UNIVERSIDADE DE BRASÍLIA

UNIVERSIDADE DE BRASÍLIA (UnB) FACULDADE DE TECNOLOGIA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELETRICA

SISTEMAS DE POTÊNCIA

PARTE V

APOSTILA

Professor : Pablo Cuervo Franco Sala AT-10

Tel: 273-5977 Ramal: 216 e-mail: pablbo@ene.unb.br

Junho 2004 UnB/FT/ENE

ÍNDICE 1. DESCRIÇÃO E MODELAGEM DAS COMPONENTES DO SISTEMA Erro!

Indicador não definido. 1.1. Introdução ........................................................... Erro! Indicador não definido.

Fasores ...................................................................... Erro! Indicador não definido. Potência Instantânea ................................................. Erro! Indicador não definido. Carga R,L, e C .......................................................... Erro! Indicador não definido. Potência Ativa .......................................................... Erro! Indicador não definido. Fator de Potência ...................................................... Erro! Indicador não definido. Potência Reativa ....................................................... Erro! Indicador não definido. Potência Complexa ................................................... Erro! Indicador não definido. 1.1.1 Procedimento para saber se um elemento absorve ou libera potência Erro! Indicador não definido. 1.1.2 Transferência de P e Q a Carga Simples .. Erro! Indicador não definido. 1.1.3 Transferência de Potência entre Elementos Ativos. . Erro! Indicador não definido. Fluxo de Potência ..................................................... Erro! Indicador não definido. Diagrama Fasorial..................................................... Erro! Indicador não definido. Fluxo de Potência ..................................................... Erro! Indicador não definido. 1.1.4 Potência Transferida Complexa................ Erro! Indicador não definido.

1.2. Modelamento de linha e trafos .......................... Erro! Indicador não definido. 1.2.1 Linhas de Transmissão. ............................ Erro! Indicador não definido. 1.2.2 Transformadores em Fase ......................... Erro! Indicador não definido.

1.3. Fluxo de Potência na Linha ............................... Erro! Indicador não definido. 1.4. Formulação Matricial: ....................................... Erro! Indicador não definido.

2. FLUXO DE CARGA .................................................. Erro! Indicador não definido. 2.1. Caracterização do problema.............................. Erro! Indicador não definido. 2.2. Métodos de solução ............................................. Erro! Indicador não definido. 2.2.1. Fluxo De Carga Pelo Método De Newton-Raphson ... Erro! Indicador não definido. 2.2.2. Método De Fluxo De Carga Desacoplado. .... Erro! Indicador não definido. 2.2.3. Fluxo de Carga Linearizado. (F.C. CC) ....... Erro! Indicador não definido. 2.3. Incorporação de Controles e Limites nos Métodos de Solução. ........... Erro! Indicador não definido. 2.4. Métod de Newton Utilizando Coordenadas Retangulares .... Erro! Indicador não definido. 2.5. Fluxo de Carga em Redes de Distribuição Radiais ........ Erro! Indicador não definido.

3. ESTRATÉGIAS ÓTIMAS DE OPERAÇÃO ....................................................... 1 3.1. Fundamentos de Otimização ......................................................................... 3

3.1.1. Função Lagrangeana ................................................................................. 5 3.1.2. Condições de Kuhn-Tucker para caracterizar a solução ótima ................ 7

3.2. Despacho Econômico de Geração sem levar em consideração a rede de distribuição. ................................................................................................................. 8 3.3. Despacho Econômico Sem perdas e sem limites de geração ....................... 9 3.4. Despacho Econômico com limites de capacidade ...................................... 11 3.5. Despacho Econômico de Custos Lineares por Parte ................................. 16 3.6. Despacho Econômico com Perdas ............................................................... 17

2. ESTRATÉGIAS ÓTIMAS DE OPERAÇÃO

2.1. Fundamentos de Otimização

Definições:

� Função Objetivo: função que se deseja otimizar (minimizar ou maximizar)

+ custos + perdas + benefícios + desvios

� Restrições:

São as condições que devem ser satisfeitas ao mesmo tempo em que é otimizada a função objetivo. Estas condições são representadas por funções e/ou limites em variáveis.

� Região Factível:

É a região delimitada pelo conjunto de restrições. Qualquer solução dentro desta região satisfaz simultaneamente as restrições.

Soluções fora desta região de factibilidade são soluções infactíveis.

� Restrição Ativa:

É uma restrição que faz parte do limite da região de factibilidade no qual ocorre a solução ótima de um problema de otimização restrito (R1, R2).

� Restrição não ativa:

É uma restrição que não faz parte do limite onde ocorre a solução ótima (R3).

X1

R1 R2

Região Factível R3

X2

Max f(x1,x2)

Exemplo:

Minimizar ( ) 22

2121 4

1, xxxxf +=

Sujeito a: 05),( 2121 =−+= xxxxw

0),(.),(

1

1

)0(2

)0(1

)0(2

)0(1 =∇+∇

−

−=∇

xxwxxf

w

λ

λ→ Multiplicador de Lagrange

5

F=5

),( )0(

2

)0(

1 xxf∇

),( )1(

2

)1(

1 xxf∇

),( )2(

2

)2(

1 xxf∇

),( )1(

2

)1(

1 xxw∇

),( )0(

2

)0(

1 xxw∇ ),( )2(

2

)2(

1 xxw∇

X2

X1

5

5

51

4

2

1 =

=

=f

X

X

521 =+ XX F=5

3.1.1. Função Lagrangeana

),(.),(),,( 212121 xxwxxfxxL λλ −=

222

111

.

.

x

w

x

f

x

L

x

w

x

f

x

L

∂

∂−

∂

∂=

∂

∂

∂∂

−∂∂

=∂∂

λ

λ

∂

∂∂

∂

−

∂

∂∂

∂

=

∂

∂∂

∂

2

1

2

1

2

1 .

x

wx

w

x

fx

f

x

Lx

L

λ

0. =∇−∇=∇⇒ wfL λ

No ponto de ótimo:

0;0;021

=∂

∂=

∂

∂=

∂

∂

λL

x

L

x

L

No exemplo:

( ) ( )54

1,, 21

22

2121 −+−+= xxxxxxL λλ

=+

=

=

=+=∂

∂

=−=∂

∂

=−=∂∂

52

2

2

2

5

02

0..2

1

2

1

21

22

11

λλ

λ

λ

λ

λ

λ

x

x

xxL

xx

L

xx

L

=

=

=

⇒

1

4

2

2

1

x

x

λ

Tendo mais restrições:

),(.),(.),(.),(),,,,( 2133212221112132121 xxwxxwxxwxxfxxL λλλλλλ −−−=

∑=

−=3

1212132121 ),(.),(),,,,(

iii xxwxxfxxL λλλλ

Condições:

0;0;0;0;032121

=∂

∂=

∂

∂=

∂

∂=

∂

∂=

∂

∂

λλλLLL

x

L

x

L

Com restrições de desigualdade:

( ) 0,..., 21 ≤xxg

( ) 22

2121 4

1, xxxxfMinimizar +=

S.a:

05),( 2121 =−+= xxxxw

µ→≤−+= 055

1),( 2121 xxxxg

045

1),( 2121 ≤−+= xxxxg

4 5

1

X1

X2

5

G(X1*, X2

*) < 0 ⇓ Restrição não ativa ⇓ µ = 0

G(X1*, X2

*) = 0 ⇓ Restrição está ativa ⇓ µ > 0

3.1.2. Condições de Kuhn-Tucker para caracterizar a solução ótima Minimizar ( )xf S.a.

( )

( ) Ngixg

Nwixw

i

i

,....1,0

,....1,0

=≤

==

→x vetor de dimensão N

Função Lagrangeana

∑∑==

−−=Ng

iii

Nw

iii xgxwxfxL

11

)(.)(.)(),,( µλµλ

Para um ponto de ótimo 000 ,, µλx devem ser satisfeitas as seguintes

condições:

1. ( ) Nixx

L

i

,.....1,0,, 000 ==∂∂

µλ

2. ( ) Nwixwi ,.....1,00 ==

3. ( ) Ngixg i ,.....1,00 =≤

4. ( )

Ngixg

i

ii ,.....1,0

0. 0

=

≥

=

µ

µ Condição de folga complementar

� Caracterização do problema de otimização.

- Função objetiva (critério) - Atender as restrições.

� Estratégia de solução. - Função Lagrangeana

� Condições Necessárias para que a solução seja ótima (Kuhn-Tucker).

2.2. Despacho Econômico de Geração sem levar em consideração a rede de distribuição.

Custo Total de Operação

( ) ( )∑=

=n

iiPgCiPgC

1

(1)

Atendimento da carga:

∑=

+=n

iPerdas

TotalDi PPPg

1

(2)

Maxii

Mini PgPgPg ≤≤ (3)

∼

∼

∼

Pg1

Pg2

Pgn

PDTotal

Ci(Pgi)

Pgi PgiMin Pgi

Max

Ci(Pgi)

Pgi PgiMin Pgi

Max

2.3. Despacho Econômico Sem perdas e sem limites de geração Minimizar

( ) ( )∑=

=n

iii PgCPgC

1

S.a

∑=

=n

i

TotalDi PPg

1

Função Lagrangeana:

( ) ( ) {44 344 2143421

MW

n

i

TotalDi

MWH

h

n

iiii PPgPgCPgL

−−= ∑∑

== 1/$

/$

1

., λλ (4)

Aplicando as condições necessárias para encontrar a solução ótima,

nidPg

dC

Pg

L

i

i

i

,....1,0 ==−=∂

∂λ

ii

i CIdPg

dC= (6)

0=−=∂∂

λii

CIPg

L (5)

01

=+−=∂

∂∑

=

TotalD

n

ii PPg

L

λ

( ) 2

111111 12

1PgbPgaCoPgC ++=

( ) 22222222 2

1PgbPgaCoPgC ++=

( )PgC

Pg

Total

D

n

ii

n

ii

n

iii

n

ii

i

i

n

ii

dPPgdC

dPgPgdC

dPgPgdC

dPgCIPgdC

dPgdPg

dCPgdC

dCPgdC

..)(

)(

.)(

.)(

.)(

)(

1

1

1

1

1

λ

λ

λ

=

=

=

=

=

=

∑

∑

∑

∑

∑

=

=

=

=

=

(8)

Total

DdP

PgdC )(=⇒ λ (7)

Num caso geral com “n” geradores,

( ) 2

2

1iiiiiii PgbPgaCoPgC ++= (9)

[ ][ ][ ][ ]

[ ][ ] ;,.....,,

;,..,,

;1.........,,.........1,1

;...,,.........,

;..,,.........,

;,.....,,

21

21

21

21

020100

T

nDDDD

Tn

T

T

n

T

n

T

n

PPPP

PgPgPgPg

e

bbbb

aaaa

CCCC

=

=

=

=

=

=

(10)

B = diag(b) (11)

222

2

2 PgbaPg

dC+==

Pg

dc

Pg

λ

IC1

IC2

Pg1 Pg2 Pg2

111

1

PgbaPg

dC+==

Pg

Min,

( ) .B.PgPg.Pga.CePg TTO

T

2

1++=C (12)

S.a

DTT .Pe.Pge == Total

DP

Função Lagrangeana:

( ) ( ) ( )Total

DPCL −−= .PgePgPg Tλλ,

Condições Necessárias:

DTT .Pe.Pge

.eBPgaPg

===∂∂

=+=∂∂

Total

DPL

L

λ

λ (13)

Solução analítica:

.aB.eBPg 11 −− −= .λ (14)

Multiplicando a eq. (14) por Te

T11T .a.eB.eBe −− −= .λTotal

DP

.e.Be.a.Be

1T

1T

−

−+=

Total

DPλ (15)

Inserindo a eq. (15) na eq. (14),

.aB.eB.e.Be

.a.BePg 11

1T

1T−−

−

−

−

+= .

Total

DP

βαPg += Total

DP. (16) Sendo que:

( ).aB

.e.Be.a.Be.e.B

β

0.e.Be

.eBα

1

1T

1T1

1T

1

−

−

−−

−

−

−=

>=

2.4. Despacho Econômico com limites de capacidade

Min

( )∑=i

ii PgCC

S.a

λ←=∑ Total

Di

i PPg

{ {Max

i

Maxi

i

Mini

Min

iPgPgPg

µµ↑↑

≤≤ , i = 1,.........n

( ) ( ) ( )

( )∑

∑∑∑

−+

−+

−−=

i

Max

i

Max

i

ii

MinMin

ii

Total

Dii

ii

MaxMin

i

i

PgPg

PgPgPPgPgCL

µ

µλλ µµPg ,,,

De acordo com as C.N:

µiMin ≥ 0

µiMax ≥ 0

λ

Pg1Min Pg2

Max Pg2Min Pg2 Pg1 Pg1

Max

CI1 CI2

Max

i

Max

i

Max

iMax

i

Min

i

Min

i

Min

iMin

i

PgLPg

L

PgLPg

L

∂−=∂⇒−=∂

∂

∂=∂⇒=∂

∂

.

.

µµ

µµ

C.N:

niPgPgL

niPgPgL

PPgL

CIPg

L

Max

iiMaxi

iMiniMin

i

i

TotalDi

Maxi

Minii

i

,.....1

,.....1

0

0

=≤=∂

∂

=≤=∂

∂

=−=∂∂

=+−−=∂∂

∑

µ

µ

λ

µµλ

( ) 0=− i

Maxi

Mini PgPgµ i = 1,......n

0≥Miniµ

( ) 0=− Max

iiMaxi PgPgµ i = 1,......n

0≥Maxiµ

Pelas condições de folga complementar:

1) Se Maxii

Mini PgPgPg <<

Então,

CIi = λ i = 1, 2, .....n

2) Se iMini PgPg =

Então,

0>Miniµ e 0=−− Min

iiCI µλ

iMinii CICI <⇒−=⇒ λµλ

3) Se Maxii PgPg =

Então,

0>Max

iµ e 0=+− Max

iiCI µλ

iMaxii CICI >⇒+=⇒ λµλ

Exemplo:

G C0($/h) a ($/MWh) b ($/MWh) PgMin PgMax 1 100 20 0,05 0 400 2 200 25 0,10 0 300

20 .

2

1.

iiii PgbPgaCC ++=

λ µi

Min

PgiMin

λ µiMax

PgiMax

1) CIMin = Min(CI) 2) CIMax = Max(CI)

3) 2

MaxMin CICI +=λ

λ=iCI

4) iii Pgba +=λ i

ii b

aPg

−=⇒

λ

5) Se i

Max

i PgPg < Maxii PgPg =⇒

6) Minii PgPg < Min

ii PgPg =⇒

7) ∑=i

iTotal PgPg

8) Se TotalD

Total PPg > Então MaxCI=λ vá ao passo 3)

9) TotalD

Total PPg < Então MinCI=λ vá ao passo 3)

10) Pare. Pgi é a solução e λ é o preço da energia. ⇒ Ordem de mérito.

Caso Total

DP (MW)

Pg1 (MW)

Pg2 (MW)

CI1 ($/MWh)

CI2 ($/MWh)

λλλλ C($/h

A2 40 40 0 22 25 22 1140 B2 250 200 50 30 30 30 6675 C2 300 233,3 66,7 31,67 31,67 31,67 8217 D2 600 400(Max) 200 40 45 45 19300

λ

Pg1Min Pg2

Max Pg2Min Pg2 Pg1 Pg1

Max

CI1 CI2

C1Min

2.5. Despacho Econômico de Custos Lineares por Parte

λλλλ Unidade Carga 10 1 ≤ 20 15 1 + 2 20 ≤ PD ≤ 30 20 1 + 2 30 ≤ PD ≤ 40

CI1

MW 10 25 30

a11=15

a11=25

a13=45

CI1

MW 20 30 35

a11=10

a11=20

a13=40

Ci($/h)

MW

2.6. Despacho Econômico com Perdas

1) Se as duas unidades geradoras são despachadas com 250 MW cada, então; P1 + P2 < 500, dado que a perda na linha seria de 12,5 MW. Esta solução é infactivel. Fazendo o despacho econômico temos:

2) Min C1(P1) + C2(P2)

S.a

PerdasTotal

D PPPP +=+ 11

40070

40070

0002,0

2

1

21

≤≤

≤≤

=

P

P

PPPerdas

( ) ( ) ( )212211 500 PPPPCPCL Perdas −−+++= λ (38)

0500

01

01

21

22

2

11

1

=−−+=∂∂

=

∂

∂−−=

∂∂

=

∂

∂−−=

∂∂

Perdas

Perdas

Perdas

PPPL

P

PCI

P

L

P

PCI

P

L

λ

λ

λ

( )

00002,0500

0004,07

0004,01004,07

2121

2

222

1

1

211

=−−+

=−+=

=−−+=

PPP

PCI

PPCICI

CI

λ

λ

48476

48476

∼

∼ P1 P2 Min = 70 MW Max = 400 MW

500MW Min = 70 MW Max = 400 MW

Perdas ≅0,0002P12

}

}2

22

211

004,07

004,07

PCI

PCIba

ba

876

876

+=

+=

Solução:

P1 = 178,882 MW P2 = 327,496 MW λ = 8,31 R/MWh

211011 .

2

1. PgbPgaCC ++=

222022 .

2

1. PgbPgaCC ++=

Custo:

hCC /$15,46230201 =+

Perdas:

6,378 MW

3) Suponha que decidimos ignorar a influência econômica das perdas, e despachamos a unidade 1 suprindo asperdas.

Neste caso,

( ) ( ) hCC /$84,4661250932,263 21 =+

4) Solução com perdas mínimas

P2 = 400 MW P1 = 102,084 MW PPerdas = 2,084 MW

( ) ( ) hCC /$43,4655400084,102 21 =+

∼

∼ P1 = 263,932 MW

P2 = 250 MW 500MW

Perdas =13,932 P2 = 250 MW

FLUXO DE CARGA LINEAR ÓTIMO

)( EG P,PfMinimizar

Sujeito a :

maxmin

maxmax

µµ

PPP

λPPPδB

f

DG

↓↓

≤≤−

→−==⋅

fluxofluxo

Onde,

1. )()(1∑

=

=n

iiGi PCf EG P,P é o custo total de geração com carga inelástica fixa.

2. )()()(11∑∑

==

−=n

iiEi

n

iiGi PWPCf EG P,P é o custo de geração considerando carga

elástica em relação ao preço. W é uma função de beneficio dos consumidores. Observe que: δAXP T1

f ⋅⋅= − . Função Lagrangeana para o caso 1. com carga inelástica:

)PδA(XµP)(BδλPµλ,δ,P, maxf

T1TT −⋅⋅+−+= −)()( fl Condições necessárias de otimalidade:

0µ

0PδAXµ

0PδAXµ

0PBδλ

0µAXλBδ

0λCIP

maxf

T1T

maxf

T1

1T

≥

=−⋅⋅⋅

≤−⋅⋅=∂

∂

=−=∂

∂

=+=∂

∂

=−=∂

∂

−

−

−

][

l

l

l

l

Os multiplicadores de Lagrange são os preços nodais. Caso existam linhas saturadas os agentes do sistema devem pagar:

∑∑∑===

=+n

iiDi

m

kkfk

n

iiGi PPP

11

max

1

λµλ

Como 0max ≥kfk Pµ o custo total de geração é menor que o montante pago pelas cargas.

O valor 01

max

11

>=−= ∑∑∑===

m

kkfk

n

iiDi

n

iiGi PPPMS µλλ é chamado de “Merchandising

Surplus”.

FLUXO DE CARGA ÓTIMO (FCO)

)( EG P,PfMinimizar

Sujeito a :

maxmin

maxmin

maxmin

maxmin

maxmax ),(

),(

),(

vvv

QQQ

PPP

µµ

PδvPP

λδvQQQ

λδvPPP

f

DG

DG

≤≤

≤≤

≤≤

↓↓

≤≤−

→=−

→=−

GGG

GGG

fluxofluxo

q

p

Exemplo:

363227- SISTEMAS DE POTÊNCIA

Prof. Pablo Cuervo Franco (8/11/06)

Atividade Prática

Baseados nos desenvolvimentos feitos em sala de aula e na informação em anexo que inclui dados de sistema de potência, é solicitado primeiro implementar um programa em linguagem Matlab para obter o despacho econômico através de fluxo de carga ótimo linear considerando limites de fluxos nas linhas de transmissão e limites de capacidade de geradores. Esta implementação deve fazer uso da função interna do Matlab chamada fmincon para otimizar. O programa deve estar estruturado em 3 arquivos: arquivo de dados, arquivo principal e arquivo para gerar relatórios de saída. A figura abaixo mostra o sistema de cinco barras com os dados das linhas descritos na tabela. Assuma que todas as cargas L2, L3, e L4 são fixas e iguais a 300 MW. A tabela mostra também os dados dos geradores e as ofertas dos geradores nesta hora. Assuma que as perdas são desprezadas. Considere quatro casos: Caso 1: caso irrestrito quando os limites de capacidade de transmissão não são considerados. Caso 2: considerando limites de transmissão. Caso 3: considere o caso 2 com aumento das cargas em 30%. Caso 4: considere o caso 2 retirando de operação o gerador 5. No relatório a ser entregue devem constar os seguintes resultados para os casos considerados: a) fluxos nas linhas, b) despacho dos geradores para atender a carga, c) os preços nodais receitas dos geradores, pagamentos das cargas e excedente financeiro ou merchandising surplus. d) Análise dos resultados.

Critério de Avaliação

Item do Relátório Pontuação Máxima

Implementação do programa

3

Relatório de saída

a) 2 b) 2 c) 2 d) 1

Total= 10,0 − O trabalho pode ser desenvolvido em grupo de até dois alunos

Data de entrega: 8/12/06

Documento disponível no endereço: http://www.gsep.ene.unb.br

Dados das Linhas Linha De - Para Reactância

(ohms) Capacidade

(MW) 1 1 – 2 0.0280 350 2 1 - 4 0.0301 160 3 1 - 5 0.0060 380 4 2 - 3 0.0110 120 5 3 - 4 0.0300 230 6 4 - 5 0.0300 240

Dados dos Geradores

Barra Gerador Faixa Min Max

(MW)

Preço ($/MWh)

1 G 1,1 0.0 110 15 1 G 1,2 0.0 100 20 2 G 2 -- -- -- 3 G 3 0.0 520 30 4 G 4 0.0 200 30 5 G 5 0.0 600 10

Lista de Exercicios