Apostila de ã lgebra linear

A

ÁLGEBRA LINEAR

Prof. Alexandre de Castro

1° SEMESTRE – ENGENHARIA

Prof. Alexandre de Castro / Prof. Dr. Antonio Faria Neto / Prof. Dr Armando Antonio Monteiro de Castro

2

Sumário

I. Introdução aos vetores ...................................................................................................................... 2

- O que é um vetor?

- Tipos de vetores

II. Operações entre vetores ................................................................................................................... 4

- Adição

- Diferença

- Multiplicação por uma escalar

III. Vetores no R2 ..................................................................................................................................... 7

- Representação

- Decomposição vetorial no plano

- Combinação Linear

- Base Canônica do R2

- Expressão Analítica de um vetor

- Igualdade entre vetores

- Operações entre vetores no R2

IV. Vetores no R3 .................................................................................................................................. 11 - Representação

- Igualdade entre vetores

- Operações entre vetores no R3

V. Produto Escalar ................................................................................................................................ 13

- Definição

- Propriedades do Produto Escalar

- Módulo de um vetor

- Definição geométrica de Produto Escalar

- Cálculo do ângulo entre dois vetores

VI. Produto Vetorial .............................................................................................................................. 23

- Definição

- Características do produto vetorial

- Interpretação geométrica do módulo do Produto Vetorial

VII. Produto Misto .................................................................................................................................. 28

- Definição

- Propriedades do produto misto

- Interpretação geométrica do Produto Misto

1° SEMESTRE - ENGENHARIA


3

UNIVERSIDADE DE TAUBATÉ - UNITAU

ÁLGEBRA LINEAR – 1° SEMESTRE PROF. ALEXANDRE

ESPAÇO VETORIAL: CONCEITO E TIPOS DE VETORES

I. Vetores

O que é um vetor?

Vetor é um conjunto de segmentos orientados (seta) equipolentes à 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ que pode ser interpretado com sendo o menor

caminho a ser percorrido de um ponto de partida a um ponto de chegada.

Obs.: Dois vetores 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ e 𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗ ⃗ são chamados de equipolentes se, e somente se,

possuírem mesma direção, mesmo sentido e mesmo módulo.

Representação: AB ~ CD

Tipos de vetores

Vetores Iguais

Dois vetores 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ e 𝑋𝑌⃗⃗⃗⃗ ⃗ são iguais, e indica-se por 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 𝑋𝑌⃗⃗⃗⃗ ⃗, se, e somente se, tiverem mesmo módulo, direção e sentido.

Vetores Paralelos

Dois vetores 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ e 𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗ ⃗ são paralelos, e indica-se por 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ // 𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗ ⃗, se os seus representantes tiveram a mesma direção.

Na figura ao lado, tem-se �⃗� //𝑣 //�⃗⃗� , onde �⃗� e 𝑣 têm mesmo sentido, enquanto

�⃗⃗� tem sentido invertido.

Vetores Nulos

Um vetor, indicado por 0⃗ ou 𝐴𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗, cuja extremidade se coincide com a origem, é denominado por vetor zero ou vetor

nulo. Geometricamente esses vetores são representados por um ponto. Pelo fato deste vetor não possuir direção e

sentido definido, considera-se o vetor zero paralelo a qualquer vetor.

∙ 0⃗

𝜋


4

Vetores Opostos

Dois vetores �⃗� 1 e �⃗� 2 são denominados opostos, pois possuem mesmo módulo, mesma direção e sentidos invertidos.

Na figura ao lado, �⃗� 2 = −�⃗� 1.

Obs.: Todo vetor 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ é oposto ao 𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗.

Vetores Unitários

São vetores que possuem módulo igual a uma unidade.

|𝑣 | = 1

Versor de um vetor

Versor de um vetor não nulo é o vetor unitário de mesma direção e mesmo sentido de 𝑣.⃗⃗⃗

Obs.: �⃗� 2 não é um vetor unitário de 𝑣 pois o sentido está oposto ao de 𝑣.⃗⃗⃗

Vetores Colineares

Dois vetores são colineares se tiverem a mesma direção.

Vetores Coplanares

São vetores que pertencem a um mesmo plano 𝜋.


5

Método do paralelogramo Método do polígono

Método do paralelogramo



ESPAÇO VETORIAL: OPERAÇÕES ENTRE VETORES

II. Operações com vetores

Adição de Vetores

O vetor soma 𝑠 = �⃗� + 𝑣 é o vetor que tem origem na origem do vetor �⃗� e extremidade na extremidade do vetor 𝑣 .

Obs.:

Para o Método do polígono: ‖𝑠 ‖ = √|�⃗� |2 + |𝑣 |2 − 2 ∙ |�⃗� | ∙ |𝑣 | ∙ cos𝐴�̂�𝐶;

Para o método do paralelogramo: ‖𝑠 ‖ = √|�⃗� |2 + |𝑣 |2 − 2 ∙ |�⃗� | ∙ |𝑣 | ∙ cos𝐴�̂�𝐷.

Diferença de Vetores

O vetor diferença 𝑑 = �⃗� − 𝑣 é o vetor que tem origem na extremidade do vetor 𝑣 e extremidade na extremidade do

vetor 𝑢.⃗⃗⃗

Obs.: ‖𝑑 ‖ = √|�⃗� |2 + |𝑣 |2 − 2 ∙ |�⃗� | ∙ |𝑣 | ∙ cos𝐵�̂�𝐶;

Multiplicação por uma escalar

Dado um vetor 𝑣 ≠ 0 e um número real 𝑘 ≠ 0. Chama-se produto do número real k pelo vetor 𝑣 o vetor 𝑝 = 𝑘𝑣 , com

mesma direção e mesmo sentido de 𝑣 , se 𝑘 > 0 e, mesma direção e sentido oposto de 𝑣 , se 𝑘 < 0.


6

Exercícios resolvidos

1) Considerar os vetores a

e b

para desenhar os seguintes vetores:

a) ba

b) ba

c) b

2

1

d) ba

2

Solução:

a) b)

c)

d)

2) Dados os vetores �⃗� , 𝑣 e �⃗⃗� , de acordo com a figura, construir o vetor 2�⃗� − 3𝑣 +1

2�⃗⃗� = 𝑠

Solução:


7

Exercícios de aplicação

1. Dados os vetores �⃗� e 𝑣 a seguir, determine graficamente os vetores:

a) �⃗� + 𝑣

b) �⃗� − 𝑣

c) −𝑣 + �⃗�

d) −𝑣 − 2�⃗�

e) 2�⃗� + 3𝑣

2. Dados os vetores 𝑎 , �⃗� 𝑒 𝑐 , como na figura, apresentar um representante de cada um dos vetores:

a) 4𝑎 − 2�⃗� − 𝑐

b) 𝑎 + �⃗� + 𝑐

c) 2�⃗� − (𝑎 + 𝑐 )

3. Calcule o módulo do vetor soma (resultante) e o vetor diferença dos vetores 𝑎 e �⃗� em cada caso.

4. Calcule o ângulo formando por dois vetores cujos módulos são: |�⃗� | = 5𝑢 𝑒 |𝑣 | = 6𝑢 e cujo vetor resultante tem

módulo √61 unidades?

5. Considere a figura ao abaixo.

Sabendo que 𝑎 = 4 m, �⃗� = 6 m e cos 30° = 0,8, calcule o módulo da combinação linear (3𝑎 - 2�⃗� )


8

B y

𝐴𝐵⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = 𝐵 − 𝐴 = 𝑂𝑃⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = �⃗� = (𝑥,𝑦) A

P

O x

�⃗�



ESPAÇO VETORIAL: Vetores no 𝑰𝑹𝟐 e 𝑰𝑹𝟑

III. VETORES NO 𝑹𝟐

R2 = R × R = {(𝑥 , 𝑦)/ x , 𝑦 ∈ 𝑅}

O símbolo 𝑅2 é a interpretação geométrica do plano cartesiano bidimensional.

Exemplo:

Obs.: Qualquer vetor 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗, com coordenadas A (𝑥1, 𝑦1) e B (𝑥2, 𝑦2), nesse plano pode ser representado por outro 𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗ ⃗

com mesma direção, sentido e módulo, de 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗, com origem em O(0, 0) e extremidade em P(x, y).

Decomposição vetorial no plano

Representações:

• 𝑣 é o vetor arbitrário do plano;

• {𝑣1⃗⃗⃗⃗ 𝑒 𝑣2}⃗⃗⃗⃗⃗⃗ é o conjunto de vetorial, não colineares, bases do vetor arbitrário;

• 𝑎1 𝑒 𝑎2 são constantes (componentes ou coordenadas de 𝑣 em relação as bases {𝑣1⃗⃗⃗⃗ 𝑒 𝑣2⃗⃗⃗⃗ } respectivamente);

• 𝑎1𝑣1⃗⃗⃗⃗ é a projeção de 𝑣 sobre 𝑣1⃗⃗⃗⃗ segundo a direção de 𝑣2⃗⃗⃗⃗ ;

• 𝑎2𝑣2⃗⃗⃗⃗ é a projeção de 𝑣 sobre 𝑣2⃗⃗⃗⃗ segundo a direção de 𝑣1⃗⃗⃗⃗ .

• 𝑣 = 𝑎1𝑣1⃗⃗⃗⃗ + 𝑎2𝑣2⃗⃗⃗⃗ é uma combinação linear de 𝑣 em função de 𝑣1⃗⃗⃗⃗ 𝑒 𝑣2.⃗⃗⃗⃗ ⃗

Obs.: Caso os vetores 𝑣1⃗⃗⃗⃗ 𝑒 𝑣2⃗⃗⃗⃗ , bases do plano, sejam unitárias e ortogonais dizemos que são ortonormais.


9

Exemplo:

Considere as bases {𝑒1⃗⃗ ⃗, 𝑒2⃗⃗ ⃗} ortonormais. Represente geometricamente o vetor 𝑣 como uma combinação linear de

{𝑒1⃗⃗ ⃗, 𝑒2⃗⃗ ⃗} de acordo com a relação: 𝑣 = 3𝑒1⃗⃗ ⃗ + 2𝑒2⃗⃗ ⃗

Combinação Linear

Seja 𝑉 um espaço vetorial sobre o corpo 𝐾. Define-se como combinação linear para 𝑅𝑛 o vetor.

�⃗⃗� = �⃗⃗� 𝟏𝒙𝟏 + �⃗⃗� 𝟐𝒙𝟐 + ⋯+ �⃗⃗� 𝒏𝒙𝒏,

Onde {𝑣 , �⃗� 1, �⃗� 2 , … �⃗� 𝑛} ∈ 𝑉 ^{𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, … , 𝑥𝑛} ∈ 𝐾

Exercício resolvido:

Expresse 𝑣 = (3, 7) de 𝑅2 como uma combinação linear dos vetores: �⃗� 1 = (1; 2) e �⃗� 2 = (2; 3)

Solução:

1º passo (Montar a combinação linear de 𝑣 em função de �⃗� 1 𝑒 �⃗� 2, substituir as coordenadas correspondentes e organizar os termos em um sistema de equações). 𝑣 = 𝑢1⃗⃗⃗⃗ 𝑎 + 𝑢2⃗⃗⃗⃗ 𝑏

(3, 7) = (1, 2)𝑎 + (2, 3)𝑏

(3, 7) = (𝑎, 2𝑎) + (2𝑏, 3𝑏)

{𝑎 + 2𝑏 = 3

2𝑎 + 3𝑏 = 7

2º passo (Resolver o sistema de equações e determinar os valores de a e b)

{𝑎 + 2𝑏 = 3 . (−2)

2𝑎 + 3𝑏 = 7

{−2𝑎 − 4𝑏 = −6 2𝑎 + 3𝑏 = 7

−𝑏 = 1

𝒃 = −𝟏

𝑎 + 2𝑏 = 3 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑏 = −1

𝑎 + 2 ∙ (−1) = 3

𝑎 − 2 = 3

𝒂 = 𝟓

3º passo (Substituir os valores de a e b em 𝑣 )

𝑣 = 𝑢1 ∙ 5 + 𝑢2 ∙ (−1)

∴ 𝒗 = 𝟓𝒖𝟏 − 𝒖𝟐


10

Bases canônicas do 𝑹𝟐

Dentre os conjuntos de vetores bases ortonormais do plano xOy, temos um em particular, representado por segmentos

orientados com origem em O(0, 0) e extremidade nos pontos de coordenadas (1,0) e (0,1), chamado de base canônica

do 𝑅2.

Obs.: O símbolo utilizado para representar os vetores da base canônica do 𝑅2,

são: 𝑖 = (1, 0)𝑒 𝑗 = (0, 1), versores dos eixos da abscissas “x” e ordenada “y”,

respectivamente.

Expressão Analítica de um Vetor

Como {𝑖 , �⃗⃗� } é a base canônica ortogonal do plano xOy, então:

𝑣 = (𝑥, 𝑦) pode ser representado por 𝑣 = 𝑥𝑖 + 𝑦𝑗


1. Determinar o vetor 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ e o vetor 𝑎 equivalente a 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗, com início na origem O(0, 0).

a) )3,2(A e )1,2(B b) )2,2(A e )0,3(B

Solução


11

Igualdade entre vetores

Dois vetores 𝑢 = (𝑥, 𝑦) 𝑒 𝑣 = (𝑥, 𝑦) são iguais se, e somente se, 𝑥1 = 𝑥2 𝑒 𝑦1 = 𝑦2 e escreve-se 𝑢 = 𝑣.

Exercício resolvido

Se o vetor �⃗� = (𝑥 + 1, 4) é igual ao vetor 𝑣 = (5, 2𝑦 − 6), determine, em 𝑅2, o valor de x e y.

Solução:

1° passo (Montar a igualdade) �⃗� = 𝑣 2° passo (Substituir as coordenadas de �⃗� 𝑒 𝑣 ) (𝑥 + 1, 4) = (5, 2𝑦 − 6)

3° passo (determinar x e y)

𝑥 + 1 = 5

𝒙 = 𝟒

2𝑦 − 6 = 4

𝒚 = 𝟓

Operações entre vetores no 𝑹𝟐

I. Adição entre vetores

Para somar vetores, somam-se suas componentes correspondentes.

Dado 𝑢 = (𝑥1, 𝑦1) e 𝑣 = (𝑥2, 𝑦2), define-se:

𝑢 + 𝑣 = (𝑥1, 𝑦1) + (𝑥2, 𝑦2)

𝑢 + 𝑣 = (𝑥1 + 𝑥2, 𝑦1 + 𝑦2)

II. Multiplicação entre um número real e um vetor

Para multiplicar um vetor por um número real, multiplica-se cada componente do vetor por este número.

Dado 𝑢 = (𝑥1, 𝑦1) e 𝑎 ∈ 𝑅, define-se:

𝑎. 𝑢 = a. (𝑥1, 𝑦1)

𝑎. 𝑢 = (𝑎𝑥1, 𝑎𝑦1)


12


1. Dado o vetor 𝑢 = (2, 4), o vetor 𝑣 = (5, − 6) e 𝑎 = −3, determine, em 𝑅2, o valor de:

a) 𝑢 + 𝑣

b) 𝑎. 𝑣

Solução:

a) 𝑢 + 𝑣 = (2, 4) + (5, − 6)

𝑢 + 𝑣 = (2 + 5, 4 + (−6))

𝑢 + 𝑣 = (2 + 5, 4 − 6)

𝑢 + 𝑣 = (7, − 2)

𝑏) 𝑎. 𝑣 = −3 ∙ (5, − 6)

𝑎. 𝑣 = (−3 ∙ 5, − 3 ∙ (−6))

𝑎. 𝑣 = (−15, 18)

IV. VETORES NO 𝑹𝟑

R3 = R × R × R = {(𝑥 , 𝑦, 𝑧)/ x , 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑅}

O símbolo 𝑅3 é a interpretação geométrica do plano cartesiano tridimensional.

Obs.: Qualquer vetor 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ com coordenadas A (𝑥1, 𝑦1, 𝑧1) e B (𝑥2, 𝑦2, 𝑧2) nesse plano pode ser representado por outro

𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗ ⃗ com mesma direção, sentido e módulo, de 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗, com origem O(0, 0, 0) e extremidade P(x, y, z).

Decomposição vetorial no espaço

Por analogia ao que fizemos no plano, dentre as infinitas bases ortonormais existentes, escolheremos para nosso estudo

a base canônica representada por {𝑖 , 𝑗 , �⃗� }. No plano, o vetor 𝑣 é igual ao vetor 𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗ ⃗ e corresponde à diagonal do

paralelepípedo, cujos lados são determinados pelos vetores 𝑥𝑖 , 𝑦𝑗 𝑒 𝑧�⃗� . E, para simplificar, escrevemos:

𝑣 = (𝑥, 𝑦, 𝑧) → 𝑒𝑥𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠ã𝑜 𝑎𝑛𝑎𝑙í𝑡𝑖𝑐𝑎 𝑑𝑒 𝑣.⃗⃗⃗


13

Exercício de sala

Localize os vetores, a seguir, no plano 𝑅3:

a) 𝑣 = (1, 2, 5) b) �⃗� = (−1, − 2, 3) c) �⃗⃗� = (1, − 2, − 2)

d) 𝑡 = 2𝑖 − 4𝑗 + �⃗� e) 𝑞 = −𝑖 + 4𝑗 + 3�⃗� f) �⃗⃗� = 3𝑖 − 4𝑗 − 3�⃗�

Igualdade entre vetores

Dois vetores 𝑢 = (𝑥1, 𝑦1, 𝑧1) 𝑒 𝑣 = (𝑥2, 𝑦2, 𝑧2) são iguais se, e somente se, 𝑥1 = 𝑥2, 𝑦1 = 𝑦2 e 𝑧1 = 𝑧2.


Se o vetor �⃗� = (2, 𝑎 + 1, 5) é igual ao vetor 𝑣 = (2𝑎 + 𝑏, 4, 5), determine, em 𝑅3, o valor de a e b.

Solução

1° passo (Montar a igualdade) �⃗� = 𝑣 2° passo (Substituir as coordenadas de �⃗� 𝑒 𝑣 ) (2, 𝑎 + 1, 5) = (2𝑎 + 𝑏, 4, 5)

3° passo (determinar a e b)

2𝑎 + 𝑏 = 2

2 ∙ 3 + 𝑏 = 2

𝒙 = −𝟒

𝑎 + 1 = 4

𝒂 = 𝟑

Operações entre vetores no 𝑹𝟑

Adição entre vetores

Para somar vetores no R3, somam-se suas componentes correspondentes.

Dado 𝑢 = (𝑥1, 𝑦1, 𝑧1) e 𝑣 = (𝑥2, 𝑦2, 𝑧2) define-se:

𝑢 + 𝑣 = (𝑥1, 𝑦1, 𝑧1) + (𝑥2, 𝑦2, 𝑧2)

𝑢 + 𝑣 = (𝑥1 + 𝑥2, 𝑦1 + 𝑦2, 𝑧1 + 𝑧2)

Multiplicação entre um número real e um vetor

Para multiplicar um vetor por um número real, multiplica-se cada componente do vetor por este número.

Dado 𝑢 = (𝑥1, 𝑦1, 𝑧1)e 𝑎 ∈ 𝑅, define-se:

𝑎. 𝑢 = a. (𝑥1, 𝑦1, 𝑧1)

𝑎. 𝑢 = (𝑎𝑥1, 𝑎𝑦1, 𝑎𝑧1)


14


Dado o vetor 𝑢 = (2, 5, 3), o vetor 𝑣 = (5, − 6,−2) e 𝑎 = −3, determine, em 𝑅3, o valor de:

a) �⃗� + 𝑣

b) 𝑎. 𝑣

Solução:

a) �⃗� + 𝑣 = (2, 5, 3) + (5, − 6,−2)

�⃗� + 𝑣 = (2 + 5, 5 + (−6), 3 + (−2))

�⃗� + 𝑣 = (2 + 5, 5 − 6, 3 − 2)

�⃗� + 𝑣 = (7, − 1, 1)

𝑏) 𝑎. 𝑣 = −3 ∙ (5, − 6,−2)

𝑎. 𝑣 = (−3 ∙ 5, − 3 ∙ (−6),−3 ∙ (−2))

𝑎. 𝑣 = (−15, 18, 6)


1. Determinar o vetor �⃗⃗� na igualdade 3�⃗⃗� + 2�⃗� =1

2𝑣 + �⃗⃗� , sendo dados �⃗� = (3,−1) 𝑒 𝑣 = (−2, 4).

2. Encontre os números 𝑎1 𝑒 𝑎2 tais que �⃗⃗� = 𝑎1�⃗� + 𝑎2𝑣 , sendo �⃗� = (1,2), 𝑣 = (4, − 2) 𝑒 �⃗⃗� = (−1, 8).

3. Dados os pontos A(- 1, 2), B(3, -1) e C(- 2, 4), determine D(x, y) de modo que 𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗ ⃗ =1

2𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗.

4. Localize, no 𝑅3, os seguintes vetores:

a) �⃗� = (4, 1,−3)

b) 𝑣 = (2, 3, 4)

c) �⃗⃗� = (4,−1,−3)

d) 𝑡 = (−4, 3, −5)

e) 𝑥 = (3,−2,−2)

f) ℎ⃗ = −3𝑖 − 2𝑗 − 3�⃗�

g) �⃗� = −𝑖 + 𝑗 + 3�⃗�

i) 𝑝 = 𝑖 − 3𝑗 + �⃗�

5. Encontrar os números 𝑎1 e 𝑎2 tais que �⃗⃗� = 𝑎1𝑣1⃗⃗⃗⃗ + 𝑎2𝑣2⃗⃗⃗⃗ , sendo 𝑣1⃗⃗⃗⃗ = (1,−2, 1), 𝑣2⃗⃗⃗⃗ = (2, 0, −4) 𝑒 �⃗⃗� =

(−4,−4, 14).

6. Determine o vetor 𝑣 sabendo que (3, 7, 1) + 2𝑣 = (6, 10, 4) − 𝑣

7. Dados os pontos A(2, -3, 1) e B(4, 5, -2), determine o ponto P tal que 𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗


15

UNIVERSIDADE DE TAUBATÉ – UNITAU


Matrizes: Definição e Tipos de matrizes

V. Matrizes

Definição: Matriz m x n (lê-se: m por n) é uma tabela de “m por n” números reais, dispostos em m linhas (filas

horizontais) e n colunas (filas verticais).

Exemplos:

1.

240

321A é uma matriz 2 x 3; 2.

11

04B é uma matriz 2 x2;

A indicação ou notação de uma matriz pode ser feita usando-se colchetes, parênteses ou duas barras verticais

(menos usual), como mostrado nos exemplos 1, 2 e 3 acima, respectivamente.

Representação de uma Matriz:

As matrizes costumam ser representadas por letras maiúsculas e seus elementos por letras minúsculas,

acompanhadas de dois índices que indicam, respectivamente, a posição linha e coluna ocupadas pelo elemento.

Exemplo:

Uma matriz genérica A do tipo m x n é representada por:

11 12 13 1

21 22 23 2

31 32 33 3

1 2 3

n

n

n

m m m mn

a a a a

a a a a

A a a a a

a a a a

ou, abreviadamente, A= ( )ij m x na , onde i e j representam, respectivamente, a linha e a

coluna que o elemento ocupa, 1

1

i m

j n

.

Exemplo 1:

Seja a matriz A= 2 2( )ij xa , onde ji2a ij :

Genericamente: 2 x 22221

1211

aa

aaA

. Utilizando a regra de formação dos elementos dessa matriz, ji2a ij ,

teremos:

11 21 12 222(1) 1 3 ; 2(2) 1 5 ; 2(1) 2 4 ; 2(2) 2 6a a a a

Assim, A=

65

43.


16

Matrizes Especiais:

Matriz Linha: É toda matriz do tipo 1 x n, isto é, com uma única linha.

Exemplo: 4x1

1374A .

Matriz Coluna: É toda matriz do tipo n x 1, isto é, com uma única coluna.

Exemplo:

1x30

1

4

B

.

Matriz Quadrada: É toda matriz do tipo n x n, isto é, com o mesmo número de linhas e colunas. Neste caso,

dizemos que a matriz é de ordem n.

Exemplo: 2x2

12

7 4C

3x33 7 2

3 0

0 14

D

Matriz de ordem 2 Matriz de ordem 3

Diagonal Principal de uma matriz quadrada é o conjunto de elementos dessa matriz, tais que i = j.

Diagonal Secundária de uma matriz quadrada é o conjunto de elementos dessa matriz, tais que i + j = n + 1..

Exemplo:

675

303

5 21

A3

Identificação dos elementos constituintes da matriz:

- O subscrito 3 indica a ordem da matriz;

- A diagonal principal é a diagonal formada pelos elementos –1, 0 e –6;

- A diagonal secundária é a diagonal formada pelos elementos 5, 0 e 5;

Matriz Nula: É a matriz em que todos os elementos são nulos.

Exemplo:

000

000O 3 x 2 Notação: n x mO

Matriz Diagonal: É toda matriz quadrada onde só os elementos da diagonal principal são diferentes de zero.

Exemplo:

10

02A 2

700

030

004

B3 .


17

Matriz Identidade: É toda matriz quadrada onde os elementos da diagonal principal são iguais a 1 e os demais

elementos são nulos.

Exemplo:

10

01I 2 ,

100

010

001

I3 ou : ij

1, i j( ), a

0, se i jn ij

seI a

Notação: nI onde n indica a ordem da matriz identidade.

Matriz Transposta: Chamamos de matriz transposta de uma matriz A, a matriz que é obtida a partir de A,

trocando-se, ordenadamente, suas linhas por colunas ou suas colunas por linhas. Notação: tA .

Exemplo: Se

121

03 2 A então tA =

1 0

23

12

Desse modo, se a matriz A é do tipo m x n, tA é do tipo n x m. Note que a primeira linha de A corresponde à

primeira coluna de tA e a segunda linha de A corresponde à segunda coluna de tA .

Matriz Simétrica: Uma matriz quadrada de ordem n é simétrica quando A= tA .

Exemplo: Se

3x3541

423

132

A

, então

3x3

t

541

423

132

A

Matriz Oposta: Chamamos de matriz oposta de uma matriz A a matriz que é obtida a partir de A, trocando-se o

sinal de todas os seus elementos. Notação: – A

Exemplo: Se

1-4

0 3A então, A =

14

03

Igualdade de Matrizes: Duas matrizes, A e B, de mesma ordem m x n, são iguais se os respectivos elementos,

ou seja, aqueles que ocupam a mesma posição, são idênticos.

Notação: A = B.

Exemplo: Se

b1

02A

31

c2B , e A = B, tem-se que: c = 0 e b = 3

Simbolicamente: ijij baBA para todo mi1 e todo ni1 .

Obs: Se A = – tA , dizemos que

a matriz A é anti simétrica.


18

Exercícios

1 – Escreva a matriz A= 3x2ija , onde ija =2i+3j

2 – Escreva a matriz C= 1x4ijc , onde jic 2

ij .

3 – Escreva a matriz A= 3x4ija , onde

jise,1

jise,2a ij

4 – Escreva a matriz A= 3x2ija , onde

jise,ji

jise,ji2a ij

5 – Dada a matriz A=

41

21, determinar:

a) a transposta de A

b) a oposta de A

6 – Determinar os valores de a e b, tais que:

3a

2b

3b

1a2

7 – Seja A= 3x2ija , com ija =i + j. Ache m, n e p, em B=

5p2m1n

43nm para que tenhamos: A=B.

RESPOSTAS

1) A=

13107

1185 2) C=

17

10

5

2

3) A=

222

222

122

112

4)

165

213A 5) a)

42

11A t b) – A=

41

21

6) a = 1 e b = 1 7) m = – 2, n = 4 e p = –3


19



Matrizes: Operações entre Matrizes

VI. Operações entre matrizes

Adição de Matrizes

Dadas as matrizes A= ( )ij m x na e B =

( )ij m x nb , chamamos de soma das matrizes A e B, a matriz C, tal que:

C = ( )ij m x nc , tal que ijijij bac , para todo mi1 e todo ni1 .

Notação: A + B = C

Propriedades: Se: A, B e C são matrizes de mesma ordem (m x n), valem as seguintes propriedades:

1) Associativa: (A + B) + C = A + (B + C) 2) Comutativa: A + B = B + A 3) Elemento Neutro: A + O = O + A = A, onde O é a matriz nula m x n. 4) Elemento Oposto: A + (-A) = (-A) + A = O

Exemplo:

1)

90

33

2700

1421

2 0

12

70

41

2)

10 1

145

2111 10

10 13 32

2 1- 1

1 1 3

11 0

0 3 2

Subtração de Matrizes

Dadas as matrizes A= ( )ij m x na e B= ( )ij m x nb , chamamos de diferença entre as matrizes A e B a soma de

A com a matriz oposta de B

Notação: A – B = A + (– B)

Exemplo:

Sendo: 3 0

4 7A

e

1 2

0 -2B

, então A – B será dado por:

Obs: A + B existe se, e somente se, A e B

são do mesmo tipo ou de mesma

ordem: (m x n).

Obs: A + B existe se, e somente se, A e B

são de mesma ordem: (m x n).


20

3 0 1 2 3 0 1 -2 3 1 0 2 2 2

4 7 0 -2 4 7 0 2 4 0 7 2 4 5A B

Multiplicação de uma Matriz por um Número Real “k”

Dados um número real k e uma matriz A do tipo m x n , o produto de k por A é uma matriz do tipo m

x n, obtida pela multiplicação de cada elemento de A por k .

Notação: B = k . A

Propriedades : Sendo A e B matrizes do mesmo tipo (m x n) e x e y números reais quaisquer, valem as

seguintes propriedades:

1) Associativa: x.(y.A) = (x.y).A 2) Distributiva de um número real em relação a adição de matrizes: x.(A+B) = x.A + x.B 3) Distributiva de uma matriz em relação a soma de dois números reais: (x + y).A = x.A + y.A 4) Elemento Neutro: x.A = A, para x = 1, ou seja: 1.A = A

Exemplo:

1)

03

216

0.31.3

7.32.3

01

72 .3

Multiplicação de Matrizes:

O produto de uma matriz por outra não pode ser determinado através do produto dos seus

respectivos elementos. A multiplicação de matrizes não é análoga à multiplicação de números reais.

Assim, o produto das matrizes A= ij m x p

a e B= x nij p

b é a matriz C= ij m x n

c , onde cada elemento ijc

é obtido através da soma dos produtos dos elementos correspondentes da i-ésima linha de A pelos elementos

da j-ésima coluna de B.

Obs: Cada elemento ijb de B é

tal que ijb = k . ija

Obs: Elementos correspondentes de matrizes do mesmo tipo m x n, são os

elementos que ocupam a mesma posição nas duas matrizes. Exemplo: Sejam

203

461A e

437

205B . Os elementos 2b e 4a 1313 são elementos

correspondentes.


21

Decorrência da definição:

A matriz produto A.B existe apenas se o número de colunas da primeira matriz (A) é igual ao número

de linhas da segunda matriz (B).

Assim: x p p x n x n e B .m m

A A B

Note que a matriz produto terá o número de linhas (m) do primeiro fator e o número de colunas (n) do

segundo fator.

Exemplo:

1) Se 5 x 35 x 22 x 3 B.AB e A

2) Se produto existe não que B e A 3 x 21 x 4

3) 1 x 41 x 22 x 4 B.AB e A

Propriedades: Verificadas as condições de existência, para a multiplicação de matrizes são válidas as

seguintes propriedades:

1) Associativa: (A.B).C = A.(B.C) 2) Distributiva em relação à adição: A.(B+C) = (A+B).C = A.B + A.C

Elemento Neutro: A.nI =

nI .A = A, onde nI é a matriz identidade de ordem n.

Atenção: Não valem as seguintes propriedades:

1 – Comutativa, pois, em geral, A.B B.A

2 – Sendo n x mO uma matriz nula, A.B = n x mO não implica, necessariamente, que A = n x mO ou B = n x mO .

Exemplo:

1) Sendo A=

14

32 e B=

43

21, vamos determinar A.B e B.A e comparar os resultados obtidos.

Solução: A.B =

14

32.

43

21

coluna 1 e linha 1aaa

11 = 2.1 + 3.3 = 2 + 9 = 11


22


12 = 2.2 + 3.4 =4 + 12 = 16


21 = 4.1 + 1.3 = 4 + 3 = 7


22 = 4.2 + 1.4 = 8 + 4 = 12

Assim:

A.B = 2 x 2

14

32

.

2 x 243

21

=

2 x 2127

1611

4834

12492

4.12.43.11.4

4.32.23.31.2

B.A = 2 x 2

43

21

.

2 x 214

32

=

2 x 21322

510

49166

2382

1.43.34.42.3

1.23.14.22.1

Comparando os resultados, observamos que A.B B.A, ou seja, a propriedade comutativa para

multiplicação de matrizes não é valida.

2) Seja A=3 x 2

2 x 3

402

321 B e

41

10

32

, determine: a) A.B b) B.A

Solução:

a) A.B =

3 x 3

3 x 2

2 x 34.43.10.42.1)2.(41.1

4.13.00.12.0 )2.(11.0

4.33.20.32.2 )2.(31.2

402

321 .

41

10

32

=

=

3 x 33 x 31329

40 2

184 4

16302)8(1

40 00 )2(0

126 04 )6(2


23

b) B.A = 2 x 2

2 x 3

3 x 24.4)1.(0)3.(2)1.(4)0.(0)2.(2

)4.(3)1.(2)3.(1)1.(30.22.1

41

10

32

402

321 .

=

= 2 x 22 x 2

108

171

1606)4(04

1223)3(02

Conclusão: Verificamos que A.B B.A

Matriz Inversa

Dada uma matriz A, quadrada, de ordem n, se existir uma matriz 1A , de mesma ordem, tal que

1 1. . nA A A A I , então 1A é a matriz inversa de A. (Em outras palavras: Se 1 1. . nA A A A I , isto implica

que 1A é a matriz inversa de A).

Notação: 1A

Exemplo:

Sendo A = 2 x 2

12

21

, vamos determinar a matriz 1A , inversa da matriz A, se existir.

Solução:

Existindo, a matriz inversa é de mesma ordem de A.

Como, para que exista inversa, é necessário que 1 1. . nA A A A I , basta fazer:

1. Impomos a condição de que 1. nA A I e determinamos 1A :

A. 'A = nI 2 x 2

12

21

.

2 x 2dc

ba

=

2 x 210

01


24

2 x 22 x 2

2 x 22 x 2

10

01

d2b-ca2

d2b c2a

10

01

1.d2.b-c.1a.2

d.2b.1 c.2a.1

A partir da igualdade de matrizes, temos que: 2 1 2 0

e 2 0 2 1

a c b d

a c b d

Resolvendo o sistema de 4 equações a 4 incógnitas, temos que: 1 2

a ; c5 5

; 1 2

d e b 5 5

Assim: 1A =.2 x 2

dc

ba

1

2 x 2

1 2

5 5

2 1

5 5

A

2. Verificamos a igualdade: 1 1. . nA A A A I

1

2 x 2

1 2

5 5.

2 1

5 5

A A

. 2 x 2

12

21

=

2

2 x 2 2 x 22 2

1 2 1 2 1 4 2 2 51 2 2 1 0

1 05 5 5 5 5 5 5 5 5

2 2 4 1 5 0 12 1 2 101 2 2 1

5 5 5 5 55 5 5 5 x

. . . .

I

. . . .

Portanto temos uma matriz A , tal que: 1 1. . nA A A A I

Logo, 1A é inversa de A, e dizemos que a matriz A é inverssível ou invertível, e ela será representada por:

1A =

2 x 2

1 2

5 5

2 1

5 5

.


25

Exercícios

1) Calcule x, y e z, tais que

04

z23

17

71

1yx

zx2.

2) Sendo A= 2x3ija , onde ija =2i-j, e B=

2x3ijb , com ijb = ,ji2 calcule: a) A – B b) B – A c) tBA

3) Dadas as matrizes A=

10

32,

23

40B e C=

180

1415 calcule:

a) 3.(A – B) + 3.(B – C) + 3.(C – A) b) 2.(A - B) – 3.(B – C) – 3.C

4) Sendo A= 2x2ija , onde ija =2i-j, e B=

2x2ijb , com ijb = ij , determine X tal que 3A + 2X = 3B.

5) Sendo A=

21

22, calcule 2

2 I5A4A .

6) Dadas as matrizes A=

531

531

531

B,

431

541

532

3x3

e C=

321

431

422

. Calcule:

a) A.B b) B.A c) A.C d) C.A

7) Verifique se B=2x23

132

21 0

é inversa de A=

34

02

8) Determinar, se existir, 1A em cada caso: a) A=

10

01 b) A=

12

32.

11

01

Respostas

1) x = 2, y = – 9 e z = –7 2) a) 1 3

2 4

5 7

b) 1 3

2 4

5 7

c) 3 8 15

3 8 15

3) a) 0 0

0 0

b) 4 14

15 8

4) X=

3623

23

5)

98

169 6) a)

000

000

000 b)

000

000

000 c) AC= A d) CA= C

7) Sim, B é inversa de A 8) a)

10

01 b)

85

81

83

81


26



Determinantes: Definição, tipo de determinantes e operações

DETERMINANTES

Definição: Determinante é um número associado a uma matriz quadrada.

1. Determinante de primeira ordem

Dada uma matriz quadrada de a

1 ordem M= 11a , chamamos de determinante associado à matriz M o número

real 11a .

Notação: det M ou 11a = 11a

Exemplos:

1. 55ou 5Mdet5M 11

2. 33-ou 3Mdet3M 12

2. Determinante de segunda ordem

Dada a matriz M=

2221

1211

aa

aa, de ordem 2, por definição, temos que o determinante associado a essa matriz,

ou seja, o determinante de a

2 ordem é dado por:

11 12

11 22 12 21

21 22

deta a

M a a a aa a

Assim:

11 22 12 21det M a a a a `

Exemplo: Sendo M=

54

32, então:

det( ) 2 5 3 4 10 12 2M

Logo: det( ) 2M

Conclusão: O determinante de uma matriz de ordem 2 é dado pela diferença entre o produto dos elementos

da diagonal principal e o produto dos elementos da diagonal secundária.


27

3. Menor Complementar

Chamamos de menor complementar relativo ao elemento ija de uma matriz M, quadrada e de ordem n > 1, o

determinante ijMC , de ordem n – 1, associado à matriz obtida de M quando suprimos a linha e a coluna que passam

por ija .

Exemplo: Dada a matriz M=

2221

1211

aa

aa, de ordem 2, para determinarmos o menor complementar relativo ao

elemento 11a (

11MC ), retiramos a linha 1 e a coluna 1;

MC = menor complementar

2221

1211

aa

aa, logo,

222211 aaMC

Da mesma forma temos que o MC relativo ao elemento 12a é dado por:

2221

1211

aa

aa, logo,

212112 aaMC e assim por diante.

Exemplo: Dada a matriz M=

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

, de ordem 3, vamos determinar:

a) 11MC

b) 12MC

c) 13MC

d) 21MC

Solução:

OBS.: Denotando “menor complementar” por MC

a) retirando a linha 1 e a coluna 1 da matriz dada acima

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

, temos que:

11MC = 32233322

3332

2322aaaa

aa

aa

b) retirando a linha 1 e a coluna 2 da matriz dada acima, temos que:

12MC =

3331

2321

aa

aa= 31233321 aaaa


28

c) retirando a linha 1 e a coluna 3 da matriz dada acima, temos que:

13MC =

3231

2221

aa

aa= 31223221 aaaa

d) retirando a linha 2 e a coluna 1 da matriz dada acima, temos que:

21MC =

3332

1312

aa

aa= 32133312 aaaa

4. Cofator: Chamamos de cofator (ou complemento algébrico) relativo ao elemento ija de uma matriz

quadrada de ordem n o número ijA , tal que ( 1)i j

ij ijA MC

.

Exemplo: Dado que: 11 12

21 22

a aM

a a

, os cofatores relativos os elementos da matriz M são:

2222

2

MC

22

11

11 aa)1(a)1(A

11

;

2121

3

MC

21

21

12 aa)1(a)1(A

12

;

1212

3

MC

12

12

21 aa)1(a)1(A

21

;

1111

4

MC

11

22

22 aa)1(a)1(A

22

.

Assim, podemos também determinar a matriz dos cofatores (que será denotada por A ) como sendo:

1112

2122

2221

1211

a a

aa

AA

AAA


29

Exemplo: Sendo M=

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

, vamos calcular os cofatores 312322 A e A ,A :

11 132 2 4

22 11 33 13 31

31 33

11 33 13 31

( 1) ( 1)

( 1)

a aA a a a a

a a

a a a a

;

11 122 3 5

23 11 32 12 31

31 32

11 32 12 31

( 1) ( 1)

( 1)

a aA a a a a

a a

a a a a

;

12 133 1 4

31 12 23 13 22

22 23

12 23 13 22

( 1) ( 1)

( 1)

a aA a a a a

a a

a a a a

.

Matriz Adjunta: A matriz transposta da matriz dos cofatores de uma matriz A é chamada adjunta de A, e

indicamos por: tAadjA

6. Teorema de Laplace: O determinante de uma matriz quadrada 2m aMm x mij pode ser obtido pela

soma dos produtos dos elementos de uma fila qualquer (linha ou coluna) da matriz M pelos respectivos

cofatores.

Assim, fixando mj1 que tal,Nj , temos:

m

1i

ijijAaMdet

onde,

m

1i

é o somatório de todos os termos de índice i, variando de 1 até m, Nm e ijA é o cofator ij.

Exemplo : Calcular, usando Laplace, os seguintes determinantes:

a) 1 2

2 3 4 1 2 3 4

0 0 2 02 1 2 b) D

3 1 1 1 0 5 6

1 0 2 3

D


30

Solução:

a)

6 5 0

2 1 2

43 2

D1

Aplicando Laplace na coluna 1, temos:

2 1

43(-1)0

6 5

43(-1))2(

65

21(-1)2D

31

31

21

21

11

11

CofatorA

13

a

CofatorA

12

a

)11cofator(A

11

a

1

06 5

432

65

212D1

1 2(6-10) 2(18 20) 2(-4) 2(38)D

68768D1

b) Como três dos quatro elementos da a

2 linha são nulos, convém aplicar Laplace nessa linha.

3 2 0 1

1 1 13

0 2 0 0

14 3 2

D 2

23

2 3

2

D

2 3 1

0 0 2( 1) 3 1 1

1 0 3

MC

D

OBS.: Então podemos rescrever 2D como:


31

(I) D2D 2

Agora precisamos calcular o valor de D para substituirmos em (I) Para isso aplicamos Laplace na a

3 linha (mais

conveniente, pois um dos elementos é nulo), e obtemos:

3331 MC

33

MC

13

1-3

3 2)1(3

1 1-

1-3 )1(1D

D 1(3 1) 3( 2 9) 1(2) 3( 11) 2 33

35D

Finalmente, substituindo esse valor em (I), obtemos:

-2(-35)DD2D 22

70D 2

7. Regra de Sarrus

Dispositivo prático para calcular o determinante de a

3 ordem.

Exemplo: Calcular o seguinte determinante através da Regra de Sarrus.

D=

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

1º Passo: Repetir a duas primeiras colunas ao lado da a

3 coluna:

32

22

12

31

21

11

333231

232221

131211

a

a

a

a

a

a

aaa

aaa

aaa

2º Passo: Encontrar a soma do produto dos elementos da diagonal principal com os dois produtos obtidos

com os elementos das paralelas a essa diagonal.

OBS.: A soma deve ser precedida do sinal positivo, ou seja:

322113312312332211 aaaaaaaaa


32

3º Passo: Encontrar a soma do produto dos elementos da diagonal secundária com os dois produtos obtidos

com os elementos das paralelas a essa diagonal.

OBS.: A soma deve ser precedida do sinal negativo, ou seja:

332112322311312213 aaaaaaaaa

Assim:

332112322311312213 aaaaaaaaaD 322113312312332211 aaaaaaaaa

OBS.: Se desenvolvêssemos esse mesmo determinante de a

3 ordem com o auxílio do teorema de Laplace,

veríamos que as expressões são idênticas, pois representam o mesmo número real.

Exemplo: Calcular o valor dos seguintes determinantes:

a) 1

2 3 1

4 1 2

3 2 1

D

b) 2

2 -1 0 1

0 0 1 2D

1 0 - 1 0

0 1 1 0

Solução:

a) 1

2 3 1 2 3

4 1 2 4 1

3 2 1 3 2

D

(por Sarrus)

3 8 12 2 18 8 23 24 47

1det( ) 47D


33

b)

0 1 1 0

0 1 - 0 1

2 1 0 0

1 0 1- 2

D 2

Aplicando LaPlace na a

2 linha, temos:

' ''

2 2

2 3 2 4

2

D

2 1 1 2 1 0

D 1( 1) 1 0 0 2( 1) 1 0 -1

0 1 0 0 1 1

D

''

2

'

22 D2D)1(D

Cálculo de '

2D : Como, na a

2 linha, dois elementos são nulos, é conveniente aplicar Laplace; assim:

1)10(101

11)1(1D 12'

2

Cálculo de ''

2D : Utilizando a Regra de Sarrus, temos:

''

2D

1

0

1-

0

1

2

1 1 0

1- 0 1

0 1- 2

(0 2 1) (0 0 0) 3

Portanto:

5D61)3(2)1(1D2)1(D 22

''

2

'

22 DD

PROPRIEDADES DOS DETERMINANTES:

As propriedades a seguir são relativas a determinantes associados a matrizes quadradas de ordem n.

Estas propriedades, muitas vezes nos permite simplificar os cálculos.

P1 Quando todos os elementos de uma fila (linha ou coluna) são nulos, o determinante dessa matriz é nulo.


34

Exemplos:

1) 0

391218

3123

0000

7894

2) 0

701

302

1503

P2 Se duas filas paralelas de uma matriz são iguais, então seu determinante é nulo.

Exemplo:

1) 0

3479

5312

8924

5352

pois, L1 = L3

P3 Se duas filas paralelas de uma matriz são proporcionais, então o seu determinante é nulo.

Exemplo:

1) 0

623

412

241

pois C3 = 2C1

P4 Se os elementos de uma fila de uma matriz são combinações lineares dos elementos correspondentes de

filas paralelas, então o seu determinante é nulo.

Exemplos:

1) 0

523

642

431

pois C1 + C2 = C3


35

2) 0

5107

321

143

pois 2L1 + L2 = L3

P5 Teorema de Jacobi: O determinante de uma matriz não se altera quando somamos aos elementos de uma

fila uma combinação linear dos elementos correspondentes de filas paralelas.

Exemplo:

1) 9

342

212

321

Substituindo a 1ª coluna pela soma dessa mesma coluna com o dobro da 2ª, temos:

9

3410

214

325

34242

21212

32221

2C2 C1

P6 O determinante de uma matriz e o de sua transposta são iguais.

Exemplo:

1 2 3

det( ) 2 1 2 9

2 4 3

A

1 2 2

det( ) 2 1 4 9

3 2 3

tA

P7 Multiplicando por um número real todos os elementos de uma fila em uma matriz, o determinante dessa

matriz fica multiplicado por esse número.

Exemplos:

1) 4

123

112

321

Multiplicando C1 por 2,


36

temos: 842

126

114

322

2) 145

102

473

0105

Multiplicando L1 por 5

1,

temos: 291455

1

102

473

021

P8 Quando trocamos as posições de duas filas paralelas, o determinante de uma matriz muda de sinal.

Exemplo: 4

123

112

321

Trocando as posições de L1 e L2, por exemplo, temos:

4

123

321

112

P9 Quando, em uma matriz, os elementos acima ou abaixo da diagonal principal são todos nulos, o

determinante é igual ao produto dos elementos dessa diagonal.

Exemplos:

1) cba

cfe

0bd

00a

2) zyx

z00

iy0

hgx


37

P10 Quando, em uma matriz, os elementos acima ou abaixo da diagonal secundária são todos nulos, o

determinante é igual ao produto dos elementos dessa diagonal, multiplicado por 2

1nn

1

.

Exemplos:

1) baxb

a0

2) cba

zyc

xb0

a00

P11 Para A e B matrizes quadradas de mesma ordem n, temos: det( ) det( ).det( )AB A B

Obs: Como A A-1 = I, na propriedade acima, temos: 1 1det( )

det( )A

A

Exemplo:

Se A = 2 1

3 4

B = 1 0

2 2

e AB = 4 2

11 8

,

então: 5 2

10

det det detAB A B

P12 Se k IR , então det( . ) .det( )nk A k A

Exemplo:

Sendo k=3, A = 2 1

4 5

e 6 3

.12 15

k A

, temos:

23 654

det det( )nk A k A

P13 det( ) det( ) det( )A B A B


38

9. Regra de Chió

A regra de Chió é mais uma técnica que facilita muito o cálculo do determinante de uma matriz

quadrada de ordem n ( 2n ). Essa regra nos permite passar de uma matriz de ordem n para outra de ordem

n-1, de igual determinante.

Exemplos:

1. Vamos calcular o determinante associado à matriz

642

315

432

A com o auxílio da regra de Chió:

Passo 1: Para podermos aplicar essa regra, a matriz deve ter pelo menos um de seus elementos igual a 1.

Assim fixando um desses elementos, retiramos a linha e a coluna onde ele se encontra.

642

315

432

Passo 2: Em seguida subtraímos do elemento restante o produto dos dois correspondentes que foram

eliminados (um da linha e outro da coluna).

2 (5 3) 4 (3 3) 2 (15) 4 (9) 13 5

2 (5 4) 6 (4 3) 2 (20) 6 (12) 18 6

Passo 3: Multiplicamos o determinante assim obtido por ji1

, onde i representa a linha e j a coluna

retiradas (neste caso, a

2 linha e a

2 coluna).

12Adet

9078)1(618

513)1(Adet 422


39

10. Inversão de matrizes com o auxílio da teoria dos determinantes

A inversa de uma matriz quadrada de ordem n pode ser calculada pela aplicação do seguinte teorema:

A matriz inversa 1A de uma matriz A (quadrada de ordem n) existe se, e somente se,

0Adet e é dada por:

1 1( )

det( )A adj A

A

OBS.: adj A é a matriz transposta da matriz dos cofatores da matriz A: ( )t

adj A A

Exemplos:

1. Verificar se a matriz

31

0 6A admite inversa

Solução:

A matriz A admite inversa se, e somente se, det( ) 0A . Assim, como:

6 0det( ) 18 0

1 -3A , existe a matriz inversa de ª

2. Calcular x para que exista a inversa da matriz

x1 2

01x

233

A

Solução:

Verificar se existe a matriz inversa de A ( 0AdetA -1 )

Então:

1

1

3

2

x

3

x1 2

01x

233

2

2

3 0 2 4 0 3

3x 4 0

x x x

x

Assim, -1 4 1

3A x e x

3. Calcular, se existir, a inversa da matriz

41

32A ,usando: 1 1

( )det( )

A adj AA


40

Solução:

Passo 1: Calcular o determinante de A para ver se existe inversa.

det( ) 2 4 3( 1) 8 3 5A

como 1A05

Passo 2: Calcular os cofatores dos elementos de A.

44)1( 1111 A

11)1( 2112 A

33)1( 1221 A

22)1( 2222 A

Assim, a matriz dos cofatores é dada por:

2- 3

1 4 A

Passo 3: Cálculo da matriz adjunta de A.:

2-1

34 adjAAadjA

t

Passo 4: Cálculo da matriz inversa de A, ( 1A ):

1 1 4 31 1

( )1 2det( ) 5

A adj A AA

:

1

4 3

5 5

1 2

5 5

A


41

Exercícios

1) Calcular o valor do determinante da matriz: A=

83

3,021

2) Calcular o valor de Rx na igualdade 3x4

3x3

=0

3) Calcule os seguintes determinantes, aplicando o Teorema de Laplace:

a)

987

654

321

b)

0010

1000

2002

3110

4) Utilizando a regra de Sarrus, calcule:

0 2

312

0,3 0,5 1

2 1 1

1 8 0

5) Sendo A=

231

210

032

, pede-se determinar: a) det( )A b) det( )tA

6)Utilizando as propriedades estudadas, pede-se calcular o valor dos determinantes justificando as respostas obtidas:

a)

152

311

243

b)

3201

81264

3124

4632

c)

5000

3400

9230

5421

d)

431

220

100

17218

134

892

097

022

043

54827

723428

184255

7)Determine, se existir, a inversa de cada uma das matrizes:

a) A=

23

10 b) B=

207

135

064

Respostas

1) a) 3 2) x = – 4 ou x = 1 3) a) 0 b) –2 4) 12

5 5) a) –2 b) –2

6) a) 0 b) 0 c) 0 d) –60 7) a) 1

2 1

3 3

1 0

A

b) 1

1 2 17 7 7

1 4 214 21 21

12 1 1

B


42

Cálculo da Inversa de uma Matriz por Meio de Operações Elementares.

Para se determinar a matriz inversa de uma matriz A, basta seguir o seguinte procedimento:

a) coloca-se ao lado da matriz A a matriz identidade I, com a mesma dimensão de A, separada por um traço vertical;

b) transforma-se, por meio de operações elementares, a matriz A na matriz I, aplicando-se, simultaneamente, à matriz

I, colocada ao lado da matriz A, as mesmas operações elementares.

Exemplos:

1 – Dado que

352

224

312

A , determine 1A .

Solução:

100

010

001

352

224

312

1 1

1( ).( )2

L L

100

010

00

352

224

121

23

21

1 2 2( 4).( ) ( )L L L

100

012

00

352

400

121

23

21

1 3 3( 2) ( )L L L

101

012

00

040

400

121

23

21

1 2 2( 4).( ) ( )L L L

100

012

00

352

400

121

23

21


43

1 3 3( 2) ( )L L L

101

012

00

040

400

121

23

21

3 2L L

012

101

00

400

040

121

23

21

2 2

1( ).( )4

L L

012

0

00

400

010

1

41

41

21

23

21

3 3

1( ).( )

4L L

0

0

00

100

010

1

41

21

41

41

21

23

21

12 1 12

( ).( ) ( )L L L

0

0

0

100

010

01

41

21

41

41

81

85

23

33 1 12

( ).( ) ( )L L L

0

0

100

010

001

41

21

41

41

81

83

81

Veja que a matriz A foi transformada na matriz I e, à direita, temos a matriz inversa desejada:

31 18 8 8

1 1 14 4

1 12 4

0

0

A

Para verificar a resposta obtida, basta fazer: 1AA , cujo resultado deve ser a matriz I.

2 – Determine 1A, dado que:

35

712A .

Solução:


44

10

01

35

712

1 1

1( ).( )12

L L

10

0

35

1121

127

1 2 2( 5).( ) ( )L L L

1

0

0

1

125

121

121

127

2 2(12).( )L L

125

0

10

1121

127

72 1 112

( ).( )L L L

125

73

10

01

13 7

5 12A

Faça: 1.A A

ou 1.A A

e veja que resulta na matriz Identidade.

Exercícios Propostos

Dadas as matrizes abaixo, determine as respectivas inversas, caso seja possível:

1)

352

224

312

A

2)

1 2 1

2 3 1

3 4 4

B


45



Sistemas de equações lineares

VIII. SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES

Equação linear: É toda equação na forma: 1 1 2 2 n na x a x a x b , onde: naaa ,,, 21 são números reais

quaisquer, são chamados de coeficientes das incógnitas nxxx ,, 21 e b é um número real, chamado de termo

independente.

OBS: Se b = 0, a equação recebe o nome de equação linear homogênea.

Denomina-se sistema de Equaçõs lineares de m equações a n incógnitas ...,, zyx a todo sistema da forma:

11 1 12 2 13 3 1 1

21 1 22 2 23 3 2 2

1 1 2 2 3 3

n n

n n

m m m mn n m

a x a x a x a x b

a x a x a x a x b

a x a x a x a x b

Onde 11 12 13 1 1 2, , ,..., , , ,...,n ma a a a b b b são números reais e 1 2 3, , ,..., nx x x x são as incógnitas.

Solução de um Sistema Lienar

Chamamos de solução do sistema a n-upla (lê-se “êne-upla”) de números reais ordenados nrrr ,,, 21 que é,

simplesmente, solução de todas equações do sistema.

Obs: Se todos os termos independentes forem iguais a zero, o sistema será chamado de sistema homogêneo e ele

admitirá ao menos a solução: {(0;0;0;...;0)} que é chamada de solução trivial, ou seja, todas as incógnitas serão iguais

a zero.

CLASSIFICAÇÃO DOS SISTEMAS LINEARES

IMPOSSÍVEL

ADOINDETERMIN

ODETERMINAD POSSÍVEL

LINEARSISTEMA

Sistema possível e determinado: admite uma única solução. SPD

Sistema possível e indeterminado: admite infinitas soluções. SPI

Sistema impossível: quando não admite solução. SI


46

MATRIZES ASSOCIADAS A UM SISTEMA LINEAR

Matriz incompleta

É a matriz A, formada pelos coeficientes das incógnitas do sistema.

Exemplos:

Seja o sistema:

42

74

032

zyx

zyx

zyx

Matriz incompleta: (matriz dos coeficientes)

A=

1 12

1 14

132

Matriz Completa ou Matriz Aumentada

É a matriz B, que obtemos ao acrescentarmos à matriz incompleta (matriz dos coeficientes) uma última coluna

formada pelos termos independentes das equações do sistema. Assim a matriz completa, ou aumentada, referente ao

sistema anterior é:

B =

4

7

0

1

1

1-

1

1

3

2-

4

2

Sistemas Homogêneos: Um sistema é homogêneo quando os termos independentes de todas as equações são nulos.

Exemplo:

4 3 2

034

0 23

yx

zyx

zyx

Soluções de um Sistema Homogêneo: A n-upla (0, 0, 0, ..., 0) é sempre solução de um sistema linear homogêneo com n

incógnitas e recebe o nome de solução trivial. Quando existem, as demais soluções são chamadas não-triviais.

REGRA DE CRAMER

Consiste em um método para resolver um sistema linear.

Para resolvermos o sistema linear pela Regra de Cramer seguimos as etapas abaixo:


47

1. Transforma-se o sistema linear em expressão matricial;

2. Calculamos o determinante das possíveis matrizes que serão geradas;

3. Encontramos os valores das incógnitas através das fórmulas:

1det

det

Ax

A , 2det

det

Ay

A , 3det

det

Az

A

Generalizando, num sistema linear o valor das incógnitas é dado pela expressão:

det( )

det( )iA

xA

, em que:

A é a matriz incompleta do sistema;

1A é a matriz obtida de A, substituindo-se as colunas dos coeficientes das incógnitas pela coluna dos termos

independentes.

Exercícios

Resolver os seguintes sistemas usando Cramer:

1) Resolver o sistema

25

72

yx

yx 2) Resolver o sistema

19

10543

02

zyx

zyx

zyx

.

3)

432

52

yx

yx 4)

1022

5

yx

yx 5)

6

32

32

cba

cba

cba


48

Discussão de um Sistema Linear

Para discutir um sistema linear de n equações e n incógnitas, calculamos o determinante D da matriz

incompleta. Assim, se:

0D Sistema é possível e determinado (SPD), ou seja tem solução única.

0D Sistema pode ser possível e indeterminado (SPI) (ter infinitas soluções) ou impossível (SI) (não ter

solução).

Observações:

Se o 0D , o sistema será SPD e, portanto teremos uma única solução para o problema.

Se o 0D , sistema poderá ser SPI ou SI. Para identificarmos de ele é SPI ou SI teremos que encontrar todos os

iD ’s para saber se o sistema é possível e indeterminado ou impossível. De que forma?

Se todos os iD forem iguais a 0, teremos um SPI

Se pelo menos um iD diferente de zero, teremos um SI.

Exemplos:

Em

623

432

3

zyx

zyx

zyx

temos: m = n = 3 e 03

2 13

11 2

1 11

D

Logo, o sistema é possível e determinado, SPD , apresentando solução única.

Em

0233

43 2

1 2

zyx

zyx

zyx

Temos: m = n = 3 e

1 2 1

2 1 3 0

3 3 2

D

1 2 1

4 1 3 35 0

0 3 2

xD


49

Sendo D = 0 e 0xD , o sistema é impossível – SPI – , não apresentando solução.

Em

134

2 2

12 3

zyx

zyx

zyx

Temos: m = n = 3 e

1 3 2

2 1 1 0

1 4 3

D

,

1 3 2

2 1 1 0

1 4 3

xD

1 1 2

2 2 1 0

1 1 3

yD

e

1 3 1

2 1 2 0

1 4 1

zD

Logo temos, D= 0, 0xD , 0yD , 0zD . Portanto, o sistema é possível e indeterminado – SPI – , apresentando

infinitas soluções.

Interpretação geométrica da solução de sistema linear de duas equações a duas incógnitas:

Solução Única: SPD

Retas se interceptam num único ponto

Infinitas Soluções: SPI

Retas coincidentes

Não existe solução: SI

Retas Paralelas


50

Obs: Para um sistema de 3 equações a três incógnitas, cada equação representará um plano no espaço e a eventual

solução será, geometricamente, representada por um reta.

SISTEMAS EQUIVALENTES

Dois sistemas são equivalentes quando possuem o mesmo conjunto solução.

Exemplo:

Sendo

832

3 1

yx

yxS e

52

3 2

yx

yxS , o par ordenado ( ; ) (1;2)x y satisfaz a ambos, e é único. Logo,

21 e SS são sistemas equivalentes e indicamos: . ~ 21 SS

Propriedades dos sistemas equivalentes

1) Trocando de posição as equações de um sistema, obtemos outro sistema equivalente.

Exemplo:

Sendo:

1

2

2 1 ( )

3 ( ) e

2 ( )

3 ( )

2 ( )

2 1 ( )

x y z I

S x z II

y z III

x z II

S y z III

x y z I

Temos que: . ~ 21 SS

2) Multiplicando uma ou mais equações de um sistema por um número k, k*R , obtemos um sistema equivalente ao

anterior.

Exemplo:

Dado

IIyx

IyxS

0

32 1 , multiplicando a equação (II) por 3, obtemos:


51

03 3

32

3)0 (

32 22

yx

yxS

yx

yxS

Assim, temos . ~ 21 SS

3) Adicionando a uma das equações de um sistema o produto de outra equação desse mesmo sistema por um número

k, k *R , obtemos um sistema equivalente ao anterior.

Exemplo:

Dado

1

2 4

1

x y IS

x y II

, substituindo neste sistema a equação (II) pela soma da equação (I), multiplicada por (–

1), com a equação (II), obtemos:

1

2 4

1

x y IS

x y II

1 2 2( 1).L L L

2

2 4

3 3

x yS

y

Assim, o par ordenado ( ; ) (2;1)x y é solução de ambos os sistemas.

Sistemas Escalonados

A técnica de escalonar um sistema linear é muito mais utilizada, pois com essa técnica podemos encontrar

soluções para sistemas que não tenham o mesmo número de equações e incógnitas (o que não é permitido na Regra de

Cramer). Além disso, quando queremos resolver sistemas lineares cujo número de equações (e de incógnitas) excede

três, não é conveniente utilizar a Regra de Cramer, por se tornar muito trabalhosa. Por exemplo, um sistema com

quatro equações e quatro incógnitas requer o cálculo de cinco determinantes de 4ª ordem. Neste caso, usamos a

técnica de escalonamento, que facilita a resolução e a discussão de um sistema.

Dado o sistema de equações lineares:

mnmnmmm

nn

nn

bxaxaxaxa

bxaxaxaxa

bxaxaxaxa

S

332211

22323222121

11313212111

onde existe pelo menos um coeficiente não-nulo em cada equação, dizemos que S está escalonado se o número de

coeficientes nulos antes do primeiro coeficiente não-nulo aumenta de equação para equação.


52

Exemplos:

1

3 6)

2 3

x ya S

y

2

4 z 9

) 2 3 2

4z 5

x y

b S y z

3

2 4 5 8)

4 z 0

x y zc S

y

4

2 3 2 1

) 2 2 4

3 7

x y z t

d S y z t

t

Procedimentos para escalonar um sistema

1) Fixamos como 1ª equação uma das que possuam o coeficiente da 1ª incógnita diferente de zero.

2) Utilizando as propriedades de sistemas equivalentes, anulamos todos os coeficientes da 1ª incógnita das demais

equações.

3) Anulamos todos os coeficientes da 2ª incógnita a partir da 3ª equação.

4) Repetimos o processo com as demais incógnitas, até que o sistema se torne escalonado.

Exemplos:

Vamos escalonar o sistema

2 5

3 2 4 0

2 2

x y z

x y z

x y z

1º passo: Anulamos todos os coeficientes da 1ª incógnita a partir da 2ª equação, aplicando as propriedades:

Trocamos de posição a 1ª e a 3ª equações:

2 2

3 2 4 0

2 5

x y z

x y z

x y z

Trocamos a 2ª equação pela soma do produto da 1ª equação por (-3) com a 2ª equação:

( 2 2) 3 2 2

3 2 4 0 8 7 6

2 5 2 5

x y z x y z

x y z y z

x y z x y z


53

Trocamos a 3ª equação pela soma do produto da 1ª equação por (-2) com a 3ª equação:

( 2 2) 2 2 2

8 7 6 8 7 6

2 5 3 1

x y z x y z

y z y z

x y z y z

2º passo: Anulamos os coeficientes da 2ª incógnita, a partir da 3ª equação:

Trocamos a 3ª equação pela soma do produto da 2ª equação por

8

3 com a 3ª equação:

3

8

13 26 8 8

2 2 2 2

(8 7 6) 8 7 6

3 1

x y z x y z

y z y z

y z z

Agora, como o sistema está escalonado, podemos resolvê-lo:

De L3 vem: 28

26

8

13 zz

Substituindo este valor em 678 zy , vem:

1886278 yyy

Substituindo, 1 e 2 em 2 2y z x y z , vem:

22212 xx

Portanto, o sistema é possível e determinado, admitindo uma única solução que é dada por: {(2;1;2;)}S

1) Faça você: escalonar e resolver o sistema a)

2 3

2 1

3 2 2

x y z

x y z

x y z

b)

6

2 2 1

2 2 3

x y z t

x y z t

x y z t

EXERCÍCIOS:

1) Verifique se os sistemas abaixo são normais:

a)

1

2 3 2 5

2 4

x y z

x y z

x y z

b)

3 6

4 7 17

6 6 19

x y z

x y z

x y z

c)

2 3 8

0

3 4 9

x y z

x y z

x y


54

2) Dois casais foram a um barzinho. O primeiro pagou R$ 5,40 por 2 latas de refrigerante e uma porção de batatas

fritas. O segundo pagou R$ 9,60 por 3 latas de refrigerante e 2 porções de batatas fritas.

Nesse local e nesse dia, a diferença entre o preço de uma porção de batas fritas e o preço de uma lata de

refrigerante era de:

a)R$2,00 b)R$1,80 c)R$1,75

d)R$1,50 e)R$1,20

3) Um pacote tem 48 balas: algumas de hortelã e as demais de laranja. Se a terça parte do dobro do número de balas

de hortelã excede a metade do de laranjas em 4 unidades, então nesse pacote há:

a) igual número de balas dos dois tipos

b) duas balas de hortelã a mais que de laranja

c) 20 balas de hortelã

d) 26 balas de laranja

e) duas balas de laranja a mais que de hortelã

4) Em três mesas de uma lanchonete o consumo ocorreu da seguinte forma:

Mesa

Hambúrguer Refrigerante Porção de

fritas

1ª 4 2 2

2ª 6 8 3

3ª 2 3 1

A conta da 1ª mesa foi R$18,00 e da 2ª mesa R$30,00. Com esses dados:

a) é possível calcular a conta da 3ª mesa e apenas o preço unitário do refrigerante.

b) é possível calcular a conta da 3ª mesa, mas nenhum dos preços unitários dos três componentes do lanche.

c) é possível calcular a conta da 3ª mesa e além disso, saber exatamente os preços unitários de todos os componentes

do lanche.

d) não é possível calcular a conta da 3ª mesa, pois deveriam ser fornecidos os preços unitários dos componentes do

lanche.

e) é impossível calcular a conta da 3ª mesa e os preços unitários dos componentes do lanche, pois deve ter havido um

erro na conta da 1ª ou da 2ª mesa.


55



Produto Interno ou Produto Escalar

IX. Produto Interno (Escalar)

O produto escalar entre dois vetores �⃗� = 𝑥1𝑖 + 𝑦1𝑗 + 𝑧1�⃗� e 𝑣 = 𝑥2𝑖 + 𝑦2𝑗 + 𝑧2�⃗� é dado por um número real, tal que:

�⃗� . 𝑣 = (𝑥1, 𝑦1, 𝑧1). (𝑥2, 𝑦2, 𝑧2) ou (𝑥1𝑖 + 𝑦1𝑗 + 𝑧1�⃗� ) ∙ (𝑥2𝑖 + 𝑦2𝑗 + 𝑧2�⃗� )

�⃗� . 𝑣 = 𝑥1 ∙ 𝑥2 + 𝑦1 ∙ 𝑦2 + 𝑧1 ∙ 𝑧2 Obs.: �⃗� ∙ 𝑣 = < �⃗� , 𝑣 >


1. Determine o produto escalar entre os vetores:

a) �⃗� = (2, 4) e 𝑣 = (5, − 6)

b) �⃗� = 2𝑖 + 3𝑗 e 𝑣 = −𝑖 − 2𝑗

Solução

a) �⃗� ∙ 𝑣 = (2, 4) ∙ (5, − 6)

�⃗� ∙ 𝑣 = 2 ∙ 5 + 4 ∙ (−6) �⃗� ∙ 𝑣 = 10 − 24

�⃗� ∙ 𝑣 = −14

𝑏) �⃗� ∙ 𝑣 = (2𝑖 + 3𝑗 ) ∙ (−𝑖 − 2𝑗 ) �⃗� ∙ 𝑣 = 2 ∙ (−1) + 3 ∙ (−2) �⃗� ∙ 𝑣 = −2 − 6

�⃗� ∙ 𝑣 = −8

2. Dados os vetores �⃗� = (4, 𝛼) 𝑒 𝑣 = (𝛼, 2) e os pontos A(4, -1) e B(3, 2) determine o valor 𝛼 para �⃗� . (𝑣 + 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗) = 5

Solução

�⃗� . (𝑣 + 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗) = 5

(4, 𝛼) ∙ {(𝛼,2) + [(3,2) − (4,−1)]} = 5 (4, 𝛼) ∙ {(𝛼,2) + (−1,3)} = 5 (4, 𝛼) ∙ (𝛼 + (−1), 2 + 3) = 5 (4, 𝛼) ∙ (𝛼 − 1,5) = 5

(4, 𝛼) ∙ (𝛼 − 1,5) = 5 4 ∙ (𝛼 − 1) + 𝛼 ∙ 5 = 5 4𝛼 − 4 + 5𝛼 = 5 9𝛼 = 9 𝜶 = 𝟏


56

Propriedades do Produto Escalar

Dados �⃗� , 𝑣 𝑒 �⃗⃗� quaisquer e 𝑘 ∈ 𝑅3, tem-se:

• �⃗� . �⃗� ≥ 𝑜 𝑒 �⃗� . �⃗� = 0 ↔ �⃗� = (0, 0, 0)

• �⃗� . 𝑣 = 𝑣 . �⃗� (comutativa)

• �⃗� . (𝑣 + �⃗⃗� ) = �⃗� . 𝑣 + �⃗� . �⃗⃗� (distributiva)

• (𝑚. �⃗� ). 𝑣 = m. (u⃗ . 𝑣 ) = �⃗� . (m . v⃗ )

• �⃗� . �⃗� = |�⃗� |2

Importante:

• |�⃗� + 𝑣 |2 = |�⃗� |2 + 2�⃗� . 𝑣 + |𝑣 |2

• |�⃗� − 𝑣 |2 = |�⃗� |2 − 2�⃗� . 𝑣 + |𝑣 |2

Módulo de um Vetor

Módulo de um vetor 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ é igual à distância entre a origem A e a extremidade B desse vetor.

• Se o vetor 𝑣 = 𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗ ⃗ têm coordenadas (𝑥 = 0, 𝑦 = 0, 𝑧 = 0), então:

|𝑣 | = √𝑣 . 𝑣

|𝑣 | = √(𝑥, 𝑦, 𝑧). (𝑥, 𝑦, 𝑧)

|𝑣 | = √𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2

• Se o vetor 𝑣 = 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ têm coordenadas diferente de (𝑥 = 0, 𝑦 = 0, 𝑧 = 0),

então:

|𝑣 | = |𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗| = |𝐵 − 𝐴|

|𝑣 | = √(𝑥2 − 𝑥1)2 + (𝑦2 − 𝑦1)

2 + (𝑧2 − 𝑧1)2

Obs.: O Versor de um vetor é dado por 𝜆�⃗⃗� =�⃗⃗�

|�⃗⃗� |.


Determine o módulo do vetor u⃗ = (2, 3,−1).

Solução

|�⃗� | = √𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2

|�⃗� | = √22 + 32 + (−1)2

|�⃗� | = √14


57

Exercícios de Aplicação

1. Determine o módulo dos vetores, abaixo, e as componentes dos versores de cada um desses vetores.

a) 𝑢 = (2, 3) b) 𝑣 = (−2, 4)

𝑐) 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗, sendo A(1, -3) e B(2, 3) d) 𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗ ⃗, sendo A(0, 5) e B(2, 1)

2. Sabendo que a distância entre os pontos A(1, 2) e B(4, m) é igual a 5 , calcule m.

3. Determine o valor de 𝛼 para que o vetor 𝑣 = (𝑚, −1

2) 𝑠𝑒𝑗𝑎 𝑢𝑛𝑖𝑡á𝑟𝑖𝑜.

Módulo de um vetor soma ou diferença

Dado 𝑢 = (𝑥1, 𝑦1) e 𝑣 = (𝑥2, 𝑦2), define-se:

|𝑢 + 𝑣| = √|𝑢|2 + |𝑣|2 − 2|𝑢||𝑣|𝑐𝑜𝑠𝜃


Dado o vetor 𝑢 = (−2, − 2)e 𝑣 = (0, − 2), determine o módulo de 𝑢 + 𝑣, sabendo que o ângulo formado entre eles

é de 𝜃 = 45°. Solução

1° passo (Calcular |�⃗� |𝑒 |𝑣 |)

|�⃗� | = √𝑥2 + 𝑦2

|�⃗� | = √(−2)2 + (−2)2

|�⃗� | = 2√2u

|𝑣 | = √𝑥2 + 𝑦2

|𝑣 | = √02 + (−2)2 |𝑣 | = 2u

2° passo (Calcular |𝑢 + 𝑣|)

|𝑢 + 𝑣| = √|𝑢|2 + |𝑣|2 − 2|𝑢||𝑣| cos(135°)

|𝑢 + 𝑣| = √(2√2)2 + 22 − 2 ∙ 2√2 ∙ 2 ∙ (−√2

2)

|𝑢 + 𝑣| = √8 + 4 + 8 = √20 u

Definição Geométrica de Produto Escalar

O produto de dois vetores não-nulos é igual ao produto de seus módulos pelo cosseno do ângulo por eles formado, ou

seja, se �⃗� e 𝑣 são vetores não-nulos e 𝜃 o ângulos entre eles, então

�⃗� ∙ 𝑣 = |�⃗� | ∙ |𝑣 | ∙ cos𝜃, 0° ≤ 𝜃 ≤ 180°


1. Sendo |�⃗� | = 2, |𝑣 | = 3 𝑒 120° o ângulo entre eles, calcular:

a) �⃗� ∙ 𝑣 b) |�⃗� + 𝑣 | c) |�⃗� − 𝑣 |

Solução

a) �⃗� ∙ 𝑣 = |�⃗� | ∙ |𝑣 | ∙ cos( 120)°

�⃗� ∙ 𝑣 = 2 ∙ 3 ∙ (−1

2)

�⃗� ∙ 𝑣 = −3

b) |�⃗� + 𝑣 |2 = |�⃗� |2 + 2�⃗� ∙ 𝑣 + |𝑣 |2 |�⃗� + 𝑣 |2 = 22 + 2(−3) + 32

|�⃗� + 𝑣 | = √7 u

c) |�⃗� − 𝑣 |2 = |�⃗� |2 − 2�⃗� ∙ 𝑣 + |𝑣 |2 |�⃗� − 𝑣 |2 = 22 − 2(−3) + 32

|�⃗� − 𝑣 | = √19 u


58

Observações

Se �⃗� ∙ 𝑣 > 0, 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝜃 > 0 e 0° ≤ 𝜃 < 90° (figura a)

Se �⃗� ∙ 𝑣 < 0, 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝜃 < 0 e 90° < 𝜃 ≤ 180° (figura b)

Se �⃗� ∙ 𝑣 = 0, 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝜃 = 0 e 𝜃 = 90° (figura c)


Mostre que �⃗� = (−2, 3) é ortogonal ao vetor 𝑣 = (−1, −2

3).

�⃗� ∙ 𝑣 = 0

(−2, 3) ∙ (−1,−2

3) = 0

−2 ∙ (−1) + 3 ∙ (−2

3) = 0

2 − 2 = 0

∴ 0 = 0

Cálculo do ângulo de dois vetores

Da igualdade

�⃗� ∙ 𝑣 = |�⃗� | ∙ |𝑣 | ∙ cos 𝜃, 0° ≤ 𝜃 ≤ 180°, vem

Fórmula a partir da qual se calcula o ângulo 𝜃 entre os vetores �⃗� 𝑒 𝑣 não-nulos.


Calcular o ângulo entre os vetores �⃗� = (1,1,4) 𝑒 𝑣 = (−1,2,2)

Solução

cos 𝜃 =𝑢 . 𝑣

|𝑢|. |𝑣|

cos𝜃 =(1,1,4) . (−1,2,2)

√1 + 1 + 16. √1 + 4 + 4

cos 𝜃 =−1 + 2 + 8

√18. √9

cos𝜃 =9

3√2. 3

cos 𝜃 =√2

2

𝜃 = 𝑎𝑟𝑐 cos (√2

2)

∴ 𝜃 = 45°

cos 𝜃 =𝑢 . 𝑣

|𝑢|. |𝑣|

u

v

u - v

𝜃


59


1. Se 𝑢 = (−2,−2) e 𝑣 = (0,−2), determine o ângulo 𝜃, oposto ao vetor u – v.

2. Mostrar que os seguintes pares de vetores são ortogonais:

a) �⃗� = (1,−2,3) 𝑒 𝑣 = (4,5,2) b) 𝑖 𝑒 𝑗

3. Provar que o triângulo de vértice 𝐴(2,3,1), 𝐵(2,1,−1) 𝑒 𝐶(2,2, −2) é um triângulo retângulo.

4. Determinar um vetor ortogonal aos vetores 𝑣1⃗⃗⃗⃗ = (1,−1, 0) e 𝑣2⃗⃗⃗⃗ = (1,0,1)

5. Determinar os ângulos internos ao triângulo ABC, sendo 𝐴(3,−3,3), 𝐵(2,−1,2) 𝑒 𝐶(1,0,2).

6. Sabendo que o vetor 𝑣 = (2,1,−1)forma ângulo de 60° com o vetor 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ determinar pelos pontos 𝐴(3,1,−2) e

𝐵(4, 0,𝑚), calcular m.

7. Calcular o trabalho realizado pelas forças constantes, 𝐹 , 𝐹𝑎⃗⃗ ⃗, 𝐹𝑁⃗⃗ ⃗⃗ 𝑒 �⃗� e pela força resultante, para deslocar o bloco A até

B, sabendo que |𝐹 | = 10𝑁.

|𝐹𝑎⃗⃗ ⃗| = 8𝑁, |�⃗� | = 3𝑁, |𝐹𝑁⃗⃗ ⃗⃗ | = 3𝑁, 𝑑 = 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ 𝑒 |𝑑 | = 10𝑚

Lembrete:

𝑊 = 𝐹 ∙ 𝑑 ou 𝑊 = |𝐹 | ∙ |𝑑 | ∙ 𝐶𝑂𝑆 𝜃 (J)

Para

W: trabalho (jaule),

𝐹 : força (Newton)

𝑑 : distância (metros)

𝜃: ângulo entre 𝐹 e 𝑑

8. alcular o trabalho realizado pela força 𝐹 para deslocar o corpo de A até B, sabendo que

|𝐹 | = 10𝑁, |𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗| = |𝑑 | = 20𝑚 𝑒 𝜃 = 36,9°


60

0° 30° 45° 60° 90° 120° 135 ° 150° 180°

Sen 0 1

2 √2

2

√3

2

1 √3

2

√2

2

1

2

0

Cos 1 √3

2

√2

2

1

2

0 −

1

2 −

√2

2 −

√3

2

-1

Tg 0 √3

3

1 √3 ∄ −√3 - 1 −

√3

3

0


61

Atividade (Nota)

1. Determinar a

, ba

, ba

, a

2 e ba

43 , considerando:

a) )3,4(a

e )2,6(b

b) jia

32 e jib

5

Resp:

a) 5a

, )5,2( ba

, )1,10( ba

, )6,8(2 a

, )17,12(43 ba

b) 13a , jiba

23 , jiba

8 , jia

642 , jiba

111043

2. Escrever o vetor jiu

210 como combinação linear dos vetores jiv

52 e jiw

4 .

Resp.: wvu

3 .

3. Determinar o vetor w

na igualdade wvuw

2

123 , sendo dados )1,3( u

e )4,2(v

.

Resp.:

2,

2

7w

4. Dados os vetores u = )1 ,3( e v = )2 ,1( , determinar o vetor w tal que )34(2)2(3 uwuvw . Resp.:

5

11,

5

23w

5. Considere os vetores jis

2 , jit

52 e os pontos )3,0( A e )2,7(B . Pede-se:

a) ts

3 AB b) ts

c) versor do vetor AB

d) vetor com tamanho 4, paralelo ao vetor s

, mas de sentido oposto à s

Resp.:

a) ji

814 b) 7,62 u.c. c) jiAB

581,0814,0

6. Dados os vetores jiu

3 e jiv

2 , determinar o vetor x

tal que xuxvu

23

1)(4 .

Resp.:

2

15,

2

15

7. Se )1,1( u

e )6,8( w

, calcular uw

3 .

Resp.: 34 u.c.

8. Dados os pontos )2,3(A e )2,5( B , determinar os pontos M e N pertencentes ao segmento AB tais que

ABAM2

1 e ABAN

3

2 . Resp.: )0,1(M ,

3

2,

3

7N


62

9. Calcular os valores de a para que o vetor jiau

2 tenha módulo 4.

Resp: 32

10. Calcular os valores de a para que o vetor jiau

2

1 seja unitário.

Resp: 2

3

11. Dado o vetor u = )3,1( , determinar o vetor paralelo à u que tenha:

a) Sentido contrário à u e duas vezes o módulo de u . Resp.: )6,2(

b) O mesmo sentido de u e módulo 2. Resp.:

10

6,

10

2

c) Sentido contrário ao de u e módulo 4. Resp.:

10

12,

10

4

12. Para cada uma das figuras abaixo, determinar a resultante das forças utilizando os versores i

e j

, calcular a

intensidade desta resultante e sua direção. Resp.:

a)

jNiNFR

)81,13()71,123(

, NFr 48,124

,

º4,6 a

partir de Ox,

anti- horário.

b)

jNiNFR

)29,1419()82,290(

,

NFr 78,1448

, º42,78 a

partir de Ox, a-h.

13. Dados �⃗� = (4, 𝑦,−1) e 𝑣 = (𝑦, 2, 3) e os pontos A(4, -1, 2) e B(3, 2, -1), determine o valor de y tal que �⃗� . (𝑣 +

𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗) = 5.

14. Sabendo que a distância entre os pontos A(-1, 2, 3) e B(1, -1, m) é 7, calcule m.

15. Determine x para que o vetor �⃗� = (𝑥, −1

2,

1

4) seja unitário.

16 Calcule o ângulo entre os vetores �⃗� = (1, 1, 4) e 𝑣 = (−1, 2, 2).

a) b)


63

17. Sabendo que o vetor �⃗� = (2, 1,−1) forma um ângulo de 60° com o vetor 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ determinado pelos pontos A(3, 1, -2) e

B(4, 0, m), calcular m.

18. Prove que o triângulo de vértices A(2, 3, 1), B(2, 1, -1) e C(2, 2, -2) é um triângulo retângulo.

19. Determinar um vetor que seja ortogonal aos vetores �⃗� = (1, − 1,0) e 𝑣 = (1, 0,1).


64



Produto Vetorial

X. Produto Vetorial

Definição

Chama-se produto vetorial de dois vetores �⃗� = 𝑥1𝑖 + 𝑦1𝑗 + 𝑧1�⃗� e 𝑣 = 𝑥2𝑖 + 𝑦2𝑗 + 𝑧2�⃗� , tomados nesta ordem, e se

representa por �⃗� × 𝑣 , ao vetor

�⃗� × 𝑣 = |𝑖 𝑗 �⃗�

𝑥1 𝑦1 𝑧1

𝑥2 𝑦2 𝑧2

|

Aplicando o Teorema de Laplace

�⃗� × 𝑣 = |𝑦1 𝑧1

𝑦2 𝑧2| 𝑖 − |

𝑥1 𝑧1

𝑥2 𝑧2| 𝑗 + |

𝑥1 𝑦1

𝑥2 𝑦2| �⃗�

∴ �⃗� × 𝑣 = (𝑦1𝑧2 − 𝑦2𝑧1)𝑖 − (𝑥1𝑧2 − 𝑥2𝑧1)𝑗 + (𝑥1𝑦2 − 𝑥2𝑦1)�⃗�

O produto vetorial de �⃗� por 𝑣 também é indicado por �⃗� ˄ 𝑣 , e lê-se “�⃗� vetorial 𝑣 ”.


Calcular �⃗� × 𝑣 para �⃗� = 5𝑖 + 4𝑗 + 3�⃗� e 𝑣 = 𝑖 + �⃗�

Solução

�⃗� × 𝑣 = |𝑖 𝑗 �⃗�

5 4 31 0 1

|

�⃗� × 𝑣 = |4 30 1

| 𝑖 − |5 31 1

| 𝑗 + |5 41 0

| �⃗�

�⃗� × 𝑣 = (4 ∙ 1 − 0 ∙ 3)𝑖 − (5 ∙ 1 − 1 ∙ 3)𝑗 + (5 ∙ 0 − 1 ∙ 4)�⃗�

∴ �⃗� × 𝑣 = 4𝑖 − 2𝑗 − 4�⃗�

Características do Vetor �⃗⃗� × �⃗⃗�

Consideremos os vetores �⃗� = 𝑥1𝑖 + 𝑦1𝑗 + 𝑧1�⃗� e 𝑣 = 𝑥1𝑖 + 𝑦1𝑗 + 𝑧1�⃗� .

I. Direção de �⃗⃗� × �⃗⃗�

O vetor �⃗� × 𝑣 é simultaneamente ortogonal a �⃗� e 𝑣 .

Então,

(�⃗� × 𝑣 ) ∙ �⃗� = 0 e (�⃗� × 𝑣 ) ∙ 𝑣 = 0


65


Dados os vetores �⃗� = (3, 1, 2) e 𝑣 = (−2, 2,5), mostre que:

a) (�⃗� × 𝑣 ) ∙ �⃗� = 0

b) (�⃗� × 𝑣 ) ∙ 𝑣 = 0

Solução

1° passo:

�⃗� × 𝑣 = |𝑖 𝑗 �⃗�

3 1 2−2 2 5

|

�⃗� × 𝑣 = |1 22 5

| 𝑖 − |3 2

−2 5| 𝑗 + |

3 1−2 2

| �⃗�

∴ �⃗� × 𝑣 = 1𝑖 − 19𝑗 + 8�⃗�

a) (�⃗� × 𝑣 ) ∙ �⃗� = 0

(1𝑖 − 19𝑗 + 8�⃗� )∙(3𝑖 + 𝑗 + 2�⃗� ) = 0

3 − 19 + 16 = 0 0 = 0 c.q.m

b) (�⃗� × 𝑣 ) ∙ 𝑣 = 0

(1𝑖 − 19𝑗 + 8�⃗� )∙(−2𝑖 + 2𝑗 + 5�⃗� ) = 0

−2 − 38 + 40 = 0 0 = 0 c.q.m

II. Sentido de �⃗⃗� × �⃗⃗�

O sentido de �⃗� × 𝑣 poderá ser determinado utilizando-se a “regra da mão direita”. Sendo θ o ângulo entre �⃗� 𝑒 𝑣 ,

suponhamos que �⃗� sofra uma rotação de ângulo θ até coincidir com 𝑣 . Se os dedos da mão direita forem dobrados na

mesma direção da rotação, então o polegar estendido indicará o sentido de �⃗� × 𝑣 .

Obs.: Para o sentido entre o produto vetorial entre 𝑖 , 𝑗 e �⃗� , temos:

𝑖 × 𝑗 = �⃗� 𝑗 × �⃗� = 𝑖 �⃗� × 𝑖 = 𝑗

𝑗 × 𝑖 = −�⃗� �⃗� × 𝑗 = −𝑖 𝑖 × �⃗� = −𝑗

Assim, se considerarmos 𝑖 , 𝑗 e �⃗� como um ciclo, aonde 𝑖 vem após �⃗� e,

consequentemente, �⃗� precede 𝑖 , então o produto vetorial entre dois deles no


66

sentido anti-horário é o terceiro, mas o produto de dois deles no sentido oposto (horário) é o oposto (negativo) do terceiro.

III. Comprimento de �⃗⃗� × �⃗⃗�

Se θ é o ângulo entre os vetores �⃗� e 𝑣 não-nulos, então

|�⃗⃗� × �⃗⃗� | = |�⃗� | ∙ |𝑣 | ∙ 𝑠𝑒𝑛 𝜃 com 0° ≤ 𝜃 ≤ 180°

Interpretação Geométrica do Módulo do Produto Vetorial

Observando que no paralelogramo determinado pelos vetores não-nulos �⃗� e 𝑣 , a medida da base |�⃗� | e da altura

|𝑣| ∙ 𝑠𝑒𝑛𝜃, a área A desta paralelogramo é

𝐴 = (𝑏𝑎𝑠𝑒) ∙ (𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎)

𝐴 = |�⃗� | ∙ |𝑣 | ∙ 𝑠𝑒𝑛 𝜃

∴ 𝐴 = |�⃗� × 𝑣 |

Portanto, a área do paralelogramo determinado pelos vetores �⃗� e 𝑣 é numericamente igual ao comprimento do vetor

�⃗� × 𝑣 .


Determinar o vetor 𝑥 , tal que 𝑥 seja ortogonal ao eixo das ordenadas (y) e �⃗� = 𝑥 × 𝑣 , sendo �⃗� = (1,1,−1) e 𝑣 =

(2,−1,1).

Solução

Como 𝑥 ⦜0𝑦, ele é da forma 𝑥 = (𝑥, 0, 𝑧). Então �⃗� = 𝑥 × 𝑣 equivale a

(1,1,−1) = |𝑖 𝑗 �⃗�

𝑥 0 𝑧2 −1 1

|

Ou (1,1,−1) = (𝑧,−𝑥 + 2𝑧,−𝑥)

{ 𝑧 = 1−𝑥 + 2𝑧 = 1

−𝑥 = −1

∴ 𝑥 = 1, 𝑧 = 1 𝑒 𝑥 = (1,0,1)


1. Sejam os vetores �⃗� = (1,−1,−4) e 𝑣 = (3,2,−2). Determine um vetor que seja

a) ortogonal a �⃗� 𝑒 𝑣 ; Resp: �⃗� × 𝑣 = (10,−10,5)

b) ortogonal a �⃗� 𝑒 𝑣 e unitário; Resp: 𝑢1⃗⃗⃗⃗ = (2

3, −

2

3,1

3) e 𝑢2⃗⃗⃗⃗ = −𝑢1⃗⃗⃗⃗ = (−

2

3,2

3, −

1

3)

c) ortogonal a �⃗� 𝑒 𝑣 e tenha módulo 4; Resp: (8

3, −

8

3,4

3) 𝑜𝑢 (−

8

3,8

3, −

4

3)

2. Seja um triângulo equilátero ABC de lado 10. Calcular |𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ × 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗|.


67

Resp: 50√3

3. Dados os vetores �⃗� = (1,−1,1)𝑒 𝑣 = (2,−3,4), calcular

a) a área do paralelogramo determinado por �⃗� e 𝑣 ; Resp: 𝐴 = √6 u.a.

b) a altura do paralelogramo relativa à base definida pelo vetor �⃗� . Resp: ℎ = √2 𝑢. 𝑐.

4. Determinar a distância do ponto 𝑃(5,1,2) à reta r que passa por 𝐴(3,1,3) e 𝐵(4,−1,1).

Resp: 𝑑 =√29

3 u.c.

5. Dados os vetores �⃗� = (2,1, −1) e 𝑣 = (1,−1, 𝛼), calcular o valor de α para que a área do paralelogramo

determinado por �⃗� e 𝑣 seja igual a √62.

Resp: 𝑎 = 3 𝑜𝑢 𝑎 = −17

5

6. Dados os pontos 𝐴(2,1,1), 𝐵(3,−1,0) 𝑒 𝐶(4,2,−2), determinar

a) a área do triângulo ABC; Resp: 𝐴 =5

2√3 𝑢. 𝑎.

b) a altura do triângulo relativa ao vértice C. Resp: ℎ =5

2√2 𝑢. 𝑎.

7. Calcular o torque sobre a barra 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ , onde 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 𝑟 = 2𝑗 (𝑒𝑚 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠), 𝐹 = 10𝑖 (𝑒𝑚 𝑛𝑒𝑤𝑡𝑜𝑛𝑠) e o eixo de rotação é o

eixo z.

Lembrete:


68

𝜏 = 𝑟 × 𝐹 ou |𝜏 | = |𝑟 | ∙ |𝐹 | ∙ 𝑠𝑒𝑛𝜃

Para

𝜏 : torque (mN)

𝑟 : distância (m)

𝐹 : forço (N)

Θ: ângulo entre 𝑟 e 𝐹

Resp: |𝜏 | = 20𝑚𝑁

8. Calcular a área do triângulo ABC e a altura relativa ao lado BC, sendo dados

a) 𝐴(−4,1,1), 𝐵(1,0,1) 𝑒 𝐶(0, −1,3) Resp: √35 e 2√35

√6

b) 𝐴(4,2,1), 𝐵(1,0,1) 𝑒 𝐶(1,2,0) Resp: 7

2 𝑒

7

√5

9. Dados os vetores �⃗� = (1,1,0) 𝑒 𝑣 = (−1,1,2), determinar

a) um vetor unitário simultaneamente ortogonal a �⃗� e 𝑣 ; Resp: (1

√3, −

1

√3,

1

√3) 𝑜𝑢 (−

1

√3,

1

√3, −

1

√3)

b) um vetor de módulo 5 simultaneamente a �⃗� e 𝑣 . Resp: (5

√3, −

5

√3,

5

√3) 𝑜𝑢 (−

5

√3,

5

√3, −

5

√3)


69



Produto Misto

XI. Produto Misto

Definição

Chama-se produto misto de três vetores �⃗� = 𝑥1𝑖 + 𝑦1𝑗 + 𝑧1�⃗� , 𝑣 = 𝑥2𝑖 + 𝑦2𝑗 + 𝑧2�⃗� e �⃗⃗� = 𝑥1𝑖 + 𝑦1𝑗 + 𝑧1�⃗� tomados

nesta ordem, ao número real �⃗� ∙ (𝑣 × �⃗⃗� ).

Tendo em vista que,

𝑣 × �⃗⃗� = |𝑖 𝑗 �⃗�

𝑥2 𝑦2 𝑧2

𝑥3 𝑦3 𝑧3

|

Aplicando o Teorema de Laplace,

𝑣 × �⃗⃗� = |𝑦2 𝑧2

𝑦3 𝑧3| 𝑖 − |

𝑥2 𝑧2

𝑥3 𝑧3| 𝑗 + |

𝑥2 𝑦2

𝑥3 𝑦3| �⃗�

Vem,

�⃗� ∙ (𝑣 × �⃗⃗� ) = 𝑥1 ∙ |𝑦2 𝑧2

𝑦3 𝑧3| − 𝑦1 ∙ |

𝑥2 𝑧2

𝑥3 𝑧3| + 𝑧1 |

𝑥2 𝑦2

𝑥3 𝑦3|

∴ �⃗� ∙ (𝑣 × �⃗⃗� ) = |

𝑥1 𝑦1 𝑧1

𝑥2 𝑦2 𝑧2

𝑥3 𝑦3 𝑧3

|

O produto misto de �⃗� , 𝑣 𝑒 �⃗⃗� também é indicado por (�⃗� , 𝑣 , �⃗⃗� ).


Calcular o produto misto dos vetores �⃗� = 2𝑖 + 3𝑗 + 5�⃗� , 𝑣 = −𝑖 + 3𝑗 + 3�⃗� e �⃗⃗� = 4𝑖 − 3𝑗 + 2�⃗�

Solução

�⃗� ∙ (𝑣 × �⃗⃗� ) = |2 3 5

−1 3 34 −3 2

|

∴ �⃗� ∙ (𝑣 × �⃗⃗� ) = 27

Propriedades do Produto Misto

I) O produto misto (�⃗� , 𝑣 , �⃗⃗� )muda de sinal ao trocarmos a posição de dois vetores;

II) (�⃗� + 𝑥 , 𝑣 , �⃗⃗� ) = (�⃗� , 𝑣 , �⃗⃗� ) + (𝑥 , 𝑣 , �⃗⃗� )

(�⃗� , 𝑣 + 𝑥 , �⃗⃗� ) = (�⃗� , 𝑣 , �⃗⃗� ) + (�⃗� , 𝑥 , �⃗⃗� )

(�⃗� , 𝑣 , �⃗⃗� + 𝑥 ) = (�⃗� , 𝑣 , �⃗⃗� ) + (�⃗� , 𝑣 , 𝑥 )


70

III) (𝛼�⃗� , 𝑣 , �⃗⃗� ) = (�⃗� , 𝛼𝑣 , �⃗⃗� ) = (�⃗� , 𝑣 , 𝛼�⃗⃗� ) = 𝛼(�⃗� , 𝑣 , �⃗⃗� )

IV) (�⃗� , 𝑣 , �⃗⃗� ) = 0 se, e somente se, os três vetores forem coplanares.


1. Qual deve ser o valor de m para que os vetores �⃗� = (2,𝑚, 0), 𝑣 = (1,−1,2) e �⃗⃗� = (−1,3,−1) sejam coplanares?

Solução

Para que �⃗� , 𝑣 𝑒 �⃗⃗� sejam coplanares deve-se ter

(�⃗� , 𝑣 , �⃗⃗� ) = 0 Isto é,

|2 𝑚 01 −1 2

−1 3 −1| = 0

Ou 2 − 2𝑚 − 12 + 𝑚 = 0

e, portanto,

𝑚 = −10

2. Verificar se os pontos 𝐴(1,2,4), 𝐵(−1,0,−2), 𝐶(0,2,2)𝑒 𝐷(−2,1,−3) estão no mesmo plano.

Solução

Os quatro pontos dados são coplanares se

forem coplanares os vetores 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗, 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ 𝑒 𝐴𝐷⃗⃗ ⃗⃗ ⃗, e, para tanto, deve-se ter

(𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗, 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗, 𝐴𝐷⃗⃗ ⃗⃗ ⃗) = 0

Como

(𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗, 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗, 𝐴𝐷⃗⃗ ⃗⃗ ⃗) = |−2 −2 −6−1 0 −2−3 −1 −7

| = 0

Os pontos dados são coplanares

Interpretação Geométrica do Módulo do Produto Misto

Geometricamente, o produto misto �⃗� ∙ (𝑣 × �⃗⃗� ) é igual, em módulo, ao volume do paralelepípedo de arestas

determinadas pelos vetores não-coplanares �⃗� , 𝑣 𝑒 �⃗⃗� .

A área da base do paralelepípedo é |𝑣 × �⃗⃗� |.

Seja θ o ângulo entre os vetores �⃗� e 𝑣 × �⃗⃗� . Sendo 𝑣 × �⃗⃗� um vetor

ortogonal à base, a altura será paralela a ele, e, portanto,

ℎ = |�⃗� ||𝑐𝑜𝑠𝜃|

Então,

𝑉 = (á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒) ∙ (𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎)

∴ 𝑉 = | �⃗� ∙ (𝑣 × �⃗⃗� ) |


71


Sejam os vetores �⃗� = (3,𝑚,−2), 𝑣 = (1,−1,0) e �⃗⃗� = (2,−1,2). Calcular o valor de m para que o volume do

paralelepípedo determinado por �⃗� , 𝑣 𝑒 �⃗⃗� seja 16 u.v.

Solução

𝑉 = | �⃗� ∙ (𝑣 × �⃗⃗� ) |

| �⃗� ∙ (𝑣 × �⃗⃗� ) | = 16 Sendo

�⃗� ∙ (𝑣 × �⃗⃗� ) = |3 𝑚 −21 −1 02 −1 2

|

�⃗� ∙ (𝑣 × �⃗⃗� ) = −2𝑚 − 8 Vem

|−2𝑚 − 8| = 16 Pela definição de módulo,

−2𝑚 − 8 = 16 𝑜𝑢 − 2𝑚 − 8 = −16

∴ 𝑚 = −12 𝑜𝑢 𝑚 = 4

Exercício de aplicação

1. Seja 𝐴(1,2,−1), 𝐵(5,0,1), 𝐶(2, −1,1) 𝑒 𝐷(6,1,−3) vértices de um tetraedro. Calcular:

a) o volume deste tetraedro; 𝑉 =1

6|(𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗, 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗, 𝐴𝐷⃗⃗ ⃗⃗ ⃗)|

b) a altura do tetraedro relativa ao vértice D.

Resp: a) V = 6 u.v. b) h = 18

√35 u.c.


72

Atividade (Nota)

1. Qual o valor de 𝛽 para que os vetores 𝑣 = (𝛽, 2,−4) e �⃗⃗� = (2, 1 − 2𝛽, 3) sejam ortogonais?

2. Use a definição de produto escalar, 𝑎 . �⃗� = |𝑎 ||�⃗� |𝑐𝑜𝑠𝜃, e o fato de que 𝑎 . �⃗� = 𝑥1. 𝑥2 + 𝑦1. 𝑦2 + 𝑧1. 𝑧2 para calcular o

ângulo entre os dois vetores dados por 𝑎 = 3𝑖 + 3𝑗 + 3�⃗� e �⃗� = 2𝑖 + 3𝑗 + 3�⃗� . Resp: 𝜃 = 23° 3. Marque com um X a alternativa correta.

3.1.) Os vetores 𝑎 e �⃗� são 𝑎 = 2𝑖 + 3𝑗 e �⃗� = −𝑖 + 2𝑗 . O ângulo em radianos entre os vetores 𝑎 e �⃗� é aproximadamente: a) π/2 b) 3π/2 c) π/4 d) 2π/3 e) π/3 Res:. letra e

3.2.) O vetor 𝑎 = 5𝑖 − 4𝑗 e �⃗� = −7,5𝑖⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ + 6𝑗 . A equação que melhor relaciona os vetores 𝑎 e �⃗� é:

a) 𝑎 + �⃗� = 1,5𝑎 b) 𝑎 + 1,5�⃗� = 0 c) �⃗� = −1,5𝑎 d) 𝑎 = 1,5�⃗� e) �⃗� − 1,5𝑎 = 0 Resp: letra c

3.3.) Dados os vetores: 𝑣1⃗⃗⃗⃗ = 80 m/s orientado para norte e 𝑣2⃗⃗⃗⃗ = 60 m/s orientado para leste. Podemos afirmar que a direção do vetor diferença 𝑣1⃗⃗⃗⃗ - 𝑣2⃗⃗⃗⃗ é o valor do produto escalar entre os vetores 𝑣1⃗⃗⃗⃗ . 𝑣1⃗⃗⃗⃗ são respectivamente: a) θ = 126,87º e 0,2 b) θ = - 53,13º e 0 c) θ = -126,87º e 10 d) θ = 0º e 80,8 e) θ = 53,13º e 80,8 Resp: letra b

4. Se o vetor �⃗� é somado ao vetor 𝑎 , o resultado é 8,0𝑖 - 1,0𝑗 . Se �⃗� é subtraído de 𝑎 , o resultado é - 2,0 i + 3,0 j. Qual é o módulo do vetor 𝑎 ? Resp. |𝑎 |= 3,16

5. Um objeto em movimento retilíneo tem um deslocamento dado por ∆𝑠⃗⃗⃗⃗ = 2 m𝑖 + 3 m𝑗 - 5 m�⃗� , enquanto atua sobre ele

uma força constante 𝐹 = 7 N𝑖 - 7 N𝑗 - 2 N�⃗� . Determine:

a) o trabalho realizado por esta força? Resp: �⃗⃗⃗� = 3 J

b) o ângulo entre os dois vetores 𝐹 e ∆𝑠⃗⃗⃗⃗ ? Resp: 𝜃 = 87,23°

6.Sejam os pontos )8 ,3 ,1(A e )7 ,3 ,5(B , os vetores kjiu

32 e kjiv

56 . Pede-se:

a) AB )( vu

b) vu

c) uv

d) ângulo entre os vetores u

e v

8

Resp.: a) 12, b) kji

999 c) kji

999 d) 31,94°

7. Sejam os vetores kjaiu

2 , kjiv

23 e kjiaw

42)12( . Determinar a de modo que v

=

)( vu

)( wv

.

Resp: 8

5a .

8. Se kjiu

345 e kiv

, calcular vu

. Resp: kji

424 .

9. Calcular os ângulos internos do triângulo de vértices )6,1,0( P , )3,1,2( Q e )2,4,5( R . Resp: 43°, 58° e 79°.

u


73

10. Calcular o valor de m de modo que seja de 120º o ângulo entre os vetores kjiu

2 e

kmjiv

)1(2 . Resp: 0 ou -18.

11. Dados os vetores u = )1 ,3 ,2( e v = )4 ,1 ,1( , calcular [u + 3v] [ uv 2 ]. Resp: 21

12. Determinar o ângulo entre os vetores kju

e kjiv

32 . Resp: 101°

13. Calcular n para que seja de 30° o ângulo entre o vetor knjiv

3 e o versor k

.

Resp: 30 .

14. Calcular os ângulos diretores do vetor v )4 5, ,3( . Resp: º65 , º45 , º124 .

15. Uma força constante com representação vetorial F = 10i +18j 6 k move um objeto em linha reta do ponto (2, 3, 0) ao ponto (4, 9, 15). Calcular o trabalho realizado se a distância for medida em metros e a magnitude da força for medida em Newton. Resp: Sabe-se que o trabalho é o produto escalar entre a força aplicada e o vetor deslocamento. Deste modo, 38F.d W joules.

16. Calcular o produto vetorial entre os vetores u

e v

: a) )0, 2, 1(u

e )1 ,3 ,0(v

b) )4, 1, 5(u

e 2) ,0 ,1(v

c) kjiu

423 e kjiv

32 d) iu

e jv

Resp: a) kjivu

32

b) kjivu

142

c) kjivu

8132

d) kvu

17. Sejam os vetores kia

2 e kjb

. Pede-se:

a) ba

b) ba

c) esboçar baba

e ,

Resp: a) kji

2 b) 6 u.c.

18. Torque é uma grandeza vetorial, representado por , e está relacionada com a possibilidade de um corpo sofrer

uma torção ou alterar seu movimento de rotação. A equação para o cálculo do torque é Fr

, onde r

é a

distância do ponto de aplicação da força F

ao eixo de rotação, ao qual o corpo está vinculado.


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Resp.: Deve-se definir o vetor j2r

,a força i10F

e calcular o produto Fr

. Será obtido mN k20

. A intensidade do

torque será mN 20

19. O pedal de uma bicicleta é empurrado por um pé com uma força de 60 N. A haste do pedal tem 18 cm de comprimento e o ângulo entre a força e a haste do pedal é 80°. Determinar a magnitude do torque em P.

Resp: Neste caso deseja-se apenas a intensidade do torque. Por isto pode-se utilizar a

expressão para cálculo do módulo do produto vetorial que é sen Fr

. Assim, temos (0,18

m).(60 N).sen(80°) 6,10 J

20. Uma chave de boca com 30 cm de comprimento posicionada ao longo do eixo y aperta um parafuso colocado na

origem. Considere uma força aplicada no final do cabo da chave com direção dada por 4,3,0 . Determinar o módulo

da força necessária para que o torque resultante no parafuso seja de 100 J.

Resp: Deve-se definir os vetores: posição jr

3,0 , kjF

43 e utilizar a fórmula para calcular ângulo entre os vetores. Este ângulo será

º1,53 . Com o ângulo, intensidade do torque desejado e o módulo do vetor r

serão obtidos 417 N utilizando-se a expressão do exercício

14.

Calcular o torque sobre a barra AB

representada ao lado, sendo que a

distância do ponto A até o ponto B é de

2m. A intensidade da força F

é de 10 N e o

eixo de rotação é o eixo z.


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Referência Bibliografica

WINTERLE, PAULO. Vetores e Geometria Analítica. 1° Edição, Editora Makron Books.

www.makron.com.br

WINTERLE, PAULO E STHEINBRUCH, ALFREDO. Geometria Analítica. Editora Makron Books

www.makron.com.br

http://www.makron.com.br/

http://www.makron.com.br/

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Apostila de ã lgebra linear