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ASSOCIAÇÃO DE ENSINO E CULTURA “PIO DÉCIMO” S/C LTDA FACULDADE PIO DÉCIMO
CURSO DE ENGENHARIA ELÉTRICA DISCIPLINA: SISTEMAS ELÉTRICOS II
ARACAJU – SERGIPE
CÁLCULO DE REDE
Aracaju, Janeiro de 2009
Cálculo de Rede
Prof. José Valter Alves Santos 2
1. INTRODUÇÃO
O desenvolvimento contínuo dos computadores digitais de grande capacidade e alta velocidade
acarretou uma mudança na relativa importância das várias técnicas de solução de redes de grande porte. A
solução por computação digital é dependente das equações das redes. Conseqüentemente, é importante
para o engenheiro da área de sistema de potência entender a formulação das equações das quais, com o
objetivo de obter uma solução, é desenvolvido um programa a ser utilizado por computador.
2. EQUIVALÊNCIA DE FONTES
Um procedimento de grande utilidade em alguns problemas de análise de rede é o da substituição
de uma fonte de corrente constante em paralelo com uma impedância por uma fem em série com uma
impedância. As duas partes da Figura 1 ilustram os circuitos. Ambas as fontes com suas impedâncias
associadas estao conectadas a uma rede de dois terminais tendo uma impedância de entrada ZL. A carga
pode ser considertada como uma rede passiva, ou seja, quaisquer fem na rede de carga são consideradas
curto-circuito e qualquer fonte de corrente como circuito aberto.
Para o circuito possuindo fem Eg constante e impedância em série Zg, Figura 1(a), a tensao na carga
é:
ZggL VEV −= (1)
Figura 1 (a)
Onde IL é a corrente de carga.
Para um circuito possuindo uma fonte de corrente constante IS com uma impedância paralela ZP,
Figura 1(b), a tensão na carga é: ( ) PLPSPLSL ZIZIZIIV −=−= (2)
As duas fontes e suas impedâncias associadas serão equivalentes se a tensão VL for a mesma em
ambos os circuitos. Naturalmente, iguais valores de VL significarão iguais valores de corrente de carga IL
para cargas idênticas.
Figura 1 (b)
IS
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A comparação das equações (1) e (2) mostra que VL será idêntica em ambos os circuitos e,
consequentemente, a fem e sua impedância em série poderão ser intercambiáveis com a fonte de corrente
e sua impedânica paralela desde que
PSg ZIE = (3)
e
pg ZZ = (4)
Para o cálculo de rede estas condições de equivalência são importantes para usarmos o principio da
superposição, aplicando a uma rede ativa como vimos anteriormente. Quando fonte de tenção
curtocircuitamos a fonte e quando fonte de corrente abrirá o circuito substituindo a mesma.
3. EQUAÇÕES DE NÓS
As junções formadas quando dois ou mais elementos puros (R, L C, fonte ideal de tensão ou de
corrente) são ligados um ao outro nos seus terminais são chamadas nó. A formulação sistemática das
equações baseada nos nós de um circuito pela aplicação da Lei de Kirchhoff sobre corrente é a base de
algumas excelentes equações computacionais de problemas em sistema de potência. Geralmente é
conveniente considerar só aqueles nós que estão conectados a mais de dois elementos, denominando-se
este ponto junção de nós maiores.
Figura 2 – Representação do sistema de 4 nós
Com o objetivo de examinar algumas características das equações de nós, começaremos com o
diagrama unifilar de um sistema simples indicado na Figura 3. Os geradores estão ligados através de
transformadores às barras de alta tensão 1 e 3, e estão alimentando um motor síncrono na barra 2. Para
propósitos de análise, todas as máquinas ligadas a uma barra são tratadas como uma só máquina e
representadas por uma única fem e uma reatância em série. O diagrama de reatância, com as reatâncias
especificadas por-unidade, está indicado na Figura 4. Os nós estão indicados por pontos, mas somente aos
nós maiores serão indicados números. Se o circuito é redesenhado com as fems e as impedâncias em série
conectando-as aos nós maiores substituídos por fontes equivalentes de corrente e admitâncias paralelas, o
resultado é:
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Figura 3 – Diagrama de Reatâncias para o sistema da Figura 2
OBS:Valores em por-unidade para as admitâncias são usados em vez dos valores das impedâncias.
Notação com um único subscrito será usada para designar a tensão de cada barra com respeito
ao neutro tomado como nó de referência 0. Aplicando a Lei de Kirchhoff sobre corrente ao nó 1 com
corrente para o nó vindo da fonte e igualadas as correntes para fora do nó temos: (Ver Figura 4)
I1 = V1Ya +(V1 – V3)Yf + (V1 – V4)Y4 (5)
E para o nó 4
0 = (V4 – V1)Yd + (V4 – V2)Yh + (v4 – V3)Ye (6)
Rearranjando estas equações resulta
I1 = V1(Ya + Yf + Yd) – V3Yf – V4Yd (7)
0 = - V1 Yd – V2 Yh – V3 Ye + V4(Yd + Ye + Yh) (8)
Equações semelhantes podem ser formadas para os nós 2 e 3, e as quatro equações podem ser
resolvidas simultaneamente para as tensões V1, V2, V3 e V4. Todas as correntes dos ramos podem ser
encontradas quando estas tensões são conhecidas e ainda o número necessário de equações de nós é igual
ao número de nós da rede menos um. Uma equação de nó, lançada para o nó de referência não
acrescentará nenhuma informação. Em outras palavras, o número de equações de nós é igual ao número de
nós menos um.
Não escrevemos as outras duas equações, porque já podemos ver como formular as equações de
nós numa notação padrão. Nas Equações (7) e (8) é claro que a corrente fluindo para a rede e vindo das
fontes de corrente conectadas a um nó é igualada à soma de vários produtos.
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Figura 4: Circuito da Figura 3 com as fontes de tensão substituidas por fontes equivalentes de corrente. Os valores indicados
estão em p.u.
Para qualquer nó, um dos produtos é a tensão daquele nó vezes a soma de todas as admitâncias
que terminam nele. Este produto leva em conta a corrente que flui do nó se a tensão é zero nos outros nós.
Os outros produtos são iguais ao negativo da tensão nos outros nós, vezes a admitância ligada diretamente
ao outro nó e o nó para o qual a equação está sendo formulada. Conseqüentemente, no nó 1, um dos
produtos é –V3Vf, que leva em conta a corrente para fora do nó 1, quando todas as outras tensões são zero,
a não ser a do nó 3.
A forma-padrão para as quatro equações independentes na forma matricial é:
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
×
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
4
3
2
1
44434241
34333231
24232221
14131211
4
3
2
1
VVVV
YYYYYYYYYYYYYYYY
IIII
Y (9)
A simetria das equações nesta forma torna-se fácil de memorizar e sua extensão para qualquer
número de nós é evidente. A ordem dos subscritos Y segue o conceito de efeito-causa; isto é, o primeiro
subscrito é o do nó para o qual as correntes estão sendo expressas e o segundo refere-se ao nó da tensão
causadora desta componente da corrente. A matriz Y é designada por Ybarra e chama-se matriz admitância
de barramento. Esta matriz é simétrica com relação à diagonal. As admitâncias Y11, Y22, Y33 e Y44 são
chamadas admitâncias próprias de cada nó e cada uma é igual à soma de todas as admitâncias concorrendo
ao nó identificadas pela repetição de subscritos. As outras admitâncias são as admitâncias mútuas dos nós e
cada uma é igual ao negativo da soma de todas as admitâncias ligadas diretamente entre os nós e
identificadas pelos duplos subscritos. Para a rede da Figura 4, a admitância mútua Y13 é igual a – Yf. Alguns
autores chamam as admitâncias próprias e mútuas de nós de auto admitância e admitância de transferência
de nós.
Concluimos então que o sistema de equações para o circutio da Figura 4 é:
-j 8,0
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⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
×
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
++−−−−+++−−−−++−−++
=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
4
3
2
1
3
2
1
00
0 VVVV
YYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYY
III
hedehd
egfecgf
hghgb
dffda
(10)
A expressão geral para a fonte de corrente alimentando o nó k de uma rede com N nós
independentes, isto é, N barras sem contar o neutro, é:
∑=
=N
nnknK VYI
1 (11)
Tal equação deve ser escrita para cada uma das N barras para as quais a tensão da rede é
desconhecida. Se a tensão é conhecida em algum nó, a equação não é escrita para aquele nó. Por
conseguinte, se tanto o módulo como o ângulo da tensão são conhecidos em duas das barras de alta tensão
de nosso exemplo, então somente duas equações serão necessárias. Equações de nós podem ser escritas
para as outras duas barras e somente uma delas terá tensão desconhecida. A fem conhecida e a
impedância em série não precisam ser substituídas pela fonte equivalente de corrente se um dos terminais
do elemento fem está ligado ao nó de referência, neste caso o nó que separa a fem da impedância em série
é aquele onde a tensão é conhecida.
A formação da matriz admitância dá-se da seguinte forma:
∑= ijii yY , j assumindo o valor de todas as barras ligadas diretamente a barra i.
ijij yY −= , se existe uma linha ligando diretamente a barra i à barra j.
0=ijY , se não existe uma linha ligando diretamente a barra i à barra j.
Exemplo 1: Escreva na forma matricial, as equações de nós necessárias para calcular as tensões dos nós,
numerados da Figura 4 . A rede é equivalente àquela da Figura 3 . As fems indicadas na Figura 14 são º87,365,1,º05,1 −∠=∠= ba EE e º05,1 ∠=cE , todos em por-unidade.
Solução: As fontes de corrente .
I1 = I3 = ..20,10902,125,105,1 00
0
upjj
−=−∠=∠
I2= ..96,072,087,1262,125,1
87,365,1 00
upjj
−−=−∠=−∠
As admitâncias próprias em por-unidade são:
0,180,80,50,53,158,00,85,20,4
3,88,05,20,58,98,00,40,5
44
33
22
11
jjjjYjjjjjY
jjjjYjjjjY
−=−−−=−=−−−−=
−=−−−=−=−−−=
e as admitâncias mútuas em por unidade são:
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Y12=Y21=0 Y23=Y32=+j2,5
Y13=Y31=+j4,0 Y24=Y42=+j5,0
Y14=Y41=+j5,0 Y34=Y43=+j8,0
As equações de nós na forma matricial são:
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
×
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−−
=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−
4
3
2
1
0,180,80,50,50,83,155,20,40,55,23,80,00,50,40,08,9
0020,1096,072,020,10
VVVV
jjjjjjjjjjjjjjjj
jjj
A matriz quadrada acima é identificada como a matriz admitância Ybarra.
Exemplo 2: Resolva as equações de nós do exemplo precedente com o objetivo de encontrar as tensões
de barra pela inversão da matriz admitância.
Solução: Multiplicando ambos os lados da equação matricial do exemplo 1 pela inversa da matriz
admitância de barra ( determinada através do uso de programa-padrão para computação digital) resulta:
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
×
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−
×
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
4
3
2
1
1000010000100001
0020,1096,072,020,10
4733,04232,04126,04142,04232,04558,03922,04020,04126,03922,04872,03706,04142,04020,03706,04774,0
VVVV
jjj
jjjjjjjjjjjjjjjj
A matriz quadrada acima, obtida pela inversão da matriz admitância de barra, é chamada matriz
impedância de barra Zbarra. Executando a multiplicação de matrizes indicada, resulta:
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−
4
3
2
1
2971,04009,12824,04059,13508,03830,12668,04111,1
VVVV
jjjj
e daí retiramos as tensões de nós que são:
..º97,11432,12971,04009,1
..º36,11434,12824,04059,1..º24,14427,13508,03830,1..º71,10436,12668,04111,1
4
3
2
1
upjVupjVupjVupjV
−∠=−=−∠=−=−∠=−=−∠=−=
4. PARTIÇÃO DE MATRIZ
Um método muito útil de manipulação de matriz, chamado partição, consiste em identificar várias
partes de uma matriz como submatrizes que serão tratadas como simples elementos quando da aplicação
das regras usuais de multiplicação e adição. Por exemplo, assuma a matriz 3 x 3 onde:
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⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
333231
232221
131211
aaaaaaaaa
A
A matriz é particionada em quatro submatrizes pelas linhas tracejadas horizontal e verticalmente. A
matriz pode ser escrita como:
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
G F ED
A (13)
onde as submatrizes são:
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
2221
1211
a aa a
D ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
23
13
aa
E
[ ]3231 a aF = G = [a33]
Para indicar os passos para a multiplicação em termos de submatrizes consideramos que A deve ser
multiplicada por uma outra matriz B para formar o produto C, onde:
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
31
21
11
bbb
B (14)
De acordo com a partição acima:
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
JH
B (15)
Onde as submatrizes são:
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
21
11
bb
H e J = [b31]
Então o produto é:
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡×⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡==
JH
GFED
BAC . (16)
As submatrizes são consideradas como simples elementos para obter:
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡++Η
=GJFHEJD
C (17)
O produto é finalmente determinado, executando-se as multiplicações e adições indicadas para as
submatrizes.
Se C é Composta das submatrizes M e N tal que:
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
NM
C (18)
e comparando com equação ( * ) resulta:
GJFHNEJDHM
+=+=
(19)
Se desejarmos determinar somente a submatriz N, teremos :
(12)
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[ ]
313321321131
313321
1132 31 a a
bababa
babb
N
++=
+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡×=
(20)
As matrizes a serem multiplicadas devem ser compatíveis originalmente. Cada linha de partição
vertical entre as colunas r e (r + 1) do primeiro fator requer uma linha de partição horizontal entre as linhas
r e (r + 1) do segundo fator para que se efetue a multiplicação de modo conveniente. Linhas de partição
horizontal podem ser traçadas entre quaisquer linhas da matriz do primeiro fator e linhas vertical da
partição entre quaisquer colunas do segundo fator ou ainda omitidas em uma delas ou em ambas.
5. ELIMINAÇÃO DE NÓS POR ÁLGEBRA MATRICIAL
Em sistemas de potência podemos eliminar os nós, nas barras de potência, por manipulação de
matrizes da álgebra vetorial, desde que, neste não entre ou saia corrente para a rede.
Consideremos a equação seguinte, onde I e V são matrizes colunas e Ybarra é uma matriz quadrada
e simétrica.
[ ] [ ] [ ]VYI barra ×= (21)
As matrizes coluna da equação acima pode ser arranjada de tal maneira que os elementos
associados com os nós a serem eliminados estejam nas linhas inferiores das matrizes. Os elementos das
matrizes quadradas de admitância são colocados em concordância. As matrizes colunas são particionadas de
tal maneira que os elementos associados com os nós a serem eliminados são separados dos outros
elementos. A matriz admitância é particionada de tal maneira que os elementos identificados somente com
os nós a serem eliminados estejam separados dos outros elementos por linhas horizontais e verticais.
Quando particionadas de acordo com estas regras, a equação 21 torna-se:
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡×⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡
X
AT
X
A
VV
MLLK
II
(22)
onde Ix é a submatriz composta das correntes entrando no nó a ser eliminado e Vx é a submatriz composta
das tensões destes nós. Obviamente, cada elemento de Ix é zero, senão os nós não poderiam ser
eliminados. As admitâncias próprias e mútuas compondo K são aquelas identificadas somente com os nós
retidos. M é composta de admitâncias próprias e mútuas identificadas somente com os nós a serem
eliminados. Esta matriz é uma matriz quadrada de ordem igual ao numero de ns a serem eliminados. L e
sua transposta Lt são compostas somente das admitâncias mútuas comuns a algum nó a ser retido e a
outro que será eliminado.
Executando a multiplicação indicada na equação 22, temos as equações: [ ] [ ] [ ]XAA LVKVI += (23)
[ ] [ ] [ ]XAT
X MVVLI += (24)
Como todos os elementos de Ix são zeros, subtraindo LtVA nos dois lados da equação 24, e pré-
multiplicando ambos os lados pela inversa de M, representada por M-1, resulta em:
(Ix - LTVA).M-1 = (LTVA + MVX – LTVA).M-1
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- LTVA . M-1 = MVX . M-1
- LTVA . M-1 = M0 . VX
VX = - M-1LTVA (25)
Esta expressão para Vx substituída na equação 23, resulta:
( )AT
AA
XAA
VLMLKVILVKVI
×−+=
+=
( ) AT1
A VLLMKI −−= (26)
que é uma equação de nós tendo como matriz admitância:
T1
barra LLMKY −−= (27)
Estas matrizes admitâncias permitem-nos construir o circuito com os nós indesejáveis já eliminados.
O método de partição de matrizes é um método geral, para a eliminação de um grande número de
nós, e mais adequada a soluções por computador, devido a que, quanto maior for a quantidade de nós a
serem retirados, maior será a matriz inversa de M, e mais difícil será sua resolução manual.
A inversão da matriz pode ser evitada fazendo a eliminação de um nó por vez, e o processo é
bastante simples. O nó a ser eliminado deve ser o de numeração mais alta e provavelmente uma
renumeração deva ser necessária. A matriz M torna-se de um só elemento e M-1 é a recíproca deste
elemento. A matriz admitância original particionada nas submatrizes K, L, Lt e M é:
K L
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
nnnjn
knkjk
nj
barra
YYY
YYY
YYY
Y
KK
MKMKM
KK
MKMKM
LK
1
1
1111
(28)
LT M
A matriz reduzida ( n - 1 ) x ( n - 1 ) será, de acordo com a equação 27:
[ ]KK
M
M
KMKM
KK
KMKM
KK
nj1nnnkn
n1
kj1k
j111
barra YYY1
Y
Y
YY
YY
Y ×⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡×
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
= (29)
E quando a manipulação indicada das matrizes for executada, o elemento na linha k e coluna j da
matriz resultante (n-1) x (n-1) será:
nn
njknkjkj Y
YYYY
originalnova
×−=
)()( (30)
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Cada elemento na matriz original K deve ser modificado. Quando a equação 5.8 é comparada à
equação 30 pode-se ver como proceder.
Multiplicamos o elemento da última linha e da mesma coluna com o elemento sendo modificado.
Dividimos, então, este produto por Ynn e subtraímos o resultado ao elemento sendo modificado.
Exemplo 3: Observe o circuito abaixo. Se o gerador e o transformador da barra 3 são removidos,
eliminando os nós 3 e 4 pelo procedimento algébrico-matricial descrito, encontre o circuito equivalente com
aqueles nós eliminados.
Dados: puEpuE ba º87,365,1, º05,1 −∠=∠= e puEc º05,1 ∠=
FIGURA 5
Para eliminar um nó por vez:
A matriz admitância deste circuito está representada abaixo, e particionando para eliminar as barra
4 e 3, temos:
Eliminando o nó 4:
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−−
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
1885583,155,2455,23,805408,9
Kj
MLL
Y Tbarra
T1
barra LLMKY −−=
[ ]855.181.
855
.3,155,24
5,23,80408,9
. jjjjYbarra ×⎥⎦⎤
⎢⎣⎡−
×⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−=
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⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−=
78,1170,420,670,495,635,120,635,145,8
.jYbarra
Poderíamos ter encontrado a nova matriz utilizando a equação 30
nn
njkn
originalkjnovakj YYY
YY×
−=)()(
, o que resultaria em:
45,818
558,9 )(11)(1144
4114)(11
)(11 jY
jjjjY
YYYYY novanovaoriginalnova
−=⇔−×
−−=⇔×
−=
35,118
550 )(12)(1244
4124)(12)(21)(12 jY
jjjY
YYYYYY novanovaoriginalnovanova =⇔
−×
−=⇔×
−==
20,618
554 )(13)(1344
4134)(13)(31)(13 jY
jjjjY
YYYYYY novanovaoriginalnovanova =⇔
−×
−=⇔×
−==
e assim sucessivamente, resultando na matriz Ybarra mostrada acima.
Eliminando o nó 3:
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡=
78,1170,420,670,495,635,120,635,145,8
Kj
MLL
Y Tbarra
[ ]70,420,678,11
170,420,6
95,635,135,145,8
jjjjYbarra ×⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
×⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−=
12,577,377,323,5
jYbarra
Se utilizarmos a equação 30, teremos:
23,578,11
20,620,645,8 )(11)(1133
3113)(11)(11 jY
jjjjY
YYYYY novanovaoriginalnova −=⇔
−×
−−=⇔×
−=
77,378,11
20,670,435,1 )(12)(1233
3123)(12)(21)(12 jY
jjjjY
YYYYYY novanovaoriginalnovanova =⇔
−×
−=⇔×
−==
12,578,11
70,470,495,6 )(22)(2233
3223)(22)(22 jY
jjjjY
YYYYY novanovaoriginalnova −=⇔
−×
−−=⇔×
−=
Que resulta na matriz ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−=
12,577,377,323,5
jYbarra
Podemos também eliminar os nós 3 e 4 ao mesmo tempo, procedendo da seguinte maneira:
Particionando a matriz admitância como está representada abaixo, temos:
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−−
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
1885583,155,2455,23,805408,9
Kj
MLL
Y Tbarra
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⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡×
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−×⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−=
555,24
18883,15
155,254
3,8008,9
jj
jjYbarra
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡×⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−−−
×⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−=
555,24
0722,00378,00378,00852,0
55,254
3,8008,9
jjjjYbarra
finalmente:
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−=
12,577,377,323,5
jYbarra
Obs: Este método torna-se mais difícil de ser resolvido manualmente à medida que o se aumenta à
quantidade de nós a serem eliminados, devido ao aumento da complexidade da resolução da matriz inversa
de M.
Um exame da matriz indica-nos a admitância entre as duas barras restantes, 1 e 2: é –j3,77 e sua
recíproca é a impedância em por unidade entre estas barras. A admitância entre cada uma destas barras e a
referência é: ..46,1)77,3(23,5 upjjj −=−−−
O circuito resultante está indicado na Figura 6. Quando as fontes de correntes são convertidas nas
suas equivalentes fontes de f.e.m. então o circuito, com impedâncias em por unidade, é aquele da Figura 7.
Assim, a corrente é:
Y1
ZZV
I =∴=
( ) ( )( ) ( ) ..44,185798,0
685,0265,0685,0º87,365,1º05,1 up
jI −∠=
++−∠−∠
=
Figura 6
Figura 7
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6.MODIFICAÇÃO DE UMA MATRIZ DE IMPEDÂNCIA DE BARRA
Como Zbarra é uma importante ferramenta na análise de sistema de potência, será estudada uma
forma de alterá-la para adicionar novos barramentos ou conectar novas linhas às barras atuais. Pode ser
criada uma nova Ybarra e invertê-la, mas métodos diretos de modificação de Zbarra são possíveis e são muito
mais simples do que uma inversão de matriz. Aprendendo-se como modificar Zbarra , podemos cria-la
diretamente.
Há várias formas de alteração relacionadas a adição de um ramo de impedância Zb e a uma rede
com Zbarra inicial conhecida e representada por Zorig , n x n.
As barras serão identificadas por números ou pelas letras h, i, j e k. A letra “p” indicará uma nova
barra a ser incluída à rede, transformando Zorig em uma matriz (n+1) x (n+1). Quatro casos serão
considerados.
1º CASO: Adição de Zb a partir da barra p até a de referência; observando que o acréscimo desta
barra sem nenhuma ligação com as outras barras da rede não modifica as tensões de barra iniciais, mesmo
com uma corrente Ip sendo injetada na nova barra. A tensão Vp da nova barra é igual a IpZb.
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
•
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
P
n
novaZbarra
bP
N
II
II
Z
Zorig
VV
VV
M
4444 34444 21L
MM2
1
)(
2
1
0000
00
Observa-se que a matriz coluna das correntes multiplicada pela nova matriz Zbarra não modificará as tensões
da rede inicial.
2º CASO: Adição de Zb partir de uma nova barra até uma barra existente k. A passagem da
corrente Ip pela barra “p” provocará a corrente que entra na rede inicial, na barra k, que será a soma da
corrente injetada na barra k com a corrente IP que flui pela impedância Zb.
A corrente Ip que vai para a barra k incrementará a tensão original Vk com uma tensão Ip Zkk, ou
seja:
Vk(nova) = Vk(orig) + Ip Zkk
Vp será maior do que Vk por um valor de tensão Ip Zb:
Vp = Vk(orig) + Ip Zkk +Ip Zb
Vp = I1 Zk1 + I2 Zk2 + ... + In Zkn + Ip(Zkk+Zb )
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Figura 10: Acréscimo de uma nova barra p ligada através de uma impedância Zb à barra k existente.
Como Zbarra deve ser uma matriz quadrada simétrica em torno da diagonal principal, devemos
adicionar uma nova coluna, que é transposta da nova linha. A nova coluna considera os acréscimos de
todas as tensões de barra em decorrência da corrente Ip.
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
•
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+
=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
P
n
novaZbarra
bkkknKK
nk
k
k
P
N
II
II
ZZZZZZ
ZorigZZ
VV
VV
M
444444 3444444 21L
MM2
1
)(
21
2
1
2
1
(44)
Observa-se que os primeiros n elementos da nova linha são os elementos da linha k de Zorig e os
primeiros n elementos da nova coluna são os elementos da coluna k de Zorig.
3º CASO: Acréscimo de Zb a partir de uma barra existente k até a barra de referência. Para tanto,
deve-se adicionar uma nova barra p conectada à barra k através de Zb. Depois disso, faz-se um curto-
circuito entre a barra k e a de referência, tornando Vp igual a zero, com a finalidade de obter a mesma
equação matricial dada por (44), com a diferença de que Vp passa a ser nula.
São criadas, então, uma nova linha e uma nova coluna da mesma forma como no item b,
eliminando em seguida a linha (n + 1) e a coluna (n + 1), fato que é possível pela existência do zero na
coluna das tensões. Será usado o método desenvolvido nas Equações (28) a (30), para encontrar cada
elemento Zki da nova matriz:
bkk
innhorighinovahi ZZ
ZZZZ
+−= ++ )1()1(
)()( (45)
4º CASO: Acréscimo de Zb entre duas barras existentes, j e k. Analisando a Figura 11, percebe-se
que a corrente Ib está partindo da barra k até a j, através de Zb. As tensões de nós podem ser obtidas:
V1 = Z11 I1 + ...+ Z1j (Ij + Ib) + Z1k(Ik - Ib) + ... (46)
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Esta equação pode ser reorganizada da forma:
V1 = Z11 I1 + ...+ Z1j Ij + Z1kIk + Ib(Z1j - Z1k) (47)
Vj = Zj1 I1 + ...+ ZjjIj + ZjkIk + Ib(Zjj – Zjk) (48)
Vk = Zk1 I1 + ...+ ZkjIj + ZkkIk + Ib(Zkj – Zkk) (49)
É necessária uma equação adicional, pois ainda se precisa determinar Ib:
Vk - Vj = Ib Zb (50)
0 = Ib Zb + Vj - Vk (51)
Usando as equações (48) e (49) na equação (51):
0 = Ib Zb + (Zj1 -Zk1) I1+ ...+ (Zjj -Zkj)Ij +...+ (Zjk– Zkk)Ik +....+ (Zjj + Zkk -2Zjk) Ib (52)
Juntando os coeficientes de Ib e designando a sua soma de Zbb:
Zbb =Zb + Zjj + Zkk -2Zjk (53)
Figura 11:Acréscimo a impedância zb entre as barras j e k.
Usando as equações (47) a (49), pode-se escrever a equação matricial:
( )
( )( )
( )( ) ( ) ( ) ( ) ⎥
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
•
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−−
−−
−
=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
b
n
k
j
bbknjnkkjkkjjjkj
nknj
kkkj
jkjjorig
kj
n
k
j
II
II
I
ZZZZZZZZZZZ
ZZZZZ
ZZ
V
VV
V
M
M
M
M
M
M1
11
.
1111
......0
(54)
A nova coluna é a coluna j menos a coluna k de Zorig com Zbb na linha (n+1). A nova linha é a
transposta da coluna.
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Eliminando a linha (n+1) e a coluna (n+1) da matriz quadrada Equação (54) da mesma forma como se
explicou anteriormente, cada elemento Zbj na nova matriz será:
jkkkjjb
innhiorighinovahi ZZZZ
ZZZZ
2)1()1(
)()( −++−= ++
(55)
Não precisamos considerar o caso de introduzir duas novas barras ligadas por Zb porque podemos
sempre ligar uma delas, através de uma, uma barra existente ou a uma de referência, antes de
adicionarmos a segunda nova barra.
Exemplo 6 - Modificar a matriz impedância de barra do Exemplo 2 de maneira a ter em conta uma
conexão de um capacitor tendo uma reatância de 5,0 por unidade entre a barra 4 e a barra de referência do
circuito da Figura 4. Determinar V4 usando a impedância da nova matriz e a fonte de corrente do Exemplo 2.
Compare este valor de V4 com o encontrado no Exemplo 5.
Utilizando a Equação (44) e identificando que Zorig é a matriz 4 x 4 do Exemplo 2 e que o subscrito k
= 4, além de que Zb = - j5,0 por unidade:
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
•
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
b
novaZbarra
orig
IIIII
jjjjjjjZjj
VVVV
4
3
2
1
)(
4
3
2
1
5267,44733,04232,04126,04142,04733,04232,04126,04142,0
04444444444 34444444444 21
Os elementos da quinta linha e da quinta coluna foram encontrados repetindo a quarta linha e a
quarta coluna de Zorig e lembrando que
Z55 =Z44 + Zb = j0,4733 – j5,0 = -j4,5276
Eliminando a quinta linha e a quinta coluna, encontra-se, de acordo com a equação (45), Zbarra (novo):
5153,05267,4
4142,04142,04774,011 jj
jjjZ =−
×−=
4557,05267,4
4126,04733,04126,024 jj
jjjZ =−
×−=
Os demais elementos são encontrados de forma igual e compõem a matriz:
=
j0,5153 j0,4084 j0,4407 j0,4575 j0,4084 j0,5248 j0,4308 j0,4557 j0,4407 j0,4308 j0,4954 j0,4674 j0,4575 j0,4557 j0,4674 j0,5228
Zbarra (nova)
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A matriz coluna de correntes pela qual a nova Zbarra é multiplicada para se definirem as tensões de
barra é a mesma do Exemplo 2. Então:
V4= j0,4575(-j1,20) + j0,4557(-0,72 –j0,96) + j0,4674(-j1,20)=1,5474 –j0,3281
8. DETERMINAÇÃO DIRETA DA MATRIZ IMPEDÂNCIA DE BARRA
Aprendeu-se a determinar Zbarra primeiramente encontrando Ybarra e invertendo-a. No entanto, o
procedimento par obter Zbarra diretamente é mais adequado para implementação por computador e mais
simples que inverter Ybarra quando o número de componentes do sistema é grande.
O primeiro aspecto a ser considerado é a lista de impedâncias disponível que define as barras que se
encontram interligadas. De início, escreve-se a equação de uma barra conectada através de uma
impedância Zd a uma barra de referência:
V1 = I1Zd
que é uma equação matricial em que cada uma das três matrizes possui uma linha e uma coluna.
Em seguida, acrescenta-se uma outra barra ligada à primeira ou à barra de referência. Se a segunda barra é
conectada à barra de referência através de Zb, a equação matricial será:
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡×⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡
2
1
2
1
00
II
ZZ
VV
b
a (56)
Desta forma, continua o acréscimo de novas barras, de acordo com o método da seção 6.
Normalmente, as barras de uma rede devem ser renumeradas, para concordar com a ordem em que elas
são adicionadas a Zbarra.
Exemplo 7 - Determine Zbarra para a rede mostrada na Figura 23, em que as impedâncias estão com
valores em p.u. Todos os 3 nós devem ser mantidos.
Figura 23: Rede para o exemplo 7
Solução:
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Será definida a tensão da barra 1, com sua impedância de ligação à barra de referência:
V1 = j1,2I1
Existe, agora, uma Zbarra 1 x 1:
Zbarra = j 1,2
Equaciona-se a barra 2, com sua impedância para a barra 1 e utiliza-se a equação (44):
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
j1,4 2,1j1,2 2,1
)( jj
Z novabarra
O termo j1,4 é a soma de j1,2 e j0,2. Os componentes j1,2 na nova linha e na nova coluna são a
repetição dos da linha 1 e da coluna 1 da matriz modificada.
A barra 3, com a impedância conectando-a a barra 1, é definida por:
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
5,1 21 2,12,1 41 2,1 2,1 2,1 2,1
j,jjj,jjjjj
Como o nó 1 é o conectado ao nó 3, o componente j1,5 da matriz anterior é o resultado da soma
de Z11 da matriz sendo modificada e a impedância Zb do ramo que conecta a barra 3 à barra 1. Os outros
componentes da nova linha e da nova coluna são repetições da linha 1 e da coluna 1 da matriz que está
sendo modificada, pois o novo nó está sendo conectado à barra 1.
Caso se opte por acrescentar a impedância Zb = j1,5 a partir do nó 3 à barra de referência, segundo
a equação (7.48), será criada uma nova barra 4, através de Zb , e produzida a matriz de impedâncias:
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
0,3 5,1 21 2,15,1 5,1 21 2,12,1 2,1 41 2,12,1 2,1 2,1 2,1
jj,jjjj,jjjj,jjjjjj
A impedância j3,0 desta última matriz corresponde à soma de Z33 e Zb. Os outros componentes da
nova linha e da nova coluna são repetições da linha 3 e da coluna 3 da matriz sendo modificada, posto que
a barra 3 é a que está sendo conectada à barra de referência através de Zb.
Serão, então, eliminadas a linha 4 e a coluna 4. Alguns dos componentes da nova matriz, de acordo
com a equação (45), serão:
72,00,3
2,12,12,111 jj
jjZ =×
−=
92,00,3
2,12,14,122 jj
jjZ =×
−=
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60,00,3
5,12,12,13333 jj
jjZZ =×
−==
Quando todos os elementos estão determinados temos,
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
75,060,060,060,092,072,060,072,072,0
)( jZ novobarra
Finalmente, adicionamos a impedância 15,0jZb = entre as barras 2 e 3. Se fizermos j e k na
equação 54 igual a 2 e 3, respectivamente, obteremos os elementos para a linha 4 e coluna 4.
15,032,0
12,0
333234
232224
131214
jZZZjZZZjZZZ
−=−==−==−=
da equação 53
62,02
44
23332244
jZZZZZZ b
=−++=
Então escreveremos
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
62,015,032,012,015,075,060,060,0
32,060,092,072,012,060,072,072,0
j
e da equação 55 encontramos
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
7137,06774,06290,06774,07548,06581,06290,06581,06968,0
j que é a matriz impedância determinada.
9. BIBLIOGRAFIA
1 ALMEIDA, Wilson Gonçalves de, Circuitos Polifásicos, 1ª ed. Fundação de Empreendimentos
Científicos e Tecnológicos,1995, 254p.
2 GRAINGER, John J. & STEVENSON, William D.. Power System Analysis. 1ª. ed. MCGRAW HILL
BOOK CO, 1993. 787p.
Referências adicionais: ISBN: 0070612935
3 OLIVEIRA, Carlos César Barioni. Introdução a Sistemas Elétricos de Potência. 2. ed.. Edgard
Blucher, 1996. 467p.
Referências adicionais: ISBN: 8521200781
4 MONTICELLI, Alcir & GARCIA, Ariovaldo. Introdução a Sistemas de Energia Elétrica. Ed.
UNICAMP, 1999, 251p.
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EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1) Escrever as equações para os dois nós do circuito abaixo na forma padrão mudando as fontes de tensão
por fontes de corrente em paralelo com impedâncias.
Circuito 1 2) Encontrar as tensões dos nós 1 e 2 do circuito acima resolvendo as equações encontradas na questão
anterior. 3) Encontre a matriz admitância de barra do circuito abaixo.
Circuito 2 4) Encontre as tensões em cada nó do circuito 2 através da equação matricial VYI barra ⋅= . 5) Elimine os nós 3 e 4 do circuito 2 simultaneamente pelo método da partição de matriz, para encontrar a
matriz admitância resultante 2x2. 6) Encontre as tensões V1 e V2 do circuito resultante da questão anterior. 7) Elimine os nós 3 e 4 do circuito 2 para encontrar a matriz admitância resultante 2x2 pela eliminação do
nó 4 primeiro e então o nó 3. Encontre as tensões V1 e V2 do circuito resultante.
8) No circuito abaixo, os geradores Ea e Eb estão alimentando um motor síncrono Ec. Os valores das
tensões e impedâncias são dados abaixo. Obtenha a matriz admitância de barra do sistema representado abaixo.
Dados:
pujZpujZ
pujZZZpupuEE
d
e
fba
c
ba
2,025,0
25,122,585,1E
05,1
=
=
===
∠=
∠==
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9) Supondo que o motor Ec foi desligado do sistema, encontre a nova matriz admitância de barra e
encontre as tensões nos barramentos dos dois geradores, VEa e VEb.
10) Encontre a matriz admitância de barra do sistema de potência mostrado abaixo:
Os dados do sistema são:
11) Encontrar a matriz impedância do sistema da questão anterior.
12) Modificar a matriz impedância da questão 11 de maneira a ter em conta a conexão de um capacitor
tendo uma reatância de 5pu entre a barra 4 e a referência.
13) Para a rede de reatância da Figura abaixo, encontre: a) Zbarra pela formulação direta e pela inversão de
Ybarra. Compare os resultados; b) A tensão em cada barra; c)Corrente absorvida pelo capacitor tendo
uma reatância de 5 pu e ligadoda barra 3 ao neutro; d) a mudança na tensão em cada barra quando o
capacitor está ligado na barra 3.