22
ASSOCIAÇÃO DE ENSINO E CULTURA “PIO DÉCIMO” S/C LTDA FACULDADE PIO DÉCIMO CURSO DE ENGENHARIA ELÉTRICA DISCIPLINA: SISTEMAS ELÉTRICOS II ARACAJU – SERGIPE CÁLCULO DE REDE Aracaju, Janeiro de 2009

Apostila de Calculo de Rede

Embed Size (px)

DESCRIPTION

ok

Citation preview

Page 1: Apostila de Calculo de Rede

ASSOCIAÇÃO DE ENSINO E CULTURA “PIO DÉCIMO” S/C LTDA FACULDADE PIO DÉCIMO

CURSO DE ENGENHARIA ELÉTRICA DISCIPLINA: SISTEMAS ELÉTRICOS II

ARACAJU – SERGIPE

CÁLCULO DE REDE

Aracaju, Janeiro de 2009

Page 2: Apostila de Calculo de Rede

Cálculo de Rede

Prof. José Valter Alves Santos 2

1. INTRODUÇÃO

O desenvolvimento contínuo dos computadores digitais de grande capacidade e alta velocidade

acarretou uma mudança na relativa importância das várias técnicas de solução de redes de grande porte. A

solução por computação digital é dependente das equações das redes. Conseqüentemente, é importante

para o engenheiro da área de sistema de potência entender a formulação das equações das quais, com o

objetivo de obter uma solução, é desenvolvido um programa a ser utilizado por computador.

2. EQUIVALÊNCIA DE FONTES

Um procedimento de grande utilidade em alguns problemas de análise de rede é o da substituição

de uma fonte de corrente constante em paralelo com uma impedância por uma fem em série com uma

impedância. As duas partes da Figura 1 ilustram os circuitos. Ambas as fontes com suas impedâncias

associadas estao conectadas a uma rede de dois terminais tendo uma impedância de entrada ZL. A carga

pode ser considertada como uma rede passiva, ou seja, quaisquer fem na rede de carga são consideradas

curto-circuito e qualquer fonte de corrente como circuito aberto.

Para o circuito possuindo fem Eg constante e impedância em série Zg, Figura 1(a), a tensao na carga

é:

ZggL VEV −= (1)

Figura 1 (a)

Onde IL é a corrente de carga.

Para um circuito possuindo uma fonte de corrente constante IS com uma impedância paralela ZP,

Figura 1(b), a tensão na carga é: ( ) PLPSPLSL ZIZIZIIV −=−= (2)

As duas fontes e suas impedâncias associadas serão equivalentes se a tensão VL for a mesma em

ambos os circuitos. Naturalmente, iguais valores de VL significarão iguais valores de corrente de carga IL

para cargas idênticas.

Figura 1 (b)

IS

Page 3: Apostila de Calculo de Rede

Cálculo de Rede

Prof. José Valter Alves Santos 3

A comparação das equações (1) e (2) mostra que VL será idêntica em ambos os circuitos e,

consequentemente, a fem e sua impedância em série poderão ser intercambiáveis com a fonte de corrente

e sua impedânica paralela desde que

PSg ZIE = (3)

e

pg ZZ = (4)

Para o cálculo de rede estas condições de equivalência são importantes para usarmos o principio da

superposição, aplicando a uma rede ativa como vimos anteriormente. Quando fonte de tenção

curtocircuitamos a fonte e quando fonte de corrente abrirá o circuito substituindo a mesma.

3. EQUAÇÕES DE NÓS

As junções formadas quando dois ou mais elementos puros (R, L C, fonte ideal de tensão ou de

corrente) são ligados um ao outro nos seus terminais são chamadas nó. A formulação sistemática das

equações baseada nos nós de um circuito pela aplicação da Lei de Kirchhoff sobre corrente é a base de

algumas excelentes equações computacionais de problemas em sistema de potência. Geralmente é

conveniente considerar só aqueles nós que estão conectados a mais de dois elementos, denominando-se

este ponto junção de nós maiores.

Figura 2 – Representação do sistema de 4 nós

Com o objetivo de examinar algumas características das equações de nós, começaremos com o

diagrama unifilar de um sistema simples indicado na Figura 3. Os geradores estão ligados através de

transformadores às barras de alta tensão 1 e 3, e estão alimentando um motor síncrono na barra 2. Para

propósitos de análise, todas as máquinas ligadas a uma barra são tratadas como uma só máquina e

representadas por uma única fem e uma reatância em série. O diagrama de reatância, com as reatâncias

especificadas por-unidade, está indicado na Figura 4. Os nós estão indicados por pontos, mas somente aos

nós maiores serão indicados números. Se o circuito é redesenhado com as fems e as impedâncias em série

conectando-as aos nós maiores substituídos por fontes equivalentes de corrente e admitâncias paralelas, o

resultado é:

Page 4: Apostila de Calculo de Rede

Cálculo de Rede

Prof. José Valter Alves Santos 4

Figura 3 – Diagrama de Reatâncias para o sistema da Figura 2

OBS:Valores em por-unidade para as admitâncias são usados em vez dos valores das impedâncias.

Notação com um único subscrito será usada para designar a tensão de cada barra com respeito

ao neutro tomado como nó de referência 0. Aplicando a Lei de Kirchhoff sobre corrente ao nó 1 com

corrente para o nó vindo da fonte e igualadas as correntes para fora do nó temos: (Ver Figura 4)

I1 = V1Ya +(V1 – V3)Yf + (V1 – V4)Y4 (5)

E para o nó 4

0 = (V4 – V1)Yd + (V4 – V2)Yh + (v4 – V3)Ye (6)

Rearranjando estas equações resulta

I1 = V1(Ya + Yf + Yd) – V3Yf – V4Yd (7)

0 = - V1 Yd – V2 Yh – V3 Ye + V4(Yd + Ye + Yh) (8)

Equações semelhantes podem ser formadas para os nós 2 e 3, e as quatro equações podem ser

resolvidas simultaneamente para as tensões V1, V2, V3 e V4. Todas as correntes dos ramos podem ser

encontradas quando estas tensões são conhecidas e ainda o número necessário de equações de nós é igual

ao número de nós da rede menos um. Uma equação de nó, lançada para o nó de referência não

acrescentará nenhuma informação. Em outras palavras, o número de equações de nós é igual ao número de

nós menos um.

Não escrevemos as outras duas equações, porque já podemos ver como formular as equações de

nós numa notação padrão. Nas Equações (7) e (8) é claro que a corrente fluindo para a rede e vindo das

fontes de corrente conectadas a um nó é igualada à soma de vários produtos.

Page 5: Apostila de Calculo de Rede

Cálculo de Rede

Prof. José Valter Alves Santos 5

Figura 4: Circuito da Figura 3 com as fontes de tensão substituidas por fontes equivalentes de corrente. Os valores indicados

estão em p.u.

Para qualquer nó, um dos produtos é a tensão daquele nó vezes a soma de todas as admitâncias

que terminam nele. Este produto leva em conta a corrente que flui do nó se a tensão é zero nos outros nós.

Os outros produtos são iguais ao negativo da tensão nos outros nós, vezes a admitância ligada diretamente

ao outro nó e o nó para o qual a equação está sendo formulada. Conseqüentemente, no nó 1, um dos

produtos é –V3Vf, que leva em conta a corrente para fora do nó 1, quando todas as outras tensões são zero,

a não ser a do nó 3.

A forma-padrão para as quatro equações independentes na forma matricial é:

⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢

×

⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢

=

⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢

4

3

2

1

44434241

34333231

24232221

14131211

4

3

2

1

VVVV

YYYYYYYYYYYYYYYY

IIII

Y (9)

A simetria das equações nesta forma torna-se fácil de memorizar e sua extensão para qualquer

número de nós é evidente. A ordem dos subscritos Y segue o conceito de efeito-causa; isto é, o primeiro

subscrito é o do nó para o qual as correntes estão sendo expressas e o segundo refere-se ao nó da tensão

causadora desta componente da corrente. A matriz Y é designada por Ybarra e chama-se matriz admitância

de barramento. Esta matriz é simétrica com relação à diagonal. As admitâncias Y11, Y22, Y33 e Y44 são

chamadas admitâncias próprias de cada nó e cada uma é igual à soma de todas as admitâncias concorrendo

ao nó identificadas pela repetição de subscritos. As outras admitâncias são as admitâncias mútuas dos nós e

cada uma é igual ao negativo da soma de todas as admitâncias ligadas diretamente entre os nós e

identificadas pelos duplos subscritos. Para a rede da Figura 4, a admitância mútua Y13 é igual a – Yf. Alguns

autores chamam as admitâncias próprias e mútuas de nós de auto admitância e admitância de transferência

de nós.

Concluimos então que o sistema de equações para o circutio da Figura 4 é:

-j 8,0

Page 6: Apostila de Calculo de Rede

Cálculo de Rede

Prof. José Valter Alves Santos 6

⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢

×

⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢

++−−−−+++−−−−++−−++

=

⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢

4

3

2

1

3

2

1

00

0 VVVV

YYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYY

III

hedehd

egfecgf

hghgb

dffda

(10)

A expressão geral para a fonte de corrente alimentando o nó k de uma rede com N nós

independentes, isto é, N barras sem contar o neutro, é:

∑=

=N

nnknK VYI

1 (11)

Tal equação deve ser escrita para cada uma das N barras para as quais a tensão da rede é

desconhecida. Se a tensão é conhecida em algum nó, a equação não é escrita para aquele nó. Por

conseguinte, se tanto o módulo como o ângulo da tensão são conhecidos em duas das barras de alta tensão

de nosso exemplo, então somente duas equações serão necessárias. Equações de nós podem ser escritas

para as outras duas barras e somente uma delas terá tensão desconhecida. A fem conhecida e a

impedância em série não precisam ser substituídas pela fonte equivalente de corrente se um dos terminais

do elemento fem está ligado ao nó de referência, neste caso o nó que separa a fem da impedância em série

é aquele onde a tensão é conhecida.

A formação da matriz admitância dá-se da seguinte forma:

∑= ijii yY , j assumindo o valor de todas as barras ligadas diretamente a barra i.

ijij yY −= , se existe uma linha ligando diretamente a barra i à barra j.

0=ijY , se não existe uma linha ligando diretamente a barra i à barra j.

Exemplo 1: Escreva na forma matricial, as equações de nós necessárias para calcular as tensões dos nós,

numerados da Figura 4 . A rede é equivalente àquela da Figura 3 . As fems indicadas na Figura 14 são º87,365,1,º05,1 −∠=∠= ba EE e º05,1 ∠=cE , todos em por-unidade.

Solução: As fontes de corrente .

I1 = I3 = ..20,10902,125,105,1 00

0

upjj

−=−∠=∠

I2= ..96,072,087,1262,125,1

87,365,1 00

upjj

−−=−∠=−∠

As admitâncias próprias em por-unidade são:

0,180,80,50,53,158,00,85,20,4

3,88,05,20,58,98,00,40,5

44

33

22

11

jjjjYjjjjjY

jjjjYjjjjY

−=−−−=−=−−−−=

−=−−−=−=−−−=

e as admitâncias mútuas em por unidade são:

Page 7: Apostila de Calculo de Rede

Cálculo de Rede

Prof. José Valter Alves Santos 7

Y12=Y21=0 Y23=Y32=+j2,5

Y13=Y31=+j4,0 Y24=Y42=+j5,0

Y14=Y41=+j5,0 Y34=Y43=+j8,0

As equações de nós na forma matricial são:

⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢

×

⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢

−−

−−

=

⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢

−−−−

4

3

2

1

0,180,80,50,50,83,155,20,40,55,23,80,00,50,40,08,9

0020,1096,072,020,10

VVVV

jjjjjjjjjjjjjjjj

jjj

A matriz quadrada acima é identificada como a matriz admitância Ybarra.

Exemplo 2: Resolva as equações de nós do exemplo precedente com o objetivo de encontrar as tensões

de barra pela inversão da matriz admitância.

Solução: Multiplicando ambos os lados da equação matricial do exemplo 1 pela inversa da matriz

admitância de barra ( determinada através do uso de programa-padrão para computação digital) resulta:

⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢

×

⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢

=

⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢

−−−−

×

⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢

4

3

2

1

1000010000100001

0020,1096,072,020,10

4733,04232,04126,04142,04232,04558,03922,04020,04126,03922,04872,03706,04142,04020,03706,04774,0

VVVV

jjj

jjjjjjjjjjjjjjjj

A matriz quadrada acima, obtida pela inversão da matriz admitância de barra, é chamada matriz

impedância de barra Zbarra. Executando a multiplicação de matrizes indicada, resulta:

⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢

=

⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢

−−−−

4

3

2

1

2971,04009,12824,04059,13508,03830,12668,04111,1

VVVV

jjjj

e daí retiramos as tensões de nós que são:

..º97,11432,12971,04009,1

..º36,11434,12824,04059,1..º24,14427,13508,03830,1..º71,10436,12668,04111,1

4

3

2

1

upjVupjVupjVupjV

−∠=−=−∠=−=−∠=−=−∠=−=

4. PARTIÇÃO DE MATRIZ

Um método muito útil de manipulação de matriz, chamado partição, consiste em identificar várias

partes de uma matriz como submatrizes que serão tratadas como simples elementos quando da aplicação

das regras usuais de multiplicação e adição. Por exemplo, assuma a matriz 3 x 3 onde:

Page 8: Apostila de Calculo de Rede

Cálculo de Rede

Prof. José Valter Alves Santos 8

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

⎡=

333231

232221

131211

aaaaaaaaa

A

A matriz é particionada em quatro submatrizes pelas linhas tracejadas horizontal e verticalmente. A

matriz pode ser escrita como:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

G F ED

A (13)

onde as submatrizes são:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

2221

1211

a aa a

D ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

23

13

aa

E

[ ]3231 a aF = G = [a33]

Para indicar os passos para a multiplicação em termos de submatrizes consideramos que A deve ser

multiplicada por uma outra matriz B para formar o produto C, onde:

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

⎡=

31

21

11

bbb

B (14)

De acordo com a partição acima:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

JH

B (15)

Onde as submatrizes são:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

21

11

bb

H e J = [b31]

Então o produto é:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡×⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡==

JH

GFED

BAC . (16)

As submatrizes são consideradas como simples elementos para obter:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++Η

=GJFHEJD

C (17)

O produto é finalmente determinado, executando-se as multiplicações e adições indicadas para as

submatrizes.

Se C é Composta das submatrizes M e N tal que:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

NM

C (18)

e comparando com equação ( * ) resulta:

GJFHNEJDHM

+=+=

(19)

Se desejarmos determinar somente a submatriz N, teremos :

(12)

Page 9: Apostila de Calculo de Rede

Cálculo de Rede

Prof. José Valter Alves Santos 9

[ ]

313321321131

313321

1132 31 a a

bababa

babb

N

++=

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡×=

(20)

As matrizes a serem multiplicadas devem ser compatíveis originalmente. Cada linha de partição

vertical entre as colunas r e (r + 1) do primeiro fator requer uma linha de partição horizontal entre as linhas

r e (r + 1) do segundo fator para que se efetue a multiplicação de modo conveniente. Linhas de partição

horizontal podem ser traçadas entre quaisquer linhas da matriz do primeiro fator e linhas vertical da

partição entre quaisquer colunas do segundo fator ou ainda omitidas em uma delas ou em ambas.

5. ELIMINAÇÃO DE NÓS POR ÁLGEBRA MATRICIAL

Em sistemas de potência podemos eliminar os nós, nas barras de potência, por manipulação de

matrizes da álgebra vetorial, desde que, neste não entre ou saia corrente para a rede.

Consideremos a equação seguinte, onde I e V são matrizes colunas e Ybarra é uma matriz quadrada

e simétrica.

[ ] [ ] [ ]VYI barra ×= (21)

As matrizes coluna da equação acima pode ser arranjada de tal maneira que os elementos

associados com os nós a serem eliminados estejam nas linhas inferiores das matrizes. Os elementos das

matrizes quadradas de admitância são colocados em concordância. As matrizes colunas são particionadas de

tal maneira que os elementos associados com os nós a serem eliminados são separados dos outros

elementos. A matriz admitância é particionada de tal maneira que os elementos identificados somente com

os nós a serem eliminados estejam separados dos outros elementos por linhas horizontais e verticais.

Quando particionadas de acordo com estas regras, a equação 21 torna-se:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡×⎥

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎤⎢⎣

X

AT

X

A

VV

MLLK

II

(22)

onde Ix é a submatriz composta das correntes entrando no nó a ser eliminado e Vx é a submatriz composta

das tensões destes nós. Obviamente, cada elemento de Ix é zero, senão os nós não poderiam ser

eliminados. As admitâncias próprias e mútuas compondo K são aquelas identificadas somente com os nós

retidos. M é composta de admitâncias próprias e mútuas identificadas somente com os nós a serem

eliminados. Esta matriz é uma matriz quadrada de ordem igual ao numero de ns a serem eliminados. L e

sua transposta Lt são compostas somente das admitâncias mútuas comuns a algum nó a ser retido e a

outro que será eliminado.

Executando a multiplicação indicada na equação 22, temos as equações: [ ] [ ] [ ]XAA LVKVI += (23)

[ ] [ ] [ ]XAT

X MVVLI += (24)

Como todos os elementos de Ix são zeros, subtraindo LtVA nos dois lados da equação 24, e pré-

multiplicando ambos os lados pela inversa de M, representada por M-1, resulta em:

(Ix - LTVA).M-1 = (LTVA + MVX – LTVA).M-1

Page 10: Apostila de Calculo de Rede

Cálculo de Rede

Prof. José Valter Alves Santos 10

- LTVA . M-1 = MVX . M-1

- LTVA . M-1 = M0 . VX

VX = - M-1LTVA (25)

Esta expressão para Vx substituída na equação 23, resulta:

( )AT

AA

XAA

VLMLKVILVKVI

×−+=

+=

( ) AT1

A VLLMKI −−= (26)

que é uma equação de nós tendo como matriz admitância:

T1

barra LLMKY −−= (27)

Estas matrizes admitâncias permitem-nos construir o circuito com os nós indesejáveis já eliminados.

O método de partição de matrizes é um método geral, para a eliminação de um grande número de

nós, e mais adequada a soluções por computador, devido a que, quanto maior for a quantidade de nós a

serem retirados, maior será a matriz inversa de M, e mais difícil será sua resolução manual.

A inversão da matriz pode ser evitada fazendo a eliminação de um nó por vez, e o processo é

bastante simples. O nó a ser eliminado deve ser o de numeração mais alta e provavelmente uma

renumeração deva ser necessária. A matriz M torna-se de um só elemento e M-1 é a recíproca deste

elemento. A matriz admitância original particionada nas submatrizes K, L, Lt e M é:

K L

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

=

nnnjn

knkjk

nj

barra

YYY

YYY

YYY

Y

KK

MKMKM

KK

MKMKM

LK

1

1

1111

(28)

LT M

A matriz reduzida ( n - 1 ) x ( n - 1 ) será, de acordo com a equação 27:

[ ]KK

M

M

KMKM

KK

KMKM

KK

nj1nnnkn

n1

kj1k

j111

barra YYY1

Y

Y

YY

YY

Y ×⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡×

⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢

⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢

= (29)

E quando a manipulação indicada das matrizes for executada, o elemento na linha k e coluna j da

matriz resultante (n-1) x (n-1) será:

nn

njknkjkj Y

YYYY

originalnova

×−=

)()( (30)

Page 11: Apostila de Calculo de Rede

Cálculo de Rede

Prof. José Valter Alves Santos 11

Cada elemento na matriz original K deve ser modificado. Quando a equação 5.8 é comparada à

equação 30 pode-se ver como proceder.

Multiplicamos o elemento da última linha e da mesma coluna com o elemento sendo modificado.

Dividimos, então, este produto por Ynn e subtraímos o resultado ao elemento sendo modificado.

Exemplo 3: Observe o circuito abaixo. Se o gerador e o transformador da barra 3 são removidos,

eliminando os nós 3 e 4 pelo procedimento algébrico-matricial descrito, encontre o circuito equivalente com

aqueles nós eliminados.

Dados: puEpuE ba º87,365,1, º05,1 −∠=∠= e puEc º05,1 ∠=

FIGURA 5

Para eliminar um nó por vez:

A matriz admitância deste circuito está representada abaixo, e particionando para eliminar as barra

4 e 3, temos:

Eliminando o nó 4:

⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢

−−

−−

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

1885583,155,2455,23,805408,9

Kj

MLL

Y Tbarra

T1

barra LLMKY −−=

[ ]855.181.

855

.3,155,24

5,23,80408,9

. jjjjYbarra ×⎥⎦⎤

⎢⎣⎡−

×⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

⎡−⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

−−

−=

Page 12: Apostila de Calculo de Rede

Cálculo de Rede

Prof. José Valter Alves Santos 12

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

−−

−=

78,1170,420,670,495,635,120,635,145,8

.jYbarra

Poderíamos ter encontrado a nova matriz utilizando a equação 30

nn

njkn

originalkjnovakj YYY

YY×

−=)()(

, o que resultaria em:

45,818

558,9 )(11)(1144

4114)(11

)(11 jY

jjjjY

YYYYY novanovaoriginalnova

−=⇔−×

−−=⇔×

−=

35,118

550 )(12)(1244

4124)(12)(21)(12 jY

jjjY

YYYYYY novanovaoriginalnovanova =⇔

−×

−=⇔×

−==

20,618

554 )(13)(1344

4134)(13)(31)(13 jY

jjjjY

YYYYYY novanovaoriginalnovanova =⇔

−×

−=⇔×

−==

e assim sucessivamente, resultando na matriz Ybarra mostrada acima.

Eliminando o nó 3:

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

−−

−=⎥

⎤⎢⎣

⎡=

78,1170,420,670,495,635,120,635,145,8

Kj

MLL

Y Tbarra

[ ]70,420,678,11

170,420,6

95,635,135,145,8

jjjjYbarra ×⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

×⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−⎥

⎤⎢⎣

⎡−

−=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−=

12,577,377,323,5

jYbarra

Se utilizarmos a equação 30, teremos:

23,578,11

20,620,645,8 )(11)(1133

3113)(11)(11 jY

jjjjY

YYYYY novanovaoriginalnova −=⇔

−×

−−=⇔×

−=

77,378,11

20,670,435,1 )(12)(1233

3123)(12)(21)(12 jY

jjjjY

YYYYYY novanovaoriginalnovanova =⇔

−×

−=⇔×

−==

12,578,11

70,470,495,6 )(22)(2233

3223)(22)(22 jY

jjjjY

YYYYY novanovaoriginalnova −=⇔

−×

−−=⇔×

−=

Que resulta na matriz ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−=

12,577,377,323,5

jYbarra

Podemos também eliminar os nós 3 e 4 ao mesmo tempo, procedendo da seguinte maneira:

Particionando a matriz admitância como está representada abaixo, temos:

⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢

−−

−−

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

1885583,155,2455,23,805408,9

Kj

MLL

Y Tbarra

Page 13: Apostila de Calculo de Rede

Cálculo de Rede

Prof. José Valter Alves Santos 13

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡×

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−×⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−⎥

⎤⎢⎣

⎡−

−=

555,24

18883,15

155,254

3,8008,9

jj

jjYbarra

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡×⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−−−

×⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−⎥

⎤⎢⎣

⎡−

−=

555,24

0722,00378,00378,00852,0

55,254

3,8008,9

jjjjYbarra

finalmente:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−=

12,577,377,323,5

jYbarra

Obs: Este método torna-se mais difícil de ser resolvido manualmente à medida que o se aumenta à

quantidade de nós a serem eliminados, devido ao aumento da complexidade da resolução da matriz inversa

de M.

Um exame da matriz indica-nos a admitância entre as duas barras restantes, 1 e 2: é –j3,77 e sua

recíproca é a impedância em por unidade entre estas barras. A admitância entre cada uma destas barras e a

referência é: ..46,1)77,3(23,5 upjjj −=−−−

O circuito resultante está indicado na Figura 6. Quando as fontes de correntes são convertidas nas

suas equivalentes fontes de f.e.m. então o circuito, com impedâncias em por unidade, é aquele da Figura 7.

Assim, a corrente é:

Y1

ZZV

I =∴=

( ) ( )( ) ( ) ..44,185798,0

685,0265,0685,0º87,365,1º05,1 up

jI −∠=

++−∠−∠

=

Figura 6

Figura 7

Page 14: Apostila de Calculo de Rede

Cálculo de Rede

Prof. José Valter Alves Santos 14

6.MODIFICAÇÃO DE UMA MATRIZ DE IMPEDÂNCIA DE BARRA

Como Zbarra é uma importante ferramenta na análise de sistema de potência, será estudada uma

forma de alterá-la para adicionar novos barramentos ou conectar novas linhas às barras atuais. Pode ser

criada uma nova Ybarra e invertê-la, mas métodos diretos de modificação de Zbarra são possíveis e são muito

mais simples do que uma inversão de matriz. Aprendendo-se como modificar Zbarra , podemos cria-la

diretamente.

Há várias formas de alteração relacionadas a adição de um ramo de impedância Zb e a uma rede

com Zbarra inicial conhecida e representada por Zorig , n x n.

As barras serão identificadas por números ou pelas letras h, i, j e k. A letra “p” indicará uma nova

barra a ser incluída à rede, transformando Zorig em uma matriz (n+1) x (n+1). Quatro casos serão

considerados.

1º CASO: Adição de Zb a partir da barra p até a de referência; observando que o acréscimo desta

barra sem nenhuma ligação com as outras barras da rede não modifica as tensões de barra iniciais, mesmo

com uma corrente Ip sendo injetada na nova barra. A tensão Vp da nova barra é igual a IpZb.

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

P

n

novaZbarra

bP

N

II

II

Z

Zorig

VV

VV

M

4444 34444 21L

MM2

1

)(

2

1

0000

00

Observa-se que a matriz coluna das correntes multiplicada pela nova matriz Zbarra não modificará as tensões

da rede inicial.

2º CASO: Adição de Zb partir de uma nova barra até uma barra existente k. A passagem da

corrente Ip pela barra “p” provocará a corrente que entra na rede inicial, na barra k, que será a soma da

corrente injetada na barra k com a corrente IP que flui pela impedância Zb.

A corrente Ip que vai para a barra k incrementará a tensão original Vk com uma tensão Ip Zkk, ou

seja:

Vk(nova) = Vk(orig) + Ip Zkk

Vp será maior do que Vk por um valor de tensão Ip Zb:

Vp = Vk(orig) + Ip Zkk +Ip Zb

Vp = I1 Zk1 + I2 Zk2 + ... + In Zkn + Ip(Zkk+Zb )

Page 15: Apostila de Calculo de Rede

Cálculo de Rede

Prof. José Valter Alves Santos 15

Figura 10: Acréscimo de uma nova barra p ligada através de uma impedância Zb à barra k existente.

Como Zbarra deve ser uma matriz quadrada simétrica em torno da diagonal principal, devemos

adicionar uma nova coluna, que é transposta da nova linha. A nova coluna considera os acréscimos de

todas as tensões de barra em decorrência da corrente Ip.

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

+

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

P

n

novaZbarra

bkkknKK

nk

k

k

P

N

II

II

ZZZZZZ

ZorigZZ

VV

VV

M

444444 3444444 21L

MM2

1

)(

21

2

1

2

1

(44)

Observa-se que os primeiros n elementos da nova linha são os elementos da linha k de Zorig e os

primeiros n elementos da nova coluna são os elementos da coluna k de Zorig.

3º CASO: Acréscimo de Zb a partir de uma barra existente k até a barra de referência. Para tanto,

deve-se adicionar uma nova barra p conectada à barra k através de Zb. Depois disso, faz-se um curto-

circuito entre a barra k e a de referência, tornando Vp igual a zero, com a finalidade de obter a mesma

equação matricial dada por (44), com a diferença de que Vp passa a ser nula.

São criadas, então, uma nova linha e uma nova coluna da mesma forma como no item b,

eliminando em seguida a linha (n + 1) e a coluna (n + 1), fato que é possível pela existência do zero na

coluna das tensões. Será usado o método desenvolvido nas Equações (28) a (30), para encontrar cada

elemento Zki da nova matriz:

bkk

innhorighinovahi ZZ

ZZZZ

+−= ++ )1()1(

)()( (45)

4º CASO: Acréscimo de Zb entre duas barras existentes, j e k. Analisando a Figura 11, percebe-se

que a corrente Ib está partindo da barra k até a j, através de Zb. As tensões de nós podem ser obtidas:

V1 = Z11 I1 + ...+ Z1j (Ij + Ib) + Z1k(Ik - Ib) + ... (46)

Page 16: Apostila de Calculo de Rede

Cálculo de Rede

Prof. José Valter Alves Santos 16

Esta equação pode ser reorganizada da forma:

V1 = Z11 I1 + ...+ Z1j Ij + Z1kIk + Ib(Z1j - Z1k) (47)

Vj = Zj1 I1 + ...+ ZjjIj + ZjkIk + Ib(Zjj – Zjk) (48)

Vk = Zk1 I1 + ...+ ZkjIj + ZkkIk + Ib(Zkj – Zkk) (49)

É necessária uma equação adicional, pois ainda se precisa determinar Ib:

Vk - Vj = Ib Zb (50)

0 = Ib Zb + Vj - Vk (51)

Usando as equações (48) e (49) na equação (51):

0 = Ib Zb + (Zj1 -Zk1) I1+ ...+ (Zjj -Zkj)Ij +...+ (Zjk– Zkk)Ik +....+ (Zjj + Zkk -2Zjk) Ib (52)

Juntando os coeficientes de Ib e designando a sua soma de Zbb:

Zbb =Zb + Zjj + Zkk -2Zjk (53)

Figura 11:Acréscimo a impedância zb entre as barras j e k.

Usando as equações (47) a (49), pode-se escrever a equação matricial:

( )

( )( )

( )( ) ( ) ( ) ( ) ⎥

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

−−−−−

−−

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

b

n

k

j

bbknjnkkjkkjjjkj

nknj

kkkj

jkjjorig

kj

n

k

j

II

II

I

ZZZZZZZZZZZ

ZZZZZ

ZZ

V

VV

V

M

M

M

M

M

M1

11

.

1111

......0

(54)

A nova coluna é a coluna j menos a coluna k de Zorig com Zbb na linha (n+1). A nova linha é a

transposta da coluna.

Page 17: Apostila de Calculo de Rede

Cálculo de Rede

Prof. José Valter Alves Santos 17

Eliminando a linha (n+1) e a coluna (n+1) da matriz quadrada Equação (54) da mesma forma como se

explicou anteriormente, cada elemento Zbj na nova matriz será:

jkkkjjb

innhiorighinovahi ZZZZ

ZZZZ

2)1()1(

)()( −++−= ++

(55)

Não precisamos considerar o caso de introduzir duas novas barras ligadas por Zb porque podemos

sempre ligar uma delas, através de uma, uma barra existente ou a uma de referência, antes de

adicionarmos a segunda nova barra.

Exemplo 6 - Modificar a matriz impedância de barra do Exemplo 2 de maneira a ter em conta uma

conexão de um capacitor tendo uma reatância de 5,0 por unidade entre a barra 4 e a barra de referência do

circuito da Figura 4. Determinar V4 usando a impedância da nova matriz e a fonte de corrente do Exemplo 2.

Compare este valor de V4 com o encontrado no Exemplo 5.

Utilizando a Equação (44) e identificando que Zorig é a matriz 4 x 4 do Exemplo 2 e que o subscrito k

= 4, além de que Zb = - j5,0 por unidade:

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

b

novaZbarra

orig

IIIII

jjjjjjjZjj

VVVV

4

3

2

1

)(

4

3

2

1

5267,44733,04232,04126,04142,04733,04232,04126,04142,0

04444444444 34444444444 21

Os elementos da quinta linha e da quinta coluna foram encontrados repetindo a quarta linha e a

quarta coluna de Zorig e lembrando que

Z55 =Z44 + Zb = j0,4733 – j5,0 = -j4,5276

Eliminando a quinta linha e a quinta coluna, encontra-se, de acordo com a equação (45), Zbarra (novo):

5153,05267,4

4142,04142,04774,011 jj

jjjZ =−

×−=

4557,05267,4

4126,04733,04126,024 jj

jjjZ =−

×−=

Os demais elementos são encontrados de forma igual e compõem a matriz:

=

j0,5153 j0,4084 j0,4407 j0,4575 j0,4084 j0,5248 j0,4308 j0,4557 j0,4407 j0,4308 j0,4954 j0,4674 j0,4575 j0,4557 j0,4674 j0,5228

Zbarra (nova)

Page 18: Apostila de Calculo de Rede

Cálculo de Rede

Prof. José Valter Alves Santos 18

A matriz coluna de correntes pela qual a nova Zbarra é multiplicada para se definirem as tensões de

barra é a mesma do Exemplo 2. Então:

V4= j0,4575(-j1,20) + j0,4557(-0,72 –j0,96) + j0,4674(-j1,20)=1,5474 –j0,3281

8. DETERMINAÇÃO DIRETA DA MATRIZ IMPEDÂNCIA DE BARRA

Aprendeu-se a determinar Zbarra primeiramente encontrando Ybarra e invertendo-a. No entanto, o

procedimento par obter Zbarra diretamente é mais adequado para implementação por computador e mais

simples que inverter Ybarra quando o número de componentes do sistema é grande.

O primeiro aspecto a ser considerado é a lista de impedâncias disponível que define as barras que se

encontram interligadas. De início, escreve-se a equação de uma barra conectada através de uma

impedância Zd a uma barra de referência:

V1 = I1Zd

que é uma equação matricial em que cada uma das três matrizes possui uma linha e uma coluna.

Em seguida, acrescenta-se uma outra barra ligada à primeira ou à barra de referência. Se a segunda barra é

conectada à barra de referência através de Zb, a equação matricial será:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡×⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎤⎢⎣

2

1

2

1

00

II

ZZ

VV

b

a (56)

Desta forma, continua o acréscimo de novas barras, de acordo com o método da seção 6.

Normalmente, as barras de uma rede devem ser renumeradas, para concordar com a ordem em que elas

são adicionadas a Zbarra.

Exemplo 7 - Determine Zbarra para a rede mostrada na Figura 23, em que as impedâncias estão com

valores em p.u. Todos os 3 nós devem ser mantidos.

Figura 23: Rede para o exemplo 7

Solução:

Page 19: Apostila de Calculo de Rede

Cálculo de Rede

Prof. José Valter Alves Santos 19

Será definida a tensão da barra 1, com sua impedância de ligação à barra de referência:

V1 = j1,2I1

Existe, agora, uma Zbarra 1 x 1:

Zbarra = j 1,2

Equaciona-se a barra 2, com sua impedância para a barra 1 e utiliza-se a equação (44):

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

j1,4 2,1j1,2 2,1

)( jj

Z novabarra

O termo j1,4 é a soma de j1,2 e j0,2. Os componentes j1,2 na nova linha e na nova coluna são a

repetição dos da linha 1 e da coluna 1 da matriz modificada.

A barra 3, com a impedância conectando-a a barra 1, é definida por:

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

5,1 21 2,12,1 41 2,1 2,1 2,1 2,1

j,jjj,jjjjj

Como o nó 1 é o conectado ao nó 3, o componente j1,5 da matriz anterior é o resultado da soma

de Z11 da matriz sendo modificada e a impedância Zb do ramo que conecta a barra 3 à barra 1. Os outros

componentes da nova linha e da nova coluna são repetições da linha 1 e da coluna 1 da matriz que está

sendo modificada, pois o novo nó está sendo conectado à barra 1.

Caso se opte por acrescentar a impedância Zb = j1,5 a partir do nó 3 à barra de referência, segundo

a equação (7.48), será criada uma nova barra 4, através de Zb , e produzida a matriz de impedâncias:

⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢

0,3 5,1 21 2,15,1 5,1 21 2,12,1 2,1 41 2,12,1 2,1 2,1 2,1

jj,jjjj,jjjj,jjjjjj

A impedância j3,0 desta última matriz corresponde à soma de Z33 e Zb. Os outros componentes da

nova linha e da nova coluna são repetições da linha 3 e da coluna 3 da matriz sendo modificada, posto que

a barra 3 é a que está sendo conectada à barra de referência através de Zb.

Serão, então, eliminadas a linha 4 e a coluna 4. Alguns dos componentes da nova matriz, de acordo

com a equação (45), serão:

72,00,3

2,12,12,111 jj

jjZ =×

−=

92,00,3

2,12,14,122 jj

jjZ =×

−=

Page 20: Apostila de Calculo de Rede

Cálculo de Rede

Prof. José Valter Alves Santos 20

60,00,3

5,12,12,13333 jj

jjZZ =×

−==

Quando todos os elementos estão determinados temos,

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

⎡=

75,060,060,060,092,072,060,072,072,0

)( jZ novobarra

Finalmente, adicionamos a impedância 15,0jZb = entre as barras 2 e 3. Se fizermos j e k na

equação 54 igual a 2 e 3, respectivamente, obteremos os elementos para a linha 4 e coluna 4.

15,032,0

12,0

333234

232224

131214

jZZZjZZZjZZZ

−=−==−==−=

da equação 53

62,02

44

23332244

jZZZZZZ b

=−++=

Então escreveremos

⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢

−−

62,015,032,012,015,075,060,060,0

32,060,092,072,012,060,072,072,0

j

e da equação 55 encontramos

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

7137,06774,06290,06774,07548,06581,06290,06581,06968,0

j que é a matriz impedância determinada.

9. BIBLIOGRAFIA

1 ALMEIDA, Wilson Gonçalves de, Circuitos Polifásicos, 1ª ed. Fundação de Empreendimentos

Científicos e Tecnológicos,1995, 254p.

2 GRAINGER, John J. & STEVENSON, William D.. Power System Analysis. 1ª. ed. MCGRAW HILL

BOOK CO, 1993. 787p.

Referências adicionais: ISBN: 0070612935

3 OLIVEIRA, Carlos César Barioni. Introdução a Sistemas Elétricos de Potência. 2. ed.. Edgard

Blucher, 1996. 467p.

Referências adicionais: ISBN: 8521200781

4 MONTICELLI, Alcir & GARCIA, Ariovaldo. Introdução a Sistemas de Energia Elétrica. Ed.

UNICAMP, 1999, 251p.

Page 21: Apostila de Calculo de Rede

Cálculo de Rede

Prof. José Valter Alves Santos 21

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

1) Escrever as equações para os dois nós do circuito abaixo na forma padrão mudando as fontes de tensão

por fontes de corrente em paralelo com impedâncias.

Circuito 1 2) Encontrar as tensões dos nós 1 e 2 do circuito acima resolvendo as equações encontradas na questão

anterior. 3) Encontre a matriz admitância de barra do circuito abaixo.

Circuito 2 4) Encontre as tensões em cada nó do circuito 2 através da equação matricial VYI barra ⋅= . 5) Elimine os nós 3 e 4 do circuito 2 simultaneamente pelo método da partição de matriz, para encontrar a

matriz admitância resultante 2x2. 6) Encontre as tensões V1 e V2 do circuito resultante da questão anterior. 7) Elimine os nós 3 e 4 do circuito 2 para encontrar a matriz admitância resultante 2x2 pela eliminação do

nó 4 primeiro e então o nó 3. Encontre as tensões V1 e V2 do circuito resultante.

8) No circuito abaixo, os geradores Ea e Eb estão alimentando um motor síncrono Ec. Os valores das

tensões e impedâncias são dados abaixo. Obtenha a matriz admitância de barra do sistema representado abaixo.

Dados:

pujZpujZ

pujZZZpupuEE

d

e

fba

c

ba

2,025,0

25,122,585,1E

05,1

=

=

===

∠=

∠==

Page 22: Apostila de Calculo de Rede

Cálculo de Rede

Prof. José Valter Alves Santos 22

9) Supondo que o motor Ec foi desligado do sistema, encontre a nova matriz admitância de barra e

encontre as tensões nos barramentos dos dois geradores, VEa e VEb.

10) Encontre a matriz admitância de barra do sistema de potência mostrado abaixo:

Os dados do sistema são:

11) Encontrar a matriz impedância do sistema da questão anterior.

12) Modificar a matriz impedância da questão 11 de maneira a ter em conta a conexão de um capacitor

tendo uma reatância de 5pu entre a barra 4 e a referência.

13) Para a rede de reatância da Figura abaixo, encontre: a) Zbarra pela formulação direta e pela inversão de

Ybarra. Compare os resultados; b) A tensão em cada barra; c)Corrente absorvida pelo capacitor tendo

uma reatância de 5 pu e ligadoda barra 3 ao neutro; d) a mudança na tensão em cada barra quando o

capacitor está ligado na barra 3.