apostila de calculo funções e limites

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Segunda Apostila de Clculo - Funes e Limites

UEMS - Nova Andradina-Informtica

CURSO DE: SEGUNDA LICENCIATURA EM INFORMTICA

DISCIPLINA:

CLCULO I

Funes e Limites Informtica

Prof: Marcio Demetrius Martinez

Nova Andradina 2010

Segunda Apostila de Clculo - Funes e Limites

UEMS - Nova Andradina-Informtica

O CONCEITO DE UMA FUNO

1 - FUNO 1.1 O que uma funo

Uma funo matemtica , essencialmente, uma forma especial de se fazer uma correspondncia entre elementos de dois conjuntos.

Definio: Entendemos por uma funo f uma terna (A, B, a b ) Em que A e B so dois conjuntos e a b , uma regra que nos permite associar a cada elemento a de A um nico b de B. O conjunto A o domnio de f e indica-se por D f , assim A= D f . O conjunto B o contradomnio de f. O nico b de B

associado ao elemento a de A indicado por f(a) (leia: f de a); diremos que f(a) o valor que f assume em a ou que f(a) o valor que f associa a a. Quando x percorre o domnio de f, f(x) descreve um conjunto denominado imagem de f e que se indica por Im f .Im f f ( x) / x Df

Uma funo de f de dommio A e contradomnio B usualmente indicada por f : (leia: f de A em B). Uma funo de uma varivel real a valores reais uma funo f : , onde A e B so subconjuntos de R (reais). Seja f : uma funo. O conjunto

Gf

( x, f ( x)) / x

A

denomina-se grfico de f; assim, o grfico de f um subconjunto do conjunto de todos os pares ordenados (x,y) de nmeros reais. Munindo-se o plano de um sistema ortogonal de coordenadas cartesianas, o grfico de f pode ento ser pensado como o lugar geomtrico descrito pelo ponto (x,f(x)) quando x percorre o domnio de f.Tipos particulares de funes Funo Constante Uma funo dita constante quando do tipo f(x) = k , onde k no depende de x . Exemplos: a) f(x) = 5; b) f(x) = -3; c) Quem o domnio e o conjunto imagem de f? Nota : o grfico de uma funo constante uma reta paralela ao eixo dos x . Veja o grfico a seguir:

Prof. Marcio

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FUNO DO 1 GRAU Uma funo dita do 1 grau , quando do tipo y = ax + b , onde a Exemplos : f(x) = 3x + 12 ( a = 3 ; b = 12 ) f(x) = -3x + 1 (a = -3; b = 1). Funes Crescente e Decrescente Definio: Funo crescente: f uma funo crescente quando: 0.

x1 , x 2x1 x2

D f sef ( x2 )

f ( x1 )

Funo decrescente: f uma funo decrescente quando:

x1 , x 2x2 f ( x1 )

D f sef ( x2 )

x1

Propriedades da funo do 1 grau : 1) o grfico de uma funo do 1 grau sempre uma reta .

2) na funo f(x) = ax + b , se b = 0 , f dita funo linear e se b 0 f dita funo afim . 3) o grfico intercepta o eixo dos x na raiz da equao f(x) = 0 e, portanto, no ponto de abcissa x = - b/a . 4) o grfico intercepta o eixo dos y no ponto (0 , b) , onde b chamado coeficiente linear . 5) o valor a chamado coeficiente angular e d a inclinao da reta . 6) se a > 0 , ento f crescente . 7) se a < 0 , ento f decrescente . 8) quando a funo linear, ou seja, y = f(x) = ax , o grfico uma reta que sempre passa na origem. Exemplos: 1 - Determine a funo f(x) = ax + b, sabendo-se que f(2) = 5 e f(3) = -10.

Exerccio: 1. A funo f definida por f(x) = ax + b. Sabe-se que f(-1) = 3 e f(3) = 1, ento podemos afirmar que f(1) igual a: a) 2 b) -2Prof. Marcio

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c) 0 d) 3 e) -3

FUNO DO 2 GRAU Uma funo dita do 2 grau quando do tipo f(x) = ax + bx + c , com a 2 Exemplos: f(x) = x - 2x + 1 ( a = 1 , b = -2 , c = 1 ) ; 2 y = - x ( a = -1 , b = 0 , c = 0 )2 2

0.

Grfico da funo do 2 grau y = ax + bx + c : sempre uma parbola de eixo vertical .

Propriedades do grfico de y = ax + bx + c : 1) se a > 0 a parbola tem um ponto de mnimo . 2) se a < 0 a parbola tem um ponto de mximo 3) o vrtice da parbola o ponto V(xv , yv) onde: xv = - b/2a 2 yv = /4a , onde = b - 4ac 2 4) a parbola intercepta o eixo dos x nos pontos de abcissas x' e x'' , que so as razes da equao ax + bx + c = 0 . 5) a parbola intercepta o eixo dos y no ponto (0 , c) . 6) o eixo de simetria da parbola uma reta vertical de equao x = - b/2a. 7) ymax = / 4a ( a> 0 ) 8) ymin = /4a ( a < 0 ) 9) Im(f) = { y R ; y > /4a } ( a > 0 ) 10) Im(f) = { y R ; y < /4a} ( a < 0) 2 11) Forma fatorada : sendo x1 e x2 as razes da de f(x) = ax + bx + c , ento ela pode ser escrita na forma fatorada a seguir : y = a(x - x1).(x - x2) Exemplos 1 - Sabe-se que -2 e 3 so razes de uma funo quadrtica. Se o ponto (-1 , 8) pertence ao grfico dessa funo, ento: a) o seu valor mximo 1,25 b) o seu valor mnimo 1,25 c) o seu valor mximo 0,25 d) o seu valor mnimo 12,5 *e) o seu valor mximo 12,5. SOLUO: Sabemos que a funo quadrtica, pode ser escrita na forma fatorada: y = a(x - x1)(x - x2) , onde x1 e x2, so os zeros ou razes da funo. Portanto, poderemos escrever: y = a[x - (- 2 )](x - 3) = a(x + 2)(x - 3) y = a(x + 2)(x - 3) Como o ponto (-1,8) pertence ao grfico da funo, vem: 8 = a(-1 + 2)(-1 - 3)Prof. Marcio

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8 = a(1)(-4) = - 4.a Da vem: a = - 2 A funo , ento: y = -2(x + 2)(x - 3) , ou y = (-2x -4)(x - 3) 2 y = -2x + 6x - 4x + 12 2 y = -2x + 2x + 12 Temos ento: a = -2 , b = 2 e c = 12. Como a negativo, conclumos que a funo possui um valor mximo. Isto j elimina as alternativas B e D. Vamos ento, calcular o valor mximo da funo. 2 2 = b - 4ac = 2 - 4 .(-2).12 = 4+96 = 100 Portanto, yv = - 100/4(-2) = 100/8 = 12,5 Logo, a alternativa correta a letra E. 2 - Que nmero excede o seu quadrado o mximo possvel? *a) 1/2 b) 2 c) 1 d) 4 e) -1/2 SOLUO: Seja x o nmero procurado. 2 O quadrado de x x . 2 O nmero x excede o seu quadrado , logo: x - x . 2 Ora, a expresso anterior uma funo quadrtica y = x - x . Podemos escrever: 2 y = - x + x onde a = -1, b = 1 e c = 0. O valor procurado de x, ser o xv (abcissa do vrtice da funo). Assim, xv = - b / 2.a = - 1 / 2(-1) = 1 / 2 Logo, a alternativa correta a letra A . Funes Modulares Chamamos de funo modular a funo f(x)=|x| definida por:

f ( x)

x, se x x, se x

0 0

Observe, ento, que a funo modular uma funo definida por duas sentenas. Determinao do domnio Vamos determinar o domnio de algumas funes utilizando inequaes modulares: Exemplo 1: Determinar o domnio da funo

f ( x)

1 |x| 3

Sabemos que

1 s possvel em IR se | x | 3 |x| 3 Ento : | x | 3 0 |x| 3 x 3 ou x 3 Resposta : D {x IR | x 3 ou x 3}

0.

Resoluo: Exemplo 2: Determinar o domnio da funo

f ( x)Resoluo:Prof. Marcio

2 | x 1|5

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Sabemos que

2 | x 1 | s possvel em IR se 2 | x 1 | 0. | x 1| 2 | x 1| 2 1 x 3 2 x 1 2 2 1 x 2 1 IR | 1 x 3}

Ento : 2 | x 1 | 0 2 x 1 2 Resposta : D {x

Grfico Vamos construir o grfico da funo f(x)=|x|: x -1 -2 0 1 2 y=f(x) 1 2 0 1 2

Grfico da funo f(x)=|x|:

1. 2. 3. a)

Determine a equao da reta que passa pelo ponto (-2, 1) e cujo coeficiente angular 4. Qual a equao da reta que passa pelo ponto (-3, -1) e de coeficiente linear igual a 8? Construa o grfico das seguintes funes e determine o domnio e a imagem:

f (x )f (x )

1 x 22

42xe)

d)

f (x )

b)

c)

4. no instante t (segundos). Construa o grfico de S em funo de t. 5x 5. Considere a funo f : definida por f ( x ) a) Qual a figura do grfico de f? b) Em que ponto o grfico de f intersecta o eixo x? c) Em que ponto o grfico de f intersecta o eixo y? d) f funo crescente ou decrescente?

x, se x 0 2x 2 f (x ) 5 f) f ( x ) 3 Um corpo se movimenta em velocidade constante de acordo com S 2t 3 , em que S indica a posio do corpo (em metros)3 ; sem construir o grfico, responda:

f (x )

5x 3 2 x , se x 0

2

6. Na produo de peas, uma indstria tem um custo fixo de R$ 8,00 mais um custo varivel de R$ 0,50 por unidade produzida. Sendo x o nmero de unidades produzidas: a) Escreva a funo que fornece o custo total; b) Calcule o custo de 100 peas. 7. Gerador um aparelho que transforma qualquer tipo de energia em energia eltrica. Se a potncia P (em watts) que um certo2

gerador lana num circuito eltrico dada pela relao P(i) = 20i - 5i , em que i a intensidade da corrente eltrica que atravessa o gerador, determine o nmero de watts que expressa a potncia P quando i = 3 ampres. 8. Atribuindo para x os valores 1, 0, 1, 2, 3, 4 e 5, construa o grfico da funo definida por com base no grfico ou na lei da funo. a) A concavidade fica para cima ou para baixo? b) Qual o vrtice dessa parbola?Prof. Marcio

f (x)

x2

4x . A seguir, responda

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c) Em que ponto a parbola intersecta o eixo y? d) Em quantos pontos ela intersecta o eixo x? Quais so esses pontos? e) Essa funo crescente ou decrescente? f) Qual a imagem dessa funo? g) Determine se

f

h) Existe x tal que

7 9 ,f , f 19 e f( 3) so maiores, menores ou iguais a zero. 3 7 f (x ) 3 ? Em caso positivo, determine x?

9. Esboce o grfico da funo quadrtica f cuja parbola passa pelos pontos (3,-2) e (0, 4) e tem vrtice no ponto (2,-4); em seguida, verifique qual das seguintes sentenas corresponde a essa funo: a) f (x)

2x 2

8x 42

b)

f (x )

2x 2

8x 4

c)

f (x )

2x 2

8x 4

10. A trajetria da bola, num chute a gol, descreve uma parbola. Supondo que sua altura h, em metros, t segundos aps o chute,

t 6t , determine: seja dada por h a) Em que instante a bola atinge a altura mxima? b) Qual a altura mxima atingida pela bola?11. Determine o vrtice, os pontos que interceptam os eixos Ox e Oy, o valor mximo (mnimo), o domnio e a imagem das seguintes funes: a) b) c)

f (x ) f (x ) f (x )

x2 x2

2x 3 2x 1 3x 5

d) e) f)

f (x)f (x )

x2x2

6x10x 16

g) h)

f (x ) f (x )

x2 4x2

4x 3 4x 1

x2

f (x )

x2

4x2 5x 4.

12.

f:

a funo quadrtica definida por a funo quadrtica cujo grfico :

f (x )

g:

13. Seja

f :R

R

a funo dada por:

f ( x ) x 2 e seja g : R

R

a funo dada por g ( x )

f(x h) h

f(x)

, com

h

0

. Nessas condies, a) h

g( x ) igual a :b) x c) 2x d) 2x + h e) x + h

Se (A) 1 (B) 2 (C) 3 14. Se a funo (A)

, ento

igual a: (D) 4 (E) 5

tal que

ento

(D) (B) (E) (C) 15. Na equao (A) (B) (E) (C) 16. Montar a funo que representa: a) a quantidade de material (rea) usada numa caixa sem tampa, de base quadrada, com 2l de volume.Prof. Marcio

fizemos

, ento o valor de

(D)

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b) o volume da caixa sem tampa, que se consegue a partir de uma chapa quadrada, com 2m x 2m , recortando os quatro cantos quadrado e dobrando as bordas.

17. . Uma papelaria cobra R$ 0,10 por cpia em sua mquina de fotocpia, at 100 cpias. De 100 at 250 o valor por cpia cai para R$ 0,08 e para um nmero de cpias superior a 250 cobrado R$ 0,05 por cpia. Nesta situao podemos perceber que para cada faixa de quantidade de cpias tiradas tem-se um valor diferente a pagar pela cpia. Para facilitar a cobrana, o proprietrio quer montar uma tabela para saber direto quanto vai receber de em cliente pelas cpias. Monte a funo que representa a situao. 18. .Determinar o domnio das seguintes funes: a) b) c) d)

yy

4 x23 x4

[-2,2]

7

x

[-3,7] (-oo,-1) U [0,+oo)

y

x x 1 x 2 4, 5

y

x

2

[-5,2]

19. Assinale a alternativa que corresponde a funo de acordo com o grfico

a. b. c. d. e.

f(x)= -x+2 f(x) = -x/2 + 1 f(x)= -x/2 + 2 f(x)=4x f(x)= -x

20.. O grfico abaixo representa a funo f(x)= ax + b . Assinale a alternativa correta:

a=0;b=0a. b. c. d. 21. A representao da funo y = -3 uma reta : a. b. e. paralela aos eixo das ordenadas perpendicular ao eixo das ordenadas nda c. d. perpendicular ao eixo das abcissas que intercepta os dois eixos a>0;b>0 a0 a>0;b=0 a>0;b