Apostila de Análise Combinatória e Teoria dos conjuntos (fundamentos)

Análise Combinatória - Fatorial e Binômio de Newton. Prof. André Gustavo

1


2

ANÁLISE COMBINATÓRIA. Fatorial Sendo n um número natural diferente de zero, chamamos de fatorial de n a expressão;

nnnn )1)(2....(3.2.1! −−= . O Fatorial é uma ferramenta muito importante na analise combinatória, por isso vamos estudar seu conceito e aplicação, de forma que este possa auxiliá-lo mais tarde. Matematicamente, podemos definir assim Fatorial:

>−

==

0)!1(

0,1!

nsenn

nsen

Observe que com essa definição em dupla sentença, resolvemos todos os casos: a) 0! = 1 (por definição) b) 1! = 1.(1 – 1)! = 1. 0! = 1.1 = 1 c) 2! = 2.(2 – 1)! = 2. 1! = 2.1 = 2 d) 3! = 3.(3 – 1)! = 3. 2! = 3.2.1 = 6 e) 4! = 4.(4 – 1)! = 4. 3! = 4.3.2.1 = 24, e assim por diante. Exemplo: Calcule o valor de n na expressão:

[ ]

)(7''4'0283

3123131!

)1)(2(1!31

!

!)1)(2(!31

!

)!2(!

2

2

convémnãonnnn

nnn

nnnn

nnnn

n

nn

−=∨=∴=−+⇒

⇒=+++⇒=+++

⇒=+++

⇒=++

Daí podemos concluir que o conjunto solução é S = {4}


3

Coeficientes Binomiais

Sendo n e p dois números naturais quaisquer tal que pn ≥ , chamamos de coeficiente

binomial o número indicado por

p

ndefinido por;:

)!(!!pnp

np

n

−=

; n, p ∈IN e pn ≥

Fazendo uma analogia com o conhecimento a cerca das frações dizemos que o número n é o numerador e p é o denominador; lê-se “n sobre p”. Existem três conseqüências da definição de coeficiente binomial a considerar:

I) nn

=

1 II) 1

0=

n III) 1=

n

n

Números Binomiais complementares: Dois coeficientes Binomiais são chamados complementares quando ambos tiver o mesmo numerador, e a soma dos seus denominadores for igual ao numerador comum, ou seja:

−=

pn

n

p

n

Exemplo: Determine o valor de k, sabendo – se que os coeficientes binomiais

+−=

+ 5

8

12

8

kk são complementares.

Solução: Se os coeficientes binomiais dados são complementares, então a soma dos denominadores é igual ao denominador, logo, 2k +1 + (-k) + 5 = 8⇒ k + 6 = 8∴k = 2.

TRIÂNGULO DE PASCAL OU DE TARTAGLIA

O Triângulo de Pascal recebe esse nome, devido à forma em que os elementos estão distribuídos, e esses elementos são os coeficientes binomiais que tem a seguinte característica:


4

0

0

0

1

1

1

0

2

1

2

2

2

M

0

3

M

1

3

M

2

3

M

3

3

−

0

1n

−

1

1n

−

2

1n K

−

−

1

1

n

n

0

n

1

n

2

n K

−1n

n

n

n

Podemos também representar o Triângulo de Pascal substituindo os coeficientes binomiais pelos seus respectivos valores: 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1


5

PROPRIEDADES DO TRIÂNGULO DE PASCAL

• 1ª PROPRIEDADE. Em cada linha do triângulo, o primeiro elemento vale 1, pois

qualquer que seja a linha, o primeiro elemento é INnn

∈∀=

,1

0.

• 2ª PROPRIEDADE. Em cada linha do triângulo, o último elemento vale 1, pois

qualquer que seja a linha, o último elemento é INnn

n∈∀=

,1 .

• 3ª PROPRIEDADE. Numa linha, dois coeficientes binomiais eqüidistantes dos

extremos são iguais, isto equivale a dizer que

−=

pn

n

p

n.

Observe no quadro:

1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1

• A partir da 3ª linha, cada elemento (com exceção do primeiro e do último) é a soma

dos elementos da linha anterior, imediatamente acima dele. Essa propriedade é conhecida como Relação de Stifel e afirma que:

+

+=

++

1

1

1 p

n

p

n

p

n

Vamos mostrar um exemplo e uma aplicação da Relação de Stifel numa questão do vestibular da Faculdade Baiana.


6

Obs: Um detalhe importante no uso da Relação de Stifel é observar o valor que representa n, p e p + 1. Na questão do vestibular da Faculdade Baiana, n = 12, p = 7 e p + 1 = 7 +1 = 8. BINÔMIO DE NEWTON

Inicialmente vamos considerar as seguintes potências desenvolvidas:

• 222 2)( yxyxyx ++=+ , que podemos escrever também da seguinte forma;

201102 2 yxyxyx ++ ou

0

2 02 yx +

1

2 11yx +

2

2 20 yx .

• 32233 33)( yxyyxxyx +++=+ , que podemos escrever também da seguinte forma;

30211203 33 yxyxyxyx +++ ou

0

3 03 yx +

1

3 12 yx +

2

3 3021

3

3yxyx

+ .

• 4322344 464)( yxyyxyxxyx ++++=+ , que podemos escrever também da

seguinte forma; 4031221304 464 yxyxyxyxyx ++++ ou

0

4 04 yx +

1

4 13 yx +

2

4 403122

4

4

3

4yxyxyx

+

+ .

Generalizando a situação, podemos escrever; para INneIRyex ∈∈ :

nkknnnnn yn

nyx

k

nyx

nyx

nx

nyx

++

++

+

+

=+ −−− KK221

210)(

É interessante notar que os expoentes de x começam em n e decrescem de1 em 1 até

zero, enquanto os expoentes de y começam com zero e crescem até n. A esse desenvolvimento damos o nome de Binômio de Newton.

Exemplos:

1) Efetuar o desenvolvimento de 5)( ax + .


7

Solução:

5)( ax + =

0

5 05 yx +

1

5 14 yx +

2

5 50413223

5

5

4

5

3

5yxyxyxyx

+

+

+ .

Observemos que:

10

5=

, 5

1

5=

, 10

220

!3!.2!3.4.5

!3!.2!5

2

5====

, 10

!2!.3!5

3

5==

,

515

!1!.4!4.5

!1!.4!5

4

5====

, 1

0

5=

Substituindo os valores na expressão temos:

5)( ax + = 5x + 5 yx 4 + 10 543223 510 yxyyxyx +++ .

2) Efetuar o desenvolvimento de 6

21

−x .

Solução:

Inicialmente, devemos observar que 66

21

21

−+=

− xx .

60

51

42

33

24

15

06

6

21

6

6

21

5

6

21

4

6

21

3

6

21

2

6

21

1

6

21

0

6

21

−

+

+

−

+

−

+

−

+

−

+

−

+

−

=

−

x

xxxxxxx


8

Calculando cada coeficiente binomial e as potências de

−21

temos:

106

=

1

21

0

=

−

616

=

=

−1

21

−21

152

30!4!.2!4.5.6

!4!.2!6

26

====

=

−2

21

41

206

120!3!.3

!3.4.5.6!3!.3

!636

====

=

−3

21

−81

152

30!2!.4!4.5.6

!2!.4!6

46

====

=

−4

21

161

616

!1!.5!5.6

!1!.5!6

56

====

=

−5

21

−321

166

=

=

−6

21

641

Substituindo os respectivos valores na expressão temos:

Fazendo as operações

elementares obtemos:

TERMO GERAL DO BINÔMIO

O termo geral do Binômio de Newton é dado por:

kknk yx

k

nT −

+

=1

O termo geral do binômio é muito útil quando queremos calcular um termo qualquer n desse binômio.

+

−+

+

−+

+

−+=

−641

321

6161

1581

2041

1521

621 4

234566

xxxxxxx

+−+−+−=

−641

163

1615

25

415

321 23456

6

xxxxxxx


9

Questões comentadas

1) Qual é o 5º termo do desenvolvimento de 5)3( +x , de acordo com as potências decrescentes de x? Solução: Inicialmente, vamos procurar o valor de 5T . Como 451 =⇒=+ kk . Daí:

xxxxxxT 40581.581!1!.4!4.5

81!1!.4

!581.

45

3.45 445

5 ==⋅=⋅=

=

= −

Portanto o 5º termo de 5)3( +x é 405x.

2) Calcular o termo independente de x no desenvolvimento de 6

1

+x

x .

Solução:

kk

kkk

kk

k

xk

T

xxk

T

xx

kT

261

61

61

6

.6

1.

6

−+

−−+

−+

=

=

=

Observe que o termo independente de x é aquele cuja potência de x é zero, ou seja, 0x . Logo temos que: 6 – 2k = 0, e portanto k = 3. Então temos que 4131 TTTk == ++

206

1201.2.3

120!3!.3

!3.4.5.6)!36!.(3

!636

4 ====−

=

=T

3) Determine o termo médio (ou central) no desenvolvimento de 6)3( −x . Solução: Observe que se o binômio esta elevado a 6ª potência significa que o seu desenvolvimento constará 7 termos, Lembre-se que se a quantidade de termos é ímpar,


10

então o termo central é aquele que divide a esse grupo de termos em quantidades de termos iguais. Exemplo:

• 1 2 3, o termo central é 2.

• 1 2 3 4 5, o termo central é 3.

• 1 2 3 4 5 6 7, o termo central é 4. Feito isso, podemos voltar ao problema inicial. Como Já havíamos dito, se o binômio está elevado a 6ª potência, então o seu desenvolvimento constará de 7 termos. Devemos então procurar 4º termo, que é o termo central: k + 1 = 4 k = 3 Portanto;

34

4

34

3364

540)27.(20

)27(!3!.2

!6

)27.(3

6

)3.(3

6

xxT

xT

xT

xT

−=−=

−⋅=

−

=

−

= −

4) No desenvolvimento de 50)2( −x , determinar os coeficientes do 4º e do penúltimo termo. Solução: O termo geral é dado por

kk

k xk

T )2.(50 50

1 −

= −

+

• O 4º termo é o 4T . Como k + 1 = 4, então k = 3.

=−

= − 3350

4 )2.(3

50xT =−

)8.(

3

5047x =− )8.(

!47!.3!50 47x =− )8.(

!47!.3!47.48.49.50 47x

474747 156800)8.(19600)8.(1.2.348.49.50

xxx −=−=−= .


11

• O penúltimo termo é o 50T . Como k +1 = 50, então k = 49.

49494949504 )2.(50)2(

!1!.49!50

)2.(4950

−=−⋅=−

= − xxT

Portanto os coeficientes do 4º e do penúltimo termo são 47156800x− e 49)2.(50 −x .

5) Existe o termo independente de x no desenvolvimento de3

1

+x

x ?

Solução:

O termo geral é dado por kkkk

kk x

kxx

kxx

kT 2333

1

331.

3 −−−−+

=

=

= .

Para que exista o termo independente é necessário que 3 – 2k = 0. Como

23

32 =⇒−=− kk , podemos observar que k não é um número natural. Logo, não há termo

independente de x no desenvolvimento de 3

1

+x

x .

6) Qual o termo de 5x no desenvolvimento de ( )83+x ?

Solução: O termo geral é dado por

kk

k xk

T 3.8 8

1−

+

= . Observe que o termo em 5x ocorre apenas quando 8 – k = 5, ou seja k

= 3. Daí temos que 4131 TTTk == ++ e portanto o termo em 5x é dado por:

553384 1512.27.563.

3

8xxxT ==

= −

Observações importantes;

I. No desenvolvimento de ( )nyx + temos: o número de termos no desenvolvimento do binômio é igual ao expoente mais 1, desta forma teremos n + 1 termos.

II. A medida em que os expoentes de x vão decrescendo, os expoentes de y vão crescendo.

III. Os coeficientes dos termos eqüidistantes dos extremos são iguais aos coeficientes dos extremos , sendo que o maior deles se encontra no centro.

IV. A soma dos expoentes de x e y em cada termo é igual ao expoente do binômio.

V. O coeficiente do primeiro termo é sempre igual a 1.


12

VI. Os coeficientes dos outros termos se encontram através do produto do expoente de x com o seu coeficiente, dividindo-se este resultado pelo número de ordem do termo.

VII. No desenvolvimento de ( )nyx + temos; os sinais de cada termo do desenvolvimento são alternados, isto é, os termos de ordem par são negativos e os de ordem impar são positivos.

VIII. Para obter a soma dos coeficientes de ( )nyx + , basta fazer cada letra igual a unidade.

Exemplos: a) A soma dos coeficientes de ( )6yx + é:

642)11( 66 ==+=cS

b) A soma dos coeficientes de ( )6532 −x é: 1)1()31.2( 6565 −=−=−=cS

De uma forma geral, no desenvolvimento de ( )nyx + , a soma dos coeficiente será

dada por n2

EXERCÍCIO COMENTADO

(UCSAL –BA) O coeficiente de terceiro termo do desenvolvimento do binômio de ( )nyx + , segundo as potencias decrescentes de x, é igual a 60. Nessas condições, o valor de n pertence ao conjunto: a) {3, 4} b) {-5, 6} c) {7, 8} d) {9, 10} e) {11, 12} Solução comentada: Em primeiro lugar devemos desenvolver o binômio dado até o terceiro termo, pois é a partir daí que vamos identificar o valor de n. Portanto: Pela definição temos que:

( ) =+

+

+

=+ −− K22110 2

22.

12.

02 nnnn x

nx

nx

nx K+

++ −− 4.

22. 21 nnn x

nnxx

Temos que 22

)1()!2(!2

)!2)(1()!2(!2

!2

2 nnnnn

nnnnnn −

=−

=−−−

=−

=

, que substituindo na

expressão temos:


13

K+

−++ −− 2

21

242 nnn x

nnnxx Ocorre que:

060226022602

4 222

=−−⇒=−⇒=

−nnnn

nndividindo todos os termos da

equação por 2 temos 0302 =−− nn e portanto o valor de n pertence ao conjunto solução {-5, 6}. Alternativa B.

TEORIA DOS CONJUNTOS 1. REPRESENTAÇÃO Inicialmente vamos representar um conjunto de três formas diferentes; NA FORMA TABULAR Nessa forma, vamos representar o conjunto por uma letra latina maiúscula, colocando-se seus elementos entre chaves e separados por ponto e vírgula. =A { a, e, i, o, u } =B { 2; 4; 6; 8}

POR UMA PROPRIEDADE Nessa forma, vamos representar o conjunto por uma propriedade que determine seus elementos. =A {x / x é vogal do alfabeto latino}

=B {x / x é um número par positivo menor do que 9}

OBS. A barra (/) significa “ tal que”. POR UM DIAGRAMA DE VENN Podemos representar conjuntos por diagramas de Venn-Euler, também conhecidos como diagramas de Venn, consistindo de curvas simples planas fechadas. No interior de tais diagramas representamos os elementos, e do lado de fora indicamos os nomes dos conjuntos.


14

Exemplo: representemos o conjunto A dos números primos menores que 15 usando o diagrama de Venn:

São válidas as seguintes relações de pertinência:

• 1 ∈ A ( lê – se: “ 1 pertence a A” ) • 15 ∉ B ( lê – se: “ 15 não pertence a B” )

2. CONJUNTOS ESPECIAIS Existem alguns conjuntos que aparecem com freqüência em nosso estudo. Veja alguns deles: CONJUNTO UNIVERSO O conjunto que possui todos os elementos com os quais se deseja trabalhar é chamado de conjunto universo e usualmente é representado por U. CONJUNTO UNITÁRIO Como o próprio nome já diz, o conjunto unitário é aquele que possui um único elemento. Exemplo: =M {x / x é mês do ano com menos de 30 dias} CONJUNTO VAZIO O conjunto que não possui elemento algum é chamado de conjunto vazio e é representado pela letra grega φ ou por chaves sem elementos entre elas.

=M {x / x é dia da semana com 32 horas}∴ =M φ ou =M { } 3. RELAÇÃO DE INCLUSÃO ( SUBCONJUNTOS) Quando todos os elementos que pertencem a um conjunto A também pertence a um conjunto B, diz-se que A está contido )( ⊂ em B ou que A é subconjunto de B, ou ainda

que B contém A ( representa-se )AB ⊃ . Em símbolos:


15

),( BxAxxBA ∈⇒∈∀⇔⊂

Obs. O símbolo ∀ significa “ qualquer que seja” ou “para todo”.

Propriedades

1. AAA ∀⊂ ;

2. AA ∀⊂ ;φ 11

Exemplos:

Se =A { 2; 3; 4 } e =B { 1; 2; 3; 4; 5; 6}, então BA ⊂ .. 4. IGUALDADE Dois conjuntos A e B são iguais, se e somente se, BA ⊂ e AB ⊂ . Observe a seguinte situação: =A { a; b; c } e =B { b; a; c}

BA ⊂ e BAAB =⇔⊂ .

• A ordem dos elementos não interferem na igualdade dos conjuntos. • A repetição de um ou mais elementos em um conjunto não interfere na sua

igualdade.

5. OPERAÇÕES ENTRE CONJUNTOS

UNIÃO )(∪

A união dos conjuntos A e B é o conjunto de todos os elementos que pertencem ao conjunto A ou ao conjunto B.

A B = { x / x A ou x B }

Representação em diagrama:


16

Exemplo: Se A = {a,e,i,o} e B = {3,4} então A B ={a, e, i, o, 3, 4}.

Propriedades:

• ABBA ∪=∪ • AAA =∪ • AA =∪φ

INTERSECÇÃO )(∩ Dados dois conjuntos A e B chama-se intersecção de A com B o conjunto formado por todos os elementos comuns a A e a B.

A B = { x: x A e x B } Representação em diagrama:

Exemplo:

Se A = {a, e, i, o, u} e B = {b, c, a, d, u} então A B = { a,u }.

Se A = {a,e,i,o,u} e B = {1,2,3,4} então A B = Ø.

Propriedades:

• ABBA ∩=∩ • AAA =∩ • φφ =∩A • ABABA =∩⇔⊂

DIFERENÇA

A diferença entre os conjuntos A e B é o conjunto de todos os elementos que pertencem ao conjunto A e não pertencem ao conjunto B.


17

A - B = {x / x A e x B} Representação em diagrama: Exemplo:

Se A = {1, 2, 3, 4, 5} e B = {4, 5, 7, 8, 9} então A – B = { 1, 2, 3 } e B – A = {7, 8, 9}.

Propriedade:

• ABBA −≠− • φ=− AA • AA =−φ • φφ =− A

COMPLEMENTAR )( ABC

Dados dois conjuntos, A e B, tal que BA ⊂ , chama-se complementar de A em relação a B a diferença B – A .

ABC AB −=

Representação em diagrama:

A região colorida representa ABC


18

Exemplo: Se A = { 2; 3; 4} e B = { 1; 2; 3; 4; 5; 6 }, então ABC AB −= = {1; 5; 6 }

Propriedades:

• φ=AAC

• ACB =φ

Obs. AAAUC AU ==−= '

LEIS DE MORGAN

O complementar da reunião de dois conjuntos A e B é a interseção dos complementares desses conjuntos.

(A B)c = Ac Bc

1) O complementar da reunião de uma coleção finita de conjuntos é a interseção dos complementares desses conjuntos.

(A1 A2 ... An)c = A1c A2

c ... Anc

2) O complementar da interseção de dois conjuntos A e B é a reunião dos complementares desses conjuntos.

(A B)c = Ac Bc

3) O complementar da interseção de uma coleção finita de conjuntos é a reunião dos complementares desses conjuntos.

(A1 A2 ... An)c = A1c A2

c ... Anc

6. NÚMERO DE ELEMENTOS DA UNIÃO DE DOIS CONJUNTOS Sejam A e B dois conjuntos e: n(A) = número de elementos do conjunto A n(B) = número de elementos do conjunto B

)()()()( BAnBnAnBAn ∩−+=∪

Se φ=∪ )( BAn , ou seja, A e B são dois conjuntos disjuntos, temos:


19

)()()( BnAnBAn +=∪

CONJUNTOS NUMÉRICOS

Conjunto é o agrupamento de elementos que possuem características semelhantes. Os Conjuntos numéricos especificamente são compostos por números. Divididos em: • Conjunto dos Naturais (N), • Conjunto dos Inteiros (Z), • Conjunto dos Racionais (Q), • Conjunto dos Irracionais (I), • Conjunto dos Reais (R).

CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS ( N )

Pertencem ao conjunto dos naturais os números inteiros positivos incluindo o zero. Representado pela letra N maiúscula. Os elementos dos conjuntos devem estar sempre entre chaves. N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, ... } - Quando for representar o Conjunto dos Naturais não – nulos (excluindo o zero) devemos colocar * ao lado do N. Representado assim: N* = {1, 2,3 ,4 ,5 ,6 ,7 ,8 ,9 ,10 ,11 ,12, ... } A reticência indica que sempre é possível acrescentar mais um elemento. N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...} ou N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ... } Qualquer que seja o elemento de N, ele sempre tem um sucessor. Também falamos em antecessor de um número. • 6 é o sucessor de 5. • 7 é o sucessor de 6. • 19 é antecessor de 20. • 47 é o antecessor de 48. Como todo número natural tem um sucessor, dizemos que o conjunto N é infinito. Quando um conjunto é finito? O conjunto dos números naturais maiores que 5 é infinito: {6, 7, 8, 9, ...} Já o conjunto dos números naturais menores que 5 é finito: {0, 1, 2, 3, 4} Veja mais alguns exemplos de conjuntos finitos. • O conjunto dos alunos da classe.

http://www.brasilescola.com/matematica/numeros-naturais.htm


20

• O conjunto dos professores da escola. • O conjunto das pessoas que formam a população brasileira.

CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS ( Z )

Pertencem ao conjunto dos números inteiros os números negativos, os números positivos e o zero. Fazendo uma comparação entre os números naturais e os inteiros percebemos que o conjunto dos naturais está contido no conjunto dos inteiros. N = { 0,1,2,3,4,5,6, ... } Z = { ... , -3,-2,-1,0,1,2,3,4, ... } N Z

O conjunto dos números inteiros é representado pela letra Z maiúscula. Os números positivos são representados com o sinal de (+) positivo na frente ou com sinal nenhum (+2 ou 2), já os números negativos são representados com o sinal de negativo (-) na sua frente (-2). ►Os números inteiros são encontrados com freqüência em nosso cotidiano, por exemplo: ♦ Exemplo: Um termômetro em certa cidade que marcou 10°C acima de zero durante o dia, à noite e na manhã seguinte o termômetro passou a marcar 3°C abaixo de zero. Qual a relação dessas temperaturas com os números inteiros? Quando falamos acima de zero, estamos nos referindo aos números positivos e quando falamos dos números abaixo de zero estamos referindo aos números negativos. +10° C ------------- 10° C acima de zero - 3° C --------------- 3° C abaixo de zero ♦ Exemplo 2: Vamos imaginar agora que uma pessoa tem R$500,00 depositados num banco e faça sucessivas retiradas: • dos R$500,00 retira R$200,00 e fica com R$300,00 • dos R$300,00 retira R$200,00 e fica com R$100,00 • dos R$100,00 retira R$200,00 e fica devendo R$ 100,00

http://www.brasilescola.com/matematica/numeros-naturais.htm


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A última retirada fez com que a pessoa ficasse devendo dinheiro ao banco. Assim: Dever R$100,00 significa ter R$100,00 menos que zero. Essa dívida pode ser representada por – R$100,00. ►Oposto de um número inteiro

O oposto de um número positivo é um número negativo simétrico. Por exemplo: o oposto de + 2 é - 2; o oposto de - 3 é + 3.

►O conjunto dos números inteiros possui alguns subconjuntos: - INTEIROS NÃO – NULOS São os números inteiros, menos o zero. Na sua representação devemos colocar * ao lado do Z.

Z* = {..., -3, -2, -1, 1, 2, 3,...} - INTEIROS NÃO POSITIVOS São os números negativos incluindo o zero. Na sua representação deve ser colocado - ao lado do Z.

−Z = {..., -3, -2, -1, 0} - INTEIROS NÃO POSITIVOS E NÃO – NULOS São os números inteiros do conjunto do Z_ excluindo o zero. Na sua representação devemos colocar o _ e o * ao lado do Z.

*−Z = {..., -3, -2, -1}

- INTEIROS NÃO NEGATIVOS São os números positivos incluindo o zero. Na sua representação devemos colocar o + ao lado do Z.

+Z = { 0,1 ,2 ,3, 4,...} O Conjunto Z + é igual ao Conjunto dos N - INTEIROS NÃO NEGATIVOS E NÃO - NULOS


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São os números do conjunto Z+, excluindo o zero. Na sua representação devemos colocar o + e o * ao lado do Z.

*+Z = {1, 2, 3, 4,...}

O Conjunto *

+Z é igual ao Conjunto N*

CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS ( Q )

Os números decimais são aqueles números que podem ser escritos na forma de fração. Podemos escrevê-los de algumas formas diferentes: Por exemplo:

♦ Em forma de fração ordinária: ; ; e todos os seus opostos.

Esses números tem a forma ba

com a , b Z e b ≠ 0.

Dessa forma podemos dizer que N Z Q.

♦ Números decimais com finitas ordens decimais ou extensão finita:

http://www.brasilescola.com/matematica/numeros-racionais.htm


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Esses números têm a formaba

com a , b Z e b ≠ 0.

♦ Número decimal com infinitas ordens decimais ou de extensão infinita periódica. São dízimas periódicas simples ou compostas:

As dízimas periódicas de expansão infinita, que podem ser escritas na formaba

: com a, b

Z e b ≠ 0. ► O conjunto dos números racionais é representado pela letra Q maiúscula.

Q = { x =ba

, com a e b ∈ Z*}

►Outros subconjuntos de Q: Além de N e Z, existem outros subconjuntos de Q. Q* ---------- É o conjunto dos números racionais diferentes de zero. Q+ ---------- É o conjunto dos números racionais positivos e o zero. Q- ----------- É o conjunto dos números racionais negativos e o zero. Q*

+ ---------- É o conjunto dos números racionais positivos. Q*

- ----------- É o conjunto dos números racionais negativos.

► Representação Geométrica


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CONJUNTO DOS NÚMEROS IRRACIONAIS ( I )

O número irracional é aquele que não admite a representação em forma de fração (contrário dos números racionais) e também quando escrito na forma de decimal ele é um número infinito e não periódico. Exemplo • 0,232355525447... é infinito e não é dízima periódica (pois os algarismos depois da vírgula não repetem periodicamente), então é irracional. • 2,102030569... não admite representação fracionária, pois não é dízima periódica. • Se calcularmos em uma calculadora veremos que √2 , √3 , π são valores que representam números irracionais. A representação do conjunto dos irracionais é feita pela letra I maiúscula.

CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS

O conjunto dos números reais é uma expansão do conjunto dos números

racionais que engloba não só os inteiros e os fracionários, positivos e negativos, mas também todos os números irracionais.

Os números reais são números usados para representar uma quantidade contínua (incluindo o zero e os negativos). Pode-se pensar num número real como uma fração decimal possivelmente infinita, como 3,141592(...). Os números reais têm uma correspondência biunívoca com os pontos de uma reta.

O conjunto dos números reais é a união do conjunto dos racionais com os irracionais.

R = Q U I

http://www.brasilescola.com/matematica/numeros-racionais.htm

http://pt.wikipedia.org/wiki/Conjunto

http://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmeros_racionais

http://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmeros_racionais

http://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_inteiro

http://pt.wikipedia.org/wiki/Fra%C3%A7%C3%A3o

http://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmeros_irracionais

http://pt.wikipedia.org/wiki/Zero

http://pt.wikipedia.org/wiki/Recta


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Sendo que Q ∩ I = , pois se um número é racional ele não é irracional e vice-versa. Sabemos que N Z Q R

Além desses subconjuntos, o conjunto dos reais tem mais alguns importantes subconjuntos: R* -------- Conjunto dos números reais não nulos. R+ -------- Conjunto dos números reais positivos e o zero. R*

+ ------- Conjunto dos números reais positivos. R - -------- Conjunto dos números reais negativos e o zero. R*

- -------- Conjunto dos números reais negativos menos o zero.

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Apostila de Análise Combinatória e Teoria dos conjuntos (fundamentos)