentes

10:1 Média + 1a +5F.E. 10 e 30 D Média

Área variável

Líquidos limpos com sólidos viscosos 10:1 Média + 1a

+10F.E. Nenhum Média

Desloca-mento

Positivo

Líquidos limpos e viscosos 10:1 Alta + 0.5 de

vazão Nenhum Alto

Turbinas Fluidos limpos e viscosos 20:1 Média

+ 0.5%F.E.

para líquido +

1.0% F.E. para gases

5 e 10 D Alto

Nortex Fluidos limpos e viscosos 10:1 Média + 1 de

vazão 10 e 20 D Médio

Eletro-magnético

Líquidos condutivos limpos com sólidos

e efluentes ind. 30:1 Nenhum + 1.0 5 D Nenhum

Ultra-sônico

(doppler)

Líquido com sólidos viscosos e efluentes 10:1 Nenhum + 5F.E. 5 e 30 D Nenhum

Ultra-sônico

(tempo de viagem)

Líquidos limpos e viscosos 20:1 Nenhum + 1a

+5F.E. 5 e 30 D Nenhum

Mássico (Coriolis)

Limpos, com sólidos viscosos, alguns

efluentes 10:1 Baixa + 0.4 de

vazão Nenhum Nenhum

Mássico Limpos, com sólidos 10:1 Baixa + 1F.E. Nenhum Nenhum

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Elementos de

Medição

Serviço recomendado

Rangea-bilidade

Perda de carga

Incerteza normal %

Trecho reto recomendado

Efeito de viscosidade

(térmico) viscosos, alguns efluentes

Weir (V-Notch)

Líquidos limpos e com sólidos 100:1 Muito

baixa + 2a

+5F.E. Nenhum Muito Baixo

Calha (Parshall)

Líquidos limpos e com sólidos 50:1 Muito

baixa + 2a

+10F.E. Nenhum Muito Baixo

Nota: Os valores da incerteza indicados são médios, podendo haver variações em função de

fabricantes e/ou inovações tecnológicas.

5 . 1 . S e l e ç ã o d e u m M e d i d o r d e V a z ã o

O primeiro e mais importante passo é saber exatamente o que o instrumento deverá fazer.

Por exemplo: se a medição é para controle de processo ou para compra e venda. Que tipo de

sinal é requerido (proporcional ou fechamento de contato), ou apenas leitura local. Se o

produto a ser medido é viscoso, limpo ou sujo, eletricamente condutivo etc.

Levantados os dados, devemos avaliar os seguintes pontos, contra as características de

performance de cada tipo de medidor para selecionarmos a melhor opção:

a) Checar os tipos que têm condições de suportar as condições de operação: pressão, temperatura, corrosão, classificação da área. b) Verificar quais atendem aos requisitos de exatidão nas condições de processo. c) Verificar o (custo de aquisição + instalação) versus orçamento. d) Avaliar os requisitos de faturas manutenções: freqüência, custos, durabilidade, recalibrações. e) Perda de carga causada pelo medidor e nível de pulsação ou turbulência que possa causar. f) Adaptabilidade para futuras necessidades e facilidade de interfaceamento com o equipamento existente.

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PLANTA OPERADORSINALANALÓGICO

CAMPO

F igura 5 -1 : E vo lução dos S is temas de Cont ro le – E tapa I

CONTROLADORANALÓGICO 2

PLANTA SINALPNEUMATICO

CAMPO

CONTROLADORANALÓGICO 1

F igura 5 -2 : E vo lução dos S is temas de Cont ro le – E tapa I I .

CONTROLADORANALÓGICO 2

PLANTA SINALPNEUMATICO

CAMPO

CONTROLADORANALÓGICO 1

SALA DECONTROLE

F igura 5 -3 : Evo lução dos S is temas de Cont ro le – E tapa I I I .

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CONTROLADORANALÓGICO 2

PLANTA SINALELETRICO

CAMPO

CONTROLADORANALÓGICO 1

SALA DECONTROLE

CONVERSOR

I\P

F igura 5 -4 : E vo lução dos S is temas de Cont ro le – E tapa IV .

PLANTA SINALELETRICO

CAMPO

COMPUTADORCENTRAL

(DDC)

SALA DECONTROLE

CONVERSOR

I\P

CONVERSOR

I/D

F igura 5 -5 : E vo lução dos S is temas de Cont ro le – E tapa V .

PLANTASINAL

ELETRICO

CAMPOSALA DE

CONTROLE

CONVERSOR

I\P

CONVERSOR

I\D

CONTROLADORDIGITAL 2

CONTROLADORDIGITAL 1

F igura 5 -6 : E vo lução dos S is temas de Cont ro le – E tapa V I .

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PLANTA

CAMPO SALA DECONTROLE

MULTIPLEXADOR

Controladordigital 1

ESTAÇÃO DEOPERAÇÃO E/OUCOMPUTADOR DE

PROCESSOControlador

digital 2

REDEFIELDBUS

F igura 5 -7 : E vo lução dos S is temas de Cont ro le – E tapa V I I .

Tabe la 5 -2 : E tapas e vo lu t i vas dos s is temas de cont ro le indust r ia is .

Etapa Controle Funções

geograficamente

Controladores geograficame

nte Tipo de sinal Observação

I Manual Distribuídas Não existiam Analógico-pneumático

Indicadores locais

II Automático Distribuídas Distribuídos Analógico-pneumático

Controladores de campo

III Automático Distribuídas Concentrados Analógico-pneumático

Sala de controle

IV Automático Distribuídas Concentrados Analógico – elétrico

Sala de controle

V Automático Concentradas ConcentradosAnalógico-

digital-analógico

DDC (controle digital direto)

VI Automático Distribuídas ConcentradosAnalógico-

digital-analógico

SDCD sem field bus

VII Automático Distribuídas Distribuídos Basicamente-digital

SDCD com field bus

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5 . 2 . A u t o m a ç ã o I n d u s t r i a l

Multidisciplinar:

(1) Engenharia de processos (engenheiro químico, mecânico, eletricista, sanitarista, de minas, etc.)

(2) Controle de processos (3) Engenharia de software * (4) Simulação e otimização de processos (5) Engenharia de “hardware” * (6) Instrumentação industrial (7) Inteligência artificial * (8) Informática * (9) Redes industriais *

* Intervenção dos profissionais de processamento de dados.

Page 124: [Apostila] Controle de Processos - UFBA

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Í N D I C E

CAPÍTULO 6. SISTEMAS LINEARES EM MALHAS FECHADAS 6-6

6.1. DEFINIÇÕES 6-7

6.2. EXEMPLO DE UM SISTEMA DE CONTROLE: TANQUE DE AQUECIMENTO 6-9

6.3. TERMINOLOGIA 6-9

6.4. DIAGRAMA DE BLOCOS 6-10

6.5. FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA EM MALHA FECHADA 6-17

6.6. ÁLGEBRA DE DIAGRAMA LINEAR DE BLOCOS 6-19

6.7. FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA DE VÁLVULAS DE CONTROLE 6-21

6.8. FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA DE CONTROLADORES IDEAIS 6-22

6.9. FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA DE CONTROLADORES INDUSTRIAIS 6-24

6.10. COMPORTAMENTO DINÂMICO DE PROCESSOS COM SISTEMA CONTROLE FEEDBACK 6-31

6.11. AÇÃO DIRETA E AÇÃO REVERSA DO CONTROLADOR 6-42

6.12. PROJETO DE SISTEMAS DE CONTROLE FEEDBACK 6-46

6.13. MÉTODO DE SINTONIA RECOMENDADO: MÉTODO IMC OU MÉTODO Λ 6-57

6.14. EXERCÍCIOS 6-60

Page 126: [Apostila] Controle de Processos - UFBA

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Í N D I C E D E T A B E L A S Tabela 6-1: Operações com diagramas de bloco. 6-20

Tabela 6-2: Ação Direta do Controlador. 6-42

Tabela 6-3: Ação Reversa do Controlador. 6-43

Tabela 6-4: Características dinâmicas de variáveis de processo. 6-54

Tabela 6-5: Critério de Sintonia de Cohen & Coon. 6-55

Tabela 6-6: Critério de Sintonia de controladores pelo método λ-L. Método recomendado. 6-58

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Í N D I C E D E F I G U R A S Figura 6-1: Divisão do controle de processo. 6-7

Figura 6-2: Partes de um sistema 01. 6-8

Figura 6-3: Partes de um sistema 02. 6-8

Figura 6-4: Tanque de aquecimento. 6-9

Figura 6-5: Diagrama de blocos. 6-10

Figura 6-6: Tanque com aquecimento 02. 6-11

Figura 6-7: Diagrama de bloco do processo 01. 6-14

Figura 6-8: Diagrama de bloco do processo 02. 6-14

Figura 6-9: Diagrama de bloco do processo 03. 6-15

Figura 6-10: Diagrama de bloco do elemento primário de medição. 6-15

Figura 6-11: Diagrama de bloco do transmissor. 6-15

Figura 6-12: Diagrama de bloco do controlador proporcional. 6-16

Figura 6-13: Diagrama de bloco do conversor I/P. 6-16

Figura 6-14: Diagrama de bloco da válvula de controle. 6-16

Figura 6-15: Diagrama de blocos completo para o sistema de controle. 6-17

Figura 6-16: Mecanismo do controlador. 6-17

Figura 6-17: Diagrama de bloco para servomecanismo. 6-18

Figura 6-18: Diagrama de bloco para sistemas reguladores. 6-18

Figura 6-19: Redução de diagrama de blocos: (a) Diagrama original; (b) Primeira redução; (c) Diagrama

final com bloco único. 6-21

Figura 6-20: Diagrama de bloco da válvula de controle. 6-22

Figura 6-21: Mecanismo do controlador feedback. 6-31

Figura 6-22: Resposta em malha fechada de um sistema de 1ª ordem com controlador proporcional: (a)

perturbação no set point; (b) perturbação na carga. 6-33

Figura 6-23: Efeito do ganho do controlador na resposta de um sistema de 2ª ordem com controlador

proporcional. 6-35

Figura 6-24: Efeito do controlador na resposta de um sistema de 2ª ordem com apenas ação integral.

6-36

Page 128: [Apostila] Controle de Processos - UFBA

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Figura 6-25: Efeitos do controlador PID (Sistema regulador e perturbação em degrau). 6-39

Figura 6-26: Tanque com vazão de saída constante. 6-39

Figura 6-27: Diagrama de bloco para tanque com vazão de descarga constante. 6-40

Figura 6-28: Ação do controlador de temperatura de aquecedores de correntes através da manipulação da

vazão de vapor para o trocador. 6-44

Figura 6-29: Ação do controlador de temperatura de reatores (reação exotérmica) através da manipulação da

vazão de fluido refrigerante. 6-45

Figura 6-30: Controle de vazão de uma corrente cujo elemento final de controle seja uma válvula NA.

6-45

Figura 6-31: Tanque de aquecimento com agitação. 6-48

Figura 6-32: Sistema de controle para um tanque de aquecimento com agitação. 6-49

Figura 6-33: Processo com multiplicidade de estados estacionários. 6-50

Figura 6-34: Tanques não interativos em série. 6-61

Figura 6-35: Tanque de aquecimento com agitação. 6-62

Figura 6-36: Tanque não interativos com aquecimento. 6-63

Figura 6-37: Tanque pulmão. 6-64

Figura 6-38: Diagrama de blocos a. 6-65

Figura 6-39: Diagrama de blocos b. 6-65

Figura 6-40: Tanques em séries com controle de nível. 6-66

Figura 6-41: Tanques em série com aquecimento. 6-67

Figura 6-42: Tanque de aquecimento com agitação. 6-69

Figura 6-43: Diagrama de blocos exercício (11). 6-70

Figura 6-44: Tanque de mistura. 6-71

Figura 6-45: Diagrama de blocos para sistema de controle feedforward. 6-71

Figura 6-46: Diagrama de blocos para exercício (14). 6-72

Page 129: [Apostila] Controle de Processos - UFBA

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C A P Í T U L O 6 . S I S T E M A S L I N E A R E S E M M A L H A S F E C H A D A S

Processos físicos e/ou químicos estão sujeitos a influências as mais diversas e

imprevisíveis.

Ex.: Reator químico

Mudança da composição da alimentação

Desativação do catalisador

Lote de catalisador diferente

Ex.: Torre de destilação

Mudança da vazão, temperatura ou composição da alimentação

Controle de processos visa:

Produtos mais uniformes;

Aumento da qualidade dos produtos;

Aumento da segurança para equipamentos e pessoas;

Diminuição do consumo de energia;

Aumento do lucro.

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CONTROLE DE PROCESSO

MANUAL AUTOMÁTICO

PROCESSO SIMPLES PROCESSOS MUITO RÁPIDOS OU COMPLEXOSREGIÕES REMOTAS

OPERAÇÕES PERIGOSASOPERAÇÕES ROTINEIRAS

MAIS EFICIENTEMAIOR INVESTIMENTO INICIAL

MAIOR TAXA DE RETORNO

Figura 6-1: Divisão do controle de processo.

6 . 1 . D e f i n i ç õ e s

Sistema:

“Qualquer conjunto de unidades, entre as quais existem relações”

Um sistema é constituído de partes que formam um todo complexo, mas

organizado e que se inter-relacionam de tal maneira que o todo adquire características

próprias, diferente da simples soma das características de suas partes.

Exemplos:

Sistema do mundo físico:

Sistema solar

Sistema do mundo social:

Sistema político de um país

Sistema de trânsito de uma cidade

Sistemas do mundo tecnológico:

Sistema de computação eletrônica

Page 131: [Apostila] Controle de Processos - UFBA

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Sistema de produção de amônia

Sistema de controle de processos

Partes de um sistema:

1. Entrada ou “input”: aporte do meio externo para o sistema

2. Processo: série de operações ou transformações efetuadas no interior do sistema sobre as entradas.

3. Saída ou “output”: resultado da ação do sistema sobre as entradas, é o aporte do processo para o meio.

PROCESSOENTRADAESTÍMULO

"INPUT

SAÍDARESPOSTA"OUTPUT"

Figura 6-2: Partes de um sistema 01.

SUBSISTEMA 1

SISTEMA(META OU SUPRASISTEMA)

SUBSISTEMA 3SUBSISTEMA 2

Figura 6-3: Partes de um sistema 02.

Sistema de controle: “Disposição de componentes físicos, conectados ou relacionados de

maneira a comandar, dirigir ou regular a si mesmos ou a outros sistemas.”

Feedforward: A ação de controle é independente da saída (controle antecipatório)

Feedback: A ação de controle depende, de algum modo, da saída (realimentação)

Page 132: [Apostila] Controle de Processos - UFBA

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R i c a r d o d e A r a ú j o K a l i d – k a l i d @ u f b a . b r

⎪⎩

⎪⎨

⎧→

⎪⎪⎪⎪⎪

⎪⎪⎪⎪⎪

RIOANTECIPATÓ

ÇÃOREALIMENTA

ENTODESACOPLAMODISTRIBUÍD DIGITAL

DIRETO DIGITALIOSUPERVISÓR

ADAPTATIVORELAÇÃO

:CASCATA

CONTROLE DE SISTEMAS DE TIPOS

6 . 2 . E x e m p l o d e u m S i s t e m a d e C o n t r o l e : T a n q u e d e A q u e c i m e n t o

Procedimento possível:

1. Medir a variável a ser controlada (T);

2. Comparar t com o valor desejado (TSP);

3. Ligar ou desligar o aquecedor a depender da diferença TSP(t) – T(t).

T2(t), w2(t)

T1(t), w1(t)

vapor

condensadowst(t)TC

TT

Figura 6-4: Tanque de aquecimento.

6 . 3 . T e r m i n o l o g i a

Variável Controlada (VC ou PV): Variável a ser mantida no valor de

referência, por exemplo: temperatura T(t)

Page 133: [Apostila] Controle de Processos - UFBA

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Variável Manipulada (VM): Variável que recebe a ação do controlador,

variável que se modifica pela ação do elemento final de controle, ex.: vazão de vapor wst(t)

Distúrbio Externo (DE): Variável que interfere na variável controlada, ex.:

vazão w1(t) ou temperatura T1(t) da água fria ou vazão da água aquecida w2(t) – demanda do

processo ou vazão de vapor wst(t).

Variável Medida: Variável que é medida e serve como fonte de

informação para malha de controle, ex.: temperatura dentro ou na saída do tanque.

Elemento Final de Controle: Dispositivo físico que executa a ação de controle,

ex.: válvula de controle ou resistência elétrica.

Elemento Primário de Medição: Dispositivo físico que mensura as variáveis de

processo.

6 . 4 . D i a g r a m a d e B l o c o s

Apresenta visão global das relações entre as variáveis;

O sentido do fluxo de informações;

Função de cada uma das partes.

Diagrama de blocos:

( )sTSP

( )sTm

( )sT1

( )sT

( )sT

Figura 6-5: Diagrama de blocos.

Convenções:

Segmentos de reta: Representam sinais, que podem ser fluxos de informações, de

massa ou de energia.

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Junção circular: Soma algébrica dos sinais afluentes à junção (+ ou -).

A A + B

B

Ponto de ramificação: Reta que se ramifica em outra: divisão de um sinal em mais de um

canal sem sofrer modificação.

A

A

A

Retângulos: Representam uma modificação dos sinais efluentes e são usados

para simbolizar os elementos do sistema. Normalmente contêm as notações que descrevem as

características dinâmicas do sistema: Equações Diferenciais, Funções de Transferência, etc.

PROCESSOA B

√ Exemplo: Diagrama de blocos do tanque de aquecimento com agitação.

T2(t), w2(t)

T1(t), w1(t)

vapor

condensado

wst(t)Pst(t)TV

TE

OUT*(t)

TTT*m(t)

TCOUT(t)

h(t)

Figura 6-6: Tanque com aquecimento 02.

Variável controlada: T(t)

Distúrbios: w1(t), w2(t), wst(t), Pst(t), TSP(t), T1(t)

Page 135: [Apostila] Controle de Processos - UFBA

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Variável manipulada: wst(t)

Variável medida: Tm(t)

Hipóteses:

H01. w1(t) = w2 = constante

H02. Pst(t) = Pst = constante

Modelo para o processo

Balanço de Energia:

Equação 6-1 ( )[ ] ( ) ( ) ( )twtttdtd

stPPP ... 211 Κ+ΤΚ=Τ+Ττ

Onde,

Equação 6-2 s

qV

P ][==τ

Equação 6-3 Kg

sCCq

H

p

gf

P.][

..2

ο

ρ==Κ

Equação 6-4 lP aadimension][11 ==Κ

Modelo para o Elemento Primário de Medição

Equação 6-5 ( )[ ] ( ) ( )ttt

dtd

TEmmTE ΤΚ=Τ+Ττ .. **

Equação 6-6 s

AUCm

GTE ][

..

==τ

Onde,

T*m tem unidades do instrumento de medição, por exemplo, para termopar [ = ] mV

τTE é a constante de tempo do termopoço

Page 136: [Apostila] Controle de Processos - UFBA

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Equação 6-7 processodevariáveldarange

mediçãodeoinstrumentdorangeTE =Κ

Vamos assumir que a variável de processo T(t) esta compreendida no intervalo entre 50ºC e

150ºC, e que o termopar é do tipo T com a voltagem gerada, para este intervalo de

temperatura, entre 1.752 mV e 1.518 mV. Então:

Equação 6-8 CmV

CCmVmV

TE οοο 00234.050150518.1752.1

=−−

Modelo para o Transmissor

Equação 6-9 ( ) ( )( ) mAtt minmTTm 4+Τ−ΤΚ=Τ **.

Onde,

T*min = 1.518mV ; Tm(t) [ = ] mA ; e

( )( ) mV

mAmVmV

mAmATT 3761.63

518.1752.1420

=−−

Modelo para o Controlador

Por exemplo para controlador modo proporcional:

Equação 6-10 (t))T - (t).(TK BIAS OUT(t) mSPC+=

ou

Equação 6-11 (T) .EK BIAS OUT(t) C+=

Utilizando variáveis desvio:

Equação 6-12 (T).K(t)OUT c E=

Onde,

Equação 6-13 ( ) ( ) ( ) errottTT mSP −Τ−=E

Modelo para o Conversor I/P

Por exemplo assumindo válvula linear com atraso de 1ª ordem:

Equação 6-14 ( ) ( )( ) psigmAtOUTtOUT TY 34* +−Κ=

Page 137: [Apostila] Controle de Processos - UFBA

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Onde,

OUT*(t) [ = ] psig

Equação 6-15

( )( ) mA

psigmAmApsigpsig

TY 75.0420315

=−−

Modelo para Válvula de Controle

Por exemplo assumindo válvula linear com atraso de 1ª ordem:

Equação 6-16 ( )[ ] ( ) ( )TOUTtWtW

dtd

VststV*.. Κ=+τ

Onde, KV [ = ] kg/h / psig

Da Equação 6-8 a Equação 6-16 representam o sistema utilizado a abordagem por

equações de estado (equações fenomenológicas). Para fins de controle de processos uma

forma muito conveniente de representar o comportamento dinâmico de processos é através de

modelos de entrada/saída, isto é, utilizando funções de transferência. A seguir, vemos a

representação das funções de transferência e do diagrama de blocos da Equação 6-8 a

Equação 6-16.

Função de transferência e diagrama de blocos para o processo

Equação 6-17 ( ) ( )

( ) 1.1

11 +

Κ==

ssTsTsG

P

PP τ

( )sT1 ( )sT( )sGP1

Figura 6-7: Diagrama de bloco do processo 01.

Equação 6-18 ( ) ( )

( ) 1.2

2 +Κ

==ssW

sTsGP

P

stP τ

( )swst ( )sT( )sGP2

Figura 6-8: Diagrama de bloco do processo 02.

Page 138: [Apostila] Controle de Processos - UFBA

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Equação 6-19 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )sGsWsGsTsT PstP 211 .. +=

( )swst ( )sT( )sGP2

( )sT1

( )sGP1

Σ

Figura 6-9: Diagrama de bloco do processo 03.

Função de transferência e diagrama de blocos para o elemento primário de

medição

Equação 6-20 ( )

( ) 1.

*

==ssT

TsGTE

TEmTE τ

GTE(s)( )sT m*( )sT

Figura 6-10: Diagrama de bloco do elemento primário de medição.

Função de transferência e diagrama de blocos para o transmissor

Equação 6-21 ( ) ( )

( ) TTm

mTT

sT

sTsG Κ== *

( )sTm( )sGTT

( )sT m*

Figura 6-11: Diagrama de bloco do transmissor.

Função de transferência e diagrama de blocos para controlador proporcional

Page 139: [Apostila] Controle de Processos - UFBA

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Equação 6-22 ( ) ( )

( )( )

( ) ( ) CmSP

C sssOUT

ssOUTsG Κ=

Τ−Τ==

E

( )sOUT *( )sGC

( )sE( )sTSPΣ

( )sT m*

Figura 6-12: Diagrama de bloco do controlador proporcional.

Função de transferência e diagrama de blocos para o conversor I/P

Equação 6-23 ( ) ( )

( ) CTY sOUTsOUTsG Κ==

*

( )sTUO *( )sGTY( )sTUO

Figura 6-13: Diagrama de bloco do conversor I/P.

Função de transferência e diagrama de blocos para a válvula de controle

Equação 6-24 ( ) ( )

( ) 1.* +Κ

==ssOUT

sWsGV

VstV τ

( )sTUO *( )sGV

( )sWst

Figura 6-14: Diagrama de bloco da válvula de controle.

Diagrama de blocos para o sistema de controle

Page 140: [Apostila] Controle de Processos - UFBA

Página 6-17 de 73

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( )sTm

( )sGTT

( )sT m*( )sGTE

( )sT

( )sT1

( )sGP1

Σ( )sGC

( )sE( )sTSPΣ

( )sTUO *( )sGTY

( )sTUO( )sGV

( )sWst ( )sGP2

++

( )sT

Figura 6-15: Diagrama de blocos completo para o sistema de controle.

6 . 5 . F u n ç ã o d e T r a n s f e r ê n c i a e m M a l h a F e c h a d a

Utilizando uma nomenclatura padrão para sistemas de controle, além das destacadas no

final da apostila:

Erro E = R ± B

G1 Função de transferência do elemento final de controle

G2 Função de transferência do processo

CGERΣ

B

1G M Σ

U

C2G

H

+/-+

+

+

Figura 6-16: Mecanismo do controlador.

OBS.: Todas as variáveis são desvios no domínio de Laplace.

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Página 6-18 de 73

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6 . 5 . 1 . S e r v o m e c a n i s m o s e s i s t e m a s r e g u l a d o r e s

√ Servomecanismos:

U = 0 Não ocorre distúrbio na carga

R ≠ 0 Mudança no set point

R CHG

G.1∓

CGER Σ

B

1G M C2G

H

+/-+

Figura 6-17: Diagrama de bloco para servomecanismo.

Equação 6-25

HGG

RC

CHB

GGMMGC

c

.1 HC)G.(RB)G.(R C

Gc.G1.G2 CGc.G1.G2.E C

.BR

. 1

2

∓∓=⇒

⎪⎩

⎪⎨

+=+===

⎩⎨⎧

==

⎩⎨⎧

==

E

E

Onde HG

GRC

.1∓= é a função de transferência global que relaciona C com R.

√ Sistemas Reguladores:

U ≠ 0 Ocorre distúrbios na carga

R = 0 Set point não se modifica

U CHG

G.1

2

CGE0=R Σ

B

1G M C2G

H

+/-+Σ

U

+

+

Figura 6-18: Diagrama de bloco para sistemas reguladores.

Page 142: [Apostila] Controle de Processos - UFBA

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Equação 6-26

( )

HGG

RC

HCGGCHB

GGMMUGC

C

c

.1 GC).UG)G.(U C

.G1.G2G C.E.GG .(UG C

.B

.2

21

c

1Cc1

2

∓∓=⇒

⎪⎩

⎪⎨

+=+==

+=⇒

⎩⎨⎧

==

⎩⎨⎧

=+=

E

E

HGG

UC

.∓12=

função de transferência global que relaciona C com R.

Observações:

1. Equação característica: 1 ± G.H = 0 ⇒ a resposta dinâmica do processo em malha fechada depende da dinâmica do processo e, também, da dinâmica dos sensores, controladores e elementos finais de controle.

2. Servomecanismos ou sistema regulador o denominador da função transferência é o mesmo: 1 ± G.H função de transferência de malha aberta: G.H = GC.G1.G2.H

3. O numerador da função de transferência é o resultado do produto das funções de transferência entre o distúrbio e a saída:

Servomecanismo: G = GC.G1.G2

Sistema regulador: G2

4. Normalmente, os sistemas tem retroação negativa: E = R - B mas, em sistema de controle complexo, com muitas malhas, pode ocorrer a retroação positiva: E = R + B. este comportamento conduz a instabilidade.

5. Lembrado que o princípio da superposição é válido (sistema linear), a resposta do sistema a variação simultânea de R e U é:

Equação 6-27 U

HGGR

HGGC .

..

. ±+

±=

112

6 . 6 . Á l g e b r a d e D i a g r a m a L i n e a r d e B l o c o s

Na Tabela 6-1 temos a representação de equações algébricas através de diagramas de

blocos e regras para redução desses diagramas a estruturas mais simples.

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Tabela 6-1: Operações com diagramas de bloco.

A letra P representa qualquer função de transferência, W, X, Y, Z representam quaisquer

sinais no domínio de Laplace.

Page 144: [Apostila] Controle de Processos - UFBA

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Exemplo: Redução de Diagramas de Blocos.

Figura 6-19: Redução de diagrama de blocos: (a) Diagrama original; (b) Primeira redução;

(c) Diagrama final com bloco único.

6 . 7 . F u n ç ã o d e t r a n s f e r ê n c i a d e v á l v u l a s d e c o n t r o l e

Toda válvula apresenta sempre algum retardo dinâmico de experiências em válvulas

pneumáticas:

Equação 6-28 1.)(1 +=

sK

sGV

V

τ

Onde,

Kv é a constante de proporcionalidade entre a vazão em estado estacionário e a pressão no

topo da válvula.

Em instalações industriais τV << τ dos outros componentes

τV = 10s (valor típico), enquanto τ = 60s → G1(s) = Kv (retardamento dinâmico desprezível)

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( )sX1 ( )sKV( )sX 2

Figura 6-20: Diagrama de bloco da válvula de controle.

6 . 8 . F u n ç ã o d e T r a n s f e r ê n c i a d e C o n t r o l a d o r e s I d e a i s

Os sistemas de controle feedback necessitam de um elemento que compare o valor

desejado (set point) com o valor medido e então envie um sinal para a válvula de controle,

abrindo ou fechando a mesma. Nesta seção, discutiremos alguns tipos de controladores:

proporcional (P), proporcional mais integral (PI), proporcional mais derivativo (PD) e o

proporcional mais integral mais derivativo (PID).

6 . 8 . 1 . C o n t r o l a d o r M o d o P r o p o r c i o n a l ( P )

Produz um sinal de saída (pressão para controlador pneumático; tensão ou corrente para

controlador eletrônico) proporcional ao erro mensurado.

Equação 6-29 ( ) ( )tBIAStOUT c E.Κ+=

ou

Equação 6-30 ( ) ( )ttOUT c E.Κ=

Função de transferência:

Equação 6-31 ( ) ( )

( ) CCsOUTsG Κ==

sE

6 . 8 . 2 . C o n t r o l e l i g a - d e s l i g a ( o n - o f f )

Controlador proporcional com um ganho muito elevado (KC muito grande), com banda morta.

Page 146: [Apostila] Controle de Processos - UFBA

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6 . 8 . 3 . C o n t r o l e M o d o P r o p o r c i o n a l + I n t e g r a l ( P I )

Equação 6-32 ( ) ( ) ( ) BIASdttttOUT

toI

c +⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡τ

+Κ= ∫ EE .. 1

Equação 6-33 ( ) ( ) ( ) ⎥

⎤⎢⎣

⎡τ

+Κ= ∫tcI

c dttttOUT EE .. 1

Função de transferência:

Equação 6-34 ( ) ( )

( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+Κ==

ssOUTsG

ICC .

11.s τE

6 . 8 . 4 . C o n t r o l e M o d o P r o p o r c i o n a l + D e r i v a t i v o ( P D )

Equação 6-35 ( ) ( ) ( ) BIASdtOUT DC +⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ +Κ=

dtt.t. EE τ

Função de transferência:

Equação 6-36 ( ) ( )

( ) [ ]ssOUTsG DCC .1.s

τ+Κ==E

6 . 8 . 5 . C o n t r o l e M o d o P r o p o r c i o n a l + I n t e g r a l + D e r i v a t i v o ( P I D )

Equação 6-37 ( ) ( ) ( ) ( ) BIASd

o dttOUT D

t

C +⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ++Κ= ∫ dt

t.tt. EEE τ

Equação 6-38 ( ) ( )

( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++Κ== s

ssOUTsG D

ICC .

.11.

τE

Page 147: [Apostila] Controle de Processos - UFBA

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6 . 9 . F u n ç ã o d e T r a n s f e r ê n c i a d e C o n t r o l a d o r e s I n d u s t r i a i s

A prática determina que variações bruscas devem ser evitadas, o que torna inconveniente

aplicar as equações de controladores ideais em sistemas de controle reais. Para tanto, a ação

derivativa nunca incide sobre o erro E(t), mas sobre a própria variável de processo medida:

Equação 6-39

( ) ( ) ( ) ( )dt

tdPVdt

tPVtdSPdt

td−≅

−=

E

A Equação 6-39 é exata quando as perturbações acontecem na carga, isto é, o set point é

constante. Outro procedimento que visa suavizar a ação de controle é fazer que a ação

proporcional incida somente sobre a variação da variável de estado e não sobre a função erro:

Equação 6-40 ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+Κ=

1..1.

..

11.s

ss

GD

D

ICC τα

ττ

Onde 0.05 < α < 0.1 e no limite para α → 0, obtemos a função de transferência do

controlador ideal PID.

Por outro lado em sistema digitais os sinais são discretos e as operações de integração e

derivação devem ser aproximadas. Existem basicamente dois algoritmos de controladores

digitais:

6 . 9 . 1 . C o n t r o l a d o r d e P o s i ç ã o

Aproximando a integral e derivada por:

Equação 6-41

( )∫ ∑=Κ

Δ≅to

nn tdtt

1.EE

Equação 6-42 tEE

dttdE nn

Δ−

= −1)(

Então,

Equação 6-43

( )⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡−

Δ

τ+

τΔ

+Κ+= ∑=Κ

n1-nn

pn

Incn t

tBIASOUT1

EEEE ...

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6 . 9 . 2 . C o n t r o l a d o r d e V e l o c i d a d e

De

Equação 6-44 ( ) ( ) BIAStOUTtOUT −=

Então,

Equação 6-45 BIASOUTOUT nn −=

E

Equação 6-46 BIASOUTOUT nn −= −− 11

Logo,

Equação 6-47 nnnnnn OUTOUTOUTOUTOUTOUT Δ=−=−=Δ −− 11

Então,

Equação 6-48 1−+Δ= nnn OUTOUTOUT

Onde,

Equação 6-49 ( ) ( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−

Δ+

Δ+−Κ=Δ 2-n1-nnn1-nn .2... EEEEEE

ttOUT P

Icn

ττ

Page 149: [Apostila] Controle de Processos - UFBA

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Tabela 5.04: Controladores contínuos PID ideais. Tipo de controlador Equação no domínio do tempo Funções de transferência Observações

P proporcional ( ) ( )tKctOP ε.= + bias ( ) KcsGc = alproporcionbandaPBKc

PB −= ,100

I integral ( ) ( )∫=t

I

dtttOP0

1 ετ

+ bias ( )s

sGcI .1

τ=

D derivativo ( ) ( )( )dt

tdtOP Dετ= + bias ( ) ssGc D .τ=

PI proporcional + integral

( ) ( ) ( )∫+=t

I dttKtKctOP0

.. εε + bias ( )s

KKcsGc I+= Não interativo: I

cI

KK

τ=

( ) ( ) ( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+= ∫

t

I

dtttKctOP0

1. ετ

ε + bias ( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+=

sKcsGc

Iτ11 Interativo

PD proporcional + derivativo

( ) ( ) ( )( )dt

tdKtKctOP Dεε += . + bias ( ) sKKcsGc D .+= Não interativo: DCD KK τ.=

( ) ( ) ( )( )⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +=

dttdtKctOP D

ετε. + bias ( ) [ ]sKcsGc Dτ+= 1 Interativo

PID proporcional +

integral + derivativo

( ) ( ) ( ) ( )( )dt

tdKdttKtKctOP D

t

Iεεε ...

0

++= ∫ +

bias

( ) sKs

KKcsGc DI .++=

Não interativo:

I

cI

KK

τ= e DCD KK τ.=

( ) ( ) ( ) ( )( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++= ∫ dt

tddtttKctOP D

t

I

ετετ

ε0

1.

+ bias

( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++= s

sKcsGc D

I

..

11 ττ

Interativo

Legenda: ( ) ( ) ( )( ) setpoint−

−=tSP

tPVtSPtε , Kc – ganho proporcional , τI – tempo integral (min/repetição) , τD – tempo derivativo (min)

Page 150: [Apostila] Controle de Processos - UFBA

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Tabela 5.05: Controladores analógicos PID industriais.

Tipo de controlador Equação no domínio do tempo ou

funções de transferência (domínio de Laplace) Observações

P proporcional ( ) ( )tKctOP ε.= + bias alproporcionbandaPBKc

PB −= ,100

I integral ( ) ( )∫=t

i

dtttOP0

1 ετ

+ bias

D derivativo ( ) ( )( )dt

tPVdtOP Dτ−= + bias Ação derivativa apenas sobre a PV

PI proporcional +

integral

( ) ( ) ( )∫+=t

I dttKtKctOP0

.. εε + bias Não interativo: I

cI

KK

τ=

( ) ( ) ( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+= ∫

t

I

dtttKctOP0

1. ετ

ε + bias Interativo

P-D proporcional +

derivativo

( ) ( ) ( )( )dt

tPVdKtKctOP D−= ε. + bias Não interativo: DCD KK τ.=

( ) ( ) ( )( )⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −=

dttPVdtKctOP Dτε. + bias Interativo

PI-D proporcional +

integral + derivativo ( ) ( ) ( ) ( )( )

dttPVdKdttKtKctOP D

t

I −+= ∫0

.. εε + bias Não interativo I

cI

KK

τ= e DCD KK τ.=

Page 151: [Apostila] Controle de Processos - UFBA

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( ) ( ) ( ) ( )( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−+= ∫ dt

tPVddtttKctOP D

t

I

τετ

ε0

1. + bias Interativo

PID proporcional +

integral + derivativo

( )1.

.+

++=s

sKs

KKcsGc DI

γ Não interativo:

I

cI

KK

τ= e DCD KK τ.=

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

1..1

.11

ss

sKcsGc D

I γτ

τ Interativo

Legenda: γ - constante de tempo do filtro da ação derivativa

Page 152: [Apostila] Controle de Processos - UFBA

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Tabela 5.06: Controladores digitais (discretos) PID industriais. Tipo de controlador Equações no domínio do tempo discreto Observações

P proporcional

kk KcOP ε.= + bias algoritmo de posição

[ ]1

1 ..

+Δ=Δ=−=Δ

kkk

kkkk

OPOPOPKcKcOP εεε

algoritmo de velocidade

PID proporcional

+ integral + derivativo

( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡Δ

Δ⋅+Δ+= ∑

= ttKcOP k

D

k

jj

Ikk

ετε

τε

0.1. + bias algoritmo de posição

( )[ ]⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

ΔΔΔ

+Δ=Δt

tKcOP k

DI

kkk

ετ

τε

ε.

. algoritmo de velocidade

PI-D

proporcional

+ integral

+ derivativo (na PV)

( )

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

ΔΔ

−Δ

+=∑=

tPV

tKcOP k

DI

k

jj

kk ττ

εε 0

.. + bias

algoritmo de posição com ação

derivativa sobre a PV

( )[ ]⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

ΔΔΔ

⋅−Δ

+Δ=Δt

PVtKcOP kD

I

kkk τ

τεε ..

algoritmo de velocidade com ação

derivativa sobre a PV

I-

PD

Integral +

+ proporcional (na

PV) + derivativo (na

[ ] ( )

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

ΔΔ

−−−Δ

=∑=

tPV

PVPVt

KcOP kDrefk

I

k

jj

k ττ

ε0

.. + bias

algoritmo de posição com ações

proporcional e derivativa

apenas sobre a PV

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PV)

( )[ ]⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

ΔΔΔ

−Δ−Δ

=Δt

PVPV

tKcOP k

DkI

kk τ

τε .

.

algoritmo de velocidade com ações

proporcional e derivativa

apenas sobre a PV

MAIS CONSERVADOR

Legenda: Δt – tempo de amostragem da malha de controle

( )[ ] ( ) ( )1−Δ−Δ=ΔΔ kkk PVPVPV

( ) 1−−=Δ kkk PVPVPV

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6 . 1 0 . C o m p o r t a m e n t o D i n â m i c o d e P r o c e s s o s c o m S i s t e m a C o n t r o l e F e e d b a c k

CGERΣ

B

1G M Σ

U

C2G

H

+/-+

+

+

Mecanismo do controlador

Figura 6-21: Mecanismo do controlador feedback.

Vimos que a resposta de um sistema controle de feedback é:

Equação 6-50 HGUG

HGGRC

..

. ++

+=

112

Onde:

Equação 6-51 HGGHHG c .... 21=

6 . 1 0 . 1 . C o n t r o l a d o r P r o p o r c i o n a l e S i s t e m a d e 1 ª O r d e m

Equação 6-52

( )1.

..

1. ª1

Pr

1

2

1

+ΚΚ

=⇒

⎪⎪⎪

⎪⎪⎪

=⇒

Κ=⇒

==⇒

sHG

ssGordemdeSistema

GoporcionalrControlado

GHrsimplificaPara

P

PC

P

P

CC τ

τ

Equação 6-53 Us

Rs

CPCP

P

PCP

PC ..1.

..1

.ΚΚ++

Κ+

ΚΚ++ΚΚ

=ττ

Dividindo e multiplicando por (1 + KC.KP), obtemos:

Equação 6-54 Us

Rs

C UPR .1.

.1.

.+′

Κ+

+′ΚΚ

=ττ

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Onde,

Equação 6-55 PC

P

ΚΚ+=′

.1τ

τ

Equação 6-56 PC

PCR ΚΚ+

ΚΚ=Κ

.1.

Equação 6-57 PC

Pu ΚΚ+

Κ=Κ

.1

O sistema com controle proporcional continua sendo de 1ª ordem;

KR e KU são denominados ganhos estacionários em malha fechada;

KR < KC.KP e KU < KP → Ganhos estacionários menores;

τ’ < τP → Resposta da malha fechada mais rápida.

√ Problema Servo

Perturbação em degrau unitário:

Equação 6-58 ( ) ( )t 1u R s sο ⇒ =

Equação 6-59 ( )

ssR

ssC RR 1.

1..

1. 0 U

+′Κ

=+′

Κ=⇒=

ττ

Equação 6-60 ( ) ( )τ′−−Κ= tR etC 1.

Equação 6-61 ( ) RCt Κ=∞∞→ ,

Desvio permanente = nova referência – valor alcançado

Equação 6-62 0

.11

.1.

1-1offset R ≠ΚΚ+

=ΚΚ+

ΚΚ−=Κ=

PCPC

PC

√ Problema Regulador

Equação 6-63 ( )

ssU

ssC UU 1.

1..

1. 0 R

+′Κ

=+′

Κ=⇒=

ττ

Page 156: [Apostila] Controle de Processos - UFBA

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Equação 6-64 ( ) ( )τ′−−Κ= tU etC 1.

Equação 6-65 ( ) UCt Κ=∞∞→ ,

Equação 6-66 0

11

11 ≠

ΚΚ+=

ΚΚ+

ΚΚ−=Κ=

pcpc

pcR-1

...

offset

Figura 6-22: Resposta em malha fechada de um sistema de 1ª ordem com controlador

proporcional: (a) perturbação no set point; (b) perturbação na carga.

Observação: offset = 0 para KC → ∞, mas causa instabilidade.

6 . 1 0 . 2 . C o n t r o l a d o r P r o p o r c i o n a l e S i s t e m a d e 2 ª O r d e m

Equação 6-67 U

HGGGG

RHGGG

GGGC

cC

C ...1

....1

..

21

2

21

21

++

+=

Para simplificar:

Equação 6-68 11 == GH

Controlador Proporcional:

Equação 6-69 CCG Κ=

Sistema de 2ª ordem:

Equação 6-70 ( )

1...2. 222 ++Κ

=ss

sG P

τζτ

Equação 6-71 ( ) R

sssC R .

1...2. 0 U 22 +′′+′

Κ=⇒=

τζτ

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C o n t r o l e d e P r o c e s s o s

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Onde,

Equação 6-72 ( ) 21.1 PC ΚΚ+=′

ττ

Equação 6-73 ( ) 21.1 PC ΚΚ+=′

ζζ

Equação 6-74 PC

PCR ΚΚ+

ΚΚ=Κ

.1.

O sistema com controle proporcional continua sendo de 2ª ordem;

ζ’ < ζ → Resposta da malha fechada é menos amortecida que na malha aberta,

o sistema pode oscilar na malha fechada;

τ’ < τP → Resposta da malha fechada mais rápida.

Perturbação em degrau unitário:

Equação 6-75 ( ) ( ) ssRt 1=⇒ου

Equação 6-76 ( )

ssSsC R 1.

1..2. 22 +′+′Κ

=⇒ − ζτ

Teorema do valor final:

Equação 6-77

( ) ( )[ ] RtC sCss

Κ=→

=∞→ .lim0

Equação 6-78 PCPC

PCR ΚΚ+

=ΚΚ+

ΚΚ−=Κ−=

.11

.1.

11offset

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R i c a r d o d e A r a ú j o K a l i d – k a l i d @ u f b a . b r

Figura 6-23: Efeito do ganho do controlador na resposta de um sistema de 2ª ordem com

controlador proporcional.

6 . 1 0 . 3 . C o n t r o l a d o r I n t e g r a l e S i s t e m a d e 1 ª O r d e m

Equação 6-79 U

HGGGGR

HGGGGGG

CcC

C ....1

....1

..

21

2

21

21

++

+=

Para simplificar:

Equação 6-80 11 ==GH

Controlador integral:

Equação 6-81 s

GI

CC .1.

τΚ=

Sistema de 1ª ordem:

Equação 6-82 ( )1.2 +

Κ=

ssG

P

P

τ

√ Problema Servo

Equação 6-83 ( ) Rss

sCU .1...2.

10 22 +′′+′=⇒=

τζτ

O sistema com controle integral aumentou a ordem do sistema, passou de 1ª para

2ª ordem, ou seja, acrescentou um pólo.;

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Quanto maior a ordem de um sistema, mais susceptível a ocorrência de oscilações,

isto acontece com o controlador integral.

Onde,

Equação 6-84 PCP

I

PC

PI

ΚΚ=−′

ΚΚ=′

..21,

..

ττ

ζττ

τ

Perturbação em degrau unitário:

Equação 6-84 ( ) ( ) ssRu 1t o =⇒

Equação 6-85 ( )sss

sC 1.1...2.

122 +′′+′

=τζτ

Teorema do valor final:

Equação 6-86 ( ) ( )[ ] 1sC.slim0

=→

=∞→s

tC

Equação 6-87 Offset = 1 – 1 = 0

O controle integral elimina o offset;

A forma da resposta dos sistema depende de KC e τI, pois o fator de amortecimento

é função desses parâmetros;

Aumentando KC ou diminuindo τI, a resposta do sistema fica mais rápida, mas ζ

diminui (aumento da oscilação).

Figura 6-24: Efeito do controlador na resposta de um sistema de 2ª ordem com apenas ação

integral.

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C o n t r o l e d e P r o c e s s o s

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6 . 1 0 . 4 . A ç ã o D e r i v a t i v a d e u m C o n t r o l a d o r e S i s t e m a d e 1 ª O r d e m

Equação 6-88 UHGGG

GR

HGGGGGG

CCC

C ....1

....1

..

21

2

21

21

++

+=

Para simplificar:

Equação 6-89 11 ==GH

Controlador derivativo:

Equação 6-90 sG DCC ..τΚ=

Sistema de 1ª ordem:

Equação 6-91 ( )1.2 +

Κ=

ssG

P

P

τ

√ Problema Servo

Equação 6-92 ( ) ( ) Rs

ssCU

DPCP

DPC .1...

...0

+ΚΚ+ΚΚ

=⇒=τττ

Perturbação em degrau unitário:

Equação 6-93 ( ) ( ) ssRu 1t o =⇒

Equação 6-94 ( ) ( ) sss

sCDPCP

DPC 1.1...

...+ΚΚ+

ΚΚ=

τττ

Teorema do valor final:

Equação 6-95 ( ) ( )0

lim s . C s 0s

C t→

→ ∞ = =⎡ ⎤⎣ ⎦

Equação 6-96 Offset = 1 – 0 = 1

O sistema com controle proporcional continua sendo de 1ª ordem;

O modo derivativo acrescentou um zero ao sistema;

Page 161: [Apostila] Controle de Processos - UFBA

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O modo derivativo só tem efeito quando o erro não é constante, por isso o valor

alcançado não é o mesmo no modo inicial;

O modo derivativo nunca atua sozinha, sempre está acompanhada do modo

proporcional, no mínimo;

Tem efeito contrário ao modo integral;

Não pode ser utilizada quando a medição apresenta ruído (medição de vazão) ou

quando o processo é muito rápido, a menos que algum filtro seja aplicado.

6 . 1 0 . 5 . C o m b i n a ç ã o e n t r e o s t i p o s d e c o n t r o l a d o r e s

a. Proporcional (P)

b. Proporcional-Integral (PI)

c. Proporcional-Integral-Derivativo (PID)

√ Efeitos do Controlador P:

1. A ordem do sistema permanece a mesma;

2. Deixa offset;

3. Com aumento de KC a resposta do sistema torna-se mais rápida e para sistemas de ordem superior a 2 mais oscilatória;

4. Se KC muito grande o sistema torna-se on-off.

√ Efeitos do Controlador PI

1. A ordem do sistema cresce (devido a ação integral);

2. O offset é eliminado (devido a ação integral);

5. Com o aumento de KC a resposta do sistema torna-se mais rápida e mais oscilatória (efeito da ação proporcional e da ação integral);

3. Se KC é muito grande, o sistema torna-se instável;

6. Para KC constante, a diminuição de τI torna a resposta mais rápida e mais oscilatória (efeito da ação integral).

√ Efeitos do Controlador PID

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Figura 6-25: Efeitos do controlador PID (Sistema regulador e perturbação em degrau).

6 . 1 0 . 6 . C o n t r o l a d o r P r o p o r c i o n a l e P r o c e s s o s C a p a c i t i v o s

Processos que apresentam um termo s1 na sua função de transferência quando submetido

a um controlador proporcional não exibem offset para mudança no set point, mas exista offset

para mudança na carga, enquanto a perturbação persistir.

Exemplo: Nível de um tanque cuja vazão de saída é constante

q1(t) qd(t)

q2 = cte.

h(t)LTLC

LY

Figura 6-26: Tanque com vazão de saída constante.

Onde,

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q1(t) Variável manipulada

qd(t) Distúrbio

q2 Vazão de saída constante

h(t) Variável controlada

Balanço de massa:

Equação 6-97 ( ) ( ) ( ) 21. qtqtq

dttdhA d −+=

Utilizando variáveis desvio:

Equação 6-98 ( ) ( ) ( )tqtq

dttdhA d+= 1.

Aplicando Laplace e rearrumando:

Equação 6-99 ( ) ( ) ( )sqsA

sqsA

sh d..1.

.1

1 +=

Ou

Equação 6-100 ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ]sqsqsGsqsqsA

sh dPd +=+= 11 ...

1

O diagrama de blocos deste sistema é:

CG)(shSP

Σ YG Σ PG

mG

VG

TG

( )sq1

( )sq d

( )sh

Figura 6-27: Diagrama de bloco para tanque com vazão de descarga constante.

Para Controlador Proporcional:

Equação 6-101 ( ) CC sG Κ=

Assumindo:

Equação 6-102 (F.T. elemento de medição) → Gm(s) = 1

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Equação 6-103 (F.T. transmissor) → GT(s) = 1

Equação 6-104 (F.T. conversor I/P) → GY(s) = 1

Equação 6-105 (F.T. válvula de controle) → GV(s) = 1

Então a resposta ( )sh com uma perturbação no set point ou na carga é dada por:

Equação 6-106 ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )sqsGsG

sGshsGsG

sGsh dmT

PSP

mT .1.

.1 ++

+=

Onde,

Equação 6-107 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )sGsGsGsGsG PVYC ...=

e

Equação 6-108 ( ) ( ) ( )sGsGsG TmmT .=

Substituindo as várias funções de transferência s e rearrumando:

Equação 6-109 ( ) ( ) ( )sqsA

shsA

sh d

C

CSP

C

.1.

1.

1.

1

Κ+

=

√ Problema Servo e Perturbação Degrau

Equação 6-110 ( ) ( )s

0 M== shesq SPd

Equação 6-112 ( )s

.1.

1 M

=⇒sA

sh

C

Aplicando o Teorema do Valor Final:

Equação 6-111 ( ) ( ) M==→∞→

shst .limh lim0sT

Obs: Testar validade do T. V. F.

Cálculo do offset:

Offset = nova referência – valor alcançado

Offset = A – A = 0

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Logo não existe offset.

√ Problema Regulador e Perturbação degrau

Equação 6-114 ( ) ( ) 0== shesAsq SPd

Equação 6-112 ( )s

.1.

1 A

Κ=⇒

sAsh

C

C

Aplicando o Teorema do Valor Final:

Equação 6-116 ( ) ( )cKshst A

==→∞→

.limh lim0sT

Obs: Testar validade do T. V. F.:

Cálculo do offset:

Offset = nova referência – valor alcançado

Equação 6-113 cc

−=Κ

−=AAOffset

Logo não existe offset.

6 . 1 1 . A ç ã o D i r e t a e A ç ã o R e v e r s a d o C o n t r o l a d o r

Se o aumento (diminuição) da variável de processo PV(t) provocar um incremento

(decremento) na saída do controlador OUT(t), então diz-se o controlador tem ação direta

(Tabela 6-2).

Tabela 6-2: Ação Direta do Controlador.

PV(t) OUT(t) Equação do controlador proporcional

Aumento

Incremento

↑ OUT (t) = BIAS - ( )t .EcΚ

Diminuição

Decremento

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Se, por outro lado, o aumento aumento (diminuição) da variável de processo PV(t) provocar

um decremento (incremento) na saída do controlador OUT(t), então diz-se o controlador tem

ação reversa (Tabela 6-3).

Tabela 6-3: Ação Reversa do Controlador.

PV(t) OUT(t) Equação do controlador proporcional

Maior

Diminui

↓ OUT (t) = BIAS + ( )t .EcΚ

Menor

Aumenta

A definição da ação do controlador depende dos seguintes aspectos:

Sinal do ganho do transmissor da variável controlada;

Sinal do ganho entre variável controlada e variável manipulada, se a saída do controlador é

“setpoint” de outro controlador;

Sinal do ganho do elemento final de controle (sinal do produto entre o ganho da válvula,

quando for este o elemento final de controle, e do posicionador, se este existir), se a saída do

controlador é enviada para um elemento final de controle.

Mas o produto de todos os ganhos de uma malha de controle deve sempre ter sinal positivo,

pois estamos sempre considerando realimentação negativa da malha de controle, ou seja, o

erro (E) é a diferença entre o “setpoint” e a variável de processo (E = SP – PV).

Vamos ver alguns exemplos:

Sistema de aquecimento com vapor, com o controlador de temperatura enviando o sinal

para uma válvula de controle. Nesse caso a variável controlada é a temperatura do sistema e a

variável manipulada é a vazão de vapor. Se o ganho do transmissor tem sinal positivo (KTT > 0),

se o ganho do posicionador da válvula também for positivo (KTY > 0), se a válvula for normal

fechada ou ar-para-abrir (KTV > 0), como o ganho entre a PV (temperatura) e a MV (vazão de

vapor) também é positiva (KP > 0), o controlador será de ação reversa (+Kc), veja Figura 6-28.

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T1(t) T2(t)

Condensado

Vapor

NFAO

TT

TC

Ação reversa

OUTPV

Figura 6-28: Ação do controlador de temperatura de aquecedores de correntes através

da manipulação da vazão de vapor para o trocador.

Sistema de aquecimento com vapor, com o controlador de temperatura enviando o sinal

para a válvula de controle. Nesse caso a variável controlada é a temperatura do sistema e a

variável manipulada é a vazão de vapor. Se o ganho do transmissor tem sinal positivo (KTT>0),

se o ganho do posicionador da válvula também for positivo (KTY>0), se a válvula for normal

aberta ou ar-para-fechar (KTV < 0), como o ganho entre a PV (temperatura) e a MV (vazão de

vapor) também é positiva, o controlador será de ação direta (-Kc).

Na Figura 6-29 e Figura 6-30 é apresentado mais dois exemplos com as escolhas

apropriadas da ação da controlador.

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Figura 6-29: Ação do controlador de temperatura de reatores (reação exotérmica) através

da manipulação da vazão de fluido refrigerante.

Figura 6-30: Controle de vazão de uma corrente cujo elemento final de controle seja uma

válvula NA.

Portanto, para definir a ação do controlador que envia o sinal para o elemento final de

controle é antes necessário estabelecer se o elemento final de controle será normalmente

aberto (ar-para-fechar) ou normalmente fechado (ar-para-abrir).

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6 . 1 1 . 1 . V á l v u l a N o r m a l - A b e r t a e V á l v u l a N o r m a l - F e c h a d a

Foi dito anteriormente que uma das finalidades do sistema de controle é operar a planta em

condições seguras. Porém, em certas situações (por exemplo, falha no fornecimento de

energia elétrica ou parada de um compressor de ar de instrumento) fica impossível o controle

do processo. Neste caso, a planta por si só deve parar na condição mais segura possível,

apesar de todos os problemas. Isto pode ser conseguido, escolhendo adequadamente a

posição em que as válvulas de controle vão estar em caso de pane no sistema de fornecimento

de energia para o atuador da mesma.

Existem duas possibilidades para a posição de repouso de válvulas de controle:

NA ou FO ou AC Normal-Aberta (Ar-para-fechar ou Fail-Open ou Air-to-

close). Neste caso a falta de ar de instrumento provoca abertura total da válvula.

NF ou FC ou AO Normal-Fechada (Ar-para-Abrir ou Fail-Close ou Air-to-

Open. Neste caso a falta de ar de instrumento provoca fechamento total da válvula.

A escolha da posição de repouso da válvula depende de qual a condição mais segura para

a planta. Por exemplo:

(a) A vazão da alimentação de um reator, no qual acontecem reações exotérmicas, deve

ser modulada por uma válvula de controle NF, pois em caso de falha do ar de instrumento a

condição mais segura é cortar a alimentação do reator;

(b) Do mesmo modo, se este reator possui um sistema de refrigeração, a válvula de

controle que modula a vazão do fluido refrigerante deve ser NA, permitindo a continua

refrigeração do reator.

Portanto, para determinação da ação do controlador (ação direta ou reversa) deve-se

primeiro estabelecer a posição de repouso da válvula de controle (normalmente fechada ou

aberta) em seguida, a depender da necessidade do processo, é estabelecida a ação do

controlador.

6 . 1 2 . P r o j e t o d e S i s t e m a s d e C o n t r o l e F e e d b a c k

A definição do sistema de controle requer que algumas perguntas sejam respondidas:

(01) Quantos controladores um equipamento pode ter?

(02) Quais as variáveis controladas, manipuladas, quais os principais distúrbios?

(03) Qual o modo de controle mais apropriado (P, PI ou PID)?

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(04) Qual a ação do controlador (ação direta ou ação reversa) e qual a posição de

repouso das válvulas de controle (NA ou NF ou falha na posição corrente)?

(05) Qual a melhor sintonia do controlador (qual o valor do ganho proporcional KC do

tempo integral τI e do tempo derivativo τD)?

6 . 1 2 . 1 . G r a u s d e L i b e r d a d e d e u m P r o c e s s o d e C o n t r o l e

Para os propósitos do controle de processos a definição de graus de liberdade de um

sistema tem uma pequena diferença em relação a definição utilizada num projeto de um

processo.

Para nós graus de liberdade F pode ser definido como:

F = (nº de variáveis V) – (nº de equações E) - (nº de parâmetros conhecidos P)

- (nº de distúrbios externos D) – (nº de controladores C)

ou

F = V – (E + P + D + C)

Se F for maior que 0 (zero) então o processo (ou pelo menos alguma variável de processo)

não estará sobre controle.

Se F for menor que 0 (zero) então existem controladores em excesso e eles estarão

“brigando” entre si, um tentando suplantar o outro.

Portanto, para um processo estar sobre controle o número de controladores deve ser igual

a: C = V – (E + P + D).

√ Exemplo: Tanque de aquecimento com agitação

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T2(t), q2(t)

T1(t), q1(t)

vapor

condensado

Figura 6-31: Tanque de aquecimento com agitação.

Balanço de massa:

Equação 6-114 ( ) ( ) ( )tqtq

dttdhA 21. −=

Balanço de energia:

Equação 6-115 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )tWC

HtTtTtq

dttdTthA st

p

fg ..

... 11 ρ+−=

Portanto:

Nº de variáveis V 10 A, h(t), q1(t), q2(t), T1(t), T(t), Wst(t), ρ, CP, Hfg

Nº de equações E 02 (um balanço de massa e um balanço de energia)

Nº de parâmetros P 04 A, ρ, CP, Hfg

Nº de distúrbios D 02 q1(t), T1(t)

Sub-total 02 (nº de controladores C)

Logo, podemos e devemos instalar dois controladores neste processo, um para o controle

de nível e um para o controle de temperatura. Por exemplo, podemos propor o seguinte

sistema de controle para este processo:

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T2(t), q2(t)

T1(t), q1(t)

vapor

condensado

LCLT

TC

TT

Figura 6-32: Sistema de controle para um tanque de aquecimento com agitação.

Um fato importante deve ser lembrado: existem processos que apresentam multiplicidade de

estados estacionários, de modo que mesmo instalando o número correto de controladores, a

depender do procedimento de partida da planta, diferentes estados estacionários podem ser

alcançados.

Por exemplo, seja um reator de mistura (CSTR) no qual ocorrem reações exotérmicas. Este

reator tem uma camisa de resfriamento cujo objetivo é controlar a temperatura no interior do

reator. É sabido que este sistema pode apresentar multiplicidade de estados estacionários,

vide a Figura 6-33.

Portanto, para que este processo opere de acordo com o desejado, além de definir

corretamente o sistema de controle, o procedimento de partida do reator deve ser estabelecido

de modo que o estado estacionário alcançado seja o desejado.

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Figura 6-33: Processo com multiplicidade de estados estacionários.

6 . 1 2 . 2 . E s c o l h a d a E s t r u t u r a d e C o n t r o l e e d o A l g o r i t m o d o C o n t r o l a d o r

A definição da qual a estrutura de controle a ser adotada é uma tarefa complexa, que requer

um profundo conhecimento do processo e de teoria de controle. Porém, uma abordagem

qualitativa é possível, e deve ser aplicada, pois facilita o entendimento sobre o comportamento

dinâmico do processo, dando boas pistas sobre a estrutura de controle a ser implementada. De

maneira geral, podemos aplicar a seguinte metodologia na elaboração da estrutura (escolha

dos pares de variáveis controladas PV e manipuladas MV) de um sistema de controle:

(a) Mantenha sob controle o inventário de massa do processo.

(b) Mantenha sob controle o inventário de energia do processo.

(c) Mantenha sob controle a qualidade do processo.

Para cada etapa defina as estruturas segundo a seqüência abaixo:

(1) Selecione as variáveis controladas.

(2) Selecione a(s) variáveis(s) manipulada(s) para cada variável controlada.

(3) Verifique as interações entre as variáveis manipuladas e controladas e destas entre si.

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(4) Reduza as interações através da troca dos pares PV-MV.

(5) Retorne ao passo (1) sempre que o desempenho do sistema não for satisfatório.

O procedimento para estabelecer os pares PV-MV é o seguinte:

(a) Estabelecer quais as válvulas que serão utilizadas no controle do inventário;

(b) Estabelecer quais as válvulas que serão utilizadas no controle da qualidade;

(c) A partir de uma análise qualitativa escolher possíveis pares de variáveis manipuladas-

controladas (PV-MV);

(d) A partir da análise quantitativa definir os pares PV-MV, essa análise quantitativa requer o

emprego da Matriz de Ganhos Relativos e/ou da Decomposição por Valores Singulares (SVD);

(e) Verificar através de simulações (em computador ou na planta) da validade da estrutura

de controle estabelecida.

Na definição dos pares PV-MV, ou seja, na definição da estrutura do sistema de controle,

tem que ser considerada os seguintes aspectos:

(a) Satisfazer aos estados estacionários desejados (satisfazer os set point’s),

(b) Desempenho dinâmico apropriado,

(c) Satisfazer a operação global da planta/unidade.

Após decidir quais as variáveis a serem controladas, devem ser estabelecidas as variáveis

manipuladas. A escolha dos pares de variáveis manipuladas e controladas é uma tarefa

complexa. Neste capítulo, discutiremos qualitativamente alguns aspectos a esse respeito.

Contudo, encontrar o par “ótimo” requer a análise quantitativa das funções de transferência.

Após definir a estrutura temos que especificar o algoritmo que o controlador deve seguir, isto

é, escolher entre os modos P, PI, PID ou mesmo uma outra função de controle.

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6 . 1 2 . 3 . R e g r a s P r á t i c a s p a r a S e l e ç ã o d a s V a r i á v e i s C o n t r o l a d a s

A escolha da variável controlada depende das características do processo e da

disponibilidade de instrumentação adequada para efetuar sua medição. Porém, existem as

seguintes regras gerais:

(a) Sempre escolha as variáveis que não são auto-reguladas, por exemplo nível em tanques

com vazão de descarga sugada por uma bomba.

(b) Sempre escolha as variáveis que, embora sejam auto-reguladas, podem exceder um

limite operacional do equipamento ou processo.

(c) Sempre selecione as variáveis que, embora auto-reguladas interagem fortemente com

outros inventários do processo.

(d) Se o número de variáveis controladas por maior que o número de variáveis manipuladas,

apenas as regras (b) e (c) devem ser reconsideradas.

Essas regras são gerais e o engenheiro deve adaptá-las para seu problema, quando for

conveniente.

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Página 6-53 de 73

C o n t r o l e d e P r o c e s s o s

R i c a r d o d e A r a ú j o K a l i d – k a l i d @ u f b a . b r

6 . 1 2 . 4 . R e g r a s P r á t i c a s p a r a S e l e ç ã o d a s V a r i á v e i s M a n i p u l a d a s .

Após definir as variáveis controladas devem ser estabelecidas as variáveis manipuladas.

esta seleção não é uma tarefa simples e para sua definição é necessário uma análise

quantitativa da influência das variáveis manipuladas sobre as controladas. Mas, como guia

geral, temos as seguintes regra1:

(a) A variável manipulada deve ser a que tem maior influência sobre a variável controlada

associada;

(b) Se duas correntes têm a mesma influência sobre a variável controlada, deve ser

escolhida a corrente com menor vazão;

(c) A variável manipulada deve ter a maior relação linear com a variável controlada;

(d) A variável manipulada deve ser pouco sensível as condições ambientais;

(e) A variável manipulada deve ser a que causa menor interação com as demais malhas de

controle;

(f) Qualquer atraso (constante de tempo e tempo morto) associado a variável manipulada

deve ser pequeno quando comparado com a constante de tempo do processo;

(g) Escolha sempre que possível uma corrente de utilidades para ser a variável manipulada,

isto não sendo viável selecione por uma corrente de descarga do processo, e somente em

último caso opte por uma corrente de alimentação (“passe seus distúrbios para frente”).

1 Lipták, B. G., Instrument Engineers Handbook, 1ª ed., pg 1233 e Newell e Lee, Applied Process

Control, pg 131 a 141

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R i c a r d o d e A r a ú j o K a l i d – k a l i d @ u f b a . b r

É praticamente impossível encontrar uma variável manipulada que satisfaça todas essas

observações, portanto a relativa importância de cada uma delas deve ser considerada para

cada processo.

A definição da PV depende da MV escolhida e vice-versa.

6 . 1 2 . 5 . E s c o l h a d o M o d o d o C o n t r o l a d o r : P , P I o u P I D

As variáveis de processo têm dinâmicas diferentes: a variável temperatura é muito mais

lenta que a variável vazão. Com isso queremos dizer que o modo de controle apropriado para a

variável temperatura via de regra inclui a ação derivativa, o que nunca deve acontecer com a

variável vazão (devido ao elevado nível de ruído que a medição dessa variável possui).

Outra característica que diferencia as variáveis de processo é a necessidade de eliminar o

offset. Freqüentemente, no controle de nível em tanques e de pressão em vasos é permitido, e

muitas vezes desejado, que aconteça o offset no intuito de absorver perturbações transitórias

do processo, evitando assim que tais distúrbios atinjam equipamentos críticos a jusante do

tanque ou vaso. Por outro lado, o controle de temperatura quase sempre não permite a

presença de offset, exigindo a atuação da ação integral.

Na Tabela 6-4 é apresentado um resumo das características dinâmicas das principais

variáveis de processos químicos.

Tabela 6-4: Características dinâmicas de variáveis de processo.

Tipo de variável Tempo de resposta dos elementos sensores Eliminar offset Modo

controlador

Concentração Na maioria das vezes grande, às vezes com tempo morto Sim PI ou PID

Temperatura Grande Sim PI ou PID

Nível

Na maioria das vezes pequeno (mas se o nível depender do equilíbrio

termodinâmico é grande)

Às vezes P ou PI (ou PID)

Pressão

Na maioria das vezes pequeno (mas se a pressão

depender do equilíbrio termodinâmico é grande)

Na maioria das vezes

P ou PI (ou PID)

Vazão Pequeno SIM PI

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6 . 1 2 . 6 . A ç ã o A p r o p r i a d a p a r a o C o n t r o l a d o r

Conforme discutido na seção 6.11, quem determina se ação do controlador será direta ou

reversa é a condição mais segura para operação da planta.

Na verdade outros elementos da malha de controle podem inverter a ação do controlador

(posicionadores de válvulas de controle ou mesmo os conversores I/P), de forma que, se for

conveniente, pode ser padronizada a ação dos controladores.

6 . 1 2 . 7 . S i n t o n i a d o C o n t r o l a d o r

Para o perfeito funcionamento de um sistema de controle além de responder corretamente

às 4 perguntas anteriores (itens 6.12.1 a 6.12.6) a escolha dos valores dos parâmetros do

controlador (KC, τI e τD) deve ser feita de forma criteriosa. A essa escolha criteriosa denomina-

se sintonia do controlador.

O primeiro problema que surge é qual o critério de sintonia a ser utilizado, pois certas

opções são contraditórias com outras. Por exemplo, não é possível obter simultaneamente

mínimo tempo de ascensão e mínima sobre-elevação.

Existem inúmeros critérios de sintonia, cada um adequado para um propósito. Alguns dos

critérios utilizados para sintonia de controladores estão citados a seguir.

(a) Mínima sobre-elevação (overshoot);

(b) Mínimo tempo de resposta;

(c) Razão de decaimento de ¼;

(d) Critério de Ziegler-Nichols;

(e) Critério de Cohen & Coon;

(f) Critérios integrais: IAE, ISE, ITAE e ITSE;

(g) Margem de ganho e margem de fase.

O critério de Cohen & Coon, por exemplo, se baseia nos parâmetros que caracterizam um

processo de 1ª ordem com tempo morto (KP, τP e τm) e determina o ajuste do controlador. Para

encontrar KP, τP e τm é necessário utilizar algum procedimento de identificação de processos.

Na Tabela 6-5, temos os valores dos parâmetros do controlador sugerido por Cohen & Coon.

Tabela 6-5: Critério de Sintonia de Cohen & Coon.

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Modo do Controlador Sintonia do Controlador Proporcional

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

Κ=Κ

P

m

m

P

PC τ

τττ

.31.1

Proporcional +

Integral ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

Κ=Κ

P

m

m

P

PC τ

τττ

.129.0.1

Pm

PmmI ττ

ττττ

.209

.330.++

=

Proporcional +

Integral +

Derivativo

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

Κ=Κ

P

m

m

P

PC τ

τττ

.434.1

Pm

PmmI ττ

ττττ

.813

.632.

++

=

PmmD ττ

ττ.2114.

+=

A literatura contem os procedimentos utilizados na sintonia de controladores para os

diferentes critérios. Como fonte inicial de pesquisa deste assunto recomendo a monografia

elaborada por FREITAS no qual ele faz uma breve revisão dos vários métodos de sintonia e

utiliza o critério integral ITAE para sintonizar diferentes processos (representados pelas suas

funções de transferência) e as dissertações de SILVA JUNIOR2 e ALFANO NETO3.

Contudo o método que recomendamos utilizar para a sintonia inicial dos controladores PID

industriais é o método IMC também denominado método λ, que descreveremos a seguir.

2 SILVA JUNIOR, Antonio Francisco de Almeida. “Sintonia de Controladores PID”, (1998).

Dissertação de mestrado. UFBA.

3 ALFANO NETO, Carlos de Freitas “Sintonia Ótima de Controladores PID Aplicada a

Sistemas SISO e MIMO”, (2002). Dissertação de mestrado. UFBA.

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6 . 1 3 . M é t o d o d e s i n t o n i a r e c o m e n d a d o : m é t o d o I M C o u m é t o d o λ

O método recomendado para sintonia inicial de controladores industriais PID é o método λ.

Nesse método os parâmetros do controlador são funções das funções de transferências de

cada elemento que compõe a malha de controle e do critério de desempenho (constante de

tempo em malha fechada – λ). Na Tabela 6-6 é apresentada a sintonia pelo método λ.

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Tabela 6-6: Critério de Sintonia de controladores pelo método λ-L. Método recomendado.

Função de transferência em Malha Aberta (MA)

MA P V I/P MG G .G .G .G≅ ( )MA

MA

m

MA MAp

MA P V I/P M

.sG K

.s 1 .s

onde K K .K .K .K

ττ

−= ⋅

+

=

Equação do Controlador

( ) ( ) ( )⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+= sPV

1s..1s.sE

s.11.KsOP C

D

D

I τγτ

τ ( )

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

Δ−+Δ=Δ PV..KkOP C DI

k ττεε

Função de transferência em Malha Fechada (MF)

( )1.s1

.G.G.G.GG1.G.K.G.GG

.GG1.G.K.G.GG

PVPVG

CMI/PVP

CMI/PVP

CMA

CMI/PVP

SPMF +

=+

=+

==λ

Constante de tempo da resposta desejada em MF ( λ )

( ) [ ] t.u. 6 comcomeçar recomendo , 3 e 9 entre número um

3.tr aberta malha em resposta de tempo

:integrador não sistema Parafechada malha em tempode constante

m1MA =+=

=

≅ ττλ

λ

Resposta instantânea τ1 = τ2 = τ3 = τm = α = 0

MAC K

1K =

Integrador com ou sem tempo morto

τ1 = τ2 = 0 τm = 0 ou τm ≠ 0 α = 1 ( )C

MA m

1KK . τ=

1ª ou 2ª ordem com ou sem tempo morto

τ1 ≠ 0 ; τ2 = 0 ou τ2 =≠ 0 τ1 > τ2 α = 0

( )1

CMA m

KK .

ττ=

τI = τ1 [=] u.t./repetições τD = τ 2 + τm/2 [=] u. t.

MÉTODO λ-L: Após definir a estimativa inicial utilizando as regras acima complete a sintonia através do método da SINTONIA ÓTIMA

GM

E

-

+

+

+

GC GI/P GV GP

GD DE

PVKM

PVSP

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Legenda:

α expoente do termo integrador, 1 para integrador ou capacitivo puro 0 para não integrador

λ - constante de tempo em malha fechada, critério de desempenho da malha, definido pelo usuário [=] u. t.

τD - tempo derivativo [=] u. t.

τI - tempo integral [=] u. t. / repetições

τj - parâmetros que caracterizam a dinâmica do sistema; j = 1 a 4 onde τ1 > τ2

τm - tempo morto [=] u. t.

DE - Distúrbio Externo [=] u.DE

FT - Função de Transferência

GC - função de transferência (FT) do controlador

GI/P - função de transferência (FT) do conversor I/P

GM - função de transferência (FT) do medidor/transmissor da PV

GMA - função de transferência (FT) global do processo GMA = Gp. Gv. GI/P. GT

GP - função de transferência (FT) do processo

GV - função de transferência (FT) da válvula

Kc - ganho do controlador [=] mA / mA

KI/P - ganho do conversor I/P [=] psi / mA

KM - ganho do transmissor da PV [=] mA / (u. e. da PV)

KMA - ganho global do processo = KP.KV.KI/P.KM.λα [=] adimensional

KP - ganho do processo [=] (u. e. da PV) / (u. e. da MV)

KV - ganho da válvula [=] (u. e. da MV) / psi

MA - Malha Aberta

MF - Malha Fechada

MV - variável manipulada (Manipulable Variable)

OP - sinal de saída do controlador

PV - variável de processo, variável controlada (Process Variable)

trMA – tempo de resposta em malha aberta, tempo para o processo atingir o estado estacionário para perturbação degrau [=] u. t.

u. e. - unidade de engenharia

u. t. - unidade de tempo

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6 . 1 4 . E x e r c í c i o s

(1) Considere um reator de mistura perfeita, no qual ocorrerá uma reação

homogênea endotérmica. Projete um sistema de controle feedback para esse processo.

Dados:

Vazão e concentrações na alimentação são constantes;

Temperatura da corrente de entrada = 70ºC;

Temperatura da corrente de saída = 50ºC;

Há necessidade de aquecimento do reator;

Fluido de aquecimento é vapor saturado;

(a) Faça um desenho simplificado do sistema de controle feedback identificando:

Elemento(s) primário(s) de medição;

Elemento(s) final(is) de controle;

Distúrbio(s);

Variável(is) controlada(s);

Variável(is) manipulada(s);

Malha de controle.

(b) Faça o diagrama de blocos associado.

(c) Identifique e justifique o tipo de controlador mais indicado para esse sistema (ação direta

ou reversa; modo P, PI ou PID).

(d) Se a reação fosse exotérmica, o que mudaria no controlador. Justifique.

(2) Examine os efeitos que valores diferentes do ganho do elemento de medição Km

irá produzir na resposta em malha fechada de um processo que tem a seguinte função de

transparência:

Equação 6-116 ( ) ( ) ( )1211

++=

sssGP

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Assuma que, H = Km, GV = 1, e que o controlador é proporcional com KC = 1.

(3) Considere dois tanques não interativos em série, veja figura abaixo. Nós

queremos controlar o nível do tanque 2 (hz), pela manipulação da vazão de alimentação q(t),

utilizando um controlador proporcional. Assuma que os tanques tem a mesma área transversal

(A = 5 ft2). Inicialmente o sistema está no estado estacionário com qs = 1 ft3/min e h1 = h2 = 3 ft.

Encontre os valores do ganho do controlador que:

(a) Produza uma resposta criticamente amortecida,

(b) Produza uma resposta subamortecida com razão de decaimento de ¼, em hz.

Obs.: A razão de decaimento de ¼ é, às vezes, utilizado como critério de ajuste de

controladores.

(c) Encontre a resposta dinâmica (resposta no tempo) do nível de líquido do tanque 1 (h1),

para uma perturbação degrau-unitário no set point de hz.

q(t)

h1

h2

q1

R1

q2

R2

Figura 6-34: Tanques não interativos em série.

(4) O sistema aquecedor-tanque com agitação, mostrando na Figura 6-35, é

controlado por um controlador P. Os seguintes dados são pertinentes ao problema:

w Vazão do líquido (cte) através do tanque [ = ] kg/min

V Volume de retenção do tanque [ = ] l

ρ Densidade do líquido [ = ] kg/l

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CP Capacidade calorífica [ = ] kcal/(kg.ºC)

Elemento final de controle: uma variação de ΔP atm do controlador faz variar o fluxo

de energia ΔQ kcal/min.

Elemento final de controle é linear.

Não há atraso na medição

To(t), w

Ti(t), w

vapor

condensadoTC

TT

Figura 6-35: Tanque de aquecimento com agitação.

Obtenha:

(a) O diagrama de blocos deste sistema indicando as funções de transferências (expressões

e unidades das constantes).

(b) Qual o valor máximo permitido para o ganho do controlador.

(5) O sistema aquecedor-tanque com agitação, mostrado na Figura 6-36, é

controlado por um controlador PI. Os seguintes dados são pertinentes ao problema:

w Vazão do líquido (cte) através dos tanques: 113.5 kg/min

V Volume de retenção de cada tanque: 283.2 l

ρ Densidade do líquido: 800 g/l

CP Capacidade calorífica: 1 kcal/(kg.ºC)

Elemento final de controle: uma variação de 1 atm do controlador faz variar o fluxo

de energia Q de 1,481.76 kcal/min.

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Elemento final de controle é linear.

Não há atraso na medição

Ti(t), w

vapor

condensado

T1(t), w

T2(t), w

TC

TT

Figura 6-36: Tanque não interativos com aquecimento.

Pede-se:

(a) Obtenha o modelo matemático do sistema;

(b) A partir do resultado anterior, obtenha o diagrama de blocos do sistema de controle.

Mostrar em detalhes as unidades e os valores numéricos dos parâmetros. Identifique a ação do

controlador (direta ou reversa);

(c) Para o controlador proporcional puro, quais os valores da constante proporcional para

que o sistema seja super, criti e sub-amortecido. Assuma perturbação degrau unitário no set

point.

(6) Um tanque pulmão de produtos intermediários, conforme Figura 6-37 está

instalado num processo. Acontecerá a ampliação da planta de modo que a vazão deste

produto intermediário duplicará.

Pede-se:

(a) Qual o ponto de operação (nível no estado estacionário) do tanque quando qs =

0.2m3/min, para R1 e R2;

(b) Para qs = 0.4 m3/min, há necessidade de trocar o tanque? Faça para R1 e R2, discuta os

resultados;

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(c) Para controlador PI, qual os valores do ganho proporcional (KC) que tornam o sistema

instável? (faça para R1 e R2);

h(t)

qi(t)

qo

R

LT

LC

Figura 6-37: Tanque pulmão.

Dados:

qs Vazão em estado estacionário antes da duplicação = 0.2 m3/min

A Área da seção transversal do tanque = 0.8 m2

hmax Altura máxima do tanque = 1.25 m

R1 Resistência ao fluxo de saída = 1.25m/(m3/min)

R2 Resistência ao fluxo de saída = 2.5 m/(m3/min)

q01(t) Fluxo de saída = 1R

h(t)

q02(t) Fluxo de saída = 2R

[h(t)]1/2

τI Tempo integral = 5 min

KV Ganho da válvula unitário. Não há atraso na resposta da válvula

Km Ganho do elemento de medição = 1

τm Constante de tempo do elemento de medição = 0.2 min

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(7) Considere o sistema indicado na Figura 6-38, onde K é um ganho ajustável e

G(s) e H(s) são componentes fixos. A função de transferência de malha-fechada para o

distúrbio N(s) é:

Equação 6-117 )K.G(s).H(s1

1N(s)C(s)

+=

Para minimizar o efeito dos distúrbios, o ganho ajustável K deve ser escolhido tão grande

quanto possível.

(a) Isto é também verdade para o sistema mostrado na Figura 6-39?

(b) Qual o valor que o ganho ajustável deveria assumir neste caso?

Obs.: Justifique sua resposta.

K)(sRΣ Σ

)(sH

)(sG

( )sN

( )sC

Figura 6-38: Diagrama de blocos a.

K)(sRΣ

Σ)(sH

)(sG

( )sN

( )sC

Figura 6-39: Diagrama de blocos b.

(8) Considere o processo mostrado na Figura 6-40.

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q5(t)

q1(t) q2(t)

q3(t)

qo(t)

m(t)

LV2

LV3

h1(t)

h2(t)

q4(t)

LV1

LY LC

LT

Figura 6-40: Tanques em séries com controle de nível.

As seguintes informações são fornecidas:

A densidade do líquido é constante.

A vazão de descarga dos tanques é dado por:

Equação 6-118 h/m ] [(t)..VPCv(t)q 3i iii == h

A vazão através da bomba é dada por:

Equação 6-119 [ ] /hm] [4-m(t).K(t)q 3b3 ==

Onde,

CVi Coeficiente de vazão da válvula, constante

VPi Posição da válvula, constante

M(t) Energia fornecida à bomba

A válvula de controle pode ser representado por um sistema de 1a (primeira) ordem

de ganho Kv e constante de tempo τv.

Os diâmetros dos tanques são D1 e D2.

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O transdutor de sinal I/P (LY1) e o transmissor (LT1) não têm atraso e apresentam

ganhos KLY e KLT, respectivamente.

Os distúrbios são q1(t) e m(t).

Controlador Proporcional + Integral.

Obtenha o diagrama de blocos, indicando as funções de transferência com suas constantes

de tempo, ganhos, e as seguintes variáveis desvio no domínio de Laplace Q1(s), Q2(s), M(s),

H2(s).

(9) Considere o processo mostrado na Figura 6-41. Nós queremos manter a

temperatura T3 em um determinado valor manipulando as vazões de vapor d’água q1,st e q2,st.

Tanque 1

T1(t), q

vapor

condensadoq1,st(t)

Tanque 2

T2(t), q

T3(t), q

vapor

condensado

q2,st(t)

Figura 6-41: Tanques em série com aquecimento.

As seguintes informações são fornecidas:

Vazão do produto constante, q = cte.

A temperatura de entrada T1(t) é o principal distúrbio.

A dinâmica dos dois tanques de aquecimento é dada por

Equação 6-120 ( ) ( ) ( )sQs

KsTs

sT 11

11

12 .

1..

1.1

++′

+=′

ττ

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Equação 6-121 ( ) ( ) ( )sQs

KsTs

sT 22

22

23 .

1..

1.1

++′

+=′

ττ

Onde,

τ1 = 4 ; τ2 = 10

K1 = 0.2 ; K2 = 0.1

Obs.: T’1(s), T’2(s), T’3(s), Q1(s), Q2(s) são variáveis desvio no domínio de Laplace.

O controlador é proporcional.

O ganho do elemento final de controle e do elemento de medição é unitário; a

dinâmica do elemento final de controle e do elemento de medição é desprezível.

É disponível apenas uma válvula de controle e uma válvula de acionamento

manual.

Duas alternativas são possíveis:

A - Elemento de controle atuando sobre q1,st, e q2,st submetida a uma válvula de

acionamento manual;

B - Elemento final de controle atuando sobre q2,st, e q1,st submetida a uma válvula de

acionamento manual.

Pede-se

(a) Identifique:

(1) Variável controlada,

(2) Variável manipulada.

(b) Decida, e justifique, qual o melhor local de instalação do elemento sensor de

temperatura.

(c) Faça os diagramas de blocos (para os casos A e B), identificando as funções de

transferência, com seus ganhos e ctes de tempo (valores); indique no diagrama de blocos

T’1(s), T’2(s), T’3(s), Q1(s), Q2(s).

(d) Estude para KC = 0.1 e KC = 50:

(1) Offset,

(2) Fator de amortecimento,

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(3) Período natural de oscilação;

(4) Estabilidade absoluta.

(e) Com base nas conclusões anteriores, decida, entre as alternativas A e B, qual o melhor

local de instalação do elemento final de controle.

(10) Seja o tanque de aquecimento com agitação conforme a Figura 6-42. A

temperatura e a vazão da alimentação podem variar com o tempo. Para manter este processo

nas condições desejadas são necessários dois controladores: um do nível do tanque, outro da

temperatura de saída do produto. O nível é controlado manipulando a vazão de descarga do

tanque, enquanto a temperatura pela vazão de vapor saturado.

T1(t), q1(t)

T0(t), q0(t)

vapor

condensado

LCLT

TC

TT

Figura 6-42: Tanque de aquecimento com agitação.

Dados complementares:

Controlador PID para temperatura de PI para nível;

Ganho da válvula de vazão de vapor KV1;

Ganho da válvula de vazão do produto KV2;

Constante de tempo da válvula de vazão de vapor τV1;

Constante de tempo da válvula do produto τV2;

Os transdutores/transmissores tem ganhos KTT e KLT para malha de temperatura e

nível, respectivamente;

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Existe um tempo morto na medida de temperatura dado por τm.

Obtenha o diagrama de blocos correspondente ao sistema de controle deste processo,

indicando as expressões de todas as funções de transferências.

(11) Seja o diagrama de blocos da Figura 6-43.

R GC2Σ

Gm2

Σ

U1

GP1

Gm1

Σ GC1 GY GV Σ GP2

U2

-

+

+-

+

++

+

Figura 6-43: Diagrama de blocos exercício (11).

Obtenha as seguintes funções de transferência:

(a) RC

(b) 1U

C

(c) 2U

C

(12) Duas correntes 1 e 2 são misturadas em tanque de mistura bem agitado,

originando a corrente 3, conforme a Figura 6-44. Cada corrente é composta de duas

substâncias A e B, com concentrações molares CA1, CB1 e CAZ, CBZ, respectivamente. Seja

também v1 e v2 as vazões volumétricas e T1 e T2 suas temperaturas. Uma serpentina está

submersa no líquido o tanque com a finalidade de aquecer a mistura.

Dados:

ρ1 = ρ2 = ρ3 = ρ constante

Cp1 = Cp2 = Cp3 = Cp = constante

CA1 >> CA2

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v1 << v2

Pede-se:

(a) O modelo matemático deste processo;

(b) Identifique as variáveis manipuladas e controladas, justifique sua resposta;

(c) O diagrama de bloco do sistema de controle deste processo, para sistema

isotérmico. Identifique a ordem das funções de transferências, suas constantes de tempo e

ganhos (expressões matemáticas).

Figura 6-44: Tanque de mistura.

(13) Um sistema de controle feedforward pode ser descrito pelo diagrama de blocos

da Figura 6-45.

CGR

Σ

mG

U

2PGΣ VGQ 1PG C

+-

++E

FB

PAGFWG

FW

Figura 6-45: Diagrama de blocos para sistema de controle feedforward.

Pede-se:

(a) Prove que a resposta do sistema a uma perturbação no set point independe da função

de transferência do feedforward GFW.

(b) Obtenha a expressão de GFW em função das outras funções de transferência. Observe

que o ideal é que a variável controlada não se modifique apesar de ocorrer perturbações na

carga do sistema.

(14) Um sistema de controle multivariável pode ser descrito pelo diagrama de blocos

da Figura 6-46:

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1CGΣ

+ -

R1E1

1VG Σ

+

+11PG Σ

C1

1mG

2CGΣ

+ -

R2E2

2VG 22PG Σ

2mG

C2

12DG 12PG

Figura 6-46: Diagrama de blocos para exercício (14).

Pede-se:

(a) Prove que resposta da variável controlada C1 a uma perturbação no set point R1

independe da função de transferência do desacoplamento D12.

(b) Obtenha a expressão de D12 em função das outras funções de transferência.

Observe que o ideal é que a variável controlada C1 não se modifique apesar da malha de

controle 2 continuar atuando.

(15) Para a questão 4.03 pede-se:

(a) Especifique a ação do controlador (direta ou reversa) e o modo do controlador

mais adequado (P, PI ou PID). Justifique sua resposta.

(b) Diagrama de blocos representativo deste sistema identificando as dimensões de

cada sinal, as funções de transferência de cada bloco (os valores e dimensões dos ganhos,

constantes de tempo e tempos mortos).

(c) Estabeleça as restrições que os parâmetros do controlador de temperatura

devem obedecer para o sistema ser estável.

Sugestão: Aproxime o sistema por uma função de transferência de 1a ordem com tempo

morto.

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(16) Para a questão 4.04 pede-se:

(a) Fluxograma simplificado de engenharia do sistema de controle deste processo,

indicando os instrumentos necessários (transmissores, controladores, conversores, etc.). Listar

as suposições que devem ser feitas para completar este projeto.

(b) O modo (P, PI ou PID) e a ação (direta ou reversa) mais recomendada para o(s)

controlador(es). Justifique sua resposta.

(c) O diagrama de blocos deste sistema de controle com suas funções de

transferências (valores e unidades dos parâmetros).

(d) Relações para a sintonia do controlador que tornam o sistema estável. Justifique

sua resposta.

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Í N D I C E

CAPÍTULO 7. ESTABILIDADE DE SISTEMAS LINEARES 7-2

7.1. CRITÉRIO GERAL DE ESTABILIDADE 7-3 7.2. CRITÉRIO DE ROUTH-HURWITZ PARA ESTABILIDADE 7-4 7.3. MÉTODO DA SUBSTITUIÇÃO DIRETA 7-7 7.4. MÉTODO DO LUGAR DAS RAÍZES 7-8 7.5. EXERCÍCIOS 7-12

Í N D I C E D E T A B E L A S Tabela 7-1: Teste de estabilidade de Routh. 7-6 Tabela 7-2: Raízes da equação característica (Equação 7-37). 7-9

Í N D I C E D E F I G U R A S Figura 7-1: Diagrama de blocos de um sistema de controle. 7-2 Figura 7-2: Diagrama de blocos de um sistema de controle. 7-3 Figura 7-3: Diagrama de blocos para Exemplo (2). 7-6 Figura 7-4: Diagrama do lugar das raízes para Equação 7-37. 7-10 Figura 7-5: Exercício (3) – Tanque pulmão. 7-13 Figura 7-6: Diagrama de bloco do Exercício (4). 7-14

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C A P Í T U L O 7 . E S T A B I L I D A D E D E S I S T E M A S L I N E A R E S

Exemplo (1 ) Seja um processo representado pela sua função de transferência C(s):

Equação 7 -1 )(.1

5)(.1

10)( sDs

sMs

sC−

+−

=

Como o pólo da função de transferência, raiz da função de transferência, é p1 = +1 , com

parte real positiva, este processo é instável.

Vamos submeter este processo a um controle feedback com controlador proporcional. Veja

o diagrama de blocos na Figura 7-1.

D(s)

Σ C(s)CK

( )sRΣ

M(s)

110−s

+

+-

+

15−s

1

F igura 7 -1 : D iagrama de b locos de um s is tema de co nt ro le .

Então a resposta do sistema em malha fechada será:

Equação 7 -2 )(.).101(

5)(.).101(

.10)( sD

KssR

KsK

sCcc

c

−−+

−−=

Para este sistema ser estável implica que,

Equação 7 -3 0 )10.K - (1 C <

Então,

Equação 7 -4 0.1 K C >

Portanto, KC > 0.1 o sistema será estável em malha fechada, apesar de o processo ser

instável em malha aberta.

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7 . 1 . C r i t é r i o G e r a l d e E s t a b i l i d a d e

“Um sistema dinâmico é considerado estável se para toda entrada limitada o resultado é

uma saída limitada, qualquer que seja a condição inicial.”

U

Σ CErroCGR Σ

M+

+-

+

H

1G 2G

B

F igura 7 -2 : D iagrama de b locos de um s is tema de co nt ro le .

Equação 7 -5 UHG

GRHG

GUHGGG

GRHGGG

GGGCcc

c ..

..

....

....

..+

++

=+

++

=1111

2

1

2

1

21

Onde, G = GC.G1.G2

G.H ≡ Função de Transferência de Malha Aberta

1 + G . H = 0 ≡ Equação Característica

Observações:

1. Os denominadores dos termos são os mesmos;

2. As raízes da equação característica determinam, após aplicar a transformada inversa, a

forma da solução no tempo;

3. Como o estímulo é limitado a estabilidade do sistema depende apenas das raízes da

equação característica;

4. Como já vimos, se alguma raiz da equação característica estiver no semi-plano direito

do plano complexo o sistema é instável;

5. Para processos capacitivos puros entradas limitadas provocam saídas ilimitadas, por

exemplo para perturbação degrau.

“A estabilidade de um sistema de controle é determinada apenas pela sua função de

transferência na malha aberta através das raízes da equação característica.”

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Exemplo a:

Equação 7 -6 1

10 1, G ,K G 1, H 21CC −====

sG

Equação 7 -7 1

10 .K 1 .H.G.GG 1 G.H 1 C21C −+=+=+

s

s – 1 + 10 . KC = 0 → P1 = 1 – 10.KC (raiz da equação característica )

Se P1 ≥ 0 → Sistema Instável

Então KC > 0.1 → Sistema Estável

Exemplo b:

Equação 7 -8 1 G , .

11. 1, H 11

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+==

sKG CC τ

Equação 7 -9 2.2

122 ++

=ss

G

Equação 7 -10 02.2

1..

11.1.1 21

=++⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛++=+

sssKHG C τ

Para KC = 100 e τ1 = 0.1:

Equação 7 -11 j.11.5 2.29

j.11.5 2.290 7.185-

0 1000 102.s 2.s s 23

⎪⎩

⎪⎨

−+→=+++

→ O sistema é instável, pois a parte real de alguma das raízes é positiva.

7 . 2 . C r i t é r i o d e R o u t h - H u r w i t z p a r a E s t a b i l i d a d e

Equação 7 -12 0, n .sn ... .sa G.H1 a1-an

o =+++=+

Onde ao > 0

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1. Se algum coeficiente a1, ..., na é negativo, existe ao menos uma raiz da equação

característica com parte real positiva, portanto o sistema é instável.

2. Se todos os coeficientes são positivos, forme o seguinte arranjo:

Coluna 1 ao a2 a4 a6 ...

2 a1 a3 a5 a7 ...

3 A1 A2 A3 ... ...

4 B1 B2 B3 ... ...

5 C1 C2 C3 ... ...

... ... ... ... ... ...

n + 1 W1 W2 W3 ... ...

Onde,

Equação 7 -13

....

...

....

1

31312

1

21211

1

31512

1

21311

1

7613

1

5412

1

3211

BBAAB

CB

BAABC

AAaaA

BA

AaaAB

aaaaa

Aa

aaaaA

aaaaa

A ooo

−=

−=

−=

−=

−=

−=

−=

(a) Se alguma dos elementos da primeira coluna for negativo, temos ao menos uma raiz do

lado direito do eixo imaginário e o sistema é instável.

(b) O número de trocas de sinais entre esses elementos é igual ao número de raízes do

lado direito do eixo imaginário.

Este critério permite avaliar as condições críticas de estabilidade de um sistema: quais os

valores de KC, τI, τP que tornam um sistema instável, ou seja, permite avaliar a estabilidade

absoluta do sistema.

Exemplo (2 ) Seja um processo descrito pela seguinte função de transferência:

Equação 7 -14 )1().(1((

12.2

1)( 2 jsissssGP +−−+−−

=++

=

Portanto, estável pois os pólos têm parte real negativa.

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Submetendo este processo a um sistema de controle feedback com controlador PI,

assumindo todas as demais funções de transferência do sistema iguais a 1, obtemos o

seguinte diagrama de blocos:

C⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

sK

IC τ

11R(s) Σ+

-22

12 ++ ss

F igura 7 -3 : D iagrama de b locos para Exemplo (2 ) .

A estabilidade deste sistema é dada pela equação característica:

Equação 7 -15 0 G(s).H(s) 1 =+

Ou seja,

Equação 7 -16 02.2

1..

11.1 21

=++⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛++

sssKc τ

Logo,

Equação 7 -17 0 1) .s( .K 2) 2.s .s(s( 1C2

1 =++++ ττ

Ou melhor,

Equação 7 -18 0)2(2. 112

13

1 =++++ CC KsKss ττττ

A depender dos valores ajustados para os parâmetros do controlador este sistema pode ser

estável ou instável, pois diferentes KC e τ1 implica em diferentes coeficientes da equação

característica podendo ocorrer raízes com parte real positiva.

Aplicando o teste de estabilidade de Routh:

Tabe la 7 -1 : Tes te de es tab i l idade de Routh .

1 τ1 2. τ1+ KC.τ1

2 2.τ1 KC

3

1

11112

22τ

τ−τ+ττ.

)).(()..).(.( cc KK0

4 KC

Como KC e τ1 são sempre positivos então para este sistema ser estável

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Equação 7 -19 0.2

)).(()..2).(.2(

1

1111 >−+

τττττ cc KK

Ou seja,

Equação 7 -20 0...2.4 22 >−+ cIcII KK τττ

Dividindo por τ1(pois, τ1 ≠ 0) e rearranjando:

Equação 7 -21 0).1.2(.4 1 >−+ cI Kττ

Desta equação concluímos que para valores de τ ≥ 0.5, o sistema é sempre estável,

qualquer que seja o valor do ganho do controlador, porém para valores de τ < 0.5 o ganho do

controlador é limitado pela seguinte restrição:

Equação 7 -22

12

12

1−

τ

<

.

cK

Com este exemplo demonstramos a utilidade do Critério de Routh para sintonia de

controladores.

7 . 3 . M é t o d o d a S u b s t i t u i ç ã o D i r e t a

O eixo imaginário divide o plano complexo em uma região estável (à esquerda da ordenada)

e outra instável (à direita do eixo vertical), isto é, a localização das raízes da equação

característica determina a estabilidade de um sistema de controle.

Portanto, o eixo imaginário (s = 0+j.w), quando a parte real da(s) raiz(es) da equação

característica é igual a zero delimita a região de estabilidade do sistema, logo fazendo:

Equação 7 -23 j.ws =

Em,

Equação 7 -24 01 G(s).H(s) =+

Obtemos expressões que delimitam a estabilidade do sistema: regiões nos quais a parte

real das raízes do denominador da FT assumem valor negativo.

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Exemplo (3 ) Seja o diagrama de blocos mostrado na Figura 7-4. O controlador é do tipo proporcional puro, a

válvula e o transmissor são modelados por modelos instantâneos (processo de ordem zero), e

o processo por um sistema de 1ª ordem. Utilizando o Método de Substituição Direta determine

o valor máximo que o ganho do controlador pode assumir.

F igura 7 -4 : D iagrama de b locos de um s is tema de co nt ro le .

A estabilidade é dada por

Equação 7 -25 0...1 =+ TCVp GGGG

Substituindo na Equação 7-25 as funções de transferência de cada componente, obtém-se:

Equação 7 -26 0...1.

1 =+

+ TCVP

p KKKs

Equação 7 -27 0...1. =++ TCVpP KKKKsτ

Equação 7 -28 ( ) 0...1.. =++ TCVpP KKKKwjτ

Portanto se τp > 0 a raiz do denominador não cruza o eixo imaginário e o sistema é sempre

estável.

7 . 4 . M é t o d o d o L u g a r d a s R a í z e s

“Lugar das Raízes é um procedimento gráfico de busca das raízes da equação

característica, à medida que os parâmetros de G.H variam continuamente.”

Equação 7 -29 0 G.H 1 =+

Exemplo (4 ) Seja o diagrama de blocos da Figura 7-2. No plano complexo assinale as raízes da equação

característica à medida que o ganho do controlador aumenta.

Onde GC = KC (controlador proporcional puro)

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Equação 7 -30 ( ) 1.

11.

11.

12

22

11 +

=+

=+

=s

Hs

Gs

GHτττ

Portanto, a equação característica deste processo é:

Equação 7 -31 ( )

01.

1.1.

1.1.

1.1...1.1 221

21 =+++

+=+=+sss

KHGGGHGH

cc τττ

Que pode ser escrita da seguinte forma:

Equação 7 -32 ( )( ) ( ) 0..

.. 321

221 =+−−−

H

CH

Kpspsps

τττ

Onde,

Equação 7 -33 HHppp τττ /1/1/1 2211 −=−=−=

Para,

Equação 7 -34 35.485.245.1 221 −=−==−= Hba pppp

Variando o valor de KC, podemos construir o Lugar das Raízes, veja a Tabela 7-2 que

corresponde à Figura 7-5.

Tabe la 7 -2 : Ra ízes da equação ca rac t er ís t ica (Equação 7 -32 ) .

KC p1 pa2 pb

2 pH

0.0 -1.45 -2.85 -2.85 -4.35

1.0 -1.71 -2.30 + j(0.90) -2.30 + j(0.90) -4.74

5.0 -1.98 -1.71 + j(1.83) -1.71 + j(1.83) -5.87

20.0 -2.15 -1.09 + j(3.12) -1.09 + j(3.12) -7.20

50.0 -2.20 -0.48 + j(4.35) -0.48 + j(4.35) -8.61

100.0 -2.24 +0.35 + j(5.40) +0.35 + j(5.40) -9.75

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F igura 7 -5 : D iagrama do lugar das ra ízes para Equação 7 -32 .

Exemplo (5 ) Seja o diagrama de blocos mostrado na Figura 7-2. Para as funções de transferência a

seguir estude a estabilidade desse sistema.

Dados:

Equação 7 -35 1.3

15, 1 +===

sGGkG vcc

Equação 7 -36 1

7,01.240

212 +

=∴+

==s

Hs

GG p

Solução: a equação característica deste sistema é:

Equação 7 -37 01

7,0.1.240

21.1.3

15.1.1 =+++

+=+sss

KHG c

Equação 7 -38 0.5,2201.244.963.720 23 =++++ cKsss

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Fazendo s = j.w obtemos

Equação 7 -39 ( ) ( ) 0.720.244.963.5,2201 32 =−+−+ wwjwKc

Portanto para que as raízes estejam no eixo imaginário a parte real e a parte imaginária

devem ser iguais a zero, isto é:

Equação 7 -40 0.963.5,2201 2 =−+ wKc

E,

Equação 7 -41 ( ) 0.720244..720.244 23 ww ww =−=−

Então da Equação 7-41, as raízes que anulam a parte imaginária são:

Equação 7 -42

582,0582,0

0

−=+=

=

www

A raiz w = 0 é a solução trivial e equivale ao estado estacionário, portanto as raízes que

interessam são as diferentes de zero. Substituindo w = ±0,582 na Equação 7-40, o valor que

anula a parte real é

Equação 7 -43 4755,1=cK

Resolvendo a Equação 7-38 para diferentes valores de Kc se obtém as raízes do

denominador da função de transferência em malha fechada para várias sintonias (Lugar das

Raízes). A seguir é apresentado as instruções no MATLAB ® para construir o gráfico do lugar

das raízes (“root locus”):

Gv = tf( [ 15 ] , [ 3 1 ] ) % Função de transferência da válvula

Gp = tf( [ 21 ] , [ 240 1 ] ) % Função de transferência do processo

GT = tf( [ 0.7 ] , [ 1 1 ] ) % Função de transferência do transmissor

GMA = series(series(Gp,Gv),GT) % Função de transferência da malha aberta

rlocus(GMA) % Lugar das raízes

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Figura 7-6: Lugar das raízes para o exemplo 3 – sistema estável para 0 < Kc < 1,4755

Neste exemplo o controlador deve ter ação reversa (AR), pois sendo

KMA = Kp . KV . KT > 0 o coeficiente que multiplica o ganho do controlador também deve ser +1.

7 . 5 . E x e r c í c i o s

(1) Examine os efeitos que valores diferentes do ganho do elemento de medição Km

irá produzir na resposta em malha fechada de um processo que tem a seguinte função de

transferência:

Equação 7 -44 )12)(1(

1)(++

=ss

sGP

Assuma que, H = Km, Gv = 1, e que o controlador é proporcional com KC = 1.

Demonstre que este sistema é sempre estável.

(2) Discuta as seguintes afirmações:

(a) um sistema em instável em malha aberta não pode ser controlado.

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(b) Um sistema em malha fechada (feedback) de 1ª ordem com tempo morto é mais estável

que um sistema feedback de 2ª ordem.

Observações:

Justifique e demonstre suas conclusões As afirmações podem ser falsas.

(3) Um tanque pulmão de produtos intermediários, conforme figura abaixo está

instalado num processo. Acontecerá a ampliação da planta de modo que a vazão deste

produto intermediário duplicará.

Pede-se:

(a) qual o ponto (nível no estado estacionário) do tanque quando qs = 0.2 m3/min, para R1 e R2;

(b) para qs =0.4 m3/min, há necessidade de trocar o tanque? Faça para R1 e R2, discuta os

resultados;

(c) para controlador PI, qual os valores do ganho proporcional (KC) que tornam o sistema

instável? (faça para R1 e R2);

qi(t)

h(t)LTLC

LY

qo(t)R

F igura 7 -7 : Exerc íc io (3 ) – Tanque pu lmão .

Dados:

qs Vazão em estado estacionário antes da duplicação = 0.2 m3/min

A Área da seção transversal do tanque = 0.8 m2

Hmax Altura máxima do tanque = 1.25 m

R1 Resistência ao fluxo de saída = 1.25m/(m3/min)

R2 Resistência ao fluxo de saída = 2.5 m/(m3/min)

q01(t) Fluxo de saída = 1

)(R

th

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q01(t) Fluxo de saída = 2

)(R

th

τI Tempo integral = 5.0 min

Kv Ganho da válvula unitário. Não há atraso na resposta da válvula

Km Ganho do elemento de medição = 1.0

τm Constante de tempo do elemento de medição = 0.2 min

(4) Considere um sistema de controle cujo diagrama de blocos é dado na Figura

7-8. Obtenha a relação entre KC e τm que torna o sistema estável.

Dados:

Controlador é proporcional puro, com ganho Kc O ganho da válvula de controle é unitário

A constante de tempo da válvula é τv = 2

O ganho do transmissor é unitário

A constante de tempo do transmissor é τT = 1

A função de transferência Gp1 é caracterizado por ter apenas tempo morto τm;

A função de transferência Gpz é caracterizado por ter ganho 10.5 e constantes de tempo τP1 = 2.3, τP2 = 7.9 e τP3 = 15.0

GP2

Σ C(s)GC

( )sRΣ GV

+

+-

+

Gm

GP1

F igura 7 -8 : D iagrama de b loco do Exerc íc io (4 ) .

(5) Estabeleça a relação entre as sintonias do controlador mestre e o escravo, para

um controle em cascata, com o controlador mestre e escravo proporcionais, que torne o

sistema estável. Assuma que o GMA da malha mestre e da malha escrava são de 1ª ordem.

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(6) Repita o exercício (5) assumindo que o GMA da malha mestre e da malha

escrava são de 1ª ordem com tempo morto.

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Í N D I C E

CAPÍTULO 8. ESTRATÉGIAS DE CONTROLE 8-3

8.1. CONTROLE EM CASCATA 8-3 8.2. CONTROLE POR RELAÇÃO 8-5 8.3. COMBINAÇÃO DE CONTROLE EM CASCATA E POR RELAÇÃO 8-7 8.4. CONTROLE ANTECIPATÓRIO 8-8 8.5. COMBINAÇÃO DE CONTROLE POR REALIMENTAÇÃO E ANTECIPATÓRIO 8-10 8.6. CONTROLE POR INTERVALO DIVIDIDO (SPLIT-RANGE) 8-12 8.7. CONTROLE SELETIVO 8-13 8.8. CONTROLE COM BANDA MORTA E GANHO NÃO-LINEAR 8-14 8.9. COMPENSAÇÃO DO TEMPO MORTO 8-15 8.10. DESACOPLAMENTO 8-17 8.11. CONTROLE ADAPTATIVO 8-20 8.12. GANHO PROGRAMADO (GAIN SCHEDULING) 8-22 8.13. CONTROLE INFERENCIAL 8-22 8.14. EXERCÍCIOS 8-25

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Í N D I C E D E F I G U R A S Figura 8-1: Sistema de controle em cascata. 8-3 Figura 8-2: Controle de temperatura da camisa de um CSTR. (a) convencional; (b) cascata. 8-4 Figura 8-3: Diagrama de bloco. (a) Malha aberta; (b) Convencional; (c) Cascata. 8-5 Figura 8-4: Controle por relação. 8-5 Figura 8-5: Sistema de controle por relação. 8-7 Figura 8-6: Combinação de controle em cascata com controle relação. 8-8 Figura 8-7: Mistura de duas correntes. 8-8 Figura 8-8: Controle feedback/feedforward. 8-9 Figura 8-9: Combinação de controle feedback/feedforward. 8-11 Figura 8-10: Diagrama de bloco para controle feedback. 8-12 Figura 8-11: Diagrama de bloco para controle feedforward. 8-12 Figura 8-12: Controle split-range. 8-13 Figura 8-13: Controle split-rante. 8-13 Figura 8-14: Exemplo de sistema com controle seletivo. 8-14 Figura 8-15: Diagrama esquemático do compensador de tempo morto. 8-16 Figura 8-16: Diagrama de blocos para o Preditor de Smith. 8-16 Figura 8-17: Diagrama de bloco para sistema MIMO. 8-18 Figura 8-18: Função de transferência em s de um sistema MIMO 2x2. 8-19 Figura 8-19: Sistema MIMO 2x2 com desacoplamento no domínio s. 8-19 Figura 8-20: Controlador adaptativo. 8-21 Figura 8-21: Controle adaptativo por ganho programado. 8-22 Figura 8-22: Diagrama de blocos de sistema 2x2 em malha aberta. 8-23 Figura 8-23: Diagrama de blocos de sistema de controle inferencial. 8-24 Figura 8-24: Diagrama de blocos de sistema de controle inferencial com atualização do modelo. 8-25 Figura 8-25: Fluxograma para exercício (1). 8-26 Figura 8-26: Fluxograma para o exercício (2). 8-28 Figura 8-27: Fluxograma para o exercício (3). 8-29 Figura 8-28: Fluxograma para o exercício (4). 8-30

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C A P Í T U L O 8 . E S T R A T É G I A S D E C O N T R O L E

8 . 1 . C o n t r o l e e m C a s c a t a

Uma das aplicações do controle em cascata é evitar que aconteçam perturbações não

desejadas na variável manipulada. Por exemplo, no sistema de resfriamento de um reator a

vazão para a camisa é a variável manipulada, porém pode acontecer, devido a mudança na

pressão a montante ou a jusante da válvula de controle que esta vazão se modifique, apesar

da saída do controlador se manter constante. Neste caso, é aconselhável acrescentar um

controlador de vazão de líquido refrigerante, sendo que o set point deste controlador é a saída

do controlador de temperatura do reator (vide Figura 8-1).

reagenteA

reagenteB

catalisador

FY3

FC3

FT3

TI3

FY2

FC2

FT2

TI2

FY4

FC4

FT4

fluidorefrigerante

FY1

FC1

FT1

TT1

TC1

TI5

C + D

AI1

AC1

Controladorprimário

Controladorsecundário

F igura 8 -1 : S is tema de cont ro le em cascata .

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F igura 8 -2 : Cont ro le de tempera t ura da camisa de um CSTR. (a ) con venc iona l ; (b )

cascata .

Page 216: [Apostila] Controle de Processos - UFBA

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Figura 8-3: Diagrama de bloco. (a) Malha aberta; (b) Convencional; (c) Cascata.

8 . 2 . C o n t r o l e p o r R e l a ç ã o

Quando se deseja manter a razão entre duas vazões constantes é interessante utilizar o

controle por relação. Por exemplo, deseja-se manter constante a composição de uma

determinada corrente, para tanto, modula-se a vazão de uma segunda corrente:

q2(t), CA2(t), CB2(t)

FT1

FY1

FC1

q1(t), CA1(t), CB1(t)

FT2

FFC2

Estaçãode razão

q3(t), CA3(t), CB3(t)

CA3 - Variável controlada q2 - Variável manipulada

F igura 8 -4 : Cont ro le por re lação .

Page 217: [Apostila] Controle de Processos - UFBA

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√ Balanço de massa global

Equação 8 -1 ( ) ( ) ( )tqtqtqdtdm

321 −+=

√ Balanço do molar por componente

Equação 8 -2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )tCtqCtqtCtqdt

dmAAA

A332211 ... −+=

Equação 8 -3 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )tCtqCtqtCtqdt

dmBBB

B332211 ... −+=

√ Estado estacionário

Equação 8 -4 ssssss qqq ,,, 213 +=

Equação 8 -5 ( ) ssAssssAssssAssssssAss CqCqCqqCq ,,,,,,,,, .... 221132133 +=+=

Equação 8 -6 ssBssssBssssBss CqCqCq ,,,,,, ... 221133 +=

Admitindo que a variável manipulada não contém A, então CA2 = 0 e da Equação 8-5,

obtemos:

Equação 8 -7 121

1AAB C

qqqC .+

=

Obs: Para simplificar omitimos o subscrito ss. Se,

Equação 8 -8 12

112 AAB C

qqCqq .≅⇒>>

Então para CA1 constante, manipulando a razão 21 qq controla-se a composição na saída

do processo. Portanto, se a vazão q1(t) mudar a estação de razão, que tem a incumbência de

atender a relação 21 qq , modificará a vazão q2(t).

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reagenteA

reagenteB

catalisador

FY3

FC3

FT3

TI3

FY2

FC2

FT2

TI2

FY4

FC4

FT4

fluidorefrigerante

FY1

FC1

FT1

TT1

TC1

TI5

C + D

AI1

FFC2

F igura 8 -5 : S is tema de cont ro le por re lação .

8 . 3 . C o m b i n a ç ã o d e C o n t r o l e e m C a s c a t a e p o r R e l a ç ã o

O sistema de controle dos processos industriais são, freqüentemente, a combinação de

diversas estratégias de controle, por exemplo, combinação de controle em cascata com

controle por relação.

Esta combinação de sinais podem ser de diversas maneiras, por exemplo, pode ser uma

média ponderada (OUT) de sinais vindo da malha feedback (FB) e da malha por relação (FF).

Equação 8 -9 ( ) FFFBOUT .. ℜ−+ℜ= 1

Se ℜ = 0 ⇒ Controle por relação

Se ℜ = 1 ⇒ Controle em cascata

Se 0 < ℜ < 1 ⇒ Combinação cascata/relação

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reagenteA

reagenteB

catalisador

TI3

FY2

FC2

FT2

TI2

FY4

FC4

FT4

fluidorefrigerante

FY1

FC1

FT1

TT1

TC1

TI5

C + D

AI1

AC1

FFC2

FY3

FC3

FT3

FX1

FF

OUT

FB

F igura 8 -6 : Combinação de cont ro le em cascat a com cont ro le re lação .

A

B

A

B

FT101

FT102

FY101A

FY102A

FY102B

FY101B

A2A

B2

B

FIC101

B

SP

Estaçãode razão

B/A

F igura 8 -7 : M is tu ra de duas cor ren tes .

8 . 4 . C o n t r o l e A n t e c i p a t ó r i o

Quando o processo está submetido à grandes perturbações na carga ou quando não

permite muitas oscilações o emprego do controle antecipatório pode melhorar o desempenho

do processo.

Na Figura 8-8 vemos a representação em diagramas de blocos do controle feedforward.

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GCE FBΣ GP1

OUT QGVR

Gm

-+

Σ+

+

+

GP3

U

FF

GFF

GP2C

F igura 8 -8 : Cont ro le feedback / f eed forward .

A resposta desse sistema de controle C a uma perturbação na carga U e no set point R é

dada por:

Equação 8 -10 UGGGGG

GGGGGGRGGGGG

GGGGCmPPVC

PPPPVFF

mPPVC

PPVC

21

2321

21

21

11 ++

++

=

O ideal é o que o sistema não sinta o efeito da perturbação na carga:

Equação 8 -11 0...0 2321 =+⇒= PPPPVFF GGGGGGUC

Então,

Equação 8 -12 1

3

. PV

PFF GG

GG =

Se,

Equação 8 -13 vv KG =

Se,

Equação 8 -14 1.

1

11 .

1.ms

P

PP e

sG τ

τ−

=

Equação 8 -15 3.

3

33 .

1.ms

P

PP e

sG τ

τ−

=

Então,

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Equação 8 -16 ( )( )

( )13.1.1..

. 3

1

1

3 mms

P

P

PV

PFF e

ss

KKKG ττ

ττ −−

++

−=

Para que a Equação 8-15 seja fisicamente exeqüível, é necessário que:

Se,

Equação 8 -17 13 mm

ττ ≥

Assumindo

Equação 8 -18 ( ) ( )1.

21

11 .

1..1.ms

PP

PP e

ssG τ

ττ−

++Κ

=

Então,

Equação 8 -19 ( ) ( )

( )( )13.

1.1..1..

. 3

21

1

3 mms

P

PP

PV

PFF e

sss

KKKG ττ

τττ −−

+++

−=

Que não é fisicamente exeqüível, pois o grau do numerador é maior que o grau do

denominador, nesses casos temos que fazer aproximações, por exemplo, utilizando o lead-lag.

A constante de tempo de lead é:

Equação 8 -20 21 PPld τττ +=

Então, a constante de tempo do lag é:

Equação 8 -21 3lg Pττ =

√ Aproximação utilizando o LEAD-LAG A Equação 8-15 pode ser aproximada através do uso do lead-lag com tempo morto:

Equação 8 -22 ( )( )

FFmsldFFFF e

ss

KG ..

lg

.1.1.

. τ

ττ −

++

−=

8 . 5 . C o m b i n a ç ã o d e C o n t r o l e p o r R e a l i m e n t a ç ã o e A n t e c i p a t ó r i o

Semelhante a combinação cascata/relação podemos combinar o feedforward com o

feedback ou com o controle em cascata. Por exemplo, na Figura 8-8 o sinal que vai para a

válvula de controle é a soma do sinal feedback (FB) com feedforward (FF): OUT = FB + FF

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Podemos implementar o controle (S) feedforward em combinação com feedback no sistema

de controle da Figura 8-1:

reagenteA

reagenteB

catalisador

TT3

FY2

FC2

FT2

TT2

FY4

FC4

FT4

fluidorefrigerante

FY1

FC1

FT1

TT1

TC1

TI5

C + D

AT1

AC1

FY3

FC3

FT3

FX1

OUTFB

Cálculo daquantidade de

catalisadorFF

Cálculo dacarga deprocesso

F igura 8 -9 : Combinação de cont ro le feedback / feed forward .

Novamente o sinal combinado do feedback com o feedforward pode ser uma média

ponderada:

Equação 8 -23 ( ) FFFBOUT .. ℜ−+ℜ= 1

Se ℜ = 0 ⇒ Controle antecipatório

Se ℜ = 1 ⇒ Controle por realimentação

Se 0 < ℜ = < 1 ⇒ Combinação feedback/feedforward

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F igura 8 -10 : D iagrama de b loco para cont ro le feedback .

F igura 8 -11 : D iagrama de b loco para cont ro le feed forw ard .

8 . 6 . C o n t r o l e p o r I n t e r v a l o D i v i d i d o ( S p l i t - r a n g e )

Algumas vezes se faz necessário o emprego de duas válvulas de controle para uma mesma

malha. Nestes casos, podemos reduzir o custo ou simplificar a implantação da estratégia

utilizando uma técnica denominada controle por intervalo dividido (split-range).

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√ Exemplo: Dois trocadores de calor em série.

Condensado

Vapor

NF3 a 9 psi

TT

TCposicionador

Condensado

Vapor

NF9 a 15 psi Ação reversa

SP OUTPV

F igura 8 -12 : Cont ro le sp l i t - range .

√ Exemplo: Controle de pressão em um vaso

N2

PC

NA3 a 9 psi

NF9 a 15 psi

Ação direta

SP OUTPV

PT

F igura 8 -13 : Cont ro le sp l i t - ran te .

8 . 7 . C o n t r o l e S e l e t i v o

As vezes é conveniente selecionar entre vários sinais disponíveis qual o melhor ou qual o

mais crítico para a segurança do planeta. Por exemplo, em reatores catalíticos de tubulares

submetidos a reações exotérmicas o ponto onde a temperatura mais alta acontece muda de

lugar a depender da atividade/estabilidade do catalisador. Neste caso, é conveniente espalhar

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alguns elementos primários de medição e escolher a temperatura mais crítica (mais alta) como

sinal de controle (veja Figura 8-14).

F igura 8 -14 : Exemplo de s is tema com cont ro le se le t i vo .

8 . 8 . C o n t r o l e c o m B a n d a M o r t a e G a n h o N ã o - L i n e a r

Freqüentemente, o controle de nível de tanques não é rígido, isto é, permite-se a existência

de desvio permanente, também denominado erro estacionário ou offset, aliás, é até

recomendado esse comportamento, pois o tanque funciona como amortecedor de perturbações

(filtro passa baixa). A implementação de uma função de controle que comporte essa

característica pode ser feita de várias maneiras.

(a) Controlador Feedback proporcional puro: Este controlador, Equação 8-24 permite o

offset para distúrbios na carga, mas elimina-o para perturbações no set point.

Equação 8 -24 ( ) ( ) ( ) ( )[ ]tPVtSPKtBIAStOUT c −+= .

Alguns fabricantes preferem trabalhar com o conceito de Banda Proporcional (PB –

Proporcional Band) em lugar de ganho do controlador, a Equação 8-25 define a relação entre

esses conceitos.

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Equação 8 -25 C

PBΚ

=100

(b) Controlador com banda morta: Neste caso divide-se o nível em duas regiões, dentro

da faixa mais interna o nível é deixado, por exemplo, controle apenas proporcional, fora dessa

faixa, muda-se a função de controle para, por exemplo, proporcional mais integral com o intuito

de forçar o nível a atingir valores mais próximos do valor desejado. A função de controle será:

Dentro da banda morta:

Equação 8 -26 ( ) ( ) ( ) ( )[ ]tPVtSPKtBIAStOUT c −+= .

Fora da banda morta:

Equação 8 -27 ( ) ( ) ( ) ( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡τ

++= ∫ dtttKtBIAStOUTI

c E E .. 1

Onde,

Equação 8 -28 ( ) ( ) ( )tPVtSPt −=E

(c) Controlador com ganho não linear: Outra possibilidade para tornar variável a função

de controle com o erro é o controlador com ganho não-linear. Neste caso, o ganho é

modificado continuamente de forma a ser proporcional à magnitude do erro, Equação 8-29.

Controlador com ganho não-linear:

Equação 8 -29 ( ) ( ) ( )[ ] ( )t.tKKK NLcc E E..++= tBIAStOUT

Onde,

( )tE é o módulo do erro

Podemos, ainda combinar essas possibilidades ou modificá-las de forma a atender

exigências específicas de uma planta.

Os valores dos controladores (KC, KNL, banda morta, etc.) devem ser de forma a satisfazer

um determinado critério, ou seja, o controlador deve ser sintonizado.

8 . 9 . C o m p e n s a ç ã o d o T e m p o M o r t o

A presença de tempo morto é um fator que prejudica o desempenho dos sistemas de

controle, particularmente um grande tempo morto pode instabilizar um processo, por isso, o

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projeto do processo deve procurar eliminar ou pelo menos diminuir o tempo morto, contudo, às

vezes é impossível removê-lo do processo, portanto, nesses casos temos que conviver com

ele.

Uma alternativa que pode melhorar o desempenho do sistema é considerar o tempo morto

na função de controle, compensando, assim, o seu efeito. A idéia básica do compensador de

tempo morto calculado na implementação do sistema de controle, conforme pode ser

visualizado na Figura 8-15.

EΣ ProcessoE'M

ControladorR

SensorB-

+CΣ

+

-

Compensadortempo morto

F igura 8 -15 : D iagrama esquemát i co do compensador de tempo mor to .

Ao implementar o compensador de Smith a estabilidade do sistema é melhorada pois

elimina-se da equação característica o tempo morto.

Seja G(s) a função de transferência do processo que relaciona a variável controlada C com

a variável manipulada M. Separe de G(s) a parte sem tempo morto G*(s).

O preditor de Smith é implementado conforme a Figura 8-16.

EΣ G(s)E'M

GC(s)R

-

+ CΣ+

-

( )smeG .*1 τ−−

Σ

U(s)

GU(s)

+

+

F igura 8 -16 : D iagrama de b locos para o Pred i to r de Smi th .

Onde,

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A Equação 8-30 é a função de transferência real:

Equação 8 -30 ( ) ( ) smesGsG .* . τ−=

E a Equação 8-31 é o modelo função de transferência:

Equação 8 -31 ( ) smesG .*. τ−

As funções de transferência que relacionam C com U e R são:

Equação 8 -32 ( ) ( ) ( ) [ ][ ]

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) sccc

scU

m

m

esGsGsGsGsGsG

esGsGsGUC

.**

.*

....1

1..1.τ

τ

−++

−+=

Equação 8 -33 ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) sccc

sc

m

m

esGsGsGsGsGsG

esGsGRC

.**

.*

....1

..τ

τ

−++=

Assumindo que o modelo do processo é perfeito, isto é:

Equação 8 -34 ( ) ( ) ( ) ss mm esGesGsG .*.* .. ττ −− ==

Substituindo Equação 8-34 na Equação 8-32 e re-arranjando, obtemos:

Equação 8 -35 ( ) ( ) ( ) [ ][ ]

( ) ( )sGsGesGsGsG

UC

c

scU

m

*

.*

.11..1.

+−+

=−τ

Equação 8 -36 ( ) ( )

( ) ( )sGsGesGsG

RC

c

sc

m

*

.*

.1..

+=

−τ

Observando a Equação 8-35 e a Equação 8-36 verificamos que o tempo morto não foi

eliminado da equação característica, conseqüentemente o sistema torna-se mais estável.

8 . 1 0 . D e s a c o p l a m e n t o

Os processos químicos são sistemas multivariáveis, conseqüentemente, é necessário

implementar várias malhas de controle num mesmo equipamento. Devido à interferência de

uma variável manipulada em mais de uma variável controlada, as malhas de controle interagem

entre si, resultando em um controle de baixo desempenho. No evaporador, por exemplo, as

malhas de controle de pressão e de composição interferem uma na outra. Outro exemplo típico

de interação entre malhas é o controle simultâneo das composições de topo e fundo de

colunas de destilação.

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8.10.1. Função de transferência em s de sistemas MIMO com desacoplamento

Considere Figura 8-17.

PROCESSO

X1(t)

X2(t)

Y1(t)

Y2(t)

F igura 8 -17 : D iagrama de b loco para s is t ema MIMO.

Equação 8 -37 ( )( )

( )( )⎩

⎨⎧

∴⎩⎨⎧

tYtY

SAÍDAStXtX

ENTRADAS2

1

2

1

MODELO MATEMÁTICO (Variáveis desvio ou sistema relaxado):

Equação 8 -38 2121112121111 XbXbYaYa

dtdY .... +++=

Equação 8 -39 2221212221212 XbXbYaYa

dtdY .... +++=

Condições iniciais:

Equação 8 -40 ( ) ( ) 000 21 == YY

Aplicando a transformada de Laplace e resolvendo para Y1(s) e Y2(s):

Equação 8 -41 ( ) ( )[ ]( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( )sXsP

babassX

sPbabas

sY 222121222

121121122

1.

.. +−

++−

=

Equação 8 -42 ( ) ( )[ ]( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( )sXsP

babassX

sPbabas

sY 212212211

111212111

2.

.. +−

++−

=

Onde P(s) é o denominador da função de transferência dada por:

Equação 8 -43 ( ) ( ) ( )2211211222112 .aaaasaassP −−+−=

Equação 8 -44 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )⎩

⎨⎧

+=+=

sXsGsXsGsYsXsGsXsGsY

2221212

2121111

....

Ou em notação matricial:

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Equação 8 -45 ( )( )

( ) ( )( ) ( )

( )( )⎥⎦⎤

⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎤⎢⎣

⎡sXsX

sGsGsGsG

sYsY

2

1

2221

1211

2

1 .

O sistema de Equação 8-45 é denominado Matriz das Funções de Transferência. Em

diagrama de blocos:

X1(s)G11(s) Σ

Y1(s)

Y2(s)X2(s)ΣG22(s)

G21(s)

G12(s)

F igura 8 -18 : Função de t ransfe rênc ia em s de um s is tema MIMO 2x2 .

O desacoplamento é implementado, conforme a Figura 8-19:

X1(s)G11(s) Σ

Y1(s)

Y2(s)X2(s)ΣG22(s)

G21(s)

G12(s)

Σ

Σ

U1(s)

U2(s)

D21(s)

D12(s)U21

U12

F igura 8 -19 : S is tema MIMO 2x2 com desacop lamento no domín io s .

Os desacopladores D12(s) e D21(s) são descritos por:

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Equação 8 -46 ( ) ( )( )sGsG

sD11

1212 −=

Equação 8 -47 ( ) ( )( )sGsG

sD22

2121 −=

8 . 1 1 . C o n t r o l e A d a p t a t i v o

Os processos químicos são não-lineares e alguns são também não-variantes com o tempo.

Nas duas situações, e mais ainda na última, a sintonia dos controladores PID só são válidas

quando o processo encontra-se próximo do estado no qual foi realizado o ajuste dos

parâmetros do controlador. Portanto, quando o processo sofre uma grande perturbação, o

desempenho do controlador fica comprometido, a menos que seja ajustada uma nova função

de controle, neste caso é recomendado que seja implementado um procedimento automático

para sintonia/adaptação automática dos controladores. Esse controlador é denominado de

adaptativo pois se modifica, adequando-se às novas condições de processo.

O livro de Karl Johan Åström e Björn Wittenmark, Adaptativr Control, editado pela Addison-

Wesley Publisng Company, é uma excelente referência para iniciar os estudos sobre

controladores adaptativos.

Um controlador adaptativo segue as seguintes etapas de atuação:

(a) Monitoramento das entradas e saídas do processo;

(b) Estimativa das saídas a partir de um modelo de referência;

(c) Comparação das saídas calculadas com as medidas;

(d) Adaptação do modelo às novas condições de processo;

(e) Sintonia do controlador a partir do modelo adaptado.

Na Figura 8-20 vemos, em diagramas de blocos, o esquema de um controlador adaptativo.

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EΣ ProcessoControladorSP

-+C

Algoritmoestimador

Algoritmode sintonia

Novosparâmetros

F igura 8 -20 : Cont ro lador adapta t ivo .

Existem basicamente 5 tipos de controladores adaptativos:

(1) Ganho programado

Em Inglês: Gain Scheduling

(2) Controlador Robusto de Ganho Constante e Elevado

Em inglês: Robust High-gain Control

(3) Sistema Adaptativo Auto Oscilante

Em Inglês: SOAS – Self Oscillating Adaptative Systems

(4) Controle Adaptativo por Modelo de Referência

Em Inglês: MRAC – Model Reference Adaptative Control ou

MRAS – Model-Reference Adaptative Systems

(5) Controladores Auto Sintonizados

Em Inglês: STR – Self-Tuning Regulators

A diferença entre estes algoritmos reside nos procedimentos utilizados na implementação

das diversas etapas do controlador adaptativo.

Neste curso apresentaremos controlador de ganho programado. Os demais algoritmos

requerem um aprofundamento maior em teoria de controle que foge ao escopo e ao tempo

disponível para este curso.

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8 . 1 2 . G a n h o P r o g r a m a d o ( G a i n S c h e d u l i n g )

Neste tipo de controlador o ganho do controlador é modificado conforme for o valor de

alguma variável de processo, vide Figura 8-21.

EΣ ProcessoControladorSP

-+C

Tabela deganhos

Novoganho

Condiçãooperacional

F igura 8 -21 : Cont ro le adapta t i vo por ganho programado .

O ganho do controlador (KC) pode ser alterado continuamente de forma que seu produto

com o ganho do processo (KP) seja constante (Kg):

Equação 8 -48 gPC Κ=ΚΚ .

Assim, de acordo com a Equação 8-48 se o ganho do processo se modifica, o ganho do

controlador deve ser alterado para manter o ganho global constante.

Um procedimento para implementar um controlador programado é visto abaixo:

(a) Determine o ganho em malha aberta do processo no ponto de operação desejado à sua

volta.

(b) Obtenha o valor apropriado do ganho do controlador para o ponto de operação

desejado. Calcule neste ponto o ganho global da malha.

(c) Obtenha uma função que defina a variação do ganho do controlador com alguma

variável do processo.

8 . 1 3 . C o n t r o l e I n f e r e n c i a l

Freqüentemente, a variável que se deseja controlar não pode ser medida diretamente,

conseqüentemente, não é possível implementar um sistema de controle feedback ou qualquer

outra estratégia de controle que necessite a medição da variável controlada. Se os distúrbios

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que perturbem o processo forem mensurados, podemos instalar controladores feedforward

para manter a saída do sistema próxima do valor desejado.

Porém, quando não for possível medir as perturbações, ou quando o modelo disponível não

for adequado, a única alternativa é inferir o valor da variável controlada a partir de outras

medições e utilizar esta informação para realimentar a malha de controle. A esta técnica dá-se

o nome de Controle Inferencial.

Considere o diagrama de blocos de um sistema em malha aberta conforme a Figura 8-22.

MGP1 Σ

C

ΣGP2

GD1

Y

GD2

U

F igura 8 -22 : D iagrama de b locos de s is tema 2x2 em ma lha aber ta .

Da Figura 8-22 obtemos o modelo entrada-saída:

Equação 8 -49 UGMGC DP .. 11 +=

Equação 8 -50 UGMGY DP .. 22 +=

O intuito é encontrar uma equação que forneça o valor da variável controlada (C) a partir do

conhecimento da oura saída do sistema (Y). Para tanto, da Equação 8-50 vamos isolar o valor

de U:

Equação 8 -51 MGGY

GU

D

P

D..1

2

2

2−=

Substituindo a Equação 8-51 na Equação 8-49 e re-arranjando, obtemos:

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Equação 8 -52 YGGMG

GGGC

D

DP

D

DP ...~

2

12

2

11 +⎥

⎤⎢⎣

⎡−=

A equação fornece a estimativa da variável controlada a partir da variável manipulada (M) e

da outra saída do processo (Y).

Implementando a Equação 8-52 numa malha feedback obtemos o diagrama de blocos

mostrado na Figura 8-23.

MGP1 Σ

C

ΣGP2

GD1

Y

GD2

U

GC

Σ

ΣCSP

22

11 P

D

DP G

GGG −

C~

2

1

D

D

GG

F igura 8 -23 : D iagrama de b locos de s is tema de cont ro le in fe renc ia l .

Como o controle inferencial requer um bom modelo matemático, o que raramente está

disponível, deve-se implementar algum procedimento para ajuste do inferenciador. Por

exemplo, no controle inferencial de malhas de composição, o modelo matemático pode ser

corrigido a partir das análises realizadas off-line, assim o sistema de controle estaria

periodicamente sendo “adaptado” às novas condições operacionais do processo, mantendo

seu bom desempenho. Na Figura 8-24 observamos a forma como o modelo do inferenciador é

atualizado.

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MGP1 Σ

C

ΣGP2

GD1

Y

GD2

U

GC

Σ

ΣCSP

22

11 P

D

DP G

GGG −

C~

2

1

D

D

GG

Σ C + MEDCorreção doganho de GP1

-

F igura 8 -24 : D iagrama de b locos de s is tema de cont ro le in fe renc ia l com a tua l i zação

do mode lo .

8 . 1 4 . E x e r c í c i o s

(1) Seja um forno e seu sistema de controle, conforme o fluxograma da Figura 8-25.

O objetivo deste processo é pré-aquecer a corrente de petróleo bruto que alimentará a seção

de fracionamento de uma refinaria. O combustível é um sub-produto dessa unidade (gás

natural), estando disponível em grande quantidade. A pressão da corrente de gás natural é

constante. O combustível é o ar atmosférico, sendo fornecido por um sistema de sopradores.

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Produto

TI1

AC1FT

2

FC2

FY2

AT1

AC1

TE5

TI5

TC5

FC4

FY4

gásnatural

ar

FE4

FT4

FE3

FY3

FFC3

FT3

F igura 8 -25 : F luxograma para exerc íc io (1 ) .

Devido a negligência do setor de documentação, a descrição do sistema de controle deste

forno foi perdida, havendo necessidade de reconstituir este documento. Pede-se que

engenheiro de controle (vossa senhoria) elabore tal documentação.

(2) Seja uma coluna de destilação e seu sistema de controle, conforme a Figura

8-26. O objetivo deste processo é separar os componentes leves (D) leves de uma mistura,

retirando pela base da coluna os componentes mais pesados (B). Não há limitações quanto a

quantidade de utilidades necessárias a este processo (vapor e fluido refrigerante).

Devido a negligência do setor de documentação, a descrição do sistema de controle desta

coluna foi perdida, restando apenas uma fotocópia em péssimo estado de conservação de

fluxograma de engenharia deste processo, havendo necessidade de reconstituir este

documento. Pede-se que o engenheiro de controle (vossa senhoria) elabore tal documentação,

complementando uma já existente.

Descreva o sistema de controle indicando e justificando para cada malha:

(a) Válvulas de controle: normal aberta ou normal fechada

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(b) Controladores (qual o modo – P, PI ou PID – e ação de controle mais recomendados –

direta ou reversa)

(c) Localiza os controles em cascata indicando o controlador primário (master) e o

controlador secundário (slave).

(d) Localize os controles de razão e feedforward presentes, indique os computadores

existentes, descrevendo quais os cálculos que realizam.

Descreva o sistema de controle indicando cada malha:

(a) Variável (s) controlada (s), justificando por que o projetista a (s) a (s) escolheu:

(b) Variável (s) manipulada (s), justificando por que o projetista a (s) escolheu;

(c) Variável (s) medida (s), justificando por que o projetista as escolheu;

(d) Elementos primários de medição (qual o tipo mais indicado);

(e) Elementos primários de medição (qual o tipo mais indicado);

(f) Transmissores e/ou transdutores (indique tipo de sinal de entrada e de saída);

(g) Controladores (qual o modo de controle mais recomendado);

(h) Localize os controles em cascata indicando o controlador primário (master) e o

controlador secundário (slave).

(i) No fluxograma está presente um controlador de razão (o sinal de saída do controlador

depende da razão entre dois sinais de entrada), porque há necessidade deste tipo de

estratégia de controle? Justifique sua resposta.

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÷

÷

( )tf

( )tf

×

F igura 8 -26 : F luxograma para o exerc íc io (2 ) .

(3) Seja um sistema reacional e seu sistema de controle, conforme a Figura 8-27. O

objetivo deste processo é produzir os compostos C e D a partir da reação de A com B. A

depender das condições mercadológicas, se maximiza a obtenção de C ou de D, alterando a

vazão de A e B na alimentação. A conversão dos reagentes é determinada pela quantidade de

catalisador admitida no sistema, que deve ser a menor possível para evitar a ocorrência de

reações indesejadas. Todas as reações que ocorrem são altamente exotérmicas. Não há

limitações quanto à quantidade de matérias-primas e utilidades necessárias a este processo

(fluido refrigerante).

Devido à negligência do setor de documentação, a descrição dos sistemas de controle deste

processo foi perdida, restando apenas um esboço do fluxograma de engenharia deste

processo.

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Havendo necessidade de descrição do sistema de controle, pede-se que o engenheiro de

controle elabore tal documentação. Descreva o sistema de controle indicando e justificando

para cada malha:

(a) Variáveis medidas, manipuladas e controladas;

(b) Localize, se existirem, os controladores em cascata indicando o controlador primário, o

controlador secundário, o terciário, etc.

(c) Localize, se existirem, os controles de razão e feedforward presentes, indique os

computadores existentes, descrevendo quais os cálculos que realizam;

(d) Localize, se existirem, os controles tipo split-range e seletivo, descrevendo seu modo de

funcionamento.

F igura 8 -27 : F luxograma para o exerc íc io (3 ) .

(4) Seja um forno e seu sistema de controle, conforme o fluxograma da Figura 8-28.

O objetivo deste processo é pré-aquecer a corrente de petróleo bruto que alimentará a seção

de fracionamento de uma refinaria. Um dos combustíveis é um subproduto dessa unidade (gás

natural), o outro é o óleo combustível utilizado na quantidade necessária à complementação de

carga térmica. A pressão da corrente de gás natural é constante. O comburente é o ar

atmosférico, sendo fornecido por um sistema de sopradores.

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Devido à negligência do setor de documentação, a descrição do sistema de controle desse

forno foi perdida, havendo necessidade de reconstituir este documento. Pede-se que o

engenheiro de controle (Vossa Senhoria) corrija o fluxograma e elabore tal documentação.

Descreva o sistema de controle indicando e justificando para cada malha:

(a) Localize, se existirem, os controles em cascata indicando o controlador primário, o

controlador secundário, o terciário, etc., indique também qual a variável controlada mais

importante;

(b) Localize, se existirem, o(s) controle(s) de razão, indique os computadores existentes,

descrevendo quais os cálculos que realizam, indique também qual a variável controlada mais

importante;

(c) Localize, se existirem, o(s) controle(s) e feedforward presentes, indique os

computadores existentes, descrevendo quais os cálculos que realizam; o(s) modelo(s)

utilizado(s) no(s) possível(is) feedforward existente(s) é (são) estacionário(s) ou transiente(s)?

tO

TI1

FT1 FY

1

O2

X

SP = K3X + K4qS

FY2

óleoar

FT2FT

3

FY3

AR1

AIC1

FFC3

TI3

I/P

FY3

WO

TC2

TY2

FC2

I/P

TY4

WO

TY3

gás

FT4

AR4

AR2

ho

hg

qs = qp - qc

AX1

SP de O2

FC1

I/P

FY2

TY1

ts

ΔT = ts - te

Wp

qp = WpCpΔT

x

w

w

qc = hgwg + howo

y = k1wg + k2wo

SP = Ry + b

F igura 8 -28 : F luxograma para o exerc íc io (4 ) .

Page 242: [Apostila] Controle de Processos - UFBA

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Í N D I C E

CAPÍTULO 9. CONTROLE AVANÇADO 9-2

9.1. OBJETIVOS DO CONTROLE AVANÇADO 9-2 9.2. ATRATIVOS PARA IMPLEMENTAÇÃO DE CONTROLE AVANÇADO 9-3 9.3. BENEFÍCIOS TRAZIDOS PELO CONTROLE AVANÇADO 9-4 9.4. ESTRATÉGIAS AVANÇADAS DE CONTROLE 9-4

Í N D I C E D E T A B E L A S Tabela 9-1: Objetivos do controle avançado. 9-2 Tabela 9-2: Estratégias de controle avançado. 9-4

Í N D I C E D E F I G U R A S Figura 9-1: Diagrama de bloco de controle feedback. 9-2 Figura 9-2: Pirâmide do controle avançado. 9-3 Figura 9-3: Benefícios do controle avançado. 9-4

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C A P Í T U L O 9 . C O N T R O L E A V A N Ç A D O

Principais problemas dos sistemas de controle de processos industriais:

• Substanciais capacitâncias (atrasos de 1ª ordem) e tempo morto na resposta dinâmica dos processos, que são variáveis com o tempo e/ou porto de operação do processo.

• Não medição em linha das variáveis controladas

• Resposta dinâmica não linear

• Modelos dinâmicos empíricos e aproximados

• Variáveis controladas e manipuladas sujeitas a restrições

• Significativa interação entre as malhas de controle

• Substanciais distúrbios externos não estacionários

Solução mais empregada (quando empregada!): Controle Feedback.

R GCEΣ G1

M Σ

U

CG2

HB

-+

+

+

Mecanismo do controlador

F igura 9 -1 : D iagrama de b loco de cont ro le feedback .

OBS: Todas as variáveis são desvios no domínio de Laplace.

9 . 1 . O b j e t i v o s d o C o n t r o l e A v a n ç a d o

Tabe la 9 -1 : Ob je t i vos do cont ro le a vançado .

Page 244: [Apostila] Controle de Processos - UFBA

Página 9-3 de 5

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OPERACIONAIS COMERCIAIS

Aumento da segurança Maximizar o rendimento

Incrementar a flexibilidade Maximizar a produção

Atender as especificações de qualidade Incrementar os tempos de campanha

Operar em estado estacionário Reduzir consumo energia

Atender às restrições ambientais Reduzir estoques de produtos intermediários

Reduzir custos variáveis

CONTROLE AVANÇADO

CONTROLEFEEDBACK

QUANTIDADE

SEGURANÇA e MEIO AMBIENTE

QUALIDADE

F igura 9 -2 : P i râmide do cont ro le a vançado .

9 . 2 . A t r a t i v o s p a r a I m p l e m e n t a ç ã o d e C o n t r o l e A v a n ç a d o

√ Mudanças freqüentes:

• Vazão de alimentação

• Composição da alimentação

• Demanda de produção

• Abastecimento de energia

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√ Grande consumo de energia por unidade de produção;

√ Larga diferença entre os valores dos produtos;

√ Projeto altamente integrado;

√ Muitos controladores em manual;

√ Longos períodos entre a análise das correntes;

√ Resposta dinâmica lenta.

9 . 3 . B e n e f í c i o s t r a z i d o s p e l o C o n t r o l e A v a n ç a d o

CONTROLE REGULATÓRIOCONTROLE REGULATÓRIO

BÁSICO / AVANÇADOBÁSICO / AVANÇADO

CONTROLE PREDITIVOCONTROLE PREDITIVO

MULTIVARIÁVELMULTIVARIÁVEL

OPERAÇÃO NORMALOPERAÇÃO NORMAL REDUÇÃO DAS VARIAÇÕESREDUÇÃO DAS VARIAÇÕES OPERAÇÃO MAIS PRÓXIMAOPERAÇÃO MAIS PRÓXIMADO LIMITE DO LIMITE

LIMITE ESPECIFICADOLIMITE ESPECIFICADO

SETPOINTSETPOINT

F igura 9 -3 : Benef íc ios do cont ro le a vançado .

9 . 4 . E s t r a t é g i a s A v a n ç a d a s d e C o n t r o l e

Tabe la 9 -2 : Es t ra tég ias de cont ro le avan çado .

Page 246: [Apostila] Controle de Processos - UFBA

Página 9-5 de 5

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PROBLEMA SOLUÇÃO

Mudanças na alimentação Controle feedforward1 Controle preditivo multivariável

Elevado tempo morto Compensação do tempo morto Controle preditivo multivariável

Ruído na medição Filtros passa-baixa

Variáveis não medidas Controle inferencial Controle preditivo multivariável

Interação Controle preditivo multivariável

Não linearidades Controle adaptativo Controle preditivo multivariável

Dinâmica difícil Controle preditivo multivariável

Restrições Controle com restrição Controle preditivo multivariável

Distúrbios de baixa freqüência Controle estatístico

Conseqüência econômica Otimização on-line

Modificação nas estratégias de controle Sistemas especialistas

1 Alguns autores não classificam o feedforward como controle avançado, mas estamos nos referindo ao controle antecipatório baseado nos modelos fenomenológicos dos processos.

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Í N D I C E

CAPÍTULO 10. TEORIA DE CONTROLE MODERNO: ABORDAGEM POR ESPAÇO DE

ESTADOS 10-2

Í N D I C E D E T A B E L A S Tabela 10-1: Controle Clássico x Controle Moderno. 10-2

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C A P Í T U L O 1 0 . T E O R I A D E C O N T R O L E M O D E R N O : A B O R D A G E M P O R E S P A Ç O D E E S T A D O S

Neste momento, faremos uma breve comparação entre a Teoria Clássica de Controle (o que

acabamos de estudar) e a denominada Teoria Moderna de Controle.

Tabe la 10 - 1 : Cont ro le C láss ico x Cont ro le Moderno .

Controle Clássico Controle Moderno

Sistemas lineares Sistemas lineares ou não lineares

SISO ou MIMO linear SISO ou MIMO não linear

Transformada de Laplace Equações diferenciais

Transformada Z Equações de diferenças finitas

Critério de Routh, Lugar das raízes,

Critério de Bode e de Nyquist

Autovalores e autovetores Planos de fases

Funções e critério de Liapunov

Multiplicidade de estados estacionários não é observada

Multiplicidade de estados estacionários é observada

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A B R E V I A T U R A S

a , b Constantes arbitrárias

A Amplitude de perturbação

A Área da seção transversal [ = ] m2

B Variável produzida pelo elemento de medida

BIAS Saída do controlador no estado estacionário

C Capacitância

C Concentração molar [ = ] kgmol/m3

C Variável de saída – controlada – não medida

CV Variável controlada (control variable)

cp Capacidade calorífica a pressão constante [ = ] kcal/(kg.K)

DE Carga do sistema (distúrbio externo)

E Erro

G Função de transferência

h Altura [ = ] m

H Entalpia [ = ] Kcal

H Função de transferência do elemento de medida

K Ganho do processo

L Comprimento da tubulação [ = ] m

m Massa [ = ] kg

M Sinal de saída da válvula

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MV Variável manipulada

OUT Sinal de saída do controlador [ = ] mA

PV Variável de processo (process variable)

q Vazão volumétrica [ = ] m3/s

Q Calor trocado [ = ] kcal/h

R Ponto de referência ou valor desejado

R Resistência

Rg Constante universal dos gases [ = ] J.mol-1

SP Valor desejado (set point)

t Tempo [ = ] h, min ou s

T Temperatura absoluta [ = ] K (graus Kelvin)

T Temperatura [ = ] ºC

U Variável de carga ou perturbação

UG Coeficiente global de troca térmica [ = ] kcal/m2. h.K

V Volume [ = ] m3

w Vazão mássica [ = ] kg/h

X Função entrada ou perturbação do sistema

Y Função saída ou resposta dos sistema

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Símbolos gregos

ν Coeficiente estequiométrico da substância

τ Constante de tempo para sistema de 1ª ordem

τ Período natural de oscilação para sistema de 2ª ordem

τD Tempo derivativo [ = ] min ou s

τI Tempo integral [ = ] min ou s

τm Tempo morto do processo

ζ Fator de amortecimento

ƒ Freqüência [ = ] rpm

ρ Massa específica [ = ] kg/m3

ℜ Constante da reação [ = ] s-1

ℜo Fator de freqüência [ = ] s-1

ω Freqüência angula da senoide [ = ] rad/s

Γ Taxa de consumo ou de reação [ = ] mol/m3.s

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Sobrescrito

- Variável em desvio

Subscrito

C Controlador

P Processo

SP Set point

ss Referente ao estado estacionário

st Referente à corrente de vapor (steam)

Abreviaturas

SISO - Uma entrada e Uma saída (Single-Input Single-Output)

SIMO - Uma entrada e Múltiplas saídas (Single-Input Multiple-Output)

MISO - Múltiplas entradas e Uma saída (Multiple-Input Single-Output)

MIMO -Múltiplas entradas e Múltiplas saídas (Multiple-Input Multiple-Output)

BIBO -Entrada Limitada e Saída Limitada (Bounded-Input Bounded-Output)

NL - Não Linear