ConversZo Eletroziec?rica de Energia a /3 N0ta.s c>ib Aula

pro5 David Calhau Jorge

C ~ I I V C ~ I tu'o Eletrornecdnicu de Energiu -

1.-Fundamentos do indutor

Dispositivos conversores de energia sGo dispositivos que armazenam energia sob ulna forina c posterionnente podem fornecc-la sob outra forma. Nos conversores eletromecinicos dc energia sob f o m ~ a elktrica, magnitica e mecinica.

0 iildutor i um dispositivo que armazena energia sob a forma magnitica. 0 indutor e co~nposto basicamente por uma bobina enrolada sobre um nucleo, o nucleo e na maioria das vezes climposto por urn material ferromagnitico, porem pode ser compost0 por outros materiais ou ~:~(:smo ar. Quando uma bobina 6 percorrida por uma corrente eletrica (I) nos eilrolamentos

o indutor tera em seu nucleo o surgimento de um fluxo magnetico ($). A representaq2o cscjucmatica do indutor, que sera utilizada esta apresentada na fig. 01 a seguir.

Figul-a 01 - Repl-esentaqiio de urn indutol:

C , pariinetros que caracterizam o indutor Go: : I ) geoinetria do circuit0 magnetico; h ) composic;Zo e construqgo do nucleo; c) ~liincro de espiras da bobina (n); (1 ~csistEncia,do fio (r); c ; cornprimento medio do nucleo ( I ) ; f! sc(;Bo reta do n6cleo magnetico (s ) .

Seinpre que uma corrente i percorre a bobina sera estabelecido urn fluxo may~etico L'O -l:atcnado (A) resultante da soma do fluxo produzido pelo conjunto de todas as boblnas do ;, ii.oIai1ie~~to:

A - +J Webel- .espir.o] k.=l

( 1 ) onde qs e o fluxo concatenado com a k-esima espira [Weber].

Para se deteiminar o seiltido do fluxo magnetico induzido utiliza-se a regra da mBo direita: toinando-se a miio direita fecham-se os dedos no sentido que a con-ente percorre os enrola~~~entos i:n il?dutor, o dedo indicador apontari par? o sentido do fluxo magnetico em quest20 (vide a figura 0: ,:om0 refersncia).

A primeira Iiiphtese simplificadora 6: ($,= q5 y arrr gunlquer. K

ConversBo Elefromeccinlca de Energto - 2-Variaveis de estado e variivsis de vfi;cula

Variavel de estado e qualquer variavcl que univoci?n~i:nte, caracteriza o estado de excitaqiio em que se encontra o indutor. Portanto a cada (:sra.do do dispositivo corresponde um 6nico valor de suas variaveis de estado, niio importando a maileira ccilno o sistema atingiu aquele ponto. Inversamente a cada conjunto de valores dc suas varih-cis de estado correspondem um 6nico estado.

0 estado de excitagiio magnetics do nilcleo do ir;dutor (5 caractcrizada pel0 fluxo @, niio !

I A=A( i ) 011 i = i ( A ) (4)

ira depender do numero de espiras, geometria do nliclco c da carracteristica magnetics do n h l e o do material.

Tem-se que: +=I B ~ S

S

onde S e a se@o do indutor. ( 5 )

Podese considerar (de forma razoivel) clue B possila uln valor coilstante ao lollgo de toda a seqiio do indutor, entiio:

+ = B . S (6) temos de (2):

A=n-B.S (7) Porem da lei de circuit0 de Ampere tern-se que:

H d i = s . i /

(8) oilde He a intensidade de campo magnet~co f~lnecido el11 Al-i~.p?re-espira por metro [Aelm]. Supondu:

H.1 H.l=rz . i tenl-se i = - n

(9) Como B e H estiio interligados por ulna relaqzo f~iiii.ic;~?.l;l, i:~i-~hccida por curva caracteristica do material do nkleo. As equa~des (7) e (8) I I I O S ~ I - ~ I . ~ , csistir \iill viilculo entre as caracteristicas do indutor, pois existc um vinculo entre i e 3,: fig. 02.

Figur-a 02 - Curvas car-acteristicas do indutor:

Na rr ilidade porkm os materiais mapkticos exitzrn uma relag20 complexa entre a indug80 mag~~i t i ca Li e a i~~te~lsidade de campo aplicada H. De fato B alem de depender do valor de H dcpentle do rl31 ,ria pelo qua1 este valor foi atingido.

Devldo a histerese, para um dado ciclo, B possui dois valores para cada valor de H, uin quz~ldo 8 auliicnta e outro quando Hdiminui. A curva caracteristic,: rem a forma de um lago (lago de histercsc), I:c;dcndo existir lagos simktricos e laqos n8o simetricos, fig. 03.

histerese n5o silnetrica Figuua 03 - Laqos de histeuese.

LJtili7a -sc CO~IIO hipotese que as perdas por histerese s8o despreziveis e a caracteristica do iridutor t; fr11 i-rcida pela curva "mkdia" do material, fig. 02.

Conversrio Eirtromecdnicu de Enrrgra

3-Energia rnagnetica armazenada

Supondo urn estado inicial de n5o excitaqiio em urn induror, islo 6 i=O c h-0. Caso urn novo estado seja desejado, corn urn par de valores (h,i), para tal scrB ~ t i l i . _ , ~ & cina fonte de corrente. A lei de Ohm para o circuit0 constituido e:

multiplicando-sepol- i it )-dt jem -se: i(t).v(t)-dt=R.i2(t)d(t)+i(r).dh(t)

onde: i ( t ).h ( t ) = P-+pote^~rcia. fomecida

R.i2(t ).dt -+perda por efeito Joule na bobina em dt > 0 logo:

v.i.dt-~.&k=i.dh ,fazendo:dwm=v.i.dt - R - i i 8 J t

tem-se: dwm=i.d A

Se ao passar de 1 para 2 a corrente aumenta de il para i:. e o fluxo r:~iilr;:t;:;i?iJ~ crescera dc hi para h?, a energia cedida pela fonte sera a apresentada na fig. 04.

Se a corrente retornar de i, para i, (e ocorrer o retonlo de A, para hi) rl1r2o a fonte ira receber energia.

Con1 er~a'o Elermrrreciinrcii ile E I I C , ~ ~ ( I 7 0 principio de co~isi.rva$io de energia leva a afimar que a energia (Ao,,),2 foi armazenada

no indutor, pois podcr6 ser extraida posteriormente, obviamente ocorrem as perdas que serge desprezadas ncstes primeiros cstudos.

Converscio Eletromecdnica de Energia -

4-Co-energia magnetica armazenada

Como citado a energia magnetics armazenada om e funqiio de ;I. e, para sL:a clcicrminaqiio deve-se conhecer a caracteristica sob a forma i=i&).

Ha casos onde se conhece h(i) e a inversgo i n ) e analiticamente impossi\cl. 1Jin cxcmplo e a funqiio de h como um polin8mio de alto grau em i (yor exemplo IL=2.ii4 6.i3-2.;'-I-7.i-5). Neste caso 6 preferivel obter a energia armazenada atraves de uma outra fimqio de a~~'i(!o sssociada, denominada co-energia magnetica:

dom=i.dA=d(i.A)-A.di

Define -se co- energia magnitica w cm como:

tem - se: 1

wcm=J h ( i ) - d i D

E 6 funqiio de estado, aqui caracterizado pela variavel i. A co-energia n~ag!iktica C calculada atraves de h quando se conhece h(ii, vide fig. 05.

Figurci 05 - Detami?zaqnlo dn co -enelgin mcig~i kicn nrrnrrzenorln.

Uma vez calculada a co-ener~ia to,,,,(i) a energia magnetica aril~azcnada 5 o,,,,/i)-i.h(i)- o,,,,(i). Que resultari aqui como uma fbnqiio de i.

Deste mod0 o problema da inversio da funqgo h=h(i) e contornado. A corrente i e geralmente mais conveniente que h como variavcl ill~cl.cp~l~di.nic. ?o:-ta~lto o

uso dc co-energia e mais comum. Tem-se tambim que:

Conversu'o Elerrontecdnicrr de Energfa - 5-lndutor linear

Util iar o ar como n6clc0~ ou urn nlicleo corn caracteristicas lineares permite a relaqiio: h=L.i

onde L e a indutiincia prbpria, coln knlor constante, como tern-se que:

L pode-se tornar h ou i como variivcl indzpcndentes.

d h h -=L=-- di I

A energia rnagnetica armazenada serh:

portanto :

e a co -energia inagnetica sera :

~ . i ' ' on, =- '

2 Neste caslS tern s e .

Observando a cunia 3, xi teln s e que :

C'onvrrscio Eletronwcd.nica de Enrrgia -

8-Bndutor nZio linear

Na fig. 06 t e m s e a representa~zo de uma curva tipica de caracteristica hxi de urn material fcrromagnetico.

Figurn 06 - Cuwa cnractetistica de unz itzdutor niio linear

Podese representar a curva por uma aproxima~5o finita de uma seria de potcncias. como por exemplo:

i ( ~ ) = a . h + b . h ~ + c - h ~

A co-energia n5o pode ser calculada diretameme porem se for utilizada a relaq50: j . W171=I.h-wl,,

Nota-se que a energia e a co-energia s5o diferentes. Este e uill caso oildc se e for .,,do a

utilizar 3L colno varihvel independente, evitando-se diticuldades analiticas.

ConversCo Eletromecdnito de Energzci

'7-Circuito magnetico do indutor

0 s indutores nio lineares n~erecc~ll urn cstlldo tlG:>tncado. A causada nio lincaridade destes 6 a presenqa de um nucleo fel-romag~~@tico, ~irll~,ado para aumentar o fluxo concatenado por unidade de correntc. obtendo-se un-2 dispositilc, 61. 11?2t;ores dimensdes, consequenten~ente mais barato.

E conveniente relacionar a indutgncia c o n as ilil;lL;nsStes geometricas e as propriedades dos materiais

n A relaqio entre a induqio B e a intensidadc de cali1po 1nay1Ctica H C:

B = p . H onde: B flVebel-/n~'] onde 1 Weber- 1 OVii~llas dc carlipo ~i?agnktico H [ ~ l . esp ira/n7] p 6 a pcnneabilidade. uma propriedade do maicrial. El11 unidades n ~ k ~ a perlneabilidade no vacuo e b=4. x. lo-' [Weber/(A.m)]. A per~neabilidade de iunieriais ferromagnClrios 6 expressa por p,, cujo valor i relativo ao vacuo. tem-se entio p=pP!~, \'dIorcs tipici s de pr estio entre 2000 e 6000.

Tem-se entio: n 2 . p . s L =

I fazendo :

onde

P sera chamado de penneincia

?1 ' I L = - onde %=- 93 P . S

3 sera chainado de rclutiincia 1

e temos finallnente que % = - P

Para otimizar os estlldos mais complcsos de gco~uctria do ilucleo e convc~liente decompor o caminho magnetico em trechos nos quais o \cto!- dc ir!duqi?o I3 pode ser co~~siderado independente da posiq50, coinpolldo e combinando a contril,~lii;5o du cada trecho. Tal objetivo e atingido realizando ulna analogia entre o circuiro iilagnktico c o :-:ii-cuito eletrico.

Te~nos que: r n . i 3

oil 93 = - = - onde 3 con.cs;.;o~-zc?c a hrya ruagnetomotriz Q, @

analog0 a lei de Ohm

C.on~~eerscsio Elerrornecdnica de E n e r ~ i u Resumindo:

- - --- -- 1 Grandem nragn&icas C * ? r 5:~s eI6tricas corresponde~ztes - :-

I . -

1 I I ' = . - - . - -1 I (relutsncia) (5 s (resisdncia)

- 4-- - - --

1 I F = - 1 G = -

CSZ (pennekcia) ' 1. -

(condutincia) - - -- --

1 1 3 = n . i v = 1 . . I (forqa eletromotriz) 1

I i3=%.@ (forqa magnetomotriz -.film) I I - - , -

14) (fluxo mamet ico) , I (corrente eletrica) 1 P (permeabilidade) - - -- - -- (condutividade) 1 1

A passagem do circuit0 magnitico obtido pura m :.cuito elitrico tomara a forma apresentada na fig. 07.

Figt~r-u 07 - Analogiu etrtre o cir'cuito elitr'ico r o ~ ' : e r ; i t o mugtritico de urn idutor

As condiqbes para utilizar os circuitos $:l~~i!ia?j?.L;~ii;i>~ rsrudados: a) As dimensces devem ser tais que a densiclade dc i7L:x.c?t ii::irrs~cltii:o - pode ser colisiderada constante. Portanto:

dl = B . . 4 oiide A c a area da se@o em questgo. b) A longitude media da tra-iethria pode scr urilizadn ejx toci,:.;, ti3 ~ilculos. c) Tern-se a,jn~m como:

3 z n . i = j / . I d) pode-se afinnar que em ulna bifurcaqgo a sorn-? dos : I . : x ~ x magikticos i: zero, analogamente a lei de Kirchhoff para circuitos eletricos, vide fig. 08.

eln P teln-e que: o,+,-@3

Figul-a 08 - Biftirm~cio c./il trilr itrdutor.

Cot7i.t,r.iGi. C b ; : i . o t i ~ t * ~ i de E~rergio -

8 - ern C.A. e perdas por histerese e Foucault

Sc . ftnm C do tipo C.A., ent5o a Area da curva BxH, na fig. 09, e proportional a perd.i de cnergia (e. ,I i:;\lor) por ciclo; esta perda de energia C conhecida como perda por histerese.

Figura 09 - Perdas yor histerese.

As (xrrzntes parasitas, induzidas no material do nucleo, conhecidas como correntes de Foircault, consritucm ulna outra caracteristica da operaq30 de urn circuit0 magnetic0 quando ele estB excirado por ulna bobina percorrida por uma C.A.. As perdas devido a histerese e correntes de Fouca!ilt .G clcteiminadas aproximadamente pelas equaqdes:

Prrdas pur corrente de Foucault: pe= K ?..f2. B: [ w I kg j Perdus yor histerese:

. JB1.!-2.5 h h - m [ Wlkgl

on de : B,,! - .?cit..ii':~de de fluxo magnktico tnhxima. j ' :af!-i:cjiiSlicia cm C.A.. ILL 3(2 !.,; , , , .:! ..,.,.ti:. :: 2 > dcpcndente da condutividade e espessura do material. K,; .-. - . ~ ~ o ~ ~ s r , ~ ~ i r c ,- de proporcionalidade.

Converso'o Eletrontecinica de Energia

9-Fator de lamina~iio

Ao se aplicar uma tens50 alternada em um enrolamcnte, o ItiCsIno reage com uma fem alternada, porCm no nucleo ira surgir tambem uin fluxo c ulna d ~ n s i d ~ t d c de fluxo alternados, esse fluxo alternado causa o surgimento de corrente eletrica no prbprio ni~clco, com conseqiientes perdas por efeito Joule.

Para reduzir as perdas por correntes de Foucault, o nuclco dcvc scr constituido de um material de maior resistgncia (costuma-se incluir o silicio nos a~o-carbono para tal finalidade) e deve ser constituido de Iiminas, ou finas chapas com unia finissima camada dc isolante entre elas. As l h i n a s dever5o ser orientadas paralelainente a direqiio do fluxo, idc fig. 10.

Figura 10 - N ~ c f e o lan~inndo de u171 i~zdutor A perda por corrente de Foucault 1 aproxiilladamente pcrq~orcional ao quadrado da

espessura da IaminaqHo, a qua1 varia entre 0,5 a 5 mm. Laminando-sc o ni~cleo aumentase seu volume. A raz5o do volume realmente ocupado pelo material nla31.nitico para o volume total do nucleo C conhecido por fator de laminaqso (ou empilhamcnto). A ..cg~rl:jr :una tabela aponta uma relaqHo entre o fator de laininaq20 e a espessura da laminaqio. oncic 1 ) fator de laminaqgo influi diretamente na densidade do fluxo magnetico atraves da equaqiio:

I - - - - - -- - I Espcssu ra da lartr ina pie 4', "nla lor~ii~l

-_?. .---- d-3wxu - -*A ---=

I 0,0127 min 0,50 I - - - - --- - --

i I 0.0254 mm 0.75 I

S5o as linhas clc fl lixo que surgem ao longo das quinas das partes magneticas, separadas pel0 ar, vide fig. 11. As pcrd;ts devido ao frangeamento s8o inevithveis, podendo ser minimizadas atraves da otimizaf50 das s;paraq6es de ar.

....

. .

. . . .

,Fig~~ra 10 - Exen?plo defrangeamento em um I-zlicleo.

Conversn'o Eletronlecdnica de Energra

9 9 -1ndutor Iinearizado

Em muitas aplicaqdes C deseja\yel o comportamento linear do indutor. Cnr~io !:a niaioria dos indutores C utilizado um nucleo ferroma,r~&tico, para tal transfom~ador pcdc sci ~iccesshrio a utilizaqiio de urn material de alta permcabiljdade magnetics, visando linearizar a cu!.\;n [.!c histerese. A utilizaq2o de um entreferro de ar permite que seja possivel a lineariza~8o do ir~dutor, vide fig. 11.

Figura 11 - Irzduror lineurizudo, a ~ a v k s de etzn.i.i;iil::lt~ total do nucleo apenas e somado o valor do colnpri~nento do entreferro as suas dilnclisGcs, ',!v~311do: S, - area da seqio transversal do nucleo ferromagnetico. S, - iuea do entreferro de ar. L, - indutsncia do entreferro. LC - indut&ncia do nucleo ferromagnetico. 1, - co~nprimento midi0 do entreferro. 1, - comprimento medio do nucleo ferromagnetico. p, - permeabilidade do nucleo. po - penneabilidade do ar. Tern-se:

Sc= a .B so=( (7 +lg) . (b+- lL , )

Tomando-se o circuit0 equivalente:

suporzdo S Y=Sc ten1 - se:

Conversa'o Elerron~ecdnrca de Fnerg~a 17 Como a permeabilidadc dos mu?.:l~i~is fi.i.ronlagn@ticos se encontra entre 2000 a 4000 vezes a do ar:

P 2000

Converso'o Elerromeccinica dr Energia - Notas de Aula p r o f : David Calhau Jorge 12-lndutor polarizado

A permeabilidade constante em materiais magneticos niio e aceitavel, deve-sc utiliznr uma curva BxH. Como:

3c=n.Q = n . S . B 3 = n . j = H . /

A partir de BxH uma outra curva hxi pode ser encontrada. 3c L = =+ apenas em indutores lineares 1

Utiliza-se uma indutiincia incremental LA para os estudos, observando:

ah (i) e e11tiio : L, = -

3i C a inclinaqiio da tangente a curva h xi

A introduq8o de um entreferro adequado no nucleo magnetic0 ateilua a diminuiq5n dc L,. Coil1 a i~~trodu@o de urn eiltreferro ocorre uma diminuiqiio na saturaq2o C.C. e u l i ~ auillziito da permeabilidade incremental, porim ocorre a diminui~io da indutincia do elemento.

Podese analisar o circuito apresentado corn o cntreferro (fig. 11) sob a foilna de induror. tcm-se eiltio a fig. 12.

ConversZo Elerron?ecanico de Energiu - Arorur de Aula p r o f Dr;i,id (1,11;:

C70ni .,..!*70 ,?/?troniec6nica de Energia A b f a s de Aula -pr?fi David Calhau Jnrge 20 A I,, 1c;ntsndo-se o entreferro, L ; aumenta, enquanto L,, que esth em paralelo, diminui. Existe ent2o urn valor otimo para o comprimeilto 1, do entreferro. A indutBncia a ser maximizada e a incremental 1, da nssocia@o ein paralelo:

1 1 1 - =-+- L L: Lb'

Conversdo Eletronlecinica de Energlo -

13-IndutSncia em elementos de difsresafas seed letrias

Solenoide curto:

Loop simples:

Toroide: Caso o raio seja muito maior que o raio dos enrol dmentos: - L = ' . N 2 [ H ] onde a i. o raio do nijcleo e r i o raio rnkdio do 10r0idc.

2 . r .

Caso n2o ocorra esta situa~go devera ser realizado uni est1;,1:) clctzl::?do do indutor.

Conwrsrio Eletronzecdnica de Energia - Notas de Aula -prof: David Calhau Jor-ge Exercicios - Primeira parte Quest50 01

Cite e explique ao menos duas perdas que oconem em indutores.

Quest50 02 Supondo a equa~Bo de um indutor:

O d i d 2 4 h=i2+3i

a)Esboce a curva caracteristica h x i deste indutor. b)Determine a energia e a coenergia deste indutor se a corrente for elevada de 1 a 3 Amperes.

Quest50 03 (valor 2.5 pontos) Sendo um indutor con10 o abaixo:

Onde: N=100 espiras 1,=25 cm (Comprimento medio do material ferromagnktico) pr=4000 (para o material utilizado no nucleo) B=2,0 weber/m2 (em todo o componente) A,=5 cm2 (Area da se@o do n6cleo) Despreze todas as varia~des 1150 citadas

a)Desenhe o equivalente eletrico do indutor, com os respectivos valores dos componentes. b)Calcule o valor da corrente que esti percorrendo os enrolamentos deste indutor. c)Supondo que a corrente que percorre os enrolamentos do indutor seja metade do valor

observado em (b) quantas espiras deveri5 possuir o nucleo para que o indutor continue com ulna densidade de fluxo de 2,O weber/m2? Que conclusdes pode-se ter com esta situagZo?

Quest20 04 Supondo que no problema anterior seja introduzido um gap de ar de 0,lmm. Suponha que

se deseja neste gap uma densidade de fluxo de O,8weber/m2, qual dcveri ser a corrente que iri5 percorrer o enrolamento?

Quest50 05 Supondo um cilindro com lOcm de comprimento e urn raio de 2cm: a) Qua1 sera o valor da indutincia dcste componente caso ele possua ~111 enrolamento coill

200 espiras? b) Efctue os ci5lculos do item (a) supondo que o componente teve seu nuinero de espiras

reduzido pcla inctade e ao mesmo tempo dobrado scu raio.

Questgo 06 Suponha um indutor coln urn nucleo no formato toroidal com se@o reta retangular, sendo o

di2mctro in@dio muito maior que a espessura do nucleo na direggo radial, obteildo ulna deilsidade de fluxo no nucleo uniforme, qual scri o valor da indut5ncia deste componentc?

Contsersdo Elerronzecinicu de Energia

14-lndut2ncia mutua

Em uma bobina com N espiras tem-se:

0 tenno l\a@ 6 o "flux0 de ligaqgo. Caso, pr6ximo a bobina de um indutor se encontre uma outra bobina, L p::ssivel ocorrer a transfer2ncia de energia entre as mesinas. Ha um acoplainellto i l l a g i ~ ~ i ~ c o CIII!~: cl,zs c 6 possivel determinar o surgimento de uma indutincia mutua. Supondo a fig. 16, oncl,> I , - L ~ s b i ~ el observar a presenqa de um fluxo magnetic0 produzido pcla bobina 1 , nota-sr: qrle pal" 1 2 11~~x0 magletico abrange a bobina 2 (Q,,) e o restante e perdido na dispersiio (Q,,), tcm-se quc .

Pela lei de Faraday tem-se que: X ; d @

I ' = - 12

dr

como o valor de Q12 esta relacionado a Il de fo~nla proporclonal, pode -se d : x r cjue: d l ,

IS, c u p * '.,=>%I - - dt - dt

Onde o valor de M e con]. colno mutua entre as duas bob~~ias. cnrn I, , ' ~ I C cln I3~1iry [HI, scmelhante a unidade jh utll~zad~i em indutincias. Tein-se que:

d @ 1 3 ' I I ' ,=n.,-- - -42' -

- dt dt

Esta equaqgo e valida par2 uma situa@o ollde urn par de bokinas si: c:?i:or.::-a ::!:rolado em uill nucleo ferromagnetico, caso o nucleo em quest20 scja o ar, a cqi!sc50 scria:

Esta anjlise 6 bilateral. e a meslna anhlise poderia ser real~zada obsc~l a-,IL> c ' c!,c~ 2 do csqueina proposto.

A fraqiio do fluxo total que abrange as duas bobinds chama se 1 a l'c lit acoplamento @ I . @ 2 1 K. Tem-se que: K =-=- $ 1 4 2

Pndc-se entso realizar a analogia apresentada a seguir: 2 q G 1 2 N 1 . @ 21 - N 7 . K - G l - N 1 . K . @ 2 bf =-.- A N l . G , N 2 - G 2 - ~ 2 _ _ _ . _ _ _

I , I2 I , I2 I , 12

Converta'o Eletronzecanrto de Ent.r,ozcr 2 5 15-Analise de urn tire;.. it , - , ,,:*lado magneticamente

Durante a opcracgo de u t ~ i i , , , ] ~ i o r prcsente em uin , as linhas de fluxo podem ser aproveitadas em urn outro setor do ~ r ? ~ l v r r t r . Pode-se inicialmente supor que existam duas fontes de alimentaq80 que iriio contribuir con1 ? tl:l.ios @, e Q2 sendo possivel representar esta situaqgo na fig 17 apresentada a seguir Exisrc ,I pi* .c:lc;a de uma indut2ncia mutua (M) entre as duas bobinas envolvidas.

R - -

Rz I P

Observando o circuit0 da fig. 17 icill ->c y e :

R1 . -- - @ - @ R 3 ; : +.., i

- -

$ ; I - 1' 4 :", -~ .. +. \, \. \,

+ I / . ,-- I

I I L chave 1

v . - - -. I I ' _ 1

, ,

4 - , i' M [

I 1

- --

Figtrru 18 - L.t-en~1~lo di; !/!1erug60 do sec~rrzddrio de urn transformador

Supoildo a fig. 18. pela L c i dz Lcnz a polaridadc C tal que, se a chave 1 for fechada. circulara pela bobina ulna cot,l.~:l:rc ql; cl 'e uin fluxo que se oponha ao fluxo principal proveniente de I I . Tem-se que.

Convee~iio Eletronlecdnica de Energia -

joM - I , = (R? + joL, - )I, - No secundario o circuito equivalente poderia ser representado pela fig. 19.

P L , 2

Figura 19 - Represenia~cio do secundario do frwzsfom7ador apressr [ado no jig. Id.

15. I-Regra do ponto

Para simplificar a representaqgo dos circuitos acoplados utiliza-se a chamada "regra rlos pontos". Coloca-se um ponto nos terminais da bobiila que sejam instantaneamente da iilesnla polaridade, em vista da indutgncia mutua. Para tal procedimento escolhe-se urn sentido para a corrente em um dos terminais da bobina e coloca-se o ponto no terminal onde a corrente 1, 7eii~tra o enrolamento, este e instantaneamente positivo. Aplica-se a regra da miio direira para derenninar o fluxo na sepnda bobina e a corrente. colocase o ponro onde a corrente deisa a bobina. Umn \,ez idcntificados os pontos n io ha mais necessidade de incluir o nucleo no circuito.

Figura 20 - Exemplo da utilizaqiio da regra dos potzros.

Para a fig. 20 o equaciona~nento seria: Z, ,I, - jo,I.l. I, = 1; Z,,12 - joAil - I , = 0

OU

- j01W Z,,

Conversa'o Elermnrrcdnica de Energin -

15.2-Substitui~a'o por urn cbrcuito atxi? l.:r.!s sietricamente

E possivel substituir na anilisc de ciicui;c;s cl6trizc;s urn circuito acoplado magneticamente por urn circuito acoplado eletricamclite, pordi:i c s t ~ circuit0 pode nZo ser fisicamente realizhvel, t o m e s e como exemplo a fig.2 1.

R~ jClQM R?

Eletricamente:

Nota-se que na fig.21 a induti~lcia priipii:~ dc cada elemento 6 organizada em funqiio da induthcia mutua presente no circuito. para !di:rer?-!~i~l~~r o sinal que devera ser utilizado basta utilizar a regra dos pontos:

- Se ambas as correntes entram OLI sac-. 11 di: urn par de bobinas acoplados pelos terminais . . que tem o ponto. os sinais em ter~nos dc L ;:s.o igl!;iis nos sinais a n termos de M, pois ha

cc!-aribuiqiio da indutsncia miltua na inclut5ni;i;: i ~ t : - i l c!~? c~ircuito~(c11amada de aditiva). - Se uma das correntes enti-a 110 pon~o i' 2 i ! ! : : ~ a sai do pollto (corn0 o exemplo da fig. 21)

ocorre ulna diminuiqZo da indut2iic1a mutua 11:; i1i4376j1cia total do circuito, entiio o sinal de M sera contrario ao sinal de L (chamada dc subtrativa). Pode-se entio estimar o valor da mutuz em tin! c:i~~c~:ito acoplado mag~eticamente, se as bobinas forem ligadas das duas possivcis manciras terii-se clue:

1 LA = L! + L2 + 2 M (aditiva) e L, = L, + - ZM (subtrativa) * M = - (LA - L, ) 4

Urn transformador 6 responsavel pela transfergncia de energia em circuitos, dependendo da aq5o i1:clircta da indutjncia m6tua eiltre os enrolamentos. 0 transformador e um dispositivo eletrico uti!l,;xi!io para diversas aplicagdes, entre elas: hl:>rii5car ~livcis de tens20 e corrente em um circuit0 eletrico. ,Pir::;r:,car isolamento eletrico, f'!3!' ,i.:!;ir "casamento" de impedgncia em esthgios de um sistema de sonorizagiio.

0 transformador j i foi apresentado anteriormente, durante a apresentaqiio dos circuitos acd.;,.lados magneticainente, sua representagiio fundamental se encontra na fig. 22.

A f.e.m. induzida em urn enrolamento de N, espiras e: El = 4944 - f - N, - $nlrin,o tern s e que :

v V" OU '=A se n2o hh perdas a -- I1 - - - I , (4 = &) N, N2 4 , A',

A construqZo nlais comum de transformadores utiliza nucleos de: - ar

f,, - -' \,I 1 lte - - ::qo-silicio (1.5-3% de silicio)

fi5 ti.'..-.. ,I;!::,Tanlladores tambkm podem ser destacados em duas categorias quanto a isolaciio. coino i lid / do ria fig. 23: I--

? , ,, que h i isolag2o elktrica na fig.23(a), porim o mesmo niio ocorre na fig.23(b).

Converso'o EletrornecBnrca de Energa 29 0 s transformadores podem apresentar di\fcrsos ? ? i ' ! ~ n f ~ r ~ s de fases na rela~iio entre 1"

(primario) e 2"secundario), sendo algu~nas das relaq6cs ~n:,is cclnuns:

1 Numero de fases do prinzdrio A':.:{ . * : (2 fiises do secrcnddrio I

16.1 -Circuit0 eguivalente do transformador

Para freqiihcias iguais ou inferiores a 12011~ tro:i~-?~:::rn:?aor deveria ser representado por urn circuit0 com valores de indutiincias proprias dcpc:!dcntcs dos valores de corrente e de induthcias mutuas dependentes da curva de magnetizaq8o (.lo (!i ,,:,,,,,,itivo, - .v%f -e como na fig. 24.

R x I I R- x

Pode-se refletir os colnponentes prcscntes 170 ~ $ 1 ; . , i :;o do transforrnador para seu secundario, ou o inverso desta sltua~iio. coino indicado a sc, 30~1r: .

h; Tome s e a relaqiio entre 2 como m N 2

a queda de tens20 do prilndrio = 21 - 71 h a r a o sccilndiiii, x a i i n :

Cr~rn .~~rcZo E l r t i~ r~n i t~ iv i ; ! i c~ l di. Eneigio - 30 Esta relaq5o i. co1.1liecida coino impedbcia primiria transferida ao secundario. 0 circuito resultante se encontra aprcscntatio na fig. 25, nota-se que o trafo ideal C substituido por uma impedincia ficticia.

R' =R /mz X' =X /m 2 R 2 1

X 2 1 7

J\/\p.-P!'?r~,,,.-,>,- v, I I I I I I I I I I I I I

I

I

I

I I I

L --L

Fipra 25 - Circuito de urn trafo referido ao secunda~io E possivel i:ti!i~ar a inesma analise para o circuito primirio.

16.2-Detzr1?i:a?3;;~do dos pariimetros do circuito equivalente de urn transformador

Para a dc;e!-minac;20 dos termos do circuito equivalente de um transformador s2o realizados dois ensaios, u m testc a vazio e urn teste em curto-circuito. Para a determinaqgo sera necessario conhccer o 12:an di: altn tens50 (AT) e baixa tens20 (BT) do componente.

Iniciai;,~ci!t~: iutiliza-se o lado de BT, e inserida a tenso de opsraq2o deste lado (tensgo nominal do cl:l.ola!t:ct:to), mantelldo o lado de AT em aberto. Determina-se a temperatura do trafo e do liqiiido isc)lanlc (se existir). S2o utilizados ainda urn wattimetro um amperimetro e um voltimetro. para tleri:mninar a tensgo, corrente e potincia ativa do lado de BT, vide fig. 26.

Figura 26 - Ensaio em aberro de unt @anifomtador te1n -e 1.4j ,cz,.,, ;. f:4/1'.1;r! 3 4 1 ,??,(,

PI, ,,,,. ir, entiio : coscp = -:- - onde SA,l,,,, = I,,,, . VA,),r,, S.I/>L.l,o

- a correlltc de pc:~.da I?., fei-ro e : I,,,, - - coscp a correntc de I ~ I ; ~ ~ I I C T ~ ~ ~ Q ~ O e : Imag BT = IAherh, . sen9

Conver.wio EfetromecBnica de Energla 31 No segundo ensaio faz-se passar CC pelos enrolarnentos c (l,:icn~~Iii;i-sc as resistincias

ohrnicas. Coloca-se ent5o em curto o lado de BT, o ensaio e nZo dcatlllii: o e rjr:ve circular pelos enrolarnentos de AT uma CA i p a l a corrente nominal desse enrolamento. \ i,le fiz. 27. Toma-se as medidas na alta tens50 da corrente, tens50 e potincia ativa.

L

Figura 27 - Erzsaio em curto cimrito de urn ~unsfor.n7ador: Para se obter a corrente nominal a diferenqa de potencial na AT seri c-llti-c 3-7% da tens50

nominal de operaqgo. Pode-se ent5o equacionar esta situaq50.

1' 42- zc4T = - -- 7

RcqT = Z,, . coscpc

Supondo um trafo convencional : R.4, = RLT

X,ir = X i , Rc4T = R4T + RLT

Xc4T = X4T + XiT tem s e portanto os demais tennos. lembrando que :

16.3-Perdas no transformador

0 transformador possui perdas se~nelliaintcs as esistentes no indutor. 11-0 st.1.50 encontradas perdas por:

Efeito Joule: devido a resisthcia dos enrola~l~entos Perdas no nucleo:

- Histerese - Foucault

Converso'o Eletr-omecrinico de Lir,-,:;.ia .. 3 2 Porem existe uma j-crda que C considerada nos transformadores, inicialmente desprezada

devido as di~nensdes dos indutorcs pennitirein tal desprezo, as perdas por magnetostriq20. As perdas por ii~agnetostri@o oco!.rcin quando o n6cleo do material sofre variaqdes mecinicas, responsaveis For defonnaqdcs pi9.t;ticas do mesmo. Estas deformaqdes mecbicas ocorrem devido a present;a do campo rnag~~tt ico c ;I ci;~cula$iio de uma corrente elktrica, ambas alternados (a maioria dos transformadorcs operain ern AC), s2o desprezadas em unidades transformadoras de pequeno porte, basta ulna coinpressi?io clss cllapas do nucleo. Esta caracteristica C funq2o do eixo cristalino de alguns materiais como o fuuo e o cobalto, estando este eixo sob aq80 do campo magnetic0 e e proporcional a intcnsic';::tlc rlcste camp0 magnCtico. Quando o transformador atinge dimensties maiores as perdas por iirz.grietosiri;iio s2o maiores, e mais perceptiveis por um ruido de vibraq2o caracteristica do equipamcnto; torna-se necesshrio "prender" as chapas de forma firme. visando evitar deformaqdes na eStrl!:!.i.ia, L; comum encontrar parafusos e chapas atuando como retentores do equipamellto nestes casos.

Siio equipamentos que possuem uma estrutura magnktica igual aos tranq,F.>rmadores convencionais, porem a parte eletrica possui uma diferenqa crucial: os enrolamentos dc .4T e BT se encontram agrupados conjuntamente em um mesmo enrolamento. 0 enrolamt:,l,ci cle BT se encontra em uma parte do enrolamento que comp6em o enrolamento de AT, vide fig. 23. Pode-se representar o autotransformador na forma da fig. 28.

Figura 28 - Representaqiio do autotransformador.

Ha uma grande economia de material neste transformador: As espiras necessarias para a AT Go tarnbem aproveitadas para a BT. lado de BT devera suportar uma corrente menor que a presente em urn tl;tl1~-5xrnador convencional, vide a fig. 28 onde a corrente que percorre o enrola~ne~lto de BT e I?-/ ,: . Si~pondo que o peso do cobre seja proporcional a corrente e ao numero de espiras do transfo:-mador, fazendo:

Pa-peso do autotransformador P,,-peso do transformador convencional P, - I , ( ; L : % : K ) + K ( ~ - 1 0 ) --

P, N, 1, + NZ I2

Nota-se que quanto menor a relaqiio entre (V,- V2) maior a economia de cobre. Apresenta menor queda de tensiio e melhor rendimento. 0 autotransformador pode ser conectado a terra, e reversivel e pode atuar coixo elchaclor ou redutor de tensiio. entre outras.

PorCm o autotransformador nHo e utilizado em sihla$des onde a relacgo entre os l:lr!os de AT e BT ultrapassar tr6s vezes o valor entre os mesmos.

Para a transforma@o dos sisten-ia:; 30 yode-se empregar 3 trafos monofisicos distintos, iguais entre si. 0 s 3 enrola~ncntos s c r ? , ~ alimcntados pela linha 3$ primaria atraves de a,mparnentos em estrela, t r iang~lo oil air:dg. zziguc-zague (semelhante a l iga~5o Y, porkm possui uma indutincia a mais), vide fig.29. re,:; : .^s agiupamentos em Y ou A ira sair a linha 3$ secundaria.

Enquanto a carga secundh-ia for simi2trica e equilibrada o trafo 3$ pode ser estudado observando apenas uma das fases do ~nc:sr-i;o, qualquer que seja o esquema de l iga~des da fase primaria e secundiria; esta sin1plifica~5o n30 mais funciona para agrupamentos 341 com cargas desequilibradas.

(b) - tr-idngulo Figura 29 - Ligcr~iirs m n i ~ (':>,,.i,, 2s ernpregaclas em traizsfomadores.

0 s tipos mais coinuns de ligaqdes sHo: a)Y-Y : A presenGa do neutro atcrrado (5 ni - ic%r~;a l neste tipo de transformador, a corrente de linha e igual a corrente de fase. sun tcnsRo cmrc !inhas i: 11; vezes maior que a tens50 de fase. A presenqa do neutro nestc transforn:a~l,or 2 ~~i l , i to iltil pois o retorno da corrente ocorre pelo neutro, caso a carga no secundario scja monof5si;a iiF,o iri ocorrer circula@o de corrente em todos os ternilnais do priniario do transformatlor. ,4 tllpcrcnc;a entre a tens20 de fase e de linha justifica sua ampla aplicaqio em ativid'ldes envolwnt1:r 2;:;; :et;sZio.

b)A-Y : Empregado em trailsformadorcs e!~:vudorcs de usinas hidroeletricas, devido a circula~50 da 3%arm6nica das correntes magnctizantcs. ~ a s c ~ ~ i r a n d o a forma senoidal dos fluxos e das tensdes.

c)Y-A : Quando as fases do secundat-io chi5ij concctadas em A e ocorre o desequilibrio de uma das fases ha circula$io de coi-rentc. pol iodas as l:~:;cs.

d)A-A : As tensdes secundirias, dc:-:co!;::ic!:~~nndo-se as dissimetrias, s5o iguais e simktricas, qualquer que seja a carga. S io amplar?li.117.i: utilizados para alimentac%o de cargas fortemente desequilibradas. Outra caractcristica C clue a czlii;linnc;Zio de um dos lados do tritingulo n5o impede o surgiinento das 3 fases no scc~~ndirio. EST:;. ;.tic;.ricdade C interessante pois permite a utilizaq50 dc dois trafos monofasicos em uin sistei~la 36,

e)Y-zigue-zagle: Possibilita a slirninac;5o da 3qharm6nica devido ao tipo de sua ligaq5o.

Co, ,21 \do Eletrontecrinrca de Energfa - 19 -,Wendimento de um transformador

0 rendimento de um transformador C defiriido colno a ~-ela$io entre a potincia eletrica r(.~-i!ccida pelo secundario (W,) e a potencia elitrica absoi\ ids pclo primario (W,).

A s pot2ncia yodetn ser calculadas por: W,=V,I,cosj@,) kY ,= I', I, cos (4,)

- - -

T'odz-se tambkm escrever: IY 1 = E' 2 + w pe~das =v,I,cos(@,)+ W ~ + R I :

ondc. Wo= pcrdas por histerese e Foucault H Z - = perdas poi efeito Joule

S: o trafo for 3$ basta multiplicar todos os termos por 3. 0 rendlmcnto fica portanto: 1 V,I ,cos(~, !

fl=-- - fl', v7 - I,COS - (+,)+ w 0 + ~ l 2

Corn .-, G o Eletronzeccinicn de Energia 3 6 23.-Xegras para Opera~ao de transformadores em paralelo

As unidades transformadoras que irZo trabalhar em paralelo deverZo ter igual tens50 nomilla1 e idtntica relaggo de transformaqZo. Caso os trafos em paralelo possuam diferenqas 3s ,;rnilA\leis, pode-se estabelecer entre as unidades que estiio formando o paralelo uma corrente de ci1~12liir;Zo permanente denominada "corrente equalizadora", vide fig. 30, que podera: f 1 ) Elca ar o consumo e a temperatura interna das unidades transformadoras. 2) Elcvar a temperatura dos condutores que constituem os enrolamentos das unidades a ponto de

~{~niproineter a isolag5o dos mesmos.

wfo 1

lafo 2

Figura 30 - Esquema de dois transfo?madores en? paralelo. As unidades transformadoras deverZo ter a mesma defasagem angular ou mesmo

deslocamento de fase de secundario em relaggo ao primlio. Devem ainda possuir a mesma iinpr.d5ncia percentual:

I'm V,; ---a tensgo de curto circuito. ' - tc1is50 nominal por fase.

Conserscio Eletromeclinica de Enrrgia - Nrltas de 4uIa -prof David Cu[hau Jorge 21 -Transdutores

Ate o momento apenas dispositivos esthticos tt:m sido abordados, p o r h e comum a utiliza~iio das propriedades de campos magneticos c~~volvcndo a atua@o de for~as. Sendo o desalinharnento de linhas de fluxo magnetic0 e a irltcra~Bo c~itrc crt~rlpos magneticos e condutores as responsaveis pela atua@o de f o p s em urn componente. Supotido ulna situaqgo onde as linhas de fluxo n8o se encontram alinhadas surgira uma forqa visaid0 tiil aljnhamento, vide fig. 31.

Figura 31 - Exemplos de linhas de.br.qu m~griL;iicu desalinhadas.

Equipamentos conhecidos por transdutores elenomec:',i~icos operam de tal forma, como exemplo existem: autofalantes, microfones, reles, galvanb~i~ctros, motores de relut2ncia, etc.. As f o r ~ a s produzidas visam a diminuiqBo da relut2ncia magnktica do componente, quando possivel. P o d e s e informar que:

Energia elktrica.fomecidn=Trabalho mec~nico + E:~c;.&ici mc:gnktica aimazenudu - -

I 1 /

I I ' I

-A Figurn 32 - Irzdzrtor con? p =w e corn u:71o ccJ, d o ckslocada x.

Cada caso deve ser analisado isoladalnente por exi , , :lo: supondo urn elemento como o mostrado na fig. 32, temos a energia produzida pela fontc (12 coi-1-cnte e podcsc desenvolver o restante do problema:

dW'=I.edt = I ( A III ,LI Ul-h ,,,, u,) 1

a energia magnkticii unnnzerradu em urn canyo m~~giziticot! WrTr== - B. H-dv 7 t -

1 Logo pode - se sinzpl

ConiwsCc, ~ I ~ r r o ~ i i z i . d ~ ! h t i tie, Eireigicr - ,?rotus de Aula -prol: David Cnlhau Jwge 22-Raz$,.-ir ,Z,,ilair6veI

E uiil coi-nponcnte de controle de potgncia, ainda muito utilizado em varias aplicaq6es. Este componcntc itii!:i i'.i)iilO ulna cl~ave, mais precisainente urn SCR, vide fig. 34.

Possiir;iii i.il;l nucleo de Fe-Si o qua1 produz uma curva de histerese do tipo square (quntlmd~;), vide fig. 33.

I Figura 33 - Curva de histerese de urn reator saturavel.

OperaqBo: Na regigc) c I ~ .?t~r~.a@io A$=O n5o ha queda de tens50 no reator VL=O e a corrente depende da carga. Na regido cl, L. ,,ir n$o AH=O n8o 6 permitido corrente menor que um valor Ixtem-se:

Na rcgiao de :,Lib -cxcitaqiio I

Universidade de Uberaba Exercicios de Conversiio de Energia - junho/2001 Prof. David C. Jorgc

1) Cite c cupliquc como criar um autotransformador elevador. Respondendo em seguida: njEsiste isolamcnto el@tiico neste componente em caso de falha no primirio? b)6 possivcl a constru@o de urn autotransformador com qualquer rela~iio de transforma@o? C

2) Esp1ic;ue brevemente a opera~2o de indutores como chaves, mostrando sua atuagiio em circuitos.

3) Supondo urn motor (341 220V160Hz) acoplado a um gerador. Se o sistema est6 a uma vclocidade de 17801pm:

a)Qual@ o n6mero de p6l0s do motor? b)Crie uma equaq20 que informe a freqiiencia da tens20 nos terminais do gerador, caso ele

porPI-la urn nfirncro N de ~610s. c-.)Qual6 o valor do escorregamento do motor?

4)Uma ~.:ifiquina CA de 2 p6l0s esti operando a 50Hz e possui um comprimento axial de 45cm e o raio do cntrefe~ro de 26cm. Se a miquina for submetida a um fluxo $=IWb e sendo o fator de distribui@.o de ufiia sCrie de enrolamentos, geometricamente distribuidos no estator, k=0,93:

a)Dctci-mine a tens20 eficaz produzido no estator. ?))Qua1 o valor de pico da densidade de fluxo da miquina?

5) Cite c cxp!iquc as curvas caractensticas dos motores tipo N e H.

6)Su~:mha urna carga com a caractenstica apresentada a seguir: AC[N.m]

1 Cresiste \ nte .

: - veloc. nom.

n[rpmI Escr:)!i!a motor apropriado para esta carga, justificando sua escolha. 7) Mosi~e r:omo determinar o valor do torque mhimo em um motor a partir de seu circuit0 cquiva,icntc. Faqa todas as passagens necessirias.

ConversZo Eletrornec~inica de Energia - Notas de AuIa p r o f . David Calhau .forge Exercicios - Segunda parte

4 3 1 Quest50 01 ,w i H Supondo urn trafo com raz5o de espiras s, scndo as perdas no trafo despreziveis,

determine os valores de tens5c4e , ~ ~ ~ ; ~ t ~ ~ ~ ~ p f ; l m a r i o (lado &+, -- dc .,+ alta- -:,I t~i~:%o)nsc ~ J Q szc!undhrio 2 -L , (lado - -? ,- L, de baixa-tensso) for colocada uma limpada incari%escente de l2OV x !30ilr 2 4th se enkontra em operaqb nominal. Caso sejam mantidos os valores da fonte e da limpada c ii-ivcriid~s os terminais do trafo, o que ira ocorrer corn a Iimpada?

Quest50 02 Suponha um trafo 1$ 22011 10 [V] , devera ser colocado urn c'tparitor C para atenuar o

efeito indutivo de uma carga, como este capacitor seria "visto" pelo primario?

Quest20 03 Apbs o ensaio a vazio de um trafo foram obtidos os valores:

V= 1 OOV IIO,lA ,,LC,, P=9W Determine o "fator de potgncia", as ~e"rdas no ferro e a corrente de rnag~letl-/er;:o doste trafo. ' 4 PC e'r*C ,,q ,-\ 13 JIJ.-L~. P,., g,-i A,- 3; 0 - c 5 . ' g' cCI.+< nj T C ~ ~ " ~ l j

"u " &a cU y L # ' 1 ( 5 fJ 1 2 0 C . % C C C 3 * - ! 5 1 T < d 7 2 C x L m 4 PL - # . / 4 G < - - ~ 7 < > + c p > , Ouestiio 04 Desenhe o circuito equivalente referido ao secundario dc urn in&br coin os valores

fornecidos abaixo: Nl/N2=3 Rl=0,5R R2=0,021R R,2=350R Xl=j3,2Q ~ 2 = j O ; p R Xml=j3,92R * 0 indice 1 se refere a primari.0 e o indice 2 se refere a secundario.

Quest20 05 Deduza o circuito equivalente de um trafo refcrido ao primario.

Quest50 06 Sendo urn transformador 1101'220 de 10kVA. 60Hz. No testc ifi. cinxito aberto foram

obtidos os valores de 110V: corrente de 5A e potencia de 100W. No t w c ( :s r::irto-circuit0 urna tens50 de entrada de 21V; corrente de entrada de 28A e 500W. Obtcnha Oa 11 :,;i111~tr0~ do circuito equivalente, referidos ao lado de alta tensgo. Assurna que RI=a2R2 e XI==a2X2. Quest50 07

Se urn trafo 341 A-Y possuir uma carga desequilibrada em seu sczund5rio o que ocorrera corn as fases do primario? Cascl x t e trafo seja substituido por uin Y-Y i i l l i~ llcurro no primirio e no secundario havera inodifica~$es em seu primkio quaildo sub~netido n *:;rslt!a situac;Zo?

Convers6o Eletrnn~ecanicn dr Energin -- h i l l r r r dr Aulo -prof: David Calhnu Jorge

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