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REA 1 - Faculdade de Cincia e Tecnologia Cursos de Engenharia Clculo Diferencial e Integral I Professor: lvaro Fernandes Serafim
Apostila de limites e derivadas
Uma grande descoberta envolve a soluo de um grande problema, mas h uma semente de descoberta na soluo de qualquer problema. Seu problema pode ser modesto; porm, se ele desafiar a sua curiosidade e fizer funcionar a sua capacidade inventiva, e caso voc o resolva sozinho, ento voc poder experimentar a tenso e o prazer do triunfo da descoberta
George Polya ltima atualizao: 02/06/2006
25xa1limln
ax
x=
+
+ .
Qual o valor de a ?
lvaro Fernandes 2
ndice Limite e continuidade............................................................................................................. 3 Noo intuitiva de limite........................................................................................................... 3 Tabelas de aproximaes........................................................................................................... 4 Clculo de uma indeterminao do tipo 0/0.............................................................................. 5 Definio intuitiva de limite..................................................................................................... 6 Propriedades dos limites........................................................................................................... 6 Limites infinitos........................................................................................................................ 8 Limites no infinito..................................................................................................................... 9 Expresses indeterminadas....................................................................................................... 10 Limite fundamental exponencial............................................................................................... 12 Limite fundamental trigonomtrico.......................................................................................... 14 Funes limitadas..................................................................................................................... 16 Continuidade............................................................................................................................. 18 Aplicao 1: Problema da rea sob o arco de uma parbola..................................................... 20 Aplicao 2: Problema do circuito RL em srie...................................................................... 21 Derivada................................................................................................................................... 22 A reta tangente.......................................................................................................................... 22 A reta normal............................................................................................................................ 25 A derivada de uma funo num ponto...................................................................................... 25 Derivadas laterais..................................................................................................................... 26 Regras de derivao.................................................................................................................. 28 Derivada da funo composta (Regra da cadeia)...................................................................... 30 Derivada da funo inversa....................................................................................................... 32 Derivada das funes elementares............................................................................................ 33 Derivada da funo exponencial............................................................................................... 33 Derivada da funo logartmica................................................................................................. 34 Derivada das funes trigonomtricas...................................................................................... 34 Derivada das funes trigonomtricas inversas........................................................................ 37 Tabela de derivadas.................................................................................................................. 39 Derivadas sucessivas................................................................................................................ 40 Derivada na forma implcita..................................................................................................... 42 Derivada de uma funo na forma paramtrica........................................................................ 47 Diferencial................................................................................................................................ 51 Aplicaes da derivada........................................................................................................... 53 A regra de LHospital............................................................................................................... 53 Interpretao cinemtica da derivada....................................................................................... 55 Taxa de variao....................................................................................................................... 58 Anlise grfica das funes...................................................................................................... 61 Mximos e mnimos........................................................................................................... 61 Funes crescentes e decrescentes..................................................................................... 63 Critrios para determinar os extremos de uma funo........................................................ 65 Concavidade e inflexo....................................................................................................... 67 Assntotas horizontais e verticais........................................................................................ 69 Esboo grfico..................................................................................................................... 72 Problemas de otimizao......................................................................................................... 77
lvaro Fernandes 3
Limite e continuidade Noo Intuitiva de limite Considere a funo ( )f x x= 2 1 . Esta funo est definida para todo x , isto , qualquer que seja o nmero real c, o valor ( )cf est bem definido. Exemplo 1. Se x = 2 ento ( )f 2 2 1 32= = . Dizemos que a imagem de x = 2 o valor ( ) 32f = . Graficamente:
Considere agora uma outra funo ( )g x xx
= 2 1
1. Esta funo est definida
{ } x 1 . Isto significa que no podemos estabelecer uma imagem quando x assume o valor 1.
( ) ??? 00
11111g
2
==
00 simboliza uma indeterminao matemtica. Outros tipos de indeterminaes matemticas
sero tratados mais adiante. Qual o comportamento grfico da funo g quando x assume valores muito prximos de 1, porm diferentes de 1? A princpio o estudo do limite visa estabelecer o comportamento de uma funo numa vizinhana de um ponto (que pode ou no pertencer ao seu domnio). No caso da funo f, qualquer valor atribudo a x determina uma nica imagem, sem problema algum. Mas na funo g, existe o ponto 1x = que gera a indeterminao.
Estudemos os valores da funo ( )g x xx
= 2 1
1 quando x assume valores prximos
(numa vizinhana) de 1, mas diferente de 1. Para isto vamos utilizar tabelas de aproximaes.
lvaro Fernandes 4
Tabelas de aproximaes As tabelas de aproximaes so utilizadas para aproximar o valor da imagem de uma funo (se existir) quando a varivel x se aproxima de um determinado ponto. Atribuindo a x valores prximos de 1, porm menores do que 1: (tabela A)
x 0 0,5 0,75 0,9 0,99 0,999 0,9999 g(x) 1 1,5 1,75 1,9 1,99 1,999 1,9999
Atribuindo a x valores prximos de 1, porm maiores do que 1: (tabela B)
x 2 1,5 1,25 1,1 1,01 1,001 1,0001 g(x) 3 2,5 2,25 2,1 2,01 2,001 2,0001
Observemos que podemos tornar g(x) to prximo de 2 quanto desejarmos, bastando para isso tomarmos x suficientemente prximo de 1. De outra forma, dizemos:
O limite da funo g(x) quando x se aproxima de (tende a) 1 igual a 2.
Simbolicamente escrevemos: ( )limx
g x =1 2 ou limx xx =1
2 11
2 .
Observaes: 1) Os dois tipos de aproximaes que vemos nas tabelas A e B so chamados de limites laterais. Quando x tende a 1 por valores menores do que 1 (tabela A), dizemos que x tende a 1 pela
esquerda, e denotamos simbolicamente por x 1 . Temos ento que:
( )limx
g x
=1
2 ou limx
xx =1
2 11
2
Quando x tende a 1 por valores maiores do que 1 (tabela B), dizemos que x tende a 1 pela
direita, e denotamos simbolicamente por x +1 . Temos ento que:
( )limx
g x +
=1
2 ou limx
xx + =1
2 11
2 2) Se a funo g se aproximasse de valores distintos medida que x se aproximasse lateralmente de 1, pela esquerda e pela direita, ento diramos que o limite da funo g no existiria neste ponto, simbolicamente ( )lim
x g x1 .
3) O limite da funo g(x) quando x se aproxima de 1, somente existe se os limites laterais so iguais. Simbolicamente:
( )limx
g x =1 2 se, e somente se, ( ) ( )lim limx x g x g x += =1 1 2 . Ser necessrio sempre construir tabelas de aproximaes para determinar o limite de uma funo, caso ele exista? No! H uma forma bem mais simples, como veremos a seguir.
Obs: O sinal negativo no expoente do no 1 simboliza apenas que x se aproxima do nmero 1 pela esquerda.
Obs: O sinal positivo no expoente do no 1 simboliza apenas que x se aproxima do nmero 1 pela direita.
lvaro Fernandes 5
Clculo de uma indeterminao do tipo 00
Sempre que nos depararmos com uma indeterminao do tipo 00 , deveremos simplificar* a
expresso da funo envolvida. Logo aps, calculamos o limite da funo substituindo, na expresso j simplificada, o valor de x. * Para simplificar a expresso voc deve utilizar fatorao, racionalizao, dispositivo prtico de Briot-Ruffini para dividir polinmios, etc... Vejamos os exemplos seguintes.
Exemplo 2. Determine ( )limx
g x1 , onde ( )g xxx
= 2 1
1.
Observe que ( )001g = que uma indeterminao matemtica! Quando a varivel x est cada vez
mais prxima de 1, a funo g est cada vez mais prxima de quanto? Devemos ento simplificar a expresso da funo g e depois fazer a substituio direta.
( ) ( )( ) ( ) 1x,1x1x
1x1x1x1x xg
2
+=+=
= Ento:
( ) ( )( ) ( ) 2111xlim1x
1x1xlim1x1xlimx glim
1x1x
2
1x1x=+=+=
+==
. Logo, lim
x
xx =1
2 11
2 .
Chegamos mesma concluso da anlise feita pelas tabelas de aproximaes, porm de uma forma mais rpida e sistemtica. No mais utilizaremos as tabelas de aproximaes para casos semelhantes a este!!
Vale lembrar que a expresso limx
xx =1
2 11
2 significa que a funo ( )g x xx
= 2 1
1 est
to prxima de 2 assim como x est suficientemente prximo de 1, porm diferente de 1. Graficamente podemos verificar isso:
Grfico da funo ( )g x xx
x= 2 1
11, .
lvaro Fernandes 6
Exemplo3. Determine 1x1x lim 21x
(observe a indeterminao matemtica 00 ).
( )( )( )( ) ( )( ) 411x1x 1 lim1x1x1x 1x lim1x 1x1x 1x lim1x 1x lim 1x1x21x21x =++=++ =++= .
Se voc construir as tabelas de aproximaes, constatar que g(x) est cada vez mais prximo de 1/4 a medida que x se aproxima de 1.
Exemplo 4. Determine 12x38x lim 2
3
2x
(observe a indeterminao matemtica
00 ).
( )( ) ( )( )( )( ) ( )( ) 112122x3 4x2x lim2x2x3 4x2x2x lim4x3 2x lim12x3 8x lim2
2x
2
2x2
33
2x2
3
2x==+
++=+++=
=
Definio intuitiva de limite. Seja f uma funo definida num intervalo I contendo a, exceto possivelmente no prprio a. Dizemos que o limite de f(x) quando x se aproxima de a L , e escrevemos
( )limx a
f x L = , se, e somente se, os limites laterais esquerda e direita de a so iguais L, isto , ( ) ( )lim lim
x a x a f x f x L
+= = . Caso contrrio, dizemos que o limite no existe, em
smbolo ( )limx a
f x . Proposio (unicidade do limite). Se ( ) 1ax Lx flim = e ( ) 2ax Lx flim = , ento 21 LL = . Se o limite de uma funo num ponto existe, ento ele nico. Principais propriedades dos limites. Se ( )x flim
ax e ( )x glim
ax existem, e k um nmero real qualquer, ento:
a) ( ) ( )[ ] ( ) ( )x glimx flimxgxf lim
axaxax = .
b) ( ) ( )x flim.kxf. klimaxax
= .
c) ( ) ( )[ ] ( ) ( )x glimx flimxgxf limaxaxax
= .
d) ( )( )( )( ) ( ) 0x glim,x glimx flim
xgxf lim
axax
ax
ax=
.
e) kklimax
=
.
lvaro Fernandes 7
Exemplo 5. Calcule 4x26x3lim
2
2x +
usando as propriedades.
( )( ) 4
342
23
2xlim
2xlim
23
2x2xlim
23
2x22x3lim
4x26x3lim
2x
2
2x2
2x
2
2x
2
2x==+
=+
=+=+
.
Obteramos este resultado substituindo diretamente: ( ) 43
86
44612
42262.3
4x26x3lim
22
2x==+
=+=+
.
Atividades (grupo 1). Calcule os limites abaixo:
a) x2x4lim
2
2x +
b)
6xx3x4xlim 2
2
3x +
c) 5x5
1xlim3
1x
d) 23
2x x4x8lim
+
e) 34
2x x816xlim
f) 1x1xlim
1x
g) x2x
x1lim2
1x ++
h)
49x3x2lim 27x
i) x51x53lim
4x +
Atividades (grupo 2). Calcule os limites indicados:
a) ( )f x x xx x
= + >
2 1 01 0
,,
, calcule: ( ) ( ) ( )lim , lim limx x x
f x f x f x 1 2 0 e .
b) ( )g x x xx
= =
2 23 2
,,
, calcule: ( )limx
g x2
.
c) ( )h x x xx x
= >45 2 1
2 ,, < 1
, calcule: ( )limx
h x1
.
d) ( )
lvaro Fernandes 8
Limites infinitos Quando resolvemos um limite e no encontramos como resposta valores numricos, mas sim infinito ( + ou ), dizemos ento que o limite infinito.
Exemplo 6. Calcule 1x1x lim
2
1x
.
Neste caso, quando fazemos a substituio de x por 1 na expresso xx
2 11 , encontramos
02 = 0 .
Esta no uma situao especial. Sempre que na substituio de x ocorrer 0
0k
k, , o resultado do limite ser sempre zero, naturalmente.
E se na substituio do valor de x ocorrer k
k0
0, ? Vamos analisar esta situao num caso particular e depois formalizar uma regra.
Exemplo 7. Estude o seguinte limite: limx x0
1 .
Devemos analisar os limites laterais. Vamos recorrer s tabelas de aproximaes: Aproximao do zero pela direita (notao x +0 )
x 1 0,1 0,01 0,001 0,0001 f(x)=1/x 1 10 100 1000 10.000
Cada vez que tomamos x suficientemente prximo de zero (pela direita), ( )f x x= 1 cresce indefinidamente. Simbolizamos esta situao assim:
limx x +
= +0
1
Aproximao do zero pela esquerda (notao x 0 )
x -1 -0,1 -0,01 -0,001 -0,0001 f(x)=1/x -1 -10 -100 -1000 -10.000
Cada vez que tomamos x suficientemente prximo de zero (pela esquerda), ( )f x x= 1 decresce indefinidamente. Simbolizamos esta situao assim:
limx x
= 0
1
Concluso: Como os limites laterais so distintos, ento limx x0
1 .
Veja ao lado o grfico da funo ( )f x x= 1 .
lvaro Fernandes 9
Regra (generalizao)
Se no clculo de um limite ocorrer uma situao do tipo k
k0
0, , ento:
=
+=
++
.0k,0k0k,
0k
.0k,0k0k,
0k
e
e
Desta tabela podemos perceber que 0k = . Se o denominador tende ao infinito com o numerador constante, a razo se aproxima de zero. Como veremos agora. Limites no infinito Estamos interessados agora em estabelecer o comportamento de uma funo quando a varivel x cresce indefinidamente ( +x ) ou quando ela decresce indefinidamente ( x ). Em algumas situaes, a funo se aproxima de um valor numrico (figura 1), noutros pode tambm crescer indefinidamente (figura 2) ou decrecer indefinidamente (figura 3).
Figura 1 Figura 2 Figura 3
Exemplo 8.
Na figura 1: 1101x1lim
x=+=
+
+, na figura 2: ( ) +=+
+1xlim
x e na figura 3:
( ) =++
4xlim 2x
. A tabela abaixo apresenta situaes de soma e produto de infinitos que usaremos com freqencia. ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )
==+=+=
?
m e se *k , ento
( )( )( )( )
==+
=
kk
0k,k0k,k
se se
m.
indeterminao!
lvaro Fernandes 10
Vale ressaltar ainda que, se n um natural no nulo, ento:
+=+
n
xxlim e
+=
mpar. par.
n,n,
xlim nx
Atividades (grupo 3). Calcule os limites:
a) 2x
xlim2
2x b) ( )23x 3x4x2lim
c) ( )23x 3x7x2lim
d) 6x2x35lim 32x ++
Atividades (grupo 4). Calcule os limites:
a) 5xx3lim
5x
+ b)
6xxx3lim 22x +
c)
10x210xlim
2
5x +
d) 2xx
2xlim 21x +
+
Expresses indeterminadas
Vimos que 00 uma expresso de indeterminao matemtica. Tambm so:
000,1,0,,
e . Vamos analisar os quatro primeiros casos. Os outros sero tratados em captulos posteriores.
A indeterminao do tipo .
Exemplo 9. Calcule os limites abaixo:
a) 3x5
1xlim 23
x ++
+ b)
xx1xlim
4
2
x ++
+ c)
xxx1lim 2
2
x ++
+
Podemos observar que estas expresses geram indeterminaes do tipo , pois quando +x
as expresses do numerador e denominador tambm tendem a + . No podemos afirmar, a priori, o valor delas. Vejamos: a)
( )( ) +=
+=+++=
+
+=
+
+=
+
+=+
+
+
++++ 5015
01
x5315lim
x11xlim
x5315
x11x
lim
x531x5
x11x
lim3x5
1xlim
2x
3x
2
3
x
22
33
x2
3
x
b) ( )( ) 01
0101
x11xlim
x11lim
x11x
x11
lim
x11x
x11x
limxx1xlim
3x
2x
32
2
x
34
22
x4
2
x=+=++
+=
+
+=
+
+=
+
+=+
+
+
++++ 2
.
lvaro Fernandes 11
c) ( )( ) 20101
36
x311lim
x611lim
36
x3113
x6116
lim
x311x3
x611x6
limxx31x6lim
x
2x2
x2
22
x2
2
x=+
+=
+
+=
+
+=
+
+=+
+
+
++++
.
Observamos que nas trs situaes analisadas as indeterminaes do tipo produziram respostas
distintas (como era esperado, por isso que indeterminao!) Voc deve ter notado que para resolver indeterminaes deste tipo a idia colocar o termo de maior grau em evidncia no numerador e no denominador. Atividades (grupo 5). 1. Calcule os limites abaixo:
a) 1xx5
1x2lim 33
x ++
+ b)
1x2x3xlim
25
x ++
+ c) 4
32
x x3x5x2xlim +
+
d) 22
x x51xlim
A indeterminao do tipo - Exemplo 10. Calcule os limites abaixo: a) 3
xxxlim
+2 . b) xx5lim 2
x+
.
Podemos observar que estas expresses geram indeterminaes do tipo - , mas no podemos afirmar, a priori, o valor delas. Vejamos: Usando a mesma tcnica da indeterminao anterior...
a) ( ) ( ) ==+=
+=++
1101x1xlimxxlim 3
x
3
x
2 .
b) ( ) ( ) +=+=+++=
++=++
1010x571
x51x5lim7x5xlim 2
2
x
2
x .
Atividades (grupo 6). 1. Calcule os limites abaixo: a) x2xxlim 3
x+
+5 . b) 6x5xlim
x+
4 .
A indeterminao do tipo 0 Exemplo 11. Calcule os limites abaixo:
a) ( )1xx2lim 23x ++ . b) ( )xx
3limx
+
.
lvaro Fernandes 12
Podemos observar que estas expresses geram indeterminaes do tipo 0 , mas no podemos afirmar, a priori, o valor delas. Vejamos:
a) ( ) =+=+++ 3
2
x
23x x
2x2lim1xx2lim ... Transformamos a indeterminao 0 em . Da voc
j sabe!
... 0...x
2x2lim 32
x==+=
+ .
b) ( ) ==++ x
x3limxx
3limxx
... Novamente transformamos a indeterminao para . Usando a tcnica da racionalizao:
... ( ) +=+=====++++
3x3limx
xx3limxx
xx3lim
xx3lim
xxxx .
Atividades (grupo 7). 1. Calcule os limites abaixo:
a) ( )3xx
1lim 2x
++
. b) ( )25x5x-
2lim 25x
+ .
Limite fundamental exponencial (a indeterminao do tipo 1)
O nmero e tem grande importncia em diversos ramos das cincias, pois est presente em vrios fenmenos naturais, por exemplo: Crescimento populacional, crescimento de populaes de bactrias, desintegrao radioativa (datao por carbono), circuitos eltricos, etc. Na rea de economia, aplicado no clculo de juros. Foi o Matemtico Ingls Jonh Napier (1550-1617) o responsvel pelo desenvolvimento da teoria logartmica utilizando o nmero e como base. O nmero e irracional, ou seja, no pode ser escrito sob forma de frao, e vale aproximadamente:
e 2,7182818 Como o nmero e encontrado em diversos fenmenos naturais, a funo exponencial ( ) xexf = considerada uma das funes mais importantes da matemtica, merecendo ateno especial de cientistas de diferentes reas do conhecimento humano.
Proposio: ex11lim
x
x=
+
.
A prova desta proposio envolve noes de sries. Utilizaremos o recurso das tabelas de aproximaes e grfico para visualizar este resultado.
lvaro Fernandes 13
Tabela
x ( ) xx11xf
+= 100 2,7048.. 1000 2,7169..
100.000 2,7182.. M M
x + f(x) e Faa uma tabela para x - . Grfico:
Exemplo 12. Calcule os limites abaixo:
a) x5
x x11lim
++
. b) x4
x x31lim
.
Nestes dois casos percebemos indeterminaes do tipo 1 . Vejamos as solues...
a) 55x
x
5x
x
x5
xe
x11lim
x11lim
x11lim =
+=
+=
+
+++ .
b) Neste caso, usaremos uma mudana de varivel... Faa t3x = . Se x ento +t .
Logo, ( )
12
12t
t
t12
t
t34
t
x4
xe
t11lim
t11lim
t331lim
x31lim
+
+
+=
+=
+=
=
. Atividades (grupo 8). 1. Calcule os limites abaixo:
a) x2
x x71lim
++
. b) x5
x x21lim
. c) x2
x 1x1xlim
+
+ .
lvaro Fernandes 14
Conseqncias importantes do limite fundamental exponencial:
i) ( ) ex1lim x10x
=+
. ii) ( ) 1a0a,alnx
1a limx
0x>=
e .
Atividades (grupo 9). Resolva os dois limites acima com as sugestes a seguir:
No item (i) faa a mudana de varivel t1x = e use o limite fundamental exponencial.
No item (ii) faa a mudana de varivel t1a x = e use o item (i). Atividades (grupo 10). 1. Resolva os limites abaixo:
a) ( ) x10x
x21lim +
. b) x
13limx
0x
. c) x4
1elimx
0x
. d) x
2elimxx
0x
.
Limite fundamental trigonomtrico
O limite fundamental trigonomtrico trata de um limite cuja indeterminao do tipo 00
envolvendo a funo trigonomtrica ( )xseny = . Este limite muito importante, pois com ele resolveremos outros problemas.
Proposio: ( ) 1x
xsenlim0x
=
.
A funo ( ) ( )x
xsenxf = par, isto , ( ) ( )xfxf = , 0x , pois
( ) ( ) ( ) ( ) ( )xfx
xsenx
xsenx
xsenxf ===
= .
Se + 0x ou 0x , ( )xf apresenta o mesmo valor numrico. Vamos utilizar a tabela de aproximao para verificar este resultado.
Tabela x ( ) ( )
xxsenxf =
0,1 0.9983341664683.. 0,01 0.9999833334167.. 0,001 0,9999998333333.. 0,0001 0,9999999983333.. 0,00001 0,9999999999833.. 10-10 0,9999999999999..
M M 0x ( ) 1xf
lvaro Fernandes 15
Visualizando o grfico da funo ( ) ( )x
xsenxf = , podemos perceber tambm este resultado...
Exemplo 13. Calcule os limites abaixo:
a) ( )x
x2senlim0x
. b) ( )( )x3sen
x5senlim0x
. c) ( )
x1xcoslim
0x
. d) ( )xxtglim
0x
.
Solues:
a) ( ) ( ) ( ) === x2
x2senlim2x2
x2senlimx
x2senlim0x0x0x 2 ...
Faa tx2 = . Se 0x ento 0t . Logo:
... ( ) ( ) 212t
tsenlim20t
===
.
De uma forma geral, *k , ( ) 1kx
kxsenlim0x
=
. Vamos usar este resultado agora:
b) ( )( )( )( )
( )( ) 3
511
35
x3x3senlim
x5x5senlim
35
x3x3
x3sen
x5x5
x5sen
limx3senx5senlim
0x
0x
0x0x===
=
.
c) ( ) ( ) ( )( )( )( )[ ]
( )( )[ ] =+
=+=+
+= 1xcosx
xsenlim1xcosx1xcoslim
1xcos1xcos
x1xcoslim
x1xcoslim
2
0x
2
0x0x0x
( ) ( )( ) 011
011xcos
xsenx
xsenlim0x
=
+=+
=
.
d) ( ) ( )( )( )
( )( )
( ) 1111
xcos1lim
xxsenlim
xcos1
xxsenlim
xcosxxsenlim
xxtglim
0x0x0x0x0x=
====
.
Atividades (grupo 11). 1. Resolva os limites abaixo usando o limite trigonomtrico fundamental:
a) ( )x3
x4senlim0x
. b) ( )20x x
xcos1lim
. c) ( )x3
2xsen6e2limx
0x
+
. d) ( )( )xsen3x2xsenx6lim
0x +
.
lvaro Fernandes 16
Funes limitadas Definio: Uma funo ( )xfy = chamada limitada, se existe uma constante *k , tal que ( ) ( )fDx,kxf , isto , ( ) ( )fDx,kxfk . Em outras palavras, ( )xfy = possui o
conjunto imagem contido num intervalo de extremos reais. Obs.: ( )fD significa o domnio da funo f. Exemplo 14. Algumas funes limitadas e seus grficos.
f(x) = sen(x) e g(x) = cos(x) f(x) = k f(x) = sen(2x2+3x-1)
Proposio: Se ( ) ( )xg0xflimx
ax e
ou
=
uma funo limitada, ento ( ) ( ) 0xg.xflim
x
ax=
ou
.
Exemplo 15.
a) Calcule ( )x
xsenlimx +
. Soluo: ( ) =
+ xxsenlim
x( ) =
+xsen
x1lim
x * 0=
* Usando a proposio: Se +x ento 0x1 . Como a funo ( )xsen limitada, ento o
resultado zero.
Grfico da funo ( ) ( )x
xsenxf = :
Observe que as oscilaes vo reduzindo a sua amplitude quando +x . O resultado do limite permanece o mesmo se x .
lvaro Fernandes 17
b) Calcule ( )x
xcoslimx +
. Soluo: de forma anloga... ( ) =
+ xxcoslim
x( ) 0xcos
x1lim
x=
+.
Grfico da funo ( ) ( )x
xcosxf = :
Observe que, da mesma forma que a funo anterior, as oscilaes vo reduzindo a sua amplitude quando +x . O resultado do limite permanece o mesmo se x .
c) Calcule ( )xcos1x
1xlim 2x
++
+.
01x
1xlim 2x =
++
+ (Por qu?) e ( )xcos uma funo limitada. Logo, ( ) 0xcos
1x1xlim 2x =
++
+.
Grfico da funo ( ) ( )xcos1x
1xxf 2
++= :
Atividades (grupo 12). 1. Resolva os limites abaixo usando o conceito de funo limitada:
a) ( )xsen elim xx
. b) ( )xx
x 22xcos3 lim +
+.
lvaro Fernandes 18
Continuidade
Definio: Seja 0x um ponto do domnio de uma funo f. Dizemos que f contnua no ponto
0x se: ( ) ( )0xx xfx flim0 = .
Exemplo 16. A funo do exemplo 1 (pg. 3) contnua no ponto 2x0 = , pois ( ) ( ) 32fx flim2x
==
. Na verdade esta funo contnua em , isto , em todos os pontos da reta (do seu domnio).
Exemplo 17. Algumas funes que no so contnuas no ponto 0x : a)
b)
c)
Pois...
a) no existe ( )x flim0xx
, apesar de ( )0xf existir, neste caso ( ) Lxf 0 = ;
b) existe ( )x flim0xx
, isto ( ) 1xx Lx flim0 = . Existe ( )0xf , neste caso ( ) 20 Lxf = , mas ( ) ( )0xx xfx flim0 ;
c) no existe ( )x flim0xx
, apesar de ( )0xf existir, neste caso ( ) Lxf 0 = . Exemplo 18. Verifique se as funes abaixo so contnuas nos pontos indicados:
a) ( ) 4x,4x,4x2
4x,x28
16x
xf 0
2
=
=
= . b) ( ) 1x,
1x,x51
1x,x1
2x2
1x,1x
x1
xg 02
2
=
=
= .
Solues: a) Calculando o limite, temos: ( )( )( )( ) 4
24x lim
x424x4x lim
x2816x lim
4x4x
2
4x=+=
+=
.
Calculando a imagem, temos: ( ) ( ) 44424f == . Como ( ) ( )4fx flim4x
, ento a funo no
contnua (ou descontnua) no ponto 4x0 = .
lvaro Fernandes 19
b) Calculando o limite, temos: ( )( ) ( )( )( ) ( )( ) 41xx1 lim
1x1xx1x1 lim
1x1x
1xx1x1 lim
1xx1 lim
1x1x1x
2
1x=++=
++=++
+=
++++ ( ) ( )( ) ( ) ( ) 4221x lim2
x11x1x lim2
x11x2 lim
x12x2 lim
1x1x
2
1x
2
1x==+=
+==
Como os limites laterais so iguais, temos que ( ) 4x glim
1x=
.
Calculando a imagem, temos: ( ) ( ) 41511g == .
Como ( ) ( )1gx glim1x
=
, ento a funo contnua no ponto 1x0 = . Atividades (grupo 13). Determine, se possvel, a constante a de modo que as funes abaixo sejam contnuas no ponto
ox , sendo:
a) ( ) ( )1x1x,2x
1x,2ax3xf o
2
=
=
lvaro Fernandes 20
1. Problema da rea sob o arco da parbola 2xy = no intervalo [ ]1,0 (Figura 1). Mtodo dos retngulos.
Figura 1. Dividindo o intervalo [ ]1,0 em n subintervalos, cada subintervalo ter comprimento n1 :
1o subintervalo
n1,0 , 2o subintervalo
n2,
n1 ,
3o subintervalo
n3,
n2 , ... , no subintervalo
nn,
n1n . Obs.: 1
nn = .
Vamos construir retngulos (Figura 2) cujas bases so ao subintervalos e cujas alturas so as imagens dos extremos direito* de cada subintervalo pela funo 2xy = : * a altura pode ser calculada sobre qualquer ponto do subintervalo, neste caso foi tomado o extremo direito.
Figura 2. Figura 3. Calculando as rea desses retngulo ( h.bA = ), obtemos:
2
2
1 n1
n1A = , 2
2
2 n2
n1A = , 2
2
3 n3
n1A = , ... , 2
2
n nn
n1A = .
A rea total desses retngulos (
ntA ) nos d uma aproximao da rea (Figura 1) que queremos
calcular:
=
++++=
++++==
=2
2222
2
2
2
2
2
2
2
2n
1iit n
n321n1
nn
n3
n2
n1
n1AA
n
LL
lvaro Fernandes 21
( )( ) ( )( )32 n6
1n21nnn6
1n21nnn1 ++=
++= .
Obs.: A soma 2222 n...321 ++++ conhecida pela frmula ( )( )[ ] 61n21nn ++ . Vejamos alguns resultados para alguns valores crescentes de n:
n 6 (Figura 3) 10 100 1.000 10.000 100.000
ntA 0,421296 0,385000 0,338350 0,333834 0,333383 0,333338
A rea exata que estamos procurando (Figura 1) calculada pelo limite: ( )( ) 3,0
31
n61n21nnlimAlim 3nTn n ==
++=++
. (Calcule este limite e mostre que igual a 1/3)
2. Problema do circuito RL em srie. No circuito da figura 4, temos uma associao em srie de um resistor (smbolo R) e um indutor (smbolo L). Da segunda lei de Kirchhoff (lei das voltagens) e do estudo das equaes diferenciais, pode-se mostrar que a corrente i no circuito dada por
( ) tLRe.cREti
+= , (1) onde E uma bateria de voltagem fixa, c uma constante real e t o tempo.
Figura 4.
Unidade de resistncia: ohm. Unidade de indutncia: henry.
Exerccio 1: Se uma bateria de 12 volts conectada a um circuito em srie (como na fig. 4) no qual o indutor de 1/2 henry e o resistor de 10 ohms, determine o valor da constante c e a corrente ( )ti . Considere a corrente inicial e o tempo inicial iguais a zero. Exerccio 2: Determine ( )tilim
t
+, sendo ( )ti da equao (1).
Obs.: Quando +t o termo tLR
e.c
da equao (1) se aproxima de zero. Tal termo
usualmente denominado de corrente transitria. A razo E/R chamada de corrente estacionria. Aps um longo perodo de tempo, a corrente no circuito governada praticamente pela lei de Ohm
RiE = .
lvaro Fernandes 22
Derivada
A reta tangente. Suponha que a reta r da figura v se aproximando da circunferncia at toc-la num nico ponto.
Na situao da figura 4, dizemos que a reta r tangente a circunferncia no ponto P. Exemplos de retas tangentes (no ponto P) a algumas curvas:
Fig. 5 Fig. 6 Fig. 7 Na figura 7, apesar da reta tocar a curva em dois pontos, ela tangencia a curva em P, como na figura 4. Estas retas tocam suavemente as curvas nos pontos P indicados. Exemplos de retas que no so tangentes (no ponto Q) a algumas curvas:
Fig. 8 Fig. 9.
Estas retas no tocam suavemente as curvas nos pontos indicados como no exemplo da circunferncia (fig. 4). Elas cortam , penetram as curvas.
lvaro Fernandes 23
Vamos determinar a equao da reta tangente a uma funo (uma curva) num ponto do seu domnio. Seja ( )xfy = uma curva definida no intervalo ( )b,a . Considere ( )oo y,xP , sendo ( )oo xfy = , um ponto fixo e ( )y,xQ um ponto mvel, ambos sobre o grfico de f. Seja s a reta que passa pelos pontos P e Q.
Seja t a reta tangente ao grfico de f no ponto P.
Considerando o tringulo retngulo PTQ, obtemos o coeficiente angular da reta s como
( )o
o
xxyy
xytg
== .
Suponha que o ponto Q mova-se sobre o grfico de f em direo ao ponto P. Desta forma, a reta s se aproximar da reta t. O ngulo se aproximar do ngulo , e ento, a ( )tg se aproximar da ( )tg . Usando a notao de limites, fcil perceber que
( ) ( )=
tgtglim
PQ .
Mas quando PQ temos que oxx . Desta forma, o limite acima fica
( ) ( ) ( ) ( ) ( )==
=
tgxx
xfxflim
xxyy
limtgtglimo
o
xxo
o
xxPQ oo .
Assim ( ) ( ) ( )=
tgxx
xfxflim
o
o
xx o .
o
o
xxxyyy
==
lvaro Fernandes 24
Definio: Seja ( )xfy = uma curva e ( )oo y,xP um ponto sobre o seu grfico. O coeficiente angular m da reta tangente ao grfico de f no ponto P dado pelo limite ( ) ( )
o
o
xx xxxfxf
limmo
=
, quando este existir.
Equao da reta tangente Podemos agora determinar a equao da reta tangente t, pois j conhecemos o seu coeficiente angular e um ponto do seu grfico ( )oo y,xP . A equao da reta tangente t : a) ( ) ( )oo xxmyy = , se o limite que determina m existir;
b) A reta vertical oxx = se ( ) ( )o
o
xx xxxfxf
limo
for infinito.
Exemplo 19. Determine a equao tangente a parbola ( ) 2xxf = no ponto de abscissa 1xo = .
Soluo: Temos que determinar dois termos oy e m. ( ) ( ) 111fyxfy 2ooo ==== . ( ) ( ) ( ) ( ) 2
1x1xlim
1x1fxflim
xxxfxflimm
2
1x1xo
o
xx o==
==
=
L .
Logo a equao da reta tangente ( ) ( )1x21y = ou 1x2y = .
( )( )oo xfy
tgm
=
=
lvaro Fernandes 25
Equao da reta normal Definio: Seja ( )xfy = uma curva e ( )oo y,xP um ponto sobre o seu grfico. A reta normal (n) ao grfico de f no ponto P a reta perpendicular a reta tangente (t).
A equao da reta normal ( ) ( )oo xxm1yy = , sendo que ( ) ( ) 0
xxxfxf
limmo
o
xx o
=
.
Se 0m = , ento a equao da reta normal a reta vertical oxx = . Se ( ) ( )
o
o
xx xxxfxf
limo
for infinito, ento a reta normal horizontal e tem equao oyy = . Atividades (grupo 15). Determine a equao da reta tangente e da reta normal ao grfico das funes abaixo nos pontos indicados. Esboce os grficos das funes com as retas. a) ( ) 3xxf = no ponto de abscissa 1xo = .
b) ( ) xxf = no ponto de abscissa 4xo = .
A derivada de uma funo num ponto
O limite ( ) ( )
o
o
xx xxxfxf
limo
muito importante, por isso receber uma denominao especial.
Definio: Seja ( )xfy = uma funo e ox um ponto do seu domnio. Chama-se derivada da funo f no ponto ox e denota-se ( )ox'f (l-se f linha de ox ), o limite
( ) ( ) ( )o
o
xxo xxxfxf
limx'fo
=
, quando este existir.
Forma alternativa para derivada: Se fizermos oxxx = , obtemos a seguinte forma para ( )ox'f :
( ) ( ) ( )x
xfxxflimx'f oo
0xo +=
.
lvaro Fernandes 26
Outras notaes para a derivada da funo ( )xfy = num ponto x qualquer:
( )x'y (l-se: y linha de x); fDx (l-se: derivada da funo f em relao x);
dxdy (l-se: derivada de y em relao x).
Exemplo 20. Dada a funo ( ) 1xxxf 2 += , determine ( )2'f . Use as duas formas da definio.
Usando ( ) ( ) ( )o
o
xxo xxxfxf
limx'fo
=
:
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 31xlim2x
1x2xlim2x
2xxlim2x
31xxlim2x
2fxflim2'f2x2x
2
2x
2
2x2x=+=
+==
+==
.
Usando ( ) ( ) ( )x
xfxxflimx'f oo
0xo +=
:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) =++=
+++=+=
x2x2xx44lim
x31x2x2lim
x2fx2flim2'f
2
0x
2
0x0x
( ) ( ) 303x3lim
xx3xlim
xxx3lim
0x0x
2
0x=+=+=
+=+=
.
Teorema: Toda funo derivvel num ponto contnua neste ponto. Atividades (grupo 16). 1. Determine a equao da reta tangente curva 2x5y = , que seja perpendicular reta x3y += . 2. Determine a equao da reta normal curva 3xy = , que seja paralela reta 0xy3 =+ . Derivadas laterais Lembre-se que o limite de uma funo num ponto somente existe se os limites laterais existem e so iguais. Como a derivada de uma funo num ponto um limite, esta derivada somente existir em condies anlogas. Definio: Seja ( )xfy = uma funo e ox um ponto do seu domnio. A derivada direita de f em
ox , denotada por ( )ox'f+ definida por
( ) =+ ox'f ( ) ( )o
o
xx xxxfxf
limo
+ .
lvaro Fernandes 27
Definio: Seja ( )xfy = uma funo e ox um ponto do seu domnio. A derivada esquerda de f em ox , denotada por ( )ox'f definida por
( ) = ox'f ( ) ( )o
o
xx xxxfxf
limo
.
Uma funo derivvel num ponto quando as derivadas laterais (a direita e a esquerda) existem e so iguais neste ponto. Exemplo 21. Considere a funo ( ) 1xxf += . Mostre que esta funo contnua no ponto
1x = mas no derivvel neste ponto. f contnua neste ponto pois ( ) ( )1f00111xlimxflim
1x1x===+=+=
.
Sabemos que ( )
=+=+=
1x,01x,1x
1x,1x1xxf
. Vamos calcular ( )1'f :
( ) =+ 1'f ( ) ( ) ( ) 11lim1x1xlim
1x01xlim
1x1fxflim
1x1x1x1x==+
+=++=+
++++ .
( ) = 1'f ( ) ( ) ( ) ( ) 11lim1x1xlim
1x01xlim
1x1fxflim
1x1x1x1x==+
+=+=+
.
Como as derivadas laterais so distintas conclumos que no existe ( )1'f . Veja o grfico da funo ( ) 1xxf += .
Obs.: Quando as derivadas laterais existem e so diferentes num ponto, dizemos que este um ponto anguloso do grfico da funo. Neste caso, no existe reta tangente num ponto anguloso. No exemplo acima a funo ( ) 1xxf += tem um ponto anguloso em 1x = . Atividades (grupo 17). Verifique se a funo abaixo tem derivada no ponto ox . Este ponto anguloso? Esboce o grfico da funo e constate.
a) ( )
>=0x,e
0x,x1xf
x
2
no ponto 0xo = . b) ( )
>++=0x,e
0x,1xxxg
x
2
no ponto 0xo = .
No existe reta tangente ao grfico desta funo no
ponto 1x0 = .
lvaro Fernandes 28
Regras de derivao Vamos apresentar algumas regras que iro facilitar o clculo das derivadas das funes sem recorrer a definio.
1. Derivada de uma funo constante. Se ( ) cxf = , c uma constante real, ento ( ) 0xf ' = .
( ) ( ) ( ) 00limxcclim
xxfxxflimxf
0x0x0x
' ===
+=
.
2. Derivada da funo potncia. Se n um inteiro positivo e ( ) nxxf = , ento ( ) 1n' nxxf = .
Prova: ( ) ( ) ( ) ( )x
xxxlimx
xfxxflimxfnn
0x0x
'
+=
+=
Usando o Binmio de Newton para expandir ( )nxx + , obtemos
( ) =xf '( ) ( ) ( ) ( )
=
+++++
x
xxxnx...xx!2
1nnxnxxlim
nn1n22n1nn
0x
( ) ( ) ( ) ( )=
++++=
x
xxnx...xx!2
1nnnxxlim
1n2n2n1n
0x
( ) ( ) ( ) ( ) 1n1n2n2n1n0x
nxxxnx...xx!2
1nnnxlim
=
++++= . Exemplo 22. Calcule as derivadas das funes abaixo: a) ( ) xxf = b) ( ) 2xxf = c) ( ) 5xxf = a) ( ) ( ) 1x1x'fxxf 111 === . Logo ( ) 1x'f = . b) ( ) ( ) x2x2x'fxxf 122 === . Logo ( ) x2x'f = . c) ( ) ( ) 4155 x5x5x'fxxf === . Logo ( ) 4x5x'f = . Obs.: Se n for um nmero inteiro negativo ou racional o resultado contnua vlido. Atividades (grupo 18). 1. Mostre, usando a regra e a definio, que a derivada da funo ( ) 1xxf = ( ) 2xx'f = .
2. Mostre, usando a regra e a definio, que a derivada da funo ( ) xxf = ( )x2
1x'f = .
lvaro Fernandes 29
3. Derivada do produto de uma constante por uma funo. Se ( )xf uma funo derivvel e c uma constante real, ento a funo ( ) ( )xcfxg = tem derivada dada por ( ) ( )x'cfx'g = .
Prova: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] =+=
+=+=
xxfxxfclim
xxcfxxcflim
xxgxxglimxg
0x0x0x
( ) ( ) ( )xcfx
xfxxflimc0x
=+=
.
Exemplo 23. Se ( ) 3x5xf = ento ( ) ( ) 22 x15x35x'f == . 4. Derivada de uma soma de funes. Se ( )xf e ( )xg so funo derivveis, ento a funo ( ) ( ) ( )xgxfxh += tem derivada dada por ( ) ( ) ( )x'gx'fx'h += .
Pesquise a demonstrao deste resultado num livro de clculo. Exemplo 24. Se ( ) 5xx3x4xf 23 ++= ento ( ) 1x6x12x'f 2 += . 5. Derivada de um produto de funes. Se ( )xf e ( )xg so funo derivveis, ento a funo ( ) ( ) ( )xgxfxh = tem derivada dada por ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x'gxfxgx'fx'h += .
Pesquise a demonstrao deste resultado num livro de clculo. Exemplo 25. Se ( ) ( )( )x2xxxf 3 = ento ( ) ( )( ) ( )( ) 2x2x6x410xxx21x3x'f 2332 ++=+= . 6. Derivada de um quociente de funes.
Se ( )xf e ( )xg so funo derivveis, ento a funo ( ) ( )( )xgxfxh = tem derivada dada por
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )[ ]2xgx'gxfxgx'fx'h = .
Pesquise a demonstrao deste resultado num livro de clculo.
Exemplo 26. Se ( )x2
8x5xf2 = ento ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 222 2 x2 8x5...x4 28x5x2x10x'f +=== .
lvaro Fernandes 30
Atividades (grupo 19). 1. Usando as regras de derivao, calcule as derivadas das funes abaixo: a) ( ) 1x3xxf 2 ++= . b) ( ) ( ) ( )3xxxf 8 += . c) ( ) ( )( )x6xx3xf 4 += .
d) ( ) ( ) 32 x23xxf = . e) ( ) 3 x2
3x5xf += . f) ( ) ( )x2xxf 41 = .
g) ( ) 6x1x
xxf 2 +++= . h) ( ) 2x
x2xf = . i) ( ) ( )24 3 x1xxf = . 2. Determine os valores das constantes a e b na parbola ( ) baxxf 2 += de modo que a reta de equao 4x8y += seja tangente a parbola no ponto 2x = . Derivada da funo composta (Regra da cadeia) At o momento sabemos derivar a funo ( ) 3xxg = e tambm a funo ( ) 1x2xf += . Considere agora a funo composta ( ) ( )( ) ( )31x2xfgxgof +== . Como poderemos obter a derivada da funo composta ( )xgof sem desenvolver o Binmio? A regra que veremos agora estabelece uma forma de obter a derivada da funo composta em termos das funes elementares f e g. Regra da cadeia
Se ( )ugy = , ( )xfu = e as derivadas dudy e
dxdu existem, ento a funo composta
( ) ( )( )xfgxgofy == tem derivada dada por
dxdu
dudy
dxdy = ou ( ) ( ) ( )xuuyxy = ou ( ) ( )( ) ( )xfxfgxgof = .
As trs formas acima so equivalentes, mudam apenas as notaes. Exemplo 27. Calcule a derivada das funes abaixo:
a) ( )31x2y += b) 3x5y += c) 5x31
xy
=
Para calcular a derivada dessas funes, precisamos identificar as funes elementares ( )ugy = e ( )xfu = (cujas derivadas conhecemos) que formam a funo composta e aplicar a regra.
a) ( )31x2y +=
+==
1x2uuy 3
Ento ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )222 1x2621x232u3xyxuuyxy +=+=== .
Logo ( ) ( )21x26xy += .
lvaro Fernandes 31
b) 3x5y +=
+==
3x5uuy
Ento ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3x52
55u2
1xyxuuyxy +=== . Logo ( ) 3x525xy += .
c) 5
x31xy
=
==
x31xu
uy 5
Ento ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )( ) =
== 24 x313xx311u5xyxuuyxy
( )( ) ( )( )
( ) ( )64
2
4
x31x5
x313xx311
x31x5 =
= .
Logo ( ) ( )64
x31x5xy = .
Proposio: Se ( )xf uma funo derivvel e n um nmero inteiro no nulo, ento
( )[ ] ( )[ ] ( )xf.xfnxfdxd 1nn =
Prova: Fazendo nuy = , onde ( )xfu = e aplicando a regra da cadeia, temos ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )xfxfnxyxfnuxyxuuyxy 1n1n === .
A proposio continua vlida se n for um nmero racional no nulo.
Exemplo 28. Calcule a derivada da funo 3 3xx14y += .
Podemos escrever ( ) 313xx14y += e calcular a derivada usando a proposio acima:
( ) ( ) ( )2323 x31xx1314xy += .
Obs: Com a regra da proposio acima poderamos calcular todos os exerccios do exemplo 27. Mas a regra da cadeia mais completa, ela possibilitar a resoluo de outros problemas mais complicados...
lvaro Fernandes 32
Atividades (grupo 20). Calcule a derivada das funes abaixo: a) ( )63x2y = . b) ( ) 34 2xy = . c) 3x2y = .
d) ( )( )x51x31y
2
+= . e) ( )( )3
4
x1x2y = f) 1x
x41y3
++=
Derivada da funo inversa Se uma funo ( )xfy = admite uma funo inversa ( )yfx 1= , ento a funo inversa tem derivada dada por
( ) ( ) ( )xf 1yf 1 = , ( ) 0xf .
Sabemos que ( ) xxoff 1 = . Aplicando a regra da cadeia, obtemos que ( ) ( )( ) ( ) 1xfxff 1 = , da ( ) ( ) ( )xf 1yf 1 = , desde que ( ) 0xf .
Exemplo 29. Seja ( ) 3x5xfy == . Calcule a derivada ( ) ( )40f 1 invertendo a funo e usando a regra da derivada da inversa. Invertendo a funo:
( ) ( ) 313135y
5yyfxx5xfy
===== . Assim ( ) ( )
51
5y
31yf
321
=
Logo ( ) ( ) ( ) ( ) 601815 18151515403140f 323232
1 ===
=
.
Usando a regra da derivada da inversa:
Se 40y = e ( ) 3x5xfy == , ento 285
40x 33 === . Como ( ) 2x15xf = , obtemos
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 60121512f 140fxf 1yf 211 ==== .
lvaro Fernandes 33
Atividades (grupo 21).
1. Seja ( ) 3x5xfy == . Calcule a derivada ( ) ( )2f 1 usando a regra da derivada da inversa.
2. Seja ( ) 0x,xxfy 2 >== . Calcule a derivada ( ) ( )3f 1 usando a regra da derivada da inversa.
Derivada das funes elementares. Vamos agora apresentar as derivadas das funes elementares do clculo. So elas as funes exponenciais, logartmicas, trigonomtricas e trigonomtricas inversas. 1. Derivada da funo exponencial. Proposio: Se ( ) ( )1 e a0a,axf x >= , ento ( ) ( )alnaxf x= .
Prova: ( ) ( ) ( ) ( )alnax
1alimalimx
1aalimx
aalimxf xx
0x
x
0x
xx
0x
xxx
0x=
==
=
+
.
Lembre-se que ( ) ( )alnx
1alimx
0x=
uma conseqncia importante do limite fundamental
exponencial (item ii pg. 14). Caso particular: Se ( ) xexf = , ento ( ) ( ) xx eelnexf == , onde e o nmero neperiano. Exemplo 30. Determine a deriva da funo xe6y = .
Usando a regra da cadeia, obtemos:
( ) ( ) ( )x
e3x2
1e6xuuyxyxu
e6y xuu
=== =
=.
Atividades (grupo 22). 1. Calcule a derivada das funes abaixo:
a) ( ) 1x2xf += . b) ( ) x2exf = . c) ( ) 1x52 ex3xf += . d) ( ) 2x2
ex1xf = .
2. Calcule a rea do tringulo retngulo sombreado na figura abaixo, sabendo-se que n a reta normal a ( ) xexf = no ponto de abscissa 1=0x .
Resp.: 2e3
lvaro Fernandes 34
2. Derivada da funo logartmica.
Proposio: Se ( ) ( ) ( )1 e a0a,xlogxf a >= , ento ( ) ( )alnx1xf = .
Prova: A funo logartmica ( ) ( )xlogxfy a== a inversa da funo exponencial
( ) y1 ayfx == . Podemos ento usar o resultado da derivada da funo inversa para determinar ( )xf . Assim:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )alnx 1alna 1yf 1xf y1 === .
Caso particular: Se ( ) ( )xlnxf = , ento ( ) ( ) x1
elnx1xf == .
Exemplo 31. Determine a deriva da funo ( )xlney
1x4 += .
Usando a regra da derivada do quociente 2gfggf
gf =
e a regra da cadeia na funo
exponencial, obtemos:
( ) ( )[ ] ( )( )[ ]2
1x41x4
xlnx1exln4e
y
=
++
Atividades (grupo 23). 1. Calcule a derivada das funes abaixo:
a) ( ) ( )x5log4xf 2= . b) ( ) ( )1x2lnxf += . c) ( ) ( )xlnexf x3 = . d) ( ) ( )x2e x3lnxf = .
3. Derivada das funes trigonomtricas. Proposio:
a) ( )xseny = ( )xcosy = . b) ( )xcosy = ( )xseny = . c) ( )xtgy = ( )xsecy 2= . d) ( )xgcoty = ( )xeccosy 2= . e) ( )xsecy = ( ) ( )xtgxsecy = . f) ( )xeccosy = ( ) ( )xgcotxeccosy = . Prova: Vamos provar os itens (a), (c) e (e). Os outros itens tm demonstraes anlogas e ficam como exerccio.
lvaro Fernandes 35
a) ( )xseny = . Aplicando a definio... ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) =
+=+=
xxsenxcosxsenxcosxsenlim
xxsenxxsenlimy
0x0x
( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )[ ] =+
=+=
x1xcosxsenlim
xxcosxsenlim
x1xcosxsenxcosxsenlim
0x0x0x
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )xcos0xsen1xcosx
1xcoslimxsenx
xsenlimxcos0x0x
=+=+
=
.
Lembre-se que ( )
1x
xsenlim0x
=
o limite trigonomtrico fundamental e ( ) 0
x1xcoslim
0x=
foi resolvido no exemplo 13 (c) da pg. 15. c) ( )xtgy =
Como ( ) ( )( )xcosxsenxtg = e j sabemos a derivada funo ( )xsen , podemos aplicar a derivada do
quociente:
( ) ( ) ( ) ( )[ ]( )
( ) ( )( ) ( ) ( )xsecxcos
1xcos
xsenxcosxcos
xsenxsenxcosxcosy 22222
2 ==+== . Lembre-se que ( ) ( ) 1xsenxcos 22 =+ a relao trigonomtrica fundamental. e) ( )xsecy =
Como ( ) ( )xcos1xsec = e sabendo-se que a derivada da funo ( )xcos ( )xsen , podemos aplicar
a derivada do quociente: ( ) ( ) ( ) ( )[ ]
( )( ) ( )
( ) ( )( )( ) ( ) ( )xtgxsecxcosxsen
xcos1
xcosxsen1
xcosxsen1xcos0y 22 ==== .
Exemplo 32. Calcule a derivada das funes compostas abaixo:
a) ( )2x3seny = . b) ( )xcosy 3= . c) ( ) x5extgy = . d) ( )( )xsec 1xtgy = . Solues:
a) ( )2x3seny = Usando a regra da cadeia, obtemos: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )22 x3cosx6x6ucosxuuyxyx3u
useny ===
==
.
lvaro Fernandes 36
b) ( )xcosy 3= Usando a regra da cadeia, obtemos:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )xcosxsen3xsenu3xuuyxyxcosuuy 22
3
===
==
.
c) ( ) x5extgy = Usando a regra da derivada do produto ( ) fggfgf += e a regra da cadeia, obtemos:
( ) ( ) ( )5extgex2
1xsecy x5x52 +
= .
d) ( )( )xsec1xtgy =
Usando a regra da derivada do quociente 2gfggf
gf =
e a regra da cadeia, obtemos:
( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] ( ) ( )[ ]
( )xsecxtgxsec1xtgxsecxsec
y 22 = .
Mostre que esta expresso igual a ( )( )xsec1xtgy += . Simplifique-a utilizando a relao trigonomtrica
( ) ( )xsecxtg1 22 =+ se necessrio. Atividades (grupo 24). 1. Calcule a derivada das funes abaixo:
a) ( ) ( )2xsecx3xf += . d) ( ) ( )( )xgcot1 xsenxf += .
b) ( ) ( ) ( )x2cosxsenxf = . e) ( )
+=
1x1xeccosxf .
c) ( ) ( )3 xtgxf = . f) ( ) = xecosxfx
.
lvaro Fernandes 37
4. Derivada das funes trigonomtricas inversas Proposio:
a) ( )xarcseny = 2x11y
= .
b) ( )xarccosy = 2x11y= .
c) ( )xarctgy = 2x11y += .
d) ( )xgcotarcy = 2x11y +
= .
e) ( )xsecarcy = 1x,1xx1y2
>
= .
f) ( )xecarccosy = 1x,1xx
1y2
>
= .
Prova: Vamos provar os itens (a), (c) e (e). Os outros itens tm demonstraes anlogas e ficam como exerccio. a) Seja [ ] [ ]2,21,1:f definida por ( ) ( )xarcsenxfy == . Esta funo tem como inversa a funo ( ) ( )ysenyfx 1 == . Podemos ento usar o resultado da derivada da funo inversa para determinar ( )xf . Assim:
( ) ( ) ( ) ( ) 221 x11
ysen1
1ycos
1yf
1xf
=
=== . Observe que [ ]2,2y . Neste caso o sinal da funo ( )ycos positivo. Usando a relao trigonomtrica fundamental ( ) ( ) 1ysenycos 22 =+ , obtemos ( ) ( )ysen1ycos 2= . c) Seja ( )2,2:f definida por ( ) ( )xarctgxfy == . Esta funo tem como inversa a funo ( ) ( )ytgyfx 1 == . Podemos ento usar o resultado da derivada da funo inversa para determinar ( )xf . Assim:
( ) ( ) ( ) ( ) 2221 x11
ytg11
ysec1
yf1xf +=+=== .
Lembre-se que ( ) ( )ytg1ysec 22 += .
lvaro Fernandes 38
e) Seja ( )xsecarcy = . Podemos reescrever esta expresso como 1x,x1arccosy >
= . Usando o item (b) da proposioe a regra da cadeia, obtemos:
1xx
1
1xx
x
x1xx
1
x
1xx
1
x1xx
1x
1
x11
1y2222
22
22
2
22
22 =
=
=
=
=
= .
Obs.: lembre-se que 2
x1
x1 =
. Exemplo 33. Calcule a derivada das funes abaixo:
a) ( )1x2arcseny = . b)
+= 2
2
x1x1arctgy .
Soluo: a) ( )1x2arcseny = . Usando a regra da cadeia, obtemos: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )22 1x21
22u1
1xuuyxy1x2u
uarcseny
=
==
=
=.
b)
+= 2
2
x1x1arctgy . Novamente a regra da cadeia...
( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )( ) =
++
+==
+=
=22
22
22
2
x1x2x1x1x2
u11xuuyxy
x1x1u
uarctgy
( )
+
++
= 2222
2 x1x4
x1x11
1 simplifique esta expresso e mostre que igual a 4x1x2
+ .
Logo ( ) 4x1x2xy +
= . Atividades (grupo 25). Determine a derivada das funes:
a) ( )1xarccosy 2 = . b) ( )xearctgx3y = .
lvaro Fernandes 39
Tabela de derivadas
Vamos fazer um resumo das derivadas das principais funes vistas at aqui. Nesta tabela u uma funo derivvel na varivel x. So constantes reais c, n e a. ( )( )( )( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ).u'ueccosy'ugcoty10
.u'usecy'utgy 9
.u'useny'ucos y8
.u'ucosy'useny 7
uu'y'0u,ulny 6
alnu.u'y',ulogy 5
.u'aln.ay'ay 4
.u'n.uy'u y3
nxy'xy 2
0y'cy 1
2
2
a
uu
1nn
1nn
==
==
==
==
=>=
==
==
==
==
==
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )1uu
'u'y1u,uarcy18
1uu'u'y1u,usarcy17
u1'u'yucarcy16
u1'u'yutarcy15
u1'u'yucarcy14
u1
'u'yusenarcy13
.u'ugcotueccosy'ueccosy12
.u'utgusecy'usecy 11
2
2
2
2
2
2
=>=
=>=
+==
+==
==
==
==
==
cosec
ec
otg
g
os
Regras operacionais Se u e v so funes derivveis, ento:
2vvuvuy
vuy
vuvuyvuy
vuyvuy
=
=
+==
==
3)
2)
1)
lvaro Fernandes 40
Derivadas sucessivas Em algumas aplicaes precisamos derivar uma funo mais de uma vez. Se uma funo ( )xfy = for derivvel, isto , existe ( )xf , podemos pensar na derivada de ( )xf e assim sucessivamente. Definimos e denotamos as derivadas sucessivas de uma funo ( )xfy = de acordo com a tabela abaixo:
Como l-se: Notao: 1a derivada ou derivada de 1a ordem ( ) dx
dyouxf
2a derivada ou derivada de 2a ordem ( ) 2
2
dxydouxf
3a derivada ou derivada de 3a ordem ( ) 3
3
dxydouxf
4a derivada ou derivada de 4a ordem ( ) ( ) 4
44
dxydouxf
M M na derivada ou derivada de na ordem ( ) ( ) n
nn
dxydouxf
Justificativa para as notaes:
( ) ( )[ ]xfxf = , ( ) ( )[ ]xfxf = , a partir da quarta derivada usamos o cardinal.
=dxdy
dxd
dxyd2
2
,
= 2
2
3
3
dxyd
dxd
dxyd , e assim sucessivamente.
Exemplo 34. a) Se ( ) 1x2xxf 4 += , ento: ( ) 2x4xf 3 +=
( ) 2x12xf = ( ) x24xf =
( ) ( ) 24xf 4 = ( ) ( ) 0xf 5 =
...
( )( ) 0xf n = , para todo 5n .
lvaro Fernandes 41
b) Se ( ) x2exf = , ento: ( ) x2e2xf =
( ) x2e4xf = ( ) x2e8xf =
( ) ( ) x24 e16xf = ...
( ) ( ) x2nn e2xf = . c) Se ( ) ( )xsenxf = , ento: ( ) ( )xcosxf =
( ) ( )xsenxf = ( ) ( )xcosxf =
( ) ( ) ( )xsenxf 4 = ...
( ) ( )( )( )( )
( )
===
==
,...12,8,4n,xsen,...11,7,3n,xcos,...10,6,2n,xsen
,...9,5,1n,xcos
xf n
Atividades (grupo 26).
1. Calcule as derivadas sucessivas at a ordem n indicada. a) 4n9x2x3y 4 == , . b) 3cx+d, nbxaxy 23 =++= .
c) 3nx1
1y == , . d) ( ) 5nx5seny == , . e) ( ) 3nx1lny 2 == , . 2. Calcule ( )( )99f , sendo ( ) ( )x2senexf x3 += .
lvaro Fernandes 42
Derivada na forma implcita At agora sabemos derivar funes que so expressas na forma ( )xfy = . Agora iremos determinar uma maneira de derivar expresses que no tenham a varivel y isolada (explicitada) em um dos membros. So exemplos dessas expresses 1yx 22 =+ , ( ) 4ylnxy 2 =+ , etc. Em algumas situaes inconveniente ou at mesmo impossvel de explicitar a varivel y nessas expresses. O mtodo da derivao implcita permite encontrar a derivada de uma expresso desta forma, sem a necessidade de explicit-la. Uma funo na forma ( )xfy = , onde a varivel y aparece isolada no primeiro membro chamada de funo explcita. Entretanto, algumas vezes as funes esto definidas por equaes nas quais a varivel y no est isolada. Por exemplo
x1yxy2 2 =++ no est na forma explcita ( )xfy = . Mesmo assim, esta equao ainda define y como uma funo de x, pois podemos escrev-la como
2x1xy 2 +
= .
Caso quisssemos calcular y , poderamos utilizar esta ltima expresso. Uma equao em x e y pode definir mais do que uma funo. Por exemplo 1yx 22 =+ que representa graficamente uma circunferncia de centro ( )0,0 e raio unitrio (figura 1). Explicitando a varivel y encontramos duas funes
2x1y = .
A funo 2x1y += representa a semicircunferncia superior (figura 2) e 2x1y = representa a semicircunferncia inferior (figura 3).
figura 1 figura 2 figura 3
Caso quisssemos calcular y , poderamos utilizar uma das expresses 2x1y = . Ainda neste caso possvel explicitar a varivel y, mesmo sabendo que parte do grfico suprimido neste processo.
lvaro Fernandes 43
s vezes o processo para explicitar a varivel y bastante longo e trabalhoso, como o caso da expresso
0xy3yx 33 =+ e at mesmo impossvel por qualquer mtodo elementar, como neste caso ( ) 0yxysen = .
O mtodo da derivao implcita permitir encontrar a derivada y sem a necessidade de explicitar a funo como ( )xfy = . Definio: Uma expresso na forma ( ) 0y,xF = define implicitamente uma funo ( )xfy = se o grfico de ( )xfy = coincide com alguma parte do grfico de ( ) 0y,xF = . Exemplo 35. Exemplos de funes definidas implicitamente: a) 0x1yxy2 2 =++ . b) 01yx 22 =+ . c) 0xy3yx 33 =+ . d) ( ) 0yxysen = . Vamos agora mostrar como obter a derivada y , nos casos do exemplo 35, sem explicitar y. Usaremos a regra da cadeia para derivar os termos da expresso ( ) 0y,xF = que envolvem y. a) 0x1yxy2 2 =++ . Esta expresso define y como uma funo de x implicitamente, logo:
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
( ).
2xxy21y
xy212xy
01yxxy2y2
01dxdyxxy2
dxdy2
0x1dxdyx
dxdy2
dxd
0dxdx1yxy2
dxd
2
2
2
2
2
2
+=
=+
=++
=+++
=++
=++
Observe que usamos a derivada de um produto em ( )yxdxd 2 .
Derivamos ambos os membros em relao a x.
Derivada de uma soma de funes.
Apenas mudamos os smbolos: ( ) yxydxdy == .
lvaro Fernandes 44
Poderamos obter a derivada y derivando diretamente 2x
1xy 2 += . Vejamos:
( )( ) ( )( )( ) ( ) ( )22
2
22
22
22
2
2xxx22
2xx2x22x
2xx21x2x1y +
+=+++=+
+= , logo ( )222
2xxx22y +
+= . Voc pode estar se perguntando:
Obtivemos ( )222
2xxx22y +
+= , mas anteriormente calculamos 2xxy21y 2 +
= . Estas expresses so distintas?
Obviamente no, pois se fizermos 2x
1xy 2 += na expresso
2xxy21y 2 +
= , vamos obter
( )222
2xxx22y +
+= :
( )222
2
2
22
2
2
2
2
2
2xxx22
2x2x
x2x22x
2x2x
x2x21
2x2x
1xx21y +
+=+
+++
=+
+
=+
+
= . Ateno: No necessrio verificar se as derivadas calculadas nas formas explcita e implcita coincidem, mesmo porque em alguns casos no possvel mesmo isolar a varivel y. Caso queiramos calcular o valor da derivada y num ponto, por exemplo 2xo = , basta encontrarmos o valor da imagem oy , substituindo ox na expresso 0x1yxy2
2 =++ . Depois calculamos y com estes dois valores, pois
2xxy21y 2 +
= depende de duas variveis. Vejamos:
61y021y4y20x1yxy2 ooooo
2oo ==++=++ .
( )181
2261221
2xyx21
y 22o
oo =+
=+
= .
Observe que encontramos este mesmo valor usando ( )222
2xxx22y +
+= no ponto 2xo = : ( )
( ) 181
362
222222y 22
2
==++= .
Mas lembre-se: nem sempre possvel isolar a varivel y para calcular y .
lvaro Fernandes 45
b) 01yx 22 =+ .
( ) ( ) ( ) .yxy0yy2x200y
dxdx20
dxd1yx
dxd 222 ==+=++=+
c) 0xy3yx 33 =+ .
( ) ( ) ( ) ( ) =+=+ 0xydxd3y
dxdx30
dxdxy3yx
dxd 3233
( )[ ] ( ) .xy
xyyx3y3
x3y3yx3y3x3y3y0xyy13yy3x3 22
2
22222
=
===++ d) ( ) 0yxysen = .
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] 0yxyy1xycos0dxdy
dxdxysen
dxd0
dxdyxysen
dxd =+==
( ) ( ) ( )( ) .1xycosxxycosyy0yxycosxyxycosy ==+
Vejamos alguns exemplos que ocorrem com maior freqncia em derivao implcita:
( ) ynyydxd 1nn = .
( )[ ] ( ) yysecytgdxd 2 = .
[ ] yeedxd yy = .
( )[ ] yy1yln
dxd = .
( )[ ] yy1
1yarctgdxd
2 += .
lvaro Fernandes 46
Atividades (grupo 27). 1. Determine a derivada 'y das curvas dadas implicitamente por: a) 4yx 22 =+ b) y2xy2xy 32 =+ c) ( ) 0ysenxyx 22 =+
d) 3yxexy += e) 0yxyxy 3 =+
f) ( ) 1xyytg = 2. Determine a equao da reta tangente e da reta normal ao grfico de cada funo abaixo, nos pontos indicados. a) ( ) 2yxyln += no ponto ( )1,1P . b) y3 2.yx = , no ponto em que a normal vertical. c) 19y13x6 22 =+ (elipse), nos pontos onde a normal paralela reta 07y12x26 = . 3. Seja C a circunferncia dada implicitamente por 1yx 22 =+ e t a reta tangente C no ponto de abscissa 22xo = , como mostra a figura abaixo. Calcule o valor da rea sombreada.
4. Determine a rea do tringulo AOB na figura abaixo sabendo-se que r a reta tangente a curva C, dada implicitamente por ( ) x31xcos2e 2xy =+ , no ponto ( )0,1A .
lvaro Fernandes 47
Derivada de uma funo na forma paramtrica Funo na forma paramtrica
Sejam ( )( )
==
tyytxx
funes de uma mesma varivel t, [ ]b,at . A cada valor de t no intervalo [ ]b,a corresponde um nico par ( ) ( )( )ty,txP no plano cartesiano. Se as funes ( )txx = e ( )tyy = forem contnuas, quando t variar de a at b, o ponto P descrever uma curva no plano.
As equaes ( )( )
==
tyytxx
so chamadas de equaes paramtricas da curva e t chamado de
parmetro. Se a funo ( )txx = admite uma inversa ( )xtt = , podemos escrever ( )( )xtyy = , eliminando o parmetro t. Neste caso, temos y como uma funo de x, isto , ( )xyy = . Mesmo quando a funo ( )txx = no admite inversa, em alguns casos, podemos obter uma forma implcita da curva, eliminando o parmetro t de forma conveniente.
Dizemos que as equaes ( )( )
==
tyytxx
definem a forma paramtrica de uma curva plana.
Exemplo 36.
a) As equaes
=+=
t,t2y
1tx , definem a reta de equao 2x2y = . Para verificar isto basta
isolar o parmetro t na equao 1tx += e substituir em t2y = .
b) As equaes
==
t,1ty
t1x2 , definem a parbola de equao x2xy
2 = . Para verificar isto basta isolar o parmetro t na equao t1x = e substituir em 1ty 2 = .
c) As equaes ( )( ) [ ]
==
2,0t,tsen2ytcos2x
, definem a circunferncia de equao 4yx 22 =+ .
Pois as equaes ( )tcos2x = e ( )tsen2y = satisfazem 4yx 22 =+ , para todo t .
lvaro Fernandes 48
( )[ ] ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )( ) 4tsentcos4tsen4tcos4tsen2tcos2yx 22222222 =+=+=+=+ . Observe neste caso que a funo ( )tcos2x = no admite inversa no intervalo [ ] 2,0t e a forma encontrada para a curva foi implcita.
Caso geral: ( )( ) [ ]
+=+=
2,0t,tsenayytcosaxx
o
o , 0a > , definem a circunferncia de equao
( ) ( ) 22o2o ayyxx =+ .
Prove! d) Forma paramtrica da Elipse: ( )
( ) [ ]
+=+=
2,0t,tsenbyytcosaxx
o
o , ba e ambos positivos, definem a elipse de equao
( ) ( )1
byy
axx
2
2o
2
2o =+ .
Pois ( ) ( )a
xxtcos o
= , ( ) ( )b
yytsen o
= e ( ) ( ) 1tsentcos 22 =+ . Vamos ver agora como obter a derivada de uma funo na forma paramtrica.
Seja ( )( )
==
tyytxx
a forma paramtrica que define y como uma funo de x.
Suponha que as funes ( )tyy = , ( )txx = e a sua inversa ( )xtt = sejam derivveis. Podemos ento obter a composta ( )( )xtyy = e aplicar a regra da cadeia para calcular ( )xy : ( ) ( ) ( )xttyxy = .
Vimos no estudo da derivada da funo inversa que ( ) ( )tx1xt = . Da, temos que
( ) ( ) ( )( )( )txty
tx1tyxy == .
( ) ( )( )txtyxy = a derivada de uma funo na forma paramtrica.
lvaro Fernandes 49
Exemplo 36.
a) Calcule a derivada ( )xy da funo ( )xyy = definida na forma paramtrica por
==
tt61y5t3x
, .
( ) ( )( ) 236
txtyxy === .
Poderamos obter este resultado eliminado o parmetro t, obtendo a funo ( )xyy = e calculando diretamente ( )xy :
9x23
5x61y3
5xt5t3x =
+=+== . Da, ( ) 2xy = .
b) Calcule a derivada ( )xy da funo ( )xyy = definida na forma paramtrica por
+==
ttty
t1x2 , .
( ) ( )( ) 1t211t2
txtyxy =
+== .
Para obter a derivada em funo de x, basta substituir t por x1 : ( ) ( ) ( ) ( ) 3x2xy3x21x12xy1t2xy ==== . Observe que novamente poderamos obter este resultado eliminado o parmetro t, obtendo a funo
( ) ( )x1x1y 2 += e calculando ( ) ( )( ) 3x211x12xy =+= .
c) Determine a equao da reta tangente a elipse ( )( ) [ ]
+=+=
2,0t,tsen42ytcos21x
no ponto 4
t = .
A equao da reta tangente ( )oo xxyyy = .
Clculo de ox : 212221
4cos21xo +=+=
+= .
Clculo de oy : ( )21222222424sen42yo +=+=+= += .
Clculo de y no ponto 4
t = : ( )
( )( )( ) ( ) ( ) 2124gcot2y.tgcot2tsen2tcos4
txtyy ==
==== .
Logo, a reta tangente igual a ( ) ( )21x2212y =+ ou ( )214x2y ++= .
lvaro Fernandes 50
Grfico:
Atividades (grupo 28). 1. Calcule a derivada ( )xy das funes definidas parametricamente nos pontos indicados.
a) 3
t,t3cosyt2senx =
==
. b) 6
t,tseny
tcosx3
3 =
==
.
2. Determine a equao da reta tangente e da reta normal ao grfico de cada funo abaixo, nos pontos indicados.
a)
==
2,
2t,
t2senytsenx
,
no ponto 6
t = . b)
( )( ) 1t0,t1t6y
t1t6x122
12
+=+=
,
no ponto de abscissa 5
12 .
3. Determine o valor da rea sombreada na figura abaixo. Sabe-se que r a reta tangente a elipse ( )
( ) [ ] == 2,0t,tseny tcos2x:C , no ponto 3t = . Obs.: A rea da elipse dada pela frmula abA = , onde a e b so os comprimentos dos semi-eixos.
Resp.: ( ) 6338
lvaro Fernandes 51
Diferencial
At agora dxdy tem sido visto apenas como uma simples notao para a derivada de uma funo
( )xfy = em relao a varivel x, isto , ( ) ( )xfxydxdy == . O que faremos agora interpretar
dxdy
como um quociente entre dois acrscimos (diferenciais).
Acrscimos e decrscimos Se a partir de um determinado valor x somarmos ou subtrairmos um determinado valor *x , estaremos fazendo um acrscimo ou decrscimo na varivel x.
Nesta figura temos que x > 0.
Sem perda de generalidade, podemos supor 0x > para a nossa anlise. Seja ( )xfy = uma funo derivvel e x um acrscimo na varivel x. Definio: O diferencial de x, denotado por dx, o valor do acrscimo x , isto , xdx = . Considere t a reta tangente ao grfico de ( )xfy = no ponto x. Seja o ngulo de inclinao de t. Definio: O diferencial de y, denotado por dy, o acrscimo na ordenada da reta tangente t, correspondente ao acrscimo dx em x.
De acordo com a figura podemos observar que o quociente ( )= tgdxdy . Mas ( ) ( )xftg = , pois
esta a interpretao geomtrica da derivada. Logo
( ) = xfdxdy ( ) dxxfdy =
O acrscimo dy pode ser visto como uma aproximao para y . Esta aproximao tanto melhor quanto menor for o valor de dx. Isto ,
se 0dx , ento 0dyy . Da podemos dizer que dyy se dx for bem pequeno.
( ) ( )xfdxxfy +=
lvaro Fernandes 52
Como ( ) ( )xfdxxfy += e ( ) dxxfdy = , obtemos que
( ) ( ) ( ) dxxfxfdxxf + , ou seja, ( ) ( ) ( )xfdxxfdxxf ++ .
Exemplo 37. 1. Calcule o diferencial dy das funes abaixo:
a) x2xy 3 += . b) ( )2xseny = . c) ( )( )xseclny = . Solues:
a) ( )dx2x3dy 2 += . b) ( )dxxcosx2dy 2= . c) ( )dxxtgdy = . 2. Calcule um valor aproximado para ( )29,19 usando diferenciais. Soluo:
Podemos pensar na funo ( ) 2xxf = onde queremos calcular um valor aproximado para ( )9,19f . Para isto vamos utilizar ( ) ( ) ( )xfdxxfdxxf ++ , onde podemos fazer 1,0dx20x == e . ( ) x2xf = . Da, ( ) ( ) ( )xfdxxfdxxf ++ ( )( ) ( ) ( ) ( )20f1,020f1,020f ++ ( ) ( ) ( ) ( ) 39640044001,040201,02029,19f 2 =+=+=+ . Logo ( ) 3969,19f . O valor exato 396,01. Lembre-se: quanto menor o valor de dx, melhor a aproximao. Atividades (grupo 29). 1. Encontre dyy e para os valores dados nas funes abaixo e compare os resultados ( )dyy :
a) .0x;02,0x;x6x5y 2 === b) .1x;1,0x;1x1x2y ==
+= 2. Usando diferencial, calcule um valor aproximado para: a) 25,12 . b) 31,4 . c) 13 .
lvaro Fernandes 53
Aplicaes da derivada
A regra de LHospital
Esta regra permite calcular certos tipos de limites (cujas indeterminaes so do tipo ou
00 )
aplicando as regras de derivao. Sejam f e g funes derivveis num intervalo aberto I, exceto possivelmente, num ponto Ia . Suponha que ( ) axIx,0xg e .
a) Se ( ) ( ) ( )( ) Lxgxflim0xglimxflim
axaxax===
e , ento
( )( )
( )( ) Lxgxflim
xgxflim
axax==
;
b) Se ( ) ( ) ( )( ) Lxgxflimxglimxflim
axaxax===
e , ento
( )( )
( )( ) Lxgxflim
xgxflim
axax==
.
Exemplo 38. Calcule os limites abaixo usando a regra de Lhospital.
a) x
1-elimx
0x
. b)
1x 2xxlim 2
4
1x +
. c)
( )2ee
x xsenlim xx0x +
. d) 2
x
x x elim
+. e) ( )x20x x2xlim ++
Solues:
a) x
1-elimx
0x
. (verifique a indeterminao do tipo
00 )
11
elimx
1-elimx
0x
x
0x==
.
lvaro Fernandes 54
b) 1x
2xxlim 24
1x +
. (verifique a indeterminao do tipo
00 )
25
x2 1x4lim
1x 2xxlim
3
1x2
4
1x=+=
+
.
c) ( )2ee
x xsenlim xx0x +
. (verifique a indeterminao do tipo
00 )
( ) ( )xx0xxx0x ee
1xcoslim2ee
x xsenlim =+
Observe que ainda h uma indeterminao do tipo 00 .
Neste caso podemos continuar aplicando a regra... ( ) ( ) 0
20
ee xsenlim
ee 1xcoslim xx0xxx0x ==+
=
. Logo, ( ) 0
2eex xsenlim xx0x =+
.
d) 2x
x x elim
+. (verifique a indeterminao do tipo
)
x2 elim
x elim
x
x2
x
x
++= Observe que ainda h uma indeterminao do tipo
. Neste caso podemos continuar aplicando a regra...
+==+ 2
elimx2 elim
x
0x
x
x . Logo, +=
+ 2x
x x elim .
e) ( )x20x
x2xlim ++ . Verifique que a indeterminao agora do tipo 00 . Neste caso, precisamos
transform-la em 00 ou para poder aplicar a regra de LHospital. Vamos usar duas propriedades dos logartimos. So elas: ( ) ( )alnxaln x = e ( ) xe xln = .
( ) ( ) ( ) ( ) ======+ ++
++
+
+
+
++++++x2xx2x2
0x
x1x2x
2x2
0x
x1x2xln
0x
x2xlnx
0x
x2xln
0x
x2
0x
2
23
2
22
2x2
elimelimelimelimelimx2xlim
11limelimelimelim0x
0
0x
20
0x
2xx2x2
0x
2
===== ++++
++
.
Podemos aplicar esta mesma tcnica para resolvermos indeterminaes do tipo 0 . Atividades (grupo 30). Calcule os seguintes limites usando a regra de Lhospital:
a) xsenx
x2eelimxx
0x
. b)
( )x2xsenlim
2x
. c) ( ) ( )xtgxseclim2x . d) ( )[ ] x20x xsen1lim ++ .
lvaro Fernandes 55
Interpretao cinemtica da derivada Vamos agora interpretar a derivada do ponto de vista da cinemtica, que estuda o movimento dos corpos. Veremos que a velocidade e a acelerao de um corpo podem ser determinadas atravs das derivadas de primeira e segunda ordem, respectivamente, quando conhecemos a funo horria do movimento do corpo. Velocidade. Considere um corpo que se move em linha reta e seja ( )tss = a sua funo horria, isto , o espao percorrido em funo do tempo. O deslocamento do corpo no intervalo de tempo
ttt + e definido por ( ) ( )tsttss += .
A velocidade mdia do corpo neste intervalo de tempo definida por ( ) ( )
ttstts
tsvm
+== .
A velocidade mdia do corpo no d uma informao precisa sobre a velocidade em cada instante do movimento no intervalo de tempo ttt + e . Para obtermos a velocidade instantnea do corpo no instante t, precisamos calcular a velocidade mdia em intervalos de tempo cada vez menores, isto , fazendo 0t . A velocidade instantnea do corpo no instante t definida por
( ) ( ) ( ) ( )tst
tsttslimtslimvlimtv
0t0tm0t=
+===
. Assim, ( ) ( )tstv = .
A velocidade instantnea ( )tv a primeira derivada da funo horria ( )ts . Acelerao. De forma anloga ao conceito de velocidade vem o de acelerao: A acelerao mdia do corpo no intervalo de tempo ttt + e definida por ( ) ( )
ttvttv
tvam
+== .
A acelerao instantnea do corpo no instante t definida por
( ) ( ) ( ) ( )tvt
tvttvlimtvlimalimta
0t0tm0t=
+===
. Assim, ( ) ( )tvta = .
Como ( ) ( )tstv = podemos escrever a acelerao instantnea como a segunda derivada dos espao em relao ao tempo. Assim ( ) ( )tsta = .
Obs.: No M.R.U.V. a funo horria do segundo grau ( ) ( )2
attvsts2
0o ++= , sendo constantes os o espao inicial, ov a velocidade inicial e a a acelerao do movimento. Neste caso, a
velocidade instantnea dada por ( ) ( ) atvtstv o +== e a acelerao instantnea dada por ( ) ( ) atvta == .
lvaro Fernandes 56
Exemplo 39. a) Suponha que um corpo em movimento retilneo tenha funo horria definida por ( ) 2t2t12ts = e no instante 0t = ele inicia o movimento. Considere o espao medido em metros e o tempo em segundos. Determine: i) a velocidade mdia do corpo no intervalo de tempo [ ]3,1 ; ii) a velocidade do corpo no instante 1t = ; iii) a acelerao mdia do corpo no intervalo de tempo [ ]3,1 ; iv) a acelerao do corpo no instante 1t = . Soluo:
i) ( ) ( ) ( ) ( ) s/m428
21018
131s3s
ttstts
tsvm ===
=+=
= . ii) ( ) ( ) ( ) s/m84121vt412tstv ==== .
iii) ( ) ( ) ( ) ( ) 2m s/m4280
131v3v
ttvttv
tva ==
=+=
= . iv) ( ) ( ) ( ) 2s/m43a4tsta === . b) Uma partcula em movimento retilneo tem a funo horria dada por ( ) 3t60t21t2ts 23 ++= . Considere o espao medido em metros e o tempo em segundos. Determine: i) Em que instante a partcula pra, isto , tem velocidade nula? ii) Determine a acelerao da partcula no instante s5,4t = . Soluo: i) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )5t2t6107t6tv60t42t6tstv 22 =+=+== . ( ) ( )( ) s2t05t2t60tv === ou s5t = . Assim a partcula tem velocidade nula
nos instantes s2t = e s5t = . ii) ( ) ( ) ( ) ( ) 2s/m12425,4125,4a42t12tsta ==== .
lvaro Fernandes 57
Atividades (grupo 31). 1. Do solo um projtil disparado verticalmente para cima. Sua altura (em metros) dada em funo do tempo (em segundos) por ( ) 2t10t160th = . Determine: i) As funes velocidade e acelerao do projtil; ii) Em que instante 0t > o projtil pra? iii) Quantos segundos dura todo o trajeto do projtil? iv) Com que velocidade e acelerao o projtil atingir o solo? 2. A equao do movimento de uma partcula ( ) 3 2tts += , s em metros e t em segundos. Determine: i) o instante em que a velocidade de m/s 121 ; ii) a distncia percorrida at este instante; iii) a acelerao da partcula quando t = 2s.
3. A equao horria do movimento retilneo de uma partcula ( ) ( ) 235 t6t4t
154ts ++= .
Considere s em metros e t em segundos. Determine em que instante 0t > a acelerao da partcula nula.
lvaro Fernandes 58
Taxa de variao Vimos na seo anterior que se ( )tss = a funo horria do movimento retilneo de um corpo, a velocidade mdia dada por
tsvm
= e a velocidade instantnea a dada pela derivada
( ) ( ) ( ) ( )t
tsttslimtslimtstv
0t0t +=
==
. Da mesma forma, a acelerao mdia tvam
= e a
acelerao instantnea dada pela derivada ( ) ( ) ( ) ( )t
tvttvlimtvlimtvta
0t0t +=
==
.
As razes mm av e so exemplos de taxas mdias de variao num intervalo e as razes
( ) ( )tslimtstv
0t ==
e ( ) ( )
tvlimtvta
0t ==
so exemplos de taxas instantneas de variao
num ponto, ou simplesmente taxas de variao num ponto.
Definio: De uma forma geral, se ( )xfy = uma funo, a razo xy
chamada de taxa mdia
de variao da funo f no intervalo [ ]xx,x + e a derivada ( ) ( ) ( )
xxfxxflim
xylimxf
0x0x +=
=
chamada de taxa de variao da funo f no ponto x.
Toda taxa de variao pode ser interpretada como uma derivada.
Interpretando a derivada desta forma, podemos resolver diversos problemas das cincias que envolvem razes instantneas de variao. Exemplo 40. Suponha que um leo derramado atravs da ruptura do tanque de um navio se espalhe em forma circular cujo raio cresce a uma taxa de 2m/h. Com que velocidade a rea do derramamento est crescendo no instante em que o raio atingir 60m? Soluo: A taxa com que o raio cresce de 2m/h. Podemos interpretar e denotar esta taxa de variao como
h/m2dtdr = .
Queremos calcular a taxa com que a rea cresce em relao ao tempo. Podemos denotar esta taxa de
variao como dtdA . A rea do derramamento circular, logo 2rA = .
Queremos calcular dtdA e temos
dtdr . A regra da cadeia relaciona estas razes atravs de
dtdr
drdA
dtdA = . Assim, r42r2
dtdA == . Quando o raio atingir 60m a rea do derramamento
estar crescendo a uma taxa de ( ) h/m240h/m604 22 = .
lvaro Fernandes 59
Diretrizes para resolver problemas de taxa de variao 1. Desenhe uma figura para auxiliar a interpretao do problema;
2. Identifique e denote as taxas que so conhecidas e a que ser calculada;
3. Ache uma equao que relacione a quantidade, cuja taxa ser encontrada, com as quantidades cujas taxas so conhecidas;
4. Derive esta equao em relao ao tempo, ou use a regra da cadeia, ou a derivao implcita para determinar a taxa desconhecida;
5. Aps determinada a taxa desconhecida, calcule-a em um ponto apropriado. Exemplo 41. Um tanque de gua tem a forma de um cone circular invertido com base de raio 2m e altura igual a 4m. Se a gua est sendo bombeada dentro do tanque a uma taxa de 2m3/min, encontre a taxa na qual o nvel da gua est elevando quando a gua est a 3m de profundidade.
2hr
42
hr == . Assim, 3
2
h12
h2h
31V =
= .
Derivando ambos os lados em relao ao tempo t, obtemos
dtdV
h4
dtdh
dtdhh3
12dtdV
dtdh
dhdV
dtdV
22 =
== .
Substituindo minm2dtdV 3= e h = 3m, temos
minm28,0982
34
dtdh
2 == .
Dado minm2dtdV 3= , devemos encontrar
dtdh
quando h = 3m. As grandezas V e h esto
relacionadas pela equao hr31V 2= , que o
volume do cone. Para obter o volume V como funo
da altura h, podemos eliminar a varivel r usando
semelhana de tringulos:
lvaro Fernandes 60
Atividades (grupo 32). 1) Uma bola de neve esfrica formada de tal maneira que o seu volume aumenta razo de 8 cm3/min. Com que velocidade aumenta o raio no instante em que a bola tem 4 cm de dimetro? 2) Um automvel que viaja razo de 30 m/s, aproxima-se de um cruzamento. Quando o automvel est a 120 m do cruzamento, um caminho que viaja razo de 40 m/s atravessa o cruzamento. O automvel e o caminho esto em rodovias que formam um ngulo reto uma com a outra. Com que velocidade afastam-se o automvel e o caminho 2s depois do caminho passar pelo cruzamento? 3) Uma escada com 13m de comprimento est apoiada numa parede vertical e alta. Num determinado instante a extremidade inferior, que se encontra a 5m da parede, est escorregando, afastando-se da parede a uma velocidade de 2 m/s. Com que velocidade o topo da escada est deslizando neste momento? 4) Um balo est a 60 m acima do solo e se eleva verticalmente razo de 5 m/s. Um automvel passa por baixo do balo viajando 12 m/s. Com que velocidade varia, um segundo depois, a distncia entre o balo e o automvel? 5) Despeja-se gua num recipiente de forma cnica, razo de 8 cm3/min. O cone tem 20 cm de profundidade e 10 cm de dimetro em sua parte superior. Se existe um furo na base, e o nvel da gua est subindo razo de 1 mm/min, com que velocidade a gua estar escoando quando esta estiver a 16 cm do fundo? 6) Um lado de retngulo est crescendo a uma taxa de 17 cm/min e o outro lado est decrescendo a uma taxa de 5 cm/min. Num certo instante, os comprimentos desses lados so 10 cm e 7 cm, respectivamente. A rea do retngulo est crescendo ou decrescendo nesse instante? A que velocidade? 7) Dois resistores variveis 21 RR e so ligados em paralelo. A resistncia total R calculada pela equao ( ) ( )21 R1R1R1 += . Se 21 RR e esto aumentando s taxas de
sohm 02,0 s ohm 01,0 e respectivamente, a que taxa varia R no instante em que ohms90 R ohms 30R 21 == e ?
8) Um tringulo issceles tem os lados iguais com cm15 cada um. Se o ngulo entre eles varia razo de rad 90 por minuto, determine a variao da rea do tringulo quando rad 6= .
lvaro Fernandes 61
Anlise grfica das funes Mximos e mnimos Definio: Uma funo ( )xfy = tem um ponto de mximo relativo em 0xx = , se existe um intervalo aberto A, contendo 0x , tal que ( ) ( )xfxf 0 , para todo Ax . ( )0xf chamado de valor mximo relativo. Definio: Uma funo ( )xfy = tem um ponto de mnimo relativo em 1xx = , se existe um intervalo aberto B, contendo 1x , tal que ( ) ( )xfxf 1 , para todo Bx . ( )1xf chamado de valor mnimo relativo.
Exemplo 42. A funo ( ) 24 x4xxf = tem um ponto de mximo relativo em 0x = e dois pontos de mnimos relativos em 2x = . O valor mximo relativo 0y = e o valor mnimo relativo
4y = .
A proposio seguinte permite encontrar os possveis pontos de extremos relativos (mximos relativos ou mnimos relativos) de uma funo.
lva
![Apostila Pre Calculo Final[1]](https://img.document.onl/doc/110x75/55cf8558550346484b8d0704/apostila-pre-calculo-final1.jpg)
